ΟΙ ΠΥΡΓΟΙ ΤΟΥ HANOI
1
Το πρόβλημα των πύργων του Hanoi επινοήθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Edouard Lucas (γνωστό για τηξ μελέτη του στην ακολουθία fibonaci) τo 1883! Στο πρόβλημα δίνονται 3 στύλοι 1,2,3 αντίστοιχα καθώς και n δίσκοι διαφορετικών μεγεθών οι οποιοι είναι αρχικά τοποθετημένοι στον στύλο 1, σχηματίζοντας έναν κώνο με τον μεγάλο δίσκο να βρίσκεται κάτω και τον πιο μικρό πάνω. Το ζητούμενο είναι να μεταφερθούν όλοι οι δίσκοι από ον στύλο 1 στον στύλο3, μετακινώντας μόνο 1 δίσκο τη φορά και προσέχοντας να μην είναι ποτέ ένας μικρός δίσκος κάτω από έναν μεγαλύτερο. Οι πύργοι του Hanoi παρόλο που είναι ένα κλασσικό πρόβλημα που χρησιμοποιείται η έννοια της αναδρομής είναι και ένα κλασικό παιχνίδι! Πώς όμως θα υπολογίσουμε τον αριθμό των ελαχίστων κινήσεων όταν ο αριθμός των δίσκων είναι πολύ μεγάλος; ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΣΚΩΝ n ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΕΩΝ K(n) ΕΠΑΓΩΓΙΚΑ ΠΛΗΘΟΣ ΚΙΝΗΣΕΩΝ K(n) 0 K(0)=0 1 1 K(1)=2 K(0)+1=2 0+1=1 1 2 K(2)=2 K(1)+1=2 1+1=2+1=3 3 3 K(3)=2 K(2)+1=2 3+1=6+1=7 7 … … … n-1 K(n-1)=2 K(n-2)+1 K(n-1) n K(n)=2 K(n-1)+1 K(n) Αθροίζοντας κατά μέλη λαμβάνουμε τη σχέση: Κ(n)=2 n - 1.
Transcript of ΟΙ ΠΥΡΓΟΙ ΤΟΥ HANOI
-
Hanoi
Edouard Lucas (
fibonaci) o 1883!
3 1,2,3 n
1,
.
1 3, 1
.
Hanoi
!
;
n K(n)
K(n)
0 K(0)=0 1
1 K(1)=2 K(0)+1=2 0+1=1 1
2 K(2)=2 K(1)+1=2 1+1=2+1=3 3
3 K(3)=2 K(2)+1=2 3+1=6+1=7 7
n-1 K(n-1)=2 K(n-2)+1 K(n-1)
n K(n)=2 K(n-1)+1 K(n)
: (n)=2 n - 1.
