ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ,

yια το yυμνασιο ευκλείδης

Τεύχος 80 �ς- Μάϊος- Icn""oς 2011

Τιμή Τεύχους Ευ{Μίi 3.00 e-mail: ίnfo@hms.gr, "I'I"WW.hms.gr

� --=- _ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ - - '""' - --

Γενικά 'Αρθρα .ι' Μ θ ' Φ ' ' ' ζι Τ' , 1 α ηματικα: ρενο η yκα της qνης, κ. Μανδpωνη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · • . . • • • . • •

.ι' Η Ελληνική Μαθημαnκή Εmιρόο, Γ. Ωραιόποuλος . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . • • • . . . 5 .ι' Χορεύεις μαθηματικά; π. Μπάκα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 .ι' Απολογία ενός Μαθημαπκού, Σ. Αλαφάκη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . 23

Α' Τάξη .ι' Όλη η Θεωρία σε 115 Ερωτήσεις!, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 .ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Αριθμητική • Άλγεβρα, Σπ. Γεωργίου • • . • • • • • • • • • • . • . . . • • . . 14 .ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία, Σπ. Γεωpyίοu . . . . . . . . . . . . • • . • . . . . . . . . . . . • • • 15

Β' Τάξη .ι' Εμβαδά και Όγκοι, Γ. Ωραιόποuλος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . 1 7 .ι' Όλη η Θεωρία σε 75 Ερωτήσεις!, ......... . ....... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 .ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρας, r. ι'αγός - Ν. Ίίjφας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 .ι' Επάναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας, π. Κupάvας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

Γ' Τάξη .ι' Οι εξάρες, Α. Αλεξαvδpάτου . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 .ι' Όλη η Θεωρία σε 82 Ερωτήσεις!, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 .ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρας, Σ. Αλαφάκη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 .ι' Ε ' ' a� ' Γ ' , 3 παναιιηπτικες ,_,ιιt.ησεις εωμετριας, Α. Αyyελη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Σελίδε

ς για όλους .f Μαθημαπκοί Διαγωνισμοί, Επιτpοπή Διαγωνισμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 .f Χαίρομαι να λύνω, Δ. Βαpόποuλος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 .f Τα μαθηματικά θέματα του PISA, Γ. Ρίζος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 .f Ταξίδι στη Γεωμετρία, Γ. Τσαπακιοης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 47

.ι' Τα Μαθηματικά μας Διασκεδάζουν, Σ. Τσικοπούλοu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . . 50 ····································································-··········

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑτιΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34 - 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 21 Ο 3617784 - 3616532 Fax:2103641025 Εκδδτης: Καλοyερδπουλος Γρηyδριος Διευθυντής: Τυρλής Ιωδννης

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ.: 2054

ISSN: 1105 - 7998

Συντακτική επιτροπή

Επίτιμος Πρδc:δρος: Νάκος Κωνσrαντίνοc; Ωραιδπουλος Γc:ώρyιος Λυμπερόπουλος Γεώρyιος Πρδεδρος: Πανουσάκης Νίκος Βαρδπουλος Δήμος Παπασrαυρίδης Σταύρος Μέλη: Πατρώνης Τάσος

Αλαφάκη Σταυρούλα Ρίζος Γεώρyιος

Αλεξανδράτου Άννα Σfσκου Μαρία

Γεωρyίου Σπύρος Τζίφος Νικόλαοc; Κυράνας Παναyιώτης Τσαπακίδης Γιώρyος Λαyός Γεώρyιος Τσικοπούλου Στάμη

Επιμέλε ια -Εκδοciης: Μανδρώνη Αικατερίνη Χρισrοδούλου Ντόρα Αλαφδκη Σταυρούλα Μενδωνίδης Γεώρyιοc; Χρυσοβέρyης Μιχαήλ Βαρ6πουλος Δήμος Μπακάλης Ανασrάσιος Ωραιόπουλοc; Γεώρyιοc;

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ΙΔΙΟΚfΗΣ/Λ πιι; ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΛΘΗΜΛΠΚΗΣ ΕrΛΙΡΕΙλΣ Στοιχειοθεσία - Σελι8οnοfηιιη:

ΕΜΗΝιΚΗ ΙιιtΑΘΗ/ιιtΑ τιΚΗ ΕΤΑιΡΕιΑ

ΚΕΝΤΡΟ ΓΡΑΦιΚΩΝ ΤΕΧΝΩΝ: ΔΙΗΝΕΚΕΣ: Κλεισόβης 7, Aθnva τηλ.: 210 3606760,

fax.: 210 3606826 e-mail: dihe/ι:es@oιene/.gr Εκτύπωση: FKΠOPRINT Ε.Ε. τηλ.: 2106623778-358

Υnεcίfννος τunογpαφείοu: Παπαδόπουλος Δ.

• Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει 6n προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. • Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων

κ.λ.π. πρέπει να σrε'λνονται έyκαιρα, σrα yραφεfα της Ε.Μ.Ε. με την έν&:ιξη "Για τον Ευκλείδη α'". Τα χειρόyραφα δεν εmσrρέφονται. Τιμή Τεύχους ευρώ 3,00

Ετήσια συνδρομή (10,00 + 2,00 Ταχυδρομικά= ευρώ 12,00)

Τοανιiπμο)tΟtαπύχη 1100 �wνmισrέλνmιι μεαπΑή ειιmηtίσε&απηή Ε.Μ.Ε. Τ αχ. Γραφείο Α8ήvα 54 Τ.θ. 30044 ή πλιpίwmιι σrο wαφεία της Ε.Μ.Ε.

Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι της Τέχνης; Κατερίνα Μανδρώνη

Δρ. Ιστορίας της Τέχνης

((Το ανθρώπινο πνεύμα πρέπει πρώτα να κατασκευάζει μορφές, ανεξάρτητα από τις συνθή­

κες, και έπειτα μπορούμε να τις αναζητήσουμε στα πράγματα;> Albert Einstein.

Πολύκλειτος, «0 Δορυφόρος», 4°ς αι. π.Χ. Αυτό το ανδρικό γυμνό αποτέλεσε την απόδειξη των αισθη­τικών θεωριών του Πο­λύκλειτου( ο Κανών), που πίστευε ότι η καλλι­τεχνική τελειότητα έχει μαθηματικές βάσεις.

Οι σχέσεις Μαθηματικών και Τέχνης ήταν ανέκαθεν στενές : μην

ξεχνάμε ότι ο Πλάτων, επηρεασμένος από τις πυθαγόρειες θεωρίες,

πίστευε ότι οι αριθμοί είναι πιο όμορφοι από τα θαύματα του ουρανού

και τον ορατό κόσμο, γιατί ανταποκρίνονται σε μια εσωτερική μουσική

αρμονία, που την ακούει μόνο το αυτί των σκεπτόμενων ανθρώπων.

Αλλά και ο Αριστοτέλης θεωρούσε ότι η μαθηματική επιστήμη δείχνει

την τάξη, τη συμμετρία και τα όρια, τρία θαυμαστά στοιχεία και μορφές

της ομορφιάς. Κι αυτά τα γνωρίσματα ενσωματώθηκαν στις μεγάλες

στιγμές της αρχαίας κλασσικής γλυπτικής, όπως στον «Κανόνα» του

Πολύκλειτου και στον Λύσιππο.

Η τάξη, λοιπόν, η ισορροπία και η συμμετρία που γενικά

χαρακτηρίζουν τα Μαθηματικά, βρίσκονται μέσα στο νου και στην

αφηρημένη σκέψη· γι' αυτό εξάλλου τα μαθηματικά δεν είναι μόνον

επιστήμη αλλiJ. και τέχνη, δηλαδή έκφραση εσωτερική του ανθρώπου με

δικούς της νόμους, που στηρίζονται σε μια βαθιά αίσθηση αρμονίας,

αναλογίας και μέτρου. Και έτσι, μέσα από το χάος των φαινομένων

δημιουργείται ένας «κόσμος», με την αρχαία σημασία του όρου, δηλαδή,

τάξη και κόσμημα.

Με αυτά τα δεδομένα, καταλαβαίνουμε ότι οι τέχνες που είναι

εκδήλωση ενός ορθολογικού νου, παραμένουν αδιάφορες για τα πάθη και

τα παθήματα, για τη βίαιη σύγκρουση διαφορετικών και αντιφατικών

συναισθημάτων. Γι' αυτό και η καλλιτεχνική αξία των Μαθηματικών •

περισσότερο φανερώνεται στο περιεχόμενο των εικαστικών τεχνών

(ζωγραφική, γλυπτίκή, αρχιτεκτονική) ή στην ποίηση και την μουσική.

Εδώ θα βρούμε τους κανόνες της αναλογίας και του μέτρου, τον κανόνα της προοπτικ1Ίς και του

ανάγλυφου, τους νόμους και τους ρυθμούς της

αρχιτεκτονικής, τη μετρική και την αντίστιξη. Και αν αυτά

τα γνωρίσματα γοήτευσαν τους διανοούμενους και τους

μορφωμένους από ·την αρχαιότητα και ύστερα, δεν

εμπόδισαν τον Δάντη, τον μεγάλο ποιητή της πρώιμης

ιταλικής Αναγέννησης, να τα ονομάσει «το φρένο της

τέχνης». Μα τι εννοεί ο Δάντης λέγοντας ότι η

μαθηματική διατύπωση νόμων και κανόνων στην τέχνη

είναι το φρένο της;

Θέλει να πει πως είναι περιορισμός της καλλιτεχνικής

δημιουργίας και επιβολή συμβατικών τύπων; Τέτοιου

είδους κατηγορίες θα αργήσουν να ακουστούν, πρέπει να

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/1

Francesco di Giorgio Martini, «Η ιδεατή πόλη», 1495. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της γραμμικής προοπτικής στην Αναγέν­νηση.

----------- Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι της Τέχνης ----------­

περιμένουμε τον Ρομαντισμό (τέλη 1 8°υ αρχές 19°υ α ι.). Την εποχή του Δάντη ( 13°ς- 14°ς αι.), και για αρκετούς ακόμα αιώνες, η ουσία της κλασσικής τέχνης βρισκόταν στο γεγονός ότι ο κανόνας του μέτρου δεν ήταν εξωτερική, υποχρεωτική επιβολή, αλλά, ως αληθινή τέχνη αντανακλούσε μια μοναδική στιγμή μέσα στο μυαλό τού καλλιτέχνη: δηλαδή, τη στιγμή όπου ο τρόμος/ η σύγχυση των παθών χαλιναγωγούνταν, τιθασευόταν σε μια ανώτερη αρμονία, που ενορχήστρωνε όλες τις παραφωνίες σε μια μορφή πλατωνικής τελειότητας, στην «ιδέα». Ήταν μια ηρωική στιγμή για το ανθρώπινο πνεύμα, όπου ο κόσμος των αισθήσεων άγγιζε τον νου, και εδώ βρίσκεται όχι μόνον το νόημα της κλασσικής τέχνης, αλλά η σπουδαιότητα των Μαθηματικών στην Ιστορία της Τέχνης. Οι μεγάλοι δάσκαλοι της Αναγέννησης ακολουθούν με μαθηματική προσήλωση τη γραμμική απόδοση της προοπτικής, ανακαλύπτουν

Leonardo da Vinci, «Οι αναλογίες του ανθρώπινου

. σώματος»,

ξανά τη μαγεία των πολυέδρων, αφοσιώνονται, με τη βοήθεια της ανατομίας, στη διατύπωση των τέλειων

αναλογιών του ανθρώπινου σώματος, αναπαριστούν τις επιφάνειες και τους όγκους των πραγμάτων σύμφωνα με τους νόμους της γεωμετρίας. Ο Leonardo da Vinci ή ο Albrecht Dϋrer ξεκινούν από την τέχνη τους για να φτάσουν στην αναζήτηση της «θείας

αναλογίαφ, και εκεί παρατηρούν και στοχάζονται την αιώνια ομορφιά και την καθολική αλήθεια.

affaello, «Ευκλείδης» (λεπτομέρεια από την «Σχολή των Αθηνών»; 1511, Βατικανό, Ρώμη).

. .

Δεν είναι τυχαίο, λοιπόν, που ο Ευκλείδης εμφανίζεται σε πολλά ζωγραφικά έργα της Αναγέννησης, όπως στην περίφημη τοιχογραφία του Raffaello «Η Σχολή των Αθηνών» (1 5 1 1 , Βατικανό, Ρώμη).

Άλλες φορές πάλι, υπονοείται η παρουσία του, όπως στην προσωπογραφία του «Luca Pacioli» (Μουσείο της Νάπολης), διάσημου Μαθηματικού του 1 5°υ αι. Και αυτά δεν είναι παρά ελάχιστα παραδείγματα που οδηγούν σε ένα βέβαιο συμπέρασμα: στο ρου της Ιστορίας η εξέλιξη των κλασσικών τεχνών συμβάδιζε με την εξέλιξη των Μαθηματικών. Τον 19° αι. αναπτύσσεται η διαφορική Γεωμετρία, νέες έννοιες Μαθηματικών εισάγονται, δημιουργούνται νέα Μαθηματικά αντικείμενα: ·

Επιφάνεια του Scherk, το Μπουκάλι του Klein, ο κύβος του Cayley, το Υπερβολικό επίπεδο. Θα ιτacopo de' Barbari, «Luca Pacioli», 1495. περάσει σχεδόν ένας αιώνας μέχρι να «δανειστούν» Ο L. Pacioli, φραγκισκανός μοναχός, υπήρξε

οι καλλιτέχνες στα έργα τους μερικά από αυτά τα διάσημος μαθηματικός του 15 αι. και έγραψε το βιβλίο «Περί της θείας αναλογίας» (το ει­

αντικείμενα, όπως για παράδειγμα, ο Salvador Dali κονογράφησε ο Leaonardo da Vinci).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/2

------------ Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι της τέχνης ----------­

που αναπαριστά τον υπερκύβο * στον πίνακά του «Σταύρωση ή Corpus Hypercubus» (1952, Metropolitan Museum of Art, Νέα Υόρκη). Και ο Dali αποτελεί μια μοναδική περίπτωση καλλιτέ­χνη, γιατί αφιέρωσε μια σειρά έργων του στον «πυρηνικό μυ­στικισμό», δηλαδή στις ραγδαίες επιστημονικές και τεχνολογι­κές εξελίξεις που παρατηρήθηκαν στο δεύτερο μισό του 20°u αιώνα. Μια σύντομη αναφορά σε δύο γνωστούς πίνακές του αποδεικνύει το ενδιαφέρον του Ισπανού ζωγράφου για μυστή­ριο των σφαιρών και για τη γοητεία των πρωτονίων και νετρο­νίων: «Η Γαλάτεια των Σφαιρών» ( 1952, Figueras, Ισπανία) και «Ραφαηλιτικό Κεφάλι που εκρήγνυται» ( 195 1 , Scottish Na­

tional Gallery, Εδιμβούργο). Μπο�εί με τον Mauritz Escher και το χαρακτηριστικό πλα­κόστρωμα του υπερβολικού επιπέδου να έχουν ασχοληθεί πάρα πολλοί μαθηματικοί,

Salvador Dali, «Σταύρωση ή Corpus Hypercubus», 1954. Ο σταυρός σχηματίζεται από έναν οκτάεδρο κύβο

ψυχολόγοι ή ιστορικοί Τέχνης, αυτό, όμως, δε σημαίνει ότι δεν υπάρχουν και άλλοι καλλιτέχνες που επηρεάστηκαν από μια μαθηματική σύλληψη του εικαστικού χώρου: ο Paul Klee, ο Wassily Kandinsky, ο Rene Magritte, ο Ιάνης Ξενάκης είναι μερικά από τα ηχηρά ονόματα του 20ou αι., στους οποίους θα

Salvador Dali, επανέλθουμε με ειδικά αφιερώματα. «Η Γαλάτεια των Σφαιρών», 1952. Επιπλέον, στο δεύτερο μισό του 20ou αι. εμφανίζονται και οι οικογένειες δεσμών (κόμβων) και οι ελάχιστες επιφάνειες, που αποτέλεσαν πηγή έμπνευσης για πολλούς καλλιτέχνες-μαθηματικούς, - και αλήθεια, δεν ξέρω ποια από τις δύο ιδιότητές τους εί­ναι η καθοριστικότερη! Από τη δική μας την πλευρά, πάντως, ως θεατές, συχνά αδαείς στα Μα­θηματικά, έχουμε την ευκαιρία με αυτά τα έργα να θαυμάσουμε την ομορφιά, την πρωτοτυπία, την ενάργεια και την ισορροπία αυτών των παράξενων και γοητευτικών μαθηματικών αντικει­μένων.

Bahman Kalantari (Μαθηματικός), «Μαθηματικά μιας καρδιάς». Τα έργα του στηρίζονται στους αλγόριθμους.

Και αυτό ακριβώς ήταν το θέμα της μεγάλης έκθεσης, και πρώτης στο είδος της, που οργανώθη­κε το 2005 στο Παρίσι, στο Άlδρυμα Henri Poincare, με τίτλο «Μαθηματικά και Τέχνες». Μαθηματικοί εξέθεσαν τα έρ,γα τους,

όπως το «# 1 » του Franς:ois Apery, «Τα Μαργαριτάρια του Klein» των Daνid

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/3

Fran9ois Apery (Μαθηματικός), «#1». Από την έκθεση στο Ινστιτούτο Poincare,' 2005. Οι Μαθηματικοί ξέρουν να περι­στρέφουν μια σφαίρα χωρίς να την διπλώ­νουν ούτε να την σχίζουν.

----------- Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι της τέχνης ----------­

Austin, Daνid Wήght και William Casselmann,«Tα Μαθηματικά μιας Καρδιάς)) και «Τετραγω­νίζοντας τον Κύκλο)) του Bahman Kalantaή. Φυσικά και δεν απουσίαζαν από την έκθεση και οι

καλλιτέχνες με την παραδοσιακή έννοια του όρου, οι οποίοι εμπνέονται και αυτοί από τα Μαθηματικά, με κορυφαίο παράδειγμα τον Άγγλο γλύπτη John Robinson και το γλυπτό του «Αθανασία)), που μεταφέρει ένα αντικείμενο που αποκαλείται «κόμβος του τριφυλλιού)) και έχει γίνει το σύμβολο του Πανεπιστημίου της Ουαλίας για τα τμήμα Μαθηματικών της σχολής Πληροφορικής. Έπρεπε τελικά να φτάσουμε στον 21° αιώνα για να συναντηθούν επίσημα οι δύο αυτοί κόσμοι (Μαθηματικών και Τέχνης), χωρίς να

John Robinson (γλύπτης), ανταγωνίζεται ο ένας τον άλλο, για να αναδείξουν το γοητευτικό «Αθανασία», σύμπαν των σύγχρονων Μαθηματικών και να υπενθυμίσουν για άλλη

μια φορά ότι η δημιουργικότητα και η φαντασία της ανθρ{Οπινης νου είναι πιο ισχυρές από τη γνώση. *Θα ακολουθήσει μια σειρά άρθρων με θέμα την επίδραση των Μαθηματικών στο έργο μεγάλων καλλιτεχνών του 20ου αιώνα.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ λ www.isama.org (Διεθνής Εταιρεία Τεχνών, Μαθηματικών και Αρχιτεκτονικής). λ www.mathart.eu (Ευρωπαϊκή Εταιρεία για τα Μαθηματίκά και την Τέχνη). λ www.artlex.com (Ορισμός των Μαθηματικών σε σχέση με τις εικαστικές τέχνες). λ www.hermay.org (Ινστιτούτο Henή Poincare στο Παρίσι). λ www.matematicamente.it (Σχέσεις Μαθηματικών και Τέχνης).

\-ο,'------.ι.ιι,

i -� -• Ι ,

*Ο υπερκύβος α. Τετράγωνο (χώρος 2 διαστάσεων) και το ευθύγραμμο

ανάπτυγμά του (χώρος μιας διάστασης)

β. Κύβος (χώρος τριών διαστάσεων και το ανάπτυγμά του (χώρος δύο διαστάσεων)

γ. Προβολή ενός τετραδιάστατου υπερκύβου στο χώρο τριών διαστάσεων δ. Ανάπτυγμα του τετραδιάστατου υπερκύβου στο χώρο των τριών διαστάσεωv.Οι οκτώ κύβοι που αποτελούν την υπερεπιφάνεια του τετραδιάστατου υπερκύβου δίνονται στο σχήμα (γ) και στο ανάπτυγμα του σχήματος (δ). Έvας τετραδιάστατος υπεράνθρωπος (με τρισδιάστατους αμφιβληστροειδείς) θα χειρίζεται τον υπερκύβο

κατά έναν αδιανόητο για τον τρισδιάστατο άνθρωπο τρόπο. Θα μπορούσε να αγγίζει οποιοδήποτε σημείο μέσα στους οκτώ επιμέρους κύβους του υπερκύβου με τη μύτη μιας βελόνας, χωρίς η βελόνα να αγγίξει άλλο σημείο του υπερκύβου. Τα σημεία των επιμέρους κύβων του, υπερκύβου είναι εσωτερικά μόνο για μας τους τρισδιάστατους ανθρώπους, ενώ για τον τετραδιάστατο υπεράνθρωπο είναι όλα εξωτερικά. Όπως γίνεται φανερό, ένας υπερκύβος δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί γραφικά (έχει 8 τρισδιάστατες, 24 δισδιάστατες, 32 μονοδιάστατες (ακμές) όψεις και 16 κορυφές (μηδενικής διάστασης).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/4

Η ΕλΛηνική Μσ&!ιματ•κι\ Ετa•ρεia ��cna a.rwό πιrι �cnaρ�a nκ; (Ε�Μ�Ε)

2. Η τέταρτη εικοσιπενταετία (1993-2011) Γ. Ωραιόπουλος

Την περίοδο αυτή πρόεδροι της εταιρείας διετέλεσαν οι εξέχοντες πανεπιστημιακοί καθηγη­τές Θ. Μπόλης, Θ. Εξαρχάκος, Ηλ. Λυπιτάκης, Ν. Αλεξανδρής, Γρ. Καλογερόπουλος (2009-201 1).

Θ. Μπόλης Θ. Εξαρχάκος Ηλ. Λυπιτάκης Ν. Αλεξανδρής Γρ. Καλογερόπουλος

Οι πρόεδροι, μαζί με τα Διοικητικά Συμβούλια και τις διάφορες Επιτροπές εργάστηκαν για την επιστημονική και εκπαιδευτική προσφορά στην επιστήμη και την παιδεία, ιδιαίτερα τη μα­θηματική, σε συνεργασία με τις διοικήσεις των παραρτημάτων.

Μια από τις δραστηριότητες της Ε.Μ.Ε. είναι και η λειτουργία του Κέντρου Μαθηματικού και Εκπαιδευτικού Λογισμικού. Για πολλά χρόνια, το κέντρο αυτό διοργάνωνε ειδικά σεμινάρια στους ΗΝ με τη συμβολή του Υπουργείου Παιδείας. Στα σεμινάρια αυτά φοίτησαν μαθηματικοί οι οποίοι δίδαξαν στα σχολεία σαν καθηγητές πληροφορικής. Επίσης, μαθηματικοί αλλά και άλ­λοι επιστήμονες και ιδιώτες παρακολούθησαν και παρακολουθούν διάφορα σεμινάρια πληροφο­ρικής που διοργανώνει η Ε.Μ.Ε. για να χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις της επιστήμης αυτής σε διάφορες δημόσιες ή ιδιωτικές υπηρεσίες.

Το κέντρο αυτό εκδίδει και το περιοδικό «Αστρολάβος» σε ηλεκτρονική μορφή. Ακόμη ε­μπλουτίζει το κόμβο intemet της Εταιρείας με χρήσιμες πληροφορίες για την εκπαίδευση, τα συνέδρια, τα περιοδικά, τους μαθηματικούς διαγωνισμούς και γενικά όλη τη δράση της Εταιρεί­ας και των παραρτημάτων.

Επίσης λειτουργεί και Ερευνητικό Κέντρο Αξιολόγησης και Επιμόρφωσης το οποίο συγκρό­τησε τμήματα για τα Αναλυτικά Προγράμματα, τα διδακτικά μαθηματικά βιβλία, τη διδακτική και Παιδαγωγική επιμόρφωση.

Για κάθε τμήμα εργάζεται υπεύθυνη επιτροπή συναδέλφων, η οποία σε συνεδριάσεις, σε σε­μινάρια, σε ημερίδες στην έδρα της Εταιρείας και σε επαρχιώτικες πόλεις όπου υπάρχουν τα το­πικά παραρτήματα ασχολούνται με τα σοβαρά αυτά θέματα επιστημονικά εκπαιδευτικά και κοι­νωνικά. Υπεύθυνος ο Γ. Δημάκος.

Τα ετήσια Πανελλήνια Συνέδρια Μαθηματικής Παιδείας, από το 1992, διοργανώνονται σε επαρχιακές πόλεις σε συνεργασία με τα παραρτήματα. Αυτό είναι θετικό γιατί δημιουργείται «κίνηση» στους συναδέλφους που συμμετέχουν στο συνέδριο που γίνεται στην πόλη που μένουν και παράλληλα γίνονται και άλλες εκδηλώσεις. Ενδεικτικά αναφέρουμε πως το 9° συνέδριο έγι­νε στην Πάτρα στο οποίο συνδιοργανωτές ήταν και πανεπιστημιακοί μαθηματικοί. Το 19° συνέ­δριο έγινε στην Κομοτηνή και δόθηκε η ευκαιρία να γίνουν τιμητικές εκδηλώσεις για το μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Κ. Καραθοδωρή.

Στη Βέροια, παράλληλα με το 20° συνέδριο, το παράρτημα δωργάνωσε Βαλκανικό Μαθητικό Διαγωνισμό Νέων που πήραν μέρος 1 Ο χώρες. Οι μικρές μαθητικές εξαμελείς ομάδες τις 6 μέρες ε-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/S

------------ Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία -----------­

πισκέφτηκαν αρχαιολογικούς χώρους, έκαναν εκδρομές και χάρηκαν από τη φtλοξενία των μαθημα­τικών της Βέροιας. Αυτή η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων δημιουΡΎfιθηκε με πρωτο-βουλία της Ε.Μ.Ε. το 1997 αλλά για μεγαλύτερους μαθητές είχε το 1984.

Η 45η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2004 διοργανώθηκε από την Ε.Μ.Ε. με την υ­ποστήριξη των Υπουργείων Παιδείας και Πολιτισμού. Οι Έλληνες μαθηματικοί συμμετέχουν σ' όλες τις επιτροπές για την προετοιμασία και πραγματοποίηση της Ολυμπιάδας, η οποία είχε πλήρη επιτυχία και άφησε τις καλύτερες εντυπώσεις διεθνώς όχι μόνο για την Εταιρεία αλλά και για την Ελλάδα γενικ,-ότ_ε:...c__:,α7.. -,------... ���"''\;., gιιι ]181ίοr Balkan

�· -.)L-f ,-� ' Matlιematίc:al Olympiad - -x- L� ., e. , ... , _.... �·<, Ξ Jιme 20-26, Veήa� οeψ_.. � , Helleιήc Matbematicai_Society I '" .,.,,. ,.,.� "" I Branch ofimatbίa

Το Διοικητικό Συμβούλιο για τα οκτώ περιοδικά που εκδίδει η Ε.Μ.Ε. και γιά την καλύτερη λειτουργία τους διόρισε επικεφαλής της Συντακτικής Επιτροπής, Εκτελεστική Γραμματεία­Προεδρείο σε κάθε περιοδικό. Το 2009 κυκλοφόρησε το 1 ° τεύχος του νέου διεθνούς περιοδικού για τα Μαθηματικά στην εκπαίδευση με τίτλο «lntemationa1 Journa1 for Mathematics in Educa­tion». Σ' αυτό το προεδρείο της Συντακτικής Επιτροπής είνciι μαθηματικοί, διδάκτορες εξωτερι­κού. Τα μαθητικά περιοδικά «Ευκλείδης Α», «Ευκλείδης Β» και «Μικρός Ευκλείδης» συνεχί­ζουν να βοηθούν τους μαθητές και να ενισχύουν το έργο των καθηγητών και των δασκάλων. Από το 2008 το προεδρείο του «Μικρού Ευκλείδη» διοργανώνει διαγωνισμό για μαθητές της Ε' και Στ' τάξης των Δημοτικών Σχολείων.

Εκτός από τις περιοδικές εκδόσεις, η Ε.Μ.Ε. προσφέρει στα μέλη της και σε ερευνητές Μα­θηματικών και άλλες εκδόσεις όπως: «Τα πρακτικά των Πανελληνίων Συνεδρίων Μαθηματικής Παιδείας» και «Θέματα εξετάσεων των Μαθητικών Πανελληνίων Διαγωνισμών, των Βαλκανι­κών και Διεθνών Ολυμπιάδων». Επανεκδόθηκε η τρίτομη «Iστορία των Μαθηματικών» επειδή εξαντλήθηκε. Επίσης, εκδόθηκαν τα «Παίγνια και λήψη αποφάσεων» του Χ. Αλιμπράντη, «Τρι­γωνομετρία-Αναλυτική Θεμελίωση» των Μ. Γεωργακόδη, Π. Γεωργιάδη, «Θεωρία Αριθμών» του Π. Βλάμου και στα Αγγλικά, το «Συνέδριο Hermis 92,94».

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/6

------------ Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία -----------­

Σε συνεργασία με το Υπουργείο Πολιτισμού συνεχίζεται η ψηφιοποίηση του έργου «Μαθη­ματικά και Πολιτισμός από την αρχαιότητα στην κοινωνία της πληροφορίας». Αυτό θα περιλαμ­βάνει 35.000 σελίδες ψηφιοποιημένες από τις εκδόσεις και τη δράση της Ε.Μ.Ε.

Το παράρτημα Θεσσαλονίκης εξέδωσε το έργο «Αξιολόγηση εκπαιδευτικού έργου. Μετεκ­παίδευση μαθηματικών». Το Δ. Συμβούλιο συγκροτεί μικρές επιτροπές μελών της Ε.Μ.Ε. για τη εγγραφή σχολικών βιβλίων. Έτσι εγκρίθηκαν «Τα Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου» που γράφηκαν από τετραμελή επιτροπή μελών της Εταιρείας.

Οι μαθητικοί διαγωνισμοί στα Μαθηματικά διοργανώνονται από Επιτροπή διαγωνισμών η οποία έχει πολλά και σοβαρά καθήκοντα. Η επιτροπή αυτή είναι ανοικτή και συμμετέχουν συ­νάδελφοι από το κέντρο και από τα παραρτήματα . Έχει αυξηθεί ο αριθμός των μαθητών που συμμετέχουν στους διαγωνισμούς. Στο Θαλή πάνω από 15.000, στο Ευκλείδη πάνω από.2.500 στην Εθν. Ολυμπιάδα Αρχιμήδης περίπου 30.

Στις 2 Βαλκανικές Ολυμπιάδες και στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα μετέχουν μικροο­μάδες μαθητών, 6 ως 10 ατόμων. Από το 2007 άρχισαν φοιτητικές Ολυμπιάδες στα Μαθηματικά για τις χώρες της Νοτιοανατολικής Ευρώπης με πρωτοβουλία της Ε.Μ.Ε. σε συνεργασία με τη Μαθηματική Εταιρεία της Ν-Αν. Ευρώπης (10 κράτη).

Οι διεθνείς σχέσεις της Εταιρείας συνεχώς διευρύνονται. Είναι μέλος ης Ευρωπαϊκής Μαθη­ματικής Εταιρείας της Νοτιοανατολικής Ευρώπης (MASSEE) της οποίας η έδρα είναι στην Αθήνα και ο Γενικός Γραμματέας της είναι πάντοτε Έλληνας μαθηματικός. Η Ε.Μ.Ε. συνεργάζεται με πολλές Μαθηματικές Εταιρείες, ιδιαίτερα τις Βαλκανικές και πιο στενά με τη Κυπριακή (ΚΥ.Μ.Ε.). Πήρε ενεργό μέρος στο συνέδριο Γεωμετρίας που διοργάνωσε η ΚΥ.Μ.Ε. στη Λευ­κωσία το 2003 και ακόμη συνεργάζεται με την επιτροπή του Παγκόσμιου Συνεδρίου που θα γίνει στις Συρακούσες της Σικελίας 8-10/6/2010 για τα 1700 χρόνια από τη γέννηση του Αρχιμήδη.

Η Ε.Μ.Ε. είναι το αρχαιότερο επιστημονικό σωματείο της Ελλάδας με γύρω στα 16.000 μέ­λη. Στη πολύχρονη ζωή του ήταν πρώτο στις δραστηριότητες του από τα παρόμοια των Φυσι­κών, Φιλολόγων κ.λ.π. Ευχόμαστε να συνεχίσει τη δημιουργική του δράση.

Το Εξώφυλλο μας «Τα Μαργαριτάρια του Klein».

Είναι ένα όριο που σχηματίζεται από μια αλυσίδα εφαπτόμενων κύκλων.

Έργο του μαθηματικού Davιd Wr ighr .Από την έκθεση στο Ιν­στιτούτο Poincare, 2005,στο Παρίσι.Ο David 'right είναι Α­ναπληρωτής Καθηγητής Μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Οκλαχόμα. Ο Φέλιξ Κλάιν (Felix Kleιn), Γερμανός μαθηματικός, ένας με­γάλος γεωμέτρης του δέκατου ένατου αιώνα, τονίζοντας τη ση­μασία των ομάδων στα μαθηματικά, θεώρησε τη Γεωμετρία ως το σύνολο των ιδιοτήτων του χώρου που παραμένουν αναλλοίω­τες μέσω των στοιχείων μιας ορισμένης ομάδας μετασχηματι­σμών. Ο Felix Klein, ανακάλυψε μια ιδέα από την ινδουιστική μυθολο­γία στα μαθηματικά: ο ουρανός της INDRA περιείχε ένα δίχτυ των μαργαριταριών, κάθε ένα από το οποίο aπεικονίστηκε στο γείτονά του, έτσι ώστε ολόκληρος ο κόσμος aντανακλάστηκε σε κάθε μαργαριτάρι.

Ο Klein επανέλαβε άπειρα τις aντανακλάσεις και οδηγήθηκε σε μορφές με τις πολλαπλάσιες συ­νυπάρχοντες συμμετρίες. Για έναν αιώνα αυτές οι ιδέες υπήρξαν μόλις έξω από τη φαντασία των μαθηματικών. Πρακτικά αδύνατο να κατασκευασθεί με το χέρι. Όμως στη δεκαετία του '80 οι μα­θηματικοί άρχισαν την πρώτη εξερεύνηση, με τη βοήθεια υπολογιστών, του οράματος Klein, και

' καν ε αυτό τον τ όπο πολλέ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.417

Χορεύεις μαθηματικά; =======================================================Πανωρέα�πάκα

π ώς θα αντιδρούσατε αν κάποιος σας προσκαλούσε να χορέψετε μαζί του μαθηματικά; Οι περισσότεροι ίσως αναρωτιόσασταν: «Μαθηματικά και χορός μαζί;». Φαντάζει

πάντα δύσκολο να ενώσουμε στο μυαλό μας δύο πεδία τόσο φαινομενικά διαφορετικά όσο τα μαθηματικά και οι παραστατικές τέχνες. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, όμως, δεν πρόκειται ακριβώς για ένωση γιατί κάτι τέτοιο παραπέμπει σε ταύτιση και απώλεια της διαφορετικότητας, αλλά για συνύπαρξη και για να μιλήσουμε με όρους μαθηματικούς για μία αλληλοκάλυψη που δημιουργεί ένα πεδίο τομής. Μέσα σε αυτόν τον χώρο δράσης, στην τομή των μαθηματικών με το χοροθέατρο, μπορούμε να δούμε τους ίδιους μας τους εαυτούς να χορεύουν μαθηματικά.

Για να γίνει περισσότερο ζωντανή η εικόνα αυτού του χορού στο μυαλό μας μπορούμε να ξεκινήσουμε εστιάζοντας στις ομοιότητες που έχουν τα μαθηματικά και το χοροθέατρο. Αρχικά, υπάρχει μία βαθιά ομοιότητα στα υλικά δόμησης μίας μαθηματικής πρότασης και μίας χορογραφίας. Πιο συγκεκριμένα, για την λύση ενός γεωμετρικού ή αριθμητικού προβλήματος ή την ανάπτυξη μιας μαθηματικής απόδειξης απαιτούνται τόσο η καλλιέργεια της φαντασίας, ώστε να μπορέσουμε να οπτικοποιήσουμε το πρόβλημα που έχουμε μπροστά μας, όσο και της λογικής σκέψης που μας βοηθά να ακολουθήσουμε πεπερασμένα σε πλήθος, συγκεκριμένα σε περιεχόμενο και ακριβή σε αλληλουχία βήματα ώστε να φτάσουμε στην λύση ή στο τελικό μας συμπέρασμα. Τα ίδια υλικά - η φαντασία και η λογική σκέψη -χρησιμοποιούμενα από τον χορευτή ή τον ηθοποιό σε ίσως λίγο διαφορετικές αναλογίες είναι αυτά που θα του χαρίσουν την

·

εμπειρία μίας χοροθεατρικής δημιουργίας.

Οι χορογράφοι, οι χορευτές και οι ηθοποιοί, που χρησιμοποιούν το σώμα τους σαν μέσο έκφρασης, ασκούνται ενεργά στην γεωμετρία των τριών διαστάσεων. Πολλά σχήματα οικεία στους μαθηματικούς προκύπτουν ή εμφανίζονται αυθόρμητα και αναπόφευκτα μέσα σε ένα στούντιο χορού κατά τη διάρκεια των προβών. Τα γεωμετρικά σχήματα με τις ιδιότητές τους, η συμμετρία, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί όπως η

μετατόπιση, η περιστροφή και η ομοιότητα, τα σημεία, οι ευθείες και οι καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο, τα διανύσματα που προϋποθέτουν μία αφετηρία, ένα τέλος και προσανατολισμό ορίζουν την κίνηση των χορευτών. Οι χορευτές λοιπόν χωρίς να το συνειδητοποιούν εκφράζονται χρησιμοποιώντας τις αρχές και τους νόμους της γεωμετρίας με το σώμα τους.

Ταυτόχρονα, οι αριθμοί κρυμμένοι στον ρυθμό, στην αλληλουχία και τους συνδυασμούς •

των κινήσεων, στο μέτρημα των επαναλήψεων μιας κίνησης είναι πάντα παρόντες σε μία αίθουσα χορού. Τα σύνολα των αριθμών με τις ιδιότητές τους, οι αριθμητικές πράξεις, οι κανόνες διαιρετότητας, η θεωρία πιθανοτήτων, η συνδυαστική είναι μερικά μόνο πεδία μαθηματικής γνώσης που αυθόρμητα χρησιμοποιούν καθημερινά οι χορευτές.

Όλα τα παραπάνω αρκούν προς το παρόν για να σας προτρέψουν την επόμενη φορά που θα παρακολουθήσετε μία παράσταση χορού να προσπαθήσετε να δείτε τα μαθηματικά που υπάρχουν πίσω από την ιστορία. Ο χορός, λοιπόν, δανείζεται γνώση από τα μαθηματικά. Αλλά

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/8

--------------- Χορεύεις μαθηματικά;

μήπως και τα μαθηματικά μπορούν μέσω του χορού να γίνουν πιο ρεαλιστικά, ευκολότερα αντιληπτά και περισσότερο ευχάριστα στην διδασκαλία τους; Είναι πραγματικά ενδιαφέρον και ελπιδοφόρο τόσο για τους δασκάλους μαθηματικών όσο και για τους μαθητές όλων των βαθμίδων εκπαίδευσης το ότι μπορεί κάποιος χρησιμοποιώντας σε κίνηση το ίδιο του το σώμα, χορεύοντας δηλαδή, να εξερευνήσει, να έρθει σε επαφή και να κατανοήσει μαθηματική γνώση. Αν και παγκοσμίως βρισκόμαστε ακόμα μακριά από την ιδέα διαθεματικών τάξεων στα σχολεία (π.χ. μάθημα χορού και γεωμετρίας, ή θεατρικής αγωγής και άλγεβρας), ωστόσο είναι αρκετά αισιόδοξο ότι έχουν γίνει κάποια πρώτα βήματα στην εφαρμογή τέτοιων μεθόδων για διδακτικούς - παιδαγωγικούς αλλά και καλλιτεχνικούς σκοπούς. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι όταν ο δάσκαλος επιλέγει να εισάγει με οποιονδήποτε τρόπο την τέχνη σαν εργαλείο διδασκαλίας του αντικειμένου του ανοίγει νέα κανάλια ροής γνώσης για τους μαθητές του. Για πολλούς μαθητές ο φόβος που νιώθουν όταν έρχεται η ώρα των μαθηματικών (που μπορεί να οφείλεται σε πολλές διαφορετικές ανά περίπτωση αιτίες) αποτελεί τροχοπέδη στην μάθηση . Αξίζει οι εκπαιδευτικοί να αναρωτηθούμε αν ο φόβος δίνει την θέση του στην απόλαυση και την αυτοπεποίθηση όταν ο μαθητής συμμετέχει στο μάθημα όχι μόνο πνευματικά, αλλά σωματικά και συναισθηματικά και τί συμβαίνει όταν το μάθημα μαθηματικών γίνεται μια εμπειρία πολλών διαστάσεων, που ζωντανεύει τον νου, τις αισθήσεις και το ίδιο το σώμα.

Παρακάτω παρουσιάζονται επιλεκτικά και περιγράφονται δύο από τις ασκήσεις που διδάχτηκαν σε ομάδα ενήλικων εθελοντών στα πλαίσια του εργαστηρίου «στούντιο χορογραφίας», που έλαβε χώρα από τον Νοέμβριο του 2009 έως τον Ιούνιο του 20 10 στο στούντιο Κινητήρας στην Αθήνα. Η έρευνα που έγινε με την ομάδα στο εργαστήριο αυτό ουσιαστικά δείχνει πώς ο μαθητής μπορεί να διδαχθεί μαθηματικά μέσα από την ανθρώπινη κίνηση και πώς ο καλλιτέχνης μπορεί να κατανοήσει την κίνηση του σώματός του μέσα από τα μαθηματικά.

\ 1: } {J\IOM Jρ θμ(! V Στο πρώτο στάδιο αυτής της άσκησης οι εθελοντές μαθητές διδάχτηκαν το κομμάτι της

άλγεβρας που τους εισάγει στην θεωρία συνόλων. Η άσκηση είχε σαν στόχο την έρευνα δύο χαρακτηριστικών των συνόλων: i) ·της συνέχειας (δεν υπάρχουν κενά μεταξύ των αριθμών) και ii) το ότι το κάθε σύνολο εμπεριέχεται στο αμέσως μεγαλύτερό του σύνολο.

Στο δεύτερο στάδιο μοιράστηκαν τυχαία σε 5 άτομα , 5 καρτέλες. Σε κάθε καρτέλα υπήρχε ο ορισμός κάποιου συνόλου. Ο καθένας επέλεξε ελεύθερα ένα αντιπροσωπευτικό αριθμό από το σύνολο που του έτυχε. Π.χ. ο Α από το σύνολο των φυσικών επέλεξε το Ο, ο Β από το σύνολο

των ρητών το 1/5 και ο Γ από το σύνολο των πραγματικών το .J9. Έπειτα ζήτησα από κάθε

αριθμό να χτίσει την ιστορία του. Άφησα ελεύθερα άλλους να προσεγγίσουν τον αριθμό τους μέσα από το σχήμα του, μέσα από την έννοιά του, μέσα από το τί συμβολίζει κτλ. Και πάλι στο στάδιο αυτό τονίζεται πως η αναπαράσταση ενός αριθμού κινητικά αποτελεί μία διαδικασία που περισσότερο βοηθά στην ενεργοποίηση της φαντασίας με έναυσμα τους αριθμούς, και όχι σε κάποια υποτιθέμενη αυστηρή aντιστοίχηση του αριθμού με κάποια κίνηση ή αλληλουχία κινήσεων.

Ύστερα δοκίμασα να μετατρέψω σε κίνηση τις έννοιες σύνολο και υποσύνολο ως εξής. Ζήτησα από κάθε αριθμό - σύνολο να δανείζεται κινήσεις από το I τα υποσύνολά του και να τις εξελίσσει. Έτσι μία απλή κίνηση που έκανε ο Α ως Ο, ο Β ως ρητός την μεγάλωνε και ο Γ ως πραγματικός την εξέλισσε ακόμα περισσότερο.

Στο τελευταίο στάδιο της άσκησης ζήτησα από κάθε αριθμό να πάρει τη θέση του πάνω σε ένα φανταστικό άξονα συντεταγμένων και ύστερα εισάγοντας κqι τους μιγαδικούς αριθμούς, πάνω στο επίπεδο. Κάθε αριθμός έχει συγκεκριμένη θέση πάνω στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Στην ευθεία των πραγματικών π.χ. το 1/5 θα βρίσκεται πάντα πιο κοντά στο Ο σε σχέση με το .J9, όπου και να πάει το Ο. Έτσι αντιλήφθηκαν οι μαθητές την έννοια του

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/9

-------------- Λοpευεις μαuηματικα;

ημείου αναφοράς, της αρχής των αξόνων. Όταν η αρχή των αξόνων μετακινούνταν "παρέσυρε" αζί της με συγκεκριμένες πάντα σχέσεις και όλους τους υπόλοιπους διατεταγμένους αριθμούς.

Στο πρώτο στάδιο της άσκησης τοποθέτησα στην αίθουσα ισαπέχοντα αντικείμενα τα οποία )ίσκονταν πάνω στην ίδια ευθεία. Ζήτησα από τους εθελοντές ο καθένας να κινηθεί σε κύκλο r: κέντρο κάποιο από τα σημεία. Αν κάποιος έβλεπε από πάνω τις κινήσεις τους, θα χρατηρούσε να διαγράφουν τις κυκλικές τροχιές του παρακάτω σχήματος:

Για μένα που ήμουν εξωτερικός παρατηρητής της κίνησής τους, ήταν πάρα πολύ ενδιαφέρον χ ξέρω ότι η φαινομενικά χαοτική κίνηση που είχαν, στην πραγματικότητα ήταν πλήρως lJστηρή και συγκεκριμένη. Η άσκηση αυτή επαναλήφθηκε αρκετές φορές σε διάφορες χραλλαγές. όπως αλλαγές στην ταχύτητα, και στη φορά που είχε ο καθένας. Οι εθελοντές :ωσαν με τα σώματά τους έννοιες όπως ο κύκλος, η τροχιά, το σημείο τομής (σε σχέση με το :λευταίο αποτέλεσε ευχάριστη και διδακτική έκπληξη όταν για πρώτη φορά δύο άτομα που νούνταν πάνω σε διαφορετικές τροχιές συναντήθηκαν).

Στο επόμενο στάδιο δοκιμάσαμε να δημιουργήσουμε αυστηρές γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ ον μαθητών. Η άσκηση είχε ως εξής: ενώ κάποιος κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από ένα (ίνητο άτομο, δύο επιπλέον άτομα προσπαθούν να κινούνται σε σχέση με αυτόν έτσι ώστε )νίμως να σχηματίζουν μαζί του άλλοτε ένα ισόπλευρο, ένα ισοσκελές και άλλες φορές ένα )θογώνιο τρίγωνο. Το πείραμα αυτό έγινε και με την εκδοχή το άτομο που αντιπροσώπευε το Ντρο του κύκλου να κινείται. Η κίνησή του προφανώς επηρέαζε την κίνηση των υπολοίπων.

Οι εθελοντές μαθητές μέσα από αυτές τις ασκήσεις κατανόησαν θεμελιώδεις γεωμετρικές έννοιες και ήταν σε θέση να δώσουν αυστηρούς ορισμούς για όλα τα βασικά γεωμετρικά σχήματα.

Τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι χορογράφοι εξασκούν μαγικά και συναρπαστικά επαγγέλματα, αφού τα αντικείμενά τους οι αριθμοί, τα σχήματα, το σώμα, η κίνηση αλλάζουν μορφές, χρώματα και προσανατολισμούς, μετουσιώνονται, αναπνέουν και εξελίσσονται σαν ζωντανοί οργανισμοί που κουβαλάνε πάνω τους την ιστορία του ίδιου του ανθρώπου. Αν λοιπόν κάποιος μια μέρα σας ζητήσει να χορέψετε μαζί του μαθηματικά, μην αρνηθείτε. Εμπνευσμένα άλλοτε από την ομορφιά και την καθαρότητα των γεωμετρικών δομών και νόμων, και άλλοτε από την μαγεία των αριθμών τα βήματα είναι εύκολα και ο χορός κάτι παραπάνω από διασκεδαστικός και διδακτικός. Συγκινητικός!

ι ασκήσεις αντλήθηκαν από το άρθρο «Μαθηματικά & Παραστατικές Τέχνες» που χρουσιάστηκε στο 27° Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας στην Χαλκίδα τον οέμβριο του 2010. Συμπληρωματικό υλικό με ασκήσεις μαθηματικών και χορού μπορεί ίποιος να βρει στην ηλεκτρονική διεύθυνση : !!_)_iUιi_!"ισΙJr "�ι -,:_οlι)� ι�cor:1

--- --------, Η συντακτική Επιτροπή του Ευκλείδη Α' σας εύχεται

Καλό Καλοκαίρι

Και καλή ε'Πιτυχία στις εξετάσεις

Σας 'Περι ένουμε στα καλοκαιρινά σχολεία της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/10

Όλη η Θεωρία σε 115 Ερι.Ι)τήσε ι ς! Τάξη

Οι Φυσικοί αριΟμοί

Λ. 1. 2 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; ( σελ.15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να εκτελεστεί; (σελ.15) 3 . Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλα­σιασμού των φυσικών; ( σελ.15) 4. τι λέει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και τι ως προς την αφαίρεση; ( σελ.15) Λ. 1. 3 ---5. Τι ονομάζεται νιοστή δύναμη ενός φυσικού αριθμού α, πως συμβολίζεται και πως ονομάζονται τα μέρη της; (σελ.20) 6. Πως αλλιώς διαβάζονται η δεύτερη και η τρίτη δύναμη ενός φυσικού αριθμού α και με τι είναι ίσα το α1 και το 1ν; (σελ.20) 7. τι ονομάζεται αριθμητική παράσταση και τι τιμή αριθμητικής παράστασης; (σελ.21) Λ. 1. 4 8. τι ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση; (σελ.25) 9. Πότε η Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέ­λεια και ποιες είναι οι ιδιότητες της; (σελ. 25) Λ. 1. 5

: ΚλιΊ.σματα Λ. 2. ι ---18. Τι ονομάζεται κλασματική μονάδα;(σελ.35) 19. 18.Τι ονομάζεται κλάσμα ή κλασματικός αριθμός και τι διακρίνουμε σ' αυτό; (σελ.35) 20. τι παριστάνει ένα κλάσμα; (σελ.35) 2 Ι. Μπορεί ένας φυσικός αριθμός να γραφεί σαν κλάσμα; (σελ.35) Λ. 2. 2 22. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα; (σελ.38) 23 . Ποιες είναι οι ιδιότητες των ισοδυνάμων κλασμάτων; (σελ.38) 24. Πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγο­νται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα; (σελ.38) Λ. 2. 3 25. Πως συγκρίνουμε δύο κλάσματα; (σελ.41) Λ. 2. 4 26. Τι ονομάζεται μικτός αριθμός; (σελ.45) Α ., � ,'!.. -· :) ---27. Πότε δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα; (σελ.48) Λ. 2. 6 28. Πότε ένα κλάσμα λέγεται σύνθετο;

Λ�;καδικοί αριθμοί 10. Τι ονομάζονται πολλαπλάσια ενός φυσι- Λ. 3. 1 κού αριθμού; (σελ.27) 29. Πότε ένα κλάσμα λέγεται δεκαδικό; 11. Ποιες ιδιότητες ισχύουν για τα πολλα- (σελ.56) πλάσια ενός φυσικού αριθμού; (σελ.27) 30. Πως κάθε δεκαδικό κλάσμα γράφεται ως 12. τι ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλά- μός; (σελ. 56) σιο (ΕΚΠ) δύο η περισσοτέρων αριθμών Εξισι!>σεις και πμσl�λt1ματα διαφορετικών του μηδενός; (σελ.27) Λ. 4. Ι 13. Ποιοι ονομάζονται διαιρέτες ενός φυσι-κού 31. Τι ονομάζεται, εξίσωση, τι λύση (ή ρίζα) αριθμού; (σελ.27) μιας εξίσωσης και τι επίλυση μιας εξίσωσης; 14. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και (σελ. 73) ποιοι σύνθετοι; (σελ.27) 32. Πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και 15 . Τι ονομάζεται μέγιστος κοινός διαιρέτης � (σελ.73)

, δύο φυσικών αριθμών; ΜΚΔ(α,β); (σελ.27) - Ποσοστα

16. Πότε δύο φυσικοί αριθμοί ονομάζονται Λ. 5. 1 πρώτοι μεταξύ τους; (σελ.27) 33. Τι ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή 17. Ποια είναι τα κριτήρια της διαιρετότητας; απλά ποσοστό και τι ποσοστό επί τοις χιλίοις;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/11

----------- Όλη η Θεωρία σε 115 Ερωτήσεις! ----------­

Α ν άλογα ποσά & αντιστρό­φως ανάλογα ποσά Α. 6.1 34. Τι ονομάζεται ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων και τι συντεταγμένες (τετ μη μένη, τεταγμένη) σημείου; (σελ.88) 35. Τι γνωρίζετε για τις συντεταγμένες των σημείων των ημιαξόνων Οχ και Oy σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα; (σελ.88) Α. 6 . 2 36. τι ονομάζεται λόγος δύο ομοειδών μεγε­θών που μετρήθηκαν με την ίδια μονάδα με­τρησης; (σελ.91) 37. Τι ονομάζεται αναλογία και ποια η βασι� της ιδιότητα; (σελ.91) 38. τι ονομάζεται κλίμακα; (σελ.91) 39. Πότε δύο σχήματα λέγονται όμοια; (σελ.91) Α. 6. 3 40. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; (σελ.96) 41. Πότε δύο ποσά είναι ανάλογα; (σελ.96) 42. Ποιες είναι οι ιδιότητες δύο ανάλογων ποσών; (σελ.96) Α. 6. 4 43. Που βρίσκονται τα σημεία που παριστά­νουν τα ζεύγη τιμών (x,y) δύο αναλόγων ποσών; (σελ.99) Α. 6. 5 44. Πως εξετάζουμε αν δύο ποσά είναι ανάλογα; (σελ.102) Α. 6. 6 45. Πότε δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; ( σελ.l 07) 46. Πότε δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανά­λογα; σελ.107)

WΙΙΙJWΙΙΙm!Ι Θετικοί & Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 47. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζο­νται οι αριθμοί από αυτά; (σελ.115) 48. Πότε δύο ή περισσότεροι αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοt; (σελ.115) 49. Ποtοι είναι οι ακέραtοι και ποtοι οι ρητοί αριθμο� (σελ.115) Α. 7. 2 50. τι εκφράζει η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α και πως συμβολίζεταt; (σελ.118) 51. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται ανriθετοt; (σελ.118) 52. Ποιος είναι ο ανriθετος του αριθμού χ;

(σελ.118) 53. Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού; (σελ.118) Α. 7. 3 54. Πως προσθέτουμε δύο ρητούς αριθμούς; (σελ.122) 55. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των ρητών; (σελ.123) Α. 7. 4 56. Πως αφαιρούμε δύο ρητούς αριθμούς; (σελ.126) Α. 7. 5 57. Πως πολλαπλασιάζουμε 2 ρητούς αριθμούς; (σελ.130) 58. Ποιες είναι οι ιδιότητες του � σμούτων ρητών; (σελ.130) 59. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται aντί­στροφοι; ( σελ.13 Ο) Α. 7. 6 60. Πως διαιρούμε δύο ρητούς αριθμούς; (σελ.133)

� -�!:'!�Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Β. 1. 1 61 Τι ονομάζεται ευθεία και ποιες προτάσεις αναφέρονται σ' αυτή; ( σελ.14 9) 62. Τι ονομάζεται ημιευθεία; (σελ.149) 63. Ποιες ημιευθείες ονομάζονται αντικείμε­νες; (σελ.149) 64. Τι είναι το επίπεδο και ποιες προτάσεις αναφέρονται σ' αυτό; (σελ.150) 65 . Τι ονομάζεται ημιεπίπεδο; (σελ.150) B.l. 2 66. Τι ονομάζεται γωνία, κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία; (σελ.153) 67. Ποια γραμμή ονομάζεται τεθλασμένη; (σελ.154) 68. Πότε μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή και πότε μη κυρτή; (σελ.154) 69. τι ονομάζεται ευθύγραμμο σχήμα; (σελ.154) 70. Πότε δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα; (σελ.155) 7 1. Ποια

'είναι τα αντίστοιχα στοιχεία σε δύο

ίσα ευθύγραμμα σχήματα; (σελ.155) B.l. 3 72. Τι ονομάζεται απόσταση δύο σημείων; (σελ. Ι 59) 73. Τι ονομάζεται μέσο ευθυγράμμου τμήμα­τος; ( σελ.160)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/12

----------- Όλη η Θεωρία σε 1 15 Ερωτήσεις! ----------­

8. 1 .5 74. Τι ονομιiζεται μέτρο γωνίας; (σελ.165) 75. Ποια είναι η μονάδα μέτρη�ς των γω­νιών; ( σελ.165) 76. Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας; (σελ.167) 8. 1. 6 77. Ποια γωνία ονομάζεται: i) ορθή, ii) οξεία, iii) αμβλεία, iν) ν) μηδενική. vi) πλήρης; (σελ.170) Β. 1. 7

ευθεία,

78. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής; (σελ.173) Β. 1. 8 79. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπλη­ρωματικές; ( σελ.17 6) 80. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται συμπλη­ρωματικές; ( σελ.17 6) 8 1. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυ­φήν; (σελ.176) 8. 1. 9 82. Πότε δύο ευθείες του επιπέδου ονομά­ζονται παράλληλες; ( σελ.180) 83. Πως συμβολίζεται η παραλληλία δύο ευθειών ει, ε2; (σελ.180) 84. Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα λέμε ότι είναι παράλληλα; ( σελ.180) 85. Πότε δύο ευθείες του επιπέδου ονομά­ζονται τεμνόμενες; (σελ.180) Β. 1 . 10 86. τι ονομάζεται απόσταση σημείου από ευθεία; ( σελ.184) 87. Τι ονομάζεται απόσταση δύο παραλλή-λων ευθειών; ( σελ.184) Β. 1. 1 1 88. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ; (σελ.188) 89. τι ονομάζεται: i) Χορδή. ii) Διάμετρος iii) Τόξο ενός κύκλου; (σελ.188) 90. Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ; (σελ.188) 8. 1. 1 3 91. Πότε μια ευθεία λέμε ότι είναι εξωτερική ενός κύκλου; (σελ.193) 92. Πότε μια ευθεία λέγεται εφαπτόμενη ενός κύκλου; (σελ.193) 93 . Πότε μια ευθεία λέγεται τέμνουσα ενός κύκλου; (σελ.193) 94. Ποιες οι σχετικές θέσεις μιας ευθείας ε και ενός κύκλου (Ο,ρ); (σελ.193)

!!m!!� Συμμετρία Β. 2. 3 95 . Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος και ποιες είναι οι ιδιότητες της; (σελ.206) Β. 2. 6 96. Ποιες είναι οι ιδιότητες δύο παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία;

214

Τραπέζια 8. 3. 1

ρίγωνα-Παραλληλόγραμμα-

97. Ποιο τρίγωνο ονομάζεται i) οξυγώνιο, ii) ορθογώνιο. iii) αμβλυγώνιο; (σελ.218) 98. Ποιο τρίγωνο ονομάζεται: i) σκαληνό, ii) ισοσκελές, iii) ισόπλευρο ; (σελ.218) 99. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου; (σελ.219) lΟΟ.Τι ονομάζεται ύψος ενός τριγώνου; (σελ.219) 101.τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας; (σελ.219) Β. 3. 2 102.Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι 180°. (σελ.222) 103.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου; (σελ.221) 1 04.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοπλεύρου τριγώνου; (σελ.221) 8. 3. 3 105.Τι ονομάζεται παραλληλόγραμμο και ποια είναι τα στοιχεία του; (σελ.225) 1 06.Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλο­γράμμου; (σελ.229) 107. τι ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλό­γραμμο; (σελ.226) 1 08.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ορθογωνίου; (σελ.229) 109.Τι ονομάζεται ρόμβος; (σελ.226) llΟ.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ρόμβου; 111.Τι ονομάζεται τετράγωνο; (σελ.230) 112.Ποιες είναι οι ιδιότητες του τετραγώνου; (σελ.230) 113.Τι ονομάζεται τραπέζιο και ποια είναι τα στοιχεία του; (σελ.226) 114.Τι ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο; (σελ.226) 115 .Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου; (σελ.230)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/13

tπαναΛηπτ ι κες Ασκησε ι ς στην Αρ ι θμητ ι κή - Άλγεβρα =================--==== Σπύρος Γεωργίου

Αι5· Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ' ' δ οπως στο παρα ειγμα.

Διαιρείται με το . . . ΑΡΙΘΜΟΣ 2 3 5

123 ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ 701 1

2202

3330

3456

1485

9 ΟΧΙ

/\.ι(, Να συμπληρώσετε κατάλληλα τους αριθμούς ώστε να διαιρούνται ταυτόχρονα με το 2 και το 3 . α) 473_ , β) 4_5_ , γ) 98_5_ , δ) 89_3_ Λμ Να συμπληρώσετε κατάλληλα τους αριθμούς ώστε να διαιρούνται ταυτόχρονα με το 5 και το 9: α) 8257_ , β) 6_35_ , γ) 65_9_ , δ) 88_3_ Λ .. �. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις ως γινόμενα: Α = χ + χ + χ + χ + χ Β = 3 · χ + 3 · χ + 3 · χ Γ = χ + χ + χ + χ - χ - χ Δ = χ · y + x · y + x · y Ε = α · β + α · β + α · β - α · β Ζ = χ + χ + 2 · χ Λ.ι'i· Να γράψετε ως δυνάμεις τα παρακάτω γινόμενα: α) α · α · α β) Χ · Χ · Χ · Χ · Χ γ) x · x · x · y · y δ) 2 · 2 · Χ · Χ · Χ ε) 3 · y · y · 3 · y · 3 · y · y στ) α · β · β · α · β · α · β · α · α · α · β Λ�ο. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α) 3 · 52 - 5 · 32 + 2 · (23 - 8)

β) (42 - 24 ) · 5 + 5 · 3 · (7 - 5) γ) (1 8 · 5) : 10 + 22 · (3 - 1)2 δ) 7 -3 . 4 + 2 . ( 82 - 72 ) Λ � ι · Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: Α = (62 + 3 · 4 - 47γ 1 + (33 + 2 - 3 · 9Υ Β = (2,4 - 1, 2)2 - 1, 2 · 0, 1 + 0, 06 Λ�2 · Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: Α= (52 : 5) · 2 + (25 : 42 + 33 : 32J : 5 - {1 0 : 5 + 12) : 2

Β = (3+4)( 52 -32 )-(7 +4)2 + (12 : 3+ 6 : 2)( 52 -42 ) Α�3· Αν είναι α = 0,2 και β = 1 ,5, να υπολογίσε-τε τις παραστάσεις: ί) 30 · α - 6 : β + α · β ίί) 8 · (α + β) - 8 · β - α

ίίί) (α + β)2 - α · (3 - β) Λ5.ι· Αν είναι α=3, β=1 και γ=5, να υπολο­γίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = α · β + ( γ + β ) : α Β = α2 + β2 + γ2 _ ( γ _ β _ α ) ιοο Γ = 4 · α2 + ( β · γ )2 - β2 · α Δ = (2 · α2 ) : (β + γ)- α Λ�s· Αν είναι α + β = β, να υπολογίσετε την παράσταση:

Α = ( α + β) · α + (32 - 23 ) · α + 32 - β

Λ5ι,. Αν είναι α + β = 2,4 και γ - δ = 1 ,9, να υπολογίσετε την παράσταση: Α = 5 · α + ( 32 - 22 ) · γ - 5 · δ + ( 10 : 2 ) · β

\ τ 5 ' ' ' c �7 · α "9 των εργατων ενος εργοστασιου

είναι γυναίκες. Αν οι εργαζόμενοι άντρες είναι 424, να βρείτε πόσους συνολικά εργαζόμενους απασχολεί το εργοστάσιο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/14

------ Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Αριθμητική - Άλγεβρα - Γεωμετρία -----­

Ass- Η ηλικία του Κώστα είναι ίση με τα Αω. Ο ΚΟΡΑΣΙΔΗΣ αγοράζει μια συγκε-10 , , , κριμενη' μάρκα τηλεόρασης με 400 ευρώ και -της ηλικιας του πατερα του που ειναι 40 , ,

3 ' την πουλαει 450 ευρω. ετών. Μετά από πόσα cέτη η ηλικία του Κώστα Ο ΚΩΤΣΟΒΟΛΟΣ αγοράζει την ίδια θα είναι ίση με την ηλικία που έχει σήμερα 0 τηλεόραση με 450 ευρώ και την πουλάει 500 πατέρας του; ευρώ. Ποιος έχει μεγαλύτερο ποσοστό

Α:;ιι. Να λύσετε τις εξισώσεις:

Α) χ - 5 = 0 Β) 7 - χ

= Ο 1 2 1 8

Γ) 1 5 - 3χ = 0 4

Ac.o- Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: 3 3 7

( 3

) (2 3

) α) - + - + - β).

2 + - + - + -4 5 20 . 4 3 4

Αι, ι . Να κάνετε τις πράξεις: . (2 6)

(3 5

) ι) J . 5+7 + 2 8 +6

Α62· Μια κάμερα κοστίζει 2520 ευρώ. Θα την αγοράσουμε δίνοντας προκαταβολή 720 ευρώ και τα υπόλοιπα θα τα κάνουμε 1 2 ισόποσες δόσεις με μηνιαίο επιτόκιο 2,3%. Να βρείτε το συνολικό κόστος αγοράς της κάμερας.

κέρδους; Λ6�· Ένας βιβλιοπώλης πούλησε έναν συγκεκριμένο τύπο τετραδίου προς 3,5 ευρώ το ένα. Το ποσοστό κέρδους ήταν 29% στην τιμή πώλησης. Να υπολογίσετε: Α) το κέρδος του ανά τετράδιο, Β) την τιμή κόστους του τετραδίου, Γ) το συνολικό κέρδος από την πώληση 6 πακέτων τετραδίων που το καθένα είχε 20 τετράδια.

Α65· Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα 3000 ευρώ και μετά από ένα χρόνο έκανε ανάληψη των χρημάτων του και πήρε 3090 ευρώ. Με πόσο επιτόκιο είχε καταθέσει τα χρήματα;

Α66 Ο Κώστας κατέθεσε στην τράπεζα για 2 χρόνια ποσό 2500 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 1 ,45 % . Α) Πόσα χρήματα θα πάρει όταν κάνει ανάληψη όλων των χρημάτων του; Β) Ποιο είναι το συνολικό ποσό των τόκων;

Αι,Ί Καταθέτει κάποιος στην τράπεζα 9000 ευρώ με επιτόκιο 3%. Στο τέλος κάθε χρόνου δίνει εντολή το κεφάλαιο μαζί με τους τόκους να ξανατοκιστεί με το ίδιο επιτόκιο. Πόσα χρήματα θα εισπράξει στο τέλος του τρίτου χρόνου και πόσο % θα έχουν αυξηθεί τα χρήματά του;

Επαναληπτ ι κές Ασκήσε ι ς στην Γεωμετρία Α 68• Μια γωνία & είναι 73°. Να υπολογίσετε πόσες μοίρες είναι καθεμία από τις γωνίες την παραπληρωματική και την συμπληρω- αυτές. ματική της.

AG'i· Να υπολογίσετε δύο παραπληρωματικές γωνίες, όταν η μία είναι τριπλάσια της άλλης.

Λ Ίο· Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μία είναι τετραπλάσια της άλλης, να βρείτε

ΑΊ Ι · Δύο γωνίες παραπληρωματικές.

Λ φ Αν

υπολογίσετε τις γωνίες αυτές.

Λ και ω <$ = 8& ,

είναι να

Λ72. Μια γωνία είναι μεγαλύτερη κατά 40° από την παραπληρωματική της. Να υπολογίσετε τις δύο γωνίες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/15

------- Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Αριθμητική - Άλγεβρα - Γεωμετρία -----­

Α73· Σε ισοσκελές τρίγωνο, η γωνία που είναι Asz. Στο σχήμα οι ευθείες ει απέναντι από τη βάση είναι 1 5° μεγαλύτερη παράλληλες. Να υπολογιστούν

και ε2 είναι οι γωνίες φ,

καθεμιάς από τις ίσες γωνίες. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

Α74· Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία απένα­ντι από τη βάση του είναι διπλάσια καθεμιάς από τις ίσες γωνίες. Ν α υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου αυτού.

A7s· Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 72°. Να υπολογίσετε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες του τριγώνου.

,..

Α76· Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι διπλάσια της Γ και η γωνία Β είναι εξαπλά­σια της Γ . Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώ­νου.

,..

Απ. Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι δεκαπλάσια της Α και η γωνία Γ είναι επτα­πλάσια της Α . Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. ΑΊs· Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (f =90°) η γωνία Α είναι διπλάσια της Β . Να βρεθούν

,.. ,..

οι γωνίες Α και Β του τριγώνου. ,..

Α79· Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 75° και η γωνία Β είναι διπλάσια από τη Γ . Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώ­νου. Aso· Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι 80°

,.. 2 ,.. και η γωνία Α είναι τα - της Γ . Να υπο-

3 λογίσετε τις γωνίες Α και Γ του τριγώνου.

Α s ι Στο σχήμα δίνονται ότι εl // ε2 και η γωνία λ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία κ κατά 52°. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, κ, λ, μ.

x,y και ω. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας σε κάθε περίπτωση:

Α

AsJ· Στο σχήμα οι ευθείες ει και εz είναι παράλληλες με τέμνουσες τις ε3 και ε4, που τέμνονται στο σημείο Α της ευθείας ει . Δίνονται οι γωνίες: φ = 50° και ω = 1 30°. Να υπολογίσετε σε μοίρες, τις γωνίες α, β, γ και δ. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

A.s4· Στο σχήμα οι ευθείες ει και εz είναι παράλληλες. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΟ και ΒΑ είναι ίσα και η γωνία Β ι = 40°.

α. Να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω. β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΓΔ . γ. Τι είδος τριγώνου, ως προς τις πλευρές του είναι το τρίγωνο ΟΓΔ ; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/16

Εμβαδά και Όγκοι

Εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α. Για να βρούμε το εμβαδόν του ΑΒΓ φέ­

ρουμε το ύψος ΑΔ που είναι διάμεσος και δι­χοτόμος της γωνίας Α. Στο ορθ. τρίγωνο ΑΔΒ είναι γνωστή η υποτείνουσα ΑΒ = α και

Α

Β Γ

η κάθετη πλευρά ΒΔ = α . Μπορούμε να υ-2

πολογίσουμε την άλλη κάθετη πλευρά ΑΔ με το Πυθαγόρειο Θεώρη-μα: ΑΔ = .JAB2 - ΑΔ2 ή

υ=J.r -ω =�<i -: =�� = α: .Ώστε το

ύψος ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α εί-

ναι: I υ = α� I · Το Εμβαδόν του είναι:

1 1 αJ3 (ΑΒΓ) = 2α · υ = 2 α - -2- . Άρα, ο τύπος

του εμβαδού ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α

είναι IE = α'j31 . Παράδειγμα: Αν α=l Ocm,

Ε = 102J3 = 1 00 · 1, 73 = 1 73 = 43 25cm2 • 4 4 2 '

Εμβαδόν κανονικού πολυγώνου Ας πάρουμε γενικά ένα κανονικό ν-γωνο

Α,Α2Α3 • • Αν , με ν πλευρές, εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,ρ ). Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ, , ΟΑ2 , 0Α3 , • • • , 0Αν και έτσι το πολύγωνο χωρίζεται σε ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Γ. Ωραιόπουλοι Αν

AJ

Υπολογίζουμε τις γωνίες του. Το άθροισμc των γωνιών τριγώνου είναι 2L = 1 80° . Τα ' τρίγωνα θα έχουν άθροισμα γωνιώ1 2νL = 1 80°ν . Στο άθροισμα αυτό είναι και ο

Α

κεντρικές γωνίες Ο του πολυγώνου οι οποίε< έχουν άθροισμα 4 L = 360° . Άρα το άθροισμc των ν γωνιών του ν-γώνου είναι (2ν - 4)L κα επειδή είναι ίσες:

1\ =Α, = .. Α, =(2ν:4)' =(z-�)' = 180' -3� Παράδειγμα: Η κάθε γωνία κανονικού πεντα· γώνου είναι ίση με ιj> = ( Ζ ·�-4)' = � = s:o = 108" Χαράσ·

σουμε το ύψος ΟΑ του τριγώνου ΑιΩΑ2 • Tc ορθ. τρίγωνο ΟΛΑι έχει υποτείνουσα ρ κω

κάθετες πλευρές α και υ και οξεία γωνίο 2

α Α 1 3@' 18<f 18<f 2 α ΚΟΑ=- ·- =- ,με ημ- =- =- .

2 ν ν ν ρ 2ρ

Ά 2ρ 18<f ρα α= · ημ-. ν

1 1 Ffα2 Ε (ΑιΩΑ2 ) = -α · υ = -α ρ --

. 2 2 4

ή IE =�α�4ρ' - α' ·I · ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/17

Π ολίJεδ ρα Σ' όλα τα πολύγωνα έχουμε πλευρές και κορυφές ίσου αριθμού.

Α Α Α

Β Ε

Β α Γ Β Δ Γ Δ Τρίγωνο κ.3

Πλ.3 Τετράπλευρο κ.4 ·

Πλ.4 Πενταπλευρο κ.5

Πλ.5 Στα πολύεδρα έχουμε για κορυφές, πλευρές που τις λέμε ακμές και έδρες που είναι πολύγωνα. Μεταξύ αυτών των τριών στοιχείων υπάρχει μια εκτενή σχέση σ' όλα τα πολύεδρα. Κορυφές + Έδρες = Ακμές +2 (Κ+Ε=Α+2)

Α

Β Δ

Α

I I I I I I Ι Δ .., J , ... ... ' ... '

...... ...... ...... //

... .. ,/ I I I I I

... J , ... ... ' ... '

Γ Ε z Τετράεδρο

ΤΕΤΡΆΕΔΡΟ: Κορ. :Α, Β, Γ, Δ (4) Εδρ. : ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΒΔ, ΒΓΔ (4) Ακμ. : ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ (6) Κ+Ε=4+4=8

Πεντάεδρο Κόλουρο Πρίσμα Κόλουρος Πυραμίδα ΠΕΝΤΆΕΔΡΟ: Κορ.: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ (6) Εδρ. : ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΑΒΕΔ, ΑΔΕΖ, ΒΕΖΓ (5) Ακμ. :ΑΒ, ΒΓ, Γ Α, ΔΕ, ΕΖ, ΖΔ, ΑΔ, ΑΔ,ΒΕ, ΓΖ (9) Κ+Ε=6+5=1 1

Α+2=6+2=8 Α+2=9+2=1 1 Στην επιπεδομετρία έχουμε άπειρα κανο­

νικά πολύγωνα. Στη στερεομετρία έχουμε μό­νο πέντε κανονικά πολύεδρα, του Πλάτωνα, τα οποία έχουν όλες τις έδρες τους ίσα κανονικά πολύγωνα. Το καν. τετράεδρο με 4 ίσα ισό­πλευρα τρίγωνα. Το καν. εξάεδρο ή κύβος με 6 ίσα τετράγωνα. Το καν. οκτάεδρο με 8 ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. Το καν. δωδεκάεδρο με 12 ίσα καν. πεντάγωνα και το καν. εικοσάεδρο με 20 ίσα τρίγωνα. Όπως όλα τα κανονικά πο­λύγωνα εγγράφονται και περιγράφονται σε κύκλο έτσι και τα πέντε πλατωνικά κανονικά πολύεδρα εγγράφονται και περιγράφονται σε σφαίρα.

Μ έρη του κί\κλου. Υπολογισμο ί Ο Αρχιμήδης στο βιβλίο του «Κύκλου μέ­

τρησης» μελέτησε τα εγγεγραμμένα και περι­γεγραμμένα κανονικά πολύγωνα σε κύκλο με μεγάλη ακτίνα. Ξεκίνησε από το 6/γωνο, στο 12/γωνο, 24/γωνο, 48/γωνο, 96/γωνο και από-

δειξε το θεώρημα. Ο λόγος του κύκλου προς τη διάμετρό του, δηλαδή ο αριθμός π, είναι μι-

, , 3 1 λ ' κροτερος απο το Ί και μεγα υτερος του

3 10 δηλ. 3_!_ > π > 3!.2. (γύρω στο 3,74). Οι 7 1 7 71

Κινέζοι προχώρησαν στο κανονικό 192/γωνο και βρήκαν π=3 , 14959. Ο Γάλλος μαθηματι­κός Viete ( 16°ς αι.) με καν. πολύγωνο με πλευρές 3 · 216 = 65.536 υπολόγισε το π=3, 14 15926 15. Με τις νέες τεχνολογίες έχει υπολογιστεί με εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. Είναι λοιπόν ο π όχι μόνο άρρητος αλλά και υπερβατικός δηλ. είναι ρίζα εξίσωσης, γι' αυ­τό είναι αδύνατος ο τετραγωνισμός κύκλου.

Π αράδειγμα: Σε κύκλο ακτίνας 10m --

παίρνουμε τόξο ΑΜΒ = 120° . Η χορδή ΑΒ χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη ΑΜΒ και ΑΝΒ που λέγονται κυκλικά τμήματα. Ας

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/18

------------- Επαναληπτικές ασκήσεις ------------

υπολογίσουμε το εμβαδόν του μικρού. Φέρου­με τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ. Εμβ.κυκλ.τμημ.ΑΜΒ = Εμβκυκλ.τομ.ΑΟΒ - Εμβτριγ.ΑΟΒ

πρ2 · 120° π · 1 05 Εμβκυκλ.τομ.ΑΟΒ =

360 = -3-Στο τριγώνο ΟΑΒ φέρουμε το ύψος ΟΓ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓ Α είναι γνωστή η υπο-τείνουσα και οι οξείες γωνίες ACr=flf και

1 ΟΑΓ = 30° . ΟΓ= ΟΑ·ημΑ=10ημ30 =10- =5 2 και ΑΓ = .JoA2 - ΟΓ2 = .J102 - 52 = = .J10o - 25 = .J75 = .J2s . 3 = sJ3 και χορδή AB = 2 · 5J3 = 10J3 .

Μ

Ν

π · ΙΟΟ 10J3 · 5 Εμβ.1<Uκλ.τμημ.ΑΜΒ = -

3- -

2

= 3, 14 · 100 - 25 · 1 73 = 3 14-3 . 25 · 1, 73 = 3 ' 3

= 3 14 - 129, 75 = 184,25 = 61 42m2 3 3 '

Το εμβαδόν του μεγάλου κυκλικού τμήματος ΑΝΒ ισούται με τη διαφορά του μικρού κυ­κλικού τμήματος ΑΜΒ από το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου δηλ. : (ΑΝΒ) = π · 102 -61,42 = 3, 14· 100-61,92 = 252,08m2

Ασκήσεις 827• Σε κύκλο ακτίνας 12cm να εγγράψετε και να περιγράψετε τετράγωνα και να υπολογίσετε τα εμβαδά τους. Β2ι;. Κύκλος με ακτίνα 14cm να διαιρεθεί σε δυο ισεμβαδικά μέρη με ένα ομόκεντρο κύ­κλο. 829• Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα με γωνίες:

α) 2ι β) 140° γ) 1 ,6ι δ) 144°

3 830• Στον παρακάτω κύβο οι διαγώνιες των απέναντι εδρών ΒΔ, Β ' Δ' μας δίνουν το δια­γώνιο επίπεδο ΔΒΒ 'Δ' το οποίο είναι ορθογώ­νιο. Οι διαγώνιες ΒΔ', Β ' Δ τέμνονται στο Κ που είναι το κέντρο του κύβου το οποίο απέ­χει εξίσου από όλες τις κορυφές. Α ν η ακμή είναι ΑΒ= 1 Ocm, να υπολογιστεί η διαγώνιος ΒΔ και η διαγώνιος του κύβου ΒΔ' (Απ. ΔΒ = 10J2, ΒΔ' = 10J3 )

_::::,r.,...\ -----c7.Γ A'r----7-1, ,,......-'\,.....-' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' '

! :�κ ' ' ' ' ' ' ' ' '

�/9��,---\ --------------- à ....

..................... '\' .. �\

Α Β Β3 1 • Να υπολογιστεί η επιφάνεια και ο όγκος σφαίρας με ακτίνα 1 Ο cm που έχει κέντρο το κέντρο ενός κύβου και περνά και από τις 6 κο­ρυφές του κύβου.

Όλη η Θεωρία σε 75 Ερωτήσε ι ς! ΜΕΡΟΣ Λ �� ΛΛ.ΤΕΒΡΛ

Εξισιi>σεις - Α νισώσεις Α. 1 Ι 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρι­

κή παράσταση; (σελ.ll) 2. Τι ονομάζουμε όρους μιας αλγεβρικής πα­

ράστασης και τι αναγωγή ομοίων όρων της; (σελ.ll & 12)

Α. Ι 2 ---

3. Ποιες είναι οι τρεις πιθανές σχέσεις που συνδέουν δύο αριθμούς α, β; (σελ.15)

4. Ποιοι κανόνες ισχύουν για την ισότητα δύο αριθμών; (σελ. 15 & 16)

5. Τι ονομάζουμε: i. εξίσωση; (σελ.17) ii. γνωστούς και άγνωστους όρους μιας εξί-

σωσης; ( σελ.17) iii. λύση ( ή ρίζα) μιας εξίσωσης; (σελ.17) iv. επίλυση μιας εξίσωσης; (σελ.17) 6. Πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και πό­

τε αόριστη(ή ταυτότητα); (σελ.19) Α. Ι 5 7. τί εννοούμε όταν γράφουμε α :::; β , και

πως το διαβάζουμε; (σελ.31)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/19

------------- Επαναληπτικές ασκήσεις ------------

8. τι συμπέρασμα βγάζετε αν σας πουν ότι Α. 3 4 ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις: α :::; β και α � β;

9. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες των ανισο­τήτων. (σελ.31 & 32)

10. Τι ονομάζουμε ανίσωση και τι λύσεις της ανίσωσης; (σελ.33)

1 1. τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού και ποιες οι ιδιότητες της; (σελ.41 & 42))

Α. 2 2 12. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητοι, αρρη­

τοι, πραγματικοί; (σελ.45 & 46) 13. Πότε μια ευθεία ονομάζεται άξονας των

πραγματικών αριθμών; (σελ.46)

14. Τι ονομάζεται συνάρτηση και τι πίνακας τιμών της; (σελ.55)

Α. 3 2 15. τι ονομάζεται ορθοκανονικό σύστημα α­

ξόνων (σύστημα ορθογωνίων αξόνων) και τι συντεταγμένες ( τετμημένη, τεταγμέ-νη) σημείου; (σελ.59 & 60)

16. Τι ονομάζουμε τεταρτημόρια; (σελ.60) 17. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης; (σελ.62) 18. Τι γνωρίζετε για τις συντεταγμένες των

σημείων των αξόνων χ'χ και y'y σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα; (σελ.62)

Α. 3 · 3 19. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα;

(σελ.67) 20. Τι γραμμή είναι η γραφική παράσταση της

συνάρτησης y=αχ και από που διέρχεται; (σελ.68)

21. Τι εννοούμε όταν λέμε η ευθεία με εξίσω­ση y=αχ ή πιο απλά η ευθεία y=αχ; (σελ.68)

22. Ποια είναι η εξίσωση του άξονα χ' χ; (σελ.68)

23. Τι ονομάζεται κλίση της ευθείας y=αχ; (σελ.68)

24. τι γραμμή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αχ+β και από που διέρχε­ται; (σελ. 73)

25. Τι εννοούμε όταν λέμε η ευθεία με εξίσω­ση y=αχ+β ή απλούστερα η ευθεία y=αχ+β; (σελ. 73)

26. Τι ονομάζεται κλίση της ευθείας y=αχ+β; (σελ.73)

27. Τι παριστάνει μια εξίσωση της μφρής αχ+βy+γ=Ο με α7:0 και β7:0; (σελ. 74)

28. τι παριστάνει μια εξίσωση τηςμορφή;: i. αχ+βy=γ ( α7:0 ή β7:0); η. y=κ; iii. χ=λ; ίν. χ=Ο; ν. y=O; (σελ. 74)

29. Ποια είναι τα σημεία τομής της ευθείας αχ+βy=γ με α7:0 και β7:0 με τους άξονες χ'χ και y'y. (σελ. 74)

Α. 3 5 30. Πότε δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανά­

λογα; (σελ. 79) 31. Πότε δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανά­

λογα και τι προκύπτει απ' αυτό; (σελ. 79) 32. Πως λέγεται η γραφική της συνάρτησης

α Υ = - με α 7: Ο; (σελ.80) χ 33. Ποιες είναι οι tδιότητες της υπερβολής;

(σελ.80)

l!iJii�l Περιγραφική Στατιστική 34. Τι ονομάζεται πληθυσμός και τι μεταβλη­

τή; (σελ.86) 35. Τι ονομάζεται δείγμα και τι μέγεθος δείγ­

ματος; (σελ.86) 36. Πως γίνεται η συλλογή των στατιστικών

δεδομένων; (σελ.86) 37. Ποια ήδη διαγραμμάτων υπάρχουν; (σελ.90

& 91) 38. Τι ονομάζεται συχνότητα μιας τιμής της

μεταβλητής; (σελ.95) 39. τι ονομάζεται σχετική συχνότητα μιας τι­

μής της μεταβλητής και πως εκφράζεται συνήθως; (σελ.96)

40. Τι ονομάζεται μέση τιμή μιας μεταβλητής και πως συμβολίζεται; (σελ. Ι 04)

41. Τι ονομάζεται διάμεσος; (σελ.105)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/20

------------- Επαναληπτικές ασκήσεις ------------

ΜΕΡΟΣ Β • ... rEQMETPIΛ Β. 1 . 1 42. Τι ονομάζεται εμβαδόν μως επίπεδης επιφά­

νειας και από τι εξαρτάται; ( σελ. 114) Β. 1 . 2 43. Ποιες είναι οι μονάδες μέτρησης εμβαδού

και ποια η σχέση που τις συνδέει; ( σελ. 116) Β. 1 . 3 44. Με τι ισούται το εμβαδόν τετραγώνου, ορθο­

γωνίου, παραλληλογράμμου, τριγώνου, ορθο­γωνίου τριγώνου, τραπεζίου; (σελ. 119 & 120)

Β. 1 . 4 45. Τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα και τι το

""'"""·"'"..-. του; (σελ. 128) Τριγωνομετρία

8. 2. 1 46. Τι ονομάζεται εφαπτομένη οξείας γωνίας

ορθογωνίου τριγώνου; (σελ. 137) 47. Με τι ισούται η κλίση α της ευθείας με εξί­

σωση y=αχ; ( σελ. 13 7) Β. 2. 2 48. Τι ονομάζεται ημίτονο οξείας γώνίας ορ­

θογωνίου τριγώνου; (σελ. 142) 49. Τι ονομάζεται συνημίτονο οξείας γωνίας

ορθογωνίου τριγώνου; (σελ. 143) Β. 2. 4 50. Πως υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς

των 30°,45°,60°;(σελ. 152 & 153) -*��:�� �ιιa.::;ιι Μέτρηση κύκλου Β. 3. 1 51. τι ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία και τι

αντίστοιχο τόξο της; ( σελ. 1 7 5) 52. Ποιες προτάσεις ισχύουν για τις εγγε-

γραμμένες γωνίες; ( σελ. 1 7 6) 8. 3. 2 53. Τι ονομάζεται: i. κανονικό πολύγωνο; (σελ. 180) ii. περιγεγραμμένος κύκλος κανονικού πολύ­

γώνου; (σελ. 181) iii. κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου;

(σελ. 182) ιν. aπόστημα κανονικού πολυγώνου; (σελ. 182) 54. Ποια σχέση συνδέει τη γωνία φ και την κε­

ντρική γωνία ω ενός κανονικού πολυγώ­νου (ν-γώνου); (Αιτιολόγηση) (σελ. 182)

8. 3. 3 55. Ποιοι οι τύποι που μας δίνουν το μήκος (L)

του κύκλου (0, ρ). (σελ. 187)

Β. 3. 5 56. Ποιοι οι τύποι για το εμβαδόν (Ε) του κυ-

κλικού δίσκου (0, ρ); (σελ. 193) Γεωμετρικά Στερεά. Μέτρη­

ση Γεωμετρικών Στερεών Β. 4. 1 57. Ποιες είναι οι δυνατές θέσεις δύο διαφο­

ρετικών επιπέδων; (σελ.202) 58. Ποιες είναι οι δυνατές θέσεις δύο διαφο­

ρετικών ευθειών; (σελ.202) 59. Ποιες είναι οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας

και ενός επιπέδου; (σελ.203) 60. Πότε μια ευθεία είναι κάθετη σε επίπεδο;

(σελ.203) 61. Τι ονομάζεται απόσταση σημείου από επί­

πεδο; (σελ.203) 62. Τι ονομάζεται απόσταση δύο παραλλήλων

επιπέδων; (σελ.203) 8. 4. 2 63. Ποιο είναι το εμβαδόν της παράπλευρης επι­

φάνειας Επ και το ολικό εμβαδόν Εολ ενός πρί­σματος; (σελ.207)

64. Ποιο είναι το εμβαδόν της παράπλευρης επι­φάνειας Επ και το ολικό εμβαδόν Εολ ενός κι>­λίνδρσυ; (σελ.208)

Β. 4. 3 65. Τι καλείται όγκος ενός στερεού σώματος;

(σελ.212) 66. Ποιες είναι οι μονάδες όγκου και πως

συνδέονται μεταξύ τους; (σελ.212)Ποιες μονάδες χρησιμοποιούμε για τη μέ-τρηση του όγκου των υγρών; (σελ.212)

67. Με τι ισούται ο όγκος ενός πρίσματος; (σελ.213)

68. Με τι ισούται ο όγκος ενός κυλίνδρου; (σελ.213)

Β. 4. 4 69. Τι ονομάζεται πυραμίδα και ποια είναι τα

στοιχεία της; (σελ.216) 70. Πως ονομάζεται μια πυραμίδα;

(σελ.216 & 217) 71. Ποια πυραμίδα ονομάζεται κανονική και

ποιες είναι οι ιδιότητες της; 72. Πως βρίσκουμε το εμβαδόν της ολικής ε­

πιφάνειας μιας πυραμίδας; (σελ. 21 7) 73. Ποιο είναι το εμβαδόν της παράπλευρης

και ποιο το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας; (σελ.218)

Με τι ισούται ο όγκος μως πυραμίδας; (σελ.219) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/21

----------- Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρας -----------

Επαναληπτ ι κές Ασκήσε ι ς Άλγεβρας B�z. Να λυθούν οι εξισώσεις: ') 2 5χ - 2 6χ - 2 3χ - 4 1 ι χ - -- + = -- +

2 5 2 ii) 2χ - 1 - 4χ - 3 + χ -1 - 1 = 3χ - χ + 3 - .! - 2

5 3 2 2 6 2 ω - - 4 . . . ) 2 4(2ω + 3) ω - 2

111 -5-

+ 21

= 4

2 3Χ + 3 ! _ ι 2 2 5χ - 1 0 ίν) + -- + = 2χ - 3

7 5 35 Βυ. Αν για τον αριθμό α γνωρίζετε ότι: 2α - 4 α α - 1 -- + - = -- + α - 1 , να βρείτε τον αριθ-

2 3 5 μό χ για τον οποίο ισχύει: χ + 5 2χ + α 1 αχ - 1 4χ + 2 2 -- + + - α = -- + + χ.

α 2 5 2 Β�.ι. Να βρείτε τις τιμές των λ και μ για να εί-ναι η εξίσωση: λχ;μ + χ;μ +2 =λχ+ χ�l +μ,

αόριστη Β_,.,_ Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 3ω - 12 _ 5ω - 1 < ω + 5

5 10 3 β) ψ - 3

> ψ - 4 + ψ - 5 + 1

2 3 4 ω ω - 3 2ω - 3 γ) 3

--�-2- > -6-

δ) χ - 3 - 1 - χ + 2χ - 6 < 3χ - 2 - � 2 1 8 3 9 2

Β_,ι;_ Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώ-ω + 4 ω - 4 3ω - 1 σεων: -- - -- < 2 + -- και

3 5 5 ω - 1 _ ω - 23 < 7 _ ω + 4

7 5 4 B_n. Να βρείτε τις ηλικίες τριών αδελφών αν ο πρώτος είναι μεγαλύτερος του δεύτερου κατά τρία (3) έτη, ο δεύτερος είναι μεγαλύτερος του τρίτου κατά τέσσερα (4) έτη και το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 59 έτη. Β.,8. Σε ένα τμήμα της Β' Γυμνασίσυ, οι μαθητές είναι τρur.λάσιοι ωτό τις μαθήτρtες. Μtα μέρα που αποοοί-

ασαν τέσσερtς μαθητές και τέσσερtς μαθήτρtες, οι μαθητές ήταν επrοπλάσι.οι ωτό τις μαθήτρtες. Πόσους μαθητές και πόσες μαθήτριες tχει το τμήμα; B3<J. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστά-

σεων: A=J12 + �12 + �14 + ..J4 Β= J 6 + � 6 + � 6 + .J9

Γ= �2-/49 + 3Μ - 1 + �2 + ..J4

2� + 9Η �7 + ..J4

Κ�ο. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB=l 5cm και ΑΓ = 20 cm. Να υπολογίσετε: α) Την υποτείνουσα ΒΓ. β) Το εμβαδόν του τριγώνου. γ) Το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτεί­νουσα. δ) Τα μήκη των τμημάτων ΒΔ και Γ Δ στα ο­ποία διαιρείται η υποτείνουσα ΒΓ από το Δ. 84 ι . Δίνεται το ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ Δ στο οποίο Α = Δ = 90°. Αν ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 1 Ο cm και Γ Δ = 12 cm, να υπολογίσετε: α) Το μήκος της πλευράς ΑΔ. β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΜΒΓ, όπου Μ το μέσο της πλευράς ΑΔ. Β.ι2. Στο τετράπλευρο ΑΒΓ Δ, οι κορυφές έ­χουν συντεταγμένες: Α(Ο,4), Β(3,0), Γ(9,8) και Δ(6, 1 2). Να το σχεδιάσετε και να βρείτε: α) Τα μήκη των πλευρών. β) Την περίμετρο του σχήματος. γ) Το είδος του. Βυ. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες (ει): 2χ+3ψ=12 , (ε2): ψ=2 και (ε3): χ=� . Να βρείτε τις συντεταγμένες των

2 κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ που ορίζεται από τις ευθείες αυτές. 844. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η ο­ποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αν γνωρίζεται ότι διέρχεται και από το σημείο Α(2,3). Ποια είναι η κλίση της ευθείας; Β.ιs. Δίνονται οι ευθείες (ει): ψ=2(κ - Ι )χ - 3 και (εz): ψ=(5 - κ)χ +1 . Να βρείτε την τιμή του κ αν γνωρίζετε ότι οι ευθείες ει και εz είναι παράλλη­λες και στη συνέχεια να τις σχεδιάσετε στο ίδω σύστημα αξόνων. Συνf:χεια στην σελίδα 27

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/22

« Η απολογία ενός Μαθημ{χτ m Κ()ύ =�ccc=-=c"=--"''='='""

-'==cc.==--c=c=�--=o.;:cc==c.-cco==--===:cc=o===c=c=c=-cco=cco=.===-ccoc====c===-=c==-cc=·=c.==--=c Σταυρούλα Αλαφάκη

«Απολογείται» ο καθηγητής Σταύρος Γ. Παπασταυρίδης

Γεννήθηκε το 1946 στα Πατήσια της Αθήνας και οι δρόμοι μας συναντήθηκαν 50 χρόνια αργότε­αίθουσες του Πανεπιστημίου Αθηνών. Τυχαία! Χωρίς να έχω επιλέξει το μάθημά του, ,--:.--"---.- - μπήκα στην αίθουσα όπου δίδασκε για να κρατήσω σημειώσεις για

έναν απόντα συμφοιτητή. Στη θέση της τυπικής παράδοσης που περίμενα συνάντησα πραγματική διδασκαλία! Ανάμεσα στα μαθη­ματικά εμφανιζόταν η ιστορία, η κοινωνιολογία, η φtλοσοφία, η αρχαία τραγωδία, η λογοτεχνία. Το μάθημα έγινε για μένα αφορμή για γνώση. Ήμουν εκεί, σε κάθε διάλεξη, με τη γλυκιά προσμονή της έκπληξης στην πορεία της διδασκαλίας. Πάνω από μία δεκαετία πτυχιούχος πλέον, εmχειρώ μιαν εκ νέου γνωριμία με το «δάσκαλό» μου, εμπνευσμένη από τους δικούς μου μαθητές και τις διαρκείς απορίες τους: «Πώς είναι κάποιος που έχει έφεση και ασχολείται με ανώτερα μαθηματικά; Πόσο «tδιαίτερος» είναι; Πώς καταλαβαίνει την κλίση του; Μπορείτε να μας γνωρί­

σετε κάποιον;». Να η ευκαιρία σας λοιπόν «παιδιά μου»! Ας γνωρίσουμε έναν «ιδιαίτερο» επιστή­μονα και ας κάνουμε όλοι μαζί ένα ταξίδι στη γνώση αφού η «απολογία» αυτή δεν είναι απλά βιο­γραφική . . . Σας εγγυώμαι πως στο τέλος του άρθρου θα θυμηθείτε το σχόλιο της αρχής! Πως πα­ρακολουθήσατε μία διάλεξη ευρέος φάσματος . . .

Κ Ε � Ο Σ.Α.: Καλημέρα κ. Παπασταυρίδη. Επιτέλους, ήρθε η σειρά μου να σας εξετάσω. Α ν κάποιος σας παρακολουθήσει, καταλαβαίνει ότι έχετε έφεση και γνώση και άλλων επιστημών. Γιατί σπουδές στα μαθηματικά και όχι στην ιστορία, τη φυσική ή κάποιο άλλο πεδίο; Σ.Γ.Π.: ΧΑ! ΧΑ! ΧΑ! Τι περιμένετε να απαντήσω; Μήπως, πως 8 ετών άκουσα για τα κατορ­θώματα του Αρχιμήδη και θέλησα να του μοιάσω; Θα ήταν μια ωραία ιστορία, αλλά δεν θα ήταν αλήθεια. Ο Ερρίκος Σλήμαν2 είχε πει κάτι τέτοιο, πως όταν ήταν 7 ετών, διάβάσε την Ιλιάδα του Ομήρου και έκανε όνειρο της ζωής του να βρει τις πόλεις της Τροίας και των Μυκηνών. Όμως ιστορικοί κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι ο Σλήμαν κατασκεύασε την ιστορία εκ των υστέρων.

Το πρώτο ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά εμφανίστηκε στη Β' Γυμνασίου. Στη δε­καετία του'50 πήγαινα στο Βαρβάκειο Γυμνάσιο, σχολείο που επέλεγε τους μαθητές του κατόmν σκληρών εξετάσεων και στο οποίο καλλιεργείτο μια ατμόσφαιρα μεγάλου ανταγωνισμού μεταξύ τους. Ήμουν μέτριος μαθητής (μάλλον λόγω της απότομης αλλαγής της κοινωνικής ατμόσφαι­ρας, από το συνοικιακό δημοτικό, στο «παναθηναϊκό» Βαρβάκειο) και αυτό, στην ατμόσφαιρα του σχολείου τότε, συνιστούσε μεγάλο κοινωνικό ψόγο. Ο μαθηματικός του σχολείου ήταν θρυλικός για την αυστηρότητα του, τόσο, ώστε οι μαθητές τον αποκαλούσαν . . . Ντίλιγκερ3 ! Κάποια στιγμή, απάντησα τελείως τυχαία σε μια δύσκολη ερώτησή του και εκείνος δεν έκρυψε την έκπληξή του μα και την εκτίμησή του για την απάντηση μου αν και δεν ήμουν από τους «καλούς» της τάξης. Αυτό με ενθάρρυνε και στο επόμενο μάθημα πήγα ιδιαίτερα διαβασμένος. Μάλιστα, είχα διαβάσει και παρακάτω. Για το λόγο αυτό και μόνο απάντησα σε κάποιες δύσκολες ερωτήσεις που μας έκανε. Ε, αυτό ήταν! Η ενθάρρυνση λειτούργησε και ήταν πλέον μεγάλη μου χαρά να διαβάζω μαθηματικά. Όπως βλέπετε, το ξεκίνημα ήταν, σε μεγάλο βαθμό, θέμα τύχης και το κίνητρο ήταν κάποιου είδους «κοινωνική προβολή» στο μικρόκοσμο του σχολείου.

1 Ο τίτλος ανήκει στο ομώνυμο βιβλίο του G. Η. Hardy ενώ η ιδέα να αποδοθεί στο άρθρο αυτό ανήκει στο Δρ Ευστάθιο Κουκέα, φίλο των Μαθηματικών αλλά διδάκτορα της Χημείας! 2 http:/ /el. wikipedia.org/wiki!Eρρίκoς_ Σλήμαν 3 http://www.sansimera.gr/biographies/130

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/23

------------- Η απολογία ενός μαθηματικού

Σ.Α. : Αυτό το ξεκίνημα, στη Β ' Γυμνασίου, ήταν αρκετό για να σας οδηγήσει μετά από 4-5 χρόνια στο Τμήμα Μαθηματικών; Σ.Γ.Π.: Μάλλον όχι. Στα επόμενα χρόνια του Γυμνασίου -σημερινού Λυκείου- διάβαζα μαθη­ματικά και πέρα από τη σχολική ύλη, για το κέφι μου. Με γοήτευε η αλήθεια, που στα μαθη­ματικά είναι πιο ασφαλής από άλλες επιστήμες. Εξάλλου, το κοινωνικό περιβάλλον ενθάρρυνε την μελέτη των μαθηματικών, καθώς η γνώση τους ήταν απαραίτητη για την είσοδο στο Πολυτεχνείο. Το πτυχίο του μηχανικού ήταν τότε συνώνυμο με σίγουρη, καλά αμειβόμενη επαγγελματική σταδιο­δρομία και κοινωνική αποδοχή. Δεν ήξερα όμως αν αυτό με κά­λυπτε! Όπως είχε πει ο Λουκιανός Κηλαϊδόνης, που είχε σπουδάσει Αρχιτεκτονική, «δεν είχα όρεξη να ασχολούμαι με αντιπαροχές και πανωσηκώματα». Ήξερα πως ήθελα να εμβαθύνω στα μαθηματικά! Από την άλλη πλευρά, δεν μου άρεσε η ιδέα πως επιλέγοντας σπουδές στα μαθηματικά, η κύρια προοπτική θα ήταν η διδασκαλία καθορισμένης-τυποποιημένης ύλης, στη Β 'βάθμια εκπαίδευση. Η διδασκαλία, μου αρέσει και με εμπνέει, όταν έχει το στοιχείο της Βαρβάκειο ελευθερίας των επιλογών. Όμως, αισθάνομαι άλλου είδους υψηλό-τερο ενθουσιασμό στη διαδικασία της μαθηματικής ανακάλυψης.

Σ.Α.: Γιατί τελικά η πλάστιγγα έγειρε στο Τμήμα Μαθηματικών και όχι στο Πολυτεχνείο; Σ.Γ.Π.: Από ένα φαινομενικά τυχαίο μα καθοριστικό γεγονός. Συνάντησα, το Σεπτέμβριο του 1963, μαθητής στην ισοδύναμη της Β' Λυκείου, το Γεράσιμο Λεγάτο που τότε ήταν υφηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεmστημίου Αθηνών. Μου προσέφερε διέξοδο πληροφορώντας με πως υπάρχουν και άλλες δυνατότητες πέρα από την καριέρα του καθηγητή στη Β'βάθμια Εκπαίδευση. Αν γινόμουν κομμάτι της Πανεπιστημιακής κοινότητας θα μπορούσα να ασχοληθώ με την έρευνα στα μαθηματικά. Μόνο που τόνισε πως θα έπρεπε να φύγω από την Ελλάδα, καθώς τότε, οι πανεπιστημιακές θέσεις, συνήθως ήταν ή κληρονομιά από γονέα ή προίκα από σύζυγο! Ο Λεγάτος, τότε και τώρα, πνευματώδης και βαθύς κοινωνικός αναλυτής. Τότε, στο σπίτι του, γνώρισα και ένα νέο ανερχόμενο ερευνητή των μαθηματικών (αργότερα δάσκαλό μου στο Πανεπιστήμιο και φίλο μου), τον οποίον μου ανέφερε σαν παράδειγμα: «Να γίνεις σαν το Θό­δωρο το Μπόλη». Αυτή η συνάντηση τον Σεπτέμβριο του 1963 με το Λεγάτο, για τη μικρή μου ασημαντότητα, ήταν η Σαλαμίνα, η «θάλαττα» του Ξενοφώντα, ο δρόμος για τη Δαμασκό του Παύλου, το ιερό δισκοπότηρο του Σερ Γκάλαχαντ4, το Βαλμύ5, το Στάλινγκραντ6, το Ντιέν Μπιέν Φου 7, όλα μαζί. . . .

Σ.Α. : «0 aστάθμητος παράγων στην ιστορία>/ λοιπόν! Μόνο η τύχη καθόρισε την πορεία σας; Σ.Γ.Π. : Πώς προχωρούμε στην ζωή είναι εξαιρετικά σύνθετο. Θα αποτελούσε αλαζονεία η άρ­νηση του ρόλου της τύχης. Όμως παίζουμε ρόλο και εμείς. Πιθανολογώ ότι ακόμα και αν δεν συνέβαιναν κάποια τυχαία γεγονότα και ακολουθούσα το Πολυτεχνείο, κάποτε θα κατέληγα στα μαθηματικά. Δε θα άντεχα την τυποποιημένη εργασία του μηχανικού. Ήθελα να έχω ελεύθερο χρόνο να σκέφτομαι, να συζητώ, να μελετώ, να ερευνώ. Μαθηματικός μεν, πανεπιστημιακός δε. Αυτό ένιωθα πως με γέμιζε. Όμως, έχει μία δυσκολία να αντιδράσεις στις πιέσεις του κοινωνι­κού περιβάλλοντος. Για παράδειγμα, όταν η μητέρα μου τελείωνε το ισοδύναμο του Λυκείου κοντά στα 1 940, είπε στον παππού μου ότι θα ήθελε να πάει στη σχολή του Εθνικού Θεάτρου, «όπως πήγε και η Μελίνα»9• Ο παππούς μου ήταν σαφέστατος: «Οι καθώς πρέπει κοπέλες ΔΕΝ πάνε στη σχολή του Εθνικού Θεάτρου. Η Μερκούρη είναι κόρη χωρισμένων γονέων!» Ο παπ-

4 http://el.wikipedia.org/wίkί/Άγιo_Δισκoπότηρo 5 http://en.wikipedia.org/wίkί/Battle_of_ Valmy 6 http://el. wίkίpedίa.org/wίkί/Mάχη_ του_ Σταλινγκραντ 7 http://en. wίkίpedίa.org/wίkί/Battle _ of _ Dίen _ Bien _Phu 8 τίτλος βιβλίου που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις «Ενάλιος». 9 Η Μελίνα Μερκούρη ήταν μαθήτρια στο 8° Γυμνάσιο στην πλατεία Κολιάτσου & ήταν δύο χρόνια μεγαλύτερη από τη μητέρα μου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/24

------------- Η απολογία ενός μαθηματικού ------------­

πούς μου απέρριψε ακόμα και την προοπτική σπουδών στο Πανεπιστήμιο, εκφράζοντας την πεποίθηση της εποχής για τις γυναίκες: Τα τρία Κ που πρέσβευε και η τότε γερμανική κοινω­νία10: Κinder (παιδιά), Kirche (εκκλησία), Kitchen (κουζίνα). Η μητέρα μου το δέχτηκε στωικά!

Εγώ πάλι αν και εναντιώθηκα στο Πολυτεχνείο, απέρριψα τις σπουδές στην Ιστορία. Μου αρέσει πολύ να μελετώ ιστορία αναζητώντας τις βαθύτερες κοινωνικές διεργασίες που προκα­λούν τα γεγονότα. Απέκτησα την αγάπη αυτή από τον πατέρα μου που μας μάζευε με τα δύο αδέλφια μου και μας διάβαζε την «Ιστορία του Ελληνικού Έθνους» του Κ. Παπαρηγόπουλου. Η τότε κοινωνία, κατέτασσε υψηλότερα τις θετικές επιστήμες καθώς οδηγούσαν σε καλύτερα αμει­βόμενη σταδιοδρομία. Πιθανόν, αν η αξιολόγηση της κοινωνίας ήταν διαφορετική, να είχα στραφεί στην ιστορία.

Επανειλημμένως έχω αναρωτηθεί εάν είχα κάποια γενετική προδιάθεση προς τα μαθηματικά. Αυτό δεν το ξέρω και ίσως να μην το μάθω ποτέ. Συνοψίζοντας, τρεις παράγοντες φαίνεται να με επηρέασαν: ο κοινωνικός περίγυρος, η τύχη και ενδεχομένως, η γενετική προδιάθεση.

�2ος σταθμός: Προπτυχιακά χρόνια - ΠΑΝΕΗΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Σ.Α.: Φοιτητής στο Τμήμα Μαθηματικών! Περιγράψτε μας την εμπειρία σας. Σ.Γ.Π.: Ξεκίνησα τη φοίτηση στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών το 1 964. Σχεδόν όλα μου φαίνονταν άσχημα. Τα αυτονόητα σήμερα ήταν εξαιρέσεις τότε! Η διοικητική δομή ήταν ιδιαίτερα αυταρχική. Ήταν πρακτικώς αδύνατο φοιτητής να μιλήσει σε καθηγητή . Πληροφορίες για το μάθημα δίνονταν μέσω βοηθών ή επιμελητών και t <1 σε ένα κλίμα αδιαφορίας για τους φοιτητές. Μάλλον το επιστημονικό .z;-' επίπεδο του διδακτικού προσωπικού ήταν γενικώς χαμηλό και η ' αυταρχικότητα ήταν η αναγκαία ασπίδα. Υπήρχαν λίγες τιμητικές εξαιρέσεις. Κύρια εξαίρεση, ο καθηγητής Δ. Κάππος και τα στελέχη της έδρας του, μεταξύ των οποίων και οι Γ. Λεγάτος, Θ. Μπόλης, Λ. Τσίτσας, Α. Μάλλιος, Β. Στάικος, Α. Καρτσάτος. Σε αυτούς βρήκα κάποιου είδους καταφύγιο. Συζητούσα για μαθηματικά μαζί τους και μου έκαναν υποδείξεις για περαιτέρω μελέτη. Σημαντικές εξαιρέσεις και οι Σ. Ζερβός, Α. Παναγιωτόπουλος και Φ. Χατζηιωάννου (η σειρά είναι . . . αλφαβητική). Για αυτές τις πηγές μείζονος επίδρασης επάνω ι μου αξίζει να είμαι κάπως αναλυτικός.

Ο Δημήτριος Κάππος ήταν ο μόνος που δίδασκε με νοοτροπία 20°υ

11 Τμήμα Μαθηματικών,

σημερινή Νομική Σχολή αιώνα και προωθούσε σοβαρή σχέση με την μαθηματική έρευνα, αυτός και οι περί αυτόν. Κρί­νοντας εκ των υστέρων, το μάθημά του είχε φορμαλιστικό χαρακτήρα. Τα μαθηματικά παρου­σιάζονταν σαν πνευματικό παιχνίδι άσχετο με την ιστορία του ανθρώπου. Όμως, όπως και να το δει κανείς, δίδασκε σύγχρονη μαθηματική επιστήμη, κάτι σπάνιο στη μεταπολεμική Ελλάδα.

Ο Αντώνης Παναγιωτόπουλος, επιμελητής τότε του τμήματος, τόνιζε, ενάντια στην κρατούσα άποψη, πως υπάρχουν και Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και πως είναι σοβαρή συνιστώσα της μαθηματικής €Πιστήμης. Σημαντική προσφορά, το «σεμινάριό1 1» του, κάτι πρωτόγνωρο για την Ελλάδα του '64. Γινόταν κάθε Σάββατο βράδυ στο μαθηματικό σπουδαστήριο (εκεί είναι σήμε­ρα η Νομική Σχολή), συμμετείχαν κυρίως επιλεγμένοι φοιτητές και παρουσιάζονταν εργασίες σε θέματα εφαρμοσμένων μαθηματικών. Για να καταλάβουμε καλύτερα την Ελλάδα του τότε και τις διαφορές της από τη σημερινή, αξίζει να αναφέρω ότι άλλοι πανεπιστημιακοί εξέφραζαν τη δυσφορία τους για τέτοιες πρωτοβουλίες.

Ο Σπύρος Ζερβός δίδασκε μαθηματικά σε άλλα Τμήματα της Φυσικομαθηματικής Σχολής (σήμερα Σχολή Θετικών Επιστημών). Ήταν ανοικτός σε συζήτηση με τους φοιτητές, κάτι σπά­νιο εκείνη την εποχή. Είχε οργανώσει και αυτός ένα σεμινάριο με έντονη ατμόσφαιρα διαλό­γου, πληροφόρησης, ανταλλαγής απόψεων, μια γενικότερη ζωντάνια.

10 Τόσο, που στο Β 'Παγκόσμιο πόλεμο, η γερμανική ηγεσία απέρριψε την ιδέα της γυναικείας εργασίας στα εργο­

στάσια ώστε να πάνε περισσότεροι άντρες στο μέτωπο, πάρα τις ανάγκες που είχαν προκύψει. 1 1 Η λέξη σεμινάριο είναι λατινικής προέλευσης & στη νεότερη ιστορική της χρήση σημαίνει μία ομάδα ανθρώπων, που συναντώνται, συνήθως υπό την αιγίδα καθηγητή, να συζητήσουν προχωρημένα θέματα & ν'ανταλλάξουν ιδέες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/25

------------ n αποΑΟγια ενος μαuηματικου -------------

) Φωκίων Χατζηιωάννου ήταν καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής. Είχε μόλις έρθει από την φική και είχε άλλη νοοτροπία. Αυτή του Αμερικανικού πανεπιστημίου. Θυμάμαι μια μέρα ' μέσα σε συνωστισμό στο γραφείο του, κατά λάθος έσπρωξε έναν φοιτητή του . . . ζήτησε συγ­Ιμη ! Μας έκανε εντύπωση και το σχολιάζαμε! Είχα έντονες «διαφωνίες» μαζί του σε θέματα 1ρητικής φυσικής, το ανεχόταν και το καταπληκτικό ήταν (εδώ φαίνεται η αξία του), ότι δε­αν να το συζητήσει με ένα . . . «φοιτητάκο». Στο μάθημα της Κβαντομηχανικής, μας είχε υπο­;ει για μελέτη, ίσως το πιο επιτυχημένο βιβλίο που γράφτηκε σε οποιαδήποτε θετική επιστή­tον 20° αιώνα, το «Principles of Quantum Mechanics» του Ρ.Α.Μ. Dirac12 που εκδόθηκε το Ο. Εγώ, επέμενα ότι είναι γεμάτο λάθη, εκείνος, γεμάτο ιδέες και ζωντάνια!

,.: Προφανώς, δεν είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το βιβλίο του Dίrac ((είναι γεμάτο λάθη». '.Π.: Είναι θέμα διαφορετικής οπτικής φυσικών και μαθηματικών! Ο Dirac, μέσω των μαθη­ικών, έβαλε μία τάξη στις μεγάλες ιδέες της Κβαντομηχανικής, που αναπτύχθηκαν στα προ­ύμενα 30 χρόνια. Όμως τα «μαθηματικά» των Φυσικών και τα «μαθηματικά» των Μαθη­ικών παραδοσιακά διαφέρουν μέσα στην ιστορία. Οι φυσικοί, συνήθως δεν έχουν το επίπεδο ισης των μαθηματικών θεωριών που έχουν οι σύγχρονοι τους μαθηματικοί. Λογικό, δε μπο­το ίδιο άτομο να γνωρίζει τέλεια και μαθηματικά και φυσική. Αν και οι θεωρητικοί φυσικοί ς μαθαίνουν περισσότερα μαθηματικά από ένα μαθηματικό, τα μαθαίνουν διαφορετικά, σε )τερη πληρότητα, έως το σημείο που καλύπτει την έκφραση των ιδεών τους για τη φύση. Το 2 εκδόθηκε ένα άλλο διάσημο βιβλίο για την θεμελίωση της Κβαντομnχανικής, το «The �hematical Foundations of Quantum Mechanics» του John νοη Neumann13 και ήταν γραμμέ­.ιε τον πλέον ακριβή μαθηματικό τρόπο γραφής. Όμως ελάχιστοι φυσικοί το διάβασαν και η iρασή του ήταν μικρή σε σχέση με το βιβλίο του Dirac. Σε κάποιον διαξιφισμό μας, ο Χα­ιωάννου είπε: «0 νοη Neumann ήταν πολύ καλός επιστήμων αλλά ο Dirac ήταν ιδιοφυία». )ι συζητήσεις με τον Χατζηιωάννου ήταν καταλυτικές για μένα, άνοιγαν τους ορίζοντές μου ! επι_στήμονας, ήταν φιλοσοφημένος, χαρακτηριστικό ασύνηθες στη γενιά του και σπάνιο σή­α. Καταλάβαινε πως μέσα στην πορεία των επιστημών, το στάδιο: διατύπωση ερωτημάτων­J.όρφωση μιας ιδέας, είναι σημαντικότερο του σταδίου: επιβεβαίωση-απόδειξη της ιδέας αυτής.

,. : Εδώ, μπορείτε να γίνετε πιο αναλυτικός; Νομίζω πως οι μαθητές μας προβληματί­rαι συχνά για το ((Πώς)) και το (ηιατί)) οδηγηθήκαμε σ ' ένα θεώρημα. Αναζητούν τι προη­ηκε της απόδειξης και ίσως αν ήξεραν, θα ήταν προς όφελος της μάθησης! .Π.: Ας πούμε για το διασημότερο ίσως θεώρημα των μαθηματικών, το Πυθαγόρειο Θεώρη­Στα διδακτικά βιβλία, συνήθως βλέπουμε την απόδειξη. Γιατί να δίνουμε αποδείξεις και όχι πιο εμπειρική διαδικασία όπου μετράμε τα μήκη των πλευρών; Γιατί να μελετάμε με έμφαση :ρίγωνα και όχι άλλου είδους σχήματα; Γιατί να θεωρήσουμε πιθανό να υπάρχει κάποια με­:ή σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου; Γιατί να υποπτευθούμε ότι ισχύει το Πυθα­ειο Θεώρημα; Αυτά και άλλα τέτοια ερωτήματα, προηγούνται της τελικής διατύπωσης και δειξης του θεωρήματος που παρουσιάζεται στα βιβλία. Ίσως βοηθάει να το .καταλάβουμε ύτερα, αν σκεφτούμε κάτι ανάλογο σχετικά με το σκάκι. ΚάΠοιος μας λέει «παίζουν τα λεύ­cαι κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις». Όταν μας τίθεται σαν πρόβλημα, τα πράγματα είναι σχε­)ς ευκολότερα διότι εμμέσως γνωρίζουμε ότι υπάρχει λύση. Γίνονται όμως δυσκολότερα, αν :ρώτημα τεθεί ως εξής: «Υπάρχει κίνηση των λευκών που οδηγεί σε ματ σε τρεις κινήσεις;». ακόμα δυσκολότερα αν απλώς παίζουμε μια παρτίδα σκάκι, φθάσουμε σε θέση «ματ σε

.ς κινήσεις» και αναμένεται από εμάς να το συνειδητοποιήσουμε. Η πραγματική ιστορία της rτήμης είναι αυτή η τελευταία περίπτωση. Μου πήρε χρόνια να τα καταλάβω αυτά και ασφα­η διερεύνηση αυτών των ζητημάτων δεν φαίνεται να τελειώνει. Όμως η αρχή για μένα, ήταν �ς οι συζητήσεις με τον Χατζηιωάννου.

Συνεχίζεται . . . «πέρα από τον Ατλαντικό» . . .

p:/ /el. wikipedia.orglwikiffioλ _ Ντιραιc p:/ /el. wikipedia.org/wikifΓζov _ φον _Ν όιμq.ν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/26

----------- Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας -----------

�υνf:zεια αΊη'ι σελίδα 22 Β_μ,_ Αν η ευθεία (ει): ψ=3χ + κ διέρχεται από το σημείο Α(Ο, -2) και η ευθεία (ε2) : ψ=4χ +λ διέρχεται από το Β(Ο, -3), να βρείτε τις εξι-

σώσεις τους, να τις σχεδιάσετε στο ίδιο σύ­στημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους.

Επαναλι1πτ ι κές Ασκήσε ι ς Γεωμετρίας ----- ===== ============ Παναγιώτης Κυράνας Β�ι. Να βρεθεί το εμ­βαδόν της γραμμοσκια­σμέvης περιοχής στο παρακάτω σχήμα: Δί­δονται AB=AΓ=BA=lOcm.

Β_μ; Να βρεθεί το εμ­βαδόν της γραμμοσκι­ασμένης περιοχής στο παρακάτω σχήμα: Δί­δονται AB=AΓ=BA=20cm Μ, Ν, Κ μέσα των πλευ-ρών. Β 20cm Κ 13�9. Να βρεθεί το εμ­βαδόν της γραμμο­σκιασμέvης περιοχής στο παρακάτω σχήμα: Δίδονται: ΑΒΓ Δ τε­τράγωνο πλευράς 20cm, εγγεγραμμένος κύκλος (Ο,Ρ).

Α

Bso. Δ Γ i) Να βρείτε το εμβαδόν ενός κυκλικού το­

μέα ω0 σε κύκλο ακτίνας ρ. ii) Να εκφράσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού

τομέα μ0 συναρτήσει του μήκους (S) του αντίστοιχου τόξου του.

Β5 ι . Στο σχήμα έ­χουμε δύο κύκλους (O,Om) και (Λ, ΛΜ) με ΜΟΕ = 40° Να βρείτε πόσες μοίρες

---είναι το τόξο ΜΕ ,

---το τόξο ΜΖ και να το δικαιολογήσετε. Bs2. Στο σχήμα είναι Α = 90° , Μ μέσο της υποτείνουσας ΒΓ, Γ = 30° , Β = 60° , AB=6cm και ΑΓ = 6.fi . Να βρείτε το εμβαδόν της . γραμμοσκιασμέvης περιοχής ΑΜΛ.

Bs3. i) Να βρείτε το μήκος

(S) ενός τόξου μ0 σε κύκλο ακτίνας ρ.

ii) Να δικαιολογήσετε γιατί ένας κύκλος εί­ναι 2π ακτίνα;

Βs-ι. Στο σχήμα είναι Α = 90° ' ΑΒ = ΑΓ = .J8cm , Μ μέσο της υπο­τείνουσας ΒΓ, και δύο κυκλικοί το­μείς με κέντρα Β και Γ και ακτίνα

ΒΓ Ν β , τ · α ρειτε

το εμβαδόν της γραμμοσκιασμέ­

Γ

νης επιφάνειας ΑΝΜΛ.

Γ

Β

Ν ν'Scm Β

Bs5. Στο σχήμα δίδεται ένας κύκος (Ο,Ρ) και ένα τετράγωνο ΑΒΓ Δ πλευρά μήκους J2

Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμέvης επιφάνειας.

Bsc,. Να βρεθεί το εμ­βαδόν της γραμμοσκιασμέvης περιοχής του παρακάτω σχήματος. _;.,.-____, __

Λ ο

!Ocm

Bs7. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκια­σμέvης περιοχής που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δίδονται: AB=AΓ=BA=l Ocm

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/27

Οι εξάρες Τάξη ==================================================== λννα �ξανδράτου Δ υο φίλοι παίζουν τάβλι σ' ένα καφενείο. Αφού το παιχνίδι παίζεται για αρκετή ώρα,

ξαφνικά ένας αναφωνεί: <<'Έφερα εξάρες, έφερα εξάρες, τώρα θα σε νικήσω!» Κάποιος άλλος που τον ακούει από το διπλανό τραπέζι τον ρωτά: «Και τι έγινε; Γιατί τόσο πολλή

χαρά;» και του απαντά: «Ξέρεις φίλε πόσο δύσκολο είναι να φέρεις εξάρες; 2, 777 . . . %. Για φέρτες κι εσύ!» Άραγε δικαιολογείται η χαρά του παίκτη και η απάντησή του ότι η πιθανότητα να φέρουμε εξάρες, ρίχνοντας ταυτόχρονα δυο ζάρια (6+6=12) είναι 2,777 . . . % (περίπου 2,8%); Ας προσπαθήσουμε να το ερμηνεύσουμε.

Όταν παίζουμε τάβλι ρίχνουμε ταυτόχρονα δυο ζάρια και μετακινούμε τα πούλια με βάση τις ενδείξεις, δηλαδή τους αριθμούς που εμφανίζονται στα ζάρια. Είτε μετακινούμε κάθε ζάρι χωριστά, αντίστοιχα με κάθε ένδειξη, είτε μετακινούμε ένα πούλι με βάση το άθροισμα των δυο ενδείξεων. Το καλύτερο σαφώς αποτέλεσμα από την ταυτόχρονη ρίψη των δυο ζαριών είναι οι εξάρες που αντιστοιχεί στη μετακίνηση 12 θέσεων στα πούλια.

Ρίχνοντας ταυτόχρονα δυο ζάρια, π.χ. ένα κίτρινο και ένα λευκό, τα δυνατά αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν παριστάνονται στον παρακάτω πίνακα:

� [] D [] D [ZJ [] [] ( 1 , 1 ) ( 1 ,2) ( 1 ,3) ( 1 ,4) ( 1 ,5) ( 1 ,6)

D (2, 1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

[] (3, 1 ) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

D (4, 1 ) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

[ZJ (5, 1 ) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (6,6)

[] (6, 1 ) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Η ταυτόχρονη ρίψη δυο ζαριών είναι ένα πείραμα τύχης:, Να θυμόμαστε ότι: Πείραμα τύχης λέμε κάθε πείραμα που εκτελείται κάτω από ορισμένες συνθήκες, το οποίο

μπορούμε να το επαναλάβουμε πολλές φορές με τις ίδιες ακριβώς συνθήκες, χωρίς όμως να μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του.

Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης το λέμε Δειγματικό Χώρο του πειράματος και το συμβολίζουμε με Ω ή S. Το πλήθος των στοιχείων ενός δειγματικού χώρου Ω συμβολίζεται με Ν(Ω). Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου το λέμε ενδεχόμενο του πειράματος τύχης. Αν κατά την εκτέλεση ενός πειράματος τύχης προκύψει αποτέλεσμα που ανήκει σ' ένα ενδεχόμενο Α τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται. Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου Α που πραγματοποιείται λέγον�αι ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του και το πλήθος των στοιχείων αυτών συμβολίζεται με NCA).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/28

--------------- Οι εξάρες --------------

Έτσι ο Δειγματικός Χώρος Ω του πειράματος τύχης της ρίψης των δυο ζαριών φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και είναι

Ω={(1 , 1), (1 ,2), (1 ,3), ( 1 ,4), (1 ,5), (1 ,6), (2, 1 ) (2,2), (2,3), (2,4),(2,5), (2,6), (3, 1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5, 1 ), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6, 1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} . Το πλήθος των στοιχείων του δειγμαnκού χώρου Ω είναι Ν(Ω)=36.

Ο Δειγματικός Χώρος Ω είναι βέβαιο ενδεχόμενο διότι πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του πειράματος τύχης. (Δηλαδή όσες φορές και να επαναλάβουμε την ταυτόχρονη ρίψη των δυο ζαριών το αποτέλεσμα είναι μέσα στο σύνολο Ω).

Για να δικαιολογήσουμε τη χαρά του παίκτη που έφερε εξάρες και ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα να φέρει εξάρες είναι 2, 777 . . . % ας φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα αθροίσματος των ενδείξεων των δυο ζαριών.

� D D [] [;] � [] [] 2 3 4 5 6 7

D 3 4 5 6 7 8

D 4 5 6 7 8 9

[] 5 6 7 8 9 10

D 6 7 8 9 10 1 1 •

D 7 8 9 10 1 1 12

Παρατηρούμε ότι το ενδεχόμενο Α να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων 12, δηλαδή «εξάρες», έχει ένα μόνο στοιχείο από τα 36 στοιχεία του πίνακα (του δειγματικού χώρου) Δηλαδή Α={(6,6)} , Ν(Α)=1 . Για παράδειγμα το ενδεχόμενο Β να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων 7 έχει 6 στοιχεία: Β={(6, 1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), ( 1 ,6)} Ν(Β)=6

Δηλαδή το ενδεχόμενο Β έχει 6 στοιχεία από τα 36 στοιχεία του πίνακα. Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι 2,777 . . . %, δηλαδή -1 , δηλαδή μια φορά στα 36

36

δυνατά αποτελtσματα. Συμβολικά λέμε lp (Α) � 1 I ·

36 Γενικά να θυμόμαστε: Σ' ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα, πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α λέγεται

Ρ (Α) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων ή αλλιώς Ρ( Α) = Ν(Α) πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ρ (Ω)

Παρατήρηση : Σ' ένα πείραμα τύχης όπου κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων δυνατών αποτελεσμάτων, όλα τα αποτελέσματα έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής. Τότε λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα. Για παράδειγμα η πιθανότητα του ενδεχομένου Β να έχουμε άθροισμα ενδείξεων 7

είναι: Ν(Β) 6 1 Ρ (Β) = Ν (Ω) =

36 =

6

---------------- Οι εξάρες

Δηλαδή 16,66 . . . % έναντι του 2, 77 . . . %(πιθανότητας ενδεχομένου Α <<να φέρουμε εξάρες»). Γι' αυτό χαιρόταν ο παίκτης! Το ενδεχόμενο Α είναι το μοναδικό ενδεχόμενο του πειράματος με τη μικρότερη πιθανότητα!

Λραστη ρ ι{ιτητα 1 '1 Σύμφωνα με τους παραπάνω πίνακες βρείτε

τα ενδεχόμενα και την πιθανότητα κάθε ενδεχομένου: 1 . Ενδεχόμενο Γ: Να φέρουμε άθροισμα

ενδείξεων μεγαλύτερο του 5 . 2. Ενδεχόμενο Δ: Να φέρουμε άθροισμα

ενδείξεων μικρότερο ή ίσο του 1 Ο. 3 . Να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων

μεγαλύτερο του 5 και μικρότερο ή ίσο του 10. ι\ ραστη ρι6τητα 2 '1 Φτιάξτε πίνακα πειράματος τύχης

ταυτόχρονης ρίψης δυο ζαριών που να παριστάνεται το γινόμενο ενδείξεων δυο ζαριών. Βρείτε τα ενδεχόμενα και την πιθανότητα κάθε ενδεχομένου: 1 . Ενδεχόμενο Α: Γινόμενο ενδείξεων ίσο με 30.

2. Ενδεχόμενο Β: Γινόμενο ενδείξεων τουλάχιστον 6.

3. Ενδεχόμενο Γ: Γινόμενο ενδείξεων το πολύ 20 4. Ενδεχόμενο Δ: Γινόμενο ενδείξεων

μεγαλύτερο του 1 5 και μικρότερο του 30. Λσια1σεις για περ ισσ6τερη εξάσκηση !

Γ ι 7• Σ ' ένα κουτί έχουμε 4 μπαλίτσες: μια λευκή, μια κίτρινη, μια πράσινη και μια μπλε: α) Βρείτε το δειγματικό χώρο σε καθένα από τα παρακάτω πειράματα τύχης: 1 . Παίρνουμε στην τύχη μια μπαλίτσα και

βλέπουμε το χρώμα της. 2. Παίρνουμε στην τύχη μια μπαλίτσα,

σημειώνουμε το χρώμα της, την επανατοποθετούμε ξανά στο κουτί και στη συνέχεια παίρνουμε και πάλι μια μπαλίτσα, σημειώνοντας το χρώμα της ( φτιάξτε πίνακα).

3. Εκτελούμε το πείραμα του ερωτήματος (2) σ)..).iJ. χωρίς να επανατοποθετήσουμε την πρώτη μπαλίτσα που παίρνουμε ξανά στο κουτί

β) 1 . Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγεί μια μπαλίτσα κίτρινη; 2. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν

ΕΜΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΗ ΠΑΙΡΕΙΑ I

�: _.,� ι �I

N O..,.w - � owMw �H ·· • • . · • � ' I οτη Λεπτοκαρυά Πιερία� στο Ξενοδοχείο •OLYMPIAN ΒΑΥ• j

��μ�p��Ε���:.=:τ����

ε���{i.ιc:t.�.�κοινώσει. προχωρά tnη �

Το 5ο Μ. Κ. Σ. θσ λεπουρνήσει από 24 Ιοuλlου -30 Ιouλlou 2011 στηΛετποιι:αρυά Πιιρlας στο � Ξενοδοχεlο ιιΟL VMPIAN ΒΑΥ• 4 αστέρων.

.!� Το ώσιοςαuμμιτοχής νια κόθε μαθητή αvέρχιrαιστο ποσόν ιων4β0€ ιιαι τη φόρμα σuμμι:τοχής μπορεl να τη βρει ο ιιό:θε ενδιαφερόμενοι; στην mοσdύδατης Ελληνιtιής Μαθημαιικι'jι; Ετοιριlας www.hms.grτηλ. 210 3617784.210 3617784 fsx: 210 3841025 ι· C,o ΜαΙJηιιατ ι κιi Κιιλοκιιιρ n•iι Σχολι'ίο

οτον Αγιο Ν ι κt)ληο Νι:ωοοας. il'i · , · ·ι .. . ,. , � .

....,. l ' : }jf ΠαριΊρτημα τη� Ε Μ Ε του Ν. ΗμιιΟίιι�

cιπό :J1 lol'λiou ι:ιιιι,; (J AιryoiHΠOΙJ 201 1 . Ο ι μοθητt� θα

διαμένουν στο Ξενοδοχεία 4ΙΒΕΡΜΙΟΝι. και «ΑΜΠΕΛΠΝΑΣιt. I Το παράριημα ιης Ε Μ Ε fOu Ν. Ημαθlας πραγμαrοποlησε στον Άγιο Νικόλαο Νάοuσος με μεγάλη εππυχΙσ το πρώτο Μαθημαιικό Κολοκαιρινό Σχολd:ι (Μ Κ Σ) rον Αύγοuαιο ιου 2007 κω tU1ύχrισι: να δει την πρωrσπόρα αυιή δρόση του να μετατρtπσαι σε θtσμό που επcιι:ιόθηιιι: � με νtα Μ Κ Σ που λεrτούρyησον παράλληλα σε άλλα σημεlα της Ελλάδας. Με τη γνώι:rη ιιαι

� ���7:

�α5οττ:σ:�c:=μ�=

���

��

=::���=

�ς και αυτό το

� Το κόστος αuμμετοχfις για κόθε μαθητή ανtρχcται στο ποσόν των 480€ και ιη φόρμα ,, σuμμειοχής μπορεl να τη βρει ο κάθε ενδιαφερόμενος στην ιστοσελlδα της Ελληνικής � Μαθηματικής Εταιρεlας Παρόρτημα Ν. Ημαθίας (www.emeimalhias.gr).

L-,---�-""'"·---=�,"�.,-�--�.��·�·-=--

Mt ι δωσιο:<δuσιΙΙω ;ρόηο. με έ�uιιω τφι)βλf]μωι; ΚUΙ δρuvτηριό1ητι:ς ΠfxJσπnθti να �ιiνει Ο.ιωσηκ() το μrΊtlημσ Ήον ΜαΟη�Jrιrικtί;ν t>UΙ νη κtνrrir•n έτ(Jr. �<:> εvδιυφιρην ;ων ιιιt..pών μn{tητ�ιν

νιτ •.μβιιθύνσνν <ΊΕρΙ•JΌόπρο OΠJ'f �ηκηημη rωv 'νlι1&ημαιικώv 1\α! ηr, r.ψ<1PIJI1'{t<, 'ΌUι., Ι<.αι vtτ ανι)tιtύ�ι;υν rι-v ικανύΊφ11 νιη oμOoλoyrκli σ"tψη

3η Καλοκαιρινή Μαθηματική Κατασκήνωση Σοφικό Κορινθίας

«Παιχνίδι και Μαθηματικά» α ' περίοδος 24 Ιουλίου έwς 31 Ιουλίου 2011 β' περίοδος 31 Ιουλίου έwς 7 Αυγούστου 2011

"ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΚΑΙ JMAt!JNIMATIKA" yι� τous Μ�Ριιτέs τιιs ΔΊ Ε' κ�ι �τ- Διιμοτικού

Το KU<J!Oς σuμμΕrοχrΊ-. ηvίρ>;ηcrι 0'0 400 ιrφώ tΝό μιι6r:η1 ruι 1r1 φcιρμu σuμμt10Xti(, καθω<, ι;οι 1ΊΊ\rJP6ψrJ()Itς ΩΧ�iΙΚ(r jJΙ" 10 "tΊλrψt"ς �,f;όγ{JCψ;ω QΗΡΙJδιί.Jν ΙJΠ(!pti Ι'Ο rριι (I r-όθ;.. 1,\Ιδωφφόμι'Ιο<, ι11ην

ιvιοσελ!δCΙ ΊΙ!<, Ελληvικηc,. �.1uθι};.ιurι�<ής Erσφεlac,. η mu τηλ 2103616532 210)61 i7S

I � I I I I J

μπαλίτσες ίδιου χρώματος στην περίπτωση επανατοποθέτησης; 3. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν δυο μπαλίτσες με πρώτη λευκή και δεύτερη μπλε στην περίπτωση: i) με επανατοποθέτηση, ii) χωρίς επανατοποθέτηση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/30

ΟλΗ Η θΕΩΡΙΑ ΣΕ 82 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ!

Α. 1 . 1 1 . Τι ονομάζετε δύναμη αν με βάση τον πραγ­

ματικό α και εκθέτη το φυσικό ν> 1 ; (σελ.17)

2. Ποιες είναι οι ιδιότητές των δυνάμεων με βάση πραγματικό και εκθέτη ακέραιο; (σελ.17)

3 . Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α; (σελ.20)

4. Ποιες είναι οι ιδιότητές των ριζών; (σελ.20)

5. Α ν α � Ο και β � Ο να αποδείξετε ότι,

Fa · JP = .ra:p (σελ.21)

6. Α ν α � Ο και β > Ο να αποδείξετε ότι,

Fa Γα Jβ = γβ (σελ.21)

Α. ι . 2 7. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση;

(σελ.25) 8. τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

παράστασης; (σελ.25) 9. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζε­

ται ακέραια; (σελ.25) 10. Τι ονομάζεται μονώνυμο και ποια τα μέρη

από τα οποία αποτελείται; (σελ.26) 1 1 . Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια;

(σελ.26) 12 . Ποια μονώνυμα ονομάζονται ίσα και ποια

αντίθετα; (σελ. 2 6) 1 3 . Τι ονομάζεται βαθμός μονωνύμου ως προς

μία μεταβλητή του; (σελ.26) 14. Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό

μονώνυμο και ποιος ο βαθμός τους; (σελ.26)

15 . Πως ορίζεται το άθροισμα ομοίων μονω­νύμων; (σελ.30)

1 6. Τι ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων; (σελ.34)

-17. Πως ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων; (σελ.30)

Α. Ι . 3 18 . Τι ονομάζεται πολυώνυμο; (σελ.33) 19 . Τι ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου

ως προς μία μεταβλητή του; (σελ.33)

20. Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό πολυώνυμο και ποιος ο βαθμός τους; (σελ.33)

A. l . 4 2 1 . Πως πολλαπλασιάζουμε: α. Μονώνυμο με

πολυώνυμο; β. Πολυώνυμο με πολυώνυμο; (σελ.38)

Α. Ι . 5 22. Τι ονομάζεται ταυτότητα; (σελ.42) 23. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: ί. (α +β)2 = α2 + 2αβ + β2 ίί. (α -β)2 = α2 - 2αβ + β2 ίίί. (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 ίν. (α -β)3 = α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3 ν. (α -β)(α + β) = α2 - β2

νί. α 3 - β 3 = ( α - β )-( α2 + αβ + β2) νίί. α 3 + β 3 = ( α + β ) ·( α2 - αβ + β2)

(σελ.43 & 44) Α. 1 . 6 24. Τι ονομάζεται παραγοντοποίηση; (σελ. 53) 25. Ποιες είναι οι χαρακτηριστικές περιπτώ­

σεις παραγοντοποίησης; (σελ.54,55,56,57) Α. ι . s 26. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλα­

πλάσιο (Ε.Κ.Π.) και τι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν ανα­λυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; (σελ.68)

A. l . 9 27. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζε­

ται ρητή; (σελ. 71) 28. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ορίζεται;

(σελ.71) 29. Πότε μια ρητή αλγεβρική παράσταση μπο­

ρεί να απλοποιηθεί; (σελ. 71) Α. 1 . 1 0 30. Πως κάνουμε πράξεις με ρητές αλγεβρικές

παραστάσεις; (σελ. 75, 76, 78)

IB�Mi!M" ���Α�� Α. 2 . 2 3 1 . Τι ονομάζεται εξίσωση2ου βαθμού, με έ­

ναν άγνωστο; (σελ.90) 32. Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύ-

ση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/31

----------- Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης-----------

αχ2+βχ+γ=Ο με α, β, γ πραγματικούς αριθ­μούς και α :;t:O. (σελ.94)

33. Πότε μία εξίσωση δευτέρου βαθμού: α. έχει δύο άνισες ρίζες; β. έχει μια διπλή ρίζα; γ. δεν έχει ρίζες; (σελ.94)

34. Πως παραγοντοποιείται το τριώνυμο αχ2+βχ+γ όταν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=Ο με

α 7: Ο έχει λύσεις τις ρι , ρ2; (σελ.96) Α. 2. 4 35. τι ονομάζεται κλασματική εξίσωση και

πότε ορίζεται αυτή; (σελ. 103) Α. 2. 5 36. Πως συγκρίνουμε (διατάσσουμε) δύο

πραγματικούς αριθμούς; (σελ. 110) 37. Τι ονομάζεται ανισότητα και ποια τα χα-

ρακτηριστικά της; 38. Ποιες είναι οι ιδιότητες της διάταξης;

σελ. 111 & 112) Συστήματα rραμμικών Εξισώσ=:;ων Α. 3. ι

39. Τι ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύΌ αγνώστους και τι λύση της; (σελ. 122)

40. Πως παριστάνεται γραφικά κάθε εξίσωση

της μορφής αχ+βy=γ με α7:0 ή β7:0 και τι

ισχύει γι' αυτή; (σελ. 123) 4 1 . τι παριστάνουν οι εξισώσεις;

α. y = k με k 7: 0 β. y = Ο (σελ. 123) 42. Πως βρίσκουμε τις τομές μιας ευθείας

αχ+βy=γ με α7:0 και β7:0 με τους άξονες

χ'χ και y'y; (σελ. 125) Α. 3. 2 43 . Τι ονομάζεται:

α. Γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους χ και y; (σελ. 128) β. Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξι­σώσεων με δύο αγνώστους χ και y; (σελ. 128) γ. Επίλυση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους χ και y; (σελ. 128)

44. Πως γίνεται η γραφική επίλυση γραμμικού

συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώ­στους χ και y και πότε αυτό έχει μία λύση, είναι αδύνατο, είναι αόριστο; (σελ. 129)

ngmd�utJO Συw�a� Α. 4. 1 45. Τι γνωρίζεται για την συνάρτηση y = αχ2

με α > Ο; (σελ. 145) 46. Τι γνωρίζεται για την συνάρτηση y = αχ2

με α < Ο; (σελ. 145) Α. 4. 2 47. Ποια συνάρτηση ονομάζεται τετραγωνική;

(σελ. 150) 48. Τι γνωρίζεται για τη συνάρτηση

y=αχ2+βχ+γ με α7:0; (σελ. 151)

iiibJίiiij-Σi.ji�§J. Πιθανότητες 49. Τι είναι το σύνολο; (σελ. 160) 50. Πως μπορεί παρασταθεί ένα σύνολο;

(σελ. 160 & 161) 5 1 . Πότε δύο σύνολα λέγονται ίσα; (σελ. 161) 52. Πότε ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο

ενός συνόλου Β; (σελ. 161) 53 . Τι ονομάζεται κενό σύνολο και πως συμ­

βολίζεται; (σελ. 162) 54. τι ονομάζεται πείραμα τύχης; (σελ. 167) 55. Τι ονομάζεται δειγματικός χώρος ενός πει­

ράματοs τύχης και πως συμβολίζεται; (tιe]γ.f'δ'f.} με k 7: Ο δ. χ = Ο;

56. Τι ονομάζεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης και πότε αυτό πραγματοποιείται; (σελ. 169)

57. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζεται βέβαιο και ποιο αδύνατο σε ένα πειράματος τύχης; (σελ. 169) .

58. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειρά­ματος τύχης ονομάζονται ασυμβίβαστα; (σελ. 1 70)

59. Τι ονομάζεται πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδε­χόμενου Α σε ένα πείραμα τύχης με ισοπί­θανα αποτελέσματα και ποιες οι ιδιότητες της; (σελ. 1 74 & 1 75)

����� _ Γεωμετρία (σελ. 186 & 187)

Β. 1 . ι 62. Τι ονομάζεται διάμεσος, διχοτόμος, ύψος, 60. Ποια τα κύρια στοιχεία του τριγώνου; τριγώνου; (σελ. 187)

(σελ. 186) 63. Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα; (σελ. 187) 6 1 . Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς 64. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; (Κριτήρια ι-

τις πλευρές, και ως προς τις γωνίες τους; σότητας τριγώνων) (σελ. 188 & 189) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/32

----------- Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης -----------

65. Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα; (σελ.220) (Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώ- 75. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; (Κριτήριο νων) (σελ. 190) ομοιότητας τριγώνων) (σελ.220)

66. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των Β. 1 . 6 σημείων της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου 76. Με τι ισούται ο λόγος των εμβαδών δύο τμήματος; (σελ. 192) ομοίων σχημάτων; (σελ.226)

67. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των • � 'fp�wμupίO: σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας; Β. 2. 1 (σελ. 192) 77. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί

Β. ι . 2 μιας οποιασδήποτε γωνίας; (σελ 233). 68. τι ονομάζεται λόγος δύο ευθυγράμμων 78. Ποιοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γω-

τμημάτων και με τι ισούται; (σελ.200) νίας ω = 0° ή ω = 90° ή ω = 1 80°; 69. Πότε τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι (σελ.233)

ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, Β. 2 . 2 δ; (σελ.201) 79. Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τριγωνομε-

70. Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες τρικούς αριθμούς δύο παραπληρωμα�κών των αναλογιών; (σελ.201) γωνιών; (σελ.237)

7 1 . Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο μιας Β. 2 . 3 πλευράς εν.ός τριγώνου φέρουμε παράλ- 80. Να αποδείξετε ότι για μια οποιαδ�ποτε ληλη προς μία άλλη πλευρά του, αυτή γωνία ω ιcrχύουν οι τύποι: ημ2ω+συν ω= 1 διέρχεται και από το μέσο της τρίτης και εφω = ημω . Ισελ.2401 πλευράς. (σελ.202) συνω 1 ' '/

Β. ι . s 72. Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια;

(σελ.215) 73. Ποιες προτάσεις προκύπτουν από τον ορι­

σμό της ομοιότητα δύο πολυγώνων; (σελ.216)

74. Πότε δύο τρίγωνα λέγονται όμοια;

Β. 2 . 4 8 1 . Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τον νό­

μο των ημιτόνων. (σελ.244) 82. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τον νό­

μο των συνημιτόνων. (σελ.245)

Επαναληπτ ι κές Ασκήσε ι ς Άλγεβρας Γιs· Να αναπτύξετε τις ταυτότητες:

α) (fi + 2J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . β) (-3χ-1)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ) (5-2χ)(2χ+5) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

δ) ( 2χ -2�) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ε) (χ -�)' = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

στ) (2χ +Η = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ζ) (α+β---γ)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Να συμπληρώσετε τα κενά: α) (2χ+ . . . . . )2 = 4χ2+ 12χψ2+ . . . . .

·"='='"'""'�==' --"""· Σταυρούλα Αλαφάκη

β) ( . . . . . -. . . . . / = κ2+4κ+4 γ) (2α2β+ . . . . . )( . . . . . -. . . . . ) = 9χ2-4α4β2 δ) ( . . . . . -. . . . . )3 = 8χ3-• • . . • +6χ-. . . . . ε) 8χ3- . . • • . = (2χ-. . . . . )( . . . . . +6χψ+ . . . . . )

Γ Α 1 3 λ ' . zo. ν χ + - = , να υπο ογισετε τις τιμες

χ των παραστάσεων:

2 1 3 1 Α=χ + - και Β=χ + -χz χ3

Να αποδείξετε ότι: α) (χ2+2)(ψ2+2) -2(χ+ψ)2=(χψ-2)2 β) (χ+1)3-2(χ+2)2+1=(χ+2)(�-χ-3) Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: α) (χ+4)2 --(χ-3)(3+χμ(3-2χ) β) (2χ+ 1)3 --(1-2χ)3+(2t+ 1 )2 --(1-2p2 γ) 3(2-3χ2)2-2χ(3-2χ) --(2+3χ)(χ -3χ+1)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/33

---------- Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης----------• 3 δ) -2χ( 1-3χ)+ 2(χ-3 )(2χ+ 1 )(2χ- 1 )-(2χ+ 1)

Γ23• Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) α(χ+ψ) -β(χ+ψ)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . β) (2α-5)χ-( 5-2 α )ψ= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ) (α+β)(2χ-ψ)+α2-β2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . δ) 3χ2-12ψ2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ε) 2( κ+ 1 )3 -16= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . στ) (α-2β)2+5(α-2β)+6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ζ) χ5 -4χ3ψ+4χψ2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . η) χ2( 1-α )(χ+ψ )+χ2( α-1 )= . . . . . . . . . . . . . . . . . . θ) 1 6-(χ+ψ)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ι) 3α2-5α+2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Γ 2-Ι· Να συμπλτψώσετε τα κενά: α) α3β4-2α β+3αβ=αβ( . . . . . . . . . . . . . . . ) β) i-χ+ψ-ψ2=(χ-ψ)( . . . . . . . . . . ) γ) κ2+9κ+8=(κ+1)( . . . . . . . . . . ) δ) χ4-16=(χ-2)( . . . . . . . . . . )( . . . . . . . . . . ) ε) i-2χ-ψ2+1=(χ-1-ψ)( . . . . . . . . . . )

1�25· Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α2 + α .. χ4 - ψ4 α) β) �----'---=-

α2 + 2α + 1 χ3ψ - χψ3 χ 3 + 1 - χ 2 - χ 5 4χ 2 + 4χ + 1 γ) 3 2 δ) __:_:_2 _ __:_:__ 1 - χ + χ - χ 2χ - 5χ - 3

Γ2r,. Να απλοποιηθεί το κλάσμα: χ2 - 14χ + 1 3

4(χ + 2) 2 - 9(3 - χ)2 � �Γ· Να γίνουν οι πράξεις:

χ2 - 6χ + 9 2χ - 6 χ2 -χ χ2 -3χ + 2 α) : β) . .:..:..,-___.:_:__ χ2 - 9 χ + 3 2χ-χ2 χ2 -2χ + 1

) χ 2 - 4χ + 4 2χ2 - 8 γ · �--χ 2 - 5χ + 6 .

χ 2 - 9 Γ2ι-:· Να γίνουν οι πράξεις: α) 2χ - 3 + χ - 2 _ 1

1 - χ χ + 1 2 - 2χ2

β) 4χ + 3 _ _ 2_ χ 2 - 25 2χ + 10 5 - Χ;

1 2 γ) -- - + 1 χ + 2 χ2 - 4χ + 4 Γ29 · Να απλοποιηθεί η παράσταση:

A =[(_! _ _!_J2 : (χ -ΨJΙΧ'ιl +Ψi J[(χ-ψy +� ψ χ ψ χ χ3 +v

Γ:�ο- Να λυθούν οι εξισώσεις: α) i -7�+ 1 0=0 β) 8χ2+2χ=3 γ) (5-2χ)(χ3 -3χ +2χ)=Ο

δ) χ(χ-1)-5=(χ-2)2-(χ-3)(χ-4) ε) 2+(χ+ 1 )3 -2(1-2χ)2=(χ-2)3+5χ

Γ.� Ί · Αν η εξίσωση i-κχ+λ=Ο έχει διπλή ρίζα την χ=3, να βρεθούν τα κ, λ.

Γ32• Να λυθούν οι εξισώσεις:. α) χ - 4 = 1 + 2

χ2 + 2χ χ2 - 2χ 4 - χ2

β) χ - 1 = _Χ_ + χ + 1 χ - 2 χ + 1 χ2 - χ - 2

γ) � - 6 = 4 χ + 6 χ2 + 12χ + 36

δ) 2χ + 1 + _1_ = 7χ - 7 + 1 χ - 3 1 - χ χ 2 - 4χ + 3

ε) 2χ - 1 _ 2χ = 1 χ3 + 1 χ2 - χ + 1 χ2 - 1

ΓJ_,. Δίνεται η παραβολή ψ=3χ2-5χ-2. Να βρεθούν: α) Οι συντεταγμένες της κορυφής Κ. β) Η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή της. γ) Ο άξονας συμμετρίας της. δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες.

Γ34· Δίνεται η παραβολή ψ=λχ2+(κ-1)χ+6. Να προσδιοριστούν τα κ, λ αν γνωρίζετε

β λ , 5 , λ ' πως η παρα ο η για χ= 2 παιρνει ε α-

, 1 χιστη τιμη ψ = -4. Γ Js· Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που δι­

έρχεται από τα σημεία (-1 ,3) και (2,5). Γ36· Να λυθούν τα συστήματα:

4χ-ψ=!_1 } 2-4χ-3ψ 2-ψ =Ο} α) 2 , β) 3 2 , ψ=2(χ-ψ-2) 2χ+3 =8+2ψ

γ) 3 4 6 4 ,δ) χ-1 _ 2ψ-3 = 2χ+1 _ _!_ } χ2 - ψ2 = 9} 3-2(2χ-ψ) = 3ψ-2(χ + 1) 2Χ - ψ = 6

Καλιj Επιτυχία στις εξετάσεις και . . . Κα/Δ Καλοκαίρι!!!

21. Στο τεύχος 79 & στο άρθρο ((Μη μου τους κύκλους τάραττε/;>, ο δαίμων του τυπογρα­φείου μετακίνησε τα: ώστε να δείχνει το ένα ότι έπρεπε να δεί- � ._Λ χνει το άλλο! I I �-σχήμα �aριθμ. J

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/34

------------ Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης-----------

Επαναληπτ ι κές Ασκήσε ι ς . Γεωμετρίας

ΓJ7· Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο πα­

ραλληλόγραμμο οι διαγώνιες του είναι ίσες

και δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα,

ανά δύο ίσα μεταξύ τους.

ΓJχ· Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) να

αποδείξετε ότι :

α) αν Γ = 30° , θα ισχύει ότι ΑΒ = ΒΓ

2

β) αν ΑΒ = ΒΓ

, θα ισχύει ότι Γ = 30° . 2

Γ39.Δύο τετράγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιό-

3 Α ' λευ ' λ ' τητας - . ν η π ρα του μεγα υτερου τε-

2

τραγώνου είναι 12 cm, να βρεθεί η πλευρά του

μικρότερου τετραγώνου και ο λόγος των εμ­

βαδών τους.

Γιο. Να βρείτε το λόγο ομοιότητας δύο κανο­

νικών οκταγώνων που είναι εγγεγραμμένα σε

κύκλους ακτίνων 5cm και 7cm.

Γ.ι ι . Μια σελίδα χαρτί έχει σχήμα ορθογωνίου.

Αν διπλώσουμε το χαρτί αυτό στη μέση κατά

μήκος του πλάτους του, προκύπτει ορθογώνιο

όμοιο με το αρχικό. Να βρεθεί ο λόγος των

διαστάσεων του χαρτιού.

Γ42 .Αν 0° � χ � 90° , να λυθούν οι παρακάτω

πινάκων : α. 2ημχ -.J3 = Ο

β. 2συvχ - 1 = Ο

γ. εφχ - 1 = Ο

δ. (3συvχ - 2)2 = 4

Γυ. Να αποδείξετε ότι

ημ(90 - ω )ημ(180 - ω) + συν(90 - ω )συν(Ι 80 - ω) = Ο

Γ-14.Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς

8 cm και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ, έτσι ώστε

BA=3cm. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρι­

κούς αριθμούς των γωνιών ΑΔΒ, ΑΔΓ.

Γ.ιs· Ν α αποδείξετε ότι :

α. εφχ- εφχημ2χ = ημχσυvχ

2 1 β. 1 + εφ χ = 2 συv χ

9 ο ο Γ.ι(J. Αν εφχ= -- και 90 -< χ � 180 , να υπο-40

λογίσετε το συνχ και το ημχ.

Γ.ι7· Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 30° , α=2 cm

και γ=5 cm. Να βρείτε τις γωνίες Γ, Β και την

πλευρά β.

Γ.ιχ· Αν εφχ=-3, να υπολογίσετε την παράστα-

ση Α = ημχ + συvχ συvχ - ημχ

εξισώσεις χωρίς την βοήθεια τριγωνομετρικών

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/35

Μαθηματικοί Δ�αyων•ομοi Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

28η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης"

ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 201 1

θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μιικρών τάξεων

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ι Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με BAr = 120" . Αν Δ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ , δίνεται ότι

η ευθεία ΑΔ είναι κάθετη προς την πλευρά ΑΒ και τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στο σημείο Ε . Οι ευθείες ΒΑ και ΕΓ τέμνονται στο Ζ . Να αποδείξετε ό-τι: (α) ΖΔ .l ΒΕ , (β) ΖΔ = ΒΓ .

Β

Σχήμα ι

Λύση (α) Επειδή είναι ΒΑΕ = 90" η ΑΕ είναι διάμετρος του

περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Επομένως θα είναι και ΒfΈ = 90" . Έτσι στο τρίγωνο ΖΒΕ τα ευθύ­γραμμα τμήματα ΕΑ και ΒΓ είναι ύψη του τριγώνου που τέμνονται στο σημείο Δ.

Επομένως η ευθεία ΖΔ είναι η ευθεία του τρίτου ύ­ψους του τριγώνου ΖΒΕ, δηλαδή είναι ΖΔ _l_ ΒΕ .

Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι: ΖΗΒ = 90" . Πράγματι, έχουμε

ΖΗΒ = 180" - (ΗΒΖ+ΒΖΗ) (1)

Όμως έχουμε HBZ= EBΓ+rBA=EAr +rBA=(120" -90" )+rBA=30" +Β .(2)

Επίσης από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΔΓΖ (γιατί ΜΖ = Δf'Ζ = 90· ) έχουμε ότι: ΒΖΗ = ΑΖΔ = Γ (3) Λόγω των (2) και (3) η σχέση (1) γίνεται: . zHB=180' -( 30' -tB-tt) =150' -( :Btt) =150' -( 180' -120') =SO'

(β) Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΔΓΖ θα έχουμε M=Mr=BAr -ΒΜ=120' -SO' =30'. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΖ η υποτείνουσα ΖΔ θα είναι διπλάσια της κάθετης

πλευράς ΔΓ, δηλαδή ΖΔ = 2 · ΔΓ = ΒΓ, αφού Δ μέσο της πλευράς ΒΓ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Θεωρούμε το σύνολο των τετραψήφιων θετικών ακέραιων αριθμών χ = α β y δ των οποίων όλα τα ψηφία είναι διαφορετικά από το μηδέν και διαφορετικά μεταξύ τους. Θεω­ρούμε επίσης τους αριθμούς y = δ y β α και υποθέτουμε χ > y . Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της διαφοράς χ - y , καθώς και τους αντίστοιχους τετραψήφιους ακέ­ραιους χ, y για τις οποίες λαμβάνονται αυτές οι τιμές.

Λύση Θεωρούμε τη δεκαδική αναπαράσταση των αριθμών :

χ - y = 1000α + 1 00β + 10y + δ - 1 000δ - 1 00y - 1 0β - α = 1000(α-δ)+100(β-y)+10(y-β)+δ-α = 999(α - δ) + 90(β - y) = 9(1 1 1(α - δ) + 10(β - y)) .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/36

------------ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -----------­

Αρκεί να προσδιορίσουμε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α = 1 1 1(α - δ) + 10(β - y) . ( 1 )

Οι αριθμοί α,β,y,δ είναι θετικοί μονοψήφιοι ακέραιοι (διαφορετικοί μεταξύ τους). Εφόσον

χ > y , θα ισχύει α > δ . Η παράσταση Α γίνεται μέγιστη, όταν οι αριθμοί α - δ και β - r γίνουν μέγιστοι και επί

πλέον α - δ > β - r . Η διαφορά α - δ γίνεται μέγιστη όταν α = 9 και δ = 1 . Η διαφορά β - r γίνεται μέγιστη όταν β = 8 και r z:: 2 .

Άρα χ = 982 1 και y = 1289 είναι οι ζητούμενοι ακέραιοι οι οποίοι δημιουργούν τη μεγαλύτε­

ρη διαφορά χ - y = 9821 - 1289 = 8532 . Η παράσταση Α γίνεται ελάχιστη, όταν οι αριθμοί α - δ και β - r γίνουν ελάχιστοι.

Η ελάχιστη τιμή της διαφοράς α - δ είναι το 1 . Άρα οι δυνατές τιμές του ζεύγους ( α,δ) εί-

ναι: (9, 8) , (8, 7) , (7, 6) (6, 5) (5, 4) (4, 3) (3, 2) και (2, 1) . Για όλες τις παραπάνω δυνατές τιμές του ζεύγους (α, δ) , η τιμή της παράστασης Α γίνεται:

Α = 1 1 1 + 10(β - r) . Η ελάχιστη τιμή τώρα της διαφοράς β - r είναι το -� που δημιουργείται για β = 1 και

r = 9 . Απορρίπτοντας τέλος τα ζεύγη (9, 8) και (2, 1) (διότι τα ψηφία του τετραψήφιου αριθμού εί­

ναι διαφορετικά μεταξύ τους), καταλήγουμε στον παρακάτω πίνακα δυνατών τιμών των αριθ­μών x, y καθώς και την ελάχιστη διαφορά.

3 192 291 3 279 4193 3914 279 5 1 94 491 5 279 6 195 59 16 279 7 196 69 17 279 8 197 79 1 8 279

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Αν ο αριθμός 3v + 1 , όπου v ακέραιος, είναι πολλαπλάσιο του 7, να βρείτε τα δυνατά

υπόλοιπα της διαίρεσης: (α) του v με το 7, (β) του vm με το 7, για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου m, m > 1 . Λύση (α) Έστω 3v + 1 = 7κ, όπου v, κ ακέραιοι. Ο ακέραιος v έχει τη μορφή v = 7p + υ , όπου

υ Ε {0, 1, 2, 3,4, 5, 6} και p ακέραιος. Τότε έχουμε:

3 (7 p + υ ) + 1 = 7κ <=> 21p + 3υ + 1 = 7κ <=> 3υ + 1 = πολλαπλάσιο του 7 , οπότε η μόνη δυνατή τιμή για το υ είναι το 2. Έτσι έχουμε v = 7 ρ + 2, όπου p ακέραιος, οπότε

το μοναδικό δυνατό υπόλοιπο της διαίρεσης του v με το 7 είναι το 2. (β) Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό ανάπτυγμα, λαμβάνουμε:

Vm = (7 p + 2)m = (7 p)m + m (7 p)m-I · 2 + · · · + m · 7 p · 2m-I + 2m = ΠΟλ.7 + 2m . Επομένως, αρκεί να βρούμε τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του 2m με το 7. Αν υποθέσουμε ότι m = 3σ + υ, όπου υ Ε {Ο, 1, 2} και σ Ε Ζ , τότε λαμβάνουμε:

2m = 23σ+υ = 8σ · 2υ = {7 + 1)σ · 2υ = (πολ.7 + 1) · 2υ = πολ.7 + 2υ , όπου υ Ε {Ο, 1, 2} . Άρα τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του vm με το 7, για τις διάφορες τιμές

του θετικού ακέραιου m είναι τα εξής:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/37

-------------- Μαθηματικοί ΔιαΎωνισμοί --------------

20 = 1, αν m = πολ.3 21 = 2, αν m = πολ.3 + 1 22 = 4, αν m = πολ3. + 2.

ΓΗ>Ο ΒΛ. Η Μ Λ 4 Αν x,y, z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 12, να αποδείξετε ότι:

χ + Υ +Ξ_+ 3 � Γχ + JY + � . Πότε ισχύει η ισότητα; Υ z χ

ΛίJ ση Επειδή οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y, z έχουν άθροισμα 12, αρκεί να αποδείξουμε την

ανισότητα � + Υ +�+ χ + Υ + z � � + JΎ + Fz . (1) y z χ 4

Επειδή οι πραγματικοί αριθμοί x,y, z είναι θετικοί, από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμε-

τρικού μέσου έχουμε χ + Υ <: 2 �χ • Υ � .Jx , (2) y 4 y 4

Υ + !._ :?. 2�Υ . !.- = JΎ , (3) z 4 z 4

: + : ;?_ 2�: . : = Fz . ( 4) Με πρόσθεση κατά μέλη των (2), (3) και (4) προκύπτει η ανισότητα (1) . Η ισότητα ισχύει, όταν οι ανισότητες (2), (3) και (4) αληθεύουν και οι τρεις ως ισότητες., δη-

λαδη' όταν χ = Υ Υ = !._ !_ = Χ <=> χ = / y = z2 z = x2 <=> x = y2

y = z2 z = _!_(y2 J2 y4

y 4 ' z 4 ' χ 4 4 ' 4 ' 4 4 ' 4 ' 4 4 43

<=>x = y2 y = z2

z =_!_(z2 J4 <=>x = y2 y= z2

z =_!_zs <=>x= y2 y = z2

z7 =47 <=>x=y=z =4. 4 ' 4 ' 43 4 4 ' 4 ' 47 4 ' 4 '

Αλληλογραφία Αγαπητέ μας Ευκλείδη, Σου στέλνουμε εργασίες που έγιναν από τους μα­θητές της Γ' τάξης του 6ου Γυμνασίου Αγίου Δη­μητρίου με αφορμή το άρθρο "Εξισώσεις β' βαθ­μού" που δημοσιεύτηκε στο Ευκλείδη Α' 78.Με την ευκαιρία αυτή θα θέλαμε να σε ευχαριστήσου­με για τη συμβολή σου στην καλλιέργεια της μα­θηματικής σκέψης σε καιρούς που η λογική απέχει από το αναπόφευκτο. Κλείνουμε την εmστολή αυ­τή με μία φράση του Ρώσου λογοτέχνη Λ. Τολστό­ι: "Ο άνθρωπος είναι σαν ένα κλάσμα που έχει α­ριθμητή την πραγματική του αξία και παρονομα­στή αυτή που φαντάζεται πως έχει. Ο αριθμητής είναι σταθερός. Όσο αυξάνεται όμως, ο παρονο­μαστής τόσο μειώνεται η αξία του κλάσματος, δη­λαδή ο άνθρωπος". Με εκτίμηση , Οι μαθηματικοί του σχολείου

ριστούμε για τα καλά σας λόγια και περιμένουμε νέ­ες συνεργασίες.

ΛΥΓΕΣ Λπίι 6ο Ι υμνιίσιο Αγίου Λη μητρίου Τι/�η I ' Βαβλή Ελtνη, Βαλαβάχη ΜαρΎαρίτα, Βιδάλη Μαρ­Ύαρίτα, Δημητρακόπουλος Κων/νος, Δημητρακόπου­λος ΠαναΎtώτης, Καλύβα Κατερίνα, Κεσσόπουλος Κυριάκος, Κιάτος Χρήστος, Μίχας ΓιώρΎος, Ράπτη

Αθανασία, Στούπας Γιάννης, Σωτηροπούλου Μαρία, Τριάντου Μαρία, ΤσαΎδή Ελtνη, Τσατσούλης Νίκος, Τσόγκας ΓιώρΎος, Φιλιππάκη Δάφνη, Γ1 ,2,3 Αντωνέλος ΠαναΎιώτης , Α' τάξη, 3ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, Α16,1 8,22 Θεοδωρής Νίκος, τάξη Β', 4ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Β1 ,2,3,4, 10, 1 1 , 12, 13 , 14

Από τον κ. Οικονομίδη Ευάπελο, λάβαμε την διαδι-

Αγαπητοί συνάδελφοι, κασία εύρεσης τετραγωνικής ρίζας και τον ευχαριστού-

Συγχαρητήρια σε σας και τους μαθητές σας. Ευχα-με.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/38

Χαίρομα ι να λύνω ===== ===== Βαρόπουλος Δήμος

Γεωμετρία

Σε κάθε μαθηματικό διαγωνισμό τίθεται σχεδόν πάντα θέμα από την Γεωμετρία. Η ενασχόληση με τη λύση

προβλημάτων από την Γεωμετρία κσJ.λιεργεί στους μαθητές την κριτική σκέψη, απαραίτητο εφόδιο για όλη τη ζωή τους. Τα θέματα είναι από τα κεφάλαια Γωνίες, παρσJ.ληλία, καθετότητα, ισότητα ,ομοιότητα τριγώνων, εμβαδά. Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε θέματα διαγωνισμών με συνοπrική θεωρία και μεθοδικές παρατηρήσεις.

Για να δείξουμε ότι δύο γωνίες είναι

ίσες δείχνουμε:

Άσκηση Ι '� Στο σχήμα οι ευθείες δ I /ε , το τρίγωνο ΑΒΓ ισο­σκελές με ΑΒ=ΑΓ, ΑΗ .l ΒΓ και η ΑΔ διχοτόμος

Α

είναι κατακορυφήν της Γ ΑΕ .Α ν ΑΒ = 8, ΑΗ = 6, ΔΕ I I ΑΓ να υπολο-είναι εντός εναλλάξ γωνίες ή εντός γίσετε: i)To μήκος της ΓΔ.

και εκτός και επί τα αυτά σε δυο παράλ- ii)To εμβαδό του ΑΓΔΕ. (Θαλής 2003) ληλες ευθείες τεμνόμενες από τρίτη. Α Ε

είναι παραπληρώματα ή συμπληρώ­

ματα ίσων γωνιών.

είναι αντίστοιχες γωνίες δυο ίσων

τριγώνων

είναι απέναντι γωνίες παρ//μου

είναι γωνίες της βάσης ισοσκελούς Β Η Δ

Λύση τριγώνου

Επειδή ΑΔ διχοτόμος της Γ ΑΕ τότε Α1 = Α2 ( 1 ). είναι γωνίες προσκείμενες στη βάση

ισοσκελούς τραπεζίου

είναι εγγεγραμμένες ή επίκεντρες που

βαίνουν στο ίδιο τόξο ή ίσα τόξα.

Για να βρούμε το μέτρο μιας γωνίας

ή για να αποδείξουμε σχέσεις μεταξύ

γωνιών λαμβάνουμε υπόψη:

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

Α + Β + Γ = 1 80° ή Α = 1 80° - Β - Γ ή

Λ Λ ο Λ Α Β Γ ο Β + Γ = 1 80 - Α ή - + - +- = 90 ή 2 2 2

Λ. Λ Λ Λ Λ Λ. Α 0 Β Γ , Β Γ 0 Α - = 90 - - - - η - + - = 90 - - . 2 2 2 2 2 2

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ι­

σούται με το άθροισμα των απέναντι

εσωτερικών γωνιών, δηλ. Αεξ = Β + Γ Οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες

δυο παραλλήλων που τέμνονται από τρί-τη είναι παραπληρωματικές δηλ:

Επειδή δ//ε και ΑΔ τέμνουσα τότε: Δ1 = Α2 (2) ως Α Α

εντός εναλλάξ γωνίες. Από ( 1 )(2) έχουμε: Α1 = Δ1 άρα το τρίγωνο ΑΓ Δ ισοσκελές και Γ Δ=ΑΓ=ΑΒ=8 Επειδή ΑΓ//ΔΕ και ΓΔ//ΑΕ το ΑΓΔΕ παρ//μο και το εμβαδόν του είναι: (ΑΓΔΕ) =ΓΔ·ΑΗ=8·6=48 τ.μ Άσκηση 2η Στο παρακάτω σχήμα η Axi/Δy. Να υπολογιστεί

το άθροισμα των γωνιών α, β, γ, δ (Θαλής 1998).

Λ1Jση

Α rτ----- χ α

ΒΑ:Ι,__ ______ z 2

Γ �;τΙ:,------- η 2

Δ�----- y

Από τα Β και Γ φέρνουμε τις Βζ και Γη παράλληλες προς τις Αχ και By αντίστοιχα, οπότε έχουμε:

ά+β+y+δ = ά+(βι +β2 ) +(Ύι +Ύ2 )+δ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 80 τ.4/39

-------------- Χαίρομαι να λύνω --------------

Το άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου

είναι 4 ορθές ή 360°. Γενικά ενός ν-

γώνου είναι (2v-4) ορθές ή (2ν-4) · 90°

{ ά+βι )+(βz +Ύι )+{ Υ2 +δ) = (2+2+2)ορθές = 6 ορθές

Άσκηση 3'1 Στο σχήμα ένα ΑΒ=ΒΓ και η διχοτόμος Γχ της

Για να αποδείξουμε ότι μία γωνία Αf'Δ είναι παράλληλη στην ΑΒ. Να υπολογίσετε είναι ορθή ή δυο ευθείες είναι κάθετες τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Θαλής 2007). τότε:

είναι γωνία τριγώνου στο οποίο το ά­

θροισμα των άλλων δύο γωνιών είναι 90° .

1 είναι γωνία σε τρίγωνο, στο οποίο η

διάμεσος από την κορυφή της είναι ίση

με το μισό της απέναντι πλευράς.

ΑΜ= ΒΓ τότε Α = 90°

2 Β

Α Γ γ) είναι γωνία των διχοτόμων δύο εφε-

ξής παραπληρωματικών γωνιών.

) είναι γωνία παρ//μου με ίσες διαγώνι­

ες, οπότε αυτό είναι ορθογώνιο.

ε )είναι εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει

σε ημικύκλιο.

Για να δείξουμε ότι δύο ευθείες είναι

Λύση Α

χ

Δ Β

Αφού η Γχ διχοτόμος της Af' Δ τότε ω = φ . Επειδή

Γχ// ΑΒ και ΑΓ τέμνουσα τότε φ = Α ως εντός εναλ­

λάξ. Από ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α = Γ

Άρα: ω = φ =Α = t Όμως ω + φ + t = 1 80° άρα

ω = φ = t = 60° άρα και Α = 60° , οπότε :Β = 60°

δηλ. το τριγ. ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Άσκηση 4'1 Έστω ορθογώνιο ΑΒΓ Δ με ΑΒ=2ΑΔ και ισόπλευ­ρο τρίγωνο ΑΒΜ όπου το Μ βρίσκεται στο μέρος της Γ Δ. Α ν Ε μέσο της ΒΜ, να υπολογίσετε τη γω-

νία ΒΕΓ . (Ευκλείδης 1999). Α �---------------�

Δ

Μ Λί>ση

'Εχουμε: ΒΕ = Β� = � = ΑΔ = ΒΓ ,άρα το τριγ.

ΒΕΓ ισοσκελές οπότε: ΒΕΓ = Bf'E ( 1) Από τρίγωνο

ΒΕΓ έχουμε: ΒΕΓ + Bf'E + ΕΒΓ = 1 80° , άρα από (1) ο Α

2ΒΕΓ + ΕΒΓ = 1 80° ή ΒΕΓ = 1 80 - ΕΒΓ 2

παράλληλες δείχνουμε ένα από τα πα-Όμως ΕΒΓ = 90ο

_ 60ο = 30ο . ρακάτω:

Είναι παράλληλες σε τρίτη ευθεία.

• Είναι κάθετες σε τρίτη ευθεία Άρα: ΒΕΓ = 1 80ο - 30ο

= 75ο 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/40

-------------- Χαίρομαι να λύνω --------------

y) Σχηματίζουν με τρίτη ευθεία που τις Άσκηση Sη τέμνει, τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες ή Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: ε1 I Ιε2 I Ιε3 , τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ΓΔ .l ε3 ΑΕ=ΕΔ, rο = 30ο ,φ = 5οο . Να υπολογι­ίσες ή τις εντός και επί τα αυτά γωνίες

παραπληρωματικές. στούν οι γωνίες του ΑΒΓΔ.(Θ:λής 1999).

δ) Είναι απέναντι γωνίες παρ//μου.

ε) Η μία είναι πλευρά τριγώνου και η

άλλη διέρχεται από τα μέσα των δύο άλ­

λων πλευρών του. Α

Β

Γ ΛίJση Επειδή ΕΑ=ΕΔ και ΔΕ .l ε1 τότε το τρίγωνο ΕΔΑ εί-

Β Γ ναι ορ{)ογώνιο ισοσκελές άρα: Δ = ΔλΕ = 45° . Έ-

σ Γ Η μία είναι βάση τραπεζίου και η χουμε: Γ = Bf Δ = 90° - ω = 90° - 30° = 60° και άλλη διέρχεται από τα μέσα των μη πα- Λ Λ Λ ΓΒΛ Λ Λ 50ο 30ο 80ο , Β = ΓΒΑ = φ + ε2 = φ + ω = + = , αφου ράλληλων πλευρών του ή των διαγωνί-

ων του.

Δ Γ ζ)Ισχύουν οι προϋποθέσεις του aντι-

στρόφου του Θεωρήματος Θαλή.

ΑΔ ΑΕ , ΑΔ ΑΕ Αν - - - η - - -ΔΒ ΕΓ ΑΒ ΑΓ

ή ΑΒ

= ΑΓ τότε ΔΕ//ΒΓ ΔΒ ΑΕ

Α

Β

Τ 'Ί υ> •α Γ

1 ) Για να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο εί­

ναι ισοσκελές δείχνουμε ότι:

α) Δύο πλευρές του είναι ίσες

Δύο γωνίες του είναι ίσες

γ Μια διάμεσος του είναι και ύψος ή

αντίστροφα

π3ε2 = ω ως εντός εναλλάξ των ε2 I Ιε3 με τέμνου­

σα την ΒΓ. Επίσης ΒΑΕ + φ = 1 80° ως εντός και επί

τα αυτά των ε1 1 /ε2 άρα

ΒΑΕ = 1 80° - φ = 1 80° -50° = 130° , οπότε

Α = ΒΜ = ΒΑΕ + ΕΜ = 130° + 45° = 175°

Άσκηση 6η Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Το ύψος του ΑΗ και η μεσοκάθετη ε της ΑΒ τέμνονται στο Μ. Η κάθετη προς την ευ­θεία ε στο Μ τέμνει την ΒΓ στο Δ. Α ν ο περιγε­γραμμένος κύκλος του τριγώνου ΒΜΔ τέμνει την ε στο Σ να αποδείξετε ότι: i) ΒΣ I I ΑΜ ii) το τετράπλευρο ΑΜΒΣ είναι ρόμβος. ΛίJση

Α

α) Επειδή l\.1:1.l:MΣ δηλ. :ΙΜl=w> τότε η ΔΣ διάμετρος

τσυ περιγεγραμμένου κύκλου στο τριγ .. ΒΜΔ άρα και ΔΒΣ =90° δηλ. lli.lBΓ. Επίσης ΑΜ.lΒΓ άρα ΒΣΙ/ΑΜ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/41

-------------- Χαίρομαι να λύνω --------------

δ) Μια διάμεσος του είναι και διχοτόμος β) Επειδή το Μ ανήκει στη μεσοκάθεtο του ΑΒ τότε ή αντίστροφα ΜΑ=ΜΒ και Αι = Βι (1). Όμως Αι = Β2 (2) ως εvrός ε­ε) Μια διχοτόμος είναι και ύψος ή αντί-

ν� των ΒΣΙ/ ΑΜ με τέμνουσα την ΑΒ. Από (1 Χ2) έ-στροφα

") Για να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο εί­

ναι ισόπλευρο δείχνουμε ότι:

α) Έχει τρεις πλευρές ίσες

β) Έχει τρεις γωνίες ίσες

Δύο γωνίες του είναι 60°

δ) Είναι ισοσκελές και .έχει μία γωνία

60°

3) Για να δείξουμε δύο ευθύγραμμα

τμήματα ίσα, δείχνουμε ότι:

α) Είναι αντίστοιχες πλευρές ίσων τρι­

γώνων. Την ισότητα τριγώνων την δεί­

χνουμε με ένα από τα κριτήρια ισότητας:

1 ο κριτήριο: Π-Π-Π

2° κριτήριο: Π-Γ -Π

3° κριτήριο : Γ-Π-Γ

Χρειάζονται τρία στοιχεία, από τα οποία

το ένα είναι, οπωσδήποτε πλευρά.

Α ν τα τρίγωνα είναι ορθογώνια τότε για

να είναι ίσα αρκεί να έχουν:

• Δύο πλευρές ίσες μία προς μία

Μία πλευρά και μία οξεία γωνία α­

ντίστοιχα ίσες.

J Είναι απέναντι πλευρές παρ//μου.

γ) Είναι πλευρές ισοσκελούς τριγώνου.

δ) Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου.

ε) Είναι μη παράλληλες πλευρές ισο­

σκελούς τραπεζίου.

στ) Είναι αποστάσεις σημείου της μεσο­

καθέτου, από τα άκρα του ευθύγράμμου

τμήματος.

ζ) Είναι αποστάσεις σημείου της διχο­

τόμου γωνίας, από τις πλευρές της.

χουμε: Βι = Β2 • Έτσι η ΒΚ σtο τρίγωνο ΒΣΜ είναι ύψος

και διχοτόμος, άρα το τρίγωνο ισοσκελές δηλαδή ΒΣ=ΒΜ.

Όμως ΣΒ=ΣΑ, αφού το Σ ανήκει στη μεσοκάθεtο του ΑΒ.

Συνεπώς: ΜΑ=ΜΒ=ΒΣ=ΣΑ, δηλαδή το τεtράπλευρο ΑΜΒΣ f:χει τtς πλευρές του ίσες, άρα είναι ρόμβος.

Άσκηση 7 Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ και BAr = 40° . Η ευθεία ε είναι παράλ­ληλη στην ΒΓ και η ευθεία δ μεσοκάθετη της πλευράς ΑΓ. α) Να υπολογίσετε τη γωνία zf'x . β) :Να αποδείξετε ότι ΚΑ=ΑΖ Λύση

ε

δ Κ Β χ

z

α) Έχουμε: zf'x = ΑΖΓ (1) ως εντός εναλλάξ των ΒΓ//ε με τέμνουσα την ΖΓ. Επειδή η δ μεσοκάθετος του ΑΓ τότε ΖΑ=ΖΓ, άρα το τρίγωνο ΖΑΓ ισοσκελές,

άρα zt Α = ΖΑΓ (2). Όμως ZAr = t (3) ως εντός ε­ναλλάξ της ε//ΒΓ με τέμνουσα την ΑΓ. Από το ισοσκε-

λές τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Β = Γ και Α + Β + Γ = 180° άρα zB=1sιf -A=1sιf -4<f =14<f , άρα Β = Γ = 70° . Από (2)(3) έχουμε: zΓ Α = ZAr = 70° άρα από το τρί­

γωνο ΑΖΓ, η AZr = 1 80° - 2 · 70° = 40° Άρα από (1)

έχουμε: zrx = 40° β) Επειδή η δ μεσοκάθετη της ΑΓ, τότε ΚΑ=ΚΓ, άρα το τρίγωνο ΚΑΓ ισοσκελές με ΚΑ=ΚΓ, οπότε η ΚΕ διχοτόμος της ΑΚr άρα ΑΚz = ΓΚz . Όμως

ΑΖΚ = ΓΚz ως εντός εναλλάξ των ε/ /Β Γ με τέμνου­

σα την ΖΚ, άρα ΑΚz = ΑΖΚ ,οπότε το τρίγωνο ΑΚΖ ισοσκελές με ΑΚ=ΑΖ.

Προτεινόμενες ασκήσεις

Χι. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) και ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ( Β = 90° ),με ΒΔ=ΒΓ. Να αποδείξετε ότι η ΓΔ f;ίναι διχοτόμος της γωνίας Γ. Xz. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος ΓΗ και η διάμεσος ΒΚ είναι ίσα. Αν ΓΒΚ = ΒΓΗ ,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. XJ. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) και η διχοτόμος του ΑΔ. Φέρνουμε Δχ l_ ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ε και την προέκταση της ΑΓ στο Ζ . . Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΖΓ. Βιβλιογραφία: Οι Πανελλήνιοι Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Νέων1967-2007,ΕΜΕ.,

Χ.Στεργίου "Ολυμπιάδες Μαθηματικών". Β, Γ Γυμνασίου, εκδόσεις Σαββάλας.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/42

Τα μαθηματικά θέματα του PISA (40) ======================== Ρίζος Γιώργος

3η ΕΝΟΤΗΤΑ (β)

Θέματα Στατιστικής - Πιθανοτήτων

Στο 4ο και τελευταίο άρθρο της σειράς "Τα μαθηματικά θέματα του PISA" δίνουμε μερι­κά ακόμα θέματα Στατιστικής και Πιθανότήτων, που αντιστοιχούν στην έννοια "Η αρχή της

Αβεβαιότητας" από την τράπεζα θεμάτων του PISA. Τα θέματα αυτά καλύπτουν το � των

θεμάτων του PISA και αφορούν έννοιες οι οποίες, αν και τυπικά εντάσσονται στα Αναλυτικά Προγράμματα του Γυμνασίου, συνήθως δεν διδάσκονται, με αποτέλεσμα οι απαντήσεις των μα­θητών μας να στηρίζονται στις εμπειρικές γνώσεις τους και στη διαίσθησή τους.

21. Επαρχιακό Γυμνάσιο Σε ένα επαρχιακό Γυμνάσιο ο αριθμός των μα­θητών φαίνεται στο ραβδόγραμμα: Εmλέyουμε τυχαία ένα μαθητή.

Ερώτηση 1 : Ποια η πιθανότητα να είναι από το τμήμα Βι;

Ερώτηση 2: Από ποιο τμήμα θα ήταν πιθανότερο να είναι;

Ερώτηση 3 : Από ποια τάξη θα ήταν πιθανότερο να είναι;

Ερώτηση 4:

30 25 20 15 10 5

ο

αριθμός μαθητών

27 26 25

-r--

20 _Ε_ - - r-- r--1--- - - - r-- �

t--- - - - r-- -

t--- - - - r-- -

Α, Β, Β, Γ, τμ.�ματα

Αν τα κορίτσια του Β2 είναι 13, ποια η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι από το Β2;

Απαντήσεις:

21 1 τ ' λο ' 120 θη ' ' θ ' ' 26 • ο συνο ειναι μα τες, αρα η πι ανοτητα ειναι - .

120

21.2 Από το Γι που έχει τους περισσότερους μαθητές.

21.3 Από τη Β ' τάξη που έχει τους περισσότερους μαθητές (5 1).

21.4 Τα αγόρια του Β2 είναι 12, οπότε η πιθανότητα είναι: � = Ο, 1 = 10% . 120

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/43

------------ Τα μαθηματικά θέματα του PISA ------------

22. Τυπικά προσόντα ·

Για να προσληφθεί κάποιος σε μια εταιρεία πρέπει να έχει πτυχίο πιστοποίησης ξένης γλώσσας ή πτυχίο πιστοποίησης γνώσης υπολογιστών ή και τα δύο. Το 78% των προσ­ληφθέντων έχει πτυχίο υπολογιστών και το 84% ξένης γλώσσας.

Ερώτηση 1 : Τι ποσοστό των προσληφθέντων έχει και τα δύο;

Ερώτηση 2 : Αν 3 1 έχουν και τα δύο πτυχία, πόσοι προσελήφθησαν τελικά;

Απαντήσεις:

22.1 Αφού το 78% των προσληφθέντων έχει πτυχίο Υπολογιστών, το υπόλοιπο 22% έχει πτυ­χίο μόνο Ξένης Γλώσσας. Αφού το 84% των προσληφθέντων έχει πτυχίο Ξένης Γλώσσας, το υπόλοιπο 1 6% έχει πτυχίο μόνο Υπολογιστών.

Το υπόλοιπο 100 - 22 - 16 = 62% έχει και τα δύο πτυχία. Για μαθητές Λυκείου: Παριστάνουμε με σχήματα (διαγράμματα Venn) τους παραπάνω υπολογισμούς. Λέμε όn το σύνολο των προσληφθέντων που έχουν και τα δύο πτυχία είναι η τομή των δύο συνόλων.

/' .. ,\\ ( Και τα Πτυχίο Υπολογιστών 22% 78%

Πτυχίο Ξένων 16% Γλωσσών 84%

16% !δύο πτυχία 22% \ 62%

22.2 Το 62% των προσληφθέντων είναι 3 1 άτομα.

Αν χ οι προσληφθέντες, τότε: 62

· χ = 3 1 άρα χ = 50. 100

Άλλη λύση: (Με απλή μέθοδο των τριών) 62 στους 100

3 1 στους χ

23. Χίλια ευρώ

οπότε χ = 100 · 3 1 = 50 .

62

Σε ένα κουτί έχουμε χίλια νομίσματα του 1 ευρώ. Τα αδειά­ζουμε σε ένα τραπέζι, απομακρύνουμε όσα έχουν προς τα πάνω την όψη με την κουκουβάγια, μετράμε τα υπόλοιπα και τα ξαναβάζουμε στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και καταγράφουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα:

Ρίψεις

Αριθμός νομισμάτων που παραμένουν στο τραπέζι

1

545

2

278

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'80 τ.4/44

3

1 3 1

\ //

4 5

64 29

------------ Τα μαθηματικά θέματα του PISA ------------

Ερώτηση 1 : Είναι λογικά τα αποτελέσματα που καταγράψαμε; Γράψτε την άποψή σας.

Ερώτηση 2: Αν είχαμε αρχικά 20 νομίσματα, θα μπορούσαμε να επαναλάβουμε με την ίδια ακρί­βεια το παραπάνω πείραμα;

Απαντήσεις:

23.1 Επειδή τα νομίσματα είναι πολλά, προφανώς, αναμένεται να παραμένουν περίπου τα μι-σά μετά την κάθε ρίψη. Αναμένεται, δηλαδή, να μένουν:

1 η ρίψη: περίπου 500 2η ρίψη: περίπου 250 3η ρίψη: περίπου 125 4η ρίψη: περίπου 62 5η ρίψη: περίπου 30 κ.ο.κ.

ΣΧΟΛΙΟ: Το «προφανώς» αναφέρεται στο Νόμο των Μηάλων αριθμών (Kolmogoroν), που λέ­ει ότι η συχνότητα επανάληψης κάθε ενδεχομένου ενός πειράματος μετά από «μεγάλο» α­ριθμό επαναλήψεων σταθεροποιείται σε ένα αριθμό, τον οποίο ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου. Εδώ δεχόμαστε ότι η πιθανότητα εμφάνισης κάθε όψης νομίσματος είναι 0,5.

23.2 Όχι, γιατί τα νομίσματα είναι λίγα, οπότε το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί.

Προτεινόμενα θέματα για εξάσκηση:

24. Απατηλό ραβδόγραμμα

Έξαλλος, ο διευθυντής μιας μικρής επι­χείρησης, μόλις βλέπει το γράφημα των ετησίων εξόδων, αρχίζει να φωνάζει ότι παρατηρεί τεράστια αύξηση των λει­τουργικών εξόδων, αφού το ραβδόγραμ­μα από το 2004 στο 2005 σχεδόν διπλα­σιάζεται!

Έξοδα σε €

40.500 f---+--1--+---+---1 40.400 f---+-+---1

Έτη Ο λογιστής προσπαθεί να τον καθησυχά-

σει και στο τέλος τον πείθει. Πώς άραγε;

Με βάση μια ιδέα από το βιβλίο: Paulo.� John Allen, «Α Mathematίcίan Reads the Newspaper»,

Basίc Books, Ν. Υ., 1995

25. Η επιδημία Ένας επιστήμονας προβλέπει την εξά­πλωση μιας επιδημίας σε μια περιοχή για τα επόμενα 5 χρόνια με πιθανότητα 60%. Τι πιστεύετε ότι εννοούσε:

Α. Αφού η πιθανότητα να εξαπλωθεί ( 60%) είναι μεγαλύτερη από την πιθανό­τητα να μην εξαπλωθεί ( 40% ), θα έχουμε σίγουρα επιδημία στην περιοχή.

Β. Επειδή 60% = 60

= � = �, τα τρία 100 10 5

από τα επόμενα πέντε χρόνια θα έχουμε επιδημία στην περιοχή.

Γ. Στο 60% της περιοχής τα επόμενα πέ­ντε χρόνια θα έχουμε επιδημία.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'80 τ.4/4S

------------- Τα μαθηματικά θέματα του PISA -------------

Δ. Η πιθανότητα να εξαπλωθεί η επιδη- Απαντήσεις ασκήσεων 4ου άρθρου μία στην περιοχή τα επόμενα πέντε χρό­νια είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να μην εξαπλωθεί.

Ε. Το 60% των κατοίκων της περιοχής θα aσθενήσουν από την επιδημία μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια.

26. Το πρόβλημα του μπογιατζή ... Θέλουμε να βάψουμε μια παλιά αποθήκη. Έχουμε πέντε κουτιά χρώμα, άσπρο, μπεζ, γαλάζιο, ζαχαρί και λαδοπράσινο. Αποφα­σίζουμε να ανακατέψουμε χρώμα από δύο απ' αυτά. Πόσους συνδυασμούς μπορούμε να κάνουμε; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Απαντήσεις ασκήσεων 3ου άρθρου

17.1 Ο βαθμός που προκύπτει από το πηλίκο:

lo τριμ. + 2ο τριμ, + 3ο τριμ. + Βαθμός γραπτών εξετ. 4

λέγεται Μέσος όρος η μέση τιμή των βαθμών

του μαθητή. Για να περάσει κανείς ένα μάθημα

(στο Γυμνάσιο), πρέπει να έχει άθροισμα τουλά-

38 ' ' ' ' 38 9 5 χιστον , ωστε ο μεσος ορος να ειναι 4 = , ,

που στροyyυλοποιείται στο 1 Ο. Οπότε η Μαρία

χρειάζεται: 38 - ( 18 + 4) = 16 και άνω στο 3ο

τρίμηνο.

18. Τα δεδομένα έχουν μεγάλη διαφορά μεταξύ τους.

Αν π.χ. παραστήσουμε τα έξοδα προμηθειών

(42.000 €) με ράβδο ύψους 2 1 cm, τότε κάθε εκα­

τοστό του ραβδογράμματος αντιστοιχεί σε 2.000

€, οπότε τα 85 € αντιστοιχούν σε ύψος μικρότερο

του μισού χιλιοστού!

19. Α: ΛΑΘΟΣ,

Δ: ΣΩΣΤΗ

Β: ΛΑΘΟΣ, Γ: ΛΑΘΟΣ,

ΣΧΟΛIΟ: Η εκφώνηση ζητά ερμηνεία της πρόγνωσης.

Δε ζητά τη γνώμη μας για το αν νομίζουμε ότι εί­

ναι σωστή ή λάθος η πρόγνωση.

20. Συμβολίζουμε: Μπέικον: Α, Μανιτάρια: Β, Ζαμπόν: Γ, Πιπεριές: Δ. Οι συνδυασμοί είναι:

ΑΒ ΑΓ Α4 ΒΓ ΒΔ

ΑΒΓ ΑΒΔ ΑΓΔ ΒΓΔ

ΑΒΓΔ

ΓΔ

24. Το διακεκομμένο ραβδόγραμμα παραπλανά πολ­

λές φορές επίτηδες.

Η μεταβολή είναι μόλις: � = 1, 125% . 40.000

25. Προφανώς . . . (Δ). Οποιαδήποτε άλλη απάντηση

θα οφείλεται είτε σε τυχαία επιλογή απάντησης

είτε σε άγ\ιοια των εννοιών.

26. Πιθανές (φαινομενικά σωστές) απαντήσεις:

1 η Κάθε ένα από τα πέντε συνδυάζεται με καθέ­

να από τα υπόλοιπα 4. Έχουμε, λοιπόν 20 συνδυ­

ασμούς.

W · W = 2o και επειδή μετριούνται δύο φορές (πχ. ζαχαρί με γαλάζιο και γαλάζιο με ζαχαρί), είναι

20 = 1 Ο . 2

2η Συνδυασμοί:

Α-Μ Α-Γ Α-Ζ Α-Λ

Μ-Γ Μ-Ζ Μ-Λ

Γ-Ζ Γ-Λ

Ζ-Λ Σύνολο: 1 Ο

ΣΩΣΤΗ ΑΠΆΝΤΗΣΗ : Έχει αμέτρητους, γιατί το χρώμα που θα προκύ­

ψει εξαρτάται από την αναλογία των χρωμάτων

που θα αναμείξουμε!

ΣΧΟΛIΟ: Πρόκειται για ένα πρόβλημα «πραγ­ματικού κόσμου>>, όπου τα μαθηματικά δεν μπο­

ρούν (και δεν χρειάζεται) να δώσουν απάντηση.

Παραπλανά η εκφώνηση, γιατί θυμίζει συνδυα­

σμούς των πέντε αντικειμένων ανά δύο.

Βιβλιογραφία:

[ 1 ] Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, Θέματα αλφαβητι­

σμού προγράμματος PISA, Αθήνα 2005.

[2] OECD, (1999), Measuring Student Knowledge and

Skills - Α New Frameworkfor Assesment,

http:/ /www .pisa.oecd.org

[3] OECD, (200 1 ), Sample Tasks from the PISA 2000 As­

sessment, READING, ΜΑτΗΕΜΑΠCΑL AND SCIENΓIFIC LΠERACY.

[4] OECD,(2004), The Pisa 2003 Assessment Frame­

work.

[5] Ρίζος Γ., Στο δρόμο για τον PISA, Τα μαθημαπκά οτο

διεθνή διαγωνισμό PISA, Εκδ. ΜΑ ΥΡΙΔΗ, Θεσσαλο­

νίκη, 2009

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'80 τ.4/46

Ταξίδ ι στη Γεωμετρία =============================================== Γιώργος Τσαπακίδης

Ουσιαστικά, επιστήμη είναι η τέχνη της μέτρησης. Όσο πιο προηγμένη είναι η επιστήμη τόσο πιο ακριβείς είναι οι μετρήσεις. Αλλ,ά όσο ακριβείς και να είναι οι μετρήσεις, τελικά είναι μία προσέγγιση της πραγματικότητας. Στο πλαίσιο αυτό θα κάνουμε ένα ταξίδι στον πραγματικό κόσμο μετρώντας διάφορα μεγέθη με τη βοήθεια της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

2° πρόβλημα Έχουμε ένα πο­δήλατο και ένα aριθμημένο χά­ρακα 50 cm. Πως μπορείτε να βρείτε την απόσταση με­ταξύ του σπι­

1° πρόβλημα Μία πίτσα διαμέτρου 20 cm κοστίζει 5 ευ­ρώ. Πόσο πρέπει να κοστίζει μία πίτσα δι­αμέτρου 40 cm αν εί­ναι κατασκευασμένη με τα ίδια υλικά με την πρώτη;

τιού σας και του σχολείου σας; 3° πρόβλημα Με μία λαμαρίνα 1 3χ7 κατασκευάζουμε δύο ειδών σωλήνες όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ποιος έχει τη μεγαλύτερη χωρητικότητα;

4° πρόβλημα Υποθέτουμε ότι κάνετε τις καλοκαιρινές σας δια­κοπές σε ένα ορεινό χωριό και ότι στην αυλή του σπιτιού που μένετε υπάρχει ένας κορμός καρυδιάς. Ο ιδιοκτήτης του κορμού θέλει να τον πουλήσει αλλά δεν μπορεί να υπολογίσει τον όγκο του. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

. :"· .:, ;.r; ... ,� ..... �;,:�:·i�.�_·;��Ξ·,:����

�) _;-;: . -;: 5° πρόβλημα Ταξιδεύετε με ένα καράβι που κινείται με σταθερή ταχύτητα u την οποία γνωρίζετε. Διαθέτετε ένα γωνιόμετρο και ρολόι με χρονόμετρο. Μπορείτε να

εκτιμήσετε την απόσταση του καραβιού από την ξηρά με

6° πρόβλημα Πως μπορούμε να βρούμε το μήκος μιας μικρής λίμνης αν διαθέτουμε μόνο μετροταινία;

7° πρόβλημα Το διπλανό διάγραμμα είναι η σχηματική αναπα­ράσταση του εμβόλου Δ μιας aτμομηχανής, του κυλίνδρου μέσα στον οποίο κινείται το έμβολο και της ράβδου ΒΓ που μεταδίδει την κίνηση του εμ­βόλου στον στρόφαλο ΑΓ. Αν η συνδετική ράβδος ΒΓ έχει μήκος 1 ,20 m και ο στρόφαλος ΑΓ 30 cm, ποιο μπορεί να είναι το μήκος του ΑΒ;

8° πρόβλημα Η αρμόδια υπηρεσία ζήτησε από τον υπεύθυνο ι­χθυολόγο μιας λίμνης, μιας μελέτη για την αύξηση των ψαριών της λίμνης. Βασικό στοιχείο για τη μελέτη είναι η γνώση του όγκου του νερού της λί­μνης. Μπορείτε να περιγράψετε μία μέθοδο προ­σεγγιστικού υπολογισμού του όγκου του νερού της λίμνης;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/47

--------------- Ταξίδι στη Γεωμετρία ___ .;...._ _________ _

9° πρόβλημα Για την κατασκευή φωτογραφικών μηχανών, μι­κροσκοπίων και τηλεσκοπίων χρησιμοποιούμε φακούς που είναι οπτικά όργανα από γυαλί τα ο­ποία περιορίζονται από δύο σφαιρικές επιφάνειες. Η ευθεία που περνά από το κέντρο του φακού λέ­γεται κύριος άξονας και κάθε άλλη ευθεία που περνά από το κέντρο του φακού λέγεται δευτερεύ­ων άξονας (σχ. l). Κάθε παράλληλη δέσμη φωτει­νών ακτίνων προς τον κύριο άξονα του φακού συ­γκλίνει σε σημείο Ε που λέγεται εστία, της οποίας το η απόσταση από το κέντρο Ο του φακού λέγε­ται εστιακή απόσταση και τη συμβολίζουμε με f (σχ.2). Στο σχήμα 3, ο φακός σχηματίζει το είδωλο Α'Β ' του αντικειμένου ΑΒ. Αν με α συμβολίσουμε την απόσταση του αντικειμένου ΑΒ από το κέντρο τοv φακού και β την αντίστοιχη απόσταση του ει­δώλου, βρείτε αν υπάρχει σχέση που συνδέει τα α, β, f.

10° πρόβλημα

�- -� --- --- -·- ----JfJ-"/ I !--f__j

Σ 'ι(....; ι-ιαι. :ι

Η απόσταση των πηγών ενό<; ποταμού από το ση­μείο της εκβολής του στη θάλασσα είναι d. Μπο-ρείτε να f του

Και τώρα οι λύσεις τους . . .

1° πρόβλημα Η τιμή της πίτσας πρέπει να είναι ανάλογη του εμ­βαδού της. Έτσι, αν χ είναι η τιμή της πίτσας με διάμετρο 40 cm, έχουμε:

• Εμβαδό πίτσας διαμέτρου (40J2 Ει = π 2 · =202π = 400π

• Εμβαδό πίτσας διαμέτρου (20J2 Ει = π 2 = 102π = lΟΟπ

40:

20:

• != S. = 400π = 4 , άρα χ = 5· 4 = 20 ευρώ. 5 Ε

2 lΟΟπ

2° πρόβλημα Μετράμε το μήκος ρ της μπροστινής ρόδας του ποδηλάτου. Η περίμετρός της θα είναι 2πρ � 6,28ρ cm. • Σημαδεύουμε με άσπρο χρώμα ένα σημείο του

ελαστικού της μπροστινής ρόδας και μετράμε το πλήθος ν των περιστροφών της από το σπίτι μέχρι το σχολείο.

• Απόσταση Σπιτιού - Σχολείου � 6,28νρ cm � 0,0628νρ m.

3° πρόβλημα Για τον πρώτο σωλήνα έχουμε:

13 • Μήκος βάσης = 13, άρα 2πρ = 13 , ρ=

2π • Όγκος = πρ2h =

π (QJ2 • 7 =π ( 1 69 J . 7 = 1 1 83 2π 4π2 4π

Για το δεύτερο σωλήνα έχουμε: 7

• Μήκος βάσης = 7, άρα 2πρ = 7 , ρ = 2π

• Όγκος =πρ2h = π (;π J2 · 1 3 = π (

4�} 13 = �: Άρα ο πρώτος σωλήνας έχει μεγαλύτερη χωρητι­κότητα από το δεύτερο. 4° πρόβλημα Με ένα σπάγγο μετράμε την περίμετρο του κορμού σε διαφορετικά σημεία, όπως φαίνεται στο διπλα­νό σχήμα με τις διακεκομμένες γραμμές και βρί­σκουμε το μέσο όρο μ αυτών των μετρήσεων. Έ­τσι, θα έχουμε: μ = 2πρ (ρ η μέση ακτίνα των το-

' ) , μ 'Ε ,

,

μών του κο ρ μου αρα ρ= - . τσι, ο κορμος εχει 2π

όγκο ν = πρ2h = π (�J2 h = μ2h :::::: μ2h 2π 4p 12,56

5° πρόβλημα Με τη βοήθεια ενός γωνιόμετρου μετράμε τη γω­νία φ που σχηματίζει η διεύθυνση κίνησης του

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/48

---------------- Ταξίδι στη Γεωμετρία ---------------­

πλοίου με την οπτική ακτίνα που μας συνδέει με το σημείο Σ της ξηράς. Εκείνη τη στιγμή θέ­τουμε σε λειτουργία το χρονόμετρο και μετράμε το χρονικό διάστημα t μέχρι το σημείο Μ της διεύ­θυνσης της πορείας του πλοίου που είναι τέ-τοια ώστε Σ Μ Χ = 2φ. Επειδή η γωνία Σ Μ Χ είναι εξωτερική στο τρί­γωνο ΜΤΣ, θα έχουμε: 2φ=φ+ Σ άρα Σ =φ= t δηλαδή το τρίγωνο ΜΤΣ είναι ισοσκελές

Γωνιόμετρο

οπότε ΜΣ=ΜΤ=u· t, όπου το u μετριέται σε μίλια ή χιλιόμετρα και το t σε ώρες. 6" πρόβλημα Τοποθετούμε δύο κατακόρυφα καλά- ι μια στα άκρα Β και Γ της λίμνης και ένα σε σημείο Α εκτός της λίμνης έτσι ώστε να φαίνονται τα Β και Γ από το Α. Βρί­σκουμε τα μέσα Κ

r

και Λ των αποστάσεων του Α από τα Β και Γ. Το μήκος ΒΓ της λίμνης είναι το διπλάσιο του μήκους ΚΛ. 7° πρόβλημα Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: ΒΓ - ΑΓ � ΑΒ � ΒΓ + ΑΓ (το «=>> ισχύει όταν το σημείο Γ βρεθεί πάνω στη ΒΑ, μία φορά αριστερά και την άλλη δεξιά του Α), οπότε: 1 ,20 - 0,30 � ΑΒ � 1 ,20 + 0,30 άρα 0,90 � ΑΒ � 1 ,50. 8" πρόβλημα Από το χάρτη της λίμνης υπολογί- Γ - - - - - - - - - -ι

ι ι ζουμε προσεγγι- 1 I στικά το εμβαδόν Ι ι της Ε κατασκευά- t_ - - - - - - - - ι

ζοντας ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Με μία βάρκα πηγαίνουμε σε διάφορα σημεία της λίμνης, τυχαία επιλεγμένα, στα οποία μετράμε το βάθος της λίμνης. Α ν μ είναι ο μέσος όρος των βαθών που μετρήσαμε, τότε ο όγκος του νερού της λίμνης προσεγγιστικά θα εί­ναι: V=Ε·μ 9" πρόβλημα Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΟ και Α 'Β Ό είναι ό-

μοια γιατί έχουν ΑΟΒ = Α'ΟΒ ' (κατακορυφήν). 'Ε ΑΒ ΑΟ α

( 1 ) Τ θ , , τσι, -- = -- = - α ορ ογωνια τριγωνα Α'Β' ΑΌ β ΕΟΓ και ΕΑ'Β' είναι όμοια γιατί έχουν

λ λ ' ( ' ) 'Ε rο ω f fΈΟ =Α ΈΒ κατακορυφην . τσι, -=-=-Α'Β' FA β-f αλλά ΓΟ = ΑΒ άρα ΑΒ = _f_ (2) Α'Β ' β - f Από τις ( 1 ) και (2) πάιρνουμε: α = _f_ επομέ­

β β - f νως: α(β-t) = βf , αβ-αf = βf , αβ = αf + βf ,

1 α + β α β 1 1 , αβ = ( α+β)f , - = -- = - + - = - + - . Άρα η f αβ αβ αβ β α

, δ ' β f , 1 1 1 σχεση που συν εει τα α, , ειναι η - = - + - . f β α

10° πρόβλημα Μπορούμε να προσεγγίσουμε το πραγματικό μήκος R του πο­ταμού αν θεωρήσουμε ότι απο­τελείται από ημικύκλια, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Είναι: R = (Μήκος ημικυκλίου με διάμετρο A1Az) + (Μήκος ημι­κυκλίου με διάμετρο AzA3) + (Μήκος ημικυκλίου με διάμε­τρο Α3Α4) + . . . + (Μήκος ημι­κυκλίου με διάμετρο Av.ιAv) =

λι Π Ιιί!Ι ι "•

_!2π Α,Αz +_!2π ΑzΑ3 +_!2π Α3Α4 + . . . +.!2π �-ι� 2 2 2 2 2 2 2 2 =�(AAz +Az� +Α3Α.ι + ... +�-��) =

3·�4

d=1,57d

ΣΧΟΛ/0: Όλες οι μετρήσεις που προτάθηκαν στα προβλή­ματα που εξετάσαμε θα μπορούσαν να πραγματοποιηθούν και στην Αρχαία Ελλάδα γιατί στηρίζονται στην Ευκλείδεια Γεω­μετρία που ήταν γέννημα και θρέμμα της. Στην εποχή μας, οι μετρήσεις είναι πολύ πιο ακριβείς με τη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας. Καλό θα ήταν οι μαθητές ανατρέχοντας στο δια­δίκτυο ή σε άλλες πηγές πληροφόρησης να περιγράψουν πως γίνονται μετρήσεις τέτοιου είδους στις μέρες μας.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ι . Κ.Δ.Αλεξόπουλος - Γ.Δ.Μπίλλης, Στοιχεία Φυσικής, τόμος 1''.

Αθήνα, 1 967 2. J.D.Austin (edited), App1ications of Secondary School Maιhe­

matics, NCTM, USA, 1 99 1 3. S.R.Clemens κ.α., Geometry, Addison - Welsey Publishing

Company, USA, \ 9 8 1 4. H.R.Jacobs, Geometry, W.H.Freeman and Company, USA. Ι 9ί-Ι 5. J.Kolby - D.νaughn, Gre Math Bible, Nova Press, USA, 2008 6. E.E.Moise - F.L.Downs, Geometry, Addison - Welsey· Publish­

ing Company, USA, 1 982 7. M.Parker, She Does Math!, Μ.Α.Α., USA, 1 997 8. D.Rayner, Genera1 Maιhematics Revision and Practise. Oxtord.

Great Britain, 1 988 9. M.Serra, Geometry, Key Cuπiculum Press, USA, 1 997 10. J.F.Uirich, HBJ Geometry, USA, 1 984

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/49