Νέες σημειώσεις του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το...

ικά Κατεύθυνσης

Γ Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού

2016 - 2017

Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

ανάλ

υση

Συναρτήσεις Όρια

Συνέχεια 333

Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού - Θετικών Σπουδών& Οικονομίας και πληροφορικής

Μέρος Α: Συναρτήσεις - Όρια – Συνέχεια Έκδοση 16.08

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης

Μαθηματικός M.ed. Χανιά 2016

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

email: [email protected]

Γ Λυκείου –Μαθηματικά Προσανατολισμού 3

Σχ. Έτος 2016-2017

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.01 Έστω η συνάρτηση 21f(x) n 1

x

A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της

B) Λύστε την εξίσωση f x 1 0

Γ) Λύστε την ανίσωση f x 0

Δ) Δείξτε ότι 21 1f f( 2 ) f

συνx2συν x 1

1.02 Αν 2f x x x 1 . Να αποδείξετε

ότι f x f x 1

1.03 Δίνεται η συνάρτηση x x1f x α α2

.

Δείξτε ότι f x y f x y 2f x f y , x, y R

1.04 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού

το R με x

x4f x

4 2

. Yπολογίστε το f x f 1 x

και το 1 2 2002 2003f f ...f f2004 2004 2004 2004

1.05 Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η ευθεία

3 2 λλ 2y xλ λ

να είναι:

Α) παράλληλη στην ευθεία 2y x 5

Β) να είναι κάθετη στην ευθεία y 4x 1

Γ) να διέρχεται από το σημείο 3, 1

Δ) να είναι κατακόρυφη

Ε) να είναι οριζόντια

Στ) να σχηματίζει γωνία 135ο- με τον x΄x

1.01 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν

συναρτήσεις και ορισμένες στο ώστε να

ισχύει , για κάθε

1.02 Να βρεθεί o λ R ώστε να είναι

συνάρτηση η 2 2

2

x 2x 5, x λ 3λ 2f x

x 4, 2-λ x

1.03 Ένα όχημα όταν ταξιδεύει με ταχύτητα

v km/h, καταναλώνει την ώρα 36 0,0001v

λίτρα καύσιμα. Να βρείτε τη συνολική ποσότητα

καυσίμων που χρειάζεται για να διανύσει

απόσταση 1000 km με σταθερή ταχύτητα v

1.04 Ένα κυλινδρικό δοχείο έχει

χωρητικότητα 1 lt. Να εκφράσετε το κόστος

κατασκευής του δοχείου συναρτήσει της ακτίνας

της βάσης του, αν το κόστος του ενός 3cm μετάλου

είναι 0,02 euro

1.05 Ένα σύρμα μήκους 10 κόβεται σε δύο

τμήματα με τα οποία σχηματίζουμε έναν κύκλο

και ένα τετράγωνο αντιστοιχα. Να εκφράσετε το

άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων

συναρτήσει του μήκους x του ενός από τα δύο

τμήματα

1.06 Στο διπλανό

σχήμα να βρείτε

συναρτήσει του x ,

τη συνάρτηση που

περιγράφει το

εμβαδόν της

γραμμοσκιασμένης περιοχής που δημιουργείται

από τη ΔΕ και τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ

για τις διάφορες θέσεις του E πάνω στη BΓ . Το

τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς

1 η BE x και ΔΕ ΒΕ

f g R

f x g y x y x, y R

4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

http://users.sch.gr/mipapagr

Γραφική Παράσταση

1.07 Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης f(x) ln x και να βρείτε το

πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6f x 10

1.08 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις

των παρακάτω συναρτήσεων

f x x g x x 1 h x 1 x

1k xx

1m xx 1

1n xx 1


των συναρτήσεων

f(x) ln( x), x 0 g(x) ln( x), x 0

k(x) ln x m(x) ln x t(x) ln x

1.10 Nα παραστήσετε γραφικά τις

συναρτήσεις Α) f(x) ημx ημx , πx 0,2

Β) t(x) 2 ημ 2x π Γ) 2f(x) συν x


των συναρτήσεων:

Α) f x 2x x B) 2x 1, x 1

f(x)3 x , x 1

Γ)

x

2

e , x 0g(x) lnx , 0<x e

x 1 , x e

Δ)

22x |x| 1h(x) 2 |x| 1

x

1.12 Να βρείτε τον

τύπο της συνάρτησης

του σχήματος

1.13 Να παραστήσετε γραφικά κάθε μια από

τις παρακάτω συναρτήσεις:

ln xg x e 2h x x xf x lne

1.14 Παραστήσετε γραφικά τις συνάρτήσεις:

f x x g(x) συν x

xρ(x) 2συν2

πt(x) 2 ημ 2x3

Κοινά Σημεία-Σχετική Θέση

1.15 Για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι

2f x 2f x 2 x x 1 , x R . Να δείξετε ότι η

fC δεν τέμνει τον άξονα x x

1.16 Να βρεθούν τα διαστήματα όπου η fC

είναι πάνω από τη gC όταν:

Α) x x 1f x 4 2 και x 2g x 2 8

Β) 2x αν x 0f(x)1 2x αν x<0

και g(x) x 2

1.17 Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R για τις

οποίες ισχύει 2f x 9 g x x για κάθε x R .

Να βρεθεί η σχετική θέση των f gC , C

1.18 Έστω η συνάρτηση f : R R για την

οποία ισχύει ότι 2f x 2 f 3x 0 για κάθε

x R . Να δείξετε ότι η fC τέμνει τον άξονα x x σε

δύο τουλάχιστον σημεία

1.19 Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R , ώστε

να ισχύει 2f(x) g(x) x κ κάθε x R , κ R .

Να βρεθεί ο κ ώστε οι γραφικές παραστάσεις

τους, να τέμνονται στην ευθεία x 1 καθώς και

τα διαστήματα όπου η fC είναι πάνω από την gC

1.20 Για τη συνάρτηση h : R R ισχύει ότι

3 2 2h x h x 2h x x x 2 για κάθε x R .

Δείξτε ότι h x 0 για κάθε x R

9 6 4 2

2 2

4 2

O

y

x

y=f (x)


Σχ. Έτος 2016-2017

Πεδίο ορισμου

1.21 Βρείτε τα πεδία ορισμού των

συναρτήσεων 2f x x ln x 2φ(x) x x

x 1g(x)x x-3x+2 x

t(x) 1

x 2 x 1

h(x) 2

x 2

1 x 1 x

24 - xk(x)(x - 1) x 1

1.22 Βρείτε τα πεδία ορισμού των :

2 xf x2ημx 1

2εφxg xημx ημ2x

21t x

2συν x 5συνx 3

2

2x 2xx 1φ(x)

e e

xe er x

2x 1 ln x

, 1m x ln xx 1

p(x) xe - 1 + 1 - lnx 2q x ln 1 x

1.23 Βρείτε τις τιμές του R για τις οποίες

το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

2f(x) ln αx 4x 1 είναι το R


συναρτήσεων

2

x x 1x x 1f x

9 4.3 27

x 2

1h x4 x

k(x) 2συνx 1 xm(x) (e 1)ln(x 1)

1t x ln xx 1

1r x ln xx 1

3 2p(x) x x 1

lnxq x x



2

2x 2xx 1k(x)

e e

, xt x ln xx 1

2

2x x 2r(x)

x x

, 3 x 2

k x2x 4 x 1

m x ln(x 1) f(x) xe - 1 + 1 - lnx

2r x ln x x 1 , 1t xεφx 1

, x 0, 2π

Σύνολο Τιμών

1.26 Βρείτε τα σύνολα τιμών των

συναρτήσεων: Α) 1 xf x e 3 x 1, 2

Β) f x 3 ln 1 2x 1 , x 2, 1 /2

Γ) 2f x x 4x 3


συναρτήσεων: Α) x 1f xx 1

x 2, 5

Β) 2

6f xx 4 2

x , 2


συναρτήσεων:

2x 2 αν 2 x 3f(x)x 1 αν 3 x 5

, g(x) 3 2 x 1



f(x) 1log 1x

, x

x 15 eg x

5 e

2

2x 2xt(x)x 4

2r x x 4x 3 αν x 2, 5

1.30 Στο σχήμα φαίνεται η γραφική

παράσταση της συνάρτησης y f x . Να βρείτε το

πλήθος των ριζών των εξισώσεων:

Α) f x 2

Β) f x 0

Γ) f x 1

Δ) f x 2

Ε) f x α, α 3,3



Ισότητα Συναρτήσεων

1.31 Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 1 .

Α) Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω

συναρτήσεις είναι ίσες με τη συνάρτηση f . 2

1x - 1f (x)x - 1

3

2 2x 1f (x)

x - x 1

23f (x) x 1 41f (x) x 1x

x 15f x ln e ln(x 1)

6f (x) e

Β) Βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο

οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες.

1.32 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι

συναρτήσεις 1 συνxf(x)ημx

και ημxg(x)

1 συνx

1.33 Eξετάστε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις

x xf x 1 2 2 1

και g x 0

1.34 Eξετάστε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις

2f(x) x x 1 και 2

1g(x)x x 1

1.35 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι

συναρτήσεις στις παρακάτω περιπτώσεις.

Α) ln xf(x) e και ln xg(x) e

Β) f(x) 1ln 2x

και g x ln 1 2x ln x

1.36 Να βρεθεί ο R ώστε να είναι ίσες οι

συναρτήσεις3

2x 3x 4f(x)

x x 4

και g(x) x 1

1.37 Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g : R R

αν για κάθε x R ισχύει ότι

2 2f x g x 1 2 x f x x g x

Πράξεις Συναρτήσεων

1.38 Βρείτε τις συναρτήσεις f g ,και gf

όταν

f(x) 4 |x|] και g(x) x 1

1.39 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g ,και gf

αν f(x) 2x 1, x 2

x , x 2

και

lnx, 0 x 3g x

-2x 3, x 3

1.40 Για τις συναρτήσεις f,g : R R ισχύει

ότι 2 2g x f x 2f x x 3 , x R . Να

δείξετε ότι η gC τέμνει τον θετικό ημιάξονα Oy

1.41 Nα βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : R R

που ικανοποιούν την σχέση: 2 2f x x 1 , x R

1.42 Nα αποδείξετε ότι f g , αν ισχύει ότι

2 2f g (x) 2 f g (x) 2 για κάθε x R

1.43 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση

f : R R αν ισχύει ότι 2 2f (x) 2f x x για

κάθε x R και f x 1 για κάθε x R

1.44 Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις τις

συναρτήσεις f : R R αν για κάθε x R ισχύει

ότι f x 1 f x 2 0

1.45 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : R R

που ικανοποιούν την σχέση: f x x , x R

1.46 Βρείτε τις συναρτήσεις f : R R για τις

οποίες ισχύει ότι 2 x xf x 4e f x e , x R

1.47 Να βρείτε τις συναρτήσεις f αν για κάθε

x, y R ισχύει ότι f(x)f(y) 1 f(x) f(y) xy


Σχ. Έτος 2016-2017

Άρτιες Περιττές

1.48 Nα εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές

οι συναρτήσεις

2g(x) ln x x 1 , 2x 3 x 0 3 x 0f(x)2x 3 x 0


x f(x) f( x) 2 2f( x) 0, x R . Να αποδείξετε

ότι η f είναι περιττή και να βρείτε τον τύπο της.

1.50 ** Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την

οποία ισχύει f(x y) f(x y) 2f(x) f(y) για κάθε

x, y R . Να αποδείξετε ότι: Α) f 0 0

Β) η f είναι άρτια

Γ) f x f(x) για κάθε x R

1.51 Η συνάρτηση f : R R είναι περιττή

και ισχύει ότι 2f x x 2 2x για κάθε x R .

Να βρείτε τον τύπο της

1.52 Για τις συναρτήσεις f,g : R R ισχύει

ότι: 2f x f x f x και 2g x g x g x

για κάθε x R . Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και

η g περιττή

1.53 Αν ισχύει f(x y) f(x) f(y) , x, y R

να δείξετε ότι η f είναι περιττή

1.54 Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση f : R R

είναι άρτια και περιττή τότε f(x) 0 για κάθε x R

1.55 Δείξτε ότι για κάθε συνάρτηση f : R R

η συνάρτηση g(x) f(x) + f( x) είναι άρτια

1.56 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με

f gA A R Να αποδείξετε ότι: Αν οι f,g είναι

περιττές τότε η f g είναι περιττή ενώ οι f g ,

f /g , (g(x) 0 ) είναι άρτιες

Σύνθεση Συναρτήσεων

1.57 Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως

σύνθεση δύο ή περισσοτέρων (μη ταυτοτικών)

συναρτήσεων, αν:

f(x) ln(1 ημx) f(x) 2συν 1 x

2f(x) ln(x 1) ln x 4f(x) ημ (3x 5)

2 2f(x) ln x 1 ln x 3 xf(x) x

1.58 Αν 2f x 1 x , g x 3 x 2 να

ορίσετε τις συναρτήσεις f g και g f

1.59 Να οριστεί η συνάρτηση f g αν

Α) f(x) 1 x και g(x) ln x

Β) f(x) x 1 x (0, 2)x 1 x [2, 4)

, g(x) x 1

1.60 Αν f(x) 2ln(x x 1) και

g(x) x x1 e e2

να αποδείξετε ότι

(f g)(x) (g f)(x) x , x R

1.61 Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

h με 2h(x) f(x 4) f(x 1) αν fD [0, 5)

1.62 Να βρεθεί ο τύπος μιας συνάρτησης f

σε κάθε μια από τις περιπτώσεις:

Α) Αν f ln(2x) x 3 , x e ,

Β) Αν 2(f g)(x) x x 1 και g(x) x 1

Γ) Αν (g f)(x) 2συν x και 2g(x) x



1.63 Να προσδιορισθεί ο τύπος της

συνάρτηση f : R R αν ισχύει ότι

(1 x)f(x 1) f(1 x) x 1 , x R

1.64 Έστω συναρτήσεις ff : A R ,

gg : A R με f gf A A . Να αποδειχτεί ότι:

A) Αν η f είναι άρτια, τότε η gof είναι άρτια.

B) Αν η f είναι περιοδική, τότε και η g f είναι

περιοδική με την ίδια περίοδο.

1.65 Δειξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που

να ικανοποιεί τη σχέση f(x) f(2 x) x , x R

1.66 Bρείτε τη συνάρτησης f : 0, R αν

ισχύει ότι xf ln x f x 1e

για κάθε x 0 .

1.67 Να βρείτε τη συνάρτηση f αν ισχύει ότι

2f x x x 1 f x 1 x για κάθε x R

1.68 Αν 2xf f(x) e για κάθε x R , να

δείξετε ότι η f παίρνει την τιμή 2014

1.69 Αν ισχύει ότι f f (x) 2x 1 για κάθε

x R τότε να υπολογίσετε το f 1

1.70 Να προσδιορισθεί ο τύπος της f :

Α) Αν (1 x)f(x 1) f(1 x) x 1 , x R

Β) Αν ισχύει 212f(x) f xx

, x R *

1.71 Αν f(x) αx 32 x

να βρεθεί ο α R , αν

ισχύει: f f (x) x για κάθε x 2


οποία ισχύει ότι f f(x) 2x 1 , x R . Να

αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 1 έχει μια

τουλάχιστον ρίζα

1.73 Να βρεθεί συνάρτηση * *f : R R αν

f(2004) 1 και για κάθε x, y 0 ισχύει

2004 2004f(x)f(y) f f 2f(xy)x y

,

1.74 Για τησυνάρτηση *f : R R ισχύει ότι

f(y ) 1f(x y) f(x) e x, y R .Να αποδείξετε ότι

f(x) 1f(x) e και 1 f( x)f(x) e για κάθε x R και

να βρείτε την f

1.75 Έστω συνάρτηση f : R R με

x ye f x f y f x y , x, y R . Να

αποδείξετε ότι f 0 1 , 1f x

f x , x R

και να βρείτε τον τύπο της f


οποία ισχύει ότι 2f x 2 f 3x 0 , x R . Να

δείξετε ότι η fC τέμνει τον x x σε δύο

τουλάχιστον σημεία.

1.77 Για τη συνάρτηση f : 0, R ισχύει

ότι xf x f y lny

για κάθε x, y 0,

και f 1 0 . Να αποδείξετε ότι f x ln x , x 0

1.78 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις

f : R 0 R τέτοιες ώστε 1 1f x f xx x

για κάθε x R 0

1.79 ** Έστω f : R R μία συνάρτηση για

την οποία υπάρχουν α,β πραγματικοί αριθμοί

τέτοιοι ώστε αf(x) βf( x) x 3 για κάθε

x ,1 και αf(x) βf( x) x 3 για κάθε

x 0, . Aν f(3) 4, f( 3) 2 , να βρείτε την

f(x) (www.mathematica.gr)


Σχ. Έτος 2016-2017

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 1.80 Δείξτε τη μονοτονία των συναρτήσεων

f(x) 5 5 x xg x ln e x

3t x x 1 2 4 xm x e 3

r(x) x 3x 2

φ(x) ln x αν 0 x 2

1 2x αν x 2

1.81 Βρείτε τη μονοτονία των συναρτήσεων

k x ln x , g(x) 2x 1

x 1

m x ln x

1.82 Έστω η συνάρτηση f : 0, 0,

γνησίως αύξουσα. Δείξτε ότι η 1 1g x f

f x x

είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,

1.83 Η συνάρτηση f είναι γνήσια μονότονη

στο R και διέρχεται από τα σημεία 2α,α 1 και

α 1,2α με α 1 . Aποδείξτε τη μονοτονία της

1.84 Αν 3f(x) x 3x 1 , x R , τότε:

Α) Δείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα

Β) Να λύσετε την ανίσωση

33 2 2x 1 3 x 1 1 x 1 3 x 1 1

1.85 Αν 5 3f(x) x xx

, x 0, , τότε:

Δείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα και λύστε

την ανίσωση 53 3

33x 2 x 2 1

x 2

1.86 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

xf x 2 x . είναι γνησίως αύξουσα και να

λύσετε την ανίσωση 23x x 6 2x 22 2 x 5x 6

1.87 Α) Αν x x3 4f x 1

5 5

, x R τότε

να αποδειχθεί ότι η f είναι γν. φθίνουσα.

Β) Να λυθεί η ανίσωση x x x3 4 5 .

1.88 Η συνάρτηση f : (0, ) R έχει την

ιδιότητα xf x -f y =fy

για κάθε x, y 0 .

Επιπλέον ισχύει ότι «α 1 f α 0 ». Να

δείξετε ότι η f είναι γν. αύξουσα στο 0,

1.89 Έστω συναρτήσεις f,g με κοινό σύνολο

ορισμού το α,β , σύνολο τιμών το α,β ώστε

g x f x , x α,β και η f είναι γνήσια

φθίνουσα. Δείξτε ότι f g(x) g f(x) x α,β

1.90 Αν f : R R περιττή και γνησίως

φθίνουσα στο R με f(f(x )) x για κάθε x R ,

να δείξετε ότι f(x) x , x R

1.91 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει

συνάρτηση f : R R , γνήσια φθίνουσα με την

ιδιότητα 2 22f (x ) 2xf(6x 8) 4 3x, x R

1.92 Έστω συνάρτηση f : 0, 0,

για την οποία ισχύει 31 f x 1 x x

f x για

κάθε x 0, . Δείξτε ότι η f είναι γνήσια

φθίνουσα

1.93 * Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

και για κάθε x R ισχύει ότι: 2x 3f(x)f x5

,

να αποδείξετε ότι f(x) x , για κάθε x R



1.94 Δίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία

είναι γνήσια αύξουσα στο R . Να λυθεί η ανίσωση

5 2 2 5f x x 1 f 1 x x 2 x x

1.95 Nα λύσετε τις ανισώσεις:

Α) ln x 1 x Β) x 1 xe1 x

1.96 Δίνεται η συνάρτηση 3 xf x x 5 1

Α) Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Β) Να λυθεί η ανίσωση

7x 12 3x 183 3

7x 12 3x 18

5 5(3x 18) (7x 12)5 1 5 1

..

1.97 Έστω συνάρτηση f : R R , που είναι

γνήσια μονότονη και η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία 1, 1 και 1, 2

Α) Να αποδείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα

Β) Λύστε την ανίσωση f 2x 1 1

Δ) Να λύσετε την εξίσωση 2f x 2

Πόσες ρίζες μπορεί να έχει η εξίσωση f x 2014

1.98 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως

μονότονη συνάρτηση f : R R για την οποία

ισχύει f f(x) 3x 0 για κάθε x R .

1.99 Αν f : R R είναι η

συνάρτηση του σχήματος,

να βρείτε την μονοτονία

της συνάρτησης

g x f f(x) στο 1,0

(mathematica.gr)

1.100 Δίνεται ότι η συνάρτηση f ορισμένη και

είναι γνήσια αύξουσα στο 0, . Να λύσετε την

εξίσωση 2 3f x f x f x f x

1.101 Έστω η συνάρτηση f : 0, R

τέτοια ώστε 1f f x 0x


Θεωρούμε τη συνάρτηση g x f h(x) όπου

1 xh x1 x

. Nα αποδείξετε ότι η h είναι γνήσια

φθίνουσα στο 1,1 και να λύσετε την εξίσωση

x 2x 11x 111xh e h e h e h e στο 1,1

1.102 *Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την

οποία ισχύει: x

23ef(x)

2 f (x)

, για κάθε x R

Α. Να δείξετε ότι f(x) 0 για κάθε x R .

Β. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα.

Γ. Να λύσετε την ανίσωση: ln f(x) 0 .

1.103 Αν f(x) ln x x 1 να λύσετε τις

ανισώσεις: Α) x2x e ln 1 x 1

Β) 2

22

2x x 3ln 4x x 33x x

1.104 Α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση

f x ln x x 1 είναι γνήσια αύξουσα

Β) Να λυθεί η ανίσωση 2 x 2x ln x

1.105 Αν f(x) x ln x , να λύσετε τις

ανισώσεις:

Α) 2f(x 1) 2x ln(2x 2) 2

Β) 3x 2 ln x x

Γ) x 1ln 1 2 x x2 x

1.106 * Δίνεται η συνάρτηση f : R R για

την οποία ισχύει ότι f x xe f x 1 e για κάθε

x R Να λυθεί η ανίσωση

2f f(x 2x f f(x 2)


Σχ. Έτος 2016-2017

Ακρότατα

1.107 Να βρεθούν τα ακρότατα κάθε μιας από

τις παρακάτω συναρτήσεις

g(x) 4 x 2 43t(x) 4 x 4x

2r x x 4x 5 f : [ 1, 4) R με f(x) 2x 1

x 1 αν x 2

φ x3x 1 αν x 2



Α) f x 1 2ln x 1 , x 2, 3

Β) f : [ 1, 4) R με f(x) 2x 1



Α) 2f x x 4x 5

Β) 2x xf x e 2e 3



Α) 2x xf x 2e x 4 2e x 5

Β) 2x xf x e 2e 3

1.111 Α)Να δείξετε ότι 1x 2x

αν x 0

Β. Έστω x xf(x) 9 80 9 80 . Nα

αποδείξετε ότι f(x) 2 για κάθε x R και ότι η f

παρουσιάζει ελάχιστο

1.112 Έστω f : R R συνάρτηση με f(0) 1

Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

22f(x)g(x)

1 f (x)

έχει μέγιστη τιμή το 1 .

Β) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της

συνάρτησης x

2x2eΦ(x) 2013

1 e

1.113 Να βρεθεί ο λ R , ώστε η συνάρτηση

2f(x) x (λ 1)x 2 να έχει ελάχιστο το 2

1.114 Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R ώστε

22(f(x) g(x) 1 για κάθε x R . Δείξτε ότι η

συνάρτηση h x f x f 1 x g x g 1 x

έχει μέγιστο το οποίο και να βρεθεί (mathematica)

1.115 Αν 2f x x 6x 8 , x R ,τότε

Α) Να βρείτε το πρόσημο του f x

Β) Να λύσετε τις ανισώσεις

α) f 2x 3 0 β) f f x x 2 0

1.116 Αν 2f x x 6x 8 , x R ,τότε

Α) Να βρείτε το πρόσημο του f x

Β) Να λύσετε τις ανισώσεις

α) f 2x 3 0 β) f f x x 2 0

1.117 Δίνεται η συνάρτηση 2

2x x 2f xx x 1

A) Αποδείξτε ότι η f έχει ελάχιστο το 3

B) Να λυθεί η εξίσωση

3 43 3f x f x 3x 6 02 2

Γ) Να βρείτε τους α,β R ώστε να ισχύει

f α β 1 f 2α β 1 6 0

1.118 Δίνεται η συνάρτηση 2x3f x 5 x e .

Α) Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα στο πεδίο ορισμού της .

Β) Δείξτε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο.

Γ) Να λύσετε την ανίσωση 23 2 2x 4x 105 x 2x 5 e

23 2 2x 8x 85 x 4x 4 e

Δ) Να λύσετε την εξίσωση 2α 2β 2 2α 2β 23 35 α β 1 e 5 α β 1 e 2 0



Συνάρτηση 1:1

1.119 Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω

συναρτήσεις, είναι 1 1 και ποιες όχι:

Α) x 1f x 3e 2 Β) xf x e x 1

Γ) f x x ln x 2 Δ) 5 3f x x x x

1.120 Αν η συνάρτηση f : R R έχει την

ιδιότητα 2015f f x 3f x x 0 , x R να

δείξετε ότι είναι 1-1

1.121 Δίνεται η συνάρτηση f : [1, ) R για

την οποία ισχύει 2f(f(x)) 2x 3x 2 , για κάθε

x [1, ) . Να δείξετε ότι η f είναι 1 1

1.122 Έστω ότι η συνάρτηση f : R R είναι

1 1 . Αποδείξτε ότι η η 3F x f x 2f x 3

είναι 1 1 .

1.123 Να βρεθεί ο λ R ώστε να είναι 1 1 η

συνάρτηση f(x) 24 x αν x 0

x λ 8 αν x 0

1.124 Να αποδειχτεί ότι δεν είναι 1 1 η

συνάρτηση f αν ισχύει 2 26f x f (x) 9 x R

1.125 Δίνεται η συνάρτηση f x 2 x ln x

Α) Nα μελετήσετε τη μονοτονία της f

Β) Να λύσετε την εξίσωση 1 x ln x 0

Γ) Να λύσετε την ανίσωση x ln x 1

1.126 Να λύσετε τις εξισώσεις .

Α) x 1e ln x 2 x Β)

7 5 3x 2x 3x x 6

Γ) 2x x 2x 1 2e e x x 1 Δ)

x x x6 8 10

1.127 Nα λύσετε την εξίσωση

442 2log λ 1 log 5λ 5 5λ 5 λ 1

1.128 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R με

2f f (x) x 5x 9 και 2g x x xf x 3 ,

x R . Nα αποδείξετε ότι f 3 3 και ότι η g

δεν είναι 1 1

1.129 Δίνεται η 2f x 2x ln x 1 , x 0

Α Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1

Β Να λύσετε την εξίσωση:

224

3x - 2 +12 x - 3x +2 = ln

x +1

στο 2,

1.130 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f : Α R και

g : Β R , να αποδείξετε ότι αν B f(A) και η

g f είναι 1 1 τότε η g είναι 1 1

1.131 Αν είναι yxx e y e , x, y R τότε

Α) Να αποδείξετε ότι x y .

Β) Να λυθεί η εξίσωση 22 3x x 2x 3x 2 e e

1.132 Να αποδείξετε ότι αν ισχύει 3 3e e τότε με , R

1.133 Αν x

x2 4f(x) 23 3

τότε:

Να λύσετε την εξίσωση x x x3 2 4 3 3 6

1.134 Αν x 3f x e x x 1 τότε

Α) Nα δείξετε ότι είναι 1 1

Β) Να λύσετε την εξίσωση: 2x -x 2 3 2 x+3 3e +(x - x) + x - 2x = e +(x +3) +3

1.135 Για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι:

52f (x) f x 3x για κάθε x R .

Α) Αποδείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα

Β) Να λυθεί η ανίσωση 2f x x 1 1


Σχ. Έτος 2016-2017


f xf x 2e x 2 για κάθε x R

Α) Αποδείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα

Β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η

συνάρτηση xg x x 2e

Γ) Να υπολογίσετε το f 1

Δ) Να βρείτε το πρόσημο της f

1.137 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R ,

παίρνει θετικές τιμές και ισχύει

31 2f x 1 xf x

για κάθε x R .

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια

φθίνουσα και να βρείτε το f 0

Β) Λύστε την ανίσωση 5 3f x x x 3 1

1.138 Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο R για

την οποία ότι 3f x 3 xf x e x e , x R . Δείξτε

ότι η f είναι γνήσια αύξουσα και ότι 3f x x

1.139 Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

5 3h x x x x , x R είναι γνήσια αύξουσα.

Β) Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R

ώστε να ισχύει 5 3f x f x f x x για κάθε

x R . Αποδείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα

Γ) Να λύσετε την εξίσωση h x 3 και να

υπολογίσετε το f 3

1.140 Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο R ,

ώστε να ισχύει: f 1 f(x) 2x 6 f x για

κάθε

Α. Δίξτε ότι η είναι και ότι .

Β Να λύσετε την εξίσωση:

(Απολλώνιος 1)

1.141 Έστω συνάρτηση f : (0, ) R με την

ιδιότητα: xf x -f y =fy

για κάθε x, y 0 Αν η

εξίσωση f x 0 έχει μοναδική ρίζα, τότε

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 1

Β) Να λύσετε την εξίσωση

2 2f x f x 3 f x 1 f x 1

1.142 Έστω συνάρτηση f : R R για την

οποία ισχύει: x xf(e x) 8f(x 1) 2008 e για

κάθε x R . Αν η f είναι γνήσια αύξουσα να

λύσετε: Α Την εξίσωση: f x 223

Β Την ανίσωση x xf e 2 e 223 .

1.143 Για την συνάρτηση f : R R είναι

γνωστό ότι f xe f x x για κάθε x R

Α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1

Β) Να βρείτε το f 1 .

Γ) Λύστε την εξίσωση x 4 2x 1e e x 5

1.144 *** Δίνεται η 1 1 συνάρτηση

f : 0,1 R με f 0 f 1 1 . Να αποδείξετε ότι

υπάρχουν 1 2x , x 0,1 ώστε να ισχύει

1 24f x 2f x 1 .

1.145 Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια

αύξουσα στο 0, και ισχύει f (x )f e lnx για

κάθε x 0, . Αποδείξτε ότι f x ln x ,

x 0,

1.146 Έστω συνάρτηση f : 0, R που

είναι γνήσια αύξουσα και ισχύει ότι f(x)f e lnx .

Να βρεθεί ο τύπος της f .

x R

f 1 1 f(3) 2

2f(1 2f(x x 1)) f(1 f(5)) 4



Αντίστροφη

1.147 Βρείτε τις αντίστροφες των


Α) 3f(x) x 1 Β) f(x) 5 x 2

Γ) xf(x) log 3 10 Δ) xf(x) ln(2 e ) x

Ε) 2f x 2 x 3 , x 3

1.148 Βρείτε τις αντίστροφες των


Α) f(x) 2x 3 .x 4

Β) f(x) 3x

3x3 e3 e

Γ) xf(x) log1 x

Δ) xf(x)1 x

Ε) 2

x 1 , x 0f(x)

9x , x 0

Στ) 3 2f(x) x 3x 3x Ζ) 2f(x) ln x 1 x

1.149 Να βρείτε τα κοινά σημεία των 1fC fC

αν f(x) 1 x , x 1,0

1.150 Έστω συνάρτηση f ώστε να ισχύει

f(f(f(x))) 2x 7 για κάθε x R . Δίνεται ακόμη

ότι f(1) 3, f(3) 9 . Να αποδείξετε ότι η f είναι

1 1 και να λύσετε την εξίσωση 1f (x) 9 .

1.151 Έστω η f με 3f(x) 2x x 2 .

Α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

Β) Να λύσετε την εξίσωση 1f(x) f (x) .

Γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f (5x 6) 1 .

1.152 Έστω f x x ln x

Α) Να βρείτε την τιμή 1f e 1

Β) Λύστε την εξίσωση 2

22

2λ 1ln 4 λλ 5

1.153 Αν για τις συναρτήσεις f , g : R R ,

υπάρχουν οι συναρτήσεις 1f g και 1g f ,

να αποδείξετε ότι υπάρχουν και οι 1g και 1f

1.154 Έστω η συνάρτηση 3f(x) x x 2

Α) Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται

Β) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x) 12 , 1f (x) 2

Γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της 1fC με τους

άξονες και με την ευθεία y x

Δ) Να λύσετε την την εξίσωση 2 3 3 2(2 ημ x) ημ x ημ x ημx 2 και τις

ανισώσεις: 1f (x) 3 , και 1f (x 1) x 5

1.155 Για τη συνάρτηση f : R R με f R R

ισχύει ότι 3f (x) 3f(x) x 0 , για κάθε x R .

Αποδείξτε η f αντιστρέφεται , να βρείτε την 1f

καθώς και τα τα κοινά σημεία των fC και 1fC

1.156 Οι συναρτήσεις f,g : R R είναι

αντιστρέψιμες έχουν σύνολο τιμών το R και

ισχύει f g g f , να δείξετε ότι 1 1f g g f

1.157 Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση

έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την αντίστροφή της

αυτό θα βρίσκεται πάνω στην ευθεία y x

1.158 Θεωρούμε την συνάρτηση f : R R με

τύπο 5f(x) x x 1 . Να αποδείξετε ότι

A) 11 13f f

B) Να λυθεί η εξίσωση 1x f (x)

1.159 Να αποδείξετε ότι η γραφική

παράστασης της 5x 2f x2x 5

έχει άξονα

συμμετρίας την ευθεία y x


Σχ. Έτος 2016-2017

ΓΕΝΙΚΕΣ 1.160 Για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι

ν όροι

f f f ... x ... 2x 1

να βρείτε το f 1

1.161 Δίνεται η 1 1 συνάρτηση f : R (0, ) για την οποία ισχύει ότι f(x y) f(x) f(y) για κάθε

x, y R . Να αποδείξετε ότι: 1 1 1f (xy) f (x) f (y) , x, y f(R)

1.162 Έστω η συνάρτηση f : R R με σύνολο τιμών το 1, και για κάθε x R ισχύει

2 2xf (x) 2f(x) e 1 . Να βρείτε την f και την αντίστροφη της.

1.163 Για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι f x y f x f y , για κάθε x, y R .

Δίνεται επιλέον ότι για κάθε x R ισχύει η πρόταση: « x 0 f x 0 » .

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή και γνήσια αύξουσα

Β) Να λύσετε την εξίσωση 2 2f 4x 2005 f 4x 2005 2f 8x 4

1.164 Δίνονται οι συναρτήσεις x

xe 1f xe 1

και 1 xg x ln

1 x

.

Α Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και ότι 1f g

Β Να ορισθεί η συνάρτηση g f

Γ Να αποδείξετε ότι η g είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της

Δ Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f , 1f είναι περιττές συναρτήσεις

Ε Να αποδείξετε ότι γενικά ισχύει : Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και 1 1 τότε και η συνάρτηση 1f είναι περιττή.

Στ Να λύσετε την εξίσωση 2 2x g x x g x

1.165 Α) Αν f γν. αύξουσα στο R και ox R , τότε o o o of f(x x f x x

B) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 34x 1f x3

αντιστρέφεται, να βρείτε την 1f καθώς και τα

κοινά σημεία των fC και 1fC .

1.166 Για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι f(x y) f(x)f(y) για κάθε x, y R και υπάρχει ξ R , ώστε

f(ξ) 0 . Να αποδείξετε ότι:

Α) f(x) 0 για κάθε x R και f(0) 1 Β) f( x) = 1f(x)

και f(x)f(x y)f(y)

, x R



1.167 H συνάρτηση f : R R είναι γνήσια μονότονη, έχει σύνολο τιμών το R και η fC διέρχεται από

τα σημεία A 5,9 και B 2, 3 τότε:

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γν. αύξουσα

Β) Να λύσετε τις εξισώσεις 1 2f 3 f (x 2x) 9 και 1 2f x ln 1 2x

Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις ανίσωση 2f x 12f x 27 και f x ln x 4 9

1.168 Να λύσετε την εξίσωση 3

3 3x 1 2x 12 3

1.169 Έστω η συνάρτηση f : 0, 0, με f 1 1 και η συνάρτηση g x xf x 1 η οποία

είναι γνησίως φθίνουσα.

Α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

B) Nα λύσετε την εξίσωση f x ln e x 0

Γ) Να λυθεί η εξίσωση 7 5 9f x f x f x f x

1.170 Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f(x)f(x) e x , για κάθε x R

Α Να δείξετε ότι η f είναι γν.αύξουσα.

Β Αν η fC τέμνει τον άξονα x x στο σημείο με τετμημένη ρ , να δείξετε ότι ρ 1

Γ Να δείξετε ότι: f(x) x για κάθε x R

Δ Να λυθεί η ανίσωση: f(x)2f(2x 1) e x .

1.171 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f : Α R και g : B R , να αποδείξετε ότι

Α) Αν και η είναι τότε η είναι

Β) Αν και η είναι τότε η είναι

Γ) Αν και η είναι τότε κάθε μια από τις και είναι

1.172 Α) Δίνεται ότι οι συναρτήσεις f, g ορίζονται στο R . Να δείξετε ότι:

α) αν η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η g f είναι γνησίως αύξουσα στο R , τότε η f είναι

γνησίως φθίνουσα στο R

β) αν η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η f g είναι γνησίως αύξουσα στο R , τότε η f είναι

γνησίως φθίνουσα στο R

Β) Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g με x

xe 1f x

e

και g x ln x 1

α) Να βρείτε τη g f και να δειχτεί ότι g f(x) x για κάθε x R

β) Να λύσετε την ανισότητα 2 2x 1 x 1 x 1 x 1e 1 e e 1 e

f(A) B g f 1 1 f 1 1

B f(A) g f 1 1 g 1 1

f(A) B g f 1 1 f g 1 1


Σχ. Έτος 2016-2017

ΟΡΙΑ ΟΡΙΟ ΣΤΟ X0

1.173 Να υπολογίσετε τα όρια

Α) 2 3x 1

2 3limx 1 x 1

Β) ν 1

x 1

νx (ν 1)x 1lim με ν Ν*x 1


Α) x 2lim

3 6 x x 6x 2

Β) 3 2x 0lim x x

Γ) 2

x 9

x 81lim2x x 6x 3 x 9


Α) x 1lim

3 2 3x 2 x 1x 2 x 1

Β) x 1lim

2x 3 x 4x 3x 1

Γ) x 1lim

2x 1 x 1x 1

, Δ)

x 1

x 1 x 1lim

2 x 1

1.176 Να υπολογίσετε το x 0lim f(x)

αν

x 2 x 2αν x 0f(x) 4x

0 αν x 0

1.177 Να υπολογίσετε τα όρια:

Α) x 0

6x 3ημxlimx 2ημx

Β) 2

1lim

Γ) 2 2

2x 0

x 2 x 2limx 4 2


Α) x 1

x 1lim ημ 1x 1 x

Β) x 1

1 x 1lim ημ π1 x 2


x 3

ημ πxlim

x 1 2 και

x 0

2x ημxlim

συνx 1 συνx


Α)

x 1

ημ x 3 2lim

ημ(x 1)

Β)

2

2x 0

ημ ημ xlim

x

Γ) 2x 0

1 1 xlim

x

συν συν

1.181 Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα όρια

x 0lim

1ημx ημx

2

2x 0

1x ημxlim

x x

1.182 Να βρεθεί ο ν N αν

x 0

ημx ημ2x ... ημνxlim 28x

1.183 Αν x 1

f(x) 5lim 0f(x) 2

να αποδείξετε ότι

x 1lim f(x) 5

1.184 Αν x 0lim

f(x) 2x

να βρείτε το

x 0lim 2 2

xf(3x)-f(-x) ημ2x3x x

1.185 Αν x 2lim g(x) 7

, να βρείτε το

2

2x 2

2 g(x) g(x) x xf(x)lim

x x 4



1.186 Να βρεθεί το x 1lim f(x)g(x)

αν

x 1 x 1

g(x)lim f(x)(x 1) lim 3

x 1

1.187 Να αποδείξετε ότι αν 2

xlim f x 0

, τότε

0xlim f x

.

1.188 Η συνάρτηση f είναι άρτια στο R και

ισχύει ότι x 3lim f(x) 2x 5 4

. Να βρείτε το

x 3lim f(x)

1.189 Αν 2

x 3lim 12f(x) 4f (x) 9

, να βρεθεί το

x 3limf(x)

1.190 Αν x 2

f(x) 4lim 1x-2

και ισχύει

f x f 1 x , x R βρείτε το x 1lim f(x)

1.191 Να βρεθούν τα

1xlim f(x) και

1x

lim g(x) ,

αν

15

xlim f(x) g(x)

και

1

2 4xlim f(x) g(x)

1.192 Αν για τη συνάρτηση f : R R είναι

x 1lim

f(x) x 2x-1

, να βρείτε τα όρια

x 1lim 2 2

f(x) 1f (x) x

και

x 1lim

2

2

f (x) f(x) 2

f (x) 3 2x

1.193 Aν 2 2f x 2f x συν x 0 για κάθε

x R να αποδείξτε ότι x 0lim f(x)

=1.

1.194 Αν η f: R R είναι περιττή με

x 1lim f(x) 2

να βρεθεί το x 0lim[f(x-1)-f(1-x)]

1.195 Αν x 3

f(x) xlim 2

x-3

, βρείτε το

x 3lim f(x)

1.196 Έστω συνάρτηση f με x 0

f(x)lim 3x

Α) Να δείξετε ότι x 0

f(vx)lim 3vx

, v 0

Β) Αν 2 2f (vx) ημ x 2f(vx) ημx για κάθε

x R να δείξετε ότι 3v 1

1.197 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει

f x y f x f y , x, y R .

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

Β) Αν ισχύει ότι x 0lim f x 0

, να αποδείξτε

ότι x αlim f x f α

για κάθε α R

Γ) Αν ισχύει ότι

x 0

f xlim 2

x να αποδείξετε ότι

x 2

f x 2lim 2

x 2και

x 0

f ημ(x) ημ f(x)lim 0

x

1.198 Έστω συνάρτηση f : R R * για την

οποία ισχύει ότι 3 2 3f x 2x f x 3ημ x , για κάθε

x R * . Αν x 0

f(x)lim α Rx

, τότε να αποδείξετε

ότι α 1 και να βρείτε τα

x 0

f(ημx)limx

x 0

f(f(x))limx

2

2x 1

f(x x)limx 3x 2

.

1.199 Έστω η συνάρτηση *f : R R με την

ιδιότητα: xf(x) f(y) fy

για κάθε x, y 0

Α) Αν η εξίσωση f(x) 0 έχει μοναδική

ρίζα το 1 να δείξετε ότι η f είναι 1 1

Β) Αν x 1

f(x)lim 2x 1


πx4

f(ημx) f(συνx)limημx συνx

1.200 Έστω συνάρτηση f με

x 0

f(4x)lim 3f x

. Nα

υπολογιστεί το

x 0

f(64x)lim 3f x


Σχ. Έτος 2016-2017

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΧΟ

1.201 Να βρεθούν(αν υπάρχουν)τα όρια

Α) x 4

2 xlimx 3 x 2

Β) 3

3

x 1

x 1lim(x 1)

Γ) x 4

5 2xlimx x 2x 2 x 4

Δ) 2

x π

5 xlimημx

1.202 Να βρεθούν(αν υπάρχουν)τα όρια

Α) 2x 1

x 1lim

x 2 x 1

Β)

x 0

x 16 4limx x

Γ) 2

x 1

x 5xlimx x x x 1

Δ)

2

x 0

3x 2limσυνx 1

Ε) 2x 1

x 5 x 3limx 1 (x 1)

Ζ)2

3x 0

3 2xlim1 συν x

1.203 Aν x 1

h(x)lim|x 2|

βρείτε το x 1limg(x)

1.204 Αν 2

x 1lim (x 4)f(x) 3x 2

να

βρεθεί το x 1lim f(x)

1.205 Αν x 2

2x 3 5limf(x)

να βρεθεί το

x 2lim f(x)

1.206 Αν x 1limg(x) 3

να βρεθεί το

x 1

g(x) 2x g(x) 6 4xlim

x x x x 1

Όρια Παραμετρικών Συναρτήσεων στο Χο

1.207 Αν 2

2

βx 2 , x 1x 1f(x)

αx γx 5 , x 1x 1

να

βρεθούν τα α,β, γ R ώστε να υπάρχει το

x 1lim f(x)

στο σύνολο των πραγματικών

1.208 Αν

2

ημ(αx) αν x 0xf(x)

x x αν x 0x 2 x

να

βρείτε το x 0lim f(x)

για κάθε α R

1.209 Αν 2

2x 1 αν x λf(x)

x x λ αν x λ

να

βρείτε το x 4lim f(x)

για κάθε λ R

1.210 Βρείτε το λ R ώστε 2 2x 9

x 5λlim(x λ )

1.211 Να βρείτε τους λ,μ R ώστε :

3 2

3x 1

x (λ μ)x (2λ μ 1)x 3 μlim Rx 3x 2

1.212 Βρείτε τα λ,μ R ανx 1

λx μ x 2lim 8

x 3 2

1.213 Να αποδειχτεί ότι για κάθε λ R η

συνάρτηση 2

3 2x -λx 2f(x)

x -3x 3x-1

δεν έχει

πραγματικό όριο στο 1 .

1.214 Nα βρεθούν για κάθε α R τα όρια:

A) 2

2x 2

x x 6limx αx

` B) 3x 1

x αlimx 7 2

1.215 Nα βρεθεί το 2

x 4

x αlim(x 4)( x 2)

, α R

1.216 Βρείτε τα α,β, R αν

3

x 2

αx βx 6lim 4x 2



Όριο συναρτησης στο απειρο


Α) x

lim x x x x

Β) 2 2

xlim x x 3 x

Γ) 2 2

xlim x x x 2 2x


Α) 2

x

x 2 xlimx x 2

Β) x x 1

x 2 x 3x

e 3lime 3

Γ) 2

2x

x 2x 3 4lim

x 2x 5

Δ) x 0

3 2 log xlim

1 2 log x


Α) 2 2x

x 2ημxlimx x 3

Β) 2

3x

xσυνx ημxlimx

1.220 Να υπολογίσετε το x

xx

ln(1 3 )limln(1 2 )

1.221 Να βρείτε το 2

xlim ημ x 1 x

1.222 Να βρείτε το

2

t

ln(t t 1)limln t

1.223 Για την συνάρτηση f : 0, R

ισχύει

x

f

xlim 3

x Να βρεθεί το

x

ln f xlim

ln x

1.224 Να υπολογίσετε τo

2xx

x 1xlim e

Παραμετρικά όρια στο απειρο

1.225 Αν 3 2(λ 1)x (λ μ)x μx 3f(x)

x 1

να βρεθεί το xlim f(x)

για κάθε λ,μ R

1.226 Αν 2x 2x 3f(x) -αx-β

x 1

να βρεθούν

οι α,β R ώστε xlim f(x) 3β 11

1.227 Αν 2f(x) x 2x 3 λx να βρεθεί το

xlim f(x)

για κάθε λ R

1.228 Αν 2f(x) x 4 xημφ συνω με

0 φ,ω π , βρείτε τα φ,ω ώστε x

3lim f(x)2

1.229 Να βρεθούν οι α,β R ώστε:

2xlim x 2x 3 αx β 12

1.230 Για κάθε α 0 , να υπολογίσετε το

x -lim

x x

x xα 2 1α -2 1

,

1.231 Για κάθε α 0 , να υπολογίσετε το

x lim

x x 1

x 1 xα 2α 2

1.232 Να βρεθεί το όριο xlim f(x)

Αν

α β γ 0 με α,β,γ R και

2 2 2f(x) α x 1 β x 2 γ x 3

1.233 Έστω η 2 2x κf x ln

x

κ 0 Να

βρείτε τα όρια x 0lim f x

, x lim f x

x lim f(x) ln(x)

.


Σχ. Έτος 2016-2017

1.234 Έστω συνάρτηση f για την οποία

ισχύει: 2 2x f(x) x 2 , για κάθε x 0 . Να

βρείτε τα A) x 2

f(x)-4limx 2

B) x 2

f(x)-4limx 2 2

Γ) 2

x 2

f (x)-16limx 2

Δ) 2x 2

f(x)-1 -3lim

x 4

1.235 Να βρείτε τα x 0lim f x

, x 0limg x

αν

2 2f x g x 2f x 4g x 5 x , x R .

1.236 Αν ισχύει ότι

o

2 2x xlim f x g x 0 ,

τότε να αποδείξετε ότι

ox x

lim f x

ox x

lim g x 0

1.237 Aν 2 2f x 2f x συν x 0 για κάθε

x R , να αποδειχθεί ότι x 0lim f(x) 1

1.238 Η συνάρτηση f έχει πραγματικό όριο

στο ox 2 και για κάθε x R ισχύει

2x 2 f x x 7x 10 . Βρείτε το x 2lim f(x)

1.239 Να υπολογίσετε το 2

2x 0

1x ημxlim

x x

1.240 **Έστω η συνάρτηση f για την οποία

ισχύει 2f x ημf x x για κάθε x R . Nα

αποδείξετε ότι x

f x 1limx 2

1.241 Αποδείξτε ότι 2

x

x συν xlim 1x ημx

1.242 Βρείτε το 2

xlim x ημx 1 x

1.243 Να βρεθεί το x

x ημxlimx ημx

1.244 Βρείτε το

xlim ln x 1 ln x x

1.245 Να βρεθεί το

2

x

x 3lim3 ημx συνx


2 2x

x 2ημxlimx x 3

1.247 Υπολογίστε το x

x 1xxlim

x 1

1.248 Αν x 2lim f(x) 4

και f(x) 4 για κάθε

x R , να υπολογίσετε τα όρια:

2

2x 2

2f (x) 7f(x) 4lim

f (x) 16

x 2

f(x) 2lim

3f(x) 12

1.249 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R με

xlim f(x) 5x-7 3

. Βρείτε τα όρια:

xlim f(x)

, x

f(x)limx

, 2x

2f(x)-3x 5lim5x 2x 1

1.250 Για την συνάρτηση f ισχύει ότι

x

f(x) xlimf(x) x


xlim f(x)

1.251 Αν x

f(x)lim λ Rx


xlim f(x)-λx

όταν 2f(x) 9x 1 3x

1.252 Έστω f : ,0 0, συνάρτηση για

την οποία ισχύουν ότι x 2

πημxlim π

1 x x f x

και f x 0 , x R . Yπολογίστε το xlim f x

1.253 Για την συνάρτηση f : 0, R

ισχύει x

f xlim l 0,

x

. Να βρεθεί το

x

ln f xlim

ln x


ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1.254 Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς

συνάρτησης f αν ισχύει ότι 2xf(x) 5x 2 ημx (x 1)(x 2) , x R

1.255 Αν x 2

f(x)-2xlim 1x-2

και η f είναι

συνεχής, βρείτε το 2

x 2

xf(x)-2x 3f(2)-6xlimx-2

1.256 Αν για κάθε x R ισχύει ότι

2 2 2ημ x 2xf(x) f (x) ημ x x x 2f(x) .Να

αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ox 0 .

1.257 Μια συνάρτηση f : R R έχει την

ιδιότητα 5f x f x x x R . Να αποδείξετε

ότι είναι συνεχής στο ox 0 .

1.258 H συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και

ισχύει xxf(x) e 1 , x R . Bρείτε το f(0)

1.259 Αν 1f x ln xx

και η 1f είναι

συνεχής, να δείξετε ότι

1 2

1x 0

f x xlim 1

x f x

1.260 Έστω f : R R με

3 2xf x 3f x e 1 , για κάθε x R

Α) Να δείξετε ότι 2xf(x) e 1 , x R

Β) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο μηδεν

Γ) Υπολογίστε το x 0

1lim xfx

1.261 Έστω 2

3

1 1x ημ , αν x α2 xf xx x, αν x α

Α) Να αποδείξετε ότι αν α 0 τότε η f είναι

ασυνεχής στο ox α .

Β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της f για α 0

1.262 Έστω η συνάρτηση f : R R , για την

οποία ισχύει 2 2f(x) 2f(x) συν x 0 , x R

Α) Να αποδείξετε ότι f(x) 1 x

Β) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο 0

Γ) Να βρείτε το όριο x 0

1lim xfx

1.263 Δίνεται η

1x

1x

2 2 , x 0f x2 1 α, x 0

Α) Να υπολογίσετε τα όρια:

x lim f x

, x -lim f x

, x 0lim f x

,

x 0lim f x

Β) Υπάρχει τιμή του α ώστε η f να είναι

συνεχής;

1.264 Αποδείξτε ότι αν η συνάρτηση f είναι

συνεχής στο 0 και ισχύει ότι f(x y) f(x) f(y)

για κάθε x, y R τότε είναι συνεχής στο R

1.265 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και

ισχύει f(xy) f(x) f(y) για κάθε x, y 0, .

Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο 0,

1.266 Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε :

f x y f x f y 1 , x, y R . Να αποδείξετε

ότι αν η f είναι συνεχής στο σημείο α R , τότε

είναι συνεχής στο R .


Σχ. Έτος 2016-2017

Βασικά Θεωρήματα

1.267 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

2x 1 εφx

x 2x

έχει στο διάστημα 1 π,2 2

τουλάχιστον μια ρίζα

1.268 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22 2 μκ λ 0

x x 1 x - 1

με κ, λ,μ 0 έχει ακριβώς

δύο ρίζες, τις 1 2ρ , ρ 1,1 και ισχύει ότι

2 2

21 2

μ -λ1 1ρ ρ κ

1.269 Έστω η εξίσωση 3 2x αx β 0 , με

α,β R , β 0 , α β 1 0 . Να αποδειχτεί ότι

έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο 1,1

1.270 'Εστω f : α,β R , συνεχής συνάρτηση,

ώστε 2f(α) α και 2f(β) β . Να αποδείξετε ότι

υπάρχει ox [α,β] , ώστε 2o of(x ) x .

1.271 Εστω f : [0,π] R συνεχής συνάρτηση,

ώστε f(0) f(π) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει

ox 0,π , ώστε o oπf(x ) f x2

.

1.272 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R

και για κάθε x R είναι f(x) f(x 2) 0 Να

αποδείξετε ότι:

A) Η f είναι περιοδική

B) Υπάρχουν άπειροι α R ώστε f(α) f(α 2)

1.273 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους xf(x) 20 α x e , g(x) 21 β (ημx συνx) . Αν το

(α,β) είναι σημείο της ευθείας 21y 20x , με

(α,β) 0,0 . Δείξτε ότι οι fC , gC έχουν τ. ένα

κοινό σημείο με τετμημένη ox 0,1

1.274 Έστω συνάρτηση f : R R η οποία

είναι συνεχής στο R και ισχύουν f 4 f 4 0

και f x 0 για κάθε *x R . Δείξτε ότι

f x f x 0 για κάθε *x R και βρείτε το f 0

1.275 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

1, 2 με f 1 f 2 , δείξτε ότι υπάρχει

ox 1,2 ώστε o3f( 1) 4f(2) 7f(x )

1.276 Eστω η συνεχής συνάρτηση

f : α,β R , με f f , και γ α,β .

Δείξτε ότι υπάρχει ox (α,β) , ώστε

07f x f 2f 4f

1.277 Αν α,β 0 , να αποδείξετε ότι η

εξίσωση αημx β x έχει (μία τουλάχιστον ) ρίζα

της οποίας η απόλυτη τιμή δεν υπερβαίνει τον

α β .

1.278 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει

ότι f x f 2 x 0 για κάθε x , να αποδείξετε

ότι η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα

στο R .

1.279 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

1,2 με f 2 6 , και ακόμη f 1 f 2 8 , να

αποδείξετε ότι υπάρχει, ox 1, 2 ώστε

2o o of x x x .

1.280 Η συνάρτηση f : 0, 0, είναι

συνεχής και υπάρχουν 0 α β γ ώστε

γβαf f f 1β γ α

. Να δείξετε ότι υπάρχει ox

ώστε 2016o of x x



1.281 'Εστω f : 0,1 0,1 συνεχής

συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει ox 0,1 τέτοιο

ώστε o of x x (S. Banach)

1.282 Να βρείτε τη συνάρτηση f , συνεχή στο

R αν ισχύει f x f xe 4x 4e 0 για κάθε x R

και f 0 ln 2

1.283 Αν 1 2 1994α ,α ,...,α 0,1 . Να δείξετε ότι

υπάρχει, ένα τουλάχιστον ox 0,1 ώστε

o 1 o 2 o 1994x α x α ..... x α 997.

1.284 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς

συναρτήσεις f : R R αν ισχύει ότι

2f x 2f x ημx 1 , x R

1.285 *∆ίνεται συνάρτηση f : R R συνεχής

με 2f x 9 για κάθε x R και f 0 3 . Να

αποδείξετε ότι f x 3 για κάθε x R

1.286 N βρείτε το σύνολο τιμών της

συνάρτησης f x 4 x 2 x και να λύσετε

την ανίσωση f x 0

1.287 Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την

οποία ισχύει ότι 224x 9 f(x) 36 για κάθε

x 3, 3 . Να βρείτε τον τύπο της αν f 0 2

1.288 Να βρείτε τα σύνολα τιμών των


Α) 21 xf x , 0 x 1

x

Β) 3f x x συνx , x 0, π /2

1.289 Μια συνεχής συνάρτηση f : R R

ικανοποιεί τη σχέση: f 1 f 2 f 3 f 4 . Θα

μπορούσε η f να είναι αντιστρέψιμη;

1.290 Αν α,β, γ R να αποδείξετε ότι

υπάρχει πκ 0,2

ώστε

2 2 2 3ημ κ α ημ κ β ημ κ γ2

1.291 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων f x x και

g x συν2x τέμνονται σε ένα μόνο σημείο του

διαστήματος π0,4

.

1.292 Οι συναρτήσεις f,g : 0,1 0,1 είναι

συνεχείς και ισχύει f g g f για κάθε x 0,1 .

Έστω ακόμα ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

0,1 . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει (τε) ox 0,1

ωστε o of x x και o og x x

1.293 Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης

f αν 2 2f x 4x 5πx π ημx , 0 x 2π

1.294 Έστω συνεχής συνάρτηση f : R Z και

f 1 2 , να αποδείξετε ότι f x 2 , x R .

1.295 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και

γνησίως αύξουσα στο (0, + ) με

x 0lim f x γ R

και

x lim f x δ R

, να

αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός οx 0

ώστε ox 1o of x e ln x 1 .

1.296 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R

και ισχύει f f(x) x για κάθε x R . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει α R ώστε f α α

1.297 Έστω f : R R συνεχής με f 10 9 και

για κάθε x R ισχύει ότι f x ·f f x 1 . Να

βρείτε το f 5


Σχ. Έτος 2016-2017

Γενικές Ασκήσεις

1.298 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln x 2 x 1 0 έχει μοναδική ρίζα

Β) Δίνεται η συνάρτηση 3 2

2

x 2 α 1 x 1 αν x 1f x

x x lnα 1 αν x 1

με α R . Αν η f είναι συνεχής στο

R , να βρείτε την τιμή του α R

1.299 Έστω 2g x x xημx και 3 2x x συνx , αν g(x) 0

f x g(x)α αν g(x) 0

Να βρείτε το α R αν η f είναι

συνεχής

1.300 Έστω f : R R συνάρτηση, ώστε 2 2 2f x ημ x x , x R .

