ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΤΡΑΚΗ ΚΥΠΡΙΑΝΟΥ 2019-2020 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨHΣ

ΤΕΥΧΟΣ Α: ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1) (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

2) (α – β)2 = α2 - 2αβ + β2

3) (α + β)(α – β) = α2 – β2

4) (α + β)3 = α3 + 3 α2 β + 3 α β2 + β3

5) (α - β)3 = α3 - 3 α2 β + 3 α β2 - β3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε τα αναπτύγματα:

α) 2

3

β) 5 3 5 3

γ) 2

35 2

δ) 2

2

ε) 3

2 5

2. Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του αποτελέσματος για

2

3 2

2 1 2 3 1 3 1 3 2

3. Να αποδείξετε την ταυτότητα: χ24)1χ)(1χ(5)3χ2()2χ3( 22

=

TΕΥΧΟΣ Α: ΕΝΟΤΗΤΑ 2. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ – ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ

ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Α. Παραγοντοποίηση

1. Ξεκινούμε με κοινό παράγοντα αν υπάρχει.

2. Μετρούμε το πλήθος των όρων που έχει το

πολυώνυμο και έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

2 όροι (Διώνυμο)

(i) Διαφορά τετραγώνων:

22

(ii) Διαφορά κύβων:

2233

(iii) Άθροισμα κύβων:

2233

Προσοχή!

Το 22 δεν παραγοντοποιείται!

3 όροι (τριώνυμο)

(i) Τριώνυμο της μορφής xax2

π.χ: )2()3(652 xxxx

)2()3(652 xxxx

)2()3(62 xxxx

)2()3(62 xxxx

(ii) τέλειο τετράγωνο:

222

222

)(2

)(2

4 όροι

(i) Ομαδοποίηση παίρνοντας 2 με 2

όρους.

(ii) Ομαδοποίηση παίρνοντας 3 με 1

όρους.

Οι 3 όροι συνήθως κάνουν τέλειο

τετράγωνο.

π.χ :

)6()6(6)(

36)(

362

22

2

22

axaxax

ax

aaxx

5 όροι

(i) Ομαδοποίηση παίρνοντας 3 με 2

όρους.

Οι 3 πρέπει να κάνουν τέλειο

τετράγωνο η

τριώνυμο της μορφής 2x

π.χ:

)5()(

)(5)(

552

2

22

axax

axax

axaaxx

6 όροι

(i) Ομαδοποίηση παίρνοντας 2 με 2 με 2

όρους.

(ii) Ομαδοποίηση παίρνοντας 3 με 3

όρους.

Οι 3 όροι συνήθως κάνουν τέλειο

τετράγωνο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πιο κάτω:

3 2

5 2 3

2

2

3

3

2

1) 5α 5β

2)20χ 5χ

3)2α β 6α β

4)9χ 16

5)χ 6χ 5

6)α 1

7)8α 2α

8)2ρ ρν 4ν 8

9)16χ 24χ 9

10)1 α β αβ

2

2 2

2 2

3 2

2 2 2

2 2 2

2 2

11)χ (2χ 1) 5(1 2χ)

12)α (β γ)

13)α β 2α 2β

14)χ χ 12χ

15)α 2αβ β γ

16)4χ 4χψ ψ 9ω

17)(3χ 6) (χ 1) (5χ 10) (χ 1)

18)κ(κ 1) λ(λ 1)

Β. Απλοποίηση Κλάσματος

1. Αναλύουμε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τον αριθμητή και τον παρονομαστή. 2. Θέτουμε περιορισμούς ως προς τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές,

έτσι ώστε να μην μηδενίζεται ο παρονομαστής. 3. Απλοποιούμε.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα:

2

2 2

3 4

5 2

2 2

3

2

3

2

2 2

2 2

2

2

2

3x xy(α)

9x y

12α βγ(β)

16αβ γ

x (x 1)(γ)

x x

αβ 2α 3β 6(δ)

α 2α 3

1 x(ε)

x x

x 2x 1(στ)

x 1

3α β 3αβ(ζ)

α β

x x(η)

x 1

9x 12x 4(θ)

6x 4

Γ. Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων

1. Αναλύουμε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τους παρονομαστές. 2. Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών. (Για να βρούμε ΕΚΠ αναλύουμε πλήρως τις αλγεβρικές παραστάσεις σε γινόμενο παραγόντων.

Παίρνουμε το γινόμενο όλων των διαφορετικών παραγόντων κοινών μη κοινών με το μεγαλύτερο εκθέτη).

3. Κάνουμε ομώνυμα και κάνουμε τις πράξεις στον αριθμητή. 4. Θέτουμε περιορισμούς ως προς τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές,

έτσι ώστε να μην μηδενίζεται ο παρονομαστής. 5. Αναλύουμε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τον αριθμητή (αν χρειάζεται) και

κάνουμε απλοποίηση.

Δ. Πολλαπλασιασμός αλγεβρικών κλασμάτων

1. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή. 2. Αναλύουμε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τον αριθμητή και τον παρονομαστή. 3. Θέτουμε περιορισμούς ως προς τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές,

έτσι ώστε να μην μηδενίζεται ο παρονομαστής. 4. Απλοποιούμε.

Ε. Διαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων

1. Αντιστρέφουμε τους όρους του διαιρέτη και πολλαπλασιάζουμε. Δηλαδή,

2. Αναλύουμε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

3. Θέτουμε περιορισμούς ως προς τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές,

έτσι ώστε να

μην μηδενίζεται ο παρονομαστής.

5. Απλοποιούμε.

Στ. Σύνθετα κλάσματα

Ένα κλάσμα του οποίου τουλάχιστο ο ένας όρος του είναι επίσης κλάσμα, λέγεται

σύνθετο κλάσμα.

1. Κάνουμε τις πράξεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

2. Αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος και πολλαπλασιάζουμε.

Δηλαδή,

3. Αναλύουμε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

4. Θέτουμε περιορισμούς ως προς τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές,

έτσι ώστε να

μην μηδενίζεται ο παρονομαστής.

5. Απλοποιούμε.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να κάνετε τις πράξεις και όλες τις δυνατές απλοποιήσεις.

2

3 2 5x 3(α)

2x 2 3x 3 6x 6

2 24x 9 x 1(β)

2x 2 4x 6

10)(x

x

x10

100xγ

2

)(

2

3x x 1 4x 2(δ)

2x 4 x 2 4 x

2 2 2

2 2

x 1 x x x(ε)

x 5x 6x 5 x 2x 1

2 2

4α 2αβ α(στ)

α β α βα β

2

3 2

12α 3αβ 8α 2β(ζ)

x x x x

2

2

x 2 x 1(η)

3x 3 x 5x 6

3 2

2 2

x 25x x 3x 10(θ)

2x 10x x 4x x

2. Να κάνετε τις πράξεις και όλες τις δυνατές απλοποιήσεις.

x y1

x y(α)

x y1

x y

3x 2

x(β)9

xx

3 1

α 2 α(γ)α 1

2α 4

3

2 2

2 2 6x(δ)

x 2y x 2y x 4y

Ζ. Επίλυση εξίσωσης (ανωτέρου του α’ βαθμού) με πλήρη ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. Μεταφέρουμε, αν χρειάζεται, όλους τους όρους στο α’ μέλος, έτσι ώστε το β’ μέλος

να είναι ίσο με μηδέν. 2. Αναλύουμε πλήρως το α’ μέλος σε γινόμενο παραγόντων. 3. Για να είναι το α’ μέλος ίσο με μηδέν πρέπει τουλάχιστον ένας από τους

παράγοντες να είναι ίσος με μηδέν. Δηλαδή, 0 0 ή 0

Ι. Επίλυση εξίσωσης της μορφής 02 xax

1. Αν 042 (Δ: διακρίνουσα θετική ή ίση με το μηδέν) τότε οι λύσεις/ρίζες

της εξίσωσης

είναι :

22,1

x

2. Αν 0 τότε δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις.

Θ. Κλασματικές Εξισώσεις

Προσοχή: Για να ορίζεται μια κλασματική εξίσωση, χρειάζεται οι παρονομαστές όλων των κλασμάτων να είναι διάφοροι του μηδενός. Έτσι δεν πρέπει να δεχτούμε σαν λύση της εξίσωσης μια τιμή που θα μηδένιζε τον παρονομαστή. 1. Αναλύουμε πλήρως σε γινόμενο παραγόντων τους παρονομαστές. 2. Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών. 3. Βρίσκουμε τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν το ΕΚΠ (και συνεπώς τον

παρονομαστή). 4. Κάνουμε ομώνυμα. 5. Απαλείφουμε τους παρονομαστές. 6. Κάνουμε τις πράξεις. 7. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. 8. Απορρίπτουμε τις λύσεις που μηδενίζουν το ΕΚΠ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις:

