Οριζόντια βολή με geogebra 3

61
1 Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013 ΕΚΦΕ Εύβοιας Σενάριο Διδασκαλίας Εικόνα 1. Συμμετοχή του ΕΚΦΕ Εύβοιας στο διαγωνισμό pathway του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής για τη προώθηση της Διερευνητικής Μάθησης. Ανεξαρτησία των κινήσεων και Οριζόντια Βολή Φυσική γενικής παιδείας Β λυκείου

description

ymichas Γιάννης Μίχας Inquiry Based Science Education indepedence of Motions and Horizontal Projectile

Transcript of Οριζόντια βολή με geogebra 3

Page 1: Οριζόντια βολή με geogebra 3

1

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΕΚΦΕ Εύβοιας

Σενάριο Διδασκαλίας

Εικόνα 1.

Συμμετοχή του ΕΚΦΕ Εύβοιας στο διαγωνισμό pathway του Ινστιτούτου

Εκπαιδευτικής Πολιτικής για τη προώθηση της Διερευνητικής Μάθησης.

Ανεξαρτησία των κινήσεων και

Οριζόντια Βολή

Φυσική γενικής παιδείας Β λυκείου

Page 2: Οριζόντια βολή με geogebra 3

2

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Διδακτικό σενάριο: Αρχή Ανεξαρτησίας των Κινήσεων, Οριζόντια Βολή

Εμπλεκόμενες γνωστικές περιοχές: Φυσική Β’ Λυκείου Κατεύθυνσης

Συμβατότητα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών: Προβλέπεται από το ΔΕΠΠΣ-ΑΠΣ

Φυσικής Β λυκείου γενικής παιδείας στη Θεματική ενότητα Καμπυλόγραμμες κινήσεις

http://digitalschool.minedu.gov.gr/modules/document/file.php/DSGL-

B134/%CE%94%CE%95%CE%A0%CE%A0%CE%A3-%CE%91%CE%A0%CE%A3/physics.pdf

Συγκεκριμένα αναφέρεται ότι οι μαθητές πρέπει να:

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ

ΒΑΣΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ

ΣΤΟΧΟΙ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΖΟΝΤΙΙΑ ΒΟΛΗ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ • Αρχή της

ανεξαρτησίας των κινήσεων.

• Οριζόντια βολή

Ο/Η µαθητής /τρια: • Να διατυπώνει και να εφαρµόζει

την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων.

• Να διακρίνει τις δύο απλές κινήσεις που συνιστούν την οριζόντια βολή και να χρησιµοποιεί τις εξισώσεις που περιγράφουν µαθηµατικά τις δύο αυτές κινήσεις για να υπολογίζει τα στοιχεία της οριζόντιας βολής.

∆ραστηριότητες: • Ποιοτική µελέτη της

ανεξαρτησίας των κινήσεων στο εργαστήριο

• Ποιοτική µελέτη της οριζόντιας βολής στον Η/Υ.

Συντάκτης: Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Διδακτικοί στόχοι:

Οι μαθητές να μπορούν:

Γνώσεις:

•••• Να αναγνωρίζουν τις δύο συνιστώσες κινήσεις στις οποίες αναλύεται μια σύνθετη κίνηση .

•••• Να αναλύουν τη σύνθετη κίνηση σε απλές.

•••• Να συνθέτουν από τις απλές τη σύνθετη κίνηση (συνισταμένη μετατόπιση και ταχύτητα).

•••• Να ανακαλύψουν μόνοι τους από ποιούς παράγοντες επηρεάζεται και από ποιούς δεν

επηρεάζεται η κάθε κίνηση.

•••• Να εξάγουν τις μαθηματικές εξισώσεις των δύο κινήσεων.

•••• Να εφαρμόζουν τις εξισώσεις σε προβλήματα.

•••• Να χειρίζονται εικονικές και πραγματικές πειραματικές διατάξεις.

Ικανότητες:

Page 3: Οριζόντια βολή με geogebra 3

3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

•••• Να αναπτύξουν την ικανότητα συνεργασίας με τα υπόλοιπα μέλη της ομάδας εκτελώντας

πειραματική διαδικασία.

•••• Να αναπτύξουν δεξιότητες με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού.

•••• Να εξάγουν συμπεράσματα από τα πειραματικά δεδομένα μετά από επεξεργασία με τη

χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή.

•••• Να συλλέγουν και να καταγράφουν με οργανωμένο τρόπο τα πειραματικά δεδομένα.

•••• Να αναπτύξουν την ικανότητα να αναλύουν ένα πρόβλημα σε επιμέρους ερωτήματα και

του σχεδιασμού κατάλληλων πειραματικών διατάξεων για τη διερεύνηση αυτών των

ερωτημάτων,

Στάσεις

•••• Να αναπτύξουν θετική στάση απέναντι στην επιστήμη και την τεχνολογία.

•••• Να αναγνωρίσουν τη σημασία της μεθοδικής προσχεδιασμένης εργασίας και της

φαντασίας και του ελέγχου αυτών των σκέψεων που παρήγαγε η φαντασία.

Διάρκεια: 8 ώρες για τους μαθητές (4 για τους καθηγητές).

Μεθοδολογική προσέγγιση:

Το διδακτικό σενάριο υποστηρίζεται από το «Φύλλο Εργασίας του μαθητή», το οποίο

περιέχει 14 πραγματικά και εικονικά πειράματα και λογικές συνδέσεις καθοδηγούμενης

ανακάλυψης μεταξύ των πειραμάτων. Το Φύλλο Εργασίας είναι ακριβώς το ίδιο κείμενο με

το παρόν σενάριο, με τη διαφορά ότι δεν περιέχει τις απαντήσεις, στις ερωτήσεις που

γίνονται, οι πίνακες είναι κενοί και δεν υπάρχουν στόχοι και άλλο υλικό που δεν ενδιαφέρει

τους μαθητές.

Στην εργασία αυτή χρησιμοποιούνται 4 εργαλεία

1) Γνωστική σύγκρουση

2) Geogebra

3) EXCEL

4) Στροβοσκοπική μέθοδος

Γνωστική σύγκρουση

Σαν μέθοδο για την επίτευξη των στόχων χρησιμοποιείται η γνωστική σύγκρουση των

μαθητών με τις εναλλακτικές απόψεις. Η μέθοδος αυτή διευκολύνει τη δραστική αλλαγή

των ιδεών που έχουν οι μαθητές για τις σύνθετες κινήσεις. Μέσα από τις κατάλληλες

ερωτήσεις των φύλλων εργασίας, είτε σε πειραματική διαδικασία, είτε με χρήση

λογισμικού αναθεωρούν τις λάθος απόψεις τους και εντάσσουν τις νέες γνώσεις τους στις

ήδη διαμορφωμένες νοητικές αναπαραστάσεις. Για το λόγο αυτό, πρέπει να γνωρίζουμε εξ

αρχής τις προϋπάρχουσες ιδέες των μαθητών. Εκτός του ότι επιτυγχάνεται κλωνισμός των

ιδεών των μαθητών, με το να δοκιμάζονται αυτές οι ιδέες στην επιστημονική λογική και το

πείραμα, η μέθοδος αυτή βοηθά τους μαθητές να ανακατασκευάσουν μια πιο

επιστημονική αντίληψη των πραγμάτων.

Page 4: Οριζόντια βολή με geogebra 3

4

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Geogebra

To Geogebra είναι ένα λογισμικό που μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε εικονικά

πειράματα που να απαντούν ακριβώς στην λάθος αντίληψη του μαθητή. Για παράδειγμα, οι

μαθητές πιστεύουν ότι ένα σώμα με μικρή αρχική ταχύτητα πέφτει πιο γρήγορα από ένα

σώμα με μεγάλη αρχική ταχύτητα, γιατί η ταχύτητα εξασθενεί πιο γρήγορα και η βαρύτητα

δρα αφού έχει εξαντληθεί η οριζόντια ταχύτητα. Με το Geogebra φτιάχνουμε ένα

πρόγραμμα που δείχνει δύο σώματα με διαφορετικές αρχικές ταχύτητες να βάλλονται από

το ίδιο ύψος και να βρίσκονται διαρκώς στο ίδιο ύψος καθώς κατεβαίνουν. Φτιάχνουμε

δηλαδή κατά παραγελία ένα πείραμα ακριβώς για να κλωνίσουμε τη λάθος ίδέα που είχαν

σχηματίσει οι μαθητές

EXCEL

Το EXCEL χρησιμοποιείται σαν χαρτί millimetre για τη γρήγορη και ακριβή δημιουργία

γραφικών παραστάσεων, την εξαγωγή των μαθηματικών εξισώσεων που διέπουν τις

κινήσεις και τον έλεγχο της ποιότητας της γραφικής παράστασης, με το συντελεστή R2

(μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων). Οι μαθητές λειτουργούν σαν κανονικοί επιστήμονες, και

σε πολύ σύντομο χρόνο. Κάνουν το εικονικό πείραμα, παίρνουν μετρήσεις, κάνουν

γραφικές παραστάσεις και εξάγουν μόνοι τους τις μαθηματικές εξισώσεις. Κι όλα αυτά

πολύ γρήγορα.

Στροβοσκοπική μέθοδος (Windows Moviemaker)

Περιγράφεται στη σελίδα 47

Συνοπτική περιγραφή του σεναρίου

Στο σενάριο ξεκινάμε πάντα από μια λανθασμένη ιδέα των μαθητών. Για να τους φέρουμε

σε γνωστική σύγκρουση, κάνουμε ένα εικονικό εργαστήριο στο οποίο στοχεύουμε σε δύο

πράγματα. Να δείξουμε ότι:

- οι κινήσεις στους δύο άξονες είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη

- Εξαγωγή μαθηματικών τύπων.

Ακολουθεί επαλήθευση με πραγματικό εργαστήριο και σύγκριση πειραματικών και

εικονικών αποτελεσμάτων.

Πρακτικές εφαρμογές και αξιολόγηση.

Το πρώτο μέρος της εργασίας γίνεται στο εργαστήριο πληροφορικής, σε ομάδες των 2

μαθητών ανά Η/Υ. Το Φύλλο Εργασίας, δεν εκτυπώνεται, αλλά δίνεται στον Η/Υ, λόγω του

μεγάλου μεγέθους του. Εκτυπώνονται μόνο οι πίνακες, που πρέπει να συμπληρωθούν, οι

εικόνες και οι ερωτήσεις αξιολόγησης (19 σελίδες, αρχείο “προς φωτοτύπηση.doc”).

Το δεύτερο μέρος γίνεται στο εργαστήριο φυσικής. Έχουν στηθεί 4 συσκευές με

φωτοπύλες. Οι μαθητές θα δουλέψουν ανά 5 σε κάθε συσκευή. Ακολουθεί η

στροβοσκοπική μελέτη που γίνεται σε ολομέλεια. Η αξιολόγηση γίνεται πάνω στο Φύλλο

Εργασίας. Όπου χρειάζεται Η/Υ γίνεται σε ολομέλεια.

Page 5: Οριζόντια βολή με geogebra 3

5

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ

ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ

• Ένα φύλλο και μια βάρκα αφημένα σε ένα ποτάμι. Το φύλλο θα κινηθεί πιο

γρήγορα γιατί είναι πιο ελαφρύ.

• Ο χρόνος που χρειάζεται μια βάρκα για να περάσει ένα ποτάμι εξαρτάται από τη

διαδρομή που θα ακουλουθήσει. Άρα εξαρτάται από το ρεύμα του ποταμού, αφού

πιο δυνατό ρεύμα θα βγάλει τη βάρκα πιο κάτω στο ποτάμι.

• Ένα πλατανόφυλλο παρασύρεται από το ποτάμι. Ενας κολυμβητής κολυμπά προς

την απέναντι όχθη. Αν κολυμπήσει πιο γρήγορα θα περάσει, από το σημείο τομής

των τροχιών των δύο κινήσεων, πριν από το πλατανόφυλλο, ενώ αν κολυμπήσει πιο

χαλαρά θα περάσει μετά.

• Ο κολυμβητής με τη προσπάθεια που καταβάλει πάει κόντρα στο ποτάμι, ενώ το

πλατανόφυλλο δεν μπορεί να πάει κόντρα. Έτσι ο κολυμβητής μπορεί να αλλάξει τη

θέση του στο ποτάμι κατά βούληση, ενώ το φύλλο δε μπορεί. Αυτό ισχύει και στους

δύο άξονες της κίνησης.

• Η ελεύθερη πτώση διαρκεί πιο λίγο από την οριζόντια βολή από το ίδιο ύψος, γιατί

η διαδρομή της είναι συντομότερη.

• Το βεληνεκές σε μια οριζόντια βολή εξαρτάται μόνο από την αρχική ταχύτητα και το

βάρος. Τα βαριά σώματα πάνε πιο κοντά, από τα ελαφριά. Το ύψος δεν παίζει

ρόλο.

• Δύο σώματα ξεκινούν ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος, με διαφορετική ταχύτητα. Το

πιο αργό σώμα, θα βρίσκεται, μετά από 1 sec, πιο χαμηλά από το γρήγορο, γιατί η

βαρύτητα έχει μεγαλύτερη επίδραση στα αργά σώματα.

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

• Διανυσματική πρόσθεση

• Εξισώσεις ευθύγραμμης ομαλής κίνησης

• Εύρεση συντεταγμένων σημείου σε καρτεσιανό σύστημα ορθογωνίων αξόνων.

• Ορισμοί ταχύτητας, επιτάχυνσης.

• Ανάλυση μονάδων

• Ανάλογα και αντίστροφα ανάλογα μεγέθη και η μαθηματική σχέση τους

Απαιτούμενα αρχεία

Αρχεία Geogebra. Τα αρχεία αυτά έχουν ήδη φορτωθεί στον Η/Υ. Επίσης μπορούμε να τα

βρούμε στο www.geogebratube.org. Γράφουμε το όνομα του αρχείου στα αγγλικά και

πατάμε «Αναζήτηση». Στα αποτελέσματα αναζήτησης, ελέγχουμε το δημιουργό του

(ymichas), επιλέγουμε το αρχείο με το mouse – ΛΗΨΗ – Λήψη Αρχείου(.ggb).

- Ποτάμι-βάρκα κινούμενο.ggb, INDEPENDENCE OF MOTIONS moving.ggb

- Ποτάμι-βάρκα ανεξαρτητες κινησεις.ggb, INDEPENDENCE OF MOTIONS boat-

river.ggb)

Page 6: Οριζόντια βολή με geogebra 3

6

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

- βολή διαφορετική ταχύτητα.ggb, (horizontal projectile different initial

velocities.ggb)

- βολή διαφορετικό ύψος.ggb, (horizontal projectile different initial height.ggb)

- βολή διαφορετικό ουράνιο σώμα.ggb, (horizontal projectile on other celestial

bodies.ggb)

- οριζόντια βολή με διανύσματα ταχύτητας.ggb, (horizontal projectile with velocity

vectors.ggb).

- βολή από μικρό ύψος.ggb, (horizontal projectile from small height.ggb)

- παιχνίδι βολής.ggb, (projectile game.ggb)

αρχεία pdf

- οριζόντια βολή με Geogebra 3.pdf

- οριζόντια βολή ΦΕ μαθητή.pdf

φάκελος ταινίες-εικόνες με τις ταινίες και τις φωτογραφίες που χρησιμοποιούνται στο

σεμινάριο.

WORD

- προς φωτοτύπηση.docx

- διευθύνσεις internet.docx

Επίσης χρειάζεται το EXCEL για την επί τόπου δημιουργία, γραφικών παραστάσεων.

Δίνεται επίσης ένα αρχείο με τις διευθύνσεις internet, που χρησιμοποιούνται στο σεμινάριο

για την εύκολη πρόσβαση σ’ αυτές και δίνονται σε χαρτί 18 σελίδες με τις εικόνες, τους

πίνακες που πρέπει να συμπλρωθούν και τις ασκήσεις που θα γίνουνκατά τη διάρκεια του

σεμιναρίου. Οι σελίδες αυτές δίνονται και σε ηλεκτρονική μορφή στο αρχείο: προς

φωτοτύπηση.docx).

οδηγίες εγκατάστασης Geogebra

- ανοίγουμε το internet – πληκτρολογούμε www.geogebra.org/cms/el/ το επίσημο

site της geogebra στα ελληνικά – Λήψη Αρχείων - Windows – αποθήκευση –

(επιλέγω C://program files (μέγεθος αρχείου 28,2 MB απαιτείται χρόνος 2 min για

αργό Η/Υ) –εκτέλεση – εκτέλεση – greek, επόμενο – Συμφωνώ, επόμενο – standard,

εγκατάσταση

- όπου υπάρχει το σημείο “ – “ και η παράγραφος έχει μεγαλύτερη εσοχή, (όπως

τώρα), πρόκειται για αναμενόμενες απαντήσεις μαθητών.

Page 7: Οριζόντια βολή με geogebra 3

7

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΣΤΟΧΟΣ 1.

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ X ΕΙΝΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ Y

Πείραμα 1

Θέλουμε να περάσουμε στην απέναντι όχθη ενός φανταστικού ποταμού με μία βάρκα. Το

ποτάμι και η βάρκα έχουν σταθερές ταχύτητες uπ = 4 m/sec, uβ = 10 m/sec, όπως φαίνεται

στο σχήμα, και το πλάτος του ποταμού είναι 100 m. Ένα πλατανόφυλλο επιπλέει και

παρασύρεται από το ρεύμα σε απόσταση 80 m από τη βάρκα. Τη στιγμή που η βάρκα

ξεκινά, το πλατανόφυλλο βρίσκεται στο σημείο Δ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Στο

σχήμα, φαίνεται η τροχιά της βάρκας και τα ίχνη της 2, 4, 6, 8 και 10 sec, (σημεία Σ, Τ, Υ, Μ,

Ρ), αφότου αυτή ξεκίνησε. Να σχεδιάσετε τα ίχνη του πλατανόφυλλου στις ίδιες χρονικές

στιγμές.

Ανοίξτε το αρχείο της Geogebra ‘ποτάμι-βάρκα κινούμενο.ggb’.

Στα σημεία Α, Β, Γ, Δ υπάρχουν 4 πλατανόφυλλα, που παρασύρονται από το ποτάμι. Το

πλατανόφυλλο της προηγούμενης ερώτησης, είναι αυτό που βρίσκεται 80 m μακριά από τη

βάρκα, δηλαδή το Δ. Μετακινείστε το δρομέα του χρόνου t στις τιμές 2 – 10 διαδοχικά και

συγκρίνετε με την απάντηση που δώσατε στη προηγούμενη ερώτηση.

- Το φύλλο και η βάρκα βρίσκονται πάντα σε μια ευθεία, που απλά μετατοπίζεται

παράλληλα με τον εαυτό της.

Εικόνα 2. Στιγμιότυπα μιας βάρκας που διασχίζει ένα ποτάμι. Στο σημείο Δ βρίσκεται ένα πλατανόφυλλο.

Page 8: Οριζόντια βολή με geogebra 3

8

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Αυξάνουμε τη ταχύτητα της βάρκας στα 20 m/sec. Θα προλάβουμε τώρα να περάσουμε τη

βάρκα, από το σημείο τομής των τροχιών, πριν περάσει το πλατανόφυλλο; ΝΑΙ ΟΧΙ

(κυκλώστε)

Σχεδιάστε πάνω στην εικόνα 1 τη νέα πορεία της βάρκας.

Ελέξτε την απάντησή σας στο Geogebra

- ΟΧΙ. Θα φτάσουμε πάλι μαζί με το πλατανόφυλλο

Μετρείστε τη τετμημένη x του πλατανόφυλλου και της βάρκας σε κάθε στιγμιότυπο και

συμπληρώστε το πίνακα.

t, sec x, cm πλατανόφυλλο x, cm βάρκα

0 0 0

2 8 8

4 16 16

6 24 24

8 32 32

10 40 40

Τι παρατηρείτε;

- Έχουν διαρκώς το ίδιο x.

Πως εξηγείται αυτό;

- Κινούνται με την ίδια ταχύτητα στον άξονα x.

Η βάρκα όμως αύξησε τη ταχύτητά της. Ίσως είχαν την ίδια ταχύτητα πριν, τώρα πως έχουν

πάλι, την ίδια ταχύτητα;

- Η ταχύτητα της βάρκας είναι στον άξονα y. Στον άξονα x δεν έχει επίδραση.

Πως γίνεται, όσο γρήγορα και να πηγαίνει η βάρκα, πάντα να μας προλαβαίνει το

πλατανόφυλλο; - Συμπέρασμα 1

- Στον άξονα x η κίνηση και της βάρκας και των φύλλων καθορίζεται αποκλειστικά

από τα ρεύμα του ποταμού

- Στον άξονα y κίνηση καθορίζεται αποκλειστικά από τη βάρκα.

- Η μία κίνηση δεν επηρεάζει την άλλη.

ΣΤΟΧΟΣ 2. ΔΥΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΟΜΑΛΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Page 9: Οριζόντια βολή με geogebra 3

9

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΙΑΣ ΑΓΝΩΣΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ

ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ

ΣΤΟΧΟΣ 2.1.

ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΚΙΝΗΣΗ ΔΕΝ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΚΙΝΗΣΗ

ΣΤΟΧΟΣ 2.2.

Ο ΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΘΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗ ΜΙΑ ΚΙΝΗΣΗ.

Πείραμα 2

Ανοίγουμε το site http://gbhsweb.glenbrook225.org/gbs/science/phys/shwave/rboat.html

Θέτουμε πλάτος ποταμού 100 m, uβάρκας 10 m/sec, uποταμού = 2 m/sec επιλέγουμε Trace

(ίχνος) και πατάμε start. Κάτω από την εικόνα του ποταμού φαίνεται ο χρόνος της κίνησης

και πόσα μέτρα διένυσε η βάρκα στους άξονες x και y.

Αυξάνουμε τη ροή του ποταμού σε 4 m/sec. Σχεδιάστε πάνω στο σχήμα τη τροχιά που

αναμένετε να ακολουθήσει η βάρκα. Προβλέψτε αν ο χρόνος κίνησης θα είναι μικρότερος,

μεγαλύτερος ή ίσος με τη προηγούμενη τιμή του (10 sec).

Αλλάξτε τη ταχύτητα του ποταμού σε 4 m/sec και ελέξτε την ορθότητα των υποθέσεών σας.

Επαληθεύτηκαν;

- ΟΧΙ. Ο χρόνος της κίνησης έμεινε ο ίδιος.

Από ποιους παράγοντες νομίζετε ότι εξαρτάται ο χρόνος που χρειάζεται η βάρκα για να

περάσει απέναντι;

Εικόνα 3. Πείραμα 2 – παράγοντες που επηρεάζουν το χρόνο κίνησης και τη κάθετη μετατόπιση της βάρκας.

Page 10: Οριζόντια βολή με geogebra 3

10

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

- uβ, uπ, d (πλάτος ποταμού).

Από ποιους παράγοντες νομίζετε ότι εξαρτάται η κάθετη μετατόπιση της βάρκας, s, (η

απόσταση ανάμεσα στο σημείο που βγαίνει η βάρκα στην απέναντι όχθη και στο σημείο

που θα έβγαινε αν δεν υπήρχε ρεύμα στο ποτάμι);

- uβ, uπ, d (πλάτος ποταμού)

Στο εικονικό πείραμα που έχουμε ανοίξει μας επιτρέπεται να μεταβάλλουμε το πλάτος

ποταμού (d), τη uβάρκας και τη uποταμού. Σχεδιάστε μια σειρά πειραμάτων για να ελέγξετε αν

οι παράγοντες που επιλέξατε στη προηγούμενη ερώτηση, όντως επηρεάζουν το χρόνο

κίνησης της βάρκας και με τι τρόπο (είναι ποσά ανάλογα, αντιστρόφως ανάλογα ή κάποια

άλλη σχέση). Σε κάθε πείραμα που κάνετε να θυμάστε να αλλάζετε μόνο μία παράμετρο

κάθε φορά και τις άλλες να τις κρατάτε σταθερές . Καλό είναι να έχετε ένα πείραμα

αναφοράς, δηλαδή να κάνετε το πρώτο πείραμα και μετά στα επόμενα πειράματα να

κρατάτε τις ίδιες τιμές σε όλα τα μεγέθη με αυτές που είχατε στο πείραμα αναφοράς, εκτός

από ένα μέγεθος που θα αλλάζετε κάθε φορά. Σε ένα από τα πειράματα θέστε uπ = 0.

Συμπληρώστε το πίνακα:

uπ, m/sec uβ, m/sec Πλάτος ποταµού, d, m

t, sec s, m

2 (αναφοράς) 10 100 10 20

3 10 100 10 30

4 10 100 10 40

0 10 100 10 0 2 20 100 5 10

2 5 100 20 40

2 10 140 14 28

2 10 70 7 14

Επαληθεύτηκαν οι υποθέσεις σας;

- Δεν επαληθεύτηκε η υπόθεση ότι το ρεύμα του ποταμού επηρεάζει το χρόνο

κίνησης.

Όταν uπ = 0, βρίσκουμε t=10 και το s=0. Σχολιάστε και δώστε μια εξήγηση. Είναι λογικό

αυτό;

- Το s=0 είναι λογικό, αφού δεν υπήρχε ρεύμα, η βάρκα βγήκε ακριβώς απέναντι

από εκεί που ξεκίνησε. Τα t=10, όμως δεν ήταν αναμενόμενο, γιατί, ενώ η βάρκα

έκανε τη μικρότερη δυνατή διαδρομή, ο χρόνος που χρειάστηκε για να περάσει

απέναντι, ήταν ο ίδιος με αυτόν που ήθελε, όταν υπήρχε ρεύμα και έκανε

μεγαλύτερες διαδρομές.

Page 11: Οριζόντια βολή με geogebra 3

11

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Ποδήλατο πάνω σε σανίδα

Φανταστείτε τώρα ότι στη θέση της βάρκας είναι ένα ποδήλατο. Υπάρχει επίσης μια φαρδιά

σανίδα, μήκους όσο το πλάτος του ποταμού, που επιπλέει και παρασύρεται από τη ροή του

ποταμού, μένοντας πάντα κάθετη στο ποτάμι (κάτι σαν κινούμενη πλωτή γέφυρα). Το

ποδήλατο είναι πάνω στη σανίδα και προχωράει προς την απέναντι όχθη με τη ταχύτητα

που είχε προηγουμένως η βάρκα. Πόσο χρόνο θα κάνει να περάσει απέναντι; - 10 sec

Αν σταματήσει τώρα το ποτάμι, σε τι θα επηρεαστεί η κίνηση του ποδηλάτου; Θα αλλάξει ο

χρόνος που χρειαζεται για να περάσει απέναντι; ΣΕ ΤΙΠΟΤΑ, ΟΧΙ

Αρα το ποδήλατο (ή η βάρκα) δεν ενδιαφέρονται για το αν υπάρχει ή όχι ρεύμα στο ποτάμι.

Κινούνται ανεξάρτητα από αυτό.

Το ποτάμι τώρα αλλάζει καθόλου τα κίνηση του επειδή μια βάρκα ή μια σανίδα επιπλέουν

πάνω του; ΟΧΙ

Και αυτό κινείται ανεξάρτητα από τη βάρκα ή τη σανίδα .

Διαφανοσκόπιο

Το διαφανοσκόπιο (ο πρόγονος του προτζέκτορα), διαθέται ένα καρούλι για μαζεύει το

ρολό της διαφάνειας. Αν τραβήξουμε με το μαρκαδόρο μια ίσια γραμμή σε κατεύθυνση

κάθετη στο τύλιγμα του ρολού, την ώρα που τυλίγουμε το ρολό, τότε τι θα σχεδιαστεί πάνω

στη διαφάνεια;

- Μια λοξή γραμμή

Αν επαναλάβουμε με μικρότερη ταχύτητα στο τύλιγμα του ρολού;

- Θα βγει μια λοξή γραμμή, πιο μεγάλης κλίσης από πριν.

Αν δεν τυλίγουμε το ρολό;

- Θα βγει μια γραμμή κάθετη (η πιο κοντή από όλες).

Λεωφορείο

Ας φανταστούμε τώρα ότι είμαστε σε ένα λεωφορείο και αλλάζουμε θέση. Πηγαίνουμε από

την αριστερή θέση στη δεξιά στη τελευταία σειρά καθισμάτων (που είναι 5). Σε τι αλλάζει η

κίνησή μας, ανάλογα με το αν το λεωφορείο κινείται ή είναι ακίνητο; - ΣΕ ΤΙΠΟΤΑ

Βρείτε την αναλογία ανάμεσα στο διαφανοσκόπιο, το λεωφορείο και το ποτάμι.

- Το ρολό στο διαφανοσκόπιο, όπως και το λεωφορείο, κινείται ή δεν κινείται, όπως

και το ποτάμι έχει ή δεν έχει ρεύμα. Ο μαρκαδόρος πηγαίνει από τη μια άκρη της

διαφάνειας στην άλλη, ο επιβάτης πηγαίνει από τη μια πλευρά του λεωφορείου

στην άλλη, και η βάρκα πηγαίνει από τη μια όχθη στην άλλη. Η κίνηση της

διαφάνειας – λεωφορείου - ποταμού είναι κάθετη στη κίνηση του μαρκαδόρου –

Page 12: Οριζόντια βολή με geogebra 3

12

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

επιβάτη - βάρκας. Σε όλες τις περιπτώσεις, η μια κίνηση δεν επηρεάζεται από την

άλλη και συμβαίνουν ταυτόχρονα.

Τελικά πως προσδιορίζεται η θέση του μαρκαδόρου - επιβάτη -- βάρκας;

- Η τελική θέση προκύπτει από τον συνυπολογισμό των δύο κινήσεων.

Επανερχόμαστε στο προηγούμενο πίνακα μετρήσεων.

Τι σχέση έχει το t με το uπ; - Δεν έχουν σχέση.

Τι σχέση έχει το t με το πλάτος του ποταμού; - ανάλογα t = k.d

Τι σχέση έχει το t με το uβ; - ανάλογα t = k/uβ

Τι σχέση έχει το s με το uπ; - ανάλογα s = k.uπ

Τι σχέση έχει το s με το πλάτος του ποταμού; - ανάλογα s = k.d

Τι σχέση έχει το s με το uβ; - αντιστρόφως ανάλογα s = k/uπ

Αν δύο μεγέθη α και β, είναι ευθέως ανάλογα, η μαθηματική σχεση που τα συνδέει

είναι . , ενώ αν είναι αντιστρόφως ανάλογα τότε έχουμε . Αν το μέγεθος α

είναι ταυτόχρονα ανάλογο και με το β και με το γ, τότε ισχύει . . . Γράψτε τις

μαθηματικές σχέσεις που προέκυψαν, μεταξύ του t με τα uβ, uπ και με το πλάτος του

ποταμού d, καθώς και μεταξύ του s με τα uβ, uπ και d, μετά τη σειρά πειραμάτων που

κάνατε. Μετά, από τα δεδομένα του πίνακα, να αντικαταστήσετε στους τύπους που

βρήκατε και να υπολογίσετε το k.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Εξάρτηση του t από τα uβ, uπ και d Εξάρτηση του s από τα uβ, uπ και d

.

1 2

Γιατί k=1

Λύνουμε το τύπο (1), ως προς

Page 13: Οριζόντια βολή με geogebra 3

13

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

d=uβ.t (3)

και βλέπουμε ότι είναι ο τύπος της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης. Προσέξτε ότι το d είναι

η απόσταση που θα διένυε η βάρκα, αν δεν υπήρχε ρεύμα στο ποτάμι και uβ, η ταχύτητα

της βάρκας. Δηλαδή και τα δύο μεγέθη αναφέρονται στη κίνηση της βάρκας (άξονας x).

Αντικαθιστούμε στον τύπο (2), όπου t, το ίσο του από το τύπο (1) και έχουμε

s = uπ.t (4)

δηλαδή πάλι ο τύπος της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης. Προσέξτε ότι το s είναι η

απόσταση που θα διένυε το ποτάμι, ακόμη και αν δεν υπήρχε βάρκα μέσα του και uπ, η

ταχύτητα του ποταμού. Δηλαδή και τα δύο μεγέθη αναφέρονται στη κίνηση του ποταμού

βάρκας (άξονας y).

Τι κοινό και τι διαφορετικό έχουν οι τύποι (3) και (4);

ΚΟΙΝΑ

- Περιγράφουν και οι δύο μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, τη κίνηση της βάρκας στον

άξονα x και τη κίνηση τουποταμού στον άξονα y.

- Ο χρόνος είναι ο ίδιος και για τις δύο κινήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ

- Οι ταχύτητες είναι διαφορετικές και οι αποστάσεις είναι διαφορετικές, τόσο σε

τιμή, όσο και σε κατεύθυνση.

Πείραμα 3

Πάμε πάλι στο Geogebra, στο αρχείο “ποτάμι-βάρκα ανεξαρτησια κινησεων.ggb”. Εδώ

υπάρχουν 2 βάρκες. Η ‘ΒΑΡΚΑ’ εκτελεί την πραγματική κίνηση που είναι ο συνδυασμός της

κίνησης του ποταμού και της βάρκας (uβ=10 και uπ=5). Κινείται με τον δρομέα Τ. Ενώ η

‘βάρκα’ εκτελεί τη μία κίνηση μόνο, αυτή του ποταμού (uπ=5), με το δρομέα t και μετά

εκτελεί την άλλη κίνηση, της βάρκας (uβ=10 ) με το δρομέα t’. Προχωράμε τη ‘βάρκα’

θέτοντας διαδοχικά το δρομέα t στο 1 - 10 και μετά θέτοντας το δρομέα t’ στο 1- 10. Μετά

προχωράμε τη ‘ΒΑΡΚΑ’ θέτοντας το δρομέα Τ διαδοχικά στο 1- 10. Το Geogebra μας δίνει

τις συντεταγμένες των βαρκών (x, y). Τι παρατηρείτε;

- Η κίνηση της ‘ΒΑΡΚΑΣ’ μπορεί να αναλυθεί σε δύο κινήσεις που γίνονται

ταυτόχρονα.

Ένας άλλος τρόπος για να αναλύσουμε τη κίνηση στο ποτάμι, είναι να χρησιμοποιήσουμε

τη ‘βάρκα’ και τη ‘βάρκαy’ (μια τρίτη βάρκα). Και οι δύο κινούνται ταυτόχρονα, με το

δρομέα t. Αν πάμε το δρομέα t στη θέση 5 και μετά πάμε και τον δρομέα Τ στην θέση 5,

βλέπουμε ότι οι θέσεις και των 3 βαρκών ταυτίζονται. Άρα

Page 14: Οριζόντια βολή με geogebra 3

14

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Συμπέρασμα 2

- Μπορούμε να βρίσκουμε τη θέση της ‘ΒΑΡΚΑΣ’ από τη διανυσματική πρόσθεση των

μετατοπίσεων στους δύο άξονες.

Για να δούμε αν γίνεται το ίδιο και με τις ταχύτητες. Χρησιμοποιήστε το τύπον (2) για να

υπολογίσετε την απόσταση ΑΙ στο σχήμα της Geogebra. Μετά υπολογίστε τη διαγώνιο ΑΗ

με πυθαγόρειο. Γνωρίζοντας το συνολικό χρόνο κίνησης υπολογίστε, τέλος τη συνισταμένη

ταχύτητα της βάρκας, uΣ.

- 5. 50

- 50 100 √2.500 10.000 √12.500 111,80

- $ %&' ,( ) *+, 11,18 /./

Με το πυθαγόρειο βρίσκουμε ότι όντως

$ 11,18 10 5 125 100 25

Οσον αφορά τη διεύθυνση της συνισταμένης ταχύτητας, υπολογίζεται αν ξέρουμε τη γωνία

φ. Τη γωνία αυτή τη βρίσκουμε από την τριγωνομετρική εφαπτομένη της:

011 2έ4456 7ά905:2;<=70ί?04: 7ά905: @@ 510 0,5 1 63C

Συμπέρασμα 3

- Μπορούμε να βρίσκουμε τη συνισταμένη ταχύτητα (μέτρο και διεύθυνση), από τη

διανυσματική πρόσθεση των συνιστωσών ταχυτήτων.

Page 15: Οριζόντια βολή με geogebra 3

15

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΣΤΟΧΟΣ 3. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΙΑΣ ΑΓΝΩΣΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ

ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ

ΣΤΟΧΟΣ 3.1.

ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΗ ΜΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΚΙΝΗΣΗ ΔΕΝ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΚΙΝΗΣΗ

ΣΤΟΧΟΣ 3.2.

Ο ΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΒΕΛΗΝΕΚΕΣ ΚΑΘΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΥΟ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

The Wile E. Coyote effect

ή ποια είναι η σωστή πορεία που ακολουθεί ένα σώμα που κάνει οριζόντια βολή;

Εικόνα 4. O Wile E. Coyote πέφτει απ’ το γκρεμό.

http://www.youtube.com/watch?v=Gq_bjaI0NTo (17 sec)

Page 16: Οριζόντια βολή με geogebra 3

16

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Εικόνα 5. Πιθανές διαδρομές σε μια οριζόντια βολή. http://www.studyphysics.ca/newnotes/20/unit02_circulargravitation/chp07_2d/lesson26.htm

Στα cartoons Roadrunner, το κογιότ τρέχει προς το γκρεμό, συνεχίζει για λίγο την οριζόντια

ευθύγραμμη κίνηση που είχε, ενώ δεν πατάει πια στο έδαφος, σταματάει για να κοιτάξει

κάτω το γκρεμό και μόνο όταν βλέπει ότι βρίσκεται στον αέρα αρχίζει την ελεύθερη πτώση.

Η κίνηση του φαίνεται στη πορεία 1 (πράσινη γραμμή). Προφανώς επηρεασμένο από το

cartoon, το 60% των αμερικανών που ρωτήθηκαν, ποια είναι η σωστή πορεία που

ακολουθεί ένα σώμα που κάνει οριζόντια βολή, απάντησε, ‘η πορεία 1’. Το 25% απάντησε

‘η πορεία 2’ και το 15% απάντησε ‘η πορεία 3’. Μπορούμε να κάνουμε μια ανάλογη

δημοσκόπηση στη τάξη.

Στο σεμινάριο αυτό θα ανακαλύψουμε ποια είναι η σωστή πορεία του κογιότ.

Μέθοδος προσέγγισης του προβλήματος

Η οριζόντια βολή είναι μια κίνηση σε επίπεδο. Απαιτεί λοιπόν να προσδιορίζουμε τη θέση

του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο με δύο συντεταγμένες (x, y). Θα δούμε μια τέτοια

κίνηση στο Geogebra και παράλληλα θα μαθαίνουμε και τον τρόπο λειτουργίας του

λογισμικού. Επιλέγουμε σαν πείραμα αναφοράς (πείραμα 1), τη οριζόντια βολή με αρχική

ταχύτητα uο=30 m/sec και από ύψος h=180 m, γιατί αυτή διαρκεί ακριβώς 6 sec (με g =10

m/sec2). Μπορούμε έτσι να πάρουμε επαρκή αριθμό σημείων (7), ένα ανά sec. Στο χρονικό

διάστημα 1 sec μπορούμε να βλέπουμε το Δx και το Δy, πως μεταβάλλονται. Η αριθμητική

τιμή των Δx και Δy, μας δίνει απ’ ευθείας τη ταχύτητα, αφού το Δt=1 sec. Ο χρόνος τρέχει

με ελεγχόμενο τρόπο κινώντας το δρομέα χρόνου, t . Καταγράφουμε τη θέση (x, y) του

κινητού ανά sec, το συνολικό χρόνο κίνησης και το βεληνεκές. Συγκρίνουμε τα δεδομένα

για να δούμε τι αλλάζει και τι μένει ίδιο.

Φτιάχνουμε επι τόπου ένα αρχείο Geogebra τοποθετώντας ένα τυχαίο σημείο Α (x,y) και

έναν δρομέα t (τιμές 0 έως 6 με βήμα 1). Αλλάζουμε με το mouse το x σε 30t και το y σε

180-5t^2).

Page 17: Οριζόντια βολή με geogebra 3

17

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Εικόνα 6. Βολή από h=180 m,με uo=30 m/sec στη Geogebra. Στιγμιότυπα ανά sec.

t, sec x, m y, m 0 0 180

1 30 175

2 60 160

3 90 135

4 120 100

5 150 55

6 180 0

Συνολικός χρόνος κίνησης = 6 sec, βεληνεκές = 180 m

Βρείτε τον τρόπο που μεταβάλλονται τα x και y

- Τα x = 30 επί έναν ακέραιο. Τα y = -5, -15, -25, -35, -45, -55 = -5 επί έναν μονό

ακέραιο (1, 3, 5, 7, 9)

Βλέπουμε ότι στον αξονα x, σε ίσους χρόνους διανύονται ίσα μέτρα, ενώ στον άξονα y,

κάθε 1 sec που περνάει , διανύονται όλο και περισσότερα.

Κατόπιν επαναλαμβάνουμε το εικονικό πείραμα, αλλάζοντας το uo ή το h. Κάθε φορά

κρατάμε τη μια παράμετρο (uo ή h) σταθερή και αλλάζουμε την άλλη. Ελέγχουμε αν και πως

αλλάζει η θέση του κινητού (x, y) και η ταχύτητά του. Επίσης καταγράφουμε το συνολικό

χρόνο κίνησης και το βεληνεκές.

Page 18: Οριζόντια βολή με geogebra 3

18

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΒΟΛΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΑΡΧΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ ΥΨΟΣ – Πειράματα 4, 5, 6

Ανοίγoυμε το αρχείο της Geobebra “βολή διαφορετικό ύψος.ggb”. Επιλέγουμε τις τροχιές

και τις ξετσεκάρουμε (δείξε αντικείμενο) με δεξί κλικ για να μη φαίνονται.

Εικόνα 7. Βολές από διαφορετικό ύψος με την ίδια αρχική ταχύτητα u4= 30 m/sec,

h4=180 m, h5 = 125 m και h6 = 0 m.

Πείραμα uo, m/sec h, m

4 (αναφοράς) 30 180

5 30 125

6 30 0

7 15 180

8 0 180

Page 19: Οριζόντια βολή με geogebra 3

19

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Άξονας x

t, sec x4, m x5, m x6, m Δx

0 0 0 0

30

1 30 30 30

30

2 60 60 60

30

3 90 90 90

30

4 120 120 120

30

5 150 150 150

30

6 180

180

Πίνακας 1.

Τι παρατηρείτε;

- Σε ίσους χρόνους διανύονται ίσα διαστήματα. Συγκεκριμένα διανύονται 30 m ανά

sec, όση δηλαδή είναι η αρχική ταχύτητα u1=30 m/sec. Η ταχύτητα παραμένει

σταθερή, όταν αλλάζουμε ύψος, και βλέπουμε ότι πάλι διανύονται ίσα μέτρα σε

ίσους χρόνους και μάλιστα πάλι 30 m όπως και πριν.

- Η μετατόπιση στον άξονα x παραμένει ίδια, ακόμη κι όταν δεν υπάρχει κατακόρυφη

κίνηση, δηλαδή όταν το σώμα εκτελεί ευθύγραμμα ομαλή κίνηση.

- Βολή από μικρότερο ύψος επηρεάζει το χρόνο κίνησης. Δεν αλλάζουν οι τιμές του x.

Οι τιμές του y αλλάζουν. Δεν αλλάζουν οι τιμές Δy.

Πως εξηγείται οι μετατοπίσεις να είναι ακριβώς ίδιες, ακόμη κι όταν δεν έχουμε κίνηση

στον άξονα y;

- η κατακόρυφη κίνηση δεν επηρεάζει καθόλου τη οριζόντια.

Page 20: Οριζόντια βολή με geogebra 3

20

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Άξονας y

Πίνακας 2.

Πείραμα 4. Συνολικός χρόνος κίνησης = 6 sec, βεληνεκές = 180 m

Πείραμα 5. Συνολικός χρόνος κίνησης = 5 sec, βεληνεκές =150 m

Πείραμα 6. Συνολικός χρόνος κίνησης = ∞, βεληνεκές = ∞

Ποιο σώμα φτάνει πρώτο; - Το 5.

Είναι λογικό αυτό; (Απάντηση μαθητή)

- ΝΑΙ γιατί διανύει τη μικρότερη διαδρομή

Τι παρατηρείτε ως προς τη θέση του κινητού, τη ταχύτητά του, το συνολικό χρόνο κίνησης

και το βεληνεκές συγκρίνοντας τα δεδομένα των πειραμάτων 2 και 3 με αυτά του

πειράματος αναφοράς;

- Στον άξονα x έχουμε στους ίδιους χρόνους, την ίδια θέση και την ίδια ταχύτητα.

Στον άξονα y έχουμε διαφορετικές θέσεις, πράγμα λογικό, αφού ξεκινούν από

διαφορετικό ύψος, έχουν όμως την ίδια ταχύτητα στον ίδιο χρόνο. Ο χρόνος

κίνησης είναι κατά 1 sec μικρότερος, πράγμα λογικό αφού έχει να καλύψει

μικρότερο ύψος κατά τη κάθοδό του. Το βεληνεκές είναι επίσης μικρότερο αφού

κινείται με την ίδια ταχύτητα ux για λιγότερο χρόνο.

Τι θα γίνει αν μειώσουμε κι άλλο το ύψος, μέχρι μηδενισμού;

Πείραμα 4 Πείραμα 5 Πείραμα 6

t, sec y1, m Δy1 y2, m Δy3 y3 Δy3

0 180

125

0

5 5

1 175 120 0

15 15

2 160 105 0

25 25

3 135 80 0

35 35

4 100 45 0

45 45

5 55 0 0

55

6 0 0

Page 21: Οριζόντια βολή με geogebra 3

21

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

- Είδαμε ότι η μείωση του ύψους δεν επηρεάζει τη κίνηση στον άξονα x. Έτσι στη

περίπτωση μηδενικού ύψους θα έχουμε μια κίνηση ευθύγραμμη και ομαλή στον

άξονα x και καθόλου κίνηση στον άξονα y.

Το κινητό στο πείραμα 1 έχει χρόνο κίνησης κατά 1 sec μεγαλύτερο από το κινητό στο

πείραμα 2. Τι έκανε το κινητό 1 σ’ αυτό τo 1 παραπάνω sec;

- Έκανε 25 m περισσότερα στον άξονα y και 30 m περισσότερα στον άξονα x.

Το σώμα διανύει περισσότερα μέτρα ανά sec, καθώς περνούν τα δευτερόλεπτα (5-15-25-

35-45-55). Όταν μειώνεται το ύψος διανύει πάλι τα ίδια μέτρα ανά sec. Κινείται όμως για

λιγότερο χρόνο.

Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα από το τύπο EέFG HIH'. Επειδή το Δt είναι

πάντα 1 sec, η uμέση = 5-15-25-35-45-55 m/sec. Σαν χρόνο αντιστοίχησης της ταχύτητας θα

πάρουμε το μέσο του χρονικού διαστήματος, δηλαδή 0,5 – 1,5 – 2,5 – 3,5 – 4,5 – 5,5 sec.

Μέσο ∆t, sec u, /sec Μέσο του µέσου ∆t, sec

a, m/sec2

0,5 5

1 10

1,5 15

2 10

2,5 25

3 10

3,5 35

4 10

4,5 45

5 10

5,5 55

Πίνακας 3.

Βλέπουμε ότι η μέση επιτάχυνση για τη κατακόρυφη κίνηση είναι και για τα δύο

σώματα

- a= 10 m/sec2.

Συμπέρασμα 4

Οι κινήσεις στον άξονα x είναι ακριβώς ίδιες μεταξύ τους και ίδιες με την ευθύγραμμη

ομαλή κίνηση. Πράγμα που σημαίνει ότι η κίνηση στον άξονα x δεν επηρεάζεται από τις

αλλαγές που κάναμε κατακόρυφη κίνηση. Οι κινήσεις στον άξονα y διαφέρουν ως προς τη

θέση, αφού ξεκινούν από διαφορετικό ύψος, είναι ίδιες όμως, ως προς τη ταχύτητα. Ο

χρόνος κίνησης είναι μικρότερος. Αυτό επηρεάζει και το βεληνεκές, αφού η κίνηση σταματά

πιο γρήγορα.

Page 22: Οριζόντια βολή με geogebra 3

22

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Ο τρόπος υπολογισμού της επιτάχυνσης είναι σωστός μόνο για τις ομαλές κινήσεις (όπως η

ελεύθερη πτώση). Για ανώμαλες κινήσεις πρέπει να πάρουμε το όριο του Δt να τείνει στο

μηδέν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι σωστός αυτός ο τρόπος και αυτό φαίνεται από το

ότι βγαίνει το ίδιο αποτέλεσμα για την επιτάχυνση όσο μικρό ή μεγάλο κι αν πάρουμε το Δt.

Για παράδειγμα, αν πάρουμε Δt = 3 sec έχουμε:

u1 = 45 m / 3 sec = 15 m/sec, u2 = 135 m / 3 sec = 45 m/sec και a = Δu/Δt = (45-15)/3 sec= 10

m/sec2.

ΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ και ΒΕΛΗΝΕΚΕΣ - Απάντηση μαθητή Από ποιους παράγοντες εξαρτάται ο χρόνος κίνησης;

- Η αναμενόμενη απάντηση των μαθητών είναι: “από τη τροχιά. Μεγαλύτερη τροχιά,

μεγαλύτερος χρόνος”. Αυτό οφείλεται στο ότι βλέπουν την οριζόντια βολή σαν

ενιαία κίνηση με μία ταχύτητα. Δεν αναλύουν δηλαδή σε συνιστώσες κινήσεις. Για

να ξεπεράσουν αυτό το γνωστικό εμπόδιο θα χρειαστούμε να κάνουμε βολές από

το ίδιο ύψος.

- Ο χρόνος κίνησης μπορεί επίσης να καθοριστεί, όχι από τη πρόσκρουση στο

έδαφος, αλλά σε έναν τοίχο. Να συναντήσει δηλαδή το κινητό, ένα εμπόδιο κατά

την οριζόντια κίνησή του, πριν συναντήσει εμπόδιο στη κατακόρυφη κίνηση

(έδαφος). Θα το εξετάσουμε κι αυτό με ένα παράδειγμα από το Geogebra.

Από ποιους παράγοντες εξαρτάται το βεληνεκές;

Απάντηση μαθητή

- Η αναμενόμενη απάντηση εδώ είναι: “από την αρχική ταχύτητα και το βάρος. Τα

βαριά σώματα πάνε πιο κοντά, από τα ελαφριά. Το ύψος δεν παίζει ρόλο, αφού

σύμφωνα με τον Coyot, λίγο μετά την εκκίνηση της οριζόντιας βολής, τα σώματα

πέφτουν κατακόρυφα”.

Page 23: Οριζόντια βολή με geogebra 3

23

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΙΔΙΟ ΥΨΟΣ, ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ ΑΡΧΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ - Πειράματα 4, 7, 8

Ανοίγoυμε το αρχείο της Geobebra “βολή διαφορετική ταχύτητα.ggb”. Επιλέγουμε τις

τροχιές και τις ξετσεκάρουμε (δείξε αντικείμενο) με δεξί κλικ για να μη φαίνονται.

Βάλουμε 3 σώματα Α, Β, Γ από το ίδιο ύψος, με ταχύτητες , u1=30 m/sec, u4= 15 m/sec, u5= 0

m/sec, όπως φαίνεται στην εικόνα 8.

Τα 3 σώματα ξεκινούν ταυτόχρονα. Μετά από 1 sec το σώμα Α βρίσκεται στη θέση (30, 175)

(Εικόνα 8). Δίνονται οι τροχιές και των 3 σωμάτων (Α κόκκινη, Β πράσινη και Γ κίτρινη

γραμμή). Προβλέψτε, την ίδια στιγμή που θα βρίσκονται τα άλλα δύο σώματα.

Τοποθετείστε ένα σημείο πάνω στο διάγραμμα της Geogebra για το κάθε κινητό. Εξηγείστε

γιατί το βάλατε εκεί.

- Θα τα βάλουν πιο μπροστά απ’ ότι πρέπει, γιατί νομίζουν ότι θα τερματίσουν

νωρίτερα από το Α.

Ποιο σώμα θα φτάσει πρώτο; -

- υπόθεση μαθητή: το Γ θα φτάσει πρώτο, μετά το Β, μετά το Α γιατί διατρέχει τη

μεγαλύτερη απόσταση.

Ανοίξτε τώρα το αρχείο Geogebra “βολή διαφορετική ταχύτητα.ggb” και ελέγξτε τη

πρόβλεψη και την απάντησή σας. Τρέξτε το δρομέα του χρόνου. Τι κοινό έχουν οι 3

κινήσεις;

- Τα τρία σώματα φτάνουν στο έδαφος ταυτόχρονα. Σε κάθε στιγμή βρίσκονται στο

ίδιο ύψος. Το y και το Δy είναι ίδιο .

Καταγράψτε τη θέση του κινητού και υπολογίστε τα Δx.

Εικόνα 8. Βολές από το ίδιο ύψος με διαφορετική αρχική ταχύτητα h=180 m, u4 = 30, u7= 15,

u8 = 0 m/sec.

Page 24: Οριζόντια βολή με geogebra 3

24

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Άξονας x

Πίνακας 4.

Τι παρατηρείτε;

- Βολή με τη μισή ταχύτητα, το σώμα διανύει Δx ανά sec μισά από πριν. Δεν

επηρεάζεται ο χρόνος κίνησης. Δεν επηρεάζονται τα y.

Άρα η θέση και η ταχύτητα στον άξονα x, στο πείραμα 7 έχει τις μισές τιμές σε σχέση με το

πείραμα αναφοράς (4).

Προσέξτε ότι οι ταχύτητες με τις οποίες κινούνται τα κινητά είναι οι αρχικές τους ταχύτητες.

Πείραμα 4. Συνολικός χρόνος κίνησης = 6 sec, βεληνεκές =180 m

Πείραμα 7. Συνολικός χρόνος κίνησης = 6 sec, βεληνεκές = 90 m

Πείραμα 8. Συνολικός χρόνος κίνησης = 6 sec, βεληνεκές = 0

Επαληθεύτηκαν οι προβλέψεις σας σχετικά με το χρόνο κίνησης; - ΟΧΙ.

Γιατί έχουν όλες τον ίδιο χρονο κίνησης;

- γιατί ξεκινούν από το ίδιο ύψος. Η κατακόρυφη κίνηση δεν εξαρτάται από την

οριζόντια. Τον ίδιο χρόνο χρειάζεται το σώμα για να φτάσει στο έδαφος, είτε κινείται

κατακόρυφα και ταυτόχρονα οριζόντια ,είτε κινείται μόνο κατακόρυφα.

Αφού έχουν τον ίδιο χρόνο κίνησης γιατί έχουν διαφορετικό βεληνεκές;

Πείραμα 4 Πείραμα 7 Πείραμα 8

t, sec x4, m Δx4 x7, m Δx7 x8 Δx8

0 0

0

0

30 15 0

1 30 15 0

30 15 0

2 60 30 0

30 15 0

3 90 45 0

30 15 0

4 120 60 0

30 15 0

5 150 75 0

30 15 0

6 180 90 0

Page 25: Οριζόντια βολή με geogebra 3

25

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

- Γιατί έχουν διαφορετική ux

Άξονας y

πείραμα 4 7 8

t, sec y4, m y7, m y8, m Δy

0 180 180 180

5

1 175 175 175

15

2 160 160 160

25

3 135 135 135

35

4 100 100 100

45

5 55 55 55

55

6 0 0 0

Πίνακας 5.

Τι παρατηρείτε;

- Η κατακόρυφη κίνηση δεν αλλάζει καθόλου και είναι μάλιστα ίδια με την ελεύθερη

πτώση, σαν να μην υπήρχε δηλαδή καθόλου οριζόντια συνιστώσα της κίνησης.

Προσέξτε ότι τα Δy είναι τα ίδια, όπως στο Πίνακα 3. Τι σημαίνει αυτό;

- Το Δy είναι η κατακόρυφη απόσταση που διανύεται σε 1 sec, δηλαδή η ταχύτητα.

Αυτή ή ταχύτητα αυξάνει με σταθερό ρυθμό. Το ότι τα Δy είναι ίδια σε όλες τις

βολές σημαίνει, ότι έχουμε πάντα την ίδια επιτάχυνση.

Τι παρατηρείτε ως προς τη θέση του κινητού, τη ταχύτητά του, το συνολικό χρόνο κίνησης

και το βεληνεκές συγκρίνοντας τα δεδομένα των πειραμάτων (7) και (8) με αυτά του

πειράματος αναφοράς (4);

- Στον άξονα x τιμές θέσης και ταχύτητας μισές,

- Στον άξονα y , όλα είναι ίδια

- Ίδιος χρόνος κίνησης, διαφορετικό βεληνεκές.

Page 26: Οριζόντια βολή με geogebra 3

26

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Συμπέρασμα 5

Ίδιο ύψος σημαίνει, ίδιος χρόνος καθόδου. Το βεληνεκές καθορίζεται από το χρόνο

καθόδου και την οριζόντια ταχύτητα. Εδώ ο χρόνος είναι ίδιος, αλλά όχι και η οριζόντια

ταχύτητα. Στον άξονα y έχουμε ακριβώς την ίδια θέση και την ίδια ταχύτητα και ίδια με την

ελεύθερη πτώση. Πράγμα που σημαίνει ότι η κίνηση στον άξονα y δεν επηρεάζεται από τη

οριζόντια κίνηση. Στον άξονα x έχουμε τιμές θέσης και ταχύτητας μισές σε σχέση με το

πείραμα αναφοράς, γιατί η αρχική ταχύτητα είναι μισή.

ΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ και ΒΕΛΗΝΕΚΕΣ Από ποιους παράγοντες εξαρτάται ο χρόνος κίνησης; Απάντηση καθηγητή

- Από το ύψος και τη βαρύτητα. Επίσης εξαρτάται και από το αν βρει εμπόδιο ένα

τοίχο. Αν υπάρχει τοίχος, τότε εξαρτάται από το ποιος χρόνος είναι πιο μεγάλος, ο

χρόνος που απαιτείται για τη κατακόρυφη κίνηση (πτώση) μέχρι να συναντήσει το

σώμα το έδαφος ή ο χρόνος που απαιτείται για την οριζόντια κίνηση μέχρι το σώμα

να συναντήσει το τοίχο. Ο ένας χρόνος βγαίνει από τύπο h=ho-5.t2, ενώ ο άλλος από

τύπο s=ux.t

Από ποιους παράγοντες εξαρτάται το βεληνεκές; Απάντηση καθηγητή

- Από την οριζόντια ταχύτητα και το χρόνο κίνησης, που εξαρτάται από το ύψος και

τη βαρύτητα. Δηλαδή το βεληνεκές εξαρτάται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές uο, h

και g.

ΒΟΛΕΣ ΣΕ ΑΛΛΑ ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΩΜΑΤΑ – Πείραμα 9

Ανοίγουμε το αρχείο της Geogebra “βολή διαφορετικό ουράνιο σώμα.ggb”. Επιλέγουμε με

το mouse τις τροχιές, τις ξετσεκάρουμε για να μη φαίνονται.

Page 27: Οριζόντια βολή με geogebra 3

27

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Στη σελήνη έχουμε πολύ μεγαλύτερο βεληνεκές, ο χρόνος κίνησης είναι μεγαλύτερος. Στο

διάστημα η κίνηση δεν τελειώνει ποτέ. Είναι ευθύγραμμη ομαλή.

Συμπέρασμα 6

Η βαρύτητα επηρεάζει τη κίνηση στον άξονα y. Μικρή βαρύτητα σημαίνει μεγαλύτερο

χρόνο καθόδου, άρα μεγαλύτερο βεληνεκές. Η κίνηση στον άξονα x δεν επηρεάζεται.

Διανύονται τα ίδια μέτρα ανά sec. Επηρεάζεται όμως το βεληνεκές από την αύξηση του

χρόνου.

Η εξίσωση της τροχιάς Συνδυάζοντας τις τιμές για τα x και y από τους πίνακες 1, 2 έχουμε:

t X4 Y4 X5 Y5

0 0 180 0 125

1 30 175 30 120

2 60 160 60 105

3 90 135 90 80

4 120 100 120 45

5 150 55 150 0

6 180 0 180

Εικόνα 8. Βολές σε διαφορετικά ουράνια σώματα (γη, σελήνη διάστημα), ίδια uo = 30

m/sec, ίδιο h = 180 m.

Page 28: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Συνδυάζοντας τις τιμές για τα

y = -0,0056x

R² = 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40

y

m

εξισώσεις τροχιάς

y = -0,0222x

R² = 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20

y

,

m

εξίσωση τροχιάς

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Συνδυάζοντας τις τιμές για τα x και y από τους πίνακες 4 και 5 έχουμε:

t X4 Y4 X7 Y7

0 0 180 0 180

1 30 175 15 175

2 60 160 30 160

3 90 135 45 135

4 120 100 60 100

5 150 55 75 55

6 180 0 90 0

y = -0,0056x

R² = 1

0,0056x2 + 125

R² = 1

60 80 100 120 140 160x, m

εξισώσεις τροχιάς (πειρ. 4, 5)

0,0222x2 + 180

R² = 1

40 60 80x, m

εξίσωση τροχιάς (πειρ. 7)

Διάγραμμα 1

Διάγραμμα 2

28

0,0056x2 + 180

R² = 1

180 200

100

Page 29: Οριζόντια βολή με geogebra 3

29

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Παρατηρούμε ότι ο σταθερός όρος είναι το ύψος, ενώ ο συντελεστής του x2 πρέπει να

εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα, αφού είναι ίδιος, όταν η ταχύτητα είναι σταθερή

(πειράματα 4 και 5) και αλλάζει, όταν αυτή αλλάζει (πειράματα 4 και 7).

Το κογιότ δεν πέφτει όπως φαίνεται στο cartoon Βλέπουμε ότι, η εξίσωση τροχιάς είναι πάντα της μορφής y = -ax

2 + h και ότι είναι καμπύλη

που μοιάζει με τη καμπύλη 3 της ερώτησης «ποια τροχιά ακολουθεί ένα σώμα που πέφτει

με οριζόντια ταχύτητα σε ένα γκρεμό;» (σελίδα 15).

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ από τα ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ με το GEOGEBRA

Πείρα

μα

Ουράνιο

σώμα

uo,

m/sec

h,

m

t,

sec

s

m

Θέση Ταχύτητα

x y Δx/Δt Δy/Δt

4 Γη 30 180 6 180 Πείραμα αναφοράς

5 Γη 30 125 5 90 μισό Δεν

αλλάζει Μισή

Δεν

αλλάζει

6 Γη 30 0 ∞ 0 μηδέν Δεν

αλλάζει μηδέν

Δεν

αλλάζει

7 Γη 15 180 6 150 Ίδιο Αλλάζει Ίδια Ίδιο

8 Γη 0 180 6 ∞ ίδιο αλλάζει Ίδια ίδιο

10 Σελήνη 30 180 15 450 Ίδιο αλλάζει Ίδια Αλλάζει

10 διάστημα 30 180 ∞ ∞ ίδιο Μηδέν ίδια μηδέν

ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ - ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΥΨΟΣ

Συγκρίνουμε τα δεδομένα από τα 3 πειράματα (3 uo, ίδιο ύψος)

• Βλέπουμε ότι όταν το ύψος μένει σταθερό, οι μετρήσεις στον άξονα y δεν

επηρεάζονται και μάλιστα είναι ίδιες και με τις μετρήσεις που θα είχαμε, αν το

ύψος ήταν μηδέν, δηλαδή αν είχαμε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Page 30: Οριζόντια βολή με geogebra 3

30

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

• Όταν η uo μένει σταθερή, δεν επηρεάζονται οι μετρήσεις στον άξονα x και μάλιστα

είναι ίδιες με τις μετρήσεις που θα είχαμε αν uo=0, δηλαδή αν είχαμε ελεύθερη

πτώση.

• Η τελική θέση του κινητού (για το πείραμα 1) μπορεί να προκύψει από τη

διανυσματική πρόσθεση των διανυσμάτων μετατόπισης x3, από πείραμα 3 και x5

από πείραμα 5. Το ίδιο ισχύει για τα y (y1=y3+y5).

ΣΤΑΘΕΡΟ ΥΨΟΣ - ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ

(3 ύψη, ίδια uo)

• Βλέπουμε ότι όταν το ύψος μένει σταθερό, οι μετρήσεις στον άξονα x

παρακολουθούν την αντίστοιχη αλλαγή στη ταχύτητα (γίνονται μισές ή μηδέν)

• Όταν η uo μένει σταθερή, επηρεάζονται οι μετρήσεις στον άξονα y, δεν αλλάζουν

όμως, τα Δy, δηλαδή το κινητό εξακολουθεί να διανύει ίσα διαστήματα σε ίσους

χρόνους και μάλιστα τα ίδια διαστήματα που διανύει στους ίδιους χρόνους στη

ελεύθερη πτώση.

Αλλάζει επίσης το βεληνεκές, s και ο συνολικός χρόνος κίνησης, t. Ο χρόνος κίνησης

φαίνεται να καθορίζεται αποκλειστικά από το ύψος. Ο χρόνος κίνησης όμως, επιδρά και στο

βεληνεκές. Έτσι ενώ το κινητό έχει την ίδια θέση και την ίδια ταχύτητα στα πειράματα 1, 4,

5 κινείται για περισσότερο χρόνο κι έτσι έχει μεγαλύτερο βεληνεκές.

ΣΤΑΘΕΡΟ ΥΨΟΣ, ΣΤΑΘΕΡΗ ΑΡΧΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ, ΑΛΛΟ ΟΥΡΑΝΙΟ ΣΩΜΑ

(Ίδιο, ύψος, ίδια uo, 3 ουράνια σώματα)

Οι μετρήσεις στον άξονα x είναι ίδιες μεταξύ των 3 πειραμάτων. Τα σώματα στη γη

και στη σελήνη κινούνται στον άξονα x, όπως κινούνται και σε συνθήκες έλλειψης

βαρύτητας (διάστημα), δηλαδή εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Στον άξονα y, το σώμα διανύει λιγότερα μέτρα στη σελήνη ανά sec απ’ ότι στη γη,

προφανώς λόγω διαφορετικής βαρύτητας. Σε συνθήκες έλλειψξς βαρύτητας, δεν

παρατηρούμε καμία κίνηση στον άξονα y.

Αλλάζει το βεληνεκές και ο χρόνος κίνησης

Γενικό Συμπέρασμα 7

Φαίνεται σαν το κινητό να εκτελεί δύο κινήσεις τη μία ανεξάρτητα από την άλλη. Η όποια

αλλαγή στη uo επηρεάζει μόνο τις μετρήσεις στον άξονα x και αντίστοιχα η όποια αλλαγή

στο ho επηρεάζει μόνο τις μετρήσεις στον άξονα y. Η τελική του θέση και ταχύτητα μπορεί

να αναλυθεί σε μια συνιστώσα x και μια συνιστώσα y που έχουν τις ίδιες τιμές που έχουν η

ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και η ελεύθερη πτώση αντίστοιχα.

Page 31: Οριζόντια βολή με geogebra 3

31

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΕΝΑΣ ΤΟΙΧΟΣ ΑΛΛΑΖΕΙ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΚΙΝΗΣΗΣ – πείραμα 10

Πόσο διαρκεί η κίνηση του Α; - 3 sec

Πως εξάγεται το 3 sec με μαθηματικές πράξεις;

- I. *JK L )M )/*+, 3 ./

Από τι καθορίζεται ο χρόνος κίνησης;

- Από το πόσο μακριά είναι το εμπόδιο που θα βρει το κινητό στο δρόμο του.

Συνήθως το εμπόδιο αυτό είναι το έδαφος και επομένως ο χρόνος καθορίζεται από

το ύψος. Τώρα όμως το εμπόδιο είναι ένας τοίχος και ο χρόνος καθορίζεται από την

απόσταση του τοίχου από το σημείο εκτόξευσης και από την οριζόντια ταχύτητα.

ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΟ EXCEL Οι μαθητές το κάνουν αυτό επί τόπου, την ώρα του μαθήματος. Τα γραφήματα δίνονται

μόνο για λόγους διευκόλυνσης του μαθήματος. Θα μπορούσαν δηλαδή να τα τύπωναν οι

μαθητές εκείνη την ώρα, αλλά θα καθυστερούσε αρκετά το μάθημα. Εκτυπώνει ένας

μαθητής μόνο, σαν επίδειξη.

Εικόνα 9. Το κινητό σταματά πάνω σε ένα τοίχο που βρίσκεται 90 m από το σημείο

εκτόξευσης

Page 32: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Πάμε στο Πίνακα 2 (σελίδα

περνάμε στο EXCEL και κάνουμε εισαγωγή

κάνουμε δύο γραφικές παραστάσεις

Το R2 δείχνει σε ποιο βαθμό τα πειραματικά δεδομένα ταιριάζουν στο μαθηματικό τύπο.

Όσο πιο κοντά στο 1 τόσο καλύτερα. Τιμές κάτ

Τι παρατηρείτε στους μαθηματικους τύπους των δύο κινήσεων; Τι κοινό έχουν;

Τι διαφορετικό; Οι αριθμοί 180 και 125 τι μπορεί να δείχνουν;

- Είναι και οι δύο δευτέρου βαθμού ως προς το χρόνο. Ο χρόνος έχει περίπου τον

ίδιο συντελεστή 5. Διαφέρουν ως προς το σταθερό όρο, ο οποίος πρέπει να

αναπαριστά το αρχικό ύψος.

Για τη μετόπιση στον άξονα

Άρα φαίνεται ότι ο συντελεστής του

πείραμα και σε άλλους πλανήτες βρίσκουμε

Ουράνιο σώµα

Γη

Σελήνη

∆ίας

Κρόνος

Άρα ο συντελεστής του t2 είναι πάντα το μισό της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

Άσκηση για το σπίτι. Να ανοίξετε το αρχείο

σώμα.ggb” και να επιβεβαιώσετε τους συντελεστές του

h=f(t)). Να βρείτε επίσης τις επιταχύνσεις βαρύτητας σε άλλους πλανήτες στο

Wikipedia.com.

y = 125

R² = 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1

y,

m

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

(σελίδα 19). Μπλοκάρουμε τις στήλες t, y4 και y5

και κάνουμε εισαγωγή - διασπορά και προσθήκη γραμμής τάσης. Έτσι

κάνουμε δύο γραφικές παραστάσεις y = f(t) και βρίσκουμε και την εξίσωση της κα

δείχνει σε ποιο βαθμό τα πειραματικά δεδομένα ταιριάζουν στο μαθηματικό τύπο.

τόσο καλύτερα. Τιμές κάτω από 0,99 δεν γίνονται αποδεκτές.

Τι παρατηρείτε στους μαθηματικους τύπους των δύο κινήσεων; Τι κοινό έχουν;

Τι διαφορετικό; Οι αριθμοί 180 και 125 τι μπορεί να δείχνουν;

Είναι και οι δύο δευτέρου βαθμού ως προς το χρόνο. Ο χρόνος έχει περίπου τον

. Διαφέρουν ως προς το σταθερό όρο, ο οποίος πρέπει να

αναπαριστά το αρχικό ύψος.

Για τη μετόπιση στον άξονα y βρήκαμε ήδη h=ho-5.t2 για τη γη και h=ho-0,8.

Άρα φαίνεται ότι ο συντελεστής του t2, επηρεάζεται από τη βαρύτητα. Αν κάνουμε το ίδιο

πείραμα και σε άλλους πλανήτες βρίσκουμε

Συντελεστής t2 Επιτάχυνση

5

0,8

13

5,5

είναι πάντα το μισό της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

. Να ανοίξετε το αρχείο Geogebra “βολή διαφορετικό ουράνιο

και να επιβεβαιώσετε τους συντελεστές του t2 (από τη γραφική παράσταση

. Να βρείτε επίσης τις επιταχύνσεις βαρύτητας σε άλλους πλανήτες στο

Διάγραμμα 3. y= f(t)

y = 180 -

R² = 1

125 - 5t2

R² = 1

2 3 4 5 6t, sec

y= f(t)

32

του πίνακα, τις

διασπορά και προσθήκη γραμμής τάσης. Έτσι

βρίσκουμε και την εξίσωση της καθεμίας.

δείχνει σε ποιο βαθμό τα πειραματικά δεδομένα ταιριάζουν στο μαθηματικό τύπο.

δεν γίνονται αποδεκτές.

Τι παρατηρείτε στους μαθηματικους τύπους των δύο κινήσεων; Τι κοινό έχουν;

Είναι και οι δύο δευτέρου βαθμού ως προς το χρόνο. Ο χρόνος έχει περίπου τον

. Διαφέρουν ως προς το σταθερό όρο, ο οποίος πρέπει να

0,8.t2 για τη σελήνη.

επηρεάζεται από τη βαρύτητα. Αν κάνουμε το ίδιο

Επιτάχυνση βαρύτητας

10

1,6

26

11

είναι πάντα το μισό της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

“βολή διαφορετικό ουράνιο

από τη γραφική παράσταση

. Να βρείτε επίσης τις επιταχύνσεις βαρύτητας σε άλλους πλανήτες στο

5t2

R² = 1

7

Page 33: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Αυτό μπορούμε να το ελέγξουμε και με άλλο τρόπο. Πηγαίνετε στο επόμενο διάγραμμα

uy =f(t), και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που βρίσκεται κάτω από την ευθεία και

πάνω από τον άξονα x, και μέχρι το

αρχικό ύψος στους ίδιους χρόνους. Επίσης ελέγξτε τις μονάδες του εμβαδού.

- Το σχήμα είναι τρίγωνο, άρα το εμβαδόν του είναι

Εµβαδόν

5

20

45

80

125

- Μονάδες εμβαδού:

Οι αριθμοί βγαίνουν οι ίδιοι. Άρα μπορούμε να υπολογίζουμε τη κατακόρυφη μετατόπιση

από το εμβαδόν του τριγώνου και ο

Έτσι καταλήγουμε ότι ο τύπος της κατακόρυφης μετατόπισης είναι

Εξήγηση της ακολουθίας των αριθμών 5

Από το γράφημα προκύπτει ότι

uy

Πάμε στο Πίνακα 3 (σελίδα 2

τη γραφική παράσταση uy,μέση

y = 10t

R² = 1

0

10

20

30

40

50

60

0

uy,

m/sec

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Αυτό μπορούμε να το ελέγξουμε και με άλλο τρόπο. Πηγαίνετε στο επόμενο διάγραμμα

υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που βρίσκεται κάτω από την ευθεία και

και μέχρι τους χρόνους t = 1- 2 - 3 - 4 - 5 sec και τη μετατόπιση από

αρχικό ύψος στους ίδιους χρόνους. Επίσης ελέγξτε τις μονάδες του εμβαδού.

Το σχήμα είναι τρίγωνο, άρα το εμβαδόν του είναι

Μετατόπιση από το αρχικό

5

20

45

80

125

: m/sec x sec = m.

Οι αριθμοί βγαίνουν οι ίδιοι. Άρα μπορούμε να υπολογίζουμε τη κατακόρυφη μετατόπιση

από το εμβαδόν του τριγώνου και ο συντελεστής ½ προκύπτει από το τύπο του εμβαδού.

Έτσι καταλήγουμε ότι ο τύπος της κατακόρυφης μετατόπισης είναι:

Εξήγηση της ακολουθίας των αριθμών 5 - 15 - 25 - 36 - 45 - 55

Από το γράφημα προκύπτει ότι

) = 5 - 15 – 25 – 35 – 45 – 55

(σελίδα 20) και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για να πάρουμε

μέση=f(t).

Διάγραμμα 4. uy = f(t)

y = 10t

1 2 3 4 5t, sec

uy = f(t)

33

Αυτό μπορούμε να το ελέγξουμε και με άλλο τρόπο. Πηγαίνετε στο επόμενο διάγραμμα

υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που βρίσκεται κάτω από την ευθεία και

και τη μετατόπιση από

αρχικό ύψος στους ίδιους χρόνους. Επίσης ελέγξτε τις μονάδες του εμβαδού.

από το αρχικό ύψος, m

Οι αριθμοί βγαίνουν οι ίδιοι. Άρα μπορούμε να υπολογίζουμε τη κατακόρυφη μετατόπιση

συντελεστής ½ προκύπτει από το τύπο του εμβαδού.

(5)

και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για να πάρουμε

6

Page 34: Οριζόντια βολή με geogebra 3

34

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Βλέπουμε ότι η uy αυξάνει ομαλά με κλίση 10 και η εξίσωση της είναι uy=10t. Κοιτάξτε τους

Πίνακες 2, 3, 5 (σελίδες 19, 20, 24). Τι κοινό έχουν;

- Τα Δy είναι ίδια.

Πρόκειται για διαφορετικά σώματα, με διαφορετικές αρχικές ταχύτητες που ξεκινούν από

διαφορετικό ύψος, κι όμως τα Δy ανά sec, (δηλαδή η uy) αλλάζουν πάντα με τον ίδιο τρόπο

(5 – 15 – 25 – 35 – 45), ανεξάρτητα από ποιο ύψος ξεκινάμε και ανεξάρτητα από την

οριζόντια κίνηση. Επομένως, αν κάναμε γραφική παράσταση θα έβγαινε ακριβώς ίδια με

αυτή που πήραμε στο διάγραμμα 3. Η εξίσωση uy=10t λοιπόν, ισχύει για όλα τα σώματα,

για όλες τις οριζόντιες βολές, γι αυτό έχουμε μόνο μια ευθεία, ενώ σε όλα τα υπόλοιπα

διαγράμματα (ux = f(t), y=f(t), x=f(t)) έχουμε διαφορετικές καμπύλες. Αυτό σημαίνει ότι

συντελεστής 10 έχει ιδιαίτερη φυσική σημασία.

Υπολογίστε τη κλίση της ευθείας uy=10t

- 011 NέONOPQ RάSTPCUVCFR.RάSTPCU HJWH' XY )/*+,X,Y *+, 10 /./.

Σε ποιο μέγεθος αντιστοιχεί το πηλίκο HJWH' και η μονάδα /./;

- Επιτάχυνση.

Άρα μπορούμε να βρίσκουμε την επιτάχυνση από ένα διάγραμμα u=f(t) από τη κλίση της

ευθείας.

Πως εξηγείται να είναι πάντα ίδια η επιτάχυνση στη κατακόρυφη κίνηση και πάντα ίση με

10 m/sec2;

- πρόκειται για το g = 10 m/sec2. Το πεδίο βαρύτηας της γης δίνει σε όλα τα σώματα

την ίδια επιτάχυνση.

Αν έχουμε δίκιο, τότε θα πρέπει σε άλλους πλανήτες με διαφορετικό g να έχουμε άλλη

κλίση ευθείας uy=10t. Ελέγξτε το, συνεχίζοντας τη προηγούμενη άσκηση στο σπίτι (σελ.25),

με το διάγραμμα uy=f(t).

Από το διάγραμμα βρήκαμε λοιπόν, την εξίσωση της κατακόρυφης ταχύτητας:

- uy = g.t (6)

Η οριζόντια ταχύτητα μένει πάντα σταθερή. Άρα ο τύπος της είναι: - ux= uo (7)

Προσέξτε ότι οι ταχύτητες με τις οποίες κινούναι τα κινητά είναι οι αρχικές τους ταχύτητες.

Παίρνουμε το Πίνακα 4 (σελίδα 23), τις στήλες t, x4, x7 και x8 και κάνουμε τις γραφικές

παραστάσεις ux = f(t) για τις 3 κινήσεις.

Page 35: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Από τις γραφικές παραστάσεις καταλαβαίνουμε ότι οι συντελεστές 30 και 15 πρέπει να

είναι οι αρχικές ταχύτητες. Άλλωστε αν λύσουμε ως προς το συντελεστή, βρίσκουμε 30 =

y/x = m/sec, άρα ο συντελεστής έχει μονάδες ταχύτητας. Βλέπουμε

μεγαλύτερη η ταχύτητα, τόσο μεγαλύτερη και η κλίση της ευθείας.

οριζόντια μετατόπιση είναι :

ΟΙ ΥΠΟΛΟΙΠΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ της ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΒΟΛΗΣ

Πως θα βρούμε το τύπο του συνολικού χρόνου κίνησης;

- Ο συνολικός χρόνος της κίνησης

λύση του τύπου (5),

Πως θα βρούμε το τύπο του βεληνεκούς;

- Το βεληνεκές δίνεται από το τύ

κίνησης.

Πως θα βρούμε τη θέση του κινητού;

- Προσθέτωντας διανυσματικά τις μετατοπίσεις

Πως θα βρούμε τη συνισταμένη ταχύτητα του κινητού (μέτρο και διεύθυνση);

- Από το Πυθαγόρειο και την εφαπτομένη τη

ταχύτητα με τον άξονα

Ας ξαναγυρίσουμε στο αρχικό ερώτημά μας στη

μια οριζόντια βολή;». Αν συσχετίσουμε το

εξισώσεις της οριζόντιας και της κατακόρυφης κίνησης, θ

y = f(x), με μαθηματικό τρόπο (πριν τη βρήκαμε με πειραματικό, σελίδα

τύπο (8) ως προς χρόνο και αντικαταθιστούμε στο τύπο

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2

ux,

m/sec

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Από τις γραφικές παραστάσεις καταλαβαίνουμε ότι οι συντελεστές 30 και 15 πρέπει να

είναι οι αρχικές ταχύτητες. Άλλωστε αν λύσουμε ως προς το συντελεστή, βρίσκουμε 30 =

άρα ο συντελεστής έχει μονάδες ταχύτητας. Βλέπουμε

τόσο μεγαλύτερη και η κλίση της ευθείας. Άρα ο τύπος για την

οριζόντια μετατόπιση είναι : x =uo.t

ΟΙ ΥΠΟΛΟΙΠΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ της ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΒΟΛΗΣ

θα βρούμε το τύπο του συνολικού χρόνου κίνησης;

Ο συνολικός χρόνος της κίνησης, αν αυτή τερματίσει στο έδαφος, βγαίνει από τη

), ενώ αν τερματίσει σε τοίχο, από τύπο (8).

Πως θα βρούμε το τύπο του βεληνεκούς;

Το βεληνεκές δίνεται από το τύπο (8), αν βάλουμε όπου t το συνολικό χρόνο της

Πως θα βρούμε τη θέση του κινητού;

Προσθέτωντας διανυσματικά τις μετατοπίσεις x και y.

Πως θα βρούμε τη συνισταμένη ταχύτητα του κινητού (μέτρο και διεύθυνση);

Από το Πυθαγόρειο και την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η συνισταμένη

ταχύτητα με τον άξονα x.

