1

Επαναληπτικές Ασκήσεις Bac (μαθηματικά 3 περιόδων)

Χωρίς τη χρήση μικροϋπολογιστή

Εκθετικές λογαριθμικές εξισώσεις

1) Να λυθούν χωρίς τη χρήση μικροϋπολογιστή οι εξισώσεις:

α) ln(-2x+5)=0 β) ln(3x-2e)=1 γ) 4ln(2x)-7=-3 δ) 3x 2e 4 ε) ln(x+3)=1

2) Θεωρούμε την συνάρτηση f, τέτοια ώστε f(x)=e4x+1-1. Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους

άξονες. ((0,e-1), (-1/4,0))

Ομοίως για την συνάρτηση f(x)=ln(3x+4).

3) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ex-2ln3 και g(x)=3. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου

τομής τους.

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης

1) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2x-1f(x)=3e . Να βρεθεί η εφαπτομένη στην γραφική παράσταση της

f στο σημείο με τετμημένη x0=0. 6 3

y= x+e e

2) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3x-4). Να βρεθεί η εφαπτομένη στην γραφική παράσταση της f

στο σημείο με τετμημένη x0=3. 3 9

y= x- +ln55 5

3) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(8-x). Να βρεθεί η εφαπτομένη στην γραφική παράσταση της f

στο σημείο με τετμημένη x0=7.

2

4) Tα παρακάτω διαγράμματα δείχνουν την γραφική παράσταση μια συναρτήσεως f καθώς και

της παραγώγου της f ΄. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί η εφαπτομένη στην γραφική παράσταση

της f στο σημείο με τετμημένη x0=1.

Σχήμα 1

Σχήμα 2

3

Σχήμα 3

Εμβαδόν χωρίου

1) Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν της μικρής χρωματισμένης

περιοχής είναι 5 (από x=-1 έως x=1), και της μεγάλης 16 (από

x=1 έως x=4). Να υπολογισθούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

2) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογισθεί το

εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής αν είναι γνωστό ότι:

, , . 5

0

6,25g x dx 5

2

13,75g x dx 13

8

2

dxxg

4

3) Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται η γραφική παράσταση

της συναρτήσεως f. Αν είναι γνωστό ότι A=6, B=9/2 και

C=11/6 τα εμβαδά των αντίστοιχων περιοχών, να

υπολογισθούν τα ολοκληρώματα:

1.- ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥−2

−4 (6) 2.- ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1

−2 (

−9

2)

3.- ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

1 (

11

6) 4.- ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1

−4 (

3

2)

5.- ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

−4 (

20

6) 6.- ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2

−2 (

−16

6)

7.- ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥1

−2 (

9

2) 8.- |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1

−2| (9

2) 9.- ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

1

−4 (

21

2)

10.- |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1

−4| (3

2) 11.- ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

2

−2 (

38

6) 12.- |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2

−2| (

16

6)

13.- ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥2

−4 (

73

6) 14.- |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2

−4| (

20

6)

4) Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής, αν η

συνάρτηση είναι η f(x)=x2-2x-3. (32/3)

5) Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Να επιλεγεί

η σωστή απάντηση μεταξύ των a, b, c, d.

A

B

C2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

4

6

8

10

-2

-4

0 1

2

x

y

y=x^2-2x-3

2 3 4 5 6-1-2-3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

2 3 4 5 6 7 8-1

2

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

5

Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής ε1+ε2+ε3 δίνεται από το:

a)

4

2

f(x)dx

b)

1

2

f(x)dx

-

3

1

f(x)dx +

4

3

f(x)dx

c)

1

2

f(x)dx

+

3

1

f(x)dx -

4

3

f(x)dx d)

1

2

f(x)dx

-

3

1

f(x)dx -

4

3

f(x)dx

6) Το διάγραμμα δείχνει τη γραφική παράσταση της g.

Αν

5

0

g(x)dx=1,6

5

2

g(x)dx=3,6 και

8

2

g(x)dx=-3,4 , να

υπολογισθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

7) Δίνονται οι συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε 2f(x)=15-x και g(x)=15-3x . Να υπολογισθεί το

εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται ανάμεσα στις δύο γραφικές παραστάσεις των f και g.

8) Δίνονται οι συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε 2f(x)=x και 2g(x)=8-x . Να υπολογισθεί το

εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται ανάμεσα στις δύο γραφικές παραστάσεις των f και g. (64/3)

6

9) Στο διπλανό σχήμα το ολικό εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης

επιφάνειας είναι 8. Γνωρίζουμε ακόμη ότι 4

2

20f(x)dx=

3 . Να

υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 2

0f(x)dx . (-4/3)

10) Το σχήμα παριστάνει τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f και g. Γράψτε την έκφραση που παριστάνει το

εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

Αρχική Συνάρτηση (Παράγουσα)

1) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2-4

x+2, x>-2. Να βρεθεί η αρχική συνάρτηση της f η F, τέτοια ώστε

F(3)=0.

2) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=-2x -9

x, x>0. Να βρεθεί η αρχική συνάρτηση της f η F, τέτοια ώστε

F(1)=-12.

3) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=3

2x+1, x>-0,5. Να βρεθεί η αρχική συνάρτηση F της f, τέτοια ώστε

F(0)=2. (1.5ln(2x+1)+2)

7

Μονοτονία – Ακρότατα

1) Δίνεται η συνάρτηση f, με f(x)= 3 21 1 1x - x -2x+

3 2 3. Να βρεθεί το διάστημα που είναι φθίνουσα.

-1,2

2) Το διπλανό σχήμα δείχνει την γραφική παράσταση της παραγώγου

μιας συναρτήσεως f. Να βρεθεί που η f έχει ακρότατα και τι είδους.

Να δικαιολογηθεί η απάντηση. (x=1, ελαχ.)

3) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να βρεθεί το

πρόσημο της f΄.

4) Να γίνει ένας πίνακας μεταβολών της f, αν γνωρίζουμε ότι:

f (x)=0 για x = −1 και για x = 4.

f (x)<0 για x < −1 και για x > 4.

f (x)>0 για −1 < x < 4.

5) Η παράγωγος f΄ κάποιας συνάρτησης έχει την διπλανή γραφική

παράσταση. Να βρεθούν οι τιμές για τις οποίες η f έχει ακρότατα και

να προσδιοριστεί το είδος τους.

6) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-3x2-9x+10. Να βρεθούν οι

συντεταγμένες και το είδος των ακροτάτων της γραφικής παράστασης της f.

8

7) Το διπλανό σχήμα δείχνει την γραφική παράσταση της παραγώγου

μιας συναρτήσεως f. Να βρεθεί που η f έχει ακρότατα και τι είδους.

Να δικαιολογηθεί η απάντηση. (x=3, ελαχ.)

8) Η ευθεία στο σχήμα είναι η γραφική

παράσταση της παραγώγου f΄ ενός

πολυωνύμου f. Να βρεθούν τα

ακρότατα της f, καθώς και το είδος τους.

9) Να εξεταστεί η συνάρτηση3 2f(x)=2x -3x +4 ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Ομοίως και για

την συνάρτηση 2 3f(x)=12x+3x -2x .

Πιθανότητες

1) Ο ιδιοκτήτης ενός σπιτιού έχει δύο αρμαθιές (μπρελόκ) με κλειδιά. Στην 1η υπάρχουν 3 κλειδιά

και στην 2η πέντε. Σε κάθε αρμαθιά μόνο ένα κλειδί ανοίγει την εξώπορτα. Ο ιδιοκτήτης διαλέγει

μια αρμαθιά στην τύχη και κατόπιν ένα κλειδί. Να υπολογισθεί η πιθανότητα το κλειδί που

επελέγη να ανοίγει την πόρτα. (δεντροδιάγραμμα-4/15)

2) Η Σοφία σημαδεύει ένα στόχο. Η πιθανότητα να τον πετύχει είναι 3

5. Δοκιμάζει 3 φορές. Να

βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει ακριβώς μία φορά τον στόχο. (διωνυμική -36/125)

3) Σε μια επαρχία υπάρχουν 200 000 κάτοικοι διεσπαρμένοι σε 400 χωριά. Η διάμεσος του

πληθυσμού ανά χωριό είναι 150. Ποια είναι η μέση τιμή του πληθυσμού ανά χωριό; Δώστε μια

πιθανή εξήγηση για την διαφορά των δύο αυτών τιμών.

4) Ο διπλανός πίνακας δείχνει το χρώμα των ματιών σε

100 φοιτητές.

Ένας φοιτητής επιλέγεται στην τύχη. Να βρεθεί η

πιθανότητα να έχει πράσινα μάτια, αν γνωρίζουμε ότι είναι κορίτσι. (7/27)

Καφέ Μπλε Πράσινα

Αγόρια 21 16 9

Κορίτσια 20 20 14

9

5) Ρίχνει κάποιος ένα ψεύτικο (πλαστό) νόμισμα. Η πιθανότητα να φέρει κεφάλι είναι 0,3.

Υπολογίστε την πιθανότητα να έρθουν ακριβώς δύο κεφάλια όταν το νόμισμα ριχθεί 3 φορές.

(διωνυμική -0,189)

6) Πέντε υπάλληλοι σε ένα μαγαζί έχουν μέση ηλικία 42 χρόνια. Ο ποιο ηλικιωμένος 65 ετών,

παίρνει σύνταξη και αντικαθίσταται από έναν υπάλληλο 25 ετών. Να βρεθεί η καινούργια μέση

τιμή των ηλικιών των υπαλλήλων. (34)

7) Ένα εργοστάσιο παιχνιδιών παράγει ηλεκτρικά αυτοκίνητα. Το 9% των παραγόμενων

αυτοκινήτων έχει προβλήματα μπαταρίας, ενώ στο 4% των αυτοκινήτων που παράγονται οι τροχοί

είναι μπλοκαρισμένοι. Το 2% των αυτοκινήτων που παράγονται έχουν και τα δύο προηγούμενα

σφάλματα. Υπολογίστε την πιθανότητα να επιλέξετε ένα ηλεκτρικό αυτοκίνητο τυχαία από την

παραγωγή και να μην έχει κανένα από τα δύο αυτά ελαττώματα. (0,89)

8) Σε μία λοταρία (τυχερό παιγνίδι) με μεγάλο αριθμό λαχνών, η πιθανότητα λήψης λαχνού που

κερδίζει είναι 1

5. Η Άννα αγόρασε 3 λαχνούς. Υπολογίστε την πιθανότητα να κερδίσει ακριβώς

ένας εξ’ αυτών. (διωνυμική -0,384)