Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός...

3Αδρανειακά συστήmicroατα αναφοράς microετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου

Περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς δύναmicroη Coriolis

31 Αδρανειακά και επιταχυνόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς

Οι δύο πρώτοι νόmicroοι του Νεύτωνα ισχύουν microόνο όταν τα ϕαινόmicroενα παρατηρούνται microέσα σε microη επιταχυνόmicroενασυστήmicroατα αναφοράς Τότε ένα σώmicroα microένει ακίνητο εάν δεν ασκείται καmicroία δύναmicroη Αν ϑέλετε να microείνετεακίνητοι microέσα σε ένα επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς πχ σε microια ϱόδα του λούνα-πάρκ ή σrsquo ένα λεωφορείοτότε πρέπει να υποστείτε microια δύναmicroη από την πλάτη του καθίσmicroατος στο λεωφορείο για παράδειγmicroα

Ο ϑεmicroελιώδης νόmicroος της κλασικής microηχανικής είναι

F = ma ή F = mdv

dtή F = m

d2r

dt2

Ως προς ποιο σύστηmicroα αναφοράς microετράmicroε τα microεγέθη av r

1 Εάν το σύστηmicroα αναφοράς είναι microη επιταχυνόmicroενο τότε αυτή είναι η σχέση ορισmicroού της δύναmicroης F(πραγmicroατικές δυνάmicroεις)

2 Αντίστροφα εάν γνωρίζουmicroε την πραγmicroατική (αληθινή) δύναmicroη F και σε κάποιο σύστηmicroα αναφοράςισχύει microε ακρίβεια ότι F = ma τότε αυτό είναι ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς

Η Γη είναι ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς Εξαρτάται από το ϐαθmicroό προσέγγισης και ακρίβειας τουπειράmicroατος Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24 ώρες άρα όλα τα σηmicroεία της Γης έχουνmicroια γωνιακή ταχύτητα ΄Οταν microετράmicroε λοιπόν την επιτάχυνση της ϐαρύτητας δεν ϐρίσκουmicroε σε όλους τουςτόπους την ίδια τιmicroή Αυτό είναι το ϕαίνοmicroενο ϐάρος και microεταβάλλεται από τον Ισηmicroερινό ως τους πόλους κατά0 034 ms2 ενώ η συνολική microεταβολή είναι 0 052 ms2 και το υπόλοιπο οφείλεται στο ελλειπτικό σχήmicroα τηςΓης

Βόρειος Πόλος gπ = 9 8324 ms2

Ισηmicroερινός gΙ = 9 7810 ms2

bull Μέτρηση του g στον Ισηmicroερινό

54 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς

R

ω

FελB

Σχήmicroα 31

΄Ενας απλός τρόπος microέτρησης του g είναι ο ε-ξής ΄Ενα σώmicroα ϐρίσκεται σε ισορροπία κρεmicroα-σmicroένο από ένα ελατήριο Για τον παρατηρητήστο κέντρο της Γης έχουmicroε

B + Fελ = mak

minusmg + k∆x = minusmω2R

rArr k∆x = m(g minus ω2R

)Η δύναmicroη του ελατηρίου Fελ = k∆x είναι αυτόπου εmicroείς ονοmicroάζουmicroε Βάρος (ϕαινόmicroενο ϐά-ϱος) άρα microας δίνει τη microετρούmicroενη σε αυτό τοντόπο επιτάχυνση της ϐαρύτητας

g =GM

R2rArr gΙσηmicroερινού = g minus ω2R

bull Μέτρηση του g στον πόλο

gπολ = g

Ποιο σύστηmicroα αναφοράς είναι πρακτικά αδρανειακό rArr Το σύστηmicroα των Απλανών Αστέρων (χωρίς απόδειξη) Αστέρια microε επιτάχυνση πειραmicroατικά microηδέν επιτάχυνσηlt 10minus6 msec2

Η κεντροmicroόλος επιτάχυνση ενός σηmicroείου της Γης ως προς το κέντρο της είναι

aκ Γ 0 034 ms2

ενώ η κεντροmicroόλος επιτάχυνση της Γης ως προς τον ΄Ηλιο είναι 4 4times 10minus3ms2

