Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών...

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ο ΑΛΙ ΜΠΑΜΠΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΑΡΑΝΤΑ ΚΛΕΦΤΕΣ………………. 0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μήταλας Γ , Δρούγας Α. Χάδος Χ. Γερμανός Ξ. Πάτσης Σ.

Ο ΤΣΕΛΕΜΕΝΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ



Το χόμπι μου είναι η μαγειρική και ενίοτε παθαίνω εκρήξεις φαιδρότητας και κυνισμού.

Ηρεμήστε, δεν προτίθεμαι να παραθέσω συνταγές μαγειρικής, πλην όμως, τα τελευταία

χρόνια έχω πολλές ενστάσεις για τον τρόπο που εξετάζονται τα μαθηματικά στις

πανελλαδικές εξετάσεις. Γιατί να το κρύψουμε άλλωστε, η επιτροπή θεμάτων τα

τελευταία χρόνια πίνει νερό στο όνομα του Αλ Κβαρίσμι και έχει αγιοποιήσει την

μεθοδολογία.Διάβαζα,πρόσφατα σε γνωστό μέσο κοινωνικής δικτύωσης ότι

«μεθοδολογία στα μαθηματικά είναι ένα τέχνασμα που έγινε viral”,ένας on line

εξωραϊσμός του γνωστού αφορισμού του Τζωρτζ Πόλυα. Παρόλα αυτά, το παρόν είναι

απόλυτα εναρμονισμένο στην λογική ενός τσελεμεντέ τεχνικών επίλυσης ασκήσεων. Το

εγχειρίδιο του επιτήδειου στα μαθηματικά θετικού προσανατολισμού.Πέρα και μακριά

από την μαθηματική σκέψη στις παρακάτω σελίδες θα βρείτε μια σειρά από

τυφλοσούρτες για να λύνετε τα θέματα των πανελληνίων. Το παρόν συμπληρώνει το

σχολικό βιβλίο. Που και που, θα βρίσκετε αγαπημένες συνταγές!!

Σ.Ο.Κ.Ο.Ν

Τυρόπιτα (χωρίς φύλλο) βιολογική

Υλικά

2 κεσεδάκια γιαούρτι

1 συσκευασία 250γρ Μαργαρίνη µε ελαιολάδο

6 αυγά

½ κιλό Βιολογική Φέτα

½ κιλό Γραβιέρα Ώριµη ή Γραβιέρα Μακράς Ωρίµανσης

1 φλιτζάνι του τσαγιού αλεύρι που φουσκώνει µόνο του

λίγο πιπέρι και λίγη ρίγανη προαιρετικά

Εκτέλεση

1. Σ’ ένα µπολ, ανακατεύετε όλα µαζί τα υλικά για να µοιραστούν οµοιόµορφα

και να γίνουν ένα οµοιογενές µείγµα.

2. Μεταφέρετε το µείγµα και το στρώνετε σε αντικολλητικό ταψί

3. Ψήνετε την τυρόπιτα σε προθερµασµένο φούρνο στους 180 για 40-45

λεπτά ή µέχρι να ροδίσει η επιφάνειά της .



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1)Μαθηματικα Θετικού προσανατολισμού, Ανδρεαδάκης,Κατσαργύρης,Μέτης.Ο.Ε.Δ.Β

2) Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μπάρλας Α., Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική

3)Μαθηματικα Γ Λυκείου, Κατσαρός Δ. ,Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική

4)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Στεργίου –Νάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα

5)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μαυρίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη

6)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σκομπρής Γ., Εκδόσεις Σαββάλα

7)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Μιχαηλίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη

8)Αναλυση Μαθηματικά, Αχτσαλωτίδης Χ. ,Εκδόσεις Μεταίχμιο

9)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Παπαδάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα

10)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Ξένος. Θ. ,Εκδόσεις Ζήτη

11)Μαθηματικα-Αναλυση Μαντάς Γ. ,Εκδόσεις Μαντά

12)Μαθηματικα-Αναλυση Ευρυπιώτης Σ.Γ. ,Εκδόσεις Πατάκη

13)Μαθηματικα-Αναλυση Μπαιλάκης Σ.Γ., Εκδόσεις Σαββάλα

14) Ανάλυση 1,2 ,Γκατζούλη Κ., Εκδόσεις Γκατζούλη

15) 1000+1 ασκήσεις στις παραγώγους, Ξηνταβελώνης Π., Εκδόσεις Λιβάνη

16)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Β &Ρ Σπανδάγου., Εκδόσεις Αίθρα

17)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Αρχείο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν

18)ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

19)Συναρτήσεις, Ποστάντζης Β.

20)Βιβλιο του διδάσκοντος. Για το μάθημα ανάλυση της Γ λυκείου,Γ.Παντελίδη, Εκδόσεις Ζήτη

21)Θεωρημα μέσης τιμής ,Γιαννιτσιώτης-Καραγιώργος, Εκδόσεις Κωστόγιαννος

22)Συναρτήσεις Θ.Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Τυποεκδοτική

23)Αναλυση,Ντζιωρας.Η, Εκδόσεις Πατάκη

24)Αναλυση,Μπαραλός Γ. Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου

25) Απειροστικός λογισμός, Spivak M. , Παν. Εκδόσεις Κρήτης

26)Μαθηματική ανάλυση Ρασσιάς Μ. ,Εκδόσεις Σαββάλα

24)Problems in Calculus ,Ι.Μ.Maron,Mir Publisher

25)Θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης,Πανουσάκης Ν. ,Εκδοτικός όμιλος Συγγραφέων

καθηγητών

26) Το Φ

27) Η διδασκαλία του Απειροστικού λογισμού, μέσω αντιπαραδειγμάτων, Πλάταρος Γιάννης

27)Οδηγος επανάληψης στα μαθηματικά Γ λυκείου, Χ.Πατήλας, εκδόσεις Κωστόγιαννος

28)Γενικα θέματα μαθηματικών, Βλαχος. Β., Κουτσουκος Π. ,Ξηροκωστας Π. ,Πλατης Χ.

29)Problem book: Algebra and Elementary functions, Kutepov A.,Rubanov, MIR Publishers

30) Θέματα για πανελλήνιες εξετάσεις πρώτης δέσμης,Σάκης Λιπορδέζης

31)The theory of functions of a real variable, R.L.Jeffery

32)A Problem book in mathematical analysis,G.N Berman

33) Bad problems in Calculus, A.G .Drolkun

34) Μαθηματικά 1,2,3 Γ.Δεμερτζής,Δ.Γουβίτσας Εκδόσεις Όλυμπος

Τα σχήματα επιμελήθηκε ο Ντόναλντ Ντάκ ενώ τους γραμμοκώδικες ( qr-code) δημιούργησε ο

Οβελίξ σε συνεργασία με τον Κακοφωνίξ.



49 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

1. Απλός τύπος

Αν το( ) ( )

0

0

x x0

i). υπάρχειf x f x

lim καιx x

ii). είναι πραγματικός αριθμός→

−

−

, τότε η f λέγεται παραγωγίσιμη στο 0x

και ( )( ) ( )

0

00

x x0

f x f xf x lim

x x→

−′ =

−, επίσης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 00

x x h 00

f x f x f x h f xlim f x lim

x x h→ →

− + −′= =

−.

Για να υπολογίσω την παράγωγο ( )0f x′ :

1. Βρίσκω το ( )0f x .

2. Βρίσκω το όριο( ) ( )

0

0

x x0

f x f xlim λ

x x→

−=

−.

3. Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε ( )0f x λ′ = .

Παράδειγμα1: Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη η ( )f x x συν2x= + , στη θέση 0x 0= ( στην τάξη)

Παρατήρηση:

1. Αντί αυτού του ορισμού μπορώ να χρησιμοποιήσω τον:( ) ( )0 0

h 0

f x h f xlim

h→

+ −, υπολογίζοντας

τα: ( ) ( )0 0f x h , f x+ .

2. Προσοχή: Πρώτα υπολογίζω το( ) ( )

0

0

x x0

f x f xlim

x x→

−

− ή το

( ) ( )0 0

h 0

f x h f xlim

h→

+ −, και αν είναι

πραγματικός αριθμός τότε το «βαφτίζω» ( )0f x′ .

ΣΧΟΛΙΟ: Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε το σημείο ( )( )0 0x ,f x λέγεται ομαλό σημείο,

δηλαδή η fC δέχεται εφαπτομένη στο σημείο αυτό .

Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε το σημείο ( )( )0 0x ,f x λέγεται γωνιακό σημείο και δεν

δέχεται εφαπτομένη στο σημείο αυτό .

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ

49-1. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η συνάρτηση ( ) 20f x 3x x , x 3= − = .

Λύση

Είναι ( )f 3 9 9 0= − = . Πεδίο ορισμού [ ]0,3Α = .

( ) ( ) ( )( )

2

2x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

x 3 xf x f 3 3x x x 3 x x 3 x xlim lim lim lim lim lim

x 3 x 3 x 3 3 x 3 x3 x− − − − −→ → → → → →

−− − ⋅ − ⋅ − −= = = = = = −∞

− − − − − −− −.

Δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 3= .

49-2. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0= η συνάρτηση f με:

( )ν 1

x ημ x 0, ν 1f x x

0 x 0

≠ >= =

.

Λύση

Είναι ( )f 0 0= . ( ) ( )

ν

ν 1

x 0 x 0 x 0

1x ημ 0f x f 0 1xlim lim lim x ημ

x 0 x 0 x−

→ → →

−−= =

− −.

Είναι ν 1

x 0

1lim x 0 και 1 ημ 1

x−

→= − ≤ ≤ , έτσι έχουμε όριο 0 (μηδενική επί φραγμένη).

Συνεπώς η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0= με παράγωγό αριθμό ( )f 0 0′ = .



49-2b.(Δ δέσμη 1991)

Έστω η f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίζεται στο0

x ∈∆ .Να αποδείξετε

ότι 0

0 00 0 0

0

( ) ( )lim ( ) '( )x x

xf x x f xf x x f x

x x→

−= −

−

Λύση

Έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( )

x x x x

x x x x

x x x x

xf x x f x xf x xf x xf x x f x

x x x x

xf x x f x xf x xf x f x x x x f x f x

x x x x

f x x x x f x f x x f x f xf x

x x x x x

→ →

→ →

→ →

− + − −= =

− −

− + − − + −= = =

− −

− − −+ = +

− − 0x

=

−

( ) ( )

( )0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim

( ) ( )lim ( ) lim lim

x x x x x x

x x x x x x

x f x f x x f x f xf x f x

x x x x

f x f xf x x

x x

→ → →

→ → →

− −= + = + =

− − −

= + ⋅−

Όμως η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x άρα θα είναι και συνεχής στο 0

x ,κατά συνέπεια

00

lim ( ) ( )x x

f x f x→

= οπότε

( )0 0 0

0

0 0 0

0

( ) ( )lim ( ) lim lim ( ) '( )x x x x x x

f x f xf x x f x x f x

x x→ → →

−+ ⋅ = − ⋅

−

Είναι κρίσιμο να παρατηρήσουμε ότι διασπάσαμε σε επιμέρους όρια διότι γνωρίζουμε ότι

υπάρχουν.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

49-3. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x , όταν:

i) 1)( 2 += xxf , 00 =x ii) 2

1)(

xxf = , 10 =x iii) xxf 2

ηµ)( = , 00 =x .

49-4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

i) f(x)=3x+1 στο x=3

ii) 2g(x)=x +5 στο x=-2

iii) 2σ(x)=x +2x στο x=4

49-5. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο 0x , όταν:

α. ( ) 2f x =x -x ,στο σημείο 0x 2= .

β. ( )5

f x =x

,στο σημείο 0x 1= .

49-6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) 3f x =x στο 0x 8= και στο 0x 0= .

49-7. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( )f x = x στο 0x 4= .

49-8. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε

i) )()()(

lim 000

0xf

h

xfhxfh

′−=−−

→

ii) )(2)()(

lim 000

0xf

h

hxfhxfh

′=−−+

→.



49-9. Αν μία συνάρτηση :f →ℝ ℝ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αx =0 , να αποδείξετε ότι

i) )()()()(

lim αfaαfαx

αfαxxfαx

′+=−

−→

ii) ))()(()()(

lim αfαfeαx

αfexfe ααx

αx′+=

−

−→

.

49-10. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει 32332)1( hhhhf +++=+ , για κάθε h∈ℝ , να αποδείξετε ότι:

i) 2)1( =f ii) 3)1( =′f .

2. Πολλαπλός Τύπος ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η f είναι συνεχής στο 0x .

Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν η f είναι συνεχής στο 0x , τότε η f δεν είναι αναγκαστικά

παραγωγίσιμη στο 0x .

π.χ. η ( )f x x= είναι συνεχής στο ℝℝℝℝ , αλλά όχι παραγωγίσιμη.

Ισχύει το αντιθετοαντίστροφο του θεωρήματος

Αν η f δεν είναι συνεχής στο 0x , τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x

Συνάρτηση Weierstrass,ένα εξωτικό φρούτο.

Υπάρχει μια συνάρτηση, η συνάρτηση Weierstrass που είναι συνεχής σε όλο το ℝℝℝℝ αλλά δεν είναι

παραγωγίσιμη σε κανένα σημείο του.

Ο Weirstrass ,γίγαντας της μαθηματικής Ανάλυσης ήταν ίσως και ο μοναδικός μαθηματικός

τέτοιου διαμετρήματος που υπήρξε και υποδειγματικός δάσκαλος.

(http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/05/blog-post_29.html)

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΣΕ ΠΟΛΥΚΛΑΔΕΣ

• Ελέγχω αν είναι η f συνεχής στο 0x που «σπάει» ο τύπος.

• Αν είναι τότε θα υπολογίζω τα όρια της παραγώγου( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

x x x x0 0

f x f x f x f xlim , lim

x x x x− +→ →

− −

− −

(πλευρικές παράγωγοι).

• Αν είναι ίσα τότε ( )0f x′ είναι αυτός ο αριθμός.

• Αν είναι άνισα τότε f όχι παραγωγίσιμη στο 0x .



Παράδειγμα 2: Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x 1= η συνάρτηση

( ) + − ≤

= >

2

2

x 2x 2, x 1f x

2x , x 1.


( )2

2

x 3x, x 2f x

x 5x 4, x 2

− ≤=

− + >.


( ) + >

= + ≤

2

3

x x, x 1f x

x 1, x 1.

Παρατήρηση: Σε συνάρτηση με απόλυτα, απαλλάσσω τον τύπο της συνάρτησης από τα απόλυτα

κατά τα γνωστά και δουλεύω όπως προηγουμένως.


49-11 . Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η

συνάρτηση ( )2

02

x x 2, x 1f x x 1

2x 3x 3, 1 x

− + ≤= =

− + <.

Λύση

Είναι ( ) 2f 1 1 1 2 2= − + = . Πλευρικά όρια:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

x 1 x 1 x 1

2 2

x 1 x 1 x 1 x 1

f x f 1 x x 1x x 2 2lim lim lim 1

x 1 x 1 x 1

f x f 1 x 1 2x 12x 3x 3 2 2x 3x 1lim lim lim lim 1

x 1 x 1 x 1 x 1

− − −

+ + + +

→ → →

→ → → →

− −− + −= = =

− − −− − −− + − − +

= = = =− − − −

Είναι παραγωγίσιμη στο ( )x 1 με f 1 1′= = .

49-12. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η

συνάρτηση ( )( )

0

ημ x 1 , x 1f x x 1

x 3 2, 1 x

− ≤= =

+ − <.

Λύση

Είναι ( )f 1 1 1 1 1 1= + − = . Πλευρικά όρια:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

x 1 x 1

x 1 x 1 x 1 x 1

f x f 1 ημ x 1lim lim 1

x 1 x 1

x 3 2 x 3 2f x f 1 x 1x 3 2 1lim lim lim lim

x 1 x 1 4x 1 x 3 2 x 1 x 3 2

− −

+ + + +

→ →

→ → → →

− −= =

− −

+ − + +− −+ −= = = =

− − − + + − + +

Δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= .

Η f είναι συνεχής στη θέση x 1= γιατί έχουμε ( ) ( )x 1 x 1

f 1 lim ημ x 1 lim x 3 2 0− +→ →

= − = + − = .



49-13. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στις θέσεις x 1 και x 2= = η συνάρτηση ( )f x 2 x 3x= − + .

Λύση

Πρόσημο του 2 x− :

Έτσι υπάρχει περιοχή ( )U 1 με 2 x 0− > , οπότε η συνάρτηση γίνεται ( )f x 2 x 3x 2 2x= − + = + .

Είναι ( )( ) ( ) ( )

x 1 x 1 x 1

f x f 1 2 x 12 2x 4f 1 2 2 1 4 και lim lim lim 2

x 1 x 1 x 1→ → →

− −+ −= + ⋅ = = = =

− − −.

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ( )x 1 με f 1 2= = .

Για x 2= έχουμε ( )f 2 2 2 3 2 6= − + ⋅ = . Πλευρικά όρια:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x 2 x 2 x 2

x 2 x 2 x 2

f x f 2 2 x 3x 6 2 x 2lim lim lim 2

x 2 x 2 x 2

f x f 1 2 x 3x 6 4 x 2lim lim lim 4

x 1 x 2 x 2

− − −

+ + +

→ → →

→ → →

− − + − −= = =

− − −− − − + − −

= = =− − −

Η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 2=


49-14. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x η

συνάρτηση ( )2

02

x 3x 5, x 2f x x 2

3x 5x 3, 2 x

− − ≤ −= = −

+ + − <.

49-15. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

=

≠−

=

0,0

0,συν1

)(

x

xx

x

xf στο 00 =x .

49-16. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( )2 1

x συν ,x 0f x = x

0, x=0

≠

στο σημείο 0x =0.

49-17. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( )2 1

x ημ , αν x 0f x = x

0, ανx=0

≠

είναι παραγωγίσιμη στο 0.

49-18. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x 2 x 3x= − + . Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στη

θέση 0x 2= .

49-19. Να βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x , όταν

i) ||)( xxxf = , 00 =x ii) |1|)( −= xxf , 10 =x

iii) |3|)( 2 xxxf −= , 10 =x iv)

≥+

<++=

0,1

0,1)(

2

xx

xxxxf , 00 =x .

49-20. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ||ηµ2)( xxxxf +−= στο σημείο 00 =x .

49-21. Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο 0x τις παρακάτω συναρτήσεις, να εξετάσετε αν

είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό.

i)

≥

<+=

0,

0,1)(

3

2

xx

xxxf , αν 00 =x ii) 1|1|)( +−= xxf , αν 10 =x .



50 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ Η f ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΤΟ 0x

• Βρίσκω σχέση μεταξύ των παραμέτρων ώστε η f να είναι συνεχής στο ( ) ( ) 0

0 0x xx lim f x f x

→=

(1).

• Βρίσκω τα όρια( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 01 2

x x x x0 0

f x f x f x f xl lim , l lim

x x x x− +→ →

− −= =

− − και απαιτώ 1 2l l= (2). (Πιθανώς να

χρησιμοποιήσω και την (1)).

• Λύνω το σύστημα των (1) και (2) και βρίσκω τις παραμέτρους.

• Δε χρειάζεται επαλήθευση.

Παράδειγμα1: Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ α και β ώστε να είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= η

συνάρτηση ( )2αx β, x 1

f x2αx 2β 5, 1 x

+ ≤=

+ − <. ( λύση στην τάξη)


50-1α.

Να βρεθεί η παράμετρος α ώστε να είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= η συνάρτηση

( )2

2

x αx 1, x 1f x

αx , 1 x

+ − ≤=

<

Λύση

Αρχικά θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο x 1= . Έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

x 1 x 1 x 1 x 1f 1 1 α 1 α, lim f x lim x αx 1 α και lim f x lim αx α

− − + +→ → → →= + − = = + − = = = .

Έτσι για κάθε α R∈ η f είναι συνεχής στο x 1= ( ) ( )x 1lim f x f 1 1→

= =

. Πλευρικά όρια:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

x 1 x 1 x 1

2

x 1 x 1 x 1

f x f 1 x 1 x 1 αx αx 1 αlim lim lim 2 α

x 1 x 1 x 1

f x f 1 α x 1 x 1αx αlim lim lim 2α

x 1 x 1 x 1

− − −

+ − −

→ → →

→ → →

− − + ++ − −= = = +

− − −− − +−

= = =− − −

Για να είναι παραγωγίσιμη θα πρέπει να ισχύει 2α 2 α α 2= + ⇔ = .

50-1β.

Δίνεται η συνάρτηση f , με ( )2

2

x αx β, x 1f x

x 3 , 1 x

+ + ≤=

+ <

Να προσδιορίσετε τις τιμές των πραγματικών α,β , ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1= .

Λύση

Λαμβάνουμε πλευρικές παραγώγους.

Πλευρική παράγωγος από αριστερά.

( ) ( ) ( )2 2 2 2

αx 1 x 1 x 1

x αx β 1 α 1 βf x f(1) x αx β 1 α βf ' x lim lim lim

x 1 x 1 x 1− − −→ → →

+ + − + ⋅ +− + + − − −= = = =

− − −

2 2

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 αx α (x 1)(x 1) α(x 1) (x 1)(x 1 α)lim lim lim lim(x 1 α) 2 α

x 1 x 1 x 1− − − −→ → → →

− + − − + + − − + += = = = + + = +

− − −

( )αf ' x 2 α= +

Πλευρική παράγωγος από δεξιά.

( ) ( ) ( )2 2 2

δx 1 x 1 x 1

x 3 1 α 1 βf x f(1) x 3 1 α βf ' x lim lim lim

x 1 x 1 x 1+ + +→ → →

+ − + ⋅ +− + − − −= = =

− − − (1)



Επειδή ( )2

x 1lim x 3 1 α β 1 α β

+→+ − − − = − − και

x 1

1lim

x 1+→= +∞

−

Διακρίνουμε περιπτώσεις

1 α β 0− − > τότε ( )δf ' x = +∞ άρα δεν υπάρχει το ( )δ

f ' x .

1 α β 0− − < τότε ( )δf ' x = −∞ άρα δεν υπάρχει το ( )δ

f ' x .

1 α β 0 α β 1 (2)− − = ⇔ + = οπότε η (1)

( )( )( )

( )( )2 2

2 2

δ2x 1 x 1 x 1

x 3 2 x 3 2x 3 1 1 x 3 2 1f ' x lim lim lim ..

x 1 x 1 2x 1 x 3 2+ + +→ → →

+ − + ++ − − + −= = = =

− − − + +

Άρα ( )δ

1f ' x

2=

Ισχύει ( ) ( )α δ

1 3f ' x f ' x 2 α α

2 2= ⇔ + = ⇔ = − .Από την (2) προκύπτει

5β

2=


50-2.Δίνεται η συνάρτηση ( )( )( )

3

2 2

x + β-1 x-3α, x -1f x =

x + α +5 x+2-β, x>-1

≤

Να βρεθούν οι τιμές των α, β, έτσι ώστε η f να παραγωγίζεται στο 0x =-1.

50-3.Δίνεται η συνάρτηση ( )2 2

2

x +α x+1, x 1f x =

2x +αx+β, x>1

≤

. Να βρείτε τις τιμές των α, β R∈ για τις οποίες η f

είναι παραγωγίσιμη στο 0x =1.

50-4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2

x+α, αν x 3

f x = x -9, αν x>3

x-3

≤

i) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

ii) Για την τιμή αυτή, να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x =3.

51 ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1.Δεδομένη μια παράγωγος ( )0f x′

Εκφράζω την παράγωγο ( )0f x′ με τον ορισμό ( )( ) ( )

0

00

x x0

f x f xf x lim

x x→

−′ =

− (1).

• Θέτω ( )( ) ( )0

0

f x f xg x

x x

−=

−, και λύνω ως προς ( )f x .

• Υπολογίζω το ( )0x x

lim f x→

, και το αντικαθιστώ στο ζητούμενο όριο

Ή προσπαθώ στο ζητούμενο όριο να κατασκευάσω τον όρο( ) ( )0

0

f x f x

x x

−

−.

Παράδειγμα 1: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 2= με ( ) ( )f 2 3 και f 2 6′ = = , να βρεθεί

το όριο( )

x 2

f x 3xlim

x 2 2→

−

+ −.

Λύση

Προσπαθώ στο ζητούμενο όριο να κατασκευάσω τον όρο( ) ( )0

0

f x f x

x x

−

−.

Το ζητούμενο όριο είναι:

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )x 2 x 2 x 2 x 2

f x 3x x 2 2 f x 3x x 2 2 f x 3x x 2 2f x 3xlim lim lim lim

x 2 4 x 2x 2 2 x 2 2 x 2 2→ → → →

− + + − + + − + +−= = = =

+ − −+ − + − + +



( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

x 2 x 2

x 2 x 2 x 2

f x 6 6 3x x 2 2 f x 6 6 3xlim lim x 2 2

x 2 x 2 x 2

f x 6 f x 6lim 3 x 2 2 lim 3 lim x 2 2 f ' 2 3 2 2 2

x 2 x 2

3 3 4 0

→ →

→ → →

− + − + + − − = + + + = − − −

− − − + + = − + + = − + + = − −

− =


51-1.

Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( ) ( ) ( )x 0 και x 1 με g 0 g 1 α και g 0 g 1′ ′= = − = − = = − .

Να βρεθεί η ( )f 1′ , όταν ( )( )( )

g x 1 , x 1f x

g x 2 , 1 x

− ≤=

− <.

Λύση

Είναι ( ) ( ) ( ) ( )f 1 g 1 1 g 0 g 1= − = = − . Πλευρικά όρια:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

u 0x 1 x 1

u 1x 1 x 1

αν x 1 u τότεf x f 1 g x 1 g 0 g u g 0lim lim lim g 0 α

όταν x 1 το u 0x 1 x 1 u 0

αν x 2 u τότεf x f 1 g x 2 g 1 g u g 1

lim lim x 1 u 1 και όταν lim g 1 αx 1 x 1 u 1

x 1 το u 1

− −

+ −

→→ →

→−→ →

− =− − − −′= = = =

→ →− − −

− =− − − − − −

′= − = + = = − =− − − −

→ → −

Έτσι είναι ( )f 1 α′ = .

51-2.

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x α= να δειχτεί ότι

( ) ( )( ) ( )

x α

f x ημ2α f α ημ2xlim f α ημ2α 2f α συν2α

x α→

−′= −

−.

Λύση

Η παράγωγος ( )f α′ είναι ( )( ) ( )

x α

f x f αf α lim

x α→

−′ =

−. Το κλάσμα γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

f x f α ημ2αf x ημ2α f α ημ2x f x ημ2α f α ημ2α f α ημ2α f α ημ2x

x α x α x α

f α ημ2x ημ2α f x f α 2ημ x α συν x α f x f αημ2α f α ημ2α

x α x α x α x α

ημ x α2f α συν x α .

x α

−− − + −= = −

− − −− − − + −

− = − = −− − − −−

− +−

Έτσι το όριο είναι:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )x α x α x α

f x f α ημ x αlim ημ2α 2f α lim lim συν x α f α ημ2α 2f α 1 συν2α

x α x α

f α ημ2α 2f α συν2α.

→ → →

− −′− + = − ⋅ ⋅ =

− −′= −


51-3.

Έστω μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ , συνεχής στο ( )0x =0 με f 0 =2016 . Να βρείτε την παράγωγο της

συνάρτησης ( ) ( ) 0g x =f x ημx στο x =0 .

51-4.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση )()( xxfxg = είναι

παραγωγίσιμη στο 0.

51-5.



Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x =2 με ( )f 2 =-3 και ( )f' 2 =5, να υπολογίσετε το

( )2

2x 2

f x -9lim

x -5x+6→.

2. Εύρεση από ισότητα

• Θέτω 0x το x για να βρω το ( )0f x .

• Με κατάλληλους μετασχηματισμούς δημιουργώ στην ισότητα το( ) ( )0

0

f x f x

x x

−

−.

• Παίρνω τα όρια των δύο μελών και θέτω( ) ( )

0

0

x x0

f x f xlim λ

x x→

−=

−.

• Λύνω τελικά ως προς λ.

Παράδειγμα 2: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 1 και για κάθε x= ∈ℝ είναι

( ) ( ) ( )2 2f x 2xf x 3x και f x 0+ = > , να δειχτεί ότι ( )f 1 1′ = .

• Αν γνωρίζω όριο που περιέχει την ( )f x και ζητάω την ( )0f x′ τότε κάνω χρήση βοηθητικής.

Παράδειγμα3: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 1= και ισχύει( ) 2

2x 1

f x x 3x 3 1lim

x 1 2→

− + −=

−,

να βρεθεί η τιμή ( )f 1′ .

• Αν συναντήσω όριο σύνθετης π.χ. ( )0

2

x xlim f 3x 1→

+ , θέτω 2u 3x 1= + , όπως στις σύνθετες.


51-6.

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0= και για κάθε x∈ℝ ισχύει

( ) ( )3 2 2f x x f x 2x ημx+ = , να βρεθεί η παράγωγος στη θέση ( )x 0, f 0′= .

Λύση

Για x 0= η σχέση γίνεται ( ) ( ) ( )3f 0 0f 0 0, f 0 0+ = = . Η παράγωγος στη θέση x 0= είναι:

( )( ) ( ) ( ) ( )

x 0 x 0 x 0

f x f 0 f x 0 f xf 0 lim lim lim λ

x 0 x x→ → →

− −′ = = = =

−.

Διαιρούμε τη σχέση με 3x : ( ) ( )

3f x f x ημx

2x x x

+ = .

Παίρνουμε το όριο όταν x 0 η παράγωγος στο 0 υπάρχει→ ( ) ( )

3

x 0 x 0 x 0

f x f x ημxlim lim 2 lim

x x x→ → →

+ =

ή

( )( )3 3 2λ λ 2 λ λ 2 0 λ 1 λ λ 2 0+ = ⇔ + − = ⇔ − + + = , οπότε ( )2λ 1 γιατί λ +λ+2 0 0= ≠ ∆ < , άρα ( )f 0 1′ = .

51-7.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 1= . Να δειχτεί ότι είναι παραγωγίσιμη στο x 1= με ( )f 1 3′ = ,

όταν ισχύει( )

x 1

f x xlim 4

x 1→

−=

−.

Λύση

Έστω( )

( ) ( ) ( ) ( )f x x

g x , f x x 1 g x xx 1

−= = − +

−. Είναι ( )

x 1lim f x 0 4 1 1→

= ⋅ + = . Έτσι λόγω συνέχειας

στο x 1= θα είναι ( ) ( )x 1

f 1 lim f x 1→

= = . Η παράγωγος στο x 1= είναι το όριο

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 x 1 x 1 x 1

f x x f x 1 x 1 f x 1 f x 1x 1 x 1 x 1lim lim lim lim 4

x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1→ → → →

− − − − − −− − − = = − = ⋅ − = −− − − − − −

.



Αν( )

( )( ) ( ) ( )x 1 h xf x 1 f x 1x 1 x 1

h x τότε 1x 1 x 1 x 1x 1 x 1

−− −− −⋅ − = = +

− − −− −.

Έτσι έχουμε( )

( )x 1 x 1 x 1

f x 1 x 1 1lim lim lim h x 1 4 1 3

x 1 x 1 2→ → →

− −= + = ⋅ + =

− −. Συνεπώς είναι ( )f 1 3′ =

51-7b

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 0= και ισχύει:

( )( )32 2f x 2x(f(x)) 3x ημ x+ = ⋅ για κάθε x∈ℝ (1)

Να βρείτε το ( )f ' 0 .

Λύση

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 0= ,έχουμε:

( )x 0

f(x) f(0)f ' 0 lim L,L

x→

−= = ∈ℝ

Αρχικά θα βρούμε το ( )f 0

Για x 0= η (1) δίνει:

( )( ) ( )( ) ( )3 3

2 2f 0 2 0(f(0)) 3 0 ημ 0 f 0 0 f 0 0+ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ =

Οπότε: ( )x 0

f(x)f ' 0 lim L

x→= =

Έτσι, για κάθε x 0≠ η (1) δίνει:

( )( ) ( ) ( )3 3 22 22

3 3

f x 2x(f(x)) f x f x3x ημ x ημx2 3

x x xx x

+ ⋅ = ⇔ + =

(2)

Αλλάx 0

f(x)lim L

x→= .Οπότε

( ) ( )3 2 2

3 2 3 2

x 0 x 0 x 0

f x f x ημxlim 2 lim 3lim L 2L 3 L 2L 3 0 .... L 1

x x x→ → →

+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

Άρα ( )f ' 0 1=


51-8.

Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο 0x =3 . Αν για κάθε x R∈ ισχύει

( ) ( ) ( )22 2 2f x +g x = x -9 , να αποδείξετε ότι:

i) ( ) ( )f 3 =g 3 =0

ii) ( )( ) ( )( )2 2f' 3 + g' 3 =36.

51-9.

Έστω ότι η συνάρτηση f έχει την ιδιότητα ( )

2x 2

f x -5lim =3

x -4→

i) Να βρείτε το όριο ( )x 2lim f x→

.

ii) Αν η f είναι συνεχής στο σημείο 0x =2 , να αποδείξετε ότι η f είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο

αυτό και να βρείτε την ( )f' 2 .

51-10. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και ισχύει ( )

x 0

f xlim 5

x→= . Να αποδείξετε ότι ( )f 0 =0 και

να υπολογίσετε το ( )f 0′ .

51-11. Αν η f είναι συνεχής στο 3 και ( )

x 3

f xlim 5

x-3→= , να αποδείξετε ότι: i) f(3)=0 ii) f’(3)=5.

51-12. Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και η κλίση της στο -1 είναι 3, να βρεθεί η κλίση της f στο 1.



51-13. Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0 και ( )

x 0

f xlim =2.

x→ Να αποδείξετε ότι: α) f(0)=0, β)

f’(0)=2.

51-14. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και 4)(

lim0

=→ x

xfx

, να αποδείξετε ότι:

i) 0)0( =f ii) 4)0( =′f .

3.Εύρεση από ανισότητα

• Μορφοποιώ σε διπλή ανισότητα, θέτω 0x το x και βρίσκω το ( )0f x .

• Κατασκευάζω στο μεσαίο μέλος όρο της μορφής( ) ( )0

0

f x f x

x x

−

− (αν χρειαστεί παίρνω περιπτώσεις

για το πρόσημο του 0x x− ).

• Εφαρμόζω κριτήριο παρεμβολής και υπολογίζω το( ) ( )

0

0

x x0

f x f xlim

x x→

−

−.

Παράδειγμα 4: Αν για κάθε x R∈ ισχύει η σχέση ( ) ( ) 4f x g x x− ≤ με ( ) ( )g 0 0 και g 0 1′= = , να βρεθεί

η ( )f 0′ .


51-15.Αν για κάθε x R∈ ισχύει: ( )2 22x 5x 3 f x 3x 3x 4+ + ≤ ≤ + + , να βρεθεί η παράγωγος της

συνάρτησης f στη θέση x 1= .

Λύση

Για x 1= η σχέση γίνεται ( ) ( ) ( )2 5 3 f 1 3 3 4, 10 f 1 10 οπότε f 1 10+ + ≤ ≤ + + ≤ ≤ = .

Με αφαίρεση του 10 από τα τρία μέλη, έχουμε ( )2 22x 5x 7 f x 10 3x 3x 6+ − ≤ − ≤ + − (1).

Η παράγωγος στη θέση x 1= είναι ( )( ) ( ) ( )

x 1 x 1

f x f 1 f x 10f x lim lim

x 1 x 1→ →

− −′ = =

− −.

x 1> : Διαιρούμε την (1) με x 1 0− > και έχουμε: ( )2 2f x 102x 5x 7 3x 3x 6

x 1 x 1 x 1

−+ − + −≤ ≤

− − −.

Είναι( )( ) ( )( )2 2

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 2x 7 3 x 1 x 22x 5x 7 3x 3x 6lim lim 9, lim lim 9

x 1 x 1 x 1 x 1+ + + +→ → → →

− + − ++ − + −= = = =

− − − −.

Έτσι σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι( )

x 1

f x 10lim 9

x 1+→

−=

−.

Όμοια αν x 1< , βρίσκουμε ότι είναι( )

x 1

f x 10lim 9

x 1−→

−=

−.

Συνεπώς είναι ( )f 1 9′ = .

51-15β.Δινεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει :

( ) 2f x ημx x− ≤ , για κάθε x∈ℝ

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(0,f(0)) .

Λύση

Για x 0= η αρχική σχέση γίνεται: ( ) ( ) ( )2f 0 ημ0 0 f 0 0 f 0 0− ≤ ⇔ ≤ ⇔ =

Για x 0≠ :

( ) ( )( ) ( )22

f x ημx f x ημxf x ημx x f x ημx x x x

xx

− −− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

( ) ( ) ( )f x ημx f x f xημx ημx ημxx x x x x x

x x x x x x

−− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + ⇔



x 0 x 0

ημx ημxlim x lim x 1

x x→ →

− + = + =

. Από το κριτήριο παρεμβολής x 0

f(x)lim 1

x→=

Επομένως x 0 x 0

f(x) f(0) f(x)f '(0) lim lim 1

x 0 x→ →

−= = =

−

Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο A(0,f(0)) είναι η

y f(0) f '(0)x y x− = ⇔ =


51-16.

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0x =1 , f(1)-g(1) =1 και για κάθε x R∈ είναι

( ) ( ) 2f x g x +x ,≤ να αποδειχθεί ότι ( ) ( )f' 1 -g' 1 =2.

51-17.

Αν 1)(1 2 ++≤≤+ xxxfx , για κάθε x∈ℝ , να αποδείξετε ότι:

i) 1)0( =f

ii) 1)0()(

1 +≥−

≥ xx

fxf, για 0<x και 1

)0()(1 +≤

−≤ x

x

fxf, για 0>x

iii) 1)0( =′f .

51-18. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 00 =x και για κάθε x R∈ ισχύει: 4242

ηµ)(ηµ xxxxfxx +≤≤− . Να αποδείξετε ότι:

i) 0)0( =f ii) 1)0( =′f .

51-19. Αν ( ) 2x+2 f x x +x+2≤ ≤ για κάθε x R∈ , να αποδειχθεί ότι: i) ( )f 0 =2 και ii) ( )f' 0 =1 .

51-20. Μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ έχει την ιδιότητα ( ) 2 4xf x -ημ x x≤ , για κάθε x R∈ . Αν η f είναι

συνεχής στο 0x =0 , να αποδείξετε ότι:

i) ( )f 0 =0 ,

ii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x =0 με f’(0)=1.

51-21. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x =0 και ( )2 4 2 45ημ x-3x xf x 5ημ x+3x≤ ≤ για κάθε x R∈ .

Να αποδείξετε ότι:

i) f(0)=0

ii) f’(0)=5.

4. Μορφή ( )f x y ...+ =

Κάνω χρήση του ορισμού( ) ( ) ( )0 0

0h 0

f x h f xlim f x

h→

+ −′= .

Παράδειγμα 5: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0= με ( )f 0 α′ = και για

κάθε x, y R∈ είναι ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y (1) με f 0 0+ = ⋅ ≠ , να δειχτεί ότι ( ) ( )0 0f x αf x′ = για κάθε 0x 0≠ .

Λύση

Η (1) ισχύει για κάθε x, y∈ℝ αρα θα ισχύει και όταν x y 0= = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )f 0 0

2 2

f 0 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 0 f 0 (1 f 0 ) 0 f 0 1≠

+ = ⋅ ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = (2)

Έστω τυχαίο 0

x ∈ℝ τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )00 0 0 0 0 0

0 0

f x f h 1 f h 1 f h f(0)f x h f x f x h f x f x f h f xf x f x

h h h h h 0 h 0

− − −+ − + − −= = = = =

− −



Λαμβάνουμε όρια όταν h 0→

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )0 0

0 0 0 0h 0 h 0 h 0

f h f(0) f h f(0)f x h f xlim lim f x f x lim f x f ' 0 αf x

h h 0 h 0→ → →

− −+ − = = = =

− −

Άρα τελικά ( ) ( )0 0f ' x αf x= .

5. Μορφή ( )f x y ...⋅ =

Στο( ) ( )

0

0

x x0

f x f xlim

x x→

−

−, θέτω 0x x h= ⋅ , άρα αν 0x x τότε h 1→ → .

Άρα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0 0 0 0

x x h 1 h 10 0 0 0

f x f x f x h f x f x h f x1lim lim lim

x x x h x x h 1→ → →

− − −= =

− − − και εφαρμόζω την ιδιότητα που

δίνεται.

Παράδειγμα 6: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( )x 1 με f 1 α′= = και για κάθε x∈ℝ

είναι ( ) ( ) ( )f xy xf y yf x= + (1).

Να δειχτεί ότι είναι παραγωγίσιμη για κάθε ( ) ( )00 0

0

f xx 1 με f x α

x′≠ = + .

Λύση

Από την δοθείσα ισότητα για x y 1= = : ( ) ( ) ( ) ( )f 1 f 1 f 1 f 1 0= + ⇔ = (2)

θέτω 0x x h= ⋅ , άρα αν 0x x τότε h 1→ → .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0

f x h x f h hf x0 0 0 0 0 0 0 0

0 x x h 1 h 1 h 10 0 0 0 0

f x f x f x h f x f x h f x x f h hf x f x1 1f ' x lim lim lim lim

x x x h x x h 1 x h 1

= +

→ → → →

− − − + −= = = = =

− − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0

h 1 h 1 h 10 0 0

(2)0 0 0 0 0

h 1 h 1 h 1 h 10 0 0 0 0

h

x f h f x h 1 x f h f x h 1 x f h f x h 11 1 1lim lim lim

x h 1 x h 1 x h 1

x f h f x h 1 f h f x f h 0 f x f h f 1 f x1 1lim lim lim lim

x h 1 x h 1 h 1 x h 1 x h 1 x

lim

→ → →

→ → → →

+ − + − + −= = =

− − −

− − −+ = + = + = + =

− − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

1 h 10 0 0

f h f 1 f x f x f xlim f ' 1 α

h 1 x x x→ →

−+ = + = +

−



52 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ • Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0x A∈ .

• Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( )α,β , όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε

σημείο ( )0x α,β∈ .

• Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α,β του πεδίου ορισμού της, όταν είναι

παραγωγίσιμη στο ( )α,β , και επιπλέον( ) ( ) ( ) ( )

x α x β

f x f βf x f αlim R και lim R

x α x β+ −→ →

−−∈ ∈

− −.

Αν το όριο h

xfhxfh

)()(lim 00

0

−+→

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η f είναι

παραγωγίσιμη στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f

στο x0, συμβολίζεται με )( 0xf ′ και διαβάζεται “ f τονούμενο του 0x ”. Έχουμε λοιπόν:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00

−+=′

→

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των Ax∈ στα οποία η f είναι

παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε Bx∈ αντιστοιχίζεται στο

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

−+=′

→. Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος (derivative) της f και

συμβολίζεται με f ′′′′ .

Έστω μια συνάρτηση f′ με πεδίο ορισμού το B, και Γ το σύνολο των x B∈ στα οποία η f′ είναι

παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε x Γ∈ αντιστοιχίζεται στο

0h

f (x h) f (x)f (x) lim

h→

′ ′+ −′′ = . Η συνάρτηση αυτή λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται

με f′′ . Ανάλογα ορίζονται οι παράγωγοι ανώτερων τάξεων

Παράδειγμα1: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x= , να υπολογιστεί η ( )′f x .


52-1. Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:

i)

≥

<=

1,

1,)(

2

xx

xxxf ii)

≥

<=

0,

0,ηµ)(

xx

xxxf

iii)

≥

<=

2,

2,)(

4

3

xx

xxxf iv)

>

≤=

3/2,

3/2,)(

3

2

xx

xxxf .

52-2. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση

≥+

<=

πxβxα

πxxxf

,

,ηµ)( , είναι

παραγωγίσιμη στο πx =0 .

52-3. Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:

i)

≥+

<+=

0,612

0,32)(

2

xxx

xxxxf ii)

>

≤+=

0,

0,ηµ)(

2

xx

xxxxf .

52-4. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων:

i) ( )3

2

4x -3, x 1f x =

3x +6x-8, x>1

≤

ii) ( )3 2

4

x +3x +3, x<1g x =

x +5x+1, x 1

≥.

52-5. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) 3 2)( xxf = , ii) 3 4)( xxf =



53 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 1. Απλοί κανόνες

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ρ ρ 1

x x x x

2 2

2 2

c 0 x 1

1x ρ x x

2 x

e e α α ln α

1 1ln x ln x

x x

180ημx συνx, ημx συνx

π

180συνx ημx, συνx ημx

π

1 180εφx , εφx

συν x π συν x

1 180σφx , σφx

ημ x π ημ x

−

′ ′= =

′′ = ⋅ =

′ ′= = ⋅

′′ = =

′′ = =

′′ = − = −

′′ = =⋅

′′ = − = −⋅

Παράδειγμα1: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f(x)=-5 ii) 4f(x)=x iii) 9f(x)=x .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 53-1. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:

( )f x =-3 , ( ) 2f x =-3x , ( ) 4f x =4x , ( ) -3f x =-3x , ( )5

2f x =

x, 3f(x)=4x , -5f(x)=6x , ( )

2

3f x =x , 3/2f(x)=x , -3f(x)=x , -5f(x)=x

202f(x)=- x

5, 3f(x)= x , 5 2f(x)= x , ( )

1f x =

x, ( ) -6f x =x , ( )

4

5f x =5x , ( ) 3f x = x ,−

=4

5( )f x x , ( )3

1f x =

x, ( )

3 4

4f x =-

x

f(x)=6x x , ( )10

10f x =

x

2. Κανόνες Πρόσθεσης-Αφαίρεσης-Γραμμικού Συνδυασμού

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

′ ′ ′• ± = ±

′ ′• = ⋅

′ ′ ′• ± = ±

f x g x f x g x

cf x c f x

κf x λg x κf x λg x

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:

i) 4 2f(x)=x +3x ii) 2f(x)=6συνx-8(x +x) iii) ( ) 2f t =t +συνt-e iv) 3lnηµ3συν)( +−= xxxf .


xxxf σφεφ)( += ( ) 5 3f x =x -4x +2x-1 ( ) 3

2

7f x =x +3+

x2 3

f(x)=x +5+x

2x +2x-1f(x)=

x. ( )

2 5-33 2f x =3x -2x +x ( ) 3 2f x = x -2x x+1

53-3. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:

xxxx

xf −+−=234

)(234

3ln2)( 3 −+= xxxf 16)( 47 −+−= xxxxf ( ) 4f x =x -lnx ( ) 2

2

1f θ =θ +

θ

( ) 2

2f x =lnx+

x( ) 2 4

f x =lnx+ -2 x-x x

3f(x)=8x -ημx+5



3. Κανόνας Γινομένου

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′= +f x g x f x g x f x g x

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) 3 4f(x)=(x +1)(x +1) ii)

f(x)=ημx(1-συνx) .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 53-4. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

( ) 2f x =x lnx⋅ ( )f x = x ημx⋅ ( ) ( ) ( )3 2f x = 1-4x 1+2x⋅ .

4. Κανόνας Πηλίκου

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

′ ′ ′−=

2

f x f x g x f x g x

g x g x

Αν παραγωγίζω κλάσμα και ο παρονομαστής είναι σταθερός αριθμός, τότε παραγωγίζω μόνο τον

αριθμητή, ο παρονομαστής μένει όπως είναι( ) ( )f x f x

c c

′ ′ =

.

Παράδειγμα 4: Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

i) ( )ημx

f x =1+συνx

ii) ( )2

2

x +1f x =

x -1 iii) ( )

x

x

e +1f x =

e -1 iv) ( )

lnx+2f x =

lnx+4.


53-5. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f όταν: ( )2

xf x =

x 1+( )

2

x-2f x =

x -2x+1 ( )

9f x =x+

x

( )lnx

f x = ,x>0x

.2x

f(x)=x+1

1f(x)=

1+συνx 2

3f(x)=

(x+1)

x+ημxf(x)=

1+συνx

lnxf(x)=

x( )

x

x

e -1f x =

e +1 x

exf

x

ln)( =

xe

xxf

ηµ)( =

5. Συνδυασμός Πράξεων

Παράδειγμα5: Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:

i) ( ) 2 2f x =x ημx+x συνx ii) ( ) ( )2g x = x +x lnx iii) ( ) ( )2 xh x = x -2x+3 e iv) ( ) 2φ x =x ημx lnx⋅

Παράδειγμα6: Να βρεθεί η παράγωγος ( ) ( )384

f x = x-4 -6x

.

Παράδειγμα7: Δίνεται η συνάρτηση ( )ln x

2 ln x

ln xef x

ln e= . Να βρεθεί η ( )f x′ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 53-6. Να βρεθεί η συνάρτηση ( )f x′ και οι ρίζες της εξίσωσης ( )f x =0′ όταν:

53-7. Να βρεθεί η συνάρτηση ( )f x′ ( ) 2 108f x =2x +

x ( ) ( )f x =x 1600-2x⋅ ( ) ( )2

f x =x 9-x⋅ ( )2

x

x +1f x =

e

f(x)=xσυνx+3(x+1)(x-1) 2 2f(x)=4x ημx-3x συνx ( ) ( )2 xf x = x +1 e⋅ ( ) ( )f x = x+1 lnx⋅ ( ) ( ) ( )f x = 1+ημx 1+συνx -ημx-συνx⋅

( ) ( )f x = x ημx+συνx⋅ ( )( )

( ) ( )

x ημx+συνxf t =

1+ημx 1+συνx -ημx-συνx

⋅

⋅( ) ( )3 2f x =x x +συνx⋅ ( ) ⋅3f x =x x

)3)(1()( 2 −−= xxxf xexf xηµ)( =

2

2

1

1)(

x

xxf

+

−=

x

xxxf

συν1

συνηµ)(

+

+= xxxxf συνηµ)( 2= ( ) 2f x =x lnx

( )g x =ημx+xσυνx ( )2

2

x +3x+5h x =

x +1 ( ) ( ) ( )φ x =ημx ημx+συνx +συνx ημx-συνx ( )f x = xημx

( )f x = x+ημx ( )x

f x =1+ x

1

)1(2)(

−

+=

x

xxf

1

1

1

1)(

+

−+

−

+=

x

x

x

xxg

1

1

1

1)(

−+

−+−

=x

x

x

xxf



54 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΤΥΠΟΙ (((( ))))f(g(x)) f (g(x)) g (x)′′′′ ′ ′′ ′′ ′′ ′= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

1. ( )( ) ( ) ( )ν ν 1f x νf x f x−′ ′= ⋅ .

Παράδειγμα1: ( ) ( )32f x x ημx= + .


5f(x)=(x-1) ( ) ( )102f x = x -2x 5f(x)=(2x+1) 2 5f(x)=(2x -3x) ( ) ( )4f x = 3εφx-2 ( ) 3f x =ημ x ( ) 4f x =συν x

( ) ( )52f x = x +x+1 234 )43()( −+= xxxf 3/2)1()( −= xxf ( ) ( )52g x = x -2x+3 ( ) ( )52f x = 5x -3 ( ) 2f x =2συν x

( ) ( )31f x = ημ 3-4x

4( ) ( )

21001f x = συνx

2. ( )( ) ( )( )

f xf x

2 f x

′′= .

Παράδειγμα2: ( ) xf x ln x e= + .


2f(x)= 2x -x f(x)= 1+ημx ( ) 4f x = x +5 ( ) 2f x = x 3+ = 2( ) x -4x+5f x ( ) 2f x = 2x -4x+5

3. ( )( ) ( ) ( )f x f xe e f x′ ′= ⋅ .

Παράδειγμα3: ( )2x 6f x e += . -xf(x)=e


3xf(x)=e2-xf(x)=e αx+βf(x)=e ( )

2x +2x+3f x =e ( ) -3xf x =e ( )2x -xf x =e ( )

2x -2x+3f x =e2

)( xexf −=

4. ( )( ) ( )( )

f xln f x

f x

′′ = .

Παράδειγμα4: ( ) ( )f x ln συνx 6= + .


f(x)=ln2x3

1f(x)=ln

xf(x)=ln(αx+β) ( ) ( )4 2f x =ln x +x +1 ( ) ( )2f x =ln x -4x+5 ( ) ( )2f x =ln x -4

5. ( )( ) ( ) ( )ημf x συνf x f x′ ′= .

Παράδειγμα5: ( ) ( )f x ημ ln x= .


( )f x =ημ3x 3f(x)=ημx ( ) ( )2f x =ημ x +6x+1 ( ) ( )2f x =ημ x +x

6. ( )( ) ( ) ( )συνf x ημf x f x′ ′= − .

Παράδειγμα6: ( ) ( )2f x συν x 3= + .


( )f x =συν4x ( ) ( )2f x =συν x - x ( ) ( )f x =συν x+συνx

7. ( )( ) ( )( )2

f xεφf x

συν f x

′′ = .

Παράδειγμα7: ( ) ( )2f x εφ x 3= + .




f(x)=εφ3x ( )f(x)=εφ ln x

8. ( )( ) ( )( )2

f xσφf x

ημ f x

′−′ = .

Παράδειγμα8: ( ) ( )f x σφ ln x= .


( ) ( )= +2f x σφ x 2 ( ) ( )= +2f x σφ x ln x

9. Συνδυασμός

Παράδειγμα9: ( ) ( )3 2f x ln ημ x 6= + .


( )4

3x+7f x =

3x-7

( ) ( )4f x = ημπx-συνπx ( ) 3f x =ημ 2x ( ) ( )5 2f x =συν x 1+ ( ) ( )4 2f x =ln x 4+ ( ) ( )3φ x =ημ ημx

( ) ( )2 2g x =ln x+ x +1 ( ) ( )23 x +1f x =ημ e ( )3

3x-1f x =

1-2x

( ) ( )2 3f x =ημ x -συνx

( )2-ημx

f x =2-συνx

( )2x +3f x =e

f(x)=ln x-1 ( )2x 6

f x =ln +x+1 x+1

( )1+ημx

f x =ln1-ημx

−= x

xxf

1ln)( ( ) ( )ημx 2h x =ln e +συν x

( ) ( ) ( )2f x =ημ x-1 x-2

+=

21

1ηµ)(

xxf ( ) ( )f x =συν ημ συνx

( ) -xf x =x e⋅ f(x)=x ημ4x⋅ ( ) ( )2f x = x x-3⋅ ( ) ( ) ( )5

f x = x+2 x-3⋅ ( ) ( )xf x =x ln e +x⋅ ( ) ( )2x +1 2h x =e ln x +1⋅

( )( )3

x-1f x =

x+2

x

x -x

ef(x)=

e +e

( ) ( )2 2f x =x x +1+ln x+ x +1 ( ) ( )2 2f x =xln x+ x +1 - 1+x ( ) ( ) ( )f x =x ημ lnx -συν lnx⋅

( ) 2 2f x =ημx ημx ημ x⋅ ⋅

54-10. Έστω f:R R→ παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να βρεθεί η g’ όταν:

( ) ( )g x =f ημ2x ( ) ( )2 2g x =f x +1 ( ) ( )( )2g x =ln 1+f x ( ) ( )f xg x =x , x>0 ( ) ( )41+f xg x =e ( ) ( ) ( )g x =f x συνf x⋅

( ) ( )3g x =f ημ2x ( ) ( )( )2g x =ln f x +2 ( )

2f x +5

g x =e . ( ) ( ) ⋅2 -xg x = x +1 e .

10.Δεύτερη Τρίτη ν-οστή Παράγωγος

Συμβολισμός ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′′ ′′′ (4) (5) (6) ( )f x f x f x f x f x f x ..... f xv

Προσοχή η «παρένθεση στον εκθέτη» είναι απαραίτητη γιατί αλλιώς είναι δύναμη

Παράδειγμα10: Να βρείτε την δεύτερη και την Τρίτη παράγωγο των συναρτήσεων

i) ( ) xf x =x e⋅ ii) ( )f x =5x+1 iii) ( )f x =lnx .


54-11. Να βρείτε τις δεύτερες παραγώγους των συναρτήσεων:

( )f x =εφx ( )x

f x =x+1

( )f x = x+7 ( ) ( )4f x = 3x-1 ( ) ( )2f x =ln x +2 ( ) 2 2π

f x =4συν x +3

( )2x -4x+5

f x =x-2

( )2x -3f x =e



55 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΧΟ

Υπολογίζω Πρώτα την παράγωγο Συνάρτηση και στη συνέχεια αντικαθιστώ τον αριθμό x0.

Δίνεται η ( )f x ημx ln x= + . Να βρεθεί ηπ

f2

′

.

Παράδειγμα1 Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x

όταν: ( ) ( ) στο =2

0f x =ln x +2 x 2

Παράδειγμα2: Αν ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1f g x ln x 1 και g 1 5, g 1

5′= + = = , να βρεθεί η ( )f 5′ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 55-1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x όταν:

i) 4)( xxf = , 10 −=x ii) xxf =)( , 90 =x iii) xxf συν)( = , 60

πx =

iv) xxf ln)( = , ex =0 v) xexf =)( , 2ln0 =x .

55-2. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων στο 0x :

i) ( ) ( )3 220f(x)=x 3x+5 -3x 3x+5 , x = -1 ii) 2

0f(x)=ημ3x+συν x ,x =π

iii) 0

πf(x)=ημx συν3x ,x =

3⋅ iv) 2 2

0f(x)=x lnx-x ,x =e .

55-3. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων στο 0x

i) ( ) 303

1 1f x = + +x+ x+ x ,x =1

x x ii) ( ) ( ) ( )4 2

0f x = x-2 x-1 ,x =3⋅ iii) ( ) 0f x = 3-x- x+2 ,x = -1 .

55-4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x όταν:

i) 32 1)( xxxf += , 20 =x ii) 3/23/1 )2()2()( xxxf += , 40 =x

iii) )(ηµ)( 33 xπxxf = , 6

10 =x iv)

x

xxf

−

+=

2

2)(

2

, 30 =x .

55-5. Αν ( ) ( )f 1 =2 και f' 1 =5, να βρείτε την g’(1), όπου ( ) ( )( )

2xg x =xf x -

f x.

55-6. Αν η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ( ) ( ) ( ) ( )2f x = x-3 g 2x-1 με g 5 =5 να

αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε την f’’(3).

55-7. Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν ( ) ( ) ( ) ( )f 2 =5, f' 2 =-1, g' 5 =4 και f' 5 =2 και οι

συναρτήσεις g f και f f ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0x =2, να βρείτε τους αριθμούς

( ) ( ) ( ) ( )g f ' 2 και f f ' 2 .

55-8. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x R∈ ισχύει ( )f ημx+συνx =1+ημ2x (1), να

υπολογίσετε την 1+ 3

f' .2

55-9. Η περιττή συνάρτηση f:R R→ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Αν ( ) ( )f x -xg x =e , να αποδείξετε

ότι: i) ( ) ( )f 0 =f'' 0 =0 ii) ( ) ( )( )2g'' 0 = g' 0

55-10. Αν ( )( )g x

f x =3x+1

, ( ) ( )g 0 =2 και g 0 = -3′ , να βρείτε το ( )f 0′ .

55-11. Αν ( ) ( ) ( )2f 4 =7 και g x =f x +x+2′ , να βρείτε την τιμή ( )g 1′ .

55-12. Αν ( ) ( )f x =2xln 2x -2x+3 , να βρείτε την 3e

f2

′

.

55-13. Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ℝ .

α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) ( )g x =f -x ,x∈ℝ

β. Αν η f είναι άρτια, να αποδείξετε ότι ( )f 0 =0′ .



56 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ( )( ) ( ) ( )g xf x με f x 0>

Α’ τρόπος:

1. Γράφω τη συνάρτηση ( ) ( )( ) ( )g xφ x f x= στην εκθετική της μορφή ( )

( )( ) ( )( ) ( )

g xln f x g x ln f xφ x e e = = .

2. Θέτω ( ) ( ) ( )h x g x ln f x= , και βρίσκω το ( )h x′ (κανόνας γινομένου).

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x h xφ x e φ x e h x φ x h x′ ′ ′= ⇒ = ⋅ = ⋅

Παράδειγμα1: ( ) ( )ln xf x ln x=

Β’ τρόπος:

Θέτω ( )( ) ( ) ( ) ( )g xy f x ln y g x ln f x= ⇔ = και

παραγωγίζω ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

f xyln y g x ln f x g x ln f x g x

y f x

′′′ ′= ⇔ = + και λύνω ως προς y′ .

Παράδειγμα 2: ( ) ( )ln xf x ln x=

Υπενθύμιση ιδιότητας λογαρίθμων: θθ ln e ,θ 0= > .


56-1. Αν ( ) ημxf x =x με x>0, να βρεθεί η f’(x).


i) ( )xef x =x , x>0 ii) ( ) ( )

xημx

g x = , x 0,πx

∈

56-3. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:

i) ln xf(x) x , x 0= > ii) 352)( −= xxf iii) xxxf )(ln)( = , 1>x iv) xexxf συνηµ)( ⋅=

BONUS ΔΥΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

1)Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις:

i) 5 2f(x) ln 1 3x= +

ii) π x π

f(x) ln εφ ,x 0,4 3 2

= + ∈

iii) ( )f(x) ln ημ συνx =

iv) 5 2 1f(x) 3x

3x= −

v) 2 8f(x) ημ (x x) = +

vi) ημx 2f(x) ln e x 25x= + −

Λύση

i) ( ) ( ) ( ) ( )215 2 2 25

2 2

1 3x '1 1 6xf '(x) ln 1 3x ' ln 1 3x ' ln 1 3x '

5 5 1 3x 5 15x

+ = + = + = + = ⋅ = + +

ii) 2 2

π x π x 1εφ ' '4 3 4 3π x 1 3f '(x) ln εφ '

4 3 π x π x π x π x π xεφ εφ συν εφ συν

4 3 4 3 4 3 4 3 4 3

+ + = + = = = + + + + +

iii) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

ημ συνx ' συν συνx ημx1f '(x) ln ημ συνx ' συν συνx συνx '

ημ συνx ημ συνx ημ συνx

− = = = =

iv) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 41 1 31 15 2 2 2 25 5 52 2 2

1 1 1 1 1f '(x) 3x ' 3x 3x ' 4x 3x 4x 3x

5 2 5 23x

− −− − − − = − = − = + = +



v) ( )2 8 2 8 2 8f '(x) ημ (x x) ' συν (x x) (x x) ' = + = + + =

2 8 2 7 2 2 8 2 7 2 8 2 7συν (x x) 8(x x) (x x)' συν (x x) 8(x x) (2x 1) 8συν (x x) (x x) (2x 1) + + + = + + + = + + +

vi) ( ) ( ) ( ) ( )2

ημx 2 2 2

2

x 25x 'f '(x) ln e x 25x ' ημxln e x 25x ' ημx x 25x ' συνx

2 x 25x

−= + − = + − = + − = + =

−

2

2x 25συνx

2 x 25x

−= +

−

2)Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις:

i) ( )ημ2xf(x) συνx=

ii) ( )xf(x) ημx=

iii)

x1

f(x) 1x

= +

iv) xf(x) συν(x )=

Λύση

i) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )ημ2xημ2x ln συνx ln συνx ημ2x ln συνx ημ2x

f '(x) συνx ' e ' e ' e ln(συνx)ημ2x ' = = = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln συνx ημ2x ln συνx ημ2x συνx 'e ln(συνx) ' ημ2x ln(συνx) ημ2x ' e ημ2x ln(συνx)2x συν2x

συνx+ = + =

( ) ( ) ( )ln συνx ημ2x ημx ημxe ημ2x ln(συνx)2x συν2x ln(συνx)ημ2x ημ2x ln(συνx)2x συν2x

συνx συνx

− −+ = + =

( ) ( ) ( )ln συνx ημ2x ημ2xημx ημxe ημ2x ln(συνx)2x συν2x (συνx) ημ2x ln(συνx)2x συν2x

συνx συνx

− − + = + =

( ) ( )( )ημ2x ημ2xημx 2ημxσυνx(συνx) ln(συνx)2x συν2x (συνx) 2ημxημx ln(συνx)2x συν2x

συνx

− ⋅ = + = − + =

( )( )ημ2x 22(συνx) ημ x ln(συνx)x συν2x− +

ii) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )x

ln ημxx x ln ημx x ln ημx x ln ημxf '(x) ημx ' e ' e ' e x ln ημx ' e ln ημx x ln ημx '

= = = = = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx ln ημx x ln ημxημx ' xσυνx xσυνxe ln ημx x e ln ημx ημx ln ημx

ημx ημx ημx

= + = + = +

iii)

xx x1 1 1

ln 1 x ln 1 x ln 1x x x1 1 1 1 1

f '(x) 1 ' e ' e ' e x ln 1 ' .. 1 ln 1x x x x x 1

+ + +

= + = = = + = = + + − +

iv) ( ) xx x x x ln x x x ln xf '(x) συν(x ) ' ημ(x ) (x )' ημ(x ) (e )' ημ(x ) (e )'= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

( ) ( )x x ln x x xημ(x )e x ln x ' ημ(x )(x ) 1 ln x= = − +



ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ (Μεζεδάκι θεωρίας,θέλει απόδειξη για να χρησιμοποιηθεί)

Η συνάρτηση f : ,2 2

π π − →

ℝ με τύπο f(x) x= εϕ είναι γνησίως μονότονη και αντιστρέφεται.

Θεωρούμε δεδομένο ότι η 1f− είναι παραγωγίσιμη στο ℝ .

Να αποδείξετε ότι 1

2

1f (x)

1 x

− =+

για κάθε x∈ℝ .

Πως το χειριζόμαστε;

Η f είναι παραγωγίσιμη άρα 2f '(x) x 1= εϕ + για κάθε x ,2 2

π π ∈ −

Ισχύει η γνώστη ισότητα 1f(f (x)) x− =

Γνωρίζουμε από υπόθεση ότι η f αντιστρέφεται

Άρα ισχύει η ισότητα 1f(f (x) x− = (1) από υπόθεση γνωρίζουμε ότι ότι η 1f− είναι παραγωγίσιμη στο

ℝ .Παραγωγίζουμε την (1)

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 1 1f(f (x)) ' x ' f '(f (x)) (f (x) ' 1 (f (x)) 1 (f (x) ' 1− − − − −= ⇔ = ⇔ εϕ + = ⇔

( )( ) ( ) ( ) ( )2x 1 02

1 1 2 1 1

2

1(f (x)) 1 (f (x) ' 1 x 1 (f (x) ' 1 (f (x) '

x 1

+ ≠− − − − ⇔ εϕ + = ⇔ + = ⇔ = +

για κάθε x∈ℝ .

Γενικεύουμε:

Αν μια συνάρτηση f:Δ → ℝ είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ και

παραγωγίσιμη στο σημείο0

x ∈∆ με 0

f '(x ) 0≠ , τότε και η -1f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο

o 0y f(x )= με

( )1

0 10 o

1 1f '(x )

f '(x ) f '(f (y ))

−

−= =

Απόδειξη

Η συνάρτηση 1f− είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα f( )∆ .

Αρκεί να αποδειχθεί ότι 0

1 1

0

y y0 0

f (y) f (y ) 1lim

y y f '(x )

− −

→

−=

−

Αν 1f (y) x− = τότε για 0

y y→ ισχύει: 1 1

0f (y) f (y )− −→ , δηλαδή

0x x→ .Επίσης για

0y y≠ , ισχύει:

0x x≠

0 0 0

1 1

0 0

y y x x x x00 0 0

0

f (y) f (y ) x x 1 1lim lim lim

f(x) f(x )y y f(x) f(x ) f '(x )

x x

− −

→ → →

− −= = =

−− −

−

Στην εκφώνηση το συνεχής και γνησίως μονότονη είναι ισοδύναμο με το συνεχής και 1-1.( δες το

φυλλάδιο της συνέχειας)



57 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΕΩΝ 1. Καθορισμός Παραμέτρων

• Υπολογίζω τις παραγώγους

• Δημιουργώ εξισώσεις σύμφωνα με τις υποθέσεις

• Λύνω τα συστήματα και υπολογίζω τις παραμέτρους

• Για να υπολογίσω το ( )of x′ , πρώτα υπολογίζω το ( )f x′ και στη συνέχεια θέτω όπου

οx το x

Παράδειγμα 1: Έστω ( ) 2f x x αx= + . Να βρεθεί το α, ώστε ( )f 1 5′ = .

Παράδειγμα2: Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )32 3f x αx β= − . Να βρεθούν οι τιμές των α και β, ώστε για

κάθε x R∈ να ισχύει: ( ) 5 3f x 6x 24x 24x′ = − + .

Παράδειγμα3: Δίνεται η συνάρτηση ( ) αtf t e−= .Να βρείτε τις τιμές του α ώστε ( ) ( ) ( )3 4f t f t f t′′ ′+ =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 57-1. Αν ( ) ( ) ( )2

f x = x+1 2x+α και ( )f 1 =2′′ , να βρείτε το α.

57-2. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x +2αx+3 . Να βρείτε την τιμή του α, ώστε ( )f 1 =4′ .

57-3. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x =x +3x -8x+2

α. Να βρείτε τις παραγώγους ( ) ( )f x ,f x′ ′′

β. Να βρείτε τα θετικά x για τα οποία ισχύει: ( ) ( )f x f x -34=0′ ′′+ .

57-4. Αν ( ) 3f x =2x , να βρείτε τα σημεία ( )( )A α,f α για τα οποία είναι ( ) ( )f α =f α′ .

57-5. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α, β, γ, όταν για τη

συνάρτηση ( ) ( )3 2 xf x x αx βx γ e= + + + , ισχύει για κάθε fx∈Α η σχέση ( ) 3 xf x x e′ = .

2. Απόδειξη ισοτήτων με παραγώγους

• Υπολογίζω τις παραγώγους διαφόρων τάξεων που απαιτούνται

• Αντικαθιστώ στη ζητούμενη σχέση και με ισοδυναμίες καταλήγω σε σχέση που ισχύει

(ή με ευθεία απόδειξη, από το ένα μέλος στο άλλο)

Παράδειγμα 4: Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x e ημx−= . Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )2 2 0f x f x f x′′ ′+ + = , για

κάθε x∈ℝ

Παράδειγμα 5: Από τον τριγωνομετρικό τύπο ( )3 2συν3x συν x 3συνxημ x x R= − ∈ , να εξαχθεί ο

τύπος 2 3ημ3x 3συν xημx ημ x= − .


57-6. Αν ( )2

x-3f x = ,x 0

x≠ , να δείξετε ότι: ( ) ( )3 43x f x +x f x +x=0′ ′′⋅ ⋅ .

57-7. Αν xxf 2ηµ)( = , να αποδείξετε ότι 2)(4)( =+′′ xfxf .

57-8. Αν μxf(x)=e , να βρείτε το μ ώστε να ισχύει f (x)-3f (x)-4f(x)=0′′ ′ .

57-9. Αν px -pxf(x)=αe +βe , να δείξετε ότι 2f (x)=p f(x)′′ .

57-10. Αν f(x)=Aσυνωx+Bημωx , να δείξετε ότι 2f (x)+ω f(x)=0′′ .

57-11. Αν ( ) 2f x =ημ x , να αποδείξετε ότι ( ) ( )f x +4 f x =2′′ ⋅ .



58 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1. Εύρεση Πολυωνύμου

1. Βρίσκω από τη σχέση που δίνεται το βαθμό του πολυωνύμου, ή σε θεωρητική περίπτωση τον

θέτουμε ν.

2. Γράφω το ( )P x με παραμέτρους α, β, γ ( ) 4 3P x αx βx ...= + +

3. Παραγωγίζω και αντικαθιστώ.

4. Λύνω το σύστημα που προκύπτει με αγνώστους α, β, γ, …

Παράδειγμα1: Να βρεθεί το πολυώνυμο ( )P x τέτοιο ώστε για κάθε x R∈ να ισχύει η ισότητα

( ) ( ) ( ) 3 2P x P x P x x 5x x 3′ ′′+ − = + + + .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 58-1. Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε 4)0( =f , 2)1( =−′f , 4)2( =′′f και

6)1()3( =f .

58-2. Να βρεθεί πολυώνυμο ( )P x τέτοιο ώστε ( )P 1 0 και για κάθε x R= ∈ να είναι ( ) ( )2

4P x P x′= .

58-3. Να βρείτε πολυώνυμο ( )P x 4ου βαθμού τέτοιο ώστε να ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P 0 =1,P 1 =6,P 0 = -3,P 1 = -7 και P 1 =12′ ′ ′′ .

58-4. Να βρεθεί πολυώνυμο ( )P x , ώστε να είναι ( )P 1 1= και για κάθε x R∈ να ισχύει η

ισότητα ( ) ( )2

P x 4P x′ = .

58-5. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ με Ρ(x) = ( )( )2 P' x για κάθε x R∈ (1).

2. Ρίζες Πολυωνύμου

1. Βρίσκω τις παραγώγους που απαιτούνται.

2. Για να είναι ο αριθμός ρ διπλή ρίζα του ( )P x , αρκεί ( ) ( ) ( )P ρ P ρ 0 και P'' ρ 0′= = ≠ (γιατί αλλιώς

θα ήταν τριπλή δηλαδή για να διαιρείται το ( )P x με το ( )2x ρ− θα πρέπει το x ρ− να είναι

παράγοντας και του ( )P x και του ( )P x′ , όμοια για τριπλή ρίζα

( ) ( ) ( ) ( )P ρ P ρ P ρ 0 και P ρ 0′ ′′ ′′′= = = ≠ ) (για να είναι απλή ρίζα πρέπει ( ) ( )P ρ 0 και P ρ 0′= ≠ ).

Παράδειγμα 2: Να βρεθούν οι τιμές των α, β, γ, δ ώστε το πολυώνυμο ( ) 4 3 2P x x αx βx γx δ= + + + + ,

να έχει ρίζα τον αριθμό 1 με βαθμό πολλαπλότητας 3. (Στην τάξη)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 58-6. Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε το πολυώνυμο ( ) 4 3 2P x x αx βx βx 4= + + − + να διαιρείται

με το ( )2x 1− .

58-7. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο ( )2x 1− διαιρεί το πολυώνυμο ( ) ( )ν 1 νP x νx ν 1 x 1+= − + +

58-8. Αν το πολυώνυμο ( ) 3 21 2 3P x x α x α x α= + + + , έχει ρίζες τους αριθμούς α, β, γ, με 0 α β γ< < <

να δειχτεί ότι :

α.( ) ( ) ( )

β γα0

P α P β P γ+ + =

′ ′ ′.

β. ( ) ( ) ( )P α P β P γ 0′ ′ ′+ + >

(Υπόδειξη: ( )P x (x α)(x β)(x γ)= − − − …..)



59 ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ

• Αναγνωρίζω στο ζητούμενο όριο τον ορισμό ( )( ) ( )

0

00

x x0

f x f xf x lim

x x→

−′ =

−.

• Υπολογίζω με κανόνες παραγώγισης το ( )0f x′ .

Παράδειγμα1: x

x 0

e 2lim

x ln 2→

−−

Λύση

Παρατηρώ ότι:

xx x ln 2 f(x) e

x 0 x 0 x 0

e 2 e e f(x) f(ln 2)lim lim lim f '(ln 2)

x ln 2 x ln 2 x ln 2

=

→ → →

− − −= = =

− − −.Όπου

( )x xf '(x) e ' e= = άρα x

ln 2

x 0

e 2lim f '(ln 2) e

x ln 2→

−= =

−


59-1. Να βρείτε το όριο x e

lnx-1lim

x-e→.

59-2. Να βρείτε το όριο x π

συνx+1B= lim

x-π→.

59-3. Να υπολογίσετε τα όρια:

i) x

x 0

e -1lim

x→ ii)

xx 1

lnxlim

e -e→

59-4. Αν ( ) ( )f 2 =3 και f' 2 =5, να υπολογίσετε το ( )2

x 2

x f x -12lim

x-2→.

60 ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο Α ( )o o(x ,f x ) είναι η ( )of x′

Α. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΕΠΑΦΗΣ

• Αν είναι Α ( )o o(x ,f x ) το γνωστό σημείο επαφής, η ζητούμενη εφαπτομένη έχει

εξίσωση της μορφής ( ) ( ) ( )o o oy f x f x x x′− = ⋅ − (1)

• Υπολογίζω το ( ) ( )o οf x και το f x′

• Αντικαθιστώ τα ( ) ( )o οf x και το f x′ στην (1) και βρίσκω την ζητούμενη εξίσωση

Παράδειγμα 1: Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης ( ) 2 1f x x= − στο

σημείο ( )( )1 1A ,f

Λύση

( ) ( )2 1 2f ' x x ' x= − = , ( )1 2f ' = , ( ) 21 1 0f x = − =

Η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο ( )( )1 1A ,f είναι:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0 2 1 2 2y f f x y x y x′− = ⋅ − ⇔ − = − ⇔ = −

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 60-1. i) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης

3

2

tf(t)=

t +1 στο σημείο της A(3,f(3)) .

ii) Ομοίως της καμπύλης της συνάρτησης ημθ

f(θ)=ημθ+συνθ

στο σημείο τηςπ π

Α ,f3 3

.



60-2. Δίνεται η συνάρτηση αx

αxαxf

+

+=)( ,

*α ∈ℝ . Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η κλίση

της fC στο σημείο της )1,0(A είναι ίση με 2

1.

60-3. Δίνεται η συνάρτηση ( )x -x

x -x

e -ef x =

e +e. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της καμπύλης της

συνάρτησης στο σημείο με τετμημένη 0 είναι παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης

γωνίας των αξόνων.

60-4. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x =lnx . Να βρεθεί:

α. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β. η παράγωγος της f

γ. η τιμή ( )f 1′

δ. η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο ( )( )A 1,f 1 , καθώς και η γωνία που σχηματίζει η

ευθεία αυτή με τον άξονα x’x.

60-5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:

i) 2f(x)=x στο A(3,f(3))

ii) f(x)=2 x , στο A(4,f(4)) .

60-6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x όταν:

α. ( ) 0

1f x = και x =2

x

β. ( ) 30f x =x 1 και x =-1+

γ. ( ) 20f x =x 2 4 και x =0x+ + .

60-7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =3x-x .

α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0x

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της

( )( )A 1,f 1 .

60-8. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f(x)=2ημx συνx⋅ στο

σημείο της με π

x=3

.

60-9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της ( ) ( )f x =ln 2-x στο σημείο της με τετμημένη 1.

60-10. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 21f x = x +1

4.

α. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στα σημεία ( )( ) ( )( )A -1,f -1 και B 3,f 3

β. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των παραπάνω εφαπτόμενων.

60-11. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x +λx+2,λ∈ℝ .

α. Να βρεθεί το ( )f 1′

β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο

της Α με τετμημένη 0x =1

γ. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο Α διέρχεται

από σταθερό σημείο για κάθε λ∈ℝ .

δ. Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε η παραπάνω εφαπτομένη να διέρχεται από το σημείο

( )B 2,-3 .

60-12. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x = x +x+1 . Να βρείτε:

α. την παράγωγο της f στο 0

β. τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε, της fC στο σημείο ( )( )A 0,f 0 .

γ. την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η παραπάνω ευθεία ε με τον άξονα x’x.

δ. την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης.



60-13. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 23 3f x = - x + x+3

4 2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο

σημείο (2,3) και να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες των συντεταγμένων.

60-14. Δίνεται η συνάρτηση ( )2

3+xf x =

1-x.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β. Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο ( )( )M 0,f 0 .

60-15. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x =συνx . Να βρείτε:

α. την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης

β. την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο π π

A ,f2 2

.

γ. τα σημεία στα οποία η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τους άξονες καθώς και το εμβαδόν του

τριγώνου που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τους άξονες.

60-16. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = lnx . Να βρείτε:

i) Τον αριθμό ( )f' e ,

ii) Την εξίσωση της εφαπτομένης της fc στο σημείο της Ν με τετμημένη 0x =e .

60-17. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ είναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα

( )3 3f x +x+1 =7x -x , για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε:

α. την παράγωγο της f στο 0x =3

β. την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο ( )( )A 3,f 3 .

60-18. Έστω μια συνάρτηση f:R R→ άρτια και παραγωγίσιμη. Αν η κλίση της f στο 0x =1 είναι 2016,

να βρείτε την κλίση της f στο 1x = -1 .

60-19. Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: →ℝ ℝ ισχύει ότι ( ) xf ημx =e συνx⋅ , x∈ℝ .

α. Να βρείτε την τιμή ( )f 0′

β. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο σημείο ( )( )A 0,f 0 σχηματίζει με τους άξονες

ισοσκελές τρίγωνο.

Β. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟ

ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ

• Έστω ότι το σημείο επαφής έχει συντεταγμένες της μορφής Α ( )o o(x ,f x ) αναζητώ την

τιμή ή τις τιμές του ox από τα δεδομένα της άσκησης

1. σε ασκήσεις που είναι γνωστή η γωνία ω που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον xx’

χρησιμοποιώ τη σχέση ( )of x εφω′ = και υπολογίζω το ox

2. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον xx’

χρησιμοποιώ τη σχέση ( ) 0of x′ = και υπολογίζω το ox

3. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε κάποια άλλη

ευθεία (ε) χρησιμοποιώ τη σχέση ( )of x ε′ = λ και υπολογίζω το ox

4. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη σε κάποια άλλη

ευθεία (ε) χρησιμοποιώ τη σχέση ( ) 1of x ε′ ⋅ λ = − και υπολογίζω το ox

5. σε ασκήσεις που αναφέρεται ότι η εφαπτομένη ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ από γνωστό σημείο

γράφω την εξίσωση της εφαπτομένης και οι συντεταγμένες του σημείου την

επαληθεύουν, έτσι δημιουργείται εξίσωση με άγνωστο το ox

6. σε κάθε άλλη περίπτωση προσπαθώ από τα δεδομένα να δημιουργήσω εξίσωση

με άγνωστο το ox

• Αν είναι Α ( )o o(x ,f x ) το γνωστό σημείο επαφής, η ζητούμενη εφαπτομένη έχει

εξίσωση της μορφής ( ) ( ) ( )o o oy f x f x x x′− = ⋅ − (1)



• Υπολογίζω το ( ) ( )o οf x και το f x′

• Αντικαθιστώ τα ( ) ( )o οf x και το f x′ στην (1) και βρίσκω την ζητούμενη εξίσωση

Παράδειγμα2: Αν ( ) 2 3 1f x x x= − + − , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που σχηματίζει με τον

άξονα xx’ γωνία 135o .

ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΤΟΝ ΟΡΟ ( )of x′ (ΑΡΙΘΜΟΣ) ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΟ ( )f x′

(ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ)


60-20. Σε ποια σημεία της καμπύλης της συνάρτησης 3x

f(x)=x+1

η εφαπτομένη της είναι παράλληλη

στην ευθεία y=3x+5 ;

60-21. Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης 3 2f(x)=x -6x +9x+4 στα οποία οι

εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα x x′ .

60-22. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

xxxf 2ηµ22ηµ)( −= , ]2,0[ πx∈ ,στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των x.

60-23. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5f x =x . Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της fC στα οποία οι

εφαπτόμενες είναι παράλληλες. Πως ερμηνεύεται γεωμετρικά το αποτέλεσμα αυτό;

60-24. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = lnx. Να βρείτε τις εφαπτομένες της fc , οι οποίες είναι

παράλληλες με την ευθεία ( )η :x-y+2=0 .

60-25. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι

παράλληλες στον άξονα των x, όταν

i) x

xxf4

)( += ii) xe

xxf =)( iii)

x

xxf

1)(

2 += .

60-26. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της x

f(x)=x+1

που

είναι παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας ˆx0y .

60-27. Δίνεται η παραβολή ( ) 2f x =x -x+6 . Να βρείτε το σημείο της fC στο οποίο η εφαπτομένη είναι

παράλληλη προς την ευθεία y=3x+κ .

60-28. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 53)( 3 +−= xxxf , στα οποία

η εφαπτομένη είναι:

i) παράλληλη προς την ευθεία 19 += xy

ii) κάθετη προς την ευθεία xy −= .

60-29. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x -3x+4 . Να βρεθεί η εφαπτόμενη της fC που είναι κάθετη στην

ευθεία η:2x+3y-7=x

60-30. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3f x =x . Να βρείτε τις εφαπτομένες της fc , οι οποίες είναι κάθετες με

την ευθεία ( )η :x+3y-2=0 .

60-31. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 3f x =2x

4− . Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο

οποίο η εφαπτομένη της σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία 45 .

60-32. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f(x)=αx(1-x) στο σημείο της O(0,f(0)) να σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία 060 .

60-33. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x +5x . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της fC που

σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία 4

π.



60-34. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x . Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της fc , οι οποίες

διέρχονται από το σημείο Ρ(3,5). Ποια είναι τα σημεία επαφής στην κάθε περίπτωση;

60-35. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της 2)( xxf = η οποία

άγεται από το σημείο )1,0( −A .

60-36. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x -3x+4 . Να βρεθεί η εφαπτόμενη της fC η οποία διέρχεται από

το σημείο ( )A 1,-2 .

60-37. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =x . Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι εφαπτόμενες της fC

διέρχονται από το σημείο ( )M 1,-3 .

60-38. Το σημείο ( )0 0A x ,y είναι πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2f x =x -x . Αν ο

συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο

Α υπερβαίνει την τετμημένη του Α κατά 1, να βρείτε το σημείο Α.

Γ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΏΣΤΕ ΜΙΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙΑ ΝΑ ΕΊΝΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

ΜΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

• Φέρνω την ευθεία στην μορφή 1 1y α x+β=

• Φέρνω την εφαπτομένη στη μορφή 2 2y α x+β=

• Απαιτώ να συμπίπτουν : 1 2

1 2

α = αβ = β

.

• Λύνω το σύστημα και υπολογίζω τις παραμέτρους

Παράδειγμα3: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x= . Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε η

ευθεία 2y x α= + να είναι η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο Α(1,1)

Για να έχουν δυο καμπύλες κοινή εφαπτομένη θα πρέπει να έχουν τον ίδιο συντελεστή

διεύθυνσης και ένα κοινό σημείο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 60-39. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =αx +β . Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο x=1 είναι η ευθεία y= 4x-1, να βρείτε το α.

60-40. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x =αx +βx+γ με α 0≠ . Να προσδιοριστούν οι α, β, γ έτσι, ώστε η fC

να περνά από το σημείο ( )A 1,3 και η εφαπτομένη της fC στο σημείο ( )B 2,0 να είναι παράλληλη

με την ευθεία ε:4x+y=8 . Ποιος είναι τότε ο τύπος της συνάρτησης;

60-41. Δίνεται η συνάρτηση ( )y=f x . Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της

καμπύλης ( )y=f x στο σημείο με τετμημένη -1 είναι: 2x+y+3=0 να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτομένης της καμπύλης ( )( )3

1g x =

f x στο σημείο με τετμημένη -1.

60-42. Έστω f: →ℝ ℝ παραγωγίσιμη συνάρτηση με ( )f 1 =1′ και ( ) ( )3g x =f x +x+1 -1,x∈ℝ .

α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της fC στο σημείο ( )( )A 1,f 1

β. Να βρείτε το ( )g 0′

γ. Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται της gC στο σημείο ( )( )B 0,g 0 .

60-43. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( ) ( )2 2f x =ln x -x+1 και g x =x -αx+β . Να βρεθούν:

α. οι f και g′ ′

β. η εξίσωση της εφαπτομένης ε της fC στο σημείο ( )( )A 1,f 1

γ. οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η ευθεία ε να εφάπτεται επίσης στη gC στο σημείο ( )( )B 2,g 2 .

60-44. Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f: →ℝ ℝ στο σημείο της

( )( )A 1,f 1 είναι παράλληλη με την ευθεία η:x-y+2=0 , τότε:

α. Να βρείτε την τιμή ( )f 1′ .



β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g με

( ) ( )2g x =f x +x+1 -1 , στο σημείο της ( )( )B 0,g 0 .

60-45. Θεωρούμε δυο σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 3f x =x +6x+2 .

α. Αν οι τετμημένες των Α και Β είναι 1 και 4 αντίστοιχα, να υπολογίσετε τον συντελεστή

διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ

β. Αν το σημείο Γ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης βρίσκεται μεταξύ των Α και Β και η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Γ είναι παράλληλη στην ΑΒ, να βρείτε την

τετμημένη του Γ

γ. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα οποία οι εφαπτόμενες

έχουν συντελεστές διεύθυνσης που είναι εννιαπλάσιοι των τετμημένων των σημείων αυτών

61 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΤΥΠΟ

• Βρίσκω το σημείο επαφής ( )( )0 0x ,f xΑ (αν δεν δίνεται).

• Βρίσκω την τιμή ( )0f x′ (με πλευρικά όρια).

• Η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τον τύπο ( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x′− = − .

Παράδειγμα1: Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης ( )y f x= στη θέση 0x , όταν:

( )3

02

x 3x 2, x 2f x , x 2

x 5x 10, 2 x

− + ≤= =

+ − <


61-1. Αν

≥+

<−=

0,1ηµ

0,1

1

)(

xx

xxxf , να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

στο σημείο )1,0(A και σχηματίζει με τον άξονα των x γωνία 4

π.


i) ( )ημx, x<0

f x =x, x 0

≥

ii) ( )3

2

x , x 0g x =

x , x>0

≤

Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης των f gc ,c στα σημεία Α(0,f(0)) και Β(0,g(0))

«Βαρέθηκα τα F(x) και τις

παραγωγίσεις. Για αυτό θα

πάρω τα βουνά να βόσκω

συναρτήσεις!!»



62 ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ–ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

Α. Για να δείξω ότι η ευθεία, y=αx+β εφάπτεται στη fC .

• Θεωρώ ( )( )0 0x ,f x το σημείο επαφής.

• Γράφω την εξίσωση της εφαπτομένης ( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x′− = − , στη μορφή y λx κ= + .

• Απαιτώ οι δύο παραπάνω ευθείες να συμπίπτουν α λ και β κ= = .

• Λύνω το σύστημα και βρίσκω το σημείο επαφής, άρα η y αx β= + εφάπτεται στη fC . (Αν το

σύστημα είναι αδύνατο, τότε η ευθεία δεν εφάπτεται στη fC ).

Παράδειγμα1: Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = x και τα σημεία Α(1,1), Β(-1,0). Να αποδείξετε ότι η

ευθεία ΑΒ εφάπτεται της fc στο Α.


62-1. Να δειχτεί ότι η ευθεία και η καμπύλη εφάπτονται:( ) 2

y 3x 6

f x x 5x 10

= −

= − +.

62-2. Έστω η συνάρτηση xxf =)( και το σημείο ))(,( ξfξA , 0≠ξ της γραφικής παράστασης της f.

Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ))(,( ξfξΑ και )0,( ξΒ − εφάπτεται της fC

στο Α.

62-3. Να δειχτεί ότι ευθεία και αντίστοιχη καμπύλη εφάπτονται( ) ( )2

y 3x 8

f x x ln x 3

= −

= + −.

Β. Για να βρω τιμές παραμέτρων, ώστε να ισχύει μια συνθήκη.

• Θέτω ( )( )0 0x ,f x το σημείο επαφής αν δεν το γνωρίζω.

• Σχηματίζω εξισώσεις, αναλόγως των υποθέσεων.

• Λύνω το σύστημα.

Παράδειγμα2: Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ, ώστε η καμπύλη της συνάρτησης

( ) ( ) ( )2 2f x λ 1 x λ 1 x λ 2= − + + − + , να έχει στο σημείο ( )( )1,f 1Α εφαπτομένη παράλληλη προς την

ευθεία y 14x 2= + .

Β. Για να βρω τιμές παραμέτρων, ώστε να ισχύει μια συνθήκη.

• Θέτω ( )( )0 0x ,f x το σημείο επαφής αν δεν το γνωρίζω.

• Σχηματίζω εξισώσεις, αναλόγως των υποθέσεων.

• Λύνω το σύστημα.

Παράδειγμα2: Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ, ώστε η καμπύλη της συνάρτησης

( ) ( ) ( )2 2f x λ 1 x λ 1 x λ 2= − + + − + , να έχει στο σημείο ( )( )1,f 1Α εφαπτομένη παράλληλη προς την

ευθεία y 14x 2= + .


62-4 . Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )αx+β, αν x 1

f x =x+1, αν x>1

≤

.

i) Να βρείτε τις τιμές των α, β R∈ , ώστε να ορίζεται η εφαπτομένη της fc στο σημείο 0x =1 .

ii) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο ( )( )0 0A x ,f x .

62-5. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5 2 2 3f x =α +3α x +x , α∈ℝ .

α. Να βρείτε το ( )f -1′

β. Αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο της με τετμημένη -1

είναι -3, να βρείτε το α.

62-6. Η ευθεία με εξίσωση 1

y= - x+32

είναι κάθετη προς την εφαπτομένη της καμπύλης x0y=e στο x .

Να προσδιορίσετε το 0x .



62-7. Δίνεται η συνάρτηση ( )

2αx +β, x<1

f x = γ, x 1

x

≥

. Να βρείτε τους α, β, γ, έτσι ώστε η fc να έχει

στο σημείο Α(1,f(1)) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία ( )η :4x-y-2=0.

62-8. Δίνεται η συνάρτηση γxβxαxf ++= 2)( , ∈γβα ,, . Να βρείτε τις τιμές των ∈γβα ,, για τις

οποίες η fC , διέρχεται από το σημείο )2,1(A και εφάπτεται της ευθείας xy = στην αρχή των

αξόνων.

62-9. Να βρεθεί η τιμή του α R∈ , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

( ) 2f x =αx -2xlnx στο σημείο Μ(1,f(1)) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

63 ΚΟΙΝΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ

Α. Κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο (εφαπτομένες καμπύλες).

• Λύνω το σύστημα των εξισώσεων των δύο καμπυλών και βρίσκω τις συντεταγμένες ( )0 0x ,y

των σημείων τομής.

• Βρίσκω τις παραγώγους ( ) ( )f x ,g x′ ′ .

• Ελέγχω αν ισχύει ( ) ( )0 0f x g x′ ′= , οπότε υπάρχει κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο και είναι

η ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0y f x f x x x ή y g x g x x x′ ′− = − − = − .

• Αν ( ) ( )0 0f x g x′ ′≠ δεν έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο.

• Τα παραπάνω επαναλαμβάνω για όλα τα κοινά σημεία.

Παράδειγμα1: Να βρεθούν οι κοινές εφαπτομένες των καμπυλών ( ) ( )y f x και y g x= = στα κοινά

τους σημεία, όταν: ( ) ( )3 2 2f x x 2x x 4 και g x x x= − − + = − .


63-1. Δίνονται οι συναρτήσεις 2)( 2 ++= xβxαxf και x

xg1

)( = . Να βρείτε τα ∈βα, ∇ για τα οποία οι

γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 10 =x .

63-2.

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

( )2x +αx+β

f x =x+1

και ( )2

g x =x

να έχουν κοινή εφαπτομένη σε σημείο της ευθείας με εξίσωση x=1.

63-3.

Να βρεθούν τα α R∈ , ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

( ) ( )2 3 2f x =x +αx-1 και g x =x +x +2αx+1 να έχουν κοινό σημείο με κοινή εφαπτομένη.

Β. Κοινή εφαπτομένη σε μη κοινό σημείο.

• Θεωρώ ( )( ) ( )( )α,f α , β,g βΑ Β τα σημεία επαφής των καμπυλών f gC ,C αντίστοιχα.

• Γράφω τις εξισώσεις των εφαπτομένων ,Α ΒΣ Σ στη μορφή y λx β= + και ΑΠΑΙΤΩ να

συμπίπτουν.

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

y f α f α x α y f α x f α αf α

y g β g β x β y g β x g β βg β

′ ′ ′− = − = + −⇔

′ ′ ′− = − = + −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f α g β 1

f α αf α g β g β 2

′ ′=

′ ′− = −

• Λύνω το σύστημα των (1) και (2) και βρίσκω τα α, β, και στη συνέχεια την κοινή εφαπτομένη.

• Αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε μη κοινό σημείο.

Παράδειγμα2: Να βρεθούν οι κοινές εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

( ) ( )2 2f x =4-x και g x = -x +8x-20 .




63-4. Δίνονται οι συναρτήσεις xexf =)( και xxxg −−= 2)( . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC

στο σημείο )1,0(A εφάπτεται και στην gC .

63-5. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο f δεύτερου βαθμού του οποίου η γραφική

παράσταση να εφάπτεται των ευθειών 1+= xy και 13 −= xy στα σημεία )1,0(A και )2,1(B

αντιστοίχως.

63-6. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο ℝ συνάρτηση για την οποία ισχύει 1)1( =′f και g η

συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα 1)1()( 2 −++= xxfxg , ∈x ℝ . Να αποδείξετε ότι η

εφαπτομένη της fC στο ))1(,1( fA εφάπτεται της gC στο ))0(,0( gB .

64 ∆ΙΑΦΟΡΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ

Παράδειγμα 1: Για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση ( )4 4x-4x f x x+4x≤ ≤ για κάθε x R∈ (1)

i) ( )f 0 =0, ii) ( )f 0 =1' , iii) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Ο(0,0)

σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία o45 .

Παράδειγμα2: Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

2)( xxf = και 2

1

2

1)( +=

xxg στο κοινό σημείο τους )1,1(A , είναι κάθετες.


64-1. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής 2xy = στα οποία οι εφαπτόμενες της

γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης 3)( xxf = ;

64-2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 3)( xxf = σε οποιοδήποτε

σημείο της ),( 3ααM , 0≠α έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η

κλίση της fC είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ.

64-3. Να αποδειχθεί ότι από το σημείο Μ(λ, -2) άγονται κάθετες εφαπτομένες προς τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης ( ) 21f x = x

8.

64-4. Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x

xf1

)( = σε ένα σημείο της

ξ

ξM1

, . Αν ΒΑ, είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες xx′ και yy′ αντιστοίχως, να

αποδείξετε ότι: i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ.

ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του *∈ξ .

64-5. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R R→ με την ιδιότητα ( )3 3f x +x+1 =7x -x, για κάθε

x R∈ . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της Α(3,f(3)).

64-6. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει xexf xσυν)ηµ( = , για κάθε ∈x R

i) Να βρείτε την )0(f ′

ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο σημείο ))0(,0( fA σχηματίζει με τους

άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

64-7. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( )A= 0,+∞ και για κάθε x R∈ ισχύει ( )-x 2f e =x +2x+3 .

Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της Μ(1, f(1)).



64-8. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο

( )f x =xlnx-αx στο σημείο της Μ(1,f(1)), διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε τιμή του

πραγματικού αριθμού α.

64-9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )3 2f x =x +λx + 1-λ x+1+λ, λ R∈ . Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτομένες της

fC στο σημείο Μ(1,f(1)) διέρχονται από σταθερό σημείο για κάθε λ R∈

64-10. Να αποδείξετε ότι η ευθεία 23 −= xy έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3)( xxf = δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά.

65 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ 1. Πινακάκι προσήμου Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι πολυωνυμική ή ρητή και παραγοντοποιούνται οι

όροι τους τότε παραγοντοποιώ και κάνω πινακάκι προσήμου κατά τα γνωστά από τις

μικρότερες τάξεις

Παράδειγμα1: Να βρεθεί το πρόσημο των συναρτήσεων

1. ( ) = − +3f x x 7x 6

2. ( ) − +=

+

3x 7x 6f x

x 3

2. Λογαριθμική –Εκθετική συνάρτηση

Αν έχω καθαρά εκθετική ή λογαριθμική συνάρτηση τότε λύνω την ανίσωση ( ) ≥f x 0 ή

( ) ≤f x 0 και κάνω πινακάκι προσήμου.

Παράδειγμα2: Να βρεθεί το πρόσημο των συναρτήσεων

1. ( ) = −xf x e 2

2. ( ) ( )= − +f x ln x 2 3

3. Συνδυασμός των παραπάνω τύπων ή τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι

διαδοχικές ρίζες της ( )f x χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

• Βρίσκω τις ρίζες της εξίσωσης ( )f x 0= . (Αν υπάρχει κλασματικός όρος μετασχηματίζω

τον τύπο σε ένα κλάσμα και βρίσκω τις ρίζες του αριθμητή και παρονομαστή).

• Τοποθετώ στον άξονα το πεδίο ορισμού και τις ρίζες (και τις τιμές που μηδενίζουν τον

παρονομαστή «με διπλή γραμμή»).

• Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγω έναν τυχαίο

αριθμό και βρίσκω το πρόσημο της f στον αριθμό αυτόν. Το πρόσημο αυτό είναι και το

πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.

Παρατηρήσεις:

1). Αν πρόκειται για πολυωνυμική συνάρτηση τότε το πρόσημο εναλλάσσεται στα

διαστήματα των ριζών ξεκινώντας

• Με «+» αν ο μεγιστοβάθμιος είναι άρτιας τάξης.

• Με «-» αν ο μεγιστοβάθμιος είναι περιττής τάξης.

• Αν έχω διπλή ρίζα δεν ισχύει το προηγούμενο γιατί εκατέρωθεν της διπλής ρίζας το

πρόσημο παραμένει σταθερό και αλλάζει στα άλλα διαστήματα.

2). Αν ο τύπος είναι παραγοντοποιημένος τότε βρίσκω το πρόσημο κάθε παράγοντα με

πίνακα προσήμου. Αν ο παράγοντας είναι θετικός, π.χ. 2 2x 1, x x 1+ + + αυτός παραλείπεται

από τη διαδικασία γιατί δεν επηρεάζει το γενικό πρόσημο.

Παράδειγμα3: Να βρεθεί το πρόσημο των συναρτήσεων:

(1). ( ) = − +3f x x 7x 6 ,

(2). ( ) = −

πf x 2ημx 1 στο 0,

2.



(3) ( ) ( )= − +f x ln x 2 3

Γενικά αν μια συνεχής συνάρτηση δεν μηδενίζει σε διάστημα Δ τότε διατηρεί σταθερό

πρόσημο στο διάστημα Δ. Δηλαδή για κάθε 1 2x ,x ∈∆ , ισχύει ( ) ( )1 2f x f x 0> .

Γι’ αυτό το τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα διατηρεί σταθερό πρόσημο αφού δεν έχει

ρίζες.

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 65-1. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R→ με ( )f x 0≠ για κάθε ( )x R και f 2 3∈ = − . Να βρείτε

το ( )( ) 3

xlim f 1 2 x 3x 1→+∞

− − + .

Λύση

Επειδή η f είναι συνεχής και ισχύει ( )f x 0≠ για κάθε x R∈ θα ισχύει ή ( )f x 0> για κάθε x R∈

ή ( )f x 0< για κάθε x R∈ .

Αφού ( )f 2 3 0= − < θα είναι ( )f x 0< για κάθε x R∈ . Άρα ( )f 1 0< , οπότε ( )f 1 2 0− < . Επομένως

( )( ) ( )( )3 3

x xlim f 1 2 x 3x 1 lim f 1 2 x→+∞ →+∞

− − + = − = −∞ .

65-2. Να βρείτε τα πρόσημα της συνάρτησης ( ) [ ]f x 2ημx 1, x 0,π= − ∈ .

Λύση

Για [ ]x 0,π∈ έχουμε ( )1 π 5π

f x 0 2ημx 1 0 ημx x η' x2 6 6

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = .

Επειδή η f είναι συνεχής, το πρόσημό της σε κάθε υποδιάστημα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες

είναι το ίδιο με το πρόσημο οποιασδήποτε τιμής της στο υποδιάστημα αυτό.

Από τον παρακάτω πίνακα έχουμε:

• ( )f x 0< για κάθεπ 5π

x 0, ,π6 6

∈ ∪ .

• ( )f x 0> για κάθεπ 5π

x ,6 6

∈

.

Διάστημα π0,

6

π 5π

,6 6

5π

,π6

Επιλεγμένος αριθμός 0x 0 π

2

Π

( )0f x -1 1 -1

Πρόσημο - + -

65-3. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R→ με ( )f 1 2 και 1,2= − − διαδοχικές ρίζες της

εξίσωσης ( )f x 0= . Να βρείτε το( )3

2x

x f 0 1lim

x 2→+∞

+

+.

Λύση

Επειδή η f είναι συνεχής στο [ ]1,2− και οι αριθμοί -1, 2 είναι διαδοχικές ρίζες της ( )f x 0= , η f θα

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( )1,2− .

Αφού ( )f 1 2 0= − < , είναι ( )f x 0< για κάθε ( )x 1,2∈ − .

Οπότε( ) ( )

( )3 3

2 2x x x

x f 0 1 f 0 xlim lim lim f 0 x

x 2 x→+∞ →+∞ →+∞

+= = = −∞

+.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 65-4. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x, όταν:

i) 3 2f(x)=x +2x -x-2 ii) 4 2f(x)=x -9x iii) f(x)=εφx- 3 iv) f(x)=ημx+συνx , x [0, 2π]∈ .

65-5. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης ( ) 2f x = 21-4x-x -x-3 .

65-6. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης ( )f x =ημ2x- 2συνx για τις διάφορες τιμές του

[ ]x 0,π∈ .

65-7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x = 24-2x-x -x .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι είναι συνεχής

β. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =0

γ. Να βρείτε το πρόσημο της f.

66 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ⇔ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.

• Αν 0)( >′ xf σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

• Αν 0)( <′ xf σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΩ ΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f’

ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΩ ΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f’ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f’’

ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΩ ΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f’’ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f’’’ κλπ

Παρατηρήσεις:

1. Αν ( ) ( )f x 0 στο α,β′ ≥ και η ( )f x′ μηδενίζει μόνο σε μεμονωμένα σημεία, τότε η f γνησίως

αύξουσα στο ( )α,β . Ανάλογα, αν ( )f x 0′ ≤ και δε μηδενίζει παντού, τότε f γνησίως φθίνουσα

στο ( )α,β .

2. Αν η ( )f x′ δεν έχει ρίζα, τότε η ( )f x′ διατηρεί πρόσημο, αν είναι συνεχής., οπότε ( ) ( )f x 0 f x′ > ⇒

γνησίως αύξουσα, ή ( ) ( )f x 0 f x′ < ⇒ γνησίως φθίνουσα.

Η ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΠΑΝΤΑ ΣΕ ΕΝΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΟΧΙ ΣΕ ΕΝΩΣΗ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ),( βα , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του

0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

i) Αν 0)( >′ xf στο ),( 0xα και 0)( <′ xf στο ),( 0 βx , τότε το )( 0xf είναι τοπικό μέγιστο της f.

ii) Αν 0)( <′ xf στο ),( 0xα και 0)( >′ xf στο ),( 0 βx , τότε το )( 0xf είναι τοπικό ελάχιστο της f.

iii) Aν η )(xf ′ διατηρεί πρόσημο στο ),(),( 00 βxxα ∪ , τότε το )( 0xf δεν είναι τοπικό ακρότατο και

η f είναι γνησίως μονότονη στο ),( βα .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ακροτάτου, ενώ το ( )0f x , τιμή τοπικού ακροτάτου της f.

Πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων: ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ – ΑΚΡΑ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΚΡΙΣΙΜΑ:

1. Στάσιμα: Εσωτερικά σημεία του Δ που μηδενίζει η ( )f x′ : ( )0 0x : f x 0′∈∆ = .

2. Γωνιακά: Εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος, αλλά είναι συνεχής.

Για να βρω τη μονοτονία και τα ΤΟΠΙΚΑ ακρότατα μιας συνάρτησης

1. Βρίσκω το πεδίο ορισμού

2. Αποδεικνύω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού

3. Αποδεικνύω ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και βρίσκω την παράγωγο



4. Βρίσκω το πρόσημο της παραγώγου σύμφωνα με την προηγούμενη μεθοδολογία και

κάνω πινακάκι προσήμου στο οποίο τοποθετώ κατάλληλα όλα τα στοιχεία

5. Σε κάθε ένα από τα διαστήματα που δημιουργούνται εφαρμόζω το θεώρημα

μονοτονίας

6. Γράφω τις πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων και εφαρμόζω το θεώρημα ακροτάτων

1. Αν η f’ είναι Πολυωνυμική συνάρτηση • Μηδενίζω την f’

• Κάνω πινακάκι προσήμου

Παράδειγμα1: Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα

( )3 2x x

f x = + -6x+13 2

, ( ) ( )x 2f x =e x-2 -x +2x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 66-1. H παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι )3()2()1(3)( 23 −−−=′ xxxxf . Για ποιες τιμές του x η f

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιες παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο;

66-2. Να βρεθούν η μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων

( ) 2f x =x -2x+4 2f(x)=x -2x+4 2f(x)=-3x +6 2f(x)=x -2x ( ) 2f x =x -2x+3 ( ) 2f x =3+2x-x ( ) 2f x =-x +4x-5

xxxxf 1232)( 23 −−= ( ) 3f x =x -3x+1 ( )3 2x x

f x = - -2x+13 2

( ) 3f x =x -3x+2 3 2f(x)=x -6x +5 3f(x)=-x +3x+1

43)( 3 −+= xxxf ( ) 3 2f x x 3x 2= − + ( ) ( )3f x = 2-x ( )

32x 2

f x = +x -3x+3 3

( ) 3 2f x =x +2x -4x-8 ( ) 2 3f x =5-12x+9x -2x

( ) 3 2f x =x -6x +9x-8 ( ) 3 4f x =4x -x ( ) = −4 2f x x 2x ( ) ( )22f x = x 4− ( ) ( ) ( )5f x = x-1 x+2⋅

( )2x -2x+2f x =e

2. Αν η f’ είναι Ρητή συνάρτηση • Μηδενίζω την f’

• Κάνω πινακάκι προσήμου βάζοντας απλή γραμμή στις ρίζες του αριθμητή και διπλή στις

ρίζες του παρονομαστή (περιορισμούς)


( )2x

g x =x+1

( )f x =x-lnx


66-3. Δίνεται η συνάρτηση ( )2x -2x+4

f x =x-2

. Να βρεθούν:

α. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β. η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης, η μονοτονία της f και τα τοπικά ακρότατα της f

γ. η δεύτερη παράγωγος της f, η μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα της f′ . 66-4. Να βρεθούν η μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων

( )2 2

1

xf x

x

+=

−( )

x+3f x =

2x-1( )

x-1f x =

x-3( )

2x -2φ x =

2x-3( )

2x 5x 4f x

x 5

− +=

− 1)(

2 +=

x

xxf ( )

2x +16f x =

x

( )2x 7x 6

f xx 10

− +=

−( )

2

1 1f x = +

x x( )

3

2

x 26f x

x 1

+=

−( )

1h x =x+1+

x+1( ) 2 4

g x =x +x

xxxf −= ln)( ( )f x =lnx+x+1 ( ) ( )= − +2f x ln x 6x 8 ( )2x 6

f x =ln +x+1 x+1

( ) ( )2x -x+2

f x = +ln x-1x-1

( )1

xf x =xe



3. Αν η f’ είναι καθαρά Εκθετική ή λογαριθμική συνάρτηση

• Λύνω την ανίσωση ( ) 0f x ≥ ή ( ) 0f x ≤

• Κάνω πινακάκι προσήμου


i) ( ) xf x =e -x ii) ( )f x =xlnx-x+1 iii) ( ) xf x =e -x+1 iv) ( ) xf x =x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 66-5. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα

i) ( ) x-1f x =e +x+1 ii) ( ) = − −2xf x e 1 2x iii)xe

xxf =)(

4. Αν η f’ είναι καθαρά Τριγωνομετρική συνάρτηση

• Βρίσκω τις ρίζες της f’

• Δουλεύω με επιλεγμένη τιμή

Παράδειγμα 4: Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα

3ηµ2)( +−= xxxf , ],0[ πx∈


5. Αν η f’ είναι συνδυασμός 2 ή περισσοτέρων συναρτήσεων (π.χ. Εκθετική-πολυωνυμική) • Θέτω ξεχωριστή συνάρτηση τον όρο που δεν γνωρίζω το πρόσημο

• Βρίσκω τη μονοτονία αυτής της συνάρτησης

• Με τη βοήθεια του ορισμού της μονοτονίας βρίσκω το πρόσημο της συνάρτησης αυτής

• Κάνω πινακάκι μονοτονίας

Παράδειγμα 5: Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα

i) ( ) x 2f x =e -x +2016 ii) ( ) ( )2 2f x =xln x+ x +1 - x +1,x∈ℝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 66-6. Να βρεθούν η μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων

i) ( )lnx

f x =x

, ii) ( ) ( )= − − + > −xg x e 1 ln x 1 , x 1 , iii) ( ) x 2f x 2e x 2x 1= − − +

- Τι έχεις αν παραγωγίσεις ένα άλογο;

- Ένα παράλογο!!



6. Αν η f’ είναι συνδυασμός 2 ή περισσοτέρων συναρτήσεων (π.χ. Εκθετική-πολυωνυμική

(Working backwards) Αν δεν δουλεύει ο προηγούμενος τρόπος τότε:

• υπολογίζω τη δεύτερη ,τρίτη κλπ παράγωγο μέχρι να βρω σταθερό πρόσημο

• Με τη βοήθεια του ορισμού της μονοτονίας διαδοχικά «προς τα πίσω» βρίσκω το

πρόσημο της f’

• Κάνω πινακάκι μονοτονίας

• Με τον τρόπο αυτό βρίσκω και το πρόσημο της f

f f f f f′′ ′ ′ΠΡΟΣΗΜΟΤΗΣ →ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΤΗΣ →ΠΡΟΣΗΜΟΤΗΣ →ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΤΗΣ →ΠΡΟΣΗΜΟΤΗΣ

ΓΕΝΙΚΑ ΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ

• ΑΝ Η ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΕΧΕΙ ΤΗ ΜΟΡΦΗ V ή Λ (φθίνουσα-αύξουσα ή αύξουσα-

φθίνουσα) ΒΡΊΣΚΩ ΣΧΕΔΟΝ ΣΙΓΟΥΡΑ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ

• ΑΝ ΕΊΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ Η ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ΡΙΖΑ ΤΟΤΕ ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ

ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΚΑΙ ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΒΡΩ ΣΙΓΟΥΡΑ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f ΤΟ ΟΠΟΙΟ

ΑΛΛΑΖΕΙ

ΔΕΣ ΚΑΙ ΒΓΑΛΕ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ…

Παράδειγμα 6α) Δίνεται η συνάρτηση

( )2 3

x x xf x e x 1

2 6= − − − −

i)Να βρείτε το πρόσημο της f’’.

ii)Να βρείτε το πρόσημο της f’.

iii)Να λύσετε την εξίσωση ( )f x 0= .

iv) Να αποδείξετε ότι 2 3

x x xe 1 x

2 6− ≥ + +

Λύση

i) Παραγωγίζω την f τρεις φορές (παραγωγίσιμη στο ℝ )

( )2

x xf ' x e 1 x

2= − − −

F<0

F>0

F>0

F<0 F>0

F<0

F<0

F>0



( ) xf '' x e 1 x= − −

( ) xf ''' x e 1= −

Έχουμε: ( ) x xf ''' x 0 e 1 0 e 1 x 0= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

Επειδή ( )f ''' x 0 .... x 0< ⇔ ⇔ < και ( )f ''' x 0 .... x 0> ⇔ ⇔ > , f συνεχής στο x 0= ισχύει ότι:

f’’ γνησίως φθίνουσα στο ( ),0−∞

f’’ γνησίως αύξουσα στο )0, +∞

Άρα

f ''

x 0 f ''(x) f ''(0) f ''(x) 0< ⇔ > ⇔ >ց

f ''

x 0 f ''(x) f ''(0) f ''(x) 0> ⇔ > ⇔ >ր

Επομένως f ''(x) 0> για κάθε x 0≠

ii)Επειδή f ''(x) 0> για κάθε x 0≠ και η f ' συνεχής στο x 0=

ισχύει ότι f’ είναι γνησίως αύξουσα . Άρα

f '

x 0 f '(x) f '(0) f '(x) 0< ⇔ < ⇔ <ր

f '

x 0 f '(x) f '(0) f '(x) 0> ⇔ > ⇔ >ր

Άρα

f’ αρνητική στο ( ),0−∞

f’ θετική στο ( )0,+∞

iii)Από το πρόσημο τη f’ προκύπτει ότι η f είναι γνησίως

φθίνουσα στο ( ),0−∞ και γνησίως αύξουσα στο )0, +∞ .

Άρα

x 0 f(x) f(0) f(x) 0< ⇔ > ⇔ > .Οπότε f(x) 0≠ όταν x 0<

x 0 f(x) f(0) f(x) 0> ⇔ > ⇔ > , Οπότε f(x) 0≠ όταν x 0>

Η εξίσωση ( )f x 0= έχει ρίζα το x=0 και είναι μοναδική.

iv)Από το ερώτημα ( iii) f(x) 0> για κάθε x 0≠ και f(0)=0.Αρα f(x) 0≥ για κάθε x∈ℝ . 2 3 2 3

x xx x x xf(x) 0 e x 1 0 e 1 x

2 6 2 6≥ ⇔ − − − − ≥ ⇔ − ≥ + + για κάθε x∈ℝ

Παράδειγμα 6: Αν x 0> , να βρεθεί το πρόσημο της ( ) 2f x ημx 6x 6x 6= + + + . (Στην τάξη)

Παράδειγμα 7:Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της ( ) 2f x ln(x x 1 ημx)= + + − .

Λύση

Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 2x x 1 ημx 0+ + − >

Θεωρούμε την συνάρτηση 2g(x) x x 1 ημx,x= + + − ∈ℝ

Έχουμε:

g '(x) 2x 1 συνx,x= + − ∈ℝ

g ''(x) 2 ημx,x= + ∈ℝ

Το πάμε ανάποδα.

g ''(x) 0> για κάθε x∈ℝ άρα g 'ր στο ℝ

Η g '(x) 0= έχει προφανή ρίζα το 0

x 0= .

Αν g '

x 0 g '(x) g '(0) g '(x) 0> ⇒ > ⇔ >ր

Αν g '

x 0 g '(x) g '(0) g '(x) 0< ⇒ < ⇔ <ր

( )f x

χ

'''( )f x

'( )f x

−∞ 0 +∞

- 0 +

+ 0 + ''( )f x

- 0 +

+ 0 +



Άρα η g στο 0

x 0= παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το g(0) 1=

Οπότε για κάθε x∈ℝ ισχύει: g(x) g(0) g(x) 1≥ ⇒ ≥ για κάθε x∈ℝ .

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το x∈ℝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 66-7. Να βρεθούν η μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων

( ) 2f x 4ημx 3x 4x 5= − − + + , ( ) x 4 2f x 4e x 6x 4x 1= + + − + , ( ) 2f x 2συνx x= +

66-8. Δίνεται η συνάρτηση 3ηµ2)( +−= xxxf , ],0[ πx∈

i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα.

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2

3

2

1ηµ −= xx έχει ακριβώς μία ρίζα στο ),0( π .

7. Κλειστό διάστημα

Αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό διάστημα τότε υπάρχει σίγουρα ακρότατο, ανεξάρτητα αν η

μονοτονία της συνάρτησης παραμένει σταθερή.

Παράδειγμα 7: Να βρεθούν τα σημεία ολικών ακρότατων στο διάστημα [ ]1,2− της

συνάρτησης: ( ) 4 3f x 3x 4x= − .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 66-9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x =x -x -2x για 0 x 3≤ ≤ . Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη

μονοτονία και τα ακρότατα.

66-10. Να βρεθούν τα σημεία των ολικών ακρότατων της συνάρτησης ( ) [ ]2f x x 6x 2 στο 1,4= − + − .

66-11. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: ( ) 3 2f x =2x -3x -12x+4 όταν [ ]x 2,4∈ −

66-12. Η συνάρτηση ( ) 3f x =12x-x είναι ορισμένη στο διάστημα [ ]D= 0,4 . Να μελετήσετε την f ως

προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

8. Ολικά ακρότατα Αν ζητάω να βρω τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης, τότε

• Βρίσκω τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

• Υπολογίζω τα όρια στα άκρα του διαστήματος ή τις αριθμητικές τιμές αν είναι κλειστό

διάστημα, καθώς επίσης και τις τιμές των ακροτάτων.

• Τα συγκρίνω μεταξύ τους, η μεγαλύτερη τιμή αντιστοιχεί στο ολικό μέγιστο και η

μικρότερη τιμή στο ολικό ελάχιστο. Αν κάποιο όριο είναι +∞ τότε ΣΙΓΟΥΡΑ δεν υπάρχει

ολικό μέγιστο, ενώ αν κάποιο όριο είναι −∞ τότε σίγουρα δεν υπάρχει ολικό ελάχιστο

ΑΝ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΕΙΝΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΤΟΤΕ ΣΙΓΟΥΡΑ ΥΠΑΡΧΟΕΙ ΟΛΙΚΟ

ΑΚΡΟΤΑΤΟ



ΘΑ ΤΙΣ ΒΡΕΙΣ ΜΠΡΟΣΤΑ ΣΟΥ…

Αποδεικνύεται ότι xe x 1≥ + για κάθε x∈ℝ και ότι η εξίσωση xe x 1= + έχει μοναδική ρίζα το

0.Αποδευενυεται ακόμη ότι ln x x 1≤ − για κάθε x 0> και ότι η εξίσωση ln x x 1= − έχει μοναδική

ρίζα το 1.

Απόδειξη

Η x xe x 1 e x 1 0≥ + ⇔ − − ≥ .Θεωρούμε την xh(x) e x 1 0= − − ≥ , x∈ℝ .Αυτή είναι συνεχής στο ℝ και

έχει παράγωγο xh'(x) e 1= −

Είναι x xh'(x) 0 e 1 0 e 1 x 0= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = Το πρόσημο της h’ και η μονοτονία της h φαίνονται στον

πίνακα.

Για x 0= η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο h(0) 0= .

Άρα για κάθε x∈ℝ ισχύει x xh(x) h(0) e x 1 0 e x 1≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥ +

Από τον πίνακα είναι προφανές ότι h(x) 0= μόνο

όταν x 0= .Δηλαδή η εξίσωση xe x 1= + έχει

μοναδική ρίζα το 0.

Όμοια αποδεικνύεται και η δεύτερη.

1y x= +

xy e=

+ - '( )h x

χ −∞ 0 +∞

( )h x



67 ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΕ ΠΟΛΥΚΛΑ∆ΕΣ

• Αν στο 0x σπάει ο τύπος..

• Για 0x x< βρίσκω την παράγωγο ( )f x′ και το πρόσημό της.

• Για 0x x> βρίσκω την παράγωγο ( )f x′ και το πρόσημό της.

• Κάνω ενιαίο πίνακα μονοτονίας ακροτάτων.

Παράδειγμα 1:Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα και την μονοτονία της συνάρτησης με τυπο

( ) 2

2x-1, x<1f x =

x -4x+4, x 1

≥

Λύση

Αρχικά η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα ( ),1−∞ και ( )1,+∞ ως πολυωνυμική και στο

σημείο 0

x 1= καθώς ( ) ( )2

x 1 x 1lim 2x-1 = lim x -4x+4 1 f(1)

− +→ →= =

Η παράγωγος της f είναι ( ) 2, x<1f' x =

2x-4, x>1

.Στο σημείο 0

x 1= δεν είναι παραγωγίσιμη διότι

x 1 x 1 x 1 x 1

f(x) f(1) 2x 1 1 2x 2 2(x 1)lim lim lim lim 2

x 1 x 1 x 1 x 1− − − −→ → → →

− − − − −= = = =

− − − −

2 2

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

f(x) f(1) x 4x 4 1 x 4x 3 (x 1)(x 3)lim lim lim lim lim(x 3) 2

x 1 x 1 x 1 x 1+ + + + +→ → → → →

− − + − − + − −= = = = − = −

− − − −

x 1 x 1

f(x) f(1) f(x) f(1)lim lim

x 1 x 1− +→ →

− −≠

− −

Η παράγωγος μηδενίζεται όταν ( ) 2, x<1f' x =

2x-4, x>1

ή 2x 4 0 x 2− = ⇔ =

Οι πιθανές θέσεις ακρότατου είναι η ρίζα 2 της παραγώγου αλλά και το σημείο 1 οπού η f δεν

παραγωγίζεται. Ο πίνακας μεταβολής έχει την μορφή

Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0

x 1= και η παράγωγος της εκατέρωθεν του 1 από θετική

γίνεται αρνητική, έχουμε τοπικό μέγιστο με ( )f x =1 ( Γωνιακό σημείο το (1,f(1)).Το γεγονός ότι η

συνάρτηση δεν παραγωγίζεται στο σημείο 0

x 1= δεν μπορεί να της στερήσει το ακρότατο .Επειδή

η f είναι συνεχής στο 2 ,αριστερά του 2 η παράγωγος είναι της είναι αρνητική και δεξιά του 2

θετική, στο 1

x 2= η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με f(2) 0= .

Παράδειγμα2: Δίνεται η συνάρτηση. ( ) ≥

2

2

x -4x+1, x 1f x =

2x +4x-9, x<1

Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .


'( )f x + - +

χ −∞ 1 2 +∞

( )f x



67-1 Να μελετηθούν οι συναρτήσεις ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

>

≤=

− 1,

1,)(

1

2

xe

xxxf

x( ) 2

x 4, x 0f x

x 5, 0 x

− + ≤= − + <

( )2x 2x 3, x 1

f x2x 1 1 x

− + <=

+ ≤( ) 2

3x 2, x 1f x

x 2x, x 1

− + <= − + ≥

( )2x , x 0

f x =-x, x>0

≤

>+

≤−=

1,2

1,4)(

2

xx

xxxf

≥+−

<+−=

1,34

1,12)(

2

2

xxx

xxxxg ( )

2x 2x 2, x 2f x

8 3x, 2 x

− + ≤=

− <

|1|)( 2 −= xxf |ηµ|ηµ)( xxxf += , ]2,0[ πx∈

68 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΗ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. Διακρίνω αρχικά τη μορφή της συνάρτησης (ευθεία, παραβολή, κ.λπ.) και γράφω τη συνθήκη ή

τις συνθήκες ώστε να είναι αύξουσα ή φθίνουσα .

2. Αν δεν ανήκει στις βασικές συναρτήσεις τότε

• Βρίσκω την παράγωγο ( )f x′ .

• Θέτω ( ) ff x 0 για κάθε x D′ ≥ ∈ , αν θέλω ( )f x γνησίως αύξουσα, και ( ) ff x 0 για κάθε x D′ ≤ ∈ ,

αν θέλω ( )f x γνησίως φθίνουσα.

• Από τις παραπάνω ανισότητες προκύπτουν οι παράμετροι (συνήθως είναι τριώνυμα,

οπότε απαιτώ 0∆ ≤ , κ.λπ.).

Παράδειγμα1: Να προσδιοριστούν οι τιμές των παραμέτρων ώστε η συνάρτηση ( )x

α 2f x

α 1

− = −

, να

είναι γνησίως φθίνουσα.

Παράδειγμα 2: Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε να είναι γνησίως φθίνουσα στο R η συνάρτηση

( ) ( )2 2f x 2 ln x α 2αx 3= + + + .

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 68-1. Να προσδιοριστούν οι τιμές των παραμέτρων ώστε να έχει το αντίστοιχο είδος μονοτονίας η

συνάρτηση ( ) 3 2 2f x x 6x 3α x 1= + + + γνησίως αύξουσα.

Λύση

Ένας δεύτερος τρόπος είναι ο λόγος μεταβολής που είχαμε μιλήσει στα πρώτα κεφάλαια.

Είναι

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 23 2 2 3 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

x -x x +x x +x +6 x -x x +x +3α x -xf x -f x x +6x +3α x -x -6x -3α x -1λ= = =

x -x x -x x -x

x x x x 6 x x 3α x x 6 x x 6x 3α

=

= + + + + + = + + + + +

Θα πρέπει λ 0> δηλαδή το τριώνυμο ως προς 1x να είναι θετικό (ομόσημο του συντελεστή του 21x )

για κάθε 1x R∈ . Συνεπώς θα είναι ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 20, x +6 -4 x +6x +3α 0, x +4x +4α -12 0∆ < < > .

Για να ισχύει αυτό για κάθε 2x R∈ πρέπει Δ’ < 0, ( )2 216 4 4α 12 0, 4 α 0− − < − < .

Λύνοντας την ανίσωση βρίσκουμε 2 α 2− < <

68-2. Να προσδιοριστεί η παράμετρος α, ώστε οι επόμενες συναρτήσεις να είναι μονότονες με το

αντίστοιχο είδος μονοτονίας:

( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2

x x

1 . f x x 2α 1 x 3x 2 γνησίως φθίνουσα στο R

2 . f x 2e αe αx 2 γνησίως αύξουσα στο R−

= − + − − +

= − + −

Λύση

(1). Θα πρέπει για κάθε x R∈ , να ισχύει ( )f x 0′ ≤ . Είναι: ( ) ( )2f x 3x 2 2α 1 x 3′ = − + − − . Για να είναι το

τριώνυμο αυτό αρνητικό, (ομόσημο του 23x− ) για κάθε x R∈ θα πρέπει να ισχύει:

( )2 20 4 2α 1 4 9 0 α α 2 0∆ ≤ ⇔ − − ⋅ ≤ ⇔ − − ≤ .

Λύνοντας της ανίσωση αυτή βρίσκουμε 1 α 2− ≤ ≤ .

(2). Θα πρέπει για κάθε x R∈ , να ισχύει ( )f x 0′ ≥ . Είναι:

( )2x x

x x x

x x

α 2e αe αf x 2e αe α 2e α

e e− + +

′ = + + = + + = .



Έτσι για κάθε x R∈ θα πρέπει να είναι 2x x2e αe α 0+ + ≥ ή αν θέσουμε xe ω 0= > , θα πρέπει για

κάθε ω 0> να ισχύει 22ω αω α 0+ + ≥ . Αυτό συμβαίνει όταν η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι

0∆ ≤ . Έτσι έχουμε: 20 α 8α 0∆ ≤ ⇔ − ≤ , οπότε είναι 0 α 8≤ ≤ .


68-3. Να προσδιοριστεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε η συνάρτηση ( )x

2α 1f x

α 2

− = +

, να είναι

γνησίως φθίνουσα.

68-4. Δίνεται η συνάρτηση ( )3 2αx αx

f x = - +2x-3,3 2

όπου α R∈ . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R,

να αποδείξετε ότι [ ]0,8α∈ .

68-5. Να βρείτε τις τιμές του *α ∈ℝ για τις οποίες η συνάρτηση 13)( 23 +++= xxxαxf είναι

γνησίως αύξουσα στο R.

68-6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )3 2f x =3x +3μx + 3μ+4 x+3, x R∈ . Για ποιες τιμές της παραμέτρου μ R∈

η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R;

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΝΥΞΗ . (ΘΑ ΕΠΑΝΕΡΘΟΥΜΕ) Αν μας δοθεί μια συνάρτηση και μας ζητηθεί το σύνολο τιμών κάνουμε τα εξής:

Βρίσκουμε ,αν δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f.

Μελετάμε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και την συνέχεια.

Βρίσκουμε τοπικά ακρότατα και ολικά αν υπάρχουν.

Στα άκρα των ανοικτών διαστημάτων βρίσκουμε τα αντίστοιχα όρια της συνάρτησης .

Τα παραπάνω βήματα σε συνδυασμό με τα θεωρήματα από την ενότητα της συνέχειας

( Δείτε τον παρακάτω συνοπτικό πινακάκι) μας δίνουν το σύνολο τιμών.

Όπου lim ( )x a

f x A+→

= , lim ( )x b

f x B−→

=

Αν το πεδίο ορισμού συνάρτησης αποτελείται από ένωση διαστημάτων και στο καθένα από αυτά η

συνάρτηση έχει τον ίδιο ή διαφορετικούς τύπους, τότε το σύνολο τιμών προκύπτει από την ένωση

των συνόλων τιμών των επιμέρους διαστημάτων.

Δηλαδή αν 1 2,

A A A= ∪ τότε 1 2

( ) ( ) ( )f A f A f A= ∪

Ας δούμε τι μπορεί να μας τύχει….

MONOTONIA ΠΕΔΙΟ

ΟΡΙΣΜΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ f(A)

,α β ր ( ), ( )f fα β

,α β ց ( ), ( )f fβ α

,α β οτιδήποτε min ,maxf f

( ),α β ր ( ),A B

( ),α β ց ( ),B A

),α β ր )( ),f a B



Παράδειγμα 1

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 3 1xf x x= + + ορισμένη στο

διάστημα 0,1A =

Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

Η συνάρτηση f έχει παράγωγο '( ) 3 ln 3 3xf x = +

Ισχύει '( ) 3 ln 3 3 0xf x = + > για κάθε x A∈ άρα

προκύπτει ο πίνακας.

Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 0,1A =

Στα άκρα του κλειστού διαστήματος Α παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Ειδικότερα έχει τοπικό

ελάχιστο (0) 2f = και τοπικό μέγιστο (1) 7f = .

Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα , τα ακρότατα είναι και ολικά, δηλαδή έχουμε

ελάχιστη τιμή 2 και μέγιστη τιμή το 7.Τότε σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής η f

έχει σύνολο τιμών ( ) 2,7f A =

Παράδειγμα

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο 2( ) 4f x x= − και πεδίο ορισμού A 2,2= −

Λύση

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο A 2,2= − .Η παράγωγος είναι 2

'( )4

xf x

x= −

−, x 2,2∈ − και

μηδενίζεται όταν '( ) 0 0f x x= ⇔ =

Το πρόσημο της παραγώγου και η μονοτονία της f φαίνεται στο παρακάτω πινακάκι:

Στο κλειστό άκρο -2 του πεδίο ορισμού της παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ( 2) 0f − = ,εφόσον η

συνάρτηση δεξιά του -2 είναι γνησίως αύξουσα.

Επειδή η παράγωγος εκατέρωθεν του 0 αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό η συνάρτηση

στο 0

0x = παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ισο με :

0

( ) (0) 2f x f= =

Στο άλλο άκρο 2 του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει πάλι τοπικό ελάχιστο (2) 0f = , αφού η

συνάρτηση αριστερά του 2 είναι γνησίως φθίνουσα.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνάρτηση ως συνεχή στο κλειστό διάστημα παρουσιάζει

ολικό ελάχιστο το 0 και μέγιστο το 2 άρα έχει σύνολο τιμών ( ) 0,2f A = .


Δίνεται η συνάρτηση f(x) 2 ln x x 3= + + με πεδίο ορισμού ( )A 0,= +∞

i)Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 1f− ( αν ορίζεται η 1f− )

Λύση

i)Η συνάρτηση f(x) 2 ln x x 3= + + έχει παράγωγο 2

f '(x) 1x

= +

+ '( )f x

χ 0 1

( )f x

'( )f x + -

+

x 2− 0 2

( )f x



Η παράγωγος είναι θετική στο ( )A 0,= +∞ κατά συνέπεια έχουμε το πίνακα

Η συνάρτηση f(x) 2 ln x x 3= + + είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( )A 0,= +∞ και δεν

παρουσιάζει ακρότατα.

Επειδή το πεδίο ορισμού είναι ανοικτό διάστημα, υπολογίζουμε τα όρια της συνάρτηση στα άκρα

του. Ειδικότερα έχουμε:

x 0lim f(x)

+→= −∞ και

xlim f(x)→+∞

= +∞

Από τα παραπάνω προκύπτει ( )f(A) ,= −∞ +∞ = ℝ

ii)Έχουμε ήδη βρει ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της ( )A 0,= +∞ .

Άρα είναι 1-1 και προφανώς αντιστρέφεται .Το σύνολο τιμών της 1f− είναι το πεδίο ορισμού της f

το ( )A 0,= +∞ .


Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο 2x 1

f(x)x

+= και πεδίο ορισμού A 0= −ℝ .

Λύση

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα ( ),0−∞ και ( )0,+∞ .Βρίσκουμε την παράγωγο της

που είναι 2 2

2

x 1 x 1f '(x) ' .. ,x 0

x x

+ −= = = ≠

Η παράγωγος μηδενίζεται όταν 2x 1 0 x 1− = ⇔ = ± .

Το πρόσημο της παραγώγου και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού ( ) ( ) 1 2A ,0 0, A A= −∞ ∪ +∞ = ∪

Στο διάστημα ( )1A ,0= −∞ έχει τοπικό μέγιστο ίσο με f( 1) 2− = − και στα ανοικτά άκρα όρια

xlim f(x)→−∞

= −∞ ,x 0lim f(x)

−→= −∞ .Άρα (1

f(A ) , 2= −∞ − .

Στο διάστημα ( )2A 0,= +∞ έχει τοπικό ελάχιστο ίσο με f(1) 2= και στα ανοικτά άκρα όρια

x 0lim f(x)

+→= +∞ ,

xlim f(x)→+∞

= +∞ .Άρα )2f(A ) 2,= +∞ .

Επειδή, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης προκύπτει από την ένωση δυο διαστημάτων, δηλαδή

1 2A A A= ∪ ,το σύνολο τιμών της είναι ένωση των συνόλων τιμών των επιμέρους διαστημάτων,

δηλαδή:

( )1 2 1 2f(A) f(A A ) f(A ) f(A ) .. , 2 2,= ∪ = ∪ = = −∞ − ∪ +∞

+ '( )f x

χ 0 +∞

( )f x

'( )f x + - - +

χ −∞ 1 0 1 +∞

( )f x



69 ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

0)( 0 =′ xf

Γεωμετρική ερμηνεία: Αν f είναι παραγωγίσιμη σε εσωτερικό σημείο 0x του Δ, και παρουσιάζει

ακρότατο σε αυτό, τότε η fC στο ( )( )0 0x ,f x δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ, δηλαδή μπορεί ( )0f x 0′ = , χωρίς απαραίτητα να δημιουργείται

ακρότατο στο 0x .

ΤΟ ΑΝΤΙΘΕΤΟΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΙΣΧΥΕΙ: Αν ( )0f x 0′ ≠ , τότε στο 0x δεν παρουσιάζει ακρότατο.

Αυτό αποτελεί και κριτήριο, ώστε η f να μην παρουσιάζει ακρότατο. Αν ( )0 ff x 0 για κάθε x D′ ≠ ∈ ,

τότε η f δεν έχει ακρότατα.

Αν θέλω να αποδείξω ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατο:

• Θεωρώ ότι η f έχει ακρότατο στη θέση 0x .

• Παραγωγίζω τη συνάρτηση ή τη σχέση.

• Διαπιστώνω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat.

• Άρα ( )0f x 0′ = και καταλήγω σε αδύνατη εξίσωση, συνεπώς κατέληξα σε άτοπο.

Παράδειγμα 1: Να δειχτεί ότι δεν έχει ακρότατα η παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f x που ικανοποιεί

για κάθε x R∈ τη σχέση ( ) ( )3 3 2f x 2f x x 3x 5x 3+ = − + − .

Λύση

Έστω ότι η f έχει ακρότατο στη θέση0

x ∈ℝ ,η f παραγωγίσιμη στο ℝ άρα από το θεώρημα Fermat

προκύπτει ότι ( )0f ' x 0= . (1)

Παραγωγίζω την δοθείσα σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

23f x 2 0,x 22 2 2 2

2

3x 6x 53f x f ' x 2f ' x 3x 6x 5 f ' x 3f x 2 3x 6x 5 f ' x

3f x 2

+ ≠ ∈ − ++ = − + ⇔ + = − + ⇔ =

+

ℝ

(2)

Το τριώνυμο 23x 6x 5 0− + ≠ για κάθε x∈ℝ ( Δ=-24<0) Άρα από (2)

( )f ' x 0≠ για κάθε x∈ℝ Άτοπο από την (1) .Άρα,δεν έχει ακρότατα η f .

Παράδειγμα 2 ( Δ δέσμη 1988) :

Έστω συνάρτηση ( ) 3 2f x 3x αx βx 3, α,β= − + − ∈ℝ .Αν η f έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία

1 2

5x 1,x

9= = − να βρεθούν τα α,β.

Λύση

H f είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική άρα ( ) 2f ' x 9x 2αx β= − + , x∈ℝ

Επειδή η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία 1 2

5x 1,x

9= = − από το θεώρημα Fermat

( )f ' 1 0β 5

....5α 2f ' 0

9

= = −

⇔ =− =

Πραγματικά με αντικατάσταση στον τύπο τις συναρτήσεις τις τιμές των α,β διαπιστώνουμε ότι

παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία 1 2

5x 1,x

9= = − .



Παράδειγμα 3. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: →ℝ ℝ η οποία έχει την ιδιότητα

(1) 3 3f (x) 3xf(x) x 1= − − για κάθε x∈ℝ

και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0

x λ= .

i)Να αποδείξετε ότι: 2f(λ) λ=

ii)Να αποδείξετε ότι: λ 1=

Λύση

i) Γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0

x λ= άρα από

το Θ.Fermat είναι f '(λ) 0= .Από την δοθείσα σχέση με παραγώγιση ,λαμβάνουμε 2 23f (x)f '(x) 3f(x) 3xf '(x) 3x= + −

Για x λ= γίνεται f '(λ) 0

2 2 2 23f (λ)f '(λ) 3f(λ) 3λf '(λ) 3λ 0 3f(λ) 3λ f(λ) λ=

= + − ⇔ = − ⇔ =

ii)Η (1) για x λ= γίνεται :

( )( ) ( )

2f(λ) λ 33 3 2 2 3 6 3 3

2 26 3 3 3 3 3

f (λ) 3λf(λ) λ 1 λ 3λλ λ 1 λ 3λ λ 1

λ 2λ 1 0 λ 2λ 1 0 λ 1 0 λ 1 0 λ 1

=

= − − ⇔ = − − ⇔ = − − ⇔

− + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =


69-1. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν έχουν ακρότατα

i) 3f(x)=2x ii) 3f(x)=-x +16 iii) 3 2f(x)=x -3x +3x-10 iv) 3 2f(x)=-x +3x -5x-11 .

69-2. Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει

162)(6)(2 33 ++=+ xxxfxf , τότε η f δεν έχει ακρότατα.

69-3. Να βρείτε τις τιμές του Rλ∈ για τις οποίες η συνάρτηση: ( ) ( ) ( )3 2f x =x +3 1+λ x +3 1+λ x+6, x R∈

δεν έχει τοπικά ακρότατα.

69-4. Να δειχτεί ότι δεν έχει ακρότατα η συνάρτηση ( )x 1

f xx 1

+=

−.

69-5. Να δειχτεί ότι δεν έχει ακρότατα η παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f x που ικανοποιεί για

κάθε x R∈ τη σχέση ( ) ( )f x f x 3 x x2 3 8 2 3−+ = ⋅ + .

70 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

1. Αν γνωρίζω ότι στις θέσεις 1 2x ,x παρουσιάζει ακρότατο.

• Εφαρμόζω όπως προηγουμένως Θ. Fermat.

( ) ( ) ( ) ( )Θ

• ′ ′• ⇒ = =•

1 f . Fermat

1 1 2

1

x εσωτερικό του D

στο x η f παραγωγίσιμη f x 0 1 όμοια f x 0 2

στο x η f παρουσιάζει ακρότατο

.

• Λύνω το σύστημα που προκύπτει από (1), (2) και προσδιορίζω τις παραμέτρους

(ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ).

ΠΡΟΣΟΧΗ ΑΝ ΤΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΕΙΝΑΙ ΓΙΑ ΤΗΝ f’ ΤΟΤΕ

( )′ Θ

• ′ ′′• ⇒ =′•

0 f . Fermat

0 0

0

x εσωτερικό του D

στο x η f παραγωγίσιμη f x 0

στο x η f παρουσιάζει ακρότατο

.

Παράδειγμα1: Να βρείτε το α αν η μέγιστη τιμή της συνάρτησης ( ) 2f x =-2x +16x+α είναι 39.

Παράδειγμα2: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x =x +αx +βx+1 . Αν η f παρουσιάζει για x= -2 τοπικό μέγιστο

το 3, να βρείτε τις τιμές των α και β.


70-1. Να βρεθούν οι τιμές του α, αν στη θέση 0x 1= − , έχει ακρότατο η συνάρτηση

( ) 4 3 2f x αx 4x 2αx 4αx 1= + − + − .



70-2. Να βρεθούν οι τιμές των α και β αν στις θέσεις 1 2x 1, x 3= − = έχει ακρότατο η συνάρτηση

( ) ( )3 2 2f x x α 3 x β x α= − + + − .

70-3. Να βρεθούν οι τιμές των α και β αν στις θέσεις 1 2x 2, x 3= = έχει ακρότατο η συνάρτηση

( ) ( )x 2f x e x αx β= + + .

2. Εύρεση παραμέτρων ώστε να παρουσιάζει ακρότατο στο 0x .

Για να έχει ακρότατο στη θέση 0x η ( )f x απαιτώ ( )0f x 0′ = και στο τέλος επαληθεύω ότι

δημιουργείται το συγκεκριμένο ακρότατο (επειδή δεν ισχύει το αντίστροφο του Fermat).

Παράδειγμα3: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x x 3αx 3βx 2α β 3= − + + − − . Να βρεθούν οι τιμές των α και

β ώστε στη θέση x 1= να έχει τοπικό μέγιστο το 2.


70-4. Να βρείτε τις τιμές των α,β R∈ για τις οποίες η συνάρτηση 13)( 23 +−+= xxβxαxf

παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία 11 −=x και 12 =x . Να καθορίσετε το είδος των

ακροτάτων.

70-5. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x =-x +αx -2x-5, α∈ℝ . Να βρείτε τον θετικό αριθμό α, ώστε η f′ να

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x=1.

70-6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x =x -4x -3x+κ . Να βρείτε την τιμή του κ ώστε η συνάρτηση να

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή 1.

70-7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )3 2f x αx βx 2α β 5 x 7= + − + + − . Να βρεθούν οι των α και β, ώστε στις

θέσεις x 1 και x 2= = − να έχει τοπικά ακρότατα.

70-8. Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε να έχει ακρότατα στις θέσεις x 1 και x 5= = η

συνάρτηση ( ) ( )3 2f x αx α 8 x 3β 3= − + + + .

3. Εύρεση παραμέτρων ώστε το ακρότατο να ικανοποιεί συνθήκη.

Παράδειγμα4: Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 2f x x 6x 9x α α= − + + − . Να βρεθούν οι τιμές της

παραμέτρου α, για τις οποίες η συνάρτηση f έχει δύο αντίθετα τοπικά ακρότατα, δηλ.

τ.maxf τ.min f 0+ = .

Παράδειγμα5: Αν η συνάρτηση ( ) 3 2f x x αx βx γ= + + + έχει δύο τοπικά ακρότατα να δειχτεί ότι

ισχύει 2α 3β> .


70-9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x =x +αx +βx+4 . Αν η f παρουσιάζει για x= -1 τοπικό μέγιστο και για

x=1 τοπικό ελάχιστο αποδείξτε ότι α+β= -3.

70-10.

Η συνάρτηση ( ) 2f x ln x αx βx γ= + + + έχει τοπικά ακρότατα στις θέσεις x 1 και x 1= = − .

Να δειχτεί ότι ισχύει η σχέση 2 2β 4α 1= − .



ΜΙΝΙ Επανάληψη 1)Η συνάρτηση f : →ℝ ℝ είναι συνεχής στο

0x 1= και ισχύει η ιδιότητα

2 3 3x f (x) 2f(x) x 1+ = − για κάθε x∈ℝ (1)

Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 1= .

Λύση

Αρκεί να βρούμε το x 1

f(x) f(1)lim

x 1→

−−

(2) Λόγω της συνέχειας ισχύει: x 1lim f(x) f(1)→

= (3)

Πρέπει να υπολογίσουμε το f(1) .Από την (1) για x 1= . 2f (1) 2 0

2 3 3 3 21 f (1) 2f(1) 1 1 f (1) 2f(1) 0 f(1)(f (1) 2) 0 f(1) 0+ ≠

+ = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

Άρα αναζητούμε το όριο: x 1

f(x)lim

x 1→ −.Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση (1)

( )2 3 3 2 2 2x f (x) 2f(x) x 1 f(x) x f (x) 2 x 1 (x x 1) + = − ⇔ + = − + + για x 1≠

2

2 2

f(x) x x 1

x 1 x f (x) 2

+ +=

− +.Άρα

2 2

2 2 2 2x 1 x 1 x 1

f(x) f(1) f(x) x x 1 1 1 1 3lim lim lim

x 1 x 1 2x f (x) 2 1 f (1) 2→ → →

− + + + += = = =

− − + +

2)Εστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει η σχέση

2 4 3f(x ) xf(x) x x x 1+ = + + + , για κάθε x∈ℝ

Να βρείτε :

i) την τιμή f '(1) ii) το όριο x 1

xf(x) 2lim

x 1→

−−

Λύση

i)Από την δοθείσα σχέση παραγωγίζοντας, λαμβάνουμε:

( )2 2 3 2f '(x )(x )' x ' f(x) xf '(x) 4x 3x 1+ + = + +

Για κάθε x∈ℝ .Δηλαδή 2 3 2f '(x )2x f(x) xf '(x) 4x 3x 1+ + = + + , για κάθε x∈ℝ

Θέτοντας στην τελευταία σχέση όπου x το 1 βρίσκουμε

2 3 2f '(1 )2 1 f(1) 1f '(1) 4 1 3 1 1 3f '(1) f(1) 8⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⇔ + = (1)

Επίσης, από την δοθείσα σχέση θέτοντας όπου χ το 1 βρίσκουμε 2 4 3f(1 ) 1f(1) 1 1 1 1 f(1) f(1) 4 2f(1) 4 f(1) 2+ = + + + ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

Αντικαθιστούμε στην σχέση (1) έχουμε:

3f '(1) 2 8 f '(1) 2+ = ⇔ =

ii)Αποδείξαμε ότι f '(1) 2=

Δηλαδή x 1

f(x) f(1)lim 2

x 1→

−=

− ή

x 1

f(x) 2lim 2

x 1→

−=

−

Θέτουμε f(x) 2

g(x) ,x 1x 1

−= ≠

−

Επομένως,

g(x)(x 1) f(x) 2− = − για κάθε x 1≠

Δηλαδή f(x) g(x)(x 1) 2= − + για κάθε x 1≠

Έχουμε λοιπόν

( )x g(x)(x 1) 2 2 g(x)(x 1)x 2x 2xf(x) 2

x 1 x 1 x 1

− + − − + −−= = =

− − −

g(x)(x 1)x 2(x 1) (x 1)(g(x)x 2)xg(x) 2

x 1 x 1

− + − − += = +

− − για κάθε x 1≠

Άρα ( ) ( )x 1 x 1 x 1

xf(x) 2lim lim xg(x) 2 lim xg(x) 2 1 2 2 4

x 1→ → →

−= + = + = ⋅ + =

−



3) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την όποια ισχύει:

2x 2f(e ) 2f(x 1) x 6+ + = + για κάθε x∈ℝ (1)

Να δείξετε ότι:

i) f(1) 2= ii) x 1

f(x) 2 1lim

x 1 2→

−=

− iii)

( )2

2x 1

f(x) 4 1lim

3x 3x 4→

−=

+ −

Λύση

i)Για x 0= στην (1) προκύπτει: 2 0 2f(e ) 2f(0 1) 0 6 f(1) 2f(1) 6 f(1) 2⋅ + + = + ⇔ + = ⇔ =

ii)Για κάθε x∈ℝ έχουμε:

( ) ( )2x 2 2x 2x 2 2 2x 2x 2 2f(e ) 2f(x 1) ' x 6 ' f '(e )(e )' 2f '(x 1)(x 1)' 1 2f '(e )e 2f '(x 1)2x 1+ + = + ⇔ + + + = ⇔ + + =

2x 2x 2 22f '(e )e 4f '(x 1)x 1⇔ + + = (2)

Για x=0 η (2) γίνεται:

2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 12f '(e )e 4f '(0 1)0 1 2f '(1)e 4f '(0 1) 0 1 2f '(1) 1 f '(1)

2⋅ ⋅ ⋅⇔ + + = ⇔ + + ⋅ = ⇔ = ⇔ =

Όμως η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 1= .Επομένως:

x 1 x 1

f(x) f(1) f(x) 2 1f '(1) lim lim

x 1 x 1 2→ →

− −= = =

− −

iii)Έχουμε:

( ) ( ) ( )2

2x 1 x 1 x 1 x 1

f(x) 4 f(x) 2 f(x) 2 f(x) 2 f(x) 2 1 4 2lim lim lim lim

(x 1)(x 4) x 1 x 4 2 5 5x 3x 4→ → → →

− − + − += = ⋅ = ⋅ =

− + − ++ −

4)Εστω δυο συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ τέτοιες, ώστε

f(x)g(x) ημx= για κάθε x∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι :

i)αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o

x ∈ℝ και

f(0) 1=

Τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και ισχύει:

g '(0) 1=

ii)αν ισχύει

f(0) g(0) 0= =

Τότε μια τουλάχιστον από τις συναρτήσεις f,g δεν είναι παραγωγίσιμη στο o

x 0= .

Λύση

i)Για όποια x∈ℝ η f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει η σχέση

f(x) 0≠

Η συνάρτηση

ημx

g(x)f(x)

=

Είναι επίσης παραγωγίσιμη και ισχύει η σχέση

2

συνx f(x) ημx f '(x)g '(x)

f(x)

⋅ − ⋅=

Όμως, από την υπόθεση η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 0= και

f(0) 1 0= ≠

Επομένως, η συνάρτηση g είναι επίσης παραγωγίσιμη στο 0

x 0= με

2

συν0 f(0) ημ0 f '(0) 1 0g '(0) 1

1f(0)

⋅ − ⋅ −= = =

ii)Για κάθε x∈ℝ στο οποίο οι f,g είναι παραγωγίσιμες από την δοθείσα σχέση παίρνουμε



( ) ( )f(x)g(x) ' ημx ' f '(x)g(x) f(x)g '(x) συνx= ⇔ + =

Αν υποθέσουμε ότι οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο 0

x 0= προκύπτει η σχέση

f '(0)g(0) f(0)g '(0) συν0 0 0 1+ = ⇔ + = άτοπο. Άρα, μια τουλάχιστον από τις συναρτήσεις f,g δεν

είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 0= .

5)Η συνάρτηση f ορίζεται στο ℝ .Να αποδείξετε ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α με

f(α) 0≠ , τότε και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α.

Λύση

Για τυχαίο x∈ℝ με x α≠ έχουμε:

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

2 2 2 2f(x) f(α) f(x) f(α)f(x) f(α) f(x) f(α) f(x) f(α)

x α x α f(x) f(α) x α f(x) f(α) x α f(x) f(α)

− +− − −= = = =

− − + − + − +

( )( )( )( )

f(x) f(α) f(x) f(α) f(x) f(α) f(x) f(α)

x α f(x) f(α)x α f(x) f(α)

− + − += = ⋅

− +− + (1)

Η f ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο α οπότε και η f είναι συνεχής στο α. Επομένως

x α x α x α x α

f(x) f(α) f(x) f(α) f(x) f(α) f(x) f(α) f(x) f(α) f(α) f(α)lim lim lim lim f (α)

x α x α x αf(x) f(α) f(x) f(α) f(α) f(α)→ → → →

− − + − + += ⋅ = = = − − −+ + +

f(α) f(α) f (α)f(α)f (α)

f(α) f(α) f(α)

+= = ∈

+ℝ .Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο α.

6) Για την συνάρτηση f : →ℝ ℝ ισχύει:

xx f(x) e 1≤ ≤ − για κάθε x∈ℝ (1)


i) Η f είναι συνεχής στο 0

x 0= .

ii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 0= .

Λύση

i)Για να είναι η f συνεχής στο 0 θα πρέπει να ισχύει: x 0lim f(x) f(0)→

=

Από την (1) για x 0= είναι: 00 f(0) e 1 0 f(0) 0 f(0) 0≤ ≤ − ⇔ ≤ ≤ ⇒ =

Είναι x 0lim x 0→

= και ( )x

x 0lim e 1 0→

− = από το κριτήριο της παρεμβολής και την (1) προκύπτει

x 0lim f(x) 0 f(0)→

= =

ii)Θα σχηματίσουμε το λόγο μεταβολής f(x) f(0)

x 0

−

−

Διακρίνουμε περιπτώσεις για το x

x 0> η (1)παιρνει την μορφή:

x x

x x f(x) e 1 f(x) e 1x f(x) e 1 1 (2)

x x x x x

− −≤ ≤ − ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Αλλά x x 0

x 0 x 0

e 1 e elim lim

x x 0→ →

− −=

− είναι η παράγωγος της xe στο 0.

Άρα x

0

x 0

e 1lim e 1

x+→

−= = οπότε από την (2) και το κριτήριο παρεμβολής ισχύει:

x 0 x 0

f(x) f(x) f(0)lim 1 lim (3)

x x 0+ +→ →

−= =

−

x 0< …..x 0 x 0

f(x) f(x) f(0)lim 1 lim (4)

x x 0− −→ →

−= =

−

Από (3),(4) έχουμε ότι x 0

f(x) f(0)lim 1

x 0→

−=

− άρα f '(0) 1= .



7)Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ℝ

i) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης χh(x) g(α )= στο 0

x 1= .

ii)Να αποδείξετε ότι :

x

x 1

g(α ) xg(α)lim αg'(α) ln α g(α) , 0 α 1

x 1→

−= − < ≠

−

Λύση

i)Εφόσον η g είναι παραγωγίσιμη ,άρα η h θα είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων

συναρτήσεων.

Άρα χ χ χ χh'(x) g '(α )(α )' g '(α )α ln α= = . Άρα h'(1) g '(α)α ln α=

ii)Έχουμε: x x χ χ x χ χ

x 1 x 1 x 1

g(α ) xg(α) g(α ) xg(α ) xg(α ) xg(α) g(α ) xg(α ) xg(α ) xg(α)lim lim lim

x 1 x 1 x 1→ → →

− + − − − + −= = =

− − −

x χ χ x χ

x 1 x 1

x χ χx

x 1 x 1

χx

x 1 x 1 x 1

g(α ) xg(α ) xg(α ) xg(α) g(α )(1 x) x(g(α ) g(α))lim lim

x 1 x 1 x 1 x 1

g(α )(1 x) (g(α ) g(α)) (g(α ) g(α))lim x lim g(α ) x

x 1 x 1 x 1

(g(α )lim g(α ) lim xlim

→ →

→ →

→ → →

− − − −+ = + =

− − − − − − −

= + = − + = − − −

= − +1g(α ))

g(α) 1 h'(1) g(α) g '(α)α ln α αg'(α)ln α g(α)x 1

−= − + ⋅ = − + = −

−

8) H συνάρτηση f : →ℝ ℝ είναι συνεχής στο 1974 και ισχύει: f(1974) 5= .Αν για την συνάρτηση

g ισχύει

2 2g(x) 4(x 1974 )f(x)= − για κάθε x∈ℝ (1)

Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 1974 να βρείτε την παράγωγο της.

Λύση

Επειδή, η f είναι συνεχής στο 1974 έχουμε: x 1974lim f(x) f(1974) 5→

= =

Έχουμε: 2 2 2 2 2 2

x 1974 x 1974 x 1974

g(x) g(1974) 4(x 1974 )f(x) 4(1974 1974 )f(1974) 4(x 1974 )f(x)lim lim lim

x 1974 x 1974 x 1974→ → →

− − − − −= = =

− − −

x 1974 x 1974 x 1974

4(x 1974)(x 1974)f(x)lim lim 4(x 1974)f(x) lim 4(1974 1974)f(1974) 8(1974)5 40 1974 ..

x 1974→ → →

− += = + = + = = ⋅ =

−Άρα g '(1974) 40 1974= ⋅

9) Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με την ιδιότητα

2x 5f(e ) 3f(x 1) 2x 4+ + = − ,για κάθε x∈ℝ

Να βρείτε το 2

2x 1

f (x) 1lim

x 2x 3→

−

+ −

Λύση

Από την (1),για x 0= , έχουμε:

2 0 5f(e ) 3f(0 1) 2 0 4 f(1) 3f(1) 4 f(1) 1 (2)⋅ + + = ⋅ − ⇔ + = − ⇔ = −

Έτσι ( ) ( )2

2x 1 x 1 x 1

f(x) 1 f(x) 1f (x) 1 f(x) 1 f(x) 1lim lim lim

(x 3)(x 1) x 1 x 3x 2x 3→ → →

− +− + − = = ⋅ − − − −+ −

(3)

Οι συναρτήσεις 2x 5f(e ),f(x 1)+ είναι παραγωγίσιμες στο ℝ ως συνθέσεις παραγωγίσιμων

συναρτήσεων .Άρα ,από την (1) έχουμε: 2x 2x 5 4 2x 2x 4 5f '(e )2e 3f '(x 1)5x 2 2e f '(e ) 15x f '(x 1) 2,+ + = ⇔ + + = για κάθε x∈ℝ

Για x 0= έχουμε:



x 1 x 1 x 1

f(x) f(1) f(x) ( 1) f(x) 1f '(1)2 2 f '(1) 1 lim 1 lim 1 lim 1 (4)

x 1 x 1 x 1→ → →

− − − += ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

− − −

Επίσης η f,ως παραγωγίσιμη στο ℝ ,είναι συνεχής στο 0

x 1= ,άρα x 1lim f(x) f(1) 1→

= = −

Άρα x 1

f(x) 1 1 1 1lim (5)

x 3 1 3 2→

− − −= = −

− +

Τελικά από (3) ,(4) ,(5) : x 1

f(x) 1 f(x) 1 1lim

x 1 x 3 2→

+ − ⋅ = − − −

10)Εστω η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την όποια ισχύει:

6672 2x f(x) 666f(x) x 4 + = − για κάθε x∈ℝ (1)

Και η f είναι συνεχής στο 0

x 2=

Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 2= .

Λύση

i) Για x 2= στην (1) προκύπτει:

( )2006

667 6672 2

4 f(2) 2006 0 για καθε X666

2 f(2) 666f(2) 2 4 4 f(2) 666f(2) 0

f(2) 4 f(2) 666 0 f(2) 0 + ≠ ∈

+ = − ⇔ + = ⇔

⇔ + = ⇒ =

ℝ

Αρκεί, να δείξουμε ότι τοx 2 x 2

f(x) f(2) f(x)f '(2) lim lim

x 2 x 2→ →

−= = ∈

− −ℝ

Για x 2≠ από υπόθεση έχουμε:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

667 6662 2 2

6662

6662

6662

x f(x) 666f(x) x 4 f(x) x f(x) 666 x 2 x 2

f(x) x f(x) 2006 x 2 x 2 f(x)x f(x) 666 x 2

x 2 x 2 x 2f(x) x 2

x 2 x f(x) 666

+ = − ⇔ + = − + ⇔

+ − + ⇔ = ⇔ + = + ⇔ − − −

+=

− +

Έτσι

( ) ( )666 666x 2 x 2 2 2

f(x) x 2 2 2 4 2lim lim

x 2 666 333x f(x) 666 2 f(2) 666→ →

+ += = = =

− + +

11)Εστω οι συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ τέτοιες ώστε : f(α) g(α)= και f(x) x g(x) α+ ≤ + για κάθε

x∈ℝ .Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο α , να αποδείξετε ότι g '(α) f '(α) 1− = .

Απόδειξη

Για x α> έχουμε:

f(x) x g(x) α+ ≤ + ⇔ f(α) g(α) g(x) g(α)f(x) f(α) x α

f(x) x α g(x) f(x) f(α) x α g(x) g(α)x α x α x α

= −− −+ − ≤ ⇔ − + − ≤ − ⇔ + ≤

− − −

g(x) g(α)f(x) f(α)1

x α x α

−−+ ≤

− −

Άρα x α x α

g(x) g(α)f(x) f(α)lim 1 lim

x α x α→ →

−−+ ≤

− −, επειδή οι f ,g είναι παραγωγίσιμες στο α, προκύπτει ότι

f '(α) 1 g '(α) g '(α) f '(α) 1+ ≤ ⇔ − ≤ (1)

Για x α< έχουμε:

f(x) x g(x) α+ ≤ + ⇔ f(α) g(α) x α g(x) g(α)f(x) f(α) x α

f(x) x α g(x) f(x) f(α) x α g(x) g(α)x α x α x α

= < −− −+ − ≤ ⇔ − + − ≤ − ⇔ + ≥

− − −



g(x) g(α)f(x) f(α)1

x α x α

−−+ ≥

− −

Άρα x α x α

g(x) g(α)f(x) f(α)lim 1 lim

x α x α→ →

−−+ ≥

− −, επειδή οι f ,g είναι παραγωγίσιμες στο α, προκύπτει ότι

f '(α) 1 g '(α) g '(α) f '(α) 1+ ≥ ⇔ − ≥ (2)

Από τις σχέσεις (1) και(2) (1) ,(2) προκύπτει:

g '(α) f '(α) 1− =

12) Δίνεται η συνάρτηση

x 13

f(x) 2 ln x 2 ln13 ,13 x

= − − +

i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία .

ii)Να αποδείξετε ότι 2β β 169

ln13 26β

−≤ για κάθε β 13≥ .

iii)Να λύσετε την εξίσωση 2x x 169

ln13 26x

−=

Λύση

i)Για κάθε f

x D (0, )∈ = +∞ είναι

2 2

2 2 2

x 13 2 1 13 26x x 169 (x 13)f '(x) 2 ln x 2 ln13 '

13 x x 13 x 13x 13x

− − −= − − + = − − = = −

Παρατηρούμε ότι f '(x) 0< για κάθε x 13≠ και η f είναι συνεχής στο x=13 άρα η f είναι γνησίως

φθίνουσα.

ii)Με ( )

( )f στο 0, β β13 13 13 13

β 13 f(β) f(13) 2 lnβ 2 ln13 2 ln13 2 ln13 2 lnβ ln13 013 β 13 13 13 β

+∞

≥ ⇒ ≤ ⇔ − − + ≤ − − + ⇔ − − + ≤ ⇔ց

2 2 2 2 2β β 13 β β 13 β β 1692 ln ln ln

13 13β 13 26β 13 26β

− − −≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

iii)Είναι

( )

2 2 2 2 2 2x x 13 x x 13 x 13 x 13ln 2l n 2 ln x ln13 2 ln x 2 ln13

13 26x 13 13x 13x 13x 13 xx 13

2 ln x 2 ln13 0 f(x) 013 x

− −= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔

− − + = ⇔ =

Η εξίσωση f(x) 0= έχει ρίζα την x=13 είναι γνησίως φθίνουσα η ρίζα είναι μοναδική.

13)Δινεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ που είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με f '(x) 0≠ για κάθε x∈ℝ

και η συνάρτηση h με f(x)

h(x) ,xf '(x)

= ∈ℝ .

Αν είναι (ε) η εφαπτόμενη της Ch σε ένα κοινό σημείο με τον άξονα x'x να δείξετε ότι η (ε)

σχηματίζει με τον άξονα αυτό γωνία π

4.

Λύση

Θεωρούμε 0 0

(x ,h(x )) ένα κοινό σημείο της Ch με τον x'x

Τότε, 00 0

0

f(x )h(x ) 0 0 f(x ) 0

f '(x )= ⇔ = ⇔ = (1)



Από την υπόθεση της άσκησης ισχύει f '(x) 0≠ για κάθε 0

x ∈ℝ .Γι να δείξουμε ότι η εφαπτομένη (ε)

στο σημείο 0 0

(x ,h(x )) σχηματίζει γωνία π

4 με τον χ’χ αρκεί να δείξουμε ότι

0

πh'(x ) εφ 1

4= = .

Πραγματικά:

( )( )

( )

2

2 2

f '(x) f(x)f ''(x)f(x) f '(x)f '(x) f(x)f '(x)h '(x) '

f '(x) f '(x) f '(x)

− −= = =

Άρα, ( )

( )( )( )

2 2(1)

0 0 0 0

0 2 2

0 0

f '(x ) f(x )f ''(x ) f '(x )h '(x ) 1

f '(x ) f '(x )

−= = =

Οπότε η (ε) σχηματίζει με τον άξονα αυτό γωνία π

4.

14)i) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : →ℝ ℝ και g : →ℝ ℝ για τις οποίες ισχύει:

f(x)g(x) x= ,για κάθε x∈ℝ

Να δείξετε ότι μια μόνο από τις γραφικές παραστάσεις των f και g διέρχεται από την αρχή

των αξόνων.

ii)Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν

f '(x) 0≠ ,για κάθε x∈ℝ (3)

2

4 2f(x ) f(x ) = για κάθε x∈ℝ (4)

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(1,1) .

Λύση

i)Για x 0= έχουμε: f(0)g(0) 0 f(0) 0 ή g(0) 0= ⇒ = =

άρα είναι βέβαιο ότι τουλάχιστον μια από τις γραφικές παραστάσεις των f και g διέρχεται από την

αρχή των αξόνων.

Έστω ότι Cf και Cg διέρχονται και οι δυο από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε:

f(0) 0= και g(0) 0= (2)

Παραγωγίζοντας την f(x)g(x) x= λαμβάνουμε:

( )f(x)g(x) ' x ' f '(x)g(x)' f(x)g '(x) 1= ⇒ + = οπότε για x 0=

f '(0)g(0)' f(0)g '(0) 1 0 1+ = ⇒ = άτοπο.

ii)Πρέπει να δείξουμε ότι: f(1) 1=

Παραγωγίζοντας την (4) έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )( )

24 2 4 4 2 2

3 4 2 2 2 3 4 2 2

f(x ) ' f(x ) ' x ' f '(x ) 2 f(x ) ' f(x )

4x f '(x ) 2f '(x ) x ' f(x ) 4x f '(x ) 4xf '(x )f(x )

= ⇔ = ⇔

= ⇔ =

Οπότε για x 1= :f '(1) 0

3 4 2 24 1 f '(1 ) 4 1f '(1 )f(1 ) f '(1) f '(1)f(1) f '(1)(1 f(1)) 0 f(1) 1≠

⋅ = ⋅ ⇒ = ⇔ − = ⇔ =

Άρα A(1,1) Cf∈ .



15) Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 1,+∞ → ℝ και ισχύει f(x) x f(x)x e −= .Να αποδείξετε ότι υπάρχει

εφαπτόμενη της Cf που είναι παράλληλη προς την ευθεία (ε): 1

y x 54

= + και να βρείτε το

σημείο της Cf από το οποίο άγεται η εφαπτομένη αυτή. Κατόπιν να βρείτε την εξίσωση της.

Λύση

Η ευθεία 1

(ε) : y x 54

= + έχει συντελεστή διεύθυνσης ε

1λ

4= .

Αν υποθέσουμε ότι από το σημείο0 0

(x ,y )Μ της Cf άγεται εφαπτομένη παράλληλη προς την (ε)

τότε: 0 ε

1f '(x ) λ

4= = (1)

Θα βρούμε πρώτα τον τύπο της f(x) και κατόπιν της παράγωγο της.

Ισχύει: f(x) x f(x) f(x) x f(x)x e ln(x ) ln(e ) f(x) ln x x f(x) f(x)ln x f(x) x

f(x)(ln x 1) x

− −= ⇔ = ⇔ = − ⇔ + = ⇔

+ =

Αλλά από το πεδίο ορισμού της f είναι γνωστό ότι

x 1 ln x 0 ln x 1 1> ⇒ > ⇒ + > άρα ln x 1 0+ ≠

Άρα. x

f(x)ln x 1

=+

(2)

Η παράγωγος της f

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2

1ln x 1 x(x)' ln x 1 (x) ln x 1 'x ln xxf '(x) '

ln x 1 ln x 1 ln x 1 ln x 1

+ −+ − + = = = = + + + +

(3)

H (1) λόγω της (3) δίνει:

( )

( ) ( ) ( )2 2 200 0 0 0 0 0 02

0

ln x 14 ln x ln x 1 4 ln x ln x 2 ln x 1 ln x 2 ln x 1 0

4ln x 1= ⇔ = + ⇔ = + + ⇔ − + =

+

( )2

0 0 0ln x 1 0 ln x 1 x e⇔ − = ⇔ = ⇔ =

Έτσι e e e

f(e)ln e 1 1 1 2

= = =+ +

οπότε από το σημείο e

M e,2

άγεται η εφαπτομένη παράλληλη στην

(ε).

Η εξίσωση της εφαπτομένης της είναι: y f(e) f '(e)(x e)− = −

Αλλά, ( ) ( )2 2

ln e 1 1f '(e)

4ln e 1 1 1= = =

+ + άρα

e 1 1 ey (x e) ... y x

2 4 4 4− = − ⇔ ⇔ = +

16)Δινεται η συνάρτηση *f : →ℝ ℝ με 2

1 1f(x)

xx= − και το σημείο M(λ,f(λ)),λ 0≠ της γραφικής

παράστασης της f.

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ.

β)i)Για λ 3= δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την Cf.

ii)Για λ 1= έχει και άλλο κοινό σημείο με την Cf.

Λύση

α) 2 2 2 2

1 1 1 x 1 xf(x)

xx x x x

−= − = − =

( ) ( )( ) ( )2 2 2

2 4 4

2 2 2

4 4 4 3

1 x 'x 1 x x ' x 1 x 2x1 xf '(x) '

x x x

x 2x 2x x 2x x(x 2) x 2

x x x x

− − − − − − − = = = =

− − + − − −= = = =



Η εξίσωση εφαπτομένης της Cf στο Μ είναι :

2 3 3

2 3 2 2 3

1 λ λ 2 λ 2y f(λ) f '(λ)(x λ) y x λ

λ λ λ1 λ λ 2 λ 2 1 λ λ 2 λ 2

y x y xλ λ λ λ λ

− − −− = − ⇔ − = − ⇔

− − − − − + −= + − ⇔ = + ⇔

2 3 3 2

3 2λ λ 2 λ 2 3 2λy x y x

λ λ λ λ

− − − −= + ⇔ = + (2)

β)i) Για λ 3= κοινό σημείο είναι το M(3,f(3)) με αντικατάσταση στον τύπο της f είναι 2

M(3, )9

−

Η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται 3 2

3 2 3 2 3 1 1y x y x

27 33 3

− − ⋅= + ⇔ = −

Τα κοινά σημεία της εφαπτομένης αυτής με την Cf προκύπτουν από την λύση του συστήματος

2

2

222 2

1 x 1 11 1x 3 x 3(x 3) 0xy x

27 327 3 x .. 1 3 21 x1 x 1 x y yy

y y 93xx x

− = =− == −= − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −−− − = = −= = =

Κατά συνέπεια για λ=3 η εφαπτομένη στο 2

M(3, )9

− δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την Cf.

ii)Για λ=1 κοινό σημείο είναι το M(1,f(1)) με αντικατάσταση στον τύπο της f είναι M(1,0)

Η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται 3 2

1 2 1 2 1y x y x 1

1 1

− − ⋅= + ⇔ = − +

Τα κοινά σημεία της εφαπτομένης αυτής με την Cf προκύπτουν από την λύση του συστήματος

2

y x 1x 1 ή x 1

...1 xy 0 ή y 2y

x

= − + = = −

⇔ ⇔ −= ==

Άρα, εκτός από το κοινό σημεία (1,f(1)) ή (1,0) υπάρχει και άλλο κοινό σημείο το (-1,2).

17) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

(1) 2 82f(x ) xf(x 1) x 2 0+ − + + = για κάθε x∈ℝ και η συνάρτηση x 1g(x) f(x) e 3,x−= + + ∈ℝ .Αν η

γραφική παράσταση της συνάρτησης g έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο A(1,g(1)) .

i) Να αποδείξετε ότι f(1) 1,f '(1) 1= − = −

ii) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού λ, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f

στο B(0,f(0)) να είναι παράλληλη στην ευθεία (λ 10)x y 1974− + =

Λύση

i) Στην (1) για x 0= : 2 82f(0 ) 0f(0 1) 0 2 0 2f(0) 2 0 f(0) 1+ − + + = ⇔ + = ⇔ = −

Στην (1) για x 1= : 2 82f(1 ) 1f(1 1) 1 2 0 2f(1) 1 1 2 0 f(1) 1+ − + + = ⇔ − + + = ⇔ = −

Εφόσον η εφαπτομένη της Cg στο σημείο A(1,g(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x’x,ισχύει ότι

g'(1) 0= .Όμως x 1g'(x) f '(x) e −= +

Άρα 1 1g'(1) f '(1) e 0 f '(1) 1−= + = ⇔ = − .

ii)Για να είναι η εφαπτομένη της Cf στο B(0,f(0)) παράλληλη στην ευθεία (ε) : (λ 10)x y 1974− + =

αρκεί f '(0) 10 λ= −

Παραγωγίζουμε την σχέση (1) και λαμβάνουμε:

( )2 2 7 2 72f '(x ) x ' x' f(x 1) xf '(x 1) 8x 0 4xf '(x ) f(x 1) xf '(x 1) 8x 0+ − + − + = ⇔ + − + − + =

Για x 1= : 2 74 1 f '(1 ) f(1 1) 1f '(1 1) 8 1 0 4f '(1) f(0) f '(0) 8 0

4 ( 1) 1 f '(0) 8 0 f '(0) 4 1 8 3

⋅ ⋅ + − + − + ⋅ = ⇔ + + + = ⇔

⇔ ⋅ − + + + = ⇔ = + − = −

Άρα f '(0) 10 λ 3 10 λ λ 13= − ⇔ − = − ⇔ =



18)i)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2e (x 1) 4− = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ℝ .

ii)Δίνονται οι συναρτήσεις xf(x) e= και 1

g(x)x

= − .Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον

κοινή εφαπτομένη των Cf και Cg.

Λύση

i)Έστω συνάρτηση x 2h(x) e (x 1) 4= − − , είναι συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει ότι

( )1 2 3 3h(1) e (1 1) 4 4 0,h(3) 4e 4 4 e 1 0= − − = − < = − = − >

Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 1,3∈ τέτοιο ώστε h(ξ) 0=

Άρα, η εξίσωση x 2e (x 1) 4− = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ℝ .

ii)Αρχικά θα πρέπει να εξετάσουμε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g έχουν κοινή

εφαπτομένη σε κοινό σημείο. Έστω λοιπόν ότι υπάρχει ένα σημείο 0 0

(x , y )Α τέτοιο ώστε

0 0 0f(x ) g(x ) y= = και

0 0f '(x ) g '(x )= , τότε θα έχουμε:

0x

0

1e

x= − και 0x

2

0

1e

x=

Δηλαδή 0x 0

2 2

0 0 0 0 0 0 0200

1 1x x x x 0 x (1 x ) 0 x 1

xx

≠

= − ⇔− = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − , 1

1e≠ −

Άρα δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο .

Έστω ότι υπάρχουν σημεία A(α,f(α)) , (β,g(β))Β των γραφικών παραστάσεων των f και g

αντίστοιχα στα οποία οι εφαπτομένες ταυτίζονται .

Τότε και ισχύει:

α α 2

2

1f '(α) g '(β) e e β 1

β= ⇔ = ⇔ ⋅ = (1)

Και

α α1g(β) f(α) f '(α)(β α) e e (β α)

β− = − ⇔ − − = − ⇔ α α α1

e e β e αβ

− − = − ⇔

( )α α α α α α α

2

1 1 1 1 2 2e β e α e e α e α e e α 1

β β β β ββ− − = − ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )(1)

2 2 2 22α 2 2α 2 α α α

2

4e α 1 β e α 1 4 β e e α 1 4 e α 1 4

β− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

Όπως δείξαμε στο ερώτημα (i) , η παραπάνω εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα ,άρα υπάρχουν

σημεία (α,f(α)) , (β,f(β))Α Β τέτοια ώστε οι εφαπτομένες των Cf και Cg να ταυτίζονται.

19)Δινονται οι συναρτήσεις 1f, f− παραγωγίσιμες στο ℝ τέτοιες ώστε η 1fC − τέμνει τον άξονα

y’y στο σημείο με τεταγμένη 1 επίσης είναι γνωστό ότι 1

y 0

f (y) 1lim 13

y

−

→

−= .Να βρείτε την

εξίσωση της εφαπτόμενης τη fC στο σημείο Β(1,f(1)).

Λύση

Η 1fC − τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο με τεταγμένη 1 άρα 1f (0) 1 0 f(1)− = ⇔ = .

Θέτουμε 1f (y) x y f(x)− = ⇔ = όποτε 1 1

y 0 y 0lim x lim f (y) f (0) 1− −

→ →= = =

( Υπενθυμίζουμε ότι 1f− παραγωγίσιμη στο 0 άρα και συνεχής στο 0)

Τότε



1 1 1

y 0 y 0 y 0

y 0

f (y) 1 f (y) f (0) x 1lim 13 lim 13 lim 13

y y f(x) 0

1 1 1lim 13 13 f '(1)

f(x) f(1) f '(1) 13

x 1

− − −

→ → →

→

− − −= ⇔ = ⇔ = ⇔

−

⇔ = ⇔ = ⇔ =−−

Άρα , η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο Β(1,f(1)) είναι

(ε): 1

y f(1) f '(1)(x 1) y (x 1)13

− = − ⇔ = −

20)Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα

2

3 x xf (x) 3f(x) e x 1

2+ = + − − για κάθε x∈ℝ

i)Αν xg(x) e x 1= + − ,να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης g(x) 0= και το πρόσημο της g.

ii)Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f.

iii)Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f.

iv)Να εξετάσετε αν η f έχει ολικό ελάχιστο.

Λύση

i) Έχουμε ( )x xg '(x) e x 1 ' e 1 0= + − = + > , οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα .Όμως, g(0) 0= ,δηλαδή το

x 0= είναι ρίζα της g(x) 0= .Άρα το x 0= είναι και η μοναδική ρίζα της g(x) 0= , αφού η g είναι

γνησίως μονότονη.

Για x 0< είναι g(x) g(0) g(x) 0< ⇔ <

Για x 0> είναι g(x) g(0) g(x) 0> ⇔ >

Άρα, η συνάρτηση g είναι αρνητική στο διάστημα ( ),0−∞ και θετική στο διάστημα ( )0,+∞ .

ii) Έστω α ένα κρίσιμο σημείο της f .Επειδή η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, θα είναι f '(α) 0= .

Η σχέση 2

3 x xf (x) 3f(x) e x 1

2+ = + − − με παραγώγιση δίνει:

( ) ( )2 x 2 x 23f (x)f '(x) 3f '(x) e x 1 f '(x) 3f (x) 3 e x 1 f '(x) 3f (x) 3 g(x)+ = + − ⇔ + = + − ⇔ + = (1)

Η σχέση (1) για x α= δίνει

( )2f '(α) 3f (α) 3 g(α) g(α) 0+ = ⇔ =

Διότι f '(α) 0= .Όμως g(α) 0 α 0= ⇔ = ,από το ερώτημα (i).

Άρα, το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το x 0= .

iii)Τα τοπικά ακρότατα της f τα αναζητούμε στην περίπτωση μας ( αφού η f είναι παραγωγίσιμη σε

ανοικτό διάστημα) στα κρίσιμα σημεία. Έτσι το μόνο πιθανό τοπικό ακρότατο είναι το f(0).

Για x 0< η σχέση (1) δίνει

( )2f '(x) 3f (x) 3 g(x) 0+ = < οπότε f '(x) 0< στο ( ),0−∞

Για x 0> η σχέση (1) δίνει

( )2f '(x) 3f (x) 3 g(x) 0+ = > οπότε f '(x) 0> στο ( )0,+∞

Άρα, το f(0) είναι τοπικό ελάχιστο της συνάρτηση f .Για x 0= η δοσμένη σχέση δίνει

( )2

3 0 20f (0) 3f(0) e 0 1 f(0) f (0) 3 0 f(0) 0

2+ = + − − ⇔ + = ⇔ =

Επομένως το f(0) 0= είναι το τοπικό ελάχιστο της f.

iv)Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( ,0−∞ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα

)0, +∞ , συμπεραίνουμε ότι το f(0) 0= είναι το ολικό ελάχιστο της f.



21)Δίνεται η f : →ℝ ℝ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με τις ιδιότητες:

2

3 2x 1

ln x (x 1) ln xf( 1) 2 lim

ln x (x 1)→

+ −− + =

+ −

3xf '(x) λ e−= − για κάθε x∈ℝ

Η γραφική παράσταση της f δεν βρίσκεται «κάτω» από τον χ’χ στο πεδίο ορισμού της.

i)Να υπολογίσετε το όριο x 1

ln xlim

x 1→ −

ii) Με την βοήθεια του (i) να δείξετε ότι f( 1) 0− = .

iii) Να αποδείξετε ότι λ e= .

iv) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

v)Να μελετήσετε την f’ ως προς την μονοτονία.

Λύση

i) g(x) ln x

x 1 x 1 x 1

g(x) g(1)ln x ln x ln1lim lim lim g'(1)

x 1 x 1 x 1

=

→ → →

−−= = =

− − −

Όμως 1

g '(x)x

= και g '(1) 1=

Τελικά x 1

ln xlim 1

x 1→=

−

ii)

2 2

2 2 2 2

3 2 3 2 3 2x 1 x 1 x 1

2 2 2

ln x (x 1) ln x ln x (x 1)ln x

ln x (x 1)ln x (x 1) (x 1) (x 1)lim lim lim

ln x (x 1) ln x (x 1) ln x (x 1)

(x 1) (x 1) (x 1)

→ → →

+ − −+

+ − − − −= = =

+ − + − −+

− − −

22

22 (i)

3 2 2x 1 x 1

2 2

ln x ln x ln x ln x

x 1 x 1 x 1 1 1(x 1)lim lim 2

ln x ln x 0 1 11 ln x 1

(x 1) (x 1)

→ →

+ + − − − +− = = = =

⋅ ++ +

− −

f( 1) 2 2 f( 1) 0− + = ⇔ − =

iii)Η γραφική παράσταση της f δεν βρίσκεται «κάτω» από τον χ’χ στο πεδίο ορισμού της αρα

f(x) 0≥ για κάθε x∈ℝ ή

f(x) f( 1)≥ − για κάθε x∈ℝ

Οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1

x 1= − .Η f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στοℝ και

παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο 1

x 1= − τοπικό ακρότατο άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει:

f '( 1) 0− =

Έτσι: 3( 1)f '( 1) 0 λ e 0 λ e− −− = ⇔ − = ⇔ =

iv)Η δοθείσα σχέση όταν λ e= παίρνει την μορφή: 3xf '(x) e e−= − για κάθε x∈ℝ

x

3 3e

x 1 x 3f '(x) 0 e e 0 e e 1 x x 1− −> ⇔ − > ⇔ > ⇔ > − ⇔ > −ր

x

3 3e

x 1 x 3f '(x) 0 e e 0 e e 1 x x 1− −< ⇔ − < ⇔ < ⇔ < − ⇔ < −ր

f '(x) 0 ... x 1< ⇔ ⇔ = −

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , 1−∞ − και η f είναι γνησίως αύξουσα στο )1,− +∞

Επίσης η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f( 1) 0− =

v)Είναι 3xf '(x) e e−= − , f παραγωγίσιμη στο ℝ και

32 xf ''(x) .. 3x e 0−= = > για κάθε x∈ℝ

άρα η f’ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ



22)Δίνεται η f : →ℝ ℝ μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα

(1) 2xf(x) f '(0) f '(x)≥ − για κάθε x∈ℝ

Να αποδείξετε ότι ( )2f ''(0) f(0) 1+ ≥ −

Λύση

Για x 0> από την σχέση (1)

f '(0) f '(x) f '(0) f '(x) f '(x) f '(0)2xf(x) f '(0) f '(x) 2f(x) 2f(x) 2f(x)

x x 0 x 0

− − −≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ −

− −

Λαμβάνουμε όρια

( )x 0 x 0

f '(x) f '(0)lim 2f(x) lim 2f(0) f ''(0)

x 0→ →

− ≥ − ⇔ ≥ − −

( τα όρια γνωρίζουμε ότι υπάρχουν η f δυο φορές παραγωγίσιμη )

Για x 0< από την σχέση (1)

f '(x) f '(0)2xf(x) f '(0) f '(x) ... 2f(x)

x 0

−≥ − ⇔ ⇔ ≤ −

−

Λαμβάνουμε όρια

( )x 0 x 0

f '(x) f '(0)lim 2f(x) lim 2f(0) f ''(0)

x 0→ →

− ≤ − ⇔ ≤ − −

Άρα 2f(0) f ''(0)= −

Έτσι ( ) ( ) ( )2 2 2f ''(0) f(0) 1 2f(0) f(0) 1 f(0) 1 1+ + = − + + = − ≥ οπότε ( )2

f ''(0) f(0) 1+ ≥ −

23)Δίνεται η συνάρτηση :

x 1

f(x) lnxx 1

+= −

−,με x 0> και x 1≠

Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g(x) lnx= στο σημείο

A(α,ln α) ,με α 0> , και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης xh(x) e= στο σημείο βB(β,e ) , με β∈ℝ , ταυτίζονται, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός α είναι

ρίζα της εξίσωσης f(x) 0= .(Εξετάσεις 2006)

Λύση

Η εφαπτομένη της Cg στο σημείο A(α,ln α) έχει εξίσωση:

1

1 1(ε ) : y lnα (x α) y x 1 ln α

α α− = − ⇔ = − +

Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο βB(β,e ) έχει εξίσωση :

β β β β β β β

2(ε ) : y e e (x β) y e x e β e y e x e (1 β)− = − ⇔ = − + ⇔ = + −

Οι (1 2

(ε ),(ε ) ταυτίζονται άρα

β

β

1 ln α β ln α β ln α βe

α 1 1 1 1(1 β) 1 ln α (1 lnα) 1 ln α ln α 1 ln α

e (1 β) 1 ln α α α α α

− = − = − ==

⇔ ⇔ ⇔ − = − + + = − + + = − + − = − +



( )ln α βln α β ln α β

1 α 1 α ln α1 ln α α α ln α 1 α ln α α ln α

− = − = − = ⇔ ⇔ ⇔

+ = − ++ = − + + = − +

ln α β ln α βln α β

1 α 1 αf(α) 0ln α ln α 0

1 α α 1

− = − =− =

⇔ ⇔ ⇔ + +== − = − + −

Ο

Ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) 0= .



ΜΙΝΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Θέμα 1ο

Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( )α,β .

Α2.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ,γράφοντας στο τετράδιο σας ,δίπλα στο

γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση την λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος

αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

1.Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0

x , τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο 0

x .Σ Λ

2. (x)

f f (x)(x) , g '(x) 0

g g'

''

= ≠

Σ Λ

3.Η συνάρτηση f(x) x= δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 0= . Σ Λ

Θέμα 2ο

B1)Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει η ιδιότητα

2x 2 f(x) x x 2+ ≤ ≤ + + για κάθε x∈ℝ

i) Να υπολογίσετε: i) f(0) ii) f '(0)

ii) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ αν είναι γνωστό ότι η εφαπτομένη της Cf στο

σημείο Α(0,f(0)) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): y (λ 1)x 1974= + +

B2) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2

x+α, αν x 3

f x = x -9, αν x>3

x-3

≤

i) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

ii) Για την τιμή αυτή, να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x =3.

Θέμα 3ο

Γ1)Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f όταν:

i) ( ) 2f x =x ln13+ ii) ( )lnx

f x = ,x>0x

iii)

1974x1

f(x) 1x

= +

Γ2) Δίνεται η συνάρτηση 3f(x) x= και το σημείο M(α,f(α)) με α 0≠ .


i) η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ έχει με την Cf και άλλο κοινό σημείο το Κ.

ii)η κλίση της Cf στο σημείο Κ είναι τετραπλάσια της κλίσης της Cf στο Μ.

Θέμα 4ο

Δ1.Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια ώστε

( )( )32 6f x 3 ( ) 1x f x x− = + για κάθε x∈ℝ

i) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2f x x=

ii) Να αποδείξετε ότι

2 2 5( ( )) ( ) 2 ( ) '( ) 2'f x f x xf x x f x x= + + για κάθε x∈ℝ

iii)Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) με εξίσωση 2y x= εφάπτεται στην Cf.

Δ2. Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της ( ) 2f x ln(x x 1 ημx)= + + − .

Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών...

Education

Transcript of Μαθηματικά Γ λυκείου προσανατολισμού θετικών σπουδών...