επαλ αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Lisari) 31 12 2014

(Έκδοση: 31 – 12 -2014)

Η ομάδα του lisari 2

Οι απαντήσεις και οι λύσεις *

είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς

των συνεργατών του δικτυακού τόπου

http://lisari.blogspot.gr

1η έκδοση: 31 – 12 – 2014 (συνεχής ανανέωση)

* Το αρχείο στηρίζεται στις χειρόγραφες λύσεις που έδωσε ο αγαπητός μας

συνεργάτης Μιχάλης Γιαννόπουλος

Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά

από το μαθηματικό blog

http://lisari.blogspot.gr

http://lisari.blogspot.gr/



Περιεχόμενα Σελίδες

Πρόλογος: ……………………………………………………………….…... 4

Η ομάδα εργασιών ………………………………………………………...... 6

Κεφάλαιο 1ο: Συστήματα ………………………………………………..… 7

Κεφάλαιο 2ο: Ιδιότητες Συναρτήσεων …………………….…………..…… 29

Κεφάλαιο 3ο: Τριγωνομετρία ……..……………………………………….. 53


Πρόλογος

Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν στην

Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου ΕΠΑΛ μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων είναι

κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί

εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με αναφορές σε

παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάποια

στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας.

Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών

από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που

ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog http://lisari.blogspot.gr ο

ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να

προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό.

Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της

διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή

υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα.

Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και

βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν

παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας,

κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια

χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε

σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην

ηλεκτρονική διεύθυνση [email protected].

Με εκτίμηση

Η ομάδα του lisari

30 – 11 – 2014


mailto:[email protected]


lisari team

Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος)

Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)

Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας)

Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο)

Γιαννόπουλος Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)

Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα)

Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)

Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας)

Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη)

Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου - Σέρρες)

Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)

Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)

Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 19+ - Πολύγωνο)

Κουλούρης Αντρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)

Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι)

Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη)

Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)

Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)

Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)

Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο)

Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα)

Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο)

Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος)

Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς – Ζάκυνθος)

Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)

Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη)

Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)

Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης)

Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι)

Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)

Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας)

Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη)

Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)

Φιλιππίδης Χαράλαμπος (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί)

Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας)

Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων)

Αυγερινός Βασίλης

Βελαώρας Γιάννης

Βοσκάκης Σήφης

Δούδης Δημήτρης

Κάκανος Γιάννης

Κανάβης Χρήστος

Κουστέρης Χρήστος

Παγώνης Θοδωρής

Ράπτης Γιώργος

Σίσκας Χρήστος

Σκορμπής Νίκος

Σπλήνης Νίκος

Τρύφων Παύλος

Χατζόπουλος Μάκης

Λύτες

Μιχάλης

Γιαννόπουλος

Μάκης

Χατζόπουλος

Έλεγχος

Συντονιστής

Μιχάλης Νάννος

Πρόλογος

Ανδρέας Κουλούρης

Εξώφυλλο

Μάκης

Χατζόπουλος

Επιμελητής

Μιχάλης

Γιαννόπουλος

lisari team

η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

Τράπεζα Θεμάτων

Άλγεβρα B΄ τάξης ΕΠΑΛ 31 Δεκεμβρίου 2014

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου ΕΠΑΛ Τράπεζα Θεμάτων


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Συστήματα

§ 1.1 – Γραμμικά Συστήματα

ΘΕΜΑ (2_18808)

Δίνεται η εξίσωση x 3y 7 .

α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, 1 είναι μία λύση της

εξίσωσης.

Μονάδες 10

β) Να αποδείξετε ότι το 4, 1 δεν είναι λύση του συστήματος x 3y 7

2x 3y 8

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

x 4

y 1x 3y 7 4 3 1 7 4 3 7 7 7

που ισχύει.

Άρα το ζεύγος αριθμών x, y 4, 1 είναι μία λύση της εξίσωσης.

β) Έχουμε,

x 4

y 12x 3y 8 2 4 3 1 8 8 3 8 5 8

που δεν ισχύει.

Άρα το ζεύγος αριθμών x, y 4, 1 δεν είναι λύση του συστήματος.

ΘΕΜΑ (2_18812)

Δίνεται η εξίσωση 2x 3y 8 .

α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 1,2 είναι μία λύση της

εξίσωσης.

Μονάδες 10

β) Να αποδείξετε ότι το 1,2 δεν είναι λύση του συστήματος 2x 3y 8

x y 14

Μονάδες 9

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε, x 1

y 22x 3y 8 2 1 3 2 8 2 6 8 8 8


Άρα το ζεύγος αριθμών x, y 1,2 είναι μία λύση της εξίσωσης.

β) Έχουμε,



x 1

y 2x y 14 1 2 14 3 14

που δεν ισχύει.

Άρα το ζεύγος αριθμών x, y 1,2 δεν είναι λύση του συστήματος.

ΘΕΜΑ (2_18815)

Δίνεται η εξίσωση x 2y 10 1

α) Ποια από τα ζεύγη 2,4 , 4,7 και 4,3 είναι λύση της εξίσωσης (1);

Μονάδες 12

β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος x 2y 10

3x y 2

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

x 2

y 41 2 2 4 10 2 8 10 10 10


x 4

y 71 4 2 7 10 4 14 10 10 10


x 4

y 31 4 2 3 10 4 6 10 10 10


Άρα και τα τρία ζεύγη είναι λύσεις της εξίσωσης (1).

β) Έχουμε, x 2

y 43x y 2 3 2 4 2 6 4 2 2 2

που ισχύει

x 4

y 73x y 2 3 4 7 2 12 7 2 19 2

που δεν ισχύει

x 4

y 33x y 2 3 4 3 2 12 3 2 9 2

που δεν ισχύει

Άρα το ζεύγος 2,4 είναι λύση του συστήματος.

ΘΕΜΑ (2_18818)

Δίνονται η εξίσωση 4x +y = 11

α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3), (0, 11), (1, 8) και (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης ;

Μονάδες 12

β) Είναι κάποια από τα παραπάνω ζεύγη λύση του συστήματος 4x y 11

x y 7

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ



α) Είναι, x 2

y 34 x y 4 2 3 8 3 11

,

άρα το ζεύγος (2, 3) είναι λύση της εξίσωσης.

Είναι, x 0

y 114 x y 4 0 11 11

,

άρα το ζεύγος (0, 11) είναι λύση της εξίσωσης.

Είναι, x 1

y 84 x y 4 1 8 12 11

,

άρα το ζεύγος (1, 8) δεν είναι λύση της εξίσωσης.

Είναι, x 7

y 04 x y 4 7 0 28 11

,


β) Από το α) ερώτημα έχουμε δύο ζεύγη, που επαληθεύουν την πρώτη εξίσωση του

συστήματος. Θα εξετάσουμε, αν κάποιο από αυτά, επαληθεύει και την δεύτερη

εξίσωση.

Είναι, x 2

y 3x y 2 3 5 7

,


Είναι, x 0

y 11x y 0 11 11 7

,


Οπότε, κανένα από τα ζεύγη δεν είναι λύση του συστήματος.

ΘΕΜΑ (2_18821)

Δίνονται οι εξισώσεις 3x y 5 και x 4y 9

α) Ποια από τα ζεύγη (1, 2), (2, –1), (0, 5) και (9, 0) είναι λύσεις της εξίσωσης και

ποια της ;

Μονάδες 16

β) Να βρείτε μία λύση του συστήματος 3x y 5

x 4y 9

Μονάδες 9

ΛΥΣΗ

α) Για το ζεύγος (1, 2) είναι: x 1

y 23 x y 3 1 2 3 2 5

,



άρα το ζεύγος (1, 2) είναι λύση της εξίσωσης . x 1

y 2x 4 y 1 4 2 1 8 9

,

άρα το ζεύγος (1, 2) είναι λύση της εξίσωσης .

Για το ζεύγος (2, –1) είναι: x 2

y 13 x y 3 2 ( 1) 6 1 5

,

άρα το ζεύγος (2, –1) είναι λύση της εξίσωσης . x 2

y 1x 4 y 2 4 ( 1) 2 4 2 9

,

άρα το ζεύγος (2, –1) δεν είναι λύση της εξίσωσης .

Για το ζεύγος (0, 5) είναι: x 0

y 53 x y 3 0 5 0 5 5

,

άρα το ζεύγος (0, 5) είναι λύση της εξίσωσης . x 0

y 5x 4 y 0 4 5 0 20 20 9

,

άρα το ζεύγος (0, 5) δεν είναι λύση της εξίσωσης .

Για το ζεύγος (9, 0) είναι: x 9

y 03 x y 3 9 0 27 0 27 5

,

άρα το ζεύγος (9, 0) δεν είναι λύση της εξίσωσης . x 9

y 0x 4 y 9 4 0 9 0 9

,

άρα το ζεύγος (9, 0) είναι λύση της εξίσωσης .

β) Από το α) ερώτημα παρατηρούμε ότι το ζεύγος (1, 2) επαληθεύει και τις δύο

εξισώσεις, άρα είναι λύση του συστήματος.

ΘΕΜΑ (2_18824)

α) Να αποδείξετε ότι: 1 3

5,2 1

10 3

55 1

και 1 10

152 5

Μονάδες 10

β) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων x 3y 10

2x y 5

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Γνωρίζουμε ότι γενικά ισχύει:

α βα δ β γ

γ δ



Άρα:

1 31 1 2 3 1 6 5

2 1

10 310 1 5 3 10 15 5

5 1

1 101 5 2 10 5 20 15

2 5

β) Λύνουμε το σύστημα με την μέθοδο των οριζουσών.

Είναι:

1 3D 5

2 1 από το α) ερώτημα.

x

10 3D 5


y

1 10D 15


Επειδή D 5 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση, την Dx

xD

και Dy

yD

Οπότε:

5x 1

5

και 15

y 35

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x, y) (1, 3)

ΘΕΜΑ (2_18827)


9,1 5

9 1

369 5

και 2 9

91 9

Μονάδες 10

β) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων 2x y 9

x 5y 9

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ


α βα δ β γ

γ δ

Άρα:

2 12 5 1 1 10 1 9

1 5



9 19 5 9 1 45 9 36

9 5

2 92 9 1 9 18 9 9

1 9


Είναι:

2 1D 9


x

9 1D 36


y

2 9D 9



xD

και Dy

yD

Οπότε:

36x 4

9 και

9y 1

9


ΘΕΜΑ (2_18830)


0,4 2

7 10

14 2

και

2 70

4 14

Μονάδες 9


4x 2y 14

Μονάδες 16

ΛΥΣΗ


α βα δ β γ

γ δ

Άρα:

2 12 ( 2) 4 ( 1) 4 4 0

4 2

7 17 ( 2) 14 ( 1) 14 14 0

14 2



2 72 14 4 7 28 28 0

4 14


Είναι:

2 1D 0

4 2

από το α) ερώτημα.

Επειδή D 0, το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος

λύσεων.

Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 2, τότε το σύστημα

γράφεται

2x y 7

2x y 7

Δηλαδή έχει μόνο μία εξίσωση, την 2x y 7 .

Αυτό σημαίνει ότι οι λύσεις του συστήματος είναι οι λύσεις τις εξίσωσης

2x y 7 y 2x 7

Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τα ζεύγη της μορφής

k, 2 k 7 , k

ΘΕΜΑ (2_18833)


5,1 4

11 3

353 4

και

2 115

1 3

Μονάδες 9

β) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων 2x 3y 11

x 4y 3

Μονάδες 16

ΛΥΣΗ


α βα δ β γ

γ δ

Άρα:

2 32 ( 4) 1 ( 3) 8 3 5

1 4

11 311 ( 4) 3 ( 3) 44 9 35

3 4

2 112 3 1 11 6 11 5

1 3




Είναι:

2 3D 5

1 4


x

11 3D 35

3 4


y

2 11D 5



xD

και Dy

yD

Οπότε:

35x 7

5

και

5y 1

5


ΘΕΜΑ (2_18836)


0,6 2

8 1

88 2

και 3 8

246 8

Μονάδες 9


6x 2y 8

Μονάδες 16

ΛΥΣΗ

α) Γνωρίζουμε ότι γενικά ισχύει: α β

α δ β γγ δ

Άρα:

3 13 2 1 6 6 6 0

6 2

8 18 2 8 1 16 8 8

8 2

3 83 8 6 8 24 48 24

6 8


Είναι:

3 1D 0




Επειδή D 0, το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος

λύσεων.

Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 2, τότε το σύστημα

γράφεται

3x y 8

3x y 4

που είναι προφανώς αδύνατο.

ΘΕΜΑ (2_18839)

α) Να λύσετε το σύστημα 2x y 8

3x y 17

Μονάδες 15

β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) επαληθεύει την

εξίσωση 4x 2y 16 .

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Θα λύσουμε το σύστημα

2x y 8 1

3x y 17 2

με την μέθοδο αντίθετων συντελεστών

.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει

255x 25 x x 5

5

Για x 5 η 2 γίνεται:

3 5 y 17 15 y 17 y 17 15 y 2

Επομένως η λύση του συστήματος είναι x, y 5,2

β) Στην εξίσωση 4x 2y 16 αντικαθιστούμε τη λύση x, y 5,2 του (α)

ερωτήματος:

4 5 2 2 16 20 4 16 16 16 .

Η τελευταία ισότητα ισχύει, οπότε το ζευγάρι (5,2) την επαληθεύει.

ΘΕΜΑ (2_18842)

α) Να λύσετε το σύστημα: x 2y 7

4x y 10

Μονάδες 15



Μονάδες 10



ΛΥΣΗ

α) Λύνουμε το σύστημα με τη μέθοδο αντίθετων συντελεστών

x 2y 7 ( 1) x 2y 7

4x y 10 ( 2) 8x 2y 20

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις και προκύπτει:

279x 27 x x 3

9

Για x 3 έχουμε:

3 2y 7 2y 4 y 2

Άρα η λύση του συστήματος είναι, x, y 3,2

β) Για x 3 και y 2 η εξίσωση 2x 4y 14 γίνεται :

2 3 4 2 14 6 8 14

Η τελευταία ισότητα ισχύει επομένως η λύση του (α) ερωτήματος επαληθεύει την

δοσμένη εξίσωση .

ΘΕΜΑ (2_18845)

α) Να λύσετε το σύστημα 3x 2y 1

4x 6y 10

Μονάδες 15



Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών προκύπτει:

3x 2y 1 (3) 9x 6y 3

4x 6y 10 (1) 4x 6y 10

Άρα 13x 13 x 1

Για x 1 έχω:

3 1 2y 1 3 2y 1 3 1 2y y 1

Άρα x, y 1,1

β) Θα αντικαταστήσουμε στη εξίσωση 6x 4y 1 τη λύση του ερωτήματος (α)



Για x 1 και y 1 παίρνω:

6 1 4 1 2 1 άτοπο.

Άρα η λύση του ερωτήματος (α) δεν επαληθεύει την εξίσωση 6x 4y 1

ΘΕΜΑ (2_18848)

α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x 1 και y 3 είναι λύση κάθε μιας από τις

παρακάτω εξισώσεις:

i) 3x y 6

ii) x 2y 7

Μονάδες 12

β) Δίνεται το σύστημα 3x y 6

x 2y 7

Είναι το ζεύγος 1,3 λύση του παραπάνω συστήματος;

Μονάδες13

ΛΥΣΗ

α) i) Η εξίσωση 3x y 6 για x 1 και y 3 γίνεται:

3 1 3 6 3 3 6 ισχύει η ισότητα.

Επομένως το ζεύγος των αριθμών την επαληθεύει.

ii) Η εξίσωση x 2y 7 για x 1 και y 3 γίνεται:1 2 3 7 1 6 7 Ισχύει η

ισότητα.

Επομένως το ζεύγος των αριθμών την επαληθεύει.

β) Το σύστημα 3x y 6

x 2y 7

αποτελείται από τις δύο εξισώσεις του (α) ερωτήματος

οι οποίες επαληθεύονται από το σημείο 1,3 . Επομένως είναι λύση του.

ΘΕΜΑ (2_18852)



i) 4x 3y 19

ii) x 6y 10

Μονάδες 12

β) Δίνεται το σύστημα 4x 3y 19

x 6y 10


Μονάδε13



ΛΥΣΗ

α) i) 4x 3y 19

Για x 4 και y 1 γίνεται: 4 4 3 1 19 16 3 19 19 19 , άρα το ζεύγος

4,1 επαληθεύει την εξίσωση 4x 3y 19 επομένως είναι λύση της.

ii) x 6y 10

Για x 4 και y 1 γίνεται: 4 6 1 10 4 6 10 10 10 άρα το ζεύγος

4,1 επαληθεύει την εξίσωση x 6y 10 επομένως είναι λύση της.

β) Το σύστημα 4x 3y 19

x 6y 10


όπου το 4,1 επαληθεύει όπως αποδείχθηκε και τις δύο. Άρα αποτελεί λύση του.

ΘΕΜΑ (2_18856)



i) 4x y 13

ii) 2x 3y 10

Μονάδες 12

β) Δίνεται το σύστημα 4x y 13

2x 3y 10


Μονάδε13

ΛΥΣΗ

α) i) Στην εξίσωση 4x y 13 θα αντικαταστήσουμε τις τιμές των x και y

Για x 4 και y 3 γίνεται: 4 4 3 13 16 3 13 13 13 άρα το ζεύγος

4,3 είναι λύση της εξίσωσης 4x y 13 εφόσον την επαληθεύει.

ii) 2x 3y 10

Για x 4 και y 3 γίνεται: 2 4 3 3 10 8 9 10 14 10 Άτοπο

Άρα το ζεύγος 4,3 δεν είναι λύση της εξίσωσης 2x 3y 10 εφόσον δεν την

επαληθεύει.



β) Το σύστημα 4x y 13

2x 3y 10


όπου το 4,3 επαληθεύει την 1η και όχι τη 2η εξίσωση. Αφού δεν επαληθεύει και

τις δύο, δεν αποτελεί λύση του συστήματος.

ΘΕΜΑ (2_18859)

α) Να λύσετε το σύστημα

3x y 1 1

6x 2y 1 2

Μονάδες 15

β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος 1 1

,4 3

επαληθεύει και τις δύο από τις παρακάτω

εξισώσεις: 3x y 1 και 6x 2y 1

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α)

3x y 1 1

6x 2y 1 2

Λύνουμε την 1 ως προς y άρα: y 1 3x και την αντικαθιστούμε στην 2 :

6x 2 1 3x 1 6x 2 6x 1 0x 1 , το σύστημα είναι αδύνατο.

β) Εφόσον από το (α) ερώτημα το σύστημα είναι αδύνατο, τότε κανένα ζευγάρι

αριθμών δεν επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Επομένως ούτε και το 1 1

,4 3

ΘΕΜΑ (2_18862)

α) Να λύσετε το σύστημα 2x y 3

6x 3y 6

Μονάδες 15


,5 2

επαληθεύει τις παρακάτω εξισώσεις:

2x y 3 και 6x 3y 6

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.

Διαιρούμε τη σχέση 6x 3y 6 με 3 και παίρνουμε:



:( 3)

2x y 3 2x y 3 (1)

6x 3y 6 2x y 2 (2)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις (1) , (2) και προκύπτει:

2x y 2x y 3 2 ,

δηλαδή 0 1 , το οποίο είναι αδύνατο.

Άρα το αρχικό μας σύστημα είναι αδύνατο, δηλαδή δεν έχει καμία λύση.

β) Όπως αποδείξαμε στο α) ερώτημα το σύστημα είναι αδύνατο, δηλαδή δεν υπάρχει

κάποιο ζεύγος αριθμών που να επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του.

Έτσι, και το ζεύγος 1 1

,5 2

δεν επαληθεύει τις εξισώσεις:

2x y 3 και 6x 3y 6

ΘΕΜΑ (2_18865)

α) Να λύσετε το σύστημα x 3y 2

2x 6y 1

Μονάδες 15


,3 7

επαληθεύει τις παρακάτω εξισώσεις:

x 3y 2 και 2x 6y 1

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.

Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση x 3y 2 με 2 και παίρνουμε: ( 2)

x 3y 2 2x 6y 4 (1)

2x 6y 1 2x 6y 1 (2)


2x 6y 2x 6y 4 1 ,



β) Όπως αποδείξαμε στο α) ερώτημα το σύστημα είναι αδύνατο, δηλαδή δεν υπάρχει

κάποιο ζεύγος αριθμών που να επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του.

Έτσι, και το ζεύγος 1 1

,3 7

δεν επαληθεύει τις εξισώσεις:

x 3y 2 και 2x 6y 1



ΘΕΜΑ (2_19128)

Δίνεται το σύστημα x y 7

2x y 5

α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος 3, 4 είναι λύση του παραπάνω συστήματος.

Μονάδες 10

β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Για x 3 και y 4 το παραπάνω σύστημα γράφεται ως

3 4 7 3 4 7 7 7, αδύνατο.

2 3 4 5 6 4 5 2 5

Επομένως το ζεύγος 3, 4 δεν είναι λύση του παραπάνω συστήματος.

β) Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.

Προσθέτοντας τις σχέσεις (1) , (2) του συστήματος

x y 7 (1)

2x y 5 (2)

παίρνουμε:

12x y 2x y 7 5 3x 12 x x 4

3

Αντικαθιστούμε την τιμή x 4 στη σχέση (1) και παίρνουμε:

4 y 7 y 3

Άρα το σύστημά μας έχει μοναδική λύση το ζεύγος x, y 4,3

ΘΕΜΑ (2_19130)


x 2y 1

α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος 7,3 είναι λύση του παραπάνω συστήματος.

Μονάδες 10


Μονάδες 15

ΛΥΣΗ


7 3 4 4 4 4 4, ισχύει.

7 2 3 1 7 6 1 1 1



Επομένως το ζεύγος 7,3 είναι λύση του παραπάνω συστήματος.

β) Η ορίζουσα του συστήματος x y 4

x 2y 1

είναι

1 1

D 1 2 1 1 2 1 1 01 2

Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση, η οποία είναι το ζεύγος 7,3 όπως αποδείξαμε

στο α) ερώτημα.

ΘΕΜΑ (2_19132)


2x 2y 6


Μονάδες 10


Μονάδες 15

ΛΥΣΗ


10 7 3 3 3 3 3, ισχύει.

2 10 2 7 6 20 14 6 6 6

Επομένως το ζεύγος 10,7 είναι λύση του παραπάνω συστήματος.


Διαιρούμε τη σχέση 2x 2y 6 με 2 και παίρνουμε:

:( 2)

x y 3 x y 3 (1)

2x 2y 6 x y 3 (2)


x y x y 3 3 ,

δηλαδή 0 0 , το οποίο ισχύει.

Λύνοντας ως προς x τη σχέση (1) παίρνουμε x y 3

Άρα το αρχικό μας σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρο πλήθος λύσεων της

μορφής

x, y y 3, y , y



ΘΕΜΑ (2_19135)


4x 4y 6


Μονάδες 10


Μονάδες 15

ΛΥΣΗ


2 1 3 3 3 3 3, αδύνατο.

4 2 4 1 6 8 4 6 12 6

Επομένως το ζεύγος 2,1 δεν είναι λύση του παραπάνω συστήματος.


Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση x y 3 με 4 και παίρνουμε: ( 4)

4x 4y 12 (1)

4x 4y 6 (2)

¨


4x 4y 4x 4y 12 6 ,



ΘΕΜΑ (4_19501)

Δύο φίλοι ο Μάρκος και ο Βασίλης έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο

Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη.

α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την

απάντηση σας.

Μονάδες 13

β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Με

ποιο τρόπο θα χρησιμοποιούσατε την πληροφορία αυτή για να υπολογίσετε την

ηλικία του καθενός;

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α) Έστω x η ηλικία του Μάρκου και y η ηλικία του Βασίλη με x y . Αφού το

άθροισμα των ηλικιών τους είναι 27 χρόνια, θα έχουμε x y 27 . Όμως η εξίσωση

αυτή έχει άπειρες λύσεις. Επομένως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε ακριβώς την

ηλικία του καθενός.



β) Αφού x y και η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια, θα είναι x y 27 .

Λύνοντας το σύστημα x y 27

x y 5

θα βρούμε τις ηλικίες των δύο φίλων.

Παρατήρηση: Λύνοντας το σύστημα (ο εξεταζόμενος δεν είναι υποχρεωμένος να το

κάνει, αφού ουσιαστικά δεν το ζητά η άσκηση) βρίσκουμε ότι ο Μάρκος είναι 16

ετών και ο Βασίλης 11.

ΘΕΜΑ (4_19502)

Δίνεται το σύστημα 1Σ 2x y 2

λx y 5

, με παράμετρο λ .

α) Να λύσετε το 1Σ για λ 1

Μονάδες 12

β) Να δώσετε μια τιμή στο λ ώστε το 1Σ να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε την

απάντηση σας λύνοντας το.

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Για λ 1 το 1Σ γίνεται

1

2x y 2 2x y 2 2x y 2 2 7 y 2 y 2 14 y 12

x y 5 x y 5 x 7 x 7 x 7 x 7

Επομένως η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος x, y 7, 12 .

β) Για λ 2 το σύστημα γίνεται

1

2x y 2 2x y 20 7

2x y 5 2x y 5

το οποίο είναι αδύνατο.

2ος τρόπος

Για να λύσουμε το σύστημα αρχικά θα βρούμε τις ορίζουσες x yD, D , D .

Είναι

2 1D 2 λ

λ 1 , x

2 1D 2 5 7 0

5 1

, y

2 2D 10 2λ

λ 5

Αν είναι D 0 λ 2 το σύστημα έχει xD 7 0 και επομένως είναι αδύνατο.



3ος τρόπος (τρόπος σκέψης για ποια τιμή της παραμέτρου πρέπει να

αντικαταστήσουμε)

1

2x y 2 2x y 2

λx y 5 λx y 5

Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις έχουμε,

2 λ x 7

Επομένως για να είναι το σύστημα αδύνατο πρέπει να είναι της μορφής 0x β, β 0

οπότε,

2 λ 0 λ 2

ΘΕΜΑ (4_19505)

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm και πλάτος ycm ,

περίμετρο ίση με 28cm και με την ακόλουθη ιδιότητα:

Αν διπλασιάσουμε το μήκος και διατηρήσουμε το πλάτος του ίδιο τότε, το νέο

ορθογώνιο που προκύπτει έχει περίμετρο ίση με 48cm .

α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Μονάδες 10

β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του αρχικού ορθογωνίου.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Η περίμετρος του ορθογωνίου ισούται με το

άθροισμα των πλευρών του.

Συνεπώς έχουμε

x y x y 28

2x 2y 28

x y 14

Αν διπλασιάσουμε το μήκος τότε το νέο μήκος θα

ισούται με 2x . Επομένως η περίμετρος του νέου

ορθογωνίου θα ισούται με

2x y 2x y 48 4x 2y 48 2x y 24

Οπότε το σύστημα που προκύπτει είναι το

x y 14

2x y 24



β) Για να βρούμε το μήκος και το πλάτος του αρχικού ορθογωνίου θα λύσουμε το

σύστημα

x y 14

2x y 24

Είναι, 1x y 14 x y 14 x y 14 10 y 14 y 4

2x y 24 2x y 24 x 10 x 10 x 10

Επομένως το μήκος του αρχικού ορθογωνίου είναι x 10 cm και το πλάτος y 4 cm.

ΘΕΜΑ (4_19506)

Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν συνολικά 730 οχήματα (αυτοκίνητα και

μοτοσυκλέτες) και εισπράχθηκαν 1376 ευρώ. Ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2

ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσυκλέτας πλήρωσε 1,2 ευρώ.

α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Μονάδες 10

β) Να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσυκλέτες.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έστω x ο αριθμός των αυτοκινήτων (άρα και των οδηγών) και y ο αριθμός των

μοτοσυκλετών (άρα και των οδηγών). Τότε αφού πέρασαν συνολικά 730 οχήματα θα

είναι x y 730 .

Επίσης αφού ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2 ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε

μοτοσυκλέτας πλήρωσε 1,2 ευρώ τότε οι x οδηγοί των αυτοκινήτων θα πλήρωσαν

2x ευρώ ενώ οι y

οδηγοί των μοτοσυκλετών θα πλήρωσαν 1, 2y ευρώ.

Συνολικά εισπράχθηκαν 1376 ευρώ. Επομένως θα έχουμε 2x 1, 2y 1376 .

Οπότε το σύστημα που προκύπτει είναι το

x y 730

2x 1,2y 1376

β) Για να βρούμε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσυκλέτες θα λύσουμε

το σύστημα

x y 730

2x 1,2y 1376

Είναι,



2x y 730 2x 2y 1460 0,8y 84 y 105 y 105

2x 1,2y 1376 2x 1,2y 1376 x y 730 x 105 730 x 625

Επομένως τα αυτοκίνητα ήταν 625και οι μοτοσυκλέτες 105 .

ΘΕΜΑ (4_19508)

Ο Βαγγέλης θέλει να κλείσει την πόρτα του συνεργείου ρου με αλυσίδα.

Μετρώντας είδε ότι θα χρειαστεί 8 μέτρα αλυσίδας. Όταν πήγε να την αγοράσει,

χρειάστηκε να πάρει δύο κομμάτια αλυσίδας για να φτάσει τα 8 μέτρα. Μόνο που τα

δύο κομμάτια αυτά δεν κόστιζαν το ίδιο. Το ένα κόστιζε 2 ευρώ το μέτρο και το άλλο

4 ευρώ το μέτρο. Συνολικά πλήρωσε 22 ευρώ.

α) Αν x και y είναι τα μήκη των δύο κομματιών πως μπορείτε με μία εξίσωση να

εκφράσετε το συνολικό μήκος της αλυσίδας;

Μονάδες 10

β) Πόσα μέτρα από κάθε κομμάτι αγόρασε ο Βαγγέλης;

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Αν x και y τα μήκη των δύο κομματιών, η εξίσωση που εκφράζει το συνολικό

μήκος της αλυσίδας είναι:

x+y=8 (1)

β) Έστω x το μήκος της αλυσίδας που κόστιζε 2€ και y το μήκος της αλυσίδας που

κόστιζε 4€. Συνολικά πλήρωσε 22€, επομένως,

2x+4y =22 (2)

Κατασκευάζουμε σύστημα 2x2 με τις εξισώσεις (1) και (2)

x y 8 x y 8 x y 8 x 3 8 x 5

2x 4y 22 x 2y 11 x x 2y y 11 8 y 3 y 3

Άρα 5m από την αλυσίδα που κόστιζε 2€ και 3m από την αλυσίδα που κόστιζε 4€

αγόρασε ο Βαγγέλης.

ΘΕΜΑ (4_19513)

Στον πίνακα της τάξης υπάρχουν γραμμένα δύο συστήματα.

1 2

4x 3y 5 2x y 5(Σ ) και (Σ )

2x 6y 10 4x 2y 5

α) Ποιο από τα δύο συστήματα είναι αδύνατο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 12

β) Στον πίνακα της τάξης δίπλα στα συστήματα αυτά υπάρχουν και οι γραφικές

παραστάσεις δύο ευθειών σε σύστημα αξόνων. Ο Κώστας θυμάται ότι όταν ο



καθηγητής σχεδίασε αυτές τις δύο ευθείες είπε ότι είναι οι ευθείες ενός από τα δύο

παραπάνω συστήματα. Δε θυμάται όμως αν ήταν του (Σ1) ή του (Σ2). Σε ποιο από τα

δύο συστήματα αντιστοιχούν οι ευθείες αυτές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Για το (Σ1) έχουμε:

4 -3D 24 6 30 0

2 6

Άρα το (Σ1) έχει μοναδική λύση.

Για το (Σ2) έχουμε:

x

2 1 5 1D 4 4 0, D 10 5 5

4 2 5 2

Άρα το (Σ2) είναι αδύνατο.

β) Οι ευθείες του (Σ1) τέμνονται σε ένα σημείο, αφού το (Σ1) έχει μοναδική λύση.

Οι ευθείες του (Σ2) είναι παράλληλες αφού το (Σ2) είναι αδύνατο.

Άρα οι ευθείες αντιστοιχούν στο (Σ1).

ΘΕΜΑ (4_19514)

Δίνεται η ευθεία (ε1) με εξίσωση: 3x+8y=30.

α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε1) με την (ε2) που έχει εξίσωση x+y=5

Μονάδες 15

β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε3) που να μην έχει κανένα κοινό σημείο με

την (ε1) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Το κοινό σημείο των (ε1) και (ε2) βρίσκεται από τη λύση του συστήματος

3x 8y 30 3x 8y 30 x y 5 x y 5 x 2

x y 5 3x 3y 15 3x 3x 8y 3y 30 15 5y 15 y 3

Άρα το κοινό σημείο των (ε1) και (ε2) είναι το Α(2,3)

β) Η ευθεία (ε3) με εξίσωση 3x+8y=0 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την (ε1) αφού

το σύστημα

3x 8y 30 3x 8y 300 30 είναι αδύνατο

3x 8y 0 3x 8y 0



ΘΕΜΑ (4_19515)

Δίνεται η ευθεία 1ε με εξίσωση: 5x 8y 32

α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας 1ε με την 2ε που έχει εξίσωση:

1x y 5

2

Μονάδες 15

β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας 3ε που να μην έχει κανένα κοινό σημείο

με την ευθεία 1ε και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Το κοινό σημείο των ευθειών 1ε και 2ε το βρίσκουμε από τη λύση του

συστήματος (με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών) :

5x 8y 325x 8y 32

( )18 4x 8y 40x y 5

2

729x 72 x x 8

9

Αντικαθιστούμε σε μια από τις δυο εξισώσεις την τιμή x 8 και βρίσκουμε το y.

Δηλαδή,

18 y 5 4 y 5 y 5 4 y 1

2

Άρα το κοινό σημείο των ευθειών 1ε και 2ε είναι το σημείο Α 8,1

β) Η ευθεία 3ε : 5x 8y 0 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την 1ε αφού το

σύστημα των εξισώσεων τους είναι :

5x 8y 32 5x 8y 32

( )15x 8y 0 5x 8y 0

0 32 Αδύνατο

ΘΕΜΑ (4_19516)

Δίνεται η ευθεία 1ε με εξίσωση: 3

4x y 102

α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας 1ε με την 2ε που έχει εξίσωση:

1x y 5

4

Μονάδες 15



β) Να δώσετε μια τιμή στον αριθμό λ ώστε η εξίσωση της ευθείας

3

9ε :12x y λ

2 να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία 1ε και να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Το κοινό σημείο των ευθειών 1ε και 2ε το βρίσκουμε από τη λύση του

συστήματος (μέθοδο των αντίθετων συντελεστών) :

34x y 10

8x 3y 20 8x 3y 202( )

31 4x y 20 8x 2y 40x y 5

4

205y 20 y y 4

5

Αντικαθιστούμε σε μια από τις δυο εξισώσεις την τιμή y 4 και βρίσκουμε το x .

Δηλαδή,

1x y 5 x 1 5 x 5 1 x 4

4

Άρα το κοινό σημείο των ευθειών 1ε και 2ε είναι το σημείο Α 4,4

β) Για λ=0 η εξίσωση της 3ε γράφεται: 3

9ε :12x y 0

2 και δεν έχει κανένα

κοινό σημείο με την 1ε , αφού το σύστημα των εξισώσεων τους είναι :

9 912x y 0 12x y 0

2 2 ( )3 9

4x y 10 12x y 3032 2

0 30 Αδύνατο

ΘΕΜΑ (4_19517)

Δίνεται το σύστημα: 2x y 11

4x 2y λ

με παράμετρο λ.

α) Να λύσετε το σύστημα για λ=10.

Μονάδες 15

β) Να δώσετε μια τιμή στην παράμετρο λ ώστε το σύστημα που θα προκύψει να έχει

άπειρες λύσεις.

Μονάδες 5



γ) Να δώσετε μια τιμή στην παράμετρο λ ώστε η ευθεία 4x 2y λ που θα

προκύψει να είναι παράλληλη με την ευθεία: 2x y 11

Μονάδες 5

ΛΥΣΗ

α) Για λ = 10 το σύστημα γράφεται :

2x y 11 4x 2y 222( )

4x 2y 10 4x 2y 10

0 12 Αδύνατο

Άρα για λ=10 το σύστημα είναι αδύνατο.

β) Παρατηρώ ότι οι συντελεστές των αγνώστων της 2ης εξίσωσης είναι διπλάσιοι της

1ης, οπότε για να έχουμε άπειρες λύσεις ο σταθερός όρος λ πρέπει να είναι διπλάσιος

του 11 δηλ λ=22.

Τότε έχουμε:

2x y 11 4x 2y 222( )

4x 2y 22 4x 2y 22

0 0 Αόριστο

Β΄ τρόπος (ανάλογο σκεπτικό με τον 3ο τρόπο της άσκησης 4_19502)

Έχουμε,

2x y 11 4x 2y 220x 0y λ 22 0 λ 22 λ 22

4x 2y λ 4x 2y λ

Άρα για λ = 22 το σύστημα είναι αόριστο, αφού είναι της μορφής 0x + 0y = 0.

γ) Για λ=10 το σύστημα 2x y 11

4x 2y λ

σύμφωνα με το (α) ερώτημα γίνεται αδύνατο,

που σημαίνει ότι η ευθεία 4x 2y 10 είναι παράλληλη με την ευθεία 2x y 11

Β΄ τρόπος (ανάλογο σκεπτικό με τον 3ο τρόπο της άσκησης 4_19502)

Από το β ερώτημα διαπιστώσαμε ότι για λ = 22 έχουμε αόριστο σύστημα, αφού είναι

της μορφής 0x + 0y = 0, άρα για να είναι αδύνατο πρέπει να είναι της μορφής

0x + 0y = γ, γ 0 , δηλαδή για λ 22 το σύστημα είναι αδύνατο, οπότε αρκεί να

πάρουμε οποιαδήποτε τιμή για το λ, εκτός του της τιμής 22.

ΘΕΜΑ (4_19520)

Στο παρακάτω σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες: 4x 3y 14 και

5x 2y 6 που τέμνονται στο σημείο Α.



α) Πόσες λύσεις έχει το σύστημα: 4x 3y 14

5x 2y 6

;

Μονάδες 5


Μονάδες 15

γ) ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

Μονάδες 5

ΛΥΣΗ

α) Είναι γνωστό ότι ένα σύστημα δυο γραμμικών εξισώσεων μπορεί να έχει ΜΙΑ

λύση ( οι ευθείες τέμνονται), ΚΑΜΜΙΑ λύση ( οι ευθείες είναι παράλληλες)

ΑΠΕΙΡΕΣ λύσεις (οι ευθείες ταυτίζονται).

Επομένως σύμφωνα με το σχήμα το σύστημά μας έχει ΜΙΑ λύση.

β) Έχουμε,

4x 3y 14 4x 3y 14 2 8x 6y 28( )

5x 2y 6 5x 2y 6 3 15x 6y 18

4623x 46 x x 2

23

Αντικαθιστούμε σε μια από τις δυο εξισώσεις την τιμή x 2 και βρίσκουμε το y.

Δηλαδή,

4x 3y 14 4 2 3y 14 3y 14 8 3y 6 y 2

Άρα η λύση του συστήματος είναι : x, y 2,2 .



γ) Οι συντεταγμένες του Α είναι η λύση του συστήματος, δηλ. Α 2,2

ΘΕΜΑ (4_19521)

Δίνεται το σύστημα: 1

2x y 3Σ

4x 2y 6

α) Να λύσετε το 1Σ .

Μονάδες 10

β) Είναι το σημείο Α 1, 1 μια λύση του συστήματος 1Σ ; Να αιτιολογήσετε την

απάντηση σας.

Μονάδες 5

γ) Στο παρακάτω σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες ε με τύπο

2x y 3 και ζ που τέμνονται στο σημείο Α.

Μπορεί ο τύπος της ζ να είναι: 4x 2y 6 ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α)

2x y 3 4x 2y 62( )

4x 2y 6 4x 2y 6

0 0 Αόριστο

Άρα το 1Σ έχει άπειρες λύσεις.

Για να βρω τις άπειρες λύσεις λύνω τη μια από τις δυο εξισώσεις (συνήθως) ως προς

y . Δηλαδή,



2x y 3 2x 3 y y 2x 3

Οπότε οι άπειρες λύσεις είναι :

x, y x,2x 3 ή x, y λ,2λ 3 λ

β) Για να είναι το σημείο Α 1, 1 λύση του 1Σ θα πρέπει οι συντεταγμένες του να

επαληθεύουν το 1Σ .

Έχουμε :

2 1 1 3 2 1 3 3 3

4 2 6 6 64 1 2 1 6

Επομένως το σημείο Α 1, 1 αποτελεί λύση του 1Σ

γ) Παρατηρούμε ότι ευθείες ε και ζ τέμνονται στο σημείο Α 1, 1 . Όμως το

σύστημα από το (α) ερώτημα έχει άπειρες λύσεις οπότε αν η ζ είχε εξίσωση την

4x 2y 6 θα έπρεπε να ταυτίζεται με την ε .

Άρα ο τύπος της ευθείας ζ δε μπορεί να είναι ο: 4x 2y 6

ΘΕΜΑ (4_19522)

Δίνεται το σύστημα 1Σ 4x y 9

12x 3y 27

α) Να λύσετε το 1Σ .

(Μονάδες 10)

β) Είναι το σημείο A(2,1) μια λύση του συστήματος 1Σ ; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας.

(Μονάδες 5)

γ) Μπορείτε να βρείτε άλλη μια λύση του συστήματος 1Σ ;

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών,

έχουμε

4x y 94x y 9 4x y 9

12x 3y 2712x 3y 27 4x y 9

3 3

Οπότε προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε, 0x 0y 0

Άρα το 1Σ είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις της μορφής,



(x, y) (x, 4x 9) , x

β) Για x 2 ο τύπος των λύσεων του 1Σ γίνεται,

(x, y) (2, 4 2 9) (2,1)

Άρα το σημείο A(2,1) είναι μια λύση του 1Σ .

γ) Βάζοντας όπου x μια τυχαία τιμή, βρίσκουμε μια τιμή του y από τον τύπο των

λύσεων του 1Σ και έχουμε μια άλλη λύση του συστήματος,

έστω x 0 , τότε

(x, y) (0, 4 0 9) (0,9)

Δηλαδή μια άλλη λύση του 1Σ είναι το σημείο (0,9) .

ΘΕΜΑ (4_19528)

Δίνεται το σύστημα 1Σ x 3y 1

x λy 3

, με παράμετρο λ .

α) Να λύσετε το σύστημα 1Σ για λ 2 .

Μονάδες 12

β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1Σ να είναι αδύνατο και να

επαληθεύσετε την απάντησή σας λύνοντάς το.

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Για λ 2 το 1Σ γίνεται,

x 3y 1 x 3y 1 x 3y 1 x 3 4 1 x 11

x 2y 3 x 2y 3 y 4 y 4 y 4

Άρα το 1Σ έχει μοναδική λύση την (x, y) ( 11,4)

β) Για λ 3 το 1Σ γίνεται αδύνατο αφού παίρνει τη μορφή,

x 3y 1 x 3y 1

x 3y 3 x 3y 3

x 3y 1

0 4

ΘΕΜΑ (4_19529)

Δίνεται το σύστημα Σ1 4x y 5

λx 2y 10

, με παράμετρο λ

α) Να λύσετε το σύστημα Σ1 για λ = 3

Μονάδες 12



β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα Σ1 να έχει άπειρο πλήθος λύσεων και

να επαληθεύσετε την απάντησή σας λύνοντάς το.

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Για λ = 3 το σύστημα γίνεται,

4x y 5 8x 2y 10 3x 8x 2y 2y 10 10 5x 0 x 0

3x 2y 10 3x 2y 10 3x 2y 10 3x 2y 10 y 5

άρα η μοναδική λύση του συστήματος είναι η x, y 0,5

β) Για λ = 8 (πως σκεφτήκαμε το λ = 8; Δείτε το 3ο τρόπο λύσης στην άσκηση

4_19502) το σύστημα γίνεται,

4x y 5 4x y 5 4x 4x y y 5 5 0x 0y 0

8x 2y 10 4x y 5 4x y 5 y 5 4x

το σύστημα είναι αόριστο, έχει δηλαδή άπειρες λύσεις της μορφής

x, y x,5 4x , x

ΘΕΜΑ (4_19533)

Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση μήκους x cm, ενώ η κάθε μια από τις ίσες

πλευρές του έχει μήκος y cm. Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm. Αν

διπλασιάσουμε τα μήκη κάθε μιας από τις ίσες πλευρές του και διατηρήσουμε το

μήκος της βάσης του τότε προκύπτει νέο τρίγωνο που έχει περίμετρο ίση με 33 cm.


Μονάδες 10

β) Να βρείτε τις τιμές των μηκών x, y του αρχικού τριγώνου.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Από το πρώτο σχήμα έχουμε,



Π 19 x y y 19 x 2y 19 1

Από το δεύτερο σχήμα έχουμε,

Π 33 x 2y 2y 33 x 4y 33 2

Άρα έχουμε το σύστημα 2x2 με τις εξισώσεις (1) και (2).

β) Έχουμε,

x 2y 19 x 2y 19 x x 4y 2y 33 19 2y 14 y 7

x 4y 33 x 4y 33 x 4y 33 x 33 4y x 5

άρα τα μήκη των αρχικών πλευρών του αρχικού τρίγωνου είναι

x = 5cm και y = 7cm

ΘΕΜΑ (4_19534)

Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση μήκους x cm, ενώ η κάθε μια από τις ίσες

πλευρές του έχει μήκος y cm. Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm. Αν

διπλασιάσουμε τα μήκη κάθε μιας από τις ίσες πλευρές του και διατηρήσουμε το

μήκος της βάσης του τότε προκύπτει νέο τρίγωνο που έχει περίμετρο ίση με 33 cm.


Μονάδες 10

β) Να βρείτε τις τιμές των μηκών x, y του αρχικού τριγώνου.

Μονάδες 15

Είναι ακριβώς ίδια άσκηση με την (4_19533)‼!

ΘΕΜΑ (4_19535)

Για έναν αγώνα ποδοσφαίρου υπήρχαν δύο είδη εισιτηρίων. Τα φτηνά των 5 ευρώ και

αυτά των 10 ευρώ που είναι σε λίγο καλύτερη θέση. Συνολικά κόπηκαν 947 εισιτήρια

και οι συνολικές εισπράξεις ήταν 6.310 ευρώ.


Μονάδες 10



β) Να βρείτε πόσα εισιτήρια των 5 και πόσα των 10 ευρώ κόπηκαν στον αγώνα.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Έστω x τα εισιτήρια των 5 ευρώ και y τα εισιτήρια των 10 ευρώ.

Συνολικά κόπηκαν 947 εισιτήρια, άρα

x y 947

Οι συνολικές εισπράξεις είναι 6.310, άρα

5x 10y 6.310

Προκύπτει το εξής σύστημα 2x2,

x y 947

5x 10y 6310

β) Έχουμε,

x 947 yx y 947

5 947 y 10y 63105x 10y 6310

x 947 y

4735 5y 10y 6310

x 947 y

5y 1575

x 632

y 315

άρα κόπηκαν 632 εισιτήρια των 5 ευρώ και 315 εισιτήρια των 10 ευρώ.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Ιδιότητες Συναρτήσεων

§ 2.1 – Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες Συνάρτησης

ΘΕΜΑ (2_19308)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο

ορισμού το .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α .

Μονάδες 4

β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ;

Μονάδες 7

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι

i) γνησίως αύξουσα

ii) γνησίως φθίνουσα

Μονάδες 14

ΛΥΣΗ

α) Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι Α 1,3 .

β) Το ελάχιστο της f είναι το 3.

γ) Από το σχήμα παρατηρώ ότι

i) η f είναι γνησίως αύξουσα για x 1, ,

ii) η f είναι γνησίως φθίνουσα για x ,1 .

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου ΕΠΑΛ


ΘΕΜΑ (2_19316)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης


Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα:

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α.

β) Ποιο είναι το ελάχιστο της

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η



ΛΥΣΗ

α) Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι

β) Το ελάχιστο της f είναι το

γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

ΘΕΜΑ (2_19318)



ΕΠΑΛ Τράπεζα Θεμάτων




β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ;


) γνησίως αύξουσα

) γνησίως φθίνουσα

α) Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι 3, 2

είναι το 2

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 3, )

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( , 3]



40



Μονάδες 4

Μονάδες 7

Μονάδες 14





α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β.

Μονάδες 4

β) Ποιο είναι το μέγιστο της f ;

Μονάδες 7




Μονάδες 14

ΛΥΣΗ

α) Οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι 1,2

β) Το μέγιστο της f είναι το 2

γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( ,1]

ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [1, )

ΘΕΜΑ (4_19518)





α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς

αφού τους εντοπίσετε στο γράφημα..

β) Ένας συμμαθητής σας ισχυρίζεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο

πεδίο ορισμού της (το ). Συμφωνείτε μαζί του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας .

γ) Είναι το x 5 θέση μεγίστου της συνάρτησης

σας.

ΛΥΣΗ

α) Παρατηρούμε ότι:


α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f 4 ,f 5 , f 7



). Συμφωνείτε μαζί του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας .

θέση μεγίστου της συνάρτησης f ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή


42

f 4 , f 5 , f 7

Μονάδες 10


). Συμφωνείτε μαζί του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας .

Μονάδες 10

; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

Μονάδες 5



Οπότε,

f 4 f 7 f 5

β) Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως αύξουσα στο επειδή 5 7 θα έπρεπε να ισχύει

f 5 f 7

που είναι ΑΤΟΠΟ λόγω του ερωτήματος (α).

Επομένως ο ισχυρισμός του συμμαθητή μας είναι λανθασμένος.

γ) Το x 5 δεν είναι θέση μεγίστου, αφού σύμφωνα με το σχήμα υπάρχουν σημεία

της γραφικής παράστασης της f που έχουν τεταγμένη μεγαλύτερη του f 5 .

Επομένως δεν ισχύει : f x f 5 για κάθε x .

ΘΕΜΑ (4_19519)


ορισμού το . Με τα βοήθεια του σχήματος να απαντήσετε τα εξής:

α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f α ,f β , f 3


Μονάδες 10

β) Παρουσιάζει η συνάρτηση f ελάχιστο στο β; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

Μονάδες 10

γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f x 0 ; Να βρείτε μια λύση της.

Μονάδες 5

ΛΥΣΗ

Παρατηρούμε ότι:



Οπότε,

β) Παρατηρώντας την γραφική παράσταση της

σημεία με τεταγμένη μικρότερη του

στο β , αφού δεν ισχύει : f x f (

γ) Οι λύσεις της εξίσωσης

γραφική παράσταση της f

παράσταση που μας έδωσαν οι λύσεις της εξίσωσης

αυτές είναι η x 3 .

ΘΕΜΑ (4_19524)

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε στα ακόλουθα:

α) Ποιο είναι το ελάχιστο της

β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα

είναι y 1

γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να λύσετε την εξίσωση

δ) Να δώσετε μια τιμή στον πραγματικό αριθμό

δύο λύσεις


f β f 3 0 f α

β) Παρατηρώντας την γραφική παράσταση της f γίνεται αντιληπτό ότι υπάρχουν

σημεία με τεταγμένη μικρότερη του f β . Επομένως η f δεν παρουσιάζει ελάχιστο

f x f (β) για κάθε x .

γ) Οι λύσεις της εξίσωσης f x 0 είναι οι τετμημένες των σημείων στα οποία η

f τέμνει τον άξονα x x . Σύμφωνα λοιπόν με τη γραφική

παράσταση που μας έδωσαν οι λύσεις της εξίσωσης f x 0 είναι τρεις και μια από

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το


α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f και για ποια τιμή του x το παρουσιάζει;

β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x να αποδείξετε ότι ο τύπος της

γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να λύσετε την εξίσωση f (x) 1

δ) Να δώσετε μια τιμή στον πραγματικό αριθμό κ ώστε η εξίσωση f (x)

δύο λύσεις


44

γίνεται αντιληπτό ότι υπάρχουν

δεν παρουσιάζει ελάχιστο

είναι οι τετμημένες των σημείων στα οποία η

. Σύμφωνα λοιπόν με τη γραφική

είναι τρεις και μια από

με πεδίο ορισμού το . Με τη

το παρουσιάζει;

Μονάδες 6

να αποδείξετε ότι ο τύπος της

Μονάδες 5

f (x) 1

Μονάδες 5

f (x) κ να έχει

δύο λύσεις



Μονάδες 9

ΛΥΣΗ

α) Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x 2 το f (2) 1 .

β) Αφού η (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x , θα είναι της μορφής y β . Επειδή η

(ε) διέρχεται από το σημείο A(2,1) , θα είναι ε : y 1 .

γ) Από το ερώτημα (α), η ελάχιστη τιμή της είναι το f (2) 1 , οπότε όλα τα υπόλοιπα

σημεία της fC έχουν τεταγμένη μεγαλύτερη του 1. Επομένως, μοναδική λύση της

εξίσωσης f (x) 1 είναι η x 2 .

δ) Οποιαδήποτε τιμή για το κ μεγαλύτερη του 1, θα κάνει την εξίσωση f (x) κ να

έχει δύο λύσεις, αφού θα υπάρχουν πάντοτε δυο σημεία της fC κοινά με την ευθεία

y κ για κ 1 .

Για παράδειγμα κ 2 .

ΘΕΜΑ (4_19525)

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το . Με τη


α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f και για ποια τιμή του x το παρουσιάζει;

(Μονάδες 6)

β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x να αποδείξετε ότι ο τύπος της

είναι y 1

(Μονάδες 5)



γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να λύσετε την εξίσωση f (x) 1

(Μονάδες 5)

δ) Να δώσετε μια τιμή στον πραγματικό αριθμό κ ώστε η εξίσωση f (x) κ να έχει

δύο λύσεις

(Μονάδες 9)


ΘΕΜΑ (4_19526)

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το που

παρουσιάζει μέγιστο στο x 3 .

α) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτε ποιο είναι το μέγιστο της f ;

Μονάδες 6

β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

Μονάδες 5

γ) Ποιος είναι ο τύπος της ευθείας (ε) ;

Μονάδες 7

δ) Αν η ευθεία (ζ) είναι παράλληλη στην (ε) και έχει τύπο y κ όπου κ , να

αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) κ είναι αδύνατη.

Μονάδες 7



ΛΥΣΗ

α) Το μέγιστο της f είναι το 1.

β) Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι A( 3,1) .

γ) Η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον x x (την παραλληλία έπρεπε να τη διευκρινίζει

η εκφώνηση άσχετα αν «φαίνεται» από το σχήμα), επομένως θα είναι της μορφής

y β .

Αφού η (ε) διέρχεται από το σημείο A( 3,1) , θα είναι ε : y 1 .

δ) Αν η ευθεία (ζ) έχει τύπο y κ , θα ισχύει προφανώς κ 1 .

Όμως η f παρουσιάζει μέγιστο με τιμή 1, άρα ισχύει ότι f (x) 1 για κάθε x .

Επομένως η εξίσωση f (x) κ με κ 1 , δε θα έχει λύση, άρα θα είναι αδύνατη.

ΘΕΜΑ (4_19527)

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το που

παρουσιάζει μέγιστο το 3 στο x 2 .

α) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

Μονάδες 10

β) Δίνεται ότι η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x . Να βρείτε τον τύπο της.

Μονάδες 5

γ) Αν η ευθεία (ζ) έχει τύπο της μορφής y κ και έχει δυο κοινά σημεία με τη

γραφική παράσταση της f , τι γνωρίζετε για τον πραγματικό αριθμό κ;

Μονάδες 10



ΛΥΣΗ

α) Το σημείο Α έχει τεταγμένη το μέγιστο της f , που το παρουσιάζει στο x 2 ,

άρα είναι A( 2,3) .

β) Η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x , άρα θα είναι της μορφής y β .

Αφού η (ε) διέρχεται από το A( 2,3) , θα είναι ε : y 3 .

γ) Η ευθεία (ζ) με τύπο y κ έχει δυο κοινά σημεία με την fC όταν κ 3 , αφού

όλες οι τεταγμένες των σημείων της fC είναι κάτω από το 3.



§ 2.2 – Κατακόρυφη

ΘΕΜΑ (2_19161)



Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήστε τα παρακάτω ερωτήματα :

α) Ποιο είναι το μέγιστο της

β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της

απάντησή σας .

f (x) x

γ) Να βρείτε τις τιμές f (2)

ΛΥΣΗ

α) Το μέγιστο της f είναι το 4.

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνεται προκύπτει από την γραφική

παράσταση της συνάρτησης

μετατοπισμένη κατακόρυφα κατά 4 μονάδες προς τα πάνω , οπότε είναι η

γ) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ,

το f (2) είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της

άξονα x x , οπότε ,


Κατακόρυφη – Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

(2_19161)



Ποιο είναι το μέγιστο της f ;

Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f . Ποίος είναι ; Να αιτιολογήσετε την

2f (x) x , 2f (x) x 4 , 2f (x) x 4

f (2) και f (0) .

είναι το 4.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνεται προκύπτει από την γραφική

παράσταση της συνάρτησης , 2g(x) x

μετατοπισμένη κατακόρυφα κατά 4 μονάδες προς τα πάνω , οπότε είναι η 2f (x) x 4

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ,

είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της

f (2) 0


49

Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

(2_19161)



Μονάδες 5

. Ποίος είναι ; Να αιτιολογήσετε την

Μονάδες 10

Μονάδες 10

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνεται προκύπτει από την γραφική

μετατοπισμένη κατακόρυφα κατά 4 μονάδες προς τα πάνω , οπότε είναι η

είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της f με τον



το f (0) είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της f με τον

άξονα y y , οπότε ,

f (0) 4

ΘΕΜΑ (2_19162)



Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήστε τις παρακάτω ερωτήσεις :

α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ;

Μονάδες 5

β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f . Ποίος είναι ; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας . 2f (x) x , 2f (x) x 9 , 2f (x) x 9

Μονάδες 10

γ) Να βρείτε τις τιμές f ( 3) και f (0) .

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Το ελάχιστο της f είναι το – 9 .


παράσταση της συνάρτησης 2g(x) x

μετατοπισμένη κατακόρυφα κατά 9 μονάδες προς τα κάτω , οπότε είναι η , 2f (x) x 9




το f ( 3) είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της f με

τον άξονα x x , οπότε ,

f ( 3) 0



f (0) 9 .

ΘΕΜΑ (2_19164)




α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ;

Μονάδες 5

β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f . Ποιός είναι ; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας .

2f (x) x , 2f (x) x 2 , 2

f (x) x 2

Μονάδες 10

γ) Να βρείτε τις τιμές f (2) και f (0) .

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Το ελάχιστο της f είναι το 0.


παράσταση της συνάρτησης 2g(x) x

μετατοπισμένη οριζόντια κατά 9 μονάδες προς τα δεξιά , οπότε είναι η

2

f (x) x 2





άξονα x x , οπότε ,

f (2) 0



f (0) 4



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Τριγωνομετρία

§ 3.2 – Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΘΕΜΑ (2_19311)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γωνία θ.

α) Το συνθ είναι θετικό ή αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

β) Αν 1

ημθ4

, να βρείτε το συνθ .

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Είναι συνθ 0 , γιατί ˆ90 θ 180 .

β) Ισχύει ότι 2 2ημ θ συν θ 1 , άρα αν 1

ημθ4

, έχουμε

2

2 2 2 21 1 1 15 15συν θ 1 συν θ 1 συν θ 1 συν θ συνθ

4 16 16 16 4

150 Απορρίπτεται

4συνθ λόγω του α) ερωτήματος

150 Δεκτή

4



§ 3.3 – Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο

ΘΕΜΑ (2_18486)

Δίνεται ότι: 3

συνφ4

με π

φ π2 .

α) Να υπολογίσετε το ημφ.

Μονάδες 13

β) Αν η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την

εφω.

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι: 2 2ημ φ συν φ 1

Επομένως 2

2 2 2 2 23 9 9 16 9 7ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ ημ φ

4 16 16 16 16 16

7 7ημφ ημφ

16 4

Όμως π

φ π2 , δηλαδή η γωνία φ ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο οπότε ημφ 0 που

σημαίνει ότι η λύση 7

ημφ4

απορρίπτεται.

Άρα

7ημφ

4

β) Επειδή η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, ισχύει ότι ω φ π ω π φ

Επομένως:

7ημω ημ(π φ) ημφ

4

3 3συνω συν(π φ) συνφ

4 4

7ημω 4 7 74εφω

3συνω 4 3 3

4



ΘΕΜΑ (2_18487)

Δίνεται ότι: 3

ημφ4

με π

φ π2 .

α) Να υπολογίσετε το συνφ.

Μονάδες 13


εφω.

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ


Επομένως 2

2 2 2 2 23 9 9 16 9 7συν φ 1 συν φ 1 συν φ 1 συν φ συν φ

4 16 16 16 16 16

7 7

συνφ συνφ16 4

Όμως π

φ π2 , δηλαδή η γωνία φ ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο οπότε συνφ 0 που


συνφ4


Άρα

7συνφ

4 .


Επομένως:


4

7 7συνω συν(π φ) συνφ

4 4

3ημω 3 4 3 3 74εφωσυνω 77 4 7 7

4

ΘΕΜΑ (2_18803)

Δίνεται ότι 4

συνφ5

, με π

0 φ2




Μονάδες 13

β) Αν η γωνία ω είναι συμπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την

εφω.

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ


Επομένως 2


5 25 25 25 25 25

9 3ημφ ημφ

25 5

Όμως π

0 φ2

δηλαδή η γωνία φ ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο οπότε ημφ 0 που


ημφ5


Άρα

3ημφ

5

β) Επειδή η γωνία ω είναι συμπληρωματική της φ, ισχύει ότι

π πω φ ω φ

2 2

Επομένως:

π 4ημω ημ φ συνφ

2 5

π 3συνω συν φ ημφ

2 5


4συνω 4 5 4

5

ΘΕΜΑ (2_18810)

Δίνεται ότι 4

συνφ5

, με π

0 φ2


Μονάδες 13




εφω.

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ


Επομένως 2


5 25 25 25 25 25

9 3ημφ ημφ

25 5

Όμως π

0 φ2

, δηλαδή η γωνία φ ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο οπότε ημφ 0 που


ημφ5


Άρα

3ημφ

5


Επομένως:


5

4συνω συν(π φ) συνφ

5


4συνω 4 5 4

5

ΘΕΜΑ (2_19309)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ.

α) Ισχύει ότι συνφ είναι θετικό και το συνθ είναι αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας.

Μονάδες 10

β) Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με 3

5.

i) Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο ίσο με 3

5;



ii) Να βρείτε το συνημίτονο της άλλης γωνίας.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι συνφ 0 , γιατί φ̂ 90 και συνθ 0 , γιατί ˆ90 θ 180 .

β) i) Με δεδομένο ότι συνφ 0 και συνθ 0 , θα ισχύει 3

συνφ5

ii) Με δεδομένο ότι φ θ π , έχουμε: 3

συνθ συν(π φ) συνφ5

ΘΕΜΑ (2_19313)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με 2

συνω3

και

φ.

α) Να αποδείξετε ότι 5

ημω3

Μονάδες 7

β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ

Μονάδες 18



ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι 2 2ημ ω συν ω 1 , άρα αν 2

συνω3

, έχουμε

2

2 2 2 2

ο

2 4 4 5 5ημ ω 1 ημ ω 1 ημ ω 1 ημ ω ημω

3 9 9 9 3

50 Δεκτή

3 ˆημω αφού ω 90 (1 τεταρτημόριο)5

0 Απορρίπτεται3

β) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι οι γωνίες φ και ω είναι συμπληρωματικές, δηλαδή

ότι έχουν άθροισμα μία ορθή γωνία ( 90 ).

Άρα θα ισχύει:

π 2

ημφ ημ ω συνω2 3

και

π 5

συνφ συν ω ημω2 3

ΘΕΜΑ (2_19314)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ με 3

ημφ5

και θ.

α) Να υπολογίσετε το συνφ

Μονάδες 15

β) Να υπολογίσετε τα ημθ , συνθ .

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι 2 2ημ φ συν φ 1 , άρα αν 3

ημφ5

, έχουμε



2

2 2 2 2

ο

3 9 9 16 4συν φ 1 συν φ 1 συν φ 1 συν φ συνφ

5 25 25 25 5

40 Δεκτή

5 ˆσυνφ αφού φ 90 (1 τεταρτημόριο)4

0 Απορρίπτεται5

β) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι οι γωνίες φ και θ είναι παραπληρωματικές, δηλαδή

ότι έχουν άθροισμα μία ευθεία γωνία (180 ).

Άρα θα ισχύει:

3

ημθ ημ π φ ημφ5

και

4

συνθ συν π φ συνφ5

ΘΕΜΑ (2_19320)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ.

Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με 3

4 .

α) Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο ίσο με 3

4 και γιατί;

Μονάδες 10

β) Να βρείτε το συνημίτονο της άλλης γωνίας.

Μονάδες 15

ΛΥΣΗ

α) Από το σχήμα* έχουμε : 0φ̂ 90 και 0 0ˆ90 θ 180

άρα

συνφ 0 και συνθ 0

επομένως

3

συνθ4



β) Έχουμε,

3 3

συνφ συν π θ συνθ4 4

*Σημείωση: Ο μαθητής πρέπει να αντιληφθεί από το σχήμα ότι η γωνία φ είναι οξεία

και η θ αμβλεία‼ Απαγορευτικό για την λογική της Γεωμετρίας, αφού έτσι χάνεται η

έννοια της απόδειξης. Δίνουμε το δικαίωμα στους μαθητές όταν δουν ένα τετράπλευρο

να μας πουν ότι είναι παραλληλόγραμμο ή ότι αυτή η γωνία είναι ορθή, άρα γιατί να το

αποδείξουμε;

ΘΕΜΑ (2_19321)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες θ και φ με 4

συνφ5

α) Να υπολογίσετε το ημφ

Μονάδες 15

β) Να υπολογίσετε τα ημθ, συνθ.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Από βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους : 2

2 2 2

2

2

2

4ημ φ συν φ 1 ημ φ 1

5

16ημ φ 1

25

16ημ φ 1

25

9 ημ φ

25

3 ημφ

5

Όμως, 0 0ˆ 0 φ 90 (πρώτο τεταρτημόριο) άρα ημφ > 0, οπότε 3

ημφ5

β) Έχουμε,

3

ημθ ημ π φ ημφ5

και 4

συνθ συν π φ συνφ5



ΘΕΜΑ (2_19322)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες θ με3

ημθ 5

και φ.


συνθ5

Μονάδες 15

β) Να υπολογίσετε τα ημφ, συνφ.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Από βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους :

2 2ημ θ συν θ 1

2

23συν θ 1

5

29συν θ 1

25

2 9συν θ 1

25

2 25 9συν θ

25 25

2 16συν θ

25

16συνθ

25

4συνθ

5

Όμως η γωνία θ είναι αμβλεία* όπως φαίνεται στο σχήμα, άρα συνθ < 0, οπότε

συν4

θ5

β) Έχουμε,

3

ημφ ημ π θ ημθ5

και 4 4

συνφ συν π θ συνθ5 5



*Σημείωση: Η άσκηση δίνει 3

ημθ 5

> 0 που η γωνία θ μπορεί να είναι οξεία ή

αμβλεία, άρα ο μαθητής πρέπει να αντιληφθεί από το σχήμα ότι η γωνία φ είναι οξεία

και η θ αμβλεία‼ Απαγορευτικό για την λογική της Γεωμετρίας, αφού έτσι χάνεται η

έννοια της απόδειξης. Δίνουμε το δικαίωμα στους μαθητές όταν δουν ένα τετράπλευρο

να μας πουν ότι είναι παραλληλόγραμμο, άρα γιατί να το αποδείξουμε;

ΘΕΜΑ (2_19323)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες θ με3

ημθ 5

και φ.


συνθ5

Μονάδες 15

β) Να υπολογίσετε τα ημφ, συνφ.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ


ΑΣΚΗΣΗ 5 (2_19324)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με 5

ημω3

και φ.


συνω3

Μονάδες 7

β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ.

Μονάδες 18



ΛΥΣΗ

α) Από βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους :

2 2ημ ω συν ω 1

2

25συν ω 1

3

25συν ω 1

9

2 9 5συν ω

9 9

2 4συν ω

9

4συνω

9

2συνω

3

Όμως η γωνία ω είναι οξεία γωνία, άρα συνω > 0, οπότε

συν2

ω3

β) Έχουμε,

π 2ημφ ημ ω συνω

2 3

και

π 5συνφ συν ω ημω

2 3

ΘΕΜΑ (4_19507)

Στον παρακάτω κύκλο, οι γωνίες ω και φ είναι επίκεντρες, με συνφ 0,8 .

α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ω

Μονάδες 10

β) Αν ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ 20cm και το τόξο ΑΜ έχει μήκος 25cm , τότε:

i) Να αποδείξετε ότι η γωνία ω είναι ίση με 2,5rad (ακτίνια).

Μονάδες 10

ii) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας που έχει μέτρο ίσο με 2,5rad (ακτίνια).



Μονάδες 5

ΛΥΣΗ

α) Οι γωνίες ω, φ είναι παραπληρωματικές. Επομένως έχουν αντίθετα συνημίτονα.

συνω συν π φ συνφ 0,8 .

β) i) Αφού η διάμετρος του κύκλου ισούται με ΑΒ 20cm τότε η ακτίνα του θα

ισούται με

ΑΒρ 10cm

2 .

Ένα τόξο α rad έχει μήκος S α ρ . Άρα για το τόξο ΑΜ με μήκος AMS 25cm είναι

AM

25 25S α ρ 25 α ρ α α 2,5rad

ρ 10 .

ii) Αποδείξαμε στο i) ότι η γωνία ω έχει μέτρο ίσο με 2,5rad . Επομένως το ζητούμενο

συνημίτονο είναι συνω 0,8 .



§ 3.4 – Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

ΘΕΜΑ (2_19137)

Δίνεται η συνάρτηση f x 2ημx με πεδίο ορισμού το

α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης;

Μονάδες 5

β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης;

Μονάδες 10

γ) Να αποδείξετε ότι f 0 f 8π

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

Γνωρίζουμε από την θεωρία, πως μια συνάρτηση της μορφής

f x ρ ημ ωx με ω,ρ 0

έχει μέγιστη τιμή ρ , ελάχιστη τιμή ρ και είναι περιοδική, με περίοδο 2π

Τω

α) Η περίοδος της συνάρτησης f είναι 2π 2π

Τ 2πω 1

β) Μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f :

max f x ρ 2

min f x ρ 2

γ) Βρίσκουμε τις τιμές f 0 , f 8π ξεχωριστά.

Έχουμε:

f 0 2 ημ0 2 0 0f 0 f 8π

f 8π 2 ημ 8π 2 ημ 4 2π 2 ημ0 0

ΘΕΜΑ (2_19138)

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 4ημx με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10

γ) Να αποδείξετε ότι f (0) f (6π)

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση f (x) 4ημx έχει ω 1 άρα έχει περίοδο 2π 2π

Τ 2πω 1



β) Η συνάρτηση f (x) 4ημx έχει ρ 4 άρα έχει μέγιστη τιμή max f 4 και

ελάχιστη τιμή min f 4

γ) Είναι f (0) 4ημ0 4 0 0 και f (6π) 4ημ6π 4ημ 3 2π 4ημ0 4 0 0 .

Επομένως είναι: f (0) f (6π)

ΘΕΜΑ (2_19139)

Δίνεται η συνάρτηση 3

f (x) συνx2

με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10


Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση 3

f (x) συνx2

έχει ω 1 άρα έχει περίοδο

2π 2πΤ 2π

ω 1

β) Η συνάρτηση 3

f (x) συνx2

έχει 3

ρ2

άρα έχει μέγιστη τιμή 3

max f x2

και

ελάχιστη τιμή 3

min f x2

γ) Είναι

3 3 3f (0) συν0 1

2 2 2 και

3 3 3 3f (2π) συν2π συν0 1

2 2 2 2

Επομένως είναι:

f (0) f (2π)

ΘΕΜΑ (2_19140)

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 3συνx με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10


Μονάδες 10

ΛΥΣΗ



α) Η συνάρτηση f (x) 3συνx έχει ω 1 άρα έχει περίοδο

2π 2πΤ 2π

ω 1

β) Η συνάρτηση f (x) 3συνx έχει ρ 3 άρα έχει μέγιστη τιμή max f x 3 και

ελάχιστη τιμή min f x 3

γ) Είναι

f (0) 3συν0 3 1 3 και f (4π) 3συν4π 3συν 2 2π 3συν0 3 1 3


f (0) f (4π)

ΘΕΜΑ (2_19141)

Δίνεται η συνάρτηση 1

f (x) ημx3

με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10


Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση 1

f (x) ημx3

έχει ω 1 άρα έχει περίοδο

2π 2πΤ 2π

ω 1

β) Η συνάρτηση 1

f (x) ημx3

έχει 1

ρ3

άρα έχει μέγιστη τιμή 1

max f x3

και

ελάχιστη τιμή 1

min f x3

γ) Είναι

1 1f (0) ημ0 0 0

3 3 και

1 1 1f (2π) ημ2π ημ0 0 0

3 3 3 .


f (0) f (2π)



ΘΕΜΑ (2_19142)

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 0,5ημx με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10

γ) Να αποδείξετε ότι f (2π) f (4π)

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση f (x) 0,5ημx έχει ω 1 άρα έχει περίοδο

2π 2πΤ 2π

ω 1

β) Η συνάρτηση f (x) 0,5ημx έχει ρ 0,5 άρα έχει μέγιστη τιμή max f x 0,5

και ελάχιστη τιμή min f x 0,5

γ) Είναι

f (2π) 0,5ημ2π 0,5 ημ0 0,5 0 0

και

f (4π) 0,5ημ4π 0,5ημ 2 2π 0,5 ημ0 0,5 0 0


f (2π) f (4π)

ΘΕΜΑ (2_19145)

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 2ημx με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10

γ) Να αποδείξετε ότι f (π) f (3π)

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση f (x) 2ημx έχει ω 1 άρα έχει περίοδο

2π 2πΤ 2π

ω 1

β) Η συνάρτηση f (x) 2ημx έχει ρ 2 άρα έχει μέγιστη τιμή max f x 2 και

ελάχιστη τιμή min f x 2



γ) Είναι

f (π) 2ημπ 2 0 0 και f (3π) 2ημ3π 2ημ 2π π 2ημπ 2 0 0 .


f (π) f (3π)

ΘΕΜΑ (2_19148)

Δίνεται η συνάρτηση f (x) 2συνx με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10


Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση f (x) 2συνx έχει ω 1 άρα έχει περίοδο

2π 2πΤ 2π

ω 1

β) Η συνάρτηση f (x) 2συνx έχει ρ 2 άρα έχει μέγιστη τιμή

max f x 2 2 και ελάχιστη τιμή min f x 2 2

γ) Είναι

f (0) 2συν0 2 1 2

και

f (4π) 2συν4π 2συν 2 2π 2συν0 2 1 2 .


f (0) f (4π)

ΘΕΜΑ (2_19150)

Δίνεται η συνάρτηση f x 4συνx με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5

β) Να υπολογίσετε τις τιμές f 0 , f π , f 2π

Μονάδες 10

γ) Να αποδείξετε ότι f 0 f π 0

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση είναι της μορφής



f x ρ συν ωx με ρ 4 και ω 1

Οπότε 2π 2π

Τ 2πω 1

β) Είναι f 0 4συν0 4 1 4

f π 4συνπ 4 1 4

f 0 4συν2π 4συν 1 2π 0 4συν0 4 1 4

γ) Έχουμε με τη βοήθεια του ερωτήματος β)

f 0 f π 4 4 0

ΘΕΜΑ (2_19151)

Δίνεται η συνάρτηση f x 2ημx με πεδίο ορισμού το


Μονάδες 5


Μονάδες 10

γ) Να αποδείξετε ότι f π f 3π

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ


ΘΕΜΑ (4_19509)

Οι μαθητές της Β Λυκείου ενός ΕΠΑΛ μπαίνοντας στο εργαστήριο ηλεκτρονικών

εφαρμογών είδαν σε μια οθόνη προβολών σχεδιασμένη αυτή τη γραφική παράσταση

και σε ένα πίνακα δίπλα γραμμένη τη φράση «συνάρτηση ημίτονο».

α) Χρησιμοποιώντας το σχήμα να βρείτε ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης

αυτής.

Μονάδες 7

β) Ποιο είναι το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης;

Μονάδες 8

γ) i) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης.

ii) Να γράψετε τον τύπο μια ημιτονοειδούς συνάρτησης που η περίοδός της να

είναι ίση με τη μισή περίοδο της συνάρτησης του σχήματος.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η περίοδος της συνάρτησης είναι Τ = π



β) Το μέγιστο της f είναι το 3 και το ελάχιστο το -3

γ) i) Έχουμε

2π 2πT π ω 2

ω ω

Επίσης

maxf(x) = 3 και minf(x) = – 3

Επομένως ο τύπος της συνάρτησης είναι

f(x) = 3ημ2x

ii) Αφού η συνάρτηση του σχήματος έχει περίοδο π, η ζητούμενη συνάρτηση θα έχει

περίοδο π

Τ2

Έχουμε

2π π 2πΤ ω 4

ω 2 ω

Μια ζητούμενη συνάρτηση είναι

g(x)=ημ4x

ΘΕΜΑ (4_19510)

Ένας μαθητής του τμήματος Βηλ ενός ΕΠΑΛ σχεδίασε στο τετράδιό του το

παρακάτω σχήμα, αντιγράφοντας από τον πίνακα την ώρα των μαθηματικών. Δεν

πρόλαβε να σχεδιάσει όλο το σχήμα. Θυμόταν όμως ότι πρόκειται για τη συνάρτηση

ημίτονο.

α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης και ποιο το μέγιστο αυτής;

Μονάδες 10

β) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης.

Μονάδες5

γ) Να γράψετε την τετμημένη x του σημείου Α και το μήκος του ευθυγράμμου

τμήματος ΑΓ.

Μονάδες 10

ΛΥΣΗ

α) Η περίοδος της συνάρτησης είναι Τ = π και το μέγιστό της το 2.

β) Έχουμε:

2π 2πT 2π ω 1

ω ω

Επίσης, maxf(x) = 2

Άρα ο τύπος της συνάρτησης είναι:

f(x)=2ημx



γ) Η τετμημένη x του σημείου Α είναι: A

πx

2

Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ είναι:

(ΑΓ)=maxf=2.

ΘΕΜΑ (4_19511)

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνημιτονοειδούς

συνάρτησης. Επίσης δίνονται οι τύποι δύο οριζόντιων ευθειών και οι συντεταγμένες

του σημείου Β.


Μονάδες 5

β) Να βρείτε την περίοδο και το μέγιστο της συνάρτησης. Να βρείτε και μια τιμή του

x για την οποία η παραπάνω συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο.

Μονάδες 15

γ) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης.

Μονάδες 5

ΛΥΣΗ

α) Οι συντεταγμένες του Α είναι : Α(π, 0)

β) Η περίοδος της είναι Τ = π και το μέγιστο είναι maxf(x) = 4

Μία τιμή του x για την οποία η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο είναι Ax π

γ) Έχουμε,

Τ = π και maxf(x) = 4 και 2π 2π

Τ π ω 2ω ω

Επομένως

f(x) = 4συν2x

ΘΕΜΑ (4_19512)

α) Αν θεωρήσουμε ένα κύκλο ακτίνας 1cm, πόσο μήκος (σε cm) αντιστοιχεί σε ένα

τόξο

i) 1 ακτινίου (rad);

Μονάδες 5

ii) 2π ακτινίων (rad);

Μονάδες 5

β) Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση μιας ημιτονοειδούς

συνάρτησης f. Το μήκος του ΑΒ είναι 1 εκατοστό και το μήκος του ΟΓ είναι 6

εκατοστά.

i) Ποια είναι η τετμημένη (το x) του σημείου Γ;

Μονάδες 3

ii) Πόσο μήκος σε εκατοστά έχει το τμήμα ΟΔ;

Μονάδες 4



iii) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f; Μπορεί ο τύπος της f να είναι ο

f(x)=ημx;

Μονάδες 8

ΛΥΣΗ

α) i) S=α∙ρ=1∙1=1cm

ii) S=α∙ρ=2π∙1=2π cm

β) i) Η τετμημένη του σημείου Γ είναι xΓ=6

ii) (ΟΔ)=2(ΟΓ)=2∙6=12cm

iii) Η περίοδος της f είναι Τ=12

Ο τύπος της f δεν μπορεί να είναι f(x)=ημx γιατί η συνάρτηση αυτή έχει περίοδο

Τ=2π≠12



§ 3.5 – Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

ΘΕΜΑ (2_19153)

α) Να λύσετε την εξίσωση 1

ημx2

στο διάστημα π

, π2

Μονάδες 12

β) Ποια είναι η τιμή του συνημιτόνου του x του προηγούμενου ερωτήματος;

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

1 π π πημx ημx ημ x 2κπ ή x 2κπ π

2 6 6 6

π 6π π

x 2κπ ή x 2κπ6 6 6

π 5π

x 2κπ ή x 2κπ με κ6 6

Αν π

x 2κπ με κ6

έχουμε

π π π π π π π

x , π x π 2κπ π 2κπ π2 2 2 6 2 6 6

3π π 6π π 2π 5π

2κπ 2κπ6 6 6 6 6 6

2π 12κπ 5π 1 5

2π 12κπ 5π κ12π 12π 12π 6 12

άρα δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός κ

Αν 5π

x 2κπ με κ6

π π π 5πx , π x π 2κπ π

2 2 2 6

π 5π 5π 3π 5π 6π 5π2κπ π 2κπ

2 6 6 6 6 6 6

2π π2κπ 2π 12κπ π

6 6

2π 12κπ π 1 1κ

12π 12π 12π 6 12

Αφού κ έχουμε κ 0 οπότε

5πx

6

β) Για 5π

x6

είναι



5π 6π π 6π π π π 3

συν συν συν συν π συν6 6 6 6 6 6 2

ΘΕΜΑ (2_19154)


ημx2


0,2

Μονάδες 12

β) Ποια είναι η τιμή του συνημιτόνου του x του προηγούμενου ερωτήματος;

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,


2 3 3 3

π 3π π

x 2κπ ή x 2κπ3 3 3

π 2π


Αν π

x 2κπ με κ3

έχουμε


x 0, 0 x 0 2κπ 2κπ2 2 3 2 3 2 3

π 3π 2π π π

2κπ 2κπ3 6 6 3 6

2π 12κπ π 1 1

2π 12κπ π κ12π 12π 12π 6 12

Αφού κ έχουμε κ 0 οπότε π

x3

Αν 2π

x 2κπ με κ3

π π 2π πx 0, 0 x 0 2κπ

2 2 3 2

2π π 2π 2π 3π 4π2κπ 2κπ

3 2 3 3 6 6


3 6

4π 12κπ π 1 1κ

12π 12π 12π 3 12




β) Για π

x3

είναι π 1

συν3 2

ΘΕΜΑ (2_19155)


συνx2


0,2

Μονάδες 12

β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου του x του προηγούμενου ερωτήματος;

Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

1 π π πσυνx συνx συν x 2κπ ή x 2κπ , κ

2 3 3 3

Αν π

x 2κπ με κ3

έχουμε


x 0, 0 x 0 2κπ 2κπ2 2 3 2 3 2 3

π 3π 2π π π

2κπ 2κπ3 6 6 3 6

2π 12κπ π 1 1

2π 12κπ π κ12π 12π 12π 6 12


x3

Αν π

x 2κπ με κ3

έχουμε


x 0, 0 x 0 2κπ 2κπ2 2 3 2 3 2 3

π 3π 2π π 5π

2κπ 2κπ3 6 6 3 6

2π 12κπ 5π 1 5

2π 12κπ 5π κ12π 12π 12π 6 12


β) Για π

x3

είναι π 3

ημ3 2

ΘΕΜΑ (2_19156)

α) Αν για π

x , π2

ισχύει 1

συνx2

να αποδείξετε ότι 3

ημx2

Μονάδες 12

β) Να βρείτε την τιμή του x του προηγούμενου ερωτήματος;



Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Είναι 2

2 2 2 21 1ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1

2 4

2 2 21 4 1 3ημ x 1 ημ x ημ x

4 4 4 4

3 3

ημx ή ημx2 2

Όμως π

x , π2

δηλαδή η τελική πλευρά της γωνίας x είναι στο 2ο τεταρτημόριο

όπου τα ημίτονα είναι θετικά.

Έτσι λοιπόν είναι 3

ημx 2

β) Έχουμε,


2 3 3 3

π 3π π

x 2κπ ή x 2κπ3 3 3

π 2π


Αν π

x 2κπ με κ3

έχουμε


x , π x π 2κπ π 2κπ π2 2 2 3 2 3 3

3π 2π 3π π π 2π

2κπ 2κπ6 6 3 3 6 3

π 12κπ 4π 1 1

π 12κπ 4π κ12π 12π 12π 12 3


Αν 2π

x 2κπ με κ3

π π π 2πx , π x π 2κπ π

2 2 2 3

π 2π 2π 3π 4π 3π 2π

2κπ π 2κπ2 3 3 6 6 3 3

π π

2κπ π 12κπ 2π6 3



π 12κπ 2π 1 1

κ12π 12π 12π 12 6

Αφού κ έχουμε κ 0 οπότε

2πx

3

ΘΕΜΑ (2_19157)


ημx2


0,2

Μονάδες 13

β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου της παραπληρωματικής της γωνίας της x που

βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα;

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,


2 4 4 4

π 4π π

x 2κπ ή x 2κπ4 4 4

π 3π


Αν π

x 2κπ με κ4

έχουμε


x 0, 0 x 0 2κπ 2κπ2 2 4 2 4 2 4

π 2π π π π

2κπ 2κπ4 4 4 4 4

π 8κπ π 1 1

π 8κπ π κ8π 8π 8π 8 8


x4

Αν 3π

x 2κπ με κ4

π π 3π πx 0, 0 x 0 2κπ

2 2 4 2

3π π 3π 3π 2π 3π2κπ 2κπ

4 2 4 4 4 4


4 4



3π 8κπ π 3 1κ

8π 8π 8π 8 8


β) Η παραπληρωματική της π

4 είναι η

ππ

4 , οπότε

π π 2ημ π ημ

4 4 2

ΘΕΜΑ (2_19158)


συνx2


0,2

.

Μονάδες 13

β) Ποια είναι η τιμή του συνημιτόνου της παραπληρωματικής γωνίας της x που

βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα;

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α) Είναι

πx 2κπ

31 π

συνx συνx συν ή , κ2 3

πx 2κπ

3

.

Όμως πρέπει οι λύσεις που βρήκαμε να ανήκουν στο διάστημα π

0,2

.

Οπότε έχουμε ,

π π π π π π πx 0, 0 x 0 2κπ 2κπ

2 2 3 2 3 2 3

π π π2κπ

3 6 2κ π

3

π

1 1 1 12κ κ

6 3 6 6 12

άρα ,

1 1κ

κ 06 12

κ

Για κ 0 έχουμε ,

π πx 2 0 π x

3 3

Όμοια έχουμε ,




2 2 3 2 3 2 3

π 5π π2κπ

3 6 2κ π

3

5 π

1 5 1 52κ κ

6 3 6 6 12

άρα ,

1 5κ

6 12

κ

αδύνατο.

β) Η παραπληρωματική της γωνίας π

x3

είναι η π 2π

θ π3 3

, οπότε ,

π π 1συνθ συν π συν

3 3 2

ΘΕΜΑ (2_19159)


συνx2


0,2

.

Μονάδες 13

β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου της συμπληρωματικής γωνίας της x που βρήκατε

στο προηγούμενο ερώτημα ;

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α) Είναι ,

πx 2κπ

31 π

συνx συνx συν ή , κ2 3

πx 2κπ

3

.


0,2

.



2 2 3 2 3 2 3

π π π2κπ

3 6 2κ π

3

π

1 1 1 12κ κ

6 3 6 6 12

άρα .

1 1κ

κ 06 12

κ




π πx 2 0 π x

3 3 .



2 2 3 2 3 2 3

π 5π π2κπ

3 6 2κ π

3

5 π

1 5 1 52κ κ

6 3 6 6 12

άρα ,

1 5κ

6 12

κ

αδύνατο

β) Η συμπληρωματική της γωνίας π

x3

είναι η π π π

θ2 3 6

, οπότε ,

π 1ημθ ημ

6 2

Β΄ τρόπος : Έχουμε,

π π π 1ημθ ημ συν

2 3 3 2

ΘΕΜΑ (2_19160)


ημx2


0,2

.

Μονάδες 13

β) Ποια είναι η τιμή του συνημιτόνου της συμπληρωματικής γωνίας της x που

βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα ;

Μονάδες 12

ΛΥΣΗ

α) Είναι ,

πx 2κππ

x 2κπ 33 π 3

ημx ημx ημ , κ ή , κπ2 3

x 2κπ π 2πx 2κπ3

3

.


0,2

.



2 2 3 2 3 2 3



π π π2κπ

3 6 2κ π

3

π

1 1 1 12κ κ

6 3 6 6 12

άρα ,

1 1κ

κ 06 12

κ


π πx 2 0 π x

3 3


π π 2π π 2π π 2πx 0, 0 x 0 2κπ 2κπ

2 2 3 2 3 2 3

2π π 2 π2κπ

3 6 2κ π

3

π

2 1 1 12κ κ

6 3 6 3 12

άρα ,

1 1κ

3 12

κ

αδύνατο

β) Η συμπληρωματική της γωνίας π

x3

είναι η π π π

θ2 3 6

, οπότε ,

π 3συνθ συν

6 2

Β΄ τρόπος : Έχουμε,

π π π 3συνθ συν ημ

2 3 3 2

ΘΕΜΑ (2_19503)

Δίνεται η εξίσωση 2

ημx 1 ημx 03

.

α) Να βρείτε το ημx

Μονάδες 9

β) Αν π

x 0,2

να υπολογίσετε:

i) το συνx

Μονάδες 8

ii) την εφx

Μονάδες 8



ΛΥΣΗ

α) Είναι,

2 2 2

ημx 1 ημx 0 ημx 1 0 ή ημx 0 ημx 1 ή ημx3 3 3

β) i) Αφού π

x 0,2

, η γωνία βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο επομένως είναι

ημx 0 και συνx 0 .

Συνεπώς από α) είναι 2

ημx3

. Από την τριγωνομετρική ταυτότητα έχουμε,

2

2 2 2 2 2 22 9 4ημ x συν x 1 συν x 1 ημ x συν x 1 συν x

3 9 9

2 5 5 5συν x συνx συνx

9 9 3 .

Επειδή συνx 0 είναι

5συνx

3

ii) Είναι,

2ημx 2 3 2 2 5 2 53εφxσυνx 55 5 3 5 5 5

3

.

ΘΕΜΑ (2_19504)

Δίνεται η εξίσωση 2

ημx 1 ημx 03


Μονάδες 9

β) Αν π

x 0,2


i) το συνx

Μονάδες 8

ii) την εφx Μονάδες 8


ΘΕΜΑ (4_19523)


ημx , αν x 0, π2

(Μονάδες 15)



β) Αν 1

ημx2

και π

x ,02

ποια είναι η τιμή του x ;

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

1 πημx ημx ημ

2 6

πx 2κπ

6

ή , κ

πx 2κπ π

6

πx 2κπ

6

ή , κ

5πx 2κπ

6

Οι λύσεις για το διάστημα 0, π είναι,

για π π

x 2κπ 0, π 0 2κπ π6 6

ππ π π 5π2κπ π 2κπ

6 6 6 6

2 κ1 5 1 52κ κ κ 0

6 6 12 12

Άρα π π

x 2 0 π x6 6

για 5π 5π

x 2κπ 0, π 0 2κπ π6 6

π5π 5π 5π π2κπ π 2κπ

6 6 6 6

2 κ5 1 5 12κ κ κ 0

6 6 12 12

Άρα

5π 5πx 2 0 π x

6 6

β) Παρατηρούμε ότι

π π 1ημ ημ

6 6 2

και

π π,0

6 2



Άρα μία λύση της εξίσωσης 1

ημx2


,02

είναι η π

x6

Παρατήρηση: Τη μοναδικότητα της παραπάνω λύσης, οι μαθητές της Β΄ΕΠΑΛ δεν

έχουν τις γνώσεις να την αποδείξουν. Οπότε προτιμότερο είναι η άσκηση να λυθεί

όπως στο ερώτημα α)

ΘΕΜΑ (4_19530)

Δίνεται η εξίσωση: 3 1

συνx συνx 05 3

α) Να βρείτε το συνx

Μονάδες 9)

β) Αν π

x , π2

να υπολογίσετε: ,

i. το ημx

Μονάδες 8

ii. την εφx

Μονάδες 8

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

3 1 3 1 3 1συνx συνx 0 συνx 0 ήσυνx 0 συνx ή συνx

5 3 5 3 5 3

που είναι δεκτές αφού 1 συνx 1 .

β) Επειδή π

x , π2

, δηλαδή η γωνία x βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, άρα

συνx 0 , επομένως 3

συνx5

i. Έχουμε, 2

2 2 2

2

3ημ x συν x 1 ημ x 1

5

9ημ x 1

25

2 9ημ x 1

25

2 16ημ x

25

4ημx

5



όμως π

x , π2

δηλαδή η γωνία x βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, άρα

ημx 0 , επομένως 4

ημx5

ii. Έχουμε,

4ημx 4 5 45εφx

3συνx 5 3 3

5

ΘΕΜΑ (4_19531)

Δίνεται η εξίσωση: 3

ημx 2 ημx 05


Μονάδες 13

β) Αν π

x , π2


i. το συνx

Μονάδες 6

ii. την εφx

Μονάδες 6

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

3 3 3

ημx 2 ημx 0 ημx 2 0 ή ημx 0 ημx 2 ή ημx5 5 5

Δεκτή η 3

ημx5

αφού 1 ημx 1 .

β) i. Έχουμε, 2

2 2 2

2

3ημ x συν x 1 συν x 1

5

9συν x 1

25

2 9συν x 1

25



2 16συν x

25

4συνx

5

όμως π

x , π2

δηλαδή η γωνία x βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, άρα

συνx 0 , επομένως 4

συνx5

ii. Έχουμε,

3ημx 3 5 35εφx

4συνx 5 4 4

5

ΘΕΜΑ (4_19532)

Δίνεται η εξίσωση: 1

συνx συνx 2 04

α) Να βρείτε το συνx

Μονάδες 13

β) Αν x 0, π να υπολογίσετε:

i. το ημx

Μονάδες 6

ii. την εφx

Μονάδες 6

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε,

1 1 1

συνx συνx 2 0 συνx 0 ή συνx 2 0 συνx ή συνx 24 4 4

Δεκτή η 1

συνx4

αφού 1 συνx 1 .

β) i. Έχουμε, 2

2 2 2

2

1ημ x συν x 1 ημ x 1

4

1ημ x 1

16

2 1ημ x 1

16



2 15ημ x

16

15ημx

4

όμως x 0, π δηλαδή η γωνία x βρίσκεται στο πρώτο ή δεύτερο τεταρτημόριο το

ημx 0 , επομένως 15

ημx4

ii. Έχουμε,

15ημx 4 154εφx 15

1συνx 1 4

4

επαλ αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Lisari) 31 12 2014

Documents

Transcript of επαλ αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Lisari) 31 12 2014