Τζόγος, Κυκλωματα και Facebook2η Διάλεξη

Α. ΓελαστόπουλοςΡ. ΓρηγορίουΘ. Κεχαγιάς

Μάρτης 2009

Facebook by Touchgraph

Περίπατος στο Facebook

Ερώτημα: Ποιος είναι ο Βασικός Facebooker?

Παράδειγμα: Που βαδίζουμε κύριοι

Παράδειγμα: Web Surfing

Παράδειγμα: Αναφορές σε μια Εργασία

Παράδειγμα: Αριθμός Erdos

Πως να το μοντελοποιήσουμε?

Τυχαίοι περίπατοιΓράφοι

Αλυσίδες Markov

Γράφοι

1 2

1 2

( , )

Κόμβοι: , ,...,

Ακμές: , ,...,

δηλ.

N

M

i m n

G V E

V V V V

E E E E

E V V e v v

Π.χ. V={Θανάσης, Ορέστης, Χριστίνα, ...}, Ε={ΘανΟρε, ΘανΧρι, ΟρεΧρι,...}

Με γράφους μπορούμε να μοντελοποιήσουμε:•Ηλ. Κυκλώματα•Το Facebook•Το Internet / Web•Το …

Facebook by Touchgraph

Αλυσίδες Markov

Ενας τυχαίος περίπατος πάνω σε γράφο

1

0

( , )

για 0,1,2,...

Πίνακας μετάβασης: Pr

Αρχικές πιθανότητες: Pr

t

mn t m t n

m m

G V E

X V t

P X v X v

X v

Μαρκοβιανή ιδιότητα: το παρελθόν δεν μετράει:

1 1 11 1 1Pr ,..., Pr

t t t tm t m t m t m t mX v X v X v X v X v

Τυχαίος Περίπατος στο Facebook (Touchgraph)

0 1 2

0 0 1 1

0 0 1 1 2 1

1

0

0 1 2

0 0 1 1

Πίνακας μετάβασης: Pr

Αρχικές πιθανότητες: Pr

Pr( , , ,..., )

Pr Pr ...Pr

...

T

T t

T T

mn t m t n

m m

m m m T m

m m m T m T m

m m m m m m m

P X v X v

X v

X v X v X v X v

X v X v X v X v X v

P P P

1 11

Pr( ) Pr( ) Pr( )N

t m t n t n t mn

X v X v X v X v

1 2

( ) Pr( )

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( 1)

( )

m t m

N

t

p t X v

t p t p t p t

t t

t

p

p p P

p πP

Παράδειγμα 1

1 0 0 0 0

1/ 2 0 1/ 2 0 0

0 1/ 2 0 1/ 2 0

0 0 1/ 2 0 1/ 2

0 0 0 0 1

P

Παράδειγμα 2

0 1 0 0 0 0

1 / 2 0 1 / 2 0 0 0

0 1 / 2 0 1 / 2 0 0

0 0 1 / 2 0 1 / 2 0

0 0 0 1 / 2 0 1 / 2

0 0 0 0 1 0

P

0 1 2 3 4 5

Παράδειγμα 3

1 0 0 0

0 1 0 0

1 / 4 1 / 4 0 1 / 2

1 / 5 2 / 5 2 / 5 0

P

Παράδειγμα 4

0 0 1 / 2 1 / 2

0 0 1 / 3 2 / 3

1 / 4 1 / 4 0 1 / 2

1 / 5 2 / 5 2 / 5 0

P

Παράδειγμα 5

0 1

1 0

P

Παράδειγμα 6

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 / 2 0 1 / 2 0

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

P

0 1 3 42

( ) ( 1)

lim ( )

lim ( ) lim ( 1)

είναι η πιθανότητα ισορροπίας

lim

t

t t

tt

t t

t

t t

p p P

p p

p p P p pP

p

P P

Ασυμπτωτική Συμπεριφορά

Θεώρημα: Αν υπάρχει s > 0 τέτοιο ώστε Ps > 0, τότε υπάρχουν pn (n=1,2,…,N) τέτοια ώστε για m, n = 1, …, N:

limt∞[Pt]mn= pn

Ερώτημα: Ποιος είναι ο βασικός Facebooker?

1η Απάντηση: Αυτός που έχει περισσότερη πιθανότητα

(αυτός που έχει μέγιστη πιθανότητα ισορροπίας)

Matlab Code

Παράδειγμα 7

Facebook

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

Ερώτημα: Ποιος είναι ο βασικός Facebooker?

2η Απάντηση: Αυτός που είναι το κέντρο του γράφου

???

Ευκλείδεια Γεωμετρία:Το κέντρο ενός κύκλου?

Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου?

Το κέντρο ενός τυχόντος σχήματος?

Κέντρο – Ορισμός 1:

Δίνεται σχήμα S (ένα σύνολο σημείων) Το κέντρο του S είναι το σημείο M το οποίο ελαχιστοποιεί την ποσότητα

max ( , )N S d M N

max ( , ) min max ( , )N S M S N Sd M N d M N

δηλαδή

Κέντρο – Ορισμός 2 (Βαρύκεντρο):

Δίνεται σχήμα S (ένα σύνολο σημείων) Το κέντρο του S είναι το σημείο M το οποίο ελαχιστοποιεί την ποσότητα

2 ( , )N S

d M N

2 2( , ) min ( , )N S M S N S

d M N d M N

δηλαδή

Γεωμετρία των Γράφων:

Η απόσταση δύο κόμβων u,v ενός γράφου είναι το μήκος του μικρότερου μονοπατιού από το u,v

1 2

1

Μονοπάτι μεταξύ , : ...

όπου: , ,

Μήκος του μονοπατιού: 1

K

K m n

u v V w w w

w u w v w w

K

u

v

d(u,v)=3

1 2

1 1 2

Ευθύγραμμο τμήμα από το στο : ...

όπου: , , το ... είναι μονοπάτι ελαχίστου μήκους

Μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα ευθ. τμήματα από το στο

K

K K

u v w w w

w u w v w w w

u v

u

v

Αρχικοποίηση:dist = …

for (k=1:n) for (i=1:n) for (j=1:n) through_k = dist(i,k)+dist(k,j); if (through_k < dist(i,j)) dist(i,j) = through_k;

end end

endend

Αλγόριθμος FloydΥπολογισμός των αποστάσεων σε ένα Γράφο:

Γεωμετρία των Γράφων:

Δίνεται γράφος G (V,E). Το κέντρο του G είναι ο κόμβος u ο οποίος ελαχιστοποιεί την ποσότητα

max ( , )v V d u v

max ( , ) min max ( , )v V u V v Vd u v d u v

δηλαδή

Παράδειγμα 1

1 2 3

6 5 4 8

7

9

Παράδειγμα 2

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

P

0 1 3 42

Παράδειγμα 3(Facebook)

ΕρώτησηΠοια είναι η σχέση των δύο λύσεων

του βασικού Facebooker?

, τότε N m N n P m P n

όπου N το σύνολο των φίλων του i i

Εκμεταλλευόμαστε τη συμμετρία.Οι 3 πρώτες εξισώσεις είναι γραμμικώς εξαρτημένες. Η τέταρτη λέει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 1

α

αα

α

α

αα

α

β

β β

4b

a

pp

3

4b

c

pp

33

cb a

pp p

9 3 1a b cp p p

Λύση:

1

24ap 1

6bp 1

8cp

Αλλά το γ είναι το κέντρο, είτε με min(max(dist)) είτε με min(sum(dist)). Άρα «κέντρο != μέγιστη πιθανότητα»

α

α

α

αα

α

αα

β

β

β

γ

Ερώτηση ? Το θεώρημα δεν απαντάει στη σχέση μεταξύ των 2

λύσεων

Αν , τότε -N m n N n m P m P n

όπου N το σύνολο των φίλων του i i

Six Degrees of Separation

Yet the world is small: 6˚

The planet is very large: 6.5b!

Six degrees of separation

Ο συντομότερος δρόμος για να συνδεθούν μεταξύ τους δύο τυχαίοι άνθρωποι στην γη αποτελείται το πολύ από 6 ακμές.

1 2 3 4 5Α Β

Έρευνα: Milgram(1967) 300 γράμματα από Δυτική Αμερική με τον ίδιο προορισμό που βρισκόταν στην Μασαχουσέτη.

Συμπεράσματα: Έφτασαν μόνο τα 64, με μέσω αριθμό ενδιάμεσων αλλαγών 5,5.

Έλλειψη αξιοπιστίας λόγω μικρού αριθμού δείγματος.

Έρευνα: Watts(2001) Αποστολή 28.000 e-mails σε 157 χώρες απ’ όλο τον κόσμο με τελικό στόχο 19 παραλήπτες.

Συμπεράσματα: Ο μέσος όρος των ενδιάμεσων αποστολών ίσος με 6.

Αξιόπιστο πείραμα, η θεωρία δείχνει να επαληθεύεται.

FACEBOOK

• 14.562 χρήστες (κόμβοι)• 601.735 ακμές• Διάμετρος 8

Συμπεράσματα:

• Για δύο τυχαίους χρήστες μέσος όρος της απόστασης 2,85. Το 0,69% των χρηστών αποτελούν αποκομμένα ζεύγη, για τα οποία δεν ισχύει η θεωρία.

Έρευνες σε social networks

MSN

• 240 εκατ. χρήστες (κόμβοι)• 30 δισ. συζητήσεις (ακμές) σε έναν μήνα • Υπολογισμός αποστάσεων χρηστών με τον

αλγόριθμο Floyd

Συμπεράσματα:

Για δύο τυχαίους χρήστες μέσος όρος της απόστασης 6,6. Ωστόσο για το 22% των χρηστών η θεωρία καταρρίπτεται.

Είναι τα αποτελέσματα αξιόπιστα..?

Όχι γιατί…

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0-14 15-24 25-49 50-64 65-79 80+

Ηλικίες

Πο

σο

στό

% τ

ου

πλη

θυσ

μο

ύ

Διάγραμμα κατανομής ΜΣΝ χρηστών / απόλυτες τιμές

Διάγραμμα κατανομής ΜΣΝ χρηστών / ανηγμένο κατά κεφαλή

Μαθηματική προσέγγιση:

kΟ μέσος αριθμός γνωστών

NΟ πληθυσμός της γης

Για να αποδειχθεί η θεωρία αρκεί να δείξουμε ότι:

k*k*k*k*k*k = N k6 = N

1 2 3 4 5Α Β

Αν L μέση απόσταση 2 κόμβων C συντελεστής ομαδοποίησης του τυχαίου κόμβου

ΤυχαίοΣυγκεκριμένο

Συγκεκριμένο

• L n / k• C = 3/6 = 1/2

Τυχαίο

• L lnn / lnk

• C ≈ k / n 0

Six clicks of separation

Παραδείγματα:

• Six degrees of Kevin Bacon• Six degrees of Wikipedia• Μαθηματικοί Γενικού τμήματος• WWW ???

Six degrees of Kevin Bacon

O Kevin Bacon έχει τον αριθμό 0.

• Ένας/Μια ηθοποιός (Α) που έχει εμφανιστεί μαζί του σε κάποια ταινία έχει τον αριθμό 1.

• Ένας/Μια ηθοποιός (Β) που έχει εμφανιστεί σε κάποια ταινία μαζί με τον Α έχει τον αριθμό 2.

• κλπ

http://oracleofbacon.org

Six degrees of Wikipedia

• Ξεκινάμε από ένα άρθρο με ένα συγκεκριμένο θέμα που έχει αριθμό 0.

• Χρησιμοποιούμε ένα από τα links που εμφανίζονται στο άρθρο για να πάμε σε ένα άλλο με αριθμό 1.

• Φαίνεται ότι μέσω το πολύ 6 “κλικ” μπορούμε να καταλήξουμε σε κάτι τελείως άσχετο.

http://www.netsoc.tcd.ie/~mu/wiki

Μαθηματικοί Γενικού Τμήματος

• Ο μαθηματικός από τον οποίο ξεκινάμε έχει τον αριθμό 0

• Ένας μαθηματικός που έγραψε ένα σύγγραμμα μαζί του έχει τον αριθμό 1

• Κλπ

http://www.ams.org/mathscinet/collaborationDistance.html

Λίγα λόγια για τoν συντελεστή ομαδοποίησης(C)

Όπου:

kiΟ αριθμός των ακμών που υπάρχουν μεταξύ των γειτόνων του i

niΟ αριθμός όλων των δυνατών ακμών μεταξύ των γειτόνων

ii

i

kC

n