στο αρχικό ερώτημά μας στη σελίδας 15, «ποια είναι η σωστή πορεία σε

συσχετίσουμε το x με το y, απαλοίφωντας το χρόνο

εξισώσεις της οριζόντιας και της κατακόρυφης κίνησης, θα βρούμε την εξίσωση της τροχιάς,

, με μαθηματικό τρόπο (πριν τη βρήκαμε με πειραματικό, σελίδα

ως προς χρόνο και αντικαταθιστούμε στο τύπο (5):

Διάγραμμα 5. ux = f(t)

y = 30t

R² = 1

y = 15t

R² = 1

y = 0

4 6 8 10

t, sec

35

Από τις γραφικές παραστάσεις καταλαβαίνουμε ότι οι συντελεστές 30 και 15 πρέπει να

είναι οι αρχικές ταχύτητες. Άλλωστε αν λύσουμε ως προς το συντελεστή, βρίσκουμε 30 =

επίσης ότι όσο

Άρα ο τύπος για την

(8)

αν αυτή τερματίσει στο έδαφος, βγαίνει από τη

το συνολικό χρόνο της

Πως θα βρούμε τη συνισταμένη ταχύτητα του κινητού (μέτρο και διεύθυνση);

ς γωνίας που σχηματίζει η συνισταμένη

«ποια είναι η σωστή πορεία σε

απαλοίφωντας το χρόνο από τις

εξίσωση της τροχιάς,

, με μαθηματικό τρόπο (πριν τη βρήκαμε με πειραματικό, σελίδα 27). Λύνουμε το

y = 15t

12

Page 36: Οριζόντια βολή με geogebra 3

36

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Z [. Z[

\ ][ ^ 12 _ ][ ^ 12 _ ` Z[a ][ ^ _2. [ Z ][ ^ . Z 9

Αν συγκρίνουμε με τα διαγράμματα 1 και 2, όπου είχαμε βρει y = -0,0056x2-180 και y=-

0,0222x2+180, (σελίδα 27), βλέπουμε ότι c.Jde 0,0056, 6 f 30 76 c.Jde

0,0222 6 < 15 /./.

Θα ελέγξουμε τώρα αν υπάρχει συσχέτιση ανάμεσα στη μαθηματική εξίσωση και στη

καμπύλη της στη γραφική παράσταση. Αν έχουμε y=ax, η τροχιά είναι ευθεία, y=a.x2

παραβολή, κλπ. Η εξίσωση της τροχιάς μας δίνει και τη μορφή της. Για παράδειγμα,

y=10.x1 y=5.x

2 y=5.x

-1 y=0,5

x y=100-x

2

x y x y X y x y x Y

0 0 0 0 0 0 1,00 0 100,00

1 10 1 5 1 5,00 1 0,50 1 99,00

2 20 2 20 2 2,50 2 0,25 2 96,00

3 30 3 45 3 1,67 3 0,13 3 91,00

4 40 4 80 4 1,25 4 0,06 4 84,00

5 50 5 125 5 1,00 5 0,03 5 75,00

6 60 6 180 6 0,83 6 0,02 6 64,00

7 70 7 245 7 0,71 7 0,01 7 51,00

8 80 8 320 8 0,63 8 0,00 8 36,00

9 90 9 405 9 0,56 9 0,00 9 19,00

10 100 10 500 10 0,50 10 0,00 10 0,00

Με ποιο από τα παραπάνω παραδείγματα γραφικών παραστάσεων μοιάζει η εξίσωση που

βρήκαμε (9);

- Με το τελευταίο.

Η εξίσωση της τροχιάς είναι δευτέρου βαθμού ως προς t, με αρνητικό συντελεστή στο t2.

Αρα η καμπύλη της είναι

- παραβολή.

Η οριζόντια βολή λοιπόν ακολουθεί παραβολική τροχιά και επoμένως η απάντηση στο

αρχικό ερώτημα, (σελίδα 15), «ποια είναι η σωστή πορεία σε μια οριζόντια βολή;», η

απάντηση είναι

- η σωστή πορεία είναι η 3.

y = 10xευθεία

y = 5x2

παραβολή

y = 5x-1

υπερβολή

y = 0,5x

εκθετική

y = 100 - x2

παραβολή

Page 37: Οριζόντια βολή με geogebra 3

37

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Άρα η οριζόντια βολή είναι σύνθετη κίνηση και αποτελείται από μία ευθύγραμμη ομαλή

στον άξονα x και μια ελεύθερη πτώση στον άξονα y. Επομένως, αν πάμε πάλι στο αρχείο

της Geogebra “ποτάμι-βάρκα κινούμενο. ggb’’, και βάλουμε τη βάρκα να κάνει

επιταχυνόμενη κίνηση θα πάρουμε σαν τροχιά μια παραβολή, όπως και στην οριζόντια

βολή. Ας το ελέγξουμε:

Θέτουμε uβ = 0, uπ =10 m/sec, aβ = 10 m/sec2 και κινούμε το δρομέα t.

Τι ενέργειες έκανα για τη δημιουργήσω στο Geogebra;

- Έβαλα επιτάχυνση στη βάρκα ίση με το g χωρίς αρχική ταχύτητα.

Ποιες κινήσεις εκτελεί ταυτόχρονα η βάρκα;

- Ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση g χωρίς αρχική ταχύτητα στον άξονα y και

ταυτόχρονα ευθύγραμμη ομαλή με uπ = 10 m/sec στον άξονα x.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΒΟΛΗΣ

Μετατόπιση x Z [ . Ταχύτητα x I o

Μετατόπιση y \ ]f ^ 12 . _. 2

Ταχύτητα y g _. Συνισταµένη ταχύτητα $ hI g i[ _

∆ιεύθυνση ταχύτητας 011 gI

Συνολικός χρόνος (κρούση στο έδαφος) Cj k l2]_

Συνολικός χρόνος (κρούση σε τοίχο) [

Βεληνεκές, s m [ . Cj

Εξίσωση τροχιάς \ ]f ^ _2. f2 Z2

Άσκηση πάνω στους μαθηματικούς τύπους

Με βάση τον προηγούμενο πίνακα, να υπολογίσετε τη θέση και τη ταχύτητα τη χρονική

στιγμή t=5 sec, για μια οριζόντια βολή με o 50 /./, ][ 100 , _ 5 /./.

Προβλέψτε πως αλλάζουν οι συνιστώσες ταχύτητες σε συνάρτηση με το χρόνο.

- x=uo.t =50.5= 250 m, y=ho-0,5.g.t2=100-0,5.5.5

2= 37,5 m θέση = (250, 37,5).

- Ταχύτητα ux=50 m/sec, uy=gt=5.5=25 m/sec $ √50 25 55,9 )*+,

Page 38: Οριζόντια βολή με geogebra 3

38

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

- Διεύθυνση ταχύτητας 011 YY 0,5 1 26,66C

- Η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας δεν αλλάζει με το χρόνο, ενώ η κατακόρυφη

αυξάνει συνεχώς.

Ανοίξτε το αρχείο της Geogebra, “Οριζόντια βολή με διανύσματα ταχύτητας.ggb” που μας

επιτρέπει να βρίσκουμε τη θέση (x,y) και τις ταχύτητες (συνιστώσες και συνισταμένη) σε

συνάρτηση με το χρόνο για διάφορα ύψη, αρχικές ταχύτητες και διάφορες επιταχύνσεις

βαρύτητας. Επαληθεύστε τους υπολογισμούς σας και τη πρόβλεψή σας.

Πραγματικό εργαστήριο

Πείραμα 11

Θα αποδείξουμε πειραματικά το Γενικό Συμπέρασμα 7. Θα χρησιμοποιήσουμε τη συσκευή

της εικόνας 10.

Εικόνα 10. Συσκευή ταυτόχρονης εκτέλεσης ελεύθερης πτώσης και οριζόντιας βολής

Page 39: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Το έλασμα κρατάει τη αριστερή μπίλια στη θέση της εξασκώντας πάνω της μια πίεση προς

τα αριστερά. Η δεξιά μπίλια στέκεται πάνω σε μια τρύπα που τη σταθεροποιεί σχετικά.

Όταν το σφυρί πέσει πάνω στο έλασμα, η αριστερή μπίλια θα πέσει κάνοντας ελεύθερη

πτώση αφού φεύγει το έλασμα που τη στήριζε, η δε δεξιά μπίλια θα εκτοξευθεί προς τα

δεξιά κάνοντας οριζόντια βολή μετά από το χτύπημα που δέχτηκε από το σφυρί. Οι δύο

κινήσεις ξεκινούν την ίδια χρονική στιγμή και καταγράφονται από βιντεοκάμερα.

Παρατηρείστε ότι όσο ψηλότερα οι βώλοι τόσο πιο καθαρά φαίνοντ

μικρότερη ταχύτητα. Κάθε φωτογραφία ανοίγει το διάφρα

πιάνει το κινητό μας σε πολλές στιγμές και όχι μόνο σε μία.

Υπόθεση μαθητή:

Ο βώλος που κάνει οριζόντια

έδαφος μετά το βώλο που κάνει ελεύθερη πτώση.

Υπόθεση καθηγητή: και οι δύο βώλοι θα φτάσουν την ίδια χρονική στιγμή στο έδαφος

παρότι ο δεξιός έχει μεγαλύτερη τροχιά,

ελεύθερη πτώση. Ο δεξιός επιπλέον εκτελεί και ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

επηρεάζεται από την ελεύθερη π

θα χρειαστούν τον ίδιο χρόνο.

Εικόνα 11. Ο βώλος που κάνει ελεύθερη πτώση και ο βώλος που κάνει οριζόντια βολή κατεβαίνουν μαζί

προς τα κάτω

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Το έλασμα κρατάει τη αριστερή μπίλια στη θέση της εξασκώντας πάνω της μια πίεση προς

τα αριστερά. Η δεξιά μπίλια στέκεται πάνω σε μια τρύπα που τη σταθεροποιεί σχετικά.

Όταν το σφυρί πέσει πάνω στο έλασμα, η αριστερή μπίλια θα πέσει κάνοντας ελεύθερη

πτώση αφού φεύγει το έλασμα που τη στήριζε, η δε δεξιά μπίλια θα εκτοξευθεί προς τα

δεξιά κάνοντας οριζόντια βολή μετά από το χτύπημα που δέχτηκε από το σφυρί. Οι δύο

κινήσεις ξεκινούν την ίδια χρονική στιγμή και καταγράφονται από βιντεοκάμερα.

τε ότι όσο ψηλότερα οι βώλοι τόσο πιο καθαρά φαίνονται, γιατί έχουν

μικρότερη ταχύτητα. Κάθε φωτογραφία ανοίγει το διάφραγμα για μερικά msec

πιάνει το κινητό μας σε πολλές στιγμές και όχι μόνο σε μία.

Ο βώλος που κάνει οριζόντια βολή διατρέχει μεγαλύτερη διαδρομή, άρα θα φτάσει στο

έδαφος μετά το βώλο που κάνει ελεύθερη πτώση.

: και οι δύο βώλοι θα φτάσουν την ίδια χρονική στιγμή στο έδαφος

παρότι ο δεξιός έχει μεγαλύτερη τροχιά, γιατί ο δεξιός όπως και ο αριστερός

επιπλέον εκτελεί και ευθύγραμμη ομαλή κίνηση,

ελεύθερη πτώση. Επειδή ο χρόνος κίνησης καθορίζεται από το

ν τον ίδιο χρόνο.

Εικόνα 11. Ο βώλος που κάνει ελεύθερη πτώση και ο βώλος που κάνει οριζόντια βολή κατεβαίνουν μαζί

39

Το έλασμα κρατάει τη αριστερή μπίλια στη θέση της εξασκώντας πάνω της μια πίεση προς

τα αριστερά. Η δεξιά μπίλια στέκεται πάνω σε μια τρύπα που τη σταθεροποιεί σχετικά.

Όταν το σφυρί πέσει πάνω στο έλασμα, η αριστερή μπίλια θα πέσει κάνοντας ελεύθερη

πτώση αφού φεύγει το έλασμα που τη στήριζε, η δε δεξιά μπίλια θα εκτοξευθεί προς τα

δεξιά κάνοντας οριζόντια βολή μετά από το χτύπημα που δέχτηκε από το σφυρί. Οι δύο

κινήσεις ξεκινούν την ίδια χρονική στιγμή και καταγράφονται από βιντεοκάμερα.

ιατί έχουν

msec, επομένως

βολή διατρέχει μεγαλύτερη διαδρομή, άρα θα φτάσει στο

: και οι δύο βώλοι θα φτάσουν την ίδια χρονική στιγμή στο έδαφος

ός εκτελούν

, που όμως δεν

ο χρόνος κίνησης καθορίζεται από το ύψος

Εικόνα 11. Ο βώλος που κάνει ελεύθερη πτώση και ο βώλος που κάνει οριζόντια βολή κατεβαίνουν μαζί

Page 40: Οριζόντια βολή με geogebra 3

40

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Animation 1

Οι 3 μπάλες ξεκινούν ταυτόχρονα από την αριστερή άκρη της οθόνης και κινούνται με την

ίδια ταχύτητα μέχρι το σημείο που τις βλέπουμε. Κατόπιν πέφτει η μία από το τραπέζι και

μετά πέφτει και η άλλη από το άλλο τραπέζι.

Ονόμασε δύο μεγέθη που έχουν συνεχώς, την ίδια τιμή και για τις 3 μπάλες του animation.

Ποια από τις 3 μπάλες θα τερματίσει πρώτη; (το τέρμα είναι στο πάτωμα στη κάτω δεξιά

άκρη της οθόνης).

- Θέση (μόνο ως προς τη τετμημένη x) και Οριζόντια ταχύτητα.

- Θα τερματίσουν όλες μαζί.

Εικόνα 12. Τι κοινό έχουν οι 3 μπάλες;

http://www.stmary.ws/highschool/physics/ho

me/notes/freeFall2DMotion/animations/objectProjHorizVx.html

Page 41: Οριζόντια βολή με geogebra 3

41

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Εξηγείστε πως καταφέρνει το μπαλάκι να βρει το στόχο εν κινήσει στο επόμενο βίντεο.

Εικόνα 13. Το μπαλάκι (βέλος) πετυχαίνει το στόχο του.

http://www.youtube.com/watch?v=nAifrGXkE2k (2’:34’’)

Πειράματα με φωτοπύλες

Θα χρησιμοποιήσουμε τη συσκευή με τις φωτοπύλες για τον ακριβή

προσδιορισμό της αρχικής ταχύτητας και ένα χαρτί με καρμπόν για το ακριβή

εντοπισμό του ίχνους κατά τη κρούση με το δάπεδο.

Page 42: Οριζόντια βολή με geogebra 3

42

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Για την επίτευξη διαφόρων υψών, χρησιμοποιούμε μια καρέκλα και ένα

δεύτερο τραπέζι (σαν να φέρνουμε το πάτωμα πιο ψηλά).

Πείραµα 12. Βολές µε διαφορετική αρχική ταχύτητα. Εύρεση της σχέσης µεταξύ αρχικής ταχύτητας και βεληνεκούς.

Υπόθεση: - Αν ξεκινήσει η µπίλια µε µεγαλύτερη αρχική ταχύτητα την οριζόντια βολή θα πάει πιο

µακριά (βεληνεκές). Aπόδειξη της σχέσης αναλογίας µεταξύ του s και του uo. Επαλήθευση του τύπου s=u.t.

Απαραίτητα υλικά

• Καρµπόν και χαρτί • σελοτέιπ • Μπίλια

• Μεζούρα • Νήµα της στάθµης • συσκευή µε φωτοπύλες • ένα ή δύο τραπέζια

Εικόνα 14. Η διάταξη με τις φωτοπύλες.

Βεληνεκές s

Νήμα της στάθμης

καρμπόν

Page 43: Οριζόντια βολή με geogebra 3

43

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Θα αλλάζουμε το ύψος από το οποίο αφήνουμε τη μπίλια να κυλήσει,

επομένως θα αλλάζουμε και την αρχική ταχύτητα της οριζόντιας βολής. Θα μετράμε

το βεληνεκές. Επειδή ο χρόνος καθορίζεται μόνο από το ύψος το οποίο μένει

σταθερό (h = 48,1 cm), θα μείνει και ο χρόνος σταθερός. Στον πίνακα, σαν t

αναγράφεται ο χρόνος διέλευσης της μπίλιας από την φωτοπύλη. Η ταχύτητα uo

υπολογίζεται, διαιρώντας τη διάμετρο της μπίλιας (1,5 cm) με το χρόνο αυτό.

t, sec uo , cm/sec s, cm

0,0129 116 36,1

0,0214 55 21,3

0,0275 70 17,0

Η κλίση είναι s/uo = t = 0,315 sec, ο χρόνος της κίνησης που είναι κοινός, γιατί όλες οι βολές

ξεκινούν από το ίδιο ύψος.

Πείραµα 13. Βολές από διαφορετικό ύψος. Εύρεση της σχέσης µεταξύ ύψους και βεληνεκούς.

Υπόθεση: - Αν ξεκινήσει η µπίλια από πιο µεγάλο ύψος, αλλά µε την ίδια αρχική ταχύτητα, θα πάει πιο

µακριά (βεληνεκές). Aπόδειξη της σχέσης αναλογίας µεταξύ του h και του s2. Επαλήθευση του τύπου ] cJe . *

Απαραίτητα υλικά

• 2 Καρµπόν • σελοτέιπ • Μπίλια

• χάρακας • συσκευή µε φωτοπύλες • 4 τραπέζια

* s = u.t t = s/u, h = ½.g.t2

= ½.g.(s/u)2

= g.s2/2.u

2 (10)

t. sec uo,

cm/sec s, cm

διορθωση s

h, cm

διόρθωση h sδιορθ s2 hδιορθ

0,0133 112,8 57,9 1,5 128,5 1,8 59,4 3528,36 130,3

0,0131 114,5 45,7 81,6 47,2 2227,84 83,4

0,0129 116,3 34,6 46,3 36,1 1303,21 48,1

y = 0,3151x - 0,5165

R² = 0,9995

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140

Διάγραμμα 6.

Page 44: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Χρησιμοποιούμε τη συσκευή με τις φωτοπύλες, αλλά

να πέσει από 3 διαφορετικά ύψη. α) την

τραπέζι, h = 46,3 cm, β) την αφήνουμε να πέσει

αφήνουμε να πέσει πάνω σε

την αρχική ταχύτητα η οποία πρέπει να

το βεληνεκές.

Η διόρθωση χρειάζεται για να υπολογιστεί το πάχος του διαδρόμου και η

διάμετρος της μπίλιας, ως προς τ

στάθμης και της φωτοπύλης, ως προς το

Η γραφική παράσταση ταιριάζει στην υπό έλεγχο εξίσωση

ικανοποιητικά και σε πρώτου βαθμού σχέση μεταξύ

Αυτή η σχέση όμως, απορρίπτεται γιατί η ευθεία της, δε περνά από την αρχή των αξόνων,

πράγμα που σημαίνει ότι για

Η κλίση της ευθείας h=f(s2) είναι

g/2uo2 = 981 cm/sec

2/(2 x (114,5

του πειράματος.

Εδώ εμφανίζεται και ένας περιορισμός των πραγματικών πειραμάτων. Για να έχουμε

πειστικά αποτελέσματα από τις μετρήσεις μας, ότι η σχέση

πρέπει να έχουμε ύψη πολλών μέτρων που δεν είναι δυνατόν μέσα στο εργαστήριο. Στο

σημείο αυτό πλεονεκτούν τα εικονικά πειράματα.

Ανοίγουμε το αρχείο Geogebra

τιμές των πραγματικών πειρ

ίδιο στη

y = 0,0369x

R² = 0,9997

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

0 500

h,

cm

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Χρησιμοποιούμε τη συσκευή με τις φωτοπύλες, αλλά αφήνουμε τη μπίλια

να πέσει από 3 διαφορετικά ύψη. α) την αφήνουμε να πέσει σε ένα δεύτερο

την αφήνουμε να πέσει στο πάτωμα h = 128,5

αφήνουμε να πέσει πάνω σε μία καρέκλα h = 81,6 cm. Προσδιορίζουμε κάθε φορά

την αρχική ταχύτητα η οποία πρέπει να είναι περίπου η ίδια κάθε φορά και μετράμε

Η διόρθωση χρειάζεται για να υπολογιστεί το πάχος του διαδρόμου και η

διάμετρος της μπίλιας, ως προς τo h και η απόσταση μεταξύ του νήματος της

στάθμης και της φωτοπύλης, ως προς το s.

Η γραφική παράσταση ταιριάζει στην υπό έλεγχο εξίσωση ,

ικανοποιητικά και σε πρώτου βαθμού σχέση μεταξύ h και s (h = 3,53.s - 80,79,

απορρίπτεται γιατί η ευθεία της, δε περνά από την αρχή των αξόνων,

πράγμα που σημαίνει ότι για s=0 έχουμε h= -80 cm, που δεν έχει φυσικό νόημα.

είναι 0,0369. Ενώ η θεωρητική τιμή της είναι

(114,5 cm/sec)2) = 0,0374, όπου 114,5 η μέση τιμή των ταχυτήτων

Εδώ εμφανίζεται και ένας περιορισμός των πραγματικών πειραμάτων. Για να έχουμε

πειστικά αποτελέσματα από τις μετρήσεις μας, ότι η σχέση h και s είναι δεύτερου βαθμού,

πρέπει να έχουμε ύψη πολλών μέτρων που δεν είναι δυνατόν μέσα στο εργαστήριο. Στο

αυτό πλεονεκτούν τα εικονικά πειράματα.

Geogebra “βολή από μικρό ύψος.ggb”, θέτουμε όπου και

πειραμάτων 12 και 13 και ελέγχουμε, αν το βεληνεκές βγαίνει το

ίδιο στη Geogebra και στο πραγματικό πείραμα.

y = 0,0369x

R² = 0,9997

1000 1500 2000 2500 3000…

h = f(s2)

Διάγραμμα 7

44

αφήνουμε τη μπίλια

ε ένα δεύτερο

128,5 cm, και γ) την

Προσδιορίζουμε κάθε φορά

είναι περίπου η ίδια κάθε φορά και μετράμε

Η διόρθωση χρειάζεται για να υπολογιστεί το πάχος του διαδρόμου και η

η απόσταση μεταξύ του νήματος της

, ταιριάζει όμως

80,79, R2= 0,9971).

απορρίπτεται γιατί η ευθεία της, δε περνά από την αρχή των αξόνων,

, που δεν έχει φυσικό νόημα.

η μέση τιμή των ταχυτήτων

Εδώ εμφανίζεται και ένας περιορισμός των πραγματικών πειραμάτων. Για να έχουμε

είναι δεύτερου βαθμού,

πρέπει να έχουμε ύψη πολλών μέτρων που δεν είναι δυνατόν μέσα στο εργαστήριο. Στο

”, θέτουμε όπου και h και uo τις

αν το βεληνεκές βγαίνει το

3500 4000

Page 45: Οριζόντια βολή με geogebra 3

45

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Οι σχέσεις x=f(t) και y=f(t). Θέση x σε συνάρτηση με τη θέση y

Πείραμα 14. Απαραίτητα υλικά

Μία ντουλάπα με συρτάρι

Ενας βώλος σκουρόχρωμος

Ένας κατηφορικός αλουμινένιος διάδρομος με χείλη για να μη πέφτει ο

βώλος καθώς κατεβαίνει

Μια μηχανή λήψης βίντεο

6 χαρτιά millimetré

μαρκαδόρος

Σελλοτέιπ

2 τραπέζια ορθογώνια

Μεζούρα

Ένα πρόγραμμα επεξεργασίας βίντεο (π.χ. Windows MovieΜaker)

Ένα πλαστικό μικρό μπωλ (από φιστίκια)

Page 46: Οριζόντια βολή με geogebra 3

46

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Εικόνα 15. Η πειραματική διάταξη για την μελέτη της κίνησης σε δύο άξονες

Page 47: Οριζόντια βολή με geogebra 3

47

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Τραβώντας το συρτάρι λίγο πιο έξω ή λίγο πιο μέσα, ρυθμίζουμε τη τελική διαδρομή, ώστε

να είναι οριζόντια. Σηκώνουμε τα δύο τραπέζια και βάζουμε στα πόδια τους (που τώρα δεν

ακουμπούν στο πάτωμα), βιβλία, ώστε να είναι κατακόρυφα. Αφήνουμε δοκιμαστικά το

βώλο να κάνει οριζόντιες βολές, και παρακολουθούμε τη πορεία του. Κολλάμε πάνω στα

τραπέζια τα millmetré χαρτιά, ώστε να είναι πάντα στη τροχιά του βώλου. Χαράσσουμε

γραμμές πάνω στα χαρτιά, ανά 10 cm, αριθμώντας με σημείο (0, 0) το βώλο στην άκρη του

διαδρόμου. Για τη βολή που φαίνεται στη φωτογραφία το σημείο (0, 0) βρίσκεται h = 1,205

m πάνω από το πάτωμα και s = 0,935 m δεξιότερα από το σημείο επαφής του βώλου με το

πάτωμα (βεληνεκές).

Στροβοσκοπική παρατήρηση – επεξεργασία εικόνων Στήνουμε τη μηχανή λήψης σε ένα τραπέζι ή σε τρίποδα, ώστε να εμφανίζονται τα

δύο τραπέζια με τα χαρτιά. Πατάμε το κουμπί λήψης, και πηγαίνουμε και αφήνουμε το

βώλο στο διάδρομο από ένα συγκεκριμένο σημείο, που έχουμε επιλέξει, ώστε να βρίσκεται

η τροχιά του πάνω στα χαρτιά. Μόλις χτυπήσει στο πάτωμα, κλείνουμε τη μηχανή λήψης.

Πηγαίνουμε στο κομπιούτερ και συνδέουμε τη μηχανή λήψης με καλώδιο USB.

Αντιγράφουμε το βίντεο στο υπολογιστή και το αποθηκεύουμε ‘στα βίντεό μου’. Ανοίγουμε

ένα πρόγραμμα επεξεργασίας βίντεο, (π.χ. Windows Movie Maker) και κάνουμε εισαγωγή

το βίντεο. Πιάνουμε την εικόνα του βίντεο μας με το mouse και τη σέρνουμε στη ‘λωρίδα

χρόνου’ ( βίντεο +). Όταν το βίντεο φτάσει στη στιγμή, που αρχίζει η κάθοδος του βώλου

στο διάδρομο, πατάμε παύση. Πατάμε το κουμπί επόμενο καρρέ ή πιάνουμε με το mouse

το δρομέα χρόνου, που δείχνει την πρόοδο της προβολής του βίντεο και τον πατάμε στο

δεξιό άκρο του. Με τον τρόπο αυτό, το βίντεο μετακινείται μόλις κατά ένα καρρέ. Τη στιγμή

που ο βώλος είναι στην άκρη του διαδρόμου, πατάμε ‘Λήψη εικόνας’.

Η εικόνα αποθηκεύεται στις ‘Εικόνες μου’. Έτσι δημιουργείται ένα αρχείο στα ‘ βίντεό μου’

και 16 αρχεία (16 καρρέ) στις ‘Εικόνες μου’.

Λωρίδα χρόνου (βίντεο +)

Λήψη Εικόνας

Δρομέας χρόνου

Εικόνα 16. Το πρόγραμμα Movie Maker

Πιάνω με το mouse το

βίντεό μου και το σέρνω

στη λωρίδα του χρόνου Επόμενο καρρέ

Page 48: Οριζόντια βολή με geogebra 3

48

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Ανοίγω ένα νέο αρχείο του Word και κάνω εισαγωγή τις 2 πρώτες χρονικά εικόνες που

αποθήκευσα, τη μία πάνω στην άλλη. Η δεύτερη χρονικά, να είναι δεύτερη και στην

επικόλληση. Το Word ανοίγει απ’ ευθείας τα εργαλεία εικόνας – μορφοποίηση – περικοπή

(πάνω δεξιά). Περικόπτω τη δεύτερη εικόνα, ώστε να φαίνεται ο βώλος και από τις δύο

φωτογραφίες. (Φαίνεται το μισό της δεύτερης με το βώλο και το άλλο μισό της πρώτης

επίσης με το βώλο). Συνεχίζω έτσι άλλες 14 φορές και εμφανίζονται οι βώλοι από όλα τα

καρρέ σε μιά εικόνα:

Εικόνα 17. Οι βώλοι από 16 καρρέ σε μία εικόνα.

Ανοίγουμε νέο αρχείο του Word και κάνουμε εισαγωγή της Εικόνα 5. Κάνουμε Εισαγωγή

Σχήματα – γραμμή. Σχεδιάζουμε μια οριζόντια γραμμή που να ταυτίζεται ακριβώς με την

ακμή του τραπεζιού. Έτσι διορθώνουμε και τη κλίση της μηχανής. Κατόπιν με τα βελάκια

στο πληκτρολόγιο πάμε τη γραμμή, ακριβώς πάνω σε ένα βώλο, στη μέση του. Κάνουμε

copy-paste και βάζουμε κι άλλες γραμμές που τις πηγαίνουμε πάνω στους υπόλοιπους

βώλους. Επαναλαμβάνουμε με γραμμές κατακόρυφες:

Μετράμε τις συντεταγμένες των βώλων και συμπληρώνουμε το πίνακα. Τα x και y σε τιμές

χάρακα. Για να μετατραπούν σε πραγματικά μήκη, χρησιμοποιούνται οι τιμές του

βεληνεκούς και του ύψους, όπως μετρήθηκαν πειραματικά.

Page 49: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

30 καρρέ/sec

Εικόνα 18. 16 καρρέ και συντεταγμένες τΓιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

0,935 m

. 16 καρρέ και συντεταγμένες του βώλου σε συνάρτηση με το χρόνο.

49

2,5 cm

h = 1,205 m

ου βώλου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Page 50: Οριζόντια βολή με geogebra 3

50

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Οι τιμές της τέταρτης και της πέμπτης στήλης είναι πιο ακριβείς, από τις τιμές της

δεύτερης και τρίτης στήλης, γιατί μετρήθηκαν με αριθμό κτυπημάτων πάνω στο

βελάκι του πληκτρολογίου, από τη μια γραμμή στην άλλη. Συγκεκριμένα θέτουμε

μια οριζόντια ή κατακόρυφη γραμμή στο Word και τη μετακινούμε πάνω στην

εικόνα 18, ξεκινώντας από μια υπάρχουσα γραμμή, στην επόμενη, μετρώντας

καρρέ ∆x, mm χάρακας

∆y, mm χάρακας

∆x, mm

∆y, mm

x, m

y, m

Μέσο ∆t,

sec uy,

m/sec

0 7 1 40 7,1 0,000 1,205

0,01007 0,353

0,040 1,198

1 12 3 64 15,3 0,0368 0,459

0,010 1,183

2 12 4 66 23,5 0,0701 0,705

0,171 1,159

3 12 7 65 37,8 0,1035 1,134

0,237 1,121

4 12 9 66 48,0 0,1368 1,440

0,303 1,073

5 12 10 63 57,2 0,1701 1,716

0,367 1,016

6 12 13 64 69,4 0,2034 2,082

0,431 0,947

7 12 15 64 79,7 0,2368 2,391

0,496 0,867

8 11 16 62 88,8 0,2701 2,664

0,558 0,778

9 11 18 61 100,1 0,3035 3,003

0,620 0,678

10 11 20 60 111,3 0,3368 3,339

0,680 0,567

11 11 22 60 121,5 0,3701 3,645

0,741 0,445

12 11 24 60 129,7 0,4035 3,891

0,801 0,316

13 11 26 60 140,9 0,4368 4,227

0,861 0,175

14 11 28 62 152,2 0,4701 4,566

0,923 0,022

15 2 4 12 22,5 0,935 0,000

Page 51: Οριζόντια βολή με geogebra 3

51

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

πόσες φορές κτυπάμε το βελάκι στο πληκτρολόγιο. Ανάλογα τη μεγέθυνση της

εικόνας, η μέθοδος αυτή μπορεί να μετρήσει ως και δέκατο του mm.

Τι παρατηρείτε στις τιμές του Δx;

- Είναι σχεδόν σταθερές.

Τι σημαίνει αυτό;

- Ότι η οριζόντια κίνηση είναι ευθύγραμμη και ομαλή.

Όπως θα ήταν και αν δεν υπήρχε η κατακόρυφη κίνηση (δηλαδή σε συνθήκες έλλειψης

βαρύτητας).

Να υπολογίσετε τη οριζόντια ταχύτητα από τα παραπάνω δεδομένα. Παραβλέπουμε το

πρώτο και το τελευταίο καρρέ γιατί δείχνουν δύο κινήσεις (το πρώτο δείχνει και μέρος της

κίνησης πριν αφήσει ο βώλος το διάδρομο, ενώ το τελευταίο δείχνει και μέρος της

επόμενης κίνησης, αφού έγινε η κρούση με το έδαφος). Άρα μένουν 14 καρρέ επί 0,0333

sec το καθένα.

- I *nopqό'nopqό ,LMYs,sX,X t,MMM ((X ),Xuuv *+, 1,894 /./

Στη συνέχεια βλέπουμε ένα animation που δείχνει τα ίδια πράγματα

http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/animations3/Motion/HorizProjVx.swf

πειραματικός προσδιορισμός του g

Υπολογίζουμε το μέσο του Δt από την εικόνα 18. 0,0132 sec είναι ο χρόνος του πρώτου

καρρέ που ο βώλος είναι ακόμα πάνω στο διάδρομο και υπολογίζεται από τη φωτογραφία

Page 52: Οριζόντια βολή με geogebra 3

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

2,5 cm και από την αρχική ταχύτητα

του παραπάνω πίνακα.

• για τo πρώτo Δt είναι

• για το δεύτερο 0,0333/2=0,0167, 0,0167+0,0201= 0,0368

• Από το τρίτο και μετά προσθέτουμε κάθε φορά

Υπολογίζουμε και τη uy από τα

προτελευταία στηλη στο προηγούμενο

από τη κλίση υπολογίζουμε το

Κλίση g =9,46 m/sec2 αντί για

Επίσης βλέπουμε ότι ισχύει η εξίσω

Ανοίγουμε το αρχείο του Geogebra

τις πειραματικές τιμές για το

από τη λύση των εξισώσεων,

έγινε γιατί το Geogebra δεν δουλεύει με γνωστό

ελέγξουμε στο Geogebra την ορθότητα των μετρήσεών

συνολικό χρόνο t, καθώς και τη ταύτιση των τροχιών κίνησης που θα δώσει η

που έδωσε η φωτογραφία.

Στη επόμενη Εικόνα βλέπουμε σύγκριση των μαθημ

δεδομένα. Η Geogebra έχει προγραμματιστεί να δώσει τα πορτοκαλί σημεία με βάση του

y = 9,4636x

R² = 0,9993

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0,0000 0,1000

uy,

m/sec

πειραματικός προσδιορισμός

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

την αρχική ταχύτητα uo=1,894 m/sec. Η uo υπολογίζεται από τα

είναι 0,0333-0,0132 = 0,0201, 0,0201/2 = 0,0101,

0,0333/2=0,0167, 0,0167+0,0201= 0,0368.

μετά προσθέτουμε κάθε φορά 0,0333 sec.

από τα Δy/0,0333 sec και συμπληρώνουμε τη τελευταία και τη

τηλη στο προηγούμενο πίνακα. Κάνουμε γραφική παράσταση

ση υπολογίζουμε το g.

αντί για 9,80665.

=

Επίσης βλέπουμε ότι ισχύει η εξίσωση της ταχύτητας uy=gt.

Geogebra “βολές από μικρό ύψος.ggb”. Περνάμε στο πρόγραμμα

τις πειραματικές τιμές για το h =1,205 m, uo = 1,886 m/sec. Η τιμή αυτή του

από τη λύση των εξισώσεων, h = 0,5gt2 και s = uo.t για h = 1,205 m και s = 0,935

δεν δουλεύει με γνωστό s και άγνωστο uo, αλλά αντίστροφα. Θα

την ορθότητα των μετρήσεών μας, ως προς το βεληνεκές

, καθώς και τη ταύτιση των τροχιών κίνησης που θα δώσει η

Στη επόμενη Εικόνα βλέπουμε σύγκριση των μαθηματικών προβλέψεων με τα πειραματι

έχει προγραμματιστεί να δώσει τα πορτοκαλί σημεία με βάση του

y = 9,4636x

R² = 0,9993

0,1000 0,2000 0,3000 0,4000t, sec

πειραματικός προσδιορισμός g

Διάγραμμα 8

52

υπολογίζεται από τα Δx και τα Δt

,

μπληρώνουμε τη τελευταία και τη

παράσταση uy=f(t) κα

Περνάμε στο πρόγραμμα

uo προκύπτει

= 0,935 m. Αυτό

, αλλά αντίστροφα. Θα

μας, ως προς το βεληνεκές s, και το

, καθώς και τη ταύτιση των τροχιών κίνησης που θα δώσει η Geogebra και

ατικών προβλέψεων με τα πειραματικά

έχει προγραμματιστεί να δώσει τα πορτοκαλί σημεία με βάση του

0,5000

Page 53: Οριζόντια βολή με geogebra 3

53

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

μαθηματικούς τύπους, ενώ έχουν περαστεί και τα πειραματικά δεδομένα από την ανάλυση

της φωτογραφίας (μπλε κουκίδες). Τα πειραματικά δεδομένα φαίνονται στο πίνακα δεξιά.

Εικόνα 19. Πειραματικά δεδoμένα και μετρήσεις της Geogebra.

Με μπλε κουκίδες φαίνονται τα σημεία A του Geogebra με συντεταγμένες

(1,886.t, 1,205 – 4,903325.t2). Με πορτοκαλί φαίνονται τα σημεία, όπως βγήκαν από την

ανάλυση της φωτογραφίας. Το βεληνεκές δίνεται από το Geogebra 0,9335 m, αντί για 0,935

m (μέτρηση με μεζούρα). Ενώ ο χρόνος κίνησης 0,496 sec. Από τους τύπους βρίσκουμε

0,4957 sec.

Εικόνα 20. Μεγάλη μεγένθυνση της οθόνης της Geogebra για τον ακριβή προσδιορισμό του

χρόνου κίνησης.

Page 54: Οριζόντια βολή με geogebra 3

54

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

Το τελευταίο μπλε σημείο αντιστοιχεί σε χρόνο 0,496 sec, ενώ το προτελευταίο σε χρόνο

0,495 sec. Φαίνεται επίσης και μια διαφοροποίηση ανάμεσα στη καμπύλη της Geobegra

(πορτοκαλί) και στα πειραματικά δεδομένα (μπλε).

Βλέπουμε ότι το πραγματικό πείραμα δίνει τα ίδια αποτελέσματα με το Geogebra. Άρα η

θεωρία συμφωνεί σε επαρκή βαθμό με το πείραμα. Άρα όλη η λογική που αναπτύξαμε περί

ανεξαρτησίας των κινήσεων στέκει. Δεν υπάρχει, μέχρι τώρα, κάποιο πειραματικό

δεδομένο που να μη μπορεί να εξηγηθεί από την Αρχή της Ανεξαρτησίας των Κινήσεων.

Αξιολόγηση

1) Ανοίγουμε το αρχείο της Geogebra “παιχνίδι βολής”. Να μεταβάλετε τη

ταχύτητα έτσι ώστε να πετύχετε το σώμα Α στον αέρα, καθώς κατεβαίνει στο

σημείο (10,5). Πως θα μπορούσατε να υπολογίσετε τη ταχύτητα αυτή χωρίς

το Geogebra;

- Το σώμα Α θα βρίσκεται σο σημείο (10, 5) σε χρόνο

h ½gt t h| h ~ Y = 1 sec

το βλήμα πρέπει να καλύψει την οριζόντια απόσταση στον ίδιο χρόνο. Άρα πρέπει

να έχει ταχύτητα . *' ) *+, = 10 m/sec.

Page 55: Οριζόντια βολή με geogebra 3

55

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

2) Ποια συνιστώσα της ταχύτητας είναι κοινή για τον ποδοσφαιριστή και τη μπάλα;

Περιέγραψε αυτή τη ταχύτητα.

http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/MotionPlane/projFiredAngle/Anim

ations/LetsPlayCatch.html

3) Τραίνο με 10 βαγόνια κινείται σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα 10 m/sec. Στο

πρώτο βαγόνι υπάρχει ένα κανόνι που ρίχνει ένα βλήμα με διεύθυνση τη

κατακόρυφο και αρχική ταχύτητα 100 m/sec. Κάθε βαγόνι έχει 20 m μήκος.

Σε ποιο βαγόνι θα πέσει ητο βλήμα, όταν επιστρέψει;

- Στο πρώτο

4) Ένα σαλιγκάρι ξεκινά από την αριστερή άκρη του πρώτου σκαλοπατιού μιας

κυλιόμενης σκάλας και κινείται προς τα δεξιά, με σταθερή ταχύτητα uσαλ = 1

cm/sec, κάθετα στη κίνηση της σκάλας, προς σημείο Α, 10 cm πιο μακριά,

όπου βρίσκεται ένα φύλλο μαρουλιού. Η σκάλα κατεβαίνει με ταχύτητα

uσκάλας = 1 m/sec και έχει μήκος 20 m. Σε πόσο χρόνο θα φτάσει το σαλιγκάρι

στο μαρούλι; Να βρεθεί η θέση του σαλιγκαριού, ως προς την αρχική του

θέση, τη στιγμή που φτάνει στο μαρούλι. Να απαντήσετε ξανά τις

προηγούμενες ερωτήσεις για τη περίπτωση που η σκάλα δεν κινείται.

- Το σαλιγκάρι χρειάζεται 10 cm/1 cm/sec = 10 sec, για να φτάσει στο

μαρούλι. Το πρώτο σκαλοπάτι, στον ίδιο χρόνο έχει φτάσει 1 m/sec x 10 sec

= 10 m πιο χαμηλά. Άρα το σαλιγκάρι βρίσκεται 10 cm πιο δεξιά (x) από την

αρχκή του θέση και 10 m πιο κάτω (y).

- Δεν αλλάζει τίποτε, αν η σκάλα είναι ακίνητη.

Page 56: Οριζόντια βολή με geogebra 3

56

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

5) Δίνεται μια φανταστική οριζόντια βολή με επιτάχυνση της βαρύτητας g = 1

m/sec2, uo = 3 m/sec, h = 8 m. Να κάνετε αναπαράσταση της τροχιάς της ανά

δευτερόλεπτο για τα 4 πρώτα δευτερόλεπτα.

6) Ένας σκοπευτής σημαδεύει με το όπλο του από ύψος 1 m, έναν στόχο στον

απέναντι τοίχο που βρίσκεται 100 m μακρυά. Ο στόχος είναι ένας κυκλικός

δίσκος ακτίνας 10 cm. Όταν η σφαίρα φεύγει από το όπλο έχει ταχύτητα uo =

400 m/sec και κατεύθυνση ακριβώς προς το κέντρο του στόχου. Να βρεθεί αν θα

χτυπηθεί ο στόχος.

. 100400 0,25 sec

] 12 _ 5. 0,25 0,3125 31,25 /

Δεν θα πετύχει το στόχο. Εδώ ο χρόνος κίνησης καθορίζεται από την απόσταση του

τοίχου και όχι από το ύψος, γιατί η κρούση στο τοίχο συμβαίνει πριν από τη κρούση

στο έδαφος h ½ g t t h| h 0,45 sec).

7) Στη προηγούμενη άσκηση ο στόχος δεν είναι σταθερός, αλλά αφήνεται να

πέσει, από ύψος ίσο με αυτό του όπλου, την χρονική στιγμή της

εκπυρσοκρότησης. Θα πετύχουμε τώρα το στόχο; ΝΑΙ

y = -0.0556x2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Page 57: Οριζόντια βολή με geogebra 3

57

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

8) Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται μια φανταστική οριζόντια βολή.

Κάθε βούλα παριστάνει 1 sec της κίνησης. Οι αριθμοί που φαίνονται είναι

μέτρα. Να συμπληρώσετε το πίνακα. Αν η κίνηση συνεχιζόταν για ένα ακόμη

sec, να σχεδιάσετε μια βούλα που να αναπαριστά το νέο στιγμιότυπο, χωρίς

να χρησιμοποιήσετε τις εξισώσεις της κίνησης.

Αρχική ταχύτητα o ./⁄

Βεληνεκές m 20

Ύψος 16

Επιτάχυνση βαρύτητας g = 2 m/sec2

Συνολικός χρόνος k 4 ./

uy, τελική g _. 2 Z 4 8 ./⁄

Ταχύτητα κατά τη κρούση µε το πάτωµα τελ √8 5 9,43 ./⁄

∆ιεύθυνση τελικής ταχύτητας 011 (Y 1,6 1 58C

Εξίσωση οριζόντιας κίνησης 5. t Εξίσωση κατακόρυφης κίνησης t y=f(x) \ 0,04 . Z *

5

5

5 5 5

9

Page 58: Οριζόντια βολή με geogebra 3

58

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

*αντικαθιστώ το χρόνο στην εξίσωση h=t2 με το ίσο του απ΄την εξίσωση s=5t

t=s/5 και έχω ] Y IeY 0,04 . Z

9) ΚΑΡΔΙΟΓΡΑΦΗΜΑ

Το χαρτί κινείται με ταχύτητα 25 mm/sec. Επομένως 1 mm αντιστοιχεί σε 0,04 sec. Στον

κάθετο άξονα 1 mm αντιστοιχεί σε 0,1 mV.

Με βάση αυτές τις πληροφορίες να βρείτε α) με πόσους παλμούς ανά λεπτό, κτυπά η

καρδιά στο κόκκινο διάγραμμα. Β) πόσα mV είναι η μέγιστη τιμή της κορυφής;

Το φυσιολογικό ύψος για την κορυφή (Ρ) είναι μικρότερο του 0,25 mV και το φυσιολογικό

εύρος της βάσης της (QRS) είναι μικρότερο του 0,12 sec. Το διάστημα ανάμεσα σε δύο

διαδοχικά QRS, πρέπει να είναι περίπου 0,83 sec. Είναι φυσιολογικός ο εξεταζόμενος;

- Η μία κορυφή απέχει από την άλλη 21 mm, δηλαδή 21 x 0,04 = 0,84 sec. Άρα σε 1

min θα έχουμε 60/0,84 = 71 παλμούς.

- Το ύψος της κορυφής είναι 5 mm, άρα 5 x 0,1 =0,5 mV

- Ο εξεταζόμενος δεν είναι φυσιολογικός ως προς το ύψος της κορυφής Ρ.

Page 59: Οριζόντια βολή με geogebra 3

59

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

10) ΕΚΤΥΠΩΤΕΣ

Στο internet αναφέρεται ότι ο εκτυπωτής HP deskjet 2515 έχει ταχύτητα εκτύπωσης: 8

σελίδες ανά λεπτό (ασπρόμαυρη εκτύπωση). Η σελίδα Α4 έχει διαστάσεις 216 x 297 mm, 27

γραμμές ανά σελίδα, 86 χαρακτήρες ανά γραμμή. Σε ποιο γράμμα, ποιας γραμμής βρίσκεται

η γραφίδα του εκτυπωτή τη χρονική στιγμή, 10,052 sec μετά την έναρξη της εκτύπωσης; Να

υπολογιστούν η οριζόντια και η κατακόρυφη ταχύτητα της γραφίδας σε χαρακτήρες ανά

sec, γραμμές ανά sec αντίστοιχα και σε m/sec. Να γίνει γραφική παράσταση της

μετατόπισης της γραφίδας στον οριζόντιο άξονα και στο κατακόρυφο άξονα σε συνάρτηση

με το χρόνο. Να θεωρηθεί ότι δεν υπάρχουν περιθώρια και ότι δεν υπάρχει νεκρός χρόνος

ανάμεσα στη μία σελίδα και στην επόμενη.

- Uy =8 σελ/min = 8 x 291 mm/min = 2.328 mm/min = 38,8 mm/sec

- Uy =8 σελ/min = 8 x 27 γραμμές/min = 216 γραμμές/min = 3,6 γραμμές/sec.

- Ux = 8 σελ/min = 8 x 27 x 216 = 46.656 mm/min = 777,6 mm/sec.

- Ux =8 σελ/min = 8 x 27 x 86 χαρακτήρες/min = 18.576 χαρακτήρες/min = 309,6

χαρακτήρες/sec

- Σε χρόνο t = 10,052 sec, έχουμε 3,6 x 10,052 = 36,1872 γραμμές. Άρα είμαστε στη

37η γραμμή. 10 sec πέρασαν για να γραφούν 36 γραμμές. Επομένως απομένουν

0,052 sec. Έχουμε λοιπόν 309,6 x 0,052 = 16,0992. Άρα είμαστε στον 17ο

χαρακτήρα.

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Page 60: Οριζόντια βολή με geogebra 3

60

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

11) Στο παρακάτω διάγραμα φαίνεται η τροχιά ενός κινητού που κάνει σύνθετη κίνηση.

Τα στιγμιότυπα είναι ανά δευτερόλεπτο. Να αναλυθεί η σύνθετη κίνηση στις δύο

συνιστώσες της.

Άξονας x: ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα ux = 1 m/sec.

Άξονας y: ευθύγραμμα ομαλή κίνηση προς τα πάνω με ταχύτητα uy=1 m/sec για τα πρώτα 5

sec. Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση προς τα κάτω με την ίδια ταχύτητα για τα επόμενα 10 sec.

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση προς τα πάνω με ταχύτητα uy=1 m/sec για τα επόμενα 5 sec.

12) Να παραστείστε γραφικά τη τροχιά της σύνθετης κίνησης:

Άξονας x: ομαλή κίνηση με ταχύτητα 1 m/sec.

Άξονας y: ομαλή κίνηση προς τα πάνω με ταχύτητα uy=1m/sec, για τα πρώτα 5 sec.

Ακινησία για τα επόμενα 5 sec. Ομαλή κίνηση προς τα κάτω με ταχύτητα uy=1m/sec.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

y,

m

x, m

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y,

m

x, m

Page 61: Οριζόντια βολή με geogebra 3

61

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 4-7-2013

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1) “Aristotle is not dead: Student understanding of trajectory motion”

RJ Whitaker - American Journal of Physics, 1983 - link.aip.org

http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v51/i4/p352_s1?isAuthorized=no

2) “Common sense concepts about motion”,

I. A. Haloun, D. Hestenes, - American Journal of Physics, 1985 -

modeling.la.asu.edu

http://modeling.la.asu.edu/halloun/PDF/Csbelief.pdf

3) “Investigating greek students’ ideas about forces and motion”,

Athanassios Jimoyiannis, Vassilis Komis, Research in Science Education

Volume 33, Issue 3 , pp 375-392

http://link.springer.com/article/10.1023/A:1025457116654#page-2

ΤΕΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