ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1

27
ΕΝΟΤΗΤΑ Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Μπρατάκου Άρτεµις

Transcript of ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1

ΕΝΟΤΗΤΑ

Μάθηµα 6.1:

Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Μπρατάκου Άρτεµις

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

A. Θεωρία

1. Επίλυση ανίσωσης πρώτου βαθµού

2. Γενικός τρόπος λύσης ανισώσεων – παράσταση λύσεων

3. Ανίσωση που ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό

4. Αδύνατη ανίσωση

5. Κοινές λύσεις ανισώσεων

6. ∆ιπλή ανίσωση

7. ∆ιαστήµατα

B. Λυµένες Ασκήσεις

Γ. Άλυτες ασκήσεις

2

Α. Θεωρία 1. Επίλυση ανίσωσης πρώτου βαθµού

Έστω η ανίσωση: α� � � � 0.

Κάθε ανίσωση αυτής της µορφής λύνεται ως εξής:α� � � � 0 ⇔

�� � �

• Αν � � 0: �� � � ⇔ � ���

�(διατηρείται η φορά της ανίσωσης)

• Αν � � 0: �� � � ⇔ � ���

�(αλλάζει η φορά της ανίσωσης)

• Αν � 0: 0� � �

Αόριστη αν � � 0 Αδύνατη αν � � 0

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 3

Α. Θεωρία 2. Γενικός τρόπος λύσης ανισώσεων – Παράσταση λύσεων

Η διαδικασία επίλυσης των ανισώσεων της µορφής α� � � � 0 ή α� � � � 0είναι ίδιαµε αυτή των αντίστοιχων εξισώσεων, δηλαδή:

• Κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών (αν υπάρχουν)• Κάνουµε απαλοιφή παρενθέσεων (αν υπάρχουν)• Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους• ∆ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου

Οι δύο τεράστιες διαφορές των ανισώσεων σε σχέση µε τις εξισώσεις είναι οι εξής:1) Στις ανισώσεις, όταν ο συντελεστής του σγνώστου είναι αρνητικός και διαιρέσουµε

στο τέλος, αλλάζει η φορά της ανίσωσης.2) Στις ανισώσεις, η λύση πρέπει υποχρεωτικά να παρασταθεί στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 4

Παράδειγµα

Έστω η ανίσωση: �

���

�� 2

���

�⇔ EKΠ(3,4,6� 12

Για να απαλοίψω τους παρονοµαστές α) είτε πολλαπλασιάζω κάθε όρο µε το ΕΚΠ

12��

3 12�

� 4

6� 12 � 2 12�

4 �

4⇔

4� 2 � 4 � 24 3 4 � (1)β) είτε βάζω καπελάκια

4x�3

2

x 4�

6�

12

2�

1

3

4 x�

4⇔

4� 2 � 4 � 24 3 4 � (1)Και στις δύ0 περιπτώσεις καταλήγω στην εξίσωση (1)

4� 2 � 4 � 24 3 4 � ⇔

4� 2� � 8 � 24 12 � 3� ⇔

4� 2� 3� � 8 � 24 12 ⇔

� � 4 ⇔

� �4

1⇔

� � 4 ∞ 4 0 �∞

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 5

Α. Θεωρία 3. Ανίσωση που ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό

Ανισώσεις που έχουν την παρακάτω µορφή, ισχύουν για κάθε πραγµατικό αριθµό x:• 0� � ��� 0� ! �ό#�$� � 0

• 0� � ��� 0� % �ό#�$� � 0

• 0� ! 0�� 0� % 0

Παράδειγµα

Έστω η ανίσωση: � � 3 ����

� 2

ΕΚΠ=2 �� � � � 3 �����

� � � 2 �

2x � 6 3x 5 � 4 x ⇔

2� � 6 3� � 5 � 4 � ⇔

2� 3� � � � 6 5 � 4 ⇔

0� � 7

Παρατηρούµε ότι για οποιαδήποτε τιµή του x, η ανίσωση θα είναι αληθής. Άρα, η ανίσωση αυτή ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµόΗ παράσταση των λύσεων µιας τέτοιας ανίσωσης είναι όλος ο άξονας, δηλαδη:

∞ � ∞

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 6

Α. Θεωρία 4. Αδύνατη ανίσωση

Ανισώσεις που έχουν την παρακάτω µορφή, είναι αδύνατες:• 0� � ��� 0� ! �ό#�$� � 0

• 0� � ��� 0� % �ό#�$� � 0

• 0� � 0�� 0� � 0

Παράδειγµα

Έστω η ανίσωση: ���

��

� 1

���

ΕΚΠ 2,4 4 : ����

� �2

��

� � � 1 �

���

�⇔

� 3 2 � � 5 � 4 10 � � ⇔

� 3 2� 10 � 4 10 � ⇔

� 2� � � � 3 � 10 4 10 ⇔

0� � 1

Παρατηρούµε ότι για οποιαδήποτε τιµή του x, η παραπάνω σχέση είναι ψευδής.Άρα, η ανίσωση είναι αδύνατη.

Στις αδύνατες ανισώσεις δεν υπάρχει παράσταση λύσεων.

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 7

Α. Θεωρία 5. Κοινές λύσεις ανισώσεων

Για να βρούµε τις κοινές λύσεις δύο ή περισσότερων ανισώσεων, τις λύνουµε ξεχωριστάκαι παριστάνουµε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα αριθµών.

ΠαράδειγµαΝα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

4 5 � 2 % 13 3(� � 1� και 1 ��

��

Λύνουµε κάθε ανίσωση ξεχωριστά:

• 4 5 � 2 % 13 3(� � 1� ⇔ • 1 ��

��

⇔ EKΠ 2,4 4

4 5� � 10 % 13 3� 3 ⇔ � � 1 � ��

�� ��

5� � 3� % 4 10 � 13 3 ⇔ 4 7 x � 2x ⇔

2� % 4 ⇔ 4 7 � � � 2� ⇔

� !��

�⇔ � 2� � 4 � 7 ⇔

� ! 2 � � 3 ⇔

� � 3

∞ 32 � ∞

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 8

Α. Θεωρία 6. ∆ιπλή ανίσωσηΓια να λύσουµε µια διπλή ανίσωση της µορφής: Α x ! B x ! Γ x ,λύνουµε ξεχωριστάτις ανισώσεις Α x ! B x και B x ! Γ x και βρίσκουµε τις κοινές λύσεις τους.

Παράδειγµα

Να λυθεί η ανίσωση 1 2 2� � 1 ! 5 2� � 4 ���

�και να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες

της.Λύνουµε κάθε ανίσωση ξεχωριστά:

• 1 2 2� � 1 ! 5 2� ⇔ • 5 2x � 4 ���

�⇔ EKΠ 3

1 4� 2 ! 5 2� ⇔ � � 5 � � 2x � � � 4 ����

�⇔

4� � 2� ! 1 � 2 � 5 ⇔ 15 6� � 12 (8� 7� ⇔

2� ! 6 ⇔ 15 6� � 12 8� � 7 ⇔

� %�

�⇔ 6� � 8� � 15 � 12 � 7 ⇔

� % 3 2� � 4 ⇔

� ��

⇔ � � 2

∞ 32 � ∞

Οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης είναι οι αριθµοί: 3, 2, 1, 0, 1.

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 9

Α. Θεωρία 7. ∆ιαστήµατα

• Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών x µε � ! � ! � λέγεται κλειστό διάστηµα από αµέχρι β και συµβολίζεται µε �, � .

• Αν από το κλειστό διάστηµα �, � παραλείψουµε τα α και β προκύπτει το αντίστοιχοανοικτό διάστηµα από το α µέχρι το β που συµβολίζεται µε �, � .

• Οι αριθµοί α και β λέγονται άκρα των διαστηµάτων αυτών και κάθε αριθµός µεταξύτων α και β λέγεται εσωτερικό σηµείο αυτών.

• Η διαφορά µεταξύ ενός κλειστού και του αντίστοιχου ανοικτού διαστήµατος είναι ότιτο πρώτο περιέχει τα άκρα του, ενώ το δεύτερο δεν τα περιέχει.

Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι µορφές διαστηµάτων πραγµατικών αριθµώνκαι οι διάφορες αναπαραστάσεις τους:

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 10

∆ΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ

α ≤ x ≤ β [α, β]

α ≤ x < β [α, β)

α < x ≤ β (α, β]

α < x < β (α, β)

x ≥ α [α, +∞)

x > α (α, +∞)

x ≤ α (-∞, α]

x < α (-∞, α)

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 11

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Β. Λυµένες ασκήσειςΆσκηση 1

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γραφούν τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους:α) 3 2� � 7 4 15 � ! 29 � 12�

β) (� � 2�2(� 2� ! 25 (� �1�

Λύση

α) 3 2� � 7 4 15 � ! 29 � 12� ⇔

6� � 21 60 � 4� ! 29 � 12� ⇔

6� � 4� 12� ! 21 � 60 � 29 ⇔

2� ! 68 ⇔

� %��

�⇔

� % 34

∞ 34 � ∞

12

Λύση

β) (� � 2�2(� 2� ! 25 (��1�⇔

� � 2� ∙ 2 � 2 2 � 2� ∙ 2 � 2 ! 25 (� � 2� ∙ 1 � 1� ⇔

� � 4� � 4 2 � 4� � 4 ! 25 � 2� 1 ⇔

��4� � 4 2� � 8� 8 ! 25 � 2� 1 ⇔

� 2� � � � 4� � 8� � 2� ! 4 � 8 � 25 1 ⇔

14� ! 28 ⇔

� !�

��⇔

� ! 2

∞2 � ∞

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 13

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Β. Λυµένες ασκήσειςΆσκηση 2

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γραφούν τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους:

α)��

�> 7 β) 2 −

���

�≤

�γ) 1 −

���

�≥

��

�−

���

Λύση

α)��

�> 7 ⇔ 3

��

�> 3 ∙ 7 ⇔ 2� + 5 > 21 ⇔ 2� > 21 − 5 ⇔ 2� > 16 ⇔

⇔ � >��

⇔ x > 8 Άρα , � ∈ (8, +∞)

β) 2 −���

�≤

�⇔ 6 ∙ 2 − 6

���

�≤ 6

�⇔ 12 − 2 � − 1 ≤ 5 ⇔ 12 − 2x + 2 ≤ 5 ⇔

⇔ −2� ≤ −12 − 2 + 5 ⇔ −2� ≤ −9 ⇔ � ≥��

�⇔ � ≥

Άρα , � ∈

, +∞

γ) 1 −���

�≥

��

�−

���

⇔ 21 ∙ 1 − 21/

���

�≥ 21

��

�− 21�

���

21 − 7 3 − � ≥ 19 − 3 1 − � ⇔ 21 − 21 + 7x ≥ 19 − 3 + 3x ⇔ 7� − 3� ≥ 16 ⇔

4� ≥ 16 ⇔ � ≥��

�⇔ � ≥ 4 Άρα, � ∈ [4, +∞)

14

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Β. Λυµένες ασκήσειςΆσκηση 3

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

α) 3� 5 � 4 � 1 � και β) �����

��

��

��� �

��

Λύση

α) 3� 5 � 4 � 1 � ⇔

3� 5 � 4x 4 � ⇔

3� 4� � � � 5 4 ⇔

0� � 1 αδύνατη

β) �����

��

��

��� �

��

�⇔ ΕΚΠ(2, 4, 16)=16

16(� � 1�

16 160

� � 1

2� 16

� 1

16 16�

� � 2

4⇔

x � 2� � 1 8 � � 1 � � 2� � 1 4(� � 2� ⇔

� � 2� � 1 8� 8 � � 2� � 1 4� 8 ⇔

� � 2� 8� � � 2� � 4� � �1 8 1 � 8 ⇔

0� � 0 αδύνατη

15

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Β. Λυµένες ασκήσειςΆσκηση 4

Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν:α) 3 � 1 � 2� � � � 1 και 2 � � 3 � % 2

β) 2 ����

% 0 και

���

Λύση

α) 3 � 1 � 2� � � � 1 ⇔ 2 � � 3 � % 2 ⇔

3� 3 � 2� � � � 1 ⇔ 2� � 6 � % 2 ⇔

3� � 2� � � 3 � 1 ⇔ � % 6 � 2 ⇔

4� � 4 ⇔ � % 4

� ��

�⇔

� � 1 ∞ 41 � ∞

Άρα � ∈ 24,1�

16

Λύση

β) 2 ����

% 0 ⇔

���

�⇔ ΕΚΠ(2,5� 10

2 ∙ 2 2����

% 2 ∙ 0 ⇔ 103

� 10�

���

�⇔

4 1 3� % 0 ⇔ 5 x � 2 � 2(4 � 3x� ⇔

4 1 � 3� %⇔ 5� � 10 � 8 � 6� ⇔

3� % 4 � 1 ⇔ 5� 6� � 10 � 8 ⇔

3� % 3 ⇔ � � 2 ⇔

� %��

�⇔ � �

��⇔

� % 1 � � 2

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

∞ 12 � ∞

Άρα � ∈ 21,2�

17

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Β. Λυµένες ασκήσειςΆσκηση 5

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν:α) 5 � 2� 1 � 9 β) 3 5� ! � � 1 ! 7� 5

Λύση

α) 5 � 2� 1 � 9

• 5 � 2� 1 ⇔ • 2� 1 � 9 ⇔

2� � 1 5 ⇔ 2� � 9 � 1 ⇔

2� � 6 ⇔ 2� � 10 ⇔

� ���

�⇔ � �

��

� � 3 � � 5

∞35 � ∞

Άρα � ∈ (3,5�

18

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Λύση

α) 3 5� ! � � 1 ! 7� 5

• 3 5� ! � � 1 ⇔ • � � 1 ! 7� 5 ⇔

5� � ! 3 � 1 ⇔ � 7� ! 1 5 ⇔

6� ! 2 ⇔ 6� ! 6 ⇔

� !�

��⇔ � !

��

��⇔

� %�

�� % 1

∞1

31 � ∞

Άρα � ∈ 21, �∞�

19

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 1

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

α) 3 � 2 � 4 � 13

β) 10 2 � 1 � 4

γ) 7 5 � 1 % 12

δ) 2 4� � 5 3 � � 3 ! 5� 9 1 �

ε) 3 7 � 3� 8 � 7� � � 11 � � 1

στ) 4� � 1 � 8 (� 3�(� � 3�

20

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 2

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους:

α) ���

% 8

β) ���

�� 9 % 0

γ) 1 ��

��

δ)

�� �

�� � 2

ε) ���

���

�� 1

στ) 3 ��

�!

���

21

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 3

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

α) 0� � 3

β) 0� � 4

γ) 0� � 2

δ) 0� � 5

ε) 0� � 0

στ) 0� � 0

22

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 4

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

α) 0� ! 4

β) 0� � 1

γ) 0� ! 2

δ) 0� % 6

ε) 0� ! 0

στ) 0� % 0

23

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 5

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

α) 4 � 6 2 3 � ! 6 � 5

β) � 6 2 � � 3� 4 3 �

γ) 3 � � 4 4 2� � 1 � 5 � 2

δ) ���

��

��

���

ε)

���

���

��

���

στ) ��

��

��

%

���

��

��

24

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 6

Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν:

α) 3� 2 1 � � 2� � 7 και 5� % 12 2 7� 3

β) 4 � � 2 % 6 2(� 3� και 3(� 4� % 7 5 � � 1

γ) 1 ���

� � και 1

���

�%

��

δ) ��

�� �

��

και 2 � � 4

����

� 0

ε) 2 1 � 3 ! 1 και 3 � % 5 και 7� � 0

στ) ���

����

�%

��

�και

���

�� 2� !

��

��

25

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 7

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γραφούν τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους:

α) 2 � 1 ! 3 � � 3 � � 1

β) 5 4 � 2 � 2 � � 3 � 5 2 � � 4�

γ) 5 4 � 2 � 2 � � 3 � 5 2 � � 4�

δ) ���

�! 2 � 1 �

��

ε) ��

��

������

�� � 1

26

Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού

Γ. Άλυτες ασκήσειςΆσκηση 8

∆ίνονται οι επόµενες ανισώσεις:

1) 2 3 1 � � 3 2 � 3

2)���

4 � 2�

� ���

3) �

�%

Να βρείτε τις κοινές λύσεις:α) των ανιώσεων (1) και (2)β) των ανισώσεων (1) και (3)γ) των ανισώσεων (1), (2) και (3)

27