2(α)x 7 6x

(β)(x 5) (x 3) 0

2(γ)4x 25

(δ)(2x 1) (3 x) (x 7) 0

(ε)(x 3) (x 4) 3x

3 2

2

2x 5x x x(στ)

x 1 2x 4x x 2

2

2

1 x x 2 1(η)

x 2 x 2x 4

2

y 1 2y 2(θ)

y 2 y 3y y 6

2. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α)22 16 0

β) 2 3 4

γ) 2 20 0

δ) 3 22 9 18

ε) 28 2 1 0

στ) 23 8 4 0

ζ) 22 1 0

η) 23 11 4 0

θ) 22 5 3 0

ΤΕΥΧΟΣ Α: ΕΝΟΤΗΤΑ 3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

(χρειαζόμαστε 3 στοιχεία από τα οποία τα ένα τουλάχιστο να είναι πλευρά)

1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π – Π – Π)

2ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π – Γ – Π)

3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Γ – Π – Γ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνετε η γωνιά ˆxOy και ΟΑ = ΟΒ.

α. Αν ΑΔ και ΒΓ είναι οι αποστάσεις των σημείων

Α και Β από τις πλευρές Oy και Ox αντίστοιχα, να

δείξετε ότι ˆ ˆ .

β. Αν το σημείο τομής των ΑΔ και ΒΓ είναι το

σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΚΒ είναι

ισοσκελές.

2. Σε ισοσκελές τρίγωνο , , φέρω τη διάμεσο . Αν τυχόν σημείο της

διαμέσου , να δείξετε ότι .

3. Σε ισοσκελές τρίγωνο , , φέρουμε το ύψος . Προεκτείνουμε τις

πλευρές και κατά τμήματα και αντιστοίχως, έτσι ώστε . Να δείξετε ότι : α)

β) τα σημεία και απέχουν ίσο από τη .

4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΠΡΣ (ΠΡ=ΠΣ) και ΠΛ είναι η διχοτόμος της γωνιάς Π. Να

δείξετε ότι το σημείο Λ απέχει ίσο από τις πλευρές ΠΡ και ΠΣ. 5. Πάνω σε ευθεία (ε) παίρνω τρία σημεία. Α,Β,Γ. Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο

ΑΒΔ όπου Δ η τρίτη κορυφή του. Στη συνέχεια κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο ΒΕΓ

όπου Ε η τρίτη κορυφή του. .

Να αποδείξετε ότι ΔΓ =ΑΕ

6. Σε ισοσκελές τρίγωνο , , φέρουμε το ύψος . Προεκτείνουμε τις

πλευρές και κατά τμήματα και αντιστοίχως, έτσι ώστε . Να δείξετε ότι : ι) και ιι) τα σημεία και απέχουν ίσο από τη .

ΤΕΥΧΟΣ B: ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Ημίτονο: 𝜂𝜇𝛢 =𝛣𝛤

𝛢𝛤

Συνημίτονο: 𝜎𝜐𝜈𝛢 =𝛢𝛣

𝛢𝛤

Εφαπτομένη: 𝜀𝜑𝛢 =𝛣𝛤

𝛢𝛣

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Από το σχήμα να βρείτε:

α) ημ Β =

β) συν Β =

γ) εφ Γ =

1.

2. Να βρείτε τις οξείες γωνίες ω και θ κατά προσέγγιση ακεραίου.

α) ημθ = 0,1908 β)εφω = 5,671

6

8 Γ

Α

Β

3. Ένας άνθρωπος βρίσκεται σε απόσταση 10 m από ένα δέντρο και θέλει να υπολογίσει

το ύψος του. Με ειδικό γωνιόμετρο υπολογίζει ότι παρατηρεί το δέντρο υπό γωνιά 50 . Αν το ύψος του ανθρώπου είναι 1,72 m , πόσο είναι το ύψος

(h) του δέντρου;

4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα χριστουγεννιάτικο δέντρο. Αν δίνονται: 2,54 m

, 0ˆ 75 και 0ˆ 78 .Να βρείτε:

α) το ύψος του δέντρου,

β) το μήκος του αστεριού.

5. Δίνεται ορθόγωνιο τρίγωνο ΒΓΔ (Β = 90° ) με ΒΓ = 10m, ΔΓΕ = 15° και ΕΓΒ = 45°. Να

υπολογίσετε τα χ, ψ, ζ και ω κατά προσέγγιση δεκάτου.

