ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' 8-9

ÂéâëéïìÜèçìá 17ÂéâëéïìÜèçìá 17ÂéâëéïìÜèçìá 17ÂéâëéïìÜèçìá 17ÂéâëéïìÜèçìá 17ïïïïï

Åðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅðßêåíôñåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåòÅããåãñáììÝíåò ãùíßåò


ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÊáíïíéêÜ ðïëýãùíáÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ


ÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÌÞêïò êýêëïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõÅìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ

ÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÌÞêïò ôüîïõÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝáÅìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá

ÊåöÜëáéï 8ïïïïï

ÌÝôñçóç ÊýêëïõÌÝôñçóç Êýêëïõ

Â

éâëéïìÜèçìá

17Åðßêåíôñåò - ÅããåãñáììÝíåò

ãùíßåòÅðßêåíôñåò - ÅããåãñáììÝíåò

ãùíßåò

Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη; Τι λέµε αντίστοιχο

τόξο της επίκεντρης γωνίας; Πότε λέµε ότι ένα τόξο είναι

µο;

Επίκεντρη γωνία σε κύκλο (Ο,ρ) λέγεται κάθε γωνία

ˆxOy που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου.

Αν οι πλευρές της επίκεντρης γωνίας τέµνουν τον κύκλο

(Ο,ρ) στα σηµεία Α και Β λέµε ότι το τόξο AB είναι το

αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας. Επίσης λέµε ότι η

επίκεντρη γωνία ÂOB βαίνει στο τόξο AB .

Ένα τόξο λέµε ότι είναι µο , όταν αντιστοιχεί σε επίκεντρη

γωνία µο.

Προσοχή!!!

∆εν µπορούµε να κάνουµε σύγκριση τόξων σε άνισους κύ-

κλους. ∆ύο τόξα µο είναι ίσα µόνο όταν είναι τόξα του ίδιου

κύκλου ή ίσων κύκλων.

∆ηλαδή δύο τόξα AB και A 'B' µο όταν ανήκουν σε άνι-

σους κύκλους, δεν µπορεί να είναι ίσα, ενώ οι επίκεντρες

γωνίες ÂOB και Â 'OB' είναι πάντα ίσες.

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΕΠΙΚΕΝΤΡΩΝ ΓΩΝΙΩΝ

• Σε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλο ισχύουν:

1. Ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους και αντίστοφα.

2. Ίσα τόξα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες χορδές τους και ίσες χορδές έχουν και τα

αντίστοιχα µικρά ή µεγάλα τόξα τους ίσα (Σε κάθε χορδή ενός κύκλου αντιστοιχούν

δύο τόξα, ένα “µικρό” και ένα “µεγάλο”).

3. ∆ύο τόξα µο είναι ίσα.

• Τα τόξα και οι γωνίες µετριούνται µε τις ίδιες µονάδες.

O

ñ

A B

x y

ìï

Επίκεντρες γωνίες

260.

Επίκεντρες - Εγγεγραµµένες γωνίες

Μέτρηση κύκλου

Πόσων µοιρών είναι:

α. Ένας κύκλος,

β. Ένα ηµικύκλιο,

γ. Καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος

από δύο κάθετες διαµέτρους του;

α. Κάθε κύκλος είναι τόξο 360ο και αντιστοιχεί στην

πλήρη επίκεντρη γωνία.

β. Κάθε ηµικύκλιο είναι τόξο 180ο και αντιστοιχεί στην

ευθεία επίκεντρη γωνία.

γ. Κάθε τεταρτοκύκλιο είναι 90ο και αντιστοιχεί σε επίκε-

ντρη γωνία 90ο (1L).

α. Ποια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; β. Ποια είναι η

σχέση της εγγεγραµµένης γωνίας προς την επίκεντρη που

αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο; Να αποδείξετε τον ισχυρισµό

σας στην περίπτωση που µια πλευρά της εγγεγραµµένης

γωνίας περνάει από το κέντρο του κύκλου.

α. Εγγεγραµµένη γωνία σε κύκλο (Ο,ρ), λέγεται κάθε

γωνία ˆxAy που έχει την κορυφή της στον κύκλο και οι

πλευρές της τέµνουν τον κύκλο.

Το τόξο BΓ του κύκλου (Ο,ρ) ονοµάζεται αντίστοιχο

τόξο της εγγεγραµµένης γωνίας ˆxAy .

Λέµε ακόµα ότι η εγγεγραµµένη γωνία BAΓ βαίνει σε

τόξο BΓ .

β. Η εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε το µισό της επίκε-

ντρης γωνίας, που βαίνει στο ίδιο τόξο. (Με άλλα λόγια,

η εγγεγραµµένη γωνία σε µοίρες είναι ίση µε το µισό του

αντίστοιχου τόξου της.)

Χαρακτηριστικά τόξα

Εγγεγραµµένες γωνίες

261.Μέτρηση κύκλου


Απόδειξη

Έστω ότι η γωνία φ είναι εγγεγραµµένη και Ο2, η αντίστοι-

χη επίκεντρη. Από το σχήµα ισχύουν:

ΟΑ ΟΒ ρ= = ,

οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές.

Άρα: ˆ ˆ ˆA Β φ= = .

Επίσης:

ο ο ο

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆΟ A Β 180 ή Ο 2φ 180 ή 2φ 180 Ο+ + = + = = − (1)

Αλλά: ο

1 2Ο Ο 180+ = (παραπληρωµατικές)

ή ο

2 1Ο 180 Ο= − (2)

Από τις σχέσεις (1), (2) προκύπτει: 2 2

1ˆ ˆ2φ Ο ή φ Ο

2= =

1. Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή.

2. Οι εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξο είναι ίσες.

3. Αν δύο εγγεγραµµένες γωνίες είναι ίσες τότε τα τόξα στα οποία βαίνουν είναι

ίσα.

262.



Οι διάµετροι στον διπλανό κύκλο σχηµατίζουν γωνία 60ο. Να

βρείτε πόσες µοίρες είναι καθένα από τα τόξα στα οποία χω-

ρίζεται ο κύκλος από τις διαµέτρους αυτές.

Λύση

Οι γωνίες ˆΒO∆ και ˆΓOΑ είναι ίσες ως κατακορυφήν.

Άρα: οB∆ ΑΓ 60= = .

Επίσης οι γωνίες ˆΓOΒ και ˆΑO∆ είναι ίσες ως κατακορυφήν.

Όπως γνωρίζουµε ο κύκλος αντιστοιχεί σε γωνια 360ο.

Άρα: ( ) ( )ο ο ο ο ο ο 0ˆ ˆ ˆ ˆΓOΒ ΑO∆ 360 ΒO∆ ΓOΑ 360 60 60 360 120 240+ = − + = − + = − =

Συνεπώς: ο

ο240

Α∆ ΓΒ 1202

= = =

Να υπολογίσετε πόσων µοιρών είναι το τόξο που διαγράφει η

άκρη του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού σε 30 λεπτά. Σε πόσο

χρόνο η άκρη του λεπτοδείκτη διαγράφει τόξο 90ο ;

Λύση

Η άκρη του λεπτοδείκτη διαγράφει έναν κύκλο, δηλαδή 360ο

σε 60 λεπτά. Άρα σε 30 λεπτά θα διαγράψει τόξο ίσο µε:

ο ο ο30 1

360 360 18060 2

⋅ = ⋅ =

Η άκρη του ωροδείκτη διαγράφει τόξο 360ο σε 12 ώρες. Άρα τόξο 90ο διαγράφει η

άκρη του ωροδείκτη σε:

ο

ο

90 112 12 3ώρες

4360⋅ = ⋅ =

Να υπολογίσετε πόσων µοιρών είναι καθένα από τα τόξα:

Α∆, ∆Γ, ΒΓ

121

2

3

4

56

9

7

8

10

11

O

A

Ä Ã

B

o3x 10o

2x 15 ox 5

O



Λύση

Αφού το ηµικύκλιο είναι τόξο 180ο θα ισχύει:

oΑ∆ ∆Γ ΒΓ 180+ + = ή ( ) ( ) ( )o o o o2x 15 3x 10 x 5 180− + + + + =ή o o o o2x 15 3x 10 x 5 180− + + + + = ή o6x 180= ή ox 30=

Άρα: oΑ∆ 2x 15 2 30 15 45= − = ⋅ − = , o∆Γ 3x 10 3 30 10 100= + = ⋅ + = ,

oΓB x 5 30 5 35= + = + = .

Να γράψετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και µία επίκεντρη γωνία του ÂOΒ που να βαίνει σε

τεταρτοκύκλιο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ÂOΒ .

Λύση

Γνωρίζουµε ότι κάθε τεταρτοκύκλιο είναι 90ο. Το τρίγωνο

ΟΑΒ είναι ισοσκελές αφού ΑΟ = ΟΒ = ρ. Άρα ˆ Â Β= . Επίσης

ξέρουµε ότι οˆ ˆÂ Β O 180+ + = ή

0 oˆ2A 90 180+ = ή

o o oˆ2A 180 90 90= − = ή oA 45= . Άρα oˆ Â Β 45= = .

∆ίνεται επίκεντρη γωνία oÂOΒ 100= σε κύκλο (Ο,ρ) και η εγγεγραµµένη γωνία

ˆΒΓΑ τέτοια ώστε το Ο να περιέχεται σ’ αυτή και οˆΟΒΓ 40= . Να υπολογίσετε τις

γωνίες ˆΒΓΑ και ˆΟΑΓ .

Λύση

Η εγγεγραµµένη γωνία ˆΒΓΑ βαίνει στο τόξο AB .

Άρα θα ισχύει: ο

ο

ˆΑΟΒ 100ˆΒΓΑ 502 2

= = =

Αν φέρουµε την ακτίνα ΟΓ θα έχουµε: ΟΓ ΟΒ ρ= = , δηλαδή

το τρίγωνο ΟΒΓ θα είναι ισοσκελές, άρα o1Β Γ 40= = .

Από το σχήµα βλέπουµε ότι ισχύει: ο ο ο

2 1Γ ΒΓΑ Γ 50 40 10= − = − =Και επειδή ΟΑ ΟΓ ρ= = , το τρίγωνο ΑΟΓ θα είναι ισοσκελές, οπότε:

ο

2A Γ 10= = ή οˆΟΑΓ 10=

∆ίνεται ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ = 6cm και σηµείο το Γ του

ηµικυκλίου , ώστε ΑΓ 3ΓΒ= . Να υπολογιστούν οι γωνίες

του τριγώνου ΑΒΓ.

A B

Ã

Oñ ñ

264.



Λύση

Έχουµε: ΑΓ ΓΒ AB+ = ή o3ΓΒ ΓΒ 180+ = ή

o4ΓΒ 180= ή oΓΒ 45= .

Άρα o oΑΓ 3 45 135= ⋅ = .

Οπότε o

οΒΓ 45

A 22,52 2

= = = , o

oΑΓ 135B 67,5

2 2= = = ,

( )ο ο ο

Γ 180 22,5 67,5= − + ή οΓ 90=

Σε κύκλο κέντρου Ο, οι χορδές ΑΒ και Γ∆ τέµνονται στο Κ. Να δείξετε ότι η γωνία

φ δίνεται από τη σχέση: Β∆ ΑΓ

φ2+= , όπου Β∆ , ΑΓ τα µέτρα των τόξων.

Λύση

Φέρνουµε τη χορδή Α∆. Για τις εγγεγραµµένες γωνίες A και

∆ ισχύουν: Β∆

A2

= , ΑΓ

∆2

= (1)

Στο τρίγωνο ΚΑ∆ έχουµε:

1

ˆ ˆK 180 Α ∆= ° − − και ( )1 1ˆ ˆφ 180 K φ, K παραπληρωµατικές= ° −

Οπότε από τις προηγούµενες σχέσεις έχουµε:

( ) ( )

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆφ 180 180 Α ∆ 180 180 Α ∆ Α ∆

Β∆ ΑΓ Β∆ ΑΓ

2 2 2

= ° − ° − − = ° − ° + + = + =

+= + =

Σε κύκλο (Ο,ρ) να πάρετε δύο διαδοχικές επίκεντρες γωνίες οˆΑΟΒ 140= και

οˆΒΟΓ 60= . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

Γνωρίζουµε ότι το µέτρο µιας επίκεντρης γωνίας είναι ίσο µε το µέτρο του αντίστοιχου

τόξου στο οποίο βαίνει.

Άρα θα έχουµε:

οAB 140= , οBΓ 60= , ( )ο ο ο οΓΑ 360 140 60 160= − + = .

Άρα οι γωνίες του τριγώνου είναι:

ο

ο60

A 302

= = ,

ο

ο160

B 802

= = ,

ο

ο140

Γ 702

= = .

A

BÃ

O Ä

Kö

1



Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆ ˆx, y στο διπλανό σχήµα.

Λύση

Έχουµε: ο οΑΒΓ 2 100 200= ⋅ = .

Άρα: ο ο οBΓ 200 58 142= − =

και ( )ο ο ο οΓ∆ 360 200 92 68= − + =

Οπότε: o

oΒΓ 142x 71

2 2= = = και

o ooΑΓ Α∆ ∆Γ 92 68

y 802 2 2

+ += = = =

Να υπολογίστει το τόξο ΑΓ στο διπλανό σχήµα αν ΑΒ//Γ∆ και ο

Γ∆ 70= .

Λύση

Φέρνουµε τις χορδές Α∆ και ΒΓ. Επειδή ΑΒ//ΑΓ οι γωνίες

ˆ ˆA ∆= και ˆ ˆB Γ= . Οπότε: ΑΓ B∆= .

Αλλά οΑΓ Γ∆ B∆ 180+ + = ή o oΑΓ ΑΓ 70 180+ + = ή

ο ο ο2ΑΓ 180 70 110= − = ή ο

ο110

ΑΓ 552

= = .

Να γράψετε κύκλο (Ο,ρ). Πάρτε δύο τόξα ο

ΑΒ 50= και ο

Γ∆ 60= . Αν οι χορδές ΑΓ

και Β∆ τέµνονται στο Ρ να υπολογίσετε τη γωνία ˆΑΡΒ .

Λύση

Φέρνουµε τη χορδή ΒΓ. Η εγγεγραµµένη γωνία ˆ ˆB ∆BΓ=

είναι ίση µε : ο

ο60

B 302

= = . Επίσης ο

ο50

Γ 252

= = .

ˆ ˆΑΡΒ ΒΡΓ 180+ = ° οπότε ˆ ˆΑΡΒ 180 ΒΡΓ= ° −

Η γωνία ˆΒΡΓ είναι ίση µε:

( ) ( )ˆ ˆ ˆΒΡΓ 180 ∆ΒΓ ΑΓΒ 180 30 25 180 55 125= ° − + = ° − ° + ° = ° − ° = °

Οπότε ˆΑΡΒ 180 125 55= ° − ° = °

B

Ã

50o

Ä

A

O

Ñ

266.



1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

i. ∆ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ του κύκλου σχηµατίζουν τετράγωνο.

Ισχύει:

Α. οˆΑΟΒ 30= Β.

οˆΑΟΒ 90= Γ. οˆΑΟΒ 135= ∆. οˆΑΟΒ 160=

ii. Αν σε κύκλο (Ο,ρ) η χορδή ΑΒ = ρ τότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι:

Α. Σκαληνό Β. Ισοσκελές Γ. Ισόπλευρο

∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

2. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις

παρακάτω προτάσεις µε τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος:

i. ˆ ˆB Γ= ii. οˆ ˆB Γ 90+ =

iii. οA 90= iv. ˆ ˆ ˆA B Γ= +

3. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ) είναι οΑΒ 55= , οΒΓ 75= , οΓ∆ 95= . Να υπολογίσετε τις επίκε-

ντρες γωνίες που βαίνουν στα τόξα ΑΒ , ΒΓ και Γ∆ .

4. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ) να πάρετε τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ ώστε να είναι οˆΑΟΓ 160= . Να

υπολογίσετε τις γωνίες ˆΑ∆Γ και ˆΑΒΓ .

5. ∆ίνεται κύκλος (0,6cm) και σηµείο το Α. Γράφουµε κύκλο (Α,4cm) που τέµνει τον

πρώτο κύκλο στα σηµεία Β, Γ. Να εξηγήσετε γιατί ˆ ˆΑΟΒ ΑΟΓ= .



6. Να υπολογιστούν οι γωνίες ˆˆ ˆx, y, ω στα παρακάτω σχήµατα.

7. Στο διπλανό σχήµα, η ΡΑ είναι εφαπτοµένη του κύκλου. Αν

το τόξο οΑΓ 70= , να υπολογιστεί η γωνία ˆΑΡΒ .

8. Σε κύκλο (Ο,ρ), η επίκεντρη γωνία ˆΑΟΒ είναι ίση µε την εγγεγραµµένη στο τόξο

Γ∆ . Ποια είναι η σχέση που συνδέει τα τόξα AB και Γ∆ ;

9. Στο διπλανό σχήµα, αν είναι οABΓ 178= , να βρείτε τις γω-

νίες ˆΑ∆Γ και ˆΑΒΓ .

10. Σε κύκλο (Ο,ρ) να εγγράψετε τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας A τέµνει

τον κύκλο στο Ρ και ισχύει ˆ ˆOAΡ ∆AΡ= , να δικαιολογήσετε ότι το Α∆ είναι ύψος

του τριγώνου.

11. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ), να πάρετε δύο διαδοχικά τόξα ΑΒ και ΒΓ και να φέρετε τη

διάµετρο ΒΟ∆. Αν είναι οˆ∆ΒΓ 68= , να βρείτε τη γωνία ˆΒΑΓ .

12. Στο διπλανό σχήµα, αν είναι οˆΑΒΓ 38= , να βρείτε τη γω-

νία ∆ .

268.



13. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ), να γράψετε µία διάµετρο ΑΒ και την ακτίνα ΟΓ έτσι ώστε

οˆAOΓ 110= . Αν ΟΡ, ΟΚ είναι διχοτόµοι των γωνιών ˆAOΓ και ˆBOΓ , να δικαιολο-

γήσετε ότι οι ακτίνες ΟΡ, ΟΚ είναι κάθετες.

14. Σε ένα ηµικύκλιο µε διάµετρο ΑΒ να πάρετε ένα σηµείο Γ, έτσι ώστε οˆΑΒΓ 48= και

να φέρετε την εφαπτοµένη Α∆ του ηµικυκλίου στο σηµείο Α. Να βρείτε τη γωνία

ˆΓΑ∆ .



Ερώτηση 1

α. Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη; ∆ύο τόξα µο πότε είναι ίσα;

β. Αν διπλασιαστεί , τριπλασιαστεί κ.ο.κ., ένα τόξο η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία τι

κάνει;

Ερώτηση 2

α. Πόσων µοιρών είναι:

i. Ένας κύκλος ii. Ένα ηµικύκλιο

iii. Καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος από δύο κάθετες διαµέτρους;

β. Ποια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Ποια η σχέση της µε την επίκεντρη που βαίνει

στο ίδιο τόξο; Αποδείξτε το.

Άσκηση 1

Ποιο είναι το είδος µιας εγγεγραµµένης γωνίας που:

i. Βαίνει σε ηµικύκλιο.

ii. Η µια πλευρά της διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

iii. Βαίνει σε τόξο µεγαλύτερου του ηµικυκλίου.

iv. Βαίνει σε τόξο µικρότερο του ηµικυκλίου.

Άσκηση 2

Σε κύκλο (Ο,ρ), να πάρετε µια χορδή ΑΒ = ρ. Να υπολογίσετε τα τόξα του κύκλου

που έχουν χορδή την ΑΒ και τις εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στα τόξα αυτά.

Άσκηση 3

Σε έναν κύκλο να γράψετε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ, Γ∆. Να δικαιολογήσετε ότι

οι χορδές ΑΓ και Β∆ είναι ίσες.

Â


18ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá

ÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ

ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá

ÐëåõñÜ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ

Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποια είναι τα

στοιχεία του;

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις

πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Γνωστά κανο-

νικά πολύγωνα είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο.

Τα στοιχεία του κάθε πολυγώνου είναι:

α. Ο περιγεγραµµένος κύκλος.

Σε κάθε κανονικό πολύγωνο, υπάρχει ένας κύκλος (Ο,ρ)

που περνά από όλες τις κορυφές του. Το πολύγωνο λέµε

ότι είναι εγγεγραµµένο στον κύκλο (Ο,ρ).

β. Το κέντρο.

Κέντρο Ο του πολυγώνου ονοµάζουµε το κέντρο του πε-

ριγεγραµµένου κύκλου.

γ. Η ακτίνα ρ.

Ακτίνα ρ του πολυγώνου ονοµάζουµε την ακτίνα του πε-

ριγεγραµµένου κύκλου.

δ. Η κεντρική γωνία ω .

Κάθε επίκεντρη γωνία ω που σχηµατίζεται αν ενώσουµε

το κέντρο του πολυγώνου µε δύο διαδοχικές κορυφές

του λέγεται κεντρική γωνία.

ε. Η γωνία φ του πολυγώνου.

Γωνία φ του κανονικού πολυγώνου ονοµάζουµε καθε-

µιά από τις ίσες γωνίες που σχηµατίζεται από δύο διαδο-

χικές πλευρές του.

στ. Το απόστηµα α.

Απόστηµα α κανονικού πολυγώνου λέγεται η απόσταση

του κέντρου του πολυγώνου από κάθε πλευρά του.

Κανονικά πολύγωνα

ω : Κεντρική γωνία

φ : Γωνία πολυγώνου

λ = ΑΒ : Πλευρά πολυγώνου

α = ΟΚ : Απόστηµα

272.

Κανονικά πολύγωνα - Πλευρά κανονικού πολυγώνου


ζ. Η περίµετρος Τ.

Περίµετρο Τ ονοµάζουµε το άθροισµα όλων των πλευ-

ρών του.

Ποιες σχέσεις ισχύουν για τα στοιχεία ενός κανονι-

κού ν-γώνου (πολυγώνου µε ν πλευρές);

Οι βασικότερες σχέσεις σε κανονικό πολύγωνο µε ν

πλευρές είναι:

i.

ο360ω

ν= ii. οˆ ˆφ ω 180+ =

iii. ω

λ 2 ρ ηµ2

= ⋅ ⋅ (λ: πλευρά) iv. ω

α ρ συν2

= ⋅

v. ω

Τ ν λ ν 2 ρ ηµ2

= ⋅ = ⋅ ⋅ vi.

22 2λ

α ρ4

+ =

vii. 1

Ε ν λ α2

= ⋅ όπου Ε εµβαδόν του κανονικού πολυ-

γώνου.

viii. Στο κανονικό εξάγωνο λ = ρ.

Πως κατασκευάζουµε ένα κανονικό πολύγωνο;

Ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα:

α. Γράφουµε κύκλο (Ο,ρ) και σχηµατίζουµε µια επίκεντρη

γωνία ˆΑΟΒ . (Αυτό δεν είναι για όλα τα πολύγωνα ε-

φικτό, π.χ. Αν θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα κανονι-

κό επτάγωνο του οποίου η κεντρική γωνία είναι:

ο

ο360

ω 51 42 857

′ ′′= = ... δεν µπορούµε να το κάνουµε)

β. Με βάση έναν διαβήτη παίρνουµε διαδοχικά ίσα τόξα

όσο και το αρχικό, δηλαδή το ΑΒ .

γ. Ενώνουµε τις χορδές των παραπάνω τόξων και σχηµατί-

ζεται έτσι το κανονικό πολύγωνο.

Κατασκευή πολυγώνου

Κατασκευή

κανονικού πενταγώνου

ο

ο360

ω 725

= =

ω : Κεντρική γωνία

φ : Γωνία πολυγώνου

λ : Πλευρά πολυγώνου

T: Περίµετρος

Ε: Εµβαδόν

ρ: Ακτίνα

α: Απόστηµα



α . Ο αριθµός ν των πλευρών ενός ν-γώνου είναι ίδιος µε τον αριθµό των

κορυφών, των γωνιών, των αποστηµάτων και των κεντρικών γωνιών του.

β. Από τη σχέση ο360

ων

= έχουµε ο360

νω

= . Άρα αν γνωρίζουµε την κεντρική γωνία

ενός πολυγώνου µπορούµε να βρούµε τον αριθµό των πλευρών του.

Αν π.χ. είναι ο

ω 45= τότε ο

ο

360ω 8

45= = . Συνεπώς το πολύγωνο είναι κανονικό

οκτάγωνο.

γ. Όλα τα κανονικά πολύγωνα µε άρτιο αριθµό πλευρών (τετράγωνα, εξάγωνα, οκτά-

γωνα..) έχουν κέντρο συµµετρίας το κέντρο τους.

Τα κανονικά πολύγωνα µε περιττό αριθµό πλευρών (ισόπλευρο τρίγωνο, πεντάγω-

νο, επτάγωνο...) δεν έχουν κέντρο συµµετρίας.

274.



Να υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και τη γωνία φ :

i. Ενός κανονικού 9 - γώνου. ii. Ενός κανονικού 15 - γώνου.

Λύση

i. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού εννιαγώνου είναι :

ο

ο360

ω 409

= =

Για την κεντρική γωνία ω και τη γωνία φ ενός κανονικού πολυγώνου ισχύει η σχέση:

οˆ ˆω φ 180+ = ή οˆ ˆφ 180 ω= − ή ο οφ 180 40= − ή οφ 140=ii. Οµοίως για το δεκαπεντάγωνο έχουµε:

ο

ο360

ω 2415

= = και ο οφ 180 24= − ή οφ 156=

Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία:

i. 36o ii. 20o iii. 12o iv. 16

ορθής

Λύση

Από τη σχέση: ο360

ων

= έχουµε ο360

νω

= , οπότε:

i.

ο

ο

360ν

36= ή ν 10= (Κανονικό 10 - γωνο)

ii. ο

ο

360ν


iii.

ο

ο

360ν




iv. ο1 1

ω ορθής 906 6

= = ή ο

ω 15= , οπότε έχουµε:

ο

ο

360ν


Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε κεντρική γωνία ο

ω 38= , ή µε

γωνία ο

φ 155= .

Λύση

Έστω ότι υπάρχει κάποιο ν-γωνο µε ο

ω 38= . Τότε:

ο ο

ο

360 360ν 9,47

ω 15= = = αδύνατο

αφού ο ν είναι φυσικός αριθµός. Άρα δεν υπάρχει τέτοιο πολύγωνο.

Έστω πάλι, ότι υπάρχει κάποιο ν-γωνο µε οφ 155= .

Ισχύει: ο ο ο ο οˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆφ ω 180 ή ω 180 φ ή ω 180 155 ή ω 25+ = = − = − = .

Άρα: ο ο

ο

360 360ν 14,4

ω 25= = = αδύνατο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιο πολύγωνο.

Κανονικό δεκάγωνο µε πλευρά λ = 15 cm είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Να βρείτε

την ακτίνα του ρ και το απόστηµά του α.

Λύση

Το δεκάγωνο έχει κεντρική γωνία:

ο

ο360

ω 3610

= =

Από το τυπολόγιο των κανονικών πολυγώνων η πλευρά του δεκαγώνου δίνεται από

τη σχέση:

ωλ 2 ρ ηµ

2= ⋅ ⋅ ή

ο

λ 15 15ρ

ω 2 0,3092 ηµ182 ηµ2

= = =⋅⋅⋅

ή ρ 24,27cm

Το απόστηµα α του δεκαγώνου θα είναι:

ωα ρ συν

2= ⋅ ή οα 24,27 συν18= ⋅ ή α 23,08cm

Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο µε ακτίνα ρ = 10cm. Να βρείτε την

πλευρά του λ, την περίµετρό του Τ, το απόστηµά του α και το εµβαδόν του Ε.

276.



Λύση

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει κεντρική γωνία: ο

ο360

ω 1203

= =

Από τους τύπους έχουµε:ω

λ 2 ρ ηµ2

= ⋅ ⋅ ή

ο

ο120

λ 2 10 ηµ 2 10 ηµ60 2 10 0,8662

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ή λ 17,32cm

Η περίµετρος Τ είναι: Τ ν λ 3 17,32= ⋅ = ⋅ ή Τ 51,96cm

Το απόστηµα α είναι:ο

ω 1α ρ συν 10 συν60 10

2 2= ⋅ = ⋅ = ⋅ ή α 5cm=

Για τον υπολογισµό του εµβαδού παρατηρούµε το σχήµα

και συµπεραίνουµε ότι για την εύρεσή του θα πρέπει να βρού-

µε το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, δηλαδή το:

AK AO OK ρ α 10 5= + = + = + ή AK 15cm=Άρα το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι:

1 1E BΓ ΑΚ 17,32 15

2 2= ⋅ = ⋅ ή 2Ε 129,9cm=

Ένα κανονικό πολύγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας ρ = 24cm και έχει

απόστηµα α 12 3 cm= . Να βρεθούν:

i. Η πλευρά του λ ii. Η κεντρική γωνία ω

iii. Η περίµετρός του Τ iv. Το εµβαδόν του Ε

Λύση

i. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΚ έχουµε από το Π. θεώρηµα: 2 2 2ΟΚ ΚΑ ΟΑ+ = ή

22 2λ

α ρ2

+ = ή

22 2λ

α ρ4

+ = ή 2

2 2λρ α

4= − ή ( )2 2 2

λ 4 ρ α= − ή

( ) ( )2

2 2λ 4 24 12 3 4 576 432 576 = − = − = ή λ 24cm=

ii. Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι όταν σε ένα πολύγωνο

ισχύει: λ = ρ, τότε το πολύγωνο είναι κανονικό εξάγωνο

οπότε για ν = 6 έχουµε: ο ο360 360

ων 6

= = ή ο

ω 60=

iii. Η περίµετρο Τ θα είναι: Τ 6 λ 6 24= ⋅ = ⋅ ή Τ 144cm=iv. Το εµβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου αποτελείται από



το εµβαδόν έξι ισοσκελών τριγώνων µε ίσα εµβαδά. Το εµβαδόν ενός τέτοιου τρι-

γώνου π.χ. του ΟΑΒ είναι:

1

1 1 1E AB OΚ λ α 24 12 3

2 2 2= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ή 2

1E 249,41cm

Εποµένως το εµβαδόν του κανονικού εξαγώνου θα είναι:

2Ε 6 249, 44= ⋅ ή 22Ε 1496,46cm=

Σε κύκλο ακτίνας 6cm να εγγράψετε κανονικό 12-γωνο.

Λύση

Η κεντρική γωνία ενός κανονικού 12-γωνου είναι:

ο

ο360

ω 3012

= =

Σε κύκλο (Ο,6cm) κατασκευάζουµε την επίκεντρη γωνία,

οˆΑΟΒ 30= . Η χορδή ΑΒ είναι η πλευρά του 12-γώνου, οπό-

τε στη συνέχεια χωρίζουµε τον κύκλο σε 12 τόξα χορδής µήκους ίσου µε της χορδής

ΑΒ.

278.



1. Να συµπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες:

i.

ii.

2. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

i. Η γωνία ενός πολυγώνου είναι πάντοτε µεγαλύτερη από την κεντρική γωνία του.

ii. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε κεντρική γωνία 22ο.

iii. Το ισοσκελές τραπέζιο είναι κανονικό πολύγωνο.

iv. Το απόστηµα ενός κανονικού πολυγώνου είναι πάντα µεσοκάθετος της πλευράς του.

v. Μόνο στο τετράγωνο η κεντρική γωνία και η γωνία του πολυγώνου αυτού είναι ίσες.

3. Να βρείτε την κεντρική γωνία:

α. Ισόπλευρου τριγώνου β. Τετραγώνου

γ. 8 - γώνου δ. 72-γώνου



4. Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία:

α. 2,5ο β. 14,4ο γ. 22,5ο δ. 5ο ε. 18ο

5. Να βρείτε τη γωνία του κανονικού πολυγώνου µε:

α. ν = 10 β. ν = 18 γ. ν = 8 δ. ν = 30

6. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε :

α. ο

ω 28= β. ο

ω 44= γ. ο

ω 40=

7. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε:

α. οφ 170= β. ο

φ 146= γ. οφ 156=

8. Να κατασκευάσετε 10-γωνο µε λ = 4 cm.

9. Να βρείτε την κεντρική γωνία, την πλευρά, το απόστηµα, την περίµετρο και το εµβα-

δόν:

α. Κανονικού 16-γώνου εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας ρ = 12 cm.

β. Κανονικού 25-γώνου εγγεγραµµένο σε κύκλο διαµέτρου δ = 8 cm.

10. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός των διαγωνίων ενός κανονικού ν-γώνου είναι:

( )ν ν 3

2

⋅ −

11. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός κανονικού ν-γώνου είναι:

( ) ο2ν 4 90− ⋅

280.



Ερώτηση 1

α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Τι στοιχεία γνωρίζετε σε ένα κανονικό

πολύγωνο; Πως κατασκευάζεται ένα κανονικό πολύγωνο;

β. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε κεντρική γωνία ο

ω 28= ;

Ερώτηση 2

Να βρείτε µία σχέση που να συνδέει το απόστηµα, την πλευρά και την ακτίνα ενός

κανονικού ν-γώνου.

Άσκηση 1

Να βρείτε την πλευρά λ και το εµβαδόν Ε ενός κανονικού 12-γώνου εγγεγραµµένο σε

κύκλο ακτίνας ρ = 6 cm.

Άσκηση 2

∆ίνεται κανονικό πολύγωνο µε άθροισµα γωνιών 1080ο. Να υπολογίσετε:

i. To πλήθος των πλευρών του.

ii. Τη γωνία φ και την κεντρική γωνία ω .

Â


19ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ

ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá

ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ

ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá

Τι ονοµάζουµε µήκος ή περίµετρο ενός κύκλου; Τι

ποσά είναι το µήκος των κύκλων και η διάµετρός τους;

Μήκος ή περίµετρος κύκλου ονοµάζουµε το µήκος

του ευθύγραµµου τµήµατος που προκύπτει αν “κόψουµε”

υποθετικά τον κύκλο σε ένα σηµείο του και στη συνέχεια

τον “τεντώσουµε”.

Το µήκος των κύκλων και η διάµετρός τους είναι ποσά ανά-

λογα. ∆ηλαδή για όλους τους κύκλους ο λόγος - το πηλίκο

µήκος κύκλου

διάµετρος ή µε σύµβολα

Γ

δ είναι ο ίδιος και συµβολί-

ζεται µε το γράµµα π, δηλαδή ισχύει:

Γπ

δ= ή Γ π δ 2πρ= ⋅ = ,

όπου δ η διάµετρος και ρ η ακτίνα του κύκλου.

Ο αριθµός π είναι άρρητος, δηλαδή απειροψήφιος δεκαδι-

κός µη περιοδικός αριθµός. Στους υπολογισµούς µας θα

χρησιµοποιούµε την ρητή προσεγγιστική τιµή π = 3,14.

Με τι ισούται το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου; Τι

ονοµάζουµε κυκλικό δακτύλιο;

Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου (ή εµβαδόν κύ-

κλου) ακτίνας ρ ισούται µε:

2Ε π ρ= ⋅ ή

2 2δ π δΕ π

2 4

⋅ = ⋅ = , δ = 2ρ

Μήκος κύκλου ή

περίµετρος

282.

Μήκος κύκλου - Εµβαδόν κυκλικού δίσκου - Μήκος τόξου - Εµβαδόν κυκλικού τοµέα


Κυκλικό δακτύλιο ονοµάζουµε το σχήµα που περικλείεται

µεταξύ δύο οµόκεντρων κύκλων διαφορετικής ακτίνας, (Ο,R)

και (Ο,ρ) µε R > ρ.

Ποια σχέση µας δίνει το µήκος S ενός τόξου AB ενός

κύκλου (Ο,ρ); Τι είναι το ακτίνιο ή rad;

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε µο µοίρες τότε

το µήκος του τόξου S θα είναι:ο

ο

π ρ µS

180

⋅ ⋅= .

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε α ακτίνια το µήκος S

θα είναι: S α ρ= ⋅Ακτίνιο ή rad σε κύκλο (Ο,ρ), λέγεται το τόξο που έχει µή-

κος ίσο µε την ακτίνα ρ και χρησιµοποιείται για την µέτρη-

ση των τόξων. ∆ηλαδή τόξο 1 rad έχει µήκος ρ

Άρα, αφού το µήκος κύκλου είναι Γ = 2πρ, σε ακτίνια ο

κύκλος είναι 2π rad, ενώ το ηµικύκλιο S είναι π rad.

Ποια είναι η σχέση µεταξύ µοιρών και ακτινίων;

Τα 2π rad αντιστοιχούν σε 360ο.

Το 1 rad θα αντιστοιχεί σε: ο360

2π ή

ο180

π(µοίρες)

Συνεπώς τα α rad θα αντιστοιχούν σε:

ο

οα 180

µπ

⋅= ή µ α

180 π=

Το o1rad 57 19 ' .



Τι ονοµάζουµε κυκλικό τοµέα; Ποιες σχέσεις µας δί-

νουν το εµβαδόν του;

Κυκλικός τοµέας γωνίας φ σε κύκλο (Ο,ρ) λέγεται

το κοινό µέρος του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου και της

επίκεντρης γωνίας φ στον κύκλο. (Στο σχήµα το γραµµο-

σκιασµένο µέρος)

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε µο: 2 ο

ο

π ρ µΕ

360

⋅ ⋅=

Αν η επίκεντρη γωνία εκφράζεται σε α ακτίνια: 21Ε α ρ

2= ⋅ ⋅

Επίσης ισχύει:

2 ο

ο ο ο

π ρ µ π ρ ρ µ 1 π ρ µ 1Ε ρ S ρ

2 2360 2 180 180

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ ⋅⋅

,

όπου S το µήκος του αντίστοιχου τόξου.

Άρα:1

Ε S ρ2

= ⋅ ⋅

Τι λέγεται κυκλικό τµήµα και πως βρίσκουµε το εµ-

βαδόν του;

Κυκλικό τµήµα είναι το µέρος ενός κυκλικού δίσκου

που περικλείεται από ένα τόξο και την αντίστοιχη χορδή του.

Το εµβαδόν του κυκλικού τµήµατος ΑΣΒ είναι ίσο µε τη

διαφορά του εµβαδού του τριγώνου ΟΑΒ από το εµβαδόν

του κυκλικού τοµέα OAB , δηλαδή:

2 ο

Σ ΑΒΓ οOAB

π ρ µ 1E Ε Ε ΑΒ OK

2360

⋅ ⋅= − = − ⋅ ⋅

284.



α. Να βρεθεί το µήκος κύκλου ακτίνας ρ = 6cm.

β. Να βρεθεί η ακτίνα κύκλου µε µήκος Γ = 43,96 cm.

γ. Να βρεθεί το εµβαδόν κυκλικού δίσκου διαµέτρου δ = 2m.

Λύση

α. Είναι: Γ 2 π ρ 2 3,14 6 37,68cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

β. Είναι: Γ 2 π ρ= ⋅ ⋅ ή Γ 43,96

ρ 7cm2 π 2 3,14

= = =⋅ ⋅

γ. Το εµβαδόν είναι:

2 22 δ π δ

E π ρ π2 4

⋅ = ⋅ = ⋅ = ή

223,14 2

Ε 3,14m4

⋅= =

Να βρείτε το µέτρο ένος τόξου:

i. Σε ακτίνια, αν το µέτρο του σε µοίρες είναι 150o.

ii. Σε µοίρες, αν το µέτρο του σε ακτίνια είναι π

rad3

.

Λύση

i. Είναι: ο

ο

α µ

π 180= ή

ο ο

ο ο

µ π 150 πα

180 180

⋅ ⋅= = ή 5π

α rad6

= .

ii. Είναι:

ο

ο

α µ

π 180= ή

ο

ο

ο

π180

α 180 3µπ π

⋅⋅= = ή ο οµ 60=

Οι τροχοί ενός ποδηλάτου έχουν διάµετρο 80 cm και έκαναν 6.000 στροφές. Να

βρείτε πόση απόσταση διήνησε το ποδήλατο.

Λύση

Όταν οι τροχοί του ποδηλάτου κάνουν µια πλήρη περιστροφή, το ποδήλατο διανύει

ίση µε το µήκος τους. Άρα για µια πλήρη περιστροφή έχουµε απόσταση:



Γ 2 π ρ δ π 80 3,14 251,2cm 2,512m= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = =Άρα για 6.000 στροφές των τροχών το ποδήλατο διήνυσε απόσταση ίση µε:

S 6.000 2,512 15072m 15,072Km= ⋅ = =

Οι περίµετροι δύο κύκλων διαφέρουν κατά 25,12 cm. Να βρείτε τη διαφορά:

i. Των ακτίνων τους ii. Των διαµέτρων τους

Λύση

Αν ονοµάσουµε ρ1, ρ2 τις ακτίνες µε ρ

1 > ρ

2, δ

1, δ2 τις διαµέτρους, Γ

1, Γ

2 τις περιµέ-

τρους έχουµε:

i. 1 2Γ Γ 25,12− = ή 1 22πρ 2πρ 25,12− = ή ( )1 22π ρ ρ 25,12− = ή 1 2

25,12ρ ρ

2 3,14− =

⋅ ή

1 2ρ ρ 4cm− =

ii. ( )1 2 1 2 1 2δ δ 2ρ 2ρ 2 ρ ρ 2 4 8cm− = − = − = ⋅ =

Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε την ακτίνα, την διάµε-

τρο, το µήκος και το εµβαδόν του κύκλου.

Λύση

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε οΓ 90= (βαίνει σε ηµι-

κύκλιο)

Άρα: 2 2 2ΑΒ ΑΓ ΓΒ= + ή

2 2 2ΑΒ 3 4 9 16 25= + = + = ή ΑΒ 25= ή ΑΒ 5cm= .

Άρα:5

ρ 2,5cm2

= = , ΑΒ δ 5cm= =

Το µήκος του κύκλου θα είναι: Γ 2 π ρ 2 3,14 2,5 15,7 cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Το εµβαδόν είναι: 2 2 2E π ρ 3,14 2,5 19,625cm= ⋅ = ⋅ =

Τόξο 45ο σε κύκλο (Ο,ρ) έχει µήκος 2cm. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

Λύση

Το µήκος S του τόξου είναι:

ο

ο

π ρ µS

180

⋅ ⋅= ή ο οπ ρ µ 180 S⋅ ⋅ = ⋅ ή

ο ο

ο ο

180 S 180 2ρ

π µ 3,14 45

⋅ ⋅= =⋅ ⋅

ή ρ 2,55 cm

Η εγγεγραµµένη γωνία οBAΓ 30= και η χορδή ΒΓ = 6cm. Να υπολογιστεί το εµβα-

δόν του κύκλου.

OA

B

Ã

3cm

4cm

286.



Λύση

Για την επίκεντρη γωνία BOΓ ισχύει:

ο οBOΓ 2 BΑΓ 2 30 60= ⋅ = ⋅ =Άρα το τρίγωνο ΒΟΓ θα είναι ισόπλευρο διότι:

ΟΒ = ΟΓ = ρ, οπότε ˆ ˆΒ Γ= .

Αλλά οˆ ˆ ˆΟ Β Γ 180+ + = ή οˆ ˆΟ 2Β 180+ = ή ο ο οˆ2Β 180 60 120= − = ή οˆ ˆΒ Γ 60= = .

Συνεπώς ρ 6cm= . Το εµβαδόν του κύκλου θα είναι: 2 2E π ρ 3,14 6 113,04cm2= ⋅ = ⋅ =

Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΟΒΓ µε πλευρά 9cm να γράψετε

κύκλο µε κέντρο την κορυφή Ο και ακτίνα το ύψος του

ΟΜ. Να βρείτε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµα-

τος.

Λύση

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΒΟ έχουµε:

2 2 2ΟΒ ΟΜ ΒΜ= + ή 2 2 2

ΟΜ ΟΒ ΒΜ= − ή 2 2 2ΟΜ 7 4,5 81 20,25 60,75= − = − = ή

ΟΜ 60,75= ή ΟΜ 7,79cm= .

Το εµβαδόν του τριγώνου είναι ΟΒΓ είναι: 1

1 1Ε ΒΓ ΟΜ 9 7,79 35,055cm

2 22= ⋅ = ⋅ ⋅ =

Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα που είναι εντός του τριγώνου x είναι:

2 ο 2 ο

2 ο ο

π ρ µ 3,14 7,79 60Ε

360 360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ή 2Ε 31,75cm2= .

Άρα το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µέρους είναι:

1 2Ε Ε Ε 35,055 31,75 3,305cm2= − = − =

Να γράψετε τετράγωνο µε πλευρά 26cm και µε κέντρα τις

κορυφές του και ακτίνα 13cm να γράψετε τεταρτοκύκλια

µέσα στο τετράγωνο. Να βρεθεί το εµβαδόν του καµπυλό-

γραµµου “σταυρού”.

Λύση

Το εµβαδόν των 4 τεταρτοκυκλίων ισούται µε το εµβαδόν

ενός κύκλου µε ακτίνα 13cm, δηλαδή είναι: 2 21Ε π ρ 3,14 13 530,66cm

2= ⋅ = ⋅ =Το εµβαδόν του τετραγώνου είναι:

2 22Ε ΑΒ 26= = ή 2Ε 676cm

2=



Άρα το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου “σταυρού” θα είναι:

1 2Ε Ε Ε 676 530,66= − = − ή Ε 145,34cm2=

Μέσα σε ένα χωράφι µε σχήµα τετραγώνου, υπάρχει ένας

αυτόµατος περιστρεφόµενος µηχανισµός ποτίσµατος στο

κέντρο του. Ο µηχανισµός έχει τη δυνατότητα να ποτίζει

σε κυκλική περιοχή, ακτίνας 13,6m. Το χωράφι έχει πλευ-

ρά 20 3 m . Να βρείτε το εµβαδόν του χωραφιού που δεν

ποτίζεται.

Λύση

Το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓ∆ είναι: ( )22 2

1Ε ΑΒ 20 3 m 1200m= = =

Το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,ρ) είναι: 2 2 22Ε π ρ 3,14 13,6 580,77m= ⋅ = ⋅ =

Άρα το εµβαδόν του χωραφιού που δεν ποτίζεται είναι:

21 2Ε Ε Ε 1200 580,77 619,23m= − = − =

Στο διπλανό σχήµα η ακτίνα ρ = 12cm και oA 70= . Να

βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

Λύση

Το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισοσκελές άρα: oˆ ˆA B 70= = , όποτε

( )o o o oO 180 70 70 40= − + = .

Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑ∆ ισχύει:

Ο∆ηµΑ

ΟΑ= ή Ο∆ ΟΑ ηµΑ 12 0,94= ⋅ = ⋅ ή Ο∆ 11,28cm=

Όµοια Α∆

συνΑΟΑ

= ή Α∆ ΟΑ συνΑ 12 0,342= ⋅ = ⋅ ή Α∆ 4,104cm=

Οπότε AB 2 A∆= ⋅ ή ΑΒ 8,208cm= .

Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα ΟΑΓΒ θα είναι:

2 ο 2 ο

1 ο ο

π ρ µ 3,14 12 40Ε

360 360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ή 21Ε 50,24cm=

Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ θα είναι:

22

1 1Ε ΑΒ Ο∆ 8,208 11,28 46,29cm

2 2= ⋅ = ⋅ =

O

BÁ

Ã

Ä

ñ

288.



Άρα το ζητούµενο εµβαδόν θα είναι:

21 2Ε Ε Ε 50,24 46,29 3,94cm= − = − =

Να υπολογίσετε την περίµετρο του διπλανού σχήµατος.

Λύση

Για να βρούµε την περίµετρο Τ του σχήµατος πρέπει να υπολο-

γίσουµε το άθροισµα των µηκών των τόξων ΒΓ , Γ∆ , Α∆ και

των τµηµάτων ∆Ε και ΕΒ.

Καθένα από τα παραπάνω τόξα είναι 90ο, άρα έχει µήκος :

ο ο

ο ο

π ρ µ 3,14 4 90S 6,28cm

180 180

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Άρα: Τ 3 6,28 3 2 23,84cm= ⋅ + + =

Στο διπλανό σχήµα υπάρχουν 3 ηµικύκλια διαµέτρων

ΑΓ, ΓΒ, ΒΑ και είναι ΑΒ = 12cm επίσης τα τµήµατα ΑΓ

και ΓΒ έχουν λόγο 13

.

i. Να βρείτε το άθροισµα των τόξων AΓ BΓ ABS , S , S .

ii. Να βρείτε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου σχήµατος.

Λύση

i. Ισχύει: AΓ 1

ΓΒ 3= ή ΓΒ 3ΑΓ= .

Αλλά ΑΓ ΓΒ ΑΒ+ = ή ΑΓ 3ΑΓ ΑΒ+ = ή 4ΑΓ ΑΒ= ή 12

ΑΓ 3cm4

= =

Οπότε BΓ ΑΒ ΑΓ 12 3 9cm= − = − =

Το µήκος του τόξου AΓ είναι:

ο

ο

ο οAΓ

AΓπ 180

π ρ µ AΓ 32S π 3,14 4,71m2 2180 180

⋅ ⋅⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ =

Οµοίως

ο

οΒΓ

ΓΒπ 180

ΓΒ 92S π 3,14 14,13 cm2 2180

⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ =



Είναι:

ο

οAΒ

AΒπ 180 AΒ 122S π 3,14 18,84 cm

2 2180

⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ =

Άρα AΓ ΒΓ AΒ

S S S 37,68 cm+ + =

ii. Για να βρούµε το εµβαδόν του σκιασµένου σχήµατος θα πρέπει από το εµβαδόν του

ηµικυκλίου µε διάµετρο το τµήµα ΑΒ να αφαιρέσουµε το εµβαδόν του ηµικυκλίου

µε διάµετρο ΒΓ και µετά να προσθέσουµε το εµβαδόν του ηµικυκλίου µε διάµετρο

το τµήµα ΑΓ.

2 2 2ο

2AB ο

AB AB 12π 180 π 3,14

2 2 2E 56,52 cm2 2360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

2 2 2ο

2BΓ ο

BΓ BΓ 9π 180 π 3,14

2 2 2E 31,79 cm2 2360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

2 2 2ο

2ΑΓ ο

ΑΓ ΑΓ 3π 180 π 3,14

2 2 2E 3,53 cm2 2360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

Άρα 2AB ΑΓ BΓ

Ε E E E 28,26 cm= + − =

∆ίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ

( )oA 90 , ΑΒ ΑΓ 9cm= = = . Γράφουµε κύκλο µε κέντρο το

σηµείο Α και ακτίνα 9cm και τον κύκλο µε διάµετρο την

πλευρά ΒΓ. Να συγκρίνετε τα εµβαδά του σκιασµένου τµή-

µατος (το τµήµα αυτό λέγεται µηνίσκος) και του τριγώνου

ΑΒΓ.

Λύση

Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:21 1

E AB ΑΓ 9 9 40,5cm2 2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Επίσης από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα: 2 2 2BΓ ΑΓ AB 81 81 162= + = + =

Άρα ΒΓ 162 ή BΓ 12,73cm= = .

Το εµβαδόν του µηνίσκου θα βρεθεί αν από το εµβαδόν του ηµικυκλίου µε διάµετρο το

ΒΓ αφαιρέσουµε το τµήµα εµβαδού Ε1. Το εµβαδόν Ε

1 θα το βρούµε αν από το εµβα-

δόν του τεταρτοκυκλίου µε κέντρο το Α και ακτίνα το ΑΒ αφαιρέσουµε το εµβαδόν του

τριγώνου ΑΒΓ.

290.



2 2

22

BΓ

ΒΓ 12,73π π

π ρ 127, 212 2E 63,605cm2 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ = = = = =

Το εµβαδόν του τεταρτοκυκλίου είναι:

( )2ο 2 ο

2τετ. ο ο

π ΑΒ 90 3,14 9 90Ε 63,585cm

360 360

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Άρα 21 τετ.

ΑΒΓ

Ε Ε Ε 23,085cm= − =

Οπότε το εµβαδόν του µηνίσκου θα είναι: µην. ΒΓ 1Ε Ε Ε 63,605 23,085 40,5= − = − =

Παρατηρούµε ότι το εµβαδόν του µηνίσκου είναι ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου.



1. Να συµπληρώσετε καθέναν από τους παρακάτω τύπους:

i. ο

π .... ....S

180

⋅ ⋅= ii. S α ....= ⋅ iii. 21Ε .... ρ

2= ⋅ ⋅

iv. ο

ο

π .... µΕ

360

⋅ ⋅= v. 1

Ε .... ρ2

= ⋅ ⋅

2. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

3. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε το κατάλληλο στοιχείο της στή-

λης Β.

Επίκεντρες γωνίες σε µο Μήκος τόξου S σε κύκλο (Ο,ρ)

1 30ο απ ρ

4

⋅

2 45ο βπ ρ

6

⋅

3 60ο γπ ρ

2

⋅

4 90ο δπ ρ

3

⋅

5 180ο ε π ρ⋅

292.



4. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεµία από τις παρακάτω

προτάσεις:

i. Η διάµετρος ενός κύκλου µε µήκος 56,77 cm είναι 18,07cm.

ii. Το εµβαδόν ενός κύκλου ακτίνας ρ = 6cm είναι 113,04 cm2.

iii. Σε κύκλο (Ο,ρ) ισχύει:Ε

ρπ

=

iv. Σε κύκλο (Ο,ρ) ισχύει:2 Ε

δρ

⋅= .

v. Το εµβαδόν ηµικυκλίου σε κύκλο (Ο,ρ) ισούται µε:

2π ρ

2

⋅.

5. Η διάµετρος της Γης είναι 12800Κm. Να βρείτε το µήκος του Ισηµερινού της Γης.

6. H ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου είναι 10cm να υπολογίσετε το εµβαδόν του.

7. Να βρεθεί το εµβαδόν του τετραγώνου του εγγεγραµµένου σε κύκλο µε ακτίνα 6cm και

το εµβαδόν του καθενός από τα 4 µέρη του κύκλου που βρίσκονται εκτός του κύκλου.

8. Σε έναν κύκλο µε διάµετρο ΑΒ να φέρετε τις χορδές ΓΑ και ΓΒ. Αν ΑΓ = 9 cm και

ΒΓ = 12 cm να υπολογίσετε την περίµετρο του κύκλου.

9. ∆ύο ίσοι κύκλοι µε ακτίνα 12 cm τέµνονται. Αν η απόσταση των κέντρων τους είναι

12 2 cm, να βρεθεί το εµβαδόν του κοινού µέρους τους.

10. Να υπολογίσετε τα εµβαδά των γραµµοσκιασµένων καµπυλόγραµµων σχηµάτων

στα παρακάτω σχήµατα.

11. Οι περίµετροι δύο κύκλων έχουν λόγο 4 : 5. Να βρείτε το λόγο:

α. Των ακτίνων τους β. Των διαµέτρων τους γ. Των εµβαδών τους



12. Να υπολογίσετε το εµβαδόν ενός κυκλικού δακτυλίου που περικλείεται µεταξύ

δύο οµόκεντρων κύκλων µε ακτίνες ρ = 12 cm και R = 18 cm.

13. Οι τροχοί ενός ποδηλάτου έκαναν 1000 στροφές. Αν η διάµετρός τους είναι 80cm,

να βρείτε πόσο διάστηµα διήνυσαν.

14. Το εµβαδόν ενός κυκλικού τοµέα είναι 37,68cm2. Αν η ακτίνα του κύκλου είναι

6cm, να βρεθεί πόσες µοίρες είναι ο τοµέας.

15. Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ = 5cm να περιγράψετε ένα κανονικό εξάγωνο. Να υπολο-

γίσετε το εµβαδόν και την περίµετρό του.

294.



Ερώτηση 1

α. To µήκος ενός κύκλου και η διάµετρός του τι ποσά είναι; Είναι δυνατόν ο λόγος

της περιµέτρου ενός κύκλου προς τη διάµετρό του να είνα ίσος µε 3;

β. Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα ενός κύκλου, πως θα µεταβληθούν:

i. Το µήκος του κύκλου. ii. Το εµβαδόν του κύκλου.

γ. Τι είναι ο αριθµός π; Ρητός ή άρρητος;

Τι είναι κυκλικός τοµέας, κυκλικός δακτύλιος και κυκλικό τµήµα;

Ερώτηση 2

α. Γράψτε όλους τους τύπους που ισχύουν για το µήκος κύκλου, µήκος τόξου, εµβα-

δόν κυκλικού δίσκου, εµβαδόν κυκλικού τοµέα και λύστε τους ως προς όλα τα

µεγέθη.

β. Τι είναι τα ακτίνια; Ποια σχέση συνδέει τις µοίρες µε τα ακτίνια ενός τόξου;

Ποιο είναι το µήκος τόξου α rad σε κύκλο ακτίνας ρ;

Πόσα rad είναι ένας κύκλος, ένα ηµικύκλιο, ένα τεταρτηµόριο; Πόσες µοίρες είναι

1 rad;

Άσκηση 1

Να βρείτε το εµβαδόν του κύκλου που είναι περιγγεγραµµένος σε κανονικό εξάγωνο

πλευράς 6m.

Άσκηση 2

Να υπολογίσετε το εµβαδόν ενός κυκλικού δακτυλίου που περικλείεται µεταξύ δύο

οµόκεντρων κύκλων µε ακτίνες ρ = 12 m και Κ = 15 m.

Άσκηση 3

Μέσα σε ένα χωράφι σχήµατος τετραγώνου κατασκευάστηκε το µεγαλύτερο δυνατό

κυκλικό αλώνι, µε ακτίνα 100cm. Να βρείτε:

α. Το µήκος της πλευράς του τετραγωνικού χωραφιού.

β. Την αξία του χωραφιού, αν κάθε τετραγωνικό µέτρο κοστίζει 10 €.

γ. Το εµβαδόν του χωραφιού που είναι έξω από το αλώνι.


Åõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÅõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõ

ÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÏñèÜ ðñßóìáôáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊýëéíäñïò ÐõñáìßäáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò ÓöáßñáÊþíïò Óöáßñá

ÊåöÜëáéï 9ïïïïï

ÌÝôñçóç ÓôåñåþíÌÝôñçóç Óôåñåþí

Â


20Åõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÏñèÜ ðñßóìáôáÊýëéíäñïò - Ðõñáìßäá - Êþíïò - Óöáßñá

Åõèåßåò êáé åðßðåäá óôï ÷þñïÈÝóåéò åõèåßáò êáé åðéðÝäïõÏñèÜ ðñßóìáôáÊýëéíäñïò - Ðõñáìßäá - Êþíïò - Óöáßñá

Τι είναι το επίπεδο; Έχει διαστάσεις;

∆ε µπορούµε να δώσουµε ορισµό για το επίπεδο για-

τί είναι πρωταρχική έννοια για τα Μαθηµατικά. Μπορούµε

να δώσουµε παραδείγµατα εικόνων κάποιων επιπέδων που

συναντούµε γύρω µας, στη φύση. Όπως το επίπεδο του σχο-

λικού πίνακα, το επίπεδο της πόρτας του σπιτιού µας.

Το επίπεδο δεν έχει διαστάσεις. Εκτείνεται απεριόριστα.

Φαντασθείτε τον πίνακα στην τάξη µας να αρχίζει να µεγα-

λώνει και στις τέσσερεις πλευρές του. Αυτό είναι το επίπε-

δο του πίνακα.

Πόσα επίπεδα διέρχονται από τρία διαφορετικά

σηµεία µη συνευθειακά;

Από τρία διαφορετικά σηµεία που δεν βρίσκονται

στην ίδια ευθεία διέρχεται ένα µόνο επίπεδο.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο επιπέδων;

∆ύο διαφορετικά επίπεδα µπορεί:

α. Να είναι παράλληλα.

∆εν έχουν κανένα κοινό ση-

µείο. ∆ύο τέτοια επίπεδα είναι

το πάτωµα και η οροφή του

σπιτιού µας (ή οι απέναντι έ-

δρες ενός παραλληλεπιπέδου).

Ένα επίπεδο το σχε-

διάζουµε σαν ένα πα-

ραλληλόγραµµο.

Όταν ρωτάµε τη σχε-

τική θέση δύο σχη-

µάτων εννοούµε ό-

λες τις δυνατές θέ-

σεις που µπορεί να έ-

χουν µεταξύ τους

298.

Ευθείες και επίπεδα στο χώρο - Θέσεις ευθείας και επιπέδου - Ορθά πρίσµατα - Κύλινδρος - Πυραµίδα - Κώνος -Σφαίρα

Μέτρηση στερεών

β. Να τέµνονται .

Σε αυτήν την περίπτωση τα

κοινά τους σηµεία βρίσκονται

επάνω σε ευθεία (ε). Λέµε ότι

τα επίπεδα τέµνονται κατά την

ευθεία (ε).

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο χώρο;

∆ύο ευθείες στο χώρο µπορεί:

α. Να τέµνονται.

Τότε έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο.

β. Να είναι παράλληλες.

Βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν

έχουν κανένα κοινό σηµείο.

γ. Να είναι ασύµβατες.

∆εν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

και δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο

π.χ. η ΑΜ και Γ∆.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου;

Μια ευθεία µπορεί:

α. Να περιέχεται σε ένα επίπεδο.

Όταν µία ευθεία έχει δύο σηµεία της επάνω σε ένα επίπε-

δο, τότε έχει όλα τα σηµεία της επάνω στο επίπεδο. Λέµε

ότι η ευθεία ανήκει ή περιέχεται στο επίπεδο. Η ευθεία

ΑΓ ανήκει στο επίπεδο που σχηµατίζει η έδρα ΑΒΓ∆.

β. Να είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο.

Σε αυτή την περίπτωση η ευθεία δεν έχει κανένα κοινό

σηµείο µε το επίπεδο. Η ευθεία ΑΓ είναι παράλληλη προς

το επίπεδο (ρ) που σχηµατίζεται από την έδρα ΚΛΜΝ.

γ. Να τέµνει το επίπεδο.

Το σηµείο τοµής τους είναι ένα σηµείο. Στο διπλανό σχή-

µα, η ευθεία ΑΜ τέµνει το επίπεδο (ρ) στο σηµείο Μ. Το

σηµείο Μ λέγεται ίχνος της ευθείας ΑΜ στο επίπεδο (ρ).

299.Μέτρηση στερεών


Πότε λέµε ότι µια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο;

Όταν µια ευθεία είναι κάθετη σε δύο ευθείες του επι-

πέδου οι οποίες διέρχονται από το ίχνος της λέγεται κάθε-

τη στο επίπεδο αυτό.

Η ευθεία ΛΜ είναι κάθετη στην ευθεία ΓΜ και στην ευθεία

ΜΝ. Εποµένως και στο επίπεδο που ορίζουν αυτές οι δύο

ευθείες, το ∆ΓΜΝ.

Μπορούµε να αποδείξουµε (σε µεγαλύτερη τάξη) ότι, όταν

µία ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, είναι κάθετη σε κάθε

ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το ίχνος της.

Η ευθεία ΛΜ λοιπόν είναι κάθετη και στην ευθεία ∆Μ.

Τι είναι το ορθό πρίσµα; Ποια είναι τα χαρακτηρι-

στικά του;

Το ορθό πρίσµα είναι ένα στερεό του οποίου οι δύο

έδρες είναι παράλληλα και ίσα πολύγωνα και οι άλλες έ-

δρες είναι παραλληλόγραµµα.

Οι παράλληλες έδρες λέγονται βάσεις του πρίσµατος.

Οι υπόλοιπες έδρες που είναι παραλληλόγραµµα αποτε-

λούν την παράπλευρη επιφάνεια του πρίσµατος.

Το πολύγωνο της βάσης καθορίζει το όνοµα του πρίσµα-

τος. Αν η βάση είναι τρίγωνο, το πρίσµα λέγεται τριγωνικό,

αν είναι τετράπλευρο, το πρίσµα λέγεται τετραπλευρικό κ.ο.κ.

Ύψος του πρίσµατος λέγεται το ύψος µιας παράπλευρης

έδρας.

Εµβαδό παράπλευρης

επιφάνειας πρίσµατος

Εµβαδό ολικής

επιφάνειας πρίσµατος

Όγκος πρίσµατος

ΕΠ

= (περίµετρος βάσης ) · (ύψος)

Εολ = ΕΠ + 2 Εβάσης

V = (Εβάσης ) · (ύψος)

300.



Τι είναι ο κύλινδρος; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά του;

Κύλινδρος είναι το στερεό που προκύπτει αν περι-

στρέψουµε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο γύρω από

µία πλευρά του.

Κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου λέγε-

ται η παράπλευρη επιφάνειά του.

Βάσεις του κυλίνδρου είναι οι κυκλικοί

δίσκοι που σχηµατίζονται από την πε-

ριστροφή των πλευρών ΑΒ και Γ∆ του

ορθογωνίου.

Γενέτειρα του κυλίνδρου ονοµάζεται η πλευρά ΒΓ (που

δηµιουργεί την κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου).

Ύψος του κυλίνδρου ονοµάζεται το ύψος του Α∆ του ορ-

θογωνίου.

Τι είναι η πυραµίδα; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της;

Πυραµίδα είναι το στερεό που η µία του έδρα είναι

πολύγωνο και λέγεται βάση και οι άλλες έδρες είναι τρίγω-

να µε κοινή κορυφή.

Παράπλευρες έδρες είναι τα τρίγωνα

που αποτελούν την πυραµίδα εκτός της

βάσης.

Αυτές οι έδρες αποτελούν και την πα-

ράπλευρη επιφάνεια της πυραµίδας.

Ανάλογα µε τη βάση της ονοµάζουµε

την πυραµίδα τριγωνική (αν έχει βάση τρίγωνο), τετραπλευ-

ρική (µε βάση τετράπλευρο) κ.ο.κ. .

Η τριγωνική πυραµίδα λέγεται τετράεδρο.

Εµβαδόν κυρτής

επιφάνειας

Εµβαδόν ολικής


Όγκος κυλίνδρου

ΕΚ =2πρυ

Εολ = ΕΚ + 2 Εβάσης =

= 2 πρυ + 2 πρ2

V = Εβάσης · ύψος = π ρ2 υ

όπου ρ η ακτίνα της βά-

σης και υ το ύψος του

κυλίνδρου

Εµβαδόν κύκλου

Ε = πρ 2



Ύψος της πυραµίδας είναι η απόσταση της κορυφής από

τη βάση.

Παράπλευρο ύψος h είναι το ύψος του τριγώνου κάθε πα-

ράπλευρης έδρας, που ξεκινάει από την κορυφή της πυρα-

µίδας.

Κανονική λέγεται η πυραµίδα της οποίας η βάση είναι κα-

νονικό πολύγωνο και το ίχνος του ύψους της συµπίπτει µε

το κέντρο της βάσης. Στην κανονική πυραµίδα οι παρά-

πλευρες έδρες είναι ισοσκελή τρίγωνα ίσα µεταξύ τους.

Τι είναι ο κώνος; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά του;

Κώνος είναι το στερεό που προκύπτει αν περιστρα-

φεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο γύρω από µία κάθετη πλευρά

του κατά µία πλήρη γωνία 360ο.

Βάση του κώνου λέγεται ο κυκλικός δίσκος που δηµιουρ-

γείται από την άλλη κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τρι-

γώνου.

Γενέτειρα λ λέγεται η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

Ύψος λέγεται η απόσταση της κορυφής του κώνου από τη βάση.

Κυρτή επιφάνεια λέγεται η παράπλευρη επιφάνεια του κώ-

νου που δηµιουργείται από την περιστροφή της γενέτειρας.

Εµβαδόν κυρτής

επιφάνειας κώνου


επιφάνειας κώνου

Όγκος κώνου

ΕΚ

= π ρ λ

Εολ

= ΕΚ

+ Εβάσης

=

= π ρ λ + 2 π ρ

V = 1

3 π ρ2 υ

όπου ρ η ακτίνα της βά-

σης και λ η γενέτειρα

όπου ρ η ακτίνα

της βάσης και υ το

ύψος του κώνου

Εµβαδόν παράπλευρης

επιφάνειας πυραµίδας



Όγκος πυραµίδας

ΕΠ

= 1

2Περίµετρος Παράπλευρο

Βάσης Ύψος

⋅

Εολ

= ΕΠ

+ Εβάσης

V =

1

3 Ε

βάσης · ύψος

302.



Τι είναι ο κόλουρος κώνος; Ποια είναι τα χαρακτηρι-

στικά του;

Κόλουρος κώνος είναι το στερεό που προκύπτει αν

“κόψουµε” έναν κώνο µε ένα επίπεδο παράλληλο προς τη

βάση του.

Τι είναι σφαίρα; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της;

Σφαίρα είναι το στερεό που προκύπτει αν περιστρα-

φεί πλήρως (κατά 360ο) ένας ηµικυκλικός δίσκος κέντρου

Ο και ακτίνας ρ γύρω από µία διάµετρο του ΑΒ.

Κέντρο της σφαίρας είναι το κέντρο Ο του ηµικυκλικού δί-

σκου.

Ακτίνα της σφαίρας είναι η ακτίνα του ηµικυκλικού δίσκου.

Επιφάνεια της σφαίρας είναι η επιφάνεια που δηµιουργεί-

ται από την περιστροφή του ηµικυκλικού δίσκου.

Εµβαδόν κυρτής επιφά-

νειας κόλορου κώνου

Εµβαδόν ολικής επιφά-

νειας κόλορου κώνου

Όγκος κόλορου κώνου

ΕΚ

= π (R + ρ) λ

όπου R, ρ οι ακτίνες τως βάσεων και

λ η γενέτειρα

Εολ

= ΕΚ

+ Εβάσης 1

+ Εβάσης

2

V = 13

π (R2 + R · ρ + ρ2) υ

Εµβαδόν επιφάνειας

σφαίρας

Όγκος σφαίρας

Εσφ

= 4 π ρ2

όπου ρ η ακτίνα της σφαίρας

V = 4

3 π ρ3

M

ñO

B

A



∆ίνεται το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του διπλανού

σχήµατος.

α. Να βρείτε τα ζεύγη των παραλλήλων επιπέδων.

β. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΑΒΓ∆ και ΒΛΜΓ.

γ. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΑΓΜΚ και ∆ΓΜΝ.

δ. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΑΓΜΚ και Β∆ΝΛ.

Λύση

α. Παράλληλα είναι τα επίπεδα ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ, Α∆ΝΚ

και ΒΓΜΛ, ΑΒΛΚ και ∆ΓΜΝ.

β. Η τοµή των δύο επιπέδων είναι η ευθεία ΒΓ.

γ. Η τοµή των δύο επιπέδων είναι η ευθεία ΜΓ.

δ. Η τοµή των δύο επιπέδων είναι η ευθεία ΕΖ η οποία

διέρχεται από τα κέντρα των παραλληλογράµµων

ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ και είναι κάθετη στα επίπεδά τους.

α. Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του διπλανού σχήµατος

έχει διαστάσεις α, β, γ. Να υπολογισθεί το µήκος της

διαγωνίου ΑΜ.

β. Ο κύβος του διπλανού σχήµατος έχει διαγώνιο

AM 2 3 cm= . Να υπολογιστούν:

i. Το µήκος της ακµής του ΑΒ.

ii. Το εµβαδόν της επιφάνειάς του.

iii. Ο όγκος του κύβου.

Λύση

α. Το τρίγωνο ΚΝΜ είναι ορθογώνιο µε κάθετες πλευρές α, β. Εφαρµόζοντας το Πυθα-

γόρειο Θεώρηµα υπολογίζουµε την υποτείνουσα του ΚΜ:

2 2 2KM α β= + άρα 2 2ΚΜ α β= +

304.



Η ευθεία ΑΚ είναι κάθετη στο επίπεδο ΚΛΜΝ εποµένως

θα είναι κάθετη και σε κάθε ευθεία του επιπέδου που

περνάει από το ίχνος της Κ. Άρα το τρίγωνο ΑΚΜ είναι

ορθογώνιο ( )LΑΚΜ 1= . Εφαρµόζουµε το Πυθαγόρειο

Θεώρηµα και έχουµε:

2 2 2ΑΚ ΚΜ ΑΜ+ = ή 2 2 2 2γ α β ΑΜ+ + =

Εποµένως 2 2 2ΑΜ α β γ= + + .

β. i. Ο κύβος είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε τρεις διαστάσεις ίσες, δηλαδή

α β γ= = . Σύµφωνα µε το ερώτηµα α. για τη διαγώνιό του ισχύει:

2 2 2δ α β γ= + + δηλαδή 2 2 2 2δ α α α 3α α 3= + + = =

Εποµένως α 3 2 3 α 2cm AB 2cm= ⇔ = ⇔ =ii. Η επιφάνεια του κύβου αποτελείται από 6 τετράγωνα πλευράς α.

Εποµένως 2 2 2 2ολ

E 6α 6 2 cm 24cm= = ⋅ = .

iii. Ο όγκος του κύβου όπως και κάθε πρίσµατος είναι:

2 3βάσης

V Ε ύψος α α α= ⋅ = ⋅ =

Άρα 3 3 3V 2 cm 8cm= =

Σε ένα ορθό τριγωνικό πρίσµα οι δύο πλευρές του τριγώνου

της βάσης είναι 8 cm και 5 cm. Το ύψος του πρίσµατος είναι

3 cm και το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας 69 cm2.

Να υπολογισθεί η τρίτη πλευρά της βάσης του πρίσµατος.

Λύση

Έστω x η ζητούµενη πλευρά.

Το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσµατος είναι:

ΠE Περίµετρος βάσης ύψος= ⋅

Εποµένως ( )269cm 8 5 x cm 3cm= + + ⋅ ⇔ ( )269cm 13 x cm 3cm= + ⋅ ⇔

( )6913 x 13 x 23 x 23 13 cm x 10cm

3+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

Ένα αλουµινένιο κουτί αναψυκτικού σχήµατος κυλίνδρου έχει ακτίνα βάσης 3 cm

και ύψος 10 cm.

α. Πόσο αλουµίνιο χρειάστηκε για την κατασκευή του;

β. Πόσο χαρτί χρειάζεται για το πλαϊνό περιτύλιγµα του κουτιού;

γ. Πόσο αναψυκτικό χωράει το κουτί;

L1 συµβολίζουµε

την ορθή γωνία



Λύση

α. Πρέπει να υπολογίσουµε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του κυλίνδρου.

Είναι: ( ) ( )2 2 2ολ

E 2πρυ 2πρ 2πρ υ ρ 2 3,14 3 10 3 cm 244,92cm= + = + = ⋅ ⋅ + =Άρα χρειάζονται 244,92 cm2 αλουµινίου για την κατασκευή του κουτιού.

β. Επειδή το χαρτί καλύπτει µόνο την παράπλευρη επιφάνεια του κουτιού, υπολογίζου-

µε το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου.

Είναι: 2 2Π

E 2πρυ 2 3,14 3 10cm 188,4cm= = ⋅ ⋅ ⋅ =γ. Αυτό που µας ζητείται είναι ο όγκος του κυλινδρικού κουτιού.

Είναι: 2 3 3V πρ υ 3,14 9 10cm 282,6cm= = ⋅ ⋅ =Εποµένως το κουτί χωράει 282,6 cm3 αναψυκτικού.

Σε µία κανονική τριγωνική πυραµίδα η πλευρά της βάσης είναι 2 cm. Το παράπλευ-

ρο ύψος της πυραµίδας είναι 10 cm. Να βρείτε το εµβαδόν

της ολικής επιφάνειας.

Λύση

Το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι:

( ) ( )Π

1E Περίµετρος βάσης παράπλευρο ύψος

2= ⋅ =

2 213 2 10cm 30cm

2= ⋅ ⋅ ⋅ =

Η βάση της πυραµίδας είναι ισόπλευρο τρίγωνο (αφού είναι κανονική) µε πλευρά

α 2cm= . Εποµένως έχει εµβαδόν:2 2

2βάσης

α 3 2 3E 3 cm

4 4= = = .

Έτσι 2 2 2ολ Π βάσης

E Ε Ε 30cm 3 cm 31,73cm= + = + =

Τι µεταβολή θα πάθει το εµβαδόν της επιφάνειας και ο όγκος µιας σφαίρας αν

τριπλασιάσουµε την ακτίνα της;

Λύση

Το εµβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας όταν έχει ακτίνα ρ, είναι 2

σφ.E 4πρ= .

Αν η ακτίνα γίνει ρ ' 3ρ= τότε το εµβαδόν θα γίνει:

( )22 2σφ. σφ

Ε ' 4πρ ' 4π 3ρ 9 4πρ 9Ε= = = ⋅ =∆ηλαδή το εµβαδόν θα 9-πλασιασθεί.

Ο όγκος της σφαίρας είναι: 34

V πρ3

=

Όταν τριπλασιασθεί η ακτίνα: ( )3 3 34 4 4V ' π 3ρ π 27 ρ 27 π ρ 27 V

3 3 3 = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Άρα ο όγκος της σφαίρας θα 27-πλασιασθεί.

306.



1. Έστω Κ, Λ, Μ, Ν τέσσερα τυχαία σηµεία του χώρου.

α. Να σηµειώσετε τα επίπεδα που ορίζουν αυτά τα σηµεία (ανα τρία).

β. Να βρείτε την τοµή των επιπέδων ΚΛΜ και ΚΜΝ.

2. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και να σηµειώσετε όλα τα ζεύγη

των ασύµβατων ακµών.

3. Ένας κύβος έχει ακµή α 2cm= . Να υπολογίσετε:

α. Τη διαγώνιό του.

β. Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας.

γ. Τον όγκο του.

4. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει διαστάσεις α 3cm, β 4cm, γ 5cm= = = .

Να υπολογίσετε:

α. Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του.

β. Τον όγκο του.

5. Ένα ορθό πρίσµα έχει βάση τετραγώνο. Η πλευρά της βάσης είναι α 5cm= και το

ύψος είναι υ 3cm= . Να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του πρίσµα-

τος και τον όγκο του.

6. Ένας κύλινδρος έχει διάµετρο βάσης δ 6cm= και ύψος υ 10cm= . Να υπολογίσετε:

α. Το εµβαδόν της κυρτής του επιφάνειας.

β. Το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας.

γ. Τον όγκο του.

7. Να βρείτε την ακτίνα της βάσης κυλίνδρου που έχει όγκο 3V 785cm= και ύψος

υ 10cm= .



8. Να δείξετε ότι ο όγκος κυλίνδρου δίνεται από τον τύπο k

1V E ·ρ

2= όπου kE το

εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κυλύνδρου και ρ η ακτίνα της βάσης του.

9. Μια κανονική πυραµίδα µε βάση τετράγωνο έχει πλευρά βάσης α 5cm= και

παράπλευρο ύψος h 10cm= . Να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας

της.

308.



Ερώτηση 1

Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

Ερώτηση 2

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις: α. ∆ύο επιπέδων.

β. ∆ύο ευθειών.

γ. Μιας ευθείας και ενός επιπέδου.

Άσκηση 1

Μια κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 10cm και ύψος 8cm. Να

βρείτε το εµβαδόν µιας παράπλευρης έδρας της.

Άσκηση 2

Η διάµετρος σφαίρας είναι δ 20cm= . Να βρείτε το εµβαδόν της επιφάνειας της και

τον όγκο της.

Άσκηση 3

Το εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας κώνου είναι 260cm και η γενέτειρά του λ 4cm= .

Να υπολογίσετε: α. Την ακτίνα της βάσης του.

β. Το ύψος του.

γ. Το όγκο του.

Στερεό

Ορθό πρίσµα

Πυραµίδα

Κώνος

Κόλουρος κώνος

Σφαίρα

Εµβαδόν παράπλευρης




Όγκος

ÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéò

311.Απαντήσεις

Κεφάλαιο 1ο

Βιβλιοµάθηµα 1ο

Ώρα για εξάσκηση:

2. α. 10,8, β. 12,5, γ. 7,3, δ. 5,6, ε. 5/8, στ. 6/5

3. α. –8 < –7 < –5 < –2 < 0 < +1 < +4,

β. –30,5 < -24,4 < –24 < +7,1 < +7,3,

γ. 1 3 4 3 3 7

5 , 4 2 2 24 10 5 5 4 10

− < − < − < − < + < +

4. α. Λ , β. Σ, γ. Λ, δ. Λ, ε. Σ, στ. Λ, ζ. Σ, η. Σ

5. α. < , β. >, γ. >, δ. <, ε. <, στ. >, ζ. <, η. <

6. α. 1

102

+ , β. 8

3− , γ.

15

6+ , δ. +11, ε. –13,5,

στ. +6,7, ζ. 18

25+ , η.

6

7−

7. x 4,5, 1/8, 2 /3, 11, 12,3= ,

x 4,5, 1/8, 2 /3, 11, 12,3− = − −

x 4,5, 1/8, 2 /3, 11, 12,3+ = − − −8. α. Σ, Σ, Λ, Λ, β. Σ, Λ, Λ, Σ, γ. Σ, Λ, Λ

9. α. > , β. < , γ. > , δ. = , ε. = , στ. = , ζ. < ,η. >

11. Α= –26, Β = –1/3, Γ = –101, ∆= –10,

Ε = 3,7, ΣΤ = –130

12. (–3) , (–7,0) , (+4, –5) , (–1)

13. Α= 0 , Β = –8 , Γ = –14,7 , ∆= 11/10

14. α. – 36,6 , β. 33

16+ γ.

19

3, δ. – 4,3, ε. +21,04

15. Α= 0 , Β = 23

6− , Γ =

1

2+ , ∆=

12

3− ,

Ε = +2, ΣΤ = 1

3−

16. α. –7, + 2, + 24, + 20 β. –40,–7, + 84,0 ,

γ. +30, –51, –51, –22, 2,

δ. 5 9 13 12

, , ,4 6 3 5

− + − −

17. α. < , β. >, γ. =, δ. >, ε. =, στ. =

18. α. x = 13, β. x = 16, γ. x = – 3, δ. x = +18,

ε. x = –25, στ. x = 0,ζ. x = +8, η. x = +26,

θ. x = +6,5, ι. x = –25, κ. x = +4, λ. x = +46

19. α. –28, β. –13,19, γ. 3

2+ , δ. +67, ε.

35

4,

στ. –0,38

20. x 7, y 21= − = −22. α. +13, β. +33, γ. +30, δ. –1270

23. α. +26, β. +7, γ. +0,8, δ.79

5−

24. Α = –7, Β = –35,4, Γ = 11

24+ , ∆ = –490,

Ε = 25

6− , ΣΤ = –13,9, Ζ =

61

12−

25. Α = 0, Β = 1, Γ = 12, ∆ = 0

26. Α = +0,5, Β = –32, Γ = –17, ∆ = 2003

27. Α + Β = 10

28. α. –13, β. –20, γ. –2

29. Α = + 8

30. Με x + y είναι οι β, η ενώ µε –(x + y) εί-

ναι οι γ, στ.



1. α. –28, β. –80, γ. –42, δ. –63, ε. –7,

στ. +13,5, ζ. –3,6, η. –0,24, θ. 4

3− , ι.

5

4+ ,

ια. 49

9− , ιβ.

2

15+

2. 11 11

Α 13, Β 7,5, Γ , ∆ , Ε 5512 2

= − = − = + = + = −

3. Α 16, Β 10, Γ 12, ∆ 9,= − = − = − = + Ε 1,= −

ΣΤ 0=

4. 12, 60, 20, 3, 27

12, 60, 20, 27, 3

12, 60, 20, 3, 27

− − − + − ↔− + + − + ↔− + − + −

α.

2, 6, 3, 8, 8

2, 6, 3, 8, 8

2 6, 3, 8, 8

+ − + − − ↔+ + + − − ↔+ − + − −

β.

5. Α 31, Β 4, Γ 88, ∆ 0= − = + = + =

6. Αντίστροφοι: –2, 1

3,

5

6,

1

4− ,

3

2, –7,

1

8,

Αντίθετοι: 1

2, –3,

6

5− , 4,

2

3− ,

1

7, –8

312. Απαντήσεις

7. Θετικό

9. 41, 29, 49, 21, 57− − − − −α. ,

28 54 50

11, , , , 133 5 6

+ − + + +β.

10. 8

720, 720, , 187,5, 19

+ − − − +α. β. γ. δ. ε.

11. α. –22 , β. 0 , γ. +48 , δ. –10

12. α. Αρνητικό, β. Θετικό, γ. Θετικό,

δ. Αρνητικό

13. Α= 0 , Β = +16 , Γ = +4 , ∆= 0

14. α. Λ , β. Σ , γ. Σ, δ. Λ, ε. Λ

15. Α= +3 , Β = 9

4+ , Γ = –3

16. α. 8, 16 , 15, 66 , 12, 56− − + + − −

β. 4, 16 , 2, 18 , 2, 18 , 4, 44− − − − + + + −17. α. Αρνητικός, β. Θετικός, γ. Αρνητικός,

δ. Θετικός

18. Α= +3, Β = –8, Γ = +48

19. α. 8, 16, 32, 6, 64

8, 16, 32, 6, 64

4, 8, 16, 3, 32

4, 8, 16, 3, 32

− + − + + ↔+ − + − − ↔− + − + + ↔+ − + − −

,

β. 2 7 16

1, , 5, ,3 2 5

3 15 21 24, 1, , ,

2 2 4 54 32

2, , 10, 7,3 5

5 5 25 35, , , , 8

2 3 2 4

+ − + + − ↔

− + − − + ↔

+ − + + − ↔

− + − − +

20. α. –3, β. +0,5, γ. +0,02, δ. 25

36+ , ε. +0,1,

στ. +0,02

21. Α = –8, Β = +1, Γ = –2, ∆ = –44,

Ε = +10/15, ΣΤ = –0,11

22. Α = –5, Β = –1, Γ = –0,9, ∆ = +3, Ε = +1/3

23. α. x 12= + , β. x 20= + , γ. x 4= − ,

δ. x 6= − , ε. x 2= + , στ. x 10= − , ζ. x 2= − ,

η. x 20= − , θ. x 14= + , ι. x 30= − ,

ια. x 7= + , ιβ. x 16= +

24. +4

25. Α = –40, Β = +19, Γ = +6.

26. 330, 2, 4 , 76, , 6 , 30, 6, 12

2− + + − − + + + +

27. i. –2, ii. –3, iii. +2, iv. +1

28. +11/12

29. Α = + 8


1. α. +64, β. +125, γ. -1/27, δ. –128, ε. –25,

στ. +27, ζ. –36, η. +81, θ. –25, ι. –1,

ια. 343, ιβ. +2,55, ιγ. 0, ιδ. +1, ιε. 5,29

2. Α 5, Β 18, Γ 384, ∆ 1080, Ε 4= + = − = − = − = −3. α. 328, β. 425, γ. 86, δ. (–2)17, ε. (–1/5)20,

στ. 614

4. α. >, β. >, γ. <, δ. <, ε. <, στ. =, ζ. <,

η. =, θ. <

5. α. +1, β. +1, γ. +1, δ. +16, ε. +1

6. α. 16, β. 100, γ. –8, δ. +81, ε. –125,

στ. +64, ζ. 64, η. 25, θ. –512

7. Α 36, Β 16, Γ 0, ∆ 569, Ε 0= − = + = = + =8. α. +64, β. +1, γ. 2048, δ. 4096, ε. 81,

στ. 256, ζ. –1, η. 625

9. Α 64, Β 257, Γ 0, ∆ 92= + = + = = +

10. 1

3, 25, 125, 49, , 2,25,8

−α. β. γ. δ. ε. στ.

9, 64

10ζ. η.

11. α. 81 , β. 512 , γ. 1 , δ. –343

12. α. 64, β. 81, γ. 2, δ. 9, ε. 49, στ. 243,

ζ. 64, η. –125

13. Α= 1350 , Β = 1

432−

14. Α= 9 , Β = 36, Γ = 1

15. α. 3, 26 , 5, 397 , 5, 307+ − − − + − ,

β. 8, 12, 64, 32− − + + , 27, 27, 729, 243 ,+ − + −

27, 27, 729, 243− − + +

16. 1 27 7 1 1 8

. , .1, . , . , . , . , . ,16 5 16 9 64 3

1 1 1. 1, . 4, . , . , .

64 36 256−

α β γ δ ε στ ζ

η θ ι ια ιβ


17. α. 4, β. 1, γ. 1

18. α. 1 1 1 51, 4 , , , ,

4 16 4 16− ,

β. 1 1 1 51, 1 , , , ,

8 8 8 8− + − − +

19. 1 95

Α , Β , Γ 1256 16

= = − =

20. 223 80 1

A , B , Γ , ∆ 464 27 3

= − = − = − = −

21. 8 10 97,5 10 , 8,1 10 , 4,32 10 ,⋅ ⋅ ⋅α. β. γ.

10 83,31 10 , 7,12 10 ,−⋅ ⋅δ. ε. 104,22 10−⋅στ. ,

6 83,58 10 , 8,48 10− −⋅ ⋅ζ. η.

22. 16 17 15

16 15

6 10 , 5,6 10 , 32,85, 2 10 ,

1,5 10 , 5 10

−

−

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

α. β. γ. δ.

ε. στ.

23. 8 18 35 24

24 8

164 10 , 64 10 , 32 10 , 10 ,

811 1

10 , 1064 25

− −

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

α. β. γ. δ.

ε. στ.

24. 9 3 8A 1,4 10 , B 17,8 10 , Γ 9,85 10−= ⋅ = − ⋅ = − ⋅26. 13,5 · 10–3

27. 0,25, 1,25, 0,625, 0,2, 1,3,

2,5, 0,5, 0,3

− − −−

α. β. γ. δ. ε.

στ. ζ. η.

28. 5 6 8 14 124 1258

, , , , ,9 9 9 9 99 495

α. β. γ. δ. ε. στ.

29. 19 1736

ή 2,1 ,9 891

α. β.




1. α. 2x + 9, β. 5x – 13, γ. x

3x3

+

2. α. 4κ, 4κ + 4, 4κ + 8, β. 7κ 7κ 7 7κ 14

2

+ + + +

3. x – 137 και x + 81 αντίστοιχα

4. x

2x 3x 117

+ = −

5. 90°, 70°, 100° και 100°

6. 2

x 6, y 1, ω5

= − = − = −

7. α. 5

x2

= − , β. 21

x2

= −

8. α. 51

x5

= , β. x 9=

9. α. Αδύνατη, β. Αόριστη

10. 5

x3

= −

11. α. x = 3, β. x = 0

12. x = –1

13. α. 3

x2

= , β. x 5= −

14. α. 3

x5

= , β. x 2= −

15. α. 13

x10

= , β. 19

x84

=

16. 127

x153

=

17. µ = 5

18. α. 7

µ , ν 23

= = , β. 1 5

µ , ν6 11

= = −

19. µ = 10, ν = –3, Α = 1003

20. λ = 2, A = 25

21. α. 2

2sα

t= , β. 2 2s

tα

=

22. α. E

mgh

= , β. E

gmh

= , γ. E

hmg

=

23.

2Frq

Q=

24. ( )V V E 2yz

y , z , xxz xy 2 y z

−= = =+

25. 4

26. 77

27. µικρή βάση = 12,5cm, µεγάλη βάση = 27,5 cm

28. γιος = 7 χρονών, κόρη = 15 χρονών,

µητέρα = 40 χρονών, πατέρας = 45 χρονών


29. 123,75 και 206,25

30. 93,4725 cm2

31. 7077,7 €

32. α. 20, 22, 24, 26, β. 13, 15, 17, 19

33. 5 κέρµατα των 10 λεπτών και 12 κέρµατα

των 50 λεπτών


1. α. 3

x43

≥ , β. 7

x3

> −

2. α. x 3≥ , β. x 5<3. α. x < 4, β. x > 4

4. α. 4

x5

≤ , β. 43

x5

>

5. α. x 3> − , β. 5

x6

≤ −

6. 9

x20

≤

7. α. Αόριστη, β. Αόριστη

8. α. Αόριστη, β. Αδύνατη

9. λ = 6

10. 15

λ2

= −

11. 2 < x < 3

12. x < –4

13. x > 3

14. –17 < x < 1

15. 1, 3, 5 ή 3, 5, 7 ή 5, 7, 9 ή 7, 9, 11

16. 6

17. 4

18. 15 παιχνίδια

19. Ο ισχυρισµός είναι ψευδής.

20. x 8,64≤




1. Σωστές είναι οι: ii, iii, iv, vi.

2. α. x = 10cm, β. E = 136cm2

3. i. 14cm, ii. 12cm2

4. 5cm

5. i. Είναι, ii. ∆εν είναι

6. α. 9cm, β. 108 cm2, γ. 54cm2

7. Ισχύει

8. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

9. 90cm2

10. α.i. 9, ii. 0,9, iii. 90, β. i. 2

3, ii.

5

6, iii.

15

911. 4



1. x 6,4, x 3,6i. ii.

2. A 7,76

3. x 9,38

4. A 0,99

5. i. 3,6 και 4,89, ii. 6, iii. 1,25

7. ΟΑ 5,8

8. AΒ 2 1,42=

9. α. ο y΄y, β. x΄x , γ. Ευθεία // y΄y,

δ. Ευθεία // x΄x

10. α. λ = –2, β. λ = 1/5 , γ. –2 < λ <1/5

11. υποτείνουσα 4,7 m

12. Εµβαδόν 127 τ.µ.




1. β 4

α 3= ,

α β 7

α 3

+ = , α β 7

β 4

+ = , α β

7β α

+ =−

2. α β 1

α β 3

− =+

, 2α β 5

2α β 3

+ =−

, 3α 2β

23α 2β

+ =−

6. AM = 2cm, MB = 10cm

7. ΑΜ 3

ΜΒ 5=

9. εφΓ = 4

10. x = 9,9m

11. εφΒ = 2,4, εφΓ = 0,4

12. α. β

εφΒγ

= και γ

εφΓβ

=

β. β γ βγ

εφΒ εφΓ 1γ β βγ

⋅ = ⋅ = =

13. x = 0,36 m


15. εφΒ 4

εφΓ 3=

17. O∆ = 75%



1. α. ηµΒ = 0,8, συνΒ = 0,6, ηµΓ = 0,6, συνΓ = 0,8,

β. ηµΖ = 12/13, συνΖ = 5/13, ηµΕ = 5/13,

συνΕ = 12/13,

γ. ηµΛ = 20/29, συνΛ = 21/29, ηµΜ = 21/29,

συνΜ = 20/29

2. α. 2 > Α > 1, β. 4 < Β < 6, γ. –1 < Γ <2

3. α. Α∆ = 2,3, Β∆ = 1,9, ∆Γ = 4,4, Ε = 7,25,

β. ∆Η = 5,2, ΖΗ = 3, ΕΗ = 7, Ε∆ = 8,7, Ε = 26,

γ. ΚΛ = 5,32, ΛΝ = 1,82, ΚΜ = 7,1, ΝΜ =5,

ΛΜ = 6,82, Ε = 17

4. 6 2

Α

2

+= , 2 3

B4

+= , Γ = –1

5. α. 5 5

ηµΒ , συνΒ

5 5= = ,

5 2 5

ηµΓ , συνΓ

5 5= =

6. α. ω = 60°, β. ω = 30°

7. ΑΒ = 5, ΑΓ = 8,6

9. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές




2. Α(0,1/3) , Β(–1,0)

4. α = 1 , β = 2

6. λ = –2



1. y = 7x

2. Α(0,1/3) , Β(–1,0)

5. λ = –7

6. Α(0,–5), Β(15,0)

7. 30, 60, 90

8. y = 2x + 5

9. y = 2x + 5

11. y = 2x + 5



2. 27 µέρες περίπου




1. Οι αντίστοιχες γωνίες είναι περίπου: 137,9ο,

95,6ο, 32,9ο, 65,22ο, 28,3ο

2. Την περίοδο από 12 έως 13 ετών

3. Οι αντίστοιχες γωνίες είναι: Η : 72°, Cl : 72°,

O : 216°

4. α. Ο αριθµός των γεννήσεων είναι: 1998:400,

1999:500, 2000:800, 2001:600, 2002:900,

β. το 2001, 25%, γ. 50%

5. Η.Π.Α: 15,8%, Ρωσία: 25%

6. α. Λέσβος: 90.000, Ρόδος:100.00,

Χίος:50.000, Σάµος:35.000, Σύρος:20.000

β. 61,1%, γ. 350%



1. α. Οι σχετικές συχνότητες των παρατηρήσε-

ων µε τη σειρά που δόνονται είναι 0,16,

0,23, 0,31, 0,2, 0,06, 0,03, 0,01.

β. Η επικρατούσα τιµή των παιδιών είναι 2,

γ. Πάνω από 3 παιδιά έχουν:

48 + 24 + 8 = 80 οικογένειες. Οπότε το

ποσοστό τους είναι

80 10,1 ή 10%

800 10= =

2. x = 8, y = 0,24, ω = 0,16, κ = 0,4, λ = 0,2

3. β. 2–4, γ. 8 + 12 = 20 µαθητές

4. α. Οι συχνότητες µε την σειρά που δίνονται

οι κλάσεις είναι: 125, 135, 140, 60 ,40



1. α. 18, 18, β. 14,14

2. 8, 10

3. α. 9, 11, 13, 15, 17, β. διάµεσος 13

4. 20

5. β. 14,93, δ. 60 %

6. x = 2

7. α. 161, β. 159,5, γ. 160,5

8. 900 €

9. 21





1. Είναι οι ευθείες ζ1 και ζ

2 οι οποίες είναι κά-

θετες µεταξύ τους και διχοτοµούν τις κατα-

κορυφήν γωνίες που σχηµατίζονται

2. α. Άπειρους, β. Έναν, γ. Έναν

3. Είναι η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σηµεία

∆, Β, Μ και η κάθετη σε αυτήν στο σηµείο Β.

4. Είναι η ευθεία της διχοτόµου της γωνίας.

5.

6. ΑΒ = ΒΓ = Γ∆ = ∆Α = 5cm

7. Ως προς x΄x:

Α Β→ , Β Α→ , Γ ∆→ , ∆ Γ→ ,

Ως προς y΄y:

A Γ→ , Β ∆→ , Γ Α→ , ∆ Β→

8. οΓ 30= ,

οΑ 120=

9. οΑ Β 100= = , οΓ ∆ 80= =

11. α. οΒ Γ 50= = , β. ο

1Α 40=




1. i. Β, ii. Γ

2. i. Λ, ii. Σ, iii. Λ, iv. Λ

3. 55ο, 75ο, 225ο

4. ο οˆ ˆΑ∆Γ 80 , ΑΒΓ 100= =7. 20°

8. Γ∆

AB2

=

9. ο οˆ ˆΑ∆Γ 89 , ΑΒΓ 91= =11. 22ο

12. ο

∆ 52=14. 48ο



2. i. Λ, ii. Λ, iii. Λ, iv. Σ, v. Σ

3. α. 120ο, β. 90ο, γ. 45ο, δ. 5ο

4. α. 144-γωνο, β. 25-γωνο, γ. 16-γωνο,

δ. 72-γωνο, ε. 20-γωνο

5. α. 144ο, β. 160ο, γ. 135ο, δ. 168ο

6. α. Όχι, β. Όχι, γ. Ναι

7. α. Ναι, β. Όχι, γ. Ναι



4. i. Σ, ii. Σ, iii. Σ, iv. Λ, v. Σ

5. 40.200Κm

6. 314cm2

7. 72cm2, 10,26cm2

8. 47,1cm

9. 82,08 cm2

10. α. 193,5cm2, β. 17,046cm2, γ. 10,75cm2

11. α. 4/5, β. 4/5, γ. 16/25

12. 565,2cm2

13. 2,512 Km

14. 120 µοίρες

15. 86,5cm2, 30cm




1. α. ΚΛΜ, ΚΜΝ, ΛΜΝ, β. Η ευθεία ΚΜ

2. Κάποιες ασύµβατες ευθείες είναι οι:

ΑΒ - ∆Ν, ΑΒ - ΓΜ, Γ∆ - ΒΛ, Γ∆ - ΑΚ

3.α. 2 3 cm , β. 2E 24cm= , γ. 3V 8cm=

4.α. 294 cm , β. 3V 60cm=

5. 2E 110cm= ,

3V 75cm=

6.α. 2κ

E 188,4cm= , β. 2ολ

E 244,95cm= ,

γ. 3V 282,6cm=

7. ρ 5cm=

9. 2

ολE 125cm=

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' 8-9

Documents

Transcript of ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' 8-9