2012

με θέμα:

«Αρχαίοι Έλληνες

Μαθηματικοί και η συμβολή

τους στην επίλυση

σύγχρονων προβλημάτων»

ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΝΤΔΡΙΟΤ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

2

Η ερευνητική εργασία πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο του μαθήματος

της Α’ Λυκείου “Project” από τους μαθητές:

ΘΕΡΜΟΤ ΛΑΜΠΡΙΝΗ

ΚΑΒΒΑΔΑ ΚΑΣΕΡΙΝΑ

ΚΑΒΒΑΔΑ ΦΡΙΣΙΑΝΑ

ΚΟΤΒΑΣΗ ΚΤΒΕΛΗ

ΛΕΒΕΝΣΟΠΟΤΛΟΤ ΦΡΙΣΙΑΝΑ

ΜΕΗΝΗ ΚΩΝ/ΝΟ

ΜΠΡΕΓΚΑΙ ΥΛΩΡΙΑΝ

ΠΕΣΙΝΗ ΕΛΕΝΗ

ΥΙΛΙΠΠΑ ΜΙΦΑΛΗ

ΦΑΑ ΝΕΚΙΕ

Τπεύθυνοι Καθηγητές

Αικατερίνη Σρίγκα (Υιλόλογος)

Γεώργιος Αγγέλης (Μαθηματικός)

3

ΠΙΝΑΚΑ ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΩΝ

Αποφθέγματα…………………………………………………………………σελ. 4

Εισαγωγή………………………………………………………………………σελ. 5

Επισκόπηση της ιστορίας και των περιόδων ανάπτυξης

των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών ….………………………….…σελ. 8

Θαλής…………………………………………………………………………...σελ. 10

Πυθαγόρας…………………………………………………………………….σελ. 17

Ευκλείδης ………………………………………………………………………σελ. 24

Αρχιμήδης……………………………………………………………………...σελ. 28

υμβολή μαθηματικών στην επίλυση σύγχρονων προβλημάτων..σελ.40

υμπεράσματα………………………………………………………………..σελ.44

Βιβλιογραφία………………………………………………………………….σελ.46

4

«Ο άνθρωπος είναι ένα κλάσμα

που αριθμητή έχει την πραγματική του αξία

και παρανομαστή την ιδέα που έχει

για τον εαυτό του. Ο αριθμητής παραμένει

ο ίδιος (δηλαδή η πραγματική αξία του ανθρώπου).

Γι΄ αυτό όσο μεγαλύτερος είναι ο παρανομαστής

(η ιδέα που έχει για τον εαυτό του) τόσο

μικρότερο είναι το κλάσμα (δηλαδή ο άνθρωπος)».

Λέων Σολστόι. Ρώσος Λογοτέχνης

«Για την οικονομία, την πολιτεία και για όλες τις

τέχνες κανένα άλλο μάθημα δεν έχει τέτοια

παιδευτική δύναμη όσο η Αριθμητική».

Πλάτων

«Για να φανταστούμε τη χρησιμότητα των

Μαθηματικών στη ζωή μας, αρκεί να

φανταστούμε τη ζωή μας χωρίς μαθηματικά».

Λάο Σσε. Κινέζος φιλόσοφος

5

ΕΙΑΓΩΓΗ

Σο θέμα της Ερευνητικής μας Εργασίας είναι: «Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και

η συμβολή τους στην επίλυση σύγχρονων προβλημάτων». Αντικείμενο της, δηλαδή,

αποτελεί η μελέτη του έργου σημαντικών αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και της

συμβολή τους στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης και επιστήμης. Είναι εύλογο

ότι, εξαιτίας των φυσικών περιορισμών της εργασίας, έγινε αυστηρή επιλογή

προσώπων και θεμάτων. Από το μεγάλο και σημαντικό κατάλογο των αρχαίων

Ελλήνων μαθηματικών (από τον οποίο δεν απουσιάζουν και τα γυναικεία ονόματα),

επιλέξαμε τελικά να εξετάσουμε το έργο του Θαλή, του Πυθαγόρα, του Ευκλείδη και

του Αρχιμήδη γιατί, κατά την κρίση μας, είναι από τα πιο σημαντικά πρόσωπα της

ιστορίας των ελληνικών μαθηματικών και πραγματοποίησαν σπουδαίες ανακαλύψεις

όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και σε άλλους τομείς της γνώσης. Σο έργο τους

οδηγεί τον τρόπο σκέψης των επιστημόνων μέχρι και σήμερα αποτελώντας τη βάση

των σύγχρονων μαθηματικών και διδάσκεται σε όλα τα σχολεία του κόσμου.

Μετά την γενική εισαγωγή στην Ερευνητική Εργασία (θέμα, στόχοι, ερευνητικά

μέσα), ακολουθεί μια επισκόπηση της ιστορίας και των περιόδων ανάπτυξης της

μαθηματικής επιστήμης στην αρχαία Ελλάδα και, στη συνέχεια, η παρουσίαση, κατά

χρονολογική σειρά, της ζωής και του έργου των τεσσάρων μαθηματικών που

επιλέξαμε να μελετήσουμε. Παράλληλα με τις μαθηματικές τους επινοήσεις,

εξετάζεται το έργο τους και σε άλλους κλάδους, όπως στην αστρονομία ή τη φυσική,

γιατί στην αρχαιότητα οι τομείς αυτοί γνώρισαν αλματώδη παράλληλη ανάπτυξη

κάνοντας χρήση των μαθηματικών.

ΣΟΦΟΙ

το πλαίσιο της Ερευνητικής μας Εργασίας θέσαμε τους εξής βασικούς στόχους:

Να παρουσιάσουμε την ανάπτυξη των μαθηματικών και της μαθηματικής

σκέψης στον αρχαίο ελληνικό κόσμο.

6

Να εξετάσουμε τη συμβολή των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών στην

ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης.

Να γνωρίσουμε τη σκέψη και το έργο των τεσσάρων αρχαίων Ελλήνων

μαθηματικών, που συνέβαλαν σε κάποιες από τις σημαντικότερες

κατακτήσεις του ανθρώπινου πνεύματος.

Να δείξουμε ότι τα μαθηματικά είναι αναπόσπαστο μέρος της ιστορίας και του

πολιτισμού της κοινωνίας που τα παράγει και τα χρησιμοποιεί.

Να αναδείξουμε τα μαθηματικά των αρχαίων Ελλήνων ως θεμέλιο της

επιστημονικής σκέψης και έρευνας.

Να προβάλλουμε τη σημασία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών για τον

ελληνικό πολιτισμό.

Να αναδείξουμε τα μαθηματικά των αρχαίων Ελλήνων ως μία από τις

μείζονες δυνάμεις που δημιούργησαν το σύγχρονο κόσμο.

Να αναδείξουμε το σημαντικό ρόλο των μαθηματικών σε κάθε τομέα της ζωής

και τη συνεχή αλληλεπίδραση ανάμεσα στη μαθηματική σκέψη και σε όλες τις

άλλες δραστηριότητες του ανθρώπου.

Να επισημάνουμε τη χρησιμότητά των μαθηματικών για την κατανόηση και

την επίλυση των προβλημάτων της σύγχρονης επιστήμης και τεχνολογίας,

αλλά και του κόσμου στον οποίο ζούμε.

Να δείξουμε ότι τα μαθηματικά είναι για όλους, καθώς συμβάλλουν στην

προσωπική ανάπτυξη του ατόμου και παρέχουν τη δυνατότητα υποβοήθησης

σε διάφορες δραστηριότητές μας.

7

ΕΡΕΤΝΗΣΙΚΟ ΦΗΜΑ

Ψς ερευνητικό σχήμα για την εκπόνηση του συγκεκριμένου Project, επιλέξαμε να

χωριστούμε σε ομάδες, οι οποίες ανέλαβαν να επεξεργαστούν ένα διαφορετικό υπο-

θέμα του θέματος. Η κάθε ομάδα έπρεπε να αναζητήσει και να προσκομίσει υλικό

αναφορικά με το υπο-θέμα της. Η επεξεργασία των δεδομένων έγινε αρχικά σε

επίπεδο υπο-ομάδας, ενώ η σύνθεση των υπο-θεμάτων σε ενιαίο κείμενο και η τελική

διαμόρφωση του θέματος πραγματοποιήθηκε με τη συμμετοχή όλων των μαθητών

του «Σμήματος Ενδιαφέροντος». τις Ολομέλειες του Σμήματος, η κάθε ομάδα

παρουσίαζε την πορεία εξέλιξης του δικού της υπο-θέματος και παρακολουθούσε την

πορεία εξέλιξης των άλλων υπο-θεμάτων. Γίνονταν, δηλαδή, αλληλοενημερώσεις για

το περιεχόμενο των υπο-θεμάτων, συγκρίσεις, αναλύσεις του έργου των υπο-ομάδων,

αλλά και συζητήσεις που αφορούσαν στα εργαλεία συλλογής και επεξεργασίας

δεδομένων ή στην επίλυση προβλημάτων. Για τη συλλογή του υλικού αντλήσαμε

στοιχεία από την πλούσια βιβλιογραφία (έντυπη και ηλεκτρονική) για το έργο των

αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών. Επίσης, εφαρμόζοντας τις νέες τεχνολογίες στην

εκπαιδευτική διαδικασία, δημιουργήσαμε μια σειρά από βίντεο – φιλμ, στα οποία

παρουσιάζεται η εφαρμογή των μαθηματικών σε πρακτικά ζητήματα της

καθημερινής ζωής, φωτογραφικό υλικό και αφισέτα. το τέλος του τετραμήνου,

οργανώθηκε ειδική «ημερίδα», όπου παρουσιάσαμε την Ερευνητική Εργασία στη

σχολική κοινότητα, στους γονείς και σε μέλη της τοπικής κοινωνίας.

8

ΕΠΙΚΟΠΗΗ ΣΗ ΙΣΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΣΩΝ ΑΡΦΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ

Η αρχαία Ελλάδα είναι η κοιτίδα της μαθηματικής σκέψης, καθώς οι αρχαίοι

Έλληνες μαθηματικοί συγκρότησαν τα μαθηματικά σε καθαρή επιστήμη. Για πρώτη

φορά στην αρχαία Ελλάδα του 6ου αι. π.Φ., ο νους δεν αρκείται στις μυθολογικές

ερμηνείες του κόσμου, αλλά προσπαθεί να οικοδομήσει τον ορθό λόγο και την

επιστημονική σκέψη, όχι για να εξυπηρετήσει πρακτικές ανάγκες, αλλά για να

ικανοποιήσει πνευματικές ανησυχίες και την αναζήτηση της αλήθειας. Η μελέτη των

μαθηματικών, πέρα από τις πρακτικές ανάγκες, ως θεωρητικό πρόβλημα, είναι το

αποτέλεσμα του ελληνικού ορθολογισμού, που προσπαθεί να βάλει τάξη στον

περιβάλλοντα κόσμο και να τον ερμηνεύσει, αναζητώντας το «γιατί» και το «πώς»

των φαινομένων. Οι Αιγύπτιοι είχαν προχωρήσει σε μια τελείως πρακτική γνώση της

γεωμετρίας, μέσω της οποίας μπορούσαν να επαναπροσδιορίσουν τα όρια των αγρών

τους μετά από τις πλημμύρες του Νείλου, ενώ οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τα

μαθηματικά και την αστρονομία για να μπορούν να γνωρίζουν τον πιο κατάλληλο

χρόνο για τη σπορά των σιτηρών. Αντίθετα, στην αρχαία Ελλάδα, τα μαθηματικά

ξέφυγαν από την εμπειρική στάθμη που είχαν στους Αιγυπτίους και τους

Βαβυλωνίους και έγιναν καθαρή επιστήμη με λογική μαθηματική συγκρότηση. Ο

μελετητής δεν ενδιαφέρεται να λύσει ένα συγκεκριμένο πρακτικό πρόβλημα, να

υπολογίσει για παράδειγμα την έκταση ενός χωραφιού, αλλά να βρει το γενικό

κανόνα που θα ισχύει για όλα τα χωράφια και ακόμη να επεκταθεί παραπέρα σε όλα

τα νοητά αντίστοιχα προβλήματα. Άλλωστε, στην αρχαιότητα τα μαθηματικά ήταν

ένα ευρύτατο πεδίο πνευματικής αναζήτησης, που περιλάμβανε ποικίλους τομείς της

γνώσης, όπως για παράδειγμα τη φυσική ή την αστρονομία, που γνώρισαν αλματώδη

παράλληλη ανάπτυξη κάνοντας χρήση των μαθηματικών1.

1 Σηοητεία 2001, 7-8

9

Η πρώτη περίοδος ανάπτυξης των μαθηματικών στην αρχαία Ελλάδα τοποθετείται

τον 6ο και το α΄ μισό του 5ου αι. π.Φ. Είναι η εποχή του Θαλή και των φιλοσόφων της

Ιωνίας, του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων. Σην περίοδο αυτή, διατυπώθηκε ένας

πρώιμος μαθηματικός λόγος, στην προσπάθεια να περιγραφούν οι παρατηρήσεις των

ιδιοτήτων σχημάτων και αριθμών. Σα μαθηματικά είναι ακόμη άρρηκτα συνδεδεμένα

με τη φιλοσοφία.

Κατά τη δεύτερη περίοδο της ιστορίας των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, που

τοποθετείται στο β΄ μισό του 5ου και στον 4ο αι. π.Φ., διαμορφώθηκε η έννοια της

μαθηματικής απόδειξης. Είναι η εποχή του Πλάτωνα, του Ευκλείδη, του Αριστοτέλη

και του Ευδόξου.

την ελληνιστική περίοδο κέντρο της ανάπτυξης των μαθηματικών υπήρξε η

Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, όπου τα μαθηματικά γνώρισαν μεγάλη άνθηση λόγω της

ανακάλυψης της μαθηματικής απόδειξης. Είναι η εποχή του Απολλώνιου, του

Ίππαρχου, του Αρίσταρχου του άμιου, του Αρχιμήδη και του Ερατοσθένη.

Οι σημαντικότερες σχολές που άκμασαν στην αρχαιότητα είναι οι εξής:

Η Ιωνική χολή με ιδρυτή το Θαλή,

Η Πυθαγόρεια χολή,

Η Ελεατική χολή με ιδρυτή τον Ξενοφάνη τον Κολοφώνιο,

Η Νέα Ιωνική χολή με τον Εμπεδοκλή, το Λεύκιππο, τον Δημόκριτο και τον

Αναξαγόρα,

Η οφιστική ή Ελεύθερη χολή των Αθηνών,

Η Ακαδημία του Πλάτωνος,

Η Περιπατητική του Αριστοτέλους και

Η Αλεξανδρινή χολή1.

1 Σπάλδαγοσ θ.α. 1995, 12-13

10

ΘΑΛΗ Ο ΜΙΛΗΙΟ

ΒΙΟΓΡΑΥΙΚΑ ΣΟΙΦΕΙΑ

Ο Θαλής ο Μιλήσιος, γιος του Εξάμυου και της Κλεοβούλης, γεννήθηκε πιθανότατα

το 640 π.Φ. και πέθανε το 546 π.Φ. Η παράδοση κατατάσσει τον Θαλή μεταξύ των

επτά οφών της Ελλάδας και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και

μεγάλη επινοητικότητα, αν και μαρτυρείται ότι δεν σπούδασε σε καμία σχολή ούτε

μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο. ε όλη την αρχαιότητα θαυμαζόταν ως μεγάλος

σοφός, με αποτέλεσμα περί το 582 π.Φ. να χαρακτηριστεί σαν ο πρώτος σοφός του

Ελληνισμού1.

ΕΡΓΟ

Ο Θαλής διακρίθηκε σε πολλούς τομείς της γνώσης, όπως τη φιλοσοφία, τα

μαθηματικά, την αστρονομία και τη φυσική.

ΥΙΛΟΟΥΙΑ - ΚΟΜΟΛΟΓΙΑ

Ο Ευσέβιος (Evangelica, XIV, 14) παρουσιάζει το Θαλή ως «τον πατέρα της

φιλοσοφίας και ιδρυτή της Ιωνικής σχολής (σχολή της Μιλήτου)». Κατά τον

1 Σπαλδάγοσ θ.α. 1997, 23

11

Αριστοτέλη,1 υπήρξε ο ιδρυτής της φιλοσοφίας των «φυσικών» ή «φυσιολόγων» που

ασχολούνταν με την αναζήτηση φυσικών αιτίων χωρίς να καταφεύγουν σε μύθους ή

υπερφυσικές ερμηνείες. Ο Θαλής θεωρείται ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος που

επιχείρησε να ερμηνεύσει τον κόσμο ορθολογικά, απορρίπτοντας τους μύθους και τις

δεισιδαιμονίες της τότε εποχής. ύμφωνα με τον Μπέρνετ, «ο Μιλήσιος φιλόσοφος

δεν αναρωτάται πλέον για το τι υπήρχε πριν απ' αυτό που τώρα υπάρχει, αλλά

αντίθετα αναζητά από τι είναι φτιαγμένος ο κόσμος». Πρώτος ο Θαλής έθεσε το

πρόβλημα μίας γενικής αρχής όλων των πραγμάτων και εισήγαγε τις λέξεις «ψυχή»

και «φύση». Με την υπόθεσή του ότι αρχή όλων των πραγμάτων είναι το ύδωρ2, το

οποίο ο Θαλής θεώρησε φορέα ενέργειας και κινήσεως, ξεκίνησε ως πρώτος Έλληνας

φιλόσοφος, ένα προβληματισμό για την προέλευση του σύμπαντος, ο οποίος

απασχόλησε και απασχολεί μέχρι σήμερα την κοσμολογία. Η ζωτική δύναμη του

νερού και η τεράστια σημασία του στη φύση, ήταν η αιτία που έκανε τον Θαλή να το

ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο. Ο Θαλής, βέβαια, δεν ήταν ο πρώτος που τόνισε τον

ουσιώδη ρόλο του νερού ως αρχής όλων των πραγμάτων. Οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι,

ακόμα και ο Όμηρος στις μυθολογίες τους επεφύλασσαν, πριν από αυτόν, μια

ιδιαίτερη θέση στο νερό. Ψστόσο, το σημαντικό είναι ότι ο Θαλής αφαιρεί από το νερό

τη θεϊκή του ιδιότητα και το αναγνωρίζει μόνο ως φυσικό σώμα3.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ

τα Μαθηματικά συνεισέφερε με τις μελέτες του στην Γεωμετρία και κατά τον van

der Waerden «η συμβολή του Θαλή στην ιστορία της Γεωμετρίας έγκειται στο ότι

ανέπτυξε μια λογική δομή για τη γεωμετρία και εισήγαγε την απόδειξη στη γεωμετρία».

Η χάραξη του σχήματος ή η θεώρηση του και ο στοχασμός με σκοπό την απόκτηση

της γνώσης, η παρατήρηση των βασικών ιδιοτήτων του και στη συνέχεια η

δικαιολόγηση του ισχυρισμού (σε ό,τι αφορά τις ιδιότητες) προς τον «άλλο», τον

1 Αρηζηοηέιες, Μετά τα Φυσικά, Ι, 983, β20 2 Αρηζηοηέιες,Μετά τα Φυσικά, Ι 983β6 3 Σπαλδάγοσ θ.α.1997, 24-25

12

συνομιλητή, αποτελούν ουσιαστικά χαρακτηριστικά του νέου ρόλου του σχήματος, ο

οποίος έμελλε να αποτελέσει κρίσιμο παράγοντα για να γνωρίσει η γεωμετρία στα

επόμενα χρόνια σημαντική ανάπτυξη. Και αυτή είναι, ίσως η σημαντικότερη

συνεισφορά του Θαλή και γενικότερα των Ιώνων φιλοσόφων στην ιστορία των

μαθηματικών.

υγκεκριμένα, στη Γεωμετρία, ο Θαλής:

Εισήγαγε την απόδειξη των γεωμετρικών προτάσεων, στηριγμένη σε ορισμούς,

αξιώματα και κοινές έννοιες της Λογικής.

Εισήγαγε την έννοια των παραλλήλων ευθειών.

Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματα.

Μελέτησε τους κιοθηρικούς γνώμονες και τα τρίγωνά τους με τις σκιές τους.

Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνων.

Ανακάλυψε το ομώνυμό του, Θεώρημα του Θαλή, κατά το οποίο «τα

ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από παράλληλες ευθείες σε δύο άλλες

ευθείες που τις τέμνουν είναι ανάλογα». Βασισμένος στο θεώρημα του Θαλή ο

άνθρωπος μπορεί να υπολογίσει τα ύψη των δέντρων από τα μήκη των σκιών

τους. Έτσι, τη στιγμή που η δική του σκιά έχει μήκος ίσο με το ύψος του, η σκιά

του κάθε δέντρου θα έχει και αυτή μήκος ίσο με το ύψος του δέντρου, καθώς οι

ακτίνες του ηλίου είναι παράλληλες μεταξύ τους . Με τον ίδιο τρόπο

μπορούμε να κόψουμε ένα ύφασμα σε μέρη ίσα ή ανάλογα μεταξύ τους. Άλλες

εφαρμογές των αναλογιών είναι η προβολή κινηματογραφικού φιλμ ή slide σε

μεγάλη οθόνη, καθώς και η σμίκρυνση και η μεγέθυνση στις εκτυπώσεις.

Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο Ημικύκλιο.

Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τριγώνου.

13

Τπολόγισε με όμοια τρίγωνα την απόσταση πλοίου από το λιμάνι.

Ο κύκλος διχοτομείται από τη διάμετρο.

Η γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο, είναι ορθή(γνωρίζοντας ότι το άθροισμα των

γωνιών ενός τριγώνου είναι 2 ορθές).

Οι παρά τη βάσει γωνίες, ισοσκελούς τριγώνου, είναι ίσες.

ε τεμνόμενες ευθείες, οι κατά κορυφήν γωνίες, είναι ίσες.

Τπολόγισε με όμοια τρίγωνα το ύψος των Πυραμίδων της Αιγύπτου (περί το

565 π.Φ.). Σα ισογώνια (όμοια) τρίγωνα, έχουν πλευρές ανάλογες: έτσι,

χρησιμοποιώντας το μήκος και τη σκιά ενός ραβδιού, υπολόγισε το ύψος της

Μεγάλης Πυραμίδας της Αιγύπτου, που ακόμη και οι ίδιοι οι Αιγύπτιοι

αγνοούσαν, προκαλώντας, όπως λέει ο Πλούταρχος, το θαυμασμό του Υαραώ

Άμασι. Ακριβέστερα, για τη μέτρηση του ύψους των πυραμίδων χρησιμοποίησε

ένα ραβδί, το οποίο στήριξε κάθετα στο έδαφος δίπλα από τις πυραμίδες. τη

συνέχεια περίμενε μέχρι το μήκος της σκιάς του ραβδιού να γίνει ίσο με το

ύψος του. Όταν συνέβη αυτό μέτρησε το μήκος της σκιάς της κάθε πυραμίδας.

Προφανώς, τη χρονική στιγμή όπου το μήκος της σκιάς του ξύλινου ραβδιού

γινόταν ίσο με το ύψος του, τότε όλα τα αντικείμενα (που ήταν κάθετα

τοποθετημένα στο έδαφος) σχημάτιζαν μια σκιά, με μήκος ίσο με το ύψος τους.

14

Οι πυραμίδες δεν αποτελούσαν εξαίρεση και έτσι το ύψος τους μπορούσε να

μετρηθεί από το μήκος της σκιάς τους1.

ΑΣΡΟΝΟΜΙΑ

Ο Θαλής ταξιδεύοντας στην Μεσοποταμία και την Αίγυπτο απέκτησε πολλές

γνώσεις αστρονομίας και πραγματοποίησε αστρονομικές έρευνες χρησιμοποιώτας

όργανα που είχε εφεύρει ο ίδιος. Ο Ηράκλειτος μάλιστα αναφέρει ότι: «Θαλής

πρῶτος ἀστρολογῆσαι», δηλαδή είναι ο πρώτος Έλληνας που ασχολήθηκε με τη

μελέτη του ουρανού.

την Αστρονομία, ο Θαλής:

Ανακάλυψε (με σκιοθηρικό γνώμονα) την ανισότητα των εξαμήνων (θερινού

και χειμερινού).

1 www.telemath.gr

15

Μέτρησε τη διάρκεια του έτους σε 365 ημέρες, κατανέμοντας τες σε 30 ημέρες

ανά μήνα.

Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του 'Hλιου και ανέπτυξε μεθόδους

εντοπισμού των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος.

Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης Βορράς-

Νότος.

Εκτιμάται ότι προέβλεψε μία ολική έκλειψη Ηλίου (Μάιος 585 π.Φ.).

Μια πολύ σημαντική ανακάλυψη είναι ότι η διάμετρος του ήλιου είναι το 1/720

της φαινομενικής τροχιάς του γύρω από την γη. Επίσης, η διάμετρος της

ελήνης είναι το 1/720 της τροχιάς της γύρω από τη γη. Η ισότητα των δύο

αυτών λόγων είναι πολύ σημαντική, γιατί χάρη σε αυτήν την σύμπτωση

μπορούμε να παρατηρήσουμε το φαινόμενο της έκλειψης του ηλίου. Αν δεν

συνέβαινε κάτι τέτοιο, ο δίσκος της ελήνης και του ηλίου δεν θα φαίνονταν

ίδιοι στον ουρανό και η ελήνη δεν θα μπορούσε να καλύψει τον ήλιο, κάθε

φορά που θα περνούσε από μπροστά του.

Έγραψε τα βιβλία "Περί Σροπής και Ισημερίας" και "Ναυτική Αστρολογία".

Διατύπωσε ότι ο πολικός αστέρας δείχνει πάντα τον βορρά και μπορεί να

καθοδηγεί τους ναυτικού την νύχτα.

Ο Ήλιος, κατά την περιφορά του γύρω από τη Γη, δεν έχει την ίδια ταχύτητα.

Η εκλειπτική (φαινόμενη ετήσια τροχιά του Ήλιου) παρουσιάζει λόξωση.

Οι διάφοροι αστέρες του σύμπαντος αποτελούνται από τα ίδια συστατικά που

αποτελείται και η Γη, που διαπιστώθηκε και πειραματικά το 19ο αι. με τη

βοήθεια φασματοσκοπίου και με την εφαρμογή των νόμων της φασματικής

αναλύσεως του Kirchhoff1.

1 Σπάλδαγοσ θ.α. 1995, 47-48

16

ΥΤΙΚΗ

Η ανήσυχη επιστημονική σκέψη του Θαλή και η κριτική παρατήρηση των φυσικών

φαινομένων, τον οδήγησαν στην ανακάλυψη του Μαγνητισμού και του Ηλεκτρισμού:

είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe3Ο4) ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε

σιδερένια αντικείμενα, με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται

πάνω σε μάλλινο ρούχο, αποκτά την ιδιότητα να έλκει για παράδειγμα τρίχες ή μικρά

φτερά. Αρκετούς αιώνες μετά, η παραγωγή ηλεκτρισμού με τη χρήση της τριβής

πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια των ηλεκτροστατικών μηχανών.

Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του

ποταμού Νείλου (Ηροδότου Ιστορία 2,20), πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε

και με τη μελέτη μετεωρολογικών φαινομένων, χωρίς όμως να σωθούν οι

παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε1.

1 www.telemath.gr

17

ΠΤΘΑΓΟΡΑ Ο ΑΜΙΟ

ΒΙΟΓΡΑΥΙΚΑ ΣΟΙΦΕΙΑ

Ο Πυθαγόρας (περίπου 585 – 500 π.Φ.), γιος του Μνήσαρχου και της Πυθαϊδας,

γεννήθηκε στη άμο, αλλά έζησε και έδρασε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Σο

όνομα του μάλλον το οφείλει στην Πυθία, η οποία είχε προβλέψει τη γέννηση και τη

σοφία του. Μολονότι η προσωπικότητα και το έργο του Πυθαγόρα υπήρξαν τόσο

σημαντικά στην αρχαία Ελλάδα, εξαιτίας της μυστικότητας με την οποία

περιβαλλόταν η διδασκαλία του, δεν έχουμε συγκεκριμένες πληροφορίες για τη ζωή

του. Ο Διογένης Λαέρτιος (Βίοι Υιλοσόφων, Βιβλίο Όγδοο) αναφέρει για τον

Πυθαγόρα ότι: «Νεαρός ακόμη, παρακινημένος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την

πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις Ελληνικές και βαρβαρικές τελετές». Λέγεται ότι

ήταν μαθητής του φιλόσοφου Υερεκύδη στη Λέσβο και του Θαλή και Αναξίμανδρου

στη Μίλητο. Είναι βέβαιο ότι έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο κοντά στους ιερείς της

Μέμφιδας, της Ηλιούπολης και της Διόσπολης. Όταν όμως ο βασιλιάς των Περσών

Καμβύσης κατέλαβε την Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας μεταφέρθηκε αιχμάλωτος στη

Βαβυλώνα και έτσι είχε την ευκαιρία να συναναστραφεί με τους Πέρσες μάγους.

Λέγεται ακόμα ότι πήγε στην Ινδία, όπου μυήθηκε στα τελετουργικά των Βραχμάνων

και μάλιστα ήταν ο πρώτος μη-Βραχμάνος που έγινε δεκτός στα Ινδικά μυστήρια.

18

Eπέστρεψε στη άμο σε ηλικία πλέον 56 χρόνων, αλλά εξαιτίας του τυράννου

Πολυκράτη εγκατέλειψε οριστικά τη άμο και εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της

Κάτω Ιταλίας, όπου μαζί με άλλους ομόφρονές του ίδρυσε σχολή. Οι ιδέες του έκαναν

ξεχωριστή εντύπωση, κυρίως στους νέους, και γρήγορα οδηγήθηκε στο δικαστήριο με

την κατηγορία της διαφθοράς των νέων και της αθεΐας, όπου όμως τελικά αθωώθηκε.

χετικά με το θάνατό του, κατά μία άποψη πέθανε εξόριστος στο Μεταπόντιο, κατ'

άλλη όμως σκοτώθηκε σε μια επιδρομή των δημοκρατικών κατά της σχολής. Πάντως

είναι βέβαιο ότι η σχολή του Πυθαγόρα στον Κρότωνα έκλεισε για πολιτικούς λόγους

και πολλοί από τους μαθητές του σκοτώθηκαν1.

ΕΡΓΟ

Ο Πυθαγόρας υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες

μαθηματικούς και φιλοσόφους (μάλιστα ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του

«φιλόσοφο»). Παραδεχόταν ότι η ουσία των όντων είναι οι αριθμοί2 και ότι το ύμπαν

προήλθε από το χάος και απέκτησε μορφή με το μέτρο και την αρμονία, γι' αυτό και

πρώτος το ονόμασε «κόσμο», δηλαδή τάξη και αρμονία. Κατά τον Πυθαγόρα, οι

αριθμοί είναι η ίδια η ουσία του κόσμου και όχι απλώς σύμβολα ποσοτικών σχέσεων,

γι' αυτό και είναι ιεροί. Για παράδειγμα, η μονάδα (1) συμβολίζει το πνεύμα - τη

δύναμη εκείνη από την οποία προέρχεται το παν -, η δυάδα (2) τις δύο μορφές της

ύλης - Γη και Νερό - ενώ η τριάδα (3) το χρόνο στις τρεις του διαστάσεις - παρόν,

παρελθόν, μέλλον. Η κατανόηση των κοσμικών φαινομένων ήταν δυνατή με τη

αριθμολογία, τη γεωμετρία και τη μουσική. Κατά το Διογένη το Λαέρτιο, ο

Πυθαγόρας θεωρούσε ως αρχή όλων των πραγμάτων τη μονάδα. Από τη μονάδα

προερχόταν η αόριστη δυάδα με την εκδήλωση της μονάδας και ως ύλης. Από τη

μονάδα και την αόριστη δυάδα γίνονταν οι αριθμοί. Από τους αριθμούς τα σημεία.

Από αυτά οι γραμμές, από τις οποίες σχηματίζονται τα επίπεδα, και από αυτά τα

στερεά. Από τα τελευταία τα αισθητά σώματα, με τα τέσσερα στοιχεία φωτιά, νερό,

1 Σπαλδάγοσ θ.α. 1997, 49-50 2 Αρηζηοηέιοσς, Μετά τα Φυσικά, Α5

19

γη, αέρας που μεταβάλλονται και που με την αλλαγή τους γίνεται ο κόσμος έμψυχος,

νοερός, σφαιροειδής, που περιέχει στο μέσο του τη Γη1.

την αριθμητική ο Πυθαγόρας δημιούργησε τον Πυθαγόρειο Πίνακα ή Άβακα, τον

γνωστό σε όλους μας πίνακα του πολλαπλασιασμού ή αλλιώς προπαίδεια, δηλαδή το

πίνακα που δίνει τα γινόμενα των πρώτων εννέα ακέραιων αριθμών. Ιδιαίτερα

σημαντική είναι και η συμβολή του στην επιστήμη της Γεωμετρίας. Ο Πρόκλος

παραδίδει πως πρώτος ο Πυθαγόρας ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη,

γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά

αντικείμενα. Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι «το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός

ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων

πλευρών» («ἐν τοῑς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τό ἀπό τῆς τήν ὀρθήν γωνίαν ὑποτεινούσης

πλευρᾱς τετράγωνον ἴσον ἐστί τοῑς ἀπό τῶν ὀρθήν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν

τετραγώνοις»), θεωρία που σήμερα ονομάζεται στην επιστήμη της γεωμετρίας

«πυθαγόρειο θεώρημα» και έδωσε της δυνατότητες για την απόδειξη άλλων

προτάσεων και προβλημάτων2.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Διατύπωση του θεωρήματος στην «μαλλιαρή»: «Το τεσσαράγωνο της αποκατιανής

τεντώστρας ορθοστεκούμενου τριγώνου, πατσίζει με τη σούμα των καρέ των δύο

παιδιών που στέκονται σούζα και βαριούνται κατακούτελα».

1 grmath4.phpnet.us/mathimatika/pithagras 2 Σπαλδάγοσ θ.α. 1997, 54-55

20

ΦΡΤΗ ΣΟΜΗ

Ο Πυθαγόρας μελέτησε την τομή ευθείας γραμμής σε άκρο και μέσο λόγο, που στην

Αναγέννηση ονομάστηκε χρυσή τομή. Πρόκειται περί της τομής μιας ευθείας σε δύο

άνισα μέρη, τέτοια ώστε το μεγαλύτερο μέρος πολλαπλασιαζόμενο επί τον εαυτόν

του να δίνει γινόμενο ίσο της το γινόμενο, που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό

ολόκληρης της ευθείας επί το μικρότερο μέρος. Η χρυσή τομή ορίζεται ως το

πηλίκο των θετικών αριθμών 𝑎

𝛽 όταν ισχύει

𝛼

𝛽=

𝛼+𝛽

𝛼που ισούται περίπου με

1,618. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει

χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία

Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Αναφέρεται ενδεικτικά ότι σε τμήματα του

Παρθενώνα παρατηρείται εφαρμογή της τομής ευθείας σε άκρο και μέσο λόγο. Σο

ίδιο φαινόμενο παρατηρείται και στο ανθρώπινο σώμα, καθώς το ανάστημα του

ανθρώπου διαιρείται από τον ομφαλό σε μέσο και άκρο λόγο. Σέλος, εφαρμογή της

Φρυσής Σομής παρατηρείται στα ζώα, τα φυτά και στα ανόργανα ακόμα σώματα, της

για παράδειγμα της κρυστάλλους του χιονιού.

21

ΑΣΡΟΝΟΜΙΑ

την Αστρονομία, πιθανολογείται πως πρώτος ο Πυθαγόρας θεώρησε πως η γη

είναι στρογγυλή. Ακόμη ήταν αυτός που δέχτηκε πρώτος πως η γη περιφέρεται γύρω

από το «Κεντρικό Πυρ» (την «Εστία του Παντός») και δημιουργείται έτσι μια

περιστρεφόμενη «ουράνια σφαίρα». Οι Πυθαγόρειοι αργότερα ήταν αυτοί που έκαναν

γνωστή αυτή τη θεωρία και μάλιστα την ανέπτυξαν ακόμη περισσότερο. Πίστευαν

δηλαδή πως γύρω από το κεντρικό πυρ δεν περιστρεφόταν μόνο η γη, αλλά

περιστρέφονταν και οι σφαίρες: μια με όλους της απλανείς αστέρες, ανά μία με τον

Ήλιο και τη ελήνη και ανά μια με τους τότε γνωστούς πλανήτες (Άρης, Ζευς,

Κρόνος, Ερμής, Αφροδίτη).

ΜΟΤΙΚΗ

τη Μουσική, ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά

διαστήματα από μια χορδή. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών, αυτό δηλαδή που

ονομάζεται σήμερα στην αριθμητική και στη γεωμετρία λόγος, στη μαθηματική

θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομάζεται «Διάστημα». Μουσικό διάστημα

δηλαδή ονομαζόταν η αριθμητική σχέση με την οποία εκφραζόταν ο λόγος του

μουσικού διαστήματος, της και η απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

22

Μουσικό Διάστημα

ΠΤΘΑΓΟΡΕΙΑ ΦΟΛΗ

Ο Πυθαγόρας ήταν ο ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής. Η εισδοχή των νέων

μαθητών στη σχολή του Πυθαγόρα γινόταν μετά από αυστηρή και πολύχρονη

άσκηση. Οι υποψήφιοι επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο της

ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Έδιναν μάλιστα όρκο ότι θα

τηρούσαν απόλυτη σιωπή σ’ ότι αφορά την Πυθαγόρεια Διδασκαλία και η

κοινολόγηση των απόψεών της απαγορευόταν. Μετά το τέλος της δοκιμασίας, οι

μαθητές του γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν δικαίωμα να τον βλέπουν. Πριν

από το βραδινό της ύπνο, οι μαθητές έπρεπε να ελέγχουν όσα έγιναν ή δεν έγιναν

κατά την ημέρα που πέρασε υποβάλλοντας στον εαυτό της τα εξής ερωτήματα «Πού

έσφαλα; Σι έκανα; Σι έπρεπε να κάνω και δεν έκανα;». Γενικά η ηθική διδασκαλία των

Πυθαγορείων περιέχεται μέσα σε 71 στίχους που είναι γνωστή ως «χρυσά έπη» του

Πυθαγόρα.

Οι Πυθαγόρειοι έθεσαν της βάσεις της θεωρητικής αριθμητικής. Με της έρευνές της

έθεσαν ζητήματα που αναφέρονται στη φύση των αριθμών και διαχώρισαν τη

θεωρητική αριθμητική (θεωρία αριθμών) από την εφαρμοσμένη (τη λογιστική). Η

διαίρεση των αριθμών σε «άρτιους» και «περιττούς» οφείλεται της πυθαγορείους. Ψς

τρίτο είδος αριθμών αναγνώριζαν της «αρτιοπέριττους», δηλαδή της άρτιους

αριθμούς που διαιρούνται με το δύο και δίνουν πηλίκο περιττό αριθμό. Σέταρτο είδος

23

θεωρούσαν της «περισσάρτιους», δηλαδή της άρτιους που αναλύονται σε γινόμενο

άρτιου επί περιττό. Πέμπτο, τέλος είδος διέκριναν της «αρτιάκις αρτίους», δηλαδή της

άρτιους που αναλύονται σε γινόμενο δύο άρτιων1.

Για της πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται της αριθμούς και της

μαθηματικές σχέσεις. Η αληθινή πηγή της σοφίας για της Πυθαγόρειους είναι η

τετρακτύς, δηλαδή οι τέσσερις πρώτοι φυσικοί αριθμοί που θεωρείται ότι συνδέονται

μεταξύ της με διάφορες σχέσεις. Πραγματικά, από της της τέσσερις αριθμούς, μπορεί

κανείς να κατασκευάσει της αρμονικές αναλογίες της τέταρτης, της πέμπτης και της

ογδόης. Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την αρμονία (το άκουσμα για το ωραίο) που

για της Πυθαγόρειους είχε όχι απλώς γενική σημασία, αλλά κυριολεκτικά κοσμική. Ο

έξτος αναφέρει (Σης Μαθηματικούς VII, 94-95) ότι «… Οι Πυθαγόρειοι συνηθίζουν

άλλοτε να λένε όλα μοιάζουν με αριθμό και άλλοτε να παίρνουν έναν όρκο, τον πιο

δραστικό από όλους : όχι, μα εκείνον που της έδωσε την τετρακτύ, που περιέχει την

πηγή και τη ρίζα της αέναης φύσης. Λέγοντας «εκείνον που της έδωσε» εννοούν τον

Πυθαγόρα (γιατί τον θεοποιούσαν) και λέγοντας τετρακτύς εννοούν έναν αριθμό

που, συνθεμένος από της τέσσερις πρώτους αριθμούς, παράγει τον τελειότερο

αριθμό, της για παράδειγμα το δέκα, γιατί ένα συν δύο συν τρία συν τέσσερα της

κάνει δέκα. Σης ο αριθμός είναι η πρώτη τετρακτύς και αποκαλείται «πηγή της

αέναης φύσης» επειδή, της αυτοί πιστεύουν, ολόκληρος ο κόσμος είναι ρυθμισμένος

σύμφωνα με την αρμονία, δηλαδή ένα σύστημα από τρεις συγχορδίες , την Σετάρτη,

την Πέμπτη και την Oγδόη2.

1 Σπαλδάγοσ θ.α. 1997,63 2 Σπάλδαγοσ θ.α. 1997, 60-62

24

ΕΤΚΛΕΙΔΗ

ΒΙΟΓΡΑΥΙΚΑ ΣΟΙΦΕΙΑ

Ελάχιστα στοιχεία είναι γνωστά για τη ζωή του Ευκλείδη, ενώ παραμένει άγνωστος ο

τόπος της γέννησής του και ο ακριβής χρόνος της γέννησης και του θανάτου του

(περίπου 330 – 270 π.Φ.). Από τα ελάχιστα στοιχεία που είναι γνωστά, συνάγεται ότι

φοίτησε στην Ακαδημία του Πλάτωνα και έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια της

Αιγύπτου κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ του ωτήρα (323-283 π.Φ.), ο

οποίος και του ανέθεσε τη διεύθυνση του νέου πανεπιστημίου που ίδρυσε, του Μουσείου.

Ο Ευκλείδης υπήρξε ιδρυτής της μεγάλης σχολής μαθηματικών που αναπτύχθηκε στην

Αλεξάνδρεια, από την οποία διδάχτηκαν οι μεγάλοι Έλληνες μαθηματικοί και

αστρονόμοι που ακολούθησαν, όπως για παράδειγμα ο Αρχιμήδης, ο Κόνων ο άμιος, ο

Ερατοσθένης ο Κυρηναίος και η Τπατία1.

ΕΡΓΟ

Ο Ευκλείδης είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της γεωμετρίας, ενώ ήδη από την

αρχαιότητα αναφερόταν ως «Γεωμέτρης» ή «τοιχειωτής». Ιδιαίτερα σημαντική είναι η

διατριβή του επί της Γεωμετρίας, τα «τοιχεία», τα οποία αποτελούνται από δεκατρία

1 Χρηζηηαλίδες 2003, 87

25

βιβλία. Σα «τοιχεία» είναι το σημαντικότερο έργο των αρχαιοελληνικών μαθηματικών

και έχουν χρησιμοποιηθεί σαν βάση για την γεωμετρική εκπαίδευση της της Δύσης. Η

λογική δομή τους έχει επηρεάσει τον επιστημονικό τρόπο σκέψης περισσότερο, ίσως, από

οποιοδήποτε άλλο κείμενο στον κόσμο. Περισσότερες από χίλιες εκδόσεις των στοιχείων

έχουν εκδοθεί μετά την πρώτη το 1482, αλλά και πριν από την εφεύρεση της

τυπογραφίας κυκλοφορούσαν χειρόγραφα αντίγραφα και ένα μεγάλο μέρος της

διδασκαλίας της γεωμετρίας βασιζόταν σ’ αυτά1.

Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» περιέλαβε το μεγαλύτερο μέρος της μέχρι τότε

μαθηματικής γνώσης και οργάνωσε τη γεωμετρία κατά τρόπον αυστηρό, όπως

απαιτούσε το πνεύμα της λογικής και της ενότητας, που του κληροδότησαν οι

προηγούμενες γενιές των μαθηματικών και φιλοσόφων. Ο Ευκλείδης, δηλαδή,

παρουσίασε μία συστηματική, απαγωγική – αξιωματική σύνοψη και προσαρμογή όλων

των προευκλείδιων μαθηματικών γνώσεων, τις οποίες συμπλήρωσε με θεωρήματα δικά

του και άλλα συγχρόνων του Μαθηματικών. Σο περιεχόμενό των «τοιχείων»

αποτελείται από 23 όρους, 5 αιτήματα, 7 (ή 9) κοινές έννοιες και μέσω αυτών

αποδεικνύονται 465 προτάσεις (που αντιστοιχούν σε σημερινά θεωρήματα, προτάσεις,

λήμματα και πορίσματα). Κάθε τόμος απαριθμεί διάφορους ορισμούς και αξιώματα που

ακολουθούνται από τα θεωρήματα, τα οποία ακολουθούνται από τις αποδείξεις. Κάθε

δήλωση αποδείχθηκε, ανεξάρτητα αν είναι προφανής. Σο έργο αυτό βοήθησε πολύ στην

τυποποίηση των ελληνικών μαθηματικών2.

Ψς προς το περιεχόμενο, τα τέσσερα πρώτα βιβλία ασχολούνται με την επίπεδη

γεωμετρία, χωρίς όμως να γίνεται αναφορά στη θεωρία των λόγων. Ακριβέστερα, στα

δύο πρώτα βιβλία ο Ευκλείδης πραγματεύεται την κατασκευή και τις ιδιότητες βασικών

ευθύγραμμων σχημάτων και τα κύρια αποτελέσματα που περιέχονται σε αυτά είναι το

πυθαγόρειο θεώρημα (Βιβλίο Α’, πρόταση 47) και ο τετραγωνισμός τυχόντος πολυγώνου

(ΙΙ 14). τα βιβλία ΙΙΙ και ΙV πραγματεύεται τις ιδιότητες του κύκλου και των

εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων. Σο βιβλίο V είναι αφιερωμένο στη

1 Σηοητεία 2001, 15 2 Σηοητεηα 2001, 19

26

θεωρία αναλογιών επί γεωμετρικών μεγεθών, η οποία, στο επόμενο βιβλίο,

εφαρμόζεται στην ομοιότητα των επιπέδων σχημάτων. Σα βιβλία VII – IX καλύπτουν την

Αριθμητική και τη Θεωρία Αριθμών, είναι δηλαδή αφιερωμένα στην αριθμοθεωρία· όχι

στην υπολογιστική τεχνική, αλλά σε πυθαγόρεια θέματα, όπως είναι η διαιρετότητα των

ακεραίων, η άθροιση γεωμετρικής σάρας και κάποιες Ιδιότητες των πρώτων αριθμών.

Εκεί έχει συμπεριληφθεί και ο «Ευκλείδειος Αλγόριθμος» για την εύρεση του μέγιστου

κοινού διαιρέτη δοσμένων αριθμών και το «θεώρημα του Ευκλείδη» για την ύπαρξη

απειράριθμων πρώτων αριθμών (Βιβλίο VIII. 20). Σο βιβλίο Φ, που είναι το ογκωδέστερο

όλων, αναφέρεται στους άρρητους αριθμούς. Ακριβέστερα, περιέχει μια γεωμετρική

ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους, δηλαδή, των

οντοτήτων πού αποκαλούμε σήμερα αριθμούς της μορφής

β α , β α

Σα τρία τελευταία βιβλία των τοιχείων, δηλαδή τα βιβλία ΦΙ-ΦΙΙΙ, ασχολούνται με τη

στερεομετρία. Ξεκινάνε από της στερεές γωνίες, προχωρούν στους όγκους παραλλη-

λεπιπέδων, πρισμάτων, πυραμίδων, φτάνουν στη σφαίρα και, τελικά, σ’ αυτό πού, όπως

φαίνεται, ο Ευκλείδης θεωρούσε κορύφωμα του έργου του: στη μελέτη των πέντε

κανονικών («πλατωνικών») στερεών και στην απόδειξη ότι μόνο πέντε τέτοια σώματα

υπάρχουν1.

Η ταξινόμηση και η παρουσίαση της ύλης των «τοιχείων» είναι υποδειγματική, ενώ

αξιοσημείωτη είναι και η σαφήνεια με την οποία τα θεωρήματα είναι δοσμένα και

αποδεδειγμένα.

Σα «τοιχεία» αποτελούν την αρχαιότερη εφαρμογή της πραγματικής αξιωματικής

μεθόδου σύμφωνα με την οποία μια πραγματεία πρέπει να αποτελείται από κάποιες

αρχικές έννοιες και δηλώσεις (ορισμοί, αιτήματα, αξιώματα ή κοινές έννοιες) και οι

επακόλουθες προτάσεις να προκύπτουν από αυτές με τη χρήση παραγωγικής

συλλογιστικής. ΄Ετσι, μπορούμε να ξεκινήσουμε με ένα σύστημα σχέσεων, δηλαδή με τα

1 Χρηζηηαλίδες 2003, 87

27

αξιώματα, των οποίων την αλήθεια δεχόμαστε εκ των προτέρων και, κατόπιν, με τη

βοήθεια της λογικής (συν)επαγωγής, να προχωρήσουμε στην απόδειξη της ισχύος ή όχι

της κάθε γεωμετρικής σχέσης που μπορεί να διατυπωθεί. Αυτή είναι η βασική ιδέα της

αξιωματικής θεμελίωσης του Ευκλείδη.

ΣΑ ΑΞΙΩΜΑΣΑ ΣΗ ΕΤΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ

Αξίωμα 1. Από δύο σημεία μόνο μία ευθεία γραμμή διέρχεται.

Αξίωμα 2. Κάθε πεπερασμένη ευθεία επεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως και της τα

δύο άκρα της.

Αξίωμα 3. Μπορούμε να γράψουμε κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και οποιαδήποτε ακτίνα.

Αξίωμα 4. ΄Ολες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ της.

Αξίωμα 5. Αν μία ευθεία τέμνει δύο της και σχηματίζει της εντός και επί τα αυτά μέρη

γωνίες να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες όταν

προεκταθούν επ΄ άπειρον θα συναντηθούν της το μέρος που σχηματίζονται οι

μικρότερες των δύο ορθών γωνίες (αίτημα των παραλλήλων)1.

Άλλα έργα του Ευκλείδη που έχει σωθεί, εκτός από τα «τοιχεία», είναι τα «Δεδομένα»,

που περιέχει διάφορες εφαρμογές της θεωρίας των «τοιχείων» και επιπλέον

αλγεβρικούς και τριγωνομετρικούς τύπους, διατυπωμένους με γεωμετρική μορφή, και τα

«Σμήματα των αριθμών» που αποτελούνται από 36 προτάσεις – υποδείξεις για τον

διαχωρισμό διάφορων σχημάτων σε ένα ή δύο ίσα μέρη ή με συγκεκριμένες αναλογίες.

Επίσης, ο Ευκλείδης ήταν συγγραφέας πολλών έργων για την αστρονομία, την οπτική

και τη μουσική εκ των οποίων αναφέρονται ενδεικτικά τα «Υαινόμενα», στο οποίο

εξετάζει τα σφαιρικά σχήματα και επιχειρεί να εξηγήσει της κινήσεις των πλανητών, και

τα «Οπτικά», όπου υποστηρίζει ότι η όραση προέρχεται από ιδιαίτερες ακτίνες του

ματιού και συσχετίζει το μέγεθος των αντικειμένων με την απόσταση και την γωνία

θέασης2.

1 Σηοητεία 2001, 20-21 2 Σπαλδάγοσ θ.α. 1997, 165-166

28

ΑΡΦΙΜΗΔΗ

ΒΙΟΓΡΑΥΙΚΑ ΣΟΙΦΕΙΑ

Ο Αρχιμήδης (287 π.Φ.-212 π.Φ.), ο μεγαλύτερος μαθηματικός της ελληνιστικής

περιόδου, γεννήθηκε και έζησε της υρακούσες, τη μεγάλη ελληνική αποικία της

ικελίας. Πατέρας του ήταν ο αστρονόμος και μαθηματικός Υειδίας. Η οικογένειά του

ήταν αρκετά ευκατάστατη και συνδεόταν με συγγένεια με το βασιλικό γένος των

υρακουσών. Παρόλο που καταγόταν από ευγενική γενιά, ο Αρχιμήδης αρνήθηκε να

λάβει οποιοδήποτε αξίωμα και διέθετε όλο του τον χρόνο στη σπουδή και τη μάθηση.

πούδασε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, που ήταν το πνευματικό κέντρο της

εποχής, και δάσκαλοί του στη μαθηματική επιστήμη υπήρξαν οι διάδοχοι του

Ευκλείδη. Είχε επιστημονική επαφή με τον Ερατοσθένη της Κυρήνειας, διευθυντή της

βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και ήταν φίλος και συμμαθητής του διάσημου

μαθηματικού Κόνωνα του άμιου. τον πρώτο, ο Αρχιμήδης έστειλε το έργο του Ἡ

Μέθοδος, με μία εισαγωγική επιστολή, καθώς και το περίφημον Βοεικόν πρόβλημα,

ενώ στον Κόνωνα συνήθιζε να στέλνει τις πραγματείες του πριν από τη δημοσίευσή

29

τους. Επιστρέφοντας της υρακούσες αφιερώθηκε στη μαθηματική έρευνα και στην

πραγματοποίηση διαφόρων μηχανικών εφευρέσεων1.

ΕΡΓΟ

Σο έργο του Αρχιμήδη του υρακούσιου υπήρξε τεράστιο, τόσο ποιοτικά όσο και

ποσοτικά και αναφέρεται σε πολλούς τομείς: μαθηματικά, μηχανική φυσική,

αστρονομία, ναυπηγική και αρχιτεκτονική. Ο Αρχιμήδης συνέδεσε το όνομά του με

την λύση γνωστών μαθηματικών προβλημάτων, τη γένεση της θεωρητικής

μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με αμυντικές εφευρέσεις που εφαρμόστηκαν με

σημαντικά αποτελέσματα όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την ιδιαίτερη πατρίδα του,

της υρακούσες (213-211 π.Φ.)2. Σα βασικά χαρακτηριστικά του επιστημονικού έργου

του Αρχιμήδη εντοπίζονται στα ακόλουθα σημεία:

1. την πρόσληψη των «απειροστικών» μεθόδων του Ευδόξου (μέθοδος

εξάντλησης) και στην επιτυχή εφαρμογή τους για την εύρεση εμβαδών και

όγκων καμπυλόγραμμων σχημάτων,

2. την ανάπτυξη ευρετικών μεθόδων βάσει των οποίων ήταν σε θέση να

γνωρίζει πολλά μαθηματικά αποτελέσματα προτού ακόμη τα αποδείξει με

αυστηρό (κατά κανόνα γεωμετρικό) τρόπο,

3. την επεξεργασία μαθηματικών μοντέλων για την περιγραφή φυσικών

φαινομένων της στατικής και της υδροστατικής και στην επινόηση μηχανικών

κατασκευών των οποίων η λειτουργία βασίζεται στην εφαρμογή φυσικών

αρχών3.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ

τα Μαθηματικά, ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τη μελέτη των μαθηματικών

προβλημάτων που εκκρεμούσαν από παλαιότερες μελέτες και ανακάλυψε πλήθος

1 Heath 2001, 33 2 Αρταία Μαζεκαηηθά, 1993, 64 3 Χρηζηηαλίδες 2003, 92-93

30

νέων προτάσεων και μεθόδων. Η πρωτοτυπία μάλιστα και η αποτελεσματικότητα

των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των

μαθηματικών «ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών».

Παρουσίασε τη μέθοδο του προσδιορισμού του άρρητου αριθμού π, που είναι μια

προσέγγιση που βρίσκεται μεταξύ 3 + 10 / 70 και 3 + 10 / 71, μια μέθοδο παράστασης

των πολύ μεγάλων αριθμών και τελειοποίησε το ελληνικό σύστημα αρίθμησης.

Επίσης, ανακάλυψε και απέδειξε την ιδιότητα των εκθετών, 10a10b = 10a + b, απαραίτητη

για τον χειρισμό δυνάμεων του 101.

Ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τα μαθηματικά του απείρου. Ακριβέστερα, στην

πραγματεία του «Περί μεθόδου των θεωρημάτων μηχανικής» ασχολείται με την έννοια

του απόλυτου απείρου και ισχυρίστηκε ότι δύο διαφορετικά σύνολα γραμμών είναι

ίσα σε πλήθος, αν και είναι σαφώς κατανοητό ότι είναι άπειρα. Η προσέγγιση αυτή

είναι όμοια με έργα του 16ου και του 17ου αι., που οδήγησαν στην επινόηση του

λογισμού.

τη Γεωμετρία, το έργο του Αρχιμήδη, αποτελείται από πρωτότυπες μελέτες

σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων, καθώς και

με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών. Τπολόγισε τα εμβαδά

κύκλου, έλλειψης και έλικας, καθώς και τα εμβαδά και της όγκους των κυλίνδρων,

των κώνων και κυρίως των σφαιρών. Επίσης, ανακάλυψε τον τύπο που δίνει το

εμβαδό τριγώνου από τις πλευρές του και την επέκτασή του στα εγγεγραμμένα

τετράπλευρα. Μία άλλη σημαντική προσφορά του Αρχιμήδη είναι η έκφραση των

εμβαδών όλων των γνωστών κανονικών πολυγώνων συναρτήσει της πλευράς τους

και η έκφραση των όγκων στερεών εκ περιστροφής κωνικών εφαρμόζοντας

«απειροστικές» μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών, μέθοδος που εξελίχθηκε,

τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στη σύγχρονη εποχή «Ολοκληρωτικός Λογισμός». Ο

Αρχιμήδης αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της

αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεότερων μελετών του

διαφορικού και απειροστικού λογισμού. τη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν

1 Heath 2001, 37-38

31

το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη, με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να

είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας.

ΣΟΜΑΦΙΟΝ ΣΟΤ ΑΡΦΙΜΗΔΗ

Σο έργο του Αρχιμήδη «τομάχιον» ή «Οστομάχιον» εκτιμάται πως είναι η

αρχαιότερη πραγματεία περί συνδυαστικής – η οποία αποτελεί μία από της βάσεις

της πληροφορικής. Ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να ανακαλύψει με πόσους τρόπους θα

μπορούσε να ανασυνδυαστούν τα δεκατέσσερα τμήματα ενός τετραγώνου, ώστε να

σχηματιστεί πάλι ένα τετράγωνο. Η απάντηση είναι: 17.152. Λέγεται ότι το πρόβλημα

είναι τόσο δύσκολο, ώστε της που θα προσπαθήσει να το λύσει θα στενοχωρηθεί

πάρα πολύ και από εκεί ίσως προήλθε η ονομασία του1.

ΥΤΙΚΗ

Ο Αρχιμήδης δεν ασχολήθηκε μόνο με τη θεωρητική μελέτη των φυσικών

φαινομένων, αλλά τα περιέγραψε με μαθηματικά μοντέλα και προχώρησε σε

τεχνολογικές εφαρμογές και εφευρέσεις. Με το έργο του «Περί ἐπιπέδων ἰσορροπιῶν»

καθιερώθηκε ως θεμελιωτής της τατικής. Διατύπωσε επίσης τους νόμους της

Τδροστατικής γράφοντας δύο βιβλία με τον τίτλο «Περί τῶν ἐν ύδατι ἐφισταμένων»

1 Αδακοπούιοσ 2011, 28

32

και «Περί Ὁχουμένων». ύμφωνα με την ομώνυμη αρχή του Αρχιμήδη για την άνωση

του νερού, η δύναμη της άνωσης σε ένα βυθισμένο αντικείμενο είναι ίση με το βάρος

του υγρού που εκτοπίζεται. Αυτή η αρχή είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό του όγκου

και κατά συνέπεια της πυκνότητας της ακανόνιστα διαμορφωμένου αντικειμένου.

Αυτό μπορεί να γίνει με τη μέτρηση της μάζας του στον αέρα και της φαινόμενης

μάζας του όταν βυθίζεται στο ύδωρ (πυκνότητα νερού = 1g/cm3). Η φαινόμενη μάζα

κάτω από το ύδωρ θα είναι η πραγματική μάζα του μείον τη μάζα του υγρού που

εκτοπίζεται, της στην περίπτωση της κορώνας του βασιλιά στην ιστορία του

Αρχιμήδη1. Διαιρώντας την μάζα με τον όγκο υπολογίζεται ένα μέτρο της μέσης

πυκνότητας του αντικειμένου. Ο Αρχιμήδης διαπίστωσε ότι η πυκνότητα της χρυσής

κορώνας του βασιλιά ήταν πολύ λιγότερη από την πυκνότητα του χρυσού,

υπονοώντας ότι ήταν είτε κοίλη είτε γέμισε με μια λιγότερο πυκνή ουσία23.

Η κορώνα φαίνεται ελαφρύτερη κάτω από το ύδωρ!

μάζα σώματος – φαινόμενη μάζα σώματος = πυκνότητα x όγκος του

σώματος 440g / 31cm3 = 14.2 g/cm3. Η πυκνότητα της του καθαρού χρυσού

είναι 19.3g/cm3.

Σέλος, ο Αρχιμήδης διατύπωσε της νόμους διάθλασης του φωτός.

1 Πρόθεηηαη γηα ηελ ηζηορία κε ηολ ζηέθαλο ηοσ Ιέρωλα ποσ δηεγείηαη ο Βηηρούβηος ζηο έργο ηοσ De

architecura. Σύκθωλα κε ηε καρησρία ηοσ Βηηρούβηοσ, όηαλ ο Ιέρωλ έγηλε βαζηιηάς ηωλ Σσραθοσζώλ

ζέιεζε λα αθηερώζεη ζηοσς ζεούς τρσζό ζηέθαλο. Τολ παρήγγεηιε, ιοηπόλ, έλαληη ακοηβής ζε έλαλ

τρσζοτόο, ζηολ οποίο δηέζεζε ηολ τρσζό από ηολ οποίο εθείλος ζα ηολ θαηαζθεύαδε. Ο τρσζοτόος

παρέδωζε ηο έργο ζηελ προθαζορηζκέλε προζεζκία θαη ηο βάρος ήηαλ, πράγκαηη, ίζο προς ηο βάρος ηοσ τρσζού ποσ ηοσ είτε δηαηεζεί. Αργόηερα, όκως, δηαησπώζεθε ε θαηεγορία όηη ο τρσζοτόος είτε

αληηθαηαζηήζεη κέρος ηοσ τρσζού κε άργσρο αλάιογοσ βάροσς. Ο Ιέρωλ αγαλάθηεζε θαη αλέζεζε ζηολ

Αρτηκήδε λα ερεσλήζεη αλ πράγκαηη ηολ είτε απαηήζεη ο ηετλίηες. 2 Heath 2001, 113-115 3 Heath 2001, 113-115

33

ΜΗΦΑΝΙΚΗ

το χώρο της Εφαρμοσμένης Μηχανικής ο Αρχιμήδης διατύπωσε το νόμο των

μοχλών και αντιλαμβανόμενος της απεριόριστες προεκτάσεις του, γενίκευσε την

εφαρμογή λέγοντας «Δώσε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω τη γη». Απέδειξε

στον Ιέρωνα ότι μπορούσε με ένα σύστημα τροχαλιών και μοχλών (τρίσπαστον) να

μετακινήσει μόνος του ένα τεράστιο πλοίο με όλο το πλήρωμά του. Επίσης,

διατύπωσε το νόμο των ισορροπιών σύμφωνα με τον οποίο «σύμμετρα μεγέθη

ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες της το βάρος της»1.

1 Heath 2001, 35-36

34

ΑΣΡΟΝΟΜΙΑ

Ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε πολύ με την Αστρονομία και σύμφωνα με τον Λίβιο

«είναι μοναδικός παρατηρηρής του ουρανού και των αστέρων»1. Ακριβέστερα, μελέτησε

τα ηλιοστάσια, υπολόγισε τη διάρκεια του έτους σε 365 ημέρες και ¼ της ημέρας και

εισήγαγε πρώτος την έννοια του «καλενδαρίου» στο οποίο σημειώνονταν οι

ημερομηνίες και το οποίο εξελίχθηκε αργότερα σε πλήρες ημερολόγιο. Ο Αρχιμήδης

υπολόγισε ότι η περίμετρος της Γης είναι 300.000 στάδια και ότι η διάμετρός της είναι

μεγαλύτερη της διαμέτρου της ελήνης και μικρότερη της διαμέτρου του Ήλιου. Ο

Μακρόβιος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τις αποστάσεις των πλανητών και

τους κατέταξε με κριτήριο την απόστασή της από τη Γη με την εξής σειρά: ελήνη,

Ερμής, Αφροδίτη, Ήλιος, Άρης, Δίας και Κρόνος2. το έργο του «Χαμμίτης» («Άμμου

Καταμέτρης») περιγράφει τη συσκευή μέσω της οποίας μέτρησε τη φαινομενική

διάμετρο του Ήλιου. το έργο αυτό, που αποτελεί υπό μια έννοια την πρώτη

επεξηγηματική εργασία, ο Αρχιμήδης επιχειρεί να ανατρέψει την τότε κοινή

πεποίθηση ότι ο αριθμός των κόκκων της άμμου είναι υπερβολικά μεγάλος για να

καταμετρηθεί. Προκειμένου να το επιτύχει, έπρεπε πρώτα να επινοήσει ένα σύστημα

ονομασίας μεγάλων αριθμών, ώστε να ορίσει ένα άνω όριο· ξεκίνησε λοιπόν από τον

μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής, την μυριάδα μυριάδων. Κατόπιν επεχείρησε

να εκτιμήσει ένα άνω όριο του αριθμού των κόκκων της άμμου και, μη θέλοντας να

ξεπεραστεί ποτέ, υπολόγισε όχι μόνο τον αριθμό των κόκκων άμμου μιας παραλίας,

αλλά και ολόκληρης της Γης, μιας Γης αποτελούμενης ολόκληρης από άμμο και,

τέλος, της σύμπαντος από άμμο. Η τελευταία αυτή εκτίμηση βασίστηκε στο

μεγαλύτερο μοντέλο σύμπαντος που είχε προταθεί μέχρι τότε, το ηλιοκεντρικό

μοντέλο του Αρίσταρχου του άμιου. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι η αστρική παράλλαξη

ισούται με την ηλιακή παράλλαξη και μπορεί να συναχθεί πως ο Αρχιμήδης έκανε

αυτήν την υπόθεση γι’ αυτόν τον λόγο. Σο εξαγόμενο συμπέρασμα είναι πως η

ακτίνα του σύμπαντος είναι περίπου 1 έτος φωτός, που συμπίπτει με τις σύγχρονες

1 Λίβηος, xxiv 34.2 2 Μαθρόβηος, Ὑπόμνημα εἰς τό ἐνύπνιον τοῦ κιπίωνος, ii.3

35

εκτιμήσεις για την ακτίνα του ηλιακού συστήματος. Η τελική εκτίμηση του Αρχιμήδη

δίνει άνω όριο 1064 κόκκων σε ένα σύμπαν πλήρες άμμου. Σέλος, ένα από τα

πειράματα του εκτιμά την γωνιακή διάμετρο του Ηλίου, ιδωμένης από τη Γη. Η

μέθοδός του αυτή είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα, καθώς είναι ίσως το πρώτο γνωστό

παράδειγμα πειραματισμού στην Χυχοφυσική, της κλάδου της Χυχολογίας που

ασχολείται με τους μηχανισμούς της ανθρώπινης αντίληψης. υγκεκριμένα, ο

Αρχιμήδης λαμβάνει υπ’ όψιν το μέγεθος και το σχήμα του ανθρώπινου οφθαλμού

στο πείραμα μέτρησης της γωνιακής διαμέτρου του Ηλίου1.

ΟΙ ΕΥΕΤΡΕΕΙ ΣΟΤ ΑΡΦΙΜΗΔΗ

1. Σο αρχιτρόνιτο ή ατμοτηλεβόλο.

Πολεμική μηχανή για εκτόξευση βλημάτων δια μέσω οπών κατασκευασμένων στα

τείχη. Είναι το πρώτο παγκοσμίως όπλο που λειτουργούσε με ατμό και το οποίο

πολλούς αιώνες αργότερα «επανα-ανακάλυψε» ο Λεονάρντο ντα Βίντσι2.

1 Σπάλδαγοσ θ.α.1995, 180-183 2http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_

syrakoysios.php

36

2. Σα εμπρηστικά κάτοπτρα

Πρόκειται για ηλιακά κάτοπτρα, με τα οποία ο Αρχιμήδης συγκέντρωνε της ηλιακές

ακτίνες πάνω στα εχθρικά ρωμαϊκά πλοία και τα έκαιγε.

.

3. Σο υδραυλικό ρολόι.

Ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με το μεγάλο πρόβλημα το χρόνου, καθώς μέχρι τότε τα

ηλιακά ρολόγια δεν μπορούσαν να μετρήσουν το χρόνο τη νύχτα ή όταν είχε

συννεφιά. Για τη μέτρηση του χρόνου κατασκεύασε ένα πολύπλοκο υδραυλικό ρολόι

ύψους 4 μέτρων που υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια της ημερήσιες και βραδινές ώρες

και μάλιστα ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας. Σο ρολόι αυτό χρησιμοποίησε την

ελεύθερη πτώση του νερού για να κινήσει της δείκτες που έδειχναν τον χρόνο. Η

αλλαγή στη στάθμη ύδατος μετράει το πέρασμα του χρόνου και έχει σχέση με ένα

έξυπνο σύστημα που ρύθμιζε το ποσοστό αλλαγής της ροής του νερού, σύμφωνα με

την εποχή1.

1 Σπάλδαγοσ θ.α. 1995, 184

37

4. Ατέρμων κοχλίας ή έλιξ

Αφορμή για την εφεύρεση του οργάνου αυτού δόθηκε στον Αρχιμήδη όταν

επισκέφθηκε την Αίγυπτο μετά από πρόσκληση του Πτολεμαίου Β΄ του Υιλάδελφου.

Πρόκειται για μια μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα που

κατασκεύασε στην προσπάθειά του να βοηθήσει της αγρότες να αντλήσουν νερό από

το Νείλο. Ο Βιτρούβιος περιγράφει λεπτομερώς την κατασκευή αυτής της μηχανής1. Η

ονομασία «κοχλίας» οφείλεται στη μορφή του οργάνου, που μοιάζει με κέλυφος

σαλιγκαριού (κοχλίας), αλλιώς ονομαζόταν και «έλιξ» (σπείρα). Η μηχανή αυτή

χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα σε περιοχές της Βόρειας Αφρικής2.

1 Βηηρούβηος, Περί Ἀρχιτεκτονικῆς, XVI 258, σ.484 2http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_

syrakoysios.php

38

5. Αραιόμετρο.

Είναι όργανο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της πυκνότητας και της

περιεκτικότητας υγρών και η λειτουργία του στηρίζεται στην αρχή του Αρχιμήδη.

Δηλαδή όταν ένα σώμα (στην προκειμένη περίπτωση το αραιόμετρο) ισορροπεί μέσα

σε υγρό, βυθίζεται τόσο λιγότερο, όσο πυκνότερο είναι το υγρό.

6. φαίρα ή Πλανητάριο.

Ο Αρχιμήδης κατασκεύασε κάποιον μηχανισμό με τον οποίο έβρισκε ταυτόχρονα

την θέση του ήλιου, της σελήνης και έξι πλανητών, αλλά οι περιγραφές που σώθηκαν

είναι μόνο για την λειτουργία και όχι για την κατασκευή. Παρόμοιας σκοπιμότητας,

αλλά διαφορετικής τεχνολογίας συσκευές συναντάμε στην Ευρώπη την εποχή του

Κοπέρνικου, όταν οι τότε επιστήμονες προσπαθούσαν να φτιάξουν ένα μοντέλο

κίνησης των πλανητών του ηλιακού της συστήματος αμφισβητώντας την κίνηση της

γης1.

1 Σπάλδαγοσ θ.α. 1995, 23

39

7. Λιθοβόλος μηχανή.

Πρόκειται για μια πολεμική μηχανή που μπορούσε να εκσφενδονίζει πέτρες βάρους

80 περίπου κιλών η κάθε μία, και βέλη 12 πήχεων σε απόσταση 180 μ.1

8. Γερανοί.

Με της μηχανισμούς γερανών ο Αρχιμήδης κατάφερνε να πιάνει τα καράβια που

πολιορκούσαν της υρακούσες και είτε να τα ανυψώνει ανατρέποντάς τα, είτε να τα

αφήνει να ξαναπέσουν από ύψος στην θάλασσα προκαλώντας της σοβαρές ζημιές2.

1http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_

syrakoysios.php 2 Σπάλδαγοσ θ.α. 1995, 23 3http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_

syrakoysios.php 2 Σπάλδαγοσ θ.α. 1995, 23

40

ΤΜΒΟΛΗ ΣΩΝ ΑΡΦΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΣΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ

ΚΑΙ ΣΗΝ ΕΠΙΛΤΗ ΤΓΦΡΟΝΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ

ύμφωνα με τον φυσικό και μαθηματικό Carl Friedrich Gauss, «Tα μαθηματικά είναι

η βασίλισσα της επιστήμης και η θεωρία αριθμών η βασίλισσα των μαθηματικών». Σα

μαθηματικά έχουν αποδειχτεί μόνα αυτά από της της επιστήμες αποτελεσματικά να

εξηγήσουν σε βάθος τα φαινόμενα της φύσης και συμβάλλουν στην καλύτερη

κατανόηση του κόσμου που της περιβάλλει. Ο Γαλιλαίος (Έργα, Α΄ Σόμος, σελ. 232)

παρατήρησε ότι « η φιλοσοφία είναι γραμμένη μέσα σε αυτό το μεγάλο βιβλίο που είναι

διαρκώς ανοιχτό μπροστά στα μάτια της (εννοώ το σύμπαν) και δεν μπορούμε να το

κατανοήσουμε αν πρωτύτερα δε μάθουμε να διαβάζουμε τη γλώσσα και τα γράμματα με

τα οποία έχει γραφτεί. Αλλά είναι γραμμένο σε μαθηματική γλώσσα και τα γράμματα

είναι το τρίγωνο, ο κύκλος και άλλα γεωμετρικά σχήματα χωρίς τα οποία είναι

ανθρωπίνως αδύνατο να καταλάβουμε έστω και μια λέξη…».

Σο έργο των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών έχει διαχρονική αξία και

χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα. Αναφέρεται ενδεικτικά ότι η ανακάλυψη του τύπου

του εμβαδού από τον Αρχιμήδη εφαρμόζεται σε διάφορους τομείς, της για

παράδειγμα στην πώληση χωραφιών και τη μέτρηση στρεμμάτων, ενώ χάρη στο

θεώρημα της μεσοκαθέτου του Ευκλείδη ένας ειδικός στην τοποθέτηση δορυφορικών

κεραιών τηλεόρασης μπορεί να υπολογίσει το σωστό σημείο για την τοποθέτησή της.

Επίσης, με τον ίδιο τρόπο μπορεί ο άνθρωπος να υπολογίσει το κέντρο μιας κυκλικής

πλατείας, προκειμένου να τοποθετήσει ένα άγαλμα.

Σα μαθηματικά βρίσκονται στη βάση της εξέλιξης της επιστήμης και της

τεχνολογίας και αποτελούν έναν από της κύριους μοχλούς ανάπτυξης του

ανθρώπινου πολιτισμού. Σο έργο των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών αποτέλεσε τη

βάση για την ανάπτυξη των άλλων επιστημονικών κλάδων. Ο Αρχιμήδης για

παράδειγμα ανακάλυψε τα μαθηματικά του απείρου, τη μαθηματική φυσική και τη

συνδυαστική. Η δημιουργία και η εξέλιξη της φυσικής, της χημείας, της μηχανικής,

41

της ηλεκτρολογίας, της βιολογίας, της γεωλογίας, της μετεωρολογίας, της

πληροφορικής και γενικότερα του πολιτισμού οφείλονται στη μαθηματική επιστήμη.

Γιατί αυτές οι επιστήμες στηρίζονται στο θεωρητικό αλλά και πρακτικό κομμάτι τους

στα μαθηματικά και δε θα μπορούσαν να ερμηνευτούν και να εξελιχθούν χωρίς τα

μαθηματικά. Σα Μαθηματικά αποτελούν το κλειδί για τη μελέτη και την επίλυση

ενός μεγάλου αριθμού θεμάτων που ανάγονται σε αυτές επιστήμες. Η διατύπωση

μάλιστα και η επίλυση μαθηματικών μοντέλων για προβλήματα που προκύπτουν τις

άλλες επιστήμες και την τεχνολογία αποτελεί το αντικείμενο των Εφαρμοσμένων

Μαθηματικών.

Σα μαθηματικά δημιούργησαν τις υπόλοιπες επιστήμες και οι επιστήμες αυτές με τη

σειρά της έφεραν τις εφευρέσεις, τις μηχανές, τα αυτοκίνητα και την τεχνολογία στη

ζωή της. Η εικόνα του σύγχρονου κόσμου θα ήταν τελείως διαφορετική χωρίς τις

μαθηματικές επινοήσεις των αρχαίων Ελλήνων. Ο Κολόμβος δε θα είχε ανακαλύψει

την Αμερική αν δε χρησιμοποιούσε την τριγωνομετρία για να διαβάσει τ΄ αστέρια·

ούτε θα υπήρχαν υπολογιστές χωρίς το δυαδικό σύστημα αρίθμησης και την Άλγεβρα

Boole· ούτε τα διαστημόπλοια θα είχαν φτάσει στον Άρη, αν προηγουμένως δεν είχαν

σχεδιαστεί με λεπτομέρειες οι τροχιές της με μαθηματικούς υπολογισμούς. Όλα

σχεδόν τα επιτεύγματα της επιστήμης και της τεχνολογίας στηρίζονται στην

ανάπτυξη των μαθηματικών.

«Για να φανταστούμε τη χρησιμότητα των μαθηματικών στη ζωή της, αρκεί να

φανταστούμε τη ζωή της χωρίς μαθηματικά» αναφέρει ο Κινέζος φιλόσοφος Λάο τσε.

Πράγματι, φανταστείτε τον κόσμο μας χωρίς τη δυνατότητα να μετράμε το βάρος

μας, το ύψος μας, τον μισθό που παίρνουμε, τα χρήματα που πληρώνουμε, τις

κιλοβατώρες του ρεύματος που ξοδεύουμε, τα τέρματα που πέτυχε η αγαπημένη μας

ομάδα, τους βαθμούς που πρέπει να γράψουμε για να μπούμε στο πανεπιστήμιο, τις

βάσεις εισαγωγής μας στο πανεπιστήμιο, το μέγεθος ενός σεισμού, τη θερμοκρασία

του σώματος μας και του περιβάλλοντος, τα επιτρεπτά για την ανθρώπινη υγεία όρια

ρύπων της ατμόσφαιρας και........... πολλά άλλα ακόμη. Υανταστείτε έναν κόσμο

χωρίς υπολογισμούς και πράξεις. Υανταστείτε έναν κόσμο χωρίς να βρίσκουμε τα

42

εμβαδά των αγροτεμαχίων, των οικοπέδων, των δωματίων. Έναν κόσμο χωρίς

γεωμετρικά σχέδια, τοπογραφικά, ρυμοτομικά, γραμμικά και ελεύθερα σχέδια. Έναν

κόσμο χωρίς εικαστική τέχνη με γεωμετρική συμμετρία και κανονικότητα, χωρίς

γνώση των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών. Έναν κόσμο που δεν θα γνώριζε να

υπολογίζει τον όγκο της δοχείου αποθήκευσης του καθημερινού λαδιού ή μιας

δεξαμενής νερού ή πετρελαίου1.

Σα Μαθηματικά αποτελούν μέρος της καθημερινής ζωής του ανθρώπου και είναι

χρήσιμα σε όλους της τομείς της ζωής του από τους πιο απλούς καθημερινούς

υπολογισμούς μέχρι την επίλυση σύνθετων επιστημονικών προβλημάτων.

Αναφέρεται ενδεικτικά ότι εφαρμόζοντας μεθόδους των μαθηματικών μπορούμε για

παράδειγμα να επιλύσουμε προβλήματα της τομείς της Εκπαίδευσης, της Διοίκησης,

της Οικονομίας και της Παραγωγής.

το σύγχρονο κόσμο, τα μαθηματικά αποκτούν ακόμα μεγαλύτερη σημασία, αφού

η εξέλιξη της τεχνολογίας απαιτεί την ανάπτυξη των μαθηματικών δεξιοτήτων του

ανθρώπου από μικρή ηλικία. Για να κατανοήσουμε τη χρησιμότητα των μαθηματικών

στη ζωή της, αρκεί να αναλογιστούμε πόσες φορές τα χρησιμοποιούμε στη διάρκεια

της ημέρας.

ΈΝΑ ΤΝΗΘΙΜΕΝΟ ΠΡΩΙΝΟ, ΕΝΟ ΤΝΗΘΙΜΕΝΟΤ ΑΝΘΡΩΠΟΤ

Σο ραδιόφωνο – ξυπνητήρι του Θανάση χτύπησε της 7:00. Φάρη στην ψηφιακή

τεχνολογία, βασισμένη στην αριθμητική ανάλυση και στο δυαδικό σύστημα, το

δωμάτιο γέμισε μουσική, λες και μια ορχήστρα ολόκληρη είχε μαζευτεί στο

προσκέφαλό του. ηκώθηκε. ε δέκα λεπτά το ψυγείο και το φουρνάκι του, που

λειτουργούσαν με fuzzy logic – παρακλάδι της πλειότιμης συμβολικής λογικής, που

ήταν υπεύθυνη και για την ασφαλή λειτουργία του ABS στο αυτοκίνητό του – του

εξασφάλισαν ένα πλούσιο πρωινό. τις 7: 40 πληκτρολογούσε στον συναγερμό τον

τετραψήφιο κωδικό του (η θεωρία των πιθανοτήτων λέει πως ο ενδεχόμενος

1 mathmosxos.blogspot.com/2011/01/blog-post_1985.html

43

διαρρήκτης είχε μόλις μία πιθανότητα στις 10.000 να τον παραβιάσει) και έφυγε

ήσυχος για τη δουλειά. Μπήκε στο Μετρό – άλλο θαύμα κι αυτό, σήραγγες, κανάλια

υπονόμων, δίκτυα παροχής, μια ολόκληρη υπόγεια πόλη σχεδιασμένη με βάση τα

γραφήματα του Όιλερ – βολεύτηκε και άνοιξε την εφημερίδα: «Μείωση κατά 12% των

ατυχημάτων μετά την εφαρμογή του αλκοτέστ – 27% των οδηγών συμμορφώθηκαν

ήδη με της νέους αυστηρούς κανονισμούς». 12%, 27%! Και πώς το βρήκανε; Σα νύχια

τους μυρίσανε; Γύρισε στα αθλητικά. Ο Κωνσταντίνου να στέλνει με κεφαλιά στα

δίχτυα το ημικανονικό 32-εδρο β’ τύπου του Αρχιμήδη (δηλαδή την μπάλα του

ποδοσφαίρου) δέσποζε στη σελίδα. τις 8: 30 έμπαινε στο γραφείο. Άνοιξε τον

υπολογιστή (ήταν γεμάτος ολοκληρωμένα κυκλώματα βασισμένα στην άλγεβρα

Μπουλ, αλλά ο Θανάσης ούτε το ήξερε ούτε ήθελε να το μάθει) και μπήκε στο

Ίντερνετ. Ο κώδικας RSA βασισμένος στους πρώτους αριθμούς της εξασφάλισε μια

ασφαλή σύνδεση και άνοιξε το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. Μήνυμα από τη Μαρία! – το

πρόσωπο. Καλό κορίτσι η Μαρία, σκέφτηκε. Καλλιεργημένη, πρόσχαρη, σπιρτόζα,

όμορφη. Ένα μονάχα κουσούρι είχε. πούδαζε Μαθηματικά. Φάθηκε να σπουδάσει

κάτι άλλο, κάτι πιο κοντά στην καθημερινή ζωή, κάτι χρήσιμο τέλος πάντων! Έτσι

σκέφτηκε ο Θανάσης και βγήκε επειγόντως απ’ το e-mail γιατί πλησίαζε ο

διευθυντής1.

1 Μηταειίδες Τεύθρος ζηο mathmosxos.blogspot.com/2011/01/blog-post_1985.html

44

ΤΜΠΕΡΑΜΑΣΑ

Σα μαθηματικά ως επιστήμη δημιουργήθηκαν και αναπτύχθηκαν στην αρχαία

Ελλάδα. Οι αρχαίοι Έλληνες μαζί με τη θεωρία της επινόησαν και την ορολογία της

επιστήμης, προσδιόρισαν της βασικές έννοιες, άσκησαν τον κριτικό λόγο, εισήγαγαν

την αποδεικτική διαδικασία και οικοδόμησαν τον παραγωγικό συλλογισμό. Πολλές

από τις σημαντικές εξελίξεις των μαθηματικών της σύγχρονης εποχής έχουν την

προέλευσή της σε εργασίες που έγιναν από της αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς.

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί εισήγαγαν πρώτοι την ιδέα ότι υπάρχει μια

φυσική, και όχι υπερφυσική, εξήγηση για κάθε φυσικό γεγονός και, κατά συνέπεια, ο

κόσμος είναι κατανοήσιμος από τον ανθρώπινο νου. Η μεγαλύτερη, ωστόσο,

συνεισφορά τους στη μαθηματική επιστήμη έγκειται στην προσθήκη της απόδειξης.

Εγκαταλείφθηκαν οι εμπειρικές μέθοδοι και εδραιώθηκε η άποψη ότι οι μαθηματικές

αλήθειες πρέπει να εξάγονται μέσα από μία παραγωγική συλλογιστική. Ο Θαλής

(περί το 600 π.Φ.) κάνει χρήση της παραγωγικής συλλογιστικής. Η απόδειξη, που

έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην πορεία εξέλιξης των Μαθηματικών, ξεκίνησε από τον

Θαλή, αναπτύχθηκε από τον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους, συστηματοποιήθηκε

από τον Πλάτωνα και κυρίως από τον Αριστοτέλη και τελειοποιήθηκε από τον

Ευκλείδη και τον Αρχιμήδη. τα έργα των αρχαίων Ελλήνων θα βρούμε όλες σχεδόν

τις μεθόδους ανάπτυξης που χρησιμοποιούνται σήμερα, όπως για παράδειγμα τη

μέθοδο της συνεπαγωγής, τη συνθετική μέθοδο, την αναλυτική μέθοδο, τη μέθοδο

της εις άτοπον απαγωγής, καθώς και τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής.

Η θεωρία Αριθμών είναι ένας άλλος τομέας που η επινόησή του οφείλεται στους

αρχαίους Έλληνες. Για την ανάπτυξη αυτής της θεωρίας σημαντική ήταν η συμβολή

των Πυθαγορείων, του Πλάτωνα στην Ακαδημία, του Ευκλείδη με το έργο του

«τοιχεία», καθώς και του Αρχιμήδη. Η Γεωμετρία είναι καθαρά ελληνική επιστήμη

και ο Ευκλείδης με τα «τοιχεία» του καθοδηγεί τον επιστημονικό τρόπο σκέψης

μέχρι σήμερα. Ο Ευκλείδης συστηματοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις

τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν προγενέστεροι μαθηματικοί και ανασύνταξε

45

τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους. Η μεταστροφή που

έφερε ο Ευκλείδης στη μαθηματική σκέψη ήταν η μετουσίωση της γεωμετρίας από

ένα εργαλείο σε ένα λογικό σύστημα ορισμών και αξιωμάτων, μοντέλο που με

κάποιες γενικεύσεις συνεχίζεται να εφαρμόζεται ακόμη και σήμερα. Η σύλληψη της

ιδέας της αξιωματικής θεμελίωσης οφείλεται στους αρχαίους Έλληνες και μάλιστα η

αξιωματική θεμελίωση που ανέπτυξαν είναι ίδια με εκείνη που χρησιμοποιείται

σήμερα.

Η Ανάλυση, που είναι σήμερα ο πιο σημαντικός κλάδος των βασικών μαθηματικών,

έχει την αφετηρία της στην αρχαία Ελλάδα. τα έργα των Πυθαγορείων, του Εύδοξου

και του Αρχιμήδη υπάρχουν τέτοια στοιχεία μαθηματικής Ανάλυσης, ώστε τα έργα

αυτά θεωρούνται σήμερα αφετηρία της δημιουργίας του διαφορικού και του

ολοκληρωτικού λογισμού.

Σα μαθηματικά βρίσκονται στη βάση της εξέλιξης της επιστήμης και της

τεχνολογίας και σχετίζονται άμεσα με της πτυχές της ανθρώπινης δραστηριότητας. Η

Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της επιστήμης και

τεχνικής και σ’ αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής

Υυσικής από την Αναγέννηση και μετά. Επίσης, η αστρονομία ως επιστήμη βρήκε

πρόσφορο έδαφος ανάπτυξης στην αρχαία Ελλάδα. Ο Θαλής, ο Πυθαγόρας και οι

Πυθαγόρειοι είχαν κάνει αρκετές αστρονομικές παρατηρήσεις και μετρήσεις. Ο

Αρχιμήδης κατασκεύασε αρκετά αστρονομικά όργανα με τα οποία υπολόγιζε το

μέγεθος της Γης, της ελήνης και του Ήλιου, τις αποστάσεις της Γης από τον Ήλιο

και τους πλανήτες ή το μήκος της τροχιάς της Γης.

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί με τα αξιώματα, τα θεωρήματα και της αποδείξεις

τους έθεσαν τα θεμέλια της επιστημονικής σκέψης στο σύγχρονο κόσμο και οι

μαθηματικές τους επινοήσεις αποτέλεσαν έναν από τους κύριους μοχλούς ανάπτυξης

του πολιτισμού. Επομένως, η αρχαία Ελλάδα υπήρξε κοιτίδα όχι μόνο της

μαθηματικής σκέψης αλλά και της επιστημονικής σκέψης γενικότερα.

46

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ

Αδαμοπούλου 2011 Αδαμοπούλου Μ., «Ο Αρχιμήδης ξαναμιλά», Άρθρο

στα Νέα, 24/10/11

Αρχαία Μαθηματικά 1994 Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, Κείμενα Ιστορίας και

Υιλοσοφίας, Επιμ. Δ.Α. Αναπολιτάνος - Β. Καρασμάνης,

Αθήνα 1993

Αρχιμήδους Άπαντα 1974 Αρχιμήδους Άπαντα, επιμέλεια – μετάφραση

Ε. ταμάτη, Σόμοι Α-Δ, Αθήνα 1974

Διδακτική 2006 Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, Εκδόσεις Ζήτη,

Θεσσαλονίκη 2006

Ευκλείδη τοιχεία, 2001 Ευκλείδη τοιχεία, Σόμος Ι, Η Γεωμετρία

του Επιπέδου (Βιβλία I-VI), Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., Αθήνα 2001

Ευκλείδου τοιχεία 1975 Ευκλείδου τοιχεία, επιμέλεια – Μετάφραση

Ε. ταμάτη, Σόμοι Α-Δ, Αθήνα 1975

Heath 2001 Heath Th., Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών,,

Σόμος ΙΙ (Από τον Αρίσταρχο στονΔιόφαντο),

Αθήνα 2001

Λάζου 1993 Λάζου Φ., Μηχανική και Σεχνολογία στην Αρχαία

Ελλάδα, Αθήνα 1993

πανδάγου κ.α. 1995 πανδάγου Β., πανδάγου Ρ., Σραυλού Δ.,

Οι Αστρονόμοι της Αρχαίας Ελλάδας, Αθήνα 1995

πανδάγου κ.α. 1997 πανδάγου Β., πανδάγου Ρ., Σραυλού Δ.,

Οι Μαθηματικοί της Αρχαίας Ελλάδας, 2η Έκδοση,

Αθήνα 1997

ταμάτη 1976 ταμάτη Ε., Ιστορία των ελληνικών μαθηματικών,

Αθήνα 1976

Vegetti 2003 Vegetti Mario, Ιστορία της Αρχαίας Υιλοσοφίας,

Αθήνα 2003

Φριστιανίδης 2003 Φριστιανίδης Γιάννης, Θέματα από την Ιστορία των

Μαθηματικών (Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και

Ελληνικά Μαθηματικά), Ηράκλειο 2003

47

ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ

http://www.arcmeletitiki.gr/images/uploads/pdf/arc_arx5.pdf

http://www.focusmag.gr/articles/view-article.rx?oid=125809

http://gym-n-figal.ilei.sch.gr/thalis.htm

http://maths-art.blogspot.com/2009/02/blog-post_26.html

mathmosxos.blogspot.com/2011/01/blog-post_1985.html

mathmosxos.blogspot.com/2011/01/blog-post_1985.html

http://mathsforyou.gr/index.php

http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicia

ns/thales_milesios.php

http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicia

ns/archimedes_syrakoysios.php

http://users.forthnet.gr/ath/deleps/Unknown_Hellenic_History/Arximhdhs.html