© Copyright, Απρίλιος 2012, Ο.-Θ. Ντίνης, Eκδόσεις …Κεφάλαιο 1:...

ISBN 978-960-456-324-1

© Copyright, Απρίλιος 2012, Ο.-Θ. Ντίνης, Eκδόσεις Zήτη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα

18ο χλμ Θεσσαλονίκης - ΠεραίαςT.Θ. 4171 • Περαία Θεσσαλονίκης • T.K. 570 19Tηλ.: 2392.072.222 - Fax: 2392.072.229 • e-mail: [email protected]

Π. ZHTH & Σια OEΦωτοστοιχειοθεσίαEκτύπωση

Βιβλιοδεσία

www.ziti.gr

BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH:Aρμενοπούλου 27 - 546 35 Θεσσαλονίκη • Tηλ.: 2310-203.720 • Fax 2310-211.305e-mail: [email protected]

BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ:Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) - 105 64 AΘHNA • Tηλ.-Fax: 210-3211.097

AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH:Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 114 71, Aθήνα • Tηλ.-Fax: 210-3816.650 • e-mail: [email protected]

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr

Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύε-ται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδή-ποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου.

Εισαγωγή

Στην ανώτερη γεωδαισία όπου όλες οι μετρήσεις πραγματοποιούνται με τη

χρήση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων λαμβάνονται υπόψη η ένταση της βαρύτητας,

η διεύθυνση της βαρύτητας, δηλαδή οι επιδράσεις του γήινου πεδίου βαρύτητας,

αλλά και η ατμόσφαιρα κυρίως όσον αφορά τη μεταβολή της θερμοκρασίας και

τον βαθμό ιονισμού της με αποτέλεσμα κάθε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία μέσα

στην ατμόσφαιρα να αποκλίνει από την ευθύγραμμη διάδοση και να καθυστερεί.

Οι Τοπογράφοι Μηχανικοί όμως στο πολύ μεγάλο φάσμα των εφαρμογών, επι-

στημονικών ερευνών και άλλων εργασιών με τις οποίες ασχολούνται στο τοπο-

γραφικό πεδίο έχουν βασική επιδίωξη την εύρεση των σχετικών αγνώστων παρα-

μέτρων με τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια. Για την επίτευξη αυτού του στόχου τόσο

για μετρήσεις που αφορούν ένα συγκεκριμένο είδος παρατήρησης π.χ. γωνία, από-

σταση, υψομετρική διαφορά όσο και για σύνθετες παρατηρήσεις που γίνονται στο

πλαίσιο δικτύων για την αποτύπωση μιας περιοχής αναπτύχθηκαν οι μέθοδοι συ-

νόρθωσης ώστε να καλύπτουν τις διάφορες περιπτώσεις οι οποίες είναι δυνατό να

παρουσιαστούν πρακτικά. Στο βιβλίο αυτό αναλύονται σε τρία κεφάλαια όλα τα

παραπάνω στοιχεία κατά τρόπο ώστε μετά τα θεωρητικά θέματα που είναι στην

αρχή να υπάρχουν πολλές λυμένες ασκήσεις για καλύτερη κατανόηση των εννοιών

και ασκήσεις προς λύση για να δοκιμάσει ο αναγνώστης μόνος του να εφαρμόσει

όλα όσα διάβασε.

Έτσι στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην έννοια της συνόρθωσης, στις

μεθόδους της, στους πίνακες – στις εξισώσεις και στους αλγόριθμους εφαρμογής

της κάθε μεθόδου, στην στατιστική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων, στη συνόρ-

θωση οριζόντιων – χωροσταθμικών δικτύων και στους μετασχηματισμούς (ομοιό-

τητας – αφινικό).

Στο δεύτερο κεφάλαιο που ασχολείται με την στατιστική επεξεργασία των τοπο-

γραφικών παρατηρήσεων εξετάζονται οι τυχαίες μεταβλητές (διακριτές και συνε-

χείς), η εκτίμηση των παραμέτρων, ο νόμος μετάδοσης των σφαλμάτων (συμμετα-

βλητοτήτων) ο οποίος έχει τον πιο σημαντικό ρόλο σε πάρα πολλές περιπτώσεις

και τα διαστήματα εμπιστοσύνης – έλεγχοι ακρίβειας στοιχεία πάρα πολύ χρήσιμα

σε πρακτικές εφαρμογές. Παρατίθενται επίσης και οι πίνακες κατανομών για τη

λήψη στοιχείων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για ασκήσεις πέραν αυτού

του βιβλίου.

Στο τρίτο κεφάλαιο όπου αναπτύσσονται τα τοπογραφικά δίκτυα παρουσιάζο-

νται τα είδη τους, η ακρίβεια τους, ο παραμετρικός βαθμός, η αδυναμία βαθμού, η

4 Εισαγωγή

αξιοπιστία τους, οι συνορθώσεις των οριζόντιων – χωροσταθμικών δικτύων και ο

σχεδιασμός τους.

Στο τέλος υπάρχει ένα παράρτημα με μαθηματικές σχέσεις (παράγωγοι, πίνακες,

εξισώσεις, ταυτότητες κ.α.) όπου είναι συγκεντρωμένοι αρκετοί τύποι που θα βοη-

θήσουν στις συγκεκριμένες ασκήσεις αλλά και γενικότερα.

Ελπίζω ότι με τον τρόπο που έχει γραφεί το βιβλίο θα αποτελέσει ένα χρήσιμο

εργαλείο για τους φοιτητές – σπουδαστές οι οποίοι ασχολούνται με το αντικείμενο

αυτό για να το κατανοήσουν καλύτερα τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά αποσα-

φηνίζοντας τα περισσότερα δυνατόν θέματα.

Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 2012

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1

Συνόρθωση

1.1 Το πρόβλημα της συνόρθωσης ...................................................................... 9

α) Η έννοια της συνόρθωσης ...................................................................... 9

β) Μέθοδοι συνόρθωσης ........................................................................... 10

γ) Επιλογή μεθόδου συνόρθωσης .............................................................. 11

δ) Εξισώσεις μεθόδων συνόρθωσης ......................................................... 11

ε) Πίνακες μεθόδων .................................................................................. 12

στ) Αλγόριθμοι μεθόδων .............................................................................. 15

ζ) Σύγκριση μεθόδων ................................................................................. 16

1.2 Στατιστική αξιολόγηση αποτελεσμάτων συνόρθωσης ................................. 19

1.3 Εξισώσεις με δεσμεύσεις .............................................................................. 20

1.4 Συνόρθωση οριζόντιου δικτύου .................................................................... 21

1.5 Χωροσταθμικό δίκτυο ................................................................................... 21

1.6 Μετασχηματισμοί ......................................................................................... 24

α) Ομοιότητας ............................................................................................ 24

β) Αφινικός ................................................................................................. 24

Ασκήσεις λυμένες ................................................................................................... 25

Ασκήσεις για λύση .................................................................................................. 74

Κεφάλαιο 2

Στατιστική επεξεργασία τοπογραφικών παρατηρήσεων

2.1 Γενικά ........................................................................................................... 77

2.2 Εκτίμηση παραμέτρων .................................................................................. 78

2.3 Τυχαίες μεταβλητές ...................................................................................... 82

2.4 Νόμος μετάδοσης σφαλμάτων ...................................................................... 91

2.5 Διαστήματα εμπιστοσύνης – Έλεγχοι ακρίβειας .......................................... 94

Ασκήσεις λυμένες ................................................................................................. 108

Ασκήσεις για λύση ................................................................................................ 177

6 Περιεχόμενα

Παράρτημα 2ου

κεφαλαίου: Πίνακες ................................................................... 181

Κεφάλαιο 3

Τοπογραφικά δίκτυα

3.1 Κατηγορίες δικτύων ................................................................................... 199

3.2 Παραμετρικός βαθμός – Αδυναμία βαθμού δικτύου –

– Βαθμοί ελευθερίας .................................................................................. 199

3.2 Ακρίβεια δικτύων ....................................................................................... 202

3.4 Δεσμεύσεις .................................................................................................. 205

3.5 Ποιότητα – Αξιοπιστία δικτύου, είδη αξιοπιστίας ..................................... 208

