Ø fi fem e dI VL L ind L 1 I L Þ U = LI 2 - ICEx -...

22
Elementos lineares circuito com corrente estacionária V = RI; P = RI 2 circuito puramente resistivo (resistores R) Correntes alternadas Foi visto: quando a corrente não é estacionária aparece fem induzida dt dI L V L ind = - = e circuito puramente indutivo (indutores L ) Se $ I em um indutor L energia magnética 2 mag 1 2 U LI = quando $ capacitor C acumula-se carga, e tem-se C q V C = Se $ q em um capacitor C energia eletrostática circuito puramente capacitivo (capacitores C) 2 el 1 2 q U C =

Transcript of Ø fi fem e dI VL L ind L 1 I L Þ U = LI 2 - ICEx -...

Elementos lineares

Ø circuito com corrente estacionária → V = RI; P = RI2circuito puramente resistivo (resistores R)

Correntes alternadas

Foi visto:

Ø quando a corrente não é estacionária → aparece fem induzida

dt dI

LVL ind

=−= εcircuito puramente indutivo (indutores L )

Se ∃ I em um indutor L ⇒ energia magnética 2mag

12

U LI=

Ø quando ∃ capacitor C → acumula-se carga, e tem-se C

qV

C=

Se ∃ q em um capacitor C ⇒ energia eletrostáticacircuito puramente capacitivo (capacitores C)

2

el

12

qU

C=

Elementos lineares

Correntes alternadas

Obs. 1a) Bobinas têm resistência →

2a) Capacitor pode ter condutividade (baixa) → corrente de perda

Iperda = VC / Rperda

1b) ∃ efeitos indutivos de outros elementos em um circuito→ indutância parasita

(importante em altas freqüências)

2b) ∃ efeitos capacitivos de outros elementos→ capacitância parasita

Desprezando-se esses efeitos ⇒ elementos lineares∆V é proporcional a q, dq/dt ou d2q/dt2

Obs. ∃ muitos elementos não lineares em circuitos(diodos, triodos, transistores,etc.)

Correntes de baixa freqüência

Correntes alternadas

Escopo do capítulo → estudar circuitos de corrente alternada:

tII ωsenm= ωπ /2=Tcom

Q- O que é baixa freqüência?

R- Depende do tamanho do circuito.

Sendo tr = tempo que o campo eletromagnético gasta para percorrer o circuito, tem-se

cl

tr =

Valores típicos de l ˜ 1 m ⇒ tr ˜ 0,3 x 10–8 s ∴ freqüência limite << 300 MHz

Baixa freqüência é quandocl

T >>

Quando I não é de baixa freqüência

⇒ 1) defasagem ao longo do circuito;

⇒ 2) emissão eletromagnética.

dimensõesdo cir

cuito

Velocidade da luz

Circuitos RC

Correntes alternadas

1) Com a chave em a→ circuito alimentado por ε ⇒ carrega-se C

No circuito ao lado, ε é uma fonte CC (ou DC)

Considerar que inicialmente tem-se qc = 0

Regra de Kirchoff à malha nesta situação:

Eq. diferencial no processo de carga do capacitor

e C q I R

=+ e

C q

d dq

R

t=+ou

A solução é

{)] exp( - [1 -

RCteC q(t) =

em que RC =τC tem dimensão de tempo e é chamado constante de tempo capacitiva

)] exp(- - [1 C

tCe τ=

⇒ q(0) = 0 e q(∞) = Cε

c R

C

a

b

εc

R

C

a

b

ε

Circuitos RC

Circuitos RC

Correntes alternadas

2) Considerando que, depois de o capacitor estar carregado, coloca-se a chave em b∴ circuito livre ⇒ descarrega-se C

Regra de Kirchoff à malha nesta situação, tem-se

Eq. diferencial no processo de descarga do capacitor

0 =+ C q

td dq

R

A solução é

{⇒ q(0) = Cε e q(∞) =0

) exp(- C

tCq(t) e τ=

c

R

C

a

b

ε

cR

C

a

b

ε

Circuitos RC

Correntes alternadas

⇒ q(0) = Cε e q(∞) = 0

) exp(- C

tC q(t) e τ=)] exp(- - [1 C

tC q(t) e τ=

⇒ q(0) = 0 e q(∞) = Cε

descargacarga

Circuitos RL

Correntes alternadas

No circuito ao lado, ε é uma fonte CC (ou DC)

No instante t = 0 a chave é fechada

Regra de Kirchoff à malha nesta situação:

Eq. diferencial da corrente; ANÁLOGA ao caso de carga do capacitor!!

A solução é

{)] exp( - [1 - )(

L/Rt

Re

tI = )] exp(- - [1 L

τ= tRe

⇒ I(0) = 0 e I(∞) = ε/R

ε=+ RI dt dI

L

em que L τ=RL

tem dimensão de tempo e é chamadoconstante de tempo indutiva

Circuitos LC livre

Correntes alternadas

Se ∃ apenas L e C ⇒ não há dissipação ∴ P (=R I 2) = 0

Foi visto

Assim, constante,=+= )(21 2

2

Cq

LIU

0=+LCqq&&⇒0)(

21 2

2 =+=

+dtdq

Cq

dtdI

LICq

LIdtd

⇒ LC → tempo2;RC → tempo;

L/R → tempo;{Define-se freqüência angular

LCo1

e, assim, 02 =+ qq oω&&

Eq. diferencial tipo oscilador harmônico

{Solução: m á x( ) cos( )oq t q tω ϕ= +

0=+ kxxm &&

02 =+=+ xxxmk

x ω&&&&

LC

Circuitos LC livre

Correntes alternadas

m á x( ) cos( )oq t q tω ϕ= + → q oscila harmonicamente, com freq. ωo→ qmáx e ϕ dependem de condições iniciais{q(t=0) = qmáx cosϕ, e I(t=0)= −ωO qmáxsenϕ

Se I(0) = 0, tem-se ϕ = 0 e q(0) = qmáx

A energia deste oscilador será:

)(21 2

2

Cq

LIU +=

)(cos21

)(sen21 2

2max22

max2 ϕωϕωω +++= t

Cq

tqLU ooo

Q1- Mostrar (agora) que C

qU

2máx

21

=

{⇒q(t)= qmáx cosωot

I(t)= −ωo qmáx senωot

Q2- Qual a origem de U ?

Circuitos RLC livre

Correntes alternadas

Considerar que ∃ L, C e R sem fem externa

A regra de Kirchoff à malha dá VL + VC + VR = 0

0 =++ Cq

RIdtdI

L 02 =++ qqq oωγ &&&

Eq. dif. tipo oscilador harmônico amortecido

{⇒

Solução:

LR /≡γ LCo /1=ω

2 cos( ' )t

q Ae tγ

ω ϕ−

= +2

2 2

2o

γω ω ′ = −

com

C

L

R

k

m

bcoeficiente de amortecimento

freqüência natural

Circuitos RLC livre

Correntes alternadas

Se oscilação é sub-amortecida, ωo > γ/2, tem-se que ω´ é uma grandeza real.

E considerando-se fase inicial nula, ϕ = 0, tem-se

2 cost

oq q e tγ

ω−

′=Nos pontos de pico de q(t) tem-se I(t) =0

∴ energia toda no capacitor → U = qpico /2C

Fazendo cos ω t́ = 1 tem-sepico exp( / 2)oq q tγ= −

Q- Qual o valor qpico ?

e então, 2 2pico

2 2t to

o

q qU e U e

C Cγ γ− −= = =

2 / 2o oU q C=em que é a energia incialQ- Qual a origem de Uo ?

22 2

2oγ

ω ω ′ = −

2 cos( ' )t

q Ae tγ

ω ϕ−

= +

Circuitos forçados: impedância

Correntes alternadas

No Brasil, ω /2π = v = 60 Hz

resistivo puro capacitivo puroindutivo puro

Se há um único elemento linear em um circuito forçado:

Considerar gerador de tensão senoidal: ξ = ξmáx senω t (gerador CA ou AC)

símbolo:

Circuitos forçados: voltagem em RCorrentes alternadas

⇒ φ = 0

Representação gráfica de tensão senoidal

→ diagrama de fasores

=εmáx sen(ωt+φ)VR = RI = RImaxsenω t

Diz-se que tensão e corrente estão em fase

Circuitos forçados: voltagem em LCorrentes alternadas

Lembrando-se que cosθ = sen(θ+π / 2), tem-se

∴ VL e I estão defasadas de π / 2 (90o), com I atrasada em relação a VL

Pode-se reescrever: VL = XL Imax sen(ωt + π/2), usando

XL = ωL (análogo, mas NÃO igual, à resistência)= reatância indutiva

ou seja, φ = π/2

dtdI

LV L = = Lω Imax cos(ωt)

VL= Lω Imax sen(ωt + π / 2)

=εmáx sen(ωt+φ)

Circuitos forçados: voltagem em CCorrentes alternadas

Lembrando-se que – cosθ = sen(θ – π/2), vê-se que φ = – π/2, e

∴ VC e I estão defasadas de π/2 (90o), com I adiantada em relação a VC

Pode-se reescrever: VC = XC Imax sen(ωt − π/2), usando

= reatância capacitiva

C

qV

C= I dt ⇒∫C

1= m

C

cosI tV

ω= −

msen( / 2)C

I tV

Cω πω

−=

CX

1

ω=C

=εmáx sen(ωt+φ)

Circuitos forçados

Correntes alternadas

resistência R → independe da freqüência

reatância indutiva XL ( = ωL) → proporcional à freqüência

reatância capacitiva XC ( =1/ω C) → proporcional ao inverso da freqüência

I t( )V tC( )V tR( )

V tL( )

VR → em fase com I

VC → atrasada de π/2 com I

VL → adiantada de π/2 com I

Circuitos forçados: Potência fornecida

Correntes alternadas

A potência em um elemento é P(t) = ε(t) I(t) . Então, tem-se

PC = – XC Imax cosωt x Imax senωt ;

PL = XL Imax cos ωt x Imax sen ωt;

A potência efetiva média (em um período T) no capacitor e no indutor será

Tconst.P ≡ ± cosωt senωt dt = 0

0∫

T

Q- Qual o significado de P < 0 ?

a potência em C e em L oscila no tempoAssim, a potência em C e em L oscila no tempo podendo-se ter P(t) < 0 e P(t) > 0

Q- Era de se esperar este resultado?

Circuito RLC forçado

Correntes alternadas

Agora: elementos R, L e C+

gerador senoidal de freqüência ω

Considere-se que I = Im sen ω t

As fases relativas entre R, L e C serãocomo já foi visto. Mas . . .

Haverá uma diferença de fase φ entre a fem do gerador e a corrente I⇒ ε = εm sen (ω t + φ )

A regra das malhas de Kirchoff leva a

VC + VR + VL = ε

Q- Como “resolver” o circuito?

R- Diagrama fasorial !

Circuito RLC forçado

Correntes alternadas

e o tamanho dos fasores é

mRIVR = mLIVL ω= CIVC ω/m=

Usando VC + VR + VL = ε e aplicando Pitágoras

⇒2

222 1)(

−+=−+=

CLRXXXZ CLR ω

ω

O ângulo φ (= defasagem entre a ε e I ) pode ser obtido geometricamente:

RC

Ltg ω

ωφ

1−

=

VL= XL Im sen(ω t+π/2);VR = RIm sen ωt ;

A tensão externa é ε = εm sen (ωt + φ) e as tensões em cada elemento são

VC= XC Im sen(ω t−π/2)

ß Diagrama fasorial !

εm= ZIm

|ε |2 = |VR|2+|(VL+Vc)|2 22

m m

1I R L

ω = + −

Eεm=

Define-se a impedância do circuito a partir de

Potência cedida ao circuito RLC em ressonância

Correntes alternadas

A potência em um elemento é P(t) = ε (t) I(t) e, assim, tem-se

P(t) = εmax sen (ωt + φ) Imax senωt;

Z e2

máx P(t) = sen (ωt + φ) senωt;

Usando a definição de impedância (εmax = Z Imax)

Z e2

máx <P(t)> = < sen (ωt + φ) senωt >Fazendo-se a média no tempo:

<sen (ωt +φ) senωt>= <sen ωt . senωt > cos φ + <sen ωt . cosωt > sen φ

Lembrando-se que sen (α +β) = senα cosβ + cosα senβ , tem-se{= 1/2

{= 0

21

2máx

Z e

P(t) = cos φ⇒

Potência cedida ao circuito RLC em ressonância

Correntes alternadas

Usando o diagrama de fasores obtém-se =ε

VR

VC

VC

VL

V +VL C

V +V +VR L C

Ifφ

que pode ser reescrita como

em que γ = R / L e ωo = 1 / LC

Vê-se que P é máxima quando ω = ωo → situação de ressonância !

ZRRIV

eeR ===

m

m

mcosφ

ZR(t)P e 2

2m

21 =

22

21

) R

C1 -LR(t)P

e+

=

ωω(

2m

222222

21

) ωγωωωγ

+=

-(t)P

o L e

(2m

Potência cedida ao circuito RLC em ressonância

Correntes alternadas

Nesta situação (ressonância) tem-se

Define-se o fator de qualidade do circuito RLC

γωoQ =

LRR(t)P eee

2 γ2rms

2rms

2m ===

Potência efetiva em função da freqüência da fonte AC

2m

2m ee L -L(t)P

oo

122222

2

1 2)(2 γωγωω

ωγ==

+