Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α'...

235
  • Upload

    -
  • Category

    Business

  • view

    261
  • download

    3

Transcript of Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α'...

Page 1: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |
Page 2: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 9

ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R

ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ

Ôï óýíïëï � ôùí öõóéêþí áñéèìþí åßíáé ôï { }0,1,2,3,...=� .

To óýíïëï � ôùí áêåñáßùí áñéèìþí åßíáé ôï { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...= − − −� .

Áí ðÜíù äåîéÜ ôïõ óõìâüëïõ ôïõ óõíüëïõ õðÜñ÷åé * óçìáßíåé üôé áðü ôï óýíïëï ôùí

áñéèìþí åîáéñåßôáé ôï 0 êáé ãñÜöïõìå ð.÷ { }* 1,2,3,...=� .

Ôï óýíïëï Q ôùí ñçôþí Þ óýììåôñùí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá üëïõò ôïõò áñéèìïýò ðïõ

ìðïñïýí íá ãñáöïýí ìå ôçí ìïñöÞ α,β

üðïõ α∈� êáé β *∈�

×áñáêôçñéóôéêü ôùí Ñçôþí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé “ðåðåñá-

óìÝíïé” äåêáäéêïß Þ áðåéñïøÞöéïé áëëÜ ðåñéïäéêïß äåêáäéêïß áñéèìïß.

ð.÷. 4 1 1

2, 0,25, 0,333... ή 0, 3 κ.λ.π.2 4 3= = =

Ôï óýíïëï ¢ññçôùí Þ áóýììåôñùí áñéèìþí, äçëáäÞ ôùí áñéèìþí ðïõ äåí åßíáé ñçôïß.

×áñáêôçñéóôéêü ôùí ¢ññçôùí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé áðåéñïøÞöéïé ü÷é ðåñéïäéêïß

áñéèìïß. ð.÷. 2 1,41, 3 1,73, π 3,14� � � ê.ë.ð.

Ôï óýíïëï R ðñáãìáôéêþí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá ôïõò ñçôïýò êáé ôïõò

Üññçôïõò áñéèìïýò. Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá

åíüò Üîïíá, ôïõ Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí.

Ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÁ.1

ÂáóéêÜ

óýíïëá

áñéèìþí

Ó÷Ýóåéò êáé

ðñÜîåéò óôï

óýíïëï R

Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “=” ôçò éóüôçôáò ùò åîÞò: α β α β 0= ⇔ − =

Ãéá ôçí éóüôçôá éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò:

i. α α= ÁõôïðáèÞò Þ áíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá

ii. α β β α= ⇔ = ÓõììåôñéêÞ éäéüôçôá

iii. α β= êáé β γ τότε α γ= = ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá

Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “ ≤ ” äéÜôáîçò Þ áíéóüôçôáò ùò åîÞò:

α β α β 0≤ ⇔ − ≤ (Áíôßóôïé÷á α β α β 0≥ ⇔ − ≥ )

Ãéá ôçí äéÜôáîç éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò: i. α α≤ ÁõôïðáèÞò Þ ÁíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá

ii. α β≤ êáé β α τότε α β≤ = ÁíôéóõììåôñéêÞ éäéüôçôá

iii. α β≤ êáé β γ τότε α γ≤ ≤ ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá

ÁíÜëïãá ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç: α β α β 0< ⇔ − < , ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ìüíï ç ìåôáâáôéêÞ éäéüôçôá.

Óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ïñßæïíôáé ïé ðñÜîåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý.

Ç áöáßñåóç êáé ç äéáßñåóç ïñßæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý, ùò åîÞò:

( )α β α β− = + − êáé α 1

α :β α , β 0β β

= = ⋅ ≠

Page 3: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 110

H ðñþôç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝ-

ãåôáé áíôéìåôáèåôéêÞ áöïý ìáò å-

ðéôñÝðåé íá áíôéìåôáèÝôïõìå ôïõò

üñïõò, äçëáäÞ íá áëëÜæïõìå ôç

óåéñÜ ôïõò.

Ç äåýôåñç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝ-

ãåôáé ðñïóåôáéñéóôéêÞ áöïý åðé-

ôñÝðåé óôï â íá ðñïóåôáéñßæåôáé,-

äçëáäÞ íá ðáßñíåé êïíôÜ ôïõ,åßôå

ôï á åßôå ôï ã ÷ùñßò íá áëëÜæåé ôï

áðïôÝëåóìá.

Óôçí ðñÜîç, ëüãù ôçò ðñïóåôáéñé-

óôéêÞò éäéüôçôáò, ìðïñïýìå íá êá-

ôáñãïýìå ôéò ðáñåíèÝóåéò.

( ) ( )α β γ α β γ α β γ+ + = + + = + + êáé

( ) ( )α β γ α β γ αβγ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Ç ðñïóåôáéñéóôéêÞ éäéüôçôá ãåíé-

êåýåé ôçí ðñÜîç ãéá ðåñéóóüôåñïõò

áðü äýï áñéèìïýò.

Áí åéäéêÜ ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ßóïé

ìåôáîý ôïõò, ôüôå ïñßæåôáé ôï ðïë-

ëáðëÜóéï åíüò áñéèìïý á ùò åîÞò:

ν φορές

να α α ... α , ν Ν*

= + + + ∈�������

êáé áíôßóôïé÷á ç äýíáìç

ν

ν φορές

α α α ... α , ν Ν*

= ⋅ ⋅ ⋅ ∈�����

Áí ν 1= ôüôå ïñßæåôáé: 1 α α⋅ =

êáé 1α α= .

1. α β α γ β γ≤ ⇔ + ≤ +

2. α β αγ βγ, γ 0≤ ⇔ ≤ >

3. α β αγ βγ, γ 0≤ ⇔ ≥ <

Êáíüíáò ôùí ðñïóÞìùí

i. ( )1 α α− = − ii. ( )α β αβ− = − iii. ( )( )α β αβ− − =

iv. ( )α α− − = v. ( )α β α β− + = − −

Éäéüôçôá äéáãñáöÞò

i. α β α γ β γ= ⇔ + = + ii. α β αγ βγ, γ 0= ⇔ = ≠

Ç i. åêöñÜæåé üôé:

ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá

äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü.

Ç éäéüôçôá ii. åêöñÜæåé üôé:

ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá

äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü.

Ç éäéüôçôá 1 åêöñÜæåé üôé:

ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (áöáéñÝóïõìå) ôïí ßäéï

áñéèìü. Ïé éäéüôçôåò 2 êáé 3 åêöñÜæïõí üôé:

ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå ìå)

ôïí ßäéï áñéèìü äéáôçñþíôáò ôç öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáéñÝóïõìå ìå èåôéêü êáé íá áëëÜîïõìå ôç

öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå) ìå áñíçôéêü áñéèìü.

ÐÑÏÓÈÅÓÇ ÐÏËËÁÐËÁÓÉÁÓÌÏÓ

ÁíôéìåôáèåôéêÞ

α β β α+ = + α β β α⋅ = ⋅

ÐñïóåôáéñéóôéêÞ

( ) ( )α β γ α β γ+ + = + + ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

ÅðéìåñéóôéêÞ

( )α β γ α β α γ⋅ + = ⋅ + ⋅

ÏõäÝôåñï óôïé÷åßï

α 0 α 0 α+ = = + α 1 α 1 α⋅ = = ⋅

Ôï 0 åßíáé ôï ïõäÝôåñï Ôï 1 åßíáé ôï ïõäÝôåñï óôïé-

óôïé÷åßï ôçò ðñüóèåóçò ÷åßï ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïõ

Óõììåôñéêü óôïé÷åßï

( ) ( )α α 0 α 0+ − = = − + α 1 αα α

1 1⋅ = = ⋅

Ï –á ëÝãåôáé áíôßèåôïò Ï 1

α ëÝãåôáé áíôßóôñïöïò

ôïõ á ôïõ á

Page 4: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 11

ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R

ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ

4. i. α β= êáé γ δ τότε α γ β δ= + = + êáé ii. α β= êáé γ δ τότε αγ βδ= =

Ïé éäéüôçôåò i êáé ii åêöñÜæïõí üôé:

ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå éóüôçôåò êáôÜ ìÝëç.

iii. α β≤ êáé γ δ τότε α γ β δ≤ + ≤ + êáé iv. α β≤ êáé γ δ τότε αγ βδ≤ ≤ áí α,β, γ,δ 0>

Ïé éäéüôçôåò iii êáé v åêöñÜæïõí üôé:

ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò áí

Ý÷ïõí èåôéêïýò üñïõò.

ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ éó÷ýïõí áíôßóôñïöá.

ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ åðéôñÝðåôáé íá áöáéñïýìå Þ íá äéáéñïýìå áíéóüôçôåò êáôÜ ìÝëç.

5. i. α 0 0⋅ =

ii. αβ 0 α 0 ή β 0= ⇔ = =

iii. αβ 0 α 0 και β 0≠ ⇔ ≠ ≠

6. i. β α βα

γ γ γ

±± = ,

γ αδ βγα

β δ βδ

±± = ,β, γ,δ 0≠

ii. γ αγα

β δ βδ⋅ = , γα α δ αδ

:β δ β γ βγ

= ⋅ = ,β, γ,δ 0≠

7. i. Áí α 0> êáé β 0 τότε α β 0> + >

ii. Áí α 0< êáé β 0 τότε α β 0< + <

8. i. Áí á, â ïìüóçìïé αβ 0⇔ > êáé α

0β>

ii. Áí á, â åôåñüóçìïé αβ 0⇔ < êáé α

0β<

9. i. Áí á, â ïìüóçìïé, ôüôå: 1 1

α βα β

< ⇔ >

ii. Áí á, â åôåñüóçìïé, ôüôå: 1 1

α βα β

< ⇔ <

10. Ãéá êÜèå α R∈ éó÷ýåé: 2α 0≥

11. Áí α,β 0> êáé ν Ν*∈ éó÷ýåé:

i. ν να β α β= ⇔ =

ii. ν να β α β< ⇔ <

• Áíáëïãßá êáëåßôáé ç éóüôçôá äýï ëüãùí

êáé Ý÷åé ôç ìïñöÞ:¡

γα

β δ= ìå β,δ 0≠ .

Ïé áñéèìïß á, ä ëÝãïíôáé Üêñïé üñïé êáé ïé

áñéèìïß â, ã ìÝóïé üñïé ôçò áíáëïãßáò.

Áí ç áíáëïãßá Ý÷åé ôç ìïñöÞ:

βα

β γ=

ôüôå ï â ëÝãåôáé ìÝóç áíÜëïãïò Þ ãåùìå-

ôñéêüò ìÝóïò ôùí á, ã.

Éäéüôçôåò áíáëïãéþí

1. γα

αδ βγβ δ= ⇔ =

2. γ β γ βα α δ δ

β δ γ δ β α γ α= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

3. γ α β γ δα

β δ β δ

± ±= ⇔ =

4. γ α β γ δα

β δ α β γ δ

± ±= ⇔ =

∓ ∓

5. ν 1 2 ν1 2

1 2 ν 1 2 ν

α α α ... αα α...

β β β β β ... β

+ + += = = =

+ + +

Áíáëïãßåò

Page 5: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 112

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A1. á) Áí á,â èåôéêïß áêÝñáéïé áñéèìïß ìå á

Üñôéï êáé â ðåñéôôü íá äåé÷èåß üôé:

i) α β+ ðåñéôôüò, ii) α β⋅ Üñôéïò

â) Áí á,â,ã äéáäï÷éêïß èåôéêïß áêÝñáéïé,

íá äåé÷èåß üôé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò åß-

íáé ðïëëáðëÜóéï ôïõ 3.

A2. Áí x

3y= äåßîôå üôé

x 2y 1

3x y 8

−=

−.

A3. Aí α β γ

β γ δ= = äåßîôå üôé:

2 3

3

β δ γ δ δ

α γ

+ +=

A4. Áí α γ< êáé 0 β δ< < íá äåé÷èåß üôé:

1 1α γβ δ

− < −

A5. á) Áí 3 2

x 2 τότε x 2x x 2> > − +

â) Áí x 1 y τότε xy 1 x y< < + < +

A6. ¸óôù ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,â,ã ìå

α β 0> > êáé γ 0> .

Íá äåßîåôå üôé: α γ α

β γ β

+<

+

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

3

2

Áí ï áñéèìüò ñ åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï

á åßíáé Üññçôïò, íá áðïäåßîåôå üôé ïé áñéèìïß

ρ α+ , ñá êáé α, ρ 0ρ

≠ åßíáé Üññçôïé áñéèìïß.

Ëýóç

Áí ï áñéèìüò ρ α+ åßíáé ñçôüò áñéèìüò,Ýóôù ï ñ’,

ôüôå: ρ α ρ΄ α ρ΄ ρ+ = ⇔ = − Üôïðï, áöïý ρ΄ ρ−

åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï á Üññçôïò. Ïìïßùò, áí

ρα ρ΄= ñçôüò áñéèìüò, ôüôå ρ΄

αρ

= Üôïðï áöïý

ï áñéèìüò ρ΄

ρ åßíáé ñçôüò êáé ï á Üññçôïò. ÔÝëïò

áí α

ρ΄ρ= ñçôüò áñéèìüò, ôüôå α ρ ρ΄= ⋅ Üôïðï,

áöïý ρρ΄ ρητός= .

Áí åßíáé 0 α β 1< ≤ < íá áðïäåßîåôå üôé:

1 1α β

α β+ ≥ +

Ëýóç

1 1 1 1α β α βα β β α

+ ≥ + ⇔ − ≥ − ⇔

1( )

( ) ( ) ( )( )

α βα β αβ α β α β

αβ

αβ α β α β 0 α β αβ 1 0

−⇔ − ≥ ⇔ − ≥ − ⇔

⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥

¼ìùò áðü õðüèåóç α β α β 0≤ ⇔ − ≤ êáé

α 1, β 1< < ïðüôå αβ 1 αβ 1 0< ⇔ − < .

¢ñá ( )( )α β αβ 1 0− − ≥ .

Áí ê, ë åßíáé áêÝñáéïé èåôéêïß áñéèìïß,

ôüôå éó÷ýåé:

á. x 1> êáé κ λ> ôüôå κ λx x>

â. 0 x 1< < êáé κ λ> ôüôå κ λx x<

Ëýóç

á. ÅðåéäÞ ê > ë, åßíáé κ λ ν= + , ìå í öõóéêü.

Ôüôå:

( )λ ν λ λ ν λ λ νx x x x x 0 x x 1 0

+> ⇔ ⋅ − > ⇔ − >

ðïõ éó÷ýåé áöïý

λx 0 x 0> ⇔ >

êáéν ν

x 1 x 1 x 1 0> ⇔ > ⇔ − >

â. Áðïäåéêíýåôáé üðùò ç (á).

Page 6: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

13äõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü

ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ

ÁÊÅÑÁÉÏ ÁÑÉÈÌÏ

ÄõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìüÁ.2

¸óôù á ðñáãìáôéêüò áñéèìüò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ìå ν 2≥ . Ôüôå ïñß-

æïõìå:

ν

ν παράγοντες

α α α . . . α

= ⋅����� , ν 2≥

êáé ãéá 1ν 1 : α α= =

Áí åðéðëÝïí α 0≠ , ôüôå ïñßæïõìå 0α 1= êáé

ν

ν

α

=

Ðñïóï÷Þ: Áí α β= ôüôå ðÜíôá éó÷ýåé üôé êáé ν να β= . Ôï áíôßóôñïöï üìùò

äåí éó÷ýåé áí á,â äåí åßíáé èåôéêïß áñéèìïß.

Ð.÷. ( )2 2

3 3− = åíþ 3 3− ≠ .

Ìå ôïõò áíáãêáßïõò ðåñéïñéóìïýò éó÷ýïõí oé åðüìåíåò éäéüôçôåò:

i) ν µ ν µα α α

+⋅ = ii) ν µ ν µ

α : α α−

=

iii) ( )µ

ν ν µα α ⋅= iv) ( )

νν να β αβ⋅ =

v)

νν

ν

α α

ββ

=

vi)

ν να β

β α

=

üðïõ í,ì áêÝñáéïé áñéèìïß

ÐáñáôçñÞóåéò:

Ïé éäéüôçôåò áõôÝò äåß÷íïõí ðùò êÜíïõìå ðïëëáðëëáóéáóìïýò êáé äéáéñÝóåéò ìå

äõíÜìåéò êáé ðþò õøþíïõìå äýíáìç óå äýíáìç.

Áðü ôïí ïñéóìü ôçò äýíáìçò να ðñïêýðôïõí Üìåóá ôá åîÞò:

Ïé áñíçôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 êáé ç äýíáìç 00 äåí Ý÷ïõí íüçìá

Ïé èåôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 åßíáé ßóåò ìå ôï 0. ð.÷. 19600 0=

Ïé Üñôéåò äõíÜìåéò ôïõ α 0≠ åßíáé èåôéêïß áñéèìïß.

ð.÷. ( )4

2− , ( )4

3−

− , 4

7−

åßíáé èåôéêïß áñéèìïß,áöïý ïé åêèÝôåò åßíáé Üñôéïé.

Ïñéóìüò

Éäéüôçôåò

äõíÜìåùí

Page 7: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

14 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A7. Íá õðïëïãéóôïýí ïé áêÝñáéïé áñéèìïß: x, y

ìå x 3, y 2> > áí éó÷ýåé: x 1 y 12 5 20

− −⋅ = .

A8. Áí ν Ν∈ (Öõóéêüò) íá äåé÷èåß üô é :

( ) ( ) ( ) ( )ν ν 1 ν 2 ν 3

1 1 1 1 0+ + +

− + − + − + − = .

A9. Íá ãñáöåß óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ ç ôéìÞ

ôçò ðáñÜóôáóçò:

( ) ( )

( )

1 22 6

1 1

2,5 5 2 0,4Α

8 0,1

− −−

− −

⋅ ⋅ ⋅ −=

− ⋅

A10. Áí ÷,y áêÝñáéïé áñéèìïß, íá âñåèïýí ïé

ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò

( ) ( )x y3 5

Κ 2 1 12 2

= − − − + .

A11. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áêÝñáéï ÷ þóôå íá

éó÷ýåé:

i) ( )100

x 2

2 1−

− =

iii) ( )4x 6

1 1−

− =

ii) ( )x 1

5

1 1

+

− = −

iv) ( )2x 10

1 1+

− = −

A12. Aí *α Ζ∈ êáé x, y,ω Ζ∈ ôüôå íá áðï-

äåé÷èåß üôé:

x y y ω ω xx y ω

y ω x

α α α1

α α α

+ + +

⋅ ⋅ =

A13. Áí α 0, x, y≠ áêÝñáéïé þóôå xα αx=

êáé x y= − íá áðïäåé÷èåß üôé:

y

1αy

α

= −

A14. Áí 2α α 1 0, α 0+ + = ≠ ôüôå íá áðïäåé÷-

èåß üôé:

i) 3α 1=

ii) 2007 2007α α 2

−+ =

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá åöáñìüóåôå ôéò éäéüôçôåò ôùí äõ-

íÜìåùí óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò (ôá áðï-

ôåëÝóìáôá íá äïèïýí ìå èåôéêü åêèÝôç).

i) ( )

22 1 2

3 2 4

α β γ

α β γ

−− −

− −

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ii)

3 4

2 2

λ 2λ:

κ 5κ

− −

Ëýóç

i) ( )

22 1 2 4 2 4

7

3 2 4 3 2 4

α β γ α β γα

α β γ α β γ

−− −

− − − −

⋅ ⋅= =

ii) 3 4 3 2 3 2

2 2 2 4 2 4

λ 2λ λ 5κ λ 5κ 5λ:

2κ 5κ κ 2λ κ 2λ

− − − −

− −

⋅= ⋅ = =

1Aí ( )

43 2

κ α β γ−

−= êáé

( )3

4 5

2 3 2

α βγλ

α β γ

−=

íá âñåßôå ôçí ðáñÜóôáóç 3 2κ : λ

Ëýóç

( ) ( )3

4 123 3 2 3 2 36 24 12κ α β γ α β γ α β γ

− −− − − − = = = ⋅

2 212 3 15 10 20

2

2 3 2 13 26

α β γ α αλ

α β γ γ γ

− −− −

− −

= = =

¢ñá 36 24 12 26

3 2 16 24 38

20

α β γ γκ : λ α β γ

α

− − −

− − −

−= = ⋅

Page 8: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

15ôáõôüôçôåò

ÔÁÕÔÏÔÇÔÅÓ

ÔáõôüôçôåòÁ.3

Ôáõôüôçôá åßíáé ìßá éóüôçôá ðïõ ðåñéÝ÷åé êÜðïéåò ìåôáâëçôÝò êáé éó÷ýåé ãéá

ïðïéåóäÞðïôå ôéìÝò ôùí ìåôáâëçôþí áõôþí. (Óå áíôßèåóç ìå ôçí åîßóùóç

ðïõ éó÷ýåé ãéá ïñéóìÝíåò ìüíï ôéìÝò).

Óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíáöÝñïíôáé ïé áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò.

( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + +

( )2 2 2α β α 2αβ β− = − +

( )( ) 2 2α β α β α β+ − = −

( )( ) ( )2x α x β x α β x αβ+ + = + + +

( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β+ = + + +

( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −

( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β+ = + − +

( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + +

êáé ãåíéêÜ:

( )( )ν ν ν 1 ν 2 ν 2 ν 1α β α β α α β ... αβ β− − − −− = − + + + +

×ñÞóéìåò åßíáé óå ïñéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò êáé ïé ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:

Ôáõôüôçôá ôïõ Euller

( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 1

α β γ 3αβγ α β γ α β β γ γ α2

+ + − = + + − + − + −

ÅéäéêÜ: Áí α β γ 0+ + = Þ 3 3 3α β γ α β γ 3αβγ= = ⇔ + + =

Ôáõôüôçôá ôïõ Lagrange

( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2α β γ δ αγ βδ αδ βγ+ + − + = −

üëåò ïé ôáõôüôçôåò áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ìå åêôÝëåóç ôùí ðñÜîåùí ðïõ

óçìåéþíïíôáé.

ÈÅÙÑÉÁ

Ïñéóìüò

Page 9: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

16 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A15. Ná êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

i) ( ) ( )2 2

4x 3α 3x 4α+ − −

ii) ( ) ( )3 3

3α 2 3α 2+ − −

iii) ( )( ) ( )2

2 4x 2 4x 4x 1+ − − −

iv) ( )( ) 2x 1 x 1 x 5x− + − − − +

3

2

1 Áí αβγ 0≠ êáé α β γ αβγ+ + = ôüôå

α β β γ γ α3 αβ βγ γα

γ α β

+ + ++ + + = + +

Ëýóç

α β β γ γ α3

γ α β

αβγ γ αβγ α αβγ β3

γ α β

αβ 1 βγ 1 αγ 1 3 αβ βγ αγ

+ + ++ + + =

− − −= + + + =

= − + − + − + = + +

i) Ná äåßîåôå üôé:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 3

α β β γ γ α

3 α β β γ γ α

− + − + − =

= − − −

ii) Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( ) ( ) ( )3 3 3

x 2 3x 4 6 4x 0− + − + − =

Ëýóç

i) EðåéäÞ ( ) ( ) ( )α β β γ γ α 0− + − + − = óýìöùíá

ìå ôçí ôáõôüôçôá ôïõ Euller éó÷ýåé üôé:

( ) ( ) ( )

( )( )( )

3 3 3α β β γ γ α

3 α β β γ γ α

− + − + − =

= − − −

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

ii) Oìïßùò åðåéäÞ

( ) ( ) ( )x 2 3x 4 6 4x 0− + − + − = éó÷ýåé üôé:

( ) ( ) ( )

( )( )( )

3 3 3x 2 3x 4 6 4x

3 x 2 3x 4 6 4x

− + − + − =

= − − −

¢ñá ç áñ÷éêÞ åîßóùóç åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí:

( )( )( )3 x 2 3x 4 6 4x 0− − − = ⇔

x 2 0− = ή 3x 4 0− = ή 6 4x 0− =

x 2= Þ 4

x3

= Þ 3

x2

=

Áí ( )2 2 2 2

α β γ α β γ+ + = + + êáé

αβγ 0≠ ôüôå 1 1 1

0α β γ+ + =

Ëýóç

Áðü ôç ãíùóôÞ ôáõôüôçôá

( ) ( )2 2 2 2α β γ α β γ 2 αβ βγ αγ+ + = + + + + + ,

ëüãù ôçò õðüèåóçò, ðñïêýðôåé üôé:

αβ βγ αγ 0+ + =

Ïðüôå äéáéñþíôáò ìå αβγ 0≠ Ý÷ïõìå:

1 1 10

α β γ+ + =

A16. Ná áðïäåé÷ôïýí ïé ôáõôüôçôåò:

i) ( ) ( )2 2

x y x y 4xy+ − − =

ii) ( ) ( ) ( )2 2 22α 2α 5 2α 3 α 4+ + − + = +

iii) ( )( ) ( )( )3 4 4α β α β α β 2αβ α β α β− + − + = + −

iv) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2α β 4αβ α β α β 2αβ+ + − = − +

Page 10: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

17ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí

ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ

ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùíÁ.4

Ðáñáãïíôïðïßçóç åßíáé ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá ìåôáôñÝðïõìå ìéá

áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç óå ãéíüìåíï üóï ôï äõíáôüí áðëïýóôåñùí ðáñáãü-

íôùí. Áõôü ãßíåôáé óõíÞèùò ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò, ôùí

ãíùóôþí ôáõôïôÞôùí Þ êáé ìå óõíäõáóìü áõôþí.

( )( )παραγοντοποίηση2

επιµεριστικήx 1 x 1 x 1→− + −←

ð.÷. ( )2x 4 2 x 2− = − . ÊÜíáìå ðáñáãïíôïðïßçóç âãÜæïíôáò êïéíü ðáñÜ-

ãïíôá ôï 2.

ÐáñÜäåéãìá 1. Íá êÜíåôå ãéíüìåíá ôéò ðáñáóôÜóåéò

á. 3 2xy 3xy 2x 6xy− + − â. 2 2

2x y 6xyω 8xy− +

Ëýóç:

á. Ðáñáôçñïýìå üôé åìöáíßæåôáé óå üëïõò ôïõò üñïõò ôï x.

Ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò Ý÷ïõìå:

( )3 2 3 2xy 3xy 2x 6xy x y 3y 2 6y− + − = − + −

â. ¼ëïé ïé üñïé ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 2xy.

Óõíåðþò:

( )2 22x y 6xyω 8xy 2xy x 3ω 4y− + = − +

ÐáñÜäåéãìá 2. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò

á. xy 3x 2y 6− + − â. 3 23x x y 6x 2y− + −

Ëýóç

á. Ç ðáñÜóôáóç ÷ùñßæåôáé óå ïìÜäåò ðïõ Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá.

( ) ( ) ( )( )xy 3x 2y 6 x y 3 2 y 3 y 3 x 2− + − = − + − = − +

â. ( ) ( )3 2 3 23x x y 6x 2y 3x x y 6x 2y− + − = − + − =

( ) ( ) ( )( )2 2x 3x y 2 3x y x 2 3x y= − + − = + −

3á. ÁíÜðôõãìá ôåôñáãþíïõ ( )

( )

2 2 2

2 2 2

α β α 2αβ β

α β α 2αβ β

+ = + +

− = − +

ÐáñÜäåéãìá 3á. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò

i) 2 225x 20xy 4y− + ii) 2 2

9x 24xy 16y− +

iii) 2 216x 40xy 25y+ +

ÄéÜöïñåò

ìïñöÝò

ðáñáãïíôï-

ðïßçóçò

1ç ðåñßðôùóç:

Êïéíüò

ðáñÜãïíôáò

(áðü üëïõò

ôïõò üñïõò)

2ç ðåñßðôùóç:

Ïìáäïðïßçóç

(Êïéíüò

ðáñÜãïíôáò

êáôÜ ïìÜäåò)

3ç ðåñßðôùóç:

×ñÞóç

ôáõôïôÞôùí

Page 11: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

18 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4

( ) ( ) ( )2 2 22 2

25x 20xy 4y 5x 2 5x 2y 2y 5x 2y− + = − ⋅ ⋅ + = −

ii) ( ) ( ) ( )2 2 22 2

9x 24xy 16y 3x 2 3x 4y 4y 3x 4y− + = − ⋅ ⋅ + = −

iii) ( ) ( ) ( )2 2 22 2

16x 40xy 25y 4x 2 4x 5y 5y 4x 5y+ + = + ⋅ ⋅ + = +

3â. ÄéáöïñÜ ôåôñáãþíùí ( ) ( )2 2α β α β α β− = + −

ÐáñÜäåéãìá 3â. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò

i) 2 225x 4y− ii) 4 8

16x y−

Ëýóç

i ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2

25x 4y 5x 2y 5x 2y 5x 2y− = − = − +

ii) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 24 8 2 4 2 4 2 4

222 4 2 2 4 2 2

16x y 4x y 4x y 4x y

4x y 2x y 4x y 2x y 2x y

− = − = + − =

= + − = + + −

3ã. ¢èñïéóìá - ÄéáöïñÜ êýâùí ( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 2

3 3 2 2

α β α β α αβ β

α β α β α αβ β

+ = + − +

− = − + +

ÐáñÜäåéãìá 3ã. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò

i) 3x 64− ii) 3

8x 27+

Ëýóç

i ) ( )( ) ( )( )3 3 3 2 2 2x 64 x 4 x 4 x 4x 4 x 4 x 4x 16− = − = − + + = − + +

ii) ( ) ( ) ( ) ( )( )33 3 2 2 2

8x 27 2x 3 2x 3 2x 2x 3 3 2x 3 4x 6x 9 + = + = + − ⋅ + = + − +

3ä. Ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý ( ) ( ) ( )2x α β x αβ x α x β+ + + = + +

Èá ãíùñßóïõìå, áñãüôåñá, Ýíá ôñüðï ðéï ãåíéêü üôáí èÝëïõìå íá ðáñáãïíôïðïéÞóïõìå Ýíá

ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý, äçëáäÞ ìßá ðáñÜóôáóç ôçò ìïñöÞò 2αx βx γ, α 0+ + ≠ .

Ðñïò ôï ðáñüí ðåñéïñéæüìáóôå óå ôñéþíõìá ôçò ìïñöÞò: 2x κx λ+ + , ïðüôå ìå ÷ñÞóç ôçò

ôáõôüôçôáò: ( ) ( )( )2x α β x αβ x α x β+ + + = + + , áíáæçôïýìå äýï áñéèìïýò á,â ðïõ íá Ý÷ïõí Ü-

èñïéóìá ê êáé ãéíüìåíï ë.

Page 12: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

19ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí

ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ

ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

ÐáñÜäåéãìá 3ä. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá

i) 2x 5x 6− + ii) 2

x 4x 3+ + iii) 2x x 2− −

Ëýóç

i ) Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 2, 3− − áöïý ( ) ( )2 3 5− + − = − êáé ( ) ( )2 3 6− ⋅ − = .

¢ñá ( )( )2x 5x 6 x 2 x 3− + = − −

ii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 1,3 áöïý 1 3 4+ = êáé 1 3 3⋅ = .

¢ñá: ( )( )2x 4x 3 x 1 x 3+ + = + +

iii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 2,1− áöïý ( )2 1 1− + = − êáé ( )2 1 2− ⋅ = − .

¢ñá: ( )( )2x x 2 x 2 x 1− − = − +

ÐáñÜäåéãìá 4. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò

i) 2

2x 18− ii) 2 2x 2xy y 9− + − +

iii) 2 2x y x 2xy y− + − + iv) 9 7 5 3

x x x x− − +

Ëýóç

i) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 22x 18 2 x 9 2 x 3 2 x 3 x 3− = − = − = − +

ii) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2 2x 2yx y 9 9 x 2xy y 9 x y 3 x y

3 x y 3 x y 3 x y 3 x y

− + − + = − − + = − − = − − =

= − − + − = + − ⋅ − +

iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2

x y x 2xy y x y x y x y 1 x y x y 1 x y− + − + = − + − = − + − = − + −

iv) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

9 7 5 3 3 6 4 2 3 4 2 2

3 2 4 3 2 2 2

2 23 2

x x x x x x x x 1 x x x 1 x 1

x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1

x x 1 x 1 x 1

− − + = − − + = − − − =

= − − = − + − =

= − + +

ÐáñÜäåéãìá 4â (ÓðÜóéìï Þ Ðñïóèáöáßñåóç üñïõ)

Íá ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò

i) 2 2x 2xy 3y+ − ii)

4 2x 5x 9+ +

Ëýóç

i ) ÓðÜìå ôï 23y− óå 2 2

y 4y−

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 22 2 2 2 2x 2xy 3y x 2xy y 4y x y 2y x y 2y x y 2y

x 3y x y

+ − = + + − = + − = + + + − =

= + −

ii) Ðñïóèáöáéñïýìå ôï 2x

4ç ðåñßðôùóç:

Óõíäõáóìüò

ôùí

ðáñáðÜíù

ðåñéðôþóåùí

Page 13: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

20 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4

( )

( )( ) ( )( )

24 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2

x 5x 9 x 5x 9 x x x 6x 9 x x 3 x

x 3 x x 3 x x x 3 x x 3

+ + = + + + − = + + − = + − =

= + + + − = + + − +

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A17. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) ( )4x x 2y x 2y− − +

ii) 2 2 2 25α βx γy γx 5α βy+ − −

iii) 2 236x 49y−

iv) 4 416x y−

v) 225x 20x 4− +

vi) 3 3α β 27−

vii) 2ω ω 2− −

viii) 2y 6y 40+ −

ix) 4 2 2 4x x y y+ +

x) 2 2x 6xy 8y+ +

A18. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) 2 2y 2x x 1+ − −

ii) 25x 10x 15+ −

iii) ( ) ( ) ( )( )2 2

x 5 x 2 4 x x 5+ − + − +

iv) 5 2x x+

v) ( )( ) ( )2

2x 1 x 1 9 2x 1+ − − +

vi) ( ) ( ) ( )23 2

α 1 2 α 1 α 1− − − − −

A19. Oìïßùò:

i) 2 1λ λ

4− +

ii) ( ) ( )2 2

2 2 2 213x 5y 12x 4y− − +

iii) ( )4 2 2 2 2 2γ 1 α β γ α β− + +

iv) 3 2x 10x 9x− +

v) 7 4 3x 8x x 8+ − −

vi) ( ) ( ) ( ) ( )6 4 2 3

x 5 x 6 2 x 6 x 5+ + − − − +

A20. Ná ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù ðá-

ñáóôÜóåéò:

i) ( ) ( ) ( )α α 3y β x α x α 3y− + − − −

ii) 2 2 3αβ 2α 2β 4αβ− + −

iii) 3375x 3−

iv) ( ) ( )3 3

x 2y 2x y+ − −

v) 3 2x x xy x y 1− + + − −

vi) ( ) ( ) ( )3 3 3

x y y z z x− + − + −

A21. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

x y z ω x y z ω

z z ω z z ω

− + − − − +

+ − − +

ii) 2 2 2 2 2 2α β αβ β γ βγ γ α γα 2αβγ+ + + + + +

iii) 2 2 2 2 2 2α β αβ β γ βγ γ α γα− + − + −

iv) ( )( )22 2 2 2

x y x y x y+ + +

Page 14: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

21êëÜóìá (ñçôÞ ðáñÜóôáóç)

ÊËÁÓÌÁ

(ÑÇÔÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ)

ÊëÜóìá (ÑçôÞ ÐáñÜóôáóç)Á.5

¸íá êëÜóìá Α

ΚΠ

= , Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ìüíïí üôáí ï

ðáñïíïìáóôÞò åßíáé äéáöïñåôéêüò áðü ôï 0 . ( Π 0≠ )

ð.÷. ôï êëÜóìá 2x 1

x 1

+ ïñßæåôáé ìüíïí üôáí x 1 0+ ≠ äçë. x 1≠ − .

Ïé ôéìÝò ãéá ôéò ïðïßåò ïñßæåôáé Ýíá êëÜóìá áðïôåëïýí ôï ðåäßï (óýíïëï)

ïñéóìïý ôçò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò.

¼óïí áöïñÜ óôéò ðñÜîåéò êëáóìáôéêþí ðáñáóôÜóåùí éó÷ýåé üôé êáé óôéò

ðñÜîåéò ôùí áñéèìçôéêþí êëáóìÜôùí. Ãéá íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá áöáéñÝó-

ïõìå êëáóìáôéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðñÝðåé íá ôéò ìåôáôñÝøïõìå Ýôóé þóôå íá

Ý÷ïõí ôïí ßäéï ðáñïíïìáóôÞ (ïìþíõìåò). Áõôü ãßíåôáé áíáëýïíôáò ôïõò

ðáñïíïìáóôÝò óå ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí.Ôüôå ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí

åßíáé ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ðáñáãüíôùí (êïéíþí êáé ìç êïéíþí), ï êáèÝ-

íáò ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç ðïõ óçìåéþíåôáé.

ð.÷. ( ) ( ) ( )( )2

3 4 5 3 4 5

2x 2 3x 3 2 x 1 3 x 1 4 x 1 x 14x 4+ + = + − =

+ − + − + −−

(Åäþ Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí åßíáé ( )( )12 x 1 x 1+ − )

( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

18 x 1 16 x 1 15

12 x 1 x 1 12 x 1 x 1 12 x 1 x 1

− += + − =

+ − + − + −

( ) ( )

( )( ) ( )( )

18 x 1 16 x 1 15 18x 18 16x 16 15

12 x 1 x 1 12 x 1 x 1

− + + − − + + −= = =

+ − + −

( )( )

( )

( )( )

17 2x 134x 17

12 x 1 x 1 12 x 1 x 1

−−= =

+ − + −

Ðñïóï÷Þ! Âñßóêïõìå ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò óôçí

áñ÷éêÞ ôçò ìïñöÞ, äçëáäÞ ðñéí áðü ïðïéáäÞðïôå ðéèáíÞ áðëïðïßçóç.

ð.÷. ãéá ôï êëÜóìá 2

2x 2

x 1

−, ðåäßï ïñéóìïý åßíáé ôï { }R 1,1− − êáé ü÷é áõôü

ðïõ “öáßíåôáé” íá åßíáé ìåôÜ ôçí áðëïðïßçóç

( )

( )( )2

2 x 12x 2 2

x 1 x 1 x 1x 1

−−= =

− + +−

, äçë. ôï { }R 1− − .

ÑçôÞ

ðáñÜóôáóç

Page 15: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

22 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5

A22. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

i)

2

2 2

4x x 2y,

3y 2x 3y 2x4x 9y

3x y

2

+ +− +−

≠ ±

iv)

x y2

y x, x, y 0 και x y

1 1

x y

+ +

≠ ≠ −

+

A23. Ná ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

i)

2 2

2 2

x x x 5x 6

x 3x 2 x 3x

+ + +⋅

+ + +

ii)

2 2

2 2 2

x 36 x 6x:

α αy α y

− +

− −

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ïñßæåôáé ç ðá-

ñÜóôáóç

( )

22x x 1

Ax 1 x x 2

+= +

+ −

Ëýóç

H ðáñÜóôáóç Á Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéè-

ìïý üôáí

x 1 0+ ≠ êáé ( )x x 2 0− ≠ ⇔

x 1 0+ ≠ êáé x 0≠ êáé x 2 0− ≠ ⇔

x 1≠ − êáé x 0≠ êáé x 2≠ .

¢ñá ç ðáñÜóôáóç Á ïñßæåôáé ãéá êÜèå

{ }x R 1,0,2∈ − − Þ (ìå ÷ñÞóç äéáóôçìÜôùí)

( ) ( ) ( ) ( )x , 1 1,0 0,2 2,∈ −∞ − ∪ − ∪ ∪ +∞ .

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò

i) 2

2

x 6x 9

x 3x

+ +

+

ii) 2

2

ω 8ω 16

ω 16

− +

Ëýóç

i) ( )

( )

22

2

x 3x 6x 9 x 3

x x 3 xx 3x

++ + += =

++

ii) ( )

( )( )

22

2

ω 4ω 8ω 16 ω 4

ω 4 ω 4 ω 4ω 16

−− + −= =

− + +−

A24. Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá

( ) ( )

( ) ( )

α 5α -9β + 2β α -3β

2β 4α -5β -3α 3β -α

A25. Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 3 3α β γA = + +

α -β α - γ β - γ β -α γ -α γ -β

A26. Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé:

2 2 2 2 2 2α -β - 2βγ β - γ - 2αγ γ - α - 2αβΑ = + + = 0

α +β β + γ α + γ

A27. Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé:4 4 4

3 3 3 3 3 3

α β γΑ = + + = 0

β + γ -3αβγ γ + α -3αβγ α +β -3αβγ

2

Page 16: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

23áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý

ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ

Áí ÷ åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, ç áðüëõôç ôéìÞ ôïõ óõìâïëßæåôáé ìå x

êáé ïñßæåôáé ùò åîÞò:

x, αν x 0x

x, αν x 0

≥=

− <

ð.÷. 1 1

3 3, , 0,4 0,42 2

= − = = ê.ë.ð.

Áðü ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò ðñïêýðôåé áìÝóùò üôé:

Áí x 0= ôüôå x 0= , åíþ áí x 0≠ ôüôå x 0> äçëáäÞ x 0≥ ãéá êÜèå

ðñáãìáôéêü áñéèìü.

ÃåùìåôñéêÜ, ç áðüëõôç ôéìÞ åíüò áñéèìïý á ðáñéóôÜíåé ôçí áðüóôáóç

ôçò åéêüíáò ôïõ ðïõ åßíáé óôïí Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

áðü ôï 0 ôïõ Üîïíá.

Áðüóôáóç äýï áñéèìþí óôïí Üîïíá x x′

Åßíáé öáíåñü üôé ç áðüóôáóç äýï áñéèìþí ðÜíù óôïí Üîïíá x x′ åßíáé

ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü ôïí ìåãáëýôåñï.

¸ôóé ð.÷. ç áðüóôáóç ôùí áñéèìþí 4 êáé -1 åßíáé ßóç ìå ( )4 1 5− − = .

Ìå ôïí ßäéï ôñüðï âëÝðïõìå üôé ç áðüóôáóç d äýï ïðïéoíäÞðïôå áñéè-

ìþí á,â ðÜíù óôïí Üîïíá åßíáé ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü

ôïí ìåãáëýôåñï, äçëáäÞ åßíáé ßóç ìå á-â (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï á) Þ â-

á (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï â).

Ôï óõìðÝñáóìá áõôü óõìâïëéêÜ ãñÜöåôáé:

α β, αν α β α β, αν α β 0d

β α, αν α β β α, αν α β 0

− ≥ − − ≥ = =

− < − − <

Áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïýÁ.6

ÈÅÙÑÉÁ

Ïñéóìüò

ÃåùìåôñéêÞ

åñìçíåßá

Page 17: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

24 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 6

ÐáñáôçñÞóåéò

i ) EðåéäÞ α 0≥ êáé β 0≥ , óõìðåñáßíïõìå üôé ç ó÷Ýóç: α β 0+ = , åðáëçèåýåôáé üôáí êáé

ìüíï üôáí α 0= êáé β 0= , äçëáäÞ éó÷ýåé: α β 0 α 0+ = ⇔ = êáé β 0= .

Áõôü öõóéêÜ óçìáßíåé üôé ç ðáñÜóôáóç α β+ åßíáé äéáöïñåôéêÞ áðü ôï ìçäÝí üôáí êáé

ìüíï üôáí ïé á êáé â äåí åßíáé ôáõôü÷ñïíá ßóïé ìå ôï ìçäÝí.

ii) Ãéá ôçí ôñéãùíéêÞ áíéóüôçôá éó÷ýåé: x y x y+ = + üôáí ïé áñéèìïß x,y åßíáé ïìüóçìïé,

êáé x y x y− = + üôáí ïé áñéèìïß åßíáé åôåñüóçìïé.

iii) Oé ó÷Ýóåéò x θ= êáé x θ≤ ìå θ 0< åßíáé áäýíáôåò, åíþ ç x θ≥ éó÷ýåé ãéá êÜèå

x R∈ .

Ðáñáôçñïýìå üôé, óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò, ï ôýðïò áõôüò ðáßñíåé ôç

ìïñöÞ:

d α β απόσταση των αριθµών α,β= − =

Éäéüôçôåò

Ãéá ôçí áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ïé ðéï êÜôù éäéüôçôåò.

1) x x , x R− = ∈ 2) x x x− ≤ ≤ 3)2 2x x=

4) x y x y , x, y R⋅ = ⋅ ∈ . ÃåíéêÜ: 1 2 ν 1 2 νx x ...x x x ... x⋅ = ⋅

5) *xx, x R, y R

y y= ∈ ∈ 6)

κκ *x x , κ Ζ= ∈

7) x y x y x y− ≤ + ≤ + (ÔñéãùíéêÞ áíéóüôçôá)

ÃåíéêÜ: 1 2 ν 1 2 νx x ... x x x ... x+ + + ≤ + + +

8) x θ, θ 0 x θ ή x θ= > ⇔ = − = 9) x θ, θ 0 θ x θ≤ > ⇔ − ≤ ≤

10) x θ, θ 0 x θ ή x θ≥ > ⇔ ≤ − ≥

Page 18: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

25áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý

ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ

3

2

1 Íá áðïäåßîåôå ôçí éóïäõíáìßá:

α α α α α 0+ = − ⇔ =

Ëýóç

( )α α α α+ = − − åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α

áðü ôï -á

α α α α− = − åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α áðü

ôï á.

¢ñá ç éóüôçôá α α α α+ = − óçìáßíåé üôé ï

α éóáðÝ÷åé áðü ôï -á êáé ôï á, äçëáäÞ âñß-

óêåôáé óôï ìÝóï ôçò áðüóôáóçò ( )d α,α− êáé

óõíåðþò α 0 α 0= ⇔ = .

Íá ãñÜøåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò

áðüëõôçò ôéìÞò ôéò ðáñáóôÜóåéò:

i) A 1 x x 1= − + − ii) B 2x 1 3x 1= − + −

Ëýóç

i) Aí 1 x 0 x 1− ≥ ⇔ ≤ ôüôå 1 x 1 x− = − êáé

A 1 x x 1 0= − + − =

Áí 1 x 0 x 1− < ⇔ > ôüôå 1 x 1 x− = − + êáé

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

A 1 x x 1 2x 2= − + + − = −

¢ñá 0 , αν x 1

A2x 2, αν x 1

≤=

− >

ii) Aí 1

2x 1 0 x2

− ≥ ⇔ ≥ ôüôå 2x 1 2x 1− = −

êáé B 2x 1 3x 1 5x 2= − + − = −

Áí 1

2x 1 0 x2

− < ⇔ < ôüôå 2x 1 2x 1− = − +

êáé B 2x 1 3x 1 x= − + + − =

¢ñá

15x 2, αν x

2B

1x , αν x

2

− ≥

=

<

Áí α 4

2α 1

+=

+ äåßîôå üôé α 2=

Ëýóç

α 4α 42 2 α 4 2 α 1

α 1 α 1

++= ⇔ = ⇔ + = +

+ +

( )α 4 2 α 1+ = + Þ ( )α 4 2 α 1+ = − + ⇔

α 4 2α 2+ = + Þ α 4 2α 2+ = − − ⇔

α 2 ή α 2 α 2= = − ⇔ =

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A28. Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) 1 x 4

A xx 2 x 3

− −= +

+ − −

, áí 1 x 0− ≤ ≤

ii) 2

2 2

x 2 x 2 xB

x 4 x 4 x 4

+ −= +

− − +

A29. Íá åîåôÜóåôå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ï-

ñßæåôáé êÜèå ðáñÜóôáóç êáé íá ôç ãñÜ-

øåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò áðüëõôçò

ôéìÞò.

i) x 1

Ax 1 1

−=

− −

ii) 1

Bx 2 3 x

=− −

A30. Áí ( )d x, 2007 3> íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò

ôéìÝò ôïõ x.

Page 19: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

26 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 7

Ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÁ.7

¸óôù α 0≥ . ÏíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå α , ôïí

ìç áñíçôéêü áñéèìü â, Ýôóé þóôå 2β α= .

ÄçëáäÞ 2

α β β α , α,β 0= ⇔ = ≥

Ìðïñïýìå åðïìÝíùò íá ðïýìå üôé ç α , α 0≥ ðáñéóôÜíåé ôç ìÞ áñíçôéêÞ ëýóç

ôçò åîßóùóçò 2x α= . Ãåíéêüôåñá:

Áí α 0≥ , ïíïìÜæïõìå íéïóôÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå ν α , ôïí ìç áñíçôéêü áñéèìü â þóôå

νβ α= , üðïõ í èåôéêüò áêÝñáéïò äçë. νν

α β β α , α,β 0= ⇔ = ≥ .

¼ðùò êáé ðñïçãïýìåíá, ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç ν α , α 0≥ ðáñéóôÜíåé ôç ìç áñíçôéêÞ ëýóç ôçò

åîßóùóçò νx α= . ÓõíÞèùò ãñÜöïõìå: 1 2α α, α α= = , ð.÷.

30 0, 4 2, 27 3= = = ê.ë.ð.

Óôçí Üëãåâñá äåí áíáöåñüìáóôå ìüíï óå ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò áñéèìþí áëëÜ êáé áëãåâñéêþí ðáñáóôÜ-

óåùí. ÔÝôïéåò ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò åßíáé ð.÷. ïé: x 1+ , 2x 2

x 3

, x 2y 5− + ê.ë.ð. Óå êÜèå ðåñßð-

ôùóç, ãéá íá Ý÷åé íüçìá ç ôåôñáãùíéêÞ ñßæá, ðñÝðåé ç ðáñÜóôáóç ðïõ âñßóêåôáé ìÝóá óôï ñéæéêü (äçëáäÞ

ç õðüññéæç ðïóüôçôá) íá åßíáé ìåãáëýôåñç Þ ßóç áðü ôï ìçäÝí.

Éäéüôçôåò

1. Áí α 0≥ êáé *ν Ν∈ ôüôå ( )ν

ν α α= êáé ν να α= .

2. 2α α , α R= ∈ . Ãåíéêüôåñá: 2ν 2να α , α R= ∈ êáé

2ν 1 2ν 1α α , α 0+ +

= ≥ .

3. Áí α,β 0≥ êáé *ν Ν∈ ôüôå ννν βα β α ⋅⋅ = .

Áðü ôçí éäéüôçôá áõôÞ ðñïêýðôåé üôé: νν να β α β⋅ = ⋅ êáé ( )κ

ν κ να α= , *

k N∈ .

4. Áí α 0≥ , β 0> êáé *ν Ν∈ ôüôå: ν

ν

ν

α α

β β= .

5. Áí α 0≥ êáé í, ì, ê*Ν∈ ôüôå:

µ νµνα α= êáé

νκ νµκ µα α= .

ÔåôñáãùíéêÞ

ñßæá

í-ïóôÞ

ñßæá

ÄõíÜìåéò ìå ñçôü åêèÝôç

Áí á > 0, ì åßíáé áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ïñßæïõìå:

µ

ν µνα α=

Áí á = 0 ôüôå ãéá ì, í èåôéêïýò áêÝñáéïõò ïñßæïõìå µ

ν0 0= .

Page 20: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

27ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

ÑÉÆÅÓ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i. 2 2x x 4x 4

Αx x 2

+ += −

+ , áí 2 x 0− < <

ii. ( ) ( )2 44 2B 5 x 2 3 x 3 10 x 2x 1= − − + + + + ,

áí 1 x 2− < <

Ëýóç

i. ( )2x x 2 x x 2

Ax x 2 x x 2

+ += − = −

+ +

Áðü õðüèåóç üìùò x 0 x x< ⇔ = − êáé

x 2 x 2 0 x 2 x 2> − ⇔ + > ⇔ + = +

Üñá x x 2

A 1 1 2x x 2

− += − = − − = −

+

ii. B 5 x 2 3 x 3 10 x 1= − − + + +

Áðü õðüèåóç üìùò Ý÷ïõìå 1 x 2− < < .

Ìå ( )x 2 x 2 0 x 2 x 2< ⇔ − < ⇔ − = − −

Ìå x 1> − ôüôå:

x 3 x 3 0 x 3 x 3> − ⇔ + > ⇔ + = +

x 1 x 1 0 x 1 x 1> − ⇔ + > ⇔ + = +

¢ñá ( ) ( ) ( )B 5 x 2 3 x 3 10 x 1

5x 10 3x 9 10x 10 2x 11

= − − − + + + =

= − + − − + + = +

á. Íá ìåôáôñÝøåôå ôéò ðáñáêÜôù ðáñá-

óôÜóåéò óå éóïäýíáìåò ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ:

i. 4

3 ii.

3

1

2 iii.

5

2 1− iv.

3

3 2

+

â. Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò óôçí ðáñÜóôáóç:

4 5 3

3 2 1 3 2

+ −

− +

Ëýóç

á.i. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìç-

ôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå

ôï 3 âñßóêïõìå:

( )2

4 4 3 4 3 4 3

33 3 3 3

= = =⋅

ii. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìçôÞ

êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå ôï

3 22 âñßóêïõìå:

3 3 32 2 2

33 3 23 3

1 2 2 2

22 2 2 2

= = =

iii. Áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéè-

ìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå

ôï 2 1+ ôüôå èá ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞ-

óïõìå óôïí ðáñáíïìáóôÞ ôçí ôáõôüôçôá ôçò

äéáöïñÜò ôåôñáãþíùí. Âñßóêïõìå Ýôóé:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

22

5 5 2 1 5 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

5 2 15 2 1

2 1

+ += = =

− − ⋅ + −

+= = +

.

Ç ðáñÜóôáóç 2 1+ , ðïõ åßíáé âïçèçôéêÞ óôçí

ìåôáôñïðÞ ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ êëÜóìáôïò, ï-

íïìÜæåôáé óõæõãÞò ðáñÜóôáóç ôçò 2 1− .

ÐáñáôçñÞóôå üôé ïé äýï óõæõãåßò ðáñáóôÜóåéò

2 1+ êáé 2 1− äéáöÝñïõí ìüíï êáôÜ ôï

åíäéÜìåóï ðñüóçìï.

iv. Åäþ ç óõæçãÞò ðáñÜóôáóç ôïõ ðáñáíïìáóôÞ

åßíáé ç 3 2− . ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôïí á-

ñéèìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò

ìå 3 2− âñßóêïõìå:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

2 2

3 3 3 2

3 2 3 2 3 2

3 3 2 3 3 2

3 23 2

3 3 2

− − −= =

+ + ⋅ −

− − − −= = =

−−

= − −

Page 21: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

28 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 7

â. ×ñçóéìïðïéþíôáò ôá ðáñáðÜíù âñßóêïõìå:

4 5 3

3 2 1 3 2+ − =

− +

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A31. Íá âñåßôå ðüôå ïñßæïíôáé ïé ðáñáêÜôù

ðáñáóôÜóåéò êáé íá ôéò áðëïðïéÞóåôå:

i. 16x 7 x 25x− +

ii. 2 24α β 6 α β 7α β+ −

iii. 2 2x y x 4y 16x y− +

iv. 4 2x 2x 1− +

A32. Íá áðïëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

i. ( ) ( )2 2

A 2 2 2 2= − + −

ii. ( ) ( )2 2

B 3 2 3 2− −

= − + +

A33. Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜ-

óôáóçò:

2 2A x 4xy y= − + ãéá x 3 2= + êáé

y 2 3= −

A34. i. Õðïëïãßóôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

( )2

2 3 5+ êáé ( )2

2 3 5−

ii. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:

49 12 5 49 12 5− + +

A35. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

i. 2 8 3 18 4 32 5 50 72− + − +

ii. 3 4 8 3

5 12 27 104 3 9 16− + −

A36. Íá ãñÜøåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò ìå ôç âïÞ-

èåéá ìéáò ìüíï ñßæáò:

i) 233β

4α , α,β 02α

> ii) 4 33 3

iii) 5 332 2 8 2

iv) 2 3

3 4

2 3

x y y, x, y 0

y x x⋅ ⋅ >

A37. Ná õðïëïãßóåôå ôçí ðáñÜóôáóç:

A 18 27 3 3 3 3 3 3= + ⋅ + + ⋅ − +

A38. Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) ( ) ( )2 4 24A 2 x 3 x 2 3 x 4x 4= + − + + − + ,

áí x 2≤

ii) { }2

6 6x 2x 1B 2 x , x R 1

x 1

− += − ∈ −

A39. Ná áðïäåßîåôå üôé:

i) 33 2 1 2+ > +

ii) Aí α 0> ôüôå 2 α 1 α 2 α+ > + +

iii) Aí x, y 0> ôüôå: 2 2x y x y

2 2

+ +≥

iv) 112 7 3 16 8 3 3 1

2− + − = −

A40. Ná ìåôáôñÝøåôå ôá ðáñáêÜôù êëÜóìáôá

óå éóïäýíáìá ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ:

i) 4

3 2 ii)

4

3 3

27 iii)

2

2 2 3−

iv) 1

3 2 1+ − v)

3

33

6

3 2−

( ) ( )4 35 2 1 3 3 2

3

58 2 3 5

3

= + + − − =

= − +

Page 22: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

29ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïßÁ.8

Ïñßæïõìå ùò ôüîï 1ï (ìéáò ìïßñáò) ôï 1

360 ôïõ êýêëïõ êáé

áíôßóôïé÷á, ãùíßá 1ï ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå

ôüîï 1ï.

Ïñßæïõìå ôüîï 1 rad (åíüò áêôéíßïõ) ôï ôüîï ðïõ Ý÷åé

ìÞêïò ßóï ìå ôçí áêôßíá ôïõ êýêëïõ. Áíôßóôïé÷á ïñßæïõ-

ìå ãùíßá 1rad ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå

ôüîï 1rad.

Éó÷ýåé: µα

π 180= , üðïõ á: áêôßíéá, ì: ìïßñåò êáé π 3,14�

(áëëÜ äåí ôï áíôéêáèéóôïýìå ðïôÝ).

Áðü ôç ó÷Ýóç áõôÞ åýêïëá ðñïêýðôåé üôé: µ

α π180

= êáé α

µ 180π

= ⋅

ð.÷. Ýíá ôüîï 300 åßíáé 30 π

α π180 6

= = áêôßíéá, åíþ Ýíá ôüîï π

4 áêôéíßùí åßíáé ßóï

ìå

π

4µ 180 45π

= ⋅ = ìïßñåò.

¸óôù è ïîåßá ãùíßá ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ.

Ïñßæïõìå:

Çìßôïíï ôçò ãùíßáò è:

Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράςβηµθ

α Μήκος της υποτείνουσας= =

Óõíçìßôïíï ôçò ãùíßáò è:

Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράςγσυνθ

α Μήκος της υποτείνουσας= =

ÅöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:

Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράςβεφθ

γ Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράς= =

ÓõíåöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:

Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράςγσφθ

β Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς= =

ÌïíÜäåò

ìÝôñçóçò

ôüîùí -

ãùíéþí

Ç ó÷Ýóç ðïõ

óõíäÝåé

áêôßíéá êáé

ìïßñåò

Ôñéãùíïìåôñé-

êïß

áñéèìïß

ïîåßáò

ãùíßáò

Page 23: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

30 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

Ãéá ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ìéáò ïîåßáò ãùíßáò (êáé ü÷é ìüíï) áðïäåéêíýåôáé üôé éó÷ýïõí ïé

ðáñáêÜôù âáóéêïß ôýðïé:

á.

2 2

2 2

2 2

ηµ θ 1 συν θηµ θ συν θ 1

συν θ 1 ηµ θ

= −+ = ⇔

= −

â.

1εφθ

σφθεφθ σφθ 1

1σφθ

εφθ

=

⋅ = ⇔

=

ã. ηµθ

εφθσυνθ

= êáé συνθ

σφθηµθ

=

ä. 2

2

11 εφ θ

συν θ+ = êáé

2

2

11 σφ θ

ηµ θ+ =

Áðü ôïõò âáóéêïýò áõôïýò ôýðïõò (ôáõôüôçôåò) ðñïêýðôïõí åýêïëá ïé ðáñáêÜôù ôýðïé ðïõ åêöñÜ-

æïõí ôï çìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ìéáò ãùíßáò, óõíáñôÞóåé ôçò åöáðôïìÝíçò êáé ôçò óõíåöáðôïìÝíçò.

i. 2

2

2

εφ θηµ θ

1 εφ θ=

+

ii. 2

2

1συν θ

1 εφ θ=

+

iii. 2

2

1ηµ θ

1 σφ θ=

+

iv. 2

2

2

σφ θσυν θ

1 σφ θ=

+

Áí óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ ìéá ïîåßá ãùíßá Â åß-

íáé 300 (ó÷. 1) ôüôå α

β2

= êáé áðü Ðõèáãüñåéï èåþ-

ñçìá α 3

γ2

= , åíþ áí 0Β 45= (ó÷. 2) ôüôå

α 2β γ

2= = . Ïðüôå ìå ôç âïÞèåéá ôùí ïñéóìþí, õ-

ðïëïãßæïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôùí 300, 450 êáé 600. Ôá áðïôåëÝóìáôá

âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá: Ôñéãùíïìå-

ôñéêïß

áñéèìïß ôùí

30ï, 45ï

êáé 60ï

Page 24: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

31ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

Ôñéãùíïìåôñéêü êýêëï ëÝìå ôïí ðñïóáíá-

ôïëéóìÝíï* êýêëï ìå êÝíôñï ôçí áñ÷Þ Ï ôùí

áîüíùí, áêôßíá ßóç ìå ôç ìïíÜäá êáé áñ÷Þ

ìÝôñçóçò ôùí ôüîùí ôï óçìåßï ( )Α 1, 0 .

Óçìåßùóç:

Ãéá ôïí ðñïóáíáôïëéóìü* ôïõ ôñéãùíïìåôñéêïý êý-

êëïõ, ùò èåôéêÞ öïñÜ ëáìâÜíåôáé ç áíôßèåôç ôçò

êßíçóçò ôùí äåiêôþí ôïõ ñïëïãéïý.

Ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï �AΜ åßíáé ï äñüìïò

ðïõ äéáíýåé åðß ôïõ êýêëïõ êéíçôü, ðïõ îåêéíÜ áðü ôï Á êéíåßôáé êáôÜ ôç

èåôéêÞ Þ áñíçôéêÞ öïñÜ êáé óôáìáôÜ óôï Ì (áöïý åíäå÷ïìÝíùò äéáãñÜøåé

ðñïçãïýìåíá Ýíáí áñéèìü ðåñéóôñïöþí).

ÔñéãùíïìåôñéêÞ ãùíßá ˆΑΟΜ åßíáé ç åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óôï ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï

�AΜ .

Áðü üëá ôá ôüîá �AΜ (Üðåéñá) åðéëÝãïõìå óõíÞèùò ùò “åêðñüóùðï” ôçò åðßêåíôñçò ãùíßáò ôï

ìéêñüôåñï èåôéêü ôüîï �AΜ (÷ùñßò íá åßíáé áðáñáßôçôï) ôï ïðïßï êáëïýìå ðñùôåýïí ôüîï

Áí ôï ðñùôåýïí �AΜ Ý÷åé ìÝôñï á rad Þ ì ìïßñåò, ôüôå ôï ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ �AΜ èá Ý÷åé

ôç ìïñöÞ:

2κπ α+ óå áêôßíéá Þ 0 0

360 κ µ+ óå ìïßñåò , üðïõ κ Ζ∈ .

ÄçëáäÞ áí è rad (óõíçèßæåôáé ùò ìïíÜäá ôï áêôßíéï) ôï ìÝôñï ôïõ ðñùôåýïíôïò �AΜ êáé x ôï

ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ �AΜ ôüôå:

x 2κπ θ, κ Ζ= + ∈

Äýï ôüîá ðïõ Ý÷ïõí ôï ßäéï ôÝëïò äéáöÝñïõí êáôÜ 2êð.

ÅöáñìïãÞ:

Íá âñåèïýí ôá ôüîá ðïõ ôåëåéþíïõí óôï

i. ( )Α 1, 0 ii. ( )Α' 1, 0− iii. ( )Β 0, 1 iv. ( )Β' 0, 1−

Ëýóç

i. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï 0, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ, κ Ζ∈ .

ii. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï ð, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ π, κ Ζ+ ∈ .

iii. Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:π

2κπ , κ Ζ2

+ ∈ êáé 3π

2κπ , κ Ζ2

+ ∈ ãéá ôï iv.

Ãåíßêåõóç

ôçò Ýííïéáò

ôïõ ôüîïõ

(ãùíßáò)

Ôñéãùíïìå-

ôñéêüò

êýêëïò

* ¼ôáí ëÝìå ðñïóáíáôïëéóìÝíï åííïïýìå üôé Ý÷ïõìå êáèïñßóåé ìå ðïéÜ öïñÜ

ìåôñÜìå ôéò ãùíßåò(Þ ôá ôüîá).

Page 25: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

32 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

ω (µοίρες)

ω (rad)

ηµω

συνω

εφω

σφω

o ο ο o o o o o0 30 45 60 90 180 270 360

π π π π 3π0 π 2π

6 4 3 2 2

1 2 30 1 0 1 0

2 2 2

3 2 11 0 1 0 1

2 2 2

30 1 3 0 0

3

33 1 0 0

3

− −

− − −

Óå üðïéï ôåôñáãùíÜêé õðÜñ÷åé “–” óçìáßíåé üôé ï ôñéãùíïìåôñéêüò áñéèìüò äåí ïñßæåôáé.

¸óôù ôüîï �AΜ (áíôßóôïé÷á ãùíßá ˆΑΟΜ ) ìå ìÝôñï

è, üðïõ ( )Μ x, y . Áí ( )∆ x,0 ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí

x 'x , ( )Γ 0, y ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí ( )y ' y, E 1, τ ôï

óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò áêôßíáò ÏÌ ôÝìíåé

ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïõ êýêëïõ óôï ( )Α 1, 0

êáé ( )Ζ σ, 1 ôï óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò ÏÌ

ôÝìíåé ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïí êýêëï óôï óç-

ìåßï ( )Β 0, 1 , ôüôå ïñßæïõìå:

ηµθ y, συνθ x, εφθ τ και σφθ σ= = = =

(Ï ïñéóìüò áõôüò ãåíéêåýåôáé êáé ãéá ìç ïîåßåò ãùíßåò).

Áðü ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü ðñïêýðôïõí :

ηµθ 1, συνθ 1, εφθ R, σφθ R≤ ≤ ∈ ∈

Ç εφθ ïñßæåôáé áí π

θ κπ2

≠ + êáé ç σφθ ãéá θ κπ≠ .

Ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí óå ó÷Ýóç ìå ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï âñßóêåôáé

ôï óçìåßï Ì, öáßíåôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.

Ìðïñïýìå ôþñá íá åðåêôåßíïõìå ôïí ðßíáêá ôùí ôñéã. áñéèìþí ÷áñáêôçñéóôéêþí ôüîùí (ãùíéþí), ùò åîÞò:

Page 26: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

33ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

¸óôù ôüîï è. Ôüîá ðïõ óõíäÝïíôáé ìå ôï è ìå áðëÞ ó÷Ýóç åßíáé ôá:

π π 3π 3πθ, θ, θ, π θ, π θ, θ, θ, 2π θ, 2π θ, 2κπ θ2 2 2 2

− − + − + − + − + ±

Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò áõôþí ôùí ôüîùí åöáñìü-

æïõìå ôïí åîÞò ðñáêôéêü êáíüíá:

×ùñßæïõìå ôá ôüîá óå äýï êáôçãïñßåò.

Êáôçãïñßá 1. 0 θ, π θ, 2π θ, 2κπ θ± ± ± ±

Êáôçãïñßá 2.π 3πθ, θ

2 2± ±

Áí ôá ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 1 ôüôå ïé ôñéã. áñéèìïß äåí áëëÜæïõí. Áí ôá

ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 2 ôüôå ôï çìßôïíï ãßíåôáé óõíçìßôïíï (êáé áíôß-

óôñïöá), ç åöáðôïìÝíç ãßíåôáé óõíåöáðôïìÝíç (êáé áíôßóôñïöá).

ÔÝëïò ôï ðñüóçìï ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï ëÞãåé ôï ôüîï.

(âë. ðßíáêá óôçí ðñïçãïýìåíç óåëßäá).

¸óôù ð.÷. üôé Ý÷ïõìå ôï ( )ηµ π θ− . ÅðåéäÞ ôï π θ− áíÞêåé óôçí 1ç Êáôçãïñßá ôï çìßôïíï èá

ðáñáìåßíåé êáé ôï ðñüóçìï åßíáé èåôéêü, áöïý ôï çìßôïíï óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï, óôï ïðïßï

ëÞãåé ôï ôüîï, åßíáé èåôéêü. (èåùñþíôáò ÷ùñßò âëÜâç üôé ç è åßíáé ïîåßá ãùíßá).

¸ôóé ( )ηµ π θ ηµθ− = . Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:

( )3π 3π πσυν θ ηµθ, εφ π θ εφθ, σφ θ εφθ, ηµ θ συνθ κ.λ.π.

2 2 2

− = − + = + = − + =

ÁíåîÜñôçôá áðü ôïí êáíüíá ðïõ áíáöÝñáìå, êáëü åßíáé íá ãíùñßæïõìå ôïõò ôýðïõò óôéò ðéï óõíç-

èéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò, üðùò:

Ìå ôç âïÞèåéá ôùí ðñïçãïýìåíùí ìðïñïýìå ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ íá

ôïõò áíáãÜãïõìå óå ôñéãùíïìôñéêïýò áñéèìïýò ôüîïõ ôïõ ðñþôïõ ôåôáñôçìïñßïõ.

ð.÷.

Ôñéãùíïìå-

ôñéêïß

áñéèìïß ôüîùí

ðïõ

óõíäÝïíôáé

ìå áðëÞ

ó÷Ýóç.

ÁíáãùãÞ

óôï 1ï

ôåôáñôçìüñéï

Page 27: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

34 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

Ôñéãùíïìå-

ôñéêïß

áñéèìïß

äéðëÜóéïõ

ôüîïõ

ð.÷

1. ( )( )

20 0

0 0 0

0 0

31

εφ45 εφ30 3 3 3 33εφ75 εφ 45 30 2 39 31 εφ45 εφ30 3 3 3

13

++ + +

= + = = = = = +−− −

−⋅

2. Éó÷ýåé ç ôáõôüôçôá: ( ) ( ) 2 2συν α β συν α β συν α ηµ β+ − = − , ãéá ïðïéáäÞðïôå ôüîá (ãùíßåò) á êáé

â, äéüôé:

( ) ( ) ( ) ( )συν α β συν α β συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ηµα ηµβ+ − = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2συν α συν β ηµ α ηµ β συν α 1 ηµ β 1 συν α ηµ β= ⋅ − ⋅ = − − − =

2 2 2 2 2 2 2 2συν α συν α ηµ β ηµ β συν α ηµ β συν α ηµ β= − ⋅ − + ⋅ = −

Áðü ôïõò ðñïçãïýìåíïõò ôýðïõò, èÝôïíôáò β α= , ðñïêýðôïõí ïé ôýðïé:

ηµ2α 2ηµα συνα= ⋅

2 2 2 2συν2α συν α ηµ α 2συν α 1 1 2ηµ α= − = − = −

2

2εφαεφ2α

1 εφ α=

− êáé

2σφ α 1σφ2α

2σφα

−=

Ãéá ðáñÜäåéãìá, áí 4

ηµα5

= ìå π

α π2< < èá õðïëïãßóïõìå ôï ηµ2α .

Ãéá ôï Üèñïéóìá α β+ êáé ôç äéáöïñÜ α β− äýï ôüîùí éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù

ôýðïé:

( )0 0 0 0 1ηµ750 ηµ 2 360 30 ηµ30

2

17π 17π 16π π π π 2συν συν συν συν 4π συν

4 4 4 4 4 4 2

13π 13π 12π π π π 3εφ εφ εφ εφ 2π εφ κ.λ.π.

6 6 6 6 6 6 3

= ⋅ + = =

− = = + = + = =

− = − = − + = − + = − = −

Ôñéãùíïìå-

ôñéêïß

áñéèìïß

áèñïßóìáôïò

êáé äéáöïñÜò

äýï ôüîùí

συν(α + β) = συνασυνβ - ηµαηµβ συν(α - β) = συνασυνβ + ηµαηµβ

ηµ(α + β) = ηµασυνβ + συναηµβ ηµ(α - β) = ηµασυνβ - συναηµβ

εφα εφβ

εφ(α β)1 εφαεφβ

++ =

εφα εφβεφ(α β)

1 εφαεφβ

−− =

+

σφασφβ 1

σφ(α β)σφα σφβ

−+ =

+

σφασφβ 1σφ(α β)

σφβ σφα

+− =

Page 28: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

35ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

Åßíáé 2 2συν α 1 ηµ α= − , êáé åðåéäÞ óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï ôï óõíçìßôïíï åßíáé áñíçôéêü ðñïêýðôåé

2 16 3συνα 1 ηµ α συνα 1

25 5= − − ⇔ = − − = −

¢ñá 4 3 24

ηµ2α 2ηµα συνα 25 5 25

= ⋅ = ⋅ − = −

Áðü ôï 2 2συν2α 2συν α 1 1 2ηµ α= − = − , åýêïëá áðïäåéêíýïíôáé ïé ôýðïé:

2 1 συν2αηµ α

2

−=

2 1 συν2αεφ α

1 συν2α

−=

+

2 1 συν2ασυν α

2

+=

2 1 συν2ασφ α

1 συν2α

+=

Åðßóçò éó÷ýïõí ïé ôýðïé:

2

α2εφ

2ηµαα

1 εφ2

=

+ 2

α2εφ

2εφαα

1 εφ2

=

2

2

α1 εφ

2συναα

1 εφ2

=

+

2 α1 εφ

2σφαα

2εφ2

=

ð.÷

i. Íá áðïäåé÷èåß üôé: 2 2π 3πηµ ηµ 1

8 8+ = êáé

ii. Áí 1

εφα2

= íá õðïëïãéóôåß ç ðáñÜóôáóç: ηµ2α συν2α+

Áðüäåéîç

i. 2 2

π 3π π π1 συν 1 συν 2 συν συν

π 3π 4 4 4 4ηµ ηµ 18 8 2 2 2

− − − +

+ = + = =

ii. 2 2

2 2 2

1 1 72 1

2εφα 1 εφ α 2εφα 1 εφ α 72 4 4ηµ2α συν2α1 5 51 εφ α 1 εφ α 1 εφ α 14 4

+ −− + −

+ = + = = = =+ + +

+

Ôýðïé

áðïôåôñá-

ãùíéóìïý

Ôñéãùíïìå-

ôñéêïß

áñéèìïß

åíüò ôüîïõ

óõíáñôÞóåé

ôçò åöáðôïìÝ-

íçò ôïõ ìéóïý

ôüîïõ

Page 29: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

36 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

3

2

1 á. Íá áðïäåßîåôå üôé:

i. ⋅4 4 2 2

ηµ θ συν θ 1 2ηµ θ συν θ+ = −

ii. ⋅6 6 2 2

ηµ θ συν θ 1 3ηµ θ συν θ+ = −

â. Íá âñåèåß ï λ R∈ þóôå ç ðáñÜóôáóç

( )6 6 4 4Α ηµ θ συν θ λ ηµ θ συν θ= + + + íá åßíáé

áíåîÜñôçóç ôïõ ôüîïõ x.

Áðüäåéîç

á. i. ( ) ( )

( )

224 4 2 2

22 2 2 2

2 2

ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ

ηµ θ συν θ 2ηµ θ συν θ

1 2ηµ θσυν θ

+ = + =

= + − ⋅ =

= −

ii. ( ) ( )

( )

( )

336 6 2 2

32 2 2

2 2 2 2 2

ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ

ηµ θ συν θ 3ηµ θ

συν θ ηµ θ συν θ 1 3ηµ θσυν θ

+ = + =

= + − ⋅

+ = −

â. ( )( )

2 2 2 2

2 2

Α 1 3ηµ θσυν θ λ 1 2ηµ θ συν θ

λ 1 2λ 3 ηµ θ συν θ

= − + − ⋅ =

= + − + ⋅

¢ñá ãéá íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ è ðñÝðåé

32λ 3 0 λ

2+ = ⇔ = − .

Íá áðïäåßîåôå üôé:

i. ( )συνx 1

1 εφx 1 2ηµx ηµxσυνx

+ + − =

ii. ηµx1 συνx 2

ηµx 1 συνx ηµx

++ =

+

Áðüäåéîç

i. ( )συνx

1 εφx 1 2ηµx

ηµx συνx1 1 2συνx ηµx

+ + − =

= + + − =

( )2

συνx ηµx ηµx συνx2

συνx ηµx

ηµx συνx2

ηµx συνx

+ += ⋅ − =

+= − =

2 2ηµ x 2ηµx συνx συν x 2ηµx συνx

ηµx συνx

1

ηµx συνx

+ ⋅ + − ⋅= =

=

ii. ( )

( )

( )

2 2

2 2

ηµx 1 συνx ηµ x1 συνx

ηµx 1 συνx ηµx 1 συνx

1 2συνx συν x ηµ x

ηµx 1 συνx

+ +++ = =

+ +

+ + += =

+

( )

( )

( )

2 2συνx 2 1 συνx 2

ηµx 1 συνx ηµx 1 συνx ηµx

+ += = =

+ +

Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i.( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

ο ο ο

ο ο ο ο

ηµ 180 x συν 180 x εφ x σφ 360 xΑ

συν 270 x εφ 90 x ηµ 810 x εφ 180 x

− + − −=

− + − +

ii.

( )

( ) ( )

⋅ ⋅

⋅ ⋅

3π 7πσυν x εφ x π ηµ x

2 2Β

9πσφ x ηµ x 4π συν x 3π

2

+ − −

=

− − −

Ëýóç

i. ( )

( )

( )

( )

ο

ο

ο

ηµ 180 x ηµx

συν 180 x συνx

εφ x εφx

σφ 360 x σφx

− =

+ = −

− = −

− = −

¢ñá ( )( )( )

( )

ηµx συνx εφx σφxΑ 1

ηµx σφx συνx εφx

⋅ − − −= = −

− − ⋅ ⋅

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

( )

( )

( )

( )

ο

ο

ο

0

συν 270 x ηµx

90 x σφxεφ

ηµ 810 x συνx

εφ 180 x εφx

− = −

+ = −

− =

+ =

Page 30: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

37ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ii.

( ) ( )

3πσυν x ηµx

2

εφ x π εφ π x εφx

7π 4π 3πηµ x ηµ x

2 2 2

3π 3πηµ 2π x ηµ x συνx

2 2

+ =

− = − − =

− = + − =

= + − = − = −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

9π 8π πσφ x σφ x

2 2 2

π πσφ 4π x σφ x εφx

2 2

ηµ x 4π ηµ 4π x

ηµ 2π 2π x ηµ 2π x ηµx

συν x 3π συν 3π x

συν 2π π x συν π x συνx

− = + − =

= + − = − =

− = − − =

= − + − = − − =

− = − =

= + − = − = −

¢ñá ( )

( )

ηµx εφx συνxΒ 1

εφx ηµx συνx

⋅ −= =

⋅ −

Áí π

0 α2

< < êáé ηµα 3συνα 2+ =

ôüôå íá äåé÷èåß üôé π

α6

= .

Áðüäåéîç

πηµα 3 συνα 2 ηµα εφ συνα 2

3

πηµ3ηµα συνα 2π

συν3

+ ⋅ = ⇔ + = ⇔

⇔ + = ⇔

π π πηµα συν ηµ συνα 2συν

3 3 3

π 1ηµ α 2

3 2

⇔ ⋅ + = ⇔

⇔ + = ⋅ ⇔

π0 α

2π π π πηµ α 1 α α

3 3 2 6

< <

⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A41. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç ðáñÜóôáóç:

( ) ( )6 6 4 4A 2 ηµ x συν x 3 συν x ηµ x= + − +

Ý÷åé ìßá ôéìÞ áíåîÜñôçôç ôïõ ôüîïõ x.

A42. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:

( ) ( )

( ) ( )

πηµ π α συν α εφ 7π α

2A

3πσυν 3π α ηµ α εφ 2π α

2

+ − +

=

− + +

A43. Íá áðïäåé÷èåß üôé:

i) ( )( )

( )( )

ηµx εφx συνx σφx

1 ηµx 1 συνx

+ + =

= + +

ii) ( )( )2

2εφx 2 2εφx 1 5εφx

συν x+ + = +

iii) 2 2

2 2

2 2

συν x ηµ yσφ x σφ y 1

ηµ x ηµ y

−⋅ − =

A44. Íá áðïäåé÷èåß üôé:

i) ( )

( ) ( )

2ηµ α βεφα εφβ

συν α β συν α β

+= +

+ + −

ii) ( ) ( )ηµx ηµ 120 x ηµ 240 x 0+ ° + + ° + =

iii) ( ) ( )

( )

3 εφα εφ α 30

3 σφα εφα

− ⋅ + ° =

= + ⋅

A45. Íá áðïäåé÷èåß üôé:

i) ηµ2α 1 συνα α

εφ1 συν2α συνα 2

−⋅ =

ii) 4 4 4 4π 3π 5π 7π 3ηµ ηµ ηµ ηµ

8 8 8 8 2+ + + =

A46. Áí ïé ãùíßåò åíüò ôñéãþíïõ ÁÂÃ åðá-

ëçèåýïõí ôç ó÷Ýóç: 2 2 2ηµ Α ηµ Β ηµ Γ= + ,

íá áðïäåé÷èåß üôé ôï ôñßãùíï áõôü åßíáé

ïñèïãþíéï.

Page 31: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

38 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 9

Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìüÁ.9

Ïñéóìïß

Ôçí ãíùóôÞ Ýííïéá ôçò äýíáìçò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü åðåêôåßíïõìå êáé

óôç ðåñßðôùóç ðïõ ï åêèÝôçò åßíáé ñçôüò. Äßíïõìå, äçëáäÞ, íüçìá êáé óôï

åêèåôéêü óýìâïëï

µ

να , üðïõ α 0> , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò, ôï

ïðïßï èá ïíïìÜæïõìå äýíáìç ìå ñçôü åêèÝôç.

Ãéá íá Ý÷åé íüçìá äýíáìçò ôï óýìâïëï

µ

να èá ðñÝðåé íá åßíáé èåôéêüò áñéèìüò

(áöïý α 0> ) êáé åðéðëÝïí íá éêáíïðïéåß ôéò ãíùóôÝò éäéüôçôåò ôùí äõíÜìåùí

ð.÷.

νµ µ

νµν να α α

⋅ = =

Áõôü óçìáßíåé üôé

µ

να åßíáé ç èåôéêÞ ñßæá ôçò åîßóùóçò ν µx α= ðïõ åßíáé ç

ν µα .

ÅðïìÝíùò: Áí α 0> , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ôüôå ïñßæïõìå

µ

ν µνα α=

Áí åðéðëÝïí ì,í èåôéêïß áêÝñáéïé ïñßæïõìå

µ

ν0 0= .

ð.÷.

3 1

4 3 3 14 21 1

16 16 2 8 4 44 2

−−

= = = = = =

Ãåíéêüôåñá, ìå ôç âïÞèåéá ôçò äýíáìçò ìå ñçôü åêèÝôç, ïñßæïõìå ôï åêèåôéêü óýìâïëï xα , α 0>

êáé x R∈ . (Ï áêñéâÞò ïñéóìüò îåöåýãåé áðü ôá üñéá áõôïý ôïõ âéâëßïõ).

¸ôóé, áí á,â èåôéêïß ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé x, y R∈ ôüôå:

i)x y x yα α α

+

⋅ = ii)x y x yα : α α

−=

iii) ( )y

x x yα α ⋅= iv) ( )

x x xα β α β⋅ = ⋅ v)

x x

x

α α

β β

=

Óõíïøßæïíôáò ãéá ôï åêèåôéêü óýìâïëï BA , Ý÷ïõìå:

üðïõ ρ ,ρ′ : ñçôïß áñéèìïß ðïõ ðñïóåããßæïõí ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ÷.

Áêüìá: 0Α 1= ìå Α 0≠ , 1Α Α= êáé 1 Α Α= ìå Α 0> .

Page 32: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

39Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìü

ÄÕÍÁÌÅÉÓ

ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏ

4

3

2

1 Íá õðïëïãéóôåß ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

( ) ( )3

3 1 2

2 12 2 3A α β αβ α− − −

− −

= ⋅ ⋅

ãéá êÜèå

2= êáé

3

2

=

Ëýóç

3 32 43 1

23 32 2

6

6 43 24 6

4 4 2 4

4

Α α β α β α α β

1 1

β 22 2α β 1α 2 2

2

22

−− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = = = = =

Íá áðïäåé÷èåß üôé:

i) 1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3x y x x y y x y

+ − ⋅ + = +

ii)

1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3x y x x y y x y

− + ⋅ + = −

üðïõ x,y 0>

Ëýóç

i)

( )( )

1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3

2 23 3 33 3 3

3 33 3

x y x x y y

x y x x y y

x y x y

+ − ⋅ + =

= + − ⋅ + =

= + = +

ii)

( )( )

1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3

2 23 3 33 3 3

3 33 3

x y x x y y

x y x x y y

x y x y

− + ⋅ + =

= − + ⋅ + =

= − = −

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) 5

2,5627 3−

ii) ( ) ( )1 1

2 42 2α 3α β 12α β , α,β 0+ >

iii) ( ) ( ) ( )1 1 1

6 3 4 6 43 3 3β 8α β 4α α β 125α β ,

α,β 0

+ −

>

iv)

11 11 9 32 22 2

3 1 3 38 12 3 24 2 4 16

+ − −

Ëýóç

i) 5 5

6 6 65 5 15 156 2

6 0 6

27 3 27 3 3 3

3 1 1

−− −⋅ = ⋅ = ⋅ =

= = =

ii) 2 4 2 2

2

α 3α β 12α β α 3β 2α 3β

3α 3β

+ = + =

=

iii) 6 3 4 6 43 3 3

2 2 2 23 3 3 3

β 8α β 4α α β 125α β

2α β β 4α β β 5α β β α β β

+ − =

= + − =

iv)

3

2

3

3 1 3 312 3 28

4 2 4 16

8 3 3 2 33 3

2 4 4

9 3 94 3 3 3 3

4 2 4

+ − − =

= + − − =

= + − − =

Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò

i) 2 4 2 2 2 43 3α α β β α β⋅ + ⋅ üðïõ α,β 0>

ii)

1 1

2 4

11

84

x 2x 1

x 2x 1

− +

− +

, x 0>

Page 33: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

40 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 9

A47. Íá âñåèïýí ïé áñéèìïß:

i) ( )2 31

23 52x 27 4 3 32 0,25

= + − ⋅ +

ii) ( )5

0,25 1 7 324 4 5 3 2

1y 2 24 54 4 8 25

16

= + ⋅ − − +

A48. Íá âñåèïýí ôá åîáãüìåíá

i) ( )5

631

0,54

ii) 3 64 27 7 7

−⋅ ⋅

A49. Íá áðïëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i)

1 1 1 1

2 4 4 2

3 1 1 1 1

4 2 4 2 2

x y x y x yΑ

x x y x y

− + ⋅= ⋅

+ ⋅ +

ii)

3 1 1 1 3

2 2 2 2 4 4

1 1

2 2

α α β 2α β 2βB

α β

− − +=

A50. Íá âñåèåß ïé ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:

i) ( )6

221

3 32Α x y y x−

= ⋅ ⋅ ,

áí 31x και y 2

2

= =

ii) ( )1

4 22 1 3

1 13 2B x y x y− −

= ,

áí

61 1

x και y8 3

= =

A51. Íá äåé÷èåß üôé:

i) ( ) ( )3

26 2 5 8 5 2− = −

ii) ( )( ) ( )1 1 1 1

2 2 2 2αβ α β

α β α βαβ

− − −− + =

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ëýóç

i) 3 32 4 2 2 2 4

4 2 2 4

2 23 3 3 3

10 2 2 10

3 3 3 3

2 25 1 1 5

3 3 3 3

5 1 1 5

5 53 33 3 3 3

2 23 3

α α β β α β

α α β β α β

α β α β

α β α β

α β α β α β α β

α α β β αβ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

= +

ii)

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

1 1

42 4

11 84

84

242

4 4

2 28 8 8

22 2 28 8 8

2 28 8

28

x 2x 1 x 2 x 1

x 2 x 1x 2x 1

x 1x 2 x 1

x 2 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

x 1 x 1

x 1

− + − += =

− +− +

−− += = =

− + −

− − +

= = =

− −

= +

Page 34: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

41ëïãÜñéèìïé

ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ

ËïãÜñéèìïéÁ.10

¸óôù èåôéêüò áñéèìüò á, äéÜöïñïò ôïõ 1 êáé θ 0> . Ôüôå ç åîßóùóç xα θ=

áðïäåéêíýåôáé üôé Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç. Ôç ëýóç áõôÞ óõìâïëßæïõìå ìå α

log θ

êáé êáëïýìå:

ëïãÜñéèìï ôïõ è ìå âÜóç ôï á

¢ñá, áí α 0, α 1> ≠ êáé θ 0> ôüôå: x

αlog θ x α θ= ⇔ =

Ç éóïäõíáìßá áõôÞ óõíäÝåé ôï åêèåôéêü êáé ëáãáñéèìéêü óýìâïëï.

¸ôóé, ð.÷. 2

log 8 3= áöïý 3

32 8, log 9 2= = áöïý 2

3 9= ê.ë.ð.

Áðü ôïí ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ðñïêýðôïõí Üìåóá ïé ðéï êÜôù âáóéêÝò ó÷Ý-

óåéò:¡

i) αlog θθ α= ii) x

αlog α x=

iii)α

log α 1= iv)α

log 1 0=

Áí ç âÜóç åßíáé α 10= ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ 10

log θ ÷ñçóéìïðïéïýìå

ôï óýìâïëï logθ ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå äåêáäéêü ëïãÜñéèìï ôïõ è.

äçë. xlogθ x 10 θ= ⇔ = . ð.÷. log100 2, log0,1 1= = − ê.ë.ð.

Áí ç âÜóç åßíáé α e= , üðïõ e 2,71� , ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ e

log θ

÷ñçóéìïðïéïýìå ôï óýìâïëï nθ� ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå öõóéêü (Þ íå-

ðÝñéï) ëïãÜñéèìï ôïõ è.

äçë. x

nθ x e θ= ⇔ =� . ð.÷. 3 1ne 3, n 1

e= = −� � ê.ë.ð.

Ãéá 1 2

α,β 0, α,β 1, θ,θ ,θ 0> ≠ > êáé κ R∈ éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù éóü-

ôçôåò (éäéüôçôåò ëïãáñßèìùí):

1) ( )α 1 2 α 1 α 2log θ θ log θ log θ⋅ = +

2) 1

α 1 α 2

2

θlog log θ log θθ

= −

3) κ

α αlog θ κ log θ= ⋅

4) β

α

β

log θlog θ

log α= (Ôýðïò áëëáãÞò âÜóçò)

ÈÅÙÑÉÁ

Ïñéóìüò

Äåêáäéêïß

Öõóéêïß

ËïãÜñéèìïé

Éäéüôçôåò

Ëïãáñßèìïõ

Page 35: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

42 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10

ÅöáñìïãÝò: Íá áðïäåé÷èåß üôé

i) ν

α α

1log θ log θ, ν Ν, ν 2

ν= ∈ ≥

ii)α α

1log log θ

θ= −

iii)β α

log α log β 1⋅ =

iv)α α

logθ nθlog θ , log θ

logα nα= =

Áðüäåéîç

i )1

ν να α α

1log θ log θ log θ

ν= =

ii)α α α α α

1log log 1 log θ 0 log θ log θ

θ= − = − = −

iii) α

β β β α

α α

log α 1log α log α log α log β 1

log β log β= ⇔ = ⇔ ⋅ =

iv) Ðñïêýðôïõí áðü ôïí ôýðï áëëáãÞò âÜóçò ãéá β 10= êáé β e= áíôßóôïé÷á.

Page 36: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

43ëïãÜñéèìïé

ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ

3

21

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá õðïëïãéóôïýí ïé ëïãÜñéèìïé:

á. 4

log 32 â. 0,1log 100 ã.

8

2log

4

ä. 3

1

9

log 3 å. 0,2log 625 óô. log 10 10

Ëýóç

á. ¸óôù 4

log 32 x= .

Ôüôå x 2x 5 54 32 2 2 2x 5 x

2= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

â. ¸óôù 0,1

log 100 x= . Ôüôå

( ) ( )xx 1 x 2

0,1 100 10 100 10 10

x 2 x 2

− −= ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ − = ⇔ = −

ã. ¸óôù 8

2log x

4= . Ôüôå

1 3

x 3x 2 3x2 22

8 2 2 2 2 24

3 13x x

2 2

= ⇔ = : ⇔ = ⇔

− −⇔ = ⇔ =

ä. ¸óôù 3

1

9

log 3 x= . Ôüôå

x 1

2x3 31 1 1

3 3 3 2x x9 3 6

− = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

å. ¸óôù 0,2

log 625 x= . Ôüôå

( )x x

2

x 4

2 10,2 625 625

10 5

625 5 5 x 4 x 4−

= ⇔ = ⇔ =

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

óô. ¸óôù log 10 10 x= . Ôüôå

x 2x 4x

2 4x 3

10 10 10 10 10 10 10

310 10 10 10 4x 3 x

4

= ⇔ = ⇔ =

= ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Áí 3

log 2 α= íá õðïëïãßóåôå ôïí

8log 12 .

Ëýóç

Áöïý 3

log 2 α= èá åßíáé α3 2= .

¸óôù 8

log 12 x= . Ôüôå

( )

( )

3xx 3x 2 α

2α 3αx 2α 1

α 0

8 12 2 2 3 3

3 3 3 3

2α 13αx 2α 1 x

+

= ⇔ = ⋅ ⇔ =

= ⋅ ⇔ = ⇔

+⇔ = + ⇔ =

Íá âñåèåß ï ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ÷ áí:

á. x

log 1000 6= − â. x

2log 16

3=

ã. x

16log 4

81=

Ëýóç

á. 6

x

6

6 33

x 1000log 1000 6

0 x 1

111x1010

x 10x

0 x 1 0 x 10 x 1

− == − ⇔ ⇔

< ≠

=== ⇔ ⇔ ⇔ < ≠ < ≠< ≠

¢ñá 10

x10

= .

â.

2 3

3 2

x

2 x 16x 16log 163 0 x 10 x 1

=== ⇔ ⇔ ⇔

< ≠< ≠

( )3

1

2x 16

0 x 1

=⇔

< ≠

. ¢ñá x 64= .

Page 37: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

44 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10

Aí 1 2x ,x ïé ñßæåò

ôïõ ôñéùíýìïõ

( ) = + +2φ x ax βx γ

ôüôå:

−= + =1 2

βS x x

α

êáé = ⋅ =1 2

γΡ x x

α

5

4

ã.

4

4 4

x

16 2x16 x

log 4 81 381

0 x 1 0 x 1

= =

= ⇔ ⇔

< ≠ < ≠

¢ñá 2

x3

= .

Íá âñåèåß ï áêÝñáéïò ÷ Ýôóé þóôå íá

Ý÷ïõí Ýííïéá óôï R ôá óýìâïëá:

á. ( )x

log 3 x− â. x

1 xlog

5 x

+

Ëýóç

á. 3 x 0 x 3

0 x 1 0 x 1

3 x 3 0 x 3

0 x 1 x 1

− > <⇔ ⇔

< ≠ < ≠

− < < < < ⇔ ⇔

< ≠ ≠

¢ñá x 2= (äéüôé x Z∈ ).

â. ( )( )

( )( )

1 x0 1 x 5 x 0

5 x0 x 1

0 x 1

1 x 5x 1 x 5 0

0 x 10 x 1

0 x 5

x 1

+> + − >

⇔ ⇔− < ≠ < ≠

− < < + − < ⇔ ⇔ ⇔

< ≠< ≠

< <⇔

¢ñá x 2 ή x 3 ή x 4= = = (äéüôé x Z∈ ).

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. 3 3 3

3log 2 2log 6 log 32 2+ − =

â. 5 5 5

2 3log 2 2log 10 log 2+ − =

Ëýóç

á.

( )

3 3 3

3 2

3 3 3

3 2

3 3

3 3

3log 2 2log 6 log 32

log 2 log 6 log 32

log 2 6 log 32

8 36log log 9 2

32

+ − =

= + − =

= ⋅ − =

⋅= = =

2ïò ôñüðïò

( )

3 3 3

5

3 3 3

3log 2 2 log 6 log 32

3log 2 2 log 2 3 log 2

+ − =

= + ⋅ − =

3 3 3 3

3

3log 2 2log 2 2log 3 5log 2

2 log 3 2 1 2

= + + − =

= ⋅ = ⋅ =

â.

( )

5 5

2 3 2

5 5 5

2 3 2

5 5

5 5

2 3log 2 2log 10

log 5 log 2 log 10

log 5 2 log 10

25 8log log 2

100

+ − =

= + − =

= ⋅ − =

⋅= =

2ïò ôñüðïò

( )

5 5

5 5

2 3log 2 2log 10

2 3log 2 2log 2 5

+ − =

= + − ⋅ =

5 5 5

5 5

2 3log 2 2 log 2 2log 5

2 log 2 2 1 log 2

= + − − =

= + − ⋅ =

Áí log 2 log5 α=⋅ íá áðïäåßîåôå üôé

ïé áñéèìïß log 2 êáé log5 åßíáé ïé ñßæåò

ôçò åîßóùóçò 2x x α 0− + = .

Ëýóç

Ðáñáôçñïýìå üôé:

( )log 2 log5 log 2 5 log10 1+ = ⋅ = =

Áöïý ëïéðüí

log 2 log5 1+ =

êáé log 2 log5 α⋅ =

ïé áñéèìïß log 2 êáé log5

èá åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò

2x x α 0− + = .

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á.

1

logαα 10= â. logβ logαα β=

Ëýóç

Áðü ôïí ïñéóìü,

ç éóüôçôá

=alog x y

Ý÷åé Ýííïéá ãéá:

> < ≠x 0, 0 a 1

êáé ∈y R

6

7

Page 38: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

45ëïãÜñéèìïé

ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ

10

9

8

á. Åßíáé

1

logα 1logα logα 1

logα= ⋅ = .

¢ñá

1

log αα 10= .

â. Ï ëïãÜñéèìïò ìå âÜóç â ôïõ áñéèìïý logβα

åßíáé:

logβ

β β

logαlog α logβ log α logβ logα

logβ= ⋅ ⋅ = ⋅ =

Áöïý logβ

βlog α logα= áðü ôïí ïñéóìü ôïõ

ëïãáñßèìïõ ðñïêýðôåé: logβ log αα β= .

Ná õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜ-

óôáóçò: ( )2 3 6

2 3

log 5 log 5 log 5Κ

log 5 log 5

+ ⋅=

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôçí åöáñìïãÞ (iii) Ý÷ïõìå:

5 5 5

5 5

5 5

5 5 5

5 5

5 5 5

5 5

1 1 1

log 2 log 3 log 6K

1 1

log 2 log 3

log 3 log 2 1

log 2 log 3 log 6

1

log 2 log 3

log 3 log 2 log 61

log 6 log 6

+ ⋅

= =

+⋅

⋅= =

+= = =

Áí log 2 0,3� íá õðïëïãßóåôå ôçí

ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

( )

( ) ( )

1 1A log 2 log 2 2

2 2

1 1log 2 2 2 log 2 2 22 2

= + + +

+ + + − +

Ëýóç

( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )

1A log 2 log 2 2

2

log 2 2 2 2 2 2

1log 2 log 2 2 log 4 2 2

2

1log 2 log 2 2 log 2 2

2

1log 2 log 2 2 2 2

2

1log 2 log 4 2

2

1 1log 2 log 2 2log 2 log 2 0,3

2 2

= + + +

+ + − + =

= + + + − + =

= + + + − =

= + + − =

= + − =

= + = = �

Áí α 1, β 1> > êáé 2 2α β 7αβ+ = , íá

áðïäåßîåôå üôé:

( )α β 1

log logα logβ logα logβ3 2

+= + ≥ ⋅

Ëýóç

( )

2 2 2 2

22

α β 7αβ α β 2αβ 9αβ

α βα β 9αβ αβ

3

+ = ⇔ + + = ⇔

+ ⇔ + = ⇔ =

ïðüôå êáé

( )

( )

2α β

log log αβ3

α β2log logα logβ

3

α β 1log logα logβ

3 2

+ = ⇔

+⇔ = + ⇔

+⇔ = +

.

ÅîÜëëïõ:

( )1logα logβ logα logβ

2

logα logβ 2 logα logβ

+ ≥ ⋅ ⇔

⇔ + ≥ ⋅ ⇔

( )

( )

2

2

logα logβ 4 logα logβ

logα logβ 0

+ ≥ ⇔

⇔ − ≥ ðïõ éó÷ýåé.

Page 39: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

46 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A52. Íá âñåèåß ï x áðü ôéò ðáñáêÜôù ó÷Ý-

óåéò:

á. 3

1

9

log 3 x= â. 5

0,1log 100 x=

ã. x

3log 27

2= ä.

x

2log 4

3= −

å. 8

1log x

3= − óô. ( )4 x

3log log 25

2=

A53. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x R∈ Ý÷åé íüçìá ï

2x

x 1log

3 x

+

.

A54. Áí log 2 α= êáé log3 β= , íá âñåèïýí

ïé ëïãÜñéèìïé ôùí áñéèìþí:

4, 5, 6, 12, 15, 30, 36, 72

50.

A55. Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. 5 3 40 105

2log log log log 02 11 77 32+ − − =

â. 2 2 2

75 5 32log 2 log log 1

16 9 243− + =

A56. Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. ( ) ( )

( )

7log 3 2 2 4log 2 1

16

25log 2 1

8

+ − + =

= −

â. 3 2

log 2 log 3 2+ >

ã. log 125 log 27 log 8 3

log15 log 2 2

+ −=

A57. Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. 1

3log 2 log 210 4

−+

=

â. 1

1 log 254100 20

=

A58. á. Ãéá êÜèå *α,β R , α 1∈ ≠ êáé *ρ R∈

íá äåé÷èåß üôé: ρ αα

1log β log β

ρ= .

â. Íá õðïëïãéóèåß ï áñéèìüò 325log 174 .

A59. Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. 2 2

3 log log 2

= −

â. 2 2

ν ριζικά

ν log log ... 2

= −

�����

A60. Áí α 1> êáé β 1> , íá õðïëïãéóèåß ç

ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2Α log α 1 log β 1 log αβ 1 α β = − + − − + − +

A61. Áí *α,β, γ R∈ ìå β 1≠ êáé αβ 1≠ íá

áðïäåßîåôå üôé:

β

αβ

β

log γlog γ

1 log α=

+

Page 40: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý 47

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

Ç åîßóùóç αx β 0+ =

Åßíáé åýêïëï íá äïýìå üôé:

• Áí α 0≠ ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç, ôçí β

= − ,äéüôé:

βαx β 0 αx β x

α+ = ⇔ = − ⇔ = −

• Áí α 0= êáé β 0≠ ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = åßíáé áäýíáôç, äçëáäÞ äåí

åðáëçèåýåôáé ãéá êáíÝíá x,äéüôé ãñÜöåôáé:

αx β 0 0x β 0+ = ⇔ = − ≠

• Áí α 0= êáé β 0= ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ åðáëç-

èåýåôáé ãéá ïðïéïäÞðïôå x,äéüôé ãñÜöåôáé:

αx β 0 0x 0+ = ⇔ =

Ôá ðáñáðÜíù óõìðåñÜóìáôá âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

α 0≠ á=0

ÌïíáäéêÞ β 0≠ β 0=

ëýóç β

= − Áäýíáôç Ôáõôüôçôá

1 Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:

á. ( )( ) ( )( )2x - 7 6x + 5 = 4x - 3 3x +1

â. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

x 1 x 2 2x 1 3 2x+ − + = + − −

Ëýóç

ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò

×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.

ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-

ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ = â

á. Åßíáé: ( )( ) ( )( )2x 7 6x 5 4x 3 3x 1− + = − + ⇔

2 212x 10x 42x 35 12x 4x 9x 3⇔ + − − = + − − ⇔

32x 35 5x 3 27x 32 0⇔ − − = − − ⇔ + = ⇔

3227x 32 x

27⇔ = − ⇔ = −

â. ¸÷ïõìå:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22

x 1 x 2 2x 1 3 2x+ − + = + − − ⇔

( )2 2x 2x 1 x 4x 4⇔ + + − + + =

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïýÂ.1

A2

A3

Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç

êá éêá éêá éêá éêá é

äéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóç

åî ßóùóçòåî ßóùóçòåî ßóùóçòåî ßóùóçòåî ßóùóçò

1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ

âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 41: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 148

5

4

3

2

( )2 24x 4x 1 9 12x 4x= + + − − +

2 2x 2x 1 x 4x 4⇔ + + − − − =

2 24x 4x 1 9 12x 4x= + + − + −

18

5x5x18

83x16x28x163x2

=⇔−=−⇔

−=−−⇔−=−−⇔

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x + 2 2x +1 2x - 3- = - x

3 2 6

Ëýóç

ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéÜ-

æïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí êáé ôá äýï ìÝëç.

ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò

×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.

ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞãïõ-

ìå óôç ìïñöÞ á÷ = â

x 2 2x 1 2x 3x

3 2 6

x 2 2x 1 2x 36 6 6 6x3 2 6

+ + −− = − ⇔

+ + −− = − ⇔

( ) ( )2 x 2 3 2x 1 2x 3 6x

2x 4 6x 3 2x 3 6x 0x 4

+ − + = − − ⇔

+ − − = − − ⇔ =

åßíáé áäýíáôç.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( ) ( ) ( )4x 5 x 2 1 x 0− − − =

Ëýóç

αβγ 0

α 0 ή β 0 ή γ 0

= ⇔

= = =

( )( )( )4x 5 x 2 1 x 0− − − = ⇔

4x 5 0 5x

ή 4

x 2 0 x 2

ή x 1

1 x 0

− = = ⇔ − = ⇔ =

=− =

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( ) ( ) ( )3 33

1 x 2x 3 x 2 0− + − + − + =

Ëýóç

Áí α β γ 0,+ + = ôüôå:

3 3 3α β γ 3αβγ+ + =

Áí αβ 0 α 0 ή β 0= ⇔ = =

ÅðåéäÞ ( ) ( ) ( )1 x 2x 3 x 2 0− + − + − + =

éó÷ýåé: ( ) ( ) ( )

( )( )( )

3 331 x 2x 3 x 2

3 1 x 2x 3 x 2

− + − + − + =

− − − +

¢ñá ( ) ( ) ( )

( )( )( )

3 331 x 2x 3 x 2 0

3 1 x 2x 3 x 2 0

1 x 0 ή 2x 3 0 ή x 2 0

3x 1 ή x ή x 2

2

− + − + − + = ⇔

− − − + = ⇔

− = − = − + =

= = =

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

2

x 2 2 4

2x 2 x x 2x

−= +

− −

Ëýóç

Ìéá åîßóùóç ëÝãåôáé ñçôÞ Þ êëáóìáôéêÞ åÜí

Ý÷åé ôïí Üãíùóôï óôïí ðáñïíïìáóôÞ.

Ãéá íá ëýóù ìéá êëáóìáôéêÞ åîßóùóç êÜíù ôá

åîÞò:

Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí (áöïý ôïõò

ðáñáãïíôïðïéÞóù) êáé ôï èÝôù äéÜöïñï ôïõ ìç-

äåíüò.

ÐïëëáðëáóéÜæù êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå

ôï Å.Ê.Ð ãéá íá êÜíù áðáëïéöÞ ôùí ðáñïíïìá-

óôþí .

Áðü ôéò ñßæåò ðïõ èá âñþ äÝ÷ïìáé åêåßíåò ðïõ

êÜíïõí ôï Å.Ê.Ð äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò.

Ôï Å.Ê.Ð åßíáé ôï ãéíüìåíï ðïõ Ý÷åé ôïõò êïéíïýò

êáé ìç êïéíïýò ðáñÜãïíôåò êáé êáèÝíá ìå ôïí

ìåãáëýôåñï åêèÝôç.

A2

A3

A5

Page 42: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý 49

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

Å.Ê.Ð. ( )

x 0

: 2x x 2 0 και

x 2 0 x 2

− ≠ ⇔

− ≠ ⇔ ≠

( )

( )( )

2

x 2 2 4

2x 2 x x 2x

x 2 2 4

2x 2 x x x 2

x 2 2 41

2x x 2 x x 2

−= + ⇔

− −

−= + ⇔

− −

−= − +

− −

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

x 21 2x x 2

2x

2 42x x 2 2x x 2

x 2 x x 2

x 2 x 2 4x 8

−⇔ − =

− − + − ⇔

− −

− − = − + ⇔

( )2 2

2

x 2 4x 8 x 4x 4 4x 8

x 4x 4 4x 8 0

⇔ − = − + ⇔ − + = − + ⇔

⇔ − + + − = ⇔

( )( )2x 4 0 x 2 x 2 0

x 2 0 x 2 απορρίπτεται

ή

x 2 0 x 2 δεκτή

⇔ − = ⇔ − + = ⇔

− = ⇔ =

+ = ⇔ = −

Â1. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. ( ) ( )2 2

3x 5 - 9x - 25 6x 10 0+ + + =

â. x 3 2x 3

x 4 -3 3

+ ++ =

Â2. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

x -1 - x - 2 1- 2x - 3 - 2x=

â. ( ) ( ) ( )( )

2 2

x -1 x 3 x - 2 x -1

3 6 2

++ =

Â3. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 19 2x 7x 11

4x - 15 -5 4

+ +=

â. ( ) ( ) ( )2 22

x - 4 - x 2 5x 4 0+ + =

Â4. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 2

x 31-x 3 9 x

=

− −

â.

2

2

x 6 41

x 2 x 2x 4+ = +

+ −−

Â5. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. x 3 x 2

2x 2 x 1

− −+ =

− −

â. 1 1

x 2 x 5=

+ +

Â6. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. x x 4

x 3 x 5

+=

− −

â. 2 2 2

x 1 x 4

x 4 x 2x x 2x

−− =

− − +

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Á2

Á3

Á5

Page 43: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 150

6 Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. ( )− =2

λ 1 x λ -1 â. ( ) 2λ 2 x λ 2− = +

ã. 2

λ x – 2 4x λ= +

Ëýóç

á. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå

)1λ, β1λ(α2–=−= , ïðüôå Ý÷ïõìå:

1ç ðåñßðôùóç

Áí 1λ01λ ≠⇔≠− , ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíá-

äéêÞ ëýóç:

ÐáñáìåôñéêÞ åîßóùóç ïíïìÜæåôáé êÜèå åîßóùóç, ðïõ ïé óõíôåëåóôÝò ôùí á-

ãíþóôùí Þ ï óôáèåñüò üñïò åêöñÜæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ãñáììÜôùí êáé ü÷é

óõãêåêñéìÝíùí áñéèìþí.

Ãéá ðáñÜäåéãìá, ïé åîéóþóåéò

( ) 1xβα, 1µ-7x4, 71λx3 =+==+

åßíáé ðáñáìåôñéêÝò.

Ôá ãñÜììáôá (á, â, ë, ì ...) ïíïìÜæïíôáé ðáñÜìåôñïé ôçò åîßóùóçò.

ÊáôÜ ôç äéåñåýíçóç ìéáò ðáñáìåôñéêÞò åîßóùóçò ôçò ìïñöÞò αx β 0+ = , ðñï-

óðáèïýìå íá äéáêñßíïõìå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ç åîßóùóç Ý÷åé ìï-

íáäéêÞ ëýóç, ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé áäýíáôç êáé ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé ôáõôüôçôá.

¸ôóé, äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:

• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0≠ . Ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò ç

åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç.

• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0 και β 0= ≠ . Ãéá ôéò ôéìÝò

áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.

• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0 και β 0= = . Ãéá ôéò ôéìÝò

áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1λx1λ

)1)(λ1(λ–x

1λ–

1–λx

2

+=⇔−

+=⇔=

2ç ðåñßðôùóç

Áí 1λ01λ =⇔=− , êÜíïíôáò áíôéêáôÜóôá-

óç óôçí åîßóùóç,ðñïêýðôåé:

( ) 0x01-1x112

=⇔=⋅−

ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé

Üðåéñåò ëýóåéò.

â. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå2(α λ 2, β λ 2)= − = + ïðüôå Ý÷ïõìå:

Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-ê Ý òê Ý òê Ý òê Ý òê Ý ò

å î é óþóå é òå î é óþóå é òå î é óþóå é òå î é óþóå é òå î é óþóå é ò1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý

Page 44: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý 51

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

Â7. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá á êáé â Ýôóé þóôå ïé

ðáñáêÜôù åîéóþóåéò íá åßíáé áäýíáôåò Þ

áüñéóôåò.

á. ( ) 2α 1 x α 1− = − â. ( )α β x β 1+ = −

Â8. Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò:

á. ( )3 2λ 4λ x λ 2λ− = −

â. ( )2λ λ x 3λx 5λ 6− = − −

ã. ( ) ( )2λ x 1 µ λx µ− = +

ä. ( ) ( )λ λx 2 6 µ λx 1− + = +

Â9. Íá ëýóåôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. x x

1 1α 1 α 1

− = +

− + â.

x x2

α β α β+ =

− +

Â10. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç

( )2 2λ x 3λ 2 λx -1 λ 8x+ + = + ,

ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â11. Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò:

á. ( )2 2λ -9 x λ 3λ= +

â. ( ) ( )3 λ 1 x 4 2x 5 λ 1+ + = + +

ã. ( ) ( )( )2λ -1 x λ λ 1 λ 2= + +

ä. ( ) ( ) ( )2λ 2 x 4 2λ 1 λ 4 x -1+ + + = +

Â12. Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:

á. ( ) ( )2λ 3x λ 7 - 2λ λ 3 1 κx+ + = + +

â. ( )2 2µ - 4 x µ - 2µ=

ã. ( )x µ 99x x

-1 -µ20µ 20 20

++ =

Â13. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ë êáé ì ç åîßóùóç

λx -µ x3x - λ

3 2+ =

i. åßíáé áäýíáôç, ii. åßíáé áüñéóôç

1ç ðåñßðôùóç

Áí 2λ02λ ≠⇔≠− , ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé

ìïíáäéêÞ ëýóç:

2λ 2x

λ 2

+=

2ç ðåñßðôùóç

Áí 2λ02λ =⇔=− , ôüôå ìå áíôéêáôÜóôá-

óç óôçí åîßóùóç ðñïêýðôåé:

6x022x0 2=⇔+=

ðïõ åßíáé áäýíáôç.

ã. Ç åîßóùóç äåí åßíáé ôçò ìïñöÞò áx = â, ãé’áõ-

ôü ëïéðüí êÜíïõìå ðñÜîåéò êáé ðñïóðáèïýìå

íá ôç öÝñïõìå óôçí ðéï ðÜíù ìïñöÞ.

⇔+=− λx42xλ2

βα

22λx)2)(λ2(λ2λx4x–λ +=+−⇔+=

������� (1)

1ç ðåñßðôùóç

Áí ( ) ( )λ 2 λ 2 0 λ 2 0 και

λ 2 0 λ 2 και λ 2

− ⋅ + ≠ ⇔ − ≠

+ ≠ ⇔ ≠ ≠ −

Ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç:

1

)2)(λ2(λ

2λx

−=

+

+=

2ç ðåñßðôùóç

Áí (λ 2) (λ 2) 0 λ 2 ή λ -2− ⋅ + = ⇔ = = , Ý÷ïõ-

ìå:

i. Ãéá ë = 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñïêýðôåé:

4x022x0 =⇔+=

ðïõ åßíáé áäýíáôç.

ii. Ãéá ë = – 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñï-

êýðôåé:

0x022x0 =⇔+−=

ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé

Üðåéñåò ëýóåéò.

Á2

Á3

Á5

Page 45: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

52 ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2

Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç

êá éêá éêá éêá éêá é

äéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóç

áíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçò

1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ

âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý

¼ôáí óôéò áíéóþóåéò αx β 0, αx β 0+ > + < ôá á, â äåí åßíáé óõãêåêñéìÝíïé

áñéèìïß ôüôå ïé áíéóþóåéò áõôÝò ïíïìÜæïíôáé ðáñáìåôñéêÝò.

Ç äéáäéêáóßá ðñïóäéïñéóìïý ôùí ëýóåùí ìéáò ðáñáìåôñéêÞò áíßóùóçò ïíï-

ìÜæåôáé äéåñåýíçóç.

Áðü ôç äéåñåýíçóç ôçò áíßóùóçò αx β 0,+ > üðïõ á, â åßíáé ðáñÜìåôñïé,

ðñïêýðôïõí ôá åîÞò:

• Áí á > 0 ôüôå β

αx β 0 αx β xα

+ > ⇔ > − ⇔ > −

äçëáäÞ ç áíßóùóç αx β 0+ > Ý÷åé ôéò ëýóåéò β

> − .

• Áí á < 0 ôüôå β

αx β 0 αx β xα

+ > ⇔ > − ⇔ < −

äçëáäÞ ç áíßóùóç αx β 0+ > Ý÷åé ôéò ëýóåéò β

< − .

• Áí á = 0 êáé â > 0 ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:

0 x β 0 β 0⋅ + > ⇔ >

ðïõ éó÷ýåé. ¢ñá ç áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x.

• Áí á = 0 êáé β 0≤ ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:

0 x β 0 β 0⋅ + > ⇔ >

ðïõ åßíáé áäýíáôç. ¢ñá ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç.

á > 0 á < 0 á=0

β 0> β 0≤

ÁäýíáôçÅðáëç-

èåýåôáé

ãéá êáèå x

Åðáëçèåýåôáé

ãéá

βx

α< −

Åðáëçèåýåôáé

ãéá

βx

α> −

Ëýóåéò ôçò áíßóùóçò áx+â<0

á > 0 á < 0 á=0

β 0≥ β 0<

ÁäýíáôçÅðáëç-

èåýåôáé

ãéá êáèå x

Åðáëçèåýåôáé

ãéá

βx

α> −

Åðáëçèåýåôáé

ãéá

βx

α< −

Ìå ôïí ßäéï ôñüðï äéåñåõ-

íïýìå ôçí áíßóùóç

αx β 0+ < . Ðñïêýðôåé Ýôóé ï

åðüìåíïò ðßíáêáò.

Ìå üìïéï ôñüðï ãßíåôáé ç

äéåñåýíçóç ôùí áíéóþóåùí

αx β 0+ ≥ êáé αx β 0+ ≤ .

Áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïýÂ.2

Ôá óõìðåñÜóìáôá áõôÜ óõíïøßæïíôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.

Page 46: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

53áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

ÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôá

ÃñáöéêÞÃñáöéêÞÃñáöéêÞÃñáöéêÞÃñáöéêÞðáñÜóôáóçðáñÜóôáóçðáñÜóôáóçðáñÜóôáóçðáñÜóôáóç

ôùí ëýóåùíôùí ëýóåùíôùí ëýóåùíôùí ëýóåùíôùí ëýóåùí

áíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçò

1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ

âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý

á. Êëåéóôü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â

ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x

ìå:

α x β≤ ≤

â. Áíïé÷ôü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â ïíïìÜ-

æïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå:

α x β< <

ã. Áíïé÷ôü áñéóôåñü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â

ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x

ìå:

α x β< ≤

ä. Áíïé÷ôü äåîéÜ äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â

ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x

ìå: α x β≤ <

Óõìâïëßæåôáé: [á, â]

ÐáñéóôÜíåôáé:

Óõìâïëßæåôáé: (á, â)

ÐáñéóôÜíåôáé:

Óõìâïëßæåôáé: (á, â]

ÐáñéóôÜíåôáé:

Óõìâïëßæåôáé: [á, â)

ÐáñéóôÜíåôáé:

å. Ï óõìâïëéóìüò ( ,α]−∞ åêöñÜæåé ôï óý-

íïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α≤

Åíþ ï óõìâïëéóìüò ( ,α)−∞ åêöñÜæåé

ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α<

óô. Ï óõìâïëéóìüò [ )α,+∞ åêöñÜæåé ôï

óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α≥

Åíþ ï óõìâïëéóìüò (α, )+∞ åêöñÜæåé ôï

óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α>

æ. Ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí R ìå ôç ìïñöÞ äéáóôÞìáôïò ãñÜöå-

ôáé: ( ),−∞ +∞ , äçëáäÞ R = ( ),−∞ +∞ .

Page 47: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

54 ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2

4

3

2

1 Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:

á. ( ) ( ) ( )4 x 1 3 2x 7 5 3 x 3 x+ − − ≥ − + −

â. ( ) ( ) ( ) ( )2 1 4x 4 1 2x 3 2x 3 2 3x 3− − − > − − +

Ëýóç

ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò

×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.

ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-

ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.

á. 4x 4 6x 21 5 3x 9 x

292x 29 x

2

+ − + ≥ − − − ⇔

≥ − ⇔ ≥ −

â. 2 8x 4 8x 6x 9 6x 6 0x 13− − + > − − − ⇔ > −

¢ñá éó÷ýåé ãéá êÜèå x ðñáãìáôéêü.

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç:

3x 1 9x 3 6x 55x 2

2 2 3

− − −+ − < +

Ëýóç

ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëá-

óéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí êáé ôá äýï ìÝëç.

ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò

×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.

ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-

ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.

Åßíáé: 3x 1 9x 3 6x 5

5x 22 2 3

− − −+ − < + ⇔

( ) ( ) ( )3 3x 1 6 5x 12 3 9x 3 2 6x 5⇔ − + ⋅ − < − + − ⇔

15 19⇔ − < − ðïõ åßíáé áäýíáôç.

Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò

óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

2x x -14x + 3 -

5 4≥ êáé

2x -1 2x-1 <

3 5

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Ëýóç

Ãéá íá âñïýìå ôéò êïéíÝò ëýóåéò áíéóþóåùí:

Ëýíïõìå êÜèå ìßá ÷ùñéóôÜ.

ÐáñéóôÜíïõìå ôéò ëýóåéò ôçò êÜèåìéÜò óôïí ßäéï

Üîïíá.

Ðñïóäéïñßæïõìå Ýôóé ôï êïéíü äéÜóôçìá ëýóåùí.

Åßíáé

2x x 14x 3 80x 60 8x 5x 5

5 4

−+ − ≥ ⇔ + − ≥ − ⇔

6567x 65 x

67⇔ ≥ − ⇔ ≥ −

( )

2x 1 2x 2x 1 2x1 15 15

3 5 3 5

2x 1 15 6x 10x 5 15 6x

2010x 6x 20 4x 20 x x 5

4

− −− < ⇔15 − < ⇔

5 − − < ⇔ − − < ⇔

− < ⇔ < ⇔ < ⇔ <

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïß-

åò óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

x 2 0 και 5x 8 3x− ≥ − ≤

Ëýóç

Åßíáé:

( ) ( )

( )

( )

x 2 0 και 5x 8 3x x 2 και 5x 3x 8

x 2 και 2x 8

x 2 και x 4

− ≥ − ≤ ⇔ ≥ − ≤

⇔ ≥ ≤

⇔ ≥ ≤

Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ðáñéóôÜíåôáé ôï óýíïëï óôï

ïðïßï óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò.

Page 48: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

55áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

5Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç

( ) ( ) ( )λ -1 x + 3λ x - 2 > 2 - λ x ãéá ôéò äéÜ-

öïñåò ôéìÝò ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.

Ëýóç

ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò

×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.

ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-

ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.

Ðñþôá ãñÜöïõìå ôçí áíßóùóç óôç ìïñöÞ:

αx β 0+ > Þ αx β 0+ < .

Åßíáé ( ) ( ) ( )λ 1 x 3λ x 2 2 λ x− + − > − ⇔

( ) ( )λ 1 x 3λx 6λ 2 λ x⇔ − + − > − ⇔

( ) ( )[ ]λ 1 3λ 2 λ x 6λ 0⇔ − + − − − > ⇔

( )5λ 3 x 6λ 0⇔ − − >

ÂëÝðïõìå ëïéðüí üôé ç áíßóùóç ãñÜöåôáé óôç

ìïñöÞ:

αx β 0+ > , üðïõ α 5λ 3, β 6λ= − = − .

Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò:

• Áí 5λ 3 0− > , äçëáäÞ áí 3

λ5

> , ôüôå

( ) ( ) 6λ5λ 3 x 6λ 0 5λ 3 x 6λ x

5λ 3− − > ⇔ − > ⇔ >

• Áí 5λ 3 0− < , äçëáäÞ áí 3

λ5

< , ôüôå

( ) ( ) 6λ5λ 3 x 6λ 0 5λ 3 x 6λ x

5λ 3− − > ⇔ − > ⇔ <

• Áí 5λ 3 0− = , äçëáäÞ áí 3

λ5

= , ôüôå ç áíßóù-

óç ãßíåôáé: 3 18

0 x 6 0 05 5

⋅ − ⋅ > ⇔ − > üðïõ åß-

íáé áäýíáôï.

¢ñá óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç áíßóùóç åßíáé áäý-

íáôç.

Â14. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:

á. 3x 7x

5 14 3− ≥ − â.

6 x 3x 2

8 6

− +≤

Â15. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:

á. ( ) ( ) ( )3 x 1 x 3 4 2 x 3− − + ≤ − −

â. x 2 x 1 3x

15 2 10

− +− ≥ −

Â16. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:

á. x 1 x 1 2x 4 x 6

4 5 5 20

− + + ++ ≤ +

â. 6 3x 2x 8 4x 21x 14

x 34 3 3 12

− + +− + + ≤ −

Â17.Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò x ãéá ôéò ïðïßåò óõ-

íáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

x 2 x1

4 3

+− ≤ (1),

x x 10

5 15

+− < (2)

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â18. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ( )λ x 1 1 2x+ ≥ − ãéá

ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ ðñáãìáôéêïý á-

ñéèìïý ë.

Â19. Íá ëýóåôå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù áíé-

óþóåéò ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðñáã-

ìáôéêÞò ðáñáìÝôñïõ ë.

á. λx 2 x λ− ≤ +

â. ( ) ( )3 λx 1 2 2λ x x− + − <

Â20. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:x 1 3x 2 5x

2 4 4

− ++ ≥

Â21. Äßíåôáé ç áíßóùóç

( ) ( )2x 5 λx 2µ 3λ 2 x 3− + ≤ − +

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝ-

ôñùí ë, ì ãéá ôéò ïðïßåò ç áíßóùóç åðá-

ëçèåýåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x.

Page 49: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

56 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

2

1Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

x 4014 x 0− − =

Ëýóç

Ç åîßóùóç ëýíåôáé ðéï åýêïëá áí ôçí åñìçíåý-

óïõìå ãåùìåôñéêÜ. ¸÷ïõìå üôé:

• x 4014− åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ x áðü ôï 4014.

• x åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ x áðü ôï 0.

¢ñá ç åîßóùóç x 4014 x 0− − = ⇔

x 4014 x− = ëÝåé üôé ï x éóáðÝ÷åé áðü ôï 4014

êáé áðü ôï 0, äçëáäÞ âñßóêåôáé óôï ìÝóï ôçò

áðüóôáóçò d(0, 4014) êáé óõíåðþò x 2007= .

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

5 x 1 2x+ − =

Ëýóç

Åßíáé öáíåñü üôé ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç åîßóùóç ðñÝ-

Eîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõÂ.3

Ãéá ôç ëýóç åîéóþóåùí ìå áðüëõôá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôá åîÞò:

1. x α, α 0 x α ή x α= > ⇔ = = −

2. x α x α ή x α= ⇔ = = −

3. 2 2x x=

4. x α, α 0= < åßíáé áäýíáôç.

Ëýóç

åîéóþóåùí

ìå

áðüëõôá

ðåé íá éó÷ýåé x 0≥ . Ìå áõôüí ôïí ðåñéïñéóìü

Ý÷ïõìå éóïäýíáìá:

5 x 1 2x 5 x 1 2x+ − = ⇔ + − = ⇔

x 1 2x 5⇔ − = −

Ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç x 1 2x 5− = − ðñÝðåé íá éó÷ýåé:

52x 5 0 x

2− ≥ ⇔ ≥

¸ôóé, Ý÷ïõìå ôáõôü÷ñïíá äýï ðåñéïñéóìïýò, ôïõò

5x 0, x

2≥ ≥ , ïé ïðïßïé óõíáëçèåýïõí ãéá

5x

2≥ .

¢ñá ãéá íá ãßíåé äåêôÞ êÜðïéá ëýóç ôçò åîßóùóçò

x 1 2x 5− = − ðñÝðåé íá áíÞêåé óôï äéÜóôçìá

5,2

+∞

.

¸÷ïõìå:

x 1 2x 5 x 1 2x 5 ή x 1 2x 5

x 4 ή 3x 6

x 4 ή x 2

− = − ⇔ − = − − = − + ⇔

⇔ = = ⇔

⇔ = =

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Á6

Page 50: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

57åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ

ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ

5

4

3

Ç x 2= üìùò äåí âñßóêåôáé óôï äéÜóôçìá

5,2

+∞

êáé åðïìÝíùò áðïññßðôåôáé. ¢ñá ç ëýóç

ôçò åîßóùóçò x 1 2x 5− = − Üñá êáé ôçò áñ÷éêÞò

åßíáé ç x 4= .

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

2 x 3 12x x 3 7

3

− +− = − +

Ëýóç

ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëá-

ðëáóéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí.

Åäþ åßíáé ôï 3.

Åßíáé: 2 x 3 1

2x x 3 73

2 x 3 1 6x 3 x 3 21

x 3 6x 20

− +− = − + ⇔

⇔ − + − = − + ⇔

⇔ − = − −

Ôþñá åßíáé öáíåñü üôé ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç åîßóù-

óç áõôÞ ðñÝðåé íá éó÷ýåé:

106x 20 0 6x 20 x

3− − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ −

Õðü ôïí ðåñéïñéóìü áõôü Ý÷ïõìå:

x 3 6x 20− = − − ⇔

x 3 6x 20 ή x 3 6x 20⇔ − = − − − = + ⇔

7x 17 ή 5x 23⇔ = − = − ⇔

17 23x ή x

7 5⇔ = − = −

Ðáñáôçñïýìå üôé áðü ôéò äýï áõôÝò ëýóåéò, ç

17x

7= − äåí éêáíïðïéåß ôïí ðåñéïñéóìü

10x

3≤ −

êáé åðïìÝíùò áðïññßðôåôáé. ¢ñá ç ìïíáäéêÞ ëýóç

ôçò åîßóùóçò åßíáé ç 23

x5

= − .

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 12x2x +=+

Ëýóç

Åßíáé:

( )

x 2 2x 1 (1)x 2 2x 1

x 2 2x 1 (2)

+ = ++ = + ⇔

+ = − +

Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ßóåò áðüëõôåò ôéìÝò üôáí

êáé ìüíïí üôáí åßíáé ßóïé ç áíôßèåôïé. Ç éóï-

äõíáìßá áõôÞ óõìâïëéêÜ ãñÜöåôáé:

α β α β ή α β= ⇔ = = −

¼ôáí α β= ôüôå ìåñéêÝò öïñÝò ëÝìå üôé ïé

áñéèìïß, á, â åßíáé ßóïé êáô’ áðüëõôç ôéìÞ.

(1) x 2 2x 1 x 2x 2 1

x 1 x 1

⇔ + = + ⇔ − = − + ⇔

− = − ⇔ =

(2) x 2 2x 1 x 2x 2 1

3x 3 x 1

⇔ + = − − ⇔ + = − − ⇔

= − ⇔ = −

ÅðïìÝíùò ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò

åßíáé x = 1 Þ x = -1.

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

x 2 1 x 3 x 1− − = + + −

Ëýóç

Åßíáé x 2 1 x 3 x 1

x 2 1 x 3 x 1 0

− − = + + − ⇔

− − − + − − =

Ðñþôá âãÜæïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôçò ðáñÜ-

óôáóçò x 2 1 x 3 x 1− − − + − − êáôáóêåõÜæï-

íôáò ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá:

¢ñá åßíáé:

x 3, αν x 3

x 3, αν 3 x 1x 2 1 x 3 x 1

3x 1, αν 1 x 2

x 5, αν x 2

+ < −

− − − ≤ <

− − − + − − = − − ≤ ≤

− − >

Page 51: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

58 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â22. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:

á. 4x 8 2− + = â. x 2 2x 3+ = +

Â23. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:

á. x x 3= − â. x 1 x 2− = −

Â24. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:

á. x 1

1 2 x 1 12

−− = − +

â. 3 x 1 2 x 1 x 2

2 3 4

+ − ++ =

B25. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò :

i. 2x 1 3+ = ii. 2x 1 4 0+ + =

iii. 2x 1 0+ = iv. 2x 1 3 0+ − − =

B26. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. x 2 2x 1+ = +

¸ôóé, áðü ôçí åîßóùóç

x 2 1 x 3 x 1 0− − − + − − =

ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:

Áöïý ãñÜøïõìå ôïí ôýðï ÷ùñßò ôéò áðüëõôåò

ôéìÝò, ëýíïõìå ôçí êÜèå ìßá åîßóùóç êáé äå-

÷üìáóôå ôç ëýóç ôçò , áí áíÞêåé óôï áíôß-

óôïé÷ï äéÜóôçìá.

• x 3 0 x 3+ = ⇔ = −

ìå ôïí ðåñéïñéóìü x 3< − ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç.

• x 3 0 x 3− − = ⇔ = −

ìå ôïí ðåñéïñéóìü 3 x 1− ≤ < .

ii. 3 x 1 x 6+ = +

iii. x 1 2x 4 0+ + + =

B27. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x 1 1 x2x 2

3 2

− −+ = − + (1)

B28. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. x 3 2x 4− = − ii. 2 2x 2 x− =

B29. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. x 1 2 3− + = â. x x 4 3 x− = −

B30. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

3 x 2 x 1 2 x 0+ − + + = (1)

• 1

3x 1 0 x3

− − = ⇔ = −

ìå ôïí ðåñéïñéóìü 1 x 2≤ ≤ , ïðïßá åßíáé áäý-

íáôç.

• x 5 0 x 5− − = ⇔ = −

ìå ôïí ðåñéïñéóìü x > 2, ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç.

ÅðïìÝíùò ç ìïíáäéêÞ ëýóç ôçò åîßóùóçò:

x 2 1 x 3 x 1− − = + + − ,

åßíáé ç x 3= − .

Page 52: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

59åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ

ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ

8

7

6

Óôéò áíéóþóåéò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí áðüëõôá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôéò éäéüôçôåò:

1. x θ, θ 0 θ x θ≤ > ⇔ − ≤ ≤

2. x θ, θ 0 x θ ή x θ≥ > ⇔ ≤ − ≥

Áí θ 0< :

Ç áíßóùóç x θ< åßíáé áäýíáôç (áöïý x 0≥ )

Ç áíßóùóç x θ> , éó÷ýåé ãéá êÜèå x R∈

ÃåíéêÜ ï ôñüðïõò ðïõ ëýíïõìå áíéóþóåéò ìå áðüëõôá öáßíåôáé óôá åðüìåíá ðá-

ñáäåßãìáôá.

Áíéóþóåéò

ìå

áðüëõôá

Åðßëõóç áíéóþóåùí ðïõ ðåñéëáìâÜíïõí áðüëõôåò ôéìÝò

Á6Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:

á. 3 2x 8− < â. 7x 1 12+ ≥

Ëýóç

á. Åßíáé: 3 2x 8 8 3 2x 8

11 511 2x 5 x

2 2

− < ⇔ − < − < ⇔

⇔ − < − < ⇔ > > −

â. Åßíáé: 7x 1 12 7x 1 12 ή 7x 1 12

7x 13 ή 7x 11

13 11x ή x

7 7

+ ≥ ⇔ + ≤ − + ≥ ⇔

⇔ ≤ − ≥ ⇔

⇔ ≤ − ≥

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïõò ðñáãìáôéêïýò

áñéèìïýò x ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé:

2 5x - 6 < 8≤

Ëýóç

Áñêåß íá óõíáëçèåýóïõìå ôéò áíéóþóåéò

5x 6 2

5x 6 8

− ≥

− <

• Åßíáé: 5x 6 2 5x 6 2 ή 5x 6 2

x 4 ή 5x 8

4 8x ή x

5 5

− ≥ ⇔ − ≤ − − ≥ ⇔

⇔ 5 ≤ ≥ ⇔

⇔ ≤ ≥

• Åßíáé: 5x 6 8 8 5x 6 8

2 5x 14

2 14x

5 5

− < ⇔ − < − < ⇔

⇔ − < < ⇔

⇔ − < <

Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ç

2 5x 6 8≤ − < åðáëçèåýåôáé áðü ôá x åêåßíá ãéá

ôá ïðïßá éó÷ýïõí ôáõôü÷ñïíá ïé:

4 2 14 8 2 14x , x ή x , x

5 5 5 5 5 5≤ − < < ≥ − < <

¢ñá, üðùò ðñïêýðôåé áðü ôï ðáñáðÜíù äéÜãñáì-

ìá, ãéá íá åðáëçèåýåôáé ç 2 5x 6 8≤ − < ðñÝðåé

íá éó÷ýåé 2 4 8 14

x ή x5 5 5 5

− < ≤ ≤ < .

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç: x 3 4x 1− ≤ +

Ëýóç

Áí 4x 1 0+ < ôüôå ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç.

Page 53: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

60 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

10

9

¢ñá ðñÝðåé êáôáñ÷Üò íá éó÷ýåé:

14x 1 0 x

4+ ≥ ⇔ ≥ −

Õðü áõôüí ôïí ðåñéïñéóìü Ý÷ïõìå:

x 3 4x 1 4x 1 x 3 4x 1− ≤ + ⇔ − − ≤ − ≤ +

• Áðü ôçí 4x 1 x 3− − ≤ − ðñïêýðôåé:

24x 1 x 3 5x 2 x

5− − ≤ − ⇔ ≥ ⇔ ≥

• Áðü ôçí x 3 4x 1− ≤ + ðñïêýðôåé:

4x 3 4x 1 3x 4 x

3− ≤ + ⇔ ≥ − ⇔ ≥ −

Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ïé ëýóåéò

ôçò áíßóùóçò x 3 4x 1− ≤ + åßíáé ôá x åêåßíá ãéá

ôá ïðïßá éó÷ýïõí ôáõôü÷ñïíá ïé:

1 2 4x , x , x

4 5 3≥ − ≥ ≥ −

¼ðùò öáßíåôáé óôï äéÜãñáììá ïé áíéóþóåéò áõ-

ôÝò óõíáëçèåýïõí ãéá 2

x5

Óõ÷íÜ, üôáí Ý÷ïõìå íá ëýóïõìå ìéá áíßóùóç ìå

áðüëõôåò ôéìÝò, ìáò óõìöÝñåé íá âãÜëïõìå ðñþ-

ôá ôéò áðüëõôåò ôéìÝò, üðùò áêñéâþò êÜíáìå êáé

óôçí ðåñßðôùóç ôùí åîéóþóåùí.

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç:

x 3 x 2 x+ − − ≥

Ëýóç

Åßíáé: x 3 x 2 x x 3 x 2 x 0+ − − ≥ ⇔ + − − − ≥

Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáðÜíù ðßíáêá ãñÜöïõìå

ôçí ðáñÜóôáóç x 3 x 2 x+ − − −

÷ùñßò áðüëõôåò ôéìÝò ùò åîÞò:

x 5, αν x 3

3x 1, αν 3 x 0x 3 x 2 x

x 1, αν 0 x 2

5 x, αν x 2

− < −

+ − ≤ <

+ − − − = + ≤ ≤

− >

ÅðïìÝíùò áðü ôçí áíßóùóç x 3 x 2 x 0+ − − − ≥

ðñïêýðôïõí ïé áíéóþóåéò:

• x 5 0− ≥ êáé x 3< − , ïé ïðïßåò äåí óõíáëç-

èåýïõí ãéá êáíÝíá x.

• 3x 1 0+ ≥ êáé 3 x 0− ≤ < , ïé ïðïßåò óõíáëç-

èåýïõí ãéá 1

x 03

− ≤ < .

• x 1 0+ ≥ êáé 0 x 2≤ ≤ , ïé ïðïßåò óõíáëçèåý-

ïõí ãéá 0 x 2≤ ≤ .

• 5 x 0− ≥ êáé x 2> , ïé ïðïßåò óõíáëçèåýïõí

ãéá 2 x 5< ≤ .

Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ç áñ÷éêÞ

áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá:

1x 0

3− ≤ < Þ 0 x 2≤ ≤ Þ 2 x 5< ≤ ,

äçëáäÞ ãéá 1

x 53

− ≤ ≤ .

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

( ) ( )5 4 x x 2 1− < −

Ëýóç

á. Áí x 2 0 x 2− ≤ ⇔ ≤ ôüôå

( ) ( )1 5 4 x x 2 20 5x x 2⇔ − < − + ⇔ − < − + ⇔

5x x 20 2 4x 18

18 9x x

4 2

⇔ − + < − + ⇔ − < − ⇔

−⇔ > ⇔ >

áðïññßðôåôáé äéüôé x 2≤ .

â. Áí x 2 0 x 2− > ⇔ > ôüôå

( ) ( )1 5 4 x x 2 20 5x x 2⇔ − < − ⇔ − < − ⇔

Page 54: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

61åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ

ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ

11

5x x 20 2 6x 22

22 11x x δεκτή

6 3

⇔ − − < − − ⇔ − < − ⇔

−⇔ > ⇔ >

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

x 3 1 x 3 1 x 3 52

6 4 6

− − − − − ++ < +

Ëýóç

x 3 1 x 3 1 x 3 52

6 4 6

− − − − − ++ < + ⇔

x 3 1 x 3 1 x 3 512 12 12 2 12

6 4 6

− − − − − +⇔ + < ⋅ + ⇔

( ) ( ) ( )2 x 3 1 3 x 3 1 24 2 x 3 5⇔ − − + − − < + − + ⇔

2 x 3 2 3 x 3 3 24 2 x 3 10⇔ − − + − − < + − + ⇔

3 x 3 2 3 24 10 3 x 3 39⇔ − < + + + ⇔ − < ⇔

x 3 13 13 x 3 13⇔ − < ⇔ − < − < ⇔

13 3 x 3 3 13 3 10 x 16⇔ − + < − + < + ⇔ − < <

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â31. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. x -1 3< ii. x 2 -2+ <

iii. x 7 0+ ≤

Â32. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. x 1 2+ ≥ ii. x 3 -1+ >

iii. x 1

1x 2

−>

Â33. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2 x 1 4< − ≤

Â34. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2 x 1 3− − <

Â35. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

x 1 x 2 2x+ − − > (1)

Â36. i. Íá ãñÜøåôå ôçí áíßóùóç: á < x < â ùò

áíßóùóç ìå áðüëõôï.

ii. Íá óõìðëçñùèåß ï ðßíáêáò üðùò äåß-

÷íåé ç ðñþôç ãñáììÞ.

Á6

Page 55: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

62 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

Ç åîßóùóç 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠B.4

Ìéá åîßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï x åßíáé 2ïõ âáèìïý áí ìåôÜ áðü ìéá óåéñÜ ìåôáó-

÷çìáôéóìþí ìðïñåß íá áíá÷èåß óôç ìïñöÞ

2αx βx γ 0+ + = , ìå α 0, β, γ R≠ ∈

ð.÷. ç åîßóùóç 22x 3x 4 0− + = åßíáé 2ïõ âáèìïý ìå α 2, β 3= = − êáé γ 4= .

2 2 β γαx βx γ 0 x x 0

α α+ + = ⇔ + + = [áöïý α 0≠ ]

2 2β γ β γx x x 2 x

α α 2α α⇔ + = − ⇔ + ⋅ = − ⇔ [äéáéñïýìå ìå α 0≠ ]

2 2 2 22

2

β β γ β β γ βx 2x x

2α 2α α 2α 2α α 4α

+ + = − + ⇔ + = − + ⇔

2 2

2

β β 4αγx2α 4α

− + =

Áí èÝóïõìå 2∆ β 4αγ= − ôüôå ç ôåëåõôáßá åîßóùóç ãßíåôáé:

2

2

β ∆x2α 4α

+ =

(1)

Äéáêñßíïõìå ôþñá ôéò ðåñéðôþóåéò:

• Áí Ä > 0 , áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå:

2 2

β ∆ β ∆x ή x2α 2α4α 4α

+ = + = − ⇔

β ∆x

2α 2α= − + Þ

β ∆ β ∆ β ∆x x ή x

2α 2α 2α 2α

− + − −= − − ⇔ = =

ÄçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé äýï ëýóåéò (Þ ñßæåò) Üíéóåò ôéò:

1

β ∆x

− += , 2

β ∆x

− −=

• Áí ∆ 0= , áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå:

2β β β

x 0 x 0 x2α 2α 2α

+ = ⇔ + = ⇔ = −

Åîßóùóç

äåõôÝñïõ

âáèìïý

Page 56: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

63äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

ÄçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá äéðëÞ ñßæá ôç 0

βx

2α= − .

• Áí Ä < 0 ,ç åîßóùóç (1) Üñá êáé ç 2αx βx γ 0+ + = , äåí Ý÷åé ðñáãìáôéêÝò

ñßæåò.

Ôá ðñïçãïýìåíá óõìðåñÜóìáôá ôá ðáñïõóéÜæïõìå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

Ç ðáñÜóôáóç 2∆ β 4αγ= − ëÝãåôáé äéáêñßíïõóá ôçò åîßóùóçò.

Ãéá íá Ý÷ïõìå ëéãüôåñåò ðñÜîåéò ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí Ä’ =∆

4 áí ï â åßíáé Üñ-

ôéïò.

Ëýóç ôçò

åîßóùóçò

2αx βx γ 0,+ + =

α 0≠

ÐáñáôçñÞóåéò

• Áí αγ 0< , ôüôå ∆ 0> ïðüôå ç 2αx βx γ 0+ + = Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò.

• Áí ç åîßóùóç Ý÷åé ñçôïýò óõíôåëåóôÝò êáé ç Ä åßíáé ôÝëåéï ôåôñÜãùíï ôüôå Ý÷åé ñßæåò ñçôÝò, áëëéþò

Ý÷åé ñßæåò Üññçôåò.

• Áí ç åîßóùóç åßíáé åëëåéðÞò, ôç ëýíïõìå ìå ðáñáãïíôïðïßçóç, Þ áðïìïíþíïõìå ôïí Üãíùóôï êáé

ðáßñíïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá.

ð.÷

( )24x 16x 0 4x x 4 0 x 0 ή x 4− = ⇔ − = ⇔ = =

2 23x 27 0 3x 27+ = ⇔ = − , åßíáé áäýíáôç.

2 2 24x 64 0 4x 64 x 16 x 4 x 4 ή x 4− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −

2 2 26x 96 0 6x 96 x 16 x 16 x 4 ή x 4− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −

• Ïé åîéóþóåéò:2αx β x γ 0+ + = êáé

2

α x β x γ 0+ + =

ìå ôçí áíôéêáôÜóôáóç x y= ãñÜöïíôáé: 2αy βy γ 0+ + =

ç ïðïßá ëýíåôáé óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá.

ð.÷. Ç åîßóùóç 22

x 8 x 15 0 x 8 x 15 0− + = ⇔ − + = Þ 2y 8y 15 0− + = ìå x y 0= ≥

Åßíáé 58 4 8 2

y32 2

± ±= = =

. ¢ñá x 5 x 5= ⇔ = ± Þ x 3 x 3= ⇔ = ± .

Page 57: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

64 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

B37. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. ( )24x 2 5 1 x 5 0− + + =

â. ( )23αx 3α β x β 0− − − =

B38. Äßíåôáé ç åîßóùóç

2 2 2 2 2 2x 2(α β )x (α β ) 0− + + − = .

Ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôùí á, â íá âñåßôå

ðüóåò ñßæåò Ý÷åé ç åîßóùóç (áí Ý÷åé).

B39. Äßíåôáé ç åîßóùóç

2 2x 2(λ 2)x 2λ 17 0− + + − = .

Íá âñåßôå ôï ë þóôå ç åîßóùóç íá Ý÷åé

ìßá ñßæá äéðëÞ. ÌåôÜ íá âñåßôå áõôÞ ôç ñßæá.

B40. Äßíåôáé ç åîßóùóç 2x 3x λ 2 0− + + = .

Áí ç åîßóùóç Ý÷åé ñßæá ôï 5 íá âñåèåß ç

Üëëç ñßæá.

B41. Äßíåôáé ç åîßóùóç:

(ë - 1)x2 + (2ë + 1)x + ë = 0.

Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ë ç åîßóùóç:

á. ¸÷åé ìßá ìüíï ñßæá; Ðïéá åßíáé áõôÞ;

â. ¸÷åé ìéá ñßæá äéðëÞ; Ðïéá åßíáé áõôÞ;

B42. Áí ç åîßóùóç 2αx 2βx γ 0, α 0+ + = ≠

Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò, íá

áðïäåßîåôå üôé ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé ãéá

ôçí:

2x 2(α β γ)x 2β(α γ) 3αγ 0+ + + + + + =

2

1 Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( )2x 2 1 x 2 0+ − − =

Ëýóç

( ) ( )

( )

2 2

222

∆ 2 1 4 1 2 2 2 2 1 4 2

2 2 2 1 1 2 1 0

= − − ⋅ − = − + +

= + ⋅ + = + >

( ) ( ) ( )2

1,2

2 1 2 1 2 1 2 1x

2 1 2

2 1 2 11

2

2 1 2 12

2

− − ± + − + ± += = =

− + + +=

=

− + − − = −

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ïé ðáñáêÜôù åîé-

óþóåéò Ý÷ïõí ßóåò ñßæåò;

á. ( )2λx λ 1 x 2λ 2 0− − + − =

â. ( )2 2x 2 λ 1 x λ 2λ 1 0− − + − + =

ã. ( ) ( )2λx 3 λ 3 x 2λ 10 0− − − + =

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Ëýóç

Ãéá íá Ý÷ïõí ïé åîéóþóåéò ßóåò ñßæåò, èá ðñÝðåé íá

Ý÷ïõí äéáêñßíïõóá Ä = 0.

á. Åßíáé ( ) ( )2 2∆ λ 1 4λ 2λ 2 7λ 6λ 1= − − − = − + + .

Èá ðñÝðåé ëïéðüí 27λ 6λ 1 0− + + = .

Áí ëýóïõìå ôçí åîßóùóç áõôÞ, âñßóêïõìå λ 1=

êáé 1

λ7

= − .

â. Åßíáé ( ) ( )2 2∆ λ 1 λ 2λ 1 0′ = − − − + = ãéá êÜèå

ôéìÞ ôïõ ë.

¢ñá ãéá ïðïéáäÞðïôå ôéìÞ ôïõ ë ç åîßóùóç èá

Ý÷åé ßóåò ñßæåò.

ã. Åßíáé:

( ) ( )2 2∆ 9 λ 3 4λ 2λ 10 17λ 14λ 81= − + + = − +

Èá ðñÝðåé 2

17λ 14λ 81 0− + = . Ç åîßóùóç

üìùò áõôÞ äåí Ý÷åé ñßæåò óôï R. Óõíåðþò ç

áñ÷éêÞ åîßóùóç äåí Ý÷åé ñßæåò ßóåò ãéá êáìéÜ

ôéìÞ ôïõ ë.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 58: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

65äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

¢èñïéóìá

êáé

ãéíüìåíï ñéæþí

¸óôù ÷1, ÷

2 ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò

2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ (1)

Åßíáé: 1 2

βS x x

α= + = − êáé

1 2

γP x x

α= ⋅ = [ôýðïé ôïõ Vieta]

ð.÷. Áí äýï áñéèìïß Ý÷ïõí Üèñïéóìá 1 2

βx x

α+ = − êáé 1 2

γx x

α= åßíáé ñßæåò ôçò 2

αx βx γ 0+ + =

ÐñÜãìáôé, áöïý ïé 1 2x , x åßíáé ñßæåò ôçò ( )( )1 2

x x x x 0− − = ðïõ éóïäýíáìá ãñÜöåôáé:

( )2

1 2 1 2x x x x x x 0− + + =

2 β γx x 0

α α+ + =

2αx βx γ 0+ + =

ð.÷. Íá ó÷çìáôßóåôå åîßóùóç ðïõ íá Ý÷åé ñßæåò ôïõò 3 êáé -4.

Ôï Üèñïéóìá åßíáé ( )3 4 1+ − = −

Ôï ãéíüìåíï åßíáé ( )3 4 12− = −

ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç åßíáé 2x x 12 0+ − =

ð.÷. Íá âñåèïýí äõï áñéèìïß áí ãíùñßæïõìå üôé Ý÷ïõí Üèñïéóìá -3 êáé ãéíüìåíï 4

Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ñßæåò ôçò:

( )2x 3 x 4 0− − − =

2x 3x 4 0+ − =

2x 3x 4 0+ − =

Åßíáé( )2

1

3 3 4 1 4 3 5x 1

2 2

− + − ⋅ ⋅ − − += = = êáé

( )2

2

3 3 4 1 4 3 25 3 5x 4

2 2 2

− − − ⋅ ⋅ − − − − −= = = = −

Page 59: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

66 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

43

B43.¸óôù ç åîßóùóç ( )2x - λ 1 x λ 0+ − = . Áí

ôá x1, x

2 åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò íá âñåß-

ôå ôï ë þóôå:

2 2 2 2

1 1 2 1 2 23x -7x x -7x x 3x 2+ =

B44.¸óôù ç åîßóùóç 2x 3x 2λ 1 0− − + = . Íá

âñåèåß ôï ë, þóôå ç åîßóùóç íá Ý÷åé äýï

ñßæåò ðïõ ç ìßá íá åßíáé ôåôñáðëÜóéá ôçò

Üëëçò.

B45. Áí á, â åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò

2x x 3 0− + + = íá õðïëïãßóåôå ôçí ðá-

ñÜóôáóç

2 2 2 2

3 3

2α 3αβ 2β 3α βA

4α 5αβ 4β

− + −=

− +

B46.¸óôù üôé ç åîßóùóç

( )2 32x λ 19 x 8 0− + − − =

Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá âñåèåß ï λ R∈ , áí ç ìßá ñßæá ôçò

åîßóùóçò 2x λx 8 0+ + = éóïýôáé ìå ôï

ôåôñÜãùíï ôçò Üëëçò.

Ëýóç

Êáôá áñ÷Þí ðñÝðåé :

( ) ( ) ( )

2 2∆ 0 λ 4 1 8 0 λ 32 0

λ , 32 32, α

> ⇔ − ⋅ ⋅ > ⇔ − > ⇔

⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

åßíáé: ( )1 2x x λ 1+ = − ( )

1 2x x 8 2⋅ = ( )2

1 2x x 3=

( )( )

( )

2 3

2 2 2

3

2 2

2 x x 8 x 8

x 8 x 2 4

3

⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ =

( )( )

( )2

1 13 x 2 x 4 5

4

⇔ = ⇔ =

( )( )( )5

1 4 2 λ 6 λ λ 64

⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −

äåêôÞ ëüãù ôçò (á)

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Áí ï á åßíáé ìç ìçäåíéêüò ñçôüò á-

ñéèìüò íá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç Ý÷åé2

αx (α 2)x 2 0+ + + = ñçôÝò ñßæåò. Ðïéá

ç ôéìÞ ôïõ á þóôå ôï Üèñïéóìá ôùí

äýï ñéæþí íá åßíáé ßóï ìå 3;

Ëýóç

Ç äéáêñßíïõóá ôçò åîßóùóçò åßíáé:

( )

( )

2 2

22

∆ α 2 4 α 2 α 4α 4 8α

α 4α 4 α 2

= + − ⋅ ⋅ = + + − =

= − + = −

Áöïý ç Ä åßíáé ôÝëåéï ôåôñÜãùíï ôïõ ñçôïý á-

ñéèìïý á-2, êáé ïé óõíôåëåóôÝò ôçò åîßóùóçò åß-

íáé ñçôïß áñéèìïß, óõìðåñáßíïõìå üôé ïé ñßæåò åß-

íáé ñçôÝò. Ãéá íá åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí ñéæþí

ßóï ìå 3 ðñÝðåé α 2 1

3 αα 2

+− = ⇔ = − .

Áí ç ìßá ñßæá åßíáé ç x1 = 2, ôüôå:

á. íá õðïëïãßóåôå ôçí Üëëç ñßæá x2 ÷ùñßò

íá áíôéêáôáóôÞóåôå ôçí x1 óôçí åîßóù-

óç.

â. íá âñåßôå ôç Ä ã. íá âñåßôå ôï ë.

B47. Äßíåôáé üôé ç åîßóùóç 2x βx γ 0+ + = Ý÷åé

ñßæåò ðñáãìáôéêÝò.

á. Áí ôï Üèñïéóìá ôùí ôåôñáãþíùí ôùí

ñéæþí åßíáé 2 íá áðïäåßîåôå üôé

2β 2γ 2= +

â. Áí ôï Üèñïéóìá ôùí áíôéóôñüöùí ôùí

ñéæþí åßíáé 2 íá áðïäåßîåôå üôé

β 2γ 0+ =

B48. Áí x1, x

2 å ßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò

2x 2x γ 0+ + = êáé 2

1x

, 2

2x åßíáé ñßæåò

ôçò 2x βx 3 0+ + = íá áðïäåßîåôå üôé â =

2ã - 4.

Page 60: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

67äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

5

Ôñéþíõìï

ÄåõôÝñïõ

âáèìïý

ÌïñöÝò ôñéùíýìïõ äåýôåñïõ âáèìïý

Ôï ðïëõþíõìï ( ) 2f x αx βx γ= + + , ìå α 0≠ (1)

ïíïìÜæåôáé ôñéþíõìï äåýôåñïõ âáèìïý.

Ïé ëýóåéò ñ1, ñ2 ôçò åîßóùóçò 2αx βx γ 0+ + = ëÝãïíôáé ñßæåò ôïõ ôñéù-

íýìïõ êáé ç äéáêñßíïõóÜ ôçò 2∆ β 4αγ= − ëÝãåôáé äéáêñßíïõóá ôïõ ôñéù-

íýìïõ. Ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíýìïõ õðÜñ÷ïõí, üôáí ∆ 0≥ .

Åéäéêüôåñá:

• Áí ∆ 0> êáé 1 2ρ , ρ åßíáé ïé ñßæåò ôïõ, ôüôå

( ) ( )( )

2 2

2

1 2 1 2 1 2

β γαx βx γ α x x

α α

α x ρ ρ x ρ ρ α x ρ x ρ

+ + = + + =

= − + + = − −

Üñá ( )( )2

1 2αx βx γ α x ρ x ρ+ + = − − (2)

• Áí ∆ 0= , åßíáé 1 2

βρ ρ ρ

2α= = = − , ïðüôå:

( )2

22 βαx βx γ α x ρ α x

+ + = − = +

(3)

• Áí ∆ 0< , ôüôå ç (1) ãñÜöåôáé

2

2

2

β ∆αx βx γ α x

2α 4α

+ + = + +

(4)

êáé äåí áíáëýåôáé óå ãéíüìåíï.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá:

á. ( ) ( ) ( )2f x x k λ 2 x 2 k λ= − + + + +

â. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

g x x 3 x 4 x 5 x 6= + + + + + − +

Ëýóç

á. Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò åîßóùóçò ( )f x 0= .

Åßíáé:

( ) ( )2

1,2

k λ 2 k λ 2 8 k λρ

2

+ + ± + + − += =

( )2k λ 2 2 k λ

2

+ + ± − −= =

( )k λ 2 2 k λ

2

+ + ± − −= =

1

1

k λ 2 2 k λρ 2

2

k λ 2 2 k λρ k λ

2

+ + + − −= =

= + + − + +

= = +

¢ñá åßíáé ( ) ( )( )( )( )

1 2f x α x ρ x ρ

x 2 x k λ

= − − =

= − − −

â. Åßíáé ( ) 2 2 2

2 2

g x x 6x 9 x 8x 16 x

10x 25 x 12x 36 2x 12x 14

= + + + + + + +

+ + − − − = + +

Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò ( )g x 0= , ïé ïðïßåò

åßíáé:

Á3

Page 61: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

68 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

7

6

1,2

6 36 2 14 6 8 6 2 2ρ

2 2 2

− ± − ⋅ − ± − ±= = = =

1

2

ρ 3 2

ρ 3 2

= − +=

= − −

¢ñá åßíáé ( ) ( )( )g x 2 x 3 2 x 3 2= + − + + .

Íá ãßíåé ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí ç ðá-

ñÜóôáóç ( ) 2α α 1 x x 1+ + − .

Ëýóç

Áí ( )α α 1 0 α 0 ή α 1+ = ⇔ = = − ôüôå ç ðáñÜ-

óôáóç ãßíåôáé ÷-1 êáé äåí ðáñáãïíôïðïéåßôáé.

Áí ( )α α 1 0 α 0 ή α 1+ ≠ ⇔ ≠ ≠ − ôüôå ç ðáñÜ-

óôáóç åßíáé ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý ìå

( )( )

( )

( )

2

22

2

∆ 1 4α α 1 1 1 4α 4α

4α 4α 1 2α 2 2α 1 1

2α 1 0

= − + − = + + =

= + + = + ⋅ ⋅ + =

= + ≥

( )

( )

( )

( )

2

1,2

1 2α 1 1 2α 1x

2α α 1 2α α 1

− ± + − ± += = =

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1 2α 1 2α 1

2α α 1 2α α 1 α 1

1 2α 1 2α 2 2 α 1 1

2α α 1 2α α 1 2α α 1 α

− + += =

+ + +

= − − − − − − +

= = = −

+ + +

¢ñá ( ) 2α α 1 x x 1+ + − =

( )

( )( )( )

1 1α α 1 x x

α 1 α

α 1 x 1 αx 1

= + − + =

+

= + − +

Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:

2

2 2

x αx βx αβ

x 3αx 2α

− + −

− +

Ëýóç

Ï áñéèìçôÞò ãñÜöåôáé:

2x αx βx αβ− + − =

( ) ( ) ( )( )x x α β x α x α x β= − + − = − +

Ï ðáñïíïìáóôÞò Ý÷åé äéáêñßíïõóá

( )2 2 2 2 2∆ 3α 4 1 2α 9α 8α α 0= − − ⋅ ⋅ = − = ≥

êáé ñßæåò

2

1,2

2α3α α 3α αx

α2 1 2

± ±= = =

¢ñá ãñÜöåôáé ( )( )2 2x 3αx 2α x 2α x α− + = − − .

ÅðïìÝíùò 2

2 2

x αx βx αβ

x 3αx 2α

− + −=

− +

( )( )( )( )

x α x β x β

x 2α x α x 2α

− + += =

− − − ìå x α≠ êáé x 2α≠ .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B49. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá:

i. 2x 6x 5− + ii.

23x 4x 1− +

iii. 25p 25− iv. ( )2

x α β x αβ− + +

B50. Íá áðëïðïéçèïýí ôá êëÜóìáôá:

i. 2

2

x x 6

x 3x 2

− −

+ +

ii. ( )2

2 2

x 2κ λ x 2κλ

x λ

+ + +

B51. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:

3 2

2

6x x xA

4x 4x 1

− −=

− +

B52. Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá:

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

3 2

x 3x 4 x xΚ

x 1 x x 2

+ − − −=

− − + −

B53. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:

4 2 2 4

2 2

4x 13α x 9αK

2x αx-3α

− +=

+

Á3

A4

Page 62: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

69äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

Ðñüóçìï

ôïõ ôñéùíýìïõ

( ) 2f x αx βx γ= + +

¸óôù ( ) 2f x αx βx γ 0, α 0= + + = ≠ .

Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò:

1. Ä > 0, ôüôå åßíáé ( ) ( )( ) ( )1 2

f x α x x x x 1= − − .

• Aí 1 2

x x x< < åßíáé 1

x x 0− < êáé 2

x x 0− < ïðüôå:

( )( )1 2x x x x 0− − > êáé óõíåðþò ëüãù ôçò ó÷Ýóçò (1), ôï f(x) åßíáé

ïìüóçìï ôïõ á.

• Aí 1 2x x x< < åßíáé

1x x 0− > êáé

2x x 0− < , ïðüôå:

( )( )1 2x x x x 0− − < êáé óõíåðþò ëüãù ôçò (1), ôï f(x) åßíáé åôåñüóçìï

ôïõ á.

• Aí 1 2x x x< < , åßíáé

1x x 0− > êáé

2x x 0− > , ïðüôå :

( )( )1 2x x x x 0− − > êáé óõíåðþò ëüãù ôçò (1) ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï

ôïõ á.

2. Áí Ä = 0 ôüôå ( )2

βf x α x

= +

ïðüôå ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï ôïõ á ãéá

êÜèå β

x2α

−≠ .

3. Áí Ä < 0 ôüôå ( )2

2

β ∆f x α x

2α 4α

= + +

êáé åðåéäÞ ç ðáñÜóôáóç óôçí

áãêýëç åßíáé èåôéêÞ ãéá êÜèå x R∈ , ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï ôïõ á óå üëï

ôï R.

Page 63: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

70 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

Ìéá áíßóùóç äåýôåñïõ âáèìïý ìå Üãíùóôï x R∈ åßíáé ôçò ìïñöÞò

2αx βx γ 0+ + > Þ 2αx βx γ 0+ + < ( )α 0≠

Ãéá íá ëýóïõìå ìéá ôÝôïéá áíßóùóç, ðñÝðåé íá âñïýìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò

ïðïßåò ôï ôñéþíõìï 2αx βx γ+ + ãßíåôáé èåôéêü Þ áñíçôéêü áíôßóôïé÷á.

¢ñá ç ëýóç ìéáò áíßóùóçò äåýôåñïõ âáèìïý áíÜãåôáé óôçí åýñåóç ôïõ ðñïóÞ-

ìïõ ôïõ ôñéùíýìïõ.

ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé2x 6x 8 0− + − > .

Åäþ æçôÜìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò ôï ôñéþíõìï 2x 6x 8− + − åßíáé èåôéêü, äçëáäÞ

åôåñüóçìï ôïõ óõíôåëåóôÞ ôïõ ìåãéóôïâÜèìéïõ üñïõ ôïõ ( α 1= − ).

ÅðåéäÞ Ý÷åé äéáêñßíïõóá ( )( )∆ 36 4 1 8 4 0= − − − = > , ôï ôñéþíõìï 2x 6x 8− + − åßíáé åôåñüóçìï

ôïõ α 1= − ãéá ôéìÝò ôïõ ÷ ðïõ åßíáé ìåôáîý ôùí ñéæþí ôïõ 2 êáé 4, üðùò öáßíåôáé óôïí ðáñáêÜ-

ôù ðßíáêá.

Óõíåðþò ôï óýíïëï ôùí ëýóåùí ôçò áíßóùóçò åßíáé ôï äéÜóôçìá (2,4).

Áí åß÷áìå ôçí áíßóùóç 2x 6x 8 0− + − ≥ , ôüôå óôï óýíïëï ëýóåùí èá ðñÝðåé íá õðÜñ÷ïõí êáé ïé

ôéìÝò ôïõ ÷, ïé ïðïßåò ìçäåíßæïõí ôï ôñéþíõìï, äçëáäÞ ïé ñßæåò ôïõ. Óõíåðþò ôüôå ôï óýíïëï

ëýóåùí èá Þôáí ôï êëåéóôü äéÜóôçìá [2,4].

ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé2x 6x 12 0− + > .

Åäþ æçôÜìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò ôï ôñéþíõìï åßíáé èåôéêü, äçëáäÞ ïìüóçìï ôïõ α 1= .

ÅðåéäÞ üìùò åßíáé ∆ 36 4 12 12 0= − ⋅ = − < , ôï ôñéþíõìï åßíáé ðÜíôïôå ïìüóçìï ôïõ á êáé óõíå-

ðþò ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .

ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé 24x 12x 9 0− + < .

¸÷ïõìå ∆ 36 4 9 0′ = − ⋅ = ∆

∆4

′ =

. ¢ñá ôï ôñéþíõìï Ý÷åé äéðëÞ ñßæá ôçí 12 3

8 2= êáé åßíáé

ïìüóçìï ôïõ α 4= , äçëáäÞ èåôéêü, ãéá êÜèå 3

x2

≠ . Óõíåðþò ç áíßóùóç äåí Ý÷åé ëýóç.

Áíéóþóåéò

äåýôåñïõ

âáèìïý

÷ −∞ 2 4 +∞

2x 6x 8− + − – 0 + 0 –

Page 64: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

71äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 2ïõ ÂÁÈÌÏÕ

10

9

8 Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. 2x 3x 5 0− + ≥ ii.

2x 2x 5 0− + − >

iii. 2

2x x 2 0− + − <

Ëýóç

i. Åßíáé ( )2

∆ 3 4 1 5 11 0= − − ⋅ ⋅ = − < êáé α 1 0= >

Üñá èá åßíáé 2x 3x 5 0− + > , ãéá êÜèå x R∈ .

ii. Eßíáé 2∆ 2 4( 1)( 5) 16 0= − − − = − < êáé

α 1 0= − < Üñá èá åßíáé 2x 2x 5 0− + − < ãéá

êÜèå x R∈ . ¢ñá ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç .

iii. Eßíáé 2∆ 1 4( 2)( 2) 15 0= − − − = − < . ¸ôóé áöïý

α 2 0= − < èá Ý÷ïõìå 2

2x x 2 0− + − < ãéá êÜèå

x R∈ . ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .

Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. 2

4x 8x 4 0− + > ii. 2x 4x 4 0− + − ≤

iii. 2x 2x 1 0− + − ≥

Ëýóç

i. Eßíáé 2∆ ( 8) 4 4 4 0= − − ⋅ ⋅ = . Áöïý α 4 0= >

èá åßíáé 2

4x 8x 4 0− + ≥ ãéá êÜèå x R∈ . Åð-

åéäÞ üìùò èÝëïõìå 2

4x 8x 4 0− + > èá áöáé-

ñÝóïõìå ôçí ôéìÞ β 8

x 12α 8

−= − = − = ðïõ ìç-

äåíßæåé ôï ôñéþíõìï. ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá

êÜèå { }x R 1∈ − .

ii. Eßíáé ∆ 16 4 1 4 0= − ⋅ ⋅ = . Áöïý α 1 0= − < èá

åßíáé 2x 4x 4 0− + − ≤ ãéá êÜèå x R∈ . ¢ñá ç

áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .

iii. Eßíáé ∆ 4 4( 1)( 1) 0= − − − = . Áöïý α 1 0= − <

èá åßíáé 2x 2x 1 0− + − ≤ ãéá êÜèå x R∈ .

ÅðåéäÞ üìùò èÝëïõìå 2x 2x 1 0− + − ≥ ç ìüíç

ôéìÞ ðïõ áëçèåýåé ôçí áíßóùóç åßíáé ç

β 2x 1

2α 2= − = − =

Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. 2x 4x 3 0+ + ≤ ii.

23x 7x 2 0− + − <

iii. 2x 16 0− ≥

Ëýóç

i. Åßíáé ∆ 16 12 4 0= − = > .

Áöïý α 1 0= > èá Ý÷ïõìå 2x 4x 3 0+ + ≤ ãéá

êÜèå ÷ áíÜìåóá óôéò ñßæåò ôïõ. Oé ñßæåò åßíáé

1,2

14 2x

32

−− ±= =

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x∈ [-3, -1].

ÃñáöéêÜ ç ëýóç ôçò áíßóùóçò öáßíåôáé óôïí å-

ðüìåíï ðßíáêá:

• Ãéá ôçí 2

3x 7x 2 0− + − < , ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíý-

ìïõ åßíáé 2 êáé 1

3. ¸ôóé Ý÷ïõìå:

Áðü áõôÞ âëÝðïõìå üôé ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå

( )1

x , 2,3

∈ −∞ ∪ +∞

.

• Ãéá ôçí 2x 16 0− ≥ ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíýìïõ åßíáé -

4 êáé 4. ¸ôóé Ý÷ïõìå:

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå

( ] [ )x , 4 4,∈ −∞ − ∪ +∞ .

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 65: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

72 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

1211

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B54.Íá âñåèåß ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë

Á.á. ôï ôñéþíõìï

2f(x) (λ 2)x 2(2λ-3)x 5λ-6= − + +

åßíáé èåôéêü ãéá êÜèå x R∈

â. ç áíßóùóç

( ) ( )2f(x) λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6 0= − + − + − >

áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈

Â.ã. ôï ôñéþíõìï

( ) ( )2f(x) λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6= − + − + −

åßíáé áñíçôéêü ãéá êÜèå x R∈

ä. ç áíßóùóç

( ) ( )2λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6 0− + − + − <

áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .

Ã. ôï ôñéþíõìï

( ) ( )2f(x) λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6= − + − + −

äéáôçñåß ôï ßäéï ðñüóçìï ãéá üëá ôá x R∈

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ R∈ ãéá ôéò

ïðïßåò ç áíßóùóç ( ) 2λ 2 x 2λx 3λ 0+ − + <

áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .

Ëýóç

ÐñÝðåé ( ) ( )2

λ 2λ 2 0

∆ 0 2λ 4 λ 2 3λ 0

< −+ < ⇔ ⇔

< − − + <

2 2 2

λ 2 λ 2

4λ 12λ 24λ 0 8λ 24λ 0

< − < − ⇔ ⇔ ⇔

− − < − − <

( ) ( )

λ 2 λ 2

8λ λ 3 0 λ λ 3 0

< − < − ⇔ ⇔ ⇔

− + < + >

λ 2λ 3

λ 3 ή λ 0

< −⇔ ⇔ < −

< − >

Ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ λ R∈ íá

åîåôáóèåß áí ç åîßóùóç

( )2λx λ 3 x λ 0+ − + =

Ý÷åé ñßæåò êáé ðüóåò.

Ëýóç

Ãéá λ 0= ç åîßóùóç ãßíåôáé: 3x 0 x 0− = ⇔ =

äçëáäÞ ãéá λ 0= ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá ñßæá ôç x 0= .

Ãéá λ 0≠ ç åîßóùóç åßíáé 2ïõ âáèìïý ïðüôå:

( )2 2 2 2 2∆ λ 3 4λ λ 6λ 9 4λ 3λ 6λ 9= − − = − + − = − − +

( )2 2∆ 0 3λ 6λ 9 0 3 λ 2λ 3 0= ⇔ − − + = ⇔ − + − = ⇔

2λ 2λ 3 0 λ 3 ή λ 1⇔ + − = ⇔ = − =

ÅðïìÝíùò

á. ãéá λ 3< − Þ λ 1> − ç åîßóùóç äåí Ý÷åé ñßæåò

ðñáãìáôéêÝò

â. ãéá 3 λ 1− < < ìå λ 0≠ ç åîßóùóç Ý÷åé äýï

ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò.

ã. ãéá λ 3 ή λ 1= − = ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá äéðëÞ ñßæá.

B55. Íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç2

-x (2λ-1)x 3λ 10 0+ + + =

Ý÷åé ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò ãéá êÜèå

λ R∈ .

Â56. Íá âñåèåß ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ç áíßóùóç

( ) ( )2λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6 0− + − + − >

áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .

B57. Äßíåôáé ç åîßóùóç 2 2x (λ 1)x λ -1 0+ + + =

á. Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ λ R∈ þóôå ç

åîßóùóç íá Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò

ôéò x1, x

2.

â. Ãéá ðïéåò áðü ôéò ðáñáðÜíù ôéìÝò ôïõ

ë ðïõ âñÞêáôå óôï á) åñþôçìá éó÷ýåé:2 2

1 2 1 2x x 3x x+ ≥

Â58. Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ ÷, ãéá ôéò ïðïßåò

óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:2x 3x 2 0− + > 2

x 5x 50 0− − <

2x 2x 15 0− − >

Page 66: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

73ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

1

KÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò

áx + ây = ã

ëÝãåôáé ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò.

Ëýóç ôçò ïíïìÜæïõìå êÜèå æåýãïò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí (x,y) ðïõ ôçí åðáëçèåýåé.

á. ¸íá ðëÞèïò äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò ïíïìÜæåôáé

ãñáììéêü óýóôçìá 2x2 ð.÷

=+

=+

222

111

γyβxα

γyβxα åßíáé Ýíá 2x2 óýóôçìá

â. Ëýóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé êÜèå æåýãïò (x,y) ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

ðïõ åðáëçèåýåé êáé ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò.

Åðßëõóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôïõ óõíüëïõ

ôùí ëýóåùí ôïõ óõóôÞìáôïò.

¸íá óýóôçìá ìðïñïýìå íá ôï åðéëýóïõìå ìå ôéò åîÞò ìåèüäïõò:

1. ÌÝèïäïò ôçò áíôéêáôÜóôáóçò

2. ÌÝèïäïò ôùí áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí Þ ôçò áðáëïéöÞò

3. ÌÝèïäïò ôçò óýãêñéóçò

4. ÌÝèïäïò ôùí ïñéæïõóþí Þ ìÝèïäïò Cramer

ÃñáììéêÜ ÓõóôÞìáôáB.5

Ïñéóìïß

Åðßëõóç

Ëýóç

óõóôÞìáôïò

ÌÝèïäïé

åðßëõóçò

ÃñáììéêÜ óõóôÞìáôá 2÷2

Íá ëýóåôå ôï óýóôçìá:

( )

( )

2x 3y 7 1

4x 6y 14 2

− =

− + = −

Ëýóç

(1)⇔7 3y

2x 7 3y x2

+= + ⇔ = (3)

(2)⇔)3(

7 3y4 6y 14

2

+− ⋅ + = − ⇔

2(7 3y) 6y 14

14 6y 6y 14

⇔ − + + = − ⇔

⇔ − − + = −

6y 6y 14 14 0y 0− + = − + ⇔ = , áüñéóôç.

¢ñá êáé ôï óýóôçìá åßíáé áüñéóôï äçëáäÞ Ý÷åé

Üðåéñåò ëýóåéò.

Áðü ôçí (3) Ý÷ïõìå:7 3y

x2

+= .

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 67: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

74 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5

Åðßëõóç - äéåñåýíçóç ôïõ óõóôÞìáôïò

′ ′ ′

αx + βy = γ

α x + β y = γ

á. Èåùñïýìå ôï óýóôçìá (Ó):

′=′+′

=+

γyβxα

γβyαx

á. • ÏíïìÜæïõìå ïñßæïõóá ôïõ óõóôÞìáôïò ôçí ðáñÜóôáóç

αD=

α′ β=αβ -α β

β′ ′

′ (1)

• Óõìâïëßæïõìå ìå Dx ôçí ïñßæïõóá ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí ïñßæïõóá D áí

óôç èÝóç ôùí óõíôåëåóôþí ôïõ x èÝóïõìå ôïõò óôáèåñïýò üñïõò.

Dx =

γ

γ′ γβγββ

β′−′=

′ (2)

• Óõìâïëßæïõìå ìå Dy ôçí ïñßæïõóá ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí ïñßæïõóá D áí

óôç èÝóç ôùí óõíôåëåóôþí ôïõ y èÝóïõìå ôïõò óôáèåñïýò üñïõò.

Dy =

α

α

′ γαγαγ

γ′−′=

′ (3)

â. Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò:

1. Áí D 0≠ ôüôå ôï óýóôçìá Ý÷åé ôç ìïíáäéêÞ ëýóç:

yxDD

(x, y) ,D D

=

2. Áí D = 0 êáé (Dx ≠ 0 Þ D

y ≠ 0 ) ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.

3. Áí D = Dx = D

y =0 ôüôå ôï óýóôçìá èá åßíáé áüñéóôï åêôüò áí

á = á’ =â = â’= 0 êáé ã ≠ 0 Þ ã’ ≠ 0 , ïðüôå èá åßíáé áäýíáôï.

á. ÏìïãåíÝò ëÝãåôáé ôï óýóôçìá ôïõ ïðïßïõ ïé óôáèåñïß üñïé åßíáé ìçäÝí

ð.÷ ôï óýóôçìá

=′+′

=+

0yβxα

0βyαx åßíáé ïìïãåíÝò.

Äéåñåýíçóç

óõóôÞìáôïò

¢ñá ôï (Ó) Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ åßíáé ïé:

(3) 7 3y(x, y) ( , y)

2

+

= , y R∈ åëåýèåñïò Üãíùóôïò.

ÐáñáôÞñçóç:

Áí èÝóïõìå y = k ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå ôéò

Üðåéñåò ëýóåéò êáé ùò åîÞò:

+,k

2

k37 , Rk∈ åëåýèåñïò Üãíùóôïò.

Page 68: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

75ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

2

â. Ôï ïìïãåíÝò óýóôçìá Ý÷åé ðÜíôá ôç ìçäåíéêÞ ëýóç (0,0).

ÄçëáäÞ, äåí åßíáé ðïôÝ áäýíáôï. Ìðïñåß üìùò íá åßíáé áüñéóôï, äçë., íá Ý÷åé

Üðåéñåò ëýóåéò åê ôùí ïðïßùí ç ìßá åßíáé ç ìçäåíéêÞ

(x, y) = (0,0).

ã. Áí D 0≠ ôï ïìïãåíÝò óýóôçìá èá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ç ïðïßá ðñïöáíþò èá

åßíáé ç ìçäåíéêÞ

(x, y) = (0,0).

ä. Áí D = 0 ôüôå ôï óýóôçìá åßíáé áüñéóôï (ìéáò êáé äåí ìðïñåß íá åßíáé áäýíá-

ôï) äçëáäÞ, Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò (ìéá åê ôùí ïðïßùí èá åßíáé ç ìçäåíéêÞ

(x, y) = (0, 0) )

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá :

x -1 y- 2x = -1

3 2

-2(1 + y) + 3 = -3(x - 2) + 2y

ìå ôç ìÝèïäï ôùí ïñéæïõóþí (Þ ìÝèïäï

Grammer)

Ëýóç

Ó÷üëéï:

Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá 2÷2 óýóôçìá ìå ôç ìÝèïäï

ôùí ïñéæïõóþí ôï ãñÜöïõìå óôç ìïñöÞ :

αx + βy = γ

α΄x + β΄y = γ΄

¸÷ïõìå:

(1) yx 1 x 1

2x 1 6 6 2x3 2 3

− −⇔ − = − ⇔ − ⋅ =

y6 6 1 2(x 1) 12x 3y 6 2x 2 12x2

= − ⋅ ⇔ − − = − ⇔ − − =

3y 6 2x 12x 3y 6 2= − ⇔ − − = − + ⇔

-10x - 3y = -4 (3)

(2) ⇔+−−=++−⇔ y2)2(x33y)1(2

2 2y 3 3x 6 2y⇔ − − + = − + + ⇔

326y2x3y2 −+=−+−⇔

4y 3x 5 ⇔ − + = ⇔ 3x - 4y = 5 (4)

Ó÷üëéï :

¼ôáí D 0= êáé xD 0≠ , ôüôå äå ÷ñåéÜæåôáé íá

âñïýìå ôçí Dy . Ôï óýóôçìá èá åßíáé áäýíáôï.

Áí üìùò åßíáé Dx = 0 äåí ìðïñïýìå íá óõ-

ìðåñÜíïõìå ôßðïôá ãéá ôï óýóôçìá ãé’ áõôü

ðñï÷ùñïýìå êáé óôçí åýñåóç ôçò Dy .

Áðü ôéò (3) êáé (4) Ý÷ïõìå ôï óýóôçìá:

10x 3y 4

3x 4y 5

− − = −

− =

•10 3

D 10( 4) 3( 3) 40 9 49 03 4

− −= = − − − − = + = ≠

• Dx =

4

5

3

4( 4) 5( 4) 16 20 364

−= − − − − = + =

• Dy=

10 4( 10) 5 3( 4) 50 12 38

3 5

− −= − ⋅ − − = − + = −

ÅðåéäÞ D = 49 0≠ ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ

ëýóç ôçí

x

y

D 36x

D 49

D 38y

D 49

= =

= = −

ÄçëáäÞ: (x,y) =36 38

49 49, -

Page 69: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

76 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5

4

3 Áí ãéá Ýíá óýóôçìá äýï ãñáììéêþí

åîéóþóåùí ìå áãíþóôïõò x,y éó÷ýïõí:

( )

( )

x y

x y

2D 3D D 1

4D 7D 11D 2

+ = −− + = −

êáé ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç,íá

ëõèåß ôï óýóôçìá.

Ëýóç

Áöïý ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç èá éó÷ýåé

0D ≠ . ¢ñá D

Dx

x= êáé

D

Dy

y= .

Äéáéñïýìå ôéò åîéóþóåéò (1) êáé (2) ìå 0D ≠ êáé

Ý÷ïõìå:

x y

x y

2D 3D D

D D D 2x 3y 1

4D 7D 11D 4x 7y 11

D D D

−+ =

+ = −

⇔ − − + = −− + =

Ëýíïõìå ôï óýóôçìá êáé ðñïêýðôåé:

• 4

2D

−= 02612143)4(72

7

3≠=+=⋅−−⋅=

x

1 3D ( 1) 7 ( 11) 3

11 7

7 33 26

−• = = − ⋅ − − ⋅ =

= − + =

• y

2 1D 2( 11) ( 4)( 1)

4 11

22 4 26

−= = − − − − =− −

= − − = −

ÅðïìÝíùò

x

y

D 26x 1

D 26

D 26y 1

D 26

= = =

− = = = −

¢ñá ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç

(x,y) = (1,-1)

Íá ëõèåß êáé íá äéåñåõíçèåß ôï

(Ó) :

=++

=+−

122)y(λ3x

2λλy2)x(λ

üðïõ Rλ∈ (ðáñÜìåôñïò).

Ëýóç

Åßíáé

( )( ) ( )2 2

λ – 2 λD (λ 2)(λ 2) 3λ

3 λ 2

λ 4 3λ λ 3λ 4 λ 1 λ 4 1

= = − + − =+

− − = − − = + −

( ) ( )

x

2

2λ λD 2λ (λ 2) 12λ

12 λ 2

2λ 8λ 2λ λ 4 2

= = ⋅ + − =+

= − = −

( )

y

λ - 2 2λD 12(λ 2) 3 2λ 12λ 24 6λ

3 12

6λ 24 6(λ 4) 3

= = − − ⋅ = − − =

= − = −

Äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:

1ç ðåñßðôùóç:

Áí: (1)

D 0 (λ 4)(λ 1) 0

λ 4 0 λ 4

και και

λ 1 0 λ 1

≠ ⇔ − + ≠ ⇔

− ≠ ≠

⇔ ⇔

+ ≠ ≠ −

ôï (Ó) Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç (x , y ) ìå

+

=

+−

−==

+

=

+−

−==

6

)1)(λ4(λ

)4(λ6

D

Dy

λ2

)1)(λ4(λ

)4λ(λ2

D

Dx

y

x

2ç ðåñßðôùóç:

Áí 1-λή4λ0D ==⇔=

á. ìå ë = 4 Ý÷ïõìå:

008)44(42D

)2(

x =⋅=−⋅=

êáé 006)44(6D

)3(

y =⋅=−= .

ÄçëáäÞ áí ë = 4 ôüôå 0DDD yx === êáé åðåéäÞ õ-

ðÜñ÷åé óõíôåëåóôÞò ôïõ áãíþóôïõ x óôçí 2ç åîßóùóç

0≠ (ôï 03 ≠ ) ôï (Ó) åßíáé áüñéóôï äçë. Ý÷åé Üðåéñåò

ëýóåéò ôéò ïðïßåò êáé èá âñïýìå.

Ãéá íá âñïýìå ôéò Üðåéñåò ëýóåéò óôï ðáñáìåôñéêü óý-

óôçìá èÝôïõìå ë = 4 óå ìßá áðï ôéò äýï åîéóþóåéò

ôïõ (Ó) êáé ìåôÜ ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ùò ðñïò Ýíáí

Page 70: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

77ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B59. Íá ëõèåß êáé äéåñåõíçèåß ôï (Ó)

2

4

λx y λ

x λy λ

− =

− =

ãéá êÜèå ôéìÞ ôçò ðáñáìÝôñïõ λ R∈

B60. á. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá λx-y 3

x λy -2

=

+ =

â. Ãéá ôçí ëýóç (x0,y0) ðïõ èá âñåßôå íá

ëýóåôå ôçí áíßóùóç 0 02x 3y 9+ ≥ −

B61. Ãéá Ýíá ãñáììéêü óýóôçìá 2x2 (äýï åîé-

óþóåéò ìå äýï áãíþóôïõò) éó÷ýïõí:

2 2x y

x yD 2D D D

και

2x-y 3

= − −

=

Áí ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç íá

âñåèåß ç ëýóç áõôÞ.

Üãíùóôï.

Ãéá ë = 4 ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ (Ó) ãßíåôáé::2

(4 2)x 4y 2 4 2x 4y 8

x 2y 4 x 4 2y

− + = ⋅ ⇔ + = ⇔

⇔ + = ⇔ = −

¢ñá ïé Üðåéñåò ëýóåéò åßíáé

Ryy,y),24((x,y) ∈−= .

â. ìå ë = -1 Ý÷ïõìå:

010)5(2)41)(1(2D)2(

x ≠=−−=−−−=

ÄçëáäÞ, áí ë = -1 ôüôå D = 0 êáé 0Dx ≠ ïðüôå

ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.

ÓõìðÝñáóìá

1. Áí 4λ ≠ êáé 1λ −≠ ôï (Ó) Ý÷åé ìïíáäéêÞ

ëýóç ôçí

++=

6,1λ

λ2(x,y)

2. Áí ë = 4 ôï (Ó) Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ôéò

Ryy,y),24((x,y) ∈−=

3. Áí ë = –1 ôï (Ó) åßíáé áäýíáôï.

B62. Äßíåôáé Ýíá 2÷2 ãñáììéêü óýóôçìá ìå Üãíù-

óôïõò x,y ãéá ôï ïðïßï éó÷ýåé:

x y

x y

2D D 4D

D 3D 5D

+ =

− = − .

Íá âñåßôå ôç ìïíáäéêÞ ëýóç, áí ãíùñßæåôå

üôé õðÜñ÷åé.

B63. Äßíåôáé Ýíá ãñáììéêü 2÷2 óýóôçìá ìå Ü-

ãíùóôïõò x,y ðïõ Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç åíþ

áêüìá éó÷ýåé,

x y x yD D 3D 2D 3D 4D 0− − + + + = .

Íá âñåèåß ç ìïíáäéêÞ ëýóç ôïõ ãñáììéêïý

óõóôÞìáôïò

B64. Íá ëõèåß ôï ãñáììéêü 2÷2 óýóôçìá ìå

Üãíùóôïõò x,y ðïõ Ý÷å é ìïíáäéêÞ

ëýóç êáé ãéá ôï ïðïßï éó÷ýïõí:

2x y 18+ = êáé 2 2

x y x yD D 2D D+ =

Page 71: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

78 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5

5

ÓõóôÞìáôá

ãñáììéêþí

åîéóþóåùí

ìå ðåñéóóüôå-

ñïõò áðü äýï

áãíþóôïõò.

ÃñáììéêÜ óõóôÞìáôá 3÷3

á) ÃñáììéêÞ åîßóùóç ìå 3 áãíþóôïõò ïíïìÜæåôáé êÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò:

áx + ây +ãù = ä

â) Ãñáììéê;ü óýóôçìá 3 ÷ 3 ïíïìÜæåôáé êÜèå óýóôçìá ôçò ìïñöÞò

=++

=++

=++

3333

2222

1111

δωγyβxα

δωγyβxα

δωγyβxα

ä) ÊÜèå äéáôåôáãìÝíç ôñéÜäá (x,y,ù) ðïõ åðáëçèåýåé êáé ôéò ôñåéò åîéóþóåéò ôïõ

óõóôÞìáôïò ëÝãåôáé ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:

+ − =

− + − =

− + = −

2x 3y 5ω 10

3x 2y ω 0

4x y 7ω 4

Ëýóç

Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá 3x3 óýóôçìá êÜíïõìå ôá åîÞò âÞìáôá.

ÂÞìá ðñþôï:

Áðü ôçí ðñþôç êáé äåýôåñç åîßóùóç ôïõ

óõóôÞìáôïò êÜíïõìå áðáëïéöÞ åíüò áãíþóôïõ

(üðïéïí èÝëïõìå) ð.÷. ôïí x ìå ôç ìÝèïäï ôùí

áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí.

¸÷ïõìå: 2x 3y 5 10

3x 2y 0

+ − ω =

− + − ω =

(3)

(2)

=−+−

=−+⇔

0ω2y4x6

30ω15y9x6

ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé: 13y - 17ù = 24 (5)

ÂÞìá äåýôåñï:

Áðü ôçí ðñþôç êáé ôçí ôñßôç åîßóùóç ôïõ

óõóôÞìáôïò êÜíïõìå áðáëïéöÞ ôïõ ßäéïõ

áãíþóôïõ.

¸÷ïõìå:

−=+−

=−+

4ω7yx4

10ω5y3x2 (2)

( 1)

⋅ −

=−+−

=−+⇔

4ω7yx4

20ω10y6x4

ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé: 7y - 17ù = 30 (4)

ÂÞìá ôñßôï:

Ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí (4) êáé (5) .

Áðü (4) êáé (5) Ý÷ïõìå

=−

=−

24ω17y7

30ω17y13

Må áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç ðáßñíïõìå: 6y = 6 Þ y = 1,

ïðüôå ù = -1.

ÄçëáäÞ (y,ù) = (1,-1)

ÂÞìá ôÝôáñôï:

Ôá y = 1 êáé ù = -1 ðïõ âñÞêáìå óôï ôñßôï âÞìá

ôá áíôéêáèéóôïýìå óôçí ðñþôç åîßóùóç êáé

âñßóêïõìå ôï x.

ÄçëáäÞ:

( ) ( )1 2x 3y 5ω 10 2x 3 1 5 1 10

2x 3 5 10 2x 2 x 1

⇔ + − = ⇔ + ⋅ − − = ⇔

⇔ + + = ⇔ = ⇔ =

¢ñá ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ôçí

(x,y,ù) = (1,1,-1)

Page 72: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

79ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

6

B65. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

x 2y ω 0

3x 5y 2ω 0

2x y ω 0

− + − =− + − = − − =

B66. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

x y z 2

y z ω 5

y z ω 3

ω x y 8

+ + =

+ + =

+ + = −

+ + =

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B67. Íá ëõèïýí ôá óõóôÞìáôá:

1 2

1 1 xy 12

x y x y 2

1 1 yω 1α) (Σ ): 3 , β) (Σ )

y ω y ω 3

1 1 xω 115

ω x x ω 15

+ = =

+

+ = =

+

+ = =

+

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:

2y xy y 24

y x 1

+ + =

= −

Ëýóç

Áí áíôéêáôáóôÞóïõìå áðü ôçí y=x-1 ôï x=y+1

óôçí ðñþôç âñßóêïõìå äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç.

¸ôóé ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ãñÜöåôáé:

( ) 2y y y 1 y 24+ + + = Þ 2 2

y y y y 24+ + + = .

Ëýíïõìå ôç äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

Ëýóç óõóôç-

ìÜôùí ðïõ

áíÜãïíôáé óå

åîéóþóåéò

â âáèìïý

Óôçí åðßëõóç óõóôçìÜôùí 2ïõ êáé áíùôÝñïõ âáèìïý ìðïñïýí íá ìáò âïçèÞ-

óïõí ôá üóá ãíùñßóáìå óôéò ðñïçãïýìåíåò ðáñáãñÜöïõò ãéá ôç ëýóç ôùí äåõ-

ôåñïâÜèìéùí åîéóþóåùí.

ÊïéíÞ åðéäßùîç êáôÜ ôç ëýóç ôÝôïéùí óõóôçìÜôùí ðñÝðåé íá åßíáé ï ó÷çìáôéóìüò

ìéáò ôïõëÜ÷éóôïí äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò áðü ôéò åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

22y 2y 24 0+ − = Þ ôçí 2

y y 12 0+ − =

ÅðåéäÞ ( )∆ 1 4 12 49 0= − ⋅ − = > ïé äýï ñßæåò ôçò

åßíáé:

1,2

3β ∆ 1 49 1 7y

42α 2 2

− ± − ± − ±= = = =

¸ôóé ôï óýóôçìá åßíáé éóïäýíáìï ìå ôá óõóôÞìáôá:

y 3

x y 1

=

= +

êáé y 4

x y 1

= −

= +

áð’ ôá ïðïßá Ý÷ïõìå (x, y) = (4, 3) êáé (x, y) = (-3, -4).

B68. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá 2xy 1 11

x y 1

+ = −

+ =

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B69. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

2 2x y 73

xy 24

+ =

=

Page 73: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

80 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 6

ÐïëõùíõìéêÝò

åîéóþóåéò

ÐïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéòB.6

2 -3 -1 -2 2

4 2 2

2 1 1 0

Ãéá íá åðéëýóïõìå ìéá ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç P(x) 0= ðáñáãïíôïðïéïýìå ôï

ðïëõþíõìï P(x) ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò.

Ãéá ôçí ðáñáãïíôïðïßçóç ôïõ ðïëõùíýìïõ ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå ôá åîÞò:

1. Óå ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò ìå áêÝñáéïõòóõíôåëåóôÝò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò

åßíáé ïé äéáéñÝôåò ôïõ óôáèåñïý üñïõ0

α 0≠ .

2. Áí Ýíáò áñéèìüò ñ åßíáé ñßæá ôçò åîßóùóçò P(x) = 0 , ôüôå êáé ìüíïí ôüôå:

( ) ( )P(ρ) 0 P x (x ρ)Π x= ⇔ = − ⇔

Ôï x - ñ åßíáé ðáñÜãïíôáò ôïõ P(x).

3. Ó÷Þìá Horner (×üñíåñ)

Ç äéáßñåóç ôïõ ðïëõùíýìïõ ( ) 3 2P x 2x 3x x 2= − − + ìå ôï x 2− ìðïñåß íá ðá-

ñïõóéáóôåß åðïðôéêÜ ìå ôï áêüëïõèï ó÷Ýäéï, ðïõ åßíáé ãíùóôü ùò ó÷Þìá Horner.

ÓõíôåëåóôÝò Ðçëßêïõ

Õðüëïéðï

Óôçí ðñþôç óåéñÜ ãñÜöïõìå ôïõò óõíôåëåóôÝò ôïõ P(x).

Ôï 2 åßíáé ï áñéèìüò ðïõ ìçäåíßæåé ôï äéáéñÝôç x–2. Ï ðñþôïò áñéèìüò ôçò ôñßôçò

óåéñÜò åßíáé ï ðñþôïò óõíôåëåóôÞò ôïõ P(x).

Ïé áñéèìïß ôçò äåýôåñçò óåéñÜò ðñïêýðôïõí ìå ðïë/óìü ôïõ áìÝóùò ðñïçãïýì-

åíïõ áñéèìïý ôçò ôñßôçò óåéñÜò åðß ôïí áñéèìü 2.

ÊÜèå áñéèìüò (åêôüò ôïõ ðñþôïõ) ôçò ôñßôçò óåéñÜò ðñïêýðôåé ùò Üèñïéóìá ôùí

áíôßóôïé÷ùí áñéèìþí ôçò ðñþôçò êáé äåýôåñçò óåéñÜò.

Ï ôåëåõôáßïò áñéèìüò ôçò ôñßôçò óåéñÜò åßíáé ôï õðüëïéðï, åíþ ïé Üëëïé áñéèìïß

áõôÞò ôçò óåéñÜò åßíáé ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ ðçëßêïõ ôçò äéáßñåóçò.

Ôïíßæïõìå üôé, óôï ó÷Þìá Horner óõìðëçñþíïõìå óôçí ðñþôç óåéñÜ ìå 0 ôïõò

óõíôåëåóôÝò üóùí åíäéÜìåóùí üñùí äåí õðÜñ÷ïõí óôï ðïëõþíõìï P(x). ¸ôóé ôï

ðïëõþíõìï ãñÜöåôáé:

( ) ( )( )3 2 2P x 2x 3x x 2 x 2 x x 1= − − + = − + +

Ó÷üëéï

Ïé ãíùóôÝò ìÝèïäïé ðáñáãïíôïðïßçóçò, ( êïéíüò ðáñÜãïíôáò, ïìáäïðïßçóç,

óõìðëÞñùóç ôåôñáãþíïõ, äéáöïñÜ ôåôñáãþíùí, ê.ô.ë.) äåí ìðïñïýí íá åöáñ-

ìïóôïýí ðÜíôïôå, üìùò üôáí åßíáé äõíáôÞ ç ÷ñÞóç ôïõò, ðñïôéìþíôáé äéüôé

äéåõêïëýíïõí ðïëý ôç äéáäéêáóßá.

• ¸ôóé ìåôÜ ôçí ðáñáãïíôïðïßçóç, ôï ðïëõþíõìï P(x) ãñÜöåôáé :

1 2 κP(x) P (x) P (x) ... P (x)= ⋅ ⋅ ⋅

Page 74: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

81ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

Tüôå:

1 2 κ

1 2 κ

P(x) 0

P (x) P (x) ... P (x) 0

P (x) 0 ή P (x) 0 ή . . . ή P (x) 0

= ⇔

⋅ ⋅ ⋅ = ⇔

= = =

ÄçëáäÞ ç ëýóç ôçò ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò P(x) 0= , áíÜãåôáé óôç ëýóç ôùí åîéóþóåùí

iP (x) 0= , üðïõ i= 1 , 2 , . . . , ê , ôá ïðïßá ðñïóðáèïýìå íá åßíáé ðïëõþíõìá ðñþôïõ Þ

äåõôÝñïõ âáèìïý.

Ãéá ôçí åðßëõóç ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò áêïëïõèïýìå ôá åðüìåíá âÞìáôá:

ÂÞìá 1: Áí ç åîßóùóç P(x) 0= , Ý÷åé ñçôïýò óõíôåëåóôÝò, êÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí

êáé êáôáëÞãïõìå óå åîßóùóç ìå áêÝñáéïõò óõíôåëåóôÝò.

ÂÞìá 2: Âñßóêïõìå ôéò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ñi, ðïõ åßíáé ïé áêÝñáéïé äéáéñÝôåò ôïõ óôáèåñïý

üñïõ.

ÂÞìá 3: Âñßóêïõìå ðïéá áðï ôéò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ìçäåíßæåé ôï ðïëõþíõìï P(x) .

ÂÞìá 4: Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner, ãéá ôç ñßæá ñ1 ðïõ âñÞêáìå êáé ãñÜöïõìå ôï ðïëõþíõ-

ìï óôç ìïñöÞ: 1 1

P(x) (x ρ ) Π (x)= − ⋅ , üðùò ðñïêýðôåé áð’ôï ó÷Þìá Horner.

ÂÞìá 5: ÊÜíïõìå ôçí åñãáóßá áðï ôï âÞìá 2 åþò ôï âÞìá 4 ãéá ôï ðïëõþíõìï 1

Π (x) êáé óõíå-

÷ßæïõìå ôçí ßäéá äéáäéêáóßá ìÝ÷ñé ôï áñ÷éêü ðïëõþíõìï P(x) íá ãßíåé ãéíüìåíï ðñùôï-

âÜèìéùí êáé äåõôåñïâÜèìéùí ðïëõùíýìùí.

ÂÞìá 6: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôïõ äåõôåñïâÜèìéïõ i

Π (x) , áí õðÜñ÷ïõí, ìå ôç ìÝèïäï ôçò äéá-

êñßíïõóáò. ÃñÜöïõìå ôï P(x) óå ìïñöÞ ãéíïìÝíïõ ðáñáãüíôùí, ïðüôå Ý÷ïõìå ìßá

ðñïò ìßá ôéò ñßæåò.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

4 2x x 4x 4 0− − − =

Ëýóç

Ç åîßóùóç Ý÷åé áêÝñáéïõò óõíôåëåóôÝò ìå óôáèå-

ñü üñï 0α 4= − . ¸ôóé ïé ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò

åßíáé : 1, 2, 4± ± ±

Äéáðéóôþíïõìå: 4 2P(1) 1 1 4 1 4 8 0= − − ⋅ − = − ≠

(Üñá ï áñéèìüò 1 äåí åßíáé ñßæá ôïõ P(x) )

4 2P( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1) 4 0− = − − − − ⋅ − − = (Üñá ï á-

ñéèìüò - 1 åßíáé ñßæá ôïõ P(x) )

1 0 -1 -4 -4 -1

-1 1 0 4

1 -1 0 -4 0

Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner ãéá 1

ρ 1= −

Ïðüôå 3 2P(x) (x 1)(x x 4)= + − −

Ãéá ôï 3 2

1Π (x) x x 4= − − , Ý÷ïõìå:

ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò: 1, 2, 4± ± ±

(Ó÷üëéï: Åö’üóïí ï áñéèìüò 1 äåí åßíáé ñßæá

ôïõ P(x) , äåí ìðïñåß íá åßíáé ñßæá ïýôå ôïõ

Page 75: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

82 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 6

ÐïëõùíõìéêÝò

áíéóþóåéò

Ãéá ôçí åðßëõóç ðïëõùíõìéêÞò áíßóùóçò áêïëïõèïýìå ôá åðüìåíá âÞìáôá:

ÂÞìá 1: Ðáñáãïíôïðïéïýìå ôï ðïëõþíõìï P(x) ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò ìå ôïí

ôñüðï ðïõ áíáöÝñåôáé óôç ìÝèïäï ëýóçò ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò.

ÂÞìá 2: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôïõ êáèåíüò ðáñÜãïíôá êáé óôç óõíÝ÷åéá ôï ðñü-

óçìü ôïõ.

ÂÞìá 3: Ó÷çìáôßæïõìå Ýíáí ðßíáêá, üðùò âëÝðïõìå ðáñáêÜôù, ôïðïèåôþíôáò

ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò êÜôù áðü ôï x, êáé óçìåéþíïõìå óôï

ôÝëïò ôçò ðñþôçò óôÞëçò ôï ãéíüìåíï ôùí ðáñáãüíôùí ôçò áíßóùóçò.

1Π (x) , êáé åðïìÝíùò äåí åßíáé áðáñáßôçôç ç

äïêéìÞ ìå ôï 1.)

1Π ( 1) 6 0− = − ≠ ,(Üñá ï áñéèìüò -1 äåí åßíáé ñßæá

ôïõ 1

Π (x) )

3 2

1Π (2) 2 2 4 0= − − = (Üñá ï áñéèìüò 2 åßíáé

ñßæá ôïõ 1

Π (x) )

Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner ãéá 2

ρ 2=

¸ôóé Ý÷ïõìå : 2P(x) (x 1)(x 2)(x x 2)= + − + +

Â70. Íá ëõèoýí ïé åîéóþóåéò :

i. 3 21 1 1 1x x x 0

3 2 3 6⋅ − ⋅ + ⋅ − =

ii. 3 2x αx x α 0− − + =

iii. 4 3 23x 8x 12x 32x 0− − + =

iv. ( ) ( )( )2 23x x 3x 2 27 x 1 x 2− + = − −

v. 4 3 22x 7x 3x 18x 0− − + =

Ãéá ôï 2

2Π (x) x x 2= + + , åðåéäÞ

2∆ 1 4 1 2 7 0= − ⋅ ⋅ = − < ôï

2Π (x) äåí Ý÷åé ñßæåò

óôï R.

¸ôóé ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé:

1 2ρ 1 και ρ 2= − = .

ÐáñáôÞñçóç

Ç ðñïçãïýìåíç áðüäåéîç Ýãéíå ãéá íá öáíïýí ôá

âÞìáôá ðïõ áíáöÝñïõìå óôç ìÝèïäï.

Ìéá óýíôïìç ëýóç ãéá ôï óõãêåêñéìÝíï åßíáé:

( ) ( )

( )( )

24 2 4

2 2

x x 4x 4 0 x x 2 0

x x 2 x x 2 0 x 1, x 4

− + + = ⇔ − + = ⇔

− − + + = ⇔ = − =

1 -1 0 -4 2

2 2 4

1 1 2 0

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

vi. 4 3 2x 4x x 16x 12 0− − + − =

vii. 4 3 26x 5x 19x 15x 3 0− + − + =

viii. 3 22 5 17x x x 0

3 2 6− + − =

ix. 3 22x 7x 3x 18 0− − + =

x. ( )( )2 22x x x 2 2x 1 x 5x 6− + − + = − +

Page 76: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

83ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

2 Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

4 3 2x 4x 4x 3x 0− + − + ≤

Ëýóç

ÏíïìÜæïõìå 4 3 2P(x) x 4x 4x 3x= − + − + ôï ðï-

ëõþíõìï ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò ôï ïðïßï èá ðáñá-

ãïíôïðïéÞóïõìå.

Ôï P(x) Ý÷åé ðñïöáíþò ðáñÜãïíôá ôïí x. (ñ1= 0)

¸ôóé

1

3 2

Π (x)

P(x) x ( x 4x 4x 3)= ⋅ − + − +���������

ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ãéá ôï

( ) 3 2

1Π x x 4x 4x 3= − + − + : 1, 3± ± .

1Π (1) 2 0= ≠ ,

1Π ( 1) 12 0− = ≠ ,

1Π (3) 0= ,

Üñá ï ñ2 = 3 åßíáé ñßæá .

Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner óôï 1

Π (x) ãéá ñ2=3.

¸ôóé 2P(x) x (x 3) ( x x 1)= ⋅ − ⋅ − + −

Ãéá ôï 2

2Π (x) x x 1= − + − åßíáé

2∆ 1 4( 1) ( 1) 3 0= − − ⋅ − = − < Üñá äåí Ý÷åé ñßæåò.

ÊÜíïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí ãéá ôïõò ðáñÜãïíôåò

ôïõ ãéíïìÝíïõ :

2P(x) x (x 3) ( x x 1)= ⋅ − ⋅ − + −

ÅðïìÝíùò ( ] [ )x ,0 3,∈ −∞ +∞∪ .-1 4 -4 3 3

-3 3 -3

-1 1 -1 0

Ó÷çìáôéóìüò ðßíáêá ðñïóÞìùí*:

Óôçí ðñþôç ãñáììÞ âÜæïõìå ìå äéÜôáîç ôéò ôéìÝò ôïõ x ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóù-

óçò, êáé öÝñíïõìå êáôáêüñõöåò åõèåßåò êÜôù áð' áõôÝò. Ôïðïèåôïýìå ôï ðñüóçìï (+) óôá äéáóôÞìá-

ôá ðïõ Ý÷ïõìå âñåß üôé ïé ðáñÜãïíôåò åßíáé èåôéêïß.

Óôá õðüëïéðá äéáóôÞìáôá ïé ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò Ý÷ïõí ðñüóçìï (-). Åêôåëïýìå êÜèÝôá ôï

ãéíüìåíï ôùí ðñïóÞìùí êáé óõìðëçñþíïõìå ôçí ôåëåõôáßá ãñáììÞ ôïõ ðßíáêá.

Óôéò ôéìÝò ðïõ ïé ðáñÜãïíôåò ìçäåíßæïíôáé êáé ðÜíù óôéò êáôáêüñõöåò ãñáììÝò öÝñïõìå ìéêñïýò

êýêëïõò.

Ôá ãñáììïóêéáóìÝíá äéáóôÞìáôá åßíáé áõôÜ óôá ïðïßá ïé ôéìÝò ôïõ x åðáëçèåýïõí ôçí áñ÷éêÞ áíßóù-

óç.

B.71 Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. (1 x)(x 2) (x 3)x− + ≤ −

ii. 3 2x 4x 3x 0− + − ≥

iv. 3 2x 6x 11x 6 0− + − ≤

vi. 3 2x 2x x 2 0− + − >

vii. ( ) ( )3x x 1 2 x x 1+ − > −

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

12345678901231234567890123123456789012312345678901231234567890123

1234567812345678123456781234567812345678

x −∞ 0 3 +∞

x - 0 + +

x 3− - - 0 +

2x x 1− + − - - -

( )P x - 0 + 0 -

Page 77: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

84 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

1

ÄéôåôñÜãùíç

åîßóùóç

Ïé åîéóþóåéò ôçò ìïñöÞò 4 2αx βx γ 0+ + = ìå α,β, γ R∈ êáé α 0≠

ëÝãïíôáé äéôåôñÜãùíåò êáé ôéò åðéëýïõìå ùò åîÞò:

1ï: ÈÝôïõìå 2x y= , y 0≥ (1) ïðüôå ðñïêýðôåé ç äåõôåñïâÜèìéá ùò ðñïò y

åîßóùóç 2αy βy γ 0+ + = , ðïõ ëÝãåôáé åðéëýïõóá.

2ï: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò åðéëýïõóáò (áí õðÜñ÷ïõí).

3ï: Áðü ôçí (1) âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò äéôåôñÜãùíçò (áí õðÜñ÷ïõí).

ÅéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùíB.7

Óôï êåöÜëáéï áõôü ìáèáßíïõìå íá åðéëýïõìå :

1. ÄéôåôñÜãùíåò åîéóþóåéò

2. ÑçôÝò åîéóþóåéò

3. ¢ññçôåò åîéóþóåéò

4. Äéþíõìåò - ôñéþíõìåò åîéóþóåéò

5. Áíôßóôñïöåò åîéóþóåéò

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç

4 2x 5x 4 0− + =

Ëýóç

ÈÝôïõìå 2x y, y 0= ≥ (1) , ïðüôå ç åîßóùóç ãñÜ-

öåôáé: 2y 5y 4 0 y 1 ή y 4− + = ⇔ = =

Â72. Óå ðïéåò ðåñéðôþóåéò ç äéôåôñÜãùíç

4 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ åßíáé áäýíáôç

óôï R;

Â73. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 4 24x 3x 1 0+ − = â.

4 24x 4x 1 0− + =

ã. 4 25x 2x 3 0− + =

Â74. Íá ëõèåß ç åîßóùóç 2

2 2

2

1 βx αβ

α x− = −

üðïõ á > 0, â > 0.

Â75. Áí ç åîßóùóç

4 3 2(κ λ)x (2κ - λ -10)x 2x - (κ - λ - 7)x 6 - κ 0+ + + + =

åßíáé äéôåôñÜãùíç íá âñåèïýí ïé ñßæåò ôçò.

Â76. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 2

64x 52x 9 0− + = (1)

Â77. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 2x 10x 169 0− + = (1)

Â78. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 2x 3x 4 0+ − = (1)

Ôüôå áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå: • 2x 1 x 1= ⇔ = ±

• 2x 4 x 2= ⇔ = ±

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åßíáé ïé:

x 1= ± Þ x 2= ± .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 78: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

85åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

2

ÑçôÝò

åîéóþóåéò

1 0 -7 - 6 - 1

-1 1 6

1 -1 - 6 0

Ìéá åîßóùóç ëÝãåôáé ñçôÞ åÜí Ý÷åé ôïí Üãíùóôï óôïí ðáñïíïìáóôÞ.

Ãéá íá ëýóù ìéá ñçôÞ åîßóùóç êÜíù ôá åîÞò:

Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí (áöïý ôïõò ðáñáãïíôïðïéÞóù).

Tï âÜæù äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò êáé ðïëëáðëáóéÜæù êáé ôá äýï ìÝëç ôçò

åîßóùóçò ìå ôï Å.Ê.Ð ãéá íá êÜíù áðáëïéöÞ ôùí ðáñïíïìáóôþí .

Áðü ôéò ñßæåò ðïõ èá âñþ äÝ÷ïìáé åêåßíåò ðïõ êÜíïõí ôï Å.Ê.Ð äéÜöïñï

ôïõ ìçäåíüò.

Ôï Å.Ê.Ð åßíáé ôï ãéíüìåíï ðïõ Ý÷åé ôïõò êïéíïýò êáé ìç êïéíïýò ðáñÜãï-

íôåò êáé êáèÝíá ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

2

x 7 6x

x 1 x x

+= +

+ +

Ëýóç

Ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñáíïìáóôþí åßíáé ( )x x 1+ .

ÐñÝðåé: x 1 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − êáé

2

x 0

x x 0 x (x 1) 0 και

x 1

+ ≠ ⇔ ⋅ + ≠ ⇔ ≠ −

ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëá-

óéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð.

2

x 7 6x (x 1) x x (x 1) x (x 1)

x 1 x x

+⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇔

+ +

3 2 3x x x (x 7) 6 x 7x 6 0⇔ + = ⋅ + + ⇔ − − = (1)

Ëýíïõìå ôçí ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç (1):

3P(x) x 7x 6 0= − − =

ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò åßíáé ïé äéáéñÝôåò ôïõ óôá-

èåñïý üñïõ: 1, 2, 3, 6± ± ± ± .

ÅðåéäÞ åßíáé 3P( 1) ( 1) 7 ( 1) 6 0− = − − ⋅ − − = ôï

1ρ 1= − åßíáé ñßæá .

Ó÷Þìá Horner ìå ôï -1

¢ñá 2P(x) (x 1) (x x 6)= + ⋅ − − . Ìå ôç ìÝèïäï

ôçò äéáêñßíïõóáò âñßóêïõìå üôé ïé ñßæåò ôïõ

2Π(x) x x 6= − − åßíáé : 2ρ 2= − êáé

3ρ 3= .

¼ìùò ç ñßæá 1ρ 1= − áðïññßðôåôáé ,äéüôé äåí é-

êáíïðïéåß ôïõò áñ÷éêïýò ðåñéïñéóìïýò

¸ôóé ïé ëýóåéò åßíáé : x 2 ή x 3= − = .

Á5

Â79. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 2

2 2

2 3 x1

x x x 2x 1

++ =

− − +

â. 2

2x x 1 34

x 1 2 x x 3x 2

+− = +

− − − +

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

ã. 2

2

2x 1 x 3x 6

x 3 x 2 x 5x 6

− −+ =

− − − +

ä. ( )

2 2

2

2 x 1 x 2x 12 5

x x 4x 4x

− − ++ =

−−

Page 79: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

86 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

1ç ÌÏÑÖÇ :

( ) ( )f x g x=

Ôñüðïò åðßëõóçò : ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2

f x 0 , g x 0f x g x

f x g x

≥ ≥

= ⇔ =

3 Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 5 x x 1− − =

Ëýóç

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

5 x x 1 5 x x 1− − = ⇔ − = + (1)

ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí:

5 x 0 x 5− ≥ ⇔ ≤ êáé x 1 0 x 1+ ≥ ⇔ ≥ −

¸ôóé ôåëéêÜ ðñÝðåé: [ ]x 1,5∈ −

Õøþíïõìå ôá ìÝëç ôçò (1) óôï ôåôñÜãùíï êáé

Ý÷ïõìå: ( )2

2 25 x (x 1) 5 x x 2x 1− = + ⇔ − = + + ⇔

2x 3x 4 0⇔ + − = ⇔ x 1= Þ x 4= − .

Ç ëýóç x 4= − , áðïññßðôåôáé ëüãù ôùí ðåñéïñé-

óìþí , åíþ ç ëýóç x 1= åðáëçèåýåé ôçí áñ÷éêÞ

åîßóùóç, Üñá åßíáé ç ìïíáäéêÞ ëýóç.

Ðñïóï÷Þ: Áí õøþíïõìå ôá ìÝëç åîéóþóåùò

óå äýíáìç ÷ùñßò íá èÝôïõìå ôïõò êáôÜëëç-

ëïõò ðåñéïñéóìïýò, äåí ðñïêýðôåé óõíÞèùò

éóïäýíáìç åîßóùóç . ¸ôóé üôáí õøþíïõìå ôá

ìÝëç åîßóùóçò óå äýíáìç ÷ùñßò íá èÝôïõìå

ðåñéïñéóìïýò ôüôå èá âÜæïõìå óõíåðáãùãÞ

(⇒ ) êáé ü÷é éóïäõíáìßá (⇔ ).

ð.÷. áí ( ) ( )2 2

x 2 1 1 x 2 1− = ⇒ − =

( ) 2 2

1 2

2 x 4x 4 1 x 4x 3 0

x 1 και x 3

⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

= =

êáé ç åîßóùóç (1) ðïõ Ý÷åé ñßæá ôçí x 3= äåí

åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðïõ

Ý÷åé ñßæåò 1 2x 1, x 3= = .

Ãé’ áõôü ðñÝðåé íá èÝôïõìå ôéò ëýóåéò ðïõ âñß-

óêïõìå ôåëéêÜ óôçí áñ÷éêÞ åîßóùóç êáé íá äå-

÷üìáóôå ìüíï üóåò ôçí åðáëçèåýïõí.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:2x x 1 1 2x− + = −

Ëýóç

ÐñÝðåé

2x R επειδή ∆ 0

x x 1 0 1x1

2x1 2x 02

∈ < − + ≥ ⇔ ⇔ ≤

≤− ≥

Ôüôå Ý÷ïõìå:

( )

2

22

2 2

1x

2x x 1 1 2x

x x 1 1 2x

1x

2

x x 1 1 4x 4x

− + = − ⇔ ⇔ − + = −

− + = − +

¢ññçôåò

Åîéóþóåéò

¢ññçôç åîßóùóç , ëÝãåôáé ç åîßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò åßíáé óå ñéæéêü.

Ãéá íá ëýóïõìå Üññçôç åîßóùóç:

• ÈÝôïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôéò õðüññéæåò ðáñáóôÜóåéò. (Íá åßíáé ìåãáëýôåñåò Þ

ßóåò ôïõ ìçäåíüò).

• Ðñïóáñìüæïõìå êáôÜëëçëá ôá äýï ìÝëç , (Ýôóé þóôå õøþíïíôáò óå êáôÜëëç-

ëç äýíáìç, íá áðáëåßøïõìå ôéò ñßæåò) êáé õøþíïõìå óå êáôÜëëçëç äýíáìç.

• Ëýíïõìå ôçí ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé , êáé åëÝã÷ïõìå áí ïé ñßæåò

éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò , áëëá êáé ôçí áñ÷éêÞ åîßóùóç.

Á7

4

Page 80: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

87åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

5

2ç ÌÏÑÖÇ:

( ) ( ) ( )F x G x H x+ =

ÈÝôïõìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò: ( )

( )

( )

F x 0

G x 0

H x 0

õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç óôï ôåôñÜãùíï.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

2

2

22

F x G x H x

F x G x 2 F x G x H x

2 F x G x H x F x G x

H x F x G x 0

4F x G x H x F x G x ...

+ = ⇔

+ + = ⇔

= − − ⇔

− − ≥

= − − ⇔

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 32 x 16+ + =

Ëýóç

ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí:x 32 0 x 32

x 0x 0 x 0

+ ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ≥

≥ ≥

Må äåäïìÝíï üôé x 0≥ Ý÷ïõìå:

( )x 32 x 16 x 32 x 2 x x 32 256+ + = ⇔ + + + + = ⇔

( ) ( )( ) ( )

2

112 x 02 x x 32 224 2x x x 32 112 x

x x 32 112 x

− ≥⇔ + = − ⇔ + = − ⇔

+ = −

( ) 2 2 2

x 112 x 112

x x 32 12.544 224x x x 32x x 224x 12544

x 112 x 112x 49

256x 12544 x 49

≤ ≤ ⇔

+ = − + − = − +

≤ ≤ ⇔ ⇔ =

= =

( )2 3x x 1 x 0 ή x 13x 3x 0

x 011 1xx x

22 2

− = = − =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ≤≤ ≤

Page 81: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

88 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

6

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â80. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 2 x 3 2 0− − − =

Â81. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 2 x 5 13 x+ − = −

Â82. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 3 x 10+ =

Â83. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 32 16 x+ = −

Â84. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

α. x 2 x 1 1+ − − =

β. 2x 2 3 x+ + =

γ. 2x 8 x 5 1+ − + =

δ. x 1 x 2 2x 5− + + = +

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )x 1 x 4 x 4 I− + − = +

Ëýóç

ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí :

x 1 0 x 1

x 4 0 x 4 x 4

x 4 0 x 4

− ≥ ≥

− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ + ≥ ≥ −

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

2 2 2 2

2

x 1 x 4 2 x 1 x 4 x 4 2 x 1 x 4 9 x

9 x 0 x 9

4 x 1 x 4 9 x 4 x 1 x 4 9 x

x 9 x 9

4x 20x 16 81 18x x 4x 20x 16 81 18x x

x 9x 9 13

x 5 ή x133x 5 ή x3x 2x 65 0

3

− + − + − − = + ⇔ − − = − ⇔

− ≥ ≤ ⇔ ⇔

− − = − − − = −

≤ ≤ ⇔ ⇔

− + = − + − + = − +

≤≤

⇔ ⇔ = = − = = −− − =

3ç ÌÏÑÖÇ:

( ) ( ) ( )F x G x H x+ =

ÈÝôïõìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò: ( )

( )

( )

F x 0

G x 0

H x 0

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

2 2

F x G x H x

F x G x 2 F x G x H x

+ = ⇔

+ + =

Á7

Page 82: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

89åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

Äéþíõìåò

åîéóþóåéò

Ç äéþíõìç åîßóùóç : νx α, α 0, α R, ν 2= ≠ ∈ ≥

(Á) Ëýóåéò ôçò åîßóùóçò óôï C

¸÷åé í ñßæåò óôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí C.

(âñßóêïíôáé ìå ìÝèïäï ðïõ áíáðôýóåôáé óôï êåöÜëáéï ôùí ìéãáäéêþí)

(Â) Ëýóåéò óôï R

Áí ν 2κ 1, κ Ν= + ∈ ç åîßóùóç: 2κ 1x α+

=

Ý÷åé 2κ 1+ ñßæåò áðü ôéò ïðïßåò ìéá ìüíï åßíáé ðñáãìáôéêÞ ç:

2κ 12κ 1

2κ 1

x α α , αν α 0

x α , αν α 0

++

+

= − = − − <

= >

(Ïé õðüëïéðåò 2ê ñßæåò åßíáé ìéãáäéêÝò).

ð.÷. Íá ëõèåß óôï R ç åîßóùóç 5x 32= − .

( )x R

5 55 5x 32 x 32 32 32 x 2∈

= − ⇔ = − − = − − − = − ⇔ = −

Áí ν 2κ= (Üñôéïò) ôüôå :

Ìå α 0> ç åîßóùóç: 2κx α 0= >

Ý÷åé 2ê ôï ðëÞèïò ñßæåò áðü ôéò ïðïßåò äýï ìüíï åßíáé ðñáãìáôéêÝò ïé: 2κ

x α= ±

ð.÷. Íá ëõèåß óôï R ç 16x 2007=

Eßíáé x R

1616x 2007 x 2007

= ⇔ = ±

Ìå α 0< ç åîßóùóç: 2κx α 0= <

Ý÷åé 2ê ôï ðëÞèïò ñßæåò (ìéãáäéêÝò) êáìßá ðñáãìáôéêÞ.

ð.÷. ç 6x 5= − , åßíáé áäýíáôç óôï R.

Äéþíõìåò

åîéóþóåéò

Ç äéþíõìç åîßóùóç : κ λAx Βx 0, Α,Β R, κ,λ Ν+ = ∈ ∈

Ãéá ôç ëýóç ôçò ðáñáðÜíù åîßóùóçò:

ÕðïèÝôïõìå üôé κ λ, Α 0> ≠ . Ìå åîáãùãÞ êïéíïý ðáñÜãïíôá Ý÷ïõìå:

λ

κ λ λ κ λ

κ λ κ λ

x 0 x 0Β

Ax Βx 0 Αx x 0 Β ΒΑ x 0 x

Α Α

− −

= ⇔ =

+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

Page 83: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

90 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

87 Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 5 2x 5x 0− =

Ëýóç

( )5 2 2 3

3

3 3

x 0

x 5x 0 x x 5 0 ή

x 5 0

x 0 x 0

ή ή

x 5 x 5

=

− = ⇔ − = ⇔ ⇔

− =

= =

⇔ ⇔

= =

i. Áí κ λ− (Üñôéïò)

κ λ κ λB B Bµε 0 είναι x , x

A A A

Bµε 0 είναι αδύνατη στο R

A

− −− > = − = − −

− <

ii. Áí κ λ− (ðåñéôôüò)

κ λ

κ λ

B Bµε 0 είναι x

A A

B Bµε 0 είναι x

A A

− > = −

− < = − − −

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 9 5 4x x x 1 0− + − =

Ëýóç

( )

( )( )

9 5 4 5 4 4

4

4 5

5

4 4

5 5

x x x 1 0 x x 1 x 1 0

x 1 0

x 1 x 1 0 ή

x 1 0

x 1 0 x 1 x 1

ή ή ή

x 1x 1 0 x 1

− + − = ⇔ − + − = ⇔

− =

⇔ − − = ⇔ ⇔

− =

− = = = ±

⇔ ⇔ ⇔

=− = =

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â85. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

i. 6x 1 0− = ii. 4

x 16 0+ =

iii. 3x 1 0+ = i v. 3

8x 125 0+ =

Â86. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

i. 3

8x 125 0− = ii.7

3x 2x 0− =

Â87. Âñåßôå ôá á, â þóôå ç åîßóùóç:

3x 24x 72 0− − =

ìðïñåß íá ðÜñåé ôç ìïñöÞ

3x α α

x β β

− =

êáé óôç óõíÝ÷åéá íá ôç ëýóåôå.

Page 84: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

91åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

9

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 10 7 4x 26x 27x 0− − =

Ëýóç

( )10 7 4 4 6 3

6 3

x 0x 26x 27x 0 x x 26x 27 0

x 26x 27 0

=− − = ⇔ − − = ⇔

− − =

ÈÝôù 3x y= ïðüôå: 6 3 2

y 27

x 26x 27 0 y 26y 27 0 ή

y 1

=

− − = ⇔ − − = ⇔ = −

3 3x 27 x 27 3= ⇔ = =

3x 1 x 1= − ⇔ = −

Ôñéþíõìåò

åîéóþóåéò

Ôñéþíõìç åîßóùóç ëÝãåôáé êÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò:

κ λ µΑx Βx Γx 0+ + =

üðïõ Α,Β,Γ R, κ,λ,µ Ν∈ ∈ .

ÅîåôÜæïõìå ôçí ðåñßðôùóç üðïõ :

κ λ λ µ− = − ìå κ λ µ> >

Áöïýλ µ ν

κ λ λ µ νκ λ ν µ ν ν µ 2ν= +

− = − = ⇔= + = + + = +

Ý÷ïõìå

κ λ µ µ 2ν µ ν µΑx Βx Γx 0 Αx Βx Γx 0+ ++ + = ⇔ + + = ⇔

( )( )

µ 2ν ν

2ν ν

x 0

x Αx Βx Γ 0

Ax Βx Γ 0 Ι

=

⇔ + + = ⇔

+ + =

Aí ôþñá èÝóïõìå óôçí (É) νx y= êáôáëÞãïõìå óå äéôåôñÜãùíç ùò ðñïò y.

Â88. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )

2 3

3

x x 2

3 x x 2

+=

Â89. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 4 7 3x 4x 3x 0− + =

Â90. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 13 7x 5x 6x 0− + >

Page 85: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

92 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

1110

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Åîéóþóåéò ðïõ

ëýíïíôáé ìå

âïçèçôéêü

Üãíùóôï

ÌåñéêÝò öïñÝò ç ëýóç åîéóþóåùí áíùôÝñïõ âáèìïý áíÜãåôáé óå ëýóç áðëïý-

óôåñçò åîßóùóçò ìå êáôÜëëçëç ÷ñÞóç âïçèçôéêïý áãíþóôïõ.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( ) ( )2

2 2x 6x 4 x 6x 3 9 0− + + − + + =

Ëýóç

ÈÝôïõìå 2y x 6x 4= − + ïðüôå Ý÷ïõìå:

( ) ( )2

2 2x 6x 4 5 x 6x 3 9 0− + + − + + = ⇔

( ) ( )2

2 2x 6x 4 5 x 6x 4 1 9 0− + + − + − + = ⇔

( )2 2y 5 y 1 9 0 y 5y 4 0+ − + = ⇔ + + = ⇔

y 1 ή y 4= − = −

i. 2y 1 x 6x 4 1= − ⇔ − + = − ⇔

2x 6x 5 0 x 1 ή x 5⇔ − + = ⇔ = =

ii. 2y 4 x 6x 4 4= − ⇔ − + = − ⇔

2x 6x 8 0 x 2 ή x 4⇔ − + = ⇔ = =

Â91. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

3 22ηµ x 5ηµ x 4ηµx 1 0− + − =

Â92. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( ) ( )2

2 2x 5x 8 5 x 5x 9 11 0− + − − + + =

Â93. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á.

6 3

1 1x 28 x 27 0

x x

+ − + + =

â. 3 22συν x 5συν x 4συνx 3 0+ − − =

ã. x x 4x 19 x 14 0− − − =

ä. ( )32x 1 5x 2 x 1 19 0+ + − + − =

å. ( ) ( )2

2 2x x 1 4 x x 2 7 0+ + − + + + =

óô. ( )( )2 2x x 1 x x 9 21+ + + − = −

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( )( )( )( )x 1 x 2 x 3 x 4 24+ + + + =

Ëýóç ( )( )( )( )x 1 x 4 x 2 x 3 24+ + + + = ⇔

( )( ) ( )2 2x 5x 4 x 5x 6 24 1+ + + + =

èÝôïõìå ( )2x 5x 4 y 2+ + = , ïðüôå

2x 5x 6 y 2+ + = +

Ôüôå ç (1) ãñÜöåôáé:

( ) 2y y 2 24 y 2y 24 0+ = ⇔ + − = ,Üñá

y 6 ή y 4= − = .

Ïðüôå áðü ôçí (2) Ý÷ïõìå:

2 2x 5x 4 6 x 5x 10 0+ + = − ⇔ + + = (áäýíáôç)

êáé

( )2 2x 5x 4 4 x 5x 0 x x 5 0+ + = ⇔ + = ⇔ + =

äçëáäÞ x 0 ή x 5= = − .

¢ñá ïé ñßæåò åßíáé: x 0 ή x 5= = − .

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 86: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

93åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

12 Íá ëõèåß ç åîßóùóç 3 2

2x 7x 7x 2 0+ + + =

Áíôßóôñïöç

åîßóùóç ôïõ

ôñßôïõ âáèìïý

(Ðñþôï åßäïò)

Áíôßóôñïöåò

åîéóþóåéò

Áíôßóôñïöåò ëÝãïíôáé ïé åîéóþóåéò ðïõ äåí ìåôáâÜëëïíôáé áí áíôß x èÝóïõìå

ôï 1

x. ¢ñá áí ç áíôßóôñïöç åîßóùóç äÝ÷åôáé ôçí ñßæá x ρ, ρ 1, ρ 0= ≠ ± ≠ èá

Ý÷åé ñßæá êáé ôçí 1

= .

Êõñéþôåñá

åßäç

áíôßóôñïöùí

3 2αx βx βx α 0+ + + = (áíôßóôñïöåò 3ïõ âáèìïý ìå óõíôåëåóôÝò áíÜ

äýï ßóïõò )

3 2αx βx βx α 0+ − − = (ìå óõíôåëåóôÝò áíÜäýï áíôßèåôïõò)

4 3αx βx βx α 0+ − − = (áíôßóôñïöç 4ïõ âáèìïý åëëåéðÞò (ãéáôß “ëåßðåé” ï 2x ).

(4ïõ âáèìïý ìå óõíôåëåóôÝò ðïõ éóáðÝ÷ïõí áðü

ôá Üêñá áíôßèåôïõò)

ð.÷. ç 3 2 3 22x 5x 5x 2 2x 5x 5x 2 0− = − ⇔ − − + =

ð.÷. ç 4 2 4 3 23x 2x 3 3x 0x 2x 0x 3 0+ = − ⇔ + + + + =

3 2αx βx βx α 0+ + + =

Ç åîßóùóç áõôÞ ìðïñåß íá ãñáöåß äéáäï÷éêÜ

( ) ( )3 2αx α βx βx 0+ + + = Þ ( ) ( )3α x 1 βx x 1 0+ + + =

Þ ( )( ) ( )2α x 1 x x 1 βx x 1 0+ − + + + =

Þ ( ) ( )2x 1 α x x 1 βx 0 + − + + =

Þ ( ) ( )2

x 1 αx α β x α 0 + − − + =

Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò

( )x 1 0 1+ = åßôå ( ) ( )2αx α β x α 0 2− − + =

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= −

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé ( )

2 2α β α β 4αx

− ± − −

= , áí ( )2 2α β 4α 0− − ≥ .

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 87: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

94 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

13 Íá ëõèåß ç åîßóùóç:3 2

3x 13x 13x 3 0− + − =

Ëýóç

Ç åîßóùóç ðïõ óáò äßíåôáé ãñÜöåôáé:

( ) ( )3 23x 3 13x 13x 0− − − = Þ

( ) ( )33 x 1 13x x 1 0− − − = Þ

( )( ) ( )23 x 1 x x 1 13x x 1 0− + + − − = Þ

( ) ( )2x 1 3 x x 1 13x 0 − + + − =

Þ

Áíôßóôñïöç

åîßóùóç ôïõ

ôñßôïõ âáèìïý

(Äåýôåñï åßäïò)

3 2αx βx βx α 0− + − =

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé: ( ) ( )3 2αx α βx βx 0− − − = Þ ( ) ( )3α x 1 β x 1 0− − − =

Þ ( )( ) ( )2α x 1 x x 1 βx x 1 0− + + − − =

Þ ( ) ( )2x 1 α x x 1 βx 0 − + + − =

Þ ( ) ( )2x 1 αx α β x α 0 − + − + =

Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò

( )x 1 0 1− = åßôå ( ) ( )2αx α β x α 0 2+ − + =

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= .

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé ( ) ( )

2 2α β α β 4αx

− − ± − −

= , áí ( )2 2α β 4α 0− − ≥

Ëýóç

Ç åîßóùóç ðïõ äßíåôáé ãñÜöåôáé:

( ) ( )3 22x 2 7x 7x 0+ + + = Þ

( ) ( )32x 1 7x x 1 0+ + + =

( )( ) ( )22 x 1 x x 1 7x x 1 0+ − + + + = Þ

( ) ( )2x 1 2 x x 1 7x 0 + − + + =

( )( )2x 1 2x 5x 2 0+ + + =

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðñïêýðôïõí ïé åîé-

óþóåéò x 1 0+ = (1) åßôå 2

2x 5x 2 0+ + = (2)

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= − .

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé 2− êáé 1

2− .

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:

1 2 3

1x 1, x 2, x

2= − = − = −

( )( )2x 1 3x 10x 3 0− − + =

Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò

( )x 1 0 1− = åßôå 2

3x 10x 3 0− + =

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= .

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé x 3′ = êáé 1

x3

′′ = .

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:

1 2 3

1x 1, x 3, x

3= = = .

Page 88: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

95åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

14

Áíôßóôñïöç

åîßóùóç ôïõ

ôåôÜñôïõ

âáèìïý

(Ðñþôï åßäïò)

4 3 2αx βx γx βx α 0+ + + + = , 0αβγ ≠

Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò ìå ôï 2x , ôï ïðïßï åßíáé äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò

êáé Ý÷ïõìå 2

2

β ααx βx γ 0

α x+ + + + =

Þ 2

2

α βαx βx γ 0

xx

+ + + + =

Þ 2

2

1 1α x β x γ 0

xx

+ + + + =

(1)

ÈÝôïõìå 1

x yx

+ = (2) ïðüôå

2

21x y

x

+ =

Þ 2 2

2

1x y 2

x+ = −

êáé ç (1) ãñÜöåôáé: ( )2α y 2 βy γ 0− + + = Þ 2αy βy γ 2α 0+ + − = (ä)

Áíôéêáèéóôïýìå óôç (2) ôï y, äéáäï÷éêÜ ìå ôéò ëýóåéò y′ êáé y′′ ôçò (ä) êáé

ðáßñíïõìå ôéò åîéóþóåéò ( )1

x y 3x

′+ = êáé ( )1

x y 4x

′′+ =

Ç ( )3 ãñÜöåôáé 2x y x 1 0′− + = ( )3′

Ç ( )4 ãñÜöåôáé 2x y x 1 0′′− + = ( )4′

Ïé ñßæåò ôùí åîéóþóåùí ( )3′ êáé ( )4′ åßíáé êáé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 3 2

6x 5x 38x 5x 6 0+ − + + =

Ëýóç

Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå2x êáé Ý÷ïõìå

2

2

5 66x 5x 38 0

x x+ − + + =

Þ 2

2

6 56x 5x 38 0

xx

+ + + − =

Þ 2

2

1 16 x 5 x 38 0

xx

+ + + − =

(1)

ÈÝôïõìå 1

x yx

+ = (2)

ïðüôå êáé ç (1) ãñÜöåôáé:

( )26 y 2 5y 38 0− + − = Þ 2

6y 5y 50 0+ − =

Ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò áõôÞò åßíáé: 5 10

y , y2 3

′ ′′= = −

Áíôéêáèéóôïýìå óôçí (2) ôï y ìå ôéò ôéìÝò ôïõ êáé

ðáßñíïõìå ôéò åîéóþóåéò

( )1 5

x 3x 2

+ = êáé ( )1 10

x 4x 3

+ = −

Ç (3) ãñÜöåôáé 22x 5x 2 0− + = êáé Ý÷åé ñßæåò

1x 2, x

2′ ′′= =

Ç (4) ãñÜöåôáé 3

3x 10x 3 0+ + = êáé Ý÷åé ñßæåò

1x 3, x

3′ ′′= − = −

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:

1 2 3 4

1 1x 2, x , x 3, x

2 3= = = − = −

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 89: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

96 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

15 Íá ëõèåß ç åîßóùóç4 3

4x 17x 17x 4 0− + − =

Ëýóç

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé:

( ) ( )

( ) ( )

4 3

4 2

4x 4 17x 17x 0

4 x 1 17x x 1 0

− − − = ⇔

⇔ − − − =

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

4 x 1 x 1 17x x 1 0

x 1 4 x 1 17x 0

− + − − = ⇔

⇔ − + − =

Þ ( )( )2 2x 1 4x 17x 4 0− − + =

Áíôßóôñïöç

åîßóùóç ôïõ

ôåôÜñôïõ

âáèìïý

(Äåýôåñï åßäïò)

4 3αx βx βx α 0+ − − =

Ç åîßóùóç áõôÞ ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

( ) ( ) ( ) ( )4 3 4 2αx α βx βx 0 α x 1 βx x 1 0− + − = ⇔ − + − =

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2α x 1 x 1 βx x 1 0 x 1 α x 1 βx 0 − + + − = ⇔ − + + =

Þ ( )2 2x 1 αx βx α 0 − + + =

Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:

( )2x 1 0 1− = , åßôå ( )2αx βx α 0 2+ + =

Ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé x 1= ± .

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé 2 2β β 4α

x2α

− ± −= , áí

2 2β 4α≥ .

Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:

( )2x 1 0 1− = , åßôå ( )2

4x 17x 4 0 2− + =

Ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé x 1= ± .

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé 1

x 4, x4

′ ′′= = .

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:

1 2 3 4

1x 1, x 1, x 4, x

4= = − = = .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â94. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. 3 22x 7x 7x 3 0+ + + =

ii. 4 33x 10x 10x 3 0− − − =

iii. 3 2x 2x 2x 1 0− + − =

Â95. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. 3 2

2x 7x 7x 2 0− + − =

ii. 3 2

3x 13x 13x 3 0− + − =

Â96. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. 4 3 26x 5x 38x 5x 6 0+ − + + =

ii. 4 3

4x 17x 17x 4 0− + − =

Â97. Ná ëõèåß ç åîßóùóç:

4 3 25x 16x 2x 16x 5 0− + + + =

Â98. Ná ëõèåß ç åîßóùóç:

4 3 26x 5x 38x 5x 6 0+ − + + =

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 90: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

97åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ANÉÓÙÓÅÙÍ

1

Ðñüóçìï

ãéíïìÝíïõ

1. ( ) ( )A x B x ... 0>⋅ Þ ( ) ( )⋅A x B x ... 0 ή 0 ή 0 ή 0< ≤ > ≥

Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï êÜèå ðáñÜãïíôá êáé ìå ôç âïÞèåéá ðßíáêá (üðùò ðåñé-

ãñÜöåôáé óôï åðüìåíï ðáñÜäåéãìá) âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíüìåíïõ.

ÅéäéêÝò ìïñöÝò ÁíéóþóåùíB.8

Ëýóç

Ìå ôï ãíùóôü ôñüðï âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ

êÜèå ðáñÜãïíôá. Ó÷çìáôßæïõìå Ýíáí ðßíáêá, üðùò

âëÝðïõìå ðáñáêÜôù, ôïðïèåôþíôáò ôïõò ðáñÜ-

ãïíôåò ôçò áíßóùóçò êÜôù áðü ôï x, êáé óçìåé-

þíïõìå óôï ôÝëïò ôçò ðñþôçò óôÞëçò ôï ãéíü-

ìåíï ôùí ðáñáãüíôùí ôçò áíßóùóçò.

Óôçí ðñþôç ãñáììÞ âÜæïõìå ìå äéÜôáîç ôéò ôéìÝò

ôïõ x ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóù-

óçò, êáé öÝñíïõìå êáôáêüñõöåò åõèåßåò êÜôù áð'

áõôÝò. Ôïðïèåôïýìå ôï ðñüóçìï (+) óôá äéáóôÞìá-

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

ôá ðïõ Ý÷ïõìå âñåß üôé ïé ðáñÜãïíôåò åßíáé èåôéêïß.

Óôá õðüëïéðá äéáóôÞìáôá ïé ðáñÜãïíôåò ôçò

áíßóùóçò Ý÷ïõí ðñüóçìï (-). Åêôåëïýìå êÜèåôá

ôï ãéíüìåíï ôùí ðñïóÞìùí êáé óõìðëçñþíïõìå

ôçí ôåëåõôáßá ãñáììÞ ôïõ ðßíáêá.

Óôéò ôéìÝò ðïõ ïé ðáñÜãïíôåò ìçäåíßæïíôáé êáé ðÜíù

óôéò êáôáêüñõöåò ãñáììÝò öÝñïõìå ìéêñïýò êýêëïõò.

Ôá ãñáììïóêéáóìÝíá äéáóôÞìáôá åßíáé áõôÜ óôá

ïðïßá ïé ôéìÝò ôïõ x åðáëçèåýïõí ôçí áñ÷éêÞ áíß-

óùóç.

¢ñá ç áíßóùóç (1) êáôÜ óõíÝðåéá êáé ç áñ÷éêÞ áëçèåýåé áí: { } [ ] [ )x 2 1, 2 5,∈ − ∪ ∪ +∞

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x 7x 10 x 4x 4 x 3x 7 1 x 0− + − − − − + − − ≤

Page 91: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

98 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

Ðñüóçìï

ðçëßêïõ

( )

( )

A x0

B x> Þ

( )

( )

A x0

B x≥ Þ

( )

( )

A x0

B x< Þ

( )

( )

A x0

B x≤

ÅðåéäÞ ôï ðñüóçìï ôïõ ðçëßêïõ åßíáé ôï ßäéï ìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ ,

ìåôáôñÝðù ôï ðçëßêï óå ãéíüìåíï .Âñßóêù ôï ðñüóçìï êÜèå ðáñÜãïíôá êáé

ìå ôç âïÞèåéá ðßíáêá (üðùò ðåñéãñÜöåôáé óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá) âñß-

óêù ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíüìåíïõ.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B99. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

(1 3x)(2x 4)(4 x)(x 6)(7 x) 0− + − − − ≤

B100. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2(2x -1)(1-5x)(x - 5x 6) 0+ ≤

Â101. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

( )( )( )2 23x 7 x 3x 4 x 6x 9 0− − + + − + <

Â102. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

( )( )( )2 21 x x 10x 21 x x 5 0− − + − + − <

Â103. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

( )( ) ( )6 7

2 2 2x x 7x 10 x 5x 4 x 9 0− + − + − ≤

ÊëáóìáôéêÝò áíéóþóåéò åßíáé áõôÝò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí (ðéèáíüí ðáñáóôÜóåéò ôïõ)

x óå ðáñïíïìáóôÞ.

ÐÑÏÓÏ×Ç:

Õðåíèõìßæïõìå üôé äåí ìðïñïýìå íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå ôá ìÝëç áíéóïôéêÞò

ó÷Ýóçò ìå ðïóüôçôåò ìåôáâëçôïý Þ áãíþóôïõ ðñïóÞìïõ.

ð.÷. áí x R∈ äåí ìðïñïýìå áðü ôçí 3x 1

4x 1

−>

+ íá óõìðåñÜíïõìå

( )3x 1 4 x 1− > +

äéüôé äåí ìðïñïýìå íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôá ìÝëç ôçò 3x 1

4x 1

−>

+ ìå ôçí

ìåôáâëçôïý ðñïóÞìïõ, ðïóüôçôá x 1+ , üôáí x R∈ .

Ãé’ áõôü ãéá íá ëýóïõìå êëáóìáôéêÞ áíßóùóç êÜíïõìå ôá åîÞò:

i . ÌåôáöÝñïõìå ôéò ðïóüôçôåò ôïõ â’ ìÝëïõò óôï á ìÝëïò ìå áíôßèåôï ðñü-

óçìï þóôå íá Ý÷ïõìå óôï â ìÝëïò ôï 0 (áí ÷ñåéÜæåôáé) .

ii. ÌåôáôñÝðïõìå ôéò ðïóüôçôåò ôïõ á ìÝëïõò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá (áí

÷ñåéÜæåôáé) þóôå íá Ý÷ïõìå óôï á’ìÝëïò Ýíá ìüíï êëÜóìá äçë. íá öÝ-

Ëýóç

êëáóìáôéêþí

áíéóþóåùí

Page 92: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

99åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ANÉÓÙÓÅÙÍ

3

2

ñïõìå ôçí áíßóùóç óôç ìïñöÞ:

( )

( )( )

A x, , 0

B x> ≥ ≤ <

iii. ÅðåéäÞ ôï ðñüóçìï ôïõ ðçëßêïõ åßíáé ôï ßäéï ìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ , Ý÷ïõìå:

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x, , 0 Α x B x , , 0, B x 0

B x> ≥ ≤ < ⇔ > ≥ ≤ < ≠

êáé êáôáëÞãïõìå óå áíßóùóç ðïõ ëýíåôáé êáôÜ ôá ãíùóôÜ.

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:( ) ( )

( )

22

2

x 3 x 1

0

x 4

+ −

<

Ëýóç

Ðñïöáíþò x R∈ -{-2, 2}.

ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ìå ôï ôåôñÜãùíï ôïõ

ðáñáíïìáóôÞ ç áíßóùóç ìåôåôñÝðåôáé óôï ãéíüìåíï

( )( ) ( )22 2

x 3 x 1 x 4 0+ − − < .

Åðéëýïõìå ôéò åðéìÝñïõò áíéóþóåéò.

• 2x 3 0+ > . Áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ áöïý á=1>0

êáé 2∆ 0 4 3 0− − ⋅ < .

• ( )2

x 1 0− > . Ðñïöáíþò áëçèåýåé ãéá êÜèå x 1≠ .

• 2x 4 0− > . Áëçèåýåé ãéá êÜèå ( ) ( )x , 2 2,∈ −∞ − ∪ +∞ .

Ó÷çìáôßæïõìå ôïí ðßíáêá ìå ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò

áíßóùóçò êáé ôéò ôéìÝò ôïõ x ðïõ ôïõò ìçäåíßæïõí.

Ôïðïèåôïýìå ôá ðñüóçìá óôá äéáóôÞìáôá, êáé âñß-

óêïõìå óå êÜèå äéÜóôçìá ôï ãéíüìåíü ôïõò.

Ïé ôéìÝò x=-2, x=2 êáé x=1 áðïññßðôïíôáé.

¸ôóé ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå

( ) ( )x 2,1 1,2∈ − ∪ .

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 1 x 3

x 1 2x 1

+ +≤

− +

Ëýóç

¸÷ïõìå:

( )( ) ( )( )

( )( )

x 1 x 3 x 1 x 30

x 1 2x 1 x 1 2x 1

2x 1 x 1 x 3 x 10

x 1 2x 1

+ + + +≤ ⇔ − ≤ ⇔

− + − +

+ + − + −⇔ ≤ ⇔

− +

( )( )

2 22x 2x x 1 x 3x x 3

0x 1 2x 1

+ + + − − + +⇔ ≤ ⇔

− +

( )( )

2x x 4

0x 1 2x 1

+ +⇔ ≤ ⇔

− +

( )( )( ) ( )( )2x x 4 x 1 2x 1 0, x 1 2x 1 0⇔ + + − + ≥ − + ≠

Åðéëýïõìå ôéò åðéìÝñïõò áíéóüôçôåò:

2x x 4 0+ + ≥ ,

áëçèåýåé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áöïý Ý÷åé äéá-

êñßíïõóá áñíçôéêÞ.

x 1 0 x 1− > ⇔ >

12x 1 0 x

2+ > ⇔ > −

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Page 93: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

100 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â104. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. x 5

02x 1

−<

+ ii.3x 5

1x 1

+≥

iii. x

1 02x 1

− <−

Â105. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. 2

x 10

3x 4x 1

−≤

− +ii.

2

2

x 10

x 2x 8

−>

− −

iii. ( )( )2

2

x 1 x 4

0x x 12

− −

− −

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé áí 1

x ,12

∈ −

.

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ( ) ( )

( ) ( )

2x 3 x 7x 10

0x 1 x 4

− − +≤

+ −

Ëýóç

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé áí ( ) [ ] ( ]x , 1 2,3 4,5∈ −∞ − ∪ ∪ .

Page 94: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

101åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ANÉÓÙÓÅÙÍ

5

Â106. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2

2 x 1

1 2x x2x x+ <

−−

Â107. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2

x 3 x 2 10

x 2 x 3 x x 6

− +− >

+ − − −

Â108. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 2x 1

3x 1 x 1

+− ≤

− +

B109. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2x 3x 1

2x 1 3x 1

−+ <

− +

B110.Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2

2

(3 x)(x 4x 4)0

( x 5x 6)(x 1)

− + +≥

− + − −

ËÕÓÇ ÓÕÓÔÇ-

ÌÁÔÏÓ ÁÍÉÓÙ-

ÓÅÙÍ

Þ

éóïäýíáìç

Ýêöñáóç:

ÓÕÍÁËÇÈÅÕÓÇ

ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ

Ãéá íá ëýóïõìå óýóôçìá áíéóþóåùí äçë. íá êÜíïõìå óõíáëÞèåõóç áíéóþ-

óåùí:

i . Ëýíïõìå ôçí êÜèå áíßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ÷ùñéóôÜ êáôÜ ôá ãíùóôÜ.

ii. KÜíïõìå “Üîïíá Þ ðßíáêá óõíáëÞèåýóçò” êáé âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôïõ á-

ãíþóôïõ ãéá ôéò ïðïßåò ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí äçëáäÞ âñßóêïõìå

ôéò ëýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò

Áí äåí õðÜñ÷ïõí ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ ãéá ôéò ïðïßåò ïé áíéóþóåéò ôïõ óõ-

óôÞìáôïò íá óõíáëçèåýïõí, ôüôå ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá: 3 2

2

x 4x 5x

x 9

− ≥

<

Ëýóç

Ëýíïõìå ôçí êÜèå áíßóùóç ÷ùñéóôÜ.

( ) ( )3 2 3 2 2x 4x 5x x 4x 5x 0 x x 4x 5 0 1− ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − − ≥

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)

Üñá ç (1) êáôÜ óõíÝðåéá êáé ç áñ÷éêÞ: 3 2x 4x 5x 1 x 0− ≥ ⇔ − ≤ ≤ Þ x 5≥ .

2 2x 9 x 9 0 3 x 3< ⇔ − < ⇔ − < < (äéüôé ôï ôñéþíõìï 2

x 9− åßíáé åôåñüóçìï ôïõ α 1= áíÜìåóá

óôéò ñßæåò ôïõ ðïõ åßíáé: 1x 3= êáé

2x 3= − ).

KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò.

Page 95: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

102 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

6

Üñá ïé áíéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò óõíáëçèåýïõí áí: 1 x 0− ≤ ≤ .

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:

3 2x 7x 10x 0

2x 14

x 3

− + ≥ +

≤−

Ëýóç

Åßíáé ( )3 2 2x 7x 10x 0 x x 7x 10 0− + ≥ ⇔ − + ≥ . Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

Áðü ôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá ðñïêýðôåé: ( ) [ ] [ )2x x 7x 10 0 x 0,2 5,− + ≥ ⇔ ∈ ∪ +∞

Ãéá ôç äåýôåñç áíéóüôçôá Ý÷ïõìå:( ) ( )

( )( )

2x 1 4 x 32x 1 2x 14 4 0 0

x 3 x 3 x 3

2x 1 4x 12 2x 130 0 2x 13 x 3 0 , x 3 0

x 3 x 3

+ − −+ +≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔

− − −

+ − + − +≤ ⇔ ≤ ⇔ − + − ≤ − ≠

− −

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

Áðü ôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá ðñïêýðôåé: ( )2x 13 13

0 x ,3 ,x 3 2

− + ≤ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò.

Page 96: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

103åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ANÉÓÙÓÅÙÍ

7

¢ñá ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí áí: [ ]3

x 0,2 ,2

∈ ∪ +∞

Íá âñåßôå ôï äéÜóôçìá ðïõ óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

( ) ( ) ( )2 2

3 2

x 1 x x 4 x x 7 0

2x 1 0

x 7x 10x 0

− − + − + − ≤

+ >

− + >

Ëýóç

á. Ëýóç ôçò ( )( )( ) ( )2 2x 1 x x 4 x x 7 0 1− − + − + − ≤ .Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

¢ñá ãéá íá åßíáé áëçèÞò ç áíßóùóç (1) ðñÝðåé [ )x 1,∈ +∞ .

â. Ëýóç ôçò: ( )2x 1 0 2+ >

12x 1 0 2x 1 x

2+ > ⇔ > − ⇔ > −

¢ñá ç (2) áëçèÞò áí 1

x ,2

∈ − +∞

.

ã. Ëýóç ôçò: ( )3 2x 7x 10x 0 3− + >

( )3 2 2x 7x 10x 0 x x 7x 10 0− + > ⇔ − + > .Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

¢ñá ç (3) áëçèÞò áí ( ) ( )x 0,2 5,∈ ∪ +∞

Page 97: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

104 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

8

¢ññçôåò

Áíéóþóåéò

Ãéá íá ëýóïõìå Üññçôç áíßóùóç (äçë. áíßóùóç ìå ñéæéêÜ), èÝôïõìå ðåñéïñé-

óìïýò: Ïé õðüññéæåò ðïóüôçôåò íá åßíáé 0≥ . Óôç óõíÝ÷åéá õøþíïõìå óå

äýíáìç (ßóç ìå ôçí ôÜîç ôçò ñßæáò), Ý÷ïíôáò õðüøç ìáò üôé:

• Áí α,β 0> : ν να β α β> ⇔ >

• Áí α,β 0< :

ν ν

ν ν

α β , ν : περιττόςα β

α β , ν : άρτιος

>> ⇔

<

Óôï ôÝëïò óõíáëçèåýïõìå ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò.

Ná ëýóåôå ôçí áíßóùóç: x 2 x 4− > −

Ëýóç

EðåéäÞ, äåí ìðïñïý-

ìå íá õøþóïõìå óôï

ôåôñÜãùíï êáé ôá äýï

Ðåñéïñéóìïß x 2 0− ≥

äçë. x 2≥

KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò .

¢ñá ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí áí [ ) ( )x 1,2 5,∈ ∪ +∞ .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â111. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x óõíáëçèåýïõí ïé

áíéóþóåéò:

i.

x0

x 3

8 2x 0

<

− ≥

ii.

3 x0

x

1 3x0

4

−>

iii. 2x 1

04 x

x 2

−≥

Â112. Íá ëõèïýí ôá óõóôÞìáôá:

á. 2

2

x 2 0

6x 5x 1 0

x 5x 6 0

− >

+ + >

− + − <

â.

( )( )2 2

x 10

2x 1

x 4 x 2x 4 0

−>

+

− + + <

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

ìÝëç ôçò áíßóùóçò áí äåí åßíáé ïìüóçìá ãé’ áõôü

äéáêñßíïõìå (ìå äåäïìÝíïõò ôïõò ðåñéïñéóìïýò

ôï 1ï ìÝëïò åßíáé èåôéêü) äýï ðåñéðôþóåéò:

• Áí x 4 0− < äçëáäÞ x 4< ôüôå ãéá 2 x 4≤ <

ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéáôß ôï 1ï ìÝëïò åßíáé ìç

Page 98: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

105åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ

ANÉÓÙÓÅÙÍ

10

9

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

áñíçôéêü, åíþ ôï 2ï ìÝëïò åßíáé áñíçôéêü.

• Áí x 4 0− ≥ äçëáäÞ x 4≥ åßíáé êáé ôá äýï

ìÝëç ïìüóçìá Ý÷ïõìå:

x 2 x 4− > − ( ) ( )2

2

x 2 x 4⇔ − > −

2x 2 x 8x 16⇔ − > − +

2x 9x 18 0⇔ − + < 3 x 6⇔ < <

Eîáéôßáò üìùò ôïõ x 4≥ Ý÷ïõíå ó’ áõôÞ ôçí

ðåñßðôùóç 4 x 6≤ < .

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá x R∈ ìå 2 x 6≤ < .

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç

3x 7 x 1+ > −

Ëýóç

ÐñÝðåé

x 1 0− ≥ äçë. x 1≥ êáé 3x 7 0+ > äçë.

7x

3> − . ÔåëéêÜ x 1≥ .

Õøþíïíôáò êáé ôá äýï ìÝëç óôï ôåôñÜãùíï

Ý÷ïõìå:

3x 7 x 1+ > − ( ) ( )2 2

3x 7 x 1⇔ + > −

3x 7 x 1⇔ + > − 2x 8⇔ > − äçë. x 4> −

óõíáëçèåýïíôáò ìå ôïí ðåñéïñéóìü âñßóêïõìå

x 1≥ .

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá x R∈ ìå x 1≥ .

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç

5x 3 x 2− > −

Ëýóç

Êáôáñ÷Üò, ãéá íá ïñßæåôáé ç ñßæá, ðñÝðåé íá éó-

÷ýåé 3

5x 3 0 x5

− ≥ ⇔ ≥

• Áí 3

x 25≤ < ôüôå x 2 0− < êáé åðïìÝíùò ç

áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ðñïöáíþò, áöïý

5x 3 0− >

• Áí x 2≥ ôüôå, ôåôñáãùíßæïíôáò êáé ôá äýï

ìÝëç ôçò áíßóùóçò, âñßóêïõìå éóïäýíáìá:

( )2 2

5x 3 x 2 x 9x 7 0− > − ⇔ − + <

Åýêïëá äéáðéóôþíïõìå üôé ç áíßóùóç áõôÞ å-

ðáëçèåýåôáé ãéá ÷ ôÝôïéá þóôå

9 53 9 53x

2 2

− +< <

Ïé áíéóüôçôåò 9 53 9 53

x2 2

− +< < êáé x 2≥

óõíáëçèåýïõí ãéá ÷ ôÝôïéá þóôå

9 532 x

2

+≤ < (âë. ó÷Þìá)

Óõíïøßæïíôáò ëïéðüí ôá ðáñáðÜíù, Ý÷ïõìå üôé

ç áíßóùóç 5x 3 x 2− > − åðáëçèåýåôáé óôá

äéáóôÞìáôá 3,25

êáé 9 53

2,2

+

, äçëáäÞ

óôï äéÜóôçìá 3 9 53,5 2

+

.

Â113.Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 1 x 3− > −

Â114.Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 22x x 3 x− < −

Â115. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 3x 5 1 x+ > −

Â116. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

5 2 x 3 x− − > −

Â117. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 1 2x 3 5+ + + >

Page 99: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

106 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9

Éóüôçôá

çìéôüíùí

Áí è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò ηµx α= âë. ó÷Þìá, ôüôå üëåò ïé ëýóåéò ôçò

äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:

x 2κπ θηµx α ηµθ , όπου κ Ζ

x 2κπ π θ

= += = ⇔ ∈

= + −

Éóüôçôá

óõíçìéôüíùí

Áí è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò συνx α= âë. ó÷Þìá ôüôå üëåò ïé ëýóåéò ôçò

äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:

x 2κπ θσυνx α συνθ , όπου κ Ζ

x 2κπ θ

= += = ⇔ ∈

= −

ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéòB.9

• ÔñéãùíïìåôñéêÞ åîßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï ëÝãåôáé êÜèå åîßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò Þ ç ðáñÜóôáóç

ôïõ áãíþóôïõ ðåñéÝ÷åôáé óå Ýíáí ôïõëÜ÷éóôïí ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü.

Ðáñáäåßãìáôá

1. Ïé åîéóþóåéò π

2ηµ x 13

+ =

, 3εφ x 7εφx 6 0− + = , åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÝò.

2. Ç åîßóùóç π

x ηµ 22

+ = äåí åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÞ åîßóùóç ãéáôß äåí ðåñéÝ÷åé ôïí Üãíùóôï x óå

ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü.

• Ëýóç ìéáò ôñéãùíïìåôñéêÞò åîßóùóçò åßíáé ôï óýíïëï ôùí ãùíéþí (Þ ôüîùí) ðïõ ôçí åðáëçèåýïõí.

• Ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôçò ëýóçò ëÝãåôáé åðßëõóç ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò åîßóùóçò.

Page 100: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

107ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò

ÂÁÓÉÊÅÓ

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

Éóüôçôá

åöáðôïìÝíùí

Ïé ãùíßåò (ôá ôüîá) è êáé ð + è Ý÷ïõí ôçí ßäéá åöáðôïìÝíç (âë. ó÷Þìá).

ÁëëÜ êáé êÜèå ãùíßá kð + è ìå k áêÝñáéï Ý÷åé åðßóçò ôçí ßäéá åöáðôïìÝíç. ¢ñá

ç åîßóùóç εφx α= , üðïõ α R∈ Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:

εφx α εφθ x κπ θ, όπου κ Ζ= = ⇔ = + ∈

üðïõ è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò εφx α= .

Éóüôçôá

óõíåöáðôïìÝ-

íùí

Ïé ãùíßåò (ôá ôüîá) è êáé ð + è Ý÷ïõí ôçí ßäéá óõíåöáðôïìÝíç (âë. ó÷Þìá).

ÁëëÜ êáé êÜèå ãùíßá kð + è ìå k áêÝñáéï Ý÷åé åðßóçò ôçí ßäéá óõíåöáðôïìÝíç.

¢ñá ç åîßóùóç σφx α= , üðïõ α R∈ Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ äßíïíôáé áðü ôïí

ôýðï:

σφx α σφθ x κπ θ, όπου κ Ζ= = ⇔ = + ∈

üðïõ è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò σφx α= .

• ÔñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï ëÝãåôáé êÜèå áíßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò Þ ç ðáñÜóôáóç

ôïõ áãíþóôïõ ðåñéÝ÷åôáé óå Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü.

Ãéá ðáñÜäåéãìá,

ïé áíéóþóåéò π

2ηµ x 16

− ≤

, 3σφ x 8σφx 7 0− + > , åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÝò.

• Ëýóç ìéáò ôñéãùíïìåôñéêÞò áíßóùóçò åßíáé ôï óýíïëï ôùí ãùíéþí (Þ ôüîùí) ðïõ ôçí åðáëçèåý-

ïõí.

• Ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôçò ëýóçò ëÝãåôáé åðßëõóç ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò áíßóùóçò.

Page 101: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

108 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9

Ðùò ëýíïõìå ôñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ôçò ìïñöÞò :

συνx α ή συνx α< > , µε 1 α 1− < <

Êáô’áñ÷Þí âñßóêïõìå ãùíßåò óôï äéÜóôçìá [0,2π] ðïõ Ý÷ïõí óõíçìßôïíï ßóï ìå á.

ÕðÜñ÷ïõí ðÜíôïôå äýï ãùíßåò óôï [0,2π] ôÝôïéåò þóôå óõí÷ = á. (âë. ó÷Þìáôá)

¸óôù ïé 1θ êáé

2 1θ 2π θ= − ìå è

1 < è

2. Ôüôå ìå 0 α 1≤ < Þ 1 α 0− < ≤ éó÷ýïõí

2 1συνx α θ x 2π ή 0 x θ> ⇔ < ≤ ≤ < (ìðëÝ ôüîï)

1 2συνx α θ x θ< ⇔ < < (êüêêéíï ôüîï)

ð.÷1 π π 5π

συνx συνx συν x2 3 3 3

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤

1 2π 4π 2πσυνx συνx συν x 2π ή 0 x

2 3 3 3≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ ≤ ≤

Ïé ðáñáðÜíù áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí ãéá : π 2π

x3 3≤ ≤ Þ

4π 5πx

3 3≤ ≤

êáé ãåíéêÜπ 2π 4π 5π

2kπ ,2kπ 2kπ ,2kπ3 3 3 3

+ + ∪ + +

, üðïõ k Ζ∈

Ðùò ëýíïõìå ôñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ôçò ìïñöÞò :

ηµx α ή ηµx α< > , µε 1 α 1− ≤ ≤

âñßóêïõìå ãéá ðïéá ãùíßá è óôï äéÜóôçìá [ ]0,2π éó÷ýåé ηµθ α= êáé ëýíïõìå ôçí åîßóùóç

ηµx ηµθ= . ÕðÜñ÷ïõí ðÜíôïôå äýï ãùíßåò 1 2θ ,θ óôï [0,2π] ,ôÝôïéåò þóôå ηµθ α= .

Áí 0 α 1≤ < õðÜñ÷ïõí äýï ãùíßåò 1 2θ ,θ óôï [0,π] ,ôÝôïéåò þóôå ηµθ α= .

¸óôù 1 2

π0 θ θ π

2≤ < < ≤ , ôüôå Ý÷ïõìå:

• 1 2

ηµx α ηµθ θ x θ> = ⇔ < < (êüêêéíï ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá)

Oι γωνίες µε συνηµίτονο

µεγαλύτερο του α είναι

αυτές που η τελική τους

πλευρά καταλήγει στο

γκρί τόξο

Oι γωνίες µε συνηµίτονο

µικρότερο του α είναι

αυτές που η τελική τους

πλευρά καταλήγει στο

µαύρο τόξο

Ïé ãùíßåò ìå óõíçìßôïíï

ìåãáëýôåñï ôïõ á åßíáé áõôÝò

ðïõ ç ôåëéêÞ ôïõò ðëåõñÜ

êáôáëÞãåé óôï ìðëÝ ôüîï.

Ïé ãùíßåò ìå óõíçìßôïíï

ìéêñüôåñï ôïõ á åßíáé áõôÝò

ðïõ ç ôåëéêÞ ôïõò ðëåõñÜ

êáôáëÞãåé óôï êüêêéíï ôüîï.

Page 102: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

109ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò

ÂÁÓÉÊÅÓ

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

• ηµx α ηµθ< = ⇔2 1θ x 2π ή 0 x θ< ≤ ≤ < (ìðëÝ ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá É)

åíþ áí åßíáé 1 α 0− < ≤ , ðÜëé õðÜñ÷ïõí äýï ãùíßåò 1 2θ ,θ óôï [π,2π],ôÝôïéåò þóôå ηµθ α= .

¸óôù 1 2

3ππ θ θ 2π

2≤ < < ≤ , ôüôå Ý÷ïõìå:

• 1 2

ηµx α ηµθ θ x θ< = ⇔ < < (êüêêéíï ôüîï óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá ÉÉ)

• ηµx α ηµθ> = ⇔2 1θ x 2π ή 0 x θ< ≤ ≤ < (ìðëÝ ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá ÉÉ)

ÅéäéêÜ áí á = 0 Þ á = - 1 Þ á = 1 Ý÷ïõìå è = ð Þ 2ð , è = 3ð/2 , è = ð/2 áíôßóôïé÷á.

ð.÷ Ãéá ôçí áíßóùóç: ( )3

ηµx 12

ìå x [0,2π]∈ , Ý÷ïõìå: 3 π π π 2π

ηµx ηµ x ή x π2 3 3 3 3

2π= = = ηµ ⇔ = = − =

3.

( åäþ ïé è1,è

2 åßíáé ïé ð/3 êáé 2ð/3).

ÅðïìÝíùò ìå x [0,2π]∈ ç ëýóç ôçò (1) åßíáé π 2π

x3 3≤ ≤ êáé

ãåíéêÜ üëåò ïé ëýóåéò åßíáé ïé

π 2π2kπ ,2kπ , όπου k Z

3 3

+ + ∈

.

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:3

ηµx2

=

Ëýóç

ÅðåéäÞ π 3

ηµ3 2= ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò åßíáé

ôï 3

π. ÅðïìÝíùò üëåò ïé ëýóåéò ôçò ðáñáðÜíù

åîßóùóçò äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò: π

x 2κπ3

= + ,

πx 2κπ π

3= + − , üðïõ κ Z∈ .

ó÷Þìá ÉÉó÷Þìá É

Page 103: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

110 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9

2 Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç: 3ηµx συνx 1+ =

Ëýóç

¸íáò ôñüðïò ëýóçò ôçò åîßóùóçò αηµx βσυνx γ+ = ,

áí αβγ 0≠ åßíáé êáé ï åîÞò:

Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå ôï â êáé Ý÷ïõìå:

α γηµx συνxβ β

+ = (1)

ÅðåéäÞ õðÜñ÷åé π π

ω ,2 2

∈ −

Ýôóé þóôå α

εφωβ

=

ç (1) ãßíåôáé:

γ ηµω γεφωηµx συνx ηµx συνx

β συνω β+ = ⇔ + = ⇔

γηµωηµx συνxσυνω συνω

β⇔ + = ⇔

( )γ

συν x ω συνωβ

− =

Ç ôåëåõôáßá åîßóùóç Ý÷åé ëýóç, áí êáé ìüíïí áí,

γσυνω 1β

≤ ðïõ éóïäõíáìåß ìå 2 2 2α β γ+ ≥ , ðïõ

åßíáé ç éêáíÞ êáé áíáãêáßá óõíèÞêç ãéá íá Ý÷åé

ëýóç ç áñ÷éêÞ.

ÅðåéäÞ π

εφ 33= ç åîßóùóç ãßíåôáé:

πηµ

π 3εφ ηµx συνx 1 ηµx συνx 1π3

συν3

+ = ⇔ + = ⇔

π π πηµ ηµx συνx συν συν3 3 3

+ = ⇔

π πx 2κπ

π π 3 3συν x συν , κ Ζ

π π3 3x 2κπ3 3

− = +

− = ⇔ ∈

− = −

¢ñá 2π

x 2κπ3

= + Þ x 2κπ= , κ Ζ∈ .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â118. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

π 3συν x

4 2

− − =

.

Â119. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

πηµ 3x 1

4

− =

.

Â120. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

22ηµ x 3ηµx 2 0+ − = .

Â121. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

á. ( ) ( )( )2

2ηµx 1 4 1 ηµx 2ηµx 1 0+ − − + =

â. 2

συν2x2

= ìå [ ]x 0,2π∈ .

Â.122 Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. π

ηµ 2x συνx6

+ =

â. 2 2εφ x σφ x 0− =

Â123. á.Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

1 2

συνx , ηµx2 2

° = ° = êáé εφx 3° = −

â. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò

i. 2συν4x 3> ii. εφx 1>

iii. ηµx 0≥ iv. συνx 1> −

v. 2συνx 3≤

Page 104: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

111åêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

ÅÊÈÅÔÉÊÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

ÉÉ. ÌïñöÞ

( )f xα β=

üðïõ ( )f x

óõíÜñôçóç ôïõ ÷

êáé α,β 0> ìå

α 1≠ .

É. ÌïñöÞ

xα β,= ìå

α,β 0> êáé

α 1≠ .

Á. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

ÅêèåôéêÞ åîßóùóç ïíïìÜæïõìå êÜèå åîßóùóç ðïõ óå Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôá ìÝëç ôçò åìöáíßæåôáé ï

Üãíùóôïò x Þ êÜðïéá óõíÜñôçóç ôïõ áãíþóôïõ óå åêèÝôç äýíáìçò ìå âÜóç èåôéêü áñéèìü.

Åðßëõóç ôçò åêèåôéêÞò åîßóùóçò ëÝìå ôçí åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôùí ëýóåþí ôçò, äçëáäÞ ôéò ôéìÝò ôïõ

áãíþóôïõ ðïõ ôçí åðáëçèåýïõí.

Ïé åêèåôéêÝò åîéóþóåéò Ý÷ïõí Þ êáôáëÞãïõí ìåôÜ áðü ðñÜîåéò óå ìéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ìïñöÝò:

Êáé åäþ äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò. ÁíÜëïãá áí ôï â ìðïñåß íá åßíáé Þ íá ìçí

åßíáé äýíáìç ôïõ á.

1ç ðåñßðôùóç:

ð.÷.2 2x 5x 11 x 5x 11 52 32 2 2

− + − += ⇔ = ⇔ 2

x 5x 11 5− + = ⇔

2x 5x 6 0 x 2 ή x 3⇔ − + = ⇔ = =

ÁõôÝò åßíáé êáé ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò.

ð.÷. 3 2x 3 2x 06 1 6 6

− −= ⇔ = ⇔ 3 2x 0 2 x 3− = ⇔ =

3 3x x

2 2⇔ = ⇔ = ±

Ãéá ôçí åðßëõóç áõôÞò äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò:

1ç ðåñßðôùóç:

Áí ï â åßíáé äýíáìç ôïõ á Þ ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á.

x x κα β α α x κ= ⇔ = ⇔ =

ð.÷. x x 43 81 3 3 x 3= ⇔ = ⇔ =

2ç ðåñßðôùóç:

Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí

ïñéóìü ôùí ëïãáñßèìùí ðïõ èá äïýìå ðáñáêÜôù.

xα β x ...= ⇔ =

ÅêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéòÂ.10

III. ÌïñöÞ

áf(x) = âg(x)

ìå f, g

óõíáñôÞóåéò ôïõ

x êáé á,â>0

êáé

äéÜöïñïé ôïõ 1.

• Áí ï â ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x kg xα β α α f x kg x ...= ⇔ = ⇔ = ⇔

ð.÷.x 1 x 1

32x 4 2x 4x 2 x 227 3 3 3

+ +

− −− −= ⇔ = ⇔ ( )2x 1

3 2x 4 3x 3 2 x 2x 2

+= − ⇔ + = −

22x 8x 8 3x 3⇔ − + = +

22x 11x 5 0⇔ − + = ⇔

( )1

2 x x 5 02

⇔ − − = ⇔

1x 0 ή x 5 02

− = − = ⇔1

x ή x 52

= =

• Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü

ôùí ëïãáñßèìùí ðïõ èá äïýìå ðáñáêÜôù.

Page 105: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

112 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 10

ð.÷. ( )x x9 4 3 3 0 1− ⋅ + = . ÈÝôïõìå x

3 ω 0= > ïðüôå ( ) ( ) ( )x 2

2 x 2g x 3 3 ω= = =

Ôüôå: ( ) 21 ω 4ω 3 0 ω 1 ή ω 3⇔ − + = ⇔ = =

¢ñá x x 03 1 3 3 x 0= ⇔ = ⇔ = , x

3 3 x 1= ⇔ =

ÉV. ÌïñöÞ

f(áx) = g(áx),

ìå á > 0

ìå á ≠≠≠≠≠ 1.

• Ãéá íá ëýóïõìå åîßóùóç áõôÞò ôçò ìïñöÞò âãÜæïõìå êïéíü ðáñÜãïíôá ôï xα

Þ èÝôïõìå xα ω 0= > êáé ç åîßóùóç ìåôáôñÝðåôáé óå ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç ùò

ðñïò ù.

ð.÷. ( )x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128 2

+ − −+ ⋅ + − =

x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128

+ − −+ ⋅ + − = ⇔ x 2 21

3 3 5 3 1283

− + + − = ⇔

x x1283 3 9 x 2

128

9

⇔ = ⇔ = ⇔ =

V. ÌïñöÞ

f(áx) = g(âx),

ìå f, g

óõíáñôÞóåéò ôïõ

÷ êáé á,â>0

äéÜöïñïé ôïõ 1

êáé

á ≠≠≠≠≠ â.

• Äéáéñïýìå ìå xβ êáé áíÜãåôáé óå ðñïçãïýìåíç ìïñöÞ.

ð.÷. x 4 x 2 x 1 x 33 2 5 2 6 5

− − − −⋅ − = − ⋅

Ðáñáôçñïýìå üôé Ý÷ïõìå äõíÜìåéò ôïõ 2 êáé ôïõ 5.

Äéáéñïýìå ìå x5

x 4 x 2 x 1 x 3

x x x

2 5 2 53 6

55 5 5

− − − −

− = − ⇔

x x

4 2 3

2 1 1 2 1 13 65 5 22 5 5

⋅ ⋅ − = − ⋅ ⇔

x3 1 2 1 6

16 2 5 25 125

⇔ − = − ⇔

x10 2 1

32 5 125

− − =

x 42 32 2

x 45 1250 5

= = ⇔ =

VI. ÌïñöÞ

(f(x))g(x) = 1,

ìå f, g

óõíáñôÞóåéò ôïõ

÷ êáé

f (x)>0

• ( )( )( )

( )

( ) ( )

g x

f x 1

f x 1 ή

g x 0 και f x 0

=

= ⇔

= >

ð.÷. ( ) ( )2x 3x

2x 2x 2 1 1

+ − =

( )

( )

( ) ( ) ( )

2x 2x 2 1 2

1 ή

g x 0 και f x 0 3

+ − =

= >

åßíáé 2 2x 2x 2 1 x 2x 3 0 x 1 ή x 3+ − = ⇔ + − = ⇔ = = −

êáé ( ) ( ) 23 x x 3 0 και x 2x 2 0⇔ − = + − > ⇔

x 0 ή x 3 και⇔ = = x 1 3 ή x 1 3< − − > − + . TåëéêÜ x 3= .

Page 106: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

113åêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

ÅÊÈÅÔÉÊÅÓ

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

4

2

1 Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:

⋅x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128

+ − −

+ + − =

Ëýóç

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

x x

x 2 x 3 33 3 5 3 128

3 9⋅ + ⋅ + − =

ÈÝôïõìå x3 y= êáé ðáßñíïõìå ôçí åîßóùóç:

y y9y 5y 128 128y 1.152 y 9

3 9+ + − = ⇔ = ⇔ =

Ôüôå x 23 9 3 x 2= = ⇔ =

Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:

x 4 x 1 x 2 x 33 2 2 5 6 5

− − − −

− = −⋅ ⋅

Ëýóç

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé:

x x x x

4 2 3

2 2 5 53 6

22 5 5⋅ − = − ⋅

x x3 1 1 62 5

16 2 25 125

− = ⋅ −

x2 16

5 625

=

Þ

x 42 2

5 5

=

Þ x 4=

Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

B. ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

Ãéá ôçí åðßëõóç áíéóþóåùí óôçñéæüìáóôå óôç ìïíïôïíßá ôçò åêèåôéêÞò óõíÜñôçóçò.

i. Ìå 0 α 1< < :

( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x> ⇔ < Þ ( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x< ⇔ >

üðïõ ( )f x , ( )g x óõíáñôÞóåéò ôïõ x.

ii. Ìå α 1> :

( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x> ⇔ > Þ ( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x< ⇔ <

Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò áíáãüìáóôå óå ìßá ðïëõùíõìéêÞ, êëáóìáôéêÞ, ôñéãùíïìåôñéêÞ ê.ô.ë.

áíßóùóç ç ïðïßá ëýíåôáé êáôÜ ôá ãíùóôÜ.

x x 2x 13 9 5 6 2 0

+

− + =⋅ ⋅ (1)

Ëýóç

Ç åîßóùóç (1) ãñÜöåôáé

2x x x 2x2 2 5 2 3 3 3 0⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå 2x3 êáé ðáßñíïõìå

ôçí éóïäýíáìç åîßóùóç:

2x x2 2

2 5 3 03 3

⋅ − + =

(2)

ÈÝôïõìå:

x2

y3

=

, êáé ç (2) ãñÜöåôáé:

22y 5y 3 0− + = (3)

ðïõ Ý÷åé ñßæåò: 1 2

3y , y 1

2= = .

¢ñá ç (2), óõíåðþò êáé ç (1) éóïäõìáìåß ìå ôéò

åîéóþóåéò:

x 1 x 02 3 2 2 2

, 13 2 3 3 3

= = = =

Áðü ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå ÷ = -1 , ÷ = 0.

Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

á. x x 1

x 2 x

45 73 3

3 3

++ > + ,

â. 2x 2x 2 x 1 x3 2 11 4 9

+ −− < ⋅ −3

Page 107: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

114 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 10

5Ëýóç

á. Åßíáé:

x

x x 1 x

x 2 x x x

45 7 3 5 73 3 3

33 3 3 3

++ > + ⇔ + > + ⇔

x x 3 1x 1 1 x

x x

4 3 12 3 33 3

3 33 3

>− −

⋅> ⇔ > ⇔ > ⇔

x 1 1 x 2x 2 x 1⇔ − > − ⇔ > ⇔ >

â. 2x 2x 2 x 1 x

x x x x

3 2 11 4 9

119 9 4 4 4

4

+ −− < ⋅ − ⇔

⇔ + < ⋅ + ⋅ ⇔

x x x x272 9 4 8 9 27 4

4⇔ ⋅ < ⋅ ⇔ ⋅ < ⋅ ⇔

x 2x 39 27 3 3

4 8 2 2

⇔ < ⇔ < ⇔

3/ 2 1

32x 3 x

2>

⇔ < ⇔ <

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá: x y

x y

3 4 13

9 16 65

+ =

− =

Ëýóç

Áí èÝóïõìå x3 ω= ,

y4 φ= ôüôå ôï óýóôçìá ãñÜ-

öåôáé:

( ) ( )

x y

x y

ω φ 133 4 13

ω φ ω φ 659 16 65

+ = + = ⇔ ⇔

+ ⋅ − =− =

( )

ω φ 13 ω φ 13

ω φ 513 ω φ 65

+ = + = ⇔ ⇔ ⇔

− =− =

x 2

y

2ω 18 ω 9 3 3 x 2

2φ 8 φ 4 y 14 4

= = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= = ==

Â124. Íá ëõèïýí ïé åêèåôéêÝò åîéóþóåéò:

3. x 1 x x 1 x 33 2 3 2

+ − +− = +

4. 2x 1 x x3 5 6 2 4 0

+− ⋅ + ⋅ = ,

7. x 4 x 2 x 1 x 3

3 2 5 2 6 5− − − −

⋅ − = − ⋅

Â125. Íá åðéëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

4. x x2 9 4 3 6 0⋅ − ⋅ − =

5. x 1 x x 1 x 33 2 3 2+ − +− = +

6. ( )2

2x 10x2x 7x 10 1

− + = (1)

9.

1 xx 1

2x 1 x 2 22 3 4 9 0+ +

−− + + =

10. x x x2 4 3 9 5 6⋅ + ⋅ = ⋅

Â126. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

1.

x 1

2x 4x 227 3

+

−− <

2.1 1 1

x x x2x 12 2 23 2 4 3

+ + −−+ > −

3. x xe e 0−− <

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

4. ( )3x 2

8 4x18 54 2−

− <

Â127. Íá ëõèïýí ôá åêèåôéêÜ óõóôÞìáôá:

1.

x y

x 1 y 2

3 2 5 77

3 5 544+ +

+ ⋅ = − + =

5.

x y

3 2

x y

x y

=

=

6. ( )

x

x

x y 2

3 x y 1296

+ =

+ =

Â128. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i.

2x 2

x1

e 0e

− >

ii.

2x 2

x1

e 0e

− <

Â129. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2x x 13 28 3 3 0−− ⋅ + ≥

Page 108: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

115ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôá

ËÏÃÁÑÉÈÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ -

ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ - ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

Åðßëõóç

Ëïãáñéèìéêþí

Åîéóþóåùí -

Áíéóþóåùí

ËïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôáÂ.11

Á. Åîéóþóåéò

Ãéá íá ëýóïõìå ìéá ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç óôçñéæüìáóôå óôçí éóïäõíáìßá:

( ) ( ) ( ) ( )α α

log f x log g x f x g x= ⇔ =

üðïõ 0 α 1< ≠ êáé f(x) , g(x) óõíáñôÞóåéò ôïõ x.

Óôï ôÝëïò äå÷üìáóôå ôéò ëýóåéò ðïõ éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ

èÝôïõìå ðÜíôïôå óôçí áñ÷Þ ðïõ åßíáé ïé :

( ) ( )f x 0 και g x 0> >

Â. Áíéóþóåéò

Ãéá íá ëýóïõìå ìßá ëïãáñéèìéêÞ áíßóùóç óôçñéæüìáóôå óôçí éóïäõíáìßá:

á. Áí 0 α 1< < : ( ) ( ) ( ) ( )α α

log f x log g x f x g x< ⇔ > (1)

â. Áí α 1> : ( ) ( ) ( ) ( )α α

log f x log g x f x g x< ⇔ < (2)

üðïõ α 0> êáé α 1≠ êáé f(x), g(x) óõíáñôÞóåéò ôïõ x.

Óôï ôÝëïò óõíáëçèåýïõìå ôéò ëýóåéò ðïõ éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò

ðïõ èÝôïõìå ðÜíôïôå óôçí áñ÷Þ ðïõ åßíáé ïé :

( ) ( )f x 0 και g x 0> >

ìå áõôÝò ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôéò (1) Þ (2).

ÐáñáôÞñçóç

Ãéá íá ëýóïõìå ìßá ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç Þ áíßóùóç ðñïóðáèïýìå íá ôç öÝñïõìå óå

áðü ôéò ðáñáðÜíù ìïñöÝò, Á Þ Â, ìå óõíÝðåéá ôï ðñüâëçìá íá áíÜãåôáé óôçí åðßëõóç

ðïëõùíõìéêþí, ñçôþí, Üññçôùí, ôñéãùíïìåôñéêþí åîéóþóåùí Þ áíéóþóåùí ðïõ

áíôéìåôùðßæïíôáé ìå ãíùóôü ôñüðï.

ÃåíéêÜ ëïãáñéèìßæïõìå üôáí Ý÷ïõìå Üãíùóôï óôïí åêèÝôç .

ð.÷ ln x 1 2 ln xx e , x e

−= < .

Ðñïóï÷Þ óôç ÷ñÞóç éäéïôÞôùí,ð.÷ 2

ln x 2ln x= êáé ü÷é 2

ln x 2 ln x= .

Page 109: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

116 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 11

ÅêèåôéêÝò åîéóþóåéò ðïõ ëýíïíôáé ìå ôç ÷ñÞóç ëïãáñßèìùí

á. ÌïñöÞxα β=

Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü

ôùí ëïãáñßèìùí

x

αα β x log β= ⇔ =

ð.÷ x

22 7 x log 7= ⇔ =

â. ÌïñöÞ( )f x

α β=

Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü

ôùí ëïãáñßèìùí

( ) ( )f x

αα β f x log β= ⇔ =

ð.÷5x 1

5 5

5

x 1 log 35 3 x 1 log 3 x 1 log 3

x 1 log 3

−= +

= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = − −

ã. ÌïñöÞ( ) ( )f x g xα β=

ìå f ,g óõíáñôÞóåéò ôïõ x êáé α,β 0> êáé äéÜöïñïé ôïõ 1.

Áí ï â äåí åßíáé äýíáìç ôïõ á, ôüôå:

( ) ( ) ( ) ( )f x g xα β f x logα g x logβ= ⇔ =

ð.÷.

( )2x 3x 4 23 2 x 3x log3 4log 2

+= ⇔ + = ( ) ( ) ( )2

log3 x 3log3 x 4log2 0 1⇔ − − =

Åßíáé ( )2

∆ 3log3 16log 2log3 0= + > ïðüôå ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé:

( )2

3log3 3log3 16log 2log3x

2log3

± +=

Ã. ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

Ëïãáñéèìéêü óýóôçìá ëÝìå ôï óýóôçìá,üðïõ ç ìßá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôéò

åîéóþóåéò ôïõ åßíáé ëïãáñéèìéêÞ.

Ãéá íá ôï åðéëýóïõìå åöáñìüæïõìå ôéò éäéüôçôåò ôùí ëïãáñßèìùí, áöïý

ôåèïýí ïé ðåñéïñéóìïß êáé êáôáëÞãïõìå óå Ýíá óýóôçìá ãñáììéêþí åîéóþ-

óåùí.

Åðßëõóç

åêèåôéêþí

Åîéóþóåùí

(ìå ÷ñÞóç

ëïãáñßèìùí)

Page 110: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

117ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôá

ËÏÃÁÑÉÈÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ -

ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ - ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

3

2

1 Íá ëõèïýí ïé ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò:

á. ( ) ( )2log 4x 1 2log 2 log x 1− = + − (1)

â. ( ) ( ) ( )n x 1 n 2x 4 2 n x 2− + + = +� � � .

Ëýóç

á. Ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:

( ) ( ){ 2 24x 1 0, x 1 0, log 4x 1 log 4 x 1− > − > − = −

Ç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé éóïäõíá-

ìåß ìå:

( )24x 1 4 x 1− = − ⇔

2

1 2

3 14x 4x 3 0 x , x

2 2⇔ − − = ⇔ = = −

Áð’áõôÝò ìüíï ç ðñþôç éêáíïðïéåß êáé ôéò

äýï áíéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò .

¢ñá ç åîßóùóç (1) Ý÷åé ìéá ìüíï ñßæá, ôçí:

3x

2=

â. Åßíáé ( ) ( ) ( )n x 1 n 2x 4 2 n x 2− + + = +� � � (1).

ÐñÝðåé

x 1 0 x 1

2x 4 0 x 2

x 2 0 x 2

− > >

+ > ⇔ > − + > > −

. ¢ñá x 1> .

Ç (1) ãñÜöåôáé éóïäýíáìá :

( )( )[ ] ( )2n x 1 2x 4 n x 2− + = + ⇔� �

( )( ) ( )2x 1 2x 4 x 2− + = + ⇔

( )( ) ( )2x 1 2x 4 x 2 0− + − + = ⇔

( ) ( ) ( )[ ]x 2 2 x 1 x 2 0+ − − + = ⇔

( )( )

x 2 απορρίπτεται

x 2 x 4 0 ή

x 4 δεκτή

= −

+ − = ⇔ =

Íá ëõèåß ç ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç:

( )1log x 2 log x 3 1 log 32

+ + − = + (1)

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Ëýóç

ÅðåéäÞ ( )1log x 2 log x 22

+ = + êáé 1 log10=

ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:

( ) ( )

x 2 0 , x 3 0 ,

log x 2 x 3 log 10 3

+ > − >

+ ⋅ − = ⋅

(2)

Ïé äýï ðñþôåò ó÷Ýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò (2) óõ-

íáëçèåýïõí ãéá: x 3> (3)

Ç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé éóïäýíáìç ìå

ôçí: ( ) ( )

( )( ) 2

x 2 x 3 10 3

x 2 x 3 300 x x 306 0

+ ⋅ − = ⋅ ⇔

⇔ + − = ⇔ − − =

Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç âñßóêïõìå:

1 2x 18 , x 17= = −

Ç ðñþôç áðü ôéò ðáñáðÜíù éêáíïðïéåß ôçí (3),

óõíåðþò ç (1) Ý÷åé ëýóç ôçí x 18= .

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

log γ xx 10= (1)

Ëýóç

Ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:

{ }log xx 0 και x 100> = (2)

( )

log x log x

2

x 100 log x log100

1log x 2 log x 2 ή log x 2

2

= ⇔ = ⇔

= ⇔ = = −

Áðü ôçí åîßóùóç log x 2= Ý÷ïõìå:

log x 2 log100= = Üñá, x 100=

Áðü ôçí åîßóùóç log x 2= − Ý÷ïõìå:

log x 2 log0,01= − = Üñá x 0,01=

¢ñá ïé ëýóåéò ôçò (1) åßíáé: { }2 210 , 10

Page 111: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

118 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 11

5

4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B130. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. ( )2log log 2x x 11 0 + − =

â. log x 5 log x2 2 12

−+ =

ã. ( )x xlog 2 2 3 log81 x log3 log178+ ⋅ + = ⋅ +

ä. 2 42 2 2

log x log x log x log x 54⋅ ⋅ ⋅ =

B131. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

á. ( ) 31

2 og x 2 ogx og x2

− = −� � �

â.1 1 5

nx nx nx2 2 22 2 2 11

− + +

+ + =� � �

B132. Íá ëõèåß ç áíßóùóç x 1

og 1x 2

−>

+� .

B133. i. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷

( )2

5xlog 2x x 1 R+ + ∈ ;

ii. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷ 1 xn R2 x

−∈

+� ;

B134. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷:

i. ( )3

x 4og2x 1 R+− ∈� ;

ii.

xnx 1

Rnx 1

− ∈

+

�;

B135. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

i. ( )21 3

og x 5x 1 0+ − >�

ii. ( )x xog 2 2 3 og81 x og3 og178+ ⋅ + > +� � � �

B136. Íá ëõèåß ç åîßóùóç

( )[ ]2n n x x e 0− + =� �

B137. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷ :

( )2og 3x 2x R− ∈� ;

B138. Íá ëýóåôå ôá óõóôÞìáôá:

i.nx ny 2

x 2y 10

− =

+ =

� � iv.

2 2

ogx ogy og2

3x 2y 10

+ =

+ =

� � �

6

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

3 9log x log x 2=⋅ (1)

Ëýóç

ÅðåéäÞ 29 33

1log x log x log x

2= = ç (1) åßíáé é-

óïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:

( ){ }2

3

1x 0 , log x 2

2> = (2)

ÅðåéäÞ ( )2

3log x 4= ôï óýóôçìá (2)éóïäõíáìåß

ìå ôá óõóôÞìáôá:

{ }3x 0 , log x 2> = êáé { }3

x 0 , log x 2> = −

Áðü ôá ðáñáðÜíù óõóôÞìáôá, âñßóêïõìå

2 2x 3 και x 3−= =

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: log 2 x log x− <

Ëýóç

Åßíáé:

2

2 x 00 x 2

log 2 x log x x 02 x x

2 x x

− >< <− < ⇔ > ⇔ ⇔− <

− <

2

0 x 2 0 x 21 x 2

x 2 ή x 1x x 2 0

< < < < ⇔ ⇔ ⇔ < <

< >+ − >

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:

{ }log x log y log14, 3x y 1+ = − = (1)

Ëýóç

Ìå x êáé y èåôéêÜ , ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ óõóôÞ-

ìáôïò ãñÜöåôáé:

( )log x y log14 x y 14⋅ = ⇔ ⋅ =

ïðüôå ôï (1) éóïäõíáìåß ìå ôï óýóôçìá:

{ }3x y 1 , xy 14− = = (2)

Áðü ôï óýóôçìá (2) åðåéäÞ x 0, y 0> > âñßóêïõ-

ìå: ( )7

x, y , 63

=

Page 112: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò 119

H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

Ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

Áí ïé ôéìÝò åíüò ìåãÝèïõò y åîáñôþíôáé ìå ìïíáäéêü ôñüðï áðü ôéò ôéìÝò åíüò

Üëëïõ ìåãÝèïõò x ôüôå ëÝìå üôé:

“Ôï y åßíáé óõíÜñôçóç ôïõ x”

H ìåôáâëçôÞ y ëÝãåôáé åîáñôçìÝíç åðåéäÞ ïé ôéìÝò ôçò åîáñôþíôáé áðü ôï x åíþ

ç ìåôáâëçôÞ x ëÝãåôáé áíåîÜñôçôç.

Èá áó÷ïëçèïýìå ìå óõíáñôÞóåéò üðïõ ç ìåôáâëçôÞ x ðáßñíåé ôéìÝò áðü Ýíá

óýíïëï Á õðïóýíïëï ôïõ ( )R A R⊆ êáé ç ìåôáâëçôÞ y áðü Ýíá óýíïëï Â

õðïóýíïëï ôïõ ( )R B R⊆ . ÅðïìÝíùò áõôÝò ôéò óõíáñôÞóåéò ôéò ëÝìå ðñáã-

ìáôéêÝò (áöïý y R∈ ) ðñáãìáôéêÞò ìåôáâëçôÞò (áöïý x R∈ ).

Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðÜíù ìðïñïýìå íá äéáôõðþóïõìå ôïí åðüìåíï ïñéóìü:

Ïñéóìüò ôçò óõíÜñôçóçò

ÏíïìÜæïõìå ðñáãìáôéêÞ óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý Ýíá óýíïëï A R⊆ ôç äéáäéêáóßá ìå ôçí

ïðïßá êÜèå x A∈ áíôéóôïé÷ßæåôáé óå Ýíá ìüíï y B R∈ ⊆ êáé óõìâïëßæåôáé óõíÞèùò ìå f, g, h, . .

. ê.ë.ð.

Ç ó÷çìáôéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f öáßíåôáé óôï åðüìåíï ó÷Þìá:

Ôï óýíïëï A R⊆ áðü ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìÝò ç ìåôáâëçôÞ x, ëÝãåôáé ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f, åíþ ôï óýíïëï B R⊆ áðü ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìÝò ç ìåôáâëçôÞ y ïíïìÜæåôáé óýíïëï

(ðåäßï) ôéìþí ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(A).

ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå:

( )f : A B f A→ =

êáé åííïïýìå üôé ç f åßíáé ç óõíÜñôçóç ìå

ðåäßï ïñéóìïý ôï Á êáé óýíïëï ôéìþí ôï

( )f A R⊆ .

×ñçóéìïðïéïýìå åðßóçò ôïõò óõìâïëéóìïýò

D(f) êáé R(f) ãéá ôï ðåäßï ïñéóìïý êáé ôï

óýíïëï ôéìþí, ìéáò óõíÜñôçóçò, áíôßóôïé÷á.

Ç Ýííïéá ôçò

óõíÜñôçóçò

Page 113: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1120

(σχήµα 1)

Ôýðïò

óõíÜñôçóçò

ÃñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç

ð.÷

Ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá óå êÜèå [ ]x 0,1∈ áíôéóôïé÷ßæåôáé ôï

äéðëÜóéü ôïõ, åßíáé óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï äéÜóôçìá

[ ]A 0,1= . ÊÜèå ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí éóüôçôá:

y 2x=

ÃñÜöïõìå óõíÞèùò ( )y f x 2x= = Þ áðëÜ ( )f x 2x= .

Ç ðáñáðÜíù éóüôçôá ëÝãåôáé ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò. Ìå ôïí ðáñá-

ðÜíù ôýðï ìðïñïýìå íá âñïýìå ôçí áíôßóôïé÷ç ôéìÞ ïðïéïõäÞðïôå

[ ]x 0,1∈ .

Ãéá ðáñÜäåéãìá • áí x 0= ôüôå ( )f 0 2 0 0= ⋅ =

• áí 1

x2

= ôüôå 1 1

f 2 12 2

= ⋅ =

, (ó÷Þìá 1)

Áí ìéá óõíÜñôçóç f : A R→ Ý÷åé ôçí ßäéá ôéìÞ ãéá êÜèå x A∈ ïíïìÜæåôáé óôáèåñÞ.

ð.÷. ç óõíÜñôçóç ìå ôýðï ( )f x 2= åßíáé óôáèåñÞ êáé ßóç ìå 2 , ãéá êÜèå x R∈ .

Ï ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò åßíáé ìéá ãåííÞôñéá äéáôåôáãìÝíùí æåýãùí ôçò ìïñ-

öÞò ( )( )x,f x ìåôÜ áðü ìßá óåéñÜ ðñÜîåùí ðïõ áêïëïõèïýí ôçí áíôéêáôÜóôá-

óç ôïõ x ìå ìéá óõãêåêñéìÝíç ôéìÞ.

Ï ôýðïò ìéáò óõíÜñôçóçò ìðïñåß íá Ý÷åé äéáöïñåôéêÝò åêöñÜóåéò ãéá êÜèå

ïìÜäá ôùí ôéìþí ôçò ìåôáâëçôÞò x.

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí äéáôåôáã-

ìÝíùí æåõãþí ( )( )x,f x üôáí áðåéêïíßæåôáé óôï åðßðåäï, äçë. ìéá êáìðýëç (ãñáì-

ìÞ). Åßíáé ãíùóôü üôé êÜèå äéáôåôáãìÝíï æåýãïò (÷, y) Þ ( )( )x,f x ãåùìåôñéêÜ

- ãñáöéêÜ ðáñéóôÜíåé Ýíá óçìåßï óôï åðßðåäï ìå ôåôìçìÝíç x êáé ôåôáãìÝíç

( )y f x= êáé áíôßóôñïöá.

Áðü ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá ôï Ó÷.1 åßíáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõíÜñôçóçò åíþ ôï

Ó÷.2 äåí åßíáé.

Page 114: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò 121

H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

Ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ôçí ðåôõ÷áßíïõìå óå ðÜñá ðïëý óôïé÷åéþäåò åðßðåäï (ðñþôåò

ôÜîåéò ôïõ ãõìíáóßïõ) ìå ôç âïÞèåéá åíüò ðßíáêá ôéìþí.

¸íá äåýôåñï åðßðåäï (ðëçñÝóôåñçò ìåëÝôçò) áðïôåëïýí ôá óôÜäéá-âÞìáôá 1 - 10 ðïõ áíáðôýóïõìå óôç

óõíÝ÷åéá (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ Ëõêåßïõ) êáé ôï ôåëåõôáßï åðßðåäï (ðëÞñïõò ìåëÝôçò) ðåôõ÷áßíïõìå ìå ôçí

âïÞèåéá ôùí ïñßùí êáé ôùí ðáñáãþãùí. Èá áíáöÝñïõìå åðßóçò êÜðïéåò âáóéêÝò óõíáñôÞóåéò ôùí ïðïßùí

ôçí ðëÞñç ìåëÝôç - ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç èá Ý÷ïõìå äáíåéóôåß.

ÐáñáôÞñçóç:

1. ÕðÜñ÷ïõí óõíáñôÞóåéò ðïõ äåí Ý÷ïõí ôïí ßäéï ôýðï ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò. Ïé

óõíáñôÞóåéò áõôÝò ëÝãïíôáé ðïëëáðëïý ôýðïõ Þ óõíáñôÞóåéò ìå êëÜäïõò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá ( )ηµx, x 0

f xx 1,0 x 4

≤=

− < ≤

Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôéìÞ ôçò f óôï x 0= ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ðñþôï êëÜäï, äéüôé ôï x 0= áíÞêåé óôï

( ,0]−∞ åíþ ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôéìÞ ôçò f óôï x 2= ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï äåýôåñï êëÜäï, äéüôé ôï

x 2= áíÞêåé óôï (0,4] . ¸ôóé Ý÷ïõìå:

( )f 0 ηµ0 0= = êáé ( )f 2 2 1 1= − =

ÐáñáôçñÞóôå üôé, üôáí ìéá óõíÜñôçóç äßíåôáé ìå ðïëëáðëü ôýðï, äßíåôáé áõôüìáôá êáé ôï ðåäßï ïñéóìïý

ôçò. ð.÷. ç ðñïçãïýìåíç óõíÜñôçóç Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï óýíïëï

A ( ,0] (0,4] ( , 4]= −∞ ∪ = −∞

2. Áðü ôïí ïñéóìü ðïõ äüèçêå ãéá ôç óõíÜñôçóç åßíáé öáíåñü üôé ç óõíÜñôçóç åßíáé ìéá ó÷Ýóç ìåôáîý äýï

ìåôáâëçôþí x êáé y, ç ïðïßá üìùò ðïôÝ äåí èá ìáò äþóåé äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò ôïõ y ãéá ôçí ßäéá ôéìÞ ôïõ x.

ÂëÝðå åðüìåíï äéÜãñáììá.

÷ ÷1

÷2

÷3

..... ֒

( )y f x= ( )1 1y f x= ( )2 2

y f x= ( )3 3y f x= .......... ( )ν ν

y f x=

Page 115: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1122

ð.÷. ¸óôù ç ó÷Ýóç ( )T T t= , üðïõ t ï ÷ñüíïò êáé Ô ç èåñìïêñáóßá êÜèå óçìåßïõ ôïõ ÷þñïõ. Ç ðáñáðÜíù

ó÷Ýóç åßíáé óõíÜñôçóç, áöïý ðïôÝ äåí èá ìáò äþóåé äýï äéáöïñåôéêÝò èåñìïêñáóßåò ãéá ôï ßäéï óçìåßï

ôïõ ÷þñïõ ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t. Åíþ ç ó÷Ýóç 2y x= ìå x, y R∈ , äåí åßíáé óõíÜñôçóç, áöïý ãéá

ðáñÜäåéãìá áí x 4= ôüôå y 2= Þ y 2= − .

Áí ðÜñïõìå äýï êÜèåôá ôåìíüìåíïõò Üîïíåò óôï åðßðå-

äï, ðïõ Ý÷ïõí êïéíÞ áñ÷Þ ôï óçìåßï ôïìÞò Ï, ôüôå ëÝìå

üôé Ý÷ïõìå Ýíá êáñôåóéáíü óýóôçìá áíáöïñÜò óôï åðß-

ðåäï. Áí åðéðëÝïí ïé ìïíÜäåò ôùí áîüíùí Ý÷ïõí ôï ßäéï

ìÞêïò, ôï óýóôçìá Ïxy ëÝãåôáé ïñèïêáíïíéêü.

Áí (á, â) ôï æåýãïò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ áíôé-

óôïé÷ßæåôáé ó’ Ýíá óçìåßï Á ôïõ êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ ,

ôüôå ãñÜöïõìå Á(á, â) êáé ïíïìÜæïõìå:

• ôåôìçìÝíç ôïõ óçìåßïõ Á, ôïí áñéèìü á.

• ôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ Á, ôïí áñéèìü â.

Ôá á, â ïíïìÜæïíôáé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ Á

Ôá óçìåßá ðïõ âñßóêïíôáé ðÜíù óôïí Üîïíá x´x Ý÷ïõí

ôåôáãìÝíç 0. ÄçëáäÞ åßíáé ôçò ìïñöÞò (á, 0). Ôá óçìåßá

ðïõ âñßóêïíôáé óôïí Üîïíá y’y Ý÷ïõí ôåôìçìÝíç 0.

ÄçëáäÞ åßíáé ôçò ìïñöÞò (0, â).

Ôá ðñüóçìá ôùí óõíôåôáãìÝíùí óå êÜèå Ýíá ôåôáñôç-

ìüñéï öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá áñéóôåñÜ.

Êáñôåóéáíü

óýóôçìá

ÓõíôåôáãìÝíåò

óçìåßïõ

Page 116: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò 123

H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

÷ 0 5 15 0

y 15 5 0 á2-10

3

2

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá åëÝãîåôå áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï ( ) ( )3f x x 1 4= − + ,

äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Á(1,0) êáé Â(2,5).

Ëýóç

Ãéá íá ðåñíÜåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðü ôá

óçìåßá Á êáé  ðñÝðåé ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõò íá

åðáëçèåýïõí ôïí ôýðï ôçò f äçë. íá äçìéïõñ-

ãïýí éóüôçôá áëçèÞ.

Åßíáé ( ) ( )3f x x 1 4= − + êáé Á(1,0) , Â(2,5).

Ãéá x 1= åßíáé ( ) ( )3f 1 1 1 4 4 0= − + = ≠ . ¢ñá ç

fC äåí äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(1,0).

Ãéá x 2= åßíáé

( ) ( )3 3f 2 2 1 4 1 4 1 4 5= − + = + = + = .

¢ñá ç fC äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Â(2,5).

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )

3x 1 , x 1

4f x , 1 x 0

x

7 , x 0

− + < −

= − ≤ <

Íá õðïëïãßóåôå ôá f(-5), f(-1), f(0), f(7).

Ëýóç

• Ãéá x 1< − ç Ýêöñáóç ôïõ ôýðïõ ôçò f åßíáé

( )1f x 3x 1= − + , ïðüôå

( ) ( ) ( ) ( )1

f 5 f 5 3 5 1 15 1 16− = − = − ⋅ − + = + =

• Ãéá 1 x 0− ≤ < ç Ýêöñáóç ôçò f åßíáé ( )2

4f x

x=

ïðüôå ( ) ( )2

4f 1 f 1 4

1− = − = = −

−.

• Ãéá x 0≥ ç Ýêöñáóç ôçò f åßíáé ( )3f x 7= ïðüôå

( ) ( )3

f 0 f 0 7= = êáé ( ) ( )3

f 7 f 7 7= = .

Âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ *

α+

∈� þóôå ï ðá-

ñáêÜôù ðßíáêáò ôéìþí íá ðñïÝñ÷åôáé áðü óõ-

íÜñôçóç

Ëýóç

Åßíáé ( )f 0 15= êáé ( ) 2f 0 α 10= − .

ÐñÝðåé

( ) ( )2 2α 10 15 α 25 0 α 5 α 5 0− = ⇔ − = ⇔ − ⋅ + =

α 5 0

ή α 5 ή α 5

α 5 0

− =

⇔ ⇔ = = − + =

ÅðåéäÞ *α+

∈� åßíáé α 5= .

B4

Á3

Á4

Á5

Á5

Á3

Ã1. Äßíåôáé óõíÜñôçóç f, ìå ( )f x 3x 1= + . Íá

âñåèïýí:

á. ( )f x 1− â. ( )f 2x 1+ ã. ( )2f 1 x−

Ã2. Íá ãñÜøåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò á-

ðüëõôçò ôéìÞò ôïõò ôýðïõò ôùí óõíáñ-

ôÞóåùí:

i. ( )f x 1 x x 1= − + −

ii. ( )f x 2x 1 3x 1= − + − (âë. áóê Á6.2)

iii. ( )f x x 2 1 x 3 x 1= − − − + − −

(âë. áóê B3.5)

Ã3. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç y 5x 2= − + , üðïõ

ôï x ðáßñíåé ôéò ôéìÝò -3, -1, 0, 2, 4.

Íá ãñáöôåß ï ðßíáêáò ôéìþí ôçò óõ-

íÜñôçóçò y.

Page 117: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1124

Ã4. Ç âÜóç åíüò ôñéãþíïõ ΑΒΓ å ßíáé

BΓ 12cm= êáé ôï ýøïò ôïõ Α∆ x= .

Íá åêöñáóôåß ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ

ùò óõíÜñôçóç ôïõ x êáé íá âñåèåß ç ôéìÞ

ôïõ åìâáäïý ãéá x 8= êáé x 10= .

Ã5. Ï ðáñáêÜôù ðßíáêáò åßíáé ï ðßíáêáò ôé-

ìþí ôçò óõíÜñôçóçò y κx λ= + . Íá

âñåèïýí ôá ê êáé ë.

÷ -2 -1 0 1 2

y -13 -10 -7 -4 -1

Ã6. Áí ( ) ( )f x α 1 x β= + + êáé

( ) ( ) 2 2f x 1 f 1 x α β 4+ + − ≥ + +

ãéá êÜèå x R∈ íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí

á,â.

Ã7. Áí ( )x , x 2

f x1 x , x 2

≤=

− >,

á. Íá âñåßôå ôá

( ) ( ) ( ) ( )f 2 , f 0 , f 1 , f 2 ,− ( ) ( )f 3 , f π

â. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç ( )f x 2= − .

ÌåëÝôç óõíÜñôçóçò

Ãéá ôç óôïé÷åéþäç ìåëÝôç ìéaò óõíÜñôçóçò áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá:

1. Ðåäßï ïñéóìïý, Áf

2. Ðåñéïäéêüôçôá

3. Óõììåôñßåò : Üñôéá - ðåñéôôÞ

4. Óýíïëï ôéìþí, f(A)

5. Ìïíïôïíßá

6. 1-1

7. Áêñüôáôá

8. Ðïý ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

ôá ïðïßá áíáðôýóïíôáé áíáëõôéêÜ óôéò åðüìåíåò åíüôçôåò Ã1 - Ã10.

Page 118: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìåëÝôç óõíÜñôçóçò 125

ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ

Ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò ïíïìÜæåôáé ôï óýíïëï - õðïóýíïëï ôùí

ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ Ý÷åé ãéá óôïé÷åßá ôïõ ôéò ôéìÝò ðïõ åðéôñÝðåôáé íá

ðÜñåé ç ìåôáâëçôÞ x þóôå ç ìåôáâëçôÞ ( )y f x= íá åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò.

ÓõíÞèùò ôï óõìâïëßæïõìå f

A .

ÁíÜëïãá ëïéðüí ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò åðéâÜëëïõìå êáé ôïõò áíôßóôïé÷ïõò

ðåñéïñéóìïýò þóôå ( )f x R∈ êáé ðñïóäéïñßæïõìå êáô’áõôüí ôïí ôñüðï ôï

ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò.

Ãéá íá åßíáé “êáëþò ïñéóìÝíç” ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé áðáñáßôçôï íá

ãíùñßæïõìå ôñßá óôïé÷åßá:

• Áðü ðïéï óýíïëï “îåêéíÜåé” ç äéáäéêáóßá (ðåäßï ïñéóìïý)

• Ôïí “áêñéâÞ ìç÷áíéóìü” ôçò äéáäéêáóßáò (ôýðï ôçò f)

• Óå ðïéï óýíïëï “êáôáëÞãåé” (ðåäßï Þ óýíïëï ôéìþí)

¼ìùò, ðïëëÝò öïñÝò äßíåôáé ï ôýðïò ìéáò óõíÜñôçóçò ÷ùñßò íá äßíåôáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ åííïåßôáé üôé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò åßíáé ôï åõñýôåñï õðïóýíï-

ëï ôïõ R ãéá ôï ïðïßï ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý.

ÄçëáäÞ, ôï ðåäßï ïñéóìïý Á, áðïôåëåßôáé áðü åêåßíá ôá x R∈ , ãéá ôá ïðïßá ôï f (x) áíÞêåé åðßóçò

óôï R.

ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå: ( )A {x R :για ταοποία y f x R}= ∈ = ∈

Óôç óõíÝ÷åéá ðïëëÝò öïñÝò èá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí ü÷é êáé ôüóï áêñéâÞ Ýêöñáóç ç óõíÜñôçóç:

( )2

2xy = f x =

x + 3x - 4

áíôß ôçò áêñéâïýò ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )2

2xy = f x =

x + 3x - 4

Ðåäßï

Ïñéóìïý

Ðåäßï ÏñéóìïýÃ.1

Page 119: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1126

Åýñåóç ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý

ÁíáöÝñáìå üôé, ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò ( )y f x= áðïôåëåßôáé áðü åêåßíïõò

ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò x ãéá ôïõò ïðïßïõò ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá

ðñáãìáôéêïý áñéèìïý. ÅðïìÝíùò, ãéá ôçí åýñåóç ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò

åðéâÜëëïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôï x, þóôå ôï f(x) íá Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý.

¸ôóé, áí:

• ( ) ν ν 1

ν ν 1 1 0f x α x α x ... α x α−

−= + + + + , üðïõ

0 1 να ,α , ... ,α R∈ êáé ν Ν∈ , ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f

åßíáé ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí äçë. ôï R.

• ( )( )

αf x ,α R,

Π x= ∈ üðïõ ( )Π x ðïëõþíõìï ôïõ x, ðñÝðåé ( )Π x 0≠ , ïðüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý

ôçò f åßíáé ôï ( ){ }A x R εκτόςαπό τιςρίζες τουΠ x= ∈

• ( ) ( )νf x Π x= , üðïõ ( )Π x ðáñÜóôáóç ôïõ x, ν Ν, ν 2∈ ≥ ðñÝðåé ( ) ( )Π x 0, Π x R≥ ∈

ïðüôå ( ){ }A x R :για ταοποία Π x 0= ∈ ≥

• ( ) ( )f x lnΠ x ,= üðïõ ( )Π x ðáñÜóôáóç ôïõ x ðñÝðåé ( ) ( )Π x 0, Π x R> ∈

ïðüôå ( ){ }A x R :για ταοποία Π x 0= ∈ >

• ( ) ( )α

f x log φ x= , ðñÝðåé: ( )φ x 0 και 0 α 1> < ≠ ïðüôå ( ){ }A x R :φ x 0= ∈ >

• ( )( )

( )g x

f x log φ x ,= ðñÝðåé: ( ) ( )φ x 0,0 g x 1> < ≠

ïðüôå ( ) ( ){ }A x R :φ x 0και 0 g x 1= ∈ > < ≠

• ( ) ( )φ xf x α ,= ðñÝðåé: ( )φ x R,0 α 1∈ < ≠ ïðüôå ( ){ }Α x R :φ x R= ∈ ∈

• ( ) ( )( )( )g x

f x φ x ,= ðñÝðåé: ( ) ( )φ x 0 και g x R> ∈

ïðüôå ( ) ( ){ }A x R :φ x 0και g x R= ∈ > ∈

• ( )f x ηµx, A R= =

• ( )f x συνx, A R= =

• ( ) { }πf x εφx, A x R : x kπ , k Z

2= = ∈ ≠ + ∈

Page 120: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìåëÝôç óõíÜñôçóçò 127

ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ

5

4

3

2

• ( ) { }f x σφx, A x R : x kπ, k Z= = ∈ ≠ ∈

• ( ) ( )( ) ( ){ }f x ηµ g x , A x R : g x R= = ∈ ∈

• ( ) ( )( ) ( ){ }f x συν g x , A x R : g x R= = ∈ ∈

• ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }πf x εφ g x , A x R : g x R,g x kπ ,k Z

2= = ∈ ∈ ≠ + ∈

• ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }f x σφ g x , A x R : g x R,g x kπ,k Z= = ∈ ∈ ≠ ∈

Ðñïóï÷Þ! Áí ï ôýðïò ðïõ äßíåôáé åßíáé ôÝôïéïò ðïõ ðñÝðåé íá èÝóïõìå ðåñéóóüôåñïõò áðü Ýíáí

ðåñéïñéóìïýò, ôüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ðñïêýðôåé áðü ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò óõíáëçèåýïõí

üëïé ïé ðåñéïñéóìïß ðïõ èÝôïõìå.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò ìå ôýðï: ( )f x 2 x= −

Ëýóç

Ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áí

êáé ìüíïí áí : 2 x 0 x 2− ≥ ⇔ ≤ .

¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá

( , 2]−∞ .

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò ìå ôýðï: ( )2

4 xf x

lnx

−=

Ëýóç

Ãéá íá Ý÷åé íüçìá ï ôýðïò ðïõ äüèçêå, ðñÝðåé íá

éó÷ýïõí óõã÷ñüíùò:

24 x 0− ≥ , ln x 0≠ êáé x 0>

Åßíáé

2 24 x 0 x 4 x 2 2 x 2− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤

ln x 0 ln x ln1 x 1≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Áðü ôç óõíáëÞèåõóç ôùí ðáñáðÜíù ðáßñíïõìå:

0 x 1< < Þ 1 x 2< ≤ . ¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò

óõíÜñôçóçò åßíáé ôï ( )A 0,1 (1, 2]= ∪ .

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï: ( )f x ηµ 2 x= −

Ëýóç

ÐñÝðåé: 2 x 0 x 2 2 x 2− ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤

¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá

A [ 2,2]= − .

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï: ( )2 x

f xx 1 1

−=

− −

Ëýóç

ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí óõã÷ñüíùò :

2 x 0− ≥ êáé x 1 1 0 x 2− − ≠ ⇔ ≤ êáé

x 1 1 x 2− ≠ ± ⇔ ≤ êáé x 2, x 0≠ ≠ .

¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:

( ) ( )A ,0 0,2= −∞ ∪ .

Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï: ( )x 1

f x2 x

−=

B2

B3B4

B11

B8

A7

B2

Page 121: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1128

9

8

7

6

Ëýóç

ÐñÝðåé: 2 x 0− ≠ êáé

( )( )x 1

0 x 1 2 x 0, 2 x 02 x

−≥ ⇔ − − ≥ − ≠

1 x 2,⇔ ≤ < Üñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï

äéÜóôçìá A [1,2)= .

Áí ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï

äéÜóôçìá [ 7, 5]− − ôüôå íá ðñïóäéïñßóåôå ôï

ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò g ìå ôýðï:

( ) ( )g x f 6 2συνx= − + .

Ëýóç

ÐñÝðåé:

( )

7 6 2συνx 5 1 2συνx 1

1 1συνx 1

2 2

− ≤ − + ≤ − ⇔ − ≤ ≤ ⇔

⇔ − ≤ ≤

Óôï [0,2π] ç (1) áëçèåýåé ãéá π 2π

x3 3≤ ≤ êáé

4π 5πx

3 3≤ ≤ êáé ãåíéêÜ ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g

åßíáé ç Ýíùóç üëùí ôùí äéáóôçìÜôùí ôçò ìïñ-

öÞò: π 2π

kπ ,kπ ,3 3

+ +

üðïõ k Ζ∈ .

Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõ-

íáñôÞóåùí:

i. ( )f x 3 συνx= − ii. ( )g x 2ηµx 3= −

Ëýóç

i. ÐñÝðåé 3 συνx 0− ≥ , ðïõ éó÷ýåé ãéá êÜèå

x R∈ ,áöïý 1 συνx 1− ≤ ≤ , Üñá fA R= .

ii. ÐñÝðåé ( )3

2ηµx 3 0 ηµx 12

− ≥ ⇔ ≥

Ìå x [0,2π]∈ , Ý÷ïõìå:

3 π π 2πηµx ηµ x ή x

2 3 3 3

2π= = = ηµ ⇔ = =

3

ÅðïìÝíùò ìå x [0,2π]∈ ç ëýóç ôçò (1) åßíáé

π 2πx

3 3≤ ≤ êáé ãåíéêÜ ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò

g åßíáé ç Ýíùóç üëùí ôùí äéáóôçìÜôùí ôçò

ìïñöÞò: π 2π

2kπ ,2kπ , όπου k Z3 3

+ + ∈

.

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõ-

íáñôÞóåùí:

i) ( ) ( )2 x

f x log 4 x−

= − ii) ( ) ( )xf x log 1 e= − .

Ëýóç

i. Ï ôýðïò Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý, üôáí:

{ }

{ } { }

4 x 0και2 x 0και2 x 1

x 4,x 2,x 1 4 x 4,x 2,x 1

− > − > − ≠ ⇔

⇔ < < ≠ ⇔ − < < < ≠

ÅðïìÝíùò ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý:

( ) ( )A 4,1 1, 2= − ∪ .

ii. ÐñÝðåé x x x 01 e 0 e 1 e e x 1− > ⇔ < ⇔ < ⇔ < .

ÅðïìÝíùò, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜ-

óôçìá ( )A ,1= −∞ .

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ R∈ þóôå

ç óõíÜñôçóç ìå ôýðï: ( ) ( )2f x ln λx x λ= + +

íá Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.

Ëýóç

Ãéá íá Ý÷åé ç óõíÜñôçóç f ðåäßï ïñéóìïý ôï R

ðñÝðåé:

2λx x λ 0,+ + > ãéá êÜèå x R∈ êáé áõôü óõì-

âáßíåé ìüíïí üôáí:

λ 0> êáé 2∆ 1 4λ 0= − <

B3

B11

B4

B11

A7

B9

B9

Page 122: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìåëÝôç óõíÜñôçóçò 129

ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ

Ã8. Íá âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí ðáñáêÜ-

ôù óõíáñôÞóåùí:

i. ( )( )

22x x 1

f xx 1 x x 2

+= +

+ − (âë. áóê. A5.1)

ii. ( )2x 1

f x5 x 1 2x

+=

+ − − (âë. áóê. Â3.2)

iii. ( )f x 6 x 2= − −

iv. ( ) ( )f x ln 3 x 1= − −

v. ( )f x 4x 1 x 3= + − − (âë. áóê. Â3.8)

vi. ( )x 1

f x ln 1x 2

− = −

vii. ( )2

f xx 3 4

=

− −

Ã9. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ïé óõíáñôÞóåéò Ý÷ïõí

ðåäßï ïñéóìïý ôçò ìïñöÞò { }R ρ− , üðïõ

ρ R∈ .

( ) ( )2f x λx λ 1 x 2λ 2= − − + −

( ) ( ) ( )22g x x 2 λ 1 x λ 1= − − + −

Ã10. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ç óõíÜñôçóç f ìå

á. ( )( )

2

2

x 4f x

λ 2 x 2λx 3λ

+=

− − + − Ý÷åé ðå-

äßï ïñéóìïý ôï R.

22

λ 0 λ 0 λ 0 λ 01

και και και και λ2

1 1 1 11 4λ 0λ λ λ ή λ

4 2 2 2

> > > >

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >

− < > > < − >

¢ñá ãéá êÜèå 1

λ2

> ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.

â. ¼ìïéá ãéá ôçí

( )( )2

1g x

λx λ 3 x λ=

+ − +

Ã11. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:

( )4 2

1f x

x 5x 4=

− +

Ã12. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:

( )2x 2008

f x5 x x 1

+=

− − −

Ã13. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:

( )( )( )

( )( )

23 x x 7x 10

f xx 1 x 4

− − +=

+ −

(âë. áóê. Â8.4)

Ã14. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:

( )( )

3 2

2

x 4x 5xf x

ln 9 x

− −=

Ã15. Íá âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí ðáñáêÜ-

ôù óõíáñôÞóåùí:

1. ( )2

2

x 9f x

3x x

−=

2. ( )2

2f x 1

2x 1= +

+

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A4

A5

A7

A10

B3

Â4

B7

B11

Page 123: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1130

3. ( )2 7

f x3x x 2

= +

4. ( )x 1

f xx 2

−=

−5. ( )

x 1f x

x 2

−=

+

6. ( ) 2f x 3 4 x= + − 7. ( )

2f x x 1

x= − +

8. ( )x 2

f xx x

+=

+

9. ( )x 1

f xx 2

−=

+

10. ( )2

x 1f x

x x 2

=

+ −

11. ( )x

f x x xx 1

= − ++

12. ( )f x 2 x 1= − −

13. ( )2

2

x x 1g x

x x 12

− +=

+ −

14. ( )x

f x x 2x 1

= − ++

15. ( )f x 5 2 x 2= + + −

16. ( )f x x x= − 17. ( )3x 1

f xx x

−=

+

18. ( )2x 4

f xx 10

+=

−19. ( )

2

x3x 1f x4

2x 1

−−

=

−−

20. ( ) 3 2 2f x x 4x 3 x 4x 5= − + − − + +

21. ( )( )

2 x 2f x

x 3 x 4

−=

− −

22. ( )( )

2x 2 2 x 2f x

x 10 x 3 x 4

+ −= −

− − −

23. ( ) 2x x 1f x 3 28 3 3−= − ⋅ + (âë. áóê. Â129)

24. ( ) ( )2

5xf x og 2x x 1= + +�

25. ( )1 x

g x n2 x

−=

+�

26. ( ) ( )3

x 4f x og2x 1 += −� (âë. áóê. Â.134)

27. ( )x

nx 1g x

nx 1

− = +

� (âë. áóê. Â.134)

28. ( ) ( )2f x og 3x 2x= −� (âë. áóê. Â.137)

Ã16. Áí ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï [ ]3,7− ,

íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g, üôáí:

(i) ( ) ( )g x f 1 2 x= −

(ii) ( ) ( ) ( )g x f x f x 1= + +

A4

A5

A7

A10

B3

Â4

B7

Â10

B11

Page 124: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ðåñéïäéêüôçôá 131

ÐÅÑÉÏÄÉÊÏÔÇÔÁ

ÐåñéïäéêüôçôáÃ.2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï (áí Ý÷ïõí) ôùí

óõíáñôÞóåùí f, g, h, t ìå ôýðïõò

i. ( )f x = ηµx iii. ( )h x εφx=

ii. ( )g x συνx= iv. ( )t x σφx=

Ëýóç

i. Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôï R.

ÅðåéäÞ

( ) ( )ηµ x 2π ηµ x 2π ηµx+ = − =

ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï ( )f x ηµx= åßíáé ðåñéï-

äéêÞ ìå ðåñßïäï T 2π= .

ii. Ç óõíÜñôçóç g ùò ãíùóôüí ïñßæåôáé óôï R åðåéäÞ

( ) ( )συν x 2π συν x 2π συνx+ = − =

ç óõíÜñôçóç g ìå ôýðï ( )g x συνx= åßíáé ðå-

ñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ 2π= .

iii. Ç óõíÜñôçóç h ïñßæåôáé óôï óýíïëï

{ }1R x \ συνx 0= ≠

ÅðåéäÞ ãéá êÜèå 1

x R∈ éó÷ýåé

( ) ( )εφ x π εφ x π εφx+ = − =

ç óõíÜñôçóç h ìå ( ) ( )h x εφ x= åßíáé ðåñéïäéêÞ

ìå ðåñßïäï T π= .

iv. Ç óõíÜñôçóç t ïñßæåôáé óôï óýíïëï

{ }2R x \ ηµx 0= ≠ .

ÅðåéäÞ ãéá êÜèå 2

x R∈ éó÷ýåé

( ) ( )σφ x π σφ x π σφx+ = − =

ç óõíÜñôçóç t ìå ( )t x σφx= åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå

ðåñßïäï T π= .

ÐåñéïäéêÞ

óõíÜñôçóç

Á8

Â9

Ìéá óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï Á ôçí ïíïìÜæïõìå ðåñéïäéêÞ, üôáí õðÜñ÷åé

ðñáãìáôéêüò áñéèìüò T 0> ôÝôïéïò, þóôå ãéá êÜèå x A∈ íá éó÷ýåé:

i. ( ) ( )x T A, x T A+ ∈ − ∈

ii. ( ) ( ) ( )f x T f x T f x+ = − =

Ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü Ô ôïí ïíïìÜæïõìå ðåñßïäï ôçò óõíÜñôçóçò f.

Ó÷üëéï:

Ç ðåñßïäïò Ô ìéáò óõíÜñôçóçò åêöñÜæåé “Ýíá ìÞêïò äéáóôÞìáôïò” ðÜíù óôïí Üîïíá x 'x óôï ïðïßï

äéÜóôçìá ç óõíÜñôçóç “åêäçëþíåé ôçí óõìðåñéöïñÜ ôçò” êáé óôá õðüëïéðá áðëþò åðáíáëáìâÜíåôáé.

Page 125: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 2132

2 Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï (áí Ý÷ïõí) ôùí

óõíáñôÞóåùí f, g ìå ôýðïõò

i. ( ) ( )f x ηµ ωx , ω 0= >

ii. ( ) ( )g x συν ωx=

Ëýóç

i. Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôï R.

ÅðåéäÞ

( )2π 2πf x ηµ ω x ηµ ωx 2π

ω ω

+ = + = + =

( ) ( )ηµ ωx f x= = , ãéá êÜèå x R∈ êáé

2π 2πf x ηµ ω x

ω ω

− = − =

( ) ( ) ( )ηµ ωx 2π ηµ ωx f x= − = = , ãéá êÜèå x R∈

ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π

= .

ii. Ìå ôïí ßäéï áêñéâþò ôñüðï äéáðéóôþíïõìå üôé ç

óõíÜñôçóç g ìå ôýðï ( ) ( )g x συν ωx= åßíáé

ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π

= .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã17. Íá åëÝãîåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:

( ) 2f x x 5x 6= − + êáé ( )g x 1 3x= −

åßíáé ðåñéïäéêÝò.

Ã18. Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï ôùí óõíáñôÞóåùí:

(i) ( ) 2f x ηµ x= êáé ( )

2

g(x) = x xηµ ⋅συν

Ã19. Ç ðåñßïäïò ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï:

( )x x

f x 2ηµ συν2 3

= +

åßíáé:

A. 2ð Â. 3ð Ã. 3ð Ä. 12ð

Ã20. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý

ôï R êáé ( ) ( ) ( ) ( )f x 1 f x 1 2f x 1− + + =

ãéá êÜèå x R∈ . Äåßîôå üôé Ô=8.

Ã21. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå:

( )( )

( )

1 f xf x 1

1 f x

++ =

−, x R∈ , ( )f x 1≠

Äåßîôå üôé:

i. ( )f x 0≠ , ãéá êÜèå x R∈

ii. Ç f Ý÷åé ðåñßïäï T 4= .

Ã22. ¸óôù óõíÜñôçóç f ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé

( ) ( ) ( )f x f x 1 f x 2 0+ + + + =

ãéá êÜèå ÷ óôï R .

Ná áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé ðåñéïäéêÞ.

Ã23. Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( ) ( )f x συν 2x=

åßíáé ðåñéïäéêÞ.

Ã24. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ( )f x 3≠ ãéá ôçí

ïðïßá éó÷ýå é ( )( )

( )

f x 5f x ω

f x 3

−+ =

− ãéá

êÜèå x 0≥ êáé ω 0> . Íá äåßîåôå üôé åß-

íáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Ô = 4ù.

Ã25. Íá åëÝãîåôå áí åßíáé ðåñéïäéêÝò ïé óõíáñ-

ôÞóåéò f êáé g ìå ôýðïõò:

( ) 2f x ηµ x= êáé ( ) 2

g x ηµx=

Á8

Â9

Á8

Â9

Page 126: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ) 133

ÓÕÌÌÅÔÑÉÅÓ (Üñôéá - ðåñéôôÞ)

Óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ)Ã.3

Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ó÷åäéÜóáìå ôç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò ãéá ôçí ïðïßá éó-

÷ýåé: ( ) ( )f x f x− = − ãéá êÜèå f

x A∈

¢ñôéá

ðåñéôôÞ

óõíÜñôçóç

Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ó÷åäéÜóáìå ôç ãñáöé-

êÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f, ãéá ôçí

ïðïßá éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ãéá êÜèå f

x A∈

• áí x A∈ , ôüôå êáé x A− ∈

• ( ) ( )f x f x− = , ãéá êÜèå x A∈

• áí x A∈ , ôüôå êáé x A− ∈

• ( ) ( )f x f x− = − , ãéá êÜèå x A∈

i. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á

ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýïõí:

Ôç óõíÜñôçóç f ôçí ïíïìÜæïõìå

Üñôéá óõíÜñôçóç

ii. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á

ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýïõí:

Ôç óõíÜñôçóç f ôçí ïíïìÜæïõìå ðåñéôôÞ óõíÜñôçóç.

Ó÷üëéá

i. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò f ðñÝðåé íá åßíáé “óõììåôñéêü ” äéÜóôçìá ãéá íá åëÝãîïõìå óõììåôñßåò.

ð.÷.

{ }f

A R 1= −f

A ü÷é êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý

{ }fA R 1, 1= − −

fA êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý

fA R*=

fA êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý

ii. Áí f

x 0 A= ∈ êáé f ðåñéôôÞ ôüôå ( )f 0 0= , äéüôé :

( ) ( )f x f x− = − ãéá êÜèå f

x A∈ êáé ãéá x 0= Ý÷ïõìå

( ) ( ) ( ) ( )f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0− = ⇔ = ⇔ =

Page 127: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 3134

ð.÷

i. Ôï óõììåôñéêü ôïõ óçìåßïõ Á(1, 3) ùò ðñïò ôïí Üîïíá x’x èá Ý÷åé

ôçí ßäéá ôåôìçìÝíç êáé áíôßèåôç ôåôáãìÝíç ìå ôï Á. Ïðüôå èá åßíáé

ôï óçìåßï Á1 (1, -3).

ii. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôïí Üîïíá y’y èá Ý÷åé ôçí ßäéá ôåôáã-

ìÝíç áíôßèåôç ôåôìçìÝíç ìå ôï Á. Ïðüôå åßíáé ôï óçìåßï

Á2 (-1, 3).

iii. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí èá Ý÷åé áíôß-

èåôåò óõíôåôáãìÝíåò ìå ôï Á. ÄçëáäÞ Á3 (-1, -3).

iv. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôçí äé÷ïôüìï ôçò ãùíßáò yOx èá

Ý÷åé ôåôìçìÝíç ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ Á êáé ôåôáãìÝíç ôçí ôåôìçìÝíç

ôïõ Á. ÄçëáäÞ Á4 (3, 1).

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´) åßíáé óõììå-

ôñéêÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá x´x , áí êáé ìüíïí

áí Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôåôìçìÝíç êáé áíôßèåôç ôå-

ôáãìÝíç.

ÄçëáäÞ á = á´ êáé â´ = –â

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´)åßíáé óõììåôñé-

êÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá y´y, áí êáé ìüíïí áí

Ý÷ïõí áíôßèåôç ôåôìçìÝíç êáé ßäéá ôåôáãìÝíç.

ÄçëáäÞ á´ = –á êáé â´ = â

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´)åßíáé óõììå-

ôñéêÜ ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí, áí

êáé ìüíïí áí Ý÷ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìÝ-

íåò.

ÄçëáäÞ: á´ = –á êáé â´ = –â

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´) åßíáé óõììå-

ôñéêÜ ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï ôçò 1çò êáé 3çò

ãùíßáò, áí êáé ìüíïí áí ç ôåôìçìÝíç ôïõ åíüò

éóïýôáé ìå ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ Üëëïõ êáé áíôß-

óôñïöá.

ÄçëáäÞ á´ = â êáé â´ = á.

Page 128: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ) 135

ÓÕÌÌÅÔÑÉÅÓ (Üñôéá - ðåñéôôÞ)

4

3

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá ôéìþí

ôçò f áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ.

Ëýóç

ÅðåéäÞ ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ éó÷ýåé

( ) ( )f x f x− = − ãéá êÜèå f

x A∈ .

Åßíáé ( )f 2 9− = − ïðüôå

( ) ( ) ( )f 2 f 2 9 9= − − = − − =

( )f 1 5= ïðüôå ( ) ( )f 1 f 1 5− = − = −

( )f 0 0= (ÂëÝðå ó÷üëéï ii. óåë.178)

¢ñá Ý÷ïõìå

Íá åîåôÜóåôå ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù

óõíáñôÞóåéò åßíáé Üñôéåò êáé ðïéåò ðåñéôôÝò.

i. ( ) 3f x x x= − iii. ( )h x x 1 x 1= − + +

ii. ( ) 2g x 9 x= − iv. ( )

2

x 1t x

x 4

−=

Ëýóç

i. Åßíáé fA R= êáé

( ) ( ) ( )3 3f x x x x x f x− = − − − = = −

¢ñá ç f åßíáé ðåñéôôÞ.

ii. Åßíáé [ ]gA 3, 3= − êáé

( ) ( ) ( )2 2g x 9 x 9 x g x− = − − = − =

¢ñá ç g åßíáé Üñôéá.

iii. Åßíáé h

A R= êáé

( )

( ) ( )

( )

h x x 1 x 1

x 1 x 1

x 1 x 1 h x

− = − − + − + =

− + + − − =

+ + − =

¢ñá ç h åßíáé Üñôéá.

iv. Åßíáé [ ) ( )tA 1, 2 2,= ∪ +∞ êáé åðåéäÞ üôáí

tx A∈ ôï

tx A− ∈ .

Ôï ðåäßï ïñéóìïý äåí åßíáé êáôÜëëçëï.

ÅðïìÝíùò ç óõíÜñôçóç t äåí ìðïñåß íá ðáñïõ-

óéÜæåé óõììåôñßá.

¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )

3x 3 , x 02

f x 4 , x 0

3x 3 , x 02

− − <

= =

− >

Íá åîåôÜóåôå áí ç f åßíáé Üñôéá Þ ðåñéôôÞ.

Ëýóç

Åßíáé fA R=

Ãéá x 0< åßíáé x 0− > ïðüôå ( ) 3f x x 3

2= − − êáé

( ) ( )3 3f x x 3 x 3

2 2− = − − = − −

Éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ãéá x 0<

Ãéá x 0> åßíáé x 0− <

( ) 3f x x 3

2= − êáé ( ) ( )3 3

f x x 3 x 32 2

− = − − − = −

Éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ãéá x 0>

Ãéá x 0= åßíáé ( )

( ) ( )

f 0 4

f 0 f 0 4

=

− = =

¢ñá ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ïðüôå ç

f åßíáé Üñôéá.

Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï

R åßíáé óõã÷ñüíùò Üñôéá êáé ðåñéôôÞ íá äåßîåôå

üôé f(x) = 0

Á6

Á7

Â3

Â4

Page 129: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 3136

Ëýóç

Áöïý f Üñôéá èá éó÷ýåé:

f ( x) f (x)− = ãéá êÜèå x R∈ . (1)

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã26. Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé Üñôéåò Þ ðåñéôôÝò

ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò:

á. ( ) 2f x 3x 2 x= −

â. ( )f x 1 x x 1= − + +

ã. ( )3

1f x 2x

x= −

ä. ( ) 2f x x x= +

å. ( ) 2f x 3 x 2x 2= + −

æ. ( )3

1f x 2x

x= −

ç. ( )( ) ( )

3 2x 2x

f xx 1 x 1

+=

+ ⋅ −

è. ( )2x 1 , x 3

f x2x 1 , x 3

+ ≥=

− − ≤ −

é. ( ) 5f x 2x x= −

óô. ( )2

x 1f x

3 x 1

−=

+ +

Ã27. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f : R R→ êáé

ôéò óõíáñôÞóåéò g : R R→ êáé h : R R→

ìå ( )( ) ( )f x f x

g x2

+ −= êáé

( )( ) ( )f x f x

h x2

− == .

Íá äåßîåôå üôé:

á. Ç g åßíáé Üñôéá. â. Ç h åßíáé ðåñéôôÞ.

ã. ÊÜèå óõíÜñôçóç ãñÜöåôáé ùò Üèñïé-

óìá ìéáò Üñôéáò êáé ìéáò ðåñéôôÞò óõ-

íÜñôçóçò.

Ã28. Ãéá ôç óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï

R éó÷ýåé üôé ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ãéá

êÜèå x, y R∈ . Íá äåßîåôå üôé:

á. ( )f 0 0= â. ç f åßíáé ðåñéôôÞ.

Ã29. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

( )2

2

x 1 x 1f x

x 1 x 1

+ + −=

+ + +.

á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

â. Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé ðåñéôôÞ.

Ã30. Óôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá õðÜñ÷åé óõíÜñôçóç Üñôéá Þ ðåñéôôÞ;

A4

A5

A6

A7

B7

B8

Åðßóçò f ðåñéôôÞ ïðüôå:

f ( x) f (x)− = − ãéá êÜèå x R∈ . (2)

Áðü (1), (2) Ý÷ïõìå:

f (x) f (x) 2f (x) 0 f (x) 0= − ⇔ = ⇔ =

Page 130: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

óýíïëï ôéìþí 137

ÓÕÍÏËÏ ÔÉÌÙÍ

Óýíïëï ôéìþíÃ.4

Óýíïëï

ôéìþí

óõíÜñôçóçò

Åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí

Ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ôï ðåäßï ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò f, ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ( )y f x= ùò ðñïò

x (áí ëýíåôáé) êáé áðáéôïýìå ç ëýóç áõôÞ íá áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. (Áí Ý÷åé ðåñéóóüôåñåò

áðü ìßá ëýóåéò áðáéôïýìå ìßá ôïõëÜ÷éóôïí áð’ áõôÝò íá áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò Á). Ç áðáßôçóç

( )x D f∈ ìáò ïäçãåß óå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôï y áðü ôïõò ïðïßïõò ðñïêýðôåé ôï óýíïëï ôéìþí.

ÐáñáôçñÞóåéò

• Áõôüò äåí åßíáé ï ìïíáäéêüò ôñüðïò ãéá ôçí åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí ïýôå êáé ðëÞñçò. Ó’åðüìåíá

ìáèÞìáôá èá ðñïóäéïñßóïõìå ôï óýíïëï ôéìþí ìå ÷ñÞóç ôçò ìïíïôïíßáò êáé ôçò óõíÝ÷åéáò ôçò óõíÜñôçóçò.

• Ôï óýíïëï ôéìþí ìå ôç âïÞèåéá ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò (fC ) åìöáíßæåôáé óáí ôï óýíïëï ôùí

ðñïâïëþí ôùí óçìåßùí ôçò fC ðÜíù óôïí Üîïíá y’y.

Áí åßíáé ãíùóôÞ ëïéðüí ç fC ìéáò óõíÜñôçóçò ôï óýíïëï ôéìþí ôçò âñßóêåôáé “ðñïâÜëëïíôáò” ôçí

êáìðýëç ðÜíù óôïí Üîïíá y 'y üðùò öáßíåôáé óôï åðüìåíï ó÷Þìá.

( ) [ ]f A 3, 12= −

ÃåíéêÜ ç åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò äåí åßíáé åýêïëï ðñüâëçìá. ÕðÜñ÷ïõí üìùò

ìåñéêÝò êáôçãïñßåò óõíáñôÞóåùí ðïõ áõôü äåí ðáñïõóéÜæåé éäéáßôåñåò äõóêïëßåò êáé ãßíåôáé ìå ôçí

âïÞèåéá ôùí ìÝ÷ñé ôþñá ãíþóåùí ìáò. Áíôéìåôþðéóç ðëÞñç ôïõ èÝìáôïò èá Ý÷ïõìå ìå ôç âïÞèåéá

ðïõ ìáò ðáñÝ÷åé ç ðáñÜãùãïò óõíÜñôçóçò.

Ôï óýíïëï ðïõ Ý÷åé ãéá óôïé÷åßá ôïõ ôéò áíôßóôïé÷åò ôéìÝò ôçò f ãéá üëá ôá

x A∈ , ëÝãåôáé ðåäßï Þ óýíïëï ôéìþí ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå ( )f A .

ÅðïìÝíùò, ôï ( )f A áðáñôßæåôáé áðü ôá óôïé÷åßá y ôïõ R, ãéá ôá ïðïßá õðÜñ÷åé

Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí x A∈ , äçëáäÞ ôá y R∈ ãéá ôá ïðïßá ç åîßóùóç ( )y f x= Ý÷åé

ìßá ôïõëÜ÷éóôïí ëýóç ùò ðñïò x ðïõ áíÞêåé óôï Á.

Page 131: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 4138

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá äåßîåôå üôé ôï óýíïëï ôéìþí ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï ( )f x 4x 9= − åßíáé ôï R.

Ëýóç

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f åßíáé ôï R.

Èá áðïäåßîïõìå ãéá êÜèå y R∈ õðÜñ÷åé x ðïõ

áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f ìå ( )f x y= .

Åßíáé

( )y 9

f x y 4x 9 y 4x y 9 x4

+= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ =

¢ñá ãéá êÜèå y R∈ õðÜñ÷åé ôï y 9

x4

+= ðïõ

áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f ìå ( )f x y= .

Íá âñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f ìå ôýðï ( ) 2f x x 1= + ïñéóìÝíç óôï

[ ]2,5 .

Ëýóç

Åßíáé [ ]fA 2, 5=

ÈÝôïõìå ( ) 2

2

2

y f x x 1

y x 1

x y 1

= = +

= +

= −

ÅðåéäÞ 2x 0≥ ðñÝðåé y 1 0− ≥ äçëáäÞ y 1≥

Ôüôå x y 1= ± −

ÅðåéäÞ [ ]x 2, 5∈ ðñÝðåé x y 1= − êáé åðéðëÝïí

2 y 1 5≤ − ≤

4 y 1 25≤ − ≤

5 y 26≤ ≤

¢ñá ( ) [ ]f A 5, 26=

3 Bñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôùí óõíáñôÞ-

óåùí ìå ôýðïõò:

i. ( )f x 3 x= − ii. ( )2x

g xx 1

=−

iii. ( )2x

h xx 1

=−

, ( )x 0,1 (1, 3]∈ ∪ .

Ëýóç

i. Ç óõíÜñôçóç ïñßæåôáé üôáí 3 x 0 x 3− ≥ ⇔ ≤

ÅðïìÝíùò, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï óý-

íïëï A ( ,3]= −∞ êáé ôï óýíïëï ôéìþí:

( ) {f A y R := ∈ ç åîßóùóç y 3 x= − Ý÷åé ìßá

ôïõëÜ÷éóôïí ëýóç ùò ðñïò ôï }x ( ,3] .∈ −∞

¸÷ïõìå:

2 2

y 0 y 0y 3 x

y 3 x x 3 y

≥ ≥ = − ⇔ ⇔

= − = −

ÐñÝðåé ç ëýóç 2

x 3 y= − íá áíÞêåé óôï Á ,

äçëáäÞ:

2 23 y 3 y 0− ≤ ⇔ ≥ , ðïõ éó÷ýåé ãéá êÜèå

y R∈ . Óõíåðþò, Ý÷ïõìå y 0≥ , äçëáäÞ ôï

ðåäßï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï ( )f A [0, )= +∞ .

ii. ÐñÝðåé x 1 0 x 1− ≠ ⇔ ≠ , ïðüôå ôï ðåäßï ï-

ñéóìïý ôçò g åßíáé ôï { }A R 1= − .

Åßíáé

( )

( )

2xy yx y 2x y 2 x y

x 1

yx , y 2 µε y 2 είναι 0 2

y 2

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔

⇔ = ≠ = =

ÐñÝðåé y

1 y y 2 0 2y 2

≠ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ −−

,

ôï ïðïßï éó÷ýåé. ÅðïìÝíùò ( ) { }g A R 2= − .

Â1

Â4

Â7

Â8

Á5

Â1

Â4

Â7

Â8

Page 132: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

óýíïëï ôéìþí 139

ÓÕÍÏËÏ ÔÉÌÙÍ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

iii. Åäþ öáíåñÜ åßíáé ( ) ( ]A 0,1 1,3= ∪

Ãéá ôï ðåäßï ôéìþí, Ý÷ïõìå

( )

( )

2xy yx y 2x y 2 x y

x 1

yx , y 2 µε y 2 είναι 0 2

y 2

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔

⇔ = ≠ = =

ÐñÝðåé:

y y0 3 και 1

y 2 y 2

< ≤ ≠ ⇔

− −

y y0 και 3 ,

y 2 y 2

⇔ > ≤

− −

äéüôé (y

1 0 2y 2

≠ ⇔ ≠ −−

)

( ) ( )( ){ }y y 2 0 και 2y 6 y 2 0,y 2⇔ − > − + − ≤ ≠

{ }y 0 ή y 2 και y 2 ή y 3

y 0 ή y 3

⇔ < > < ≥ ⇔

⇔ < ≥

ÅðïìÝíùò, ( ) ( )f A ,0 [3, )= −∞ ∪ +∞ .

Ã31. (á) Íá âñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôùí óõ-

íáñôÞóåùí:

i. ( ) 2f x x 6x 1= − +

ii. ( ) 2g x ηµ x 6ηµx 1= − +

Ã32. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ôéìþí ôùí óõíáñôÞóå-

ùí:

i. ( ) 2f x x 1= −

ii. x -xe + e

f(x) =2

Ã33. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ôéìþí ôùí óõíáñôÞóå-

ùí:

i. ( ) 2f x x 3x 1= − +

ii. ( ) 2f x x 2x 3= − +

iii. ( )1 x

f x n1 x

−=

+

Ã34. Ná âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí

ôùí óõíáñôÞóåùí,ðïõ ïñßæïíôáé áðü

ôïõò ôýðïõò :

i. ( )2

2

2x 7x 6f x

x 3x 10

− +=

+ −

ii. ( ) x 1f x

2 x

−=

Ã35. Íá âñåßôå ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí

ôùí óõíáñôÞóåùí ,ðïõ ïñßæïíôáé áðü

ôïõò ôýðïõò :

i. ( )f x 1 2 x= + −

ii. ( )x

g xx 1

=−

iii. ( )2x

h xx 3

=−

, ( )x 0,3 (3, 4]∈ ∪

Ã36. Íá âñåèïýí ôá ë,ì þóôå ç óõíÜñôçóç f

ìå ôýðï :

2

2

λx +3µx +3f(x) =

x - x +1

íá Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï [ ]f(A) = -3,5 .

Á5

Á7

Á9

Á10

Â1

Â4

Â7

Â8

Page 133: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5140

ÌïíïôïíßáÃ.5

Ãíçóßùò

öèßíïõóá

óõíÜñôçóç

Ãíçóßùò

áýîïõóá

óõíÜñôçóç

¸óôù ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä. Èá ëÝìå üôé:

Ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï Ä, áí ãéá êÜèå

1 2x , x ∆∈ ìå

1 2x x< éó÷ýåé ( ) ( )1 2

f x f x>

ÊÜèå ãíçóßùò öèßíïõóá óõíÜñôçóç f, Ý÷åé ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ðïõ “êáôåâáßíåé” áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá

äåîéÜ üðùò ç êáìðýëç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.

Ðñáôçñïýìå üôé:

áí x1 < x

2 ôüôå f(x

1) > f(x

2)

¸óôù ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä. Èá ëÝìå üôé:

Ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä, áí ãéá êÜèå

1 2x , x ∆∈ ìå

1 2x x< éó÷ýåé ( ) ( )1 2

f x f x<

ÊÜèå ãíçóßùò áýîïõóá óõíÜñôçóç f, Ý÷åé ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ðïõ “áíåâáßíåé” áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá

äåîéÜ üðùò ç êáìðýëç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.

Ðáñáôçñïýìå üôé:

áí 1 2x x< ôüôå ( ) ( )1 2

f x f x<

Ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá Þ ãíçóßùò öèßíïõóá ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä, èá ëÝìå üôé

åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï äéÜóôçìá áõôü.

Óôá åðüìåíá ó÷Þìáôá ðáñáôçñïýìå üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f “áíåâáßíåé” (“êáôåâáß-

íåé”) áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá äåîéÜ üìùò õðÜñ÷åé Ýíá ôìÞìá ôçò Cf ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëï ðñïò ôïí

Üîïíá x.

Óôï äéÜóôçìá [á, â], ãéá ïðïéáäÞðïôå 1 2x , x ìå

1 2x x≠ éó÷ýåé ( ) ( )1 2

f x f x= .

Page 134: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìïíïôïíßá 141

ÌÏÍÏÔÏÍÉÁ

Ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé áýîïõóá Þ öèßíïõóá óå êÜðïéï äéÜ-

óôçìá èá ëÝìå üôé åßíáé ìïíüôïíç óôï äéÜóôçìá áõôü.

• Áí ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ìå ( ) ( )1 2 1 2

x x ισχύει f x f x< = ôüôå ôçí

f ïíïìÜæïõìå óôáèåñÞ óõíÜñôçóç óôï Ä. (âë. äéðëáíü ó÷Þìá)

Åýñåóç ôçò ìïíïôïíßáò óõíÜñôçóçò

Èåùñïýìå ôõ÷áßá 1 2x , x ðïõ áíÞêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý óõíÜñôçóçò ( )y f x= , êáé áêïëïõèïýìå

Ýíáí áðü ôïõò åðüìåíïõò ôñüðïõò:

1. Áðü ôç ó÷Ýóç 1 2x x< ðñïóðáèïýìå íá ó÷çìáôßóïõìå ôï f(x

1) óôï ðñþôï ìÝëïò êáé

óõã÷ñüíùò ôï f(x2) óôï äåýôåñï ìÝëïò, ïðüôå êáôáëÞãïõìå óå

( ) ( )1 2f x f x< Þ ( ) ( )1 2

f x f x> Þ ( ) ( )1 2f x f x≤ Þ ( ) ( )1 2

f x f x≥

êáé áíÜëïãá óõìðåñáßíïõìå ãéá ôç ìïíïôïíßá ôçò f.

2. Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôçò äéáöïñÜò:

( ) ( ) ( )1 2 1 2∆ f x f x , x x= − <

Èá ëÝìå üôé ç óõíÜñôçóç åßíáé öèßíïõóá ó’Ýíá

äéÜóôçìá Ä, áí êáé ìüíïí áí:

ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ìå

1 2x x< , éó÷ýåé

( ) ( )1 2f x f x≥ .

Èá ëÝìå üôé ìéá óõíÜñôçóç åßíáé áýîïõóá

ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä, áí êáé ìüíïí áí

ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ìå

1 2x x< , éó÷ýåé

( ) ( )1 2f x f x≤

Page 135: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5142

Óôï äéÜóôçìá [ ]40, 20− − ç f åßíáé ãíçóßùò

áýîïõóá.(áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)

Óôï äéÜóôçìá [ ]20, 5− − ç f åßíáé ãíçóßùò

öèßíïõóá.(êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)

Óôï äéÜóôçìá [ ]5, 25− ç f åßíáé ãíçóßùò

áýîïõóá.(áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)

Óôï äéÜóôçìá [ ]25, 45 ç f åßíáé óôáèåñÞ.(ðáñÜëëçëç

ðñüò ôïí ÷’÷)

Óôï äéÜóôçìá [ ]45, 60 ç f åßíáé ãíçóßùò

öèßíïõóá.(êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)

ãíçóßùò áýîïõóá óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

“áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ”.

ãíçóßùò öèßíïõóá óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç “êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ”.

3. Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ ëïãïõ:

( ) ( )2 1

2 1

f x f xλ

x x

−=

• Áí ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f, äåí åßíáé äéÜóôçìá, áëëÜ Ýíùóç äéáóôçìÜôùí, åöáñìüæïõìå Ýíáí

áðü ôïõò ðáñáðÜíù ôñüðïõò óå êÜèå äéÜóôçìá ÷ùñßò íá ãåíéêåýóïõìå ôá óõìðåñÜóìáôá ó’üëï

ôï ðåäßï ïñéóìïý.

Ó÷üëéá:

Ç ãíþóç ôçò ìïíïôïíßáò êÜðïéùí óôïé÷åéùäþí óõíáñôÞóåùí (áêüìç êáëýôåñá ôçò ãñáöéêÞò

ôïõò ðáñÜóôáóçò) ìáò äéåõêïëýíåé ðÜñá ðïëý óôçí ¢ëãåâñá.

i. Ãéá ðáñÜäåéãìá, áí ðñÝðåé íá ÷áñáêôçñßóïõìå óùóôü Þ ëÜèïò ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

Ð1: áí

1 2x , x R∈ ìå

1 2x x< ôüôå

2 2

1 2x x<

Ð2: áí

1 2x , x R∈ ìå

1 2x x< ôüôå 3 3

1 2x x<

êáé óôçí ðåñßðôùóç ëÜèïõò íá ãñÜøïõìå ôï óùóôü.

Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f êáé g ìå ôýðïõò ( ) 2f x x= êáé ( ) 3

g x x= åßíáé

Aðü ôéò ðáñáðÜíù ãñáöéêÝò öáßíåôáé üôé ç ðñüôáóç Ð1 åßíáé ëÜèïò åíþ ç Ð

2 åßíáé óùóôÞ.

ÁëãåâñéêÜ ìðïñïýìå íá äéáðéóôþóïõìå üôé ç Ð1 åßíáé ëÜèïò ùò åîÞò:

áí 1 2x , x R∈ ìå

1 2x x< ôüôå

( ]

[ )

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

αν x , x , 0 είναι x x

αν x , x 0, είναι x x

∈ −∞ >

∈ +∞ <

ii. Áí åßíáé ãíùóôÞ ç fC ìéáò óõíÜñôçóçò ç ìïíïôïíßá ôçò âñßóêåôáé üðùò óôï ðáñÜäåéãìá ðïõ áêïëïõèåß.

Page 136: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìïíïôïíßá 143

ÌÏÍÏÔÏÍÉÁ

3

2

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ìåëåôçèåß ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )f x 2x 4= − + ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá.

Ëýóç

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f åßíáé ôï R

êáé ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ ìå

1 2x x< éó÷ýåé:

( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

x x 2x 2x

2x 4 2x 4 f x f x

< ⇔ − > − ⇔

⇔ − + > − + ⇔ >

Óýìöùíá ëïéðüí ìå ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ç óõ-

íÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R.

Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f ìå ôýðï ( )f x 3 2 5 x= − − .

Ëýóç

Åßíáé ( ]fA , 5= −∞

Èåùñïýìå ( ]1 2x ,x , 5∈ −∞ ìå

1 2x x< ïðüôå

1 2x x− > −

1 25 x 5 x− > −

1 25 x 5 x− > −

1 22 5 x 2 5 x− − < − −

1 23 2 5 x 3 2 5 x− − < − −

( ) ( )1 2f x f x<

¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ( ], 5−∞ .

Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f ìå ôýðï ( ) ( )2f x 3 x 2 1= − + óôï ðå-

äßï ïñéóìïý ôçò.

Ëýóç

Åßíáé fA R= . Èåùñïýìå

1 2x , x R∈ ìå

1 2x x<

ïðüôå 1 2x 2 x 2− < − (1)

• áí ( ]1 2 1 2x , x , 2 x x 2∈ −∞ ⇔ < ≤

ôüôå 1x 2 0− < êáé

2x 2 0− ≤ ïðüôå áðü ôçí (1)

ðñïêýðôåé üôé

( ) ( )2 2

1 2x 2 x 2− > −

( ) ( )2 2

1 23 x 2 3 x 2− > −

( ) ( )2 2

1 23 x 2 1 3 x 2 1− + > − +

( ) ( )1 2f x f x>

¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï ( ], 2−∞

• áí [ )1 2 1 2x , x 2, 2 x x∈ +∞ ⇔ ≤ <

ôüôå 1x 2 0− ≥ êáé

2x 2 0− > ïðüôå áðü ôçí (1)

ðñïêýðôåé üôé

( ) ( )2 2

1 2x 2 x 2− < −

( ) ( )2 2

1 23 x 2 3 x 2− < −

( ) ( )2 2

1 23 x 2 1 3 x 2 1− + < − +

( ) ( )1 2f x f x<

¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï [ )2, +∞ .

Íá ìåëåôçèåß ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )2x

f xx 1

=−

ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá.

Ëýóç

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé öáíåñÜ ôï

( ) ( )A ,1 1,= −∞ ∪ +∞

Èá åîåôÜóïõìå ôç ìïíïôïíßá ôçò f ÷ùñéóôÜ óå

êáèÝíá áðü ôá äéáóôÞìáôá ( ),1−∞ êáé ( )1,+∞ .

• ¸óôù ( )1 2x , x ,1∈ −∞ , ìå

1 2x x 1< < Ý÷ïõìå:

( ) ( )( )

( )( )2 12 1

2 1

2 1 2 1

2 x x2x 2x∆ f x f x

x 1 x 1 x 1 x 1

− −= − = − =

− − − −

ÅðåéäÞ 1 2 1x x 1 x 1 0< < ⇔ − < êáé

2x 1 0− < èá

4

Á1

Â8

Á1

Â2

Á1

Á1

Page 137: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5144

5

åßíáé Ä < 0 ïðüôå ( ) ( )1 2f x f x> , ðïõ óçìáßíåé üôé

ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï äéÜóôçìá ( ),1−∞ .

• ¸óôù ( )1 2x , x 1,∈ +∞ , ìå

1 21 x x< < , ôüôå:

1 2x 1 0, x 1 0− > − > , ïðüôå êáé ó’áõôÞ ôçí ðåñßð-

ôùóç åßíáé ( ) ( )1 2∆ 0 f x f x< ⇔ > . ÅðïìÝíùò, ç

f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá êáé óôï äéÜóôçìá

( )1,+∞ .

Ó÷üëéï:

Ç ðáñáðÜíù óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõ-

óá óå êáèÝíá áðü ôá äéáóôÞìáôá ( ) ( ),1 , 1,−∞ +∞ ,

åíþ äåí å ßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï

( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ áöïý õðÜñ÷ïõí

{ }1 2x , x R 1∈ − , þóôå íá éó÷ýåé ( ) ( )1 2

f x f x< .

ð.÷. áí 1 2x 0 x 2= < = ôüôå

( ) ( )1 2f x 0 f x 4= < = .

ÅðïìÝíùò, ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé ãíçóßùò ìï-

íüôïíç óå äýï äéáóôÞìáôá äåí åßíáé õðï÷ñåùôé-

êÜ ãíçóßùò ìïíüôïíç óôçí Ýíùóç áõôþí ôùí

äéáóôçìÜôùí.

Áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõ-

óá óôï R íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç

( ) ( )2f x 1 f x+ > − .

Ëýóç

Ç áíßóùóç ( ) ( )2f x 1 f x+ > − åðåéäÞ ç f åßíáé ãíç-

óßùò öèßíïõóá óôï R ãßíåôáé éóïäýíáìá

2x 1 x+ < −

2x x 1 0+ + <

ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç óôï R.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã37. Íá ìåëåôçèïýí ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ïé

óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:

i. ( ) 3f x 2x 1= + ii. ( )f x x 1= −

iii. ( )x 1

f xx

+= iv. ( )

2

x 2 x 2f x

x x 2

+ ≤=

>

v. ( )x

f x1 x

=

+

vi. ( ) 2f x x 3x 1= − +

vii. ( ) 2f x 1 x= − viii. ( )f x 2 x 1 3x= − +

Ã38.i. Ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý R

åßíáé ðåñéôôÞ. Áí ç f åßíáé ãíçóßùò áý-

îïõóá óôï äéÜóôçìá [ ]α,β ìå α,β 0> ,

íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áý-

îïõóá óôï äéÜóôçìá [ ]β, α− − .

ii. Áí ç óõíÜñôçóç f : R R→ åßíáé ãíç-

óßùò áýîïõóá óôï ( )α,β êáé Üñôéá, ôüôå

åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï ( )β, α− − .

Ã39. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

( ) ( )4f x λ 15 x 16, λ R= + + ∈ .

Íá äåßîåôå üôé:¡

á. ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá.

â. ( ) ( )α β

f α f f β2

+ < <

ìå α β<

Ã40. Áí c R∈ êáé ãéá ôç óõíÜñôçóç f : R R→

éó÷ýåé ( ) ( )1 2 1 2f x f x c x x− < − ãéá êÜèå

1 2x , x R∈ , íá äåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç

( ) ( )g x f x cx= − åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá.

Ã41. Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôç-

óçò f ìå ôýðï ( ) ( )2f x 4 9 x= + α − ,

α R∈ .

Ã42. Ná ðñïóäéïñéóôåß ï α R *∈ þóôå ç óõ-

íÜñôçóç f ìå ôýðï: ( )x 2α

f xαx 2

−=

íá åß-

íáé ãíçóßùò öèßíïõóá.

Â4

Á1

Á5

Á7

Â2

Â4

Â8

Page 138: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

óõíÜñôçóç 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç) 145

ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)

ÓõíÜñôçóç 1-1 (ÁìöéìïíïóÞìáíôç)Ã.6

Ïñéóìïß

èåùñÞìáôá

Áí ãéá ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ

áí 1 2x x≠ ôüôå ( ) ( )1 2

f x f x≠

ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ëÝìå ïôé ç óõíÜñôçóç åßíáé 1 - 1 óôï Ä.

Èåþñçìá

Áí ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óå Ýíá äéÜóôçìá Ä, ôüôå ç f åßíáé 1 - 1 óôï ßäéï

äéÜóôçìá.

ÐñÜãìáôé, Ýóôù üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä.

Ôüôå, ãéá êÜèå ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

x , x ∆ µε x x ισχύει f x f x

x , x ∆ µε x x ισχύει f x f x

∈ < <

∈ > >

¢ñá, ìå 1 2x x≠ , éó÷ýåé ( ) ( )1 2

f x f x≠ ðïõ óçìáßíåé üôé ç f åßíáé

1 - 1 óôï Ä.

Ôï áíôßóôñïöï ôïõ èåùñÞìáôïò äåí éó÷ýåé ðÜíôïôå.

ÄçëáäÞ,üëåò ïé 1 - 1 óõíáñôÞóåéò óå Ýíá óýíïëï äåí åßíáé ãíçóßùò

ìïíüôïíåò óôï ßäéï óýíïëï.

¼ôáí ìéá óõíÜñôçóç åßíáé 1 - 1, ôüôå óå êÜèå óôïé÷åßï y ôïõ óõíüëïõ

ôéìþí ôçò f áíôéóôïé÷åß Ýíá ìüíï x ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò.

ÃñáöéêÜ áõôü óçìáßíåé üôé êÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá y = k ôÝìíåé ôç ãñáöé-

êÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f, ôï ðïëý óå Ýíá óçìåßï.

Óõíïøßæïíôáò, ìðïñïýìå íá áðïäåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1 ìå ôïõò åîÞò ôñüðïõò:

1. Ìå ÷ñÞóç ôïõ ïñéóìïý.

2. Äåß÷íïõìå üôé ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç.

3. Äåß÷íïõìå üôé êÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá y = k ôÝìíåé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôï ðïëý óå Ýíá

óçìåßï.

4. Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç y = f(x) ùò ðñïò x (áí ëýíåôáé). Áí Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ùò ðñïò x ãéá

êÜèå y ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ôçò ôüôå ç f åßíáé 1 - 1.

ÅðåéäÞ ðïëëÝò öïñÝò åßíáé äýóêïëï Þ êáé áäýíáôï íá áðï-

äåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ

áí 1 2x x≠ ôüôå ( ) ( )1 2

f x f x≠

áðïäåéêíýïõìå ôçí éóïäýíáìç ðñüôáóç :

áí ( ) ( )1 2f x f x= ôüôå

1 2x x=

ðïõ åßíáé ç áíôéèåôïáíôßóôñïöç ôçò ðñþôçò.

Page 139: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 6146

4

3

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( ) 3f x x 1= + åßíáé óõíÜñôçóç 1 - 1.

Ëýóç

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï R, áöïý f ðïëõ-

ùíõìéêÞ óõíÜñôçóç êáé ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ ìå

1 2x x≠ éó÷ýïõí:

( ) ( )

1 2

3 3

1 2

3 3

1 2

1 2

x x

x x

x 1 x 1

f x f x

+ ≠ +

¢ñá óýìöùíá ìå ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü ç óõ-

íÜñôçóç f åßíáé 1 - 1.

Íá åëÝãîåôå ôç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( ) 3 2f x x 2x x 3= − + + ùò ðñïò ôçí éäéüôçôá

1-1.

Ëýóç

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé R.

Åßíáé ( ) 3 2f x x 2x x 3= − + + =

= ( )2x x 2x 1 3− + + =

= ( )2x x 1 3− +

Ðáñáôçñïýìå üôé ( )f 0 3= êáé ( )f 1 3= ïðüôå ç f

äåí åßíáé 1-1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Äßíåôáé óõíÜñôçóç f ç ïðïßá åßíáé 1-1

óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò êáé ï ðßíáêáò ðïõ ðá-

ñéóôÜíåé êÜðïéåò ôéìÝò ðïõ áöïñïýí ôçí f.

ìå λ R∈ . Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò äõíáôÝò ôéìÝò

ôïõ λ R∈ áí ãíùñßæåôå üôé ç fC åßíáé óõíå-

÷Þò - ìç äéáêïðôüìåíç óôï R êáìðýëç.

Ëýóç

Åßíáé ( )f 0 λ=

äçëáäÞ ç fC ôÝìíåé ôïí Üîïíá y 'y óôï ( )0, λ

ïðüôå ðñÝðåé 2 λ 10− < < áöïý ç f åßíáé 1-1 óôï R.

Íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç f ìå

ôýðï: ( )x 2

f xx 5

−=

+ åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï

ïñéóìïý ôçò.

Ëýóç

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï { }A R 5= − − .

Áí 1 2x , x A∈ ôÝôïéá þóôå ( ) ( )1 2

f x f x= ôüôå:

( ) ( )

( )( ) ( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

x 2 x 2f x f x

x 5 x 5

x 2 x 5 x 5 x 2

x x 5x 2x 10 x x 2x 5x 10

7x 7x x x

− −= ⇔ = ⇔

+ +

⇔ − + = + −

⇔ + − − = − + −

⇔ = ⇔ =

¢ñá ç f åßíáé óõíÜñôçóç 1 - 1, óôï R –{-5}.

Ó÷üëéï:

ÅðåéäÞ ðïëëÝò öïñÝò åßíáé äýóêïëï Þ êáé áäý-

íáôï íá áðïäåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ

áí 1 2x x≠ ôüôå ( ) ( )1 2

f x f x≠

áðïäåéêíýïõìå ôçí éóïäýíáìç ðñüôáóç :

áí ( ) ( )1 2f x f x= ôüôå

1 2x x= , ðïõ åßíáé ç á-

A2

A3

A2

A5

Page 140: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

óõíÜñôçóç 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç) 147

ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)

6

5

íôéèåôïáíôßóôñïöç ôçò ðñþôçò êáé üðùò åßíáé

ãíùóôü ïé áíôéèåôïáíôßóôñïöåò ðñïôÜóåéò åß-

íáé éóïäýíáìåò.

Íá åîåôÜóåôå áí ïé ðáñáêÜôù óõíáñ-

ôÞóåéò åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò.

á. ( ) 2f x x 1= + â. ( ) ( )g x ln 2 x= −

Ëýóç

Ãéá íá áðïäåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f äåí åß-

íáé 1 - 1 èÝôïõìå äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò ôïõ x

óôïí ôýðï, Ýóôù ôéò 1 2x x≠ êáé äåß÷íïõìå üôé:

( ) ( )1 2f x f x=

á. Ðáñáôçñïýìå üôé áí 1 2x 1 1 x= ≠ − = ôüôå

( ) ( ) ( ) ( )1 2f x f 1 2 f 1 f x= = = − =

Ïðüôå ç f äåí åßíáé 1 - 1 áöïý éó÷ýåé:

( ) ( )1 2 1 2x x και f x f x≠ =

â. Áí 1 2x 1 1 x= − ≠ = , ôüôå

( ) ( ) ( ) ( )1 2g x g 1 ln1 0 g 1 g x= − = = = =

ïðüôå êáé ç g äåí åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý

ôçò.

Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1 - 1 ïé óõíáñ-

ôÞóåéò f, g ìå ôýðïõò:

( )2

x , x 0f x

x , x 0

− <=

êáé ( )2x , x 0

g xx , x 0

− <=

óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò.

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1 - 1 óôï R, áöïý õ-

ðÜñ÷åé ïñéæüíôéá åõèåßá ðïõ ôÝìíåé ôç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò f óå äýï óçìåßá.

ÄçëáäÞ õðÜñ÷ïõí 1 2 1 2x , x R µε x x∈ ≠ ôÝôïéá

þóôå ( ) ( )1 2f x f x k= =

Ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R êáé

óõíåðþò åßíáé 1 - 1 óôï R.

Ç êáìðýëç ôçò y = g(x) ôÝìíåôáé áðü êÜèå ïñéæü-

íôéá åõèåßá óå Ýíá ìüíï óçìåßï.

Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )2x 1, αν x 3

f xx 2, αν x 3

+ ≥=

+ <

åßíáé 1 - 1 óôï ðå-

äßï ïñéóìïý ôçò.

Ëýóç

Èåùñïýìå ôçí ïñéæüíôéá åõèåßá y = k. Èá ðñïó-

äéïñßóïõìå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò fC êáé ôçò y k=

(áí õðÜñ÷ïõí).

Åßíáé:

y 2x 1 k 1x

y k 2

x 3x 3

= + −=

= ⇔ ≥≥

Üñá, ç åõèåßá y = k ôÝìíåé ôçí fC áí:

k 13 k 7

2

−≥ ⇔ ≥

Åðßóçò, áðü ôï óýóôçìá:

Á3

Á4

A6

B3

B11

7

Page 141: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 6148

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã43. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )x

x

5 1f x

5 1

−=

+

. Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé 1 -

1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Ã44. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )

x2α 1

f xα 1

−=

. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí

ôéìÞ ôïõ α R∈ þóôå ç f íá åßíáé 1 - 1

óôï R.

Ã45. Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1-1 óôï ðåäßï

ïñéóìïý ôïõò, ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞ-

óåéò:

i. ( )f x 3x 4= − + ii. ( )2x 1

f xx 5

−=

+

iii. ( )f x 3x 2= −

iv. ( ) 3f x x 2x 7= + −

v. 2x 4x 7 αν A ( ,2]− + = −∞

vi. ( )x

f x

1 x

=

+

vii. ( )x

x

2f x

1 2

=

+

viii. ( )2x 2x , x 2

f xx 6 , x 1

+ >=

+ ≤

Ã46. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )2

1 x , x 0f x

3x λ 1, x 0

− <=

+ − ≥

Íá âñåèåß ï ðñáãìáôéêüò ë þóôå ç f íá

åßíáé 1-1.

8

y x 2x k 2

y kx 3

x 3

= += −

= ⇔ <

<

ðñïêýðôåé üôé ç y = k ôÝìíåé ôçí fC , áí

k 2 3 k 5− < ⇔ < . ¢ñá, êáìßá ïñéæüíôéá åõèåßá

äåí ôÝìíåé êáé ôïõò äýï êëÜäïõò ôçò fC , êáé

óõíåðþò ç f åßíáé 1 - 1 óôï R.

Áðü ôá ðñïçãïýìåíá ðáñáäåßãìáôá Ýãéíå öáíåñü üôé

áíÜëïãá ìå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò, åðéëÝãïõìå êáé

ôïí ôñüðï ðïõ èá åñãáóôïýìå ãéá íá åëÝãîïõìå ôçò

éäéüôçôá 1 - 1 ìéáò óõíÜñôçóçò óôï ðåäßï ïñéóìïý

ôçò.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( ) 2003 2005f x x x= +

i. Íá âñåßôå ôï f(1)

ii. Íá åëÝãîåôå áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1

óôï R.

Â5

Á2

Á3

Á4

Á7

Â10

iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç 2003 2005x x 2+ =

Ëýóç

i. Åßíáé ( ) 2003 2005f 1 1 1 2= + =

ii. Ç f ùò ðïëõùíõìéêÞ Ý÷åé fA R= . Èåùñïýìå

1 2 fx , x A R∈ = ìå

1 2x x< ôüôå:

2003 2005

1 1x x< êáé 2003 2005

2 2x x<

Ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðáßñíïõìå:

2003 2003 2005 2005

1 2 1 2x x x x+ < + ïðüôå

( ) ( )1 2f x f x<

¢ñá, ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R.

Óýìöùíá ìå ôï óõìðÝñáóìá ôïõ ðñïçãïýìåíïõ

èåùñÞìáôïò ç f åßíáé 1 - 1 óôï R.

iii. Åßíáé 2003 2005x x 2+ = ⇔ (ëüãù (i.) åñùôÞìá-

ôïò)

( ) ( )f x f 1 x 1= ⇔ = (åðåéäÞ ç f åßíáé 1 - 1).

Page 142: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

áêñüôáôá óõíÜñôçóçò 149

ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

Áêñüôáôá óõíÜñôçóçòÃ.7

(σχ. 3)

Áêñüôáôá óõíÜñôçóçò

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ( ) 2f x x , x R= ∈ . ÐáñáôçñÞóôå óôï äé-

ðëáíü ó÷Þìá üôé ãéá ôçí ôéìÞ f(0) = 0 éó÷ýåé:

( ) ( )f x f 0 0≥ = , ãéá êÜèå x R∈

ËÝìå ôüôå üôé ç f Ý÷åé ïëéêü åëÜ÷éóôï ãéá x = 0 ôçí ôéìÞ f(0) = 0.

Åðßóçò ðáñáôçñÞóôå üôé åêáôÝñùèåí ôïõ ìçäåíüò ç f áëëÜæåé ìïíï-

ôïíßá. ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå:

Ïëéêü åëÜ÷éóôï

Ãåíéêüôåñá:

Áí Á åßíáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò êáé ãéá êÜðïéï 0x A∈ ,

éó÷ýåé:

( ) ( )0f x f x≥ , ãéá êÜèå x A∈

ëÝìå üôé ç f ðáñïõóéÜæåé óôï 0x A∈ ïëéêü åëÜ÷éóôï ôï ( )0f x óôï

Á (ó÷. 1)

Ïëéêü ìÝãéóôï

Áíôßóôïé÷á, áí éó÷ýåé:

( ) ( )0f x f x≤ , ãéá êÜèå x A∈

ëÝìå üôé ç f ðáñïõóéÜæåé óôï 0x A∈ ïëéêü ìÝãéóôï ôï ( )0f x óôï Á

(ó÷. 2)

Ôï ïëéêü ìÝãéóôï êáé ôï ïëéêü åëÜ÷éóôï ôçò f ëÝãïíôáé áêñüôáôá Þ

áêñüôáôåò ôéìÝò ôçò óõíÜñôçóçò.

ÁíÜëïãïé ïñéóìïß üðùò éó÷ýïõí êáé ãéá ôá ôïðéêÜ áêñüôáôá. Ç äéá-

öïñÜ åßíáé üôé ôá ïëéêÜ áêñüôáôá áíáöÝñïíôáé óå üëï ôï ðåäßï ïñé-

óìïý, åíþ ôá ôïðéêÜ óå õðïóýíïëÜ ôïõ. Áîßæåé íá óçìåéùèåß üôé ð.÷.

Ýíá ôïðéêü ìÝãéóôï ìðïñåß íá åßíáé ìéêñüôåñï åíüò ôïðéêïý åëá÷ß-

óôïõ ôçò ßäéáò óõíÜñôçóçò (âë. ó÷Þìá 3) Þ êáé áíôßóôñïöá.

Page 143: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 7150

ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÓ ÁÊÑÏÔÁÔÙÍ

ð.÷

Ç óõíÜñôçóç ( ) 2f x x 1= − +

ðáñïõóéÜæåé ïëéêü ìÝãéóôï óôï

0x 0= ôï ( )f 0 1= ,

áöïý éó÷ýïõí:

( ) ( )

2 2

2

x 0 x 0

x 1 1

f x 1 f 0

≥ ⇔ − ≤ ⇔

− + ≤ ⇔

≤ =.

Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ìïíïôïíßáò ÷áñáêôçñßæïõìå ôá áêñüôáôá.

Óõìðåñáßíïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôï óå êÜ-

ðïéá èÝóç 0x A∈ áí áñéóôåñÜ êáé äåîéÜ áõôÞò ôçò èÝóçò áëëÜæåé

ìïíïôïíßá.

1. Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç äßíåôáé Þ ìðïñïýìå íá ôç

ó÷åäéÜóïõìå, ðñïóäéïñßæïõìå áðü áõôÞí ôá áêñüôáôá áí

õðÜñ÷ïõí.

2. Ðñïóäéïñßæïõìå ôï óýíïëï ôéìþí f(Á) êáé áðü áõôü ôá

áêñüôáôá (áí õðÜñ÷ïõí)

ð.÷. Áí f(Á) = [á, â] ç f Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï â êáé åëÜ÷éóôç

ôéìÞ ôï á.

Áí f(A) = [á, +∞ ), ç f Ý÷åé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï á êáé äåí Ý÷åé

ìÝãéóôç ôéìÞ.

3. Áí ç f áëëÜæåé ìïíïôïíßá åêáôÝñùèåí åíüò óçìåßïõ x0 ôïõ

ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò êáé ( ) ( )0f x f x≤ Þ ( ) ( )0f x f x≥ ãéá

êÜèå x êïíôÜ óôï x0, ôüôå ðáñïõóéÜæåé ôïðéêü áêñüôáôï óôç

èÝóç x0.

ÓõãêåêñéìÝíá

Page 144: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

áêñüôáôá óõíÜñôçóçò 151

ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

3

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1Á1

Á7

Íá âñåèïýí ôá ôïðéêÜ áêñüôáôá ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ( ) ( )2

f x x 1 3= − − .

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé ãéá êÜèå x R∈ .

Ãíùñßæïõìå åðßóçò üôé åßíáé 2A 0≥ ãéá êÜèå

A R∈ .

ÅðåéäÞ x R∈ êáé ( )x 1 R− ∈ åßíáé ( )2x 1 0− ≥ .

( ) ( ) ( ) ( )2 2

f x x 1 3 f x 3 x 1 0= − − ⇔ + = − ≥

¢ñá ( ) ( )f x 3 0 f x 3+ ≥ ⇔ ≥ −

Ðáñáôçñïýìå üôé ( ) ( )2f 1 1 1 3 3= − − = − ïðüôå Ý-

÷ïõìå ( ) ( )f x f 1≥ − ãéá êÜèå x R∈ .

Óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ç óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé

ãéá x 1= − (óôç èÝóç x 1= − ) ïëéêü åëÜ÷éóôï ìå

ôéìÞ ( )f 1 3− = .

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò áêñüôáôåò ôéìÝò

ôùí óõíáñôÞóåùí ðïõ öáßíïíôáé óôá åðüìåíá

ó÷Þìáôá.

á.

â.

ã.

Ëýóç

á. Ðáñáôçñïýìå üôé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï

äéÜóôçìá [-1, 3).

ÅðïìÝíùò, ( )1 f x 3− ≤ < , ãéá êÜèå x [ 2,4)∈ −

Üñá ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ãéá x = 0.

(f(0) = –1).

ÌÝãéóôç ôéìÞ äåí Ý÷åé, áöïý ôï -2 äåí åßíáé

ôéìÞ ôçò f.

â. Éó÷ýåé –2 < f(x) < 4 ãéá êÜèå x ( 2,3)∈ − êáé

óõíåðþò ç f äåí ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôåò ôéìÝò

(ïëéêü ìÝãéóôï êáé ïëéêü åëÜ÷éóôï).

ã. Åßíáé ( )3 f x 4− ≤ ≤ , ãéá êÜèå x [ 2,6]∈ − ï-

ðüôå ç f ðáñïõóéÜæåé ïëéêü åëÜ÷éóôï ôçí ôéìÞ

–3 ãéá x = -2 êáé ïëéêü ìÝãéóôï ôï 4 ãéá

x = 6.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )f x 1 2 x= + −

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñ-

ôçóçò.

Ëýóç

Ç f Ý÷åé ðñïöáíþò ðåäßï ïñéóìïý ( , 2]−∞ .

Èá ðñïóäéïñßóïõìå ôï óýíïëï ôéìþí ôçò f ìå

óõíèåôéêü ôñüðï.

¸÷ïõìå:

( )

x ( , 2] x 2 2 x 0

2 x 0 1 2 x 1 f x 1

∈ −∞ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ ⇔

⇔ − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥

ïðüôå, ( )f A [1, )= +∞ êáé óõíåðþò ç f ðáñïõ-

óéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï 1, ãéá x = 2 (f(2) = 1).

Page 145: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 7152

ÐáñáôÞñçóç

Óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá, ðñïóäéïñßóáìå ôï

óýíïëï ôéìþí ôçò f îåêéíþíôáò áðü ôï üôé ôï x A∈

êáé ìå éóïäõíáìßåò äçìéïõñãÞóáìå ôï f(x). Áí ìå

áõôü ôïí ôñüðï (äçëáäÞ ìå éóïäýíáìá âÞìáôá) äç-

ìéïõñãÞóïõìå ôï y = f(x), ôüôå ôï äéÜóôçìá ðïõ áíÞ-

êåé ôï y = f(x) èá åßíáé ôï óýíïëï (ðåäßï) ôéìþí ôçò f.

Ðñïóï÷Þ

Áí óå êÜðïéï âÞìá äåí éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá, ôüôå

ãéá ôï ðñïêýðôïí óýíïëï ìåôáâïëÞò ôùí ôéìþí

ôïõ y äåí èá åßìáóôå óßãïõñïé áí åßíáé ôï ðåäßï

ôéìþí ôçò f. Èá åßíáé ðÜíôùò Ýíá õðåñóýíïëü ôïõ.

ð.÷. ¸óôù ( ) 2f x x 2x= − ìå x [0,3]∈ .

¸÷ïõìå, 20 x 3 0 x 9≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ (1)

êáé 0 x 3 6 2x 0≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ (2)

Ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç, ôùí (1) êáé (2) ðáßñ-

íïõìå:

26 x 2x 9 6 f (x) 9− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤

üìùò ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f ,åßíáé ôï

( ) [ ] [ ]f A 1,3 6,9= − ⊆ −

üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. (ÐñïâïëÞ ôçò ãñá-

öéêÞò ðÜíù óôïí Üîïíá ôùí y.

ÂñÞêáìå Ýíá õðåñóýíïëï ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ôçò

f êáé áõôü äéüôé üôáí ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç

äåí äéáôçñåßôáé ç éóïäõíáìßá.

Ìðïñïýìå, áóöáëþò íá ôï âñïýìå êáé áëãåâñé-

êÜ, áëëÜ ìå ðñïóï÷Þ óôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò

þóôå ôá âÞìáôá ðïõ êÜíïõìå ãéá ôï ó÷çìáôé-

óìü ôïõ f(x) íá åßíáé éóïäýíáìá.

ÅðåéäÞ

( ) ( )22 2f x x 2x x 2x 1 1 x 2 1= − = − + − = − −

Ý÷ïõìå:

( )

( ) ( )

2

2

0 x 3 1 x 1 2 0 x 1 4

1 x 1 1 3 1 f x 3

≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔

− ≤ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Üñá f(A) = [–1, 3].

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã47. Ãéá ôç óõíÜñôçóç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìá-

ôïò íá âñåßôå ôï ïëéêü ìÝãéóôï êáé ôï

ïëéêü åëÜ÷éóôï.

Ã48. Ãéá ôç óõíÜñôçóç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìá-

ôïò, ãñÜøôå äßðëá áðü êÜèå ðñüôáóç áí

åßíáé óùóôÞ Þ ëÜèïò.

Á. Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.

Â. Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï (–2, 2]

Ã. åßíáé Üñôéá

Ä. åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï R.

Page 146: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

áêñüôáôá óõíÜñôçóçò 153

ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

Ã49. Ç ìïíïôïíßá ìéáò óõíÜñôçóçò f öáßíåôáé

óôïí åðüìåíï ðßíáêá.

ÃñÜøôå ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜ-

óåéò åßíáé óùóôÝò Þ ëÜèïò.

1. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.

2. Ç f Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï R.

3. Ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï R.

4. Ç f Ý÷åé ôïðéêü åëÜ÷éóôï ôï –1.

5. Ç f Ý÷åé ìÝãéóôï óôï x 0=

6. Ç f Ý÷åé ïëéêü åëÜ÷éóôï ôï –1.

7. Ç f Ý÷åé 3 ñßæåò óôï R.

Ã50. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )f x 4 x 5= − − .

Íá âñåßôå ôá áêñüôáôá ôçò f.

Ã51. Áí ôï óýíïëï ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò f

åßíáé ôï äéÜóôçìá ( )α,β , α,β R∈ ôüôå ç

f äåí Ý÷åé áêñüôáôá.

Ã52. Áí ìéá ðåñéôôÞ óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé

ìÝãéóôï óôï 0x ôüôå èá ðáñïõóéÜæåé å-

ëÜ÷éóôï óôï 0x− .

Ã53. Íá âñåßôå (üðïõ õðÜñ÷ïõí) ôá áêñüôáôá

ôùí óõíáñôÞóåùí:

i. ( )x

f x1 x

=

+

ii. ( )2x , x [ 3,2)

f xx 7, x [2,5)

∈ −=

+ ∈

iii. ( )x 7, x 2

f x2x 1, x 2

− + ≥=

+ <

Ã54. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå

ôýðïõò:

( ) ( )2f x α 3 x 1= − − −

( ) 2g x x 4x 2α= − +

Íá âñåßôå ôïí áñéèìü á þóôå ôï ìÝãéóôï

ôçò f íá éóïýôáé ìå ôï åëÜ÷éóôï ôçò g.

Ã55. Íá âñåßôå ôç ìÝãéóôç êáé ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ

(üðïõ õðÜñ÷åé) ãéá ôéò óõíáñôÞóåéò:

á. ( ) 2f x 2x 3= +

â. ( ) 2f x 1 2x= −

ã. ( )2

1f x

x 1=

+

ä. ( )f x x 1= − +

å. ( )f x 2x 1 3= + −

óô. ( )f x 1 3x 1= − −

æ. ( )f x 2 x 4= −

ç. ( )f x x 2 x 7= − +

è. ( )f x 2 x 1= −

é. ( ) 4 2f x x x 1= + −

ê. ( )f x 2x 5= −

Á6

Á7

Â3

Â8

Page 147: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8154

Ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò ÜîïíåòÃ .8

Ðïõ ôÝìíåé ç

êáìðýëç C

ôïõ Üîïíåò

Óçìåßá ôïìÞò ôçò fC ìå ôïõò Üîïíåò

• Åßíáé ãíùóôü ïôé ÷áñáêôçñéóôéêü ôùí óçìåßùí Ì ôïõ Üîïíá y 'y åßíáé üôé

Ý÷ïõí ôåôìçìÝíç ßóç ìå ìçäÝí äçëáäÞ

( )M 0, y , y R∈

Ãéá íá âñïýìå ôï óçìåßï ðïõ ç

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç fC ìéáò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x) ôÝ-

ìíåé ôïí Üîïíá y 'y áñêåß íá

èÝóïõìå óôïí ôýðï ôçò óõíÜñ-

ôçóçò üðïõ x = 0 (áí âÝâáéá ôï

0 åßíáé óôïé÷åßï ôïõ ðåäßïõ ïñé-

óìïý ôçò), áëëéþò ç Cf äåí ôÝ-

ìíåé ôïí Üîïíá y 'y .

Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x) áí Ý÷åé ìå ôïí Üîïíá y 'y êïéíü óçìåßï

áõôü åßíáé ìïíáäéêü êáé åßíáé ôï Ì(0,f(0)).

• Eðßóçò ãíùñßæïõìå ðùò ÷áñáêôçñéóôéêü ôùí óçìåßùí Ì ôïõ Üîïíá x x′ åßíáé üôé Ý÷ïõí

ôåôáãìÝíç ßóç ìå ìçäÝí, äçëáäÞ ( )M x,0 , x R∈ .

Ãéá íá âñïýìå ôá óçìåßá ðïõ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóçfC ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x)

ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x′ áñêåß íá èÝóïõìå óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò üðïõ y = 0 êáé íá

ëýóïõìå ôçí åîßóùóç f(x) = 0.

• H åîßóùóç f(x) = 0 ìðïñåß íá Ý÷åé ðåñéóóüôåñåò áðü ìéá ëýóåéò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ôá

êïéíÜ óçìåßá ôçò fC ìå ôïí Üîïíá åßíáé üëá ôá óçìåßá ôçò ìïñöÞò ( )µ,

M x 0 , üðïõ µx

åßíáé ëýóç ôçò ðáñáðÜíù åîßóùóçò.

• Ç åîßóùóç f(x) = 0 ìðïñåß íá åßíáé áäýíáôç. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ äåí õðÜñ÷ïõí êïéíÜ

óçìåßá ôçò fC ìå ôïí Üîïíá x x′ .

Óõíïøßæïíôáò Ý÷ïõìå:

Ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò (fC ) ìå ôïí Üîïíá x x′ Ý÷ïõí ôåôáãìÝíç ßóç ìå 0.

¸ôóé ôá óçìåßá ôïìÞò ðñïóäéïñßæïíôáé áðü ôç ëýóç ôçò åîßóùóçò ( )y f x 0= = . Ïé ëýóåéò ôçò

åîßóùóçò áõôÞò åßíáé ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí ôïìÞò.

Ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò fC ìå ôïí Üîïíá y y′ Ý÷åé ôåôìçìÝíç 0 êáé åßíáé ìïíáäéêü (åöüóïí õðÜñ÷åé).

Ç ôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ áõôïý åßíáé ôüôå ßóç ìå f(0).

Page 148: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò 155

ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C

TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ

ÈÝóåéò ôçò Cf

ùò ðñïò ôïõò

Üîïíåò

ÊïéíÜ óçìåßá

äýï ãñáöéêþí

ðáñáóôÜóåùí

• ÐáñáôçñÞóôå üôé ç f ðáßñíåé èåôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå 0

x x> áöïý óôï äéÜóôç-

ìá ( )0x ,+∞ , ç

fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′ äçëáäÞ

( )0

f x 0 x x> ⇔ >

• Ç f ðáßñíåé áñíçôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå

0x x< áöïý óôï äéÜóôçìá áõôü ç

fC

âñßóêåôáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ äçëá-

äÞ

( )0

f x 0 x x< ⇔ <

ÃåíéêÜ ãéá íá âñïýìå ôï äéÜóôçìá óôï

ïðïßï ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò åßíáé ðÜíù Þ êÜôù áðü ôïí Üîï-

íá ôùí x, ëýíïõìå ôéò áíéóþóåéò ( )f x 0> Þ ( )f x 0< áíôßóôïé÷á.

¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôý-

ðïõò ( )y f x= êáé ( )y g x= áíôßóôïé-

և.

Ôï êïéíü óçìåßï ôùí äýï ãñáöéêþí ðá-

ñáóôÜóåùí Ý÷åé ôåôìçìÝíç 0x êáé ðñï-

öáíþò ôçí ßäéá ôåôáãìÝíç

( ) ( )0 0f x g x=

¢ñá, ôï 0x ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôç ëýóç

ôçò åîßóùóçò:

( ) ( )f x g x=

ÁíÜëïãá ìå ôï ðüóåò ëýóåéò (ùò ðñïò

x) Ý÷åé ç ðáñáðÜíù åîßóùóç êáèïñß-

æïíôáé êáé ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí f gC ,C .

ÊÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá ìå åîßóùóç

0y y= Ý÷åé ìå ôç

fC , óçìåßá ôïìÞò

ìå ôåôìçìÝíåò ôéò ëýóåéò ôçò åîßóù-

óçò ( )0

f x y=

Áí ç ðáñáðÜíù åîßóùóç åßíáé áäýíáôç, ôüôå äåí õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïìÞò.

ÊÜèå êáôáêüñõöç åõèåßá 0

x x= , áí ôÝìíåé ôç fC , ôçí ôÝìíåé óå Ýíá ìüíï

óçìåßï ìå ôåôáãìÝíç ( )0y f x= .

Óçìåßá ôçò Cf

ìå ìéá åõèåßá

y = y0

Þ

x = x0

Page 149: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8156

21

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé ãñáöéêÝò ðáñá-

óôÜóåéò äõï óõíáñôÞóåùí ( )y f x= êáé ( )y g x= .

Ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí ôïìÞò åßíáé ïé ëýóåéò

ôçò åîßóùóçò.

( ) ( )f x g x=

ÐáñáôçñÞóôå üôé:

• ãéá êÜèå ( ) ( )x α,β γ,∈ ∪ +∞ ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôç

gC äçëá-

äÞ éó÷ýåé: ( ) ( )f x g x>

• ãéá êÜèå ( ) ( )x ,α β, γ∈ −∞ ∪ ç fC âñßóêåôáé êÜôù áðü ôç

gC äçëáäÞ éó÷ýåé: ( ) ( )f x g x< .

ÅðïìÝíùò, ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ôá x R∈ ãéá ôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f âñßóêåôáé ðÜíù

Þ êÜôù áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò g ëýíïõìå ôéò

áíéóþóåéò ( ) ( ) ( ) ( )f x g x ή f x g x> < áíôßóôïé÷á.

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

fC ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï ( )y f x= êáé ç

åõèåßá 0

y y= .

• Ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôçí åõèåßá

0y y= ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôçí

Ýíùóç ôùí äéáóôçìÜôùí ( ) ( )α,β , γ,+∞ .

Åíþ âñßóêåôáé êÜôù áðü ôçí åõèåßá 0

y y= ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôçí Ýíùóç

ôùí äéáóôçìÜôùí ( ) ( ),α , β, γ−∞ .ÄçëáäÞ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

0

f x y x α,β γ,

f x y x ,α β, γ

> ⇔ ∈ ∪ +∞

< ⇔ ∈ −∞ ∪

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Ðïéá åßíáé ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñá-

öéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ( )f x ηµx= ìå ôïí

x'x

Ëýóç

( )y 0 f x 0 ηµx 0 x kπ, k Z= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈

¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ìå

ôïí Üîïíá x x′ åßíáé ôá óçìåßá ( )M kπ,0 , k Z∈ .

Ðïý ôÝìíåé ç Cf ôïí Üîïíá x'x áí

( )2

3f x

x 6x 9=

− + ;

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï ( )2

3f x

x 6x 9=

− +, Ý÷åé

ðåäßï ïñéóìïý { }fA R 3= − êáé åßíáé

( )2

3y 0 f x 0 0 3 0

x 6x 9= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

− +

ðïõ åßíáé áäýíáôï.

¢ñá, ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f äåí ôÝìíåé ôïí

Üîïíá x x′ .

Ó÷åôéêÞ èÝóç

ôùí Cf, C

g

Ó÷åôéêÞ èÝóç

ïñéæüíôéáò

åõèåßáò

ìå ôç Cf

B9

Page 150: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò 157

ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C

TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ

5

4

3

Ç ãñ. ðáñÜóôáóç fC öáßíåôáé óôï ó÷Þìá.

Ôï ó÷Þìá êÜôù ðáñéóôÜíåé ôçí êáìðý-

ëç ìå åîßóùóç ( )y f x= . Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé

ç åîßóùóç ( )f x 0= .

Ëýóç

Ðáñáôçñïýìå üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝ-

ìíåé ôïí Üîïíá x x′ óå ôñßá óçìåßá, åðïìÝíùò ç

åîßóùóç ( )f x 0= Ý÷åé ôñåéò ëýóåéò.

¸óôù ç óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï

( )x

x 1, x 0f x

e , x 0

+ <=

Íá âñåèïýí ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò fC ìå

ôïõò Üîïíåò x x′ êáé y y′ .

Ëýóç

ÈÝôïõìå x = 0, ïðüôå ( ) 0f 0 e= . ¢ñá ôï óçìåßï

ôïìÞò ìå ôïí Üîïíá y y′ åßíáé ôï (0, 1).

ÈÝôïõìå: ( )f x 0 x 1 0 x 1= ⇔ + = ⇔ = − . ¢ñá ôï

óçìåßï ôïìÞò ôçò fC ìå ôïí Üîïíá x x′ åßíáé ôï

( )1,0− . Ç åîßóùóç xe 0= , åßíáé áäýíáôç.

Óôï ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò f.

Íá âñåèïýí ôá x R∈ þóôå ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ìå

( ) ( )xf x n 2 e= −� íá åßíáé:

á. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′

â. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ .

Ëýóç

Èõìçèåßôå üôé:

• nx 0 x 1� > ⇔ >

• 1 2 1 20 x x nx nx� �< < ⇔ <

• 1 2x x

1 2x x α α ,α 1< ⇔ < >

• n1 0� =

• 0α 1, µε α 0= ≠

á. Ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′ , ãéá

ôá óôïé÷åßá x R∈ ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:

( ) ( ) ( )x x

x x 0

f x 0 n 2 e 0 n 2 e n1

2 e 1 e 1 e

x 0

� � �> ⇔ − > ⇔ − > ⇔

⇔ − > ⇔ < = ⇔

⇔ <

â. Ç fC âñßóêåôáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ , ãéá

ôá óôïé÷åßá x R∈ ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:

( ) ( )x

x x 0

f x 0 n 2 e 0 n1

2 e 1 e 1 e

x 0

� �< ⇔ − < =

⇔ − < ⇔ > =

⇔ >

A9

B10

A10

B11

Page 151: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8158

9

8

7

6 Íá âñåèïýí ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí ãñá-

öéêþí ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé

g ìå ôýðïõò:

( ) 2f x x 8= + êáé ( )g x 4x 5= +

Ëýóç

Åßíáé:

( ) ( ) 2

2

f x g x x 8 4x 5

x 4x 3 0 x 1 ή x 3

= ⇔ + = + ⇔

⇔ − + = ⇔ = =

¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôÜóå-

ùí ôùí f êáé g åßíáé ôá óçìåßá:

( )( ) ( )1,f 1 1,9= êáé ( )( ) ( )3,f 3 3,17=

Þ ( )( ) ( )1,g 1 1,9= êáé ( )( ) ( )3,g 3 3,17=

Ðáñáôçñþíôáò ôï ó÷Þìá íá ðñïóäéï-

ñßóåôå ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò á êáé â.

Ëýóç

Ç åõèåßá Ý÷åé åîßóùóç y λx µ= + , ôá óçìåßá ôï-

ìÞò ôçò åõèåßáò êáé ôçò óõíÜñôçóçò ( )y f x=

åßíáé ôá ( )1, 1− , (á, â) Üñá, éó÷ýïõí:

λ µ 1+ = − êáé 2 λ·0 µ− = +

áðü ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå: µ 2,λ 1= − = .

Éó÷ýïõí:

2β α= − êáé β α 2= − ïðüôå:

2 2α α 2 α α 2 0 α 1, α 2− = − ⇔ + − = ⇔ = = −

êáé åðåéäÞ á < 0 èá åßíáé α 2= − .

ÅðïìÝíùò êáé β 2 2 4= − − = − .

B4

B5

Ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñéóôÜíåé ôç ãñá-

öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò ( )y f x= .

Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé ç åîßóùóç ( )2f x 3= .

Ëýóç

Åßíáé ( ) ( )3

2f x 3 f x2

= ⇔ = . Ðáñáôçñïýìå üôé ç

åõèåßá 3

y2

= ôÝìíåé ôçí fC óå ôÝóóåñá óçìåßá.

Ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí áõôþí åßíáé ïé ôÝó-

óåñéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ( )2f x 3= .

Ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñéóôÜíåé ôç ãñá-

öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò

( )y f x 2= − .

Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé ç åîßóùóç ( )f x 0= .

Ëýóç

ÆçôÜìå ôéò ëýóåéò ôéò åîßóùóçò ( )f x 0= ðïõ åß-

íáé éóïäýíáìç ìå ôçí ( )f x 2 2− = − . Ðáñáôçñïý-

ìå üôé ç åõèåßá y 2= − Ý÷åé Ýíá ìüíï óçìåßï ôï-

ìÞò ìå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò

( )y f x 2= − , Üñá ç åîßóùóç ( )f x 0= Ý÷åé ìéá

ìüíï ëýóç.

Page 152: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò 159

ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C

TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ

10 ¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )f x x 1= − .

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò ç

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóçfC âñßóêåôáé ðÜíù áðü

ôçí åõèåßá y 2= .

Ëýóç

Áíáæçôïýìå ôá x ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:

( )f x 2 x 1 2 x 1 2 ή x 1 2

x 1 ή x 3

> ⇔ − > ⇔ − < − − >

⇔ < − >

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x R∈ ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f âñßóêåôáé

ðÜíù áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò g, üôáí:

i. ( ) ( )x xf x 2e 3 και g x e 2= − = −

ii. ( ) ( )3f x x 2x 4 και g x x 4= − + = − +

11

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã56. Íá âñåßôå ôá óçìåßá óôá ïðïßá ôÝìíåé

ôïõò Üîïíåò x x′ êáé y y′ ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò

( ) ( )( )2 2f x x 1 x 4= − + .

Ã57. Äßäåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå

( ) ( )2f x x 9 x 1= − − .

Ðïéá åßíáé ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò

ðáñÜóôáóçò ìå ôïõò Üîïíåò.

Ã58. Ðïý ôÝìíåé ç Cg ôïí Üîïíá x'x áí

( )2

1g x

x 3x 4=

− +

Ã59. ¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )f x x 1= −

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò

Ëýóç

i. Åßíáé,

( ) ( ) x x x

x 0

f x g x 2e 3 e 2 e 1

e e x 0

> ⇔ − > − ⇔ >

⇔ > ⇔ >

Üñá, ãéá êÜèå ( )x 0,∈ +∞ ç fC åßíáé ðÜíù

áðü ôç gC .

ii. Åßíáé,

( ) ( )

( ) ( )( )

3 3

2

f x g x x 2x 4 x 4 x 3x 0

x x 3 0 x x 3 x 3 0

> ⇔ − + > − + ⇔ − >

⇔ − > ⇔ − + >

ïðüôå, ãéá êÜèå ( ) ( )x 3,0 3,∈ − ∪ +∞ éó÷ýåé

( ) ( )f x g x> .

ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóçfC âñßóêåôáé ðÜíù

áðü ôçí åõèåßá y 5= .

Ã60. Íá âñåèïýí ôá x R∈ þóôå ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ìå

( ) ( )xf x n 1 e= −� íá åßíáé:

á. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′ .

â. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ .

Ã61. Íá âñåèïýí ôá äéáóôÞìáôá óôá ïðïßá ç

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

( )2x 2

x1

f x ee

= −

âñßóêåôáé:

i. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x'x,

ii. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x'x.

(âë. áóê.Â.128)

A9

B8

B10

B3

A9

Á10

Â4

Â5

B8

B10

Page 153: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8160

Ã62. Íá âñåèåß óå ðïéá óçìåßá ç ãñáöéêÞ ðá-

ñÜóôáóç ôçò ( ) ( )[ ]2f x n n x x e= − +� �

ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x′ . (âë. áóê.Â.136)

Ã63. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôá-

óç ôçò óõíÜñôçóçò ( )f x x 3= + âñßóêå-

ôáé ðÜíù áðü ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

( )g x x 2 x= − + ; (âë. áóê.9, óåë.60)

Ã64.i. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ç óõíÜñôçóç

( )f x 5x 6= − âñßóêåôáé ìåôáîý ôùí

åõèåéþí y 2= êáé y 8= ;

(âë. áóê.7, óåë. 59)

ii. Íá âñåßôå ôéò áêÝñáéåò ôéìÝò ôïõ k

þóôå ç åõèåßá ( )ε : y k= íá ôÝìíåé

óõã÷ñüíùò ôéò óõíáñôÞóåéò:

( ) 2

1c : y x 2x 3= − + + êáé

( ) 2

2

1c : y x 4x 3

2= − +

iii. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôýðïõò

( )f x x x= + êáé ( )g x x x= −

Íá åîåôÜóåôå áí ïé ãñáöéêÝò ôïõò ôÝìíïíôáé.

(âë. áóê.A6.6)

Ã65. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò

ðáñÜóôáóçò ôçò ( )2

x 7 6f x

x 1 x x

+= +

+ + ìå

ôçí äé÷ïôüìï ôçò 1çò - 3çò ãùíßáò ôùí

áîüíùí. (âë. áóê.2, óåë.85)

Ã66. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôùí ãñáöéêþí

ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí ìå ôý-

ðïõò:

( ) 2f x x x 1= − + êáé ( )g x 1 2x= −

(âë. áóê.4, óåë.86)

Ã67. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò åõèåßáò

y=2 ìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò ( )f x ηµx 3συνx= + .

(âë. áóê.4, óåë.37)

Ïìïßùò áí

( ) ( )2x 3x

2f x x 2x 2

= + − êáé y=1.

(âë. ð÷. óåë. 112)

Boçèçôéêüò ðßíáêáòÃ.9

Ðñïóäéïñßæïõìå áñêåôÜ óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ xOy áðü ôá ïðïßá äéÝñ÷åôáé ç êáìðýëç ôçò ãñáöéêÞò

ðáñÜóôáóçò, èÝôïíôáò óôïí ôýðï ( )y f x= ôçò óõíÜñôçóçò óõãêåêñéìÝíåò ôéìÝò ôçò áíáîÜñôçôçò

ìåôáâëçôÞò x.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

ν ν ν ν ν ν

x x y f x M x , y

x x y f x M x , y

x x y f x M x , y

x x y f x M x , y

= → = →

= → = →

= → = →

= → = →

Ìå ìïñöÞ ðßíáêá Ý÷ïõìå:

Á9

Á4

Â4

Â5

Â8

Â10

Page 154: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 161

ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóçÃ.10

¼ñéï

óõíÜñôçóçò

üôáí

0x x→

Ãéá ôçí “ôïðéêÞ” ìåëÝôç ìéáò óõíÜñôçóçò f, åíäéáöÝñïí Ý÷åé ç óõìðåñéöïñÜ

ôçò óõíÜñôçóçò ãýñù áðï êÜðïéá èÝóç x0 (äçëáäÞ üôáí ôï x âñßóêåôáé ðïëý

êïíôÜ óôï x0) Þ óôï +∞ Þ óôï −∞ .

Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: ( )2x 1

f x , x 1x 1

−= ≠

Ç ðáñáðÜíù óõíÜñôçóç äåí ïñßæåôáé ãéá x = 1, üìùò ìðïñïýìå íá âãÜëïõìå

êÜðïéá óõìðåñÜóìáôá ãéá ôç óõìðåñéöïñÜ ôçò ãýñù êáé ðïëý êïíôÜ óôç èÝóç

x = 1.

Ðáñáôçñïýìå üôé:

• Áí ôï x ðëçóéÜæåé ôï 1 áðü ôá áñéóôåñÜ , ôï f(x) ðëçóéÜæåé ôïí áñéèìü 2 ìå

( )f x 2< . Ôüôå ãñÜöïõìå ( )x 1

lim f x 2−

= .

• Áí ôï x ðëçóéÜæåé ôï 1 áðü ôá äåîéÜ ,ôï f(x) ðëçóéÜæåé ðÜëé ôïí áñéèìü 2 ìå ( )f x 2> .Ôüôå ãñÜöïõìå

( )x 1

lim f x 2+

= . ÓõìðåñáóìáôéêÜ ëÝìå üôé ,

ôï üñéï ôçò f üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 åßíáé ôï 2 , êáé óõìâïëéêÜ

ãñÜöïõìå: ( )x 1

lim f x 2→

= .

Ãåíéêüôåñá, ï óõìâïëéóìüò ( )0

x xlim f x→

= � óçìáßíåé üôé üôáí ôï x ðáßñ-

íåé ôéìÝò êïíôÜ óôï x0 , ôüôå ôï f(x) ðáßñíåé ôéìÝò êïíôÜ óôï R∈� .

ÐáñáôÞñçóç:

Áðï ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò åßíáé öáíåñü ïðïéïäÞðïôå üñéï

ôçò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá óôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñáôçñÞóôå üôé:

( ) ( )

( ) ( )x 3 x 2

x 1 x 2

limf x 2, limf x 1,

lim f x 1, lim f x 0

→ →

→− →−

= =

= =

ÐáñáôçñÞóôå üôé ôá - 2,- 1,3 áíÞêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý Á ôçò f , åíþ ôï 2 äåí áíÞêåé óôï Á, áëëÜ õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ

Ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ðåôõ÷áßíïõìå óå ðÜñá ðïëý óôïé÷åéþäåò

åðßðåäï (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ ãõìíáóßïõ) ìå ôç âïÞèåéá åíüò ðßíáêá ôéìþí.

¸íá äåýôåñï åðßðåäï (ðëçñÝóôåñçò ìåëÝôçò) áðïôåëïýí ôá óôÜäéá-âÞìáôá ðïõ ðñïç-

ãÞèçêáí (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ Ëõêåßïõ) êáé ôï ôåëåõôáßï åðßðåäï (ðëÞñïõò

ìåëÝôçò) ðåôõ÷áßíïõìå ìå ôçí âïÞèåéá ôùí ïñßùí êáé ôùí ðáñáãþãùí. ÊÜíïõìå óôç óõíÝ÷åéá ìéá áíáöïñÜ

óôï èÝìá ôïõ üñéïõ óõíÜñôçóçò þóôå íá áíôéëçöèïýìå êáëýôåñá ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôùí óôïé÷åéùäþí

óõíáñôÞóåùí ðïõ áêïëïõèïýí ÷ùñßò âÝâáéá ó’áõôÞ ôç öÜóç íá ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôá áêñéâÞ üñéá

ðïõ åßíáé Üêñùò áðáñáßôçôá ãéá ôçí ðëÞñç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç.

÷ ÷1

÷2

÷3

..... ÷4

( )y f x= ( )1 1y f x= ( )2 2

y f x= ( )3 3y f x= ..... ( )ν ν

y f x=

Page 155: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10162

Á êïíôÜ óôï x = 2.

¼ñéá üðùò ( ) ( )1 x 4

x2

lim f x , limf x→

→−

,äåí Ý÷ïõí íüçìá, áöïý ãéá ôïõò áñéèìïýò 1και 4

2− ðïõ äåí áíÞêïõí óôï

Á, äåí õðÜñ÷ïõí êáé óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ ó’áõôÜ. ÅðïìÝíùò,áí f åßíáé óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý Á, ôüôå ôï

üñéï ôçò f óôï x0 Ý÷åé íüçìá áí:

• ôï x0 áíÞêåé óôï Á êáé õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ óôï x

0 .

• ôï x0 äåí áíÞêåé óôï Á, áëëÜ õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ óôï x

0 .

Ôá ðáñáðÜíù óõìâáßíïõí áí ôï x0 åßíáé ôïõëÜ÷éóôïí áíïéêôü Üêñï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò f.

ÅöáñìïãÞ:

Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ( )1

f xx 1

=−

.

Áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 (ïðüôå êáé ï ðáñïíïìáóôÞò åßíáé

Ýíáò áñéèìüò êïíôÜ óôï 0), ôüôå ç f èá ëáìâÜíåé ïðùóäÞðïôå ðïëý

ìåãÜëåò ôéìÝò êáô’ áðüëõôç ôéìÞ.

Åéäéêüôåñá ,áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 êáé åßíáé x > 1( ï

ðáñïíïìáóôÞò åßíáé Ýíáò áñéèìüò êïíôÜ óôï 0 èåôéêüò), ôüôå ïé ôéìÝò

ôçò f èá åßíáé ðÜñá ðïëý ìåãÜëïé èåôéêïß áñéèìïß.

ËÝìå ôüôå üôé :

“ç f Ý÷åé üñéï ôï + ∞ , üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 áðï ôá äåîéÜ ” êáé

ãñÜöïõìå :

x 1

1lim

x 1+→

= +∞−

Áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 êáé åßíáé x < 1( ï ðáñïíïìáóôÞò åßíáé Ýíáò áñéèìüò áñíçôéêüò ), ôüôå ïé ôéìÝò

ôçò f èá åßíáé áñíçôéêÝò. ËÝìå ôüôå üôé :

“ ç f Ý÷åé üñéï ôï −∞ , üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 áðü ôá áñéóôåñÜ ” êáé ãñÜöïõìå:

x 1

1lim

x 1−→

= −∞−

Ôá üñéá ( ) ( )x 1 x 1

lim f x , lim f x− +

→ →

ïíïìÜæïíôáé ðëåõñéêÜ üñéá ôçò f óôç èÝóç x = 1.

Áí Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðï ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò óôç èÝóç x0 åßíáé Üðåéñï ( )±∞ ôüôå ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç x = x0 .

Ãéá ôç óõíÜñôçóç ( )1

f xx 1

=−

ðïõ Ý÷åé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçí åõèåßá x =1, ôá ðëåõñéêÜ üñéá åñìçíåýïíôáé

ãñáöéêÜ óôï äéðëáíü ó÷Þìá .

Áí ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò f óå êÜðïéá èÝóç x = x0 åßíáé ßóá, ôüôå ëÝìå üôé õðÜñ÷åé ôï üñéï ôçò f óôç èÝóç

x = x0 ôï ïðïßï óõìâïëßæïõìå ìå ( )

0x xlim f x→

.

Page 156: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 163

ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

Ôüôå éó÷ýåé: ( ) ( ) ( )00 0

x xx x x x

lim f x lim f x lim f x− + →→ →

= =

Áí ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò f óå êÜðïéá èÝóç x = x0 äåí åßíáé ßóá, ôüôå ëÝìå üôé äåí õðÜñ÷åé ôï

üñéï ôçò f óôç èÝóç x = x0 .

Ãéá ôç óõíÜñôçóç ( )1

f xx 1

=−

éó÷ýåé ( ) ( )x 1 x 1

lim f x lim f x− +

→ →

≠ ,ïðüôå óõìðåñáßíïõìå üôé ôï üñéï ôçò f óôç

èÝóç x = 1 äåí õðÜñ÷åé.

ÐáñáôÞñçóç:

Ôá óýìâïëá + ∞ και −∞ ìðïñïýìå íá ôá “÷åéñéæüìáóôå” óå áñêåôÝò ðåñéðôþóåéò ùò “áñéèìïýò” ìå ôá

ðñüóçìÜ ôïõò íá ðáßæïõí ôïí ßäéï ñüëï ìå áõôÜ ôùí áñéèìþí.

¼ëåò ïé ðñÜîåéò ìåôáîý ôïõ ±∞ êáé ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ( åêôüò ôïõ ìçäåíüò ) ïñßæïíôáé ìå ðñïöáíÞ

ôñüðï.

Éó÷ýåé ãéá ðáñÜäåéãìá,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10

2002 , 1960 , 2 , ,100

+∞+∞ − = +∞ −∞ − = −∞ − ⋅ −∞ = +∞ = +∞ −∞ = +∞

ÕðÜñ÷ïõí üìùò êáé ðñÜîåéò ðïõ äåí åßíáé åðéôñåðôÝò.

ÁõôÝò åßíáé ïé :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

, , , 0 , , 1 , 0+∞ +∞

±∞−∞ + +∞ +∞ − +∞ ⋅ ±∞ +∞

±∞

ïé ïðïßåò ìáæß ìå ôéò 00

,00

áðïôåëïýí ôéò áðñïóäéüñéóôåò ìïñöÝò ðïõ èá ìåëåôÞóïõìå óå åðüìåíá

êåöÜëáéá.

Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ( )1

f xx

= .¼ôáí ï ðáñïíï-

ìáóôÞò åßíáé ìåãÜëïò êáô’ áðüëõôç ôéìÞ , äçëáäÞ üôáí ôï x

ôåßíåé óôï +∞ Þ óôï −∞ , ôüôå ç ôéìÞ ôçò f âñßóêåôáé ðïëý

êïíôÜ óôï 0.

ÃñÜöïõìå ôüôå: x x

1 1lim 0 , lim 0

x x→+∞ →−∞

= = .

ÃñáöéêÜ áõôü óçìáßíåé üôé ç Cf Ý÷åé óôï +∞ êáé óôï −∞ , ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçí åõèåßá

y = 0 ( âë. ó÷Þìá ).

ÅðåéäÞ f(x) > 0 üôáí x ôåßíåé óôï +∞ , ç êáìðýëç ðñïóåããßæåé ôçí y = 0 áðï “ðÜíù” óôï +∞ . Ïìïßùò åðåéäÞ f(x)

< 0 üôáí x ôåßíåé óôï −∞ , ç êáìðýëç ðñïóåããßæåé ôçí y = 0 áðï “êÜôù” óôï −∞ .

Ãåíéêüôåñá , áí ãéá ìéá óõíÜñôçóç f éó÷ýåé : ( ) ( )x x

lim f x k R lim f x k R→+∞ →−∞

= ∈ η = ∈ ôüôå ç Cf Ý÷åé

ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçí åõèåßá y = k óôï +∞ Þ óôï −∞ áíôßóôïé÷á.

Ó÷üëéï

Áí ( ) ( )x x

lim f x lim f x→+∞ →−∞

= ±∞ η = ±∞ ôüôå ç Cf äåí Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç óôï +∞ Þ óôï −∞ , áíôß-

óôïé÷á.

Åßíáé äõíáôü ìéá óõíÜñôçóç íá Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ìüíï óôï +∞ Þ ìüíï óôï −∞ Þ íá Ý÷åé äéáöï-

Page 157: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10164

ñåôéêÝò áóýìðôùôåò óôï +∞ êáé óôï −∞ Þ êáé ôçí ßäéá.

Áðü ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü óõìðåñáßíïõìå üôé áíáæçôïýìå ôéò êáôáêüñõöåò áóýìðôùôåò óõíáñôÞóåùí óôá

áíïéêôÜ Üêñá ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý åêôüò ôùí ±∞ .

ð.÷. Ãéá ôç óõíÜñôçóç ( )( )( )

1f x

x 2 x 1=

− +

, Ý÷ïõìå :

( )x 2

lim f x−

= −∞ êáé ( )x 2

lim f x+

= +∞ êáé ( )x 1

lim f x−

→−

= +∞

êáé ( )x 1

lim f x+

→−

= −∞

¢ñá ïé åõèåßåò x = 2 êáé x = - 1 åßíáé êáôáêüñõöåò á-

óýìðôùôåò ôçò Cf.

Åðßóçò åßíáé ( )x

lim f x 0→±∞

= êáé óõíåðþò ç åõèåßá y = 0

åßíáé ç ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçò Cf óôï +∞ êáé óôï −∞ .

Ìå ôç âïÞèåéá êáé ìüíï ôùí ðáñáðÜíù ïñßùí êÜíïõìå ìéá

áñêåôÜ éêáíïðïéçôéêÞ ðñïóÝããéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá.

Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáêÜôù èåùñÞìáôïò äéåõêïëýíåôáé ï õðïëïãéóìüò ïñßùí (Üëãåâñá ïñßùí):

Áí ôá üñéá 0 0

x x x x

lim f (x) και lim g(x)→ →

õðÜñ÷ïõí êáé åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ôüôå:

( )0 0 0

x x x x x xlim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)→ → →

+ = + ( )0 0

x x x xlim k f (x) k lim f (x) , k R→ →

⋅ = ∈

( )0 0 0

x x x x x xlim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)→ → →

⋅ = ⋅ ( ) ( )0 0

νν

x x x xlim f (x) lim f (x) , ν Ν→ →

= ∈ ìå v 2≥

( )

( )0

0 0

0

x x

x x x x

x x

lim f (x)f xlim , lim g(x) 0

g x lim g(x)

→ →

= ≠0 0

x x x xlim f (x) lim f (x)→ →

=

0 0

ν ν

x x x x

lim f (x) lim f (x) µε f (x) 0→ →

= ≥ êïíôÜ óôï x0 , v N∈ ìå v 2≥ .

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò áõîÜíïíôáé áðåñéüñéóôá üôáí ôï x áõîÜíåôáé áðåñéüñé-

óôá, ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï + ∞ åßíáé ôï + ∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâï-

ëéêÜ: ( )x

lim f x→+∞

= +∞ .

Õðïëïãéóìüò

ïñßïõ

óõíÜñôçóçò

üôáí

x→ ±∞

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò

ìåéþíïíôáé áðåñéüñéóôá

üôáí ôï x áõîÜíåôáé áðåñéü-

ñéóôá , ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò

óõíÜñôçóçò óôï + ∞ åß-

íáé ôï −∞ êáé ãñÜöïõìå

( )x

lim f x→+∞

= −∞ .

Page 158: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 165

ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

Óôïí äéðëáíü ðßíáêá äßíïõìå

ôá üñéá óôï + ∞ και −∞

âáóéêþí óõíáñôÞóåùí.

Ó÷üëéá

1. Áí ãíùñßæïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí åêèåôéêþí êáé ëïãáñéèìéêþí óõíáñôÞóåùí äåí åßíáé

áðáñáßôçôï íá áðïìíçìïíåýóïõìå ôá áíôßóôïé÷á üñéá ðïõ áíáöÝñïíôáé óôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá.

2. Ï õðïëïãéóìüò ôùí ïñßùí óôï Üðåéñï ãßíåôáé ìå ôïõò ßäéïõò êáíüíåò (óåë.211) ìå ôïõò ïðïßïõò õðïëïãß-

æïõìå üñéá óå ðñáãìáôéêü áñéèìü, åöüóïí ïé “ïñéáêÝò ðñÜîåéò” ðïõ ðáñïõóéÜæïíôáé åßíáé åðéôñåðôÝò.

3. Èõìßæïõìå ôéò ìç åðéôñåðôÝò ðñÜîåéò ðïõ ó÷åôßæïíôáé ìå ôï ±∞ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

, , , 0 , , 1 , 0+∞ +∞

±∞−∞ + +∞ +∞ − +∞ ⋅ ±∞ +∞

±∞

4. Åðßóçò, ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå üôé ãéá ôá üñéá óôï Üðåéñï ðïëõùíõìéêÞò óõíÜñôçóçò ï üñïò ðïõ

“áðïêëßíåé ãñçãïñüôåñá” óôï Üðåéñï åßíáé ï ìåãéóôïâÜèìéïò üñïò, ïðüôå ãéá íá âñïýìå ôï üñéï ðïëõù-

íõìéêÞò óõíÜñôçóçò áñêåß íá âñïýìå ôï üñéï ôïõ ìåãéóôïâÜèìéïõ üñïõ ôçò.

5. Ôá óõìðåñÜóìáôá ôùí ðñïçãïýìåíùí óôáäßùí - âçìÜôùí ìåëÝôçò ( Ã1 - Ã10 ) äßíïõí ôçí êáìðýëç

ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f äçëáäÞ ôçí fC üðùò óõíçèßæïõìå íá ôçí óõìâïëßæïõìå.

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò áõîÜíïíôáé áðå-

ñéüñéóôá üôáí ôï x ìåéþíåôáé áðåñéüñéóôá, ëÝìå

üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï −∞ åßíáé

ôï + ∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâïëé-

êÜ: ( )x

lim f x→−∞

= +∞ .

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò ìåéþíïíôáé á-

ðåñéüñéóôá üôáí ôï x ìåéþíåôáé áðåñéüñéóôá,

ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï

−∞ åßíáé ôï −∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâïëé-

êÜ: ( )x

lim f x→−∞

= −∞

Page 159: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10166

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

3

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá õðïëïãéóôåß ôï ( )x 2

lim f x→

, áí

( )( )

− − −=

2

2

x 3x

x 2x 2007 x 1f x

e

Ëýóç

ÌåôÜ ôï äéáéóèçôéêü - ãåùìåôñéêü ôñüðï ïñéóìïý

åßíáé öáíåñü üôé óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ ôï 0x åßíáé

óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò (ãéá

ìïíïý ôýðïõ óõíáñôÞóåéò) ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïñßïõ

èá ãßíåôáé ìå áð’ åõèåßáò áíôéêáôÜóôáóç ôïõ x ìå ôï

0x óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò êáé óôç óõíÝ÷åéá

åêôÝëåóç ôùí åðéôñåðüìåíùí ðñÜîåùí.

¸ôóé èÝôïõìå üðïõ ÷ ôï 2 êáé Ý÷ïõìå:

( ) ( )2 2

2 2

x 3x 2 3 2x 2

2

2

x 2x 2007 x 1 2 2 2 2007 2 1lim

e e

20072007e

e

− − ⋅→

− − − − ⋅ − −=

−= = −

Íá õðïëïãßóåôå ôá üñéá:

á. ( )2

x 1

lim x 3x 2→

+ −

â. ( )xx 0

lim ln 2 e→

ã. ( )2

x 0

lim 2ηµ x 4→

+

ä. 2

x 0

x 1 2lim

x 1→

+ −

Ëýóç

á. ÈÝôïõìå üðïõ x ôï 1 êáé Ý÷ïõìå:

( )2 2

x 1

lim x 3x 2 1 3 1 2 2→

+ − = + ⋅ − =

â. Ïìïßùò:

( ) ( )x 0

x 0 x 0

limln 2 e limln 2 e ln1 0→ →

− = − = =

ã. ( )2 2

x 0

lim 2ηµ x 4 2ηµ 0 4 0 4 4→

+ = + = + =

ä. 2 2

x 0

x 1 2 0 1 2lim 1

x 1 0 1→

+ − + −= =

− −

Áí ( )

2

3

x 2 , αν x 2

f x x 3x 4, αν x 2

x 1

+ ≤

= − +>

íá õðïëïãßóåôå ôá üñéá:

á. ( )x 0

lim f x→

êáé â. ( )x 2

lim f x→

Ëýóç

Áí ï ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò Ý÷åé êëÜäïõò, (ðïëëá-

ðëïý ôýðïõ óõíÜñôçóç), ôüôå ãéá íá õðïëïãßóïõ-

ìå ôï üñéü ôçò , óôç èÝóç áëëáãÞò ôùí êëÜäùí ,

õðïëïãßæïõìå ôá ðëåõñéêÜ üñéá óôç èÝóç áõôÞ.

á. ÅðåéäÞ 0 2< , Ý÷ïõìå:

( ) ( )2 2

x 0 x 0

limf x lim x 2 0 2 2→ →

= + = + =

â. Ôï 0x 2= åßíáé ôï óçìåßï óôï ïðïßï áëëÜæåé

ï ôýðïò ôçò f.

• Áí x 2−

→ , ôüôå x 2< êáé óõíåðþò

( ) ( )2

x 2 x 2

lim f x lim x 2 6− −

→ →

= + =

• Áí x 2+

→ , ôüôå x 2> êáé

( )3 3

x 2 x 2

x 3x 4 2 3 2 4lim f x lim 6

x 1 2 1+ +→ →

− + − ⋅ += = =

− −

ÅðåéäÞ åßíáé ( ) ( )x 2 x 2

lim f x lim f x 6− +

→ →

= = , èá åßíáé

êáé ( )x 2

lim f x 6→

= .

Page 160: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 167

ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã68. Ðïéá áðü ôéò óõíáñôÞóåéò ôùí ïðïßùí ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç âëÝðåôå ðáñáêÜôù åßíáé ãíçóßùò

áýîïõóá;

Ã69. Ìå âÜóç ôï ó÷Þìá íá óõìðëçñþóåôå ôá ðáñáêÜôù êåíÜ:

á. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï......................

â. Ôï óýíïëï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï..........................

ã. Ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ............ êáé ç åëÜ÷éóôç

ôéìÞ åßíáé ............, üôáí =x ..............

Ã70. Á. Ìå âÜóç ôï äéðëáíü óÞìá íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ.

á. ( ) ...4f = ( ) ...xfim3x

=−→

â. ( ) ...ximf1x

=+

−→

� ( ) ...xfim1x

=−

−→

ã. ( ) 2xfim...x

=→

� ( ) 1xfim...x

=→

Ã71. á. Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ þóôå ïé ðáñáêÜôù ìïñöÝò íá åßíáé áðñïóäéüñéóôåò.

0

..., ... .0 ,

...

∞+, ( )...−∞+ , ( ) ...+∞−

â. Ìå âÜóç ôï äéðëáíü ó÷Þìá íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ

( ) .....xfimx

=+∞→

� ( ) .....xfim2x

=−

( ) .....xfim2x

=+

� ( ) .....xfimx

=−∞→

.....)x(f

1im1x

=+

� ......)x(f

1im3x

=+

Page 161: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10168

Ã72. Íá õðïëïãßóåôå ôá åðüìåíá üñéá:

á. ( ) ( )3 7

x 0lim x 2 2x 1→

− ⋅ −

â. ( )2

x 1

lim x 5x 7→

+ −

ã. ( )x 1

lim f x→

, áí ( )4x, x 1

f x3x 1, x 1

≤=

+ <

ä. x 0

3x 10lim

x 5→

+

Ã73. Íá âñåèåß ï α R∈ áí,

( )2 2

x 2

lim x 3αx α 5 1→

− + + =

Ã74. Óôï ó÷Þìá ðá-

ñéóôÜíåôáé ç ãñáöé-

êÞ ðáñÜóôáóç êÜ-

ðïéáò óõíÜñôçóçò f.

Íá ðñïóäéïñßóåôå

(áí õðÜñ÷ïõí) ôá

üñéá:

( ) ( ) ( )x 1 x 2 x 3

lim f x , lim f x , lim f x→− → →

Ã75. ÐáñáêÜôù äßäïíôáé ïé ãñáöéêÝò ðáñá-

óôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g. Ná

âñåßôå ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí ôïõò.

Ã76. á. Íá âñåßôå ôï k R∈ þóôå ôï óçìåßï

( )A 2,k íá áíÞêåé óôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôá-

óç ôçò ( )x 2

f xx

+= .â. Íá âñåßôå ôï k R∈

þóôå ( )f k 4= üðïõ ( ) 2f x x 3x= + .

ã. Íá âñåßôå ôï k R∈ þóôå ôï óçìåßï ( )A 1,2

íá áíÞêå é óôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

( )αx 1

f x3x

+= .ä) Íá âñåßôå ôá α,β R∈ þóôå

ôá óçìåßá ( )A 1,5 êáé ( )B 0,3 íá áíÞêïõí

óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ( )f x αx β= + .

Ã77. Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá äßíåôáé ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f. Ná óõ-

ìðëçñþóåôå ôéò ðñïôÜóåéò:

i . Ôï Ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé:...................

ii. Ôï Óýíïëï ôéìþí ôçò f åßíáé: ........................

iii. Ôá äéáóôÞìáôá üðïõ ç f åßíáé áýîïõóá åß-

íáé: ........................................................

iv. Ôá äéáóôÞìáôá üðïõ ç f åßíáé öèßíïõóá åß-

íáé: ............................................................

v. Ç f ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôï: ..............................

vi. Ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï: ............................

vii.Ðïéá áðü ôá óçìåßá Á(0,1), Â(3,–2), Ã(2,0),

Ä(3,2), Å(4,1) áíÞêïõí óôç ãñáöéêÞ ðáñÜ-

óôáóç ôçò f ; ..........................................

viii.H ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí x x′

óôá óçìåßá: ...............................................

ix. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí y y′

óôï óçìåßï: ..............................................

Â4

Â5

Page 162: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 169

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

ÂáóéêÝò - Óôïé÷åéþäåéò ÓõíáñôÞóåéò

1. ( )f x c, c R= ∈ (óôáèåñÞ óõíÜñôçóç)

2. ( ) *f x αx, α R= ∈ (åõèåßá)

3. ( )f x αx β, αβ 0= + ≠ (åõèåßá)

4. ( ) 2 *f x αx , α R= ∈ (ðáñáâïëÞ)

5. ( ) 2f x αx βx γ, α 0= + + ≠ (ðáñáâïëÞ)

6. ( )α

f x , α Rx

= ∈ (õðåñâïëÞ)

7. ( )f x x= (áðüëõôç ôéìÞ)

8. ( )f x x= (ôåôñáãùíéêÞ ñßæá)

9. ( ) xf x α , 0 α 1= < ≠ (åêèåôéêÞ ìå âÜóç á)

10. ( )α

f x log x, 0 α 1= < ≠ (ëïãáñéèìéêÞ ìå âÜóç á, 0 α 1< ≠ )

11. ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò

á) ( )f x ηµx= â) ( )f x συνx= ã) ( )f x εφx= ä) ( )f x σφx=

Page 163: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10170

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá:

3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé Üñôéá. ÅðïìÝíùò ç fC åßíáé êáìðýëç óõììåôñéêÞ ìå Üîïíá

óõììåôñßáò ôïí Üîïíá y 'y

4. Óýíïëï ôéìþí: Ôï ìïíïóýíïëï { }c

5. Ìïíïôïíßá: Ç óõíÜñôçóç f ÷áñáêôçñßæåôáé óôáèåñÞ óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï fA R=

7. Áêñüôáôá: Ôáõôßæåôáé ôï ìÝãéóôï ìå ôï åëÜ÷éóôï ßóá ìå c.

8. Ðïõ ôÝìíåé ç fC ôïõò Üîïíåò:

( )

f

y ' y : Στο σηµείο 0,c

αν c 0 δεν τέµνει τον άξονα x 'xx 'x :

αν c 0 η C ταυτίζεται µε τον x 'x

=

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Ç fC åßíáé åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x 'x .

ÅéäéêÜ áí c 0= ôüôå åßíáé ï Üîïíáò x 'x .

Ó÷üëéï

Áí c 0< ç åõèåßá åßíáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x 'x .

Áí c 0> ç åõèåßá åßíáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x 'x .

Áí c 0= ç åõèåßá åßíáé ï Üîïíáò x 'x .

1. 1. 1. 1. 1. ( )f x c, c R= ∈

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã78. i. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç óõíÜñôçóç:

( ) ( ) ( )6 6 4 4f x 2 ηµ x συν x 3 συν x ηµ x= + − +

åßíáé óôáèåñÞ. (âë. áóê. Á41)

ii. Íá âñåèåß ï Rλ ∈ þóôå ç óõíÜñôçóç

( ) ( )6 6 4 4f x ηµ x συν x λ ηµ x συν θ= + + +

íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ ôüîïõ x.

(âë. áóê. Á8.1)

Ã79. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )( )( )

( )

2

2 2

x x 12x 35 x 5f x

x 5 3x 21x

− + −=

− ⋅ −

á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

â. Íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñÞ

óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Page 164: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 171

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

2. 2. 2. 2. 2. ( ) *f x αx, α R= ∈

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá: äåí ðáñïõóéÜæåé

3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ ïðüôå ç fC åßíáé óõììåôñéêÞ ìå êÝíôñï óõììåôñßáò ôçí

áñ÷Þ ôùí áîüíùí ( )O 0,0 .

4. Óýíïëï ôéìþí: R

5. Ìïíïôïíßá: αν α 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο R

αν α 0 η f είναι γν. αύξουσα στο R

<

>

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï f

Α R= ãéá êÜèå *

α R∈

7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé áêñüôáôåò ôéìÝò.

8. Ðïõ ôÝìíåé ç fC ôïõò Üîïíåò:

( )

( )

y ' y στο σηµείο O 0,0

x 'x στο σηµείο O 0,0

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Ç fC åßíáé åõèåßá ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí ( )O 0,0 .

Page 165: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10172

ÓõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò Þ êëßóç ìéáò åõèåßáò å ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí

áñ÷Þ ôùí áîüíùí ( )O 0,0 ïíïìÜæïõìå ôçí åöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò ù ðïõ

ó÷çìáôßæåé ï èåôéêüò çìéÜîïíáò O÷ óôñåöüìåíïò èåôéêÜ (áíôßèåôá ìå ôïõò

äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý) ìÝ÷ñé íá óõìðÝóåé ãéá ðñþôç öïñÜ ìå ôçí åõèåßá å

(Ó÷. 3).

Ôïí óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò, äçëáäÞ ôçí åöù, óõìïâëßæïõìå ìå ελ .

ÃñÜöïõìå ελ εφω α= = .

Ó÷üëéá

i. ¼ôáí α 0< ç ãùíßá ù åßíáé áìâëåßá (ó÷. 1)

¼ôáí α 0> ç ãùíßá ù åßíáé ïîåßá (ó÷. 2)

ii. ¼ôáí α 0< ãéá äýï ôéìÝò 1 2α α , α α= = ìå

1 2α α< åßíáé

1 2ω ω<

(âë.ó÷. 4).

¼ôáí α 0> ãéá äýï ôéìÝò 1 2

α α , α α= = ìå 1 2

α α< åßíáé 1 2

ω ω<

(âë.ó÷. 5).

iii. Ï Üîïíáò x 'x åßíáé åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí

åßíáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõíÜñôçóçò ìå åîßóùóç y 0 x= ⋅ äçëáäÞ

y 0= êáé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò 0.

Ï Üîïíáò y 'y åßíáé åðßóçò åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí

áîüíùí, ÄÅÍ ÅÉÍÁÉ ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Ý÷åé åîß-

óùóç x 0= êáé äåí ïñßæåôáé ãé’áõôÞí óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò.

Ãåíéêüôåñá äåí ïñßæåôáé óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ãéá ïðïéáäÞðïôå

åõèåßá êÜèåôç óôïí Üîïíá x 'x , ÄÅÍ ÅÉÍÁÉ ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ êáé áí õðïèÝóïõ-

ìå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )0 0M x , y Ý÷åé åîßóùóç

0x x=

(âë.ó÷. 6).

iv. Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò äýï óõíáñôÞóåùí ( )1 1

y f x α x= = êáé

( )2 2

y f x α x= = ìå 1 2

α 0, α 0≠ ≠ åßíáé öáíåñü üôé ôÝìíïíôáé óôï

óçìåßï ( )0 0,0 êáé åéäéêÜ áí 1 2

α α 1⋅ = − ôÝìíïíôáé êÜèåôá (âë.ó÷. 7)

Page 166: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 173

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

á. Íá õðïëïãßóåôå ôéò åöáðôïìÝíåò

ôùí ãùíéþí, ðïõ ó÷çìáôßæïõí åõèåßåò ðïõ

äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá óçìåßá Á, Â, Ã, Ä, Å, Æ

ìå ôïí èåôéêü çìéÜîïíá Ï÷.

v. Áðü ôçí éóïäõíáìßá

x 0 yy αx α

x

= ⇔ =

â. Íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò áõôþí ôùí åõèåéþí.

ã. Íá âñåßôå üëåò ôéò äõíáôÝò ôñéÜäåò óõ-

íåõèåéáêþí óçìåßùí êáé íá áíáöÝñåôáé

êÜèå öïñÜ êáé ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò.

äéáðéóôþíïõìå üôé ðáñÜ ôçí óõíå÷Þ ìåôáâïëÞ

ôùí ìåôáâëçôþí (ðïóþí) x, y ôï ðçëßêï ôïõò

ðáñáìÝíåé óôáèåñü.

Åßíáé ëïéðüí ç ìáèçìáôéêÞ Ýêöñáóç ôùí ÁÍÁ-

ËÏÃÙÍ ÐÏÓÙÍ.

Ôï óôáèåñü áõôü ðçëßêï ïñßóáìå ùò óõíôåëå-

óôÞ äéåýèõíóçò Þ êëßóç ôçò åõèåßáò ìå åîßóù-

óç - ôýðï y αx= .

Page 167: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10174

3

2

Ëýóç

á. Ç åõèåßá ÏÁ (äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Ï,Á) ó÷ç-

ìáôßæåé ãùíßá Ýóôù á ìå ôïí èåôéêü çìéÜîïíá

Ï÷. Åßíáé 1

εφα5

= .

Ìå áíÜëïãï ôñüðï ïñßæïõìå êáé ôéò õðüëïéðåò

åõèåßåò êáé áíôßóôïé÷åò ãùíßåò.

2 1εφβ

10 5= = ,

5εφγ 1

5= = ,

10εφδ 1

10= = ,

5εφε 5

1= = ,

10εφζ 5

2= =

â. Ïé åîéóþóåéò ôùí åõèåéþí åßíáé:

1ΟΑ : y x

5= ΟΓ : y x= ΟE : y 5x=

1ΟB : y x

5= Ο∆ : y x= ΟΖ: y 5x=

ã. Ðáñáôçñïýìå üôé ôá óçìåßá Ï,Á, åßíáé óõíåõ-

èåéáêÜ êáé âñßóêïíôáé åðß ôçò åõèåßáò ìå åîß-

óùóç 1

y x5

= .

Åðßóçò óõíåõèåéáêÜ åßíáé ôá óçìåßá Ï,Ã,Ä

( )y x= êáé ôá óçìåßá Ï,Å,Æ ( )y 5x=

Óçìåßùóç: Ìå ïðïéïäÞðïôå ôñüðï ìðïñåßôå íá

åëÝãîåôå áí ôá óçìåßá Â,Ã,Æ åßíáé óõíåõèåéáêÜ.

Ïé ãùíßåò åíüò ôñéãþíïõ åßíáé áíÜëï-

ãåò ìå ôïõò áñéèìïýò 3, 4, 5. Íá õðïëïãß-

óåôå ôéò ãùíßåò áõôÝò (óå ìïßñåò).

Ëýóç

¸óôù ÷,y,z ïé ãùíßåò ôïõ ôñéãþíïõ. ÅðåéäÞ åßíáé

áíÜëïãåò ðñïò ôïõò áñéèìïýò 3, 4, 5 éó÷ýåé

yx z

3 4 5= = . Åßíáé ãíùóôü üôé ôï Üèñïéóìá ôùí

ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ åßíáé ßóï ìå 180 ìïßñåò.

Äçë. x y z 180+ + =

¼ìùò y x y zx z 180

153 4 5 3 4 5 12

+ += = = = =

+ +

.

¢ñá x15

3= ,

y15

4= ,

z15

5= êáé ôåëéêÜ åßíáé

x 45= ° , y 60= ° , z 75= ° .

Óôï ó÷.1 äßíåôáé ç ãñ. ðáñÜóôáóç ôçò

ó÷Ýóçò ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò áõôïêéíÞôïõ ìå

ôïí ÷ñüíï ãéá ÷ñïíéêü äéÜóôçìá 10 ùñþí.

i. Ãíùñßæïíôáò üôé S

Ut

= óôï Ó÷. 2 íá âñåßôå

ðïéá áðü ôéò åõèåßåò 1 2 3ε ,ε ,ε åêöñÜæåé

ãñáöéêÜ ôçí ó÷Ýóç ôïõ äéáóôÞìáôïò ìå

ôïí ÷ñüíï ãéá ôçí êßíçóç ôïõ áõôïêéíÞ-

ôïõ.

ii. Ðþò ìðïñïýìå íá âñßóêïõìå ôçí ôá÷ýôç-

ôá åíüò êéíçôïý áðü ôçí ãñ. ðáñÜóôáóç

ôçò óõíÜñôçóçò ( )S t áí ( )S t αt= .

Ëýóç

i. Áðü ôï Ó÷.1 ðáñáôçñïýìå üôé ç ôá÷ýôçôá U Ý÷åé

óôáèåñÞ ôéìÞ ó’ üëç ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò. Ç

óôáèåñÞ ôéìÞ åßíáé 80km/h.

A1

Page 168: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 175

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã80. Íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò

ôùí óõíáñôÞóåùí

á. ψ 4x= − â. 1

ψ x2

= − ⋅

ã. 3

ψ x2

= − ⋅

Ã81. Íá åîåôÜóåôå áí ôá óçìåßá:

( ) ( )3

2,1 , 3, , 6,32

âñßóêïíôáé ðÜíù

óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôç-

óçò 1

ψ x2

= ⋅ .

Ã82. Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ç

ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîü-

íùí êáé áðü ôï óçìåßï ( )A 3,4 .

Ã83. Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ç

ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîü-

íùí êáé áðü ôï óçìåßï ( )A 2, 4− − . Ôá

óçìåßá ( )B 4, 8− − êáé ( )Γ 3,6 âñßóêï-

íôáé ðÜíù óôçí åõèåßá áõôÞ;

Ã84. Ìéá åõèåßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí

áîüíùí êáé áðü ôï óçìåßï ( )Α 3,9 . Íá

âñåèåß ç óõíÜñôçóç ðïõ Ý÷åé ãéá ãñá-

öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí åõèåßá áõôÞ.

Ã85. Íá áðïäåßîåôå üôé ôá óçìåßá Á,Â,Ã üðïõ

( ) ( )Α 1, 2 , Β 2,4− − êáé ( )Γ 3,6 âñßóêï-

íôáé åðÜíù óå ìéá åõèåßá ç ïðïßá äéÝñ-

÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí. (õðü-

äåéîç: âñßóêïõìå ôçí åîßóùóç ôçò åõ-

èåßáò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí

áîüíùí êáé ôï óçìåßï Á êáé ìåôÜ áðï-

äåéêíýïõìå üôé êáé ôá óçìåßá Â,Ã áíÞ-

êïõí óôçí åõèåßá áõôÞ).

¢ñá áðü ôïí ôýðï S

Ut

= Þ S U t= ⋅ .

Ðñïêýðôåé üôé S 80t= .

Ïé åõèåßåò 1 2 3

ε ,ε ,ε åýêïëá ðñïêýðôåé üôé ðáñé-

óôÜíïõí ôéò óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò ( )1S t 8t= ,

( )2S t 16t= , ( )3

S t 80t= . Ðáñáôçñïýìå üôé ç åõ-

èåßá 3

ε ðáñéóôÜíåé ãñáöéêÜ ôçí ó÷Ýóç ôïõ äéá-

óôÞìáôïò ìå ôïí ÷ñüíï ãéá ôçí êßíçóç ôïõ áõôï-

êéíÞôïõ.

ii) Aí ( )S t α t= ⋅ åßíáé ( )S t

αt

= ïðüôå óôáèåñÞ

ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý ó’ üëç ôçí äéÜñêåéá ôçò êß-

íçóçò åßíáé ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ôçò åõ-

èåßáò ìå åîßóùóç ( )S t αt= äçë. U α= .

ÅðïìÝíùò ïé ôá÷ýôçôåò ôùí áõôïêéíÞôùí, ôçí êß-

íçóç ôùí ïðïßùí ïé åõèåßåò 1 2

ε ,ε åêöñÜæïõí

ãñáöéêÜ, åßíáé 8km/h, 16km/h áíôßóôïé÷á.

Óçìåßùóç:

á) Íá ìåëåôÞóåôå, ðùò ìðïñïýìå ãåíéêÜ ìå ãíù-

óôü ôï äéÜãñáììá U t− (üðùò óõíçèßæïõìå íá

áíáöÝñïõìå óôç ÖõóéêÞ) íá õðïëïãßæïõìå ôï

óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü

êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ.

â) ÐñïóðáèÞóôå íá âñåßôå ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé

äéáíýóåé ôï áõôïêßíçôï áöïý Ý÷åé êéíçèåß 3h êáé

íá ãñáììïóêéÜóåôå óôï Ó÷. 2 ôï ôñßãùíï ôïõ ïðïßïõ

ôï åìâáäüí áñéèìçôéêÜ éóïýôáé ìå ôçí ôéìÞ ôïõ äéá-

óôÞìáôïò ðïõ õðïëïãßóáôå.

Page 169: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10176

( )f x αx β, αβ 0= + ≠

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé

3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé

4. Óýíïëï ôéìþí: R

5. Ìïíïôïíßá: ãíçóßùò áýîïõóá áí á > 0 , ãíçóßùò öèßíïõóá áí á < 0.

6. 1-1: Ç f åßíáé 1-1 óôï f

Α R= .

7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé áêñüôáôåò ôéìÝò

8. Ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò:

( )y ' y στο σηµείο 0,β

βx 'x στο σηµείο ,0

α

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï ( )f x αx β= + Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç, fC , åõèåßá ç ïðïßá ôÝìíåé ôïí Üîïíá

y 'y óôï óçìåßï ( )0,β êáé ôïí Üîïíá x 'x óôï óçìåßï β,0α

.

ÅéäéêÜ ãéá á = 0 ç

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

åßíáé áõôÞ ðïõ öáß-

íåôáé óôï ó÷Þìá.

ÅéäéêÜ ãéá â = 0 ç

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

åßíáé áõôÞ ðïõ öáß-

íåôáé óôï ó÷Þìá.

Page 170: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 177

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

Áðüóôáóç

äýï

óçìåßùí

Á,Â

ìéáò

åõèåßáò å

Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ( )f x αx β= + ôçò ïðïßáò ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

åßíáé ç åõèåßá å êáé äýï óçìåßá ôçò

( ) ( )A A B BA x , y , B x , y

Áðïäåéêíýåôáé ìå áðëÞ ÷ñÞóç ôïõ Ðõèáãïñåßïõ èåùñÞìáôïò üôé ç áðüóôáóç

ôùí óçìåßùí Á, Â êáôÜ ìÞêïò ìéáò åõèåßáò äßíåôáé áðü ôïí ôýðï

( ) ( ) ( )2 2

B A B AAB AB x x y y= = − + −

Åßíáé åýêïëï åðßóçò íá äåé÷èåß üôé ôï ìÝóï Ì

ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò Á Ý÷åé óõíôåôáã-

ìÝíåò ( )M Mx , y ìå

A B A B

M M

x x y yx , y

2 2

+ += =

¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò 1 2f , f ìå ( )

1 1 1f x α x β= + êáé ( )

2 2 2f x α x β= + ìå áíôßóôïé-

÷åò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôéò åõèåßåò 1

ε êáé 2

ε .

Åßíáé ãíùóôü üôé äýï åõèåßåò 1 2

ε ,ε åßíáé äõíáôüí íá ôÝìíïíôáé (óå ïñéóìÝíåò ðåñéð-

ôþóåéò) êÜèåôá, íá åßíáé ðáñÜëëçëåò Þ íá ôáõôßæïíôáé.

Óôçí óõíÝ÷åéá áíáöÝñïõìå êÜôù áðü ôá áíôßóôïé÷á ó÷Þìáôá ôéò ðñïûðïèÝóåéò (ó÷Ýóåéò

ìåôáîý ôùí 1 1 2 2

α ,β ,α ,β ) þóôå ìå ãíùóôïýò ìüíï ôïõò ôýðïõò ôùí óõíáñôÞóåùí íá

ãíùñßæïõìå ôç ó÷åôéêÞ èÝóç ôùí ãñáöéêþí ôïõò ðáñáóôÜóåùí.

Ó÷åôéêÝò

èÝóåéò

äýï

åõèåéþí

Óçìåßùóç: Ç óõíÜñôçóç f ìå ( )f x αx β= + Ý÷åé ìéá éäéáéôåñüôçôá óå ó÷Ýóç ìå ôéò õðüëïéðåò óõíáñôÞóåéò.

ÅðåéäÞ ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé åõèåßá áñêïýí ìüíï äýï óçìåßá ãéá íá ôç “æùãñáößóïõìå”.

Ðñïôéìïýìå óõíÞèùò ôá óçìåßá ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò , äçëáäÞ ôá óçìåßá ( )0,β êáé β,0α

.

Ãéá ðáñÜäåéãìá ç f ìå ( )f x 3x 6= − Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá

( )0, 6− êáé ( )2,0 ôïõ Üîïíá y 'y êáé x 'x áíôßóôïé÷á.

1 2 1 2α α και β β= ≠ 1 2 1 2

α α και β β= =1 2

α α≠

Page 171: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10178

2

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

¸óôù 1 1 2 2

A(x y ) και B(x y ) óçìåßá

ôïõ åðéðÝäïõ.Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðü-

óôáóç (ÁÂ) ôùí óçìåßùí Á, ÂóõíáñôÞ-

óåé ôùí óõíôåôáãìÝíùí ôïõò.

Ëýóç

• Áí åõèýãñáììï ôìÞìá Á äåí åßíáé ðáñÜëëçëï

óôïõò Üîïíåò,ôüôå óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÊ

(âë. ó÷Þìá) ìå åöáñìïãÞ ôïõ ðõèáãüñåéïõ èåù-

ñÞìáôïò Ý÷ïõìå:

(ÁÂ)2 =(ÁÊ)2 + (ÂÊ)2 (1)

üìùò: 22 2

2 1(ΑΚ) (Γ∆) x -x= = (2)

22 2

2 1(BK) (EZ) y -y= = (3)

¢ñá: (1) 2 22

2 1 2 1(ΑΒ) x -x y y

(2)

(3)

⇔ = + − ⇔

( ) ( )2 2

2 1 2 1(ΑΒ) x x y y⇔ = − + − (4)

• Áí ÁÂ // 1 2x 'x y y⇔ =

Ôüôå ( ) 2 1AB (Γ∆) x -x= =

Áí óôïí ôýðï (4) èÝóïõìå 2 1y y= Ý÷ïõìå:

(4) ( )

( )

22

2 1 2 2

2

2 1 2 1

(AB) (x x ) y y

x x x x

⇔ = − + − =

= − = −

ÄçëáäÞ, ï ôýðïò (4) éó÷ýåé êáé ó’áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç.

• ¸óôù 1 2

AB// y ' y x x⇔ =

Ôüôå ( ) ( ) 2 1AB Γ∆ y -y= =

Áí óôïí ôýðï (4) èÝóïõìå 1 2x x= , Ý÷ïõìå:

(4)2 2

1 1 2 1

2 2

2 1 2 1 2 1

(AB) (x x ) (y y )

0 (y y ) (y y ) y y

⇔ = − + − =

= + − = − = −

ÄçëáäÞ, ï ôýðïò (4) éó÷ýåé êáé ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç.

ÔåëéêÜ óõìðåñáßíïõìå üôé ç áðüóôáóç äýï óç-

ìåßùí: ( )1 1A x , y êáé ( )2 2

B x , y åßíáé

( ) ( ) ( )= − + −2 2

2 1 2 1AB x x y y

Íá âñåèïýí ïé ó÷åôéêÝò èÝóåéò ôùí åõ-

èåéþí 1x3

1-y:ε 3x,y:ε

21+== .

Êáôüðéí íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò

óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí.

Ëýóç

Åßíáé : 1 2

1α 3, α

3= = − ïðüôå

1 2ε ε⊥ áöïý

Page 172: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 179

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

4

3

1 2

1α α 3 1

3

⋅ = ⋅ − = −

.

ÊÜíïõìå ôïí ðßíáêá ôéìþí ôùí å1, å

2

• Ãéá ôçí 1ε :

• Ãéá ôçí 2ε :

Äßíåôáé ç åõèåßá å:y = (ë2 + 2ë)x + ë - 1.

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ R∈ þóôå:

i. ç å íá äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

ii. ç å íá åßíáé ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x´x.

iii. ç å íá åßíáé êÜèåôç óôçí å1: y - x = 2002.

Ëýóç

i. Ãéá íá äéÝñ÷åôáé ç å áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí ðñÝ-

ðåé íá Ý÷åé åîßóùóç ôçò ìïñöÞò y = áx.

ÄçëáäÞ ðñÝðåé λ 1 0 λ 1− = ⇔ = .

ii. Ïé åõèåßåò ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëåò óôïí Üîïíá x´x

åßíáé ôçò ìïñöÞò: y κ, (κ R)= ∈ .

¢ñá ðñÝðåé:

( )2λ 2λ 0 λ λ 2 0 λ 0 ή λ 2+ = ⇔ + = ⇔ = = −

iii. Âñßóêïõìå ôïí óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò ôçò 1ε

ëýíïíôáò ôçí åîßóùóÞ ôçò ùò ðñïò y.

Åßíáé y-x 2002 y x 2002= ⇔ = + ,

ïðüôå 1α 1= .

å ⊥ å1 ⇔ á · á

1 = –1 ⇔ (ë2 + 2ë) · 1 = –1 ⇔

ë2 + 2ë +1 = 0 ⇔ (ë + 1)2 = 0 ⇔ ë = –1.

Íá âñåßôå ôç óõíÜñôçóç f, ôçò ïðïßáò ç

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï äéðëá-

íü ó÷Þìá:

Ëýóç

á. Áí x 1≤ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôåëåßôáé

áð’ôçí çìéåõèåßá Á ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ

ôùí áîüíùí êáé Ý÷åé áñ÷Þ ôï  (1,-1). ÅðåéäÞ

êÜèå åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîü-

íùí Ý÷åé åîßóùóç y αx= êáé ç çìéåõèåßá Á èá

Ý÷åé åîßóùóç ôçò ìïñöÞò y αx= (1). Åðßóçò ôï

Á áíÞêåé óôçí Á Üñá ðñÝðåé:

2 α (–2) α –1= ⋅ ⇔ =

Ïðüôå ç åîßóùóç ôçò ÁÂ åßíáé :

y = –x, üôáí 1x ≤ .

â. Áí 1 x 3< ≤ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôå-

ëåßôáé áð’ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ÂÃ ìå B(1, -1)

êáé Ã(3,1).

Ç ìïñöÞ ôçò åîßóùóçò ôçò åõèåßáò å ðïõ äéÝñ÷åôáé

áð’ôá Â, Ã åßíáé ç y αx β= + (2)

üìùò Â∈å ïðüôå (2) –1 α 1 β⇔ = ⋅ + (3)

åðßóçò Ã∈å ïðüôå (2) 1 3α β⇔ = + (4)

(3) α –1–β⇔ = (5)

(4) 1 3( 1 β) β 1 3 3β β

2β 4 β 2

⇔ = − − + ⇔ = − − + ⇔

⇔ − = ⇔ = −

(5)

¢ñá (3) α –1 ( 2) α 1β –2=

⇔ = − − ⇔ =

ÅðïìÝíùò áðü (2) ðáßñíïõìå:

, όταν -1 x 3y x 2= − < ≤

ã. Áí x > 3 ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôåëåßôáé

áð’ôçí çìéåõèåßá ÃÄ ìå áñ÷Þ ôï óçìåßï Ã(3,1).

Page 173: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10180

Åðßóçò ç ÃÄ äéÝñ÷åôáé áð’ôï óçìåßï Ä(4,1).

Ðáñáôçñïýìå üôé ôá Ã, Ä Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôåôáãìÝ-

íç ïðüôå ç åîßóùóç ôçò çìéåõèåßáò ÃÄ åßíáé:

y = 1, üôáí x > 3.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã86. Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò åõèåßåò:

á. y x 4= + â. y x 3= − +

ã. y 2x 3= + ä. y 3x 4= −

å. y 0= æ. x 0=

Ã87. Äßíåôáé ç åõèåßá ( )ψ α 1 x 2= − ⋅ + . Íá ôç

ó÷åäéÜóåôå áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü

ôï óçìåßï ( )A 1,3− .

Ã88. ×ùñßò íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ðáñáêÜôù åõ-

èåßåò íá âñåßôå ðïéåò áð’ áõôÝò åßíáé ðá-

ñÜëëçëåò:

y x 2 , 2y 2x 4

1y x 3 , 4y 2x 12

2

= − + = − +

= + = +

Ã89. Äßíåôáé ç åõèåßá ψ 3x 6= + , ðïõ ôÝìíåé

ôïõò Üîïíåò ÷’÷ êáé y’y óôá óçìåßá Á êáé Â

áíôßóôïé÷á. Áí Ï åßíáé ç áñ÷Þ ôùí áîüíùí,

íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÁÏÂ.

Ã90. Íá âñåßôå óçìåßï Ã ôïõ Üîïíá ÷’÷ ôÝôïéï

þóôå ôï ôñßãùíï ÁÂÃ ìå ( )Α 1,1 êáé

( )Β 4,2 íá åßíáé éóïóêåëÝò, ìå Áà = ÂÃ.

Ã91. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ê,ë ôï ôñßãùíï ìå

êïñõöÝò ôá óçìåßá ( ) ( )Α 1,2 , Β 2, 1− −

êáé ( )Γ κ,λ åßíáé éóüðëåõñï;

Ã92. Èåùñïýìå ôéò óõíáñôÞóåéò

( ) ( ) ( )f x 2λ 1 x λ 2= + + +

ðïõ ðñïêýðôïõí ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò

ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.

á. Íá äåßîåôå üôé ïé ãñáöéêÝò ôïõò ðáñá-

óôÜóåéò äéÝñ÷ïíôáé üëåò áðü ôï ßäéï

óçìåßï.

â. Óå ðïéá óçìåßá, áõôÝò ôÝìíïõí ôïí Ü-

îïíá ÷’÷.

ã. Ðïéá áðü ôéò åõèåßåò

( ) ( )ψ 2λ 1 x λ 2 , λ R= + + + ∈

åßíáé ðáñÜëëçëç óôç äé÷ïôüìï ôçò 1çò

êáé 3çò ãùíßáò ôùí áîüíùí;

ä. Áí 1

λ2

< − íá äåßîåôå üôé éó÷ýåé

( ) ( )2 2f γ δ f 2γδ+ <

ãéá êÜèå γ,δ R∈ ìå γ δ≠ .

Ã93. Äßäåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ( )f x 2x 1= + .

á. Íá ëõèåß ç åîßóùóç

( ) ( ) ( )f 0 2f 1 f x 1 x+ − + + =

â. Íá âñåèåß ï λ R∈ þóôå íá éó÷ýåé:

( ) ( )λf 1/ 2 2f λ / 2 3− =

Ã94. Óå ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí

äßäïíôáé ôá óçìåßá Á(4,0), Â(1,1), Ã(5,3).

Íá áðïäåßîåôå üôé ôï ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé

éóïóêåëÝò.

Ã95. Äßäåôáé ôï óçìåßï Á(-2,1) êáé æçôåßôáé ç

åîßóùóç ôçò åõèåßáò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü

ôï Á êáé åðéðëÝïí:

á. Ý÷åé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò -3.

Ïðüôå

–x, x 1

f (x) x 2, 1 x 3

1, x 3

= − < ≤ >

Page 174: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 181

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

â. Ý÷åé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò 0

ã. äåí ïñßæåôáé óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò

ä. äéÝñ÷åôáé êáé áðü ôï óçìåßï Â(5,-1)

å. ôÝìíåé ôïí Üîïíá ÷’÷ óôï óçìåßï (1,0)

óô. ôÝìíåé ôïí Üîïíá y’y óôï óçìåßï (0,2)

Ã96. Íá âñåßôå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü λ R∈

þóôå ôá ðáñáêÜôù æåýãç åõèåéþí íá åßíáé

ðáñÜëëçëåò:

á. ( )y 2λ 1 x 3= − + 2y λ x 2= −

â. 2λ x 4y 4λ 0− + = λx y 4 0+ + =

Ã97. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áñéèìü λ R∈ þóôå ôá

æåýãç ôùí ðáñáêÜôù åõèåéþí íá åßíáé êÜ-

èåôåò:

á. 2

1y x 1

λ 1= ⋅ +

( )y λ 1 x 2= + ⋅ −

â. ( )y λ 2 x= − ( )2y λ 1 x λx= + ⋅ −

Ã98. Ç èåñìïêñáóßá x óå âáèìïýò Celcius

( )0C êáé ç èåñìïêñáóßá y óå âáèìïýò

Fahrenheit ( )0F óõíäÝïíôáé ìå ôçí ó÷Ý-

óç y λx β= + . Ãíùñßæïíôáò üôé ôï íåñü

ðáãþíåé óôïõò 00 C Þ 0

32 F êáé üôé âñÜæåé

óôïõò 0

100 C Þ 0212 F íá õðïëïãßóåôå:

á. Ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò ë, â.

â. Óå ðüóïõò0C áíôéóôïé÷åß ç èåñìïêñá-

óßá 00 F .

ã. Óå ðïéá èåñìïêñáóßá óõìðßðôïõí ïé

âáèìïß Celcius, Farenheit.

Ã99. Íá âñåèåß ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò þóôå:

á. Íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(2,3) êáé

íá åßíáé êÜèåôç ìå ôçí åõèåßá:

x 3y 2 0+ − = .

â. Íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Â(-1,2)

êáé íá åßíáé ðáñÜëëçëç ìå ôçí åõèåßá

( )3 x 2y 5 2y 1− − = + .

Ã100.Íá âñåèåß ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò óôï

åðüìåíï ó÷Þìá:

Ã101.Íá âñåßôå ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äýï åõ-

èåéþí: y x 2= +

y 3x 2= −

Ã102.Êéíçôü ê1 îåêéíÜ áð’ôï óçìåßï Á(-2,-1) åíþ

Ýíá Üëëï êéíçôü ê2 áð’ôï óçìåßï Â(-1,-2)

üðùò öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá.

á. Íá âñåßôå ôçí áðüóôáóç ôùí ê1, ê

2 ðñßí

îåêéíÞóïõí.

â. Ôéò åîéóþóåéò ôùí ôñï÷éþí ôùí ê1, ê

2.

ã. Óå ðïéï óçìåßï äéáóôáõñþíïíôáé ïé ôñï-

÷éÝò ôùí êéíçôþí ê1, ê

2 ;

Ã103.Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá äßíåôáé ç ïéêïíïìéêÞ

ðïñåßá ìéáò åðé÷åßñçóçò.

Íá âñåßôå:

á. Ôéò åîéóþóåéò åõèåéþí ôùí åóüäùí (å1),

åîüäùí (å2).

â. Ôá Ýóïäá êáé ôá Ýîïäá ôçò åðé÷åßñçóçò

ôïí ôÝôáñôï ÷ñüíï ëåéôïõñãßáò ôçò.

ã. Ðüôå ç åðé÷åßñçóç Üñ÷éóå íá ðáñïõóéÜæåé

êÝñäç;

Page 175: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10182

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé

3. Óõììåôñßåò: Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f åßíáé Üñôéá êáé åðïìÝíùò Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôïõ

Üîïíá y 'y .

4. Óýíïëï ôéìþí: ( )

( )

αν α 0 είναι f R ( ,0]

αν α 0 είναι f R [0, )

< = −∞

> = +∞

5. Ìïíïôïíßá:

f γν. αύξουσα στο( ,0]αν α 0 είναι

f γν. φθίνουσα στο[0, )

f γν. φθίνουσα στο( ,0]αν α 0 είναι

f γν. αύξουσα στο[0, )

−∞<

+∞

−∞>

+∞

6. 1-1: Ç f äåí åßíáé 1-1 óôï f

Α R=

7. Áêñüôáôá: ( )

( )

αν α 0 η f παρουσιάζει για x 0

µέγιστη τιµή f 0 0

αν α 0 η f παρουσιάζει για x 0

ελάχιστη τιµή f 0 0

< =

=

> =

=

8. Ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò: ( )

( )

y ' y στο σηµείο 0,0

x 'x στο σηµείο 0,0

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

( ) 2 *f x αx , α R= ∈

áí á > 0 áí á < 0

áí 3 2 1

α α α 0< < < ïé áíôßóôïé÷åò ãñá-

öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé óôï

ðáñáðÜíù ó÷Þìá.

1 2 30 α α α< < < ïé áíôßóôïé÷åò ãñá-

öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé

óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá.

Page 176: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 183

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

i. Ná âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâï-

ëÞò ìå êïñõöÞ ôï óçìåßï ( )O 0,0 ðïõ äéÝñ-

÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )A 1,4 .

ii. Óôç óõíÝ÷åéá íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò

ðáñáâïëÞò ðïõ Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôï

óõììåôñéêü ó÷Þìá áõôÞò ôïõ åñùôÞìáôïò (i),

ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ .

Ëýóç

i. O ôýðïò ôçò æçôïýìåíçò ðáñáâïëÞò åßíáé

2y αx= êáé åðåéäÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï

( )A 1,4 éó÷ýåé 24 α 1= ⋅ äçë. α 4= .

¢ñá åßíáé 2y 4x= .

ii. ¸÷ïõìå

Ôï óõììåôñéêü ôïõ ( )A 1,4 ùò ðñïò ôïí Üîï-

íá x x′ åßíáé ôï óçìåßï ( )A 1, 4′ − .Ç åîßóùóç

ôçò æçôïýìåíçò ðáñáâïëÞò åßíáé 2y αx= êáé

åðåéäÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï ( )A 1, 4′ − éó÷ýåé

24 α 1− = ⋅ äçë. α 4= − . ¢ñá åßíáé

2y 4x= − .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã104.Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ðáñáâïëÝò 2ψ 2x= −

êáé 2ψ 2x= óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí.

Ðïéá ó÷Ýóç Ý÷ïõí ìåôáîý ôïõò ïé ãñá-

öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí äýï ðáñáâïëþí;

Ã105.Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò ðá-

ñïõóéÜæïõí ìÝãéóôï êáé ðïéåò åëÜ÷éóôï;

á. 21ψ x

2= − â. 2ψ 2x= ã. ( )

3 2ψ 1 x= −

Ã106.Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ 2ψ α x= ⋅ . Íá âñåß-

ôå ôïí á, áí ç ðáñáâïëÞ äéÝñ÷åôáé áðü

ôï óçìåßï ( )3, 27− − . Óôç óõíÝ÷åéá íá

ôç ó÷åäéÜóåôå.

Ã107. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ 2ψ αx= , áí

ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï

1M 1,

4

.

Ã108. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ 23ψ x

4= êáé

4 x 4− ≤ ≤ êáé Ýðåéôá íá ó÷åäéáóôåß ç óõì-

ìåôñéêÞ ôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ êáé íá

âñåèåß ç åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò áõôÞò.

Ã109. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( ) ( ) 2f x k 2 x= − . Áí

åßíáé ( ) ( )f 2 3f 1 2− = , íá âñåèåß ôï k êáé

Ýðåéôá íá ãßíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

óõíÜñôçóçò f.

Ã110. Íá ãßíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-

ôçóçò 2ψ κx λ= + áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ-

÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé áðü ôï

óçìåßï ( )Μ 3,3 .

Ã111. Èåùñïýìå ôçí åõèåßá ( )ε : ψ λx 2= − êáé

ôçí ðáñáâïëÞ ( ) 2c :ψ 2x= . Íá ðñïóäéïñé-

óôåß ï λ R∈ þóôå ç åõèåßá (å) íá Ý÷åé ìå

ôçí ðáñáâïëÞ (c)

i. ¸íá êïéíü óçìåßï

ii. Äõï êïéíÜ óçìåßá

iii. ÊáíÝíá êïéíü óçìåßï

Page 177: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10184

( ) 2f x αx βx γ, α 0= + + ≠

ÐñïêåéìÝíïõ íá äéåõêïëõíèïýìå óôç ìåëÝôç ôïõ ôñéùíýìïõ, åßíáé óêüðéìï íá ôï ìåôáó÷çìáôßóïõ-

ìå áëãåâñéêÜ ùò åîÞò:

Áí x R∈ åßíáé: ( ) 2f x αx βx γ= + + (áöïý α 0≠ )

2 β γα x x

α α

= + +

(óõìðëÞñùóç ôåôñáãþíùí)

2 2

2 β β β γα x 2 x

2α 2α 2α α

= + + − +

2 2

2

β γ βα x

2α α 4α

= + + −

( )2 2

2

β 4αγ βα x 1

2α 4α

− = + +

Èá äïýìå óôç óõíÝ÷åéá üôé ç ðïóüôçôá 2β 4αγ− , ðáßæåé óçìáíôéêü ñüëï êáé åìöáíßæåôáé óõ÷íÜ,

óôéò äéÜöïñåò öÜóåéò ôçò ìåëÝôçò ôïõ ôñéùíýìïõ.

Ãéá ôï ëüãï áõôü ôç óõìâïëßæïõìå éäéáßôåñá ìå ôï Ä êáé ôçí êáëïýìå äéáêñßíïõóá ôïõ ôñéùíýìïõ.

ÈÝôïõìå ëïéðüí: 2∆ β 4αγ= − êáé áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå üôé:

( )2

2

2

β ∆f x αx βx γ α x

2α 4α

= + + = + −

, ãéá êÜèå x R∈ (2)

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé

3. Óõììåôñßåò: Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá 0x

2

β= −

α.

4. Óýíïëï ôéìþí:

( )

( )

2

2

4αγ βαν α 0 είναι f R ,

4αγ βαν α 0 είναι f R ,

−< = −∞

−> = +∞

5. Ìïíïôïíßá:

βη f είναι γν. αύξουσα στο ,

2ααν α 0

βη f είναι γν. φθίνουσα στο ,

βη f είναι γν. φθίνουσα στο ,

2ααν α 0

βη f είναι γν. αύξουσα στο ,

−∞ −

<

− +∞

−∞ −

>

− +∞

Page 178: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 185

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï fΑ R= .

7. Áêñüôáôá :

2

2

βαν α 0 η f παρουσιάζει για x

β 4αγ β ∆µέγιστη τιµή f

2α 4α 4α

βαν α 0 η f παρουσιάζει για x

β 4αγ β ∆ελάχιστη τιµή f

2α 4α 4α

< = −

− − = = −

> = −

− = = −

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò:

( )

2

2

2

y ' y στο σηµείο 0, γ

β ∆ β ∆x 'x Aν ∆ β 4αγ 0 στα σηµεία , 0 , , 0

2α 2α

βΑν ∆ β 4αγ 0 στο σηµείο , 0

Αν ∆ β 4αγ 0 δεν τέµνει τον x 'x

− − − += − >

− = − =

= − <

i

i

i

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Óôçí ðåñßðôùóç (1): 0y 0< êáé åëÜ÷éóôï Óôçí ðåñßðôùóç (2):

0y 0> êáé ìÝãéóôï

Page 179: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10186

Óôçí ðåñßðôùóç (4): 0y 0= êáé ìÝãéóôïÓôçí ðåñßðôùóç (3):

0y 0= êáé åëÜ÷éóôï

Óôçí ðåñßðôùóç (6): 0y 0< êáé ìÝãéóôïÓôçí ðåñßðôùóç (5):

0y 0> êáé åëÜ÷éóôï

Ãéá íá ó÷åäéÜóïõìå ôçí ðáñáâïëÞ ( ) 2f x αx βx γ= + + :

i. Áíáãíùñßæïõìå ôá: á (óõíôåëåóôÞò ôïõ 2x )

â (óõíôåëåóôÞò ôïõ x)

ã (óôáèåñüò üñïò)

ii. Aí α 0≠ õðïëïãßæïõìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôçò êïñõöÞò 2β 4αγ β

K ,2α 4α

−−

iii. “Ôïðïèåôïýìå” ôçí êïñõöÞ Ê óôï åðßðåäï Oxy êáé öÝñíïõìå ôçí åõèåßá β

x2α

= − ðïõ åßíáé

ï Üîïíáò óõììåôñßáò.

iv. ÁíÜëïãá ìå ôï áí ôï á åßíáé èåôéêüò Þ áñíçôéêüò, åíôïðßæïõìå ôï çìéåðßðåäï ðïõ ðñïóäéïñßæåôáé

áðü ôçí åõèåßá 2

4αγ βy

−= óôï ïðïßï èá âñßóêåôáé ôï ãñÜöçìá ôïõ ôñéùíýìïõ.

(Áí ôï α 0> , ôï ãñÜöçìá èá âñßóêåôáé “ðÜíù” áðü ôçí åõèåßá 2

4αγ βy

−= , åíþ áí α 0< èá

âñßóêåôáé “êÜôù” áðü áõôÞí).

Page 180: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 187

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ãßíåé ìåëÝôç êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

ôçò f(x) = -3x2 + 2x + 1

Ëýóç

Ç f(x) ðáñéóôÜíåé ðáñáâïëÞ ãéá ôçí ïðïßá Ý÷ïõìå:

• á = -3 < 0 • β 2 1

2α 2( 3) 3− = − =

• Ä = 22 - 4(-3) · 1 = 4 + 12 = 16

• ∆ 16 4

4α 4( 3) 3− = − =

á. Ðåäßï ïñéóìïý: Eßíáé ôï R (- , )= ∞ +∞

â. Ìïíïôïíßá: ÅðåéäÞ á = -3 < 0 ç f åßíáé ãíçóßùò

áýîïõóá óôï1,3

−∞

êáé ãíçóßùò öèßíïõóá

óôï1,3

+∞

ã. Áêñüôáôá: Ç f ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôï óôï

β 1x

2α 3= − = ôï

β 1 ∆ 4y f - f

2α 3 4α 3

= = = − =

ä. ÊïñõöÞ: åßíáé ôï óçìåßï

β ∆ 1 4K , ,

2α 4α 3 3

− − =

v. Ôï ãñÜöçìá ôçò ðáñáâïëÞò ÄÅÍ ìðïñåß íá

ó÷åäéáóôåß “åðáêñéâþò” (üðùò ð.÷. ôçò åõèåßáò

áðü äýï óçìåßá ôçò ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ

êáíüíá).ÓõíÞèùò “äßíïõìå” ôéìÝò óôï x êáé

õðïëïãßæïõìå ôá ( )f x .

Óôïí ðßíáêá óåë.188 óõãêåíôñþóáìå üóá

áöïñïýí óôï ôñéþíõìï êáé ôçí äåõôåñïâÜè-

ìéá åîßóùóç.

å. Óçìåßá ôïìÞò ìå ôïõò Üîïíåò:

1. Ìå ôïí x´x: ãéá y = 0, Ý÷ïõìå:

-3x2 + 2x + 1 = 0

1,2

1 2

-2 16 2 4x

2(-3) 6

2 4 2 1 2 4 6x , x 1

6 6 3 6 6

± − ±= =

− + − − −= = = − = = =

− − − −

¢ñá ôÝìíåé ôïí x´x óôá óçìåßá:

Á1,03

, Â(1, 0)

2. Ìå ôïí y´y: Ãéá x = 0 Ý÷ïõìå

2y 3 0 2 0 1 y 1= − ⋅ + ⋅ + ⇔ =

¢ñá ôÝìíåé ôïí y´y óôï Ã(0,1)

óô. ¢îïíáò óõììåôñßáò: Åßíáé ç åõèåßá

β 1x

2α 3= − =

æ. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Ìå ôç âïÞèåéá üëùí ôùí ðáñáðÜíù Ý÷ïõìå ôçí

åðüìåíç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç.

Page 181: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10188

Ä

+

0

Åîßóùóç

2αx βx γ 0+ + =

ÌïñöÝò

ôñéùíýìïõ

ÓõíÜñôçóç

( ) 2f x αx βx γ= + +

Áíßóùóç

( )f x 0> ( )f x 0<á

+

+

+

2 ñßæåò Üíéóåò

1 2

β ∆ρ ,ρ

− ±=

2∆ β 4αγ = −

2αx βx γ+ + =

( )( )1 2α x ρ x ρ− −

Ëýóåéò

1x ρ<

Þ

2x ρ>

Ëýóåéò

1 2ρ x ρ< <

1x ρ<

Þ

2x ρ>

1 2ρ x ρ< <

ñßæá äéðëÞ

1 2 0

βρ ρ x

−= = =

2∆ β 4αγ = −

α x2α

= +

{ }0x R x∈ − ∅

{ }0x R x∈ −∅

Äåí Ý÷åé ñßæåò

óôï R

2

2

β ∆α x

2α 4α

= + +

Äåí áíáëýåôáé

óå ãéíüìåíï

ðñùôïâÜèìéùí

ðáñáãüíôùí

x R∈ ∅

x R∈∅

ÐáñáôçñÞóåéò: 1. Óôï 0x ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçí ( )0

∆f x

4α= − .

2. Óôï 0x ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôç ôéìÞ ôçí ( )0

∆f x

4α= − .

3. Ôá 1ρ êáé

2ρ åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò: 2αx βx γ 0+ + = .

4. Ôï 0

βx

2α= − .

1

2

1

2

1

2

3

4

Page 182: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 189

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

4

3

2 Íá âñåßôå ôïí

ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f

ãéá ôçí ïðïßá ç ãñáöé-

êÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé

ç ðáñáâïëÞ ôïõ äéðëá-

íïý ó÷Þìáôïò.

Ëýóç

Åßíáé ôçò ìïñöÞò

f(x) = á÷(x – 4) (1)

Áöïý äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Ê(2, 3) ïé óõíôåôáã-

ìÝíåò ôïõ åðáëçèåýïõí ôçí (1).

ÄçëáäÞ 32α(2 4) 3 4α 3 α

4− = ⇔ − = ⇔ = −

¢ñá ç 23 3f(x) x(x 4) x 3x

4 4= − − = − +

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:

f(x) = 3x2 - (ë - 1)x - ë2 + 1.

Íá âñåßôå ôï ë þóôå ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôç-

óçò f íá ãßíåôáé ìÝãéóôï.

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç f(x) åßíáé ðáñáâïëÞ ìå á = 3 > 0. ¢ñá

ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ßóï ìå:

( )2 2λ 1 4 3( λ 1)∆

4α 4 3

− − ⋅ − +− = − =

2 2λ 2λ 1 12( λ 1)

12

− + − − += − =

2 2λ 2λ 1 12λ 12

12

− + + −= − =

2

213λ 2λ 11 13 2 11λ λ

12 12 12 12

− −= − = − + +

Ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f(x) åßíáé ôñéþíõìï ôïõ

ë ìå á < 0 ôï 213 1 11

g(λ) - λ λ12 6 12

= + +

Ôï g(ë) ãßíåôáé (ðáñïõóéÜæåé) ìÝãéóôï üôáí

1 1

β 6 1 16 6λ13132α 6 13 13

2612

⋅= − = − = − = + =

⋅ −−

.

¢ñá ãéá 1

λ =13

ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f ãß-

íåôáé ìÝãéóôï.

Äßíåôáé ôï ôñéþíõìï

2f(x) 3x -4(2α β)x α-3β= + + . Íá âñåßôå

ôá á, â þóôå íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü -2 êáé

óõã÷ñüíùò íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï óôï x = 3.

Ëýóç

• Áöïý ôï -2 åßíáé ñßæá ôïõ f(x) éó÷ýåé:

( ) ( )( )2

f(-2) 0 3 -2 - 4 2α β -2 α -3β 0= ⇔ + + = ⇔

( )3 4 8 2α β α -3β 0⇔ ⋅ + + + = ⇔

12 16α 8β α -3β 0⇔ + + + = ⇔ 17α + 5β = -12 (1)

• Ôï ôñéþíõìï ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï óôï x = 3.

ÅðåéäÞ ôï åëÜ÷éóôï ôï ðáñïõóéÜæåé óôï

( )4 2α βx

2 3

− − +

=

Ý÷ïõìå:

( ) ( )4 2α β 6 3 4 2α β 18

8α 4β 18 (2)

− − + = ⋅ ⇔ + = ⇔

+ = ⇔ 4α + 2β = 9

Áðü (1) êáé (2) Ý÷ïõìå ôï óýóôçìá:

17α 5β 12

4α 2β 9

+ = −

+ =

Áðü üðïõ ðñïêýðôåé (á, â) =69 201,

14 14

.

Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ

f(x) = x2 + (k + 2)x + k + 2

Íá âñåßôå ôï k óå êÜèå ìßá áðü ôéò

ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò:

á. áí åöÜðôåôáé óôïí x´x.

â. áí ôÝìíåé ôïí x´x óå äýï óçìåßá.

ã. áí äåí ôÝìíåé ôïí x´x.

ä. áí Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí x = 3.

5

Page 183: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10190

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã112.Íá âñåßôå óôéò ðáñáêÜôù ðáñáâïëÝò,

ôçí êïñõöÞ, ôïí Üîïíá óõììåôñßáò, ôá

óçìåßá óôá ïðïßá ïé ðáñáâïëÝò ôÝìíïõí

ôïõò Üîïíåò, ôï ìÝãéóôï Þ ôï åëÜ÷éóôï

êÜèå óõíÜñôçóçò êáèþò êáé ôçí ôéìÞ

ôïõ x ãéá ôçí ïðïßá óõìâáßíåé áõôü êáé

íá ôéò ó÷åäéÜóåôå:

á. 2y x x 6= − − + â. 2

y x x 20= + −

ã. 2y x 3x 28= − − ä. 2

y x x 1= − +

å. 2y x 5x= − , ãéá 1 x 6− ≤ ≤

æ. 2y 4x x= − , ãéá 2 x 4− ≤ ≤

Ã113. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ2

y x 7x 2κ= − + ,

áí áõôÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )Α 3, 6− .

Ã114. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç

( ) ( )2 2f x λ 4 x λx 3, λ 2= − + − ≠ ± .

Íá ðñïóäéïñéóôåß ï { }λ R 2∈ − ± þóôå ç

( )f x íá ðáñïõóéÜæåé:

i. ÅëÜ÷éóôï ii. ÌÝãéóôï

6

å. áí ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ãéá x = 5.

óô. áí Ý÷åé åëÜ÷éóôï ôï -8.

æ. áí ôÝìíåé ôïí x´x óôï Á(3, 0).

ç. áí ôÝìíåé ôïí y´y óôï Â(0, 5).

Ëýóç

Åßíáé ( ) ( )2 2∆ κ 2 4 1 κ 2 κ 4= + − ⋅ ⋅ + = −

á. ÅöÜðôåôáé óôïí x´x. ¢ñá:

2 2∆ 0 κ 4 0 κ 4 κ 2= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±

â. ÔÝìíåé ôïí x´x óå äýï óçìåßá.

¢ñá: 2 2

∆ 0 κ 4 0 κ 4> ⇔ − > ⇔ > ⇔

2κ 4 κ 2 κ 2 ή κ 2> ⇔ > ⇔ > < −

ã. Äåí ôÝìíåé ôïí x´x.

¢ñá: 2∆ 0 κ 4 κ 2 2 κ 2< ⇔ < ⇔ < ⇔ − < <

ä. ¸÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá x=3. ¢ñá:

β κ 2x 3 - 3 3 κ 8

2α 2 1

+= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

å. ÐáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ãéá x=5. ¢ñá:

β κ 2x 5 5 5 κ 12

2α 2 1

+= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −

óô. ¸÷åé åëÜ÷éóôï ôï -8. ¢ñá:

2∆ ∆8 8 κ 36 κ 6

4α 4 1− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

æ. ÔÝìíåé ôïí x´x óôï Á(3, 0). ¢ñá:

( )2 17f(3) 0 3 κ 2 3 κ 2 0 κ

4= ⇔ + + ⋅ + + = ⇔ = −

ç. ÔÝìíåé ôï y´y óôï Â(0, 5) ¢ñá:

( )2f(0) 5 0 κ 2 0 κ 2 5 κ 3= ⇔ + + ⋅ + + = ⇔ =

Äßíåôáé ç åõèåßá y = x + 1 (1) êáé ôï

óçìåßï Á(2, 1). Íá âñåßôå åêåßíï ôï

óçìåßï Ì(x, y) ôçò åõèåßáò ðïõ ç áðü-

óôáóç (ÁÌ) åßíáé ç åëÜ÷éóôç. Ðïéá åß-

íáé áõôÞ;

Ëýóç

Ç áðüóôáóç (ÁÌ) åßíáé ßóç ìå:

(1)2 2 2 2

2 2 2

(AM) (x 2) (y 1) (x 2) (x 1 1)

x 4x 4 x 2x 4x 4

= − + − = − + + − =

= − + + = − +

ÄçëáäÞ:2

(AM) 2x 4x 4= − + . ÁõôÞ ãßíåôáé åëÜ-

÷éóôç üôáí êáé ôï ôñéþíõìï: 2x2 - 4x + 4 ãßíåé

åëÜ÷éóôï äçëáäÞ üôáí β 4

x x 12α 2·2

−= − = − ⇔ =

Ãéá x = 1 ç (1) ãßíåôáé: y = 1 + 1 = 2. ¢ñá ôï

æçôïýìåíï óçìåßï åßíáé ôï Ì(1, 2)

Ãéá x = 1 ç áðüóôáóç åßíáé:

2(AM) 2 1 4 1 4 2= ⋅ − ⋅ + =

Page 184: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 191

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

Ã115. Íá ðñïóäéïñéóôåß ï λ R∈ , þóôå ç óõ-

íÜñôçóç:

( ) ( ) 2f x λ 2 x λx 1, λ 2= + + − ≠ −

íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ôï -2.

Ã116. Íá âñåèåß ï λ R∈ þóôå ç åõèåßá

ψ λx 2= − íá åßíáé åöáðôïìÝíç ôçò ðá-

ñáâïëÞò 2ψ x x 1= − − . Ðïéï åßíáé ôï

óçìåßï åðáöÞò;

Ã117. i. Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò:

( ) 2

1c :ψ x= êáé ( ) 2

2c :ψ x 4x 5= − − −

äåí Ý÷ïõí êáíÝíá êïéíü óçìåßï.

ii. Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé åõèåßá ðïõ

åöÜðôåôáé óõã÷ñüíùò óôéò ðáñáðÜíù

ðáñáâïëÝò.

Ã118. Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò

( ) 2

1c :ψ x x 2= + − êáé ( ) 2

2c :ψ x 2x 3= − − +

ôÝìíïíôáé óå äõï óçìåßá, ôá ïðïßá ìáæß ìå

ôéò êïñõöÝò ôùí ðáñáâïëþí ó÷çìáôßæïõí

ðáñáëëçëüãñáììï.

Ã119. Äßäåôáé óõíÜñôçóç f ìå ( ) 2f x αx 1= − .

Íá âñåèåß ãéá ðïéá ôéìÞ ôïõ α R∈ ôï

óçìåßï ( )A 3,5 , áíÞêåé óôç ãñáöéêÞ ðá-

ñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò.

( ) 3f x αx α 0= ≠

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.

3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷åé êÝíôñï óõììåôñßáò

ôï óçìåßï ( )0 0,0 .

4. Óýíïëï ôéìþí: ( )f R R=

5. Ìïíïôïíßá: f

f

αν α 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο Α R

αν α 0 η f είναι γν. αύξουσα στο Α R

< =

> =

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï fΑ R=

7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: ( )

( )

y ' y στο σηµείο 0 0,0

x 'x στο σηµείο 0 0,0

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Page 185: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10192

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R*

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.

3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò Ý÷åé êÝíôñï óõììåôñßáò

ôï óçìåßï ( )0 0,0 .

4. Óýíïëï ôéìþí: ( )f R * R*= .

5. Ìïíïôïíßá:

( )

( )

( )

( )

αν α 0 η f είναι γν. αύξουσα στο , 0

η f είναι γν. αύξουσα στο 0,

αν α 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο , 0

η f είναι γν. φθίνουσα στο 0,

< −∞

+∞

> −∞

+∞

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï f

Α R*= .

7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò:

y ' y :∆εν τέµνει τον άξονα y ' y σε κανένα σηµείο

x 'x :∆εν τέµνει τον άξονα x 'x σε κανένα σηµείο

Ïé Üîïíåò y ' y, x 'x áðïôåëïýí áóýìðôùôåò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f.

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã120. Íá ìåëåôÞóåôå ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ôç óõíÜñôçóç ( ) ( )3f x λ x 1= + , ãéá ôéò äéÜöïñåò

ôéìÝò ôïõ áñéèìïý ë.

( ) αf x , α 0

x= ≠

Page 186: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 193

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã121. Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜ-

óåéò ôùí óõíáñôÞóåùí:

á. 1

yx

= â. x y 6⋅ = ã. x y 3⋅ = −

Ã122. Äßíåôáé ç õðåñâïëÞ 2 α

yx

−= . Ãéá ðïéåò

ôéìÝò ôïõ á ïé êëÜäïé ôçò õðåñâïëÞò âñß-

óêïíôáé óôï 1ï êáé óôï 3ï ôåôáñôçìüñéï;

Ã123. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ á ïé êëÜäïé ôçò õ-

ðåñâïëÞò

α 1 3 α 1

y2 3 x

− − = − ⋅

âñßóêïíôáé óôï 2ï êáé óôï 4ï ôåôáñôç-

ìüñéï;

Ã124. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò 1

yx

= ìå

x 0< äßíåôáé óå Ýíá áðü ôá ðáñáêÜôù

ó÷Þìáôá:

Íá óçìåéþóåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

Ã125. Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ á þóôå ç õðåñ-

âïëÞ ( ) ( )α 1 2 α 1

y3 x

− ⋅ −= ⋅ íá äéÝñ÷å-

ôáé áðü ôï óçìåßï ( )1,1− .

Ã126. Ç åõèåßá y 4= ôÝìíåé ôçí õðåñâïëÞ

αy

x= ó’ Ýíá óçìåßï ìå ôåôìçìÝíç

1

2. Íá

âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò êáé óôç

óõíÝ÷åéá íá ôç ó÷åäéÜóåôå.

Ã127. Áí ç ãñáöéêÞ ôçò ( ) ( ) 2f x 2λ 1 x= + , äéÝñ-

÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )A 1,3 íá ðáñáóôÞ-

óåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçóç

( )λ 3

g xx

−= .

Ã128.á. Óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôç-

óçò ( )2

f x , x 0x

= − ≠ ðáßñíïõìå ôï

ìåôáâëçôü óçìåßï 2

K α, , α 0α

− >

.

Áí Ë åßíáé ôï óõììåôñéêü ôïõ Ê ùò ðñïò

ôçí áñ÷Þ ( )Ο 0,0 ôïõ êáñôåóéáíïý óõ-

óôÞìáôïò óõíôåôáãìÝíùí Οxy , íá

âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ á þóôå ç áðüóôáóç

(ÊË) íá åßíáé åëÜ÷éóôç.

â. Íá åîåôÜóåôå ôç óõíÜñôçóç:

( ) ( )3g x x f x= ⋅

ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá, íá âñåßôå ôï

óýíïëï ôéìþí ôçò êáé ôá áêñüôáôá ôçò

óõíÜñôçóçò áí õðÜñ÷ïõí.

ã. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôùí ãñáöé-

êþí ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí

( )f x êáé ( )g x .

á â ã

Page 187: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10194

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã129. Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞ-

óåéò: á. ( )x

f xx

= â. ( ) 2f x x x= ⋅

Ã130. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

( )5 1

f x x x x 22 2

= + + − + −

á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò.

â. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç ( )f x 10= .

ã. Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç ( )f x 2≤ − .

Ã131. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞóåéò

i. ( ) 2f x x x 1= − −

ii. ( ) 2g x x 3 x= + −

iii. ( ) 2t x x 4 x 5= − −

Ã132. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

( ) ( )f x λ x 1 x 1 2 λ x λ 1= + + − + − − − .

á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò.

â. Óå ðïéá äéáóôÞìáôá ôïõ ðåäßï ïñéóìïý

ôçò ç óõíÜñôçóç f åßíáé áíåîÜñôçôç ôïõ

ë;

ã. Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò üôáí

x λ= ìå λ 1> .

( )f x x=

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.

3. Óõììåôñßåò: åßíáé Üñôéá Üñá Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôïí y´y.

4. Óýíïëï ôéìþí: ( ) [ )f R 0,= +∞

5. Ìïíïôïíßá: ( ]

[ )

H f είναι γν. φθίνουσα στο 0

H f είναι γν. αύξουσα στο 0,

−∞

+∞

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï fΑ R=

7. Áêñüôáôá: Ãéá x 0= ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ( )f 0 0= .

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: ( )

( )

y ' y στο σηµείο 0,0

x 'x στο σηµείο 0,0

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Page 188: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 195

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

( )f x x=

1. Ðåäßï ïñéóìïý: [ )0, +∞

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.

3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé.

4. Óýíïëï ôéìþí: [ )( ) [ )f 0, 0,+∞ = +∞

5. Ìïíïôïíßá: ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï [ )fΑ 0,= +∞

6. 1-1: ç f åßíáé 1-1 óôï [ )fΑ 0,= +∞

7. Áêñüôáôá: ç f ðáñïõóéÜæåé ãéá x 0= åëÜ÷éóôç ôéìÞ ( )f 0 0=

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: ( )

( )

y ' y στο σηµείο 0,0

x 'x στο σηµείο 0,0

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Ç óõíÜñôçóç ( )f x = x

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã133. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï ( ) 2f x x 3x 2= − + .

Ã134. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò

( )f x x 1= − åßíáé ìéá êáìðýëç C. Íá

âñåßôå åêåßíï ôï óçìåßï ôçò C ðïõ áðÝ÷åé

ôçí åëÜ÷éóôç áðüóôáóç áðü ôï óçìåßï

( )A 3,0 .

Ã135. Íá ãñáöïýí ïé ôýðïé ôùí óõíáñôÞóåùí:

( )2 2x x 4x 4

f xx x 2

+ += −

+ êáé

( ) ( ) ( )2 44 2

g x 5 x 2 3 x 3 10 x 2x 1= − − + + + +

óå áðëïýóôåñç ìïñöÞ. (âë. áóê. Á7.1)

Page 189: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10196

( ) xf x α , 0 α 1= < ≠

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R

2. Ðåñéïäéêüôçôá : Äåí ðáñïõóéÜæåé

3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé

4. Óýíïëï ôéìþí: ( ) ( )f R 0,= +∞

5. Ìïíïôïíßá:

É. Áí α 1> åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R ïðüôå ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ:

Áí 1 2x x< ôüôå 1 2

x xα α< .

Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé áóýìðôùôç óôï −∞ ôïí áñíçôéêü çìéÜ-

îïíá Ïx΄.

ÉÉ. Áí 0 α 1< < åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R ïðüôå ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ éó÷ýåé ç óõíåðáãù-

ãÞ: Áí 1 2x x< ôüôå 1 2

x xα α> .

Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé áóýìðôùôç óôï +∞ ôïí èåôéêü çìéÜ-

îïíá Ïx.

6. 1 1− : åßíáé äéüôé ãéá ôç óõíÜñôçóç ( ) xf x α= ìå 0 α 1< ≠ êáé x R∈ éó÷ýåé

1 2x x

1 2α α x x= ⇔ = ãéá êÜèå

1 2x , x R∈ .

7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñ. ðáñÜóôáóç:

ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç ôÝìíåé ôïí Üîïíá y’y óôï óçìåßï (0,1) åíþ äåí Ý÷åé êïéíÜ óçìåßá ìå

ôïí Üîïíá x’x , áöïý xα 0> ãéá êÜèå x R∈ .

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Page 190: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 197

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

3

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-

óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:

( ) xf x 4= , ( )

x

1g x

4

=

, ( ) xφ x 4

−=

Ëýóç

Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí

xy α= êáé

x

x

x

1 1y α

αα

− = = =

ìå α 0> êáé α 1≠ åßíáé óõììåôñéêÝò ìå Üîïíá óõì-

ìåôñßáò ôïí y y′ .

ÅðåéäÞ ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé:

( ) ( ) ( )4

x1 x1

g x 4 4 f x4

− − = = = = −

ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f êáé g åßíáé óõì-

ìåôñéêÝò ùò ðñüò ôïí y y′ .

ÅðåéäÞ: ( ) ( )x

x

x

1 1φ x 4 g x

44

− = = = =

, ãéá êÜèå

x R∈ , ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ö(÷) ôáõôßæåôáé ìå

ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò g(÷). (âëÝðå ó÷Þìá).

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:

( )x

α α 1f (x) 4 2 µε x

+

= + ∈�

á. Áí ôï óçìåßï Ì(1,3) áíÞêåé óôçí ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò f, âñåßôå ôï á.

â. Ëýóôå ôçí åîßóùóç:

( ) ( )f x 1 f 2x 1 28− + + =

Ëýóç

á. Áöïý ôï óçìåßï ( )Μ 1 , 3 ðñÝðåé íá áíÞêåé

óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f , åßíáé:

α α 1 2α αf (1) 3 4 2 3 2 2 2 3 0

+= ⇔ + = ⇔ + ⋅ − =

ÈÝôïõìå αy 2= êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:

2 2 16y 2y 3 0 y

2

− ±+ − = ⇔ = ⇔

y 1= Þ y 3= − (ðïõ áðïññßðôåôáé áöïý y>0).

Ìå α 0y 1 2 1 2 α 0= ⇔ = = ⇔ = . ¢ñá

( )x

0 1 xf (x) 4 2 3 , µε x= + = ∈�

â. ¸÷ïõìå

x 1 2x 1 2x x13 3 28 3 3 3 28 0

3

− +

+ = ⇔ ⋅ + ⋅ − =

ÈÝôïõìå: x3 y 0= > êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:

2 213y y 28 0 9y y 84 0

3+ − = ⇔ + − = ⇔

y 3= Þ 28

y9

= − (ðïõ áðïññßðôåôáé)

Ìå x 1

y 3 3 3 x 1= ⇔ = ⇔ = .

¸íáò âéïëüãïò ìåëåôþíôáò ôçí áíÜðôõîç

åíüò åßäïõò âáêôçñéäßùí ðáñáôçñåß üôé:

• óå 2 þñåò ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ðáñáôÞñç-

óçò ôá âáêôçñßäéá Þôáí 400

• óå 4 þñåò ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ðáñáôÞñç-

óçò ôá âáêôçñßäéá Þôáí 3200

Åíþ ï ôýðïò ðïõ äßíåé ôïí áñéèìü ôùí âáê-

ôçñéäßùí åßíáé: ( ) βtq t A 2= ⋅ , ìå t 0≥ ôïí

÷ñüíï óå þñåò ìå Á, â èåôéêÝò óôáèåñÝò.

i. Âñåßôå ôéò óôáèåñÝò Á êáé â

ii. Âñåßôå óå ðüóá ëåðôÜ ï áñ÷éêüò ðëõèõ-

óìüò ôùí âáêôçñéäßùí èá Ý÷åé äéðëáóéá-

óôåß

iii. Ëýóôå ôçí áíßóùóç:

( )2

2t 3q t 5Α 2 500 0

+ − ⋅ − ≥

Ëýóç

i. Éó÷ýåé: ( )

( )

q 2 400 A 2 400 και

q 4 3200 A 2 3200

= ⇔ ⋅ =

= ⇔ ⋅ =

Page 191: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10198

Ìå äéáßñåóç êáôá ìÝëç Ý÷ïõìå:

4β2β 3

A 2 3200 32 8 2 2β 3 β

400 2A 2

⋅= ⇔ = = ⇔ = ⇔ =

¢ñá: 3

22A 2 400 8Α 400 Α 50⋅

⋅ = ⇔ = ⇔ =

ii. Éó÷ýåé ( )3t

2q t 50 2 µε t 0⋅

= ⋅ ≥ .

Áí t ï ÷ñüíïò ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ãéá íá äéðëáóéá-

óôåß ï áñéèìüò ôùí âáêôçñéäßùí ôüôå:

( ) ( )q t 2q 0= ⇔

3t

250 2 2 50⋅

⋅ = ⋅ ⇔

3t

122 2⋅

= ⇔3 2t 1 t

2 3⋅ = ⇔ = ôçò þñáò.

¢ñá óå 260 40

3⋅ = ëåðôÜ èá Ý÷åé äéðëáóéáóôåß

ï áñ÷éêüò ðëçèõóìüò ôùí âáêôçñéäßùí .

iii. ( )[ ]2

2t 3q t 5Α 2 500 0

+− ⋅ − ≥ ⇔

3t 2t

3t 2t

3t 2t

2500 2 5 50 8 2 500 0

2500 2 2000 2 500 0

5 2 4 2 1 0

⇔ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ≥ ⇔

⇔ ⋅ − ⋅ − ≥ ⇔

⇔ ⋅ − ⋅ − ≥

ÈÝôïõìå: ty 2 0= > êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé:

3 2 t 05y 4y 1 0 y 1 2 2 t 0

− − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .

∗ Ãéá ôï ( ) 3 2q y 5y 4y 1= − − åöáñìüóáìå ôï

ó÷Þìá Horner óôç èÝóç 1.

[ôï 1 ôï âñÞêáìå äéüôé ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ q(y)

Ý÷ïõí Üèñïéóìá 0]

¢ñá ( ) ( ) ( )2q y y 1 5y y 1= − ⋅ + + .

Ôï ðñüóçìï ôïõ q(y) öáßíåôáé óôïí åðüìåíï

ðßíáêá:

4 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( )x

3 αf x

α 2

− =

+

ìå α 2≠ − . Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ α R∈ ãéá

ôéò ïðïßåò ç óõíÜñôçóç f:

i. ¸÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.

ii. Åßíáé ãíùóßùò áýîïõóá óôï R.

iii. Åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R.

iv. Åßíáé 1-1.

Ëýóç

i. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R ìüíïí üôáí:

( )( )3 α0 3 α α 2 0 2 α 3

α 2

−> ⇔ − + > ⇔ − < <

+

ii. Ãéá íá åßíáé ç f ãíçóßùò áýîïõóá óôï R ðñÝðåé

êáé áñêåß:

( )( )

3 α 3 α 3 α α 21 1 0 0

α 2 α 2 α 2

1 2α 10 1 2α α 2 0 2 α

α 2 2

− − − − −> ⇔ − > ⇔ >

+ + +

−⇔ > ⇔ − + > ⇔ − < <

+

iii. Ãéá íá åßíáé ç f ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R ðñÝ-

ðåé êáé áñêåß:

( )( )

3 α 3 α 3 α α 21 1 0 0

α 2 α 2 α 2

1 2α0 1 2α α 2 0

α 2

1α 2 ή α

2

− − − − −< ⇔ − < ⇔ <

+ + +

−⇔ < ⇔ − + < ⇔

+

⇔ < − >

êáé

• ( )( )3 α0 3 α α 2 0 2 α 3

α 2

−> ⇔ − − > ⇔ − < <

+

Óõíáëçèåýïíôáò Ý÷ïõìå: 1

α 32< <

iv. Ãéá íá åßíáé ç f 1-1 ðñÝðåé êáé áñêåß:

3 α 3 α0 και 1

α 2 α 2

− −> ≠

+ +

Þ 2 α 3 και 3 α α 2− < < − ≠ +

Þ1

2 α 3 και α2

− < < ≠

Þ1 1

2 α ή α 32 2

− < < < <

Page 192: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 199

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

8

7

6

5 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( )x

2α 1

f x3α 1

+=

Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ α R∈ ãéá ôéò ïðïßåò

ç óõíÜñôçóç f åßíáé óôáèåñÞ óôï R.

Ëýóç

Ãéá íá åßíáé ç óõíÜñôçóç f óôáèåñÞ ðñÝðåé êáé

áñêåß: 2

2 2α 11 α 1 3α 1 α 3α 2 0

3α 1

+= ⇔ + = − ⇔ − + =

Üñá α 1 ή α 2= = .

Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1-1 ïé ðáñáêÜôù

óõíáñôÞóåéò:

i. ( ) x 2f x 3e 1

+

= − ii. ( )x

x

3 1g x

3 2

−=

+

Ëýóç

Ãéá íá äåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f : A R→

åßíáé 1-1 åñãáæüìáóôå ùò åîÞò:

1ïò ôñüðïò

Èåùñïýìå 1 2x , x A∈ ôÝôïéá þóôå ( ) ( )1 2

f x f x=

êáé áðïäåéêíýïõìå üôé 1 2x x= .

2ïò ôñüðïò

Èåùñïýìå 1 2x , x A∈ ìå

1 2x x≠ êáé áðïäåéêíý-

ïõìå üôé ( ) ( )1 2f x f x≠

i. Ç f ïñßæåôáé óå üëï ôï R.

¸óôù 1 2x , x R∈ ôÝôïéá þóôå: ( ) ( )1 2

f x f x=

Ôüôå Ý÷ïõìå äéáäï÷éêÜ:

1 2

1 2

1 2

1 2

x 2 x 2

x 2 x 2

x x2 2

x x

3e 1 3e 1

3e 3e

e e e e

e e

+ +

+ +

− = −

=

=

=

êáé áöïý ç ( ) xf x e= åßíáé 1-1 Ý÷ïõìå:

1 2x x=

¢ñá ç f åßíáé 1-1.

ii. Ç g ïñßæåôáé óå üëï ôï R.

¸óôù 1 2x , x R∈ ôÝôïéá þóôå: ( ) ( )1 2

g x g x=

Ôüôå Ý÷ïõìå äéáäï÷éêÜ:

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2

x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

3 1 3 1

3 2 3 2

3 2 3 3 2 3 3 2 3 2

2 3 3 2 3 3 3 3

+ +

− −= ⇔

+ +

+ ⋅ − − = − + ⋅ −

⋅ − = ⋅ − ⇔ =

êáé áöïý ç ( ) xf x 3= åßíáé 1-1 Ý÷ïõìå:

1 2x x= . ¢ñá ç g åßíáé 1-1.

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò ( ) ( )x

f x 1 x= + .

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôçí Ýíùóç

1 2 3 4A A A A A= ∪ ∪ ∪ , üðïõ:

{ }1A x R :1 x 0 και x R= ∈ + > ∈ ,

{ }*2A x R :1 x 0 και x Q

+= ∈ + = ∈

{ }3A x R :1 x 0 και x Z= ∈ + < ∈

{ }*4A x R : x N= ∈ ∈

ÅîÜëëïõ, ( )1A 1,= − +∞ ,

2Α = ∅ ,

{ }3Α x Z : x 1= ∈ < − êáé *

4A N= , ïðüôå:

( ) { }A 1, x Z : x 1= − +∞ ∪ ∈ < −

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )x2 3 2 x 1= −⋅

Ëýóç

Åßíáé: ( ) ( )x x2 x 11 3 3 x 1 2

2 2

−⇔ = ⇔ = − +

• Ç óõíÜñôçóç ( ) xf x 3= ïñßæåôáé óôï R êáé ãéá

êÜèå 1 2x , x R∈ êáé åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï

R.

• Ç óõíÜñôçóç ( )1

g x x 12

= − + ïñßæåôáé óôï R

êáé ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ êáé åßíáé ãíçóßùò öèß-

íïõóá óôï R.

Áí õðÜñ÷åé ñßæá ôçò (1), áõôÞ åßíáé ìïíáäéêÞ.

ÊÜíïíôáò, ëïéðüí, ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f,

g äéáðéóôþíïõìå üôé äéÝñ÷ïíôáé êáé ïé äýï áðü ôï

óçìåßï (0,1), ïðüôå ï áñéèìüò ÷=0 åßíáé ñßæá ôçò

åîßóùóçò ( ) ( )f x g x= êáé åðïìÝíùò ôçò (2), Üñá

êáé ôçò (1).

Page 193: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10200

9

¿óôå: ç (1) Ý÷åé ôçí ìïíáäéêÞ ñßæá ÷=0.

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: xe 1 x≥ −

Ëýóç

¸óôù ( ) xf x e= êáé ( )g x 1 x= − , ïé ãñáöéêÝò

ðáñáóôÜóåéò ôùí ïðïßùí öáßíïíôáé óôï åðüìåíï

ó÷Þìá:

Ç áíßóùóç ïñßæåôáé ãéá êÜèå x R∈ êáé áëçèåýåé

ãéá åêåßíá ôá ÷ ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:

( ) ( )f x g x≥ .

Áõôü üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá áëçèåýåé üôáí:

x 0≥ . ÐñÜãìáôé áöïý ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíç-

óßùò áýîïõóá óôï R, ïðüôå ãéá êÜèå x 0≥ ,

éó÷ýåé:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f x f 0 f x e f x 1 1≥ ⇔ ≥ ⇔ >

Ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R,

ïðüôå ãéá êÜèå x 0≥ , éó÷ýåé:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x g 0 g x 1 0 g x 1 2≤ ⇔ = − ⇔ ≤

Áðü ôéò (1) êáé (2), Ý÷ïõìå:

( ) ( )f x 1 g x≥ ≥

ïðüôå ( ) ( )f x g x≥ êáé åðïìÝíùò êÜèå x 0≥ åß-

íáé ëýóç ôçò áñ÷éêÞò áöïý:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

0f x f 0 f x 1f x ex 0

g x g 0 g x 1g x 1 0

< << ≥ ⇔ ⇔ ⇔

> >> − .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã136. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

( ) ( ) ( )x x

f x 3 8 3 8= + + −

ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R. Íá äåßîåôå üôé:

á. ç f åßíáé Üñôéá

â. óôï óçìåßï ( )A 0,2 ôçò ãñáöéêÞò ðá-

ñÜóôáóçò ôçò f ç ôåôáãìÝíç 2 åßíáé ç

åëÜ÷éóôç.

Ã137. i. Íá áðïäåßîåôå üôé, áí ç f åßíáé ãíçóßùò

ìïíüôïíç óôï R, ôüôå ç ãñáöéêÞ ðá-

ñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé óå Ýíá ôï ðïëý

óçìåßï ôïí Üîïíá x x′ .

ii. Áí ç f ãíçóßùò áýîïõóá êáé g ãíçóßùò

öèßíïõóá óôï R, íá äåßîåôå üôé õðÜñ-

÷åé ôï ðïëý Ýíáò áñéèìüò ξ R∈ , þóôå

( ) ( )f ξ g ξ= .

iii. Íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç xe x 1= − +

Ý÷åé ìüíï ìßá ñßæá óôï R ôçí 0x 0= .

Ã138. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( )x

2α 3f x 4

α 1

+ = −

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò ôéìÝò ôïõ α R∈

þóôå:

i. Ç f íá åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ðå-

äßï ïñéóìïý ôçò.

ii. Ç f íá åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï

ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Ã139. Áí ç çìéæùÞ åíüò ñáäéåíåñãïý õëéêïý

åßíáé 10 ÷ñüíéá, äåßîôå üôé ç óõíÜñôçóç

ðïõ åêöñÜæåé ôçí åêèåôéêÞ áðüóâåóç åß-

íáé: ( )t

10

0Q t Q 2

= ⋅ .

Page 194: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 201

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

( )α

f x log x, 0 α 1= < ≠

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç

( ) ( )2f x ln x 1= + åßíáé Üñôéá.

Ëýóç

“Ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á åßíáé Üñôéá

üôáí ãéá êÜèå x A∈ éó÷ýïõí:

i. x A− ∈ êáé ii. ( ) ( )f x f x− = ”

Åßíáé 2x 1 0+ > , ãéá êÜèå x R∈ .

¢ñá ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï A R= .

Ãéá êÜèå x, x R− ∈ Ý÷ïõìå:

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2f x ln x 1 ln x 1 f x− = − + = + =

¢ñá ç f åßíáé Üñôéá.

1. Ðåäßï ïñéóìïý: ( )0,+∞

2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé

3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé

4. Óýíïëï ôéìþí: ( )( )f 0, R+∞ =

5. Ìïíïôïíßá: • áí 0 α 1< < ç f åßíáé ↓ óôï ( )fΑ 0,= +∞

• áí α 1> ç f åßíáé ↑ óôï ( )fΑ 0,= +∞

6. 1 1− : Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1 1− óôï ( )fA 0,= +∞

7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé

8. Ðïõ ôÝìíåé ôç ãñ. ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: ( )

y y ∆εν τέµνει τον y y σε κανένα σηµείο

x x Στο σηµείο 1,0

′ ′′

Ï Üîïíáò y y′ áðïôåëåß áóýìðôùôç åõèåßá ôçò ãñ. ðáñÜóôáóçò ôçò f.

9. Bïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Page 195: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10202

5

4

3

2 Íá óõãêñßíåôå ôïõò áñéèìïýò:

i. 2 2

log 5 και log 11

ii. 0,5 0,5

log 7 και log 20

Ëýóç

“Ãéá íá óõãêñßíïõìå ëïãÜñéèìïõò ðïõ Ý÷ïõí ôçí

ßäéá âÜóç óôçñéæüìáóôå óôç ìïíïôïíßá ôçò ëï-

ãáñéèìéêÞò óõíÜñôçóçò:

• Áí α 1> ç ( )α

f x log x= åßíáé ãíçóßùò áý-

îïõóá, Üñá ãéá êÜèå ( )1 2x , x 0,∈ +∞ ìå

1 2x x<

éó÷ýåé: ( ) ( )1 2f x f x< .

• Áí 0 α 1< < ç ( )α

f x log x= åßíáé ãíçóßùò

öèßíïõóá, Üñá ãéá êÜèå ( )1 2x , x 0,∈ +∞ ìå

1 2x x< éó÷ýåé: ( ) ( )1 2

f x f x> .

i. Ç óõíÜñôçóç ( )2

f x log x= åßíáé ãíçóßùò áý-

îïõóá, åðïìÝíùò :

ìå 5 11< åßíáé ( ) ( )f 5 f 11<

äçëáäÞ 2 2

log 5 log l 11< .

ii. Ç óõíÜñôçóç ( )0,5

f x log x= åßíáé ãíçóßùò

öèßíïõóá, åðïìÝíùò:

ìå 7 20< åßíáé ( ) ( )f 7 f 20>

äçëáäÞ 0,5 0,5log 7 log 20> .

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-

óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:

i. ( )3

f x log x= ii. ( )1

3

g x log x=

Ëýóç

i. Ç f ïñßæåôáé óôï ( )0,+∞ , Ý÷åé óýíïëï ôéìþí

ôï R, êáé åðåéäÞ α 3 1= > åßíáé ãíçóßùò áý-

îïõóá óôï ( )0,+∞ .

ii. ÅðåéäÞ 1

0 α 13

< = < ç f ïñßæåôáé óôï ( )0,+∞ ,

Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï R, åßíáé ãíçóßùò öèß-

íïõóá óôï ( )0,+∞ .

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )2

log x x 1 1= − +

Ëýóç

Ó÷åäéÜæïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõ-

íáñôÞóåùí ( )2

f x log x= êáé ( )g x x 1= − + êáé

äéáðéóôþíïõìå üôé ôÝìíïíôáé óôï óçìåßï ìå ôå-

ôìçìÝíç ÷=1. ¢ñá ï áñéèìüò ÷=1 åßíáé ëýóç ôçò

(1). ÅîÜëëïõ ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò áý-

îïõóá áöïý 2 > 1 êáé ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíç-

óßùò öèßíïõóá áöïý ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò

ôçò åõèåßáò y x 1= − + åßíáé λ 1= − , ïðüôå ç ëýóç

÷=1 åßíáé ìïíáäéêÞ.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:

f (x) ln(x α) β= + +

i. Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí

Üîïíá x óôï ( )Α e 2 , 0− êáé ôïí y y′ óôï

2B 0 , ln

e

âñåßôå ôá α,β∈� .

ii. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f .

iii. Ó÷åäéÜóôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f.

Á9

Á10

Â7

Â9

Â10

Page 196: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 203

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

6

iv. Âñåßôå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò åõèåßáò

f (x)y e= ìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ

ðïëõùíýìïõ:

3 2x x x

q(x)e

+ +=

Ëýóç

i. ¸÷ïõìå

f

2 2B 0 , ln C f (0) ln

e e

∈ ⇔ = ⇔

2 2ln ln ln ln e ln

e e

β

α +β = ⇔ α + = ⇔

( ) 2ln e ln

e

β

α = ⇔1

2 2e

e e

β

β+α = ⇔ α =

êáé

( )f

e 2 , 0 C f (e 2) 0Α − ∈ ⇔ − = ⇔

( ) ( )

( ) ( )

1

ln e 2 0 ln e 2

ln e 2 ln e e 2 e

2 1 2 1e 2 e 2

e e e e e

−β −β

β+ β β β

− +α +β = ⇔ − +α = −β⇔

− +α = ⇔ − +α = ⇔

− + = ⇔ − + =⋅

ÈÝôïõìå: y eβ

= êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:

( )

( )

1

2 1e 2 e e 2 y 2 e

e y y

1e e 2 y e 2 y

e

e e 1β −

− + = ⇔ ⋅ − ⋅ + = ⇔⋅

⋅ − ⋅ = − ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ β = −

Ôüôå 0

22

eα = = êáé f (x) ln(x 2) 1= + −

ii. ÅðåéäÞ x 2 0 x 2+ > ⇔ > − , ôï ðåäßï ïñéóìïý

ôçò f åßíáé ôï ( )2,− +∞ .

iii. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f åßíáé ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò y ln x= ç ïðïßá üìùò åßíáé

ìåôáôïðéóìÝíç:

• Êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù êáôÜ 1 ìïíÜäá.

• Ïñéæüíôéá ðñïò ôá áñéóôåñÜ êáôÜ 2 ìïíÜäåò.

iv. Éó÷ýåé:

f (x) ln(x 2) 1 ln(x 2) ln e

x 2ln

e

y e e e

x 2e

e

+ − + −

+

= = = =

+= =

Ïðüôå ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:

3 2

3 2x x x x 2x x 2 0

e e

+ + += ⇔ + − =

Ãéá ôï 3 2G(x) x x 2= + − åöáñìüæïõìå ôï

ó÷Þìá Horner óôç èÝóç 1 êáé Ý÷ïõìå:

¢ñá ( ) ( )2x 1 x 2x 2 0 x 1− ⋅ + + = ⇔ = .

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç: ( )ln x

f x1 lnx

=−

i. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f.

ii. Âñåßôå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñáöéêÞò ðá-

ñÜóôáóçò ôçò f ìå ôçí åõèåßá y 1=

iii. Âñåßôå ôá äéáóôÞìáôá ôïõ x óôá ïðïßá ç

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f âñßóêåôáé ðÜíù

áðü ôïí Üîïíá x x′ .

Ëýóç

i. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f èá ðñïêýøåé áðï ôçí

åðßëõóç ôïõ óõóôÞìáôïò:

x 0 x 0

1 ln x 0 1 ln x

x 0x e

x e

> > ⇔ ⇔

− ≠ ≠

>⇔ ⇔ 0 < ≠

Á10

Â9

Page 197: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10204

8

7

¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:

( ) ( )A 0,e e,= ∪ +∞

ii. Ãéá íá âñïýìå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò fC ìå ôçí

åõèåßá y 1= , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:

( )

1

2

ln xf x 1 1 ln x 1 ln x

1 ln x

12ln x 1 ln x ln e x e

2

= ⇔ = ⇔ = − ⇔

⇔ = ⇔ = = ⇔ =

¢ñá ( )A e , 1 ôï êïéíü óçìåßï ôçò fC êáé

ôçò åõèåßáò y 1= .

iii. Ãéá íá âñïýìå ôá äéáóôÞìáôá ôïõ x óôá ïðïßá

ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðï ôïí Üîïíá x x′

ëýíïõìå ôçí áíßóùóç:

( ) ( )ln x

f x 0 0 ln x 1 ln x 01 ln x

> ⇔ > ⇔ ⋅ − >−

ÈÝôïõìå: y ln x= êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé:

( )y 1 y 0⋅ − >

Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:

( )y 1 y 0⋅ − = ⇔ y 0= Þ y 1=

Tï ðñüóçìï ôïõ ( )y 1 y⋅ − öáßíåôáé óôïí å-

ðüìåíï ðßíáêá:

¢ñá:

0 y 1< < ⇔ 0 ln x 1 ln1 ln x ln e< < ⇔ < < ⇔

( )x 1 , e⇔ ∈

i. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ-

ôçóçò: ( )2x

x

e 1f x ln

e 5

−=

+

ii. Ëýóôå ôçí åîßóùóç: ( )f x 2ln2=

iii. Ëýóôå ôçí áíßóùóç: ( )f x 0>

Ëýóç

i. ÐñÝðåé

( )2x 2x 0e 1 0 e e 2x 0 x 0,− > ⇔ > ⇔ > ⇔ ∈ +∞

¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:

( )A 0,= +∞

ii. ( )f x 2ln 2= ⇔

( )2x 2x

2

x x

2x x 2x x

e 1 e 1ln ln 2 4

e 5 e 5

e 1 4e 20 e 4e 21 0

− −= ⇔ = ⇔

+ +

⇔ − = + ⇔ − − =

ÈÝôïõìå xe y 0= > êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:

2y 4y 21 0 y 7 ή y 3− − = ⇔ = = −

ç y = -3 áðïññßðôåôáé,áöïý y > 0.

x x ln 7e 7 e e x ln 7= ⇔ = ⇔ = .

( )2x 2x

x x

2x x 2x x

e 1 e 1f x 0 ln ln1 1

e 5 e 5

e 1 e 5 e e 6 0

− −> ⇔ > ⇔ >

+ +

⇔ − > + ⇔ − − >

ÈÝôïõìå: xe y 0= > êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé:

2y y 6 0 y 2 ή y 3− − > ⇔ < − > .

Åßíáé: x ln 3

y 3 e 3 e x ln 3> ⇔ > = ⇔ >

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò óõíáñôÞóåéò

( ) xf x = α êáé ( )g x log x

α= , áí ïé ãñáöéêÝò

ôïõò ðáñáóôÜóåéò äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá:

i. ( )A 2,4 ii. ( )B 2,4−

iii. ( )Γ 2, 4− iv. ( )∆ 2, 4− −

Ëýóç

ÅðåéäÞ 0 α 1< ≠ Ý÷ïõìå:

i. ( ) 2f 2 4 α 4 α 2= ⇔ = ⇔ = . ¢ñá ( ) x

f x 2=

( ) 4 4

αg 2 4 log 2 4 α 2 α 2= ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

¢ñá ( ) 4 2g x log x= .

ii. ( ) 2 2 1 1f 2 4 α 4 α α

4 2

−− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

¢ñá ( )x

1f x

2

=

, åíþ äåí õðÜñ÷åé ç g, áöïý

ï ëïãÜñéèìïò áñíçôéêïý áñéèìïý äåí ïñßæåôáé.

Á9

Á10

Â10

Â11

Á9

Á10

Â10

Â11

Page 198: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 205

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

iii. ( ) ( )2f 2 4 4 ύ−

= − ⇔ α = − αδ νατο

( ) 4

4

1g 2 4 log 2 4 2

2

α= − ⇔ = − ⇔α = ⇔α =

¢ñá ( )4

1

2

g x log x= .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã140. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï

( ) ( )2f x n x 6x 8= − +� .

Ã141. Íá ó÷åäéÜóåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

f ìå ( )α

f x log x= áí åßíáé ãíùóôü üôé

äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï 1

A e,2

.

Ã142. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå

( ) ( )2f x ln x x 1= + +

Íá áðïäåßîåôå üôé:

i. ïñßæåôáé ó’ üëï ôï R,

ii. åßíáé ðåñéôôÞ êáé

iii. åßíáé óõíÜñôçóç “1–1”.

Ã143. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí åêèåôéêÞ óõíÜñ-

ôçóç ( ) xf x α= êáé ôç ëïãáñéèìéêÞ óõ-

íÜñôçóç ( )α

g x log x= , ôùí ïðïßùí ïé

ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðåñíïýí áðü ôï óç-

ìåßï:

i. ( )2,9 , ii. 1

4,16

, iii. 1, 3

27

Ã144. Íá ëõèåß ãñáöéêÜ ç åîßóùóç:

( )2

log x x 1 1= − +

Ã145. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ-

ôçóçò

( ) ( )2

2 xf x log x 3x 2

−= − +

Ã146. Áí ( )1 x

F x n1 x

−=

+� ìå 1 x 1− < < ôüôå

íá äåé÷èåß üôé éó÷ýåé:

( ) ( )α β

F F α F β1 αβ

+= +

+

Ã147. Áí ( ) 3f x og x= � , ôüôå íá äåé÷èåß üôé

( ) ( ) ( )3f 2 2f 6 f 32 2+ − =

(âë. áóê. Á10.5)

Ã148. Áí ( )f x ogx= � , ôüôå íá äåé÷èåß üôé

( ) ( )( ) ( ) ( )α β 1

f f α f β f α f β3 2

+ = + ≥

(âë. áóê. Á10.10)

Ã149. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõ-

íáñôÞóåùí ìå ôýðïõò:

á. ( ) ( )x

f x log 3 x= −

â. ( ) x

1 xf x log

5 x

+=

(âë. áóê. Á10.4)

Á9

Á10

Â4

Â8

Â10

Â11

iv. ( ) 2 2 1f 2 4 α 4 α

4

−− = − ⇔ = − ⇔ = −

Åðßóçò äåí õðÜñ÷åé ç g, áöïý ï ëïãÜñéèìïò áñ-

íçôéêïý áñéèìïý äåí ïñßæåôáé.

Page 199: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11206

ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò

( )f x ηµx= ,

( )f x συνx=

, ( )f x εφx= , ( )f x σφx=

Ã.11

Ç óõíÜñôçóç ìå ôçí ïðïßá êÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï

çì(x rad) ëÝãåôáé óõíÜñôçóç çìßôïíï êáé ôç óõìâïëßæïõìå ìå:

çìx = çì(x rad)

Ç óõíÜñôçóç çìßôïíï åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2ð äéüôé:

çì(2ð+x) = çìx, ãéá êÜèå x R∈

Áõôü óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé óå êÜèå äéÜóôç-

ìá ðëÜôïõò 2ð. Ç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò óôï äéÜóôçìá [0,2ð] öáß-

íåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá.

Ç óõíÜñôçóç ìå ôçí ïðïßá êÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï

óõí (x rad) ëÝãåôáé óõíÜñôçóç óõíçìßôïíï êáé ôç óõìâïëßæïõìå ìå:

óõíx = óõí (x rad)

Ç óõíÜñôçóç áõôÞ åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2ð., äéüôé:

óõí(2ð+x)=óõíx ãéá êÜèå x R∈

Áõôü óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé óå êÜèå äéÜóôçìá

ðëÜôïõò 2ð. Ç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò óôï äéÜóôçìá [0,2ð] öáßíåôáé

óôïí åðüìåíï ðßíáêá.

Ç óõíÜñôçóç

çìßôïíï

( )f x ηµx=

H ãñáöéêÞ ðáñÜ-

óôáóç ëÝãåôáé ç-

ìéôïíïåéäÞò êá-

ìðýëç.

Ç óõíÜñôçóç

óõíçìßôïíï

( )f x συνx=

Page 200: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò 207

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

Ç óõíÜñôçóç åöáðôüìåíç ïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôïõ çìéôüíïõ ðñïò ôï óõíçìß-

ôïíï.

Åßíáé: ηµx

f (x) εφxσυνx

= = ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï A {x R :συνx 0}= ∈ ≠

Ç óõíÜñôçóç åöx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï ð äéüôé: åö(ð + x) = åöx, ãéá

êÜèå x A∈ . ¢ñá ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé ç ßäéá óå

êÜèå äéÜóôçìá ðëÜôïõò ð.

¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 2

π ìå

πx

2< ç

åöx ôåßíåé óôï +∞ . ¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”)

óôï 2

π ìå

πx

2> ç åöx ôåßíåé óôï −∞ . Ãé’ áõôü

ëÝìå üôé ç åõèåßá x2

π= åßíáé êáôáêüñõöç áóý-

ìðôùôç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ìå

f(x) = åöx.

Ç óõíÜñôçóç óõíåöáðôüìåíç ïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôïõ óõíçìéôüíïõ ðñïò ôï

çìßôïíï.

Åßíáé: συνx

f (x) σφxηµx

= = ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï A {x R : ηµx 0}= ∈ ≠

Ç óõíÜñôçóç óöx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï ð äéüôé:

óö(ð + x) = óöx, ãéá êÜèå x A∈ . ¢ñá ç ãñáöéêÞ ôçò

ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé ç ßäéá óå êÜèå äéÜóôç-

ìá ðëÜôïõò ð.

¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 0 ìå x 0> ç åöx ôåßíåé

óôï +∞ .

¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 0 ìå x 0< ç åöx ôåß-

íåé óôï −∞

Ôüôå ëÝìå üôé ç åõèåßá x 0= åßíáé êáôáêüñõöç áóý-

ìðôùôç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ìå f(x) = åöx.

ÅðåéäÞ 1 ηµx 1− ≤ ≤ Ý÷ïõìå 1 ηµ(ωx 1)− ≤ ≤

êáé åðåéäÞ ñ > 0 åßíáé:

ρ ρηµ(ωx) ρ -ρ f (x) ρ− ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

¢ñá ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï ñ êáé ç åëÜ÷é-

óôç ôéìÞ ôçò åßíáé ôï - ñ.

Ôï ù êáèïñßæåé ôçí ðåñßïäï Ô ôçò f ðïõ åßíáé:

2πT

ω=

Ç óõíÜñôçóç

åöáðôïìÝíç

( )f x εφx=

Ç óõíÜñôçóç

óõíåöáðôïìÝíç

( )f x σφx=

Ïé óõíáñôÞóåéò

f(÷) = ñçì(ùx),

üðïõ ñ, ù > 0

êáé

g(x) =ñóõí(ùx),

üðïõ ñ, ù > 0

Page 201: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11208

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1

2

Ëýóç

i. Åßíáé öáíåñü üôé ç ðñþôç åßíáé ç y ηµx= .

EðïìÝíùò ïé Üëëåò åßíáé ôçò ìïñöÞò:

y α ηµω x=

- Ç ðåñßïäïò ôçò äåýôåñçò éóïýôáé ìå 4ð.

¸ôóé 2π

4πω= , ïðüôå

2= .

Ôï ðëÜôïò á ôçò äåýôåñçò éóïýôáé ìå 1. ¢ñá

ç åîßóùóÞ ôçò åßíáé ç x

y ηµ2

= .

- Ç ðåñßäïò ôçò ôñßôçò éóïýôáé ìå 2π

3. ¸ôóé

2π 2π

ω 3= , ïðüôå ω 3= .

Ôï ðëÜôïò á ôçò ôñßôçò éóïýôáé ìå 1. ¢ñá ç

åîßóùóÞ ôçò åßíáé ç y ηµ3x= .

ii. Aí åñãáóôïýìå üðùò ðñïçãïõìÝíùò âñßóêïõ-

ìå üôé:

- Ç åîßóùóç ôçò ðñþôçò åßíáé ç y ηµ3x=

- Ç åîßóùóç ôçò äåýôåñçò åßíáé ç y 3ηµx=

- Ç åîßóùóç ôçò ôñßôçò åßíáé ç y 0,5ηµx= êáé

- Ç åîßóùóç ôçò ôÝôáñôçò åßíáé ç y 2,5ηµx= − .

Íá âñåèåß ç ìÝãéóôç êáé ç åëÜ÷éóôç

ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò f(x) = 3çì(4x) êáé íá

êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç.

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç f(x) = 3çì(4x) Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï

3, åëÜ÷éóôç ôï – 3 êáé ðåñßïäï 2π π

4 2= .

ÅðïìÝíùò, ãéá íá ðáñïõóéÜóïõìå ôç ãñáöéêÞ ôçò f

ó÷åäéÜæïõìå ìéá çìéôïíïåéäÞ êáìðýëç ìå åëÜ÷éóôç

ôéìÞ ôï - 3 êáé ìÝãéóôç ôï 3 óå äéÜóôçìá ðëÜôïõò

π

2.

Óôï ßäéï ó÷Þìá ó÷åäéÜóáìå êáé ôçí çìx. Ôá ßäéá

éó÷ýïõí ãéá ôç óõíÜñôçóç g(x) = ñóõí(ùx).

Íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò ôùí çìéôïíïåéäþí êáìðýëùí:

i. ii.

Page 202: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò 209

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-

ÓÅÉÓ

3 Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï, ôç ìÝãéóôç êáé

ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñá-

öéêÜ ôç óõíÜñôçóç ( )f x 3συν2x= óå ðëÜ-

ôïò ìéáò ðåñéüäïõ.

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç ( )f x 3συν2x= åßíáé ôçò ìïñöÞò

( ) ( )f x ρσυν ωx= ìå ρ 3= êáé ω 2= .

ÅðïìÝíùò:

• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π

Τ πω

= = êáé Ý÷åé

ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 3 êáé åëÜ÷éóôç ôï – 3.

Ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï äéðëáíü

ó÷Þìá.

Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôç-

óç x

f (x) 2ηµ2

= .

Ëýóç

Óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá åßíáé ìéá çìéôïíï-

åéäÝò êáìðýëç êáé Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 2, åëÜ÷é-

óôç ôéìÞ ôï - 2 êáé åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï

2T 4

1/ 2

π= = π

Ó÷åäéÜæïõìå ôçí çìéôïíïåéäÞ êáìðýëç óå äéÜóôç-

ìá ðëÜôïõò 4ð. Ãéá óýãêñéóç ó÷åäéÜóáìå êáé ôç

óõíÜñôçóç ö(x) = çìx óôï äéÜóôçìá [0, 2ð].

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:

2xf (x) α ηµ β µε x

3

και α 0 , β

R

R

= ⋅ + ∈

> ∈

i. Áí ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï 3 êáé ç

ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç Cf ôÝìíåé ôïí y y′

óôï óçìåßï (0,1), âñåßôå ôá α,β R∈ .

ii. Íá êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç óå

äéÜóôçìá ðëÜôïõò ìéáò ðåñéüäïõ.

iii.Âñåßôå ôá óçìåßá ðïõ ç ãñáöéêÞ ðáñÜ-

óôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí Üîïíá x´x óôï

äéÜóôçìá ìéáò ðåñéüäïõ.

Ëýóç

i. i H fC′ ôÝìíåé ôïí y y′ óôï (0,1), Üñá ôï óç-

ìåßï ( )f

M 0,1 C f (0) 1 β 1′∈ ⇔ = ⇔ =

i Για x∈R éó÷ýåé: 2x

1 ηµ 13

− ≤ ≤ ⇔

2x

α α ηµ α3

− ≤ ⋅ ≤ ⇔

(ðñïóèÝôïõìå ôï 1)

2x

α 1 α ηµ 1 α 13

− + ≤ ⋅ + ≤ + ⇔

α 1 f (x) α 1− + ≤ ≤ +

ÄçëáäÞ ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï α 1+ ,

Üñá α 1 3 α 2+ = ⇔ = êáé ôåëéêÜ:

2xf (x) 2ηµ 1 µε x

3

= + ∈

R

ii. i H f åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå åëÜ÷éóôç èåôéêÞ ðå-

ñßïäï 2π

Τ 3π2

3

= = .

¢ñá èá ôçí ìåëåôÞóïõìå óôï äéÜóôçìá [ ]0,3π .

• Ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç êáôÜ äéáóôÞìáôá ùò åîÞò:

4

5

Page 203: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11210

• Ï ðßíáêáò ôéìþí ôçò f åßíáé:

iii. Èá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç

[ ]f (x) 0 στο διάστηµα 0,3π=

Âñßóêïõìå êáôáñ÷Üò ôéò ãåíéêÝò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò:

2x 2x 1 π2ηµ 1 0 ηµ ηµ

3 3 2 6

+ = ⇔ = − = −

2x π 2x 7π2κπ ή 2κπ

3 6 3 6= − = +

π 7πx 3κπ ή x 3κπ

4 4⇔ = − = +

ÐñÝðåé:π

0 3κπ 3π4

≤ − ≤ êáé 7π

0 3κπ 3π4

≤ + ≤

1 13κ

12 12≤ ≤

7 5κ

12 12− ≤ ≤ −

äçë. κ 1= äçë. κ 0=

¢ñá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí x x′

óôï 11π

Α ,04

ðïõ ðñïêýðôåé (áí èÝóïõìå

κ 1= ) óôçí π

x 3κπ4

= − , êáé óôï 7π

Β ,04

ðïõ ðñïêýðôåé (áí èÝóïõìå κ 0= ) óôçí

7πx 3κπ

4= + .

Óôï åðüìåíï ó÷Þìá,

öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò ðåñéïäé-

êÞò óõíÜñôçóçò f óôï äéÜóôçìá ìéáò ðåñéü-

äïõ ôçò ïðïßáò ï ôýðïò åßíáé ôçò ìïñöÞò:

( ) ( )f t ρηµ ωt β= +

êáé ïé ôéìÝò f(t) åßíáé ïé ðùëÞóåéò óå ÷éëéÜäåò

êïììÜôéá åíüò ðñïúüíôïò óôçí äéÜñêåéá ìéáò

ïêôáåôßáò.

i. Âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò.

ii. Óå ðïéåò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò ïé ðùëÞóåéò f (t)

åßíáé 100.000 êïììÜôéá;

Ëýóç

i. O ôýðïò ôçò f åßíáé:

( )f (t) ρηµ ωt β µε 0 t 8 και ρ 0= + ≤ ≤ >

• ÅðåéäÞ åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 8 Ý÷ïõìå:

2π π8 ω

ω 4= ⇔ =

• Åðßóçò éó÷ýåé:

π1 ηµ t 1

4

− ≤ ⋅ ≤ ⇔

πρ ρ ηµ t ρ

4

− ≤ ⋅ ⋅ ≤ ⇔

β ρ f (t) β ρ⇔ − ≤ ≤ +

¼ìùò 25 f (t) 125≤ ≤ , Üñá:

β ρ 25

β ρ 125

− =⇔

+ = β 75

ρ 50

=

=

¢ñá ôåëéêÜ ï ôýðïò ôçò f åßíáé:

πf (t) 50ηµ t 75 µε 0 t 8

4

= ⋅ + ≤ ≤

ii. Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:

πf (t) 100 50ηµ t 75 100

4

= ⇔ ⋅ + =

π 1 π π πηµ t ηµ t 2κπ

4 2 6 4 6

⇔ ⋅ = = ⇔ = +

Ôüôå åßíáé: 2

t3

= Þ 10

t3

=

6

Page 204: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí 211

ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ

ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùíÃ.12

Ìåôáó÷çìáôé-

óìïß

ãñáöéêþí

ðáñáóôÜóåùí

Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç fC ìéáò óõíÜñôçóçò, ( )y f x= , ôüôå ìðï-

ñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç Üëëùí óõíáñôÞóåùí

¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò f, ö ïé ïðïßåò Ý÷ïõí ôï ßäéï ðåäßï ïñéóìïý Á êáé c

Ýíáò èåôéêüò áñéèìüò. Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ö ðþò

ìðïñïýìå íá êÜíïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f üôáí ãéá êÜèå Ax∈éó÷ýïõí:

á) f(x) φ(x) c= + â) f(x) φ(x) c= −

ã) f(x) φ(x-c)= ä) f(x) φ(x c)= +

å) ρc)φ(xf(x) +−= óô) ρc)φ(xf(x) −−=

æ) ρc)φ(xf(x) ++= ç) ρc)φ(xf(x) −+=

üðïõ c > 0, ñ > 0.

á) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜ-

óôáóç:

f(x) = ö(x) + c,

c > 0, ðñïêýðôåé

áðü ìéá êáôáêüñõ-

öç ìåôáôüðéóç ôçò

ãñáöéêÞò ðáñÜóôá-

óçò ôçò ö êáôÜ c

ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù.

â) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜ-

óôáóç:

f(x) = ö(x) - c,

c > 0 ðñïêýðôåé áðü

ìéá êáôáêüñõöç

ìåôáôüðéóç ôçò

ãñáöéêÞò ðáñÜóôá-

óçò ôçò ö êáôÜ c

ìïíÜäåò ðñïò ôá êÜôù.

ã) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

f(x) = ö(x - c), c > 0

ðñïêýðôåé áðü

ìéá ïñéæüíôéá

ìåôáôüðéóç ôçò

ãñáöéêÞò ðáñÜ-

óôáóçò ôçò ö

êáôÜ c ìïíÜ-

äåò ðñïò ôá

äåîéÜ.

ä) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

f(x) = ö(x + c), c > 0

ðñïêýðôåé áðü

ìéá ïñéæüíôéá

ìåôáôüðéóç ôçò

ãñáöéêÞò ðá-

ñÜóôáóçò ôçò

ö êáôÜ c ìï-

íÜäåò ðñïò ôá

áñéóôåñÜ.

Page 205: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12212

Áí ãíùñßæïõìå ôçí êáìðýëç ìå åîßóùóç y = f(x) ìðïñïýìå íá

ó÷åäéÜóïõìå ôçí êáìðýëç ôçò y = –f(x) áöïý åßíáé óõììåôñéêÞ

ôçò ðñþôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ .

Ç y = –f(x) Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõììåôñéêÞ ôçò ãñáöéêÞò ðá-

ñÜóôáóçò ôçò y = f(x) ùò ðñïò ôïí Üîïíá x´x êáé ç y = f(–x)

Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõììåôñéêÞ ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò

ôçò y = f(x) ùò ðñïò ôïí Üîïíá y y′ .

å) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:

f(x) = ö(x - c) + ñ, c > 0, ñ > 0

ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò

ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá

êáôá c ìïíÜ-

äåò ðñïò ôá

äåîéá êáé ìéá

êáôáêüñõöç

êáôÜ ñ ìïíÜ-

äåò ðñïò ôá

ðÜíù.

óô) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:

f(x) = ö(x - c) - ñ,c > 0, ñ > 0

ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò

ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá

êáôá c ìïíÜäåò

ðñïò ôá äåîéá

êáé ìéá êáôáêü-

ñõöç êáôÜ ñ

ìïíÜäåò ðñïò

ôá êÜôù.

ç) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:

f(x) = ö(x + c) - ñ, c > 0, ñ > 0

ðñïêýðôåé óõã-

÷ñüíùò áðü 2

ìåôáôïð ßóå éò

ôçò ãñáöéêÞò

ð á ñ Ü ó ô á ó ç ò

ôçò ö. Ìéá ïñé-

æüíôéá êáôá c

ìïíÜäåò ðñïò

ôá áñéóôåñÜ êáé ìéá êáôáêüñõöç êáôÜ ñ ìï-

íÜäåò ðñïò ôá êÜôù.

æ) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:

f(x) = ö(x + c) + ñ, c > 0, ñ > 0

ð ñ ï ê ý ð ô å é

ó õ ã ÷ ñ ü í ù ò

áðü 2 ìåôáôï-

ðßóåéò ôçò

ãñáöéêÞò ðá-

ñÜóôáóçò ôçò

ö. Ìéá ïñéæü-

íôéá êáôá c

ìïíÜäåò ðñïò ôá áñéóôåñÜ êáé ìéá êáôá-

êüñõöç êáôÜ ñ ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù.

Page 206: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí 213

ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ

ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

3

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ôéìþí ôçò óõíÜñôç-

óçò f ìå ôýðï ( )f x x 2= − áðü ôç ãñáöéêÞ

ôçò ðáñÜóôáóç.

Ëýóç

ÖáíåñÜ Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï äéÜóôçìá [0, )+∞ .

ÐáñáôÞñçóç:

Áí fC åßíáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò

( )y f x= êáé k > 0 ôüôå ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò

ôùí ( )y f x k= − êáé ( )y f x k= + åßíáé ïé 1C êáé

2C áíôéóôïß÷ùò êáé ðñïêýðôïõí áðü ôçí ðáñÜëëçëç

ìåôáöïñÜ ôçò fC êáôÜ k ìïíÜäåò ôïõ Üîïíá äåîéÜ

êáé áñéóôåñÜ áíôßóôïé÷á.

¸ôóé áí åßíáé ãíùóôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôéò ãñá-

öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí

( ) ( )y f x k και y f x k= − = +

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ôéìþí ôçò óõíÜñôç-

óçò f ìå ôýðï ( ) 2f x 4 x= − ìå ôç âïÞèåéá ôçò

ãñáöéêÞò ôçò ðáñÜóôáóç.

Ëýóç

ÅðåéäÞ åßíáé ãíùóôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò2

y x= − , ó÷åäéÜæïõìå áõôÞ êáé ôç ìåôáöÝñïõìå “ðá-

ñÜëëçëá óôïí x 'x ” 4 ìïíÜäåò ðÜíù. Ïðüôå áðü

ôï ó÷Þìá åßíáé ( )f A ( , 4]= −∞ .

Õðåíèõìßæïõìå üôé:

Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôç-

óçò f ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñá-

óôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí

( ) ( )y f x k και y f x k, k 0= + = − >

ìåôáöÝñïíôáò ôçí êáìðýëç ôçò f êáôÜ k ìïíÜäåò

ðñïò ôá ðÜíù Þ êÜôù áíôßóôïé÷á.

Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f, ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðá-

ñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí ìå ôýðïõò ( )y f x= −

êáé ( )y f x= − .

Ç êáìðýëç ( )y f x= − åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò

( )y f x= ùò ðñüò ôïí Üîïíá x´x ,åíþ ç êáìðýëç

( )y f x= − åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò ( )y f x= ùò ðñüò

ôïí Üîïíá y y′ .

Áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f ìå ôýðï: ( ) xf x e 1= − +

íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ðåäßï ôéìþí ôçò.

Page 207: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12214

4

5

Ëýóç

Áðü ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðñïêýðôåé üôé ç ( )y f x=

Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï äéÜóôçìá ( ),1−∞ (áöïý ç êá-

ìðýëç ôçò xe− ðñïâÜëåôáé óôï ( ), 0−∞ .

Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( ) 11f x ln ln x ln x, x 0

x

−= = = − >

Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí êáìðýëç, ôïõ äéðëáíïý

ó÷Þìáôïò êáé üðùò ðáñáôçñïýìå åßíáé óõììåôñéêÞ

ôçò y ln x= ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ .

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ðåäßï ôéìþí ôçò

( )f x 1 x 2= − − áðü ôç ãñáöéêÞ ôçò ðá-

ñÜóôáóç.

Ëýóç

1ïò ôñüðïò

Ó÷åäéÜæïõìå áñ÷éêÜ ôçí y x= ôçí ïðïßá ìåôáöÝ-

ñïõìå ðáñÜëëçëá êáôÜ 2 ìïíÜäåò ðñïò ôá äåîéÜ êáé

Ý÷ïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò y x 2= − óôç

óõíÝ÷åéá ó÷åäéÜæïõìå ôç óõììåôñéêÞ áõôÞò ùò ðñïò

ôïí Üîïíá x´x êáé Ý÷ïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

y x 2= − − . ÌåôáöÝñïõìå áõôÞ ðáñÜëëçëá êÜôá 1

ìïíÜäá ðñïò ôá ðÜíù êáé ðáßñíïõìå ôç ãñáöéêÞ ðá-

ñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò ( )f x 1 x 2= − − . Áðü ôï

ó÷Þìá ôþñá, âëÝðïõìå üôé ç êáìðýëç ôçò f ðñïâÜë-

ëåôáé óôïí Üîïíá y´y óôï äéÜóôçìá ( ,1]−∞ ðïõ åß-

íáé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f.

2ïò ôñüðïò (áëãåâñéêüò ôñüðïò)

Ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f áðáñôßæåôáé áðü ôá x [2, )∈ +∞

ãéá ôá ïðïßá ç åîßóùóç y 1 x 2= − − Ý÷åé ìéá ôïõ-

ëÜ÷éóôïí ëýóç óôï [2, )+∞ . ¸÷ïõìå:

( ) ( )2 2

y 1 x 2 y 1 x 2 1 y x 2

1 y 0 y 1

1 y x 2 x 2 1 y

= − − ⇔ − = − − ⇔ − = − ⇔

− ≥ ≤ ⇔ ⇔

− = − = + −

ðñÝðåé, ( )2

2 1 y [2, )+ − ∈ +∞ ⇔

( ) ( )2 2

2 1 y 2 1 y 0⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ , ðïõ éó÷ýåé ãéá

êÜèå y R∈ . ¢ñá, ï ìüíïò ðåñéïñéóìüò ãéá ôï y

åßíáé y 1≤ ðïõ óçìáßíåé üôé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f

åßíáé ôï äéÜóôçìá ( )f A ( ,1]= −∞ .

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:

x

α 8f (x) , µε x

3 α

+ = ∈

á. Áí ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá âñåßôå ôï á.

â. Ãéá ôçí ìåãáëýôåñç áêÝñáéá ôéìÞ ôïõ á íá

êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò: ( )g(x) f x 2 1= − −

ã. Âñåßôå ôá óçìåßá óôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç Cg ôçò g ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò.

Ëýóç

á. Ç åêèåôéêÞ óõíÜñôçóç åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá

üôáí ç âÜóç ôçò åßíáé ìåãáëýôåñç áðï ôï 1

äçëáäÞ:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

α 8 α 81 3 α 3 α

3 α 3 α

3 α α 8 3 α

+ +> ⇔ − ⋅ > − ⇔

− −

⇔ − ⋅ + > − ⇔

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

23 α α 8 3 α 0

3 α α 8 3 α 0

3 α 2α 5 0

⇔ − ⋅ + − − > ⇔

⇔ − ⋅ + − + > ⇔

⇔ − ⋅ + >

Á9

Â8

Â10

Page 208: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí 215

ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ

ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

Ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ ( ) ( )3 α 2α 5− ⋅ +

öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

¢ñá 5

α , 32

∈ −

.

â. Áöïý 5

α 32

− < < , ç ìåãáëýôåñç áêÝñáéá ôéìÞ

ôïõ åßíáé ôï 2. Ãéá α 2= åßíáé

x x 2f (x) 10 και g(x) 10 1, µε x−

= = − ∈R ,

Üñá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò g åßíáé ç ãñá-

öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò åêèåôéêÞò xy 10= ðïõ

üìùò åßíáé ìåôáôïðéóìÝíç.

• Êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù êáôÜ 1 ìïíÜäá.

• Ïñéæüíôéá ðñïò ôá äåîéÜ êáôÜ 2 ìïíÜäåò.

ã. • Ãéá íá âñïýìå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò Cg ìå ôïí

x 'x , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç g(x) 0= :

x 2

x 2

g(x) 0 10 1 0

10 1 x 2 0 x 2

= ⇔ − = ⇔

⇔ = ⇔ − = ⇔ =

¢ñá ç Cg ôÝìíåé ôïí x 'x óôï A(2,0).

• Ãéá íá âñïýìå ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò Cg ìå

ôïí y 'y , âñßóêïõìå ôï:

2 1 99g(0) 10 1 1

100 100

= − = − = −

¢ñá ç Cg ôÝìíåé ôïí Üîïíá y 'y óôï

99Β 0,

100

.

Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï, ôç ìÝãéóôç êáé

ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñá-

öéêÜ ôç óõíÜñôçóç ( )π

f x 2ηµ x4

= −

.

Ëýóç

Ç óõíÜñôçóç ( ) ( )f x ρηµ ωx φ= + ìå ρ,ω 0>

êáé φ R∈ ãñÜöåôáé:

( )φ

f x ρηµ ω xω

= +

Ðáñáôçñïýìå üôé ç óõíÜñôçóç áõôÞ ðñïêýðôåé

áðü ôç óõíÜñôçóç ( ) ( )g x ρηµ ωx= áí üðïõ x

èÝóïõìå ôï φ

+ . ÅðïìÝíùò:

• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π

Τω

= .

• ¸÷åé ìÝãéóôï ôï ñ êáé åëÜ÷éóôï ôï – ñ.

• Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ðñïêýðôåé áðü êáôÜëëç-

ëç ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò

óõíÜñôçóçò ( ) ( )g x ρηµ ωx= .

Ç óõíÜñôçóç ( )π

f x 2ηµ x4

= −

åßíáé ôçò ìïñ-

öÞò ( ) ( )f x ρηµ ωx φ= + ìå ρ 2= êáé π

φ4

= − .

ÅðïìÝíùò:

• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ 2π= .

• ¸÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 2 êáé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï – 2.

• Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ðñïêýðôåé áðü ìéá

ïñéæüíôéá ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò

ôçò óõíÜñôçóçò ( )g x 2ηµx= êáôÜ π

4 ìïíÜ-

äåò ðñïò ôá äåîéÜ.

Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçóç

xf (x) 3συν 1

2= + .

Ëýóç

6

7

Page 209: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12216

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã150. Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò

ôùí f (x) 2ηµ3x= êáé x

g(x) 1 3ηµ2

= +

óôï äéÜóôçìá ôçò áíôßóôïé÷çò ðåñéüäïõ

ôïõò.

Ã151. Íá ó÷åäéÜóåôå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí

ôéò óõíáñôÞóåéò:

f (x) εφ2x= , g(x) 1 εφx= + ,

h(x) 1 εφx= −

Ã152. Íá ìåëåôÞóåôå êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñá-

öéêÜ ôç óõíÜñôçóç f (x) 1 σφx= + .

Ã153.Ðïéá åßíáé ç ìÝãéóôç ô éìÞ ôçò

( )f x ηµx 1= − êáé ãéá ðïéá (ðïéåò) ôé-

ìÝò ôïõ x ôç ëáìâÜíåé;

Ã154. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞ-

óåéò:

i. ( ) ( )2

f x x 2= + ii. ( ) ( )2

g x 3 x 1= − −

Ã155. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞ-

óåéò i. ( ) ( )2

f x x 1 3= − +

ii. ( ) ( )2

g x x 2 3= + −

Ã156. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá êÜíåôá ôéò

ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí

( ) ( )x

x

1 2

1f x 2 και f x

2

= =

Ã157. Íá êÜíåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï:

( ) 2f x x 4x 3= − +

Ã158. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá êÜíåôå ôéò

ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí

( ) ( )x x

1 2f x 2 και f x 2 1= = −

Ã159. Íá êÜíåôå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí ôéò

ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí:

i. ( )1f x ln x= ii. ( ) ( )

2f x ln x 1= −

Ã160. Íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí

óõíáñôÞóåùí:

i. ( )1f x ln x= ii. ( )

2f x ln x=

Ã161. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-

óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:

i. ( ) xf x 6= ii. ( ) x 3

g x 6−

=

iii. ( ) xφ x 6 3= −

Ã162. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí, íá ðáñáóôÞ-

óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:

i. ( ) xf x e= ii. ( ) x 1

g x e 2−

= +

iii. ( ) x 3φ x e 1− −= −

Ã163. Íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêÜ ç óõíÜñôçóç:

( ) xf x e=

Ã164. Íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêÜ ç óõíÜñôçóç:

( ) x xf x 4

−=

Ã165. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-

óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:

i. ( )f x log x= ii. ( )g x log x 2= +

iii. ( ) ( )h x log x 2= +

Á9

Â8

Â10

Ç f åßíáé ðåñéïäéêÞ ðåñßïäï 2

T 41/ 2

π= = π . Ó÷å-

äéÜæïõìå ìéá óõíçìéôïíïåéäÞ êáìðýëç óôï äéÜóôç-

ìá [0, 4ð] ìå ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 3 êáé åëÜ÷éóôç ôï - 3 êáé

ôç ìåôáöÝñïõìå ðñïò ôá ðÜíù êáôÜ ìßá ìïíÜäá.

Page 210: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí 217

ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ

Éóüôçôá

óõíáñôÞóåùí

ÐñÜîåéò

óõíáñôÞóåùí

Äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g ëÝìå üôé åßíáé ßóåò , áí êáé ìüíïí áí ,

• Ý÷ïõí ôï ßäéï ðåäßï ïñéóìïý Á êáé

• ãéá êÜèå x A∈ éó÷ýåé ( ) ( )f x g x=

ð.÷

Ïé óõíáñôÞóåéò ( ) 2f x x= êáé ( )g x x= åßíáé ßóåò, áöïý Ý÷ïõí ôï ßäéï ðå-

äßï ïñéóìïý R êáé éó÷ýåé ( ) ( )2f x x x g x= = = , ãéá êÜèå x R∈ .

¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò : f ìå ôýðï ( )y f x= êáé ðåäßï ïñéóìïý Á êáé g ìå ôýðï

( )y g x= êáé ðåäßï ïñéóìïý Â.

Áí ôá ðåäßá ïñéóìïý Á êáé  Ý÷ïõí êïéíÜ óôïé÷åßá, äçë. áí A B∩ ≠ ∅ , ôüôå

ïñßæïõìå :

• Ôï Üèñïéóìá f g+ ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x , x A B+ = + ∈ ∩

• Ç äéáöïñÜ f g− ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x , x A B− = − ∈ ∩

• Ôï ãéíüìåíï ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ìå ôç óõíÜñôçóç f

( ) ( ) ( )λ f x λ f x , x A⋅ = ⋅ ∈

• Ôï ãéíüìåíï f g⋅ ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x , x A B⋅ = ⋅ ∈ ∩

• Ôï ðçëßêï f

g ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï :

( )( )

( )( ){ }

f f xx , x A x :x A B και g x 0

g g x

= ∈ = ∈ ∈ ∩ ≠

ÄçëáäÞ, ôï ðçëßêï f

g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï êïéíü ðåäßï ïñéóìïý ôùí f êáé g

áðü ôï ïðïßï åîáéñïýíôáé ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ( )g x 0= .

Ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé ïé ðñÜîåéò ðïõ åìöáíßæïíôáé ïñßæïíôáé, éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò:

1. f g g f+ = + 7. ( )1 f f , όπου 1 1 x⋅ = =

2. ( ) ( )f g h f g h+ + = + + 8. ( )f g h f g f h⋅ + = ⋅ + ⋅

3. ( )f 0 f , όπου 0 0 x+ = = 9. ( )λ f g λ f λ g⋅ + = ⋅ + ⋅

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùíÃ.13

Page 211: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13218

4. ( )f f 0+ − = 10. ( )λ µ f λ f µ f+ ⋅ = ⋅ + ⋅

5. f g g f⋅ = ⋅ 11. ( ) ( )λ µ f λ µ f⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

6. ( ) ( )f g h f g h⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 12. 1 f f⋅ =

Ï ôýðïò ( ) ( )2φ x ηµ x 1= + ðñïêýôåé áíôéêáèéóôþíôáò ôçí áíåîÜñôçôç ìåôá-

âëçôÞ x óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò ( )f x ηµx= , ìå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò

( ) 2g x x 1= + .Ç óõíÜñôçóç ( ) ( )2φ x ηµ x 1= + ïíïìÜæåôáé óýíèåóç ôçò óõ-

íÜñôçóçò g ìå ôçí f êáé ôçí óõìâïëßæïõìå:

fog êáé ôïí ôýðï ôçò ( )( ) ( )( )y fog x f g x= = .

Ïñéóìüò

Ãåíéêüôåñá, ãéá äýï óõíáñôÞóåéò f, g ìå ôýðïõò:

( )y f x= , ìå ðåäßï ïñéóìïý ( )A D f= êáé ( )y g x= , ìå ðåäßï ïñéóìïý ( )B D g=

ïíïìÜæïõìå óýíèåóç ôçò g ìå ôçí f ôç óõíÜñôçóç: f o g ìå ôýðï ( )( )y = f g x

Ï ðáñáðÜíù ôýðïò Ý÷åé Ýííïéá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ãéá åêåßíá ôá x êáé ìüíï ãéá ôá ïðïßá ôï

óýíïëï ( ) ( ) ( )A {x D g και g x D f }= ∈ ∈ åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý. Ôï ðáñáðÜíù óýíïëï, áí åßíáé

äéÜöïñï ôïõ êåíïý áðïôåëåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog, åíþ áí åßíáé êåíü ôüôå äåí ïñßæåôáé ç

óýíèåóç ôçò g ìå ôçí f.

H óýíèåóç ðåñéãñÜöåôáé åðïðôéêÜ óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:

Ðáñáôçñåßóôå óôá ðáñáðÜíù ó÷Þìáôá üôé ç fog ïñßæåôáé ìüíïí áí ôï ðåäßï ôéìþí ôçò g êáé ôï

ðåäßï ïñéóìïý ôçò f Ý÷ïõí êïéíÜ óôïé÷åßá êáé ôüôå Ýíá x ðïõ áíÞêåé óôï D(g) áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï

( )( )y f g x= ðïõ áíÞêåé óôï ðåäßï ôéìþí f(A) ôçò óõíÜñôçóçò ôçò f.

EðåéäÞ ï ðñïóäéïñéóìüò ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò äåí åßíáé ðÜíôïôå åýêïëïò, ãéá íá

åîåôÜóïõìå áí ïñßæåôáé ç óýíèåóç äýï óõíáñôÞóåùí, èá ðñïóäéïñßæïõìå ôï óýíïëï

( ) ( ) ( )A ' {x D g και g x D f }= ∈ ∈

ôï ïðïßï áí åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý åðéôñÝðåé óôç óýíèåóç íá ïñßæåôáé êáé ôáõôü÷ñïíá áðïôåëåß

ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog.

Óýíèåôç

óõíÜñôçóç

Page 212: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí 219

ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 ÅîåôÜóôå áí ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò

åßíáé ßóåò. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ äåí åßíáé, íá

âñåßôå ôï åõñýôåñï õðïóýíïëï ôïõ R, óôï

ïðïßï åßíáé ßóåò.

1. ( )2x 1

f xx 1

−=

− êáé ( )g x x 1= +

2. ( ) 3 2f x x= êáé ( ) 2 / 3

g x x=

3. ( ) ( ) 2f x x 1= − êáé ( )g x x 1= −

4. ( ) ( )2f x ln x 4= − êáé

( ) ( ) ( )g x ln x 2 ln x 2= − + +

Ëýóç

1. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï { }R 1− åíþ

ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g åßíáé ôï R.

¢ñá ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g äåí åßíáé ßóåò.

Áí x 1≠ :

( )( ) ( )

( )2x 1 x 1 x 1

f x x 1 g xx 1 x 1

− − += = = + =

− −

êáé óõíåðþò ïé f êáé g åßíáé ßóåò óôï { }R 1− .

2. Åßíáé ( )

( )

2

32

3 23

2,3

x , αν x 0f x x x

x αν x 0

= = =

− <

êáé óõíåðþò ( ) ( )f x g x= ìüíï ãéá x 0≥ .

¢ñá, ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g äåí åßíáé ßóåò, åß-

íáé üìùò ßóåò óôï äéÜóôçìá [0, )+∞ .

3. Ïé f, g Ý÷ïõí ðåäßï ïñéóìïý ôï R. ÅðåéäÞ:

( ) ( )( )

2 x 1, αν x 1f x x 1 x 1

x 1 , αν x 1

− ≥= − = − =

− − <

Åßíáé, ( ) ( )f x g x= , ãéá êÜèå x [1, )∈ +∞ .

¢ñá f = g óôï [1, )+∞

4. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý:

{ } ( ) ( )2A x R : x 4 0 , 2 2,= ∈ − > = −∞ − ∪ +∞

äéüôé:

2 2x 4 0 x 4 x 2 x 2ήx 2− > ⇔ > ⇔ > ⇔ < − >.

Ç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôá x R∈ ãéá ôá ïðïßá

éó÷ýïõí:

x 2 0− > êáé x 2 0+ > äçë. x 2> êáé

x 2 x 2> − ⇔ >

ÅðïìÝíùò, ç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï äéÜóôç-

ìá (2, )+∞ êáé óõíåðþò äåí åßíáé ßóåò.

¼ìùò ìå x 2> , Ý÷ïõìå:

( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )

2f x ln x 4 ln x 2 x 2

ln x 2 ln x 2 ln x 2 ln x 2 g x

= − = − + =

= − + + = − + + =

Åßíáé ëïéðüí, f g= ãéá êÜèå ( )x 2,∈ +∞ .

Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:

( ) ( ) ( )f x ln x 1 και g x 4 x= + = −

Íá ïñéóôïýí ïé óõíáñôÞóåéò:

ff g , , fog

g+ .

Ëýóç

Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôá x ∈� ãéá ôá ïðïßá:

x 1 0 x 1+ > ⇔ > −

äçëáäÞ åßíáé ôï äéÜóôçìá ( )A 1,= − +∞ .

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g áðáñôßæåôáé áðü ôá x ∈�

ãéá ôá ïðïßá:

4 x 0 x 4 4 x 4− ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤

äçëáäÞ åßíáé ôï äéÜóôçìá [ ]B 4,4= − .

• ÅðåéäÞ A B ( 1,4]∩ = − ≠ ∅ ïñßæåôáé ç óõíÜñ-

ôçóç f g+ ìå ôýðï:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x ln x 1 4 x+ = + = + + −

• Ãéá ôçí óõíÜñôçóç f

g èá ðñÝðåé:

( )g x 0≠ , äçëáäÞ

Á5

Â7

Â10

Â11

Á6

Â3

Page 213: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13220

3

4 4 0 και 4 x 4

x 4 x 4 ή x 4,

− ≠ − ≤ ≤ ⇔

⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠ −

åðåéäÞ üìùò èá ðñÝðåé x > –1, óôï äéÜóôçìá

( )1, 4− ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç f

g ìå ôýðï:

( )( )

( )

( )f f x ln x 1x

g g x 4 x

+ = =

.

• Ãíùñßæïõìå üôé ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç fog,

ðñÝðåé:

[ ] ( ){ }x R :x 4,4 και 4 x 1,∈ ∈ − − ∈ − +∞ ≠ ∅

¸÷ïõìå:

4 x 4 4 x 44 x 4

4 x 04 x 1

− ≤ ≤ − ≤ ≤⇔ ⇔ − ≤ ≤

− ≥− > −

ÅðïìÝíùò óôï äéÜóôçìá [ ]4, 4− , ïñßæåôáé ç óõ-

íÜñôçóç fog ìå ôýðï:

( )( ) ( )( ) ( )f g x ln g x 1 ln 4 x 1= + = − +

Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f ìå

( )f x lnx= êáé g ìå ( )g x 1 x= − .

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò óõíáñôÞóåéò fog êáé

gof.

Ëýóç

Åßíáé ( ) ( )D f 0,= +∞ êáé ( )D g R= .

Ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç fog, ðñÝðåé ôï óýíï-

ëï ( ) ( ) ( ){ }A' x D g και g x D f= ∈ ∈ íá åßíáé äéÜ-

öïñï ôïõ êåíïý.

¸÷ïõìå:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

x D g x R

και και

g x D f 1 x 0,

∈ ∈

⇔ ⇔

∈ − ∈ +∞

x R

και x 1

1 x 0

⇔ ⇔ <

− >

¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog åßíáé ôï

( )A ' ,1= −∞

êáé ï ôýðïò ôçò åßíáé

( )( ) ( ) ( )f g x ln g x ln 1 x= = −

Ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç gof, ðñÝðåé ôï óýíï-

ëï

( ) ( ) ( ){ }A '' x D f και f x D g= ∈ ∈

íá åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý.

¸÷ïõìå:

( )x 0, x 0

και και x 0

ln x R x 0

∈ +∞ >

⇔ ⇔ >

∈ >

¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò gof åßíáé ôï

( )A'' 0,= +∞

êáé ï ôýðïò ôçò åßíáé

( )( ) ( )g f x 1 f x 1 ln x= − = −

ÐáñáôÞñçóç:

ÐñïóÝîôå üôé, áí Ý÷ïõìå äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g

ðÜíôïôå ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå ôïõò ôýðïõò:

( )( ) ( )( )f g x ή g f x

¼ìùò ïé ôýðïé áõôïß ìðïñåß íá ìçí áðïôåëïýí

ôýðïõò óõíáñôÞóåùí ãéá êáíÝíá x.

Káé áõôü ãßíåôáé üôáí:

( ) ( ) ( ) ( )g B D f ή f A D g∩ = ∅ ∩ = ∅

áíôßóôïé÷á.

Ãé’ áõôü èá ðñïóäéïñßæïõìå ðñþôá ôï ðåäßï ïñé-

óìïý êáé óôç óõíÝ÷åéá ôïí ôýðï ôçò óýíèåôçò

óõíÜñôçóçò.

Page 214: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí 221

ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ

Ã166. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé ßóåò.

( )x 1

f xx 2

−=

+ êáé ( )

x 1g x

x 2

−=

+

Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f g≠ íá

ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðï-

óýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï éó÷ýåé

( ) ( )f x g x= .

Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f g≠ íá

ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðï-

óýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï éó÷ýåé

( ) ( )f x g x= .

Ã167. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé

ßóåò áí

( ) ( )3 7

f x x x x2 2

π π = συν + ⋅εφ − π ⋅ηµ −

êáé

( ) ( ) ( )9

g x x x 4 x 32

π = σφ − ⋅ηµ − π ⋅συν − π

(âë. áóê. Á8.3)

Ã168. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé

ßóåò: ( ) ( )2f x In x 4x 3= − +

êáé ( ) ( ) ( )g x In x 1 In x 3= − + − .

Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f g≠ íá

ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðï-

óýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï ( ) ( )f x g x= .

Ã169. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò ( )3

f xx 1

=+

êáé

( )2

x 2g x

x 1

+=

−. Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞ-

óåéò f g, f g, fg+ − êáé f

g.

Ã170. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f ,g : R R→ ãéá

ôéò ïðïßåò éó÷ýåé

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

( )( ) ( )( )2 2f g x 2 2 f g x+ + ≤ +

Íá áðïäåßîåôå üôé f g= .

Ã171. Áí ãéá ôç óõíÜñôçóç f éó÷ýåé:

( ) 2f 3x 2 9x 3x 1, x R+ = − + ∈ ,

ôüôå íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f.

Ã172. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç

( )( ) 4 2f g x x 3x x 2= − + − , x R∈ ,

üðïõ ( )f x 4x 5= − .

Áí ç óõíÜñôçóç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï

R íá âñåèåß ï ôýðïò ôçò.

Ã173. Íá âñåßôå óõíÜñôçóç g, ôÝôïéá þóôå íá

éó÷ýåé:

( )( ) ( )2f g x x 4x 2, αν f x 2x 1= + − = −

Ã174. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò ( )f x 2x 1= − êáé

( ) 2g x 1 x= − .

Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞóåéò:

i. gof ii. fog

Ã175. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò ( )f x Inx= êáé

( ) xg x 1 e= + .

Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞóåéò:

i. gof ii. fog

Ã176. Áí åßíáé ( )f x 2x 1= − êáé

( )( ) 2gof x x x= − ãéá êÜèå x R∈ ,

íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò g.

Ã177. Áí ç óõíÜñôçóç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï

[ )3,+∞ íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò

óõíÜñôçóçò ( ) ( )2g x f x 1= − .

Ã178. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò ( )f x αx 1= − êáé

( )g x x α 1= + − . Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ

Á5

Á6

Â3

Â7

Â10

Â11

Page 215: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13222

á þóôå, gof fog= .

Ã179. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f,g ïñéóìÝíåò

óôï R, ïé ïðïßåò åßíáé ãíçóßùò ìïíüôï-

íåò êáé Ý÷ïõí ôï ßäéï åßäïò ìïíïôïíßáò

(êáé ïé äýï ãíçóßùò áýîïõóåò Þ ãíçóßùò

öèßíïõóåò).

á. Íá äåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç fog åßíáé

ãíçóßùò áýîïõóá.

â. Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôùí óõ-

íáñôÞóåùí fof, gog.

ã. Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõ-

íÜñôçóçò ( ) ( )f x In In x , x 1= > .

Ã180. á. Áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g Ý÷ïõí êïéíü ðå-

äßï ïñéóìïý Ä, íá áðïäåßîåôå üôé

i. f ãíçóßùò áýîïõóá, g ãíçóßùò áý-

îïõóá ôüôå êáé ç f g+ åßíáé ãíç-

óßùò áýîïõóá

ii. f ãíçóßùò öèßíïõóá, g ãíçóßùò öèß-

íïõóá ôüôå êáé ç f g+ åßíáé ãíç-

óßùò öèßíïõóá.

â. Áí äýï óõíáñôÞóåéò f,g ìå ðåäßï ïñé-

óìïý Ä ðáßñíïõí èåôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå

x ∆∈ , êáé åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä.

ã. Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôùí óõíáñ-

ôÞóåùí:

i. ( )π π

f x x ηµx, x ,2 2

= + ∈ −

ii. ( ) 2 πg x x ηµx, x 0,

2

= ⋅ ∈

Ã181. á. Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý

Ä êáé ( )f x 0> ãéá êÜèå x ∆∈ , åßíáé

ãíçóßùò áýîïõóá, íá áðïäåßîåôå üôé

ç óõíÜñôçóç 1

f åßíáé ãíçóßùò öèß-

íïõóá óôï Ä.

â. Áí äýï óõíáñôÞóåéò f,g ìå ðåäßï ïñé-

óìïý Ä, ïé ïðïßåò ðáßñíïõí èåôéêÝò

ôéìÝò ãéá êÜèå x ∆∈ , êáé åßíáé ãíç-

óßùò áýîïõóåò, íá áðïäåßîåôå üôé ç

óõíÜñôçóç 1 1

f g+ åßíáé ãíçóßùò öèß-

íïõóåò óôï Ä.

Ã182. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò: f ãíçóßùò áý-

îïõóá êáé g ãíçóßùò öèßíïõóá óôï Á.

i. Íá âñåèåß ç ìïíïôïíßá f g− .

i i . Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò

( ) 2h x x συνx= − óôï

π0,2

.

iii. Aí π

0 α β2

< < ≤ , ôüôå íá áðïäåßîåôå

üôé: 2 2συνα συνβ α β− > −

Ã183. Áí ãéá äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g, ïñßæåôáé

ç óõíÜñôçóç gof êáé ïé f êáé g åßíáé ôïõ

ßäéïõ åßäïõò ìïíïôïíßáò, ôüôå ç gof åß-

íáé ãíçóßùò áýîïõóá åíþ áí åßíáé

äéáöïñåôéêïý åßäïõò ìïíïôïíßáò ôüôå ç

gof åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá. Óõãêåêñé-

ìÝíá íá áðïäåßîåôå üôé:

i. áí f ãí. áýîïõóá êáé g ãí. áýîïõóá,

ôüôå gof ãí. áýîïõóá

ii. áí f ãí. öèßíïõóá êáé g ãí. öèßíïõ-

óá, ôüôå gof ãí. áýîïõóá

iii. áí f ãí. áýîïõóá êáé g ãí. öèßíïõóá,

ôüôå gof ãí. öèßíïõóá

vi. áí f ãí. öèßíïõóá êáé g ãí. áýîïõóá,

ôüôå gof ãí. öèßíïõóá

Ã184. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

( ) 3f x x 5x 16= + − ïñéóìÝíç óôï R.

i. Íá äåßîåôå üôé f(2) = 2

ii. Íá âñåßôå ôï åßäïò ìïíïôïíßáò ôçò f

iii. Íá ïñßóåôå ôç óõíÜñôçóç fof

iv. Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç ( )( )f f x 2≥

Page 216: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç 223

ÁÍÔÉÓÔÑÏÖÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ

Áíôßóôñïöç óõíÜñôçóçÃ.14

¼ðùò ãíùñßæïõìå, áí ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ãéá

êÜèå ( )y f A∈ õðÜñ÷åé ìüíï Ýíá x A∈ , ôÝôïéï þóôå ( )y f x= .

¢ñá ç äéáäéêáóßá ðïõ êÜèå ( )y f A∈ ôï áíôéóôïé÷ßæåé óôï ìïíáäéêü x A∈ , ãéá

ôï ïðïßï éó÷ýåé ( )y f x= åßíáé óõíÜñôçóç. ÁõôÞ ç óõíÜñôçóç ïíïìÜæåôáé

áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå 1f− .

1 1f

f

− ≠

Ç áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç 1f− ôçò ( )y f x= Ý÷åé:

• ðåäßï ïñéóìïý ôï ðåäßï ôéìþí f(Á) ôçò f.

• ðåäßï ôéìþí ôï ðåäßï ïñéóìïý Á ôçò f.

• ôýðï ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôç ëýóç ôçò ( )y f x= ùò ðñïò x.

( ) ( )1y f x x f y

−= ⇔ =

Óýíèåóç êáé áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç

Áðü ôçí éóïäõíáìßá ( ) ( )1y f x x f y

−= ⇔ = ðñïêýðôåé:

( )( )1f f y y

−= , ãéá êÜèå ( )y f A∈ êáé ( )( )1

f f x x−

= , ãéá êÜèå x A∈

áíôßóôñïöç

óõíÜñôçóç

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

1 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( ) xf x e 1= −

á. Íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé 1-1 óôï ðåäßï

ïñéóìïý ôçò

â. Íá âñåßôå ôçí áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç ôçò f.

Ëýóç

á. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï R. ¸óôù

1 2x , x R∈ ìå ( ) ( )1 2f x f x= , ôüôå:

( ) ( ) 1 2

1 2

x x1 2

x x1 2

f x f x e 1 e 1

e e x x

= ⇔ − = − ⇔

⇔ = ⇔ =

¢ñá, ç f åßíáé óõíÜñôçóç 1-1 óôï ðåäßï ïñé-

óìïý ôçò.

â. Áöïý ç f åßíáé 1-1 ïñßæåôáé ç 1

f−

. Ãéá íá âñïýìå

ôïí ôýðï ôçò 1f− , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç

xy e 1= − ùò ðñïò x.

Page 217: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 14224

3

2

¸÷ïõìå:

( )x xy e 1 e y 1 x ln y 1 , y 1= − ⇔ = + ⇔ = + > −

ÅðïìÝíùò, ï ôýðïò ôçò áíôßóôñïöçò åßíáé:

( ) ( ) ( )1x f y ln y 1 µε y 1,−= = + ∈ − +∞

¼ìùò, åðåéäÞ óõíçèßæåôáé ç áíåîÜñôçôç ìåôá-

âëçôÞ íá ãñÜöåôáé x, ï ôýðïò ôçò åßíáé:

( ) ( ) ( )1f x ln x 1 x 1,−

= + ∈ − +∞ ¡

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )x

3f x

1 3

=

+

. Íá âñåèåß ç áíôßóôñïöç ôçò

óõíÜñôçóçò f.

Ëýóç

Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R, áöïý x1 3 0+ > ãéá

êÜèå x R∈ .

¸÷ïõìå,

( ) ( )

( )

( )

xx x

x

x x

3

3y f x y y 1 3 3

1 3

y1 y 3 y 3 , y 1

1 y

yx log 0

1 y

y 1 y 0 0 y 1, y 1

= ⇔ = ⇔ + = ⇔

+

⇔ − = ⇔ = ≠

⇔ = > ⇔

⇔ − > ⇔ < < ≠

Åßíáé: ( )y

0 y 1 y 0 0 y 11 y

> ⇔ − > ⇔ < <−

êáé

óõíåðþò ç f Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï ( ) ( )f A 0,1=

Ç ó÷Ýóç 3

yx log

1 y=

−, äçëþíåé üôé ãéá êÜèå

( )y 0,1∈ õðÜñ÷åé ìüíï ìßá ôéìÞ ôïõ x R∈ .

ÅðïìÝíùò, (ç f åßíáé 1-1) ïñßæåôáé ç áíôßóôñïöç

óõíÜñôçóç ( )1f : 0,1 R−

→ ìå ôýðï:

( ) ( )1

3

xf x log , x 0,1

1 x

−= ∈

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

( )f x 1 3 x= − −

á. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé,

â. Íá ëõèåß ç åîßóùóç ( ) ( )1f x f x−

=

Ëýóç

á. Ðñïöáíþò, ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï

( ,3]−∞ . Ìå 1 2x , x ( ,3]∈ −∞ Ý÷ïõìå:

1 2 2 1x , x 3 3 x x≤ ⇔ − ≤ − < − ⇔

2 1 2 10 3 x 3 x 3 x 3 x⇔ ≤ − < − ⇔ − < − ⇔

( ) ( )2 1 2 11 3 x 1 3 x f x f x⇔ − − > − − ⇔ >

ðïõ óçìáßíåé üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá

óôï ( ,3]−∞ .

â. Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R

êáé ãíçóßùò áýîïõóá éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá:

( ) ( ) ( )⇔1

f x f x f x x−

= =

¸ôóé, áíôß íá ëýíïõìå ôçí åîßóùóç

( ) ( )1f x f x−

=

èá ëýíïõìå ôçí éóïäýíáìç áõôÞò ( )f x x= ,

ðïõ åßíáé áðëïýóôåñç.

( ) ( ) ( )1f x f x f x x

1 3 x x 3 x 1 x

−= ⇔ = ⇔

− − = ⇔ − = −

( )2

2

3 x 1 x ,

x 1 x x 2 0,

x 1 x 1 ή x 2

και x 1 x 2

⇔ − = −

≥ ⇔ − − =

≥ ⇔ = − =

≥ ⇔ =

Á9

Á10

Â10

Â11

Â7

• Óôç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôïõ ôýðïõ ôçò áíôßóôñïöçò, ðñïêýðôïõí åíäå÷ïìÝíùò ðåñéïñéóìïß ãéá ôï y, äçëáäÞ

ðñïêýðôåé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f, ðïõ åßíáé öõóéêÜ êáé ôï ðåäßï ïñéìïý ôçò 1f− .

• Áðü ôçí éóïäõíáìßá ( ) ( )1y f x x f y

−= ⇔ = ðñïêýðôåé üôé ôá óçìåßá (x, y) åßíáé óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôç

äé÷ïôüìï y = x ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí y = f(x) êáé ( )1y f x

−= åßíáé óõììåôñéêÝò

ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï y = x ôçò ãùíßáò xOy. ÅðïìÝíùò, áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò åê

ôùí óõíáñôÞóåùí f, 1f− , ìðïñïýìå áìÝóùò íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôçí Üëëç.

Page 218: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç 225

ÁÍÔÉÓÔÑÏÖÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã185. Íá áðïäåé÷ôåß üôé ç óõíÜñôçóç

( )f x 2x 1= −

åßíáé 1-1 êáé íá âñåèåß ç áíôßóôñïöÞ ôçò.

Ã186. Íá áðïäåé÷ôåß üôé ç óõíÜñôçóç

( ) 1 xf x 3e 1

−= +

åßíáé 1-1 êáé íá âñåèåß ç áíôßóôñïöÞ ôçò.

Ã187. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( ) 2f x nx x= +�

i. Íá ìåëåôçèåß ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá.

ii. Íá äåßîåôå üôé áí 0 α β< < ôüôå

2 2βn α βα> −� .

iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç

( ) ( ) ( ) ( )222 2

n x 1 x 1 n x 1 x 1+ − + = + − +� �

Ã188. Áí ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé

( ) ( ) ( )5f x 6f x 2x 4 0 1+ − + =

i. íá áðïäåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé êáé

ii. áí åðéðëÝïí ç f Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï

R, íá âñåßôå ôçí 1f− .

Ã189. Áí ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé

( ) ( ) ( )2 26f x f x 9 1− ≥ ,

íá áðïäåßîåôå üôé ç f äåí áíôéóôñÝöåôáé.

Ã190. Áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé áíôé-

óôñÝøéìç, íá áðïäåßîåôå üôé êáé ç 1f−

åßíáé ðåñéôôÞ.

Ã191. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f : R R→ , þóôå:

( )( ) ( )3fof x x f x= + (1) ãéá êÜèå

x R∈ .i. Íá äåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé.

ii. Íá âñåßôå ôï ( )f 0 .

Ã192. i. ¸óôù üôé ç g åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá

óôï R. Íá äåßîåôå üôé êáé ç

( ) ( )f x g x x= + åßíáé ãíçóßùò áýîïõ-

óá óôï R.

ii. Íá åîåôÜóåôå ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ôç

óõíÜñôçóç ( )f x nx x= +� .

iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

( ) ( )2 2n λ λ n 2λ 4 λ 3λ 4, λ 1− − + = − + + >� �

Ã193. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f : R R→ , þóôå:

( ) ( )3

f x f x x 0+ + = (1) ãéá êÜèå

x R∈ .i. Íá äåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé.

ii. Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò 1f− .

Á7

Á9

Á10

Â7

Â10

Â11

Page 219: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15226

Óôïé÷åßá áðü ôéò êùíéêÝò ôïìÝòÃ.15

Á. ÊÕÊËÏÓ

Êýêëïò åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí Ì ôïõ åðéðÝäïõ ôá ïðïßá éóáðÝ÷ïõí

áðü Ýíá óôáèåñü óçìåßï ôïõ åðéðÝäïõ óôáèåñÞ áðüóôáóç.

Ç åîßóùóç 2 2x y x y 0+ + Α +Β + Γ = (1), A, B, Γ R∈

• Áí 2 2Α Β 4Γ 0+ − > : ç åîßóùóç (1) ðáñéóôÜíåé êýêëï ìå êÝíôñï ôï óçìåßï:

,2 2

Α Β Κ − −

êáé áêôßíá 2 2

4

2

Α +Β − Γρ = .

• Áí 2 2Α Β 4Γ 0+ − = : ç (1) ðáñéóôÜíåé ôï óçìåßï ,

2 2

Α Β Κ − −

.

• Áí 2 2Α Β 4Γ 0+ − < : ç åîßóùóç (1) åßíáé áäýíáôç .

Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò êýêëïõ ìå êÝíôñï

Ï(0,0) êáé áêôßíá ñ óôï óçìåßï Á(x1 ,y1):

2

1 1xx yy+ = ρ

Åîßóùóç êýêëïõ ìå êÝíôñï Ï( 0 , 0 ) êáé

áêôßíá ñ : 2 2 2x y+ = ρ

Åîßóùóç êýêëïõ ìå êÝíôñï ( )0 0K x , y êáé áêôßíá ñ:

( ) ( )2 2 2

0 0x x y y− + − = ρ

Page 220: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìéãáäéêïß áñéèìïß 227

KùíéêÝò ôïìÝò

Â. ÐÁÑÁÂÏËÇ

ÐáñáâïëÞ åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí Ì ôïõ åðéðÝäïõ ôá ïðïßá éóáðÝ÷ïõí áðü ìéá

óôáèåñÞ åõèåßá (ä) ðïõ ëÝãåôáé äéåõèåôïýóá ôçò ðáñáâïëÞò êáé áðü Ýíá óôáèåñü óçìåßï Å ðïõ

ëÝãåôáé åóôßá ôçò ðáñáâïëÞò. Ôá óçìåßá ðïõ éêáíïðïéïýí ôçí ðñïçãïýìåíç éäéüôçôá áíÞêïõí óå

ìéá êáìðýëç ðïõ öáßíåôáé óôá åðüìåíá ó÷Þìáôá.

Åîßóùóç ðáñáâïëÞò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

1. Ìå êïñõöÞ ( )0,0Ο ,åóôßá p

E ,02

, êáé äéåõèåôïýóá p

: x2

δ = − 2y 2px=

2. Ìå êïñõöÞ ( )0,0Ο , åóôßá p

E 0,2

, êáé äéåõèåôïýóá p

: y2

δ = − 2x 2py=

Page 221: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15228

Ã. ÅËËÅÉØÇ

¸ëëåéøç ìå åóôßåò ôá óçìåßá Å΄ êáé Å åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò C ôùí óçìåßùí ôïõ åðéðÝäïõ ôùí

ïðïßùí ôï Üèñïéóìá ôùí áðïóôÜóåùí áðü ôá Å΄ êáé Å åßíáé óôáèåñü êáé ìåãáëýôåñï ôïõ Å΄ Å. Ôï

óôáèåñü áõôü Üèñïéóìá ôï óõìâïëßæïõìå ìå 2á, åíþ ôçí åóôéáêÞ áðüóôáóç Å΄ Å ìå 2ã. ÄçëáäÞ Áí

Ì óçìåßï ôçò Ýëëåéøç: ( ) ( )ME ' ME 2α+ =

Åîßóùóç Ýëëåéøçò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

Ç åîßóùóç ôçò Ýëëåéøçò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå

Üîïíá x΄x ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá y΄y ôçí

ìåóïêÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:

2 2

2 2

x y1

α β+ = , üðïõ 2 2 2

β = α − γ (ó÷Þìá 2)

O ìéêñüò Üîïíáò BB΄ ôçò Ýëëåéøçò Ý÷åé ìÞêïò 2â. Ç åîßóùóç ôçò

Ýëëåéøçò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîïíá y΄y ôçí

åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá x΄x ôçí ìåóïêÜèåôï

ôïõ Å΄Å åßíáé:

2 2

2 2

x y1

β α+ = , üðïõ 2 2 2

β = α − γ (ó÷Þìá 3)

Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò

¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç 2 2

2 2

x y1+ =

α β

, α β> . H åîßóùóç ôçò

åöáðôïìÝíçò ôçò Ýëëåéøçò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:

1 1

2 2

xx yy1+ =

α β

¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç 2 2

2 2

x y1+ =

β α

, α β> . H åîßóùóç ôçò

åöáðôïìÝíçò ôçò Ýëëåéøçò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:

1 1

2 2

xx yy1+ =

β α

Åêêåíôñüôçôá Ýëëåéøçò

¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç 2 2

2 2

x y1

α β+ = .

ÏíïìÜæïõìå åêêåíôñüôçôá ôçò Ýëëåéøçò C ôï ëüãï ôçò åóôéáêÞò

áðüóôáóçò ðñïò ôï ìÞêïò ôïõ ìåãÜëïõ Üîïíá êáé ôç óõìâïëßæïõ-

ìå ìå: 2γ γ

ε2α α

= = .

Åßíáé 0 ε 1< < êáé áðïäåéêíýåôáé üôé : 2β

1 εα= −

x

y

y

x

y

x

σχήµα 4

y

x

Page 222: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìéãáäéêïß áñéèìïß 229

KùíéêÝò ôïìÝò

Ä. ÕÐÅÑÂÏËÇ

Ïñéóìüò: ÕðåñâïëÞ ìå åóôßåò ôá óçìåßá Å΄ êáé Å åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí ôïõ

åðéðÝäïõ ôùí ïðïßùí ç áðüëõôç ôéìÞ ôçò äéáöïñÜò ôùí áðïóôÜóåùí áðü ôá Å΄ êáé Å åßíáé óôáèåñÞ

êáé ìéêñüôåñç ôïõ Ÿ. Ôï áðüëõôï ôçò äéáöïñÜò áõôÞò ôï óõìâïëßæïõìå ìå 2á êáé ôçí åóôéáêÞ

áðüóôáóç ìå 2ã. ÄçëáäÞ áí Ì ôï óçìåßï ôçò õðåñâïëÞò: ( ) ( )ME ' ME 2α− =

Åîßóùóç õðåñâïëÞò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç.

Ç åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîï-

íá x΄x ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá y΄y ôçí ìåóï-

êÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:

2 2

2 2

x y1− =

α β

, üðïõ â2 = ã2 – á2.

Ç åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîï-

íá y΄y ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá x΄x ôçí ìåóï-

êÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:2 2

2 2

y x1− =

α β

, üðïõ â2 = ã2 – á2

Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò

¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç 2 2

2 2

x y1− =

α β

. H åîßóùóç ôçò åöáðôïìÝ-

íçò ôçò õðåñâïëÞò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:

1 1

2 2

xx yy1− =

α β

¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç 2 2

2 2

y x1− =

α β

. H åîßóùóç ôçò åöáðôïìÝíçò

ôçò õðåñâïëÞò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:

1 1

2 2

yy xx1− =

α β

Áóýìðôùôåò õðåñâïëÞò

Ç õðåñâïëÞ 2 2

2 2

x y1− =

α β

Ý÷åé áóýìðôùôåò ôéò åõèåßåò:

1 : y xβ

ε =

α

êáé 2 : y xβ

ε = −

α

Åêêåíôñüôçôá õðåñâïëÞò

¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç 2 2

2 2

x y1− =

α β

. ÏíïìÜæïõìå åêêåíôñüôçôá ôçò õðåñâïëÞò êáé ôç

óõìâïëßæïõìå ìå å ôï ëüãï 2

2

γ γε = =

α α. Åßíáé å>1. Áðïäåéêíýåôáé üôé: 2

1β= ε −

α

.

x

y

Page 223: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15230

¸ííïéá ìéãáäéêïý

Ç áäõíáìßá åðßëõóçò ôçò åîßóùóçò 2x 1 0+ = óôï

R ìáò ïäÞãçóå óôçí åðéíüçóç åíüò íÝïõ óõíüëïõ,

õðåñóýíïëï ôïõ R, ôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí áñéè-

ìþí C óôï ïðïßï èåùñÞèçêå ç ýðáñîç åíüò íÝïõ

óôïé÷åßïõ ôïõ i ìå ôçí éäéüôçôá 2i 1= − êáé ôï ïðïßï

ïíïìÜóôçêå öáíôáóôéêÞ ìïíÜäá. Óôï íÝï óýíïëï C

ïé âáóéêÝò ðñÜîåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëá-

ðëáóéáóìïý ðïõ ãíùñßóáìå óôï R äéáôçñïýíôáé ìå

ôïõò êáíüíåò ëïãéóìïý (ð.÷. åðéìåñéóôéêÞ, áíôéìå-

ôáèåôéêÞ éäéüôçôá) êáé åðéðëÝïí êÜèå óôïé÷åßï ôïõ C

ãñÜöåôáé êáôÜ ìïíáäéêü ôñüðï óôçí ìïñöÞ :

z α βi= + üðïõ α,β R∈ (êáíïíéêÞ ìïñöÞ).

O áñéèìüò á ëÝãåôáé ðñáãìáôéêü ìÝñïò ôïõ ìéãáäé-

êïý z êáé óõìâïëßæåôáé ( )Re z = α åíþ ï áñéèìüò

â ëÝãåôáé öáíôáóôéêü ìÝñïò ôïõ ìéãáäéêïý z êáé

óõìâïëßæåôáé ( )Im z = β äçëäÞ

( ) ( )z Re z Im z i= + .

Ôï óýíïëï R (ðñáãìáôéêïß áñéèìïß) áðáñôßæåôáé áðï

ôïõò ìéãáäéêïýò ôçò ìïñöÞò z α 0i= + . Ïé ìéãá-

äéêïß ôçò ìïñöÞò z 0 βi= + ìå β R∈ áðïôåëïýí

ôï óýíïëï É (öáíôáóôéêïß áñéèìïß). Åßíáé öáíåñü üôé

ôá óýíïëá R,I åßíáé ãíÞóéá õðïóýíïëá ôïõ óõíüëïõ

ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí C.

ÓõæõãÞò ìéãáäéêïý - ÐñÜîåéò

¸óôù ï ìéãáäéêüò z α βi= + . ÏíïìÜæïõìå óõæõãÞ

ôïõ z êáé óõìâïëßæïõìå ìå z ôï ìéãáäéêü áñéèìü

z α βi= − .

¸óôù äýï ìéãáäéêïß áñéèìïß1z α βi= + êáé

2z γ δi= + .

Éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá: 1 2z z α γ= ⇔ = êáé β δ= .

Åéäéêüôåñá éó÷ýåé: α βi 0 α β 0+ = ⇔ = =

Ìéãáäéêïß áñéèìïßÃ.16

1. Ðñüóèåóç:

( ) ( ) ( ) ( )1 2z z α βi γ δi α γ β δ i+ = + + + = + + +

2. Ðïëëáðëáóéáóìüò:

( )( ) 2

1 2z z α βi γ δi αγ αδi βγi βδi= + + = + + + =

αγ αδi βγi βδ= + + − = ( ) ( )αγ βδ αδ βγ i− + +

3. Äéáßñåóç: Ç äéáßñåóç åêôåëåßôáé ìå ôç âïÞèåéá ôïõ

óõæõãïýò ôïõ ìéãáäéêïý ôïõ ðáñïíïìáóôÞ.

¸óôù 1z α βi= + ,

2z γ δi 0= + ≠ .

Ôüôå: ( )( )

( )( )1

2

2 2 2 2

α βi γ δiz α βi...

z γ δi γ δi γ δi

αγ βδ βγ αδi

γ δ γ δ

+ −+= = = =

+ + −

+ −+

+ +

Éäéüôçôåò

¼ìïéá üðùò óôï R ïñßæïõìå ãéá ôïí ìéãáäéêü

z α βi= + :

i. 1z z= ii. 0z 1= , ìå z 0≠

iii. v

v

1z

z

− = , *v N∈ , z 0≠

iv. v v 1z z z−= ⋅ , v N∈ , v 1>

Äýíáìç ôïõ i

Ãéá ôéò äõíÜìåéò ôïõ i åéäéêÜ ïñßæïõìå:

1i i= , 2i 1= − , ( )3 2i i i 1 i i= ⋅ = − ⋅ = − ,

( ) ( )4 2 2i i i 1 1 1= ⋅ = − ⋅ − = .

Ãåíéêüôåñá, ( )π

v 4π υ 4 υ υ υi i i i 1 i i+= = ⋅ = ⋅ = ,üðïõ

ð ôï ðçëßêï êáé õ ôï õðüëïéðï ôçò Åõêëåßäåéáò äéá-

ßñåóçò ôïõ í ìå ôïí 4 .

ÅðåéäÞ υ 0,1,2,3= Ý÷ïõìå:

ν υ

1, αν υ 0

i, αν υ 1i i

1, αν υ 2

i, αν υ 3

=

=

= = − =

− =

Page 224: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìéãáäéêïß áñéèìïß 231

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

Éäéüôçôåò óõæõãþí

É. Ãéá ôïõò óõæõãåßò ìéãáäéêïýò áñéèìïýò

z α βi= + êáé z α βi= − éó÷ýïõí:

i. 2 2zz α β= + ii. ( )z z 2α 2Re z+ = =

iii. ( )z z 2βi 2i Im z− = =

ÉÉ. ¸óôù ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z α βi= + . Ôüôå:

i. Ï áñéèìüò z åßíáé ðñáãìáôéêüò, áí êáé ìüíïí áí,

z z=

ii. Ï áñéèìüò z åßíáé öáíôáóôéêüò ,áí êáé ìüíïí áí,

z z= −

III. Ãéá ôïõò ìéãáäéêïýò 1 2

z , z , z , z éó÷ýïõí:

i. z z=

ii. 1 2 1 2z z z z+ = + êáé ãåíéêüôåñá

1 2 v 1 2 vz z ... z z z ... z+ + + = + + + ,

*v N∈

iii. 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ êáé ãåíéêüôåñá

1 2 v 1 2 vz z ...z z z ...z⋅ = ⋅ , ãéá êÜèå

*v N∈ .

iv. ( )1 1

2

2 2

z zz 0

z z

= ≠

v. ( ) ( )k

kz z= , ãéá êÜèå ìç ìçäåíéêü áêÝñáéï k.

Ìéãáäéêü åðßðåäï

¸óôù ï ìéãáäéêüò z α βi= + . Óôï ìéãáäéêü áñéèìü z

ìðïñïýìå íá áíôéóôïé÷ßóïõìå ôï óçìåßï ( )M α,β åíüò

êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ. ÁëëÜ êáé áíôéóôñüöùò óå êÜèå

óçìåßï ( )M α,β ôïõ êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ ìðïñïý-

ìå íá áíôéóôïé÷ßóïõìå ôï ìéãáäéêü áñéèìü z α βi= + .

Ôüôå ôï óçìåßï Ì ëÝãåôáé åéêüíá ôïõ ìéãáäéêïý z êáé

óõìâïëßæåôáé êáé ìå ( )Μ z . Åðßóçò ç äéáíõóìáôéêÞ

áêôßíá OM�����

ôïõ óçìåßïõ ( )M α,β ëÝãåôáé êáé äéá-

íõóìáôéêÞ áêôßíá ôïõ ìéãáäéêïý êáé ðïëëÜ ðñïâëÞ-

ìáôá ìéãáäéêþí ôá áíôéìåôùðßæïõìå óôç óõíÝ÷åéá ôáõ-

ôßæïíôáò ôïí ìéãáäéêü ìå ôç äéáíõóìáôéêÞ ôïõ áêôßíá.

¸íá åðßðåäï ôïõ ïðïßïõ ôá óçìåßá èåùñïýíôáé åéêü-

íåò ìéãáäéêþí áñéèìþí ëÝãåôáé ìéãáäéêü åðßðåäï.

Ï Üîïíáò x 'x ëÝãåôáé ðñáãìáôéêüò Üîïíáò, áöïý

ó’áõôüí áíÞêïõí ôá óçìåßá ( )Μ α,0 ðïõ åßíáé åéêü-

íåò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí z α 0i α= + = , åíþ

ï Üîïíáò y 'y ëÝãåôáé öáíôáóôéêüò Üîïíáò, áöïý

ó’áõôüí áíÞêïõí ôá óçìåßá ( )M 0,β , ðïõ åßíáé åéêü-

íåò ôùí öáíôáóôéêþí áñéèìþí z 0 βi βi= + = .

Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ïé åéêüíåò ôùí óõæõãþí ìé-

ãáäéêþí áñéèìþí z α βi= + êáé z α βi= − åßíáé

áíôßóôïé÷á ôá óçìåßá ( )M α,β êáé ( )Λ α, β− ðïõ

åßíáé óçìåßá óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá x 'x .

Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ïé åéêüíåò ôùí áíôßèåôùí ìéãá-

äéêþí áñéèìþí z α βi= + êáé z α βi− = − − åßíáé

áíôßóôïé÷á ôá óçìåßá ( )M α,β êáé ( )Κ α, β− − , ðïõ

åßíáé óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ Ï ôùí áîüíùí.

Åðßëõóç ôçò åîßóùóçò áz2 + âz + ã = 0 (1)

óôï óýíïëï C, ìå á, â, ã ðñáãìáôéêïýò êáé á

äéÜöïñï ôïõ ìåäåíüò.

Ç äéáêñßíïõóá ôçò (1) åßíáé 2∆ β 4αγ= − .

• Áí ∆ 0> ç (1) Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé

Üíéóåò: 1,2

β ∆z

− ±=

• Áí ∆ 0= ç (1) Ý÷åé ìßá äéðëÞ ðñáãìáôéêÞ ñßæá ôçí:

βz

2α= −

• Áí ∆ 0< ç (1) Ý÷åé äýï ñßæåò ìéãáäéêÝò óõæõãåßò:

1,2

β i ∆z

− ± −=

Éó÷ýïõí ïé ôýðïé ôïõ Vieta, äçëáäÞ

1 2

βz z

α+ = − êáé

1 2

γz z

α=

Page 225: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15232

4

3

2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

ÁóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé íá ãñáöåß óôçí êáíïíéêÞ

ìïñöÞ äçë. óôç ìïñöÞ α βi+ ìå α,β R∈ , Ýíáò

ìéãáäéêüò áñéèìüò. Ôüôå åêôåëïýìå ôéò ðñÜîåéò

üðùò ôéò ïñßóáìå óôç èåùñßá (äõíÜìåéò - ôáõôü-

ôçôåò ê.ë.ð).

Íá ãñÜøåôå óôç ìïñöÞ α βi+ ôïí ìé-

ãáäéêü áñéèìü: 5 2 i 2 i

z6 2 i 2 i

+ − = +

− +

Ëýóç

Åßíáé

( ) ( )

( )( )

2 2

2 i 2 i5 2 i 2 i 5z

6 2 i 2 i 6 2 i 2 i

5 4 4i 1 4 4i 1

6 4 1

+ + −+ − = + = =

− + − +

+ − + − − = =

+

5 8 2 5 61 1 0i

6 5 6 5

− = = ⋅ = = +

Óå áóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé íá äåßîïõìå üôé äýï ìéãá-

äéêïß 1 2z , z åßíáé ßóïé Þ æçôïýíôáé ïé óõíèÞêåò þóôå

íá åßíáé ßóïé:

ÃñÜöïõìå ôïõò 1 2z , z óôçí êáíïíéêÞ ôïõò ìïñöÞ

1z α βi= + ,

2z γ δi= + êáé äéáðéóôþíïõìå üôé

α γ= êáé β δ= Þ áðáéôïýìå á = ã êáé â = ä ,

üôáí æçôïýíôáé óõíèÞêåò, þóôå íá åßíáé ßóïé.

Íá âñåèïýí ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,

â þóôå ïé ìéãáäéêïß

( ) ( )1z 2α 3β 2α β i= − + + + êáé ( )

2z 3 i i= −

íá åßíáé ßóïé.

Ëýóç

Åßíáé ( ) 2

2z 3 i i 3i i 1 3i= − = − = + ,

1 2

2α 3β 1 β 1 β 1z z

2α β 3 2α 1 3 α 1

− + = = = = ⇔ ⇔ ⇔

+ = + = =

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí ðñáãìáôéêü

áñéèìü x þóôå ï áñéèìüò

( )z 1 2συνx iηµ2x= − + íá åßíáé:

á. öáíôáóôéêüò, â. ðñáãìáôéêüò.

Ëýóç

á. Ï ìéãáäéêüò z åßíáé öáíôáóôéêüò áí êáé ìüíïí

áí, ( )Re z 0= êáé ( )lm z 0≠ .

( )1

Re z 0 1 2συνx 0 συνx2

= ⇔ − = ⇔ =

1 πσυνx συν

2 3= = ⇔

π πx 2kπ ή x 2kπ , k Z

3 3= + = − ∈

Ãéá π

x 2kπ3

= ± åßíáé 2π

ηµ 4kπ 03

± ≠

.

â. Åßíáé ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z ðñáãìáôéêüò, áí

êáé ìüíïí áí,

( )lm z 0 ηµ2x 0 2x kπ, k Z

kπx , k Z

2

= ⇔ = ⇔ = ∈ ⇔

= ∈

Íá âñåèïýí ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,

â, þóôå ïé ìéãáäéêïß ( )1z α β 3 2i= + − +

êáé ( ) ( )2z 2α 1 α β i= − + + íá åßíáé ßóïé.

Ëýóç

Ïé ìéãáäéêïß áñéèìïß 1 2z z, åßíáé ßóïé, áí êáé

ìüíïí áí,

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

Re z Re z α β 3 2α 1

και και

α β 2lm z lm z

β α 2

και α 0, β 2

β α 2

= + − = −

⇔ ⇔ + ==

− =

⇔ = = + =

Õðïëïãéóìüò ðáñáóôÜóåùí ìå äõíÜìåéò ôïõ i (áêÝ-

ñáéïò åêèÝôçò).

Ç ðáñÜóôáóç νi éóïýôáé ìå

υi ,üðïõ õ åßíáé ôï õðü-

1

Page 226: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìéãáäéêïß áñéèìïß 233

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

7

6

5

ëïéðï ôçò äéáßñåóçò ôïõ í ìå ôïí 4.

ÅðïìÝíùò ïé äõíáôÝò ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò νi åßíáé

0i 1= ,

1i i= ,

2i 1= − ,

3i i= − .

Íá õðïëïãßóåôå ôéò ôéìÝò ôçò ðáñÜ-

óôáóçò Á ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ

èåôéêïý áêåñáßïõ í ìå 10 50

ν 1

i iA

i+

+= .

Ëýóç

Åßíáé

10 4 2 2 2i i i 1

⋅ += = = − , 50 4 12 2 2

i i i 1⋅ +

= = = − ,v 1 v 4π υ υi i i i i i i+ += ⋅ = = ⋅

-Ãéá υ 0=( )2

2 i1 1 2Α 2i

i i i

− −− − −= = = =

-Ãéá υ 1=1 1

Α 21

− −= =

-Ãéá υ 2=2

1 1 2 2iΑ 2i

i i i

− − − −= = = = −

− − −

-Ãéá υ 3=2

1 1 2Α 2

i i i

− − −= = = −− ⋅ −

Óå áóêÞóåéò üðïõ æçôåßôáé íá äåé÷èåß üôé Ýíáò ìéãá-

äéêüò z åßíáé ðñáãìáôéêüò Þ öáíôáóôéêüò Þ æçôïý-

íôáé ïé óõíèÞêåò þóôå o áñéèìüò z íá åßíáé ðñáãìá-

ôéêüò Þ z öáíôáóôéêüò:

ÃñÜöïõìå ôïí z óôç ìïñöÞ z x yi= + êáé äéáðé-

óôþíïõìå üôé y 0= Þ x 0= ,áíôßóôïé÷á Þ äéáðé-

óôþíïõìå üôé z z= Þ áðáéôïýìå z z= üôáí æç-

ôïýíôáé ïé óõíèÞêåò þóôå z R∈ Þ áðáéôïýìå

z z= − , áí æçôåßôáé ï z íá åßíáé öáíôáóôéêüò.

i. Íá äåßîåôå üôé ãéá êÜèå z C∈ êáé

*v N∈ ï ( )

v vz z+ åßíáé ðñáãìáôéêüò.

ii. Íá âñåèïýí ïé α,β R∈ þóôå ï áñéèìüò

3 αiω

β 3i

+=

íá åßíáé öáíôáóôéêüò.

Ëýóç

i. ¸óôù ( )v vω z z= + , ôüôå

( ) ( ) ( ) ( )v

v v vv vω z z z z z z ω= + = + = + = .

¢ñá ω R∈ .

ii. Åßíáé ( )( )

( )( )

( ) ( )2 2 2

3 αi β 3i3 αiω

β 3i β 3i β 3i

3β 3α 9 αβ i 3β 3α 9 αβi

β 9 β 9 β 9

+ ++= = =

− − +

− + + − += +

+ + +

Ï ù åßíáé öáíôáóôéêüò, áí êáé ìüíïí áí,

2

3β 3α0 α β.

β 9

−= ⇔ =

+

Ëýóç åîßóùóçò ôçò ìïñöÞò αz β, α,β R= ∈ Þ

2αz βz γ 0+ + = , ìå α,β, γ R∈ êáé α 0≠ .

Ç åîßóùóç 2αz βz γ 0+ + = ëýíåôáé ìå ôç âïÞèåéá

ôçò äéáêñßíïõóáò üðùò áíáöÝñáìå óôç èåùñßá.

Áí ç åîßóùóç äåí åßíáé äåõôåñïâÜèìéá ôüôå èÝôïõìå

z x yi= + , åêôåëïýìå ôéò ðñÜîåéò êáé êáôáëÞãïõìå

óôç ìïñöÞ α βi 0+ = . Óôç óõíÝ÷åéá ëýíïõìå ôï óý-

óôçìá α 0

β 0

=

=

. ÔÝëïò ç åîßóùóç αz β= ìå α,β C∈

ìðïñåß íá ëõèåß üðùò áêñéâþò êáé óôï R.

¼ôáí æçôåßôáé íá ðñïóäéïñéóèåß ìéãáäéêüò z ðïõ

éêáíïðïéåß ìéá éóüôçôá üðïõ õðÜñ÷åé ï z êáé ï óõæõãÞò

ôïõ, Þ ôï ìÝôñï ôïõ z, ôüôå èÝôïõìå z x yi= + óôçí

äïóìÝíç ó÷Ýóç êáé ðñïóäéïñßæïõìå ôïõò ðñáãìáôéêïýò

áñéèìïýò x êáé y.

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. ( ) ( ) ( ) ( )1 2i i z 4i 3 1 iz 1 7i+ − − − − = +

ii. 2z 3 3 z 9 0− ⋅ + = iii. 2

z z 2 0+ − =

iv. â. 2z 3 4i= +

Ëýóç

i. Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

( ) ( )2i z 2i i z 4i 4i z 3 3iz 1 7i− + − − − − + = +

i z 2 2iz 4i 4z 3 3iz 1 7i⇔ − − − − − + − = +

( )3i 2 3 z 1 2i 4 3i 1 7i⇔ − − + + − − − − = +

( ) ( )z 5 5i 10i 5z 1 i 10i⇔ − − = ⇔ − + =

Page 227: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15234

8

( )

( )

( )( )

2i 1 i10i 2iz z

5 1 i 1 i 1 i 1 i

− −−⇔ = = ⇔ = =

− + + + −

22i 2i 2 2i

1 1 2

− + − −= =

+

.

¢ñá z 1 i= − − .

ii. Åßíáé

( )2

2∆ β 4αγ 3 3 4 9 27 36 9 0= − = − − ⋅ = − = − < ,

ïðüôå ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé:

1,2

3 3 i 9 3 3 3i 3 3 3z i

2 2 2 2

± ±= = = ± .

iii. ÈÝôïõìå z x yi= + , x, y R∈ óôçí (1) êáé

Ý÷ïõìå:

( ) ( )

( )

2

2 2

x yi x yi 2 0

x y x 2 2xy y i 0

+ + − − = ⇔

− + − + − = ⇔

( )

( )

( )

2 2 2 2

2 2

x y x 2 0 x y x 2 0

και και

2xy y 0 y 2x 1 0

x y x 2 0 2

y 0 ή 2x 1 0 3

− + − = − + − =

⇔ ⇔

− = − =

− + − =⇔

= − =

• Áí y 0= , ôüôå ç (2) ãñÜöåôáé:

2x x 2 0 x 1+ − = ⇔ = Þ x 2= − ,

Üñá ïé ëýóåéò ôçò (1) åßíáé ïé áñéèìïß

z 1 0i= + , z 2 0i= +

• Áí 1

x2

= , ôüôå ç (2) ãñÜöåôáé:

2 21 1 5y 2 0 y

4 2 4− + − = ⇔ = −

ðïõ åßíáé áäýíáôç.

iv. Åäþ äåí èá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôïí ôýðï ôçò

äéáêñßíïõóáò, ãé’ áõôü èÝôïõìå z x yi= + êáé

Ý÷ïõìå: ( )

( )

( )

2

2 2

2 2

x yi 3 4i

x y 2xyi 3 4i

x y 3 1

2xy 4 2

+ = + ⇔

− + = + ⇔

− =

=

Õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç ôùí (1) êáé (2) óôï

ôåôñÜãùíï êáé ôéò ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç:

( )

( ) ( )

22 2 2 2

22 2 2 2

x y 4x y 9 16

x y 25 x y 5 3

− + = + ⇔

+ = ⇔ + =

Áðü ôéò (1) êáé (3), ðáßñíïõìå:

2 2

2 2

x y 3

x y 5

− =

+ =

ìå ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç ôùí

ðáñáðÜíù åîéóþóåùí ðñïêýðôåé ôï óýóôçìá:

2

2

2

2

2x 8x 4 x 2 ή x 2

καιy 1 ή y 1y 1

2y 2

= = = = −

⇔ ⇔ = = −=

=

êáé åðåéäÞ 2xy 4= , ïé x, y åßíáé ïìüóçìïé, Üñá:

( )x 2 και y 1= = Þ ( )x 2 και y 1= − = −

ÅðïìÝíùò ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé : z 2 i= +

êáé z 2 i= − − .

Óå áóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ìé-

ãáäéêïý áñéèìïý z ðïõ äßíåôáé ðáñáìåôñéêÜ.

ÃñÜöïõìå ôïí ìéãáäéêü z óôçí êáíïíéêÞ ôïõ ìïñ-

öÞ êáé êÜíïõìå áðáëïéöÞ ôçò ðáñáìÝôñïõ áðü ôá

Re(z) êáé Im(z).

Íá âñåßôå óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ôï ãå-

ùìåôñéêü ôüðï ôùí åéêüíùí ôùí ìéãá-

äéêþí ( )z 1 5i λ 2 3i, λ R= + + − ∈ .

Ëýóç

Ï ìéãáäéêüò z ãñÜöåôáé

( ) ( )z λ 5λi 2 3i λ 2 5λ 3 i= + + − = + + − .

Áí z x yi= + ôüôå x λ 2= + êáé y 5λ 3= − .

Ðñïêýðôåé ëïéðüí λ x 2= − êáé

( )y 5 x 2 3 5x 13= − − = −

ÄçëáäÞ ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ z

åßíáé ç åõèåßá ìå åîßóùóç y 5x 13= − .

Page 228: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìéãáäéêïß áñéèìïß 235

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

11

Íá âñåßôå ôï ãåùìåôñéêü ôüðï ôùí

åéêüíùí ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí z ãéá

ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé:

á. ( )Re z 2= − â. ( )lm z 3=

Ëýóç

á. ¸óôù z x yi= + ï ìéãáäéêüò ãéá ôïí ïðïßï

éó÷ýåé ( )Re z 2= − ôüôå:

( ) ( )Re z 2 Re x yi 2 x 2= − ⇔ + = − ⇔ = − .

¢ñá, ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò ôïõ z

åßíáé ç êáôáêüñõöç åõèåßá x 2= − .

â. ¸óôù z x yi= + ìéãáäéêüò ôÝôïéïò þóôå

( )lm z 3= , ôüôå:

( ) ( )lm z 3 lm x yi 3 y 3= ⇔ + = ⇔ = .

¢ñá,ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò ôïõ

z x yi= + åßíáé ç åõèåßá ìå åîßóùóç y 3= .

Íá âñåßôå ôïõò á êáé â þóôå ç åîßóùóç:

2z αz β 0+ + = , ìå á êáé â ðñáãìáôéêïýò

íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü 2 i− .

Ëýóç

Ãíùñßæïõìå üôé ç Üëëç ñßæá ôçò åîßóùóçò èá åßíáé

ç 2+i, áöïý ç äåõôåñïâÜèìéá Ý÷åé óõæõãåßò

ìéãáäéêïýò ùò ñßæåò. Åðßóçò, ãíùñßæïõìå üôé áí ç

åîßóùóç Ý÷åé ñßæåò x1, x2, ôüôå:

1 2x x α+ = − êáé

1 2x x β= .

ÅðïìÝíùò, ( ) ( )2 i 2 i α+ + − = êáé

( ) ( )2 i 2 i β+ ⋅ − =

áðü üðïõ ðáßñíïõìå α 4= êáé β 5= êáé óõíåðþò

ç æçôïýìåíç åîßóùóç åßíáé ç 2z 4z 5 0+ + = .

Íá ðáñáóôÞóåôå óôï ìéãáäéêü åðßðåäï

i. ôïõò ìéãáäéêïýò: 1 2z 1 2i, z 3 i= − = +

ii. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå ( )Re z 2= −

iii. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå ( )Im z 1=

iv. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå ( )2 Re z 2− ≤ ≤

Ëýóç

i. Ïé åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí z1 êáé z

2 öáßíïíôáé

óôï ó÷Þìá i.

ii. Ïé ìéãáäéêïß ìå ( )Re z 2= − åßíáé ïé áñéèìïß

ôçò ìïñöÞò 2 yi− + , ìå y R∈ . ¢ñá, ïé åéêü-

íåò ôïõò áíÞêïõí óôçí åõèåßá x 2= − . (ó÷.ii)

iii. Ïé ìéãáäéêïß ìå ( )Im z 1= åßíáé ôçò ìïñöÞò

x i+ , x R∈ ,Üñá ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá

( )x,1 , üðïõ x R∈ . Åßíáé äçëáäÞ ôá óçìåßá

ôçò åõèåßáò y 1= .(ó÷.iii)

iv. ( )2 Re z 2 2 x 2− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . ÅðïìÝíùò, ïé

åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí âñßóêïíôáé óôï åðßðå-

äï ðïõ ïñéïèåôåßôáé áðï ôéò êáôáêüñõöåò åõ-

èåßåò x 2= − êáé x 2= Þ ðÜíù óôéò äýï åõ-

èåßåò x 2= − êáé x 2= .(ó÷.iv)

9

10

Page 229: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15236

Ã194. Äßíåôáé ï ìéãáäéêüò:

( ) ( )z 4 2yi x 3i 2 6i 3 4i 3yi= − − − + − − −

á. Íá ãñáöåß óôç ìïñöÞ α βi+

â. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. ( )Re z 0= , ii. ( )lm z 0= ,

iii. ( ) ( )Re z lm z=

Ã195. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò

åéêüíáò ôïõ ìéãáäéêïý

( )z 2συνφ 2ηµφ i= + , φ R∈ .

Ã196. Íá ðñïóäéïñéóôåß ï α R∈ þóôå ç åéêüíá

ôïõ ìéãáäéêïý ( ) ( )z α 2 α 1 i= − + + íá

åßíáé óçìåßï ôïõ êýêëïõ ìå åîßóùóç:

2 2x y 9+ =

Ã197. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò

ôïõ ìéãáäéêïý ( ) ( )z α 1 3α 2 i= − + − , üôáí

α R∈ .

Ã198. Íá âñåèåß ï ìéãáäéêüò z x yi= + , ãéá ôïí

ïðïßï éó÷ýåé: á. 2z 2i= â. 2

z 3 4i= −

Ã199. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. z z= â. 2z z= ã. z z 1= −

Ã200. Íá áðïäåßîåôå üôé:

i. ( ) ( )2002 2002

x yi y xi 0, x, y R+ + − + = ∈

ii. ( ) ( )2005 2005

β αi i α βi 0− + + = .

Ã201. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç: 2z z 2 0− + = ,

z C∈

Ã202. Íá ëýóåôå óôï óýíïëï C ôéò åîéóþóåéò:

á. 2x 4x 8 0− + = êáé â. 2

x 2x 3 0− + =

Ã203. Áí ìéá ñßæá ôçò 23x βx γ 0− + = , üðïõ

β, γ R∈ åßíáé ï áñéèìüò 2 3i− , íá âñåßôå

ôéò ôéìÝò ôùí â êáé ã.

Ã204. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áñéèìü:

1960 1966 1985 1992z 41i 35i 16i 9i= + + +

Ã205. Áí 1 2z , z ñßæåò ôçò åîßóùóçò z2–2z+4=0,

íá äåßîåôå üôé ï áñéèìüò 1 2

2 1

z zw

z z= + åß-

íáé ðñáãìáôéêüò.

Ã206. ¸óôù *z C∈ .

i. Íá ôïðïèåôÞóåôå óôï ìéãáäéêü åðßðå-

äï ôéò åéêüíåò ôùí z, i, iz.

ii. Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò êáìðýëçò

óôçí ïðïßá ðñÝðåé íá âñßóêåôáé ç åéêü-

íá ôïõ z þóôå ïé åéêüíåò ôùí z, i, iz íá

âñßóêïíôáé óôçí ßäéá åõèåßá.

Ã207. Íá âñåßôå ôï ãåùìåôñéêü ôüðï ôùí åéêüíùí

ôùí ìéãáäéêþí z ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé

( )8

Re z Im ziz

− = −

.

Ã208. Íá ëõèïýí óôï C, ïé åîéóþóåéò:

i. 2iz zz 7 4i− = − +

ii. ( )z 2iz 5 3 z i+ = + +

iii. z 8 zz zz 2i z− + = − − +

Ã209. Aí 1z λ i= + êáé ( )

2z 2 1 λ i= + − íá

âñåßôå ôïí λ R∈ þóôå ç åéêüíá ôïõ

ìéãáäéêïý 1 2

z z 2z= + íá áíÞêåé óôçí

åõèåßá ìå åîßóùóç y x 10= − .

Ã210. ¸óôù:

( ) ( )2 2z 9i x 1 i y i 2 i 6xi 2y 1= + + + − + − +,

üðïõ x, y R∈ . Íá âñåßôå ôïõò x, y áí:

i. ( )Re z 0= ii. ( )lm z 0= iii. z 0=

Ã211. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí

åéêüíùí ôïõ ìéãáäéêïý z x yi= + óôï

ìéãáäéêü åðßðåäï áí ï áñéèìüò:

( )( )w 1 iz 1 z= − − åßíáé ðñáãìáôéêüò.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 230: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìéãáäéêïß áñéèìïß 237

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ÊáôÜ ôçí åðÝêôáóç ôïõ óõíüëïõ R óôï óýíïëï C ïé ðñÜîåéò êáé ïé éäéüôçôÝò ôïõò ðïõ éó÷ýïõí óôï

R ìåôáöÝñïíôáé êáé óôï óýíïëï C, åêôüò áðü ôç äéÜôáîç.

Ôï óýíïëï C äåí åßíáé äéáôåôáãìÝíï, äçëáäÞ äåí ìðïñïýìå íá äéáêñßíïõìå áí Ýíáò ìéãáäéêüò

åßíáé ìåãáëýôåñïò Þ ìéêñüôåñïò áðü êÜðïéïí Üëëï.

ÌÝôñï ìéãáäéêïý

¸óôù ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z x yi= + êáé Ì(z) ç

åéêüíá ôïõ óôï ìéãáäéêü åðßðåäï. ÏíïìÜæïõìå ìÝ-

ôñï ôïõ ìéãáäéêïý z ôçí áðüóôáóç ôçò åéêüíáò Ì

ôïõ z áðü ôçí áñ÷Þ Ï(0,0) ôùí áîüíùí êáé ôï óõì-

âïëßæïõìå ìå: ( ) 2 2z OM OM x y= = = +

�����

Éäéüôçôåò ôïõ ìÝôñïõ ìéãáäéêïý

• ¸óôù z x yi= + ôüôå

2 2z z z z x y= = − = − = +

• Ãéá êÜèå ìéãáäéêü z x yi= + éó÷ýåé

22 2 2z z z z x y= = ⋅ = +

• Áí 1 2z , z ìéãáäéêïß áñéèìïß ôüôå:

1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ êáé ãåíéêüôåñá

1 2 v 1 2 νz z ...z z z ... z⋅ = ⋅

êáéνν *z z , ν N= ∈

• Áí 1 2z , z ìéãáäéêïß áñéèìïß ìå 2

z 0≠ ôüôå

11

2 2

zz

z z=

• Áí 1 2z , z C∈ ôüôå

1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ + ≤ + (ôñéãùíéêÞ áíé-

óüôçôá)

• Ãéá ôéò åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí 1 2z , z , éó÷ýåé á-

êüìá OM ON NM− =

����� ���� ����� Þ 1 2MN z z= −

�����, äç-

ëáäÞ ôï ìÝôñï ôçò äéáöïñÜò äýï ìéãáäéêþí áñéè-

ìþí åßíáé ßóï ìå ôÞí áðüóôáóç ôùí åéêüíùí ôïõò.

• ¸óôù ï ìéãáäéêüò 0 0 0z x y i= + êáé Ýíáò èåôéêüò

ðñáãìáôéêüò ñ. Ç åîßóùóç 0z z ρ− = ðáñéóôÜíåé

ôïí êýêëï ìå êÝíôñï ôçí åéêüíá ( )0 0K x , y ôïõ

0z êáé áêôßíá ñ.

• ¸óôù ïé ìéãáäéêïß 1 2z , z . Ç åîßóùóç

1 2z z z z− = − åßíáé ç åîßóùóç ôçò ìåóïêáèÝôïõ

ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôéò åéêüíåò

( )1A z êáé ( )2B z ôùí z1 êáé z

2 áíôßóôïé÷á.

Page 231: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15238

3

4

2

1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá âñåèïýí ôá ìÝôñá ôùí ìéãáäéêþí

áñéèìþí:

i. 1

4 3iz

4 3i

+=

− ii.

v

2

1 i 3z

2

+=

, *v N∈ .

Ëýóç

i. ( )( )

( )( )1

4 3i 4 3i4 3iz

4 3i 4 3i 4 3i

+ ++= = =

− − +

16 9 24i 7 24i

25 25 25

− += +

Ïðüôå 2 2

1 2 2

7 24 49 576z 1

62525 25

+= + = = .

ii.

v v v

2

1 i 3 1 i 3 1 3z 1

2 2 2 4 4

+= = + = + =

Íá ëõèåß óôï óýíïëï C ç åîßóùóç

( )2z 2iz 2α 1 i 0− + + = , üðïõ α 0≥ .

Ëýóç

¸óôù z x yi= + , x, y R∈ . Åßíáé

( ) ( ) ( )2

2 2x y 2i x yi 2α 1 i 0+ − + + + = ⇔

( ) ( )2 2x y 2y 2α 2 α x i 0 0i+ + + + − = + ⇔

( )

2 2 2 2x y 2y 2α 0 y 2y 2α α 0

2 α x 0 x α

+ + + = + + + =⇔

− = =

ÅðåéäÞ y R∈ ðñÝðåé

∆ 0 1 2 α 1 2≥ ⇔ − − ≤ ≤ − +

êáé åðåéäÞ α 0≥ åßíáé 0 α 1 2≤ ≤ − + .

¸ôóé 21,2y 1 α 2α 1= − ± − − + . ¢ñá ïé ëýóåéò ôéò

åîßóùóçò åßíáé:

( )2

1z α 1 α 2α 1 i= + − + − − + êáé

( )2

2z α 1 α 2α 1 i= + − − − − +

ìå ôçí ðñïûðüèåóç 0 α 1 2≤ ≤ − + .

Áí 1 2z , z C∈ êáé

1 2 1 2z z z z+ = − íá

äåßîåôå üôé ï áñéèìüò 1 2z z⋅ åßíáé öá-

íôáóôéêüò .

Ëýóç

ÅðåéäÞ 1 2 1 2z z z z+ = − Ý÷ïõìå:

2 2

1 2 1 2z z z z+ = − ⇔

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z+ + = − − ⇔

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z+ + = − − ⇔

1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2z z z z z z z z z z z z z z z z+ + + = − − +

1 2 1 2 1 2 1 22z z 2z z z z z z= − ⇔ = −

ðïõ óçìáßíåé üôé 1 2z z I∈ .

Íá äþóåôå ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá óôéò

åðüìåíåò éóüôçôåò êáé áíéóüôçôåò:

i. z 4= ii. 4z 8i 4 4+ + =

iii. 2 z 1 2i 3< − + < iv. z 2 z 3i− = −

Ëýóç

i. ¸óôù z x yi= + êáé åðåéäÞ z 4= Ý÷ïõìå:

2 2 2 2 2x yi 4 x y 4 x y 4− = ⇔ + = ⇔ + = .

¢ñá ôï óçìåßï Ì(z) áíÞêåé óôïí êýêëï

2 2x y 16+ = .

ii. Åßíáé ( )4z 8i 4 4 z 1 2i 1+ + = ⇔ − − − = .

¢ñá ðáñéóôÜíåé êýêëï ìå

êÝíôñï ( )K 1, 2− −

êáé áêôßíá ρ 1= .

Page 232: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ìéãáäéêïß áñéèìïß 239

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

iii. ¸÷ïõìå ( )z 1 2i 2− − > (1)

êáé ( ) ( )z 1 2i 3 2− − <

Ç áíßóùóç (1) ðáñéóôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ åðéðÝ-

äïõ ðïõ âñßóêïíôáé Ýîù áðü ôïí êýêëï ìå êÝ-

íôñï Ê(1,–2) êáé áêôßíá 2. Ç áíßóùóç (2) ðáñé-

óôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ ðïõ âñßóêïíôáé

óôï åóùôåñéêü ôïõ êýêëïõ

ìå êÝíôñï Ê(1,–2) êáé áêôß-

íá 3. ¢ñá ç äïèåßóá áíßóù-

óç ðáñéóôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ

åðéðÝäïõ ðïõ âñßóêïíôáé óôï

åóùôåñéêü ôïõ äáêôõëßïõ ðïõ

ïñßæïõí áõôïß ïé ïìüêåíôñïé

êýêëïé.

iv. Ãíùñßæïõìå üôé ç äïèåßóá åîßóùóç ðáñéóôÜ-

íåé ôç ìåóïêÜèåôï ôïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôá

óçìåßá Á(2,0) êáé Â(0,3).

ÈÝôïõìå z x yi= + ,ïðüôå:

( )z 2 z 3i x 2 yi x y 3 i− = − ⇔ − + = + −

( ) ( )2 2

x 2 yi x y 3 i− + = + − ⇔

( ) ( )2 22 2

x 2 y x y 3 4x 6y 5− + = + − ⇔ − + =

Ã212. Áí 1z 1= êáé

2z 8 6i= − ôüôå ç ìåãá-

ëýôåñç ôéìÞ ôïõ 1 2z z− åßíáé:

Á. 10, Â. 15, Ã. 8, Ä. 14 , Å. 11

Ã213. Áí 1z 1= êáé

2z 3− = ôüôå ç åëÜ÷éóôç

ôéìÞ ôïõ 1 2z z− åßíáé:

Á. 6, Â. 2, Ã. 5, Ä. 8, Å. 4

Ã214. Ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ

ìéãáäéêïý áñéèìïý z óôï ìéãáäéêü åðß-

ðåäï ãéá ôïí ïðïßï éó÷ýåé z 1 z 2i− = −

åßíáé

Á. ï Üîïíáò y΄y Â. ç åõèåßá y = x

Ã. ï Üîïíáò x΄x

Ä. ç ìåóïêÜèåôïò ôïõ åõèýãñáììïõ

ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôá óçìåßá ( )1,0 êáé

( )0,2

Å. ç ìåóïêÜèåôïò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞ-

ìáôïò ìå Üêñá ôá óçìåßá (0,–2) êáé (1,0).

Ã215. Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ï êýêëïò ìå êÝíôñï ôï

óçìåßï Ê(1,2) êáé áêôßíá 5 åßíáé ïãåùìåôñé-

êüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ ìéãáäéêïý z ãéá

ôïí ïðïßï éó÷ýåé:

Á. ( )z 1 2i 5− − = Â. ( )z 1 2i 5− + =

Ã. ( )z 2 i 25− + = Ä. ( )z 2 i 4− + =

Å. ( )z 2 i 5+ + =

Ã216. Íá ëõèåß óôï C ç åîßóùóç: 2z 2 z 1 0− − =

Ã217. ¸óôù ìéãáäéêüò z ìå 1

z zz

= + êáé ï

ìéãáäéêüò 2w z= .

Íá äåßîåôå üôé ( )1

Re w2

= −

Ã218. i. ¸óôù 1 2 3z , z , z C∈ ìå

1 2 3z z z 1= = = .

Íá äåßîåôå üôé :

1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z+ + = + +

ii. óôù 1 2 3z , z , z C∈ ìå

1 2 3z z z 0+ + = êáé

2 2 2

1 2 3z z z 0+ + = .

Íá äåßîåôå üôé 1 2 3z z z= =

Ã219. Èåùñïýìå ôïõò ìéãáäéêïýò ( )z λ 1 λ i= + −

ìå λ R∈ êáé λ 1≠ . Íá áðïäåßîåôå üôé ç

åéêüíá ôïõ ìéãáäéêïý z 1

wz 1

+=

− áíÞêåé óå

åõèåßá ôçò ïðïßáò íá âñåßôå ôçí åîßóùóç.

Ã220. Áí ãéá ôï ìéãáäéêü z éó÷ýïõí: z 1 10− =

êáé 1

z 123

+ = êáé ãéá ôï ìéãáäéêü w

éó÷ýåé: 3wz 6 6z w+ = − , íá âñåßôå:

i. ôï ìÝôñï ôïõ w

ii. Áí ãéá ôï ìéãáäéêü k éó÷ýåé:

3 32k k 6ww

2 4

− − =

, íá âñåèåß ï

ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Page 233: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |
Page 234: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

ΤΟ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΟΥ ΕΜΠΙΣΤΕΥΕΣΤΕ 41 ΧΡΟΝΙΑ

Ο Φροντιστηριακός Οργανισμός ΟΡΟΣΗΜΟ (ΙΑΤΡΙΚΟ – ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΑΚΟ

– ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ) είναι από τους παλαιότερους και πλέον

πρωτοποριακούς και επιτυχημένους οργανισμούς στον χώρο της δευτεροβάθμιας

εκπαίδευσης. Στόχος του είναι να προβάλλει πάντοτε τη συνεργασία και την

ουσιαστική επικοινωνία ανάμεσα στο μαθητή, το γονιό και τον εκπαιδευτικό.

Συνδυάζοντας 41 συναπτά έτη διδακτικής και συγγραφικής εμπειρίας και προσφοράς

στην Παιδεία με εκσυγχρονισμένες και αποτελεσματικές μεθόδους διδασκαλίας,

αγκαλιάζει τις ανάγκες του σύγχρονου μαθητή και του δίνει το «προβάδισμα» για την

επιτυχία στην πρώτη του επιλογή. Αυτό αποδεικνύουν οι περισσότεροι από 39.000

επιτυγχόντες στα Α.Ε.Ι. της επιλογής τους.

ΤΟ ΝΕΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

Το νέο εξεταστικό σύστημα που θα ισχύσει για το σχολικό έτος 2015-2016 μειώνει

τον αριθμό των μαθημάτων αλλά αυξάνει σημαντικά τη διδακτέα ύλη και εξειδικεύει

τα θέματα των Πανελληνίων, με αποτέλεσμα να πολλαπλασιάζει το βαθμό δυσκολίας

για την επιτυχία σε σχολές που απαιτούν τη συγκέντρωση εξαιρετικά υψηλής

βαθμολογίας (Ιατρική, Πολυτεχνείο, Νομική). Το ΟΡΟΣΗΜΟ με ένα, στρατηγικά,

σχεδιασμένο πρόγραμμα διδασκαλίας και καινοτόμες εκδόσεις, ανταποκρίνεται για

ακόμη μια φορά με συνέπεια στις ανάγκες που επιτάσσει το σημερινό τοπίο στην

Παιδεία. Για τον υποψήφιο που θα παρακολουθήσει τα ειδικά τμήματα των

Φροντιστηρίων ΟΡΟΣΗΜΟ δεν υπάρχουν «εύκολες» και «δύσκολες» σχολές αλλά

μόνο σχολές που τον ενδιαφέρουν να πετύχει.

ΤΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΜΑΣ ΠΡΟΣΩΠΟ

Στην ιδιαίτερα δύσκολη συγκυρία που βιώνουμε, τα όνειρα και τα σχέδια της νέας

γενιάς για ένα καλύτερο μέλλον πλήττονται από τη σκληρή πραγματικότητα της

οικονομικής κρίσης. Το ΟΡΟΣΗΜΟ, με αίσθημα ευθύνης απέναντι στην ελληνική

οικογένεια, έχει προβεί σε σημαντικές μειώσεις διδάκτρων από την αρχή της κρίσης.

Ειδικότερα:

επιδοτεί προγράμματα για ευάλωτες κατηγορίες οικογενειών (ανέργους,

χαμηλού οικογενειακού εισοδήματος, πολύτεκνους)

ανακοινώνει ανά τακτά διαστήματα την παροχή υποτροφιών σε αριστούχους

μαθητές,

επιχειρεί τη μεγαλύτερη δυνατή απορρόφηση του Φ.Π.Α. προκειμένου να

ελαχιστοποιηθεί η επιβάρυνση στις οικογένειες των μαθητών μας.

παρέχει δωρεάν εκπαιδευτικό υλικό σε μαθητές ,

διεξάγει χωρίς επιβάρυνση test επαγγελματικού προσανατολισμού σε όσους

μαθητές το επιθυμούν.

Επειδή ο στόχος μας παραμένει πάντα να δώσουμε στους μαθητές μας την πρόσβαση

στην εκπαίδευση που τους αξίζει… “Επειδή η γνώση είναι δύναμη και όχι προνόμιο

των λίγων αλλά δικαίωμα των πολλών…”

Page 235: Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου 2015 |

Για Περισσότερες πληροφορίες επισκεφθείτε την ιστοσελίδα μας:

http://www.frontistiria.edu.gr/

Κεντρικό Αθήνας

Αθήνα, Εμμ. Μπενάκη & Μαυροκορδάτου 6, τ.κ. 10678,

[email protected]

210 38.08.357, 210 38.24.929

Επίσης Επισκεφθείτε τη σελίδα μας στο Facebook

Και το κανάλι μας στο Youtube