Ειδικά θέματα Φυσικής - WordPress.com · 2020. 8. 6. · Υλικό...

Διονύσης Μάργαρης

Ειδικά θέματα

Φυσικής

Υλικό Φυσικής – Χημείας [email protected] 2

Ενέργεια

1) Τρεις Θαυμάσιες λύσεις !!!

1) Ένα σώμα 2kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από σημείο Α σε ύψος 8m από το έδαφος.

i) Να βρεθεί η ταχύτητά του τη στιγμή που φτάνει σε σημείο Β σε ύψος 3m.

ii) Να υπολογιστεί η δυναμική του ενέργεια στις θέσεις Α και Β, αν θεωρηθεί ότι U=0 στο

έδαφος.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

2) Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε σημείο Α σε οριζόντιο επίπεδο, στη θέση

x=8m. Σε μια στιγμή δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου

26Ν, οπότε αρχίζει να ολισθαίνει, ενώ ασκείται πάνω του και τριβή μέ-

τρου 6Ν, όπως στο σχήμα.

i) Να βρεθεί η ταχύτητά του τη στιγμή που φτάνει σε σημείο Β στη θέση xΒ=3m.

ii) Να υπολογιστεί η δυναμική του ενέργεια στις θέσεις Α και Β, αν U=0 στη θέση x=0.

3) Ένα σώμα μάζας 2kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση πε-

ριοδικής εξωτερικής δύναμης F=F0ημ20πt και με πλάτος 0,2m, ενώ δέχεται

δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-2υ (S.Ι.). Σε μια στιγμή βρίσκεται σε ση-

μείο Α στη θέση x=-0,2m.

i) Να βρεθεί η ταχύτητά του τη στιγμή που φτάνει σε σημείο Β στη θέση

xΒ=0,1m.

ii) Να υπολογιστεί η δυναμική του ενέργεια στις θέσεις Α και Β.

2) Ενέργεια ταλάντωσης vs Μηχανικής Ενέργειας

Μια πλάκα Β εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση στο πάνω άκρο ενός

ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m με πλάτος Α1=0,2m.

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Πόση είναι η μηχανική ενέργεια του συστήματος πλάκα-ελατήριο; Θεωρείστε το

οριζόντιο επίπεδο που περνά από τη θέση ισορροπίας, ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέρ-

γειας.

B

w�

υ�

υ�

B

T�

F�

υ�

B

F�

F�

F�

k

Ειδικά Θέματα Διονύσης Μάργαρης


iii) Τη στιγμή που η πλάκα φτάνει στην κάτω ακραία θέση της, τοποθετείται πάνω της (χωρίς ταχύτητα) ένα

σώμα Γ μάζας 2kg. Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος πλάκα-σώμα Γ.

3) Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.

Έστω ότι σε ένα ελαστικό μέσο, μια χορδή, έχει δημιουργηθεί

ένα στάσιμο κύμα με εξίσωση:

t2

λ

xσυν2πA2y

Όπως αυτό που μελετά το σχολικό βιβλίο.

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής θα έχει κινητική ενέργεια, εξαιτίας της ταχύτητας ταλάντωσης και μια

δυναμική ενέργεια, εξαιτίας της παραμόρφωσης που υπόκειται.

Με βάση την αντίστοιχη μελέτη πάνω σε ένα τρέχον κύμα, που έγινε στην ανάρ-

τηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα», για τις ενέργειες αυτές θα

έχουμε:

Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής μήκους dx και μάζας m1=dm=μdx έχει κινητική ενέργεια:

22

1

2

11

t2

x2

22dx

2

1

dt

dym

2

1um

2

1d

→

t

2x

22dx

dK 2222 (1)

Όπου dx

dKη πυκνότητα της κινητικής ενέργειας κατά μήκος της χορδής (η κινητική ενέργεια ανά μονάδα

μήκους)….

4) Η ενέργεια ενός παλμού.

Στην προηγούμενη ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.» ασχοληθήκαμε με το τι συμ-

βαίνει με την ενέργεια κατά την διάδοση ενός αρμονικού κύματος σε μια χορδή.

Ας δούμε τώρα τι διαφορετικό έχουμε, αν κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής, η οποία τείνεται με δύναμη F,

διαδίδεται ένας τριγωνικό παλμός με ταχύτητα μ

F .

Για ευκολία στις πράξεις, έστω ότι ο παλμός είναι αυτός του διπλανού σχήματος, ο οποίος διαδίδεται προς τα

δεξιά με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ η γραμμική πυκνότητα της χορδής είναι ίση με μ=0,05kg/m, πράγμα που

y

)m(x0,0 11

1,0 )m(

y

x

2

dx

dsF

F

dy



σημαίνει ότι η τάση της χορδής είναι F=μυ2=0,2Ν.

Για να μελετήσουμε την διάδοσή του, παίρνουμε ως αρχή του άξονα το σημείο Ο, όπου βρίσκεται η κορυφή

του παλμού, τη στιγμή t=0…..

5) Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής,

διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:

x

Τ

tημ2πAy .

Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του

κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση μ

F .

Εστιάζουμε την προσοχή μας σε μια μάζα ενός στοιχειώδους τμήματος μήκους dx,

στη θέση x, για την οποία μπορούμε να γράψουμε dm=μ∙dx=m1. Στο σχήμα μας

αυτή η μάζα m1 είναι η μάζα του τμήματος μήκους ds, με μαύρο χρώμα.

Η κινητική ενέργεια του στοιχειώδους αυτού τμήματος είναι:

2

1

2

1

2

11

xt2m

2

1

dt

dym

2

1um

2

1

→

xt

2m2

1 222

11 (1)

6) Μια διδασκαλία μας με χρήση ΑΔΜΕ.

Ένα σώμα μάζας 2kg ανέρχεται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως θ=30°, με την επίδραση δύναμης

F παράλληλης προς το επίπεδο. Σε μια στιγμή περνά από ένα σημείο Α, στο οποίο θεωρούμε ότι βρίσκεται η

αρχή του άξονα x (x=0), έχοντας ταχύτητα υο=10m/s. Η τριβή που δέχεται έχει μέτρο 10Ν, ενώ το μέτρο της

ασκούμενης δύναμης F μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη θέση x, όπως στο διπλανό διάγραμμα.

F�

x

A

x(m)

o�

8

F12

0,0 6,4

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που φτάνει σε σημείο Β το οποίο απέχει 6,4m από

το σημείο Α.

7) Ενέργεια. Μερικές όψεις της διδασκαλίας μας.

Διαβάζοντας τα παραπάνω σχόλια, βλέπω να μην υπάρχει καμιά σοβαρή διαφωνία, ότι κατά τη διδασκαλία

x

y

dx

ds

dx

dsF

F

dy



μας στη δευτεροβάθμια, χωρίς να απεμπολούμε τις γενικεύσεις και τα μοντέλα της θεωρητικής φυσικής, εμείς

διδάσκουμε φυσική και όχι θεωρητική φυσική.

Οπότε λέω να μιλήσουμε λίγο για το τι συμβαίνει με την ενέργεια, τα έργα, τι διδάσκουμε και πόσο αυτά που

διδάσκουμε είναι σωστά ή αν κάνουμε και εκπτώσεις και ποιες είναι αυτές.

Το θέμα, από θεωρητική σκοπιά μας έχει απασχολήσει πάρα πολλές φορές, με μια τελευταία γενική μελέτη

σε μια πρόσφατη προσωπική μου ανάρτηση εδώ. Αλλά για κάποιον που θα ήθελε να διαβάσει και άλλες α-

ναρτήσεις με άλλες παρόμοιες αναρτήσεις- συζητήσεις, θα μπορούσε να τις βρει (τις κυριότερες) με κλικ εδώ.

Πριν λίγες μέρες άλλωστε, έδωσα ξανά ένα κείμενο με τίτλο: Δυναμική-Μηχανική-Ενέργεια Ταλάντωσης.

Οπότε τι νέο να έχει να πει κάποιος; Νομίζω ότι αφήνοντας τις γενικές θεωρήσεις στην άκρη, έχουμε υποχρέ-

ωση να τοποθετηθούμε σε μερικές ειδικές περιπτώσεις, πάνω στις οποίες διατυπώθηκαν έντονες αμφισβητή-

σεις το τελευταίο χρονικό διάστημα και αφορούν άμεσα τη διδασκαλία μας.

Διδάσκοντας το έργο μιας δύναμης, νομίζω ότι είναι σημαντικό να μπορέσουμε να περάσουμε στους μαθητές

μας, ότι αυτό το μέγεθος μετράει την ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα, μέσω ενός μηχανισμού.

Έτσι ας έρθουμε στην περίπτωση του παρακάτω σχήματος, που το σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F και το μετατοπίζουμε κατά x. Υπολογί-

ζουμε το έργο της:

8) Μηχανική ενέργεια και ενέργεια Ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 3kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου στα-

θεράς k1= k=100Ν/m, όπως στο σχήμα, ευρισκόμενο σε ύψος h=0,7m από το

έδαφος. Ασκώντας πάνω του μια εξωτερική δύναμη F1, το μετακινούμε κατακό-

ρυφα ανεβάζοντάς το κατά d=0,3m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, εκτελώντας

ΑΑΤ. Θεωρείστε ότι το σώμα, αμελητέων διαστάσεων, έχει μηδενική δυναμική

ενέργεια όταν βρίσκεται στο έδαφος και g=10m/s2.

i) Να υπολογίσετε την αρχική μηχανική ενέργεια του συστήματος σώμα -

Γη-ελατήριο καθώς και το έργο της εξωτερικής δύναμης F1 για την ε-

κτροπή του σώματος. Πόση είναι τελικά η μηχανική ενέργεια του συστήματος και πόση η ενέργεια

ταλάντωσης;

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τοποθετούμε κάτω από το σώμα ένα δεύτερο κατακόρυφο

ελατήριο, σταθεράς k2=k και φυσικού μήκους ℓ0=0,9m, με τον άξονά του να ταυτίζεται με τον άξονα

του πάνω ελατηρίου και αφήνουμε το σώμα να κινηθεί. Να αποδείξτε ότι μόλις το σώμα έρθει σε επαφή

με το κάτω ελατήριο, θα ξεκινήσει μια νέα ταλάντωση, η οποία είναι επίσης ΑΑΤ, υπολογίζοντας την

F→

F→

x

→υυ=0

h

k0ℓ

Θ.Ι.

d



ενέργεια ταλάντωσής της.

iii) Να υπολογίστε τη μηχανική ενέργεια του συστήματος σώμα-Γη-ελατήριο στη διάρκεια της δεύτερης

ταλάντωσης.

9) Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.

Αν ένα σώμα κινείται σε ένα πεδίο δυνάμεων, τότε δεν έχω κανένα περιορισμό και σύμφωνα με την θεωρητική

μηχανική, πράγματι μπορώ να ορίσω αυθαίρετα το σημείο στο οποίο θα πάρω μηδενική τη δυναμική ενέργεια.

Έτσι αν πάρουμε το παράδειγμα του βαρυτικού πεδίου, όπου στο σημείο Α αφήνεται

ένα σώμα και όπου ορίζουμε ότι U=0. Την τιμή U=0 την δώσαμε αυθαίρετα προφα-

νώς. Το σώμα θα κινηθεί και θα έχουμε εμφάνιση κινητικής ενέργειας, πράγμα που

σημαίνει απλά ότι θα μεταβεί σε μια νέα θέση με αρνητική τιμή δυναμικής ενέργειας.

Θα υπάρξει δηλαδή μείωση της δυναμικής ενέργειας. Δεν μου δημιουργεί κανένα πρόβλημα στην φυσική μου

ερμηνεία η ενεργειακή αντιμετώπιση του προβλήματος. Άλλωστε γνωρίζω ότι αυτό που έχει φυσική αξία είναι

η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας και όχι η ίδια η τιμή της.

Αλλά, ας πάρω ένα σημείο Α, όπου η δυναμική ενέργεια είναι διάφορη του μηδενός και η

δύναμη μηδενική. Αφήνουμε το σώμα στη θέση αυτή και δεν κινείται.

Εδώ για μένα δημιουργείται πρόβλημα στη φυσική μου διαίσθηση και λογική. Τι σημαίνει το σώμα έχει

δυναμική ενέργεια; Βέβαια θα μπορούσε να αντιταχθεί ένα παράδειγμα ενός γραμμικού μέσου, που το δυνα-

μικό σε συνάρτηση με το x να δίνεται από μια από τις δύο παρακάτω γραφικές παραστάσεις.

Οπότε μάλλον οδηγούμε σε δυο καταστάσεις ισορροπίας, με μηδενική δύναμη και οποιαδήποτε τιμή δυναμι-

κής ενέργειας. Και αυτό από θεωρητικής άποψης «πατάει καλά». Από εδώ αντλούμε και το δικαίωμα να ορί-

ζουμε αυθαίρετα την τιμή του δυναμικού (και της δυναμικής ενέργειας)….

10) Δυναμική-Μηχανική-Ενέργεια Ταλάντωσης.

Κάνω μια προσπάθεια κωδικοποίησης της άποψης, που από την αρχή είχα εκφράσει ότι, δεν πρέπει να συγ-

χέουμε τη μηχανική ενέργεια με την ενέργεια ταλάντωσης.

1) Δυναμική ενέργεια.

Αν μια δύναμη είναι συντηρητική, το έργο της είναι ανεξάρτητο της διαδρομής και εξαρτάται μόνο από την

αρχική και τελική θέση. Αλλά αυτό μας επιτρέπει να ορίσουμε μια ποσότητα, που ονομάζουμε δυναμική ε-

νέργεια σε κάθε θέση, έτσι ώστε να ισχύει:

WΑ→Β= UΑ-UΒ.

Ο παραπάνω ορισμός, δεν μας λέει πού η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική και πόση πραγματικά είναι αυτή

η ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια παίρνει μια αυθαίρετη τιμή, αφού αυτό που μας ενδιαφέρει δεν είναι η τιμή

Α F→

=0

U=10J



της, αλλά η μεταβολή της.

Παράδειγμα. Όταν βρίσκομαι στην Τρίπολη και πρόκειται να ανέβω στον Πάρνωνα κατά 500m, αυτό που με

ενδιαφέρει είναι αυτή η υψομετρική διαφορά και η βενζίνη που θα χρειαστώ για την ανάβαση και όχι πόσο

υψόμετρο έχει από την επιφάνεια της θάλασσας η Τρίπολη ή ο Μαλεβός!!! (Μαλεβός=Πάρνωνας)….

11) Ενέργειες και έργα τριβής.

Μια σανίδα μάζας Μ=4kg και μήκους ℓ=2m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Σε μια στιγμή εκτοξεύουμε πάνω της, από το ένα της άκρο, ένα σώμα Σ μάζας

m=1kg με αρχική ταχύτητα υ0=5m/s. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ

του σώματος Σ και της σανίδας είναι μ=0,8 και g=10m/s2.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα της σανίδας τη στιγμή που θα πάψει να ολισθαίνει πάνω της το σώμα Σ.

ii) Σε πόσο χρονικό διάστημα t1 θα συμβεί το παραπάνω;

iii) Να υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται σε κάθε σώμα στο χρονικό διάστημα t1.

iv) Να βρεθεί η αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος, καθώς και η αύξηση της εσωτερικής

ενέργειας της σανίδας.

12) Ενέργεια και Έργα.

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας για ένα σύστημα, σύμφωνα με τον John W. Jewett Jr., (τα πέντε κείμενα

που μετέφρασε και δημοσίευσε ο Σταύρος Πρωτογεράκης, μπορείτε να τα κατεβάσετε συμπιεσμένα από

εδώ), μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση:

ΔΕσυστ = ΣΤ

όπου με Τ παριστάνεται το ποσό της ενέργειας που μεταβιβάζεται ( από το transfer) διαμέσου των ορίων του

προσδιορισμένου συστήματος μέσω ενός δεδομένου μηχανισμού.

Η αναπτυγμένη μορφή της παραπάνω εξίσωσης έχει ως εξής:

ΔΚ + ΔU + ΔΕεσωτ = W + Q + TMT + TMW + TER + TET

Στο αριστερό μέλος της εξίσωσης φαίνονται τρεις τρόποι αποθήκευσης ενέργειας στο σύστημα: κινητική ε-

νέργεια Κ, δυναμική ενέργεια U και εσωτερική ενέργεια Εεσωτ. Η συνολική μεταβολή στην ενέργεια που είναι

αποθηκευμένη στο σύστημα μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τις τρεις επιμέρους μεταβολές γι’ αυτούς

τους τύπους αποθηκευμένης ενέργειας.

13) Συντηρητικές και μη δυνάμεις.

Ένα σώμα μάζας 2kg εκτοξεύεται από την βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου

κλίσεως θ=30° με αρχική κινητική ενέργεια Κ=36J. Το σώμα δέχεται τριβή

από το επίπεδο ίση με Τ=2Ν.

α) Ποια η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης;

β) Πόσο διάστημα διανύει το σώμα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία;

γ) Να υπολογίστε την κινητική ενέργεια με την οποία το σώμα επιστρέφει στη βάση του επιπέδου.



Δίνεται g=10m/s2 και ημθ= ½

14) To Θ.Μ.Κ.Ε., η Α.Δ.Μ.Ε και η Α.Δ.Ε. Πότε ισχύουν;

1) Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε) ή αλλιώς το

θεώρημα έργου-ενέργειας:

α) Εφαρμόζεται για ένα σώμα.

β) Ισχύει ΠΑΝΤΑ, ανεξάρτητα από το είδος των ασκουμένων δυνάμεων.

γ) Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε δύο περιπτώσεις:

i) Αν στα δεδομένα ή στα ζητούμενα εμπλέκεται ο χρόνος.

ii) Αν μελετάμε ένα σύστημα σωμάτων που αλληλεπιδρούν. Αυτό, στην περίπτωση που δεν

μπορούμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αλληλεπίδρασης για το ένα σώμα.

Παράδειγμα 1°:

Ένα σώμα Σ μάζας 4kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, δεμένο στο κάτω άκρο ενός ελα-

τηρίου σταθεράς k=200Ν/m. Σε μια στιγμή ένα δεύτερο σώμα που κινείται προς τα πάνω, συγκρούεται ελα-

στικά με το σώμα Σ. Αν το σώμα Σ μετακινηθεί κατά 0,2m πριν σταματήσει στιγμιαία, ποια η ταχύτητα του

σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση;

Δίνεται g=10m/s2….

15) Ενέργεια του απλού εκκρεμούς.

Ένα απλό εκκρεμές εκτρέπεται κατά μικρή γωνία θ και αφήνοντάς το εκτελεί (κατά

προσέγγιση) α.α.τ. πλάτους Α.

i) Πόση είναι η ενέργεια που προσφέραμε για την εκτροπή; Τι έχει απογίνει η

ενέργεια αυτή πριν αφεθεί να κινηθεί;

ii) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης;

16) Όταν ισχύει η αρχή της επαλληλίας, παραβιάζεται η αρχή διατήρησης

της ενέργειας;

Ένα σώμα μάζας 2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο κινήσεις στις διευθύνσεις x και y, με ταχύτητες μέτρων υx=4m/s

και υy=4m/s. Να βρεθεί η κινητική του ενέργεια για τις δύο περιπτώσεις που εμφανίζονται στα παρακάτω

σχήματα, όπου στο πρώτο οι διευθύνσεις είναι κάθετες, ενώ στο δεύτερο θ=60°.



Να συγκρίνετε την ενέργεια αυτή με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών εξαιτίας των δύο επιμέρους κινή-

σεων.



Μηχανική στερεού

1) Από την ευθύγραμμη τροχιά στην τεθλασμένη

Και από εκεί ξανά στο τεταρτοκύκλιο!!!

Στο σχήμα ένας δίσκος ακτίνας r κυλίεται σε ευθύγραμμο οριζόντιο δρόμο, διανύοντας απόσταση L=14πr.

L=14πr

Πόσες περιστροφές κάνει;

Ο παραπάνω δρόμος «σπάει» σε δύο άλλους ευθύγραμμους που σχη-

ματίζουν ορθή γωνία, με μήκη L1+L2=L=14πr, όπου το τμήμα ΑΒ είναι

κατακόρυφο και το ΒΓ οριζόντιο. Ένας δίσκος ξεκινά από το άκρο Α

και φτάνει στο άκρο Γ, ενώ σε όλη τη διάρκεια της κίνησής του κυλίε-

ται (προφανώς η μετακίνηση αυτή γίνεται προγραμματισμένα, περι-

στρέφοντας εμείς το δίσκο και όχι αφήνοντάς τον ελεύθερο να κινη-

θεί…).

Ο δίσκος θα πραγματοποιήσει 7 περιστροφές ή όχι και γιατί;

2) Μήπως ήρθε η ώρα να συμφωνήσουμε;

Κάθε σύνθετη κίνηση στερεού (κίνηση που δεν μπορεί να μελετηθεί ως μεταφορική ή ως στροφική), έχουμε

το δικαίωμα να την θεωρήσουμε ότι αποτελείται από επιμέρους απλές κινήσεις.

Σε προηγούμενες ενασχολήσεις με το θέμα, τόσο στην ανάρτηση «και όμως ισχύει», όσο και στην «Μια

σύνθετη κίνηση και οι επιμέρους κινήσεις…» η σύνθετη κίνηση μελετήθηκε ως επαλληλία δύο στροφικών

κινήσεων με γωνιακές ταχύτητες ω1 και ω2, η σύνθεση των οποίων οδηγεί στην μία και μοναδική γωνιακή

ταχύτητα περιστροφής του δίσκου.

Σήμερα θα ακολουθήσουμε διαφορετική οδό. Πιο «λυκειακή», πιο κοντά σε αυτό που διδάσκουμε στα σχο-

λεία. Η σύνθετη κίνηση θα μελετηθεί αυστηρά ως επαλληλία μιας μεταφορικής και μιας στροφικής γύρω από

νοητό άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας του δίσκου.

Αλλά ας τονισθεί από την αρχή ότι, δεν θα παίξουμε με το τι βλέπει ο ένας ή ο άλλος παρατηρητής, αλλά τι

L1

L2

A

ΒΓ



βλέπει και πώς μελετά την κίνηση ο ακίνητος αδρανειακός παρατηρητής.

Ας ξεκινήσουμε από τα …γνωστά:

Παράδειγμα 1ο :

Ένας ομογενής δίσκος ακτίνας r=0,5m κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύ-

τητα κέντρου Κ, υcm=2m/s.

i) Ποια η γωνιακή του ταχύτητα.

ii) Κατά ποια γωνία στρέφεται σε χρόνο t1=(π/4)s η ακτίνα ΚΑ, που έχει ση-

μειωθεί στο σχήμα;

ii) Πώς συνδέεται η απόσταση που διανύει στο παραπάνω χρονικό διά-

στημα το κέντρο (εδώ και κέντρο μάζας) Κ, με τον αριθμό των περιστροφών του δίσκου;

3) Ανελαστική ή πλαστική κρούση δύο ράβδων

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο όμοιες οριζόντιες ομο-

γενείς ράβδοι μήκους l=4m και μάζας m=3kg η καθεμιά. Σε μια

στιγμή εκτοξεύουμε την ράβδο ΑΒ με αρχική ταχύτητα υ0=4m/s

κάθετη προς την ράβδο ΓΔ, όπως στο σχήμα, οπότε τη στιγμή

της κρούσης οι ράβδοι είναι κάθετες, ενώ συγκρούονται τα άκρα

τους Β και Δ.

i) Αν η ταχύτητα της πρώτης ράβδου ΑΒ μετά την κρούση

έχει μέτρο υ1=2,5m/s, με φορά προς τα δεξιά, η κρούση με-

ταξύ των δύο ράβδων είναι:

α) Ελαστική, β) Ανελαστική, γ) Πλαστική.

ii) Ποια θα ήταν η αντίστοιχη απάντησή σας αν η ταχύτητα της πρώτης ράβδου μετά την κρούση είχε μέτρο

υ11=3,2m/s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της 2

cm

1ml

12 .

4) Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων

Ας ξεκινήσουμε από το «εντός ύλης» θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (θεώρημα Steiner).

Έστω ένα επίπεδο στερεό, τυχαίου σχήματος και Κ το κέντρο μάζας

του. Έστω επίσης ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y,z, με αρχή

το σημείο Ο, όπου μας ενδιαφέρει η ροπή αδράνειας του στερεού ως

προς τον άξονα y. Χωρίζουμε το στερεό σε στοιχειώδεις μάζες mi

και έστω μια από αυτές στο σχήμα με διάνυσμα θέσης ir�

όπου, με

βάση το σχήμα ισχύει:

Κ cm�

Α

y

xz

mi

Κ

y΄

cmr�

i ,cmr�

ir�

O

A Β

Γ

Δ

0�



i cm i ,cmr r r � � �

Έτσι η ροπή αδράνειας του στερεού μας ως προς τον άξονα y είναι ίση:

22 2 2

y i i i cm i ,cm i cm i ,cm cm i ,cm

2 2

y i cm i i ,cm cm i i ,cm

m r m r r m r r 2r r

m r m r 2r m r

� � � �

� �

Αλλά από την σχέση εύρεσης του κέντρου μάζας του στερεού, με βάση τις θέσεις i ,cmr�

των στοιχειωδών

μαζών ισχύει:…

5) Η σύνθετη κίνηση ενός τροχού.

Σε ένα οριζόντιο επίπεδο κινείται ο τροχός του σχήματος ακτίνας R=0,5m. Αν το α-

νώτερο (Α) και το κατώτερο σημείο του τροχού (Β), έχουν ταχύτητες μέτρων υΑ=3m/s

και υΒ=1m/s αντίστοιχα, να υπολογιστούν:

i) Η ταχύτητα του κέντρου Κ του τροχού.

ii) Η ταχύτητα του σημείου Γ, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του.

iii) Η κεντρομόλος επιτάχυνση των σημείων Γ και Α, η οφειλόμενη στην περιστροφική κίνηση του τροχού

γύρω από τον άξονά του.

6) Κύριος ή πρωτεύων άξονας στερεού.

Ο ομογενής, πολύ λεπτός, δίσκος του σχήματος, μπορεί

να στρέφεται σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω

από σταθερό (πραγματικό άξονα) z, ο οποίος περνά από

το κέντρο του Κ όπως στο σχήμα, με γωνιακή ταχύτητα

��⃗ .

Τότε ο δίσκος έχει στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας

Κ, με μέτρο Lz=Ιcm∙ω και με διεύθυνση του άξονα, ίδια

δηλαδή με τη διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ��⃗ .

Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε:

��⃗ � = ��⃗ (1)

7) Πώς εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης Στροφορμής (ΑΔΣ)

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται μια ομογενής ράβδος μάζας Μ=3kg

και μήκους l=2m με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0=1rαd/s, όπως στο σχήμα

(κάτοψη). Μια σφαίρα μάζας m=Μ=3kg κινείται στο ίδιο επίπεδο με ταχύτητα

υ0 =4m/s και συγκρούεται πλαστικά στο άκρο Α της ράβδου, τη στιγμή που η

σφαίρα έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο.

B

K

AA�

B�

x

y

z

Κ

ω

Lz



Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s που προκύπτει, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, αμέσως

μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, Ιο= (1/12)Μl2.

8) Γιατί το «να κόβεις δρόμο» είναι καλό…

Αρκεί να μην χαθεί το μονοπάτι…

Μια ράβδος ΑΒ κινείται οριζόντια σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή το άκρο

Α, έχει ταχύτητα μέτρου υ1=1m/s, όπως στο σχήμα. Την ίδια στιγμή το σημείο Β,

το οποίο απέχει από το Α κατά (ΑΒ)=1m, έχει ταχύτητα υ2 η οποία σχηματίζει γωνία

45ο με τον άξονα της ράβδου.

Να βρεθεί η ταχύτητα, τη στιγμή αυτή, του σημείου Γ, αν (ΑΓ)=3m;

9) Γιατί το «να κόβεις δρόμο» είναι καλό και για επιταχύνσεις…

Μια ράβδος ΑΒ κινείται οριζόντια σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή το ά-

κρο Α, έχει ταχύτητα μέτρου υ1=1m/s, όπως στο σχήμα. Την ίδια στιγμή το σημείο

Β, το οποίο απέχει από το Α κατά (ΑΒ)=1m, έχει ταχύτητα υ2 η οποία σχηματίζει

γωνία 45ο με τον άξονα της ράβδου.

Να βρεθεί η ταχύτητα, τη στιγμή αυτή, του σημείου Γ, αν (ΑΓ)=3m;

10) Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα στερεό ΑΒ, το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω

από κατακόρυφο άξονα που περνά από το άκρο Α και το οποίο αποτελείται από δυο

ομογενείς ράβδους ΑΟ και ΟΒ με ίδιο μήκος l και μάζας m και Μ. Κάποια στιγμή

ασκούμε στο άκρο Β μια οριζόντια δύναμη F στο άκρο Β, κάθετη στη ράβδο.

Αμέσως μετά η ράβδος ΑΟ:

α) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ ίδιας φοράς με την F.

β) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ αντίθετης φοράς από την F.

γ) Εξαρτάται.

Ποια είναι η φορά της ροπής ζεύγους η οποία ασκείται στη ράβδο ΑΟ, λόγω αλληλεπίδρασης με την ΟΒ;

11) Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;

Πώς στρέφεται μια τροχαλία με τη βοήθεια ενός νήματος;

Είναι η τάση του νήματος, η ροπή της οποίας, προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας;

Παίζουν κάποιο ρόλο οι τριβές μεταξύ νήματος και τροχαλίας και αν ναι, ποιον;

Ας κάνουμε μια διερεύνηση της κατάστασης που επικρατεί, μέσω ενός παραδείγματος.

Δίνεται η διάταξη του διπλανού σχήματος, όπου στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού

A B

1�

2�

F�

A B

1�

2�



νήματος, έχουμε δέσει δυο σώματα Α και Β με μάζες m1=2kg και m2=1kg. Το νήμα περνά από τροχαλία μάζας

Μ=4kg και ακτίνας R=20cm. Το σύστημα ηρεμεί, αφού εμείς συγκρατούμε το σώμα Β στη θέση του. Αφή-

νουμε ελεύθερο το σώμα Β, το οποίο αρχίζει να ανέρχεται, χωρίς να γλιστρά το νήμα στο αυλάκι της τροχα-

λίας.

Να βρεθεί η ροπή που επιταχύνει την τροχαλία.

12) Πότε το νήμα δεν θα ολισθαίνει;

Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα που θέσαμε στην ανάρτηση: «Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;»

Δίνεται η διάταξη του διπλανού σχήματος, όπου στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού

νήματος, έχουμε δέσει δυο σώματα Α και Β με μάζες m1=2kg και m2=1kg. Το νήμα περνά

από τροχαλία μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=20cm. Το σύστημα ηρεμεί, αφού εμείς συγκρα-

τούμε το σώμα Β στη θέση του. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β, το οποίο αρχίζει να ανέρχε-

ται.

Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ νήματος και τροχαλίας,

ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση του νήματος.

Για την τροχαλία δίνεται Ι= ½ ΜR2.

13) Περί κύλισης σε κινούμενη επιφάνεια.

Έστω ένας τροχός ο οποίος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει και στο εξής αυτό δεν

θα επαναλαμβάνεται, αφού το θεωρώ πλεονασμό. Ή κυλίεται ο τροχός ή όχι.

Και τα δύο δεν μπορεί να ισχύουν) με ταχύτητα κέντρου μάζας υcm. Στην πορεία

του συναντά μια μικρή περιοχή όπου έχει χυθεί λίγο κόκκινο χρώμα σε μήκος

x=20cm, την οποία διασχίζει.

Μετά από λίγο σταματάμε τον τροχό θα διαπιστώσουμε ότι έχει βαφτεί κόκκινο

ένα μέρος της περιφέρειάς του. Μετράμε το μήκος του κόκκινου τόξου και το

βρίσκουμε Δs=20cm.

Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι ο τροχός καθώς περνούσε από την περιοχή με το χρώμα, κυλίεται.

Ας κάνουμε τώρα την μαθηματική επεξεργασία:

14) Μια ακόμη πιο …δύσκολη συνέχεια.

Ένα ορθογώνιο μήκους l (σώμα Σ), μάζας Μ=40kg κινείται σε λείο οριζό-

ντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή, αφήνουμε πάνω του, μια σφαίρα μάζας

m=20kg και ακτίνας R=0,2m, χωρίς να έχει αρχική ταχύτητα ούτε να πε-

ριστρέφεται. Μετά από λίγο, τη στιγμή t1, το σώμα Σ έχει ταχύτητα

υσ=4m/s, η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας είναι υcm=1m/s, ενώ το σημείο επα-

φής της Γ με το Σ, απέχει οριζόντια κατά (ΜΓ)= d=0,6m από το μέσον Μ του

ορθογωνίου (σχήμα α).

x

cm�

x

cm�

s

�

M

cm�

d

h



Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο της Ι= 2/5 mR2 και g=10m/s2,

ενώ ο συντελεστής τριβής μεταξύ σφαίρας και σανίδας είναι μ=0,5.

1) Αν το σώμα Σ είναι μια λεπτή σανίδα, να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στρο-

φορμής, τη παραπάνω στιγμή:

α) για το σύστημα, β) για τη σφαίρα, γ) για τη ράβδο.

i) Ως προς ένα ακίνητο σημείο Γ1, στη θέση που είναι και το σημείο Γ της σανίδας.

ii) Ως προς ακίνητο σημείο Μ1 στη θέση του μέσου Μ της σανίδας:

iii) Ως προς ακίνητο σημείο Ο1 στη θέση του κέντρου Ο της σφαίρας:

2) Αν το ορθογώνιο είναι κιβώτιο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (σχήμα β), ύψους h=0,6m να

απαντήσετε ξανά στα παραπάνω ερωτήματα.

15) Αλλαγή του άξονα περιστροφής.

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=3kg στρέφεται σε λείο

οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά

από το ένα της άκρο Α με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω1=4rad/s. Σε μια

στιγμή η ράβδος αποδεσμεύεται από τον άξονα περιστροφής της, ενώ ταυ-

τόχρονα προσδένεται σε δεύτερο κατακόρυφο άξονα Κ, ο οποίος απέχει

από το άκρο Β απόσταση (ΒΚ) = ¼ ℓ. Να υπολογιστούν:

i) Η ταχύτητα του μέσου Ο της ράβδου, πριν και μετά την πρόσδεσή της

στον 2ο άξονα περιστροφής της.

ii) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας που συνοδεύει την παραπάνω

πρόσδεση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ2/12.

16) Παίζοντας με το 2ο νόμο για την περιστροφική κίνηση.

Κάθε χρόνο επανέρχεται στο προσκήνιο το θέμα εφαρμογής του 2ου νόμου για την στροφική κίνηση και η

αποφυγή χρήσης του, σε περίπτωση λανθασμένης εφαρμογής.

Ας διερευνήσουμε τα όρια λοιπόν εφαρμογής του, μέσα από κάποια παραδείγματα εφαρμόζοντάς τον σε ένα

πρόβλημα, ως προς διαφορετικά σημεία.

Το πρόβλημα:

Ένας κύλινδρος ακτίνας R=20cm και μάζας 2kg, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την

επίδραση στον άξονά του οριζόντιας δύναμης F=16Ν, ενώ η ασκούμενη τριβή ολίσθη-

σης έχει μέτρο Τ= ¼ F= 4Ν. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου δίνεται από την εξίσωση

Ι= ½ mR2. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού.

17) Περισσότεροι κινηματικοί περιορισμοί.

1�

A

K

O

B

B

1�

2�O

κάτοψη

O

T�

F�

N�

w�



Αφήνουμε μια σκάλα ύψους 2m σε επαφή με λείο κατακόρυφο τοίχο και σε τέτοια θέση,

ώστε να σχηματίζει με το έδαφος γωνία θ, όπου ημθ=0,8. Η σκάλα αρχίζει να γλιστρά, αφού

και το έδαφος είναι επίσης λείο.

Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου Κ της σκάλας και η αρχική γωνιακή επιτάχυνση

της σκάλας, στην παραπάνω θέση.

Θεωρείστε τη σκάλα σαν μια ομογενή δοκό, για την οποία η ροπή αδράνειας, ως προς κάθετο

άξονα που περνά από το μέσον της, δίνεται από τη σχέση Ι= Μl2/12, ενώ g=10m/s2.

18) Δυο ράβδοι συγκρούονται ελαστικά.

Πάνω σε μια παγωμένη λίμνη ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα υΟ=υΑ=υ0=3,5m/s μια οριζόντια ομογενής ρά-

βδος ΑΒ μήκους ℓ=1m, όπου Ο το μέσον της. Μια δεύτερη όμοια ράβδος ΓΔ ηρεμεί όπως στο σχήμα, όπου η

διεύθυνση της ταχύτητας του σημείου Ο, είναι κάθετη στην ΓΔ, στο μέσον της Κ. Οι δυο ράβδοι συγκρούονται

ελαστικά.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα του άκρου Β της πρώτης ράβδου, πριν την κρούση.

ii) Να εξηγείστε γιατί μετά την κρούση καμιά ράβδος δεν θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση.

iii) Ποια ράβδος θα αποκτήσει μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα; Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

iv) Αν το μέσον Κ της ράβδου ΓΔ αποκτήσει, αμέσως μετά την κρούση, ταχύτητα μέτρου υ2=2m/s, να

υπολογίστε την τελική ταχύτητα του μέσου Ο και τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ΑΒ.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της 2

m12

1ℓ .

19) Η δύναμη και η επιπλέον ροπή ζεύγους.

Ας ξεκινήσουμε από κάτι απλούστερο και που θα μας βοηθήσει να κάνουμε τους σωστούς συλλογισμούς, για

την παραπέρα μελέτη μας.

Παράδειγμα:

Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΑΒ είναι κολλημένες στο κοινό τους

άκρο Α, έχοντας δημιουργήσει μια νέα ράβδο ΟΒ μήκους 2ℓ=2m και μάζας

Μ=2m=2kg, η οποία στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος

περνά από το άκρο της Ο. Σε μια στιγμή βρίσκεται σε οριζόντια θέση, όπως

στο σχήμα, έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Για την θέση αυτή:

i) Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.

K



ii) Να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η ράβδος ΟΑ στην

ράβδο ΑΒ.

iii) Να υπολογιστεί η ροπή που ασκεί η ράβδος ΟΑ στην ΑΒ (εκτός της δύναμης).

Για μια ομογενή ράβδο 2

12

1ℓmI cm , ενώ g=10m/s2.

20) Κρούση δύο ράβδων.

Δύο ομογενείς ελαστικές πρισματικές ράβδοι με αμελητέο πλάτος, η ΟΑ και η ΟΒ, με μάζες

M1=1Κg και M2=0,25kg αντίστοιχα. Το μήκος της ράβδου ΟΑ είναι L1= 1,2 m ενώ το μήκος

της ράβδου ΟΒ είναι L2=2,4m και οι δύο ράβδοι μπορούν (λόγω του αμελητέου πλάτους τους)

να στρέφονται χωρίς τριβές στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά

από το κοινό τους άκρο Ο και είναι κάθετος στη διεύθυνσή τους. Κρατάμε αρχικά την ράβδο

ΟΑ στην οριζόντια διεύθυνση και την αφήνουμε ελεύθερη. Η δεύτερη ράβδος ΟΒ ισορροπεί

κατακόρυφη όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα .

Nα βρεθούν:

A) H γωνιακή ταχύτητα της κάθε ράβδου αμέσως μετά την ελαστική κρούση των δύο ράβδων

Β) Να βρεθεί ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής του μέτρου της στροφορμής της κάθε ράβδου μετά την κρούση

Γ) Αν θα ξαναγίνει κρούση των δύο ράβδων.

Ιo=1/3ML2.

21) Σύγκρουση ράβδων και στροφορμές.

Δίνονται δύο ομογενείς ράβδοι της ίδιας μάζας και με μήκη ℓ και 2ℓ, οι οποίες μπορούν να

στρέφονται γύρω από οριζόντιους άξονες, που διέρχονται από το ένα άκρο τους και οι οποίες

ισορροπούν σε κατακόρυφη θέση, όπως στο σχήμα, όπου η απόσταση μεταξύ τους είναι 1mm.

Εκτρέπουμε την μικρή από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας

στην θέση ισορροπίας της έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω0=2rad/s και συγκρούεται ελα-

στικά με την δεύτερη. Εξαιτίας της μικρής μεταξύ τους απόστασης, το άκρο Α της πρώτης,

συγκρούεται με το άκρο Β της δεύτερης.

Να βρεθούν οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση. Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου,

ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι= 1/3 Μℓ2.

22) Πού ασκείται η δύναμη στήριξης;

Έστω μια ομογενής σανίδα η οποία ηρεμεί πάνω στο τραπέζι, Ποιες δυνάμεις ασκούνται πάνω του; Στο (α)

σχήμα έχει σχεδιαστεί το βάρος και η δύναμη στήριξης Ν. Επειδή η σανίδα ισορροπεί οι δύο δυνάμεις είναι

αντίθετες ασκούμενες στο κέντρο μάζας Μ της σανίδας.

Αν τώρα η ίδια σανίδα, ισορροπεί όπως στο σχήμα (β), όπου ένα μέρος της προεξέχει του τραπεζιού, η κατά-

σταση είναι απολύτως όμοια.



Και το ερώτημα είναι πώς συμβαίνει αυτό; Τι ακριβώς συμβαίνει με την κάθετη αντίδραση; Η δύναμη που

σχεδιάζουμε, δεν είναι τίποτα άλλο, από την συνισταμένη παραλλήλων δυνάμεων που ασκούνται στην επιφά-

νεια επαφής σε όλο το μήκος της σανίδας. Η σανίδα πιέζει το τραπέζι, στο (α) σχήμα ομοιόμορφα και στο (β)

ανομοιόμορφα, όπως φαίνεται στα σχήματα (α1) και (β1).

23) Μια σύνθετη κίνηση ράβδου.

Μια ομογενής ράβδος μάζας 0,4kg και μήκους l=2,4m ηρεμεί στην επιφάνεια μιας παγωμένης λί-

μνης. Σε μια στιγμή δέχεται στιγμιαίο λάκτισμα στο ένα της άκρο Α. Αν δίνεται η ροπή αδράνειας

της ράβδου Ι=1/12 Μℓ2:

i) Να βρεθεί ένα σημείο της ράβδου Ρ, το οποίο να έχει μηδενική ταχύτητα, αμέσως μετά το λά-

κτισμα.

ii) Αν ω=12rad/s να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια που απέκτησε η ράβδος.

24) Και τα στερεά συγκρούονται……

Εξετάζοντας την ελαστική κρούση υλικών σημείων, ουσιαστικά εξετάζουμε την κρούση μεταξύ δύο στερεών

σωμάτων, δύο μικρών σφαιρών, τα οποία εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τι συμβαίνει όμως στην περί-

πτωση που τα σώματα μπορούν και να περιστρέφονται; Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη

οι διαστάσεις των σωμάτων, αλλά και ο συγκεκριμένος τρόπος κρούσης ή για να το πούμε διαφορετικά η

Γεωμετρία τη στιγμή τα κρούσης.

Πριν όμως εξετάσουμε μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, αξίζει να τονιστεί ότι

όταν μιλάμε για ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων, ουσιαστικά δεχόμαστε ότι

δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής στη διάρκεια της κρούσης. Έτσι για παράδειγμα,

στην περίπτωση που εξετάζει το σχολικό μας βιβλίο, που μια μικρή σφαίρα συγκρού-

εται με τοίχο, όπως στο σχήμα, η δύναμη που δέχεται από τον τοίχο, είναι κάθετη σε

αυτόν, μεταβάλλοντας την συνιστώσα υx της ταχύτητας, αφήνοντας όμως ανεπηρέαστη την συνιστώσα υy,

την παράλληλη στην επιφάνεια επαφής.

Ας εξετάσουμε τώρα βήμα-βήμα μερικές περιπτώσεις ελαστικής κρούσης επίπεδων στερεών, τα οποία συ-

γκρούονται εκτός πεδίου βαρύτητας, ώστε να μην εμπλέκονται τα βάρη.

25) Κεντρική δύναμη και στροφορμή.

�

x�

x�

y�

y�

F�



Έστω ένα σώμα π.χ. ένας πλανήτης που κινείται με ταχύτητα υ, δεχόμε-

νος δύναμη F που κατευθύνεται προς ένα σταθερό σημείο Η (κεντρική

δύναμη). Δεν μας ενδιαφέρει πόσο είναι το μέτρο της, απλά να έχει κα-

τεύθυνση προς ένα κέντρο..

Έστω ότι σε μια στιγμή βρίσκεται στο σημείο Α και μετά από χρόνο dt

στη θέση Β.

Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Η παραμένει σταθερή, αφού η δύναμη F δεν έχει ροπή ως προς

το Η. Έτσι έχουμε:

Αλλά επειδή dt→0, η χορδή ΑΒ=dr μπορεί να ταυτισθεί με το αντίστοιχο τόξο που διαγράφει το σώμα και το

διάνυσμα dr είναι κάθετο στο διάνυσμα r αφού dθ→0 και η σχέση (1) δίνει:

r∙(dr/dt)∙ημ90° =σταθ. (2)

Όμως το γινόμενο r∙dr είναι ίσο με το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου ΗΑΒ, συνεπώς:

«Ο ρυθμός με τον οποίο η επιβατική ακτίνα ΗΑ διαγράφει εμβαδά είναι σταθερός»

26) Δυνάμεις σε δύο σημειακές μάζες από αβαρή ράβδο.

Δυο σημειακές σφαίρες Α και Β με μάζες mA = mB =M είναι κολλημένες

στα άκρα μιας άκαμπτης λεπτής και αβαρούς ράβδου μήκους ℓ=2d.

Το σύστημα, τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο λείο επίπεδο και ηρεμεί.

Την χρονική στιγμή t = 0 , μια οριζόντια δύναμη μέτρου F, ασκείται στην αριστερή σφαίρα Α κάθετα στη

ράβδο. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει σωστά τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος στις σφαίρες, αμέσως

μετά την άσκηση της δύναμης F;

27) Στροφορμή και «ιδιοστροφορμή».

Η γενική κίνηση ενός επίπεδου στερεού, μπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής κίνησης του

H

r�

rd�

A

F�

υ�



κέντρου μάζας και μια στροφική κίνηση γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας. Έτσι αν για

παράδειγμα, μια ράβδος στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από σταθερό άξονα, μπορώ να μην «βλέπω»

στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το Ο, αλλά να θεωρώ ότι η κίνηση είναι σύνθετη,

μια μεταφορική με υcm=υK και μια στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το Κ.

28) Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση;

Μια μεγάλη παρέα Φυσικών βρίσκεται σε τσιπουράδικο. Έχει αδειάσει ένα σημαντικό αριθμό μπουκάλια

τσίπουρο, θυμάται τα παλιά, κάνει χαβαλέ και περνάει καλά….

Αλλά επειδή τα κολλήματα δεν τους αφήνουν, μπαίνει και ένα θέμα Φυσικής για συζήτηση… Τι την θέλανε;;

Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου επαφής

Α του τροχού με το έδαφος;

Ο Γ. λέει: Η ταχύτητα του σημείου Α είναι μηδενική, αφού εκτελεί σύνθετη κίνηση με αποτέλεσμα να έχει

μια ταχύτητα προς τα δεξιά υ, ίση με την ταχύτητα του κ.μ. και μια γραμμική υ1 =ωR προς τα αριστερά, Και

αφού ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει η συνολική ταχύτητα είναι μηδέν αφού για τα μέτρα τους ισχύει

υ=υ1.

Συνεπώς η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α είναι ακ=υ^2/R=0.

O Π. λέει: Όχι εγώ είμαι πάνω στο αυτοκίνητο και δεν θέλω να κατέβω…. Βλέπω τον τροχό να στρέφεται

μόνο και άρα το σημείο Α έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ακ=υ^2/R όπου υ η γραμμική ταχύτητα του σημείου

Α που έχει το ίδιο μέτρο με την ταχύτητα του αυτοκινήτου..

29) Μια σύνθετη κίνηση και οι επιμέρους κινήσεις…

Η ανάρτηση αυτή απευθύνεται αποκλειστικά σε συναδέλφους

και όχι σε μαθητές. Είναι ένα ειδικό και δύσκολο θέμα και καλό

είναι να μην ασχοληθούν οι υποψήφιοι…

Το θέμα μας είναι η σύνθετη κίνηση που εκτελεί μια σφαίρα, όταν

κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ένα κατακόρυφο κυκλικό οδηγό.

Τι συμβαίνει με την στροφική του κίνηση, γύρω από τον άξονα περι-

στροφής του και τι για την στροφική κίνηση γύρω από το κέντρο Κ

του κυκλικού οδηγού; Πώς εφαρμόζουμε τον 2° Νόμο του Νεύτωνα



για τις επιμέρους κινήσεις; Πώς υπολογίζονται η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής;

Καλό είναι πριν την μελέτη αυτή, να έχει προηγηθεί η μελέτη της ανάρτησης «και όμως ισχύει» στην οποία

αποδεικνύεται ότι η γνωστή εξίσωση υcm=ω· r ισχύει για την παραπάνω κύλιση.

30) Και όμως ισχύει…

Μια σφαίρα ακτίνας r κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος ενός κατακόρυφου

τεταρτοκυκλίου, ακτίνας R. Η γνωστή σχέση υcm=ω·r, που συνδέει τη γωνιακή τα-

χύτητα περιστροφής με την ταχύτητα του κέντρου μάζας ισχύει στην περίπτωση

αυτή;

Έστω η σφαίρα κέντρου Ο που κυλίεται χωρίς ολίσθηση, όπως στο σχήμα, όπου

στην αρχική θέση η ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια, ενώ μετά από κάποιο χρόνο t έχει στραφεί κατά την γωνία θ

(δεύτερη θέση). Για διευκόλυνση ας υποθέσουμε ότι η κίνηση γίνεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.



Ηλεκτρομαγνητισμός

1) Περί του νόμου του Neumann.

Ένα μεταλλικό ορθογώνιο πλαίσιο, με αντίσταση R=1Ω βρίσκεται μέσα σε ένα

ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναμικές γραμμές, όπως στο σχήμα. Στα

παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της μαγνητικής ροής που

περνά από το πλαίσιο σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας t=0 τη στιγμή που

αρχίζει να μεταβάλλεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου.

i) Να υπολογιστεί το συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή στη θέση Α του πλαισίου στις περι-

πτώσεις των σχημάτων (α) και (β).

ii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για την περίπτωση του (γ) σχήματος, αν η συνάρτηση της ροής είναι:

Φ = 2- ½ t2 (μονάδες στο S.Ι.)

Καθώς και την περίπτωση του σχήματος (δ) όπου Φ=2∙συνωt (S.Ι.)

iv) Να υπολογιστεί επίσης το ολικό φορτίο στις περιπτώσεις των σχημάτων, (ε) και (στ) όπου οι συναρτήσεις

της ροής είναι αρμονικές.

2) Επαγωγή και ερμηνείες φαινομένων.

Φ

Φ Φ Φ

Φ Φ

2

2 2 2

2 2

-2

t(s)t(s)

t(s)t(s)t(s)

t(s) 2

1

1

2 2

2

(α) (β) (γ)

(δ) (ε) (στ)



Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή είναι το φαινόμενο της ανάπτυξης Ηλεκτρεγερτικής δύναμης σε ένα αγωγό, η

οποία λαμβάνει χώρα όταν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια που ο συγκεκρι-

μένος αγωγός ορίζει.

Σύμφωνα δε με το νόμο του Faraday:

dt

dE

Ο παραπάνω νόμος καλύπτει, η ανάπτυξη ΗΕΔ λόγω μεταβολής της μαγνητικής ροής μπο-

ρεί να οφείλεται σε δύο διαφορετικούς λόγους.

Ηλεκτρεγερτική δύναμη που αναπτύσσεται εξαιτίας της σχετικής κίνησης ενός αγωγού και ενός μα-

γνητικού πεδίου (ένας αγωγός κινείται σε μαγνητικό πεδίο ή ένας μαγνήτης πλησιάζει ένα πηνίο)

ΗΕΔ που δεν οφείλεται σε σχετική κίνηση αλλά αναπτύσσεται από ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μα-

γνητικό πεδίο.

Ας δούμε αυτές τις δυο περιπτώσεις αναλυτικότερα.

3) Ένας … καλός μετασχηματιστής!

Έστω ένας μετασχηματιστής, που οι μόνες απώλειες που παρου-

σιάζει είναι οι αντιστάσεις r1=5Ω και r2=1Ω στα δύο πηνία, όπου

στο πρωτεύον έχουμε 1.000 και στο δευτερεύον 200 σπείρες. Τρο-

φοδοτούμε το πρωτεύον με Ε.Τ. ενεργού τιμής V1=31V και θέ-

τουμε στο δευτερεύον αντιστάτη με R=5Ω. Οι απώλειες στον πυ-

ρήνα θεωρούνται αμελητέες. Να βρεθούν:

i) Οι ενεργές εντάσεις πρωτεύοντος δευτερεύοντος

ii) Η απόδοση του μετασχηματιστή.

4) Ένα Χρονοκύκλωμα με πηνίο

Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: Ε=40V, R1=4Ω, R2=4Ω, L=0,2H.

Τη χρονική στιγμή t0=0 κλείνουμε το διακόπτη και τη στιγμή t1=0,5s, τον

ανοίγουμε.

i) Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε κλάδο του κυ-

κλώματος για t=0+ (αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη) καθώς

και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της έντασης.

ii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των εντάσεων των ρευμάτων,

σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Να γίνουν επίσης οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο, των τάσεων VΓΔ, VΒΖ και VΒΚ.

5) Ένα χρονοκύκλωμα με πυκνωτή.

Στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος, δίνονται ότι R1=R2=10KΩ, C=50μF και Ε=100V. Τη στιγμή t0=0, με

E

2R

1R L



τον πυκνωτή αφόρτιστο, κλείνουμε το διακόπτη Δ και τη στιγμή t1=3s τον ανοίγουμε.

i) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των εντάσεων των ρευμάτων που διαρρέουν

τους κλάδους του κυκλώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογιστούν

τα εμβαδά των χωρίων που σχηματίζονται από τις γραφικές παραστάσεις και

τον άξονα των χρόνων.

ii) Να βρεθεί η ολική ενέργεια που παρέχει η πηγή στο κύκλωμα.

iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει την αντίστα-

ση R2, τη χρονική στιγμή t2 που η τάση στα άκρα της είναι ίση με 40V.

6) Εκθετική αύξηση μεγέθους. Άλλη μια επαγωγή.

Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος, οι αγωγοί xx ́και yy΄, χωρίς

αντίσταση, είναι οριζόντιοι σε απόσταση d=1m. Στα άκρα τους x

και y συνδέεται πηγή ΗΕΔ Ε=4V και εσωτερικής αντίστασης r=1Ω.

Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατακόρυφο ΟΜΠ έντασης Β=1Τ.

Σε μια στιγμή αφήνεται, σε επαφή με τους δύο αγωγούς και κάθετα

προς αυτούς, ένα ευθύγραμμο σύρμα ΑΓ, μάζας 0,1kg, μήκους 2m

και με αντίσταση 2Ω, το οποίο παρατηρούμε ότι κινείται προς τα

δεξιά, χωρίς τριβές.

i) Να μελετηθεί η κίνηση του σύρματος.

ii) Να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε μηχανική της χρονικές στιγ-

μές:

α) t1=0,4s και

β) t2= 1,4s.

7) Επαγωγή και οριακή ταχύτητα

Ο αγωγός ΑΓ του διπλανού σχήματος μάζας 0,1kg, μήκους l=1m και αντίστασης

r=0,1Ω, αφήνεται να κινηθεί κατακόρυφα, χωρίς τριβές, σε επαφή με δυο κατακό-

ρυφους μεταλλικούς στύλους, χωρίς αντίσταση. Τα δύο πάνω άκρα των αγωγών συν-

δέονται μέσω αντιστάτη με αντίσταση R=0,3Ω, ενώ το σύστημα βρίσκεται κάθετα

σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ.

Να γίνει η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το

κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο.

Να βρεθεί η ηλεκτρική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα στο κύκλωμα, μέχρι τη στιγμή που

ο αγωγός αποκτά (πρακτικά) οριακή ταχύτητα.

Δίνεται g=10m/s2.

8) Φόρτιση πυκνωτή

Στο διπλανό κύκλωμα τη στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη, με στόχο να φορτίσουμε έναν αρχικά αφόρτιστο

1R

2R

C

E



πυκνωτή.

i) Πόσο είναι τελικά το μέγιστο φορτίο Q0 που αποκτά ο πυκνωτής;

ii) Ποια χρονική στιγμή ο πυκνωτής έχει φορτίο ½ Q0;

iii) Τι τελικά ποσοστό της παρεχόμενης ενέργειας από την πηγή, αποθηκεύεται στον

πυκνωτή;

9) Εκθετική αύξηση μεγέθους.

Ρεύμα σε κύκλωμα RL.

Έστω ότι έχουμε το κύκλωμα του διπλανού σχήματος, όπου τη στιγμή t=0 κλείνουμε

το διακόπτη. Να βρεθεί η εξίσωση της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με το

χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.



Διάφορα

1) Ποια λύση είναι επιστημονικά σωστή;

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με εξίσωση κίνησης:

x=0,2∙ημ(6πt) +0,2∙ημ(4πt) (S.Ι.)

Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t1=1/6 s.

2) Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε ΟΗΠ και ΟΜΠ.

Έστω ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο το οποίο εκτοξεύεται με ταχύτητα υ, κάθετα στις δυναμικές γραμμές

ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου, ενώ ταυτόχρονα στο χώρο υπάρχει και ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με

ένταση Ε κάθετη και στην ένταση Β του ΟΜΠ αλλά και στην ταχύτητα υ, όπως στο σχήμα.

Αν δεν υπήρχε το ηλεκτρικό πεδίο, το σωματίδιο θα εκτελούσε ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=mυ/Βq, στο

επίπεδο του χαρτιού xy κέντρου Ο, όπως στο σχήμα.

3) Περί Κινηματικής ο λόγος (αλλά και μια διδακτική πρόταση)

Αγαπητοί φίλοι, κατ’ αρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους αυτούς που συμμετείχαν στο διάλογο αυτόν και

κατέθεσαν τις απόψεις τους, πάνω στο θέμα της συζήτησης που είχα ξεκινήσει. Θα ήθελα να πω, ότι όλες οι

θέσεις είναι για μένα απολύτως σεβαστές, ακόμη και αν εξέφραζαν διιστάμενες έως αντιδιαμετρικές απόψεις.

Και πρώτα-πρώτα θα ήθελα να πω ότι έχουν δίκιο και οι φίλοι, όπως ο Λεωνίδας, που θεώρησαν ότι το θέμα

δεν είναι τόσο σημαντικό για να μας απασχολεί.

Πράγματι υπάρχουν πολύ πιο σημαντικά πράγματα που απασχολούν το σημερινό σχολείο, που ο τρόπος της

διδασκαλίας της ταλάντωσης να μοιάζει μια πολύ μικρή λεπτομέρεια.

Αλλά εδώ είμαστε για να τα συζητάμε όλα και αν τα βασικά προβλήματα της εκπαίδευσης είναι πολιτικά

ζητήματα, για τα οποία δυστυχώς πολύ μικρή επίδραση μπορούμε να έχουμε, υπάρχουν πράγματα πάνω στα

οποία μπορούμε να προβληματιστούμε και να γίνουμε καλύτεροι. Αλλά όχι μόνο αυτό. Αλλά και πράγματα

που αν ξεκαθαριστούν, ελπίζουμε να ληφθούν υπόψη σε επόμενες εκδόσεις διδακτικών βιβλίων Φυσικής (αι-

σιόδοξος;;).



4) Θέση–μετατόπιση, γωνία, φάση…

Για μια συνεπή διδασκαλία ή

«Γιατί όποιος κατουράει στη θάλασσα, το βρίσκει στο αλάτι…»

(Καλοκαιρινό!)

1. Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση:

Μελετάμε την κίνηση ενός σώματος σε ευθεία γραμμή. Για τη μελέτη μας αυτή, ορίζουμε ένα χωρικό σύστημα

συντεταγμένων (τον άξονα xx΄), οπότε μπορούμε να ξέρουμε τη θέση του σώματος x, ενώ ορίζουμε κάποια

χρονική στιγμή αυθαίρετα ως t=0. Διδάσκουμε λοιπόν στους μαθητές μας τη διαφορά μεταξύ της χρονικής

στιγμής t και του χρονικού διαστήματος Δt, όπως επίσης τη διαφορά μεταξύ της θέσης x του κινητού και της

μετατόπισής του Δx (αλήθεια μήπως θα ήταν πιο πρόσφορο να εγκαταλείπαμε τον όρο μετατόπιση και να

περιοριζόμαστε στον όρο μεταβολή της θέσης Δx;). Έτσι μελετώντας την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση γρά-

φουμε:

5) Παράλληλες δυνάμεις, η άνωση και η πλεύση.

Μια παλιά ενασχόληση, σε επικαιροποιημένη έκδοση ….

Ας ξεκινήσουμε με ένα γνωστό παράδειγμα.

Παράδειγμα 1ο:

Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει βά-

ρος w=100Ν, μήκος ℓ=4m και ισορροπεί οριζόντια στηριζό-

μενη σε τρίποδο, σε απόσταση x=1m από το ένα της άκρο Α,

ενώ δέχεται την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, στο

σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=3,5m. Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο.

6) Μιλώντας για τα ρευστά….

1) Οι τρεις μορφές της ύλης.

2) Τι είναι και τι δεν είναι η πίεση;

7) Νόμος του Poiseuille για σωλήνα.

Μια μόνιμη και στρωτή ροή πραγματικού ρευστού.

Έστω σε ένα οριζόντιο σωλήνα, κυλινδρικού σχήματος, ακτίνας R και μήκους ℓ , έχουμε μια μόνιμη και

στρωτή ροή, ενός πραγματικού ρευστού με συντελεστή ιξώδους n.

�

rR

2F�

1F�

T�

Η ροή ονομάζεται μόνιμη, αφού σε κάθε σημείο, η ταχύτητα έχει μια συγκεκριμένη τιμή ανεξάρτητη του



χρόνου και στρωτή, αφού ναι μεν η ταχύτητα είναι διαφορετική στα διάφορα σημεία μιας τομής, αλλά μπο-

ρούμε να διακρίνουμε στρώματα με μια ορισμένη ταχύτητα, όπου το ένα κινείται παράλληλα στο άλλο.

8) Μόνιμη και μη μόνιμη στρωτή ροή.

Στο διπλανό σχήμα εμφανίζονται οι ρευματικές γραμμές για μια

στρωτή και μόνιμη ροή νερού, το οποίο ας θεωρήσουμε ιδανικό

ρευστό, εντός ενός οριζόντιου σωλήνα. Έστω κατά μήκος μιας ευ-

θύγραμμης ρευματικής γραμμής ένας άξονας x. Στη θέση x=0, η

πίεση είναι p0=2∙105Ν/m2, ενώ η πυκνότητα του νερού είναι ρ=1.000kg/m3.

i) Αν η ταχύτητα ροής του νερού κατά μήκος του άξονα δίνεται από την εξίσωση υ=1+2x (S.Ι.), να υπολο-

γιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου νερού, καθώς και η πίεση στη θέση x=2m.

ii) Αν η ροή δεν είναι μόνιμη, αφού η ταχύτητα σε κάθε θέση x, δίνεται από την εξίσωση υ=1+2x+0,2t (S.Ι)

να βρεθούν:

α) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σωματιδίου ρευστού στη θέση x=2m σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Η πίεση στη θέση x=2m σε συνάρτηση με το χρόνο.

9) Προσπαθώντας να κατανοήσουμε τα κύματα.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να μοντελοποιήσουμε ένα κύμα, για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε το μηχανι-

σμό μεταφοράς ενέργειας.

Το τρέχον κύμα

Ας έρθουμε κατ’ αρχάς στο τρέχον κύμα σε ένα ελαστικό μέσο. Ας το φανταστούμε σαν μια σειρά ευδιάκριτων

υλικών σημείων, τα οποία συνδέονται με ελατήρια, όπου όλα είναι τεντωμένα κατά Δl και βρίσκονται στη

θέση ισορροπίας τους.

Τι συμβαίνει όταν το άκρο Ο τεθεί από τη πηγή σε (εξαναγκασμένη) ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f;

Στο παραπάνω σχήμα το Α υλικό σημείο έχει φτάσει στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του και έχει σχεδιαστεί

το κύμα να έχει φτάσει μέχρι το υλικό σημείο Δ, δηλαδή έχει διαδοθεί κατά λ/4. Από τι εξαρτάται η απόσταση

αυτή λ/4;

10) Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα παλμό

0 x



Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου (μιας χορδής), το οποίο ταυ-

τίζεται με τον άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ο παλμός

του διπλανού σχήματος με ταχύτητα υ.

i) Για τις ταχύτητες στη διεύθυνση y των σημείων Α και Β ισχύει:

α) uΑ < uΒ, β) uΑ = uΒ, γ) uΑ > uΒ.

ii) Για το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β ισχύει:

α) uΒ < υ, β) uΒ=υ, γ) uΒ > υ.

iii) Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις επιταχύνσεις των σημείων Α, Β, Γ και Δ.

iv) Να εξετασθεί αν μπορεί να υπάρξει διάδοση των παρακάτω παλμών, κατά μήκος μιας χορδής.

Δίνεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε μικρές εγκάρσιες απομακρύνσεις στη διεύθυνση y, με αποτέλεσμα

να ισχύει η διαφορική εξίσωση του κύματος.

11) Οι μετατοπίσεις σε μια ελαστική κρούση και το cm.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση δύο

σώματα με μάζες m1=2kg, m2=3kg και ταχύτητες υ1=10m/s και

υ2=5m/s. Σε μια στιγμή συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά.

Θεωρούμε ότι η ελαστική αυτή κρούση, προσομοιάζεται με την

αλληλεπίδραση των δύο σωμάτων, μέσω ενός ελατηρίου, σταθεράς

k=3.000Ν/m και φυσικού μήκους l0=1m, όπου το ελατήριο αυτό είναι

προσαρμοσμένο στο πίσω μέρος του σώματος m2, πάνω στο άλλο

άκρο του οποίου προσπίπτει το σώμα m1.

Να υπολογιστούν οι μετατοπίσεις των δύο σωμάτων στη διάρκεια της κρούσης.

12) Αρχή διατήρησης της ορμής. Πότε ισχύει;

Συνήθως λέμε ότι σε κάθε κρούση ισχύει η ΑΔΟ και ξεχνάμε να πούμε ότι το

σύστημα των σωμάτων είναιο μονωμένο. Είναι «λογικό» να γίνεται αυτό; Η

αλήθεια είναι ότι στην συντριπτική πλειονότητα των κρούσεων είναι σωστό.

Ας δούμε όμως τα πράγματα από πιο κοντά…

Παράδειγμα 1°:

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται μια σφαίρα Α και συγκρούεται μετωπικά με ακίνητη σφαίρα Β. Ισχύει

2m1m

2�

1�

ℓ

2F�

1F�

x

y



η Α.Δ.Ο.;

Στο σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σφαίρα στη διάρκεια της

κρούσης….

13) Ελαστική κρούση και ωθήσεις

Έστω μια ελαστική μετωπική κρούση δύο σφαιρών Α και Β, θεωρουμένων υλι-

κών σημείων, οι οποίες κινούνται στην ίδια ευθεία, όπως στο σχήμα:

Να αποδειχθεί ότι η ώθηση της δύναμης, που ασκείται στην σφαίρα Α, μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παρα-

μόρφωσης, είναι ίση με την ώθησή της, από κει και πέρα.

14) Κάτι περίεργο συμβαίνει στην ελαστική κρούση!!!

Έστω μια μετωπική κρούση δύο σφαιρών Α και Β, οι οποίες κινούνται στην ίδια

ευθεία, όπως στο σχήμα:

Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση, με δεδομένο ότι η ώθηση της δύναμης που ασκείται

πάνω της μέχρι τη στιγμή της μέγιστης παραμόρφωσης, είναι ίση με την ώθησή της, από κει και πέρα.

15) Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος ή περί ανηγμένης μάζας και άλλα σχετικά.

Στο σχήμα, όπου το ελατήριο έχει σταθερά k=100Ν/m, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h=0,2m

από το έδαφος. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω το σώμα Α, κατά y1=0,1m και

σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί εκτελώντας ΑΑΤ.

iv) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας

την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.

v) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει

η γραφική της παράσταση.

vi) Τη στιγμή που η τάση του νήματος γίνεται ελάχιστη για τρίτη φορά, το νήμα κόβεται

και τα σώματα πέφτουν. Με την κρούση με το έδαφος το σώμα Α προσκολλάται. Να

βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το Β σώμα.

Δίνεται g=10m/s2.

16) Ποια η ταχύτητα της πλατφόρμας;

Σε οριζόντια, ευθύγραμμη σιδηροτροχιά βρίσκεται μία πλατφόρμα, η οποία μπορεί να κινείται στη σιδηρο-

τροχιά χωρίς τριβές στους άξονες. Η πλατφόρμα αρχικά είναι ακίνητη. Στην πλατφόρμα υπάρχει στερεωμένο

ένα κανόνι, το οποίο μπορεί να εκτοξεύει βλήματα στην οριζόντια διεύθυνση, παράλληλα με τη σιδηροτροχιά,

όπως φαίνεται στο σχήμα.



Αν το κανόνι εκτοξεύει τα βλήματα με ταχύτητα μέτρου u ως προς την πλατφόρμα και αν η αρχική μάζα του

συστήματος πλατφόρμα – κανόνι – βλήματα είναι mο και η μάζα κάθε βλήματος είναι mβ, να υπολογίσετε την

ταχύτητα της πλατφόρμας μετά από την εκτόξευση από το κανόνι Ν βλημάτων προς την ίδια κατεύθυνση.

Θεωρήστε ότι υπάρχουν αρκετά βλήματα στην πλατφόρμα. H απάντηση να δοθεί ως συνάρτηση των μεγεθών

mο, mβ, u και N.

17) Πτώση με αντίσταση αέρα ανάλογης της ταχύτητας.

Ένα κιβώτιο μάζας 20kg αφήνεται να πέσει από ένα ελικόπτερο, το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα, σε ύψος

h=500m από το έδαφος. Αν κατά την κίνησή του το κιβώτιο δέχεται δύναμη αντίστασης από τον αέρα της

μορφής F=-bυ= -10υ (μονάδες στο S.Ι.), ζητούνται:

vii) Η οριακή ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει το κιβώτιο.

Σε πόσο χρόνο το κιβώτιο θα φτάσει στο έδαφος;

Δίνεται g=10m/s2

18) Περί νήματος….

Το πραγματικό νήμα αποτελείται από μόρια, συνεπώς όταν στο ένα του άκρο

ασκήσουμε μια δύναμη, αυτό θα έχει σαν αποτέλεσμα να αυξήσουμε τις απο-

στάσεις μεταξύ των μορίων, οπότε η μεταφορά της δύναμης στο άλλο άκρο,

αυτό που ονομάζουμε τάση του νήματος, συνοδεύεται με επιμήκυνση του νή-

ματος.

Μικρή ή μεγάλη, αυτό καθορίζεται από την ελαστικότητά

του. Κατά συνέπεια πάντα κάποια ενέργεια απορροφάται

από το νήμα. Είναι μεγάλη; Και αυτό εξαρτάται από την ε-

πιμήκυνσή του. Αν λοιπόν το νήμα δεν επιμηκυνθεί σημα-

ντικά, αυτή η ενέργεια μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Ή

πράγμα ισοδύναμο, μπορούμε να θεωρούμε το νήμα μη ε-

κτατό. Έχουμε σφάλμα;

Ειδικά θέματα Φυσικής - WordPress.com · 2020. 8. 6. · Υλικό...

Documents

Transcript of Ειδικά θέματα Φυσικής - WordPress.com · 2020. 8. 6. · Υλικό...