Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2015 2016)

2017

Νατάσα Λύρη

Πειραματικό Λύκειο

Πανεπιστημίου Πατρών

3/5/2017

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου (Συνοπτική θεωρία-Ασκήσεις)

Wassily Kandinsky, Upward, 1939

2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1ο

Μονοτονία – Ακρότατα Συνάρτησης 4

Όριο Συνάρτησης 4

Ιδιότητες Ορίων Συνάρτησης 5

Συνεχής Συνάρτηση 5

Παράγωγος Συνάρτησης 5

Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων (Αποδείξεις) 6

Κανόνες Παραγώγισης (Αποδείξεις) 7

Πίνακας Βασικών Τύπων και Κανόνων Παραγώγισης 7

Εξίσωση εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης 7

Εφαρμογές των Παραγώγων (Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου) 8


Συχνότητα – Σχετική Συχνότητα- Αθροιστικές Συχνότητες 9

Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων 10

Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων 10

Ιστόγραμμα Συχνοτήτων 11

Μέτρα Θέσης 12

Μέτρα Διασποράς 14

Κανονική Κατανομή 14

Ομοιογένεια δείγματος 15


Πείραμα Τύχης- Δειγματικός Χώρος – Ενδεχόμενα 16

Πράξεις με Ενδεχόμενα 17

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα 18

Εφαρμογή 2 (σχολικό βιβλίο σχολ. 143) 18

Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας 19

Αξιωματικός Ορισμός Πιθανότητας 19

Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων (Αποδείξεις) 20

Εφαρμογή 2 (σχολικό βιβλίο σχολ. 153) 22

Ασκήσεις (Λυμένες)


Άσκηση 1 23

Άσκηση 2 24

Άσκηση 3 25

Άσκηση 4 26

3

Κεφαλαίο 2ο

Άσκηση 5 29

Άσκηση 6 33

Άσκηση 7 40


Άσκηση 8 43

Ερωτήσεις Σωστό- Λάθος 44

Οι σημειώσεις αυτές αφορούν την εξεταστέα ύλη των ενδοσχολικών εξετάσεων του μαθήματος:

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής (Γ’ Λυκείου, Γενικής Παιδείας),

για το σχολικό έτος 2016-2017

4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Μονοτονία Συνάρτησης

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για

οποιαδήποτε σημεία με ισχύει και γνησίως φθίνουσα στο Δ,

όταν για οποιαδήποτε σημεία με ισχύει .

Ακρότατα Συνάρτησης

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει:

Τοπικό μέγιστο στο , όταν για κάθε x σε μια περιοχή του , και

Tοπικό ελάχιστο στο όταν για κάθε x σε μια περιοχή του .

Όριο Συνάρτησης

Θα παρουσιάσουμε την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο x0 που δεν ανήκει στο

πεδίο ορισμού της, υπάρχουν όμως σημεία του πεδίου ορισμού της πολύ κοντά στο x0.

Έστω η συνάρτηση

η οποία δεν ορίζεται για Ας εξετάσουμε όμως τη

συμπεριφορά της για τιμές του πολύ κοντά στο 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις τιμές του

για τιμές του κοντά στο 1.

Από τον παραπάνω πίνακα βλέπουμε ότι όταν το x παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 1 (και από τις δύο

πλευρές του 1), το f(x) παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 2. Στο ίδιο συμπέρασμα φτάνουμε, αν

παρατηρήσουμε ότι για είναι:

οπότε όταν το x παίρνει τιμές που τείνουν στο 1 τότε το f(x)=x+1 παίρνει τιμές που τείνουν

στο 2 .

Λέμε λοιπόν ότι η f έχει στο σημείο 1

όριο (limit) 2 και γράφουμε

.

Τίποτα βέβαια δεν αποκλείει την αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης και σε ένα σημείο x0 που

να ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

, που είναι

ορισμένη στο R. Παρατηρούμε ότι όταν , το , δηλαδή

5

Ιδιότητες Ορίων Συνάρτησης

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο x0 όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν

και

όπου και πραγματικοί αριθμοί, τότε αποδεικνύεται

ότι:

Συνεχής Συνάρτηση

Mια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε ισχύει

.

Παράγωγος Συνάρτησης

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των x A στα οποία η f είναι

παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε x B αντιστοιχίζεται στο

Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f και συμβολίζεται με f '.

Η παράγωγος της συνάρτησης f ' λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f ''.

Σχόλια

Αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι x(t) τη χρονική στιγμή t, τότε η

ταχύτητά του θα είναι

υ(t)=x'(t)

Αν η συνάρτηση υ είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t θα είναι

η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει

α(t)=υ'(t) ή ισοδύναμα α(t)=x''(t)

6

Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων (ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ)

1. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c

Έχουμε

f(x + h) - f (x) = c - c = 0

και για h≠0

οπότε

Άρα (c)'=0.

2. Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x

Έχουμε f(x + h) - f(x) = (x + h) - x = h ,

και για h ≠ 0,

Επομένως

Άρα, (x)'=1.

3. Η παράγωγος της συνάρτησης f (x) = xρ

Έστω η συνάρτηση f (x) = x2. Έχουμε

f (x + h) - f (x) = (x + h)2 - x

2 = x

2 + 2xh + h

2

- x2 = (2x + h)h,

και για h≠0,

Επομένως,

Άρα (x2)' = 2x

7

Κανόνες Παραγώγισης (ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ)

1. Η παράγωγος της συνάρτησης cf(x)

Έστω η συνάρτηση F(x) = cf(x). Έχουμε

F(x + h) - F(x) = cf (x + h) - cf (x) = c(f(x + h) - f(x)), και για h ≠ 0

Επομένως

Άρα (c · f(x))' = c · f'(x).

2. Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) + g(x).

Έστω η συνάρτηση F(x) = f(x) + g(x). Έχουμε

F(x + h) - F(x) = (f(x + h) + g(x + h)) - (f(x) + g(x))

= ( f(x + h) - f(x)) + (g(x + h) - g(x)),

και για h≠0,

Επομένως

Άρα (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

ΠΙΝΑΚΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Εξίσωση εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο Α ( της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης :

8

Εφαρμογές των Παραγώγων

Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου

Με τη βοήθεια της πρώτης παραγώγου μπορούμε να διατυπώσουμε μια γενική μέθοδο

προσδιορισμού της μονοτονίας μιας συνάρτησης f καθώς και της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής

ενός μεταβαλλόμενου μεγέθους.

Πρώτη Παράγωγος - Μονοτονία

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f '(x) > 0 για κάθε

εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f '(x) < 0 για κάθε

εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Πρώτης Παράγωγος - Ακρότατα

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f '(x0) = 0 για x0 (α, β), f '(x) > 0 στο (α, x0) και f '(x) < 0 στο

(x0, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = x0 μέγιστο.

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f '(x0) = 0 για x0 (α, β), f '(x) < 0 στο (α, x0) και f '(x) > 0 στο

(x0,β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = x0 ελάχιστο.

Σχόλιο

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f '(x0) = 0 για x0 (α, β) και η παράγωγος της f ' διατηρεί σταθερό

πρόσημο εκατέρωθεν του x0, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β) και δεν παρουσιάζει

ακρότατο στο διάστημα αυτό.

9


Ας υποθέσουμε ότι x1, x2,..., xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός

δείγματος μεγέθους v, κ ≤ ν.

Συχνότητα

Στην τιμή xi αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα νi, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει

πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.

Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος,

δηλαδή:

ν1+ ν2 + ... + νκ = v

Σχετική Συχνότητα

Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα νi με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα fi

της τιμής xi, δηλαδή

Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

(i) 0 ≤ fi ≤ 1 για i = 1,2,..., κ αφού 0 ≤ νi ≤ ν.

(ii) f1 + f2 + ... + fκ = 1, αφού

Αθροιστικές Συχνότητες

Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες νi και fi χρησιμοποιούνται

συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες Ni και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi,

οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι

μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.

Αν οι τιμές x1, x2,..., μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική

συχνότητα της τιμής xi είναι:

Ni = ν1 + ν2 +...+ νi i = 1,2,...,κ.

ν1 = N1 , ν2 = N2 - N1 ,..., νκ = Nκ - Nκ-1

ή N1= ν1 , N2= ν2 + ν1 ,..., Nκ= ν1 + ν2 +...+ νκ=ν

Όμοια, η αθροιστική σχετική συχνότητα είναι:

Fi= f1 + f2 +...+ fi, για i = 1,2,...,κ.

f1 = F1, f2 = F2 - F1 ,..., fκ = Fκ - Fκ-1.

ή F1= f1, F2= f1 + f2 ,..., Fκ = f1 + f2 +...+ fκ=1.

10

Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων

α) Ραβδόγραμμα

Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής

μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκονται

πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια

ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα.

Έτσι έχουμε αντίστοιχα το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το ραβδόγραμμα σχετικών

συχνοτήτων. Τόσο η απόσταση μεταξύ των στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους

καθορίζονται αυθαίρετα.

β) Διάγραμμα Συχνοτήτων

Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το

διάγραμμα συχνοτήτων. Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να

χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια υψώνουμε σε κάθε xi (υποθέτοντας ότι x1 < x2 <...< xκ) μία

κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα.

Μπορούμε επίσης αντί των συχνοτήτων νi στον κάθετο άξονα να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες

fi, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

Ενώνοντας τα σημεία (xi, νi) ή (xi, fi) έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο

σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενική ιδέα για τη μεταβολή της

συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε.

γ) Κυκλικό Διάγραμμα

Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και

των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες.

Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,

ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες νi ή τις σχετικές

συχνότητες fi των τιμών xi της μεταβλητής.

Αν συμβολίσουμε με αi το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα

συχνοτήτων, τότε

Ομαδοποίηση των Παρατηρήσεων

Οι πίνακες συχνοτήτων και κατ’ αναλογίαν τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να

κατασκευαστούν, όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο.

Σ’ αυτή την περιπτώση είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν (ομαδοποιηθούν) τα δεδομένα σε μικρό

πλήθος ομάδων, που ονομάζονται και κλάσεις (class intervals), έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει

μόνο σε μία κλάση.

Τα άκρα των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων (class boundaries).

Μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άνω άκρο της (ανοικτή

δεξιά), δηλαδή οι κλάσεις είναι της μορφής [ , ).

Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν να “αντιπροσωπευθούν” από τις

κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης. Η κεντρική τιμή της κάθε κλάσης

ισούται με το ημιάθροισμα των άκρων της κλάσης. Έστω η κλάση τότε

11

Για την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ακολουθούμε τα ακόλουθα βήματα:

1ο βήμα : Η εκλογή του αριθμού κ των ομάδων ή κλάσεων.

Ο αριθμός αυτός συνήθως ορίζεται αυθαίρετα από τον ερευνητή σύμφωνα με την πείρα του.

(Μπορεί να το καθορίζει η εκφώνηση της άσκησης π.χ. να κατασκευαστούν 5 ισοπλατείς

κλάσεις)

2ο βήμα: Ο προσδιορισμός του πλάτους c των κλάσεων.

Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το ανώτερο όριο της κλάσης.

Στην πλειονότητα των πρακτικών εφαρμογών οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος. Για να

κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις, χρησιμοποιούμε το εύρος (range) R του δείγματος,

δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του

συνολικού δείγματος. Τότε υπολογίζουμε το πλάτος c των κλάσεων από τον τύπο:

,

στρογγυλεύοντας, αν χρειαστεί για λόγους διευκόλυνσης, πάντα προς τα πάνω.

3ο βήμα: Η κατασκευή των κλάσεων.

Ξεκινώντας από την μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από την

μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλάσεις.

Αυτονόητο είναι ότι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει να) ανήκει οπωσδήποτε στην

τελευταία κλάση.

4ο βήμα: Η διαλογή των παρατηρήσεων.

Το πλήθος των παρατηρήσεων νi που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση i καλείται

συχνότητα της κλάσης αυτής ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xi, i = 1,2,..., κ.

Ιστόγραμμα Συχνοτήτων

Η αντίστοιχη γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με

το λεγόμενο ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα,

τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς), από καθένα

από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του

ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Επομένως, το ύψος κάθε

ορθογωνίου είναι ίσο προς τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης.

Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο

τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων,

σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το

πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή

με το μέγεθος του δείγματος ν.

12

Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το

ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, οπότε

στον κάθετο άξονα βάζουμε τις σχετικές

συχνότητες. Όμοια κατασκευάζεται από το

ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και το

πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων με

εμβαδόν ίσο με 1.

Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζονται και τα

ιστογράμματα αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Αν

ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστικών

συχνοτήτων τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) των

άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα

τμήματα βρίσκουμε το πολύγωνο

αθροιστικών συχνοτήτων της κατανομής.

Μέτρα Θέσης

Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός συνόλου δεδομένων πάνω στον οριζόντιο

άξονα Οx, εκφράζοντας την “κατά μέσο όρο” απόστασή τους από την αρχή των αξόνων.

α) Μέση Τιμή

Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι t1,t2,...,tv, τότε η μέση

τιμή συμβολίζεται με και δίνεται από τη σχέση:

Σε μια κατανομή συχνοτήτων, αν x1, x2 ,..., xκ είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχνότητες

v1,v2,...,vκ αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση:

Η παραπάνω σχέση ισοδύναμα γράφεται:

13

β) Σταθμικός Μέσος

Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα στις τιμές x1, x2 ,..., xν ενός συνόλου

δεδομένων, που εκφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w1, w2,..., wν,

τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό

μέσο.

Ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από τον τύπο:

γ) Διάμεσος (δ)

Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται

ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο

μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός.

Διάμεσος σε Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και την πολυγωνική γραμμή,

(όπως στο παρακάτω). Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, αντιστοιχεί στην τιμή x = δ της μεταβλητής Χ

(στον οριζόντιο άξονα), έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες ή ίσες του δ.

Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχνότητα Fi = 50% . Εφόσον στον κάθετο άξονα

έχουμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες, από το σημείο Α (50% των παρατηρήσεων) φέρουμε

την και στη συνέχεια τη ΒΓ ⊥ Οx. Τότε, στο σημείο Γ αντιστοιχεί η διάμεσος δ των

παρατηρήσεων.

Τα τρίγωνα ΔΕΒ και ΔΖΗ είναι όμοια. Άρα

δ ≈ 173

Δ

Ε

Ζ Η

14

Μέτρα Διασποράς

Mέτρα που εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής

τάσης.

α) Εύρος (R)

Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είναι το εύρος (R), που ορίζεται ως η διαφορά της

ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή:

Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-Μικρότερη παρατήρηση

β) Διακύμανση (s2)

Η διακύμανση ή διασπορά ορίζεται από τη σχέση

Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα, η διακύμανση ορίζεται από τη

σχέση:

γ) Τυπική Απόκλιση (s)

Η διακύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει ένα μειονέκτημα. Δεν

εκφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Για παράδειγμα, αν οι

παρατηρήσεις εκφράζονται σε cm, η διακύμανση εκφράζεται σε cm2. Αν όμως πάρουμε τη θετική

τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, θα έχουμε ένα μέτρο διασποράς που θα εκφράζεται με την ίδια

μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού, όπως ακριβώς είναι και όλα τα άλλα μέτρα θέσης, που

εξετάσαμε έως τώρα. Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπική απόκλιση, συμβολίζεται με s και δίνεται

από τη σχέση:

Κανονική Κατανομή

Αξίζει να σημειωθεί ότι αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι

κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων

βρίσκεται στο διάστημα

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων


iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων


iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές

αποκλίσεις, δηλαδή R ≈ 6s.

34% 34%

13,5% 13,5%

2,35% 2,35% 0,15% 0,15%

15

Ομοιογένεια Δείγματος

Ένα μέτρο το οποίο μας βοηθά στη σύγκριση ομάδων τιμών, που είτε εκφράζονται σε διαφορετικές

μονάδες μέτρησης είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντικά

διαφορετικές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας, ο

οποίος ορίζεται από το λόγο:

Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής

μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%.

Για την σύγκριση δύο ομάδων τιμών Α και Β:

Αν CVA>CVB τότε έχουμε μεγαλύτερη ομοιογένεια στις τιμές της ομάδας Β παρά της Α.

Δηλαδή μεγαλύτερος συντελεστής μεταβολής, συνεπάγεται μικρότερη ομοιογένεια.

Παρατηρήσεις

Έστω x1, x2 ,..., xvν παρατηρήσεις με μέση τιμή και τυπική απόκλιση sx.

α) Αν y1, y2,..., yv είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε σε καθεμιά από

τις x1, x2,..., xv μια σταθερά c, τότε:

β) Αν y1, y2,..., yv είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε σε καθεμιά από

τις x1, x2,..., xv μια σταθερά c, τότε:

16


Πείραμα Τύχης

Πείραμα τύχης, ονομάζεται ένα πείραμα για το οποίο δεν μπορούμε εκ των προτέρων να

προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις

ίδιες συνθήκες.

Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων

που συμβαίνουν σε μια εβδομάδα σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού, αφού ο αριθμός αυτός

εξαρτάται από πολλούς απρόβλεπτους παράγοντες.

Δειγματικός χώρος

Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά

αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων

λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή ω1,ω2,...,ωκ

είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα

είναι το σύνολο:

Ω = {ω1, ω2,...,ωκ}.

Ενδεχόμενα

Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα

στοιχεία.

Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός

ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’αυτό τα

στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Έτσι,

για παράδειγμα, το ενδεχόμενο A = {2,4,6} έχει τρεις ευνοϊκές περιπτώσεις και πραγματοποιείται,

όταν φέρουμε 2 ή 4 ή 6.

Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα

πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο

Ω. Γι’ αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.

Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο ∅ που δεν πραγματοποιείται σε καμιά

εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’ αυτό λέμε ότι το ∅ είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με N(A). Επομένως, αν Ω =

{1,2,3,4,5,6} και Α = {2,4,6} έχουμε N(A) = 3, N(Ω) = 6 και N(∅} = 0.

17

Πράξεις με Ενδεχόμενα

Ένωση

Το ενδεχόμενο A∪B, που διαβάζεται “Α

ένωση Β” ή “A ή Β” και πραγματοποιείται,

όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από

τα A, Β

Τομή

Το ενδεχόμενο A∩B, που διαβάζεται “Α τομή

Β” ή “Α και Β” και πραγματοποιείται, όταν

πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β.

Συμπληρωματικό Ενδεχόμενο

Το ενδεχόμενο Α', που διαβάζεται “όχι Α” ή

“συμπληρωματικό του Α” και

πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται

το Α. Το Α' λέγεται και “αντίθετο του Α” .

Διαφορά Ενδεχομένων

Το ενδεχόμενο Α - B, που διαβάζεται

“διαφορά του B από το Α” και

πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το

Α αλλά όχι το Β.

Είναι εύκολο να δούμε ότι Α - B = Α ∩ B'.

Παρατηρήσεις

∪

∪

∅ ∅

Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα

αποτέλεσμα του πειράματος αυτού.

Στην αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες

στην κοινή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμένες στη

γλώσσα των συνόλων.

18

Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται

Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται

Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται

Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β

Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β

Πραγματοποιείται μόνο το Α

Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β

ω Α

ω Α' (ή ω ∉ Α)

ω Α∪Β

ω Α∩Β

ω (Α∪Β)'

ω Α - Β (ή ω Α∩Β')

Α⊆Β

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα

Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται

ασυμβίβαστα, όταν Α∩Β = ∅. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται

επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως

αποκλειόμενα.

Εφαρμογή 2 (Σελ. 143)

Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Να παρασταθούν με

διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται

με τις εκφράσεις:

i) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.

ii) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

ΛΥΣΗ

i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο

το Α ή μόνο το Β, γραμμοσκιάζουμε τις

επιφάνειες των Α και Β με εξαίρεση την τομή

τους, δηλαδή την κοινή επιφάνειά τους.

Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή

πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A - B και

B - A. Άρα, το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το

(A - B) ∪ (B - A) ή ισοδύναμα το (A ∩ B') ∪

(A'∩ B).

ii) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται

κανένα από τα Α και Β, γραμμοσκιάζουμε την

επιφάνεια του Ω που είναι εκτός της ένωσης

των Α και Β. Στην περίπτωση αυτή

παρατηρούμε ότι το ζητούμενο σύνολο είναι

συμπληρωματικό του A∪B, δηλαδή το

(A∪B)'.

19

Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας

Γι’ αυτό είναι εύλογο σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να ορίσουμε ως πιθανότητα του

ενδεχομένου Α τον αριθμό:

Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι:

1.

2.

3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ P(A) ≤ 1, αφού το πλήθος των στοιχείων ενός

ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου.

Αξιωματικός Ορισμός Πιθανότητας

Για να μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας σε ένα δειγματικό

χώρο με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, είναι απαραίτητο τα απλά ενδεχόμενα να είναι ισοπίθανα.

Υπάρχουν όμως πολλά πειράματα τύχης, των οποίων ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από

ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Όπως για παράδειγμα η ρίψη ενός ζαριού που δεν είναι συμμετρικό.

Για τις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τον παρακάτω αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας, ο

οποίος έχει ανάλογες ιδιότητες με τη σχετική συχνότητα:

Έστω Ω = {ω1, ω2 ,..., ων} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε

απλό ενδεχόμενο {ωi} αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με P(ωi),

έτσι ώστε να ισχύουν:

0 ≤ P(ωi) ≤ 1

P(ω1) + P(ω2) +...+P(ων) = 1

Τον αριθμό P(ωi) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου {ωi}.

Ως πιθανότητα P(A) ενός ενδεχομένου A = {α1,α2,...,ακ} ≠ ∅ ορίζουμε το άθροισμα

P(α1) + P(α2) + ... + P(ακ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ∅ ορίζουμε τον αριθμό

P(∅) = 0.

ΣΧΟΛΙΟ Όταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο Ω = {ω1, ω2 ,..., ων} και χρησιμοποιούμε τη φράση “παίρνουμε

τυχαία ένα στοιχείο του Ω”, εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με

πιθανότητα

20

Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων (Αποδείξεις)

1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν N(A) = κ και N(B) = λ, τότε το A∪B έχει κ + λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν

ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε N(A∪B) = κ + λ = N(A) + N(B).

Επομένως:

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος και ισχύει και για περισσότερα από

δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε:

P(A∪B∪Γ) = P(A) + P(B) + P(Γ).

2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A' ισχύει:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A ∩ A' = ∅, δηλαδή τα Α και A' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον

απλό προσθετικό νόμο:

Οπότε P(A') = 1 - P(A).

21

3. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε N(A∪B) = N(A) + N(B) - N (A ∩ B), (1)

αφού στο άθροισμα N(A) + N(B) το πλήθος των στοιχείων του A ∩ B υπολογίζεται δυο φορές.

Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε:

και επομένως

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός

νόμος .

4.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A ⊆ B έχουμε διαδοχικά:

5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει

P(A-B) = P(A) - P(A∩B).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή τα ενδεχόμενα A-B και A∩B είναι

ασυμβίβαστα και (A-B)∪(A∩B) = A, έχουμε:

P(A) = P(A - B) + P(A∩B).

Άρα

P(A-B) = P(A) - P(A∩B).

22

Εφαρμογή 2 (Σελ. 153)

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται P(A) = 0,5 , P(B) = 0,4 και

P(A∩B) = 0,2 . Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων:

i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.

ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

ΛΥΣΗ

i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το (A∪B)'. Επομένως

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το (A - B) ∪ (B - A). Επειδή τα ενδεχόμενα A - B και B - A είναι ασυμβίβαστα, έχουμε: P((A - B)∪(B - A)) = P(A - B) + P(B - A)

23

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η συνάρτηση

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της . 2. Να βρεθεί το όριο . 3. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος . 4. Να εξεταστεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 5. Να βρεθεί το . 6. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο

σημείο της Α (1, 2).

ΛΥΣΗ

1. Πρέπει ο παρανομαστής να είναι διάφορος του μηδενός άρα Το πεδίο ορισμού είναι Α=IR-{-1}

2. =

3.

4.

x - -1 +

+ +

↗ Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x Δεν παρουσιάζει ακρότατα.

5.

6. Εξίσωση εφαπτομένης στο Α(1, 2)

24

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η συνάρτηση

1. Να βρεθεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος

2. Να αποδειχθεί ότι:

3. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

4. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης στο σημείο Α (1, .

ΛΥΣΗ

1. Η πρώτη παράγωγος:

Η δεύτερη παράγωγος:

2.

+

3.

x - -1 3 +

+ o - o +

↘ ↗ Μονοτονία

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για ∪

και γνησίως φθίνουσα για .

Ακρότατα

Παρουσιάζει μέγιστο για το

Και παρουσιάζει ελάχιστο για το

4. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο Α (1, είναι :

To και το .

25

Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 3

Να υπολογίσετε τα όρια:

i)

ii)

iii)

ΛΥΣΗ

i)

Παραγοντοποιώ το τριώνυμο:

Άρα

ii)

Παραγοντοποιώ τον αριθμητή

iii)

Χρησιμοποιώ την συζυγή παράσταση του παρανομαστή

26

ΑΣΚΗΣΗ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις και με

, και

∪

1. Να βρείτε το α ώστε η να είναι συνεχής στο

2. Να βρείτε τις τιμές του x με , για τις οποίες οι εφαπτόμενες ευθείες των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων και είναι παράλληλες.

3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της στο σημείο της A(2, ).

4. Από τυχαίο σημείο Γ(x, y) της ευθείας (ε) με 0 <x < 3 φέρνουμε κάθετες ευθείες προς τους άξονες x΄x και y΄y οι οποίες τους τέμνουν στα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ΓΔΟΕ, όταν αυτό αποκτά το μέγιστο δυνατό εμβαδόν.

ΛΥΣΗ

1. Για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο πρέπει να ισχύει

Όπου .

Άρα

Για να άρουμε την απροσδιοριστία χρησιμοποιούμε την συζυγή παράσταση του αριθμητή:

2. Για να είναι οι εφαπτόμενες ευθείες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και

παράλληλες πρέπει να έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης ευθείας της γραφικής παράστασης της για

είναι:

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης ευθείας της γραφικής παράστασης της g για

είναι:

27

Πρέπει να βρούμε για ποιες τιμές του είναι:

άρα

3. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης


To

και

28

Άρα

Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης


4. Το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία (ε): , με 0<x<3.

Άρα οι συντεταγμένες του είναι (x, -x+3)

Αντίστοιχα τα σημεία Δ και Ε θα έχουν

συντεταγμένες :

Δ(x, 0) και το Ε(0, -x+3).

Οι διαστάσεις του ορθογωνίου ΟΔΓΕ είναι :

(ΟΔ)=x και (ΟΕ)=-x+3

Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΔΓΕ δίνετε από

την σχέση: (ΟΔΓΕ)=(ΟΔ) (ΟΕ)=x (-x+3)=-x2+3x

Έστω η συνάρτηση που μας δίνει το εμβαδόν

του ορθογωνίου με ΟΔΓΕ με τύπο

, 0 < x < 3.

Θα πρέπει να προσδιορίσουμε για ποιες τιμές του x η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο,

δηλαδή για ποιες τιμές του x, το εμβαδόν το ορθογωνίου γίνεται μέγιστο.

+ -

Βλέπουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για

. Επομένως το εμβαδόν του

ορθογωνίου γίνεται μέγιστο όταν το μήκος του (ΟΔ)=

και το πλάτος του (ΟΕ)=

+3=

O

o

29

ΑΣΚΗΣΗ 5

Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ: «πλήθος ημερών

άδειας» των υπαλλήλων μιας εταιρείας υπολογιστών.

1. Nα μεταφέρετε στη κόλλα σας και να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.

Ημέρες Άδειας

Συχνότητα

Αθροιστική Συχνότητα


Αθροιστική Σχετ.

Συχνότητα


%


Συχνότητα %

5 4

7 6

9 2

14 5

16 2

18 1

Σύνολο

2. Να βρεθεί το πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας. 3. Να βρεθεί το ποσοστό των υπαλλήλων που πήραν το πολύ 14 ημέρες άδεια. 4. Να βρεθεί το πλήθος των υπαλλήλων που πήραν τουλάχιστον 9 ημέρες άδεια. 5. Να βρεθεί η μέση τιμή των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας. 6. Να βρεθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας. 7. Να εξετάσετε το παραπάνω δείγμα ως προς την ομοιογένεια του 8. Να βρεθεί η διάμεσος των παραπάνω τιμών

ΛΥΣΗ

1.


Συχνότητα

Αθροιστική Συχνότητα



Συχνότητα


%



5 4 4 0,2 0,2 20 20

7 6 10 0,3 0,5 30 50

9 2 12 0,1 0,6 10 60

14 5 17 0,25 0,85 25 85

16 2 19 0,1 0,95 10 95

18 1 20 0,05 1 5 100

Σύνολο 20 1 100

ΟΔΗΓΙΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Αθροιστική Συχνότητα :

Ν1=ν1

30

Ν2=ν1+ν2

Ν3=ν1+ν2+ν3 κ.ο.κ.

Το τελευταίο είναι πάντα ίσο με το μέγεθος του δείγματος ν.

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Σχετική Συχνότητα :

Με τη βοήθεια του τύπου

Το σύνολο των ισούται πάντα με 1

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Αθροιστική Σχετική Συχνότητα

F1=f1

F2=f1+f2

F3=f1+f2+f3 κ.ο.κ.

Το τελευταίο είναι πάντα ίσο με 1.

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Σχετική Συχνότητα %:

Με τη βοήθεια του τύπου

100

Το σύνολο των ισούται πάντα με 100

Πως συμπληρώνουμε την στήλη Αθροιστική Σχετική Συχνότητα

F1%=f1%

F2%=f1%+f2%

F3%=f1%+f2%+f3% κ.ο.κ.

Το τελευταίο είναι πάντα ίσο με 100.

2. To πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας είναι :

ν=20

3. Να βρεθεί το ποσοστό των υπαλλήλων που πήραν το πολύ 14 ημέρες άδεια. (το πολύ : από την πρώτη τιμή μέχρι την τιμή 14) 1ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης :

0,2+0,3+0,1+0,25=0,85 2ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης % :

20+30+10+25=85% 3ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης % :

4. Να βρεθεί το πλήθος των υπαλλήλων που πήραν τουλάχιστον 9 ημέρες άδεια. (τουλάχιστον: από την τιμή 9 μέχρι την τελευταία τιμή )

31

1ος τρόπος

Με τη βοήθεια της στήλης :

=2+5+2+1=10 5. Να βρεθεί η μέση τιμή των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας.

Πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα με την στήλη


Συχνότητα

……….

5 4 ……….. 20

7 6 ………… 42

9 2 …………. 18

14 5 …………. 70

16 2 …….. 32

18 1 ………… 18

Σύνολο 20 200

Η μέση τιμή δίνεται από τον τύπο

6. Να βρεθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των ημερών άδειας των υπαλλήλων της εταιρείας Πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα με τις στήλες:


Συχνότητα

……….

5 4 ……….. -5 25 100

7 6 ………… -3 9 54

9 2 …………. -1 1 2

14 5 …………. 4 16 80

16 2 …….. 6 36 72

18 1 ………… 8 64 64

Σύνολο 20 372

Η διακύμανση δίνεται από την σχέση

Η τυπική απόκλιση είναι 7. Να εξετάσετε το παραπάνω δείγμα ως προς την ομοιογένεια του

άρα δεν είναι ομοιογενές.

32

8. Να βρεθεί η διάμεσος των παραπάνω τιμών Η διάμεσος δ μας δείχνει ότι οι μισές παρατηρήσεις του δείγματος είναι μικρότερες από αυτές και οι άλλες μισές μεγαλύτερες. Επίσης να θυμηθούμε τον ορισμό: Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός. Σε αυτή την άσκηση το μέγεθος του δείγματος είναι ν=20 άρα η διάμεσος είναι ίση με το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις είναι η και Ποιες τιμές λοιπόν αντιστοιχούν στη και ; Θα τις εντοπίσουμε από την στήλη των Συχνοτήτων


Συχνότητα

5 4

7 6

9 2

14 5

16 2

18 1

Σύνολο 20

Βλέπουμε ότι έχουμε 4( ) τιμές: και 6( ) τιμές: . Σύνολο 4+6=10, άρα η και η θα είναι η επόμενη τιμή το 9.

Η διάμεσος είναι

33

ΑΣΚΗΣΗ 6

Οι πόντοι που συνέλλεξαν στην πρώτη φάση ενός διαδικτυακού παιχνιδιού καθένας από τους

160 παίκτες είναι τουλάχιστον 10 αλλά λιγότεροι από 26 και ομαδοποιήθηκαν σε 4 κλάσεις ίσου

πλάτους. Γνωρίζουμε ότι 16 παίκτες έχουν συγκεντρώσει λιγότερους από 14 πόντους, το 60% των

παικτών έχει συγκεντρώσει πάνω από 18 πόντους και 32 παίκτες έχουν τουλάχιστον 22 πόντους.

1. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών

συχνοτήτων (επί τοις εκατό)

2. Κάθε παίκτης που συλλέγει τουλάχιστον 19 πόντους παίρνει μπόνους 50 πόντους για την

δεύτερη φάση του παιχνιδιού. Να βρείτε τι ποσοστό από τους 160 παίκτες θα πάρει το

μπόνους των 50 πόντων.

3. Να βρείτε τη γωνία του κυκλικού τομέα, που αντιστοιχεί στην δεύτερη κλάση του κυκλικού

διαγράμματος σχετικών συχνοτήτων, για τα δεδομένα του προβλήματος.

4. Να βρείτε τη μέση τιμή των πόντων που συνέλλεξαν οι παίκτες στην πρώτη φάση του

παιχνιδιού.

5. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το αντίστοιχο πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών

συχνοτήτων επί τοις εκατό.

6. Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων.

ΛΥΣΗ

1. Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε

Το μέγεθος του δείγματος ν=160

Η ελάχιστή τιμή των παρατηρήσεων και η μέγιστη τιμή τους

Το πλήθος των κλάσεων

Επομένως το εύρος του δείγματος είναι:

και το πλάτος των κλάσεων είναι:

.

Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε τα άκρα των κλάσεων:

1η κλάση : [ = [10, 10+4)=[10, 14)

2η κλάση : [14, 14+c) =[14, 18)

3η κλάση : [18, 22) και

4η κλάση : [22, 26)

Από τα υπόλοιπα δεδομένα της άσκησης μπορούμε να συλλέξουμε τις παρακάτω

πληροφορίες:

16 παίκτες έχουν συγκεντρώσει λιγότερους από 14 πόντους ⇒( λιγότερους από 14 πόντους

έχει η 1η κλάση) ⇒ ν1=16

34

το 60% των παικτών έχει συγκεντρώσει πάνω από 18 πόντους ⇒ (πάνω από 18 πόντους έχουν

η 3η και η 4η κλάση)⇒

32 παίκτες έχουν τουλάχιστον 22 πόντους ⇒ (τουλάχιστον 22 πόντος έχουμε στην 4η κλάση) ⇒

ν4=32

Ας τοποθετήσουμε όλα τα παραπάνω στον πίνακα:

Κλάσεις [ - )

Κεντρική τιμή

Συχνότητα νi

Σχετική Συχνότητα %

Αθροιστική Σχετική Συχνότητα

%

10-14 16

14-18

18-22

22-26 32

Σύνολο 160

Πως θα συμπληρώσουμε την 4η στήλη: Σχετική Συχνότητα % , ( ):

Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε τα και :

και

Από τη σχέση : μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε το :

⇒

Αφού το άθροισμα των είναι ίσο με 100% μπορούμε να υπολογίσουμε το :

Πως θα συμπληρώσουμε την 5η στήλη: αθροιστική Σχετική Συχνότητα % , ( ):

Γνωρίζουμε ότι:

Πως θα συμπληρώσουμε την 3η στήλη: Συχνότητα νi :

και

35

Τέλος για να συμπληρώσουμε την 2η στήλη με τις κεντρικές τιμές :

Αρκεί να θυμηθούμε ότι κάθε κεντρική τιμή ισούται με το ημιάθροισμα των άκρων της

αντίστοιχης κλάσης. Επομένως

.

Για τις κεντρικές τιμές των υπόλοιπων κλάσεων έχουμε δύο τρόπους:

1ος τρόπος: Να επαναλάβουμε την διαδικασία που κάναμε για το

κ.λ.π.

2ος τρόπος: Προσθέτουμε στην κεντρική τιμή της προηγούμενης κλάσης το πλάτος δηλαδή:

Ο ζητούμενος πίνακας λοιπόν είναι :





Αθροιστική Σχετική Συχνότητα

%

10-14 12 16 10 10

14-18 16 48 30 40

18-22 20 64 40 80

22-26 24 32 20 100

Σύνολο 160 100

2. Οι παίκτες που συλλέγουν τουλάχιστον 19 πόντους είναι ένα μέρος από το πλήθος των

παικτών που αντιστοιχούν στην 3η κλάση και όλοι όσοι αντιστοιχούν στην 4η κλάση.

Το ποσοστό των παικτών που ανήκουν στην 3η κλάση είναι 40%. Πρέπει να προσδιορίσουμε

ποιο μέρος του 40% έχει τουλάχιστον 19 βαθμούς.

Από το παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι η κλάση χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη και τα

της

κλάσης αφορούν τους παίκτες που έχουν πάνω από 19 πόντους. Επομένως τα

από την

3η κλάση και το 20% από την 4η κλάση είναι το ποσοστό των παικτών που θα πάρει το

μπόνους. Δηλαδή:

3. Τη γωνία του κυκλικού τομέα μπορούμε να την βρούμε από τους τύπους:

ή

Εδώ αφού έχουμε υπολογίσει ήδη τις σχετικές συχνότητες θα προτιμήσουμε τον 2ο τύπο:

Άρα

36

4. Για τη μέση τιμή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους:

ή

Όποιον τύπο και να επιλέξουμε, καλό θα ήταν να συμπληρώσουμε τον πίνακα του 1ου

ερωτήματος με μία ακόμα στήλη. Αν επιλέξουμε τον 1ο τύπο με την στήλη ενώ αν

επιλέξουμε το 2ο τύπο με τη στήλη .

Επιλέγουμε λοιπόν τον 1ο τύπο οπότε ο πίνακας θα συμπληρωθεί ως εξής:

Πολλαπλασιάζοντας τα αντίστοιχα στοιχεία της 2ης με τη 3η στήλη,

δηλαδή: 12 16 , 16 48 κ.λ.π έχουμε:





Αθροιστική Σχετική


10-14 12 16 10 10 192

14-18 16 48 30 40 768

18-22 20 64 40 80 1280

22-26 24 32 20 100 768

Σύνολο 160 100 3008

Το σύνολο της στήλης είναι

Άρα η μέση τιμή είναι

5. Το Ιστόγραμμα Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων επί τοις εκατό είναι το παρακάτω:

37

Στον οριζόντιο άξονα τοποθετούμε τα όρια των κλάσεων και στον κατακόρυφο τις αντίστοιχες

Αθροιστικές Σχετικές Συχνότητες.

Για να σχεδιάσουμε το πολύγωνο των Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων αρκεί να ενώσουμε

τις πάνω δεξιές κορυφές των ράβδων (ορθογωνίων) με ευθύγραμμα τμήματα ξεκινώντας από

την κάτω αριστερή κορυφή της 1ης ράβδου.

Οπότε το ζητούμενο πολύγωνο είναι το ακόλουθο:

6. Για να βρούμε τη διάμεσο των παρατηρήσεων χρειαζόμαστε το Ιστόγραμμα και το πολύγωνο

των Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων. Εντοπίζουμε στον κατακόρυφο άξονα το 50% και

φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινάει από το 50%, είναι παράλληλο στον οριζόντιο

άξονα και τέμνει το πολύγωνο.

Στο σημείο που το ευθύγραμμο τμήμα τέμνει το πολύγωνο φέρνουμε μια ευθεία παράλληλη

στον κατακόρυφο άξονα.

Το σημείο που αυτή η δεύτερη ευθεία που φέραμε τέμνει τον οριζόντιο άξονα είναι η τιμή της

διαμέσου.

38

Για να μπορέσουμε να βρούμε όμως με ακρίβεια ποια είναι η τιμή της διαμέσου δ, θα πρέπει να

δουλέψουμε με τα τρίγωνα ΖΝΙ και ΖΩΦ.

δ

δ

39

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΖΝΙ και ΖΩΦ είναι όμοια και επομένως οι πλευρές τους είναι ανάλογες. Δηλαδή:

40

ΑΣΚΗΣΗ 7

Έστω ότι ένα δείγμα 2000 παρατηρήσεων ακολουθεί την κανονική κατανομή, από τις οποίες 320 είναι μεγαλύτερες του 37 και 50 μικρότερες του 10. 1. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των τιμών του δείγματος. 2. Να βρείτε το εύρος και τη διάμεσο δ των τιμών του δείγματος. 3. Να βρείτε πόσες παρατηρήσεις :

i. περιέχονται στο διάστημα (28, 46).

ii. είναι μικρότερες του 19.

4. Να δείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

5. Αν όλες οι τιμές ελαττωθούν κατά 10%, να βρείτε πόσο θα μεταβληθεί ο συντελεστής

μεταβολής.

6. Να βρείτε ποιος είναι ο ελάχιστος θετικός αριθμός που πρέπει να προστεθεί σε κάθε

παρατήρηση ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές.

ΛΥΣΗ

Αφού το δείγμα ακολουθεί την κανονική κατανομή, ισχύουν για την τυπική απόκλιση οι ιδιότητες (σελ. 14 ) Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε ότι:

Το μέγεθος του δείγματος είναι ν=2000

320 παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες του 37

Δηλαδή το

των

παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες του 37 (16%=13,5%+2,35%+0,15%) Άρα (1)

50 παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 10

Δηλαδή το

των

παρατηρήσεων είναι μικρότερες του 10 (2,5%=0,15%+2,35%)

Άρα (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) υπολογίζουμε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση

⇒

⇒

⇒

2. Αφού το δείγμα ακολουθεί την κανονική κατανομή, ισχύουν οι σχέσεις και

Επομένως ⇒ και

34%

13,5%

2,35% 0,15% 34%

13,5%

0,15% 2,35%

41

3. Αν φτιάξουμε την καμπύλη της κανονικής κατανομής για τις παρατηρήσεις του δείγματος μας

έχουμε:

i. Το ποσοστό των παρατηρήσεων που περιέχονται στο διάστημα (28, 46) όπως βλέπουμε

στο παραπάνω σχήμα είναι: 34%+13,5%=47,5%

Άρα

οι παρατηρήσεις που περιέχονται στο διάστημα (28, 46)

ii. Ομοίως από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι

μικρότερες του 19 είναι 13,5%+0,15%+2,35%=16%

Άρα

οι παρατηρήσεις που είναι μικρότερες του 19.

4. Θα πρέπει να υπολογίσουμε το συντελεστή μεταβολής και να δείξουμε ότι είναι μεγαλύτερος

του 10%.

Η σχέση που μας δίνει το συντελεστή μεταβολής είναι

Επομένως στην άσκηση μας

Το

⇒

⇒

Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

5. Έστω οι τιμές που προκύπτουν αν οι αρχικές τιμές ελαττωθούν κατά 10%. Επομένως η

σχέση που συνδέει τα με τα είναι:

Οπότε σύμφωνα με τις παρατηρήσεις (σελ. 15)

και

Άρα ο συντελεστής μεταβολής που αντιστοιχεί στις νέες τιμές είναι

28 37 46 55 19 10 1

42

6. Έστω οι τιμές που προκύπτουν αν στις αρχικές τιμές προσθέσουμε τον θετικό αριθμό

Επομένως η σχέση που συνδέει τα με τα είναι:

Οπότε σύμφωνα με τις παρατηρήσεις (σελ. 15) και .

Άρα ο νέος συντελεστής μεταβολής που αντιστοιχεί στις τιμές είναι

Για να γίνει το δείγμα ομοιογενές θα πρέπει

Άρα ο ελάχιστος θετικός αριθμός που πρέπει να προστεθεί σε κάθε παρατήρηση ώστε το

δείγμα να γίνει ομοιογενές είναι το 62.

43

ΑΣΚΗΣΗ 8

Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με P(A)=

, P(B)=

και P(A∩B)=

. Να

βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: 1. Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α ,Β 2. Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β 3. Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α 4. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 5. Nα πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β 6. Να μην πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β

ΛΥΣΗ

1. Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α ,Β

∪

2. Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β

3. Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α

4. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β

∪ ∪

5. Nα πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β 1ος τρόπος ∪

2ος τρόπος

∪

∪

6. Να μην πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β

∪ ∪

44

Ερωτήσεις Σωστό-Λάθος

Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις:

1. Η διάμεσος δ ενός δείγματος 6 παρατηρήσεων διατεταγμένων κατά αύξουσα σειρά, ισούται με τη μεσαία παρατήρηση.

2. Το εύρος R ενός δείγματος είναι ένα μέτρο διασποράς. 3. Αν Α, Β είναι δύο ξένα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε P(Α∩Β)=1. 4. Αν τότε . 5. Mια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν

για οποιοδήποτε σημεία με ισχύει 6. Αν τότε 7. Η διάμεσος δ του δείγματος παρατηρήσεων: 1, 5, 2, 3, 4, ισούται με 3. 8. Το εύρος R ενός δείγματος παρατηρήσεων εξαρτάται μόνο από τις δύο ακραίες

παρατηρήσεις. 9. Αν Α, Β είναι δύο ξένα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε

∪ . 10. Αν Α, Β είναι δύο ξένα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε Α∩Β=∅. 11. Αν τότε 12. Για το πηλίκο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f και g ισχύει για g(x) ≠0 ότι:

13. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Α με f(x) ≠ 0 για κάθε x A τότε ισχύει:

.

14. Σε μια κανονική κατανομή το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα

15. Αν σε μια κατανομή συχνοτήτων ισχύει ότι η μέση τιμή είναι μικρότερη από την διάμεσο δ του δείγματος τότε η κατανομή παρουσιάζει θετική ασυμμετρία.

Απαντήσεις

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Σ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Λ

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2015 2016)

Education

Transcript of Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2015 2016)