Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

22
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1 Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΜΕΡΟΣ Α: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι σημειώσεις βασίζονται στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α (Hugh D. Young). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ www.sciencephysics4all.weebly.com

Transcript of Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Page 1: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΜΕΡΟΣ Α: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

Οι σημειώσεις βασίζονται στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α (Hugh D.

Young).

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

www.sciencephysics4all.weebly.com

Page 2: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 2

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Οι σημειώσεις αυτές απευθύνονται σε πρωτοετείς φοιτητές ΑΕΙ και ΤΕΙ που

διδάσκονται το μάθημα Φυσική Ι – Μηχανική σε πρώτο πανεπιστημιακό επίπεδο.

Είναι βασισμένες στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α (Hugh D. Young).

Περιέχουν σύνοψη της θεωρίας των κεφαλαίων 2 και 3, καθώς και χαρακτηριστικά

παραδείγματα με τις λύσεις τους.

Δεν αποτελούν σε καμία περίπτωση υποκατάστατο πανεπιστημιακού βιβλίου.

Αποτελούν όμως ένα χρήσιμο βοήθημα για το φοιτητή που χρειάζεται λυμένα

παραδείγματα για την περεταίρω κατανόηση της θεωρίας.

Επικοινωνία

Αν θέλετε να επικοινωνήσετε μαζί μας για οποιοδήποτε λόγο (παρατηρήσεις,

διορθώσεις κ.τ.λ) στείλτε τα μας το μήνυμά σας σε ένα από τα παρακάτω mail:

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Page 3: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 3

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ .......................................................................................... 4

Α.1) Συνθήκες ισορροπίας ......................................................................................... 4

Α.2) Κέντρο βάρους ................................................................................................... 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΡΑΦΩΝ Α.1-Α.2 .......................................................... 5

Α.3) Επίλυση προβλημάτων ισορροπίας ................................................................... 5

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΥ Α.3 ................................................................. 6

Α.4) Ζεύγη ............................................................................................................... 10

ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ .............................................................................. 11

Β.1) Τάσεις εφελκυσμού και παραμορφώσεις ......................................................... 11

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β.1 ..................................................................... 13

Β.2) Ισοτροπική τάση και ισοτροπική παραμόρφωση............................................. 16

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β.2 ..................................................................... 17

Β.3) Διατμητική τάση και διατμητική παραμόρφωση ............................................. 19

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β.3 ..................................................................... 20

Β.4) Ελαστικότητα και πλαστικότητα ..................................................................... 21

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β.4 ..................................................................... 21

Page 4: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 4

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

Α.1) Συνθήκες ισορροπίας

Για ένα υλικό σημείο η συνθήκη ισορροπίας είναι: 0F

(το διανυσματικό άθροισμα των

δυνάμεων πρέπει να είναι μηδέν). Η συνθήκη αυτή εξασφαλίζει την ακινησία του σημείου ή

την κίνησή του με σταθερή ταχύτητα.

Για ένα στερεό σώμα η συνθήκη ισορροπίας είναι: 0

ως προς οποιοδήποτε σημείο (το

άθροισμα των αλγεβρικών τιμών των ροπών των δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε

καθορισμένο σημείο πρέπει να είναι μηδέν). Η συνθήκη αυτή εξασφαλίζει τη μη περιστροφή

του σώματος. Προσοχή: εξασφαλίζει και την περιστροφική του κίνηση με σταθερή γωνιακή

ταχύτητα, παρ’ όλα αυτά μια τέτοια κίνηση δεν συνιστά κατάσταση ισορροπίας, διότι σ’

αυτήν την περίπτωση τα επιμέρους υλικά σημεία του σώματος επιταχύνονται (η ταχύτητά

τους αλλάζει συνεχώς κατεύθυνση). Αντίθετα, ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική

κίνηση με σταθερή ταχύτητα αλλά όχι περιστροφική, τότε αυτό βρίσκεται σε κατάσταση

ισορροπίας.

Α.2) Κέντρο βάρους

Το βάρος δεν ενεργεί σε ένα μόνο σημείο αλλά είναι κατανεμημένο σε όλη τη μάζα του

σώματος. Όταν όμως η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίδια για κάθε σημείο του σώματος,

μπορούμε να θεωρούμε ότι όλη η δύναμη του βάρους ασκείται σε ένα μοναδικό σημείο που

ονομάζεται κέντρο βάρους. Το σημείο αυτό συμπίπτει με το κέντρο μάζας του σώματος σε

ένα ομογενές πεδίο βαρύτητας.

Το κέντρο βάρος (το κέντρο μάζας) έχει τις εξής ιδιότητες:

α) Όταν κάποιο σώμα ισορροπεί στηριγμένο ή κρεμασμένο από ένα σημείο, το κέντρο

βάρους θα βρίσκεται πάντα ακριβώς πάνω ή κάτω από το σημείο αυτό. Αν βρισκόταν

οπουδήποτε αλλού, το βάρος θα είχε κάποια ροπή ως προς το σημείο αυτό και το σώμα λόγω

περιστροφής δε θα μπορούσε να ισορροπεί.

β) Δύναμη που εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους ενός σώματος, δεν μπορεί να προκαλέσει την

περιστροφή του γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους.

γ) Η ολική ορμή ενός σώματος είναι ίση με το γινόμενο της ολικής του μάζας επί την

ταχύτητα του κέντρου μάζας του.

Σε ένα σύνολο υλικών σημείων με μάζες ,..., 21 mm και συντεταγμένες

),...,,(),,,( 222111 zyxzyx , οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας cmcm yx , και cmz δίνονται

από τις σχέσεις:

i

iicm

m

xm

mm

xmxmx

...

...

21

2211

i

iicm

m

ym

mm

ymymy

...

...

21

2211

i

iicm

m

zm

mm

zmzmz

...

...

21

2211

Page 5: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 5

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Αφού τα cmcm yx , , cmz είναι οι συνιστώσες του διανύσματος θέσης cmr

του κέντρου μάζας, οι

παραπάνω εξισώσεις συμπυκνώνονται στην εξής μια:

i

iicm

m

rm

mm

rmrmr

...

...

21

2211

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Άσκηση 11-1 σελ. 307 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Μπάλα ακτίνας mr 06,01 και μάζας kgm 11 συνδέεται με δεύτερη μπάλα με

mr 08,02 και kgm 42 με τη βοήθεια αβαρούς ράβδου μήκους m4,0 . Πού βρίσκεται το

κέντρο βάρος του συστήματος;

ΛΥΣΗ

Ορίζουμε ως αρχή το αριστερό άκρο της ράβδου και θετική πλευρά του άξονα των x , αυτή

δεξιά από το εν λόγω άκρο. Το κέντρο μάζας κάθε σώματος βρίσκεται στο κέντρο του, οπότε

η συντεταγμένη x του κέντρου μάζας του συστήματος (άρα και του κέντρο βάρος του) είναι:

mkgkgkg

mmmkgmkg

mmm

xmxmxmxcm 372,0

041

2,00)08,04,0(4)06,0(1

321

3.2211

Επομένως, το κέντρο βάρους του συστήματος βρίσκεται m372,0 από το αριστερό άκρο της

ράβδου ή m432,0 δεξιά από το κέντρο της πρώτης σφαίρας ή m432,0 αριστερά από το

κέντρο της δεύτερης σφαίρας.

3) Επίλυση προβλημάτων ισορροπίας

Στρατηγική που ακολουθούμε:

1. Περιγράφουμε με σκίτσο το πρόβλημα.

2. Προσδιορίζουμε ποιο είναι το σώμα σε ισορροπία και σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που

ασκούνται πάνω του και όχι αυτές που ασκεί σε άλλα σώματα. Οι αρχές που διέπουν την

ισορροπία ενός στερεού σώματος είναι ότι: i) το διανυσματικό άθροισμα των ασκούμενων

στο σώμα δυνάμεων είναι μηδέν και ii) το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς

οποιοδήποτε σημείο είναι μηδέν.

Page 6: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 6

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

3. Αποφασίζουμε τη θετική φορά δυνάμεων και ροπών.

4. Γράφουμε τις εξισώσεις των συνθηκών ισορροπίας.

5. Ως σημείο αναφοράς των ροπών επιλέγουμε ένα από το οποίο διέρχεται ο φορέας μιας

άγνωστης δύναμης ώστε να απαλλαγούμε από αυτήν (μηδενική η ροπή της σε αυτή την

περίπτωση).

6. Αν μια δύναμη μας δίνεται με τις συνιστώσες της, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ροπή της

υπολογίζοντας τη ροπή κάθε συνιστώσας χωριστά και αθροίζοντας τις επιμέρους ροπές.

7. Χρειαζόμαστε τόσες εξισώσεις, όσοι είναι οι άγνωστοι του προβλήματος. Γι’ αυτό το λόγο,

μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσουμε τη ροπή μιας δύναμης ως προς δύο ή περισσότερους

άξονες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Άσκηση 11-7 σελ. 307 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Μία σανίδα καταδύσεων μήκους 3,0m στηρίζεται σε ένα σημείο που απέχει 1,0m από το

άκρο της. Ο καταδύτης ζυγίζει 580Ν και στέκεται στο ελεύθερο άκρο της. Η σανίδα

ομοιόμορφη και ζυγίζει 400Ν. Υπολογίστε α) τη δύναμη στο σημείο στήριξης και β) τη

δύναμη στο άκρο που πιέζεται προς τα κάτω.

ΛΥΣΗ

Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σανίδα είναι το ακόλουθο:

Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε καθορισμένο σημείο

πρέπει να είναι μηδέν, όταν η σανίδα ισορροπεί. Θα πάρουμε το άθροισμα των ροπών ως

προς το σημείο Α:

NFmNmNmF 2340035805,140010 11

Επειδή η σανίδα ισορροπεί, το διανυσματικό άθροισμα των ασκούμενων δυνάμεων είναι

μηδέν:

Page 7: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 7

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

NFNNFFFy 136005804000 221

Πρόβλημα 11-45 σελ. 312 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Με ένα φίλο σας μαζί ανεβάζετε σε μια σκάλα ένα κιβώτιο 200kg. Εσείς σηκώνετε από τη

χαμηλότερη πλευρά. Οι διαστάσεις του κιβωτίου είναι 1,25m μάκρος και 0,5m ύψος. Σκάλα

και κιβώτιο σχηματίζουν γωνία 45° με το δάπεδο. Αν η δύναμη που ασκεί ο καθένας σας

είναι κατακόρυφη, ποιο είναι το μέτρο της για τον καθένα; Από ποια πλευρά σας συμφέρει να

σηκώνετε;

ΛΥΣΗ

Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το κιβώτιο είναι το ακόλουθο:

Κατ’ αρχάς, οι γωνίες με κόκκινο χρώμα είναι ίσες ως κατακορυφήν. Η κάτω εκ των δύο

όμως είναι 45° γιατί ανήκει σε ορθογώνιο τρίγωνο με τη μια γωνία 45°. Άρα, και η πάνω

γωνία από τις κατακορυφήν είναι 45° και συνεπώς το ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο αυτή

ανήκει είναι ισοσκελές. Αυτό σημαίνει ότι οι δυο του ίσες πλευρές είναι 0.25m (αφού η μια

είναι μισή του ύψους). Επομένως, τελικά το μισό κομμάτι του μάκρους χωρίζεται σε δύο

τμήματα των 0,375m και 0,25m.

Όταν το κιβώτιο είναι ακίνητο, οι δύο συνθήκες ισορροπίας μάς δίνουν:

Page 8: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 8

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

mgFFwFFwFFFy 212121 00

NFFsmkgFF 1960/8,9200 21

2

21

45cos25,1

45cos375,0196000 2

2

222m

mNF

l

lwFlwlF w

wA

NF 5882

Άρα:

NNNF 137258819601

Όπως φαίνεται, η δύναμη που ασκεί το άτομο στην πάνω πλευρά είναι πολύ μικρότερη από

αυτή του ατόμου στην κάτω πλευρά. Επομένως, η πάνω πλευρά είναι η πιο συμφέρουσα.

Πρόβλημα 11-59 σελ. 314 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Βιβλιοθήκη βάρους 1500Ν ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο με συντελεστή στατικής τριβής

30,0s . Έχει ύψος 1,80m και πλάτος 2,00m. Το κέντρο βάρους της συμπίπτει με το

γεωμετρικό της κέντρο. Η βιβλιοθήκη στηρίζεται σε τέσσερα κοντά πόδια τοποθετημένα

0,10m από τα άκρα της βάσης. Κάποιος τραβά ένα σχοινί, δεμένο στο άνω αριστερό άκρο της

βιβλιοθήκης, ασκώντας δύναμη F

υπό γωνία θ με την κατακόρυφο. α) Αν 90 , δείξτε

ότι καθώς αυξάνει το μέτρο της F

, η βιβλιοθήκη θα αρχίσει να ολισθαίνει χωρίς ανατροπή

και υπολογίστε το μέτρο της F

που απαιτείται για να ξεκινήσει η ολίσθηση. β) Αν 0 ,

δείξτε ότι η βιβλιοθήκη θα ανατραπεί παρά θα ολισθήσει και υπολογίστε το μέτρο της F

που απαιτείται για να ξεκινήσει η ανατροπή. γ) Υπολογίστε σα συνάρτηση της θ, το μέτρο

της F

που θα προκαλέσει i) πρώτα ολίσθηση, ii) πρώτα ανατροπή. Ποια είναι η ελάχιστη

τιμή της θ, στην οποία μπορούμε να έχουμε πρώτα ολίσθηση χωρίς ανατροπή;

Page 9: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 9

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΛΥΣΗ

α) Όταν η F

δρα υπό γωνία 90 , η διεύθυνσή της είναι κοινή με αυτή της στατικής

τριβής, επομένως όλο της το μέτρο (και όχι μέρος αυτού) δαπανάται ώστε να νικηθεί η

στατική τριβή. Έτσι, το μέτρο που πρέπει να έχει ώστε να καταφέρει να προκαλέσει την

ολίσθηση της βιβλιοθήκης είναι ίσο με την ανώτερη τιμή της στατικής τριβής (οριακή τιμή):

NNwNTF ss 45015003,0

(όταν η βιβλιοθήκη βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο και η F

κείται στην οριζόντια

διεύθυνση, οι μόνες δυνάμεις που βρίσκονται στην κατακόρυφη διεύθυνση είναι η κάθετη

αντίδραση από το δάπεδο και το βάρος, που λόγω του πρώτου νόμου του Νεύτωνα έχουν ίσα

μέτρα)

Για να ανατραπεί η βιβλιοθήκη, θα πρέπει να μη στηρίζεται στο δεξί πόδι και τη μόνη

αντίδραση από το δάπεδο να τη δέχεται μόνο στο αριστερό άκρο του αριστερού ποδιού της.

Σε αυτή την περίπτωση, αν εφαρμόσουμε τη δεύτερη συνθήκη ισορροπίας (με τις ροπές) ως

προς το αριστερό άκρο του αριστερού ποδιού, θα βρούμε:

Nm

mm

N

l

lwFlFlw 750

80,1

1,02

00,21500

03

131

Από NF 750 και πάνω η βιβλιοθήκη ανατρέπεται. Έτσι, πριν η δύναμη φτάσει αυτή την

τιμή, φτάνει τα N450 , τα οποία, όπως δείξαμε, προκαλούν την ολίσθηση της βιβλιοθήκης.

β) Όταν 0 , δεν υπάρχει οριζόντια συνιστώσα ώστε να υπερνικήσει τη στατική τριβή και

να κινήσει τη βιβλιοθήκη. Παρ’ όλα’ αυτά, η κατακόρυφη αυτή δύναμη δημιουργεί ροπή, η

οποία μπορεί να στρέψει τη βιβλιοθήκη. Πάλι, προϋπόθεση για να συμβεί αυτό, είναι η

στήριξη της βιβλιοθήκης στο αριστερό άκρο του αριστερού ποδιού της. Η δεύτερη συνθήκη

ισορροπίας ως προς το αριστερό άκρο του αριστερού ποδιού, μας δίνει:

Nm

mN

l

lwFlFlw 13500

1,0

90,015000

2

121

γ) i) Για να ολισθήσει πρώτα η βιβλιοθήκη, θα πρέπει η οριζόντια συνιστώσα της

ασκούμενης δύναμης (όταν ασκείται υπό γωνία θ όπως στο σχήμα) να γίνει ίση με την

Ν w

F l1

l2

θ

l3

Fsinθ

Fcosθ

Page 10: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 10

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ανώτερη τιμή της στατικής τριβής πριν γίνει τόση που να μπορεί να θέσει τη βιβλιοθήκη στο

αριστερό άκρο του αριστερού ποδιού της. Αυτό θα συμβεί λοιπόν όταν:

)cos(sinsinsin FwFNFTF ss

cossin s

s wF

ii) Για να ανατραπεί πρώτα η βιβλιοθήκη, θα πρέπει όπως είπαμε, η δύναμη να πάρει αμέσως

μια τόσο μεγάλη τιμή που η βιβλιοθήκη να μη δέχεται κάθετη δύναμη από το δάπεδο στο δεξί

πόδι. Αν η δύναμη δρα υπό γωνία θ, η δεύτερη συνθήκη ισορροπίας μας δίνει:

mwmFmFlFlFlw 90,010,0cos80,1sin0cossin 231

sin2cos)9/1(

wF

Με δεδομένη τη γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της δύναμης με την κατακόρυφο, η

μέγιστη τιμή της F ώστε να έχουμε πρώτα ολίσθηση θα είναι η ελάχιστη τιμή της F ώστε

να έχουμε πρώτα ανατροπή. Εξισώνοντας λοιπόν τις τιμές της F που αντιστοιχούν στις δύο

συνθήκες, παίρνουμε:

cossin s

s w

cossin)sin2cos)9/1((

sin2cos)9/1(ss

w

Η μέγιστη τιμή της F για να προκύψει μόνο ολίσθηση (και αντίστοιχα η ελάχιστη τιμή της

για να προκύψει ανατροπή) θα αντιστοιχεί στην ελάχιστη γωνία ώστε να έχουμε πρώτα

ολίσθηση (αφού αν μειωθεί κι άλλο η γωνία, η κάθετη συνιστώσα της δύναμης θα μεγαλώσει

και θα ενισχύσει τη δυνατότητα ανατροπής). Με άλλα λόγια, όσο αυξάνεται η γωνία, τόσο

μικραίνει η απαιτούμενη δύναμη που θα εξασφαλίσει την ολίσθηση και ταυτόχρονα τόσο

μεγαλύτερη δύναμη πρέπει να ασκήσουμε για να πετύχουμε ανατροπή.

Έτσι, λύνοντας ως προς θ, λαμβάνουμε:

s

s

s

sss

21

)9/10(tan

cos

sin

21

)9/10(sin)21(cos)9/10(

40

21

)9/10(arctan

s

s

4) Ζεύγη

Δύο δυνάμεις που ασκούνται στο ίδιο σώμα και έχουν το μέτρο, αντίθετη κατεύθυνση και

διαφορετικούς παράλληλους φορείς λέμε ότι αποτελούν ζεύγος δυνάμεων.

Η ροπή ενός ζεύγους παραμένει ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο, το δε μέτρο της είναι ίσο

με το γινόμενο του μέτρου των δυνάμεων επί την κάθετη απόσταση μεταξύ των φορέων τους.

Page 11: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 11

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

Β.1) Τάσεις εφελκυσμού και παραμορφώσεις

Σε ένα πραγματικό σώμα, η εφαρμογή δυνάμεων μπορεί να προκαλέσει την επιμήκυνσή του,

τη συμπίεσή του ή τη στρέψη του. Για κάθε είδος παραμόρφωσης, τα μεγέθη που

εμπλέκονται είναι τα εξής:

α) Η τάση: Είναι η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας που προκαλεί την εκάστοτε

παραμόρφωση.

β) Η παραμόρφωση: Είναι η παραμόρφωση που προκαλείται από την τάση.

γ) Το μέτρο ελαστικότητας: Είναι ο συντελεστής αναλογίας της τάσης και της

παραμόρφωσης, αφού για μικρές τιμές τους, το ένα μέγεθος είναι ευθέως ανάλογο του άλλου.

Το μέτρο ελαστικότητας αποτελεί ένα βασικό μέγεθος της μηχανικής συμπεριφοράς των

σωμάτων και εξαρτάται αποκλειστικά από το υλικό τους. Συγκεκριμένα, εξαρτάται από

τις δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ ατόμων το υλικού ώστε να κρατάνε τα άτομα στις

θέσεις ισορροπίας τους. Όταν σε ένα σώμα ασκηθούν εξωτερικές δυνάμεις, τα άτομα

μετατοπίζονται από τις αρχικές τους θέσεις σε νέες. Αυτό προκαλεί την ανάπτυξη

εσωτερικών δυνάμεων που αντιτίθενται στις εξωτερικές και τείνουν να επαναφέρουν τα

άτομα στις αρχικές τους θέσεις. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ένα υλικό αποτελείται

από παράλληλες σειρές ατόμων συνδεδεμένες με ελατήρια τα οποία παριστάνουν τις

ενδοατομικές αποστάσεις. Το πόσο θα παραμορφωθεί το υλικό, όταν δεχθεί μια τάση,

εξαρτάται από το πόσο «σκληρά» είναι τα ελατήρια αυτά. Ένα υλικό με μεγάλο μέτρο

ελαστικότητας είναι δύσκαμπτο, διότι για να επιτευχθεί συγκεκριμένη παραμόρφωση

απαιτείται μεγάλη τάση.

Με ορισμένες προϋποθέσεις (π.χ. η τάση να είναι σταθερή κατά μήκος του σώματος, η

παραμόρφωση να μην είναι παραμένουσα), η σχέση αναλογίας μεταξύ τάσης και

παραμόρφωσης είναι γνωστή και ως νόμος του Hooke, από τον Robert Hooke, σύγχρονο του

Νεύτωνα. Μια ειδική περίπτωση του νόμου του Hooke είναι η αναλογία της επιμήκυνσης

ενός ελατηρίου προς τη δύναμη που το εκτείνει.

Το απλούστερο πρόβλημα ελαστικής συμπεριφοράς (δηλαδή εφαρμογής εξωτερικών

δυνάμεων έντασης τέτοιας που να μην επιφέρει θραύση της κατασκευής ή μόνιμη

παραμόρφωση) είναι η επιμήκυνση μιας δοκού διατομής A με την άσκηση δύο αντίθετων

δυνάμεων F (ώστε το σώμα να μη μετακινείται δεξιά ή αριστερά). Τότε, κάθε τυχαία

διατομή της θα καταπονείται με αξονική δύναμη F και θα λέμε ότι η δοκός βρίσκεται σε

κατάσταση εφελκυσμού. Με το σύμβολο , απλά τονίζουμε ότι η δύναμη ενεργεί κάθετα

στη διατομή.

Page 12: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 12

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Ορίζουμε λοιπόν τότε ως τάση εφελκυσμού, το λόγο της δύναμης F προς το εμβαδόν A

της διατομής της δοκού:

Τάση εφελκυσμού = A

F

Η μονάδα για την τάση είναι το 1 Pascal, δηλαδή κοινή την πίεση (όπως μαρτυρά και ο

ορισμός της τάσης).

Όταν οι δυνάμεις στα άκρα μιας δοκού τείνουν να την βραχύνουν, τότε λέμε ότι η δοκός

βρίσκεται σε κατάσταση συμπίεσης ή θλίψης. Σε αυτή την περίπτωση, η τάση λέγεται τάση

συμπίεσης ή θλιπτική τάση και δίνεται από την ίδια σχέση.

Γενικά, η τάση που προκαλεί την επιμήκυνση ή τη σύνθλιψη ενός σώματος κατά μήκος

άξονά του, ονομάζεται ορθή τάση. Απλά, η ορθή τάση είναι θετική όταν η δύναμη εφελκύει

την επιφάνεια (τάση εφελκυσμού) και αρνητική όταν τη θλίβει (τάση συμπίεσης).

Η ποσοστιαία (ανηγμένη) μεταβολή του μήκους ενός σώματος ονομάζεται παραμόρφωση

εφελκυσμού αν επιμηκύνεται ή θλιπτική παραμόρφωση αν συμπιέζεται. Η παραμόρφωση του

σώματος προσδιορίζεται από το λόγο:

παραμόρφωση εφελκυσμού ή συμπίεσης = 00

0

l

l

l

ll

όπου 0l το αρχικό μήκος του σώματος και l το τελικό.

Στην περίπτωση του εφελκυσμού, η παραμόρφωση είναι θετική ποσότητα αφού 0ll

(αύξηση μήκους), ενώ στην περίπτωση της συμπίεσης, η παραμόρφωση είναι αρνητική

ποσότητα αφού 0ll (μείωση μήκους).

Έχει αποδειχθεί ότι για μικρές τάσεις εφελκυσμού ή θλίψης, παραμόρφωση και τάση είναι

ποσότητες ανάλογες. Ο συντελεστής αναλογίας τους είναι το μέτρο ελαστικότητας του

υλικού, που σε αυτή την περίπτωση (δηλαδή της αξονικής τάσης και παραμόρφωσης)

ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας Young, Y :

ή αλλιώς: l

F

A

l

ll

AFY

0

0/

/

Η παραμόρφωση είναι καθαρός αριθμός, επομένως το μέτρο ελαστικότητας Young έχει τις

ίδιες διαστάσεις με την τάση, δηλαδή είναι δύναμη ανά επιφάνεια. Ένα υλικό με μεγάλη τιμή

του Y , είναι σχετικά δύσκολο να επιμηκυνθεί και χρειάζεται μεγάλη τάση για να προκληθεί

συγκεκριμένη παραμόρφωση.

Page 13: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 13

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Επιπλέον, όταν ένα σώμα επιμηκύνεται, ταυτόχρονα γίνεται και λεπτότερο. Αντίστοιχα, ένα

σώμα που συμπιέζεται, την ίδια στιγμή εξογκώνεται στα πλάγια. Η ποσοστιαία μεταβολή

(είτε αύξηση είτε μείωση) του πλάτους είναι ανάλογη προς την παραμόρφωση. Αν 0w το

αρχικό πλάτος του σώματος και w η μεταβολή του, τότε θα ισχύει:

00 l

l

w

w

Η σταθερά είναι αδιάστατη, διαφορετική για κάθε υλικό και ονομάζεται λόγος Poisson

(δηλαδή είναι ο λόγος της πλευρικής προς την αξονική παραμόρφωση).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Άσκηση 11-21 σελ. 309 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Κατακόρυφος ατσάλινος στύλος μήκους 3m και διαμέτρου 15cm υποβαστάζει μάζα 6000kg.

Υπολογίστε α) την τάση, β) την παραμόρφωση και γ) τη μεταβολή του ύψους του στύλου.

ΛΥΣΗ

Το εμβαδόν της διατομής του στύλου είναι: 2222 018,0105,714,3 mmrA .

Επιπλέον, η κάθετη δύναμη που δέχεται ο ακίνητος στύλος είναι ίση με το βάρος του

σώματος, δηλαδή: NsmkgmgBF 58800/8,96000 2 .

α) Το σώμα σπρώχνει τον στύλο προς τα κάτω και τον συμπιέζει. Συνεπώς, μιλάμε για μια

θλιπτική τάση η οποία θα είναι:

Τάση εφελκυσμού = Pam

N

A

F 6

2103,3

018,0

58800

β) Η παραμόρφωση θα είναι ίση με:

παραμόρφωση = 5

11

6

1065,1102

103,3

Pa

Pa

Y

ά

Το μείον δηλώνει τη συμπίεση που υφίσταται ο στύλος. Επίσης, το μέτρο Young του

ατσαλιού είναι καταχωρημένο σε σχετικό πίνακα.

γ) Για τη μεταβολή του ύψους έχουμε:

παραμόρφωση =

0

0

lll

l(παραμόρφωση) = mm 55 1095,41065,13

Το μείον δηλώνει ότι το μήκος του στύλου μειώνεται.

Page 14: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 14

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Πρόβλημα 11-51 σελ. 313 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Μάζα 15kg είναι δεμένη στο άκρο ατσάλινου σύρματος, αρχικού μήκους 0,5m και

περιστρέφεται σε κατακόρυφο κύκλο με γωνιακή ταχύτητα 2 στροφές ανά δευτερόλεπτο στο

κατώτατο σημείο του κύκλου. Η διατομή του σύρματος είναι 0,014 cm2 . Υπολογίστε την

επιμήκυνση του σύρματος τη στιγμή που η μάζα περνά από το χαμηλότερο σημείο της

τροχιάς.

ΛΥΣΗ

Στο κατώτατο σημείο της κυκλικής τροχιάς της μάζας, αυτή τραβά το σύρμα με δύναμη που

δεν είναι ίση με το βάρος της γιατί η μάζα δε βρίσκεται σε στατική ισορροπία. Η δύναμη που

τραβά το σύρμα σε εκείνο το σημείο είναι ίση κατά μέτρο την τάση του νήματος (αλλά

αντίθετης φοράς - το σύρμα επιμηκύνεται). Κατασκευάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου

σώματος:

Την τάση θα τη βρούμε εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τη μάζα σε εκείνο

το σημείο (η συνισταμένη των δυνάμεων στη διεύθυνση της ακτίνας του κύκλου είναι ίση με

την κεντρομόλο δύναμη):

)( 222

RgmTRmmgTR

mmgTmaF

NmήradsέsmkgT 1,13305,0/2/2/8,91522

Επομένως, η επιμήκυνση της μάζας σε εκείνο το σημείο θα είναι:

mmmm

mN

YA

lFl

l

F

A

lY 4,2108,23751

)10(014,0102

)5,0)(1,1330( 7

2211

00

Σημείωση: Στο ανώτατο σημείο της κυκλικής τροχιάς, η τάση του σύρματος με την οποία το

σύρμα τραβά τη μάζα έχει φορά προς τα κάτω, και το βάρος της μάζας φυσικά έχει κι αυτή

φορά προς τα κάτω. Έτσι, σε αυτό το σημείο, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα διαμορφώνεται

ως εξής: )( 222

gRmTmgRmTR

mmgT

. Δηλαδή, η τάση του

σύρματος, που είναι ίση με την εφελκυστική αξονική δύναμη (με την οποία καταπονείται το

σύρμα λόγω της μάζας), είναι μικρότερη στο ανώτερο σημείο της τροχιάς, όπως μικρότερη

είναι κατά συνέπεια και η επιμήκυνση του σύρματος εκεί.

Page 15: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 15

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Πρόβλημα 11-53 σελ. 313 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Αβαρής ράβδος μήκους 1,05m κρέμεται από τα άκρα της με δύο ισομήκη σύρματα Α και Β.

Η διατομή του Α είναι 1,00mm2 και εκείνη του Β είναι 4,00mm2. Το μέτρο του Young είναι

2,40×1011 Pa για το Α και 1,60×1011 Pa για το Β. Σε ποιο σημείο της ράβδου θα πρέπει να

κρεμαστεί βάρος w ώστε α) οι τάσεις στα άκρα Α και Β να είναι ίσες; β) οι παραμορφώσεις

στα Α και Β να είναι ίσες;

ΛΥΣΗ

Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για την κατασκευή είναι το ακόλουθο:

Τα δύο σύρματα επιμηκύνονται οπότε μιλάμε για τάσεις εφελκυσμού, οι οποίες

προκαλούνται από δυνάμεις που είναι ίσες με αυτές που υφίσταται η ράβδος στα άκρα της

από τα δύο σύρματα, εφόσον η κατασκευή ισορροπεί.

α) Για να είναι οι τάσεις στα δύο άκρα της ράβδου ίσες, θα πρέπει να ισχύει:

ABBA

B

B

A

A

B

B

A

ABA TT

mm

T

mm

T

A

T

A

T

A

F

A

Fάά 4

00,400,1 22

Η κατασκευή θα ισορροπεί, επομένως η συνθήκη ισορροπίας 0

ως προς το σημείο

όπου κρεμάμε το σώμα, άρα στο σημείο C, μας δίνει:

0)05,1(40)05,1(0 xTxmTxTxmT AAABC

mxm

xxxmxxm 84,05

2,4042,40)05,1(4 από το Α

β) Για να είναι οι παραμορφώσεις στα δύο άκρα ίσες θα πρέπει:

παραμόρφωσηA=παραμόρφωσηΒ

BoAo l

l

l

l

Page 16: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 16

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

)1060,1)(00,4()1040,2)(00,1( 112112 Pamm

T

Pamm

T

YA

F

YA

F BA

BB

B

AA

A

AB TT 67,2

Επομένως, πάλι η ίδια συνθήκη ισορροπίας μάς δίνει:

0)05,1(67,20)05,1(0 xTxmTxTxmT AAABC

mxm

xxxmxxm 76,067,3

8,2067,28,20)05,1(67,2 από το Α

Β.2) Ισοτροπική τάση και ισοτροπική παραμόρφωση

Όταν ένα στερεό σώμα είναι βυθισμένο σε ένα ρευστό και επικρατεί ισορροπία, οι δυνάμεις

που ασκούνται από το ρευστό στην επιφάνεια του στερεού είναι πάντοτε κάθετες στην

επιφάνεια σε κάθε σημείο της. Αν η δύναμη F ασκείται σε επιφάνεια εμβαδού A , τότε

ορίζουμε ως πίεση p του ρευστού τη δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας, δηλαδή το λόγο:

A

Fp

Όταν εφαρμόζεται πίεση στην επιφάνεια ρευστού μέσα σε ένα δοχείο, η πίεση μεταφέρεται

μέσω του ρευστού και ασκείται σε κάθε επιφάνεια κάθε σώματος που είναι βυθισμένο στο

ρευστό (αρχή Pascal). Αν αγνοήσουμε τις διαφορές πίεσης λόγω διαφορών βάθους μέσα στο

ρευστό, η πίεση είναι ίδια σε κάθε σημείο του ρευστού και σε κάθε σημείο της επιφάνειας

οποιουδήποτε σώματος μέσα σε αυτό.

Σε αυτή την περίπτωση, επειδή η τάση αντιστοιχεί σε μια ομοιόμορφη πίεση που με τη σειρά

της προκαλεί μια ομοιόμορφη παραμόρφωση (μια μεταβολή όγκου), μιλάμε για μια

ισοτροπική τάση και μια ισοτροπική παραμόρφωση αντίστοιχα.

Η πίεση έχει κοινές μονάδες με την τάση (όπως την Pa). Συχνά όμως χρησιμοποιείται και η

μονάδα της ατμόσφαιρας: Paatm 510013,11 .

Όπως είπαμε, η πίεση δεν είναι παρά μια ισοτροπική τάση, με την ισοτροπική παραμόρφωση

να είναι ίση με τη ποσοστιαία (ανηγμένη) μεταβολή του όγκου:

ισοτροπική παραμόρφωση = oV

V

Page 17: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 17

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Όταν ισχύει ο νόμος του Hooke, η ισοτροπική παραμόρφωση (δηλαδή η ανηγμένη μεταβολή

το όγκου) είναι ανάλογη προς την ισοτροπική τάση (δηλαδή τη μεταβολή της πίεσης). Ο

λόγος της τάσης προς την παραμόρφωση είναι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού για

μεταβολές του όγκου του, ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας όγκου και δίνεται από τη

σχέση:

oVV

pB

/

Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι αύξηση της πίεσης (άρα p θετικό) συνεπάγεται μείωση

του όγκου (άρα V αρνητικό).

Το αντίστροφο το μέτρου ελαστικότητας όγκου λέγεται συμπιεστότητα και δίνεται από τη

σχέση:

p

V

Vp

VV

Bk

o

o

1/1

Η συμπιεστότητα δίνει την ποσοστιαία ελάττωση του όγκου όταν η πίεση αυξάνει κατά μία

μονάδα.

Υλικά με μικρό B και άρα μικρό k συμπιέζονται εύκολα. Αντίθετα υλικά με μεγάλο B και

άρα μικρό k συμπιέζονται λιγότερο κάτω από την ίδια αύξηση πίεσης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Άσκηση 11-25 σελ. 309 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Ένα είδος λαδιού με αρχικό όγκο 1000cm3 υποβάλλεται σε αύξηση πίεσης κατά 1,8·106 Pa,

οπότε ο όγκος του ελαττώνεται κατά 0,30cm3. Ποιο είναι το μέτρο ελαστικότητας του

λαδιού; Η συμπιεστότητά του;

ΛΥΣΗ

Για το μέτρο ελαστικότητας όγκου του λαδιού έχουμε:

Pacmcm

Pa

VV

pB

o

9

33

6

1061000/3,0

108,1

/

Και για τη συμπιεστότητά του:

110

9107,1

106

11

PaPaB

k

Page 18: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 18

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Πρόβλημα 11-56 σελ. 313 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Ένας λαθρέμπορος οινοπνευματωδών παρασκευάζει κάθε νύχτα αιθυλική αλκοόλη και την

αποθηκεύει σε ένα ατσάλινο κυλινδρικό δοχείο διαμέτρου 0,300m, που σφραγίζεται με ένα

έμβολο (πιστόνι). Ο συνολικός διαθέσιμος όγκος είναι 0,200m3. Στην προσπάθειά του να

χωρέσει λίγη αλκοόλη παραπάνω, τοποθετεί μολυβένια βάρη στο πιστόνι συνολικής μάζας

1420kg. Πόσο επιπλέον όγκο αιθυλικής αλκοόλης θα μπορέσει να χωρέσει στο δοχείο;

(Θεωρήστε ότι τα τοιχώματα του δοχείου είναι εντελώς ακλόνητα).

ΛΥΣΗ

Η αύξηση της πίεσης λόγω των μολυβένιων πιστονιών είναι:

Pam

smkg

r

mg

A

w

A

Fp 5

221097,1

)15,0(14,3

)/8,9)(1420(

Επομένως, η μεταβολή του όγκου της αιθυλικής αλκοόλης, με δεδομένο (από σχετικό

πίνακα) ότι το μέτρο ελαστικότητας του όγκου της είναι Β = 9,09·108 Pa, θα είναι:

3

8

35

04,01009,9

)200,0)(1097,1()(

/m

Pa

mPa

B

VpV

VV

pB o

o

Πρόβλημα 11-61 σελ. 314 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Η συμπιεστότητα του νατρίου μπορεί να μετρηθεί παρατηρώντας τη μετατόπιση του εμβόλου

του παρακάτω σχήματος, όταν εφαρμόζεται σ’ αυτό γνωστή δύναμη. Το νάτριο βυθίζεται σε

λάδι που περιέχει ο κύλινδρος μέχρι το ύψος του εμβόλου. Υποθέστε ότι κύλινδρος και

έμβολο παραμένουν τελείως άκαμπτα και ότι δεν υπάρχουν τριβές ή διαρροές λαδιού.

Υπολογίστε τη συμπιεστότητα του νατρίου συναρτήσει της δύναμης F , της μετατόπισης x

και της διατομής A του εμβόλου, του αρχικού όγκου του λαδιού oV , του αρχικού όγκου του

νατρίου o και της συμπιεστότητας του λαδιού ok .

ΛΥΣΗ

Κατ’ αρχάς, το νάτριο σε θερμοκρασία δωματίου είναι στερεό.

Σύμφωνα με τον ορισμό της συμπιεστότητας, έχουμε: p

V

Vk

o

1.

Page 19: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 19

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Επομένως, η μεταβολή στον όγκο του λαδιού θα είναι:

pVkV oo

Αντίστοιχα, η μεταβολή στον όγκο του νατρίου θα είναι:

pkV o

(Η πίεση που υφίστανται τα δύο υλικά είναι κοινή, αφού σύμφωνα με την αρχή του Pascal, η

πίεση που δέχεται το λάδι μεταφέρεται σε κάθε επιφάνεια του νατρίου που είναι βυθισμένο

εντός του.)

Η συνολική μεταβολή του όγκου θα είναι VV και ίση με τον όγκο του τμήματος του

κυλίνδρου που μετατοπίστηκε, άρα:

xApkpVkxAVV ovoo (1)

Παράλληλα, ισχύει: A

Fp (2)

Συνεπώς, η σχέση (1) γίνεται μέσω της (2):

12

oovovoo Vk

F

xAkxA

A

Fk

A

FVkxAVV

Β.3) Διατμητική τάση και διατμητική παραμόρφωση

Η τρίτη περίπτωση παραμόρφωσης είναι αυτή κατά την οποία εμφανίζεται μετατόπιση των

εγκάρσιων επιπέδων του στερεού ή με άλλα λόγια το στερεό υφίσταται στρέψη. Το

φαινόμενο αυτό ονομάζεται διατμητική παραμόρφωση και η τάση που την προκαλεί,

διατμητική τάση.

Η διατμητική τάση ορίζεται ως η δύναμη που ασκείται εφαπτομενικά σε κάποια επιφάνεια

του σώματος, δια του εμβαδού της επιφάνειας αυτής:

Διατμητική τάση = A

F

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα σώμα υπό την επίδραση διατμητικής τάσης:

Page 20: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 20

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Ορίζουμε ως διατμητική παραμόρφωση, το λόγο της μετατόπισης x της κορυφής b προς

την εγκάρσια διάσταση h :

Διατμητική παραμόρφωση = tanh

x

όπου η γωνία στρέψης σε ακτίνια.

Στα πραγματικά προβλήματα, το x είναι πολύ μικρότερο του h , με αποτέλεσμα η tan να

γίνεται ίση με τη . Έτσι, η διατμητική παραμόρφωση ταυτίζεται απλώς με τη γωνία

στρέψης.

Εάν οι δυνάμεις είναι αρκετά μικρές ώστε να ικανοποιείται ο νόμος του Hooke, η διατμητική

παραμόρφωση είναι ανάλογη της διατμητικής τάσης με συντελεστή αναλογίας που εδώ

ονομάζεται μέτρο διάτμησης S :

AF

x

F

A

h

hx

AFS

/

/

/

Προσοχή! Μόνο στα στερεά σώματα ορίζεται το μέτρο διάτμησης. Τα ρευστά, δηλαδή τα

υγρά ή τα αέρια, ρέουν ελεύθερα προς τα πλάγια όταν επιχειρήσουμε να ασκήσουμε σ’ αυτά

κάποια διατμητική τάση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Πρόβλημα 11-57 σελ. 313 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Ορθογώνια πλάκα υποβάλλεται στα δύο άκρα της σε ίσες και αντίθετες δυνάμεις

εφελκυσμού. Θεωρήστε ένα πλάγιο επίπεδο που τέμνει την πλάκα υπό γωνία θ ως προς την

κατακόρυφο. α) Προσδιορίστε την τάση εφελκυσμού στο επίπεδο αυτό συναρτήσει των

F , A και . β) Επαναλάβετε για τη διατμητική τάση στο ίδιο επίπεδο. γ) Ποια τιμή του

μεγιστοποιεί την τάση εφελκυσμού; δ) Επαναλάβετε για τη διατμητική τάση.

ΛΥΣΗ

Η δύναμη F αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες ως εξής:

Page 21: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 21

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

α) Η τάση εφελκυσμού εξαρτάται μόνο από την κάθετη στο πλάγιο επίπεδο συνιστώσα:

Τάση εφελκυσμού = A

F

A

F

A

F

2cos

cos/

cos

cos/

β) Η διατμητική τάση εξαρτάται μόνο από την παράλληλη (την εφαπτομενική) στο πλάγιο

επίπεδο συνιστώσα:

Διατμητική τάση = A

F

A

F

A

F

A

F

2

2sincossin

cos/

sin

γ) Η τάση εφελκυσμού μεγιστοποιείται όταν ο παράγοντας cos γίνεται μέγιστος, δηλαδή

όταν 1cos και άρα όταν 0 .

δ) Η διατμητική τάση μεγιστοποιείται όταν ο παράγοντας 2sin γίνεται μέγιστος, δηλαδή

όταν 4590290sin2sin12sin .

Β.4) Ελαστικότητα και πλαστικότητα

Για μικρές τάσεις, έχουμε γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης. Η περιοχή

αυτή ονομάζεται ελαστική και εκτείνεται μέχρι το λεγόμενο ελαστικό όριο. Εάν η τάση

αυξηθεί πέραν αυτού του ορίου, περνάμε στην πλαστική περιοχή όπου μετά την άρση της

τάσης, το σώμα δεν επανέρχεται στις αρχικές του διαστάσεις αλλά υφίσταται μόνιμη

παραμόρφωση. Τέλος, αν η τάση ξεπεράσει μια συγκεκριμένη τιμή (το όριο θραύσης), το

σώμα υφίσταται θραύση.

Όλα τα παραπάνω συμπυκνώνονται στο παρακάτω διάγραμμα:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Άσκηση 11-29 σελ. 309 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Το όριο ελαστικότητας του συρματόσκοινου σε έναν ανελκυστήρα είναι 2,75×108 Pa, και η

διατομή του είναι 4,00cm2. Υπολογίστε τη μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να προσδοθεί σε

Page 22: Κεφάλαιο 6 Ισορροπία Και Ελαστικότητα

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 22

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ανερχόμενο ανελκυστήρα μάζας 900kg, αν η τάση του συρματόσκοινου δεν πρέπει να

υπερβεί το 1/3 του ορίου ελαστικότητας.

ΛΥΣΗ

Αφού η τάση του συρματόσκοινου δεν πρέπει να υπερβεί το 1/3 του ορίου ελαστικότητας, η

μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει είναι:

τάση = PaPa 8

8

1092,03

1075,2

Επομένως, η δύναμη που ασκεί το συρματόσκοινο στον ανελκυστήρα θα πρέπει να είναι

μέχρι:

NFPamFPaA

F 48228 1067,3)1092,0)()10(00,4(1092,0

Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής βρίσκουμε τώρα τη μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί

να επιτευχθεί:

224

/97,30/8,9900

1067,3smasm

kg

Nag

m

FamamgF