ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Η ιδέα για την εκπόνηση της παρακάτω ερευνητικής εργασίας προέκυψε από μια ανάγκη να προσεγγίσουμε το μάθημα των Μαθηματικών μέσα από μια άλλη οπτική γωνία. Θεωρούμε ότι οι μαθητές γνωρίζοντας το έργο και τη ζωή των αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών, θα συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά έθεσαν τις βάσεις της δομημένης σκέψης και της ανθρώπινης λογικής. Η συγκεκριμένη εργασία θα βοηθήσει τους μαθητές να δουν τη σχέση της μαθηματικής σκέψης με την ιστορία και τη φιλοσοφία.

Θεωρήσαμε λοιπόν απαραίτητο, να δώσουμε κάποια ερεθίσματα στα παιδιά για να ερευνήσουν μέσα στην υπάρχουσα βιβλιογραφία, στα αρχαία κείμενα αλλά και μέσα στο διαδίκτυο, ώστε να συγκεντρώσουν το κατάλληλο υλικό για τις γνώσεις που μας κληροδότησαν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και να καταλήξουν σε κάποια χρήσιμα συμπεράσματα για την εξέλιξη της επιστήμης των Μαθηματικών.

Αφού συγκεντρώσαμε όσα περισσότερα στοιχεία μπορέσαμε και τα αξιολογήσαμε, διαμορφώσαμε την παρούσα εργασία. Στην εργασία αυτή υπεύθυνοι καθηγητές ήταν : ο κ.Τακτικός Θεόδωρος, Μαθηματικός και η κ.Κατσίχτη Ευγενία, Φιλόλογος.

Οι μαθητές της Α’ τάξης του 1ου Γενικού Λυκείου Σπάρτης που συμμετείχαν ανά ομάδες στην ερευνητική αυτή εργασία, είναι :

Ομάδα «Θαλής»

Ομάδα «Πυθαγόρας»

Ομάδα «Πλάτωνας»

Ομάδα «Ευκλείδης»

Ομάδα «Αρχιμήδης»

Αποστολάκος Γρηγόριος

Γραμματικάκης Άγγελος

Γκουλεβατάγια Κριστίνα

Αποστολάκου Βασιλική

Γιαλελή Αγγελική

Ζαλούμης Αλέξανδρος

Κουτσοβίτη Παναγιώτα

Μακρής Απόστολος

Γεωργακάκου Μάρθα

Ζάλμπα Μαρία

Ταϊφάκου Σωτηρία

Μητσόπουλος Γεώργιος

Μιχαλαριάς Βασίλειος

Δρακοπούλου Σταματική

Κουτσοβίτης Ευάγγελος

Τούμπουρα Αθανασία

Παπαδάκου Παναγιώτα

Μπόκος Βασίλειος

Σκούρου Άννα

Τσιάκου Ελπίδα

2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ξεκινώντας την εργασία με την ομάδα των μαθητών που επέλεξαν το συγκεκριμένο θέμα, θεωρήσαμε αναγκαίο να συνάψουμε από κοινού το συμβόλαιο συνεργασίας. Οι μαθητές με προθυμία ανταποκρίθηκαν και έθεσαν τις αρχές του συμβολαίου, το οποίο όλοι υπέγραψαν. Στη συνέχεια παρουσιάσαμε το σκεπτικό του σχεδίου εργασίας, δίνοντας τα κατάλληλα ερεθίσματα για προβληματισμό και συζήτηση, με σκοπό τη διαμόρφωση συγκεκριμένων ερευνητικών ερωτημάτων.

Μετά την παρουσίαση πολλών αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, η ομάδα αποφάσισε να ασχοληθεί με τους πιο οικείους για τους μαθητές μαθηματικούς, δηλαδή τον Πυθαγόρα, τον Αρχιμήδη, τον Ευκλείδη, το Θαλή, αλλά και με τον Πλάτωνα, αφού η σχέση του με τα μαθηματικά θα καταδείκνυε τη σχέση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία.

Στην πορεία οι μαθητές χωρίστηκαν σε 5 τετραμελείς υποομάδες, όπου με τη διακριτική καθοδήγησή μας φροντίσαμε να αποτελούνται από μαθητές διαφορετικών προσωπικοτήτων (με γνώμονα την αρχή της ετερογένειας). Ύστερα από κλήρωση (τυχαίο κριτήριο), η κάθε υποομάδα ανέλαβε έναν από τους παραπάνω μαθηματικούς.

Έχοντας ως σκοπούς αυτής της εργασίας

να γνωρίσουν και να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές την αξία και τη χρησιμότητα των μαθηματικών επιτευγμάτων των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και ειδικότερα του Θαλή, του Ευκλείδη, του Πυθαγόρα, του Αρχιμήδη και του Πλάτωνα, στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών αλλά και στην ανάπτυξη της ανθρώπινης σκέψης γενικότερα να προβληματιστούν και να ερευνήσουν κατά πόσο αυτές οι μαθηματικές γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών μπορούν να συμβάλουν στη λύση σύγχρονων προβλημάτων να ασκήσουν οι μαθητές τον τρόπο σκέψης, την επιστημονική μέθοδο εργασίας και να ενεργοποιήσουν τη δημιουργικότητα αλλά και τη συλλογικότητα με την ενεργό και άμεση εμπλοκή τους σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής εργασίας,

καταλήξαμε στα παρακάτω ερευνητικά ερωτήματα

1. Βιογραφικά στοιχεία για κάθε Έλληνα μαθηματικό2. Βασικές μαθηματικές γνώσεις που μετέδωσε ο καθένας στην ανθρωπότητα3. Πως αυτές οι γνώσεις μπορούν να βοηθήσουν στην επίλυση σύγχρονων προβλημάτων;4. Ποια επιτεύγματα αυτών έχουν εφαρμογή στη σύγχρονη εποχή και σε ποιους τομείς;5. Ποια η συμβολή τους στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης;

Στη συνέχεια ακολούθησε η αναζήτηση του υλικού μέσα από τη σχετική βιβλιογραφία και τις ανάλογες ιστοσελίδες, η επεξεργασία, η αξιολόγηση και η σύνθεση αυτών των στοιχείων. Στην πορεία, οι μαθητές ασχολήθηκαν και με την κατασκευή τεχνήματος – αφίσας, όσο και με την οργάνωση της παρουσίασης της εργασίας. Οι μαθητές εργάστηκαν ομαδοσυνεργατικά, σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής τους εργασίας.

3

ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ο Θαλής ο Μιλήσιος, θεμελιωτής της Ελληνικής Φιλοσοφίας και της Μιλησίας Σχολής των κοσμολόγων, ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου

αιώνα π.Χ. στη Μίλητο.

Γεννήθηκε περίπου το 624-623 π.Χ. σύμφωνα με τις μαρτυρίες του Απολλόδωρου, ενώ σύμφωνα με άλλες μαρτυρίες γεννήθηκε στα 630-635 π.Χ. και πέθανε σε προχωρημένη ηλικία παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες στην Ολυμπία εξαιτίας της ζέστης, της δίψας και της εξάντλησης. Στον τάφο του χαράχτηκε το εξής επίγραμμα : «Εἰ ὀλίγον τό δέ σῆμα, τό δέ κλεός οὐρανόμηκες», δηλαδή «ο χώρος που πιάνει ο τάφος είναι μικρός αλλά η δόξα σου φτάνει στα ουράνια».

Η παράδοση κατατάσσει το Θαλή μεταξύ των 7 Σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και μεγάλη επινοητικότητα. Ήταν μία πολύπλευρη προσωπικότητα. Ασχολήθηκε με την αστρονομία και τα μαθηματικά, την φυσική και την φιλοσοφία. Επίσης αναδείχτηκε σε αξιόλογο πολιτικό αφού σε καίριες στιγμές παρενέβη στα πολιτικά δρώμενα της εποχής του. Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καμία σχολή ούτε μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο. Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέμεινε άγαμος και αφοσιωμένος στη θεωρητική πρακτική ενασχόληση με τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήμες.

Όπως μας αναφέρει και ο Πρόκλος:

Ο Θαλής αγαπούσε τα ταξίδια. Ταξίδεψε στην Αίγυπτο και την Βαβυλώνα, όπως ήταν καθιερωμένο να κάνουν οι σοφοί του 6ου αιώνα, και μελέτησε τον τρόπο ζωής και τις επιστήμες των Αιγυπτίων. Με τον τρόπο αυτό έφερε μαζί του πίσω στη Μίλητο γνώσεις και εφαρμογές οι οποίες συνέβαλαν στην εξέλιξη της Γεωμετρίας και των Μαθηματικών.

4

Για τα επιστημονικά επιτεύγματα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς ποια από αυτά δεν οφείλονται στο θρύλο που δημιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητα του. Το σημαντικότερο ωστόσο είναι ότι μέσω των προβληματισμών του για την αρχή του κόσμου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόμενα του κόσμου σε μία μοναδική αρχή, γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια « στη χορεία των φιλοσόφων». Ο Θαλής δεν πρέπει να άφησε κανένα έργο παρά μόνο ένα με τίτλο « Ναυτική Αστρολογία» αν και αυτό αμφισβητείται σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο οποίος υποστηρίζει ότι είναι έργο του Φώκου του Σάμιου.ΕΡΓΟ-ΓΝΩΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΟ Θαλής ήταν ο πρώτος Έλληνας Φιλόσοφος που αναζήτησε την πρώτη αρχή των όντων και των κοσμολογικών φαινομένων. Ως πρώτη αιτία όρισε το νερό. Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του για την φύση ήταν τα αίτια που έκαναν το Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο του αποδίδοντας 2 κοσμολογικές απόψεις:

• Η γη έχει την μορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό

• Το νερό είναι η αρχή των πάντων.

Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή.

ΘΕΟΛΟΓΙΑ Όπως μας αναφέρει ο Αριστοτέλης μια άλλη επιστήμη, στην οποία συνέβαλε ο Θαλής ήταν η Θεολογία. Υποστήριζε πως ο κόσμος είναι γεμάτος Θεούς «πάντα πλήρη θεῶν εἶναι» και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό «κινητικόν τί».

Ακόμη είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe 0) ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα. Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών, ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση της θεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στη φύση έχει ψυχή. Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του ποταμού Νείλου, πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και με τη μελέτη των μετεωρολογικών φαινομένων χωρίς όμως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε.

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΕάν η θεμελίωση της θεωρητικής γεωμετρίας ως επιστήμης και, κατά συνέπεια η θεμελίωση του πολιτισμού οφείλεται στην αναλαμπή του Θαλή, ο οποίος σκέφτηκε να διατυπώσει τα γεωμετρικά αξιώματα και την ανάγκη απόδειξης με αυτά των γεωμετρικών προτάσεων, η συνολική θεώρηση του κόσμου και η προσπάθεια αναγωγής όλων των φαινομένων σε μία αρχή αποτελεί πράγματι σημαντικό επίτευγμα του.

5

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΟ Θαλής εκτός από φιλόσοφος υπήρξε και μεγάλος αστρονόμος. Ο Ηράκλειτος γράφει : «Θαλῆς πρῶτος ἀστρολογῆσαι».

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΩς μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημά του. Η κυριότερη προσφορά του Θαλή όμως στην επιστήμη των μαθηματικών ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως, γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του «σκέπτεσθαι» μέχρι εκείνη την εποχή.

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΜε βάση όλες τις θεωρίες και τις γνώσεις του μπορούμε να κατανοήσουμε πως η συμβολή του στην εξέλιξη όλων των επιστημών ήταν καθοριστική.

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΜερικά από τα αποφθέγματα του Θαλή ήταν:

• Γνῶθι σαυτόν. (Γνώρισε τον εαυτό σου)

• Χαλεπόν τόν ἑυατόν γνῶναι. (Είναι δύσκολο το να γνωρίσει κανείς τον εαυτό του).

• Βαρύ ἀπαιδευσία. (Η απαιδευσία είναι βαρύ πράγμα).

• Μέτρῳ χρῶ. (Σε όλες τις ενέργειες να υπάρχει μέτρο).

• Μή πλούτει κακῶς. (Να μην πλουτίζεις κακώς).

6

• Ἀργός μή ἲσθι, μηδ΄ἀν πλουτῆς. (Να μην μένεις αργός, ούτε όταν είσαι πλούσιος).

• Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων. (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων, διότι υπερισχύει όλων).

• Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο. (Να θυμάσαι τους φίλους σου, όταν είναι παρόντες και απόντες).

• Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου. (Καλύτερα να σε φθονούν, παρά να σε λυπούνται).

• Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι, νύξ ἡ ἡμέρα, «ἡ νύξ» , ἔφη, «μία ημέρα πρότερον» (Προς κάποιον, που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα, η νύκτα ή η ημέρα, απάντησε: «Η νύχτα έγινε, μία μέρα νωρίτερα»).

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣυνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία :

• ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα.

• Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) • Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού

των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος .• Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και

νότου.• Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 π.χ.)• Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω

από την γη, καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη.

• Κατασκεύασε το περίφημο «διαστημόμετρο» για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά.

ΦΥΣΙΚΗΌσον αφορά την φυσική, με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο, αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες, μικρά φτερά κ.λπ., ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού. Αρκετούς αιώνες μετά, η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών. Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού.

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία:

• Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειών.• Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματα.• Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνων.• Ανακάλυψε το ομώνυμό του, Θεώρημα του Θαλή.• Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιο.• Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου.

ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΔυστυχώς, οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6ο και τον 5ο αιώνα π.Χ. είναι αποσπασματικές. Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο, ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα.

Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη.

Παρ’ ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μ.Χ αιώνα, η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη, είναι αξιόπιστη, καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος.

Με τον Θαλή, αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας, το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο, αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού.

Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του «Πατέρα της Γεωμετρίας», αφού:

• Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη) :

«Κατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους, κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μας.»

8

• Ο Πλίνιος:

Μας λέει τα ίδια, προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος.

• Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματα:«Πρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλο»«Πρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσες.»

• Ο Εύδημος αναφέρει:

«Ο Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες».

Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο. Συμφώνα, όμως με τον Απολλόδωρο, το λογικιστή, αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους. Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν «απέδειξε» αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων.

Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών. Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά.

9

ΠυθαγόραςΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ

Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιος,γεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το 580-500π.Χ. Το όνομά του, του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας, η οποία προφήτεψε τη γέννησή του. Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο, ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή. Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ό,τι ήθελε εκτός από την αθανασία. Ζήτησε λοιπόν, όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί. Έτσι, μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του.

Νεαρός ακόμα, παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του, έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές. Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση. Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά, όπως λέει ο Αντιφών στο « Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων » και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους. Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα. Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς. Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο, επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη, αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας. Έδρασε εκεί, όπου και ίδρυσε την περίφημη «Πυθαγόρειο Σχολή», η οποία ήταν πολίτικο-θρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία. Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων, ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα.

Είχε πολλούς και καλούς μαθητές. Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του, τους έλεγε να λένε τα εξής: «Πού έσφαλα»; «Τι έκανα»; «Τι έπρεπε να κάνω και δεν έκανα»; Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του, γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν.

10

Πέθανε, σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο, καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη. Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του, αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί. Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία), μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός.

ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ

Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων), διασώζεται σε 71 στίχους του έργου «Τα χρυσά έπη του Πυθαγόρα». Η σύνθεση αυτών των στίχων, αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μ.Χ αιώνα. Η γνώση ότι τα «Χρυσά Έπη» γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα, με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή. Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα. Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα «πυθαγορικό» και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων.

Οι σύγχρονοί του όμως, φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό. Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά, λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής. Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική. Διότι, όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας, «Τά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντων..εἴναι» (Αριστοτέλους, Μετά τα φυσικά,Α5).

11

[Aristot. Metaph. A 5.985 b 23]οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον, καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων. ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι, ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις, μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι, ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως, ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους, - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν, οἱ δ' ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι, τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι, καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν.

• Πυθαγόρειες τριάδες

Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της

μορφής ,

+Ν−ΝΝ2

1,2

1,22

όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1. Για

παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3, θα σχηματιστεί η τριάδα

+−2

13,2

13,322

δηλαδή η (3 , 4 , 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα, αφού ικανοποιεί τη σχέση 222 543 =+ .

Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα.

12

• Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων, ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα. Προφανώς, κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο, ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Το Π.Θ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων. Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου.

-Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος: Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών, ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου. Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις.

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους:

13

Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c, έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ. σχήμα).

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων :

c2 + 2abΑφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με:

a2 + b2 + 2ab.Εξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει:

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2.

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων:

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α. Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β. Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ.

Ισχύει ))(()AB()AB()(

)()AB( 2 ∆ ΒΒ Γ=⇒∆ Β=

Β Γ και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ).

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε:(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 =

(ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2.

• Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας, κατά την τοπική παράδοση της Σάμου, είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί. Εσωτερικά, είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς. Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση. Πως όμως γίνεται αυτό; Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα, ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της. Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή. Ενώ γεμίζουμε την κούπα, η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης, ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία.

14

Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας, «δεν τρέχει τίποτα». Εάν όμως την ξεπεράσει, ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης, έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα. Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα, το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει.

Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος, τετράεδρο, δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του. Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές, ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα, ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων. Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση. Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ, κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο «Κανόνα», εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό «κανονάκι».

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ

Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους «πυθαγορείου θεωρήματος» το συναντούμε στη πινακίδα Β.Μ 85196 που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας π.Χ. Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του, οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα.

Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Η περίεργη μυστικότητα, όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου. Έτσι, σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο.

Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη. Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο. Τέλος, στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας.

15

Πλάτων ο ΑθηναίοςΒιογραφικά στοιχεία

Έζησε στο διάστημα (427-347π.Χ). Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα, την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του. Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας, ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου, και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη, η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη, ενός από τους Τριάκοντα τύραννους, και ανιψιά του Κριτία, επίσης μέλος των Τριάκοντα, με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος. Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων. Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής, αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο.

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του. Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου, σε όλα εκτός των Νόμων. Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή. Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του, και ο άκρατος

θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία.

Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών. Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο. Αναφορικά, ο Ιππίας, γιος του Πεισίστρατου, έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 π.Χ. Το 387

16

π.Χ. O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μ.Χ. οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό. Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα. Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης, τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα. Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών, ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης. Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη, δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη. Η Ακαδημία, άλλωστε, ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα. Τέλος, ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη “μετά επιστήμης” παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία

Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές , ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση. Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της. Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά. Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας «ἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτω» . Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών.

Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα π.Χ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου, Μεναίχμου και Ενδόξου. Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι:

-Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση.

-Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων

-Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος.

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού, θέση, σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις, γεγονός που

17

φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός.

Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο. Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα, κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη. Ύστερα γύρισε στην Αθήνα, όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων, τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας. Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη, όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο, και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας, όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους, από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά. Μετά πέρασε στη Σικελία. Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α΄ γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα, με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά. Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία, γι' αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία. Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης. Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του, την Ακαδημία (387 π.Χ.). Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν. Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 π.Χ., με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο. Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του. Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα. Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε. Δολοφονήθηκε το 353 π.Χ.. Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών. Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων. Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα. Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία.

Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες, και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία. Η προτροπή αυτή φαίνεται, εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι ‘’δόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπους’’ και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο.

Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες

Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του «Ιστορία της σκέψης» (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους, ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν. Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του. Ο μαθητής του Αριστοτέλης, εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο, οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό. Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας

18

ίδρυσε το 387 π.Χ., η Ακαδημία, συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π. Χ., έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου.

Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας, ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς, ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά, υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο, στο κίνημα του νεοπλατωνισμού, με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος, το οποίο είχε ιδεαλιστικό, μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα. Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα.

Την ίδια εποχή, περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο, οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού. Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα, οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας. Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του: Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία. Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ' όλον τον Μεσαίωνα, κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση. Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν. Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ' αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες.

Τα έργα του είναι:

Αλκιβιάδης Α' η Περί Ανθρώπου Φύσεως, μαιευτικός.

Αλκιβιάδης Β' ή Περί Προσευχής, μαιευτικός.

Απολογία Σωκράτους, ηθικός.

Γοργίας ή Περί Ρητορικής, ανατρεπτικός.

Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος, πολιτικός.

Επιστολαί, ηθικαί.

Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας, ηθικός.

Ευθύδημος ή Εριστικός, ανατρεπτικός.

Ευθύφρων ή Περί του Οσίου.

Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας, μαιευτικός.

Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης, πειραστικός.

19

Ιππαρχος ή Φιλοκερδής, ηθικός.

Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους, ανατρεπτικός.

Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού, ανατρεπτικός.

Ίων ή Περί Ιλιάδος, πειραστικός.

Κλειτοφών ή Προτρεπτικός, ηθικός.

Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος, λογικός.

Κριτίας ή Ατλαντικός, ηθικός.

Κρίτων ή Περί του Πρακτέου, ηθικός.

Λάχης ή Περί Ανδρείας, ηθικός.

Λύσις ή Περί Φιλίας, μαιευτικός.

Μενέξενος ή Επιτάφιος, ηθικός.

Μένων ή Περί Αρετής, πειραστικός.

Μίνως ή Περί Νόμου, πολιτικός.

Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας, πολιτικός.

Παρμενίδης ή Περί Ιδεών, λογικός.

Πολιτεία ή Περί Δικαίου, πολιτικός.

Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας, λογικός.

Πρωταγόρας ή Σοφισταί, επιδεικτικός.

Σοφιστής ή Περί του Όντος, λογικός.

Συμπόσιον ή Περί Αγαθού, ηθικός.

Τίμαιος ή Περί Φύσεως, φυσικός.

Φαίδρος ή Περί Έρωτος, ηθικός.

Φαίδων ή Περί Ψυχής, ηθικός.

Φίληβος ή Περί Ηδονής, ηθικός.

Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης, πειραστικός.

20

21

ΕυκλείδηςΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Υπολογίζεται ότι έζησε το β’ μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου π.Χ. αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 π.Χ. έως το 265 π.Χ. Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο. Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες. Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη, πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του «γύρω στο 300 π.Χ.» δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια. Ο Πρόκλος, επίσης, τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Α’ στον

οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία. Ο Πάππος, τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα, τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση. Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό: Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία. Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη «Και τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτό;». Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε: «Δώσ’ του τρεις δεκάρες, ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθε!» Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο. Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα, μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου.

ΕΡΓΟ

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 π.Χ., η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές. Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος, ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής. Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια, λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 π.Χ. άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας. Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης, που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα.

22

Ο Ευκλείδης, από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας. Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου, που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων. Τα Στοιχεία. του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση. Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο, καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε, μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας. Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών.

Ο Πρόκλος, ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα, έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου «στοιχεία». Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης. Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα. Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα. Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία. Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα.

Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες. Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου π.Χ. αιώνα. Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο. Όπως μαθαίνουμε, η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη. Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων. Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη, ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του, ειδικά αν, όπως πιστεύουν, σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα.

Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου. Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του, αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν

23

σε λογική σειρά οι προτάσεις, ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων. Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη. Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 π.Χ., αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται. Αντίθετα, σώζονται δεκάδες αντίγραφα που, σε τελική ανάλυση, κατάγονται από αυτό. Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888, ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7ου ή του 8ου

μ.Χ. αι. που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο. Βλέπουμε λοιπόν, ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μ.Χ. αι. και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο.

Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο. Στα 1808, όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι, ο Φ. Πέιραρντ (F. Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά. Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά.

Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά. Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ' αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις. Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo, 1114-1187) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ, ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus). Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους. Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε. Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572. Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ' αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις.

24

Αναλυτική περιγραφή των « στοιχείων »

Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες, στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα. Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα. Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα

της «χρυσής τομής». Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική, γι’ αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη «γεωμετρική άλγεβρα». Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα. Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η «θεωρία των λόγων» του Ευδόξου. Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών, δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική. Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σ’ αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν. Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα. Ειδικότερα, στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί, οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι, εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας, ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ), καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του, που ονομάστηκε «Ευκλείδειος Αλγόριθμος» . Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων, στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις. Πρόκειται για: α) το αποκαλούμενο «θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής» β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς. Στο 10ο βιβλίο, που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων, γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου, τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη. Τέλος, τα βιβλία της στερεομετρίας, το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες, στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα.

25

Άλλα έργα

• Δεδομένα (94 θεωρήματα) : έργο ανώτερης γεωμετρίας. Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα, θέση ή μέγεθος.

• Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) : με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση.

• Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) : σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο.

• Οπτικά-κατοπτρικά : αντίστοιχα γεωμετρική οπτική, ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο.

• Φαινόμενα : εγχειρίδιο κοσμογραφίας, απλές προτάσεις για τη σφαίρα.

• Κατατομή κανόνος : στοιχεία πυθαγόρεια, θεωρία μουσικής.

• Ψευδάρεια : «παράδοξα» με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις.

• Κωνικαί τομαί, Μηχανικά : δεν γνωρίζουμε τίποτα γι’ αυτά τα έργα.

Αιτήματα του Ευκλείδη

Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία. Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα :

1. Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή.

2. Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο.

3. Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος.

4. Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

5. Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τ’ αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ’ απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών.

Ακολουθούν τα «αιτήματα», διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι

26

Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα. Στα Στοιχεία επομένως, δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές, τη τετραγωνίζουσα κ.λπ., ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως. Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική. Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κ