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0

Β) Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει f α f β 0 να δείξετε ότι αβ 0 .

1.301 Έστω συνεχής συνάρτηση f στο 1, 4 για την οποία ισχύουν: f x 0 για κάθε x 1, 4 , f 1 0

f 1 f 2 f 3 f 4 Να αποδείξετε ότι:

Α) f x 0 για κάθε x 1, 4 ,

Β) Η συνάρτηση 2g x f x f 1 f 2 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 1,2 .

Γ) Η f δεν είναι αντιστρέψιμη.

1.302 Έστω η συνάρτηση β - αg(x) x5

ορισμένη στο α,β . Αν ισχύει 4α βf g f(α)5

όπου f

είναι μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο R , να δείξετε ότι υπάρχει οx [α,β] ώστε ο οf(x ) f(g(x ))

1.303 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : 0, R με g 0 1 και x f(x) g(x) x 3f(x) g(x)

Α) Να βρείτε το f 0

Β) Αν f x 0 για κάθε x 0, 4 να δείξετε ότι: α) Η εξίσωση x 2 f x xf x 2 x x 2

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 0, 2 .

β) g x 0 για κάθε x 0, 4 .

1.304 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0,1) R για την οποία ισχύουν

x 0

f(x) 3lim 3x

και 22ημ(x 1) (x 1)f(x) x 1 για κάθε x (0,1)

Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της h(x) f(x) ln x 3

Β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) 3g(x) e τέμνει την ευθεία y x σε ένα

μόνο σημείο με τετμημένη 0x (0,1)



1.305 A) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και 1 1 σε διάστημα Δ . Αν α,β,γ Δ με α β γ , να

αποδείξετε ότι θα είναι είτε f(α) f(β) f(γ) είτε f(γ) f(β) f(α)

B) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και 1 1 στo Δ , να αποδείξετε ότι είναι γνησίως μονότονη στο

Δ .

1.306 Έστω συνάρτηση f , συνεχής στο R και ισχύει η σχέση 3 2 3 2f x 4f x 6f x x 2x 6x 1 για

κάθε x R . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0,1

1.307 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R , και ισχύει f f(x) x 4 2f x για κάθε x R . Να δείξετε

ότι:

Α. η f είναι 1 1

Β. Aν η f είναι γνήσια μονότονη τότε είναι γνήσια φθίνουσα

Γ. υπάρχει ox R ώστε o of x x

Δ. f 1 1

1.308 Η ανάβαση - όπως και η κατάβαση - στην ψηλότερη κορυφή του Ολύμπου διαρκεί 6 ώρες. Ένας

ορειβάτης ξεκινάει την ανάβαση στις 6 το πρωί και χωρίς να σταματήσει βρίσκεται σε 6 ώρες στην κορυφή.

Την άλλη μέρα ξεκινάει στις 6 το πρωί την κατάβαση, σε 6 ώρες, ακολουθώντας την ίδια διαδρομή,

επιστρέφει στη βάση. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής όπου βρίσκεται την

ίδια ώρα και τις δύο ημέρες

1.309 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β με f x 0 , x α,β . Για κάθε 1 2 3 vx , x ,x , ..., x α,β

να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2ξ ,ξ α,β ώστε 1 2 3 v1

f x f x f x ... f xf ξ

v

ν2 1 2 3 vf ξ f x f x f x ... f x

1.310 Έστω η συνάρτηση f : IR IR ώστε 2f x f f(x) 4 για κάθε x IR και f 2 1

A) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 1 , να υπολογίσετε το όριο x 1

1lim f(x) 3 ημx 1

B) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 1, 2

1.311 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με f x ln x ln x 1

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την 1f

Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης xg x f x e

Γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xf x e 1 0 έχει μοναδική λύση μεγαλύτερη του ένα


Σχ. Έτος 2016-2017

1.312 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : 0, IR για την οποία ισχύει 3 3f x xf x x 0 , x 0,

.

Α) Να αποδείξετε ότι 3x f x 0

Β) Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

2

f x2f x ημ 1 , x 0x x

g x 1 , x 0f x

, x 0x

1.313 Για τη συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ότι: , . Να

υπολογίσετε το και να αποδείξετε ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ώστε .

1.314 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R με σύνολο τιμών το R , για την οποία ισχύει ότι

3f x 3f x x για κάθε x R . Να αποδείξετε ότι

Α) ότι η f είναι 1 1 και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφής της.

Β) ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. Γ) 2

xf x

f x 3

για κάθε x R

Δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο μηδέν

Ε) x 0

f x 1limx 3

1.315 ** Αν f είναι μια συνάρτηση, τότε λέγοντας χορδή της f εννοούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα του

οποίου τα άκρα ανήκουν στη γραφική παράσταση της f . Έστω ότι f είναι μια συνεχής συνάρτηση με πεδίο

ορισμού το 0,1 και με f 0 f 1 0 .

Α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντια χορδή της f με μήκος 12

.

Β) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντια χορδή της f με μήκος 1ν

, όπου ν 1, 2,3...

1.316 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν ότι:

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R με f x 0 , για κάθε x R , f 0 1 , f 2009 2009 και

f f(x) f f(x) 1f f(x) 2 f f(x) 1

, για κάθε x R .

Για τη συνάρτηση g ισχύει ότι 2g x f x f 1 f 2 , για κάθε x R . Ν' αποδειχθεί ότι :

Α) f x 0 , για κάθε x R Β) Υπάρχει ω R ώστε f ω 2

Γ) f 1 f 2 f 3 f 4 Δ) υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της g στο 1, 2

Ε) οι f και g δεν είναι αντιστρέψιμες.

63 x2 x 4 2x 8 xf(x) ημ x6

x 4

f(0) κ (0,1] 6κf κ ημ κ6



ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

1.317 Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R με 2g x 7x 5x 2 , ισχύει: 32 f x + 3f x = x + 5 , για

κάθε x R και η f έχει σύνολο τιμών το R

Β1. Να αποδείξετε, ότι η g δεν είναι αντιστρέψιμη, ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε τον

τύπο της 1f

Β2 Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x x , y y

Β3. Να λύσετε τις ανισώσεις f 3x < x (Μον_3) και 1 xf x > g

Β4 Να αποδείξετε ότι για κάθε x R η συνάρτηση 1x x g x h = xf παρουσιάζει ελάχιστο

και ότι για κάθε , , R {0} ισχύει ότι 2 2 2

4 4 4 2 2 2

1 1 1

+

1.318 Γ1 Να λυθεί η εξίσωση: x

1 - x = 12

.

Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει

f x

1 - f x = x + 12

για κάθε x R

Γ2 Να αποδείξετε ότι f 0 = 0

Γ3 Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R

Γ4 Να λυθούν οι ανισώσεις: f x2 f x + 6 > 1 και f xf 2 16f x - 3 > f 16

Γ5 Να λύσετε την εξίσωση 2 2x f x x f x

1.319 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : R R και η συνάρτηση g :R R ώστε για κάθε

x R να ισχύει η σχέση f(f(x)) 2g(x) x

Δ1 Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο R .

Δ2 Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της h(x) f(x) g(x)

Έστω ακόμη ότι υπάρχει 0x R ώστε 0 0f(x ) x

Δ3 Να δείξετε ότι η fC και η gC τέμνονται σε ένα μόνο σημείο.

Δ4 Να λύσετε την εξίσωση 0 0 0f(f(x x 2)) x x 2f(x x 2) 2

Δ5 Να λύσετε την ανίσωση 0 0f(f(lnx x 1)) ln x 1 x

1.320 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R με σύνολο τιμών f R R . Αν η f είναι γνησίως μονότονη

και η fC διέρχεται από τα σημεία A 1,5 και B 3, 1 , τότε

Β1 Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f

Β2 Να λύσετε την εξίσωση 1 1 2f 2 f (x x 3) 3

Β3 Να λύσετε την ανίσωση: 1 1 x x 1f 2 f (5 4 2 ) 3

Β4 Να λύσετε την ανίσωση 2f x 5 4f x


Σχ. Έτος 2016-2017

1.321 Έστω η συνάρτηση f : 0, R που είναι γνήσια αύξουσα στο 0, , έχει σύνολο τιμών το R

και ισχύει ότι f xf e ln x για κάθε x 0, .

Δίνονται ακόμα οι συναρτήσεις x ln x f x και t x ln x x ορισμένες στο 0,

Γ1) Να αποδειχτεί ότι οι συναρτήσεις και t είναι συναρτήσεις 1 1

Γ2) Να αποδείξετε ότι f x ln x

Γ3) Να λύσετε την ανίσωση 2

2x x 1ln 1 xx 2

Γ4) Να λυθεί η εξίσωση x e2 2

x e 2x ef f e 1 f xe f 2e2

1.322 Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R , για την οποία ισχύει f x y f x f y για κάθε

x,y R

Δ1 Να βρείτε το f 0 και να αποδείξετε ότι ισχύει f x f x 0 για κάθε x R

Δ2 Να αποδείξετε ότι f x y f x f y για κάθε x,y R .

Αν η εξίσωση f x 0 έχει μοναδική ρίζα τότε

Δ3 Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 1 .

Δ4 Να αποδειχτεί ότι 1 1 1f (x y) f (x) f (y) για κάθε x, y f(R)

Δ5 Να λύσετε την εξίσωση 2f 10 x f x f x 1

1.323 Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , με και η συνεχής συνάρτηση f : R R ,

τέτοια ώστε να ισχύουν: f 2 , f 2 και f(x) 2004 για κάθε x R .

Γ1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x f x f έχει μια τουλάχιστον λύση στο 0, .

Γ2 Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ( , ) ώστε f .

β) Να αποδείξετε ότι η fC της f τέμνει την y 2x σ΄ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη

ox ,

Γ3 Να υπολογίσετε το 2x

xf(x) 4xlimx 1

Γ4 Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση h : R R τέτοια ώστε f(x) h(x) 2004x , για κάθε x R .

Υποθέτουμε ακόμη ότι η εξίσωση f x 0 έχει δύο λύσεις ετερόσημες 1 2, . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

h x 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο 1 2,



1.324 Έστω η συνάρτηση f : R R με xe 1 xe

xe 1

e ef(x)e e

Β1 Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε το σύνολο τιμών της f

Β2 Να βρείτε τον τύπο και το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης της f

Β3 Να λύσετε την την εξίσωση 1 xfe ( 1)e

, για κάθε 0

Β4 Να λύσετε την ανίσωση 3 2 4f x f x f x f x στο 0,

Β5 Να υπολογίσετε το όριο 2 1

1 11

2 11

e elim fe e

1.325 Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα 0,1 για την οποία

ισχύει 2 2f (0) f (1) 13 6f(0) 4f(1) .

Δ1 Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Δ2 Nα αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά 1x και 2x στο διάστημα (0,1) τέτοια ώστε η γραφική

παράσταση της f τέμνει την y 3x σε σημείο με τετμημένη 1x και να ισχύει ότι

21 1 112f(x ) 3f 4f 5fe 2

Δ3 Να λυθεί η ανίσωση 1f(f (lnx 4) 1) 3

1.326 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f(1 ln x) 1 x lnx , x 0

Β1 Να δείξετε ότι: 1 xf(x) x e για κάθε x R .

Β2 Να βρείτε το πρόσημo της f

Β3 Να λύσετε την εξίσωση xxe e στο 0,

Β4 Να υπολογίσετε τα όρια xlim f(x)

, xlim f(x)

.

Β5 Να λύσετε την ανίσωση 2 3f x f x f x στο 0,

1.327 Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ότι 3f x f x 2x 0 για κάθε x R

Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο R

B) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή στο R

Γ) Να βρείτε τους , R για τους οποίους ισχύει ότι 2 2f f 2 2 5 0

Δ) Να λύσετε την ανίσωση 3f x 3x 0

E) Nα λυθεί η εξίσωση 3 22x f x f x 1 0


Σχ. Έτος 2016-2017

1.328 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν 3 2 3f (x) xf (x) 2 x για κάθε x R ,

x 0

f(x)limx

και x x

f(x) f(x)lim limx x

, με , R και 0 .

Δ1 Να υπολογίσετε τους αριθμούς ,

Δ2 Αν g(x) f(1 x) 1 , x R να δείξετε ότι x 1limg(x) 1

και να υπολογίσετε το

x 1

xg(x) 2 3 x g(x)lim

x 1

Δ3 Να υπολογίσετε το όριο x

f(x) x 2007limf( x) x 2007

1.329 Δίνεται η συνάρτηση *f : R R για την οποία ισχύει 1 92f(x) f 6xx x

για κάθε x R 0

Δ1) Να αποδείξετε ότι 4f(x) xx

.

Δ2) Να αποδείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται.

Δ3) Να βρείτε το όριο 2x 1

|f(x)| 3lim2x x 1

.

Δ4) Να βρείτε το όριο x 2

5lim f(x)x 2

.

Δ5) Να εξετάσετε αν η fC είναι συμμετρική ως προς το 0,0

1.330 Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) ln x x 1 ln (1 )x , x 0 και 0 .

Β1 Για κάθε 0 , να βρείτε τοxlim f(x)

Aν επιπλέον δίνεται ότι 0 τότε:

Β2 Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

Β3 Να ορίσετε την αντίστροφη της f

Β4 Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f

B5 Να λύσετε την ανίσωση 2 7ln2 f x f x f x στο 0,

1.331 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 1, R για την οποία ισχύει ότι: 2f x 1 2ln x f x για

κάθε x 1 και 3

2x

f 1 x x 1lim

x x 1

.

Γ1 Να αποδείξετε ότι f 1 0

Γ2 Να αποδείξετε ότι 2f x lnx 1 ln x , x 1,

Γ3 Να υπολογίσετε τα όρια xlim f x

και 2

x 0lim ln x 1 ln x

Γ4 Να βρείτε την εικόνα του διαστήματος 1, μέσω της συνάρτησης f

Γ5 Να υπολογίσετε τα , 1, αν ισχύει ότι f f 3 4 2



1.332 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R ,για την οποία ισχύει x 0

f(x) 2lim 0x

Δ1 Να αποδείξετε ότι f(0) 2

Δ2 Να βρείτε το όριο: 2

2x 0

x f(x)limx

Αν επιπλέον για την f ισχύει: 2 x 2xf (x) e f(x) e 1, x R

Δ3 Να δείξετε ότι: x xf(x) e e , x R

Δ4 Να υπολογίσετε τα όριαxlim f(x)

, xlim f(x)

και x

1f 2xlim

2 x

.

Δ5 Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ox 0

Γ Λυκείου


2016 - 2017


ανάλ

υση

Παράγωγοι 333 Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών

Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός Έκδοση 16.08

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση

αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 2016

Ιστοσελίδα: http:users.sch.gr/mipapagr


Σχ. Έτος 2016-2017

2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΟΡΙΣΜΟΣ

2.01 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

2f(x) x -5x 6 δεν είναι παραγωγίσιμη στο 2

2.02 Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στο

0 η συνάρτηση 1xxe αν x 0f(x)

1 συνx αν x 0

2.03 Αν αx β αν x 2

f(x) x 2 2 αν x 2x 2

βρείτε

τα α,β R ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 2

2.04 Αν x 3

f(x)lim 7x 3

και f συνεχής στο

0x 3 , δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 3

2.05 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο 0.

και ισχύει ότι ημx f(x) x x ημx , για x 0 .

Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ox 0

2.06 Αν για την συνάρτηση f : R R ισχύει

2 2f(x) x (x 1) για κάθε x R , να δείξετε ότι

η f είναι παραγωγίσιμη στο ox 1

2.07 Έστω f,g : R R συναρτήσεις

παραγωγίσιμες στο α R με f α g α 3 .

Υπολογίσετε τα:

Α) x α

f(x) f(α)limx α

Β)

2 2

x α

(f(x)) (f(α))limx α

Γ) 2 2

x α

α f(x) x f(α)limx α

Δ)

x α

g(α)f(x) f(α)g(x)lim

x α

2.08 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

ox με of(x ) 3 , of (x ) 2 . Bρείτε το οx x ο

2f(x)-6limx-x

2.09 Έστω η συνάρτηση f : R R

παραγωγίσιμη στο 0 και στο 1 με f(0) f(1) . Να

αποδείξετε ότι η

1f(2x) αν x2g(x)1f(2x-1) αν x2

είναι

παραγωγίσιμη στο 12

αν και μόνο αν f (0) f (1)

2.10 Έστω f : R R παραγωγίσιμη στο ox 0

και x 0

f(2x) f(x)lim 3x

. Αποδείξτε ότι f 0 3

2.11 Δίνεται η συνάρτηση f : R R

παραγωγίσιμη στο 1 με ότι f (1) 2 . Να

αποδείξετε ότι x

xlim (x 1) f(1) f 2x 1

2.12 Η συνάρτηση f : R R είναι

παραγωγίσιμη στο ox R . Δείξτε ότι η

ο

ο ο ο ο

f(x) αν x xg x

f (x )(x-x ) f(x ) αν x x

είναι

παραγωγίσιμη στο ox

2.13 Έστω η συνάρτηση f : R R

παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει

f x y f x f y xy για κάθε x, y R , δείξτε

ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R .

2.14 Αν για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει

x 0

f x 2lim 3

x

τότε:

A) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγισιμη

στο 2 και ότι f (2) 3

B) Να βρεθούν τα όρια:

i) 2

2x 2

f (x) f(x)limx 4

ii)

x

2x 1lim ημx fx 2

34 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ


2.15 Δίνεται η συνάρτηση f : R R ,

παραγωγίσιμη στο 0 . Να αποδείξετε ότι

2 2

x 0

f (3x) f (2x)lim 2f(0)f (0)x

2.16 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο 0x 1 με f (1) α και ισχύει:

f xy xf y yf x για κάθε x, y 0, . Να

δειχθεί ότι 00

0

f(x )f x α+x

για κάθε 00 x 1

2.17 ** Δίνεται η συνάρτηση f : R (0, )

τέτοια ώστε 3 4f (x) 2x f(x) 8 , για κάθε x R

Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο

0x 0 και ότι f (0) 0

2.18 Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R και

παραγωγίσιμη στο x R , να δείξετε ότι

h 0

f(x 3h) f(x 2h)lim 5f xh

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2.19 Βρείτε τις παράγώγους των συναρτήσεων

Α) xef(x)

1 x

Β) 2

1f xx 4

Γ) ln xg(x) xημxx 1

Δ) xln xf xe

Ε). ημx συνxg(x)1 εφx

Στ) ln xg(x)x 2

Ζ) 2 ημxf x1 ημx

Η) 2xf(x)

ln x

Θ) x2x 1h(x)

e

Ι) 1 ημxf(x)1 συνx

2.20 Να υπολογίσετε τα όρια 1 h

h 0

e elimh

,

x 1

x 0

e elimx

, x 0

x 12lim

x

2.21 Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με

2P x P x για κάθε x R .

2.22 Έστω συνάρτηση f : R R

παραγωγίσιμη στο ox e . δείξτε ότι

x

x 1

f(e ) xf(e)lim ef (e) f(e)x 1

2.23 Να υπολογίσετε το ημ π h

h 0

e 1limh

2.24 Να αποδείξετε ότι

A) x

x 0

e 1lim 1x

B)

5 5

x 2

x 2lim 80x 2

2.25 Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο

R , με g e 1 και g e 2 . Αν

2

2 xf x x g xln x

να βρείτε τον f e

2.26 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

yxf x y e f y e f x xy α για κάθε

x, y R Να αποδείξετε ότι:

A) f 0 α B) η f 0 0

Γ) Αν είναι παραγωγίσιμη στο R τότε ισχύει

ότι oxo o of x f x f 0 e x , ox R .

Δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε

είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει

oxo o of x f x f 0 e x για κάθε ox R

2.27 Αν μια συνάρτηση f : R R είναι

παραγωγίσιμη στο σημείο 0x α,α 0 , να


Α) x α

f(x)ln x f(α)lnα f(α)lim f (α)ln αx α α

Β) 2x α

αf(x) xf(α) f(α)lim f (α)αx αx


Σχ. Έτος 2016-2017

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.28 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: 2 2f(x) ημ x συν 3x ,

2 3f(x) εφ (4x 1)

3 2f x ln x 3x ln 3

3f x συν ln 2x 2

x xf x ημ 2 3 ημt , t R

4 32 3 2f x x 3 x 5 y , y R

2.29 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

Α) f x συν ln x , x 1

Β) x xf x log 2 3

Γ) 4 32 3f x x 3 2x 5

2.30 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

Α) 2 1x ημ αν x 0

f x x0 αν x 0

Β) 2f x x x 3 2

Γ) log xf x x , x 0

Δ) xf x ημx , πx 0,2

Ε) xf x 2

2.31 Δίνεται η x 3f x e x x , x R .

Α) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και

βρείτε το πεδίο ορισμού της 1f

Β) Αν η 1f είναι παραγωγίσιμη στο 1fD ,

να δείξετε ότι 1 1f 12

.


στο 0x 0 και ισχύει: 3 2 2f (x) x f(x) 2x ημx , για

κάθε x R να βρεθεί η f 0 .

2.33 Α) Αν f(x) c(x α)(x β)(x γ) με

c,α,β, γ R και x α,β, γ τότε να αποδείξετε ότι:

f (x) 1 1 1f(x) x α x β x γ

Β) Να βρεθεί η f αν 2 3 4 2

2

(x 5) (1 x )f(x)1 x


R με f x 0 για κάθε x R .

Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση y f x

είναι παραγωγίσιμη στο R .

Β) Αν ισχύει ότι f 2 5 και f 2 4 να

αποδείξετε ότι f 2 4

2.35 Η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη

στο R και ισχύει 2 2f(x ) 3f 2x 1 5ln x 3x

για κάθε x 0 . Να βρεθεί το f '(1) .

2.36 Αν μια συνάρτηση f : R R είναι

παραγωγίσιμη στο σημείο 0x α,α 0 , να


Α) x α

f(x)ln x f(α)ln α f(α)lim f (α)ln αx α α

Β) 2x α

αf(x) xf(α) f(α)lim f (α)αx αx

2.37 Έστω η συνάρτηση f(x) συνx,x (0,π)

Α) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση 1f

Β) Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι 1f είναι

παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι

12

1f (x) , x ( 1,1)1 x

2.38 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία

είναι f(x y) f(x)f(y) και f(x) 0 για κάθε

x,y R . Αν ισχύει ότι x 0

f(x) 1lim Rx

να

αποδειχτεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R



2.39 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο

0 τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει

f f(x) f x 2x .Δείξτε ότι f 0 1 ή f 0 2

2.40 Οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες

στο R και για κάθε x R ισχύει ότι 2f(x )g x e ,

με f 1 0 , να αποδειχτεί ότι g΄ 1 2g(1)f΄ 1

2.41 Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P x για τα

οποία ισχύει ότι 2P x P x

2.42 Έστω η συνάρτηση

2 2x x ημ , x 0

f x x0, x 0

Να εξετάστε αν η f x είναι συνεχής στο ox 0

2.43 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο

R . Να αποδείξετε ότι

Α) Αν η f είναι άρτια τότε η f είναι περιττή

Β) Αν η f είναι περιττή τότε η f είναι άρτια

Γ) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη

και περιττή τότε:

α) Η fC διέρχεται από το 0,0

β) f x f x

γ) f 0 0

Δ) Αν η f είναι άρτια και 2g(x) (x 1)f(x) 3x τότε g (0) 3

2.44 Έστω η συνάρτηση f : 0, R ώστε

xf x xημ x e , x 0 . Αν f είναι

παραγωγίσιμη στο 0, τότε

να δείξετε ότι 2/ xf (x) ημx xσυνx 2xe και να

υπολογίσετε το 2x 0

f(x) 1limx

2.45 Έστω ότι η συνάρτηση f : R R είναι

παραγωγίσιμη στο R και αντιστράψιμη. Να

αποδειχτεί ότι για κάθε σημείο με τετμημένη

0x R ισχύει ότι το γινόμενο των κλίσεων των

εφαπτομένων της fC στο 0x και της 1fC στο

0f x ισούται με ένα.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

2.46 Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη

στο R με παράγωγο συνεχή. Αν x 1

f (4 x)lim 5x 1

να δείξετε ότι f 3 5

2.47 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές

παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι:

Α) h 0

f (x 2h) f (x)lim 2f (x)h

, xR

Β) h 0

f (x h) f (x)lim f (x)h

, xR

Γ) h 0

4f (x 2h) 6f (x h) 10f (x)lim 2f (x)h

για

κάθε x R

2.48 Να αποδειχτεί ότι:

A) Αν 2xy ln e 1 x τότε y 1 y 1 y

B) Αν y ημ ln x συν ln x τότε

2x y xy y 0

2.49 Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη στο R και για κάθε x R ισχύει

2f x xf x , να αποδείξετε ότι f 1 0 .

2.50 Να αποδείξετε ότι:

Α) Αν f x συνx , τότε (ν) νπf x συν x2

Β) Αν xf x xe τότε (ν) xf x e x ν


Σχ. Έτος 2016-2017

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

2.51 Βρείτε την εφαπτομένης της fC στο

0x 0 αν 2

3

1x ημ αν x 0xf(x)

x αν x 0

2.52 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο

ox 1 και ισχύει 2

x 1

f(x) xlim 7x 1

. Να αποδείξετε

ότι η εφαπτομένη της fC στο σημείο A 1,f 1

είναι κάθετη στην ευθεία x 9y 5 0

2.53 Δίνεται η συνάρτηση 3f(x) x . Να βρείτε

τις εφαπτόμενες της fC που διέρχονται από το

M( 2, 8)

2.54 Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει

ότι: 2xln x f x x x για κάθε x Δ . Να

αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο ox 1 και

να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC

στο σημείο Μ 1,f(1) .

2.55 Αν f : 0, R με 1f xx

και α 0 ,

να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου που

σχηματίζουν οι ημιάξονες Ox,Oy και η

εφαπτομένη της καμπύλης στο ox α είναι

ανεξάρτητο του α .

2.56 Να βρεθούν οι εφαπτόμενες των f gC , C

όταν 2f(x) x 2 και 21 1g(x) x8 2

που

τέμνονται στον y y και είναι κάθετες μεταξύ τους.

2.57 Αν 2f x α ln x βx 3 , να βρείτε τα

α,β R ώστε η ευθεία ε: 2x y 4 0 να είναι

εφαπτόμενη της fC στο σημείο της A 1,f 1 .

2.58 Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f

ισχύει ότι f 2 x f 2 x 2x , x R . Να

αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης στο σημείο 2,f(2) είναι κάθετη

στην y x .

2.59 Αν 2αx 2αx β α x 2

f x γx 2

x 1

, να

βρεθούν τα α,β,γ R ώστε η εφαπτομένη της Cf

στο A(2, f(2)) να είναι παράλληλη προς την

2x y 1 0

2.60 Αν 2f x 4 x και 2g x x 8x 20 .

Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμένες των fC και gC .

2.61 Για ποια τιμή του α 0 η εφαπτόμενη της

2f x x 3x στο 1, f(1) είναι εφαπτόμενη της

αg xx

2.62 Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των

x xe ef2

(x)

και x xe eg xμ( ) ηx

2

έχουν

κοινή εφαπτομένη σε κάθε κοινό τους σημείο.

2.63 Θεωρούμε την συνάρτηση f που έχει

συνεχή πρώτη παράγωγο στο R με f (x) 0 για

κάθε x R . Αν η gC της g με f(x)g(x)f (x)

τέμνει

τον άξονα x x , να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη

στο σημείο τομής , σχηματίζει με τον άξονα x x

γωνία o45

2.64 ** Δίνεται η συνάρτηση

4 2f x x 4x 3x . Να βρεθεί ευθεία που να

είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

f σε δύο διαφορετικά σημεία της. (mathematica)



2.65 Μία συνάρτηση f : R R έχει την

ιδιότητα: 2f x 2 x 3x 2 f x 3 2x 4 ,

x R . Έστω μεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται

από το 1M ,02

και τέμνει τη fC σε δύο

διαφορετικά σημεία Α και Β. Να βρείτε τον τύπο

της f και να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της

fC στα Α και Β τέμνονται κάθετα.

2.66 Δίνεται η συνάρτηση f x 2α ln x ,

x 0 , όπου α R . Να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτόμενης της fC στο σημείο της M 1, f 1

και αποδείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο

Ρ για κάθε αR.

2.67 Αν η ευθεία y 2x 0 είναι η

εφαπτομένη του διαγράμματος της y f(x) , στο

σημείο της με ox 1 , να βρεθεί η εφαπτομένη

στη gC της 21g(x) f

x

στο σημείο με 1x 1

2.68 * Αν 1f(x)x

και xg(x) e , αποδείξετε

ότι οι fC και gC έχουν κοινή εφαπτομένη.

2.69 Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των

xg(x) e και 2f(x) 2x , έχουν κοινή εφαπτομένη

2.70 Να βρείτε τον α R ώστε η συνάρτηση f

με xf(x) α , να έχει εφαπτομένη την y x .

2.71 Έστω f δευτεροβάθμια πολυωνυμική

συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι:

23f x 1 2f x 2 x 14x 5 , x R

Α) Να βρεθεί ο τύπος της f .

Β) Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες της fC που

άγονται από το σημείο 1A 1,4

, είναι κάθετες.

2.72 ** Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο

R , και ισχύει f ln x x ln x x , x 0 . Να

υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο

σχηματίζεται από την εφαπτομένη της fC στο

σημείο της με ox 1 και τους άξονες x x και y y

2.73 ** Έστω η ln (αx)f xx

με α, x 0

Α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

fC στο σημείο ο οx , f(x ) .

Β) Aποδείξτε ότι οι παραπάνω εφαπτόμενες

στο σημείο ο οx , f(x ) , καθώς μεταβάλλεται το α ,

διέρχονται από το ίδιο σημείο.

2.74 Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : (0, ) R , με 2f(x ) f(x) 3 ln x 4

Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης

της γραφικής παράστασης της f στο 1, f(1)

Β) Υπολογίστε το όριο: 2x 1

x f(x) - 2limx - 1

.

2.75 Έστω η συνάρτηση αx *f x e x, α R

Α) Bρείτε το σηµείο M της fC στο οποίο η

εφαπτόµενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του

σηµείου M όταν το α διατρέχει το R

2.76 Θεωρούμε τις παραβολές

21f(x) x 2λx - 2λ(1 - λ), λ R2

A) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω

παραβολές έχουν μία κοινή εφαπτομένη.

B) Να αποδείξετε ότι τα σημεία των fC για

τα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον

άξονα x x , βρίσκονται στην ευθεία y x .

Γ) Αν λ 0 , να βρείτε το σύνολο των

σημείων του επιπέδου από τα οποία άγονται

κάθετες εφαπτόμενες τη συνάρτηση f


Σχ. Έτος 2016-2017

Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΩΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

2.77 Ενα σημείο Μ x, y κινείται στην fC , με f(x) x . Να βρείτε τη θέση όπου ο ρυθμός μεταβολής

της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του.

2.78 Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Oxy ένα κινητό κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της

συνάρτησης xf x e , x 0 . Έστω M η θέση του κινητού στο επίπεδο κάθε στιγμή και έστω A, B οι

προβολές του M στους άξονες Ox και Oy αντίστοιχα. Η τετμημένη του σημείου M μεταβάλεται με ρυθμό

1 m /sec . Τη χρονική στιγμή ot που το κινητό βρίσκεται στο σημείο 1,e , βρείτε το ρυθμό μεταβολής:

Α) του εμβαδού του τριγώνου OAM Β) της απόστασης AB

Γ) της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της fC στο σημείο M , με τον άξονα x x

2.79 Ένα αυτοκίνητο A απομακρύνεται από τη διασταύρωση δύο κάθετων δρόμων Ox και Oy , που

κατευθύνονται προς τα ανατολικά και βόρεια αντίστοιχα. Η απόσταση του αυτοκινήτου από το δρόμο Oy

ισούται με το τετράγωνο της απόστασής του από το δρόμο Ox

Το αυτοκίνητο A απομακρύνεται προς τα ανατολικά με ρυθμό v 10 km/min .

Α) Με ποια ταχύτητα απομακρύνεται το αυτοκίνητο προς τα Βόρεια; (συναρτήσει της θέσης του)

Β) Να βρείτε την απόσταση του αυτοκινήτου A από το σημείο O 0, 0 ως συνάρτηση της απόστασής

του από τον δρόμο Oy .

Γ) Πόσο γρήγορα απομακρύνεται το A από το σημείο O 0, 0 τη χρονική στιγμή που έχει

απομακρυνθεί 3 km προς τα βόρεια;

2.80 Μια κολόνα ύψους 4m φωτίζει ένα στενό δρομάκι, το οποίο καταλήγει κάθετα σε έναν τοίχο. Η

λάμπα βρίσκεται 1m κάτω από την κορυφή της κολόνας. Ένας παίχτης του μπάσκετ με ύψος 2m

προχωράει προς τον τοίχο με ταχύτητα 1m /sec . Αν η κολόνα απέχει 6m από τον τοίχο, τότε:

A) να αποδείξετε ότι το ύψος y t της σκιάς που ρίχνει ο άνδρας στον τοίχο ως συνάρτηση της

απόστασης του από την κολόνα είναι 6y t 3x(t)

, 2 x t 6

B) να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνει το ύψος της σκιάς που ρίχνει ο άνδρας στον τοίχο όταν

βρίσκεται σε απόσταση 2m από τον τοίχο.

2.81 ***Το κινητό O κινείται με σταθερή ταχύτητα 2m/sec κατά μήκος

της ευθείας (ε). Κυκλικό εμπόδιο έχει το κέντρο του στην μεσοπαράλληλη

των ευθειών ( ),( ) , έχει διάμετρο 2m ίση με το μισό της απόστασης των

( ),( ) και δημιουργεί την «σκιά» AB . Να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός

μεταβολής του μήκους AB την στιγμή κατά την οποία το τρίγωνο OAB

γίνεται ορθογώνιο για πρώτη φορά (Άσκηση από www.mathematica.gr)



Θ. Rolle –Θ.Μ.Τ. 2.82 Εφαρμόστε το θ. Rolle για τη συνάρτηση

f x x 1 x ημx στο διάστημα 0,1

2.83 Αν 2x αx β x 0f(x)

3 (γ α)x x 0

να βρεθούν

οι α,β, γ R ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα

Rolle στο 1,1 και να βρεθεί ξ 1,1 ώστε

f ξ 0 .

2.84 θεωρούμε μια συνάρτηση f η οποία είναι

συνεχής και μη μηδενική στο π 3π,2 2

και

παραγωγίσιμη στο π 3π,2 2

. Αποδείξτε ότι

υπάρχει 0π 3πx ,2 2

ώστε o o of (x ) f(x )εφx .

2.85 Δίνεται ότι η f συνεχής στο α,β , α > 0

και παραγωγίσιμη στο (α, β) με f α f βα β

. Να

δείξτε ότι υπάρχει ξ α,β ώστε ξf ξ f ξ

2.86 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο

α,β και παραγωγίσιμη στο (α, β). Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α, β ώστε

23 3

f β f α3ξ f ξ

β α

2.87 Έστω f ,g συνεχείς συναρτήσεις στο

α,β παραγωγίσιμες στο α,β με f(α) f(β)g(α) g(β)

και g(x)g x 0 για κάθε x (α,β) . Να δείξετε

ότι υπάρχει ξ α,β ώστε να ισχύει f (ξ) f(ξ)g (ξ) g(ξ)

2.88 Έστω f μια παραγωγίσιμη συνάρτηση

στο R με f(x) 0 για κάθε x R και f(2) ef(1)

.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) f(x) έχει μια

τουλάχιστον ρίζα στο 1,2 .

2.89 Έστω η f : [α,β] R παραγωγίσιμη, ώστε:

2 2 2 2f (α) f (β) α β . Να αποδείξετε ότι υπάρχει

ξ α,β έτσι ώστε: f ξ f ξ ξ


στο 1,1 , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1,1 ,

ώστε 42f ξ 5ξ f(1) f( 1) .

2.91 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g που είναι

συνεχείς στο [α,β] παραγωγίσιμες στο (α,β) με

f x 0 για κάθε x [α,β] και

ln f(α) ln f(β) g(β) g(α) . Να αποδείξετε ότι

υπάρχει ξ (α,β) ώστε f (ξ) f(ξ) g (ξ) 0

2.92 Έστω f : R R τρεις φορές

παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι

f 1 f 0 f 0 f 0 0 . Nα αποδείξετε ότι

υπάρχει x 0,1 ώστε 3f x 0 .

2.93 Α) Δείξτε ότι η 3 2f x x λx 3x 1

για κάθε x R με λ R δεν είναι 1 1 .

Β) Να δείξετε ότι εφαρμόζεται το θ. Rolle για

τη συνάρτηση f x 2g x e x λx 3

2.94 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων xf(x) e 2x και

x 3g(x) e x έχουν ένα μόνο κοινό σημείο που

βρίσκεται στον y y


Σχ. Έτος 2016-2017

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.95 Nα λύσετε την εξίσωση x x 11 2 3 0

2.96 Να λύσετε την εξίσωση xln 1 xe x

2.97 Να λύσετε την εξίσωση x x2 5 2 5x

2.98 Να λύσετε την εξίσωση x x5 x 4

2.99 Να λύσετε την εξίσωση ln x x 1 0

2.100 Να λύσετε την εξίσωση x xxe 1 e

2.101 Να λύσετε την εξίσωση: 2x x ln x 2

2.102 Λύστε την εξίσωση 96 96 24x 3 x 1 16

2.103 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5x 3x α 0 έχει μοναδική ρίζα στο R

2.104 Να δειχθεί ότι η εξίσωση

2012 20112013x 2012 λ 1 x λ 0 έχει

τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,1 για κάθε λ R

2.105 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2e αx βx γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο R

2.106 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2αx βx γx δ 0 με 2β αγ , α 0 έχει

μοναδική ρίζα στο R

2.107 Δείξτε ότι η εξίσωση 8x 7x 6 δεν έχει

περισσότερες από δύο διαφορετικές ρίζες στο R

2.108 Να δείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της

εξίσωσης xe ημx 1 υπάρχει ρίζα της εξίσωσης

xe συνx 1

2.109 Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2α ln x β ln x γ ln x δ 0 , α,β,γ,δ R

ώστε 3 2α γ δ 4β 0 έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο 21,e

2.110 Αν η εξίσωση 4 3 2x αx 3βx γx δ 0

με α,β,γ,δ R έχει τέσσερις ρίζες πραγματικές

και άνισες μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι 2α 8β

…----------------------------------------------------------------------------------------------

2.111 Η απόσταση δύο πόλεων που συνδέονται

με ευθεία σιδηροδρομική γραμμή είναι 51 km .

Μια αμαξοστοιχία διανύει τη μεταξύ τους

απόσταση σε 0,6 ώρες. Να αποδειχτεί ότι για

κάποια χρονική στιγμή η αμαξοστοιχία έχει

ταχύτητα 85 km /h .

2.112 Αν f συνεχής στο 1, 5 με f 1 2 και

f x 2 , x (1, 5) να δείξετε ότι 10 f(5) 6

2.113 Έστω f παραγωγίσιμη στο 0,5 με

f 5 f 0 1 . Να δείξετε ότι υπάρχουν

κ, λ 0,5 ώστε 2f κ 3f λ 1


1, 4 και για κάθε x R ισχύει f 4x 4f x

και 25f 1100

να αποδείξετε ότι υπάρχουν

1 2 3ξ ,ξ ,ξ 1, 4 ώστε 1 2 3f ξ f ξ f ξ 12

2.115 Δίνεται η συνάρτηση f x log x . Δείξτε

ότι υπάρχει ξ 1,20 ώστε 19 loge

ξ1 log2

.

2.116 Να βρείτε το

ημxx

x 0

2 2limx ημx

.



ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

2.117 Αποδείξτε ότι 1 x 1 1lnx 1 x x

, x 0


2α 1ln α ββ 1

, α,β R

2.119 Δείξτε ότι ημβ ημα β α , α,β R

2.120 Δείξτε ότι x x1 x e 1 xe , 0 x 1

2.121 Nα αποδείξετε τις ανισότητες:

Α) 1 1

x 1 xxe x 1 xe για κάθε x 0 .

Β) e π2 ln ππ e

2.122 Nα αποδείξετε τις ανισότητες:

Α) x ln(x 1) xx 1

αν x>0

Β) x 1x e 1 (x 1)e αν x 1,2

2.123 Δείξτε ότι x x 11 11 e 1 , x 0

x x

2.124 Για κάθε π0 α4

να αποδειχτεί ότι

2

π α1 2α εφ α 1 π4 συν (α )4

2.125 Έστω f παραγωγίσιμη στο R της οποίας

η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα στο R .

Δείξτε ότι: f 1999 f 2002 f 2000 f 2001

***************************************************************

2.126 Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη

στο R και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία

της fC , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ R με

f ξ 0 .

2.127 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο

2, 2 και παραγωγίσιμη στο 2, 2 με

f( 2)= f(2)= 2 . Αν f (x) 1 , x 2, 2 να

αποδειχθεί ότι f(x) x , x 2, 2

2.128 Έστω f : R R τρεις φορές

παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι

f 1 f 0 f 0 f 0 0 . Nα αποδείξετε ότι

υπάρχει x 0,1 ώστε (3)f x 0 .

2.129 Έστω 2 6 4 2f(x) α x βx x γ δ ,

*α,β, γ,δ R με 2 23β 5α . Να αποδείξετε ότι δεν

υπάρχουν τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία

που να ανήκουν στη γραφική παράσταση της .

2.130 Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο R

συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(lnα) f(ln β) .

Αν ισχύει ln α ln γ lnβ , με α,β, γ 0 και

2γ β eα γ , να δειχτεί ότι υπάρχουν 1 2ξ ,ξ R με

1 2f (ξ ) f (ξ ) 0

2.131 Έστω συνάρτηση f , δυο φορές

παραγωγίσιμη στο α,β με f α f β 0 . Να

αποδειχτεί ότι υπάρχει ox α,β ώστε

ο ο οf x f x f x .

2.132 Η συνεχής συνάρτηση f : α, β R , είναι

δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β , με

f α f β 0 . Να αποδείξετε ότι:

Α) αν υπάρχει οx α,β με of x 0 , τότε

υπάρχει ξ α,β ώστε f ξ 0 ,

Β) αν υπάρχει οx α,β με of x 0 , τότε

υπάρχει ξ α,β ώστε f ξ 0 .


Σχ. Έτος 2016-2017

2.133 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 34x 2 x 1 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο

0,1 για κάθε R .

2.134 Έστω η συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο

R με f( 1) 1 , f(1) 1 . Δείξτε ότι υπάρχουν

Α) 1 21 1 ώστε 1 2f f 2

Β) 1 21 1 ώστε1 2

1 1 2f '( ) f'(κ )


0,α με α > 1 και ισχύει f(0) = 0 και

2f(x ) 2f(x), x [0,α] . Να δείξετε ότι υπάρχουν

1 2ξ ,ξ 0,α ώστε 1 2f(α)f (ξ ) f (ξ )

2 α - 1 .

2.136 Αν για τη συνάρτηση f στο διάστημα

2, 20 ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του

θεωρήματος του Rolle, τότε να αποδείξετε ότι:

Α) υπάρχουν αριθμοί 1 2ξ ,ξ 2, 20 με

1 2ξ ξ και 1 2f ξ f ξ 0 .

Β) υπάρχουν 1 2κ , κ (2,20) με 1 2κ κ ώστε

1 23f (κ )+ 2f (κ ) = 0

Γ) ότι η εξίσωση f (x) f(x) - f(α) έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 2, 20 .

Δ) υπάρχουν κ, λ, μ με 2 κ λ μ 20

ώστε 2f κ 3f λ 4f μ 0

2.137 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : R R με f 2 0 . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ R

, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f στο Μ ξ, f(ξ) , να τέμνει τον άξονα x x στο

P 2ξ,0

2.138 Η συνάρτηση f : 1, 4 R είναι δύο

φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f 1 2 και

f 4 8 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη

της fC που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

2.139 Έστω συνάρτηση f : α,β R

παραγωγίσιμη στο α,β , με f α 2β , f β 2α

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x = 2x

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β .

Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν

1 2ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε 1 2f ξ f ξ 4 .

2.140 Αν 04 3 2 , να δείξετε ότι η

συνάρτηση 3 2f x x x x μηδενίζεται

σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος 0,1

2.141 Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2α ln x β ln x γ ln x δ 0 , α,β,γ,δ R

ώστε 3 2α γ δ 4β 0 έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο 21,e .

2.142 Δίνεται η συνάρτηση f x x 1 ln 2x .

Να αποδείξετε ότι:

Α) Υπάρχει 1ξ ,12

ώστε η εφαπτομένη

της fC στο ξ, f(ξ) να είναι παράλληλη στον x x

Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 2x2x e

έχει ρίζα στο 1 ,12

2.143 Έστω f παραγωγίσιμη στο R . Αν

f 0 f 10f x

2

. Να δείξετε ότι υπάρχει

τουλάχιστον ένα ox 0,10 τέτοιο ώστε

of x 0



ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.144 Δίνεται συνάρτηση f : R R , ώστε:

f x 2f x f x 2f x , για κάθε x R και

f 0 f 0 f 0 1 . Να αποδείξετε ότι :

Α) Οι συναρτήσεις xh x f x e και

2 2g x f x f x 2 f x f x είναι

σταθερές συναρτήσεις

Β) Να βρεθεί ο τύπος της f .

2.145 Θεωρούμε συνάρτηση f : R R για την

οποία ισχύει ότι: f x f y συν x y 1 για

κάθε x,y R . Να δειχτεί ότι η f είναι σταθερή

2.146 Να βρείτε την f αν f 1 2x 7 12x ,

x R και f 1 2

2.147 Να βρείτε την f αν 21f x

x , x R *

και f 1 f 1 2


Α) αν f (x) f(x) για κάθε x R και

f(0) f (0) 1 τότε xf(x) e , x R ,

Β) αν δ (x) δ(x) 5x για κάθε x R ,

δ(0) 1 και δ (0) 4 , τότε xδ(x) e 5x , x R

2.149 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R

παραγωγίσιμη στο *R με f 0 0 , της οποίας

όλες οι εφαπτόμενες διέρχονται από την αρχή των

αξόνων. Να βρείτε εκείνη τη συνάρτηση f της

οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα

σημεία 2,1 και 2,1

2.150 Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R .

Να δείξετε ότι ισχύει f x 2x 1 f x , x R

αν και μόνο αν υπάρχει c R ώστε 2x xf x ce

2.151 Να βρείτε την f , αν για κάθε x R ισχύει

f (x) f(x) ημx συνx και f(0) 1 .

2.152 Αν η f : 0, π R είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη με πf 02

και f x f x για

κάθε x 0, π να αποδείξετε ότι f x αημx ,

α R .

2.153 Να βρεθεί η συνάρτηση f : R R αν

ισχύει: 2x 2 f x 2x 5x 2 , x R και

f 3 7

2.154 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : 0, 0, αν ισχύει ότι

f (x) f(x) ln f(x) για κάθε x 0 και f (1) 0

2.155 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, συνάρτηση f που

είναι παραγωγίσιμη στο R * και για κάθε x R *

ισχύει f(x) xf (x) , f(1) 1 και f( 1) 2 .

2.156 Να βρείτε τη συνάρτησης f με f 0 2 ,

αν ισχύει x xf(x) e f (x) e 0 , xR

2.157 Βρείτε την εξίσωση της καμπύλης που

διέρχεται από το M(0, 3) και σε κάθε σημείο της

με τετμημένη α έχει εφαπτομένη με εφ 24αλ

4α 1

2.158 Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : 0, 0, , αν ισχύει ότι f (1) 0 και

f (x) f(x) ln f(x) για κάθε x 0

2.159 Δίνεται η συνάρτηση f , παραγωγίσιμη

στο R ώστε να ισχύει 2x[f (x) f(x)]e f(x) f (x)

για κάθε x R και f 0 1 .Bρείτε τον τύπο της f


Σχ. Έτος 2016-2017

2.160 Αν η f : 0, π R είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη με πf 02

και f x f x για

κάθε x 0, π , δείξτε ότι f x αημx , α R .

2.161 Να βρεθεί συνάρτηση f παραγωγίσιμη

στο R με f x 0 , x R , f 1 9 και της οποίας

η γραφική παράσταση σε κάθε σημείο M x, f(x)

έχει εφαπτομένη με κλίση 4x f(x) , x R

2.162 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R , η fC

διέρχεται από το O 0, 0 η εφαπτόμενη της fC

στο σημείο O 0, 0 είναι παράλληλη στην ευθεία

-2x y 3 0 και ισχύει

2x 1 f (x) 4x f (x) 2f(x) 0, x R

2.163 Έστω οι συναρτήσεις f και g δυο φορές

παραγωγισιμες στο R με f x 0 για κάθε x R

Αν δέχονται κοινή εφαπτόμενη σε κοινό σημείο

τους και ισχύει f x g x f x g x για κάθε

x R , να δείξετε ότι f x g x

2.164 Α) Έστω συνάρτηση f : R R για την

οποία ισχύει f x f x 0 , x R και

f 0 f 0 0 . Να αποδείξετε ότι η f είναι η

μηδενική συνάρτηση.

Β) Έστω συνάρτηση g : R R με

g x g x 0 για κάθε x R και g 0 0 ,

g 0 1 . Να αποδείξετε ότι η g x ημx .

2.165 * Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο

R με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι

f(x)22xf x e 1 2x

x 1

για κάθε x R . Να

βρεθεί ο τύπος της f .

2.166 Έστω συνάρτηση f : R R και ν N . Αν

ν 2 και ισχύει νf x f y x y , x,y R

τότε ναδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

2.167 Να βρείτε συνάρτηση f , παραγωγίσιμη

στο R , αν η εφαπτομένη στη γραφική της

παράσταση σε κάθε σημείο x, f(x) να έχει κλίση

x2xe f x και το 2A 1,e

να ανήκει στη

γραφική παράσταση της f

2.168 * Δίνεται η συνάρτηση f : 0, + R με

f xy f x f y για κάθε x, y 0, + και

f e e . Η f είναι παραγωγίσιμη στο ox 1 .

Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, +

και ότι f x e ln x , για κάθε x 0, + .

2.169 Έστωι η συνάρτηση f : R R , ώστε να

ισχύει ότι και 2f x y xy y f x για κάθε

x,y R , f 1 1 , f 2 2 . Δείξτε ότι η f είναι

παραγωγίσιμη στο R και να βρεθεί ο τύπος της

2.170 Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R με

f 0 2 και ισχύει 2xyf y x f y f x e , για

κάθε x,y R . Να αποδείξετε ότι:

Α) f x 0 για κάθε x R και f 0 1

Β) η f είναι παραγωγίσιμη στο R

Γ) ο τύπος της f είναι 2x 2xf x e

2.171 Έστω συνάρτηση f : 0, R ,

παραγωγίσιμη στο 1 με f 1 1 για την οποία

ισχύει 2 2f xy x f y y f x . για κάθε x,y 0 .

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι

παραγωγίσιμη για κάθε x 0

Β) Δείξτε ότι 2f x x ln(x) για κάθε x 0



ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ- ΑΚΡΟΤΑΤΑ 2.172 Μελετήστε τη μονοτονία των

συναρτήσεων Α) xf xln x

Β) f x x συνx, x [0,2π)

2.173 Nα μελετήσετε τη μονοτονία των

συναρτήσεων Α) x

2

e ex 1 x 0f x

x ln x x 0

Β) 2 xf(x) ln(1 x ) e 1

2.174 Να μελετήσετε τη μονοτονία της

συνάρτησης 2f x x x 1 στο 20,3

2.175 Nα βρεθεί ο α R , ώστε η συνάρτηση

2 xf x x αx 1 e , να είναι γνησίως αύξουσα

στο R .

2.176 Αν η συνάρτηση f : R R είναι

παραγωγίσιμη με f 0 0 και η f είναι γνησίως

φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

f(x)g xx

, x 0 , είναι γνησίως φθίνουσα.

2.177 Oι συναρτήσεις f και g είναι

παραγωγίσιμες στο R με f(0) g(0) και για κάθε

x R να ισχύουν f (x)g(x) f(x)g (x) και

g(x) 0 . Να αποδείξετε ότι: f(x) g(x) για κάθε

x [0, ) και f(x) g(x) για κάθε x ( ,0] .

2.178 * Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f

στο [0,+ ) ώστε 5 3f(x) 2 f(x) 3f(x)

2 3x xx 1 ln x 1 x 1

2 6. Να μελετηθεί η f

ως προς την μονοτονία της.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ -ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

2.179 Έστω η συνάρτηση ln(x 1)f xln x

, x 2

Α) να μελετήσετε τη μονοτονία της f

Β) να αποδείξετε ότι:

α) π π 2ln e 1 ln e 1 π .

β) 2ln x 1 ln x 1 ln x , x 2

2.180 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της

εξίσωσης 2ln(x 1) x x 6 0

2.181 Λύστε την εξίσωση 2xln(x 1) x 0x 2

2.182 Να λύσετε την εξίσωση x 1e 2x e 0

2.183 Για κάθε x 2 να αποδείξετε ότι

π πx 1 συν xσυν 1x 1 x

2.184 Δείξτε ότι 22ln(ημx) ημ x , x 0, π

2.185 Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία

ισχύει ότι f 1 x f 1 x για κάθε x R . Αν

ισχύει ότι f x 0 , x R , να λύσετε την

εξίσωση f x 0

2.186 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : R R για την οποία , ισχύουν f x 0 και

f x3 3 2f x ln f(x) e x x 2x 1 για κάθε

x R . Να λύσετε την εξίσωση 2f ln x f 1 x

2.187 Αν xg x συνx g x για κάθε x R ,

να αποδείξετε ότι ημxg(x)x



Σχ. Έτος 2016-2017

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2.188 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς

την μονοτονία και τα ακρότατα:

Α) 2f x x lnx Β) συνxf x 2 , 0 x 2π

Γ) 2nxf xx

Δ)

xef x2x

E) 2f x x 4 x

2.189 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς

την μονοτονία και τα ακρότατα:

Α) x, x 0

f x 1 , x 0x

B) x 11 e , x 1f x

ln(1-x), x 1

2.190 Δείξτε ότι η συνάρτηση 22 xf x x e e

έχει ακριβώς τρία τοπικά ακρότατα.

2.191 Να βρεθούν οι τιμές των α,β R ώστε η

συνάρτηση βf x α ln 2x αx

να έχει στη θέση

οx 1 τοπικό ακρότατο με τιμή 2 ln 2 .


f : R R με 2 2(f(x)) x 1 2xf(x) , x R .

Δείξτε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα.

2.193 Έστω η συνάρτηση 2f x x ln x . Να

βρείτε το σημείο της fC όπου η f έχει τη

μικρότερη κλίση.

2.194 Να βρείτε τις τιμές του λ R αν η

συνάρτηση 3 2f x x λ 1 x λ 5 x 2 δεν

έχει ακρότατα.

2.195 Έστω η συνάρτηση f : 0,1 R , η οποία

είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με f x 0 για

κάθε x 0,1 . Αν υπάρχουν 1 2x , x 0,1 με

1 2x x τέτοια, ώστε 1 2f x f x 0 να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0,1 με 3f ξ 0 .

2.196 Να βρεθεί ο κ R ώστε η μέγιστη τιμή

της συνάρτησης 2κ xf x xe να είναι το e .

2.197 Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη

συνάρτηση f στο [α,β]. Αν υπάρχουν

1 2x ,x (α,β) τέτοιοι ώστε 1 2f(α),f(β) f(x ), f(x ) ,

αποδείξετε ότι υπάρχει 1 2ξ (ξ ,ξ ) ώστε f (ξ) 0 .

2.198 Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R οι

οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν:

f x x 1 και g(x) xf x e e x για κάθε x R .

Αν η fC διέρχεται από το σημείο A 0,1 , να

αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των fC και gC στο

ox 0 τέμνονται κάθετα

2.199 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των

σημείων 0 0(x , f(x )) , όπου ox η θέση του τοπικού

ακροτάτου της f(x) x ln x λx , λ R όταν το λ

διατρέχει το R

2.200 Εστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο

0,3 με f (x) 0 και f(1) 1 , f(2) 1 . Αν

2f(x)g(x)

1 f (x)

, 0 x 3 , βρείτε τα διαστήματα

μονοτονίας και το σύνολο τιμών της g

2.201 Μία συνάρτηση f είναι τρεις φορές

παραγωγίσιμη στο R . Αν υπάρχει α R ώστε

f(α) f (α) f (α) 0 και f (x) 0 για κάθε x ,

τότε να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f (x) 0 ,

f (x) 0 και f(x) 0 έχουν μοναδική ρίζα.

2.202 **Αν 2x 4x f x f x 0 , x 0, 4

να αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε x 0, 4 .



ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2.203 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση συνx 2 x

έχει στο 0,π ακριβώς μια λύση


R και ισχύει 3f x f x συνx , x 0,π . Να

δείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μοναδική ρίζα

στο 0,π

2.205 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της

εξίσωσης 22 ln x λx 1 για κάθε λ 0

2.206 Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών

ριζών της εξίσωσης 28x x α x 1 0 όταν το

α R

2.207 Να αποδείξετε ότι για κάθε α R η

εξίσωση 3 2x αx 4x α 0 έχει τρεις ρίζες

2.208 Αποδείξτε ότι για κάθε α 0 η εξίσωση

x 22αe 2 2x x έχει μοναδική ρίζα στο R

2.209 ** Αν 2f x x 1 ln(x) , να λύσετε τις

εξισώσεις: Α) 2f ln(x 1) f 6 x x 0

Β) 17 3 2008f x f x f x f x

2.210 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

x 1 ln x x 1 έχει δύο ακριβώς ρίζες, οι

οποίες είναι αντίστροφοι αριθμοί.

2.211 *Να βρείτε, για κάθε α 0 , το πλήθος των

θετικών ριζών της εξίσωσης 2 3x α α x


f : R R με f x 0 για κάθε x R . Βρείτε το

πλήθος των ριζών της εξίσωσης xf e f x α

ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

2.213 Έστω μια συνάρτηση f : R R για την

οποία ισχύει ότι f x 2f x και f 0 1 . Να

αποδείξετε ότι 2xf x e για κάθε x 0 .

2.214 Αν η συνάρτηση f : R R είναι

παραγωγίσιμη με f 0 0 και f x f x 0 για

κάθε x R , δείξτε ότι xf x 0 για κάθε x 0

2.215 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f ,

που είναι συνεχής στο 0,1 , παραγωγίσιμη στο

0,1 και ισχύει f x f 1 f 0 για κάθε

x 0,1

2.216 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R ,

για την οποία ισχύουν: f 0 1 και

2xe f x 1 0 , για κάθε x R .Βρείτε την εξίσωση

της εφαπτομένης της fC στο σημείο A(0,1)

2.217 Αν ισχύει x 2e κx για κάθε x 0 , κ R

να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του κ R

2.218 Αν ισχύει ότι αln x αx

, x 0 ,να

βρείτε το α

2.219 Αν α,β 0 και ισχύει ln x x 1

x xα β 2

για

κάθε x 0 , να αποδείξετε ότι α β 1 .

2.220 ¨Εστω η συνάρτηση x αf x α x , x>0 ,

λ>0 με f x 0 , x 0 . Να δείξετε ότι α e

και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο e, .

