Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss – Markov

Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη

Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

• Απλό Γραμμικό Υποδείγματα Παλινδρόμησης – Προσδιοριστικές και Στοχαστικές Σχέσεις. (Εφαρμογές με το Οικονομετρικό Πακέτο Eviews).

4

Περιεχόμενα

• Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης.

• Θεώρημα των Gauss – Markov.

5

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης (1/3)

• Η μεταβλητή ϵt (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο μηδέν.

E(ϵt) = 0 για t = 1,2,3, … . , n

• H διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής (διαταρακτικού όρου) ϵt είναι σταθερή για όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής Xt.

E(ϵt2) = Var(ϵt) = σϵ

2 για t = 1,2,3, … , n

Η υπόθεση αυτή λέγεται υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας.

6

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης (2/3)

• Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στους διαταρακτικούς όρους. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές των διαταρακτικών όρων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ή ότι η συνδυακύμανση δύο διαφορετικών παρατηρήσεων του διαταρακτικού όρου είναι μηδέν.

Cov ϵt, ϵs = 0 για t s

• Δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ της ανεξάρτητης μεταβλητής Χt (η οποία δεν είναι τυχαία) και του διαταρακτικού όρου ϵt.

Cov Χt, ϵs = 0 για t = 1,2,3,… , n

7

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης (3/3)

• Το υπόδειγμα της παλινδρόμησης είναι σωστά εξειδικευμένο (η μορφή της συνάρτησης είναι σωστή). Η μαθηματική (προσδιοριστική) σχέση μεταξύ των μεταβλητών Yt και Xt είναι γραμμική (linear).

• Η ανεξάρτητη μεταβλητή μετράται χωρίς σφάλμα.

• Η τυχαία μεταβλητή (διαταρακτικός όρος) εt ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και σταθερή διακύμανση. Η υπόθεση αυτή ελέγχεται με το test των Jarque-Bera.

8

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης

• Η εξαρτημένη μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο E Yt = βο + β1Χt,και διακύμανση σταθερή.

• Η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι μη στοχαστική με σταθερές τιμές και διακύμανση διάφορη του μηδενός.

9

Θεώρημα των Gauss – Markov (1/3)

• Το θεώρημα των Gauss-Markov (Gauss-Markov Theorem) αναφέρει ότι δεδομένου ότι ισχύουν οι υποθέσεις του απλού γραμμικού υποδείγματος

της παλινδρόμησης οι εκτιμητές βο και β1αποτελούν τους καλύτερους γραμμικούς αμερόληπτους εκτιμητές (Best Linear UnbiasedEstimators, BLUE).

10

Θεώρημα των Gauss – Markov (2/3)

• Πιο συγκεκριμένα σύμφωνα με το θεώρημα των Gauss-Markov οι εκτιμητές βο και β1 των ελαχίστων τετραγώνων του απλού γραμμικού υποδείγματος είναι BLUE. Αυτό σημαίνει ότι:

1) Είναι γραμμικές συναρτήσεις των παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής.

2) Είναι αμερόληπτοι (unbiased). Ένας εκτιμητής είναι αμερόληπτος όταν η αναμενόμενη τιμή του είναι ίση με την τιμή της υπό εκτίμηση άγνωστης τιμής του συντελεστή του πληθυσμού. Επομένως θα έχουμε:

11

Θεώρημα των Gauss – Markov (3/3)

E( βο) = βο), E( β1) = β1)

• Είναι αποτελεσματικοί (efficient).Μεταξύ όλων των γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών έχουν τη μικρότερη διακύμανση.

Var( βο) = sϵ2 t=1n Χt

𝟐

t=1n xt

𝟐= s βο

2

Var( β1) = sϵ2

1

t=1n xt

𝟐= s β1

2

• Το θεώρημα των Gauss-Markov ισχύει μόνο στα γραμμικά υποδείγματα της παλινδρόμησης.

12

Τέλος Ενότητας

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη. «Οικονομετρία Ι ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

14

Σημείωμα Αδειοδότησης

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative CommonsΑναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:

• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο.

• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο.

• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο.

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

15

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

το Σημείωμα Αναφοράς.

το Σημείωμα Αδειοδότησης.

τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων.

το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει).

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

16