Κεφάλαιο 9...

Click here to load reader

  • date post

    21-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    3
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Κεφάλαιο 9...

  • 366

    Κεφάλαιο 9

    Διαστατική Ανάλυση και Οµοιότητα

    Σύνοψη Διαστατική ανάλυση και οµοιότητα. Να κατανοήσουµε τη σηµασία των πιο συχνών αδιάστατων αριθµών στην υδροδυναµική, καθώς και τη µαθηµατική αξία τους. Επίσης, τη χρησιµότητα, ώστε να ξεχωρίζουµε τις πιο σηµαντικές διεργασίες στην µοντελοποίηση υδροδυναµικών συστηµάτων και την αξιολόγηση πειραµατικών αποτελεσµάτων, για την ελαχιστοποίηση των µετρήσεων. Η διαστατική ανάλυση βασίζεται στο θεώρηµα Buckingham (Pi Θεώρηµα), το οποίο θα εφαρµόσουµε σε απλά παραδείγµατα. Για περισσότερες πληροφορίες ο αναγνώστης µπορεί να συµβουλευθεί το αντίστοιχο κεφάλαιο στα συγγράµµατα Fox (1985), Liggett (1994), Duncan (1953), Bridgman (1922), Granger (1995).

    Προαπαιτούµενη γνώση Βασικές εξισώσεις υδροδυναµικής.

    9.1 Εισαγωγή Στα προηγούµενα κεφάλαια, µελετήσαµε ροές σε ασυµπίεστα ρευστά µε υψηλό βαθµό συµµετρίας, όπου µπορούµε να έχουµε αναλυτικές λύσεις. Στα κεφάλαια 4 και 5, µάλιστα, περιοριστήκαµε σε ανιξωδική ροή, παραλείποντας τις ιξωδικές δυνάµεις στην εξίσωση ορµής. Για τον σκοπό αυτό, εισάγαµε τον αριθµό DF°

  • 367

    πειραµατικές µετρήσεις. Αύξηση του αριθµού DF°

  • 368

    Μπορούµε, όµως, να τη βρούµε, χρησιµοποιώντας διαστατική ανάλυση. Ο λόγος:

    > = C_ w/l

    , (9.4)

    είναι ανεξάρτητος από την αλλαγή των µονάδων µέτρησης :, –, Y (µάζας, µήκους, χρόνου) και ονοµάζεται αδιάστατος αριθµός. Έτσι, µπορούµε να γράψουµε:

    C_ = , w l , (9.5)

    όπου , είναι µία σταθερά, άγνωστη προς το παρόν, για την οποία χρειαζόµαστε επιπλέον πληροφορίες, π.χ. την εξίσωση (9.3). Εδώ, υποθέσαµε ότι το εκκρεµές (απλό) δεν έχει άλλα χαρακτηριστικά µήκη.

    Τα παρακάτω συνοψίζουν µερικά από τα σηµαντικά χαρακτηριστικά της διαστατικής ανάλυσης, που είναι ένα δυνατό εργαλείο για να «ανακαλύπτει» σηµαντικές σχέσεις, αλλά, ταυτόχρονα, αφήνει και µία απροσδιοριστία:

    α) Η συχνότητα C_ δεν εξαρτάται από τη µάζα. Αυτή είναι µία έκπληξη και οφείλεται στο γεγονός, ότι η δύναµη της βαρύτητας είναι ανάλογη της µάζας, όπως και η αδρανειακή. Επίσης, έχουµε µόνο µία σύνθετη ποσότητα µε µονάδες συχνότητας. Εάν, όµως, έχουµε επιπλέον δυνάµεις, είναι πιθανό να έχουµε εξάρτηση από τη µάζα, όπως εύκολα διαπιστώνεται, εφόσον προσθέσουµε και δύναµη τριβής. Αυτό προϋποθέτει ότι έχουµε µία νέα σύνθετη ποσότητα, µε µονάδες συχνότητας. Στην περίπτωση αυτή, θα έχουµε και απόσβεση.

    β) Η σταθερά , δεν προσδιορίζεται µόνο από τη διαστατική ανάλυση. Αυτό απαιτεί τη λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα ή περιορισµούς από τη φυσική του προβλήµατος, π.χ. ισότητα µέσης κινητικής και δυναµικής ενέργειας.

    Εάν, τώρα, η µάζα του εκκρεµούς είναι κατανεµηµένη στο µήκος l, τότε εισέρχεται µία νέα ποσότητα, η ροπή αδράνειας S. Επειδή, όµως, οι µονάδες της αδράνειας είναι :–e, τότε η σταθερά:

    =e S =le (9.6)

    είναι επίσης αδιάστατος αριθµός. Πάλι, όµως, η µόνη σύνθετη ποσότητα, µε µονάδες συχνότητας, είναι η Ek .

    Η διαστατική ανάλυση στην περίπτωση αυτή, µας λέει ότι η συχνότητα ταλάντωσης είναι:

    C_ = w l O>e ≡

    w l O

    S =le , (9.7)

    όπου O >e είναι µία συνάρτηση της αδιάστατης ποσότητας >e, η αναλυτική µορφή της οποίας δεν µπορεί να προσδιοριστεί από διαστατική ανάλυση. Για τον σκοπό αυτό, απαιτείται η ανάπτυξη µιας θεωρίας ή η θεώρηση της ακριβούς λύσης της εξίσωσης κίνησης. Εναλλακτικά, µπορούµε να κάνουµε πειραµατικές µετρήσεις, µεταβάλλοντας τον αριθµό >e, µεταβάλλοντας π.χ. µόνο την κατανοµή της µάζας στο µήκος l.

    Στην περίπτωση οµοιογενούς κατανοµής της µάζας στο µήκος l, γνωρίζουµε ότι:

    C_ =

    =wl S ,

    (9.8)

    µε S = =le/3. Συγκρίνοντας την (9.7) µε την (9.8) για την περίπτωση αυτή, έχουµε:

    C_ = 3 w l , O >e = 3. (9.9)

  • 369

    Στον προηγούµενο υπολογισµό, παραλείψαµε το γεγονός, ότι η ράβδος έχει και πάχος, π.χ. µια κυλινδρική ράβδος µε διάµετρο της κυκλικής βάσης f. Η σχέση για την συχνότητα γίνεται πιο πολύπλοκη, καθότι εισέρχεται ένα νέο µήκος, δηλαδή η διάµετρος του κυλίνδρου f. Από φυσική διαίσθηση, περιµένουµε ότι αν 7k ≪ 1, τότε το αποτέλεσµα δεν πρέπει να διαφέρει σηµαντικά από το προηγούµενο. Πάλι για οµογενή κατανοµή, έχουµε για τη ροπή αδράνειας:

    S = 13=l e + 12=

    f 2

    e = 13=l

    e 1 + 38 f l

    e

    και η συχνότητα ταλάντωσης µπορεί να γραφεί ως:

    C_ = 3

    w l 1 +

    3 8 f l

    e ]^/e . (9.10)

    που για µικρό 7k ≪ 1, µας δίνει την προηγούµενη σχέση. Έτσι, εξαρτάται επίσης και από το λόγο 7 k , ο οποίος

    είναι ένας νέος αδιάστατος αριθµός. Η σχέση αυτή είναι ακριβής και ισχύει για οποιοδήποτε λόγο 7k , αλλά δεν µπορούµε να τη βγάλουµε µόνο από διαστατική ανάλυση, εκτός αν γράψουµε την εξίσωση κίνησης του εκκρεµούς και υπολογίσουµε τη ροπή αδράνειας για τον κύλινδρο, ή, εναλλακτικά, αν πειραµατιστούµε για διαφορετικές τιµές του λόγου 7k . Είναι δηλαδή λογικό, να υποθέσουµε ότι:

    C_ = w l O

    f l ,

    f l ≪ 1, (9.11)

    ή:

    C_ = w f O′

    l f ,

    f l ≫ 1, (9.12)

    όπου στο αριστερό µέρος, οι άγνωστες συναρτήσεις µπορούν να προσδιοριστούν ή προσεγγιστούν, χρησιµοποιώντας τη φυσική διαίσθηση ή την πειραµατική διαδικασία.

    Για να εκτιµήσουµε τη χρησιµότητα της διαστατικής ανάλυσης, σε συνδυασµό µε τους βασικούς νόµους της υδροδυναµικής, σε ροές µε σύνθετη γεωµετρία, ας θεωρήσουµε τη ροή του Σχ. 9.1, σε σωλήνα µε κάποιο περιοριστικό φράγµα. Ο κυλινδρικός σωλήνας έχει διατοµή µε διάµετρο f και κατά µήκος της ροής έχουµε φράγµα, µε κυκλική οπή διαµέτρου f_, µε κέντρο τον άξονα του κυλίνδρου. Η ταχύτητα ροής στο ένα άκρο είναι σταθερή και ίση µε 5^. Για να βρούµε την εξάρτηση της διαφοράς πίεσης στα σηµεία 1 και 2, από την ταχύτητα 5^, την πυκνότητα του ρευστού C και την διάµετρο f_ (η