ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΤΣΙΔΟΝΙΩΤΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ

ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

Ακαδημαϊκό Έτος 2012-2013

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΘΕΜΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2Δ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ

ΚΑΙ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ ΣΕ ΥΔΡΟΤΟΜΗ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ k-ε

ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΥΡΒΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ CFD ΚΩΔΙΚΑ FLUENT

ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΔΡΙΚΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΑ 5588

ΚΑΤΣΙΔΟΝΙΩΤΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ 5786

ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: ΜΑΡΓΑΡΗΣ ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ Αναπληρωτής Καθηγητής

ΚΥΠΑΡΙΣΣΗΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ Μεταπτυχιακός φοιτητής

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ____ _________ ______ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ……..…………………………………………………………………...5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΘΕΩΡΙΑ

1.1 ΥΔΡΟΤΟΜΕΣ…………………………………………………………………...8

1.1.1 Εισαγωγή…………………………………………………………………….….8

1.1.2 Ανάλυση υδροτομής………………….…………………………………………9

1.1.3 Κύρια γεωμετρικά χαρακτηριστικά υδροτομής……………..…………………10

1.1.4 Οικογένειες υδροτομών NACA………………………………………………..11

1.1.5 Σχεδιασμός υδροτομής…..…………………………………………….…….....13

1.1.6 Δυνάμεις και ροπές στην υδροτομή....................................................................17

1.1.7 Αριθμός Reynolds, στρωτή-τυρβώδης ροή……………….……………………20

1.1.8 Υδροδυναμικοί συντελεστές…………………………………………………...21

1.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΡΟΩΝ…………………………….……28

1.2.1 Εισαγωγή στην υπολογιστική ρευστομηχανική…………………………..……28

1.2.2 Βασικές εξισώσεις ρευστοδυναμικής……………………..…………………....30

1.2.2.1 Στρωτή ροή…………………………………………………………..……….36

1.2.2.2 Τυρβώδης ροή…………………………………………………..……………36

1.2.3 Μοντέλα τύρβης…………………………………………………..…..………..39

1.2.3.1 Μοντέλο τύρβης k-ε………………………………………….………………42

1.2.3.2 k-ε standard, k-ε RNG, k-ε realizable……………………………….……….43

1.2.4 Αριθμητικές μέθοδοι στους κώδικες υπολογιστικής ρευστοδυναμικής..…....…44

1.2.5 Αλγόριθμοι επίλυσης εξισώσεων Navier-Stokes…………………………..…..48

1.2.6 Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων……………………….……….….51

1.2.7 Κατασκευή του αριθμητικού πλέγματος……………………..…………..…….52

1.3 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ.…………..……………..…………58

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ____ _________ ______ 3

1.3.1 Η σπηλαίωση γενικά……………………………………………………….…58

1.3.2 Είδη σπηλαίωσης…………………..……………………………………….…59

1.3.3 Αδιάστατος αριθμός σπηλαίωσης…………………………….…..………...…63

1.3.4 Εξίσωση Rayleigh - Plesset …………………………………………….…….64

1.3.5 Μηχανισμός δημιουργίας των φυσαλίδων ατμού……………………...….….65

1.3.6 Ένα υπολογιστικό μοντέλο για την σπηλαίωση……………………..………..68

1.3.7 Σπηλαίωση πάνω σε υδροτομές……………………………………..………..70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2- ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΣΤΟ

ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GAMBIT

2.1 ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GΑΜΒΙΤ…………………………………….……………72

2.2 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ……………………...73

2.2.1 Σχεδιασμός υδροτομής NACA 66 (τροποποιημένη) στο Gambit……..……...73

2.2.2 Κατασκευή περιβάλλουσας γραμμής και επιφανειών……………………........76

2.2.3 Κατασκευή πλέγματος στο Gambit………………..………………..….……...78

2.3 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ……………………………....….85

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3- ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FLUENT

3.1 ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FLUENT………………………………………….……..…87

3.2 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ………………………………………………………..……..…...89

3.3 ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΤΟ FLUENT……….…….….91

3.3.1 Εισαγωγή πλέγματος στο FLUENT……………….…………………….....….91

3.3.2 Γενικές επιλογές επίλυσης…………………………………….…...………..…92

3.3.3 Επιλογή μοντέλου τύρβης…………………………………………....…..…….92

3.3.4 Επιλογή μοντέλου σπηλαίωσης……………………………….……….………94

3.3.5 Επιλογή των υλικών των ρευστών…………………………………….……….95

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ____ _________ ______ 4

3.3.6 Καθορισμός των παραμέτρων του μοντέλου σπηλαίωσης……………….....96

3.3.7 Καθορισμός συνθηκών λειτουργίας……………………………………........97

3.3.8 Καθορισμός οριακών συνθηκών…………………………………………….98

3.3.9 Επιλογή του αλγόριθμου και των σχημάτων επίλυσης

και καθορισμός των συντελεστών υποχαλάρωσης……………………………....100

3.3.10 Καθορισμός αρχικής συνθήκης……………………………………..……..102

3.3.11 Καθορισμός κριτηρίου σύγκλισης……………………………………..…..103

3.3.12 Εγκατάσταση των τιμών αναφοράς…………………………………..……104

3.3.13 Έναρξη των υπολογισμών……………………………………………..…..104

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 – ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΗΝ

ΥΔΡΟΤΟΜΗ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ………….…………….105

4.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΣΠΗΑΛΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ…………………………………….…….…….119

4.2.1 Προσομοίωση του φαινομένου της σπηλαίωση πάνω στην υδροτομή για αριθμό

σπηλαίωσης σ=1.41…………………………………………………..…….…......121


σπηλαίωσης σ=1.34…………................................................................................126


σπηλαίωσης σ=1.30…………................................................................................130

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 – ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ…………………………………..…..…….134

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………………….….139

ΠΕΡΙΛΗΨΗ________________ ______ 5

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η παρούσα διπλωματική εργασία, αρχικά ασχολείται με την υπολογιστική προσομοίωση

δισδιάστατης μονοφασικής ροής και στη συνέχεια με την προσομοίωση διφασικής ροής

γύρω από υδροτομή. Συγκεκριμένα, αφού ολοκληρωθεί το πρώτο μέρος της ανάλυσης

που αφορά τη μονοφασική ροή, ακολουθεί το δεύτερο το οποίο μελετά διφασική ροή

νερού – ατμού και επικεντρώνεται στην εμφάνιση του φαινομένου της σπηλαίωσης γύρω

από την υδροτομή. Οι ροϊκές συνθήκες που επικρατούν και στις δύο περιπτώσεις

αναλύσεων είναι συγκεκριμένες, ενώ υπάρχουν πειραματικά και θεωρητικά δεδομένα

που εκτιμούν τη συμπεριφορά των ροών και στις δύο περιπτώσεις ώστε στο τέλος να

επέλθει σύγκριση με τα υπολογιστικά αποτελέσματα.

Για την υπολογιστική επίλυση χρησιμοποιήθηκαν ο CFD κώδικας του λογισμικού Fluent

σε συνδυασμό με τα k-ε μοντέλα τύρβης, ώστε ουσιαστικά να επιλυθούν οι εξισώσεις

Navier – Stokes που περιγράφουν το ροϊκό πεδίο. Για την κατασκευή της υδροτομής και

του πλέγματος γύρω από αυτή χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Gambit.

Η ανάλυση έγινε πάνω σε μια μη συμμετρική τροποποιημένη υδροτομή NACA 66 με

χαρακτηριστικά: Μήκος χορδής c=0.15 m, μέγιστο πάχος ανά μονάδα χορδής 12%, θέση

μέγιστου πάχους 45%, μέγιστη απόσταση χορδής-μέσης γραμμής 2% και θέση μέγιστης

απόστασης χορδής-μέσης γραμμής 50%. Το αριθμητικό πλέγμα που εφαρμόστηκε, ήταν

δομημένο τύπου (C) και η αδιάστατη απόσταση y+ επιλέχτηκε έτσι ώστε να ισχύει y+<1

για όλη την επιφάνεια της υδροτομής, ώστε να λυθεί και το ομαλό οριακό υπόστρωμα.

Το τελευταίο προήλθε από μια επαναληπτική διαδικασία κατασκευής του πλέγματος και

υπολογιστικής επίλυσης, διότι η αδιάστατη ποσότητα y+ εξαρτάται και από τις ροϊκές

συνθήκες. Ο συνολικός αριθμός των υπολογιστικών κελίων του πλέγματος ανήλθε,

περίπου, στα 153900.

Η υπολογιστική ανάλυση της δισδιάστατης μονοφασικής ροής έγινε σε συνθήκες των

πειραμάτων, η μελέτη έγινε για 21 διαφορετικές γωνίες προσβολής του νερού στην

υδροτομή ενώ η ταχύτητα του μακρινού πεδίου ήταν U = 5.33 m/sec. Η ανάλυση έγινε

για καθένα από τα μοντέλα k-ε standard, k-ε RNG, k-ε realizable. Στο τέλος πάρθηκαν

αποτελέσματα που αφορούν κυρίως τους συντελεστές άνωσης και αντίστασης για κάθε

γωνία προσβολής. Έπειτα ακολούθησε η σύγκρισης τους με πειραματικά και θεωρητικά

αποτελέσματα και έτσι κρίθηκε ότι το μοντέλο k-ε realizable έχει την πιο μικρή

απόκλιση και συνεπώς περιγράφει πιο σωστά τη ροή. Αξίζει να σημειωθεί σε αυτό το

σημείο ότι, αυτό που παρατηρήθηκε και για τα τρία μοντέλα k-ε είναι ότι καθώς

αυξάνεται η γωνία προσβολής από τις αρνητικές στις θετικές τιμές οι συντελεστές

άνωσης και αντίστασης αυξάνονται επίσης.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ________________ ______ 6

Στην συνέχεια ακολουθεί το δεύτερο μέρος της εργασίας που αφορά την προσομοίωση

του φαινομένου της σπηλαίωσης πάνω σε υδροτομή σε συγκεκριμένες συνθήκες, για

διάφορους αριθμούς σπηλαίωσης, για τους οποίους υπάρχουν πειραματικά δεδομένα

από άλλη δημοσίευση και να γίνει έλεγχος, δηλαδή σύγκριση των υπολογιστικών

αποτελεσμάτων με αυτά του πειράματος. Με τον τρόπο αυτό εξακριβώνεται η ακρίβεια

των υπολογιστικών λύσεων και η ορθή επιλογή των υπολογιστικών μοντέλων.

Πριν περιγραφεί η διαδικασία που έγινε στην παρούσα διπλωματική κατά την εμφάνιση

της σπηλαίωσης, αρκεί να προηγηθεί με λίγα λόγια η περιγραφή του φαινομένου. Η

σπηλαίωση λοιπόν είναι η ατμοποίηση ενός υγρού, όταν η πίεση σε κάποιο σημείο του

ροϊκού πεδίου γίνει μικρότερη από τη πίεση κορεσμού, στη θερμοκρασία στην οποία

βρίσκεται. Όταν εμφανίζεται η σπηλαίωση πάνω στη υδροτομή αλλά και σε

ρευστοδυναμικές μηχανές, επιφέρει φθορές και μείωση της απόδοσης τους. Οι φθορές

συμβαίνουν λόγω σύγκρουσης και κατάρρευσης των φυσαλίδων ατμού πάνω στα

τοιχώματα της συσκευής, ενώ η απόδοση μειώνεται λόγω μεταβολής των

ρευστοδυναμικών συντελεστών. Επομένως, η μελέτη του φαινομένου της σπηλαίωσης

τίθεται αναγκαία, ενώ η υπολογιστική ανάλυση δίνει με καλή προσέγγιση αποτελέσματα,

έχοντας το πλεονέκτημα της οικονομικής και γρήγορης μελέτης.

Ενώ προηγουμένως η επίλυση αφορούσε μονοφασική δισδιάστατη ροή γύρω από

υδροτομή, τώρα η ροή είναι διφασική καθώς εμφανίζεται ο ατμός και δημιουργεί έτσι τη

σπηλαίωση. Η μελέτη επικεντρώνεται σε μία γωνία προσβολής και συγκεκριμένα α =

6.5° , ενώ αυτό που αλλάζει είναι ο αριθμός σπηλαίωσης. Οι αριθμοί σπηλαίωσης που

εξετάζονται είναι σ = 1.41, σ=1.34, σ=1.30 και για τα τρία μοντέλα τύρβης, k-ε standard,

k-ε RNG, k-ε realizable. Πάλι εδώ εξετάζονται οι συντελεστές άνωσης, αντίστασης

καθώς και το μήκος σπηλαίωσης για καθένα από τους αριθμούς σπηλαίωσης και για

καθένα από τα μοντέλα τύρβης. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με πειραματικά

αποτελέσματα τα οποία υπάρχουν στην διεθνή βιβλιογραφία.

Από την σύγκριση των αποτελεσμάτων ευρίσκεται ότι το k-ε realizable μοντέλο τύρβης

είναι πιο κοντά στα πειραματικά δεδομένα και συνεπώς θεωρείται ως καταλληλότερο για

την περιγραφή της ροής. Στη συνέχεια με βάση αυτό το μοντέλο το λογισμικό Fluent

δίνει σε γραφική μορφή τα αποτελέσματα της ανάλυσης. Για κάθε αριθμό σπηλαίωσης

δίνει το μήκος σπηλαίωσης πάνω στην υδροτομή το οποίο αυξάνεται καθώς μειώνεται ο

αριθμός για σταθερή γωνία προσβολής. Αυτό συνεπάγεται ότι και η κατανομή πίεσης

ακολουθεί ανάλογη πορεία, δηλαδή η πίεση που ισούται με την πίεση ατμών

ΠΕΡΙΛΗΨΗ________________ ______ 7

καταλαμβάνει όλο και μεγαλύτερο μέρος της υδροτομής καθώς μειώνεται ο αριθμός

σπηλαίωσης.

Η διπλωματική χωρίζεται σε πέντε κεφάλαια τα οποία περιγράφονται παρακάτω:

Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο αυτής της εργασίας. Περιέχει

θεωρητικά στοιχεία και εργαλεία για τις υδροτομές και την κατασκευή της γεωμετρίας

τους, για την υπολογιστική ανάλυση των ροϊκών πεδίων και για τη φύση του φαινομένου

της σπηλαίωσης.

Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφεται όλη η διαδικασία της κατασκευής της γεωμετρίας της

υδροτομής, του υπολογιστικού χωρίου και του αριθμητικού πλέγματος με το λογισμικό

GAMBIT.

Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης

όλων των ροών με το λογισμικό FLUENT και η ρύθμιση των παραμέτρων επίλυσης.

Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται όλα τα αποτελέσματα της υπολογιστικής ανάλυσης.

Χωρίζεται σε δύο τμήματα. Το πρώτο τμήμα αφορά υπολογιστικά αποτελέσματα στις

διάφορες γωνίες προσβολής, τα οποία συγκρίνονται και ελέγχονται με πειραματικά

δεδομένα και αφορά την μονοφασική ροή. Το δεύτερο τμήμα παρουσιάζει τα

υπολογιστικά αποτελέσματα που αφορούν το φαινόμενο της σπηλαίωσης για διάφορους

αριθμούς σπηλαίωσης και επίσης συγκρίνονται με πειραματικά.

Στο Κεφάλαιο 5 διατυπώνονται τα συμπεράσματα από τα αποτελέσματα που εξήχθησαν

από την υπολογιστική ανάλυση.

Τέλος, παρουσιάζεται η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση και

κατανόηση των θεωρητικών και υπολογιστικών εργαλείων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1-ΘΕΩΡΙΑ________ ______ 8

Κεφάλαιο 1

ΘΕΩΡΙΑ

1.1 ΥΔΡΟΤΟΜΕΣ

1.1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι υδροτομές είναι δισδιάστατες τομές οι οποίες λειτουργούν μέσα στο νερό. Έχουν

την ίδια εμφάνιση και σκοπό λειτουργίας με τις αεροτομές. Χρησιμοποιούνται κυρίως

στην ναυπηγική καθώς και σε αξονικούς υδροστρόβιλους και αντλίες. Συγκεκριμένα,

όσον αφορά τη ναυπηγική χρησιμοποιούνται σε πολλά είδη θαλάσσιων μεταφορών, από

στρατιωτική χρήση μέχρι θαλάσσια σπορ.

Οι υδροτομές τοποθετούνται κάτω από το σκελετό του πλοίου έτσι ώστε καθώς

προσπίπτει το νερό πάνω τους να δίνουν την κατάλληλη άνωση (Lift) και ταυτόχρονα

να μειώνουν την αντίσταση (Drag). Η υδροτομή κινείται ομαλά στο νερό δημιουργώντας

μία πτώση πίεσης μεταξύ της πάνω και κάτω επιφάνειάς της, με αποτέλεσμα να

εμφανίζεται μία ανωστική δύναμη, η οποία ανυψώνει το σκελετό του πλοίου. Η

ανωστική δύναμη εξισορροπείται με το βάρος του σκάφους, φτάνοντας σ’ ένα σημείο

όπου η υδροτομή δεν μπορεί να ανυψωθεί άλλο έξω από το νερό αλλά παραμένει σε

ισορροπία. Ένα ακόμα βασικό πλεονέκτημα που η υδροπτέρυγα προσδίδει στο σκάφος

είναι η αύξηση της ταχύτητας του και μείωση της ισχύος του κινητήρα λόγω μειωμένης

αντίστασης. Συνεπώς η υψηλή ταχύτητα, το ομαλό ταξίδι και η ευστάθεια καθιστούν τις

υδροτομές κυρίαρχη μέθοδο στα θαλάσσια ταξίδια.

Όπως έχει ήδη αναφερθεί οι υδροτομές μοιάζουν με τις αεροτομές έχοντας όμως

μικρότερο μέγεθος. Αυτό δικαιολογείται καθώς το νερό έχει μεγαλύτερη πυκνότητα από

τον αέρα και συνεπώς για να επιτευχθεί η ίδια άνωση οι υδροτομές χρειάζονται

μικρότερη επιφάνεια και μικρότερη ταχύτητα πρόσπτωσης του ρευστού. Ακόμα η

γεωμετρία της υδροτομής είναι όμοια με αυτή της αεροτομής καθώς ο τρόπος σχεδίασης

είναι κοινός.

Αντικείμενο μελέτης της υδροτομής είναι ουσιαστικά η επίλυση του ροϊκού πεδίου γύρω

από αυτή έτσι ώστε να υπολογιστούν οι κατάλληλοι συντελεστές άνωσης και αντίστασης

καθώς και άλλα ροϊκά φαινόμενα (π.χ. αποκόλληση οριακού στρώματος).Σήμερα

υπάρχει τάση βελτίωσης του σχεδιασμού και της αποδοτικότητας των υδροτομών,


προσπαθώντας να ελεγχθούν φαινόμενα που επηρεάζουν την επίδοσή τους, όπως είναι η

σπηλαίωση.

Εικόνα 1.1 Δύο σκάφη που χρησιμοποιούν υδροτομές για την πλεύσης τους.

Εικόνα 1.2 Δυνάμεις που ενεργούν στην υδροτομή.

1.1.2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΤΟΜΗΣ

Στην πραγματικότητα η ροή του νερού γύρω από την υδροτομή είναι τρισδιάστατη

καθώς το σώμα εκτείνεται και στις τρεις διαστάσεις. Όμως στη παρούσα διπλωματική

γίνεται ανάλυση του ροϊκού πεδίου σε δύο διαστάσεις υποθέτοντας ότι το σώμα δεν έχει

τρίτη διάσταση. Η παραδοχή αυτή αναφέρεται σε μία ιδανική ροή όπου το ροϊκό πεδίο

δεν επηρεάζεται από τη τρίτη διάσταση.

Η ανάλυση στις δυο διαστάσεις γίνεται συχνά καθώς πρακτικά δίνει ικανοποιητικά

αποτελέσματα για τις υπάρχουσες εφαρμογές των υδροτομών, όπως είναι η κατασκευή

υδροπτερύγων σκαφών, όπου η τρίτη διάσταση τους είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τις

διαστάσεις της δισδιάστατης τομής τους. Εξαίρεση αποτελούν τα άκρα των υδροτομών

όπου λόγω αλλαγής της γεωμετρίας υπάρχει έντονη τρισδιάστατη ροή επομένως

εφαρμόζεται τρισδιάστατη ανάλυση.


Η δισδιάστατη ανάλυση ορισμένες φορές προτιμάται διότι έχει αρκετά πλεονεκτήματα

σε σχέση με την τρισδιάστατη. Το πρώτο πλεονέκτημα αφορά το μαθηματικό κομμάτι

και τις ροϊκές εξισώσεις του πεδίου όπου στη δισδιάστατη ανάλυση είναι απλούστερη η

επίλυση τους. Δεύτερο πλεονέκτημα είναι ότι οι βασικοί μηχανισμοί δημιουργίας της

δυναμικής άνωσης (Lift) και της αντίστασης (Drag), καθώς επίσης και η μεθοδολογία

σχεδιασμού, για βέλτιστο σχήμα υδροτομής, εξηγούνται πολύ καλύτερα στην

δισδιάστατη θεώρηση.

Οι μέθοδοι ανάλυσης των υδροτομών είναι αρκετές και ικανές στο να προσδιοριστεί το

ροϊκό πεδίο και τα ροϊκά μεγέθη γύρω από αυτές. Υπάρχουν μέθοδοι που είναι πιο

ακριβείς αλλά πιο πολύπλοκες στην επίλυσης τους καθώς και μέθοδοι που είναι

απλούστερες αλλά με μικρότερη ακρίβεια.

Αυτές οι μέθοδοι μπορούν να χαρακτηρισθούν με τους παρακάτω τρόπους:

α. Αναλυτικές ή υπολογιστικές

β. Δυναμικής ροής (αστρόβιλης ροής), ιξώδους ροής ή συνδυασμένης δυναμικής ροής

και οριακού στρώματος

γ. Ακριβείς γραμμικές ή μερικώς γραμμικές

Στην παρούσα εργασία η μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι υπολογιστική, με ιξώδη ροή

και ακριβής.

1.1.3 ΚΥΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΔΡΟΤΟΜΗΣ

Σχήμα 1.1 Κύρια γεωμετρικά χαρακτηριστικά υδροτομής


Τα βασικά χαρακτηριστικά μίας υδροτομής, όπως φαίνονται και στο παραπάνω σχήμα

είναι τα εξής :

Μέση Γραμμή υδροτομής είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που

ισαπέχουν από την πάνω και την κάτω επιφάνεια της υδροτομής.

Χείλος προσβολής της υδροτομής είναι το εμπρός άκρο της Μέσης Γραμμής ή

με άλλα λόγια το σημείο με την μεγαλύτερη καμπυλότητα που είναι το πρώτο

σημείο με το οποίο έρχεται σε επαφή το ρευστό.

Χείλος εκφυγής της υδροτομής είναι το πίσω άκρο της Μέσης Γραμμής.

Χορδή της υδροτομής ονομάζεται η ευθεία γραμμή που συνδέει το χείλος

προσβολής με το χείλος εκφυγής. Χαρακτηρίζει το μέγεθος της υδροτομής και

εμπλέκεται σαν χαρακτηριστικό μήκος σε αδιάστατες ποσότητες (π.χ. αριθμός

Reynolds).

Μέγιστη καμπυλότητα υδροτομής είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ της χορδής

και της Μέσης Γραμμής.

Πάχος της υδροτομής είναι η απόσταση μεταξύ της πάνω και της κάτω

επιφάνειας υδροτομής μετρούμενη κάθετα στη χορδή.

Ακτίνα καμπυλότητας του χείλους προσβολής είναι η ακτίνα του υποτιθέμενου

κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στο χείλος προσβολής.

1.1.4 ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΥΔΡΟΤΟΜΩΝ NACA

Κατά τη διάρκεια του 1930 πολλές οικογένειες αεροτομών αναπτύχθηκαν από την

Εθνική Συμβουλευτική Επιτροπή Αεροναυτικής (NACA) στην Αμερική. Πολλά από

αυτά τα σχήματα των αεροτομών έχουν χρησιμοποιηθεί επιτυχώς για χρόνια σαν

πτερύγια στην αεροπορία καθώς και σαν έλικες σαν ρότορες ελικοπτέρων. Η NACA

προσπάθησε, μέσα από αναλυτικές μεθόδους δυναμικής ροής, να σχηματίσει εξισώσεις

μέσης γραμμής και πάχους όπου έκαναν τις υδροτομές να έχουν όσο γίνεται πιο

κατάλληλα χαρακτηριστικά για την λειτουργίας τους. Έτσι, με τις γεωμετρίες αυτές, οι

υδροτομές παρουσιάζουν μεγαλύτερη άνωση, μικρότερη δυναμική αντίσταση, καλύτερη

υδροδυναμική απόδοση και άλλα χαρακτηριστικά, όπως ομοιόμορφη κατανομή

συντελεστή πίεσης πάνω στις επιφάνειές της, ώστε να παρουσιάζουν την ίδια άνωση, με

όσο το δυνατόν υψηλότερες τοπικά πιέσεις και έτσι να αποφεύγεται η ανάπτυξη

σπηλαίωσης.


Από το πλήθος των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που επιδιώκει μια υδροτομή, η NACA

δημιούργησε πλήθος συναρτήσεων μέσης γραμμής και πάχους ενώ τις γεωμετρίες, που

συνθέτονταν, τις οργάνωσε σε ομάδες (σειρές) με συγκεκριμένη ονοματολογία,

συγκεκριμένα χαρακτηριστικά δημιουργίας και συγκεκριμένα πλεονεκτήματα, η κάθε

μια. Ακολουθεί σύντομη περιγραφή των κυριότερων ομάδων :

NACA τεσσάρων ψηφίων

Η σειρά ‘τεσσάρων ψηφίων’ καθορίζει τη Μέση Γραμμή και το μέγιστο πάχος. Το πρώτο

ψηφίο δηλώνει τη μέγιστη καμπυλότητα σε ποσοστό επί τοις εκατό του μήκους τη

χορδής. Το δεύτερο ψηφίο δείχνει τη θέση της μέγιστης καμπυλότητας κατά μήκος της

χορδής σε δέκατα της χορδής. Τα δύο τελευταία ψηφία δίνουν το μέγιστο πάχος και πάλι

σε ποσοστό επί τοις εκατό του μήκους της χορδής. Για παράδειγμα η NACA 2410 έχει

μέγιστο πάχος 10% και καμπυλότητα 2% του μήκους χορδής στη θέση 0.4c.

NACA πέντε ψηφίων

Η σειρά ‘πέντε ψηφίων’ αποτελεί βελτίωση της σειράς ‘τεσσάρων ψηφίων’. Το σημείο

μέγιστης καμπυλότητας μετατέθηκε προς τα εμπρός δίνοντας μεγαλύτερο συντελεστή

άνωσης με διατήρηση σχετικά χαμηλής ροπής. Το πρώτο ψηφίο πολλαπλασιαζόμενο με

3/2 δίνει τη θεωρητική τιμή για το συντελεστή άνωσης σε δέκατα. Το δεύτερο και το

τρίτο ψηφίο διαιρεμένα δια του δύο δίνουν τη θέση της μέγιστης καμπυλότητας σε

ποσοστό επί τοις εκατό της χορδής. Τα δύο τελευταία ψηφία δίνουν το μέγιστο πάχος της

τομής σε ποσοστό επί τοις εκατό του μήκους της χορδής. Για παράδειγμα η NACA

23012 έχει μέγιστο πάχος 12%, συντελεστή άνωσης 0.3 και η θέσης της μέγιστης

καμπυλότητας είναι στο 15% της χορδής.

NACA σειρά 6

Η σειρά 6 αποτελεί βελτίωση ως προς τη διανομή του πάχους και της καμπυλότητας έτσι

ώστε να έχουμε στρωτό οριακό στρώμα σε ευρεία περιοχή του χείλους προσβολής και να

διατηρηθεί χαμηλός ο συντελεστής αντίστασης. Το πρώτο ψηφίο είναι το δηλωτικό της

σειράς. Το δεύτερο ψηφίο δίνει τη θέση της ελάχιστης πίεσης σε δέκατα του μήκους της

χορδής. Το τρίτο ψηφίο δίνει τη τιμή για το συντελεστή άνωσης σε δέκατα. Τα δύο

τελευταία ψηφία δίνουν το μέγιστο πάχος της τομής σε ποσοστό επί τοις εκατό του

μήκους της χορδής. Τέλος, ο δείκτης στο δεύτερο ψηφίο δηλώνει το εύρος των τιμών του

συντελεστή άνωσης που αντιστοιχούν στις μικρότερες τιμές του συντελεστή αντίστασης

σε δέκατα. Για παράδειγμα στη NACA 632-210 το 6 είναι δηλωτικό σειράς, η θέση

ελάχιστης πίεσης είναι 0.3c, ο συντελεστής άνωσης είναι 0.2 και το μέγιστο πάχος 0.10c.


Τέλος υπάρχουν και άλλες σειρές όπως η σειρά 7, η σειρά 8 και η τροποποιημένες

προηγούμενες σειρές που όμως είναι για πιο εξειδικευμένες εφαρμογές.

1.1.5 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΔΡΟΤΟΜΗΣ

Η αρχή λειτουργίας της υδροτομής, όπως έχει ήδη αναφερθεί, στηρίζεται στην

κατάλληλη πρόσπτωση της ροής του ρευστού πάνω στην υδροτομή. Δημιουργείται

διαφορά πίεσης μεταξύ της πάνω και της κάτω επιφάνειας της υδροτομής με αποτέλεσμα

να εμφανίζεται η άνωση που θέλουμε. Προφανώς επιζητείται η μείωση της αντίστασης

όσο το δυνατό περισσότερο.

Η γεωμετρία της υδροτομής καθορίζεται από δύο συναρτήσεις:

Συνάρτηση Μέσης Γραμμής f(x), η οποία δίνει τις συντεταγμένες της Μέσης

Γραμμής σε συνάρτηση της τετμημένης του άξονα x που συμπίπτει με τη χορδή.

Συνάρτηση πάχους της υδροτομής t(x), η οποία δίνει το πάχος μετρούμενο

κάθετα κάθε φορά στη Μέση Γραμμή συναρτήσει της τετμημένης του άξονα x.

Λόγω του ότι το πάχος της υδροτομής δίνεται στην κάθετη διεύθυνση της μέσης

γραμμής, το περίγραμμα της δεν μπορεί να εκφραστεί από μια συνάρτηση, αλλά οι

συντεταγμένες του δίνονται από δύο παραμετρικές συναρτήσεις με παράμετρο την

τετμημένη x του άξονα που συμπίπτει με την χορδή και έχει θετική φορά προς το χείλος

εκφυγής.

Επομένως οι συντεταγμένες για την πάνω επιφάνεια είναι :

( )sin( )

2u

t xx x (1.1.1)

( )( ) cos( )

2u

t xy f x (1.1.2)

Οι συντεταγμένες για την κάτω επιφάνεια είναι :

( )sin( )

2l

t xx x (1.1.3)

( )( ) cos( )

2l

t xy f x (1.1.4)

Όπου, η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένης της μέσης γραμμής σε ένα σημείο x με τον

άξονα x, εκφράζεται από την σχέση:


arctan( )df

dx (1.1.5)

Οι παραπάνω παραμετρικές συναρτήσεις δίνουν το περίγραμμα της υδροτομής. Οι

συναρτήσεις Μέσης Γραμμής και πάχους αλλάζουν ανάλογα με τη γεωμετρία της και

έτσι οι παραμετρικές συναρτήσεις προσαρμόζονται για όλα τα είδη των υδροτομών.

Προφανώς από αυτές τις παραμετρικές συναρτήσεις, δεν μπορούμε να πάρουμε μια

αναλυτική σχέση που να δίνει την τεταγμένη y συναρτήσει της τετμημένης x , αλλά

υπολογίζουμε πεπερασμένο αριθμό συντεταγμένων, ανάλογα με την ακρίβεια του

σχήματος της υδροτομής, που θέλουμε.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο σχηματίζονται οι παραμετρικές

σχέσεις.

Σχήμα 1.2 Γραφικός προσδιορισμός των συντεταγμένων της πάνω επιφάνειας της

υδροτομής. Τα ίδια συμβαίνουν και στην κάτω επιφάνεια.

Για την γεωμετρία των διάφορων υδροτομών, μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις που

υπολογίζουν τις συντεταγμένες τους, αλλά συνήθως βρίσκονται σε διάφορα βιβλία

αεροτομών ή υδροτομών, σε μορφή πίνακα, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένο αριθμό

σημείων. Έτσι η παρουσίαση της γεωμετρίας μιας υδροτομής, γίνεται με τις

συντεταγμένες των σημείων της, ανά μονάδα μήκους χορδής της, δηλαδή οι


συντεταγμένες γράφονται στην μορφή ( , )x y

Ac c

όπου c: το μήκος της χορδής, με το

παρακάτω τρόπο (παρουσιάζεται η NACA 0016) .

NACA 0016 NACA 0016

Πάνω επιφάνεια (Upper surface) Κάτω επιφάνεια (Lower surface)

x/c y/c x/c y/c

0 0 0 0

0,015708419 0,021087908 0,015708419 -0,021087908

0,035111757 0,030472871 0,035111757 -0,030472871

0,06184666 0,038858547 0,06184666 -0,038858547

0,095491503 0,046048933 0,095491503 -0,046048933

0,135515686 0,051862527 0,135515686 -0,051862527

0,181288005 0,056160229 0,181288005 -0,056160229

0,232086603 0,058866418 0,232086603 -0,058866418

0,287110354 0,05998004 0,287110354 -0,05998004

0,345491503 0,059574717 0,345491503 -0,059574717

0,406309343 0,057789063 0,406309343 -0,057789063

0,46860474 0,054810187 0,46860474 -0,054810187

0,53139526 0,050854339 0,53139526 -0,050854339

0,593690657 0,046148695 0,593690657 -0,046148695

0,654508497 0,040917407 0,654508497 -0,040917407

0,712889646 0,035373527 0,712889646 -0,035373527

0,767913397 0,029716735 0,767913397 -0,029716735

0,818711995 0,024135255 0,818711995 -0,024135255

0,864484314 0,018809442 0,864484314 -0,018809442

0,904508497 0,013914322 0,904508497 -0,013914322

0,93815334 0,009619002 0,93815334 -0,009619002

0,964888243 0,006081988 0,964888243 -0,006081988

0,984291581 0,003442844 0,984291581 -0,003442844

0,996057351 0,001811846 0,996057351 -0,001811846

1 -0,00126 1 -0,00126

Πίνακας 1.1 Οι συντεταγμένες της πάνω και της κάτω επιφάνειας της γεωμετρίας μίας

υδροτομής όπως παρουσιάζονται στα διάφορα βιβλία αεροτομών ή υδροτομών.

Με τα σημεία αυτά μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως η γεωμετρία της υδροτομής. Η

κατανομή τους κατά μήκος της χορδής δεν είναι ομοιόμορφη, αλλά παρουσιάζονται

περισσότερα σημεία κοντά στο χείλος προσβολής και εκφυγής, όπου οι μεταβολές της

γεωμετρίας είναι μεγαλύτερες από ότι στο μέσο της υδροτομής.

Λόγω του ότι, τα σημεία αυτά που δίνονται από πίνακες, είναι πεπερασμένα σε αριθμό

και συνήθως λίγα, για να σχεδιαστεί όλη η γεωμετρία της υδροτομής, πρέπει να γίνει μια

προσέγγιση της γεωμετρίας για τις περιοχές μεταξύ των σημείων. Ένας τρόπος, που

όμως εισάγει αρκετά σφάλματα και δυσκολίες, είναι η γραμμική προσέγγιση, όπου το

ένα σημείο ενώνεται με το διπλανό του με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Με τον τρόπο αυτό,

όμως, δημιουργείται ένα πολύγωνο, που σε κάθε αρχικό σημείο υπάρχει μια γωνία και

αυτό προκαλεί αδυναμία, στη μοντελοποίηση και στη λύση της γεωμετρίας και του

ροικού πεδίου, αντίστοιχα. Έτσι, μια μέθοδος που μπορεί να σχεδιάσει αποδοτικά την


συνολική γεωμετρία της υδροτομής από τα σημεία που διαθέτουμε, είναι η

χρησιμοποίηση των συναρτήσεων SPLINES και ειδικότερα των καμπύλων NURBS

(Non-Uniform Rational Basis Splines). Η καμπύλη NURBS είναι μια ειδική περίπτωση

της χρήσης των βασικών πολυωνυμικών συναρτήσεων B-SPLINES, οι οποίες είναι

συνήθως κυβικές (τρίτου βαθμού). Έχοντας καθορίσει το βαθμό των συναρτήσεων Β-

SPLINES που θα χρησιμοποιήσουμε, τα σημεία της γεωμετρίας που έχουμε (σημεία

ελέγχου), τα βάρη έλξης (weights) του κάθε σημείου και τα σημεία της παραμετρικής

μεταβλητής (knots), δηλαδή τα σημεία της ανεξάρτητης μεταβλητής της συνάρτησης που

δίνει την καμπύλη NURBS, μπορούμε να εκφράσουμε την συνάρτηση της καμπύλης της

γεωμετρίας μας ως:

,

0

,

0

( )

( )

( )

n

i p i i

i

n

i p i

i

N t w P

C t

N t w

(1.1.6)

όπου p η τάξη των συναρτήσεων B-SPLINES, , ( )i pN t οι συναρτήσεις B-SPLINES,

iP τα σημεία της γεωμετρίας, iw τα βάρη των σημείων και t η παραμετρική μεταβλητή.

Οι συναρτήσεις Β-SPLINES δίνονται από τις σχέσεις:

1

,1

1 αν ( )

0 άλλη περίπτωση

i i

i

t t tN t

(1.1.7)

1, , 1 1, 1

1 1

( ) ( ) ( )i i ki k i k i k

i k i i k i

t t t tN t N t N t

t t t t

όπου 1k (1.1.8)

Για την Σχέση (1.1.8) ισχύει:

, ( ) 0 αν i k i i kN t t t t (1.1.9)

, 0( ) 0 αν και i k i i k n kN t t t t t t t (1.1.10)

Επομένως στην ουσία, η γεωμετρία της υδροτομής εκφράζεται ως η καμπύλη μιας

συνάρτησης, η οποία είναι το πηλίκο δύο γραμμικών συνδυασμών κάποιων βασικών

συναρτήσεων Β-SPLINES, όπου κάθε μία δεν είναι μηδενική σε συγκεκριμένη περιοχή

του πεδίου ορισμού της. Οπότε, κάθε κομμάτι της γεωμετρίας της υδροτομής εκφράζεται

από ένα μη μηδενικό μέρος, για την περιοχή αυτή της συνάρτησης ( )C t .


Με την παραπάνω διαδικασία, δημιουργούμε την γεωμετρία της υδροτομής με μια πολύ

ομαλή καμπύλη (smooth), αποφεύγοντας τις μυτερές μύτες που προκύπτουν από την

γραμμική παρεμβολή, μόνο από τα πεπερασμένα σημεία που δίνονται γι’ αυτήν από

πίνακες. Η καμπύλη αυτή (NURBS), δεν περνάει αναγκαστικά από όλα τα σημεία της

υδροτομής, αλλά επηρεάζεται από αυτά (δηλαδή έλκεται από αυτά) ανάλογα με το

βάρος(που έχουμε υποθέσει) του κάθε σημείου. Έτσι, με μικρότερα βάρη (έλξη) σε

ενδιάμεσα σημεία της γεωμετρίας, παίρνουμε ομαλότερη καμπύλη. Για να κρατήσουμε

όμως και το σχήμα της υδροτομής μας αναλλοίωτο, χρησιμοποιούμε κατάλληλα βάρη

στα σημεία. Τέλος η εφαρμογή των καμπύλων NURBS είναι μια προσεγγιστική μέθοδος

και όχι μέθοδος παρεμβολής, αφού δεν αναγκάζονται οι καμπύλες να περάσουν από τα

προϋπάρχοντα σημεία. Βέβαια υπάρχουν και μέθοδοι παρεμβολής με συναρτήσεις

SPLINES.

Οπότε με τη προσέγγιση της γεωμετρίας με καμπύλες NURBS πετυχαίνουμε το σχήμα

της υδροτομής που είναι κατάλληλο για τη μοντελοποίηση του στον υπολογιστή και την

περαιτέρω αριθμητική ανάλυση του ροϊκού πεδίου, που υφίσταται γύρω του.

Ένα παράδειγμα της εφαρμογής των καμπύλων NURBS σε γεωμετρία υδροτομής,

παρουσιάζεται.

Σχήμα 1.3 Από τα συγκεκριμένα κόκκινα σημεία ελέγχου που δημιουργούν το

πολύγωνο ελέγχου (διακεκομμένη κόκκινη γραμμή) δημιουργείται η ομαλή καμπύλη

NURBS (μπλε γραμμή).

1.1.6 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΗΝ ΥΔΡΟΤΟΜΗ

Οι δυνάμεις και οι ροπές που αναπτύσσονται στην υδροτομή είναι το αποτέλεσμα δύο

βασικών πηγών, της πίεσης του νερού και της τριβής μεταξύ της επιφάνειας της

υδροτομής και του νερού. Όπως φαίνεται στο σχήμα 1.4, η πίεση ενεργεί κάθετα στην

επιφάνεια ενώ η διατμητική τάση που αναπτύσσεται λόγω της τριβής ενεργεί

εφαπτομενικά σε αυτή. Η πίεση και η διατμητική τάση κατά μήκος της επιφάνειας


μπορούν να αναλυθούν σε μια ισοδύναμη δύναμη R και μία ροπή M, όπως φαίνεται στο

σχήμα 1.5.

Σχήμα 1.4 Πιέσεις και διατμητικές τάσεις στην επιφάνεια της υδροτομής

Σχήμα 1.5 (α) Ισοδύναμο ζεύγος δύναμης R και ροπής Μ (β) Ανάλυση της δύναμης R σε

συνιστώσες L και D, κάθετα και παράλληλα στην ελεύθερη ροή, αντίστοιχα.


Η δύναμη R συνήθως αναλύεται σε συνιστώσες κάθετα και παράλληλα στη διεύθυνση

της ελεύθερης ροής V∞ . Ορίζουμε λοιπόν τα μεγέθη :

Άνωση L της υδροτομής (Lift) ορίζεται η κάθετη στη διεύθυνση τη ελεύθερης

ροής συνιστώσα της δύναμης R.

Αντίσταση D της υδροτομής (Drag) ορίζεται η παράλληλη στη διεύθυνση της

ελεύθερης ροής συνιστώσα της δύναμης R.

Η άνωση είναι εκείνη η δύναμη, που κάνει λειτουργικές τις υδροτομές και έτσι τις

χρησιμοποιούμε για να ανυψώσουμε τις διάφορες κατασκευές μας (π.χ τα υδροπτέρυγα

σκάφη) ή να παράγουμε έργο (π.χ σε έναν υδροστρόβιλο). Η άνωση αυτή οφείλεται στις

διαφορές της πίεσης, που υπάρχουν στην κάτω και πάνω επιφάνεια της υδροτομής.

Η άνωση της υδροτομής εξαρτάται, όπως θα δούμε και παρακάτω, από την γωνία

προσβολής, από την ταχύτητα της ροής αλλά και από την πυκνότητα του ρευστού.

Η αντίσταση είναι εκείνη η δύναμη, όπου μας δημιουργεί πρόβλημα στις διάφορες

εφαρμογές και προσπαθούμε να την μειώσουμε, όσο γίνεται. Όπως είδαμε, η αντίσταση

οφείλεται σε δύο φαινόμενα της ροής. Το ένα είναι η τριβή (ιξώδης συμπεριφορά) του

νερού πάνω στην υδροτομή, που αυξάνεται καθώς μεγαλώνει η συνολική επιφάνεια της

και το δεύτερο είναι η διαφορά πιέσεων εμπρός και πίσω της υδροτομής, όπου

αυξάνεται, κυρίως, όσο μεγαλώνει η κάθετη επιφάνεια της που προσπίπτει η ροή.

Από αυτές τις δύο δυνάμεις, μπορούμε να ορίσουμε και μια απόδοση της υδροτομής, που

ονομάζεται υδροδυναμική απόδοση, ή λόγος και ισούται με την παρακάτω έκφραση:

L

D (1.1.11)

Ή ισοδύναμα

L

D

C

C (1.1.12)

Η προσπάθεια για την βελτιστοποίηση κάθε υδροτομής, αποσκοπεί στο να αυξήσει

αυτόν το λόγο. Δηλαδή να δημιουργήσει περισσότερη άνωση, με όσο γίνεται, μικρότερη

αντίσταση.

Η ροπή M συνήθως θεωρείται, είτε ως προς το χείλος προσβολής, είτε ως προς το

τέταρτο της χορδής ή ως προς το υδροδυναμικό κέντρο. Το υδροδυναμικό κέντρο έχει


την ιδιότητα να μην μεταβάλλει τη ροπή, καθώς αλλάζει η γωνία. Αυτό το σημείο έχει

βρεθεί, πειραματικά και θεωρητικά, ότι βρίσκεται στο 25% της χορδής από το χείλος

προσβολής, για τις περισσότερες χαμηλών ταχυτήτων περιπτώσεις.

1.1.7 ΑΡΙΘΜΟΣ REYNOLDS, ΣΤΡΩΤΗ – ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ

Στη ρευστομηχανική ο αριθμός Reynolds είναι ένας από τους πιο βασικούς αδιάστατους

αριθμούς. Συγκρίνει τις δυνάμεις αδράνειας με τις δυνάμεις συνεκτικότητας του

ρευστού.

= =

Ο Reynolds δίνεται από τη σχέση:

= = Re (1.1.13)

όπου V είναι η ταχύτητα της ελεύθερης ροής, L είναι το χαρακτηριστικό μήκος του

αριθμού Reynolds, όπου στην περίπτωση της υδροτομής είναι το μήκος της χορδής,

είναι η πυκνότητα του νερού στην συγκεκριμένη περίπτωση ενώ ν, το κινηματικό

και δυναμικό ιξώδες του νερού, αντίστοιχα.

Όταν ο αριθμός Reynolds έχει μικρή τιμή υποδηλώνει ότι οι δυνάμεις συνεκτικότητας

είναι σημαντικές. Σε αυτή την περίπτωση τα ρευστά σωματίδια κινούνται σε παράλληλες

στρώσεις και η ροή δεν παρουσιάζει μακροσκοπική μίξη μεταξύ στρώσεων. Τυχαίες

αποκλίσεις της τροχιάς των σωματιδίων αποσβένονται από τις ισχυρές δυνάμεις

συνεκτικότητας και έτσι αυτά επανέρχονται στην στρωσιγενή πορεία τους. Αυτός ο

τύπος λέγεται στρωτή ροή.

Από την άλλη μεριά, μεγάλες τιμές του αριθμού Reynolds υποδηλώνουν ότι οι δυνάμεις

συνεκτικότητας είναι ασήμαντες σε σχέση με τις δυνάμεις αδράνειας. Σε αυτή την

περίπτωση τα ρευστά σωματίδια ακολουθούν ακανόνιστες τροχιές χωρίς οι δυνάμεις

συνεκτικότητας να έχουν το απαιτούμενο μέγεθος για να επιβάλλουν στρωτή κίνηση.

Αυτός ο τύπος ροής καλείται τυρβώδης ροή. Στην τυρβώδη ροή είναι εμφανής η


μακροσκοπική μίξη μεταξύ γειτονικών στρώσεων, ενώ η ταχύτητα σε οποιδήποτε σημείο

παρουσιάζει συνεχείς τυχαίες διακυμάνσεις.

Έτσι, με τον αριθμό Reynolds μπορούμε να ομαδοποιήσουμε όμοιες ροϊκές καταστάσεις

ανεξάρτητα, δηλαδή, από το μέγεθος της υδροτομής ή την ταχύτητα προσβολής, σε μια

μόνο τιμή του. Με τον τρόπο αυτό τα πολλά διαφορετικά προβλήματα ροής, που

υπάρχουν με όμοιες γεωμετρίες, ελαχιστοποιούνται και είναι πιο εύκολο να μελετηθούν.

1.1.8 ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Οι υδροδυναμικοί συντελεστές είναι αριθμοί οι οποίοι εκφράζουν σε αδιάστατη μορφή

την εξάρτηση των δυνάμεων της υδροτομής και ροπών από τις συνθήκες του ροικού

πεδίου. Υπάρχουν τρεις βασικοί συντελεστές : ο συντελεστής πίεσης Cp , ο συντελεστής

άνωσης CL, ο συντελεστής αντίστασης CD και ο συντελεστής ροπής Cm.

Συντελεστής πίεσης Cp

Η πίεση του πεδίου της ροής αδιαστατοποιείται συνήθως με τη δυναμική πίεση ρ u2 .

Είναι σύνηθες η κατανομή της πίεσης στην επιφάνεια της υδροτομής να εκφράζεται με

το συντελεστή πίεσης (Cp) ο οποίος ορίζεται ως εξής :

21

2

P

p pC

u

(1.1.14)

Όπου p είναι η πίεση στο σημείο που υπολογίζεται ο συντελεστής πίεσης, p είναι η

πίεση του μακρινού πεδίου και u η ταχύτητα του μακρινού πεδίου.

Ο συντελεστής πίεσης μετατρέπει την κατανομή πίεσης πάνω σε μια γεωμετρία, σε μια

κατανομή αδιάστατων τιμών, όπου ισχύει για κάθε ταχύτητα u , στην ίδια γεωμετρία. Με

τον τρόπο αυτό, με μια μόνο κατανομή του αδιάστατου συντελεστή πίεσης βρίσκουμε

όλες τις κατανομές πίεσης, για κάθε ταχύτητα του ρευστού u . Επίσης, ο συντελεστής

πίεσης μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια για ασυμπίεστα ρευστά, όπως είναι στην

περίπτωση των υδροτομών, το νερό.


Συντελεστής άνωσης CL

Ο συντελεστής άνωσης της υδροτομής Cl ορίζεται ως :

21

2

L

LC

u A

(1.1.15)

όπου L η άνωση (lift) της υδροτομής, u η ταχύτητα μακρινού πεδίου και A μια

επιφάνεια αναφοράς, χαρακτηριστική της υδροτομής, ώστε να μετατρέπονται οι μονάδες

της δυναμικής πίεσης σε μονάδες δύναμης και έτσι να έχουμε αδιάστατο συντελεστή.

Συντελεστής αντίστασης CD

Ο συντελεστής αντίστασης CD ορίζεται ως :

21

2

D

DC

u A

(1.1.16)

Όπου D η αντίσταση της υδροτομής, u η ταχύτητα της μακρινής ροής και A η

επιφάνεια αναφοράς.

Η επιφάνεια αναφοράς A ,είναι η ίδια και για τους δύο συντελεστές άνωσης και

αντίστασης και ορίζεται ως το εμβαδό του παραλληλογράμμου, που έχει πλευρές την

χορδή ( c ) και το εκπέτασμα (b ) της υδροτομής.

Γνωρίζοντας τους συντελεστές άνωσης και αντίστασης είναι δυνατή η εύρεση της

άνωσης και της αντίστασης, δηλαδή των δύο δυνάμεων που δρουν στην υδροτομή, για

διάφορες γωνίες προσβολής και αριθμούς Reynolds. Σε αντίθετη περίπτωση, χωρίς τη

χρήση των συντελεστών, ο υπολογισμός των δυνάμεων θα ήταν δύσκολος αφού θα ήταν

απαραίτητη η ολοκλήρωση της επιφάνειας της υδροτομής καθώς και η χρήση άλλων

πολύπλοκων μεθόδων.

Οι δυνάμεις άνωσης και αντίστασης υπολογίζονται αντίστοιχα, από τις παρακάτω

σχέσεις:

21

2LL C u A (1.1.17)

21

2DD C u A (1.1.18)


Οι συντελεστές άνωσης και αντίστασης εξαρτώνται από την κατανομή πίεσης γύρω από

την υδροτομή. Όμως η κατανομή πίεσης μεταβάλλεται ανάλογα:

I. με τη γωνία προσβολής του νερού (α)

II. τον αριθμό Reynolds

III. την τραχύτητα της επιφάνειας της υδροτομής (ks)

Από τους τρεις παραπάνω παράγοντες αυτός που επηρεάζει περισσότερο τους

συντελεστές είναι η γωνία προσβολής του νερού (α), επομένως μπορούμε να τους

θεωρήσουμε σταθερούς καθώς μεταβάλλεται η ταχύτητα της ροής δηλαδή ο αριθμός

Reynolds.

Ο παράγοντας τραχύτητα της επιφάνειας επηρεάζει σε πολύ μικρό βαθμό τους

συντελεστές άνωσης και αντίστασης. Αυτό που προκαλεί η τραχύτητα είναι η

δημιουργία μεγαλύτερου ποσοστού τύρβης στο οριακό στρώμα, που επηρεάζει έστω και

ελάχιστα την κατανομή πίεσης στις επιφάνειες της υδροτομής. Επιπλέον λόγω της

τραχύτητας εμφανίζεται μεγαλύτερη τριβή με το ρευστό το οποίο έχει σαν αποτέλεσμα

να επηρεάζεται η κατανομή πίεσης λόγω διαφορετικού οριακού στρώματος αλλά η

δύναμη αντίστασης που οφείλεται στην τριβή. Όμως, λόγω της ελάχιστης επίδρασης και

του γεγονότος ότι οι υδροπτέρυγες κατασκευάζονται από υλικά, που έχουν σχεδόν την

ίδια τραχύτητα, το μέγεθος της τραχύτητας δεν λαμβάνεται υπόψη, ακόμα και για

ακριβείς υπολογισμούς.

Για κάθε υδροτομή έχουν υπολογιστεί πειραματικά οι συντελεστές άνωσης και

αντίστασης και παρουσιάζονται σε διαγράμματα σε διάφορα βιβλία υδροτομών.

Παρακάτω παρουσιάζεται ένα διάγραμμα συσχέτισης συντελεστή άνωσης με γωνία

προσβολής, ένα διάγραμμα συσχέτισης συντελεστή αντίστασης με γωνία προσβολής, ένα

διάγραμμα συσχέτισης και των δύο συντελεστών με την γωνία προσβολής και τέλος ένα

διάγραμμα συσχέτισης του συντελεστή άνωσης με το συντελεστή αντίστασης (πολικό

διάγραμμα).


Σχήμα 1.6 Στο διάγραμμα αυτό παρουσιάζεται η συσχέτιση του συντελεστή άνωσης

LC (κάθετος άξονας) με την γωνία προσβολής ( a )της υδροτομής, για διάφορους αριθμούς

Reynolds. Οι οριζόντιες γραμμές δίνουν τον αδιάστατο συντελεστή ροπής, που θα

εξηγήσουμε παρακάτω.


Σχήμα 1.7 Στο διάγραμμα αυτό δίνεται η συσχέτιση του συντελεστή αντίστασης με την

γωνία προσβολής, για διάφορους αριθμούς Reynolds. Το διάγραμμα αυτό είναι συνέχεια

του προηγουμένου.

Τα δύο αυτά διαγράμματα δίνονται στο βιβλίο Theory of wing sections των Abbot και

Doenhoff. Από αυτά βλέπουμε ότι, η επίδραση του αριθμού Reynolds στους συντελεστές

είναι πολύ μικρότερη από αυτήν της γωνίας προσβολής, αφού οι καμπύλες με

διαφορετικούς Reynolds σχεδόν ταυτίζονται.


Από το σχήμα 1.6 παρατηρούμε ότι, καθώς η γωνία προσβολής αυξάνεται, ο

συντελεστής άνωσης αυξάνεται γραμμικά και σε κάποιο σημείο εμφανίζει μέγιστο,

ελαττώνοντας στη συνέχεια την τιμή του. Αυτό συμβαίνει, συνήθως, σε μια γωνία 15-20

μοιρών και οφείλεται στην αποκόλληση του οριακού στρώματος, που εμφανίζεται σε

αυτήν τη γωνία και έτσι καταστρέφεται η χαμηλή κατανομή πίεσης στην πάνω επιφάνεια

της υδροτομής, ρίχνοντας την άνωση. Επίσης, από το σχήμα 1.7 βλέπουμε ότι η καμπύλη

του συντελεστή αντίστασης έχει μια παραβολική μορφή, συμμετρική εκατέρωθεν της

ευθείας 0a , που υποδηλώνει ότι η αντίσταση, σε μηδενική γωνία προσβολής, είναι

ελάχιστη (τουλάχιστον στις συμμετρικές υδροτομές), αφού σε άλλη γωνία προσβολής,

θετική ή αρνητική, η κάθετη επιφάνεια της υδροτομής, στη ροή είναι μεγαλύτερη από

αυτήν της μηδενικής γωνίας.

Από τα σχήματα 1.6 και 1.7 μπορούμε να προσεγγίσουμε τις καμπύλες των δύο

συντελεστών με τις σχέσεις:

Για τον συντελεστή άνωσης:

0 0 0( ) ( ) ( )L LL L

dC CC a a a a K a a

da a

(1.1.19)

Και για τον συντελεστή αντίστασης:

0

2

0( )D D DC C K a a (1.1.20)

για γωνίες από 0a μέχρι a , όπου οι συντελεστές LK και DK μπορούν να θεωρηθούν

σταθεροί.

Από το συνδυασμό αυτών των σχέσεων, προκύπτει η παρακάτω σχέση για πτέρυγες

χωρίς συστροφή:

0 0

2 2

2

DD D L D L

L

KC C C C K C

K (1.1.21)

όπου 2

D

L

KK

K


Πολλές φορές δίνονται και διαγράμματα, όπου παρουσιάζονται και οι δυο καμπύλες

άνωσης και αντίστασης όπως στο Σχήμα 1.8. Τέλος χρησιμοποιείται και ένα διάγραμμα,

που ονομάζεται πολικό και είναι βολικό στο να υπολογίζεται ο λόγος /L DC C . Αυτό

φαίνεται στο Σχήμα 1.9:

Σχήμα 1.8 Οι συντελεστές LC , DC συναρτήσει της γωνία προσβολής a

Σχήμα 1.9 Πολικό διάγραμμα ( )L L DC C C των τυποποιημένων υδροτομών NACA

23015 και NACA 662-215


Συντελεστής ροπής Cm

Ο συντελεστής ροπής δίνεται από την παρακάτω σχέση:

21

2

m

MC

u A c

(1.1.22)

Στις τρεις διαστάσεις η χαρακτηριστική επιφάνεια που χρησιμοποιείται για την

αδιαστατοποίηση της δύναμης είναι η επιφάνεια κάτοψης της πτέρυγας (Α), ενώ το

χαρακτηριστικό μήκος για την αδιαστατοποίηση του μοχλοβραχίονα της ροπής είναι το

μήκος της χορδής (c). Ακόμα M είναι η ροπή που εμφανίζεται γύρω από άξονα που

περνά από υδροδυναμικό κέντρο της υδροτομής και u είναι η ταχύτητα της μακρινής

ροής.

Χαρακτηριστικό του συντελεστή, σύμφωνα με τα παραπάνω διαγράμματα είναι ότι

παραμένει σταθερός καθώς μεταβάλλεται η γωνία προσβολής της υδροτομής.

1.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΡΟΩΝ

1.2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Η υπολογιστική ρευστομηχανική, γνωστή με τον όρο CFD (Computational Fluid

Dynamics), είναι ένα εργαλείο της μηχανικής των ρευστών που χρησιμοποιεί

αριθμητικές μεθόδους και αλγόριθμους για την ανάλυση και την λύση προβλημάτων που

περιέχουν ροές ρευστού. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές χρησιμοποιούνται για την

εκτέλεση των απαιτούμενων υπολογισμών, ώστε να γίνει η σωστή προσομοίωση της

αλληλεπίδρασης των υγρών και των αερίων με τις επιφάνειες που ορίζονται από οριακές

συνθήκες. Υπάρχει συνεχής πρόοδος στην έρευνα όσον αφορά το λογισμικό το οποίο

βελτιώνει την ακρίβεια και την ταχύτητα των πολύπλοκων προσομοιώσεων, όπως για

παράδειγμα είναι η τυρβώδη ροή. Λόγω της χρήσης αριθμητικών μεθόδων για την

επίλυση των ροών, η λύση που προκύπτει δεν είναι αναλυτική με μεγάλη ακρίβεια αλλά

διακριτές τιμές που έχουν απόκλιση από τις πραγματικές. Δηλαδή η λύση είναι ένα

σύνολο αριθμών και όχι μία μαθηματική συνάρτηση.

Οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη ροή είναι γνωστές ως οι Navier- Stokes. Οι

εξισώσεις αυτές είναι μη γραμμικές, πολύπλοκες και πολυάριθμες συνεπώς είναι

δύσκολο να επιλυθούν ακόμα και για απλά ροϊκά πεδία. Για την απλοποίηση τους

αναπτύχθηκαν οι εξισώσεις Euler μη συνεκτικού ρευστού, οι εξισώσεις οριακού


στρώματος και δυναμικού πεδίου, αλλά και πάλι η αναλυτική τους λύση ήταν αδύνατη

για τα περισσότερα πραγματικά προβλήματα. Ο μόνος τρόπος επίλυσης τους είναι η

χρήση αριθμητικών μεθόδων, οι οποίες απαιτούν ηλεκτρονικό υπολογιστή για να γίνει ο

μεγάλος όγκος πράξεων σε σχετικά μικρό χρονικό διάστημα και χωρίς την πιθανότητα

ανθρώπινου λάθους. Με άλλα λόγια το μαθηματικό υπόβαθρο για την λύση των Navier-

Stokes υπήρχε από παλιά, όμως με την ανάπτυξη των γρήγορων και με μεγάλη μνήμη

ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η επίλυσή τους.

Παλιότερα ο μόνος τρόπος για να μελετηθούν οι ροές ήταν το πείραμα με σήραγγες.

Συγκεκριμένα τοποθετούνταν οι γεωμετρίες σε μικρότερη κλίμακα μέσα σε σήραγγες

όπου έρεε το ρευστό και έτσι γινόταν οι μετρήσεις των μεγεθών της ροής. Όμως ακόμα

και σήμερα που η ανάπτυξη των υπολογιστών είναι ραγδαία το πείραμα αποτελεί

σημαντικό κομμάτι της έρευνας διότι είναι το μόνο που δίνει αποτελέσματα με μεγάλη

ακρίβεια. Φυσικά πρέπει να αναφερθεί ότι το κόστος για την πειραματική μελέτη είναι

μεγάλο καθώς επίσης και το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να δώσει

αποτελέσματα. Ακόμα, αδυνατεί πολλές φορές να προσομοιώσει τα φυσικά μεγέθη των

γεωμετριών και τις συνθήκες και όσο για τα αποτελέσματα των μετρήσεων αφορούν

μόνο συγκεκριμένα ολοκληρωτικά μεγέθη, όπως συνολικές δυνάμεις. Σ΄ αυτό το σημείο

φαίνεται η χρησιμότητα της υπολογιστικής ρευστομηχανικής η οποία λύνει σχετικά

γρήγορα και οικονομικά τις ροές σε οποιεσδήποτε συνθήκες καθώς επίσης δίνει όλα τα

ροϊκά μεγέθη σε κάθε σημείο της ροής. Από την άλλη, δεν υπάρχει μεγάλη ακρίβεια στα

αποτελέσματα και βεβαιότητα για την ορθότητα της λύσης, αφού ροϊκά φαινόμενα, όπως

η τύρβη μοντελοποιούνται εμπειρικά λόγω της αδυναμίας επίλυσης των Navier-Stokes,

σε μεγάλη πυκνότητα σημείων υπολογισμού, ώστε να γίνεται μέτρηση της πολύ μικρής

χωρικής κλίμακας λειτουργία της, που επηρεάζει μακροσκοπικά την ροή. Συνεπώς ο

συνδυασμός υπολογιστικής ρευστομηχανικής με το πείραμα δίνει τα καλύτερα

αποτελέσματα καθώς συνδυάζονται τα πλεονεκτήματα και των δύο.

Μια συνήθης διαδικασία μελέτης ενός ροϊκού προβλήματος, όπως κάνουμε και στην

εργασία αυτή με τις υδροτομές, είναι η μελέτη της ίδιας γεωμετρίας με τις ίδιες

συνθήκες, υπολογιστικά και πειραματικά. Αφού, από την σύγκριση των δύο

αποτελεσμάτων, μπορεί να ελεγχθεί η ακρίβεια της υπολογιστικής λύσης και να

καθοριστούν οι παράμετροι και τα μοντέλα τύρβης, που δίνουν την μεγαλύτερη ακρίβεια

, μέσα στις ανοχές που θέτουμε. Τότε μπορούμε να προχωρήσουμε στην υπολογιστική

μελέτη κοντινών συνθηκών και γεωμετριών, υποθέτοντας ότι στις καινούργιες ροϊκές

καταστάσεις οι παράμετροι και τα μοντέλα τύρβης, που καθορίστηκαν από το πείραμα

,δεν μεταβάλλονται ή μεταβάλλονται ελάχιστα και έτσι να μην χρειάζεται να γίνει, για


κάθε μια διαφορετική κατάσταση, πείραμα. Οπότε, με ένα πείραμα μελετάμε πολλές

διαφορετικές καταστάσεις. Από αυτή τη διαδικασία παίρνουμε όφελος από την

υπολογιστική ρευστομηχανική και ελαχιστοποιούμε τα πειράματα.

Η διαδικασία της εκτέλεσης όλων αυτών των πράξεων και αλγορίθμων της

υπολογιστικής ρευστομηχανικής, γίνεται στον υπολογιστή, φτιάχνοντας κώδικα επίλυσης

σε μια γλώσσα προγραμματισμού. Βέβαια υπάρχουν εμπορικά, κυρίως προγράμματα,

όπως το FLUENT, για την δουλειά αυτή όπου χρησιμοποιείται και στην εργασία αυτή.

1.2.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

Εξίσωση συνέχειας για διδιάστατη επίπεδη ροή

Επειδή η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία ασχολείται με διδιάστατη ροή (2D), πρέπει

να σημειωθεί ότι για την περιγραφή της, αρκούν δύο χωρικές μεταβλητές (για

ασυμπίεστα συνεκτικά ή μη συνεκτικά ρευστά). Για δισδιάστατες επίπεδες ροές

(παράλληλες στο επίπεδο z) η εξίσωση της συνέχειας γράφεται:

div = + = 0 (1.2.1)

Όπου = u + v η ταχύτητα κίνησης σωματιδίου του ρευστού.

Εξίσωση Bernoulli

Για αστρόβιλο (κίνηση ρευστού χωρίς περιστροφή) , μόνιμο πεδίο, ασυμπίεστου και μη

συνεκτικού ρευστού εφαρμόζεται ο νόμος Bernoulli. Η εξίσωση Bernoulli εφαρμοζόμενη

μεταξύ των τυχαίων σημείων 1 και 2 του ρευστού, για τις συνθήκες που περιγράφηκαν

προηγουμένως γράφεται ως εξής:

ρ u12 + ρ g h1 + p1 = ρ u2

2 + ρ g h2 + p2 (1.2.2)

Το μέγεθος p ονομάζεται στατική πίεση, σε αντίθεση με το μέγεθος 1/2ρu2 που

ονομάζεται δυναμική πίεση. Το μέγεθος ρgh ονομάζεται γεωστατική πίεση. Το άθροισμα

po = p + 1/2ρu2 + ρgh λέγεται ολική πίεση. Η ολική πίεση είναι σταθερη σε τέτοιου

είδους πεδία.


Εξισώσεις Navier-Stokes

Η ροή των ρευστών περιγράφεται από τις εξισώσεις Navier-Stokes, όπου παρακάτω θα

δούμε τη μεθοδολογία δημιουργίας τους. Οι Navier-Stokes ιστορικά αναφέρονται στις

τρείς εξισώσεις ορμής, αλλά συνηθίζεται να αποκαλούμε έτσι και τις πέντε συνολικά

διαφορικές εξισώσεις διατήρησης που υπάρχουν. Μία εξίσωση διατήρησης μάζας

(εξίσωση συνέχειας), μία εξίσωση διατήρησης ορμής για κάθε μία από τις τρείς

διευθύνσεις του χώρου και μία εξίσωση διατήρησης ενέργειας.

Οι περισσότεροι νόμοι της μηχανικής αναφέρονται σε υλικά συστήματα, με τη έννοια ότι

περιγράφουν τις κινήσεις υλικών σωμάτων, ανεξάρτητα του σημείου που βρίσκονται

μέσα στο χώρο. Όμως, για τη ευκολία της μελέτης των ροών, είναι καλύτερα να

εκφράζονται οι νόμοι αυτοί, όχι για ένα συγκεκριμένο υλικό σύστημα, αλλά για ένα

συγκεκριμένο όγκο του χώρου (όγκος ελέγχου). Την μετατροπή της μελέτης από ένα

υλικό κινούμενο σύστημα σε ένα σταθερό όγκο ελέγχου, αναλαμβάνει το θεώρημα

μεταφοράς του Reynolds.

