ΜΑΘΗΜΑ 6ο ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 1

1. ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )P P P P .

Απόδειξη:

Παρατηρώ ότι ( ) ( ) ( ) ( )N A B N A N B N A B άρα

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

N A B N A N B N A BP A B

N N

N A N B N A BP A P B P A B

N N N

2. ΑΠΛΟΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ

Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ( ) ( ) ( )P A B P A P B .

Απόδειξη:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

N A B N A N A N BP A B P A P B

N N N N

3. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α κα Α’ ισχύει ( ') 1 ( )P A P A .

Απόδειξη:

Επειδή 'A A τα ενδεχόμενα Α και Α’ είναι ασυμβίβαστα άρα από τον απλό

προσθετικό νόμο έχουμε ότι

'

( ') ( ) ( ') ( ) ( ) ( ')

1 ( ) ( ') 1 ( ) ( ')

P A A P A P A P P A P A

P A P A P A P A

ΜΑΘΗΜΑ 6ο ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 2

4. Αν A B τότε ( ) ( )P A P B .

Απόδειξη:

Επειδή A B έχουμε:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

N A N BN A N B P A P B

N N

5. Για δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ( ')( ) ( ) ( )P P P P .

Απόδειξη:

Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα και

έχουμε ότι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P P

Επιπλέον παρατηρήστε ότι:

6. ( ) ' 1 ( )P P

7. ( ) ( ) ( ) ( )P P P

γιατί τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα.

8. P P P P

9. B P B P B P B P

10. P P P P

Παρατήρηση:

Οι σχέσεις 8 , 9 , 10 είναι χρήσιμες για την απόδειξη ανισοτήτων .

ΜΑΘΗΜΑ 6ο ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6

Οι μαθητές της πρώτης λυκείου αποφάσισαν κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς να πάνε σε δύο εκδρομές.

Μια εκδρομή στην Ακρόπολη και μια εκδρομή στο Ναύπλιο. Αν

Α είναι το ενδεχόμενο να πάει ένας μαθητής στην Ακρόπολη με ( ) 0,6P και

Ν είναι το ενδεχόμενο να πάει ένας μαθητής στο Ναύπλιο με ( ) 0,3P N

και η πιθανότητα ένας μαθητής να πάει και στις δύο εκδρομές είναι ( ) 0,2P

να βρείτε τις πιθανότητες:

α) Ένας μαθητής να πάει τουλάχιστον σε μια από τις δύο εκδρομές.

β) ‘Ένας μαθητής να πάει μόνο στο Ναύπλιο.

γ) ‘Ένας μαθητής να πάει μόνο στην Ακρόπολη.

δ) Ένας μαθητής θα πάει μόνο στην ακρόπολη ή μόνο στο Ναύπλιο.

ε) Ένας μαθητής να μην πάει σε καμιά από τις δύο εκδρομές.

στ) Ένας μαθητής να μην πάει στην Ακρόπολη.

ζ) Ένας μαθητής να μην πάει τουλάχιστον σε μια από τις δύο εκδρομές.

Λύση:

α) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,3 0,2 0,7P P P P

β) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,2 0,1P P P

γ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,2 0,4P P P

δ) Τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα άρα

( ) 0,4 0,1 0,5P P P

ε) ' ' ' 1 1 0,7 0,3P P P

δ) ( ') 1 0,6 0,4P

ζ) ' ' ' 1 1 0,2 0,8P P P

ΜΑΘΗΜΑ 6ο ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 4

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7

Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι ( ) 0,5P και ( ) 0,6P .

Να αποδείξετε ότι 0,1 ( ) 0,6P .

Λύση:

Αρκεί να δείξουμε ότι ( ) 0,6P και 0,1 ( )P .

Γνωρίζουμε ότι άρα ( ) ( ) ( ) 0,6 P P P

Έστω ότι 0,1 ( )P

Από τον προσθετικό νόμο γνωρίζουμε ότι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,6 ( ) ( ) 1,1 ( ) (1)P P P P P P P P

άρα

(1)

0,1 ( ) 0,1 1,1 ( ) ( ) 1,1 0,1 ( ) 1P P P P που ισχύει.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8

Για δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι ( ) 0,2P και ( ) 0,7P .

Να αποδείξετε ότι:

0,2 ( ) 0,9P

Λύση:

Αρκεί να δείξουμε ότι 0,2 ( )P και ( ) 0,9P .

Γνωρίζουμε ότι άρα ( ) ( ) 0,2 ( )P P P

Έστω ότι ( ) 0,9P

Γνωρίζουμε ότι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,2 0,5 ( ) ( ) 0,7 ( ) (1)P P P P P P P P

άρα

(1)

( ) 0,9 0,9 ( ) 0,9 ( ) 0,9 0,9 ( ) 0P P P P που ισχύει.

ΜΑΘΗΜΑ 6ο ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9

Για δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι ( ) 0,5P και ( ) 0,8P .

Να αποδείξετε ότι 0,3 ( ) 0,8P .

Λύση:

Αρκεί να δείξουμε ότι ( ) 0,8P και ( ) 0,3P .

Γνωρίζουμε ότι άρα ( ) ( ) ( ) 0,8P P P

Έστω ότι ( ) 0,3P

Γνωρίζουμε ότι

( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 ( ) (1)P P P P P

άρα

(1)

( ) 0,3 ( ) ( ) 0,3 0,8 ( ) 0,3 ( ) 0,8 0,3

( ) 0,5 ( ) ( ) που ισχύει γιατί .

P P P P P

P P P

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 10

Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ) 0,8P και ( ) 0,6P . Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και

Β είναι ασυμβίβαστα.

Λύση:

Έστω ότι τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα τότε από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε ότι

( ) ( ) 0,8 0,6 1,4 1P P P B ΑΤΟΠΟ !

Άρα, τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα .