τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α A’ Λ υ κ ε ι ο υ

Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ

Με πολυ μερακι

Για τους καλους φιλους μου

Τακης Τσακαλακος

Κερκυρα 2015 H δικη μου αποψη για την βοηθεια των μαθητων

▪ Βασικα Γεωμετρικα Σχηματα

▪ Τριγωνα

▪ Παραλληλες Ευθειες

▪ Παραλληλογραμμα -

Τραπεζια

▪ Εγγεγραμμενα Σχηματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α

01. Σ η μ ε ι ο

Το σημειο δεν εχει διαστασεις. Το παριστανουμε με μια Α Β

τελεια και το συμβολιζουμε με ενα κεφαλαιο γραμμα. ● ●

02. Γ ρ α μ μ η

Ειναι το ιχνος που αφηνει η μυτη ενος μολυβιου, αν το

μετακινησουμε χωρις διακοπη. Ειναι δηλαδη μια συνε-

χης σειρα θεσεων (σημειων) που παιρνει ενα κινητο ση-

μειο.

03. Ε π ι φ α ν ε ι α ( Ε π ι π ε δ ο )

Το συνολο των σημειων που χωριζουν ενα στερεο σωμα

απο το περιβαλλον του. Ειδικη περιπτωση επιφανειας

αποτελει το ε π ι π ε δ ο, η επιφανεια δηλαδη, που εφαρ-

μοζει ο χαρακας και στις δυο διαστασεις του, το μηκος

και το πλατος.

Συμβολιζεται μ’ενα παραλληλογραμμο.

04. Ε υ θ ε ι α

Ειναι η γραμμη, που εκτεινεται απεριοριστα και προς τις ε

δυο κατευθυνσεις, και εχει τη μορφη μιας ακτινας φω-

τος.

Συμβολιζεται συνηθως με ενα μικρο γραμμα της αλφα-

βητου, π.χ. ε η (ε) .

05. Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Δ υ ο Ε υ θ ε ι ω ν

▪ Τεμνονται (σ’ενα σημειο)

▪ Ειναι παραλληλες (δεν εχουν κοινα σημεια)

▪ Ταυτιζονται (συμπιπτουν ολα τα σημεια τους)

▪ Ασυμβατες (δεν ειναι ουτε παραλληλες, ουτε τεμνον-

ται, πχ οι ακμες του ορθογωνιου (μπλε-κοκκινη)

06. Η μ ι ε υ θ ε ι α

Ειναι το ενα απ’τα δυο μερη που χωριζει ενα σημειο, Α

εστω Α, την ευθεια x’x. x’ x

▪ Οι ημιευθειες Αx’ και Αx λεγονται α ν τ ι κ ε ι μ ε ν ε ς .


07. E υ θ υ γ ρ α μ μ ο Τ μ η μ α

Ειναι το μερος μιας ευθειας που περικλειεται απο

δυο σημεια της, εστω Α και Β, με τα σημεια αυτα

(ακρα).

▪ Δ ι α δ ο χ ι κ α λεγονται τα ευθυγραμμα τμηματα

που εχουν ενα κοινο ακρο, πχ ΑΓ και ΓΒ.

▪ Ι σ α λεγονται τα ευθυγραμμα τμηματα που με

καταλληλη μετατοπιση συμπιπτουν. Για το ευθυ- x

γραμμο τμημα ΑΒ σε καθε ημιευθεια Γx υπαρχει

σημειο Δ, ωστε AB = ΓΔ .

08. Μ ε σ ο E υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ Τ μ η μ α τ ο ς Α Β

Ειναι ενα εσωτερικο του σημειο Μ, τετοιο ωστε :

ΑΜ = ΜΒ .

Δεχομαστε οτι το σημειο Μ ειναι μοναδικο.

09. Α θ ρ ο ι σ μ α E υ θ . Τ μ η μ α τ ω ν

Εστω δυο ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ και ΓΔ.

Μετατοπιζουμε τα ΑΒ, ΓΔ πανω σε ευθεια ε, ωστε να γι-

νουν διαδοχικα, με ΑΒ = ΚΛ και ΓΔ = ΛΜ .

Αθροισμα των ευθ.τμηματων ΑΒ, ΓΔ ειναι το τμημα ΚΜ

και ισχυει ΚΜ = ΑΒ + ΓΔ .

10. Δ ι α φ ο ρ α E υ θ . Τ μ η μ α τ ω ν

Αν ΓΔ > ΑΒ, τοτε υπαρχει εσωτερικο σημειο Ε του ΓΔ,

ωστε ΑΒ = ΓΕ .

Διαφορα του ΑΒ απ’το ΓΔ λεγεται το τμημα ΕΔ και ι-

σχυει : ΕΔ = ΓΔ - ΑΒ .

11. Γ ι ν ο μ ε ν ο E υ θ . Τ μ η μ α τ ο ς ε π ι

Φ υ σ ι κ ο Α ρ ι θ μ ο ν

Λεμε το ευθυγραμμο τμημα ΓΔ , που ειναι το αθροισμα

ν διαδοχικων ευθυγραμμων τμηματων ισων με το ΑΒ

και ισχυει : ΓΔ = ν ∙ ΑΒ .

Α Β

ε

Α Γ Β

ε

Γ Δ

Α Μ Β

Κ Λ Μ

ε

Α Β Γ

Δ

Γ Ε Δ

ε

Α Β

Γ Α Β Δ

ν οροι

��


12. Μ η κ ο ς E υ θ . Τ μ η μ α τ ο ς Α Β

( Α π ο σ τ α σ η τ ω ν Σ η μ ε ι ω ν Α , Β )

▪ Μ ο ν α δ α μ η κ ο υ ς λεμε το ευθυγραμμο τμημα με

το οποιο συγκρινουμε ολα τα ευθυγραμμα τμηματα.

▪ Ο θετικος αριθμος κ, που δειχνει ποσες φορες ειναι με-

γαλυτερο η μικροτερο ενα ευθ. τμημα απ’τη μοναδα

μηκους λεγεται μ η κ ο ς ε υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ τ μ η μ α -

τ ο ς .

13. Σ η μ ε ι α Σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ( Κ ε ν τ ρ ο )

Αν Ο ειναι σημειο του επιπεδου, τοτε για καθε σημειο Α

υπαρχει μοναδικο σημειο Β, ωστε το σημειο Ο να ειναι Α Ο Β

το μεσο του τμηματος ΑΒ. Τα σημεια Α, Β λεγονται

σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ως προς το σημειο Ο.

14. Σ η μ ε ι α Σ υ μ μ ε τ ρ ι κ α ( Ε υ θ ε ι α )

Ειναι η γραμμη, που εκτεινεται απεριοριστα και προς τις ε

δυο κατευθυνσεις και εχει τη μορφη μιας ακτινας φωτος. Α Ο Β

Συμβολιζεται συνηθως με ενα μικρο γραμμα της αλφα-

βητου, π.χ. ε η (ε) .

15. Η μ ι ε π ι π ε δ α

Για το επιπεδο δεχομαστε:

▪ Μια ευθεια ε του επιπεδου Π το χωριζει σε δυο μερη

Π1, Π2, που βρισκονται εκατερωθεν αυτης.

▪ Τα σημεια του Π1 (Π2) και τα σημεια της ε, αποτελουν

ενα σχημα που λεγεται η μ ι ε π ι π ε δ ο .

▪ Το ημιεπιπεδο οριζεται απο μια ευθεια και ενα σημειο.

▪ Αν τα σημεια Α,Β του επιπεδου βρισκονται εκατερωθεν

της ευθειας ε, τοτε η ευθεια ΑΒ τεμνει την ευθεια ε.

16. Γ ω ν ι α

▪ K υ ρ τ η γ ω ν ι α ειναι το σχημα που αποτελειται απ’

τα κοινα σημεια δυο ημιεπιπεδων (Οι ημιευθειες Ox,

Oy και τα περιεχομενα σ’αυτες σημεια, σχ 1).

Συμβολισμος: � � �xOy η Ο η ω .

Α Γ Β

κ φορες

��

Μοναδα μηκους κ : θετικος οχι απαραιτητα

ακεραιος

Π1 Α

Ο

Π2 Β

x Σχ. 1

y O ω


▪ Μ η κ υ ρ τ η γωνια ειναι το σχημα που αποτελειται

απ’τα σημεια του επιπεδου που δεν ανηκουν στη κυρ-

τη γωνια �xOy με τις ημιευθειες Οx, Oy, (σχ 2) .

▪ Κ ο ρ υ φ η της γωνιας λεγεται το σημειο Ο.

▪ Π λ ε υ ρ ε ς της γωνιας λεγονται οι ημιευθειες Οx, Oy.

▪ Αν οι ημιευθειες Οx, Oy συμπιπτουν τοτε η κυρτη γω-

νια που σχηματιζεται λεγεται μ η δ ε ν ι κ η γ ω ν ι α,

ενω η μη κυρτη λεγεται π λ η ρ η ς γ ω ν ι α .

▪ Αν οι ημιευθειες Οx, Oy ειναι αντικειμενες τοτε η γω-

νια λεγεται ε υ θ ε ι α γ ω ν ι α , (σχ.3) .

17. Σ υ γ κ ρ ι σ η Γ ω ν ι ω ν

Εστω οι γωνιες �ΑO Β και �ΑO Γ

(κοινη κορυφη Ο και πλευρα ΟΑ).

▪ Αν οι ημιευθειες ΟΒ, ΟΓ ταυτιζονται :

�ΑO Β = �ΑO Γ

▪ Αν η ημιευθεια ΟΓ εξω απ’τη γωνια :

�ΑO Β : �ΑO Β < �ΑO Γ

▪ Αν η ημιευθεια ΟΓ μεσα στη γωνια :

�ΑO Β : �ΑO Β > �ΑO Γ

18. Δ ι χ ο τ ο μ ο ς Γ ω ν ι α ς �x O y

Ειναι η ημιευθεια Οδ που χωριζει την γωνια �xOy σε δυο

ισες γωνιες �xO δ και �δO y .

▪ Στη περιπτωση που η γωνια �xOy ειναι η ευθεια γωνια,

τοτε καθεμια απ’τις γωνιες �xO δ και �δO y λεγεται

ο ρ θ η γ ω ν ι α και συμβολιζεται με L, ενω οι φορεις

των πλευρων της λεγονται κ α θ ε τ ε ς .

19. E ι δ η Γ ω ν ι ω ν

▪ Ο ρ θ η ειναι η κυρτη γωνια που εχει τις πλευρες της

καθετες.

▪ Ο ξ ε ι α ειναι η κυρτη γωνια που ειναι μικροτερη της

ορθης.

Γ Β

Γ

Ο Α

x

y

Σχ. 2

θ

Ο

Σχ.3

y O x

x

δ

ω ω

x

x O y

δ

y

ορθη οξεια


▪ Α μ β λ ε ι α ειναι η κυρτη γωνια που ειναι μεγαλυτε-

ρη της ορθης και μικροτερη απ’την ευθεια γωνια.

20. Ε υ θ ε ι α Κ α θ ε τ η σ ε Σ η μ ε ι ο Ε υ θ ε ι α ς

Απο ενα σημειο Α ευθειας x’x διερχεται μ ο ν α δ ι κ η

ευθεια καθετη στη x’x, που δεν ειναι αλλη απ’τη διχοτο- δ

μο της ευθειας γωνιας �x'O x .

Aν υπηρχε κι’αλλη, θα ειχαμε δυο διχοτομους της γωνι-

ας �x'O x , ατοπο γιατι η διχοτομος ειναι μοναδικη.

21. Α π ο σ τ α σ η Σ η μ ε ι ο υ α π ο Ε υ θ ε ι α

Απο ενα σημειο Α εκτος της ευθειας x’x διερχεται μονα- Α

δικη ευθεια καθετη στη x’x. Αν Ο το σημειο τομης της

καθετης ευθειας και της ευθειας x’x, το μηκος του ευθ.

τμηματος ΑΟ λεγεται α π ο σ τ α σ η του Α απ’την ευ-

θεια x’x.

22. Ε φ ε ξ η ς Γ ω ν ι ε ς

Λεγονται δυο γωνιες που εχουν μια κοινη πλευρα και τις

μη κοινες πλευρες τους εκατερωθεν της κοινης . Εφεξης

▪ Δ ι α δ ο χ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς : τρεις η περισσοτερες γω-

νιες αν η 1η και η 2η ειναι εφεξης, η 2η και η 3η ειναι Διαδοχικες

εφεξης, κ.λ.π.

23. Α θ ρ ο ι σ μ α Ε φ ε ξ η ς Γ ω ν ι ω ν

Λεγεται η γωνια που εχει μια κοινη κορυφη με τις εφε- Α Γ

ξης και πλευρες μη κοινες πλευρες τους .

Ειναι � � �A O Γ + Γ O Β = Α O Β

24. Δ ι α φ ο ρ α Γ ω ν ι ω ν

Μετατοπιζουμε τη μικρη γωνια ωστε να εχει κοινη κο-

ρυφη με τη μεγαλη γωνια και να συμπεσει η μια πλευρα

τους, ενω η αλλη βρισκεται μεταξυ των πλευρων της με-

γαλης.

Δ ι α φ ο ρ α τους ειναι η γωνια που εχει πλευρες τις μη

αμβλεια

x’ Α x

x’ Ο x

Ο Β

Γ

Α

Ο Β


κοινες πλευρες τους.

Ειναι � � �A O Γ = Α O Β - Γ O Β

25. Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ε ς Γ ω ν ι ε ς

▪ Σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς : Σχ. α Σχ. γ

Ειναι δυο γωνιες που το αθροισμα τους ισουται με μια

ορθη γωνια (Σχ. α).

▪ Π α ρ α π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς γ ω ν ι ε ς :

Ειναι δυο γωνιες που το αθροισμα τους ισουται με μια

ευθεια γωνια (Σχ. β). Σχ. β

▪ Κ α τ α κ ο ρ υ φ η ν γ ω ν ι ε ς :

Ειναι δυο γωνιες με κοινη κορυφη και οι πλευρες της

μιας ειναι αντικειμενες των πλευρων της αλλης (Σχ. γ).

26. Θ ε ω ρ η μ α

Δυο εφεξης και παραπληρωματικες γωνιες εχουν τις μη

κοινες πλευρες τους αντικειμενες ημιευθειες και αντι-

στροφα.

Δηλαδη:

Αν ΟΑ, ΟΒ αντικειμενες ημιευθειες τοτε οι γωνιες �A O B

�και Α O Γ ειναι παραπληρωματικες.


Oι κατακορυφην γωνιες ειναι ισες.

Αποδειξη

� �

� ��

0

0

x + ω = 180x + ω = y + ω x = y

y + ω = 180

⇒ ⇒


Η προεκταση της διχοτομου γωνιας ειναι διχοτομος της

κατακορυφην της γωνιας.

Αποδειξη

1 3

3 42 4

1 2

ˆ ˆΟ = Ο (κατακορυφη)ˆ ˆΟ = Ο ˆ ˆΟ = Ο (κατακορυφη)

ˆOδ' διχοτομος της x'Oy'ˆ ˆ ˆΟ = Ο (Oδ διχοτομος της xOy)

⇒

α

β

γ

δ

ε ζ

ω x

y

Β

Γ Ο Α

x’ y

δ’ 4 1 δ

3 0 2

y’ x



Οι διχοτoμοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνι-

ων ειναι καθετες.

Αποδειξη

Εστω � �AOB, AOΓεφεξης και παραπληρωματικες και ΟΔ,

ΟΕ οι διχοτομοι τους. 0

0ˆ ˆ ˆΓΟΒ ΑΟΒ ΓΟΑ 180ˆ ˆ ˆΕΟΔ = ΕΟΒ + ΒΟΔ = + = = = 902 2 2 2

ΟΕ ΟΔ

⇒

⊥

30. Κ υ κ λ ο ς

Κ υ κ λ ο ς με κεντρο Ο και ακτινα ρ ειναι το συνολο των

σημειων του επιπεδου που απεχουν απ’το Ο αποσταση

ιση με ρ.

Συμβολιζεται : (Ο, ρ).

▪ Κυκλος (Ο, ρ) ειναι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων

Μ του επιπεδου για τα οποια ισχυει ΟΜ = ρ.

31. Σ τ ο ι χ ε ι α Κ υ κ λ ο υ

▪ Τ ο ξ ο ειναι το ενα απο τα δυο μερη που χωριζεται ο

κυκλος απο δυο σημεια του (Σχημα: � �AΓΒ, AΔΒ ).

▪ Χ ο ρ δ η ειναι το ευθυγραμμο τμημα που οριζεται απο

δυο σημεια του κυκλου (Σχημα: ΑΒ).

▪ Α π ο σ τ η μ α χορδης ειναι η αποσταση του κεντρου Ο

απ’τη χορδη (Σχημα: ΟΗ ).

▪ Δ ι α μ ε τ ρ ο ς ειναι η χορδη που διερχεται απ’το κεν-

τρο (Σχημα: ΕΖ).

▪ Α ν τ ι δ ι α μ ε τ ρ ι κ α σ η μ ε ι α ειναι τα ακρα μιας

διαμετρου (Σχημα: Ε, Ζ).

32. Θ ε σ η Σ η μ ε ι ο υ ω ς π ρ ο ς Κ υ κ λ ο

▪ Ενα σημειο Μ του επιπεδου ενος κυκλου (Ο, ρ) λεγεται Α

ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σ η μ ε ι ο του κυκλου αν ΟΜ < ρ. ρ Μ

▪ Ενα σημειο Ν του επιπεδου ενος κυκλου (Ο, ρ) λεγεται Ο

ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο σ η μ ε ι ο του κυκλου αν ΟΝ > ρ. Ν

M ρ Ο

Ε Β Δ

Γ Ο Α

Γ

Μ

Ο

Ε Ζ

Α Η Β

Δ

ρ


33. Ι σ ο ι Κ υ κ λ ο ι

▪ Δυο κυκλοι ειναι ι σ ο ι , αν ο ενας με καταλληλη με-

τατοπιση ταυτιζεται με τον αλλο. ρ ρ’

▪ Δυο κυκλοι ειναι ι σ ο ι , αν και μονον αν εχουν ισες Ο Ο’

ακτινες.

34. Ε π ι κ ε ν τ ρ η Γ ω ν ι α

▪ Ε π ι κ ε ν τ ρ η γ ω ν ι α :

Ειναι η γωνια που η κορυφη της ειναι το κεντρο ενος - x

κυκλου.

▪ Α ν τ ι σ τ ο ι χ ο τ ο ξ ο ε π ι κ ε ν τ ρ η ς γ ω ν ι α ς : Ο

Ειναι το τοξο του κυκλου που περιεχεται στην επικεν-

τρη γωνια. y

Θα λεμε οτι η γωνια �xO y βαινει στο τοξο �AB .

35. Σ υ γ κ ρ ι σ η Τ ο ξ ω ν

▪ Σ υ γ κ ρ ι σ η τ ο ξ ω ν μ ε μ ε τ α τ ο π ι σ η :

Συγκρινουμε τοξα του ι δ ι ο υ κυκλου η ι σ ω ν κυ-

κλων:

� �AB = ΓΔ και � � � �EZ < HΘ η HΘ > EZ

Τοξα ανισων κυκλων δεν ειναι συγκρισιμα.

▪ Μ ε σ ο τ ο ξ ο υ :

Το σημειο που χωριζει το τοξο σε δυο ισα τοξα.

Το μεσο τοξου ειναι μοναδικο. ( Ε μεσο του ΙΖ )


▪ Σε ισα τοξα ενος κυκλου βαινουν ισες επικεντρες γωνι-

ες και σε ισες επικεντρες γωνιες αντιστοιχουν ισα τοξα.

Σχημα: � � � �AB = ΓΔ AOB = ΓOΔ⇔

▪ Σε ανισα τοξα ενος κυκλου βαινουν ομοιως ανισες επι-

κεντρες γωνιες και αντιστροφα.

Σχημα: � � � �ΗΘ > ZE HKΘ > ΕKZ⇔

Α Β Η

Θ

Γ Ι Ζ

Δ Ε

Γ Α Β Δ

Β

Α Η

Ο

Δ Ε

A

Γ Ζ

Θ Κ

Β


37. Η μ ι κ υ κ λ ι ο

Ειναι ενα απ’ τα δυο ισα τοξα που χωριζει η διαμετρος

τον κυκλο.

38. Τ ε τ α ρ τ ο κ υ κ λ ι ο

Ειναι ενα απ’τα τεσσερα ισα τοξα που χωριζουν δυο κα-

θετες διαμετροι τον κυκλο.

39. Δ ι α δ ο χ ι κ α Τ ο ξ α

Ειναι δυο τοξα ενος κυκλου που εχουν ενα κοινο ακρο

και κανενα κοινο εσωτερικο σημειο. Σχημα : � �ΑΒ,ΒΓ

Σε πολλα διαδοχικα τοξα, καθενα ειναι διαδοχικο με το

επομενο του.

40. Α θ ρ ο ι σ μ α Δ υ ο Τ ο ξ ω ν

Μετατοπιζουμε τα τοξα, ωστε να γινουν διαδοχικα.

Το τοξο �AΓ λεγεται α θ ρ ο ι σ μ α των τοξων �AΒ και

�BΓ και ισχυει :

� � �AΒ + BΓ = AΓ

41. Δ ι α φ ο ρ α Δ υ ο Τ ο ξ ω ν

Μετατοπιζουμε τα τοξα, ωστε να γινουν διαδοχικα.

Το τοξο �AΓ λεγεται δ ι α φ ο ρ α των τοξων �AΒ και �BΓ

και ισχυει :

� � �AΒ - BΓ = AΓ

42. Γ ι ν ο μ ε ν ο Τ ο ξ ο υ μ ε Φ υ σ ι κ ο ν

Παιρνουμε ν διαδοχικα τοξα ισα με �AΒ , ετσι ωστε να

ισχυει � � � �

ν φορες

AΓ = AB + AB + ...AB�� .

Το τοξο �AΓ ειναι το γινομενο του τοξου �AΒ επι τον φυ-

σικο ν και ισχυει : �AΓ = ν ∙ �AΒ

Β

Γ

Α

Β

Α

Γ

Γ

Α

Β

Α

Β

Γ


43. Μ ε τ ρ η σ η Τ ο ξ ω ν κ α ι Γ ω ν ι ω ν

▪ Τ ο ξ ο μ ι α ς μ ο ι ρ α ς :

Ειναι το τοξο που ισουται με το 1/360 του κυκλου.

Συμβολιζεται 1ο (μοιρα) και ειναι το μοναδιαιο τοξο.

▪ Μ ε τ ρ ο τ ο ξ ο υ : Ειναι ο θετικος αριθμος που δειχνει

ποσες φορες το τοξο ειναι μεγαλυτερο απ’το μοναδιαιο

τοξο.

Σχημα: �AB = ν ∙ τ η �AB = νο

▪ Μ ε τ ρ ο γ ω ν ι α ς : Ειναι το μετρο του τοξου που

βαινει η γωνια αν γινει επικεντρη .

Σχημα : Αν � 0ΓΔ = μ τοτε � � 0ω = ΓOΔ = μ

▪ Χαρακτηριστικα μετρα:

▪ κυκλος , πληρης γωνια : 360ο

▪ ημικυκλιο, ευθεια γωνια : 180ο

▪ τεταρτοκυκλιο, ορθη γωνια : 90ο

44. Τ ε θ λ α σ μ ε ν η Γ ρ α μ μ η

Αποτελειται απο διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα, που

οποιαδηποτε δυο διαδοχικα δεν ειναι συνευθειακα.

Σχημα: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ. Συμβολιζεται : ΑΒΓΔΕ.

▪ Κ ο ρ υ φ ε ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :

τα σημεια Α, Β, Γ, Δ, Ε .

▪ Α κ ρ α τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :

τα σημεια Α και Ε.

▪ Π λ ε υ ρ ε ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :

τα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ.

▪ Π ε ρ ι μ ε τ ρ ο ς τ ε θ λ α σ μ ε ν η ς :

το αθροισμα των πλευρων της.

▪ Α π λ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η :

δεν εχει πλευρες που τεμνονται.

▪ Κ λ ε ι σ τ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η :

τα ακρα της συμπιπτουν.

▪ Κ υ ρ τ η τ ε θ λ α σ μ ε ν η :

ο φορεας καθε πλευρας της αφηνει ολες τις κορυφες

προς το ιδιο μερος του.

Σε αντιθετη περιπτωση λεγεται μ η κ υ ρ τ η .

Β Ε μη απλη

Β Γ

Α Γ

απλη κυρτη

Ε Δ Α Δ

Α Β ΑΕ Β

Μη κυρτη Δ Γ

Γ Δ

Ε κλειστη

Γ Α Β Δ

μο

νο

1ο =1/360 του κυκλου

Ι Β

Α

Δ

Γ ω

Ο


45. Π ο λ υ γ ω ν ο

Ειναι μια κλειστη και απλη τεθλασμενη γραμμη.

▪ Κ υ ρ τ ο :

αν η τεθλασμενη γραμμη ειναι κυρτη.

▪ Μ η κ υ ρ τ ο :

αν η τεθλασμενη γραμμη ειναι μη κυρτη.

▪ Δ ι α γ ω ν ι ο ς :

το τμημα που εχει ακρα δυο μη διαδοχικες κορυφες.

▪ Γ ω ν ι ε ς π ο λ υ γ ω ν ο υ :

Σχηματιζονται απο δυο διαδοχικες πλευρες του

(εσωτερικες του πολυγωνου. Σχημα : �ω ).

▪ Ε ξ ω τ ε ρ ι κ η γ ω ν ι α :

ειναι καθε εφεξης και παραπληρωματικη μιας (εσω-

τερικης) γωνιας του (εξωτερικες του πολυγωνου.

Σχημα : �φ ).

Β

Α Γ Κυρτο

Ε Δ

Α Β

Δ

Γ

Ε Μη κυρτο

φ ω

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

01. Α π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς :

Σε ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Αν Ε, Ζ

ειναι τα μεσα των ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι

i) EZ = AΔ + ΒΓ

2 ii) ΑΓ + ΒΔ = ΑΔ + ΒΓ

i)

Α Ε Β Γ Ζ Δ

Ειναι

ΕΖ = ΕΒ + ΒΓ + ΓΖ = ΑΒ

2 + ΒΓ +

ΓΔ

2 =

ΑΒ + 2ΒΓ + ΓΔ (ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ) + ΒΓ ΑΔ + ΒΓ = =

2 2 2

ii)

ΑΓ + ΒΔ = ΑΒ + ΒΓ + ΒΓ + ΓΔ = (ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ) + ΒΓ = ΑΔ + ΒΓ

Θεωρουμε κυρτη γωνια ˆΑΟΒ , τη διχοτομο της ΟΔ και τυχαια ημιευθεια ΟΓ εσωτε-

ρικη της γωνιας ˆΔΟΒ . Να αποδειξετε οτι ˆ ˆ

ˆ ΓΟΑ - ΓΟΒΓΟΔ =

2.

Ειναι

ˆΓΟΔ = ˆΓΟΑ - ˆΑΟΔ ΟΔ διχοτομος

= ˆΓΟΑ - ˆΑΟΒ

2 =

ˆ ˆ2ΓΟΑ - ΑΟΒ

2 =

ˆ ˆ ˆΓΟΑ - (ΑΟΒ - ΓΟΑ)

2 =

▪ Ζ η τ ο υ μ ε ν α :

Αποδειξη σχεσης μεταξυ τμηματων, γωνιων η τοξων.

▪ Δ ο σ μ ε ν α :

Βοηθητικες ευθειες, γωνιες η τοξα.

▪ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς :

▪ Εχουμε κατα νου το τροπο αποδειξης σχεσης .

▪ Ξεκινουμε απ’το 1ο μελος και με λογικες πραξεις καταληγουμε στο 2ο μελος .

▪ Ξεκινουμε απ’το 2ο μελος και με λογικες πραξεις καταληγουμε στο 1ο μελος .

▪ Ξεκινουμε απ’το 1ο μελος και καταληγουμε σε μια παρασταση .

Ξεκινουμε απ’το 2ο μελος και καταληγουμε στην ιδια παρασταση .

▪ Ξεκινουμε απ’τη προς αποδειξη σχεση και με λογικες πραξεις καταληγουμε

σε μια σχεση που αληθευει (προφανη) .

▪ Μετατρεπουμε τα τμηματα (γωνιες, τοξα) σε αθροισματα η διαφορες, ωστε να

προκυψουν ‘’βολικα’’ νεα τμηματα (γωνιες, τοξα) .

▪ Χρησιμοποιουμε ιδιοτητες τμηματων ( γωνιων, τοξων ) και με πραξεις κατα-

ληγουμε στο ζητουμενο .

/ / // //


= ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒ

2

Α λ λ ι ω ς

ˆΑΟΒˆ ˆ ˆ ˆΓΟΔ = ΓΟΑ - ΑΟΔ = ΓΟΑ -2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒ ΓΟΑ - (ΑΟΒ - ΓΟΑ) 2ΓΟΑ - ΑΟΒ ΑΟΒˆ= = = ΓΟΑ -2 2 2 2

ˆ ˆΓΟΑ - ΓΟΒˆΓΟΔ =2

⇒

Σε ημικυκλιο δινονται τα σημεια Α, Β και σημειο Μ του τοξου �AB , ωστε � �MA = MB .

i) Αν Ρ σημειο του ημικυκλιου που δεν ανηκει στο τοξο �AB , να αποδειξετε οτι

� � �( )= +1

ΡΜ ΡΑ ΡΒ2

.

ii) Αν Σ σημειο του τοξου �ΜΒ , να αποδειξετε οτι � � �( )=1

ΣΜ ΣΑ - ΣΒ2

i)

Αρκει να δειχθει οτι : 2 �ΡΜ = �ΡΑ + �ΡΒ

Eιναι

� ΡΑ = �ΡΜ + �MA (1)

� ΡΒ = �ΡΜ - �MB (2)

Ετσι

(1) + (2) ⇒ �ΡΑ + �ΡΒ = 2 �ΡΜ

ii)

Αρκει να δειχθει οτι: 2 �ΣΜ = �ΣΑ – �ΣΒ

Ειναι

� ΣΑ = �ΣΜ + �MA (3)

� ΣΒ = �MB �- ΜΣ (4)

Ετσι

(3) – (4) ⇒ �ΣΑ – �ΣΒ = 2 �ΣΜ

Α

Γ Β

Δ

O

Μ Β

Ρ

Α

Μ Σ

Β

Α


02. Μ ο ν α δ ι κ ο τ η τ α ( α π ο δ ε ι ξ η σ ε α τ ο π ο ) :

Να δειχτει οτι το μεσο Μ του τμηματος ΑΒ ειναι μοναδικο .

Εστω οτι και το Μ’ (μεταξυ Μ και Β, αρα ΑΜ’ > ΑΜ) ειναι μεσο του τμηματος ΑΒ .

Ετσι

□ ΑΜ = ΜΒ ΑΒ

ΑΜ = (1)2

⇔

□ ΑΜ’ = Μ’Β ΑΒ

ΑΜ' = (2)2

⇔

Απο (1) και (2) : ΑΜ = ΑΜ’ (Μ ≡ Μ’) ατοπο αφου ΑΜ’ > ΑΜ (Μ’ διαφορετικο Μ) .

Ομοια αν Μ’ ειναι μεταξυ Α και Μ .

Αρα Μ ειναι μοναδικο .

03. Ε υ θ υ - Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο :

Να αποδειχτει οτι οι διχοτομοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων σχηματι-

ζουν ορθη γωνια και αντιστροφα .

Εστω ΟΔ, ΟΕ διχοτομοι των � �Α Ο Γ και Β Ο Γ αντιστοιχα .

Ε υ θ υ :


Αποδειξη μοναδικοτητας σημειου , ευθεια κλπ .


Ιδιοτητα σημειου, ευθειας κλπ .


▪ Θεωρουμε οτι το ζητουμενο ΔΕΝ ειναι μοναδικο (υπαρχει και αλλο με την ιδιο-

τητα του ζητουμενου) .

▪ Με λογικες πραξεις (η ιδιοτητες) καταληγουμε σε ατοπο .


Αποδειξη σχεσης και αντιστροφως .


Σχεση η ιδιοτητα .

▪ Τροπος Λυσης :

▪ Ευθυ : Ξεκινωντας η χρησιμοποιωντας την υποθεση (δοσμενο) με λογικες πρα-

ξεις καταληγουμε στο συμπερασμα (ζητουμενο) .

▪ Αντιστροφο : Ξεκινωντας η χρησιμοποιωντας το συμπερασμα με λογικες πρα-

ξεις καταληγουμε στην υποθεση .


□ Υποθεση : � � 0Α Ο Γ + Β Ο Γ = 180

□ Συμπερασμα : � 0Δ Ο Ε = 90

Ειναι

� �

� � � �

� �

ΟΔ διχοτομος 0

ΟΕ διχοτομος

0 0

0 0

Α Ο Γ + Β Ο Γ = 180

2 Δ Ο Γ + 2 Γ Ο Ε = 180 2 (Δ Ο Γ + Γ Ο Ε) = 180

2 Δ Ο Ε = 180 Δ Ο Ε = 90

⇔

⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⇔

⋅ ⇔

Α ν τ ι σ τ ρ ο φ ο

□ Υποθεση : � 0Δ Ο Ε = 90

□ Συμπερασμα : � � 0Α Ο Γ + Β Ο Γ = 180

� � �

� ��

� �

ΟΔ διχοτομος 0 0 0 0

ΟΕ διχοτομος

0

Α Ο Γ Γ Ο Β 1Δ Ο Ε = 90 Δ Ο Γ + Γ Ο Ε = 90 + = 90 (Α Ο Γ + Γ Ο Β) = 90

2 2 2

Α Ο Γ + Γ Ο Β = 180

⇔ ⇔ ⇔ ⋅ ⇔

04. Ε υ ρ ε σ η μ ε τ ρ ο υ γ ω ν ι α ς ( ω ν ) (με τη βοηθεια εξισωσης (συστηματος)) :

Η παραπληρωματικη μιας γωνιας ειναι τριπλασια της συμπληρωματικης γωνιας της

γωνιας αυτης . Να υπολογισετε την γωνια.

Εστω ω η ζητουμενη γωνια, οποτε 1800 - ω και 900 - ω η παραπληρωματικη και συμ-

πληρωματικη γωνια της γωνιας ω αντιστοιχα .

Ετσι

1800 - ω = 3(90 0 - ω) ⇔

180ο - ω = 270 0 - 3ω ⇔

3ω - ω = 270 0 - 180 0 ⇔

2ω = 90 0 ⇔

ω = 45 0

Δ Γ Ε

Α Ο Β


Ευρεση μετρου γωνιας (ων) .


Ιδιοτητες και σχεσεις μεταξυ γωνιων .


▪ Θετουμε τη (τις) ζητουμενη (ες) γωνια (ες) με φ (ω, θ, ...) .

▪ Σχηματιζουμε εξισωση (συστημα), συμφωνα με τα δοσμενα, ως προς τις πιο

πανω γωνιες .

▪ Λυνουμε την εξισωση (συστημα) .


05. Ε υ ρ ε σ η μ ε τ ρ ω ν γ ω ν ι ω ν α ν α λ ο γ ω ν π ρ ο ς α ρ ι θ μ ο υ ς :

Τεσσερις ημιευθειες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ σχηματιζουν τις διαδοχικες γωνιες ΑΟ Β,

ΒΟ Γ, ΓΟ Δ, ΔΟ Α, που εχουν μετρα αναλογα με τους αριθμους 1, 2, 3, 4.

Να υπολογισετε τις γωνιες αυτες.

Εστω Α Ο Β = ω, Β Ο Γ = φ, Γ Ο Δ = ρ, Δ Ο Α = σ .

Ετσι

0 0φ ρ ω + φ + ρ + σω σ 360

= = = = = = 361 2 3 4 1+ 2 + 3 + 4 10

⇒

0

0

0

0

ω = 1 36

φ = 2 36

ρ = 3 36

σ = 4 36

⋅

⋅ ⇒

⋅ ⋅

0

0

0

0

ω = 36

φ = 72

ρ = 108

σ = 144

06. Ε π ι κ ε ν τ ρ η γ ω ν ι α - Κ υ κ λ ο ς :

Σε ημικυκλιο διαμετρου ΑΒ θεωρουμε σημειο Γ τετοιο ωστε � � 0ΑΓ - ΒΓ = 80 .

Βρειτε:

i) τα μετρα των τοξων �ΑΓ και �ΓΒ

ii) τα μετρα των γωνιων Α Ο Γ και Γ Ο Β (Ο ειναι το κεντρο του κυκλου)


Ευρεση μετρων γωνιων .


Αριθμοι ως προς τους οποιους ειναι αναλογα τα μετρα των γωνιων .


▪ Αν x, y, z, u ειναι τα μετρα των γωνιων που ειναι αναλογα προς τους αριθμους

α, β, γ, δ αντιστοιχα, τοτε ισχυει :

y x + y + z + u x z u

= = = = α β γ δ α + β + γ + δ


Αποδειξη σχεσης - ιδιοτητας η ευρεση γωνιας - τοξου .


Τοξα του κυκλου (σχεση – μετρα) .


▪ Η βασικη ιδιοτητα που χρησιμοποιουμε ειναι οτι το μετρο της επικεντρης γωνι-

ας ειναι ισο με το μετρο του αντιστοιχου τοξου .


i)

� �

� �

�

�

�

�

0 0(+ )

(- ) 0 0

ΑΓ - ΒΓ = 80 2ΑΓ = 260

ΑΓ + ΒΓ = 180 2ΒΓ = 100

⇒ ⇒

0

0

ΑΓ = 130

ΒΓ = 50

ii)

Α Ο Γ= 130 0 και Γ Ο Β = 50 0 (αντιστοιχες επικεντρες).

Θεωρουμε κυκλο (Ο, R) και τα διαδοχικα σημεια του Α, Β, Γ, Δ, ωστε � 0ΑΒ = 150 ,

� 0ΓΔ = 45 και � 0ΑΔ = 105 .

Να αποδειξετε οτι η διχοτομος της γωνιας �ΒΟΓ ειναι αντικειμενη ημιευθεια της ΟΑ.

Εστω Μ το μεσο του �ΒΓ .

Τοτε ΟΜ διχοτομος της �ΒΟΓ .

� 0 0 0 0 0 ΒΓ = 360 -150 - 45 -105 = 60 .

�� 0

0ΒΓ 60 ΒΜ = = = 30

2 2

� � � 0 0 0 ΑΒΜ = ΑΒ + ΒΜ = 150 + 30 = 180

Αρα ΟΜ, ΟΑ αντικειμενες.

Γ

Α Ο Β

A

M

Β

ΓΔ

Ο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

1.

Εστω τα διαδοχικα και συνευθειακα σημεια Α, Β, Γ και Μ, Ν τα μεσα των ΑΒ και ΒΓ

αντιστοιχα. Nα δειξετε οτι ΜΝ = AΓ

2.

2.

Πανω σε μια ευθεια δινονται κατα σειρα τα σημεια Α, Β, Γ , Δ, Ε ωστε ΑΓ = ΓΕ.

α) Αν Δ το μεσο του ΓΕ και ΒΓ = 4 και ΔΕ = 7 να βρειτε ποιοι απο τους παρακατω

ισχυρισμους ειναι σωστοι και ποιοι λαθος :

i) ⋅1

ΓΕ = ΓΔ2

ii) ΓΕ = 14 iii) ΑΕ = 28

β) Να υπολογισετε το μηκος του ΑΒ.

3.

Θεωρουμε αμβλεια γωνια �Α Ο Β και στο εσωτερικο της την ημιευθεια ΟΓ ⊥ ΟΑ.

Αν ΟΔ, ΟΕ οι διχοτομοι των γωνιων �Α Ο Β και �Β Ο Γ αντιστοιχα, να αποδειξετε

οτι � 0Δ Ο Ε = 45 .

4.

Δινονται οι διαδοχικες γωνιες � � �Α Ο Β, Β Ο Γ, Γ Ο Δ . Αν ΟΕ, ΟΖ, ΟΗ, ΟΘ ειναι οι

διχοτομοι των � � � �Α Ο Β, Β Ο Γ, Γ Ο Δ, Δ Ο Α αντιστοιχα να δειξετε οτι :

� � 0Ε Ο Ζ + Η Ο Θ = 180

5.

Τα διαδοχικα τοξα � � �ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ εχουν μετρα αναλογα των αριθμων 2, 4, 6 .

α) Να υπολογισετε τα μετρα των τοξων

β) Να αποδειξετε οτι το μεσο της χορδης ΑΓ ειναι το κεντρο του κυκλου.

6.

Εστω οι γωνιες ω και φ, που εχουν κοινη κορυφη, μια κοινη πλευρα και δεν ειναι ε-

φεξης. Αν η διαφορα τους ειναι ιση με 90 0 , να δειξετε οτι η διαφορα των διχοτομων

τους ειναι ιση με 45 0.

7.

Εστω τα διαδοχικα και συνευθειακα σημεια Α, Β, Γ, Δ με Γ μεσο του ΒΔ .

Δειξτε οτι : 2ΑΓ > ΑΔ .


8.

Μιας οξειας γωνιας το αθροισμα του τριπλασιου της συμπληρωματικης γωνιας και

του διπλασιου της παραπληρωματικης της, ισουται με μια πληρη γωνια.

Να βρειτε το μετρο της γωνιας αυτης.

9.

Εστω οι ημιευθειες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ και ΟΔ, τετοιες ωστε η γωνια �Β Ο Γ να ειναι ορθη .

Να υπολογισετε τη γωνια �Α Ο Δ αν :

▪ οι γωνιες �Α Ο Β και �Γ Ο Δ ειναι συμπληρωματικες .

▪ οι γωνιες �Α Ο Β και �Γ Ο Δ ειναι παραπληρωματικες .

10.

Εστω κυκλος με κεντρο Ο και διαμετρο ΑΒ. Θεωρουμε τυχαιο σημειο Γ του κυκλου

διαφορετικο απο τα Α, Β.

Αν ΟΔ, ΟΕ ειναι οι διχοτομοι των γωνιων Β �Ο Γ και Α �Ο Γ αντιστοιχως (Δ , Ε σημεια

του κυκλου), αποδειξτε οτι το τοξο �ΕΔ ειναι τεταρτοκυκλιο.

11.

Εστω κυκλος με κεντρο Ο και ΑΒ , ΓΔ διαμετροι αυτου. Αν το μετρο του τοξου �ΒΔ

ειναι 70 0, να βρειτε τα μετρα των :

α) των τοξων � � �ΑΓ , ΒΓ , ΑΔ

β) ολων των επικεντρων γωνιων .

12.

Εστω κυκλος (Ο, 12) και σημειο Ρ στο επιπεδο του κυκλου. Αν ΟΡ = 2x + 4 , να βρειτε

για ποιες τιμες του θετικου ακεραιου x , το Ρ ειναι εσωτερικο σημειο του κυκλου.

13.

Δινεται τμημα ΑΒ ευθειας ε και ενα εσωτερικο σημειο Μ, τετοιο ωστε ΜΑ = ⋅5

3ΜΒ .

Αν Σ ειναι σημειο στη προεκταση του ΑΒ προς το Β, τετοιο ωστε ΣΑ = ⋅5

3ΣΒ, απο-

δειξτε οτι : 1 1 1

= + (ΑΒ) (ΑΜ) (ΑΣ)

.


14.

Σε μια ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ με ΑΒ = 5,

ΒΓ = x, ΓΔ = 8. Αν Μ το μεσο του ΑΓ και Ν το μεσο του ΒΔ ,να δειξετε οτι :

α) ΑΜ = x + 5

2

β) ΝΔ = x + 8

2

γ) ΜΝ = 6,5

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΤΡΙΓΩΝΑ

01. T ρ ι γ ω ν ο

Ειναι το κυρτο πολυγωνο που εχει τρεις γωνιες.

Τ ρ ι γ ω ν ο Α Β Γ :

▪ κ ο ρ υ φ ε ς :

τα σημεια Α, Β, Γ .

▪ π λ ε υ ρ ε ς :

τα τμηματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ η γ, α, β αντιστοιχα .

▪ γ ω ν ι ε ς :

τις � � �Α , Β, Γ .

▪ κ υ ρ ι α σ τ ο ι χ ε ι α :

ειναι οι πλευρες και οι γωνιες του.

▪ π ε ρ ι μ ε τ ρ ο ς :

ειναι το αθροισμα α+β+γ των πλευρων του.

Συμβολιζεται 2τ (η ημιπεριμετρος του τ = (α + β + γ)/2)

02. Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς π λ ε υ ρ ε ς

▪ σ κ α λ η ν ο :

αν εχει ολες τις πλευρες του ανισες (σχ. ΑΒΓ).

▪ ι σ ο σ κ ε λ ε ς :

αν εχει δυο πλευρες του ισες. Το κοινο σημειο των ισων

πλευρων λεγεται κ ο ρ υ φ η και η πλευρα απεναντι

του β α σ η (σχ. ΔΕΖ).

▪ ι σ ο π λ ε υ ρ ο :

αν εχει ολες τις πλευρες του ισες (σχ. ΗΘΙ).

(Ειναι και ισοσκελες με τρεις βασεις).

03. Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς γ ω ν ι ε ς

▪ ο ξ υ γ ω ν ι ο :

αν εχει ολες τις γωνιες του οξειες (σχ. ΑΒΓ).

▪ ο ρ θ ο γ ω ν ι ο :

αν εχει μια γωνια ορθη. Η πλευρα απεναντι απο την

ορθη λεγεται υ π ο τ ε ι ν ο υ σ α και οι αλλες κ α -

θ ε τ ε ς (σχ. ΔΕΖ).

▪ α μ β λ υ γ ω ν ι ο :

αν εχει μια γωνια αμβλεια (σχ. ΗΘΙ).

Σε καθε τριγωνο οι δυο γωνιες του ειναι παντα οξειες

και το ονομα του το παιρνει απ’τη τριτη γωνια.

Α

γ β

Β α Γ

Α

Β Γ

Δ Η

Ε Ζ Θ Ι

Α

Δ

Β Γ

Ε Ζ Θ Ι

H

ΤΡΙΓΩΝΑ

04. Δ ι α μ ε σ ο ς

Ειναι το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει μια κορυφη με

το μεσο της απεναντι πλευρας.

Οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις πλευρες α, β και γ συμ-

βολιζονται με μα, μβ και μγ αντιστοιχα.

Υπαρχουν τρεις διαμεσοι στο τριγωνο που τεμνονται στο

ιδιο σημειο (βαρυκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο.

05. Δ ι χ ο τ ο μ ο ς

Ειναι το ευθυγραμμο τμημα της διχοτομου μιας γωνιας,

με ακρα την κορυφη και το σημειο τομης της διχοτομου

με την απεναντι πλευρα.

Οι διχοτομοι των γωνιων Α, Β και Γ του τριγωνου συμβο-

λιζονται με δα , δβ και δγ αντιστοιχα.

Υπαρχουν τρεις διχοτομοι στο τριγωνο που τεμνονται

στο ιδιο σημειο (εγκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο.

06. Υ ψ ο ς

Ειναι η αποσταση μιας κορυφης απ’την απεναντι πλευ-

ρα.

Τα υψη απ’τις κορυφες Α, Β και Γ του τριγωνου συμβολι-

ζονται με υα , υβ και υγ αντιστοιχα.

Υπαρχουν τρια υψη στο τριγωνο που τεμνονται στο ιδιο

σημειο (ορθοκεντρο) που βρισκεται:

▪ μεσα στο τριγωνο, αν αυτο ειναι οξυγωνιο.

▪ στη κορυφη της ορθης γωνιας, αν αυτο ειναι ορθογω-

νιο.

▪ εξω απ’το τριγωνο, αν αυτο ειναι αμβλυγωνιο.

Π α ρ α τ η ρ η σ η :

▪ Το σκαληνο τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο.

▪ Το ισοσκελες τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο.

▪ Το ισοπλευρο τριγωνο: ειναι παντα οξυγωνιο (ολες οι γωνιες του απο 60ο).

μβ μγ

Α

Μ Λ

G

Β K Γ

μα

Α

Μ

Θ

Β K Γ

δα

δβ δγ

Λ

ΤΡΙΓΩΝΑ

07. Ι σ ο τ η τ α T ρ ι γ ω ν ω ν

Δυο τριγωνα ειναι ισα αν μετα απο καταλληλη μετατο-

πιση ταυτιζονται.

▪ Δυο ισα τριγωνα εχουν τις πλευρες τους και τις γωνιες

τους ισες μια προς μια.

▪ Σε δυο ισα τριγωνα απεναντι απο ισες πλευρες βρι-

σκονται ισες γωνιες και αντιστροφα.

Οι ισες πλευρες που βρισκονται απεναντι απο ισες γω-

νιες λεγονται α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ς η ο μ ο λ ο γ ε ς .

08. Ι σ ο τ η τ α Σ κ α λ η ν ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν

▪ 1 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π – Γ – Π )

Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια

και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι

ισα .

▪ 2 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Γ – Π – Γ )

Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες

σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ει-

ναι ισα.

▪ 3 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π – Π – Π )

Αν δυο τριγωνα εχουν τις πλευρες τους ισες μια προς

μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα.

09. Ι σ ο τ η τ α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν

▪ Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν τις καθετες πλευρες

τους ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα.

Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγω-

νων αφου περιεχομενη γωνια των καθετων ειναι ορθη

(Π-Γ-Π).

▪ Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν μια καθετη πλευρα

και τη προσκειμενη σ’αυτην οξεια γωνια, ισες μια προς

μια, τοτε ειναι ισα.

Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγω-

νων αφου η δευτερη προσκειμενη της καθετης ειναι

ορθη γωνια (Γ-Π-Γ).

Α

= = = = ≡

Β Γ

= ≡

Β’ Γ’

Β Β’

Α Γ Α’ Γ’

Α’ l

l

Β Β’

Α Γ Α’ Γ’

ΤΡΙΓΩΝΑ

▪ Θ ε ω ρ η μ α 1 ο

Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν την υποτεινουσα

και μια καθετη πλευρα αντιστοιχα ισες μια προς μια,

τοτε ειναι ισα .

▪ Θ ε ω ρ η μ α 2 ο

Αν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν την υποτεινουσα

και μια οξεια γωνια αντιστοιχα ισες μια προς μια,

τοτε ειναι ισα.

10. Π ο ρ ι σ μ α 1

Σε καθε ισοσκελες τριγωνο οι προσκειμενες στη βαση

γωνιες ειναι ισες και η διχοτομος της γωνιας της κορυ-

φης ειναι διαμεσος και υψος.

Αποδειξη

Φερνω διχοτομο ΑΔ .

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι:

1. ΑΔ ειναι κοινη

2. 1 2

ˆ ˆΑ = Α (ΑΔ διχοτομος)

3. ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες)

Ετσι

ΒΔ ΔΓ= ⇒ ΑΔ διαμεσος

ˆ ˆ Β = Γ ⇒ 1 2

ˆ ˆΔ = Δ = 900 οποτε ΑΔ υψος

11. Π ο ρ ι σ μ α 2

Η διαμεσος ισοσκελους τριγωνου, που αντιστοιχει στη

βαση του, ειναι διχοτομος και υψος.

Αποδειξη

Φερνω διαμεσο ΑΔ .



2. ΒΔ=ΔΓ (ΑΔ διαμεσος)

3. ΑΒ=ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες)

Ετσι

1 2ˆ ˆ Α = Α οποτε ΑΔ διχοτομος.

1 2ˆ ˆ Δ = Δ = 900 οποτε ΑΔ υψος.

Α

1 2

1 2

Β Δ Γ

Β Β’

Α Γ Α’ Γ’

Β Β’

Α Γ Α’ Γ’

Α

1 2

1 2

Β Δ Γ

ΤΡΙΓΩΝΑ

12. Π ο ρ ι σ μ α 3

Το υψος ισοσκελους τριγωνου που αντιστοιχει στη βαση

ειναι διαμεσος και διχοτομος της γωνιας της κορυφης.

Αποδειξη

Φερνω το υψος ΑΔ .


1. Τρ.ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο


3. ΑΒ=ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες)

ΒΔ ΔΓ= οποτε ΑΔ διαμεσος.

� � 1 2 Α = Α οποτε ΑΔ διχοτομος.

13. Π ο ρ ι σ μ α 4

Καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος ευθυγραμμου τμημα-

τος ισαπεχει απο τα ακρα του.

Αποδειξη

Φερνω μεσοκαθετη ΜΔ .

Τα τριγωνα ΑΜΔ και ΜΔΒ ειναι ισα γιατι:

1. ΜΔ ειναι κοινη

2. 1 2

ˆ ˆΔ = Δ = 900

3. ΑΔ=ΔΒ (ΜΔ μεσοκαθετη)

Αρα ΜΑ = ΜΒ

14. Π ο ρ ι σ μ α 5

Καθε σημειο που ισαπεχει απο τα ακρα ενος ευθυγραμ-

μου τμηματος ανηκει στη μεσοκαθετο του.

Αποδειξη

Εστω σημειο Μ με ΜΑ=ΜΒ.

Φερνω διαμεσο ΜΔ

Το τριγωνο ΑΜΒ ειναι ισοσκελες (ΜΑ = ΜΒ) και συμφω-

να με προηγουμενο θεωρημα ΜΔ ειναι και υψος.

Αρα ΜΔ ειναι μεσοκαθετη και το Μ ανηκει σ’αυτην.

15. Π ο ρ ι σ μ α 6

Οι γωνιες ισοπλευρου τριγωνου ειναι ισες .

Αποδειξη

Μ

Α Δ Β

Α

1 2

Β Δ Γ

Μ

1 2

Α Δ Β

ΤΡΙΓΩΝΑ

Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι :

□ ισοσκελες με βαση ΒΓ, αρα συμφωνα με προηγουμενο

θεωρημα ειναι: ˆ ˆΒ = Γ

□ ισοσκελες με βαση ΑΓ, αρα συμφωνα με προηγουμενο

θεωρημα ειναι: ˆ Â = Γ

Τελικα ˆ ˆ Â = Β = Γ

16. Π ο ρ ι σ μ α 7

Αν δυο τοξα ενος κυκλου ειναι ισα, τοτε και οι χορδες

τους ειναι ισες.

Αποδειξη

Τα τριγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ ειναι ισα γιατι :

1. ΟΑ = ΟΓ = ρ

2. ΟΒ = ΟΔ = ρ

3. � �ˆ ÂOB = ΓΟΔ (αφου ΑΒ = ΓΔ)

□ Αρα ΑΒ = ΓΔ

17. Π ο ρ ι σ μ α 8

Aν οι χορδες δυο τοξων ενος κυκλου, μικροτερων του η-

μικυκλιου, ειναι ισες, τοτε και τα τοξα ειναι ισα.

Αποδειξη


1. ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ = ρ

2. ΑΒ = ΓΔ (υποθεση)

□ Αρα � �ˆ ÂOB = ΓΟΔ οποτε και ΑΒ = ΓΔ

18. Π ο ρ ι σ μ α 9

Η καθετος που φερεται απο το κεντρο ενος κυκλου προς μια

χορδη του διχοτομει τη χορδη και το αντιστοιχο τοξο της.

Αποδειξη

Τα τριγωνα ΟΑΚ και ΟΒΚ ειναι ισα γιατι:

1. Ειναι ορθογωνια

2. ΟΚ ειναι κοινη

3. ΟΑ = ΟΒ = ρ

Αρα ΑΚ = ΚΒ δηλαδη Κ μεσο ΑΒ και ˆ ÂOΜ = ΜΟΒ , οποτε � �και ΑΜ = ΜΒ δηλαδη Μ μεσο του τοξου ΑΒ.

Α

Β Γ

Β

Α Ο

Γ Δ

Β

Α Ο

Γ Δ

Ο

Α Β

Μ

1 2

Κ

ΤΡΙΓΩΝΑ

19. Π ο ρ ι σ μ α 1 0

Δυο χορδες ενος κυκλου ειναι ισες αν και μονο αν τα α-

ποστηματα τους ειναι ισα.

Αποδειξη

Τα τριγωνα ΟΑΕ και ΟΖΔ ειναι ισα γιατι:

1. Ορθογωνια

2. ΟΕ = ΟΖ (υποθεση)

3. ΟΑ = ΟΔ = ρ

Αρα ΑΕ = ΖΔ και ΑΒ = ΓΔ

Αντιστροφα

Τα τριγωνα ΟΑΕ και ΟΖΔ ειναι ισα γιατι:


2. ΑΕ = ΔΖ (υποθεση αφου ΑΒ = ΓΔ)

3. ΟΑ = ΟΔ = ρ

Αρα ΟΕ = ΟΖ

20. Π ο ρ ι σ μ α 1 1

Kαθε σημειο της διχοτομου μιας γωνιας ισαπεχει απο τις

πλευρες της και αντιστροφα καθε εσωτερικο σημειο της

γωνιας που ισαπεχει απο τις πλευρες ειναι σημειο της

διχοτομου.

Αποδειξη

Τα τριγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ ειναι ισα γιατι:


2. ΟΜ κοινη

3. ˆ ˆMOA = MOB (Οδ διχοτομος)

□ Αρα ΜΑ = ΜΒ

Αντιστροφα

Τα τριγωνα ΟΑΜ και ΟΜΒ ειναι ισα γιατι:


2. ΟΜ κοινη

3. ΜΑ = ΜΒ (υποθεση)

□ Αρα ˆ ˆMOA = MOB δηλαδη Οδ διχοτομος.

Ο

Α Β

Μ

δ

Β

Ε

Α Ο

Γ Ζ Δ

ΤΡΙΓΩΝΑ

21. Β α σ ι κ ο ι Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ι Τ ο π ο ι

▪ Κ υ κ λ ο ς :

ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια του

και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να απεχουν μια

ορισμενη αποσταση απο ενα σταθερο σημειο.

▪ Μ ε σ ο κ α θ ε τ η τ μ η μ α τ ο ς :

ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια της

και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να ισαπεχουν α-

πο τα ακρα του τμηματος.

▪ Δ ι χ ο τ ο μ ο ς γ ω ν ι α ς :

ειναι ενας γεωμετρικος τοπος, αφου ολα τα σημεια της

και μονον αυτα εχουν την ιδιοτητα να ισαπεχουν α-

πο τις πλευρες της γωνιας.

Μ Ο

Μ

Α Β

y

A

Μ

Ο B x

ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

22. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο

Καθε εξωτερικη γωνια ενος τριγωνου ειναι μεγαλυτερη

απο καθεμια απο τις απεναντι γωνιες του τριγωνου.

Αποδειξη

Φερνουμε διαμεσο ΒΔ και τη προεκτεινουμε κατα ΔΕ = ΔΒ.

Τα τριγωνα ΔΒΓ και ΔΑΕ ειναι ισα γιατι:

1. ΒΔ = ΔΕ (υποθεση)

2. ΔΑ = ΔΓ (ΒΔ διαμεσος)

3. 1 2

ˆ ˆΔ = Δ

εξ εξ

εξ

ˆ ˆΑρα ΓΑΕ = Γ.

ˆ ˆ ˆ ˆΟμως ΓΑΕ < Α Γ < Α

ˆ ˆΟμοια Β < Α

⇒

23. Θ ε ω ρ η μ α 2 ο

Σε καθε τριγωνο απεναντι απο ανισες πλευρες βρισκον-

ται ομοια ανισες γωνιες και αντιστροφα.

Αποδειξη

Ειναι ΑΒ < ΑΓ. Εστω Δ σημειο της ΑΓ, ωστε ΑΔ = ΑΒ.

Το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ισοσκελες.

Ετσι

ˆ ˆΑΒΔ = ΑΔΒ

ˆ ˆ ˆ ˆΒ > ΑΒΔ Β > Γ

ˆ ˆΑΔΒ > Γ

⇒

24. Θ ε ω ρ η μ α 3 ο ( Τ ρ ι γ . Α ν ι σ ο τ η τ α )

Καθε πλευρα τριγωνου ειναι μικροτερη απο το αθροισμα

των δυο αλλων και μεγαλυτερη απο τη διαφορα τους.

Αποδειξη

Προεκτεινουμε την ΒΑ κατα ΑΔ = ΑΓ = β.

Το τριγωνο ΑΓΔ ισοσκελες και 1

ˆ ˆΓ = Δ

1ˆ ˆ ˆ ˆΓ < ΒΓΔ Δ < ΒΓΔ ΒΓ < ΒΔ α < β + γ⇒ ⇒ ⇒

Ομοια

β < α + γ (β - γ < α, αν β ≥ γ) και

γ < α + β (γ - β < α, αν β ≤ γ)

Τελικα : β - γ < α < β + γ

x

Α E

1

2

B Γ

Δ

Α

Δ

Β Γ

Δ

β

Α

γ β

Β α Γ

1


25. Ε φ α ρ μ ο γ η 1 η

Αν Μ ειναι ενα εσωτερικο σημειο ενος τριγωνου ΑΒΓ θα

ισχυει :

▪ � �ΒMΓ > A

▪ ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΓ.

Αποδειξη

▪ Στο τριγωνο ΜΔΓ :

� �ΒMΓ > MΔΓ (εξωτερικη γωνια) (1)

▪ Στο τριγωνο ΑΒΔ :

� �ΜΔΓ > A (εξωτερικη γωνια) (2)

Απο (1) και (2) : � �ΒMΓ > A

26. Ε φ α ρ μ ο γ η 2 η

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και σημειο Δ της πλευρας ΒΓ.

Αν ισχυουν δυο απο τις επομενες προτασεις:

▪ το τμημα ΑΔ ειναι διαμεσος,

▪ το τμημα ΑΔ ειναι διχοτομος,

▪ το τμημα ΑΔ ειναι υψος,

τοτε το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΒΓ.

27. Ε φ α ρ μ ο γ η 3 η

Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες και τις περιεχο-

μενες γωνιες ανισες, τοτε και οι τριτες πλευρες θα ειναι

ομοια ανισες και αντιστροφα, δηλαδη στα τριγωνα του

σχηματος :

▪ Αν ΑΒ = Α΄Β΄, ΑΓ = Α΄Γ΄, � � 'Α > Α τοτε ΒΓ > Β΄Γ΄

▪ Αν ΑΒ = Α΄Β΄ , ΑΓ = Α΄Γ΄, ΒΓ > Β΄Γ΄ τοτε � � 'Α > Α

Α

Δ

Β Γ

Α

Β Δ Γ

Α’

Α

Β’

Γ’

Β Γ

Μ

= /

= /

Χ ρ η σ ι μ α Π ο ρ ι σ μ α τ α

▪ Καθε τριγωνο εχει το πολυ μια γωνια ορθη η αμβλεια.

▪ Αν ενα τριγωνο εχει δυο γωνιες ισες, τοτε ειναι ισοσκελες.

▪ Αν ενα τριγωνο εχει και τις τρεις γωνιες του ισες, τοτε ειναι ισοπλευρο.

▪ Το αθροισμα δυο γωνιων καθε τριγωνου ειναι μικροτερο των 180°.

▪ Αν μια γωνια ενος τριγωνου ειναι ορθη η αμβλεια, τοτε η απεναντι πλευρα της

ειναι η μεγαλυτερη πλευρα του τριγωνου.

▪ Καθε χορδη κυκλου ειναι μικροτερη η ιση της διαμετρου.


28. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο

Aν δυο πλαγια τμηματα ειναι ισα, τοτε τα ιχνη τους ι-

σαπεχουν απο το ιχνος της καθετου, και αντιστροφα.

Αποδειξη

□ Εστω ΑΒ και ΑΓ δυο ισα πλαγια τμηματα και ΑΚ το

καθετο τμημα.

To τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες και το ΑΚ υψος του,

επομενως θα ειναι και διαμεσος, δηλαδη ΚΒ = ΚΓ.

□ Αντιστροφα.

Εστω ΚΒ = ΚΓ. Στο τριγωνο ΑΒΓ το ΑΚ ειναι υψος και

διαμεσος, αρα το τριγωνο ειναι ισοσκελες.

29. Θ ε ω ρ η μ α 2 ο

Το καθετο τμημα απο ενα σημειο εκτος ευθειας ειναι μικρο-

τερο απο καθε πλαγιο απ’το σημειο αυτο.

Αποδειξη

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΒ, η γωνια �Κ ειναι η μεγαλυ-

τερη ως ορθη. Επομενως η πλευρά ΑΒ ειναι η μεγαλυ-

τερη πλευρα του τριγωνου που σημαινει οτι ΑΒ > ΑΚ.

30. Θ ε ω ρ η μ α 3 ο

Αν απο ενα σημειο Α εκτος ευθειας ε φερουμε το καθε-

το και δυο ανισα πλαγια ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΑΓ,

τοτε : οι αποστασεις των ιχνων τους απο το ιχνος της

καθετου ειναι ομοιοτροπως ανισες και αντιστροφα.

Αποδειξη

Εστω Κ το ιχνος της καθετης στην ευθεια ε.

□ Β, Γ στην ιδια ημιευθεια που οριζει το Κ :

Εστω ΚΓ > ΚΒ. Αφου το Β ειναι μεταξυ των Κ, Γ, η �ΑΒ Γ

ειναι εξωτερικη του ορθογωνιου τριγωνου ΚΑΒ, αρα

� � 0ΑΒ Γ > Κ 90= , δηλαδη η �ΑΒ Γ αμβλεια και απεναντι της

στο τριγωνο ΑΒΓ βρισκεται η μεγαλυτερη πλευρα του,

που σημαινει ΑΓ > ΑΒ.

□ Β, Γ εκατερωθεν του Κ :

Παιρνουμε τμημα ΑΓ’ = ΑΓ με Γ, Γ’ εκατερωθεν του Κ, ο-

ποτε συμφωνα με το προηγουμενο ΑΓ’ = ΑΓ > ΑΒ.

Α

Β Κ

Α

Γ’ Β Κ Γ

Α

Β Κ Γ

Α

Γ Β Κ


□ Αντιστροφα.

Εστω ΑΓ > ΑΒ.

Αν ηταν ΚΓ = ΚΒ, τοτε θα ειχαμε ΑΓ = ΑΒ, που ειναι

ατοπο.

Αν ΚΓ < ΚΒ, τοτε συμφωνα με το προηγουμενο θα

ειχαμε οτι ΑΓ < ΑΒ, που ειναι επισης ατοπο.

Επομενως ΚΓ > ΚΒ.

ΚΥΚΛΟΣ

31. Σ χ ε τ ι κ η Θ ε σ η Ε υ θ ε ι α ς – Κ υ κ λ ο υ

Η σχετικη θεση ευθειας ε και κυκλου (Ο,R) καθοριζεται

απο την αποσταση δ = ΟΑ του κεντρου του κυκλου απ’

την ευθεια και απ’την ακτινα του R.

▪ Η ε ειναι ε ξ ω τ ε ρ ι κ η ευθεια του κυκλου :

▪ Η ε δεν εχει κοινα σημεια με τον κυκλο.

▪ Αν δ > R η ε ειναι εξωτερικη του κυκλου και αντιστρο-

φα.

▪ Για καθε σημειο Μ της ε ισχυει ΟΜ > R .

▪ Η ευθεια που διερχεται απ’τα σημεια Μ, Ο λεγεται

δ ι α κ ε ν τ ρ ι κ η ε υ θ ε ι α του σημειου Μ.

▪ Η ε ειναι ε φ α π τ ο μ ε ν η του κυκλου :

▪ Η ε εχει ενα κοινο σημειο (σημειο επαφης) με τον κυ-

κλο.

▪ Αν δ = R η ε ειναι εφαπτομενη του κυκλου και αντι-

στροφα.

▪ Η ακτινα με ακρο το σημειο επαφης Α ειναι καθετη

στην εφαπτομενη (ΟΑ⊥ ε).

▪ Σε καθε σημείο Ν του κυκλου υπαρχει μοναδικη εφα-

πτομενη.

▪ Η ε ειναι τ ε μ ν ο υ σ α του κυκλου :

▪ Η ε εχει δυο κοινα σημεια με τον κυκλο.

▪ Αν δ < R η ε ειναι εξωτερικη του κυκλου και αντιστρο-

φα.

▪ Αν Β, Γ τα σημεια τομης τοτε η αποσταση δ = ΟΑ ει-

ναι το αποστημα της χορδης ΒΓ.

32. Θ ε ω ρ η μ α 1 ο

Μια ευθεια και ενας κυκλος εχουν το πολυ δυο κοινα

σημεια.

Αποδειξη

Εστω μια ευθεια ε και ενας κυκλος (Ο,ρ) με τρια κοινα

σημεια Α, Β, Γ .

Επειδη ΟΑ = ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκαθετοι

κ, λ των ΑΒ, ΒΓ αντιστοιχα, διερχονται απ’το Ο.

Δηλαδη απ’το σημειο Ο εχουμε δυο διαφορετικες καθε-

τες στην ε, τις κ και λ, που ειναι ατοπο.

ε

Α

κ Ο

Γ

Β

λ

ε

Μ

Α Ο

ε

Α Ο

Ν

ε

Β

Α Ο

Γ

ρ

δ

��

��

�ρ = δ

δ

ρ

��

ΚΥΚΛΟΣ

33. Θ ε ω ρ η μ α 2 ο

Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο ση-

μειο εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.

Αποδειξη

Τα τριγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ ισα:

Ορθογωνια

ΟΡ κοινη οποτε ΡΑ = ΡΒ

ΟΑ = ΟΒ = ρ

34. Σ χ ε τ ι κ η Θ ε σ η Δ υ ο Κ υ κ λ ω ν

Η σχετικη θεση δυο κυκλων (Κ, R) και (Λ, ρ) καθοριζεται

απο την διακεντρο δ (ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα

κεντρα Κ,Λ), το αθροισμα και τη διαφορα των ακτινων

τους, R + ρ και R – ρ αντιστοιχα.

34α. Χ ω ρ ι ς Κ ο ι ν α Σ η μ ε ι α

▪ Ο ενας ε ξ ω τ ε ρ ι κ α του αλλου :

▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εξω-

τερικο του αλλου, αν και μονο αν δ > R + ρ.

▪ Δυο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες (αφηνουν τους κυ-

κλους προς το ιδιο μερος τους).

▪ Δυο κοινες εσωτερικες εφαπτομενες (αφηνουν τους κυ-

κλους εκατερωθεν αυτων).

▪ Ο ενας ε ν τ ο ς του αλλου :

▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο ε-

σωτερικο του αλλου, αν και μονο αν δ < R - ρ.

▪ Δεν υπαρχει κοινη εφαπτομενη.

Α

Ο Ρ

Β

▪ ΡΟ διακεντρικη του Ρ.

▪ ΡΟ μεσοκαθετη της χορδης ΑΒ.

▪ ΡΟ διχοτομος της �Ρ .

1 1 2 2

��

��

ρR

δ

��

��

ρR

δ

��R

ρδ

Κ Λ

ΚΥΚΛΟΣ

34β. Μ ε Κ ο ι ν ο Σ η μ ε ι ο

▪ Ε φ α π τ ο μ ε ν ο ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ α :

▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εξω-

τερικο του αλλου και εχουν ενα κοινο σημειο (σημειο

επαφης πανω στη διακεντρο), αν και μονο αν

δ = R + ρ.

▪ Δυο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες.

▪ Μια κοινη εσωτερικη εφαπτομενη (διχοτομει τα κοινα

εφαπτομενα τμηματα).

▪ Ε φ α π τ ο μ ε ν ο ι ε σ ω τ ε ρ ι κ α :

▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρισκονται ο ενας στο εσω-

τερικο του αλλου και εχουν ενα κοινο σημειο (στη

προεκταση της διακεντρου), αν και μονο αν δ < R - ρ.

▪ Μια κοινη εξωτερικη εφαπτομενη.

34γ. Μ ε Κ ο ι ν α Σ η μ ε ι α

▪ Τ ε μ ν ο μ ε ν ο ι :

▪ Οι κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) τεμνονται (δυο σημεια

κοινα), αν και μονο αν R – ρ < δ < R + ρ.

▪ Δυο κοινες εξωτερικες εφαπτομενες.

▪ Το τμημα με ακρα τα κοινα σημεια ειναι η κοινη χορδη.

▪ Η διακεντρος ειναι μεσοκαθετος της κοινης χορδης.

Κ Λ

Κ Λ

Κ Λ

��

��

ρR

δ

��R

ρδ

ΚΥΚΛΟΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

01. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ μ η μ α τ ω ν :

Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και εστω Μ το μεσο της ΑΓ. Προεκτεινουμε το ΒΜ

ετσι ωστε ΜΖ = ΒΜ. Να δειξετε οτι ΑΖ = ΒΓ.

Τα τριγωνα ΜΑΖ και ΜΒΓ ειναι ισα γιατι :

1. ΑΜ = ΜΓ (Μ μεσο ΑΓ)

2. ΒΜ = ΜΖ (υποθεση)

3. � � 1 2Μ = Μ (κατακορυφη)

Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και

ΑΖ = ΒΓ.

02. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ μ η μ α τ ω ν – γ ω ν ι ω ν (σε ισοσκελες τριγωνο) :


Αποδειξη ισοτητας τμηματων .


Ιδιοτητες τριγωνων, ισοτητα τμηματων κλπ .


▪ Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα, τα οποια συμβολιζουμε

πανω του .

▪ Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι

πλευρες τους .

▪ Δειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα .

Συμβουλη :

Συμφωνα με τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων απαιτουνται 3 ισοτητες (τμηματων

– γωνιων). Ετσι ξεκινω απο αυτα που ‘’βγαζουν ματια’’. Δηλαδη

▪ Τριγωνα ορθογωνια

▪ Κοινα τμηματα - γωνιες

▪ Δοσμενες ισοτητες (υποθεση)

Μ


Αποδειξη ισοτητας τμηματων – γωνιων σε ισοσκελες τριγωνο.


Τριγωνο ισοσκελες .



πανω του .

▪ Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι

Α Ζ


Σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) προεκτεινω τις ΑΒ, ΑΓ κατα τμηματα ΒΔ = ΓΕ

αντιστοιχα. Να δειξετε οτι ΒΕ = ΓΔ.

Τα τριγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ ειναι ισα γιατι :

1. �A = κοινη

2. ΑΒ = ΑΓ (τριγ.ΑΒΓ ισοσκελες)

3. ΑΕ = ΑΔ (αθροισματα ισων τμηματων)

Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και

ΓΔ = ΒΕ.

03. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ρ ι γ ω ν ο ε ι ν α ι ι σ ο σ κ ε λ ε ς :

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ και ΒΔ, ΓΕ τα υψη του. Να δειχτει οτι :

Το τριγωνο ΑΕΔ ειναι ισοσκελες .

Τα τριγωνα ΑΕΓ και ΑΔΒ ειναι ισα γιατι :


2. ΑΒ = ΑΓ (τριγ. ΑΒΓ ισοσκελες)

3. �Α = κοινη

Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΑΕ = ΑΔ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΕΔ ειναι ισοσκελες .

πλευρες τους .

▪ Δειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα .

▪ Δεν ξεχνουμε οτι στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΒΓ βαση) ειναι :

▪ ΑΒ = ΑΓ

▪ � �Β = Γ

▪ Το υψος απ’τη κορυφη Α ειναι διχοτομος και διαμεσος .


Αποδειξη οτι τριγωνο ειναι ισοσκελες .


Ισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα .


Εχοντας υποψιν τα προηγουμενα, δειχνουμε καποιο απ’τα παρακατω :

▪ Δυο πλευρες του τριγωνου ειναι ισες .

▪ Δυο γωνιες του τριγωνου ειναι ισες .

▪ Το υψος απο μια κορυφη ειναι και διαμεσος η διχοτομος .

Α

Ε Δ

Β Γ

Α

Β Γ

Δ Ε


04. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς τ ρ ι γ ω ν ω ν (με βοηθητικη ισοτητα τριγωνων) :

Δειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ ειναι ισα αν:

▪ υα = υα’ ▪ υβ = υβ’ ▪ α = α’

� �

Τα τριγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ' ειναι ισα γιατι :

Ορθογωνια

ΒΕ = Β'Ε'(υποθεση)

ΒΓ = Β'Γ'(υποθεση)

Οποτε και τα υπολοιπα σημεια τους ισα,

δηλαδη Γ = Γ'

Τα τριγωνα

� �

� �

ΑΓΔ και Α'Γ'Δ' ειναι ισα γιατι :

Ορθογωνια

Γ = Γ' (προηγ.αποδειξη)

ΑΔ = Α'Δ'(υποθεση)


δηλαδη ΑΓ = Α'Γ'

Ειναι :

ΒΓ = Β'Γ',

ΑΓ = Α'Γ' και

Γ = Γ'

που σ

ημαινει οτι τα τριγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' ειναι ισα.


Αποδειξη ισοτητας τριγωνων .


Συνηθως ισοτητα στοιχειων τριγωνων, διχοτομων, διαμεσων κλπ .



πανω του .

▪ Παρατηρουμε οτι για την ζητουμενη ισοτητα των τριγωνων δεν εχουμε τις α-

παραιτητες ισοτητες ωστε να ικανοποιειται καποιο απ’τα κριτηρια .

▪ Εχοντας υποψιν τα δοσμενα και τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων, ανακαλυπτου-

με την ισοτητα (ες) που λειπει για την ζητουμενη ισοτητα τριγωνων .

▪ Η προηγουμενη ισοτητα (που λειπει) αποδεικνυεται απο ισοτητα βοηθητικων

τριγωνων .

Α Α

Ε

Β Δ Γ

A’

Ε ’

Β’ Δ’ Γ’


05. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν τ ρ ι γ ω ν ω ν:

Να δειξετε οτι τα μεσα των ισων πλευρων ισοσκελους τριγωνου ισαπεχουν απο:

▪ τη βαση του ▪ απ’τις ισες πλευρες του.

□ Τα τριγωνα ΒΜΚ και ΝΛΓ ειναι ισα γιατι :


2. ΜΒ = ΝΓ (ΑΒ = ΑΓ και Μ, Ν μεσα τους)

3. � �Β = Γ (τριγ. ΑΒΓ ισοσκελες)

Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΜΚ = ΝΛ .

□ Τα τριγωνα ΑΜΔ και ΑΕΝ ειναι ισα γιατι :


2. �Α = κοινη

3. ΑΜ = ΑΝ (ΑΒ = ΑΓ και Μ, Ν μεσα τους)

Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΜΔ = ΝΕ .

06. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς (απ’τη μεσοκαθετη τμηματος (διχοτομο γωνιας)) :


Αποδειξη ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων .




▪ Αφου τα τριγωνα ειναι ορθογωνια αρκουν δυο ισοτητες τμηματων - γωνιων,

προκειμενου να αποδειξουμε την ισοτητα τους, οπως παρακατω :

▪ Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε καθετη πλευρα .

▪ Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια .

▪ Οι δυο καθετες πλευρες .

▪ Οποιαδηποτε καθετη πλευρα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια .


Αποδειξη ισοτητας .




▪ Εχοντας υποψιν τα προηγουμενα, χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα :

▪ της μεσοκαθετης οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ’τα ακρα του ευθυγραμμου

τμηματος .

▪ της διχοτομου οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ’τις πλευρες της γωνιας .

Α

Ε Δ

Μ Ν

Β Κ Λ Γ


Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημειο Δ στο εσωτερικο του που ισα-

πεχει απ’τα ακρα της βασης του.

Να αποδειξετε οτι το σημειο Δ ισαπεχει απ’τις πλευρες ΑΒ και ΑΓ.

Αφου το Δ ισαπεχει απο τα Β και Γ, σημαινει οτι

βρισκεται στη μεσοκαθετη του τμηματος ΒΓ.

□ Η μεσοκαθετη της βασης διερχεται απ'τη κορυφη

ισοσκελους τριγωνου.

□ Στο τριγωνο ΑΒΓ (με βαση ΒΓ) η μεσοκαθετη της

βασης διερχεται απ'τη κορυφη Α.

Ετσι η ΑΚ ειναι και διαμεσος, αρα και διχοτομος της

γωνιας Α .

Καθε σημειου της διχοτομου της γωνιας Α ισαπεχει

απ'τις πλευρες της, αρα και το Δ, που σημαινει οτι ΔΜ = ΔΝ .

07. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς γ ω ν ι α ς δ ι χ ο τ ο μ ω ν

(εσωτερικων - εξωτερικων) τριγωνου :

Αν ΑΔ διχοτομος τριγωνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, να δειχτει οτι:

��

��

0

0

Β - ΓΑΔΒ = 90 - και

2

Β - ΓΑΔΓ = 90 +

2

�

�


Αποδειξη ισοτητας γωνιας διχοτομων τριγωνου, εστω ΑΒΓ .


Διχοτομοι τριγωνου .


▪ Θεωρουμε το τριγωνο, εστω ΚΛΜ, του οποιου γωνια ειναι η ζητουμενη .

▪ Ξεκινουμε απ’την ισοτητα : � � � 0Κ + Λ + Μ = 180 (οπου μια απ’τις γωνιες ειναι

η ζητουμενη) .

▪ Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα : Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ειναι ιση με το α-

θροισμα των δυο απενατι εσωτερικων γωνιων του .

▪ Αντικαθιστουμε γωνιες συμφωνα με τις ισοτητες του αρχικου τριγωνου ΑΒΓ :

▪ � � �

0Α Β Γ + + = 90

2 2 2

▪ � � � 0Α + Β + Γ = 180 .

Α

Μ Ν

Δ

Β Κ Γ


� ��

� ��

0

Στο τριγωνο ΑΒΔ ειναι :

Α Α ΑΔΒ + Β + = 180 ΑΔΒ + Β +

2 2⇒

�0 Α

= 90 +2

� �

��

��

� ��

� ��

0 0

0

Β Γ+ +

2 2

Β Γ Β - Γ ΑΔΒ = 90 - + ΑΔΒ = 90 -

2 2 2 Στο τριγωνο ΑΔΓ ειναι :

Α Α ΑΔΓ + Γ + = 180 ΑΔΓ + Γ +

2 2

⇒

⇒

⇒

�0 Α

= 90 +2

� �

��

��

0 0

Β Γ+ +

2 2

Β Γ Β - Γ ΑΔΓ = 90 + - ΑΔΒ = 90 +

2 2 2

⇒

⇒

08. Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς σ χ ε σ ε ι ς μ ε τ α ξ υ τ μ η μ α τ ω ν – γ ω ν ι ω ν :

Αν ΑΔ διχοτομος τριγωνου ΑΒΓ και Ε ενα σημειο στη προεκταση του ΑΒ τετοιο ωστε

ΑΕ = ΑΓ, να δειχτει οτι ΔΒ < ΔΕ.


Αποδειξη ανισοτικης σχεσης μεταξυ τμηματων - γωνιων .


Ισοτητα – ανισοτητα τμηματων η γωνιων η ιδιοτητα .


Προκειμενου να αποδειξουμε τη ζητουμενη σχεση εχουμε υποψιν μας :

▪ Η εξωτερικη γωνια ενος τριγωνου ειναι μεγαλυτερη απο καθεμια απ’τις απε-

ναντι εσωτερικες .

▪ Σε καθε τριγωνο απεναντι απο μεγαλυτερη πλευρα βρισκεται μεγαλυτερη γω-

νια και αντιστροφα . Σε πολλες ασκησεις ενα ‘’κολπο’’ ειναι να μεταφερουμε με

ισοτητες, τα τμηματα και τις γωνιες που μας ενδιαφερουν στο ιδιο τριγωνο .

▪ Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια, τοτε οι περιχομενες

γωνιες ειναι ομοιομορφα ανισες οπως οι τριτες πλευρες των τριγωνων και

αντιστροφα .

▪ Σε καθε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα: | β – γ | < α < β + γ

▪ Συνηθως εφαρμοζουμε τριγωνικη ανισοτητα για καθε ορο του μικρου μελους

της προς αποδειξη ανισοτητας και προσθετουμε κατα μελη .

▪ Υπενθυμιζουμε οτι η περιμετρος του πιο πανω τριγωνου ειναι : 2τ = α + β + γ

▪ Για πλαγια τμηματα που αγονται απο κοινο σημειο και τεμνουν ευθεια, πιο μι-

κρο ειναι αυτο που το ιχνος του εχει μικροτερη αποσταση απ’το ιχνος της κα-

θετης απ’το κοινο σημειο προς την ευθεια .

Α

Β Δ Γ


� ��

�

� �

1 2

(1)

Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :

ΑΔ = κοινηΟποτε και τα υπολοιπα σημεια

ΑΕ = ΑΓ (υποθεση) τους ισα,δηλαδη Ε = Γ (1)

Α = Α (ΑΔ διχοτομος)

Η ΔΒΕ εξωτερικη στο τριγωνο ΑΒΓ, οποτε :

ΔΒΕ > Γ Δ

⇒ � �ΒΕ > Ε , που σημαινει οτι ΔΕ > ΒΔ.

Αν ΑΜ ειναι διαμεσος τριγωνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ,να δειξετε οτι :

▪ � �Μ ΑΒ > Μ ΑΓ ▪ β - γ < 2μα < β + γ ▪ μα + μβ +μγ < 2τ

� �1 2

Προεκτεινουμε την ΑΜ κατα τμημα ΜΔ = ΑΜ.

Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :

ΜΑ = ΜΔ (υποθεση) Οποτε ... ισα, δηλαδη

ΜΒ = ΜΓ (Μ μεσο ΒΓ)

Μ = Μ (κατακορυφη)

ΑΒ = ΓΔ

� �

� � � �

(1)

(2)

(ΑΒ =)ΓΔ < ΑΓ

α

α

β

(1) και ΜΑΒ = ΜΔΓ (2)

ΑΒ < ΑΓ ΓΔ < ΑΓ (τριγ.ΑΓΔ)

ΜΑΓ < ΜΔΓ ΜΑΓ < ΜΑΒ.

Απο τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο ΑΓΔ προκυπτει :

|ΑΓ - ΓΔ|< ΑΔ < ΑΓ + ΓΔ β - γ < 2μ < β + γ

Ειναι 2μ < β + γ

Ομοια 2μ

⇒ ⇒

⇒

⇒

(+)α β γ

α β γ

γ

2(μ +μ +μ ) < 2(α + β + γ)< α + γ

μ +μ +μ < 2τ Ομοια 2μ < α + β

⇒

⇒

Αν Κ τυχαιο σημειο της πλευρας ΒΓ τριγωνου ΑΒΓ, να δειξετε οτι : τ - α < ΑΚ < τ.

(+)

Απο τριγωνικη ανισοτητα στα τριγωνα ΑΒΚ, ΑΓΚ προκυπτει :

ΑΒ < ΒΚ + ΑΚ ΑΒ + ΑΓ < + 2ΑΚ γ + β < + 2ΑΚ

ΑΓ < ΓΚ + ΑΚ

α + γ + β < 2α + 2ΑΚ 2τ < 2α + 2ΑΚ - α < ΑΚ (1)

Απο τριγωνικη ανισοτητα στα τριγωνα ΑΒΚ, Α

ΒΚ

ΓΚ

+

προκυπ

Γ

τε

Α

Κ α

ι :

τ

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

(+)

ΒΚ + ΓΚ αΚ < ΒΚ + ΑΒ

2ΑΚ < + ΑΒ + ΑΓ 2ΑΚ < + γ + βΑΚ < ΓΚ + ΑΓ

2ΑΚ < 2τ ΑΚ < τ (2)

Απο(1),(2) :

τ - α < ΑΚ < τ

⇒ ⇒ ⇒

⇒

Β

Α

Β Κ Γ

Α

1 2

Δ Γ

Ε

Α

1

Β Μ 2 Γ

Δ


Αν ΑΜ η διαμεσος και ΑΔ η διχοτομος τριγωνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, να δειξετε οτι :

▪ ΔΒ < ΔΓ ▪ δα < μα

� ��

1

1 2

Παιρνουμε στην ΑΓ τμημα ΑΕ = ΑΒ.

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ ειναι ισα γιατι :

ΑΔ = κοινη Οποτε ... ισα, δηλαδη :

ΑΕ = ΑΒ (κατασκευη)ΔΒ = ΔΕ (1) και Β = Ε (2)

Α = Α (ΑΔ διχοτομος)

� � � � � �(1)

2 2

( * )

(2) : Β = Ε , ομως Β > Γ Ε > Γ ΔΓ > ΔΕ ΔΓ > ΔΒ.

Αν ΑΚ υψος, απ'τη προηγουμενη αποδειξη :

ΒΓ ΔΒ < ΔΓ 2ΔΒ < ΔΓ + ΔΒ 2ΔΒ < ΒΓ ΔΒ <

2

ΔΒ < ΜΒ ΔΒ - ΚΒ < ΜΒ - ΚΒ ΔΚ < ΚΜ δ < μ

εξ εξ

α α

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

09. Σ υ ν ε υ θ ε ι α κ α σ η μ ε ι α :

Δυο κυκλοι με κεντρα Κ, Λ τεμνονται στα Α και Β. Αν Μ το μεσο της χορδης ΑΒ, να

δειχτει οτι Κ, Μ, Λ ειναι συνευθειακα.

Φερνουμε το μεσο Μ της ΑΒ και τα τμηματα ΚΜ, ΛΜ.

Στο ισοσκελες τριγωνο ΚΑΒ (ΚΑ = ΚΒ = ακτινα)

ΚΜ ειναι διαμεσος, αρα και υψος, οποτε

ΚΜ ΑΒ (1)

Στο ισοσκελες τριγωνο ΛΑΒ (ΛΑ = ΛΒ = ακτινα)

ΛΜ

⊥

ειναι διαμεσος, αρα και υψος, οποτε

ΛΜ ΑΒ (2)

Απο (1), (2) τα Κ, Μ, Λ συνευθειακα, γιατι απ'το ιδιο σημειο

ευθειας διερχεται μια μονο καθετη.

⊥

Α

Β Κ ΔΜ Γ


Τα σημεια Α, Β, Γ ειναι συνευθειακα .




Τα σημεια Α, Β, Γ ειναι συνευθειακα αν :

▪ δυο απ’τα τμηματα με ακρα τα Α, Β, Γ ειναι παραλληλα .

▪ τα τμηματα ΑΒ, ΒΓ ειναι καθετα στο Β, στε ευθεια που διερχεται απ’το Β .

(*) : Αφου τα ιχνη δυο πλαγιων τμημα -

των απεχουν ανισα απ'το ιχνος της κα -

θετου, ομοια ανισα ειναι και τα τμηματα.

Α

Κ Μ Λ

Β

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

1.

Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε σημεια Δ, Ε, Ζ αντι-

στοιχα, ωστε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ .

Αποδειξτε οτι το τριγωνο ΔΕΖ ειναι ισοπλευρο.

2.

Αν Ε, Ζ ειναι σημεια της διχοτομου ΑΔ τριγωνου ΑΒΓ, τετοια ωστε ΑΕ = ΑΒ και

ΑΖ = ΑΓ, να δειξετε οτι � �A Γ Ε = Α Ζ Β .

3.

Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και εστω Μ το μεσο της ΑΓ. Προεκτεινουμε το ΒΜ

ετσι ωστε ΜΖ = ΒΜ.

Να δειξετε οτι ΑΖ = ΒΓ

4.

Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και εστω Ε, Ζ τα μεσα των ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα.

Προεκτεινουμε τα ΒΖ, ΓΕ ετσι ωστε ΖΗ = ΒΖ και ΕΘ = ΓΕ.

Να δειξετε οτι ΑΘ = ΑΗ.

5.

Σε ευθεια ε παιρνουμε διαδοχικα τα σημεια Α, Β, Γ και παιρνουμε τα ισοπλευρα τριγω-

να ΑΒΖ και ΒΓΕ (στο ιδιο ημιεπιπεδο ως προς ε). Να δειξετε οτι ΑΕ = ΓΖ.

6.

Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), οι διχοτομοι του ΒΔ και ΓΕ και οι

διαμεσοι του ΒΖ και ΓΗ. Να δειξετε οτι:

▪ ΒΔ = ΓΕ

▪ ΒΖ = ΓΗ

7.

Εστω κυρτο τετραπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = ΒΓ και � �Α = Γ . Να δειξετε οτι ΑΔ = ΔΓ.

8.

Eστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε τις πλευρες ΒΑ και ΓΑ ετσι

ωστε ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ.

Να δειξετε οτι ΒΓ = ΖΕ.


9.

Εστω το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Παιρνουμε σημειο Δ

της ΑΒ και σημειο Ε της ΑΓ ετσι ωστε 1

ΑΔ = ΑΒ3

και 1

ΑΕ = ΑΓ3

.

Να δειξετε οτι το τριγωνο ΜΔΕ ειναι ισοσκελες.

10.

Εστω ο κυκλος (Ο, ρ) και ΑΒ μια χορδη του. Προεκτεινουμε την ΑΒ εκατερωθεν κατα

ισα τμηματα ΑΓ και ΒΔ. Να δειξετε οτι � �=ΟΔΟΓΑ Β.

11.

Εστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Φερνουμε το ΑΔ καθετο στην πλευρα ΑΒ και

το ΑΕ καθετο στην πλευρα ΑΓ ετσι ωστε ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ.

Να δειξετε οτι ΓΔ = ΒΕ.

12.

Δυο ισοσκελη τριγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ ( με βασεις ΒΓ και ΔΕ) εχουν κοινη την κορυφη

Α και τις γωνιες της κορυφης ισες. Να δειξετε οτι : ΒΔ = ΓΕ (η ΒΕ = ΓΔ).

13.

Εστω ο κυκλος (Ο, ρ) και ΑΑ’, ΒΒ’ και ΓΓ’ τρεις διαμετροι του.

Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ, Α’Β’Γ’ ειναι ισα.

14.

Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Προεκτεινου-

με την ΑΒ κατα ΒΔ και την ΑΓ κατα ΓΕ ετσι ωστε ΒΔ = ΓΕ.

Να αποδειξετε οτι ΜΔ = ΜΕ.

15.

Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτεινουμε την ΒΓ προς την πλευ-

ρα του Β κατα ΒΔ και προς την πλευρα του Γ κατα ΓΕ ετσι ωστε ΒΔ = ΓΕ. Επιπλεον,

προεκτεινουμε την ΑΒ κατα ΒΖ και την ΑΓ κατα ΓΗ ετσι ωστε ΒΖ = ΓΗ.

Να αποδειξετε οτι ΔΖ = ΕΗ.

16.

Εστω οτι τα ισα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ και ΓΔ τεμνονται στο σημειο Ο ετσι ωστε

ΟΔ = ΟΒ. Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ ειναι ισα.


17.

Σε ενα πενταγωνο ΑΒΓΔΕ ειναι ΑΒ = ΕΔ , ΒΓ = ΔΓ και � �Β = Δ . Να δειξετε οτι η μεσο-

καθετος της πλευρας ΑΕ διερχεται απο το Γ και ειναι διχοτομος της γωνιας �Γ .

18.

Σε ενα τριγωνο ΑΒΓ οι διαμεσοι ΒΔ και ΓΕ ειναι ισες. Προεκτεινουμε το ΕΔ και παιρ-

νουμε τμημα ΔΗ = ΕΔ. Επισης προεκτεινουμε το ΔΕ και παιρνουμε τμημα ΕΖ = ΕΔ.

Να δειχθει οτι:

▪ To AZH ειναι ισοσκελες

▪ Τα τριγωνα ΑΖΕ και ΑΗΔ ειναι ισα

▪ Το ΑΒΓ ειναι ισοσκελες.

19.

Σε τριγωνο ΑΒΓ η ΑΜ ειναι διαμεσος και Δ το μεσο της διαμεσου. Αν ειναι ΒΔ = ΒΓ

2

να δειχθει:

▪ � �ΑΔΒ = ΔΜΓ

▪ ΑΒ = ΔΓ

20.

Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και την διχοτομο ΑΔ. Στην ημιευθεια ΑΒ παιρνου-

με τμημα ΑΓ΄= ΑΓ και στην ημιευθεια ΑΓ παιρνουμε τμημα ΑΒ΄= ΑΒ.

Να δειξετε οτι τα σημεια Β ’, Δ, Γ ’ ειναι συνευθειακα.

21.

Eστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε τις πλευρες ΒΑ και ΓΑ ετσι

ωστε ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ.

Να δειξετε οτι ΒΓ = ΖΕ.

22.

Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και Μ το μεσο της ΒΓ. Προεκτεινουμε την ΒΑ κατα

το ισο τμημα ΑΔ και την ΓΑ κατα το ισο τμημα ΑΕ. Αν Ζ ειναι το σημειο τομης της προ-

εκτασης της ΜΑ με τη ΔΕ, να δειξετε οτι:

▪ τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ ειναι ισα,

▪ τα τριγωνα ΑΕΖ και ΑΜΓ ειναι ισα,

▪ το Ζ ειναι το μεσο του ΕΔ.

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

23.

Εξωτερικα ενος ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) κατασκευαζουμε τα ισοπλευρα

τριγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ . Να δειξετε οτι:

▪ ΒΔ = ΓΕ

▪ Αν Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων ΕΑ, ΑΔ, ΒΓ αντιστοιχα να δειχτει οτι το τριγωνο

ΚΛΜ ειναι ισοσκελες.

24.

Σε τριγωνο ΑΒΓ προεκτεινουμε τη ΓΒ κατα τμημα ΒΔ = ΑΒ και τη ΒΓ κατα τμημα

ΓΕ = ΑΓ . Φερνουμε τις διχοτομους των εξωτερικων γωνιων των � �Β και Γ που τε-

μνονται στο σημειο Μ .

Να δειχθει οτι τo τριγωνο ΔΜΕ ειναι ισοσκελες.

25.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με β > γ και διχοτομο ΑΔ . Φερνουμε απο το Β καθετη στην ΑΔ

που την τεμνει στο Ε και την ΑΓ στο Ζ . Αποδειξτε οτι :

▪ ΑΒ = ΑΖ ▪ ΓΖ = β - γ ▪ ΒΔ = ΔΖ ▪ η ΔΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Β �ΔΖ .

26.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ . Στην προεκταση του υψους ΑΗ παιρνουμε τμημα ΗΔ = ΑΗ και στη

προεκταση της διαμεσου ΑΜ παιρνουμε τμημα ΜΕ = ΑΜ. Να δειξετε οτι:

▪ � �ΓΒΔ = ΒΓΕ και ΒΔ = ΓΕ.

▪ Αν οι ευθειες ΒΔ και ΓΕ τεμνονται στο Σ να δειχθει οτι η ΣΜ ειναι καθετος στις ΒΓ

και ΔΕ .

27.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), οι διχοτομοι ΒΔ, ΓΕ και Μ το μεσο της ΒΓ.

Να δειχτει οτι το τριγωνο ΔΜΕ ειναι ισοσκελες.

28.

Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τα υψη του ΒΕ και ΓΖ.

Να δειξετε οτι ΒΕ = ΓΖ.

29.

Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ, � 0Α 90 ≠ ) η καθετη στο Α στην ΑΒ τεμνει την

ευθεια ΒΓ στο Δ και η καθετη στο Α στην ΑΓ τεμνει την ΒΓ στο Ε. Αν Μ το μεσο της

ΒΓ να δειξετε οτι η ΑΜ ειναι μεσοκαθετος του ΕΔ.


30.

Εστω το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Φερνουμε το ΜΔ

καθετο στην ΑΒ και το ΜΕ καθετο στην ΑΓ. Να αποδειξετε οτι ΜΔ = ΜΕ.

31.

Θεωρουμε αμβλεια γωνια χ �Ο ψ και τα σημεια Α,Β στις πλευρες της Οχ , Οψ αντιστοι-

χα , ωστε ΟΑ = ΟΒ. Στα σημεια Α,Β φερνουμε καθετες στις Οχ, Οψ αντιστοιχα, που

τεμνονται στο Γ. Αποδειξτε οτι :

▪ η ΟΓ ειναι διχοτομος της γωνιας Α �Γ Β .

▪ η ΟΓ ειναι μεσοκαθετος του ΑΒ .

32.

Αν δυο τριγωνα ειναι ισα, τοτε και τα υψη που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες ειναι

ισα.

33.

Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε την ΑΒ κατα ΒΕ και την ΑΓ κατα

ΓΖ ετσι ωστε ΒΕ = ΑΒ και ΓΖ = ΑΓ. Φερνουμε τα ΕΗ, ΖΘ καθετα στην ΒΓ.

Να δειξετε οτι ΕΗ = ΖΘ.

34.

Σε τριγωνο ΑΒΓ η διχοτομος της γωνιας �Α και η μεσοκαθετη της πλευρας ΒΓ τεμνον-

ται στο Δ. Φερνουμε τις καθετες ΔΕ και ΔΖ στις πλευρες ΑΒ και ΑΓ.

Να δειξετε οτι ΒΕ = ΓΖ .

35.

Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0A = 90 ), Μ μεσο της ΒΓ και η μεσοκαθετη απο το Μ

τεμνει την ΓΑ στο Ζ. Αν Α μεσο του ΓΖ να δειχθει οτι το τριγωνο ΒΓΖ ειναι ισοπλευρο.

36.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και Μ το μεσο της ΒΓ. Πανω στην ΑΜ παιρνουμε το σημειο Δ τετοιο

ωστε ΑΔ = ΔΜ και ΒΔ = ΒΜ. Να δειξετε οτι: ▪ ˆ ˆΑΔΒ = ΔΜΓ ▪ ΑΒ = ΔΓ.

37.

Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Φερνουμε τα

τμηματα ΜΔ, ΜΕ καθετα στις πλευρες ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. Να δειξετε οτι:

▪ ΜΔ = ΜΕ ▪ ˆ ˆΑΜΔ = ΑΜΕ ▪ ΑΜ ΔΕ⊥ .


38.

Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0A = 90 ) και ΒΔ η διχοτομος της γωνιας �Β .

Απ’το Δ φερνουμε ΔΕ ΒΓ⊥ που τεμνει την ΑΒ στο Ζ.

Να δειξετε οτι το τριγωνο ΒΓΖ ειναι ισοσκελες.

39.

Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0A = 90 ) και Μ το μεσο της ΒΓ. Προεκτεινουμε

την ΑΜ κατα το τμημα ΜΔ = ΑΜ. Να αποδειξετε οτι:

▪ τα τριγωνα ΜΒΔ, ΑΜΓ ειναι ισα,

▪ τα τριγωνα ΜΔΓ, ΑΒΜ ειναι ισα,

▪ τα ευθυγραμμα τμηματα ΒΔ, ΔΓ ειναι καθετα.

40.

Δινεται κυκλος (Ο, ρ) και ΑΒ τυχαια χορδη του. Αν απο το μεσο Κ του τοξου �ΑΒ φερ-

νουμε ΚΔ⊥ΟΑ. Να δειχθει οτι ΚΔ = 1

2ΑΒ .

41.

Εστω το τριγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 2ΑΒ και ˆ ˆΒ = 2Γ . Αν ΒΔ ειναι η διχοτομος της Β και Μ

το μεσο της ΒΓ, να δειξετε οτι:

▪ το τριγωνο ΒΔΓ ειναι ισοσκελες,

▪ ΔΜ ΒΓ⊥ ,

▪ τα τριγωνα ΑΔΒ, ΔΒΜ ειναι ισα,

▪ ˆ 0A = 90 .

42.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και ΑΒ = ΑΜ οπου Μ μεσο της ΒΓ, απο το Μ φερνουμε ΜΔ⊥ΑΓ.

Αν Ν σημειο της ΒΓ τετοιο ωστε ΒΝ = 1

4ΒΓ να δειχθει οτι ΑΜ⊥ΔΝ.

43.

Εστω το ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ. Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ παιρνουμε τα σημεια Δ, Ε,

Ζ ετσι ωστε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ. Αν το Κ ειναι το σημειο τομης των ΑΕ, ΓΔ, το Λ ειναι το

σημειο τομης των ΒΖ, ΑΕ και το Μ ειναι το σημειο τομης των ΓΔ, ΒΖ, να δειξετε οτι:

▪ τα τριγωνα ΑΔΓ, ΒΕΑ και ΓΖΒ ειναι ισα,

▪ τα τριγωνα ΑΔΚ, ΒΕΛ και ΓΖΕ ειναι ισα,

▪ το τριγωνο ΚΛΜ ειναι ισοπλευρο.


44.

Εστω η γωνια ˆxOy . Πανω στην Οx παιρνουμε τα τμηματα ΟΑ, ΟΒ και πανω στην Οy

παιρνουμε τα τμηματα ΟΓ, ΟΔ, ετσι ωστε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Αν Κ ειναι το σημειο

τομης των ΒΓ, ΑΔ να δειξετε οτι:

▪ τα τριγωνα ΟΒΓ, ΟΔΑ ειναι ισα,

▪ η ΟΚ ειναι διχοτομος της ˆxOy .

45.

Εστω τα ορθογωνια τριγωνα ΑΒΓ, Α’Β’Γ’ ( ˆ 0A = 90 , ˆ 0A' = 90 ) με ΑΓ = Α’Γ’ και

ΑΒ + ΒΓ + ΓΑ = Α’Β’ + Β’Γ’ + Γ’Α’.

Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ, Α’Β’Γ’.

46.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και η προεκταση Βχ της πλευρας ΒΓ προς το μερος του Β.

Η καθετος απο το Α στην διχοτομο της γωνιας �Β τεμνει την ευθεια ΒΓ στο Δ και η

καθετος απο το Α στην διχοτομο της γωνιας ΑΒχ τεμνει την ευθεια ΒΓ στο Ε.

Να δειξετε οτι ΒΔ = ΒΕ.

47.

Σε τριγωνο ΑΒΓ φερνουμε τις εσωτερικες και εξωτερικες διχοτομους των γωνιων �Β

και �Γ . Να δειξετε οτι :

▪ η γωνια των δυο εσωτερικων διχοτομων ειναι �

0 Α90 +

2.

▪ η γωνια των δυο εξωτερικων διχοτομων ειναι �

0 Α90 -

2.

48.

Η διχοτομος της εξωτερικης γωνιας �Α τριγωνου ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) τεμνει την προεκτα-

ση της πλευρας ΒΓ στο σημειο Δ.

Να δειχτει οτι: �� Β - Γ

ΑΔ Β = 2

.

49.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ, με �Α = 60 0 . Αν ΒΔ, ΓΕ ειναι οι διχοτομοι των γωνιων �Β και �Γ

αντιστοιχα, τοτε να δειχτει οτι: � �ΒΔΓ = ΑΕΓ .


50.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και ΑΔ η διχοτομος του.

Να δειχτει οτι:

▪ � � � �Α Δ Γ - Α Δ Β = Β - Γ ▪ �

� � 0 Β - Γ

Α Δ Β = 90 -2

▪ ��

0 Β - ΓΑ Δ Γ = 90 +

2

51.

Εστω ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ��Β

Α =2

. Αν οι διχοτομοι των γωνιων �Β

και �Γ τεμνονται στο Ι, να υπολογισετε τη γωνια Β Ι Γ� .

52.

Αν σε τριγωνο ΑΒΓ ειναι ��

0εξ

ΑΒ = 90 +

2, τοτε ΑΒ = ΑΓ.

53.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ , η διχοτομος του ΑΔ και Μ εσωτερικο σημειο της

ΑΔ. Δειξτε οτι:

▪ ΜΓ - ΜΒ < ΑΓ - ΑΒ ▪ ΜΒ < ΜΓ

54.

Σε τετραπλευρο ΑΒΓΔ θεωρουμε τυχαιο σημειο Κ στο εσωτερικο του. Να δειξετε οτι :

▪ ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ < 2(ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + ΚΔ) < 3(ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ)

▪ ΑΓ + ΒΔ ≤ ΚΑ + ΚΒ + ΚΓ + ΚΔ

55.

▪ Σε κυρτο τετραπλευρο ΑΒΓΔ δειξτε οτι:

▪ ΑΓ + ΒΔ > ΑΒ + ΓΔ

▪ ΑΓ < τ και ΒΔ < τ (τ = ημιπεριμετρος)

▪ Σε κυρτο τετραπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ μεγαλυτερη πλευρα και ΓΔ μικροτερη, δειξτε οτι:

� �Α < Γ

56.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και τυχαιο σημειο Μ της πλευρας ΒΓ. Αν Δ και Ε ειναι οι

προβολες του Μ στις πλευρες ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι:

▪ ΜΔ < ΒΜ και ΜΕ < ΜΓ

▪ ΔΕ < ΒΓ

▪ ΜΔ + ΜΕ < ΑΒ + ΑΓ


57.

∆ινεται αμβλυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ (A > 90 0) και Ο ενα σημειο στο εσωτερικο αυτου.

Αν οι ευθειες ΟΒ και ΟΓ τεμνουν τις ΑΓ και ΑΒ αντιστοιχα στα σημεια Κ και Λ,

δειξτε οτι: ΒΚ + ΓΛ > ΒΛ + ΚΛ + ΓΚ .

58.

Αν Δ, Ε τυχαια σημεια πανω στις καθετες πλευρες ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα, ορθογωνιου

τριγωνου ΑΒΓ, να δειξετε οτι:

▪ ΔΕ < ΕΒ ▪ ΔΕ < ΒΓ

59.

Εστω δυο κυκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) με R > ρ, που δεν τεμνονται. Φερουμε τις κοινες

εξωτερικες εφαπτομενες τους. Να δειξετε οτι:

▪ τεμνονται σε σημειο της διακεντρου.

▪ οι μεσοκαθετοι των κοινων εξωτερικων εφαπτομενων τμηματων τεμνονται

σε σημειο της διακεντρου.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ


01. Ο ρ ι σ μ ο ς

Δυο ευθειες ε1, ε2 ενος επιπεδου λεγονται παραλληλες

αν δεν εχουν κανενα κοινο σημειο.

Συμβολισμος παραλληλιας των ε1 και ε2 : ε1 // ε2.

02. Τ ε μ ν ο υ σ α Ε υ θ ε ι α Δ υ ο Ε υ θ ε ι ω ν

Αν ε η τεμνουσα ευθεια δυο ευθειων ε1 και ε2 :

▪ Γ ω ν ι α ε ν τ ο ς :

Αυτη που βρισκεται μεταξυ των ε1, ε2.

▪ Γ ω ν ι α ε κ τ ο ς :

Αυτη που βρισκεται εξω απ’τη δεσμη των ε1 και ε2.

▪ Ε ν α λ λ α ξ γ ω ν ι ε ς :

Δυο γωνιες που βρισκονται εκατερωθεν της ε.

▪ Ε π ι τ α α υ τ α μ ε ρ η γ ω ν ι ε ς :

Δυο γωνιες που βρισκονται προς το ιδιο μερος της ε.


Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο

εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες.

Δηλαδη : αν ˆ ˆω = φ τοτε ε1 // ε2

Αποδειξη :

Εστω οτι οι ε1 και ε2 τεμνονται στο σημειο Γ. Στο τριγωνο

ΑΒΓ η γωνια φ ειναι εξωτερικη και ισουται με την ω ,

που ειναι εσωτερικη, ατοπο. Αρα ε1 // ε2.



εντος εκτος και επι τα αυτα μερη γωνιες ισες, τοτε ειναι

παραλληλες.

Δηλαδη: αν ˆ ˆω = φ τοτε ε1 // ε2

Αποδειξη:

Ειναι: � �ω = φ , απο υποθεση.

Ειναι: � �ω = x , σαν κατακορυφην.

Αρα � �φ = xκαι εντος εναλλαξ, οποτε ε1 // ε2.

Α ε1

Γ

Β ε2

ε1

ε2

α β

δ γ

κ

λ

ν

μ

κ λ

ν μ

ε

ε1

ε2

ω

φ

Α ε1

Β ε2

x

φ

ω




εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες παραπληρωματικες,

τοτε ειναι παραλληλες.

Δηλαδη: αν ˆ ˆ 0ω + φ = 180 τοτε ε1 // ε2

Αποδειξη:

Ειναι : � � 0ω + φ = 180 , απο υποθεση.

Ειναι : � � 0ω + x = 180 , αθροισμα ευθεια γωνια.

Αρα � �φ = xκαι εντος εναλλαξ, οποτε ε1 // ε2.

06. Ε υ κ λ ε ι δ ε ι ο Α ι τ η μ α

Απο σημειο Α εκτος ευθειας ε αγεται μια μονο παραλλη-

λη προς αυτη.

Δηλαδη, απ’το σημειο Α υπαρχει μονο μια ευθεια ε΄// ε

07. Π ρ ο τ α σ η

Αν δυο ευθειες παραλληλες τεμνονται απο τριτη σχημα-

τιζουν τις εντος εναλλαξ γωνιες ισες .

Δηλαδη: αν ε1 // ε2 τοτε ˆ ˆω = φ

Αποδειξη:

2

2

ˆˆ ˆ ˆΕστω φ ω και xΑB = φ.

Aρα Αx / /ε .

Δηλαδη απ'το σημειο Α εχουμε δυο παραλληλες προς την

ευθεια ε , ατοπο.

ˆ ˆΕτσι φ = ω.

≠

08. Π ο ρ ι σ μ α


τιζουν τις εντος - εκτος και επι τα αυτα μερη γωνιες ισες.

Δηλαδη: αν ε1 // ε2 τοτε ˆ ˆω = φ

Αποδειξη:

Ειναι: ε1 // ε2, απο υποθεση.

Ειναι: � �ω = x , σαν κατακορυφην.

Αρα � �φ = x σαν εντος εναλλαξ, οποτε � �ω = φ .

Α

ε1

Β ε2

Α ε’

ε

ω

φ

x

ω

φ

Α

ε1 Α

ε2 Β

ω

x

φ




τιζουν τις εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες παραπλη-

ρωματικες.

Δηλαδη: αν ε1 // ε2 τοτε ˆ ˆ 0ω + φ = 180 .

Αποδειξη :

Ειναι: ε1 // ε2, απο υποθεση.

Ειναι : � � 0ω + x = 180 , αθροισμα ευθεια γωνια.

Αρα � �φ = x σαν εντος εναλλαξ, οποτε � � 0ω + φ = 180 .


Αν δυο διαφορετικες ευθειες ε1 και ε2 ειναι παραλληλες

προς μια τριτη ευθεια ε, τοτε ειναι και μεταξυ τους πα-

ραλληλες.

Δηλαδη: αν ε1 // ε και ε2 // ε, τοτε ε1 // ε2 .

Αποδειξη :

Αν ε1 και ε2 τεμνονται στο σημειο Γ, τοτε απ’το ιδιο ση-

μειο Γ θα ειχαμε δυο παραλληλες προς την ιδια ευθεια

(ε). Ατοπο.


Αν δυο ευθειες ε1 και ε2 ειναι παραλληλες και μια τριτη

ευθεια ε τεμνει τη μια απο αυτες, τοτε η ε θα τεμνει και

την αλλη.

Αποδειξη :

Αν ε τεμνει την ε1 στο σημειο Α και δεν τεμνει την ε2 τοτε

ε//ε2, δηλ. απ’το ιδιο σημειο (Α) θα ειχαμε δυο παραλλη-

λες (ε, ε1) προς την ιδια ευθεια (ε2).

Ατοπο.


Αν μια ευθεια ειναι καθετη σε μια απο δυο παραλληλες

ευθειες, τοτε ειναι καθετη και στην αλλη.

Αποδειξη:

1 1 2

0 0

2

ˆ ˆΕστω ε ε . Αφου ε / / ε τοτε ω = φ.

ˆ ˆΟμως ω = 90 φ = 90 ε ε

⊥

⇒ ⇒ ⊥

Α ε1

ε2

ε

ε1

Γ

ε2

ε

ω

φ

Α ε1

Β ε2

x

φ

ω

Α ε1

ε2

ε



Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν τις

εντος και επι τα αυτα μερη γωνιες με αθροισμα μικρο-

τερο απο δυο ορθες, τοτε οι ευθειες τεμνονται προς το

μερος της τεμνουσας που βρισκονται οι γωνιες αυτες.

Δηλαδη, αν ˆ ˆ 0ω + φ < 180 τοτε οι ε1 , ε2 τεμνονται προς τη

μερια της ε που ειναι οι ˆ ˆ ω, φ .

Αποδειξη :

1 2

1

ο

1 2

ˆ ˆΕστω φ + ω < 180 ,οποτε ε και ε τεμνονται.

ˆˆΑν Κ το σημειο τομης ω > Α (σαν εξωτερικη γωνια του

τριγωνου ΑΚΒ) τοτε

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆω > 180 - φ φ + ω > 180 ατοπο, αφου φ + ω < 180 .

Αρα οι ε και ε τεμνονται προς την μ

ο

ο ο⇒

ˆ ˆερια των γωνιων ω,φ.

14. Ι δ ι ο τ η τ ε ς

Γ ω ν ι ε ς μ ε π λ ε υ ρ ε ς π α ρ α λ λ η λ ε ς :

▪ Αν ειναι ο ξ ε ι ε ς και οι δυο, τοτε ειναι ι σ ε ς .

� � � �0Δηλαδη αν ω, φ < 90 τοτε ω = φ

▪ Αν ειναι α μ β λ ε ι ε ς και οι δυο, τοτε ειναι ι σ ε ς .

� � � �0Δηλαδη αν ω, φ > 90 τοτε ω = φ

▪ Αν ειναι η μια ο ξ ε ι α και η αλλη α μ β λ ε ι α, τοτε

ειναι π α ρ α π λ η ρ ω μ α τ ι κ ε ς .

� � � �0 0 0Δηλαδη αν ω > 90 , φ < 90 τοτε ω + φ = 180

15. Α ξ ι ο σ η μ ε ι ω τ ο ι Κ υ κ λ ο ι Τ ρ ι γ ω ν ο υ

Θ ε ω ρ η μ α 1 ο :

Οι μεσοκαθετοι των πλευρων τριγωνου διερχονται απο

το ιδιο σημειο Ο. Το σημειο Ο (περικεντρο) ειναι το κεν-

τρο κυκλου (περιγεγραμμενος) που διερχεται απο τις κο-

ρυφες του τριγωνου.

Αποδειξη :

Φερνουμε τις μεσοκαθετους των πλευρων ΑΒ,ΒΓ που

τεμνονται στο σημειο Ο. Αρα

ΟΚ μεσοκαθετη ΑΒ : ΟΑ = ΟΒΟΑ = ΟΓ

ΟΛ μεσοκαθετη ΒΓ : ΟΒ = ΟΓ

Ο σημειο μεσοκαθετης του ΑΓ.

⇒ ⇒

Α

φ ε1

Κ

ε2

Β

ω

ω

φ

ω

φ

ω

φ

Α

Κ Μ

Ο

Β Λ Γ


Αρα Ο σημειο τομης μεσοκαθετων και επειδη

ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ το Ο ειναι το κεντρο του κυκλου που διερ-

χεται απ’τις κορυφες του τριγωνου.

Θ ε ω ρ η μ α 2 ο :

Οι διχοτομοι των γωνιων τριγωνου διερχονται απο το

ιδιο σημειο Ι. Το σημειο Ι (εγκεντρο) ειναι το κεντρο κυ-

κλου (εγγεγραμμενος) που εφαπτεται εσωτερικα στις

πλευρες του τριγωνου.

Αποδειξη:

Φερνουμε τις διχοτομους των γωνιων Β και Γ που τεμ-

νονται στο σημειο Ι.

Αρα

ˆΙΒ διχοτομος Β : ΙΘ = ΙΛΙΛ = ΙΝ

ˆΙΓ διχοτομος Γ : ΙΘ = ΙΝ

ˆΙ σημειο διχοτομου της Α.

⇒ ⇒

Αρα Ι σημειο τομης διχοτομων και επειδη ΙΘ = ΙΝ = ΙΛ

το Ι ειναι το κεντρο του κυκλου που εφαπτεται στις

πλευρες του τριγωνου.


Το αθροισμα των γωνιων καθε τριγωνου ειναι 2 ορθες.

Αποδειξη :

ο

Ειναι xy / /BΓ, οποτε

ˆˆ ˆω + Α + φ = 180 (ευθεια γωνια)

ˆ ˆ ˆ ˆˆΒ = ω (εντος εναλλαξ) Α + Β + Γ = 180

ˆ ˆΓ = φ (εντος εναλλαξ)

ο

⇒


Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ισουται με το αθροισμα

των δυο απεναντι εσωτερικων γωνιων του .

Αποδειξη :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΑ + Β + Γ = 180 Γ + Γ = Α + Β + Γ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΓ + Γ = 180 (ευθεια γωνια) Γ = Α + Β

ο

εξ

ο

εξ εξ

⇒⇒

Α

Ε

Β

Θ

Γ

Ζ

Λ Ν

Δ

Ι

εξΓ�

Α

Β Γ

Α

ω φ



Αν δυο τριγωνα εχουν δυο γωνιες ισες, μια προς μια,

εχουν και τις τριτες γωνιες τους ισες.

Αποδειξη :

ο

ο

ˆ ˆΑ = Α'

ˆ ˆΒ = Β'

ˆ ˆ ˆ ˆΕ Α = Α', Β = Β'

ˆ ˆ ˆΑ + Β + Γ = 180

ˆ ˆ ˆΑ' + Β' + Γ' = 180

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΑ' + Β' + Γ' = Α + Β + Γ Γ = Γ'

στω

⇒

⇒


Οι οξειες γωνιες ενος ορθογωνιου τριγωνου ειναι συμ-

πληρωματικες.

Αποδειξη :

οο ο

ο

ˆ ˆ ˆΑ + Β + Γ = 180 ˆ ˆ ˆ ˆ90 + Β + Γ = 180 Β + Γ = 90Α = 90

ο⇒ ⇒


Καθε γωνια ισοπλευρου τριγωνου ειναι 60 0.

Αποδειξη :

ο

ο ο

ˆ ˆ ˆΑ + Β + Γ = 180

ˆ ˆ ˆΑ = Β = Γ

ˆ ˆ ˆ ˆ3Α = 180 Α = 60 (= Β = Γ)

⇒

⇒


Δυο οξειες γωνιες που εχουν τις πλευρες τους καθετες

ειναι ισες.

Αποδειξη :

� �

� �

� �

� �

� ��

ο1

ο1ο

2ο

21 2

Τα τριγωνα ΑΟΓ και ΒΟ'Γ ειναι ορθογωνια.

ω + Γ = 90ω = 90 - Γ

φ + Γ = 90 ω = φφ = 90 - Γ

Γ = Γ (εντος εναλλαξ)

⇒ ⇒

Α

Β Γ Α’

Β’ Γ’

Β

Α Γ

Α

Β Γ

Α

Ο ω 1 Γ Β

φ

Ο’

2



Δυο αμβλειες γωνιες που εχουν τις πλευρες τους καθε-

τες ειναι ισες.

Αποδειξη :

� �

� �

� �

� �

� ��

ο

οο

ο

x + ω = 180x = 180 - ω

y + φ = 180 x = yy = 180 - φ

ω = φ (θεωρημα)

⇒ ⇒


Μια οξεια και μια αμβλεια γωνια που εχουν τις πλευρες

τους καθετες ειναι παραπληρωματικες.

Αποδειξη :

� �

� ��

οοx + ω = 180

x + φ = 180ω = φ (θεωρημα)

⇒


Το αθροισμα των γωνιων καθε κυρτου πολυγωνου με

ν πλευρες ειναι 2ν-4 ορθες.

Αποδειξη :

� � � 0 0 01 2 ν 1 2 ν

0 0 0

Α + Α + ....Α = ν 180 - (ω + ω + ... + ω ) = ν 180 - 360 =

= ν 180 - 2 180 = (ν - 2) 180 =

= 2(ν - 2) oρθες

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅


Το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων καθε κυρτου πο-

λυγωνου με ν πλευρες ειναι 4 ορθες.

Αποδειξη :

� � �

� � �

� � �

1εξ 2εξ νεξ

ο ο ο1 2 ν

ο ο ο1 2 ν

ο

Α + Α + ... + Α =

= (180 - Α ) + (180 - Α ) + ... + (180 - Α ) =

= ν 180 - (Α + Α + ... + Α ) = ν 180 - (ν - 2) 180 =

= ν 180

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ο- ν 180⋅ ο 0+ 2 180 = 360⋅

Αν Αν-1

Α1 ν ν-1

1

Α2 Α3

Α

Ο ω 1 Γ Β

x

φ

y

2

2

Α

Ο ω 1 Γ Β

x

φ

y

4

3

2

Α4

Αν Αν-1

Α1

Α2 Α3

Α4

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

01. Υ π ο λ ο γ ι σ μ ο ς μ ε τ ρ ο υ γ ω ν ι ω ν :

,

1 2 2

01

0

Εστω οι παραλληλες ευθειες ε , ε και Κ σημειο της ευθειας ε . Απ'το σημειο Κ φερνουμε

τις ημιευθειες Κx, Κy που τεμνουν την ευθεια ε στα σημεια Λ, και Μ και υπο γωνια 65

και 40 αντιστοιχα. Να υπ �

� �

� �

� �

� � �

0 0 1 1

1 1

1 2

2 1

0 1 2

Ειναι Λ = 65 και Μ = 40 και

Λ = Κ (1) , ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ε , ε

Μ = Κ (2)

που τεμνονται απ'τις Κx, Ky.

Ακομη

Κ + ΛΚΜ + Κ = 180 (αθροισμα ευθεια γωνι

ολογιστει η γωνια ΛΚΜ.

� � � � �

(1,2)

0 0 0 0 1 1

α)

Λ + ΛΚΜ + Μ = 180 65 + ΛΚΜ + 40 = 180

⇒

⇒ ⇒ 0ΛΚΜ = 75

02. Α π ο δ ε ι ξ η π α ρ α λ λ η λ ι α ς ε υ θ ε ι ω ν :


Υπολογισμος μετρου γωνιων .


Μετρο γωνιων και παραλληλες ευθειες .


▪ Χρησιμοποιουμε τις ιδιοτητες των γωνιων που σχηματιζονται απο δυο παραλ-

ληλες ευθειες που τεμνονται απο τριτη ευθεια :

▪ Οι εντος εναλλαξ γωνιες ειναι ισες .

▪ Οι εντος – εκτος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι ισες .

▪ Οι εντος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι παραπληρωματικες .


Αποδειξη παραλληλιας ευθειων .




▪ Αρκει για τις προς αποδειξη ευθειες που τεμνονται απο τριτη, να ισχυει :

▪ Οι εντος εναλλαξ γωνιες ειναι ισες .

▪ Οι εντος – εκτος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι ισες .

▪ Οι εντος και επιταυτα μερη γωνιες ειναι παραπληρωματικες .

▪ Οι προς αποδειξη ευθειες να ειναι καθετες στην ιδια ευθεια .

x y

ε1 Λ 1 1 M

1 2

ε2 Κ

650 400


Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημειο Δ

της πλευρας ΑΒ. Αν ο κυκλος (Δ, ΔΒ) τεμνει τη ΒΓ στο

Ε, να αποδειξετε οτι ΔΕ παραλληλη ΑΓ.

□ ΔΒ = ΔΕ (ακτινες) οποτε � �Β = ΔΕΒ

□ ΑΒ = ΑΓ οποτε � �Β = Γ

Αρα � �Γ = ΔΕΒ που σημαινει οτι ΕΔ||ΓΑ

(εντος εκτος και επιταυτα)

Δινεται κυκλος (Ο, ρ) και Μ το μεσο χορδης του ΑΒ.

Φερουμε Οx⊥ΟΜ.

Να αποδειξετε οτι Οx παραλληλη ΑΒ.

ΟΜ ΑΒ (ΟΜ αποστημα της ΑΒ) Οx ||ΑΒ

ΟΜ Οx (υποθεση)

⊥⇒

⊥

03. Α π ο δ ε ι ξ η ι σ ο τ η τ α ς γ ω ν ι ω ν - τ μ η μ α τ ω ν

(με βοηθεια εξωτερικης γωνιας τριγωνου) :

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ, σημειο Δ στη βαση ΒΓ και σημειο Ε στην

πλευρα ΑΓ τετοιο, ωστε ΒΑΔ = 2ΓΔΕ. Να δειχθει οτι: ΑΔ = ΑΕ .

� � � �

�

� � � � � � � � � �

�

� � �

�

1 2

1 1 2 2 1 2

2

Ειναι Β = Γ και Α = 2Δ .

Η ΑΔΓ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ οποτε :

ΑΔΓ = Α + Β Δ + Δ = 2Δ + Γ Δ = Δ + Γ (1)

Η ΑΕΔ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΕΓΔ οποτε :

ΑΕΔ = Δ + Γ (2)

Απο (1),(2) : ΑΕ

⇒ ⇒

�1Δ = Δ που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΔΕ ειναι ισοσκελες και ισχυει ΑΔ = ΑΕ.


Αποδειξη ισοτητας γωνιων - τμηματων .




▪ Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα :

▪ Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ειναι ιση με το αθροισμα των δυο απενατι εσω-

τερικων γωνιων του .

▪ Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ειναι παραπληρωματικη της αντιστοιχης εσωτε-

ρικης .

Α

Δ

Β Ε Γ

Ο x

A M Β

Α

1

Ε

Β Δ Γ

1 2


�

� � �

Aν η διχοτομος της εξωτερικης γωνιας Α τριγωνου ΑΒΓ τεμνει την προεκταση της ΓΒ

στο σημειο Κ, να δειξετε οτι : 2Κ = Β - Γ.

�

� � � � ��

� ��

��

��

� � �

εξ

Β ειναι εξωτερικη του τριγωνου ΑΚΒ, οποτε :

Β ΓΒ = Κ + ΚΑx Κ = Β Κ = Β Κ = -

2 2

Β - ΓΚ = 2Κ = Β -

Α Β Γ- -

2 2

Γ2

-2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒

04. Ε υ ρ ε σ η γ ω ν ι α ς (με χρηση αθροισματος γωνιων τριγωνου) :

Σε τριγωνο ΑΒΓ με � � 0Β - Γ = 30 φερουμε τη διχοτομο ΑΔ. Να δειξετε οτι � 0ΑΔ Β = 75 .

� � � ��

01

Ειναι

ΑΑΔΒ + Α + Β = 180 ΑΔΒ +

2⇒ �

�0 Α

+ Β = 90 +2

� �

��

��

��

� �

0 0

00 0 0 0 0

Β Γ+ +

2 2

Β Γ Γ ΒΑΔΒ = 90 + - Β + ΑΔΒ = 90 + -

2 2 2 2

Β - Γ 30ΑΔΒ = 90 - ΑΔΒ = 90 - ΑΔΒ = 90 - 15 = 75

2 2

⇒

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Απο τυχαιο σημειο Δ της βασης ΒΓ ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ φερουμε τη ΔΕ⊥ΑΓ.

Να αποδειξετε οτι ˆ ˆΑ = 2 ΕΔΓ .

� � �

� ��

� � ��

��

��

� � �

0 0

0 0

Β = Γ

Ειναι

Α + Β + Γ = 180Α + Β + Γ = ΕΔΓ + 90 + Γ

ΕΔΓ + 90 + Γ = 180

Α Β Γ Α ΑΑ + Β = ΕΔΓ + + + Α - = ΕΔΓ = ΕΔΓ Α = 2ΕΔΓ

2 2 2 2 2

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒


Ευρεση γωνιας .







▪ Αντικαθιστουμε τις αλλες δυο γωνιες απ’τα δοσμενα η ιδιοτητες τους .

x

Α

Κ Β Γ

Α

Ε

Β Δ Γ

Α

1 2

Β Δ Γ


05. Ε υ ρ ε σ η γ ω ν ι α ς (με χρηση αθροισματος γωνιων τετραπλευρου) :

Θεωρουμε τετραπλευρο ΑΒΓΔ με ˆ ˆΑ > Γ και ονομαζουμε φ την οξεια γωνια των

διχοτομων των γωνιων Β και Δ . Να αποδειξετε οτι φ = ˆ ˆΑ - Γ

2.

� � � ��

� ��

0 0Α Β Γ Δ Α + Β + Γ + Δ = 360 + + + = 180

2 2 2 2

Β ΕΖΔ = Γ + (εξωτερικη γωνια του τρ.

Ι

Β

σχυο

ΓΖ)2

υν

⇔

Ειναι, στο τριγωνο ΖΕΔ

� ��

0 - ΕΖΑ Β Γ Δ

180φ = - ΕΔΖ = + + +2 2 2

Δ2

�Δ-

2� �

� �

=

Α Β =

- Γ - ΖΒΓ

+2

2

� � �Γ Γ Β+ - 2 -

2 2 2⋅

� � � �Α Γ Α - Γ= - =

2 2 2

06. Ε υ ρ ε σ η γ ω ν ι α ς (με χρηση γωνιων με καθετες πλευρες) :




Διχοτομοι τετραπλευρου .





▪ Αντικαθιστουμε τις 0180 στη πιο πανω σχεση με τη βοηθεια της ισοτητας :

Ημιαθροισμα γωνιων τετραπλευρου = 0180 .

▪ Σε τετραπλευρο ΑΒΓΔ ισχυει : � � � � 0Α + Β + Γ + Δ = 360






Χρησιμοποιουμε τα :

▪ Δυο οξειες (αμβλειες) γωνιες που εχουν τις πλευρες τους καθετες ειναι ισες.

▪ Μια οξεια και μια αμβλεια γωνια, που εχουν καθετες τις πλευρες τους, ειναι

παραπληρωματικες .

Β

Α

Ε

φ

Δ Ζ Γ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( � 0Α = 90 ) με � 0Β = 60 φερνουμε το υψος ΑΔ και στο Γ

καθετη που τεμνει την ΑΒ στο Ε. Να βρειτε το μετρο της γωνιας �Ε .

� � � � �

� �

� �

0 0 0 0 0

0

Ειναι

Α + Β + Γ = 180 90 + 60 + Γ = 180 Γ = 30

Ο γωνιες ΑΓΒ και Ε ειναι οξειες και εχουν τις

πλευρες τους καθετες (ΓΑ ΕΒ και ΓΒ ΓΕ) .

Αρα ειναι ισες και

ΑΓΒ = Ε = 30

ι

⇒ ⇒

⊥ ⊥

07. Ε υ ρ ε σ η α ρ ι θ μ ο υ π λ ε υ ρ ω ν π ο λ υ γ ω ν ο υ :

Το αθροισμα των γωνιων κυρτου πολυγωνου ειναι 900 ο . Να βρεθει το πληθος των

πλευρων του.

Εστω ν το πληθος των πλευρων.

( 2 ν – 4) ∙ 90 = 900 ⇔ 2 ν – 4 = 10 ⇔ 2 ν = 14 ⇔ ν = 7

Να βρεθει το πληθος των πλευρων του κυρτου πολυγωνου που το αθροισμα των γω-

νιων του ισουται με το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων του .

Εστω ν το πληθος των πλευρων.

Το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων του πολυγωνου ειναι 4 ορθες, οποτε και το α-

θροισμα των γωνιων του θα ειναι ισο με 4 ορθες.

Ετσι

( 2 ν – 4) ∙ 90 = 360 ⇔ 2 ν – 4 = 4 ⇔ 2 ν = 8 ⇔ ν = 4


Ευρεση αριθμου πλευρων πολυγωνου .


Αθροισμα γωνιων πολυγωνου .


Χρησιμοποιουμε ενα απο τα :

▪ Το αθροισμα των γωνιων ενος κυρτου ν - γωνου ειναι ισο με 2ν - 4 ορθες .

▪ Το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων ενος κυρτου ν-γωνου ειναι ισο με 4 ορθες .

Γ

Β Α Ε

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΠΟNHΣΗ

1.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας �B του τριγωνου. Απο το Α φερ-

νουμε παραλληλη της ΒΕ , που τεμνει τη ΒΓ στο Δ. Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ΑΒΔ

ειναι ισοσκελες.

2.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η διχοτομος ΑΔ της γωνιας Α. Φερνουμε την καθε-

τη ΒΖ στην ΑΔ, η προεκταση της οποιας τεμνει την ΑΓ στο Ε.

Να δειξετε οτι το τριγ. ΑΒΖ ειναι ισοσκελες.

3.

▪ Αν οι γωνιες ενος τριγωνου ειναι �x , 2 �x , 3 �x τοτε να βρειτε το ειδος του τριγωνου

ως προς τις γωνιες του .

▪ Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με �Α = 90 ο . Να υπολογισετε το αθροισμα �Β εξ + �Γ εξ .

4.

Εστω ΟΔ η διχοτομος της γωνιας �xOy . Απο σημειο Α της Οy φερνουμε παραλληλη

στην ΟΔ που τεμνει την προεκταση της Οx στο Β. Να δειχτει οτι ΟΑ = ΟΒ .

5.

Απ’τη κορυφη Β τριγωνου ΑΒΓ φερνουμε παραλληλη στη διχοτομο ΟΔ που τεμνει την

προεκταση της ΓΑ στο Ε. Να δειχτει οτι : ΕΓ = ΑΒ + ΑΓ .

6.

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( �Α = 90ο) φερνουμε το υψος ΑΗ και τις διχοτομους ΑΔ

και ΓΕ των γωνιων �ΒΑΗ και �Γ αντιστοιχα. Αν Ρ το σημειο τομης των ΑΔ και ΓΕ,

να δειξετε οτι: ▪ ΑΔ ⊥ ΓΕ και ▪ ΑΡ = ΡΔ.

7.

Σε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει �Β - �Γ = 90 ο και ΑΔ η διχοτομος του.

Δειξτε οτι � οΒΔΑ = 45 .

8.

Σε τριγωνο ΑΒΓ, �Γ = 3 �Β και η μεσοκαθετη της ΒΓ τεμνει την ΑΒ στο Δ.

Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΔΒΓ και ΑΓΔ ειναι ισοσκελη.


9.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ με �Α = 60ο και �Γ = 50ο . Αν το υψος ΑΗ και η διχοτομος ΒΔ τεμνον-

ται στο Ε, να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΑΕΔ.

10.

Εστω το τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και διαμεσοι του ΒΜ, ΓΝ. Προεκτεινουμε τη ΒΜ κατα

τμημα ΜΔ = ΒΜ και τη ΓΝ κατα ΝΕ = ΓΝ. Να αποδειξετε οτι:

▪ ΑΔ||ΒΓ ▪ ΑΕ||ΒΓ ▪ Ε, Α και Δ συνευθειακα

11.

Εστω το τριγωνο ΑΒΓ και το υψος του ΒΕ. Φερνουμε ΑΔ ΑΓ⊥ με ΑΔ = ΑΒ (Β, Δ εκα-

τερωθεν της ΑΓ). Να δειξετε οτι:

▪ ΑΔ||ΒΕ ▪ ΒΔ διχοτομος της �ΑΒΕ

12.

Αν ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ ειναι οι διχοτομοι τριγωνου ΑΒΓ να υπολογισετε το αθροισμα

� � �ΑΔΒ + ΒΕΓ + ΑΖΓ .

13.

Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ με � �0Β = 20 + Γ , ΑΔ διχοτομος και Ε σημειο της πλευρας ΑΓ

με ΑΕ = ΑΒ. Υπολογιστε τις γωνιες Ε �Β Γ, Α �ΔΒ, Α �ΔΓ.

14.

Σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) ειναι ��Β

Α =2

. Αν Ι το εγκεντρο του τριγωνου να

υπολογιστει η γωνια ΒΙΓ� .

15.

Δινεται το τριγωνο ΑΒΓ με �Α = 60 ο , ΑΓ = 2ΑΒ και Δ μεσο της ΑΓ. Να αποδειχτει οτι:

▪ Το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ισοπλευρο.

▪ Το τριγωνο ΓΒΔ ειναι ισοσκελες.

▪ �ΑΒΓ = 90 ο.

16.

Δινεται το τριγωνο ΑΒΓ με �Β =2 �Γ . Φερουμε το υψος ΑΔ και στη πλευρα ΒΓ παιρνουμε

τμημα ΔΕ = ΒΔ. Να δειχτει οτι τα τριγωνα ΑΒΕ και ΑΕΓ ειναι ισοσκελη.


17.

Προεκτεινουμε τη διαμετρο ΑΒ ενος κυκλου (Ο,R) κατα τμημα ΑΜ και απο το Μ φερ-

νουμε τεμνουσα ΜΓΔ του κυκλου , ωστε ΜΓ = R. Αποδειξτε οτι η γωνια Δ �O Β ειναι

τριπλασια της Γ �O Μ.

18.

Δινεται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ με � 0Α = 45 και τα υψη του ΒΔ και ΓΕ που τεμνονται

στο Η. Να δειξετε οτι:

▪ Τα τριγωνα ΑΕΓ και ΕΗΒ ειναι ισοσκελη. ▪ ΑΗ = ΒΓ

19.

Απο τυχαιο σημειο Δ της βασης ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ φερνουμε ΔΕ ΑΓ⊥ .

Να δειξετε οτι: � �⋅Α = 2 ΕΔ Γ .

20.

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( �Α = 90 ο ) το υψος ΑΔ και η διχοτομος ΒΖ τεμνονται στο

Ε. Να δειξετε οτι το τριγωνο ΑΕΖ ειναι ισοσκελες.

21.

Σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με υψος ΒΔ, φερνουμε την καθετη ευθεια ΔΕ

στη πλευρα ΑΒ που τεμνει την ευθεια ΒΓ στο Ζ. Δειξτε οτι τo τρ. ΔΒΖ ειναι ισοσκελες.

22.

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0A = 90 ) προεκτεινουμε την ΒΓ κατα τμηματα ΒΔ = ΑΒ

(προς το Β) και ΓΕ = ΑΓ (προς το Γ). Να δειξετε οτι:

� � � 0 0Ε ΑΔ = 135 ΑΒΔ + ΑΓΕ = 270� � .

23.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και Ι το εγκεντρο του. Απ’το Ι φερνουμε παραλληλες προς τις

πλευρες ΑΒ και ΑΓ που τεμνουν τη πλευρα ΒΓ στα σημεια Ε και Ζ αντιστοιχα.

Αποδειξτε οτι :

▪ Τα τριγωνα ΒΙΕ και ΙΖΓ ειναι ισοσκελη ▪ ΒΓ = ΙΕ + ΙΖ + ΕΖ

24.

Στο τριγωνο ΑΒΓ η ΓΔ ειναι η διχοτομος της �Γ και η Γx η διχοτομος της � εξΓ . Απ’το

Δ φερνουμε παραλληλη στην ΑΓ που τεμνει την ΒΓ στο Ε και την Γx στο Ζ.

Να δειξετε οτι:

▪ Τα τριγωνα ΔΕΓ και ΕΖΓ ειναι ισοσκελη ▪ ΔΕ = ΕΓ = ΕΖ


25.

Στο τριγωνο ΑΒΓ με � �Β = 2Γ ΒΔ ειναι διχοτομος. Απ’το μεσο Μ της ΑΓ φερνω παραλ-

ληλη στην ΒΔ που τεμνει τη ΒΓ στο Η. Να δειξετε οτι το ΑΗ ειναι υψος του τριγωνου.

26.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Πανω στη πλευρα ΑΓ παιρνουμε σημειο Δ, ωστε

ΑΔ = ΑΒ. Να δειχτει οτι:

��

��

0 Α Β - ΓΒΔΓ = 90 + ΔΒΓ =

2 2� �

27.

Εστω οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ με μικροτερη πλευρα τη ΒΓ. Στις πλευρες του ΑΒ, ΑΓ

παιρνουμε τα σημεια Δ και Ε αντιστοιχα, τετοια ωστε ΒΔ = Γ Ε = ΒΓ.

Αν ΒΕ, ΓΔ τεμνονται στο Ζ, να δειξετε οτι : ��

0 ΑΕΖΓ = 90 +

2

28.

Σε τριγωνο ΑΒΓ φερνουμε απ’τη κορυφη Β ευθεια x’x||ΑΓ. Πανω στη x’x (εκατερωθεν

του Β) παιρνουμε τμηματα ΒΜ = ΒΝ = ΑΒ. Να δειξετε οτι ΑΜ ΑΝ.⊥

29.

Απ’το μεσο Μ της βασης ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ φερνουμε παραλληλες στις ΑΒ, ΑΓ

που τις τεμνουν στα σημεια Δ, Ε αντιστοιχα. Δειξτε οτι η ΑΜ ειναι μεσοκαθετη του ΔΕ.

30.

Δυο κυκλοι με κεντρα Κ , Λ εφαπτονται εξωτερικα στο Α . Αν ευθεια ε εφαπτεται

των κυκλων στα Β, Γ αντιστοιχα, αποδειξτε οτι ΒΑ⊥ΑΓ .

31.

Δινεται ισοσκελες ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με � 0Α > 30 . Στην πλευρα ΒΓ παιρνουμε σημειο Δ

με � 0ΒΑΔ= 30 και στην πλευρα ΑΓ παιρνουμε τμημα ΑΕ = Α Δ.

Να αποδειξετε οτι: � 0ΕΔΓ = 15 .

32.

Αν οι διχοτομοι των γωνιων � �Α και Β κυρτου τετραπλευρου ΑΒΓΔ τεμνονται στο Ο,

να δειχτει οτι:

�� Γ + Δ

ΑΟΒ =2

.


33.

Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ( ˆ 0A = 90 ), η ευθεια της διχοτομου της γωνιας � εξΓ

τεμνει τις διχοτομους των γωνιων � � εξΒ, Β στα σημεια Δ και Ε αντιστοιχα.

▪ Να υπολογιστει η �ΔΒΕ ▪ Να δειχτει οτι: � � 0Ε = Δ = 45 .

34.

Σε τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι ΑΒ // ΓΔ, ΑΒ = ΑΔ, ΔΒ = ΔΓ και � 0Α = 100 .

▪ Να δειξετε οτι η ΒΔ ειναι διχοτομος της γωνιας Δ.

▪ Να υπολογισετε σε μοιρες τη γωνια �Γ .

35.

Δινεται κυκλος διαμετρου ΑΒ και κεντρου Κ. Απο το Κ φερνω την ακτινα ΚΓ ΑΒ⊥ και

εστω Μ το μεσο της ΚΓ. Απο το Μ φερνω την καθετη στην ΚΓ που τεμνει τον κυκλο

στο σημειο Δ.

▪ Να δειξετε οτι το τριγωνο ΚΔΓ ειναι ισοπλευρο.

▪ Να δειξετε οτι η ΑΔ ειναι διχοτομος της �ΜΔΚ .

▪ Να υπολογισετε σε μοιρες τη γωνια �ΒΑΔ .

36.

Στη προεκταση της υποτεινουσας ΒΓ ορθογωνιου τριγωνου ΑΒΓ και προς το μερος

του Β παιρνουμε τμημα ΒΕ = ΑΒ.

Στο Γ φερνουμε ευθεια καθετη στη ΒΓ και πανω σ’αυτην και στο ημιεπιπεδο (ΒΓ,Α)

παιρνουμε τμημα ΓΔ = ΑΓ. Να αποδειξετε οτι τα σημεια Δ, Α, Ε ειναι συνευθειακα.

37.

Εστω ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και οι διχοτομοι του ΒΚ και ΓΛ. Αν η διχοτο-

μος της �ΓΚΒ τεμνει τη ΓΛ στο Δ και τη ΒΓ στο Η, να δειξετε οτι το τριγωνο ΓΔΗ ειναι

ισοσκελες.

38.

Σε τριγωνο ΑΒΓ φερνουμε την διχοτομο της γωνιας �Α και τα υψη ΒΖ και ΓΘ απ’τις

κορυφες Β και Γ που την τεμνουν στα σημεια Δ και Ε. Αν Η το σημειο τομης των υψων,

να δειξετε οτι το τριγωνο ΔΕΗ ειναι ισοσκελες.

39.

Δινεται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ με � �Β = 2Γ και το υψος του ΑΚ. Ο κυκλος κεντρου Α

και ακτινας ΑΓ τεμνει την προεκταση της ΒΓ στο Ε.


Να δειχθει οτι:

▪ Το τριγωνο ΑΕΒ ειναι ισοσκελες.

▪ ΚΓ = ΚΒ + ΑΒ

40.

Εστω ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και η διαμεσος του ΑΜ. Φερνουμε Γx⊥ΒΓ προς

το ημιεπιπεδο που δεν ανηκει το Α και παιρνουμε σ’αυτην τμημα ΓΔ - ΑΒ.

Να δειξετε οτι η ΑΔ ειναι διχοτομος της γωνιας �Μ ΑΓ .

41.

Δυο κυκλοι με κεντρα Κ, Λ ειναι εξωτερικοι ο ενας ως προς τον αλλο. Μια κοινη εξω-

τερικη και μια κοινη εσωτερικη διχοτομος τους τεμνονται στο σημειο Ρ.

Δειξτε οτι � 0ΚΡΛ = 90 .

42.

Εστω ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ σημειο της προεκτασης της ΒΓ, προς το

Β, ωστε ΒΔ = ΑΓ και ΔΓ = ΔΑ.

Υπολογιστε τις γωνιες των ισοσκελων τριγωνων που σχηματιζονται.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ

01. Ο ρ ι σ μ ο ι

▪ Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο :

Λεγεται το τετραπλευρο που εχει τις απεναντι πλευρες

του παραλληλες.

▪ Κ ε ν τ ρ ο Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ :

Ειναι το σημειο τομης των διαγωνιων του που ειναι το

κεντρο συμμετριας του.

▪ Β α σ ε ι ς Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ :

Ειναι οι δυο παραλληλες πλευρες του.

▪ Υ ψ ο ς Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ :

Ειναι η αποσταση των δυο βασεων του.

▪ Α π ο σ τ α σ η δ υ ο π α ρ α λ λ η λ ω ν ε υ θ ε ι ω ν :

Ειναι καθε ευθυγραμμο τμημα με ακρα στις δυο πα-

ραλληλες, που ειναι και καθετο σ’ αυτες.

02. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ

Σε καθε παραλληλογραμμο ισχυουν οι ιδιοτητες :

▪ Οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες.

▪ Οι απεναντι γωνιες του ειναι ισες.

▪ Οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.

Aποδειξη

� � � �

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ ειναι ισα γιατι :

1. ΑΓ κοινηΑΒ = ΔΓ και ΒΓ = ΑΔ

ˆ ˆ 2. ΒΑΓ = ΑΓΔ (εντος εναλλαξ)Α = Γ και Β = Δˆ ˆ3. ΑΓΒ = ΔΑΓ(εντος εναλλαξ)

⇒


1. ΑΒ = ΓΔ

ˆ ˆ 2. ΒΑΟ = ΟΓΔ (εντος εναλλαξ) ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ

ˆ ˆ3. ΑΒΟ = ΟΔΓ(εντος εναλλαξ)

⇒


Τα παραλληλα τμηματα που εχουν τα ακρα τους σε δυο

παραλληλες ευθειες ειναι ισα.

Αποδειξη :

ε|| ΑΓ||ΒΔ και επειδη ΑΒ||ΓΔ τοτε ΑΒΓΔ ειναι πα -

ραλληλογραμμο, οποτε ΑΒ = ΓΔ.

ζ⇒

Α Γ ε1

Β Δ ε2

Α Β

Δ Γ

Α Β

Ο

Δ Γ

Α Β

Δ Γ

ε1 Κ

ε2 Λ

Α Β

Ο

Δ Γ


04. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 1 ο

Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν οι απεναν-

τι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες.

Aποδειξη


1. ΑΓ κοινη ˆ ˆΒΑΓ = ΑΓΔ2.ΑΒ = ΓΔ (υποθεση)

ˆ ˆΑΓΒ = ΔΑΓ3. ΒΓ = ΑΔ(υποθεση)

ΑΒ||ΓΔ,ΒΓ||ΑΔ ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο.

⇒ ⇒

⇒

05. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 2 ο


τι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες.

Aποδειξη


1. ΑΓ κοινηˆ ˆΔΑΓ = ΑΓΒ ΑΔ||ΒΓ

2.ΑΒ = ΓΔ (υποθεση)ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο.

ˆ ˆ3. ΒΑΓ = ΑΓΔ(ΑΒ||ΓΔ)

⇒ ⇒⇒

06. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 3 ο


τι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες.

Aποδειξη

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΑ + Β + Γ + Δ = 360 2Α + 2Β = 360 Α + Β = 180 ΑΔ||ΒΓ

ˆ ˆΟμοια Α + Δ = 180 ΑΒ||ΓΔ

Αρα ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο.

⇒ ⇒ ⇒

⇒

07. Κ ρ ι τ η ρ ι ο 4 ο

Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν οι διαγω-

νιοι του διχοτομουνται.

Aποδειξη


1. ΑΒ = ΓΔ ˆ ˆ ΒΑΟ = ΟΓΔ ΑΒ||ΓΔ2. ΒΟ = ΟΔ (υποθ)

ˆ ˆ ΒΓ||ΑΔΑΒΟ = ΟΔΓ3. ΑΟ = ΟΓ(υποθ)

ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο.

⇒ ⇒ ⇒

Α Β

Δ Γ

Α Β

Δ Γ

Α Β

Δ Γ

Α Β

Ο

Δ Γ


08. Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο

▪ Ο ρ ι σ μ ο ς

ειναι το παραλληλογραμμο που εχει μια

ορθη γωνια.

▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο υ

▪ Εχει ολες τις ιδιοτητες του παραλληλογραμμου.

▪ Ολες οι γωνιες του ειναι ορθες.

Αποδειξη:

Ο

Ο

Ο Ο

Ο Ο

ˆΕστω Α = 90

ˆ ˆ ˆΑ = Γ (απεναντι στο ΑΒΓΔ) Γ = 90

ˆ ˆ ˆΑ + Β = 180 ( στο ΑΒΓΔ) Β = 90

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΑ + Β + Γ + Δ = 360 Δ = 90

διαδοχικες

⇒

⇒

⇒

▪ Οι διαγωνιοι του ειναι ισες .

Αποδειξη:

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ ειναι ισα γιατι :


2. ΑΒ κοινη ΑΓ = ΒΔ

3. ΑΔ = ΒΓ

⇒

09. Κ ρ ι τ η ρ ι α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν

Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ορθογωνιο αν εχει:

▪ μια γωνια ορθη (ορισμος).

▪ τις διαγωνιες του ισες.

Αποδειξη

0 0

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ ειναι ισα γιατι :

1. ΑΒ κοινη180ˆ ˆ2. ΑΓ = ΒΔ Α = Β = = 90 ΑΒΓΔ ορθογωνιο.

23. ΑΔ = ΒΓ

⇒ ⇒

10. Ο ρ ι σ μ ο ς

Ρ ο μ β ο ς ειναι το παραλληλογραμμο που εχει δυο δι-

αδοχικες πλευρες ισες.

Α Β

Δ Γ

Α Β

Δ Γ

Α Β

Ο

Δ Γ

Α Β

Ο

Δ Γ

ν ν

Β

Α Ο Γ

Δ


11. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ρ ο μ β ο υ

▪ Εχει ολες τις ιδιοτητες του παραλληλογραμμου.

▪ Ολες οι πλευρες του ειναι ισες.

▪ Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες.

Αποδειξη:

ΒΑ = ΒΓ και ΔΑ = ΔΓ. Δηλαδη τα Β,Δ ανηκουν στη μεσο-

καθετη του τμηματος ΑΓ. Ετσι ΒΔ⊥⊥⊥⊥ΑΓ.

▪ Οι διαγωνιοι του διχοτομουν τις γωνιες του .

Αποδειξη:

Στα ισοσκελη τριγωνα ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ, ΔΒΑ οι ΒΔ και

ΑΓ ειναι υψη, αρα και διχοτομοι.

12. Κ ρ ι τ η ρ ι α Ρ ο μ β ο υ

Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν :

▪ Δυο διαδοχικες πλευρες του ειναι ισες (ορισμος).

▪ Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες.

Αποδειξη :

Στο τριγωνο ΑΔΒ η ΑΟ ειναι διαμεσος (οι διαγωνιοι δι-

χοτομουνται) και υψος (ΑΓ⊥⊥⊥⊥ΔΒ). Αρα το τριγωνο ΑΔΒ

ειναι ισοσκελες με ΑΔ = ΑΒ που σημαινει οτι το τετρα-

πλευρο ειναι ρομβος.

▪ Μια διαγωνιος του διχοτομει μια γωνια του .

Αποδειξη :

Στο τριγωνο ΑΔΒ η ΑΟ ειναι διαμεσος (οι διαγωνιοι δι-

χοτομουνται) και διχοτομος. Αρα το τριγωνο ΑΔΒ ειναι

ισοσκελες με ΑΔ = ΑΒ που σημαινει οτι το τετραπλευρο

ειναι ρομβος.

13. Τ ε τ ρ α γ ω ν ο

▪ Ο ρ ι σ μ ο ς :

Ειναι το παραλληλογραμμο που ειναι ορθογωνιο και

ρομβος.

▪ Ι δ ι ο τ η τ ε ς :

Εχει ολες τις ιδιοτητες του παραλληλογραμμου, του

ορθογωνιου και του ρομβου.

Β

Α Ο Γ

Δ

Β

Α Ο Γ

Δ

Α Β

Ο

Δ Γ


▪ Κ ρ ι τ η ρ ι α :

Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν εχει μια ιδι-

οτητα (κριτηριο) του ορθογωνιου και μια ιδιοτητα (κρι-

τηριο) του ρομβου.


Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο

πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη

πλευρα και ισο με το μισο της.

Αποδειξη:

Προεκτεινω την ΔΕ κατα ΕΖ = ΔΕ. Το ΑΔΓΖ ειναι παραλ-

ληλογραμμο (διαγωνιοι διχοτομουνται) οποτε ΖΓ|| = ΑΔ.

Αρα και ΓΖ || = ΒΔ (ΒΔ = ΑΔ) που σημαινει οτι το ΒΓΖΔ

ειναι παραλληλογραμμο. Ετσι

ΔΕ || ΒΓ και ΔΕ = 1

2ΒΓ (αφου ΔΕ = ΕΖ, ΔΖ = ΒΓ).


Αν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγωνου φερουμε

ευθεια παραλληλη προς μια πλευρα του, τοτε η ευθεια

αυτη διερχεται απ’ το μεσο της τριτης πλευρας του.

Αποδειξη:

Εστω ΔΕ||ΒΓ και Ε δεν ειναι μεσο της ΑΓ. Αν Ζ ειναι το

μεσο της ΑΓ, συμφωνα με το προηγουμενο θεωρημα

ΔΖ||ΒΓ. Δηλαδη απ’το Δ εχουμε δυο παραλληλες προς

την ΒΓ, ατοπο. Αρα Ε μεσο της ΑΓ.


Αν τρεις (τουλαχιστον) παραλληλες ευθειες οριζουν σε

μια ευθεια ισα τμηματα, θα οριζουν ισα τμηματα και σε

καθε αλλη ευθεια που τις τεμνει.

Αποδειξη:

Φερνω ΑΚ||ΔΖ. Τα ΑΔΕΗ και ΗΕΖΚ ειναι παραλληλο-

γραμμα και ΔΕ = ΑΗ (1) , ΕΖ = ΗΚ (2) .

Στο τριγωνο ΑΓΚ, Β μεσο της ΑΓ και ΒΗ||ΓΚ.

Οποτε Η μεσο της ΑΗ, δηλαδη ΑΗ = ΗΚ και απ’τις (1), (2)

ειναι ΔΕ = ΕΖ .

δ1 δ2

ε1 Α Δ

ε2 Β Η Ε

ε3 Γ Κ Ζ

Α

Δ || || Ζ

Β Γ

Ε

Α

Δ Ε

Β Γ

Ζ



Εστω δυο παραλληλες ευθειες ε1, ε2 και Κ το μεσο της α-

ποστασης τους ΑΒ. Καθε σημειο της ευθειας ε (μεσοπα-

ραλληλη) που διερχεται απ’το Κ και ε//ε1//ε2, ισαπεχει

απ’τις παραλληλες ε1, ε2 και αντιστροφως.

Αποδειξη:

Φερνω ΓΔ||ΑΒ, οποτε συμφωνα με το προηγουμενο θε-

ωρημα ΜΓ = ΜΔ.

Αντιστροφα:

ΜΓ = ΜΔ (= ΑΚ = ΚΒ) και ΓΔ||ΑΒ, τοτε ΓΑΚΜ ειναι πα-

ραλληλογραμμο και ΜΚ||ΓΑ. Αρα Μ ανηκει στην ε.

18. Θ ε ω ρ η μ α ( Β α ρ υ κ ε ν τ ρ ο Τ ρ ι γ ω ν ο υ )

Οι διαμεσοι ενος τριγωνου διερχονται απο το ιδιο σημειο

του οποιου η αποσταση απο καθε κορυφη ειναι τα 2

3

του μηκους της αντιστοιχης διαμεσου.

Αποδειξη:

Εστω τριγωνο ΑΒΓ με διαμεσους ΒΕ, ΓΖ που τεμνονται

στο Θ.

Αν ΑΘ τεμνει την ΒΓ στο Δ, θα δειξουμε οτι ΑΔ η τριτη

διαμεσος και 2

ΘΑ = ΑΔ3

.

Προεκτεινω την ΘΔ κατα ΔΚ, ωστε ΑΘ = ΘΚ .

AK Γ: Θ,Ε μεσα των ΑΚ και ΑΓ : ΘΕ||ΚΓ ΘΒ||ΚΓ

ΘΓ||ΒΚA ΒΚ: Ζ,Θ μεσα των ΑΒ και ΑΚ : ΖΘ||ΒΚ

⇒

�

�

Δηλαδη ΒΘΓΚ ειναι παραλληλογραμμο και οι διαγωνιες

του διχοτομουνται. Ετσι Δ μεσο της ΒΓ και ΑΔ διαμεσος.

Ακομη

AΘ = ΘΚ AΘ = ΘΚAΘ = ΘΚ

ΑΘ = 2ΘΔΘΚ ΘΑΘΔ = ΔΚ ΘΔ = ΘΔ =

2 2

ΑΘ = 2(ΑΔ - ΑΘ) ΑΘ = 2ΑΔ - 2ΑΘ 3ΑΘ = 2ΑΔ

2ΑΘ = ΑΔ.

32 2

Ομοια ΒΘ = ΒΕ και ΓΘ = ΓΖ.3 3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

ε1 Γ Α

ε Μ Κ

ε2 Δ Β

Α

Ζ Ε

Θ

Β Δ Γ

Κ


19. Θ ε ω ρ η μ α ( Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ο Τ ρ ι γ ω ν ο υ )

Οι φορεις των υψων ενος τριγωνου διερχονται απο το

ιδιο σημειο (Ορθοκεντρο).

Αποδειξη:

Απ’τις κορυφες Α,Β,Γ του τριγωνου ΑΒΓ φερνουμε πα-

ραλληλες προς τις πλευρες του. Απ’τα παραλληλογραμ-

μα που σχηματιζονται ευκολα φαινεται οτι τα Α, Β, Γ ει-

ναι μεσα των πλευρων του τριγωνου ΚΛΜ που σχηματι-

στηκε.

Τα υψη του τριγωνου ΑΒΓ ειναι καθετα στις πλευρες του,

αρα καθετα και στις πλευρες του τριγωνου ΚΛΜ και μα-

λιστα στο μεσο τους.

Δηλαδη ειναι μεσοκαθετες του τριγωνου ΚΛΜ, οποτε δι-

ερχονται απ’το ιδιο σημειο.

Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ι κ η τ ε τ ρ α δ α

Οι κορυφες Α, Β, Γ, τριγωνου ΑΒΓ και το ορθοκεντρο του

Η αποτελουν ορθοκεντρικη τετραδα, δηλαδη καθε ενα

απο αυτα τα σημεια ειναι το ορθοκεντρο του τριγωνου,

που οριζεται απο τα αλλα τρια σημεια.


Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την

κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υπο-

τεινουσας.

Αποδειξη:

Φερνω τη διαμεσο ΑΜ (ΜΒ = ΜΓ) και ΜΔ||ΑΒ (ΜΔ⊥⊥⊥⊥ΑΓ).

Επειδη Μ μεσο της ΒΓ και ΜΔ||ΑΒ τοτε Δ μεσο της ΑΓ.

Δηλαδη ΜΔ διαμεσος και υψος για το τριγωνο ΜΑΓ.

Οποτε τριγωνο ΜΑΓ ισοσκελες και ΜΑ = ΜΓ.

Αρα ΜΑ = ΜΒ = ΜΓ και τελικα

ΑΜ = ΒΓ

2.

Β

Μ

Α Δ Γ

Λ

Α

Η Γ

Κ

Β

Μ

Α

Η

Β Γ



Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αν-

τιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με

υποτεινουσα την πλευρα αυτη.

Αποδειξη:

Ειναι ΑΜ = ΜΒ = ΜΓ δηλαδη τα τριγωνα ΑΜΓ και ΑΜΒ

ειναι ισοσκελη με 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆΑ = Β και Α = Γ.

Αρα 0 0 0

2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΑ + Α = Β + Γ Α = 180 - Α 2Α = 180 Α = 90 .

Δηλαδη τριγωνο ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο στο Α.

⇒ ⇒ ⇒


Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°,

τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο

της υποτεινουσας.

Αποδειξη:

Φερνω τη διαμεσο ΑΜ (ΜΒ = ΜΓ).

Ειναι ΑΜ = ΒΓ

2

0 0

0 0

1

ˆ ˆΑφου Β = 30 τοτε Γ = 60 και τριγ.ΑΜΓ ισοπλευρο.

ˆ ˆ ˆ(αφου ΑΜ = ΜΓ και Α = Γ = 60 ΑΜΓ = 60 ).

ΒΓΑρα ΑΓ = ΑΜ =

2

⇒


Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια πλευρα του ειναι το μισο

της υποτεινουσας τοτε η απεναντι γωνια απ’τη πλευρα

αυτη ισουται με 30°.

Αποδειξη:

Αφου ΑΓ = ΒΓ

2 τοτε ΑΓ = ΑΜ = ΜΓ δηλαδη τρ. ΑΜΓ ισο -

πλευρο, αρα οι γωνιες του ειναι ισες με 600.

Ετσι 0 0ˆ ˆΓ = 60 Β = 30⇒ .

Β

Μ

2

1

Α Γ

300

Β

Μ

Α Γ

Β

Μ

2

1

Α Γ

ΤΡΑΠΕΖΙΑ

24. Ο ρ ι σ μ ο ι

▪ Τ ρ α π ε ζ ι ο :

Ειναι το κυρτο τετραπλευρο που εχει μονο δυο πλευρες

παραλληλες.

▪ Β α σ ε ι ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ :

Ειναι οι παραλληλες πλευρες του.

▪ Υ ψ ο ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ :

Ειναι η αποσταση των βασεων του.

▪ Δ ι α μ ε σ ο ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ :

Ειναι το ευθ.τμημα που εχει ακρα τα μεσα των μη πα-

ραλληλων πλευρων του.


Η διαμεσος του τραπεζιου ειναι παραλληλη προς τις βα-

σεις του και ιση με το ημιαθροισμα τους.

Αποδειξη :

Προεκτεινουμε το ΑΖ που τεμνει την ΔΓ στο Η.

Τα τριγωνα ΑΒΖ και ΖΓΗ ειναι ισα γιατι:

1. BZ = ZΓ (υποθεση)

ˆ ˆ2. ΑΒΖ = ΖΓΗ (εντος εναλλαξ)

ˆ ˆ3. ΑΖΒ = ΓΖΗ (κατακορυφην)

ΑΖ = ΖΗ και ΑΒ = ΓΗ

⇒

Στο τρ. ΑΔΗ Ε, Ζ μεσα των ΑΔ και ΑΗ οποτε:

ΕΖ||ΔΗ⇒ΕΖ||ΔΓ(||ΑΒ)

ΕΖ = ΔΗ ΔΓ + ΓΗ ΔΓ + ΑΒ

= =2 2 2


Το ευθυγραμμο τμημα που συνδεει τα μεσα των διαγω-

νιων τραπεζιου βρισκεται πανω στη διαμεσο του τραπε-

ζιου και ισουται με την ημιδιαφορα των βασεων του.

Αποδειξη :

Για τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ, Ε και Ζ μεσα και ΕΖ||ΑΒ.

Αρα τα Κ, Λ μεσα των ΒΔ και ΑΓ αντιστοιχα.

Οποτε

□ ΚΛ ανηκει στην ΕΖ και ΚΛ||ΑΒ,ΓΔ (ανηκει στην ΕΖ).

Α Β

Ε Ζ

Α Δ Γ

Α Β

Ε Ζ

Δ Γ

Α Β

Ε Ζ

Δ Γ Η

Κ Λ

ΤΡΑΠΕΖΙΑ

Ε,Κ,Λ μεσα πλευρων ΓΔ ΑΒ ΓΔ - ΑΒ

ΚΛ = ΕΛ - ΕΚ = - =2 2 2

27. Ι σ ο σ κ ε λ ε ς Τ ρ α π ε ζ ι ο

Λεγεται το τραπεζιο που εχει τις μη παραλληλες πλευρες

του ισες.

28. Ι δ ι ο τ η τ ε ς Ι σ ο σ κ ε λ ο υ ς Τ ρ α π ε ζ ι ο υ

▪ Αν ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες, τοτε οι γωνιες που

προ σκεινται σε μια βαση ειναι ισες.

Αποδειξη :

Φερνουμε τα υψη ΑΗ και ΒΚ, οποτε τα τριγ. ΑΔΗ και

ΒΚΓ ειναι ισα γιατι

1. Ορθογωνιαˆ ˆ2. ΑΔ = ΒΓ (ΑΒΓΔ ισοσκελες τραπεζιο) Δ = Γ

3. ΑΗ = ΒΚ (αποσταση παραλληλων)

⇒

0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΑκομη Δ = Γ 180 - Α = 180 - Β Α = Β⇒ ⇒

▪ Οι διαγωνιοι του ειναι ισες.

Αποδειξη :

Τα τριγ. ΑΓΔ και ΒΔΓ ειναι ισα γιατι :

1. ΓΔ κοινη

2. ΑΔ = ΒΓ (ΑΒΓΔ ισοσκελες τραπεζιο) ΑΓ = ΒΔ

ˆ ˆ3. Δ = Γ

⇒

29. Κ ρ ι τ η ρ ι α Ι σ ο σ κ ε λ ο υ ς Τ ρ α π ε ζ ι ο υ

Ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες αν ισχυει μια τις παρακα-

τω.

▪ Οι γωνιες που προσκεινται σε μια βαση ειναι ισες.

Αποδειξη :

Τα τριγ. ΑΔΗ και ΒΚΓ ειναι ισα γιατι :


ˆ ˆ2. Δ = Γ (υποθεση)


ΑΔ = ΒΓ δηλαδη ΑΒΓΔ ισοσκελες

⇒

Α Β

Δ Γ

Α Β

Δ Η Κ Γ

Α Β

Δ Η Κ Γ

= =

ΤΡΑΠΕΖΙΑ

▪ Οι διαγωνιοι του ειναι ισες.

Αποδειξη :

1 1

Τα τριγ. Ορθογωνια ΑΗΓ και ΒΚΔ ειναι ισα γιατι :

1. Ορθογωνιαˆ ˆ2. ΑΓ = ΒΔ (υποθεση) Δ = Γ


Τα τριγ. Ορθογωνια ΑΔΓ και ΒΓΔ ειναι ισα γιατι :

1. ΓΔ κοινη

2. ΑΓ = ΒΔ (υποθεση)

3.

⇒

1 1

ΑΔ = ΒΓ

δηλαδη

ˆ ˆ ΑΒΓΔ ισοσκελεςΔ = Γ (προηγουμενη αποδειξη)

⇒

Α Β

Δ Η Κ Γ

1 1

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

01. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ο Α Β Γ Δ ε ι ν α ι π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο :

Στις πλευρες του παραλληλογραμμου ΑΒΓ∆ θεωρουμε τα ισα τμηματα

ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ∆Ν. ∆ειξτε οτι το ΚΛΜΝ ειναι παραλληλογραμμο.

� �

Τα τριγωνα ΑΚΝ και ΓΜΛ ειναι ισα γιατι :

ΑΚ = ΓΜ (υποθεση)

ΑΝ = ΓΛ (διαφορα ισων) ΚΝ = ΜΛ (1)

Α = Γ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)

Τα τριγωνα ΒΚΛ και ΔΜΝ ειναι ισα γιατι :

ΒΛ = ΔΝ (υποθεση)

ΒΚ = ΔΜ (διαφορα

⇒

� �

ισων) ΚΛ = ΜΝ (2)

Β = Δ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)

Απο (1), (2) : ΚΛΜΝ ειναι παραλληλογραμμο.

⇒

Οι διαμεσοι ΒΔ, ΓΕ τριγωνου ΑΒΓ τεμνονται στο Θ. Αν Ζ, Η ειναι τα μεσα των

ΒΘ, ΓΘ αντιστοιχα, να δειχτει οτι το ΔΕΖΗ ειναι παραλληλογραμμο.

Ειναι


Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο .


Ισοτητα τμηματων, γωνιων, μεσα τμηματων κλπ .


Προκειμενου να δειξουμε οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο

χρησιμοποιουμε ενα απ’τα παρακατω :

▪ τον ορισμο του παραλληλογραμμου (οι απεναντι πλευρες του παραλληλες) .

▪ ενα απ’τα κριτηρια :

▪ οι απεναντι πλευρες ανα δυο ειναι ισες .

▪ οι απεναντι πλευρες ειναι ισες και παραλληλες .

▪ οι απεναντι γωνιες ανα δυο ειναι ισες .

▪ οι διαγωνιες του διχοτομουνται .

Στη περιπτωση που δινονται μεσα τμηματων, εξεταζουμε και το θεωρημα :

‘’ το τμημα που ενωνει τα μεσα δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο στη τρι-

τη πλευρα και ισο με το μισο της τριτης πλευρας ‘’ .

Α Κ Β

Λ

Ν

Δ Μ Γ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

ΒΓ τριγωνο ΑΒΓ : Δ,Ε μεσα, αρα ΔΕ =||

2ΒΓ

τριγωνο ΒΘΓ : Η,Ζ μεσα, αρα ΗΖ =||2

ΔΕ =||ΗΖ

που σημαινει οτι ΔΕΖΗ παραλληλογραμμο.

⇒

Σε π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο ΑΒΓ∆ τα σημεια Ε, Ζ ειναι μεσα των ΟΑ, ΟΓ α ντιστοιχα,

οπου Ο το σ η με ιο τομη ς των δ ια γ ων ιων τ ου.

Να δειξετε οτι το ∆ΕΒΖ ειναι παραλληλογραμμο.

Ε μεσο

Ζ μεσο

Αφου ΑΒΓΔ ειναι παραλληγραμμο τοτε ΑΓ και ΒΔ

διχοτομουνται, δηλαδη

ΟΒ = ΟΔ (1) και ΟΑ = ΟΓ (2).

Ετσι

ΟΑ = ΟΓ ΟΕ + ΕΑ = ΟΖ + ΖΓ 2ΟΕ = 2ΟΖ

ΟΕ = ΟΖ (3)

Απο (1) και (3) προκυπτει οτι :

το ΔΕΒΖ ειναι παραλληλ

⇒ ⇒ ⇒

ογραμμο.

02. Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο μ ε κ ο ρ υ φ ε ς μ ε σ α π λ ε υ ρ ω ν ( διαγωνιων κλπ) :


Τετραπλευρο με κορυφες μεσα πλευρων, διαγωνιων κλπ., ειναι παραλληλογραμ-

μο .


Μεσα τμηματων .


▪ Επιλεγουμε δυο απεναντι πλευρες του ζητουμενου τετραπλευρου .

▪ Δειχνουμε οτι οι επιλεγμενες πλευρες (που ενωνουν μεσα τμηματων) ανηκουν

σε τριγωνα που οι τριτες πλευρες τους ειναι κοινες η ισες και παραλληλες .

▪ Χρησιμοποιουμε το θεωρημα :

‘’ το τμημα που ενωνει τα μεσα δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο στη

τριτη πλευρα και ισο με το μισο της τριτης πλευρας ‘’ .

▪ Ετσι καταληγουμε οτι οι επιλεγμενες πλευρες ειναι :

▪ παραλληλες (παραλληλες στην ιδια η σε παραλληλες ευθειες)

▪ ισες (σαν μισα της ιδιας η ισων πλευρων) .

Β Ε A

Γ Δ

Η

Θ Ζ

Β Γ

Ο Ζ

Ε

Α Δ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

Δειξτε οτι τα μεσα των διαγωνιων και τα μεσα δυο απεναντι πλευρων κυρτου

τετραπλευρου ειναι κορυφες παραλληλογραμμου.

Στο τριγωνο ΑΒΔ : Κ, Μ μεσα των ΑΒ, ΒΔ, αρα

ΑΔ ΚΜ =|| (1)

2 Στο τριγωνο ΑΓΔ : Ν, Λ μεσα των ΑΓ, ΓΔ, αρα

ΑΔ ΝΛ =|| (2)

2Απο (1),(2) :

ΚΜ =|| ΝΛ που σημαινει ΚΝΛΜ παραλληλογραμμο.

03. Η δ ι α γ ω ν ι ο ς π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο υ τ ρ ι χ ο τ ο μ ε ι τ α ι :

Αν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ, ΓΔ ενος παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ, να

δειξετε οτι οι ευθειες ΔΕ, ΒΖ τριχοτομουν την διαγωνιο ΑΓ.

Ειναι ΒΕ =||ΒΖ (μισα απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου),

αρα ΒΕ||ΓΖ.

Γ


Διαγωνιος παραλληλογραμμου τριχοτομειται απο δυο τμηματα.


Μεσα τμηματων (πλευρων) .


▪ Αν τα τμηματα που τριχοτομουν τη διαγωνιο ειναι παραλληλα (αν δεν δινεται

το αποδεικνυουμε) :

▪ Εντοπιζουμε δυο τριγωνα για τα οποια εχουμε μεσο πλευρας και τμημα που

διερχεται απ’το μεσο και ειναι παραλληλο σε αλλη πλευρα του .

▪ Χρησιμοποιουμε το θεωρημα :

‘’ το τμημα που ενωνει το μεσο μιας πλευρας τριγωνου και ειναι παραλληλο

προς δευτερη πλευρα, τοτε διερχεται απ’το μεσο της τριτης πλευρας ‘’ .

▪ Αν τα τμηματα που τριχοτομουν τη διαγωνιο δεν ειναι παραλληλα :

▪ Ελεγχουμε αν τα σημεια τομης της διαγωνιου και των τμηματων ειναι ση-

μεια τομης διαμεσων των τριγωνων που χωριζει η αλλη διαμεσος το παραλ-

ληλογραμμο .

▪ Χρησιμοποιουμε την ιδοτητα του βαρυκεντρου : ‘’ το τμημα με ακρα τη κορυ-

φη και το βαρυκεντρο ειναι διπλασιο αυτου με ακρα το βαρυκεντρο και το

μεσο της πλευρας .

Ν

Α Κ Β

Μ

Δ

Λ


Στο τριγωνο ΑΒΛ : Ε μεσο της ΑΒ και ΕΚ||ΒΛ.

Αρα Κ μεσο της ΑΛ και ΑΚ = ΚΛ (1)

Στο τριγωνο ΒΓΛ : Ζ μεσο της ΒΓ και ΔΚ||ΖΛ.

Αρα Λ μεσο της ΚΓ και ΚΓ = ΚΛ (2)

Απο (1) και (2) προκυπτει : ΑΚ = ΚΛ = ΚΓ.

Aν Ε, Ζ ειναι αντιστοιχως τα μεσα των πλευρων ΒΓ και Γ∆ παραλληλογραμμου ΑΒΓ∆,

να αποδειξετε οτι οι ΑΕ και ΑΖ τριχοτομουν τη διαγωνιο Β∆.

Εστω Ο η τομη των διαγωνιων του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ.

Στο τριγωνο ΔΑΓ : Θ το βαρυκεντρο και

2 2 ΒΔ ΒΔ ΔΘ = ΔΟ = = (1)

3 3 2 3 Στο τριγωνο ΒΑΓ : Η το βαρυκεντρο και

2 2 ΒΔ ΒΔ ΗΒ = ΒΟ = = (2)

3 3 2 3

ΘΗ = ΒΔ - ΔΘ - ΗΒ

⋅

⋅

ΒΔ ΒΔ ΒΔ

= ΒΔ - - = (3)3 3 3

Απο (1),(2),(3) προκυπτει το ζητουμενο.

04. Τ ρ ι α τ μ η μ α τ α π ο υ σ υ ν τ ρ ε χ ο υ ν (διερχονται απ’το ιδιο σημειο) :

Αν Ε και Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ και Γ∆ αντιστοιχως, παραλληλογραμμου

ΑΒΓ∆, να αποδειξετε οτι οι ΑΓ, Β∆ και ΕΖ συντρεχουν.

Το ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο, αρα οι διαγωνιες του

ΑΓ, ΒΔ διχοτομουνται σημειο Ο.


Αποδειξη οτι τρια τμηματα συντρεχουν .


Παραλληλογραμμο, μεσα τμηματων κλπ .


▪ Αποδεικνυουμε οτι δυο απ’τα τρια τμηματα ειναι διαγωνιες παραλληλογραμ-

μου με μεσο (σημειο τομης ) εστω Ο .

▪ Αποδεικνυουμε οτι ενα απ’τα δυο πιο πανω τμηματα και το τριτο τμημα ειναι

διαγωνιες παραλληλογραμμου με σημειο τομης το Ο, αφου οι διαγωνιες του

παραλληλογραμμου διχοτομουνται .

▪ Απ’ τα πιο πανω, τα τρια τμηματα διερχονται απ’το σημειο Ο .

Α Δ

Ε Κ Ζ

Λ

Β Γ

Θ

Η

Α Β

Ο Ε

Δ Ζ Γ


Το ΑΕΓΖ ειναι παραλληλογραμμο

(ΑΕ =||ΖΓ, μισα απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου)

και η μια διαγωνιος του ειναι η ΑΓ με μεσο το σημειο Ο.

Αρα και η αλλη διαγωνιος του ΕΖ θα διερχεται απ'το

ση-

μειο Ο.

05. Ι σ ο τ η τ α τ μ η μ α τ ω ν σ ε ο ρ θ ο γ ω ν ι ο τ ρ ι γ ω ν ο :

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( � 0Α = 90 ) με � 0Β = 30 και Μ μεσο της υποτεινουσας

η μεσοκαθετη της ΒΓ τεμνει την ΑΒ στο Δ. Δειξτε οτι ΜΔ = ΑΔ = ΑΒ

3.

�

�

0

0

(1)

Τα ορθογωνια τριγωνα ΒΔΜ και ΑΓΔ ειναι ισα γιατι :

ΔΒ = ΔΓ (ΔΜ μεσοκαθετη)ΔΜ = ΔΑ (1)

ΜΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ορθογωνιο, Β = 30 )

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΔΜ , Β = 30 , οποτε

ΑΒ 2ΔΜ = ΒΔ 2ΔΜ = ΑΒ - ΑΔ 3ΔΜ = ΑΒ ΔΜ =

3

⇒

⇒ ⇒ ⇒

Γ

Μ

Α Δ Β


Αποδειξη ισοτητας τμηματων .


Ορθογωνιο τριγωνο, μεσο υποτεινουσας, γωνια κλπ .


▪ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( � 0Α = 90 ) με Μ μεσο της ΒΓ ειναι :

▪ ΑΜ = ΜΒ = ΜΓ και ΒΓ = 2ΑΜ .

▪ Η διαμεσος ΑΜ χωριζει το ορθογωνιο σε δυο ισοσκελη τριγωνα .

▪ Σε ορθογωνιο τριγωνο ( � 0Α = 90 ) με Μ μεσο της ΒΓ και μια απ’τις οξειες γω-

νιες ισες με 300 (η 150 , 600) ειναι :

▪ Η απεναντι καθετη απ’τη γωνια των 300 ειναι ιση με το μισο της υποτεινου-

σας .

Στη περιπτωση γωνιας 150 , φερνουμε το υψος και τη διαμεσο προς την υ-

ποτεινουσα, οποτε σχηματιζεται γωνια 300 (με κορυφη Μ) και ορθογωνιο

τριγωνο που τη περιεχει και ...

▪ Στη περιπτωση γωνιας 600 , αλλη οξεια γωνια ειναι 300 και ...

▪ Η διαμεσος ΑΜ χωριζει το ορθογωνιο σε ενα ισοσκελες και ενα ισοπλευρο

τριγωνο .

300

Α Ε Β

Ο

Δ Ζ Γ


Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( � 0Α = 90 ) με υψος ΑΔ ισχυει ΒΓ = 4ΑΔ.

Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου.

�

� � � � �

� �

0

ΑΜ = ΜΓ0 0

0 0

Φερνουμε την διαμεσο ΑΜ.

Ειναι γνωστο οτι ΑΜ = ΜΓ = ΜΒ.

Ομως

ΒΓ = 4ΑΔ 2ΑΜ = 4ΑΔ ΑΜ = 2ΑΔ που σημαινει

για το ορθογωνιο τριγωνο ΜΑΔ οτι ΑΜΔ = 30 .

Στο τριγωνο ΑΜΓ :

ΑΜΔ = ΜΑΓ + Γ 30 = 2Γ Γ = 15

Ακομη,

Β = 90 - Γ = 90 - 15

⇒ ⇒

⇒ ⇒

0 0= 75

06. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι ο ρ θ ο γ ω ν ι ο :

Απ'τη κορυφη Α τριγωνου ΑΒΓ φερνω τις καθετες ΑΔ, ΑΕ προς τις διχοτομους (εσω -

τερικη - εξωτερικη) της γωνιας Β.

Να δειχτει οτι το ΑΔΒΕ ειναι ορθογωνιο .

� � �

�

0 0

Ειναι

ΑΔ ΒΔ και ΕΒ ΒΔ τοτε ΑΔ ΕΒ

ΑΕ ΕΒ και ΔΒ ΕΒ τοτε ΑΕ ΔΒ

ΑΔΒΕ ειναι παραλληλογραμμο .

Β + Β = 180 , οποτε ΕΒΔ = 90

(γωνια εσωτερικης - εξωτερικης διχοτομου της Β)

Αρα το ΑΔΒΕ ειναι παραλλη

εξ

⊥ ⊥⇒

⊥ ⊥

�

�

λογραμμο με μια γωνια ορθη, που σημαινει οτι ειναι

ορθογωνιο.


Αποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι ορθογωνιο .


Ισοτητα τμηματων, παραλληλια – καθετοτητα τμηματων κλπ .


▪ Αποδεικνυουμε αρχικα οτι το τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο .

▪ Αποδεικνυουμε επιπλεον ενα απ’τα δυο :

▪ Το τετραπλευρο εχει μια ορθη γωνια .

▪ Οι διαγωνιες του τετραπλευρου ειναι ισες .

Β

Μ

Α Γ

Δ

150

300

Α

Κ

Ε Δ

Β Γ


Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με κεντρο Ο και ΒΔ = 2 ΑΓ. Αν Ε, Ζ ειναι τα

μεσα των ΟΒ και ΟΔ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι το ΑΕΓΖ ειναι ορθογωνιο.

Το Ο ειναι μεσο των ΑΓ, ΒΔ και ΖΕ .

Ετσι

□ ΑΖΓΕ ειναι παραλληλογραμμο

(οι διαγωνιες ΑΓ, ΖΕ διχοτομουνται)

□ ΒΔ = 2ΑΓ ⇒ 2ΖΕ = 2ΑΓ ⇒ ΖΕ = ΑΓ

Αρα, οι διαγωνιοι ΑΓ και ΖΕ του ΑΕΓΖ

διχοτομουνται και ειναι ισες, που σημαινει

οτι αυτο ειναι ορθογωνιο.

07. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι ρ ο μ β ο ς :

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ο) με Β = 30 ο και Δ, Ε τα μεσα των ΑΒ και

ΒΓ αντιστοιχα. Προεκτεινουμε την ΕΔ κατα τμημα ΔΖ = ΕΔ. Να αποδειξετε οτι

το ΑΓΕΖ ειναι ρομβος.

□ Στο τριγωνο ΑΒΓ

Δ μεσο ΑΒ ΑΓΔΕ = || (1)

Ε μεσο ΒΓ 2

⇒

Η (1) : 2ΔΕ = || ΑΓ ⇒ ΖΕ = || ΑΓ

που σημαινει : ΑΓΕΖ παραλληλογραμμο (2) .

□ Στο τριγωνο ΑΒΓ

�

�

0

0

Α = 90 ΒΓΑΓ = = ΓΕ (3)

2Β = 30

⇒

Απο (2) και (3) : ΑΓΕΖ ειναι ρομβος .


Αποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι ρομβος .





▪ Αποδεικνυουμε επιπλεον ενα απ’τα :

▪ δυο διαδοχικες πλευρες ειναι ισες .

▪ Οι διαγωνιες του τετραπλευρου ειναι καθετες .

▪ Η διαγωνιος διχοτομει μια γωνια του τετραπλευρου .

Β

300

Ζ Δ Ε

Α Γ

Α Β

Ε

Ο

Ζ

Δ Γ


Αν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων Α∆, ΒΓ αντιστοιχως ορθογωνιου ΑΒΓ∆, Η το ση-

μειο τομης των ΑΖ, ΒΕ και Θ το σημειο τομης των ∆Ζ, ΓΕ, να αποδειξετε οτι το ΕΘΖΗ

ειναι ρομβος .

ΕΗ||ΘΖ (1), αφου ΕΒ||ΔΖ

(ΒΕΔΖ παραλληλογραμμο, γιατι ΔΕ =||ΒΖ)

ΖΗ||ΘΕ (2), αφου ΑΖ||ΕΓ

(ΑΕΓΖ παραλληλογραμμο, γιατι ΑΕ =||ΓΖ)

Απο (1) και (2) : ΕΗΖΘ παραλληλογραμμο (3)

Τα ορθογωνια Α

ΒΖΕ και ΓΔΕΖ ειναι ισα (ισες πλευρες)

οποτε οι διαγωνιες τους θα ειναι ισες. Ετσι : ΕΒ = ΕΓ και ΕΖ ΒΓ

Δηλαδη το τριγωνο ΕΒΓ ειναι ισοσκελες και ΕΖ υψος στη βαση του, αρα και διχοτομος της

⊥

� γωνιας του Ε. (4)

Απο (3), (4) προκυπτει το ζητουμενο.

08. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι τ ε τ ρ α γ ω ν ο :

Οι διαγωνιες τετραπλευρου ΑΒΓΔ ειναι καθετες και ισες. Να δειξετε οτι το τετρα-

πλευρο με κορυφες τα μεσα των πλευρων του ΑΒΓΔ, ειναι τετραγωνο .

ΑΓ Στο τρ. ΑΒΓ : Κ, Λ μεσα των ΑΒ, ΒΓ, αρα ΚΛ =|| (1)

2ΑΓ

Στο τρ. ΑΓΔ : Μ, Ν μεσα των ΓΔ, ΑΔ, αρα ΜΝ =|| (2)2

Απο (1),(2) : ΚΛ =|| ΜΝ

που σημαινει ΚΛΜΝ παραλληλογραμμο (Ι).

Κ, Λ μεσα των ΑΒ, Β

ΑΓΓ : ΚΛ =

2ΑΓ = ΒΔ ΚΛ = ΜΛ (ΙΙ)

ΒΔΜ, Λ μεσα των ΓΔ, ΒΓ : ΜΛ =

2

⇒


Αποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι τετραγωνο .





▪ Αποδεικνυουμε επιπλεον :

▪ Το τετραπλευρο εχει και μια ιδιοτητα του ορθογωνιου .

▪ Το τετραπλευρο εχει και μια ιδιοτητα του ρομβου .

Α Β

Η

Ε Ζ

Θ

Δ Γ

Α

Ν Κ

Δ Ο Β

Μ Λ

Γ

ΤΡΑΠΕΖΙΑ TΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

Κ, Λ μεσα των ΑΒ, ΒΓ : ΚΛ||ΑΓ

Μ, Λ μεσα των ΓΔ, ΒΓ : ΜΛ||ΒΔ ΚΛ ΜΛ (ΙΙΙ)

ΑΓ ΒΔ

⇒ ⊥ ⊥

Απο (Ι), (ΙΙ) και (ΙΙΙ) προκυπτει οτι το ΚΛΜΝ ειναι τετραγωνο .

09. Η δ ι α μ ε σ ο ς τ ρ α π ε ζ ι ο υ :

Ευθεια ε περναει απο τη κορυφη Α και αφηνει το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ προς το ιδιο

μερος της. Αν ΒΒ', ΓΓ', ΔΔ' ειναι οι αποστασεις των Β, Γ, Δ απ'την ε αντιστοιχα, να

δειχτει οτι : ΓΓ' = ΒΒ' + ΔΔ'.

Η ΟΟ' ειναι διαμεσος του τραπεζιου ΒΒ'Δ'Δ και

ΒΒ' + ΔΔ' ΟΟ' = (1)

2 Στο τριγωνο ΑΓΓ' (Ο,Ο' μεσα των ΑΓ, Α'Γ') :

ΓΓ' ΟΟ' = (2)

2Απο (1) και (2) :

ΓΓ' ΒΒ' + ΔΔ'= ΓΓ' = ΒΒ' + ΔΔ'

2 2⇒

� �

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΔΓ) και Μ μεσο της πλευρας ΒΓ. Αν ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ

να δειξετε οτι οι ΑΜ, ΔΜ ειναι διχοτομοι των γωνιων Α και Δ αντιστοιχα .

ΑΒ + ΓΔ ΑΔΦερνουμε τη διαμεσο ΜΝ. Ειναι ΜΝ = =

2 2


Αποδειξη ισοτητας .


Τραπεζιο, σχεση μεταξυ των βασεων του κλπ .


▪ Χρησιμοποιουμε αμεσα την ιδιοτητα της διαμεσου τραπεζιου :

‘’ η διαμεσος τραπεζιου ισουται με το ημιαθροισμα των βασεων του ’’ .

▪ Αν το αθροισμα των βασεων τραπεζιου ισουται με μια απ’τις μη παραλληλες

πλευρες του, τοτε και η διαμεσος του ισουται με το μισο της πλευρας αυτης .

▪ Αν η μια βαση τραπεζιου ειναι διπλασια της αλλης, τοτε και η διαμεσος του

ισουται με το τριπλασιο του τμηματος που ενωνει τα μεσα των διαγωνιων του

τραπεζιου .

Α Β Δ’

Ο’ Γ’ Β’

Δ Γ

Ο


� � � �

� �

Στο τριγωνο ΑΜΔ, η ΜΝ ειναι διαμεσος στην πλευρα ΑΔ

ΑΔ και ισχυει ΜΝ = . Αρα τα τριγωνα ΑΜΝ και ΝΜΔ ειναι

2

ισοσκελη με : ΝΑΜ = ΑΜΝ (1) και ΝΔΜ = ΝΜΔ (2)

ΑΒ||ΝΜ||ΔΓ οποτε

ΒΑΜ = ΑΜΝ (3) και Γ

� �

� � �

� � �

ΔΜ = ΝΜΔ (4)

Απο (1), (3) : ΝΑΜ = ΒΑΜ ΑΜ διχοτομος της Α.

Απο (2), (4) : ΝΔΜ = ΓΔΜ ΑΜ διχοτομος της Δ.

⇒

⇒

Σε τραπεζιο ΑΒΓΔ η βαση ΔΓ ειναι διπλασια της βασης ΑΒ. Δειξτε οτι οι διαγωνιες

ΑΓ, ΒΔ τριχοτομουν τη διαμεσο ΜΝ.

Η ΜΝ ειναι παραλληλη στις βασεις και τεμνει τις ΒΔ, ΑΓ στα σημεια Ε, Ζ αντιστοιχα. Ετσι

ΑΒΑ ΒΔ : Μ μεσο ΑΔ Ε μεσο της ΒΔ και ΜΕ = (1)2ΜΕ||ΑΒ

ΑΒΑ ΒΓ : Ν μεσο ΒΓ Ζ μεσο της ΑΓ και ΖΝ = (2)2ΖΝ||ΑΒ

Αφο

∆

∆

⇒

⇒

υ Ε, Ζ μεσα των διαγωνιων, τοτε :

ΓΔ - ΑΒ 2ΑΒ - ΑΒ ΑΒΕΖ = ΕΖ = ΕΖ = (3)

2 2 2Απ'τις (1),(2),(3) προκυπτει το ζητουμενο.

⇒ ⇒

10. Ι σ ο σ κ ε λ ε ς τ ρ α π ε ζ ι ο :

Α Β

Ν Μ

Δ Γ


Αποδειξη ισοτητας η αποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι ισοσκελες τραπεζιο .


Τραπεζιο, σχεση μεταξυ των βασεων του κλπ .


▪ Χρησιμοποιουμε αμεσα τις επιπλεον ιδιοτητες του ισοσκελους τραπεζιου :

▪ Οι μη παραλληλες πλευρες του ειναι ισες .

▪ Οι διαγωνιες του ειναι ισες .

▪ Οι γωνιες μιας απο τις δυο βασεις ειναι ισες, ενω οι γωνιες μιας απο τις μη

παραλληλες πλευρες ειναι παραπληρωματικες .

▪ Προκειμενου να δειξουμε οτι ενα τετραπλευρο ειναι ισοσκελες τραπεζιο :

▪ Αρχικα δειχνουμε οτι ειναι τραπεζιο .

▪ Δειχνουμε οτι ισχυει μια απ’τις πιο πανω ιδιοτητες .

Α Β

Μ Ε Ζ Ν

Δ Γ


Δινεται ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) με ΑΔ = ΑΒ = ΒΓ και ΔΒ = ΔΓ.

Να βρεθουν οι γωνιες του τραπεζιου.

� �

� ��

�

� � �

� � ��

��

� ��

� � �

1 121

1 2

2

1 2

0 0 0 0

0 0 0 0

Τριγ.ΑΔΒ ισοσκελες : Β = Δ ΔΔ = Δ =

2ΑΒ||ΔΓ : Β = Δ

Στο τριγωνο ΓΔΒ (ΔΒ = ΔΓ) :

Γ = Β (= Δ)

Δ 3ΔΒ = Β + Β = + Δ = = Α.

2 2Ετσι

3ΔΑ + Δ = 180 + Δ = 180 5Δ = 360 Δ = 72 = Γ

2και

Α = 180 - Δ = 180 - 72 = 108 = Β

⇒

⇒ ⇒ ⇒

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και το συμμετρικο Ε του σημειου Α ως προς

τη διαγωνιο ΒΔ. Να αποδειχθει οτι το ΒΓΕΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

Φερνω τις διαγωνιες του ΑΒΓΔ που τεμνονται στο Ο και το συμμετρικο Ε του Α ως προς

τη ΒΔ.

Στο τριγωνο ΑΕΓ :

Μ, Ο τα μεσα των πλευρων ΑΕ και ΑΓ αντιστοιχα.

Αρα ΜΟ||ΕΓ που σημαινει :

ΒΓΕΔ τραπε

ΑΔ = ΒΓ

ζιο.

ΔΜ μεσοκαθετη της ΑΕ, οποτε

ΔΕ = ΑΔ = ΒΓ ΔΕ = ΒΓ.

Αρα

το τραπεζιο ΒΓΕΔ ειναι ισοσκελες αφου ΔΕ = ΒΓ.

⇒

Α Β

Δ Γ

1 2

2 1

Α Β

Ο

Μ

Δ Γ

Ε

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

1.

Ευθεια ε περνα απ'το μεσο Μ ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ.

Αν ΑΔ ε, ΒΖ ε να δειχτει οτι :

ΑΔ = ΒΖ ΑΔΒΖ παραλληλογραμμο

⊥ ⊥

� �

2.

Σε τετραγωνο ΑΒΓΔ, Ε και Ζ σημεια της διαγωνιου ΒΔ τετοια ωστε ΒΕ = ΔΖ.

Να αποδειχτει οτι το τετραπλευρο ΑΕΓΖ ειναι ρομβος.

3.

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ, το μεσο Μ της ΒΓ και το σημειο τομης Ε των ΑΜ και

ΒΔ. Να αποδειξετε οτι:

▪ ΑΕ = 2ΕΜ

▪ ΔΕ = 2ΕΒ

▪ Η ευθεια ΓΕ διερχεται απ’το μεσο της ΑΒ.

4.

Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, Γ∆ και ∆Α τετραγωνου ΑΒΓ∆ θεωρουμε αντιστοιχως τα σημεια

Κ, Λ, Μ και Ν ωστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ∆Ν. Να αποδειξετε οτι το ΚΛΜΝ ειναι τετραγωνο.

5.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με ΑΓ = ΑΒ και Μ το μεσο της ΒΓ.

Φερουμε την ΑΜ και την προεκτεινουμε κατα τμημα ΜΕ = ΑΜ.

Να αποδειξετε οτι:

▪ ΑΜ ⊥ ΒΓ

▪ τα σημεια Δ, Γ και Ε ειναι συνευθειακα

▪ το Γ ειναι μεσο της ΔΕ

▪ το τετραπλευρο ΑΒΕΓ ειναι ρομβος

6.

Εστω ενα παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και το μεσο Μ της πλευρας του ΑΒ. Αν Ρ το κοινο

σημειο των ευθειων ΓΕ και ΔΑ, να αποδειξετε οτι ΡΑ = ΑΔ.

7.

Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ προεκτεινουμε την πλευρα ΑΔ κατα τμημα ΔΕ = ΑΔ.

Αν η ΒΕ τεμνει την ΑΓ στο σημειο Ζ και τη ΔΓ στο σημειο Η, να αποδειξετε οτι:

▪ Το τετραπλευρο ΒΔΕΓ ειναι παραλληλογραμμο.

▪ ΔΗ = ΗΓ

▪ Η ΔΖ περναει απο το μεσο της ΒΓ.


8.

Απο την κορυφη Α ενος παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ φερνουμε παραλληλη προς την

διαγωνιο ΒΔ , που τεμνει τη ΒΓ στο Ε και την ΓΔ στο Ζ. Να αποδειξετε οτι ΑΕ = ΑΖ .

9.

Σε τετραπλευρο ΑΒΓΔ φερνουμε την ΔΕ παραλληλη και ιση της ΑΒ. Αν Κ, Λ ειναι τα

μεσα των διαγωνιων του ΑΒΓΔ να δειξετε οτι:

▪ ΑΔ||ΒΓ ▪ ΑΕ||ΒΓ ▪ Ε, Α και Δ συνευθειακα

10.

Εστω το τριγωνο ΑΒΓ και το υψος του ΒΕ. Φερνουμε ΑΔ ΑΓ⊥ με ΑΔ = ΑΒ (Β, Δ

εκατερωθεν της ΑΓ). Να δειξετε οτι:

▪ ΚΛ || ΓΕ ▪ 2ΚΛ = ΓΕ

11.

Εστω το τριγωνο ΑΒΓ και τα υψη του ΒΔ και ΓΕ. Αν Μ ειναι το μεσο της ΒΓ, να δειξετε

οτι το τριγωνο ΜΕΔ ειναι ισοσκελες.

12.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος του ΑΔ. Απο το Δ φερνουμε παραλληλη προς την

ΑΒ που τεμνει την ΑΓ στο Ε και απο το Ε παραλληλη προς τη ΒΓ που τεμνει την ΑΒ

στο Ζ. Να αποδειξετε οτι ΑΕ = ΒΖ.

13.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και στις πλευρες του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ τα σημεια Ε, Ζ,

Η, Θ αντιστοιχα ετσι ωστε ΑΘ = ΓΖ και ΑΕ = ΓΗ. Να αποδειξετε οτι

▪ Το ΕΖΗΘ ειναι παραλληλογραμμο.

▪ Το σημειο τομης των διαγωνιων του ΕΖΗΘ συμπιπτει με το σημειο τομης των δια-

γωνιων του ΑΒΓΔ.

14.

Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ ειναι ΑΒ = 2ΒΓ .Πανω στην ευθεια ΒΓ παιρνουμε τα ση-

μεια Ε , Ζ ετσι ωστε Β μεταξυ Γ και Ε και ΒΕ = ΒΓ και Γ μεταξυ Β και Ζ και ΓΖ = ΒΓ.

Να αποδειξετε οτι ΑΖ καθετη στη ΔΕ.

15.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ ορθογωνιο στο Α και τα μεσα Δ, Ε, Ζ των πλευρων ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ

αντιστοιχα. Φερνουμε τα καθετα προς την ΕΖ τμηματα ΑΚ και ΔΛ. Να αποδειξετε οτι

το τετραπλευρο ΑΚΔΛ ειναι παραλληλογραμμο.


16.

Να αποδειξετε οτι η ευθεια που συνδεει τα μεσα δυο απεναντι πλευρων παραλληλο-

γραμμου ειναι παραλληλη προς τις αλλες δυο πλευρες και διερχεται απο το σημειο το-

μης των διαγωνιων του.

17.

Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ, ΑΒ = 2ΒΓ, Μ, Ν τα μεσα των ΑΒ, ΓΔ αντιστοιχα και

το τμημα ΑΕ⊥ΒΓ. Να δειξετε οτι:

▪ Το τετραπλευρο ΜΒΓΝ ειναι ρομβος. ▪ Το τριγωνο ΜΕΝ ειναι ισοσκελες.

18.

Δινεται τετραγωνο ΑΒΓΔ και Μ το μεσο της ΒΓ. Αν η ΑΒ τεμνει τη προεκταση της ΔΖ

στο Κ, να δειχτει οτι � 0ΚΓΔ = 135 .

19.

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με � �Α = 2Β . Η διχοτομος της �Α τεμνει την πλευρα ΓΔ

στο Ε. Να αποδειξετε οτι τα μεσα Κ, Λ, Μ και Ν των τμηματων ΑΒ, ΒΓ, ΓΕ και ΑΕ ειναι

κορυφες ρομβου.

20.

Aπο τυχαιο σημειο Μ της βασης ΒΓ ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ φερνουμε παραλληλες

προς τις ισες πλευρες που τις τεμνουν στα σημεια Δ και Ε.

Να δειξετε οτι: ΜΔ + ΜΕ = ΑΒ .

21.

Στις προεκτασεις των διαμεσων ΒΔ, ΓΕ τριγωνου ΑΒΓ παιρνουμε σημεια Η και Ζ αν-

τιστοιχα, ωστε ΔΗ = ΒΔ και ΖΕ = ΓΕ. Να δειξετε οτι:

▪ ΑΗ = ΑΖ ▪ τα σημεια Ζ, Α και Η ειναι συνευθειακα.

22.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και απο σημειο Ρ της πλευρας ΑΒ ευθεια ε παραλληλη

προς την διαγωνιο ΑΓ που τεμνει τις ευθειες ΔΑ,ΒΓ,ΓΔ αντιστοιχα στα σημεια Κ, Λ, Μ.

Να αποδειξετε οτι ΡΚ = ΛΜ.

23.

Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ τα σημεια Ε, Η ειναι οι προβολες των κορυφων Α και Γ

στην διαγωνιο ΒΔ. Να δειξετε οτι:

▪ Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΒΓΗ ειναι ισα.

▪ Το τετραπλευρο ΑΕΗΓ ειναι παραλληλογραμμο.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

24.

Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ τα σημεια Μ, Ν ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ, ΓΔ αντι-

στοιχα. Αν τα ΑΝ και ΔΜ τεμνονται στο Ρ και τα ΓΜ και ΒΝ τεμνονται στο Σ, να δει-

ξετε οτι το ΜΡΝΣ ειναι παραλληλογραμμο.

25.

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( � 0Α=90 ) με � 0Β = 30 και τα σημεια Δ, Ε μεσα των

πλευρων ΑΒ, ΒΓ αντιστοιχα. Προεκτεινουμε την ΕΔ κατα τμημα ΔΖ = ΕΔ.

Δειξτε οτι το τετραπλευρο ΑΓΕΖ ειναι ρομβος.

26.

∆ινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓ∆ και τα σημεια Ε,Θ,Ζ και Η των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ,

Γ∆ και ∆Α αντιστοιχα, ωστε το ΕΘΖΗ να ειναι παραλληλογραμμο. Να αποδειξετε οτι :

▪ ΑΕ = ΓΖ ▪ ΑΗ = ΓΘ ▪ τα ΑΒΓ∆, ΕΘΖΗ εχουν το ιδιο κεντρο.

27.

Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ και Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ

αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι :

▪ το ΚΛΜΑ ειναι ορθογωνιο

▪ η περιμετρος του ορθογωνιου τριγωνου ΑΒΓ ειναι ιση με την περιμετρο του ορθο-

γωνιου ΚΛΜΑ αυξημενη κατα το αθροισμα των διαγωνιων ΑΛ και ΚΜ.

28.

Προεκτεινουμε τις πλευρες ΑΒ, ΑΔ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ κατα τμηματα ΒΕ = ΒΓ

και ΔΖ = ΔΓ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι τα σημεια Ζ, Γ και Ε ειναι συνευθειακα.

29.

Προεκτεινουμε τις πλευρες ΑΒ, ΑΔ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ κατα τμηματα ΓΕ = ΔΓ

και ΑΖ = ΔΑ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι τα σημεια Ζ, Β και Ε ειναι συνευθειακα.

30.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ, ορθογωνιο στο Α. Αν ΑΔ το υψος του, Ε και Ζ τα μεσα των

πλευρων του ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα, Μ το μεσο του ΕΖ, να αποδειξετε οτι:

� 0 ΒΓΕΔΖ = 90 ΔΜ =

4� �

31.

Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, το υψος του ΑΔ και το μεσο Μ της πλευρας ΑΒ.

Αν Ρ ειναι το σημειο τομης των ΔΜ και ΑΓ να αποδειξετε οτι � � �ΑΡΜ = Β - Γ .


32.

Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ, ορθογωνιο στο Α με � 0Β = 75 . Να αποδειξετε οτι το υψος

ΑΔ = ΒΓ

4. Ισχυει το αντιστροφο;

33.

Προεκτεινουμε τη πλευρα ΑΒ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ κατα τμημα ΒΕ = ΒΓ και στην

ημιευθεια ΔΑ παιρνουμε σημειο Ζ, ωστε ΔΖ = ΔΓ. Να δειχθει οτι � 0ΖΓΕ = 90 .

34.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με ΒΔ =2 ΑΓ. Αν Ο το κεντρο του και Ε, Ζ τα μεσα των

ΟΒ και ΟΔ αντιστοιχα, να δειξετε οτι το ΑΕΓΖ ειναι ορθογωνιο.

35.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαιο σημειο της ΒΓ. Φερνουμε ΔΖ ΑΒ⊥ και ΔΕ ΑΓ⊥ .

Αν Η και Θ τα μεσα των ΒΔ και ΓΔ αντιστοιχα, δειξτε οτι: ΖΗ + ΕΘ =

ΒΓ

2.

36.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΓ = 3ΑΒ. Τα σημεια Δ και Ε βρισκονται στην πλευρα ΑΓ ετσι,

ωστε ΑΔ = ΔΕ = ΕΓ. Αν Μ ειναι το μεσο του ΒΓ, να αποδειξετε οτι � 0ΔΜΕ = 90 .

37.

Εστω το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0Α = 90 ) και ΒΔ η διχοτομος της γωνιας �Β . Απ’το

Δ φερνουμε ΔΕ ΒΓ⊥ που τεμνει την ΑΒ στο Ζ. Να δειξετε οτι το τριγωνο ΒΓΖ ειναι

ισοσκελες.

38.

Θεωρουμε Μ το μεσο της διχοτομου ΒΔ τριγωνου ΑΒΓ. Απ’το Δ φερνουμε παραλληλη

στην ΒΓ που τεμνει την ΑΒ στο σημειο Ε. Αν η ΕΜ τεμνει τη ΒΓ στο σημειο Ζ, δειξτε οτι

το ΔΕΒΖ ειναι ρομβος.

39.

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0Α = 90 ) με Δ, Ε τα μεσα των ΑΒ, ΒΓ αντιστοιχα, προ-

εκτεινουμε την ΕΔ κατα το τμημα ΔΖ = ΕΔ.

Να αποδειξετε οτι το ΑΕΒΖ ειναι ρομβος.


40.

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0Α = 90 ) με υψος ΑΗ και μεσα Μ, Ν των πλευρων

ΑΓ και ΑΒ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι � 0ΜΗΝ = 90 .

41.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και το κεντρο του Ο. Μια ευθεια ε που διερχεται απ’το

σημειο Ο τεμνει την ΑΒ στο Ε και την ΓΔ στο Ζ. Να δειξετε οτι το Ο ειναι το μεσο του

ευθυγραμμου τμηματος ΕΖ.

42.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και το κεντρο του Ο. Μια ευθεια ε που διερχεται απ’το

σημειο Ο τεμνει την ΑΒ στο Ε και την ΓΔ στο Η. Μια αλλη ευθεια ζ που διερχεται επι-

σης απ’το Ο τεμνει τη ΒΓ στο Ζ και τη ΔΑ στο Θ. Να δειξετε οτι το ΕΖΗΘ ειναι παραλ-

ληλογραμμο.

43.

Σε ρομβο ΑΒΓΔ με κεντρο Ο παιρνουμε τα σημεια Ε και Ζ της ΑΓ τετοια ωστε

ΟΕ = ΟΖ = ΟΒ = ΟΔ.

Να αποδειξετε οτι το ΔΕΒΖ ειναι τετραγωνο.

44.

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0Α = 90 ) με � . 0Γ = 15 Φερνουμε το υψος ΑΔ και τη δι-

αμεσο ΑΜ που αντιστοιχουν στην υποτεινουσα. Απ’το Δ φερνουμε καθετη ΔΕ προς

την ΑΜ. Δειξτε οτι ΒΓ = 8ΑΕ.

45.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και τα υψη ΑΔ, ΒΕ, που τεμνονται στο Η. Αν Μ, Ν ειναι τα

μεσα των ΑΒ και ΗΓ, να αποδειχθει οτι ΔΕ ΜΝ⊥ .

46.

Θεωρουμε παραλληλoγραμμο ΑΒΓΔ και στις πλευρeς του ΑΒ και ΓΔ τa σημεια Ε και Ζ

αντιστοιχα, ωστε ΑΕ = 1/3 ∙ ΑΒ και ΓΖ = 1/3 ∙ ΓΔ. Αν η ευθεια ΕΖ τεμνει την ΑΔ στο Ρ

να αποδειξετε οτι :

▪ ΑΡ = ΑΔ

▪ Η ευθεια ΔΕ διερχεται απ’το μεσο του τμηματος ΒΡ.

47.

Αν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων ΒΓ, ΓΔ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ αντιστοιχα και

η ΕΖ τεμνει την ΑΓ στο Η, δειξτε οτι : 4ΓΗ = ΑΓ .


48.

Προεκτεινουμε τη πλευρα ΑΒ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ κατα τμημα ΒΕ = ΑΒ.

Αν ΔΕ τεμνει την ΑΓ στο Η και τη ΒΓ στο Ζ, να δειξετε οτι:

▪ ΒΖ = ΓΖ

▪ ΑΗ = 2ΓΗ

49.

Σε τετραπλευρο ΑΒΓΔ οι απεναντι γωνιες του Β και Δ ειναι παραπληρωματικες. Οι

πλευρες του ΔΑ και ΓΒ τεμνονται στο σημειο Ε, ενω οι ΑΒ και ΔΓ τεμνονται στο σημειο

Ζ. Να αποδειξετε οτι τα σημεια τομης των διχοτομων των γωνιων Ε και Ζ με τις πλευ-

ρες του ΑΒΓΔ ειναι κορυφες ρομβου.

50.

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ˆ 0Α = 90 ) με � 0Β = 30 η καθετη στο μεσο Μ της υποτεινου-

σας ΒΓ τεμνει την πλευρα ΑΒ στο Δ. Να δειξετε οτι:

▪ ΜΔ =ΑΔ

▪ ΑΒ = 3ΜΔ

51.

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και Μ το μεσο της ΒΓ. Στη προεκταση της ΒΓ προς το Γ παιρνου-

με τμημα ΓΔ = ΒΓ και στην προεκταση της ΑΜ προς το Μ τμημα ΜΕ = ΑΜ.


▪ το Γ ειναι το βαρυκεντρο του τριγωνου ΑΔΕ.

▪ οι πλευρες του τριγωνου ΑΔΕ ειναι διπλασιες των διαμεσων ΑΜ, ΒΝ, ΓΡ του τριγω-

νου ΑΒΓ.

52.

Σε τετραπλευρο ΑΒΓΔ οι απεναντι γωνιες του Β και Δ ειναι παραπληρωματικες. Οι

πλευρες του ΔΑ και ΓΒ τεμνονται στο σημειο Ε, ενω οι ΑΒ και ΔΓ τεμνονται στο ση-

μειο Ζ. Να αποδειξετε οτι τα σημεια τομης των διχοτομων των γωνιων Ε και Ζ με τις

πλευρες του ΑΒΓΔ ειναι κορυφες ρομβου.

53.

Με υποτεινουσες τις απεναντι πλευρες ΑΒ, ΓΔ τετραγωνου ΑΒΓΔ κατασκευαζουμε

προς το εξωτερικο μερος του τετραγωνου τα ορθογωνια τριγωνα ΚΑΒ, ΜΓΔ ωστε οι

πλευρες τους ΚΒ και ΜΔ να ειναι παραλληλες.

Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο που σχηματιζεται αν προεκταθουν οι καθετες

πλευρες των τριγωνων αυτων ειναι τετραγωνο.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

54.

Σε τετραγωνο ΑΒΓΔ εστω Μ το μεσο της πλευρας του ΑΒ.

▪ Αν η ΜΓ τεμνει τη ΒΔ στο σημειο Κ, δειξτε οτι ΒΚ = ΑΓ

3.

▪ Αν Ε μεσο της ΒΓ, δειξτε οτι ΔΒ ⊥ΜΕ και ΔΒ = 2ΜΕ.

55.

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και το συμμετρικο Ε του Α ως προς τη διαγωνιο ΒΔ.

Να δειχθει οτι το ΒΓΕΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

56.

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ με � � 0Α = Δ = 90 , ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και � 0Β = 60 . Φερνουμε

την ΓΗ ⊥⊥⊥⊥ ΑΒ και θεωρουμε τα μεσα Ε, Ζ των πλευρων του ΑΔ, ΒΓ αντιστοιχα.


▪ ΗΒ = ΕΖ.

▪ Το ΕΗΒΖ ειναι παραλληλογραμμο.

57.

Αν Ο ειναι το σημειο τομης των διαγωνιων ισοσκελους τραπεζιου ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) και

Ε, Ζ, Η, Θ τα μεσα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ αντιστοιχα, να δειξετε οτι το ΕΖΗΘ ειναι

ισοσκελες τραπεζιο.

58.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και το υψος του ΑΔ. Αν Κ, Λ ειναι τα μεσα των ΑΔ, ΒΓ

αντιστοιχα, να δειξετε οτι το ΚΛΓΕ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

59.

Δινεται σκαλινο τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε τις πλευρες ΑΓ και ΒΓ, προς το μερος

του Γ, κατα τμηματα ΓΚ = ΒΓ και ΓΛ = ΑΓ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι

▪ Το τετραπλευρο ΑΒΚΛ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

▪ Η παραλληλη προς τις βασεις του απο το Γ ειναι διχοτομος της γωνιας �ΑΓΒ του τρι-

γωνου.

60.

Σε ενα τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) ειναι ΑΔ = ΓΔ = ΒΓ.

Να αποδειξετε οτι η διαγωνιος ΑΓ διχοτομει την γωνια �Α .


61.

Σε τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) ειναι ΑΗ υψος και ΑΜ διαμεσος. Προεκτεινουμε την ΑΜ

κατα τμημα ΜΔ = ΑΜ και την ΑΗ κατα τμημα ΗΕ = ΑΗ. Αν οι ΒΔ, ΓΕ τεμνονται στο

σημειο Κ, να δειξετε οτι:

▪ Τα τριγωνα ΑΓΕ, ΒΚΓ, ΚΕΔ ειναι ισοσκελη.

▪ ΕΔ||ΒΓ

▪ ΒΓΔΕ ισοσκελες τραπεζιο .

62.

Σε ενα τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) ειναι ΑΒ = 3

2ΔΓ και τα σημεια Ε, Ζ, και Η ειναι τα

μεσα των ΔΓ, ΕΒ, ΑΔ αντιστοιχα.


▪ Το ΔΓΖΗ ειναι παραλληλογραμμο.

▪ 2ΘΒ = ΓΔ, οπου θ το σημειο τομης των ΓΖ και ΑΒ .

63.

Σε τραπεζιο ΑΒΓΔ με �Α = �Δ = 90 0 τα Ε, Ζ ειναι τα μεσα των ΓΔ, ΒΓ αντιστοιχα και

2ΑΒ = ΓΔ = ΒΓ. Δειξτε οτι:

▪ το ΑΒΕΔ ειναι ορθογωνιο.

▪ το ΑΒΓΕ ειναι παραλληλογραμμο.

▪ �Γ = 600.

▪ ΔΖ ⊥ΒΓ.

▪ το ΑΒΖΕ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

64.

Σε τριγωνο ΑΒΓ ( �Α = 90 0) �Γ = 30 0 . Εστω Δ, Ε, Ζ, Ι τα μεσα των ΒΓ, ΑΒ, ΒΔ, ΑΔ

αντιστοιχα. Προεκτεινουμε την ΕΖ κατα τμημα ΖΗ = ΕΖ.

Δειξτε οτι:

▪ το ΒΕΔΗ ειναι ορθογωνιο.

▪ το ΑΕΖΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

▪ ΑΗ, ΔΕ διχοτομουνται.

▪ το ΕΖΔΙ ειναι ρομβος.

65.

Σε ενα τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) Μ ειναι το συμμετρικο του Γ ως προς την ΑΒ.

Αν Ο ειναι το σημειο τομης των ΜΔ και ΑΒ, να δειξετε οτι το τριγωνο ΟΓΔ ειναι

ισοσκελες.


66.

Σε ενα τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) με ΓΔ = 3ΑΒ, τα Κ, Λ ειναι τα μεσα των διαγωνιων

του ΔΒ και ΑΓ αντιστοιχα.

Δειξτε οτι το ΑΚΛΒ ειναι παραλληλογραμμο.

Ποτε αυτο ειναι ορθογωνιο;

67.

Σε ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) με ΑΒ = α και ΓΔ = 3α τα Μ, Ν ειναι τα μεσα

των διαγωνιων του ΔΒ και ΑΓ αντιστοιχα. Δειξτε οτι:

▪ ΜΝ = α ▪ το ΑΜΝΒ ειναι ορθογωνιο

68.

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ (ΑΒ < ΒΓ) με �Β = 45 0. Απ’το μεσο Μ της ΒΓ φερνουμε

καθετη στη ΒΓ που τεμνει την ΑΒ στο Ε και τη ΔΓ στο Ζ. Δειξτε οτι:

▪ το ΕΒΓΖ ειναι τετραγωνο.

▪ το ΑΕΖΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

69.

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) με �Α = �Δ = 90 0, ΔΓ = 2ΑΒ και �Β = 3 �Γ . Φερνουμε

ΒΕ ⊥ ΔΓ που τεμνειτην ΑΓ στο Κ και την ΑΕ που τεμνει την ΒΔ στο Λ. Δειξτε οτι:

▪ �Γ = 45 0 ▪ ΒΔ = ΑΕ ▪ 4ΚΛ = ΔΓ

70.

Σε ορθογωνιο ΑΒΓΔ κεντρου Ο φερνουμε AE BΔ⊥ , ΒΖ ΑΓ⊥ .

Να δειξετε οτι το τριγωνο ΟΕΖ ειναι ισοσκελες και το τετραπλευρο ΓΔΕΖ ειναι ισοσκε-

λες τραπεζιο.

71.

Σε τραπεζιο ΑΒΓΔ με �Α = �Δ = 90 0 με �Β = 60 0, τα Ε, Ζ ειναι μεσα των ΑΔ, ΒΓ αντιστοιχα

και ΓΒ = 8α, ΓΔ = 2α (α γνωστο τμημα).

▪ Να βρεθει η ΑΒ.

▪ Να δειχτει οτι ΕΖ = 4 α.

▪ Να δειχτει οτι η μικροτερη αποσταση του Γ απ’την ΕΒ ειναι το ΓΕ.

72.

Σε ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) απ’το μεσο της πλευρας ΒΓ φερνουμε παραλ-

ληλη προς την ΑΔ που τεμνει την ευθεια ΓΔ στο Ζ. Να δειχτει οτι το τριγωνο ΒΖΓ ει-

ναι ορθογωνιο στο Ζ.


73.

Σε ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ, ΑΒ < ΓΔ) ΕΖ ειναι η διαμεσος και ΓΗ ΑΒ⊥ .

Να δειχτει οτι:

▪ το τετραπλευρο ΑΕΖΗ ειναι παραλληλογραμμο.

▪ ΓΔ- ΑΒ

ΒΗ =2

▪ ΓΔ + ΑΒ

ΑΓ >2

74.

Σε τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ, ΑΒ < ΓΔ) οι ευθειες των πλευρων ΑΔ και ΒΓ τεμνονται

καθετα στο σημειο Ο. Αν Κ, Λ ειναι τα μεσα των βασεων ΑΒ, ΓΔ αντιστοιχα, να

δειχτει:

▪ Τα σημεια Ο, Κ και Λ ειναι συνευθειακα.

▪ ΓΔ- ΑΒ

ΚΛ =2

▪ Αν Μ, Ν ειναι τα μεσα των διαγωνιων ΑΓ, ΒΔ αντιστοιχα, τοτε το τετραπλευρο

ΚΜΛΝ ειναι ορθογωνιο.

75.

Σε τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι:

� � � �Α = ω, Β = 2ω, Γ = 3ω, Δ = 4ω, οπου ω γνωστη γωνια.

Δειξτε οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι τραπεζιο.

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ


01. Ε π ι κ ε ν τ ρ η Γ ω ν ι α

Λεγεται η γωνια που η κορυφη της ειναι στο κεντρο του

κυκλου .

Το μετρο της ειναι ισο με το μετρο του τοξου, στο οποιο

βαινει.

02. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν η Γ ω ν ι α

Λεγεται η γωνια που η κορυφη της ειναι σημειο του κυ-

κλου και οι πλευρες της τεμνουσες του κυκλου.

Το μετρο της ειναι ισο με το μισο του μετρου του τοξου,

στο οποιο βαινει (η το μισο της αντιστοιχης επικεντρης

γωνιας).

03. Γ ω ν ι α Χ ο ρ δ η ς κ α ι Ε φ α π τ ο μ ε ν η ς

Λεγεται η γωνια που η κορυφη της ειναι σημειο του κυ-

κλου, η μια της πλευρα ειναι χορδη και η αλλη εφαπτο-

μενη του κυκλου (στη κορυφη της γωνιας).

04. Γ ω ν ι α Δ υ o Τ ε μ ν ο υ σ ω ν

Λεγεται η γωνια που η κορυφη της βρισκεται στο εσωτε-

ρικο η στο εξωτερικο κυκλου και οι πλευρες της ειναι τε-

μνουσες του κυκλου.


Καθε εγγεγραμμενη γωνια ισουται με το μισο της επι-

κεντρης που βαινει στο αντιστοιχο τοξο.

Αποδειξη :

Τα τριγωνα ΟΜΑ και ΟΜΒ ειναι ισοσκελη

(ΟΑ = ΟΒ = ΟΜ = ρ).

(+)

Eτσι

ˆ ˆ ˆ ˆΟΜΑ = Α και ΟΜΒ = Β.

ˆ ˆˆ ˆ ˆΑΟΝ = ΟΜΑ + Α ΑΟΝ = 2ΟΜΑ

ˆ ˆˆ ˆ ˆΒΟΝ = ΟΜΒ + Β ΒΟΝ = 2ΟΜΒ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆΑΟΝ + ΒΟΝ = 2(ΟΜΑ + ΟΜΒ) ΑΟΒ = 2ΑΜΒ.

⇒ ⇒

⇒

Μ

Α

Β

Α

x Β

Α

Ο

Β

Α

Β

Μ

Ο

Α Β

Ν



▪ Το μετρο μιας εγγεγραμμενης γωνιας ισουται με το μι-

σο του μετρου του αντιστοιχου τοξου της.

Αποδειξη :

Ειναι : ��

� � ��ΑΟΒ ΑΒ

ΑΜΒ = (ΑΟΒ = ΑΒ) ΑΜΒ =2 2

⇒

▪ Καθε εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε ημικυκλιο

ειναι ορθη.

Aποδειξη

Ειναι : �� 0

0ΑΟΒ 180ΑΜΒ = = = 90

2 2

▪ Οι εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν στο ιδιο η σε ι-

σα τοξα του ιδιου η ισων κυκλων ειναι ισες και αντι-

στροφα.

Aποδειξη

Ειναι : ��

��

� � �ΑΒ ΑΒ ΑΒΓ = , Δ = , Ε = ... Αρα Γ = Δ = Ε

2 2 2

▪ Δυο εγγεγραμμενες γωνιες που η μια βαινει στο κυρ-

τογωνιο και η αλλη στο μη κυρτογωνιο τοξο που ορι-

ζουν δυο σημεια κυκλου ειναι παραπληρωματικες.

Aποδειξη

�

�

� � � �

� �

(+)

00 0

ΑΝΒω =

ΑΝΒ ΑΜΒ ΑΝΒ + ΑΜΒ2 ˆ ˆ ˆ ˆω + φ = + ω + φ =2 2 2ΑΜΒ

φ =2

360ˆ ˆ ˆ ˆ(ΑΝΒ + ΑΜΒ = 360 ) ω + φ = ω + φ = 180

2

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

07. Σ χ ο λ ι ο

Τα τοξα που περιεχονται μεταξυ παραλληλων χορδων

ειναι ισα και αντιστροφα.

Aποδειξη

Ειναι

� �

� �

ΑΓ ΒΔˆ ˆΑΒ||ΓΔ ΑΒΓ = ΒΓΔ (εντος εναλλαξ) =2 2

ΑΓ = ΒΔ.

⇔ ⇔ ⇔

Μ

Α Ο Β

Δ

Ε

Α Β

Γ

Α Β

Γ Δ

Μ

Ο

Α Β

φ

Μ

ω

Β

Α

Ν


08. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν η Γ ω ν ι α

Η γωνια που σχηματιζεται απο μια χορδη κυκλου και

την εφαπτομενη στο ακρο της χορδης ισουται με την εγ-

γεγραμμενη γωνια που βαινει στο τοξο της χορδης.

Aποδειξη

ˆΑΟΒ ˆˆ ˆω = ω = ΑΟΓ (ΟΓ αποστημα)ˆ ˆω = φ2

ˆφ = ΑΟΓ (οξειες με πλευρες καθετες)

⇒

⇒

09. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ο Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο

Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ο τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο :

Λεγεται το τετραπλευρο που οι κορυφες του ειναι σημει-

α του ιδιου κυκλου.

(Ο κυκλος ειναι σχεδιασμενος).

Ε γ γ ρ α ψ ι μ ο τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο :

Λεγεται το τετραπλευρο για το οποιο υπαρχει κυκλος

που να διερχεται απο τις κορυφες του.

(Ο κυκλος δεν ειναι σχεδιασμενος).


Οι απεναντι γωνιες ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου

ΑΒΓΔ σε κυκλο (Ο,R) ειναι παραπληρωματικες.

Aποδειξη

�

�

� � � �

� �

� �

� �

(+)

00 0

0

0 0

ΑΔΓω =

2

ΑΒΓφ =

2

ΑΔΓ ΑΒΓ ΑΔΓ + ΑΒΓˆ ˆ ˆ ˆω + φ = + ω + φ =

2 2 2

360ˆ ˆ ˆ ˆ(ΑΔΓ + ΑΒΓ = 360 ) ω + φ = ω + φ = 180

2Οποτε

Β + Δ = 180

αρα και

Α + Γ = 360 - 180 = 180

⇒

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Α

Β

Δ Γ

Α

Β

Δ Γ

Εγγεγραμμενο

Εγγγραψιμο

Γ

Μ

ω

Ο

Α φ Β

φ

Β

ω

Γ

Α

Δ



Καθε πλευρα ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου ΑΒΓΔ,

φαινεται απ’τις απεναντι κορυφες απο ισες γωνιες.

Aποδειξη

��

��

� �

Ειναι

ΑΒΑΓΒ =

2 ΑΓΒ = ΑΔΒΑΒ

ΑΔΒ =2

⇒


Καθε γωνια ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου ΑΒΓΔ,

ισουται με την απεναντι εξωτερικη γωνια του.

Aποδειξη

� �

��

0εξ

εξ0

Ειναι

Γ + Γ = 180 (παραπληρωματικες)Α = Γ

Α + Γ = 180 (ΑΒΓΔ εγγεγραμμενο)

⇒


Αν σε ενα τετραπλευρο δυο απεναντι γωνιες του ειναι

παραπληρωματικες τοτε αυτο ειναι εγγραψιμο.

Aποδειξη

Φερνουμε τον κυκλο που περναει απ’τα Α, Β, Δ.

Καθε εγγεγραμμενη με κορυφη στο τοξο �ΒΓΔ ειναι πα-

ραπληρωματικη της Α (εγγεγραμμενης στο τοξο �ΒΑΔ ).

Μια τετοια ειναι η Γ που εχει την κορυφη της στο τοξο

�ΒΓΔ .

Αρα Α, Β, Γ, Δ ομοκυκλικα.


Αν σε ενα τετραπλευρο μια πλευρα του φαινεται απο

τις απεναντι κορυφες απο ισες γωνιες τοτε αυτο ειναι

εγγραψιμο.

Aποδειξη

ω

ω

Β

Γ

Α

Δ

Β

Γ

Α

Δ

Β

Γ

Α

Δ

ω ω

ω

φ


Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων που η χορδη ΓΔ φαι-

νεται απο γωνια φ ειναι δυο συμμετρικα ως προς τη χορ-

δη ΓΔ τοξα �ΓΔ .

Ομως τα Α,Β βρισκονται προς το ιδιο μερος της ΓΔ, αρα

στο ιδιο τοξο του κυκλου που χορδη του ειναι η ΓΔ.

Δηλαδη Α, Β, Γ, Δ ομοκυκλικα.


Αν σε τετραπλευρο μια γωνια του ισουται με την απε-

ναντι εξωτερικη γωνια τοτε αυτο ειναι εγγραψιμο.

Aποδειξη

� �

��

0εξ 0

εξ

Ειναι

Γ + Γ = 180Α + Γ = 180 ΑΒΓΔ εγγραψιμο.

Α = Γ

⇒ ⇒

Β

Γ

Α

Δ

ω ω

ω

ω

Γ

Β

Δ

Α

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ

01. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς – ε π ι κ ε ν τ ρ ε ς γ ω ν ι ε ς :

� � �

� �

Α

0

Δινεται τετραπλευρο ΑΒΓΔ εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ) .

Να αποδειξετε οτι :

ΒΔΓ + ΓΒΔ = Δ Β

ΔΑΒ +ΟΒΔ = 90

�

�

��

� ��

� � �

� �

� � ��

� �

� � � �

(1)ΔΟΒ0 0

επικεντρη

0 0

ΒΓΔΔΑΒ = (1)

2

ΒΓ ΓΔ ΒΓ + ΓΔ ΒΓΔΓΒΔ + ΒΔΓ = + = =

2 2 2 2

ΓΒΔ + ΒΔΓ = ΔΑΒ

Τ τριγωνο ΟΒΔ ειναι ισοσκελες (ΟΒ = ΟΔ = ρ) με

ΟΒΔ = ΟΔΒ.

Ετσι,

ΟΒΔ + ΟΔΒ + ΔΟΒ = 180 2ΟΒΔ + ΒΓΔ = 180

2ΟΒΔ + 2ΔΑΒ = 180 ΟΒΔ + ΔΑΒ = 90

ο

⇒

⇒ ⇒

⇒

Εστω ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ, ο περιγεγραμμενος κυκλος (Ο,ρ), Μ, Ν τα μεσα των το-

ξων ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα και Κ, Λ τα σημεια που τεμνει η ΜΝ τις πλευρες ΑΒ, ΑΓ αν-

τιστοιχα.

Δειξτε οτι οι ΑΒ και ΑΓ τριχοτομουν την ΜΝ.


Ευρεση σχεσης μεταξυ των γωνιων κυκλου .


Εγγεγραμμενες – επικεντρες – υπο χορδης και εφαπτομενης γωνιες .


▪ Το μετρο της επικεντρης γωνιας ειναι ισο με το μετρο του τοξου, στο οποιο

βαινει .

▪ Το μετρο της εγγεγραμμενης γωνιας ειναι ισο με το μισο του μετρου του τοξου,

στο οποιο βαινει (ιση με το μισο του μετρου της αντιστοιχης επικεντρης) .

▪ Οι εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν στο ιδιο η σε ισα τοξα του ιδιου η ισων

κυκλων ειναι ισες .

▪ Η υπο χορδης και εφαπτομενης γωνια ειναι ιση με την εγγεγραμμενη γωνια

που βαινει στο τοξο της χορδης .

Α

Ο

Δ

Β

Γ


� � � � � �

� � � �

μισα

ισων Αφου ΑΒ = ΑΓ τοτε και ΑΒ = ΑΓ ΑΜ = ΜΒ = ΓΝ = ΝΑ

Ετσι,

ΑΜΝ = ΜΑΒ = ΓΑΝ = ΑΝΜ που σημαινει οτι τα τριγωνα

ΜΑΚ και ΛΑΝ ειναι ισοσκελη και ΚΑ = ΚΜ = ΛΑ = ΛΝ (1)

ΚΑ = ΛΑ σημαινει οτι το τριγωνο ΑΚΛ ειναι ισο

⇒

� 0

πλευρο,

αφου Α = 60 .

Δηλαδη ΑΚ = ΑΛ = ΚΛ (2)

Απο (1), (2) προκυπτει : ΜΚ = ΚΛ = ΛΝ.

Δυο κυκλοι εφαπτονται εσωτερικα σε σημειο Α και δυο ευθειες ε, ζ που διερχονται

απ'το Α τεμνουν τον ενα κυκλο στα σημεια Β, Γ και τον αλλον στα σημεια Δ, Ε αντι -

στοιχα. Δειξτε οτι ΒΓ||ΔΕ .

�

� ��

Φ τη κοινη εφαπτομενη των δυο κυκλων (στο Α).

Ε σ ω τ ε ρ ι κ ο ς κ υ κ λ ο ς :

Α : υπο χορδης (ΑΓ) και εφαπτομενης Α = Β (1)

Β : εγγεγραμμενη που βαινει στο τοξο ΑΓ

Ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο

ερνουμε

⇒

�

� ��

� �

� �

ς κ υ κ λ ο ς :

Α : υπο χορδης (ΑΕ) και εφαπτομενης Α = Δ (2)

Δ : εγγεγραμμενη που βαινει στο τοξο ΑΕ

Απο (1),(2) : Β = Δ ΒΓ||ΔΕ

(αφου Β,Δ εντος - εκτος και επι τα αυτα μερη)

⇒

⇒

02. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς γ ω ν ι ε ς π ο υ β α ι ν ο υ ν σ ε η μ ι π ε ρ ι φ ε ρ ε ι α :

Α

Μ Ν

Β Γ

Κ Λ

Α

Γ

Β

Δ

Ε


Αποδειξη σχεσης μεταξυ τμηματων, σημειων, γωνιων κλπ .


Κυκλος και διαμετρος του .


▪ Η εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε ημιπεριφερεια ειναι ορθη .

▪ Οι πλευρες της πιο πανω γωνιας και η διαμετρος του κυκλου σχηματιζουν ορ-

θογωνιο τριγωνο, οποτε ισχυουν και ολες οι ιδιοτητες των ορθογωνιων τριγω-

νων :

▪ Διαμεσος στην υποτεινουσα, μια οξεια γωνια ιση με 300 κλπ .


Σε κυκλο (O,ρ) ΑΒ διαμετρος, ΑΓ χορδη και η διχοτομος της Β �Α Γ που τεμνει το κυ-

κλο στο Μ, την ΒΓ στο Δ και την εφαπτομενη Bx στο Ζ. Δειξτε οτι ΔΜ = ΜΖ .

� �

� �

� �

� �

� 0

ΓΑΔ = ΔΑΒ (ΑΔ διχοτομος)

ΓΑΔ = ΔΒΜ (εγγεγραμμενες σε ιδιο τοξο)

ΔΑΒ = ΖΒΜ (χορδης - εφαπτομενης)

ΔΒΜ = ΖΒΜ (1)

ΑΜΒ = 90 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο)

ΒΜ ΔΖ (2)

Απο (1),(2) :

Δ ΒΜ ισοσκελες, οποτε ΜΒ δια∆

⇒

⇒

⊥

μεσος και ΔΜ = ΜΖ.

Εστω Α,Β τα σημεια τομης δυο κυκλων. Αν Γ,Δ ειναι τα αντιδιαμετρικα σημεια του Α

στους δυο κυκλους, να αποδειξετε οτι τα σημεια Γ, Β, Δ ειναι συνευθειακα .

�

�

� �

� �

0

0

0

ΑΒ η κοινη χορδη των δυο κυκλων.

ΑΒΓ = 90 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο)

ΑΒΔ = 90 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο)

ΑΒΓ + ΑΒΔ = 180

Δηλαδη οι διαδοχικες εφεξης γωνιες ΑΒΓ, ΑΒΔ εχουν

αθροισμα ευθεια γωνια που σημ

αινει οτι τα σημεια

Γ, Β, Δ βρισκονται στην ιδια ευθεια.

Σε κυκλο (Κ,ρ) ΑΒ διαμετρος, ΒΓ χορδη ωστε � 0ΓΒΑ = 30 , απ’το μεσο Μ της ΚΒ

φερνουμε την ΔΕ⊥ΑΒ.

Δειξτε οτι : ΔΕ = ΒΓ .

�

�

� �

� �

0

0

0


ΑΒΓ = 90 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο)

ΑΒΔ = 90 (εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο)

ΑΒΓ + ΑΒΔ = 180

Δηλαδη οι διαδοχικες εφεξης γωνιες ΑΒΓ, ΑΒΔ εχουν

αθροισμα ευθεια γωνια που σημ

αινει οτι τα σημεια

Γ, Β, Δ βρισκονται στην ιδια ευθεια.

Μ

Α

Κ Λ

Γ Β Δ

Γ Ζ

Δ

Α Ο Β

Γ Δ

Λ

Α Κ Μ Β

Ε


03. Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν α τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ α :

Απ’τα σημεια τομης Α,Β δυο κυκλων φερουμε δυο ευθειες που τεμνουν τον ενα κυκλο

στα σημεια Γ, Γ’ και τον αλλο στα σημεια ∆, ∆’. Δειξτε οτι ΓΓ’|| ∆∆’.

� �

� �

� �

� �

0

0


ΑΒΔ' = ΑΓΓ' (ΑΒΓ'Γ εγγεγραμμενο)

ΑΒΔ'+ Δ = 180 (ΑΒΔ'Δ εγγεγραμμενο)

ΑΓΓ'+ Δ = 180

Ο ΑΓΓ',Δ ομως ειναι εντος και επι τα αυτα των ΓΓ'

και ΔΔ' που τεμνονται απ'την ΓΔ.

Αρα

ι

⇒

ΓΓ' ||ΔΔ'.

04. Α π ο δ ε ι ξ η ο τ ι τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο ε ι ν α ι ε γ γ ε γ ρ α ψ ι μ ο :

Σε οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ, εστω ΑΔ, ΒΕ τα υψη του και Η το ορθοκεντρο του.

Στο ΕΓ παιρνουμε τμημα ΕΖ = ΑΕ. Δειξτε οτι το τετραπλευρο ΒΗΖΓ ειναι εγγραψιμο

σε κυκλο

Γ

Δ

Γ’ Β Δ’


Αποδειξη σχεσης μεταξυ τμηματων, σημειων, γωνιων κλπ .


Εγγεγραμμενο τετραπλευρο .


Σε καθε εγγεγραμμενο τετραπλευρο :

▪ Οι απεναντι γωνιες του ειναι παραπληρωματικες .

▪ Καθε πλευρα του φαινεται απ’τις απεναντι κορυφες υπο ισες γωνιες .

▪ Καθε γωνια του ισουται με την απεναντι εξωτερικη .

Α


Αποδειξη οτι τετραπλευρο ειναι εγγεγραψιμο .


Σχεσεις τμηματων, γωνιων κλπ .


Προκειμενου να δειξουμε οτι ενα τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο, αρκει να ισχυει

ενα απ’τα παρακατω :

▪ Οι απεναντι γωνιες του ειναι παραπληρωματικες .

▪ Καθε πλευρα του φαινεται απ’τις απεναντι κορυφες υπο ισες γωνιες .

▪ Καθε γωνια του ισουται με την απεναντι εξωτερικη .


� � �

� � �

� �

� �

� �

0 0

0 0

Α ΔΓ (Δ = 90 ) : ΔΑΓ + Γ = 90ΔΑΓ = ΕΒΓ (1)

ΒΕΓ (Ε = 90 ) : ΕΒΓ + Γ = 90

Α Η Ζ ισοσκελες (ΗΕ διαμεσος και υψος) : ΔΑΓ = ΗΖΕ (2)

Απο (1), (2) : ΕΒΓ = ΗΖΕ που σημαινει οτι το τετραπλευρο

ΒΗΖΓ ειναι εγγραψιμο.

∆

∆

∆

⇒

Σε τριγωνο ΑΒΓ, εστω ΒΔ, ΓΕ τα υψη του και Η το ορθοκεντρο του. Αν Μ το μεσο της

πλευρας ΑΒ και Ν το μεσο του ΗΒ, δειξτε οτι το τετραπλευρο ΔΜΕΝ ειναι εγγραψιμο

σε κυκλο.

�

� �

�

� �

0

0

Στο τριγωνο ΑΔΒ, Α Δ Β = 90 και ΔΜ διαμεσος στην

υποτεινουσα.

Αρα ΜΔ = ΜΑ και Μ Δ Α = Α (1)

Στο τριγωνο ΒΕΗ, Β Ε Η = 90 και ΕΝ διαμεσος στην

υποτεινουσα.

Αρα ΕΝ = ΕΗ κα ι Ε Ν Η = Ε Η Ν (2)

� � � �

�

� �

� �

0 0

Το τετραπλευρο ΑΕΗΔ ειναι εγγραψιμο αφου

Α Ε Η = Α Δ Η = 90 (δηλαδη Α Ε Η + Α Δ Η = 180 ) και

Ε Η Ν εξωτερικη γωνια.

Αρα Ε Η Ν = Α (3)

Απο (1), (2), (3) : Μ Δ Α = Ε Ν Η , που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΔΜΕΝ ειναι εγγραψιμο.

Α

Δ

Μ

Η

Β Γ

Ε

Ν

Α

Ε

Η Ζ

Β Δ Γ

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ

1.

Να αποδεiξετε οτι τα υψη Α∆, ΒΕ και ΓΖ τριγωνου ΑΒΓ ειναι διχοτομοι των γωνιων

του τριγωνου ∆ΕΖ .

2.

Σε τριγωνο ΑΒΓ φερουμε το υψος του Α∆. Απο τυχαιο σημειο Μ του Α∆ φερουμε

τις αποστασεις του ΜΕ και ΜΖ απ’τις ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. Δειξτε οτι το ΒΕΖΓ

ειναι εγγραψιμο.

3.

∆ειξτε οτι οι διχοτομοι των γωνιων κυρτου τετραπλευρου, τεμνομενες ανα δυο σε

διαφορετικα σημεια σχηματιζουν εγγραψιμο τετραπλευρο.

4.

∆ινεται κυκλος διαμετρου ΑΒ. Φερουμε ΒΓ εφαπτομενο τμημα και απο το μεσο του ∆

φερουμε ∆Ν εφαπτομενη στον κυκλο. Να δειξετε οτι τα σημεια Α, Ν και Γ ειναι συν-

ευθειακα.

5.

▪ Αν οι ΑΒ, ΓΔ ειναι διαμετροι του ιδιου κυκλου, δειξτε οτι ΑΓ = ΒΔ .

▪ Ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με � 0Α = 80 ειναι εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ).

Αν η εφαπτομενη του κυκλου στο σημειο Γ τεμνει την προεκταση της ΑΒ στο σημειο

Δ, να βρειτε τις γωνιες � � �ΒΔΓ, ΑΟΓ και ΒΓΔ .

6.

∆ινεται κυκλος με κεντρο Ο και ακτινα ΟΑ. Με διαμετρο την ΟΑ γραφουμε νεο

κυκλο. Αν η χορδη ΑΒ του κυκλου με κεντρο Ο τεμνει τον αλλο κυκλο στο σημειο Μ,

τοτε :

▪ Να αποδειξετε οτι ΑΜ = ΜΒ .

▪ Αν Γ η τομη της ΟΜ με τον κυκλο Ο και ΜΟ = ΟΓ να υπολογισετε την γωνια �ΑΟΓ

7.

Δυο κυκλοι εφαπτονται εξωτερικα σε σημειο Α και δυο ευθειες ε, ζ που διερχονται

απ'το Α τεμνουν τον ενα κυκλο στα σημεια Β, Γ και τον αλλον στα σημεια Δ, Ε αντι -

στοιχα.

Δειξτε οτι ΒΓ||ΔΕ .


8.

Σε ημικυκλιο διαμετρου ΑΒ, θεωρουμε το μεσο του Μ. Εστω Λ τυχαιο σημειο του τοξου

�ΑΒ . Φερουμε την ΜΚ ⊥ ΑΛ. Να δειξετε οτι ΚΜ = ΚΛ .

9.

Να δειξετε οτι καθε εγγεγραμμενο παραλληλογραμμο ειναι ορθογωνιο, ενω καθε

εγγεγραμμενος ρομβος ειναι τετραγωνο.

10.

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( � 0Α=90 ). Φερνουμε τη διχοτομο της γωνιας �Α που

τεμνει την ΒΓ στο Δ. Απ’το Δ φερνουμε καθετη στη ΒΓ που τεμνει την ΑΓ στο Ε.

Δειξτε οτι:

▪ το ΑΒΔΕ ειναι εγγραψιμο

▪ ΔΒ = ΔΕ

11.

Εστω το τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ).

Φερνουμε το υψος ΑΔ, τη διχοτομο ΑΕ και τη διαμετρο ΑΟΜ.

Να δειξετε οτι � � �ΔΑΜ = Β - Γ .

12.

▪ Σε εγγραψιμο τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι � � 0 0εξΑ=120 και Β =80 . Να υπολογισετε ολες

τις γωνιες του τετραπλευρου.

▪ Δινεται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ και τα υψη του ΒΔ και ΓΕ. Να δειξετε οτι:

▪ το τετραπλευρο ΒΕΔΓ ειναι εγγραψιμο.

▪ � �ΒΔΕ = ΒΓΕ

13.

Εστω το τριγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο,ρ). Φερνουμε τις εφαπτομενες του

κυκλου στα σημεια Α και Β που τεμνονται στο Κ. Αν φερουμε απ’το Κ παραλληλη στη

ΒΓ που τεμνει το τοξο ΑΓ στο Λ, δειξτε οτι το τετραπλευρο ΑΚΒΛ ειναι εγγραψιμο.

14.

Σε τετραγωνο ΑΒΓΔ γραφουμε ημικυκλιο με διαμετρο ΑΔ και τοξο κυκλου (Α, ΑΔ)

μεσα στο τετραγωνο. Φερνουμε απ’το Α ευθεια ε που τεμνει το ημικυκλιο στο Ε και το

τοξο στο Ζ. Αν ΖΚ ⊥ ΔΓ, δειξτε οτι ΕΖ = ΖΚ.


15.

Σε τριγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμενο σε κυκλο (Κ, ρ) φερνουμε την εφαπτομενη Ax και ευ-

θεια ε|| Ax, που τεμνει την ΑΓ στο Δ και την ΑΒ στο Ε.

Να δειξετε οτι το τετραπλευρο ΒΓΔΕ ειναι εγγραψιμο.

16.

Θεωρουμε κυκλο (Ο, ρ), την εφαπτομενη ε σ’ενα σημειο Α και Ρ της ε.

Φερουμε απο το Ρ μια ευθεια που τεμνει τον κυκλο στα σημεια Β και Γ.

Αν η διχοτομος της γωνιας �ΒΑΓ τεμνει τη χορδη ΒΓ στο ∆, να αποδειξετε οτι ΡΑ = Ρ∆ .

17.

Απο εξωτερικο σημειο Π ενος κυκλου (Ο,ρ), φερνουμε τα εφαπτομενα τμηματα ΡΑ

και ΡΒ. Αν Μ ειναι ενα εσωτερικο σημειο του ευθυγραμμου τμηματος ΟΡ, να δειξετε

οτι � �Μ ΑΡ = ΜΒΡ .

18.

Εστω Α, Β, Γ ειναι τρια σημεια σε κυκλο, Μ ειναι το μεσο του τοξου ΒΓ και ΜΔ ειναι

χορδη του κυκλου παραλληλη στην ΑΓ.

Να δειξετε οτι ΑΒ = ΔΜ.

19.

Απο τυχαιο σημειο Ρ του περιγγεγραμμενου σε τριγωνο κυκλου φερνουμε τις καθετες

ΡΚ, ΡΛ, ΡΝ στις πλευρες του ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντιστοιχα. Να δειχθει οτι τα σημεια Κ, Λ, Μ

βρισκονται σε ευθεια γραμμη . (ευθεια Simson)

20.

Δειξτε οτι η εφαπτομενη ενος κυκλου στο μεσο Μ ενος τοξου χορδης ΑΒ, ειναι παραλ-

ληλη στην ΑΒ.

21.

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και το υψος του ΓΕ. Αν ΑΔ ειναι η διαμετρος του περιγεγραμμε-

νου κυκλου, να δειξετε οτι ΒΔ||ΓΕ.

22.

Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ). Φερνουμε τις ΓΖ ⊥ ΒΔ και

ΒΕ ⊥ ΑΓ. Δειξτε οτι ΖΕ||ΑΔ.


23.

Ενας κυκλος διερχεται απ’τις κορυφες Β και Γ τριγωνου ΑΒΓ και τεμνει τις πλευρες

ΑΒ και ΑΓ στα σημεια Δ και Ε αντιστοιχα.

Να αποδειξετε οτι η ΔΕ ειναι παραλληλη στην εφαπτομενη του περιγεγραμμενου

κυκλου του τριγωνου στο σημειο Α.

24.

Το σημειο Μ ειναι το μεσο ενος κυρτογωνιου τοξου ΑΒ και Γ, Δ ειναι δυο σημεια του μη

κυρτογωνιου τοξου ΑΒ κυκλου (Ο, ρ). Οι χορδες ΜΓ και ΜΔ τεμνουν την ΑΒ στα ση-

μεια Κ και Λ. Να δειχτει οτι το τετραπλευρο ΓΚΛΔ ειναι εγγραψιμο.

25.

∆ινεται τριγωνο ΑΒΓ ορθογωνιο στο Α. Με διαμετρο την ΑΒ γραφουμε κυκλο και

εστω ∆ το σημειο τομης του με την υποτεινουσα. Η εφαπτομενη του κυκλου στο ∆

τεμνει την ΑΓ στο Ε. Να αποδειχθει οτι ΕΓ = Ε∆.

26.

Δυο κυκλοι (Κ, ρ), (Λ, ρ) εφαπτονται εξωτερικα στο Α. Φερνουμε μια χορδη ΑΒ του

κυκλου (Κ, ρ) και τη χορδη ΑΓ⊥ΑΒ του κυκλου (Λ, ρ).

Δειξτε οτι το ΚΛΓΒ ειναι παραλληλογραμμο.

27.

Αν ΑΒ, ΓΔ δυο καθετες χορδες κυκλου που τεμνονται στο Κ, να δειξετε οτι η διαμεσος

ΚΜ του τριγωνου ΚΒΓ τεμνει την ΑΔ καθετα.

28.

Εστω διαμετρος ΑΒ ενος κυκλου (Ο, ρ) και μια χορδη του ΑΓ.

Φερνουμε απ’ το κεντρο Ο παραλληλη προς την ΑΓ και την εφαπτομενη στο Γ που

τεμνονται στο σημειο Μ.

Να αποδειξετε οτι:

▪ η ΜΟ διχοτομει τη γωνια �ΓΟΒ

▪ η ευθεια ΜΒ εφαπτεται στον κυκλο στο σημειο Β.

29.

∆ινονται ΒΑ και ΒΓ δυο χορδες κυκλου και Κ, Λ τα μεσα τους. Η διχοτομος της γω-

νιας Β τεμνει τον κυκλο στο σημειο Μ. Να δειξετε οτι η εφαπτομενη ε στο Μ ειναι πα-

ραλληλη με την ΚΛ.

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ


1.

Στις προεκτασεις των ισων πλευρων ΒΑ και ΓΑ ισοσκελους τριγωνου ΑΒΓ θεωρου-

με ισα τμηματα ΑΔ, ΑΕ αντιστοιχα. Αν Μ ειναι το μεσο της ΒΓ, να δειχτει οτι το τρι-

γωνο ΜΕΔ ειναι ισοσκελες .

� �

Τα τριγωνα ΜΕΓ και ΜΔΒ ειναι ισα γιατι :

ΒΜ = ΜΓ (υποθεση)

ΔΒ = ΕΓ (αθροισμα ισων τμηματων)

Β = Γ(τριγ.ΑΒΓ ισοσκελες)


δηλαδη ΜΔ = ΜΕ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΜΔΕ εινα

ι ισοσκελες.

ιιι ιιι

ι ι

Ε Δ

Α

v v

Β Μ Γ

2.

Στις πλευρες Ox, Oy γωνιας �xOy θεωρουμε σημεια Α και Β ωστε ΟΑ = ΟΒ.

▪ Αν Μ σημειο της διχοτομου �xOy , δειξτε οτι ΜΑ = ΜΒ .

▪ Αν οι ΑΜ, ΜΒ τεμνουν τις Ox, Oy στα Α’, Β’ αντιστοιχα, δειξτε οτι ΑΑ’ = ΒΒ’.

� �

� �

1 2

Τα τριγωνα OAΜ και ΜOΒ ειναι ισα γιατι :

OM = κοινη

ΟΑ = ΟΒ (υποθεση)

Ο = Ο (ΟΜ διχοτομος)

Οποτε... ισα, δηλαδη

ΜΑ = ΜΒ (1) και ΟΒΜ = ΟΑΜ

Τα τριγωνα Β'AΜ και ΒΑ'Μ ειναι ισα γιατι :

ΜΑ = ΜΒ

� �

� �

(1)

ΑΜΒ' = ΒΜΑ' (κατακορυφη)

ΜΑΒ' = ΜΒΑ' (παραπληρωματικες ισων)

Οποτε ... ισα,...

ΜΑ' = ΜΒ' (2)

Απο (1) + (2) :

ΜΑ + ΜΑ' = ΜΒ + ΜΒ' ΑΑ' = ΒΒ'

⇒

x

B’

A

M

O B A’ y


3.

Στις προεκτασεις των πλευρων ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ παιρνουμε

τμηματα ΒΔ = ΓΕ = ΑΖ.

Δειξτε οτι το τριγωνο ΔΕΖ ειναι ισοπλευρο.

� �

Τα τριγωνα ΕΒΔ και ΓΖΕ ειναι ισα γιατι :

ΒΔ = ΓΕ (υποθεση)

ΒΕ = ΓΖ (αθροισμα ισων)

ΔΒΕ = ΕΓΖ (παραπληρωματα ισων)

Οποτε ... ισα ... δηλαδη ΔΕ = ΖΕ (1)

Τα τριγωνα ΕΒΔ και ΑΔΖ ειναι ισα για

� �

τι :

ΒΔ = ΑΖ (υποθεση)

ΒΕ = ΑΔ (αθροισμα ισων)

ΔΒΕ = ΖΑΔ (παραπληρωματα ισων)

Οποτε ... ισα ... δηλαδη ΔΕ = ΔΖ (2)

Απο (1) και (2) : ΔΕ = ΖΕ = ΔΖ.

Αρα το τριγωνο ΔΕΖ ειναι ισοπλευρο.

Ζ

Α

Β

Γ

Δ Ε

4.

Αν Κ τυχαιο σημειο της πλευρας ΒΓ τριγ. ΑΒΓ,να δειξετε οτι : τ - α < ΑΚ < τ.

(+)

Απο τριγωνικη ανισοτητα στα τριγωνα ΑΒΚ, ΑΓΚ προκυπτει :

ΑΒ < ΒΚ + ΑΚ ΑΒ + ΑΓ < + 2ΑΚ

ΑΓ < ΓΚ + ΑΚ

γ + β < + 2ΑΚ α + γ + β < 2α + 2ΑΚ 2τ < 2α + 2ΑΚ

τ - α < ΑΚ (1)

Απο τριγωνικη ανισοτητα στα τριγων

ΒΚ +

α ΑΒΚ

Γ

α

,

Κ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

(+)

ΑΓΚ

προκυπτει :

ΑΚ < ΒΚ + ΑΒ 2ΑΚ < + ΑΒ + ΑΓ

ΑΚ < ΓΚ + ΑΓ

2ΑΚ < + γ + β 2ΑΚ < 2τ ΑΚ < τ (2)

Απο (1),

ΒΚ + ΓΚ

α

(2) : τ - α < ΑΚ < τ

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Α

Β Κ Γ


5.

�

�

0Στην προεκταση της υποτεινουσας ορθογωνιου τριγωνου ΑΒΓ ( Α = 90 ) παιρνουμε

τμημα ΓΚ = γ.

Φερνουμε ημιευθεια Κx ΒΚ προς το μερος του Α και παιρνουμε ΚΛ = β.

Να δειξετε οτι η ΒΛ ειναι διχοτομος της Β.

⊥

� �

� �

�

Τ τριγωνα ΑΒΓ και ΓΚΛ ειναι ισα γιατι :

Ορθογωνια

ΑΒ = ΚΓ = γ αρα : ΚΓΛ = Β (1) και ΑΓ = ΓΛ (2)

ΑΓ = ΚΛ = β

Απ'την (1) προκυπτει οτι ΑΒ||ΓΛ

(ΚΓΛ, Β ειναι εντος - εκτος και επι τα αυτα μερη),

οποτε ΑΒΛ =

α

�

� �

� � �

ΓΛΒ (3), εντος εναλλαξ

(ΑΒ||ΓΛ που τεμνονται απο ΒΛ).

Απ'την (2) προκυπτει ΓΒΛ = ΒΛΓ (4)

(τριγ. ΒΓΛ ισοσκελες).

Απο (3), (4) : ΑΒΛ = ΓΒΛ που σημαινει οτι ΒΛ διχοτομος της Β .

Κ

β γ

Λ Γ

β

Α γ Β

6.

Απo τα ακρα ευθ. τμηματος ΑΒ φερουμε στο ιδιο ημιεπιπεδο δυο παραλληλες ημι-

ευθειες Αx και Βy. Παιρνουμε τυχαιο σημειο Γ του ΑΒ και στις Αx, Βy τα σημεια ∆, Ε

αντιστοιχα, ωστε Α∆ = ΑΓ και ΒΕ = ΒΓ.

Να αποδειξετε οτι ∆ΓˆΕ = 90 0.

� �

� �

� �

� �

� �

1

2

1 2

4

3

Τριγωνο ΑΔΓ ισοσκελες, αρα Δ = Γ

ομως Δ = Γ

(εντος εναλλαξ Αx||Γ που τεμνει η ΑΒ),

οποτε Γ = Γ (1)

Τριγωνο ΒΔΕ ισοσκελες, αρα Ε = Γ

ομως Ε = Γ

(εντος εναλλαξ Βy||Γ που τεμνει η ΑΒ)

z

z

� �

� � � � � �

� � �

3 4

(1,2)0 0

1 2 3 4 2 3

0 02 3

,

οποτε Γ = Γ (2)

Ειναι : Γ + Γ + Γ + Γ = 180 2(Γ + Γ ) = 180

Γ + Γ = 90 , οποτε και ΔΓΕ = 90 .

⇒ ⇒

x z y

Δ

Ε

1 4

Α Γ Β

2 3


7.

Δειξτε οτι τα μεσα των πλευρων μη κυρτου τετραπλευρου ειναι κορυφες παραλλη-

λογραμμου.

Φερνω το ΑΓ.

Στο τριγωνο ΑΒΓ : Κ, Λ μεσα των ΑΒ, ΒΓ,

ΑΓ αρα ΚΛ =|| (1)

2 Στο τριγωνο ΑΔΓ : Μ, Ν μεσα των ΓΔ, ΔΑ,

Γ αρα ΜΝ =|| (2)

2Απο (1),(2) : ΚΛ =|| ΜΝ

που σημαινει ΚΛΜΝ παραλληλογραμμο.

Α Κ Β

Ν

Δ

Λ

Μ

Γ

8.

Απο τις κορυφες Α και Γ παραλληλογραμμου ΑΒΓ∆ φερνουμε καθετες προς τη

διαγωνιο Β∆, τις ΑΚ και ΓΛ αντιστοιχα. Αν Μ, Ν τα μεσα των ΑΒ, Γ∆ αντιστοιχα

να δειξετε οτι τα Κ, Λ, Μ, Ν ειναι κορυφες παραλληλογραμμου.

Το τετραπλευρο ΑΜΓΝ ειναι παραλληλογραμμο, αφου

ΑΜ =||ΓΝ (μισα απεναντι πλευρων ΑΒΓΔ).

Αρα εχει διαγωνιες ΑΓ, ΜΝ που διχοτομουνται στο Ο.

Το τετραπλευρο ΑΚΓΛ ειναι παραλληλογραμμο, αφου

� �

ΑΚ =||ΓΛ

ισα αφου Α Δ Β = ΒΓΔ :

ΑΒ = ΓΔ,

ΑΔ = ΒΓ,

Α = Γ

παραλληλα αφου ειναι καθετα στην ιδια ευθεια ΒΔ .

Αρα εχει διαγωνιες ΑΓ, ΚΛ που διχοτομουνται στο Ο.

Ετσι το ΜΚ

∆ ∆

ΝΛ ειναι παραλληλογραμμο αφου οι διαγωνιες του διχοτομουνται.

Α Β

Κ

Μ Ν

Λ

Δ Γ

Ο


9.

Εστω Δ το μεσο της διαμεσου ΑΜ τριγωνου ΑΒΓ. Αν η ΒΔ τεμνει την ΑΓ στο Ε να δει -

ξετε οτι ΕΓ = 2ΑΕ.

Φερνουμε ΜΖ||ΒΕ.

Στο τριγωνο ΒΕΓ :

Μ μεσο ΒΓ και ΜΖ||ΒΕ.

Αρα Ζ μεσο της ΕΓ και ΕΖ = ΖΓ (1).

Στο τριγωνο ΑΜΖ :

Δ μεσο ΑΜ και ΜΖ||ΔΕ.

Αρα Ε μεσο της ΑΖ και ΑΕ = ΕΖ (2).

Απο (1) + (2) :

ΑΕ + ΕΖ =

(1)

ΕΖ + ΖΓ ΑΕ + ΑΕ = ΕΓ 2ΑΕ = ΕΓ⇒ ⇒

Α

Ε

Δ

Β Μ Γ

Ζ

10.

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( � 0Α = 90 ) με υψος ΑΔ και � 0Γ = 15 να δειξετε οτι ισχυει

ΒΓ = 4ΑΔ.

� � � � �

�

ΑΜ = ΜΓ0

0

(1)

Φερνουμε την διαμεσο ΑΜ.

ΒΓΕιναι γνωστο οτι ΑΜ = ΜΓ = ΜΒ και ΑΜ = (1).

2Στο τριγωνο ΑΜΓ :

ΑΜΔ = ΜΑΓ + Γ ΑΜΔ = 2Γ = 30 .

Γ το ορθογωνιο τριγωνο ΜΑΔ η ΑΜΔ = 30

οποτε

ΒΓΑΜ ΒΓ2ΑΔ = = = ΒΓ = 4ΑΔ

2 2 4

ια

⇒

⇒

Β

Μ

Α Γ

150

Δ


11.

Σε τριγωνο ΑΒΓ εχουμε υψος ΑΔ και Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ

αντιστοιχα.

Να δειχτει οτι το ΚΛΜΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

� 0

Ειναι

Στο τριγωνο ΑΒΓ (Μ,Λ μεσα των ΑΒ, ΑΓ) :

ΜΛ ΒΓ που σημαινει οτι ΚΛΜΔ τραπεζιο.

Στο τριγωνο ΑΒΓ (Κ,Λ μεσα των ΒΓ, ΑΓ) :

ΑΒ ΚΛ = (1)

2

Στο τριγωνο ΑΒΔ : Δ = 90 και ΔΜ διαμεσος :

ΑΒ ΔΜ = (

2

�

2)

Απο τις (1) και (2) ΚΛ = ΔΜ που σημαινει οτι

το τραπεζιο ΚΛΜΔ ειναι ισοσκελες.

Α

Μ Λ

Β Δ Κ Γ

12.

Αν Α’,Β’,Γ’,∆’ και Κ’ ειναι αντιστοιχως οι προβολες των κορυφων και του κεντρου

Κ παραλληλογραμμου ΑΒΓ∆ σε μια ευθεια ε που αφηνει ολες τις κορυφες προς

το ιδιο μερος της, να αποδειξετε οτι:

ΑΑ΄+ ΒΒ΄+ ΓΓ΄+ ∆∆΄ = 4ΚΚ΄

Ειναι

Η ΚΚ' ειναι διαμεσος του τραπεζιου ΒΒ'Δ'Δ και

ΒΒ' + ΔΔ' ΚΚ' = (1)

2

Η ΚΚ' ειναι διαμεσος του τραπεζιου AA'Γ'Γ και

ΑΑ' + ΓΓ' ΚΚ' = (2)

2

Απο (1) + (2) :

ΑΑ' + ΓΓ' ΒΒ' + ΔΔ' ΑΑ' + ΒΒ' + ΓΓ' + ΔΔ'2ΚΚ' = + 2ΚΚ' =

2 2 2⇒ ⇒

4ΚΚ' = ΑΑ' + ΒΒ' + ΓΓ' + ΔΔ'.

Α Β

Δ’

Ο’ Γ’ Β’

Δ Γ

Α’

Ο


13.

� .0

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΔΓ) και Μ μεσο της πλευρας ΒΓ.

Αν ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ να δειξετε οτι ΑΜΔ = 90

� 0

Φερνουμε τη διαμεσο ΜΝ.

ΑΒ + ΓΔ ΑΔ Ειναι ΜΝ = =

2 2 Στο τριγωνο ΑΜΔ, η ΜΝ ειναι διαμεσος στην

ΑΔ πλευρα ΑΔ και ισχυει ΜΝ = .

2

Αρα το τριγωνο ΑΜΔ ορθογωνιο με ΑΜΔ = 90 .ειναι

Α Β

Ν Μ

Δ Γ

14.

Eστω τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) με ΑΒ = ΒΓ + ΑΔ. Να δειξετε οτι οι διχοτομοι των

γωνιων � �Δ και Γ τεμνονται σε σημειο που βρισκεται πανω στην ΑΒ.

�

�

� �

� �

Εστω οτι η διχοτομος της γωνιας Δ τεμνει τη ΑΒ στο Ε.

Θα δειξουμε οτι η ΓΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Γ.

ΑΔΕ = ΓΔΕ (ΔΕ διχοτομος)

ΓΔΕ = ΔΕΑ (εντος εναλλαξ, ΔΓ||ΑΒ)

Α ΕΔ ειναι ισοσκελες, αρα ΑΕ = ΑΔ (1) ∆

⇒

� �

� �

� �

(1)

Απ'την υποθεση :

ΑΒ = ΒΓ + ΑΔ ΑΒ = ΒΓ + ΑΕ ΑΒ - ΑΕ = ΒΓ ΕΒ = ΒΓ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΕΒΓ ειναι ισοσκελες.

Ετσι

ΒΓΕ = ΓΕΒ (ΓΕ Β ειναι ισοσκελες)

ΔΓΕ = ΓΕΒ (εντος εναλλαξ, ΔΓ||ΑΒ)

ΒΓΕ = ΔΓΕ, αρα η ΓΕ διχοτομος

∆

⇒ ⇒ ⇒

⇒

� της Γ.

Δ Γ

Α Ε Β

τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου

Education

Transcript of τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου