τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου

Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Α λ γ ε β ρ α Α’ Λ υ κ ε ι ο υ


Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς

Θ ε ω ρ ι α

Μ ε θ ο δ ο ς

Π ρ ο π ο ν η σ η

Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς

Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι

Θ ε ω ρ ι α




Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς

Θ ε ω ρ ι α




Α ν ι σ ω σ ε ι ς

Θ ε ω ρ ι α



Π ρ ο ο δ ο ι

Θ ε ω ρ ι α




Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς

Θ ε ω ρ ι α




Μ ε λ ε τ η Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν

Θ ε ω ρ ι α



Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α


Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ


1. Πιθανοτητες

2. Πραγματικοι Αριθμοι

3. Εξισωσεις

4. Ανισωσεις

5. Προοδοι

6. Συναρτησεις

7. Μελετη Συναρτησεων

Με πολυ μερακι

Για τους καλους φιλους μου

Τακης Τσακαλακος

Κερκυρα 2015 H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητων

4




5


1 . Ο ρ ι σ μ ο ι

▪ Π ε ι ρ α μ α Τ υ χ η ς

λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,

οσες φορες και να επαναληφθει κατω απο τις ιδιες συνθηκες.

▪ Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς Χ ω ρ ο ς Ω :

ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων

που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος.

Δηλαδη αν ω1, ω2, … , ων τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγμα-

τικος χωρος ειναι : Ω = { ω1, ω2, … , ων }.

▪ Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Α

ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα η περισ-

σοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος.

Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω : Α ⊆ Ω

Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α).

▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι η σ η Ε ν ο ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ

Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι

στοιχειο του ενδεχομενου.

Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ε υ ν ο ϊ κ ε ς π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς για

την πραγματοποιηση του.

▪ Δ ι α κ ρ ι σ η τ ω ν Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν

▪ Α π λ ο ( η σ τ ο ι χ ε ι ω δ ε ς ) ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :

ειναι αυτο που εχει μονο ε ν α στοιχειο.

▪ Σ υ ν θ ε τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :

ειναι αυτο που εχει δ υ ο η π ε ρ ι σ σ ο τ ε ρ α στοιχεια.

▪ Β ε β α ι ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :

ειναι αυτο που πραγματοποιειται π α ν τ α (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πει-

ραματος) και τ α υ τ ι ζ ε τ α ι με τον δειγματικο χωρο Ω.

▪ Α δ υ ν α τ ο ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο :

ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται π ο τ ε και ταυτιζεται με το κενο συνο-

λο ∅ .


6


2 . Π ρ α ξ ε ι ς μ ε Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α ( Α , Β )

▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α

▪ Σ υ μ β ο λ ι σ μ ο ς :

Α ’

▪ Δ ι α β α ζ ε τ α ι :

“ Οχι Α’’ η ‘’αντιθετο του Α’’ η ‘’συμπληρωμα του Α’’

▪ Π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ι τ α ι α ν :

Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α.

▪ Ε ν ω σ η


Α ∪ Β


‘‘Α ενωση Β’’ η ‘’Α η Β’’


Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απ'τα ενδεχομενα Α η Β.

▪ Τ ο μ η


Α ∩ Β


‘‘Α τομη Β’’ η ‘’Α και Β’’


Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β.

▪ Δ ι α φ ο ρ α Α - Β


Α ∩ Β ‘ η Α - Β


‘’Διαφορα του Β απ’το Α’’


Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α αλλα οχι το

ενδεχομενο Β.

▪ Δ ι α φ ο ρ α Β - Α


Α’ ∩ Β η Β - Α


‘’Διαφορα του Α απ’το Β’’


Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Β αλλα οχι το ενδεχομενο Α.


Α’

Ω

Α

Α Β

Ω

Α Β

Ω

Α Β

Ω

Α Β

Ω

7


▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α


(Α ∩ Β‘) ∪ (Α’ ∩ Β) η (Α – Β) ∪ (Β – Α)


"Διαφορα του Β απ’το Α ’’ η ‘’Διαφορα του Α απ’το Β’’


Πραγματοποιειται μονο το ενδεχομενο Α η μονο το

ενδεχομενο Β.

▪ Α σ υ μ β ι β α σ τ α

Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται α σ υ μ β ι β α σ τ α

η ξ ε ν α μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν

ισχυει : Α ∩ Β = ∅

Δηλαδη αυτα που δ ε ν μπορουν να πραγματοποιη-

θουν σ υ γ χ ρ ο ν ω ς .

Το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται ω ∈ Α

Το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται ω ∈ Α ' η ω ∉ Α

Ενα τουλαχιστον απ’τα Α και Β πραγματοποιειται ω ∈ Α ∪ Β

Πραγματοποιειται και το Α και το Β ω ∈ Α ∩ Β

Δεν πραγματοποιειται ουτε το Α ουτε το Β ω ∈ (Α ∪ Β)'

Πραγματοποιειται μονο το Α ω ∈ Α – Β η ω ∈ Α ∩ Β'

Αν πραγματοποιειται το Α, τοτε πραγματοποιειται

και το Β

Α ⊆ Β

Πραγματοποιειται μονο ενα απ'τα Α και Β ω ∈ (Α ∩ Β') ∪ (Α' ∩ Β)

Πραγματοποιειται το πολυ ενα απ'τα Α και Β ω ∈ (Α ∩ Β)' η ω ∈ Α' ∪ Β'

3 . Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς

▪ Ε ι σ α γ ω γ η

Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτε-

λεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχο-

μενο Α του δειγματικου χωρου.

Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα ‘’μετρο προσδοκιας’’ για την πραγματοποι-

ηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελ-

θει ‘’εξαρι’’ ειναι μια στις εξι.

Αυτο το ‘’μετρο προσδοκιας’’ πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται π ι θ α -

ν ο τ η τ α τ ο υ Α και συμβολιζεται Ρ(Α).

Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα

του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει .


Α Β

Ω

Α Β

Ω

8


▪ Σ χ ε τ ι κ η Σ υ χ ν ο τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ

Λεγεται το πηλικο κ

ν, οπου ν ειναι ο αριθμος εκτελεσεων του πειραματος και κ ο

αριθμος που δειχνει ποσες φορες πραγματοποιηθηκε το ενδεχομενο Α.

Ειναι δηλαδη : A

κf =

ν

Ειδικα για τα απλα ενδεχομενα {ω1} , {ω2}, … , {ων} του δειγματικου χωρου Ω, που

πραγματοποιουνται κ1 , κ2 , … , κν φορες αντιστοιχως σε ν επαναληψεις του πει-

ραματος, οι σχετικες τους συχνοτητες ειναι : 1 1

κf =

ν , 2

2

κf =

ν , … , λ

λ

κf =

ν

Ο ν o μ ο ς τ ω ν μ ε γ α λ ω ν α ρ ι θ μ ω ν

“ Η σχετικη συχνοτητα ενος ενδεχομενου σταθεροποιειται γυρω απο μια συγκεκρι-

μενη αριθμητικη τιμη, καθως ο αριθμος των επαναληψεων του πειραματος αυξα-

νει απεριοριστα”.

▪ Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α

Τα απλα ενδεχομενα ω1 , ω2 , … , ων ενος δειγμ. χωρου Ω = { ω1 , ω2 , … , ων } λε-

γονται ι σ ο π ι θ α ν α , οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελε-

ση του πειραματος . Δηλαδη η σχετικη συχνοτητα για καθ’ ενα απο αυτα ειναι 1

ν.

Για ενα συνθετο ενδεχομενο Α = { α1 , α2 , … , ακ } που αποτελειται απο κ ισοπιθανα

ενδεχομενα η σχετικη συχνοτητα του εiναι : A 1 2 κ

f = f + f + ... + f =

κ φορες

1 1 1 κ+ + ... + =

ν ν ν ν

▪ Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς

Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω1 , ω2 , … , ων ενος δειγματικου χωρου

Ω = { ω1 , ω2 , … , ων }.

Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α :

ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α

πληθος δυνατων περιπτωσεων

N(A)=

N(Ω)

Ι δ ι ο τ η τ ε ς

▪ Ρ(ω i) = 1

ν , i = 1, 2, … , ν ▪ Ρ(Ω) = 1 ▪ Ρ(∅) = 0 ▪ 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1

▪ Α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς

Εστω 1 2 νΩ = { ω ,ω ,...,ω } ενας δειγματικος χωρος με πεπερασμενο πληθος στοιχειων.

Σε καθε απλο ενδεχομενο {ω i} αντιστοιχιζουμε εναν πραγματικο αριθμο, που τον

συμβολιζουμε με P(ω i), ετσι ωστε να ισχυουν

▪ 0 ≤ P(ω i) ≤ 1 ▪ P(ω 1) + P(ω 2) + ... + P(ω ν) = 1 .

Τον αριθμο P(ω i), ονομαζουμε π ι θ α ν ο τ η τ α του ενδεχομενου {ω i}.

Ως πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α = { α 1, α 2, ... , α κ } ≠ ∅ οριζουμε το αθροισμα


9


Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ) , δηλαδη Ρ(Α) = Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ)

Ως πιθανοτητα του αδυνατου ενδεχομενου ∅ οριζουμε τον αριθμο Ρ(∅) = 0 .

Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς :

▪ Αν Ρ(ω i) = 1

ν , i = 1, 2, … , ν , εχουμε τον κλασικο ορισμο της πιθανοτητας. Τοτε :

▪ H πιθανοτητα του βεβαιου ενδεχομενου Ω ειναι Ρ(Ω) = 1 .

▪ H πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = { α1 , α2 , … , ακ } ειναι N(A) κ

P(A) = =N(Ω) ν

▪ Οταν εχουμε ενα δειγματικο χωρο Ω = { ω1 , ω2 , … , ων } και χρησιμοποιουμε τη

φραση “ παιρνουμε τυχαια ενα στοιχειο του Ω ”, εννοουμε οτι ολα τα δυνατα α-

ποτελεσματα ειναι ισοπιθανα με πιθανοτητα Ρ(ω i) = 1

ν , i = 1, 2, … , ν .

4 . Κ α ν ο ν ε ς Λ ο γ ι σ μ ο υ Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν

▪ Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς

Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει:

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα.

Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε

Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)

▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ

Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α’ (ασυμβιβαστα) ισχυει:

Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α)

▪ Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς

Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)

▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ

Αν Α ⊆ Β τοτε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)

▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς

Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:

Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)

▪ Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ μ ε τ ρ ο δ ι α φ ο ρ α ς


Ρ(Α - Β) ∪ Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α ∩ Β)


10


Π α ρ α δ ε ι γ μ α

Εχουμε δυο κουτια α και β. Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια ασπρη (Α) και μια

μαυρη (Μ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα .

Επιλεγουμε ενα κουτι στη τυχη και στη συνεχεια μια μπαλα απ'αυτο .

Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος .

Α π α ν τ η σ η

▫ H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα:

Ο δειγματικος χωρος ειναι :

Ω = { αΚ, αΑ, αΜ, βΑ, βΜ}


Εχουμε δυο κουτια α και β. Το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια πρασινη (Π)

και μια γκρι (Γ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα .

Επιλεγουμε μια μπαλα απ'το κουτι α και μια μπαλα απ'το κουτι β .

Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος .



Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η δ ε ι γ μ α τ ι κ ο υ χ ω ρ ο υ

Ζ η τ ο υ μ ε ν α :

Ευρεση δειγματικου χωρου .

Δ ο σ μ ε ν α :

Πειραμα τυχης .

Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :

Με καταγραφη των στοιχειων .

Με δενδροδιαγραμμα .

Με πινακα διπλης εισοδου .

αΚ

αΑ

αΜ

βΑ

βΜ

Κ

Α

Μ

Α

Μ

α

β

Αρχη Ω

H κατασταση του πειραματος φαινεται στο πινακα διπλης

εισοδου:

Ο δειγματικος χωρος ειναι :

Ω = {ΚΑ, ΚΒ, ΠΑ, ΠΒ, ΜΑ, ΜΒ}

α

β

Κ ΚΑ ΚΒ

Π ΠΑ ΠΒ

Μ ΜΑ ΜΒ

Α Β

11



Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του.

Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα :

Α : " ενδειξη αρτια "

Β : " ενδειξη μεγαλυτερη του 3 "

Α Β, Α Β, Α', Α Β'

Α π α ν τ η σ η Ο δειγματικος χωρος του πειραματος εινα ι : Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Α = {2,4,6}

Β = {4,5,6}

Α Β = {4,6} (ενδειξη αρτια μεγαλυτερη τουκαι

Α Β = {2,4,5

3)

(ενδειξη αρτια με,6} η γαλυτ

ερη του 3)

(ενδειξη αρτια, δηλαδη περιττη)

(ενδειξη αρτια οχι μεγαλυτερη

Α' = {1,3,5} οχι

Α Β' = {2 του 3)} και

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ω ν


Ευρεση ενδεχομενων .


Ιδιοτητες ενδεχομενων .


Γραφουμε τον διανυσματικο χωρο του πειραματος .

Επιλεγουμε τα στοιχεια του διανυσματικου χωρου που ικανοποιουν τις δοσμενες

ιδιοτητες .

Χρησιμοποιουμε τη ‘’ γλωσσα των συμβολων ‘’


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς


Ευρεση πιθανοτητας .


Διανυσματικος χωρος και ενδεχομενα .


Βρισκουμε το πληθος των δυνατων περιπτωσεων Ν(Ω) .

Βρισκουμε το πληθος των ευνοικων περιπτωσεων Ν(Α), οπου Α το ενδεχομενο

του οποιου τη πιθανοτητα ζητουμε .

Χρησιμοποιουμε τη σχεση : Ν(Α)

Ρ(Α) =Ν(Ω)

.

12



Εχουμε ενα κουτι που περιεχει 2 κοκκινες , 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες.

Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη .

Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων :

Α : " η μπαλα ειναι κοκκινη "

Β : " η μπαλα δεν ειναι ασπρη "

Γ : " η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη "

Α π α ν τ η σ η Ειναι

2 + 4 + 5

Οι κοκκινες μπαλες ειναι 2, οποτε .

Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε

4 + 2 .

Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπ

Ν(Ω) = = 11

Ν(Α) = 2

Ν(Β) = = 6

λε ειναι 9 (5 + 4), οποτε .

Ετσι

Ν(Α) Ν(Β) Ν(Γ)

Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω)

Ν(Γ) = 9

2 6 9Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = =

11 11 11


1 2 3

1 2 2 3

1 2 3

Εστω Ω = {ω , ω , ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα ενδεχομενα

Α = {ω , ω } και Β = { ω , ω }.

1 4Αν Ρ(Α) = και Ρ(Β) = να υπολογισετε τις πιθανοτητες : Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ).

2 5



Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς ο ρ ι σ μ ο ς )




Ενδεχομενα και οι πιθανοτητες τους .


Αν Ω = { ω1, ω2, … , ων } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης.

0 ≤ P(ω i) ≤ 1

P(ω 1) + P(ω 2) + ... + P(ω ν) = 1

Αν Α = { α 1, α 2, ... , α κ } ≠ ∅ τοτε Ρ(Α) = Ρ(α 1) + Ρ(α 2) + ... + Ρ(α κ)

13


1 2 3

1 2 3

1 2

1 2

3

Αφου Ω = {ω , ω , ω } τοτε :

Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Ω)

Αφου Α = {ω , ω } τοτε :

Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Α)

1Απο (1) - (2) προκυπτει : Ρ(ω ) = 1-

2

1 2 3

1 2

3

Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = 1 (1)

1Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = (2)

2

1Ρ(ω ) =

2

2 3

( 3 )

2 3 2 2

1 1

Αφου Β = {ω , ω } τοτε :

1 4 4 1 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Β) Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = -

2 5 5 2

Απο τις (1), (3), (4) προκυπτει :

3 1 3 1 Ρ(ω ) + + = 1 Ρ(ω ) = 1- -

10 2 10 2

2

1

(3)

3 Ρ(ω ) = (4)

10

1Ρ(ω ) =

5


Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με :

Ρ(Α Β) = 0,9 και Ρ(Α') = 0,4 ενω Ρ(Α Β) = 0,5.

Να βρειτε τις πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α - Β), Ρ(Β - Α), Ρ[(Α - Β) (Β - Α)] .


1- Ρ(Α') = 1- 0,4

Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 0,9 = 0,6 + Ρ(Β) - 0,5 0,9 - 0,6 + 0,5

Ρ(Α) - Ρ(Α Β) = 0,6 - 0,5

Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = 0,8 - 0,5

Ρ(Α - Β) + Ρ(Β - Α) = 0,1+ 0,3

Ρ(Α) = = 0,6

Ρ(Β) = = 0,8

Ρ(Α - Β) = = 0,1

Ρ(Β - Α) = = 0,3

Ρ[(Α - Β) (Β - Α)] = = 0 ,4


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π ι θ α ν ο τ η τ α ς ( κ α ν ο ν ε ς λ ο γ ι σ μ ο υ )






Χρησιμοποιουμε τους τυπους λογισμου πιθανοτητων .

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Α, Β ασυμβιβαστα) .

Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α)

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)

Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)

Ρ(Α - Β) ∪ Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α ∩ Β)

14



Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με

Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6 και Ρ(Α Β) = 0,4.

Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.

Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :

Γ : " να πραγματοπ

οιηθει το Α η το Β "

Δ : " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β "


Αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα,

τοτε :

Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,6 + 0,6 = 1,2 > 1 ,

ατοπο γιατι Ρ(Α Β) 1.

Αρα τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.

" να πραγματο

δεν

ποιηθει το Α η το Β " σημαινει Α Β,

οποτε :

Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β = 0,6 + 0,6 - 0,4

" να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β " σημαινει (Α Β)',

οποτε :

Ρ[(Α Β

Ρ(Γ) = = 0,8

Ρ(Δ) = )'] = 1- Ρ(Α Β) = 1- 0,8 = 0,2


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν


Εξεταση αν δυο ενδεχομενα ειναι ασυμβιβαστα .




Προκειμενου να δειξουμε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα

Με γνωστες Ρ(Α) και Ρ(Β) δεχομαστε οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβα-

στα και απ’τη σχεση Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) καταληγουμε Ρ(Α ∪ Β) > 1που ειναι

ατοπο .

Δειχνουμε οτι : Ν(Ω) < Ν(Α) + Ν(Β) η Α ∩ Β ≠ ∅ ( Ν(Α ∩ Β) ≠ 0 , Ρ(Α ∩ Β) ≠ 0 )

15




3 Ρ(Α) = και

43

Ρ(Β) = 8

3Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .

4


Ειναι

Α Α Β

Β Α Β

τοτε

3Ρ(Α Β)Ρ(Α) Ρ(Α Β) 4

3Ρ(Β) Ρ(Α Β)Ρ(Α Β)

8

3Ρ(Α Β)

4


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Ε ν ω σ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν


Ανισοτικη σχεση .




Για την Ρ(Α ∪ Β) ≥ κ .

Λυνουμε το συστημα:

Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)...

Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)

Για την Ρ(Α ∪ Β) ≤ λ .

Λυνουμε την ανισωση:

Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)

[Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 0]

Για την κ ≤ Ρ(Α ∪ Β) ≤ λ .


Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)

Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) ...

Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)

16




1 2 Ρ(Β) = και Ρ(Α Β) =

4 35 2

Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α) .12 3


Ειναι

2 2Ρ(Α) Ρ(Α)Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) 3 3

Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) 2 1 2 1Ρ(Α) + - Ρ(Α)

3 4 3 4

2Ρ(Α)

35

Ρ(Α)12

5 2Ρ(Α)

12 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ




Ρ(Α) η Ρ(Β) και Ρ(Α ∪ Β) η Ρ(Α ∩ Β) .


Για την κ ≤ Ρ(Α) ≤ λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α ∪ Β)) .


Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)...

Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)

Για την κ ≤ Ρ(Β) ≤ λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α ∪ Β)) .


Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)...

Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)

Για την κ ≤ Ρ(Α) ≤ λ (γνωστα Ρ(Β) και Ρ(Α ∩ Β)) .


Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)...

Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1

Για την κ ≤ Ρ(Β) ≤ λ (γνωστα Ρ(Α) και Ρ(Α ∩ Β)) .


Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)...

Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ(Α Β) 1

17




3 3 Ρ(Α) = και Ρ(Β) =

4 8α) Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.

1 3β) Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .

8 8

Α π α ν τ η σ η α)

Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα.

Τοτε :

3 3 9= Ρ(Α) + Ρ(Β) = + = , που ειναι ατοπο.

4 8 8Αρα τα ενδεχομενα Α κα ι Β ειναι ασυμβιβαστα.

β)

Α Β Α

Α Β Β

0 Ρ(Α Β) 1

Ρ(Α Β) > 1

δεν

τοτε

3 3Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)

4 4Ρ(Α Β) Ρ(Α)3 3

Ρ(Α Β) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 8 8

0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 1 3 3 10 + - Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α Β)

4 8 8

1 3 Ρ(Α Β)

8 8


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Τ ο μ η ς Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν






Για την κ ≤ Ρ(Α ∩ Β) ≤ λ .


Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)

Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) ...

0 Ρ(Α Β) 1 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 1

18



Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : 0 < Ρ(Α) < 1 .

1 1Να αποδειχτει οτι : + 4 .

Ρ(Α) Ρ(Α')


Ρ(Α') = 1 - Ρ(Α)

Αφου 0 < Ρ(Α) < 1 τοτε

0 < 1- Ρ(Α') < 1 - 1 < - Ρ(Α') < 0 .

Ειναι

Ρ(Α) + Ρ(Α')4 Ρ(Α) + Ρ(Α') 4Ρ(Α) Ρ(Α')

Ρ(Α) Ρ(Α')

Ρ(Α) + 1- Ρ(Α) 4Ρ(Α) [1- Ρ(

Ρ(Α') > 0

1 1 + 4

Ρ(Α) Ρ(Α')

2

2

Α)] 1 4Ρ(Α) - 4[Ρ(Α)]

1+ 4[Ρ(Α)] - 4Ρ(Α) 0 , που αληθευει.

2[1- 2Ρ(Α)] 0


Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμος θετικος.

3 1 1Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι : , ,

α 3 ανα ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστ

οιχα.

Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς


Αποδειξη ανισοτικης σχεσης .


Η ανισοτικη σχεση .


Με πραξεις στην προς αποδειξη ανισοτητα καταληγουμε σε ανισοτητα που αληθευ-

ει παντα .

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α μ ε τ ρ ο υ


Ευρεση παραμετρου


Αριθμοι με παραμετρο που αντιστοιχουν σε πιθανοτητες ενδεχομενων .


Απαιτουμε για τα ενδεχομενα Α και Β

Ρ(Α) ∈ (0, 1], Ρ(Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∩ Β) ∈ (0, 1], Ρ(Α∪ Β) ∈ (0, 1] .

Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α)

Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β)

η

Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β)

Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β)

αναλογα αν ειναι δοσμενη η Ρ(Α ∩ Β) η Ρ(Α ∪ Β) αντιστοιχα .


19



3 1 1Θα εξετασουμε αν υπαρχει α > 0 ωστε : Ρ(Α) = , Ρ(Β) = , Ρ(Α Β) = .

α 3 α

3 1 1 Οι αριθμοι , , πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,1] (πιθανοτητες ενδεχομενων).

α 3 α Οποτε

30 < 1

α1

0 < 13

0 <

α >0

0 < 3 α

0 < 1 3

0 < 1 α11

α

Πρεπει :

1 3Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α 3αα α Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) 1 1 3 α

α 3

Πρεπει :

Ρ(Α Β) (0,1] 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 1

3 1 1 0 + - 1 0 < 9 + α - 3

α 3 α

α 3

α 3

3α 6 2α

3 1 1Αρα, για οι αριθμοι , , ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β, Α Β.

α 3 α

α 3

α 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( ε ξ ι σ ω σ η 2 ο υ β α θ μ ο υ )


Ευρεση πιθανοτητας ενδεχομενου η ανισοτικη σχεση ενδεχομενων .


Η εξισωση .


Βρισκουμε τις πιθανοτητες που συνδεονται με την εξισωση:

Λυνοντας την εξισωση 2ου βαθμου, αν ειναι ριζες της .

Χρησιμοποιωντας τυπους Vieta, αν το αθροισμα και γινομενο συνδεονται με

την εξισωση ( 1 2 1 2

β γρ + ρ = - και ρ ρ =

α α) .

Χρησιμοποιωντας τη διακρινουσα:

Δ > 0 : δυο ριζες ανισες

Δ = 0 : μια διπλη ριζα

Δ < 0 : καμμια πραγματικη ριζα

Συνεχιζουμε οπως στις προηγουμενες περιπτωσεις .

20



2Aν Ρ(Α), Ρ(Β) ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης 6x -7x + 2 = 0

αντιστοιχα, τοτε :

Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β) .

1 1 2 Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β)

6 2 3


2

2 1

1,2

2

Ειναι

Δ = (- 7) - 4 6 2 = 49 - 48 = 1 > 0

7 + 1 2x = = 6x - 7x + 2 = 0 : - (- 7) ± 1 7 ± 1 12 3x = =

2 6 12 7 - 1 1x = =

12 2

1P(A B)A B A P(A B) P(A) 2

2A B B P(A B) P(B)P(A B)

3

2P(B) =

3

1P(A) =

2

Eιναι

1 2 P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B) P(A B) = + - P(A B)

2 37 7

P(A B) = - P(A B) 0 - P(A B) 16 6

Αρα

1P(A B)A A B P(A) P(A B) 2

2B A B P(B) P(A B)

0 P(AUB) 1

1P(A B)

2

1Ρ(Α Β)

6

1 1 Ρ(Α Β)

6 2

P(A B)3

2P(A B)

3


2

Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της εξισωσης :

x - 2P(A) x + P(A B) = 0 .

5Aν P(Α Β) = , να βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α' Β')

9


Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι :

Ρ(Α) + Ρ(Β) = 2Ρ(Α)

Ρ(Α) Ρ(Β) = P(A B)

2

Ρ(Α) = Ρ(Β)

[Ρ(Α)] = P(A B)


21


2 2

2

2

5 5 5 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B) = 2Ρ(Α) -[P(A)] = 9[P(A)] - 18Ρ(Α) + 5 = 0

9 9 9

5 και Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) < 1)

3

1 [P(A)] =

3

1 1 Ρ(Β) - P(A B) = -

3 9

1Ρ(Α) =

3

1 P(A B) = =

9

2 P(A' B) = =

9

P(Α'1

Ρ[(A B)]' = 1- P(A B) = 1-9

8

Β') = =9


2

κ

κ

Δινεται ο κ με - 4 κ 3 και η εξισωση : (Ε ) : κx +(κ - 2)x + κ = 0.

Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) :

Α : εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες

Β : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες

Γ :

δεν εχει πραγματικες ριζες.


- 4 - 3 3

- 4 - 3 3

2 2 2

Αφου κ [- 4,3] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ), (Ε ),..., (Ε ) τοτε

Ω = {(Ε ), (Ε ),..., (Ε )} κα ι .

Ειναι, (κ - 2) - 4 κ κ = κ - 4κ + 4 - 4κ

Για να εχ

2

Ν(Ω) = 8

Δ = = - 3κ - 4κ + 4

2

ει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει :

- 3κ - 4κ + 4 = 0 2κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος)

3

Ν(Α) Αρα Ν(Α) = 1 και

Ν(Ω)

Για να εχει η εξισωση δυο πρα

κ = - 2

Δ = 0

1Ρ(Α) = =

8

2

γματικες και ανισες ριζες, πρεπει :

2 - 3κ - 4κ + 4 > 0 - 2 < κ < τοτε κ εχει τιμες και .

3Ν(Β) 2

Αρα Ν(Β) = 2 και =Ν(Ω) 8

Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες,

Δ > 0 - 1 0

1Ρ(Β) = =

4

2

πρεπει :

2 - 3κ - 4κ + 4 < 0 (κ < - 2 η κ > ) τοτε .

3Ν(Γ)

Αρα Ν(Γ) = 5 και Ν(Ω)

Δ < 0 κ = - 4,- 3,1,2,3

5Ρ(Γ) = =

8


22



Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω και |Ρ(Α) + 2|-|Ρ(Α) - 3|= 8κ, κ .

1Να δειχτει οτι :|κ| .

8


Ρ(Α) - 2 Ρ(Α) + 2 0 |Ρ(Α) + 2|= Ρ(Α) + 2Ειναι, 0 Ρ(Α) 1

Ρ(Α) 3 Ρ(Α) - 3 0 |Ρ(Α) - 3|= 3 - Ρ(Α)

Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται :

Ρ(Α) + 2 - (3 - Ρ(Α)) = 8κ Ρ(Α) + 2 - 3 + Ρ(Α) = 8κ 2Ρ(Α) = 8κ + 1

Ομως, 0 Ρ(Α)

8κ + 1Ρ(Α) = (1)

2(1 ) 8κ + 1 1 1

1 0 1 0 8 κ + 1 2 - 1 8κ 1 - κ2 8 8

1

|κ| 8


Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ε ς ( α π ο λ υ τ η τ ι μ η )


Αποδειξη σχεσης .


Σχεση μεταξυ απολυτων τιμων πιθανοτητων .


Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων βρισκουμε τις τιμες των απολυτων στη

δοσμενη σχεση .

Βρισκουμε τις πιθανοτητες .

Απ’τους τυπους λογισμου πιθανοτητων, καταληγουμε στη ζητουμενη σχεση .

Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν )


Πληθος, πιθανοτητα κλπ .


Στοιχεια προβληματος .


Θετουμε x εκεινο το ζητουμενο, που συνδεεται με δοσμενα του προβληματος .

Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις .

Απο γνωστη πιθανοτητα προσδιοριζουμε τον x .

Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα .

Στη περιπτωση δυο αγνωστων x,y, συμφωνα με τα προηγουμενα, καταληγουμε

σε συστημα ως προς x, y .

23



2 1Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 25 μαθητες - μαθητριες. Τα των μαθητων και το των μαθητρι -

5 5ων επελεξαν τη θετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι την θεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση.

Επιλεγουμε τυχαια

εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τη θε -

9τικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ) = , να βρειτε :

25Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες.

Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ) ο υποψηφιος ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση ;


Εστω x o αριθμος των μαθητων.

2x Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που

53x

δεν επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος.5

Οπο

τε η πιθανοτητα Ρ(Μ), "ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι :

3x9 Ν(Μ) 9 9 3x5 Ρ(Μ) = = = = 9 3x = 4525 Ν(Ω) 25 25 25 5

Αρα οι μαθητες ειναι 15 και οι μαθητριες 10.

Οι

x = 15

1

μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι : 10 = 2, ενω αυτες που δεν 5

την επελεξαν ειναι : 10 - 2 = 8 . Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου,

"η μαθητρια να μην επελεξε τ

Ν(Κ)η θετικη κατευθυνση", ειναι : Ρ(Κ) = .

Ν(Ω)

8Ρ(Κ) =

25


Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 24 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια, ενω οι υπολοιπες

εχουν μαυρα η ξανθα.

1Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι , ενω να κερδισει υποψηφια

2

με μαυρα μαλλια ειναι1

.6

Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες.


Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια.

Τοτε, Ν(Ω) = 24 + x + y.

Θεωρουμε τα ενδεχομενα :


24


Α : "υποψηφια με καστανα μαλλια".

Β : "υποψηφια με ξανθα μαλλια".

Γ : "υποψηφια με μαυρα μαλλια".

1 1Ειναι, Ρ(Β) = , Ρ(Γ) = , Ν(Β) = x, N(Γ) = y.

2 6

Οποτε

Ν(Β) 11 =Ρ(Β) =Ν(Ω) 22

1 Ν(Γ)Ρ(Γ) =

6 Ν(Ω)

x 1=

2 = 24 + x + y x = 24 + y x = 24 + y24 + x + y 2

y1 6 = 24 + x + y x - 5y = - 24 24 + y - 5y = - 241= =

6 24 + x + y 6

x = 24 + y

4y = 48

Aρα οι υποψηφιες ειναι : 24 + 36 + 12 .

x

y

x = 36

y = 12

= 72


Στο CD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις, αριθμημενες

απο το 1 ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι, ο Α και ο Β .

Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επιμεληθηκαν

μαζι ο Α και ο Β .

Ο μαθηματικος Α εχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις, απ'τις οποιες μονο

τις πρωτες 30 επιμεληθηκε μονος του .

Η πιθανοτητα να εχουν επιμε

1ληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι .

5Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις .

1Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι ,

2 ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με 70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος;


Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( Μ ε χ ρ η σ η μ ο ν ο Π ι θ α ν ο τ η τ ω ν )


Πληθος, πιθανοτητα κλπ .




Προσδιοριζουμε το Ν(Ω) και τις ευνοικες περιπτωσεις .

Μετατρεπουμε τα δοσμενα του προβληματος σε συμβολισμους πιθανοτητων .

Προσδιοριζουμε καθε ζητουμενη πιθανοτητα .

25



Ειναι

Ν(Α) = 50, Ν(Ω) = ν και Ν(Α Β) = 50 - 30 = 20.

1 Ν(Α Β) 1 20 1 Ρ(Α Β) = = =

5 Ν(Ω) 5 ν 5

1 1 1 1Ρ(Β - Α) = Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = Ρ(Β) - =

2 2 5 2Ν(Β) 7 Ν(Β)

Ομως, Ρ(Β) = =Ν(Ω) 10 100

Δηλαδη ο ισχυ

ν = 100

7 Ρ(Β) =

10

Ν(Β) = 70

ρισμος του ειναι .σωστος


26


Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς

Α σ κ η σ η 1 η

Απο μια τραπουλα (52 φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα 3 φυλλα και τα χαρακτηριζουμε

ως προς το χρωμα τους σε μαυρα (Μ) και κοκκινα (Κ).

Να βρειτε :

Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος .

Το ενδεχομενο Α : "

2 το πολυ μαυρα φυλλα " .

Το ενδεχομενο Β : " 2 τουλαχιστον μαυρα φυλλα " .

Το ενδεχομενο Γ = Α Β .


Ριχνουμε το ζαρι δυο φορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του.

Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα :

Α : " πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη " .

Β : " το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμο

ς " .

Γ : " η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια " .

Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ)


Ριχνουμε τα ζαρια στο ταβλι (2 ζαρια). Ποια ειναι η πιθανοτητα να φερουμε :

Α : " εξαρες " (και τα δυο ζαρια τον αριθμο 6) .

Β : " ασσοδυο " (το ενα ζαρι τον αριθμο 1 και το αλλο τον αριθμο 2)

.

Γ : " ενα τουλαχιστον 5 " .


Απο τραπουλα 52 παιγνιοχαρτων παιρνουμε ενα φυλλο.


Α : " το φυλλο ειναι κοκκινο "

Β : " το φυλλο ειναι νταμα "

Γ : " φυλλο ειναι μαυρο "

Δ : " το φυλλο ε

ηιναι κοκκιν νταμα "

Ε : " το φυλλο ειναι κοκκινο η νταμα "

Ζ : " το φυλλο δεν ειναι κοκκινο η νταμα "


3 5Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α') και Ρ(Β') .

4 61 5

Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .4 12

27




1 2 3 4

1 2 3 4

1 3 1 4

Εστω Ω = {ω , ω , ω , ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης .

1 1 1Αν Ρ(ω ) = , Ρ(ω ) = και Ρ(ω ) = , να βρεθει η Ρ(ω ).

2 4 81 4

Αν Α = {ω , ω }, Β = { ω , ω }, Ρ(Α) = , Ρ(Β) = και Ρ(ω4 5 1

2

1) = ,

6 να υπολογισετε τη πιθανοτητα Ρ(ω ) .



Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,5 ενω Ρ(Α Β) = 0,4 .

Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα .


Γ : " ν

α πραγματοποιηθει μονο το Α "

Δ : " να πραγματοποιηθει μονο το Β "

Ε : " να πραγματοποιηθει μονο ενα απο τα Α και Β "


Ριχνουμε στον αερα ενα ζαρι που δεν ειναι αμεροληπτο.

1 1 1Αν Ρ(1) = , Ρ(2) = Ρ(3) = Ρ(4) = και Ρ(6) = , τοτε :

12 6 4Να βρεθει η Ρ(5).

Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " ενδειξη περιττη " .

Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Β : " ε νδειξη μεγαλυτερη του 4 " .



3 2 1Ρ(Α Β) = και Ρ(Β') = ενω Ρ(Α Β) = .

4 3 4Να βρειτε τις πιθανοτητες :

Ρ(Β)

Ρ(Α)

Ρ(Α - Β)

Ρ(Β - Α)

Ρ(Α' Β')

Ρ[(Α - Β) (Β - Α)]

28



Α σ κ η σ η 1 0 η


1 1 5Ρ(Α') , Ρ(Β) και Ρ(Α Β) .

3 3 6Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα .

1Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) .

6


Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω με 1 2

Ρ(Α') = και Ρ(Β') = 2 3

.

▪ Eξεταστε αν τα ενδεχομενα Α’ και Β’ ειναι ασυμβιβαστα.

▪ Αν 11

Ρ(Α' Β')=12

να υπολογισετε την Ρ(Α' Β') .

▪ Δειξτε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα.

▪ Να υπολογισετε τις πιθανοτητες Ρ(Α Β') και Ρ(Α Β') .


2 2

Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω .

Να αποδειχτει οτι :

[Ρ(Α)] + [Ρ(Β)] - 2Ρ(Α Β) 2[Ρ(Α Β)- 1]


Η πιθανοτητα να επιλεγει ενας μαθητης στη θεατρικη ομαδα του σχολειου του ειναι

1/6 ενω η πιθανοτητα να μην επιλεγει στην ομαδα μουσικης ειναι 4/5, ενω η πιθανο-

τητα να επιλεγει και στις δυο ομαδες ειναι 1/10.

Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων:

▪ Να επιλεγει τουλαχιστον σε μια απο τις δυο ομαδες.

▪ Να επιλεγει μονο στην θεατρικη ομαδα.

▪ Να επιλεγει μονο στην ομαδα μουσικης.

▪ Να επιλεγει μονο σε μια απο τις δυο ομαδες.

▪ Να μην επιλεγει σε καμια ομαδα.

▪ Να επιλεγει σε μια το πολυ ομαδα.

29



Α σ κ η σ η 1 4 η Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και α > 0.

Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι :

3 8 1, 2 - και

α α ανα ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα.


2 2Μια ταξη εχει 30 αγορια και κοριτσια. Τα των αγοριων και τα των κοριτσιων

3 3εχουν κινητο τηλεφωνο .

Αν η πιθανοτητα να ειναι κοριτσι που εχει κινητο ειναι 0,2 να βρεθουν :

Ποσα ειναι τα αγορ

ια της ταξης .

Ποια η πιθανοτητα το ατομο να ειναι κοριτσι η να εχει κινητο .

Α σ κ η σ η 1 6 η Εστω Α,B ασυμβιβαστα ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ωστε Α Β = Ω .

1 4Αν Ρ(Α)- Ρ(Β) = και 2Ρ(Α) + Ρ(Β) = , θ > 0, τοτε να βρεθουν :

θ θΡ(Α), Ρ(Β) και θ .


Σε ενα συνεδριο μαθηματικων συμμετεχουν Ελληνες, Γαλλοι και Αγγλοι μαθηματικοι.

Απο τους συνεδρους επιλεγεται τυχαια ενας για τη θεση του συντονιστη του συνεδ-

ριου.

Αν στο συνεδριο συμμετεχουν 25 Ελληνες, ενω οι πιθανοτητες να επιλεγει Γαλλος ει-

ναι 1/3 και Αγγλος ειναι 1/4, να βρεθει το πληθος των συνεδρων.


2

κ

κ

Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με |κ| 7 και η εξισωση :

(Ε ) : (κ - 1)x - (3κ - 2)x + 2κ + 1 = 0.

Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) :

Α : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες .

Β : εχει δυο ομοση

μες και ανισες ριζες .

Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες .

30



Α σ κ η σ η 1 9 η Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω .

Ισχυει : |Ρ(Α) + 3|-|Ρ(Α) - 3|= κ + 3, κ .

1Να δειχτει οτι :|κ| .

2


2

Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της εξισωσης :

P(A B)x -(3P(A)- Ρ(Β))x + = 0 .

58

Aν P(Α' Β') = , να βρεθουν οι πιθανοτητες :9

Ρ(Α), P(A B), P(A' B), P(Α Β) .


Εστω Α, Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω.

Να δειξετε οτι :

P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β)- 1

P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) - 2


Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} και τα ενδεχομενα:

Α = {ω1 , ω2} και Β = {ω2, ω3}.

Αν 5 1 2 1

Ρ(Α)= , Ρ(Β)= , Ρ(Α Β)= και Ρ(Α-Β)=12 3 3 12

να βρεθουν οι πιθανοτητες των απλων

ενδεχομενων ω1, ω2, ω3 και ω4.


2

Ενας μαθηματικος εχει στον υπολογιστη του x ευκολες ασκησεις, 3x + 12 μετριας δυσκολιας

και 3x δυσκολες ασκησεις.

Ο καθηγητης επιλεγει τυχαια μια ασκηση για να τη βαλει σ'ενα test.

Θεωρουμε το ενδεχομε

νο Α : "επιλεγει ευκολη ασκηση".

Να βρειτε :

την πιθανοτητα Ρ(Α) σε συναρτηση με τον x.

για ποια τιμη του x η Ρ(Α) γινεται μεγιστη.

ποια ειναι η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α).

31




2

Να εξεταστει αν η πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α μπορει να εκφραστει απ'τη συναρ -

5 1 3τηση : f(x) = 2x - x + , x - , . Aν ακομη ισχυει :

8 4 4

3|1- 2Ρ(Α)|-|3Ρ(Α) - 1|= 2κ, κ , να βρεθουν οι τιμες των κ και

Ρ(Α) .


2 2

Εστω Α και Β - Α ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω.


1 0 Ρ(Α)Ρ(Α')

41

[Ρ(Α)] + [Ρ(Α')] 1 2

Αν Ρ(Α Β) - Ρ(Α Β) = 1, να δειξετε :

Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) = 1


Μετα απο ενα τροχαιο ατυχημα το 40% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινο-

τερο επαρχιακο νοσοκομειο, το 50% των επιβατων διακομιστηκαν σε νοσοκομειο της

Αθηνας, ενω το 15% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκο-

μειο και κατοπιν λογω της σοβαρο-τητας του τραυματισμου τους κριθηκε αναγκαια η

μεταφορα τους σε νοσοκομειο της Αθηνας.

Αν 12 απο τους επιβατες δεν τραυματιστηκαν καθολου τοτε ποσους επιβατες συνολι-

κα ειχε το οχημα;


2

Εστω Α,B ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και ισχυουν

η Ρ(Α) ειναι λυση της εξισωσης 5x + 9x - 2 = 0

3Ρ(A Β) = 2Ρ(Α) = Ρ(Β)

2να υπολογιστουν οι Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α - Β) .


2

Εστω Ω = {1,2,...,10} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα α -

πλα ενδεχομενα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απλο ενδεχομενο α Ω.

Αν f(x) = x + 4x + α, να βρειτε τη πιθανοτητα η εξισωση f(x) = 0 να

μην εχει πραγματι -

κες ριζες.

32




2

Εστω Ω = {1,2,3,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα

x + y = 3απλα ενδεχομενα και το συστημα , με α Ω.

(α + 2)x + 3αy = 1

Να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " το συστημα α

δυνατο " .


Για τους υποψηφιους της Τεχνολογικης κατευθυνσης το 2006 γνωριζουμε οτι :

Το 30% απετυχε στη Φυσικη .

Το 40% απετυχε στα Μαθηματικα .

Το 20% απετυχε στη Φυσικη και στα Μαθηματικα .

Επιλεγουμε τυχα

ια ενα απ'τους υποψηφιους. Βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων :

Α : " ο υποψηφιος απετυχε τουλαχιστον σ'ενα απο τα δυο μαθηματα " .

Β : " ο υποψηφιος απετυχε μονο στα Μαθηματικα " .

Γ : " ο υποψηφιος απετυχε μονο σ'ενα απο τα δυο μαθηματα " .


Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α), Ρ(Β) ριζες της εξισωσης:

6x3 + 5x2 – 12x + 4 = 0 με Ρ(Α) < Ρ(Β) να δειξετε οτι:

▪ Α, Β οχι ασυμβιβαστα ▪ 1 1

Ρ(Α Β)6 2 ▪

2Ρ(Α Β) 1

3


Εστω δειγματικος χωρος που αποτελειται απο το συνολο των ριζων της εξισωσης

(x – 10) (x – 11) … (x – 20) = 0.

Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα και λ ∈ Ω, να βρεθει η πιθανο-

τητα η εξισωση y 2 – 8y + λ = 0 να μην εχει πραγματικες ριζες.

33


Α π λ ο ς Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς

Για οποιαδηποτε α σ υ μ β ι β α σ τ α μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει:

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα.

Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε

Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)

Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς

Α π ο δ ε ι ξ η

(1)

Ν(Α) = κ γιατι διαφορετικα τα Α, ΒΑν τοτε Α Β = κ + λ

Ν(Β) = λ δεν θα ηταν ασυμβιβαστα

Δηλαδη ειναι : Ν(Α Β) = κ + λ = Ν(Α) + Ν(Β) (1)

Οποτε

Ν(Α Β) Ν(Α) + Ν(Β) Ν(Α= =

Ν(Ω) Ν(Ω)

Ρ(Α Β)

) Ν(Β)

+ =Ν(Ω) Ν(Ω)

= Ρ(Α) + Ρ(Β)


Α Α' Ω

Ρ(Ω) 1

Αφου Α Α' = (Α, Α' ειναι ασυμβιβαστα),

απ'τον απλο προσθετικο νομο προκυπτει

Ρ(Α Α') = Ρ(Α) + Ρ(Α')

Ρ(Ω) = Ρ(Α) + Ρ(Α')

1 = Ρ(Α) + Ρ(Α')

Ρ(Α') = 1- Ρ(Α)

Π ι θ α ν ο τ η τ α Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ο υ

Για δυο συμπληρωματικα ενδεχομενα Α και Α’ (ασυμβιβαστα) ισχυει:

Ρ(Α’) = 1 - Ρ(Α)

Α Β

Ω

Α’

Ω

Α

34


Π ρ ο σ θ ε τ ι κ ο ς Ν ο μ ο ς

Για δυο τ υ χ α ι α ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει:

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)

Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς


Για δυο ενδεχομενα Α και Β εχουμε :

αφου στο αθροισμα το πληθος των στοιχειων

του υπολογιζεται δυο φορες.

Αν διαιρ

N(A B) = N(A) +

εσουμε τα μελη

N(B) - N(A B) (1)

N(A) + N(B)

της (1) με

A B

N(Ν(Ω) προκυπτει :

A B) N(A) N(B) N(A B)= + -

N(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω)

Ετσι

Ν(Α Β) N(A) N(B) N(A B)= + - =

Ν(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω)

Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β)


Αφου Α Β τοτε Ν(Α) Ν(Β)

οποτε, διαιρωντας με Ν(Ω) > 0

Ν(Α) Ν(Β)

Ν(Ω) Ν(Ω)

Ρ(Α) Ρ(Β)


Αφου Α Β και Α Β ειναι ασυμβιβαστα και

Α = (Α Β) (Α Β), τοτε

Ρ(Α) = Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)

Ρ(Α - Β) = Ρ(Α)- Ρ(Α Β)

Π ι θ α ν ο τ η τ α Υ π ο σ υ ν ο λ ο υ

Αν Α ⊆ Β τοτε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)

Α Β

Ω

Β

Ω

Α

Π ι θ α ν ο τ η τ α Δ ι α φ ο ρ α ς


Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)

Α Β

Ω

35


Π ρ | κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι


36


0 1 . Υ π ο σ υ ν ο λ α τ ο υ

▪ Το συνολο των φυσικων αριθμων:

= { 0, 1, 2, 3, . . . }

▪ Το συνολο των ακεραιων αριθμων:

= { . . . , - 2, - 1, 0, 1, 2, . . . }

▪ Το συνολο των ρητων αριθμων:

= { ρ | ρ =

μ

ν , με μ ∈ ℤ και ν ∈ ℤ * }

▪ Το συνολο των αρρητων αριθμων:

{ x | το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα }

▪ Το συνολο των πραγματικων αριθμων:

ειναι η ενωση του συνολου των ρητων και αρρητων αριθμων.

▪ Το συνολο των περιττων αριθμων:

{ 1, 3, 5, . . . } η { 2ν + 1 | οπου ν }

▪ Το συνολο των αρτιων αριθμων:

{ 0, 2, 4, . . . } η { 2ν | οπου ν }

0 2 . Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ

ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Αντιμεταθετικη α + β = β + α α ∙ β = β ∙ α

Προσεταιριστικη α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ α ∙ ( β ∙ γ ) = ( α ∙ β ) ∙ γ

Επιμεριστικη α ∙ ( β + γ ) = α ∙ β + α ∙ γ

Ουδετερο στοιχειο α + 0 = α α ∙ 1 = α

Αντιθετος (προσθεση)

Αντιστροφος (πολ/σμος) α + ( - α ) = 0 α ∙

1

α = 1, α ≠ 0

Σ υ ν ε π ε ι ε ς

▪ α = β α + γ = β + δ

γ = δ α γ = β δ

▪ α ∙ 0 = 0

▪ α ∙ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0

▪ α ∙ ( - 1 ) = - α

▪ ( - α ) ∙ ( - β ) = α ∙ β

▪ β α ± βα

± = , γ 0 γ γ γ

▪ 1 1 1

= , α β 0 α β α β

▪ Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης: α – β = α + ( - β )

▪ Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α : β = α ∙ 1

, β 0β


▪ α ± γ = β ± γ

α = βα γ = β γ, γ 0

▪ α ∙ β = 0 ⇔ α = 0 η β = 0

▪ ( - α ) ∙ β = - α ∙ β

▪ - ( α + β ) = - α - β

▪ α δ ± β γγα

± = , β δ 0β δ β δ

▪ γ α γα

= , β δ 0β δ β δ

37


0 3 . Α ν α λ ο γ ι ε ς

▪ Ο ρ ι σ μ ο ι

α Λ ο γ ο ς τ ο υ α ω ς π ρ ο ς β λεγεται το πηλικο .

β

γαΑ ν α λ ο γ ι α λεγεται η ισοτητα δυο λογων, εστω : =

β δ

Οι αριθμοι α,β,γ,δ λεγονται ο ρ ο ι της αναλογιας.

Οι αριθμοι α,δ λεγονται α κ ρ ο ι οροι της αναλογιας.

Οι αριθμοι β,γ λεγονται μ ε σ ο ι οροι της αναλογιας.

βα Στη περιπτωση που η αναλογια ειναι της μορφης = ο αριθμος β

β γ

λεγεται μ ε σ ο ς α ν α λ ο γ ο ς των α και γ .

▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Α ν α λ ο γ ι ω ν

γα = α δ = β × γ

β δ

βγα α = =

β δ γ δ

γ γα δ = =

(β δ 0

β δ β α

γα

)

(β γ δ 0)

(α β δ 0)

= β

(β δ 0)

[β

α + β γ + δ =

δ β δ

γ γ α + γα α = = = δ (β + δ) 0]

(β δ 0, α β

β δ β δ β + δ

α + βγ α + γα = =

β δ α - β γ , γ δ

- δ)

0 4 . Δ υ ν α μ ε ι ς


▪ Για καθε α ∈ ℝ και ν *

+ οριζουμε ν - ο σ τ η δ υ ν α μ η τ ο υ α τον αριθμο

α ν με : ν

ν παραγοντες

α = α α . . . α , ν > 1

▪ Για καθε α ∈ ℝ * και ν *

οριζουμε : α º = 1 και - ν

ν

1α =

α

▪ Αν α * +

και μ , ν *

+ οριζουμε :

μ ν μνα = α

▪ Αν α * +

και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυναμη α x και ειναι α x > 0 .


38


▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Δ υ ν α μ ε ω ν μ μ + ν μ μ - ν μ μ ν ν ν ν

νν ν ν ν

ν

α α = α α : α = α ( α ) = α

α α ( α β) = α β ( ) =

β β

ν

- ν

ν

2 κ 2 κ 2 κ + 1 2 κ + 1

βα ( ) =

β α

( - α ) = α ( - α ) = - α

0 5 . Τ α υ τ ο τ η τ ε ς

▪ ( α ± β )² = α² ± 2 ∙ α ∙ β + β² ( χρησιμη : α² + β² = ( α + β )² - 2 ∙ α ∙ β )

▪ α² - β² = ( α + β )( α – β )

▪ ( α + β + γ )² = α² + β² + γ² + 2 ∙ α ∙ β + 2 ∙ α ∙ γ + 2 ∙ β ∙ γ

▪ α³ ± β³ = ( α + β )( α² ∓ 2 ∙ α ∙ β + β² ) = ( α ± β )³ ∓ 3 ∙ α ∙ β ∙ ( α ± β )

▪ ( α ± β )³ = α³ ± 3 ∙ α²∙ β + 3 ∙ α ∙ β² ± β³

▪ ( α + β ) ⁴ = α ⁴ + 4 ∙ α³∙ β + 6 ∙ α²∙ β² + 4 ∙ α ∙ β³ + β ⁴

▪ ( α – β ) ⁵ = α ⁵ - 5 ∙ α ⁴ ∙ β + 10 ∙ α³∙ β² - 10 ∙ α² ∙ β³ + 5 ∙ α ∙ β ⁴ - β ⁵

▪ α ν – β ν = ( α – β )( α ν – 1 + α ν – 2 ∙ β + . . . + α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 )

▪ α ν - β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν αρτιος φυσικος)

▪ α ν + β ν = ( α + β )( α ν – 1 - α ν – 2 ∙ β + . . . - α ∙ β ν – 2 + β ν – 1 ), (ν περιττος φυσικος)

▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ = 1

2 [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ]

▪ α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ = 1

2 [ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ]

▪ α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ = ( α + β + γ )( α² + β² + γ² - α ∙ β – α ∙ γ – β ∙ γ ) =

= 1

2 ( α + β + γ )[ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ]

▪ α³ + β³ + γ³ = 3 ∙ α ∙ β ∙ γ, αν α + β + γ = 0 η α = β = γ (Euler)

0 6 . Δ ι α τ α ξ η Π ρ α γ μ α τ ι κ ω ν Α ρ ι θ μ ω ν


▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ε γ α λ υ τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η διαφο-

ρα α - β ειναι θετικος αριθμος ( α - β > 0 ) .

Συμβολιζουμε: α > β

Ο αριθμος α βρισκεται δ ε ξ ι ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων.

- ∞ β α + ∞


39


▪ Ο αριθμος α λεγεται μ ι κ ρ ο τ ε ρ ο ς απ’τον αριθμο β , αν και μονο η διαφορα

α - β ειναι αρνητικος αριθμος ( α - β < 0 ) .

Συμβολιζουμε: α < β

Ο αριθμος α βρισκεται α ρ ι σ τ ε ρ ο τ ε ρ α του β στον αξονα των πραγματικων.

- ∞ α β + ∞

▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Δ ι α τ α ξ η ς

▪ Αν α > β και β > γ, τοτε: α > γ.

▪ Αν α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ.

▪ Αν γ > 0, τοτε: α > β

α γ > β γ

βα>

γ γ

▪ Αν γ < 0, τοτε: α > β α γ < β γ .

▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ.

▪ Αν α > β και γ > δ, τοτε: α ∙ γ > β ∙ δ (α, β, γ, δ θετικοι αριθμοι).

▪ Αν α, β θετικοι και ν *

, τοτε: α > β ⇔ α ν > β ν

▪ Δ ι α σ τ η μ α τ α

Πρακτικα δ ι α σ τ η μ α ειναι ενα τμημα της ευθειας x’x των πραγματικων αριθ-

μων δηλαδη ενα συμπαγες συνολο αριθμων. Τα διαστηματα οριζονται με την βο-

ηθεια μιας ανισωσης και στον παρακατω πινακα βλεπουμε τα ειδη αυτων.

ανισωση διαστημα ( ακρα α , β ) συμβολισμος

α ≤ x ≤ β κλειστο διαστημα [α , β]

α < x < β ανοικτο διαστημα

(α , β)

α < x ≤ β ανοικτο αριστερα, κλειστο δεξια

(α , β]

α ≤ x < β κλειστο αριστερα, ανοικτο δεξια

[α , β)

α ≤ x κλειστο αριστερα, μη φραγμενο

ανω

[α , + ∞)

α < x ανοικτο αριστερα, μη φραγμενο

ανω

(α , + ∞)

x ≤ β μη φραγμενο κατω, κλειστο δεξια

(- ∞, β]

x < β μη φραγμενο κατω, ανοικτο δεξια

(- ∞, β)

x το συνολο των πραγματικων

(- ∞, + ∞)

0 7 . Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η

▪ Ο ρ ι σ μ ο ς

Για καθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε την απολυτη τιμη του ως:

α, αν α 0

|α| = - α, αν α < 0


40


▪ Σ υ ν ε π ε ι ε ς Ο ρ ι σ μ ο υ

▪ | α | ≥ 0, η απολυτη τιμη του α ειναι μη αρνητικος αριθμος.

▪ - | α | ≤ α ≤ | α |

▪ 2α = | α |, | - α | = | α |, | να | = ν|α| , | α | 2 = α 2

▪ | α ∙ β | = | α | ∙ |β|

▪ α |α|

| | = β |β|

με β ≠ 0

▪ | | α | - | β | | ≤ | α ± β | ≤ | α | + | β |

▪ | α | < | β | ⇔ α ² < β ²

▪ | α | + | β | = 0 ⇔ α = 0 και β = 0

▪ Αν θ > 0 ισχυουν:

1. | x | < θ ⇔ - θ < x < θ

2. | x | > θ ⇔ x < - θ η x > θ

▪ η εξισωση | x | = θ ⇔

x = ± θ αν θ > 0

x = 0 αν θ = 0

αδυνατη αν θ < 0

▪ Αν Α( α, 0 ) και Β( 0, β ) σημεια του x’x τοτε d( Α, Β ) = | α - β | .

▪ Π ε ρ ι ο χ η Α ρ ι θ μ ο υ

0

0 0 0 0

0 0 0

0

0

(

<

(x x

Για x και ρ > 0, ισχυει :

|x - x | < ρ x x - ρ, x + ρ) x - ρ < x < x + ρ

Οι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση x - x | ρ ειναι τα σημεια του διαστηματος

- ρ, + ρ) που εχει κεντρο το x και ακτινα

|

ρ μοναδες

ρ μοναδεςd(x, x ) ο

ο ο οx' x

x - ρ x x x - ρ

ρ.

0 Στην περιπτωση που x = 0, ειναι : |x| < ρ x (- ρ, ρ) - ρ < x < ρ

0

0 0 0 0 0

0

Για x και ρ > 0, ισχυει :

|x - x | > ρ x (- , x - ρ) (x + ρ,+ ) x < x - ρ η x > x + ρ

Οι αριθμοι x που ικανοποιουν τη σχεση |x - x | > ρ ειναι τα σημεια Μ(x) του αξονα

x'x που απεχουν απ'το σημειο Κ(

0

0

d(x, x )

ρ μοναδες ρ μοναδες

ο ο οx'

x x - ρ x x - ρ

x ) αποσταση μεγαλυτερη του ρ.

0

x

Στην περιπτωση που x = 0, ειναι : |x| > ρ x < - ρ η x > ρ

0 8 . Ρ ι ζ ε ς


Για καθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο ν, υπαρχει μονα-


41


δικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ωστε x ν = α .

Ο αριθμος x ονομαζεται θ ε τ ι κ η ν ι ο σ τ η ρ ι ζ α τ ο υ α και συμβολιζεται

ν α .

Δηλαδη: x ν = α ⇔ x = ν α με α, x ≥ 0 ν *

+.

▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς

▪ μ ν μνα = α

▪ ν ν να β = α β

▪ ν να = α

▪ νν να β = α β

▪ μ

μν ν( α ) = α

▪ ν

νν

α α =

ββ

▪ μ ν μν α = α

▪ ν μ μν α = α


42


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ θ ε ι α α π ο δ ε ι ξ η


Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ).


Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) .


Ξεκινουμε απ’την υποθεση .

Κανουμε διαδοχικους συλλογισμους στηριζομενοι στις ιδιοτητες των πραξεων

και σε κανονες λογικης .

Καταληγουμε στο συμπερασμα .



Υ Π Ο Θ Ε Σ Η Σ Υ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α

Αν α, β,γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι να δειξετε οτι : α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3.


Αφου οι αριθμοι α, β, γ εναι διαδοχικοι φυσικοι τοτε:

β = α + 1 και γ = α + 2

Οποτε:

α + β + γ = α + ( α + 1 ) + ( α + 2 ) = 3α + 3 = 3( α + 1 ) = 3κ (οπου κ = α + 1)

Αρα α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3.


2

Υ Π Ο Θ Ε Σ Η Σ Υ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α

Αν α ακεραιος και α αρτιος να δειξετε οτι : α ειναι αρτιος.



Μ ε θ ο δ ο ς : Σ ε α τ ο π ο α π ο δ ε ι ξ η


Αποδειξη σχεσης ( Σ υ μ π ε ρ α σ μ α ).


Σχεση που ισχυει ( Υ π ο θ ε σ η ) .


Υποθετουμε οτι δ ε ν ισχυει το συμπερασμα .



Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) .

Αρα ισχυει το συμπερασμα .

Αυτη η μεθοδος χρησιμοποιειται για συμπερασματα, για τα οποια εχουμε ακριβως δυο

επιλογες π.χ. ρητος – αρρητος, αρτιος – περιττος, κλπ .

43


Εστω α δ ε ν ειναι αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορφης α = 2κ + 1 , κ .

Εχουμε : α 2 = (2κ + 1) 2 = 2( 2

λ

2κ + 2κ

) + 1 = 2λ + 1, λ .

Δηλαδή α 2 περιττος, που ειναι α τ ο π ο, αφου ο α 2 ειναι αρτιος.

Οποτε ο ακεραιος α ειναι α ρ τ ι ο ς .


2 2x - 1 x - 2xΓια ποιες τιμες του x οριζονται τα κλασματα Α = και Β = ;

x(x - 2) (x - 1)(x + 1)

Να δειξετε οτι οι Α , Β ειναι αντιστροφοι .


2 2

Πρεπει

x (x - 2) 0 x 0 και x 2

(x - 1)(x + 2) 0 x 1 και x - 2

x - 1 x - 2x (x - 1)(x + 1) x(x - 2) = = = αρα

x(x - 2) (x - 1)(x + 1) x(x - 2) (x - 1)(x + 1)

- { - 2, 0, 1, 2 }x

Α Β 1 Α, Β αντιστροφοι .

Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν τ ι θ ε τ ο ι - Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι


Αποδειξη αντιθετων - αντιστροφων αριθμων .


Δυο αριθμοι .


Αν οι δυο αριθμοι ειναι παραστασεις, εστω Α και Β :

Βρισκουμε για ποιες τιμες της παραμετρου (γραμμα της παραστασης) εχει νο-

ημα (οριζεται) .

Για τους αντιθετους δειχνουμε οτι ισχυει: Α + Β = 0 .

Για τους αντιστροφους δειχνουμε οτι ισχυει: Α ∙ Β = 1 .

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Κ ο ι ν ο ς Π α ρ α γ ο ν τ α ς )


Παραγοντοποιηση αλγεβρικου αθροισματος .


Αλγεβρικο αθροισμα .


Βγαζουμε κοινο παραγοντα απ’ολους τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος :

απο αριθμους (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε τον μεγιστο κοινο διαιρετη

απο γραμματα (σ’ολους τους ορους) βγαζουμε το κοινο γραμμα με το μικρο-

τερο εκθετη .

Με τη βοηθεια των πραξεων και των ιδιοτητων τους και των ιδιοτητων των

δυναμεων φτιαχνουμε το γινομενο .


44




2 5 4 3 2Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 6α β - 2αβ + 12α β .


2

2 5 4 3 2 2 3 2 2

Μ.Κ.Δ. των αριθμων σ'ολους τους ορους : 2

Κοινο γραμμα με μικροτερο εκθετη σ'ολους τους ορους : α β

Ετσι

Α = 6 α β - 2 α β + 12 α β 2 α β (3 α β -β + 6 α )

= .


Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = αx + βx - αy - βy .


= αx + βx - αy -βy =

= (αx + βx) - (αy + βy) =

= x(α + β) - y(α + β) =

=

Α

(x - y)(α + β)

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Ο μ α δ ο π ο ι η σ η )






Ομαδοποιουμε τους ορους του αλγεβρικου αθροισματος ανα δυο η ανα τρεις κλπ

(αρα οι οροι του αλγεβρικου αθροισματος ειναι αρτιου πληθους) .

Βγαζουμε κοινο παραγοντα απο καθε μια ομαδα και ο δευτερος ορος απο καθε-

μια απο αυτες τις παραγοντοποιησεις πρεπει να ειναι ο ιδιος, εστω κ .

Βγαζουμε κοινο παραγοντα τον κ απ’ολο το αλγεβρικο αθροισμα .

Ετσι το αλγεβρικο αθροισμα μετσχηματιζεται σε κ ∙ μ.

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Δ ι α φ ο ρ α τ ε τ ρ α γ ω ν ω ν )






Προσδιοριζουμε τους α, β στην παρασταση μορφης Α = α 2 - β 2 .

Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα : α 2 - β 2 = ( α - β )( α + β ) .

45




8 4 2 10Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 9κ x - 4λ y .


8 4 2 10

4 2 2 5 2 4 2 5

Ειναι

= 9κ x - 4λ y =

= (3κ x ) - (2λy ) = (α = 3κ x και β = 2λy )

= 4 2 5 4 2 5

Α

(3κ x - 2λy )(3κ x - 2λy )


9 3 6 12 6 3

Να παραγοντοποιηθουν οι παραστασεις :

Α = 8κ x - λ y , Β = 27μ + ν


9 3 6 12

3 3 2 4 3

3 2 4 3 2 3 2 4 2 4 2

3 2 4

3 2 4( α = 2 κ x και β = λ y

Ειναι

= 8 κ x - λ y =

= (2 κ x) - (λ y ) =

= (2 κ x - λ y )[(2 κ x) + (2 κ x)(λ y ) + (λ y ) ] =

= (2 κ x - λ y (4

)

)

Α

6 2 3 2 4 4 8

6 3

2 3 3

2 2 2 2 2

2 4 2 2

2(

κ x + 2 κ x λ y + λ y ) =

= 27μ + ν =

= (3μ ) + ν =

= (3μ + ν)[(3μ ) - 3μ ν + ν ] =

= (3μ + ν)(9μ - 3μ ν + ν )

α = 3 μ και β = ν )

Β

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Α θ ρ ο ι σ μ α - Δ ι α φ ο ρ α Κ υ β ω ν )






Προσδιοριζουμε τους α, β στις παραστασεις μορφης Α = α 3 – β 3, Β = α 3 + β 3 .

Χρησιμοποιουμε τις ταυτοτητες :

α 3 – β 3 = ( α – β )( α 2 - αβ + β 2 )

α 3 – β 3 = ( α – β )( α 2 - αβ + β 2 )

46



2Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = 3κ - 5κ - 2 .


2

2

= 3κ - 2 =

= 3κ - 2

(κ - 2) (κ -= 3κ +

= (

-

3

5κ

- 6κ + κ

κ + 1)

2)

(κ - 2)

Α


8 4 4 4Να παραγοντοποιηθει η παρασταση Α = κ x + 4λ y .


8 4 4 4

4 2 2 2 2 2 4 2 2 2

= κ x + 4λ y =

= (κ x ) + (2λ y ) = (λειπει ο ορος 2 (κ x ) (2λ y ) για να εχουμε ταυτοτητα)

Α


Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η ( Τ ε χ ν α σ μ α δ ι α σ π α σ η ς ο ρ ο υ )






Συνηθως χρησιμοποιουμε αυτη τη μεθοδο σε παραστασεις τριων ορων (γενικα

περιττου πληθους ορων) με μορφη τριωνυμου .

Κανουμε διασπαση ενος ορου σε δυο ορους (στη περιπτωση τριωνυμου τον με-

σαιο ορο) .

Χρησιμοποιουμε τη μεθοδο της ομαδοποιησης .

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ι η σ η (Τ ε χ ν α σ μ α Π ρ ο σ θ α φ α ι ρ ε σ η ς)






Σ’αυτη τη περιπτωση εχουμε παρασταση μορφης ταυτοτητας που της λειπει ενας

ορος .

Προσθετουμε και αφαιρουμε τον ορο που λειπει .

Γραφουμε τη ταυτοτητα απ’το αναπτυγμα που δημιουργηθηκε .

Συνεχιζουμε οπως προηγουμενα (συνηθως διαφορα τετραγωνων) .

47


2 2 2

4 2 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2

α + 2αβ + β

4 2 2 2 4 2

= (α +

β

2

)

2+ 2 (κ x ) (2λ y ) - 2 (κ x ) (2 = (κ x ) + (2λ y ) =

= (κ x ) + 2 (κ x ) (2λ y ) + (2λ y ) - (2κ xλy) = (α = 3κ x , β = 2λy)

λ y )

4 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2

= (κ x + 2λy) - (2κ xλy) = (διαφορα τετραγωνων)

= (κ x + 2λy + 2κ xλy)(κ x + 2λy - 2κ xλy)


2ν + 1

Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι αριθμοι, δειξτε οτι : Α = α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3 .

Να δειξετε οτι ο αριθμος 4 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3, αν ν θετικος ακεραιος αριθμος .


Αφου οι αριθμοι α, β, γ ειναι διαδοχικοι φυσικοι αριθμοι, τοτε : β = α + 1 και γ = α + 2 .

Ετσι

= α + β + γ =

= α + α + 1+ α + 2 =

= 3α + 3 =

= 3 (α + 1)

Αρα Α = α + β + γ ειναι πολλαπλασιο του 3 .

Ισχυ

Α

ν ν ν - 1 ν - 2 ν - 2 ν - 1

(1) 2ν + 1 2ν + 1 2ν + 1

2ν 2ν - 1 2ν - 1 2ν

2ν 2ν - 1

ει : α -β = α + α β + ... + αβ + β (1)

Οποτε

4 - 1 = 4 - 1 =

= (4 - 1)(4 + 4 1+ ... + 4 1 + 1 ) =

= 3(4 + 4 1+ ... + 4

2ν - 1 2ν

το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος)

2ν + 1

1 + 1 ) = 3 κ

Αρα ο αριθμος 4 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 3.


Μ ε θ ο δ ο ς : Π ο λ λ α π λ α σ ι ο Α ρ ι θ μ ο υ


Αποδειξη πολλαπλασιου αριθμου του αριθμου κ .


Αλγεβρικη παρασταση .


Συμφωνα με τις προηγουμενες μεθοδους παραγοντοποιησης δειχνουμε οτι η

ζητουμενη παρασταση ειναι γινομενο της μορφης Α = Β ∙ κ (Β = αλγεβρικη πα-

ρασταση) .

48




Εστω οι αριθμοι x,y,z που ειναι αναλογοι των αριθμων 1,2,3 αντιστοιχα.

Αν 3x + 2y - 2z = 20 (1), τοτε να βρεθουν οι αριθμοι x,y,z.


(1)

Ειναι (απο τις ιδιοτητες των αναλογιων)

2y 3x + 2y - 2zx 3x 3x - 2z 20= = = = = = = = = = = 20

1 1× 3 3 4 - 6 3 + 4 - 6 1Αρα

x= 20

1y

= 20 Eπαληθευση : = 3 20 + 2 40 - 2 60 = 60 + 82z

=

z - 2z

3 - 2 × 3

y 2y

2 2 ×

3

2

20

x = 20

y = 40 3x + 2y - 2z

z = 60

0 - 120 = 20.

Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε ρ ι σ μ ο ς σ ε μ ε ρ η α ν α λ ο γ α


Ευρεση αριθμων πχ x, y, z .


Αλγεβρικη σχεση μεταξυ των x, y, z και οι αναλογια τους με δοσμενους αριθμους,

εστω α, β, γ αντιστοιχα .


Γραφουμε την ισοτητα κλασματων: yx z

= =α β γ

.

Μετασχηματιζουμε τα πιο πανω κλασματα, ωστε το αθροισμα των αριθμητων

τους να ειναι συμφωνο με τη δοσμενη σχεση .

Παιρνουμε την ιδιοτητα αναλογιων:y x + y + zx z

= = = = κα β γ α +β + γ

.

Λυνουμε τις: yx z

= κ, = κ, = κα β γ

Κανουμε την επαληθευση της δοσμενης σχεσης με το αποτελεσμα .

Μ ε θ ο δ ο ς : Τ α υ τ ο τ η τ α E u l e r


Eξισωση της μορφης α3 + β3 + γ3 = 0 .


Η εξισωση .


Δειχνουμε οτι α + β + γ = 0 .

Χρησιμοποιουμε τη ταυτοτητα Euler : Αν α + β + γ = 0 τοτε: α3 + β3 + γ3 = 3αβγ .

Λυνουμε τις εξισωσεις: ▪ α = 0 ▪ β = 0 ▪ γ = 0

49




3 3 3Να λυθει η εξισωση : (x + 2) +(4x - 12) +(10 - 5x) = 0 .


3

3 3 3

3

3

Eιναι

(x + 2) + (4x - 12) + (10 - 5x) = x + 2 + 4x - 12 + 10 - 5x = 0

Ετσι

(x + 2) + (4x - 12) + (10 - 5x) = 0

x + 2 = 0

3(x + 2)(4x - 12)(10 -

(Ισχυει

5x) = 0 4x - 12 =

: αν x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xy

0

10 - 5x = 0

z)

x = - 2

x = 3

x = 2

Π α ρ α δ ε ι γ μ α 2

2 2 (α - β)Να συγκρινεται τους αριθμους : Α = α - αβ + β και Β = .

2

Α π α ν τ η σ η 2

2 2

2 2 2

2

(α -β)= α - αβ + β - =

2

2α - 2αβ + 2β - (α -β) = =

2

2α -2αβ =

Α - Β

2 2+ 2β - α +2 2

2 2

-β=

2

α + β = 0

2Αρα

Α - Β 0 Α Β

Α > Β αν α β η α = β 0

Α = Β αν α = β = 0

Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ γ κ ρ ι σ η α ρ ι θ μ ω ν


Συγκριση αριθμων .


Οι δυο αριθμοι, εστω α και β .


Γραφουμε την διαφορα α - β .

Αν α - β > 0 τοτε α > β

Αν α - β < 0 τοτε α < β

50




2 2 2 2 2 2

Να αποδειξετε οτι :

α + β α + β βα α + β + γ + 3 2(α + β + γ) + 2, αν α > 0 και β > 0

2 2 β α


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

α + β α + β α + β α + β + 2αβ 4α + 4β 2α + 2β + 4αβ

2 2 2 4

2α + 2β - 4αβ 0 2(α + β - 2αβ) 0 2(α + β) 0 , που αληθευει.

α + β + γ + 3 2(α + β + γ) α + β + γ + 2α + 2β + 2γ

(α -

3

2α + + (1)

2 2 2 2 2

α > 0 2 2 2 2 2

β > 0

β - 2β + ) + (γ - 2γ + ) 0 (α - 1) + (β - 1) + (γ - 1) 0 , που αληθευει.

β βα α + 2 αβ + αβ 2 αβ α + β 2αβ α + β - 2αβ 0 (α -β) 0, αληθ

1 1

ευει.β α β α

Μ ε θ ο δ ο ς : Α λ η θ η ς η π ρ ο φ α ν η ς α ν ι σ ο τ η τ α


Αποδειξη ανισοτητας .


Η ανισοτητα .


Ξεκινουμε απ’την δοσμενη ανισοτητα .



Καταληγουμε σε αληθη η προφανη ανισοτητα .

Μ ε θ ο δ ο ς : Σ ε α τ ο π ο α π ο δ ε ι ξ η






Υποθετουμε οτι δ ε ν ειναι αληθης η δοσμενη ανισοτητα .

Παιρνουμε την αντιστοιχη, που θεωρουμε αληθη της δοσμενης ανισοτητας .



Καταληγουμε σε σχεση αντιθετη με τα δοσμενα η αδυνατη ( α τ ο π ο ) .

Αρα ειναι αληθης η αρχικη ανισοτητα .

51




Να δειξετε οτι : xy 4 αν x + y = 4 .


x = 4 - y 2 2 2 2

Eιναι

x + y = 4 x = 4 - y (1)

Εστω οτι xy 4 δεν ειναι αληθης. Ετσι

xy > 4 (4 - y)y > 4 4y - y > 4 4y - y - 4 > 0 - (y - 4y + 4) > 0 - (y - 2) > 0 ατοπο

Αρα xy 4 ειναι αληθης.

.


2 2 2Για τους θετικους αριθμους α, β, γ ειναι α + β = γ. Να αποδειξετε οτι : α + β < γ .


2β > 0 α + β = γ(+)α > 0 2 2 2 2

2α > 0 β > 0

2 2

Ειναι

α + = γ α < γ α α < γ α α < γ α α + β < γ α + γ β α + β < γ (α + β)

+ β = γ β < γ β β < γ β β < γ β

α + β <

β

α

γ γ

2 2 2α + β < γ

Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε θ ο δ ο ς Σ υ ν θ ε σ η ς






Παιρνουμε δοσμενες και προφανεις ανισοτητες .

Απ’τις ιδιοτητες της διαταξης καταληγουμε στην προς αποδειξη ανισοτητα .

Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο σ θ ε σ η – Α φ α ι ρ ε σ η θ ε τ ι κ ω ν π ο σ ο τ η τ ω ν






Παιρνουμε προφανη η δοσμενη ισοτητα η ανισοτητα .

Προσθετουμε η αφαιρουμε θετικη ποσοτητα στο ενα μελος της ισοτητας η ανι-

σοτητας .

Προκυπτει ανισοτητα .

52




α + β βαΓια τους θετικους αριθμους α, β, γ να δειξετε οτι : < + .

1 + α + β 1 + α 1 + β

α + β βΑν 3α < β να δειξετε οτι : α < < .

4 3


(1)

1(. ) (+ β)(+ α) 4

Ειναι

α α< (αφου β > 0)

1+ α + 1+ α (1)

β β< (αφου α > 0)

1+ + β 1+ β

Ετσι

α + β βα= +

1+ α + β 1+ α + 1+ + β

α + β1 1 3α < β 3α + α < β + α 4α < α + β 4α < (α + β) α + β <

4

β

α

β α

α βα

44

+<

α + β βα< +

1 + α + β 1 + α 1 + β

(3α < β)

+ β4

+ 5βα + β + 5β α + β α + β β + 15β α + β 16β α + < < < <

4 16 4 16 4 48 4 48 Τελικα

3 β<

3

ββ

4

α

α + β β α < <

4 3


9 3 6 3 4 3

Για τους θετικους αριθμους α, β να δειξετε οτι :

α + 8α β + 27β 18α β

Μ ε θ ο δ ο ς : Α ν ι σ ο τ ι κ η σ χ ε σ η τ ο υ E u l e r






Aπ’τη ταυτοτητα Euler:

α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ = 1

2 ( α + β + γ )[ ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ]

αν α + β + γ > 0 και επειδη ( α – β )² + ( β – γ )² + ( γ – α )² ≥ 0 τοτε

α³ + β³ + γ³ - 3 ∙ α ∙ β ∙ γ ≥ 0 η α³ + β³ + γ³ ≥ 3 ∙ α ∙ β ∙ γ

Ετσι με δοσμενο α + β + γ > 0 ισχυει α³ + β³ + γ³ ≥ 3 ∙ α ∙ β ∙ γ .

53




3 2

9 3 6 3 3 3 2 3 3 3 2 4 3

Αφου α, β ειναι θετικοι, τοτε και α , 2αβ , 3β ειναι θετικοι.

Οποτε (Euler)

α + 8α β + 27β = (α ) + (2αβ ) + (3β) 3 α 2αβ 3β = 18α β

Tελικα,

9 3 6 3 4 3α + 8α β + 27β 18α β


Να απλοποιηθουν οι παραστασεις :

Α = 3|α - β|+ 5|β - α|-|α + 2β|+|2α - β|, αν α > β > 0.

Β = |2x + 6|+ 3x - 2 .


(+) (+)

Ειναι

α > β α -β > 0 β < α β - α < 0

α > 0 α > 0 α > 0 α > 0 α + 2β > 0 2α -β > 0

β > 0 2β > 0 α > β α -β > 0

Ετσι, η παρασταση Α γινεται :

= 3(α -β

Α ) + 5[- (β - α)]- (α + 2β) + (2α -β) = 3α - 3β - 5β + 5α - α - 2β + 2α -β =

Ειναι

2x + 6 = 0 x = - 3

Για x - 3 τοτε 2x + 6 0 και |2x + 6|= - 2x - 6 . Ετσι

= - 2x - 6 + 3x - 2 =

Για x > - 3 τοτε 2x + 6 > 0 και |

9α - 11β

Β x - 8

2x + 6|= 2x + 6 . Ετσι

= 2x + 6 + 3x - 2 =Β 5x + 4

Μ ε θ ο δ ο ς : Α π λ ο π ο ι η σ η π α ρ α σ τ α σ η ς α π ο λ υ τ ω ν τ ι μ ω ν


Απλοποιηση παραστασης απολυτων τιμων .


Η παρασταση .


Αν υπαρχει δοσμενη ανισοτικη σχεση, προσδιοριζουμε το προσημο καθε παρα-

στασης που βρισκεται σε απολυτο .

Αν δεν υπαρχει δοσμενη ανισοτικη σχεση, βρισκουμε σε καθε απολυτο τη τιμη

που το μηδενιζει και επιλεγουμε περιπτωσεις για το προσημο των απολυτων .

Απ’τον ορισμου απολυτου, ‘’βγαζουμε’’ τα απολυτα της παραστασης .

54




Να υπολογιστουν οι τιμες του ακεραιου α, αν : |α - 5|= 5 - α και |2α - 3|= 2α - 3.


α < 5α - 5 < 0 3

|α - 5|= 5 - α α < 53Αφου και α ακεραιος, τοτε 2α - 3 0 α 2

|2α - 3|= 2α - 3 2α ακεραιοςα ακεραιος α ακεραιος

Αρα οι τιμες του α ειναι : 2, 3 και 4.

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ α π ’ τ ο ν ο ρ ι σ μ ο


Ευρεση παραμετρου .


Ισοτητα απολυτης τιμης με παραμετρο .


Aπ’τη δοσμενη σχεση προσδιοριζουμε το προσημο της παραστασης που βρισκε-

ται μεσα στο απολυτο με τη βοηθεια του ορισμου απολυτης τιμης .

Με γνωστο το προσημο της παραστασης που βρισκεται μεσα στο απολυτο, προ-

σδιοριζουμε τη παραμετρο .

Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο δ ε ι ξ η α ν ι σ ο τ ι κ η ς σ χ ε σ η ς


Αποδειξη ανισοτικης σχεσης απολυτων τιμων .


Ανισοτικες σχεσεις απολυτων τιμων .


Με μεθοδο συνθεσης :

Με τη βοηθεια της γνωστης ισοδυναμιας |x| < θ ⇔ - θ < x < θ

μετασχηματιζουμε τις δοσμενες ανισοτητες .

Με καταλληλες πραξεις μεταρεπουμε τις ανισοτητες που προεκυψαν, ωστε το

αθροισμα τους να ειναι διπλη ανισοτητα με μεσαιο μελος τη παρασταση που

βρισκεται μεσα στο απολυτο της προς αποδειξη ανισοτητας.

Εφαρμοζουμε ξανα την ισοδυναμια |x| < θ ⇔ - θ < x < θ .

Μεθοδος τετραγωνισμου :

Τετραγωνιζουμε και τα δυο μελη των δοσμενων και προσδιοριζουμε το προση-

μο των παραστασεων που προκυπτουν .

Τετραγωνιζουμε και τα δυο μελη της προς αποδειξη ανισοτητας .

Με πραξεις και βοηθεια το προσημο των παραστασεων που βρηκαμε, καταλη-

γουμε σε ανισοτητα που αληθευει .

55





α + β Αν |α| < 1 και |β| < 1, τοτε : | | < 1

1 + αβ

Αν |α - 1| < 2 και |β - 2| < 3, τοτε : |α - β| < 6


2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

Ειναι

|α|< 1 |α| < 1 α < 1 α - 1 < 0 (1)

|β|< 1 |β| < 1 β < 1 1-β > 0

Ετσι

α + β |α + β| < 1 < 1 |α + β|<|1+ αβ| |α + β| <|1+ αβ| (α + β) < (1+ αβ)

1+ αβ |1+ αβ|

α + β + 2αβ

< 1+ 2αβ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ α β α +β - 1- α β < 0 α (1-β ) - (1-β ) < 0 (1-β )(α - 1) < 0,

που αληθευει λογω της (1).

Ειναι

|α - 1|< 2 - 2 < α - 1 < 2 - 2 + 1 < α - 1+ 1 < 2 + 1 - 1 < α < 3

|β - 2|< 3 - 3 < β - 2 < 3 - 3 + 2 < β - 2 + 2 < 3 + 2 -

(+) 4 < 6

- 1 < α < 3

1 < β < 5 1 > - β > - 5

- 1 < α < 3 - 6 < α -β < - 6 < α -β < |α -β| < 6.

- 5 < - β <4 6

1


Να γραψετε την απολυτη τιμη που αντιστοιχει στην σχεση : 1 < 2x < 3 .


Eιναι

1 < 2x < 3 (διαιρουμε ολους τους ορους με 2)

Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε τ α τ ρ ο π η α ν ι σ ο τ ι κ η ς σ χ ε σ η ς


Ευρεση ανισοτικης σχεσης απολυτων τιμων .




Αν η δοσμενη σχεση ειναι της μορφης α < λx < β :

Διαιρουμε ολους τους ορους της με λ .

Aφαιρουμε απ’ολα τα μελη της το ημιαθροισμα των ακρων της α + β

2 .

Εφαρμοζουμε τη γνωστη ισοδυναμια |x| < θ ⇔ - θ < x < θ .

56



(- θ < x < θ |x| < θ)

1 3 4+1 3 22 2 2< x < (αφαιρουμε απ'ολους τους ορους το = = = 1)

2 2 2 2 21 3 1 1 1

-1 < x -1 < -1 - < x -1 < |x -1|<2 2 2 2 2


3Να βρεθει η τιμη της παραστασης : Α = 18 + 72 - 32 + 16 .


= 18 + 72 - 32 + 288 =

= 9 2 + 36 2 - 16 2 + 144 2 =

= 9 2 + 36 2 - 16 2 + 144 2 =

= 3 2 + 6 2 - 4 2 + 12 2 =

= (3 + 6 - 4 + 12) 2 =

Α

17 2

Μ ε θ ο δ ο ς : Τ ι μ η π α ρ α σ τ α σ η ς ρ ι ζ ω ν

Ζητουμενα :

Ευρεση τιμης παραστασης ριζων .

Δοσμενα :


Τροπος Λυσης :

Μετατρεπουμε τα υπορριζα σε καταλληλα γινομενα, ωστε να προκυψουν ριζες

με ιδια υπορριζα.

Χρησιμοποιουμε επιμεριστικη ιδιοτητα .

Μ ε θ ο δ ο ς : Α π λ ο π ο ι η σ η π α ρ α σ τ α σ η ς ρ ι ζ ω ν


Απλοποιηση παραστασης μορφης Α = μκ λα α α α .




1ο. Μεταφερουμε τον α πριν τη ριζα μα μεσα σ’αυτην σαν α μ και η παρασταση

γινεται: Α = μμκ λ αα α α .

2ο. Μετατρεπουμε τις ριζες μμλ α α σε μια (πολλαπλασιαζουμε τις ταξεις τους)

και η παρασταση γινετα Α = κ μλ + μ

α α α α .

Συνεχιζουμε με τον ιδιο τροπο για οσες ριζες και αν εχουμε, μεχρι να καταληξου-

με σε μια ριζα .

57




4 3Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση : Β = 5 5 5 5 .


44 43 3 6 4 6 62 2 2 = 5 5 5 = 5 5 5× = 5 5×5 = 5 5×5 . =5 55 5 924 Β 5 5


Να βρειτε την τιμη της παραστασης : Α = 3 - 2 2 .

Α π α ν τ η σ η 2>1

2 2= 3 - 2 = - 2 = - 2 1 2 = 1 + ( 2) - 2 1 2 = (1- 2) =|1- 2| 3 1+ 21 =2 2 Α 2 - 1

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α σ τ α σ η μ ο ρ φ η ς Α = α + β γ


Ευρεση τιμης παραστασης .




Αντικαθιστουμε το β με 2δ (β = 2 ∙ δ) και η παρασταση γινεται : Α = α + 2 γδ .

Παρατηρουμε οτι α = δ 2 + γ = δ 2 + 2( γ) και η Α: A = 2 2 + 2δ + ( γ) δ γ .

Συμφωνα με την ( α + β ) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 η παρασταση γινεται : Α = 2(δ + γ)

τελικα : Α = 2(δ + γ) = |δ + γ|

Μ ε θ ο δ ο ς : Α ρ ρ η τ ο ς π α ρ ο ν ο μ α σ τ η ς σ ε ρ η τ ο

Ζητουμενα :

Μετατροπη αρρητου παρονομαστη σε ρητο .

Δοσμενα :

Κλασματικη παρασταση με αρρητο παρονομαστη .

Τροπος Λυσης :

Πολλαπλασιαζουμε αριθμητη και παρονομαστη με :

ν ν - ν μμ αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α με μ . α < ν

(Αν μ > ν, τοτε θετουμε πρωτα α μ = α κ ∙ ν ∙ α λ και ν μ ν κ λα = α α , λ < ν)

α -β

α + β

αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α + β .

αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α -β .

ανα - β

α

ο παρονομαστης ειναι της μορφης α + β .

αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α - β + β

α

.

3 2 2 3

3

3

3 2 23

- α ×β + β

α + α ×β + β

αν ο παρονομαστης ειναι της μορφης α + β .

αν ο παρονομαστης ειναι της μορφ ης α -β .

58




4 4 7

3 3

Nα γραψετε με ρητο παρονομαστη τις παραστασεις :

1 1 1 1 1 1Α = , Β = , Γ = , Δ = , Ε = , Ζ = ,

5 5 - 3 3 + 5 3 + 5 3 - 25

1 1Η = , Θ = .

5 + 2 3 - 1


4 4 3 3

4 4 4 3 44

4 4 4

4 4 4 4 4 4 4 7 4 3 4 3 3 3 4

4 3

4 3

4

2 2

4

Ειναι

1 1 5 5 = = = = =

5 5 5 5 5

1 1 1 1 5 5 5 = = = = =

5

5

5

5

( 5 + 3)

= = = 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

1 1 5 + 3 5 + 3 = = = = =

5 - 95 - 3 ( 5 - 3) ( 5) - 3( 5 + 3)

(1 1 = =

3 + 5

3

4 3

4

5Α

5

5Β

25

5 + 3Γ -

4

Δ 2 2

2 2

2 2

3 3

3 2 23

- 5)

( 3 - 5)

( 3 - 5)

( 3 - 5)

( 3 + 2)

( 3 + 2)

( 5 - 5 2 + 2

3 - 5 3 - 5= = =

3 - 25( 3 + 5) ( 3) - 5

1 1 3 - 5 3 - 5 = = = = =

3 - 53 + 5 ( 3 + 5) ( 3) - ( 5)

1 1 3 + 2 3 - 2 3 - 2 = = = = = - =

3 - 2 13 - 2 ( 3 - 2)

)

( 3) - ( 2)

( 5

1 1 = =

5 + 2 ( 5 + 2)

3 - 5-

22

3 - 5Ε -

2

Ζ 2 - 3

Η3 2 23

3 2 23

3 3 2 23 3

3 33

3 3 2 23 3

3 33 33 3 2 23

5 - 2 5 + 4 5 - 2 5 + 4= = =

5 + 13( 5) + 2

1 1 3 + 3 + 1 3 + 3 + 1 = = = = =

3 - 13 -

- 5 2 + 2 )

( 3 + 3 1+

1 ( 3) - 1( 3 -

1 )

1)( 3 + 3 1+ 1 )

3 2 3

3 2 3

5 - 2 5 + 4

18

3 + 3 + 1Θ

2

59


Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς



το αθροισμα δυο αρτιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.

το γινομενο δυο διαδοχικων ακεραιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.


λ - 1Δινεται η παρασταση : Α =

1λ -

λΝα βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει νοημα η παρασταση.

Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α να ειναι ισος με τον αντιστροφο του.

∈

∈


x x x

3 3 3

3 3 3


A = 25 - 2 15 + 9

B = (α - β) +(β - γ) +(γ - α)

Να λυθει η εξισωση : (x + 2) +(4x - 12) +(10 - 5x) = 0



το αθροισμα δυο περιττων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.

το γινομενο δυο διαδοχικων αρτιων αριθμων ειναι αριθμος αρτιος.

το γινομενο δυο διαδοχικων περιττων αριθμων ειναι αριθμος περιττος.


1λ -

λΔινεται η παρασταση : Α =λ - 1

Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει νοημα η παρασταση.

Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α να εχει αντιστροφο τον αριθμο 2.


Εστω x, y, z oι γωνιες ενος τριγωνου που ειναι αναλογες των αριθμων 2, 3, 4 αντιστοι -

χα. Να βρεθουν οι γωνιες του τριγωνου.

Εστω οτι ο αριθμος 3α - 6 ειναι αρρητος.

Να δειξετε οτι και ο αριθμος α ειναι αρρητος.

60




x x x

3 3 3

3 3 3

3


A = 16 + 2 12 + 9

B = (2α - β) +(2β - γ) +(2γ - α) , αν α + β + γ = 0

Γ = (α - 3) + (3β - 2) + (4γ - 5) , αν α + 3β + 4γ = 10

Να λυθει η εξισωση :

(3x - 10) + (4 - x

3 3

3 3 3

) + (6 - 2x) = 0

27x +(x + 4) = 64(1 + x)


ν + 1Να δειξετε οτι ο αριθμος 5 - 1 ειναι πολλαπλασιο του 4, αν ν ειναι θετικος ακεραιος

αρι

Αν z = y, να δειχτει οτι οι αριθμοι : α = x - 3y + 4z και β = y – x - 2z ειναι αντιθ

θμος.

ετοι .


2 2 2

2 2 2


α + β α + β

2 2

α + β + γ + 3 2(α + β + γ)

βα+ 2, αν α > 0 και β > 0

β α


2 2 2 2

2 2

Αν α + β = 2 και γ + δ = 4, να δειξετε οτι : αγ + βδ 3

κ - λΑν 1 κ 4 και 2 λ 3, μεταξυ ποιων αριθμων βρισκεται ο αριθμος ;

κλ


2 2 2

2

4


(α + β)α - αβ + β

4

1 α

4 4 + αα + β

< 1, αν α > 1 και β > 11 + αβ

61




2 2 2 2

2 2

Αν x + y = 1 και z + ω = 5, να δειξετε οτι : xz + yω 3

Αν 1 α 2 και 3 β 4, μεταξυ ποιων αριθμων βρισκονται οι παραστασεις :

α + β α + β α - β

αβ


2

2 2 2

α + β βAν 3α < β να αποδειξετε οτι : α < <

4 3Αν α, β,γ > 0, τοτε να δειξετε οτι :

α + 1 2α

(α + 1)(β + 1)(γ + 1) 8αβγ


2

2


α - 4α + 5 > 0

β + 6β + 11 > 0

Αν α > β > γ, τοτε να δειξετε οτι : (α - β)(β - γ)(γ - α) < 0


Να απλοποιηθει η παρασταση :

Α = 3|α - β|+ 5|β - α|-|α + 2β|+|2α - β|, αν α > β > 0.



βαΑν αβ 0, τοτε : + 2

β α

Αν |2α - 1| 1 και |β + 1| 2, τοτε : |α - β| 4



|1- α|+|1- β|=|α - β|, αν α < 1 < β.

|1- α|+|2 - β|+|3 - γ|= 6 +|α + β + γ|, αν α < β < γ < 0.

Να υπολογιστει η τιμη του ακεραιου α, αν :

|3α -7|= 3α -7 και |2α - 8|= 8 - 2α.

Να βρεθε 3 6ι η τιμη της παραστασης : Α = 8 + 3 5 - 2 3 - 2 2 - 45 + 2 4 32

62




3

4 3

Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση : Α = 5 -|x - 2|+ |x|- x

Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση : Β = 7 7 7 7

Να συγκρινετε τους αριθμους : 2 + 1 5 - 1


3 36 5

Να μετατραπουν οι παραστασεις σε ισοδυναμες με ρητο παρονομαστη :

3 2 2Α = Β = Γ =

5 - 3 5 - 33


3 3 3 3

3 3

Να βρεθει η τιμη των παραστασεων :

Α = ( 117 - 7 + 48 )( 63 - 48 )

Β = ( 24 - 5 81 + 2 375 ) 3

Γ = (4 32 - 5 72 + 3 40 ) : 8

Δ = 24 3 - 3 3 + 3

Ε = 14 + 6 5 - 14 - 6 5

Ζ = 20 - 14 2 + 20 + 14 2


35 58

Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση : Α = |x - 1|+|x - 2|- 4

Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση :

Β = 3 3 3 Γ = 5 25 25 5

Να συγκρινετε τους αριθμους :

2 + 3 3 + 2


5 2 24

2 2

3 33 33

Να μετατραπουν οι παραστασεις σε ισοδυναμες με ρητο παρονομαστη :

α 2 α - 1Α = Β = Γ =

0,0016α α - 1

α - β 1- 2 α + 1 + α - 1Δ = Ε = Ζ =

α + β 1 + 2 α + 1 - α - 1

α - β 1 3Η = Θ = Ι =

α - β 7 - 6 4 - 1

63


*

ν νΑν α, β ειναι θετικοι αριθμοι με α > β και ν , τοτε α > β και αντιστροφα .

Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς


ν ν

πληθος ν πληθος ν

ν ν

ν

Eστω οι ανισοτητες πληθους ν :

α > β

α > β

α > β α α α ... α > β β β ... β α > β

...

α > β

Α ν τ ι σ τ ρ ο φ α

Εστω για α > β δεν ειναι α > β, αλλα α β .

Ετσι

Αν α = β, τοτε α =

ν ν ν

ν ν ν ν

ν ν

β , που ειναι ατοπο (α > β ).

Αν α < β, τοτε α < β , συμφωνα με το ευθυ,που ειναι ατοπο (α > β ).

Αρα για α > β ειναι α > β.


Ειναι

αν α > 0, τοτε |α|= α

αν α < 0, τοτε |α|= - α(> 0) > α |α| α, για καθε α

αν α = 0, τοτε |0|= 0

Ειναι

αν α > 0, τοτε |α|= α > - α(< 0)

αν α < 0, τοτε |α|= - α(> 0)

αν α = 0, τοτε

|α| - α, για καθε α

|0|= 0


2 2

2 2 2 2

2 2 2

Ειναι

|α| =|α| |α|= α α = ααν α > 0, τοτε |α|= α

αν α < 0, τοτε |α|= - α |α| =|α| |α|= (- α) (- α) = α |α| = α , για καθε α

αν α = 0, τοτε |0|= 0 |α| =|α| |α|= 0 0 = 0 = α

Ισχυει :

|α| α , για καθε α .

|α| - α

Ισχυει : 2 2 |α| = α για καθε α .

64


Ισχυει :

α |α|

|α β| =|α| |β| | | = , για καθε α, β .β |β|



2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

Ειναι

|α β| =|α| |β| |α β| = (|α| |β| ) (α β) =|α| |β| α β = α β που αληθευει

α |α| α |α| α |α| α α | | = | | = = = που αληθευ

β |β| β |β| β |β| β β

ει


(θ > 0) 2 2 2 2 2 2

(θ > 0) 2 2 2 2 2 2

Ειναι

x - θ < 0 x < θ |x|< θ |x| < θ x < θ x - θ < 0 (x - θ)(x + θ) < 0

x + θ > 0 x > - θ

- θ < x < θ

x - θ < 0

x + θ < 0

|x|> θ |x| > θ x > θ x - θ > 0 (x - θ)(x + θ) > 0 η

x - θ > 0

x + θ > 0

(θ > 0)

x < θ

x < - θ

η

x > θ

x > - θ

x < - θ

η

x > θ


2 2 2 2 2

2

Ειναι

|α + β| |α|+|β| |α + β| (|α|+|β| ) (α + β) |α| + 2|α| |β|+|β|

α

2+ 2αβ + β 2 α 2+ 2|α| |β|+ β 2αβ 2|αβ| αβ |αβ| που αληθευει

|α + β| = |α|+|β| ... αβ = |αβ|

Επειδη |αβ| 0 και αβ 0 που σημαινει οι

α, β ειναι ομοσημοι, αν αβ > 0

α = β = 0, αν αβ = 0

Αν θ > 0, τοτε :

|x| < θ - θ < x < θ

|x| > θ x < - θ η x > θ

Να δειξετε οτι ισχυει : |α + β| |α|+|β| . Ποτε ισχυει η ισοτητα;

65


νν νΑν α 0 και β 0 τοτε : α β = α β .



νν ν νν νν ν ν ν

ν ν νν νν ν

ε α 0 και β 0, ειναι

( α β) = α β( α β) = ( α β) α β = α β

( α β) = ( α) ( β) = α β


ν

ν ν νν ν

ν ν ν

ν ν νν ν

νν ν

Με α 0 και β 0, ειναι

α α=

β β α α α α= =

β ββ βα ( α) α= =

ββ ( β)


μ μ μν μ ν νν ν νμ μμν μν μν μνν ν

μν μν

ε α 0 , ειναι

( α ) = [( α ) ] = ( α) = α( α ) = ( α) α = α

( α) = α

ν

νν

α αΑν α 0 και β 0 τοτε : = .

β β

μ μννΑν α 0 τοτε : α = α .

66




67


1 . Ε ξ ι σ ω σ η 1 ο υ Β α θ μ ο υ

Εστω η εξισωση: αx + β = 0 (1)

▪ Λ υ σ η η ρ ι ζ α της εξισωσης λεγεται καθε τιμη του πραγματικου αριθμου x, που

επαληθευει την (1).

▪ Σ υ ν τ ε λ ε σ τ η ς του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α .

▪ Σ τ α θ ε ρ ο ς ο ρ ο ς λεγεται ο αριθμος β .

Δ ι ε ρ ε υ ν η σ η

▪ Αν α ≠ 0 τοτε η (1) εχει μοναδικη λυση, την: β

x = - α

▪ Αν α = 0 και β ≠ 0 τοτε η (1) δεν εχει λυση ( α δ υ ν α τ η )

▪ Αν α = 0 = β τοτε η (1) εχει απειρες λυσεις ( α ο ρ ι σ τ η η τ α υ τ ο τ η τ α )

Π α ρ α τ η ρ η σ η

▪ Αν ο συντελεστης του αγνωστου η o σταθερος ορος εκφραζεται με τη βοηθεια γραμ-

ματων, τοτε η εξισωση λεγεται π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η .

▪ Ι σ ο δ υ ν α μ ε ς λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες.

2. Η Ε ξ ι σ ω σ η x ν = α

α ν λυσεις της εξισωσης x ν = α

α = 0 αρτιος η περιττος x = 0

α > 0 αρτιος x = ν± α

α > 0 περιττος x = ν α

α < 0 αρτιος αδυνατη

α < 0 περιττος x = - ν |α|

3. Η Ε ξ ι σ ω σ η 2 ο υ Β α θ μ ο υ

Εξισωση 2ου βαθμου μ’εναν αγνωστο, ειναι η εξισωση με :

αx² + βx + γ = 0 με α,β,γ ∈ ℝ και α ≠ 0 .

▪ Δ ι α κ ρ ι ν ο υ σ α της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεμε την αλγεβρικη παρασταση:

Δ = β 2 - 4αγ .

▪ Λ υ σ η της εξισωσης δευτερου βαθμου:

▪ Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δ υ ο ρ ι ζ ε ς ανισες στο ℝ τις : ρ₁‚₂ = - β ± Δ

2α.

▪ Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει δ ι π λ η ρ ι ζ α ρ = - β

2α.

▪ Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δ ε ν εχει ριζα στο ℝ, δηλαδη η εξισωση ειναι

α δ υ ν α τ η στο ℝ .


68


Π α ρ α τ η ρ η σ η

▪ Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν: Δ ≥ 0.

▪ Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ ει-

ναι ετεροσημοι.

▪ H εξισωση της μορφης: αx 4 + βx 2 + γ = 0 με α,β,γ ∈ ℝ και α ≠ 0, λεγεται δ ι τ ε τ ρ α –

γ ω ν η και η λυση της γινεται με την αντικατασταση: x 2 = y, οποτε

αx 4 + βx 2 + γ = 0 ⇔ αy 2 + βy + γ = 0 .

Α θ ρ ο ι σ μ α - Γ ι ν ο μ ε ν ο Ρ ι ζ ω ν Ε ξ ι σ ω σ η ς 2 ο υ β α θ μ ο υ

Εστω η εξισωση: αx 2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0, Δ ≥ 0 και ριζες x1, x2.

▪ To αθροισμα των ριζων x1, x2 της εξισωσης δινεται απο : S = x1 + x2 = β

-α

(1)

▪ To γινομενο των ριζων x1, x2 της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x1 ∙ x2 = γ

α (2)

Οι πιο πανω τυποι λεγονται τυποι του Vietta.

▪ Συμφωνα με τα πιο πανω η εξισωση: αx 2 + βx + γ = 0 μετασχηματιζεται:

2 (1)

2 2

(2)

βx βγ γαxαx +βx + γ = 0 + + = 0 x - (- )x + = 0 .

α α α α α 2x - Sx + P = 0

Σ η μ α ν τ ι κ ο

01. Δυο ριζες πραγματικες και ανισες

02. Δυο ριζες ισες

03. Καμμια πραγματικη ριζα

04. Δυο ριζες ετεροσημες

05. Δυο ριζες ετεροσημες ("θετικη" μεγαλυτερη)

06. Δυο ριζες ετεροσημες ("αρνητικη" μεγαλυτερη)

07. Δυο ριζες θετικες

08. Δυο ριζες θετικες και ανισες

09. Δυο ριζες θετικες και ισες

10. Μια ριζα θετικη και η αλλη μηδεν

11. Δυο ριζες αρνητικες

12. Δυο ριζες αρνητικες και ανισες

13. Δυο ριζες αρνητικες και ισες

14. Μια ριζα αρνητικη και η αλλη μηδεν

15. Μια ριζα το μηδεν

16. Δυο ριζες ισες με μηδεν

17. Δυο ριζες αντιστροφες

18. Δυο ριζες αντιθετες

19. Δυο ριζες ομοσημες

20. Δυο ριζες ομοσημες και διαφορετικες

21. Δυο ριζες ομοσημες και ισες

01. Δ > 0 και α 0

02. Δ = 0 και α 0

03. Δ < 0

04. Ρ < 0

05. Ρ < 0 και S > 0

06. Ρ < 0 και S < 0

07. Δ 0 και Ρ > 0 και S > 0

08. Δ > 0 και Ρ > 0 και S > 0

09. Δ = 0 και S > 0

10. P = 0 και S > 0

11. Δ 0 και Ρ > 0 και

S < 0

12. Δ > 0 και Ρ > 0 και S < 0

13. Δ = 0 και S < 0

14. P = 0 και S < 0

15. P = 0

16. Δ = 0 και P = 0

17. Δ 0 και P = 1

18. P < 0 και S = 0

19. Δ 0 και P > 0

20. Δ > 0 και P > 0

21. Δ = 0 και P > 0


69




x + 3 x + 1 15 - x- = 2x -

2 4 3


ΕΚΠ = 12

Eιναι

x + 3 x + 1 15 - x x + 3 x + 1 15 - x- = 2x - - = 2x - 6(x + 3) - 3(x + 1) = 24x - 4(15 - x)

2 4 3 2 4 3

- 756x + 18 - 3x - 3 = 24x - 60 + 4x 6x - 3x - 24x - 4x = - 60 -18 + 3 - 25x =

12 1

- 7

2 12

5 x =- 25

12

x = 3


2

Να λυθουν οι εξισωσεις :

x(x - 3)(2 - x) = 0 x - 3x + 2 = 0


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς 1 ο υ β α θ μ ο υ


Λυση εξισωσης 1ου βαθμου .


Η εξισωση .


Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλειφη παρονομαστων) .

Απαλειφουμε τις παρενθεσεις (επιμεριστικη ιδιοτητα) .

Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι) .

Κανουμε πραξεις σε καθε μελος .

Διαιρουμε με τον συντελεστη του αγνωστου (και το προσημο του) .


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ωσ η ς μ ο ρ φ η ς f(x) ∙ ... ∙ g(x) = 0


Λυση εξισωσης .


Η εξισωση .


Παραγοντοποιουμε την εξισωση μεγαλυτερου του 1ου βαθμου σε γινομενο πρω-

τοβαθμιων παραγοντων, εστω f(x) ∙ ... ∙ g(x) = 0 .

Η πιο πανω εξισωση ειναι ισοδυναμη με τις :

f(x) = 0 η ... η g(x) = 0

70


2 2

x = 0

η

x(x - 3)(2 - x) = 0 x - 3 = 0

η

2 - x = 0

x - 2 = 0

x - 3x + 2 = 0 x - 2x - x + 2 = 0 x(x - 2) - (x - 2) = 0 (x - 2)(x - 1) = 0 η

x - 1 = 0

x = 0

x = 3

x = 2

x = 2

x = 1


2 2Να λυθει η εξισωση : (x + 1) +(5 - x) = 0


2 2

x + 1 = 0

(x + 1) + (5 - x) = 0 και και

5 - x = 0

x = 1

x = 5


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η κ λ α σ μ α τ ι κ η ς ε ξ ι σ ωσ η ς 1 ο υ β α θ μ ο υ




Η εξισωση .


Παραγοντοποιουμε ολους τους παρονομαστες .

Βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων .

Θετουμε περιορισμους, με την προυποθεση οτι Ε.Κ.Π. 0 .

Λυνουμε, συμφωνα με τη προηγουμενη παραγραφο, με τη διαφορα οτι ελεγχουμε

τη λυση που βρηκαμε με τον περιορισμο (απορριπτουμε τις λυσεις που δεν ειναι

συμφωνες με τον περιορισμο) .

Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ωσ η ς μ ο ρ φ η f 2 (x) + ... + g 2 (x) = 0




Η εξισωση .


Ειναι f 2 (x) = 0 και ... και g 2 (x) = 0 ισοδυναμα f(x) = 0 και ... και g(x) = 0

(Αφου αθροισμα τετραγωνων μη αρνητικος αριθμος) .

71



2 2

x + 1 x 2Να λυθει η εξισωση : + =

xx + x (x + 1)


2 2 2

2

2

Eιναι

x + 1 x 2 x + 1 x 2+ = + = (1)

x x(x + 1) xx + x (x + 1) (x + 1)

Για να εχει νοημα η (1), πρεπει οι παρονομαστες να ειναι διαφοροι του μηδενος.

Δηλαδη

x 0

x(x + 1) 0 και , oποτε η (1) :

x - 1

x + 1x(x + 1) +

x(x + 1)

2 2 2 2 2 2 2

2

x 2x(x + 1) = x(x + 1) (x + 1) + x = 2(x + 1) (x + 1) - x = 0

x(x + 1)

(x + 1+ x)(x + 1- x) = 0 (2x + 1) 1 = 0 2x + 1 = 0

(δεκτη, συμφωνα με τους περιορισμους)

1

x = - 2


2Να λυθει η εξισωση : λ (x - 1)- 2 = 3λ + x


Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η ε ξ ι σ ω σ η


Λυση παραμετρικης εξισωσης 1ου βαθμου .


Η εξισωση .


Με πραξεις, φερνουμε την εξισωση στη μορφη: Α ∙ x = Β με Α, Β παραγοντοποιη-

μενα .

1η περιπτωση :

Θεωρουμε Α ≠ 0 οποτε η εξισωση εχει λυση: x =


Θεωρουμε Α = 0 και για κ α θ ε τιμη της παραμετρου που μηδενιζει τον συν-

τελεστη Α, η εξισωση μετασχηματιζεται σε:

0 ∙ x = 0, που σημαινει οτι η εξισωση ειναι ταυτοτητα η αοριστη η οτι αλη-

θευει για καθε x .

0 ∙ x = α ≠ 0, που σημαινει οτι η εξισωση ειναι αδυνατη .

72



2 2 2 2 2 2 2

Ειναι

λ (x - 1) - 2 = 3λ + x λ x - λ - 2 = 3λ + x λ x - x = λ + 3λ + 2 (λ - 1)x = λ + 2λ + λ + 2

(λ - 1)(λ + 1)x = λ(λ + 2) + (λ + 2) (Ι)

Για (λ - 1)(λ + 1) 0, δηλαδη για λ 1 και λ - 1, η (Ι) εχει τη μοναδικη λυσ

(λ - 1)(λ + 1)x = (λ + 1)(λ + 2)

η :

(λ + 1) =x

(λ + 2)

(λ - 1) (λ + 1)=

Για (λ - 1)(λ + 1) = 0, δηλαδη για λ = 1 η λ = - 1, τοτε

Αν λ = 1 η (Ι) γινεται :

0 x = (1+ 1)(1+ 2) 0 x = 6, η εξισωση ειναι .

Αν λ = - 1 η (Ι) γινεται :

0 x = (- 1+ 1)(- 1+

λ + 2

λ - 1

α δ υ ν α τ η

2) 0 x = 0, η εξισωση ειναι (απειρες λυσεις). τ α υ τ ο τ η τ α


Εστω η εξισωση : λ(x - μ) = 3(x - 2). Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ, ωστε η

εξισωση να αληθευει για καθε x .


Ειναι

λ(x -μ) = 3(x - 2) λx - λμ = 3x - 6 λx - 3x = λμ - 6 (λ - 3)x = λμ - 6 (1)

Προκειμενου η (Ι) να αληθευει για καθε x ,

πρεπει :

λ - 3 = 0 λ = 3

λμ - 6 = 0 3μ = 6

λ = 3

μ = 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ω ν (Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η ε ξ ι σ ω σ η)


Ευρεση παραμετρων .


Παραμετρικη εξισωση .


Φερνουμε την εξισωση στη μορφη: Α ∙ x = Β με Α, Β παραγοντοποιημενα .

‘’ Η εξισωση εχει λυση ’’ σημαινει οτι Α ≠ 0 .

‘’ Η εξισωση ειναι ταυτοτητα η αοριστη η οτι αληθευει για καθε x ‘’ σημαινει

οτι Α = 0 και Β = 0 .

‘’ Η εξισωση ειναι αδυνατη ‘’ σημαινει οτι Α = 0 και Β ≠ 0 .

73



2

Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση (2λ - 4)x = 0, να ειναι ταυτοτητα και η εξισωση

(μ - 3)x = λ + 3 να ειναι αδυνατη .


2

2

Ειναι

"η εξισωση (2λ - 4)x = 0 ειναι ταυτοτητα" σημαινει οτι :

2λ - 4 = 0 2λ = 4

"η εξισωση (μ - 3)x = λ + 3 ειναι αδυνατη" σημαινει οτι :

μ - 3 = 0 μ - 3 = 0

λ + 3 0, που αληθευει, για καθε λ

λ = 2

μ = 3


Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε

οινοπνευμα 40%, απο λαθος προσθετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα πε -

ριεκτικοτητα 58%.

Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου;


40 Αρχικα ο ογκος του ουισκυ ηταν x ml και του οινοπνευματος ηταν x ml.

100 Μετα την αναμειξη ο ογκος εγινε

του ουισκυ : x + 300 ml και

58 του οινοπνευματος : (x + 300) ml.

100 Επομενως, εξισωνοντας τους ογκους του οινοπνευματος μετα την αναμειξη, προκυπτει :

40 58 x + 300 = (x + 300) 40x + 30000 = 58x + 17400 18x = 12600

100 100 Δηλαδη, ο αρχικος ογκος του ουσκυ ηταν 700 ml.

x = 700


Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α ( μ ε ε ξ ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ )


Λυση προβληματος .




Θετουμε x το ζητουμενο του προβληματος .

Συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος, καταστρωνουμε εξισωση ως προς x .

Λυνουμε την εξισωση συμφωνα με τα προηγουμενα .

74



Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη , γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικου

ρευματος σε 2 ωρες (χωρις να λειτουργει).

Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης ηλεκτρικου ρευματος) απο -

φορτιζεται σε 4 ωρες.

Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παρο -

χη του ρευματος.

Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι;


Εστω x οι ωρες που θα χρειαστει η μπαταρια να γεμισει, ενω εργαζομαι.

1 Αφου η μπαταρια φορτιζεται σε 2 ωρες, σε μια ωρα θα εχει φορτιστει κατα το και σε

2x

x ωρες θα εχει φορτιστει κατα .2

Αφου1

η μπαταρια αποφορτιζεται σε 4 ωρες, σε μια ωρα θα εχει αποφορτιστει κατα το και σε 4

x x ωρες θα εχει φορτιστει κατα .

4Επομενως

x x 2x x x- = 1 - = 1 = 1

2 4 4 4 4Δηλαδη, η μπαταρια θα φορτιστει πληρως σε

x = 4

4 ωρες.



|x - 4|= 6 |x - 4|= 0 |x - 4|= - 3


Ειναι

λ(x -μ) = 3(x - 2) λx - λμ = 3x - 6 λx - 3x = λμ - 6 (λ - 3)x = λμ - 6 (1)

Προκειμενου η (Ι) να αληθευει για καθε x ,

πρεπει :

λ - 3 = 0 λ = 3

λμ - 6 = 0 3μ = 6

λ = 3

μ = 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : |f(x)| = α




Η εξισωση .


Aν α < 0, τοτε η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

Aν α > 0, τοτε εχουμε την ισοδυναμια: |f(x)| = α

f(x) = α

η

f(x) = - α

Aν α = 0 τοτε f(x) = 0 .

75


Ειναι

x - 4 = 6

|x - 4|= 6 η η

x - 4 = - 6

|x - 4|= 0 x - 4 = 0

|x - 4|= - 3 ειναι αφου - 3 < 0 και |x - 4| 0.

x = 10

x = - 2

x = 4

α δ υ ν α τ η


Να λυθει η εξισωση : 3|x - 4| = |2x - 3|


Ειναι

3x - 12 = 2x - 3 3x - 2x = 12 - 3 x = 9

3|x - 4|=|2x - 3| |3x - 12|=|2x - 3| η η η η

3x - 12 = - 2x + 3 3x + 2x = 12 + 3 5x = 15

x = 9

x = 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : |f(x)| = |g(x)|




Η εξισωση .


Ισχυει η ισοδυναμια: |f(x)| = |g(x)|

f(x) = ( )

η

f(x) =

g x

g x- ( )

Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς ω ς π ρ ο ς α π ο λ υ τ η τ ι μ η


Λυση εξισωσης (ιδια απολυτη τιμη) .


Η εξισωση .


Αν δεν ειναι, μετατρεπουμε σε ιδιες ολες τις απολυτες τιμες στην

εξισωση .

Λυνουμε την εξισωση ως προς τη κοινη απολυτη τιμη η θετουμε τη κοινη απολυ-

τη τιμη με y και λυνουμε την εξισωση ως προς y .

Φτανουμε στην περιπτωση |f(x)| = α .

76




|x - 4| |4 - x| |2x - 8|+ =

3 2 4


| α | = | - α |

Ειναι

|x - 4| |4 - x| |2x - 8| |x - 4| |- (x - 4)| |2(x - 4)| |x - 4| |x - 4| |x - 4|+ = + = + = 2

3 2 4 3 2 4 3 2 4

|x - 4| |x - 4| |x - 4|6 + 6 = 6 2|x - 4|+3|x - 4|= 3|x - 4| 2|x - 4|= 0 x - 4 = 0

3 2 2

x = 4



|x - 1| = 3x + 5


Aν 3x + 5 < 0 τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη.

5 Aν 3x + 5 0, δηλαδη x - ,

3 τοτε

5x = - 3 < - απορριπτεταιx - 1 = 3x + 5 - 2x = 6 3 |x - 1|= 3x + 5

x - 1 = - 3x - 5 4x = - 4 5> - δεκτη

3

x = - 1


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : |f(x)| = g(x)




Η εξισωση .


Απαιτουμε g(x) ≥ 0 (αλλιως η εξισωση ειναι αδυνατη) .

Ισχυει η ισοδυναμια: |f(x)| = g(x)

f(x) = ( )

η

f(x) =

g x

g x- ( )

Ελεγχουμε αν οι λυσεις που βρηκαμε ειναι συμφωνες με το περιορισμο .

77



Να λυθει η εξισωση : ||x - 3|+ 1| = 2


| x - 3 | + 1 > 0

Ειναι

x - 3 = 1||x - 3|+1|= 2 |x - 3|+1 = 2 |x - 3|= 1

x - 3 = - 1

x = 4

x = 2


2Να λυθει η εξισωση : x - 3|x|+ 2 = 0


2 2| x | = x 2 2 2x - 3|x|+ 2 = 0 |x| + 2 = 0 |x| + 2 = 0 |x|(|x|- 1) - 2(|x|- 1) = 0

|x|- 1 = 0 |x| = 1(|x|- 1)(|x|- 2) = 0

|

- 3|x| -|x|-

x|- 2 = 0 |x|

2|x|

= 2

x = ± 1

x = ± 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : | | f(x) | + α | = β




Η εξισωση .


Aν β < 0, τοτε η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

Ισχυει η ισοδυναμια: | | f(x) | + α | = β

|f(x)| = β - α

η

|f(x)| = - α -β

Συνεχιζουμε οπως στη περιπτωση : |f(x)| = α

Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : x 2 + α | x | + β = 0




Η εξισωση .


Μετασχηματιζουμε την x 2 + α | x | + β = 0 σε | x | 2 + α | x | + β = 0 .

‘’ Σπαμε ‘’ τον ορο + α | x | .

Παραγοντοποιουμε (ομαδοποιηση) το 1ο μελος της εξισωση .

Λυνουμε συμφωνα με τα προηγουμενα .

78



Να λυθει η εξισωση : 3|x - 1|+ 2|x - 2|-|x - 3| = 0


Τα απολυτα μηδενιζουν για x = 1, x = 2 και x = 3.

Οποτε θα εξετασουμε την εξισωση στα διαστηματα : (- ,1), [1,2), [2,3) και [3,+ ).

Στο : (- ,1) ειναι : |x - 1|= - x + 1, |x - 2|= - x + 2, |x - 3|= - καιx + 3 η εξι

σωση :

3(-x + 1) + 2(-x + 2) - (-x + 3) = 0 -3x + 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0 - 4x + 4 = 0 x = 1

(απορριπτεται αφου 1 (- ,1)).

Σ |x - 1|= x - 1, |x - 2|= - x + 2,|x - 3|= -το : [1,2) ειναι : και η εξισωση :

3(x - 1) + 2(- x + 2) - (- x + 3) = 0 3

x +

x

3

|x - 1|= x - 1, |x - 2|= x - 2,|x - 3|= - x

- 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0 2x - 2 = 0

(δεκτη αφου 1 [1,2)).

Στο : [2,3) ειναι : και η εξισωση :

5 3(x - 1) + 2(x - 2) - (- x + 3) = 0 3x - 3 + 2x -

+

4 + x - 3 = 0 6x - 10 = 0 x = 3

5 (απορριπτεται αφου

3

x = 1

[2,3)).3

Στο : [3,+ ) ειναι : και η εξισωση :

3(x - 1) + 2(x - 2) - (x - 3) = 0 3x - 3 + 2x - 4 - x + 3 = 0 4x - 4 = 0 x = 1

(απορριπτεται αφου 1 [3,+ )).

Αρα η εξισωση εχει μια λυση, την

|x - 1|= x - 1, |x - 2|= x - 2,|x - 3|= x - 3

. x = 1


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ε δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ α α π ο λ υ τ α




Η εξισωση .


Βρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουν το καθε απολυτο .

Δημιουργουμε διαστηματα του x (ενα περισσοτερα απ’τις τιμες) .

Σε καθε διαστημα βρισκουμε το προσημο των απολυτων .

Σε καθε διαστημα ξεχωριστα λυνουμε την εξισωση (χωρις απολυτα) και ελεγ-

χουμε αν η λυση που βρισκουμε ανηκει στο συγκεκριμενο διαστημα .

Το συνολο των δεκτων λυσεων, ειναι η λυση της εξισωσης .

79



2

7


(2x - 4) = 3

x = 64x


2

7 7 6

6 6 6 6

(2x - 4) = 3 |2x - 4|= 3

2x - 4 = 3 2x = 7

η η

2x - 4 = - 3 2x = 1

x = 64x x - 64x = 0 x(x - 64) = 0

x = 0 x = 0 x = 0 x = 0

η η η η

x - 64 = 0 x = 64 x = ± 64 x = ± 2

7x =

2

1x =

2

6

η

x = 0

x = ± 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : x ν = α




Η εξισωση .


Φερνουμε την εξισωση στη μορφη : x ν = α .

Λυνουνε συμφωνα με τον πινακα :

α ν λυση της x ν = α

α = 0 αρτιος η περιττος x = 0

α > 0 αρτιος x = ν± α

α > 0 περιττος x = ν α

α < 0 αρτιος αδυνατη

α < 0 περιττος x = - ν|α|

80



2Να λυθει η εξισωση : (x - 1) - 2(x + 3) = x - 11


2 2 2

2

1 1

1,2

2 2

(x -1) - 2(x + 3) = x -11 x - 2x + 1- 2x - 6 x - 5x + 6 = 0 με α = 1, β = - 5 και γ = 6.

Δ = (- 5) - 4 1 6 = 25 - 24 = 1

5 + 1 6x = x =

- (- 5) ± 1 5 ± 1 2 2 x = = 5 -1 42 ×1 2

x = x =2 2

1

2

x = 3

x = 2


2Δινεται η εξισωση x +(1- λ)x - λ = 0 (Ι).

Αν η μια ριζα της ειναι το - 1, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα.

Aν η εξισωση (Ι) εχει διπλη ριζα, τοτε να δειξετε οτι ο λ ισουται με τη ριζα αυτη.


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : αx 2 + βx + γ = 0




Η εξισωση .


Με πραξεις φερνουμε την εξισωση στη μορφη : αx 2 + βx + γ = 0 .

Βρισκουμε τη διακρινουσα που ειναι ιση με : Δ = β 2 – 4 ∙ α ∙ γ .

Aν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ανισες λυσεις, τις : 1,2

- β ± Δx =

2α .

Aν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει μια διπλη λυση, την : - β

x =2α

.

Aν Δ < 0 τοτε η εξισωση δεν εχει πραγματικες λυσεις .

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ ( αx 2 + βx + γ = 0 )


Ευρεση παραμετρου.


Η εξισωση με γνωστη μια ριζα της .


Η γνωστη ριζα επαληθευει την εξισωση, δηλαδη τη βαζουμε στη θεση του x και

ισχυει η ισοτητα .

Λυνουμε ως προς τη παραμετρο .

81



2

2 2

Αφου το - 3 ειναι ριζα της εξισωσης, τοτε την επαληθευει.

Δηλαδη

(- 3) + (1- λ)(-3) - λ = 0 9 - 3 + 3λ - λ = 0 2λ = 6 λ = 3

Οποτε η (Ι) γινεται :

Δ = 4 + 12 = 16

x + (1- 3)x - 3 = 0 x - 2x - 3 = 0 32 ± 4x = = 1± 2 =

-12

O

2 2 2 2

ποτε η αλλη ριζα ειναι το 3 και .

Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει :

Δ = 0 (1- λ) - 4 1 (- λ) = 0 1- 2λ + λ + 4λ = 0 λ + 2λ + 1 = 0 (λ + 1) = 0 λ + 1 = 0

λ = - 1 .

Επισης

- (1- λ) - 1 x = =

2 ×1

λ = 3

+ λ - 1+ (- 1) -1- 1 -2= = = = - 1.

2 2 2 2

Αρα ο λ ισουται με τη διπλη ριζα.


2Δινεται η εξισωση (λ - 2)x + 2λx + λ - 1 = 0 (Ι). Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :

να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε.

να εχει μια διπλη ριζα, που θα βρειτε.

να εχει δυο πραγματικες

και ανισες ριζες.

να μην εχει πραγματικη ριζα.


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ ( αx 2 + βx + γ = 0 )


Ευρεση παραμετρου.


Η εξισωση με γνωστο το ειδος των ριζων της .


Χρησιμοποιουμε το προσημο της διακρινουσας που δειχνει το πληθος των ριζων

σε εξισωσεις 2ου βαθμου .

Προσοχη: Αν δινεται οτι η εξισωση εχει μια μονο λυση (οχι διπλη) τοτε μιλουμε

για εξισωση 1ου βαθμου .

82



Αφου η (Ι) εχει μονο μια ριζα, τοτε δεν ειναι εξισωση δευτερου βαθμου.

Οποτε πρεπει, λ - 2 = 0

Για λ = 2 η (Ι) γινεται : 4x + 1 = 0

Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει :

Δ = 0

λ = 2

1x = -

4

2 2 2

0

(2λ) - 4 (λ - 2) (λ - 1) = 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 = 0 12λ = 8 .

Επισης, η διπλη ριζα ειναι :

42 4 4 -- 2 - - - 2λ - 2λ 33 3 3 x = = = = = =

2 4 12 82 (λ - 2) 2λ - 42 - 4 - -

3 3 3 3

2λ =

3

42 -

3

2 2

Η εξισωση (Ι), προκειμενου να εχει δυο ριζες πραγματικες ανισες, πρεπει :

Δ > 0

(2λ) - 4 (λ - 2) (λ - 1) > 0 4λ

0

1x =

2

2- 4λ

2 2 2

+ 4λ + 8λ - 8 > 0 12λ > 8 .

Η εξισωση (Ι), προκειμενου να μην εχει ριζες πραγματικες, πρεπει :

Δ < 0

(2λ) - 4 (λ - 2) (λ - 1) < 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 < 0 12λ < 8 .

2λ >

3

2λ <

3


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α σ τ α σ η ς ( τ υ π ο ι V i e t a )


Ευρεση παραστασης .


Η εξισωση .


Για την εξισωση αx 2 + βx + γ = 0 με ριζες x 1 , x 2 :

Πρωτα βρισκουμε το αθροισμα και γινομενο των ριζων της εξισωσης απο :

S = x 1 + x 2 = β

-α

και P = x 1 ∙ x 2 = γ

α

Βοηθεια παιρνουμε απ’τις ταυτοτητες και ειδικα απ’τις :

α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 – 2 ∙ α ∙ β

α 3 + β 3 = ( α + β ) ∙ [ ( α + β ) 2 – 3 ∙ α ∙ β ]

83



2

1 2

2 2 3 3 2

1 2 1 2 1 2

1 2

Δινεται η εξισωση x + x - 6 = 0 με ριζες τις x και x .

Χωρις να λυσετε, να υπολογισετε τις παραστασεις :

1 1 Α = x + x B = x + x Γ = (x - x ) Δ = +

x + 2 x

2

1 2

2 2

1 2

+ 2

Δινεται η εξισωση x +(λ - 2)x - 2λ = 0 με ριζες τις x και x .

Να υπολογισετε το λ ωστε : x + x = 13.


1 2 1 2

(1) 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 (2)

3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

β γ1 - 6 S = x + x = - = - = - 1 (1) Ρ = x x = = = - 6 (2)

α 1 α 1

= x + x = (x + x ) - 2x x = (- 1) - 2(- 6) = 1+ 12 =

= x + x = (x + x )(x - x x + x ) = (x + x )[(

Α 13

B(1, 2)

2 2

1 2 1 2 Α = 13

(2) 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Α = 13

2 1 1

1 2 1 2

x + x ) - x x ] = (- 1)[13 - (- 6)] =

= (x - x ) = x - 2x x + x = (x + x ) - 2x x = 13 - 2(- 6) =

x + 2 + x + 2 (x + x1 1 = + = =

x + 2 x + 2 (x + 2)(x + 2)

- 19

Γ 25

Δ(1)

2

(2) 1 2 1 2

1 2 1 2

(3) 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 (4)

) + 4 - 1+ 4 3 = = =

2(x + x ) + x x + 4 2(- 1) + (- 6) + 4 - 2 - 6 + 4

β γλ - 2 -2λ S = x + x = - = - = - λ + 2 (3) Ρ = x x = = = - 2λ (4)

α 1 α 1

x + x = 13 (x + x ) - 2x x = 13 (- λ + 2) - (- 2λ) = 1

3-

4

2

2 2

3 λ - 4λ + 4 + 4λ - 13 = 0

λ - 9 = 0 λ = 9 λ = ± 9

λ = ± 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ ( α π ο Δ , S , P )




Η εξισωση .


Για την εξισωση αx 2 + βx + γ = 0 με ριζες x 1 , x 2 :

Πρωτα βρισκουμε το αθροισμα και γινομενο των ριζων της εξισωσης απο :

S = x 1 + x 2 = β

-α

και P = x 1 ∙ x 2 = γ

α

Χρησιμοποιουμε τον πινακα «σημαντικο» της θεωριας .

84



2Δινεται η εξισωση x - λx + λ - 1 = 0 . Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει :

Δυο ριζες ετεροσημες .

Δυο ριζες θετικες ανισες .

Δυο ριζες αντιστροφες .

Δυο ριζες αντιθετες .


2 2

1 2 1 2

Ειναι

β γ- λ λ - 1 Δ = (- λ) - 4 1 (λ - 1) = (λ - 2) S = x + x = - = - = λ Ρ = x × x = = = λ - 1

α 1 α 1

Η εξισωση εχει δυο ριζες ετεροσημες, αν :

Ρ < 0 λ - 1 < 0

Η εξισωση εχει δυο ριζες θετ

λ < 1

2

2

ικες ανισες, αν :

Δ > 0 (λ - 2) > 0 λ 2λ 2

S > 0 λ > 0 λ > 0λ > 1

Ρ > 0 λ - 1 > 0 λ > 1

Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιστροφες, αν :

Δ 0 λ(λ - 2) 0

Ρ = 1 λ = 2λ - 1 = 1

Η εξισω

λ (1,2) (2,+ )

λ = 2

∈

2

ση εχει δυο ριζες αντιθετες, αν :

Δ > 0 λ 2(λ - 2) > 0

S = 0 λ = 0λ = 0

λ = 0


Μ ε θ ο δ ο ς : Δ ε υ τ ε ρ ο β α θ μ ι ε ς μ ε α π ο λ υ τ α




Η εξισωση .


Αν η εξισωση εχει ιδια απολυτα, αντικαθιστουμε το κοινο απολυτο με βοηθητικο

αγνωστο και λυνουμε την εξισωση ως προς αυτον .

Για τις διαφορες τιμες-λυσεις του βοηθητικου αγνωστου, επανερχομαστε στο

μετασχηματισμο και προσδιοριζουμετον x .

Αν η εξισωση εχει διαφορετικα απολυτα, δημιουργουμε διαστηματα και σε καθε-

να απ’αυτα διαστημα λυνουμε την εξισωση (βγαζουμε τα απολυτα αφου ειναι

γνωστο το προσημο τους) .

Ελεγχουμε αν οι λυσεις ανηκουν στο διαστημα που λυσαμε την εξισωση .

85



2

2


(1) : x - 3|x - 1|- 1 = 0

(2) : (x - 1) - 8|x - 1|+ 15 = 0


2 2 2 2

2

Για x - 1 0 x 1 η (1) γινεται :

x - 3(x - 1) - 1 = 0 x - 3x + 3 - 1 = 0 x - 3x + 2 = 0 x - x - 2x + 2 = 0

x - 1 = 0 x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 (x - 1)(x - 2) = 0

x - 2 = 0

Για x - 1 < 0 x < 1 η (1) γινεται :

x - 3(- x + 1) - 1 = 0 x

x = 1

x = 2

2 2 2

2 2

+ 3x - 3 - 1 = 0 x + 3x - 4 = 0 x + 4x - x - 4 = 0

x + 4 = 0 x(x + 4) - (x + 4) = 0 (x + 4)(x - 1) = 0

x - 1 = 0 x = 1 απορ. αφου x < 1

Αρα το συνολο λυσεων ειναι : .

Eιναι,

(x - 1) - 8|x - 1|+ 15 = 0 |x - 1| - 8|

x = - 4

{- 4, 1, 2}

Θετουμε 2

| x - 1 | = ω

2

x - 1|+ 15 = 0 ω - 8ω + 15 = 0

ω = 3 ω - 3ω - 5ω + 15 = 0 ω(ω - 3) - 5(ω - 3) = 0 (ω - 3)(ω - 5) = 0

ω = 5

x - 1 = 3 Για ω = 3 τοτε |x - 1|= 3

x - 1 = - 3

x - 1 = 5 Για ω = 5 τοτε |x - 1|= 5

x - 1 = - 5

x = 4

x = - 2

Αρα το συνολο λυσεων ειναι :

x = 6

x = - 4

{- 4,- 2, 4, 6}


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η Δ ε υ τ ε ρ ο β α θ μ ι α ς ( β ο η θ η τ ι κ ο ς α γ ν ω σ τ ο ς )




Η εξισωση που ο αγνωστος ειναι της μορφης f(x) .


Θετουμε y = f(x) και λυνουμε την εξισωση ως προς y .

Για καθεμια απ’τις τιμες του y (απ’τη σχεση y = f(x)) βρισκουμε τις τιμες του x .

86



2 2 2Να λυθει η εξισωση : (x - 3x + 1) - 2(x - 3x + 2) = - 3


2 2

2

(x - 3x + 1) = y 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

Θετουμε x - 3x + 1 = y, oποτε η εξισωση γινεται :

y - 2(y + 1) + 3 = 0 y - 2y - 2 + 3 = 0 y - 2y + 1 = 0 (y - 1) = 0 [(x - 3x + 1) - 1] = 0

x - 3x = 0(x - 3x + 1) - 1 = 0 (x - 3x + 1- 1)(x - 3x + 1+ 1) = 0

x - 3x + 2 = 0

x(x - 3) = 0

(x - 1)(x - 2) = 0

x = 0 η x = 3 η η η

x = 1 η x = 2

x = 0 x = 1 x = 2 x = 3


Να λυθει η εξισωση : x + 4 + 2 = x .


2 2 2( x + 4) = (x - 2) x + 4 = x - 4x + 4

x + 4 + 2 = x x + 4 = x - 2 x + 4 0 x - 4

x - 2 0 x 2

x = 5

x

x = 0 (

(x - 5) = 0 η

και

x 2

απορριπτεται)

και

x 2

x = 5


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ρ ρ η τ η ε ξ ι σ ω σ η




Η εξισωση .


Βρισκουμε για ποιες τιμες του x οριζεται η εξισωση (θετουμε το υπορριζο μεγα-

λυτερο η ισο με μηδεν) .

Τετραγωνιζουμε τα δυο μελη τις εξισωσης (οσες φορες χρειαστει) ωστε να απα-

λειψουμε τα ριζικα .

Λυνουμε κατα τα γνωστα .

Ελεγχουμε τις λυσεις που βρηκαμε αν ικανοποιουν το περιορισμο .

87



4 2Να λυθει η εξισωση : x + x - 2 = 0


2

2 2

2

2

Θετουμε x = y, οποτε η εξισωση γινεται :

y - 1 = 0 y = 1y + y - 2 = 0 y - y + 2y - 2 = 0 y(y - 1) + 3(y - 1) = 0 (y - 1)(y + 3) = 0

y + 3 = 0 y = - 3

Για y = 1 τοτε x = 1 : Αρα

Για y = - 3 τοτε x = - 3 αδυνατη

x = ± 1 το συνολο λυσεων ειναι : .{- 1, 1}


4 3 2Να λυθει η εξισωση : x + 2x + 2x + 2x + 1 = 0 .


2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1Για x + = y τοτε (x + ) = y x + 2 + = y x + = y - 2 .

x x x x


Μ ε θ ο δ ο ς : Δ ι τ ε τ ρ α γ ω ν ε ς ( μ ο ρ φ η ς : αx 4 + βx 2 + γ = 0 )




Η εξισωση .


Θετουμε στην εξισωση x 2 = y και η εξισωση γινεται: αy 2 + βy + γ = 0 .

Λυνουμε την εξισωση αy 2 + βy + γ = 0 και εστω y1, y2 οι ριζες της .

Λυνουμε τις εξισωσεις: x 2 = y 1 και x 2 = y 2 και προσδιοριζουμε τον x .

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς μ ε ι δ ι ο υ ς τ ο υ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ ε ς π ο υ α π ε χ ο υ ν

ε ξ ι σ ο υ α π’ τ ο μ ε γ ι σ τ ο β α θ μ ι ο κ α ι σ τ α θ ε ρ ο ο ρ ο


Λυση της εξισωσης .


Η εξισωση .


Διαιρουμε ολους τους ορους της εξισωσης με x 2 .

Θετουμε στην εξισωση οπου 2 2

2

1 1x + = y και x + = y - 2

x x.

Λυνουμε την εξισωση ως προ y που προκυπτει και εστω y1, y2 οι ριζες της .

Λυνουμε τις εξισωσεις: 1 2

1 1x + = y και x + = y

x x και προσδιοριζουμε τον x .

88


2 2

2

2

1x + = y

x 2 2

2 2 1x + = y - 2

x

2 2

Για x 0, διαιρουμε την εξισωση με x , οποτε προκυπτει :

2 1 1 1x + 2x + 2 + + = 0 x + + 2 x + + 2 = 0

x xx x

y = 0 y = 0

y - 2 + 2y + 2 = 0 y + 2y = 0 y(y + 2) = 0 η η

y + 2 = 0 y = - 2

x 0 2

2 2 2

1 Για y = 0 τοτε x + = 0 x + 1 = 0, η εξισωση ειναι αδυνατη.

x

1 Για y = - 2 τοτε x - = - 2 x - 1 = - 2x x + 2x - 1 = 0 (x + 1) = 0

x

x = - 1


89


Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς


2 2


5x - 1 x + 4 1- 4x+ = 2x - x (x + 1)(5 - x) = 0 x - x - 12 = 0

2 5 3


2 2

2


x 1 4x+ = (x - 2x + 1) + (- 6 + 5x - x ) = 0

x + 3 x - 3 x - 9


2 2 2


λ x - 2 = λ + 4x λ (x - 1) = x - λ λ (x - 1) = 3(x - λ) + 2(1- λx)

Α σ κ η σ η 5 η Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση λ(λx - 1) + μ = x + 3 να ισχυει για καθε x .


x - 1 x - 2 x - 4 x - 5Να λυθει η εξισωση : - = -

x - 2 x - 3 x - 5 x - 6

Α σ κ η σ η 4 η 2

2

Αν η εξισωση α (x - 1) = x(2 - α)- 1 ειναι ταυτοτητα, τοτε να δειξετε οτι η εξισωση

α x - 1 = α(x + 1) ειναι αδυνατη.


2

)

Nα λυθουν και διερευνηθουν οι εξισωσεις

x - 2 x + 2 λ λ 2x + 1+ = 1 (λx + 3) = + λx + 2 = λ (λ

λ - 2 λ + 2 2 4 x - λ

Α σ κ η σ η 8 η 2Αν 4λ – 7 = - λ + 3 να δειξετε οτι η εξισωση (λ – 2)x = λ + 1 ειναι αδυνατη.

Α σ κ η σ η 9 η Ενας ποτεμπορος, προκειμενου να νοθεψει , προσθετει σε μια φιαλη ουισκυ περιε -

κτικοτητας σε οινοπνευμα 40%, 300 ml νερο και το ουισκυ αποκτα περιεκτικοτητα

28%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου;

90



Α σ κ η σ η 1 0 η Σε μια δεξαμενη υπαρχουν τρεις βρυσες Α, Β και Γ. Η βρυση Α γεμιζει μονη της τη δεξα -

μενη σε 8 ωρες, η βρυση Β γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 4 ωρες, ενω η βρυση Γ αδειαζει

τη δεξαμενη σε 16 ωρες. Αν οι τρεις βρυσες ειναι ανοικτες ταυτοχρονα, σε ποσες ωρες θα

γεμισει η δεξαμενη;

Α σ κ η σ η 1 1 η Σε εναν διψηφιο αριθμο το ψηφιο των μοναδων ειναι αριθμος μεγαλυτερος κατα 2 απο

το ψηφιο των δεκαδων. Αν διαιρεσουμε τον διψηφιο αυτον αριθμομε το αθροισμα των

ψηφιων δεκαδων και μοναδων βρισκουμε πηλικο 4 και υπολοιπο 6.

Να βρεθει ο διψηφιος αυτος αριθμος .


2


|x + 3|= - x + 2 |2x - 1|= - x + 3 ||2x - 4|+ 2|= 6

||2x|- x|= 6 -|x| (3 - x) +|x - 3|- 20 = 0


|x + 2|-|x - 2| = 5 |x + 1|- 3|x - 2|+|x - 3| = 0

|2x - 1|- 3|x + 2|+ 2|x - 4| = 3 - 5x

Α σ κ η σ η 1 2 η Σε μια ταξη Λυκειου διοργανωθηκε πρωταθλημα σκακιου. Την πρωτη μερα εγιναν μονο

καποιοι αγωνες στους οποιους οι δυο αντιπαλοι ηταν ενα αγορι και ενα κοριτσι. Στους

αγωνες αυτους της πρωτης μερας πηραν μ

ερος τα 2 / 3 του αριθμου των κοριτσιων της

ταξης και τα 3 / 4 του αριθμου των αγοριων της τάξης. Αν η ταξη εχει συνολικα 34 παι -

δια να βρειτε :

ποσα αγορια και ποσα κοριτσια εχει η ταξη

ποσα παιδια δεν πηραν μερος την πρωτη μερα



|x - 1|= 5 |x +7|= 0

|x - 2| |4 - 2x|- 2|x + 3|+ 3|x - 6|= 0 + 1 =

2 3

2 23|2x - 6|+ 1 4|2x - 6|- 3 |2x - 6|+ 1 2|x - 1|- 1 |x - 1|+ 1

- = - = 32 2 3 3 2

91




2

2

Δινεται η εξισωση x - (λ + 3)x + λ + 4 = 0 (Ι).

Αν η μια ριζα της ειναι το 2, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα.

Να δειξετε οτι η εξισωση x - (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα = 0 (ΙΙ) εχει διπλη ριζα, μον

2

ο αν

α = β = γ.

Να δειξετε οτι η εξισωση αx + βx + γ = 0 (ΙΙΙ) εχει ριζα τον αριθμο - 1, μονο αν β = α + γ.


2 2Δινεται η εξισωση (λ - 3λ + 2)x +(λ - 2)x + 3 = 0 (Ι). Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :

να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε.

να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε.

να εχει δυο πρα

γματικες και ανισες ριζες.

να μην εχει πραγματικη ριζα.


2

2 2

Αν οι ριζες της εξισωσης x - (5λ - 6μ)x - 1 = 0 ειναι αντιθετες και οι ριζες της εξισωσης

λx + 13x - λμ + λ = 0 ειναι αντιστροφες, τοτε :

να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων λ και μ .

να λυσετε τις εξισωσεις, για τις τιμες των λ και μ που βρηκατε .


2

1 2

1 2

Δινεται η εξισωση x -(λ + 1)x + λ = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ .

Αν οι αριθμοι 2, ρ , ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (1,3).


2

1 2

2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

2 1

Δινεται η εξισωση x + 2x - 3 = 0 με ριζες τις x και x . Χωρις να λυσετε, υπολογιστε τις

παραστασεις :

x x Α = x x + x x B = + Γ = (1 - x )(1- x )

x x

Δ

2

1 2

1 2

2

2

ινεται η εξισωση x +(λ + 1)x - 2 - λ = 0 με ριζες τις x και x .

1 1 2 Να υπολογισετε το λ ωστε : + = .

x x 3

Αν α και β ειναι ριζες της εξισωσης - x + 2x + 3 = 0, τοτε να λυθει το συστημα :

2β2α(α - β) x + +

β α

2 2

3 3

y = α β + αβ

(α - β )x - (1- 2α)(1- 2β)y = 4

92




2 2Δινεται η εξισωση 4x + 4(3λ + 2)x + 9λ - 36 = 0 . Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει :

Δυο ριζες ετεροσημες.

Δυο ριζες oμοσημες.

Δυο ριζες αντιστροφες.

Δυο ριζες αντιθετες.


2

1 2 Δινεται η εξισωση x - λx + 3 = 0 με ριζες τις x και x .

Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι τριπλασια της αλλης.

Για τις πιο πανω τιμες του λ, να κατασκευασετε εξισωση

1 2

που εχει ριζες :

2x - 1, 2x - 1 .


2


x - 2|x - 2|- 4 = 0

x + x - 1 = 7


4 2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2

4 3 2


x - 3α x - 4α = 0

γ x +(α γ - β γ )x - α β = 0

x + 5x + 4x - 5x + 1 = 0


2 2 2

2


(x + 2x - 3) +(x + 2x + 4) - 9 = 0

(x - 1) = 3|x - 1 |+ 4

93


Αν Δ = β 2 - 4αγ ειναι η διακρινουσα, ρ 1, ρ 2 οι ριζες της εξισωσης αx² + βx + γ = 0

με α,β,γ και α ≠ 0, τοτε για τη λυση της :

▪ Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες ανισες στο τις ρ₁‚₂ = - β ± Δ

2α .

▪ Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα ρ = - β

2α .

▪ Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δεν εχει ριζα στο ℝ , δηλαδη ειναι αδυνατη στο ℝ .

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς


2

(διαιρουμε με α 0) 2 2 2

2 2 2 2 2 Δ = β - 4αγ

2

2

2

2 2

Ειναι

β βγ γαx + βx + γ = 0 x + x + = 0 x + 2 × x + = 0

α α 2α α

β β β β - 4αγ βγ Δx + = - x + = x + = (1)

2α α 2α 2α4α 4α 4α

β β+

Α

-2α 2

ν

α

Δ >

2

2

2

β βΔ Δ: x + = x + = ±

2α 2α 2α4α

β β Αν : x + = 0 x +

2α 2α

Αν : Η (1) ειναι αδυνατη στο , οποτε η εξισωση .

- β ± Δ0 x =

2α

βΔ = 0 x = -

2α

Δ < 0 δεν εχει ριζες στο


2

1 2

1 2

- β + Δ - β - ΔOι ριζες της εξισωσης αx + βx + γ = 0 ειναι : x = και x =

2α 2αΤοτε

- β + Δ - β - Δ - β + Δ = x + x + =

2α 2αS

-β - Δ

2 2 2 2 Δ = β - 4αγ

1 2 2 2 2

2

- 2β= =

2α 2α

- β + Δ - β - Δ (- β + Δ)(- β - Δ) (- β) - ( Δ) β - Δ = x x = = = = =

2α 2α 4α 4α 4α

β =

β-

α

Ρ

2- β 2 2

+ 4αγ 4αγ = =

4α 4α

γ

α

To αθροισμα και το γινομενο των ριζων x1, x2 της εξισωσης: αx 2 + βx + γ = 0 δινεται

αντιστοιχα απο τους τυπους :

▪ S = x1 + x2 = β

-α

(1) ▪ Ρ = x1 . x2 = γ

α (2)

94




95


1 . Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ Β α θ μ ο υ

Μ ο ρ φ η : αx + β > 0 με α, β ∈ ℝ .

▪ Αν α > 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι : x > β

- α

▪ Αν α < 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι : x < β

- α

▪ Αν α = 0 και

▪ β > 0 τοτε η ανισωση α λ η θ ε υ ε ι γ ι α κ α θ ε x ∈ ℝ .

▪ β < 0 τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

▪ β = 0 τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

Μ ο ρ φ η : αx + β > 0 με α, β ∈ ℝ .

▪ Αν α > 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι : x < β

- α

▪ Αν α < 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι : x > β

- α

▪ Αν α = 0 και

▪ β > 0 τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

▪ β < 0 τοτε η ανισωση α λ η θ ε υ ε ι γ ι α κ α θ ε x ∈ ℝ .

▪ β = 0 τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς

▪ 0 ∙ x > κ ειναι αδυνατη αν κ > 0 ενω αληθευει για καθε x ∈ ℝ αν κ < 0.

▪ 0 ∙ x < κ αληθευει για καθε x ∈ ℝ αν κ > 0 ενω ειναι αδυνατη αν κ < 0.

▪ 0 ∙ x > 0 ειναι αδυνατη

▪ 0 ∙ x < 0 ειναι αδυνατη

2. Τ ρ ι ω ν υ μ ο


▪ Π ο λ υ ω ν υ μ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η δ ε υ τ ε ρ ο υ β α θ μ ο υ ,

λεγεται καθε συναρτηση με μορφη: f(x) = αx² + βx + γ με α,β,γ ∈ ℝ και α ≠ 0 .

▪ T ρ ι ω ν υ μ ο ,

λεγεται η αλγεβρικη παρασταση: αx² + βx + γ με α ≠ 0.

▪ Δ ι α κ ρ ι ν ο υ σ α και ρ ι ζ ε ς του τριωνυμου ειναι η διακρινουσα και οι ριζες

της αντιστοιχης εξισωσης δευτερου βαθμου: αx² + βx + γ = 0 .

▪ Μ ο ρ φ η Τ ρ ι ω ν υ μ ο υ

▪ Αν Δ > 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α ≠ 0 εχει δυο ριζες ανισες στο ℝ, τις

x1, x2 και : αx² + βx + γ = α ∙ ( x - x 1 )( x - x 2 ) .


96


▪ Αν Δ = 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α ≠ 0 εχει διπλη ριζα, την x0 =- β

2α και :

αx ² + βx + γ =

2β

α x +2α

= α ∙ ( x – x 0 ) 2 .

▪ Αν Δ < 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α ≠ 0 γινεται:

αx² + βx + γ =

2

2

β |Δ|α x + +

2α 4α.

▪ Π ρ ο σ η μ ο Τ ρ ι ω ν υ μ ο υ

▪ Αν Δ > 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α ≠ 0 και ριζες x 1 < x 2 :

▪ ειναι ε τ ε ρ ο σ η μ ο τ ο υ α , αν x 1 < x < x 2

▪ ειναι ο μ ο σ η μ ο τ ο υ α , αν x < x 1 η x > x 2

▪ Αν Δ = 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α ≠ 0 ειναι ο μ ο σ η μ ο τ ο υ α .

▪ Αν Δ < 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α ≠ 0 ειναι ο μ ο σ η μ ο τ ο υ α .

▪ Ε π ι λ υ σ η Α ν ι σ ω σ ε ω ν

▪ Α(x)

> 0B(x)

: αναγεται στην επιλυση της: A(x) ∙ B(x) > 0

▪ Α(x)

0B(x)

: αναγεται στην επιλυση της: A(x) ∙ B(x) ≥ 0

▪ Α(x)

< 0B(x)

: αναγεται στην επιλυση της: A(x) ∙ B(x) < 0

▪ Α(x)

0B(x)

: αναγεται στην επιλυση της: A(x) ∙ B(x) ≤ 0

Σ η μ ε ι ω σ η :

Σε ανισωσεις μορφης :Α(x)

< > Γ(x)B(x)

δεν κανουμε π ο τ ε απαλειφη παρονομα-

στων.

Φερνουμε τα παντα στο πρωτο μελος, κανουμε ομωνυμα και χρησιμοποιουμε μια

απ’τις πιο πανω μορφες.


97



Να λυθει η ανισωση :

5x + 1 x + 1 2x + 1< +

6 2 3


Ε.Κ.Π. = 6 > 0

Ειναι

5x + 1 x + 1 2x + 1< +

6 2 3

5x + 1 x + 1 2x + 16 < 6 + 6

6 2 3

5x + 1 < 3 (x + 1) + 2 (2x + 1)

5x + 1 < 3x + 3 + 4x + 2

5x - 3x - 4x < 3 + 2 - 1

- 2x < 4

- 2x 4

- >

2 - 2

x > - 2

Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς 1 ο υ β α θ μ ο υ


Λυση ανισωσης 1ου βαθμου .


Η ανισωση .


Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλειφη παρονομαστων) .

Απαλειφουμε τις παρενθεσεις (επιμεριστικη ιδιοτητα) .

Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι) .

Κανουμε πραξεις σε καθε μελος .

Διαιρουμε με τον συντελεστη του αγνωστου (και το προσημο του) .

Π ρ ο σ ο χ η

Στην απαλειφη παρονομαστων και οταν διαιρουμε με το συντελεστη του αγνωστου,

αν Ε.Κ.Π. η ο συντελεστης του αγνωστου ειναι αρνητικοι, αλλαζει φορα η ανισωση.


98



2Να λυθει η ανισωση : λ (x - 1) < x - 3λ + 2 για τις διαφορες τιμες του λ .


2 2 2 2 2 2 2λ (x - 1) < x - 3λ + 2 λ x - λ < x - 3λ + 2 λ x - x < λ - 3λ + 2 (λ - 1)x < λ - 3λ + 2

(Ι)

Για (λ + 1)(λ - 1) > 0, δηλαδη για λ < - 1 η λ > 1,

η (Ι) εχει την λυση :

Για (λ + 1)(λ - 1) < 0, δη

(λ + 1)(λ - 1)x < (λ - 1)(λ - 2)

λ - 2x <

λ + 1

λαδη για - 1 < λ < 1,

η (Ι) εχει την λυση :

Για (λ + 1)(λ - 1) = 0, δηλαδη για λ = 1 η λ = - 1, εχουμε :

Για λ = 1 η (Ι) γινεται :

0 x < (1- 1)(1- 2) 0 x < 0 (- 1) 0 x < 0, οποτε η ανισωση ειναι

λ - 2x >

λ + 1

.

Για λ = - 1 η (Ι) γινεται :

0 x < (- 1- 1)(-1- 2) 0 x < (- 2) (- 3) 0 x < 6, οποτε η ανισωση .

αδυνατη

αληθευει για καθε x

Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η ς α ν ι σ ω σ η ς


Λυση παραμετρικης ανισωσης .


Η ανισωση .


Με πραξεις, φερνουμε την ανισωση στη μορφη, πχ : Α ∙ x > Β με Α, Β παραγοντο-

ποιημενα (Θα μπορουσαμε να παρουμε Α ∙ x < Β η Α ∙ x ≥ Β η Α ∙ x ≤ Β ) .


Θεωρουμε Α > 0 και η ανισωση εχει λυση: x >

(δεν αλλαζει φορα η ανισωση)


Θεωρουμε Α < 0 και η ανισωση εχει λυση: x <

(αλλαζει φορα η ανισωση) .


Θεωρουμε Α = 0 και για κ α θ ε τιμη της παραμετρου που μηδενιζει τον συντε-

λεστη Α, η ανισωση μετασχηματιζεται σε 0 ∙ x < Β και αν :

Β > 0 τοτε η ανισωση αληθευει για καθε x .

Β = 0 τοτε η ανισωση ειναι αδυνατη .

Β < 0 τοτε η ανισωση ειναι αδυνατη .


99



Να βρεθει που συναληθευουν οι ανισωσεις :

x + 2 x x x + 1- 1 - < 0

4 3 5 15


Ειναι

x + 2 x x + 2 x - 1 12 - 12 12 3(x + 2) - 4x 12 3x + 6 - 4x 12 - x 6

4 3 4 3

x x + 1 x x + 1 - < 0 15 - 15 < 0 3x - (x + 1) < 0 3x - x - 1 < 0 2x < 1

5 15 5 15

Αρα

η

η

x - 6

1x <

2

1- 6 x <

21

x [- 6, )2

∈

Μ ε θ ο δ ο ς : Σ υ ν α λ η θ ε υ σ η α ν ι σ ω σ ε ω ν


Συναληθευση ανισωσεων .


Οι ανισωσεις .


Λυνουμε τις ανισωσεις ξεχωριστα .

Βρισκουμε τις κοινες τιμες των x που βρηκαμε στις ανισωσεις :

Σχηματικα στον αξονα των πραγματικων αριθμων .

Σαν διαστημα η ενωση διαστηματων .

Σαν διπλη ανισοτητα η ανισοτητες του x .


- 6 1

2

100



Να βρεθει ο ακεραιος αριθμος, για τον οποιο :

αν του προσθεσουμε το μισο του γινεται μικροτερος του 16.

1αν του προσθεσουμε το του γινεται μεγαλυτερος του 11.

5


x ακεραιος

Εστω x ο ζητουμενος ακεραιος αριθμος.

Τοτε, συμφωνα με τα δοσμενα :

32x xx <x + < 16 2 x + 2 < 2 ×16 2x + x < 32 3x < 32 55 3232 2 < x <

x x 5x + x > 55 6x > 55 55 6 3x + > 11 5 x + 5 > 5×11 x >

5 5 6

x = 10


Να λυθουν οι ανισωσεις :

|x - 4| > 6 |x - 4| > 0 |x - 4| > - 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α π ο υ λ υ ν ε τ α ι μ ε α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ


Λυση προβληματος .




Θετουμε x το ζητουμενο του προβληματος .

Συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος, καταστρωνουμε ανισωση ως προς x.

Λυνουμε την ανισωση συμφωνα με τα προηγουμενα .


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : |f(x)| > α


Λυση ανισωσης .


Η ανισωση .


Aν α < 0, τοτε η ανισωση ειναι α λ η θ ε υ ε ι γ ι α κ α θ ε x .

Aν α > 0, τοτε εχουμε την ισοδυναμια:

|f(x)| = α

f(x) < - α

η

f(x) > α

101


Ειναι

x - 4 < - 6

|x - 4| > 6 η η

x - 4 > 6

αν x 4, |x - 4| > 0

αν x = 4,

|x - 4| > - 3 .

x < - 2

x > 10


αδυνατη




|x + 3| < - 5 |x + 3| < 5 |x + 3| < 0


Ειναι

| |

|x + 3| < 5 - 5 < - 3x + 3 <

x + 3 < - 5

5 - 5 < x + 3 < 5

|x + 3| < 0 αφου |x + 3|

αφου x + 3

0 .

0 > -

- 3 - 3

5 .

αδυν

- 8 < x

ατη

αδυνατη

< 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : |f(x)| < α




Η ανισωση .


Aν α < 0, τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

Aν α > 0, τοτε εχουμε την ισοδυναμια: |f(x)| = α ⇔ - α < f(x) < α

Aν α = 0, τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : α < |f(x)| < β




Η ανισωση .


Λυνουμε τις ανισωσεις: |f(x)| > α και |f(x)| < β .


Βρισκουμε που συναληθευουν οι πιο πανω ανισωσεις .

102



Να λυθει η ανισωση : 1 |x + 3| < 5


Ειναι

x + 3 - 1 x - 4

η η|x + 3| 1 1 |x + 3|< 5 .

x + 3 1 x - 2|x + 3|< 5

- 5 < x + 3 < 5 - 8 < x < 2

x (- 8,- 4] [- 2,2)∈


Να λυθει η ανισωση : |3 -|2x - 4|| 6


| 2x- 4 | - 3

αληθευει για καθε xÎR

Ειναι

|3 -|2x - 4|| 6 - 6 3 -|2x - 4| 6 - 9 -|2x - 4| 3 - 3 |2x - 4| 9

|2x - 4| - 3 5 13- 9 < 2x - 4 9 - x .

|2x - 4| 9 2 2

5 13x [- , ]

2 2∈


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : | |f(x)| + α | < β




Η ανισωση .


Aν α < 0, τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .


Aν α = 0, τοτε η ανισωση ειναι α δ υ ν α τ η .

Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς μ ο ρ φ η ς : |f(x)| < |g(x)| η |f(x)| > |g(x)|




Η ανισωση .


Επειδη |f(x)|και |g(x)| μη αρνητικοι εχουμε το δικαιωμα να υψωσουμε και τα δυο

μελη της ανισωσης στο τετραγωνο, χωρις να αλλαξει η φορα της ανισωσης .

Εφαρμοζουμε την ιδοτητσ των σπολυτων : | α | 2 = α 2 .

Λυνουμε κατα τα γνωστα .

103



Να λυθει η ανισωση : |x - 6| > |x -7|


2 2 2 2 2

Ειναι

|x - 6| > |x - 7| |x - 6| > |x - 7| (x - 6) > (x - 7) x 2-12x + 36 > x -14x + 49 2x > 13

13x >

2



|x - 4| |4 - x| |2x - 8| + < + 1

3 2 4


| α | = | - α |

Ειναι

|x - 4| |4 - x| |2x - 8| |x - 4| |- (x - 4)| |2(x - 4)|+ < + 1 + < + 1

3 2 4 3 2 4

|x - 4| |x - 4| |x - 4| |x - 4| |x - 4| |x - 4|+ < 2 + 1 6 + 6 < 6 + 6 1

3 2 4 3 2 2

2|x - 4|+ 3|x - 4|

< 3|x - 4| + 6 2|x - 4| < 6

|x - 4| < 3 - 3 < x - 4 < 3

- 3 < x - 4 < 3+ 4 + 4 + 4

1 < x < 7


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς ( α π ο λ υ τ η τ ι μ η )




Η ανισωση (υπαρχει η ιδια απολυτη τιμη περισσοτερες της μιας φορες).


Αν δεν ειναι, μετατρεπουμε σε ιδιες ολες τις απολυτες τιμες στην ανισωση .

Λυνουμε την ανισωση ως προς τη κοινη απολυτη τιμη η θετουμε τη κοινη απο-

λυτη τιμη με y και λυνουμε την ανισωση ως προς y .

Φτανουμε στην περιπτωση |f(x)| > α.

104




3|x - 1|-|x - 2| < 3x


Τα απολυτα μηδενιζουν για x = 1 κα ι x = 2.

Οποτε θα εξετασουμε την ανισωση στα διαστηματα : (- ,1), [1,2) και [2,+ ).

Στο : (- ,1) ειναι :

|x - 1|= - x + 1, |x - 2|= - x + 2 και η ανισωση γινεται :

3(- x

1+ 1) - (- x + 2) < 3x - 3x + 3 + x - 2 < 3x -5 x + 1 < 0 x < - ,

5

που συναληθευει με το πιο πανω διαστημα για .

Στο : [1,2) ειναι :

|x - 1| = x - 1, |x - 2| = - x + 2 και η ανισωση γινεται :

3(x - 1) - (- x + 2) < 3

1x < -

x 3x - 3 + x -

5

2 < 3x x < 5,

που συναληθευει με το πιο πανω διαστημα για .

Στο : [2,+ ) ειναι :

|x - 1| = x - 1, |x - 2| = x - 2 και η ανισωση γινεται :

3(x - 1) - (x - 2) < 3x 3x - 3 - x + 2 < 3x - x < 1 x > - 1,

που συ

1 x < 2

ναληθευει

με το πιο πανω διαστημα για .

Aρα η ανισωσ

x 2

1x (- ,- η αληθε ) υει για [1,+ . )

5


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς ( δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ α α π ο λ υ τ α )




Η ανισωση (με διαφορετικα απολυτα).


Βρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουν το καθε απολυτο .

Δημιουργουμε διαστηματα του x (ενα περισσοτερα απ’τις τιμες) .

Σε καθε διαστημα βρισκουμε το προσημο των απολυτων .

Σε καθε διαστημα ξεχωριστα λυνουμε την ανισωση (χωρις απολυτα) και συνα-

ληθευουμε τη λυση που βρισκουμε με το συγκεκριμενο διαστημα .

Το συνολο των συναληθευμενων λυσεων, ειναι η λυση της ανισωσης .

105



2Να λυθει η ανισωση : - x + 5x - 6 0


2

2

2 2

2

Ειναι

- 5 + 1Δ = 25 - 24 = 1 > 0 x = x = 2- 2 - x + 5x - 6 = 0 - 5 ± 1

- 5 - 1 x = 3x =x =- 2

- 2

- x + 5x - 6 > 0 2 < x < 3 ( το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α )

Oποτε

- x + 5x - 6 = 0- x + 5x - 6 0

- x + 5x - 6 > 0

2 x 3


2Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες η ανισωση + 3λx + λ > 0 αληθευει για καθε x x .∈


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς αx 2 + βx + γ > < 0




Η ανισωση (με διαφορετικα απολυτα).


Βρισκουμε τη διακρινουσα και τις ριζες του τριωνυμου .

Για τη λυση της ανισωσης, ουσιαστικα ψαχνουμε το προσημο του τρι -

ωνυμου .

Θυμησου:

‘’ Το τριωνυμο αx 2 + βx + γ ειναι παντα ομοσημο του α, εκτος της περιπτωσης

που Δ > 0 και ρ 1 < x < ρ 2 , οπου ρ 1 , ρ 2 οι ριζες του τριωνυμου “.

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ




Ανισωση που αληθευει για καθε x ∈ ℝ .


Eξεταζουμε τι προσημο πρεπει να εχει η διακρινουσα, ωστε η ανισω -

ση να αληθευει για καθε x ∈ ℝ .

Λυνουμε την ανισωση που προκυπτει απ’το προσημο της διακρινουσας .

106



Ειναι

▪ Δ = 9λ 2 - 4λ

▪ Δ = 0 9λ 2 - 4λ = 0 ⇔ λ(9λ - 4) = 0 ⇔ λ 1 = 0, λ 2 = 4

9

Η x 2 + 3λx + λ > 0 αληθευει για καθε x ∈ ℝ αν το τριωνυμο x 2 + 3λx + λ ειναι ομοσημο του

α = 1 για καθε x ∈ ℝ

Ετσι, πρεπει

Δ < 0 ⇔ 9λ 2 - 4λ < 0 ⇔ (ετεροσημο του α = 9) 4

0 < λ <9


2 2Να λυθει η ανισωση : (x - 1)(x - 2x + 5)(- x + 5x - 6) 0


2 2 2

2

Ειναι

για x < 1 τοτε x - 1 < 0 x - 1 = 0 x = 1, οποτε

για x > 1 τοτε x - 1 > 0

x - 2x + 5 = 0 τοτε Δ = (- 2) - 4 1 5 = 4 - 20 = - 16 < 0 x - 2x + 5 > 0 για καθε x .

- 5 + 1Δ = 1 x =

- 2 - x + 5x - 6 = 0 : - 5 ± 1- 5 - 1x =

x =- 2- 2

2

2

x = 2 - x + 5x - 6 > 0 για 2 < x < 3

x = 3 - x + 5x - 6 < 0 για x < 2 η x > 3

Συμφωνα με τα πιο πανω ο πινακας προσημων ειναι :


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς - γ ι ν ο μ ε ν ο




Η ανισωση .


Βρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουν καθε παραγοντα του γινομενου .

Κατασκευαζουμε αξονα προσημου για καθε παραγοντα του γινομενου .

Κατασκευαζουμε συγκεντρωτικο πινακα προσημων που συμπεριλαμβανει ολους

τους παραγοντες του γινομενου, καθως και το γινομενο .

Επιλεγουμε τα διαστηματα που επαληθευουν την ανισωση-γινομενο .

107


x - ∞ 1 2 3 + ∞

x - 1 - + + +

x 2 - 2x + 5 + + + +

- x 2 + 5x - 6 - - + -

Γ(x) + - + -

Aρα το συνολο λυσεων της ανισωσης ειναι : .[1,2] [3,+ )


2

2

(x + 2)(x + 6x + 9)Να λυθει η ανισωση : 0

x - 5x + 6


2 2 2

2

2

Eιναι

για x < - 2 τοτε x + 2 < 0 x + 2 = 0 x = - 2, οποτε

για x > -2 τοτε x + 2 > 0

x + 6x + 9 = 0 (x + 3) = 0 x = - 3 και Δ = 6 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0,

οποτε x + 6x + 9 > 0 για καθε x .

5 + 1Δ = 1 x =

2 x - 5x + 6 = 0 5 ± 15 -x =

x =2

2

2

2 2

x = 3 x - 5x + 6 > 0 για x < 2 η x > 3

1 x = 2 x - 5x + 6 < 0 για 2 < x < 3

2

H πιο πανω ανισωση ειναι ισοδυναμη με την :

(x + 2)(x + 6x + 9)(x - 5x + 6) 0, αν x 2 και x 3.

Συμφωνα με τα πιο πανω ο πινακας

προσημων ειναι :


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς - π η λ ι κ ο




Η ανισωση .


Φερνουμε ολους τους ορους στο ενα μελος και κανουμε ομωνυμα, ωστε να δη-

μιουργηθει πηλικο (αν δεν ειναι ετοιμο) .

Δημιουργουμε ανισωση-γινομενο με ορους τον αριθμητη και παρονομαστη της

ανισωσης-πηλικο που εχουμε να λυσουμε .

2g(x) > 0

2

f(x) f(x) g(x)f(x)< 0 < 0 < 0 f(x) g(x) < 0

g(x

g(x

) g(x) g

)

g(x) (x)

Λυνουμε οπως στη προηγουμενη περιπτωση .

108


x - ∞ - 3 - 2 2 3 + ∞

x + 2 - - + + +

x 2 + 6x + 9 + + + + +

x 2 - 5x + 6 + + + - +

Γ(x) - - + - +

Aρα το συνολο λυσεων της ανισωσης ειναι : .[- 2,2] [3,+ )


2

2

Να λυθει το συστημα :

x - 1 > 0

x - 2x + 5 > 0

- x + 5x - 6 0


2 2

2

2

Ειναι

για x < 1 τοτε x - 1 < 0 x - 1 = 0 x = 1, οποτε

για x > 1 τοτε x - 1 > 0

x - 2x + 5 = 0 τοτε Δ = (- 2) - 4 1 5 = 4 - 20 = -16 < 0,

οποτε x - 2x + 5 > 0 για καθε x .

- 5 + 1Δ = 25 - 24 = 1 x =

-2 - x + 5x - 6 = 0 - 5 ± 1x =

x- 2

2

2

x = 2

- 5 - 1 x = 3=

- 2

- x + 5x - 6 > 0 για 2 < x < 3 oποτε

- x + 5x - 6 < 0 για x < 2 η x > 3

Συμφωνα με τα πιο πανω ο πινακας προσημων ειναι :


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η σ υ σ τ η μ α τ ο ς α ν ι σ ω σ ε ω ν


Λυση συστηματος ανισωσεων .


Το συστημα .


Λυνουμε οπως στην ανισωση-γινομενο με τη διαφορα οτι στο πινακα προσημων

η λυση του ειναι το διαστημα (ατα) που εχουμε τον συνδιασμο των προσημων

των ανισωσεων του συστηματος .

x - ∞ 1 2 3 + ∞

x - 1 - + + +

x 2 - 2x + 5 + + + +

- x 2 + 5x -

6

- - + -

Aρα το συνολο λυσεων της ανισωσης

ειναι : [2,3]

109


Α ν ι σ ω σ ε ι ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς


2


5x + 6 x 2x - 1 x + 10 2x -7 - 4 > + 4

8 3 9 9 3Να βρεθει που συναληθευουν οι ανισωσεις :

x - 1 x + 1 x x + 1 x + 2 x - και -

3 2 6 4 8 8x +

2(x - 1) + 5 > x(2x - 1) + 4x και

1 2x + 1

2 5


2 2 2 2


λx - 1 λx λ + x+ > , λ 4(x - 1) - (x - λ) > 3(x + λ) - 2λ , λ

2 12 6


Να βρεθουν τρεις διαδοχικοι αρτιοι αριθμοι, για τους οποιους :

το αθροισμα τους ειναι μικροτερο του 25.

η διαφορα του μεγαλυτερου απ'το αθροισμα των αλλων δυο ειναι μεγαλυτερη του 3.


H κυρια Σ. απεκτησε τη πρωτη κορη της οταν ηταν 19 χρονων και τη δευτερη κορη της

7 χρονια αργοτερα. Αν

η ηλικια της κυριας Σ. σημερα ειναι μεγαλυτερη των 49 χρονων,

το αθροισμα των ηλικιων των τριων γυναικων, σημερα, ειναι μικροτερο απο 106 χρονια.

Ποια ειναι η σημερινη ηλικια τους (σε ακεραια χρονια) ;


Να βρεθουν οι σημερινες ηλικιες του κυριου Τ. και του γιου του,αν :

η σημερινη ηλικια του κυριου Τ. ειναι διπλασια της ηλικιας του γιου.

το αθροισμα των ηλικιων τους σημερα ειναι μικροτερο του 76.

το αθροισμα των ηλικιων τους προπερσι ηταν μεγαλυτερο του 70.



- 1 |x - 2| < 3

|1 -|x - 3|| 5

110


Α ν ι σ ω σ ε ι ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς



|x + 3|< 3 |2x - 4| 0 |3x + 2| < 0

|4x - 8| 2 |5x - 1| > - 1 |x + 1| > |x - 2|

2|3x - 2|+ 4 6 -|3x - 2| |2 - 3x|- > - 2

4 2 3



|x + 1|- |x - 2| 1 |x + 1|- |2x - 4| 1

2|x - 1|+ 3 |x + 2| < 0 |2 -|x + 1|| < 3


2

2

1

2

2

2

2

3 2 2

Να λυθουν τα συστηματα :

x - 3x + 2 > 0

(Σ ) : x - 5x - 50 < 0

x - 2x - 15 > 0

x - 2 > 0

(Σ ) : 6x + 5x + 1 > 0

- x + 5x - 6 0

x - 2> 0

(Σ ) : 2x + 1

(x - 4)(x + 2x + 4 > 0


2 2 2 2


(x - 2)(x + 2x - 8)(x + x + 1) > 0 (2x - 1)(- x + 2x - 1)(x + 1) > 0


2 2 2 2 2 2


(x - 3)(x + 3x - 10)(- x + x - 10)(x - 4) 0 (x - 2)(x -7x + 6)(- x - 2x + 8)(x - 1) > 0


2

2 2


(x - 1)(x - x + 1) 10 x + 2 x - 30 + <

x - 3 x + 2x- x + x + 6 x - x - 6

111




112


1 . Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς


▪ Καθε συναρτηση α : ℕ * → ℝ ονομαζεται α κ ο λ ο υ θ ι α πραγματικων αριθμων .

▪ Η τιμη α(ν) μιας ακολουθιας α στο τυχαιο σημειο ν ∈ ℕ *, συμβολιζεται με α ν και

λεγεται ο ρ ο ς μ ε δ ε ι κ τ η ν η ν ι ο σ τ ο ς ο ρ ο ς η γ ε ν ι κ ο ς ο ρ ο ς

της ακολουθιας .

▪ Οι τιμες α 1, α 2, α 3, ... , α ν, ... λεγονται ο ρ ο ι της ακολουθιας, κατά σειρα, πρωτος,

δευτερος, κλπ …

▪ Μια ακολουθια συμβολιζεται με (α ν) .

▪ Σε μια ακολουθια (α ν), θετουμε S ν = α 1 + α 2 + α 3 + ... + α ν , για καθε ν ∈ ℕ * και το

ονομαζουμε α θ ρ ο ι σ μ α των ν - π ρ ω τ ω ν ο ρ ω ν της .

▪ Mια ακολουθια (α ν), oριζεται α ν α δ ρ ο μ ι κ α , αν ειναι γνωστα :

▪ ο αναδρομικος της τυπος (μια σχεση που συνδεει δυο οποιουσδηποτε, τουλαχι-

στον, διαδοχικους ορους) .

▪ οι απαραιτητοι αρχικοι οροι της, ωστε ο αναδρομικος τυπος να αρχισει να δινει

ορους .

2. Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς


Μια ακολουθια ονομαζεται α ρ ι θ μ η τ ι κ η π ρ ο ο δ ο ς , αν και μονο αν, υπαρχει

ω ∈ ℝ, τετοιο ωστε για καθε ν ∈ ℕ *, να ισχυει : α ν + 1 = α ν + ω η α ν + 1 - α ν = ω .

▪ Ο αριθμος ω ονομαζεται δ ι α φ ο ρ α της αριθμητικης προοδου.

▪ Δ ι α δ ο χ ι κ ο ι Ο ρ ο ι

Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι αριθμητικης προοδου αν και μονο

αν : 2β = α + γ η α + γ

β =2

▪ Ο αριθμος β λεγεται α ρ ι θ μ η τ ι κ ο ς μ ε σ ο ς των α και γ.

▪ Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς

Σε μια αριθμητικη προοδο (α ν) με διαφορα ω, ισχυει : α ν = α 1 + (ν - 1 ) ∙ ω

▪ Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν

Σε μια αριθμητικη προοδο (α ν) με διαφορα ω, ισχυει:

1 ν 1 ν

α + α 2α +(ν - 1) ωS = ν = ν

2 2


113


3. Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς


Μια ακολουθια ονομαζεται γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η π ρ ο ο δ ο ς , αν και μονο αν, υπαρ-

χει λ ∈ ℝ *, τετοιος ωστε για καθε ν ∈ ℕ * να ισχυει : α ν + 1 = λ ∙ α ν η ν + 1

ν

α= λ

α

▪ Ο αριθμος λ ονομαζεται λ ο γ ο ς της γεωμετρικης προοδου.

▪ Δ ι α δ ο χ ι κ ο ι Ο ρ ο ι

Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι γεωμετρικης προοδου αν και μο-

νο αν : β 2 = α ∙ γ η β = α γ

▪ Ο αριθμος β λεγεται γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς μ ε σ ο ς των α και γ.

▪ Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς

Σε μια γεωμετρικη προοδο (α ν) με λογο λ, ισχυει :

α ν = α 1 ∙ λν - 1

▪ Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν

Σε μια γεωμετρικη προοδο (α ν) με λογο λ, ισχυει :

ν

1 ν

α (λ - 1)S =

λ - 1 αν λ ≠ 1 η S ν = ν ∙ α 1 αν λ = 1


114



2

1 ν+1 νΔινεται η ακολουθια με α = 1 και α = α + 1 . Βρειτε τους τεσσερις πρωτοι οροι της .


2 2

1

2 2

2

2 2

3

Ειναι

= α + 1 = 1 + 1 =

= α + 1 = 2 + 1 = 4 + 1 =

= α + 1 = 5 + 1 = 25 + 1 =

1

2

3

4

α 1

α 2

α 5

α 26

=


νΔινεται η ακολουθια α = 2ν +7. Να οριστει η ακολουθια και αναδρομικα.


ν+1 ν

ν+1 ν

1

Ειναι

α - α = [2(ν + 1) + 7]- (2ν + 7) = 2ν + 2 + 7 - 2ν - 7 = 2

Αρα α = α + 2 , που ειναι ο αναδρομικος τυπος της ακολουθιας.

Αφου α = 2 1+ 7 = 9, η ακολουθια οριζεται αναδρομικα : και 1 ν+1 ν

α = 9 α = α + 2

Μ ε θ ο δ ο ς : Α κ ο λ ο υ θ ι α ( Ε υ ρ ε σ η π ρ ω τ ω ν ο ρ ω ν )


Ευρεση πρωτων ορων .


Ο πρωτος ορος και ο αναδρομικος τυπος .


Γραφουμε τον πρωτο ορο α 1 .

Βρισκουμε τον α 2 απ’τον αναδρομικο τυπο και τον α 1 .

Βρισκουμε τον α 3 απ’τον αναδρομικο τυπο και τον α 2 .

Συνεχιζουμε με τον ιδιο τροπο .


Μ ε θ ο δ ο ς : Α κ ο λ ο υ θ ι α ( Ε υ ρ ε σ η α ν α δ ρ ο μ ι κ ο υ τ υ π ο υ )


Ευρεση αναδρομικου τυπου .


Ο τυπος του ν-οστου ορου .


Παιρνουμε τη διαφορα α ν + 1 - α ν .

Με πραξεις καταληγουμε στον αναδρομικο τυπο .

115



1 ν+1 νΝα βρειτε τον ν - οστο ορο της ακολουθιας : α = 1 και α = α + 3 .


ν -

προσ 2

2

θετουμε

ν νκατα μ

1

ελη

1

3

ν 1

Ειναι

= 1

= + 3

= + 3 α = 1+ (ν - 1) 3 α = 1+ 3ν - 3

................

α = +

α

3

α α

α

α

α

να = 3ν - 2


1Εστω αριθμητικη προοδος με πρωτο ορο α = 1 και διαφορα ω = 3 .

Να βρεθει ο εβδομος ορος της .

Να βρεθει το αθροισμα των 10 πρωτων ορων της .

Μ ε θ ο δ ο ς : Α κ ο λ ο υ θ ι α ( Ε υ ρ ε σ η ν - ο σ τ ο υ ο ρ ο υ )


Ευρεση ν-οστου ορου .


Ο πρωτος ορος και ο αναδρομικος τυπος .


Γραφουμε τον πρωτο ορο α 1 .

Γραφουμε τον α 2 απ’τον αναδρομικο τυπο και τον α 1 .

Γραφουμε τον α 3 απ’τον αναδρομικο τυπο και τον α 2 .

Συνεχιζουμε με τον ιδιο τροπο .

Γραφουμε τον α ν απ’τον αναδρομικο τυπο και τον α ν + 1 .

Προσθετουμε κατα μελη τις πιο πανω ισοτητες και προσδιοριζουμε τον ν-οστο

ορο .


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς ( α 1 κ α ι ω )


Στοιχεια της αριθμητικης προοδου .


Ο ορος α 1 και η διαφορα ω .


Βρισκουμε τη αριθμητικη προοδο απο : α 1, α 1 + ω, α 1 + 2ω, α 1 + 3ω, ... .

Βρισκουμε ενα τυχαιο ορο α κ απο : α κ = α 1 + ( κ – 1 ) ∙ ω

Βρισκουμε το αθροισμα των ν πρωτων ορων απο : 1 ν

2α + (ν -1) ωS = ν

2

116



ν 1

7 1 7 7

v 1

Ο τυπος του ν - οστου ορου αρ. προοδου δινεται απο : α = α + (ν - 1) ω.

Αν ν = 7, τοτε :

α = α + (7 - 1) ω α = 1+ 6 3 α = 1+ 18

ν Το αθροισμα των ν πρωτων ορων αρ.προοδου δινεται απο : S = [2α +

2

7α = 19

11

(ν - 1) ω]

Αν ν = 10, τοτε :

ν 10 = [2α + (ν - 1) ω] = [2 + (10 - 1) 3] = 5 (2 + 9 3) = 5 29 =

2 2

10

S 145


3 6

1

Εστω αριθμητικη προοδος με α = 5 και α = 11.

Να βρεθει ο πρωτος ορος της α και η διαφορα ω .



3 1 1 1 1

6 1 1 1

1 1

Ειναι

α = 5 α + (3 - 1)ω = 5 α + 2ω = 5 α + 2ω = 5 α + 2ω = 5

α = 11 α + (6 - 1)ω = 11 α + 5ω = 11 α + 2ω + 3ω = 11 5 + 3ω = 11

α + 2ω = 5 α + 4 = 5

3ω = 6 ω = 2

50 = [2 1+ (50 - 1) 2] = 25 (2 + 98

2

1

50

α = 1

ω = 2

S ) = 2500


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς ( α κ κ α ι α λ τ υ χ α ι ο ι )




Οι τυχαιοι οροι α κ και α λ .


Αρχικα βρισκουμε το πρωτο ορο α 1 και τη διαφορα ω απο :

α κ = α 1 + ( κ - 1 ) ∙ ω και α λ = α 1 + ( λ - 1 ) ∙ ω

Συνεχιζουμε οπως στη προηγουμενη περιπτωση .

117



1 3 2 3

1

10

Εστω αριθμητικη προοδος με : α + α = 10 και α α = 40 .

Να βρεθει ο πρωτος ορος της α .

Να βρεθει η διαφορα ω .

Να βρεθει ο ορος της α .



1 3 1 1 1 1

2 3 1 1

1 1

Ειναι

α + α = 10 α + α + 2ω = 10 α = 5 - ω α = 5 - ω

α α = 40 (α + ω)(α + 2ω) = 40 (5 - ω + ω)(5 - ω + 2ω) = 40 5 (5 + ω) = 40

α = 5 - ω α = 5 - ω

25 + 5ω = 40 ω = 3

= 2 + (10 - 1) 3 = 2 + 9 3 = 2 + 27

1

10

α = 2

ω = 3

α =

11 11 11 = [2 2 + (11- 1) 3] = (4 + 30) = 34 = 11 17 =

2 2 2

11

29

S 187

Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο δ υ ο σ χ ε σ ε ι ς ι σ ο τ η τ α ς ο ρ ω ν τ η ς π ρ ο ο δ ο υ




Οι σχεσεις των ορων της προοδου .


Αρχικα βρισκουμε το πρωτο ορο α 1 και τη διαφορα ω λυνοντας το συστημα των

δυο δοσμενων ισοτητων ως προς α 1 και ω .



Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ’ τ η π ρ ο ο δ ο




Η προοδος .


Αρχικα βρισκουμε το πρωτο ορο α 1 και τη διαφορα ω :

Ο ορος α 1 ειναι ο πρωτος ορος της δοσμενης και η διαφορα ω απο τη διαφορα

ενος ορου απο τον επομενο του .


118



1

10

Εστω αριθμητικη προοδος : 2, 5, 8, 11, ... .


Να βρεθει η διαφορα ω .




= 11- 8 =

= 2 + (10 - 1) 3 = 2 + 9 3 = 2 + 27 =

11 11 11 = [2 2 + (11- 1) 3] = (4 + 30) = 34 = 11 17 =

2 2 2

1

10

11

α = 2

ω 3

α 29

S 187


2Nα βρεθει ο x, αν οι αριθμοι x - 3, 2x - 1, x + 3 αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητικης

προοδου. Ποιοι ειναι οι οροι αυτοι;


2

2 2 2

2

Αφου

οι x - 3, 2x - 1, x + 3 ειναι διαδοχικοι οροι αριθμ. προοδου,

τοτε :

2(2x - 1) = (x - 3) + (x + 3) 4x - 2 = x - 3 + x + 3 x - 3x + 2 = 0

x - x - 2x + 2 = 0 x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 (x - 1)(x - 2) = 0

Για x = 1 οι διαδοχικοι

x = 1

x = 2

οροι ειναι : .

Για x = 2 οι διαδοχικοι οροι ειναι : .

- 2, 1, 4

1, 3, 5


Μ ε θ ο δ ο ς : Δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι α ρ ι θ μ η τ ι κ η ς π ρ ο ο δ ο υ




Οι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου .


Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι χρησιμοποποιουμε τη σχεση : 2β = α + γ .

Απ’τη προηγουμενη σχεση προσδιοριζουμε τη παραμετρο και τους ορους .

119



Nα βρεθουν τρεις ακεραιοι αριθμοι που να αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητικης

προοδου, αν το αθροισμα τους ειναι 18 και το γινομενο τους 192.

Nα βρεθουν τεσσερις ακεραιοι αριθμοι που να αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητικης

προοδου, αν το αθροισμα τους ειναι 8 και το γινομενο τους - 15.


2 2 2 2 2 2

Εστω x - ω, x, x + ω ειναι οι τρεις ζητουμενοι ακεραιοι (δ.οροι Α.Π.). Οποτε :

3x = 18 x = 6 x = 6 x = 6x - ω + x + x + ω = 18

(x - ω)× x ×(x + ω) = 192 (x - ω )x = 192 (6 - ω ) 6 = 192 6ω = 24 ω = 4

x =

6 Για ω = 2 οι διαδοχικοι οροι ειναι :

ω = 2 η ω = - 2 Για ω = - 2 οι διαδοχικοι οροι ειναι :

Εστω x - 3ω, x - ω, x + ω, x + 3ω ειναι οι τεσσερις ζητουμενοι ακεραιοι (διαδ. οροι Α.Π.).

4, 6, 8

8, 6, 4

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 4 2 2 2

Οποτε :

4x = 8 x = 2x - 3ω + x - ω + x + ω + x + 3ω = 8

(x - 3ω)(x - ω)(x + ω)(x + 3ω) = - 15 (x - ω )(x - 9ω ) = - 15 (2 - ω )(2 - 9ω ) = - 15

x = 2x = 2 x = 2

(4 - ω )(4 - 9ω ) = - 15 9ω - 40ω + 31 = 0 ω = 1 (ω

x = 231

ω = 1 η ω = - 1= απορ.)9

Για ω = 1 οι διαδ. οροι ειναι :

Για ω = - 1 οι διαδ. οροι ειναι :

- 1, 1, 3, 5

5, 3, 1, - 1


Μ ε θ ο δ ο ς : Δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι α ρ ι θ μ η τ ι κ η ς π ρ ο ο δ ο υ


Ευρεση ακεραιων διαδοχικων ορων .


Το αθροισμα και γινομενο των διαδοχικων ορων .


Για διαδοχικους ορους περιττου πληθους :

Θεωρουμε τους : ... x – ω, x, x + ω, ...

Λυνουμε το συστημα : ... + (x - ω) + x + (x + ω) + ... = S

... (x - ω) x (x + ω) ... = P

, οπου S, Ρ το γνωστο

αθροισμα και γινομενο αντιστοιχα .

Προσδιοριζουμε x και ω (η λυση του συστηματος) .

Για διαδοχικους ορους αρτιου πληθους :

Θεωρουμε τους : ... x – 3ω, x – ω, x + ω, x + 3ω, ...

Λυνουμε το συστημα : ... + (x - 3ω) + (x - ω) + (x + ω) + (x + 3ω) + ... = S

... (x - 3ω) (x - ω) (x + ω) (x + 3ω) ... = P

, οπου

S, Ρ το γνωστο αθροισμα και γινομενο αντιστοιχα .

Προσδιοριζουμε x και ω (η λυση του συστηματος) .

120



1

Το αθροισμα των 5 πρωτων ορων αριθμητικης προοδου ισουται με 35, ενω το αθροισμα

των 10 πρωτων ορων της ισουται με 145.

Να βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου α καθως και η διαφορα ω.

Το αθροι

1

σμα των 5 πρωτων ορων αριθμητικης προοδου ισουται με 25, ενω το αθροισμα

των επομενων 5 ορων ισουται με 75.



1 5 1 1

10 1 1 1

1 1

1

Ειναι

55(2 α + (5 - 1) ω) = 35S = 35 5 α + 10 ω = 35(2 α + 4 ω) = 352 2

S = 145 10 10 α + 45 ω = 1455 (2 α + 9 ω) = 145(2 α + (10 - 1) ω) = 145

2

α + 2 ω = 7 α = 7 - 2 ω

10 α + 45 ω = 145 10

1 1

1

1 5 1

10 5 1 1 1

α = 7 - 2 ω α = 7 - 2 ω

(7 - 2 ω) + 45 ω = 145 70 - 20 ω + 45 ω = 145 25 ω = 75

α = 7 - 2 3

ω = 3

5(2α + 4ω) = 25S = 25 α + 2ω = 52

S - S = 75 10 5 α + 7ω = 15(2α + 9ω) - (2α + 4ω) = 75

2 2

1α = 1

ω = 3

1

1

α = 5 - 2ω

5 - 2ω + 7ω = 15

α = 5 - 2ω

5ω = 10

1α = 1

ω = 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Α π’ τ α α θ ρ ο ι σ μ α τ α κ , λ π ρ ω τ ω ν ο ρ ω ν


Στοιχεια της αριθμητικης προοδου


S κ = α και S λ = β .


Λυνουμε το συστημα των S κ = α και S λ = β και προσδιοριζουμε α 1 και ω .

Συνεχιζουμε συμφωνα με τα προηγουμενα .

Μια ειδικη περιπτωση :

Αν S κ = α το αθροισμα των κ πρωτων ορων και το αθροισμα των επομενων λ

ορων ειναι ισο με β, τοτε ισχυει S κ + λ - S κ = β .

121



Μεταξυ των αριθμων 1 και 53 παρεμβαλουμε 12 ακεραιους αριθμους, ωστε ολοι μαζι

να αποτελουν ορους αριθμητικης προοδου.

Να βρεθει η διαφορα ω της αριθμητικης προοδου.

Να βρεθει το αθρο

ισμα των 13 πρωτων ορων της.

Μεταξυ των αριθμων 1 και 25 παρεμβαλουμε αριθμητικους ενδιαμεσους, ωστε το

αθροισμα των ορων της αριθμητικης προοδου να ειναι ισο με 117.

Ποσους ορους θα παρεμβα

λουμε;



1 14

14 1

1 1

Για την αριθμητικη προοδο γνωριζουμε οτι :

α = 1 α = 53 ν = 14

α = 53 α + 13ω = 53 1+ 13ω = 53 13ω = 52

13 = (2α + 12ω) = 13 (α + 6ω) = 13 (1+ 24) =

2

Για την αριθμητι

13

ω = 4

S 325

1 ν ν

v 1 ν

ν 1

κη προοδο γνωριζουμε οτι :

α = 1 α = 25 S = 117

ν S = 117 (α + α ) = 117 ν (1+ 25) = 2 117 26ν = 234

2 Αρα θα παρεμβαλουμε 7 ορους.

Επισης

α = 25 α + (ν - 1) ω = 25 1+ (9 - 1)

ν = 9

ω = 25 8ω = 24 ω = 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α π α ρ ε μ β ο λ η ς


Πληθος ορων η στοιχεια προοδου .


Ακροι οροι και πληθος ενδιαμεσων η στοιχειο της προοδου .


Σε καθε περιπτωση γνωριζουμε τον πρωτο και τον τελευταιο ορο της προοδου .

Αν ειναι γνωστο το πληθος των ενδιαμεσων, ειναι γνωστο και το ν και σε συν-

διασμο με τον πρωτο και τελευταιο ορο, προσδιοριζουμε τη διαφορα ω .

Αν ειναι γνωστο καποιο αλλο στοιχειο της προοδου, βρισκουμε το ν και στη συ-

νεχεια το ω .

122



Eνα τμημα της Β Λυκειου, αποτελουμενο απο 30 μαθητες, πηγαινει στο θεατρο να πα -

ρακολουθησει μια εκπαιδευτικη παρασταση. Η αιθουσα ειναι αμφιθεατρικη με 20 κα -

θισματα στην πρωτη σειρα, ενω καθε επομε

νη σειρα εχει 2 καθισματα περισσοτερα απ'

την προηγουμενη.

Σε ποια σειρα θα καθισουν οι μαθητες, ωστε να ειναι ολοι παρεα και να μην υπαρχει

αλλο ατομο η κενο καθισμα;

Αν οι επιβλεποντες καθηγητ

ες καθισουν 7 σειρες πιο πισω απο τους μαθητες, ποσα

καθισματα υπαρχουν σ'αυτη τη σειρα;

Αν οι καθηγητες καθονται στην προτελευταια σειρα, ποσα καθισματα εχει η αιθουσα;


1

ν

ν 1

Το πληθος των καθισματων καθε σειρας ακολουθει αριθμητικη προοδο, με

α = 20 ω = 2

Οι μαθητες καθονται στη ν - οστη σειρα με α = 30.

Οποτε

α = 30 α + (ν - 1)ω = 30 20 + (ν - 1) 2 = 30 2ν - 2 = 10

13 1

ν = 6

Δηλαδη οι μαθητες θα καθισουν στην 6η σειρα.

Οι καθηγητες καθονται στην 13η (6 + 7) σειρα.

Οποτε

α = α + (ν - 1)ω = 20 + (13 - 1)2 = 20 + 12 × 2 = 20 + 24 = 44

Δηλαδη στη σειρα που καθονται οι καθηγητες υπαρχουν 44 καθισματα.

Οι συνολικες σειρες καθισματων ειναι 14.

Αρα

14 = (20 + 13 2) = 14 (10 + 13) = 14 23 =

2 S 322


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η π ρ ο β λ η μ α τ ο ς


Προβλημα .




Δειχνουμε απ’τα δοσμενα οτι το πληθος μεγεθων του ακολουθει αριθμητικη

προοδο .

Προσδιοριζουμε το πρωτο ορο α 1 και τη διαφορα ω .

Με γνωστα α 1 , ω και δοσμενα του προβληματος προσδιοριζουμε το ζητουμενο,

που αντιστοιχει σε ν-οστο ορο, αθροισμα, ν κλπ .

123


Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς ( α 1 κ α ι λ )


Στοιχεια της γεωμετρικης προοδου .


Ο ορος α 1 και ο λογος λ .


Βρισκουμε τη γεωμετρικη προοδο απο : α 1, α 1 ∙ λ, α 1 ∙ λ 2, α 1 ∙ λ 3, ... .

Βρισκουμε ενα τυχαιο ορο α κ απο : α κ = α 1 ∙ λ κ – 1

Βρισκουμε το αθροισμα των ν πρωτων ορων απο : ν

1 ν

α (λ -1)S =

λ -1


1Εστω γεωμετρικη προοδος με πρωτο ορο α = 1 και λογο λ = 2.

Να βρεθει ο πεμπτος ορος της.

Αν το αθροισμα των ν πρωτων ορων της ειναι ισο με 511, τοτε να βρεθει το πληθος

ν των ορων αυτων.


ν-1

ν 1

5 - 1 4

5 1 5

ν

v 1

v

Ο τυπος του ν - οστου ορου Γ.Π. δινεται απο : α = α λ .

Αν ν = 5, τοτε : α = α λ α = 1 2

λ - 1 Το αθροισμα των ν πρωτων ορων Γ.Π. δινεται απο : S = α . Ομως,

λ - 1

S

5α = 16

ν ν ν ν ν 9

1

λ - 1 2 - 1= 511 α = 511 1 = 511 2 - 1 = 511 2 = 512 2 = 2

λ - 1 2 - 1 ν = 9


3 6

1

Εστω γεωμετρικη προοδος με α = 4 και α = 32 .

Να βρεθει ο πρωτος ορος της α και ο λογος λ .




Μ ε θ ο δ ο ς : Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς ( α κ κ α ι α μ τ υ χ α ι ο ι )




Οι τυχαιοι οροι α κ και α μ .


Αρχικα βρισκουμε το πρωτο ορο α 1 και τη διαφορα ω απο :

α κ = α 1 ∙ λ κ – 1 και α μ = α 1 ∙ λ μ – 1


124


2 2 2 2(:) 3 1 1 1 1

5 3 3 3 6 1

10 10

Ειναι

α = 4 α λ = 4 α λ = 4 α λ = 4 α 2 = 4

α = 32 λ = 2α λ = 32 λ = 8 λ = 2

2 - 1 = 1 = 2 - 1 = 1024 - 1 =

2 - 1

1

10

α = 1

λ = 2

S 1023


1 4 2 3

1

10

Εστω γεωμετρικη προοδος με : α + α = 9 και α α = 8 .


Να βρεθει ο λογος λ .




3 4 - 1 3 1 1

1 4 1 1 1 1 3 2 - 1 3 - 1 2 3

2 3 2 1 1 1 1

1 1 12

1 1

3 3

22

1 1

Ειναι

α + α λ = 9α + α = 9 α + α λ = 9 α + α λ = 9

8λ =α α = 8 (α λ )(α λ ) = 8 α λ = 8

α

8 8α + α = 9 α + = 9

αα

88λ =λ =

αα

1

3 122

1 1 1

3 1

2

1 3 1

2 3 1

α = 1

8α = 1λ =

αη α - 9α + 8 = 0

η α = 88λ =

α α = 88λ =

1αλ =

8


Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο δ υ ο σ χ ε σ ε ι ς ι σ ο τ η τ α ς ο ρ ω ν τ η ς π ρ ο ο δ ο υ




Οι σχεσεις των ορων της προοδου .


Αρχικα βρισκουμε το πρωτο ορο α 1 και το λογο λ λυνοντας το συστημα των

δυο δοσμενων ισοτητων ως προς α 1 και λ .


125


1

5 - 1 4

5

1

5 - 1 4

η

Για α = 1 και λ = 2 :

= 1 2 = 2 =

1 (2 - 1) 32 - 1 = = =

2 - 1 2

1 Για α = 8 και λ = :

2

1 1 1 = 8 = 8 = 8 =

2 2 16

1

1

5

5

5

5

α = 1

λ = 2

α = 8

1λ =

2

α 16

31S

2

1α

2

S

51 1 1 318 - 1 8 - 8 - 8 -2 32 4 4= = = = =1 1 1 1

- 1 - - -2 2 2 2

31

2


1

Εστω αριθμητικη προοδος : 1, 2, 4, 8, ... .



Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ’ τ η π ρ ο ο δ ο




Η προοδος .


Αρχικα βρισκουμε το πρωτο ορο α 1 και το λογο λ:

Ο ορος α 1 ειναι ο πρωτος ορος της δοσμενης και ο λογος λ απο το πηλικο ενος

ενος ορου απο τον επομενο του .


126


5

Να βρεθει ο λογος λ .




5 - 1 4

5

8 = =

4

= 1 2 = 2 =

1 (2 - 1) 32 - 1 = = =

2 - 1 2

1

5

5

α = 1

λ 2

α 16

31S

2


Nα βρεθει ο x, αν οι αριθμοι x - 3, 4 - 2x , x - 2 με x 2 αποτελουν διαδοχικους ορους

γεωμετρικης προοδου.

Ποιοι ειναι οι οροι αυτοι;


x < 2 2 2 2 2

x 2

Αφου

οι x - 3, 4 - 2x , x - 2 ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου,

τοτε :

(x - 3)(x - 2) = ( 4 - 2x) x - 5x + 6 = 4 - 2x x - 3x + 2 = 0 x - x - 2x + 2 = 0

x = 1

x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 (x - 1)(x - 2) = 0 η (δε

x = 2

x = 1 κτη αφου υποθεσαμε x < 2)

Για x = 1 οι διαδοχικοι οροι ειναι : . - 2, 2 , - 1


Μ ε θ ο δ ο ς : Δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η ς π ρ ο ο δ ο υ




Οι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου .


Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι χρησιμοποποιουμε τη σχεση : β 2 = α ∙ γ .

Απ’τη προηγουμενη σχεση προσδιοριζουμε τη παραμετρο και τους ορους .

127



Nα βρεθουν τρεις ακεραιοι αριθμοι που να αποτελουν διαδοχικους ορους γεωμετρικης



λ 0

2 3

2

1,2

xΕστω , x, λx ειναι οι τρεις ζητουμενοι ακεραιοι (δ.οροι Γ.Π.).

λΕτσι

xx 4+ x + λx = 14 x = 4+ x + λx = 14 + 4 + 4λ = 14λ λ λ

x 2λ - 5λ + 2 = 0x = 4x = 64x λx = 64

λ

x = 4

5 ± 3Δ = (- 5) - 4 2 2 = 9 , λ =

x = 4

λ = 2

η 4

1λ =

2

λ = 2 : οι διαδοχικοι οροι ειναι :

1λ = : οι διαδοχικοι οροι ειναι :

2

2, 4, 8

8, 4, 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η ς π ρ ο ο δ ο υ


Ευρεση ακεραιων διαδοχικων ορων .


Το αθροισμα και γινομενο των διαδοχικων ορων .


Για διαδοχικους ορους περιττου πληθους :

Θεωρουμε τους : x

..., , x ,λx,...λ

.

Λυνουμε το συστημα :

x... + + x + λx + ... = S

λx

... x λx ... = Pλ

, οπου S, Ρ το γνωστο

αθροισμα και γινομενο αντιστοιχα .

Προσδιοριζουμε x και λ (η λυση του συστηματος) .

128



1

Το αθροισμα των 4 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ισουται με 15, ενω το αθροισμα

των 8 πρωτων ορων της ισουται με 255.

Να βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου α καθως και ο λογος λ.

Το αθροισμα

1

των 4 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ισουται με 15, ενω το αθροισμα




4

4 4 4 4

λ = y(:) 1 1 4 1 1

8 8 8 4 8 4 8

1 4

4

1

Ειναι

λ - 1λ - 1λ - 1 λ - 1α = 15α = 15S = 15 α = 15 α = 15λ - 1λ - 1 λ - 1 λ - 1

S = 255 λ - 1λ - 1λ - 1 = 17(λ - 1) λ - 17λ + 16 = 0= 17α = 255

λ - 1 λ - 1

λ - 1α =

λ - 1

4

4 4 4λ = y

1 1 1

2 4 4

4

1

λ - 1λ - 1 λ - 115 α = 15α = 15 α = 15

λ - 1λ - 1 λ - 1y = 1 η y = 16 λ = ± 1(απορ) η λ = ± 2y - 17y + 16 = 0 λ = 1 η λ = 16

λ - 1α = 15

ηλ - 1λ = ± 2

1

1

α = 1

λ = 2

α = - 3

λ = - 2

4 4 4

8 4 8 8

S = 15 S = 15 S = 15 ... η

S - S = 240 S - 15 = 240 S = 255

1 1

α = 1 α = - 3

λ = 2 λ = - 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Α π’ τ α α θ ρ ο ι σ μ α τ α κ , μ π ρ ω τ ω ν ο ρ ω ν


Στοιχεια της αριθμητικης προοδου


S κ = α και S μ = β .


Λυνουμε το συστημα των S κ = α και S μ = β και προσδιοριζουμε α 1 και λ .

Συνεχιζουμε συμφωνα με τα προηγουμενα .

Μια ειδικη περιπτωση :

Αν S κ = α το αθροισμα των κ πρωτων ορων και το αθροισμα των επομενων μ

ορων ειναι ισο με β, τοτε ισχυει S κ + λ - S μ = β .

129




να αποτελουν ορους γεωμετρικης προοδου.

Να βρεθει ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου.

Να βρεθει το αθροισ

μα των 6 πρωτων ορων της.

Μεταξυ των αριθμων 2 και 128 παρεμβαλουμε γεωμετρικους ενδιαμεσους, ωστε το

αθροισμα των ορων της γεωμετρικης προοδου να ειναι ισο με 254.

Ποσους ορους θα παρεμβαλο

υμε;



1

1

1 9

α = 3 8 8 8 8 8

9 1

α = 3 6 6

6 1 λ = 2

Για την γεωμετρικη προοδο γνωριζουμε οτι :

α = 3 α = 768 ν = 9

Οποτε

α = 768 α λ = 128 3λ = 768 λ = 256 λ = 2

λ - 1 2 - 1 S = α = 3

λ - 1 2 -

λ = 2

1

1 v ν

ν να = 2

v 1

ν - 1 ν 1

= 3 (64 - 1) = 3 63 = 1891

Για την γεωμετρικη προοδο γνωριζουμε οτι :

α = 2 α = 128 S = 254

Οποτε

λ - 1 λ - 1S = 254 α = 254 2 = 2

λ - 1 λ - 1α = 128

α λ = 128

6S = 189

ν - 1 ν - 1 ν - 1

ν - 1 ν - 1 6

λ 64 - 164λ - 1 = 127λ - 1272 = 25454

λ - 1λ = 64

λ = 642 λ = 128

63λ = 126 λ = 2 λ = 2

ν - 1 = 6λ = 128 2 = 2

Αρα θα παρεμβαλουμε .

λ = 2

ν = 7

5 ορους


Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ ο β λ η μ α π α ρ ε μ β ο λ η ς


Πληθος ορων η στοιχεια προοδου .


Ακροι οροι και πληθος ενδιαμεσων η στοιχειο της προοδου .


Σε καθε περιπτωση γνωριζουμε τον πρωτο και τον τελευταιο ορο της προοδου .

Αν ειναι γνωστο το πληθος των ενδιαμεσων, ειναι γνωστο και το ν και σε συν-

διασμο με τον πρωτο και τελευταιο ορο, προσδιοριζουμε το λογο λ .

Αν ειναι γνωστο καποιο αλλο στοιχειο της προοδου, βρισκουμε το ν και στη συ-

νεχεια το λ .

130



Σ'ενα τουρνουα τεννις παιρνουν μερος 512 τεννιστες και αγωνιζονται με το συστημα

νοκ αουτ (ο χαμενος αποχωρει, ο νικητης συνεχιζει).

Αν οι νικητες δινουν εναν αγωνα καθημερινα, αυτος που θα φτασει στο τελικο, ποσους

αγωνες θα εχει δωσει συνολικα;


1

Την πρωτη μερα αγωνιζονται 512 τεννιστες, την δευτερη οι μισοι, και τη ημερα του τελικου 2.

Το πληθος των αθλητων ακολουθει γεωμετρικη προοδο.

Για τη γεωμετρικη προοδο γνωριζουμε οτι :

α = 512

1

ν

ν - 1 ν - 1 ν - 1 8α = 512 ν - 1

ν 1 1λ =

2

1α = 2 λ =

2Οποτε

1 1 1 1 1α = α λ 2 = 512 = = ν - 1 = 8

2 2 256 2 2

Αρα ο αθλητης που φτανει στο τελικο δινει συνολικα .

ν = 9

9 αγωνες


Μ ε θ ο δ ο ς : Λ υ σ η π ρ ο β λ η μ α τ ο ς


Προβλημα .




Δειχνουμε απ’τα δοσμενα οτι το πληθος μεγεθων του ακολουθει γεωμετρικη

προοδο .

Προσδιοριζουμε το πρωτο ορο α 1 και το λογο λ .

Με γνωστα α 1 , λ και δοσμενα του προβληματος προσδιοριζουμε το ζητουμενο,

που αντιστοιχει σε ν-οστο ορο, αθροισμα, ν κλπ .

131


Π ρ ο ο δ ο ι Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς


1 ν+1 ν

ν

Δινεται η ακολουθια με α = - 1 και α = 7α + 2.

Να βρεθουν οι τεσσερις πρωτοι οροι της.

Δινεται η ακολουθια α = 6ν + 4. Να οριστει η ακολουθια και αναδρομικα.

Να βρειτε τον ν - οστο ορο τη ν 1 ν+1

ας ακολουθιας : α = 3 και α = .

2


1Εστω αριθμητικη προοδος με πρωτο ορο α = - 1 και διαφορα ω = 2.

Να βρεθει ο ογδοος ορος της.

Αν το αθροισμα των ν πρωτων ορων της ειναι ισο με 80, να βρεθει το πληθος ν των

ορων αυτων.


3 4

1

Εστω αριθμητικη προοδος με α ω = 10 και α = 7.


Να βρεθει η διαφορα ω.

Να βρεθει το αθροισμα των 12 πρωτων ορων της.


3 7

1

Εστω αριθμητικη προοδος με α = - 3 και α = - 11.





2 4 1 5

1

Εστω αριθμητικη προοδος με : α + α = 16 και α α = 28.




3 2

2 2

Nα βρεθει ο x, αν οι αριθμοι x(x + 1), 2(x - 2), x(x + 2x + 1) αποτελουν διαδοχικους -

ορους αριθμητικης προοδου. Ποιοι ειναι οι οροι αυτοι;

Nα βρεθει ο x, αν οι αριθμοι 3x , x (1- x), 3(3 - 4x) αποτελουν διαδοχικους ορους α -

ριθμητικης προοδου. Ποιοι ειναι οι οροι αυτοι;

• Aν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, να δειχτει οτι και οι β + γ, α + γ,

α + β ειναι επισης διαδοχικ 2 2

2 2 2 2

οι οροι αριθμητικης προοδου.

• Aν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, να δειχτει οτι και οι α + αβ + γ ,

α + αγ + γ , β + βγ + γ ειναι επισης διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου.

132




Nα βρεθουν τρεις ακεραιοι αριθμοι που να αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητικης


Nα βρεθουν τεσσερις ακεραιοι αριθμοι που να αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητι -

κης προοδου, αν το αθροισμα τους ειναι 32 και το γινομενο τους 1680.


3v v

1Το αθροισμα των ν πρωτων ορων αριθμητικης προοδου ισουται με το του αθροισμα -

2 τος των ν επομενων ορων της. Να δειχτει οτι S = 6S .

Το αθροισμα των 6 πρωτων ορων αριθμητικης προοδου ισουται

1

με 48, ενω το αθροισμα



Να δειχτει οτι το αθροισμα των 51 πρωτων ορων αριθμητικης προοδου ισουται με 51κ,

οπου κ ειναι ο μεσαιος ορος .



να αποτελουν ορους αριθμητικης προοδου.


Να βρεθει το αθροισμα : S = α5 6 7 8 9 10 11

+ α + α + α + α + α + α .


Μεταξυ των αριθμων 1 και 36 παρεμβαλουμε αριθμητικους ενδιαμεσους, ωστε το

αθροισμα των ορων της αριθμητικης προοδου να ειναι ισο με 148.

Ποσους ορους θα παρεμβαλουμε;

Να βρεθει η διαφ

ορα ω της αριθμητικης προοδου.

Να βρεθει το αθροισμα ολων των πολλαπλασιων του 4, που περιεχονται μεταξυ

των αριθμων 99 και 201.


5 2 4 3

1

7

5

Εστω γεωμετρικη προοδος με : α - α = 28 και α + α = 24.


Να βρεθει ο λογος λ.

Να βρεθει ο εβδομος ορος της α .

Εστω γεωμετρικη προοδος με α = 48

8

1

ν

και α = 384.



Να βρεθει το ν αν α = 3072.

133




2 4 1 5

1

3 4

Εστω γεωμετρικη προοδος με : α + α = 20 και α α = 64.



Εστω γεωμετρικη προοδος με α + λ = 7 και α = 10.

Να βρεθει ο πρωτος

1 ορος της α .




Nα βρεθει ο x, αν οι αριθμοι 9 - 5x , 9 - x , 3 - x αποτελουν διαδοχικους ορους γεω -

μετρικης προοδου. Ποιοι ειναι οι οροι αυτοι;

Aν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, να δειχτει οτι :

2 2 2 3 3 3

3 3 3

1 1 1 α β γ + + = α + β + γ .

α β γ


2 2 3 2

2 2 2

Aν α, α + β, α + β + γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, να δειχτει οτι :

αγ = αβ + β + γβ .

α + αγ α + γ β + γAν , , ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, να δειχτει

α - γ 2 γ - α

οτι οι αριθμοι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου.





προοδου, αν το αθροισμα τους ειναι 70 και αν πολλαπλασιασουμε το μεσαιο με 5 και

τους ακρους με 4, τοτε οι τρεις ακεραιοι γινονται διαδοχικοι οροι αριθμητικης πρ

οοδου.

Αν οι αριθμοι α, β, γ ειναι ταυτοχρονα διαδοχικοι οροι αριθμητικης και γεωμετρικης

προοδου, να δειξετε οτι : α = β = γ.


1 1 1 2Σε γεωμετρικη προοδο με πρωτο ορο α και λογο λ, ισχυει : α = 3λ και α + α = 18

Να βρεθει η προοδος και το αθροισμα των 5 πρωτων ορων της.

Το αθροισμα των 3 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ι

1

σουται με 21, ενω το αθροι -

σμα των 3 επομενων ορων της ισουται με 168.


134




1

Το αθροισμα των 3 πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου ισουται με 90, ενω το αθροι -

σμα των 6 πρωτων ορων της ισουται με 120.


Σε γεωμετρ

1

6 3 4

ικη προοδο με πρωτο ορο α και λογο λ, ισχυει :

S = 28S S = 80

Να βρεθει η προοδος.



να αποτελουν ορους γεωμετρικης προοδου.


Να βρεθει το αθροισ

μα των 5 πρωτων ορων της.

Μεταξυ των αριθμων 3 και 1377 παρεμβαλουμε γεωμετρικους ενδιαμεσους.

Αν ο τεταρτος ορος της γεωμετρικης προοδου να ειναι ισο με 51, τοτε :

Ποιος ειναι ο λογος λ της

γεωμετρικης προοδου.

Ποσους ορους θα παρεμβαλουμε;


Ενα κυτταρο διασπαται καθε μερα σε δυο νεα κυτταρα και το καθε νεο κυτταρο δια -

σπαται σε δυο κυτταρα την επομενη κλπ. Ποσα κυτταρα θα υπαρχουν συνολικα την

10η μερα;

Καποιος αποταμιευει 10

0 ευρω το 2001, 300 ευρω το 2002, 900 ευρω το 2003 και συνεχι -

ζει με τον ιδιο ρυθμο.

Ποσα ευρω θα αποταμιευσει το 2010;

Ποσα ευρω συνολικα θα εχει αποταμιευσει μεχρι το 2010;

135


Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι

α + γ

αριθμητικης προοδου αν και μονο αν : 2β = α + γ η β = . 2

2γεωμετρικης προοδου αν και μονο αν : β = α γ η β = α γ .

Π ρ ο ο δ ο ι Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς


Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, τοτε ισχυει :

β - α = ω α + γ β - α = γ -β 2β = α + γ β =

γ -β = ω 2

Αντιστροφα :

Αν ισχυει 2β = α + γ τοτε β - α = γ -β, που σημαινει οτι οι αριθμοι α, β, γ ειναι

2

2

διαδοχικοι

οροι αριθμοι αριθμητικης προοδου.

Αν α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, τοτε ισχυει :

β / α = λ β γ = β = α γ

γ / β = λ α β

Αντιστροφα :

Αν ισχυει β = α γ τοτε β / α = γ / β,

που σημαινει οτι οι αριθμοι α, β, γ ειναι διαδοχικοι

οροι αριθμοι γεωμετρικης προοδου.


v 1 1 1 1

v ν ν ν ν

v 1 ν

Το αθροισμα των ν πρωτων ορων αριθμητικης προοδου, δινεται :

S = α + (α + ω) + (α + 2ω) + ... + [α + (ν - 1)ω] (1)

S = α + (α - ω) + (α - 2ω) + ... + [α - (ν - 1)ω] (2)

Απο (1) + (2) :

2S = (α + α ) + (α 1 ν 1 ν 1 ν

1 ν v

2 ν - 2 ν - 1

v 1 1 1 1 1

v 1

+ α ) + ...(α + α ) = ν(α + α )

ν(α + α ) Οποτε : S =

2

Το αθροισμα των ν πρωτων ορων γεωμετρικης προοδου, δινεται :

S = α + α λ + α λ + ... + α λ + α λ (1) και

λ S =

α

2 3 ν - 1 ν

1 1 1 1

ν ν

v v 1 1 v 1

ν

1 v

λ + α λ + α λ + ... + α λ + α λ (2)

Απο (2) - (1) :

λ S - S = α λ - α (λ - 1) S = α (λ - 1)

α (λ - 1) Οποτε : S =

λ - 1

1 ν 1 ν ν

α + α2α +(ν - 1) ωΣε αριθμητικη προοδο (α ) διαφορας ω, ισχυει : S = ν = ν.

2 2

ν

1 ν ν

α (λ - 1)Σε γεωμετρικη προοδο (α ) με λογο λ, ισχυει : S = .

λ - 1

136




137


1 . Σ υ ν ο λ α

▪ Σ υ ν ο λ ο λεγεται καθε συλλογη αντικειμενων, που προερχονται απ’την εμπειρια

μας η τη διανοηση μας, ειναι καλα ορισμενα και διακρινονται το ενα απ’το αλλο.

▪ Σ τ ο ι χ ε ι α η μ ε λ η του συνολου, λεγονται τα αντικειμενα που αποτελουν το

συνολο.

▪ Κ α λ ω ς ο ρ ι σ μ ε ν ο σ υ ν ο λ ο, λεγεται αυτο που τα στοιχεια του εμφανιζον-

ται μια μονο φορα.

▪ Ενα συνολο Α λεγεται υ π ο σ υ ν ο λ ο του συνολου Β, οταν καθε στοιχειο του ει-

ναι και στοιχειο του συνολου Β.

Συμβολιζεται: Α ⊆ Β

Ισχυει:

▪ Α ⊆ Α (ανακλαστικη)

▪ Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ τοτε Α ⊆ Γ (μεταβατικη)

▪ Α ⊆ Β και Β ⊆ Α τοτε Α = Β (αντισυμμετρικη)

▪ Κ ε ν ο σ υ ν ο λ ο, λεγεται αυτο που δεν εχει κανενα στοιχειο.

Συμβολιζεται : { } η ∅

▪ Δυο συνολα Α και Β λεγεται ι σ α, οταν εχουν ακριβως τα ιδια στοιχεια.

Συμβολιζεται : Α = Β Ισχυει: Α ⊆ Β και Β ⊆ Α .

▪ Ενα συνολο Α μπορει να παρασταθει με:

▪ α ν α γ ρ α φ η Α = {α1, α2, ... }, οπου α1 , α2, ... ολα τα στοιχεια του Α .

▪ π ε ρ ι γ ρ α φ η Α = {x ∈ Ω / ιδιοτητα του A} οπου Α ⊆ Ω .

2. Ε ν ν ο ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς


Εστω Α ενα μη κενο υποσυνολο του ℝ .

Ονομαζουμε π ρ α γ μ α τ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η με πεδιο ορισμου το Α μια δ ι α δ ι –

κ α σ ι α ( κ α ν ο ν α ) f, με την οποια κ α θ ε στοιχειο x ∈ A αντιστοιχιζεται σε

ε ν α μ ο ν ο πραγματικο αριθμο y.

To y ονομαζεται τ ι μ η της f στο x και συμβολιζεται με f(x).

▪ Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς

▪ Το γραμμα x λεγεται α ν ε ξ α ρ τ η τ η μ ε τ α β λ η τ η .

▪ Το γραμμα y που παριστανει την τιμη της f στο x λεγεται ε ξ α ρ τ η μ ε ν η μ ε -

τ α β λ η τ η .

▪ Το πεδιο ορισμου Α της f συμβολιζεται με A f .

Αν η συναρτηση δινεται μονο με τον τυπο της, πεδιο ορισμου της θα θεωρειται το

ευρυτερο υποσυνολο των πραγματικων αριθμων για τους οποιους η τιμη f(x) να

εχει νοημα πραγματικου αριθμου.

Συμβολικα γραφουμε: A f = { x ∈ ℝ : y = f(x) ∈ ℝ }.


138


▪ Το συνολο τιμων της f συμβολιζεται με f(A).

Ειναι το συνολο που στοιχεια του ειναι οι τιμες της f για καθε x ∈ ℝ .

Δηλαδη f(A) = { y ∈ ℝ / y = f(x) για τουλαχιστον ενα x ∈ Α }

Το συνολο τιμων περιλαμβανει εκεινους τους πραγματικους αριθμους y για τους

οποιους υπαρχει ενα τουλαχιστον x ∈ Α, ωστε f(x) = y.

▪ Μια συναρτηση ειναι ορισμενη, οταν γι’αυτην γνωριζουμε:

▪ To πεδιο ορισμου της Α

▪ Την τιμη της f(x) για καθε x ∈ ℝ , δηλαδη τον τυπο μεσω του οποιου μπορουμε

να βρουμε την τιμη f(x) για καθε x ∈ ℝ .

▪ Καθε στοιχειο x του πεδιου ορισμου Α ονομαζεται α ρ χ ε τ υ π ο της f, ενω το y

ονομαζεται ε ι κ ο ν α της f στο x.

3. Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η


Γ ρ α φ ι κ η π α ρ α σ τ α σ η της f με πεδιο ορισμου το Α, που συμβολιζεται με C f ,

ειναι το συνολο ολων των σημειων του επιπεδου που αντιστοιχουν στα ζευγη

(x, f(x)), x ∈ ℝ .

▪ Ε ξ ι σ ω σ η γ ρ α φ ι κ η ς π α ρ α σ τ α σ η ς τ η ς f :

Ειναι η εξισωση y = f(x), οπου f(x) ειναι ο τυπος της συναρτησης f .

▪ Χαρακτηριστικη ιδιοτητα της y = f(x) :

Ενα σημειο Μ(x, y) ανηκει στην γραφικη παρασταση C f αν οι συντεταγμενες του

επαληθευουν την εξισωση y = f(x) και αντιστροφως.


▪ Η C f τεμνει τον x’x στα σημεια A₁(x₁, 0), A₂(x₂, 0),… oπου x₁, x₂, … ειναι οι ριζες της

εξισωσης f(x) = 0.

▪ Η C f τεμνει τον y’y στο σημειο Β(0, f(0)), με την προυποθεση οτι το 0 ανηκει στο

A f .

▪ Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες του x που η C f βρισκεται πανω α-

πo τον x’x λυνουμε την f(x) > 0 και συναληθευουμε τις λυσεις με το A f, ενω λυνου-

με την f(x) < 0 οταν η C f ειναι κατω απο τον x’x.

▪ Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f, g

λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο

A f ∩ A g .

▪ Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες x που η C f βρισκεται πανω απο

την C g λυνουμε την f(x) > g(x) και συναληθευουμε τις λυσεις στο A f ∩ A g, ενω την

f(x) < g(x) αν η C g ειναι πανω απ’την C f .

▪ Οποιαδηποτε καθετη ευθεια στον αξονα x’x τεμνει τη γραφικη παρασταση μιας

συναρτησης το πολυ σε ενα σημειο.

▪ Η τιμη της f : Α → ℝ στο x0 ∈ A , ειναι η τεταγμενη y0 του σημειου τομης M της

ευθειας x = x0 και της γραφικης παραστασης Cf.


139


▪ Το πεδιο ορισμου της f ειναι το συνολο Α των τετμημενων των σημειων της

γραφικης παραστασης C f.

Δηλαδη η προβολη της γραφικης παραστασης στον αξονα x’x.

▪ Το συνολο τιμων της f ειναι το συνολο f(Α) των τεταγμενων των σημειων της

γραφικης παραστασης C f .

Δηλαδη η προβολη της γραφικης παραστασης στον αξονα y΄y.

▪ Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ε ς Π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς

▪ Aν ειναι γνωστη η γραφικη παρασταση της g τοτε :

▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(x) + c, με c > 0 ( αντιστοιχα c < 0),

προκυπτει απ’τη κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της συν-

αρτησης g κατα c μοναδες προς τα πανω ( αντιστοιχα κατω).

▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(x + c), με c > 0 ( αντιστοιχα c < 0),

προκυπτει απ’την oριζοντια μετατοπιση της γραφικης παραστασης της συναρ-

τησης g κατα c μοναδες προς τα αριστερα ( αντιστοιχα δεξια).

▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = - g(x) ειναι συμμετρικη της γραφι-

κης παραστασης της συναρτησης g ως προς τον αξονα x’x.

▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = |g(x)| αποτελειται

▪ απο τα τμηματα της y = g(x) που βρισκονται πανω απο τον x’x.

▪ απο τα συμμετρικα ως προς τον x’x των τμηματων της y = g(x) που βρισκον-

ται κατω απο τον x’x.

▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(-x) ειναι συμμετρικη της γραφι-

κης παραστασης της g ως προς τον αξονα y’y.

4. Ο ρ θ ο κ α ν ο ν ι κ ο Σ υ σ τ η μ α Σ υ ν τ ε τ α γ μ ε ν ω ν

▪ Κ α ρ τ ε σ ι α ν ο συστημα αναφορας ειναι το συστημα

των δυο καθετα τεμνομενων αξονων x’x και y’y με

κοινη αρχη το 0 .

▪ Ο ρ θ ο κ α ν ο ν ι κ ο ειναι το καρτεσιανο συστημα ανα-

φορας, που οι μοναδες των αξονων εχουν το ιδιο μηκος .

▪ Εστω το σημειο Α του καρτεσιανου επιπεδου .

▪ Οι αριθμοι α, β λεγονται σ υ ν τ ε τ α γ μ ε ν ε ς του σημειου Α .

▪ Ο αριθμος α λεγεται τ ε τ μ η μ ε ν η του σημειου Α .

▪ Ο αριθμος β λεγεται τ ε τ α γ μ ε ν η του σημειου Α .

▪ Τα σημεια Α’, Α’’, Α’’’ ειναι τα συμμετρικα του σημειου Α, ως προς τον αξονα y’y,

τον αξονα x’x και την αρχη των αξονων Ο, αντιστοιχα .

▪ Η αποσταση δυο σημειων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δινεται απ’τον τυπο :

(ΑΒ) = 2 2

2 1 2 1(x - x ) +(y - y )


y

β

0

- β

- α α x

A’(-α,β) Α(α,β)

A’’’(-α,-β) Α’’(α,-β)

140


5. Σ υ ν α ρ τ η σ η : f ( x ) = a x + β

▪ Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = αx + β ειναι ευθεια που:

▪ τεμνει τον αξονα y’y στο σημειο (0, β) .

▪ τεμνει τον αξονα x’x στο σημειο (- β/α, 0)

▪ σχηματιζει με τον αξονα x’x γωνια ω, για την οποια: εφω = α

▪ Σ υ ν τ ε λ ε σ τ η ς δ ι ε υ θ υ ν σ η ς ( κ λ ι σ η ) της ευθειας y = αx + β λεγεται

ο αριθμος λ = α = εφω, οπου ω ειναι η γωνια

που σχηματιζει η ευθεια με τον αξονα y’y.

▪ Αν α > 0 τοτε : 0 0

10 < ω < 90

▪ Αν α < 0 τοτε : 0 0

290 < ω < 180

▪ Αν α = 0 τοτε : 0ω = 0

Aκομα η κλιση δινεται απο : 2 1

2 1

y - yλ =

x - x

▪ Η γρ. παρασταση της συναρτηση f(x) = αx ειναι

η γρ. παρασταση της συναρτησης f(x) = αx + β μετατοπισμενη παραλληλα ωστε να

διερχεται απ’την αρχη των αξονων .

▪ Για τις ευθειες ε1 : y =α1x + β1 και ε2 : y = α2x + β2 ισχυει :

▪ 1 2 1 2

ε ||ε α = α

▪ 1 2 1 2

ε ε α α = - 1

6. Μ ο ν ο τ ο ν ι α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν


▪ Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ’ενα διαστημα Δ του πεδιου

ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει : f(x₁) < f(x₂).

▪ Συμβολιζουμε f ↗ στο Δ.

▪ Ισχυει 1 2

1 2

f(x ) - f(x )

x - x > 0

▪ Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ’ενα διαστημα Δ του πεδιου

ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει : f(x₁) > f(x₂).

▪ Συμβολιζουμε f ↘ στο Δ.


1 2

f(x ) - f(x )

x - x < 0

▪ Μια συναρτηση f λεγεται σ τ α θ ε ρ η σ’ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της,

αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει : f(x₁) = f(x₂).


1 2

f(x ) - f(x )

x - x = 0


α < 0 α > 0

(x2,y2)

α = 0

(x1,y1)

ω1 ω2

141



▪ Οι γνησιως αυξουσες και οι γνησιως φθινουσες συναρτησεις γενικα λεγονται

γ ν η σ ι ω ς μ ο ν ο τ ο ν ε ς .

▪ Οταν μια συναρτηση ειναι γνησιως μονοτονη και δεν αναφερεται το διαστημα, θα

εννοουμε οτι ειναι γνησιως μονοτονη στο πεδιο ορισμου της.

▪ Μια συναρτηση ενδεχεται να εχει διαφορετικο ειδος μονοτονιας στο πεδιο ορισμου

της.

▪ Υπαρχουν συναρτησεις που εχουν το ιδιο ειδος μονοτονιας σε διαστηματα του πε-

διου ορισμου, αλλα δεν ειναι μονοτονες σ’ολο το πεδιο ορισμου.

7. Α κ ρ ο τ α τ α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν


Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι:

▪ Παρουσιαζει στο x₀ ∈ A (ολικο) μ ε γ ι σ τ ο , το f(x₀), αν ισχυει: f(x) ≤ f(x₀), για

καθε x ∈ A .

Το σημειο Μ(x0, f(x0)) ειναι το υψηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης.

▪ Παρουσιαζει στο x₀ ∈ A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο , το f(x₀), αν ισχυει: f(x) ≥ f(x₀), για

καθε x ∈ A .

Το σημειο Μ(x0, f(x0)) ειναι το χαμηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης.


▪ Το μεγιστο και το ελαχιστο μιας συναρτησης λεγονται α κ ρ ο τ α τ α .

Ειναι φανερο οτι μια συναρτηση μπορει να μην εχει ακροτατα.

▪ Αν το συνολο τιμων μιας συναρτησης ειναι κλειστο διαστημα, τα ακρα του ειναι

τα ακροτατα της συναρτησης.

8. Α ρ τ ι α - Π ε ρ ι τ τ η Σ υ ν α ρ τ η σ η


▪ Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν:

για καθε x ∈ Α, τοτε – x ∈ Α και f ( - x ) = f ( x ) .

▪ Mια συναρτηση λεγεται π ε ρ ι τ τ η στο πεδιο ορισμου της Α αν:

για καθε x ∈ Α, τοτε - x ∈ Α και f ( - x ) = - f ( x ) .


▪ Το πεδιο ορισμου αρτιας η περιττης συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ο σ υ ν ο λ ο

ως προς την αρχη Ο του αξονα x΄x των πραγματικων αριθμων.

▪ Η γραφικη παρασταση αρτιας συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ η ως προς τον α-

ξονα y΄y.

▪ Η γραφικη παρασταση περιττης συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ η ως προς την

αρχη Ο των αξονων.


142



2 2

Nα βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων :

- 3 1f(x) = + + x - 1

x + 1 x - 5x + 6

g(x) = 2 -|x - 1|

1 - 3h(x) = +

x - 1 2 -|x - 1|


2 2 2

2

(+1)

Πρεπει

x + 1 0 x + 1 0 x + 1 0, x

x - 5x + 6 0 (x - 2)(x - 3) 0 x 2 και x 3

x - 1 0 x 1 x 1

Αρα

Πρεπει

2-|x - 1| 0 |x - 1| 2 - 2 x - 1 2 - 2 + 1 x - 1 + 1

f

Α = [1,2) (2,3) (3,+ )

2 + 1 - 1 x 3

Αρα

Πρεπει

x - 1 0

x - 1 0 x - 1 > 0 x > 1 x > 1 x > 1 1 < x < 3

2-|x - 1| 0 2-|x - 1| > 0 |x - 1| < 2 - 2 < x - 1 < 2 - 1 < x < 3

2-|x - 1| 0

Αρα

g

h

Α = [- 1,3]

Α = (1,3)


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π ε δ ι ο υ ο ρ ι σ μ ο υ


Ευρεση πεδιου ορισμου συναρτησης .


Ο τυπος της συναρτησης .


Γενικα το πεδιο ορισμου μιας συναρτησης ειναι ολες εκεινες οι τιμες του x , για

τις οποιες εχει νοημα ο τυπος της συναρτησης f(x).

Υπορριζο μη αρνητικο .

Απολυτο μη αρνητικο .

Παρονομαστης διαφορος του μηδενος .

143



2

.

3x + 5Δινεται η συναρτηση : f(x) = .

x + λx + 1Για ποιες τιμες του λ , το πεδιο ορισμου της f ειναι το


2 2

2 2

(δηλαδη x + λx + 1 δεν εχει πραγματικες ριζες

H συναρτηση f εχει πεδιο ορισμου το , αν :

x + λx + 1 0 .

που σημαινει οτι : Δ < 0 λ - 4 1 1 < λ - 4 <

)

0 0

- 2 < λ < 2


fEστω η συναρτηση f, με τυπο : f(x) = 3x - 6. Nα βρεθουν τα σημεια που η C :

τεμνει τον αξονα x'x. τεμνει τον αξονα y'y.


f 1 1 f 2 2

1 1 1 1 2 2 2

Η C τεμνει τον x'x στο σημειο (x ,f(x )), αν Η C τεμνει τον y'y στο σημειο (x ,f(x )), αν

f(x ) = 0 0 = 3 x - 6 3 x = 6 x = 2 x = 0 f(x ) = 3×0 - 6 f(x ) = - 6

Αρα στο σημειο (2,

0) . Αρα στο σημειο (0,- 6) .


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ α π ’ τ ο π ε δ ι ο ο ρ ι σ μ ο υ






Γενικα το πεδιο ορισμου μιας συναρτησης ειναι ολες εκεινες οι τιμες του x , για

τις οποιες εχει νοημα ο τυπος της συναρτησης f(x).

Υπορριζο μη αρνητικο .

Απολυτο μη αρνητικο .

Παρονομαστης διαφορος του μηδενος .

Μ ε θ ο δ ο ς : Σ η μ ε ι α τ ο μ η ς μ ε τ ο υ ς α ξ ο ν ε ς x ’ x κ α ι y ’ y


Ευρεση σημειων τομης της C f με τους αξονες x’x και y’y .


Ο τυπος της συναρτησης f .


Για τον x’x : Θετουμε f(x) = 0 (y = 0 ) και βρισκουμε τα αντιστοιχα x.

Για τον y’y : Θετουμε x = 0 και βρισκουμε τα αντιστοιχα f(x) δηλαδη y.

144



2Eστω το σημειο Μ(x - 3x + 2, x - 2).

Nα βρεθει η τιμη του x, ωστε το σημειο Μ :

να ανηκει μονο στον αξονα y'y.

να ανηκει και στους δυο αξονες x'x και y'y.


2

Για να ανηκει το σημειο Μ, μονο στον αξονα y'y,

πρεπει :

x 2 x 2 και

καιx - 2 0 x 2x - 1 = 0

και και x = 1 η

(x - 1)(x - 2) = 0 ηx - 3x + 2 = 0x - 2 = 0

x = 2

Για

x = 1

2

να ανηκει το σημειο Μ και στους δυο αξονες (ειναι το σημειο Ο(0,0)),

πρεπει :

x = 2 x = 2

και καιx - 2 = 0 x = 2

και και x - 1 = 0 x = 1

(x - 1)(x - 2) = 0 η ηx - 3x + 2 = 0

x - 2 = 0 x = 2

x = 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Σ η μ ε ι α τ ω ν α ξ ο ν ω ν


Αποδειξη οτι σημειο ανηκει στους αξονες .


Το σημειο .


Το σημειο Μ( x 1, x 2 ) ανηκει στον :

αξονα x’x : αν x 2 = 0 (τεταγμενη ιση με 0) .

αξονα y’y : αν x 1 = 0 (τετμημενη ιση με 0) .

αξονα x’x και τον αξονα y’y : αν x 1 = 0 και x 2 = 0 .

( ειναι η αρχη των αξονων Ο(0,0) )

145



2

Δινεται η συναρτηση f, με τυπο : f(x) = 2x + α - 6.

Να δειξετε οτι το σημειο Μ(3,α) ανηκει στη γρ. παρασταση της f.

Δινεται η συναρτηση g, με τυπο : g(x) = x +7.

Να βρεθουν οι τιμες του α, για τις οποιες η γρ. παρασταση της g διερχεται απο το

σημειο Ν(α,5 + 3α).


Για να ανηκει το σημειο Μ(3, α) στη γρ.παρασταση της f, πρεπει :

f(3) = α

2 3 + α - 6 = α

6 = 6, που αληθευει.

Αρα το σημειο Μ ανηκει στη γρ.παρασταση της f.

Για να διερχεται η γρ.παρασταση της

2

2

2

g απ'το σημειο Ν(α,5 + 3α) , πρεπει :

f(α) = 5 + 3α

α + 7 = 5 + 3α

α - 3α + 2 = 0

α - α - 2α + 2 = 0

α(α - 1) - 2(α - 1) = 0

(α - 1)(α - 2) = 0

α - 1 = 0

α - 2 = 0

α = 1

α = 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ


Ευρεση παραμετρου, ωστε σημειο να ανηκει στη γραφικη παρασταση η η γραφικη

παρασταση διερχεται απο σημειο .


Ο τυπος της συναρτησης και το σημειο .


Για να ανηκει ενα σημειο στη γραφικη παρασταση μιας συναρτησης πρεπει οι

συντεταγμενες του να επαληθευουν το τυπο της συναρτησης . Δηλαδη στο τυ-

πο της συναρτησης αντικαθιστουμε

τον x, με τη τετμημενη του σημειου .

τον y (f(x)), με τη τεταγμενη του σημειου .

Λυνουμε και προσδιοριζουμε τη παραμετρο.

146



Στο διπλανο σχημα δινεται η γραφικη παρασταση

της συναρτησης f. Να βρεθουν :

Το πεδιο ορισμου της f.

Το συνολο τιμων της f.

Τα f(2), f(4), f(6).

Οι τιμες εκεινες του x για τις οποιες ειναι : f(x) = 1.


Η προβολη της γρ.παραστασης της f πανω στον αξονα x'x δινει το πεδιο ορισμου της f.

Δηλαδη :

Η προβολη της γρ.παραστασης της f πανω στον αξονα y'y δινει το συνολο τιμων της f.

Δηλ

fΑ = [- 2,6]

αδη :

Aπο τη γρ.παρασταση της f προκυπτει :

f(2) = 2 f(4) = 5 f(6) = 5 x = -1 , αν f(x) = 1

f(Α) = [1,3] (4,5]


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π ε δ ι ο υ ο ρ ι σ μ ο υ – σ υ ν ο λ ο υ τ ι μ ω ν


Ευρεση πεδιου ορισμου – συνολου τιμων απ’τη γραφικη παρασταση.


Η γραφικη παρασταση της συναρτησης .


Η προβολη της γραφικης παραστασης της συναρτησης πανω στον αξονα x’x,

δινει το πεδιο ορισμου της συναρτησης .

Η προβολη της γραφικης παραστασης της συναρτησης πανω στον αξονα y’y,

δινει το συνολο τιμων της συναρτησης .

y

5

4

3

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α σ τ α σ η γ ρ α φ ι κ α τ η ς f(x) = α x + β


Η γραφικη παρασταση .




Κατασκευαζουμε πινακα τιμων για τη συναρτηση (αρκουν δυο ζευγη x,y) .

Δινουμε αυθαιρετες τιμες για x (η y) και μεσω του τυπου της συναρτησης βρι-

σκουμε την αντιστοιχη τιμη του y (η x) . (Για : x = 0 τοτε y = ... και y = 0 τοτε x = ...)

Βρισκουμε τα πιο πανω σημεια στο καρτεσιανο επιπεδο και τα ενωνουμε .

Στη περιπτωση που ο τυπος της συναρτησης ειναι πολλαπλος, κανουμε τα πιο

πανω σε καθενα διαστημα του πεδιου ορισμου της συναρτησης .

147



Να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση f, με τυπο :

x - 2, αν x 0

f(x) = x + 3, αν 0 < x 2

3, αν x > 2


Κανουμε πινακα τιμων για την f, σε καθενα απ'τα διαστηματα.

□ Για x ≤ 0

x -1 0

y -2 -1

□ Για x ≥ 2

x 2 3

y -1 0

□ Για x ≤ 0 η γραφικη παρασταση της f ειναι ημιευθεια με αρχη

το σημειο (0,-1) που διερχεται απ’το σημειο (0, - 1) .

□ Για 0 < x ≤ 2 η γρ. παρασταση της f ειναι ευθ.τμημα με ακρα

τα σημεια (0, - 1) και (2, - 1), παραλληλη στον αξονα x’x .

□ Για x ≥ 2 η γραφικη παρασταση της f ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο (2,-1) που διερχεται

απ’το σημειο (3, 0) .


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η τ υ π ο υ σ υ ν α ρ τ η σ η ς


Ευρεση τυπου συναρτησης απ’τη γραφικη παρασταση .


Η γραφικη παρασταση της συναρτησης .


Η συναρτηση ειναι της μορφης f(x) = αx + β (1).

Θελουμε να προσδιορισουμε τα α και β .

Απ’τις γνωστες συντεταγμενες δυο σημειων της γραφικης παραστασης επαλη-

θευουμε την (1).

Δηλαδη δημιουργουμε συστημα δυο εξισωσεων με αγνωστους τα α και β .

Λυνουμε το πιο πανω συστημα και προσδιοριζουμε τα α και β .

Στη περιπτωση που ο τυπος της συναρτησης ειναι πολλαπλος, κανουμε τα πιο

πανω σε καθενα διαστημα του πεδιου ορισμου της συναρτησης .

y

-1 0 2 3

-1

-2

148



Στο διπλανο σχημα δινεται η γραφικη παρασταση

της συναρτησης f.

Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f.


□ Για x ≤ 0 η γραφικη παρασταση της f ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο O(0, 0) που

διερχεται απ’το σημειο A(-1, 3). Oποτε τα σημεια αυτα επαληθευουν τον τυπο της f,

f(x) = αx : 3 = - α ⇔ α = - 3

Δηλαδη για α = - 3, τοτε f(x) = - 3x

□ Για 0 < x ≤ 2 η γρ. παρασταση της f ειναι ευθ.τμημα με ακρα τα σημεια O(0, 0) και

B(2,2). Oποτε τα σημεια αυτά επαληθευουν τον τυπο της f,

f(x) = αx : 2 = 2α ⇔ α = 1

Δηλαδη για α = 1, τοτε f(x) = x

□ Για x ≥ 2 η γραφικη παρασταση της f ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο B(2, 2) πα-

ραλληλη στον αξονα x’x.

Oποτε f(x) = 2

Τελικα

- 3x, αν x 0

f(x) = x, αν 0 < x 2

2, αν x > 2


y

5

4

Α 3

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Μ ε θ ο δ ο ς : Π α ρ α λ λ η λ ι α κ α θ ε τ ο τ η τ α ε υ θ ε ι ω ν


Παραλληλια καθετοτητα ευθειων .


Οι εξισωσεις των ευθειων .


Για τις ευθειες ε 1 : y = α 1 x + β 1 και ε 2 : y = α 2 x + β 2 ισχυει :

1 2 1 2

ε ||ε α = α

1 2 1 2

ε ε α α = - 1

Για την ευθεια ε 3 : y = α 3 x + β 3

Η ευθεια ε 3 διερχεται απ’την αρχη των αξονων, αν β 3 = 0 ( y = αx ) .

Η ευθεια ε 3 ειναι παραλληλη στον αξονα x’x, αν α 3 = 0 .

Β

149



1 2

3 4

Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε οι ευθειες :

ε : y = |2α - 3|x + 4 και ε : y = |1- α|x - 2, να ειναι παραλληλες.

ε : y = |α|x + 5 και ε : y = ( |4α|- 4)x - 1, να ειναι καθετες.

Δ

2

5

5

5

ινεται η ευθεια ε : y = (α - 2)x +(α - 5α + 6).

Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε :

η ευθεια ε να διερχεται απ'την αρχη των αξονων.

η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x.


1 2

2 2

3 4

5

2α - 3 = 1- α 3α = 4 ε / /ε τοτε :|2α - 3|=|1- α|

2α - 3 = α - 1 α = 2

ε ε τοτε :|α| (|4α|- 4) = - 1 4|α| - 4|α|+1 = 0 (2|α|- 1) = 0 2|α|- 1 = 0

1 |α| =

2

η ευθεια ε διερχεται απ'την

4α =

3

α = 2

1α = ±

2

2 2

5

αρχη των αξονων, αν :

α - 5α + 6 = 0 α - 2α - 3α + 6 = 0 α(α - 2) - 3(α - 2) = 0

α - 2 = 0 (α - 2)(α - 3) = 0

α - 3 = 0

η ευθεια ε να

(ειναι της μορφης

ειναι παραλληλη σ

y = αx, β = 0)

τον αξονα x'x, αν : α - 2 = 0

α = 2

α = 3

α = 2


Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο σ τ α σ η σ η μ ε ι ω ν


Αποσταση σημειων, κορυφες ισοπλευρου – ορθογωνιου – ισοσκελους τριγωνου,

συνευθειακα σημεια κλπ .


Συντεταγμενες σημειων .


Η αποσταση δυο σημειων Α( x 1, y 1 ) , B( x 2, y 2 ) : (ΑΒ) = 2 2

2 1 2 1(x - x ) + (y - y ) .

Τα σημεια Α, Β, Γ ειναι κορυφες ορθογωνιου τριγωνου αν το τετραγωνο ενος

απο τα τμηματα (ΑΒ), (ΑΓ), (ΒΓ) ισουται με το αθροισμα των τετραγωνων των

αλλων δυο .

Τα σημεια Α, Β, Γ ειναι κορυφες ισοπλευρου τριγωνου αν για τα τμηματα (ΑΒ),

(ΑΓ), (ΒΓ) ισχυει : (ΑΒ) = (ΑΓ) = (ΒΓ) .

Τα σημεια Α, Β, Γ ειναι κορυφες ισοσκελους τριγωνου αν για τα τμηματα (ΑΒ),

(ΑΓ), (ΒΓ) ειναι: (ΑΒ) = (ΑΓ) ≠ (ΒΓ) η (ΒΓ) = (ΑΓ) ≠ (ΑΒ) η (ΑΒ) = (ΒΓ) ≠ (ΑΓ)

Τα σημεια Α, Β, Γ (με αυτη τη σειρα) ειναι συνευθειακα, αν : (ΑΒ) + (ΒΓ) = (ΑΓ)

150



2

Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, για τις οποιες το ευθυγραμμο τμημα

με ακρα τα σημεια Α(0,3α - 1) και Β(0,α ) να εχει μηκος ισο με 1.

Δινονται τα σημεια Α(3,0), Β(1,6) και Γ(2,3).

Να αποδειχτει οτι : Α, Β και Γ συνευθειακα και Γ μεσο του ΑΒ.


2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

Ειναι

(ΑΒ) = 1 (0 - 0) + [α - (3α - 1)] = 1 (α - 3α + 1) = 1 |α - 3α + 1|= 1

α - 3α + 1 = 1 α - 3α = 0 α(α - 3) = 0 η η η .

(α - 1)(α - 2) = 0α - 3α + 1 = -1 α - 3α + 2 = 0

Ειναι

(ΑΒ

α = 0 α = 1 α = 2 α = 3

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

) = (1- 3) + (6 - 0) = 2 + 6 = 4 + 36 = 2 10

(ΑΓ) + (ΒΓ) = (ΑΒ) = 2 10 (ΑΓ) = (2 - 3) + (3 - 0) = (- 1) + 3 = 1+ 9 = 10

(ΑΓ) = (ΒΓ) = 10

(ΒΓ) = (2 - 1) + (3 - 6) = 1 + (- 3) = 1+ 9 = 10

Α, Β και Γ συνευθειακα

Γ μεσ

ο του ΑΒ


2Δινεται η συναρτηση : f(x) = x - 3x + 2. Για ποιες τιμες του x η γραφικη παρασταση της

συναρτησης f βρισκεται κατω απ'τον αξονα x'x ;


2

Ειναι

f(x) < 0 x - 3x + 2 < 0 (1)


Μ ε θ ο δ ο ς : Η C f β ρ ι σ κ ε τ α ι π α ν ω ( κ α τ ω ) α π ’ τ ο ν α ξ ο ν α x ’ x


Ευρεση εκεινων των x για τα οποια η γραφικη παρασταση συναρτησης βρισκεται

πανω (κατω) απ’τον αξονα x’x .




Πανω : Λυνουμε την ανισωση f(x) > 0 .

Κατω : Λυνουμε την ανισωση f(x) < 0 .

151


2

f

1,2

Δ = 3 - 4 2 = 9 - 8 = 1

(1) εχει ριζες : (δεκτες αφου A = )3 1 3 1x

2 2

Η (1) αληθευει για :

x = 1

x = 2

1 < x < 2

= =


2 5 3Δινoνται οι συναρτησεις : f(x) = x + λx και g(x) = - λ + .

4 2Να δειξετε οτι αν η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται πανω απ'τη

γραφικη παρασταση της συναρτησης g για καθε x , τοτε : 2 < λ < 3.


f g f g

f g

2 2

2

Ειναι : Α = Α = Α Α =

Για να ειναι η C πανω απ'τη C ,για καθε x , πρεπει :

5 3 5 3f(x) > g(x) x + λx > - λ + x + λx + λ - > 0

4 2 4 2Η τελευταια ισχυει για καθε x , αν : α > 0 και Δ < 0.

Ομως α = 1 > 0, οποτε :

Δ < 0 λ

25 3- 4 1 ( λ - ) < 0 λ - 5λ + 6 < 0 (λ - 2)(λ - 3) < 0

4 2 2 < λ < 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η μ ο ν ο τ ο ν ι α ς σ υ ν α ρ τ η σ η ς


Ευρεση μονοτονιας συναρτησης




Για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ :

Μετασχηματιζουμε την x₁ < x₂ σε σχεση αναμεσα στις f(x₁), f(x₂) .

Aν

f(x₁) > f(x₂) τοτε η f γν. αυξουσα

f(x₁) < f(x₂) τοτε η f γν. φθινουσα

f(x₁) = f(x₂) τοτε η f σταθερη

Βρισκουμε τη σχεση 1 2

1 2

f(x ) - f(x )

x - x (1) .

Aν

(1) > 0 τοτε η f γν. αυξουσα

(1) < 0 τοτε η f γν. φθινουσα

(1) = 0 τοτε η f σταθερη

152



Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = 5 - x + 1 ειναι γνησιως φθινουσα.


f

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει : 5 - x 0 x 5, δηλαδη A = (- , 5].

Aν x ,x 5 με x < x τοτε :

- x > - x 5 - x > 5 - x 5 - x > 5 - x 5 - x + 1 > 5 - x + 1

f γν. φθινουσα στο (- ,5

1 2 1 2x < x f(x ) > f(x )

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1

].

A λ λ ι ω ς

5 - x + 1 > 5 - x + 1 5 - x > 5 - x 5 - x > 5 - x - x > - x

f γν. φθινουσα στο (- , 5].

A λ λ ι ω ς

5 - x + 1- ( 5 - x + 1) 5 - x - 5 - xf(x ) - f(x ) = = =

x - x x - x x - x

1 2 1 2f(x ) > f(x ) x < x

λ 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

1 2

( 5 - x - 5 - x )( 5 - x + 5 - x )= =

(x - x )( 5 - x + 5 - x )

5 - x - (5 - x ) 5 - x - 5 + x - (x - x ) = = = =

(x - x )( 5 - x + 5 - x ) (x - x )( 5 - x + 5 - x ) (x - x )( 5 - x + 5 - x )

-1 = , (αφου 5 - x + 5

5 - x + 5 - x< 0

2- x > 0) η f γν. φθινουσα στο (- , 5].


2Να βρεθουν τα ακροτατα της συναρτησης : f x = x - 4x + 3 . ( )


To πεδιο ορισμου της f ειναι το ℝ .


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η α κ ρ ο τ α τ ω ν σ υ ν α ρ τ η σ η ς ( ο ρ ι σ μ ο ς )


Ευρεση ακροτατων συναρτησης .




Δειχνουμε οτι f(x) ≤ f(x₀) η f(x) ≥ f(x₀), για καθε x που ανηκει στο πεδιο ορισμου Α f .

H f παρουσιαζει στο x₀ ∈ A

μεγιστο, το f(x₀), αν :f(x) ≤ f(x₀), για καθε x ∈ A .

ελαχιστο, το f(x₀), αν : f(x) ≥ f(x₀), για καθε x ∈ A .

153


Eιναι,

f(x) = x 2 - 4x + 3 ⇔ f(x) = (x 2- 4x + 4) -1⇔ f(x) + 1 = (x - 2) 2 ≥ 0 ⇔ f(x) ≥ - 1

Eπισης,

f(x) = - 1 οταν (x - 2) 2 = 0 x = 2 δηλαδη f(2) = - 1 .

Αρα f(x) ≥ f(2) και η f παρουσιαζει ελαχιστο για x = 2 το f(2) = - 1 .


fΝα βρεθει το μεγιστο και ελαχιστο της συναρτησης : f(x) = 2x - 3 με A = [0,3].


Ειναι,

y + 3y = 2x - 3 2x = y + 3 x =

2 y + 3

0 3 0 y + 3 6 - 3 y 32

- 3 + 3 Για y = - 3 τοτε x = = 0, αρα για :

23 + 3

Για y = 3 τοτε x = = 3, αρα για : 2

f(A) = [- 3,3]

x = 0 ελαχιστο το f(0) = - 3

x = 3 μεγιστο το f(3) = 3


Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η α κ ρ ο τ α τ ω ν σ υ ν α ρ τ η σ η ς ( Σ . Τ . )




Ο τυπος της συναρτησης και πεδιο ορισμου κλειστο διαστημα .


Βρισκουμε το συνολο τιμων της συναρτησης f(A) = [α, β] .

Tα ακρα α, β του συνολου τιμων ειναι το ελαχιστο και μεγιστο , αντιστοιχα,

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η α κ ρ ο τ α τ ω ν σ υ ν α ρ τ η σ η ς ( μ ο ν ο τ ο ν ι α )






Βρισκουμε εκεινο το x του πεδιου ορισμου της συναρτησης, που αλλαζει η μο-

νοτονια της .

Η τιμη της συναρτησης για το πιο πανω x, ειναι το ακροτατο .

154



Να βρεθουν τα ακροτατα, αν υπαρχουν, της συναρτησης : g(x) = |x - 2|+ 1 .


x - 1, αν x 2 Ευκολα ο τυπος της συναρτησης g γινεται : g(x) =

- x + 3, αν x > 2

Oποτε

Στο διαστημα (- ,2] η g ειναι γν.αυξουσα, αφου α = 1 > 0.

Στο διαστημα (2,+ ) η g ειναι γν.φθινουσα, αφου α = - 1

(Σ

< 0

τη

.

Aρα

θεσ

η g πα

η x = 2, α

ρουσιαζει στη θε

λλαζει η μονοτον

ση x = 2 μεγιστο , το g(2) = 1

ια της g, οποτε εχουμε ακροτ

.

ατο)


- x + 2, x < - 1Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = ειναι περιττη.

- x - 2, x > 1


fTo πεδιο ορισμου της f ειναι : Α = (- ,1) (1,+ ), συμμετρικο ως προς 0.

Για x < - 1 - x > 1 τοτε :

f(- x) = - (- x) - 2 = x - 2 = - (- x + 2) = - f(x), αρα η f ειναι περιττη για x < - 1.

Για x > 1 - x < -1 τοτε :

f(-

f

x) = - (- x) + 2 = x + 2 = - (- x - 2) = - f(x), αρα η f ειναι περιττη για x > 1.

Οποτε για καθε x Α η f ειναι . περιττη


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ρ τ ι α – Π ε ρ ι τ τ η σ υ ν α ρ τ η σ η


Αποδειξη αρτιας – περιττης συναρτησης .




Δειχνουμε οτι το πεδιο ορισμου της ειναι συμμετρικο ως προς το μηδεν.

Δειχνουμε οτι για καθε x ∈ Α, τοτε - x ∈ Α και :

f(- x) = f(x) (αρτια συναρτηση) η

f(-x) = - f(x) (περιττη συναρτηση) .

155



Να βρειτε ποιες απο τις παρακατω γραμμες ειναι γραφικες παραστασεις αρτιας και

ποιες περιττης συναρτησης .


H f ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα , αρα ειναι .

H g ειναι συμμετρικη ως προς κεντρο το Ο, αρα ειναι .

H h δεν ειναι συμμετρικη ουτε ως προς τον αξονα ου

τε ως προς κεντρο

την

αρτια

περιττη

αρχη Ο,

αρα ουτε αρτια ουτε περιττη.δεν ειναι


Μ ε θ ο δ ο ς : Α ρ τ ι α – Π ε ρ ι τ τ η σ υ ν α ρ τ η σ η (γ ρ . π α ρ α σ τ α σ η )


Αποδειξη αρτιας – περιττης συναρτησης .


Η γραφικη παρασταση .


Εξεταζουμε τη συμμετρια της γραφικης παραστασης της συναρτησης.

Αν η γραφικη παρασταση της συναρτησης :

ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα y’y, τοτε η συναρτηση ειναι αρτια .

ειναι συμμετρικη ως προς την αρχη των αξονων, τοτε η συναρτηση ειναι πε-

ριττη .

σε καθε αλλη περιπτωση δεν ειναι ουτε αρτια, ουτε περιττη .

y = f(x)

y = g(x)

y = h(x)

Μ ε θ ο δ ο ς : Κ α τ α κ ο ρ υ φ η - Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α Μ ε τ α τ ο π ι σ η


Γραφικη παρασταση συναρτησης f


O τυπος της συναρτησης f που εξαρταται απ’τη συναρτηση φ .


Βρισκουμε τη γραφικη παρασταση της φ την Cφ .

Αν f(x) = φ(x) + c, μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα πανω .

Αν f(x) = φ(x) - c, μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα κατω .

Αν f(x) = φ(x - c), μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα δεξια .

Αν f(x) = φ(x + c), μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα αριστερα .

156



Να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση f(x) =|x - 2|+ 1 .


φ

f

φ

Αν φ x = x , τοτε η συναρτηση f ειναι

της μορφης f x = φ x - 2 + 1.

Η C αποτελειται απ’τις διχοτομους της

1ης και 2ης γωνιας των αξονων.

Οποτε για να βρουμε τη C μεταφερουμε

τη C κατα 2 μοναδ

( )

ες

| |

(

πρ

) ( )

ος τα δεξια και

1 μοναδα προς τα πανω.


2Δινεται η συναρτηση φ x = 2x – 1.

Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης f της οποιας η γραφικη παρασταση προκυπτει απο

δυο διαδοχικες μετατοπισεις της γραφικης παραστασης της φ :

κατα 2 μοναδες προς τα

δεξια και κατα 1 μοναδα προς τα πανω.

κατα 3 μοναδες προς τα δεξια και κατα 2 μοναδες προς τα κατω.

κατα 2 μοναδες προς τα αριστερα και κατα 1 μοναδα προς τα πανω.

κατα 3 μοναδες προς τα αριστερα και κατα 2 μοναδες προς τα κατω.


2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 μοναδες δεξια τοτε : 2x -1 2(x - 2) -1, Δηλαδη, f(x) = 2(x - 2)

1 μοναδα πανω τοτε : 2(x - 2) -1 2(x - 2) -1+ 1 = 2(x - 2)

3 μοναδες δεξια τοτε : 2x -1 2(x - 3) -1,

2 μοναδες κατω τοτε : 2(x - 3) -1

2

2 2 Δηλαδη, f(x) = 2(x - 3) - 3

2(x - 3) -1- 2 = 2(x - 3) - 3




Ευρεση τυπου συναρτησης f .


O τυπος της συναρτησης φ και οι μετατοπισεις της Cφ .


Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα πανω, τοτε f(x) = φ(x) + c .

Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα κατω, τοτε f(x) = φ(x) - c .

Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα δεξια, τοτε f(x) = φ(x - c) .

Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα αριστερα, τοτε f(x) = φ(x + c) .

-2 -1 0 1 2 x

y

1

C φ

C f

157


2 2 2

2 2 2

2 2

2 μοναδες αριστερα τοτε : 2x -1 2(x + 2) -1, Δηλαδη, f(x) = 2(x + 2)

1 μοναδα πανω τοτε : 2(x + 2) -1 2(x + 2) -1+ 1 = 2(x + 2)

3 μοναδες αριστερα τοτε : 2x -1 2(x + 3) -1,

2 μοναδες κατω τοτε : 2(x +

2

2 2 2 Δηλαδη, f(x) = 2(x + 3) - 3

3) -1 2(x + 3) -1- 2 = 2(x + 3) - 3


158


Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς


2

Δινεται η συναρτηση : f(x) = x - 1.

Να βρεθει το x ωστε να ισχυει : f(x) = f(x - x) + 3

Να βρεθει το y ωστε να ισχυει : f(y) = 1

αx +|β| αν x < 1Δινεται η συναρτηση : g(x) =

(α - 1)x, αν x 1

Nα β

ρεθουν τα α και β, αν ισχυει : g(- 1 ) = 3 και g(2) = 4.


2 2

Nα βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων :

- 3 1f(x) = + + x - 1

x + 1 1- x

g(x) = |x - 1|- 2

x 2xh(x) = +

|x - 1|-|3x + 1|x - 1


Να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση f, με τυπο :

- x, αν x 1

f(x) = x - 2, αν 1 < x 3

1, αν x > 3


2Eστω το σημειο Μ(λ - 2, λ - 4).

Nα βρεθει η τιμη του λ, ωστε το σημειο Μ :

να ανηκει μονο στον αξονα x'x.

να ανηκει και στους δυο αξονες x'x και y'y.

Eστω η συναρτηση f, με

τυπο : f(x) =|x - 2|- 1.

Nα βρεθουν τα σημεια που η γρ. παρασταση της συναρτησης f :

τεμνει τον αξονα x'x.

τεμνει τον αξονα y'y.


2

2

2

Δινεται η συναρτηση f, με τυπο : f(x) = x - 2α.

Να δειξετε οτι το σημειο Μ(α + 1, α + 1) ανηκει στη γρ. παρασταση της f.

Δινεται η συναρτηση g, με : g(x) = x - 2x + 2 + β.

Να βρεθουν οι τιμες των α και 2

β, για τις οποιες η γρ. παρασταση της g διερχεται

απο το σημειο Ν(α,- β - β).

159




Βρειτε τις τιμες του πραγματικου αριθμου α, για τις οποιες το ευθυγραμμο τμημα

με ακρα τα σημεια Α(α,x + 6) και Β(α,2x + 3) να εχει μηκος ισο με 1.

Δινονται τα σημεια Α(3,2), Β(4,- 2) και Γ(- 1,1).

Να αποδειχτει οτι : Α, Β και Γ ειναι κορυφες ισοσκελους τριγωνου.


1 2

3

Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε οι ευθειες :

ε : y = (3α + 1)x και ε : y = (α - 3)x + 5 ειναι : παραλληλες καθετες

2α + 3Δινεται η ευθεια ε : y = x + 1, με α 2.

α - 2 Να βρεθουν

3

3 4

3

οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε :

η ευθεια ε να διερχεται απ'την αρχη των αξονων.

η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στην ευθεια ε : y = - 5x + 2.

η ευθεια ε να ειναι καθετη στην 5

1ευθεια ε : y = - x + 3.

9


Στο σχημα δινεται η γρ. παρασταση της f.

Να βρεθουν :

Το πεδιο ορισμου της f.

Το συνολο τιμων της f.

Τα f(2), f(4), f(6).

Οι τιμες εκεινες του x για τις οποιες : f(x) = 1.

Α σ κ η σ η 9 η Nα βρειτε το τυπο της συναρτησηςf, που η

γραφικη της παρασταση φαινεται στο διπλανο

σχημα.

y

5

4

3

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y A 3 B

-2 -1 0 1 2 x


2 2

2

*R

Να εξετασετε αν ειναι αρτιες η περιττες οι παρακατω συναρτησεις :

2x - 1 f(x) = x - 9 g(x) = x -|x|+ 1 h(x) =

2x + 1

Δινεται η συναρτηση p ορισμενη στο , με p(x) = (α - 4)x +7.

Να βρεθει ο πραγματικος αροιθμος α, ωστε η p να ειναι αρτια.

160




2

Να εξετασετε αν ειναι αρτιες η περιττες οι παρακατω συναρτησεις :

|x|- 3f(x) = 1- 4x g(x) =

x

- x + 1 , x 01h(x) = p(x) =

x + 1 , x 0(x - 1)(x - 3)


3 2

Μελετησετε ως προς τη μονοτονια τις συναρτησεις :

f(x) = 2x + 1 g(x) = - x - 2x + 1 h(x) = x - 4x + 3, με x 2

Α σ κ η σ η 1 4 η 3Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση : f(x) = 2x - 3 .


2

Να δειξετε οτι η συναρτηση f με f(x) = αx + β, ειναι γν.αυξουσα αν α > 0 και γν.φθι -

νουσα αν α < 0.

Να μελετηθουν ως προς τη μονοτονια οι συναρτησεις :

g(x) = (4 - κ )x - 2 h(x) = 2|x|+|x - 1|


4 2

Να βρεθουν τα ακροτατα των συναρτησεων :

f(x) = x + x + 2 g(x) = |x - 1|+ 2


2

Μελετησετε ως προς τη μονοτονια τις :

x + 1, αν x 0 f(x) = (λ - 9)x + 1 g(x) =|x - 2|+|x + 1| h(x) =

- 2x + 3, αν x > 0

Nα βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, αν η συναρτηση f με

f(x) = α|x + 1|- 3|x - 2|ειναι γν.φθινουσα στο διαστημα [2,+ ).


2

Να γινει η μελετη και η γρ.παρασταση των :

f(x) = - 2x

x + 2, αν x < 1g(x) =

- x + 2, αν x 1

|x + 1|-|x - 1|h(x) =

x

161




2

2

Να βρεθουν οι πραγματικες τιμες του x, που η γραφικη παρασταση της συναρτησης

f βρισκεται πανω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g, οταν :

f(x) = x - 2x και g(x) = x + 4

f(x) = x - 4x + 1 και g(x) = x

- 8

f(x) = 4 - x και g(x) = x + 2

162


Η αποσταση δυο σημειων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δινεται απ’τον τυπο:

(ΑΒ) = 2 2

2 1 2 1(x - x ) +(y - y )

Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς


Στο τριγωνο ΑΒΓ εφαρμοζουμε το

Πυθαγορειο θεωρημα.

Ετσι : (ΑΒ) 2 = (ΑΓ) 2 + (ΒΓ) 2 (1)

Ομως : (ΑΓ) 2 = |x 2 – x 1| 2 (2)

(ΒΓ) 2 = |y 2 – y 1| 2 (3)

Oποτε:

(1)(2)

(3) (ΑΒ) 2 =|x 2 - x 1|2 +|y 2 - y 1|2

2 2 2

2 1 2 1(AB) = (x - x ) + (y - y )


▪ Παραλληλια (σχ. 1)

▪ 1 2 1 2

ε ||ε α = α

Ειναι

1 2

ε ||ε ⇔ ω1 = ω2 ⇔ εφω1 = εφω2 ⇔ α 1 = α 2

▪ Καθετοτητα (σχ. 2)

▪ 1 2 1 2

ε ε α α = -1

Θεωρουμε δυο καθετες ευθειες ε1 και ε2 με εξισωσεις

y = α 1 ∙ x και y = α 2 ∙ x αντιστοιχα.

Στο ορθ. τριγωνο ΟΑΒ απ’το Πυθαγορειο θεωρημα:

(ΟΑ) 2 + (ΟΒ) 2 = (ΑΒ) 2 ⇔

α 1 2 + 1 2 + α 2 2 + 1 2 = (α 1 – α 2) 2 + (1 - 1) 2 ⇔

α 1 2 + 1 + α 2 2 + 1 = α 1 2 - 2 ∙ α 1 ∙ α 2 + α 2 2 ⇔ 2 = - 2 ∙ α 1 ∙ α 2 ⇔ α 1 ∙ α 2 = - 1

Επειδη οι ευθειες y = α 1 ∙ x + β 1 και y = α 2 ∙ x + β 2 ειναι παραλληλες στις y = α 1 ∙ x

και y = α 2 ∙ x, γενικα συμπεραινουμε οτι δυο ευθειες y = α 1 ∙ x + β 1 και y = α 2 ∙ x + β 2

ειναι καθετες αν α 1 ∙ α 2 = - 1 .

Ισχυει :

1 2 1 2 1 2 1 2

ε ||ε α = α ε ε α α = - 1

y

y2

y1

0 x1 x2 x

Σχ.1 ε1 ε2

ω1 ω2

Σχ.2

1

A

B

Γ

|y2 - y1|

|x2 - x1|

α1 Α(1, α1)

α2 Β(1, α2)

163


Μ ε λ ε τ η

Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν


164


1 . Σ υ ν α ρ τ η σ η f ( x ) = α

x

▪ Π ε δ ι ο Ο ρ ι σ μ ο υ :

Α = ℝ * = (- ∞, 0) ∪ (0 , + ∞) (αφου πρεπει x ≠ 0)

▪ Σ υ ν ο λ ο Τ ι μ ω ν :

f(Α) = ℝ * (αφου για x ≠ 0 ειναι και f(x) = α

x ≠ 0)

▪ Σ υ μ μ ε τ ρ ι ε ς :

Για καθε x ∈ ℝ * και το - x ∈ ℝ * .

Aκομα α α

f(- x) = = - = - f(x)- x x

Ετσι : η f ειναι π ε ρ ι τ τ η στο ℝ * .

▪ Σ η μ ε ι α Τ ο μ η ς μ ε Α ξ ο ν ε ς :

Απο την εξισωση α

y =x

εχουμε x ∙ y = α ≠ 0

Αρα x ≠ 0 και y ≠ 0, που σημαινει οτι δ ε ν υπαρχουν σημεια τομης με τους αξονες.

▪ Μ ο ν ο τ ο ν ι α :

Η μονοτονια της f(x) = α

x εξαρταται απ’το α.

▪ Aν α > 0 τοτε f ↘ στο (- ∞, 0) και f ↘ στο (0, + ∞)

▪ Aν α < 0 τοτε f ↗ στο (- ∞, 0) και f ↗ στο (0, + ∞)

Σχολιο : Η f δεν ειναι γνησιως φθινουσα η αυξουσα σ’ ολο το ℝ * .

Ειναι γν. φθινουσα η αυξουσα κατα διαστηματα .

▪ Α κ ρ ο τ α τ α :

Απο τον πινακα μονοτονιας προκυπτει οτι η f δ ε ν ε χ ε ι ακροτατα στο ℝ *

▪ Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η :

Η γραφικη παρασταση εχει εξισωση α

y =x

και παριστανει μια καμπυλη που λεγε-

ται υ π ε ρ β ο λ η . Αποτελειται απο δυο κλαδους σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ο υ ς ως προς την

α ρ χ η τ ω ν α ξ ο ν ω ν .


α > 0 α < 0

165


▪ Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς :

▪ Οταν η μεταβλητη x παιρνει πολυ μεγαλες τιμες , αυξανομενη συνεχως, λεμε

οτι ‘’ το x τεινει στο + ∞ ’’ και συμβολιζουμε x → + ∞ .

▪ Οταν η μεταβλητη x παιρνει πολυ μικρες τιμες , μειουμενη συνεχως, λεμε οτι

‘’ το x τεινει στο - ∞ ’’ και συμβολιζουμε x → + ∞ .

▪ Οταν η μεταβλητη x παιρνει τιμες πολυ κοντα στο 0, πλησιαζοντας απο τα θε-

τικα, λεμε οτι ‘’ το x τεινει στο 0 απο δεξια ’’ και συμβολιζουμε x → 0 + .

▪ Οταν η μεταβλητη x παιρνει τιμες πολυ κοντα στο 0, πλησιαζοντας απο τα αρ-

νητικα, λεμε οτι ‘’ το x τεινει στο 0 απο αριστερα ’’ και συμβολιζουμε x → 0 - .

2. Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς : f ( x ) = 1

x κ α ι g ( x ) = -

1

x

▪ Η γραφικη παρασταση των συναρτησεων ειναι υπερβολη με κεντρο συμμετριας την

αρχη των αξονων και φαινεται στα παρακατω σχηματα :

▪ Αν x → + ∞ τοτε 1

x → 0 ▪ Αν x → + ∞ τοτε -

1

x → 0

▪ Αν x → - ∞ τοτε 1

x → 0 ▪ Αν x → - ∞ τοτε -

1

x → 0

Λεμε οτι ο αξονας x’x ειναι α σ υ μ π τ ω τ ο ς της γραφικης παραστασης , δηλαδη

καθως το x αυξανεται (η μειωνεται) η γραφικη παρασταση πλησιαζει συνεχως τον

x’x χωρις να τον τεμνει.

▪ Αν x → 0 + τοτε 1

x → + ∞ ▪ Αν x → 0 + τοτε -

1

x → - ∞

▪ Αν x → 0 - τοτε 1

x → - ∞ ▪ Αν x → 0 - τοτε -

1

x → + ∞

Λεμε οτι ο αξονας y΄y ειναι α σ υ μ π τ ω τ ο ς της γραφικης παραστασης , δηλαδη

καθως το x πλησιαζει στο 0 η γραφικη παρασταση πλησιαζει συνεχως τον y΄y χω-

ρις να τον τεμνει .


f(x) = 1

x g(x) = -

1

x

166


3 . Σ υ ν α ρ τ η σ η f ( x ) = α ∙ x 2


Α = ℝ (αφου f(x) οριζεται για καθε x ∈ ℝ )


f(A) = [0,+ ), αν α > 0

f(A) = (- ,0], αν α < 0


Για καθε x ∈ ℝ * και το - x ∈ ℝ * .

Aκομα 2 2f(- x) = α (- x) = α x = f(x)

Ετσι : η f ειναι α ρ τ ι α στο ℝ * .


Για x = 0 βρισκουμε y = 0.

Ετσι η παραβολη διερχεται απο την αρχη των αξονων Ο(0,0) και δεν τεμνει τους

αξονες σε κανενα αλλο σημειο .


Η μονοτονια της f(x) = α ∙ x 2 εξαρταται απ’το α.

▪ Aν α > 0 τοτε f ↘ στο (- ∞, 0] και f ↘ στο [0, + ∞)

▪ Aν α < 0 τοτε f ↗ στο (- ∞, 0] και f ↗ στο [0, + ∞)


▪ αν α > 0 εχει ε λ α χ ι σ τ ο στο x = 0, το f(x) = 0 .

▪ αν α < 0 εχει μ ε γ ι σ τ ο στο x = 0, το f(x) = 0 .


Η γραφικη παρασταση εχει εξισωση 2y = α x και παριστανει μια καμπυλη που

λεγεται π α ρ α β ο λ η .

Εχει α ξ ο ν α σ υ μ μ ε τ ρ ι α ς τ ο ν α ξ ο ν α y ’ y και κ ο ρ υ φ η τ η ν α ρ χ η

τ ω ν α ξ ο ν ω ν .

Αν α > 0 βρισκεται πανω απ’τον αξονα x’x, ενω αν α < 0 τοτε ειναι κατω απ’τον αξο-

να x’x.


α > 0 α < 0

167


▪ Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς :

▪ Η παραβολη δεν εχει ασυμπτωτες, αφου:

2 2

2 2

αν x + τοτε αx + (αν α > 0) η αx (αν α < 0)

αν x τοτε αx + (αν α > 0) η αx (αν α < 0)

-

- -

▪ Για αντιθετες τιμες του α εχουμε δυο παραβολες συμμετρικες ως προς τον x΄x.

▪ Καθως μεγαλωνει η |α| η παραβολη γινεται πιο ‘’κλειστη’’.

▪ Καθως μικραινει η |α| η παραβολη γινεται πιο ‘’ανοικτη’’.

4. Σ υ ν α ρ τ η σ η f ( x ) = α ∙ x 2 + β ∙ x + γ


Α = ℝ (αφου f(x) οριζεται για καθε x ∈ ℝ )


Δf(A) = [ - ,+ ), αν α > 0

4αΔ

f(A) = ( - ,- ] , αν α < 04α


Η παραβολη εχει α ξ ο ν α σ υ μ μ ε τ ρ ι α ς την ευθεια x = β

- 2α


y’y : H παραβολη διερχεται απο τo σημειο (0, γ)

x’x : H παραβολη διερχεται απ’τα σημεια - β - - β +

( ,0), ( ,0)2α 2α

.


Η μονοτονια της f(x) = α ∙ x 2 + β ∙ x + γ εξαρταται απ’το α.

▪ Aν α > 0 τοτε f ↘ στο (- ∞,β

-2α

] και f ↗ στο [β

-2α

, + ∞)

▪ Aν α < 0 τοτε f ↗ στο (- ∞,β

-2α

] και f ↘ στο [β

-2α

, + ∞)


β β Δ

αν α > 0 εχει ε λ α χ ι σ τ ο για x = - , το f(- ) = - 2α 2α 4α

β β Δ

αν α < 0 εχει μ ε γ ι σ τ ο για x = - , το f(- ) = - 2α 2α 4α


Η γραφικη παρασταση εχει εξισωση y = α ∙ x 2 + βx + γ και παριστανει μια καμπυλη

που λεγεται π α ρ α β ο λ η . Εχει κ ο ρ υ φ η το σημειο (β

-2α

, Δ

- 4α

).


168



α > 0 α < 0

Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0

169



2 2 2

Nα γινει η γραφικη παρασταση των συναρτησεων :

f(x) = 2x - 1 f(x) = 2(x - 3) f(x) = 2x - 12x + 17


Ειναι g(x) = 2x2

□ Αν g(x) = 2x2 τoτε f(x) = g(x) - 1, οποτε η

γραφικη παρασταση της f θα προκυψει

απ’την γραφικη παρασταση της g αν την f(x) = 2x2 - 1

μετατοπισουμε κατακορυφα κατα 1 μονα-

δα προς τα κατω. -1

g(x) = 2x2 f(x) = 2(x-3)2

□ Αν g(x) = 2x2 τoτε f(x)= g(x-3), οποτε η

γραφικη παρασταση της f θα προκυψει

απ’την γραφικη παρασταση της g αν την 0 3

μετατοπισουμε οριζοντια κατα 3 μοναδες προς τα δεξια .

□ f(x) = 2(x2 - 6x +17

2) = 2(x2 - 2 ∙ 3x + 32 -32 +

17

2) =

= 2[(x - 3)2 -1

2] = 2(x - 3)2 – 1

Αν g(x) = 2x2 τoτε h(x) = g(x - 3) και f(x) = h(x) - 1 0 3

οποτε η γραφικη παρασταση της f θα προκυψει

απ’την γραφικη παρασταση της g αν την μετατο- f(x) = 2(x - 3)2 - 1

πισουμε δεξια κατα 3 μοναδες και 1 προς τα κατω.

Μ ε θ ο δ ο ς : Κ α τ α κ ο ρ υ φ η - Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α Μ ε τ α τ ο π ι σ η


Γραφικη παρασταση συναρτησης f .




Αν f(x) = φ(x) + c, μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα πανω .

Αν f(x) = φ(x) - c, μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα κατω .

Αν f(x) = φ(x - c), μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα δεξια .

Αν f(x) = φ(x + c), μετατοπιζουμε τη Cφ κατα c μοναδες προς τα αριστερα .


g(x) = 2x2 h(x) = 2(x-3)2

-1

170



2Δινεται η συναρτηση φ x = 2x - 1.

Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης f της οποιας η γραφικη παρασταση προκυπτει απο

δυο διαδοχικες μετατοπισεις της γραφικης παραστασης της φ :







2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 μοναδες δεξια τοτε : 2x - 1 2(x - 2) - 1, Δηλαδη, f(x) = 2(x - 2)

1 μοναδα πανω τοτε : 2(x - 2) - 1 2(x - 2) - 1+ 1 = 2(x - 2)

3 μοναδες δεξια τοτε : 2x - 1 2(x - 3) - 1,

2 μοναδες κατω τοτε : 2(x - 3) - 1

2

2 2

2 2 2

2 2 2

Δηλαδη, f(x) = 2(x - 3) - 32(x - 3) - 1- 2 = 2(x - 3) - 3

2 μοναδες αριστερα τοτε : 2x - 1 2(x + 2) - 1, Δηλαδη, f(x) = 2(x + 2)

1 μοναδα πανω τοτε : 2(x + 2) - 1 2(x + 2) - 1+ 1 = 2(x + 2)

3 μοναδες αριστερα

2 2 2

2 2 2

τοτε : 2x - 1 2(x + 3) - 1, Δηλαδη, f(x) = 2(x + 3) - 3

2 μοναδες κατω τοτε : 2(x + 3) - 1 2(x + 3) - 1- 2 = 2(x + 3) - 3



Ευρεση τυπου συναρτησης f .




Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα πανω, τοτε f(x) = φ(x) + c .

Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα κατω, τοτε f(x) = φ(x) - c .

Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα δεξια, τοτε f(x) = φ(x - c) .

Μετατοπιση τη Cφ κατα c μοναδες προς τα αριστερα, τοτε f(x) = φ(x + c) .


171



2Δινεται η παραβολη f(x) = x - (κ + 1)x + κ.

Να βρειτε το κ σε καθεμια απ'τις περιπτωσεις :

η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x.

η παραβολη δεν τεμνει τον αξονα x'x.

η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x στο σ

ημειο (2,0).

η παραβολη τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο (0,2).

η παραβολη παρουσιαζει ελαχιστο για x = 2.

η παραβολη εχει ελαχιστο το 1.

η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = 3.


2 2 2

Ειναι

= [- (κ + 1)] - 4 1 κ = κ + 2κ + 1- 4κ = κ - 2κ + 1 =

- (κ + 1) = - = =

2

2

2

Δ (κ - 1)

β κ + 1 Δ (κ - 1)- - - γ = κ

2α 2 4α 4

Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η π α ρ α μ ε τ ρ ο υ (f ( x ) = α ∙ x 2 + β ∙ x + γ )




O τυπος της συναρτησης .


Αν η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x’x, τοτε : Δ = 0 .

Αν η παραβολη ειναι πανω απ’τον αξονα x’x, τοτε : Δ < 0 και α > 0 .

Αν η παραβολη ειναι κατω απ’τον αξονα x’x, τοτε : Δ < 0 και α < 0 .

Αν η παραβολη διερχεται απ’το σημειο (κ, λ), τοτε : κ, λ επαληθευουντο τυπο

της f . (αντικαθιστουμε το x με κ και f(x) με λ στο τυπο της συναρτησης)

Αν η παραβολη τεμνει τον αξονα x’x στο σημειο (κ, 0), τοτε : κ ριζα της f(x) = 0 .

(αντικαθιστουμε το x με κ και f(x) με 0 στο τυπο της συναρτησης)

Αν η παραβολη τεμνει τον αξονα y’y στο σημειο (0, λ), τοτε : λ = γ .

Αν η παραβολη εχει μεγιστο (ελαχιστο) στη θεση x = κ, τοτε β

-2α

= κ .

Αν η παραβολη εχει μεγιστο (ελαχιστο) το μ, τοτε Δ

-4α

= μ .

Αν η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = κ, τοτε β

-2α

= κ .

Αν η παραβολη εχει κορυφη το σημειο (κ, λ), τοτε β

-2α

= κ και Δ

-4α

= λ .


172


2

2

η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x,αν :

Δ = 0 (κ - 1) = 0 κ - 1 = 0

η παραβολη δεν τεμνει τον αξονα x'x, αν :

Δ < 0 (κ - 1) < 0, αδυνατο.

Αρα, δεν υπαρχει τιμη του κ, ωστε η παραβολη να μην τεμνει

κ = 1

2

τον x'x.

η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (2,0), αν 2 ειναι ριζα της.

Δηλαδη : 2 - (κ + 1) 2 + κ = 0 4 - 2κ - 2 + κ = 0

η παραβολη τεμνει τον αξονα y'y στο σημειο (0,2), αν f(x) = 2 και x = 0.

Δη

κ = 2

2 2

λαδη

β η παραβολη παρουσιαζει ελαχιστο για x = 2, αν - = 2.

2ακ + 1

Δηλαδη : = 2 κ + 1 = 42

Δ η παραβολη εχει ελαχιστο το 1, αν - = 1.

4α

(κ - 1) Δηλαδη : - = 1 (κ - 1) - 4 = 0 (κ - 1+ 4)(κ - 1- 4) = 0

4

(κ + 3)(κ -

κ = 2

κ = 3

5) = 0

β η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = 3, αν - = 3.

2ακ + 1

Δηλαδη : = 3 κ + 1 = 62

κ = - 3

κ = 5

κ = 5


2Δινεται η συναρτηση f(x) = x - 2(κ + 2λ)x + 5κ + 2λ .

Να βρειτε τα κ και λ ωστε η f να εχει ριζα τον αριθμο 2 και να παρουσιαζει ελαχιστο

στο x = 4 .


2

Αφου ο αριθμος 2 ειναι ριζα της συναρτησης, τοτε

2 - 2(κ + 2λ)2 + 5κ + 2λ = 0 4 - 4κ - 8λ + 5κ + 2λ = 0 κ - 6λ = - 4 (1)

Αφου η f παρουσιαζει ελαχιστο για x = 4, τοτε

β - 2(κ + 2λ) x = 4 - = 4 - = 4 κ + 2λ = 4 (2)

2α 2

Απο (

1) και (2), εχουμε :

κ - 6λ = - 4 κ = κ = 6λ - 4 κ = 6 1- 4

κ + 2λ = 4 +

6λ -

2λ = 4 8λ = 8

4

6λ - λ 14 =

κ = 2

λ = 1


173



2Να γινει μελετη και γραφικη παρασταση της συναρτησης : f(x) = - x + 4x - 3


2

1,2

α = - 1 < 0

β 4 - = - = 2

2α 2 (- 1)

Δ = 4 - 4 ×(- 1)×(- 3) = 16 - 12 = 4

- Δ - 4 = = 1

Εινα

4α 4 (- 1)

3- 4 ± 2 x = = 2 ± 1 =

ι

1- 2

Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε λ ε τ η τ η ς σ υ ν α ρ τ η σ η ς f ( x ) = αx 2 + β x + γ


Η μελετη και η γραφικη παρασταση της συναρτησης .


O τυπος της συναρτησης .


Βρισκουμε τα : α, γ, Δ , ριζες της f(x) = 0, β

-2α

και Δ

-4α

.

Γραφουμε το πεδιο ορισμου .

Γραφουμε το συνολο τιμων ([- ,+ ), αν α > 04α

η (- ,- ], αν α < 0

4α

) .

Βρισκουμε τον αξονα συμμετριας: την ευθεια x = β

-2α

Βρισκουμε τα σημεια τομης με τους αξονες:

τον y’y : στo σημειο (0, γ)

τον x’x : σ’τα σημεια - β - - β +

( ,0), ( ,0)2α 2α

.

Βρισκουμε τη μονοτονια στα διαστηματα (- ∞,β

-2α

] και [β

-2α

, + ∞) .

(απ’το προσημο του α)

Βρισκουμε τα ακροτατα

β β Δ

αν α > 0 εχει ελαχιστο για x = - , το f(- ) = -2α 2α 4α

β β Δ

αν α < 0 εχει μεγιστο για x = - , το f(- ) = -2α 2α 4α

Κατασκευαζουμε τη γραφικη παρασταση ..


174


f Πεδιο ορισμου : A =

M o ν ο τ ο ν ι α :

Αφου α = -1 < 0, τοτε :

Στο (- ,2] η συναρτηση f ειναι γν.αυξουσα.

Στο [2,+ ) η συναρτηση f ειναι γν.φθινουσα.

Α κ ρ ο τ α τ α :

Η f παρο

.

βυσιαζει μεγιστο για x = - = 2, το f(2) = 1.

2α

Σ η μ ε ι α τ ο μ η ς μ ε α ξ ο ν ε ς :

x'x : Toν αξονα x'x στα σημεια (1,0) και (3,0).

y'y : Toν αξονα y'y στo σημειo (0,- 3).

Κ ο ρ υ φ η :

Το σημειο Κ(2,1)

Α ξ ο ν α ς σ υ μ μ ε τ ρ ι α ς :

Η ευθεια x = 2.

Γ ρ α φ ι κ η π α ρ α σ τ α σ η :


y

1

0 1 2 3 x

-3

175


Μ ε λ ε τ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς


2

2

2

Nα γινει η γραφικη παρασταση των συναρτησεων :

f(x) = 3x - 5

f(x) = 3(x - 2)

f(x) = 3x - 12x +7


2Δινεται η συναρτηση φ(x) = 3x - 2.

Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης f της οποιας η γραφικη παρασταση προκυπτει

απο δυο διαδοχικες μετατοπισεις της γραφικης παραστασης της φ :






Α σ κ η σ η 5 η 2Δινεται η συναρτηση f(x) = x - 2(κ + 1)x + λ.

Να βρειτε τα κ και λ ωστε η f να εχει ριζα τον αριθμο 1 και να παρουσιαζει ελαχι -

στο στο x = - 1 .


2

2

2

1

2

Να γινει μελετη και γραφικη παρασταση των συναρτησεων :

f(x) = x - 5x + 6

g(x) = -3 x + 2x + 1

Δινεται η συναρτηση h(x) = x - 3x + λ + 1, που εχει ριζες τους αριθμους x = 1

και x = 2.

Να βρειτ

ε την τιμη του λ και τον τυπο της συναρτησης.

Να μελετησετε τη συναρτηση και να κανετε τη γραφικη της παρασταση.


2Δινεται η συναρτηση f(x) = 2x - (μ + 1)x + 2μ.

Αν η γραφικη της παρασταση διερχεται απ'το σημειο (1,3), τοτε :

να προσδιορισετε τον αριθμο μ.

για την τιμη του μ που βρηκατε, να μελετησετε τη μονοτονια και να βρειτε τα

ακροτατα της συναρτησης f.

176


Μ ε λ ε τ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς


2Δινεται η παραβολη f(x) = x +(κ + 2)x + κ.

Να βρειτε το κ σε καθεμια απ'τις περιπτωσεις :

η παραβολη εφαπτεται στον αξονα x'x.

η παραβολη τεμνει τον αξονα x'x σε δυο σημεια.

η παραβολη εχει κορυφη το σ

ημειο με τετμημενη f(3).

η παραβολη εχει ακροτατο το 0.

η παραβολη εχει ελαχιστο το 4.

η παραβολη εχει αξονα συμμετριας την ευθεια x = 2.

177


178

τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου

Education

Transcript of τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου