Σήματα (lesson 5)

Σήματα και συστήματα

Ε. Μετασχηματισμός Laplace

Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης

Οκτώβριος 2012

Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−2

E. Μετασχηματισμός Laplace

Ε.1 Από το μετασχηματισμό Fourier στο μετασχηματισμό

Laplace

Ε.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace

E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace

E.4 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων και απόκριση LTI

συστημάτων.

E.5 Μετασχηματισμός Laplace και ηλεκτρικά κυκλώματα

E.6 Διασύνδεση συστημάτων



Ε.1 Από το μετ/σμό Fourier στο

μετ/σμό Laplace


E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace

● Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace

● Ο δίπλευρος μετασχηματισμός Laplace

● Η συνάρτηση μεταφοράς

● H περιοχή σύγκλισης

● Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace

● Σχέση μετασχηματισμών Laplace και Fourier



Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace

Ο μετασχηματισμός Fourier δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης ενός

σήματος σαν ένα συνεχές άθροισμα (ολοκλήρωμα) εκθετικών συναρτήσεων

της μορφής ejωt.

Ωστόσο

● ο μετ/σμός Fourier υπάρχει για μια μόνο περιορισμένη τάξη σημάτων

● με τo μετ/σμό Fourier δεν μπορούμε να αναλύσουμε εύκολα συστήματα

ασταθή και στοιχειωδώς ευσταθή συστήματα

Ο βασικός λόγος είναι ότι για κάποια σήματα όπως το eatu(t), a > 0, δεν

υπάρχει ο μετ/σμός Fourier, καθώς σήματα της μορφής ejωt δεν μπορούν να

συνθέσουν εκθετικά αυξανόμενα σήματα.

Ως εκ τούτου απαιτείται μια γενίκευση με τη χρήση εκθετικών της μορφής

( )st σ jω te e



Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace

Έστω το σήμα

Γι αυτό το σήμα δεν ορίζεται ο μετ/σμός

Fourier. Μετασχηματίζοντας το σήμα με

μια κατάλληλη συνάρτηση ως

τότε για το νέο σήμα μπορεί να εφαρμοστεί

ο μετασχηματισμός Fourier. Έτσι το νέο

σήμα μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα

ημιτονικών (μιγαδικών) συναρτήσεων ejωt.

Για να επιστρέψουμε στο αρχικό σήμα

πολλαπλασιάζουμε κάθε συνιστώσα (κάθε

ημιτονικό σήμα) με eσt. Έτσι το αρχικό

σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί σαν

άθροισμα (ολοκλήρωμα) συναρτήσεων

2( ) ( )tx t e u t

2( ) ( ) ( ), 2σt σt tf t x t e e e u t σ

( )f t

( )x t

( ) , Re( ) 2σt jωt σ jω t ste e e e s



Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace 2( ) ( )tx t e u t ( ) ( ) , 2σtf t x t e σ

Συνιστώσες ejωt του f(t) Συνιστώσες eσtejωt

Μιγαδικό

επίπεδο

Υπάρχουν άπειρες

δυνατότητες σε ότι

αφορά την επιλογή

του σ. Η περιοχή

για σ > 2 ονομάζεται

περιοχή σύγκλισης



Ο δίπλευρος (bilateral) μετ/σμός Laplace

Ο αντίστροφος μετ/σμός Fourier μιας συνάρτησης x(t) είναι

Ο μετ/σμός Fourier της είναι

Οπότε ο αντίστροφος μετ/σμός Fourier γράφεται

Πολλαπλασιάζοντας με eσt και τα δύο μέλη παίρνουμε

Και με αλλαγή μεταβλητής s = σ + jω (όπου τα όρια ολοκλήρωσης γίνονται

από σ j έως σ j και το σ έχει μια ελάχιστη τιμή), προκύπτει 1

( ) ( )2

( ) ( )

c j st

c j

st

x t F s e dsπj

X s x t e dt

12

( ) ( ) jωt

πx t X jω e dω

( ) ( ) σtf t x t e

( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( )σt σt jωt σ jω tx t e x t e e dt x t e dt X σ jω

F

12

( ) ( )σt jωt

πx t e X σ jω e dω

( )12

( ) ( ) σ jω t

πx t X σ jω e dω



H περιοχή σύγκλισης

Δίπλευρος μετ/σμός Laplace και περιοχή σύγκλισης για αιτιατή και μη αιτιατή συνάρτηση

1( ) ,

2Re{ } 2

X ss

s

2( ) ( )tx t e u t

2( ) ( )ty t e u t 1

( ) ,2

Re{ } 2

Y ss

s



Ο μονόπλευρος (unilateral) μετ/σμός Laplace

Όπως είναι εμφανές από τα προηγούμενα, δεδομένου του μετ/σμού Laplace, η

αρχική συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου από την οποία προκύπτει δεν είναι

μοναδική, αλλά εξαρτάται από την περιοχή σύγκλισης.

Περιορίζοντας τα σήματα μας στα αιτιατά, υπάρχει ένας μόνο αντίστροφος

μετ/σμός Laplace για κάθε σήμα. Ως εκ τούτου ορίζουμε τον μονόπλευρο

μετ/σμό Laplace ως

όπου το κάτω όριο επιλέγεται έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνει την κρουστική

συνάρτηση, καθώς και όποιες αρχικές συνθήκες εμφανίζονται κατά τη λύση

διαφορικών εξισώσεων.

Η ύπαρξη του μονόπλευρου μετ/σμού Laplace είναι βέβαιη όταν

για κάποια περιοχή τιμών του Re{s} = σ. Στη γενική περίπτωση, για αιτιατά

σήματα η περιοχή σύγκλισης είναι για κάποια τιμή σ > σ0.

0( ) ( ) stX s x t e dt

0| ( ) |σtx t e dt



Ε.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού

Laplace


E.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace

● Γραμμικότητα

● Μετατόπιση στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα

● Παραγώγιση στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα

● Ολοκλήρωση στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα

● Κλιμάκωση στο χρόνο.

● Συνέλιξη στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα

● Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής



Γραμμικότητα

Μετατόπιση στο χρόνο

Μετατόπιση στη συχνότητα

Παραδείγματα υπολογισμού μετασχηματισμών Laplace

Υπολογισμοί μετ/σμού Laplace με χρήση ιδιοτήτων μετατόπισης στο χρόνο και τη συχνότητα

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x t X s x t X s

k x t k x t k X s k X s

L L

L

1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t

00 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,st

x t u t X s

x t t u t t X s e t t

L

L

00

( ) ( )

( ) ( )s t

x t X s

x t e X s s

L

L



Παραγώγιση στο χρόνο

Παραγώγιση στη μιγαδική συχνότητα

Ολοκλήρωση στο χρόνο

Ολοκλήρωση στη μιγαδική συχνότητα

( )1 2 (1) ( 1)

( ) ( )

( )( ) (0 )

( )( ) (0 ) (0 ) (0 )

nn n n n

n

x t X s

dx tsX s x

dt

d x ts X s s x s x x

dt

L

L

L


( )

( ) ( )

( )( ) ( 1)

nn n

n

x t X s

d X st x t

ds

L

L

0

0

( ) ( )

( )( )

1 1( ) ( ) ( )

t

t

x t X s

X sx τ dτ

s

x τ dτ X s x τ dτs s

L

L

L

( ) ( )

( )( )

s

x t X s

x tX z dz

t

L

L



Κλιμάκωση στο χρόνο

Συνέλιξη στο χρόνο

Συνέλιξη στη μιγαδική συχνότητα

Υπολογισμός συνέλιξης με χρήση μετ/σμού Laplace.

( ) ( )

1( ) , 0

x t X s

sx at X a

a a

L

L


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x t X s y t Y s

x t y t X s Y s

L L

L

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

2

x t X s y t Y s

x t y t X s Y sπj

L L

L



Θεώρημα αρχικής τιμής

Αν οι x(t) και dx/dt έχουν μετασχηματισμό Laplace, τότε

δεδομένου ότι το όριο υπάρχει.

Θεώρημα τελικής τιμής

Αν οι x(t) και dx/dt έχουν μετασχηματισμό Laplace, τότε

δεδομένου ότι η sX(s) δεν έχει πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο ή στο φανταστικό

άξονα.

Παράδειγμα χρήσης θεωρήματος αρχικής τιμής

(0 ) lim ( )s

x sX s


0lim ( ) lim ( )t s

x t sX s



Ε.3 Αντίστροφος

μετασχηματισμός Laplace



● Μεθοδολογία

● Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα



Μεθοδολογία υπολογισμού αντίστροφου μετ/σμού Laplace

Η εύρεση του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace απαιτεί ολοκλήρωση

στο μιγαδικό επίπεδο, η οποία είναι γενικά σύνθετη.

Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι με τις οποίες βρίσκεται ο

αντίστροφος μετ/σμός Laplace ρητών συναρτήσεων, δηλαδή κλασμάτων

πολυωνύμων του s

όπου m n. Όταν m ≥ n, μετατρέπουμε το κλάσμα (με διαίρεση) σε

«κατάλληλη» μορφή (m n).

Η βασικότερη μέθοδος είναι η ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα και κατόπιν

η χρήση των πινάκων για τον υπολογισμό των αντίστροφων μετ/σμών

Laplace βασικών συναρτήσεων.

11 1 0

11 1 0

( )( )

( )

m mm m

n nn

b s b s b s bP sX s

Q s s a s a s a

1( ) ( )

2

c j st

c jx t F s e ds

πj



Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα

Γενική περίπτωση

Γράφουμε τη συνάρτηση στη μορφή

Απαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης

με

και στη συνέχεια υπολογίζουμε τους συντελεστές kj από το σύστημα

εξισώσεων που προκύπτει εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων

του s των δύο πλευρών της εξίσωσης.

11 1 0

11 1 0

( )( ) ,

( )

m mm m

n nn

b s b s b s bP sX s m n

Q s s a s a s a

1 1

11

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

r jr rr r

jj

kk k kP sX s

s λ s λ s λs λ s λ s λ s λ

1( ) ( ) ( )rjs λ s λ s λ




Μη επαναλαμβανόμενοι παράγοντες – μέθοδος Heaviside

Γράφουμε τη συνάρτηση στη μορφή

όπου οι συντελεστές των απλών κλασμάτων υπολογίζονται ως

Στην περίπτωση που οι ρίζες του παρονομαστή είναι μιγαδικές (τετραγωνικοί

όροι) τότε οι συντελεστές που αντιστοιχούν στις μιγαδικές ρίζες είναι μεταξύ

τους συζυγείς όταν οι συντελεστές της αρχικής σχέσης είναι πραγματικοί

αριθμοί.

11 1 0

11 1 0

( )( ) ,

( )

m mm m

n nn

b s b s b s bP sX s m n

Q s s a s a s a

1 2

1 2 1 2

( )( )

( )( ) ( )

n

n n

kk kP sX s

s λ s λ s λ s λ s λ s λ

( ) ( )i

i i s λk s λ X s




Εναλλακτική μέθοδος για τετραγωνικούς παράγοντες

Σε αυτή την περίπτωση αντί να βρούμε τις μιγαδικές ρίζες της παράστασης

και να την αναπτύξουμε σε δύο κλάσματα, μπορούμε απ’ ευθείας να βρούμε

ένα κλάσμα της μορφής

και να υπολογίσουμε τους συντελεστές Α και Β

● με απλή λύση του συστήματος εξισώσεων που προκύπτει εξισώνοντας την

αρχική ρητή συνάρτηση με την ανεπτυγμένη σε κλάσματα

● με short-cuts.

21 0

( )( )

( )( )

p sX s

q s s a s a

21 0s a s a

21 0

As B

s a s a




Επαναλαμβανόμενοι παράγοντες

όπου οι συντελεστές kj υπολογίζονται με τη μέθοδο του Heaviside και οι

συντελεστές ci υπολογίζονται με χρήση της

Υβριδικές μέθοδοι

Παραδείγματα αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace με ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα και χρήση των πινάκων

( 1)

1

1[( ) ( )]

( 1)!

ir

i i

s λ

dc s λ X s

i ds

1 21

1 2

1 2

1 2

( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

rr r r

j

j

j

c c cP sX s

s λs λ s λ s λ s λ s λ s λ

kk k

s λ s λ s λ



Ε.4 Επίλυση διαφορικών

εξισώσεων και απόκριση LTI

συστημάτων


E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων

● Επίλυση διαφορικών εξισώσεων

● Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστημάτων



Επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Με χρήση των ιδιοτήτων παραγώγισης και ολοκλήρωσης του μετ/σμού

Laplace

καθίσταται δυνατή η μετατροπή των ολοκληρω-διαφορικών εξισώσεων σε

αλγεβρικές εξισώσεις. Η λύση μεταφέρεται στο πεδίο του χρόνου με

αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace.

Επιπλέον, εφόσον η διαφορική εξίσωση αφορά στην απόκριση συστήματος,

είναι εύκολος ο διαχωρισμός της συνολικής απόκρισης σε

● Απόκριση μηδενικής κατάστασης, όπου οι αρχικές συνθήκες θεωρούνται

μηδενικές

● Απόκριση μηδενικής εισόδου, όπου η είσοδος θεωρείται μηδενική

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης με μετ/σμό Laplace

( ) ( 1)1 2

1

( )( ) (0 ) (0 ) (0 )

n nn n n

n n

d x t d ds X s s x s x x

dtdt dt

L

01 1( ) ( ) ( )

tx τ dτ X s x τ dτ

s s

L



Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστήματος

Έστω το LTI σύστημα του σχήματος

Με βάση την ιδιότητα της συνέλιξης του μετ/σμού Laplace, προκύπτει

Η συνάρτηση Η(s) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς και είναι γενίκευση

της απόκρισης συχνότητας για μιγαδικό s. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι

μιγαδική συνάρτηση

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t X s y t Y s

Y s H s X s

L L

( )x t ( )y t

( )X s ( )Y s( )H s

( )( )

( )

Y sH s

X s

( )( ) | ( ) | Re{ ( )} Im{ ( )}, j H sH s H s e H s j H s s σ jω




Η απόκριση συχνότητας λαμβάνεται από τη συνάρτησης μεταφοράς

θέτοντας s = 0 + jω

Η γραφική παράσταση της απόκρισης συχνότητας, π.χ. του πλάτους και της

φάσης είναι μια γραμμή συναρτήσει της συχνότητας.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης μεταφοράς είναι μια επιφάνεια στο

μιγαδικό επίπεδο.

Γενικά η συνάρτηση μεταφοράς έχει τη μορφή

Υπολογισμός απόκρισης συστήματος με μετ/σμό Laplace.

( )( ) | ( ) | ( ) | j H jωs jωH s H jω H jω e

11 1 0

11 1 0

1 2

1 2

...( )

...

είναι τα μηδενικά( )( ) ( ),

είναι οι πόλοι( )( ) ( )

m mm m

n nn

im

in

b s b s b s bH s

s a s a s a

zs z s z s z

ps p s p s p




Παραδείγματα πλάτους (magnitude) συνάρτησης μεταφοράς |H(s)|

2

2

2 8( )

3 2

sH s

s s

2

( )9

sH s

s


Buy SmartDraw!- purchased copies print this

document without a watermark .

Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.


Παραδείγματα LTI συστημάτων ως φίλτρα επιλογής συχνοτήτων

20

02 20

( )ω

H sω

s s ωQ







2

02 20

( )s

H sω

s s ωQ




0

02 20

( )

ωs

QH sω

s s ωQ

2 2

02 20

( ) zs ωH s

ωs s ω

Q

02 20

02 20

( )

ωs s ω

QH sω

s s ωQ




Χαμηλοπερατό Υψιπερατό

Ζωνοπερατό Ζωνοφρακτικό

Ολοπερατό



Συνάρτηση μεταφοράς και ευστάθεια LTI συστήματος

Ένα LTI σύστημα παρουσιάζει ευστάθεια πεπερασμένης εισόδου –

πεπερασμένης εξόδου (bounded-input, bounded-output – BIBO) όταν

για κάθε πεπερασμένη είσοδο, η έξοδός του είναι πεπερασμένη.

Αποδεικνύεται ότι

● Ένα ασυμπτωτικά ευσταθές LTI σύστημα είναι BIBO ευσταθές,

δηλαδή παράγει πεπερασμένη έξοδο για οποιαδήποτε πεπερασμένη

είσοδο. Άρα, για να είναι BIBO ευσταθές ένα σύστημα πρέπει όλοι

οι πόλοι να βρίσκονται στο αριστερο μιγαδικό επίπεδο.

● Ένα ασταθές ή στοιχειωδώς ευσταθές LTI σύστημα δεν είναι ΒΙΒΟ

ευσταθές, δηλαδή υπάρχουν πεπερασμένες είσοδοι που οδηγούν σε

απειρισμό της εξόδου. Δηλαδή, όταν οι πόλοι είναι στο δεξί μιγαδικό

επίπεδο ή στον φανταστικό άξονα, το σύστημα δεν είναι BIBO

ευσταθές.



Ε.5 Μετ/σμός Laplace και

ηλεκτρικά κυκλώματα


E.5 Μετ/σμός Laplace και ηλεκτρικά κυκλώματα

Μετασχηματισμός ηλεκτρικών στοιχείων

Μηδενικές αρχικές συνθήκες

Αυτεπαγωγή L με μηδενικό αρχικό ρεύμα:

Χωρητικότητα C με μηδενική αρχική τάση:

Αντιστάτης R

Νόμος των τάσεων του Kircchoff σε βρόχο

Νόμος των ρευμάτων του Kircchoff σε κόμβο

( )( ) ( ) ( )

di tυ t L V s LsI s

dt

L

( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dυ ti t C I s CsV s V s I s

dt Cs

L

( ) ( ) ( ) ( )υ t Ri t V s RI s L

1 1

( ) 0 ( ) 0k k

j j

j j

υ t V s

L

1 1

( ) 0 ( ) 0k k

j j

j j

i t I s

L




Μη μηδενικές αρχικές συνθήκες

Αυτεπαγωγή L με αρχικό ρεύμα i(0):

( )( ) ( ) [ ( ) (0)]

( ) (0)

(0)[ ( ) ]

di tυ t L V s L sI s i

dtLsI s Li

iLs I s

s

L

(0)i

s




Μη μηδενικές αρχικές συνθήκες

Χωρητικότητα C με αρχική τάση υ(0):

Παράδειγμα ανάλυσης ηλεκτρικού κυκλώματος με μετ/σμό Laplace

( ) 1 (0)( ) ( ) [ ( ) (0)] ( ) ( )

1[ ( ) (0)]

dυ t υi t C I s C sV s υ V s I s

dt Cs s

I s CυCs

L

(0)υ

s

1

Cs 1

Cs



Ε.6 Διασύνδεση συστημάτων



Σε πολλές περιπτώσεις ένα πλήρες σύστημα είναι ιδιαίτερα σύνθετο τόσο ως

προς τα είδη των λειτουργιών που επιτελεί, όσο και ως προς τη μορφή των

στοιχείων από τα οποία αποτελείται.

Συνήθως πραγματοποιείται διαμερισμός του συστήματος σε υποσυστήματα

που μπορούν να αναλυθούν ανεξάρτητα.

Με δεδομένες τις συναρτήσεις μεταφοράς των υποσυστημάτων, η συνάρτηση

μεταφοράς του συνολικού συστήματος μπορεί να υπολογιστεί με χρήση των

παρακάτω απλών σχέσεων εισόδου – εξόδου διασύνδεσης συστημάτων.

Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά

( )X s ( )H s ( )Y s

( )X s 1( )H s 2( )H s ( )Y s 1 2( ) ( )H s H s( )X s ( )Y s=



Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα

Σύστημα με ανάδραση

1( )H s

2( )H s

( )X s ( )Y s ( )X s 1 2( ) ( )H s H s ( )Y s=

( )X s

– ( )G s

( )H s

( )Y s ( )X s( )

1 ( ) ( )

G s

G s H s( )Y s=

Σήματα (lesson 5)

Documents

Transcript of Σήματα (lesson 5)