3.6 Αναλλοίωτες ποσότητες δικτύων .............................................................. 212

3.7 Συνόρθωση σταθμού .................................................................................. 213

3.8 Συνόρθωση οριζόντιων δικτύων ................................................................ 213

3.9 Συνόρθωση κατακόρυφων δικτύων ........................................................... 217

3.10 Σχεδιασμός δικτύων – Βέλτιστο δίκτυο .................................................... 219

3.11 Αιτίες που προκαλούν μεγάλες τιμές των συνορθωμένων σφαλμάτων

των παρατηρήσεων κατά τη συνόρθωση του δικτύου ............................... 220

3.12 A-posteriori μεταβλητότητα αναφοράς 2

ˆσ ................................................ 220

3.13 Πίνακας συμμεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων .......... 221

3.14 Μεταβλητότητα συνωμένης απόστασης, συνορθωμένου αζιμουθίου,

σχετική γραμμική ακρίβεια ......................................................................... 221

3.15 Βαθμός ελέγχου της κάθε παρατήρησης .................................................... 222

Ασκήσεις λυμένες ................................................................................................. 224

Ασκήσεις για λύση ................................................................................................ 290

Παράρτημα

Τυπολόγιο

1 Νόμοι γεωμετρίας .......................................................................................... 295

2 Τριγωνομετρικές σχέσεις ............................................................................... 295

3 Μερικές παράγωγοι ........................................................................................ 295

4 Χρήσιμες εξισώσεις ....................................................................................... 297

5 Περιπτώσεις δεσμεύσεων ............................................................................... 297

Περιεχόμενα 7

6 Βέλτιστες εξισώσεις ...................................................................................... 298

7 Βασικές ταυτότητες ........................................................................................ 298

8 Βασικοί αριθμοί ημιτόνων – συνημιτόνων .................................................... 299

9 Παράγωγοι ...................................................................................................... 299

10 Σύνθετες παράγωγοι ....................................................................................... 300

11 Αντίστροφοι πίνακες ...................................................................................... 300

Βιβλιογραφία ........................................................................................................ 301

Ευρετήριο όρων .................................................................................................... 303

Κεφάλαιο 1: Συνόρθωση 9

1.1 Το πρόβλημα της συνόρθωσης

α) Η έννοια της συνόρθωσης

Η λογική που ακολουθείται στην Τοπογραφία είναι των διαδοχικών προσεγγί-

σεων από το γενικότερο προς το ειδικότερο. Για να φτάσουμε όμως στην αποτύ-

πωση των σημείων λεπτομερειών πρέπει πρώτα να προηγηθούν οι τριγωνισμοί

διαφόρων τάξεων και η πολυγωνομετρία όπως και οι αντίστοιχες εργασίες χωρο-

στάθμησης.

Η αποτύπωση ξεκινά από τη δημιουργία ενός οριζόντιου και ενός χωροσταθμι-

κού δικτύου που συνήθως αλλά όχι αναγκαστικά συνδέονται με παρόμοια δίκτυα

ανώτερης τάξης τα οποία προϋπάρχουν στην περιοχή.

Επομένως:

Σκοπός αποτύπωσης: προσδιορισμός σχήματος και μεγέθους δικτύου (αναλό-

γως των παρατηρήσεων),

Είδη δικτύων:

• ανεξάρτητα (δε συνδέονται με προϋπάρχοντα δίκτυα στην περιοχή)

• εξαρτημένα ή ενταγμένα (συνδέονται με προϋπάρχοντα δίκτυα στην περιο-

χή)

Ως άγνωστες παράμετροι στη συνόρθωση επιλέγονται οι συντεταγμένες καθώς

είναι πολύ εύκολο από αυτές να υπολογισθούν με τη βοήθεια απλών σχετικά σχέ-

σεων της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Τριγωνομετρίας όλα τα υπόλοιπα γεω-

μετρικά στοιχεία του δικτύου (γωνίες και πλευρές). Τα προβλήματα που δημιουρ-

γούνται από τη χρήση των συντεταγμένων είναι τα εξής:

i) Επιλογή των συντεταγμένων σαν εργαλείο για την περιγραφή της γεωμετρικής

μορφής του δικτύου.

ii) Δεν είναι δυνατόν να προκύψουν οι πραγματικές τιμές των μεγεθών τα οποία

μετράμε, εξαιτίας των αναπόφευκτων σφαλμάτων των μετρήσεων. Έτσι και οι

Συνόρθωση

Ντίνης Ορέστης - Θωμάς

ΣυΣΣ1

10 Συνοπτική Θεωρία

υπολογισμένες συντεταγμένες θα είναι επηρεασμένες από τα σφάλματα των με-

τρήσεων.

Το πρώτο πρόβλημα ξεπερνιέται είτε εισάγοντας «ένα αυθαίρετο σύστημα α-

ναφοράς» (ανεξάρτητα δίκτυα), είτε συμπεριλαμβάνοντας στα δίκτυα σημεία που

ανήκουν σε προϋπάρχον δίκτυο και έχουν γνωστές (υπολογισμένες) συντεταγμέ-

νες.

Το δεύτερο πρόβλημα για να αντιμετωπιστεί πρέπει:

Να αναζητηθεί εκείνος ο συνδυασμός μετρήσεων τόσων όσες και οι άγνωστες

συντεταγμένες με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια, κάτι το οποίο συνήθως στην

πράξη δε γίνεται.

Να γίνουν περισσότερες από m μετρήσεις, όπου m είναι ο αριθμός των αγνώ-

στων. Ο αριθμός f = n – m ονομάζεται βαθμός ελευθερίας. Το πρόβλημα της

επιλογής του ποιες και πόσες από τις δυνατές μετρήσεις πρέπει να γίνουν ώστε

να ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις ακρίβειας των συντεταγμένων είναι ένα πρό-

βλημα βελτιστοποίησης.

Πρέπει να επιλεγεί η βέλτιστη μέθοδος υπολογισμού, εκείνη δηλαδή που οδηγεί

στις λιγότερο επηρεασμένες από τα σφάλματα των μετρήσεων συντεταγμένες. Αυ-

τό γίνεται με τη συνόρθωση των παρατηρήσεων. Δεν υπάρχει μία μέθοδος συνόρ-

θωσης επειδή δεν υπάρχει ένας μοναδικός τρόπος καθορισμός του τι ακριβώς είναι

βέλτιστη μέθοδος.

β) Μέθοδοι συνόρθωσης

Το πρόβλημα συνόρθωσης των παρατηρήσεων προκύπτει όταν έχουμε περισ-

σότερες παρατηρήσεις από τον αριθμό των αγνώστων. Δηλαδή: n > m, όπου n

είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων και m είναι ο αριθμός των αγνώστων.

Αναλόγως του αριθμού m των αγνώστων στο πρόβλημα και της γενικής μορ-

φής των εξισώσεων που συνδέουν τις παρατηρούμενες παραμέτρους α

n

y με τις

άγνωστες παραμέτρους α

m

x έχουμε τις παρακάτω μεθόδους συνόρθωσης:

Εξισώσεις παρατηρήσεων

Εξισώσεις συνθηκών

Μικτές εξισώσεις

Εξισώσεις παρατηρήσεων με k δεσμεύσεις

Μικτές εξισώσεις με k δεσμεύσεις

Σκοπός της συνόρθωσης είναι ο προσδιορισμός της βέλτιστης γραμμικής ανε-

πηρέαστης εκτίμησης οιασδήποτε παραμέτρου ( )=

α

q q y του φυσικού συστήμα-

τος.


γ) Επιλογή μεθόδου συνόρθωσης

Η μέθοδος συνόρθωσης που θα χρησιμοποιηθεί εξαρτάται αρχικά από την ύ-

παρξη ή μη αγνώστων παραμέτρων α

m

x . Αν δεν υπάρχουν επιλέγεται η μέθοδος

των εξισώσεων συνθηκών.

Αν υπάρχουν άγνωστες παράμετροι α

m

x εξετάζουμε αν είναι δυνατό να γρα-

φούν οι παρατηρούμενες παράμετροι α

y συναρτήσει των α

x , δηλ. ( )=

α α

y f x .

Αν αυτό γίνεται επιλέγεται η μέθοδος των εξισώσεων παρατηρήσεων.

Τέλος αν είναι πεπλεγμένη η σχέση τους και δεν είναι δυνατόν ο διαχωρισμός

τους σε δυο μέρη εκλέγεται η μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών.

δ) Εξισώσεις μεθόδων συνόρθωσης

Το πλήθος των εξισώσεων σε κάθε μέθοδο δίνεται από τη σχέση:

= + -s n m r ,

όπου n είναι οι παρατηρήσεις, m οι άγνωστοι και r ο παραμετρικός βαθμός.

Οι βαθμοί ελευθερίας f σε ένα πρόβλημα συνόρθωσης είναι:

= -f n m

Για τις εξισώσεις παρατηρήσεων, συνθηκών και τις μικτές εξισώσεις ισχύει ότι:

Εξισώσεις

Παρατηρήσεων

Γενική μορφή

(μη γραμμικές εξισώσεις)

Γραμμικές

εξισώσεις

, = =m r s n ( )=

α α

y f x = +b Ax v

Εξισώσεις

συνθηκών

Γενική μορφή (μη γραμμικές εξισώσεις) Γραμμικές εξισώσεις

0, –= =m s n r ( ) 0=

α

g y =Bv w

Μικτές εξισώσεις Γενική μορφή (μη γραμμικές εξισώσεις) Γραμμικές εξισώσεις

0< £

- < £

m r

n r s n

( ), 0=α α

F y x – 0+ =Ax Bv w

Παρατήρηση 1: Στις εξισώσεις παρατηρήσεων και στις μικτές εξισώσεις οι άγνω-

στες παράμετροι α

x είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Παρατήρηση 2: Παραμετρικός βαθμός r είναι ο αριθμός των ελάχιστων απαιτού-

μενων παρατηρήσεων προκειμένου να επιτύχουμε το ζητούμενο, π.χ. όταν με-

τράμε μόνο γωνίες ισχύει: r = 2 καθώς με γωνίες βρίσκεται μόνο το σχήμα και

για τον προσδιορισμό αυτού αρκούν 2 μετρήσεις γωνιών. Αντιστοίχως όταν με-

τρώνται γωνίες και αποστάσεις είναι r = 3 καθώς με αποστάσεις και γωνίες


προσδιορίζεται σχήμα και μέγεθος των οποίων η εύρεση επιτυγχάνεται με τη

μέτρηση συνολικά 3 μεγεθών τους (με διάφορους συνδυασμούς).

ε) Πίνακες μεθόδων

Μέθοδος εξισώσεων παρατηρήσεων

1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

α

α

α

α

m

X

X

x

X

, όπου α

x είναι οι άγνωστες παράμετροι

1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

α

α

α

α

n

Y

Y

y

Y

, όπου α

y είναι οι παρατηρούμενες παράμετροι

1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

b

b

b

b

n

Y

Y

y

Y

, όπου b

y είναι οι μετρήσεις

1

2

È ˘Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Î ˚

n

f

f

f

f

, όπου f είναι οι εξισώσεις των παρατηρήσεων

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm

α α α

α α α

Α

α α α

È ˘Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

…

…

…

,

όπου Α είναι ο πίνακας σχεδιασμού και ισούται με

τις μερικές παραγώγους των παρατηρούμενων πα-

ραμέτρων προς τις άγνωστες παραμέτρους, δηλαδή

ισχύει: ( )α

α

y

Α x

x

∞∂

=∂

1 11

2 2 2

∞

∞

∞

È ˘-È ˘Í ˙Í ˙

-Í ˙Í ˙= = Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚ -Î ˚

α

α

α

m

m m

x xδx

δx x x

x

δxx x

, όπου x είναι οι άγνωστες διορθώσεις των προσεγ-

γιστικών τιμών των αγνώστων παραμέτρων


Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών

1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

α

α

α

α

n

Y

Y

y

Y

, όπου α


1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

b

b

b

b

n

Y

Y

y

Y

, όπου b


1

2

È ˘Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Î ˚

f

g

g

g

g

, όπου g είναι οι εξισώσεις συνθηκών

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

f f fn

b b b

b b b

Β

b b b

È ˘Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Î ˚

…

…

…

,

όπου Β είναι ο πίνακας των μερικών παραγώγων

των εξισώσεων συνθηκών ως προς τις παρατηρή-

σεις και ισχύει: ( )∂

=∂

b

α

g

Β y

y

1

2

È ˘Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Î ˚

f

w

w

w

w

,

όπου w είναι τα σφάλματα κλεισίματος και ισχύει:

1 1 2 2= ◊ + ◊ + + ◊…

i i i in nw b v b v b v

Μέθοδος μικτών εξισώσεων

1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

α

α

α

α

m

X

X

x

X

, όπου α

x είναι οι άγνωστες παράμετροι

1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

α

α

α

α

n

Y

Y

y

Y

, όπου α



1

2

È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

b

b

b

b

n

Y

Y

y

Y

, όπου b


1

2

È ˘Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Î ˚

n

v

v

v

v

, όπου v είναι τα σφάλματα

1

2

È ˘Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Î ˚

s

u

u

u

u

, όπου u είναι οι μικτές εξισώσεις

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm

α α α

α α α

Α

α α α

È ˘Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

…

…

…

,

όπου Α είναι ο πίνακας σχεδιασμού και ισούται με:

( ),

b

α

u

Α y x

x

∞∂

=∂

1 11

2 2 2

∞

∞

∞

È ˘-È ˘Í ˙Í ˙

-Í ˙Í ˙= = Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚ -Î ˚

α

α

α

m

m m

x xδx

δx x x

x

δxx x

, όπου x είναι οι άγνωστες διορθώσεις των προσεγ-

γιστικών τιμών των αγνώστων παραμέτρων

1

2

È ˘Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Î ˚

s

w

w

w

w

,

όπου w είναι τα σφάλματα κλεισίματος και ισχύ-

ει:

( )1 2 1 2, , , , , , ,

∞ ∞ ∞

= … …

b b b

i i n mw u y y y x x x

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

s s sn

b b b

b b b

Β

b b b

È ˘Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

…

…

…

,

όπου Β είναι ο πίνακας των μερικών παραγώγων

των μικτών εξισώσεων ως προς τις παρατηρήσεις

και τις άγνωστες παραμέτρους και ισχύει:

( ),

b

α

u

Β y x

y

∞∂

=∂

.


στ) Αλγόριθμοι μεθόδων

Μέθοδος εξισώσεων παρατηρήσεων

2

= ◊v ο

C σ Q

P = I για ασυσχέτιστες και ισοβαρείς μετρήσεις

2 1 2 1 1

2

1- - -

= ◊ = ◊ ◊ fi =ο v ο

ο

P σ C σ Q P Q

σ

, όταν 2

ο

σ άγνωστη

1 2 1- -

= = ◊v ο

P C σ Q , όταν 2

ο

σ γνωστή

, = ◊ ◊ = ◊ ◊

Τ Τ

Ν Α P Α u Α P b , ˆ ˆ= +α ο

x x x

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ο b

v b Α x y Α x y y y y v= - ◊ = ◊ = + = -

Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών


1 2 1- -

= = ◊v ο


ο

σ γνωστή

2 1

2

1-

= ◊ ◊ fi =ο

ο

P σ Q P Q

σ

, όταν 2

ο

σ άγνωστη

1-

= ◊ ◊

Τ

Μ Β P Β , 1-

◊ = fi = ◊Μ k w k Μ w , 1

ˆ

-

= ◊ ◊

Τ

v P Β k

1 1 1 1

ˆ ˆˆ

,

- - - -

= ◊ ◊ ◊ ◊ = -α

Τ

v vy

Q P Β Μ Β P Q P Q

Όταν v

C γνωστός ( )2

= ◊v ο

C σ Q 1-

fi =v

P C οπότε: ˆ ˆ

=v v

C Q και ˆ ˆ

=α α

y y

C Q

Όταν v

C άγνωστος (Q: γνωστός, 2

ο

σ άγνωστη) 2

-

fi =P Q οπότε:

2

ˆ ˆ

ˆ

◊ ◊

=

Τ

v P v

σ

f

και 2 2

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ, = ◊ = ◊

α αv vy y

C σ Q C σ Q

Μέθοδος μικτών εξισώσεων


1 2 1- -

= = ◊v ο


ο

σ γνωστή

2 1

2

1-

= ◊ ◊ fi =ο

ο

P σ Q P Q

σ

, όταν 2

ο

σ άγνωστη

1-

= ◊ ◊

Τ

Μ Β P Β , 1-

= ◊ ◊

Τ

Ν Α Μ Α , 1-

= ◊ ◊

Τ

u Α Μ w

1

ˆ

-

=- ◊x Ν u , ˆ ˆ= +α ο

x x x , ( )1 1

ˆ ˆ

- -

= ◊ ◊ ◊ + ◊Τ

v P Β Μ w Α x , ˆ ˆ= -

α b

y y v


1

ˆˆ

-

= =α

x

x

Q Q Ν

( )1 1 1 1 1 1

ˆ

- - - - - -

= ◊ ◊ - ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

Τ Τ

v

Q P Β Μ Μ Α Ν Α Μ Β P

1 1 1

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

,

- - -

= - =- ◊ ◊ ◊ ◊α α α α

Τ

vy x y x

Q P Q Q Q Α Μ Β P

Όταν v

C γνωστός: 1-

=v

P C οπότε:

ˆ ˆ

ˆ ˆ

= = =α α

x x

x x

C Q C Q

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

, , = = =α α α α α αv vy y x y x y

C Q C Q C Q

Όταν v

C άγνωστος (2

= ◊v ο

C σ Q με γνωστό Q και άγνωστο 2

ο

σ ): 1-

=P Q και

ισχύει: 2

ˆ

ˆ

◊ ◊

=

Τ

v P v

σ

f

. Άρα: 2 2 2

ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ= ◊ = = ◊ = ◊α α α

x

x x x

C σ Qx C σ Q σ Q

2 2 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , = ◊ = ◊ = ◊

α α α α α αv vy y x y x y

C σ Q C σ Q C σ Q .

ζ) Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης

Από τη σύγκριση των μεθόδων συνόρθωσης των οποίων οι πίνακες και οι αλγό-

ριθμοι γράφηκαν αναλυτικά παραπάνω καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα:

Στη μέθοδο εξισώσεων παρατηρήσεων το πρώτο το οποίο υπολογίζεται είναι οι

εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , = + = - ◊ = -α α b

οx x x x v b Α x y y v

Έτσι προσδιορίζονται κατευθείαν οι άγνωστες συντεταγμένες.

Στη μέθοδο εξισώσεων συνθηκών υπολογίζονται πρώτα οι εκτιμήσεις των σφαλ-

μάτων και μετά οι συνορθωμένες παρατηρήσεις: ˆ ˆ ˆ, = -

α b

v y y v .

Όταν έχουμε συνορθώσει λοιπόν τις παρατηρήσεις (γωνίες, αποστάσεις) είναι δυ-

νατόν να υπολογιστούν οι συντεταγμένες των αγνώστων σημείων (π.χ. 2, 3, 4, κ.α.)

ως εξής:

( )

( )

2 1 12 12 1

2 1 12 12 1

ˆˆ ˆsin

ˆ ˆcos

= + ◊ +

= + ◊ +

x x S G ω

y y S G ω

, (*)

όπου: 12 1 1

ˆ 200= + +g

ΑG G ω .

Για να βρούμε όμως τις ακρίβειες των συντεταγμένων εφαρμόζουμε νόμο μετάδο-

σης συμμεταβλητοτήτων (σφαλμάτων) στη σχέση (*) παραπάνω, όπου προφανώς

πρέπει να έχει υπολογιστεί ο πίνακας ˆ

α

y

C . Από όλα αυτά παρατηρούμε ότι προς


το τέλος οι υπολογισμοί δυσκολεύουν ως προς τη μέθοδο των εξισώσεων παρατη-

ρήσεων.

Συνοψίζοντας η μέθοδος των εξισώσεων παρατηρήσεων (Μ.Ε.Π.) πλεονεκτεί ως

προς τη μέθοδο των εξισώσεων συνθηκών (Μ.Ε.Σ.) γιατί είναι γνωστό εξ αρχής το

μαθηματικό μοντέλο.

Από τις εξισώσεις παρατηρήσεων είναι δυνατό να οδηγηθούμε στις εξισώσεις

συνθηκών ως εξής:

• Μη γραμμική μορφή παρατηρήσεων στη Μ.Ε.Σ.:

( )

( )( )( )

0

0

¸= Ôfi =˝

= Ô

α

α

α α

g y

g f x

y f x

Ο πίνακας Β ορίζεται ως εξής: α

g

Β

y

∂=∂

.

Ο πίνακας Α ορίζεται στη Μ.Ε.Π. ως εξής:

α

α

y

Α

x

∂=∂

.

Όταν τα x, y συνδέονται γραμμικά το γινόμενο ΒΑ = 0 αλλιώς ισχύει: 0ΒΑª .

Από το σύστημα των εξισώσεων παρατηρήσεων b Αx v= + που ισχύει στη Μ.Ε.Π.

απαλείφοντας τις άγνωστες παραμέτρους καταλήγουμε στο σύστημα παρατηρήσε-

ων των εξισώσεων συνθηκών:

0

ΒΑ

b Αx v Βb ΒΑx Βv Βb Βv w Βv

=

= + fi = + æææÆ = fi = .

Προτιμάται το μαθηματικό μοντέλο της μεθόδου των μικτών εξισώσεων έναντι

του μαθηματικού μοντέλου των εξισώσεων παρατηρήσεων διότι αντιστρέφεται

πίνακας Ν μικρότερων διαστάσεων στο πρώτο σε σχέση με το δεύτερο.

Ένα παράδειγμα στο οποίο φαίνεται αυτό είναι ένας κύκλος όπου άγνωστες παρά-

μετροι είναι ( ), ,

C Cx y R και λόγω της μορφής της εξίσωσης κύκλου

( ) ( )2 2 2

- + - =C C

x x y y R βλέπουμε ότι είναι αδύνατο να διαχωριστούν οι παρατη-

ρήσεις (x, y) από τα άγνωστα ( ), ,

C Cx y R οπότε επιλέγεται ως μέθοδος συνόρθω-

σης η μέθοδος των μικτών εξισώσεων. Έτσι ο πίνακας Α θα είναι ένας πίνακας

¥3 όπου οι γραμμές θα είναι οι μικτές εξισώσεις

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

2 2

:

:

:

- + - =

- + - =

- + - =

C C

C C

Ν C Ν C

u x x y y R

u x x y y R

u x x y y R

,


ενώ οι 3 στήλες θα είναι οι άγνωστοι ( ), ,

C Cx y R .

Ο πίνακας Ν που προκύπτει από τη σχέση: 1Τ

Ν Α Μ Α

-

= ◊ ◊ θα έχει διάσταση 3¥3.

Σημειώνεται ότι ο πίνακας Β υπολογίζεται από τη σχέση α

g

Β

y

∂=∂

και ο πίνακας Μ

από: 1 Τ

Μ ΒP Β

-

= .

Για λυθεί το ίδιο πρόβλημα με τη Μ.Ε.Π. επιλέγεται άλλο μαθηματικό μοντέλο,

δηλαδή ότι οι συντεταγμένες των σημείων στην περιφέρεια του κύκλου υπολογί-

ζονται με βάση τις παρακάτω σχέσεις που είναι της μορφής ( )=

α α

y f x :

cos

sin

= + ◊

= + ◊

i C i

i C i

x x R θ

y y R θ

,

όπου iθ είναι η γωνία διεύθυνσης του εκάστοτε σημείου.

Εδώ το διάνυσμα των αγνώστων παραμέτρων α

x θα είναι: 1

2

È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

C

C

α

Ν

x

y

R

θx

θ

θ

και από το

οποίο καταλήγουμε στο ότι ο πίνακας Ν που πρέπει να αντιστραφεί θα έχει διά-

σταση (3+Ν) ¥ (3+Ν) οπότε προφανώς επιλέγεται η μέθοδος των μικτών εξισώσε-

ων.

Προτιμάται το μαθηματικό μοντέλο της μεθόδου των μικτών εξισώσεων έναντι

του μαθηματικού μοντέλου των εξισώσεων συνθηκών γιατί η αντιστροφή του

πίνακα Μ είναι πιο δύσκολη εργασία από την αντιστροφή του πίνακα Ν (3¥3).

Αυτό γίνεται πιο εύκολα κατανοητό αν στο παραπάνω παράδειγμα με τον κύ-

κλο από 3 μικτές εξισώσεις λύσουμε ως προς τις άγνωστες παραμέτρους

( ), ,

C Cx y R και τις αντικαταστήσουμε στις υπόλοιπες οπότε από Ν μικτές εξι-

σώσεις πηγαίνουμε σε Ν–3 εξισώσεις συνθηκών. Συνεπώς πρέπει να αντιστρα-

φεί πίνακας Μ (–3¥Ν–3) στις εξισώσεις συνθηκών που είναι σαφώς δυσκολό-

τερη εργασία από την αντιστροφή του πίνακα Ν (3¥3) στις μικτές εξισώσεις.


Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1 §1.1 δ) Εξισώσεις μεθόδων συνόρθωσης, | ε) Πίνακες μεθόδων συνόρθωσης§3.2 Παραμετρικός βαθμός, αδυναμία βαθμού – βαθμοί ελευθερίας

Στο διπλανό σχήμα μετρήθηκαν οι γωνίες (Α, Β, Γ) και οι

πλευρές (α, β, γ).

Να βρεθούν μετά από συνόρθωση με τη μέθοδο εξισώ-

σεων των παρατηρήσεων οι πλευρές (β, γ, α).

Α

Β Γ

α β

γ

ΛΥΣΗ

Αφού μετρήθηκαν γωνίες και πλευρές μπορεί να οριστεί το σχήμα και το μέγεθος

του τριγώνου οπότε ο παραμετρικός βαθμός r είναι 3. Δηλ. 3 πλευρές ή 3 γωνίες

ή 2 γωνίες και 1 πλευρά ή 2 πλευρές και μία γωνία. Έτσι σε αυτήν την περίπτωση

ισχύει: m = r, όπου m είναι ο αριθμός των αγνώστων.

Άρα: = + - fis n m r =s n .

Να σημειωθεί ότι ο παραπάνω τύπος είναι ο γενικός τύπος εύρεσης εξισώσεων σε

κάθε μέθοδο (εξισώσεων παρατηρήσεων, μικτών εξισώσεων, εξισώσεων συνθη-

κών).

Άλλος τρόπος γραφής είναι:

( )= - + = +s n r m f m ,

όπου n είναι οι παρατηρήσεις και f οι βαθμοί ελευθερίας.

Οι βαθμοί ελευθερίας εκφράζουν πόσες μετρήσεις είναι παραπάνω από τις ελάχι-

στες που απαιτούνται.

Οι εξισώσεις παρατηρήσεων έχουν τη μορφή:

( )=

α α

y f x ,

προκύπτουν από το νόμο των συνημιτόνων και είναι:

2 2 2

arccos

2

Ê ˆ+ -= Á ˜Ë ¯

β γ α

Α

βγ

26 Λυμένες Ασκήσεις

2 2 2

arccos

2

Ê ˆ+ -= Á ˜Ë ¯

α γ β

Β

αγ

2 2 2

arccos

2

Ê ˆ+ -= Á ˜Ë ¯

α β γ

Γ

αβ

=α α

=β β

=γ γ

Οι πίνακες της μεθόδου είναι:

È ˘Í ˙Í ˙Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

α

Α

Β

Γ

y

α

β

γ

,

¢È ˘Í ˙¢Í ˙Í ˙¢

= Í ˙¢Í ˙

Í ˙¢Í ˙¢Î ˚

b

Α

Β

Γ

y

α

β

γ

,

È ˘Í ˙=Í ˙Î ˚

α

β

x γ

α

Σημειώνεται ότι όπως είναι γνωστό από θεωρία α

y είναι το διάνυσμα των άγνω-

στων παρατηρούμενων παραμέτρων, b

y είναι το διάνυσμα των παρατηρήσεων και

α

x το διάνυσμα των αγνώστων. Μετά συνεχίζεται κανονικά ο αλγόριθμος της με-

θόδου εξισώσεων παρατηρήσεων (βλέπε παράγραφο 1.1 στ).

Άσκηση 2 §1.4 Συνόρθωση οριζόντιο δικτύου | §3.4 Δεσμεύσεις

Σε ένα δίκτυο που αποτελείται από 4 σημεία έγιναν 8 παρατηρήσεις διευθύνσεων,

4 παρατηρήσεις γωνιών και 5 παρατηρήσεις αποστάσεων. Τι επισημάνσεις μπορεί-

τε να κάνετε για τη συνόρθωσή του;

ΛΥΣΗ

Αρχικά δημιουργείται ο πίνακας σχεδιασμού Α για την εύρεση των μερικών υπο-

λογιζόμενων παραγώγων.

Στα στοιχεία που υπολογίζονται, δηλαδή προσδιορίζονται μετά από πράξεις, τοπο-

θετείται αστερίσκος (*) ενώ στα υπόλοιπα στοιχεία, δηλαδή που δεν υπολογίζο-

νται, τίποτα.

Δε πρέπει να μας διαφεύγει ότι: = -δ α θ

Έτσι ισχύει:


1 2 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 x y x y x y x y θ θ θ θ

12

13

14

21

23

32

41

43

132

214

314

412

12

23

24

31

43

* * * * 1

* * * * 1

* * * * 1

* * * * 1

* * * * 1

* * * * 1

* * * * 1

* * * * 1

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

* * * *

* * * *

* * * *

* * * *

* * * *

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

ωΑ

ω

ω

ω

S

S

S

S

S

-È ˘Í ˙

-Í ˙Í ˙-Í ˙

-Í ˙Í ˙

-Í ˙Í ˙-Í ˙

-Í ˙Í ˙

-Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙ÍÍÍÍÍÍÎ ˚

˙˙˙˙˙˙

Οι επισημάνσεις που μπορούν να γίνουν σε αυτό το σημείο για την περίπτωση με-

τρήσεων σε δίκτυο είναι οι εξής:

Σημείωση 1: Στα δίκτυα διατηρούνται οι συντεταγμένες κάποιων σημείων σταθε-

ρές, δηλαδή εισάγονται ελάχιστες δεσμεύσεις. Σε κάθε σειρά διευθύνσεων (π.χ.

12 13 14 21 32 41 43, , , , , , )δ δ δ δ δ δ δ υπάρχει άλλη σταθερά προσανατολισμού θ οπότε σε

αυτή τη σταθερά το στοιχείο του πίνακα σχεδιασμού είναι –1.

Σημείωση 2: Για να είναι δυνατή η αντιστροφή του πίνακα Ν θα πρέπει ο πίνακας

Α να είναι πλήρης βαθμού, δηλ. να έχει ορίζουσα 0π . Στη συγκεκριμένη άσκηση

το μοντέλο είναι μη πλήρους βαθμού καθώς ο πίνακας Α έχει μικρότερο παραμε-

τρικό βαθμό r από τον αριθμό των παρατηρήσεων.

Σημείωση 3: Τα προβλήματα που προκύπτουν σε μοντέλα μη πλήρους βαθμού

αντιμετωπίζονται με την εισαγωγή ελαχίστων δεσμεύσεων. Δηλαδή να κρατηθούν

συντεταγμένες κάποιων σημείων σταθερές. Ο αριθμός τους 3 ή 4 εξαρτάται από τις

μετρήσεις. Έτσι για μικτό δίκτυο είναι 3 ενώ για τριγωνομετρικό 4. Οπότε υπάρ-

χουν τελικά οι εξισώσεις (παρατηρήσεων ή μικτές) και οι δεσμεύσεις.


Άσκηση 3 §1.1 ε) Πίνακες μεθόδων συνόρθωσης | στ) Αλγόριθμοι μεθόδων συνόρθωσης§1.5 Χωροσταθμικό δίκτυο

Στο χωροσταθμικό δίκτυο του παρακάτω σχήματος έγιναν οι μετρήσεις: 12,Δh

23 43 13 14, , , Δh Δh Δh Δh . Παρακάτω δίνονται τα βάρη τους και τα υψόμετρα

2 4,h h .

ΔΗ

ΔΗ

ΔΗ

ΔΗ

43

14

23

12

3

2

4

1

Να γίνει συνόρθωση του δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων για

τον υπολογισμό των υψομέτρων 1 3,h h . Επίσης να βρεθούν τα στοιχεία:

2

ˆ ˆ ˆ, , α

v y σ

και ˆ

ˆ

α

x

C .

12 12

1.899 m, 3.5= =¢Δh p

23 23

4.641 m, 5.5=- =¢Δh p

43 43

1.830 m, 2.5=- =¢Δh p

13 13

2.734 m, 4.5=- =¢Δh p

14 14

0.930 m, 1.8=- =¢Δh p

2 4

10.00 m, 7.20 m= =h h

ΛΥΣΗ

Αρχικά βρίσκονται τα προσεγγιστικά υψόμετρα των κορυφών 1 και 3 όπως φαίνε-

ται παρακάτω:

12 2 1 1 2 12

10.000 1.899

∞ ∞

= - fi = - = - fi¢ ¢Δh h h h h Δh1

8.101 m

∞

=h

23 3 2 3 2 23

10.000 4.641

∞ ∞

= - fi = + = - fi¢ ¢Δh h h h h Δh3

5.359 m

∞

=h

Μετά σχηματίζεται η διαδικασία κανονικά με το σχηματισμό των απαραίτητων

πινάκων και ισχύει:


12

23

43

13

14

È ˘Í ˙Í ˙Í ˙=Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

α

Δh

Δh

y Δh

Δh

Δh

,

12

23

43

13

14

¢È ˘Í ˙¢Í ˙Í ˙= =¢Í ˙

¢Í ˙Í ˙¢Î ˚

b

Δh

Δh

y Δh

Δh

Δh

1.899 m

4.641 m

1.830 m

2.734 m

0.930 m

È ˘Í ˙-Í ˙Í ˙-Í ˙-Í ˙Í ˙-Î ˚

, 1

3

È ˘= Í ˙Î ˚

α

h

x

h

,

8.101 m

5.359 m

∞ È ˘= Í ˙Î ˚

x

( )∞ ∞

= =y f x

1.899 m

4.641 m

1.841 m

2.742 m

0.901 m

È ˘Í ˙-Í ˙Í ˙-Í ˙-Í ˙Í ˙-Î ˚

, ∞

= - =

b

b y y

0.000 m

0.000 m

0.011 m

0.008 m

0.029 m

È ˘Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙Í ˙-Î ˚

Ο πίνακας σχεδιασμού Α σχηματίζεται όπως είναι γνωστό έχοντας ως στοιχεία του

τις μερικές παραγώγους των παρατηρημένων υψομετρικών διαφορών προς τα ά-

γνωστα υψόμετρα 1h και

3h . Η μορφή του λοιπόν θα είναι η εξής:

1 3

12

23

43

14

13

1 0

0 1

0 1

1 0

1 1

h h

Δh

Δh

ΔhA

Δh

Δh

-È ˘Í ˙Í ˙

= Í ˙-Í ˙Í ˙-Î ˚

Ο πίνακας των κανονικών εξισώσεων Ν, θεωρώντας τους πίνακες ,

Τ

Α P και τον Α

από παραπάνω είναι:

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

Τ

Α

- - -È ˘= Í ˙Î ˚

, P =

3.5

0

0

0

0

ÈÍÍÍÍÍÍÎ

0

5.5

0

0

0

0

0

2.5

0

0

0

0

0

1.8

0

0

0

0

0

4.5

˘˙˙˙˙˙˙

θα είναι:

Τ

Ν Α P Α= ◊ ◊ fi9.8 4.5

4.5 12.5

Ν

-È ˘= Í ˙-Î ˚

Η ορίζουσα του πίνακα Ν είναι: 102.250Ν =

Ο αντίστροφος του πίνακα Ν είναι:

1

1 12.5 4.5

4.5 9.8102.25

Ν

-

È ˘= ◊ fiÍ ˙Î ˚

10.122 0.044

0.044 0.096

Ν

-

È ˘= Í ˙Î ˚


Ο πίνακας u, λαμβάνοντας υπόψη τους πίνακες , ,

Τ

Α P b όπως γράφηκαν παρα-

πάνω, προκύπτει από τη γνωστή σχέση:

Τ

u Α P b= ◊ ◊ fi0.016

0.064

È ˘= Í ˙Î ˚

u

Οι εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων προκύπτουν από τη σχέση:

1

ˆ

α

x Ν u

-

= ◊ fi1

3

ˆ

ˆ

ˆ

È ˘= Í ˙Í ˙Î ˚

α

h

x

h

Οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων υπολογίζονται από τη σχέση:

ˆ ˆ ˆ

α b α

v b Α x y Α x= - ◊ = - ◊ fi ˆ ˆ

b α

v y Α x= - ◊

Οι εκτιμήσεις των παρατηρούμενων παραμέτρων προσδιορίζονται από τη σχέση:

ˆ ˆ

∞

= + fiα

y y y ˆ ˆ

α

y y Α x∞

= + ◊

ή ( )ˆ =

α α

y f x

ή ˆ ˆ= -

α b

y y v

Η εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς προκύπτει από τη σχέση:

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

Τ Τ

v P v v P v

σ

f n m

◊ ◊ ◊ ◊

= =

-

Η εκτίμηση του πίνακα συμμεταβλητοτήτων των αγνώστων παραμέτρων υπολογί-

ζεται από τη σχέση:

( )1

2 2 1 2

ˆ

ˆˆˆ ˆ ˆ

α

α Τ

x

C σ Q x σ Ν σ Α P Α

-

-

= ◊ ◊ = ◊ = ◊ ◊ ◊ fi2 1

ˆ

ˆ

ˆ

α

x

C σ Ν

-

= ◊ .

Άσκηση 4 §1.1 ε) Πίνακες μεθόδων συνόρθωσης | στ) Αλγόριθμοι μεθόδων συνόρθωσης |§3.12 A-posteriori μεταβλητότητα αναφοράς

Να βρεθεί ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων των (Χ, Υ, Ζ) συντεταγμένων σημείου

της γήινης επιφάνειας ως προς τις γεωδαιτικές συντεταγμένες (λ, φ, h) με αναφορά

τη γήινη σφαίρα ακτίνας R.

ΛΥΣΗ

Οι γεωδαιτικές συντεταγμένες, ελλειψοειδείς και καρτεσιανές, συνδέονται μεταξύ

τους μέσω των σχέσεων:


( )

( )

( )2

cos cos

cos sin

1 sin

= + ◊ ◊

= + ◊ ◊

È ˘= - ◊ + ◊Î ˚

X Ν h φ λ

Y Ν h φ λ

Z e Ν h φ

,

όπου Ν είναι η ακτίνα καμπυλότητας της πρώτης κάθετης τομής του ΕΕΠ και e

η πρώτη εκκεντρότητα του ΕΕΠ.

Για τον υπολογισμό του πίνακα συμμεταβλητοτήτων ˆ

ˆ

x

C υπάρχει η σχέση:

2 1

ˆ

ˆ

ˆ

-

= ◊x

C σ Ν

Επομένως για την εύρεση του ˆ

ˆ

x

C απαιτείται η ακόλουθη διαδικασία:

Σχηματισμός του πίνακα σχεδιασμού Α.

Υπολογισμός του πίνακα Ν από τον τύπο: Τ

Ν Α P Α= ◊ ◊ .

Προσδιορισμός της εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς 2

ˆσ από τη σχέ-

ση:

2

ˆ ˆ

ˆ

Τ

v P v

σ

f

◊ ◊

= , όπου: 1

ˆ ˆ ˆ, , , Τ

f n m v b Α x x Ν u u Α P b-

= - = - ◊ = ◊ = ◊ ◊ .

Μπορεί να θεωρηθεί ότι οι παρατηρήσεις δεν περιέχουν χονδροειδή ή συστηματι-

κά σφάλματα οπότε: 2 2

ˆ 1= =ο

σ σ .

Συνεπώς: 1

ˆ

ˆ

x

C Ν

-

= .

Έτσι για την εύρεση του πίνακα συμμεταβλητοτήτων ˆ

ˆ

x

C αρκεί αρχικά ο προσδιο-

ρισμός του πίνακα Ν και μετά η αντιστροφή του. Στον τύπο υπολογισμού του πί-

νακα Ν (Τ

Ν Α P Α= ◊ ◊ ) παρατηρείται ότι απαιτείται η γνώση του πίνακα Α και του

πίνακα βάρους P. Θεωρώντας ότι όλες οι μετρήσεις που έγιναν είναι ασυσχέτιστες

και ισοβαρείς ο πίνακας βάρους είναι ο μοναδιαίος: P = I.

Ο πίνακας σχεδιασμού Α έχει ως στοιχεία του τις μερικές παραγώγους των X, Y, Z

ως προς τις λ, φ, h (γραμμές και στήλες αντίστοιχα).

Αναλυτικά τα στοιχεία του πίνακα Α βρίσκονται ως εξής:

( )[ ]cos cos

X

Ν h φ λ

λ λ

∂ ∂= + ◊ ◊ fi

∂ ∂( ) cos sin

X

Ν h φ λ

λ

∂=- + ◊ ◊

∂

( )[ ]cos cos

X

Ν h φ λ

φ φ

∂ ∂= + ◊ ◊ fi

∂ ∂( ) sin cos

X

Ν h φ λ

φ

∂=- + ◊ ◊

∂

( )[ ]cos cos

X

Ν h φ λ

h h

∂ ∂= + ◊ ◊ fi

∂ ∂cos cos

∂= ◊

∂

X

φ λ

h


( )[ ]cos sin

Y

Ν h φ λ

λ λ

∂ ∂= + ◊ ◊ fi

∂ ∂( ) cos cos

Y

Ν h φ λ

λ

∂=- + ◊ ◊

∂

( )[ ]cos sin

Y

Ν h φ λ

φ φ

∂ ∂= + ◊ ◊ fi

∂ ∂( ) sin sin

Υ

Ν h φ λ

φ

∂=- + ◊ ◊

∂

( )[ ]cos sin

Y

Ν h φ λ

h h

∂ ∂= + ◊ ◊ fi

∂ ∂cos sin

∂= ◊

∂

Y

φ λ

h

( )21 sin

Z

e Ν h φ

λ λ

∂ ∂ È ˘= - ◊ + ◊ fiÎ ˚∂ ∂0

Z

λ

∂=

∂

( )21 sin

Z

e Ν h φ

φ φ

∂ ∂ È ˘= - ◊ + ◊ fiÎ ˚∂ ∂( )21 cos cos

Z

e Ν φ h φ

φ

∂= - ◊ ◊ + ◊ fi

∂

fi ( )21 cos

Z

e Ν h φ

φ

∂ È ˘= - ◊ + ◊Î ˚∂

sin

∂=

∂

Z

φ

h

Άρα, ο πίνακας σχεδιασμού Α είναι:

( ) ( )( ) ( )

( )2

cos sin sin cos cos cos

cos cos sin sin cos sin

0 1 cos sin

Ν h φ λ Ν h φ λ φ λ

Α Ν h φ λ Ν h φ λ φ λ

e Ν h φ φ

È ˘- + ◊ ◊ - + ◊ ◊ ◊Í ˙

= - + ◊ ◊ - + ◊ ◊ ◊Í ˙Í ˙È ˘- ◊ + ◊Í ˙Î ˚Î ˚

Ο πίνακας Ν αφού ο πίνακας σχεδιασμού Α είναι 3¥3, ο Τ

Α 3¥3 θα έχει κι αυτός

διάσταση 3¥3 με την ακόλουθη μορφή:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Ν Ν Ν

Ν Ν Ν Ν

Ν Ν Ν

È ˘Í ˙=Í ˙Î ˚

Τα στοιχεία του υπολογίζονται ως εξής:

2 2 2

11 11 21 31

2 2 2

22 12 22 32

Ν Α Α Α

Ν Α Α Α

= + +

= + +

12 21 11 12 21 22 31 32

Ν Ν Α Α Α Α Α Α= = ◊ + ◊ + ◊

13 31 11 13 21 23 31 33

Ν Ν Α Α Α Α Α Α= = ◊ + ◊ + ◊

23 32 12 13 22 23 32 33

Ν Ν Α Α Α Α Α Α= = ◊ + ◊ + ◊

Έτσι:


( ) ( )2 22 2 2 2

11cos sin cos cos Ν Ν h φ λ Ν h φ φ= + ◊ ◊ + + ◊ ◊ fi

fi ( ) ( )2 2 2 2

11cos cos sinΝ Ν h φ φ λÈ ˘= + ◊ ◊ +

Î ˚

( ) ( ) ( )2

2 22 2 2 2 2 2

22sin cos sin sin 1 cos Ν Ν h φ λ Ν h φ λ e Ν h φÈ ˘= + ◊ ◊ + + ◊ ◊ + - + ◊ fiÎ ˚

fi ( ) ( )2

2 2 2 2 2 2

22sin cos sin 1 cosΝ Ν h φ λ λ e Ν h φÈ ˘È ˘= + ◊ ◊ + + - + ◊Î ˚ Î ˚

fi ( ) ( )2

2 2 2 2

22sin 1 cosΝ Ν h φ e Ν h φÈ ˘= + ◊ + - + ◊Î ˚

( ) ( )2 2

21 12cos cos sin sin cos sin cos sin 0 Ν Ν Ν h φ λ φ λ Ν h φ φ λ λ= = + ◊ ◊ ◊ ◊ + + ◊ ◊ ◊ ◊ + fi

fi ( )2

12 212 cos sin cos sinΝ Ν Ν h φ φ λ λ= = + ◊ ◊ ◊ ◊

( ) ( )2 2

31 13cos sin cos cos sin cos Ν Ν Ν h φ λ λ Ν h φ λ λ= =- + ◊ ◊ ◊ - + ◊ ◊ ◊ fi

fi ( ) 2

31 132 cos sin cosΝ Ν Ν h φ λ λ= =- + ◊ ◊ ◊

23 32 12 13 22 23 32 33

Ν Ν Α Α Α Α Α Α= = ◊ + ◊ + ◊ fi

fi23 32

Ν Ν= =

( ) ( ) ( )2 2 2

sin cos cos sin cos sin 1 sin cosΝ h φ φ λ Ν h φ φ λ e Ν h φ φÈ ˘= - + ◊ ◊ ◊ - + ◊ ◊ ◊ + - ◊ + ◊ ◊Î ˚

fi ( )[ ] ( ) ( )2 2 2

23 32sin cos cos sin 1 sin Ν Ν Ν h φ φ λ λ e Ν h φÈ ˘= = - + ◊ ◊ ◊ + + - ◊ + ◊ fiÎ ˚

fi ( ) ( )223 32sin cos 1 sin cos Ν Ν Ν h φ φ e Ν h φ φÈ ˘È ˘= =- + ◊ ◊ + - ◊ + ◊ ◊ fiÎ ˚Î ˚

fi ( ) ( )223 32sin cos 1Ν Ν φ φ Ν h e Ν hÈ ˘È ˘= =- ◊ ◊ + + - ◊ +Î ˚Î ˚

Τέλος η αντιστροφή του πίνακα Ν προκύπτει από τη παρακάτω σχέση:

11 12 13

1

21 22 23

31 32 33

1

Μ Μ Μ

Ν Μ Μ Μ

Ν

Μ Μ Μ

-

-È ˘Í ˙= ◊ - -Í ˙

-Î ˚

,

όπου τα στοιχεία 11,Μ

12,Μ

13,Μ

21,Μ

22,Μ

23,Μ

31,Μ

32,Μ

33Μ υπολογίζονται

ως εξής:

11 22 33 23 32

Μ Ν Ν Ν Ν= ◊ - ◊

12 21 33 23 31

Μ Ν Ν Ν Ν= ◊ - ◊

13 21 32 22 31

Μ Ν Ν Ν Ν= ◊ - ◊

21 12 33 13 32

Μ Ν Ν Ν Ν= ◊ - ◊

22 11 33 13 31

Μ Ν Ν Ν Ν= ◊ - ◊

74 Ασκήσεις για Λύση

Ασκήσεις για Λύση

1) Στο χωροσταθμικό δίκτυο που φαί-

νεται παρακάτω για τον προσδιορι-

σμό των υψομέτρων των σημείων Γ,

Δ μετρήθηκαν οι εξής υψομετρικές

διαφορές:

3.056m, 5mm= =

ΑΒΑΒ ΔH

ΔH σ

2.584m, 4mm= =

ΒΔΒΔ ΔH

ΔH σ

1.950m, 5mm= =

ΑΓΑΓ ΔH

ΔH σ

0.875m, 6mm= =

ΓΔΓΔ ΔH

ΔH σ

2.995m, 7 mm= =

ΑΔΑΔ ΔH

ΔH σ

Δίνεται: 35.82m=Α

Η .

Να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:

α) Γιατί έχουμε συνόρθωση ;

β) Ποια μέθοδος συνόρθωσης θα χρησιμοποιήσουμε;

γ) Ποιες είναι οι εκτιμήσεις των υψομέτρων των σημείων Β, Γ, Δ;

δ) Ποιες είναι οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων των παρατηρήσεων;

ε) Ποια είναι η εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς;

ΛΥΣΗ

α) Γιατί ισχύει n > m 5 3fi > , οπότε ικανοποιείται η απαραίτητη συνθήκη για να

γίνει συνόρθωση.

β) Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εξισώσεων παρατηρήσεων (Μ.Ε.Π.) καθώς

δημιουργούνται εξισώσεις της μορφής ( )=y f x .

γ) Οι εκτιμήσεις των υψομέτρων των σημείων Β, Γ, Δ είναι:

ˆ

0.032815

ˆˆ 0.00331

0.00783ˆ

È ˘-È ˘Í ˙Í ˙Í ˙= = -Í ˙Í ˙ -Î ˚Í ˙

Î ˚

Β

Γ

Δ

δh

x δh

δh

(m)

δ) Οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων των παρατηρήσεων είναι:

Α

Β

ΓΔ


0.032815

2.620015

ˆ ˆ ˆ 0.00331

0.16548

0.00783

È ˘Í ˙Í ˙

= - fi =Í ˙Í ˙-Í ˙Î ˚

v b Αx v (m)

ε) Η εκτίμηση μεταβλητότητας αναφοράς είναι: 2

ˆ 0.429=σ .

2) Να κάνετε τον ολικό έλεγχο μεταβλητότητας αναφοράς όταν δίνονται:

f = 5, 2

10=±ο

σ cm και έχει υπολογιστεί: 2

ˆ 0.85=σ , α = 0.05.

Τι συμπεράσματα προκύπτουν;

ΛΥΣΗ

Επειδή: ( ) ( )2 1 /2 2 /2

0.8312 425 12.83

-

£ £ fi £ £α α

f fχ u χ , βγαίνει το συμπέρασμα ότι

υπάρχουν χονδροειδή ή συστηματικά σφάλματα στις παρατηρήσεις.

3) Όταν δίνονται:

1

0.55,=-t 2

3.60,=t 3

1.25,=-t 4

2.95=t

για f = 18 και α = 0.05 εφαρμόζοντας τη διαδικασία της σάρωσης δεδομένων

σε τι συμπεράσματα καταλήγετε:

ΛΥΣΗ

Η δεύτερη παρατήρηση δεν περνά γιατί: /2

2 1 3.60 2.110

-

> fi >α

ft t μετά την εφαρ-

μογή της σάρωσης οπότε χαρακτηρίζεται ως περιέχουσα χονδροειδές σφάλμα.

4) Τριγωνομετρικό δίκτυο που έχει 5 κορυφές εκ των οποίων 3 είναι γνωστά ση-

μεία του κρατικού δικτύου και τα άλλα είναι νεοϊδρυόμενα, χρησιμοποιήθηκε

για την αποτύπωση μιας αγροτικής περιοχής. Στο δίκτυο αυτό παρατηρήθηκαν

35 συνολικά διευθύνσεις από όλα τα σημεία. Κάνοντας ολικό έλεγχο μεταβλη-

τότητας αναφοράς και σάρωση δεδομένων εντοπίστηκαν 5 προβληματικές πα-

ρατηρήσεις οι οποίες και βγήκαν από τη συνόρθωση. Έτσι τώρα υπάρχουν 30

παρατηρήσεις (35 – 5 = 30) που θεωρούνται απαλλαγμένες από χονδροειδή

σφάλματα. Αυτοί οι έλεγχοι έγιναν με την προϋπόθεση ότι το δίκτυο συνορθώ-

θηκε με ελάχιστες δεσμεύσεις ή εσωτερικές δεσμεύσεις.

Για να γίνουν τα αποτελέσματα της συνόρθωσης δεκτά σε κάθε πρόβλημα έ-

νταξης δικτύου πρέπει να ελεγχθεί η ποιότητα των πλεοναζουσών δεσμεύσεων.

Να κάνετε τον απαραίτητο έλεγχο όταν δίνονται οι εκτιμήσεις των μεταβλητο-

76 Ασκήσεις για Λύση

τήτων από τις δύο παρακάτω λύσεις θεωρώντας επίπεδο σημαντικότητας 0.05:

2

ˆ 0.90=σ , από τη συνόρθωση με ελάχιστες δεσμεύσεις,

2

ˆ 1.15=Η

σ , από τη συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις.

ΛΥΣΗ

Ελέγχοντας τη σχέση: ,

2.8055 3.98£ fi £α

k fF F , καταλήγουμε στο συμπέρασμα

ότι τα αποτελέσματα της συνόρθωσης με όλες τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις γίνο-

νται αποδεκτά με επίπεδο σημαντικότητας 0.05.

5) Για την εύρεση των παραμέτρων βέλτιστου κύκλου μετρήθηκαν οι συντεταγμέ-

νες ,

α α

i ix y πάνω στην περιφέρεια κυκλικής πλατείας. Για τέσσερα σημεία δίνο-

νται:

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2 2 3 3

4 4

0.0, 1.5 m , 0.7 m, 1.2 m , 2.0 m, 1.9 m ,

2.5 m, 2.1m

= = = = = =

= =

x y x y x y

x y

Θεωρώντας τις μετρήσεις με βάρος τη μονάδα ζητούνται:

α) Να υπολογίσετε τις εκτιμήσεις των παραμέτρων του βέλτιστου κύκλου, δη-

λαδή του κέντρου του κύκλου και της ακτίνας του.

β) Να υπολογίσετε τις εκτιμήσεις των παραμέτρων του βέλτιστου κύκλου με τη

συνθήκη ότι αυτός, δηλαδή ο βέλτιστος κύκλος πρέπει να διέρχεται από το

σημείο 5 ( )5 5

1.35, 1.60= =x y .

Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ασυσχέτιστες μεταξύ τους και της ίδιας αλλά ά-

γνωστης ακρίβειας.

ΛΥΣΗ

α) Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων του βέλτιστου κύκλου είναι:

1

ˆ0.546

ˆ ˆ ˆ 0.919 m

0.621ˆ

-

È ˘È ˘Í ˙Í ˙= ◊ fi = =Í ˙Í ˙Í ˙ Î ˚

Î ˚

ο

ο

δx

x Ν u x δy

δR

β) Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων του βέλτιστου κύκλου με τη συνθήκη ότι αυτός

πρέπει να διέρχεται από το σημείο 5, δηλαδή ικανοποιώντας αυτή τη δέσμευση,

είναι:

( )1 1

ˆ0.432

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0.692 m

0.552ˆ

- -

È ˘È ˘Í ˙Í ˙= + ◊ ◊ ◊ - ◊ fi = =Í ˙Í ˙Í ˙ Î ˚

Î ˚

ο

Τ

ο ο ο

δx

x x Ν H S z H x x δy

δR

© Copyright, Απρίλιος 2012, Ο.-Θ. Ντίνης, Eκδόσεις …Κεφάλαιο 1:...

Documents

Transcript of © Copyright, Απρίλιος 2012, Ο.-Θ. Ντίνης, Eκδόσεις …Κεφάλαιο 1:...