Το ϕαινόmicroενο Doppler δίνει την ταχύτητα του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας

v 3times 105 ms(R 3times 1020 m

)τελικά η επιτάχυνση του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας (microη ανιχνεύσιmicroη και αmicroελητέα) είναι

aκ Η 3times 10minus10 ms2

32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση

Μπορούmicroε λοιπόν να ϐρούmicroε ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς microέσα στο οποίο ισχύει F = ma microε microεγάληακρίβεια Οι δυνάmicroεις (ϐαρυτικές ηλεκτρικές) που έχουmicroε επικαλεστεί για να εξηγήσουmicroε την κίνηση τωνάστρων και των ηλεκτρονίων microείωνονται συνεχώς (και ανάλογα microε το τετράγωνο της απόστασης) όσο το σώmicroααποmicroακρύνεται από τα γειτονικά του σώmicroατα Εάν διαλέξουmicroε ένα microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ϕαίνον-ται να αναπτύσσονται δυνάmicroεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα Εmicroφανίζονται λοιπόν υποθετικές δυνάmicroειςπου υπάρχουν microόνο και microόνο επειδή το σύστηmicroα αναφοράς είναι επιταχυνόmicroενο

bull Αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράςF = maI

όπου aI η επιτάχυνση που microετρά ένας παρατηρητής σε αδρανειακό (inertial) σύστηmicroα αναφοράς

bull Επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς microε επιτάχυνση a0

Το σώmicroα που κινείται έχει επιτάχυνση a ως προς το δεύτερο σύστηmicroα εποmicroένως

aI = a+ a0

rArr F = m (a+ a0)

rArr ma = F minusma0

32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 55

Εποmicroένως έχουmicroε την εmicroφάνιση υποθετικής δύναmicroης (δύναmicroη αδράνειας)

F0 = minusma0

και εάν a = 0 τότεF + F0 = 0

το οποίο δηλώνει ισορροπία microέσα στο επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς

Παράδειγmicroα

Εκκρεmicroές κρέmicroεται κατακόρυφα σε όχηmicroα που ηρεmicroεί ΄Οταν το όχηmicroα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο microεεπιτάχυνση a0 = 1 ms2 microε ποια γωνία ως προς την κατακόρυφο κρέmicroεται το εκκρεmicroές Πόση είναι ηυποθετική δύναmicroη αδράνειας Επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 9 81msec2

Λύση

T θ

B

a0

x

Σχήmicroα 32

Για τον laquoακίνητοraquo παρατηρητή έχουmicroε

T +B = ma0

Επίσης από κατακόρυφη ισορροπία έχουmicroε

T cos θ = B = mg

και από οριζόντια κίνηση

T sin θ = ma0

rArr tan θ =a0

g

Για τον κινούmicroενο microε επιτάχυνση a0 παρατηρητή

T +B + F0 = 0 F0 = minusma0x

Τι είναι η F0 Πού οφείλεται Πουθενά

Παράδειγmicroα - Πειράmicroατα microέσα σε ανελκυστήρα

x

y

z

F

B1

2

a0

Σχήmicroα 33

Ως προς τον παρατηρητή 1 έχουmicroε

F +B = ma1F = k∆lz

B = minusmgza0 = a0z

Το σώmicroα ϐρίσκεται ακίνητο microέσα στον ανελκυστήρα

k∆l minusmg = ma0

rArr k∆l = m(a0 + g)

Εάν a0 = minusg τότε έχουmicroε ∆l = 0 δηλαδή έχουmicroεελεύθερη πτώση


F +B + F0 = 0

rArr F +Bϕαινόmicroενο = 0

F0 = minusma0 Bϕαινόmicroενο = B + F0

Παράδειγmicroα - Σύστηmicroα που περιστρέφεται (microε ω σταθερό)

΄Ενα ϐιβλίο ϐρίσκεται επάνω σε ένα τραπέζι Θέλουmicroε το ϐιβλίο να παραmicroένει ακίνητο ως προς το τραπέζιόταν αυτό περιστρέφεται microε ω = 20 στροφέςλεπτό Το ϐιβλίο απέχει απόσταση R = 1 5 m από τον άξοναπεριστροφής ο οποίος είναι κατακόρυφος

(α) Βρείτε τον συντελεστή τριβής(ϐ) Σχεδιάστε τη δύναmicroη τριβής και τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη ως συνάρτηση της απόστασης r


Λύση

ω

T

N

B

Σχήmicroα 34

΄Εχουmicroε

N +B = 0

T = mak

T = minusT rTmax = microN = microB

micromg = mω2R

rArr microg = ω2R

Για να παραmicroείνει ακίνητο το σώmicroα επάνω στον περιστρεφόmicroενο δίσκο χρειάζεται microια δύναmicroη Το σώmicroα έχειτην τάση να κινηθεί εφαπτοmicroενικώς δηλαδή κατά microήκος της ταχύτητας και έτσι αποmicroακρύνεται από το κέντροτης τροχιάς Στιγmicroιαία η κίνηση είναι ακτινική για κάποιον που περιστρέφεται microε το επίπεδο άρα η τριβή είναιακτινικήΗ τάση του σώmicroατος να κινηθεί laquoακτινικάraquo δηλαδή προς τα έξω αποδίδεται σε microια δύναmicroη (υποθετική δύναmicroηόπως ϐλέπουmicroε) τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη F0 = mω2rr F0 = minusmak

T

R r

F

micromg

Fφυγόκεντρος

Σχήmicroα 35


υ=ωR

Σχήmicroα 36 Για ένα microικρό χρονικό διάστηmicroα ∆t το τόξο και η ευθύγραmicromicroη κίνηση ταυτίζονται

Παράδειγmicroα - Περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς

Για τον αδρανειακό παρατηρητή έχουmicroε

ak = minusmv2

RR = minusmω2RR = minusmω2R

B + F = mak

rArr

F cos θ = B rArr F cos θ = mg

F sin θ = mω2R rArr mgsin θ

cos θ= mω2R

rArr tan θ = ω2Rg

ω

R

θ

θ

B

F

Σχήmicroα 37

Εάν η γωνία απόκλισης είναι θ τότε η περίοδος περιστροφής είναι

ω2 =g tan θ

R

4π2

T 2=g tan θ

R T =

radic4π2R

g tan θ

Εάν a είναι η ακτίνα του δίσκου και l το microήκος του νήmicroατος τότε η ακτίνα περιστροφής R ισούται microε R = a+l sin θ Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σαν συνάρτηση της γωνίας θ τελικά είναι

ω2 =g tan θ

a+ l sin θ=

g sin θ

a+ l sin θ

1radic1minus sin2 θ


Για το microη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουmicroε

F cos θ = mg

F sin θ = Fϕυγόκεντρη

διανυσmicroατικά

F +B + Fφ = 0

όπου Fφ = mω2RR

Fφ = minusmak προς τα έξω

Πρόβληmicroα

θ N

T

B θ

Fk

aκε

Σχήmicroα 38

΄Ενα κουτί microάζαςM είναι ακίνητο σε επιταχυνόmicroενο όχηmicroα σχήmicroατος κεκλιmicroένου επιπέδου Εάν ο συντελεστήςτριβής microεταξύ κουτιού και κεκλιmicroένου επιπέδου είναι micro

(α) να ϐρείτε τη microέγιστη επιτάχυνση aκε για να microένει ακίνητο το κουτί στο κινούmicroενο κεκλιmicroένο επίπεδο

(ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιmicroένου επιπέδου γίνει microεγαλύτερη microε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ωςπρος το κεκλιmicroένο επίπεδο

Λύση

(α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναmicroη FkFk = minusmaκε

Fk +N + T +B = 0 Tmax = microN

(ϐ)Fk +N + T +B = ma

όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιmicroένο επίπεδο

T = Tmax = microN

κάθετα στο κεκλιmicroένο επίπεδο N = B cos θ + Fk sin θ

παράλληλα στο κεκλιmicroένο επίπεδο ma = minusB sin θ + Fk cos θ minus T

rArr a = aκε (cos θ minus micro sin θ)minus g (sin θ + micro cos θ)

321 Μηχανή του Atwood

Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω microε επιτάχυνση a ΄Εστω mB gt mA και a le gΓια το microη αδρανειακό παρατηρητή ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ έχουmicroε

Σώmicroα Α T +mAaminusmAg = mAγ

33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59

γγT

T

BB

BA

mA

mB

α

x

Σχήmicroα 39

Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ

(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ

γ =mB minusmA

mB +mA(g minus a) a le g

Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β

T +mAg minusmAa = mAγ

minusT minusmBg +mBa = mBγ

(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ

γ =(mA minusmB)(g minus a)

mA +mB=

(mB minusmA)(aminus g)

mB +mA

γ

γ T

T BBBA

mA

mB

α

agtg

Σχήmicroα 310

33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα

Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα

Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου

laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo


Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου

34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου

΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή

1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε

tprime equiv t

όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c

για παράδειγmicroα v = 104 ms

2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε

L equiv Lprime

341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου

Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε

t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime

΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε

ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime

dtprime+ v = uprimex + v

uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v

Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime

rArr F prime = maprime = ma = F

a =∆u

∆t aprime =

∆uprime

∆tprime ∆t = ∆tprime

Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε

t = tprime x = xprime + vt+1

2a0t

2 y = yprime z = zprime

Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε

Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2

Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει

d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x

dt2minusma0 = Fx minusma0

35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61

και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz

Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς

35 ∆ιατήρηση της ορmicroής

Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης

Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας

΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2

Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)

1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)

Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα

Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)

1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)

Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)

v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1

(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2

Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε

(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v

για κάθε v ΄Αρα

m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)

Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής

Εποmicroένως

Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής

Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε

1 Αρχή διατήρησης ενέργειας

2 Αρχή διατήρησης ορmicroής

και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς


Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή

Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα

(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές

A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση

(α) ΄Εχουmicroε

vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ

= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά

= 0

Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv

primeA +mBv

primeB

0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25

0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule

Eκιν(microετά) =1

2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule

∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125

2000Joule

∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια

(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής

uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x

pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα

ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule

ESκιν(microετά) =1

2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule

∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125

2000

∆ESk = ∆Eκ(τρένο)

Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις

36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63

36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis

361 Σχετικά προβλήmicroατα

Πρόβληmicroα 1

΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης


Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο


Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis


Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime

(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O

(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο

(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου

(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα

y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312

362 ∆ύναmicroη Coriolis

΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ


Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)

u =dr

dt

Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)

ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime

rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime

u =

(dr

dt

)O

η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο

v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime

dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime

rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime

dt︸︷︷︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime

Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε

dxprime

dt= ω times xprime dyprime

dt= ω times yprime dzprime

dt= ω times zprime

η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα

xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime

dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime

= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime

Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR

dt

)O

= ω timesR

rArr u = v + ω times r


dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314

διότι r = R+ rprime

Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)

ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds

dt= ω timesR dsperp (ωR)

ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR

rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR

Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime

a =

(du

dt

)O

είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε

γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime

είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du

dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)

διότι υποθέσαmicroεdω

dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v

όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε

a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)

Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε

F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)


rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)

Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης

FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης

Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)

είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς

Εφαρmicroογή ω = ωz

Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)

r = xx+ yy = xRxprime + yRy

prime

για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει

x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου

a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)

τελικά έχουmicroε

xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)

yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)

Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις

x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR

Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315

Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες

dx

dt= x

dy

dt= y


και ϐρίσκουmicroε

x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)

y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)

και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx

prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r

όπου v = xRxprime + yRy

prime

Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε

x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)

y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)

a = xx+ yy = xRxprime + yRy

prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx

prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy

prime

= γ + 2ω times v minus ω2r

όπου γ = xRxprime + yRy

prime

ω times v =

∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime

0 0 ωxR yR 0

∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR

ω times r =


0 0 ωxR yR 0


ω times (ω times r) =


0 0 ωminusωyR ωxR 0

∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r


Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε

r = xRxprime v = xRx

prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr

ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)

uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)

a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸︷︷︸minusω2r

+0

γ

rArr

ax = 0

γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)

ay = 0

γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)

αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0


x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316

Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε

u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ

dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸

xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ

dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v


Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ

dt= ω σταθερή

Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ

rArr r minus ω2r = 0 και m(

2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr

rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt

dr

dt

∣∣∣t=0

= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0

rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0

2ω

rArr r(t) =v0

2ω

(eωt minus eminusωt

)=v0

ωsinh(ωt)


για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως

L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)

mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)

ω = ωz r = rr v =dr

dtr γ =

d2r

dt2r

Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ

ω times v = ωrz times r = ωrθ

F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr

από τις οποίες προκύπτουν

mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr

Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt

όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής


x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318

v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά

v = minusvz

Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx

εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι

d2x

dt2= 2ωv

Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)

rArr d2x

dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη

dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx

dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)

rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32


Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm

∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα


F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z

r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)

ω times (ω times r) = minusω2r minusω2

0

(R+ z) z

rArr ω times (ω times r) minusω2Rz

ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz

∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx

mdvzdt

= minusmg + 2mωvx +mω2R

mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt

= minusm(g minus ω2R

)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0

όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)

rArr dvzdt

= minusgϕ rArr vz = minusgϕt

rArr dvxdt

= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2

dx

dt= ωgϕt

2 rArr x(t)minus x(0) =1

3ωgϕt

3


(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε

Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt

Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει

F = Ma = M(rprimeprime minus rω2

)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr

dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt


y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320

(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει

Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)

F = Fελr + Fϱθ

FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr

dtω times r = minus2Mω

dr

dtθ

Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr

Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε

Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt

Fϕυγόκεντρος =100

3Nt

κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα

γ =d2r

dt2r rArr Fϱ minus 2Mω

dr

dt= 0

rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt

(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου

Md2r

dt2= Fελ +Mω2r

επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k

(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2

)r0 για τη ϑέση ισορροπίας

r0 =k(L2)

k minusMω2= rΙσορροπίας

rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)

+Mω2r = minus(k minusMω2

)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)

x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2

xprimeprime = minusDMx = minusω2

0x

δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα

ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0

ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2

ω0 =radic

1100 secminus1

γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0



R

ω

FελB

Σχήmicroα 31

΄Ενας απλός τρόπος microέτρησης του g είναι ο ε-ξής ΄Ενα σώmicroα ϐρίσκεται σε ισορροπία κρεmicroα-σmicroένο από ένα ελατήριο Για τον παρατηρητήστο κέντρο της Γης έχουmicroε

B + Fελ = mak

minusmg + k∆x = minusmω2R

rArr k∆x = m(g minus ω2R

)Η δύναmicroη του ελατηρίου Fελ = k∆x είναι αυτόπου εmicroείς ονοmicroάζουmicroε Βάρος (ϕαινόmicroενο ϐά-ϱος) άρα microας δίνει τη microετρούmicroενη σε αυτό τοντόπο επιτάχυνση της ϐαρύτητας

g =GM

R2rArr gΙσηmicroερινού = g minus ω2R

bull Μέτρηση του g στον πόλο

gπολ = g

Ποιο σύστηmicroα αναφοράς είναι πρακτικά αδρανειακό rArr Το σύστηmicroα των Απλανών Αστέρων (χωρίς απόδειξη) Αστέρια microε επιτάχυνση πειραmicroατικά microηδέν επιτάχυνσηlt 10minus6 msec2

Η κεντροmicroόλος επιτάχυνση ενός σηmicroείου της Γης ως προς το κέντρο της είναι

aκ Γ 0 034 ms2

ενώ η κεντροmicroόλος επιτάχυνση της Γης ως προς τον ΄Ηλιο είναι 4 4times 10minus3ms2

Το ϕαινόmicroενο Doppler δίνει την ταχύτητα του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας

v 3times 105 ms(R 3times 1020 m

)τελικά η επιτάχυνση του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας (microη ανιχνεύσιmicroη και αmicroελητέα) είναι

aκ Η 3times 10minus10 ms2

32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση

Μπορούmicroε λοιπόν να ϐρούmicroε ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς microέσα στο οποίο ισχύει F = ma microε microεγάληακρίβεια Οι δυνάmicroεις (ϐαρυτικές ηλεκτρικές) που έχουmicroε επικαλεστεί για να εξηγήσουmicroε την κίνηση τωνάστρων και των ηλεκτρονίων microείωνονται συνεχώς (και ανάλογα microε το τετράγωνο της απόστασης) όσο το σώmicroααποmicroακρύνεται από τα γειτονικά του σώmicroατα Εάν διαλέξουmicroε ένα microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ϕαίνον-ται να αναπτύσσονται δυνάmicroεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα Εmicroφανίζονται λοιπόν υποθετικές δυνάmicroειςπου υπάρχουν microόνο και microόνο επειδή το σύστηmicroα αναφοράς είναι επιταχυνόmicroενο

bull Αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράςF = maI

όπου aI η επιτάχυνση που microετρά ένας παρατηρητής σε αδρανειακό (inertial) σύστηmicroα αναφοράς

bull Επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς microε επιτάχυνση a0

Το σώmicroα που κινείται έχει επιτάχυνση a ως προς το δεύτερο σύστηmicroα εποmicroένως

aI = a+ a0

rArr F = m (a+ a0)

rArr ma = F minusma0



F0 = minusma0





Λύση

T θ

B

a0

x

Σχήmicroα 32


T +B = ma0


T cos θ = B = mg


T sin θ = ma0

rArr tan θ =a0

g





x

y

z

F

B1

2

a0

Σχήmicroα 33





k∆l minusmg = ma0




F +B + F0 = 0







Λύση

ω

T

N

B

Σχήmicroα 34

΄Εχουmicroε

N +B = 0

T = mak


micromg = mω2R

rArr microg = ω2R


T

R r

F

micromg


Σχήmicroα 35


υ=ωR




ak = minusmv2


B + F = mak

rArr



cos θ= mω2R

rArr tan θ = ω2Rg

ω

R

θ

θ

B

F

Σχήmicroα 37


ω2 =g tan θ

R

4π2

T 2=g tan θ

R T =

radic4π2R

g tan θ


ω2 =g tan θ

a+ l sin θ=

g sin θ

a+ l sin θ




F cos θ = mg



F +B + Fφ = 0



Πρόβληmicroα

θ N

T

B θ

Fk

aκε

Σχήmicroα 38




Λύση





T = Tmax = microN








γγT

T

BB

BA

mA

mB

α

x

Σχήmicroα 39



γ =mB minusmA







mA +mB=


mB +mA

γ

γ T

T BBBA

mA

mB

α

agtg

Σχήmicroα 310










tprime equiv t




L equiv Lprime





ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime


uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v



a =∆u

∆t aprime =

∆uprime




2a0t



Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2


d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x



και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1





F0 = minusma0





Λύση

T θ

B

a0

x

Σχήmicroα 32


T +B = ma0


T cos θ = B = mg


T sin θ = ma0

rArr tan θ =a0

g





x

y

z

F

B1

2

a0

Σχήmicroα 33





k∆l minusmg = ma0




F +B + F0 = 0







Λύση

ω

T

N

B

Σχήmicroα 34

΄Εχουmicroε

N +B = 0

T = mak


micromg = mω2R

rArr microg = ω2R


T

R r

F

micromg


Σχήmicroα 35


υ=ωR




ak = minusmv2


B + F = mak

rArr



cos θ= mω2R

rArr tan θ = ω2Rg

ω

R

θ

θ

B

F

Σχήmicroα 37


ω2 =g tan θ

R

4π2

T 2=g tan θ

R T =

radic4π2R

g tan θ


ω2 =g tan θ

a+ l sin θ=

g sin θ

a+ l sin θ




F cos θ = mg



F +B + Fφ = 0



Πρόβληmicroα

θ N

T

B θ

Fk

aκε

Σχήmicroα 38




Λύση





T = Tmax = microN








γγT

T

BB

BA

mA

mB

α

x

Σχήmicroα 39



γ =mB minusmA







mA +mB=


mB +mA

γ

γ T

T BBBA

mA

mB

α

agtg

Σχήmicroα 310










tprime equiv t




L equiv Lprime





ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime


uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v



a =∆u

∆t aprime =

∆uprime




2a0t



Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2


d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x



και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1




Λύση

ω

T

N

B

Σχήmicroα 34

΄Εχουmicroε

N +B = 0

T = mak


micromg = mω2R

rArr microg = ω2R


T

R r

F

micromg


Σχήmicroα 35


υ=ωR




ak = minusmv2


B + F = mak

rArr



cos θ= mω2R

rArr tan θ = ω2Rg

ω

R

θ

θ

B

F

Σχήmicroα 37


ω2 =g tan θ

R

4π2

T 2=g tan θ

R T =

radic4π2R

g tan θ


ω2 =g tan θ

a+ l sin θ=

g sin θ

a+ l sin θ




F cos θ = mg



F +B + Fφ = 0



Πρόβληmicroα

θ N

T

B θ

Fk

aκε

Σχήmicroα 38




Λύση





T = Tmax = microN








γγT

T

BB

BA

mA

mB

α

x

Σχήmicroα 39



γ =mB minusmA







mA +mB=


mB +mA

γ

γ T

T BBBA

mA

mB

α

agtg

Σχήmicroα 310










tprime equiv t




L equiv Lprime





ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime


uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v



a =∆u

∆t aprime =

∆uprime




2a0t



Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2


d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x



και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1




υ=ωR




ak = minusmv2


B + F = mak

rArr



cos θ= mω2R

rArr tan θ = ω2Rg

ω

R

θ

θ

B

F

Σχήmicroα 37


ω2 =g tan θ

R

4π2

T 2=g tan θ

R T =

radic4π2R

g tan θ


ω2 =g tan θ

a+ l sin θ=

g sin θ

a+ l sin θ




F cos θ = mg



F +B + Fφ = 0



Πρόβληmicroα

θ N

T

B θ

Fk

aκε

Σχήmicroα 38




Λύση





T = Tmax = microN








γγT

T

BB

BA

mA

mB

α

x

Σχήmicroα 39



γ =mB minusmA







mA +mB=


mB +mA

γ

γ T

T BBBA

mA

mB

α

agtg

Σχήmicroα 310










tprime equiv t




L equiv Lprime





ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime


uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v



a =∆u

∆t aprime =

∆uprime




2a0t



Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2


d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x



και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1





F cos θ = mg



F +B + Fφ = 0



Πρόβληmicroα

θ N

T

B θ

Fk

aκε

Σχήmicroα 38




Λύση





T = Tmax = microN








γγT

T

BB

BA

mA

mB

α

x

Σχήmicroα 39



γ =mB minusmA







mA +mB=


mB +mA

γ

γ T

T BBBA

mA

mB

α

agtg

Σχήmicroα 310










tprime equiv t




L equiv Lprime





ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime


uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v



a =∆u

∆t aprime =

∆uprime




2a0t



Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2


d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x



και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1




γγT

T

BB

BA

mA

mB

α

x

Σχήmicroα 39



γ =mB minusmA







mA +mB=


mB +mA

γ

γ T

T BBBA

mA

mB

α

agtg

Σχήmicroα 310










tprime equiv t




L equiv Lprime





ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime


uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v



a =∆u

∆t aprime =

∆uprime




2a0t



Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2


d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x



και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1








tprime equiv t




L equiv Lprime





ux =dx

dt=

dx

dtprime=

dxprime


uy = uprimey

uz = uprimez

rArr u = uprime + v



a =∆u

∆t aprime =

∆uprime




2a0t



Fx = md2x

dt2 Fy = m

d2y

dt2 Fz = m

d2z

dt2


d2xprime

dt2=

d2x

dt2minus a0 rArr m

d2xprime

dt2= m

d2x



και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1




και

md2yprime

dt2= m

d2y

dt2= Fy m

d2zprime

dt2= m

d2z

dt2= Fz







1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1w

21 +

1

2m2w

22 + ∆ε (31)



1

2m1v

prime21 +

1

2m2v

prime22 =

1

2m1w

prime21 +

1

2m2w

prime22 + ∆ε (32)







m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)


Εποmicroένως










A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1







A B

SSacute

xxacute

Σχήmicroα 311

Λύση




= 0


primeA +mBv

primeB


0 1= minus0 15

0 1

Eκιν(προ) =1

2mAv

2A +

1

2mBv

2B =

1350

2000Kgr m2s2︸︷︷︸

Joule


2mAv

prime2A +

1

2mBv

prime2B =

225

2000Joule


2000Joule





ESκιν(προ) =1

2mAu

2A +

1

2mBu

2B =

3600

2000Joule


2mAu

prime2A +

1

2mBu

prime2B =

2475

2000Joule


2000


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1


















y

x

z

Ρ

Ρacute

ω

L

Σχήmicroα 312





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1





u =dr

dt


ω

O

z

x y

zacute

xacute yacuteΡ

r acute

r

OacuteR

Σχήmicroα 313

r = R+ rprime


u =

(dr

dt

)O


v =dxprime

dtxprime +

dyprime

dtyprime +

dzprime


rArr v =

(drprime

dt

)Oprime (

dr

dt

)O

=

(dR

dt

)O

+ v + xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime



dxprime



dt= ω times zprime


xprimedxprime

dt+ yprime

dyprime

dt+ zprime

dzprime




dt

)O

= ω timesR



dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1




dφ

R(t)R(t+dt)

ds

O

ω

θ

Σχήmicroα 314



ds = R sin θdφ

ds

dt= R sin θ

dφ

dt= R sin θω

rArr ds



rArr(

dR

dt

)O

= ω timesR


a =

(du

dt

)O


γ =dvxprime

dtxprime +

dvyprime

dtyprime +

dvzprime

dtzprime =

(dv

dt

)Oprime


dt

)O

=

(dv

dt

)O︸︷︷︸

()

+ω times(

dr

dt

)O︸︷︷︸

(v+ωtimesr)


dt= 0 (

dv

dt

)O

=

(dv

dt

)Oprime

+ ω times v














prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1












prime


x

y xacute

yacute φ=ωt

φ

xprime = ax+ βy

όπου







Ρ(t)

y

x

xacute=xR

yacute=yR y

x

φ=ωt

Σχήmicroα 315


dx

dt= x

dy

dt= y








prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1










prime







prime



prime

ω times v =


0 0 ωxR yR 0


ω times r =


0 0 ωxR yR 0









prime γ = xRxprime

όπου



u = v + ω times r

rArr




+0

γ

rArr

ax = 0


ay = 0




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1




x

xacute

yacute

y

θ=ωt

υ

ω

Σχήmicroα 316


u =dr

dt=

dr

dtr + r

dθ


xprime

+ω times r

a =du

dt= minusr(dθ

dt)2r + 2

dr

dt

dθ



Λύση (1)

x

y

υ

ω

O

FL

Σχήmicroα 317

F = ma

a =(r minus rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ

θ =dθ




2rθ + rθ)

= F

rArr F = 2mωr


dr

dt

∣∣∣t=0



2ω

rArr r(t) =v0

2ω


)=v0

ωsinh(ωt)



L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1





L =v0

ωsinh(ωt0)

Λύση (2)



dtr γ =

d2r

dt2r









x

y

z

υ

ω

Σχήmicroα 318


v = minusvz



d2x

dt2= 2ωv


rArr d2x


dx(t = 0)

dt= 0

rArr dx


rArr x =1

3ωgt3 rArr x =

1

3ωg

(2h

g

)32








0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1










0

(R+ z) z


ω

r

Σχήmicroα 319

v = vxx+ vzz

ω times v =

∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz


mdvzdt


mdvxdt

= minus2mωvz

rArr mdvzdt




rArr dvzdt


rArr dvxdt


dx

dt= ωgϕt


3ωgϕt

3



Fελ = k∆l = k

(2L

3minus L

2

)= 200 Nt



)r + 2Mω

dr

dtθ

v0 =dr



y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1




y

xΡ

Ρacuteω

Ρacuteacute

υ0

FρFελ

Σχήmicroα 320



F = Fελr + Fϱθ



dr

dtθ





3Nt


γ =d2r


dr

dt= 0



Md2r

dt2= Fελ +Mω2r


(L

2minus r)

rArr k

(L

2minus r0

)+Mω2r0 = 0rArr k

L

2=(k minusMω2


r0 =k(L2)


rΙ =6

11m

(δ)

Mrprimeprime = k

(L

2minus r)


)r +

kL

2= minus

(k minusMω2

)r +

(k minusMω2

)r0

= minus(k minusMω2

)(r minus r0)



0x


ω20 =

k minusMω2

M=

k

Mminus ω2 gt 0


ω0 =radic

1100 secminus1



Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός...

Documents

Transcript of Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός...