Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια...

download Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

of 23

Transcript of Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια...

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    1/23

    1

    Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΔΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΙΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ

    ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ GALTON

    Αποστόλης ΠαπανικολάουΆρης Μαυρομμάτης

    Καθηγητές Μαθηματικών Εθνικής Εστίας Επιστημών,Εστιών Γνώσης Χαλκίδας και Πάτρας

    [email protected]

    Περίληψη : Με την παρούσα δημοσίευση προτείνουμε μια διδακτική δραστη -ριότητα εισαγωγής στην κανονική κατανομή, ως οριακής μορφής της αντίστοι -χης διακριτής δυωνυμικής , με τη βοήθεια του αλληλεπιδραστικού εκθέματος(ΑΕ) γνωστού ως «τρίγωνο Galton» (Galton Board ή Quinqunxpc).Οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής δίνονται ως απλές πληροφορίες, χωρίςκαμία εξήγηση , για πρώτη φορά στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, στα Μαθημα -τικά Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Η προσπάθειά μας είναι να δώσουμε μιαευλογοφανή δικαιολόγηση αυτών των ιδιοτήτων χρησιμοποιώντας την προσέγ -γισή της από την δυωνυμική κατανομή χρησιμοποιώντας το «τρίγωνο τουGalton».Το θέμα μπορεί να παρουσιασθεί και σε μικρότερες τάξεις ως ένα ανεξάρτητοπρόβλημα στις απλούστερες μορφές του , ανάλογα με το γνωστικό επίπεδο τωνμαθητών εγγράφοντας υποθήκες για την πλήρη μελέτη του στη Γ λυκείου ηαργότερα στο Πανεπιστήμιο.

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    2/23

    2

    Σχήμα 1 (Το ΑΕ )

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    3/23

    3

    Εισαγωγή - Θεωρητικό υπόβαθρο

    A) Σχετικά με τις έννοιες της δυωνυμικής και κανονικής κατανομής

    Η προτεινόμενη δραστηριότητα αφορά την κατανόηση της κανονικήςκατανομής και των ιδιοτήτων της ως ορίου της δυωνυμικής κατανομής, όπωςαυτό νομιμοποιείται από το γνωστό ως τοπικό οριακό θεώρημα των De Moivre - Laplace . Το θεώρημα αυτό απέδειξε, ο Abraham De Moivre το1733 για p = 1/2

    και, εκατό περίπου χρόνια αργότερα, το 1812, ο Laplace για κάθε p ∈ (0, 1).Ο Carl Gauss (1777 -1855) ανακάλυψε πάλι επίσης την καμπύλη. Βρήκε τόσεςπολλές χρήσεις γι αυτήν, ώστε έγινε γνωστή ως καμπύλη του Gauss - Gaussian.Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων των Gauss οδήγησε σε μια αρχική εξίσωση ,όμως η τελική μορφή της που χρησιμοποιεί την τυπική απόκλιση s,αποδείχθηκε από τον Pearson (1857-1936).Οι ανθρωπολογικές μετρήσεις του Lambert-Adolphe-Jacques Quatelet (1796-1874) οδήγησαν στην υπόθεση ότι όλα τα βιολογικά μεγέθη εμφανίζονται μεσυχνότητα που διέπεται από την (τότε ονομαζόμενη αλλά και σήμερα)κατανομή Gauss . Η κατανομή αυτή ονομάσθηκε γι αυτό το λόγο κανονικήκατανομή. Όλες αυτές οι αναζητήσεις έθεσαν τις βάσεις για τη διατύπωση καιαπόδειξη του Κεντρικού οριακού θεωρήματος (ΚΟΘ) που αργότεραδιατυπώθηκε και αποδείχθηκε από τον Ρώσο μαθηματικό Lyapunov τηνπερίοδο 1901 -1902.Το τρίγωνο που αποδίδεται στον Blaise Pascal (1623-1662) δημοσιεύθηκε το1653, όμως ήταν γνωστό αιώνες νωρίτερα. Μια από τις πολλές χρήσεις τουείναι για την εύρεση των συντελεστών στα δυωνυμικά αναπτύγματα.Ο Jacques Bernoulli (1654-1705) βρήκε το τρίγωνο P ascal χρήσιμο για τιςκατανομές πιθανότητας των διωνυμικών δοκιμών (σταθερός αριθμός ίδιων καιεπαναλαμβανόμενων ανεξάρτητων δοκιμών, με δύο πιθανές εκβάσεις) .[1,2,3,4,5].

    Το «τρίγωνο του Galton » είναι μια συσκευή επίδειξης μιας τυπικής δυωνυμικήςκατανομής , για την περιγραφή της οποίας αρχικά χρησιμοποιούνται απλοικέςπεριγραφές των δειγματικών χώρων για τις απλοποιημένες περιπτώσεις. Στησυνέχεια αφού χρησιμοποιηθεί το τρίγωνο του Pascal, η δραστηριότητα θαοδηγηθεί στην εξαγωγή ως εικασίας της οριακής μορφής της κανονικής

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    4/23

    4

    κατανομής, οι ιδιότητες της οποίας όμως θα εισαχθούν έτσι μέσω μιαςιστορικογενετικής δραστηριότητας και όχι σαν απλής «άνωθεν» πληροφορίας.

    Πιο συγκεκριμένα : Στη σελίδα 76 του διδακτικού εγχειριδίου ΜαθηματικώνΓενικής Παιδείας Γ Λυκείου [5] εισάγεται η έννοια της κανονικής κατανομής,ως εκείνης που η καμπύλη συχνοτήτων της παρουσιάζει «κωδωνοειδή» συνεχήκαι ομοιόμορφη μορφή. Κατόπιν στη σελίδα 95 του ίδιου εγχειριδίου αναφέρο -

    νται οι βασικές ιδιότητες της κανονικής κατανομής που αφορούν τα ποσοστά

    της τυπικής απόκλισης.Ποια είναι η απάντηση που θα μπορούσε να δοθεί στην εύλογη απορία ενός μα -θητού για το ποια είναι ακριβώς η κανονική κατανομή και από πού προκύπτουναυτές οι ιδιότητες;

    Β) Σχετικά με τη διαδικασία της διδασκαλίας με τη χρήση ΑΕ

    Η αξία της διαμεσολάβησης αισθητών αντικειμένων και φαινομένων για τηνανακάλυψη και κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας, χωρίς να γίνεται το

    άλμα από την φανταστική -αφηγηματική ή έστω και εικονική παρουσίαση ενόςπροβλήματος που οδηγεί σε μια τέτοια έννοια έχει επισημανθεί από τον MartinWagenschein 1: "A lesson must begin with a real phenomenon and not with averbose description of the thing. This is the only way secure knowledge candevelop.”… «the éminence grise of science education, phenomena andintellectual constructs develop hand in hand. Teach phenomena first and last -without them your theories are empty. Abstract explanatory concepts, which arenot derived from phenomena (i.e. that come about "naturally”), tend to bemisunderstood as esoteric.

    Σχετικά επίσης με το ρόλο των ΑΕ ως προκλήσεων στη διδασκαλία των

    Μαθηματικών μέσα κι έξω από την τάξη γίνεται αναφορά στο άρθρο IcmiStudy 16 [6]

    1

    Martin Wagenschein (3 December 1896 in Gießen, Germany – 3 April 1988 in Trautheim ) was a scienceeducator who worked in mathematical and scientific didactics.

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    5/23

    5

    Προτού προχωρήσουμε στην περιγραφή της προτεινόμενης δραστηριότηταςθεωρούμε σκόπιμο να αναφερθούμε στο διδακτικό περιβάλλον, τις διδακτικέςκαταστάσεις και τις βασικές διαφοροποιήσεις των παραμέτρων της όληςδιδακτικής «νοόσφαιρας» που θα πρέπει να έχει κατά νου ο διδάσκων, ότανχρησιμοποιεί για τη διδασκαλία αλληλεπιδραστικά εκθέματα (ΑΕ) , ώστε ναέχει την ικανότητα και δυνατότητα παρέμβασης , διότι η όλη διαδικασία

    υπάρχει κίνδυνος να εκτραπεί σε ένα παιχνίδι χωρίς διδακτική χρησιμότητα και

    γενικά απώλεια του ελέγχου της τάξεως.

    Από τη μέχρι σήμερα υπερδεκαετή μας εμπειρία διδασκαλίας μεαλληλεπιδραστικά αντικείμενα επισημαίνουμε εν συντομία βασικέςπαραμέτρους οι οποίες επηρεάζουν μια τέτοια διαδικασία :

    1.ΣυνυπευθυνότηταΗ μεταβίβαση μεγάλου μέρους της υπευθυνότητας του δασκάλου στους

    μαθητές για την αναζήτηση της γνώσης σωστά έχει τονισθεί και είναι η αρχήγια μια επιτυχημένη πορεία προς την αναζήτηση της γνώσης. Μια τέτοια

    μεταβίβαση από τον καθηγητή και αντίστοιχη αποδοχή της συνυπευθυνότηταςαπό τους μαθητές είναι πιο εύκολη σε ένα περιβάλλον που χρησιμοποιείπαιγνιώδεις κατασκευές. Ο καθηγητής καλεί τους μαθητές ουσιαστικά ναπαίξουν ένα παιχνίδι γνώσης.

    2. Διατύπωση αληθινά πραγματικού προβλήματος από τους ίδιους τους μαθητέςκαι όχι ενασχόληση με πραγματικό πρόβλημα που αφηγείται ο καθηγητής στους

    μαθητές.

    Η αξία της λύσης προβλημάτων και μάλιστα πραγματικών προβλημάτων(problem solving, and real problem solving ) είναι πλέον πέραν πάσης

    αμφισβήτησης στη Διδακτική των Μαθηματικών. Οι μαθηματικές έννοιεςπροκύπτουν ως προϊόντα ανάγκης της ανθρώπινης σκέψης για την επίλυσηπροβλημάτων, τα οποία όμως διαμορφώνονται από την αλληλεπίδραση τωνίδιων των μαθητών με «χειροπιαστά αντικείμενα» και όχι από τουςδιδάσκοντες καθηγητές , όπως κατά κανόνα σε ένα παραδοσιακό μάθημα.

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    6/23

    6

    Αποδίδουμε ιδιαίτερη σημασία στο να προκύψει η διατύπωση αλλά και ηεπεξεργασία του προβλήματος ως αποτέλεσμα διαλόγου και ανάγκης τηςσκέψης των μαθητών. Το φαινόμενο Topaze 2 παραμονεύει σε κάθε φάση τηςδιδακτικής δραστηριότητας, ιδιαίτερα όμως αν συμβεί εδώ ακυρώνει τοδιδακτικό συμβόλαιο που άτυπα έχει γίνει στο κεφαλαιώδες θέμα της αποδοχήςτης συνυπευθυνότητας. Ένα πρόβλημα που τελικά θα απαντηθεί από τονκαθηγητή έχει πολύ λίγες ελπίδες να αποτελέσει αντικείμενο ειλικρινούςαναζήτησης και κυρίως ευχάριστης συζήτησης.

    3. Αβεβαιότητα ( uncertainty)

    Η χρησιμότητα της αβεβαιότητας ως δυναμικής διδακτικής κατάστασηςαναγκαίας (αλλά όχι και ικανής) για την ανάπτυξη της σκέψης έχει επισημανθείαπό τον Piazet , τον Dweey αλλά και την Zaslavsky [7] . Η κατάσταση πουπροκαλεί αμφιβολία, δισταγμό, κλονισμό της πίστης στις υπάρχουσες γνώσειςκαι κυρίως στις αισθήσεις είναι μια νοητική πρόκληση, μια ανισορροπία(disequilibrium ) η οποία τείνει να αποκατασταθεί ακριβώς με την αναζήτησητης γνώσης εκείνης που θα επαναφέρει την ισορροπία. Η αβεβαιότητα στοχεύειπλην των άλλων στην συμμόρφωση και όχι στην αφομοίωση ασύνδετης

    συσσωρευμένης ύλης. [8]Το ΑΕ ενεργεί ακριβώς έτσι. Μια άγνωστη κατασκευή, ένα παιχνίδι πουπροκαλεί κάποιον να παίξει μαζί του, τον οδηγεί να βιώσει αυτήν ακριβώς τηναβεβαιότητα και να αισθανθεί την ανάγκη ελέγχου του, άρα τη γνώση τουλόγου της ύπαρξης και κατασκευής του. Η αβεβαιότητα όμως αυτή δεν έχειμονή κατεύθυνση δηλ. μόνο το μαθητή. Το ενδιαφέρον είναι ότι αφορά και τοδάσκαλο, ο οποίος μέσα από το διάλογο με τους μαθητές και στην κοινήπροσπάθεια να ανακαλυφθεί ο εσωτερικός μαθηματικός νόμος που διέπει έναφαινόμενο , ανακαλύπτει νέα ερωτήματα που δεν είχαν περάσει από τη σκέψητου. Εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε ότι έχουμε βιώσει παρόμοιες καταστάσειςκαι βέβαια συμφωνούμε με την παρατήρηση των Holton & Tomas : «ο

    δάσκαλος κάνει τις πιο παραγωγικές του ερωτήσεις όταν βρίσκεται ο ίδιος σεαβεβαιότητα». [9]

    2 «Topaze effect», has been described above as ‘giving away the answer in the question’ in teaching,comes from a play by Marcel Pagnol, written in 1928, in Paris.

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    7/23

    7

    Όλα τα προηγούμενα έχουν και την αρνητική τους επίπτωση αν δεν χειρισθούνκατάλληλα με κυριότερο θέμα την κατάλληλη διαχείριση του χρόνου. Είναιπροφανές ότι τέτοιες διαδικασίες απαιτούν περισσότερο χρόνο από μιαπαραδοσιακή διδασκαλία, ενώ χρειάζεται μια συνεχής εγρήγορση και διαχεί -ριση του χρόνου, ώστε ούτε να εκπέσουν σε παρουσιάσεις χωρίς ενεργόσυμμετοχή των μαθητών αλλά ούτε και σε ατέρμονες διαδικασίες χωρίςκατάληξη στους επιθυμητούς διδακτικούς στόχους.

    Περιγραφή της δραστηριότητας :

    Στο τρίγωνο του Galton καλούμε τους μαθητές σε πρώτη φάση να προβλέψουνδιαισθητικά την κατανομή των μεταλλικών σφαιριδίων κατά την κατακόρυφηπτώση τους από τον επάνω τριγωνικό χώρο στον κάτω και τανάπαλιν.Κάθε σφαιρίδιο κατέρχεται από την κορυφή του τριγώνου και κατολισθαίνειπροσκρούον σε Ν σειρές των εμποδίων κινούμενο αριστερά ή δεξιά μεπιθανότητα 1/2 και όλα μαζί συσσωρεύονται σε Ν+1 «θήκες» κάτω από τηντελευταία γραμμή εμποδίων.Κατά κανόνα παρατηρείται μια ασυμφωνία και μια αβεβαιότητα στις

    προβλέψεις τους. Αβεβαιότητα που οφείλεται ακριβώς στην αρχική οπτική – διαισθητική τους προσέγγιση και όχι σε κάποια λογική διαδικασία .Μια τέτοια λογική επεξεργασία , είναι ειδικά σε αυτό το ΑΕ, αρκετά δύσκολο

    να γίνει από τους μαθητές χωρίς καμιά αρχική βοήθεια , γιαυτό και δίνουμε έναπρώτο επίπεδο βοηθείας καλώντας τους και υιοθετώντας τις στρατηγικές επίλυ -σης Polya [10 ] να υποδείξουν μια απλούστερη εκδοχή του προβλήματοςελλατώνοντας την πολυπλοκότητα.Για την διευκόλυνση χρήσης της παραπάνω στρατηγικής είναι χρήσιμο ναχρησιμοποιήσουμε τον εξομοιωτή του τριγώνου Galton. Στη διάταξη αυτήέχουμε την επιπλέον δυνατότητα να αυξομειώνουμε κατά το δοκούν τοναριθμό των σειρών εμποδίων και να βαδίσουμε έτσι από τις απλούστερες προς

    τις συνθετότερες περιπτώσεις :

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    8/23

    8

    Σχήμα 2 . Μια από τις εξομοιώσεις του τριγώνου Galton από τις πολλές πουμπορεί να βρει κανείς στο διαδίκτυο.

    ΣΤΑΔΙΟ 1Λύση απλοποιημένου προβλήματος :Εάν εκτελούσαμε τη διαδικασία με λιγότερες σειρές εμποδίων όπως φαίνεταιπαρακάτω τι αποτελέσματα θα έπρεπε να αναμένουμε και γιατί; Με ποιο μαθη -ματικό μοντέλο μπορούμε να εξηγήσουμε τα αποτελέσματα ;

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    9/23

    9

    Σχήματα 3 και 4 με αντίστοιχα μια και δύο σειρές εμποδίων και αντίστοιχα 2και τρεις συλλέκτες σφαιριδίων

    Ερώτημα : Αν αφήναμε να πέσει ένα μόνο σφαιρίδιο πόσες είναι οι δυνατέςδιαδρομές που θα μπορούσε να κάνει μέχρι να καταλήξει στους συλλέκτες;

    Η απάντηση βέβαια είναι εύκολη για τις τρεις πρώτες περιπτώσεις :

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    10/23

    10

    Σχήματα 4,5,6

    Η πρόβλεψη για την τελευταία επαληθεύεται πειραματικώς με την εικονκήδιάταξη :

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    11/23

    11

    Σχήμα 7

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    12/23

    12

    Σχήμα 8

    Η καταμέτρηση γίνεται δύσκολη όσο αυξάνεται ο αριθμός των σειρών τωνεμποδίων, οπότε εισάγεται ένα νέο ερώτημα :Μπορούμε να περιγράψουμε με κάποιο κατάλληλο μοντέλο τη διαδικασία γιαμεγαλύτερη τιμή του αριθμού Ν των σειρών; (Ουσιαστικά ζητείται μιακαταγραφή του δειγματικού χώρου)

    Εκκινούμε πάλι από τα απλούστερα :

    Ν=1 : Ω= {α ,δ} (α =αριστερά), (δ =δεξιά)

    Ν=2 : Ω= { [αα], [αδ ,δα], [δδ ] }

    Ν=3 : Ω= { [ααα],[ααδ ,αδα, δαα,],[αδδ, δαδ ,δδα] [δδδ ] }

    Ν=4 : Ω= {[αααα],[αααδ ,ααδα, αδαα,δααα], [ααδδ, αδαδ ,δαδα, αδδα, δααδ,δδαα] , [αδδδ,δαδδ,δδαδ,δδδα], [δδδδ ] }

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    13/23

    13

    Πειραματική επαλήθευση

    Σχήμα 9

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    14/23

    14

    Σχήμα 10 (Ν=4)

    Ερώτημα : Τι γίνεται όταν το Ν παίρνει μεγαλύτερες τιμές;• Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή μ και τη διασπορά s της

    αντίστοιχης κατανομής;• Μπορούμε να υπολογίσουμε το αναμενόμενο ποσοστό των σφαιριδίων

    στα διαστήματα: [ μ -s,μ+ s], [μ -2s,μ+2 s], [μ -3s ,μ+3 s];

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    15/23

    15

    ΣΤΑΔΙΟ 2Από την επεξεργασία των 4 πρώτων περιπτώσεων προκύπτει ότι ο αριθμός τωνδυνατών διαδρομών προκύπτει από το τρίγωνο του Pascal :

    Σχήμα 11

    Με βάση τα δεδομένα από το τρίγωνο του Pascal έχουμε τους παρακάτω

    υπολογισμούς :

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    16/23

    16

    Σχήμα 12

    Η πειραματικώς παρατηρηθείσα κατανομή :

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    17/23

    17

    Σχήμα 13

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    18/23

    18

    Σχήμα 14Ανάλογα με τον δυνατό χρόνο μπορούμε να περάσουμε σε υπολογισμούς γιαμεγαλύτερες τιμές του Ν όπου θα φανεί η σταδιακή προσέγγιση των τιμών τηςκανονικής κατανομής. A ν συνεχίσουμε τους υπολογισμούς μας με μεγαλύτεροπλήθος θα καταλήξουμε

    • [μ -s,μ+s] • 68%

    • [μ -2s,μ+2s] • 95%

    • [μ -3s,μ+3s] • 99,7%

    Πίνακας 1

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    19/23

    19

    Δηλαδή στις τιμές που δίνονται από τα βιβλία για την κανονική κατανομή.Στη φάση αυτή εκτελούμε το πείραμα έχοντας τώρα όλες τις θεωρητικέςδυνατότητες να προβλέψουμε με μεγάλη ακρίβεια την αναμενόμενησυμπεριφορά – κατανομή των σφαιριδίων ως προς τις θέσεις στις οποίεςαναμένεται να κατανεμηθούν στις διάφορες θέσεις – υποδοχείς αναστρέφονταςτο τρίγωνο του Galton.

    Θεωρητικότερη επεξεργασία

    Βελτίωση του μοντέλου:Αν όπου α (αριστερά) θέσουμε 0 και όπου δ (δεξιά) θέσουμε 1 ο δειγματικόςχώρος για 4 οριζόντιες σειρές με 5 θήκες είναι :

    [1111]

    ],,1101,1110[0111,1011],,1001,1100,1010,01100101[0011,

    ,0100,1000],0010,[0001

    [0000],

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    20/23

    20

    Στην περίπτωση των Ν σειρών εμποδίων με Ν+1 θήκες αντίστοιχα έχουμε :

    Στην κ θήκη έχουμε δυνατές διαδρομές.

    Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι :

    1 Νθήκη ]11...1[

    Νθήκη 1....10],1011...1,1011....1,1[011...1,1

    ..............................................................................

    1...110...00

    .............................................................................

    2θήκη 1100...0],,...[00...11,

    1θήκη.0],....,100..,00...010,[00...01

    0θήκη],00...0[

    φορές Ν

    φορές Ν

    ήέ

    21

    21

    21

    )(

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    21/23

    21

    Τοπικό οριακό θεώρημα για διωνυμική κατανομή των de Moivre– Laplace :

    .0q, p,1q p, N

    ,e pq2

    1q p

    N Npq2 Npk

    k Nk

    2

    Θέτοντας x Npq

    Npk έχουμε

    .0q, p,1q p, N

    ,e pq2

    1q p

    N 2x

    k Nk

    2

    [12]

    Στην περίπτωσή μας για p = q = ½ είναι :

    41

    )2

    (

    21

    2

    e2

    21

    )(

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    22/23

    22

    και θέτοντας

    Δηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παίρνει τη μορφή της τυποποι -ημένης κανονικής κατανομής.

    [13]

    ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (μ=0,s=1, τυποποιημένη κανονική κατανομή )

    x

    e x f x

    2

    2

    21)(

    2

    2

    x21

    41

    )2

    (

    21

    N e22

    e22

    21

    )(

    x

    412

  • 8/16/2019 Διδακτικη Αξιοποιηση Του Τριγωνου Galton Στη Διδασκαλια Τησ Δυωνυμικησ Και Κανονικησ Κατανομησ

    23/23

    23

    ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

    [1] Fischer Hans, A History of the Central Limit Theorem, Springer 2010.[2] Papoulis Athanasios, Probability and Statistics, Prentice Hall 1990 p. 70.[3] Tijms, Henk (2004) Understanding Probability: Chance Rules in EverydayLife, Cambridge: Cambridge University Press p.162[4] Hald, Anders (1998). A History of Probability and Statistics and TheirApplications before 1750 (Wiley Series in Probability and Statistics) John

    Wiley & Sons, Inc. p.468-495[5] Stigler Stephen, The history of statistics, The Measurement of Uncertainty

    before 1900,The belknap press of Harvard University press,[6] Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής (ΟΕΔΒ)[7] Challenging Mathematics in and beyond the classroom : Discussiondocument- Educational Studies in Mathematics (2005) 60 : 125-139.[8] Orit Zaslavsky (2005), “Seizing the Opportunity to Create Uncertainty inLearning Mathematics”, in Educational Studies in Mathematics, 60, p. 297-321[9] Γιώτα Ξανθάκου - Μαρία Καίλα: Το δημιουργικής επίλυσης πρόβλημα, ,εκδόσεις Ατραπός, 2002, σελ. 140[10] D. Holton and G. Thomas (2001), “Mathematical interactions and theirinfluence on learning”. In: Clarke (ed), p. 75-104.[11] G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957.[12] Feller, W. (1968) An Introduction to Probability Theory and ItsApplications. Wiley. p.182[13] Κάκουλλου Θ. Μαθήματα Θεωρίας Πιθανοτήτων, Αθήνα 1975,