Μαθηματικά αντικείμενα και σχέσεις στην υπηρεσία του ...

Συνέδριο ΕΜΕ 30-31 Οκτωβρίου 1 Νοεμβρίου 2015 Καστοριά 1

Μαθηματικά αντικείμενα και σχέσεις στην υπηρεσία του Φιλοσοφικού και Μεταφυσικού στοχασμού

(σύνδεσμος της Εργασίας)

Γιάννης Π ΠλατάροςΜαθηματικόςndashΟικονομολόγος

ΜΔΕ Διδακτικήamp Μεθοδολογία των Μαθηματικών


Η έννοια της υπεροχής των

μαθηματικών ως ενός καθολικά αποδεκτού

και αλάθητου σώματος αιτιολόγησης είναι μια μεγάλη ψευδαίσθηση

Morris Kline 1980


Στον βαθμό που οι προτάσεις των μαθηματικών δίνουν μια περιγραφή της πραγματικότητας δεν είναι βέβαιες και στον βαθμό που είναι βέβαιες δεν περιγράφουν την πραγματικότητα

A Einstein 1921


οι αποδείξεις που βασίζονται στην εις άτοπον απαγωγή δεν

είναι έγκυρες Η δίτιμη αριστοτέλεια λογική η οποία

βασίζεται στον νόμο αποκλεισμού του τρίτου παύει

να ισχύει αφού κανείς δεν μπορεί να μας διαβεβαιώσει ότι δεν υπάρχει και μια τρίτη πιθανή

τιμή αληθείας

Luitzen Egbertus Jan Brouwer Ιδρυτής Σχολής Ιντουσιονισμού


Υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους Φυσικούς αριθμούς οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχθούν από τα αξιώματα

Κούρτ Γκέντελ


υπάρχει μια ομοιότητα στον τρόπο με τον οποίο λειτουργεί η ορθολογικότητα στα μαθηματικά και στη φιλοσοφία Διονύσιος Αναπολιτάνος


Η ευχάριστη σύμπτωση ότι τα μαθηματικά και η φυσική ταίριαξαν

τόσο καλά φαίνεται laquoαδικαιολόγητηraquo και

δυσερμήνευτη

Ευγένιος Παύλος Βίγκερ ή Γουίγκνερ Γιουτζίν Πολ Eugene Paul Wigner Wigner Jenő Paacutel

Βραβείο Νόμπελ Φυσικής Μετάλλιο Μαξ Πλανκ

Βραβείο Ενρίκο Φέρμι Βραβείο Άλμπερτ Αϊνστάιν


Ερώτημα 1 Αξίζει να πιστεύει κάποιος στον Θεό ή όχι

Στην Θεωρία λήψης Αποφάσεων το γινόμενο A Ap Q ονομάζεται laquoΑναμενόμενο Όφελοςraquo (Μαθηματική Ελπίδα)

Ap είναι η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α

AQ το όφελος όταν συμβεί το ενδεχόμενο Α

αναλόγως ορίζεται και το laquoΑναμενόμενο Κόστοςraquo


Παίζει ένας μια στήλη ΛΟΤΤΟ αξίας Q1 =05euro με προσδοκία να εισπράξει Q2= 1000000euro με πιθανότητα p=114000000

Προσδοκία αναμενόμενου κέρδους pQ=(114000000)Χ1000000= 7 λεπτά του ΕυρώΑναμενόμενη χασούρα (1-p)Q1=50 περίπου λεπτά του Ευρώ(Αναμενόμενο όφελος) lt (Αναμενόμενο κόστος)

Τι τελικά κάνειbull Παίζει (είναι ριψοκίνδυνος)bull Του είναι αδιάφορο το ΛΟΤΤΟbull Δεν παίζει (αποστρέφεται τον κίνδυνο)ΟΜΩΣ Ο περισσότερος κόσμος μπορεί να παίξει μια στήλη ΛΟΤΤΟ αφού τα 50 λεπτά που σχεδόν σίγουρα θα χάσει δεν του αλλάζουν την χρησιμότητα του διαθέσιμου εισοδήματός τουΑν ήταν να παίξει λχ 1000 euro με πιθανότητες 50-50 να διεκδικήσει 3000euro (Το αναμενόμενο όφελος είναι σαφώς μεγαλύτερο (τριπλάσιο) από το αναμενόμενο κόστος) πιθανόν να μην παίξει καθόλου αν ο μισθός του είναι μικρός Λχ 600euro Και αυτή η συμπεριφορά αποστροφής του κινδύνου έχει και hellipόρια


Ο Ωνάσης και ο Κουλουρτζής

Όταν ο Ωνάσης είχε την Ολυμπιακή αγόραζε κάθε μέρα ένα κουλούρι από τον ίδιο κουλουρά Πάει λοιπόν μια μέρα ο Ωνάσης και του λέει laquoΑν βρω αν ο αριθμός των κουλουριών που έχεις είναι μονός ή ζυγός θα μου δώσεις όλα τα κουλούρια σου hellip Αν όμως δεν το βρω θα σου δώσω 5000 ευρώ (την εποχή εκείνη με τόσα λεφτά αγόραζες διαμέρισμα)raquo Και απαντάει ο κουλουράς laquoμα θα χάσω όλα τα κουλούρια μιας μέραςraquoΚαι απαντάει ο Ωνάσης laquoγι΄αυτό θα μείνεις για πάντα κουλουράςraquo


Το όποιο laquoστοίχημαraquo με την ύπαρξη ή όχι του Θεού έχει άλλες ποιοτικές διαστάσεις

Έστω p η πιθανότητα ύπαρξης Θεού

Δεχόμαστε pgt0Αν το αναμενόμενο όφελος από την ύπαρξη Θεού το πούμε Q τότε Q = άπειρο

Άπειρο διότι η υπόσχεση του Θεού ομιλεί για αθανασία ψυχής αιώνια ζωή άπειρη ευδαιμονία εν αθανασία Μάλιστα η μη εκπλήρωση των εντολών του Θεού συνεπάγεται άπειρη δυστυχία (Αθανασία σε συνθήκες κόλασης)

Το αναμενόμενο όφελος από αυτή την ζωή υπάρχει ή δεν υπάρχει κάτι άλλο είναι

Qrsquo =πεπερασμένο

Όμως p


Το αναμενόμενο άπειρο όφελος φαίνεται να κάνει μονόδρομη την επιλογή της υπακοής στις Θεϊκές εντολές ανεξαρτήτως αν ένας άνθρωπος αποστρέφεται τον κίνδυνο είναι αδιάφορος στον κίνδυνο ή είναι laquoεραστής της επικινδυνότηταςraquo εκτός ανείτεbull p=0 (Όμως εν γνωρίζουμε κάποια στέρεη επιχειρηματολογία που να

μηδενίζει την πιθανότητα όταν το φαινόμενο της πίστης σε Θεό είναι παγκόσμιο διαχρονικό και αναφέρεται σε πολιτισμούς που δεν είχαν επαφές )

Είτε Υπάρχει Θεός αλλά χωρίς κάποιες από τις ιδιότητες που του αποδίδονται λχ Δεν είναι παντοδύναμος Δεν μπορεί να εκπληρώσει τις υποσχέσεις του Δεν είναι Πανάγαθος Λέει ίσως ψέματαΔεν είναι Πάνσοφος Δεν γνωρίζει πώς να το κάνει


Ερώτημα 2 Το άπειρο χωρά ολόκληρο στο πεπερασμένο (Σύνδεσμος Sketchpad 407 αρχ Gsp)

Υλοποιείται σε επίπεδο ανάλογης Μαθηματικής προσομοίωσης το μεταφυσικό laquoΧαῖρε Θεοῦ ἀχωρήτου χώραraquo (Γ΄στάσις 15ος οίκος Χαιρετισμών της Παναγίας)

Στην αντίστροφη απεικόνιση Υλοποιείται το ανάλογο Μαθηματικό προσομοίωμα της Παλαιάς Διαθήκης laquoἐγώ εἶπα ὑμεῖς θεοί ἐστέ καί υἱοί Ὑψίστου πάντεςraquo (Ψαλμοί Δαυίδ Ψαλμός 8115) το οποίο απόσπασμα χρησιμοποιεί ο ίδιος ο Ιησούς προς τους Φαρισαίους που τον κατηγορούν ότι ισχυρίζεται ότι είναι Θεός laquoἀπεκρίθη αὐτοῖς ὁ Ἰησοῦς οὐκ ἔστι γεγραμμένον ἐν τῷ νόμῳ ὑμῶν ἐγὼ εἶπα θεοί ἐστε εἰ ἐκείνους εἶπε θεούς πρὸς οὓς ὁ λόγος τοῦ Θεοῦ ἐγένετο καὶ οὐ δύναται λυθῆναι ἡ γραφήraquo (Ιω 1034-35) Συμπερασματικά το άπειρο χωρά ολόκληρο στο πεπερασμένο ενώ και το πεπερασμένο ουσιαστικά είναι εν δυνάμει άπειρο Αυτό ισχύει στα Μαθηματικά Δεύτερο συμπέρασμα ότι laquoΠιθανόν αναλογικώς να ισχύει και αλλούraquo


Ερώτημα 3 Υπάρχουν άπειρα αντικείμενα που είναι πεπερασμένα

Η νιφάδα του Koch σχηματίζεται από ένα αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο όπου σε κάθε πλευρά του αφαιρείται το μεσαίο 13 και προστίθενται άλλες δύο ισομήκεις πλευρές ισοπλεύρου και αυτό επ΄άπειρον

H νιφάδα του Κοχ (Koch) που έχει πεπερασμένο εμβαδόν άπειρη περίμετρο το μήκος της καμπύλης ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της είναι άπειρο έχει διάσταση ανάμεσα στο 1 και 2



Ερώτημα 4 Εφ΄ όσον ο Θεός είναι παντοδύναμος μπορεί να φτιάξει μια πέτρα που να μην μπορεί να την σηκώσει

Δεν πρόκειται για μεταφυσικό ερώτημα ούτε φιλοσοφικό Είναι Λογικό καθαρά Μαθηματικό υποκείμενο σε απόλυτη στέρεα λογική απάντηση


p laquoΟ Θεός είναι παντοδύναμοςraquoq laquoΟ Θεός μπορεί να κατασκευάσει πέτρα που να μην μπορεί να την σηκώσειraquoΠροφανώς

q p

( ) ( )p q q p

( ) ( ) ( ) ( )p q q p p q q p w w ί


Ερώτημα 5 Είναι δυνατόν ένα εφικτό και απολύτως δυνατό ενδεχόμενο να έχει πιθανότητα πραγματοποίησης 0 laquoΝαι είναι εφικτό ένα δυνατό ενδεχόμενο Α να έχει πιθανότητα P(A)=0 εάν το ενδεχόμενο Α δεν συμπεριλαμβάνεται στο σύνολο των ενδεχομένων ενός συγκεκριμένου πειράματος τύχηςraquo

Για παράδειγμα δίνουμε το ενδεχόμενο Α laquoΤο ζάρι δείχνει 7raquo που είναι αδύνατο ενδεχόμενο σε ένα κανονικό ζάρι αλλά όχι και αδύνατο πραγματικά εάν φτιάξουμε ζάρι με μια του ένδειξη σε πλευρά το 7

Το ερώτημα γίνεται λίαν ενδιαφέρον και εκφεύγει του τετριμμένου εάν το Α περιλαμβάνεται στον δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης Και η απάντηση είναι laquoΝαι είναι δυνατόν και σε αυτή την περίπτωσηraquo


Φανταζόμαστε έναν άπειρο σάκο εντός του οποίου θέτουμε άπειρα αριθμήσιμα διακριτά αντίγραφα του συνόλου όλων των ρητών και των αλγεβρικών αρρήτων

Λέγοντας laquoδιακριτά αντίγραφαraquo ας φανταστούμε τα ίδια μεν στοιχεία αλλά σε άλλη απόχρωση χρώματος από άπειρες διακριτές αποχρώσεις έτσι ώστε να διαφοροποιούνται τα στοιχεία (=να μην θεωρούνται ίδια) και ως προς την απόχρωση

1( )

Επίσης εισάγουμε εντός του ιδίου σάκου τους αρρήτους υπερβατικούς που υπάρχουν στο σύνολο

Β=(0 10-1000000000)

1000000000

( )( ) 0( ) 10

P Xί


Στην περίπτωση των συνόλων Tελείων τετραγώνων και Φυσικών Αριθμών έχουμε την απεικόνιση

2 Είναι 1-1 και επί (πάντα κόντρα στην κοινή ανθρώπινη διαίσθηση)

Από άλλη όμως οπτική η ταυτότητα

2 2( 1) 2 1 Λέει ότιlaquoΥπάρχει οσοδήποτε μεγάλο διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών τετραγώνωνraquoΑν αναζητήσουμε την πιθανότητα επιλογής τελείου τετραγώνου από τους φυσικούς έχουμε

[ ]lim lim 0ή ί ώ έ


ΥπενθυμίζουμεΑν πάρουμε όλα τα στοιχειώδη σωματίδια του Σύμπαντος και τα βάλουμε

σε ένα νοητό σακούλι και τα ανακατέψουμε και μετά αν αρχίσουμε την εξαγωγή τους ένα ndashένα διαδοχικά και να τα βάζουμε στις αρχικές τους θέσεις η πιθανότητα όπως τα ίδια σωμάτια βρεθούν στις ίδιες θέσεις

είναι μεγαλύτερη του μηδενός Υπάρχουν εφικτά ενδεχόμενα σε έναν δειγματόχωρο με πιθανότητα

πραγματοποίησης 0 Η αντίληψη των πεπερασμένων δειγματόχωρων το ατελές προσωπικό εννοιολογικό κτίσιμο των εννοιών μας εμποδίζει να το

δούμε το αληθές Το άπειρο δεν είναι έννοια διαισθητικά αντιλαμβανόμενη και

κατανοούμενη Μαθηματικά αντικείμενα μοιάζουν ίσα ενώ είναι ndashαν νεολογίσουμε-

laquoαπείρως άνισαraquo και αντιστρόφως Η διαίσθηση γενικώς είναι κάκιστος σύμβουλος

Η ενασχόλησή με υψιπετή και ανώτερα γενικά ερωτήματα δεν μπορεί να βασίζεται στην διαίσθηση Δεν είναι πολλάκις έτσι αν έτσι νομίζουμε


Ερώτημα 6 Μπορούσε ο Κόσμος μας να ήταν καλύτερος laquoΤρίλημμα του Λάϊμπνιτςraquo

Ο κόσμος που έχει φτιάξει ο Θεός είναι ο καλύτερος δυνατός κόσμος όλων των δυνατών κόσμων που θα μπορούσαν ποτέ να υπάρξουν διότι (χρήση της εις άτοπον απαγωγής) Εάν μπορούσε να υπάρξει ένας καλύτερος κόσμος από τον σημερινό τότε ο Θεόςbull Ως Παντοδύναμος θα μπορούσε να τον κατασκευάσειbull Ως Πάνσοφος θα γνώριζε πώς να τον κατασκευάσει και bull Ως Πανάγαθος θα ήθελε να τον κατά σκευάσει ΆτοποΕπομένως ο κόσμος μας είναι ο καλύτερος όλων όσων θα μπορούσαν να κατασκευαστούν

Βεβαίως η κατανόηση του αντιφατικού με την κοινή λογική αποτελέσματος έχει ως λέξη κλειδί την ελευθερία επιλογών του ανθρώπου η οποία δεν μπορεί να είναι μονότιμη και μονόδρομη άρα όχι ελεύθερη


Γενικότερα Συμπεράσματα Τα Μαθηματικά αντικείμενα μέσω αφαίρεσης και γενίκευσης της Φύσης έχουν ιδιότητες που ένας μη μαθηματικός χαρακτηρίζει laquoμεταφυσικέςraquo

Είναι άπειρα είναι πεπερασμένα χωρίς όρια περατά ως προς κάποιες ιδιότητές τους και άπειρα προς άλλες έχουν διαστάσεις και πάνω από 3 κάποια έχουν διαστάσεις μη ακέραιες κάποια άλλα είναι ίσα ενώ μοιάζουν άνισα άλλα που μοιάζουν άνισα ενώ είναι ίσα δυνατά εφικτά πραγματοποιούμενα κατασκευαστικά ενδεχόμενα δειγματικού χώρου με μηδέν όμως πιθανότητες πραγματοποίησής τους

Η μαθηματική λογική αποφαίνεται για προτάσεις που μοιάζουν σωστές ενώ δεν είναι και για προτάσεις που μοιάζουν λανθασμένες ενώ είναι σωστές

Τα ίδια τα Μαθηματικά ως λογικό σύστημα laquoτο λιγότερο αντιφατικόraquo που γνωρίζουμε σε συνδυασμό με την laquoπαράλογη αποτελεσματικότητά τουςraquo σε όλους τους τομείς του επιστητού δίνουν λαβή για γόνιμη φαντασία εικασίες υποθέσεις θεωρίες επαληθεύσεις διαψεύσεις αντιπαραδείγματα αποδείξεις αναλογική σκέψη νοητικά πειράματα μοντελοποίηση όπου και οι εφαρμογές τους στην Φυσική να μοιάζουν έντονα ως μεταφυσικές πάντα όμως μέσα στα Επιστημολογικά όρια της laquoΔιαψευσιμότηταςraquo όπου και τελικά η συμβολή των Μαθηματικών στον εν γένει ανθρώπινο Επιστημονικό και Φιλοσοφικό στοχασμό να καθίσταται πραγματικά άκρως απαραίτητη


Ευχαριστώ

Μαθηματικά αντικείμενα και σχέσεις στην υπηρεσία του Φιλοσοφι

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24


Η έννοια της υπεροχής των

μαθηματικών ως ενός καθολικά αποδεκτού

και αλάθητου σώματος αιτιολόγησης είναι μια μεγάλη ψευδαίσθηση

Morris Kline 1980



A Einstein 1921








































Όμως p



















q p

( ) ( )p q q p

( ) ( ) ( ) ( )p q q p p q q p w w ί








1( )


Β=(0 10-1000000000)

1000000000

( )( ) 0( ) 10

P Xί


























Ευχαριστώ


Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24



A Einstein 1921








































Όμως p



















q p

( ) ( )p q q p

( ) ( ) ( ) ( )p q q p p q q p w w ί








1( )


Β=(0 10-1000000000)

1000000000

( )( ) 0( ) 10

P Xί


























Ευχαριστώ


Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24








































Όμως p



















q p

( ) ( )p q q p

( ) ( ) ( ) ( )p q q p p q q p w w ί








1( )


Β=(0 10-1000000000)

1000000000

( )( ) 0( ) 10

P Xί


























Ευχαριστώ


Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24



















q p

( ) ( )p q q p

( ) ( ) ( ) ( )p q q p p q q p w w ί








1( )


Β=(0 10-1000000000)

1000000000

( )( ) 0( ) 10

P Xί


























Ευχαριστώ


Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24








1( )


Β=(0 10-1000000000)

1000000000

( )( ) 0( ) 10

P Xί


























Ευχαριστώ


Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24


























Ευχαριστώ


Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Μαθηματικά αντικείμενα και σχέσεις στην υπηρεσία του ...

Education

Transcript of Μαθηματικά αντικείμενα και σχέσεις στην υπηρεσία του ...