ΤΕΥΧΟΣ Β: ΕΝΟΤΗΤΑ 5. ΕΥΘΕΙΑ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

10 m

50

1,72 m

h

Α. Απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α(x1,y1) και Β(x2,y2)

212

2

12 yyxx

Β. Μέσο ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ

Αν Μ είναι το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(x1,y1) και

Β(x2,y2), τότε οι

συντεταγμένες του Μ(xΜ,yΜ) δίνονται από τις σχέσεις :

2

21 xxx

2

21 yyy

Γ. Εξίσωση ευθείας και κλίση ευθείας

ΜΟΡΦΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΛΙΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

xy

Το σημείο (0, β) είναι το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα των ψ.

xy

Η ευθεία περνά από την αρχή των αξόνων δηλαδή από το σημείο (0,0).

y

0

Η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα των ψ στο σημείο (0,β). Είναι παράλληλη με τον άξονα των χ.

x

δεν

ορίζεται

Η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα των χ στο σημείο (κ, 0). Είναι παράλληλη με τoν άξονα των ψ.

yx

ΠΡΟΣΟΧΗ: A είναι ο συντελεστής του x και Β είναι ο συντελεστής του y.

Η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) είναι ίση

12

12

xx

yy

Κάθε ευθεία xy τέμνει τον άξονα των y στο σημείο (0, β).

Δ. Σχετικές θέσεις ευθειών

Έστω 222

111

:

:

xy

xy δύο ευθείες:

Αν οι ευθείες έχουν διαφορετικές κλίσεις 21 λλ τότε οι ευθείες

ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ. Το σύστημα των εξισώσεων έχει μια μόνο λύση.

Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις 21 λλ και διαφορετικές σταθερές

21 ββ τότε οι ευθείες είναι ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ. Το σύστημα των εξισώσεων

λέγεται αδύνατο δηλαδή δεν έχει λύση.

Αν οι ευθείες έχουν ίσες κλίσεις 21 λλ και ίσες σταθερές

21 ββ τότε οι

ευθείες ΤΑΥΤΙΖΟΝΤΑΙ ή ΣΥΜΠΙΠΤΟΥΝ. Το σύστημα των εξισώσεων

λέγεται αόριστο δηλαδή έχει άπειρες λύσεις.

Ε. Συνθήκη καθετότητας

Οι ευθείες 222

111

:

:

xy

xyείναι κάθετες αν και μόνο αν 121

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας:

α) που διέρχεται από τα σημεία ( 6, -1 ) και ( 3, 2 ),

β) που περνά από το σημείο (3,-6) και είναι παράλληλη με την ευθεία 3𝑥 − 𝑦 = 5,

γ) που περνά από το σημείο (-10,3) και είναι κάθετη με την ευθεία 2𝑦 = 5𝜒 − 3.

2. Να βρεθεί ο α ώστε οι ευθείες 𝑦 = 2𝜒 − 5 και 𝑦 = (2𝑎 − 7)𝜒 + 9 να είναι παράλληλες.

3. Nα βρεθεί η τιμή του α ώστε οι ευθείες 532 yx και 012 yax να είναι κάθετες.

Να λύσετε τα συστήματα:

α) 𝑥 − 𝑦 = 9

𝑥 + 𝑦 = 13

β) 2𝛼 − 3𝛽 = −6

𝛼 − 2𝛽 = −5

γ) 2𝑥

5−

𝑦

3=

8

3

𝑥 = 2(𝑦 + 1)

4. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 260 παιδιά ,τα οποία μένουν σε 50 σκηνές των 4 ατόμων και

6 ατόμων. Αν

όλες οι σκηνές είναι γεμάτες να βρείτε πόσες είναι οι σκηνές των 4 ατόμων και 6 ατόμων.

5. Ο κερματοδέκτης ενός μηχανήματος πώλησης αναψυκτικών δέχεται κέρματα του ενός ευρώ

και δύο

ευρώ. Όταν ανοίχτηκε, διαπιστώθηκε ότι περιείχε 80 κέρματα συνολικής αξίας 95 ευρώ. Πόσα

κέρματα

από κάθε είδος υπήρχαν;

6. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(1,4) Β(−2,5) και Γ(−1,3) .

α) Να υπολογίσετε τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου.

β) Να βρείτε το μέσο του ΑΒ.

γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

δ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΓΔ.

ε) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΒΕ.

7. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με συντεταγμένες κορυφών

Α(2,4) , Β(7,4), Γ(4,0) και Δ(-1,0).

α) Να δείξετε ότι ΑΔ//ΒΓ.

β) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ.

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των

διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ.