Διαγώνισμα προσομοίωσης 2015

Μαθηματικά και

Στοιχεία Στατιστικής

από τη lisari team

# Εκφωνήσεις #

Σάββατο 16 – 05 – 2015

lisari.blogspot.gr

Ομάδα Α΄

εργασιών:

Χρήστος

Κανάβης

Θανάσης

Κοπάδης

Χαράλαμπος

Φιλιππίδης

Ομάδα Β΄

εργασιών:

Γιάννης

Βελαώρας

Μιχάλης

Γιαννόπουλος

Δημήτρης

Παπαμικρούλης

Συντονιστής

Γιάννης

Κάκανος

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το διαγώνισμα που επισυνάπτεται στην παρούσα ανάρτηση αντιστοιχεί στο

μάθημα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής και ακολουθεί τις προδιαγραφές που

αναφέρονται στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών της Γ΄ τάξης του Γενικού Λυκείου

για το σχολικό έτος 2014-2015.

Το διαγώνισμα είναι αποτέλεσμα σύνθεσης δυνάμεων της lisari team. Η πρώτη

διστακτική απόπειρα προσομοιωτικών διαγωνισμάτων ξεκινά από τη φετινή χρονιά

(2015). Δεν ξέρουμε αν η ομάδα μας θα προσφέρει κάτι διαφορετικό από τα

διαγωνίσματα τα οποία έχουν αναρτηθεί έως τώρα, αλλά πρόκειται για μια

προσπάθεια να παρουσιαστεί όσο είναι δυνατόν ένα πλήρες διαγώνισμα.

Δεν επιθυμεί, δεν μπορεί, ούτε φιλοδοξεί τα προτεινόμενα θέματα της να γίνουν τα

μελλοντικά θέματα των εξετάσεων. Ωστόσο, θα προσπαθήσει να προετοιμάσει,

να ελέγξει και να δώσει την ευκαιρία στο μαθητή να εξασκηθεί. Αν παράλληλα

καταφέρει να προβληματίσει και τον καθηγητή, τότε θα έχει πετύχει κατά 100% το

σκοπό της.

Δεν έχουμε σκοπό, ούτε επιθυμούμε να ανεβάσουμε το «πήχη» δυσκολίας, δεν θέλουμε

να φοβίσουμε ή να απογοητεύουμε τους μαθητές μας, αλλά όταν χαρακτηρίζεις ένα

διαγώνισμα «προσομοιωτικό» οφείλεις να προσομοιάζεις, όσο είναι δυνατόν, το στυλ,

το επίπεδο και τη μορφή των θεμάτων με αυτά που προτείνονται στις Πανελλαδικές

Εξετάσεις. Η ενασχόληση των μαθητών με το διαγώνισμα προσομοίωσης της lisari

team προϋποθέτει την γνώση της θεωρίας, την επίλυση όλων σχολικών ασκήσεων,

όπως και την επίλυση όλων των προηγούμενων θεμάτων από τις κανονικές και

επαναληπτικές εξετάσεις (‘00 – ‘14).

Μην ξεχνάτε ότι το διαγώνισμα με το οποίο θα ασχοληθείτε είναι ανθρώπινο

δημιούργημα, οπότε εξ’ ορισμού δεν είναι τέλειο. Γι’ αυτό το λόγο, η συγγραφική μας

ομάδα που επιμελήθηκε το διαγώνισμα με ιδιαίτερη ικανοποίηση θα δέχεται στην

παρούσα ανάρτηση τα σχόλια και τις παρατηρήσεις από οποιονδήποτε συνάδελφο,

μαθητή ή πολίτη που ασχολείται με θέματα παιδείας.

Με εκτίμηση,

lisari team

“verba volant, scripta manent” = τα λόγια πετούν-χάνονται, τα γραπτά μένουν

…. αφιερωμένο στους μαθητές, καθηγητές και κατοίκους του

ακριτικού Αγαθονησίου

Το Αγαθονήσι ή Γαϊδουρονήσι είναι το βορειότερο νησί του συμπλέγματος της Δωδεκανήσου και

βρίσκεται σε μικρή απόσταση στα νότια της Σάμου, όπως βλέπετε και στο χάρτη. Ο μόνιμος πληθυσμός

είναι 186 κάτοικοι (σύμφωνα με την απογραφή του 2011).

Σε αντιδιαστολή με την άσκηση μας – θέμα Γ – που αναφέρουμε για 300 μαθητές (!), το Αγαθονήσι

έχει δύο σχολεία, ένα Δημοτικό και ένα Γυμνάσιο σχολείο με Λυκειακές τάξεις. Είναι το μικρότερο

Γυμνάσιο της Ελλάδας αφού αριθμεί λίγους μαθητές κάθε χρόνο. Στο φετινό σχολικό έτος (2014 – 15)

φοιτούν δύο μαθητές στο Γυμνάσιο (Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου), δύο μαθητές στη Α΄ Λυκείου και μια

μαθήτρια (!!!) στη Γ΄ Λυκείου.

Δείτε εδώ ένα αφιέρωμα από τα δύο σχολεία του νησιού. Δείτε επίσης και το ιστολόγιο του Δημοτικού

σχολείου.

Ευχαριστούμε θερμά τη Διευθύντρια του Γυμνασίου Αγαθονησίου, Θεοδώρα Αντωνίου για την

υποστήριξή της.

Βάση θεμάτων:

1. Βελαώρας Γιάννης

2. Γιαννόπουλος Μιχάλης

3. Γκριμπαβιώτης Πάνος

4. Κάκανος Γιάννης

5. Κανάβης Χρήστος

6. Κοπάδης Θανάσης

7. Φιλιππίδης Χαράλαμπος

8. Χατζόπουλος Μάκης

Ομάδα Α΄ (επιλογή και επεξεργασία των θεμάτων):

α) Κανάβης Χρήστος

β) Κοπάδης Θανάσης

γ) Φιλιππίδης Χαράλαμπος

Ομάδα Β΄ (επιλογή και επεξεργασία των θεμάτων):

α) Βελαώρας Γιάννης

β) Γιαννόπουλος Μιχάλης

γ) Παπαμικρούλης Δημήτρης

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

Γενικός Συντονιστής: Γιάννης Κάκανος

l isari team / σχολικό έτος 2014-΄15

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Γ΄ ΤΑΞΗ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΜΑΙΟΥ 2015

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑ Α

Α.1. Έστω t1, t2, …, tv οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ

ενός δείγματος μεγέθους ν που έχουν μέση τιμή x . Σχηματίζουμε

τις διαφορές 1 2 v

t x, t x, ..., t x. Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός

μέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος με μηδέν.

Μονάδες 7

Α.2. Τι ονομάζουμε ακρότατα μια συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α;

Μονάδες 4

Α.3. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης;

Μονάδες 4

Α.4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Μια κατανομή είναι πάντα κανονική όταν R 6 s

β. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου

Ω, ισχύει πάντα P(A∪B) = P(A) + P(B)

γ. Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό

μέγιστο.

δ. Σ’ ένα ραβδόγραμμα συχνοτήτων ο ρόλος των δύο αξόνων είναι

δυνατόν να αντιστραφεί.

ε. Οι αθροιστικές συχνότητες Ni και αθροιστικές σχετικές

συχνότητες Fi χρησιμοποιούνται στις ποιοτικές μεταβλητές.

Μονάδες 10

l isari team / σχολικό έτος 2014-΄15

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Γ΄ ΤΑΞΗ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση,

2x

x

e 1, αν x 0

e 1f x

19P A B , αν x 0

10

και τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ ενός δειγματικού χώρου Ω.

Β.1. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα.

Μονάδες 8

B.2. Να αποδείξετε ότι: xf (x) e 1, για κάθε x (μονάδες 4) και στη

συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f

στο σημείο Κ 0,f 0 (μονάδες 3).

Μονάδες 7

Β.3. i. Να υπολογίσετε τη πιθανότητα του ενδεχομένου

Λ: «να πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α, Β»

Μονάδες 4

Δίνεται, επιπλέον ότι 1

P A5

ii. Να δείξετε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου

Κ: «να μην πραγματοποιείται το Α ή να πραγματοποιείται το Γ»

είναι μεγαλύτερη ή ίση του 0,8.

Μονάδες 6

l isari team / σχολικό έτος 2014-΄15

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Γ΄ ΤΑΞΗ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση,

2

2

xn nx 1

ef (x)2 n x 2

με x 1, e e,

Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που έγραψαν οι μαθητές της

Γ΄ τάξης του Λυκείου Αγαθονησίου στα Μαθηματικά και Στοιχεία

Στατιστικής.

Kλάσεις i

x i

v i

f i

F i i

x v

[0, …) x eimf (x)

[…, …)

[…, …) 50 0,3 0,8

[…, …) 30

[…, …)

Σύνολο 300

Γ.1. Να δείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με 20.

Μονάδες 3

Γ.2. Να αποδείξετε ότι x e

1imf (x)

4 , στη συνέχεια να μεταφέρετε τον

παραπάνω πίνακα στο τετράδιο σας κατάλληλα συμπληρωμένο.

Μονάδες 6

Γ.3. Να βρεθεί η μέση τιμή (μονάδες 3) και η διάμεσος (μονάδες 3) των

βαθμών που έγραψαν οι μαθητές.

Μονάδες 6

l isari team / σχολικό έτος 2014-΄15

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Γ΄ ΤΑΞΗ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Γ.4. Αν κάθε μαθητής έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί , να βρεθεί η

πιθανότητα ένας μαθητής να έχει γράψει τουλάχιστον 70 στο

μάθημα. Μονάδες 5

Γ.5. O καθηγητής του Αγαθονησίου, θέλοντας να βοηθήσει τους

μαθητές του, ζήτησε από αυτούς που έγραψαν βαθμό κάτω από 60

να παρακολουθήσουν συμπληρωματικά μαθήματα ώστε να

βελτιώσουν την απόδοσή τους. Ποιο ποσοστό των μαθητών που θα

παρακολουθήσουν τα συμπληρωματικά μαθήματα έγραψαν

λιγότερο από 40;

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

Έστω Α ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω και ένα δείγμα

παρατηρήσεων 1 2 k

x ,x ,....,x μεγέθους ν, όχι όλες ίδιες μεταξύ τους, με

μέση τιμή x 0 και τυπική απόκλιση s. Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση

f με τύπο

P A 1 xf x x e

με x [0,1] ,

όπου P A η πιθανότητα του ενδεχομένου Α και x η μέση τιμή του

δείγματος.

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 0,f 0

είναι κάθετη στην ευθεία 1

(ε) : y xs

,όπου s η τυπική απόκλιση του

δείγματος.

Δ.1. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα

(ολικά) ακρότατά της.

Μονάδες 4

l isari team / σχολικό έτος 2014-΄15

ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Γ΄ ΤΑΞΗ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Δ.2. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της πιθανότητας του ενδεχομένου Α ώστε

το δείγμα να είναι ομοιογενές.

Μονάδες 6

Δ.3. Για P A 0,1 ,τότε:

Αν Ε = 10 τετραγωνικές μονάδες, όπου Ε το εμβαδόν τριγώνου που

σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Μ

με τους δύο άξονες, να βρεθούν η μέση τιμή x και η τυπική

απόκλιση s του δείγματος.

Μονάδες 7

Δ.4. Έστω Β, Γ ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με P B P Γ .

Αν η διαφορά των P B και P Γ είναι 1

6, ενώ η διαφορά του

διπλάσιου τετραγώνου της P B από το τετράγωνο της P Γ

γίνεται μέγιστη τότε να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ δεν είναι

ανά δύο ξένα μεταξύ τους.

Μονάδες 8