Ø fi fem e dI VL L ind L 1 I L Þ U = LI 2 - ICEx -...
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Elementos lineares
Ø circuito com corrente estacionária → V = RI; P = RI2circuito puramente resistivo (resistores R)
Correntes alternadas
Foi visto:
Ø quando a corrente não é estacionária → aparece fem induzida
dt dI
LVL ind
=−= εcircuito puramente indutivo (indutores L )
Se ∃ I em um indutor L ⇒ energia magnética 2mag
12
U LI=
Ø quando ∃ capacitor C → acumula-se carga, e tem-se C
qV
C=
Se ∃ q em um capacitor C ⇒ energia eletrostáticacircuito puramente capacitivo (capacitores C)
2
el
12
qU
C=
Elementos lineares
Correntes alternadas
Obs. 1a) Bobinas têm resistência →
2a) Capacitor pode ter condutividade (baixa) → corrente de perda
Iperda = VC / Rperda
1b) ∃ efeitos indutivos de outros elementos em um circuito→ indutância parasita
(importante em altas freqüências)
2b) ∃ efeitos capacitivos de outros elementos→ capacitância parasita
Desprezando-se esses efeitos ⇒ elementos lineares∆V é proporcional a q, dq/dt ou d2q/dt2
Obs. ∃ muitos elementos não lineares em circuitos(diodos, triodos, transistores,etc.)
Correntes de baixa freqüência
Correntes alternadas
Escopo do capítulo → estudar circuitos de corrente alternada:
tII ωsenm= ωπ /2=Tcom
Q- O que é baixa freqüência?
R- Depende do tamanho do circuito.
Sendo tr = tempo que o campo eletromagnético gasta para percorrer o circuito, tem-se
cl
tr =
Valores típicos de l ˜ 1 m ⇒ tr ˜ 0,3 x 10–8 s ∴ freqüência limite << 300 MHz
Baixa freqüência é quandocl
T >>
Quando I não é de baixa freqüência
⇒ 1) defasagem ao longo do circuito;
⇒ 2) emissão eletromagnética.
dimensõesdo cir
cuito
Velocidade da luz
Circuitos RC
Correntes alternadas
1) Com a chave em a→ circuito alimentado por ε ⇒ carrega-se C
No circuito ao lado, ε é uma fonte CC (ou DC)
Considerar que inicialmente tem-se qc = 0
Regra de Kirchoff à malha nesta situação:
Eq. diferencial no processo de carga do capacitor
e C q I R
=+ e
C q
d dq
R
t=+ou
A solução é
{)] exp( - [1 -
RCteC q(t) =
em que RC =τC tem dimensão de tempo e é chamado constante de tempo capacitiva
)] exp(- - [1 C
tCe τ=
⇒ q(0) = 0 e q(∞) = Cε
c R
C
a
b
εc
R
C
a
b
ε
Circuitos RC
Circuitos RC
Correntes alternadas
2) Considerando que, depois de o capacitor estar carregado, coloca-se a chave em b∴ circuito livre ⇒ descarrega-se C
Regra de Kirchoff à malha nesta situação, tem-se
Eq. diferencial no processo de descarga do capacitor
0 =+ C q
td dq
R
A solução é
{⇒ q(0) = Cε e q(∞) =0
) exp(- C
tCq(t) e τ=
c
R
C
a
b
ε
cR
C
a
b
ε
Circuitos RC
Correntes alternadas
⇒ q(0) = Cε e q(∞) = 0
) exp(- C
tC q(t) e τ=)] exp(- - [1 C
tC q(t) e τ=
⇒ q(0) = 0 e q(∞) = Cε
descargacarga
Circuitos RL
Correntes alternadas
No circuito ao lado, ε é uma fonte CC (ou DC)
No instante t = 0 a chave é fechada
Regra de Kirchoff à malha nesta situação:
Eq. diferencial da corrente; ANÁLOGA ao caso de carga do capacitor!!
A solução é
{)] exp( - [1 - )(
L/Rt
Re
tI = )] exp(- - [1 L
τ= tRe
⇒ I(0) = 0 e I(∞) = ε/R
ε=+ RI dt dI
L
em que L τ=RL
tem dimensão de tempo e é chamadoconstante de tempo indutiva
Circuitos LC livre
Correntes alternadas
Se ∃ apenas L e C ⇒ não há dissipação ∴ P (=R I 2) = 0
Foi visto
Assim, constante,=+= )(21 2
2
Cq
LIU
0=+LCqq&&⇒0)(
21 2
2 =+=
+dtdq
Cq
dtdI
LICq
LIdtd
⇒ LC → tempo2;RC → tempo;
L/R → tempo;{Define-se freqüência angular
LCo1
=ω
e, assim, 02 =+ qq oω&&
Eq. diferencial tipo oscilador harmônico
{Solução: m á x( ) cos( )oq t q tω ϕ= +
0=+ kxxm &&
02 =+=+ xxxmk
x ω&&&&
LC
Circuitos LC livre
Correntes alternadas
m á x( ) cos( )oq t q tω ϕ= + → q oscila harmonicamente, com freq. ωo→ qmáx e ϕ dependem de condições iniciais{q(t=0) = qmáx cosϕ, e I(t=0)= −ωO qmáxsenϕ
Se I(0) = 0, tem-se ϕ = 0 e q(0) = qmáx
A energia deste oscilador será:
)(21 2
2
Cq
LIU +=
)(cos21
)(sen21 2
2max22
max2 ϕωϕωω +++= t
Cq
tqLU ooo
Q1- Mostrar (agora) que C
qU
2máx
21
=
{⇒q(t)= qmáx cosωot
I(t)= −ωo qmáx senωot
Q2- Qual a origem de U ?
Circuitos RLC livre
Correntes alternadas
Considerar que ∃ L, C e R sem fem externa
A regra de Kirchoff à malha dá VL + VC + VR = 0
0 =++ Cq
RIdtdI
L 02 =++ qqq oωγ &&&
Eq. dif. tipo oscilador harmônico amortecido
{⇒
Solução:
LR /≡γ LCo /1=ω
2 cos( ' )t
q Ae tγ
ω ϕ−
= +2
2 2
2o
γω ω ′ = −
com
C
L
R
k
m
bcoeficiente de amortecimento
freqüência natural
Circuitos RLC livre
Correntes alternadas
Se oscilação é sub-amortecida, ωo > γ/2, tem-se que ω´ é uma grandeza real.
E considerando-se fase inicial nula, ϕ = 0, tem-se
2 cost
oq q e tγ
ω−
′=Nos pontos de pico de q(t) tem-se I(t) =0
∴ energia toda no capacitor → U = qpico /2C
Fazendo cos ω t́ = 1 tem-sepico exp( / 2)oq q tγ= −
Q- Qual o valor qpico ?
e então, 2 2pico
2 2t to
o
q qU e U e
C Cγ γ− −= = =
2 / 2o oU q C=em que é a energia incialQ- Qual a origem de Uo ?
22 2
2oγ
ω ω ′ = −
2 cos( ' )t
q Ae tγ
ω ϕ−
= +
Circuitos forçados: impedância
Correntes alternadas
No Brasil, ω /2π = v = 60 Hz
resistivo puro capacitivo puroindutivo puro
Se há um único elemento linear em um circuito forçado:
Considerar gerador de tensão senoidal: ξ = ξmáx senω t (gerador CA ou AC)
símbolo:
Circuitos forçados: voltagem em RCorrentes alternadas
⇒ φ = 0
Representação gráfica de tensão senoidal
→ diagrama de fasores
=εmáx sen(ωt+φ)VR = RI = RImaxsenω t
Diz-se que tensão e corrente estão em fase
Circuitos forçados: voltagem em LCorrentes alternadas
Lembrando-se que cosθ = sen(θ+π / 2), tem-se
∴ VL e I estão defasadas de π / 2 (90o), com I atrasada em relação a VL
Pode-se reescrever: VL = XL Imax sen(ωt + π/2), usando
XL = ωL (análogo, mas NÃO igual, à resistência)= reatância indutiva
ou seja, φ = π/2
dtdI
LV L = = Lω Imax cos(ωt)
VL= Lω Imax sen(ωt + π / 2)
=εmáx sen(ωt+φ)
Circuitos forçados: voltagem em CCorrentes alternadas
Lembrando-se que – cosθ = sen(θ – π/2), vê-se que φ = – π/2, e
∴ VC e I estão defasadas de π/2 (90o), com I adiantada em relação a VC
Pode-se reescrever: VC = XC Imax sen(ωt − π/2), usando
= reatância capacitiva
C
qV
C= I dt ⇒∫C
1= m
C
cosI tV
Cω
ω= −
msen( / 2)C
I tV
Cω πω
−=
CX
1
ω=C
=εmáx sen(ωt+φ)
Circuitos forçados
Correntes alternadas
resistência R → independe da freqüência
reatância indutiva XL ( = ωL) → proporcional à freqüência
reatância capacitiva XC ( =1/ω C) → proporcional ao inverso da freqüência
I t( )V tC( )V tR( )
V tL( )
VR → em fase com I
VC → atrasada de π/2 com I
VL → adiantada de π/2 com I
Circuitos forçados: Potência fornecida
Correntes alternadas
A potência em um elemento é P(t) = ε(t) I(t) . Então, tem-se
PC = – XC Imax cosωt x Imax senωt ;
PL = XL Imax cos ωt x Imax sen ωt;
A potência efetiva média (em um período T) no capacitor e no indutor será
Tconst.P ≡ ± cosωt senωt dt = 0
0∫
T
Q- Qual o significado de P < 0 ?
a potência em C e em L oscila no tempoAssim, a potência em C e em L oscila no tempo podendo-se ter P(t) < 0 e P(t) > 0
Q- Era de se esperar este resultado?
Circuito RLC forçado
Correntes alternadas
Agora: elementos R, L e C+
gerador senoidal de freqüência ω
Considere-se que I = Im sen ω t
As fases relativas entre R, L e C serãocomo já foi visto. Mas . . .
Haverá uma diferença de fase φ entre a fem do gerador e a corrente I⇒ ε = εm sen (ω t + φ )
A regra das malhas de Kirchoff leva a
VC + VR + VL = ε
Q- Como “resolver” o circuito?
R- Diagrama fasorial !
Circuito RLC forçado
Correntes alternadas
e o tamanho dos fasores é
mRIVR = mLIVL ω= CIVC ω/m=
Usando VC + VR + VL = ε e aplicando Pitágoras
⇒2
222 1)(
−+=−+=
CLRXXXZ CLR ω
ω
O ângulo φ (= defasagem entre a ε e I ) pode ser obtido geometricamente:
RC
Ltg ω
ωφ
1−
=
VL= XL Im sen(ω t+π/2);VR = RIm sen ωt ;
A tensão externa é ε = εm sen (ωt + φ) e as tensões em cada elemento são
VC= XC Im sen(ω t−π/2)
ß Diagrama fasorial !
⇒
=ε
εm= ZIm
|ε |2 = |VR|2+|(VL+Vc)|2 22
m m
1I R L
Cω
ω = + −
Eεm=
Define-se a impedância do circuito a partir de
Potência cedida ao circuito RLC em ressonância
Correntes alternadas
A potência em um elemento é P(t) = ε (t) I(t) e, assim, tem-se
P(t) = εmax sen (ωt + φ) Imax senωt;
Z e2
máx P(t) = sen (ωt + φ) senωt;
Usando a definição de impedância (εmax = Z Imax)
Z e2
máx <P(t)> = < sen (ωt + φ) senωt >Fazendo-se a média no tempo:
<sen (ωt +φ) senωt>= <sen ωt . senωt > cos φ + <sen ωt . cosωt > sen φ
Lembrando-se que sen (α +β) = senα cosβ + cosα senβ , tem-se{= 1/2
{= 0
21
2máx
Z e
P(t) = cos φ⇒
Potência cedida ao circuito RLC em ressonância
Correntes alternadas
Usando o diagrama de fasores obtém-se =ε
VR
VC
VC
VL
V +VL C
V +V +VR L C
Ifφ
⇒
∴
que pode ser reescrita como
em que γ = R / L e ωo = 1 / LC
Vê-se que P é máxima quando ω = ωo → situação de ressonância !
ZRRIV
eeR ===
m
m
mcosφ
ZR(t)P e 2
2m
21 =
22
21
) R
C1 -LR(t)P
e+
=
ωω(
2m
222222
21
) ωγωωωγ
+=
-(t)P
o L e
(2m