Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄

΄΄ Επανάληψη 6ης Ενότητας κεφ. 36-40 ΄΄

Θεωρία

Παραδείγματα

Παρουσιάσεις

Επαναληπτικά

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Συμεωνίδης Θόδωρος - 1 -

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

1.1 Η ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ

Ένα ολόκληρο αντικείμενο ή ένα σύνολο αντικειμένων είναι μία ακέραιη μονάδα.

Π.χ. 1 πορτοκάλι, 1 τσάντα , 1σοκολάτα , 1βιβλίο

Πολλές φορές δε χρησιμοποιούμε ολόκληρη την ακέραιη μονάδα , αλλά μόνο

ένα κομμάτι της. Τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν μπορούμε να εκφράσουμε αυτό το

κομμάτι με έναν ακέραιο αριθμό. Αν π.χ. μοιράσω ένα πορτοκάλι σε 4 άτομα , πόσο

πορτοκάλι θα δώσω στον καθένα ;

Γι’ αυτές τις περιπτώσεις έχουμε επινοήσει τους κλασματικούς αριθμούς .Η λέ-

ξη κλάσμα είναι αρχαιοελληνική και σημαίνει κομμάτι . Αν λοιπόν θελήσουμε να

μοιράσουμε το πορτοκάλι του προηγούμενου παραδείγματος σε 4 άτομα τότε θα

κόψουμε το πορτοκάλι σε 4 ίσα μέρη και θα δώσουμε από 1 κομμάτι στον καθένα.

Ή αλλιώς λέμε ότι ο καθένας θα πάρει το 4

1 του πορτοκαλιού .

4

1

Ο παρονομαστής μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μο-

νάδα , στο παράδειγμά μας το πορτοκάλι το χωρίσαμε σε 4 ίσα μέρη . Ο αριθμητής

μας δείχνει πόσα κομμάτια θα πάρουμε , στην περίπτωσή μας ένα .

1.2 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ

Ας ξαναγυρίσουμε στο αρχικό μας παράδειγμα . Καθαρίζουμε το πορτοκάλι και βλέπουμε ότι αποτελείται από 12 φέτες . Αν είχε μόνο 4 φέτες δε θα υπήρχε πρόβλημα

γιατί ο καθένας θα έπαιρνε από 1 φέτα . Τι γίνεται όμως τώρα που έχουμε 12 φέτες ; Η λύση του προβλήματος είναι απλή :

το 4

1 του 12 = 12 : 4 = 3

δηλαδή για να υπολογίσουμε την κλασματική μονάδα ενός αριθμού διαιρούμε

τον αριθμό μας με τον παρονομαστή . παραδείγματα :

Το 5

1 του κιλού, πόσα γραμμάρια είναι; ( το κιλό έχει 1000 γραμμάρια , άρα ) 1000 :

5 =200

αριθμητής

παρονομαστής κλασματική

γραμμή



Το 10

1 της ώρας, πόσα λεπτά είναι; ( η μία ώρα έχει 60 λεπτά ,άρα ) 60 : 10 = 6

Το 8

1 του χρόνου πόσες ημέρες είναι ; ( ο χρόνος έχει 360 ημέρες ,άρα )360 : 8 = 45

1.3 ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ

Αν κόψουμε μία πίτσα σε 4 κομμάτια και πάρουμε το 1 και κόψουμε την ίδια πίτσα σε 5

κομμάτια και πάρουμε 1 πότε θα φάμε μεγαλύτερο κομμάτι ;

4

1

5

1

Μεγαλύτερο είναι όπως φαίνεται το 4

1 γιατί χωρίσαμε σε λιγότερα κομμάτια .

Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκεί-

νη που έχει το μικρότερο παρονομαστή.

1.4 ΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κλασματικός αριθμός ή κλάσμα λέγεται κάθε αριθμός, που προκύπτει με την επα-

νάληψη μιας κλασματικής μονάδας.

π.χ. το κλάσμα 6

5 έγινε από το

6

1 (

6

1+

6

1+

6

1+

6

1+

6

1=

6

5)

Το κλάσμα 6

5 μας δείχνει ότι χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα μας π.χ. μία σοκολάτα

σε 6 ίσα μέρη και πήραμε τα 5 από αυτά .

Το παρακάτω παράδειγμα θα μας δείξει τη χρησιμότητα των κλασμάτων .Έστω

ότι έχουμε 5 σοκολάτες και θέλουμε να τις μοιράσουμε δίκαια σε 8 παιδιά . Είναι φα-

νερό ότι δεν μπορούμε να μοιράσουμε τις σοκολάτες . Αν όμως χωρίσουμε κάθε σοκο-

λάτα σε 8 ίσα μέρη τότε κάθε παιδί θα πάρει :

8

1+

8

1+

8

1+

8

1+

8

1=

8

5

Αντί λοιπόν να κάνουμε τη διαίρεση 5:8 που είναι ατελής εκφράζουμε το πο-

σό με ένα κλάσμα . Κάθε κλάσμα λοιπόν δηλώνει μια διαίρεση .

κλπ.100

1

10

1

5

1

4

1

3

1

2

1 π.χ.



1.4 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΜΙΑΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ

Έχουμε μια σοκολάτα χωρισμένη σε 15 κομμάτια και θέλουμε να φάμε μόνο τα 5

3 της

σοκολάτας . Πόσα κομμάτια θα φάμε ;

Για να λύσουμε την απορία μας πρέπει να βρούμε πόσα κομμάτια είναι τα 5

3 της σοκο-

λάτας . Ο υπολογισμός γίνεται με τον παρακάτω τρόπο :

τα 5

3 του 15 = ( 15:5 ) χ 3 = 3 χ 3 = 9

δηλαδή για να υπολογίσουμε το κλάσμα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας

με τον παρονομαστή και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή .

παραδείγματα :

Τα 12

5 της ώρας, πόσα λεπτά είναι ; ( 1 ώρα = 60 λεπτά )

( 60 : 12 ) χ 5 = 5 χ 5 = 25 λεπτά

τα 10

6 του 450 = ( 450 : 10 ) χ 6 = 45 χ 6 = 270



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

2.1 ΓΝΗΣΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγο-

νται γνήσια κλάσματα. Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη μονάδα.

π.χ. 6

2 < 1,

10

7 < 1

Το κλάσμα 6

2 μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 6 μέρη

και πήραμε τα 2 ,δηλαδή λιγότερα από το σύνολο.

Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό λέγο-

νται ισοδύναμα με την ακέραιη μονάδα. Αυτά έχουν την ίδια αξία με την

ακέραιη μονάδα.

π.χ. 5

5 = 1,

8

8 = 1,

12

12 = 1

Το κλάσμα 5

5 μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 μέρη και

πήραμε τα 5 ,δηλαδή τα πήραμε όλα άρα ολόκληρη την ακέραιη μονάδα .

Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή λέγο-

νται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία ακέραιη

μονάδα.

π.χ. 8

12 > 1,

7

14 > 1,

3

9 > 1

Το κλάσμα 8

12 μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 8 μέρη και πήραμε τα 12 .

Αυτό φαινομενικά δε γίνεται γιατί δεν έχουμε 12 ,αλλά μόνο 8 κομμάτια . Η λύση στο πρόβλημα είναι απλή : αν πάρω 2 ακέραιες μονάδες και τις κόψω σε 8 κομμάτια την κ α-θεμιά τότε θα έχω 8+8=16 κομμάτια και θα μπορέσω να πάρω 12.



2.2 ΑΠΛΑ ΚΑΙ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Απλό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται μόνο από αριθμητή και παρονο-μαστή.

π.χ. 6

2 ,

3

9 ,

8

8

Μεικτό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένακλάσμα .

π.χ. 46

2 , 5

3

9 , 7

8

8

Το μεικτό κλάσμα μας δείχνει ότι παίρνουμε π.χ. 4 ακέραιες μονάδες και τα 6

2 μι-

ας ακόμη ακέραιης μονάδας. Δηλαδή χρειαζόμαστε συνολικά 5 ακέραιες μονάδες.

2.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ

1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής :

6 5

3

Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 χ 6 = 30

Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33

Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή αφήνουμε

τον ίδιο.

6 5

3 =

5

33

46

2 =

6

2)64( x=6

26 53

2=

3

2)35( x=3

17

2.Για να μετατρέψουμε ένα απλό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :

5

13 = 2

5

3

Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή : 13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3

Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής καιπαρονομαστής μένει ο ίδιος

5

13 = 2

5

3

13:5=2

3 υπόλοιπο

παρονομαστής ο ίδιος



2.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το

ίδιο κομμάτι της ακέραιης μονάδας , π.χ. 5

3 = 10

6. Αν δηλαδή κόψω μια πίτα σε 5

κομμάτια και πάρω τα 3 ή αν την κόψω σε 10 κομμάτια και πάρω τα 6 τότε θα έχω

πάρει την ίδια ποσότητα και στις δύο περιπτώσεις.

Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή να διαιρέσω τους όρους του κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής) με τον ίδιο αριθμό .

χ2 χ3 χ4 χ5

6

2 =

12

4 =

18

6 =

24

8 =

30

10

Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .

:2 :3 :4

60

24 =

30

12 =

20

8 =

15

6

Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .

2.5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή του και τον παρο-

νομαστή του με τον ίδιο αριθμό . Όταν οι όροι του κλάσματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομά-

ζεται ανάγωγο.

32

12 =

8

3

Για να γίνει απλοποίηση υπάρχουν δύο τρόποι :

Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με οποιονδήποτε αριθμό ( συνήθως το 2) και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να γίνει το κλάσμα ανάγωγο .

:2 :2 :2

64

24= 32

12 = 16

6 = 8

3

διαιρούμε αριθμητή και πα-

ρονομαστή με το 4



Βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη ( δηλαδή το μεγαλύτερο αριθμό που δι-

αιρεί και τους δύο όρους του κλάσματος ) και διαιρούμε απευθείας με αυτόν .

:8

64

24 =

8

3

Με όποιο τρόπο κι αν κάνουμε την απλοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο .

Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό , το μετατρέπουμε σε μεικτό και μετά κάνουμε απλοποίηση .



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

3.1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα τότε μπορεί να

συναντήσουμε τις 3 παρακάτω περιπτώσεις :

Τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές , δηλαδή είναι ομώνυμα . Τότε η σύγκριση είναι πολύ εύκολη γιατί μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή .

5

3 >

5

2

Ο λόγος που τα 5

3 είναι μεγαλύτερο είναι προφανής . Κόψαμε την ακέραιη

μονάδα σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 3 , ενώ στη δεύτερη περίπτωση πήραμε 2 κομμάτια από τα 5 .

Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,

αλλά έχουν τους ίδιους αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση μεγαλύτερο

είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο αριθμητή

5

3 >

8

3

Ο λόγος που τα 5

3 είναι μεγαλύτερο είναι γιατί κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5

κομμάτια και πήραμε τα 3 ,ενώ στα 8

3 κόψαμε την ίδια ακέραιη μονάδα σε 8

κομμάτια ( άρα μικρότερα ) και πήραμε πάλι τρία αλλά πολύ μικρότερα κομμάτια .

Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,

αλλά έχουν και διαφορετικούς αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μετά να τα συγκρίνουμε .



3.2 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΩΝΥΜΑ

1. Έχουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα και θέλουμε να τα μετατρέψουμε σε

ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε .

2. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών .

3. Στη συνέχεια διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές και σημειώνουμε το αποτέλεσμα πάνω από το κλάσμα .

4. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον αριθμό που σημειώσαμε πάνω από κάθε κλάσμα

5. Τα κλάσματά μας είναι πλέον ομώνυμα .

1. 5

3 ,

8

2

2. Ε.Κ.Π.( 5, 8 ) = 40

40:5=8 40:8=5

3. 5

3 ,

8

2

4. 85

83

x

x ,

58

52

x

x

5. 40

24 ,

40

10


Συμεωνίδης Θόδωρος 10

3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα,

προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή .

5

2 + 5

1 = 5

3

Αν κάποιο κλάσμα είναι μεικτό το μετατρέπουμε πρώτα σε απλό και μετά

κάνουμε τις πράξεις . Δεν ξεχνάμε στο τέλος να κάνουμε απλοποιήσεις και να μετατρέψουμε τα απλά κλάσματα σε μεικτά αν είναι απαραίτητο .

24

2 - 1

4

3 =

4

10 - 4

7= 4

3

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα , τα

κάνουμε πρώτα ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα

. 4 5

5

2 + 4

3 = 20

8 + 20

15 =20

23 = 1

20

3

4 5

5

4 - 4

3 = 20

16 - 20

15 =20

1

Αν θέλουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσμα με ακέραιο μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με τον παρακάτω τρόπο :

5 1

4 - 5

2 = 1

4 - 5

2 =

5

20 - 5

2 = 5

18 = 3

5

3

ο παρονομαστής δεν αλλάζει

Για να μετατρέψουμε

έναν ακέραιο σε

κλάσμα αρκεί να

βάλουμε

παρονομαστή τη

μονάδα

Δεν ξεχνάμε να

βγάλουμε τις

ακέραιες μονάδες


Συμεωνίδης Θόδωρος 11

3.2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε και τους αριθμητές και τους παρανομαστές .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα

κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα .

5

4 × 8

3 = 40

12 =10

3

3.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και

στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε

απλά κλάσματα .

5

4 : 8

3 = 5

4 × 3

8 = 15

32 = 215

2

Αντιστρέφουμε μόνο το δεύτερο κλάσμα και σε καμία περίπτωση δεν

αλλάζουμε τη σειρά των αριθμών

Αν έχουμε να κάνουμε διαίρεση με ακέραιο τον μετατρέπουμε σε κλάσμα και

κάνουμε την πράξη με τον ίδιο τρόπο :

3

2 : 4 =

3

2 : 1

4 = 3

2 χ 4

1 = 12

2 = 6

1

απλοποίηση

Βγάζουμε ακέραιες μονάδες


eva-edu

Όταν έχουμε ένα αριθμό και τον πολλαπλασιάζουμε με ένα άλλο

τότε ο αριθμός που βρίσκουμε ονομάζεται πολλαπλάσιο.

Για παράδειγμα πολλαπλάσια του 2 είναι: 2x0=0

2x1 =2

2x2=4

2x3=6

2x4=8

2x5=10

2x6=12

2x7=14

2x8=16

Άρα τα πολλαπλάσια του 2 είναι το 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρεις τα πολλαπλάσια του 3 και του 4


eva-edu

Όταν θέλουμε να δούμε πόσες φορές χωράει ακριβώς ένας

αριθμός σε ένα άλλο με υπόλοιπο μηδέν κάνουμε διαίρεση.

Μερικές φορές όμως η διαίρεση μας τρώει πολύ χρόνο.

Υπάρχουν κάποια «κολπάκια» που μας βοηθάνε να καταλάβουμε αν ένας

αριθμός χωράει ακριβώς ή όχι σε ένα άλλο. Αυτά τα «κολπάκια» τα

ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 2

Για να καταλάβουμε αν το 2 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το τελευταίο

του νούμερο. Αν αυτό είναι 0, 2, 4, 6, 8, τότε αυτός αριθμός λέμε ότι

διαιρείται με το 2.

π.χ. 2.340 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 0 άρα διαιρείται με το 2)

1.683 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαίρείται με το 2)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να εξετάσεις αν διαιρούνται με το 2 οι παρακάτω αριθμοί

2.180 -

1.321 -

2.134 -

146 -

147 -


eva-edu


Για να καταλάβουμε αν το 5 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το τελευταίο

του νούμερο. Αν αυτό είναι 0, 5 τότε αυτός αριθμός λέμε ότι διαιρείται με το

5.


1.683 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαιρείται με το 5)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ


1.346 -

3.845 -

2.130 -

174-

550 -

665 –


eva-edu


Για να καταλάβουμε αν το 10 διαιρεί ακριβώς έναν άλλο κοιτάμε το

τελευταίο του νούμερο. Αν αυτό είναι μόνο 0 τότε αυτός αριθμός λέμε ότι

διαιρείται με το 102.


2.553 (ο αριθμός αυτός τελειώνει σε 3 άρε δε διαιρείται με το 10)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ


1.540 -

7.381 -

1.000 -

1.004 -

1.770 -

153 -

Να βρεις αν διαιρούνται με το 5 οι παρακάτω αριθμοί

2.134 –

1.555 –

1.640 –

1.783 –

2.445 –


eva-edu

Πολλαπλάσια του 2: 2x0=0 Πολλαπλάσια του 3:3x1=3

2x1 =2 3x2=6

2x2=4 3x3=9

2x3=6 3x4=12

2x4=8 3x5=15

2x5=10 3x6=18

2x6=12 3x7=21

2x7=14 3x8=24

2x8=16 3x9=27

Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

Τα πολλαπλάσια του 3 είναι τα 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,

24

Βλέπουμε ότι μερικά από τα πολλαπλάσια των δύο αριθμών

είναι ίδια . Όταν τα πολλαπλάσια είναι ίδια και στους δύο αριθμούς

τα λέμε κοινά.

Ποια πολλαπλάσια είναι κοινά;

Το μικρότερα από αυτά τα κοινά το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό

Πολλαπλάσιο ή Ε.Κ.Π.


eva-edu

Ασκήσεις

Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια

Τα πολλαπλάσια του 4 είναι τα: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

Τα πολλαπλάσια του 2 είναι τα: 0,2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

Τα κοινά πολλαπλάσια είναι τα …………………………………………………

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι το:…………………………………………..

Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια

Τα πολλαπλάσια του 4 είναι τα: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

Τα πολλαπλάσια του 3 είναι τα: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33

Τα κοινά πολλαπλάσια είναι τα …………………………………………………

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι το:…………………………………………..


eva-edu

Τα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή (δηλαδή το κάτω)

λέγονται ομώνυμα!!!

Για παράδειγμα: 4

1 4

3 4

2 4

5 4

6

Τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή (δηλαδή το κάτω)

λέγονται ετερώνυμα!!!

Για παράδειγμα: 2

1 3

2 7

3 6

1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να κυκλώσεις τα κλάσματα που είναι ομώνυμα

2

1 5

2 2

4

Γεια σου Εύα! Εμένα με λένε παρονομαστή !!!


eva-edu

Όταν πρέπει να προσθέσουμε κλάσματα που το κάτω

μέρος τους, ο παρονομαστής, είναι διαφορετικό βάζουμε

καπελάκια.

3 2

Παράδειγμα : 2

1 + 3

2 =

Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που είναι μέσα στο

καπελάκι και με τον πάνω και με τον κάτω αριθμό.

3 2

Παράδειγμα : 2

1 + 3

2 = 23

13

x

x + 32

22

x

x= 6

3+ 6

4= 6

43= 6

7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να κάνεις τις παρακάτω προσθέσεις

2

1+ 4

2=

2

3+ 5

2=


Κλάσματα Ο αριθμός που βρίσκεται πάνω ονομάζεται Αριθμητής. Ο αριθμός που βρίσκεται κάτω ονομάζεται Παρονομαστής.

Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα.

Όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή το κλάσμα είναι μικρότερο από τη μονάδα.

Μεικτός είναι ο αριθμός που αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό.

Για να μετατρέψω ένα μεικτό σε κλάσμα, πολλαπλασιάζω τον παρονομαστή με το ακέραιο μέρος και προσθέτω τον αριθμητή. Αυτό που βρίσκω το γράφω στον αριθμητή. Για παρονομαστή κρατώ τον ίδιο.

4 x 2 + 3 = 11 =

Για να μετατρέψω ένα κλάσμα σε μεικτό διαιρώ τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι το ακέραιο μέρος του μεικτού και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλάσματος. Παρονομαστή κρατώ τον ίδιο. = 5 : 4 = 1 υ = 1


Xristos

Πλαίσιο κειμένου

ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗ ΜΑΡΙΑ

Πολλαπλασιασμός & Διαίρεση Κλασμάτων

Πολλαπλασιασμός

Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα πρέπει να μετατρέψω ό,τι έχω σε κλάσμα. Έπειτα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές μεταξύ τους και

γράφω το αποτέλεσμα ως αριθμητή. Πολλαπλασιάζω τους παρονομαστές και γράφω το αποτέλεσμα ως παρονομαστή.

x = = Απλοποιώ =

Διαίρεση

Για να διαιρέσω δύο κλάσματα πρέπει να μετατρέψω ό,τι έχω σε κλάσμα. Έπειτα, αντιστρέφω το δεύτερο κλάσμα (δηλαδή ο αριθμητής

γίνεται παρονομαστής και αντίστροφα). Αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό.

: = x = = =


Xristos


ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗ ΜΑΡΙΑ

Χρυσούλα Παγκάλου

ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ

π.χ. 4 x 6 = 24 Το 24 είναι πολλαπλάσιο του 4

24 : 4 = 6 Το 4 είναι διαιρέτης του 24

π.χ. Το 3 είναι διαιρέτης και του 12 και του 18,

αφού 12 : 3 = 4 και 18 : 3 = 6

π.χ. Το 2 διαιρεί ακριβώς και το 2 και το 4 και το 6 και το 8 κλπ.

Θυμάμαι ότι πολλαπλάσια είναι

οι αριθμοί που προκύπτουν αν

πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό

με άλλους αριθμούς.

Εγώ, φίλε μου, θα σου πω ότι διαιρέτης ενός

αριθμού ονομάζεται ο αριθμός που χωράει

ακριβώς σε αυτόν και μάλιστα η διαίρεσή τους

είναι τέλεια.

Κι εγώ, με τη σειρά μου, σας ενημερώνω

ότι όπως κάποιοι αριθμοί έχουν κοινά

(ίδια) πολλαπλάσια, έτσι και κάποιοι

αριθμοί έχουν κοινούς (ίδιους) διαιρέτες.

Το 12 και το 18 είναι πολλαπλάσια

του 3 και το 3 είναι διαιρέτης και

του 12 και του 18. Άρα, μπορεί

ένας αριθμός να είναι διαιρέτης σε

πολλούς άλλους αριθμούς.



Το 5 διαιρεί ακριβώς και το 5 και το 10 και το 15 και το 20 κλπ.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Όλοι οι αριθμοί σίγουρα είναι διαιρέτες του εαυτού τους και

των πολλαπλάσιών τους, αφού και ο πολλαπλασιασμός με τη διαίρεση είναι

αντίστροφες πράξεις. Επίσης, το 1 (η μονάδα) είναι διαιρέτης όλων των

αριθμών:

π.χ. 1 x 4 = 4, 2 x 4 = 8, 3 x 4 = 12, 4 x 4 = 16, 5 x 4 = 20, κλπ.

Οι αριθμοί 4, 8, 12, 16, 20 κλπ είναι πολλαπλάσια του 4 και το 4 είναι

διαιρέτης του εαυτού του και των πολλαπλάσιών του, αφού:

4 : 4 = 1, 8 : 4 = 2, 12 : 4 = 3, 16 : 4 = 4, 20 : 4 = 5, κλπ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Βρίσκω ποιοι αριθμοί από τους παρακάτω διαιρούνται ακριβώς και με το 2

και με το 4 και με το 8:

30, 32, 40, 48, 64, 70, 74, 80, 84, 90

Με το 2 διαιρούνται ακριβώς: ……………………………………………………………………………



2. Βρίσκω ποιοι αριθμοί από τους παρακάτω διαιρούνται ακριβώς και με το 2

και με το 5 και με το 10:

20, 35, 40, 50, 65, 70, 85, 90, 105, 110




Μη φοβάστε! Θα σας πω κολπάκια, που τα

λένε κριτήρια διαιρετότητας και θα βρίσκετε

κατευθείαν αν κάποιος αριθμός είναι διαιρέτης

κάποιου άλλου! (κοιτάξτε την επόμενη σελίδα!!!!)


Διαιρέτες και πολλαπλάσια

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.26

Ποιοι αριθμοί λέγονται πολλαπλάσια;

• Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί τους οποίους σχηματίζουμε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με διάφορους ακέραιους αριθμούς

Π.χ. για να βρούμε τα πέντε πρώτα πολλαπλάσια του 8, πολλαπλασιάζουμε το 8 με το 1, το 2, το 3, το 4 και το 5 και παίρνουμε αντίστοιχα

8, 16, 24, 32, 40


Κοινά πολλαπλάσια

• Δύο ή περισσότεροι αριθμοί μπορούν να έχουν κοινά (ίδια) πολλαπλάσια.

• Μπορούμε να τα βρούμε γράφοντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού με τη σειρά ή τοποθετώντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού στην αριθμογραμμή ή κάνοντας πίνακα.


Παράδειγμα Τα πολλαπλάσια του 4 είναι : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …. Τα πολλαπλάσια του 6 είναι : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …. Άρα τα κοινά τους πολλαπλάσια είναι 12, 24, 36, ….


Τι είναι οι διαιρέτες ενός αριθμού;

• Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί με τους οποίους διαιρείται ακριβώς ο αριθμός.

Π.χ. διαιρέτες του 36 είναι οι αριθμοί: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 και 36


Ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο

• Μπορούμε να αναλύσουμε έναν αριθμό σε γινόμενο με τέτοιο τρόπο, ώστε να μην αναλύεται περισσότερο, χρησιμοποιώντας την προπαίδεια και αναλύοντας κάθε παράγοντα όσο γίνεται.

Π.χ. το 180 αναλύεται ως εξής: 180 = 2*90 = 2*2*45 = 2*2*3*15 = 2*2*3*3*5 Παρατηρούμε ότι δεν αναλύεται άλλο. Το γινόμενο αυτό ονομάζεται γινόμενο πρώτων παραγόντων


Ανάλυση με δενδρόγραμμα 180

2 * 90

2 * 2 * 45

2 * 2 * 3 * 15

2 * 2 * 3 * 3 * 5


Παράδειγμα εύρεσης γινομένου πρώτων παραγόντων

180 2 Το 2 στο 180 χωράει 90 90 2 Το 2 στο 90 χωράει 45 45 3 Το 2 δε χωράει στο 45.Το 3 χωράει 15 15 3 Το 3 στο 15 χωράει 5 5 5 Το 3 δε χωράει στο 5. Το 5 χωράει 1 1 180 = 2*2*3*3*5

Όταν φτάνουμε στο 1 σταματάμε

Γιάννης Φερεντίνος


Χαράλαμπος Δ. Δημόπουλος

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

Έχουμε και λέμε :

Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4,

6, 8 (όλοι δηλαδή οι ζυγοί αριθμοί)

Με το 3 διαιρούνται οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα

των ψηφίων τους είναι 3, 6, 9 (π.χ. 2.868 2+8+6+8=

24 2+4=6)

Με το 4 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δύο τελευταία τους

ψηφία διαιρούνται με το 4 ή που τελειώνουν σε 00 (π.χ.

612 12:4=3, αλλά και οι 900, 1.200, 45.600 κλπ.

Με το 5 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5

(π.χ. 3.125, 6.450)

Με το 9 διαιρούνται οι αριθμοί που το μονοψήφιο άθροισμα

των ψηφίων τους είναι 9 (π.χ. 9.936 9+9+3+6=27

2+7=9)

Με το 10, 100, 1.000, 10.000 κλπ. διαιρούνται οι αριθμοί

που τελειώνουν σε 0, 00, 000, 0000 αντίστοιχα κλπ.

Πιστεύω, όταν λέει κριτήρια να εννοεί κάποιους εύκολους κανόνες, γιατί αλλιώς

νομίζω ότι μπλέξαμε…

Τα κριτήρια αυτά μας βοηθούν, να βρίσκουμε τους διαιρέτες ενός αριθμού με το

μυαλό μας.



ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Κριτήρια διαιρετότητας

Όλοι οι αριθμοί διαιρούν ακριβώς τα πολλαπλάσιά τους και φυσικά

τον εαυτό τους.

π.χ. ο αριθμός 7 διαιρεί ακριβώς το 7, που είναι ο εαυτός του, αλλά

και όλα τα πολλαπλάσιά του, όπως τα γνωρίζουμε και από την

προπαίδεια. Δηλαδή το 7 διαιρεί ακριβώς και τους αριθμούς: 14, 21,

28, 35, 42, … κλπ.

Μπορούμε όμως, να διαπιστώσουμε με απλό τρόπο και αν ένας

οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 4, το 5, το

6, το 9, το 10, το 100 κλπ.

Με το 2: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το τελευταίο ψηφίο τους

είναι: 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8 δηλαδή ένας οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός.

Με το 3: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το μονοψήφιο άθροισμα

των ψηφίων τους είναι: 3 ή 6 ή 9 π.χ. 117: 3 διαιρείται γιατί 1+1+7=9

Με το 4: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τα δυο τελευταία ψηφία

τους διαιρούνται με το 4 ή τελειώνουν σε δυο μηδενικά.

Με το 5: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το τελευταίο ψηφίο τους

είναι: 5 ή 0.

Με το 6: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που είναι ζυγοί και διαιρούνται

παράλληλα και με το 3. (Δηλαδή είναι ζυγοί και ταυτόχρονα το

μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων τους είναι: 3 ή 6 ή 9).

Με το 9: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που το μονοψήφιο άθροισμα

των ψηφίων τους είναι: 9 π.χ. 216 : 9 διαιρείται γιατί 2+1+6=9

Με το 10: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τελειώνουν τουλάχιστον

σε ένα 0.

Με το 100: Διαιρούνται όλοι οι αριθμοί, που τελειώνουν τουλάχιστον

σε δυο μηδενικά (…00).

Με το 1000: Διαιρούνται όλοι εκείνοι οι αριθμοί, που τελειώνουν

τουλάχιστον σε 3 μηδενικά (…000) κλπ.

Εύκολα, ε;

Έτσι, θα βρίσκετε γρήγορα

και το Ε.Κ.Π.


Nansy Tzg

Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10 …………………………..

Στο μάθημα αυτό μάθαμε για τα κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10, δηλαδή

πότε ένα αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 5 και το 10.

Όλα αυτά μας χρειάζονται ώστε να ξέρουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με αυτούς, ώστε

να μη χάνουμε χρόνο σε περιπτώσεις που θέλουμε οι διαιρέσεις να είναι τέλειες.

Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0, 2 ,4, 6 ,8.

Παράδειγμα 1: το 256 διαιρείται ακριβώς με το 2, γιατί το τελευταίο του ψηφίο είναι 6.

Παράδειγμα 2 : το 378 είναι πολλαπλάσιο του 2 , γιατί το τελευταίο του ψηφίο είναι 8.

Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.



Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 10 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.



Το πιο σημαντικό όμως που θα πρέπει να θυμάσαι είναι: Έστω ότι έχω να κάνω μια διαίρεση όπου:

δ= ο διαιρέτης, Δ= ο διαιρετέος, π = το πηλίκο, υ = το υπόλοιπο

τότε πάντα ισχύει: δ X π + υ = Δ και 0 < υ < δ

Δηλαδή: Όταν πολλαπλασιάζω τον διαιρέτη με το πηλίκο και προσθέτω το υπόλοιπο, βρίσκω

τον διαιρετέο. Το υπόλοιπο όταν η διαίρεση είναι ατελής θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το

μηδέν και μικρότερο από τον διαιρέτη.

Δ δ

υ π


Nansy Tzg

1. Χωρίς να κάνω καμία πράξη βρίσκω με ποιο αριθμό διαιρούνται ακριβώς οι

παρακάτω αριθμοί:

18, 27, 35, 42, 60, 86, 100, 125, 2.522, 8, 14, 26, 70, 95, 120

275, 9.580, 72.148, 451.672, 1.024.536

Διαιρούνται ακριβώς με το 2: ……………………………………………………………………………………….

Διαιρούνται ακριβώς με το 5: ……………………………………………………………………………………….

Διαιρούνται ακριβώς με το 10: ……………………………………………………………….…………………….

2. Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο αριθμό που διαιρείται ακριβώς:

με το 2 με το 5 με το 10

……, 12, ……. ……, 25, ……. ……, 60, ……. ……, 278 , ……… ………, 480 , ……… …….…, 4,350 , ………

……..…, 3.984, ……….. ……..…, 8.315, ……….. …….…..…, 256.730, ……….…..

3. Συμπληρώνω τα κενά με τον πιο κοντινό αριθμό, έτσι ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια.

με το 5 με το 10

14 → 26 →

4.654 → 3.789 → 72.419 → 85.943→

540.282 → 123.471→

1.742.398 → 6.254.732→

4. Συμπληρώνω τις προτάσεις και εξηγώ πως σκέφτηκα.

Αν διαιρέσω έναν αριθμό:

με το 2, το υπόλοιπο θα είναι: …….. ή ……..

γιατί ……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

με το 5, το υπόλοιπο θα είναι:

…….. …….. …….. …….. ……..

γιατί ……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

με το 10, το υπόλοιπο θα είναι:

…….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. …….. ……..

γιατί ……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………


Nansy Tzg

5. Στο πρόγραμμα αθλητικών δραστηριοτήτων του δήμου μας συμμετέχουν

περισσότερα από 120 παιδιά και λιγότερα από 140. Αν τα παιδιά

χωριστούν σε πεντάδες ή δεκάδες δεν περισσεύει κανένα. Πόσα είναι τα

παιδιά που συμμετείχαν στο πρόγραμμα;

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. Ο Μάνος μαζί με την αδερφή του έχουν πάρα πολλά επιτραπέζια παιχνίδια. Είναι

περισσότερα από 15 και λιγότερα από 25, ενώ το πλήθος τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο

του 10. Πόσα επιτραπέζια παιχνίδια έχουν;

……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. Δυο αριθμοί έχουν γινόμενο 18. Το πηλίκο τους είναι 2 και το άθροισμα τους 9. Ποιοι

αριθμοί είναι; …………………………………………………………………………………………………….………..

……………………………………………………………………………………………………………………..………………

Όνομα: ………………………………………………………………………………………………….

Καλή ξεκούραση!


Κριτήρια διαιρετότητας.............

salloumy


Είμαι μάγος;

Ρώτησέ με όποιον αριθμό θέλεις και θα σου απαντήσω αν διαιρείται ή όχι με τους

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12


Είστε όμως καλά παιδιά γι’ αυτό θα μοιραστώ τα μυστικά μου μαζί σας


Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 2; • Με το 2 διαιρούνται οι αριθμοί που το

τελευταίο τους ψηφίο είναι το 0, 2, 4, 6, 8, • Παράδειγμα...

• 3020 • 456 • 23138 • 345



τελευταίο τους ψηφίο είναι το 0 ή 5

• Παράδειγμα...

• 3020 • 456 • 23100 • 345


Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 10, 100, 1000; • Με το 10, 100, 1000, κλπ, διαιρούνται οι

αριθμοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι το 0 ή 00 ή 000 κλπ

• Παράδειγμα... • 3020 • 4500 • 23102 • 345000

Με το 10

Με το 10, και το 100

Με το 10, το 100 και το 1000


Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 4; • Με το 4 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δυο

τελευταία τους ψηφία διαιρούνται με το 4 ή είναι 00 • Παράδειγμα...

• 3020 • 4500 • 23102 • 345084

Το 4 διαιρεί το 20

Τελειώνει σε 00



Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 25; • Με το 25 διαιρούνται οι αριθμοί που τα

δυο τελευταία τους ψηφία διαιρούνται με το 25 ή είναι 00

• Παράδειγμα... • 3025 • 4500 • 23102 • 345075


Τελειώνει σε 00




άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με το 3


• 3021 • 4500 • 23102 • 345084

3 + 2 + 1 = 6 Το 3 διαιρεί το 6

4 + 5 = 9 το 3 διαιρεί το 9

3 + 4 + 5 + 8 + 4 = 24 Το 3 διαιρεί το 24

2 + 3 + 1 + 2 = 8 Το 3 δεν διαιρεί το 8



άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με το 9


• 3024 • 4500 • 23102 • 34308

3 + 2 + 4 = 9 Το 9 διαιρεί το 9

4 + 5 = 9 το 9 διαιρεί το 9

3 + 4 + 3 + 8 = 18 Το 9 διαιρεί το 18

2 + 3 + 1 + 2 = 8 Το 9 δεν διαιρεί το 8



τελευταίο τριψήφιο τμήμα τους διαιρείται με το 8, ή είναι 000


• 3160 • 4000 • 23102 • 345088

Το 160 διαιρείται με το 8

Τα τρία τελευταία ψηφία

είναι 000

Το 088 διαιρείται με το 8

Το 102 δεν διαιρείται με το 8


Το κριτήριο για το 7; • Πάρε το τελευταίο ψηφίο και διπλασίασέ το. Αφαίρεσέ το από τα υπόλοιπα. Αν το αποτέλεσμα που βρήκες χωράει στο 7 τότε ο αριθμός διαιρείται με το 7

Π.χ 133 Παίρνω το τελευταίο ψηφίο και το διπλασιάζω 3*2= 6. Το αφαιρώ από τα υπόλοιπα ψηφία 13-6= 7. Το 7 διαιρείται με το 7, άρα διαιρείται και με τον 133


Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 11; • Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν το

άθροισμα των διψήφιων τμημάτων που προκύπτουν αν τον χωρίσουμε από δεξιά προς τα αριστερά είναι ένας αριθμός που διαιρείται με το 11, Παράδειγμα...

• 3168 • 4147 • 23102 • 415008

31 + 68 =99

41 + 47 = 88

41+ 50 + 08 =99

2 + 31 + 02 =35 Δεν διαιρείται


Αν ένας αριθμός διαιρείται από άλλους δυο, θα διαιρείται και από

το γινόμενό τους

Για παράδειγμα ο αριθμός 12 διαιρείται και με το 3 και με το 2 άρα διαιρείται και με το 6

Επίσης ο αριθμός 520 διαιρείται και με το 4 και με το 2 άρα διαιρείται και με το 8


Χρησιμοποιήστε όλα αυτά τα μυστικά !!!!!! Θα σας λύσουν πολλά προβλήματα!!!!!!!!!!!


Δημιουργία υλικού: Παύλος Κώτσης (Δάσκαλος)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ – Ε.Κ.Π.

Σειρά μου να ρωτάω τώρα που

ασχολούμαστε πάλι με αριθμούς.

Αν και το γνωρίζω, πες μου κατ’

αρχήν τι εννοούμε όταν μιλάμε για

πολλαπλάσια ενός αριθμού;

Για παράδειγμα, τα πολλαπλάσια του αριθμού 5 είναι τα εξής:

5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , ..........

Όπως καταλαβαίνεις, τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα !

Καλώς την και πάλι! Σιγά τα δύσκολα! Λοιπόν...

Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέμε τους αριθμούς που είναι πολλές φορές μεγαλύτεροι από τον αρχικό αριθμό.

Με πολύ απλά λόγια, πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που ανήκουν στην προπαίδειά του.

Και το Ε. Κ. Π. πάλι,

τι είναι; Αν πάρεις μερικούς αριθμούς και βρεις τα πολλαπλάσιά τους, θα διαπιστώσεις ότι, γι αυτούς τους αρχικούς αριθμούς, υπάρχουν κάποια πολλαπλάσια που είναι ίδια (κοινά).

Αν από αυτά τα κοινά πολλαπλάσια, πάρουμε μόνο το μικρότερο, τότε λέμε ότι έχουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών αριθμών. Για συντομία, το συμβολίζουμε Ε. Κ. Π. , από τα αρχικά των λέξεων.

Λέμε, για παράδειγμα, ότι το ελάχιστο κοινό από τα

πολλαπλάσια των αριθμών 2 και 3 είναι ο αριθμός 6.

Αυτό το γράφουμε ως εξής:

Ε. Κ. Π. (2, 3) = 6


Xristos


Παύλος Κώτσης

Δημιουργία υλικού: Παύλος Κώτσης (Δάσκαλος)

Πώς μπορούμε να

υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π.

κάποιων αριθμών;

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή και περισσότερων αριθμών. Οι απλούστεροι είναι οι εξής:

1. Βρίσκουμε χωριστά τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού. Σε αυτά τα πολλαπλάσια εντοπίζουμε όσα είναι κοινά. Επιλέγουμε το μικρότερο από τα κοινά και αυτό θα είναι το Ε.Κ.Π.

2. Επιλέγουμε το μεγαλύτερο από τους αρχικούς αριθμούς και ελέγχουμε αν είναι πολλαπλάσιο και των υπόλοιπων. Αν είναι, τότε αυτός θα είναι και το Ε.Κ.Π. Αν όχι τον διπλασιάζουμε και ελέγχουμε πάλι με τον ίδιο τρόπο. Αν και πάλι δεν είναι πολλαπλάσιο όλων των άλλων, τον τριπλασιάζουμε και ελέγχουμε ξανά. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία όσες φορές χρειαστεί.

Παράδειγμα υπολογισμού του Ε.Κ.Π. με τον πρώτο τρόπο:

Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 5 και 6:

Πολλαπλάσια του 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ......

Πολλαπλάσια του 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ......

Κοινά πολλαπλάσια και του 5 και του 6: 30, 60, .......

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 30. Άρα, Ε.Κ.Π. (5, 6) = 30

Παράδειγμα υπολογισμού του Ε.Κ.Π. με τον δεύτερο τρόπο:

Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2 , 5 και 6:

Παίρνουμε τον μεγαλύτερο, δηλαδή το 6. Ελέγχουμε, αν είναι πολλαπλάσιο και των άλλων δύο. Είναι πολλαπλάσιο του 2 αλλά όχι του 5. Συνεπώς δεν είναι το Ε.Κ.Π.

Διπλασιάζουμε το 6 και γίνεται 12. Ελέγχουμε πάλι αν είναι πολλαπλάσιο και των άλλων δύο. Είναι πολλαπλάσιο του 2 αλλά όχι του 5. Συνεπώς ούτε το 12 είναι το Ε.Κ.Π.

Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, θα διαπιστώσουμε κάποια στιγμή πως όταν πενταπλασιάσουμε το 6 και γίνει 30 τότε αυτός ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο και του 2 και του 5. Άρα λέμε πως Ε.Κ.Π (2, 5, 6) = 30

Πολύ εύκολα έτσι; Σήμερα νιώθω πολύ

έξυπνος και πολύ τυχερός. Νιώθω πως θα μου

συμβεί κάτι καλό !!!


ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ

Πολλαπλάσια ενός αριθμού

Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό

αυτό με άλλους ακέραιους αριθμούς, π.χ. τα πολλαπλάσια του 5 είναι 5x0=5, 5x1=5, 5x2=10,

5x3=15 κλπ.

Παράδειγμα:

Να βρεθούν τα πολλαπλάσια του 3.

Π3= 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...

Κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών- που δεν είναι μηδέν- ονομάζουμε κάθε αριθμό

που διαιρείται ακριβώς με καθέναν από τους αριθμούς αυτούς.

Παράδειγμα:

Να βρεθεί το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων των αριθμών 3 και 4.

Π3= 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...

Π4= 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...

Το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων των αριθμών 3 και 4 είναι:

Π3,4= 0, 12, 24,36, ...

ΑΣΚΗΣΕΙΣ- ΤΕΤΡΑΔΙΟ

1. Να γραφούν πέντε όροι σε καθένα από τα παρακάτω σύνολα.

α. Π5= ____________________________________

β. Π6= ____________________________________

γ. Π4= ____________________________________

δ. Π15= ____________________________________

2. Να διαγραφούν οι όροι που δεν ανήκουν σε καθένα από τα παρακάτω σύνολα.

α. Π8= 40, 72, 18, 36, 42, 56, 64

β. Π15= 45, 120, 50, 60, 75, 80, 90

γ. Π9= 90, 53, 45, 24, 27, 30, 81

δ. Π7= 14, 24, 35, 42, 70, 48

3. Να γραφτούν τα πολλαπλάσια…

α. … του 4 που δεν υπερβαίνουν το 40.

β. … του 6 που δεν υπερβαίνουν το 70.

γ. … του 5 που δεν υπερβαίνουν το 54.

δ. … του 10 που δεν υπερβαίνουν το 125.

ε. … του 15 που δεν υπερβαίνουν το 120.

στ. … του 12 που δεν υπερβαίνουν το 96.



ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ( Ε.Κ.Π.)

Όπως ήδη γνωρίζουμε, το Ε.Κ.Π. πολλών αριθμών το βρίσκουμε με σύντομο τρόπο, αφού

πάρουμε το μεγαλύτερο από αυτούς τους αριθμούς και δούμε αν είναι πολλαπλάσιο των

άλλων. Αν όχι, παίρνουμε το διπλάσιό του, το τριπλάσιό του κλπ.

π.χ. Ε.Κ.Π.(2, 5, 20) = 20 Ε.Κ.Π. (2, 5, 15) = 30 δηλαδή το

διπλάσιο του 15

Μερικές φορές όμως, αν δεν είναι ούτε το τριπλάσιο ούτε το τετραπλάσιο κλπ. για να το

βρίσκουμε πιο εύκολα και να μην ψάχνουμε πολλή ώρα, εργαζόμαστε ως εξής:

π.χ. Ε.Κ.Π. (2, 3, 4, 5, 12)

(παρατηρούμε ότι δεν είναι ούτε το διπλάσιο του 12 ούτε το τριπλάσιο του 12 ούτε το

τετραπλάσιο)

Τοποθετούμε τους αριθμούς 2 3 4 5 12 με τη σειρά και δίπλα στα δεξιά τους, τραβάμε

μια κάθετη γραμμή:

2 3 4 5 12 2

1 3 2 5 6 2

1 3 1 5 3 3

1 1 1 5 1 5

1 1 1 1 1 Ε.Κ.Π. = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Ξεκινάμε, κάνοντας διαιρέσεις και παίρνοντας ως διαιρέτη το μικρότερο αριθμό που

χωράει στους αριθμούς αριστερά (εκτός από το 1), όπως είναι το 2 και το γράφουμε δεξιά

από την κάθετη γραμμή και διαιρούμε όλους τους αριθμούς που διαιρούνται με το 2

ακριβώς, γράφοντας από κάτω τους, πόσες φορές χωράει το 2 στον καθένα από

αυτούς, δηλαδή το πηλίκο που βρίσκουμε.

Αν δε χωρούσε το 2 τότε θα δοκιμάζαμε με το 3, αν όχι και με το 3 θα δοκιμάζαμε

με το 4 κλπ.

Όταν δε χωράει ακριβώς, ξαναγράφουμε από κάτω τον αριθμό όπως είναι.

Αρχίζουμε, λέγοντας ότι το 2 στο 2 χωράει 1 φορά, οπότε γράφω κάτω από το 2 τον

αριθμό 1, το 2 στο 3 δε χωράει, οπότε από κάτω ξαναγράφω το 3, το 2 στο 4 χωράει 2

φορές, οπότε κάτω από το 4 γράφω το 2, το 2 στο 5 δε χωράει ακριβώς, οπότε το 5 το



ξαναγράφω από κάτω όπως είναι. Το 2 στο 12 χωράει 6 φορές, οπότε κάτω από το 12

γράφω το 6.

Συνεχίζω στη δεύτερη σειρά με τον αριθμό 2 ως διαιρέτη, δεξιά από την κάθετη γραμμή

και βλέπω πάλι πόσες φορές χωράει το 2 σε όλους τους αριθμούς και επαναλαμβάνω την

ίδια διαδικασία.

Δηλαδή, το 1 το ξαναγράφω από κάτω, το 2 στο 3 δε χωράει, οπότε από κάτω ξαναγράφω

το 3, το 2 στο 2 χωράει 1 φορά, οπότε κάτω από το 2 γράφω το 1, το 2 στο 5 δε χωράει

ακριβώς, οπότε το 5 το ξαναγράφω από κάτω όπως είναι και το 2 στο 6 χωράει 3 φορές,

οπότε κάτω από το 6 γράφω το 3.

Παρατηρώντας τώρα όλους τους αριθμούς στην 3η σειρά, διαπιστώνω ότι ο μικρότερος

αριθμός - εκτός από το 1 - είναι το 3, οπότε ως διαιρέτη, βάζω δεξιά από την κάθετη

γραμμή τον αριθμό 3 και συνεχίζω με τον ίδιο τρόπο, όπως έκανα και με το 2.

Δηλαδή, το 1 το αφήνω από κάτω όπως είναι και λέω το 3 στο 3 χωράει 1 φορά, οπότε

κάτω από το 3 γράφω το 1, το 1 το αφήνουμε όπως είναι, το 3 στο 5 δε χωράει ακριβώς,

οπότε το 5 το ξαναγράφουμε από κάτω και το 3 στο 3 χωράει 1 φορά, οπότε κάτω από το

3 γράφουμε 1.

Παρατηρούμε ότι στην 4η σειρά παντού υπάρχει η μονάδα (1) εκτός από το 5, οπότε τώρα

δεξιά από την κάθετη γραμμή βάζουμε κατευθείαν το 5 και από κάτω ξαναγράφουμε

παντού το 1 και στο 5 λέμε ότι χωράει 1 φορά και κάτω από το 5 γράφουμε το 1.

Έτσι, παρατηρούμε ότι όλη η 5η σειρά έχει τον αριθμό 1 και σταματάμε. Δηλαδή, τη

διαδικασία αυτήν τη συνεχίζουμε μέχρι όλα τα πηλίκα που βρίσκουμε αριστερά να

είναι η μονάδα (1).

Εκεί, τελειώνει η διαδικασία αυτή με το Ε.Κ.Π. το οποίο το βρίσκουμε τώρα

πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς δεξιά από την κάθετη γραμμή μεταξύ τους.

Δηλαδή, 2 x 2 x 3 x 5 = 60

4 x 3

12 x 5

Ε.Κ.Π. (2, 3, 4, 5, 12) = 60

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ: Βρίσκω στο τετράδιό μου με αυτόν τον τρόπο: το Ε.Κ.Π.

( 4, 7, 8) , το Ε.Κ.Π. (3, 6, 7), το Ε.Κ.Π. (5, 7, 20)



ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ( Ε.Κ.Π.)

Πολλαπλάσια ενός αριθμού

Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν (τα αποτελέσματα-γινόμενα)

αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άλλους ακέραιους αριθμούς.

π.χ. τα πολλαπλάσια του 5 είναι 5x0=0, 5x1=5, 5x2=10, 5x3=15 κλπ.

Κοινά πολλαπλάσια δυο ή περισσότερων αριθμών

Κοινά πολλαπλάσια ονομάζουμε τα πολλαπλάσια που είναι ίδια σε δυο ή περισσότερους

αριθμούς.

π.χ. Να βρεθεί το σύνολο των κοινών πολλαπλάσιων των αριθμών 3 και 4.

(Γράφω από κάτω τα αποτελέσματα της προπαίδειας του 3 και του 4:

Π3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...

Π4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...

Το σύνολο των κοινών πολλαπλάσιων των αριθμών 3 και 4 είναι:

Π3,4 = 0, 12, 24, 36, ...

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)



Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσοτέρων αριθμών ονομάζεται

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και συμβολίζεται με τη συντομογραφία Ε.Κ.Π.

π.χ. Στα πολλαπλάσια που βρήκαμε στο παραπάνω παράδειγμα των αριθμών 3 και 4 τα

κοινά πολλαπλάσιά τους είναι οι αριθμοί (εκτός του 0) 12, 24, 36 κλπ.

Αφού ο μικρότερος αριθμός από αυτούς είναι το 12, τότε το ελάχιστο κοινό

πολλαπλάσιο των αριθμών 3 και 4 είναι το 12.

Άρα Ε.Κ.Π. (3,4) = 12

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (Ε.Κ.Π.)

Α) Ε.Κ.Π. (3, 5, 15): Παίρνω το μεγαλύτερο από τους αριθμούς. Εδώ είναι ο αριθμός

15. Ελέγχω αν αυτός ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο των άλλων αριθμών, δηλαδή,

διαιρείται και με το 3 και με το 5. Βλέπω ότι πράγματι διαιρείται ακριβώς και με το 3,

αφού 15:3=5 και με το 5, αφού 15:5=3 και φυσικά και με τον εαυτόν του, όπως κάθε

αριθμός, αφού 15:15=1, οπότε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5 και 15 είναι το 15.

Β) Αν έχω να βρω το Ε.Κ.Π. (3, 5, 6, 15), παίρνω και πάλι το μεγαλύτερο αριθμό, αλλά

παρατηρώ ότι δε διαιρείται ακριβώς με το 6, οπότε τότε παίρνω το διπλάσιο του 15

που είναι το 30 και βλέπω ότι ο αριθμός 30 διαιρείται ακριβώς και με το 3 (30:3=10)

και με το 5 (30:5=6) και με το 6 (30:6=5) και με το 15 (30:15=2). Άρα το Ε.Κ.Π. των

αριθμών 3, 5, 6 και 15 είναι το διπλάσιο του 15, δηλαδή το 30.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν επομένως δε διαιρείται ακριβώς ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς,

των οποίων ψάχνω το Ε.Κ.Π. με τους άλλους, τότε τον διπλασιάζω και δοκιμάζω, αν δε

διαιρείται και πάλι, τότε τον τριπλασιάζω κλπ. Συνεχίζουμε έτσι μέχρι να βρούμε ένα



πολλαπλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού που είναι παράλληλα και πολλαπλάσιο των

υπόλοιπων αριθμών.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΜΠΕΔΩΣΗ

1. Να βρείτε

το Ε.Κ.Π. αφού βρείτε τα πολλαπλάσιά τους πρώτα:

α) Ε.Κ.Π. ( 2, 3) = .......

Π2 =…………………………………………………………………………………………………………………………..

Π3 =……………………………………………………………………………………………………………………………

β) Ε.Κ.Π. ( 4, 6 , 8) = ...........

Π4 =……………………………………………………………………………………………………………………………

Π6 =……………………………………………………………………………………………………………………………

Π8 =………………………………………………………………………………………………………………………………

γ) Ε.Κ.Π. ( 3, 5, 15) = ..............

Π3 =………………………………………………………………………………………………………………………………….

Π5 =…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Π15 =…………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5, 9, 15 και το Ε.Κ.Π. των

αριθμών 2, 4, 6, 8 με το σύντομο τρόπο, εξετάζοντας το μεγαλύτερο από

αυτούς αν είναι πολλαπλάσιο ή το διπλάσιό του το τριπλάσιό του κλπ.



Ε. Κ. Π. ( 3, 5, 9, 15 ) = ………………..

Ε.Κ.Π. (2, 4, 6, 8 ) = ……………………..



Xristos


velipsi

Παρουσίαση :Βελισσάριος Κ. ΨυχογυιόςΔάσκαλος


ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ 6 ΒΗΜΑΤΑ.

Βήμα 1ο: εάν οι αριθμοί μου είναι:

Μεικτοί → τους μετατρέπω σε απλά κλάσματα

(πολλαπλασιάζω το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή, στο

γινόμενο προσθέτω τον αριθμητή ,το άθροισμα αυτό το γράφω στη

θέση του αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)→ προχωρώ

στο βήμα 2ο

Απλά κλάσματα → προχωρώ στο βήμα 2ο

Βήμα 2ο: εάν τα κλάσματα είναι:

ετερώνυμα → τα μετατρέπω σε ομώνυμα ( βρίσκω το Ε.Κ.Π των

παρανομαστών, πολλαπλασιάζω με τον κατάλληλο αριθμό και των

αριθμητή και τον παρονομαστή ) → προχωρώ στο βήμα 3ο

ομώνυμα → προχωρώ στο βήμα 3ο

Βήμα 3ο: κάνω την πράξη που μου ζητείται (πρόσθεση ή αφαίρεση)

Βήμα 4ο: εάν το αποτέλεσμα είναι:

Ανάγωγο κλάσμα → προχωρώ στο βήμα 5ο

Δεν είναι ανάγωγο κλάσμα → το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς

διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή, διαιρώ τον αριθμητή

και τον παρονομαστή με το Μ.Κ.Δ τους) → προχωρώ στο βήμα 5ο

Βήμα 5ο: εάν το ανάγωγο κλάσμα είναι:

Καταχρηστικό → το μετατρέπω σε μεικτό αριθμό (διαιρώ τον

αριθμητή με τον παρονομαστή: πηλίκο- στο ακέραιο μέρος, το

υπόλοιπο- στον αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο) →

προχωρώ στο βήμα 6ο

Γνήσιο → προχωρώ στο βήμα 6ο

Βήμα 6ο: γράφω την απάντηση. Arabadzi Nadezda


ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΒΗΜΑ ‐ ΒΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ


Xristos


velipsi

ΒΗΜΑ 1ΟΑ.ΠΡΟΣΘΕΤΩ – ΑΦΑΙΡΩ ΜΕΙΚΤΟΥΣΑ.ΠΡΟΣΘΕΤΩ ΑΦΑΙΡΩ ΜΕΙΚΤΟΥΣ

Τους μετατρέπω σε απλά κλάσματα (πολλαπλασιάζω το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή, στο γινόμενο προσθέτω τον αριθμητή ,το άθροισμα αυτό το γράφω ρ μ ή, γ μ ρ ρ μη ή , ρ μ γρ φστη θέση του αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)

π.χ 751227

35

213

321

Β.ΠΡΟΣΘΕΤΩ – ΑΦΑΙΡΩ ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

31 35π.χ ή 53

31

83

85

ΠΡΟΧΩΡΩ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑΚΑΡΤΕΛΑ


ΒΗΜΑ 2ΟΑν τα απλά κλάσματα ή αυτά που προκύπτουν από τους μεικτούς είναι :Αν τα απλά κλάσματα ή αυτά που προκύπτουν από τους μεικτούς είναι :Α. ΕΤΕΡΩΝΥΜΑ

τα μετατρέπω σε ομώνυμα ( βρίσκω το Ε.Κ.Π των παρονομαστών, πολλαπλασιάζω με τον κατάλληλο αριθμό και τον αριθμητή και τον παρονομαστή ) ΒΛΕΠΩ ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑΠροσθέτω ή αφαιρώ τους αριθμητές αφήνοντας ίδιο τον παρονομαστή.ρ ή φ ρ ς ρ μη ς φή ς ρ μ ήΓράφω το αποτέλεσμα.

π.χ. 149531

15151553

Β. ΟΜΩΝΥΜΑΕκτελώ την πράξηΕκτελώ την πράξη

Προσθέτω ή αφαιρώ τους αριθμητές αφήνοντας ίδιο τον παρονομαστή.Γράφω το αποτέλεσμα.ρ φ μ

π.χ ή

127

123

124

123

125

128

121212 121212


ΘΥΜΑΜΑΙ …..


ΒΗΜΑ 3ΟΑν το αποτέλεσμα είναι κλάσμα:

Α. Καταχρηστικότο μετατρέπω σε μεικτό αριθμό (διαιρώ τον αριθμητή με τον παρονομαστή: πηλίκο στο ακέραιο μέρος το υπόλοιπο στον αριθμητή τον παρονομαστή τονπηλίκο- στο ακέραιο μέρος, το υπόλοιπο- στον αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)

π χ 1273 10 5415 11π.χ

411

821

87

83

810

651

64

615

611

Β. Γνήσιο Ολοκληρώνω την πράξη μου γράφοντας την απάντηση.

π.χ

157

154

153

91

94

95

Και κάτι τελευταίο……

ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑ


Προσέχω να δω αν το τελικό μου αποτέλεσμα είναι κλάσμα :

Α Α άΑ. Ανάγωγο.∆ηλαδή κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί γιατί οι όροι του (αριθμητής και παρονομαστής) είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.

π.χ.

713,

65,

32,

21

Β. Μη ανάγωγο κλάσμα .∆ηλαδή κλάσμα που μπορεί να απλοποιηθεί.Τότε το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες του αριθμητή και τουΤότε το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή, διαιρώ τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Μ.Κ.∆ τους)

π.χ. (Διαίρεσα το 9 και το 12 με το Μ.Κ.Δ που είναι το 3)345 9χ ( ρ μ )

41212

12

Παρουσίαση :Βελισσάριος Κ ΨυχογυιόςΒελισσάριος Κ. Ψυχογυιός∆άσκαλος


Καλογερά Ευτυχία

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

A. ΓΝΗΣΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

38 24 14 7

---- - ---- = ---- = ----

40 40 40 20

B. ΜΕΙΚΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α΄ τρόπος:

12 8 4

9 ---- - 2 ---- = 7 ----

15 15 15

Β΄ τρόπος:

5 2 5 2 3 3

5 ---- - 2 ---- = (5 - 2) + (---- - ----) = 3 + ---- = 3 ----

6 6 6 6 6 6

Γ΄ τρόπος:

7 6 23 14 9 1

2 ---- - 1 ---- = ---- - ---- = ---- = 1 ----

8 8 8 8 8 8

Γ. ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΚΛΑΣΜΑ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΟ

2 2

4 ---- - 1 = 3 ----

3 3

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΟΜΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Αφαιρώ τους αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει ίδιος.

Εάν χρειαστεί, απλοποιώ το κλάσμα, ώστε να γίνει ανάγωγο, να

μην απλοποιείται δηλ. άλλο. Η απλοποίηση γίνεται διαιρώντας

αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.

14 : 2 7

---- = -----

40 : 2 20

Αφαιρώ τους ακεραίους μεταξύ τους, τα κλάσματα μεταξύ τους

και δημιουργείται νέος μεικτός.

Μέσα σε παρένθεση αφαιρώ τους ακεραίους και σε άλλη

παρένθεση αφαιρώ τα κλάσματα.

Αφαιρώ μετατρέποντας τους μεικτούς σε καταχρηστικά

κλάσματα. Το αποτέλεσμα, που θα είναι καταχρηστικό

κλάσμα, το μετατρέπω σε μεικτό με τη γνωστή

διαδικασία.

Αφαιρώ τους ακεραίους και το κλάσμα παραμένει ίδιο.



3 4 3 4 3 1 1

8 - 5 ---- = 7 ---- - 5 ---- = (7 - 5) + (---- - ----) = 2 + ---- = 2 ----

4 4 4 4 4 4 4

2 5 2 3

6 - ---- = 5 ---- - ---- = 5 ----

5 5 5 5


8 6

5 3 40 18 22 11

---- - ---- = ---- - ---- = ---- = ---- (Ε.Κ.Π. = 24)

6 8 24 24 24 12


Α΄ τρόπος:

1 2

19 6 19 12 7

10 ---- - 4 ---- = 10 ---- - 4 ---- = 6 ---- (Ε.Κ.Π. = 20)

20 10 20 20 20

Β΄ τρόπος:

4 9

8 2 32 18 14 14

12 ---- - 2 ---- = (12 - 2) + (---- - ----) = 10 + ---- = 10 ---- (Ε.Κ.Π. = 36)

9 4 36 36 36 36

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

1. Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα με τη γνωστή διαδικασία.

2. Αφαιρώ τα κλάσματα σύμφωνα με όσα έχω διδαχθεί στα ομώνυμα

κλάσματα.

Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και

μετά λύνω σύμφωνα με όσα έχω

διδαχθεί.

α΄τρόπος: Όταν αφαιρώ ακέραιο με μεικτό ή κλάσμα, παίρνω μία

ακέραιη μονάδα από τον ακέραιο και τη μετατρέπω σε κλάσμα

(αριθμητής και παρονομαστής ο ίδιος αριθμός για να δείχνει ακέραιη

μονάδα - παρονομαστή βάζω αυτόν που έχει και το δεύτερο

κλάσμα). Και στη συνέχεια, αφαιρώ με το γνωστό τρόπο.

5

Π. χ. 6 = 5 ---- (αφού το δεύτερο κλάσμα έχει παρονομαστή το 5)

5



Γ΄ τρόπος:

2 1

5 8 47 20 94 20 74 2

7 ---- - 1 ---- = ---- - ---- = ---- - ---- = ---- = 6 ---- (Ε.Κ.Π. = 12)

6 12 6 12 12 12 12 12


4 1

3 8 23 32 23 9 1

8 - 5 ---- = ---- - ---- = ---- - ---- = ---- = 2 ----

4 1 4 4 4 4 4

5 1

2 6 2 30 2 28 3

6 - ---- = ---- - ---- = ---- - ---- = ---- = 5 ----

5 1 5 5 5 5 5

Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και μετά αφαιρώ ακέραιο

με ακέραιο και κλάσμα με κλάσμα με τη βοήθεια

παρενθέσεων.

1. Κάνω τους μεικτούς καταχρηστικά.

2. Μετά κάνω τα κλάσματα ομώνυμα.

3. Αφαιρώ με το γνωστό τρόπο.

4. Μετατρέπω το αποτέλεσμα σε μεικτό αριθμό.

β΄τρόπος: Όταν αφαιρώ ακέραιο με μεικτό ή

κλάσμα, φτιάχνω την ακέραιη μονάδα κλάσμα με

παρονομαστή το 1. Ξέρω ότι το κλάσμα είναι μία

διαίρεση… άρα:

8

8 = ---- (8:1 = 8)

1

Έτσι, έχω κλάσματα ετερώνυμα και λύνω με τη

γνωστή διαδικασία. Αν το δεύτερο κλάσμα είναι

μεικτός, το κάνω καταχρηστικό.




8 2 8 x 2 16 4

---- x ---- = -------- = ---- = ----

9 4 9 x 4 36 9


2 3 17 7 17 x 7 119 19

3 ---- x 1 ---- = ---- x ---- = -------- = ---- = 5 ----

5 4 5 4 5 x 4 20 20


2 8 5 8 x 5 40 1

2 ---- x 5 = ---- x ---- = -------- = ---- = 13 ----

3 3 1 3 x 1 3 3

3 7 3 7 x 3 21 3

7 x ---- = ---- x ---- = ------- = ---- = 3 ----

6 1 6 1 x 6 6 6

Πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και τους

παρονομαστές και απλοποιώ το αποτέλεσμα, αν

χρειαστεί. Στον πολλαπλασιασμό δε μετατρέπω

τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.

Όταν πρέπει να πολλαπλασιάσω μεικτούς

αριθμούς, τους μετατρέπω πάντα σε

καταχρηστικά κλάσματα και λύνω όπως

παραπάνω.

Κάθε ακέραιο μπορώ να τον μετατρέψω σε κλάσμα βάζοντάς του ως παρονομαστή το 1.

5

---- = 5 : 1 = 5 . Έτσι, κάνω το μεικτό καταχρηστικό, τον ακέραιο κλάσμα και μετά πολλαπλασιάζω με τη

1 συνήθη διαδικασία. Το αποτέλεσμα, που είναι καταχρηστικό, το μετατρέπω σε μεικτό

αριθμό.

Μετατρέπω τον ακέραιο σε κλάσμα και μετά

πολλαπλασιάζω με τον τρόπο που διδάχτηκα. Στο

τέλος, κάνω και τις απαραίτητες αλλαγές στο

αποτέλεσμα.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ



ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ


14 12 26 9

---- + ---- = ---- = 1 ----

17 17 17 17


Α΄ τρόπος:

3 10 13 1

4 ---- + 2 ---- = 6 ---- = 7 ----

12 12 12 12

Β΄ τρόπος:

3 10 3 10 13 12 1 1 1

4 ---- + 2 ---- = (4 + 2) + (---- + ----) = 6 + ---- = 6 + ---- + ---- = 6 + 1 + ---- = 7 ----

12 12 12 12 12 12 12 12 12

Γ΄ τρόπος:

3 10 51 34 85 1

4 ---- + 2 ---- = ---- + ---- = ---- = 7 ----

12 12 12 12 12 12

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Προσθέτω τους αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει

ίδιος. Όταν το αποτέλεσμα είναι καταχρηστικό κλάσμα, διαιρώ

(26 : 17) και φτιάχνω μεικτό αριθμό. Το πηλίκο μπαίνει

ακέραιη μονάδα και το υπόλοιπο μπαίνει αριθμητής:

26 17 9

9 1 1 -----

17

Προσθέτω τους ακεραίους μεταξύ τους, τα κλάσματα μεταξύ

τους και δημιουργείται νέος μεικτός. Αν το κλάσμα του μεικτού

είναι καταχρηστικό, βγάζω την ακέραιη μονάδα που κρύβει με

διαίρεση (βλ. πάνω) ή με τον ακόλουθο τρόπο:

13 12 1 1 1 1

----- = ----- + ----- = 1 + ----- 6 + 1 + ---- = 7 ----

12 12 12 12 12 12

Μέσα σε παρένθεση προσθέτω τους ακεραίους και σε άλλη

παρένθεση προσθέτω τα κλάσματα. Στο τέλος, κάνω τις

αλλαγές που πρέπει στο αποτέλεσμα.

Προσθέτω μετατρέποντας τους μεικτούς σε

καταχρηστικά κλάσματα. Πολλαπλασιάζω τον ακέραιο με

τον παρονομαστή και αυτό που βρίσκω το προσθέτω με

τον αριθμητή.

3 51

4 ---- = (4 x 12) + 3 = ----

12 12

Το αποτέλεσμα, που θα είναι καταχρηστικό κλάσμα, το

μετατρέπω σε μεικτό με τη γνωστή διαδικασία.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ




3 6 2

3 3 7 9 18 14 41 17

---- + ---- + ---- = ---- + ---- + ---- = ---- = 1 ----

8 4 12 24 24 24 24 24

8 4 12 2

4 2 6 2

2 1 3 2

1 1 3 3

1 1 1 Ε.Κ.Π. (8, 4, 12)=

2x2x2x3 = 24


Α΄ τρόπος:

3 1

3 7 9 7 16 1

2 ---- + 1 ---- = 2 ---- + 1 ---- = 3 ---- = 4 ----

5 15 15 15 15 15

Β΄ τρόπος:

2 1

8 15 16 15 31 18 13 13 13

5 ---- + 2 ---- = (5 + 2) + (---- + ----) = 7 + ---- = 7 + ---- + ---- = 7 + 1 + ---- = 7 ----

9 18 18 18 18 18 18 18 18

Γ΄ τρόπος:

2 1

3 8 9 20 18 20 38 2 1

1 ---- + 1 ---- = ---- + ---- = ---- + ----= ---- = 3 ---- = 3 ----

6 12 6 12 12 12 12 12 6

1. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.

2. Διαιρώ το Ε.Κ.Π. με κάθε ένα παρονομαστή και το αποτέλεσμα της

διαίρεσης το βάζω σε κάθε καπελάκι (24:8=3, 24:4=6, 24:12=2).

3. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζω τον αριθμό που βρίσκεται στο

καπελάκι με τον αριθμητή και τον παρονομαστή και έτσι δημιουργώ ένα

νέο κλάσμα (3x3, 3x8).Τα νέα κλάσματα είναι πλέον ομώνυμα, αφού

έχουν παρονομαστή το Ε.Κ.Π. που είχα βρει την αρχή.

4. Προσθέτω τα κλάσματα σύμφωνα με όσα έχω διδαχθεί στα ομώνυμα

κλάσματα.

Κάνω τα κλάσματα ομώνυμα και μετά λύνω

σύμφωνα με όσα έχω διδαχθεί.



Ομώνυμα και Ετερώνυμα Κλάσματα

Δύο ή περισσότερα κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα, όταν έχουν ίδιους παρονομαστές και

ετερώνυμα, όταν έχουν διαφορετικούς παρονομαστές.

π.χ. ομώνυμα: 3 9 5

, ,8 8 8

ετερώνυμα: 3 2 4 7

, , ,4 6 7 3

Μετατροπή ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα

α. Δύο ή περισσότερα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε ισοδύναμά τους ομώνυμα, αν

πολλαπλασιαστούν οι όροι καθενός μ’ έναν κατάλληλο αριθμό.

Να τραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα: 3

4 και

5

9.

Πολλαπλασιάζοντας τους όρους κάθε κλάσματος με τον παρονομαστή του άλλου έχουμε:

3 9 27

4 9 36

και

5 4 20

9 4 36

ή πιο σύντομα

χρησιμοποιώ «καπελάκια»:

3

4=

5

9=

β. Για τη μετατροπή ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα συνήθως ακολουθούμε την

παρακάτω πορεία:

Ι. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών που θέλουμε να μετατρέψουμε σε ομώνυμα.

ΙΙ. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το πηλίκο της διαίρεσης του Ε.Κ.Π.

(των παρονομαστών) με τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος.

Να τραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα: 2 3 2

, ,5 4 8

α. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών των κλασμάτων: Ε.Κ.Π>(5, 4 ,8 )= 40

β. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και τοποθετούμε το εκάστοτε

αποτέλεσμα στο «καπελάκι» του αντίστοιχου κλάσματος.

40 : 5 = 8, 40 : 4 = 10 40 : 8 = 5

2 16

5 40

3 30

4 40

2 10

8 40


Λαμπριάδου Μαρία

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

α) Πρόσθεση και αφαίρεση

Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω κλάσματα πρέπει πρώτα να τα κάνω ομώνυμα.

Αυτό γίνεται βρίσκοντας το Ε.Κ.Π. Αν έχω μεικτούς αριθμούς, προσθέτω χωριστά τους ακεραίους και χωριστά τα

κλάσματα π.χ. 12

810

12

36

12

54

Αν έχω να αφαιρέσω μεικτούς, υπάρχουν 2 τρόποι:

1) Μετατρέπω τους μεικτούς σε κλάσματα και κάνω την αφαίρεση

π.χ.8

42

8

20

8

10

8

30

8

21

8

63

2) Αφαιρώ τον ακέραιο από τον ακέραιο και το κλάσμα από το κλάσμα

π.χ.8

42

8

21

8

63

9

62

9

83

9

145

9

83

9

56

9-8

58

8

3

8

88

8

3

β) Πολλαπλασιασμός

Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και το γινόμενο το γράφουμε στον αριθμητή και

παρονομαστή με παρονομαστή και το γινόμενο το γράφουμε στον παρονομαστή.

π.χ.20

6

4

2

5

3X

Αν έχω να πολλαπλασιάσω μεικτούς τους μετατρέπω πρώτα σε κλάσματα. γ)Διαίρεση

Για να διαιρέσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με

τον αντίστροφο του διαιρέτη. Αν έχουμε μεικτούς τους μετατρέπουμε σε κλάσματα.

π.χ.5

4:

15

131

15

28

3

7

5

4

7

3 X



Ασκήσεις

6

5

9

4…………………………………………………………………………………………

2

13

9

52 ……………………………………………………………………………………….

6

2

8

7……………………………………………………………………………………………

2

18

7

212 ……………………………………………………………………………………..

4

3

5

27 ………………………………………………………………………………………

6

5

4

3X ………………………………………………………………………………………

5

3

2

17 X ………………………………………………………………………………….

6

5: 4

3……………………………………………………………………………………….

5: 3

24 ……………………………………………………………………………………….


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39

ΠΡΟΘΕΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΗ ΚΛΑΜΑΣΩΝ

Παράδειγμα πρόςκεςθσ: Παράδειγμα αφαίρεςθσ

4

17 +

6

17 +

5

17 =

15

17

9

14 -

3

14 =

6

14

Πρζπει να ξζρεισ πωσ ο βαςικόσ κανόνασ λζει ότι για να προςθζτουμε ή να αφαιροφμε κλάςματα πρζπει αυτά να είναι ομώνυμα.

Σε αυτι τθν περίπτωςθ, προςκζτουμε (ι αφαιροφμε) τουσ αρικμθτζσ των κλαςμάτων και αφινουμε ίδιο τον παρονομαςτι

Καλά, κι αν τα

κλάςματα είναι

ετερώνυμα, τότε

τι κάνουμε;

Αν είναι ετερώνυμα, κα πρζπει να βροφμε ιςοδφναμά τουσ που να είναι ομώνυμα κι ζπειτα να κάνουμε τισ προςκζςεισ ι τισ αφαιρζςεισ.

Επειδι όμωσ, όπωσ ζχουμε μάκει, υπάρχουν άπειρα ιςοδφναμα κλάςματα με τα αρχικά, μποροφμε, αν κζλουμε, να βροφμε εκείνα που ζχουν για παρονομαςτι το Ε.Κ.Π. των αρχικών παρονομαςτών.

Και τώρα, πράξεισ μεταξφ κλαςμάτων! Ασ

ξεκινιςουμε με τθν πρόςκεςθ και τθν

αφαίρεςθ. Πώσ μποροφμε να προςκζτουμε

ι να αφαιροφμε κλάςματα;

Παράδειγμα πρόςκεςθσ ετερώνυμων κλαςμάτων

χωρίσ τθ χριςθ του Ε.Κ.Π.

= =

2

3

4

5

1

2 + +

+ + 40

60

48

60

30

60

118

60

58

60 = 1

Στο διπλανό παράδειγμα,

βλζπεισ πωσ τα αρχικά κλάςματα

είναι ετερώνυμα. Ψάχνουμε να

βροφμε λοιπόν, νζα κλάςματα

ιςοδφναμα με τα αρχικά που να

ζχουν κοινοφσ παρονομαςτζσ.

Έπειτα, κάνουμε τισ πράξεισ και,

τζλοσ, τισ μετατροπζσ ςε μεικτό,

αν χρειάηεται.

• 20 • 12 • 30


Xristos


Παύλος Κώτσης

Όπωσ καταλαβαίνεισ, με τον προθγοφμενο τρόπο προςπακοφμε να βροφμε καταρχιν κάποιο κοινό πολλαπλάςιο των παρονομαςτϊν, ϊςτε να βροφμε, ζπειτα, τα ιςοδφναμα κλάςματα.

Πολλζσ φορζσ, όμωσ, είναι δφςκολο να εντοπίςουμε κοινά πολλαπλάςια των παρονομαςτϊν. Γι αυτό, είναι καλφτερα και πιο εφκολο να δουλεφουμε ωσ εξισ:

1ο βιμα: Βρίςκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτϊν

2ο βιμα: Βρίςκουμε ιςοδφναμα κλάςματα με τα αρχικά που να ζχουν για παρονομαςτι το Ε.Κ.Π. που βρικαμε προθγουμζνωσ.

3ο βιμα: Κάνουμε τισ πράξεισ

Παράδειγμα πρόςκεςθσ ετερώνυμων κλαςμάτων με τθ χριςθ του Ε.Κ.Π.

=

+ + 5

20

12

20

4

20

21

20

1

20 = 1

1ο βήμα: Υπολογίηω το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτϊν

Ε.Κ.Π. ( 4, 5, 10 ) = 20

1

4

3

5 + +

2

10

2ο βήμα: Βρίςκω ιςοδφναμα κλάςματα που να

ζχουν για παρονομαςτι το Ε.Κ.Π. =

3ο βήμα: Κάνω τισ πράξεισ και, αν χρειάηεται,

μετατρζπω το τελικό αποτζλεςμα ςε μεικτό.

...και δυο μικρζσ βοήθειεσ !

α/ Για να βρεισ το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτϊν μπορείσ να δουλζψεισ με

κάποιον από τουσ τρόπουσ που ζχουμε μάκει.

β/ Για να καταλάβεισ πϊσ κα βρεισ κάκε ιςοδφναμο κλάςμα, ςκζψου με ποιον

αρικμό πρζπει να πολλαπλαςιάςεισ τον αρχικό παρονομαςτι , ϊςτε να προκφψει ο

αρικμόσ του Ε.Κ.Π που κζλεισ. Με τον ίδιο αρικμό κα πολλαπλαςιάςεισ και τον

αρικμθτι. Για παράδειγμα,

ςτο κλάςμα ςκζφτομαι ότι, για να γίνει ο παρονομαςτισ (4) όςοσ και το Ε.Κ.Π.

(20), πρζπει να τον πολλαπλαςιάςω με το 5. Με αυτόν τον αρικμό κα πολλαπλαςιάςω και τον αρικμθτι, για να ζχω ιςοδφναμο κλάςμα.

1

4

• 5 • 4 • 2


Με τουσ ίδιουσ ακριβώσ τρόπουσ που χρηςιμοποιοφμε ςτην

πρόςθεςη μποροφμε να κάνουμε και αφαίρεςη κλαςμάτων.

Ωσ εδϊ ζμακεσ τον τρόπο να προςκζτεισ (ι να αφαιρείσ) ομϊνυμα ι ετερϊνυμα κλάςματα.

Υπάρχουν, όμωσ, αρκετζσ διαφορετικζσ περιπτϊςεισ και ςυνδυαςμοί μεταξφ αρικμϊν. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν κζλουμε να προςκζςουμε κλάςματα και φυςικοφσ ι κλάςματα και δεκαδικοφσ ι κλάςματα και μεικτοφσ;

Σε όλεσ αυτζσ τισ ...παράξενεσ περιπτϊςεισ να κυμάςαι αυτό που ζχουμε μάκει ςε παλιότερα μακιματα: Και οι φυςικοί και οι δεκαδικοί και οι μεικτοί μποροφν να μετατραποφν ςε απλά κλάςματα (αν δε κυμάςαι τον τρόπο, ξαναδιάβαςε παλιότερα φυλλάδια, όπωσ τα 7 και 19).

Άρα, ςε κάκε περίπτωςθ, πριν κάνω οποιαδιποτε πράξθ, φροντίηω να είναι όλοι οι αρικμοί ςε κλαςματικι μορφι.

Παράδειγμα πρόςκεςθσ αρικμών διαφορετικισ μορφισ

5

9

2

3 + 1 + 2

Σφμφωνα με το διπλανό παράδειγμα, ζχω να

προςκζςω αρικμοφσ διαφορετικισ μορφισ. Πριν

υπολογίςω οτιδιποτε μετατρζπω και το μεικτό

και τον φυςικό ςε απλά κλάςματα.

5

9

5

3

2

1 + +

Αφοφ πλζον ζχω όλουσ τουσ αρικμοφσ ςε

κλαςματικι μορφι, μπορϊ να ςυνεχίςω

κανονικά τθν πρόςκεςθ με τον τρόπο που ξζρω.

...........................................

Δε μου φτάνει που δεν καταλαβαίνω

τίποτα, βάλανε και τοφτον τον ανόθτο και

άχρθςτο ςκφλο να με φυλάει ! Ζτςι μοφ

‘ρχεται να τον κάνω με τα κρεμμυδάκια...

Αχ, τι καλόσ κι ευγενικόσ

κυριοφλθσ! Αν κρίνω από τα

καλά του λόγια, νομίηω πωσ

με ςυμπακεί!

• 1 • 3 • 9


Διαχείριση πληροφορίας – Σύνθετα προβλήματα



Πώς λύνουμε σύνθετα προβλήματα;

• Όταν αντιμετωπίζουμε σύνθετα προβλήματα, χρησιμοποιούμε ορισμένες τεχνικές, που μας βοηθούν να τα λύσουμε.


Τέτοιες τεχνικές είναι: I. Βρίσκουμε ενδιάμεσα ερωτήματα που μας

διευκολύνουν

II. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα με απλούστερα (π.χ. το κλάσμα 60/400, το γράφουμε σαν δεκαδικό 0,15 ή ποσοστό 15%), ώστε το μέγεθος ή η μορφή των αριθμών να μη μας δυσκολεύουν

III. Αν αποτύχουμε στη λύση, ψάχνουμε για άλλους διαφορετικούς τρόπους λύσης


Παράδειγμα

Ο Γιώργος έχει μια συλλογή από 720 γραμματόσημα, τοποθετημένα σε 3 άλμπουμ. Στο α΄ έχει βάλει τα 11/24 της συλλογής του, στο β΄ έχει τοποθετήσει τα 4/15 της συλλογής.

Πόσα γραμματόσημα περιέχει κάθε άλμπουμ;

Τι μέρος της συλλογής περιέχεται στο γ΄ άλμπουμ;


Λύση • Για να βρούμε πόσα γραμματόσημα περιέχει

το α΄ άλμπουμ, πρέπει να υπολογίσουμε τα 11/24 του 720

που είναι 720:24= 30 και 11*30=330 γραμματόσημα

• Για να βρούμε πόσα γραμματόσημα έχει το β΄ άλμπουμ, πρέπει να υπολογίσουμε τα 4/15 του 720

που είναι 720:15=48 και 4*48=192 γραμματόσημα

Επομένως τα 2 άλμπουμ μαζί έχουν: 330+192=522 γρ

• Άρα το γ΄ άλμπουμ έχει: 720-522=198 γραμματόσημα


Λύση

• Το γ΄ άλμπουμ, λοιπόν περιέχει τα 198/720

ή απλοποιώντας τα 11/40 ή (198:720=0,275) τα 0,275 ή τα 27,5% της συλλογής γραμματοσήμων



gkatsao

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τάξη: Ε2΄ Όνομα: ………………………

ΜΕΘΟΔΟΣ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

1. Διαβάζω το πρόβλημα τουλάχιστο 2 φορές

2. Το διαβάζω χωρίς αριθμούς

3. Σκέφτομαι ξανά την ερώτηση

Σκέφτομαι τι ξέρω και τι ζητώ

4. Σκέφτομαι τι θα βρω πρώτα και τι στη συνέχεια

(και με ποια πράξη)

5. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις

6. Ελέγχω αν το αποτέλεσμά μου είναι ΛΟΓΙΚΟ.

7. Γράφω την απάντηση

Συμπλήρωσε ό,τι λείπει και λύσε το πρόβλημα:

Ένας κτηνοτρόφος έχει 50 κατσίκες και 12 αγελάδες. Η κάθε

κατσίκα τού δίνει (κατά μέσο όρο) 2 λίτρα γάλα την ημέρα, ενώ η

κάθε αγελάδα 10 λίτρα. Πόσο γάλα παίρνει από τα ζώα του ο

κτηνοτρόφος σε ένα μήνα (30 ημέρες);

1. Διαβάζω το πρόβλημα 2 φορές.

2. Διαβάζω το πρόβλημα χωρίς αριθμούς: « Ένας κτηνοτρόφος έχει μερικές

κατσίκες και μερικές αγελάδες. Η κάθε …………………………………………………….................

…………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………

3. Σκέφτομαι την ερώτηση: «Πόσο γάλα ………………………………………………………… ……………

………………………………………………………………

4. Σκέφτομαι τι ξέρω:

Ξέρω πόσες κατσίκες και πόσες …………………… έχει ο κτηνοτρόφος.

Ξέρω πόσο γάλα δίνει η κάθε ……………………… και πόσο η κάθε ………………………

Σκέφτομαι τι ζητώ:

Ζητώ πόσο ………………………………………………………… ……………………………………… …………………

5. Σκέφτομαι ότι πρώτα θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι κατσίκες κάθε ημέρα

(πολλαπλασιασμός), στη συνέχεια θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι

………………….………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………..

ΧΩ

ΡΙΣ

ΑΡ

ΙΘΜ

ΟΥ

Σ


gkatsao

……………………………………………………………………………………………………… …………..………………………

….………………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις τους:

7. Είναι το αποτέλεσμά μου ΛΟΓΙΚΟ; ΝΑΙ ΟΧΙ

8. Απάντηση:

Σε ένα μήνα ο κτηνοτρόφος παίρνει από τα ζώα του ……… λίτρα γάλα.

Λύσε τώρα ακριβώς (μα ακριβώς) με τον ίδιο τρόπο και γράφοντας παρόμοια, το

επόμενο πρόβλημα στο τετράδιο των Μαθηματικών σου!

Ένας ελαιοπαραγωγός έβγαλε από τα

περιβόλια του 5.450 κιλά ελιές βρώσιμες και

2.142 λίτρα λάδι. Πούλησε τις ελιές προς 2 €

το κιλό και το λάδι προς 3 € το λίτρο. Πόσα

χρήματα εισέπραξε συνολικά;


gkatsao


Γιώργος Κατσαούνος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ:

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

9Ο Δ. Σ. Αθηνών 4-12-09 Τάξη: Ε2΄

1. Είχα τετρακόσια πενήντα ευρώ. Ξόδεψα το ένα πέμπτο αυτών των χρημάτων.

Πόσα χρήματα ξόδεψα;

2. Είχα εξακόσια τριάντα τρία ευρώ. Ξόδεψα τα δύο τρίτα από τα χρήματα αυτά.

Πόσα χρήματα μου έμειναν;

3. Αγόρασα ένα ηλεκτρικό ψυγείο αξίας πεντακοσίων ενενήντα ευρώ. Έδωσα ως

προκαταβολή τα δύο πέμπτα της αξίας του. Πόσα χρήματα μου μένουν ακόμη

να πληρώσω;

4. Αγόρασα μια τηλεόραση αξίας εξακοσίων τριάντα ευρώ. Έδωσα ως

προκαταβολή τα τέσσερα ένατα της αξίας της. Το υπόλοιπο ποσό θα το

αποπληρώσω σε πέντε ισόποσες μηνιαίες δόσεις. Πόσα χρήματα θα πληρώνω

το μήνα;

ΟΔΗΓΙΕΣ: Να μεταφέρεις και να λύσεις το κάθε πρόβλημα στο τετράδιό σου, ως

εξής:

Να γράψεις τα προβλήματα με τους αριθμούς τους με ψηφία και να

υπογραμμίσεις όσες λέξεις είναι σημαντικές για τη λύση του καθενός.

Αρχικά να διαβάσεις το πρόβλημα πολλές φορές, κατόπιν να το διαβάσεις

χωρίς αριθμούς και τέλος να σκεφτείς (χωρίς αριθμούς) τι θα βρεις στην αρχή, τι στη

συνέχεια κλπ.

Να γράψεις τις πράξεις οριζόντια (τις κάθετες να τις κάνεις στο πίσω μέρος

αυτής της σελίδας) και σε κάθε αποτέλεσμα θα γράφεις «τι είναι» ο αριθμός που

βρήκες (π.χ. λίτρα, €).

Στο τέλος να γράψεις μια ολοκληρωμένη απάντηση, χρησιμοποιώντας μέρος

της ερώτησης.

Το πρώτο πρόβλημα μάς δείχνει το δρόμο για να λύσουμε το δεύτερο,

το δεύτερο μάς φανερώνει τον τρόπο για να λύσουμε το τρίτο και το

τρίτο μάς βοηθά στη λύση του τέταρτου!

…Και μόλις λύσουμε και τα τέσσερα, ελάτε να σας δείξω την τυχερή

μου δεκάρα!


Eφη Φοσέ

2

Ο δημοτικό Σχολείο Αγ. Δημητρίου Ημερομηνία: -----------------

Όνομα:----------------------------------------------------------

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 36. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ

1. Να συμπληρώσεις στον παρακάτω πίνακα τα πολ/σια των αριθμών 4,6,8. Στη συνέχεια να

βρεις τα κοινά πολ/σια (Κ.Π.) των αριθμών: α) 4,6 β) 4,8 γ) 6,8 δ) 4,6,8

Π4 4 16 32

Π6 6 18 48

Π8 8 48 64

Κ.Π (4,6) __________ Κ.Π. (4,8) __________ Κ.Π.(6,8) __________ Κ.Π.(4,6,8) ________

2.Να συμπληρώσεις και τον επόμενο πίνακα με τα πολ/σια των αριθμών 2,3,12 και στη

συνέχεια με τη βοήθεια το πίνακα να βρεις τα Κ.Π. των αριθμών: α) 2,3 β) 2,12 γ) 3,12

δ) 2,3,12

Π2

Π3

Π12

Κ.Π.(2,3) : _________ Κ.Π.(2,12) :_________ Κ.Π.(3,12) : _________ Κ.Π.(2,3,12):_______

3.Σε καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να βάλεις Σ ή Λ :

Το 25 είναι πολ/σιο του 5

Το 14 είναι κοινό πολ/σιο των αριθμών 2,7,10

Το 36 είναι κοινό πολ/σιο του 2 και του 6

Το 9 είναι διαιρέτης του 3.

Το 100 είναι πολ/σιο του 8.

Το 12 είναι διαιρέτης του 24

4.Να συμπληρώσεις τα πολ/σια των αριθμών:

Π7 : 7, 14,---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56

Π8 : 8 ,16 ,----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 64

Π9: _________________________________________________________ 72

Π11: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------88

Π20 : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------160


Eφη Φοσέ

Π22 : -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------176


Eφη Φοσέ

2Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:--------------------------

ΟΝΟΜΑ: ----------------------------------------------------------

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 36.(2) ΠΟΛ/ΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ

1) Να συμπληρώσεις τα πολ/σια των αριθμών :

Π14: 14, 28, ______________________________, 112

Π25 : 25, 50, ______________________________, 200

Π30: 30, 60, ______________________________, 240

Π36: 36, 72, _______________________________, 288

Π62: 62, 124, ______________________________, 496

Π71: 71, 142, ________________________________, 568

2) Να βρεις τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών:

Δ15 :__________________________ Δ12: ______________________________________

Δ 20: __________________________ Δ10: ______________________________________

Δ 24 : __________________________ Δ9: ________________________________________

3) Τι τιμές μπορεί να πάρει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν διαιρέτη του;

_____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4) Υπάρχει περίπτωση ο διαιρέτης ενός αριθμού να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό;

_________________________________________________________________

5) Το 16 μπορεί να είναι διαιρέτης του 10; Εξήγησέ το.

__________________________________________________________________

6)Δύο πελαργοί φτιάχνουν τη φωλιά τους χρησιμοποιώντας κλαδιά δέντρων. Ο πρώτος μεταφέρει 2

Κλαδιά κάθε 20 λεπτά, ενώ ο δεύτερος 4 κλαδιά κάθε 20 λεπτά. α) Πόσα κλαδιά κουβάλησε ο κα-

Θένας σε μια ώρα; Β) Πόσα κλαδιά κουβάλησαν και οι δυο μαζί σε μια ώρα;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

___________________________

___________________________

7) Το σχολείο του Άγγελου έχει 168 μαθητές. Μπορούν όλοι οι μαθητές να παραταχθούν σε: δυάδες;

Τριάδες; Τετράδες; Πεντάδες; Να εξηγήσεις πώς σκέφτηκες για να απάντήσεις.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

8) Ένα εργαστήριο ζαχαροπλαστικής θέλει να συσκευάσει 560 σοκολατάκια σε κουτιά. Πόσα κουτιά θα

Χρειασθεί, αν σε κάθε κουτί χωράνε α) 8 σοκολατάκια; β) 14 σοκολατάκια; γ) 20 σοκολατάκια;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Eφη Φοσέ

2Ο

ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΓ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: --------------

ΟΝΟΜΑ: ____________________________________________

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 36 (2). ΠΟΛ/ΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ

1) Να βρείτε όλα τα πολ/σια των παρακάτω αριθμών τα οποία είναι μικρότερα από το

84 :

Π4 Π6 Π7 Π8

Π4 : _____________________________________________________ 84

Π6: _______________________________________________________

Π7 : ______________________________________________________

Π8 :_________________________________________________________

2) Να βρείτε τα πολ/σια τα κοινά του 3 και του 8 που είναι μικρότερα από το 60.

Π3: ________________________________________________

Π8: ________________________________________________

Κ.Π.(3,8) : _____________________________________________

3) Να βρείτε τα Κ.Π. των επόμενων αριθμών:

α) Κ.Π.(2,4,6) μέχρι το 60 β) Κ.Π.(2,3,7) μέχρι το 42 γ) Κ.Π.(4,9,11) μέχρι το 50

δ) Κ.Π.(5,10,15) μέχρι το 90

____________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Κ.Π.(2,4,6) : ______________________

_____________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Κ.Π.(2,3,7): ________________________

________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Κ.Π.(4,9, 11) : _______________________

________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Κ.Π.(5, 10, 15) : _____________________________________


Eφη Φοσέ

4) Να βρείτε τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών:

Δ6 : _______________ Δ11 : ______________ Δ24 : ________________

Δ32 : _____________ Δ40 : _______________ Δ45: ________________

Δ72 : __________________ Δ100: ___________________

5) Να βρείτε τα κοινά πολ/σια των παρακάτω αριθμών:

Κ.Π. (3,5) : __________________ ,90

Κ.Π.(2,8) : ____________________,48

Κ.Π.(4,12) : ____________________, 60

Κ.Π.(2,11) : ______________________,44

6) Να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών:

α ) (12 ,16 και 24) β) ( 18, 30 και 12) γ) ( 10, 15, και 20)

Α) Δ12: ______________ Δ16:___________ Δ24:__________________

Κ.Δ.(12, 16, 24) : __________________________

Β)Δ18: ____________ Δ30: ____________ Δ12: __________________

Κ.Δ.(18, 30 12) : ________________________

Γ) Δ10 : ___________ Δ15 :______________ Δ20 :_________________

Κ.Δ.( 10, 15, 20) : ____________________________

7) Σε ένα εργοστάσιο εμφιάλωσαν τη Δευτέρα 16.608 μπουκάλια νερό και

την Τρίτη 14.832 μπουκάλια. Τα μπουκάλια συσκευάστηκαν σε εξάδες.

Πόσες εξάδες συσκευάστηκαν και τις δυο μέρες;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

________________________

8)Μια μοκέτα έχει διαστάσεις 230 εκ. και 73 δεκ. Αν το τ.μ. κοστίζει 10€, πόσο κοστίζει η μοκέτα;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

___________________________

9) Τα5

2των χρημάτων του Πάρη είναι 60€. Πόσα χρήματα έχει ο Πάρης;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


2ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

ΑΓ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:-----------

ΟΝΟΜΑ:______________________________________

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 2, ΤΟΥ 5

ΚΑΙ ΤΟΥ 10

1)Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις βάλε Σ για το σωστό ή Λ για το λάθος:

Το 132 διαιρείται ακριβώς με το 2

Το 5 είναι διαιρέτης του 98.

Αν διαιρέσουμε έναν αριθμό με το 5, το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0,1, 2, 3 ή 4.

Ο αμέσως μεγαλύτερος αριθμός από το 1.264 που διαιρείται ακριβώς με το 10

είναι το 1.265.

Το 46 διαιρείται ακριβώς με τον αριθμό 2.

Αν διαιρέσουμε έναν αριθμό με το 2,το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0, 1.

2) Χωρίς να κάνεις καμιά πράξη να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 18, 27, 42,60, 86 διαιρούνται

ακριβώς α) με το 2 β) με το 5 γ) με το 10

με το 2:------------------------ με το 5:------------------- με το 10:-------------------

3) Χωρίς να κάνεις καμία πράξη να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 6.275, 9.580, 72.148,

451.672, 1.024.536, διαιρούνται ακριβώς: με το 2, με το 5, και με το 10.

Με το 2 : ------------------------------------ με το 5: --------------------------------

Με το 10: -----------------------------------------

4) Να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 19, 20, 5, 87, 10.521διαιρούνται ακριβώς και συγχρόνως

με το 2, το 5 και το 10.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 10, 15, 350, 9.816, 467.915, 2.000.000 διαιρούνται ακρι-

βώς : α) με το 2 β) με το 5 γ) με το 10 δ) με το 2 και με το 5 ε) με το 2 και το 10 στ) με το

2,το 5 και το 10:

α)με το 2:--------------------------- β) με το 5:----------------------- γ)με το 10:-----------------

δ) με το 2 και το 5:----------------------- ε)με το 2 και το 10:-----------------------------

στ) με το 2, το 5 και το 10: ------------------------------------------

6)Να συμπληρώσεις το ψηφίο που λείπει, έτσι ώστε ο αριθμός που θα δημιουργηθεί να διαιρεί-

ται ακριβώς

με το 2: 4___, 15___, 38___ , 1.42___ , 30.67___ , 198.53___

με το5: 6__, 98___ , 54____ , 7.61____ , 85.04____ , 246.71____

με το 10: 2___ , 47____ , 19___ , 2.10___ , 16.27___ , 500.00____

7) Να βρεις τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο αριθμό που διαιρείται ακριβώς:

Με το 2: ------ , 12, ------- -------, 278, ------- ----------,3.984, ----------

Με το 5: --------, 25, ------- ---------, 480, --------- ----------, 8.315, ----------- Eφη Φοσέ


Eφη Φοσέ

2ο δημοτικό σχολείο Αγ. Δημητρίου Ημερομηνία:--------------------

Όνομα : ____________________________________________

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 2,ΤΟΥ 5 ΚΑΙ ΤΟΥ 10

1)Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ ή Λ:

Η Μαρία μέτρησε τις κούκλες της δυο δυο και βρήκε ότι είναι 9. Ο Άρης μέτρησε πέντε – πέντε όλους τους ποδοσφαιριστές των

οποίων γνωρίζει τα ονόματα και βρήκε ότι είναι 36. Η Νεφέλη μέτρησε δυο δυο τους τόμους που έχει η εγκυκλοπαίδειά

της και βρήκε ότι είναι 10.

2)Να συμπληρώσεις τις προτάσεις :

Αν διαιρέσω έναν αριθμό με το 2, το υπόλοιπο θα είναι: -------- ή ----------

Αν διαιρέσω έναν αριθμό με το 5, το υπόλοιπο θα είναι: ------- ή ----- ή ------ ή ------- ή ------

Αν διαιρέσω έναν αριθμό με το 10, το υπόλοιπο θα είναι: ---- ή ----- ή ----- ή ---- ή ----- ή -----

------ ή ------- ή ------ ή -------

3) Η Ιωάννα θέλει να βάλει τις φωτογραφίες από τις διακοπές της σε ένα άλμπουμ. Να βρεις

πόσες φωτογραφίες έχει συνολικά, αν ξέρεις ότι: α) έβγαλε περισσότερες από 47 και

λιγότερες από 59 φωτογραφίες. β) ο αριθμός των φωτογραφιών διαιρείται ακριβώς και

συγχρόνως με το 2, το 5 και το 10.

Λύση

Απάντηση

__________________

4) Σε μια κατασκήνωση φιλοξενήθηκαν το περασμένο καλοκαίρι περισσότερα από 121 παιδιά

και λιγότερα από 129. Να βρεις τον αριθμό των παιδιών , αν γνωρίζεις ότι είναι ακέραιο

πολ/σιο του 5.

Λύση

Απάντηση

______________________________________

5) Να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 70, 85, 264, 50, 328, 126, 730 είναι ακέραια πολ/σια :

α) του 2: ________________________ β) του 5: __________________________

α) του 10: _______________________

6)Δύο αριθμοί έχουν γινόμενο 18.Το πηλίκο τους είναι 2 και το άθροισμά τους 9. Να βρεις

τους αριθμούς αυτούς

Λύση

Απάντηση

____________________________


2o δημοτικό σχολείο Αγ. Δημητρίου Ημερομηνία: _______________

Όνομα: __________________________________________________

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ , Ε.Κ.Π. 1) Να συμπληρώσεις στον πίνακα τα πολ/σια των αριθμών 3, 5 και 6. Στη συνέχεια με βάση τον

πίνακα να βρεις : α) Ε.Κ.Π.(3,5) β) Ε.Κ.Π.(3,6) γ) Ε.Κ.Π.(3,5,6)

Π3

Π5

Π6

Ε.Κ.Π..(3,5) : -----------------------------

Ε.Κ.Π.(3,6) : ----------------------------

Ε.Κ.Π.(3,5,6) : -----------------------------

2) Να συμπληρώσεις στον πίνακα τα πολ/σια των αριθμών 8,9 και 12. Στη συνέχεια να βρεις

Το Ε.Κ.Π (8,9) το Ε.Κ.Π.(9,12) και το Ε.Κ.Π.(8,9,12)

Π8

Π9

Π12

Ε.Κ.Π.(8,9): -----------------------------------

Ε.Κ.Π.(9,12): -----------------------------------

Ε.Κ.Π.(8,9,12):---------------------------------------

3)Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ ή Λ:

Το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών είναι το μεγαλύτερο κοινό πολ/σιό τους

Ε.Κ.Π.(1,9)=9 .

Μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα κοινά πολ/σια δύο ή περισσότερων αριθμών.

Ε.Κ.Π.(2,3,6)= 6

Κ.Π. (4,8) = 8, 16, 24…………

Ε.Κ.Π.(5,10) = 10,20

4)Να βρεις το Ε.Κ.Π. των παρακάτω αριθμών:

Ε.Κ.Π.(2,3)= --------------- Ε.Κ.Π.(4,5) =--------- Ε.Κ.Π.(2,4)=---------

Ε.Κ.Π.(3,4) =-------------- Ε.Κ.Π.(3,6)=---------- Ε.Κ.Π.(3,8)=---------

Ε.Κ.Π.(5,6)= ------------- Ε.Κ.Π.(2,7)= ---------- Ε.Κ.Π.(5,9) =---------

5) Να βρεις το Ε.Κ.Π. των παρακάτω αριθμών:

Ε.Κ.Π.(3,4,10)=------------- Ε.Κ.Π.(4,11)=----------- Ε.Κ.Π.(5,10,15)=----------

Ε.Κ.Π.(2,4,6)=------------- Ε.Κ.Π.(2,3,5)=---------- Ε.Κ.Π.(4,9)=-------------

Ε.Κ.Π.(5,7,10)=------------ Ε.Κ.Π.(6,7)=------------ Ε.Κ.Π.(8,12)=------------

Eφη Φοσέ


2o δημοτικό σχολείο Αγ. Δημητρίου ΟΝΟΜΑ:-----------------------------------------

Ημερομηνία:-------------------------------

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ Ε.Κ.Π.

1) Να βρεις το Ε.Κ.Π. παρακάτω αριθμών:

Ε.Κ.Π.(6,14)=--------------- Ε.Κ.Π.(4,5,10)=----------------

Ε.Κ.Π.(3,7)=----------------- Ε.Κ.Π.(2,6,8) =-----------------

Ε.Κ.Π.(4,50) =--------------- Ε.Κ.Π.(5,7,35) = -----------------

Ε.Κ.Π.(2,125) = --------------- Ε.Κ.Π.(2,18) = ---------------- Ε.Κ.Π.(10,20,30)=-

---------------

2)Η δασκάλα ζήτησε από τα παιδιά να υπολογίσουν το Ε.Κ.Π.(5,10). Ο Θοδωρής

βρήκε ότι είναι το 10, ενώ ο Νίκος βρήκε ότι είναι το 15. Μπορούν και τα δυο παιδιά να

έχουν δίκιο; Ποιο είναι τελικά το Ε.Κ.Π.;

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) Η δασκάλα ρώτησε τους μαθητές της πού θα ήθελαν να πάνε εκπαιδευτική εκδρομή.

Ο αριθμός των παιδιών που ήθελαν να επισκεφτούν την Ακρόπολη ήταν ίσος με το

Ε.Κ.Π.(2,3).

Ο αριθμός των παιδιών που ήθελαν να επισκεφτούν το Πλανητάριο ήταν ίσος με το

Ε.Κ.Π.(3,4).

Πόσα παιδιά ήθελαν να επισκεφτούν την Ακρόπολη και πόσα το Πλανητάριο;

Λύση

Απάντηση

_________________________

4)Ο Κώστας μετράει τα CD που έχει στη συλλογή του. Αν τα μετρήσει ανά 5 ή ανά 6 δεν

περισσεύει κανένα. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός CD που μπορεί να έχει στη συλλογή

του;

Λύση

Απάντηση

________________________________

5) Ο παππούς του Μενέλαου θέλει να βάλει το λάδι που έχει σε δοχεία. Αν αδειάσει όλο το

λάδι σε δοχεία των 5, 10 ή 15 κιλών δεν περισσεύει τίποτα. α) Πόσα κιλά λάδι μπορεί να

έχει; β) Αν το λάδι που έχει είναι περισσότερο από 25 κιλά και λιγότερο από 45 κιλά, πό-

σα κιλά λάδι έχει;

Λύση

Απάντηση

Eφη Φοσέ __________________________


2o δημοτικό σχολείο Αγ. Δημητρίου Όνομα:-----------------------------

Ημερομηνία : ------------------------------------------------

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

1) Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ για το σωστό ή Λ για το λάθος:

Μπορούμε να κάνουμε ομώνυμα δύο ή περισσότερα κλάσματα μόνο με τη βοήθεια του Ε.Κ.Π.

των παρονομαστών.

10

7

4

2

6

5

100

460

10

1

2

9

6

8

2

1

8

9

13

3

2

3

2

1ή

Αν χρησιμοποιήσουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών για να κάνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα ομώ-

νυμα, θα προκύψουν τα ομώνυμα κλάσματα με τους πιο μικρούς όρους.

2) Να υπολογίσεις τα αποτελέσματα των πράξεων:

3

10

6

5

3

6

4

3

24

7

12

1

8

1

2

3

5

9

20

10

4

10

25

14

8

1

4

1

3

10

7

8

100

45

10

9

18

15

9

2

11

4

5

7

2

1

10

5

3) Να υπολογίσεις και αυτά τα αποτελέσματα των πράξεων:

5

1

3

1

7

4

2

12

250

180

500

410

6

11

8

28

9

2

4

3

32

28

16

24

4

1

5

3

2

1

8

10

6

5

12

19

5

1

3

1

3

2

18

17

10

1

9

1

12

5

9

5

18

7

54

24

5

1

6

2

42

6

21

15

7

8

3

8

75

100

5

16

4

3

12

10

7

1

4

1

25

4

100

50

16

9

64

48

3

2

2

3

18

2

9

1

Eφη Φοσέ


ΦΡΥΔΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Κλάσματα – Μετατροπές – Διαιρέτες – Πολλαπλάσια - Διαιρετότητα – Ε.Κ.Π.

Γραπτή δοκιμασία τ……. μαθητ……. ………………………………………………

1. Να περιγράψεις τη χρωματισμένη περιοχή κάθε τετραγώνου ως κλασματική μονά-

δα:

2. Να συμπληρώσεις με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε να γίνουν ισοδύναμα τα παρα-

κάτω κλάσματα:

9

2 = 18

, 5

4 = 20

, 7

= 27

21 ,

8 = 40

15 ,

5

2 = 8

= 40

3. Να δημιουργήσεις μια σειρά ισοδύναμων κλασμάτων:

5

4

4. Να δημιουργήσεις ισοδύναμα κλάσματα με απλοποίηση:

18

12 =

24

18 =

36

27 =

60

45 =

72

18=

5. Να μετατρέψεις τα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς:

5

4 =

6

3 =

5

13 =

4

16 =

50

1 =

6. Να μετατρέψεις τα κλάσματα σε μεικτούς αριθμούς:

5

27 =

8

39 =

6

52 =

9

75 =

7

64 =

7. Να μετατρέψεις τους μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα:

55

2 = 4

8

7 = 8

6

4 = 7

9

2 = 9

7

1 =

8. Να μετατρέψεις τους αριθμούς 4, 6, 8 σε κλάσματα με παρονομαστές 2,3,4,5,6,7,8:

4 =

6 =

8 =



9. Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 4, 6, 8 μέχρι το 60 :

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

10. Να βρεις το Ε.Κ.Π. των αριθμών 4, 6, 8 με:

πολλαπλασιασμό του μεγαλύτερου ανάλυση πρώτων παραγόντων

11. Να βρεις τους διαιρέτες των αριθμών 17, 24, 30:

Δ17 = ……………………………. Δ24 = ……………………………. Δ30= …………………………….

12. Απαντώ συμπληρώνοντας κατάλληλα:

Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, όταν ……………………………………………………. …………………………………………………….



Ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 9, όταν …………………………………………………….

……………………………………………… Ι. Φ.

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………


… ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ………… ΤΑΞΗ Ε΄

Ονοματεπώνυμο: …………………..……………… Ημερομηνία: ………………

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΗΝ 6η ΕΝΟΤΗΤΑ (Κεφάλαια: 36 – 40)

1 . Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν η

πρόταση είναι λάθος.

α) Το 54 είναι κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 6. ...............

β) Το Ε.Κ.Π. του 2 του 3 και του 9 είναι το 18. ................

γ) Το 2 και το 5 είναι διαιρέτες του 25. .................

δ) Το 80 διαιρείται με το 2, το 5 και το 10. .................

ε) 3

5 + 4

7 = 7

12 ..............

στ) 9

10 - 3

5 = 6

5 ............

2. Να βρείτε με το σύντομο τρόπο το Ε.Κ.Π. :

α) Ε.Κ.Π. (2, 3)= ....... β)Ε.Κ.Π. (3, 4, 6)= ........... γ) Ε.Κ.Π. (2, 5, 10)= ..............

δ) Ε.Κ.Π. (2, 3, 6, 9) = .......... ε) Ε.Κ.Π. (5, 10, 15) = ......... στ) Ε.Κ.Π.(20, 30)= ...........

3. Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που διαιρείται

κάθε φορά ακριβώς:


.......... 258 ............ .......... 560 .......... ......... 1560 ..........

..........1261 .............. .......... 853 ......... ..........2565 ............

4. Χωρίς να κάνεις καμία πράξη να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 68, 70, 150, 365, 1280

125.950 διαιρούνται ακριβώς με:

το 2 : ...........................................................................................................

το 5 : ...........................................................................................................

το 10: ...........................................................................................................

Το 2, το 5 και το 10: .....................................................................................

5. Χωρίς να κάνεις τις διαιρέσεις να βάλεις √ σε όσες διαιρέσεις έχουν:

υπόλοιπο 0 650 : 5 320 : 2 645 : 10 85 : 5

υπόλοιπο 1 281 : 2 656 : 2 846 : 5 371 : 5

υπόλοιπο 4 489 : 5 784 : 5 254 : 10 31 : 2


6. Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις:

α) 3

5 + 2

3 = ...............................................................................................

β) 2 3

4 - 3

5 = ..........................................................................................

7. Η μητέρα του Κώστα αγόρασε στην λαϊκή αγορά 23

5 κιλά μήλα, 11

2 κιλά αχλάδια και 15

10

κιλά ακτινίδια. Πόσα κιλά φρούτα αγόρασε συνολικά; Λύση

Απάντηση: ..................................................................................................................................

8. Ο παππούς του Θανάση έχει ένα περιβόλι με λεμονιές, πορτοκαλιές και μανταρινιές. Οι

λεμονιές είναι το 1

6 των δέντρων, οι πορτοκαλιές τα4

9 και τα υπόλοιπα είναι οι μανταρινιές.

α) Τι μέρος των δέντρων είναι οι λεμονιές και οι πορτοκαλιές; β) Τι μέρος των δέντρων είναι

οι μανταρινιές; Λύση

Απάντηση: ..........................................................................................................................................

9. Κάνε τις πράξεις:

6

5 +

4

1 + 3

1 =

2

1 +

5

2 + 3

1 =

3

2 - 12

4 =

6

3+ 2

1+ 12

5=

5

2

4

3


3

26

6

58

5

13

2

12

10. Σε ένα περιβόλι υπάρχουν τα εξής δέντρα : πορτοκαλιές που είναι το 4

1 των δέντρων,

λεμονιές που είναι τα 8

3 των δέντρων και νεραντζιές που είναι το 5

1 , ενώ τα υπόλοιπα δέντρα

ανήκουν σε άλλα είδη. Περισσότερες στο περιβόλι είναι οι πορτοκαλιές, οι λεμονιές ή οι νεραντζιές ; Τι μέρος του συνόλου αποτελούν τα άλλα είδη δέντρων;

Λύση

Απάντηση: ..................................................................................................................................

11. Μέσα σε ένα άλμπουμ έχουμε συγκεντρώσει διάφορα αυτοκόλλητα. Τα 15

4 δείχνουν

ποδοσφαιριστές, τα 5

2 αυτοκίνητα, το 4

1 ηθοποιούς ενώ τα υπόλοιπα έχουν άλλα θέματα.

Περισσότερες είναι τα αυτοκόλλητα που δείχνουν ποδοσφαιριστές, αυτοκίνητα ή ηθοποιούς;

Τι μέρος του συνόλου αποτελούν τα αυτοκόλλητα με τα άλλα θέματα; Λύση

Απάντηση: ..................................................................................................................................

Πηγή: http://users.sch.gr/xariskuts


Θανάσης Πρέντζας

Κριτήριο Αξιολόγησης

Τάξη: Ε΄

Ενότητα: 6η

Ονοματεπώνυμο:

Ημερομηνία:

1. Ποιο ψηφίο ταιριάζει στο τέλος των αριθμών ώστε να διαιρούνται:

α) Με το 2 : 31.... 64.... 53.... 345.... 297....

β) Με το 5 : 42.... 67.... 31.... 562.... 731....

γ) Με το 3 : 19.... 45.... 30.... 773.... 678....

2. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών:

α) 4, 9, 12 β) 6, 9, 10, 15

3. Να βρεις τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών (5, 9, 12, 20, 36):

Δ5 =

.................................................................................................................

Δ9 =

.................................................................................................................

Δ12 =

.................................................................................................................

Δ20 =

.................................................................................................................

Δ36 =

.................................................................................................................



4. Σωστό ( Σ ) – Λάθος ( Λ )

( ) Το 3 διαιρείται μόνο από το 3 και το 1 .

( ) Το 72 είναι κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 9.

( ) Το Ε.Κ.Π. του 10 και του 7 είναι το 70.

( ) Το 5 είναι διαιρέτης του 4.

( ) + =

( ) Για να διαιρείται ένας αριθμός με το 5 και το 10 πρέπει το ψηφίο των μονάδων

να είναι 0.

( ) Για να διαιρείται ένας αριθμός με το 9 πρέπει το ψηφίο των μονάδων να είναι

πάντα 9.

5. Να γίνουν οι πράξεις:

1 + =

2 - =

6 – 2 =



4,5 – 2 =

6. Πρόβλημα

Ο Αντρέας έχει τόσα αυτοκινητάκια που, αν τα βάλει ανά 4 ή 6 ή 9, δεν περισσεύει

κανένα. Πόσα το λιγότερο, αυτοκινητάκια έχει ο Αντρέας;

Λύση

Απάντηση:

7. Πρόβλημα

Η γιαγιά αγόρασε από τη λαϊκή αγορά 20 κιλά φρούτα. Από αυτά τα 9 κ. ήταν

πορτοκάλια, τα 6 κ. ήταν μήλα και τα υπόλοιπα μανταρίνια. Πόσα κιλά ήταν τα

μανταρίνια;

Λύση

Απάντηση:

8. Πρόβλημα



Ένας αγρότης όργωσε σε μια μέρα τα του χωραφιού του και την άλλη μέρα

όργωσε τα . Τι μέρος του χωραφιού πρέπει να οργώσει ακόμη ο αγρότης;

Λύση

Απάντηση:


σελίδα 1 90ο Δ.Σ. Αθηνών Αναγνώστου Χρήστος 6/5/2008

ΤΑΞΗ Ε΄ Ονοματεπώνυμο: …………………………………………

6o Κριτήριο αξιολόγησης

Μάθημα: Μαθηματικά Ενότητα: 6η

Κεφάλαια: 36 – 40

1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν η

πρόταση είναι λάθος.





ε) 3

5 + 4

7 = 7

12 .............. στ) 9

10 - 3

5 = 6

5 ............


α) Ε.Κ.Π. (2, 3)= ....... β)Ε.Κ.Π. (3, 4, 6)= ........... γ) Ε.Κ.Π. (2, 5, 10)= ..............

δ) Ε.Κ.Π. (2, 3, 6, 9) = .......... ε) Ε.Κ.Π. (5, 10, 15) = ......... στ) Ε.Κ.Π.(20, 30)= ...........

3) Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που διαιρείται

κάθε φορά ακριβώς:


.......... 258 ............ .......... 560 .......... ......... 1560 ..........

..........1261 .............. .......... 853 ......... ..........2565 ............

4. Χωρίς να κάνεις καμία πράξη να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 68, 70, 150, 365, 1280

125.950 διαιρούνται ακριβώς με:

το 2 : ...........................................................................................................

το 5 : ...........................................................................................................

το 10: ...........................................................................................................

Το 2, το 5 και το 10: .....................................................................................


υπόλοιπο 0 650 : 5 320 : 2 645 : 10 85 : 5

υπόλοιπο 1 281 : 2 656 : 2 846 : 5 371 : 5

υπόλοιπο 4 489 : 5 784 : 5 254 : 10 31 : 2




α) 3

5 + 2

3 = ...............................................................................................

β) 2 3

4 - 3

5 = ..........................................................................................

7. Στην εθνική οδό Αθηνών - Κορίνθου, που έχει μήκος 80 χμ., σε κάθε 6 χμ. υπάρχει χώρος

στάθμευσης, και σε κάθε 4 χμ. τηλεφωνικός θάλαμος. α) Στα πόσα χμ. θα συναντήσουμε πρώτη

φορά και συγχρόνως χώρο στάθμευσης και τηλεφωνικό θάλαμο; β) Πόσες φορές στα 80 χμ. θα

υπάρχουν συγχρόνως και τα δύο;

Λύση

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

........................................................................................................................ ..............................

Απάντηση:

......................................................................................................................................................

..................................................................................................................................

8. Η μητέρα του Κώστα αγόρασε στην λαϊκή αγορά 23

5 κιλά μήλα, 11

2 κιλά αχλάδια και 15

10

κιλά ακτινίδια. Πόσα κιλά φρούτα αγόρασε συνολικά;

Λύση

......................................................................................................................................................

................................................................................................................................ ......................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

Απάντηση: ..................................................................................................................................

9. Ο παππούς του Θανάση έχει ένα περιβόλι με λεμονιές, πορτοκαλιές και μανταρινιές. Οι

λεμονιές είναι το 1

6 των δέντρων, οι πορτοκαλιές τα4

9 και τα υπόλοιπα είναι οι μανταρινιές.

α) Τι μέρος των δέντρων είναι οι λεμονιές και οι πορτοκαλιές; β) Τι μέρος των δέντρων είναι οι

μανταρινιές; Λύση

................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................



Απάντηση: ..........................................................................................................................................

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!!!!!!!



ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Όταν τελειώνει μια πράξη και έχουμε καταχρηστικό κλάσμα, βγάζουμε

τις ακέραιες μονάδες διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή του.

Επίσης δεν ξεχνώ την ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 – 5 – 6: Πράξεις κλασμάτων

Γραπτή δοκιμασία τ……. μαθητ……. ………………………………………………

1. Λύνω τις προσθέσεις:

9

3 +

9

2 +

9

1 =

4

3 +

6

2 +

8

1 =

39

2 +

9

1 =

9

2 + 4

6

1 =

8 4

2 +

5

4 + 0, 5 =

2.Λύνω τις αφαιρέσεις:

24

15 -

24

9 =

9

8 -

3

1 =

7 - 45

3 =

8 4

2 - 3

6

4 =

5

3 - 0,12 =



Χώρος για υπολογισμούς

3.Λύνω τους πολλαπλασιασμούς:

9

2

3

1 =

4 37

3 =

34

2

2

1 =

54

2 0, 5 =

4

2 3

3

2 0,3 =

4. Λύνω τις διαιρέσεις:

9

8 :

3

1 =

4 : 25

2 =

0,4 : 8 4

2 =

6 4

2 : 3 =

25

2 :

4

3 =

Ι. Φ.


Διαμαντίδου Χρυσάνθη

Ε΄ Τάξη Μαθηματικά

6η Ενότητα

1. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς

832, 252, 6520, 3275, 1.232.370, 455

διαιρούνται ακριβώς:

α) με το 2: ______________________________________________

β) με το 5: _______________________________________________

γ) με το 10: ______________________________________________

2. Με τα ψηφία 0, 2, 4, 7, 8 να φτιάξετε έναν πενταψήφιο αριθμό

που να διαιρείται ακριβώς:

α) με το 2: __________________________

β) με το 5: __________________________

3. Η Γ΄ τάξη ενός σχολείου έχει 43 παιδιά. Πόσα παιδιά θα

περισσέψουν, αν η γυμνάστρια τους παρατάξει:

α)σε δυάδες …………………………………………………………...

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

β) σε πεντάδες ………………………………………………………...

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

γ) σε δεκάδες ………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

4. Τα παιδιά της Ε΄ τάξης μπορούν να παραταχθούν κατά

τετράδες, εξάδες ή οχτάδες, χωρίς να περισσεύει κανένα. Πόσα

παιδιά το λιγότερο έχει η τάξη;

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________


5. Να συγκρίνετε και κατόπιν να προσθέσετε τα παρακάτω

κλάσματα:

2/3, 3/4, 4/5

______________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

6. Η Άννα συλλέγει γραμματόσημα. Μέχρι τώρα έχει

συγκεντρώσει περισσότερα από 110 και λιγότερα από 120

γραμματόσημα. Αν τα τοποθετήσει σε άλμπουμ οκτώ-οκτώ,

περισσεύουν 5. Αν τα τοποθετήσει πέντε-πέντε, περισσεύουν 2.

Πόσα γραμματόσημα έχει συλλέξει η Άννα;

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

7. Από τα παιδιά μιας κατασκήνωσης τα 3/8 προτιμούν το

μπάσκετ, το 1/4 το κολύμπι, το 1/5 το ποδόσφαιρο και τα

υπόλοιπα το βόλεϊ. Τι μέρος των παιδιών προτιμούν το βόλεϊ;

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________


Κριτήριο αξιολόγησης 6ης ενότητας

LabSchool.eu Σελίδα 1

6η Ενότητα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

1. Εξετάζω σύμφωνα με τα κριτήρια διαιρετότητας τις παρακάτω

διαιρέσεις και σημειώνω ΝΑΙ ή ΟΧΙ σε κάθε στήλη.

Αριθμοί Διαιρούνται ακριβώς


495

8.406 2.000.410

2. Εκτελώ τις παρακάτω πράξεις.

3. Λύνω τα προβλήματα.

Α) Το σχολειό μας έχει μια μαθητική χορωδία. Σ’ αυτήν οι μαθητές

μας μπορούν να παραταχθούν είτε σε 4-άδες είτε σε 6-άδες, χωρίς να

περισσέψει κανένα παιδί. Πόσα παιδιά μπορεί να έχει η χορωδία;

Όνομα: _______________________ Επώνυμο: _____________________________ Φ 25

Υπογραφή Γονέα: ….…….......

Ημερομηνία: …. / …. / 201…

Επίδοση: 100

5

3

4

2

2

1

4

12

100

20

100

20

100

20



Σελίδα 2 LabSchool.eu

Απάντηση: ………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………..

Β) Ποια είναι η μικρότερη ποσότητα κρασιού σε κιλά που

μπορούμε να συσκευάσουμε ακριβώς σε φιάλες των 5, 10 ή 12 κιλών;

Απάντηση: ………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………..

Γ) Τρεις ποδηλάτες έκαναν αγώνα δρόμου. Ο πρώτος διάνυσε

την απόσταση σε της ώρας, ο δεύτερος σε και ο τρίτος σε . Ποιος

τερμάτισε τελευταίος;

Απάντηση: ………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………..

Καλή επιτυχία!

4

3

5

4

6

5

100

20

100

20



LabSchool.eu Σελίδα 1

6η Ενότητα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

1. Εξετάζω σύμφωνα με τα κριτήρια διαιρετότητας τις παρακάτω

διαιρέσεις και σημειώνω ΝΑΙ ή ΟΧΙ σε κάθε στήλη.

Αριθμοί Διαιρούνται ακριβώς


495 ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ

8.406 ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ 2.000.410 ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ

2. Εκτελώ τις παρακάτω πράξεις.

3. Λύνω τα προβλήματα.

Α) Το σχολειό μας έχει μια μαθητική χορωδία. Σ’ αυτήν οι μαθητές

μας μπορούν να παραταχθούν είτε σε 4-άδες είτε σε 6-άδες, χωρίς να

περισσέψει κανένα παιδί. Πόσα παιδιά μπορεί να έχει η χορωδία;

Όνομα: ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Επώνυμο: ΚΑΝΑΤΑΣ Φ 25

Υπογραφή Γονέα: ….…….......

Ημερομηνία: .28 / 04 / 2014

Επίδοση: 100

100

5

3

4

2

2

1

4

12

Ε.Κ.Π. (4,5) = 20 / 20:4=5 / 20:5=4 Ε.Κ.Π. (4,2) = 4 / 4:4=1 / 4:2=2

10

11

20

21

20

22

20

12

20

10

45

43

54

52

5

3

4

2

X

X

X

X

4

31

4

7

4

2

4

9

22

21

14

19

2

1

4

9

2

1

4

12

X

X

X

X

100

20

100

20

100

20

Κ.Π.(4,6) = 12, 24, 36

Π(4) = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,…

Π(6) = 6, 12, 18, 24, 30, 36,…

ΑΡΙΣΤΑ

10



Σελίδα 2 LabSchool.eu

Απάντηση: Οι μαθητές της χορωδίας μπορεί να ήταν 12 ή 24 ή 36…

Μπορούσαμε να βρούμε κι άλλα πολλαπλάσια που είναι μεγαλύτερα….

Β) Ποια είναι η μικρότερη ποσότητα κρασιού σε κιλά που

μπορούμε να συσκευάσουμε ακριβώς σε φιάλες των 5, 10 ή 12 κιλών;

Απάντηση: Η μικρότερη ποσότητα κρασιού που μπορούμε να

συσκευάσουμε είναι 60 κιλά.

Γ) Τρεις ποδηλάτες έκαναν αγώνα δρόμου. Ο πρώτος διάνυσε

την απόσταση σε της ώρας, ο δεύτερος σε και ο τρίτος σε . Ποιος

τερμάτισε τελευταίος;

Απάντηση: Ο τελευταίος που τερμάτισε τον αγώνα είναι εκείνος (γ) που

χρειάστηκε τον περισσότερο χρόνο για να το κάνει ή .


4

3

5

4

6

5

60:4=15 60:5=12 60:6=10

60

45

44

153

x

x

60

48

125

124

x

x

60

50

106

105

x

x

100

20

100

20

Ε.Κ.Π.(5,10, 12) = 60

5 10 12 |2 5 5 6 |2 5 5 3 |3 5 5 1 |5 1 1 1 |2Χ2Χ3Χ5=60

Ε.Κ.Π.(4,5, 6) = 60

4 5 6 |2 2 5 3 |2 1 5 3 |3 1 5 1 |5 1 1 1 |2Χ2Χ3Χ5=60

6

5

60

50


Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων- ασκήσεις...


1. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα.

(α) 2 3

7 7 (β)

3 2

5 5 (γ)

3 2 1

4 4 4

(δ) 4 5 6

3 3 3 (ε)

3 9 8

25 25 25 (στ)

12 7 9

15 15 15

2. Να υπολογιστούν οι διαφορές.

(α) 4 2

5 5 (β)

7 2

9 9 (γ)

8 8

9 9

(δ) 5 2

7 7 (ε)

7 3

10 10 (στ)

4 3

11 11


(α) 7 1

8 2 (β)

3 2

4 3 (γ)

4 5

5 6

(δ) 2 3

4 5 (ε)

1 3

10 5 (στ)

2 5

7 14

4. Να υπολογιστούν οι διαφορές.

(α) 5 1

6 2 (β)

3 2

4 3 (γ)

1 1

2 6

(δ) 5 3

9 8 (ε)

5 4

12 15


(α) 2 5 7

3 6 12 (β)

3 2 1

8 5 4 (γ)

2 1 5

7 2 14

(δ) 3 7 2

8 12 4 (ε)

5 3 5

20 15 12 (στ)

5 3 4

8 4 6


Ενότητα 6 14-04-2008 Κεφάλαια 36-40

Ευσταθοπούλου Ερασμία

1. Ποιοι από τους αριθμούς 18, 35, 70, 102, 200, 605, 804, 1.225, 5.020,

6.115.

διαιρούνται ακριβώς με το

2:________________________________________


5:________________________________________


10:_______________________________________

διαιρούνται ακριβώς και με το 2, το 5 και το

10:________________________

2. Ποιοι από τους αριθμούς 18, 33, 63, 108, 213, 312, 333, 534, 621, 1.002.


3:________________________________________


6:________________________________________


9:________________________________________

διαιρούνται ακριβώς και με το 3, το 6 και το

9:_________________________

3. Γράψε τι υπόλοιπο έχουν οι παρακάτω διαιρέσεις:

73:5, υ=__

56:10, υ=__

42:6, υ=__

61:2, υ=__

52:3, υ=__

119:9, υ=__

4. Κάνε τις πράξεις: 6

5 +

4

1 +

3

1 =

2

1 +

5

2 + 3

1 =



ΑΣΚΗΣΕΙΣ…………. 1. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα.

(α) 3

25

(β) 3 1

54 4 (γ)

1 53

2 6 (δ)

2 43

3 5 (ε)

2 33 6

5 4 (στ)

3 1 12

8 3 6


(α) 3 1

2 35 4 (β)

14 8

3 (γ)

2 13 4

5 2 (δ)

1 1 22 3

2 4 5


(α) 3 1 2

5 320 4 5

(β) 1 1 3

2 5 44 12 8 (γ)

2 5 14 2 4

3 6 2

4. Ο πατέρας της Χριστίνας αγόρασε 4

5 του κιλού φράουλες,

12

2 κιλά μήλα και 3 κιλά

αχλάδια. Να υπολογιστεί πόσα κιλά φρούτα αγόρασε συνολικά.

5. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

(α) 5 3 9

8 4 10 (β)

2 73

5 8 (γ)

1 3 23

5 4 3 (δ)

3 1 52 5

4 3 12

(ε) 2 1 1

4 5 13 4 2 (στ)

3 42 3

4 5 (ζ)

1 2 33 2 4

4 5 8


Vasiliki

Δευτέρα 15 Μαρτίου 2010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ

Άσκηση 1: Από τους παρακάτω αριθμούς κυκλώνω όσους είναι πολλαπλάσια του 3.

7, 9, 11, 12, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 30, 33, 34, 36, 40, 42, 44, 57, 68, 96, 73, 75

Άσκηση 2: Βρίσκω τα πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών.

Π4 = ……….60 Π12 =…………..132 Π15 = ………135

Άσκηση 3: Ο αριθμός 1.200 ποιου αριθμού είναι πολλαπλάσιο; Βάζω x στο σωστό.

Του 400; …… του 500;…… του 9;…….. Του 70;……... του 12;…..

Του 12; …… του 50; …… του 40;……. Του 2; ……… του 100;…

Άσκηση 4: Βρίσκω και γράφω παρακάτω τα κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 4 μέχρι το 40.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….

Άσκηση 5: Να βρεις τους διαιρέτες καθενός αριθμού, και στη συνέχεια τους κοινούς

διαιρέτες:

Του 60:……………………………………….

Του 66:……………………………………….

Του 84:……………………………………….

Κ.Δ (60, 66, 84) =

Άσκηση 6: Να αναλύσεις με δενδροδιάγραμμα τους παρακάτω αριθμούς, σε γινόμενα.

96 128 240 630

Άσκηση 7: Βρίσκω τα δύο πρώτα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3, 4, 6 και 8.


Vasiliki

Άσκηση 8: Βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες του 36 και του 54.

Άσκηση 9: Βρίσκω τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 4, 5 και 10 έως το 50.

Άσκηση 10: Υπογραμμίζω από τους παρακάτω αριθμούς αυτούς που είναι πολλαπλάσια του

5.

40, 78, 15, 155, 200, 5, 100, 344, 1090, 205, 8, 67, 90, 120.000, 1.000.000, 453, 1

Άσκηση 11: Βρίσκω τους διαιρέτες του 120.

Άσκηση 12: Τρεις φίλοι, ο Ορφέας, ο Αρίων και ο Ερμής, αποφάσισαν να παίξουν με τις

σφυρίχτρες τους. Συμφώνησαν ο Ορφέας να σφυρίζει κάθε 4 δευτερόλεπτα, ο Αρίων κάθε 8

δευτερόλεπτα και ο Ερμής κάθε 12 δευτερόλεπτα.

α) Πότε θα σφυρίξουν και οι 3 συγχρόνως για πρώτη φορά;

β) Πόσες φορές θα σφυρίξουν και οι 3 συγχρόνως σε 72 δευτερόλεπτα;

ΛΥΣΗ


eleni_prof

Ονοματεπώνυμο: …………………..……………… Ημερομηνία: ………………

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΗΝ 6η ΕΝΟΤΗΤΑ (Κεφάλαια: 36 – 40)

1 . Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ αν η πρόταση είναι σωστή

και Λ αν η πρόταση είναι λάθος.





ε) + = ..............

στ) - = ............


α) Ε.Κ.Π. ( 2, 3)= ....... β)Ε.Κ.Π. ( 4, 6 , 8)= ........... γ) Ε.Κ.Π. ( 2, 5, 10)= ..............

δ) Ε.Κ.Π. ( 3, 6, 9) = .......... ε) Ε.Κ.Π. ( 5, 10, 15) = ......... στ) Ε.Κ.Π.( 6 , 8 , 10 ,12 )= ...........

Λύση :


eleni_prof

3. Βρίσκω τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο

ακέραιο αριθμό που διαιρείται κάθε φορά ακριβώς:


.......... 362 ............ .......... 285 .......... ......... 1360 ..........

..........1620 .............. .......... 355 ......... ..........2590 ............

4. Χωρίς να κάνεις καμία πράξη να βρεις ποιοι από τους αριθμούς 76, 90, 450,

315, 1285 125.960 διαιρούνται ακριβώς με:

το 2 : ...........................................................................................................

το 5 : ...........................................................................................................

το 10: ...........................................................................................................

Το 2, το 5 και το 10: .....................................................................................


υπόλοιπο 0 250 : 5 440 : 2 915 : 10 75 : 5

υπόλοιπο 1 291 : 2 858 : 2 466 : 5 291 : 5

υπόλοιπο 4 984 : 5 784 : 5 154 : 10 74 : 2


+ = ...............................................................................................

2 - = ..........................................................................................


eleni_prof

+ + = ………………………………………………………………

+ + = …………………………………………………..……...…….

- = …………………………………………………..……………..

+ + = ……………………………………………………………..…..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………

7. Η μητέρα του Κώστα αγόρασε στην λαϊκή αγορά 2 κιλά μήλα,

1 κιλά αχλάδια και κιλά πορτοκάλια.

Πόσα κιλά φρούτα αγόρασε συνολικά;

Λύση


eleni_prof

Απάντηση: ..................................................................................................................................

8. Ο παππούς της Αναστασίας έχει ένα περιβόλι με λεμονιές,

πορτοκαλιές και μανταρινιές. Οι λεμονιές είναι το 1 των δέντρων,

οι

3

πορτοκαλιές τα 3 και τα υπόλοιπα είναι οι μανταρινιές.

6

α) Τι μέρος των δέντρων είναι οι λεμονιές και οι πορτοκαλιές;

β) Τι μέρος των δέντρων είναι οι μανταρινιές;

Λύση

Απάντηση: ..........................................................................................................................................


των

6

δέντρων, λεμονιές που είναι τα 3 των δέντρων και νεραντζιές που είναι τα

1 ,

8 4

ενώ τα υπόλοιπα δέντρα ανήκουν σε άλλα είδη.


eleni_prof

Περισσότερες στο περιβόλι είναι οι πορτοκαλιές, οι λεμονιές ή οι νεραντζιές ;

Τι μέρος του συνόλου αποτελούν τα άλλα είδη δέντρων;

Λύση

Απάντηση: ..................................................................................................................................

10. Μέσα σε ένα άλμπουμ έχουμε συγκεντρώσει διάφορα

αυτοκόλλητα. Τα δείχνουν λουλούδια , τα αυτοκίνητα,

το τραγουδιστές ενώ τα υπόλοιπα έχουν άλλα θέματα.

Περισσότερες είναι τα αυτοκόλλητα που δείχνουν λουλούδια , αυτοκίνητα ή

τραγουδιστές;

Τι μέρος του συνόλου αποτελούν τα αυτοκόλλητα με τα άλλα θέματα;

Λύση

Απάντηση: ..................................................................................................................................


eleni_prof

11. Η Ε΄τάξη ενός σχολείου έχει τόσους μαθητές, που αν ο δάσκαλος

τούς βάλει

ανά 4 ή 6 ή 8, δεν περισσεύει κανείς. Πόσους, το λιγότερο, μαθητές έχει αυτή η τάξη;

Λύση

Απάντηση : ……………………………………………………………………………………………………..


Μαθηματικά Ε΄ ΤΑΞΗ 6η ενότητα

ΟΝΟΜΑ:________________________________

1. Ένας βιβλιοπώλης μπορεί να τοποθετήσει τα βιβλία κατασκευών σε στοίβες των

4, των 6 και των 8 βιβλίων χωρίς να περισσέψει κανένα. Πόσα, το λιγότερο, βιβλία

κατασκευών έχει;

Λύση: Απάντηση:

2. Ο παππούς του Πέτρου έχει περισσότερα από 100 πρόβατα και λιγότερα από 130.

Μπορεί να τα μετρήσει ανά 2, 3 ή 5 χωρίς να περισσέψει κανένα. Πόσα πρόβατα

έχει ο παππούς;


3. Η γιαγιά της Ελένης θέλει να φυτέψει 48 τριανταφυλλιές σε σειρές. Κύκλωσε

πόσες τριανταφυλλιές μπορεί να φυτέψει σε κάθε σειρά; Α) 6 Β) 10 Γ) 35


4. Κύκλωσε το σωστό αποτέλεσμα:

Ε.Κ.Π.(4,6) = Ε.Κ.Π.(6,8) =

Α) 12 Β) 16 Γ) 24 Α) 24 Β) 32 Γ) 36

5. Να βρεις 3 αριθμούς που έχουν Ε.Κ.Π. = 30


6. Να ελέγξεις εάν είναι Σ ή Λ:

Ε.Κ.Π. (5,4,20) = 45

Ε.Κ.Π. (10,5,50) = 50

Ε.Κ.Π. (6,4,24) = 24 Ιωαννίδης Νικόλαος


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:____________________________________________ ΤΑΞΗ Ε΄

Παλάνης Αθανάσιος

Μία συναυλία μουσικής

παρακολούθησαν 800 άτομα. Οι

άντρες ήταν τα 5

3 των

ακροατών, τα παιδιά ήταν 100

και τα υπόλοιπα γυναίκες. Πόσοι

ήταν οι άντρες και πόσες οι

γυναίκες;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ……………………...

Τρία φορτηγά μετέφεραν

συνολικά 300,3 τόνους χώμα.

Το πρώτο φορτηγό μετέφερε

101,5 τόνους και το δεύτερο 84

τόνους. Το πρώτο φορτηγό

έκανε 5, το δεύτερο 4 και το

τρίτο 7 δρομολόγια.

α. Πόσους τόνους χώμα

μετέφερε το τρίτο φορτηγό;

β. Πόσους τόνους χώμα κατά

μέσο όρο μετέφερε κάθε

φορτηγός σε κάθε ένα

δρομολόγιο;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Ένας υδραυλικός έκοψε από

χαλκοσωλήνα 12 μ. και

χρησιμοποίησε 5 κομμάτια και

του περίσσεψαν 1,5 μ.. Πόσα

μέτρα ήταν κάθε κομμάτι;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ………….………….


Γκουτσίδης Αντώνιος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 6 (ΚΕΦΑΛΑΙΑ 36-40)

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: _______________________________________________________

1. Να βρείτε τον αμέσως μικρότερο και τον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που διαιρεί-

ται κάθε φορά ακριβώς:

Με το 2 Με το 5 Με το 10

________35________ ________400________ ________3455________

________560________ ________68________ ________25________

________1351________ ________455________ ________578________

2. Να βάλετε μέσα στο σωστό κύκλο τους παρακάτω αριθμούς:

( 12, 1230, 555, 1256, 300, 2890, 50, 348, 222, 670, 13450, 45, 444, 680 )


Α) Ε.Κ.Π. (2,4,8)= Β) Ε.Κ.Π. (6,10)= Γ) Ε.Κ.Π. (3, 5, 10)=

Δ) Ε.Κ.Π. (15, 20)= Ε) Ε.Κ.Π. ( 5, 20, 4)= ΣΤ) Ε.Κ.Π. (4, 10, 5)=

Χώρος για υπολογισμούς;

Διαιρούνται με το 2



Διαιρούνται με το 2, 5 και 10


Γκουτσίδης Αντώνιος

4. Λύστε τις παρακάτω ασκήσεις:

4 7

Α) 3 ---- + ---- =

5 8

1 3 2

Β) 2 ---- + 4 ---- + 1 ---- =

2 4 5

3 1

Γ) 7 ---- - 3 ---- =

8 4

5 3

Δ) 3 ---- - ---- =

6 4

1 4

5. Σε μια θεατρική παράσταση το ---- των θεατών ήταν άντρες, τα ---- ήταν γυναίκες και οι

6 9

υπόλοιποι ήταν παιδιά.

Α) Ποιο μέρος των θεατών ήταν συνολικά οι άντρες και οι γυναίκες;

Λύση:

Απάντηση: _________________________________________________________________

Β) Ποιο μέρος των θεατών ήταν τα παιδιά;

Λύση:

Απάντηση: _________________________________________________________________

βαθμός



ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 6

ΟΝΟΜΑ: …………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ………………..

1. Βρίσκω τα πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών:

Π4 = …………………………………………………………………….. 60 Π6=……………………………………………………………………… 72

Π15=…………………………………………………………………….. 135

2.Μετατρέπω τα παρακάτω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα:

α) 4

1,8

6,5

3 β)

6

5,3

1,8

4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3.Κάνω τις πράξεις:

α) 5

2

4

3 γ)

3

26

6

58

β) 5

13

2

12 δ)

5

3

25

24

4.Ο Φώτης διαίρεσε έναν αριθμό με το 5 και βρήκε υπόλοιπο 7. Είναι

σωστή η διαίρεση; Γιατί; …………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………



5.Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς διαιρούνται ταυτόχρονα με το 2 και με το 5;

12, 20, 35, 50, 120, 540, 625, 1000

………………………………………………………………………………..

6.Ένας ορειβάτης έχει ανέβει τα 5

3 της διαδρομής για την κορυφή του

Ταΰγετου. Θέλει ακόμα 962,8μ. Πόσο είναι το ύψος του Ταΰγετου;

Απάντηση: ……………………………………………………………………..

7.Με μια συσκευασία ενός λίτρου γάλα γεμίζω 6 κούπες και περισσεύουν

1000

130 του λίτρου. Πόσα χιλιοστά του λίτρου χωράει κάθε κούπα;

Απάντηση:……………………………………………………………………..

καλή επιτυχία!!


Τσεχελίδης Γιάννης

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ονοματεπώνυμο…………………………………………………………………….. Ημερομηνία:……………………. 1. Μετατρέπω τις παρακάτω μονάδες μέτρησης μήκους: 15 μ. = ……….. εκ. , 2,3 δεκ. = ……… χιλ. , 152 χιλ. = …….. εκ. , 245 εκ = ………. μ. 1530 χιλ. = ……… δεκ. 2. Μετατρέπω τις παρακάτω μονάδες μέτρησης επιφάνειας: 12 τ.μ = ………… τ.εκ. , 1472 τ. εκ. = …………. τ. δεκ. , 15045 τ. χιλ. = …………… τ.εκ. 45,5 τ.δεκ. =………… τ.μ , 3245 τ.εκ = ………….. τ.μ 3. Συμπληρώνω τους όρους των κλασμάτων ώστε αυτά να γίνουν ισοδύναμα:

5 = 15

3 ,

3

4 = 8

, 9

6 = 27

, 10

8 = 32

, 7

= 33

21 ,

6

5= 25

4. Υπολογίζω τις παρακάτω διαιρέσεις:

α) 5

3 : 5

1 β)

8

9 :3 γ) 4 :

5

2 δ )

8

9 : 1

2

1

5. Υπογραμμίζω ποιοι απ΄τους παρακάτω αριθμούς α) διαιρούνται με το 2: 1001 , 246 , 41317 , 766439 , 13566 β) διαιρούνται με το 3: 743 , 405 , 1111 , 10011 , 972 γ) διαιρούνται με το 5 και το 9 ταυτόχρονα: 4176 , 585 , 23450 , 94725 , 999 6. Πέντε εργάτες ανέλαβαν να κατασκευάσουν μια αποθήκη σε 4 εβδομάδες. Την α΄

εβδομάδα κατασκεύασαν το 6

1 του έργου , τη β’ εβδομάδα τα

9

2 του και την γ΄

εβδομάδα τα 12

5 του έργου. Τι μέρος του έργου έμεινε να κατασκευάσουν ώστε να

παραδώσουν το έργο στον προβλεπόμενο χρόνο;


Τσεχελίδης Γιάννης

7. Ο παππούς του Μίμη έχει έναν κήπο σε σχήμα ορθ. παραλληλόγραμμου με μήκος 10 μ. και πλάτος 6μ. Θέλει να φτιάξει ένα παρτέρι σε σχήμα ορθ. τριγώνου με τις κάθετες πλευρές του να έχουν μήκος 5μ. και 80 δεκ. αντίστοιχα , για να φυτέψει λουλούδια. Πόσο είναι το εμβαδό του κήπου που δεν θα καλύπτεται από το παρτέρι; 8. Ένας ανθοπώλης έχει 48 μαργαρίτες , 36 τριαντάφυλλα και 24 γαρίφαλα . Πόσες το πολύ όμοιες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει και από πόσα λουλούδια από το κάθε είδος θα περιέχει η καθεμιά;


Μιχαηλίδης Δημήτρης

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 34-40 ΟΝΟΜΑ:

1) Βρίσκω ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι πολλαπλάσια :

15,20,60,100,85,74,66,1.000,55,500,1005

α) Του 2:………………………………………………………………………………..

β) Του 3:………………………………………………………………………………..

γ) Του 5:………………………………………………………………………..………

δ) Του 10:………………………………………………………………………………

2) Να γράψετε τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών.

α) 105:………………………………………………………………………………….

β) 30:……………………………………………………………………………………

γ)24:……………………………………………………………………………………

δ)33:……………………………………………………………………………………

3) Βάζω χ σε όποιες διαιρέσεις έχουν :

Α) Υπόλοιπο 0 380: 5 64 :5 78 : 2 89 : 2 781 : 10

Β) Υπόλοιπο 1 791: 2 657 : 5 1001 : 10 37 : 2 996 :5

Γ) Υπόλοιπο 2 89 :2 157 :5 202 : 10 450:5 197: 5

4) Να βρείτε 3 κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3, 6, 9:

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

Απάντηση:

5) Να βρείτε το Ε.Κ.Π των παρακάτω αριθμών .

4 9 12 25 75 15


Μιχαηλίδης Δημήτρης

6)Να συγκρίνετε τα παρακάτω κλάσματα :

α) Μετατρέποντας τα σε ομώνυμα : 36

38, 6

7 , 12

9

β) Κάνοντας τα ισοδύναμα: 50

5, 25

8, 10

9

7)Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα:

Οι μαθητές των μεγαλύτερων τάξεων ενός σχολείου αποφάσισαν να βοηθήσουν το «

Χαμόγελο του Παιδιού» συνεισφέροντας ένα χρηματικό ποσό. Η κάθε τάξη ανέλαβε

να συγκεντρώσει ένα μέρος του ποσού.

Η ΣΤ τάξη ανέλαβε να συγκεντρώσει το 3

1 του ποσού.

Η Ε τάξη ανέλαβε να συγκεντρώσει τα 5

2 του ποσού.

Η Δ τάξη ανέλαβε να συγκεντρώσει τα 15

3 του ποσού

Η Γ τάξη συγκέντρωσε τα 30

2 του ποσού που ήταν 10 €.

α)Πόσο ήταν το συνολικό ποσό που συγκέντρωσαν τα παιδιά ;

β) Πόσα χρήματα συγκέντρωσε η κάθε τάξη;

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!!!!!!


ΜΑΜΑΛΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

5

3

8

2

4

1

20

9

ΟΝΟΜΑ: ………………… Τετάρτη , 25 Απριλίου 2007

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΗΝ 6η ΕΝΟΤΗΤΑ

1. ( 2,5 μονάδες )

Σου δίνονται οι αριθμοί :

27, 82 91, 675, 1.340 8.008

Ποιοι από αυτούς τους αριθμούς :

Διαιρούνται ακριβώς με το 2 : _______________________________________________________________


Διαιρούνται ακριβώς με το 10 : ______________________________________________________________

Διαιρούνται συγχρόνως και με το 2 και με το 5 και με το 10 : ______________________________________

2. ( 2,5 μονάδες )

Α) Να βρεις τρία κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3, 5, 15

Απάντηση : …………………………………………………………

Β) Να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2,4,7

Απάντηση : …………………………………………………………

3. ( 2,5 μονάδες )

Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις αφού μετατρέψεις τα κλάσματα σε ομώνυμα :


1 των δέντρων, λεμονιές που είναι τα

8

3 των δέντρων και νεραντζιές που είναι το 5

1 , ενώ τα υπόλοιπα δέντρα ανήκουν σε άλλα είδη.

Περισσότερες στο περιβόλι είναι οι πορτοκαλιές, οι λεμονιές ή οι νεραντζιές ;

Τι μέρος του συνόλου αποτελούν τα άλλα είδη δέντρων;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ : ………………………………………………………………………………………………………




ΜΑΜΑΛΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

7

2

14

7

6

1

10

8

ΟΝΟΜΑ: ………………… Τετάρτη , 25 Απριλίου 2007

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΗΝ 6η ΕΝΟΤΗΤΑ

1. ( 2,5 μονάδες )

Σου δίνονται οι αριθμοί :

17, 55, 200, 450, 9. 431 7.115

Ποιοι από αυτούς τους αριθμούς :



Διαιρούνται ακριβώς με το 10 : ______________________________________________________________

Διαιρούνται συγχρόνως και με το 2 και με το 5 και με το 10 : ______________________________________

2. ( 2,5 μονάδες )

Α) Να βρεις τρία κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 2, 8, 16

Απάντηση : …………………………………………………………

Β) Να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2,6,7

Απάντηση : …………………………………………………………

3. ( 2,5 μονάδες )

Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις αφού μετατρέψεις τα κλάσματα σε ομώνυμα :

4. Μέσα σε ένα άλμπουμ έχουμε συγκεντρώσει διάφορα αυτοκόλλητα. Τα 15

4 δείχνουν ποδοσφαιριστές, τα 5

2

αυτοκίνητα, το 4

1 ηθοποιούς ενώ τα υπόλοιπα έχουν άλλα θέματα.

Περισσότερες είναι τα αυτοκόλλητα που δείχνουν ποδοσφαιριστές, αυτοκίνητα ή ηθοποιούς;

Τι μέρος του συνόλου αποτελούν τα αυτοκόλλητα με τα άλλα θέματα;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ : ………………………………………………………………………………………………………




eleni_prof

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΕΝΟΤΗΤΑ 6 Βρίσκω τα πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών :

Π 3 = ........................................................................... 45

Π 4 = ................................................................................................................................... 60

Π 12 = ............................................................................132

Π 15 = ........................................................................... 135

Βρίσκω ποιο αποτέλεσμα είναι σωστό και ποιο λάθος.

10 + 1 = 13

15 5 15

8 - 1 = 7

12 4 12

7 + 1 = 20

8 24 24

18 - 4 = 2

20 5 20

Λύνω τις ασκήσεις :

3 + 2 + 1 =

4 5 3

2 1 + 5 3 + 3 1 =

2 4 5

8 5 - 6 2 =

6 3

24 - 3 =

25 5

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς διαιρούνται με το 2 , το 5 , το 10 και τους

τρεις ταυτόχρονα ;

68 , 250 , 35 , 7.560 , 110 , 675 , 120 , 135 , 12212 , 5.342

Με το 2 : …………………………………………………………………………………………………………………………

Με το 5 : …………………………………………………………………………………………………………………………

Με το 10 : …………………………………………………………………………………………………………………………..

Και με τους τρεις : …………………………………………………………………………………………………………..


eleni_prof

Η Αποστολία ξόδεψε τα 4 των χρημάτων της και η Μαργαρίτα τα

8

2 των χρημάτων της. Πόσα ξόδεψαν και οι δύο μαζί ; Ποια ξόδεψε

περισσότερο;

4 Λύση

Απάντηση : ………………………………………………………………………………..

Έχω μια ποσότητα κρασιού. Γεμίζω δοχεία των 4 κιλών, των 6 κιλών

και των 10 κιλών, χωρίς να περισσέψει καθόλου κρασί. Πόσα κιλά, το λιγότερο, κρασί

έχω;

Λύση

Απάντηση : …………………………………………………………………………….

Σε μία τάξη τα 2 των μαθητών παίζουν μπάσκετ , τα 3 ποδόσφαιρο , το 1

5 10 5

βόλεϊ και οι υπόλοιποι μαθητές παίζουν χάντμπολ .

Τι μέρος των μαθητών παίζει χάντμπολ ;

Απάντηση : …………………………………………………………………………..


Παρασχίδου Ελένη

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Ονοματεπώνυμο:_________________________________

Ημερομηνία: _________________________________

Ασκήσεις 1) 138, 2.054, 360, 355, 1.789, 36.705, 654, 1.000.008,

732.842, 3.860, 7.965, 4.850, 2.475, 3.600, 978, 2.838

Ποιοι από τους παραπάνω αριθμούς διαιρούνται ακριβώς

με το 2:______________________________________

με το 5:______________________________________

με το 10:_____________________________________

2)Η Χαρά μέτρησε δύο – δύο τους μαρκαδόρους στο γραφείο της και τους

βρήκε 37.

Είναι σωστό ή όχι το μέτρημά της και γιατί;

Απαντώ και αιτιολογώ

3)Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών: (3,8,12) (6,5,15) (4,8,3)



Παρασχίδου Ελένη

4)Να γίνουν οι πράξεις:

3

2 - 12

4 =

6

3+ 2

1+ 12

5=

5)Η μαμά μέτρησε το ύψος της Κικής και βρήκε ότι είναι 5

4 του μέτρου.

Μέτρησε και το δικό της ύψος και βρήκε ότι είναι 10

17 του μέτρου. Πόσο πιο

ψηλή είναι η μητέρα ;

Λύση

Απάντηση:


Με προσοχή και

ψυχραιμία……..



ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ:

9Ο Δ. Σ. Αθηνών 12-3-2010 Τάξη: Ε2΄

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

(Κλιμακούμενης δυσκολίας)

1. Δύο τελάρα με μήλα ζυγίζουν συνολικά2

115 kg. Αν το ένα από τα τελάρα

αυτά ζυγίζει 4

38 kg, πόσο ζυγίζει το άλλο;

2. Ένα τελάρο με μήλα ζυγίζει 4

19 kg. Ένα δεύτερο τελάρο ζυγίζει

2

1 kg

λιγότερο. Πόσο ζυγίζουν και τα δύο τελάρα μαζί;

3. Τρία τελάρα μήλα ζυγίζουν 25 kg . Το πρώτο ζυγίζει 2

18 kg , ενώ το δεύτερο

ζυγίζει 5

32 kg περισσότερο από το πρώτο. Πόσο ζυγίζει το τρίτο τελάρο;

4. Ο μανάβης της γειτονιάς μας είχε τέσσερα τελάρα με μήλα. Το πρώτο ζύγιζε

4

31 kg λιγότερο από το τρίτο, το τρίτο ζύγιζε

4

32 kg περισσότερο από το

δεύτερο, το δεύτερο ζύγιζε όσο και το τέταρτο, ενώ το τέταρτο ζύγιζε 8

110 kg.

Όλα αυτά τα μήλα τα πούλησε προς 0,85 € το κιλό. Πόσα χρήματα εισέπραξε;

5. Ο μανάβης της γειτονιάς μας πούλησε τρία τελάρα με μήλα και εισέπραξε

22,20 €. Το πρώτο τελάρο περιείχε10

57 kg. Το δεύτερο περιείχε

2

13 kg

περισσότερα από το πρώτο και το τρίτο περιείχε το ½ από τα μήλα των άλλων

2 τελάρων. Πόσο πούλησε ο μανάβης το κάθε κιλό μήλα;

ΟΔΗΓΙΕΣ: Να μεταφέρεις και να λύσεις το κάθε πρόβλημα στο τετράδιό σου, ως εξής:

Αρχικά να διαβάσεις το κάθε πρόβλημα τουλάχιστο δυο φορές.

Στη συνέχεια να το διαβάσεις χωρίς αριθμούς και τέλος να σκεφτείς (χωρίς

αριθμούς) τι θα βρεις στην αρχή, τι στη συνέχεια κλπ.

Να γράψεις τις πράξεις οριζόντια (τις λίγες κάθετες που είναι απαραίτητες να τις

κάνεις στο πίσω μέρος αυτής της σελίδας) και σε κάθε αποτέλεσμα θα γράφεις «τι είναι» ο

αριθμός που βρήκες (π.χ. kg, €).

Στο τέλος να γράψεις μια ολοκληρωμένη απάντηση, χρησιμοποιώντας μέρος της

ερώτησης.



μαθηματικά 3 όνομα:-------------------

ημερομηνία: ------------------------

1.Να μετατρέψω τους μεικτούς σε κλάσματα:

4

32 =

8

54 =

5

26 =

2.Να μετατρέψεις τα κλάσματα σε μεικτούς:

2

15=

6

17=

4

25=

3.Φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα:

α) με πολλαπλασιασμό:

5

2= = = =

β) με διαίρεση:

24

16= = = =

4. Μεγαλώνω 5 φορές τα παρακάτω κλάσματα:

3

2→ -

5

3→ -

7

4→ -

5.Μικραίνω 3 φορές τα παρακάτω κλάσματα:

15

6→

18

15→

4

3→

6. 3,08Χ10= 0,64 : 100=

7,358Χ1000= 1,2 : 1000=

7.Τα 10

7 του κιλού κοστίζουν 3,29 € . Πόσο κοστίζει το 1 κιλό;



--------------------------------------

8.Η Δέσποινα αγόρασε 8

7 του κιλού σταφύλια. Πόσα ευρώ πλήρωσε, αν το

4

1

του κιλού κοστίζει 2,60 € ;

---------------------------------------------

9.Να μετατρέψω τα παρακάτω κλάσματα σε δεκαδικούς:

6

4=

12

9=

50

25=


kyra_daskala

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΟΝΟΜΑ : ……………………………………………………………………………. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/ 11/ 09

1. Να βρεις το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη των πιο κάτω αριθμών

με το σύντομο τρόπο:

Α) 318 και 424

Β) 428 και 16

Γ) 24 και 82

Δ)60, 45 και 10

Ε) 36 και 60

2. Οι μαθητές του Ε1 φτιάχνουν πακέτα για τη χριστουγεννιάτικη

αγορά. Έχουν 120 χριστουγεννιάτικες μπάλες και 96 αρωματικά

κεριά. Θέλουν να ετοιμάσουν όσο το δυνατό περισσότερα όμοια

πακέτα και να χρησιμοποιήσουν όλα τα αντικείμενα που έχουν στη

διάθεσή τους. Πόσα πακέτα μπορούν να φτιάξουν; Πόσες μπάλες

και πόσα κεριά θα έχει το κάθε πακέτο;

Προσοχή!

Μην ξεχάσω

την απάντηση!


Τόνια

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

1. Ένας ορειβάτης διένυσε την πρώτη μέρα το 3

1 μιας απόστασης, τη δεύτερη μέρα

τα 15

7 και την Τρίτη μέρα τα

10

2 της απόστασης. Ποια ημέρα διένυσε μεγαλύτερη

απόσταση;

Λύση:

Απάντηση:

2. Ένας παραγωγός μάζεψε από τα δέντρα του 4

38 τόνους φρούτα. Από αυτά,

10

52

τόνοι ήταν ροδάκινα, 2

14 τόνοι ήταν βερίκοκα και τα υπόλοιπα ήταν νεκταρίνια.

Πόσοι τόνοι ήταν τα νεκταρίνια;

Λύση:

Απάντηση:

3. Τον περασμένο μήνα επισκέφτηκαν το μουσείο της Ακρόπολης 5895 άτομα. Τα 9

4

των επισκεπτών ήταν παιδιά. Πόσα παιδιά επισκέφτηκαν τη γέφυρα;

Με πολ/σμό:

Με αναγωγή στη μονάδα:

Απάντηση:


Τόνια

4. Πόσους διαβήτες αγοράζει ένα βιβλιοπωλείο με 2

1142 €, αν κάθε διαβήτης έχει

2

19 €;

Λύση:

Απάντηση:

5. Δύο βαρέλια με τυρί φέτα ζυγίζουν συνολικά 35 κιλά. Το ένα βαρέλι ζυγίζει

10

416 κιλά. Πόσα κιλά ζυγίζει το άλλο βαρέλι;

Λύση:

Απάντηση:

6. Ένα λεωφορείο διανύει την απόσταση Αθήνα – διόδια σε 5

2 της ώρας, την

απόσταση διόδια – Κόρινθο σε 4

3 της ώρας και την απόσταση Κόρινθος – Τρίπολη

σε 15

8 της ώρας. Σε πόσες ώρες διανύει την απόσταση Αθήνα – Τρίπολη;

Λύση:

Απάντηση:


Τόνια

Όνομα: ___________________________________________


ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΚΑΡΑΛΗ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟ Ε΄2

1. Δύο αδέλφια, ο Μιχάλης κι ο Παντελής, άνοιξαν τους κουμπαράδες τους.

Ο Μιχάλης βρήκε μέσα 45,6 € κι ο Παντελής 27,8 €. Πόσα € χρειάζονται ακόμα, για να αγοράσουν ένα παιχνίδι που στοιχίζει 98,5 € ;

2. Σ’ ένα πλοίο, οι επιβάτες της α΄ θέσης είναι 285, της β΄ θέσης 48 περισσότεροι από την α΄ θέση και της γ΄ θέσης 29 λιγότεροι από τη β΄ θέση. Πόσοι είναι όλοι οι επιβάτες του πλοίου ;

3. Ένας παραγωγός έβγαλε από ένα χωράφι του 1.304 κιλά πατάτες και από ένα άλλο χωράφι 3.680 κιλά. Έβαλε τις πατάτες σε σακιά, το καθένα από τα οποία χωρούσε 28 κιλά. Πόσα σακιά γέμισε ;

4. Ένας πτηνοτρόφος πήρε από τις κότες του 5.670 αυγά. Πούλησε στη λαϊκή αγορά 3.750 αυγά και τα υπόλοιπα τα τοποθέτησε σε αυγοθήκες των 30 αυγών και τα έδωσε σε super market. Πόσες αυγοθήκες χρησιμοποίησε ο αυγοπώλης ;

5. Ο μανάβης της γειτονιάς πούλησε 85 μαρούλια προς 0,25 € το ένα και 50 κιλά καρότα προς 0,18 € το κιλό. Πόσα € εισέπραξε συνολικά ;

6. Ένας ελαιοπαραγωγός έβγαλε από έναν ελαιώνα 1.870 κιλά λάδι και από έναν άλλο 3.240 κιλά λάδι. Από όλη την ποσότητα, κράτησε για τις ανάγκες του σπιτιού του 350 κιλά και τα υπόλοιπα τα συσκεύασε σε δοχεία, το καθένα από τα οποία χωρούσε 17 κιλά. Πόσα δοχεία χρησιμοποίησε ;

7. Ο μανάβης της γειτονιάς αγοράζει τα μαρούλια προς 0,18 € το ένα και τα πουλάει προς 0,29 € . Πόσα € θα κερδίσει, αν πουλήσει σε μια μέρα 80 μαρούλια ;

8. Ένα τετραώροφο σπίτι έχει συνολικό ύψος 15,85 μέτρα. Η πιλοτή έχει ύψος 2,5 μέτρα, ο πρώτος όροφος έχει ύψος 3,20 μέτρα, ο δεύτερος όροφος έχει ύψος 2,75 μέτρα και ο τρίτος όροφος έχει ύψος 3,80 μέτρα. Πόσο ύψος έχει ο τέταρτος όροφος ;

9. Ένας οινοπαραγωγός έχει στο κελάρι του 3 βαρέλια με κρασί. Το πρώτο βαρέλι έχει 165,5 λίτρα, το δεύτερο βαρέλι έχει 38 λίτρα περισσότερα από το πρώτο βαρέλι και το τρίτο βαρέλι έχει 180,6 λίτρα κρασί. Πούλησε σε ιδιώτες 280 λίτρα κρασί και σε μια ταβέρνα 150 λίτρα. Πόσα λίτρα έχει ακόμα ;

10. Ένας παντοπώλης προμηθεύτηκε ένα τσουβάλι με φασόλια που ζύγιζε 48 κιλά. Μια μέρα, πούλησε 15,800 κιλά και την επομένη 6,500 κιλά

περισσότερα από την πρώτη. Πόσα κιλά φασόλια για πούλημα έχει ακόμα ο παντοπώλης ;

11. Ένας μελισσοκόμος έβγαλε τη φετινή χρονιά αρκετά κιλά μέλι. Θέλει να το συσκευάσει σε 78 βάζα των 4,5 κιλών και σε 164 βάζα των 3,5 κιλών. Πόσα κιλά μέλι έβγαλε ;

12. Ένας παραγωγός έχει δυο περιβόλια με πορτοκαλιές. Από το ένα περιβόλι μάζεψε 565 κιλά πορτοκάλια και από το άλλο 788 κιλά. Πόσα € εισέπραξε, αν τα πούλησε με 0,65 € το κιλό ;



13. Ένας κτηνοτρόφος έφτιαξε από τα πρόβατά του 380 κιλά τυρί. Κράτησε για τις ανάγκες της οικογένειάς του 85 κιλά και το υπόλοιπο το πούλησε προς 4,25 € το κιλό. Πόσα € εισέπραξε συνολικά ;

14.Το φορτηγό ενός εργοστασίου αναψυκτικών παρέδωσε σε μια μέρα 1.268 κιβώτια. Το κάθε κιβώτιο περιείχε 24 μπουκάλια αναψυκτικών. Αν κάθε μπουκάλι κόστιζε 0,28 € πόσα € εισέπραξε συνολικά το εργοστάσιο ;

15. Ο κύριος Κώστας έχει στο κελάρι του 8 βαρέλια με κρασί, το καθένα από τα οποία χωράει 265 κιλά. Αν πουλήσει το κάθε κιλό 0,95 € το κιλό, πόσα € θα εισπράξει ;

16.Το κομμωτήριο της γειτονιάς, στη διάρκεια μιας εβδομάδας, έκανε 56 κουρέματα προς 7,5 € το ένα, 68 χτενίσματα προς 6,8 € το ένα και 5 βαφές μαλλιών προς 27,5 € τη μία. Πόσα € εισέπραξε συνολικά ;

17.Ένας βιβλιοπώλης έφερε στο κατάστημά του 265 μπλοκ ζωγραφικής, που τα αγόρασε προς 0,78 € το ένα. Από αυτά, τα 28 μπλοκ δεν πουλήθηκαν. Τα υπόλοιπα μπλοκ τα πούλησε προς 0,86 € το ένα. Πόσα € κέρδισε ;

18. Ο κύριος Αντρέας έβαλε στο σπίτι του 18 μέτρα τέντα προς 25,5 € το μέτρο. Πλήρωσε και εργατικά 102,5 € . Πόσα € πλήρωσε συνολικά ;

19. Ένας γεωργός αγόρασε από τον Αγροτικό Συνεταιρισμό 56 σακιά λίπασμα των 45 κιλών το καθένα, για τον ελαιώνα του. Σε κάθε ελιά έβαλε 5 κιλά λίπασμα. Πόσες ελιές είχε στον ελαιώνα του ;

20. Η γιαγιά της Ασπασίας έφτιαξε γλυκό κυδώνι και το έβαλε σε 4 βάζα. Στο πρώτο έβαλε 5,5 κιλά, στο δεύτερο βάζο έβαλε 1,5 κιλό περισσότερο από το πρώτο, στο τρίτο βάζο έβαλε 0,500 κιλά λιγότερα από το δεύτερο και στο τέταρτο βάζο έβαλε 5 κιλά. Πόσα κιλά γλυκό κυδώνι έφτιαξε ;

21. Ένας δρόμος μαζί με τα πεζοδρόμια έχει πλάτος 19 μέτρα. Το πλάτος του κάθε πεζοδρομίου είναι 2,8 μέτρα. Πόσο είναι το πλάτος του οδοστρώματος ;

22. Ο διαχειριστής της πολυκατοικίας μας αγόρασε φέτος τρεις φορές πετρέλαιο. Την πρώτη φορά αγόρασε 2,840 τόνους, τη δεύτερη φορά αγόρασε 1,250 τόνους περισσότερους από την πρώτη φορά και την τρίτη φορά αγόρασε 0,850 τόνους λιγότερο από τη δεύτερη φορά. Πόσο πετρέλαιο αγόρασε συνολικά φέτος;

23. Ένας μελισσοκόμος έβγαλε τη φετινή χρονιά αρκετά κιλά μέλι. Θέλει να το συσκευάσει σε 78 βάζα των 4.5 κιλών και σε 164 βάζα των 3 κιλών. Πόσα κιλά μέλι έβγαλε ;

24. Ένα βαρέλι με κρασί έχει μεικτό βάρος 368 κιλά και απόβαρο 45 κιλά. Αν χρειάζεται ακόμα 78 κιλά, για να γεμίσει, πόσα κιλά κρασί έχει το βαρέλι;

25. Ο πατέρας μου αγόρασε από το χωριό 3 μεγάλα δοχεία με τυρί, το καθένα από τα οποία ζύγιζε 16 κιλά και 2 μικρά δοχεία, το καθένα από τα οποία ζύγιζε 7 κιλά. Πόσα € πλήρωσε, αν το ένα κιλό τυρί κόστιζε 3,8€ ;



26. Η απόσταση Αθήνας – Θεσσαλονίκης είναι 522 χιλιόμετρα. Στις 7 π.μ. αναχώρησε από την Αθήνα ένα φορτηγό που κινείται με ταχύτητα 87 χιλιόμετρα την ώρα. Ποια ώρα θα φτάσει το φορτηγό στη Θεσσαλονίκη ;

27. Ένα κατάστημα ειδών οικιακής χρήσης αγόρασε 8 κουτιά με ποτήρια, το καθένα από τα οποία περιείχε 4 δωδεκάδες ποτήρια. Το κάθε ποτήρι στοίχιζε 1,45 €. Πόσα € πλήρωσε συνολικά;

28. Μέσα σε μια δεξαμενή, ρίχνουν νερό δυο βρύσες. Η μια ρίχνει 345 κιλά νερό την ώρα και η άλλη 186 κιλά νερό την ώρα και τη γεμίζουν σε 24 ώρες. Πόσα κιλά νερό χωράει η δεξαμενή ;

29.Ένας ηλεκτρολόγος αγόρασε 12 κουλούρες καλώδιο προς 1,80 € το μέτρο. Πόσα € πλήρωσε, αν η κάθε κουλούρα είχε καλώδιο μήκους 54 μέτρων;

30.Το βάρος της Ελένης είναι 45,5 κιλά και της Άννας είναι 6,8 κιλά λιγότερα από το βάρος της Ελένης. Πόσο είναι το βάρος και των δυο κοριτσιών;

31. Ο πατέρας μου αγόρασε ένα ψυγείο με δόσεις που κόστιζε 245.800 δρχ. Έχει πληρώσει μέχρι τώρα 6 δόσεις από 24.580 δρχ. Πόσα χρήματα χρωστάει ακόμα ;

32. Ένας εργάτης, για 8 ημερομίσθια που εργάστηκε, πληρώθηκε 204 €. Πόσα € θα πληρωθεί για ένα μήνα; ( 1 μήνας = 25 ημερομίσθια )

33.Ένας έμπορος ετοίμων ενδυμάτων αγόρασε 67 τζιν παντελόνια και πλήρωσε 648.560 δρχ. Όταν τα πούλησε, κέρδισε από όλα 355.435 δρχ. περισσότερες από το ποσό που τα είχε αγοράσει. Πόσες δρχ. πούλησε το κάθε παντελόνι;

34.Ένας έμπορος αγόρασε μια ποσότητα λαδιού από τρεις παραγωγούς. Από τον πρώτο αγόρασε 1.214 κιλά λάδι, από το δεύτερο 985 κιλά λάδι και από τον τρίτο 1.031 κιλά. Όλη αυτήν την ποσότητα λαδιού τη συσκεύασε, τη μισή σε δοχεία των 5 κιλών και την άλλη μισή σε δοχεία των 17 κιλών. Πόσα δοχεία των 5 κιλών και πόσα των 17 κιλών χρειάστηκε;

35. Ένας ψαράς ψάρεψε 125 κιλά γόπες και 258 κιλά σαρδέλα. Τις γόπες τις πούλησε προς 3,6 € και τις σαρδέλες προς 1,45 € το κιλό. Πόσα € εισέπραξε συνολικά;

36. Ένας έμπορος πούλησε 19 ηλεκτρικά σίδερα προς 21.950 δρχ. το ένα και 14 πολυμίξερ με 18.560 δρχ. το ένα. Από τα χρήματα που εισέπραξε, πλήρωσε το ενοίκιο του μαγαζιού, που ήταν 85.500 δρχ., και τη δόση ενός δανείου που ήταν 112.850 δρχ. Πόσες δρχ. του έμειναν ;

37. Ένα εργαστήριο ζαχαροπλαστικής συσκεύασε 8.352 παστάκια σε κουτιά, το καθένα από τα οποία περιείχε 24 παστάκια. Αν πούλησε το κάθε κουτί 2.480 δρχ., πόσες δρχ. εισέπραξε κανονικά;

38. Στην παρέλαση για τη γιορτή της 25ης Μαρτίου παρέλασαν 600

στρατιωτίνες τοποθετημένες σε οχτάδες. Πόσες οχτάδες σχημάτιζαν; Αν τις τοποθετούσαν σε τετράδες, πόσες τετράδες θα σχημάτιζαν;


ΚΟΝΤΟΛΑΖΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Α.

1. Ένα κιλό κρασί έχει 8 €. Πόσο κρασί αγοράζουμε με 1 €; Πόσο με 1/5 του €; Πόσο με 3/5 του €;

2. Τρία μέτρα από ένα ύφασμα έχουν 52 ½ €. Πόσο έχει το 1 μέτρο; 3. Για να πάει κάποιος από μια πόλη σε μια άλλη θέλει 5 ώρες. Πόσο μέρος του

δρόμου θα έχει διανύσει αν βαδίσει 2/5 της ώρας; 4. Τα 5/6 ενός βαρελιού περιέχουν 320 κιλά κρασί. Πόσο κρασί χωράει όλο το

βαρέλι; 5. Ένας χτίστης σε ¾ της ώρας χτίζει 7/10 του μέτρου από ένα τοίχο. Πόσο χτίζει

σε μια ώρα; 6. Για ένα πουκάμισο χρειάζονται 2 ¾ μέτρα από ένα ύφασμα. Πόσα πουκάμισα

θα γίνουν με 55 μέτρα ύφασμα; 7. Ένα αυτοκίνητο σε μια ώρα διανύει 58 ½ χλμ. Σε πόσες ώρες θα διανύσει 409

½ χλμ.; 8. Τα 3/5 των μαθητών ενός Γυμνασίου πέρασαν στην επόμενη τάξη, τα 2/7

έμειναν μετεξεταστέοι και 60 μαθητές έμειναν στην ίδια τάξη. Πόσους μαθητές είχε το Γυμνάσιο;

9. Ένας άνθρωπος μοίρασε τα χρήματά του ως εξής: στο γιο του έδωσε το 1/5

των χρημάτων του, στην κόρη του τα 4/7 και στη γυναίκα του 36.000 €. Πόσα χρήματα είχε;

10. Ένα Σούπερ Μάρκετ είχε 180 κιλά βούτυρο. Την α΄ μέρα πούλησε το 1/3 της

ποσότητας, τη β΄ τα 5/8 του υπολοίπου και τη γ΄ μέρα τα 4/9 του νέου υπολοίπου. Πόσο βούτυρο του έμεινε;

11. Από ένα βαρέλι γεμάτο κρασί αφαιρούμε τα 2/5 του περιεχομένου, ύστερα τα

2/3 του υπολοίπου και μένουν στο βαρέλι 20 κιλά κρασί. Πόσα κιλά κρασί περιείχε το βαρέλι;

12. Ένας εκδοτικός οίκος πούλησε το 1/3 των εκτυπωθέντων βιβλίων, ύστερα τα

3/5 των υπολοίπων και τέλος τα ¾ του νέου υπολοίπου. Τα υπόλοιπα τα πούλησε προς 13,50 € το ένα και εισέπραξε 10.800 €. Πόσα βιβλία είχε εκτυπώσει;


ΠΑΠΑΤΣΑΝΗ ΚΑΤΕΡΙΝΑ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

1) Ένα φορτηγό αυτοκίνητο μεταφέρει 3 κιβώτια. Το α’ ζυγίζει 185 κιλά, το β’ ζυγίζει

10 κιλά περισσότερο από το α’ και το γ’ 15 κιλά λιγότερο από το β’. Πόσο βάρος

μεταφέρει το αυτοκίνητο; Λύση

............................................................................................................................. .................

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Απάντηση: ……………………………………………………………………………………………………………..

2) Τα μιας απόστασης είναι χιλιόμετρα. Πόσα χιλιόμετρα είναι όλη η απόσταση;

Λύση

…………………………………………………………………………………………................................................

Απάντηση: ………………………………………………………………………………………………………………

3) Ο πατέρας του Κώστα ξόδεψε τον περασμένο μήνα τα από το μισθό του για

διατροφή, το από το υπόλοιπο για ρουχισμό, και τα του νέου υπόλοιπου για

τηλέφωνο. Αν ο μισθός του ήταν 1400 €, πόσα € ξόδεψε για κάθε περίπτωση και

πόσα € του έμειναν;

Λύση

......................................................................

…………………………………………………………………..

……………………………………………………………………

…………………………………………………………………..


kristy

ΟΝΟΜΑ:

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 119 αγόρια και 126 κορίτσια. Είναι δυνατόν να παραταχθούν σε πεντάδες:

α)τα αγόρια, χωρίς να περισσεύει κανένα;(ναι, όχι και γιατί)

β)τα κορίτσια, χωρίς να περισσεύει κανένα;(ναι, όχι και γιατί)

γ)όλα τα παιδιά, χωρίς να περισσεύει κανένα;(ναι, όχι και γιατί)

Η Ελπίδα αγόρασε 6 μπλούζες που η καθεμιά κοστίζει 25€. Μπορεί να πληρώσει μόνο με χαρτονομίσματα των 10€, γίνεται;(ναι, όχι και γιατί)

Ένας ανθοπώλης έχει 156 τριαντάφυλλα. Θέλει να φτιάξει ανθοδέσμες που η καθεμία να έχει 10 τριαντάφυλλα. Πόσες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει και πόσα τριαντάφυλλα θα περισσέψουν;

Σε ένα δημοτικό σχολείο υπάρχουν 237 παιδιά. Πόσα παιδιά θα περισσέψουν, ανα αυτά παραταχθούν:

α)σε δυάδες:

β)σε πεντάδες:

γ)σε δεκάδες:


kristy

ΟΝΟΜΑ:

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Ένα βιβλίο έχει λιγότερες από 382 σελίδες και περισσότερες από 376σελίδες. Τις μετρήσαμε πέντε-πέντε και δεν περίσσεψε καμία. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο;

Ένα ενυδρείο έχει περισσότερα από 781 και λιγότερα από 799 ψαράκια. Αν τα μετρήσουμε δύο-δύο ή πέντε- πέντε ή δέκα – δέκα δεν περισσεύει κανένα. Πόσα είναι τα ψαράκια;

Τρία πλοία φεύγουν ταυτόχρονα από το λιμάνι του Πειραιά προς διαφορετικές κατευθύνσεις. Το πρώτο πλοίο πηγαίνει στον προορισμό του και επιστρέφει στο λιμάνι κάθε 8 ημέρες, το δεύτερο κάθε 9 ημέρες και το τρίτο κάθε 12 ημέρες. Μετά από πόσες τουλάχιστον ημέρες θα ξαναφύγουν τα τρία πλοία μαζί από το λιμάνι του Πειραιά;

Το λάδι που περιέχει ένα βαρέλι μπορεί να συσκευαστεί σε δοχεία των 4, των 8 ή των 9 κιλών, χωρίς να περισσέψει καθόλου. Πόσα κιλά λάδι, το λιγότερο, περιέχει το βαρέλι;



Πρόσθεση- Αφαίρεση κλασμάτων

Δεν ξεχνώ να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα!!!!! Εκτελώ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ τις παρακάτω πράξεις!

1. Εκτελώ τις πράξεις

α. 2 3

7 7 β.

3 2

5 5 γ.

3 2 1

4 4 4 δ.

4 5 6

3 3 3

ε. 3 9 8

25 25 25 στ.

12 7 9

15 15 15


α. 7 1

8 2 β.

3 2

4 3 γ.

4 5

5 6 δ.

2 5 7

3 6 12

ε. 3 2 1

8 5 4 στ.

5 3 5

20 15 12


α. 2 3

4 5 β.

2 31

3 4 γ.

1 12 1

4 2 δ.

2 2

3 4

ε. 1 1

24 2 στ.

56

8 ζ.

5 3 4

8 4 6 η.

3 7 2

8 12 4

θ. 4 3 5 1

6 5 10 2 ι.

4 2

5 6 ια.

1 2 3 8

4 5 20 15


elena

Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων

Μία ανθοδέσμη έχει άσπρα και χρωματιστά τριαντάφυλλα. Τα άσπρα

τριαντάφυλλα είναι 24 και αποτελούν τα 2 του

3

συνόλου των τριαντάφυλλων. α) Πόσα είναι όλα τα τριαντάφυλλα της ανθοδέσμης ;

β) Τι μέρος των τριαντάφυλλων της ανθοδέσμης είναι χρωματιστά;

γ) Πόσα είναι τα χρωματιστά τριαντάφυλλα;

Τον προηγούμενο μήνα γράφτηκαν σε μια σχολή χορού 42 καινούρια παιδιά,

τα οποία αποτελούντα 2 του συνόλου των παιδιών της σχολής.

7

α) Πόσα είναι όλα μαζί τα μέλη της σχολής;

β) Αν τα 2 των παιδιών είναι κορίτσια, πόσα είναι τα αγόρια; 3

Σε ένα βιβλιοπωλείο τα 4 τετράδια κοστίζουν 12 .

α) Πόσο κοστίζει το 1 τετράδιο;

β) Πόσο κοστίζουν τα 15 τετράδια;

γ) Πόσα τετράδια μπορούμε να αγοράσουμε με 27 ;

Σε ένα κουτί υπάρχουν 40 τρουφάκια που το καθένα έχει 45 θερμίδες. Η

Δανάη έφαγε το 35% από τα τρουφάκια που υπάρχουν στο κουτί. Πόσες

θερμίδες κατανάλωσε συνολικά;

Η Μαργαρίτα αγόρασε 4 σακουλάκια με 18 μπαλόνια το καθένα. Αν μοίρασε τα

μπαλόνια σε 6 φίλες της, πόσα μπαλόνια έδωσε σε κάθε φίλη;

Ο κύριος Χαράλαμπος έδωσε 6 χαρτονομίσματα των 20 στα 2 εγγόνια του

και τους είπε να τα μοιραστούν. Πόσα χρήματα πήρε το κάθε εγγόνι;

Ένα άλμπουμ έχει 24 σελίδες που η καθεμιά χωράει 4 γραμματόσημα. Η Έλλη

γέμισε με γραμματόσημα τα 2 των σελίδων. Πόσα γραμματόσημα έβαλε

στο

3

άλμπουμ;


elena

Σε ένα κιβώτιο υπάρχουν 24 κουτάκια πορτοκαλάδας, τα οποία κοστίζουν

1,2 το ένα. Ο Νικόλας αγόρασε τα 3 των αναψυκτικών που υπάρχουν

στο κιβώτιο.

8

Πόσα χρήματα πλήρωσε;

--


Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄

Education

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ - ΄΄Επανάληψη 6ης ενότητας, κεφ. 36-40 ΄΄