ΚΡΟΥΣΕΙΣ-DOPPLER Γ ΛΥΚΕΙΟΥ · 2014-08-31 · και μετά την κρούση...

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:

Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

ΚΡΟΥΣΕΙΣ-DOPPLER Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ 2

ΘΕΩΡΙΑ


ΚΡΟΥΣΕΙΣ-

1.Τι ονομάζουμε κρούση;

Κρούση είναι κάθε φαινόμενο στο οποίο τα ΄΄συγκρουόμενα ΄΄ σωματίδια, αλληλεπιδρούν(έστω και χωρίς επαφή) με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο.

2.Τι ονομάζουμε σκέδαση;

Σκέδαση είναι κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου,στο οποίο τα ΄΄συγκρουόμενα ΄΄ σωματίδια, αλληλεπιδρούν (έστω και χωρίς επαφή) με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. 3.Τι αποτέλεσμα έχουν οι κρούσεις; Όταν δύο σώματα συγκρούονται, για παράδειγμα όταν χτυπάνε δύο μπά- λες του μπιλιάρδου (, η κινητική κατάστασή τους ή τουλάχιστον ενός από αυτά μεταβάλλεται απότομα. 4.Πως διακρίνονται ανάλογα με τη διεύθυνση που κινούνται τα σώματα πριν συγκρουστούν οι κρούσεις ; Διακρίνονται σε κεντρικές, έκκεντρες και πλάγιες. Α) Κεντρική, (ή μετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκο- νται πάνω στην ίδια ευθεία. Αν τα σώματα που συγκρούονται είναι σφαίρες και η κρούση τους είναι κεντρική, οι ταχύτητές τους μετά την κρούση θα βρί- σκονται επίσης στην ίδια (αρχική) διεύθυνση

Β) Έκκεντρη, ονομάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες


Γ)Πλάγια ονομάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωμάτων βρίσκονται σε τυχαίες διευθύνσεις 5.Τι ισχύει για την διατήρηση της ορμής στις κρούσεις. Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο που διαρκεί πολύ λίγο χρόνο, οι ωθήσεις των εξωτερικών δυνάμεων – αν υπάρχουν - είναι αμελητέες κατά τη διάρκεια της κρούσης. Το σύστημα των σωμάτων που συγκρούονται μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο, για τη χρονική διάρκεια της κρούσης, επομένως η ορμή του συστήματος διατηρείται. Η ορμή ενός συστήματος σωμάτων, κατά τη διάρκεια της κρούσης, διατηρείται. Αν pπριν η ορμή του συστήματος αμέσως πριν την κρούση και p μετά η ορμή του συστήματος αμέσως μετά την κρούση, ισχύει:

6.Τι ισχύει για την ενέργεια στις κρούσεις Κατά τη σύγκρουση δύο σωμάτων ένα μέρος της μηχανικής τους ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα. Στην ιδανική περίπτωση που η μηχανική ενέργεια των σωμάτων δε μεταβάλλεται με την κρούση, η κρούση ονομάζεται ελαστική. Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο αμελητέας χρονικής διάρκειας, η δυναμική ενέργεια των σωμάτων -που εξαρτάται από τη θέση τους στο χώρο- δε μεταβάλλεται. 7.Τι είναι ελαστική κρούση; Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων. . 8.Τι γνωρίζετε για τις ελαστικές κρούσεις στο μικρόκοσμο; Στο μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί μια εξιδανίκευση.Προσεγγιστικά ελαστική μπορεί να θεωρηθεί η κρούση ανάμεσα σε δύο πολύ σκληρά σώματα, όπως ανάμεσα σε δύο μπάλες του μπιλιάρδου. Στο μικρόκοσμο όμως έχουμε κρούσεις απολύτως ελαστικές όπως αυτή που περιγράψαμε προηγουμένως ανάμεσα στο σωμάτιο α και τον πυρήνα. 9.Τι είναι η ανελαστική και η πλαστική κρούση; Ανελαστική, ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα.Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων – στη δημιουργία συσσωματώματος. Αυτή η κρούση ονομάζεται πλαστική.


10.ΤΙ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ; Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 κινούνται με ταχύτητες υ1 και υ2, όπως στο σχήμα 5. Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά και μετά την κρούση έχουν ταχύτητες υ1΄ και υ2΄. Εάν γνωρίζουμε τις ταχύτη- τες των σφαιρών πριν την κρούση και τις μάζες τους μπορούμε να υπολογί- σουμε τις ταχύτητές τους μετά την κρούση.


Κατά τον υπολογισμό των ταχυτήτων των σφαιρών υποθέσαμε ότι οι σφαίρες μετά την κρούση συνεχίζουν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Αν μετά τις πράξεις προκύψει αρνητική τιμή για την υ1΄ θα συμπεράνουμε ότι η Σ1 άλλαξε φορά κίνησης μετά την κρούση. 11.Τι ισχύει στην κεντρική ελαστική κρούση όταν οι μάζες είναι ίσες;

12.Τι ισχύει στην κεντρική ελαστική κρούση όταν η δεύτερη μάζα είναι ακίνητη πριν την κρούση;

13.ΤΙ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΣΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΛΛΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΗΣ ΜΑΖΑΣ; Αν η σφαίρα Σ2 της προηγούμενης παραγράφου έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από τη Σ1 και είναι ακίνητη πριν την κρούση οι σχέσεις (8) και (9) δίνουν

Δηλαδή η σφαίρα μικρής μάζας ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτήν που είχε πριν την κρούση. Το σώμα μεγάλης μάζας παραμένει πρακτικά ακίνητο.

Σύμφωνα με τα παραπάνω όταν μια σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και κάθετα στην επιφάνεια ενός τοίχου ή στο δάπεδο ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς (σχ6).


14.ΤΙ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΣΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΠΛΑΓΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΛΛΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΗΣ ΜΑΖΑΣ;

Στην περίπτωση που η σφαίρα προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε έναν τοίχο αναλύουμε την ταχύτητά της σε δύο συνιστώσες, τη μία (υx) κάθετη στον τοίχο και την άλλη (υy) παράλληλη με αυτόν (σχ. 7).Σύμφωνα με τα παραπάνω η κάθετη στον τοίχο συνιστώσα της ταχύτητας θα αλλάξει φορά και θα διατηρήσει το μέτρο της (υx΄= -υx).H δύναμη που ασκείται στη σφαίρα κατά την κρούση είναι κάθετη στον τοίχο, άρα η y συνιστώσα της ταχύτητας δε μεταβάλλεται (υy΄= υy). Το μέτρο της ταχύτητας μετά την κρούση είναι


DOPPLER

1.Τι συμβαίνει όταν ο παρατηρητής Α και η πηγή είναι ακινητοι; Μία ακίνητη ως προς το μέσον διάδοσης (αέρας) πηγή S που εκπέμπει ήχο συχνότητας f S δημιουργεί γύρω της ένα σφαιρικό ηχητικό κύμα που

διαδίδεται με ταχύτητα υ. Ισχύει όπου λ το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει η πηγή. Ένας παρατηρητής Α που είναι επίσης ακίνητος ως προς τον αέραμετρώντας τα μέγιστα που φτάνουν σ’ αυτόν στη μονάδα του χρόνου υπολογίζει τη συχνότητα του ήχου f A όπως την αντιλαμβάνεται αυτός. Όμως όσα μέγιστα παράγει η πηγή στη μονάδα του χρόνου τόσα πάλι στη μονάδα του χρόνου φτάνουν στον παρατηρητή, άρα

2.Τι συμβαίνει όταν παρατηρητής Α πλησιάζει προς την ακίνητη ηχητική πηγή με ταχύτητα υΑ; Τώρα στον παρατηρητή φτάνουν περισσότερα μέγιστα στη μονάδα του χρόνου από όσα παράγει στον ίδιο χρόνο η πηγή. Η ταχύτητα μετην οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον

παρατηρητή θα είναι . Ησυχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής θα είναι

Ο παρατηρητής ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας (οξύτερο) από αυτή που παράγει η πηγή. 3.Τι συμβαίνει όταν παρατηρητής Α πλησιάζει προς την ακίνητη ηχητική πηγή με ταχύτητα υΑ; Αν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την ακίνητη ηχητική πηγή με ταχύτητα υΑ, στη μονάδα του χρόνου στον παρατηρητή φτάνουν λιγότερα μέ- γιστα από αυτά που παράγει η πηγή στον ίδιο χρόνο και η συχνότητα που θα αντιλαμβάνεται θα είναι

Ο παρατηρητής ακούει ήχο μικρότερης συχνότητας (βαρύτερο) από αυτή που παράγει η πηγή. 4.Τι συμβαίνει όταν η πηγή κινείται ισοταχώς με ταχύτητα υS πλησιάζοντας τον ακίνητο παρατηρητή; Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον αέρα θα είναι πάλι υ γιατί η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσον διάδοσης. Το μήκος κύματος που


φτάνει στον παρατηρητή μικραίνει γιατί η πηγή ακολουθεί τα κύματα με αποτέλεσμα τα μέγιστα να πλησιάζουν μεταξύ τους. Ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων που φτάνουν σ’ αυτόν. Ο χρόνος που μεσο- λαβεί ανάμεσα στην εκπομπή δύο μεγίστων είναι μία περίοδος (Τ). Αν τη στιγμή t η πηγή εκπέμπει ένα μέγιστο τη στιγμή t+T το μέγιστο θα έχει πλη- σιάσει τον παρατηρητή κατά λ αλλά και η πηγή θα τον έχει πλησιάσει κατά

Τότε εκπέμπεται από την πηγή το επόμενο μέγιστο. Η απόσταση ανά-

μεσα στα δύο διαδοχικά μέγιστα είναι . Αυτή την απόσταση αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος ο παρατηρητής.

δηλαδή η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μεγαλύτερη από αυτήν που εκπέμπει η πηγή.

5.Τι συμβαίνει όταν η πηγή κινείται ισοταχώς με ταχύτητα υS πλησιάζοντας τον ακίνητο παρατηρητή; Στην περίπτωση που η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή με στα- θερή ταχύτητα υS (σχ..28), το μήκος κύματος που φτάνει στον παρατηρητή

αυξάνεται κατά τον όρο Επαναλαμβάνοντας τον προηγούμενο συλλογισμό καταλήγουμε στη σχέση


από την οποία φαίνεται ότι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατη- ρητής είναι μικρότερη από τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή.

6.Πότε συμβαίνει το φαινόμενο Doppler,τι είναι και ποιος ο γενικός τύπος; Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναι ίδια με αυτήν που εκπέμπει μία πηγή όταν ο παρατηρητής και η πηγή βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους. Το φαινόμενο αυτό λέγεται φαινόμενο Doppler. Εάν κινούνται τόσο η πηγή όσο και ο παρατηρητής σε σχέση με το μέσον διάδοσης τότε η σχέση που δίνει την συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι

Ο παρατηρητής ακούει ήχο με συχνότητα μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής όταν η μεταξύ τους απόσταση μειώνεται και με συχνότητα μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής όταν η απόστασή τους μεγαλώνει. 7.Τι ξέρετε για το φαινόμενο Doppler στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως το φως; Το φαινόμενο Doppler ισχύει για κάθε μορφής κύμανση ακόμη και για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως το φως. Το φαινόμενο Doppler δίνει αισθητά αποτελέσματα μόνο αν οι πηγές του φωτός ή οι παρατηρητές κινού- νται με ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός. Παρατηρώντας το φως που εκπέμπει ένα άστρο βλέπουμε ότι τα μήκη κύματος που εκπέμπονται από τα στοιχεία του άστρου είναι διαφοροποιημένα σε σχέση με τα μήκη κύματος που εκπέμπουν τα ίδια στοιχεία πάνω στη Γη. Από τη διαφοροποίηση αυτή, που οφείλεται στο φαινόμενο Doppler, βγάζουμε συμπεράσματα για την ταχύτητα με την οποία κινείται το άστρο σε σχέση με τη Γη. Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι δια- φορετική από αυτήν στην οποία καταλήξαμε για τον ήχο. Η διαφοροποίηση οφείλεται στην ιδιαιτερότητα του φωτός, που θα τη μελετήσουμε εκτενέστερα στο επόμενο κεφάλαιο. Επιγραμματικά αναφέρουμε ότι το φως δεν χρειάζεται μέσον για να διαδοθεί και ότι η ταχύτητα διάδοσής του είναι η ίδια για όλα τα συστήματα αναφοράς.


8.Πως χρησιμοποιεί η αστυνομία το φαινόμενο Doppler; Η αστυνομία είναι εφοδιασμένη με συσκευές ραντάρ που ελέγχουν τις ταχύτητες των οχημάτων. Το ραντάρ, ακίνητο ως προς το δρόμο, εκπέμπει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα το οποίο ανακλάται πάνω στο διερχόμενο όχημα. Το κύμα επιστρέφει στο ραντάρ με συχνότητα ελαφρά διαφορετική μια και η πηγή του (το όχημα) κινείται σε σχέση με τον παρατηρητή (ραντάρ). Από τη διαφορά της συχνότητας ανάμεσα στο κύμα που εκπέμπεται και αυτό που επι- στρέφει η συσκευή υπολογίζει την ταχύτητα του οχήματος.


ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ –ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ


ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ Διατήρηση της ορμής συστήματος σωμάτων(Α.Δ.Ο.)

( ) ( )p p

m1 𝛖𝟏 + m2 𝛖𝟐 = m1 𝛖′𝟏 +m2 𝛖′𝟐 ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ Η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

𝟏

𝟐 𝒎𝟏 𝝊𝟏𝟐+

𝟏

𝟐 𝒎𝟐 𝝊𝟐𝟐=

𝟏

𝟐 𝒎𝟏 𝝊′𝟏𝟐 +

𝟏

𝟐 𝒎𝟐 𝝊′𝟐𝟐

ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΠΑΡΟΔΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ

.υ1+υ2=υ'1+υ'2 Ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση Γενική μορφή

1 2 21 1 2

1 2 1 2

2m m m

m m m m

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m m

m m m m

1. Αν m1=m2 τότε 1 2 και 2 1 (Ανταλλάσσουν ταχύτητες)

2. Αν υ2=0 τότε 1 21 1

1 2

m m

m m

και 1

2 1

1 2

2m

m m

3. Αν υ2=0 και m2>> m1 τότε 1 1 και 2 0


Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας κατά την πλάγια ελαστική κρούση σε τοίχο δεν

μεταβάλλεται. Δηλαδή : υ' = υ

Κατά την πλάγια ελαστική κρούση μιας σφαίρας σε τοίχο η γωνία πρόσπτωσης π είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης α.

ΠΛΑΓΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ υ'1y υ'1 υ1χ .υ1y υ1 υ'1χ υ2y υ2 υ'2χ υ2y υ'2y υ'2

𝑷𝟏 + 𝑷𝟐

= 𝑷′𝟏 +𝑷′𝟐

ή m1 𝛖𝟏 𝝌 + m2 𝛖𝟐𝝌

= m1 𝛖′𝟏 𝝌+m2 𝛖′𝟐𝝌

m1 𝛖𝟏 𝒚 + m2 𝛖𝟐𝒚

= m1 𝛖′𝟏

𝒚

+m2 𝛖′𝟐𝒚

kai

𝟏

𝟐 𝒎𝟏 𝝊𝟏𝟐+

𝟏

𝟐 𝒎𝟐 𝝊𝟐𝟐=

𝟏

𝟐 𝒎𝟏 𝝊′𝟏𝟐 +

𝟏

𝟐 𝒎𝟐 𝝊′𝟐𝟐


Σε αυτές τις περιπτώσεις Δεν ισχύει η Α.Δ.Ο. στον yy'

ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ Διατήρηση της ορμής συστήματος σωμάτων(Α.Δ.Ο.)

( ) ( )p p

m1 𝛖𝟏 + m2 𝛖𝟐 =m1 𝛖′𝟏 +m2 𝛖′𝟐

ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΜΟΝΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ

Απώλεια Ενέργειας κατά την κρούση (θερμότητα)

( ) ( )Q

Ποσοστό Απώλειας Ενέργειας κατά την κρούση:

% 100%

= 100%

ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

Διατήρηση της ορμής συστήματος σωμάτων(Α.Δ.Ο.)

( ) ( )p p

m1 𝛖𝟏 + m2 𝛖𝟐 =(𝐦𝟏 + 𝐦𝟐 ) 𝛖𝛋𝛐𝛊𝛎𝛈

Τα σώματα μένουν ενωμένα μετά την κρούση

Απώλεια Ενέργειας κατά την κρούση (θερμότητα)

( ) ( )Q


Ποσοστό Απώλειας Ενέργειας κατά την κρούση:

% 100%

= 100%

πλαγια πλαστικη

m1 𝛖𝟏 + m2 𝛖𝟐 =(𝐦𝟏 + 𝐦𝟐 ) 𝛖𝛋𝛐𝛊𝛎𝛈

√(𝑷𝟏 )

𝟐+ (𝑷𝟐

)𝟐

=(𝐦𝟏 + 𝐦𝟐 ) 𝛖𝛋𝛐𝛊𝛎𝛈


.Φαινόμενο DOPPLER

fA : συχνότητα ηχητικών κυμάτων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, fS : συχνότητα ηχητικών κυμάτων πηγής, υS : ταχύτητα πηγής (ως προς τον αέρα), υΑ : ταχύτητα παρατηρητή (ως προς τον αέρα), υ : ταχύτητα ηχητικού κύματος (ως προς τον αέρα), υ΄ : ταχύτητα ηχητικού κύματος ως προς τον παρατηρητή, λA : μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής , λ : μήκος κύματος πηγής,λ=υ/ fS Τ : περίοδος ηχητικών κυμάτων πηγής.

1. Ακίνητη Πηγή-Ακίνητος Παρατηρητής fA = fS , λA =λ , υ΄ =υ ,

2.Ακίνητη Πηγή-Κινούμενος Παρατηρητής

( )A Sf f

, λA = λ , υ΄ =υυΑ

Το (+) ,όταν ο παρατηρητής πλησιάζει προς την πηγή και το (-),όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή .

3. Κινούμενη Πηγή-Ακίνητος Παρατηρητή

( )A S

S

f f

, λA =λ υSΤ , υ΄ =υ

Το (-) ,όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή και το (+), όταν απομακρύνεται από αυτόν .

4. Κινούμενη Πηγή-Κινούμενος Παρατηρητής

( )A S

S

f f

, λA =λ υSΤ ,

Το (+) ,όταν ο παρατηρητής πλησιάζει προς την πηγή και το (-),όταν ο

παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή . (αριθμητής)

Το (-) ,όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή και το (+), όταν

απομακρύνεται από αυτόν .(παρονομαστής)

ΠΡΑΚΤΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ: ΘΕΣΤΕ ΘΕΤΙΚΗ ΤΗΝ ΦΟΡΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΠΗΓΗ

fA=𝛖′

𝛌𝚨


υ'=υ+υΑ όταν ο ακροατής πλησιάζει

υ'=υ-υΑ όταν ο ακροατής απομακρύνεται

Αν επιταχύνεται η πηγή ή ο παρατηρητής

( )A S

S s

tf f

a t

Αν οι ταχύτητες δεν είναι συνευθειακές

( )xA S

S x

f f

Αν ο ήχος ανακλάται τότε το σημείο ανάκλασης γίνεται νέα πηγή.

Η πηγή αυτή εκέμπει ήχο με την συχνότητα που αντιλαμβάνεται

υποθετικός ακροατής ,ο οποίος βρίσκεται στο σημείο ανάκλασης.


ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ


1. Οι κρούσεις

(Ε) Ερωτήσεις Ε1.1 Να συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν:

α. Κρούση ονομάζουμε κάθε φαινόμενο κατά το οποίο τα συγκρουόμενα σώματα αλληλεπιδρούν

με σχετικά ………….. δυνάμεις, για ………. χρονικό διάστημα.

β. ……………ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων

μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι πάνω στην ίδια ευθεία.

γ. Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση κατά την οποία οι ταχύτητες των σωμάτων που συγκρούονται

είναι ……………….

δ. Αν οι ταχύτητες των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκονται σε τυχαία διεύθυνση η κρούση

είναι …………..

ε. Κατά τη διάρκεια μιας κρούσης, η ορμή του συστήματος ………………..

στ. Στην ελαστική κρούση εκτός από την ορμή, διατηρείται και η ………………ενέργεια του

συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται.

ζ. Αν μέρος της αρχικής ……………….. των σωμάτων που συγκρούονται μετατρέπεται σε

θερμότητα η κρούση λέγεται ……………….

E1.2 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν:

α. Κατά την …………..κρούση δύο σωμάτων τα σώματα μετά την κρούση μένουν ενωμένα.

β. Κατά τη μετωπική ελαστική κρούση δυο σωμάτων, ……… μάζας γίνεται ανταλλαγή ταχυτήτων. γ.

Μια κρούση λέγεται ελαστική όταν η ………… ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων

σωμάτων διατηρείται σταθερή.

δ. Σφαίρα συγκρούεται κάθετα με οριζόντιο δάπεδο και η κρούση θεωρείται ελαστική. Η σφαίρα

ανακλάται με ταχύτητα ………… μέτρου.

Ε1.3 Να απαντήσετε στις ερωτήσεις που ακολουθούν:

α. Ποιο φαινόμενο ονομάζεται κρούση ή σκέδαση;

β. Ποια κρούση ονομάζεται κεντρική ή μετωπική;

γ. Ποια κρούση ονομάζεται έκκεντρη;

δ. Ποια κρούση ονομάζεται πλάγια;

Ε1.4 Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ μιας ελαστικής και μιας ανελαστικής κρούσης.

Ε1.5 Ένα σύστημα δύο σωμάτων θεωρείται απομονωμένο όταν:

α. Η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι σταθερή.

β. Η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.

γ. Η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.

δ. Η ορμή του συστήματος είναι μηδέν.

Ε1.6 Δύο σφαίρες Α και Β συγκρούονται πάνω στο τραπέζι του μπιλιάρδου. Τίνος η ορμή

διατηρείται;

α. Της σφαίρας Α.

β. Της σφαίρας Β.

γ. Του συστήματος των δύο σφαιρών.

δ. Του συστήματος των δύο σφαιρών, μόνο αν η κρούση είναι ελαστική.


Ε1.7 Σε μια κεντρική κρούση δύο σωμάτων:

α. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι στην ίδια ευθεία.

β. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν αντίθετες

κατευθύνσεις.

γ. Η κινητική ενέργεια των συστήματος διατηρείται σταθερή.

δ. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν παράλληλες

διευθύνσεις.

Ε1.8 Σε μια έκκεντρη κρούση δύο σωμάτων:

α. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι στην ίδια ευθεία.

β. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν αντίθετες

κατευθύνσεις.

γ. Η κινητική ενέργεια των συστήματος διατηρείται σταθερή.

δ. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν παράλληλες

διευθύνσεις.

Ε1.9 Μια κρούση λέγεται πλάγια όταν:

α. Δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ορμής.

β. Δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ενέργειας.

γ. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν τυχαία διεύθυνση.

δ. Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι παράλληλες.

Ε1.10 Σε κάθε κρούση δύο σωμάτων, που αποτελούν μονωμένο σύστημα:

α. Διατηρείται η ορμή του κάθε σώματος.

β. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.

γ. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής του συστήματος, μόνο αν διατηρείται ταυτόχρονα και η

κινητική ενέργεια του συστήματος.

δ. Τίποτα από τα παραπάνω.

Ε1.11 Σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται:

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων.

β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

γ. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων.

δ. Η ορμή του συστήματος και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

Ε1.12 Σε μια ανελαστική κρούση:

α. Μέρος της κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα.

β. Η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.

γ. Το μέτρο της ορμής του κάθε σώματος μειώνεται.

δ. Η ορμή του συστήματος μειώνεται.

Ε1.13 Σε μια πλαστική κρούση δύο σωμάτων, που αποτελούν μονωμένο σύστημα:

α. Διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος.

β. Τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες.

γ. Τα σώματα μένουν ενωμένα και η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται.

δ. Η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται αλλά τα σώματα μένουν χωριστά.

Ε1.14 Μια σφαίρα που κινείται οριζόντια σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με κατακόρυφο

ακλόνητο τοίχο, κάθετα και ανακλάται κάθετα:

α. Η ορμή του συστήματος μπάλα − τοίχος διατηρείται.

β. Η ορμή της μπάλας διατηρείται.


γ. Η κινητική ενέργεια της μπάλας διατηρείται.

δ. Η ορμή της μπάλας μεταβάλλεται.

Ε1.15 Η ορμή ενός απομονωμένου συστήματος σωμάτων διατηρείται:

α. Μόνο στις ελαστικές κρούσεις.

β. Μόνο στις κεντρικές κρούσεις.

γ. Μόνο στις ανελαστικές κρούσεις.

δ. Σε όλες τις κρούσεις.

Ε1.16 Η διατήρηση της κινητικής ενέργειας ενός απομονωμένου συστήματος σωμάτων ισχύει:

α. Σε κάθε κρούση.

β. Μόνο στις μετωπικές και ελαστικές κρούσεις.

γ. Στις πλαστικές και μετωπικές κρούσεις.

δ. Μόνο στις ελαστικές κρούσεις.

Ε1.17 Αν ένα σώμα συγκρουστεί μετωπικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο σώμα ίσης μάζας τότε η

ταχύτητά του:

α. Θα διπλασιαστεί. γ. Θα μείνει σταθερή.

β. Θα μηδενιστεί. δ. Θα αντιστρέψει φορά.

Ε1.18 Αν ένα σώμα συγκρουστεί μετωπικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο σώμα μικρότερης μάζας

τότε η ταχύτητά του:

α. Θα έχει μικρότερο μέτρο και την ίδια φορά.

β. Θα μηδενιστεί.

γ. Θα μείνει σταθερή.

δ. Θα έχει μικρότερο μέτρο αλλά την αντίθετη φορά.

Ε1.19 Αν ένα σώμα συγκρουστεί μετωπικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο σώμα μεγαλύτερης

μάζας τότε η ταχύτητά του:

α. Θα έχει μικρότερο μέτρο και την ίδια φορά.

β. Θα μηδενιστεί.

γ. Θα μείνει σταθερή.

δ. Θα έχει μικρότερο μέτρο αλλά την αντίθετη φορά.

Ε1.20 Μια σφαίρα που κινείται οριζόντια σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται ελαστικά με

κατακόρυφο ακλόνητο τοίχο, κάθετα και ανακλάται κάθετα:

α. Η ορμή της σφαίρας διατηρείται σταθερή.

β. Η σφαίρα ανακλάται με ταχύτητα ίσου μέτρου.

γ. Η κινητική ενέργεια του συστήματος σφαίρα − τοίχος διατηρείται σταθερή.

δ. Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας μειώνεται. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές;

Ε1.21 Δύο σφαίρες ίσης μάζας συγκρούονται. Για να ανταλλάξουν ταχύτητες πρέπει η κρούση τους

να είναι:

α. Μόνο μετωπική.

β. Μόνο ελαστική.

γ. Μετωπική και ανελαστική.

δ. Μετωπική και ελαστική.


Ε1.22 Κατά την ελαστική και μετωπική κρούση δύο σωμάτων με ίσες μάζες, τα σώματα

ανταλλάσσουν:

α. Μόνο ταχύτητες. β. Μόνο ορμές.

γ. Μόνο κινητικές ενέργειες. δ. Όλα τα προηγούμενα.

Ε1.23 Μια σφαίρα συγκρούεται πλάγια και ελαστικά με ακλόνητο πάτωμα. Αν προσπίπτει με

ταχύτητα μέτρου, υ και γωνία πρόσπτωσης, φ, τότε ανακλάται:

α. Με αντίθετη ταχύτητα.

β. Με ταχύτητα μέτρου V<υ και γωνία ανάκλασης, θ, με θ=φ.

γ. Με ταχύτητα μέτρου V>υ και γωνία ανάκλασης, θ, με θ<φ.

δ. Με ταχύτητα μέτρου V=υ και γωνία ανάκλασης, θ, με θ=φ.

Ε1.24 Μια σφαίρα με ορμή μέτρου, m,υ, πέφτει κατακόρυφα και συγκρούεται ελαστικά με

οριζόντιο και τελείως λείο επίπεδο. Ι. Η μεταβολή του μέτρου της ορμής είναι: α. μηδέν β. 2mυ γ. mυ

ΙΙ. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας είναι:

α. μηδέν β. 2mυ γ. mυ

Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Ε1.25 Ένα ελαφρύ και ένα βαρύ σώμα έχουν ίσες κινητικές ενέργειες. Ποιο έχει μεγαλύτερη ορμή;

α. Το βαρύτερο.

β. Το ελαφρύτερο.

γ. Κανένα από τα δύο.

δ. Πρέπει να έχουμε και άλλες πληροφορίες για να απαντήσουμε.


Ε1.26 Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστή;

α. Ένα σύστημα σωμάτων μπορεί να έχει ορμή, αλλά όχι κινητική ενέργεια.

β. Ένα σώμα μπορεί να έχει κινητική ενέργεια, αλλά όχι ορμή.

γ. Ένα σύστημα σωμάτων μπορεί να έχει κινητική ενέργεια, αλλά όχι ορμή.

δ. Ένα σώμα μπορεί να έχει ορμή, αλλά όχι κινητική ενέργεια.

Ε1.27 Μπάλα μάζας m που κινείται οριζόντια συγκρούεται με κατακόρυφο ακλόνητο τοίχο με

ταχύτητα υ και ανακλάται οριζόντια με ταχύτητα ίσου μέτρου. Ποιες από τις προτάσεις που

ακολουθούν είναι σωστές:

α. Η μεταβολή ορμής της μπάλας είναι μηδέν.

β. Η κρούση είναι ελαστική.

γ. Το μέτρο μεταβολής της ορμής της μπάλας είναι 2mυ.

δ. Η κινητική ενέργεια του συστήματος «μπάλα − τοίχος» διατηρείται σταθερή.

Ε1.28 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αναφέρονται σε σύστημα σωμάτων είναι σωστές;

α. Το σύστημα μπορεί να έχει κινητική ενέργεια, χωρίς να έχει ορμή.

β. Το σύστημα μπορεί να έχει ορμή χωρίς να έχει κινητική ενέργεια.

γ. Οι εσωτερικές δυνάμεις του συστήματος μπορούν να του μεταβάλλουν την ορμή αλλά όχι την

κινητική ενέργεια.


δ. Οι εξωτερικές δυνάμεις του συστήματος μπορούν να του μεταβάλλουν την ορμή και την

κινητική του ενέργεια.

Ε1.29 Απόλυτα ελαστική κρούση μπορεί να θεωρηθεί η κρούση:

α. Δύο χαλύβδινων σφαιρών.

β. Δύο σφαιρών από σκληρό καουτσούκ.

γ. Δύο πυρήνων ατόμων.

δ. Δύο σφαιρών από πλαστελίνη.

Ε1. 30 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες;

α. Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των σωμάτων κατά τη διάρκεια μιας κρούσης είναι πολύ

μικρές.

β. Σε ένα μονωμένο σύστημα δύο σφαιρών που συγκρούονται ελαστικά, η ορμή της κάθε σφαίρας

διατηρείται σταθερή.

γ. Στις κεντρικές κρούσεις τα κέντρα μάζας των ταχυτήτων των σωμάτων είναι στην ίδια ευθεία.

δ. Κατά την ελαστική μετωπική κρούση δύο σωμάτων η μεταβολή ορμής του ενός σώματος είναι

αντίθετη της μεταβολής ορμής του άλλου.

ε. Στην ανελαστική κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων μειώνεται.


α. Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.

β. Στην μετωπική ελαστική κρούση δύο σωμάτων παρατηρείται ανταλλαγή ταχυτήτων.

γ. Στην πλαστική κρούση τα σώματα ενώνονται μεταξύ τους.

δ. Κατά την ελαστική κρούση σφαίρας και ακλόνητο τοίχο η ορμή της σφαίρας διατηρείται

σταθερή.


α. Αν διπλασιαστεί η ορμή ενός σώματος τότε διπλασιάζεται και η κινητική του ενέργεια.

β. Κατά την ελαστική κρούση σφαίρας και ακλόνητο τοίχο η κινητική ενέργεια της σφαίρας

διατηρείται σταθερή.

γ. Η κρούση δύο θετικά φορτισμένων σωματιδίων μπορεί να είναι απολύτως ελαστική.

δ. Σε μια πλάγια ανελαστική κρούση διατηρείται η ορμή του συστήματος.

Ε1.33 Δύο σφαίρες με μάζες m1, m2 κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ1, υ2 με υ1>υ2

αντιστοίχως, προς την ίδια κατεύθυνση και συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Οι ταχύτητες

μετά την κρούση είναι:

Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Ε1.34 Σώμα μάζας m1 ταχύτητας υ1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας

m2. Οι ταχύτητες μετά την κρούση είναι:

1 2 m1+m2

1 2 1 2


Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Ε1.35 Δύο σώματα κινούνται χωρίς τριβές με την ίδια ταχύτητα αλλά κατά αντίθετη φορά πάνω σε

μια ευθεία και συγκρούονται μετωπικά και μετά την κρούση μένουν ενωμένα και ακίνητα. Ποιες από

τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές:

α. Έχουν μάζες ίσες.

β. Η κινητική τους ενέργεια μετατράπηκε σε θερμότητα.

γ. Η ορμή του συστήματος είναι μηδέν πριν και μετά την κρούση.

δ. Η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική.


Ε1.36 Σφαίρα μάζας m1 σφηνώνεται με ταχύτητα υ σε κύβο μάζας m2 που ήταν αρχικά ακίνητος

πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδό. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

α. Η κρούση είναι πλαστική. β. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας μηδενίζεται μετά την κρούση.

γ. Η ορμή της σφαίρας διατηρείται σταθερή μετά την κρούση.

δ. Μέρος της αρχικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων μετατράπηκε σε θερμότητα.


Ε1.37 Παίκτης του Αmerican Football μάζας 90kg κινείται με τη μπάλα και με ταχύτητα 4m/s.

Για να τον σταματήσουν σπεύδουν δύο αντίπαλοι αμυντικοί για να κάνουν μετωπική πλαστική

κρούση μ' αυτόν. Ο ένας έχει 100kg μάζα και 3,6m/s ταχύτητα και ο άλλος 80kg και 4,5m/s.

Ποιος είναι καταλληλότερος να τον σταματήσει;

α. Ο βαρύτερος. β. Ο ελαφρύτερος. γ. Και ο δύο το ίδιο.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Ε1.38 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις

απαντήσεις σας.

α. Τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες σε κάθε μετωπική ελαστική κρούση σωμάτων με ίσες

μάζες.

β. Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος σωμάτων διατηρείται σταθερή σε κάθε κρούση.

γ. Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος μετατρέπεται όλη σε θερμότητα σε μετωπική, πλαστική

κρούση δύο σωμάτων με αντίθετες ορμές.

δ. Μετά την κρούση το ένα από τα δύο σταματάει αν η κρούση είναι ελαστική μετωπική με ίσες

μάζες και το άλλο σώμα ήταν αρχικά ακίνητο.

→ →

Ε1.39 Δύο σφαίρες με μάζες m1, m2 κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ1, υ2 αντιστοίχως, → →

και συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Μετά την κρούση κινούνται με ταχύτητες V1 και V2.

Ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις ισχύουν; → → → →

α. m1υ1 + m2υ2 = m1V1 + m2 V2 β. m1υ1+m2υ2 = m1V1+m2V2

γ. m1υ1

2 − m2υ2

2= m1V1

2−m2V2

2 δ. m1V1

2 − m1υ1

2= m2υ2

2− m2V2

2


Ε1.40 Τα δύο σώματα που φαίνονται στο σχήμα, συγκρούονται ελαστικά

και μετωπικά. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και

ποιες λανθασμένες;

α. Η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών μετά την κρούση είναι μηδέν.

β. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος είναι μηδέν. γ.

Οι μεταβολές της ορμής των σφαιρών είναι μεταξύ τους αντίθετες. Να

αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Ε1.41 Σφαίρα μάζας m1 και ταχύτητα υ1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα

μάζας m2. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται με ταχύτητες V1, V2. Ποιες από τις προτάσεις

που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την κάθε απάντησή σας.

α. Αν m1=m2 τότε V1=0 και V2=υ1.

β. Αν m1>m2 τότε οι V1 και V2 έχουν αντίθετες κατευθύνσεις.

γ. Αν m1=m2 η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της m1 είναι −50% της αρχικής τιμής της.

δ. Αν m1<m2 οι ταχύτητες V1 και V2 έχουν ίδιες κατευθύνσεις.

Ε1.42 Μια μικρή σφαίρα μάζας m1 συγκρούεται μετωπικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m2.

Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται με αντίθετες ταχύτητες ίσων μέτρων. Ο λόγος των μαζών των

δύο σφαιρών, m1/m2 είναι:

α. 1 β. 1/3 γ. 1/2

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Πανελλαδικές εξετάσεις 2004)

Ε1.43 Κατά τη μετωπική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με ταχύτητες υ1 , υ2 πριν την κρούση και → →

V1, V2 μετά την κρούση, ισχύει μεταξύ των ταχυτήτων η σχέση:


Ε1.44 Δύο σφαίρες με μάζες m1, m2, με m2=4m1, συγκρούονται μετωπικά ελαστικά με ταχύτητες

ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης. Ο λόγος των ταχυτήτων |V1|/|V2|, μετά την κρούση, είναι:

α. 5 β. 6 γ. 11


Ε1.45 Δύο σφαίρες με μάζες m1, m2 συγκρούονται μετωπικά ελαστικά με ταχύτητες ίσου μέτρου

και αντίθετης κατεύθυνσης. Αν μετά την κρούση η σφαίρα μάζας, m2, παραμένει ακίνητη, τότε ο

λόγος των μαζών m2/m1 των δύο σφαιρών είναι:

α. ½ β. 1/3 γ. 3



Ε1.46 Δύο σφαίρες με ίσες μάζες συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά με ταχύτητες αντίθετης

κατεύθυνσης, και διαφορετικού μέτρου. Να αποδείξετε ότι ανταλλάσσουν ταχύτητες.

Ε1.47 Σφαίρα μάζας m1 συγκρούεται με ταχύτητα υ0, μετωπικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα

μάζας m2 που αρχικά ήταν ακίνητη. Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες κινούνται σε αντίθετες

κατευθύνσεις με ταχύτητες ίσου μέτρου. Ο λόγος των μαζών, m1/m2, των δύο σφαιρών είναι:

α. ¼ β. 1/3 γ. 1/2

Ε1.48 Σωματίδιο με κινητική ενέργεια Κ1 συγκρούεται μετωπικά ελαστικά με ακίνητο πυρήνα

διπλάσιας μάζας. Μετά την κρούση η κινητική ενέργεια του πυρήνα θα είναι:

α. 9Κ1/8 β. 8Κ1/9 γ. Κ1


Ε1.49 Σωματίδιο μάζας m1, ταχύτητας υ1, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο πυρήνα

μάζας m2. Μετά την κρούση το σωματίδιο ανακλάται με ταχύτητα, μέτρου, V1=2υ1/3.

Ι. Ο λόγος των μαζών των δύο σωμάτων, m1/m2 είναι:

α. 1/5 β. 1/4 γ. 5

ΙΙ. Το κλάσμα της κινητικής ενέργειας του σωματιδίου που μεταφέρθηκε στον πυρήνα είναι ΔΚ1/Κ1

α. 1/5 β. 5/9 γ. 4/5


Ε1.50 Δύο σώματα σ, Σ, με μάζες m και Μ με m<<Μ κινούνται στην ίδια ευθεία με αντίθετες

ταχύτητες ίσου μέτρου υ. Μετά την ελαστική τους κρούση το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, σ,

θα είναι :

α. υ β. 2υ γ. 3υ


Ε1.51 Η σφαίρα Σ1 μάζας m συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά

με την ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας 4m. μετά την κρούση η σφαίρα Σ1

επιστρέφει και συγκρούεται ελαστικά με το ακλόνητο τοίχωμα.

Μεταξύ των δύο σφαιρών οι κρούσεις που συμβαίνουν συνολικά

είναι:

α. Μία β. Δύο γ. Τρεις Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Ε1.52 Τρεις σφαίρες, Α, Β, Γ με μάζες m, 3m, 4m ηρεμούν αρχικά σε

λείο οριζόντιο επίπεδο με τα κέντρα τους στην ίδια ευθεία. Η

σφαίρα Α εκτοξεύεται με ταχύτητα υ προς τη σφαίρα Γ. Όλες οι

κρούσεις που συμβαίνουν είναι μετωπικές και ελαστικές. Ο

συνολικός αριθμός των κρούσεων είναι:

α. Μια β. Δύο γ. Τρεις


Ε1.53 Οι τρεις σφαίρες του σχήματος είναι όμοιες, ίσης μάζας m και τα κέντρα τους βρίσκονται

στην ίδια ευθεία. Εκτοξεύουμε τη σφαίρα Α με ταχύτητα υ προς τη

σφαίρα Β και όλες οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές. Ποια από τις

ακόλουθες προτάσεις είναι η σωστή;

α. Η Α θα σταματήσει και οι Β και Γ θα φύγουν δεξιά με ταχύτητα υ.


β. Η Β θα μείνει ακίνητη και οι Α και Γ θα κινηθούν αντίθετα με

ταχύτητες μέτρου υ.

γ. Η Α θα σταματήσει, η Β θα μείνει ακίνητη και η Γ θα φύγει με

ταχύτητα, υ.

Ε1.54 Δύο σφαίρες ίσης μάζας κινούνται κατά μήκος του άξονα xx⁄ με ταχύτητες υ1=10m/s και

υ2=−15m/s και συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Μετά την κρούση οι ταχύτητες των σφαιρών

V1, V2, θα είναι:

α. 10m/s και −15m/s β. −10m/s και −15m/s γ. −10m/s και 15m/s


Ε1.55 Δύο σφαίρες με μάζες m1, m2 με m2=2m1, κινούνται κατά μήκος του άξονα xx⁄ με ταχύτητες

υ1=3m/s και υ2=−3m/s και συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. Μετά την κρούση οι ταχύτητες των

σφαιρών, V1, V2 θα είναι:

α. +1m/s και +5m/s β. −5m/s και +1m/s γ. −1m/s και −5m/s


Ε1.56 Μια σφαίρα Α που κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με

άλλη όμοια αλλά ακίνητη σφαίρα, Β, που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο. Να αποδείξετε ότι η κινητική

ενέργεια του συσσωματώματος μετά την κρούση είναι ίση με το μισό της κινητικής ενέργειας της

σφαίρας Α πριν την κρούση. (Θέμα Πανελλαδικών 2003)

Ε1.57 Βλήμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ διαπερνά ακίνητο σώμα μάζας Μ=2m και όταν

βγαίνει από αυτό έχει ταχύτητα μέτρου υ/2. Το ποσοστό της αρχικής ενέργειας του βλήματος που

έγινε θερμότητα λόγω ανελαστικής κρούσης είναι:

α. 5/8 β. 3/8 γ. 1/8


Ε1.58 Σώμα, Α, μάζας m που έχει κινητική ενέργεια, Κ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με

ακίνητο σώμα, Β, τριπλάσιας μάζας, 3m και στη συνέχεια το σώμα, Β, συγκρούεται πλαστικά με

άλλο ακίνητο σώμα, Γ, μάζας 6m. Το ποσό θερμότητας που παράγεται κατά τις κρούσεις είναι:

α. Κ/2 β. Κ/3 γ. 2Κ/3


Ε1.59 Δύο σώματα με μάζες m1=m και m2=4m κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες μέτρου

υ1=2υ και υ2=υ σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τα σώματα συγκρούονται πλαστικά. Το ποσοστό της

αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που έγινε θερμότητα είναι:

α. 3/10 β. 5/10 γ. 9/10


Ε1.60 Σώμα μάζας m1 συγκρούεται πλαστικά και μετωπικά με άλλο σώμα μάζας m2 που αρχικά

ηρεμούσε. Το κλάσμα, Εαπωλ/Κπρο, της αρχικής μηχανικής ενέργειας του σώματος m1 που έγινε

θερμότητα λόγω της πλαστικής κρούσης είναι:


Ε1.61 Το καρότσι μάζας Μ κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ και η μπάλα, μάζας,

m, πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω και συγκρούεται πλαστικά με το

καρότσι. Λίγο πριν την κρούση η μπάλα είχε ταχύτητα υ⁄. Μετά την

κρούση το συσσωμάτωμα μπορεί να συνεχίσει να κινείται στο ίδιο

οριζόντιο επίπεδο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι

σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

α. Η ορμή του συστήματος των δύο αυτών σωμάτων διατηρείται.

β. Η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται.

γ. Η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα

της μπάλας υ⁄.

δ. Το μέτρο της ταχύτητας του καροτσιού μειώνεται μετά την κρούση.

Ε1.62 Τα σωματίδια με μάζες m1, m2 κινούνται με ταχύτητες υ1, υ2,

όπως φαίνεται στο σχήμα και συγκρούονται πλαστικά. Μετά την

κρούση η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι:


Ε1.63 Τα σωματίδια με ίδιες μάζες, m και ίδια μέτρα ταχυτήτων, υ

κινούνται σε ευθείες τροχιές που σχηματίζουν γωνία φ=600,

συγκρούονται πλαστικά και το συσσωμάτωμα κινείται με ταχύτητα

μέτρου, V, που σχηματίζει με την οριζόντια ευθεία γωνία, θ.

Ι. Το μέτρο της ταχύτητας V είναι:

α. υ √ 2/2 β. υ √ 3/2 γ. υ √ 3

ΙΙ. Η γωνία θ είναι:

α. 300

β. 450

γ. Άλλη γωνία


→

Ε1.64 Μπάλα μάζας m που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ συγκρούεται με λείο, κατακόρυφο και ακλόνητο τοίχο. Η κρούση είναι μετωπική. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή

λάθος. Να αιτιολογήσετε την κάθε απάντησή σας.

α. Η μπάλα ανακλάται με ταχύτητα ίσου μέτρου, υ, σε κάθε περίπτωση.

β. Η ορμή της σφαίρας διατηρείται σταθερή, αν η κρούση είναι ελαστική. γ.

Η κινητική ενέργεια της σφαίρας διατηρείται, αν η κρούση είναι και

ελαστική.

δ. Αν διατηρείται η κινητική ενέργεια της σφαίρας, θα διατηρείται και η

ορμή της.

ε. Η μεταβολή ορμής της σφαίρας έχει μέτρο 2mυ, αν η κρούση είναι ελαστική.

στ. Η μέση τιμής της δύναμης που δέχεται η μπάλα από τον τοίχο είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη

διάρκεια της επαφής τους.


Ε1.65 Μια σφαίρα, βάρους mg πέφτει κατακόρυφα στο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ1

και ανακλάται με ταχύτητα μέτρου υ2. Η δύναμη, F που δέχεται από το δάπεδο κατά τη διάρκεια της

κρούσης θεωρείται σταθερή και έχει μέτρο:

α. F=mg β. F>mg γ. F<mg


Ε1.66 Μια σφαίρα πέφτει πάνω σε οριζόντιο δάπεδο υπό γωνία φ

ως προς την κάθετο σε αυτό και ανακλάται με αντίστοιχη γωνία θ.

Να συγκριθούν οι γωνίες φ και θ στις εξής περιπτώσεις.

α. Η κρούση είναι ελαστική.

β. Κατά την κρούση η σφαίρα παραμορφώνεται μόνιμα, αλλά δεν

αναπτύσσεται τριβή μεταξύ σφαίρας και δαπέδου.

γ. Κατά την κρούση η σφαίρα παραμορφώνεται παροδικά και

αναπτύσσεται τριβή μεταξύ αυτής και του δαπέδου.

Σε όλες τις περιπτώσεις να μη ληφθεί υπόψη η δύναμη του βάρους.

Ε1.67 Μια μπάλα συγκρούεται ελαστικά με λείο οριζόντιο πάτωμα με την ταχύτητά της υ1 να

σχηματίζει γωνία φ με την κάθετο στο πάτωμα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι οι

σωστές; Να δικαιολογήσετε κάθε απάντησή σας.

α. Η ορμή της σφαίρας στον κατακόρυφο άξονα διατηρείται σταθερή.

β. Η ορμή της σφαίρας στον οριζόντιο άξονα διατηρείται σταθερή.

γ. Η σφαίρα ανακλάται με ταχύτητα μέτρου υ2<υ1.

δ. Αν η σφαίρα ανακλάται με γωνία θ, τότε φ=θ.

ε. Το μέτρο μεταβολής της ορμής της μπάλας είναι 2mυ1ημφ.

Ε1.68 Σφαίρα Σ1, μάζας m1 συγκρούεται έκκεντρα και ελαστικά με άλλη σφαίρα Σ2, μάζας m2,

που αρχικά είναι ακίνητη. Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις. Ο

λόγος των μαζών τους m1/m2 είναι:

α. 1 β. 2 γ. 1/2


Ε1.69 Μια σφαίρα με ορμή p συγκρούεται πλάγια αλλά ελαστικά με χαλύβδινη οριζόντια

επιφάνεια υπό γωνία φ=300

και ανακλάται. Το μέτρο μεταβολής της ορμής της σφαίρας είναι:

α. p √2 β. 2p γ. p√ 3


Ε1.70 Μια σφαίρα πέφτει κατακόρυφα και συναντά το οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου, υ

και ανακλάται με ταχύτητα μέτρου υ/2.

Ι. Το μέτρο μεταβολής της ορμής της είναι:

α. mυ/2 β. 3mυ/2 γ. 2mυ

ΙΙ. Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής της ενέργειας είναι:

α. 75% β. −75% γ. −50%


Ε1.71 Μια σφαίρα μάζας m1=m συγκρούεται κεντρικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m2=m.

α. Αν η κρούση είναι ελαστική, τότε η μάζα m1 χάνει το 50% της κινητικής της ενέργειας.


β. Αν η κρούση είναι πλαστική στη σφαίρα m1 απομένουν τα 25% της αρχικής της κινητικής

ενέργειας.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις δύο προηγούμενες προτάσεις και να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Ε1.72 Από σημείο που βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος αφήνονται διαδοχικά δύο σφαίρες με

μάζες m1=m και m2=m, αντίστοιχα. Η m1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το έδαφος και τη

στιγμή που αποχωρίζεται από αυτό συγκρούεται ξανά μετωπικά και ελαστικά με τη m2 που

κατεβαίνει πίσω της. Το ύψος στο οποίο θα εκτιναχτεί η m2 μετά την κρούση είναι:

α. h’=h β. h’>h γ. h’<h


E1.73 Σώμα, Α, μάζας m συγκρούεται με έκκεντρα με

σώμα Β, μάζας 2m που αρχικά είναι ακίνητο. Μετά την

κρούση το σώμα Α φεύγει με ταχύτητα που σχηματίζει γωνία

θ=300

με τον φορέα της ταχύτητας που είχε πριν την κρούση.

Το σώμα Β μετά την κρούση έχει ταχύτητα που σχηματίζει

γωνία φ=450

με τον με τον φορέα της ταχύτητας

που είχε το Α πριν την κρούση.

I. Ο λόγος VA/VB των ταχυτήτων των δύο σωμάτων μετά την

κρούση είναι:

α. VA/VB = 2/2 β. VA/VB=2 2

II. H κρούση είναι: α. Ελαστική β. Ανελαστική


Ε1.74 Σώμα, Σ1, μάζας m1=m ισορροπεί πάνω σε πλατφόρμα μάζας

Μ=8m όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα αρχικά ηρεμεί σε λείο

οριζόντιο επίπεδο. Το Σώμα Σ1 παρουσιάζει με την πλατφόρμα

συντελεστή τριβής ολίσθησης, μ. Βλήμα μάζας m2=m που κινείται

οριζόντια σφηνώνεται με ταχύτητα υ0 στο σώμα Σ.

1. Η τελική ταχύτητα του συστήματος όταν το συσσωμάτωμα m1+m2 θα σταματήσει να ολισθαίνει

πάνω στην πλατφόρμα, είναι:

α. υ0/9 β. υ0/5 γ/ υ0/10

2. Η θερμότητα που εκλύθηκε λόγω τριβής από τη στιγμή που τέλειωσε η κρούση μέχρι να

σταματήσει να ολισθαίνει το συσσωμάτωμα πάνω στην πλατφόρμας είναι:

α. mυ02/20 β. mυ0

2/10 γ. mυ0

2/5

3. Το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα πάνω στην πλατφόρμα μέχρι να σταματήσει είναι:

α. υ02/20μg β. υ0

2/10μg γ. 2υ0

2/5μg



Ε1.75 Στο διπλανό σχήμα βλήμα μάζας m που κινείται οριζόντια

σφηνώνεται σε ακίνητο σώμα μάζας Μ=3m που ακουμπά σε τοίχο. Η

ελάχιστη κινητική ενέργεια που απαιτείται για να σφηνωθεί όλο το

βλήμα στο ξύλο είναι Κ. Αν δεν υπάρχει τοίχος και το σώμα μάζας Μ

είναι ελεύθερο να κινηθεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, η ελάχιστη

απαιτούμενη κινητική ενέργεια ώστε το βλήμα να σφηνωθεί όλο στο σώμα είναι:

α. 4Κ/3 β. 2Κ/5 γ. 3Κ

Ποια είναι η σωστή απάντηση;


2. Σύνθετα προβλήματα στις κρούσεις και στη διατήρηση ενέργειας

Α2.1 Ξύλινος κύβος μάζας Μ=9kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα μάζας m=1kg που

κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ=100m/s σφηνώνεται στον κύβο ακαριαία. Μετά την κρούση

το συσσωμάτωνα ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο και σταματάει. Μεταξύ κύβου και επιπέδου ο

συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,5. Να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση. β. Το ποσοστό, %, της κινητικής ενέργειας του βλήματος που έγινε

θερμότητα λόγω κρούσης.

γ. Τη μετατόπιση του συσσωματώματος μέχρι να σταματήσει.

δ. Το ποσό της θερμότητας που εκλύθηκε λόγω τριβής με το επίπεδο.

Δίνεται g=10m/s2.

α. 10m/s, β. 90%, γ. 10m, δ. 500J

Α2.2 Ξύλινος κύβος μάζας Μ=2kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα μάζας m=0,2kg κινείται

οριζόντια με ταχύτητα υ0=200m/s και διαπερνάει τον κύβο σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα, dt

(dt→0). Όταν βγαίνει από αυτόν έχει ταχύτητα υ1=100m/s, ενώ ο κύβος μετά την κρούση

ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο κατά s=20m και σταματάει λόγω τριβών. Δίνεται g=10m/s2.

Να υπολογιστούν:

α. Η απώλεια ενέργειας του συστήματος κύβου − βλήματος, λόγω κρούσης.

β. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ επιπέδου και κύβου.

γ. Το μέτρο της μεταβολής ορμής του βλήματος, λόγω κρούσης.

α. 2900J, β. 0,25, γ. 20kgm/s

Α2.3 Μικρή σφαίρα μάζας m=0,1kg σφηνώνεται με

ταχύτητα υ=10m/s, σε άλλο σώμα μάζας Μ=0,1kg, που

αρχικά ήταν ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Μετά την κρούση τα δύο σώματα αρχίζουν να ανεβαίνουν

ολισθαίνοντας, κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300. Ο

συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και κεκλιμένου

επιπέδου είναι μ=√ 3/2. Να υπολογιστούν:

α. Η μέγιστη μετατόπιση του συσσωματώματος πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

β. Το ποσοστό, %, της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας, (πριν την κρούση) που έγινε

θερμότητα λόγω τριβών στο κεκλιμένο επίπεδο. Δίνεται g=10m/s2.

α. 1m, β. 30%

Α2.4 Σφαίρα, Σ1, μάζας m1=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ και συγκρούεται

μετωπικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα, Σ2, μάζας, m2=1kg, που

κρέμεται από ακλόνητο σημείο με νήμα μήκους λ=1,6m και αρχικά

ισορροπεί, όπως στο σχήμα. Μετά την ακαριαία κρούση η μέγιστη γωνία

απόκλίσης του νήματος, ως προς την κατακόρυφο που διέρχεται από το

σημείο εξάρτησης του νήματος, είναι 600. Να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα, υ, της σφαίρας, Σ1.

β. Η ταχύτητα της σφαίρας, Σ1, μετά την κρούση.


a. 3m/s, β. 1m/s


Α2.5 Xαλύβδινη σφαίρα, σ, μάζας m=1kg κρέμεται από ακλόνητο

σημείο με τη βοήθεια αβαρούς νήματος μήκους l=0,8m. Το νήμα φέρεται

σε οριζόντια θέση και η σφαίρα αφήνεται ελεύθερη. Στο κατώτερο

σημείο της τροχιάς της συγκρούεται κεντρικά με ακίνητο κύβο, Σ, μάζας

Μ=2,5kg. Μετά την κρούση ο κύβος ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο και

μετατοπίζεται κατά Δx=2m μέχρι να σταματήσει. Μεταξύ κύβου και

επιπέδου ο συντελεστής τριβής είναι μ=0,1.

Ποιο είναι το είδος της κρούσης που έγινε; Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας.


Ανελαστική

Α2.6 Κομμάτι ξύλου μάζας M=1,9kg είναι δεμένο στο ένα άκρο νήματος μήκους λ=0,9m, το άλλο

άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Το ξύλο ισορροπεί με

το νήμα κατακόρυφο. Βλήμα μάζας m=0,1kg που κινείται οριζόντια με

ταχύτητα υ, σφηνώνεται στο ξύλο. Το σύστημα βλήμα - ξύλο εκτρέπεται,

ώστε η μέγιστη απόκλιση του νήματος από την κατακόρυφη θέση να είναι

φ=600. Να υπολογιστούν:

α. Η αρχική ταχύτητα, υ, του βλήματος.

β. Το ποσοστό, %, της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος

κατά την κρούση. Δίνεται g=10m/s2. (Θέμα Πανελλαδικών εξετάσεων − Δέσμες)

α. 60m/s, β. -95%

Α2.7 Οριζόντιο ιδανικό ελατήριο φέρει συνδεδεμένο στο

ελεύθερο άκρο του σώμα μάζας Μ=4,8kg, ενώ το άλλο άκρο του

στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το ελατήριο βρίσκεται

στο φυσικό του μήκος και το σώμα ισορροπεί πάνω σε λείο

οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα μάζας m=0,2kg σφηνώνεται στο

σώμα με οριζόντια ταχύτητα υ=100m/s με αποτέλεσμα το

ελατήριο, μετά την κρούση να υποστεί μέγιστη συσπείρωση κατά Δx=0,2m. Nα υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

β. Η σταθερά του ελατηρίου.

γ. Ο χρόνος που χρειάζεται το συσσωμάτωμα για να σταματήσει για πρώτη φορά.

δ. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος τη στιγμή που το ελατήριο

βρίσκεται στη μέγιστη συσπείρωσή του.

α. 4m/s, β. 2,103N/m, γ. π/40s, δ. 400kgm/s

2

Α2.8 Οριζόντιο ιδανικό ελατήριο φέρει συνδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο του σώμα μάζας

Μ=4,8kg, ενώ το άλλο άκρο του στερεώνεται σε ακλόνητο

σημείο. Αρχικά το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος

και το σώμα ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο.

Βλήμα μάζας m=0,2kg σφηνώνεται στο σώμα με οριζόντια

ταχύτητα υ=100m/s με αποτέλεσμα το ελατήριο, μετά την

κρούση να υποστεί μέγιστη συσπείρωση κατά Δλ=0,2m.

Μεταξύ επιπέδου και σώματος μάζας Μ, υπάρχουν τριβές με συντελεστή τριβής μ=0,1.

Nα υπολογιστούν: α. Η θερμότητα που εκλύθηκε λόγω τριβών κατά την ολίσθηση. β. Η σταθερά του ελατηρίου, k.


α. 1J, β. 1950N/m


A2.9 Κύβος μάζας Μ=4kg συνδέεται στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς

k=1600N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο. Tο ελατήριο αρχικά βρίσκεται στο φυσικό

του μήκος. Σφαίρα μάζας m=2kg, που κινείται οριζόντια πάνω σε λείο επίπεδο, συγκρούεται

μετωπικά, ελαστικά με το σώμα και με ταχύτητα υ=6m/s.

α. Ποια είναι τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων

αμέσως μετά την κρούση;

β. Να γράψετε την εξίσωση θέσης του κύβου σε σχέση με το

χρόνο, t. Να θεωρηθεί ως θέση x=0 η θέση ισορροπίας του

κύβου, ως θετική, η φορά προς τα δεξιά και ως t0=0 η

χρονική στιγμή που αρχίζει η κίνηση του κύβου, μάζας Μ.

γ. Ποιο ποσοστό, %, της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μεταβιβάστηκε στον κύβο κατά την

κρούση;

α. 2m/s, 4m/s, β. x=0,2ημ(20t+π), (SI) γ. ~89%

Α2.10 Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h=1,6m και γωνίας κλίσης φ=300

αφήνεται

να ολισθήσει σώμα μάζας m1=1kg. Στη βάση του κεκλιμένου, το σώμα συναντά λείο οριζόντιο

επίπεδο, στο οποίο κινείται μέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά με σώμα μάζας m2=4kg, που ήταν

αρχικά ακίνητο. Τo συσσωμάτωμα κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, συναντά και συσπειρώνει

ιδανικό οριζόντιο ελατήριο, το οποίο έχει μόνιμα στερεωμένο το ένα άκρο του. Αν ο συντελεστής

τριβής ολίσθησης επί του κεκλιμένου είναι μ= √ 3/4, να πολογιστούν:

α. Η συσπείρωση του ελατηρίου.

β. Το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του σώματος m1, που χάνεται κατά την ολίσθηση

επί του κεκλιμένου επιπέδου.

Δίνονται, g=10m/s, k=1000N/m. Δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας κατά τη στιγμή που το σώμα

μάζας m1 συναντά το οριζόντιο επίπεδο. Ως στάθμη μηδενικής δυναμικής ενέργειας βαρύτητας να

θεωρηθεί το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας. (Θέμα Πανελλαδικών

εξετάσεων−Δέσμες)

A2.11Θεωρούμε κατακόρυφο τεταρτοκύκλιο

ΑΒ, ακτίνας R=2m που εφάπτεται στο κάτω

άκρο του Β, με λείο οριζόντιο δάπεδο. Σώμα

μάζας m1=4kg, αφήνεται να ολισθήσει κατά

μήκος του τεταρτοκυκλίου από το άνω άκρο Α.

Το σώμα περνάει από το σημείο Β με ταχύτητα

υΒ=5m/s και συνεχίζει να κινείται χωρίς τριβές

κατά μήκος της οριζόντιας εφαπτομένης του

τεταρτοκυκλίου στο σημείο Β.

α. x=0,04m, β. α% =75%

Αφού διανύσει διάστημα ΒΓ=s=0,6m στο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται πλαστικά με σώμα μάζας

m2=6kg που είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=250N/m, το οποίο

έχει το άλλο άκρο του στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Τα σώματα μετά την πλαστική κρούση

κινούνται ως μια μάζα και το ελατήριο συσπειρώνεται. Να υπολογιστούν:

α. Η θερμότητα που παράχθηκε λόγω τριβής κατά την κίνηση του σώματος στο τεταρτοκύκλιο.

β. Το ποσοστό (%) της αρχικής μηχανικής ενέργειας (του σώματος m1 στο σημείο Α) που

μετατράπηκε σε θερμότητα λόγω της πλαστικής κρούσης.

γ. Το ποσοστό (%) της αρχικής μηχανικής ενέργειας του σώματος m1 που έγινε θερμότητα λόγω

τριβών.

δ. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.


Ως στάθμη μηδενικής δυναμικής ενέργειας να θεωρηθεί το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το

Β. Δίνεται g=10m/s2. (Θέμα Πανελλαδικών εξετάσεων − Δέσμες)

α. |WT|=30J, β. 37,5%, γ. 37,5%, δ. x=0,4m

Α2.12 Κομμάτι ξύλου μάζας Μ=4kg κρέμεται από ακλόνητο

σημείο, με τη βοήθεια αβαρούς νήματος μήκους λ=0,9m. Βλήμα

μάζας m=1kg βάλλεται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ διαπερνάει

το ξύλο και βγαίνει με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ/2.

α. Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας υ του βλήματος ώστε το ξύλο μετά την κρούση να διαγράψει κατακόρυφο κύκλο

ακτίνας λ, δηλαδή να κάνει ανακύκλωση.

β. Αν το βλήμα εκτοξευτεί με την ταχύτητα του ερωτήματος (α) να βρεθεί η τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση και ενώ το

νήμα είναι ακόμα κατακόρυφο.

Δίνεται το g=10m/s2. Η χρονική διάρκεια της κρούσης να θεωρηθεί αμελητέα, (dt→0).

α. υ=24 √ 5m/s, β. Τ=240Ν

Α2.13 Κομμάτι ξύλου μάζας Μ=4kg κρέμεται από ακλόνητο

σημείο με τη βοήθεια λεπτής, αβαρούς ράβδου, μήκους λ=0,4m.

Βλήμα μάζας m=1kg συγκρούεται με το ξύλο με ταχύτητα, υ, που

σχηματίζει γωνία φ=600

με την οριζόντια διεύθυνση, όπως φαίνεται

στο σχήμα. Η κρούση είναι πλαστική και θεωρείται ακαριαία.

Να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα, υ, του βλήματος έτσι ώστε το συσσωμάτωμα να

διαγράψει γωνία 900

μετά την κρούση.

β. Η ελάχιστη ταχύτητα, υmin, του βλήματος, ώστε το

συσσωμάτωμα μετά την κρούση να κάνει ανακύκλωση, αν η

κρούση γίνεται και πάλι με τις ίδιες συνθήκες. Δίνεται το g=10m/s2.

α. υ=20√ 2m/s, β. υmin=40m/s Α2.14 Σώμα Α, μάζας m1=2kg είναι συνδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς

k=800Ν/m και ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έτσι

ώστε το ελατήριο να βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Το

σώμα Α βρίσκεται σε επαφή με σφαίρα, Β, μάζας

m2=6kg, η οποία θεωρείται ως υλικό σημείο.

Συσπειρώνουμε το ελατήριο κατά x=0,6m και το

αφήνουμε ελεύθερο. Καθώς το σώμα, Α, επανέρχεται στη

θέση ισορροπίας του, συγκρούεται με τη σφαίρα

μετωπικά και την εκτοξεύει προς τα δεξιά. Η σφαίρα

ολισθαίνει χωρίς τριβές και αρχίζει να ανεβαίνει μια λεία κυκλική ράγα, ακτίνας R=0,6m. Όταν

φτάνει στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς της, Ζ, η κάθετη αντίδραση που δέχεται από τη ράγα

είναι ΝΖ=60Ν. Δίνεται g=10m/s2.

α. Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας στο σημείο, Ζ.

β. Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση της με το σώμα, Α.

γ. Να εξεταστεί αν η κρούση σώματος Α και σφαίρας, Β είναι ελαστική ή ανελαστική

α. υΖ=2 √ 3m/s, β. υ2=6m/s, γ. Ελαστική


Α2.15 Ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m τοποθετείται

οριζόντια και με το ένα άκρο του στερεώνεται σε

ακλόνητο σημείο. Στο άλλο άκρο του φέρει σώμα, μάζας

m2=1kg, το οποίο κάνει απλές αρμονικές ταλαντώσεις

πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο, 10m/s. Κάποια

στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση x=+Α, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, βλήμα μάζας

m1=1kg που κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου, υ, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m2.

Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κάνει οριζόντιες ταλαντώσεις πλάτους Α⁄= √3m. Να

υπολογιστούν:

α. Το πλάτος, Α, των αρχικών ταλαντώσεων που κάνει το σώμα m2.

β. Η ταχύτητα του βλήματος, υ, μόλις πριν την κρούση.

α. Α=1m, β. υ=20m/s

Α2.16 Οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k φέρει σώμα

μάζας m1=4kg και το ένα άκρο του είναι στερεωμένο σε

ακλόνητο σημείο. Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω=20rad/s και πλάτος

Α=0,4m. Τη στιγμή που διέρχεται από το σημείο Ζ με

θέση x1=+Α/2 και θετική ταχύτητα, συγκρούεται μετωπικά

και ελαστικά με σώμα μάζας m2=2kg που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ2=2 √ 3m/s σε

αντ ίθετη κατεύθυνση από το m1.

α. Να βρείτε τις ταχύτητες των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση.

β. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος m1 σε σχέση με το χρόνο μετά την

κρούση. Ως t0=0 να θεωρήσετε τη στιγμή που έγινε η κρούση. Η κρούση θεωρείται ακαριαία.

a. V1=0, V2=6 √ 3m/s, β. x=0,2ημ(20t+π/2), (SΙ)

Α2.17 Ελατήριο σταθεράς k=400m/s τοποθετείται οριζόντια και με το ένα άκρο του στερεώνεται

σε ακλόνητο σημείο. Στο άλλο άκρο του φέρει σώμα μάζας m2=1kg το οποίο κάνει απλές

αρμονικές ταλαντώσεις πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με

πλάτος Α=0,2m. Κάποια στιγμή που το σώμα περνάει από

τη θέση ισορροπίας και κινείται προς τη θέση x=+Α, άλλο

σώμα μάζας m1=1kg που κινείται αντίθετα με ταχύτητα

μέτρου υ=2m/s, συγκρούεται μετωπικά ελαστικά με το

σώμα μάζας m2. Να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα του σώματος m1 αμέσως μετά την κρούση.

β. Η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος m2 από τη θέση ισορροπίας του μετά την κρούση.

γ. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος, m2 που μεταβιβάστηκε στο m1 κατά την

κρούση.

α. 4m/s, β. 0,1m, γ. 100%

Α2.18 Βλήμα μάζας m κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα υ0=16m/s συγκρούεται κεντρικά και

πλαστικά με ακίνητο σώμα Α μάζας m1=3m που

βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο και

σε απόσταση λ=15,7cm από σημείο Ο του

επιπέδου στην ευθεία κίνησης του βλήματος, όπως

φαίνεται στο σχήμα. Σώμα Β μάζας m2=4m

είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου


ιδανικού ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ο άξονας του ελατηρίου

συμπίπτει με την διεύθυνση κίνησης του βλήματος. Αρχικά το ελατήριο είναι συμπιεσμένο ώστε το

σώμα Β να απέχει απόσταση d1 από το σημείο Ο που αντιστοιχεί στη θέση του φυσικού μήκους του

ελατηρίου. Τη στιγμή που το βλήμα προσκρούει στο σώμα Α, το σώμα Β αφήνεται ελεύθερο. Το

συσσωμάτωμα βλήματος και σώματος Α κινούμενο με ταχύτητα υ1 συγκρούεται μετωπικά και

ελαστικά με το Β τη στιγμή που το Β έχει μέγιστη ταχύτητα για πρώτη φορά. Να βρείτε:

α. Το μέτρο της ταχύτητας υ1.

β. Το μέτρο της ταχύτητας V2 του σώματος Β αμέσως μετά την κρούση με το συσσωμάτωμα.

γ. Την περίοδο ταλάντωσης του σώματος, Β.

δ. Το νέο πλάτος d2 της ταλάντωσης του Β μετά την κρούση με το συσσωμάτωμα.

(Θέμα επαναληπτικών Πανελλαδικών εξετάσεων 2002)

α. 4m/s. β. 4m/s, γ.0,157s, δ. 0,1m

Α2.19 Έστω σώμα (Σ) μάζας Μ=1kg και κωνικό βλήμα (β) μάζας m=0,2kg. Για να σφηνώσουμε

με το χέρι μας ολόκληρο το βλήμα στο σταθερό σώμα (Σ) πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια 100J.

Έστω τώρα ότι το σώμα (Σ) που είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο πυροβολείται με το βλήμα

(β). Το βλήμα κινούμενο οριζόντια με κινητική ενέργεια Κ προσκρούει στο σώμα (Σ) και

ακολουθεί πλαστική κρούση.

α. Για Κ=100J θα μπορούσε το βλήμα να σφηνωθεί όλο μέσα στο σώμα; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας.

β. Ποια είναι η ελάχιστη κινητική ενέργεια Κ που πρέπει να έχει το βλήμα, ώστε να σφηνωθεί

ολόκληρο στο σώμα Σ.

γ. Για ποια τιμή του λόγου m/Μ, το βλήμα με κινητική ενέργεια Κ=100J σφηνώνεται ολόκληρο στο

σώμα (Σ); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Πανελλαδικών εξετάσεων 2005)

α. Όχι, β. Κ=120J, γ. m/Μ→0

Α2.20 Τα σώματα Σ1, Σ2 αμελητέων διαστάσεων

με μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα είναι

τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το Σ1 είναι

δεμένο στη μια άκρη οριζόντιου ελατηρίου

σταθεράς k=100Ν/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου

είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη

βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,2m όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ2 ισορροπεί στο

οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος λ0 του ελατηρίου. Κάποια στιγμή

κόβουμε το νήμα και το Σ1 κινούμενο δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ2. Θεωρώντας

ως αρχή των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και θετική τη φορά προς τα δεξιά να υπολογίσετε:

α. Την ταχύτητα του σώματος Σ1 λίγο πριν την κρούση.

β. Τις ταχύτητες των Σ1 και Σ2 αμέσως μετά την κρούση.

γ. Την απομάκρυνση του Σ1 μετά την κρούση σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ. Την απόσταση των Σ1 και Σ2 όταν το Σ1 ακινητοποιείται στιγμιαία για δεύτερη φορά.

Δεχτείτε την κίνηση του σώματος Σ1 τόσο πριν όσο και μετά την κρούση ως απλή αρμονική

ταλάντωση σταθεράς, k. Δίνεται π=3,14. (Θέμα Πανελλαδικών εξετάσεων 2006)

α.2m/s, β.-1m/s, 1m/s, γ. x=0,1ημ(10t+π)(SI), δ. d=0,371m


Α2.21 Ελατήριο σταθεράς k=150N/m στερεώνεται κατακόρυφο με το ένα άκρο

του σε οριζόντιο έδαφος. Πάνω στο ελεύθερο άκρο του συνδέεται δίσκος μάζας

M=6kg που ισορροπεί. Σφαίρα μάζας m=2kg αφήνεται από ύψος h=0,8m πάνω

από το δίσκο, να πέσει κατακόρυφα και να κάνει κρούση μετωπική και ελαστική

με αυτόν. Μετά την κρούση η σφαίρα δεν επιστρέφει στο δίσκο. Να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα του δίσκου αμέσως μετά την κρούση.

β. Το πλάτος των ταλαντώσεων που κάνει ο δίσκος.

γ. Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας λόγω της

κρούσης.

δ. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας λόγω της κρούσης της με το δίσκο.


α. 2m/s β. 0,4m, γ. −75%, δ. 12kgm/s

Α2.22Δίσκος μάζας Μ=2 kg ισορροπεί πάνω σε ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m,

όπως φαίνεται στο σχήμα Από ύψος h=0,6m αφήνουμε σώμα μάζας m=2kg να

πέσει κατακόρυφα πάνω στο δίσκο και η κρούση που ακολουθεί είναι ακαριαία,

κεντρική και πλαστική και γίνεται τη χρονική στιγμή t0=0.

α. Να υπολογίσετε το πλάτος των ΑΑΤ που εκτελεί το συσσωμάτωμα.

β. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της ταλάντωσης.

γ. Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια ελατηρίου, και τη δυναμική ενέργεια

του ταλαντωτή «συσσωμάτωμα − ελατήριο» τη χρονική στιγμή t1=π/30s.

δ. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνση από τη θέση

ισορροπίας είναι x=+0,2m και η υ>0.

Δίνεται g=10m/s2. Ως αρχή του άξονα να θεωρηθεί η θέση ισορροπίας του συσσωματώματος και

ως θετική η κατεύθυνση κατά την οποία το ελατήριο συσπειρώνεται (προς τα κάτω).

α. Α=0,4m, β. ΣF= − 40ημ(5t-π/6), (SI), γ.Uελ=8J, U=0, δ. −20 √ 3J/s

A2.23 Σώμα μάζας m1=0,1kg συνδέεται με την κάτω ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ελατηρίου

σταθεράς k=10N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου συνδέεται ακλόνητα στην οροφή του

εργαστηρίου. Το σύστημα ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση. Βλήμα μάζας m2=0,1kg που κινείται

κατακόρυφα προς τα πάνω σφηνώνεται ακαριαία με ταχύτητα, υ, στο σώμα. Μετά την κρούση το

συσσωμάτωμα εκτελεί κατακόρυφες αρμονικές ταλαντώσεις πλάτους Α=0,2m.

α. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας, υ, του βλήματος. β. Να γραφεί η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης, x=f(t), των ταλαντώσεων του συσσωματώματος.

γ. Να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου αμέσως μετά την κρούση και πριν προλάβει

το συσσωμάτωμα να μετατοπιστεί.

δ. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης ελαστικότητας του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του

συσσωματώματος, και στη θέση x=+0,2m.

Να θεωρήσετε ως αρχή του άξονα ταλάντωσης τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος, ως t0=0

τη χρονική στιγμή που άρχισε η ταλάντωση και ως θετική την κατεύθυνση προς τα πάνω. Δίνεται

g=10m/s2.

α. √6m/s β. x=0,2ημ(5 √ 2 t+π/6)(SI), γ. 0,05J, δ. 2Ν, 0


A2.24 Το σώμα Σ του σχήματος έχει μάζας Μ=3kg και είναι δεμένο στην άκρη κατακόρυφου

ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα. Το σώμα

κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,2m και τη χρονική στιγμή t0=0 διέρχεται από τη

θέση x1=+0,1m με ταχύτητα, υ1, που έχει φορά προς τα κάτω. Την ίδια

στιγμή συγκρούεται πλαστικά και κεντρικά με βλήμα (β) μάζας m=1kg το

οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου, υ2. Αμέσως

μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει μηδενική ορμή.

α. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας, υ2.

β. Να βρείτε το πλάτος Α⁄ της ταλάντωσης του συσσωματώματος.

γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας του συσσωματώματος, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα πάνω.


α. 6m/s. β. 0,125m, γ. υ=1,25συν(10t+π/2), (SI)

Α2.25 Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης

φ=300

στερεώνεται ακλόνητα ελατήριο. Στην κάτω άκρη του

ελατηρίου είναι δεμένο σώμα, Σ2 μάζας m2=2kg και το σύστημα

ισορροπεί πάνω στο λείο επίπεδο. Από τη βάση του κεκλιμένου

επιπέδου εκτοξεύεται σώμα Σ1 μάζας, m1=3kg με αρχική ταχύτητα

υ0=5m/s, το οποίο αφού διανύσει απόσταση s=0,9m συγκρούεται

πλαστικά και κεντρικά με το Σ2. Το συσσωμάτωμα κάνει

ταλαντώσεις με πλάτος Α=0,4m και σταθερά επαναφοράς, ίση με τη

σταθερά k του ελατηρίου. Να υπολογιστούν:

α. Το μέτρο της ταχύτητας του Σ1, μόλις πριν την κρούση.

β. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

γ. Η σταθερά του ελατηρίου, k. Δίνεται g=10m/s2.

α. 4m/s, β. 2,4m/s, k=187,5Ν/m

Α2.26 Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=300

στερεώνεται ακλόνητα

ελατήριο, σταθεράς k=100Ν/m. Στην πάνω άκρη του ελατηρίου

είναι δεμένο σώμα, Σ μάζας Μ=9kg και το σύστημα ισορροπεί

πάνω στο λείο επίπεδο. Βλήμα μάζας m=1kg κινείται οριζόντια και

σφηνώνεται με ταχύτητα υ= √10m/s

στο σώμα. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται κάνει αρμονικές

ταλαντώσεις

πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Να υπολογιστούν: α. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά

την κρούση.

β. Το πλάτος των ταλαντώσεων του συσσωματώματος.

γ. Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας λόγω της κρούσης.


α. 0,05 30m/s, β. 0,1m, γ. 4,625J

Α.2.27 Από σημείο που βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος αφήνονται διαδοχικά δύο σφαίρες με

μάζες m1=3m και m2=m, αντίστοιχα. Η m1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το έδαφος και

τη στιγμή που αποχωρίζεται από αυτό συγκρούεται ξανά μετωπικά και ελαστικά με τη m2 που

κατεβαίνει πίσω της. Σε ποιο ύψος θα εκτιναχτεί η m2 μετά την κρούση;

H=4h


A2.28 Το σώμα (Σ) του σχήματος έχει μάζας Μ και είναι δεμένο στην

άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, η άλλη άκρη του

οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα. Το σώμα κάνει απλή αρμονική

ταλάντωση με πλάτος Α=1,2m και τη χρονική στιγμή t0=0 διέρχεται από

τη θέση x=+x1 με ταχύτητα, υ=υ1<0. Την ίδια στιγμή συγκρούεται

ελαστικά και κεντρικά με σφαίρα (σ) μάζας m=4kg η οποία κινείται

κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου, υ2. Η χρονική εξίσωση

της ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος (Σ) μετά την κρούση είναι

υ=10συν(10t+π/3) (SI). Να υπολογιστούν:

α. Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας, υ2, μόλις πριν την κρούση.

β. Το πλάτος, Α⁄, της ταλάντωσης του σώματος (Σ) μετά την κρούση.

γ. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος (Σ) αμέσως μετά την κρούση.


α. 5m/s, β. 1m, γ. 50J, 150J

A2.29 Σώμα Σ1 μάζας m1=3kg ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα

υ1=6m/s. Μπροστά απ' αυτό, άλλο σώμα Σ2 μάζας

m2=9kg ολισθαίνει στην ίδια κατεύθυνση και με

ταχύτητα υ2=2m/s. Το σώμα Σ2 φέρει πίσω του

στερεωμένο οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m,

αμελητέας μάζας. Κατά τη σύγκρουση που ακολουθεί

το ελατήριο παραμορφώνεται τα σώματα πλησιάζουν και στην συνέχεια απομακρύνονται, μέχρι να αποκτήσει και πάλι το ελατήριο το φυσικό του μήκος. Να υπολογιστούν:

α. Η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.

β. Οι ταχύτητες των σωμάτων όταν το ελατήριο επανέρχεται στο φυσικό του μήκος.

α. 0,6m, β. 0 και 4m/s

A2.30 Δύο σώματα, Σ1,Σ2, ίσης μάζας m συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται

σε λείο οριζόντιο επίπεδο με το ελατήριο αρχικά στο

φυσικό του μήκος. Τρίτο σώμα, Σ3, ίδιας μάζας m

κινούμενο με ταχύτητα υ, που έχει τη διεύθυνση του

ελατηρίου συγκρούεται μετωπικά ελαστικά με το

ένα από τα δύο σώματα. Να υπολογίσετε τη μέγιστη

συσπείρωση του ελατηρίου.

Δίνονται υ=2m/s, k=100N/m, και m=2kg.

Δx=0,2m

A2.31 Σώμα Α μάζας m3=2kg ηρεμεί πάνω σε λείο

οριζόντιο επίπεδο και πάνω του φέρει άλλο σώμα Β μάζας

m2=2kg που αρχικά είναι ακίνητο. Μεταξύ των δύο σωμάτων

υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής μ. Βλήμα μάζας m1=0,1kg

έρχεται με οριζόντια ταχύτητα υ0=80m/s και διαπερνάει το

σώμα m2 σε αμελητέο χρόνο, ενώ όταν βγαίνει από αυτό έχει χάσει τη μισή του ταχύτητα. Μετά

την κρούση το σώμα Β ολισθαίνει πάνω στο Α κατά s=0,5m, μέχρι τα σώματα Α και Β να

αποκτήσουν κοινή ταχύτητα. Να υπολογιστούν: α. Η κοινή ταχύτητα που θα αποκτήσουν. β. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων.


γ. Η μετατόπιση του σώματος Α ως προς το έδαφος μέχρι να τα σώματα Α και Β να αποκτήσουν

κοινή ταχύτητα,

δ. Η θερμότητα που μεταφέρεται στο περιβάλλον λόγω κρούσης και ολίσθησης.


α. 1m/s, β. 0,2, γ. 0,25m, δ. 238J

A2.32 Βλήμα μάζας m1=m κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα

υ1=200m/s, διαπερνάει ξύλινο πρίσμα μάζας m2=2m, μήκους d=50cm

το οποίο αρχικά ηρεμούσε πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το βλήμα

βγαίνει από το πρίσμα μετά από χρονικό διάστημα Δt με οριζόντια

ταχύτητα μέτρου υ2=100m/s. Αν η δύναμη αντίστασης του ξύλου

πάνω στο βλήμα θεωρηθεί σταθερή, να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα,V, του πρίσματος τη χρονική στιγμή που το βλήμα βγαίνει απ' αυτό.

β. Η μετατόπιση, Δx, του πρίσματος στο χρονικό διάστημα Δt που το βλήμα το διαπερνούσε.

γ. Το χρονικό διάστημα Δt.

δ. Το ποσοστό, (%), της κινητικής ενέργειας του βλήματος που έγινε θερμότητα λόγω τριβής του

βλήματος με το υλικό του πρίσματος.

α. 50m/s, β. Δx=10cm, γ. 0,004s, δ. 62,5%

A2.33 Βλήμα μάζας m=0,2kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ και σφηνώνεται σε ξύλινο κύβο

μάζας M=4,8kg, που αρχικά ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Αν ο κύβος διατηρείται ακλόνητος

επειδή είναι καρφωμένος πάνω σε ακλόνητο τραπέζι, το βλήμα εισχωρεί μέσα του κατά x1=20cm και

σταματάει. Αν όμως ο κύβος βρίσκεται ακίνητος πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι τότε το ίδιο βλήμα,

που βάλλεται με τον ίδιο τρόπο εισχωρεί μέσα του κατά x2 μέχρι να σταματήσει να κινείται ως προς

αυτόν και να αποκτήσουν, βλήμα και κύβος κοινή ταχύτητα.

Να υπολογιστεί η διείσδυση x2, αν η δύναμη αντίστασης του ξύλου θεωρηθεί ίδια και σταθερή και

στις δύο περιπτώσεις.

x2=x1,M/(M+m)=0,192m

A2.34 Ξύλινος κύβος μάζας m2=5kg ισορροπεί

αρχικά στην άκρη του λείου επιπέδου της οριζόντιας

πλατφόρμας μάζας m3=6kg. Η πλατφόρμα βρίσκεται

πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και φέρει αβαρές

ελατήριο στερεωμένο στο ένα της άκρο, όπως φαίνεται

στο σχήμα. Βλήμα μάζας m1=1kg έρχεται με οριζόντια

ταχύτητα υ0=12m/s και συγκρούεται πλαστικά με το

κιβώτιο. Το συσσωμάτωμα βλήματος − κύβου κινείται πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο της

πλατφόρμας και συγκρούεται με το ελατήριο χωρίς απώλειες ενέργειας και το συσπειρώνει κατά

μέγιστη συσπείρωση x. Το ελατήριο έχει σταθερά k=1200Ν/m και βρίσκεται αρχικά στο φυσικό

του μήκος. Να υπολογιστούν:

α. Η κοινή ταχύτητα βλήματος − κύβου αμέσως μετά την πλαστική κρούση.

β. Η ταχύτητα της πλατφόρμας, τη χρονική στιγμή που η συσπείρωση του ελατηρίου θα πάρει τη

μέγιστη τιμή της.

γ. Η μέγιστη συσπείρωση, x, του ελατήριου. δ. Η ταχύτητα της πλατφόρμας όταν το συσσωμάτωμα βλήματος και κύβου την εγκαταλείπει από

την πίσω άκρη και το ελατήριο έχει ανακτήσει και πάλι το φυσικό του μήκος.

α. 2m/s, β. 1m/s, γ. 0,1m, δ. 2m/s


Α2.35 Ομογενής ράβδος ΟΑ=λ=1m μάζας Μ=1,2kg είναι αρχικά ακίνητη σε κατακόρυφη θέση

και μπορεί να στρέφεται χωρίς γύρω από άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο και είναι

κάθετος σ’ αυτήν. Βλήμα αμελητέων διαστάσεων μάζας m=0,1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα

υ1=50m/s και τη διαπερνά ακαριαία στο κάτω άκρο της Α. Όταν το βλήμα βγαίνει από τη ράβδο

έχει ταχύτητα υ2=34m/s. Να υπολογιστούν:

α. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση.

β. Την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος ράβδος − βλήμα κατά την κρούση.

γ. Τη μέγιστη γωνία εκτροπής, θ, της ράβδου μετά την κρούση.

δ. Η δύναμη Ν που ασκεί ο άξονα περιστροφής στη ράβδο στο σημείο Ο, αμέσως μετά την κρούση

και πριν προλάβει η ράβδος να φύγει από την κατακόρυφη θέση της.

Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι(Ο)=Μλ2/3 και το

g=10m/s2.

α. 4rad/s, β. 64J, γ. συνθ=7/15, δ. Ν=21,6Ν

A2.36 Mια ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας Μ=3kg και μήκους λ=1m μπορεί να στρέφεται σε

κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο και είναι κάθετος σ΄

αυτήν. Στο άκρο Α φέρει προσαρμοσμένη σφαιρική μάζα Σ1, m1=1kg πολύ μικρών διαστάσεων.

Εκτρέπουμε τη ράβδο από την κατακόρυφη θέση κατά φ=600

και την αφήνουμε ελεύθερη να

κινηθεί χωρίς τριβές. Τη χρονική στιγμή η σφαίρα Σ1 φτάνει στο κατώτερο σημείο της τροχιάς της

αποχωρίζεται από τη ράβδο χωρίς μεταβολή της ταχύτητάς της.

α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα με την οποία

αποχωρίζεται η σφαίρα, Σ1, από τη ράβδο.

β. Στη συνέχεια η σφαίρα Σ1 ολισθαίνει πάνω σε λείο

οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και

πλαστικά με άλλη σφαίρα, Σ2 ίσων διαστάσεων, μάζας

m2=4kg, η οποία είναι συνδεδεμένη στο άκρο ελατηρίου

σταθεράς k=125Ν/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι

στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, όπως φαίνεται στο

σχήμα. Να υπολογιστεί η μέγιστη συσπείρωση του

ελατηρίου.

γ. Να υπολογιστεί το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά.

δ. Να υπολογιστεί το ποσοστό, (%) της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ1 μόλις πριν την κρούση,

που έγινε θερμότητα λόγω της κρούσης.

Δίνονται, για τη ράβδο Ιcm=Μλ2/12 και το g=10m/s

2.

α. υ=2,5 √ 2m/s, β. A=0,1√ 2m, γ. t=π/10s, δ) −80%

Α2.37 Σώμα, (Σ,) μάζας m=1kg δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου

και στερεωμένου ελατηρίου κάνει ΑΑΤ με μέγιστη κινητική ενέργεια

Ε=2J. Τη χρονική στιγμή t0=0 το σώμα βρίσκεται στη θέση x=−2m,

που θεωρείται και η θέση μέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου.

α. Να γραφεί η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος, (Σ) από την θέση ισορροπίας του.

β. Τη χρονική στιγμή που το (Σ) περνάει από τη θέση ισορροπίας

κινούμενο προς τα δεξιά, αποκόβεται από το ελατήριο και το σώμα

συνεχίζει μόνο του πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Πόση ταχύτητα

έχει τότε και ποια χρονική στιγμή συμβαίνει αυτό;


M

γ. Στη συνέχεια το σώμα (Σ) μετά συγκρούεται με την κάτω άκρη ομογενούς ράβδου, ΟΑ, μήκους

λ=1m και μάζας Μ=2kg. Η ράβδος βρίσκεται αρχικά ακίνητη στην κατακόρυφη θέση αλλά μπορεί

να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από τη μια της άκρη Ο και είναι κάθετος

σ’ αυτήν. Μετά την κρούση το σώμα (Σ) μένει ακίνητο. Πόσο είναι το ύψος h που ανυψώνεται το

κέντρο της ράβδου πάνω από το οριζόντιο επίπεδο, μετά την κρούση; Δίνονται για τη ράβδο

Ιcm=Μλ2/12 και g=10m/s

2.

α. x=2ημ(t+3π/2), β. υ0=2m/s, t=π/2s, γ. h=0,65m

Α2.38 Η ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ=3kg, μήκος λ=2m είναι ομογενής και μπορεί να

στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από τη μια άκρη της Ο. Η ράβδος ισορροπεί αρχικά σε

οριζόντια θέση με τη βοήθεια νήματος που είναι δεμένο στην άλλη

άκρη της Α και σχηματίζει γωνία φ=300

με αυτήν.

α Να υπολογιστεί η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκεί ο

άξονας στη ράβδο στο σημείο Ο και ενώ αυτή ισορροπεί

β. Κόβουμε το νήμα και η ράβδος αρχίζει να στρέφεται γύρω από τον

άξονα. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση τη στιγμή που

σχηματίζει γωνία 300

με την κατακόρυφο που περνάει από το άκρο Ο. γ.

Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν γίνεται

κατακόρυφη.

δ. Τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη συγκρούεται με σώμα μάζας

m=1kg που ήταν ακίνητο και σταματάει ακαριαία. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. Το

σώμα μετά την κρούση εκτοξεύεται οριζόντια .

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το CM, Icm= 1

λ2

και g=10m/s2.

12

α. 15 √ 3Ν, β. 3,75rad/s2, γ.√15rad/s, δ. Ελαστική

Α2.39 Στη διάταξη του σχήματος έχουμε μια τροχαλία μάζας Μ=6kg,

ακτίνας R, τυλιγμένη με νήμα στο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα, (Σ),

μάζας m1=2kg. Από κάτω έχουμε ένα κατακόρυφο ελατήριο με σώμα, (σ),

μάζας m2=6kg που κάνει κατακόρυφες ταλαντώσεις με εξίσωση

απομάκρυνσης y=0,1ημωt, (S.I) όπου ω=10 √ 3/3rad/s

. Αφήνουμε το σώμα (Σ) να πέσει και όταν έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους

h=0,5m αυτό συγκρούεται ελαστικά και μετωπικά με το άλλο σώμα (σ) το

οποίο εκείνη τη στιγμή

βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του. Να υπολογιστούν:

α. Η ταχύτητα του σώματος (Σ) μόλις πριν την κρούση.

β. Η ταχύτητα του σώματος (σ) αμέσως μετά την κρούση.

γ. Το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώματος (σ) .

δ. Η ταχύτητα του (σ) όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας του.

Δίνoνται g=10m/s2

και για την τροχαλία Ι=ΜR2/2.

α. 2m/s, β. 1m/s γ. 0,2m, δ. 2 √ 3/3m/s

Α2.40 Στη διάταξη του σχήματος η ομογενής και ισοπαχής σανίδα ΑΒ, μήκους λ=2m και βάρους

w=50Ν ισορροπεί πάνω στα δύο στηρίγματα Δ και Ζ τα οποία απέχουν από το μέσον της Ο

αποστάσεις ΟΔ=0,6m και ΟΖ=0,2m, Η σανίδα φέρει στο άκρο της Α σώμα, Σ1, βάρους w1=20Ν.

α. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκούν τα στηρίγματα στη σανίδα.


50

β. Σφαίρα, Σ2, μάζας m2=2kg είναι δεμένη με νήμα

μήκους d=0,2m κρέμεται από ακλόνητο σημείο και

ισορροπεί στην κατακόρυφη θέση. Εκτρέπουμε το νήμα

από τη θέση ισορροπίας του κατά 900

και αφήνουμε τη

σφαίρα ελεύθερη. Αυτή όταν φτάνει στο κατώτερο

σημείο της τροχιάς της συγκρούεται μετωπικά ελαστικά

με το σώμα Σ1. Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος Σ1

αμέσως μετά την κρούση;

γ. Μετά την κρούση το σώμα Σ1 ολισθαίνει πάνω στη

σανίδα και σταματάει σε σημείο Γ αυτής, στο οποίο η σανίδα είναι έτοιμη να ανατραπεί

περιστρεφόμενη γύρω από το στήριγμα Ζ. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Γ από το άκρο Β.

δ. Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής, μ, μεταξύ σώματος Σ1 και σανίδας.


α. 340/8Ν, 220/8Ν, β. 2m/s, γ. 0,3m, δ. μ=0,117

A2.41 Σώμα μάζας m1=0,1kg που είναι δεμένο στην άκρη τεντωμένου νήματος αφήνεται ελεύθερο

από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Όταν το νήμα

βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση το σώμα έχει ταχύτητα

μέτρου υ1=2m/s και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά

με ακίνητο σώμα μάζας m2 με m2=m1.

Το σώμα μάζας m2 , μετά την κρούση κινείται σε λείο

οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά

με σώμα μάζας m3=0,7kg. Το σώμα m3 είναι δεμένο στο

ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m

το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Τη

στιγμή της σύγκρουσης το ελατήριο έχει

το φυσικό του μήκος και ο άξονάς του συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης του σώματος μάζας m2. Να θεωρήσετε αμελητέα τη χρονική διάρκεια των κρούσεων και τη μάζα του νήματος.

Να υπολογίσετε:

α. Το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα m1.

β. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος m2 με την οποία προσκρούει στο σώμα μάζας m3.

γ. Το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα που προέκυψε μετά την πλαστική

κρούση.

δ. Το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος μετά από χρόνο t=π/15s από τη στιγμή που αυτό

άρχισε να κινείται.

Δίνονται g=10m/s2

και συνπ/3=0,5. (Θέμα επαναληπτικών εξετάσεων 2003)

α. 0,2m, β. 2m/s, γ. 0,05m, δ.0,1kgm/s


51

Ερωτήσεις στο φαινόµενο Doppler

1. H ταχύτητα των κυµάτων εξαρτάται από τη σχετική κίνηση πηγής - παρατηρητή.

Σωστό ή λάθος; 2. ∆ύο διαφορετικοί παρατηρητές (ο ένας κινείται και ο άλλος όχι ως προς την ηχητική πηγή)

αντιλαµβάνονται µε διαφορετικό τρόπο το ίδιο κύµα. Σωστό ή λάθος; 3. Το φαινόµενο Doppler το αξιοποιούν για τη µέτρηση της ταχύτητας των αυτοκινήτων ή των

αεροπλάνων µε το ραντάρ. Σωστό ή λάθος; 4. Το φαινόµενο Doppler το αξιοποιούν οι αστρονόµοι για να παρακολουθήσουν την κίνηση πολύ

µακρινών ουράνιων σωµάτων. Σωστό ή λάθος; 5. Το φαινόµενο Doppler το αξιοποιούν οι γιατροί για να παρακολουθήσουν τη ροή του αίµατος.

Σωστό ή λάθος; 6. Εάν καθόµαστε ακίνητοι στην αποβάθρα ενός σταθµού την ώρα που πλησιάζει ένα τρένο

κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα, ακούµε τον ήχο της σειρήνας του οξύτερο (µεγαλύτερης

συχνότητας), από ό,τι όταν το τρένο αποµακρύνεται από εµάς, αφού µας έχει προσπεράσει.

Σωστό ή λάθος; 7. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαµβάνεται ο µηχανοδηγός είναι σ’όλη τη διάρκεια της

κίνησης του τρένου σταθερή. Σωστό ή λάθος; 8. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαµβανόµαστε όταν το τρένο µάς πλησιάζει είναι µικρότερη από

αυτήν που αντιλαµβάνεται ο µηχανοδηγός. Σωστό ή λάθος; 9. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαµβανόµαστε όταν το τρένο αποµακρύνεται είναι µικρότερη από

αυτήν που αντιλαµβάνεται ο µηχανοδηγός. Σωστό ή λάθος;


52

10. Όταν ο παρατηρητής Α πλησιάζει προς την ακίνητη ηχητική πηγή µε ταχύτητα υΑ , στον

παρατηρητή φτάνουν περισσότερα µέγιστα στη µονάδα του χρόνου από όσα παράγει στον ίδιο χρόνο η πηγή. Σωστό ή λάθος;

11. Αν ο παρατηρητής αποµακρύνεται από την ακίνητη ηχητική πηγή µε ταχύτητα υΑ , στη

µονάδα του χρόνου στον παρατηρητή φτάνουν λιγότερα µέγιστα από αυτά που παράγει η πηγή

στον ίδιο χρόνο. Σωστό ή λάθος;

12. Αν η πηγή κινείται ισοταχώς µε ταχύτητα υS πλησιάζοντας τον ακίνητο παρατηρητή το µήκος

κύµατος που φτάνει στον παρατηρητή µικραίνει γιατί η πηγή ακολουθεί τα κύµατα µε

αποτέλεσµα τα µέγιστα να πλησιάζουν µεταξύ τους. Σωστό ή λάθος;

13. Το φαινόµενο Doppler ισχύει για κάθε µορφής κύµανση ακόµη και για τα ηλεκτρο-

µαγνητικά κύµατα, όπως το φως. Σωστό ή λάθος;

14. Το φαινόµενο Doppler δίνει αισθητά αποτελέσµατα µόνο αν οι πηγές του φωτός ή οι

παρατηρητές κινούνται µε ταχύτητες συγκρίσιµες µε την ταχύτητα του φωτός. Σωστό ή λάθος;

15. Η αστυνοµία είναι εφοδιασµένη µε συσκευές ραντάρ που ελέγχουν τις ταχύτητες των

οχηµάτων. Το ραντάρ, ακίνητο ως προς το δρόµο, εκπέµπει ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα το

οποίο ανακλάται πάνω στο διερχόµενο όχηµα.

Το κύµα επιστρέφει στο ραντάρ µε συχνότητα ελαφρά διαφορετική µια και η πηγή του (το

όχηµα) κινείται σε σχέση µε τον παρατηρητή (ραντάρ). Από τη διαφορά της συχνότητας

ανάµεσα στο κύµα που εκπέµπεται και αυτό που επιστρέφει η συσκευή υπολογίζει την ταχύτητα

του οχήµατος.

(α) γιατί η συχνότητα είναι ελαφρά διαφορετική;

(β) µελετήστε αναλυτικά τη διαδικασία: εκποµπής κύµατος – πρόσκρουσης – ανάκλασης –

επιστροφής στο ραντάρ.

16. Όταν µειώνεται η απόσταση πηγής - παρατηρητή η συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής

είναι µεγαλύτερη από αυτήν που εκπέµπει η πηγή, ενώ όταν αυξάνεται ηµεταξύ τους

απόσταση η παρατηρούµενη συχνότητα είναι µικρότερη της εκπεµπόµενης. Σωστό ή λάθος;

17. Ο <<καουµπόυ>> του σχήµατος αντιλαµβάνεται

διαφορετικές συχνότητες από τη σφυρίχτρα του

τρένου, καθώς αυτό τον προσπερνά;

18. Ένα τρένο κατευθύνεται προς τούνελ το οποίο βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο και εκπέµπει

ήχο. Ο ήχος που εκπέµπεται από το τρένο ανακλάται στο βράχο.

α) Ο µηχανοδηγός του τρένου ακούει τον ήχο που προέρχεται από ανάκλαση µε συχνότητα

µεγαλύτερη µικρότερη ή ίση µε τη συχνότητα του ήχου που εκπέµπει το τρένο;

β) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται µεταξύ του τρένου και του εµποδίου ακούει τον ήχο που

προέρχεται από το τρένο και τον ήχο που φτάνει από ανάκλαση. Οι συχνότητες των δύο ήχων

όπως τους αντιλαµβάνεται είναι ίσες; Αν όχι, ποιος από τους ήχους που ακούει έχει µεγαλύτερη

συχνότητα;

(Σχολικού βιβλίου)


53

S

19. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της πρότασης και δίπλα τη λέξη που τη συµπληρώνει

σωστά.

δ. Ένας παρατηρητής ακούει ήχο µε συχνότητα ........... από τη συχνότητα µιας πηγής, όταν η

µεταξύ τους απόσταση ελαττώνεται.

Εξετάσεις 2003 20. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις και δίπλα το

γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

1. Παρατηρητής πλησιάζει µε σταθερή ταχύτητα υΑ ακίνητη ηχητική πηγή και αντι- λαµβάνεται

ήχο συχνότητας fA. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ, τότε η συχνότητα fS του ήχου

που εκπέµπει η πηγή είναι ίση µε:

α. υ

υ + υΑ

⋅ fA , β.

υ

υ − υΑ

⋅ fA , γ.

υ + υΑ

υ

⋅ fA , δ.

υ − υΑ

υ

⋅ fA .

Εξετάσεις 2003

21. Ένας παρατηρητής κινείται µε σταθερή ταχύτητα υΑ προς ακίνητη σηµειακή ηχητική πηγή. Οι

συχνότητες που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής, πριν και αφού διέλθει

από την ηχητική πηγή, διαφέρουν µεταξύ τους κατά fS

, όπου f

10

η συχνότητα του ή-

χου που εκπέµπει η ηχητική πηγή. Αν υ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, ο

λόγος υΑ

υ

είναι ίσος µε: α. 10 , β. 1/10 , γ. 1/20

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας..

..


54


22. Στην παρακάτω ερώτηση 5 να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε

πρότασης και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη

λέξη Λάθος για τη λανθασµένη.

ε. Το φαινόµενο Doppler ισχύει και στην περίπτωση των ηλεκτροµαγνητικών

κυµάτων.

Εξετάσεις 2004 23. Μια ηχητική πηγή κινείται µε ταχύτητα υS ίση µε το µισό της ταχύτητας του

ήχου, πάνω σε µια ευθεία ε πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή Π1 ενώ

αποµακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή Π2. Οι παρατηρητές βρίσκονται

στην ίδια ευθεία µε την ηχητική πηγή. Ο λόγος της συχνότητας του ήχου που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής Π1 προς την αντίστοιχη συχνότητα που

αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής Π2 είναι:

α. 2 . β. 1 . γ. 3 .

Να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στο σωστό συµπλήρωµα.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.


24. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα κάθε

πρότασης και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και

τη λέξη Λάθος για τη λανθασµένη.

α. Το φαινόµενο Doppler χρησιµοποιείται από τους γιατρούς, για να

παρακολουθούν τη ροή του αίµατος.


25. Σε σηµείο ευθείας ε βρίσκεται ακίνητη ηχητική πηγή S που εκπέµπει ήχο

σταθερής συχνότητας. Πάνω στην ίδια ευθεία ε παρατηρητής κινείται εκτελώντας

απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α, όπως φαίνεται στο σχήµα.

Η συχνότητα του ήχου που

αντι- λαµβάνεται ο αρατηρητής

θα είναι µέγιστη, όταν αυτός

βρισκεται:

α. στη θέση ισορροπίας Ο της ταλάντωσης του κινούµενος προς την πηγή.

β. σε τυχαία θέση της ταλάντωσης του αποµακρυνόµενος από την πηγή.

γ. σε µία από τις ακραίες θέσεις της απλής αρµονικής

ταλάντωσης. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.


26. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω

ερωτήσεις και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

Ηχητική πηγή και παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική. Ο παρατηρητής ακούει

ήχο

µεγαλύτερης συχνότητας από αυτόν που παράγει η πηγή, µόνο

όταν: α. η πηγή είναι ακίνητη και ο παρατηρητής

αποµακρύνεται από αυτήν β. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και

η πηγή αποµακρύνεται από αυτόν

γ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται µε οµόρροπες ταχύτητες, µε τον

παρατηρητή


55

να προπορεύεται και να έχει κατά µέτρο µεγαλύτερη ταχύτητα από αυτήν της

πηγής δ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται µε οµόρροπες ταχύτητες, µε την

πηγή να προπορεύεται και να έχει κατά µέτρο ταχύτητα µικρότερη από αυτήν

του παρατηρητή.


27. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας

δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση

είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη

δ. Η σχέση που περιγράφει το φαινόµενο Doppler για το φως είναι

διαφορετική από αυτή που ισχύει για τον ήχο.

Εξετάσεις 2006 28. Να χαρακτηρίσετε αν το περιεχόµενο των ακόλουθων προτάσεων είναι σωστό ή

λανθασµένο, γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δίπλα στο γράµµα

που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση.

β. Το φαινόµενο Doppler εµφανίζεται στα µηχανικά κύµατα και όχι στα

ηλεκτροµαγνητικά.


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Ένας παρατηρητής κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα

υΑ=20m/s και σε μια στιγμή t=0 και ενώ απέχει d=50m από προπορευόμενη πηγή

ήχου, η οποία κινείται με ταχύτητα υs=10m/s, ακούει ήχο συχνότητας f1=3600Ηz.

2)Ένας παρατηρητής πλησιάζει ακίνητη πηγή εκπομπής ήχου με ταχύτητα υ1 = 60 m/s

και τότε αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f1. Η ίδια πηγή πλησιάζει ακίνητο

παρατηρητή κινούμενη με ταχύτητα υS = 100 m/s. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα

είναι 340 m/s να βρείτε το λόγο 2

1

f

f

όπου 2f η συχνότητα με την οποία

αντιλαμβάνεται τον ήχο ο ακίνητος παρατηρητής στη δεύτερη περίπτωση.

[Απ. 0,82]

3)Στα διπλανά σχήματα δίνονται υS = 80 m/s και fS = 400

Hz. Αν υA = 50 m/s, ποια είναι η συχνότητα του ήχου που

αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε κάθε μια από τις

περιπτώσεις;

Δίνεται υήχου = 340 m/s.

[Απ. α. 446 Ηz, β. 276 Hz, γ. 371 Hz]


56

4)Σε ένα σημείο ενός ευθύγραμμου δρόμου είναι ακίνητος ένας μοτοσικλετιστής. Σε

μια στιγμή περνάει δίπλα του ένα όχημα S που φέρει πηγή ήχου το οποίο κινείται με

σταθερή ταχύτητα υs=20m/s. Ο μοτοσικλετιστής ακούει ήχο συχνότητας f1=3400Ηz

μέχρι τη στιγμή t1=10s, οπότε αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση

α=3m/s2 καταδιώκοντας το όχημα. Μόλις φτάσει το όχημα S, παύει να επιταχύνεται

και κινείται πλέον με σταθερή ταχύτητα.

i) Ποια χρονική στιγμή ο μοτοσικλετιστής φτάνει το όχημα S;

ii) Ποια η μέγιστη ταχύτητα αποκτά ο μοτοσικλετιστής;

iii) Ποια η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή του οχήματος S;

iv) Ποια χρονική στιγμή ο μοτοσικλετιστής ακούει ήχο με την ίδια συχνότητα με αυτή

που εκπέμπει η πηγή;

v) Να κάνετε το διάγραμμα της συχνότητας που ακούει ο μοτοσικλετιστής σε

συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2=40s.

Δνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s.

5)Ακίνητη πηγή παράγει ήχο συχνότητας fS = 1000 Hz. Παρατηρητής Α κινείται με

ταχύτητα μέτρου υΑ = 170 m/s απομακρυνόμενος από την πηγή. Αν η ταχύτητα του

ήχου στον αέρα έχει μέτρο υ = 340 m/s, να βρείτε τον αριθμό των κυμάτων που

εκπέμπει η πηγή σε χρόνο t = 5 s, αλλά και τον αριθμό των κυμάτων που

αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής στον ίδιο χρόνο. [Απ. 5000, 2500]

6)Ένας ακίνητος παρατηρητής Α απέχει απόσταση d=60m από ευθύγραμμο δρόμο,

στον οποίο κινείται ένα όχημα με σταθερή ταχύτητα υs=20m/s. Τη στιγμή που το

όχημα περνά από το κοντινότερο προς τον παρατηρητή σημείο αρχίζει να εκπέμπει

ήχο συχνότητας fs=7040Ηz για χρονικό διάστημα t=4s.

i) Ποια η αρχική συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής;

ii) Ποια η ελάχιστη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής; Δίνεται

η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s.

7)Ένα τρένο πλησιάζει το σταθμό με σταθερή ταχύτητα και η σφυρίχτρα του

εκπέμπει ήχο συχνότητας 450 Hz για χρονικό διάστημα ΔtS. Ακίνητος παρατηρητής

βρίσκεται στο σταθμό και αντιλαμβάνεται τον ήχο με συχνότητα 510 Hz για χρονικό

διάστημα ΔtA = 25,5 s. Να υπολογίσετε

α. το μέτρο της ταχύτητας του τρένου.

β. Το χρονικό διάστημα ΔtS κατά το οποίο η σφυρίχτρα του τρένου εξέπεμψε τον ήχο.

Δίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα έχει μέτρο υ = 340 m/s.

[Απ. α. 40 m/s β. 28,9 s]

8)Ηχητική πηγή κινείται με ταχύτητα υS = 30 m/s και εκπέμπει ήχο συχνότητας fS =

300 Hz. Να βρείτε τη συχνότητα fA που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής ο οποίος

α. πλησιάζει την πηγή κινούμενος με ταχύτητα υA = 10 m/s αντίρροπη της ταχύτητας

της πηγής.

β. απομακρύνεται από την πηγή κινούμενος με ταχύτητα υA = 20 m/s αντίρροπη της

ταχύτητας της πηγής. Δίνεται: υήχου = 340 m/s.

[Απ. α. 338,7 Hz, β. 259,46 Hz]

9)Μια ηχητική πηγή , που εκπέμπει ήχο συχνότητας fS = 400 Hz, περνά μπροστά από

έναν ακίνητο παρατηρητή κινούμενη με σταθερή ταχύτητα μέτρου υS = 40 m/s. Να

βρείτε τη διαφορά ανάμεσα στις συχνότητες του ήχου που αντιλαμβάνεται ο


57

παρατηρητής όταν η πηγή τον πλησιάζει και όταν απομακρύνεται από αυτόν. Δίνεται

ότι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα έχει μέτρο

υ=340 m/s.

[Απ. 95 Ηz]

10)Δύο μοτοσικλετιστές Α και Β κινούνται στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο προς την

ίδια κατεύθυνση με σταθερές ταχύτητες μέτρου υΑ = υΒ = 50 m/s. Οι κόρνες των δύο

μοτοσικλετών εκπέμπουν ήχο συχνότητας fS = 350 Hz.

α. Αν ο μοτοσικλετιστής Β πατήσει την κόρνα, τι συχνότητα έχει ο ήχος που

αντιλαμβάνεται ο Α;

β. Αν ο μοτοσικλετιστής Α πατήσει την κόρνα, τι συχνότητα έχει ο ήχος που

αντιλαμβάνεται ο Β;

γ. Να υπολογίσετε τις παραπάνω συχνότητες όταν ο μοτοσικλετιστής Β κινείται με

σταθερή ταχύτητα μέτρου sm /60 .


[Απ. α. 350 Hz, β. 350 Hz, γ. 338 Hz, 341 Hz]

11)Ένας παρατηρητής Α βρίσκεται σε απόσταση ΑΚ = 510 m από μια ευθύγραμμη

σιδηροδρομική γραμμή και ακούει τον ήχο της σφυρίχτρας του τρένου, το οποίο

πλησιάζει το σημείο Κ με σταθερή ταχύτητα 72 km/h. Η Ο σφυρίχτρα του τρένου

εκπέμπει ένα σύντομο ήχο συχνότητας 405 Hz. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ότι η

συχνότητα του ήχου την οποία εξέπεμψε το τρένο είναι 425 Hz.

Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του τρένου από το σημείο Κ τη στιγμή κατά την

οποία εκπέμπεται ο ήχος αυτός και τη στιγμή που τον ακούει ο παρατηρητής. Δίνεται

ότι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα έχει μέτρο υ = 340 m/s.

[Απ. 680 m, 630 m]

12)Οι κινητήρες αεροπλάνου, το οποίο κινείται κατά μήκος της ευθείας που το ενώνει

με επίγειο στόχο, παράγουν ήχο συχνότητας 100 Hz. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου

στον αέρα έχει μέτρο υ = 340 m/s και το ανθρώπινο αυτί ακούει ήχους των οποίων οι

συχνότητες έχουν τιμές από 16 Hz μέχρι και 20.000 Hz. Ποια πρέπει να είναι η

ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το αεροπλάνο ώστε ο παραγόμενος ήχος από

τους κινητήρες του να μη γίνει ακουστός από παρατηρητή ο οποίος βρίσκεται στη

θέση του στόχου; [Απ. 338,3 m/s]

13)Ένα διαπασών εκπέμπει ήχο συχνότητας fS = 576 Hz και κινείται σε οριζόντιο

κύκλο ακτίνας

R = 10 m με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 2 rad/s. Το αυτί ακίνητου

παρατηρητή βρίσκεται στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς και σε απόσταση L = 20 m

από το κέντρο της. Ο παρατηρητής ακούει ήχο του οποίου η συχνότητα μεταβάλλεται

από μια ελάχιστη μέχρι μια μέγιστη τιμή.

α. Να υπολογίσετε την τιμή της ελάχιστης και της μέγιστης συχνότητας που ακούει ο

παρατηρητής.

β. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα το οποίο μεσολαβεί από τη στιγμή κατά την

οποία το διαπασών διέρχεται από τη θέση από την οποία ο παραγόμενος ήχος φτάνει

στο αυτί του παρατηρητή με την ελάχιστη συχνότητα, μέχρι να διέλθει από τη θέση

από την οποία ο παραγόμενος ήχος φτάνει στο αυτί του παρατηρητή με τη μέγιστη

συχνότητα.

γ. Είναι δυνατό ο παρατηρητής να ακούει κατά τη διάρκεια μιας περιστροφής του

διαπασών, ήχο συχνότητας ίσης με αυτή του διαπασών; Να διακαιολογήσετε την

απάντησή σας.


58

δ. Αν το αυτί του παρατηρητή βρίσκεται στο κέντρο της κυκλικής τροχιάς, ο

παρατηρητής θα ακούει ήχο σταθερής ή μεταβλητής συχνότητας; Να δικαιολογήσετε

την απάντησή σας.


[Απ. α. 544 Hz, 612 Hz β. 2π/3 s γ. Ναι (2 θέσεις) δ. σταθερής ( fA = fS = 576 Hz)]

14)Δύο φορτηγά Α και Β κινούνται αντίθετα όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t=0,

απέχουν 150m και το Α έχει ταχύτητα 8m/s και κινείται με σταθερή επιτάχυνση

2m/s2, ενώ το Β έχει σταθερή ταχύτητα 20m/s. Η σειρήνα του Β φορτηγού εκπέμπει

ήχο συχνότητας 1600Ηz. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 340m/s, ποια η συχνότητα

που ακούει ο οδηγός του Α φορτηγού τις χρονικές στιγμές:

i) t1=1s και

ii) t2=6s

15)Παρατηρητής βρίσκεται σε απόσταση 450 m από ακίνητη ηχητική πηγή S η οποία

εκπέμπει αρμονικό ήχο συχνότητας 680 Hz. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο παρατηρητής

αρχίζει να κινείται προς την πηγή κατά μήκος της ευθείας που τον ενώνει με αυτή, με

σταθερή επιτάχυνση μέτρου α = 1 m/s2.

α. Να παραστήσετε γραφικά τη συχνότητα fA που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε

συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα [0, 20 s].

β. Να υπολογίσετε τον αριθμό κυμάτων που συναντάει κατά την κίνησή του ο

παρατηρητής στη διάρκεια των 20 πρώτων δευτερολέπτων.

γ. Να βρείτε τη μετατόπιση του παρατηρητή από την αρχική του θέση μέχρι τη στιγμή

που αντιλαμβάνεται τον ήχο με συχνότητα 600 Hz. Δίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης

του ήχου στον αέρα έχει μέτρο υ = 340 m/s. [Απ. α. fA =

680+2t (S.I) β. 14.000 γ. 800 m]

16) Σημειακή πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας 448 Hz. Η πηγή αφήνεται ελεύθερη να

πέσει από ύψος 80 m πάνω από το αυτί ακίνητου παρατηρητή. Να υπολογίσετε τη

συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής

α. για τον ήχο που εκπέμφθηκε 2 s πριν η πηγή φτάσει στο αυτί του.

β. για τον ήχο που φτάνει στο αυτί του, 2 s πριν φτάσει και η πηγή.

Δίνονται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ = 340 m/s, η επιτάχυνση της βαρύτητας g

= 10 m/s2 και οι λύσεις της εξίσωσης x2 - 68x + 120 = 0 : x1 = 1,813 και x2 = 66,187.

[Απ. α. 476 Hz β. 473,24 Hz]

17)Ένα τραίνο πλησιάζει έναν ακίνητο παρατηρητή με σταθερή ταχύτητα. Τη στιγμή

που απέχει d=612m από τον παρατηρητή η σειρήνα του εκπέμπει ήχο συχνότητας

fs=400Ηz επί χρονικό διάστημα t=3,4s. Ο παρατηρητής ακούει ήχο συχνότητας

fΑ=425Ηz. Να υπολογίσετε:

i) Την ταχύτητα του τραίνου.

ii) Το μήκος κύματος του ήχου που ακούει ο παρατηρητής.

iii) Το χρονικό διάστημα που ο παρατηρητής ακούει ήχο.


59

iv) Πόσο απέχει το τραίνο από τον παρατηρητή τη στιγμή που ο παρατηρητής παύει

να ακούει τον ήχο;

ΔΙνεται η ταχύτητα του ήχου υ=340m/s.

18)) Αγωνιστικό αυτοκίνητο με σειρήνα κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή

ταχύτητα και πλησιάζει προς ακίνητο παρατηρητή. Η σειρήνα του αυτοκινήτου

εκπέμπει ήχο συχνότητα fs=900Ηz για χρονικό διάστημα Δt=1,7s. Ο παρατηρητής

αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας

με συχνότητα fΑ για διάστημα ΔtΑ= 1,5s. Να υπολογίσετε:

i) Τη συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής.

ii) Την ταχύτητα του αυτοκινήτου.

iii) Τη στιγμή t=0 το αυτοκίνητο βρίσκεται στο ύψος του παρατηρητή και με τη

σειρήνα του σε λειτουργία αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση

α=10m/s2. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο που εκπέμπει η σειρήνα κάποια

στιγμή t1 με συχνότητα f1=850Ηz.

a) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1.

b) Πόση συχνότητα αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής τη στιγμή t2=4s;

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υ=340m/s.

19) Ένα περιπολικό με την σειρήνα του σε λειτουργία κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο

με σταθερή ταχύτητα, ανάμεσα σε δύο ακίνητους παρατηρητές Α και Β, οι οποίοι

απέχουν μεγάλη απόσταση μεταξύ τους.Ο Α παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο

συχνότητας fΑ=612Ηz, ενώ ο Β αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας fΒ=544Ηz.

i) Το περιπολικό κινείται προς τον παρατηρητή Α ή προς τον Β; Να δικαιολογήσετε

την απάντησή σας.

ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του περιπολικού.

iii) Ποια συχνότητα εκπέμπει η σειρήνα του περιπολικού;

iv) Αν ο Α παρατηρητής διαθέτει αυτοκίνητο, με ποια σταθερή ταχύτητα και προς

ποια κατεύθυνση πρέπει να κινηθεί, ώστε να ακούει την ίδια συχνότητα με τον

παρατηρητή Β;


20)Ο ακίνητος παρατηρητής Α απέχει απόσταση d=300m από τις γραμμές του

τρένου. Όταν το τρένο απέχει από τον παρατηρητή απόσταση x=500m, ηχεί η

σειρήνα του, ήχο συχνότητας f=1000Ηz για χρονικό διάστημα ts=0,4s. Αν η ταχύτητα

του τρένου είναι ίση με υs=40m/s και

η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s, να βρείτε:

i) τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής,

ii) τη διάρκεια του ήχου που ακούει ο παρατηρητής.

21) Από ένα σταυροδρόμι ξεκινούν ταυτόχρονα δύο κινητά Α και Β. Το Α κινείται με

σταθερή επιτάχυνση α=4,8m/s2, ενώ το Β με σταθερή ταχύτητα υ2=16m/s, όπως στο

σχήμα. Μετά από 5s το Α κινητό εκπέμπει στιγμιαία ήχο συχνότητας f=2000Ηz. Ποια

η συχνότητα που ακούει ο οδηγός του Β κινητού;


60

22) Δύο σειρήνες S1 και S2 που ηχούν ταυτόχρονα βρίσκονται ακίνητες σε αρκετή

απόσταση μεταξύ τους. Η σειρήνα S1 εκπέμπει αρμονικό ήχο συχνότητα f1=680Ηz,

ενώ η S2 εκπέμπει αρμονικό ήχο συχνότητα f2. Ένας παρατηρητής Α που κινείται

από τη σειρήνα S1 προς τη σειρήνα S2 με σταθερή ταχύτητα υΑ=2m/s,

αντιλαμβάνεται διακρότημα με συχνότητα fδ=8Ηz. Να υπολογίσετε:

i) Τη συχνότητα με την οποία ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται τον ήχο που

προέρχεται από τη σειρήνα S1.

ii) Τη συχνότητα με την οποία ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται τον ήχο που

προέρχεται από τη σειρήνα S2.

iii) Τη συχνότητα f2 που εκπέμπει η σειρήνα S2.

iv) Τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων που εκτελεί το τύμπανο του αυτιού του

παρατηρητή Α, σε χρόνο ίσο με μια περίοδο του διακροτήματος.


23) Ακίνητη πηγή ήχου S βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται

στο σχήμα και παράγει αρμονικό ήχο συχνότητας fs=1700Ηz.Σώμα Α μάζας m1=1kg

κινείται στο ίδιο επίπεδο με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται μετωπικά με ακίνητο σώμα

Β μάζας m2=6kg. Το σώμα Β είναι προσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού

ελατηρίου σταθεράς Κ=600Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα

στερεωμένο.Τη στιγμή της σύγκρουσης, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ο

άξονάς του συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης του σώματος Α.Το σώμα Α φέρει

συσκευή ανίχνευσης ηχητικών κυμάτων. Η συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει η

συσκευή πριν την κρούση είναι f=1620Ηz,

ενώ μετά την κρούση είναι f΄=1740Ηz.

i) Να βρείτε την ταχύτητα υ1 του σώματος

Α.

ii) Να προσδιορίσετε την κατεύθυνση και να

βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος

Α μετά την κρούση.

iii) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Β μετά την κρούση.

iv) Να υπολογίσετε την αλγεβρική τιμή της ορμής του σώματος Β μετά από χρόνο t=

π/15s από τη στιγμή που αυτό άρχισε να κινείται.Δίνεται η ταχύτητα του ήχου

υ=340m/s.

24)) Ένα σώμα Σ μάζας 2kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,5m σε

οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου,σταθεράς k=3200Ν/m. Στο

σώμα Σ προσκολλάται ένα μικρόφωνο. Στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου

υπάρχει ηχητική πηγή που παρά-

γει αρμονικό ήχο συχνότητας fs=680Ηz.

i) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη συχνότητα του ήχου που καταγράφεται

από το μικρόφωνο;


61

ii) Αν για t=0 το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την

θετική κατεύθυνση, να δώσετε την εξίσωση της συχνότητας του ήχου που καταγράφει

το μικρόφωνο σε συνάρτηση με το χρόνο.

δίνεται η ταχύτητα του ήχου υ=340m/s


ΚΡΟΥΣΕΙΣ-DOPPLER Γ ΛΥΚΕΙΟΥ · 2014-08-31 · και μετά την κρούση...

Documents

Transcript of ΚΡΟΥΣΕΙΣ-DOPPLER Γ ΛΥΚΕΙΟΥ · 2014-08-31 · και μετά την κρούση...