υκείου ατεύθυνσblogs.sch.gr/cmour/files/2013/12/K-SYNEXEIA-SYNARTHSHS.pdfΜ αθ ημ...

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου

Μουρατίδης Χρ. Τζουβάλης Αθ. 141

Κεφάλαιο: Συνέχεια Συνάρτησης

Πότε «μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;» Μια συνάρτηση θα είναι συνεχής όταν το όριο της συνάρτησης στο 0x και η

τιμής της στο 0x είναι ίσα.

Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f και 0x ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0x , όταν:

00lim ( ) ( )

x xf x f x

→=

Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ) | |f x x= είναι συνεχής στο 0, αφού

0 0lim ( ) lim | | 0 (0)x x

f x x f→ →

= = = .

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της όταν: (α) ∆εν υπάρχει το όριό της στο 0x ή (β) Υπάρχει το όριό της στο 0x , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της,

0( )f x , στο σημείο 0x . Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση. — Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση P είναι συνεχής, αφού για κάθε 0x ∈ ισχύει

00lim ( ) ( )

x xP x P x

→= .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


— Κάθε ρητή συνάρτηση ( )( )P xQ x

είναι συνεχής, αφού για κάθε 0x του

πεδίου ορισμού της ισχύει: 0

0

0

( )( )lim( ) ( )x x

P xP xQ x Q x→

=

— Οι συναρτήσεις f x xημ=( ) και g x xσυν=( ) είναι συνεχείς, αφού για κάθε 0x R∈ ισχύει

00lim ημ ημ

x xx x

→= και

00lim συν συν

x xx x

→= .

— Οι συναρτήσεις xf x e=( ) και lng x x=( ) , είναι συνεχείς.

Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Από τον ορισμό της συνέχειας στο 0x και τις ιδιότητες των ορίων προκύ-πτει το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0x , τότε είναι συνεχείς στο 0x και οι συναρτήσεις:

f g+ , c f⋅ όπου c∈ , f g⋅ , fg

, | |f και fν

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0x .

Για παράδειγμα οι συναρτήσεις f x xεϕ=( ) και g x xσϕ=( ) είναι συνε-χείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων. Θεώρημα Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0( )f x , τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο 0x . Για παράδειγμα, η συνάρτηση

2( ) συν( 4)x xϕ = − είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 2( ) 4f x x= − και ( ) συνg x x= .

Φ (x)=συνy=συν (x 2−4 )

y=x 2−4

g fg

f x

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


y

( ) O (α)

β a x

y

[ ] O β a x

(β )

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα Ορισμός • Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διά-στημα ( ),α β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( , )α β . (Σχήμα α)

• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διά-στημα [ ],α β , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( , )α β και επι-πλέον

lim ( ) ( )x

f x fα

α+→

= (Σχήμα α) και lim ( ) ( )x

f x fβ

β−→

= (Σχήμα β)

Λυμένα παραδείγματα Μέθοδος 1 (Εύρεση συνέχειας κλαδωτών συναρτήσεων) Συνήθως οι συναρτήσεις για την συνέχεια των οποίων δεν είμαστε σίγου-ροι, είναι οι κλαδωτές συναρτήσεις. Στα σημεία αλλαγής του τύπου αυτών των συναρτήσεων εξετάζουμε αν είναι συνεχείς με χρήση πλευρικών ορί-ων. Παράδειγμα 1 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς

(α) ( )

2 2 1 11

1

4 3 8 11

x x xx

f x x

x xx

⎧ − +<⎪ −⎪⎪= =⎨

⎪ + −⎪ >⎪ −⎩

(β) ( )3 0

4 0

x x xg x x

x

ημ+⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ),1−∞ και στο ( )1,+∞ και θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο

0 1x = . • ( )1 1f =

• ( )( )

1 1 1 1

3 444 3 24 3 8 3 2lim lim lim lim1 1 1x x x x

xxx xf x

x x x+ + + +→ → → →

+ −+ −+ − + += = = =

− − −

( )( )( )1 1

4 1 4 4lim lim 143 21 3 2x x

xxx x+ +→ →

−= = =

+ +− + +

• ( )( )( ) ( )

232

1 1 1 1

1 12 1lim lim lim lim 1 11 1x x x x

x x xx xf x x xx x− − − −→ → → →

− + −− += = = + − =

− −. Επειδή ( ) ( ) ( )

1 1lim lim 1x x

f x f x f+ −→ →

= = , έπεται ότι η f είναι συνεχής

στο 0 1x = . Άρα η f είναι συνεχής. (β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A = . Η g είναι συνεχής στο ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η g είναι συνεχής στο 0 0x = . • ( )0 4g =

• ( )3

0 0 0lim lim lim 3 3 1 4x x x

x x xg xx xημ ημ

→ → →

+ ⎛ ⎞= = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Επειδή ( ) ( )0

lim 0xg x g

→= , έπεται ότι η g είναι συνεχής στο 0 0x = . Άρα η

g είναι συνεχής. Παράδειγμα 2 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχής

(α) ( )2 2 4

22

2 2

x xxf x xx

⎧ − + + −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

(β) ( )

( ) 11

22 1

1

xx

xg x x

xx

ημ π

πσυν

⎧<⎪ −⎪= ⎨

⎪>⎪

−⎩

Λύση

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


2x −2x +

+∞

2x + 2x− +

2x− − 2x− +

2 2− −∞ 2x − 2x +

(α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ),2 2,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0 2x = . • ( )2 2f =

• ( )2 2

2 2 4lim lim

2x x

x xf x

x+ +→ →

− + + −= =

−( )

2 2

2 22 2 4lim lim 22 2x x

xx xx x+ +→ →

−− + + −= =

− −

• ( )2 2 2 2

2 2 4 2 2 2 0lim lim lim lim 02 2 2x x x x

x x x xf xx x x− − − −→ → → →

− + + − − + + + −= = = =

− − −.

Επειδή ( ) ( )2 2

lim limx x

f x f x+ −→ →

≠ , έπεται ότι η f δεν είναι συνεχής στο

0 2x = . Άρα η f είναι συνεχής στο { }2− και δεν είναι συνεχής στο

0 2x = . (β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A = . Η g είναι συνεχής στο ( ),1−∞ και στο ( )1,+∞ και θα εξετάσουμε αν η g είναι συνεχής στο

0 1x = . • ( )1g π=

• ( )( )

1 1 1 1

2 2 12 2 2 22lim lim lim lim1 1 1x x x x x x x x

xx xg x

x x x

π π ππ ημ ημσυν

+ + + +→ → → →

⎛ ⎞ ⎡ ⎤− −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦= = = =− − −

( )1

12lim 1

(1 )2

x x

x

x

πημπ π ππ+→

⎡ ⎤⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥= = ⋅ =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

• [ ]

1 1 1 1

(1 )( ) ( )lim ( ) lim lim lim1 1 1x x x x

xx xg xx x x

ημ πημ π ημ π π− − − −→ → → →

−−= = = =

− − −

[ ]1

(1 )lim 1

(1 )x

xx

ημ ππ π π

π−→

⎡ ⎤−== ⋅ =⎢ ⎥−⎣ ⎦

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Επειδή ( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1x x

g x g x g+ −→ →

= = , έπεται ότι η g είναι συνεχής στο

0 1x = . Άρα η g είναι συνεχής. Παράδειγμα 3 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς.

(α) ( )

3 1 2 0

4 1 02 1

2 0

x

x

xx xx x

f x x

x

ημημ⎧ + <⎪⎪

−⎪= >⎨−⎪

=⎪⎪⎩

(β) ( )5 3 0

2 0

x x xg x x

x

ημ ημ−⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ),0−∞ και στο ( )0,+∞ θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0 0x = . • ( )0 2f =

• ( )( ) ( )( )2

0 0 0 0

2 1 2 1 2 14 1lim lim lim lim2 1 2 1 2 1

x x xx

x x xx x x x

f x+ + + +→ → → →

− + −−= = = =

− − −

( ) 0

0lim 2 1 2 1 2x

x +→+ = + =

• ( ) 3 3

0 0 0

1 2 1 2lim lim lim 2 0 2 1 22x x x

x xf x x xx x x x

ημ ημημ ημ− − −→ → →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

( Είναι 3

0

1lim ( ) 0x

xx

ημ−→

= επειδή για κάθε 0x < ισχύουν οι σχέσεις :

3 3 31 1x x xx x

ημ ημ= ≤ και επειδή 3

0lim 0x

x−→

= , έπεται ότι

3

0

1lim 0x

xx

ημ−→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

).

Επειδή ( ) ( )0 0

lim lim (0)x x

f x f x f+ −→ →

= = , έπεται ότι η f είναι συνεχής στο

0 0x = . Άρα η f είναι συνεχής.

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A = . Η g είναι συνεχής στο ( ),1−∞ και στο ( )1,+∞ και θα εξετάσουμε αν η g είναι συνεχής στο

0 1x = . • ( )1g π=

• ( )( )

1 1 1 1

2 2 12 2 2 22lim lim lim lim1 1 1x x x x

xx xg x

x x x

π π ππ ημ ημσυν

+ + + +→ → → →

⎛ ⎞ ⎡ ⎤− −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦= = = =− − −

( )

1

12lim 1

(1 )2

x

x

x

πημπ π ππ+→

⎡ ⎤⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ = ⋅ =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A = . Η g είναι συνεχής στο ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η g είναι συνεχής στο 0 0x = . • ( )0 2g =

• ( )0 0 0 0

5 3 5 3 5 3lim lim lim lim 5 35 3x x x x

x x x x x xg xx x x x x

ημ ημ ημ ημ ημ ημ→ → → →

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 1 3 1 2= ⋅ − ⋅ = Επειδή ( ) ( )

0lim 0xg x g

→= , έπεται ότι η g είναι συνεχής στο 0 0x = . Άρα η

g είναι συνεχής. Παράδειγμα 4 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς.

(α) ( ) 16 0

1 26 0x

xf x

x

⎧ ≠⎪= ⎨ +⎪ =⎩

(β) ( )1 2 ,0 0,

2 2

2 0

xx xxg x

x

συν π πημημ

⎧ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ∈ − ∪⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0 0x = . • ( )0 6f =

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


• ( ) 10 0

6 6lim lim 61 0

1 2x x

x

f x− −→ →

= = =+

+

• ( ) 10 0

6 6lim lim 01 2

x xx

f x+ +→ →

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟+∞⎝ ⎠+

.

Επειδή ( ) ( )

0 0lim limx x

f x f x+ −→ →

≠ , έπεται ότι η f δεν είναι συνεχής στο

0 0x = . Άρα η f είναι συνεχής στο ∗ και δεν είναι συνεχής στο 0 0x = .

(β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού ,2 2

A π π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Η g είναι συνεχής

στο ,0 0,2 2π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ και θα εξετάσουμε αν η g είναι συνεχής στο

0 0x = . • ( )0 2g =

•

( )

( )

2

0 0 0

0 0 0

21 2lim lim lim

2 2lim lim lim 2

0 2 2

x x x

x x x

xxg x x xx x

x xx x xx x

ημσυνημ ημημ ημ

ημ ημημ ημ ημημ ημ

+ +

+ + +

→ + → →

→ → →

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= + =

•

( )

( )

2

0 0 0

0 0 0

21 2lim lim lim

2 2lim lim lim 2

0 2 2

x x x

x x x

xxg x x xx x

x xx x xx x

ημσυνημ ημημ ημ

ημ ημημ ημ ημημ ημ

− − −

− − −

→ → →

→ → →

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

+ = + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= − = −

Επειδή ( ) ( )0 0

lim limx x

g x g x+ −→ →

≠ , έπεται ότι η g δεν είναι συνεχής στο

0 2x = . Άρα η g είναι συνεχής στο ∗ και δεν είναι συνεχής στο 0 0x = .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Παράδειγμα 5 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς.

(α) ( )

( ) ( )2

3

4 2 , 2 2,2

0

9 1 9 0

x x xx x

f x x

x xx

ημ⎧ +∈ −∞ − ∪ − +∞⎪ +⎪⎪= =⎨

⎪ + −⎪ >⎪⎩

(β) ( )21 1

11

4 1

x xxg x xx

⎧ − + −⎪ ≠= ⎨ −⎪ =⎩

Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ) ( ), 2 2,0 0,−∞ − ∪ − ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο

0 0x = . • ( )0 3f =

• ( ) 20 0 0

4 24 2 4 1 2lim lim lim 32 0 22x x x

xx x xf x

xx x

ημημ

− − −→ → →

++ ⋅ += = = =

+ ++

• ( )( ) ( )23 3 33

0 0 0 0

1 199 1 1 1 1 19 1 9lim lim lim lim

x x x x

x

x x xxf xx x x+ + + +→ → → →

+ −

+ − + + + ++ −= = = =

( ) ( )22 30 0 333

9 9 9lim lim 331 1 11 1 1x x

x

x xx x x+ +→ →

= = =⎡ ⎤ + + + ++ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Επειδή ( ) ( ) ( )0 0

lim lim 0x x

f x f x f+ −→ →


0 0x = . Άρα η f είναι συνεχής . (β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A = . Η g είναι συνεχής στο ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η g είναι συνεχής στο 0 1x = . • ( )1 4g =

• ( )2 2

1 1 1

1 1 1 1lim lim lim1 1x x x

x x x xg xx x+ + +→ → →

− + − − + −= = =

− −

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


1x −

1 +∞ −∞

1x− + 1x −

( )( )2

1 1 1

1 22lim lim lim( 2) 31 1x x x

x xx x xx x+ + +→ → →

− ++ −= = + =

− −

Επειδή ( ) ( )1

lim 1x

g x g+→

≠ , έπεται ότι η g δεν

είναι συνεχής στο 0 1x = . Άρα η g είναι συ-νεχής στο { }1− και δεν είναι συνεχής στο

0 1x = . Παράδειγμα 6 Η συνάρτηση :g → είναι συνεχής με ( )1 0g = . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση:

( )

( )

( ) ( ) 3

1 3 11

11

13 1

xg x xx

xg x g x xf x x

xx

ημ⎧ ⎛ ⎞ + <⎜ ⎟⎪ −⎝ ⎠⎪⎪ − + −⎪= >⎨ −⎪

=⎪⎪⎪⎩

είναι συνεχής. Λύση

Επειδή η g είναι συνεχής στο έπεται ότι είναι συνεχής και στο 1. άρα ισχύει:

( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1 0x x

g x g x g+ −→ →

= = = .

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0 1x = . • ( )1 3f =

• ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )23

1 1 1

1 1 11lim lim lim

1 1x x x

g x x x x xxg x g x xf x

x x+ + +→ → →

− + + + + +− + −= = =

− −( ) ( )

( )2

2

1 1

1 1lim lim 1 0 1 1 1 3

1x x

x g x x xg x x x

x+ +→ →

⎡ ⎤− + + + +⎣ ⎦ ⎡ ⎤= + + + = + + + =⎣ ⎦−

Για κάθε ( ),1x∈ −∞ ισχύουν οι σχέσεις:

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


( ) ( ) ( )1 11 1

xg x xg x xg xx x

ημ ημ= ≤− −

και επειδή ( )1

lim 1 0 0x

xg x−→

= ⋅ =

έπεται ότι ( )1

1lim 01x

xg xx

ημ−→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠.

• ( ) ( )1 1

1lim lim 3 0 3 31x x

f x xg xx

ημ− −→ →

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟−⎝ ⎠

Επειδή ( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1x x

f x f x f+ −→ →


0 1x = . Άρα η f είναι συνεχής. Παράδειγμα 7 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς:

(α) ( )3 2

0

0 0

xx xf x x

x

ημ ημ⎛⎜

≠= ⎜⎜⎜ =⎝

(β) ( )

3 2 1172 16

x x xxg xx x

⎧ + −>⎪⎪ −= ⎨

⎪ − ≤⎪⎩

Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0 0x = . • ( )0 0f =

• ( )3 33

2 230 0 0 0

22 2lim lim lim lim

x x x x

x x xxf x x xx x x xx

ημ ημ ημ ημημ ημ→ → → →

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

32 3

0 0

2lim lim 1 0 0x x

x xx x

ημ ημ→ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Είναι 2

0

2lim 0x

xx

ημ→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

επειδή για κάθε 0x ≠ ισχύουν οι σχέσεις:

2 2 22 2x x xx x

ημ ημ= ≤ και επειδή 2

0lim 0x

x→

= έπεται ότι

2

0

2lim 0x

xx

ημ→

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

).

Άρα η f είναι συνεχής.

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A = . Η g είναι συνεχής στο ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν g είναι συνεχής στο 0 1x = .

• ( ) 7 51 26 6

g = − =

• ( )1 1

7 7 5lim lim 2 26 6 6x x

g x x− −→ →

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

• ( )3 3 3 2 3

1 1 1 1

1 112 1 3 1 1lim lim lim lim

1 1 1x x x x

x xxx x x x xg x

x x x+ + + +→ → → →

− −+

++ − − + − + += = = =− − −

3 2 31

1 1 1 1 5lim3 2 611x xx x+→

⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟++ +⎝ ⎠

Επειδή ( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1x x

g x g x g+ −→ →

= = έπεται ότι η g είναι συνεχής στο

0 1x = . Άρα η g είναι συνεχής. Παράδειγμα 8 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς:

(α) ( ) ( )2

2 0 444 1 4

8161 44

x xxx

f x xx

x

ημ

⎧ −≤ <⎪ −⎪

⎪ −= + >⎨

−⎪⎪

=⎪⎩

(β) ( )( )

5 2 1 01

10

xe x xxg xx

xx

ημ

⎧ + −<⎪⎪ −= ⎨

−⎪ >⎪⎩

Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [ )0,A = +∞ . Η f είναι συνεχής στο [ ) ( )0,4 4,∪ +∞ και θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0 4x = .

• ( ) 144

f =

• ( ) ( ) ( )( )( )2

4 4 4

4 41 1lim lim lim8 4 4 816x x x

x xf x

x xxημ ημ

+ + +→ → →

⎡ ⎤⎡ − ⎤ −= + = + =⎢ ⎥⎢ ⎥ − +−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )4

4 1 1 1 1 2 1lim 14 4 8 8 8 8 4x

xx x

ημ+→

⎡ − ⎤+ = + = =⎢ ⎥− +⎣ ⎦

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


• ( )4 4 4 4

42 1 12lim lim lim lim

4 4 42x x x x

xx xf xx x x− − − −→ → → →

−− += = = =− − +

Επειδή ( ) ( ) ( )4 4

lim lim 4x x

f x f x f+ −→ →

= = έπεται ότι η f είναι συνεχής στο

0 4x = . Άρα η f είναι συνεχής. (β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το { }0A = − . Η g είναι συνεχής στο ( ),0−∞ και στο ( )0,+∞ . Άρα η g είναι συνεχής.

Ασκήσεις 1. Να εξεταστεί αν είναι συνεχείς οι συναρτήσεις:

(α)

2 3 2 , 1( ) 12 3 , 1

x x xf x xx x

⎧ − +<⎪= −⎨

⎪ − ≥⎩

(δ) ημ2 , 0

( )3 1, 0

x xf x x

x x

⎧ <⎪= ⎨⎪ + ≥⎩

(β) 22 1, 2( )

3 1, 2x xf xx x

⎧ − <= ⎨

+ ≥⎩ (ε) 2

2

2 1 , 0( )

, 0

x xf x x x x

xημ

+ ≤⎧⎪= ⎨ +

>⎪⎩

(γ)

2 2 , 2( ) 2 3 , 2

x x xf x xx

⎧ + −≠ −⎪= +⎨

⎪ = −⎩

(ζ)

22 -3 , 1( ) 1 , 1

1

x xf x x x

x

⎧ ≤⎪= ⎨ −

>⎪ −⎩

2. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )2

2

2, 0

3, 0

1 -1 1, 04 - 2

x xx

f x x

x xx

ημ⎧⎪ + >⎪⎪= =⎨⎪

+⎪ + <⎪ +⎩

. Να εξεταστεί αν

η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0 0x = .

3. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής όταν:

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(α) ( )

23 5 2 11

ln 2 1 1 21 2

1

x x xx

f x x x x

xx

⎧ − +<⎪ −⎪⎪= + − ≤ ≤⎨

⎪⎪ >

−⎪⎩

(β) ( )

3 2 7 2 11

1 16

x xxf x

x

⎧ + −≠⎪⎪ −= ⎨

⎪ =⎪⎩

(γ) ( )1 1

0

4 0

x xxf x xx

⎧ − − +≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

(δ) ( )2

2

9 36 93 3

x xf x x x

x

⎧ −≠⎪=⎨ − +

⎪ =⎩


(α) ( )3 5 0

8 0

x x xf x x

x

ημ ημ+⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

(β) ( )1 2 2 3

11

2 1

x x xxf x xx

⎧ − + − + −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

(γ) ( )3

33

1 3

xxf x xx

ημ⎧ −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

(δ) ( )3 2 0

7 0

x x xf x x

x

ημ +⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩


(α) ( )

32 2

02

2 2

x xx

f x x

x xx

πσυν συνπ

π

συν ππ

⎧ <⎪ −⎪⎪= =⎨⎪⎪ >⎪ −⎩

(β) ( )31 0

0 0

x xf x x

x

ημ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

(γ) ( )

( )2

3

2 1 20

21 0

3 2 0

x xx

x xf x x

x x xx

ημ

ημ

⎧ +⎪ <

+⎪⎪= =⎨⎪ −⎪ >⎪⎩

(δ) ( )

2 1 2 0

2 0

01 1

x x xx x

f x xx x

x

ημ ημ

ημ

⎧+ <⎪

⎪⎪= =⎨⎪⎪ >⎪ + −⎩


Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(α) ( )2 3

2 2

9 1 03 1

2 014

0

x

x x

f x x

x xx x

x x

ημ

ημ

⎧⎪ −

<⎪−⎪⎪= =⎨

⎪⎪ +⎪ >⎪ +⎩

(β) ( )3

2

1 ,02

0 01

0,2

x xx

f x x

xx x

x

πεϕ ημ

ημ συν π

⎧⎪ ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎪

⎝ ⎠⎪⎪= =⎨⎪⎪

⎛ ⎞⎪ ∈⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(γ) ( )

2 1 1 0

1 02

1 1 1 02

x x xx

f x x

x xx

ημ π

⎧ + + −⎪ <⎪⎪⎪= =⎨⎪⎪ ⎛ ⎞+ −

>⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

(δ) ( ) 18 0

1 38 0x

xf x

x

⎧ ≠⎪= ⎨ +⎪

=⎩


(α) ( )

[ )

( )

2

2

0,11

3 1

1,45 4

x x xx

f x xx x

x xημπ

⎧ −∈⎪

−⎪⎪= =⎨⎪⎪ ∈

− +⎪⎩

(β) ( )

21 ,0

23 2 0,18 2 2

1 04

x xx

x xf x xx x

x

συν πεϕημ πημ

⎧ − ⎛ ⎞∈ −⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎪ +⎪ ⎛ ⎞= ∈⎨ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎪⎪

=⎪⎪⎩

(γ) ( )

1 2 0,2 2

,2 2

x xxf x

x x x

συν ππ

πημ συν π

⎧ + ⎡ ⎞∈⎪ ⎟⎢−⎪ ⎣ ⎠= ⎨⎡ ⎤⎪ + ∈ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

(δ) ( ) ( ) 3

0

x a x af x x a

x a

συν⎧ − ≠⎪= −⎨⎪ =⎩


(α) ( )1 2 ,0 0,

2 2

2 0

xx xxf x

x

συν π πημημ

⎧ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ∈ − ∪⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

(β) ( ) 21 2 0

2 0

x xf x x

x

συν−⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(γ) ( )

2

2

2

1 1 ,02

1 02

x xxf x

x x x

ημ π⎧ + − ⎛ ⎞⎪ ∈ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪ + + ≥⎪⎩

(δ) ( )

3 2 0 88

1 812

x xxf x

x

⎧ −< ≠⎪⎪ −=⎨

⎪ =⎪⎩

9. ∆ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ ]0,2 με

( ) ( )0 1f f= . Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τη συνάρτηση g αν

(α) ( )( )

( )

13 03

13 1 13

f x xg x

f x x

⎧ ≤ <⎪⎪=⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎩

(β) ( )( )

( )

1 23 13 32 43 23 3

f x xg x

f x x

⎧ − < ≤⎪⎪=⎨⎪ − < ≤⎪⎩

Μέθοδος 2 (Εύρεση παραμέτρων μέσω συνέχειας) Όταν μας ζητάνε να βρεθούν κάποιοι παράμετροι ώστε μια συνάρτηση (συνήθως κλαδωτή) να είναι συνεχής απαιτούμε η συνάρτηση να είναι συ-νεχής στα σημεία αλλαγής του τύπου της. Από τις εξισώσεις που προκύ-πτουν υπολογίζουμε τις παραμέτρους. Παράδειγμα 9 Να βρείτε τα ,α β ∈ ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να συνεχείς.

(α) ( )

1

2

3 0 1

2 3 1 01 0

xae x

f x x ax xx a x x

ββημ συν

+⎧ + ≤−⎪⎪= − + − < <⎨⎪ + + ≥⎪⎩

(β) ( ) 2

2 1 0

0 1

3 2 11

x a x

f x x x

x xx

β

⎧⎪ + + ≤⎪⎪= − < ≤⎨⎪ + −⎪ >⎪ −⎩

Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ) ( ), 1 1,0 0,−∞ − ∪ − ∪ +∞ . Επομένως, για να είναι η f συνεχής, πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία 1 0x = και 2 1x = − , δηλαδή πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim 0 1x x

f x f x f+ −→ →

= = και ( ) ( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1 2x x

f x f x f+ −→− →−

= = −

• ( )0 1f a= +

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


• ( ) ( )0 0

lim lim 1 1x x

f x x a x aβημ συν+ +→ →

= + + = +

• ( ) ( )2

0 0lim lim 2 3 3x x

f x x ax β β− −→ →

= − + =

Από (1) ( )1 3 3 1 3α β α β⇒ + = ⇔ − = − • ( )1 3 1f a− = −

• ( ) ( )2

1 1lim lim 2 3 2 3x x

f x x ax β α β+ +→− →−

= − + = + +

• ( ) ( )1

1 1lim lim 3 3 1x

x xf x ae x a

− −

+

→− →−= + = −

Από (2) ( )3 1 2 3 2 3 3 4a a β α β⇒ − = + + ⇔ − = .

Από (3) και (4) έχουμε : 43 152 3 33

αα βα β β

=⎧ ⎫− = −⎧ ⎫ ⎪ ⎪⇔⎨ ⎬ ⎨ ⎬− = =⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Επομένως, με 4α = και 53

β = η f είναι συνεχής.

(β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το . Η g είναι συνεχής στο ( ) ( ) ( ),0 0,1 1,−∞ ∪ ∪ +∞ και για να είναι συνεχής, πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία 1 0x = και 2 1x = , δηλαδή πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim 0 1x x

g x g x g+ −→ →

= = και ( ) ( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1 2x x

g x g x g+ −→ →

= =

• ( )0 1g a= +

• ( ) ( )2

0 0lim limx x

g x x β β+ +→ →

= − = −

• ( ) ( )0 0

lim lim 2 1 1x x

g x x a a− −→ →

= + + = +

Από (1) ( )1 1 3α β α β⇒ + = − ⇔ + = − • ( )1 1g β= −

• ( ) ( )2

1 1lim lim 1x x

g x x β β− −→ →

= − = −

• ( )

( )( )1 1 1 1

1

3 43 2 13 2lim lim lim lim1 1 1 3 2

1 1lim43 2

x x x x

x

xx xxg xx x x x

x

+ + + +

+

→ → → →

→

+ −+ − −+ += = = =− − − + +

=+ +

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Από (2) 1 1 31 1 β= 4 4 4

β β⇒ − = ⇔ = − ⇔ .

Με 34

β = η (3) γίνεται: 3 3 71 14 4 4

α α α+ = − ⇔ = − − ⇔ = − .

Επομένως, με 74

α = − και 34

β = η g είναι συνεχής.

Παράδειγμα 10 Να βρείτε το α ∈ ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να συνεχείς.

(α) ( )2

11

3 1

x x a xf x xx

⎛ + −≠⎜= −⎜⎜ =⎝

(β) ( )2 2

2

2

3 0

3 6 7 0

x ax xg x x

x a x

ημ⎧ −<⎪= ⎨

⎪ − + ≥⎩

Λύση (α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ και για να είναι η συνεχής, πρέ-πει να είναι συνεχής στα σημεία 0 1x = . Άρα πρέπει να ισχύει η σχέση :

( ) ( ) ( )1

lim 1 1xf x f

→= .

• ( )1 3f =

• Είναι ( )2

1lim 2x

x x a a→

+ − = − και ( )1

lim 1 0x

x→

− = . Αν υποθέσουμε ότι

2 0 2a a− ≠ ⇔ ≠ , τότε το ( )1

limxf x

→ αν υπάρχει θα είναι +∞ ή −∞ και

η f θα είναι ασυνεχής στο 0 1x = . Αν 2 0 2a a− = ⇔ = τότε:

( ) ( )( ) ( )2

1 1 1 1

1 22lim lim lim lim 2 31 1x x x x

x xx xf x xx x→ → → →

− ++ −= = = + =

− −.

Άρα με 2a = η f είναι συνεχής. (β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A = . Η g είναι συνεχής στο ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ και για να είναι η συνεχής, πρέ-πει να είναι συνεχής και στο σημεία 0 0x = . Άρα πρέπει να ισχύει η σχέση :

( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim 0 1x x

g x g x g+ −→ →

= = .

• ( )0 6 7g a= − +

• ( ) ( )2

0 0lim lim 3 6 7 6 7x x

g x x a a+ +→ →

= − + = − +

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


• ( )22 2

20 0 0

2lim lim lim 3 1 3x x x

x ax xg x a axx

ημ ημ− − −→ → →

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= = − = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Από (1) 6 7 1 3 3 6 2a a a a⇒ − + = − ⇔ = ⇔ = . Άρα με 2a = η g είναι συνεχής. Παράδειγμα 11 Να βρείτε τα ,α β ∈ ώστε η συνάρτηση f με τύπο:

( )

2

2

2

3 11

14 12

2 3 12 2

a

x a xx

f x x

x x xx

β

β

−

⎧ + −<⎪

−⎪⎪

= − =⎨⎪⎪ − +

>⎪ −⎩

να είναι συνεχής. Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A∈ . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ και για να είναι συνεχής, πρέπει να είναι συνεχής και στο

0 1x = , δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: ( ) ( ) ( ) ( )

1 1lim lim 1 1x x

f x f x f+ −→ →

= =

• ( ) 2 11 42

f β α+= −

• Είναι ( )2

1lim 3 2x

x a a−→

+ − = − και ( )1

lim 1 0x

x→

− = . Αν υποθέσουμε ότι

2 0 2a a− ≠ ⇔ ≠ , τότε το ( )1

limx

f x−→

αν υπάρχει θα είναι +∞ ή −∞ και

η f θα είναι ασυνεχής στο 0 1x = . Αν 2 0 2a a− = ⇔ = τότε:

( ) ( )( )( )( )

2

2 2

21 1 1 1

21

3 41 13 2 3 2lim lim lim lim

1 1 1 3 2

1 2 1lim4 23 2

x x x x

x

xx xx xf x

x x x x

x

x

− − − −

−

→ → → →

→

+ −+ −+ − + += = = =

− − − + +

+= =

+ +

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Από (1) 2 2 2 2 2 01 14 4 1 4 4 2 2 0 12 2

β α β β β β− − −⇒ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = .

Με 1β = είναι:

( )( )

( )2

1 1 1

1

12 12 3 1 2lim lim lim

2 2 2 1

1 1 1lim 12 2 2

x x x

x

x xx xf xx x

x

+ + +

+

→ → →

→

⎛ ⎞− −⎜ ⎟− + ⎝ ⎠= = =− −

⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα με 2a = και 1β = η f είναι συνεχής. Παράδειγμα 12 Να βρείτε τα ,a β ∈ ώστε η συνάρτηση:

( )( )2 1 2

11

3 1

ax xxf x xx

β⎧ + − +⎪ ≠= ⎨ −⎪ =⎩

να είναι συνεχής. Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το . Η f είναι συνεχής στο ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ και για να είναι συνεχής, πρέπει να είναι συνεχής και στο

0 1x = , δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: ( ) ( ) ( )1

lim 1 1xf x f

→=

Είναι: • ( )1 3f = • Είναι ( )

1lim 1 0x

x→

− = και

( )2

1lim 1 2 1 2 1x

ax x a aβ β β→⎡ ⎤+ − + = + − + = + +⎣ ⎦ . Αν υποθέσουμε ότι

1 0a β+ + ≠ τότε το ( )1

limxf x

→ αν υπάρχει θα είναι +∞ ή −∞ και η f

θα είναι ασυνεχής στο 0 1x = . Αν ( )1 0 2a β+ + = τότε:

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

2 22

1 1 1 1

2

1 1 1

1

1 2 1 22lim lim lim lim1 1 1

1 2 1 1 22lim lim lim1 1 1

lim 2 2

x x x x

x x x

x

ax x ax a x xax x xf xx x x

ax x x x axax ax x xx x x

ax a

β β→ → → →

→ → →

→

+ − + + − − − ++ − += = = =

− − −− − − − −− − − +

= = =− − −

− = −

Από (1) 2 3 5a a⇒ − = ⇔ = . Με 5a = από (2) 6β⇒ = − . Άρα με 5a = και 6β = − , η συνάρτηση f είναι συνεχής.

Ασκήσεις 10. Να βρείτε τον αριθμό a∈ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής ό-

ταν:

(α) ( )( ) ( )

3

2

1 10,1

6 51 14

x a xx

x xf xx

ημ⎧ − + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ∈⎪⎪ − +=⎨⎪ =⎪⎩

(β) ( )1 4 0

3 1 0a

x xxf x

x

συν−⎧ ≠⎪= ⎨⎪ − =⎩

(γ) ( )( )2

3

1

x ax a x af x x a

a x a

πημ⎧ −⎪ −⎪ + ≠= ⎨ −⎪⎪ + =⎩

(δ) ( )2 0

3 0

ax x xf x x

x

ημ ημ−⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

11. Να βρείτε τους αριθμούς ,a β ∈ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνε-

χής όταν:

(α) ( )3

3

11

2 1 1

x x a xf x x

x ax xβ

⎧ + −<⎪= −⎨

⎪ + + ≥⎩

(β) ( )

2

2

22

2

4 22

x x a xx

f x a x

x x a xx

β

β

⎧ + −<⎪ −⎪⎪= − =⎨

⎪ + −⎪ >⎪ −⎩

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(γ) ( )

2

2

3 11

12

2 1 12 2

x x a xxaf x x

x x xx

β

β

⎧ + + −<⎪

−⎪⎪

= + =⎨⎪⎪ − − +

>⎪ −⎩

(δ) ( )( )

( )

2

2 1

0 11

3 11 2 1

11 2

a

x x a xx

f x xx x

xx

β

ημ πημ

+ +

⎧ −+ ≤ <⎪

−⎪⎪= =⎨⎪ − + −⎪ < <⎪ −⎩


2

( 1)( 2 2), 1( 1) ,

1

x x x xf x

x xx

αν λ

ημ αν λ

⎧ − − + ≤⎪= ⎨

−⎪ −⎩

. Να

βρείτε την τιμή του λ , ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x λ= .

13. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )

2 , 0

1, 0

2 4 , 0

x x xx

f x x

x xx

α βημ αν

α αν

ανβ

⎧ −<⎪

⎪⎪= − =⎨⎪ − +⎪ >⎪⎩

. Να βρεθούν οι

τιμές των α και β ∈ , έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 0x = .

14. Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση: 2

2

2 , 11

( ) 1 , 1

1 , 1

x x xx

f x x

x x

β

α

⎧ + −<⎪ −⎪⎪= + =⎨

⎪ − >⎪⎪⎩

15. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )2 3 , 1

14, 1

x x xf x xx

α β⎧ + −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

. Να βρεθούν οι τι-

μές των α και β, έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο σημείο 0 1x = .

16. Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι συνεχείς.

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(α) ( )1, 1

1 , 11

x xf x x x x

x

λ αν

αν

+ ≤⎧⎪= ⎨ −

>⎪ −⎩

(β) ( )( 1)

, αν 0

1, 0

x xxf x xx

λ λ

αν

⎧ − +≠⎪= ⎨

⎪− =⎩

17. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )

11

2

1( ) , 12

2 , 1 2

2, 2

x x

f x x x

x x x

αν

α αν

β αν

−⎧

<⎪⎪⎪= + ≤ <⎨⎪ − + ≥⎪⎪⎩

. Να βρε-

θούν οι τιμές των α και β, έτσι ώστε η f να είναι συνεχής.

18. ∆ίνεται η συνάρτηση: ( )

2 00 1

1 ln 1

x xf x x x

x x xα β

⎧ − ≤⎪= + < <⎨⎪ + ≥⎩

όπου ,α β ∈ . Να

υπολογίσετε τα ,α β έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής. (Εξετάσεις 2004)


3

2000 1 , 2001

,

x xxf x

x x x

ημ αν α

αν α

⎧ <⎪= ⎨⎪ + ≥⎩

.

(α) Να αποδείξετε ότι αν 0α ≠ τότε η f είναι ασυνεχής στο 0x α= . (β) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο 0x α= όταν 0α ≠ .

Μέθοδος 3 (Εύρεση συνέχειας μέσω ορίου) Όταν μας δίνεται ένα όριο το οποίο περιέχει μια συνάρτηση της ( )f x , δηλαδή ( )( )

0

limx x

g f x α→

= και μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι η ( )f x είναι

συνεχής στο 0x τότε: • Θέτουμε ( ) ( )( )h x g f x= οπότε ( )

0

limx xh x α

→=

• Λύνουμε την ( ) ( )( )h x g f x= ως προς ( )f x • Υπολογίζουμε το ( )

0

limx x

f x→

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Παράδειγμα 13 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και είναι

( )1

5 2lim 8

1x

f x xx→

− +=

−, να βρείτε το ( )1f .

Λύση Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο θα είναι συνεχής και στο

0 1x = . Άρα ισχύει η σχέση : ( ) ( ) ( )1

lim 1 1xf x f

→=

Αν θέσουμε ( ) ( ) 5 21

f x xg x

x− +

=−

με 1x ≠ τότε ( )1

lim 8xg x

→= και

( ) ( ) ( )1 5 2g x x f x x⋅ − = − + , δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )1 5 2 2f x g x x x= ⋅ − + − . Επειδή ( ) ( )

1lim 1 5 2 8 0 5 2 3x

g x x→⎡ ⋅ − + − ⎤ = ⋅ + − =⎣ ⎦ από την (2) έπεται ότι:

( )( )

( )1

1lim 3 1 3xf x f

→= ⇒ =

Παράδειγμα 14 Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και ισχύει

( ) ( )limx

f x fxξ

ξα

ξ→

−= ∈

−. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο

0x ξ= .

Λύση

Αν θέσουμε ( ) ( ) ( )f x fg x

xξ

ξ−

=−

με x ξ≠ τότε ( )limxg x

ξα

→= και

( ) ( ) ( ) ( )g x x f f xξ ξ⋅ − + = . Επειδή ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim 0

xg x x f a f f

ξξ ξ ξ ξ

→⎡ ⋅ − + ⎤ = ⋅ + =⎣ ⎦ , έπεται ότι και

( ) ( )limx

f x fξ

ξ→

= .

Άρα η f είναι συνεχής στο 0x ξ= .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Παράδειγμα 15 Αν η συνάρτηση :f → είναι συνεχής και

( ) 2

1

2 3lim 8

1x

f x x xx→

− + +=

−, να βρείτε το ( ) ( )

( )31

1lim

1x

f x f

x→

−

−.

Λύση Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι συνεχής και στο 0 1x = . Άρα ισχύει η σχέση: ( ) ( ) ( )

1lim 1 1xf x f

→=

Αν θέσουμε ( ) ( ) 2 2 3, 1

1f x x x

g x xx

− + += ≠

− τότε:

( )1

lim 8xg x

→= και ( ) ( ) ( ) 21 2 3g x x f x x x⋅ − = − + + ,

δηλαδή ( ) ( ) ( ) 21 2 3f x g x x x x= ⋅ − + − − .

Επειδή ( ) ( ) 2

1lim 1 2 3 8 0 1 2 3 4x

g x x x x→⎡ ⎤⋅ − + − − = ⋅ + − − = −⎣ ⎦ , έπεται ότι:

( )( )

( )1

1lim 4 1 4xf x f

→= − ⇒ = −

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

2 2

3 3 31 1 1

2

3 3 21 1 1

21

1 1 2 3 4 1 2 1lim lim lim

1 1 1

1 11 1 1lim lim lim

1 1 1

1lim 1 81

x x x

x x x

x

f x f g x x x x g x x x x

x x x

x g x xg x x x g x x

x x x

g x xx

→ → →

→ → →

→

− ⋅ − + − − + ⋅ − + − += = =

− − −

− ⎡ + − ⎤⋅ − + − + −⎣ ⎦= = =− − −

⎡ ⎤+ − = +∞ =+∞⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Ασκήσεις 20. Αν η συνάρτηση :f → είναι συνεχής και είναι

( ) 2

2

2 3lim 4

2x

f x x xx→

+ + −=

−, να δείξετε ότι:

(α) Το σημείο ( )2, 5A − ανήκει στη γραφική παράσταση της f .

(β) ( ) ( )2

2lim 2

2x

f x fx→

−= −

−.

21. ∆ίνεται η περιττή συνάρτηση :f → για την οποία ισχύει:

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


2

3

( ) 2lim 53x

f x x xx→

+ − −=

−

Αν η f είναι συνεχής στο 0 3x = , τότε: (α) να υπολογίσετε το (3)f (β) να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 1 3x = −

(γ) να υπολογίσετε το όριο 3

( )lim3x

f xx+→ −

22. Αν 0

(3 )lim 5h

f hh→

+= και η f είναι συνεχής στο 3, να βρείτε το όριο

3

( ) (3)lim .3x

f x fx→

−−

23. ∆ίνεται συνάρτηση :f → συνεχής στο 0 0x = για την οποία ισχύει:

( )3

3lim 2

3x

f xx→

+=

−. Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )

6

6lim

6x

f x fx→

−−

.

24. Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο 0 0x = και ισχύει:

( )20

4lim 2010x

f xx x→

+=

−. Να βρεθεί το ( )0f .

25. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και είναι

( ) 2

1

3 3lim 8

1x

f x xx→

+ + +=

−, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f

διέρχεται από το σημείο ( )1, 5A − .

26. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 0x = και 20

( ) 3lim 2,x

xf x xx x

ημ→

−=

+

να βρεθεί η τιμή ( )0f .

27. ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :f → , για την οποία ισχύει: ( ) 2

0

1lim 5

2

x

x

f x exημ→

− += . Να βρείτε το ( )0f .

(Εξετάσεις 2000)

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


28. ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :f → , με ( )0

limx

f xx

κ→

= ∈ .

(α) Να βρεθεί το ( )0f

(β) Να βρεθεί το κ έτσι, ώστε: ( )( )

2

20

24lim 5

2 3x

x x f xx x f xημ

ημ→

+ ⋅=

+ ⋅

Μέθοδος 4 (Εύρεση της συνέχειας μέσω ανισώσεων) Εάν μας δίνεται μία ανίσωση της μορφής ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ ή

( ) ( )f x g x≤ και μας ζητάνε να δείξουμε ότι η ( )f x είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x τότε: • Αρχικά θέτουμε όπου 0x x= στην ανίσωση και υπολογίζουμε την τιμή

( )0f x • Από το κριτήριο παρεμβολής υπολογίζουμε το ( )

0

limx x

f x→

και εάν

( ) ( )0

0limx x

f x f x→

= τότε η συνάρτηση f είναι συνεχής.

Παράδειγμα 16 Έστω η συνάρτηση :f → . Αν για κάθε x∈ ισχύει:

( ) ( )21 1 1x f x x x+ ≤ ≤ + + Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 0x = .

Λύση Για 0x = από (1) ( )1 0 1f⇒ ≤ ≤ , δηλαδή ( )0 1f = .

Επειδή ( )0

lim 1 1x

x→

+ = και ( )2

0lim 1 1x

x x→

+ + = , από το κριτήριο παρεμβολής

έπεται ότι ( )0

lim 1x

f x→

= . Επειδή ( ) ( )0

lim 0x

f x f→

= έπεται ότι η f είναι συ-

νεχής στο 0 0x = Παράδειγμα 17 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f και g που έχουν πεδίο ορισμού το και για κάθε x∈ ισχύει ( ) ( ) ( )1f x g x≤ . Αν η συνάρτηση g είναι

συνεχής στο 0 με ( )0 0g = , να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

Λύση

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Επειδή g είναι συνεχής στο 0 0x = έπεται ότι ( ) ( )0

lim 0 0xg x g

→= = . Για

κάθε x∈ ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2f x g x g x f x g x≤ ⇔ − ≤ ≤

Για 0x = από (2) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0g f g f⇒ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ , δηλαδή

( )0 0f = . Επειδή ( )0

lim 0x

g x→

⎡ ⎤− =⎣ ⎦ και ( )0

lim 0x

g x→

= , από το κριτήριο

παρεμβολής έπεται ότι ( )0

lim 0x

f x→

= .

Άρα ( ) ( )0

lim 0x

f x f→

= , δηλαδή η f είναι συνεχής στο 0.

Παράδειγμα 18 ∆ίνεται η συνάρτηση :f → και για κάθε ,a β ∈ ισχύει:

( ) ( ) 2 1 , και 0f f να β κ α β ν κ+ ∗− ≤ − ∈ > (1)

να δείξετε ότι η f είναι συνεχής. Λύση

Έστω x∈ και ξ ένα οποιοδήποτε σημείο του . Από την (1) έπεται: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

v v v

v v

f x f x x f x f x

f x f x x f

ξ κ ξ κ ξ ξ κ ξ

ξ κ ξ κ ξ ξ

+ + +

+ +

− ≤ − ⇔ − − ≤ − ≤ − ⇔

− − ≤ ≤ − +

Επειδή ( ) ( )2 1lim v

xf x f

ξξ κ ξ ξ+

→⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ και

( ) ( )2 1lim v

xx f f

ξκ ξ ξ ξ+

→⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ , από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι

( ) ( )limx

f x fξ

ξ→

= .

Άρα η f είναι συνεχής στο ξ και επειδή το ξ είναι ένα οποιοδήποτε ση-μείο του , έπεται ότι η f είναι συνεχής στο .

Ασκήσεις 29. Αν 2 21 ( ) 1x f x x− ≤ ≤ + για κάθε x∈ , να αποδειχθεί ότι η f είναι

συνεχής στο 0 .

30. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 0x = και 4( ) 2f x x xημ− ≤ , x∀ ∈ , να βρεθεί η τιμή ( )0f .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


31. ∆ίνεται η συνάρτηση :f → και ότι για κάθε x∈ ισχύει

( ) 24 2f x x− ≤ − (α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 2x = .

(β) Να δείξετε ότι ( )2

4lim 0

2x

f xx→

−=

−.


( ) 2x f x xημ ≤ − ≤ (α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 0x = .

(β) Να δείξετε ότι ( )0

2lim 1x

f xx→

−= .

33. Η συνάρτηση :f → είναι συνεχής στο 0 0x = και για κάθε x ∗∈

ισχύει: ( )2 2 4

2 4 23 1 14x x xf xx x x

ημ+ + −≤ ≤ +

+. Να δείξετε ότι ( )0 4f = .

34. ∆ίνεται η συνάρτηση f και ότι για κάθε x∈ ισχύει:

( )2 4 24 16 3 4x f x x x− ≤ − ≤ − . (α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 2x = .

(β) Αν ( )( )

2

32

28 2

f xx

g x xxλ

⎧ −≠⎪= −⎨

⎪ + =⎩

να βρείτε το λ ∈ ώστε η g να είναι

συνεχής στο 0 2x = .

35. Α. Έστω η συνάρτηση :f → με την ιδιότητα: ( ) 21 ( ) 3 2x f x x x− ≥ − + για κάθε x∈ . Αν η f είναι συνεχής στο 1 να βρεθεί η τιμή (1)f . Β. Αν η συνάρτηση :g → είναι συνεχής στο 0 και

5( ) ημ2xg x x x− ≤ για κάθε x∈ , να βρεθεί η τιμή (0)g . Γ. Αν η συνάρτηση :h → είναι συνεχής στο , και

2

0

( ) 1lim 5ημ2

x

x

h x ex→

− += να βρεθεί η τιμή (0)h .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


36. ∆ίνεται η συνάρτηση :f → για την οποία υπάρχει ( )θ 0,1∈ τέτοιο

ώστε: ( ) ( ) θf x f y x y− ≤ − για κάθε ,x y∈ . Να δειχθεί ότι η συ-νάρτηση f είναι συνεχής.

37. Έστω η συνάρτηση :f → , για την οποία ισχύει:

( ) ( )2 21 2 1f x f x x− ≤ − ≤ − , για κάθε x∈ . Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0 0x = .

38. Έστω :f → για την οποία ισχύει ( )x f x x xημ⋅ ≤ − , για κάθε

0x ≠ . Αν η f είναι συνεχής στο 0 0x = , να βρεθεί η τιμή ( )0f .

39. ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :f → , για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( )1 1x f x x xημπ π− ≤ + − , για κάθε x∈ . Να βρεθεί το ( )1f .

40. ∆ίνεται συνάρτηση :f → , για την οποία ισχύει

( ) ( )ln 1 1xf x x e− + ≤ − για κάθε 1x > − . Να αποδείξετε ότι η f εί-

ναι συνεχής στο 0 0x =

41. ∆ίνεται η συνάρτηση: ( )0

x a x ax ag x x ax a

⎧ − −⎪ ≠= ⎨ −⎪ =⎩

(α) Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο 0x a= . (β) Αν η συνάρτηση :f → είναι τέτοια ώστε για κάθε x∈ να ι-σχύει ( ) ( )10f x g x− ≤ , να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x a= .


( ) ( )2f x a x β− ≤ − . (α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0x β= .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


(β) Αν ( )( )

3 27

f x ax

xg xx

ββ

λ β

⎧ −≠⎪ −= ⎨

⎪ + =⎩

να βρείτε το λ ∈ ώστε η g να εί-

ναι συνεχής στο 0x β= . Μέθοδος 5 (Εύρεση συνέχειας από συναρτησιακές σχέσης) Όταν μας ζητάνε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε διά-στημα Δ και για την οποία γνωρίζουμε ότι ικανοποιεί μια συναρτησιακή σχέση ( ( )f x y+ = ή ( )f x y⋅ = ) και ότι είναι συνεχής σε κάποια θέ-ση α του πεδίου ορισμού της τότε: • Η f συνεχής στο α άρα ( ) ( )lim

xf x f

αα

→= (1)

• Αν η συναρτησιακή σχέση είναι της μορφής ( )f x y+ = τότε: θέτου-με όπου ( )0x x hα→ − + οπότε το όριο (1) γίνεται

( ) ( )0

0lim limx x x

f x f x hα

α→ →

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ .

• Αν η συναρτησιακή σχέση είναι της μορφής ( )f x y⋅ = τότε: θέτουμε

όπου 0xx hα

⎛ ⎞→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

οπότε το όριο (1) γίνεται ( )0

0lim limx x x

xf x f hα α→ →

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ .

Παράδειγμα 19 Αν για μια συνάρτηση f ισχύει: ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅ για κάθε

,x y∈ και η f είναι συνεχής σε ένα σημείο α ∈ , να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής στο .

Λύση Αφού η f είναι συνεχής στο α ∈ ισχύει ότι: ( ) ( )lim

xf x f

αα

→=

Θα δείξουμε ότι: ( ) ( )0

0limx x

f x f x→

= για κάθε 0x ∈ .

Θέτουμε 0 0x x y x x yα α− + = ⇔ = − + οπότε:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0

0 0 0

lim lim lim limx x y y y

f x f x y f x f y f x f y

f x f f x f xα α α

α α α

α α α α→ → → →

= − + = − ⋅ = − =

= − = − + =

Άρα η f είναι συνεχής σε κάθε 0x ∈ άρα συνεχής σε όλο το .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Ασκήσεις 43. Έστω συνάρτηση f με την ιδιότητα ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ,

,x y∀ ∈ . Να δειχθεί ότι: (α) ( )0 0f = (β) Η f είναι περιττή (γ) Αν η f είναι συνεχής στο 0x α= , τότε είναι συνεχής στο 0 αλλά και σε όλο το ℜ

44. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 0x = και ισχύει:

( ) ( ) ( )f x y f x y f y xσυν συν+ = + , για κάθε ,x y∈ , να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο .

45. Έστω η συνεχής στο 0 1x = συνάρτηση f , για την οποία ισχύει:

( ) ( ) ( )f x y f x f y⋅ = + , για κάθε ,x y∈ . Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο .

46. Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση:

( ) ( ) ( )f x y x f y y f x⋅ = + για κάθε , 0x y > . Αν η f είναι συνεχής στο 0 1x = , τότε θα είναι συνεχής στο *

+ .

47. Έστω η συνεχής στο 0 1x = συνάρτηση f , για την οποία ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )ln lnxf ex f y ey f xy

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠, για κάθε , 0x y > . Να δειχθεί ότι η

f είναι συνεχής στο ( )0,+∞ .

48. Έστω *:f → τέτοια ώστε ( ) ( ) ( )f x y f x f y⋅ = ⋅ , για κάθε *,x y∈ και ( ) 0f x ≠ . Αν η f είναι συνεχής στο 0 2x = , να δείξετε

ότι η f είναι συνεχής στο .

49. Έστω η συνάρτηση ( ): 0,f +∞ → με την ιδιότητα: ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + για κάθε , 0x y > . Να αποδειχθεί ότι:

(α) (1) 0f = (β) αν η f είναι συνεχής στο 0 1x = , τότε η f είναι συνεχής.

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Μέθοδος 6 (∆ιάφορες θεωρητικές εφαρμογές) Παράδειγμα 20 Οι συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες στο και για κάθε x∈

ισχύει: ( ) ( ) ( )4 4 2 1f x g x xσυν⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις

f και g είναι συνεχείς στο σημείο 0 2x π= .

Λύση

Για 2

x π= από (1)

4 4

0 02 2 2 2

f g f gπ π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = ⇔ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Επειδή 2 2

2

lim 02x

xπ

πσυν συν→

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

, από την (1) έπεται ότι:

( ) ( )( )4 4

2

lim 0x

f x g xπ

→⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Για κάθε x∈ ισχύουν οι σχέσεις ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4f x f x f x g x⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ ≤ ⎡ ⎤ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

και επειδή ( ) ( )( )4 4

2

lim 0x

f x g xπ

→⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , έπεται ότι:

( ) ( ) ( ) ( )4 44

2 2 2 2

lim 0 lim 0 lim 0 lim 02x x x x

f x f x f x f x fπ π π π

π→ → → →

⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⇒ ⎡ ⎤ = ⇒ = ⇒ = = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Άρα η f είναι συνεχής στο 0 2x π= .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι ( )2

lim 02x

g x gπ

π→

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

, που σημαίνει ότι και η

g είναι συνεχής στο 0 2x π= .

Παράδειγμα 21 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε x∈ ισχύει

( ) ( )23 1xf x x xημ− = . Να βρείτε το ( )0f .

Λύση

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι συνεχής και στο 0 0x = . Άρα ισχύει:

( ) ( ) ( )0

lim 0 2x

f x f→

=

Για κάθε 0x ≠ η (1) γίνεται ( ) ( )2

2 33 x xxf x x x f xx

ημημ += + ⇔ = .

Είναι ( )2

0 0 0

3lim lim lim 3 3 1 0 3 (3)x x x

x x xf x xx x

ημ ημ→ → →

+ ⎛ ⎞= = + = ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Από (2) και (3) έπεται ότι ( )0 3f = . Παράδειγμα 22 Μια συνάρτηση :f → είναι συνεχής και έχει την ιδιότητα

( ) ( )2 2 1 ( ) 1f x x x x f x+ + + = + + (1), x∀ ∈ . Να βρεθεί ο τύπος της.

Λύση Λύνουμε την (1) ως προς ( )f x :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

2 1 ( ) 1 2 1

1 2 1 1 2

f x x x x f x f x x x xf x x

f x xf x x x x f x x x x x

+ + + = + + ⇔ + + + = + +

⇔ − = + − + + ⇔ − = + − + +

Για 1x ≠ τότε: ( )21 2

1x x xf x

x+ − + +

=−

. Αφού η f συνεχής στο θα

είναι και συνεχής στο 0 1x = άρα

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )

0 2 22 0

1 1 1 2

2 2

1 12 2

1 2

1 21 21 lim lim lim1 1 1 2

2 1 2 1lim lim1 1 2 1 1 2

1 1lim41 2

x x x

x x

x

x x xx x xf f xx x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

x x x

→ → →

→ →

→

+ − + ++ − + += = = =

− − + + + +

+ + − − − −= = =

− + + + + − + + + +

= = −− + + + +

Οπότε ο τύπος της συνάρτησης είναι:

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


( )

21 2 11

1 14

x x x xxf x

x

⎧ + − + +≠⎪⎪ −= ⎨

⎪ − =⎪⎩

Παράδειγμα 23 Έστω μια συνάρτηση ( ): 0,f +∞ → για την οποία για κάθε x∈

ισχύει: ( ) ( )3 lnf x f x x+ = για κάθε 0x > . Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 1x = .

Λύση Για 0x > έχουμε ότι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22

lnln 1 ln 11

xf x f x x f x f x x f xf x

⎡ ⎤+ = ⇔ + = ⇔ =⎣ ⎦ +

Για 1x = η (1) γίνεται: ( )1 0f =

Όμως ( ) ( ) ( ) ( )2 2

lnln ln ln ln1 1

xxf x x x f x xf x f x

= = ≤ ⇔= − ≤ ≤+ +

.

Επειδή ( )1 1

lim ln lim ln 0x x

x x→ →

= − = από το Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει

ότι και ( ) ( )1

lim 0 1xf x f

→= =

Άρα η f είναι συνεχής στο 0 1x = Παράδειγμα 24 Έστω μια συνάρτηση :f → για την οποία για κάθε x∈ ισχύει:

( ) ( )3 2f x f x x+ = (1). Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο .

Λύση Αρκεί να δείξουμε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0lim lim 0

x x x xf x f x f x f x

→ →⎡ ⎤= ⇔ − =⎣ ⎦ .

Για 0x x= από την σχέση (1) έχουμε: ( ) ( )3

0 0 02f x f x x+ = (1) Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) και (2) οπότε:

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 30 0 0

2 20 0 0 0 0

2 20 0 0 0

00 2 2

0 0

2 2

2

2

2

f x f x f x f x x x

f x f x f x f x f x f x f x f x x x

f x f x f x f x f x f x x x

x xf x f xf x f x f x f x

− + − = −

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ − + + + − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤⇔ − + + + = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⇔ − =

+ + +

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 2 0f x f x f x f x+ + + ≠ αφού εάν το θεωρήσουμε ως ένα

τριώνυμο ως προς ( )f x έχουμε ότι:

( ) ( )( ) ( )2 2 20 0 04 2 3 8 0f x f x f xΔ = − + = − − <

Άρα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

00 02 2

0 0

lim lim 0 lim2x x x x x x

x xf x f x f x f xf x f x f x f x→ → →

−⎡ ⎤− = = ⇔ =⎣ ⎦ + + +

Ασκήσεις 50. Α. Μία συνάρτηση :f → είναι συνεχής και έχει την ιδιότητα:

( ) ημ4xf x x= για κάθε x∈ . Να βρεθεί ο τύπος της f . Β. Μία συνάρτηση :g → είναι συνεχής και έχει την ιδιότητα:

( ) ( )2 2 21 1 ( ) 1 ( ) συνx f x f x x x+ + = + + για κάθε x∈ . Να βρεθεί ο

τύπος της g .

51. ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :f → για την οποία ισχύει: ( ) ( )( )10 5 2 5x f x x x xημ⋅ + = + + + για κάθε x∈ . Να βρεθεί ο τύ-

πος της f .

52. Έστω ότι για τις συναρτήσεις , :f g → , ισχύει: ( ) ( )2 2 2f x g x xσυν+ ≤ για κάθε x∈ . Να αποδειχθεί ότι οι ,f g εί-

ναι συνεχείς στο 0 2x π= .

53. Έστω ,f g συναρτήσεις ορισμένες στο , για τις οποίες ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2f x g x x x f x x g x xημ συν+ + = ⎡ + ⎤⎣ ⎦ . Να αποδείξετε ότι οι ,f g είναι συνεχής.

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


54. Έστω ότι για τις συναρτήσεις , :f g → ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2f x g x x x f x g x xημ ημ+ + = ⋅ + ⋅ για κάθε x∈

Να αποδειχθεί ότι οι ,f g είναι συνεχείς στο 0 0x =

55. Οι συναρτήσεις , :f g → έχουν την ιδιότητα: 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 5 4 ( ) συνf x g x f x g x x+ + + ≤ + για κάθε x∈

Να αποδειχθεί ότι οι ,f g είναι συνεχείς στο 0π2

x =

56. Αν οι συναρτήσεις , :f g → ικανοποιούν τη σχέση:

2 2 2 2( ) ( ) 1f x x g x x+ ⋅ = − για κάθε x∈ , να δείξετε ότι είναι συνεχείς στα 0 1x = και 1 1x = − .

57. ∆ίνεται η συνάρτηση :f → , για την οποία ισχύει

( ) ( )2 22 1f x f x x− ≤ − , για κάθε x∈ . Να δείξετε ότι η f είναι συ-νεχής στο 0 0x = .

58. ∆ίνεται η συνάρτηση :f → συνεχής στο 0 0x = για την οποία ι-

σχύει ( )0

lim 2x

f xx→

= και ( ) ( )1f x f x= + , x∈

(α) Να βρείτε το ( )0f (β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 1 1x =

59. Μια συνάρτηση :f → είναι συνεχής και έχει την ιδιότητα

( ) 3xf x xημ= , x∀ ∈ . Να βρεθεί ο τύπος της.

60. ∆ίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο 0 1x = , για την οποία ισχύει ( ) ( ) ( )1x f x xημ π− ≥ , για κάθε x∈ . Να αποδείξετε ότι ( )1f π= −

61. ∆ίνεται η συνάρτηση :f → , για την οποία ισχύει:

( ) ( )3 1 lnf x e f x x+ ⋅ + = , για κάθε 0x > . Να δείξετε ότι η f είναι συ-νεχής στο 0x e= .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


62. Μια συνάρτηση :f → έχει την ιδιότητα ( ) 2xf x xημ≤ , x∀ ∈ . Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 0x = , να δειχθεί ότι ( )0 2f = .

63. Να βρείτε τον *v∈ και τους ,α β ∈ , αν για την συνεχή συνάρτηση

:f → , με ( )0 1f = ισχύει: ( )vx f x xασυν β= + .

64. Μια συνάρτηση :f → έχει την ιδιότητα ( ) ( )5f x f x x+ = . x∀ ∈ . Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο 0.

65. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 0x = και

( )2 ( 1) 4 , 0 x xf x x

xα β α+ + − +

= ∀ < και ( ) , 0x xf x x xημ ≤ ≤ ∀ ≥ να

βρεθούν οι τιμές των α και β που ανήκουν στο , καθώς και την τι-μή ( )0f .

66. Αν για κάθε x∈ είναι: ( ) ( ) 21 4 4 8f x f x x x+ + = + + και η f είναι

συνεχής στο 0 με ( )0 3f = , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 1.

67. ∆ίνεται η συνάρτηση :f → , για την οποία ισχύουν: ( ) ( )1f x f x− = , για κάθε x∈ και η f είναι συνεχής στο 2. Να α-

ποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0 1x = − .

68. ∆ίνεται συνάρτηση :f → συνεχής στο 0 0x = για την οποία ισχύει: ( ) ( )3 2f x f x x+ + = − . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο

1 3x = .

69. ∆ίνεται η συνάρτηση :f → για την οποία ισχύει: 3( ) 2 ( )f x f x x+ = , για κάθε x∈ . Nα αποδείξετε ότι:

(α) η f αντιστρέφεται, (β) η f έχει σύνολο τιμών το , (γ) 1 3( ) 2f x x x− = + (δ) η f είναι συνεχής στο .

Μαθ

ηματικά Κα

τεύθ

υνση

ς Γ Λυ

κείου


70. ∆ίνεται η συνάρτηση :f Α→ με 2 1 2

2( ) lim1

x

xxf α αα

α

+

→+∞

+=

+ για κάθε

α Α∈ . (α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . (β) Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f . (γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f .

71. ∆ίνεται ο μιγαδικός αριθμός 2i3i+i

z xx

= −−

, όπου x∈ .

(α) Να βρείτε τα Re(z) και m(z)Ι συναρτήσει του x . (β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( )2( ) Re(z) 1f x x= ⋅ + .

(γ) Να βρείτε το α∈ , ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση:

( )( )

2

2

Re( ) 1 , 1( )

Im( ) 1 , 1

z x xg x

z x xα

⎧ ⋅ + ≥⎪= ⎨⋅ + + <⎪⎩

72. ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :f → και οι μιγαδικοί αριθμοί

i ( )xz x f x= + , x∈ . Αν Im(z ) 1x = για κάθε x∈ , να βρείτε τα όρια:

(α) 0

συνlim

Re(z)x

x

z x→

−

(β) ( )lim xxz x

→+∞−

υκείου ατεύθυνσblogs.sch.gr/cmour/files/2013/12/K-SYNEXEIA-SYNARTHSHS.pdfΜ αθ ημ...

Documents

Transcript of υκείου ατεύθυνσblogs.sch.gr/cmour/files/2013/12/K-SYNEXEIA-SYNARTHSHS.pdfΜ αθ ημ...