Το θεώρημα Reynolds μετατρέπει το ρυθμό μεταβολής μιας εντατικής ποσότητας ενός

συγκεκριμένου υλικού συστήματος, σε ρυθμό μεταβολής της εντατικής ποσότητας σε

συγκεκριμένο όγκο ελέγχου.

Ο ρυθμός μεταβολής της εντατικής ποσότητας , ενός υλικού συστήματος είναι:

( , )i

V

d dx t dV

dt dt

(1.2.3)

όπου V ο όγκος που καταλαμβάνει το υλικό σύστημα, κάθε χρονική στιγμή και η

πυκνότητα του ρευστού. Δηλαδή, ο όγκος δεν είναι σταθερός, αλλά κινείται. Ετσι η

σχέση (1.2.1) γράφεται:

0'

1( , ) lim ( , ) ' ( , )i i i

tV V V

dx t dV x t t dV x t dV

dt t

(1.2.4)

Στη σχέση αυτή ο όγκος 'V είναι ο όγκος που καταλαμβάνει το υλικό σύστημα τη

χρονική στιγμή t , ενώ ο όγκος V της χρονικής στιγμής t t .

Ορίζοντας τους παρακάτω όγκους όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.10:

1V όγκος του V που δεν περιέχεται στον 'V


2V όγκος του 'V που δεν περιέχεται στον V

Σχήμα 1.10 Οι όγκοι που χρησιμοποιούνται για την διεξαγωγή του θεωρήματος

μεταφοράς Reynolds

Το πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της σχέσης (1.2.4) γράφεται:

1 2

'

( , ) '

( , ) ( , ) ( , )

i

V

i i i

V V V

x t t dV

x t t dV x t t dV x t t dV

(1.2.5)

οπότε η (1.2.4) γράφεται:

1

2

0

0

0

( , )

( , ) ( , )1

lim( , ) ( , )

1lim ( , ) ( , )

1lim ( , )

i

V

i i

V V

t

i i

V V

i it

V V

it

dx t dV

dt

x t t dV x t t dV

t x t t dV x t dV

x t t dV x t dVt

x t t dVt

2 1

( , )i

V V

x t t dV

(1.2.6)

Πλέον η σχέση (1.2.6) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της εντατικής ποσότητας σε

ένα συγκεκριμένο όγκο ελέγχου V .


Το πρώτο όριο εκφράζει την μεταβολή της ιδιότητας μέσα στον όγκο αυτό, ενώ το

δεύτερο όριο το ρυθμό με τον οποίο περνά η ιδιότητα αυτή από την επιφάνεια του όγκου

αυτού. Έτσι η (1.2.4) γράφεται:

( , )i

V S

d dx t dV u n ds

dt dt

(1.2.7)

όπου u η ταχύτητα του ρευστού στην επιφάνεια ds και n το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα

στην επιφάνεια.

Έτσι λόγο του θεωρήματος Green η σχέση (1.2.7) γίνεται:

( , ) ( ) ( ( , )) ( )i i

V V V

d d dx t dV u dV x t u

dt dt dt

(1.2.8)

Επομένως η εξίσωση μεταφοράς του Reynolds, από την οποία δημιουργούνται οι

εξισώσεις Navier-Stokes, γράφεται:

( ) ( )V V

d ddV u

dt dt

(1.2.9)

Για την εξίσωση της διατήρηση της μάζας, ο ρυθμός μεταβολής του θα είναι μηδέν,

αφού δεν παράγεται ή δημιουργείται μάζα και θα έχουμε 1 .

Η (1.2.9) γίνεται:

( ) ( ) 0V

du

dt

(1.2.10)

Και αυτό συνεπάγει:

( ) ( ) 0d

udt

(1.2.11)

Και κατ’ επέκταση:

0d D

u u udt Dt

(1.2.12)


Όπου ( ) ( )

( )D d

uDt dt

η ουσιαστική παράγωγός, η οποία εκφράζει το ρυθμό

μεταβολής που βλέπει ένας παρατηρητής, κινούμενος μαζί με το ρευστό.

Η εξίσωση αυτή της συνέχειας απλοποιείται ανάλογα με τις ιδιότητες του ρευστού.

Έτσι, αν έχουμε ασυμπίεστο ρευστό και μόνιμη ροή, όπως στην περίπτωση της εργασίας

αυτής όπου έχουμε λειτουργούν μέσο, το νερό, τότε η (1.2.11) γίνεται:

0 0u v w

ux y z

(1.2.13)

Για τις εξισώσεις ορμής, χρησιμοποιούμε, πάλι, το θεώρημα Reynolds (σχέση 1.2.9) με

u , με τον παρακάτω τρόπο:

( , , )j j

V V S

dudV FdV p n x t dS

dt (1.2.14)

όπου F οι δυνάμεις που ενεργούν σε όλο τον όγκο ελέγχου (π.χ. πεδιακές δυνάμεις),

( , , )j jp n x t ο τανυστής πρώτου βαθμού των δυνάμεων επαφής, δηλαδή των δυνάμεων

που δρουν μόνο πάνω στην επιφάνεια του όγκου ελέγχου.

Επειδή όμως ισχύει:

( , , )j j ij jp n x t T n (1.2.15)

όπου ijT τανυστής δεύτερης τάξης και jn τανυστής πρώτης τάξης.

Η σχέση (1.2.14) γίνεται:

ij

ij j

jV V S V V

TdudV FdV T n dS FdV dV

dt x

(1.2.16)

Και κατ’ επέκταση και λόγω του ότι, το πρώτο μέλος της (1.2.16) μπορεί να γραφεί:

V V

d DuudV dV

dt Dt (1.2.17)


Η σχέση (1.2.16) γίνεται:

1j ij

i

j

Du TF

Dt x

(1.2.18)

Οπότε, μετά από διαδικασίες όπου εκφράζεται ο τανυστής ijT με τα μεγέθη , , ,u v w p ,

δηλαδή τις ταχύτητες σε κάθε διεύθυνση και την πίεση, οι εξισώσεις ορμής για κάθε

διεύθυνση , ,x y z από την (1.2.18) γράφονται:

2(2 ) ( ) ( )

3

2(2 ) ( ) ( )

3

2(2 )

3

x

y

z

Du p u u v w uF divv

Dt x x x y y y z x z

Dv p v v w v uF divv

Dt y y y z z y z x y

Dw p wF divv

Dt z z z

( ) ( )

w u v w

x x z z z y

Σχέσεις (1.2.19),(1.2.20),(1.2.21)

Τέλος, είναι και η εξίσωση της διατήρησης της ενέργειας με την οποία κλείνει το

σύστημα των πέντε εξισώσεων, με τους πέντε αγνώστους, που είναι οι τρεις ταχύτητες

, ,u v w σε κάθε διεύθυνση , ,x y z , η πίεση p και η πυκνότητα , για συμπιεστά ρευστά.

Λόγω του ότι, η εργασία αυτή ασχολείται με ασυμπίεστο ρευστό (νερό), η πυκνότητα

του είναι σταθερή. Οπότε έχουμε τέσσερις αγνώστους , ,u v w και p ,που μπορούν να

βρεθούν από το σύστημα των τεσσάρων εξισώσεων (μία της συνέχειας και τρείς της

ορμής). Άρα η εξίσωση της ενέργειας, δεν χρειάζεται στην περίπτωση αυτή. Έτσι, δεν θα

ασχοληθούμε αρκετά με την εξίσωση της ενέργειας, απλά θα την αναφέρουμε χωρίς να

την αποδείξουμε.

2 2 2

2 2 2

2 22 2

2 2

22

3

P x y z

y yx xz z

y yx z z

T T T T T T TC u u u k

t x y z x y z

u uu uu u

x y z x y z

u uu uu u

y x z y x

.x q

z

(1.2.22)


1.2.2.1 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ

Οι εξισώσεις συνέχειας και Navier – Stokes ισχύουν γενικά για τη ροή ασυμπίεστων

συνεκτικών ρευστών και δεν απαιτούν καμία τροποποίηση προκειμένου για στρωτή ροή

πραγματικών ρευστών.

1.2.2.2 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ

Στην τυρβώδη ροή η κίνηση των ρευστών σωματιδίων είναι ακανόνιστη, οι γραμμές

ροής μεταβάλλονται συνεχώς και πραγματοποιείται έντονη μίξη μεταξύ γειτονικών

στρώσεων. Μία ουσιώδης παράμετρος που διακρίνει την ροή πραγματικού ρευστού σε

στρωτή ή τυρβώδη είναι ο αριθμός Reynolds που εκφράζει το σχετικό μέγεθος των

δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις συνεκτικότητας. Αυξανόμενου του αριθμού

Reynolds πάνω από κάποιο όριο ( Rcr ) οι δυνάμεις συνεκτικότητας δεν μπορούν πλέον

να αποσβέσουν τυχούσα μικροδιαταραχή της ροής, η οποία διατηρείται μεταφερόμενη

προς τα κατάντη ή μεγεθύνεται και διαχέεται μεταβάλλοντας την ροή σε τυρβώδη.

Η γένεση της τύρβης προκαλείται από αστάθεια της ροής οφειλόμενη είτε στις συνθηκες

ροής είτε σε τυχαία διατάραξη και εμφανίζεται κατά κανόνα σε περιοχές σημαντικών

δυνάμεων συνεκτικότητας, όπως είναι οι περιοχές σημαντικών κλίσεων της ταχύτητας ή

ασυνεχειών της.

Θεωρούμε δυο γειτονικές στρώσεις ρευστού κινούμενες με αντίθετες ταχύτητες όπως

στο Σχήμα 1.11α.

Σχήμα 1.11 Μορφή ροών

Ας υποθέσουμε ότι η διαχωριστική επιφάνεια υφίσταται τυχαία διακύμανση(σχήμα β).

Λόγω συνέχειας, η ταχύτητα της κάθε στρώσης θα είναι αυξημένη στην περιοχή της

στένωσης και μειωμένη στην περιοχή της διεύρυνσης. Κατά συνέπεια λοιπόν,αν

αμελήσουμε προς στιγμή τις απώλειες ενέργειας κατά μήκος της στρώσης θα πρέπει


σύμφωνα με την εξίσωση του Bernoulli να αυξηθεί η πίεση στις διευρύνσεις και να

μειωθεί στις στενώσεις, όπως συμβολίζεται στο σχήμα με + και -. Παρατηρείται ότι οι

δημιουργούμενες εγκάρσιες προς την διαχωριστική επιφάνεια διαφορές πιέσεων

ενισχύουν την αύξηση της παραμόρφωσής της κατά την ίδια κατεύθυνση , πράγμα που

συνεπάγεται την περαιτέρω διαφοροποίηση των πιέσεων και μεγαλύτερη αύξηση της

παραμόρφωσης κ.ο.κ. Οι δημιουργούμενες έτσι κορυφές της κυματοειδούς επιφάνειας

υπόκεινται στην επίδραση των ταχυτήτων των εκατέρωθεν στρώσεων και

μετακινούμενες αποκτούν μορφή στροβιλισμών (σχήμα γ).Τελικά αποσπώνται από την

διαχωριστική επιφάνεια και διαχέονται στην ροή διαταράσσοντάς την σε σημαντική

απόσταση από την επιφάνεια γένεσής τους. Ο παραπάνω σχηματικός μηχανισμός

προϋποθέτει αισθητή διαφορά ταχυτήτων εκατέρωθεν της διαχωριστικής επιφάνειας,

αλλά όχι κατ’ ανάγκη αντίθετες ταχύτητες.

Με βάση την περιοχή γένεσης διακρίνονται δυο είδη τύρβης:

1. Η τύρβη στερεού ορίου, δημιουργούμενη από περιοχή του οριακού στρώματος

όπου παρατηρούνται σημαντικές κλίσεις ταχυτήτων και συνεπώς αξιόλογες

διαφορές ταχύτητας μεταξύ γειτονικών στρώσεων. Η δημιουργία της τύρβης

επιτείνεται από την τραχύτητα των στερεών ορίων, της οποίας οι προεξοχές

προκαλούν διαταραχή στη ροή.

2. Η ελεύθερη τύρβη, που παρουσιάζεται σε επιφάνειες ασυνέχειας των ταχυτήτων

μακριά από στερεά όρια και που είναι εν γένει εξαιρετικά ασταθής, όπως για

παράδειγμα τα όρια της ζώνης αποκόλλησης (δίνης) πίσω από σώματα που

κινούνται μέσα σε ρευστό.

Παρά τον εξωτερικά εμφανιζόμενο τελείως ακανόνιστο και χαοτικό χαρακτήρα της

τύρβης, η δημιουργία της στην πραγματικότητα έχει εσωτερική νομοτέλεια εξαρτώμενη

από τις οριακές συνθήκες και τα λοιπά χαρακτηριστικά της ροής. Γενικά η τύρβη μπορεί

να θεωρηθεί ως ένα σύνολο στροβίλων διαφόρων μεγεθών, συχνοτήτων γένεσης και

προσανατολισμού στο χώρο, που χαρακτηρίζονται από αντίστοιχες κλίμακες μήκους και

χρόνου και μπορούν να μελετηθούν στατιστικά. Η συμβολή στροβίλων διαφόρων

συχνοτήτων απεικονίζεται στο λεγόμενο τυρβώδες φάσμα.

Αντίθετη προς το μηχανισμό γένεσης των στροβίλων είναι η διαδικασία απόσβεσης τους,

η οποία επιτυγχάνεται μέσω των διατμητικών τάσεων συνεκτικότητας που δρουν στις

εκτεταμένες επιφάνειες των στροβιλισμών αυτών. Οι περιοχές γένεσης είναι εν γένει

διαφορετικές από τις περιοχές απόσβεσης της τύρβης. Εφόσον ο συνολικός παραγωγής

της τύρβης είναι μεγαλύτερος ή ίσος προς τον συνολικό ρυθμό απόσβεσης, διατηρείται ο

τυρβώδης χαρακτήρας της ροής, διαφορετικά η ροή καθίσταται στρωτή.

Συνοψίζοντας τα κυριότερα μακροσκοπικά χαρακτηριστικά της τυρβώδους ροής είναι :

1. Η έντονη μίξη μεταξύ γειτονικών στρώσεων του ρευστού, που έχει ως συνέπεια

τη μεταφορά ιδιοτήτων στο χώρο με ρυθμό πολύ μεγαλύτερο από εκείνον της

μοριακής διάχυσης. Αποτέλεσμα του αυξημένου ρυθμού μίξης – διάχυσης είναι

ότι οι κατανομές των διαφόρων ιδιοτήτων του ρευστού είναι περισσότερο


ομοιόμορφες στην περίπτωση τυρβώδους ροής παρά στην περίπτωση στρωτής

ροής.

2. Η ανάπτυξη διατμητικών τάσεων πολύ μεγαλύτερων από εκείνες της μοριακής

συνεκτικότητας λόγω της μεταφοράς ποσότητας κίνησης μεταξύ γειτονικών

στρώσεων.

3. Η αυξημένη απώλεια ενέργειας σε θερμότητα, λόγω της δράσης των δυνάμεων

μοριακής συνεκτικότητας στις εκτεταμένες επιφάνειες που δημιουργούνται μέσα

στους απειράριθμους ακανόνιστους στροβίλους της τύρβης.

Η συνεκτικότητα είναι η χαρακτηριστικότερη ιδιότητα των ρευστών, συνδεόμενη με την

ειδοποιό διαφορά τους από τα στερεά δηλαδή την συνεχή παραμόρφωση τους υπό την

επίδραση διατμητικών τάσεων. Όσο υφίσταται σχετική κίνηση μεταξύ γειτονικών

στρώσεων ενός ρευστού, αυτό προβάλλει αντίσταση στην παραμόρφωση του, αντίσταση

που οφείλεται στην κινητικότητα των μορίων του και εκδηλώνεται με την εμφάνιση

διατμητικών τάσεων. Η αντίσταση αυτή αποδίδεται στην ιδιότητα της συνεκτικότητας.

Το κύριο χαρακτηριστικό της τυρβώδους ροής είναι ότι η πίεση, η ταχύτητα καθώς και

κάθε άλλο μέγεθος μεταβάλλονται συνεχώς σε τυχόν σταθερό σημείο του πεδίου με την

πάροδο του χρόνου κατά τρόπο ακανόνιστο και φαινομενικά τυχαίο.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καταγραφή της συνιστώσας u της ταχύτητας σε κάποιο

τυχαίο σημείο συναρτήσει του χρόνου, με τις συνιστώσες v,w να έχουν την ίδια

συμπεριφορά.

Σχήμα 1.12 Καταγραφή συνιστώσας u της ταχύτητας σε τυχαίο

σημείο συναρτήσει του χρόνου


Έτσι λοιπόν η στιγμιαία ταχύτητα u μπορεί να γραφτεί ως

u = + u’

Όπου είναι η μέση χρονική τιμή της u στο δεδομένο σημείο υπολογιζόμενη για

χρονική περίοδο Τ σημαντικά μεγαλύτερη από την κλίμακα των διακυμάνσεων. Οι

συνεχείς μικροδιακυμάνσεις της ταχύτητας στην τυρβώδη ροή την καθιστούν μη μόνιμη

υπό την αυστηρή έννοια. Επειδή όμως οι μικροδιακυμάνσεις αυτές δεν ενδιαφέρουν

πρακτικά, έχει καθιερωθεί η τυρβώδης ροή να χαρακτηρίζεται ως μόνιμη αν η μέση

ταχύτητα = ( , , ) παραμένει αμετάβλητη σε κάθε σημείο σε διαδοχικές χρονικές

περιόδους T. Αντίθετα χαρακτηρίζεται ως μη μόνιμη.

Ο λόγος του μέσου όρου των τριών διακυμαινόμενων συνιστωσών της ταχύτητας προς

την μέση τιμή αυτής ορίζεται ως ένταση της τύρβης, και σε συνήθεις ροές στην φύση

είναι της τάξης του 0,1.Η παραγωγή και διατήρηση της τύρβης οφείλεται στην

μετατροπή ενέργειας της μέσης ροής, σε κινητική ενέργεια της τύρβης ενώ η δράση της

συνεκτικότητας μετατρέπει την κινητική ενέργεια σε θερμότητα. Όταν οι ρυθμοί

παραγωγής και απώλειας της ενέργειας της τύρβης είναι ίσοι, τότε η τύρβη βρίσκεται σε

κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας και υφίσταται απλά μεταλλαγές μεταξύ στροβίλων

διαφορετικών μεγεθών και συχνοτήτων.

1.2.3 ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΥΡΒΗΣ

Οι εξισώσεις Navier-Stokes, είναι εξισώσεις που περιγράφουν οποιαδήποτε κατάσταση

ροής, αφού προέρχονται από μια διαδικασία μελέτης ενός απειροελάχιστου όγκου, όμως,

μέσα από την αριθμητική ανάλυση, για να λύσουν το ροϊκό πεδίο με την τύρβη που

υπάρχει, πρέπει να έχουν κόμβο υπολογισμού σε κάθε σημείο του ροϊκού πεδίου, ώστε

να αντιληφθούν όλες τις μικροσκοπικές πηγές διαταραχών που υπάρχουν. Με άλλα

λόγια, πρέπει να έχουμε εξαιρετικά μεγάλο αριθμό κόμβων σε ένα χωρίο που επιζητούμε

το ροϊκό πεδίο. Επίσης, αρκετές από τις πηγές διαταραχών , εκτός από την ανίχνευση

τους από τους κόμβους, πρέπει και να καθοριστούν (για παράδειγμα οι εν δυνάμει αιτίες

διαταραχών στις οριακές συνθήκες ή στα τοιχώματα). Οπότε, από τα παραπάνω που

αναφέραμε, η λύση της τύρβης κατ’ ευθείαν από τις Navier-Stokes είναι ιδιαίτερα

δύσκολη, λόγω του μεγάλου πλήθους των κόμβων που απαιτούνται και της δύσκολης

ακριβούς μοντελοποίησης όλων των πηγών διαταραχής. Μόνο σε πολύ μικρά χωρία και

με τη θεώρηση ότι οι πηγές διαταραχής έχουν κάποιο πιο μεγάλο μέγεθος, έχει

εφαρμοστεί η κατ’ ευθείαν επίλυση των Navier-Stokes, όπου ονομάζεται DNS (Direct

Numerical Solution).


Άλλη μεθοδολογία για την επίλυση της τύρβης, είναι η λεγόμενη προσομοίωση μεγάλων

δινών (LES: Large Eddy Simulation), όπου εκεί υπολογίζεται η τύρβη, φιλτράροντας τις

διαταραχές από ένα μέγεθος και κάτω, ενώ οι μεγάλες παίρνουν μέρος στον υπολογισμό.

Στη περίπτωση αυτή, ο αριθμός των κόμβων που απαιτούνται είναι πολύ μικρότερος από

την περίπτωση της DNS και μας δίνει αρκετά ακριβή αποτελέσματα της τύρβης.

Η πιο παλιά μέθοδος που εφαρμόζεται για τη εύρεση της τύρβης, που βέβαια υπολογίζει

τα αποτελέσματα της και όχι την ίδια της τη φύση, είναι η Reynolds-Average Navier-

Stokes (RANS). Οι διαφορικές εξισώσεις συνέχειας και κίνησης (Navier – Stokes) που

διατυπώθηκαν σε προηγούμενη ενότητα, ισχύουν γενικά για τις στιγμιαίες τιμές των

μεγεθών της ταχύτητας και της πίεσης. Όταν πρόκειται όμως για τυρβώδη ροή , οι

στιγμιαίες τιμές δεν έχουν πρακτική σημασία για αυτό είναι επιβεβλημένη η

αναδιατύπωση των εξισώσεων συναρτήσει των μέσων τιμών , , , . Γι’ αυτό

εισάγουμε στις εξισώσεις τις σχέσεις:

u = + u’

ν = + ν’

w = + w’

Μετά από υπολογισμούς οι εξισώσεις Navier – Stokes παίρνουν την παρακάτω μορφή:

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι γνωστές ως εξισώσεις του Reynolds και περιγράφουν την

τυρβώδη ροή. Είναι πανομοιότυπες με τις εξισώσεις Navier – Stokes με την διαφορά ότι :

I. Είναι διατυπωμένες ως προς τη μέση ροή και όχι ως προς τις στιγμιαίες τιμές

ταχυτήτων και πιέσεων

II. Περιέχουν στο δεύτερο μέλος πρόσθετους όρους και εκφράζουν την επίδραση

των τυρβώδων διακυμάνσεων στη μέση ροή.


Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις μας δίνουν έναν παραπάνω όρο :

-ρ ∙ (1.2.23)

όπου ονομάζεται τάση του Reynolds και είναι η έκφραση της μέσης τιμής των

διακυμάνσεων των ταχυτήτων. Στην περίπτωση τυρβώδους ροής παρατηρείται

σημαντική αύξηση των εσωτερικών τάσεων που οφείλεται στην ανταλλαγή ποσότητας

της κινητικής ενέργειας μεταξύ γειτονικών στρώσεων. Ρευστά σωματίδια που

μεταφέρονται λόγω της τύρβης από μία περιοχή σε μία άλλη με διαφορετική μέση

ταχύτητα κερδίζουν ή χάνουν ποσότητα κίνησης και ασκούν αντίστοιχα επιβραδυντική ή

επιταχυντική δύναμη στην περιοχή μετάβασης τους. Οι τάσεις που προκαλούνται από τις

διακυμάνσεις της τύρβης λέγονται τυρβώδεις τάσεις ή τάσεις του Reynolds. Δηλαδή,

μας πληροφορεί, τι μέγεθος, γενικά, διακυμάνσεων των ταχυτήτων έχουμε λόγω

παρουσίας τύρβης. Οπότε ανάγουμε την γνώση της τύρβης, στη γνώση του όρου των

τάσεων του Reynolds.

Ο όρος αυτός της τάσης του Reynolds, εισάγει επιπλέον άγνωστα μεγέθη, οπότε για να

λυθούν οι εξισώσεις Navier-Stokes, χρειαζόμαστε επιπλέον εξισώσεις. Το πρόβλημα

υπολογισμού των τάσεων του Reynolds, λύνεται με δύο τρόπους. Ο πρώτος είναι ο κατ’

ευθείαν υπολογισμός τους με εξισώσεις μεταφοράς (εξισώσεις που λύνουν τις τάσεις

Reynolds), ενώ ο δεύτερος είναι με την υπόθεση του Boussinesq, η οποία εκφράζει τις

τάσεις Reynolds, συναρτήσει ενός ιξώδους μεγέθους. Εννοώντας ιξώδες μέγεθος

περιγράφουμε όχι το δυναμικό ιξώδες λόγω μοριακής διάχυσης αλλά ένα συντελεστή

ιξώδους που λαμβάνει υπόψη και τις διατμητικές τάσεις που δημιουργούνται λόγω

τύρβης (δηλαδή τη διάχυση της ορμής μέσα στην τύρβη).

Η υπόθεση Boussinesq, θεωρώντας ότι έχουμε δισδιάστατη ροή, διατυπώνεται ως εξής:

_________' ' 2

3

j jii j t t ij

j i i

u uuu u k

x x x

(1.2.24)

όπου t το ολικό ιξώδες διάχυσης και τύρβης και οι δείκτες i , j υποδηλώνουν τα μεγέθη

στην οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση αντίστοιχα.

Έτσι, στο σημείο αυτό το μόνο που απομένει είναι η εύρεση του ιξώδες t το οποίο

βρίσκεται από τις εξισώσεις μεταφοράς που χρησιμοποιούν τα διάφορα μοντέλα τύρβης.


Τα μοντέλα τύρβης που υπάρχουν και δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα, τα οποία

είναι διαθέσιμα στο FLUENT είναι τα εξής:

-Το μοντέλο του Spalart-Allmaras

-To μοντέλο k-ε

-Το μοντέλο k-ω

-Το μοντέλο της μεταφοράς των τάσεων του Reynolds

Στην ενότητα αυτή θα γίνει η περιγραφή μόνο του μοντέλου k-ε που χρησιμοποιείται

στην παρούσα εργασία.

1.2.3.1 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΥΡΒΗΣ k - ε

Η ενσωμάτωση του μοντέλου k-ε στο σύστημα των τριών εξισώσεων που περιγράφουν

τα ισοζύγια, πραγματοποιείται με την εισαγωγή δύο νέων μεταβλητών : της τυρβώδους

κινητικής ενέργειας (turbulence kinetic energy) – ( k ) και του ρυθμού διασκόρπισης των

δινών της τύρβης (turbulence eddy dissipation rate) – ( ε ) οδηγώντας στις ακόλουθες

εξισώσεις:

Ισοζύγιο μάζας

∂ ρ/ ∂ t + ∇ (ρU) = 0 (1.2.25)

Ισοζύγιο ενέργειας

∂ (ρhtot)/ ∂ t - ∂ P/ ∂ t + ∇ (ρUhtot) = ∇ [λ ∇ (T) + (μt/Prt) ∇ (h)] + SΕ (1.2.26)

Ισοζύγιο ορμής

∂ ρU/ ∂ t + ∇ (ρU ⊗ U) - ∇ (μeff ∇ U) = ∇ p΄ + ∇ ( μeff ∇ U) (1.2.27)

Όπου (Β) είναι το άθροισμα των δυνάμεων σώματος και (p΄) είναι η τροποποιημένη

πίεση υπολογιζόμενη από τη σχέση :

p΄ = p + 2/3(ρk) (1.2.28)

και


μeff = μ + μt (1.2.29)

Η μέση τιμή της συνολικής ενθαλπίας (htot) δίνεται από τον τύπο :

htot = h + ½ (U2) + k (1.2.30)

και η συνεισφορά της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (k) από τον τύπο :

k = ½ ( 2) (1.2.31)

Το μοντέλο k-ε υποθέτει ότι το ιξώδες της τύρβης συνδέεται με την τυρβώδη κινητική

ενέργεια και το ρυθμό διασκόρπισης των δινών μέσω της σχέσης :

μt = Cμρk2/ε (1.2.32)

Οι τιμές των (k) και (ε) υπολογίζονται ευθέως από τις αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις

μεταφοράς τους :

∂ (ρk)/ ∂ t + ∇ (ρUk) = ∇ [(μ + μt/σκ) ∇ k] + Ρκ – ρε (1.2.33)

∂ (ρε)/ ∂ t + ∇ (ρUε) = ∇ [(μ + μt/σε) ∇ ε] + ε/k(Cε1Ρκ – Cε2ρε) (1.2.34)

όπου ο όρος (Ρκ) εκφράζει το ρυθμό παραγωγής τύρβης εξαιτίας των ιξωδών και

ανωστικών δυνάμεων, ενώ προσδιορίζεται από τη σχέση :

Ρκ = μt ∇ U(∇ U + ∇ UT) – 2/3(∇ U)(3μt ∇ U + ρk) + Pkb (1.2.35)

1.2.3.2 k-ε standard, k-ε RNG, k-ε realizable

Το μοντέλο k-ε standard είναι ένα μοντέλο τύρβης που περιγράφηκε στην προηγούμενη

ενότητα. Βασίζεται σε εξισώσεις μεταφοράς για την τυρβώδη κινητική ενέργεια (k) και

τον ρυθμό διασκόρπισης των δινών τύρβης (ε). Ουσιαστικά το μοντέλο k-ε standard

χρησιμοποιείται όταν η ροή είναι τελείως τυρβώδης και οι επιδράσεις του μοριακού

ιξώδους είναι τελείως αμελητέες. Καθώς τα πλεονεκτήματα και οι αδυναμίες του

standard k-ε μοντέλου έγιναν γνωστά, έχουν εισαχθεί τροποποιήσεις για την βελτίωση

της απόδοσης του. Δύο από αυτές τις παραλλαγές είναι διαθέσιμες στο ANSYS

FLUENT : το μοντέλο k – ε RNG και το μοντέλο k-ε realizable.

Το k-ε RNG μοντέλο τύρβης προήλθε χρησιμοποιώντας μία στατιστική τεχνική. Είναι

ίδιο με το μοντέλο k-ε standard αλλά περιλαμβάνει τις παρακάτω βελτιώσεις:


Tο k-ε RNG μοντέλο έχει την προσθήκη ενός όρου στις εξισώσεις του ρυθμού

διασκόρπισης των δινών τύρβης (ε) ο οποίος βελτιώνει την ακρίβεια της

ταχύτητας των τεταμένων ροών.

Η θεωρία του RNG παρέχει μία αναλυτική φόρμουλα για τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl , ενώ το k-ε standard χρησιμοποιεί σταθερές τιμές που

καθορίζονται από τον χρήστη.

Ενώ το μοντέλο k-ε standard είναι ένα μοντέλο με υψηλούς αριθμούς Reynolds, η

θεωρία του RNG παρέχει μία αναλυτική φόρμουλα που δίνει αποτελέσματα για

χαμηλούς αριθμούς Reynolds. Όμως η αποτελεσματική χρήση αυτού του

χαρακτηριστικού δεν εξαρτάται από την κατάλληλη επεξεργασία της περιοχής

κοντά στο τοίχωμα.

Αυτά τα χαρακτηριστικά καθιστούν το μοντέλο RNG πιο ακριβές και αξιόπιστο για μια

ευρύτερη κατηγορία ροών σε σχέση το standard μοντέλο.

To k-ε realizable μοντέλο τύρβης διαφέρει από το standard για δύο βασικούς λόγους:

Το realizable μοντέλο έχει ένα διαφορετικό τύπο για το ιξώδες τύρβης.

Μια τροποποιημένη εξίσωση μεταφοράς για το ρυθμό διάχυσης των δινών

τύρβης (ε), έχει προέλθει από μία ακριβή εξίσωση της μέσης τετραγωνικής

διακύμανσης της στροβιλότητας.

Ο τύπος realizable πληροί ορισμένους μαθηματικούς περιορισμούς σχετικά με τις

τάσεις Reynolds σύμφωνα με τη φυσική της τυρβώδους ροής.

1.2.4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΟΥΣ ΚΩΔΙΚΕΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

Ο Κώδικας Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής είναι η μαθηματική αριθμητική επίλυση

του πλήρους συστήματος διατήρησης, δηλαδή οι εξισώσεις Navier – Stokes. Για την

επίλυσή τους όμως σημαντικό στάδιο είναι η πλεγματοποίηση (meshing) του προς

ανάλυση ροικού πεδίου, το οποίο εξαρτάται φυσικά από την ακριβή τοπολογία , δηλαδή

την αποτύπωση της γεωμετρίας του χώρου ροής. Γι’ αυτό ο κώδικας πλεγματοποίησης

συνεργάζεται με γνωστά συστήματα κατασκευής τεχνικών σχεδίων (CAD), ώστε να


αποτυπώνει με απόλυτη γεωμετρική πιστότητα τις στερεές επιφάνειες , που καθορίζουν

την αδρή μορφή του ροικού πεδίου.

Ο δισδιάστατος ‘βρόγχος’ ή τρισδιάστατο ‘κελί’ κατά κανόνα, που αποτελεί κομμάτι του

ροϊκού πεδίου, δεν έχει απλή γεωμετρία. Είναι πολυμορφικό και ευέλικτο,

προσαρμοζόμενο τόσο στη γεωμετρία του ροϊκού πεδίου όσο και στο σύστημα

διακριτοποίησης των διαφορικών εξισώσεων επίλυσης για να μετατραπούν σε εξισώσεις

πεπερασμένων διαφορών ή στοιχείων. Οπότε εκτός από την σχεδιαστική συμβατότητα

οφείλει να υπάρχει απόλυτη μαθηματική συμβατότητα μεταξύ πλεγματοποίησης του

ροϊκού πεδίου και διακριτοποίησης των εξισώσεων ροής. Η πλεγματοποίηση του κώδικα

υπολογιστικής ρευστομηχανικής (CFD) δίνει σε κάθε κόμβο του διακριτοποιημένου

χώρου ροής, μετά την επίλυση, τις τιμές των ροϊκών μεγεθών αποτελώντας έτσι τη βάση

συστήματος εξαγωγής των υπολογιστικών δεδομένων σε πινακοποιημένη μορφή, σε

διαγράμματα, ακόμα και σε τρισδιάστατες απεικονίσεις.

Κοινό χαρακτηριστικό των Κωδίκων Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής είναι η χρήση

αριθμητικών μεθόδων, οι οποίες βασίζονται στις πεπερασμένες χωρικές και χρονικές

διαφορές και ως γνωστόν επικρατέστερες είναι οι Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών,

Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων, Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων.

Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιείται για την προσεγγιστική επίλυση

διαφορικών εξισώσεων, αντικαθιστώντας τις τελευταίες με εξισώσεις διαφορών. Με τον

τρόπο αυτό το πρόβλημα ανάγεται τελικά στην επίλυση ενός (συνήθως μεγάλου)

συστήματος αλγεβρικών, πλέον, εξισώσεων, συνήθως εφαρμόζοντας επαναληπτικές

τεχνικές. Η υλοποίηση της συγκεκριμένης μεθόδου μπορεί να αναλυθεί σε τρία βασικά

βήματα:

α) στη διακριτοποίηση του χώρου με κατάλληλο πλέγμα κόμβων, οι οποίοι αντιστοιχούν

στις θέσεις υπολογισμού του ζητούμενου μεγέθους,

β) στη διατύπωση των εξισώσεων διαφορών, αντικαθιστώντας τους διαφορικούς

τελεστές με προσεγγιστικούς,

γ) στην επίλυση των εξισώσεων διαφορών, λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές και οριακές

συνθήκες του προβλήματος.

Σχετικά με το πρώτο βήμα, ο πιο συνηθισμένος τύπος πλέγματος που χρησιμοποιείται

είναι ο ορθογωνικός, ωστόσο διαφορετικές επιλογές αποδεικνύονται καταλληλότερες σε

συγκεκριμένες περιπτώσεις (π.χ. κυλινδρικό πλέγμα). Χωρίς να είναι απαραίτητο το

βήμα διακριτοποίησης να είναι παντού το ίδιο, η ευκολία κατασκευής ενός ορθογωνικού

πλέγματος με ομοιόμορφη πυκνότητα σε όλη την έκταση του υπολογιστικού χώρου το

καθιστά ως τη συνηθέστερη επιλογή.


Έχει το πλεονέκτημα της άμεσης λύσης των πλήρων εξισώσεων διατήρησης (συνέχειας,

ορμής, ενέργειας) χωρίς να προαπαιτούνται πλέον κάποιες προσεγγίσεις, επειδή οι

απειροστές διαφορές (παράγωγοι κάθε τάξης) αντικαθίστανται απευθείας με

πεπερασμένες. Μειονέκτημα αποτελεί για αρκετές εφαρμογές η προβληματική

συμπεριφορά σύγκλισης προς την ορθή λύση, επειδή τα αριθμητικά λάθη (συνήθως της

τάξεως π.χ. (Δy)2,(Δy)

3 … ) συσσωρευμένα οδηγούν σε μη εκπλήρωση της διατήρησης

μάζας ή και της ενέργειας και είναι μη συντηρητικές (δηλαδή σε απλουστευμένη

διατύπωση, για παράδειγμα η συνολική εισρέουσα μάζα στο ροϊκό φαινόμενο μπορεί να

αυξάνεται και κατά την εκροή να είναι μεγαλύτερη!). Τότε απαιτούνται μικρότερα

βήματα διακριτοποίησης και επαναληπτικού υπολογισμού, γεγονός που οδηγεί σε

αύξηση της χρονικής διάρκειας του υπολογισμού.

Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων

Η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων, είναι μία ευρέως διαδεδομένη υπολογιστική

μέθοδος επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων και χρησιμοποιείται στην

διακριτοποίηση των εξισώσεων Navier-Stokes. Εφαρμόζεται εύκολα χωρίζοντας αρχικά

το πεδίο ορισμού σε πεπερασμένους όγκους αναφοράς , έτσι ώστε κάθε κόμβους του

πλέγματος να περιβάλλεται από έναν όγκο αναφοράς. Στη συνέχεια η μερική διαφορική

εξίσωση ολοκληρώνεται στον όγκο αναφοράς. Τα ολοκληρώματα υπολογίζονται

αναλυτικά υποθέτοντας ότι οι τιμές της άγνωστης εξαρτημένης μεταβλητής είναι

σταθερές ή ότι μεταβάλλονται γραμμικά σε κάθε όγκο αναφοράς. Οι αλγεβρικές

εξισώσεις που προκύπτουν ονομάζονται εξισώσεις πεπερασμένων όγκων και το σύστημα

επιλύεται χρησιμοποιώντας τις άμεσες ή τις επαναληπτικές τεχνικές επίλυσης

συστημάτων.

Η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων γίνεται εύκολα κατανοητή αφού η μεθοδολογία και

γενικότερα ο τρόπος διατύπωσης της μεθόδου συνδέεται άμεσα με τη φυσική του

προβλήματος. Είναι λογικό να θεωρούμε ότι οι εξισώσεις πεπερασμένων όγκων

ικανοποιούν τις ίδιες φυσικές αρχές και νόμους (διατήρηση μάζας, ορμής, ενέργειας), με

αυτές που ικανοποιούν οι μερικές διαφορικές εξισώσεις από τις οποίες έχουν προκύψει.

Μία βασική διαφορά ανάμεσα στις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών και όγκων είναι

ότι στις πεπερασμένες διαφορές η λύση βασίζεται μόνο στις τιμές της εξαρτημένης

μεταβλητής στους κόμβους , ενώ στους πεπερασμένους όγκους η λύση βασίζεται όχι

μόνο στις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους αλλά και σε υποθετικές

κατανομές ανάμεσα στους κόμβους.


Επειδή εξ’ ορισμού είναι μία συντηρητική μέθοδος, δηλαδή η αριθμητική

διακριτοποίηση εμπεριέχει την προϋπόθεση της διατήρησης μάζας ορμής και ενέργειας,

έχει το πλεονέκτημα να μην παρουσιάζει προβλήματα σύγκλησης με αποτέλεσμα οι

επαναληπτικοί υπολογισμοί να μειώνονται οδηγώντας σε σχετικά συντομότερους

υπολογιστικούς χρόνους. Είναι κατάλληλη μέθοδος επίσης για τρισδιάστατα ροϊκά πεδία

μεγάλων διαστάσεων. Παρουσιάζουν κατά περίπτωση δυσκολίες, όταν η γεωμετρία του

ροϊκού πεδίου είναι ιδιαίτερα σύνθετη, ενώ η πλεγματοποίηση πρέπει να είναι δομημένη.

Πρέπει, δηλαδή, να είναι στοιχειώδεις όγκοι τοπολογικά καρτεσιανού συστήματος ,

πάντα με έξι ακμές και έξι πλευρές στην τρισδιάστατη περίπτωση.

Φασματική μέθοδος

Η φασματική , είναι μια μέθοδος, η οποία χρησιμοποιεί πάλι την διαφορική

μορφή των εξισώσεων. Στη μέθοδο αυτή η συνάρτηση ( )f x , της οποίας θέλουμε να

υπολογίσουμε την παράγωγο, εκφράζεται σαν ένα πεπερασμένο άθροισμα συναρτήσεων

βάσης, όπως φαίνεται παρακάτω:

0

( ) ( )N

K

K

f x A x

(1.2.36)

όπου ( )x μπορεί να είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πολυώνυμα Chebyshev ή

πολυώνυμα Legendre. Έτσι, βρίσκοντας αναλυτικά τις παραγώγους των συναρτήσεων

βάσης, μένουν άγνωστοι οι συντελεστές KA , όπου για απλές γεωμετρίες, βρίσκονται από

την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Η μέθοδος αυτή, έχει σαν

πλεονέκτημα την μεγάλη ακρίβεια στην προσέγγιση της λύσης και το μικρό χρόνο

εύρεσής της. Το βασικό μειονέκτημα της είναι ότι, δεν μπορεί να εφαρμόσει

διακριτοποίηση σε πολυδιάστατα και πολύπλοκα χωρία ,όπως και δεν μπορεί να

αυξομειώσει την πυκνότητα του πλέγματος σε διάφορα σημεία του χωρίου.

Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων

Τα πεπερασμένα στοιχεία, εφαρμόζονται ελάχιστα στα προβλήματα της

ρευστομηχανικής. Η μέθοδος αυτή, χρησιμοποιεί την ολοκληρωτική μορφή των

εξισώσεων, ορίζοντας με συναρτήσεις (συναρτήσεις μορφής) διαφόρων τάξεων, την

μεταβολή των ροϊκών μεγεθών, μέσα σε κάθε πεπερασμένο στοιχείο.

Κύριο πλεονέκτημα της είναι η μεγάλη ευελιξία της διακριτοποίησης των εξισώσεων.

Όμως παρουσιάζει προβλήματα σύγκλισης του υπολογισμού κυρίως σε τρισδιάστατες


περιπτώσεις ροής με αντίστοιχα τρισδιάστατα στοιχεία. Συχνά η μέθοδος απαιτεί μεγάλο

υπολογιστικό χρόνο συγκριτικά με τις προηγούμενες μεθόδους και περιορίζεται σε

σχετικά μικρής έκτασης ροϊκά πεδία.

1.2.5 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER-STOKES

Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι αδύνατο να λυθούν σε ένα μόνο βήμα. Αυτό συμβαίνει

γιατί στην εξίσωση συνέχειας δεν εμφανίζεται ο όρος της πίεσης, επομένως δεν μπορεί

να λυθεί το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων, που προκύπτουν από τις εξισώσεις

ορμής και από την εξίσωση συνέχειας. Η λύση του συστήματος είναι δυνατή μόνο στην

περίπτωση που γνωρίζουμε το πεδίο της πίεσης.

Για την επίλυσή αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι με επαναληπτικές

διαδικασίες. Συγκεκριμένα, θεωρείται αρχικά ένα πεδίο της πίεσης. Λύνεται το σύστημα

των εξισώσεων και σε κάθε επαναληπτικό βήμα το μέγεθος της πίεσης διορθώνεται μέχρι

το σημείο όπου οι τιμές της πίεσης και των ταχυτήτων να ικανοποιούν τις εξισώσεις

διατήρησης.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι αλγορίθμων με σημαντικότερο τον αλγόριθμο SIMPLE (Semi

Implicit Method for Pressure Linked Equations), ο οποίος αποτέλεσε τη βάση για τους

υπόλοιπους τύπους. Οι αλγόριθμοι που υπάρχουν είναι οι εξής :

SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations)

SIMPLER (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Revised)

SIMPLEC (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Consistent)

SIMPLEST (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations Shor Tened)

PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators)

Με εξαίρεση τον αλγόριθμο PISO, οι υπόλοιποι προέρχονται από τον αλγόριθμο

SIMPLE μετά από ορισμένες βελτιώσεις που έγιναν.

Στο πακέτο FLUENT, οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται είναι ο SIMPLE,ο

SIMPLEC και ο PISO, οι οποίοι θα αναλυθούν παρακάτω. Στην παρούσα διπλωματική

για την επίλυση των εξισώσεων θα εφαρμοστεί ο SIMPLE, ο οποίος μας δίνει ακριβή

αποτελέσματα τόσο για την μονοφασική ροή, όσο και για την σπηλαίωση.


Αλγόριθμος SIMPLE

Τα βήματα που ακολουθεί ο αλγόριθμος SIMPLE στην επαναληπτική διαδικασία για την

επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes παρουσιάζονται παρακάτω :

i) Εκτιμά το πεδίο της πίεσης *p

ii) Βρίσκει τις ταχύτητες του πεδίου * * *, ,u v w , λύνοντας τις εξισώσεις ορμής

iii) Επιλύει την εξίσωση διόρθωσης της πίεσης, η οποία εξάγεται από την εξίσωση

συνέχειας, χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις των σωστών ταχυτήτων , ,p p pu v w

(* ( )

( )p D P

uu u p p

p

: όπου * *

D Pp p p και D Pp p οι διορθωμένες

τιμές των * *,D Pp p ) που την ικανοποιούν και το μη μηδενικό ισοζύγιο μάζας που

προκύπτει από την εξίσωση συνέχειας, χρησιμοποιώντας τις ταχύτητες που

βρήκαμε * * *, ,u v w .

iv) Υπολογίζει την νέα τιμή της πίεση p , από την σχέση: *p p p , όπου p η

διόρθωση της πίεσης.

v) Τέλος, υπολογίζει τις νέες τιμές των ταχυτήτων , ,p p pu v w

Ο αλγόριθμος επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου οι τιμές των ταχυτήτων , ,p p pu v w

συγκλίνουν. Η σύγκλιση των τιμών αυτών καθορίζεται από μια μικρή ποσότητα

ε=φnew- φold, όπου είναι η ακρίβεια (ανοχή) την οποία επιθυμούμε να φτάσουμε.

Ο ταχύτητες up, vp, wp συγκλίνουν μετά από κάποιο αριθμό επαναλήψεων, όπου σε κάθε

επαναληπτικό βήμα διορθώνεται το πεδίο της πίεσης καθώς και τα υδροδυναμικά και μη

μεγέθη. Οι διορθωμένες τιμές μεταβάλλονται επιπλέον κατά μια τιμή μέσω μιας σχέσης,

η οποία προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό μιας προηγούμενης διαφοράς του μεγέθους

με έναν συντελεστή. Οι συντελεστές αυτοί, ονομάζονται συντελεστές υποχαλάρωσης. Το

αποτέλεσμα είναι να έχουμε ταχύτερη σύγκλιση, εφόσον τα βήματα μεταβολής των

άγνωστων μεγεθών γίνονται μεγαλύτερα. Όσο μειώνονται αυτοί οι συντελεστές, τόσο

γρηγορότερα οδηγούμαστε στη σύγκλιση. Αύτο όμως, ισχύει μέχρι ένα όριο, το οποίο

όταν ξεπεραστεί, δημιουργούνται αστάθειες στον αλγόριθμο και επομένως η λύση είναι

λανθασμένη. Συμπερασματικά, για να έχουμε αξιόπιστη και γρήγορη σύγκλιση,

αυξάνουμε τους συντελεστές υποχαλάρωσης, μέχρι να πάρουν τιμές ελάχιστα

μικρότερες, από τις τιμές αστάθειας του αλγορίθμου.


Οι συντελεστές υποχαλάρωσης εφαρμόζονται στην σχέση (1.2.37), ένα βήμα μετά από

τις διορθώσεις των μεγεθών ως :

old a (1.2.37)

όπου η καινούργια τιμή, old η παλιά τιμή (μετά τη αρχική διόρθωση), a ο

συντελεστής υποχαλάρωσης και μια υπολογισμένη προηγούμενη διαφορά του

μεγέθους του , δηλαδή μια διαφορά των τιμών, από δυο προηγούμενες διαδοχικές

επαναλήψεις.

Παρά το μεγάλο αριθμό επαναλήψεων και τα μικρά βήματα στους συντελεστές

υποχαλάρωσης, ο αλγόριθμος SIMPLE χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα, λόγω της

αποδοτικότητας και της ακρίβειάς του.

Παρακάτω παρουσιάζεται το λογικό διάγραμμα του αλγορίθμου.

Σχήμα 1.13 Το λογικό διάγραμμα ροής (flow chart) του αλγορίθμου SIMPLE

Αλγόριθμος SIMPLEC

Ο αλγόριθμος SIMPLEC προέρχεται από τον SIMPLE μετά από κάποιες βελτιώσεις που

έγιναν. Η διαφορά τους είναι στον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι διορθώσεις στις τιμές

των πιέσεων και των ταχυτήτων, ενώ τα βήματα για την επίλυση των εξισώσεων Navier-

Stokes παραμένουν ίδια. Το πλεονέκτημα του συγκεκριμένου αλγόριθμου είναι ότι


υπάρχει η δυνατότητα να χρησιμοποιούνται μεγάλοι συντελεστές υποχαλάρωσης (under

relaxation), που σημαίνει μεγαλύτερα βήματα στην αλλαγή των διορθωμένων πιέσεων

άρα και γρηγορότερη σύγκλιση. Όμως, ο αλγόριθμος SIMPLEC δεν προτιμάται πάντα

γιατί οι μεγάλοι συντελεστές υποχαλάρωσης μπορεί να δημιουργήσουν αστάθεια στην

διαδικασία επίλυσης, σε αντίθεση με τον SIMPLE που χρησιμοποιεί πιο συντηρητικές

τιμές των συντελεστών υποχαλάρωσης.

Αλγόριθμος PISO

Ο αλγόριθμος PISO είναι μια αποδοτική μέθοδος για τη λύση των εξισώσεων Navier-

Stokes σε μη μόνιμη ροή.

Οι κύριες διαφορές με τον αλγόριθμο SIMPLE είναι οι ακόλουθες :

Δεν εφαρμόζονται συντελεστές υποχαλάρωσης

Το βήμα διόρθωσης της ορμής, εκτελείται περισσότερο από μια φορά

Η βασική ιδέα του αλγορίθμου PISO είναι να μεταφέρει τους επαναληπτικούς

υπολογισμούς, που απαιτούνται από τους δυο προηγούμενους αλγόριθμους, SIMPLE και

SIMPLEC, μέσα στο υπολογιστικό στάδιο της επίλυσης της εξίσωσης διόρθωσης της

πίεσης. Μετά από μερικές επιπλέον επαναλήψεις, οι διορθωμένες ταχύτητες ικανοποιούν

τις εξισώσεις συνέχειας και ορμής, πιο κλειστά. Ο χρόνος που απαιτείται για κάθε βήμα

επανάληψης είναι αρκετά μεγάλος, όμως εξισορροπείται από τον μικρό αριθμό

επαναλήψεων μέχρι να οδηγηθούμε στη σύγκλιση, ειδικά όταν πρόκειται για χρονικά

μεταβαλλόμενη ροή. Επομένως, ο αλγόριθμος PISO, πλεονεκτεί στις μη μόνιμες ροές,

ενώ δεν φαίνεται να υπερέχει των SIMPLE και SIMPLEC στις μόνιμες ροές.

1.2.6 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Όπως ήδη έχει αναφερθεί, υπάρχουν διάφορες μέθοδοι διακριτοποίησης των εξισώσεων

Navier-Stokes. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων

όγκων, όπου δημιουργούνται ορισμένα συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων. Η επίλυση

των συστημάτων αυτών μέσω του αλγορίθμου δίνει την αριθμητική λύση του ροϊκού

προβλήματος.

Για τη λύση των συστημάτων των αλγεβρικών εξισώσεων απαιτούνται δύο βασικά

πράγματα. Πρώτον, όλες οι αλγεβρικές εξισώσεις που παράγονται από την διαδικασία


της διακριτοποίησης, πρέπει να γραμμικοποιηθούν. Η γενική μορφή μιας γραμμικής

εξίσωσης είναι :

P nb nb

nb

a a b (1.2.38)

όπου Pa , nba οι συντελεστές των μεταβλητών , nb και n η αρίθμηση των μεγεθών

των γειτονικών όγκων.

Το δεύτερο, είναι μια μέθοδος επίλυσης των συστημάτων των γραμμικών αλγεβρικών

εξισώσεων. Υπάρχουν διάφοροι μέθοδοι, από τις οποίες μερικές είναι άμεσες. Δηλαδή,

επιλύουν με έναν αλγόριθμο κατ’ ευθείαν το σύστημα, χωρίς επαναληπτικές διαδικασίες

και με ακρίβεια, ενώ άλλες χρησιμοποιούν επαναληπτικές διαδικασίες που προσεγγίζουν

την λύση τους.

Παραδείγματα άμεσων μεθόδων είναι ο αλγόριθμος Thomas που χρησιμοποιείται για

τριδιαγώνιο σύστημα και η γενική του μορφή, που είναι η απαλοιφή Gauss. Για την

εφαρμογή των μεθόδων αυτών, δημιουργείται ένας κώδικας προγραμματισμού. Το

βασικό μειονέκτημα των άμεσων μεθόδων, είναι ότι απαιτούν μεγάλη μνήμη

υπολογιστικής ισχύος και χρόνου εκτέλεσης, όταν έχουμε μεγάλα συστήματα

εξισώσεων.

Για τα συστήματα της υπολογιστικής ρευστομηχανικής, χρησιμοποιούνται οι

επαναληπτικές μέθοδοι, όπου οι δύο βασικότερες είναι η Jacobi και η Gauss-Seidel. Το

λογισμικό FLUENT χρησιμοποιεί τη μέθοδο Gauss-Seidel και λύνει τα συστήματα των

εξισώσεων με πεπερασμένους όγκους. Παράλληλα με τη μέθοδο Gauss-Seidel,

εφαρμόζεται και η μέθοδος Algebraic Multigrid method (AMG), που βελτιώνει το

ρυθμό σύγκλισης.

1.2.7 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ

Η υδροτομή περιβάλλεται από ένα υπολογιστικό πλέγμα, δηλαδή από το χώρο που

υπάρχει το ρευστό. Το πλέγμα είναι ένα σύνολο από γραμμές που διασταυρώνονται και

στους κόμβους που σχηματίζονται, υπολογίζονται τα ζητούμενα μεγέθη ροής, με βάση

τους νόμους της μηχανικής των ρευστών. Οι άγνωστες τιμές στους κόμβους αυτούς,

χρησιμοποιούνται στις διακριτοποιημένες εξισώσεις διατήρησης και η επίλυση του

συστήματος των εξισώσεων βρίσκει τις τιμές αυτές. Σε ορισμένους κόμβους είναι

γνωστά τα ροϊκά μεγέθη και αποτελούν τις οριακές συνθήκες των εξισώσεων. Για την


υδροτομή, οριακή συνθήκη αποτελούν τα τοιχώματά της, όπου εκεί οι ταχύτητες

μηδενίζονται λόγω ιξώδους συμπεριφοράς. Μια ακόμη οριακή συνθήκη είναι η κλειστή

γραμμή, που απομονώνει την υδροτομή, στους κόμβους της οποίας είναι γνωστές οι

τιμές του αρχικού, μακρινού πεδίου ροής. Η κλειστή γραμμή μπορεί να έχει διάφορες

γεωμετρίες. Για παράδειγμα μπορεί να είναι ένα ορθογώνιο πλαίσιο ή συνδυασμός

πολλών σχημάτων, όπως ενός ημικυκλίου και ενός ορθογωνίου. Οι γεωμετρίες αυτές

παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα.

Σχήμα 1.14 Δύο σχήματα περιβάλλουσας γραμμής, πάνω στην οποία θα εφαρμοστούν οι

οριακές συνθήκες. Μέσα σε αυτές βρίσκεται η υδροτομή

Ανάλογα με την γεωμετρία της περιβάλλουσας γραμμής επηρεάζεται η δυσκολία στη

δημιουργία πλέγματος ανάμεσα σε αυτή και την υδροτομή. Τα υπολογιστικά πλέγματα

χωρίζονται σε δύο κατηγορίες :

Δομημένα πλέγματα, όπου οι γραμμές τους είναι σαν τοπικές γραμμές

ορθογωνίων καρτεσιανών αξόνων. Δηλαδή ένα δομημένο πλέγμα αποτελείται

από ένα σύνολο ορθογωνίων ή τετραπλεύρων, που μοιάζουν με ορθογώνια.

Μη δομημένα πλέγματα, όπου οι γραμμές είναι τυχαία κατανεμημένες και

σχηματίζουν πολύγωνα με οποιαδήποτε γεωμετρία.

Το πλεονέκτημα του δομημένου πλέγματος, είναι ότι το σχήμα των πεπερασμένων όγκων

που δημιουργούνται, έχουν ορθογώνιο σχήμα και η ολοκλήρωση των εξισώσεων

διατήρησης μέσα σε αυτούς, γίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια απ’ ότι στο μη δομημένο

πλέγμα, όπου η αριθμητική ολοκλήρωση αποκτά μεγαλύτερο σφάλμα. Επίσης, ο όγκος

των πράξεων για την αριθμητική ολοκλήρωση μέσα στους πεπερασμένους όγκους

δομημένου πλέγματος, είναι μικρότερος από αυτόν του αδόμητου.

Στην υδροτομή χρησιμοποιούνται και τα δύο είδη πλέγματος. Όμως στην περιοχή κοντά

στα τοιχώματα όπου τα υδροδυναμικά μεγέθη εμφανίζουν μεγάλες μεταβολές,


προτιμάται το δομημένο πλέγμα λόγω του πλεονεκτήματος που αναφέρθηκε παραπάνω.

Όσον αφορά την περιοχή μακριά από τα τοιχώματα της υδροτομής χρησιμοποιείται τόσο

το δομημένο όσο και το αδόμητο πλέγμα. Συνήθως κρίνεται απαραίτητη η δημιουργία

αδόμητου πλέγματος, όταν η περιβάλλουσα γραμμή έχει διαφορετική γεωμετρία από την

υδροτομή.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα δύο είδη πλέγματος :

Σχήμα 1.15 Η εικόνα ενός δομημένου, αριστερά και ενός αδόμητου, δεξιά πλέγματος σε

ένα δισκοειδές χωρίο

Όπως φαίνεται και από τις παραπάνω εικόνες, στην περιοχή κοντά στα τοιχώματα της

υδροτομής, το πλέγμα είναι πιο πυκνό, δηλαδή υπάρχουν περισσότεροι κόμβοι στους

οποίους θα υπολογίσουμε τα υδροδυναμικά μεγέθη. Αυτό συμβαίνει γιατί σε αυτή την

περιοχή εμφανίζεται το οριακό στρώμα και έχουμε μεγάλες μεταβολές στα μεγέθη αυτά.

Έχοντας όμως μεγάλο αριθμό κόμβων, επιτυγχάνεται ακρίβεια στους υπολογισμούς του

οριακού στρώματος, που αυτό με τη σειρά του επηρεάζει τους υπολογισμούς για όλο το

υπόλοιπο ροϊκό πεδίο καθώς και για τις δυνάμεις που ενεργούν πάνω στην υδροτομή. Το

πόσο πυκνό θα είναι το πλέγμα κοντά στα τοιχώματα, καθορίζεται από το γεγονός, ότι οι

μεταξύ αποστάσεις των κόμβων, θα πρέπει να είναι τάξη μεγέθους μικρότερες από το

πάχος του οριακού στρώματος, σε κάθε περίπτωση ροής.

Επιπλέον, ένα άλλο χαρακτηριστικό του αριθμητικού πλέγματος, έχει να κάνει με την

απόσταση του πρώτου κόμβου υπολογισμού από το τοίχωμα της υδροτομής. Αυτή η

απόσταση παίζει μεγάλο ρόλο, όταν χρησιμοποιούμε τα διάφορα μοντέλα τύρβης για να

περιγράψουμε το τυρβώδες οριακό στρώμα, όπως συνήθως είναι στις εφαρμογές των

υδροτομών. Τα μοντέλα τύρβης χρησιμοποιούν έτοιμα προφίλ οριακού στρώματος και


εφαρμόζουν τις λεγόμενες συναρτήσεις τοιχώματος (Wall functions) που περιγράφουν το

οριακό στρώμα:

* *1ln( )U E y

k

(1.2.39)

όπου *U η αδιάστατη κατανομή της ταχύτητας μέσα στο οριακό στρώμα, *y η

αδιάστατη απόσταση από το τοίχωμα , 0,4187k η σταθερά του Von Karman και

9,793E μια εμπειρική σταθερά.

Επίσης οι ποσότητες *U και *y ισούνται με:

1/4 1/2

*

/

P p

w

U C kU

(1.2.40)

1/4 1/2

* p PC k yy

(1.2.41)

όπου PU , Py η ταχύτητα και η απόσταση του κόμβου p, pk η κινητική ενέργεια της

τύρβης στο κόμβο p, μ το δυναμικό ιξώδες του ρευστού, C συντελεστής και w η

διατμητική τάση στο τοίχωμα.

Ακόμα η λογαριθμική κατανομή ισχύει για αδιάστατη απόσταση:

*30 300y (1.2.42)

Ενώ για * 11y βρισκόμαστε στην περιοχή του ομαλού υποστρώματος (laminar

sublayer) και το προφίλ της ταχύτητας της περιοχής αυτής δίνεται από τη σχέση:

* *U y (1.2.43)

Επομένως, η απόσταση όπου θα τοποθετηθεί ο πρώτος κόμβος υπολογίζεται από τα όρια

της αδιάστατης απόστασης καθώς και από τις σχέσεις 1.2.28 και 1.2.30. Ο πρώτος

κόμβος βρίσκεται μεταξύ των ορίων *30 300y , όταν επιθυμούμε μια γρήγορη

επίλυση του ροϊκού πεδίου, χωρίς μεγάλη προσέγγιση, όπου εφαρμόζονται οι

συναρτήσεις τοιχώματος των διάφορων μοντέλων τύρβης. Χρησιμοποιώντας αυτές τις

συναρτήσεις, δεν έχουμε μεγάλη ακρίβεια όσον αφορά τις μεταβολές του πραγματικού


οριακού στρώματος και επομένως, η εκτίμηση των δυνάμεων τριβής που δρουν πάνω

στην υδροτομη, δεν είναι ικανοποιητική.

Σε αντίθετη περίπτωση, που θέλουμε να υπολογίσουμε και το ομαλό οριακό υπόστρωμα

το οποίο αλληλεπιδρά με το τοίχωμα, χρησιμοποιούμε πρώτο κόμβο σε απόσταση

μικρότερη από αυτήν που καθορίζεται από το όριο * 11y . Για τον υπολογισμό του

ομαλού οριακού υποστρώματος, αρκεί μόνο ένας κόμβος (ο πρώτος) να είναι μέσα στην

περιοχή * 11y . Λύνοντας και το οριακό υπόστρωμα, έχουμε μεγάλη ακρίβεια στις

διατμητικές τάσεις που δρουν στο τοίχωμα, αφού αυτές εξαρτώνται, μέσα από το νόμο

του Νεύτωνα, από το προφίλ του ρευστού που ακουμπά το τοίχωμα.

Επίσης, σαν αδιάστατη απόσταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και το:

u yy

(1.2.44)

όπου y η απόσταση του κόμβου και u

η ταχύτητα τριβής.

Και στην περίπτωση χρησιμοποίησης του y για να εφαρμόσουμε συναρτήσεις

τοιχώματος, πρέπει ο πρώτος κόμβος να έχει απόσταση από το τοίχωμα, που

υπολογίζεται από το όρια:

30 300y (1.2.45)

Ενώ για τον υπολογισμό του οριακού υποστρώματος, πρέπει να ισχύει:

5y (1.2.46)

Με καλύτερη τιμή 1y .

Η διαδικασία καθορισμού της απόστασης του πρώτου κόμβου, δεν είναι απλή και

πετυχαίνεται με μια επαναληπτική διαδικασία. Και αυτό διότι το *,y y εξαρτάται και

από τις ροϊκές συνθήκες. Επομένως, πρέπει να υποθέσουμε, αρχικά, μια απόσταση

πρώτου κόμβου και αφού φτιάξουμε όλο το πλέγμα και λύσουμε του ροϊκό πεδίο,

υπολογίζουμε τότε τις τιμές *,y y πάνω σε όλη την επιφάνεια της υδροτομής. Αν οι

τιμές *,y y είναι στα όρια που επιθυμούμε, τότε η απόσταση του πρώτου κόμβου, που

υποθέσαμε αρχικά, είναι σωστή, αλλιώς ξαναφτιάχνουμε το πλέγμα με άλλη απόσταση


πρώτου κόμβου και ξανά λύνουνε το ροϊκό πεδίο. Αυτή η διαδικασία γίνεται μέχρι να

πετύχουμε τα επιθυμητά *,y y .

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, κοντά στα τοιχώματα της υδροτομής το πλέγμα πρέπει να

είναι πιο πυκνό. Υπάρχουν και άλλες όμως περιοχές, που απαιτείται πυκνή δομή του

πλέγματος όπως είναι το χείλος προσβολής και εκφυγής. Σε αυτές τις περιοχές, λόγω των

επιταχύνσεων και επιβραδύνσεων, παρατηρούνται μεγάλες μεταβολές στα υδροδυναμικά

μεγέθη. Επιπλέον, στο πίσω μέρος και κατά μήκος της υδροτομής, χρειάζεται μεγάλος

αριθμός κόμβων για τον υπολογισμό των υδροδυναμικών μεγεθών, για να λυθεί με

μεγαλύτερη ακρίβεια το απόρρευμα που δημιουργείται.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η περιοχή που απαιτείται πυκνότερο πλέγμα.

Σχήμα 1.16 Απαραίτητα πυκνώματα του πλέγματος γύρω από υδροτομή

Ακολουθεί σχήμα που παρουσιάζονται οι μορφές C, H, O, που μπορεί να πάρει το

πλέγμα γύρω από την υδροτομή.

Σχήμα 1.17 Τρείς μορφές κατασκευής πλέγματος. Η επιλογή κάθε μιας μορφής γίνεται με

κριτήριο την ευκολία κατασκευής


Παρατηρώντας και τις τρεις μορφές που μπορεί να πάρει το πλέγμα, προκύπτει, ότι μόνο

στις περιοχές που υπάρχουν μεγάλες μεταβολές των υδροδυναμικών μεγεθών έχουμε

πολλούς κόμβους. Στις περιοχές, μακριά από την υδροτομή το πλέγμα είναι αρκετά πιο

αραιό, χωρίς όμως αυτό να επηρεάζει τη λύση του ροϊκού πεδίου.

1.3 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ

1.3.1 Η ΣΠΗΛΑΙΩΣΗ ΓΕΝΙΚΑ

Μεγάλη πτώση πίεσης σε σημεία που επικρατούν υψηλές ταχύτητες ( υπερταχύτητες )

των υγρών προκαλεί σπηλαίωση, δηλαδή τοπική εξάτμιση του υγρού με σχηματισμό

φυσαλίδων ατμού. Αυτή η ελάττωση της πίεσης οφείλεται στην αλλαγή ροϊκών μεγεθών

καθώς το υγρό κινείται μέσα στο χώρο. Η πιο συχνή αιτία είναι η τοπική αύξηση της

ταχύτητας του υγρού ρευστού, με αποτέλεσμα τη μείωση της πίεσης του σε εκείνο το

σημείο. Είναι γνωστό ότι το νερό μπορεί να βράσει και να εξατμιστεί όχι μόνο με

αύξηση της θερμοκρασίας, αλλά μειώνοντας την εξωτερική πίεση στην τιμή της τάσης

των ατμών (pd). Ενώ για τη θερμοκρασία 100°C το νερό βράζει στην πίεση p= 1atm=

1.0133bar, για θερμοκρασία 15°C βράζει σε πίεση pd=0.0173bar. Όταν σε σημείο του

ροϊκού πεδίου η στατική πίεση γίνει p ≤ pd, τότε το νερό εξατμίζεται τοπικά και

σχηματίζονται φυσαλίδες γεμάτες ατμό. Μέσα στις φυσαλίδες επικρατεί πίεση p≥pd και

εξωτερικά p<pd.

Εμφάνιση σπηλαίωσης γίνεται κυρίως σε εγκαταστάσεις που χρησιμοποιούν για τη

λειτουργία τους το νερό. Παραδείγματα τέτοιων εγκαταστάσεων είναι οι υδροτομές όπου

λόγω της χαμηλής πίεσης στην πάνω επιφάνεια εμφανίζεται η σπηλαίωση. Επίσης στις

αντλίες όταν στο σημείο αναρρόφησης έχουμε πολύ χαμηλές πιέσεις. Σε διάφορες

στενώσεις αγωγών, όπως ο σωλήνας Venturi, όπου με αύξηση της ταχύτητας του

ρευστού , λόγω μείωσης της διατομής, έχουμε ελάττωση της πίεσης και φυσικά όταν

φτάσει κάτω από το σημείο κορεσμού εμφανίζεται σπηλαίωση. Τέλος σπηλαίωση μπορεί

να εμφανιστεί σε οποιαδήποτε άλλη συσκευή όπου το υγρό λειτουργίας δημιουργεί δίνες,

στο κέντρο των οποίων εμφανίζεται χαμηλή πίεση λόγω φυγοκεντρικών δυνάμεων.

Η σπηλαίωση θεωρείται από τους κύριους παράγοντες φθοράς των παραπάνω

συστημάτων. Το φαινόμενο αυτό διαιρείται σε δύο υποφαινόμενα : την αδρανειακή

σπηλαίωση και την μη αδρανειακή σπηλαίωση. Στην αδρανειακή σπηλαίωση, η

φυσαλίδες κατά την υγροποίηση τους ‘συνθλίβονται’ με μεγάλη ένταση κάτω από την


πίεση του περιβάλλοντος υγρού, όταν φτάσουν σε περιοχές υψηλότερης πίεσης. Αν αυτό

συμβαίνει κοντά σε τοιχώματα αγωγού ή πτερυγίου τότε οδηγεί σε τοπική καταστροφή

του υλικού. Στη μη αδρανειακή σπηλαίωση οι φυσαλίδες στο υγρό οδηγούνται σε

εξαναγκασμένη ταλάντωση ως προς το μέγεθος και το σχήμα τους, μέσω παροχής

ενέργειας σε αυτές. Η μη αδρανειακή σπηλαίωση παρατηρείται επίσης σε προπέλες ,

αντλίες και τουρμπίνες αλλά η φθορά από αυτή μπορεί να είναι ελεγχόμενη και

χρησιμοποιείται σε υπερηχητικό καθαρισμό, καταστροφή της σαλμονέλας και

καταστροφή της πέτρας στα νεφρά.

1.3.2 ΕΙΔΗ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ

Η σπηλαίωση μπορεί να εμφανιστεί πάνω στις εγκαταστάσεις με διάφορες μορφές και

σχήματα. Παρατηρούνται διαφορετικά είδη σπηλαίωσης ανάλογα με τη γεωμετρία των

τοιχωμάτων, με την ταχύτητα του υγρού λειτουργίας αλλά και με το πόσο κοντά

βρίσκεται η ελεύθερη ροή στο σημείο κορεσμού.

Έτσι η σπηλαίωση διακρίνεται σε :

Επισυναπτόμενη σπηλαίωση (attached cavities) : Η σπηλαίωση εμφανίζεται σαν να

είναι κολλημένη πάνω σε μία επιφάνεια της εγκατάστασης και εκτείνεται προς την

κατεύθυνση της ροής. Ανάλογα με τη ταχύτητα και το πόσο κοντά βρίσκεται η ελεύθερη

ροή στο σημείο κορεσμού διακρίνουμε α) την σταθερή μερική σπηλαίωση (stable

partial cavity), β) την μη σταθερή μερική σπηλαίωση (unstable partial cavity) και γ)

την υπερσπηλαίωση (supercavitation). Η μερική σταθερή σπηλαίωση, όπως φαίνεται

στο Σχήμα 1.16, πάνω σε μια υδροτομή έχει σταθερό μήκος και το κλείσιμο της

επιφάνειας του ατμού στο τέλος, είναι διακριτό και μέσα στα όρια της υδροτομής. Στη

μη σταθερή μερική σπηλαίωση, όπως φαίνεται στην Εικόνα 1.4, το σχήμα της επιφάνειας

του ατμού, συνεχώς αλλάζει, αλλά και στη περίπτωση αυτή, μπορούμε να διακρίνουμε

πολλές φορές το κλείσιμο του τέλους του ατμού. Το μήκος της σπηλαίωσης, τις

περισσότερες φορές, είναι μικρότερο της εγκατάστασης. Τέλος, στην Εικόνα 1.5,

φαίνεται η υπερσπηλαίωση, στην οποία οι μεγάλες ταχύτητες της ροής, αλλά και η

μεγάλη παραγωγή ατμού, λόγω του ότι η ελεύθερη ροή είναι πολύ κοντά στο κορεσμό,

δημιουργούν ένα μεγάλο μήκος σπηλαίωσης, που ξεφεύγει από τα όρια της υδροτομής

και το κλείσιμο του ατμού στο τέλος, είναι γενικά ανύπαρκτο.

Σπηλαίωση με φυσαλίδες ατμού, που ταξιδεύουν (traveling bubble cavitation) : Στην

περίπτωση αυτή, αρκετές φυσαλίδες που δημιουργούνται πάνω στην επιφάνεια της

εγκατάστασης από τα κοιλώματα της, μεγαλώνουν και αρχίζουν να κινούνται στο ρεύμα

του υγρού. Αυτή η σπηλαίωση φαίνεται στην Εικόνα 1.6.


Σπηλαίωση που μοιάζει με μεγάλα σύννεφα (cavitation clouds) : Αυτή η περίπτωση

φαίνεται στην Εικόνα 1.7. Εδώ εμφανίζονται λόγω αστάθειας μεγάλες μάζες ατμού, που

μοιάζουν με σύννεφα.

Σπηλαίωση λόγω δημιουργίας δινών (cavitating vortices) : Εδώ δημιουργείται ατμός

στο κέντρο της δίνης, που έχει χαμηλή πίεση και μεταφέρεται με το ρεύμα του υγρού.

Παρατηρείται στα ακροπτερύγια όπου, λόγω της διαφοράς πίεσης της πάνω και κάτω

επιφάνειας τους, δημιουργείται στρόβιλος. Επίσης, στους μεγάλους στροβίλους της

τυρβώδης ροής. Αυτό το είδος της σπηλαίωσης φαίνεται στην Εικόνα 1.8.

Σχήμα 1.3 Η μερική σταθερή σπηλαίωση. Διακρίνεται καθαρά

το κλείσιμο του μήκους του ατμού.

Εικόνα 1.4 Η μη σταθερή μερική σπηλαίωση.

Το σχήμα του ατμού συνεχώς μεταβάλλεται.


Εικόνα 1.5 Η υπερσπηλαίωση (Supercavitation).

Το μήκος της σπηλαίωσης καλύπτει όλη την επιφάνεια

και επεκτείνεται ακόμα πίσω.

Εικόνα 1.6 Οι φυσαλίδες αφού μεγαλώσουν αρκετά αρχίζουν

και ταξιδεύουν πάνω στην επιφάνεια της υδροτομής.


Εικόνα 1.7 Η δημιουργία σπηλαίωσης

που μοιάζει με μεγάλα σύννεφα

Εικόνα 1.8 Η σπηλαίωση δημιουργείται στο κέντρο των δινών

και ύστερα μεταφέρεται με τη ροή


1.3.3 ΑΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ

Ο αριθμός σπηλαίωσης είναι ένας αδιάστατος αριθμός που προσδιορίζει το μέγεθος της

σπηλαίωσης σε μία εγκατάσταση. Ορίζεται ως :

21

2

refp p

V

(1.3.1)

όπου refp η πίεση αναφοράς σε κάποιο σημείο, το οποίο είναι συνήθως στην είσοδο του

υγρού, στο όγκο μελέτης του φαινομένου της σπηλαίωσης, p η πίεση κορεσμού του

υγρού στη θερμοκρασία που βρίσκεται και V η ταχύτητα της ελεύθερης ροής όπου κι

αυτή μετριέται στην είσοδο του υγρού στον όγκο ελέγχου.

Ο αδιάστατος αριθμός σπηλαίωσης μπορεί να μεταβληθεί, όπως φαίνεται και από την

παραπάνω σχέση, μεταβάλλοντας είτε την ταχύτητα της ελεύθερης ροής, είτε την πίεση

αναφοράς, είτε τη πίεση κορεσμού του υγρού αλλάζοντας τη θερμοκρασία του. Στις

πρακτικές εφαρμογές είναι προτιμότερο να μεταβάλλεται η ταχύτητα του υγρού.

Στη μελέτη κάθε ροής υπάρχει ένας κρίσιμος αριθμός σπηλαίωσης σcr , όπου για τιμές

μικρότερες από αυτόν αρχίζει να εμφανίζεται το φαινόμενο της σπηλαίωσης. Όσο

μεγαλύτερη είναι η απόκλιση του αριθμού σπηλαίωσης από την κρίσιμη τιμή του, τόσο

αυξάνεται η παρουσία του ατμού με τις διάφορες μορφές του. Για παράδειγμα, σε μια

υδροτομή για αριθμούς σπηλαίωσης ελάχιστα κάτω από την κρίσιμη τιμή, εμφανίζεται

μια, μικρού μεγέθους, σπηλαίωση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.16 με τη μερική

σπηλαίωση, ενώ πολύ κάτω από την κρίσιμη τιμή, η παρουσία του ατμού είναι μεγάλη

και δημιουργείται μια σπηλαίωση της μορφής του Σχήματος 1.18 με την

υπερσπηλαίωση. Αυτό που αξίζει να τονιστεί είναι πως καθώς η τιμή του αριθμού

σπηλαίωσης αυξάνεται πάνω από την κρίσιμη τιμή του δεν παρατηρείται καμία αλλαγή

στην ύπαρξη ατμού. Άρα, ο αριθμός σπηλαίωσης καθορίζει το μέγεθος της σπηλαίωσης,

που εμφανίζεται όταν παίρνει τιμές κάτω από την κρίσιμη τιμή του.

Τέλος, αν υπάρχει ήδη σπηλαίωση, δεν αρκεί να αυξηθεί ο αριθμός σπηλαίωσης πάνω

από την κρίσιμη τιμή του σcr ώστε να εξαλειφτεί. Υπάρχει μία τιμή του αριθμού

σπηλαίωσης, λίγο μεγαλύτερη της κρίσιμης τιμής, πάνω από την οποία εξαφανίζεται η

σπηλαίωση που προϋπάρχει στο υγρό.


1.3.4 ΕΞΙΣΩΣΗ RAYLEIGH-PLESSET

Ο μηχανισμός στον οποίο βασίζεται η δημιουργία του φαινομένου της σπηλαίωσης, είναι

η ανάπτυξη πολύ μικρών σε μέγεθος φυσαλίδων ατμού, πάνω σε υπάρχοντες πυρήνες , οι

οποίοι είναι μικρά συσσωματώματα μη διαλυμένων αερίων στο υγρό ή κοιλότητες πάνω

στις στερεές επιφάνειες. Δηλαδή, κάτω από ορισμένες συνθήκες και όταν υπάρχει στο

νερό μη διαλυμένος αέρας, ξεκίνα το φαινόμενο της σπηλαίωσης.

Η δημιουργία του ατμού μπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από την ανάπτυξη μια

σφαιρικής φυσαλίδας, η οποία περιέχει ατμό και μη διαλυμένο αέριο. Επομένως, για την

κατανόηση του φαινομένου της σπηλαίωσης αρκεί να μελετήσουμε τη συμπεριφορά

κάθε μιας φυσαλίδας του ατμού που δημιουργείται.

Την συμπεριφορά αυτή της φυσαλίδας, περιγράφει η εξίσωση Rayleigh-Plesset, η οποία

εκφράζεται ως:

3

2 0( ) 0

3 24

2

k

t g

R S RRR R p p p

R R R

(1.3.2)

Όπου R , R , R η ακτίνα της φυσαλίδας και οι παραγωγοί της ως προς το χρόνο, ( )tp η

πίεση έξω από τη φυσαλίδα, S η επιφανειακή τάση του υγρού, μ η δυναμική

συνεκτικότητα του υγρού και k ένας πολυτροπικός συντελεστής.

Η εξίσωση Rayleigh-Plesset είναι μια διαφορική εξίσωση, η οποία υπολογίζει το ρυθμό

μεταβολής της ακτίνας της φυσαλίδας, ανάλογα με τις εξωτερικές επιδράσεις. Επομένως,

μελετώντας τη συμπεριφορά της μιας φυσαλίδας, ουσιαστικά μελετάται το φαινόμενο

της σπηλαίωσης, το οποίο αποτελείται από ένα σύνολο φυσαλίδων.

Από τη σχέση 1.3.2, βλέπουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας της φυσαλίδας,

εξαρτάται από τέσσερις παράγοντας, που βρίσκονται στο δεξί μέλος της εξίσωσης. Ο

πρώτος παράγοντας, που επηρεάζει την μεταβολή της ακτίνας, είναι ο όρος ( )tp p ,

που είναι η διαφορά της πίεσης κορεσμού με την εξωτερική πίεση της φυσαλίδας. Ο

δεύτερος παράγοντας είναι ο όρος

3

00

k

g

Rp

R

,που είναι η επίδραση του μη διαλυόμενου

αερίου, του οποίου θεωρείται ότι, η μάζα του δεν μεταβάλλεται μέσα στη φυσαλίδα. Ο


τρίτος παράγοντας είναι ο όρος 2S

R ,όπου είναι η επιφανειακή τάση του υγρού και τέλος

ο παράγοντας 4R

R ,είναι η επίδραση της συνεκτικότητα του υγρού.

Για φυσαλίδες που έχουν αναπτυχθεί αρκετά και το μέγεθος τους είναι μεγάλο, η

εξίσωση Rayleigh-Plesset γίνεται:

2

( )

3

2tRR R p p

(1.3.3)

1.3.5 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΩΝ ΦΥΣΑΛΙΔΩΝ ΑΤΜΟΥ

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, το πρώτο στάδιο για τη δημιουργία φυσαλίδων ατμού είναι η

ύπαρξη πολύ μικρών σε μέγεθος σφαιρικών συσσωματωμάτων μη συμπυκνωμένων

αερίων στο υγρό ή από βαθουλώματα πάνω στις στερεές επιφάνειες. Τα αρχικά αυτά

αέρια συσσωματώματα ή αλλιώς πυρήνες, που είναι απαραίτητα για να αναπτυχθεί το

φαινόμενο της σπηλαίωσης, είναι πιθανό να προέρχονται από τα μόρια του ίδιου του

υγρού. Επειδή όμως έχουν πολύ μικρότερο μέγεθος, σε σχέση με τα σφαιρικά

συσσωματώματα των μη συμπυκνωμένων αερίων, απαιτούν πολύ χαμηλότερες πιέσεις

για την ανάπτυξη τους. Οπότε, δεν παρατηρούνται στην ανάπτυξη σπηλαίωσης.

Όταν μεταφέρονται μόρια από το υγρό στις αέριες μικροσκοπικές φυσαλίδες, διαμέσου

της σφαιρικής επιφάνειας, που τα διαχωρίζει, επιτυγχάνεται η ατμοποίηση. Το φαινόμενο

της ατμοποίησης είναι ίδιο με αυτό της εξάτμισης μιας επίπεδης επιφάνειας υγρού, με τη

διαφορά ότι εδώ έχουμε σφαιρικές επιφάνειες. Λόγω του ότι οι επιφάνειες είναι

σφαιρικές, πρέπει η πίεση στο εσωτερικό μέρος της φυσαλίδας να είναι μεγαλύτερη από

την πίεση του υγρού που την περιβάλλει έτσι ώστε να υπάρχει ισορροπία δυνάμεων και η

φυσαλίδα να διατηρεί το μέγεθός της. Αυτό συμβαίνει λόγω της επιφανειακής τάσης του

υγρού. Στο Σχήμα 1.18, φαίνονται οι τάσεις σε μια φυσαλίδα:

Σχήμα 1.18 Η επίπεδη προβολή μισής φυσαλίδας, όπου S η επιφανειακή τάση, PG

η πίεση του ατμού και PL η πίεση του υγρού που την περιβάλλει.


Επιπλέον, για τη διατήρηση της ισορροπίας κατά τη μεταφορά των μορίων από και προς

τη φυσαλίδα, θα πρέπει η θερμοκρασία του συστήματος υγρού-φυσαλίδας να είναι

μεγαλύτερη από την θερμοκρασία κορεσμού του υγρού και ίδια με την θερμοκρασία

κορεσμού του ατμού της φυσαλίδας. Όσον αφορά τις πιέσεις, θα πρέπει η πίεση του

υγρού να είναι μικρότερη από την πίεση κορεσμού στη θερμοκρασία στην οποία

βρίσκεται και τέτοια, ώστε η αναπτυσσόμενη πίεση του ατμού στη φυσαλίδα, να έχει

θερμοκρασία κορεσμού την επιβαλλόμενη. Αποτέλεσμα είναι να διατηρεί η φυσαλίδα το

μέγεθός της. Στην περίπτωση όπου η πίεση ελαττωθεί κι άλλο, τότε το μέγεθος της

φυσαλίδας αυξάνεται λόγω της μεγαλύτερης μεταφοράς μορίων από το υγρό στον ατμό.

Υπάρχει όμως μια κρίσιμη τιμή της ακτίνας της φυσαλίδας, που προκύπτει από την

αντίστοιχη κρίσιμη πίεση. Η πίεση αυτή είναι μικρότερη από την πίεση κορεσμού και η

φυσαλίδα βρίσκεται σε μια ασταθή κατάσταση όπου το μέγεθός της μπορεί να αυξηθεί

χωρίς να μειωθεί περαιτέρω η πίεση. Αυτό εξηγεί και την ύπαρξη μεγάλων φυσαλίδων

ατμού στην περιοχή της σπηλαίωσης όπως φαίνεται στην Εικόνα 1.6.

Το Σχήμα 1.19 δείχνει σε ποια ακτίνα ισορροπεί η φυσαλίδα, ανάλογα με την εξωτερική

πίεση.

Σχήμα 1.19 Η φυσαλίδα 1 είναι σε ευσταθή κατάσταση, οπότε με μείωση της πίεσης

αυξάνει την ακτίνας της μέχρι την νέα θέση ισορροπίας. Η φυσαλίδα 2 όμως, έχει

ξεπεράσει το κρίσιμο όριο και βρίσκεται σε αστάθεια, με αποτέλεσμα την απεριόριστη

αύξηση της.


Στην κατάσταση αυτή, το υγρό που περιβάλλει τη φυσαλίδα ονομάζεται υπέρθερμο υγρό

το οποίο βρίσκεται σε μια μετασταθή κατάσταση. Η θερμοκρασία του υγρού είναι

μεγαλύτερη από τη θερμοκρασία κορεσμού του χωρίς όμως να αλλάζει φάση.

Για να επιτευχθεί η ανάπτυξη της φυσαλίδας, θα πρέπει η πίεση να ελαττωθεί.

Συγκεκριμένα, όσο μικρότερη είναι η φυσαλίδα τόσο μεγαλύτερη ελάττωση πίεσης από

την πίεση κορεσμού πρέπει να έχουμε. Το φαινόμενο, λοιπόν, της σπηλαίωσης ξεκινά

από πίεση μικρότερη της πίεσης κορεσμού στη θερμοκρασία στην οποία βρίσκεται.

Επειδή όμως, αυτή η ελάττωση, για τα συνήθη μεγέθη των πυρήνων των μη διαλυμένων

αερίων, είναι αρκετά μικρή, μπορούμε να υποθέσουμε προσεγγιστικά ότι, η σπηλαίωση

ξεκινά από την πίεση κορεσμού.

Τέλος, η λανθάνουσα θερμότητα που απαιτείται για να ατμοποιηθεί το υγρό μιας

φυσαλίδας εξασφαλίζεται από τη θερμική ενέργεια του υγρού. Έτσι, η θερμοκρασία του

υγρού που περιβάλλει τη φυσαλίδα μειώνεται. Επειδή όμως, η μείωση αυτή είναι της

τάξης από 0,01 μέχρι 0,1 βαθμούς Kelvin θεωρείται αμελητέα για τη διευκόλυνση της

μελέτης του φαινομένου της σπηλαίωσης.

1.3.6 ΕΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΗ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗ

Στην παρούσα διπλωματική χρησιμοποιείται το πρόγραμμα FLUENT που διαθέτει το

μοντέλο mixture (πολυφασικές ροές). Το μοντέλο αυτό χρησιμοποιείται για την επίλυση

του φαινομένου της σπηλαίωσης, αφού έχει τη δυνατότητα να περιγράφει τη ροή

μιγμάτων σε πολλές φάσεις. Συγκεκριμένα, στην σπηλαίωση εμφανίζονται δύο φάσεις,

μια το υγρό και μια ο ατμός του.

Υποθέτουμε ότι το ρευστό που μελετάμε, αποτελείται από το υγρό, τον ατμό και τα μη

διαλυόμενα αέρια. Έτσι, η γενική εξίσωση μεταφοράς, που περιγράφει το κλάσμα μάζας

του ατμού, είναι:

( ) ( ) ( )u e cf u f f R Rt

(1.3.4)

όπου η πυκνότητα του μίγματος, uu η ταχύτητα της φάσης του ατμού, ένας

συντελεστής, και eR , cR είναι ο ρυθμός ανάπτυξης και κατάρρευσης των φυσαλίδων.

Οι παραπάνω ρυθμοί ανάπτυξης και κατάρρευσης των φυσαλίδων, σχηματίζονται από

την εξίσωση Rayleigh-Plesset και εκφράζονται ως:


Για την ανάπτυξη των φυσαλίδων:

2( )(1 )

3

ch sate e l u

l

V p pR C f

(1.3.5)

Για την κατάρρευση των φυσαλίδων:

2( )

3

ch satc c l l

l

V p pR C f

(1.3.6)

όπου l ,u δείκτες για το υγρό και τον ατμό αντίστοιχα, chV η χαρακτηριστική ταχύτητα,

η επιφανειακή τάση και 0.02eC , 0.01cC εμπειρικές σταθερές.

Επίσης, τα μη διαλυόμενα αέρια στο υγρό, επιδρούν στην πυκνότητα του μίγματος. Έτσι,

η πυκνότητα του μίγματος δίνεται από την σχέση:

(1 )u u g g u g l (1.3.7)

όπου u , g , l η πυκνότητα του ατμού, του μη διαλυόμενου αερίου και του υγρού

αντίστοιχα και u , g το κλάσμα του όγκου που καταλαμβάνει ο ατμός και το αέριο,

αντίστοιχα.

Τα κλάσματα όγκου συνδέονται με το κλάσμα μάζας f με τον εξής τρόπο:

i i

i

f

(1.3.8)

Ακόμα, το άθροισμα των όγκων του ατμού και του αερίου ονομάζεται κενό κλάσμα και

είναι το:

u g (1.3.9)

Έχει παρατηρηθεί ότι η τυρβώδης κατάσταση, που συμβαίνει σε μια ροή επηρεάζει με

την σειρά της την εμφάνιση της σπηλαίωσης, αλλάζοντας την πίεση κορεσμού satp σε

up με τον εξής τρόπο:

1( )

2u sat turbp p p (1.3.10)


όπου 0.39turbp k και k η κινητική ενέργεια τύρβης.

Έτσι, με τις παραπάνω σημειώσεις της πυκνότητας και της τύρβης, οι σχέσεις που δίνουν

το ρυθμό ανάπτυξης και κατάρρευσης των φυσαλίδων, γράφονται ως:

Για την ανάπτυξη των φυσαλίδων:

2( )(1 )

3

ue e l u u g

l

p pkR C f f

(1.3.11)

Για την κατάρρευση των φυσαλίδων:

2( )

3

uc c l l u

l

p pkR C f

(1.3.12)

1.3.7 ΣΠΗΛΑΙΩΣΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΥΔΡΟΤΟΜΕΣ

Το φαινόμενο της σπηλαίωσης εμφανίζεται πολύ συχνά πάνω στις υδροτομές. Οι

μεγάλες ταχύτητες με τις οποίες μπορούν να κινούνται μέσα στο νερό είναι ο κύριος

λόγος εμφάνισης του φαινομένου. Το φαινόμενο της σπηλαίωσης προκαλεί

καταστροφικά αποτελέσματα πάνω στην υδροτομή, αφού όλα τα υδροδυναμικά μεγέθη

μεταβάλλονται, συνήθως προς το χειρότερο. Επομένως, κρίνεται απαραίτητος ο

σχεδιασμός υδροτομών όπου καταστέλλουν την σπηλαίωση ή να ελαττώνουν τις

επιπτώσεις της πάνω στα υδροδυναμικά μεγέθη.

Με την βοήθεια της υπολογιστικής ρευστομηχανικής είναι δυνατή η προσομοίωση του

φαινομένου της σπηλαίωσης με μεγάλη ακρίβεια, χωρίς να πραγματοποιούνται συνεχώς

πειράματα. Η προσομοίωση αυτή έχει το πλεονέκτημα να δίνει πρόσβαση σε απόκρυφα

σημεία του όγκου ελέγχου, όπου με τα πειράματα είναι αδύνατη. Συνήθως οι υδροτομές

λειτουργούν με μια θετική γωνία προσβολής από 0 έως 20 μοίρες. Επομένως, το

φαινόμενο της σπηλαίωσης ξεκινά από το χείλος προσβολής, όπου η πίεση είναι πιο

χαμηλή από τα άλλα σημεία και επεκτείνεται προς το χείλος εκφυγής, πάντα από την

πάνω επιφάνεια. Στην κάτω επιφάνεια δεν εμφανίζονται τέτοια φαινόμενα.

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η σπηλαίωση πάνω σε μια υδροτομή μπορεί να πάρει

διάφορες μορφές. Οι μορφές αυτές εξαρτώνται από τον αριθμό σπηλαίωσης. Κοντά στο

χείλος προσβολής εμφανίζεται η σταθερή μερική σπηλαίωση, ενώ σε μικρούς αριθμούς

σπηλαίωσης εμφανίζεται η υπερπηλαίωση που καλύπτει όλη την πάνω επιφάνεια της


υδροτομής και επεκτείνεται προς τα πίσω. Σε μεγάλες γωνίες προσβολής, όπου έχουμε

αποκόλληση οριακού στρώματος και δημιουργούνται στρόβιλοι, εμφανίζεται μέσα σε

αυτούς η σπηλαίωση. Στο Σχήμα 1.9, φαίνονται δυο περιπτώσεις σπηλαίωσης σε

υδροτομή.

Εικόνα 1.9 Και στις δύο περιπτώσεις η σπηλαίωση

ξεκινά από το χείλος προσβολής

Όσον αφορά την επίδραση του φαινομένου της σπηλαίωσης στον συντελεστή άνωσης

CL, σε γενικές γραμμές ο συντελεστής αυτός αυξάνεται λόγω του ότι, στο σημείο στο

οποίο βρίσκεται ο ατμός, η πίεση πέφτει ακόμα περισσότερο και έτσι δημιουργείται

μεγαλύτερη υποπίεση στην πάνω επιφάνεια της υδροτομής. Επίσης, ο συντελεστής

αντίστασης CD αυξάνεται με την εμφάνιση σπηλαίωσης, λόγω τριβής με τις φυσαλίδες.

Επομένως, η σπηλαίωση μειώνει την υδροδυναμική απόδοση της υδροτομής καθώς

επίσης προκαλεί φθορές σε διάφορα γειτονικά συστήματα ή και στην ίδια την υδροτομή,

καθώς οι φυσαλίδες καταρρέουν πάνω τους.

Η σπηλαίωση πάνω στην υδροτομή όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, μελετάται υπολογιστικά

με μικρότερο κόστος και μεγάλη ακρίβεια. Όμως η μελέτη αυτή γίνεται και πειραματικά

σε εργαστήριο μέσα σε υδροσήραγγες, που ονομάζονται σήραγγες σπηλαίωσης

(cavitation tunels). Αυτές, αντίθετα με τις αεροσήραγγες, αποτελούν μία κλειστή

διαδρομή (σωλήνα), όπου σε κάποιο σημείο της τοποθετείται η υδροτομή. Στον Σχήμα

1.20, φαίνεται μια τέτοια εγκατάσταση.


Σχήμα 1.20 Σήραγγα σπηλαίωσης ( cavitation tunnel)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2-ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΣΤΟ GAMBIT_______ 72

Κεφάλαιο 2

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ

ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GAMBIT

2.1 ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GAMBIT

Το GAMBIT είναι ένα σχεδιαστικό πακέτο που έχει ως βασική εφαρμογή την κατασκευή

αριθμητικού πλέγματος και την προεπεξεργασία. Επίσης, αποτελεί μια από τις

υποστηριζόμενες πλατφόρμες ως προς το λογισμικό FLUENT.

Ανοίγοντας την εφαρμογή, εμφανίζεται το παραθυρικό περιβάλλον και αναμένεται από

το χρήστη η εισαγωγή της γεωμετρίας. Όπως κάθε υπολογιστικό πακέτο

προεπεξεργασίας, έτσι και το GAMBIT παρέχει στοιχειώδεις δυνατότητες σχεδίασης

αντικειμένων. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να δημιουργήσει σημεία, ακμές στο χώρο ή

γραμμές στο επίπεδο καθώς και καμπύλες γραμμές ή επιφάνειες.

Για την συγκεκριμένη σχεδίαση, αξίζει να σημειωθεί ότι μετά την εισαγωγή των

σημείων, πρέπει να γίνει η κατάλληλη ένωσή τους ώστε να αναπαρασταθεί η υδροτομή.

Χρησιμοποιείται το εργαλείο παρεμβολής με NURBS που διαθέτει το GAMBIT και

τελικά έχουμε τη μορφή της υδροτομής. Το λογισμικό GAMBIT χρησιμοποιείται για

απλές περιπτώσεις καθώς σε αντίθετη περίπτωση προτιμάται ο σχεδιασμός σε κάποιο

πακέτο CAD, όπου το αρχείο θα εισαχθεί μέσω της αντίστοιχης δυνατότητας του

GAMBIT.

Για τη δημιουργία πλέγματος, υπάρχουν διάφορες δυνατότητες. Το πλέγμα μπορεί να

είναι δομημένο ή αδόμητο χρησιμοποιώντας όλους τους τύπους των κελίων που

δημιουργούνται. Δηλαδή, με τριγωνικά ή τετράπλευρα στοιχεία για τις δύο διαστάσεις

και πολυεδρικά για τις τρεις. Επιπλέον, το GAMBIT διαθέτει ειδικά εργαλεία για την

κατασκευή πλεγμάτων μέσα σε οριακά στρώματα, κοντά σε τοιχώματα (boundary

layers). Τα αδόμητα πλέγματα δημιουργούνται αυτόματα από το GAMBIT και έτσι

έχουμε μια γρήγορη πρώτη εκτίμηση του ροϊκού πεδίου, σε αντίθεση με τα δομημένα,

όπου ο χρήστης πρέπει να ορίσει ορισμένους παράγοντες.


Το πλέγμα που τελικά δημιουργείται από το GAMBIT, εξάγεται σε αρκετούς

διαφορετικούς τύπους αρχείου, ώστε να μπορεί να συνεργάζεται με άλλα προγράμματα.

Μια συνήθης εξαγωγή είναι σε αρχείο της μορφής .msh που είναι συμβατό με το

λογισμικό FLUENT στο οποίο εισάγουμε τη γεωμετρία της υδροτομής.

Η έκδοση που χρησιμοποιείται στην παρούσα διπλωματική είναι το GAMBIT 2.4.6.

2.2 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ

2.2.1 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΔΡΟΤΟΜΗΣ NACA66 (ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ)

ΣΤΟ GAMBIT

Αρχικά, στην παρούσα εργασία γίνεται ο σχεδιασμός της υδροτομής, της περιβάλλουσας

γραμμής, ώστε να καθοριστούν τα όρια που θα γίνει η ανάλυση του ροϊκού πεδίου,

καθώς και η δημιουργία του πλέγματος.

Η υδροτομή που θα μελετηθεί είναι της σειράς NACA66 και θα σχεδιαστούν μόνο οι

δύο διαστάσεις της καθώς θεωρείται πως η τρίτη διάσταση δεν επηρεάζει στην ανάλυση

του ροϊκού πεδίου . Τα χαρακτηριστικά της υδροτομής φαίνονται στον πίνακα 2.1.

Τροποποιημένη NACA 66

Μήκος χορδής (c) 0,150 m

Μέγιστο πάχος (%c) 12%

Θέση μέγιστου πάχους (%c απο το χείλος προσβολής) 45%

Μέγιστη απόσταση μέσης γραμμής-χορδής (%c) 2%

Θέση μέγιστης απόστασης μέσης γραμμής-χορδής (%c απο το χείλος προσβολής) 50%

Πίνακας 2.1 Τα χαρακτηριστικά της τροποποιημενης NACA 66 που χρησιμοποιήθηκε στην

αριθμητική ανάλυση

Αντικείμενο της διπλωματικής εργασίας είναι η επίλυση του ροϊκού πεδίου για

διαφορετικές γωνίες προσβολής. Η υδροτομή που σχεδιάζεται δεν έχει κλίση καθώς η

χορδή της συμπίπτει με τον άξονα Gx του GAMBIT. Αυτό που θα αλλάζει συνεχώς είναι

η γωνία προσβολής του νερού πάνω στην υδροτομή το οποίο όμως ρυθμίζεται κάθε φορά

από το FLUENT.

Για την σωστή κατασκευή της γεωμετρίας της υδροτομής είναι απαραίτητο να

προσδιοριστούν οι συντεταγμένες της στο επίπεδο xy. Οι συντεταγμένες βρίσκονται στη

δημοσίευση «An Experimental Study of Unsteady Partial Cavitation» των Jean-Baptiste

Leroux, Jacque Andre Astolfi και Jean Yves Billard. Συνολικά ο αριθμός των σημείων

είναι 201 και αξίζει να τονιστεί ότι δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα κατά μήκος της

επιφάνειας της υδροτομής, αλλού είναι πιο πυκνά και αλλού είναι πιο αραιά.

Συγκεκριμένα, η πύκνωση των σημείων γίνεται στο χείλος προσβολής και στο χείλος


εκφυγής καθώς εκεί επικεντρώνεται το ενδιαφέρον της μελέτης, αφού παρατηρούνται

μεγάλες μεταβολές στα υδροδυναμικά μεγέθη. Τα σημεία της υδροτομής παρουσιάζονται

στον Πίνακα 2.2.

Συντεταγμένες σημείων της περιμέτρου της υδροτομής NACA 66 x(m) y(m) x(m) y(m) x(m) y(m) x(m) y(m)

0,15293438 -1,80E-04 0,04985537 -0,00591385 3,7518E-06 0,00057663 0,05853059 0,0117587

0,15136634 -4,01E-04 0,04787474 -0,00587334 5,242E-05 0,00075673 0,06062778 0,01182848

0,14977964 -6,24E-04 0,04591729 -0,00582806 0,00012288 0,00093085 0,06274053 0,01188606

0,14816464 -8,42E-04 0,04398426 -0,00577769 0,00021307 0,00109945 0,06486759 0,01193026

0,14651205 -1,05E-03 0,04207686 -0,00572209 0,00032142 0,00126396 0,06700768 0,01195987

0,14482352 -1,26E-03 0,04019632 -0,00566174 0,0004469 0,00142605 0,0691595 0,01197375

0,14310018 -1,46E-03 0,03834385 -0,00559707 0,000589 0,00158713 0,07132174 0,01197127

0,14134335 -1,65E-03 0,03652067 -0,00552806 0,00075888 0,00175768 0,07349309 0,01195298

0,13955441 -1,83E-03 0,03472801 -0,00545455 0,0009591 0,00193632 0,07567222 0,01191934

0,13773464 -2,01E-03 0,03296713 -0,00537613 0,00121158 0,0021374 0,07785784 0,01187038

0,13588526 -2,19E-03 0,03123928 -0,0052924 0,00151794 0,00235634 0,08004863 0,011806

0,13400749 -2,36E-03 0,0295457 -0,00520313 0,00189045 0,00259517 0,08224328 0,01172593

0,13210261 -2,52E-03 0,02788765 -0,00510831 0,00232948 0,00284887 0,08444046 0,01162997

0,13017192 -2,68E-03 0,02626633 -0,00500854 0,00283394 0,00311394 0,08663886 0,01151814

0,12821673 -2,84E-03 0,02468293 -0,00490453 0,0034034 0,00338747 0,08883718 0,01139049

0,12623831 -2,99E-03 0,02313866 -0,00479696 0,00403651 0,00366825 0,09103409 0,01124711

0,12423798 -3,14E-03 0,02163471 -0,00468638 0,00473212 0,00395461 0,09322827 0,01108796

0,12221712 -3,29E-03 0,02017232 -0,00457275 0,00548891 0,00424519 0,0954184 0,01091285

0,12017725 -3,44E-03 0,01875274 -0,00445588 0,00630562 0,00453859 0,09760313 0,01072168

0,11811969 -3,60E-03 0,01737726 -0,00433547 0,00718116 0,00483328 0,09978114 0,0105144

0,11604555 -3,77E-03 0,01604713 -0,00421129 0,00811427 0,00512819 0,10195111 0,01029133

0,11395575 -3,93E-03 0,01476363 -0,00408338 0,0091036 0,0054227 0,10411177 0,01005296

0,11185119 -4,09E-03 0,01352799 -0,00395201 0,01014768 0,00571646 0,10626183 0,00979963

0,10973307 -4,25E-03 0,01234147 -0,00381737 0,0112452 0,00600889 0,10839998 0,00953144

0,10760264 -4,40E-03 0,01120532 -0,00367972 0,01239484 0,00629956 0,11052478 0,00924781

0,10546108 -4,55E-03 0,01012084 -0,00353902 0,01359538 0,00658765 0,11263482 0,00894815

0,10330959 -4,69E-03 0,00908935 -0,00339519 0,01484557 0,00687244 0,11472883 0,00863316

0,10114936 -4,83E-03 0,00811219 -0,00324811 0,01614417 0,00715326 0,11680549 0,008303

0,09898159 -4,96E-03 0,00719071 -0,00309771 0,01748991 0,0074296 0,11886299 0,00795523

0,09680745 -5,09E-03 0,00632626 -0,00294426 0,01888145 0,00770127 0,1208996 0,00758801

0,09462814 -5,21E-03 0,00552026 -0,00278826 0,02031744 0,00796834 0,1229138 0,00720123

0,09244491 -5,32E-03 0,004774 -0,00263026 0,02179656 0,00823066 0,12490458 0,00679729

0,09025897 -5,42E-03 0,00408882 -0,00247042 0,02331755 0,00848801 0,12687142 0,00638057

0,08807156 -5,52E-03 0,0034661 -0,00230939 0,02487918 0,00873976 0,12881358 0,00595404

0,08588392 -5,61E-03 0,00290804 -0,002147 0,02648031 0,00898498 0,13073018 0,00551968

0,08369727 -5,69E-03 0,00241613 -0,00198477 0,02811976 0,00922268 0,13262018 0,00507878

0,08151285 -5,76E-03 0,00199148 -0,00182449 0,02979635 0,00945187 0,1344826 0,00463271

0,07933188 -5,83E-03 0,0016343 -0,0016699 0,03150883 0,00967202 0,13631654 0,00418315

0,07715562 -5,88E-03 0,0013334 -0,0015205 0,03325589 0,00988306 0,13812114 0,0037318

0,0749853 -5,93E-03 0,00109032 -0,00137992 0,03503622 0,0100851 0,13989552 0,00328023

0,07282216 -5,97E-03 0,0008821 -0,00123877 0,03684849 0,01027841 0,14163876 0,00282984

0,07066744 -6,00E-03 0,00070698 -0,00109942 0,0386914 0,010463 0,14335002 0,00238225

0,06852236 -6,03E-03 0,00055232 -0,0009554 0,04056371 0,01063849 0,14502851 0,00193925

0,06638817 -6,04E-03 0,00041638 -0,00080696 0,04246417 0,01080466 0,14667328 0,00150193

0,06426613 -6,05E-03 0,00029717 -0,00065329 0,04439149 0,01096149 0,14828299 0,00106998

0,06215748 -6,04E-03 0,00019381 -0,00049354 0,04634443 0,01110867 0,14985719 0,00064641

0,06006345 -6,04E-03 0,00010745 -0,00032733 0,04832178 0,0112453 0,15140478 0,00023028

0,05798525 -6,02E-03 4,0425E-05 -0,00015481 0,05032231 0,01137065 0,15293438 -0,00018022

0,05592411 -6,00E-03 -4,5369E-06 2,3769E-05 0,05234475 0,01148433

0,05388127 -5,98E-03 -2,53E-05 0,0002071 0,05438781 0,01158641

0,05185795 -5,95E-03 -2,2307E-05 0,00039242 0,05645019 0,01167774

Πίνακας 2.2 Οι συντεταγμένες των σημείων της υδροτομής NACA 66 (Τροποποιημένη)


Για να γίνει η σχεδίαση στο GAMBIT τα παραπάνω σημεία πρέπει αρχικά να γραφούν

σε ένα αρχείο .txt το οποίο στη συνέχεια να μετατραπεί σε .jou ώστε να μπορεί να

διαβαστεί από το GAMBIT. Συγκεκριμένα η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής :

File → Run Journal και επιλέγεται το αρχείο .jou . Με το που τρέξει το αρχείο

εμφανίζονται στην οθόνη τα σημεία όπως φαίνεται στο σχήμα 2.1.

Σχήμα 2.1 Αναπαράσταση των σημείων της υδροτομής ΝΑCA66 (τροποποιημένη) όπως

εισήχθησαν στο GAMBIT

Έπειτα για να γίνει η ένωση των σημείων χρησιμοποιείται η εντολή NURBS που

βρίσκεται στο Geometry field και συγκεκριμένα στο Edge. Η εντολή NURBS

χρησιμοποιείται ανά 10-20 σημεία και όχι και στα 201 σημεία με μία χρήση του

εργαλείου, ώστε η καμπύλη που θα προκύψει να είναι ομαλή. Εφόσον τα 201 σημεία

ενωθούν, έχει σχηματιστεί στην οθόνη εργασίας του GAMBIT η υδροτομή NACA66

(τροποποιημένη). Για να διευκολυνθεί η κατασκευή του δομημένου πλέγματος, που θα

γίνει στη συνέχεια, πρέπει η υδροτομή να χωριστεί σε τέσσερα τμήματα . Το κάθε τμήμα

είναι μία καμπύλη και έτσι το τελικό επιθυμητό αποτέλεσμα αποτελείται από τέσσερις

μόνο καμπύλες, δύο στην πάνω επιφάνειά της και δύο στην κάτω. Η χωρισμός της

υδροτομής σε τέσσερα τμήματα θα πραγματοποιηθεί στο GAMBIT με το εργαλείο

Merge Edge που βρίσκεται στο Geometry → Edge. Το περίγραμμα που θα προκύψει

φαίνεται στο σχήμα 2.2.

Σχήμα 2.2 Το περίγραμμα της υδροτομή ΝΑCA66 (τροποποιημένη) όπως κατασκευάστηκε

με τις καμπύλες NURBS. Τα τέσσερα σημεία που φαίνονται διαχωρίζουν την καμπύλη σε

τέσσερα μέρη


2.2.2 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΚΑΙ

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Προκειμένου να οριοθετηθεί το χωρίο γύρω από την υδροτομή, στο οποίο θα γίνει η

μελέτη του ροϊκού πεδίου, κατασκευάζεται η περιβάλλουσα γραμμή.

Η περιβάλλουσα γραμμή σχεδιάζεται σε μεγάλη απόσταση από την υδροτομή, ώστε το

ροϊκό πεδίο στην απόσταση αυτή να μην επηρεάζεται από τη ύπαρξη της υδροτομής.

Έτσι οι οριακές συνθήκες που θα εφαρμοστούν στη συνέχεια πάνω στην περιβάλλουσα

αναφέρονται στο αδιατάρακτο ροϊκό πεδίο που δεν έχει καμία επίδραση στην υδροτομή.

Το σχήμα της περιβάλλουσας γραμμής δεν επιλέγεται τυχαία, πρέπει να είναι ικανό να

υποστηρίξει το πλέγμα που θα δημιουργηθεί. Στην παρούσα περίπτωση το πλέγμα είναι

τύπου C, δηλαδή οι γραμμές του πλέγματος έχουν σχήμα που μοιάζει με το γράμμα C

του αγγλικού αλφάβητου. Άρα το σχήμα της περιβάλλουσας γραμμής αποτελείται από

ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και από ένα τόξο ημικυκλίου όπου τα άκρα του τόξου

ενώνονται με τα σημεία της υδροτομής που βρίσκονται σχεδόν στο μέσον της, με

κάθετες γραμμές. Το ημικύκλιο έχει ακτίνα 10C και γενικά οι διαστάσεις της

περιβάλλουσας γραμμής φαίνονται στο σχήμα 2.3, όπου το C υποδηλώνει το μήκος της

χορδής της υδροτομής.

Σχήμα 2.3 Η περιβάλλουσα γραμμή και οι βασικές διαστάσεις της


Τέλος, το χωρίο που σχηματίζεται ανάμεσα στην περιβάλλουσα γραμμή και στην

υδροτομή πρέπει να χωριστεί σε τετράπλευρες επιφάνειες ώστε στη συνέχεια να γίνει

σωστά η κατασκευή του πλέγματος. Ως ακμές των τετράπλευρων επιφανειών είναι τα

τέσσερα σημεία της υδροτομής, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2 και τα οκτώ σημεία της

περιβάλλουσας, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3. Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για

την κατασκευή των πλευρών των τετραπλεύρων και της περιβάλλουσας γραμμής, είναι

το Straight και το Arc του Geometry → Edge. Έτσι το χωρίο χωρίζεται όπως φαίνεται

στα σχήματα 2.4 και 2.5.

Σχήμα 2.4 Οι πλευρές των τετραπλεύρων κοντά στην υδροτομή

Σχήμα 2.5 Οι τετράπλευρες επιφάνειες που χωρίζουν το υπολογιστικό χωρίο


2.2.3 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΣΤΟ GAMBIT

Για την ανάλυση του ροϊκού πεδίου δημιουργήθηκε δομημένο πλέγμα στο χωρίο μεταξύ

της υδροτομής και της περιβάλλουσας γραμμής. Η κατασκευή του δεν είναι απλή καθώς

προϋποθέτει την ρύθμιση αρκετών παραμέτρων όπως εξηγείται παρακάτω.

Αρχικά ορίζονται οι επιφάνειες μέσα στις οποίες θα φτιαχτεί το πλέγμα χρησιμοποιώντας

το εργαλείο του GAMBIT Wireframe του Geometry→Face. Συγκεκριμένα αυτές οι

επιφάνειες δημιουργήθηκαν προηγουμένως και φαίνονται στο σχήμα 2.5 .

Στη συνέχεια ορίζεται ο αριθμός των κόμβων σε κάθε πλευρά. Όσον αφορά την

υδροτομή, ορίζονται οι κόμβοι που πρέπει να υπάρχουν σε κάθε μία από τις τέσσερις

καμπύλες της επιφάνειας της. Στον πίνακα 2.3 φαίνεται ο αριθμός των κόμβων, ο τύπος

και ο τρόπος τοποθέτησης τους. Η αρίθμηση των καμπύλων της υδροτομής που αναφέρει

η πρώτη στήλη του πίνακα φαίνεται στο σχήμα 2.4.

Καμπύλη

Αριθμός

κόμβων

Αριθμός

διαστημάτων

Τύπος

τοποθέτησης

Παράμετρος


Σχόλιο

1

301

300

Successive

ratio

1,01

Πύκνωμα

προς

χείλος

προσβολής

2

301

300

Successive

ratio

1,01

Πύκνωμα

προς

χείλος

προσβολής

3

301

300

Last Lenght

0,0009

Πύκνωμα

προς

χείλος

εκφυγής

4

301

300

Last Lenght

0,00005

Πύκνωμα

προς

χείλος

εκφυγής

Πίνακας 2.3 Οι κόμβοι υπολογισμού πάνω στην υδροτομή


Οι κόμβοι σε κάθε καμπύλη καθορίστηκαν με το εργαλείο Mesh edges του μενού

Mesh→Edge. Ο αριθμός των διαστημάτων επιλέγεται να είναι 300 σε κάθε καμπύλη

αφού μπορεί να δώσει σωστή ανάλυση και μεγάλη ακρίβεια. Όσον αφορά το πύκνωμα

των κόμβων όπως έχει εξηγηθεί και σε προηγούμενη παράγραφο, γίνεται σε σημεία που

υπάρχει μεγαλύτερη κλίση της γεωμετρίας και κατά συνέπεια μεγάλες μεταβολές στη

ροή. Έπειτα γίνεται ο σχηματισμός πλέγματος οριακού στρώματος πάνω σε κάθε

καμπύλη της υδροτομής με το εργαλείο Create Boundary Layer του μενού Mesh→

Boundary Layer. Η χρησιμοποίηση αυτού του εργαλείου είναι σημαντική, διότι

ελέγχονται πολύ καλύτερα τα πυκνά πλέγματα κοντά στα τοιχώματα. Οι παράμετροι του

οριακού στρώματος φαίνονται στον πίνακα 2.4.

Παράμετροι Boundary

Layer

Τιμή

Algorithm

Uniform

First row (a)

2,90E-06

Growth factor (b/a)

1,2

Rows

20

Depth (D)

0,0005413

Transition pattern

1:01

Πίνακας 2.4 Οι παράμετροι του Create boundary layer


Στα σχήματα 2.6 και 2.7 παρουσιάζονται εικόνες του οριακού στρώματος στο χείλος

προσβολής και εκφυγής αντίστοιχα.

Σχήμα 2.6 Το οριακό στρώμα στο χείλος προσβολής

Σχήμα 2.7 Το οριακό στρώμα στο χείλος εκφυγής


Τέλος ορίζονται οι κόμβοι στις υπόλοιπες επιφάνειες των τετράπλευρων που ορίστηκαν

ως επιφάνειες. Στον πίνακα 2.5 φαίνεται ο αριθμός των κόμβων, ο τύπος και ο τρόπος

τοποθέτησης τους.

Πλευρά

Αριθμός

κόμβων

Αριθμός

διαστημάτων

Τύπος


Παράμετρος


Σχόλιο

1

96

95

Successive

ratio

1,1

Πύκνωση

προς την

υδροτομή

2

96

95

Successive

ratio

1,1

Πύκνωση

προς την

υδροτομή

3

96

95

Successive

ratio

1,1

Πύκνωση προς την

υδροτομή

4

211

210

Successive

ratio

1,04

Πύκνωση

προς τα

αριστερά

5

96

95

Successive

ratio

1,1

Πύκνωση

προς την

υδροτομή

6

96

95

Successive

ratio

1,1

Πύκνωση

προς την

υδροτομή

7

301

300

Exponent

0,8

Πύκνωση

προς τα

αριστερά

8

301

300

Exponent

0,8

Πύκνωση

προς τα

αριστερά

9

211

210

Successive

ratio

1,04

Πύκνωση

προς τα

αριστερά

10

96

95

Successive

ratio

1,1

Πύκνωση

προς τα

κάτω

11

96

95

Successive

ratio

1,1

Πύκνωση

προς τα

κάτω

12

211

210

Successive

ratio

1,04

Πύκνωση

προς τα

αριστερά

13

301

300

Last Lenght

1,00E-04

Πύκνωση

προς τα

δεξιά

14

301

300

Last Lenght

8,00E-04

Πύκνωση

προς τα δεξιά

Πίνακας 2.5 Κόμβοι σε κάθε πλευρά των επιφανειών που δημιουργήθηκαν


Η αρίθμηση των πλευρών γίνεται όπως φαίνεται στο σχήμα 2.8.

Σχήμα 2.8 Οι κόμβοι (κόκκινα κυκλάκια) στις πλευρές των επιφανειών. Οι αριθμοί

προσδιορίζουν τις πλευρές

Για την εφαρμογή του πλέγματος στις επιφάνειες που δημιουργήθηκαν,

χρησιμοποιήθηκε το εργαλείο Mesh faces του μενού Mesh→Face. Έτσι για κάθε

επιφάνεια, κατασκευάστηκε το πλέγμα με παραμέτρους του Mesh faces, που φαίνονται

στον παρακάτω πίνακα 2.6.

Παράμετροι Mesh faces Επιλογή

Elements Quad

Type Map

Smoother None

Spacing Disable

Πίνακας 2.6 Παράμετροι για την δημιουργία του πλέγματος


Παρακάτω παρατίθενται μερικές εικόνες από την δουλειά που έγινε στο Gambit.

Σχήμα 2.9 Το πλέγμα γύρω από την υδροτομή. Μια πιο κοντινή όψη.

Σχήμα 2.10 Το πλέγμα στο χείλος προσβολής.


Σχήμα 2.11 Το πλέγμα στο χείλος εκφυγής

Σχήμα 2.12 Οι γραμμές του πλέγματος από μακρινή όψη


Το πλέγμα, όπως φαίνεται, πυκνώνει αρκετά σε ορισμένα σημεία, όπως είναι το χείλος

εκφυγής και προσβολής, αλλά και η επέκταση προς τα πίσω της χορδής. Ο λόγος που

έγινε το πύκνωμα πίσω από την χορδή, είναι για την ακριβή λύση του απορρεύματος που

δημιουργείται στην ροή του νερού. Επίσης, η αραιή περιοχή πάνω και κάτω της δεξιάς

πλευράς του χωρίου, δεν επηρεάζει την ακρίβεια της λύσης, αφού είναι αρκετά μακριά

από το διαταραγμένο πεδίο ροής.

Τέλος, στα σχήματα 2.13 και 2.14 παρουσιάζεται το πλέγμα που βρίσκεται πολύ κοντά

στα τοιχώματα της υδροτομής. Το πλέγμα αυτό προσδιορίστηκε με το εργαλείο boundary

layer, όπως αναφέραμε.

Σχήμα 2.13 Τμήμα πλέγματος στην επιφάνεια της υδροτομής


2.3 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ

Τελικό βήμα για να ολοκληρωθεί η δουλειά στο GAMBIT είναι ο καθορισμός των

αρχικών συνθηκών, δηλαδή η κατάσταση του ρευστού σε συγκεκριμένες περιοχές. Το

GAMBIT δεν καθορίζει πλήρως τις οριακές συνθήκες, αλλά προσδιορίζει τους τύπους

τους, χωρίς να επιβάλει συγκεκριμένες τιμές. Για παράδειγμα προσδιορίζει αν η οριακή

συνθήκη είναι τιμή πίεση ή ταχύτητας ή αν μια επιφάνεια είναι τοίχωμα η άξονας

συμμετρίας.

Στην περιβάλλουσα γραμμή οι οριακές συνθήκες που επιβάλλονται είναι

VELOCITY_INLET στην είσοδο και PRESSURE_FAR FIELD στην έξοδο, ενώ στις

τέσσερις καμπύλες της υδροτομής εφαρμόστηκε οριακή συνθήκη τοιχώματος, δηλαδή η

WALL. Ο καθορισμός των οριακών συνθηκών γίνεται με το εργαλείο Specify Boundary

Types του μενού Zones.

Οι παραπάνω οριακές συνθήκες είναι δυνατόν να μην καθοριστούν σε αυτό το στάδιο, με

την χρήση του GAMBIT, αλλά να προσδιοριστούν κατ’ευθείαν στο λογισμικό επίλυσης

των ροϊκών εξισώσεων, FLUENT.

Αφού η γεωμετρία και το πλέγμα του χωρίου επίλυσης κατασκευάστηκαν και ορίστηκαν

τα είδη των οριακών συνθηκών, αποθηκεύονται σε αρχείο τύπου .msh με την διαδικασία:

File →Export→ Mesh…

Το αρχείο .msh θα χρησιμοποιηθεί αργότερα για την εισαγωγή του πλέγματος και της

γεωμετρίας στο λογισμικό FLUENT.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3-ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FLUENT______________________ 87

Κεφάλαιο 3

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FLUENT

3.1 ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ FLUENT

Το λογισμικό ANSYS FLUENT περιλαμβάνει ευρύ φάσμα δυνατοτήτων που είναι

απαραίτητες για τη μοντελοποίηση ροής, τύρβης, μεταφορά θερμότητας σε πολλές

βιομηχανικές εφαρμογές. Συγκεκριμένα το λογισμικό Fluent μοντελοποιεί ροές νερού

γύρω από τα πτερύγια πλεούμενου ή ροές αέρα γύρω από το φτερό αεροσκάφους, επίσης

μοντελοποιεί στήλες φυσαλίδων σε εξέδρες άντλησης πετρελαίου, επεξεργάζεται σχέδιο

χώρου που προορίζεται για εγκατάσταση επεξεργασίας λυμάτων. Επίσης το λογισμικό

έχει τη δυνατότητα να δημιουργεί μοντέλα κυλίνδρων καύσης και πολλές ακόμα

εφαρμογές. Έτσι χρησιμοποιείται αρκετά στην ναυπηγική - αεροναυπηγική, στις

στροβιλομηχανές και σε αρκετά πολυφασικά συστήματα. Σήμερα πολλές εταιρείες σε

όλο τον κόσμο έχουν βοηθηθεί από τη χρήση του Fluent και θεωρείται αναπόσπαστο

κομμάτι της φάσης σχεδιασμού και βελτιστοποίησης της ανάπτυξης των προϊόντων τους.

Επιλύει αριθμητικά τις εξισώσεις ροής (Navier-Stokes) και προσφέρει αποτελέσματα

CFD σε μικρό χρονικό διάστημα και με πολύ καλή ακρίβεια. Παρακάτω παρατίθενται

ορισμένες εικόνες όπου υποδεικνύουν μερικές από τις εφαρμογές του ANSYS FLUENT.

Εικόνα 3.1 Κινητήρας εσωτερικής καύσης μοντελοποιημένος από το ANSYS FLUENT.


Εικόνα 3.2 Το ANSYS FLUENT υποδεικνύει τις απαραίτητες αλλαγές στο σχήμα για να

εξασφαλιστεί η μέγιστη κάθετη δύναμη για ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία, η χρήση του Fluent είναι απαραίτητη, καθώς

σκοπός της εργασίας είναι η ανάλυση του πλέγματος της ροής γύρω από την υδροτομή

ώστε από τα αποτελέσματα που θα δώσει η ανάλυση θα προκύψουν τα αντίστοιχα

συμπεράσματα. Συγκεκριμένα, αφού γίνει στο πρόγραμμα η εισαγωγή της γεωμετρίας

της υδροτομής και του πλέγματος, τα οποία έχουν δημιουργηθεί στο λογισμικό Gambit,

γίνεται η ρύθμιση ορισμένων παραμέτρων στο Fluent σύμφωνα με το πρόβλημα. Βασικοί

παράμετροι που πρέπει να καθοριστούν ώστε να επιλυθεί η ροή είναι : προσδιορισμός αν

η ροή είναι μόνιμη (Steady) ή μη μόνιμη (Unsteady), η επιλογή του μοντέλου τύρβης, ο

προσδιορισμός για το αν θα χρησιμοποιηθούν άλλα μοντέλα όπως η σπηλαίωση, η

επιλογή των ρευστών λειτουργίας, ο καθορισμός των οριακών συνθηκών, η επιλογή των

αλγόριθμων και των αριθμητικών σχημάτων επίλυσης, οι αρχικές συνθήκες και το

σφάλμα της λύσης.

Στην συνέχεια, αφού γίνει και ο καθορισμός των παραμέτρων, ξεκινάει η επίλυση του

προβλήματος, στην προκειμένη περίπτωση η επίλυση του ροϊκού πεδίου. Το Fluent

παρέχει αρκετά εργαλεία για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν. Τα

αποτελέσματα αποδίδονται σε διαγράμματα (Plots) τα οποία δείχνουν τη μεταβολή των

μεγεθών, σε παραστάσεις Contours που είναι μια έγχρωμη απεικόνιση των μεγεθών

πάνω στο επιλυμένο χωρίο καθώς και σε διανύσματα Vectors τα οποία δείχνουν τη

κατεύθυνση της ροής. Το Fluent μπορεί να αποθηκεύσει τις παραμέτρους που

καθορίστηκαν και τα αποτελέσματα σε αρχεία τύπου .cas και .dat αντίστοιχα.

Επίσης, το FLUENT διαθέτει εργαλεία με τα οποία μπορεί να υπολογίσει ολοκληρωτικά

μεγέθη πάνω στις γεωμετρίες και στα χωρία. Για παράδειγμα, έχει τη δυνατότητα να

υπολογίζει συνισταμένες δυνάμεις, ολικές παροχές και συντελεστές άνωσης και

αντίστασης. Ακόμα, εφαρμόζει τεχνικές βελτιστοποίησης του πλέγματος, αν αυτό


φυσικά δεν είναι σχεδιασμένο κατάλληλα. Μπορεί να εξάγει επιπλέον δεδομένα

(κατανομές μεγεθών πάνω σε συγκεκριμένα χωρία και επιφάνειες) σε διάφορα αρχεία,

όπως ΑSCII και TecPlot και να εισαχθούν σε άλλα προγράμματα.

Το Fluent παρέχει εικονική διασύνδεση με το χρήστη, αλλά μπορεί να δεχτεί και εντολές

μέσω μιας γραμμής εντολών.

Η έκδοση του FLUENT, που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία, είναι η 6.3.26 .

3.2 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ

Η βασική φιλοσοφία της εργασίας αυτής είναι να προσομοιώσει την ροή γύρω απο την

υδροτομή, σε συγκεκριμένες ροϊκές συνθήκες και γωνίες προσβολής, για τις οποίες

υπάρχουν πληροφορίες από πειράματα. Η αναγκαιότητα του πειράματος, όπως

εξηγήθηκε και στο Κεφάλαιο 1, έγκειται στο γεγονός ότι για την επίλυση μιας ροής,

χρησιμοποιούνται διάφορα υπολογιστικά μοντέλα π.χ. τύρβης και σπηλαίωσης , τεχνικές

κατασκευής πλέγματος και αλγόριθμοι επίλυσης, μέσα στους οποίους υπεισέρχονται

εμπειρικές σταθερές και προσεγγιστικές διαδικασίες, που απαιτούν σε κάθε ανάλυση την

ρύθμιση τους βάση των πειραματικών δεδομένων, ώστε να δώσουν σωστά

αποτελέσματα. Αφού συμβεί η παραπάνω διαδικασία, μπορεί να γίνει ανάλυση σε

κοντινές γεωμετρίες ή συνθήκες, όπου η ρύθμιση των παραμέτρων επίλυσης είναι,

σχεδόν, ίδια με αυτήν της ανάλυσης που έγινε σε αντιστοιχία με τα πειραματικά

δεδομένα.

Συγκεκριμένα, στην παρούσα εργασία μελετάται η ροή του νερού γύρω από υδροτομή

για διάφορες γωνίες προσβολής του νερού. Το πρώτο μέρος της παρούσας εργασίας

επικεντρώνεται στη μονοφασική ροή γύρω από την υδροτομή NACA 66

(τροποποιημένη). Στην συνέχεια, αφού ολοκληρωθεί αυτό το στάδιο της υπολογιστικής

μελέτης, γίνεται μελέτη που αφορά τη σπηλαίωση. Σε αυτό το στάδιο της εργασίας η ροή

δεν είναι μονοφασική όπως προηγουμένως αλλά διφασική όπου η δεύτερη φάση είναι ο

ατμός. Ως γνωστόν νερό με παρουσία ατμού, όπως έχει εξηγηθεί στο Κεφάλαιο 1, έχουν

ως αποτέλεσμα την εμφάνιση σπηλαίωσης στην υδροτομή.

Για την εκπόνηση της εργασίας επιλέγεται το k-ε μοντέλο τύρβης το οποίο αποτελείται

από τα μοντέλα k-ε standard, k-ε RNG, k-ε realizable. Για καθένα από τα τρία παραπάνω

μοντέλα, για 21 διαφορετικές γωνίες προσβολής του νερού κάθε φορά ( a = -5, -4, -3,

-2.5, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7, 8, 9, 10 ) και ταχύτητα προσβολής

σταθερή U=5.33 m/sec, πραγματοποιούνται υπολογιστικές αναλύσεις στο Fluent. Μετά


το τέλος της κάθε ανάλυσης, σ’ αυτό που ουσιαστικά επικεντρώνεται το ενδιαφέρον

είναι οι τιμές των συντελεστών άνωσης και αντίστασης (Cl, Cd) για κάθε μοντέλο k-ε και

για κάθε γωνία προσβολής. Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτό που καθορίζει το τέλος της

ανάλυσης στο Fluent, είναι η σύγκλιση των συντελεστών. Επίσης, γίνεται σύγκριση των

υπολογιστικών αποτελεσμάτων με θεωρητικά αποτελέσματα και με πειραματικά

αποτελέσματα τα οποία έχουν λάβει χώρα στο παρελθόν. Τα πειραματικά αποτελέσματα

τα πήραμε από τη δημοσίευση “An Experimental Study of Unsteady Partial Cavitation”

των Jean-Baptiste Leroux, Jacques Andre Astolfi και Jean Yves Billard, Journal of Fluids

Engineering, Vol.126, JANUARY 2004. Όσον αφορά τα θεωρητικά αποτελέσματα

έχουμε μόνο για τον συντελεστή άνωσης Cl τα οποία προκύπτουν από μία σχέση που

αναφέρεται στη δημοσίευση Valentine, D.T. (1974), "The effect of nose radius on the

cavitation inception characteristics of two-dimensional hydrofoils", Report 3813 of the

Naval Ship Research and Development Center, Bethesda, MD. Τέλος, είναι εφικτή η

παρουσίαση των μεγεθών που μελετάμε γύρω από την υδροτομή, δηλαδή πίεση και

ταχύτητα, σε κατανομές με χρώμα ώστε να υπάρχει και μία οπτική επαφή με τη λύση.

Στη συνέχεια, η διαδικασία επαναλαμβάνεται με τη διαφορά ότι τώρα εμφανίζεται το

φαινόμενο της σπηλαίωσης. Η ανάλυση γίνεται για τα τρία k-ε (standard, RNG,

realizable), για τρεις διαφορετικούς αριθμούς σπηλαίωσης (σ= 1.30, 1.34, 1.41), όμως

αυτή τη φορά η γωνία προσβολής είναι μόνο η α=6.5° ενώ η ταχύτητα προσβολής

εξακολουθεί να είναι U= 5.33 m/sec. Και σ’ αυτή την περίπτωση, το ενδιαφέρον

επικεντρώνεται στους συντελεστές άνωσης και αντίστασης καθώς και σ’ ένα νέο μέγεθος

το οποίο είναι το μήκος σπηλαίωσης. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών συγκρίνονται

με πειραματικά αποτελέσματα που πάρθηκαν από τη δημοσίευση “An Experimental

Study of Unsteady Partial Cavitation” των Jean-Baptiste Leroux, Jacques Andre Astolfi

και Jean Yves Billard, Journal of Fluids Engineering, Vol.126, JANUARY 2004. Η

μελέτη αυτή της σπηλαίωσης κινείται μέσα στην μόνιμη (Steady) κατάσταση του

φαινομένου, λαμβάνοντας μόνο τα πειράματα από την δημοσίευση, που συμβαίνει

μόνιμη ροή (Steady State). Όπως αναφέρει και η ίδια η δημοσίευση, όταν το μήκος της

σπηλαίωσης πάνω στην υδροτομή είναι μικρότερο ή ίσο από το μισό της χορδής, τότε το

φαινόμενο της σπηλαίωσης είναι μόνιμο (Steady). Τέλος, το Fluent δίνει γραφική

απεικόνιση κάποιων μεγεθών όπως πίεσης και ταχύτητας, στην επιφάνεια της υδροτομής

ώστε να υπάρχει οπτική επαφή με το αποτέλεσμα.


3.3 ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΤΟ FLUENT

3.3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΣΤΟ FLUENT

Το αρχείο .msh έχει δημιουργηθεί από το λογισμικό Gambit, περιλαμβάνει την υδροτομή

και το πλέγμα και είναι έτοιμο να διαβαστεί από το Fluent. Για όλες τις αναλύσεις

χρησιμοποιείται το ίδιο αρχείο, ενώ οι διαφορετικές γωνίες προσβολής επιτυγχάνονται

αλλάζοντας τις οριακές συνθήκες στο Fluent.

Για την εισαγωγή του .msh στο Fluent ακολουθείται η εξής διαδικασία : File → Read →

Case . Στη συνέχεια γίνεται έλεγχος του πλέγματος για τυχόν σφάλματα. Αυτό γίνεται με

τη διαδικασία Grid → Check. Αφού σύμφωνα με το Check το πλέγμα είναι σωστό, το

Fluent εμφανίζει στην οθόνη του υπολογιστή μερικά από τα χαρακτηριστικά του

πλέγματος τα οποία φαίνονται στην εικόνα 3.3.

Εικόνα 3.3 Χαρακτηριστικά του πλέγματος

Για την εύρεση του πλήθους των πεπερασμένων όγκων (cells) που αποτελείται το πλέγμα

ακολουθείται η εξής διαδικασία : Grid → Info → Size. Τα αποτελέσματα

παρουσιάζονται στην εικόνα 3.4. Όπως φαίνεται από την εικόνα ο αριθμός των κελιών

είναι 153900 και μπορεί να δώσει ικανοποιητική ανάλυση της ροής γύρω από την

υδροτομή.

Εικόνα 3.4 Πλήθος πεπερασμένων όγκων


3.3.2 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Στη συνέχεια γίνεται η επιλογή μερικών γενικών στοιχείων επίλυσης, η εντολή που

ακολουθείται είναι : Define → Models → Solver. Στην εικόνα 3.5 φαίνονται όλα τα

στοιχεία επίλυσης που επιλέχθηκαν.

Εικόνα 3.5 Γενικά στοιχεία επίλυσης

Για όλους τους αριθμούς σπηλαίωσης και όλες τις γωνίες προσβολής, χρησιμοποιήθηκαν

οι επιλογές της εικόνας 3.5. Φαίνεται ότι η ανάλυση γίνεται για μόνιμη κατάσταση

(Steady State). Η χρησιμοποίηση της επίλυσης μόνιμης ροής είναι σωστή επιλογή, αφού

οι πραγματικές ροές που μελετώνται είναι μόνιμες. Αυτό επαληθεύεται στο τέλος κάθε

επίλυσης που με την εφαρμογή μη μόνιμης κατάστασης (Unsteady State) παίρνονται

πανομοιότυπες λύσεις για κάθε χρονικό βήμα (Time Step). Επίσης, η δημοσίευση με τα

πειραματικά δεδομένα αναφέρει, όπως γράφτηκε παραπάνω, ότι το φαινόμενο της

σπηλαίωσης, που έχει μήκος μικρότερο του μισού της χορδής, είναι μόνιμο. Στο μήκη

αυτά της σπηλαίωσης κινείται και η εργασία αυτή.

3.3.3 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΥΡΒΗΣ

Το μοντέλο τύρβης που επιλέχθηκε για την συγκεκριμένη διπλωματική εργασία είναι το

k-ε. Ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιήθηκε αυτό το μοντέλο τύρβης είναι ότι

επιθυμούμε να πάρουμε τη λύση του πλέγματος χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές k

(τυρβώδη κινητική ενέργεια) και τη μεταβλητή ε ( ρυθμός διασκόρπισης δινών τύρβης).

Υπάρχουν και άλλα μοντέλα τύρβης αλλά επιθυμούμε αυτό στην παρούσα περίπτωση.

Επίσης θέλουμε να δούμε την ικανότητα συμπεριφοράς του σε σπηλαίωση. Το μοντέλο

k-ε αποτελείται από τρία μοντέλα, το Standard, το RNG και το Realizable. Η διαδικασία


για την επιλογή του μοντέλου τύρβης είναι : Define → Models → Viscous. Στις εικόνες

3.6, 3.7 και 3.8 φαίνονται οι επιλογές του παραθύρου Viscous Model και οι σταθερές των

μοντέλων του k-ε που χρησιμοποιήθηκαν.

Εικόνα 3.6 Μοντέλο k-ε Standard

Εικόνα 3.7 Μοντέλο k-ε RNG


Εικόνα 3.8 Μοντέλο k-ε realizable

3.3.4 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ

Για την επίλυση του φαινομένου σπηλαίωσης χρησιμοποιείται το μοντέλο mixture, που

διαθέτει ένα μοντέλο σπηλαίωσης (cavitation Model). Η διαδικασία για την

ενεργοποίηση του μοντέλου mixture είναι: Define → Models → Multiphase. Στην εικόνα

3.9 φαίνονται οι επιλογές που έγιναν στο Multiphase Model.

Εικόνα 3.9 Επιλογές στο Multiphase Model


3.3.5 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Ο καθορισμός των υλικών των ρευστών γίνεται από τα οποία περιβάλλεται η υδροτομή

γίνεται με την εξής διαδικασία : Define → Materials.

Ακολουθώντας αυτή την εντολή, το παράθυρο Materials που ανοίγει έχει σαν

προκαθορισμένο υλικό τον αέρα. H επιλογή κάποιου άλλου υλικού, εκτός από τον αέρα,

γίνεται από το Fluent Database. Ανοίγει μία λίστα από υλικά, επιλέγεται το επιθυμητό

και στη συνέχεια πατιέται η επιλογή Copy.

Στην περίπτωση της μονοφασικής ροής, όπου δεν υπάρχει σπηλαίωση, το επιλεγόμενο

υλικό είναι το υγρό νερό (Water Liquid), ενώ όταν υπεισέρχεται το φαινόμενο της

σπηλαίωσης υπάρχουν δύο φάσεις, το υγρό νερό (Water Liquid) και ο ατμός νερού

(Water Vapor).

Στις εικόνες 3.10 και 3.11 φαίνονται τα χαρακτηριστικά του υγρού νερού και του ατμού

νερού αντίστοιχα και συγκεκριμένα η πυκνότητα και το δυναμικό ιξώδες.

Εικόνα 3.10 Χαρακτηριστικά υγρού νερού


Εικόνα 3.11 Χαρακτηριστικά ατμού νερού

3.3.6 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ

ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ

Κατά τη μελέτη του φαινομένου της σπηλαίωσης πρέπει να οριστούν κάποιες

παράμετροι στο Fluent καθώς και οι δύο φάσεις που εμφανίζονται. Σαν πρώτη φάση

θεωρείται το υγρό νερό και σαν δεύτερη ο ατμός του νερού. Η διαδικασία που

ακολουθείται για να γίνει αντιστοίχηση των υλικών στις φάσεις είναι : Define → Phases.

Στο παράθυρο Phases στη λίστα Phase, επιλέγεται κάθε μια φάση και πατιέται το κουμπί

Set. Εκεί ορίζεται το υλικό της φάσης και μετά πατιέται το κουμπί OK. Τα υλικά έχουν

οριστεί από προηγούμενο βήμα επιλογής υλικών.

Αφού οριστούν τα υλικά για τις δυο φάσεις, καθορίζονται οι παράμετροι του μοντέλου

Cavitation. Αυτό γίνεται πατώντας το κουμπί Interaction του παραθύρου Phases και

πηγαίνοντας στη καρτέλα Mass. Εκεί αφού ενεργοποιηθεί το μοντέλο Cavitation,

καθορίζονται οι παράμετροι του. Για κάθε αριθμό σπηλαίωσης παίρνουν διαφορετικές

τιμές οι παράμετροι αυτοί. Στον πίνακα 3.1 φαίνονται οι τιμές αυτές.

Με την ρύθμιση της πίεσης κορεσμού (Vaporization Pressure), πετυχαίνονται οι

επιθυμητοί αριθμοί σπηλαίωσης . Η παράμετρος Surface Tension Coefficient έχει μία

σταθερή τιμή για το νερό η οποία ισούται με 0.0717 N/m. Η αλλαγή του μη

συμπυκνωμένου αεριού (Non Condensable Gas Mass Fraction), γίνεται για την ταύτιση

των υπολογιστικών αποτελεσμάτων με αυτών των πειραμάτων.


Τιμές Παραμέτρων του Μοντέλου Cavitation

σ=1,41

Vaporization Pressure (Pascal) 2310

Surface Tension Coefficient (N/m) 0,0717

Non Condensable Gas Mass Fraction 1,50E-06

σ=1,34




σ=1,30




Πινακας 3.1 Τιμές παραμέτρων για κάθε αριθμό σπηλαίωσης

3.3.7 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ

Αρχικά σαν συνθήκη λειτουργίας ορίζεται η πίεση αναφοράς που χρησιμοποιείται σαν

πίεση μακρινού πεδίου, εφόσον δεν έχει καθοριστεί οριακή συνθήκη πίεσης, καθώς και

το βαρυτικό πεδίο.

Οι συνθήκες αυτές ορίζονται από το λογισμικό FLUENT με τη διαδικασία:

Define→Operating Conditions.

Στην εικόνα 3.12 φαίνονται οι καθορισμένες συνθήκες λειτουργίας οι οποίες

εφαρμόζονται σε περιπτώσεις σπηλαίωσης και μη.

Εικόνα 3.12 Συνθήκες λειτουργίας σε περιπτώσεις σπηλαίωσης και μη


3.3.8 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ

Για την επίλυση των εξισώσεων ροής, χρειάζεται να καθοριστούν οι οριακές συνθήκες

του προβλήματος. Οι οριακές συνθήκες αναφέρονται στις συνθήκες που επικρατούν στην

περιβάλλουσα γραμμή και στο τοίχωμα της υδροτομής.

Έτσι, οι επιφάνειες στις οποίες καθορίζονται οι οριακές συνθήκες, ορίζονται από το

Σχήμα 2.8 του Κεφαλαίου 2:

Επιφάνειες καθορισμού οριακών συνθηκών

Όνομασία επιφάνειας Τμήματα επιφάνειας

ΙΝ1 7,8

IN2 9,12,13,14

OUT 10,11

HYDROFOIL UP Πάνω επιφάνεια υδροτομής

HYDROFOIL DOWN Κάτω επιφάνεια υδροτομής

Πίνακας 3.2 Ορισμός των επιφανειών που θα εφαρμοστούν οι οριακές συνθήκες

Η διαδικασία για τον καθορισμό των οριακών συνθηκών είναι:

Define→Boundary Conditions

Στο παράθυρο Boundary Conditions επιλέγεται από την λίστα Zones, η επιφάνεια που

θέλουμε να καθορίσουμε την οριακή συνθήκη και στη λίστα Type επιλέγουμε τον τύπο

της οριακής συνθήκης. Πατώντας στο κουμπί Set, ρυθμίζονται οι τιμές της .

Στους πίνακες 3.3, 3.4, 3.5 παρουσιάζονται οι οριακές συνθήκες που εφαρμόζονται στις

επιφάνειες της περιβάλλουσας γραμμής και της επιφάνειας της υδροτομής.

Οριακές συνθήκες στις επιφάνειες της υδροτομής

(HYDROFOIL UP,HYDROFOIL DOWN)

Οριακή Συνθήκη Wall

Wall Motion Stationery Wall

Shear Condition No Splip

Roughness Height (m) 0

Roughness Constant 0,5

Πίνακας 3.3 Οι οριακές συνθήκες στις επιφάνειες της υδροτομής


Οριακές συνθήκες στις επιφάνειες IN1 , IN2

Γωνία Προσβολής

α ο 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 10

Οριακή Συνθήκη velocity-inlet velocity-

inlet velocity-

inlet velocity-

inlet velocity-

inlet velocity-

inlet

Velocity Specification

Method Componets Componet

s Componets Componets Componets Componets

Reference Frame Absolute Absolute Absolute Absolute Absolute Absolute

X-Velocity (m/s) 5,313 5,305 5,296 5,284 5,271 5,249

Y-Velocity (m/s) 0,418 0,511 0,603 0,696 0,788 0,925

Turbulence Specification

Method

Modified Turbulent Viscocity






Modified Turbulent

Viscosity (m2/s) 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

Πίνακας 3.4 Οι οριακές συνθήκες στις επιφάνειες ΙΝ1,ΙΝ2,

για μερικές από τις γωνίες προσβολής.

Οριακές συνθήκες στην επιφάνεια OUT

Οριακή Συνθήκη Pressure-Outlet

Gauge Pressure (Pascal) 0

Backflow Direction Specification Method Normal to Boundary

Turbulence Specification Method Modified Turbulent Viscocity

Backflow Modified Turbulent Viscosity (m2/s) 0,001

Πίνακας 3.5 Οι οριακές συνθήκες για την επιφάνεια OUT

Στην μονοφασική ροή, σύμφωνα με τις συνθήκες των πειραμάτων, στην είσοδο του

ρευστού στο χωρίο επίλυσης εφαρμόζεται η συνθήκη της ταχύτητας 5,33 m/sU ,ενώ

αυτό που αλλάζει κάθε φορά είναι η γωνία προσβολής του ρευστού στην υδροτομή. Στην

έξοδο του ρευστού εφαρμόζεται συνθήκη πίεσης, όπου στη μονοφασική ροή η σχετική

πίεση είναι ίση με μηδέν καθώς η πίεση αναφοράς ισούται με την ατμοσφαιρική πίεση.

Οι οριακές συνθήκες που αφορούν την σπηλαίωση και ορίζονται για γωνία προσβολής

α=6.5ο

, καθορίζονται με τέτοιο τρόπο για να περιγράψουν τις συνθήκες των πειραμάτων,

ώστε να συμβεί η διαδικασία επαλήθευσης των υπολογιστικών αναλύσεων με τα

πειραματικά δεδομένα. Για την εκτίμηση της συμπεριφοράς του φαινομένου της

σπηλαίωσης, για τους διάφορους αριθμούς σπηλαίωσης οι συνιστώσες της ταχύτητας

εισόδου παραμένουν σταθερές ενώ αυτό που αλλάζει κάθε φορά είναι η πίεση. Καθώς


μεταβάλλεται ο αδιάστατος αριθμός σπηλαίωσης μεταβάλλεται η πίεση αναφοράς ενώ η

πίεση κορεσμού είναι σταθερή, έτσι η σχετική πίεση μεταβάλλεται. Οι οριακές συνθήκες

στις επιφάνειες ΙΝ, HYDROFOIL UP, HYDROFOIL DOWN είναι ίδιες για όλες τις

γωνίες προσβολής.

3.3.9 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

ΥΠΟΧΑΛΑΡΩΣΗΣ

Σε αυτό το στάδιο πρέπει να καθοριστούν τα πιο βασικά στοιχεία της επίλυσης, ώστε

αυτή να είναι γρήγορη και ταυτόχρονα να δίνει όσο το δυνατό πιο ακριβή αποτελέσματα

γίνεται.

Αρχικά καθορίζεται ο αλγόριθμος επίλυσης των εξισώσεων ροής. Για όλες τις

υπολογιστικές αναλύσεις, επιλέγεται ο αλγόριθμος SIMPLE. Η διαδικασία επιλογής του

είναι: Solve→Controls→Solutions.

Στη συνέχεια, καθορίζονται τα σχήματα επίλυσης με τα οποία διακριτοποιούνται οι

εξισώσεις ροής. Σε όλες τις υπολογιστικές αναλύσεις, εκτός της μονοφασικής ανάλυσης,

χρησιμοποιείται η ίδια ομάδα σχημάτων.

Τέλος, καθορίζονται οι συντελεστές υποχαλάρωσης. Οι τιμές των συντελεστών αυτών

πρέπει να είναι τέτοιες, ώστε να μην αποκλίνει η λύση, αλλά και να μην χρειάζονται

πολλές επαναλήψεις του αλγορίθμου επίλυσης, για να φτάσει το σφάλμα της

συγκλειόμενης λύσης σε ανεκτά επίπεδα. Οι τελικές τιμές των συντελεστών

υποχαλάρωσης προκύπτουν μετά από έναν μεγάλο αριθμό δοκιμαστικών επαναλήψεων.

Η διαδικασία που ακολουθείται για την σύγκλιση όλων των επιλυόμενων εξισώσεων και

την εύρεση της τελικής λύσης, είναι η εξής:

Πρώτα επιλύονται όλες οι εξισώσεις, εκτός από την εξίσωση Vapor,

χρησιμοποιώντας ορισμένους συντελεστές υποχαλάρωσης.

Αφού συμβεί σύγκλιση στο προηγούμενο βήμα, ενεργοποιείται και η εξίσωση

Vapor και λύνονται όλες οι εξισώσεις με διαφορετικούς, από το πρώτο βήμα,

συντελεστές υποχαλάρωσης.

Στην περίπτωση της μονοφασική ροής η επίλυση γίνεται σε ένα βήμα, χρησιμοποιώντας

μια ομάδα συντελεστών υποχαλάρωσης και φυσικά η εξίσωση Vapor δεν λύνεται. Οι

συντελεστές με τους οποίους λύθηκαν οι ροές, φαίνονται στους πίνακες 3.6, 3.7, 3.8.


Στην εικόνα 3.13 φαίνονται οι παραπάνω ρυθμίσεις που αφορούν την μονοφασική

ανάλυση.

Εικόνα 3.13 Τα σχήματα διακριτοποίησης που χρησιμοποιούνται στην επίλυση της

μονοφασικής ροής

Εικόνα 3.14 Σχήματα διακριτοποίησης που χρησιμοποιούνται στην επίλυση με

σπηλαίωση.

Συντελεστές υποχαλάρωσης

για τη μονοφασική ροή

Μέγεθος Συντελεστές Υποχαλάρωσης

Pressure 0,3

Density 1

Body Forces 1

Momentum 0,7

Modified Turbulent Viscosity 0,8

Turbulent Viscosity 0,1

Πίνακας 3.6 Οι συντελεστές υποχαλάρωσης για την ροή, χωρίς σπηλαίωση


Πίνακας 3.7 Οι συντελεστές υποχαλάρωσης για γωνία προσβολής 6.5°, για όλους τους

αριθμούς σπηλαίωσης, με απενεργοποιημένη την εξίσωση Vapor

Συντελεστές υποχαλάρωσης για το δευτερο βήμα με ενεργοποιημένη την εξίσωση Vapor

Μέγεθος Συντελεστές Υποχαλάρωσης

Pressure 0,0001

Density 0,0001

Body Forces 0,0001

Momentum 0,0001

Vaporization Mass 0,0001

Vapor 0,0001

Modified Turbulent Viscosity 0,0001

Turbulent Viscosity 0,0001

Πίνακας 3.8 Οι συντελεστές υποχαλάρωσης για όλους τους αριθμούς σπηλαίωσης και όλες

τις γωνίες προσβολής για το δεύτερο βήμα, με την ενεργοποίηση της εξίσωσης Vapor

3.3.10 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΘΗΚΗΣ

Πριν ξεκινήσει η ανάλυση απαιτείται και ο καθορισμός μιας αρχικής συνθήκης, η οποία

είναι ίδια με την οριακή συνθήκη της επιφάνειας IN1, IN2. Η διαδικασία για να οριστεί ο

αρχική συνθήκη είναι: Solve→Initialize→Initialize.

3.3.11 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ

Όσον αφορά τη διφασική ροή, δηλαδή την σπηλαίωση, το κριτήριο σύγκλισης είναι η

διαφορά της αρχικής και τελικής τιμής ενός μεγέθους σε μια επανάληψη του αλγορίθμου

επίλυσης, να είναι ίσο ή μικρότερο από την τιμή 0.0001R . Η πραγματική τιμή όμως

του υπολοίπου στα διάφορα επιλυόμενα μεγέθη είναι μικρότερη από τη τιμή 0.0001R .


Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μόνο στο πρώτο βήμα ανάλυσης της διφασικής ροής,

όπου δεν έχει ενεργοποιηθεί η εξίσωση Vapor, η τιμή της διαφοράς είναι. 0.0001R

Στο δεύτερο βήμα, η ενεργοποίηση της εξίσωσης Vapor έχει σαν αποτέλεσμα το

υπόλοιπο των διαφόρων μεγεθών να ελαττώνεται ακόμα περισσότερο λόγω των αρκετά

μικρών συντελεστών υποχαλάρωσης.

Για την ανάλυση της μονοφασικής ροής το κριτήριο που χρησιμοποιείται για όλα τα

μεγέθη είναι το υπόλοιπο 0.001R .

Η διαδικασία καθορισμού του κριτηρίου σύγκλισης είναι:Solve→Monitors→Residual

Στις εικόνες 3.15 και 3.16 φαίνεται, τι υπόλοιπο έχουν τα διάφορα επιλυόμενα μεγέθη

στο τέλος της ανάλυσης για τη διφασική και την μονοφασική ανάλυση αντίστοιχα.

Εικόνα 3.15 Εικόνα 3.16

Υπόλοιπο μεγεθών για διφασική ανάλυση. Υπόλοιπο μεγεθών για μονοφασική ανάλυση

3.3.12 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΝΑΦΟΡΑΣ

Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων κρίνεται απαραίτητος ο καθορισμός των τιμών

αναφοράς. Οι τιμές αυτές αφορούν τις χαρακτηριστικές διαστάσεις της υδροτομής, την

πίεση και την ταχύτητα λειτουργίας και τις ιδιότητες του ρευστού.

Η διαδικασία που ακολουθείται είναι: Report→Reference values.

Ο καθορισμός των τιμών αναφοράς έχει σαν αποτέλεσμα να δωθούν τα ολοκληρωτικά

μεγέθη πάνω στην επιφάνεια της (π.χ δυνάμεις) και τους συντελεστές άνωσης και

αντίστασης.

Στην εικόνα 3.17 φαίνονται τα χαρακτηριστικά της υδροτομής, που εισάγονται στο

στάδιο αυτό.


Εικόνα 3.17 Χαρακτηριστικά της υδροτομής που εισάγονται στις τιμές αναφοράς

3.3.13 ΕΝΑΡΞΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

Αφού οριστούν όλες οι παράμετροι που αναφέρθηκαν παραπάνω, ακολουθεί το στάδιο

των υπολογισμών σύμφωνα με τη διαδικασία: Solve→Iterate.

Σε αυτό το στάδιο καθορίζεται ο αριθμός των επαναλήψεων του αλγορίθμου επίλυσης. Ο

αριθμός αυτός σε όλες τις περιπτώσεις ορίστηκε Ν=100000.

Ο αριθμός των επαναλήψεων ποικίλει ανάλογα με το αν έχουμε μονοφασική ροή ή

σπηλαίωση. Ο τερματισμός των υπολογισμών πραγματοποιείται όταν υπάρξει σύγκλιση

στους συντελεστές άνωσης και αντίστασης για την κάθε περίπτωση.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4-ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ_________________ 105

Κεφάλαιο 4

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗΣ

4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΗΝ

ΥΔΡΟΤΟΜΗ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Προσομοιώνοντας στο Fluent τη ροή γύρω από την υδροτομή , γίνεται υπολογιστική

ανάλυση μόνιμης ροής χωρίς την εμφάνιση σπηλαίωσης. Τα μοντέλα τύρβης που

χρησιμοποιήθηκαν για αυτή την ανάλυση είναι τα k-ε standard, k-ε RNG και k-ε

realizable .

Σε κάθε μοντέλο είχαμε 21 επαναλήψεις όπου σε κάθε επανάληψη άλλαζε η γωνία

προσβολής της ταχύτητας του νερού πάνω στην υδροτομή. Οι γωνίες προσβολής είναι -

5 , -4 , -3 , -2.5 , -2 , -1 , 0 , 1 ,2 , 3 ,3.5 , 4 , 4.5 , 5 , 5.5 , 6 , 6.5 , 7 , 8 , 9 , 10 μοίρες. Η

κάθε γωνία ,σύμφωνα με τις ρυθμίσεις στο Fluent, έδινε αποτελέσματα τα οποία

αφορούν τους συντελεστές αντίστασης και άνωσης, Cd και Cl αντίστοιχα. Απαιτείται

μεγάλος αριθμός επαναλήψεων μέχρι να επέλθει ικανοποιητική σύγκληση των

συντελεστών.

Στους πίνακες 4.1, 4.2, 4.3 παρουσιάζονται για το κάθε μοντέλο οι γωνίες με τους

αντίστοιχους συντελεστές Cd και Cl που έδωσε το Fluent.

Στην συνέχεια έγινε σύγκριση των παραπάνω τιμών που έδωσε το Fluent με τις

αντίστοιχες πειραματικές και θεωρητικά υπολογισμένες τιμές των συντελεστών Cd και

Cl. Σκοπός είναι να βρεθεί ποιό από τα τρία εξεταζόμενα μοντέλα τύρβης έχει μικρότερη

απόκλιση από τις πειραματικές-θεωρητικές τιμές . Έτσι, προκύπτουν τα διαγράμματα 4.1

και 4.2.

Όπως φαίνεται από τα διαγράμματα 4.1 και 4.2, το k-ε realizable πλησιάζει περισσότερο

τις πειραματικές – θεωρητικές τιμές, οπότε είναι ικανό να δώσει πιο αξιόπιστα

αποτελέσματα όσον αφορά τις κατανομές απόλυτης πίεσης και ταχύτητας στην περιοχή

γύρω και πάνω στην υδροτομή.


ΓΩΝΙΑ Cl Cd

-5 5,40E-02 0,064700

-4 7,22E-02 0,064351

-3 2,67E-02 0,070054

-2,5 8,62E-02 0,065904

-2 1,54E-01 0,062462

-1 1,82E-01 0,063962

0 2,01E-01 0,066686

1 2,40E-01 0,069350

2 3,33E-01 0,071103

3 3,45E-01 0,078119

3,5 4,15E-01 0,079975

4 3,79E-01 0,083381

4,5 3,83E-01 0,086321

5 5,03E-01 0,091973

5,5 5,60E-01 0,096806

6 4,89E-01 0,101200

6,5 4,90E-01 0,105340

7 6,12E-01 0,113430

8 6,82E-01 0,126830

9 7,95E-01 0,142520

10 8,39E-01 0,159460

Πίνακας 4.1Γωνίες προσβολής - συντελεστές Cd και Cl

για το μοντέλο k-ε standard

ΓΩΝΙΑ Cl Cd

-5 -7,42E-02 5,65E-02

-4 -4,32E-02 5,44E-02

-3 2,17E-02 5,07E-02

-2,5 5,03E-02 4,95E-02

-2 1,67E-01 4,27E-02

-1 1,80E-01 4,54E-02

0 1,90E-01 4,84E-02

1 2,00E-01 5,14E-02

2 2,08E-01 5,48E-02

3 2,39E-01 5,90E-02

3,5 3,42E-01 6,31E-02

4 4,11E-01 6,51E-02

4,5 4,45E-01 6,75E-02

5 4,78E-01 7,05E-02

5,5 5,52E-01 7,32E-02

6 5,95E-01 7,67E-02


6,5 6,16E-01 8,09E-02

7 6,69E-01 8,61E-02

8 7,68E-01 9,58E-02

9 8,54E-01 1,06E-01

10 9,18E-01 1,19E-01

Πίνακας 4.2 Γωνίες προσβολής - συντελεστές Cd και Cl

για το μοντέλο k-ε RNG

ΓΩΝΙΑ Cl Cd

-5 -1,06E-01 5,50E-02

-4 -4,61E-02 5,11E-02

-3 5,47E-02 4,55E-02

-2,5 1,14E-01 4,28E-02

-2 6,77E-02 4,61E-02

-1 1,46E-01 4,46E-02

0 2,02E-01 4,55E-02

1 2,10E-01 4,88E-02

2 2,18E-01 5,22E-02

3 4,30E-01 5,38E-02

3,5 4,61E-01 5,75E-02

4 5,07E-01 5,86E-02

4,5 5,87E-01 5,99E-02

5 6,44E-01 6,30E-02

5,5 6,69E-01 6,74E-02

6 7,73E-01 6,80E-02

6,5 7,82E-01 7,38E-02

7 8,49E-01 7,82E-02

8 9,29E-01 8,91E-02

9 1,00E+00 1,01E-01

10 1,01E+00 1,16E-01

Πίνακας 4.3 Γωνίες προσβολής - συντελεστές CD και Cl

για το μοντέλο k-ε realizable


Διάγραμμα 4.1 Συντελεστής άνωσης Cl συναρτήσει γωνιών προσβολής

Διάγραμμα 4.2 Συντελεστής αντίστασης CD συναρτήσει γωνιών προσβολής


Στις Εικόνες 4.1 – 4.8 φαίνεται η κατανομή της απόλυτης πίεσης στο ροϊκό πεδίο της

υδροτομής για διάφορες γωνίες προσβολής του νερού.

Εικόνα 4.1 Κατανομή του συντελεστή πίεσης γύρω από την υδροτομή

για γωνία προσβολής -5ο

Εικόνα 4.2 Κατανομή του συντελεστή πίεσης κοντά στο χείλος προσβολής




για γωνία προσβολής 0ο





για γωνία προσβολής5ο





για γωνία προσβολής10ο




Παρατηρώντας τις Εικόνες 4.1 – 4.8 , είναι φανερό πως η υδροτομή συμπεριφέρεται

καλύτερα όταν η γωνία προσβολής του νερού αυξάνεται από τα αρνητικά στα θετικά.

Σύμφωνα με τις Εικόνες, η κατανομή της πίεσης πάνω και γύρω από την υδροτομή έχει

ευδιάκριτες διαφορές καθώς η κλίση αυξάνεται. Συγκεκριμένα, στις -5° η διαφορά των

πιέσεων μεταξύ της άνω και της κάτω επιφάνειας είναι αμελητέα, στις 0° η διαφορά

μεταξύ των πιέσεων αυξάνει, ενώ στις 5° και 10° υπάρχει αρκετά αισθητή διαφορά

μεταξύ των πιέσεων της άνω και της κάτω επιφάνειας. Στις μεγάλες γωνίες προσβολής η

πίεση στην επάνω επιφάνεια είναι αρκετά μικρή σε σχέση με την πίεση στην κάτω

επιφάνεια που είναι αρκετά μεγάλη. Συνεπώς, έτσι εξασφαλίζεται το επιθυμητό, δηλαδή

μεγαλύτερος συντελεστής άνωσης. Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι σε κλίσης προσβολής

του νερού μεγαλύτερες από τις 0°, το σημείο ανακοπής της ροής βρίσκεται στην κάτω

επιφάνεια της υδροτομής και σε αυτό το σημείο η πίεσης έχει την max τιμής της. Όπως

φαίνεται στις Εικόνες 4.9 – 4.16, το ίδιο συμβαίνει και με την ταχύτητα, δηλαδή με την

αύξηση της γωνίας προσβολής αυξάνεται η διαφορά ταχύτητας μεταξύ των δύο

επιφανειών. Όμως σε αντίθεση με την κατανομή της πίεσης, η ταχύτητα παίρνει μεγάλες

τιμές στην επάνω επιφάνεια και μικρές τιμές στην κάτω επιφάνεια. Στο ροϊκό πεδίο που

βρίσκεται στο πίσω μέρος της υδροτομής υπάρχει μία περιοχή που λέγεται απόρρευμα.

Το απόρρευμα είναι μία περιοχή πίσω από την υδροτομή όπου το νερό έχει χαμηλότερη

ταχύτητα σε σχέση με την περιοχή γύρω του και συνεπώς μεγαλύτερη πίεση.

Αυτή είναι η βασική αρχή λειτουργίας των υδροτομών αλλά και των αεροτομών στα

αεροσκάφη. Βέβαια απαιτείται μεγάλη προσοχή και ακρίβεια στο πόσο αυξάνεται η

γωνία πρόσπτωσης του νερού διότι μετά από ένα όριο επιτυγχάνεται το αντίθετο

αποτέλεσμα. Γενικά, όπως θα παρατηρηθεί και στις παρακάτω Εικόνες, όταν η γωνία

προσβολής του νερού αυξάνεται η ταχύτητα στην άνω επιφάνεια τείνει να επιβραδύνεται

μετά από κάποιο σημείο της. Η επιβράδυνση της ροής στην επάνω επιφάνεια σημαίνει

και κίνδυνος για αποκόλληση του οριακού στρώματος, με την άνωση να ελαττώνεται και

να εμφανίζονται τυρβώδη φαινόμενα.


Στις Εικόνες 4.9 – 4.16 φαίνεται με αναπαράσταση Contour η κατανομή της

συνισταμένης ταχύτητας στο χώρο γύρω από την υδροτομή .

Εικόνα 4.9 Κατανομή συνισταμένης (ολικής) ταχύτητας


Εικόνα 4.10 Κατανομή συνισταμένης (ολικής) ταχύτητας στο χείλος προσβολής





Εικόνα 4.16 Κατανομή συνισταμένης (ολικής) ταχύτητας στο χείλος προσβολής για γωνία

προσβολής 10ο


Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ένα συγκεντρωτικό διάγραμμα και για τα τρία μοντέλα, που

απεικονίζει το Y+ συναρτήσει της γωνίας προσβολής της ταχύτητας του νερού πάνω

στην υδροτομή. Υπενθυμίζεται πως το Y+ είναι η αδιάστατη απόσταση από το τοίχωμα.

Διάγραμμα 4.3 Κατανομή του Y Plus για τα τρία μοντέλα συναρτήσει της γωνίας

προσβολής του νερού

Τέλος, εκτός από τις γραφικές αναπαραστάσεις Contours, χρησιμοποιούνται

διαγράμματα ώστε να παρουσιαστεί η κατανομή του συντελεστή πίεσης Cp στην πάνω

και στην κάτω επιφάνεια της υδροτομής σε συνάρτηση με την απόσταση από το χείλος

προσβολής ανά μονάδα χορδής.

Όπως φαίνεται από τα διαγράμματα 4.4, 4.5 και 4.6, το Cp της πάνω επιφάνειας της

υδροτομής (upwall) μειώνεται και στο μεγαλύτερο τμήμα ο συντελεστής πίεσης είναι

αρνητικός. Όσον αφορά την κάτω επιφάνεια της υδροτομής (downwall), πάλι ο

συντελεστής πίεσης μειώνεται αλλά παίρνει θετικές τιμές. Συνεπώς η πίεση στο

downwall είναι μεγαλύτερη από την πίεση στο upwall.

Αυτό φυσικά είναι το επιθυμητό αποτέλεσμα! Συγκεκριμένα, η διαφορά πίεσης οφείλεται

στο ότι στο πάνω τμήμα της υδροτομής η ταχύτητα του νερού είναι μεγαλύτερη από ότι

στο κάτω τμήμα. Κατά συνέπεια η πίεση που δημιουργείται στο πάνω μέρος είναι

μικρότερη και στο κάτω μεγαλύτερη. Η διαφορά πίεσης δημιουργεί άνωση της τομής

προς τα πάνω, άρα έτσι επιτυγχάνεται ο στόχος σχεδιασμού της υδροτομής.

Παρατηρώντας τώρα τα τρία διαγράμματα της κατανομής του συντελεστή πίεσης

γίνεται ακόμα μία διαπίστωση. Αναλυτικότερα, η διαφορά μεταξύ των συντελεστών

πίεσης στο k-ε standard μοντέλο τύρβης είναι σχετικά μικρή, στο k-ε RNG η διαφορά


αυξάνεται, ενώ στο k-ε realizable είναι πολύ μεγαλύτερη. Αυτό δίνει ως συμπέρασμα ότι

το μοντέλο τύρβης k-ε realizable είναι καλύτερο γιατί δίνει μεγαλύτερη διαφορά πίεσης

ανάμεσα στα δύο τμήματα της υδροτομής και συνεπώς μεγαλύτερη άνωση σε σχέση με

τα άλλα δύο.

Διάγραμμα 4.4 Κατανομή του συντελεστή πίεσης για την πάνω και κάτω επιφάνεια

της υδροτομής συναρτήσει της απόστασης από το χείλος προσβολής ανά μονάδα

χορδής (x/c) για το μοντέλο k-ε standard

Διάγραμμα 4.5 Κατανομή του συντελεστή πίεσης για την πάνω και κάτω επιφάνεια της

υδροτομής συναρτήσει της απόστασης από το χείλος προσβολής ανά μονάδα χορδής (x/c)

για το μοντέλο k-ε RNG


Διάγραμμα 4.6 Κατανομή του συντελεστή πίεσης για την πάνω και κάτω επιφάνεια της

υδροτομής συναρτήσει της απόστασης από το χείλος προσβολής ανά μονάδα χορδής (x/c)

για το μοντέλο k-ε realizable

4.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Ενεργοποιώντας και ρυθμίζοντας το μοντέλο mixture όπως αναφέρεται στο Κεφάλαιο 3,

η υπολογιστική ανάλυση (Steady State) επιλύει το φαινόμενο της σπηλαίωσης πάνω στην

υδροτομή. Αρχικά η ανάλυση γίνεται και για τα τρία μοντέλα τύρβης k-ε (standard,

RNG, realizable). Σκοπός είναι να βρεθεί ποιο από τα τρία αυτά μοντέλα δίνει καλύτερα

υπολογιστικά αποτελέσματα. Η σύγκριση γίνεται με αντίστοιχα πειραματικά

αποτελέσματα τα οποία έχουν βρεθεί και είναι διαθέσιμα στη δημοσίευση ‘An

Experimental Study of Unsteady Partial Cavitation’.

Η ανάλυση γίνεται για μία μόνο γωνία προσβολής του νερού στην υδροτομή και

συγκεκριμένα για α = 6.5°, ενώ η ταχύτητα μακρινού πεδίου εξακολουθεί να είναι ίδια με

την ταχύτητα στην μονοφασική ανάλυση και συγκεκριμένα U = 5.33 m/s. Ακόμα το

μοντέλο k-ε, το οποίο θα βρεθεί ότι δίνει τα καλύτερα υπολογιστικά αποτελέσματα, θα

αναλυθεί και για τους τρεις αριθμούς σπηλαίωσης , δηλαδή για σ = 1.30, σ = 1.34 και σ =

1.41 αλλά πάντα η γωνία προσβολής παραμένει 6.5°.

Το Fluent αφού ολοκληρώσει το ‘τρέξιμο’ δίνει κάποια αποτελέσματα τα οποία αφορούν

το συντελεστή άνωσης, το συντελεστή αντίστασης καθώς και το μήκος σπηλαίωσης. Στα

παρακάτω διαγράμματα φαίνονται αυτά τα αποτελέσματα για τα μοντέλα τύρβης k-ε :


standard, RNG, realizable και για τους τρεις αριθμούς σπηλαίωσης, όμως ταυτόχρονα

παρατίθενται και τα πειραματικά.

Διάγραμμα 4.7 Συντελεστής άνωσης συναρτήσει

των τριών αριθμών σπηλαίωσης

Διάγραμμα 4.8 Συντελεστής αντίστασης συναρτήσει

των τριών αριθμών σπηλαίωσης


Διάγραμμα 4.9 Αδιάστατο μήκος σπηλαίωσης διαιρεμένο με το μήκος χορδής

συναρτήσει των τριών αριθμών σπηλαίωσης

Αυτό που προκύπτει από τα διαγράμματα 4.7, 4.8 και 4.9 είναι ότι η κατανομή του

συντελεστή άνωσης, του συντελεστή αντίστασης και του μήκους χορδής σε σχέση με

τους τρεις αριθμούς σπηλαίωσης για το μοντέλο τύρβης k-ε realizable, είναι πιο κοντά

στις πειραματικές μετρήσεις. Συνεπώς προτιμάται για την μελέτη του φαινομένου

σπηλαίωσης που εμφανίζεται στην υδροτομή. Άρα όλες οι αναλύσεις και απεικονίσεις

που θα γίνουν στην συνέχεια αφορούν το k-ε realizable μοντέλο τύρβης. Στο σημείο

αυτό, αξίζει να γίνει υπενθύμιση ότι και στη μονοφασική ανάλυση το k-ε realizable έδινε

καλύτερα αποτελέσματα.

4.2.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ

ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΥΔΡΟΤΟΜΗ ΓΙΑ ΑΡΙΘΜΟ ΣΠΗΛΑΙΩΣΗΣ σ = 1.41

(Γωνία προσβολής α = 6.5°)

Το Fluent είναι ικανό να δώσει, πέρα από αριθμητικά αποτελέσματα, γραφική

απεικόνιση των διαφόρων μεγεθών ώστε να γίνεται και οπτική κατανόηση των

αποτελεσμάτων. Στις εικόνες 4.17 και 4.18 παρουσιάζεται η κατανομή πίεσης γύρω από

την υδροτομή για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.41, γωνία προσβολής α = 6.5° και μοντέλο

τύρβης k-ε realizable με ύπαρξη σπηλαίωσης.


Σχήμα 4.17 Κατανομή του μεγέθους απόλυτης πίεσης γύρω από υδροτομή για σ=1.41°

Σχήμα 4.18 Πιο κοντινό πλάνο της κατανομής του μεγέθους πίεσης,

στο χείλος προσβολής για σ=1.41°


Το μπλε χρώμα στα σχήματα 4.17 και 4.18 δείχνει την πίεση που ισούται με την πίεση

ατμού, δηλαδή 2310 Pa και σε αυτό ακριβώς το σημείο αρχίζει να δημιουργείται η

σπηλαίωση. Ακόμα, αξίζει να σημειωθεί πως η πίεση στην κάτω επιφάνεια υδροτομής

είναι μεγαλύτερη από την πίεση που αναπτύσσεται στην πάνω επιφάνεια της υδροτομής.

Αυτό είναι δικαιολογημένο καθώς σύμφωνα με αυτή την προϋπόθεση αναπτύσσεται η

άνωση – lift στην υδροτομή.

Στις εικόνες 4.19 και 4.20 φαίνεται η κατανομή του κλάσματος του όγκου του ατμού

προς το συνολικό όγκο του ατμού –νερού, γύρω από την υδροτομή ή με άλλα λόγια το

μήκος σπηλαίωσης όπως συνήθως αναφέρεται.

Σχήμα 4.19 Μήκος σπηλαίωσης ανά μήκος χορδής για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.41

Σχήμα 4.20 Μήκος σπηλαίωσης ανά μήκος χορδής, κοντινότερο πλάνο, για αριθμό

σπηλαίωσης σ = 1.41


Παρατηρείται ότι, για σ = 1.41, το μήκος της σπηλαίωσης είναι ίσο με το 22% του

μήκους της χορδής, δηλαδή είναι μικρότερο από το 50% του μήκους της χορδής και αυτό

συνεπάγεται ότι η σπηλαίωση δεν μεταβάλλεται με το χρόνο άρα η ροή είναι μόνιμη

(Steady state).

Παρακάτω παρατίθενται σε μορφή διαγράμματος η κατανομή του συντελεστή πίεσης

στην άνω επιφάνεια της υδροτομής σύμφωνα με τους υπολογισμούς στο Fluent και

συγκρίνονται οι τιμές αυτές με τα αποτελέσματα της πειραματικής διαδικασίας.

Διάγραμμα 4.10 Πειραματική και υπολογιστική κατανομή του συντελεστή πίεσης στην

πάνω επιφάνεια της υδροτομής για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.41

Είναι φανερό ότι οι δύο κατανομές δεν διαφέρουν αρκετά και ότι στη μεταβατική

περιοχή που ο συντελεστή πίεσης αυξάνεται απότομα, η κλίση της πειραματικής

καμπύλης είναι μικρότερη της υπολογιστικής λόγω λίγων σημείων πειραματικών

μετρήσεων στην πάνω επιφάνεια. Επομένως αποδεικνύεται ότι η υπολογιστική ανάλυση

προσομοιάζει σωστά, λόγω ταύτισης των αποτελεσμάτων της με τα πειραματικά

δεδομένα, την ροή με σπηλαίωση για αριθμό σπηλαίωσης 1.41 .

Στην συνέχεια στο διάγραμμα 4.11 παρουσιάζεται το κλάσμα όγκου του ατμού προς τον

συνολικό όγκο του μίγματος σε συνάρτηση με το μήκος της χορδής της υδροτομής, για

την πάνω επιφάνεια της υδροτομής. Φαίνεται ότι η σπηλαίωση ξεκινά από το χείλος

προσβολής της τομής και φτάνει στο μέχρι το 0.04 της χορδής. Αν l είναι το πραγματικό

μήκος σπηλαίωσης, το μήκος της σπηλαίωσης ανά μονάδα χορδής είναι l/c = 0.25 και

προσεγγίζει τον πειραματικό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγει η δημοσίευση για σ=1.41.


Διάγραμμα 4.11 Κατανομή του κλάσματος του όγκου του ατμού προς το συνολικό όγκο του

μίγματος στην πάνω επιφάνεια της υδροτομής για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.41

Στον πίνακα 4.4 παρουσιάζονται τα υπολογιστικά και πειραματικά αποτελέσματα για τον

συντελεστή άνωσης και αντίστασης. Το σφάλμα που παρουσιάζουν είναι ικανοποιητικά

μικρό.

Συντελεστής Άνωσης και Αντίστασης Πειραμάτων και Υπολογιστικής Ανάλυσης

Συντελεστής Άνωσης Υπολογιστικής

Ανάλυσης 0,807

Συντελεστής Αντίστασης Υπολογιστικής


Συντελεστής Άνωσης του Πειράματος 0,864

Συντελεστής Αντίστασης του

Πειράματος 0,041

Σφάλμα μεταξύ Πειράματος &

Υπολογιστικής Ανάλυσης 7%


Υπολογιστικής Ανάλυσης 13.8%

Πίνακας 4.4 Σύγκριση του πειραματικού και υπολογιστικού συντελεστή άνωσης και

αντίστασης





Για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.34 και γωνία προσβολής 6.5°, η υπολογιστική ανάλυση

δίνει τα αποτελέσματα που φαίνονται στα σχήματα 4.21, 4.22, 4.23 και 4.24. Όσον

αφορά τις εικόνες που απεικονίζουν τις κατανομή πίεσης, αν γίνει σύγκριση μεταξύ των

κατανομών για σ = 1.41 και σ = 1.34 προκύπτει ότι οι πιέσεις στην πάνω επιφάνεια της

υδροτομής είναι πιο χαμηλές στην περίπτωση όπου το σ = 1.34 και η περιοχή χαμηλής

πίεσης αυξάνεται προς το χείλος εκφυγής. Επίσης, το μήκος σπηλαίωσης στην πάνω

επιφάνεια της υδροτομής αυξάνεται για σ = 1.34.

Στο διάγραμμα 4.12 φαίνεται ότι οι δυο κατανομές του συντελεστή πίεσης στην πάνω

επιφάνεια της υδροτομής από την υπολογιστική ανάλυση και τα πειραματικά δεδομένα

(δημοσίευση “An Experimental Study of Unsteady Partial Cavitation”) είναι πολύ κοντά

μεταξύ τους. Στην περιοχή / 0.5x c οι δυο κατανομές παρουσιάζουν μεγαλύτερη

διαφορά απ’ ότι η στην υπόλοιπη επιφάνεια αλλά και αυτή είναι ικανοποιητική για να

ειπωθεί ότι τα αποτελέσματα της υπολογιστικής ανάλυσης επαληθεύονται από τα

πειράματα. Αυτή η μεγαλύτερη απόκλιση από την πειραματική κατανομή του

συντελεστή πίεσης για / 0.5x c πιθανώς να οφείλεται στο γεγονός ότι για να επιτευχθεί

η κατανομή του συντελεστή πίεσης και το μήκος σπηλαίωσης σχεδόν ίδιο με τα

πειραματικά δεδομένα χρειάστηκε να μεταβληθεί η ποσότητα των μη συμπυκνωμένων

αερίων στο νερό.

Από το διάγραμμα 4.13 φαίνεται ότι το μήκος της σπηλαίωσης ανά μονάδα χορδής που

αναπτύσσεται στην πάνω επιφάνεια είναι / 0.4l c . Στο ίδιο μήκος σπηλαίωσης

καταλήγουν και τα πειραματικά δεδομένα για αριθμό σπηλαίωσης 1.34 .

Τέλος, γίνεται σύγκριση των τιμών των συντελεστών άνωσης και αντίστασης για τα

υπολογιστικά και τα πειραματικά αποτελέσματα και στον πίνακα 4.5 φαίνονται οι τιμές

καθώς και η απόκλιση η οποία είναι ικανοποιητική.


Σχήμα 4.21 Κατανομή πίεσης γύρω από υδροτομή για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.34

Σχήμα 4.22 Κατανομή πίεσης γύρω από υδροτομή, σε κοντινότερο πλάνο,

για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.34


Σχήμα 4.23 Κατανομή κλάσματος του όγκου του ατμού προς το συνολικό όγκο του νερού-

ατμού για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.34


ατμού, σε κοντινότερο πλάνο, για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.34



πάνω επιφάνεια της υδροτομής γα αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.34




Συντελεστής Άνωσης και Αντίστασης Πειραμάτων και Υπολογιστικής Ανάλυσης

Συντελεστής Άνωσης Υπολογιστικής


Συντελεστής Αντίστασης

Υπολογιστικής Ανάλυσης 0,038

Συντελεστής Άνωσης του Πειράματος 0,875

Συντελεστής Αντίστασης του

Πειράματος 0,043


Υπολογιστικής Ανάλυσης 2 %


Υπολογιστικής Ανάλυσης 13%

Πίνακας 4.5 Σύγκριση του υπολογιστικού και πειραματικού συντελεστή άνωσης και

αντίστασης




Στα σχήματα 4.25, 4.26 και 4.27, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από

την ανάλυση για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.30.

Όσον αφορά την κατανομή πίεσης, για τον αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.30, παρατηρούμε

ότι οι τιμές της πίεσης στην πάνω επιφάνεια της υδροτομής είναι οι μικρότερες που

προκύπτουν, αν συγκρίνουμε και τους τρεις αριθμούς σπηλαίωσης για τους οποίους έγινε

η ανάλυση (σ=1.41, σ=1.34 και σ=1.30).Επίσης, αύξηση παρατηρείται και στο μήκος

σπηλαίωσης που εμφανίζεται στην πάνω επιφάνεια της υδροτομής.

Σχήμα 4.25 Κατανομή πίεσης γύρω από υδροτομή για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.30


Σχήμα 4.26 Κατανομή πίεσης γύρω από υδροτομή, σε κοντινότερο πλάνο,

για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.30


ατμού για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.30



ατμού, στο χείλος προσβολής, για αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.30


πάνω επιφάνεια της υδροτομής γα αριθμό σπηλαίωσης σ = 1.30


Όπως φαίνεται στο Διάγραμμα 4.14, η κατανομή του συντελεστή πίεσης της

υπολογιστικής ανάλυσης πλησιάζει αρκετά την αντίστοιχη πειραματική. Επομένως και

στη περίπτωση του αριθμού σπηλαίωσης σ=1.30 η υπολογιστική ανάλυση με την

συγκεκριμένη ρύθμιση παραμέτρων επίλυσης δίνει ορθά αποτελέσματα.

Στη περιοχή μετά το τέλος της σπηλαίωσης οι δυο κατανομές του συντελεστή πίεσης από

τα πειραματικά και υπολογιστικά αποτελέσματα διαφέρουν πιο πολύ από την υπόλοιπη

επιφάνεια της υδροτομής. Αυτό μπορεί να οφείλεται στη αύξηση του μη συμπυκνωμένου

αέρα στο νερό.

Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται το κλάσμα όγκου του ατμού και προκύπτει ότι το

μήκος σπηλαίωσης προς το συνολικό μήκος της χορδής είναι l/c = 0.53.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ_________ 135

Κεφάλαιο 5

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΑ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Η υπολογιστική ανάλυση που έγινε, χωρίστηκε σε δύο τμήματα. Το πρώτο τμήμα ήταν η

επιλογή του καταλληλότερου μοντέλου τύρβης για την μονοφασική ανάλυση. Για να

παρθεί η σωστή απόφαση έγιναν υπολογιστικές αναλύσεις με τη βοήθεια του

υπολογιστικού προγράμματος Fluent. Οι αναλύσεις αυτές αφορούσαν 21 διαφορετικές

γωνίες προσβολής του νερού στην υδροτομή. Αφού παρατέθηκαν, σε διαγράμματα τα

αποτελέσματα επιλέχθηκε πιο μοντέλο τύρβης από τα τρία υποψήφια είναι το

καταλληλότερο. Το δεύτερο τμήμα αφορά το φαινόμενο της σπηλαίωσης που

εμφανίζεται καθώς τώρα η ανάλυση είναι διφασική, δηλαδή υπάρχει νερό και ατμός.

Επιλέγεται, μετά από υπολογιστικές αναλύσεις το κατάλληλο μοντέλο για την περιγραφή

της σπηλαίωσης και στη συνέχεια εξετάζεται η συμπεριφορά της υδροτομής για τρεις

διαφορετικούς αριθμούς σπηλαίωσης, όμως για την ίδια γωνία προσβολής του νερού.

Με τον όρο, έλεγχος των υπολογιστικών παραμέτρων, εννοείται η σύγκριση των

υπολογιστικών αποτελεσμάτων με πειραματικά δεδομένα, έτσι ώστε να αποδειχθεί ότι οι

υπολογιστικές παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν (μοντέλο τύρβης, αλγόριθμοι κ.τ.λ)

είναι σωστές και δίνουν ακριβή αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, από τα διαγράμματα του

Κεφαλαίου 4, που αναφέρονται κάποια από αυτά στην μονοφασική ροή και τα υπόλοιπα

στη ροή που εμφανίζει σπηλαίωση, διαπιστώνεται ότι :

Α. Η χρήση του συγκεκριμένου αλγόριθμου επίλυσης, σχημάτων διακριτοποίησης,

μοντέλου τύρβης και πλέγματος, έδωσε ακριβή αποτελέσματα που προσεγγίζουν

ικανοποιητικά τα πειραματικά δεδομένα.

Β. Το μοντέλο τύρβης k - ε που χρησιμοποιήθηκε, είναι ικανό να περιγράψει με μεγάλη

ακρίβεια την ροή υγρού (ασυμπίεστου ρευστού) και τη ροή υγρού με εμφάνιση του

φαινομένου σπηλαίωσης. Αυτό το συμπέρασμα είναι αρκετά χρήσιμο, για το λόγο ότι το


μοντέλο k - ε εφαρμόζει μία εξίσωση μεταφοράς, για την εύρεση του ιξώδους και η

χρησιμοποίηση του στα φαινόμενα τόσο της μονοφασικής ροής όσο και της σπηλαίωσης,

ελαττώνει τον χρόνο επίλυσης και των όγκο των πράξεων στον υπολογιστή, σε σχέση με

άλλα μοντέλα τύρβης, όπου εφαρμόζουν περισσότερες εξισώσεις μεταφοράς.

Γ. Το μοντέλο τύρβης k-ε αποτελείται από τρία μοντέλα τα οποία είναι το k-ε standard,

k-ε RNG,k-ε realizable. Το κάθε ένα μοντέλο από αυτά , με τη βοήθεια του λογισμικού

Ansys Fluent, μας δίνει για 21 διαφορετικές γωνίες προσβολής, τιμές για τον συντελεστή

άνωσης Cl και τον συντελεστή αντίστασης Cd. Συγκρίνοντας τις τιμές αυτές με τους

αντίστοιχους πειραματικούς και θεωρητικούς συντελεστές για τη μονοφασική ροή που

υπάρχουν σε δημοσιεύσεις , θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι το k-ε realizable

υπερισχύει στο θέμα ακρίβειας σε σχέση με τα άλλα δύο μοντέλα k-ε. Στο συμπέρασμα

αυτό καταλήγουμε πολύ εύκολα αν παρατηρήσουμε τα Διαγράμματα 4.1 και 4.2, όπου

θα δούμε ότι το k-ε realizable είναι πιο κοντά στα θεωρητικά και υπολογιστικά

αποτελέσματα. Συνεπώς το k-ε realizable θα δώσει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα όσον

αφορά τη κατανομή πίεσης και ταχύτητας γύρω από την υδροτομή.

Δ. Το συμπέρασμα που περιγράφεται στην αμέσως προηγούμενη παράγραφο είναι

εντελώς αναμενόμενο καθώς το k-ε realizable σύμφωνα με τη θεωρία είναι το μοντέλο

τύρβης που χρησιμοποιεί ακριβέστερους τύπους και μεθόδους υπολογισμού σε σχέση με

το standard και το RNG. Είναι με λίγα λόγια περισσότερο ολοκληρωμένο μοντέλο και

ανταποκρίνεται καλύτερα στις απαιτήσεις του προβλήματος μας.

Ε. Παρατηρώντας τις Εικόνες 4.1-4.8 καταλήγουμε στο εξής: Οι μεγαλύτερες πιέσεις

αναπτύσσονται κοντά στο χείλος προσβολής και κοντά στο χείλος εκφυγής της

υδροτομής. Βέβαια η μέγιστη πίεση όλων εμφανίζεται ακριβώς πάνω στο χείλος

προσβολής, το οποίο δεν είναι ένα συγκεκριμένο σημείο πάνω στην υδροτομή αντιθέτως

μετατοπίζεται ανάλογα με τη γωνία προσβολής του νερού. Ακόμα παρατηρούμε ότι η

πίεση μειώνεται κατά μήκος της πάνω και της κάτω επιφάνειας της υδροτομής, όμως

μεγαλύτερη πίεση επικρατεί πάντα στην κάτω επιφάνεια της υδροτομής. Αυτό άλλωστε

είναι το επιθυμητό καθώς η διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο επιφανειών επιφέρει την

άνωση – lift της υδροπτέρυγας.

ΣΤ. Παρατηρώντας τις Εικόνες 4.9 – 4.16 οι οποίες αφορούν την κατανομή της

ταχύτητας γύρω από την υδροτομή, βλέπουμε ότι συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο. Εκεί

που χτυπά το νερό την υδροπτέρυγα έχουμε ελάχιστη ταχύτητα. Έπειτα η ταχύτητα

αυξάνεται καθώς το νερό ‘αγκαλιάζει’ την υδροτομή ενώ ασφαλώς ισχύει ότι η ταχύτητα

στο επάνω μέρος της υδροτομής είναι μεγαλύτερη σε σχέση με την ταχύτητα στην κάτω


επιφάνεια. Στην συνέχεια, η ταχύτητα πάλι μειώνεται στο χείλος εκφυγής και συνεχίζει

να έχει μικρή τιμή εκεί που σχηματίζεται το απόρρευμα.

Ζ. Η ροή συμπεριφέρεται όπως ακριβώς θέλουμε έτσι ώστε να μην συμβεί το

ανεπιθύμητο αποτέλεσμα που είναι η αποκόλληση της ροής. Η αύξηση της πίεσης κατά

την κατεύθυνση της ροής οδηγεί στην επιβράδυνσή της και στην αναστροφή της σε

πολλές περιπτώσεις. Με απλά λόγια όταν η ροή συναντά αυξανόμενη πίεση , τα στοιχεία

του ρευστού κοντά στο τοίχωμα , τα οποία έχουν μικρή ταχύτητα, εμποδίζονται στην

κίνηση τους από τη δύναμη της πίεσης και μπορεί να κινηθούν από την αντίθετη φορά

της ροής (ανακυκλοφορία). Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται και αποκόλληση της ροής.

Η. Επίσης, όσον αφορά τη μονοφασική ροή, παρατηρώντας τα Διαγράμματα 4.4-4.6

συμπεραίνουμε ότι η διαφορά πίεσης μεταξύ της άνω επιφάνειας της υδροπτέρυγας και

της κάτω επιφάνειάς της είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε το k-ε

realizable. Έτσι αυτό μας δίνει μεγαλύτερη άνωση-lift και είναι ένα ακόμα στοιχείο που

αποδεικνύει ότι το k-ε realizable είναι πιο αξιόπιστο σε σχέση με τα άλλα δύο.

Θ. Όσον αφορά τη σπηλαίωση, μας ενδιαφέρει και εδώ να δούμε ποιό από τα τρία

μοντέλα k-ε περιγράφει καλύτερα το φαινόμενο. Συγκρίνοντας τα πειραματικά

αποτελέσματα της δημοσίευσης που αφορούν τα Cl , Cd και μήκος σπηλαίωσης με τα

υπολογιστικά που δίνει το Fluent για τα τρία k-ε, καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα: το

k-ε realizable είναι πιο κοντά στα πειραματικά αποτελέσματα άρα και πιο αξιόπιστο.

Ι. Παρατηρώντας τις κατανομές των πιέσεων γύρω από την υδροτομή για τους αριθμούς

σπηλαίωσης σ = 1.41, 1.34, 1.30 και για γωνία προσβολής α = 6.5°, είναι φανερό πως

στην επάνω επιφάνεια της υδροτομής και συγκεκριμένα κοντά στο χείλος προσβολής, η

πίεση είναι τόσο χαμηλή που ισούται με την πίεση ατμού, δηλαδή 2310 Pa. Σ’ αυτό

ακριβώς το σημείο αρχίζει η εμφάνιση της σπηλαίωσης. Όσο αυξάνεται ο αριθμός

σπηλαίωσης σ, οι χαμηλές πιέσεις περιορίζονται κοντά στο χείλος προσβολής καθώς με

την αύξηση του σ η πίεση του πεδίου γύρω από την υδροτομή αυξάνεται και διαφέρει

αρκετά από την πίεση κορεσμού. Φυσικά, οι χαμηλές πιέσεις συναντώνται στην άνω

επιφάνεια της υδροτομής, ενώ στην κάτω επιφάνεια η πίεση είναι πάρα πολύ μεγάλη.

Έτσι η άνωση-lift στην διφασική ροή με εμφάνιση σπηλαίωσης είναι μεγαλύτερη σε

σχέση με τη μονοφασική ροή, όμως αυτό που δημιουργεί σοβαρό πρόβλημα είναι ότι

αναπτύσσεται μεγάλη αντίσταση- drag λόγω της τριβής των φυσαλίδων με την επιφάνεια

της υδροτομής.


Κ. Επίσης αξίζει να σημειωθεί ότι καθώς το σ αυξάνεται το μήκος σπηλαίωσης

μειώνεται. Αυτό δικαιολογείται κατά έναν αντίστοιχο τρόπο όπως δικαιολογήθηκε το

συμπέρασμα Ι. Δηλαδή, σύμφωνα με τη σχέση (1.3.1) που δίνει τον αδιάστατο αριθμό

σπηλαίωσης, όταν αυξάνεται το σ (αριθμός σπηλαίωσης) αυξάνεται η πίεση στην έξοδο

της υδροτομής και επομένως οι πιέσεις που επικρατούν στο ροϊκό πεδίο είναι

μεγαλύτερες από την πίεση ατμοποίησης Pv και άρα έχουμε μικρότερη ανάπτυξη της

σπηλαίωσης. Στην περίπτωση που έχουμε μικρότερες τιμές του σ, έχουμε μικρότερες

πιέσεις στην έξοδο της υδροτομής και οι πιέσεις που επικρατούν είναι πιο κοντά στο Pv,

επομένως υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα να αναπτυχθεί η σπηλαίωση με μεγαλύτερο

μήκος στις επικίνδυνες περιοχές (χείλος προσβολής).

Λ. Η κατανομή του συντελεστή πίεσης που προέρχεται από την υπολογιστική ανάλυση,

μετά από το κλείσιμο της σπηλαίωσης στην πάνω επιφάνεια της υδροτομής, στους

αριθμούς σπηλαίωσης σ=1.34 και σ=1.30 δεν προσεγγίζει με την ίδια ακρίβεια, όπως

στον αριθμό σ=1.41, την πειραματική κατανομή. Η προσέγγιση είναι λιγότερο ακριβής.

Αυτό πιθανώς να οφείλεται στην αύξηση του μη συμπυκνωμένου ποσού αέρα στο νερό.

Μ. Στην περιοχή που αναπτύσσεται σπηλαίωση, ο συντελεστής πίεσης είναι πολύ

χαμηλότερος, από την υπόλοιπη επιφάνεια της υδροτομής. Ακριβώς μετά το κλείσιμο της

σπηλαίωσης, ο συντελεστής πίεσης αυξάνει απότομα (σχεδόν κατακόρυφα) και

ακολουθεί, περίπου την κατανομή που έχει στη ροή χωρίς σπηλαίωση. Αυτό εξάγεται

από την υπολογιστική ανάλυση, διότι τα πειραματικά δεδομένα, λόγω λιγοστών σημείων

μέτρησης στη πάνω επιφάνεια, δίνουν μια μεταβατική περιοχή από το κλείσιμο της

σπηλαίωσης στο υγρό, όπου ο συντελεστής πίεσης αυξάνεται γραμμικά με μια κλίση

σχεδόν στις γ=45ο . Συνεπώς, η χρήση αραιών σημείων μέτρησης στο φαινόμενο, όπως

φαίνεται στα πειραματικά , μπορεί να αλλοιώσει τα αποτελέσματα.

Ν. Η χρήση μικρής αδιάστατης ποσότητας y+<1 στο πλέγμα ήταν ικανή να περιγράψει

αρκετά καλά το οριακό υπόστρωμα και να δώσει δυνάμεις τριβής (συντελεστή

αντίστασης) κοντά στα πειραματικά.

Γενικά :

Η χρήση της ανάλυσης μόνιμης ροή (Steady flow) για όλες τους αριθμούς σπηλαίωσης,

ήταν επαρκής αφού στη πραγματικότητα το φαινόμενο της σπηλαίωσης κάθε φορά δεν

παρουσίαζε μεταβολές, αλλά πολύ μικρές ταλαντώσεις στο κλείσιμο της. Αυτό

στηρίζεται και από την δημοσίευση, που πάρθηκαν τα πειραματικά δεδομένα “An

Experimental Study of Unsteady Partial Cavitation” των Jean-Baptiste Leroux, Jacques


Andre Astolfi και Jean Yves Billard, οπου αναφέρει ότι, όταν το μήκος σπηλαίωσης είναι

μικρότερο του μισού της χορδής της υδροτομής, τότε η σπηλαίωση είναι σταθερή χωρίς

να μεταβάλει τη μορφή της. Σε όλες τις περιπτώσεις σπηλαίωσης, που αναφέρεται η

εργασία αυτή, παρουσιάζεται μήκος σπηλαίωσης μικρότερο του μισού της χορδής.

Φυσικά, μετά από κάθε ανάλυση (Steady state) έγινε ανάλυση Unsteady state, με αρχική

συνθήκη την λύση της μόνιμης ροής και αποδείχτηκε ότι πράγματι το φαινόμενο δε

παρουσιάζει μεταβολές.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ_____________________________________________________________________ 140

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Παπανίκας Δ., Εφαρμοσμένη Ρευστομηχανική, 4η Έκδοση, 2010

2. Μπεργελές Γ., Υπολογιστική Ρευστομηχανική, Εκδόσεις Συμεών, 1993

3. Μαρκάτος Ν.,Ασημακόπουλος Δ., Υπολογιστική Ρευστοδυναμική, Εκδόσεις

Παπασωτηρίου, 1995

4. Μαρκέλλου Β.Β., Αριθμητικές Μέθοδοι, Εκδόσεις Συμμετρία, 2001

5. Καλλιντέρης Ι., Αεροδυναμική, 2009

6. Καλλιντέρης Ι., Βασική Ρευστομηχανική, 2011

7. Αικατερινάρης Ι., Σημειώσεις Μαθήματος Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής

8. Giulio Maier, Jean Salencon, Wilhelm Schneider, Fluid Dynamics of Cavitation

And Cavitating Turbopumps, SpringerWienNewYork, 2007

9. Justin E. Kerwin, Lectures Notes Hydrofoils And Propellers, 2001

10. Randall A. Villeneuve, Effects of Viscocity on Hydrofoil Cavitation, University of

Massachusetts, 1990

11. Suhas V. Patankar, Numerical Heat Transfer And Fluid Flow, Hemisphere

Publising Corporation, 1980

12. Paper, “An Experimental Study of Unsteady Partial Cavitation” των Jean-Baptiste

Leroux, Jacques Andre Astolfi και Jean Yves Billard, Journal of Fluids

Engineering, Vol.126, JANUARY 2004

13. Paper, “Computational Study of the Flow Around a Ducted Tip Hydrofoil”

Των Hildur Ingavarsdottir, Carl Ollivier-Gooch και Seldon I. Green, Journal of

Fluids Engineering, Vol.127, JANUARY 2005

14. Paper, “Numerical Simulation of Cavitation Around a Hydrofoil and Evaluation

of a RNG k-e Model” των Lingjiu Zhou και Zhengwei Wang, Journal of Fluids

Engineering, Vol.130, JANUARY 2008

15. Paper, “Cavitation Luminescence from Flow Over a Hydrofoil in a Cavitation

Tunnel” των G.T Leighton, M. Farhat, J.E. Field και F. Avellan

16. Paper, “Numerical Analysis of Unsteady Vaporous Cavitating Flow Around a

Hydrofoil” των Yoshinori Saito, Ichiro Nacamori και Toshiaki Ikohagi

17. Paper, “Numerical Prediction of the Cavitating Flow on a Two Dimensional

Symmetrical Hydrofoil With a Single Fluid Model” των Olivier Coutier-Delgosha

και Jacques Andre Astolfi

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ_____________________________________________________________________ 141

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΤΣΙΔΟΝΙΩΤΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ

Documents

Transcript of ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΤΣΙΔΟΝΙΩΤΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