μαθηματικά β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 22 11 2014

www.askisopolis.gr

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΤΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

http://www.askisopolis.gr/

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί:

Βλαχόπουλος Αποστόλης

Δικαιοσυνόπουλος Νίκος

Κολλινιάτη Γιωργία

Μάκος Σπύρος

Μαρωνίτη Ειρήνη

Μαρωνίτης Λάμπρος

Μπουρούνης Μιχάλης

Μιχαήλογλου Στέλιος

Πανούσης Γιώργος

Παπαθανάση Κέλλυ

Πατσιμάς Ανδρέας

Πατσιμάς Δημήτρης

Ραμαντάνης Βαγγέλης

Σαμπάνης Νίκος

Τόλης Ευάγγελος

Φανέλη Αναστασία

Φερεντίνου Σταυρούλα

Τράπεζα θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού

1

www.askisopolis.gr

Διανύσματα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

2ο Θέμα

2_18603

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 2 5 και

5 2 .

α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και .

(Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα.

(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) = 5 2 2 5 = 3 3

β) Επειδή : = 3 3 = 3 3 τότε τα και είναι παράλληλα.

2_18604

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ σημεία τέτοια ώστε : 2 2

, 5 7

α) Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και .

(Μονάδες 13)

β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B , Z και E είναι συνευθειακά. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Είναι : 2 2

ΕΖ ΑΖ ΑΕ ΑΓ ΑΔ7 5

.

Επειδή ΑΓ ΑΒ ΑΔ τότε :

2 2

ΕΖ (ΑΒ ΑΔ) ΑΔ7 5

2 2 2 2 4

ΕΖ ΑΒ ΑΔ ΑΔ ΑΒ ΑΔ7 7 5 7 35

2 2 2 2

Ζ ΑΒ Α ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΒ ΑΔ7 7 7 7

B Z

5 2

Ζ ΑΒ ΑΔ7 7

B


2

www.askisopolis.gr

β) 2 4 2 2

ΕΖ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΔ7 35 7 5

5 2 5 2 5 2 2 5

Ζ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΕΖ7 7 7 5 2 7 5 2

B

οπότε ΕΖ ΖΒ και

Ε,Ζ,Β συνευθειακά

2_20054 Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση:

5 2 3 .

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)

β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει:

2 3 2 , όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου.

(Μονάδες 15)

Λύση

α) 5 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3

3

2 3 2 32

, άρα / / οπότε

τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά.

β) 2 3 2

2 3 2

2 2 3 3 2 2 2 2

5 2 2 5 2 2

5 2 3 ισχύει από α).

Συντεταγμένες στο επίπεδο

2ο Θέμα

2_18605

Δίνονται τα διανύσματα 2i 4j, 3i j και 5i 5j, όπου i και j είναι τα

μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των και . (Μονάδες 12)

β) Να εξετάσετε αν τα σημεία , και μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες 13)

Λύση

α) AB OB OA 3i j 2i 4 j 3i j 2i 4 j i 3 j , δηλαδή AB 1, 3

B O O 5i 5 j 3i j 5i 5 j 3i j 2i 6 j , δηλαδή B 2, 6

β) Αν τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου, τότε τα διανύσματα AB, B δεν είναι

παράλληλα.

Είναι: 1 3

det AB,B 6 6 0 AB / /B2 6

, άρα τα σημεία Α,Β,Γ είναι

συνευθειακά, οπότε δεν ορίζουν τρίγωνο.


3

www.askisopolis.gr

2_20055

Θεωρούμε τα σημεία α 1,3 , α,4 και Γ (-4, 5α+4), α .

α) Να βρείτε τα διανύσματα AB και . (μονάδες 8)

β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (μονάδες 10)

γ) Αν α 1 , να βρείτε αριθμό λ ώστε λ . (μονάδες 7)

Λύση

α) Είναι AB α (α 1), 4 3 α α 1,1 1,1 και

4 α, 5α 4 4 4 α, 5α

β) Α,Β, Γ συνευθειακά αν και μόνο αν AB/ /1 1

det( , ) 0 04 α 5α

5α 4 α 0 4α 4 0 4α 4 α 1

γ) Για α 1 τα δεδομένα σημεία γίνονται: 2,3 , 1,4 και 4,9 και τα διανύσματα:

AB 1 2,4 3 1, 1 και 4 2,9 3 6,6 .

Για να ισχύει: λ αρκεί .6,6 λ 1,1 λ 6 .

2_20061 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(1,1), Γ(4, 3) και Δ(2, 3) .

α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και

τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 16)

Λύση

α) Γνωρίζουμε ότι η απόσταση δύο σημείων Α(x1, y1) και

Β(x2, y2) υπολογίζεται με τον τύπο:

2 2

2 1 2 1( ) ( )B x x y y

Για την πλευρά ΑΔ έχουμε:

2 2(1 2) (1 3)

2 2( 1) ( 2) 1 4 5

Για την πλευρά ΔΓ έχουμε: 2 2 2(4 2) (3 3) 2 0 4 2 .

Ισχύει 5 και =2, αφού οι απέναντι πλευρές

παραλληλογράμμου είναι παράλληλες και ίσες.

β) Οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου διχοτομούνται οπότε το Κ είναι το μέσον της ΑΓ και

έχει συντεταγμένες 1 4 1 3 5 4 5

( , ) ( , ) ( , ) ( , 2)2 2 2 2 2 2 2

A Ax x y y και επίσης είναι

το μέσον της ΔΒ οπότε θα ισχύει:


4

www.askisopolis.gr

Οπότε :

2 3 2 35( , ) ( , ) ( , 2) ( , )

2 2 2 2 2 2 2

25

5 2 32 2

3 4 3 12

2

x x y y x y x y

x

x x

y y y

Άρα Β(3, 1)

2_20071

Θεωρούμε τα σημεία 1 2α, 4α 2 και 5α 1, α , α .

α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε 10 . (Μονάδες 12)

β) Έστω α 2 . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x΄x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι

ισοσκελές με βάση την ΑΒ. (Μονάδες 13)

Λύση

α) 5α 1 1 2α, α 4α 2 3α,2 5α

2 2 2 2

10 3α 2 5α 10 9α 4 20α 25α 100

2 2

34α 20α 96 0 17α 10α 48 0

Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με 2

10 4 17 48 3364 και ρίζες

1,2

10 58α

34

24α 2 ή α

17 . Όμως ο α είναι ακέραιος, άρα α 2 .

β) Για α 2 είναι 5,6 και 11, 2 . Έστω x,0 .

Επειδή το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ, ισχύει ότι:

2 2 22

5 x 6 11 x 2

225 10x x

236 121 22x x 4

64 16

61 10x 125 22x 22x 10x 125 61 12x 64 x12 3

.

Άρα 16

M ,03

.

2_20073

Δίνονται τα σημεία 2,3 , 1,5 και 2, 4 .

α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. (Μονάδες 10)

γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 7)

Λύση

α) Είναι AB 1 2,5 3 3,2 και

B 2 1, 4 5 1, 9 .

3 2

det AB,B 27 2 29 01 9

, άρα τα διανύσματα


5

www.askisopolis.gr

AB,B δεν είναι παράλληλα, οπότε σχηματίζουν τρίγωνο.

β) Το μέσο Μ του ΑΓ έχει συντεταγμένες

M

x x 2 2x 0

2 2

και A

M

y y 4 3 1y

2 2 2

, δηλαδή

10,

2

.

Επειδή τα σημεία Β και Δ είναι συμμετρικά ως προς το Μ, το Μ είναι το μέσο του

τμήματος ΒΔ, οπότε:

BM

x x x 1x 0 x 1 0 x 1

2 2

και

BM

y y y 51y y 5 1 y 6

2 2 2

, άρα 1, 6 .

γ) Επειδή και οι διαγώνιες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ διχοτομούνται,

οπότε είναι παραλληλόγραμμο.

2.20148

Δίνονται τα διανύσματα α i 2 j, β 2i 5 j και γ 7,3 .

α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ είναι μη συγγραμικά ανά δύο. (Μονάδες 10)

β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β .

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Είναι α i 2 j 1, 2 και β 2i 5 j 2, 5 .

1 2

det α,β 5 4 1 0 α2 5

β ,

2 5

det β,γ 6 35 41 0 β7 3

γ και

1 2

det α,γ 3 14 17 0 α7 3

γ

β) Έστω x, y με γ xα yβ , τότε:

x 2y 7

7,3 x 1, 2 y 2, 5 7,3 x 2y, 2x 5y2x 5y 3

x 7 2y x 7 2y x 7 2y x 7 2 17 41

2 7 2y 5y 3 14 4y 5y 3 y 17 y 17

.

Άρα γ 41α 17β


6

www.askisopolis.gr

Εσωτερικό γινόμενο

2ο Θέμα

2_18556

Δίνονται τα διανύσματα α και β με πα,β

3 και α 2, β 2 2.

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β. (Μονάδες 8)

β) Αν τα διανύσματα 2α β και κα β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.

(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α β. (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) . 1

, 2 2 2 4 23 2

.

β) Αφού 2 ( ) 2 ( ) 0

2 2

2 2 0 4 4 2 8 0

6 12 2

γ) 22 2 2

2 2 4 2 2

4 2 4 4 8 24 2 24 2 6

2_18558

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: AB 4, 6 , A 2, 8 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ,όπου ΑΜ είναι η διάμεσος

του τριγώνου ΑΒΓ.

(Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ̂ είναι οξεία.

(Μονάδες 10)

γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών

του Β και Γ.

(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α)

2, 14

1, 72 2

β) ( 4, 6) (2, 8) 8 48 40

2 2| | ( 4) ( 6) 16 36 52 2 13

2 2| | 2 ( 8) 4 64 68 2 17

40 40 10 221ˆ , 0

2212 13 2 17 4 221

. Άρα η

γωνία ̂ είναι οξεία.


7

www.askisopolis.gr

γ) Έστω 1 1(x , y ) και

2 2(x , y ).

Το διάνυσμα έχει συντεταγμένες : 1 1AB (x 3, 1) ( 4, 6)y

Οπότε 1 1x 3 4 x 1 και

1 11 6 5.y y

Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες Β(-1,-5)

Το διάνυσμα έχει συντεταγμένες : 2 2( 3, 1) (2, 8)x y

Οπότε 2 2x 3 2 5x και

2 2y 1 8 y 7.

Επομένως το σημείο Γ έχει συντεταγμένες Β(5,-7)

2_18581

Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει : 2 α β 2 2 και α, β 60

.

α) Να αποδείξετε ότι α β 2 (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β (Μονάδες 15)

Λύση

α) Είναι 2 α 2 2 α 2

α β α β συν α,β 2 2 2συν60 2 2 1

22

2

β) 22 222 2

α β α β α 2α β β α 2 2 β

2 22

α β 2 4 2 2 2 4 8 14 α β 14

22 222 2

α β α β α 2α β β α 2 2 β

2 22

α β 2 4 2 2 2 4 8 6 α β 6

2_18598

Δίνονται τα διανύσματα 2κ 6κ 9,κ 3 και 1,6 , όπου κ .

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο .

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιμές του κ , ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα.

(Μονάδες 9)

γ) Για κ =1 να βρείτε το διάνυσμα . (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) 2 21 6 9 6 3 6 9 6

218 9

β) Πρέπει 2 20 9 0 9 3 ή 3

γ) Για κ=1 έχουμε 4, 2 και 1,6 άρα

1,6 4, 2 1 4,6 2 3,8


8

www.askisopolis.gr

2_20053

Δίνονται τα διανύσματα α ,β με β 2 α 4 και α β 8 .

α) Να υπολογίσετε τη γωνία α , β . (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι β 2α 0 . (Μονάδες 15)

Λύση α) Είναι 2 α 4 α 2

α β 8συν α , β 1 α , β 180

2 4α β

.

β) Επειδή α , β 180 τα διανύσματα α ,β είναι αντίρροπα, οπότε β λα με λ 0 .

Επειδή β 2 α , είναι λ 2 και β 2α β 2α 0 .

2_20056

Έστω α και β δύο διανύσματα με α 2 , β 2 και 5π

(α, β)6

και u α 2β .

α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και β u . (Μονάδες 16)

β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u . (Μονάδες 9)

Λύση α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:

5π 3

α β α β συν(α, β) 2 2 συν 2 2 66 2

και

2 22

β u β (α 2β) β α 2β β α β 2β 6 2 β 6 2 2

β u 6 4

β) Για να βρούμε το μέτρο του διανύσματος u υψώνουμε την αντίστοιχη σχέση στο

τετράγωνο και έχουμε:

2 2 22 22 2

u u α 2β α 2 α 2β 2β α 4α β 4 β

22 2

u 2 4 6 4 2 4 4 6 4 2 4 4 6 8 12 4 6 4 3 6

Αποτετραγωνίζοντας στην συνέχεια έχουμε: u 4 3 6 2 3 6 .

2_20070

Έστω α ,β δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν: 3 α β 9, 2 α β 1 και

πα , β

3 .

α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α ,β και το εσωτερικό γινόμενο α β .

(Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 2α 3β . (Μονάδες 13)


9

www.askisopolis.gr

Λύση

α)

103 α β 9 α 23 α 2 α 1 9 5 α 10

52 α 1 β 2 α 1 β2 α β 1 β 4 1 3

π 1α β α β συν α , β 2 3 συν 6 3

3 2

β) 22 22 22 2

u 2α 3β 2α 3β 4α 12α β 9β 4 α 12 3 9 β

2

u 16 36 81 61 u 61

2_20057

Δίνονται τα διανύσματα α και β με α 1 , β 2 και πα , β

3 . Να υπολογίσετε τα εξής:

α) το εσωτερικό γινόμενό των διανυσμάτων α ,β και κατόπιν την τιμή της παράστασης:

2α α 2β . (Μονάδες 10)

β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α 2 β και β 2 α . (Μονάδες 15)

Λύση α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:

π 1α β α β συν α , β 1 2 συν 1 2 1

3 2

22

α α (2β) α 2α β 1 2 1 1 2 3 , αφού ισχύει: α (2β) (2α) β 2(α β)

β) Για το συνημίτονο της γωνίας των δύο διανυσμάτων θέτουμε τα διανύσματα:

u α 2 β και v β 2 α , οπότε από των ορισμό του εσωτερικού γινομένου λύνοντας

ως προς το συνημίτονο της γωνίας έχουμε : u v

συν(u,v)u v

(1).

Υπολογίζουμε πρώτα το εσωτερικό γινόμενο και τα μέτρα των δύο διανυσμάτων.

222 2

u v (α 2 β) (β 2 α) α β 2α 2β 4α β 2 α 2 β 3α β

2

u v 2 1 2 2 3 1 2 2 4 3 2 8 3 9

22 22 2 2 2

u u (α 2 β) α 2 α 2β (2β) α 4α β 4 β

2 2

u 1 4 1 4 2 1 4 4 4 1 4 16 13 u 13

222 22 2 2

v v (β 2 α) β 2 β 2α (2α) β 4α β 4 α

2 2 2

v 2 4 1 4 1 4 4 4 12 v 12 2 3 .

Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρήκαμε στη σχέση (1) έχουμε:

u v 9 9

συν(u, v)u v 13 2 3 2 39

.

2_20058

Δίνονται τα διανύσματα α ( 1, 3) και β ( 3, 3) . Να υπολογίσετε:

α) τη γωνία α , β (Μονάδες 10)


10

www.askisopolis.gr

β) το διάνυσμα 2 2u α β (α β) α (Μονάδες 15)

Λύση α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου λύνοντας ως προς το συνημίτονο της γωνίας

έχουμε: ( , )

(1). Αρκεί να υπολογίσουμε τα μέτρα και το εσωτερικό

γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου

προκύπτει: ( 1, 3) ( 3, 3) 1 3 3 3 2 3 .

Για το μέτρο των διανυσμάτων έχουμε:

2 2

( 1) ( 3) 1 3 4 2

2 2

( 3) 3 3 9 12 2 3

Αντικαθιστώντας στην σχέση (1) προκύπτει:

2 3 1

( , )2 32 2 3

.

Άρα η γωνία είναι 60ο.

β) Για το διάνυσμα έχουμε:

22 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( 3,3) (2 3) ( 1, 3)

4 ( 3,3) 12 ( 1, 3) (4 3 12,12 12 3) 4( 3 3,3 3 3)

u a a a a a

2_20059

Δίνονται τα διανύσματα α ( 1,3) και 1

β ( 2, )2

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α 2β (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και 2ν x ,x 1 είναι

κάθετα. (Μονάδες 15)

Λύση

α) Για τις συντεταγμένες του u έχουμε:

1

2 ( 1,3) 2( 2, ) ( 1,3) ( 4, 1) ( 1 4,3 1) (3,4)2

u .

β) Για να είναι δύο διανύσματα κάθετα πρέπει το εσωτερικό τους γινόμενο να είναι 0.

2 20 (3,4) ( , 1) 0 3 4 4 0u v x x x x . Λύνοντας την εξίσωση έχουμε:

24 4 3 ( 4) 16 48 64 64 8

1,2

2 4 20

4 8 2( 2 4) 2 4 3 3

2 4 62 3 2 3 32 0

3 3

ή

x

ί


11

www.askisopolis.gr

4ο Θέμα

4_18606

Δίνονται τα διανύσματα O (4, 2) και O (1,2) , όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων.

α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και O είναι κάθετα.

(Μονάδες 4)

β) Αν Γ (α, β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β , τότε:

i) να αποδείξετε ότι: ( 3,4) και (α 4,β 2) (Μονάδες 5)

ii) να αποδείξετε ότι: 4α + 3β = 10

(Μονάδες 6)

iii) αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες

του σημείου Γ .

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Για να είναι τα διανύσματα και O κάθετα πρέπει 0

Πράγματι : 4 4 0O O O O

β) i) (1,2) (4, 2) ( 3,4)

( , ) (4, 2) ( 4, 2)

ii) 3 4

/ / det , 0 0 3( 2) 4( 4) 04 2a

3 6 4 16 0 4 3 10

iii) 4

0 3 4 03

.

Λύνουμε το σύστημα

44

30 63( ) : 3

4 25 54 3 10 4 3 10

3

και 4 6 8

3 5 5 . Άρα το σημείο Σ έχει συντεταγμένες

8 6,

5 5

4_18616

Δίνονται τα διανύσματα α,β και γ για τα οποία ισχύουν: | α | 2 , | β | 1 , α ,β 60 και

κ

γ α β2

, όπου κ .

α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β (Μονάδες 3)

β) Αν ισχύει β γ κ , τότε:

i) να αποδείξετε ότι: κ = −2 (Μονάδες 6)

ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ (Μονάδες 8)

iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3α 2γ και β γ είναι κάθετα. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) 1, 60 1 2 1

2


12

www.askisopolis.gr

β) i) 2

2 12 2 2

1 2 2 22

ii) για κ=-2 : και

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2 1 4 2 1 7

Άρα 7

iii) 2

2

( ) 4 1 5

22

(3 2 ) ( ) 3 3 2 2 3 1 3( 5) 2( 2) 2 7

3 15 4 14 0

Οπότε τα διανύσματα 3 2 και είναι κάθετα.

4_18618

α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: | u v | |u | |v | και | u v | |u | |v |

(Μονάδες 10)

β) Δίνονται τα διανύσματα α,β , γ για τα οποία ισχύουν: α β γ 0 και | α | | β | | γ |

3 4 7

i) Να αποδείξετε ότι: α β και β γ (Μονάδες 8)

ii) Να αποδείξετε ότι: 7α 3γ 0 (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ α)

2 2 2 2 2| | | | | | | | | | 2 | | | | | |u v u v u v u v u v u u v v

2 2 2 2

2 2 | | | | 2 2 | | | | | | | |u u v v u u v v u v u v u v u v

Επομένως η σχέση | | | |u v u v ισχύει όταν u v .

2 2 2 2

| | | | | | | | | | | |u v u v u v u v u v u v

2u 22u v v 2| |u 22 | | | | | |u v v 2u v 2 | | | | u v | | | |u v u v

Επομένως η σχέση | | | |u v u v ισχύει όταν u v .

β) i) Έστω | | | | | |

3 4 7

. Τότε | | 3 , | | 4 και | | 7

0

Οπότε

| | | | 7 | | | | . Άρα .

0

Οπότε


13

www.askisopolis.gr

| | | | 3 | | | | . Άρα .

ii) Από β) i) οπότε με λ<0

Όμως | | | | 7

| | | |3 7 3

. Άρα

73 7 7 3 0

3

Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα

2_20050

Δίνονται τα διανύσματα α 1,7 και β 2,4 .

α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β . (Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες. από τις οποίες η μία να είναι

παράλληλη στο β . (Μονάδες 15)

Λύση

α) Έστω 1 β

α προβ α . Είναι 1 1α / /β α λβ 2λ,4λ ,λ R. .

Είναι β

3α β β προβ α 1 2 7 4 2 2λ 4 4λ 30 20λ λ

2 , άρα

1

3 3α 2 ,4 3,6

2 2

β) Έστω 1 2α ,α οι συνιστώσες του α με

1α / /β και 2α β . Τότε 1α 3,6 και

1 2 2 1α α α α α α 1,7 3,6 2,1

2_20052

Δίνονται τα διανύσματα α ,β με α 1 , α 2β β 7 και α β 1 .

α) Να υπολογίσετε τα 2

α και β . (Μονάδες 6)

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α 2β . (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την προβολή του α 2β στο διάνυσμα β . (Μονάδες 10)

Λύση

α) 22

α α 1 και

2 2 2

2α 2β β 7 α β 2β 7 1 2 β 7 2 β 8 β 4 β 2

β) 22 2

2 2α 2β α 2β α 4α β 4β 1 4 4 β 3 16 13 α 2β 13

γ) Είναι β βπροβ α 2β / /β προβ α 2β λβ

2 2

ββ α 2β β προβ α 2β α β 2β λβ

2 2 7

1 2 β λ β 1 8 4λ λ4

, άρα β

7προβ α 2β β

4


14

www.askisopolis.gr

2.20069.

Δίνονται τα διανύσματα α 2, 3 και 1

β 1,2

.

α) Να βρείτε τη προβολή του α πάνω στο β . (Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη

με το β . (Μονάδες 15)

Λύση

α) Είναι β β

προβ α / /β προβ α λβ,λ .

Είναι 2

2

β

1 3 1β α β προβ α 2 1 3 β λβ 2 λβ λ β

2 2 2

22

2 1 1λ 1

2 2

5 1 2λ 5λ 2 λ

4 2 5

Άρα β

2 2 1 2 1προβ α β 1, ,

5 5 2 5 5

β) Έστω 1 2α ,α οι συνιστώσες του α με

1α / /β και 2α β . Τότε 1 β

2 1α προβ α ,

5 5

και

1 2 2 1

2 1 2 1 8 16α α α α α α 2, 3 , 2 , 3 ,

5 5 5 5 5 5


15

www.askisopolis.gr

Ευθεία

Εξίσωση ευθείας

2ο Θέμα

2_18575 Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ) .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B . (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την

y x 7 (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης: 6 2

λ 15 1

και εξίσωση

ΑΒ: y 2 x 1 y x 1

β) Έστω Μ το μέσο του ΑΒ. Οι συντεταγμένες του Μ είναι:

A BM

x x 1 5x 3

2 2

και A B

M

y y 2 6y 4

2 2

, δηλαδή M 3,4 .

Έστω μ η μεσοκάθετος του ΑΒ. Είναι μ μμ λ λ 1 λ 1 .

Η εξίσωση της μ είναι: y 4 x 3 y x 7

2_18600

Θεωρούμε την ευθεία 1ε που τέμνει τους άξονες χ′ χ και ψ′ ψ στα σημεία 3,0 και 0,6

αντίστοιχα.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1ε . (Μονάδες 8)

β) Αν 2ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην1ε ,

τότε να βρείτε:

i) την εξίσωση της ευθείας 2ε . (Μονάδες 9)

ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1ε και 2ε . (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ α) Έστω ότι η εξίσωση

1 έχει μορφή 0 1 0y y x x η οποία διέρχεται από τα σημεία Α

και Β.Τότε 1

6 0 62

0 3 3

B A

B A

y y

x x

όποτε αν στη θέση των

0 0,x y βάλουμε τις

συντεταγμένες του σημείου Β θα έχουμε 1 : 6 2 0 2 6y x y x που είναι και

η ζητούμενη εξίσωση.

β)i) Επειδή η ευθεία 2 διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει μορφή 2 2: y x

1 2 1 2 2 2

11 ( 2) 1

2 οπότε η 2 έχει εξίσωση 2

1:

2y x

ii) Για να βρούμε το σημείο τομής των ευθειών 1 και 2 λύνουμε το σύστημα των

1 , 2

δηλαδή


16

www.askisopolis.gr

6111 1 1

5222 2 2

121 122 6 4 12 5 122 6

52 5

yy xy xy x y x y x

y x x x x xx x x

.

Άρα το κοινό σημείο τους είναι το 12 6

,5 5

2_18601 Έστω Μ (3, 5) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(1,1) .

α) Να βρείτε:

i) τις συντεταγμένες του σημείου Β . (Μονάδες 6)

ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β . (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα χ΄χ έτσι ώστε να ισχύει .

(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ α)

i) Έστω 1 1( , )B x y ,οπότε αφού το σημείο M(3,5) είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, θα

ισχύει 1 1 1

1 1 1

2 1 2 1 6 5

2 1 2 1 10 9

A M M

A M M

x x x x x x x

y y y y y y y

.

Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες (5,9).

ii) Έστω η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.

Τότε 9 1 8

2.5 1 4

B A

B A

y y

x x

Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι:

1 2 1 1 2 2 2 1A Ay y x x y x y x y x

β) Έστω , 0 το σημείο του άξονα ́ για το οποίο ισχύει 1

Τότε 2 2 2 2

1 x x y y x x y y

2 2 2 2 2 2

1 1 0 5 9 0 1 1 5 81

2

1 1 80

25 81

21 2

225 10 80

8 104 13.

Άρα το σημείο Κ έχει συντεταγμένες 13,0 .

2_18602

Δίνεται η ευθεία (ε): y x 1 και το σημείο 2, 4 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε).

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία (ε). (Μονάδες 15)


17

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Έστω (ε) η ευθεία που διέρχεται από το με

( ) ( ) (1)

Έχουμε (ε):x+y=1,οπότε y=-x+1 ,άρα: 1 2

Τότε:

2

11 1 1.

Οπότε η εξίσωση της είναι:

4 1 2 4 2 6.y x y x y x

β) Δεδομένου ότι , η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία θα είναι

το σημείο τομής Κ των δύο ευθειών, το οποίο θα βρεθεί από τη λύση του

συστήματος των εξισώσεων των και ,

Έχουμε:

7 7: 1 6 1 2 7 2 2

: 6 6 6 7 562 2

x xx y x x x

y x y x y x y y

Άρα το σημείο Κ έχει συντεταγμένες 7 5

,2 2

.

2_20060

Δίνονται τα διανύσματα α (1, 1) και β (3,0) .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος 1

u 4α β3

. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης 2

u

5

και διέρχεται από το σημείο 1,α β 2 . (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Για το διάνυσμα u έχουμε:

1 1

4 4 (1, 1) (3,0) (4, 4) (1,0) (3, 4)3 3

u .

β) Υπολογίζουμε πρώτα το μέτρο του διανύσματος u για τον συντελεστή διεύθυνσης και το

εσωτερικό γινόμενο των για τις συντεταγμένες του σημείου.

2 23 ( 4) 9 16 25 5u .


18

www.askisopolis.gr

Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι :

2225

55 5 5

uu .

Για το εσωτερικό γινόμενο: (1, 1) (3,0) 1 3 ( 1) 0 3 .

Και το σημείο Α έχει συντεταγμένες: (1, 2) (1,3 2) (1,5)a .

Για την εξίσωση της ευθείας ισχύει: ε: y-yA=λ(x-xA) y-5=5(x-1) y=5x-5+5 y=5x.

2_20063

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και 1, 2 , 2,5 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ,

καθώς και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες x΄x και y΄y . (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Επειδή το Μ είναι μέσο του ΑΒ, ισχύει ότι:

A B BM B B

x x 1 xx 2 4 1 x x 5

2 2

και

A B BM B B

y y 2 yy 5 10 2 y y 12

2 2

.

Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες 5,12 .

β) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης 12 2 14 7

λ5 1 6 3

Είναι ε ε ε

7 3ε λ λ 1 λ 1 λ

3 7

. Επειδή η ε διέρχεται από το μέσο

Μ της ΑΒ, έχει εξίσωση: 3 3 6 3 41

y 5 x 2 y x 5 y x7 7 7 7 7

.

Για να βρούμε τα σημεία τομής με τους άξονες:

Βάζουμε όπου x το 0 και τότε: y=3

07 +

41

7=

41

7οπότε

410,

7

) το σημείο τομής με τον

y΄y.

Βάζουμε όπου y το 0 και τότε: 0=3 41 3 41 41

3 417 7 7 7 3

x x x x , άρα

41

,03

το σημείο με τον άξονα χ΄χ ΄.

2_20066

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία 3,1 , 1,1 και 2,4 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ . (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 18)


19

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ

α) Η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης 4 1

λ 32 3

και εξίσωση: y 1 3 x 3 y 3x 10

β) Είναι 1

B λ λ 1 3 λ 1 λ3

Το ύψος ΒΔ έχει εξίσωση: 1 1 1 1 4

y 1 x 1 y x 1 y x3 3 3 3 3

Για τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΒΓ, ισχύει ότι:

BM

x x 2 1 1x

2 2 2

και

4 1 5

2 2 2M

y yy

, δηλαδή 1 5

,2 2

.

Η ευθεία ΑΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης:

5 31

32 2λ1 5 5

32 2

και εξίσωση:

A Ay y λ x x 3 3 9 3 14

y 1 x 3 y x 1 y x5 5 5 5 5

2.20068. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−5,4),Β(−1,6),Γ(4,1) και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο

ισχύει 1

4 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος . (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. (Μονάδες 9)

γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 9

4,2

, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που

διέρχεται από τα σημεία Γ, Μ. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) B A B Ax x , y y 1 5,6 4 4,2 .

β) Έστω M Mx , y . Είναι

MM

M M

MM

1x 1 5 4x 5 4

1 1 4x 5, y 4 4,2 1 9

14 4 y 4y 4 2 2 2

4

Άρα 9

M 4,2

.

γ) Η ευθεία που διέρχεται από τα Γ και Μ έχει συντελεστή διεύθυνσης :

9 71

72 2λ4 4 8 16

και εξίσωση:


20

www.askisopolis.gr

7 7 7 7 11

y y λ x x y 1 (x 4) y x 1 y x16 16 4 16 4

4ο Θέμα

4.20147

Δίνονται τα σημεία λ 1,λ 1 , 2,2 και 4,6 , λ .

α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7)

β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 8)

γ) Για λ 4 ,να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ α) Έστω Μ το μέσο του ΒΓ. Για τις συντεταγμένες του Μ ισχύει ότι:

M

x x 2 4x 3

2 2

και M

y y 2 6y 4

2 2

, δηλαδή 3,4 .

Η ευθεία ΒΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης: 6 2 4

λ 24 2 2

.

Έστω ε η μεσοκάθετος του ΒΓ. Είναι ε ε

1ε λ λ 1 λ

2

Η εξίσωση της ε είναι:

ε

1y y λ x x y 4 x 3 2y 8 x 3 x 2y 11 0

2 .

β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα Β,Γ τότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο ε του ΒΓ, οπότε την

επαληθεύει, δηλαδή:

12

λ 1 2 λ 1 11 0 λ 1 2λ 2 11 0 3λ 12 λ 43

γ) Για λ 4 είναι 5,3 . Έστω α,β .

Αρχικά το τετράπλευρο ΑΒΔΓ πρέπει να είναι παραλληλόγραμμο, οπότε

3, 1 α 4,β 6

α 4 3 α 4 3 1

β 6 1 β 6 1 5

, δηλαδή 1,5

Τότε 5 3 1 6 2

λ , λ 21 5 2 4 2

.

Είναι λ λ 1 , οπότε το παραλληλόγραμμο ΑΒΔΓ

έχει διαγώνιες κάθετες και είναι ρόμβος.


21

www.askisopolis.gr

Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

2ο Θέμα

2_18584. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε1 : x – 2y − 8 = 0, ε2: 2x – 4y + 10 = 0 και το σημείο Α της ε1

που έχει τετμημένη το 4 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α . (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη

στην ευθεία ε1. (Μονάδες 10)

γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ε2 , τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β

(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ α) Το σημείο Α έχει τετμημένη 4 άρα θα είναι της μορφής

A(4, y ) . Όμως το Α είναι σημείο

της ευθείας ε1 και οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της:

A A4 2y 8 0 y 2 . Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (4, 2) .

β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε1 είναι: 1

1 1

2 2

. Η ζητούμενη ευθεία ε

είναι κάθετη στην ε1 άρα για τον συντελεστή διεύθυνσής της θα ισχύει:

1

11 1 2

2 .

Η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α οπότε θα έχει εξίσωση:

A Ay y (x x ) y ( 2) 2(x 4) y 2 2x 8 y 2x 6 .

γ) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Β των ευθειών ε και ε2 θα λύσουμε το

σύστημα των εξισώσεων τους: y 2x 6 (1)

2x 4y 10 0 (2)

.

(1) 7

(2) 2x 4( 2x 6) 10 0 2x 8x 24 10 0 10x 14 x5

.

7x

5 7 14 16(1) y 2 6 6

5 5 5

.

Άρα το σημείο Β έχει συντεταγμένες 7 16

,5 5

2_18587.

Δίνονται οι ευθείες 1ε : x – 8y 16 0 και 2ε : 2x y 15 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ.

Αν οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνουν τον άξονα y΄y στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε:

α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B. (Μονάδες 10)

β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ,να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του

διανύσματος . (Μονάδες 15)


22

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Μ των ευθειών

1 και 2 θα λύσουμε

το σύστημα των εξισώσεων τους: (Σ) x 8y 16 0 (1)

2x y 15 0 (2)

.

Πολλαπλασιάζουμε επί -2 και τα δύο μέλη της εξίσωσης (1) και το (Σ) γίνεται

2x 16y 32 0

2x y 15 0

. Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις και έχουμε

17y 17 y 1 . Για y = 1 η εξίσωση (1) γίνεται: x 8 16 0 x 8 .

Οπότε το σημείο τομής Μ των ευθειών 1 και

2 θα είναι Μ(-8, 1).

Θέτουμε x = 0 στην εξίσωση της 1 και βρίσκουμε το σημείο τομής της Α με τον άξονα

y΄y : 8y 16 y 2 οπότε Α(0,2). Ομοίως για το σημείο τομής Β της ε2 με τον

άξονα y΄y : y 15 0 y 15 οπότε Β(0, - 15).

β) Αν x , y

είναι το μέσο του ΑΒ τότε θα ισχύει: x 0 και 15 2 13

y2 2

.

Άρα το σημείο Κ έχει συντεταγμένες 13

0,2

.

Γνωρίζοντας ότι Μ(-8,1) και 13

0,2

, οι συντεταγμένες του διανύσματος

υπολογίζονται ως εξής: 13 15

0 8, 1 8,2 2

.

Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος θα είναι:

15152

8 16

.

2_18589

Δίνονται οι ευθείες 1ε :8x y 28 0 και

2ε : x y 1 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου και στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της

ευθείας που διέρχεται από το και είναι κάθετη στον άξονα x x .

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το και έχουν συντελεστή διεύθυνσης

λ έχουν εξίσωση την: λx y 3λ 4 0 , όπου λ

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου λύνουμε το σύστημα:

8 28 0

1 0

x y

x y

8 1 28 0

1

x x

y x

9 27

1

x

y x

3

4

x

y

Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι 3, 4

Η ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα x x είναι της μορφής: 0x x καθώς δεν ορίζεται

συντελεστής διεύθυνσης. Επομένως η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και είναι

κάθετη στον άξονα x x είναι η 3x


23

www.askisopolis.gr

β) Όταν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης,η εξίσωση της ευθείας είναι: 0 0y y x x .

Επομένως οι ευθείες που διέρχονται από το και έχουν συντελεστή διεύθυνσης έχουν

εξίσωση την: 4 3y x 4 3y x 3 4 0x y , όπου

2_ 18592

Δίνονται οι ευθείες 1ε : x 3y 5 0 και

2ε :3x y 5 0

α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες 1ε και 2ε είναι κάθετες μεταξύ τους. (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1ε και 2ε (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και την αρχή των

αξόνων. (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας με εξίσωση: 0x y , δίνεται από τον τύπο:

(όταν ορίζεται ). Επομένως για την ευθεία 1 : 3 5 0x y έχουμε

1 1

1 1

3 3

και για την ευθεία 2 : 3 5 0x y έχουμε

2 2

33

1

Είναι 1 2

13 1

3 άρα

1 2 .

β) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου λύνουμε το σύστημα:

3 5 0

3 5 0

x y

x y

( 3)

3 5 0

9 3 15 0

x y

x y

10 10 0

3 5 0

x

x y

1

1 3 5 0

x

y

1

3 6

x

y

1

2

x

y

Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι 1, 2 .

γ) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι: y x .

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία δίνεται από τον

τύπο: 2 1

2 1

y y

x x

οπότε

2 02

1 0

. Επομένως η ευθεία που διέρχεται από το σημείο

και την αρχή των αξόνων είναι: 2y x

Ή αλλιώς οι συντεταγμένες του σημείου Α(1, 2) επαληθεύουν την y x , άρα 2=λ∙1, άρα

λ=2 και y=2x.

2_18595

Δίνονται οι ευθείες 1ε :3x y 3 0 και

2ε : x 2y 4 0

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1ε και 2ε (Μονάδες 8)

β) Αν η ευθεία 1ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο και η ευθεία 2ε τέμνει τον άξονα

x x στο σημείο , τότε:

i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων και (Μονάδες 8)

ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και έχει εξίσωση την

3x 4y 12 0 (Μονάδες 9)


24

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου λύνουμε το σύστημα:

3 3 0

2 4 0

x y

x y

( 2)

6 2 6 0

2 4 0

x y

x y

5 10 0

2 4 0

x

x y

2

2 2 4 0

x

y

2

2 6

x

y

2

3

x

y

Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι 2,3 .

β) i) Η ευθεία 1 τέμνει τον άξονα y y όταν 0x , οπότε 3 0 3 0 3y y

Άρα οι συντεταγμένες του σημείου B είναι 0, 3

Η ευθεία 2 τέμνει τον άξονα x x όταν 0y , οπότε 2 0 4 0 4x x

Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι 4,0

ii) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και έχει συντελεστή διεύθυνσης:

y y

x x

οπότε

0 3 3

4 0 4

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από γνωστό σημείο και έχει συντελεστή διεύθυνσης

είναι: 0 0y y x x

Επομένως, έχουμε 3

3 0 4 12 3 3 4 12 04

y x y x x y

2_20065 Δίνεται η ευθεία ε : x + y + 2 = 0 και το σημείο Α(5,1) .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1η , η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς

την ευθεία ε . (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 2η , η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη

προς τον άξονα x΄x . (Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών 1η , 2η και την απόστασή του από την αρχή των

αξόνων. (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνση ε

1λ 1

1 .

1 11 η ε ηη ε λ λ 1 λ 1 .

Η ευθεία 1η έχει εξίσωση:

y 1 x 5 y x 4


25

www.askisopolis.gr

β) Επειδή η 2η είναι παράλληλη στον x΄x και διέρχεται

από το Α, έχει εξίσωση y 1 .

γ) Επειδή και οι δύο ευθείες 1η , 2η διέρχονται από το

Α, το σημείο τομής τους είναι το Α.

Η απόσταση του Α από την αρχή Ο των αξόνων είναι:

2 2OA 5 1 26

2.20072

Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο 6, 1 εκτός της (ε). Έστω 2,1 η προβολή του Α

στην (ε). Να βρείτε:

α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). (Μονάδες 13)

β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Η ΑΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης: 1 1 2 1

λ2 6 4 2

.

Είναι ε ε ε

1ε λ λ 1 λ 1 λ 2

2 .

Επειδή η (ε) διέρχεται από το Μ και έχει ελ 2 , η εξίσωσή της

είναι: y 1 2 x 2 y 2x 3 .

β) Έστω Β το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). Τότε το Μ είναι μέσο του τμήματος ΑΒ και

ισχύει:

A B BM B B

x x 6 xx 2 4 6 x x 2

2 2

και

A B BM B B

y y 1 yy 1 2 1 y y 3

2 2

, άρα 2,3

Απόσταση σημείου από ευθεία - Εμβαδόν τριγώνου

2_20062 Δίνονται τα σημεία Α(1, −2) και Β(2, 3).

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α, Β .

(Μονάδες 11)

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ

είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες xx΄ και yy΄ αντίστοιχα. (Μονάδες 14)


26

www.askisopolis.gr

ΛΥΣΗ

α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι : 3 ( 2) 5

52 1 1

B A

B A

y y

x x

.

Η εξίσωση της ευθείας ε είναι: y-yA=λ(x-xA) y-(-2)=5(x-1) y+2=5x-5 y=5x-7. β) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ της

ευθείας με τον άξονα xx΄ θέτουμε όπου y=0 και λύνουμε

την εξίσωση ως προς x.

Για y=0, 0=5x-77

5 75

x x .Άρα Κ(7

5, 0).

Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Λ

της ευθείας με τον y΄y βάζουμε x=0 και λύνουμε

την εξίσωση ως προς y. Για x=0 έχουμε y=-7. Άρα Λ(0, -7)

Για το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΟΚΛ ισχύει:

77

495( )2 2 10

OK O .

2_20067 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,2) , Β(−3,1) και Γ(4,0) .

α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε το ύψος ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία

βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 16)

ΛΥΣΗ

α) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 2 1 1

λ3 3 6 6

και εξίσωση: 1 1 1

y 2 x 3 y x 26 6 2

1 3

y x x 6y 9 06 2

β)

22

4 6 0 9 13 13 37d ,

37371 6

Είναι 1

λ λ 1 λ 1 λ 66

.

Η ΓΔ επειδή διέρχεται από το Γ έχει εξίσωση: y 6 x 4 y 6x 24

4ο Θέμα

4_18612

Δίνεται η εξίσωση: 2 2x 2xy y 6x 6y 8 0

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε1 και ε2

οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7)

β) Αν 1ε : x y 2 0 και

2ε : x y 4 0 , να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των

ε1 και ε2 (Μονάδες 8)


27

www.askisopolis.gr

γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε1 με τεταγμένη το 2 και Β σημείο της ευθείας ε2

με τετμημένη το 1 , τότε:

i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες 2)

ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το

τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ α) 2 2 2

2 6 6 8 0 ( ) 6( ) 8 0 ( 2) ( 4) 0x xy y x y x y x y x y x y

2 0 4 0x y ή x y

Άρα η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά τις ευθείες :

(ε1 ) : y-2 0x και (ε2) : y-4 0x .

Για τους συντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών ισχύει : 1 2 1 2

11 / /

1

β) Έστω (ε) : y-κ 0x η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 και ε2 και ( , )x y σημείο

της.

Επειδή Μ σημείο της μεσοπαράλληλης :

1 2

| 2 |( , ) ( , )

2

x yd M d M

| 4 |

2

x y | 2 | | 4 |x y x y

( 2 4 0 0 2 )x y x y x y ύ ή

( 2 4 2 2 6 0 3 0x y x y x y x y )

Επομένως η εξίσωση 3 0x y είναι η ζητούμενη ευθεία.

γ) i) Το σημείο 1(x ,2) οπότε 2 2 0 0A Ax x .

Το σημείο 2(1,y )B οπότε 1 4 0 3B By y .

Άρα τα σημεία Α και Β έχουν συντεταγμένες (0,2) και (1,3) αντίστοιχα.

ii) Τα σημεία Γ και Δ ανήκουν στην ευθεία ε .

Επομένως οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν

την εξίσωση της :

3 0 3 (1)x y y x

3 0 3 (2)x y y x

Οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ του τετραγώνου είναι κάθετες

οπότε:

0 (x , y 2) (x 1, y 3) 0

2 2x (x 1) ( 2) (y 3) 0 3 2 6 0y x x y y y

2 25 6 0x x y y (3)

(1)

2 2 2 2(3) (3 ) 5(3 ) 6 0 9 6 15 5 6 0x x x x x x x x x

22 2 0 2 ( 1) 0 0 1x x x x x ή x

Από την 0

(1) 3x

y

Από την 1

(1) 2x

y

Επομένως το σημείο Γ έχει συντεταγμένες (0,3) ή (1,2)

Οι διαγώνιες του τετραγώνου διχοτομούνται άρα το Κ μέσο του ΑΒ και


28

www.askisopolis.gr

0 1 1

2 2 2

x xx

,

2 3 5y

2 2 2

y y

Επομένως το σημείο Κ έχει συντεταγμένες 1 5

,2 2

.

To Κ είναι μέσο του ΓΔ οπότε:

1

12 2

x xx x x

(3) και

5y 5

2 2

y yy y

(4)

Για την περίπτωση που το Γ έχει συντεταγμένες (0,3) έχουμε :

Από την 0

(4) 1x

x

Από την 3

(5) 2y

y

Το σημείο Δ έχει συντεταγμένες (1,2)

Για την περίπτωση που το Γ έχει συντεταγμένες (1,2) έχουμε :

Από την 1

(4) 0x

x

Από την 2

(5) 3y

x

Το σημείο Δ έχει συντεταγμένες (0,3)

4_18613

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2x y 2xy 3λx 3λy 2λ 0 ,με λ διαφορετικό του 0.

α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες

μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με 1. (Μονάδες 12)

β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του

ερωτήματος α) είναι ίσο με 2,να βρείτε την τιμή του λ.

(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α)2 2 2 2 2

2 3 3 2 0 ( ) 3 (x y) 2 0x y xy x y x y

( )( 2 ) 0 0 2 0x y x y x y ή x y

Επομένως η παραπάνω παράσταση παριστάνει τις παράλληλες ευθείες

(ε1 ) : 0x y και (ε2 ) : 2 0x y ( 1 2

1 ).

β) Έστω Α(0,-λ) σημείο της ε1 .

Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι ίσο με:

22

2 2

22 2

| 0 2 |( ) ( ) (A, )

41 1d

2 2

2( ) 2 4 22 2

4_18617

Δίνονται τα διανύσματα a και b με μέτρα 2,6 αντίστοιχα και φ∈ [0,π] η μεταξύ τους γωνία. Επίσης

δίνεται η εξίσωση a b 12 x a b 12 5 0 1y .

α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε φ∈ [0,π]. (Μονάδες 3)


29

www.askisopolis.gr

β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y΄y, να αποδείξετε ότι b 3a .

(Μονάδες 7)

γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ, να αποδείξετε ότι b 3a .

(Μονάδες 7)

δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των

αξόνων, να αποδείξετε ότι b a (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Οι συντελεστές των x και y δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα (το εσωτερικό γινόμενο δεν μπορεί να

είναι ταυτόχρονα 12 και -12) άρα ένας από τους συντελεστές x,y θα είναι 0 οπότε η (1) θα παριστάνει

ευθεία για κάθε 0,

β) Για να είναι παράλληλη στον άξονα ψ΄ψ πρέπει

a 12 0 a 12 | a | | | 12 2 6 12b b b

0

12 12 1 0

Επομένως a b οπότε a, 0b

| | | a| |a| 2 | | 2 2 6 3b b .

Επομένως 3ab

γ) Για να είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ πρέπει

a 12 0 a 12 | a| | | 12 2 6 12b b b

0

12 12 1

Επομένως a b οπότε a, 0b

| | | a| | | |a| 2 2 2 6 3b b .

Επομένως 3ab

δ) Αν (ε) η ευθεία a b 12 x a b 12 5 0y και (ζ) : y=x η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης

γωνίας των αξόνων τότε επειδή a 12

/ / 1 a 12 a 12a 12

bb b

b

a 12 a 12 2a 0 a 0 ab b b b b


30

www.askisopolis.gr

Εμβαδόν τριγώνου

4ο Θέμα

4_18609

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι λ, λ 1 , 3λ, λ 1 , όπου λ ≠ 0 και λ ≠ −2 , και Μ είναι το

μέσο της πλευράς ΒΓ

α) Να αποδείξετε ότι 2λ, λ . (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα

2

α , λλ

. (Μονάδες 8)

γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του

τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Αφού το Μ είναι το μέσο της πλευράς άρα 2

.

Αν ,x y τότε 3 4

22 2

x

και1 1 2

2 2y

Άρα 2 ,

β) Για να είναι το διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα 2

,

θα πρέπει 0

2

0 2 , , 0

2

2

0

24 0

24

2 (αφού 2 )

γ) Για 2 , έχουμε 2,3 και 6,1

Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

2 31 1 1 1 1

, | | 2 18 16 16 86 12 2 2 2 2

det

4_18610

Δίνονται οι ευθείες ε1 : 2x y 10λ 16 0 και ε2 : 10x y 2λ 4 0 , όπου λ R

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε1 και ε2

τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M

(Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην

ευθεία ε : 8x + y − 6 = 0 (Μονάδες 7)


31

www.askisopolis.gr

γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ′ψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα,

τότε:

i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων

και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ

(Μονάδες 5)

ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ , να αποδείξετε ότι 9

( )4

.

(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών (ε1) και (ε2): 2 x y 10 16

10 x y 2 4

.

2 1

D 2 10 12 010 1

άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ δηλαδή οι

ευθείες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο Μ που έχει συντεταγμένες τη λύση του

συστήματος που είναι

x

10 16 1

2 4 1D 10 16 2 4 12x

D 12 12

12

121

8

y

2 10 16

D 10 2 4 4 8 100 160 96y

D 12 12

14

168

128 14

Επομένως το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (λ-1,-8λ+14)

β) Για να ανήκει το σημείο Μ στην ευθεία ε : 8x + y − 6 = 0 πρέπει οι συντεταγμένες του

να την επαληθεύουν.

Πράγματι : 8( 1 )+( 8 14 )-6=8λ-8-8λ+14-6=0 οπότε το σημείο Μ ανήκει

στην ευθεία ε:8x+y-6=0

γ) i) Έστω Α(x,0) και B(0,y).

To σημείο A ανήκει στην ευθεία ε οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την

εξίσωση της οπότε 8x-6=0 x=6

8=

3

4 .

Επομένως η ευθεία ε τέμνει τον χ ΄χ στο σημείο 3

,04

To σημείο B ανήκει στην ευθεία ε οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την

εξίσωση της οπότε 6 0 6y y

Επομένως η ευθεία ε τέμνει τον y ΄y στο σημείο Β(0,6)

B A

B A

y y/ /

0

4

x

6

0x 3

6 24

83 3

4

η ευθεία ζ διέρχεται από την αρχή των αξόνων οπότε έχει εξίσωση ζ: y=-8x


32

www.askisopolis.gr

ii) To σημείο Κ(x,y) ανήκει στην ευθεία ζ οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την

εξίσωση της δηλαδή 8y x

3 3

x,0 y x,8x4 4

( x,6 y) ( x,6 8x) και

3x 8x

det( , ) 4

x 6 8x

=9

6x2 6x

28x

28x =

9

2

Το εμβαδόν (ΚΑΒ)= 1 1 9 1 9 9

| det( , ) |2 2 2 2 2 4

2ος τρόπος

2

23 9 585 585( ) 0 (0 6) 36

4 16 36 6AB

2 2

| 8 0 0 6 | | 6 | 6(O, )

65 658 1d

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )2 2 2

d

1

2

3

585 6

4

9

3 585

465

65

3 3 99 3

4 4 4

4_18611

Δίνεται η ευθεία ε : x 4y 7 0 και τα σημεία Α( −2,4 ) και B (2,6)

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα

σημεία A και B (Μονάδες 7)

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ (Μονάδες 8)

γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x ,y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΜΑΒ) ανήκουν στις

ευθείες με εξισώσεις τις: x 2y 5 0 και x 2y 25 0 (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ α) Το σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετη ζ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Έστω (x , )k ky το μέσο του ΑΒ .

Τότε 02

22

2κ

BA xx

x και 52

64

2Κ

BA yy

y

Επομένως το σημείο Κ έχει συντεταγμένες (0,5).

2

1

4

2

)2(2

46λΑΒ

AB

AB

xx

yy

ζ ζ ζ

1ζ ΑΒ λ 1 λ 1 λ 2

2 .


33

www.askisopolis.gr

Άρα η ευθεία (ζ) έχει εξίσωση ζλ ( ) 5 -2( 0) 2 5k ky y x x y x y x

Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των

ευθειών (ζ) και (ε):

( 4)

1 7 2 52 5

4 4 1 77 8 202 5

2 5 4 4

y xy xy x

x xx xy x

2 5 2 5 2 3 5 1

9 27 3 3 3

y x y x y y

x x x x

Άρα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (3,-1)

β΄ τρόπος

Έστω 0 0M(x , y ) το ζητούμενο σημείο. Θα πρέπει

2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

(M, A) d(M, B)

(x 2) (y 4) (x 2) (y 6)

x 4 x 4 y 8 y 16 x 4 x 4 y 12 y 36

8 x 4 y 20 0

2 x y 5 0 (1)

d

Επίσης M ( ) . Άρα 0 0x 4 7 0y (2)

Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), (2) για να βρούμε τις συντεταγμένες του Μ. Έχουμε

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x 4 y 7 0 x 4 y 7 x 4 y 7

x y 5 0 x y 5 0 4 y 7 y 5 0

x 4 y 7 x 4 y 7 x 4 y 7 x 3

8 y 14 y 5 0 9 y 9 y 1

2

y

2 2( )

1

Άρα M(3,-1)

β)Για το εμβαδόν του τριγώνου

ΜΑΒ έχουμε:

M M

M M

1 1( ) | det , |

2 2

A A

B

x x y y

x x y y

B

3 ( 2) 1 4 5 51 1 1 1 1

| | | | 35 5 30 30 153 2 1 6 1 72 2 2 2 2

.

γ) 2 41

| det , 15 | 15 2 | 302 62

A A

B B

x x y y x y

x x y y x y

( 2)( 6) ( 2)( 4) 30x y x y xy 6 2 12x y xy 4 2 8 30x y

2 4 20 30 2x y 15

2 10 30x y 2 10 15x y

2 10 15 2 5 0x y x y ή 2 10 15 2 25 0x y x y

Άρα τα σημεία Κ ανήκουν στις παράλληλες ευθείες ε 1 , ε 2 με εξισώσεις τις:

x 2y 5 0 και x 2y 25 0 αντίστοιχα (1 2/ / αφού

1 2

1

2 )


34

www.askisopolis.gr

4_18614

Δίνονται οι ευθείες 1ε : 3x y 3 0 και

2ε : x 2y 4 0

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε1 και ε2

(Μονάδες 5)

β) Αν η ευθεία ε1 τέμνει τον άξονα y′y στο σημείο Β και η ευθεία ε2 τέμνει τον άξονα χ′χ

στο σημείο Γ , τότε:

i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ

(Μονάδες 5)

ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 5)

γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x ,y) για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ ) = ( ΑΒΓ ) ανήκουν

σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε1 και ε2 αρκεί να

λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων τους:

3 3 0 3(4 2 ) 3 0 12 6 3 0

2 4 0 4 2 4 2

x y y y y y

x y x y x y

5 15 3 3

4 2 4 2 3 2

y y y

x y x x

Άρα οι συντεταγμένες του σημείου τομής A των ευθειών ε1 και ε2 είναι (-2,3)

β) i) Η ε1 τέμνει τον άξονα ψψ' στο σημείο Β(0,y) .

Επομένως οι συντεταγμένες του Β ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας ε1 οπότε

0 3 0 3y y .

Άρα το σημείο B έχει συντεταγμένες (0,-3).

Η ε2 τέμνει τον άξονα xx' στο σημείο Γ(x,0).

Επομένως οι συντεταγμένες του Γ ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας ε2 οπότε

2 0 4 0 4x x .

Άρα το σημείο Γ έχει συντεταγμένες (4,0).

0 ( 3) 3

4 0 4

y y

x x

Επομένως η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι :

3 3

( ) 3 ( 0) 34 4

y y x x y x y x

ii) (0 2, 3 3) (2, 6)

(4 2,0 3) (6, 3)

( )

2 61 1 1 1 30det , | | 6 36 | | 30 | 15

6 32 2 2 2 2

.

γ) 31 1

det , 15 | 15 | 3042 2

B Bx x y y x y

x x y y x y

xy ( 4)( 3) 30x y xy xy 3 4 12 30 3 4 12 30x y x y

3 4 12 30 3 4 18 0x y x y ή 3 4 12 30 3 4 42 0x y x y


35

www.askisopolis.gr

Άρα τα σημεία Κ ανήκουν στις παράλληλες ευθείες ε 1 , ε 2 μ ε ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς :

3x 4y 18 0 και 3x 4y 42 0 .

(ε1//ε2 αφού 1 2

3

4 )

4_18615 Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε : y = x ,

με Α(x1 ,y1 ) , Β ( x2 ,y2 ) και x1 < x2.

Αν το σημείο Μ (3, 5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο

των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε:

α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β . (Μονάδες 13)

β) να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4 , όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5)

γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ ( x ,y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = 2 (ΟΑΒ) ανήκουν στις

ευθείες με εξισώσεις τις : x y 2 0 και x y 6 0 (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) 2 12 1 2 1

2 1

/ / 1y y

y y x xx x

(1)

Επειδή το σημείο Μ(3,5)είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ θα ισχύει ότι:

1 2 1 2M 1 23 6

2 2

x x x xx x x

(2) και

1 2 1 21 2y 5 10

2 2M

y y y yy y

(3)

1 2 5x x (4)

Λύνουμε το σύστημα των (2),(4) :

2

2 211 2

1 1

1 2 2 21 1 1 1 1

1

55 5

5

6 56 5 6 6 5 0

xx xxx x

x xx x

x x x x xx

2 22 2

1 1 1 2

1 1

1 1

5 55 1

(x )1 5

1 5

x xx xx xή ί x

x xx x

Άρα x1=1 και x2=5 (5)

(5)

2 1 2 1(1) 5 1 4y y y y (6)

2 2(3) (6) 2 14 7y y

2 7

1 1(6) 7 4 3y

y y

Άρα τα σημεία Α και Β έχουν συντεταγμένες (1,3) και (5,7) αντίστοιχα.

β) (1,3), (5,7)OA OB και 1 3

det ,OB 1 7 5 3 7 15 85 7

OA

Άρα 1 1 1

( ) | det ,OB | 8 | 8 42 2 2

OA .


36

www.askisopolis.gr

γ) (1 x,3 ), (5 ,7 )y B x y και

1 3

det , B (1 ) (7 ) (5 ) (3 )5 7

x yx y x y

x y

7 7 x y xy 15 5 3y x xy 4 4 8x y

1 1

| det(KA,KB) | 8 | 4 x 4 y 82

2 | 82

2 | 2 | 8 | 2 | 4x y x y

2 4 2 0x y x y ή 2 4 6 0x y x y

Άρα τα σημεία Κ ανήκουν στις ευθείες ε 1 , ε 2 μ ε ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς :

(ε1) : x y 2 0 και x y 6 0 .

4_18620(2_18620)

Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2λ 1 x y 5 0 , 2

2ε : λ 3 x y 15 0 με λ και το σημείο

2, 1 .

α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ οι ευθείες τέμνονται.

(Μονάδες 7)

β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο , να βρείτε την τιμή του λ .

(Μονάδες 10)

γ) Έστω λ 2 και , τα σημεία που οι 1ε και 2ε τέμνουν τον άξονα y y .Να βρείτε το εμβαδόν

του τριγώνου .

(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ α) Έστω ότι υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού για την οποία οι ευθείες είναι

παράλληλες. Τότε θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης.

Είναι 1 1

2 12 1

1

και

22

2 2

33

1

2 2

1 2 2 1 3 2 2 0

4 4 1 2 4 0 Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, επομένως για κάθε τιμή του

πραγματικού αριθμού οι ευθείες τέμνονται.

2ος τρόπος

Αν θεωρήσουμε το σύστημα των ευθειών (ε1),(ε2) : 2

(2 1) 5

( 3) x y 15

x y

έχουμε

2 2

2

2 1 12 1 3 2 2

3 1D

Το τριώνυμο 2

2 2 0 ( Δ = -4 <0 ) οπότε 0D και οι δύο ευθείες τέμνονται.

β) Το σημείο είναι το σημείο τομής των ευθειών , άρα οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τις

εξισώσεις των δύο ευθειών:

2

2 1 2 1 5 0

3 2 1 15 0

2

4 2 1 5 0

2 6 1 15 0

2

4 8

2 8

2

2

4

2

2


37

www.askisopolis.gr

ή 2

2

Άρα 2

γ) Για 2 είναι : 1 : 3 5 0x y η οποία τέμνει τον y y όταν 0x :

3 0 5 0 5y y Επομένως (0,5)

2 : 7 15 0x y η οποία τέμνει τον y y όταν 0x : 7 0 15 0 15y y

Επομένως (0, 15)

Το εμβαδόν του τριγώνου υπολογίζεται από τον τύπο: 1

det ,2

Έχουμε , 0 2,5 1 2,6x x y y και

, 0 2, 15 1 2, 14x x y y οπότε

2 61 1

28 12 202 142 2

.

4_18621

Δίνονται οι ευθείες ε : 2κx 1 κ y 1 3κ 0 και ζ : 1 3κ x κ 1 y 2 6κ 0 , όπου

κ α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ , ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ζ . (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Έστω διάνυσμα 1 παράλληλο στην . Έχουμε 1 , οπότε 1 1 , 2

και 2 παράλληλο στην οπότε 2 1, 1 3

Επομένως: 1 2 1 2/ / / / det , 0

1 2

0 1 1 3 2 1 01 1 3

2 21 3 3 2 2 0

25 2 1 0

4 20 16 0 , άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, επομένως δεν υπάρχει τέτοιο

ώστε / / .

β) Για τον υπολογισμό της γωνίας των δύο ευθειών θα βρούμε το συνημίτονο της γωνίας των

παράλληλων διανυσμάτων τους σύμφωνα με τον τύπο: 1 21 2

1 2

,

2 2 2

1 2 1 1 2 1 3 1 2 6 5 2 1

2 2 2

1 1 4 5 2 1 και

2 2 2 2 2

2 1 1 3 10 4 2 2 5 2 1 2 5 2 1

Οπότε

2 2

1 2 22 22

5 2 1 5 2 1,

2 5 2 1 5 2 1 2 5 2 1


38

www.askisopolis.gr

25 2 1

22 5 2 1

1 2

22

Άρα η αμβλεία γωνία των ευθειών είναι: 180 45 135

4_18622.

Δίνονται τα σημεία 3

A 1,2

, Β(2, - 1) και

μ 4μ,

2

, όπου μ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα

σημεία Α και Β. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μ . (Μονάδες 6)

δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ ) =1, όπου O είναι

η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3)

ΛΥΣΗ

α) Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και υπολογίζονται ως εξής:

3 1

2 1, 1 1,2 2

και

4 22, 1 2,

2 2

β) Για να αποδείξω ότι, για κάθε τιμή του μ , το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που

διέρχεται από τα σημεία Α και Β αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι

συνευθειακά.

11

2 12det , 2 0

2 2 22

2

. Επειδή η ορίζουσα

det , είναι ίση με το μηδέν τα διανύσματα και θα είναι παράλληλα.

Όμως έχουν κοινό σημείο το Β άρα τα και θα είναι συγγραμμικά, επομένως τα

σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

γ)

( 2) 1( 2) 1

( 2), 1, ( 2) 12 2

2 2

2 22 1 0 ( 1) 0 1 .

δ) Για μ = 1 είναι 3

1,2

, επίσης Β( 2 , - 1) και 3

A 1,2

.

Οπότε: 2, 1 και 3

1,2

.


39

www.askisopolis.gr

Υπολογίζω 2 1

3det , 2 1 1 3 1 23

212

. Το εμβαδόν του

τριγώνου ΟΒΓ θα είναι: (ΟΒΓ) = 1 1 1

det , 2 2 1.2 2 2

4. 18623. Δίνονται τα σημεία Α(3,4) , B(5,7) και Γ (2μ +1,3μ −2) , όπου μ .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και και , στη συνέχεια, να

αποδείξετε ότι τα σημεία Α , B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ.

(Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι:

i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. (Μονάδες 5) ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε , της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

(Μονάδες 7) γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό,

ανεξάρτητα από την τιμή του μ; (Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Είναι: 5 3,7 4 (2,3) και

2 1 3,3 2 4 (2 2,3 6) .

Για να αποδείξω ότι τα σημεία Α , B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ, αρκεί να

αποδείξω ότι τα διανύσματα και δεν είναι παράλληλα.

2 3

det , 6 12 6 6 6 02 2 3 6

. Επειδή η ορίζουσα των

διανυσμάτων και δεν είναι μηδέν για κάθε τιμή του μ, τα και δεν θα είναι

παράλληλα.

β) i) Το εμβαδόν είναι: 1 1

( ) det , 6 32 2

, ανεξάρτητο του μ.

ii) Έστω Γ(x , y) οι συντεταγμένες του σημείου Γ, όμως Γ (2μ +1,3μ −2) για μ . Οπότε θα ισχύει:

3x 3 2 1x 2 1 3x 6 3

2y 2 3 2y 3 2 2y 6 4

. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις

και έχουμε: 3x – 2y = 7 (1).

Η εξίσωση (1) επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου Γ για κάθε τιμή του μ , άρα

το σημείο Γ θα ανήκει σε ευθεία ε με εξίσωση 3x – 2y = 7.

γ) Οι συντελεστές διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ και της ευθείας ε είναι ίσοι με λΑΒ 3

2 = λε , οπότε η

ευθεία ΑΒ είναι παράλληλη στην ευθεία ε.

Συνεπώς το σημείο Γ, ως σημείο της ευθείας ε, κινείται παράλληλα στην ευθεία ΑΒ, οπότε το ύψος

του τριγώνου από το Γ θα είναι σταθερό και ίσο με την απόσταση των δύο ευθειών.

Άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ θα είναι σταθερό και ανεξάρτητο από την τιμή του μ.

μαθηματικά β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 22 11 2014

Documents

Transcript of μαθηματικά β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 22 11 2014