2.221 Έστω f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R

με f 0 f 0 0 και f x 2x για κάθε x R .

Δείξτε ότι 1f 13


Σχ. Έτος 2016-2017

2.222 Έστω η συνάρτηση f : R R , δύο φορές

παραγωγίσιμη με f x f x , x R που

παρουσιάζει για ox 0 τοπικό ακρότατο το

f 0 0 . Να δείξετε ότι: x f x f x 0

2.223 Έστω η συνάρτηση xxf x 1 λe

, λ R

Α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την

οποία ισχύει f x 0 για κάθε x R .

Β) Αν 1λ 1e

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

xx 1g x 1 λ xe

είναι γνησίως φθίνουσα.

2.224 Έστω συνάρτηση λf(x) x ln x , λ 0

Α) Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ για

την οποία ισχύει ότι λx ln x για κάθε x 0

Β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

το ελάχιστο της f παίρνει τη μέγιστη τιμή του.

2.225 Έστω συνάρτηση f δυο φορές

παραγωγίσιμη στο R με f 0 2 , f 0 0 , και

f x x 0 για κάθε x R , δείξτε ότι

3xf x 2 1

12

για κάθε x R

2.226 Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και δύο

φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε x R

ισχύει: 2 2f (3x 1) 4 4·f(2x x 1) . Να


A Υπάρχει ξ (1, 4) τέτοιο ώστε: f (ξ) 0

B Η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται

Γ f (1) f (4)

Δ Η εξίσωση f (x) 0 έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο R

2.227

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

2.228 Δείξτε ότι εφx x , πx 0, 2 .

2.229 Δείξτε ότι 36ημx 6x x για κάθε x 0

2.230 A) Μελετήστε ως προς την μονοτονία και

τα ακρότατα τη συνάρτηση x

vef(x) , ν N *x

B) Να δείξετε ότι v

x exev

, x (0, )

2.231 Α) να αποδείξετε ότι π ee π

Β) Να δειχθεί ότι: π

1821 1821π 1π

2.232 Α) Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η

συνάρτηση 3 2f x 2x 2x x lnx , x 0

Β) Αν α,β,γ 0, με α β γ 1 , δείξτε

ότι 3 3 3 2 2 22 α β γ 3 2 α β γ α β γ

2.233 Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με

2 xf x ln 1 x e είναι γνησίως αυξουσα

2.234 ** Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2 xf(x) ln(1 x ) e 1 είναι γνήσια αύξουσα

στο R και λύστε την εξίσωση 2f ln x f 1 x

2.235 Να αποδείξετε ότι από το σημείο A(1,1)

άγονται ακριβώς δύο εφαπτόμενες προς τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης xf(x) e

2.236 Για κάθε α 0 , β 0 με α β να δείξετε

ότι α β βαln ln α lnβ2 α β α β

2.237 Δείξτε ότι x x 1x e , x 1,



ΚΥΡΤΕΣ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

2.238 Να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς τα

κοίλα και τα σημεία καμπής.

Α) 2 8h(x) xx

Β) 5 3g(x) 3x 5x

Γ). 2g(x) ln x x 1 Δ) xf(x) xe

2.239 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση

της xx ln e x , x IR f έχει ακριβώς δύο

σημεία καμπής

2.240 Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση

2 2g x ln x 2x ln x x 3 είναι κυρτή

2.241 Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση

5 4 3 2f x x 5αx 10βx x , x R , α,β R έχει

τρία σημεία καμπής, να αποδείξετε ότι 2α β .

2.242 Δίνεται η συνάρτηση f : 0, R για

την οποία ισχύουν f x x και xf xx f(x)

για κάθε x 0 . Nα αποδείξετε ότι η f είναι

κυρτή στο 0, .

2.243 Δίνεται ότι η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f x α x βln x βx με α,β R ,

έχει σημείο καμπής το A 1,3

Α) Να αποδείξετε ότι α 4 και β 1 :

Β) Βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο

καμπής της και να αποδείξετε ότι

4 x ln x x 3 , x 1 .

2.244 Έστω η συνάρτηση f : R R με την

ιδιότητα f(x)2(x x 1)f (x) xe 0 για κάθε xR

Να αποδειχθεί ότι η fC έχει ακριβώς ένα σημείο

καμπής.

2.245 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη στο R . Να αποδείξετε ότι δεν

είναι δυνατόν η f να έχει στο ox τοπικό

ακρότατο και σημείο καμπής.

2.246 Nα δείξετε ότι για κάθε α IR η γραφική

παράσταση της συνάρτησης

4 3 2 2f x 2x 4αx 3 2α 4α 5 x αx 1 με

x R , δεν έχει σημεία καμπής.

2.247 Έστω συνάρτηση f : 0,1 R η οποία

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει ότι

2f x x 4 f x x 0 για κάθε x 0,1 . Να

αποδείξετε ότι η fC δεν έχει σημεία καμπής

2.248 Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη

παράγωγο και xf (x) ημ2x 0 , x R . Να

δείξετε ότι το A(0, f(0)) δεν μπορεί να είναι

σημείο καμπής της fC

2.249 Έστω συνάρτηση f δύο φορές

παραγωγίσιμη στο R με f στο R f x 0 ,

x R , f 1 0 και η συνάρτηση

g x f x f 2 x , x R . Να βρείτε τις ρίζες

και το πρόσημο της g , τα διαστήματα που η g

είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της gC

2.250 Έστω συνάρτηση f : [0, ) R η οποία

είναι κυρτή με f(0) 0 . Δείξτε ότι η συνάρτηση

f(x)g(x)x

είναι γνήσια αύξουσα στο (0, ) .

2.251 Αν λx 22

2f(x) 2e x , λ 0.λ

Να βρείτε

τον γεωμετρικό τόπο των σημείων καμπής της

γραφικής παράστασης της f , για κάθε λ (0, )


Σχ. Έτος 2016-2017

2.252 Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές

παραγωγίσμη στο R και ισχύει f(x) 2 xf(x) e 1 x x e για κάθε x R . Να

δείξετε ότι η γραφική της παράσταση

Α) δεν έχει σημεία καμπής

Β) έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 2.253 Α) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη και κυρτή σε διάστημα Δ . Να

δείξετε ότι για κάθε 1 2x ,x Δ ισχύει

1 21 2 f x f xx xf2 2

(Jensen)

B) Να αποδείξετε ότι: α β

βα2e 1 e 1 e 1

α β R

Γ) Δείξτε ότι α βln ln α lnβ2

, fα,β Α

2.254 Αν x 0 , y 0 , α 1 και x y 1 , να

αποδείξετε ότι ισχύει αα α

α 11 1 5x yx y 2


παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ότι f x f x

και f 0 f 0 0 . Να αποδείξετε ότι η f είναι

κυρτή στο R


παραγωγίσιμη και κυρτή στο R και η γραφική

παράσταση της f περνά από την αρχή των

αξόνων, να αποδείξετε ότι για κάθε x R ισχύει

ότι 3x3f x 4f4


1, με f γνήσια αύξουσα και f 1 0 Δείξτε

ότι f x x 1 f x για κάθε x 1, .


1, με παράγωγο γνήσια αύξουσα και

f 1 1 Να αποδείξετε ότι

f x x 1 f x 1 0 για κάθε x 1, .

2.259 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση

f : R R ώστε f x 0 και f x 0 για κάθε

x R

2.260 Έστω η συνάρτηση f : R R με

x 1

x 1ef(x)

e 1

για x R .

Α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη

μονοτονία, τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

Β) Να δειχθεί ότι για κάθε x 1 ισχύει

f(ln x) f (x 1) f(x 1) f (ln x)



f 1 0 Να αποδείξετε ότι f x x 1 f x για

κάθε x 1, .

2.262 Αν οι α,β, γ R με α β γ , είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι

γβ αβ α γ



f 1 1 Να αποδείξετε ότι

f x x 1 f x 1 0 για κάθε x 1, .

2.264 Έστω η συνάρτηση x 2f x e x x 1

Α) Να αποδείξετε ότι η fC δέχεται οριζόντια

εφαπτομένη σε ένα μόνο σημείο της.

Β) Να λύσετε την εξίσωση x 2e x x 1 .

Γ) Να αποδείξετε ότι xe 1 x 1 x , x R



ΚΑΝΟΝΕΣ DE L΄ HOSPITAL

2.265 Να βρεθούν τα παρακάτω όρια

Α) xlim (x ln x)

Β) x 1lim lnx ln(lnx)

Γ) 1x

xlim x e 1

Δ)

1x

xlim x

2.266 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

Α) xx 0

ημx xσυνxlimx e 1 ημx

Β)

x

x 1lim xlnx 1

Γ) x

x 3limx 2

Δ) x

xx

e 2x 1lim4e x 3

2.267 Αποδείξτε ότι είναι συνεχής η συνάρτηση

x ln x , 0 x 1

f x 1 x-1 , x=1

και ότι f 1 0, 5 .

2.268 Nα υπολογιστεί τo 2x 0

1 1lim x ημημx x

2.269 Nα υπολογίσετε τα

1x

x 0

elimx

και 1x 0

x

xlim

e

2.270 Να υπολογίσετε το

3 2

6 4x 0

1 συν x ln xlim

x ln x


x

xx

e 2x 1lim4e x 3

2.272 Υπολογίστε το

x x

x xx

3x ln x e elim

x ln x e e

2.273 Nα βρείτε τo

x

ln x ln xlim

2 ln x

ln x

2.274 Να υπολογίσετε το x 0

2x ημxlim1 συνx

2.275 Αποδείξτε ότι

4 x

2x 0

x e x 1lim 18

sinx x

2.276 Αν x 2

22e 2x 2 xf x

x

να υπολογίσετε

το

f x

f xx 0

elime

2.277 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R R

για την οποία ισχύει ημx xxf x e f x ημx e

για κάθε x R . Να βρείτε το f 0 .

2.278 Έστω f : R R , συνεχής συνάρτηση, για

την οποία ισχύει 1 συνx f x ln 1 x x για

κάθε x 1 . Να βρείτε το f 0 .Η συνάρτηση f

έχει συνεχή 2η παράγωγο στο R με 3f 02

και

f 0 f 0 0 . Να δείξετε ότι: x 0

f(x) f( x)lim 31 συνx

2.279 Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο φορές

παραγωγίσιμη στο R . Αν για κάθε x R ισχύει

2h 0

f(x 4h) 2f(x 2h) f(x)lim 24x 8h

και η

εφαπτομένη της fC στο σημείο M 1, f(1) έχει

εξίσωση y 5x 8 , να βρείτε τον τύπο της f

2.280 Αν 1x

xln x αx β, x 0f x 1 , x=0

e ln( x) α , x 0

να βρείτε

τα α,β R ώστε η f να είναι συνεχής στο ox 0

2.281 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί

α,β,γ ώστε x x

2x 0

αe βe γlim 1x


Σχ. Έτος 2016-2017

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

2.282 Nα βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων

x

3eh(x)x

, ln xf(x)x 1

, 21

xk x xe

xλ x x ln e 1

2.283 Έστω οι συναρτήσεις f,g : 0, R με

g x f x x ln x 1 ln x για κάθε x 0 . Αν

η ευθεία y x 3 είναι ασύμπτωτη της fC στο

, να βρείτε την ασύμπτωτη της gC στο .

2.284 Nα αποδείξετε ότι η y 2x 2 ln 2 είναι

ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

xf x 2 ln e 1 2 ln 2

2.285 Έστω η συνάρτηση f : R R και η g με

xg x xf e . Αν η ευθεία y 2x 1 εφάπτεται

της fC στο 0 , να βρείτε την ασύμπτωτη της gC

στο .

2.286 Έστω συνάρτηση f : R R , τέτοια ώστε

x

1lim f x ημ 1x

και 2

x

xf x xlim 2

ln x x

.

Αποδείξτε ότι η y x 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη

της γραφικής παράστασης της f στο

2.287 Να βρείτε τα α,β, γ R ώστε η γραφική

παράσταση της f με 2(α 1)x βx 5f(x)

3x γ

να

έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες x 2 και y 3 .

2.288 Δίνεται ότι η συνάρτηση f με τύπο

21f(x)

x αx β

έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες

τις ευθείες x 3 και x=5

A) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β .

B) Να αποδειχτεί ότι η ευθεία y 0 είναι

οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο +.

2.289 Έστω συνάρτηση f : 0, R για την

οποία ισχύει xe xf(x) 1 για κάθε x 0 . Να

αποδείξετε ότι ο άξονας x x είναι ασύμπτωτη της

fC .

2.290 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση

της συνάρτησης f(x) ημxln x, x 0 δεν έχει

ασύμπτωτες.

2.291 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f έχει ασύμπτωτη στο την ευθεία y 2x 3 .

Bρείτε το 2 x

x 2 2

f(x) ημx x elim 1xf(x) 2x ln x x ημx

.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.292 Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις Α) 3f(x) x 12x Β) x 1f(x)x 1

Γ) f(x) ημx x , x [ π, π] Δ) ln xf xx

Ε) ln x, x 1

f x1 x, x 1

Στ) 2

2xf xx 1

2.293 Να κάνετε μελέτη της συνάρτησης 2x μ1

2 σ1f x eσ 2π

και να σχεδιάσετε τη γραφική της

παράσταση (για λόγους απλότητας θεωρείστε σ 1 και μ 0 )



ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

2.294 Αν Μ το σημείο του διαγράμματος της f με f x xln x λx 3 που αντιστοιχεί στο τοπικό της

ελάχιστο, να βρεθεί η απόσταση OM όταν ο ρυθμός μεταβολής του OM ως προς λ γίνει μηδέν.

2.295 Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με οΑ 90 , για το

οποίο ισχύουν τα εξής. Η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες 4,0 , η κορυφή A είναι στο διάστημα [0, 4] του

άξονα x΄x και η κορυφή B είναι σημείο της παραβολής 2y 4x x . Για ποια τιμή των συντεταγμένων του

B το εμβαδό του τριγώνου ABΓ γίνεται μέγιστο ;

2.296 Μια εταιρεία αυτοκινήτων εκτιμά ότι μπορεί να πουλήσει 2000 αυτοκίνητα τον μήνα, αν η τιμή

πώληση του κάθε αυτοκινήτου είναι 5000 € . 'Εχει επίσης υπολογίσει ότι για κάθε μείωση της τιμής κατά 500

€ το ένα, οι πωλήσεις αυξάνονται κατά 1000 αυτοκίνητα τον μήνα. Η αύξηση των πωλήσεων λόγω μείωσης

της τιμής είναι ανάλογη της μείωσης αυτής. Αν η τιμή ενός αυτοκινήτου δεν μπορεί να είναι μικρότερη από

2000 € . Πόσα αυτοκίνητα πρέπει να πουλήσει η εταιρεία, ώστε να έχει τα μέγιστα έσοδα;

2.297 Ένα τουριστικό γραφείο οργανώνει εκδρομές με λεωφορεία. Κάθε λεωφορείο έχει 70 θέσεις.

Ορίζεται οτι για να γίνει η εκδρομή χρειάζονται τουλάχιστον 30 συμμετοχές και τότε η τιμή ορίζεται στα

30 € για κάθε άτομο. Για να αυξήσει τις συμμετοχές το γραφείο κάνει της εξής προσφορά. «Για κάθε επιβάτη

επιπλέον των 30 , θα μειώνει κατά 30 λεπτά την χρέωση κάθε επιβάτη».

Α) Ποιο το πλήθος των επιπλέον επιβατών κάθε λεωφορείου που μεγιστοποιεί τα έσοδα;

Β) Ποια το μέγιστα έσοδα του γραφείου απο κάθε λεωφορείο;

2.298 Ενα φορτηγό διανύει καθημερινά 100 km με σταθερή ταχύτητα x km/h . Τα καύσιμα κοστίζουν

0,8 € το λίτρο και καταναλώνονται με ρυθμό 2x2

400 lt/h. Τα υπόλοιπα έξοδα του φορτηγού είναι 9 €/ώρα

Α) να εκφράσετε το κόστος της διαδρομής αυτής ως συνάρτηση της ταχύτητας x ,

Β) να βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχει το φορτηγό , ώστε τα έξοδά του να είναι τα ελάχιστα,

Γ) πόσα είναι τα ελάχιστα αυτά έξοδα;

2.299 Η συνάρτηση που μας δίνει το κέρδος μιας επιχείρησης είναι: 2(t 1)P(t)

(t 1)

n , t 0 . Να βρείτε:

A) την χρονική στιγμή, κατά την οποία η επιχείρηση θα παρουσιάσει μέγιστο κέρδος.

B) το μέγιστο κέρδος της επιχείρησης.

2.300 Δίνεται η ευθεία y 2x 3 . Να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίο απέχει από το σημείο

A 9,4 τη μικρότερη δυνατή απόσταση.

2.301 Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 82 . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενό

τους.


Σχ. Έτος 2016-2017

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.302 Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x αx βx 12x , όπου α,β R , η οποία παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο

στο ox 2 και η εφαπτόμενη της στο σημείο A 1,f(1) διέρχεται από το 3, 5 .

A) Να βρείτε τις τιμές των α,β R και το σύνολο τιμών της f .

Β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f x 0 .

Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f x 2004 έχει μόνο μία λύση.

Δ) Να βρεθούν τα κx

f(x)limx

, κx

f(x)lim , κ Zx

2.303 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν :

f(-1)=0

f x =3f x -2x+1 για κάθε πραγματικό αριθμό x

Α Δείξτε ότι x+13f x =3e -2x-5 , x R

Β . Δείξτε ότι η f ΄ αντιστρέφεται και να ορίσετε την (f ΄)-1 .

Γ . Να λυθεί η εξίσωση : 2x 2f e 1 =f x 2 στο R

Δ . Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση -1(f ) (x) + 1 = n(αx) έχει ακριβώς μια ρίζα;

2.304 Έστω η συνάρτηση αf(x) ln x αx

με x 0 . Αν για κάθε x 0 είναι f(x) 0 τότε

Α) να αποδείξετε ότι α= 1 , Β) να λύσετε την εξίσωση x x 1x e , x 0

Γ) να λύσετε την ανίσωση 2 22 21 1ln 2x 2 ln x 3

x 3 2x 2

2.305 Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει x f(x) 2ln x f(x)f x e e για κάθε x 0, και

f 0 0 . Να αποδείξετε ότι:

Α) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατο σε κανένα σημείο του διαστήματος 0, .

Β) Το θεώρημα του Rolle δεν εφαρμόζεται σε κανένα διάστημα της μορφής o0, x .

Γ) Ο τύπος της συνάρτησης f είναι x 33e xf x ln3

για κάθε x 0,

Δ) Η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες.

Ε) Η ευθεία (ε) : 3e 1y x 13e 3

είναι κάθετη στην εφαπτομένη της fC στο ox 1



2.306 Δίνεται η συνάρτηση f(x) x λ ln x , λ R

Α) Να βρείτε τα ακρότατα της f Β) Να αποδείξετε ότι xln xe

για κάθε x 0

Γ) Να αποδείξετε ότι x 0lim f(x)

και

xlim f(x)

Δ) Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ R το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ xxe e

2.307 Δίνεται η συνάρτηση x xf(x) ln 1α α

με α>0

Α) Να βρείτε το πρόσημο της f . Β) Να λύσετε την εξίσωση xαxe e

α για κάθε α>0

Γ) Αν ισχύει ότι βxxln βα α

για κάθε x 0 , να αποδείξετε ότι β=1 .

2.308 *Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο R , που ικανοποιεί τις σχέσεις f xf x e x 1 , x R

και f 0 0

Α. Να εκφράσετε την f συναρτήσει της f και να δείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R

Β. Να αποδείξετε ότι x f(x) xf΄(x) x2 , για κάθε x 0 .

Γ. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .

2.309 * Έστω συνάρτηση g : 0, R παραγωγίσιμη στο 0, με , g 1 2 λ , g 1 8 ,

2g x λx 4x

και 1g x 4 6x4x

για κάθε x 0

Α) Να βρείτε τον αριθμό λ

Β) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της gC στο και να υπολογίσετε το 2x

g x ημx 4lim

xg x 6x ln x

2.310 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο , 4 για την οποία ισχύουν:

f xe 3f ' x f x για κάθε x 4 , f ' x 0 για κάθε x 4 και f 1 0 , f 1 1

Α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο , 4 , να βρείτε το πρόσημο της f και να

αποδείξετε ότι η fC τέμνει τον x 'x σε ένα μόνο σημείο.

Β) Να δείξετε ότι 23f '' x f ' x και ότι η fC στρέφει τα κοίλα άνω στο , 4

Γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ox 0,1 ώστε 0 0 0f x x f ' x (3)

Δ) Να βρείτε τον τύπο της f για x 4

Ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x κ έχει μοναδική λύση στο , 4 για κάθε κ R

Στ) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της f .

Ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f .


Σχ. Έτος 2016-2017

2.311 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f x 0 για κάθε x R .

Α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g x f x

Β) Αν επιπλέον είναι 0 f x 1 για κάθε x R και f 1 e , f 1 1 τότε:

α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g x ln f(x)

Β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x ln f(x)

στο σημείο της με τετμημένη 0x 1

2.312 Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο IR .

Αν ισχύει ότι 2 3h 0

2f(x 3h) 5f(x) 3f(x 2h) 60limh x

και 2

xlim f x 4x 9 2004

, να δείξετε ότι

Α) 34f (x)

x

Β) η ευθεία y 2x 2004 είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC στο

Γ) 2f x 2x 2004x

για κάθε x 0,

2.313 ** Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία γνωρίζουμε ότι: f(0) 0 και 21f (x)

3f (x) 1

για

κάθε x R .

Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3h(x) f (x) f(x) x , x IR είναι σταθερή.

Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο 0,

Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο ox 0

Δ) Να αποδείξετε ότι 3x

f(x)lim 0x

2.314 **H συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει ότι f f (x) f x 0 για

κάθε x 0 . Να αποδείξετε ότι:

Α) η f είναι 1 1 Β) f f (x) x για κάθε x 0 Γ) αν f 1 1 τότε f x ln x .

2.315 Έστω f συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο α,β ) με f α α , f β β

Α) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε f ξ 1

Β) Να δείξετε ότι υπάρχουν 1 2ξ ,ξ α,β με 1 2ξ ξ τέτοια ώστε 1 22f ξ f ξ 3

Γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ox α,β τέτοιο ώστε o2α βf x

3

.

Δ) Αν f x 0 για κάθε x α,β τότε υπάρχουν 1 2x , x α,β με 1 2x x τέτοια ώστε

1 2

1 2 3f '(x ) f '(x )



2.316 * Έστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο , και κυρτή στο

, . Αν f f να αποδείξετε ότι:

Α) υπάρχει 0x , τέτοιο ώστε: 0f( ) f( )f(x )

2

.

Β) υπάρχουν 1x , και 2x , με 1 2x x τέτοια ώστε: 1 2

1 1 2f x f x f( ) f( )

Γ) το ox του (Α) ερωτήματος βρίσκεται πλησιέστερα στο απ’ ότι στο .

2.317 Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο 1,e με f 1 2 , f e e 1 και σύνολο

τιμών το 1,4 . Να αποδείξετε ότι :

Αα) Υπάρχουν 1 2x ,x 1,e με 1 2x x ώστε 1 2f x f x 0

β) Υπάρχει 1,e ώστε f 0

γ) Υπάρχει x 1,e ώστε 4o o o of x f (x ) 4f (x ) x

Βα) Η ευθεία y x e 2 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με

τετμημένη στο 1,e

β) Υπάρχουν 1 2, 1,e με 1 2 ώστε να ισχύει ότι 1 2f f 1

2.318 Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε x R ισχύει: 2 2f (3x 1) 4 4·f(2x x 1) . Να αποδείξετε τα εξής:

A Υπάρχει ένα τουλάχιστον (1,4) τέτοιο ώστε: f ( ) 0

B Η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται

Γ f (1) f (4)

Δ Η εξίσωση f (x) 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R

2.319 Ένα σώμα κινείται στον άξονα x x και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση 3 2x t t 6t 9t 4

όπου t είναι ο χρόνος σε sec . Να βρείτε:

A) που βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση κινείται το σώμα τη χρονική στιγμή ot 0

Γ) ποιες χρονικές στιγμές το σώμα αλλάζει κατεύθυνση,

Δ) πόσες φορές αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης

Ε) ποια χρονική στιγμή δεν επιταχύνεται το σώμα.

2.320 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, , για την οποία ισχύουν :

• Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,

• f 2 2

• h 0

f 2 2016h f 2 2015hlim 0

h


Σχ. Έτος 2016-2017

2.321 Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μίας παραγώγου f της συνάρτησης f η οποία

είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο [0,3] . Ισχύουν ακόμα:

31 2f 0 0 , E 3

2

Α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f και τα ακρότατα

Β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής

Γ. Να υπολογίσετε το x 0

f xlim

x

B4. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο , f της fC με 1,2 στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται

από την αρχή των αξόνων.

Τα επόμενα θέματα είναι από ΔΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (Οι πηγές αναφέρονται, όπου υπάρχουν)

2.322 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με 2x ln x, x 0f x

, x 0

Α. Να αποδείξετε ότι 0

Β. i) Να βρείτε την παράγωγο της f .

ii) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να εξετάσετε αν παρουσιάζει καμπή.

Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 1 ισχύει : 2f(x 1) f(x) 1 ln xx

.

Ε. Να υπολογίσετε το όριο : 2 2x

f(x 1) f(x)lim x(x 1) x

Στ. Να αποδείξετε ότι ( )2f 1 h f 2h(1 ) , όπου h 0 . Νικολόπουλος

2.323 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:

2 6f x x για κάθε x και f 2 0 f 2

Α. Να αποδείξετε ότι 3f x x ,x

Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση 1f

Γ. Να αποδείξετε ότι:

α) η εφαπτομένη της fC στο σημείο , f με 0 έχει με τη fC και άλλο κοινό σημείο, το Ν.

β) η κλίση της fC στο σημείο Ν είναι τετραπλάσια της κλίσης της fC στο Μ

Δ. Ένα σημείο x, y με x 0 κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3f x x και έστω

Α η προβολή του Σ στον άξονα x’x. Το σημείο A απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) με ρυθμό

cm1 s . Τη χρονική στιγμή 0t που η τετμημένη του Σ είναι 2 να βρείτε το ρυθμό μεταβολής.

α) της απόστασης ΑΣ

β) της γωνίας ΣΟΑ Λεόντιος



2.324 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με 2x ln x , x> 0f x , x=0

Α. Να αποδείξετε ότι α =0

Β. Να βρείτε την παράγωγο της f

Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 1 ισχύει : 2f x 1 f x1 ln x

x

Ε. Να υπολογίσετε το όριο

2 2x

f x 1 f xlim 3x

xx 1

Κολλέγιο Αθηνών

2.325 Θεωρούμε επίσης της συνάρτηση G : 2, που είναι μία παράγουσα της συνάρτησης

f x 2g x , x>2

x 2

Να αποδείξετε ότι :

Α. f 2 0 καθώς επίσης ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x 2

Β. Η συνάρτηση G είναι γνησίως αύξουσα στο 2,

Γ. Να λύσετε την εξίσωση x x x xG 3 2 G 2 2 G e 2 G 2016 2

Δ. Η συνάρτηση G είναι κυρτή

Ε. Υπάρχει 3,4 τέτοιο ώστε 2 22 11 14 G 7 12 2 f

Κολλέγιο Αθηνών

2.326 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 2x f x 3 x x , για κάθε x

Α. Να δείξετε ότι 3 xx , αν x 0

f x x3 , αν x=0

.

B. Να υπολογίσετε το xlim f x

Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση xf x e έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα . Αρσάκειο

2.327 Δίνεται η συνάρτηση 22xf x

x 1

, x

Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία

διέρχεται από το σημείο 1,0

Β. Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει : g x 3x 2 f x για κάθε x

α. Aποδείξτε ότι η ευθεία y 3x 2 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο

β. Να υπολογίσετε τα όρια :

g x g x

g x g x 1x x 2

2g x x3 5lim lim14 3 xg x x 3x

Αρσάκειο


Σχ. Έτος 2016-2017

2.328 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xx 1f(x)

e x

.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία 1 1x ,f(x ) , 2 2x ,f(x ) με 1 2x 1 x , στα

οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλες στον x x .

Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο , f( ) στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f΄ είναι παράλληλη στον άξονα x x .

Δ. Να βρείτε τα όρια : 1 3x

f(x)L limf (x)

, 2 x ln xx

x x xL lime e

Νικολόπουλος

2.329 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR για την οποία ισχύει : f xe f x x 1 για κάθε

x IR και έχει σύνολο τιμών το R .

Α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να ορίσετε την 1f

Β. Να δείξετε ότι f 0 0 και να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

της M 0,f(0)

Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και να δείξετε ότι 2f x x , για κάθε x IR

Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός 0,2 , ώστε 1 ef

2

Ε) Να βρείτε τα κοινά σημεία των f και 1f και να αποδείξετε ότι το γινόμενο των συντελεστών

διεύθυνσης των εφαπτομένων στις γραφικές παραστάσεις των f και 1f στα σημεία τους με τετμημένες x

και f x αντίστοιχα , ισούται με ένα Νικολόπουλος

2.330 Δίνονται οι συναρτήσεις 2x αx β, x 2

f x4 x 2 2, -2 x 2

και g x ln x κ , όπου η f είναι

παραγωγίσιμη στο 0x 2 και πραγματικός αριθμός

Α. Να αποδείξετε ότι α 3 και β 8

Β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού κ ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f

στο 2,f 2 να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της g

Γ Nα βρείτε –εφόσον υπάρχει - την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που

διέρχεται από το σημείο 0,7 και έχει αρνητική κλίση.



2.331 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : 0, R των οποίων οι γραφικές παραστάσεις

έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία y x 1 στο κοινό τους σημείο με τετμημένο 0x 0 . Δίνεται επιπλέον

ότι:

Για κάθε x 0, είναι g x 0 , g x 0 και xf x g x e x 1

Η g είναι συνεχής στο 0,

Α Να αποδείξετε ότι f 0 g 0 f 0 g 0 1

Β Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0, ισχύει ότι g x 0 και g x 1

Γ Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0, ισχύει ότι xe x 1 και f x 1

Δ Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο 0, και ισχύει f x x 1 για κάθε x 0,

Ε Να υπολογίσετε το x

2x 0

f x elim

x

2.332 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει

2t 0lim f 1 t 1

και t 0

f 1 2t f 1lim 4

t

Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 1,f 1 έχει εξίσωση

ε : y 2x 1

Β. Έστω d MΣ όπου Μ σημείο που κινείται στην εφαπτομένη ε και Σ(0,1).

Να αποδείξετε ότι καθώς το Μ διέρχεται από το σημείο Α, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ ως

προς t είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της απόστασης d.

Γ. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : για την οποία ισχύει

2g f x x g 2x 5x ln x 6 για κάθε x 0

Γα) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο B 2,g 2 σχηματίζει

με τους άξονες x΄x και y΄y ισοσκελές τρίγωνο

Γβ) Να βρείτε το x 2

f x 1 xg x 7lim

x 2

2.333 Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο A 0,1 1, για την οποία ισχύει ότι 2xf x

ln x για

κάθε x 0,1 1,

Α) Αν η f είναι συνεχής στο Α, να υπολογίσετε το f 0

Β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f

Γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x ln x , R είναι ισοδύναμη με την f x για κάθε

x 0,1 1, και να βρείτε την τιμή του για την οποία η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις.

Δ) Να αποδείξετε ότι 37f 125 61f 27 98f 64

Γ Λυκείου


2016 - 2017


ανάλ

υση

Ολοκληρώματα &

Γενικές Ασκήσεις 222

Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & οικονομίας και πληροφορικής

Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 16.07

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση

αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 2016

Γ Λυκείου – Μαθηματικά Προσανατολισμού 63

Σχ. Έτος 2016-17

3 ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.01 Μια συνάρτηση f : R R με f 2 e 2

έχει την ιδιότητα xf 2x e x για κάθε x R .

Να αποδείξετε ότι f 1 0 .

3.02 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R R

και F μια αρχική της f στο R . Αν f 1 1 και

f x F 2 x 1 για κάθε x R , τότε

Να βρείτε τον τύπο της f

3.03 * Έστω F μια αρχική της συνεχούς

συνάρτησης f : R R , με την ιδιότητα:

2F x F x F α x για κάθε x R , όπου α 0 .

Να αποδειχθεί ότι: Α) F 0 F α ,

Β) η εξίσωση f x 0 έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο R .

3.04 Bρείτε συνάρτηση f : R R αν ισχύει

2xf x f x e συνx , x R και f 0 0

3.05 Έστω f : R R συνεχής συνάρτηση και F

μια παράγουσά της στο R . Αν F x 0 , x R

και F x F 2 x , x R , να λύσετε την

εξίσωση f x 0

3.06 Nα βρείτε τις αρχικές συναρτήσεις της

συνάρτησης f x 2 x 1 με x R

3.07 Να βρείτε μια αρχική της συνάρτησης

x

ln x e , x 1f x

e , x 1

3.08 Αν η συνάρτηση f με την ιδιότητα

f x y f x f y , x, y R έχει αρχική, τότε

αυτή είναι της μορφής f x cx x R

3.09 Στη δεκαετία του 1980 ο παγκόσμιος

ρυθμός κατανάλωσης πετρελαίου σε εκατομμύρια

βαρέλια ετησίως δινόταν από τον τύπο

R(t) = ke(ln2)t, όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά

το 1980. Στις αρχές του 1980 ο ρυθμός ήταν 14

εκατ. βαρέλια τον χρόνο. Να βρείτε:

Α) την παγκόσμια κατανάλωση πετρελαίου t

χρόνια μετά το 1980,

Β) σε πόσα εκατομμύρια βαρέλια ανερχόταν

η παγκόσμια κατανάλωση πετρελαίου κατά τη

περίοδο 1980-1990. ( ln2 ≈ 0,7)

3.10 Μια εταιρεία έχει διαπιστώσει ότι το

οριακό κόστος λειτουργίας της είναι 20,015x 2x 80 δολάρια την ημέρα, όπου x

είναι ο αριθμός των μονάδων προϊόντος που

παράγονται ημερησίως. Αν η εταιρεία έχει πάγια

έξοδα 1000 δολάρια την ημέρα, να βρείτε:

Α) το ημερήσιο κόστος παραγωγής x

μονάδων προϊόντος,

Β) την αύξηση του κόστους, αν αντί 30

μονάδων παραχθούν 60 μονάδες προϊόντος σε

μια ημέρα.

3.11 Νερό φεύγει από την βρύση έτσι ώστε t

min μετά το άνοιγμα της βρύσης να χύνεται με

ρυθμό 8t 5 dm3/min. Πόσο νερό έφυγε κατά

την διάρκεια των τριών πρώτων λεπτών ;

3.12 'Ενα κινητό κινείται πάνω σε άξονα και η

ταχύτητά του σε cm/sec τη χρονική στιγμή t

δίνεται από τον τύπο υ(t) t(t 2) . Αν τη

χρονική στιγμή t 0 το κινητό βρίσκεται σε

απόσταση 2cm από την αρχή των αξόνων, να

βρεθεί η θέση του τη στιγμή t 3

64 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ


TO ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

3.13 H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει ότι 3

0

f x dx 2

, 3

4

f x dx 1

και

10

4

f x dx 5 να υπολογίσετε τα : 0

3

f u du ,

4

0

f x dx , 10

0

f x dx

3.14 Αν 2

1

f(x)dx 5 , 2

1

g(x)dx 3 , βρείτε τα: Α) 2

1

[2f(x) 3g(x)]dx Β) 1

2

[g(x) 3f(x) 5]dx

3.15 Αποδείξτε ότι 4 22

2 22 4

2x 5 1dx 3 dx 4x 4 x 4

3.16 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R . Για κάθε α,β, γ,δ R να δείξετε ότι:

β δ

α γf x dx f x dx

γ δ

α βf x dx f x dx

3.17 Έστω ότι 1

0f(x)dx 2 και

3

2g(x)dx 5 . Να υπολογίσετε το

1 3

0 2f x g t dt dx

3.18 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R . Για κάθε α,β, γ,δ R να δείξετε ότι:

γ δ β γ

α β α δf x dx f x dx f x dx f x dx

δ β

α γf x dx f x dx 0

3.19 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R . Για κάθε α,β, γ,δ R να αποδείξετε ότι:

β δ

α γf x dx f x dx

γ δ

α βf x dx f x dx

3.20 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R . Για κάθε α,β, γ,δ R να αποδείξετε ότι:

2 2

β δ δ βx x

α γ γ αf t e dx dt f t e dt dx

3.21 Έστω ότι 1

0f(x)dx 2 και

3

2g(x)dx 5 . Να υπολογίσετε το

1 3

0 2f x g t dt dx


Σχ. Έτος 2016-17

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

x

αF(x) f(t)dt

3.22 Βρείτε τo πεδίο ορισμού και την

παράγωγο των συναρτήσεων:

x

1G x x ln tdt

2x 3x2

1K x t ln tdt

x 1 2

1

tF x dtln t t

2x

x

1N x dtln t

3.23 Να βρείτε τo πεδίο ορισμού και την

παράγωγο των συναρτήσεων: 2x

x

1M(x) dtln t

π

πF x t x dt

, π x π

x 15 2

2xH(x) t 4t dt

, 4x

x

ln t 1G x dt

2t 1

3.24 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R ,

να βρείτε όπου υπάρχει την παράγωγο των


1

0F x xf x t dt

12

0G x x tf xt dt

2

1

xH x f dtt

με x 0,

3.25 Να βρείτε τo πεδίο ορισμού και την

παράγωγο της συνάρτησης

2

βt

αG x xe dt

1x 2 t

0G x x e du

β

t

αG ω xe dt

12 2

0K x x t ημ xt dt

3.26 Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της

x y

2 21 2

1F(x) dt dy1 t ημ t

3.27 Nα αποδείξετε ότι:

β β 1

συν(2πt) συν(2πt)

α α 1e dt e dt

, α,β R

3.28 Να βρεθεί η F x αν

Α) x ln x

t

e 1F x ln tdt e dt

Β)

x xyu

6 6e du e dy

2 2

19 61F x συν tdt ημ tdt

3.29 Αν f συνεχής στο R , να δείξετε ότι:

Α) x t x

2 2

0 0 0

1t f u du dt x u f u du2

Β) x x u

0 0 0f u ημx ημu du συνu f(t)dt du

3.30 Υπολογίστε το 1 x t

0 1

e 1 dt dxt

3.31 Να αποδειχτεί ότι αντιστρέφονται οι

συναρτήσεις: x

2

0F(x) 1 t dt και

x4 2

0G(x) ημ t dt

3.32 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f ,

συνεχής στο R ώστα να ισχύει:

y

x

f xf t dt

f y ,

x, y R



ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Α ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ β β

α α

f x dx F x dx F β F α

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

3.33 Α) 1

2

0(1 x) dx Β)

2

1

1 dxx 5 x 2 Γ)

π3 23

2π6

ημ x συν x 2 dxημ x Δ)

1

50

dx dx6 x

3.34 Α) 26

20

1 x dxx

Β)

2 2

21

x x x 1dxx Γ)

2 3

1

x 2x 5dxx

Δ) 2

1

x 1 dxx

3.35 A) 2

21

x x 2 dxx 2x

B) 1

2

0(2x 1) dx Γ)

332

6

x 4 dxx

Δ) 3 3

2

x 1 dxx 1

3.36 Α) e

21

1 ln xdxx B) 2 2

02x x x x dx

Γ) 2 x

0e ( x x)dx

3.37 Α) e

x1

1 xdxe Β)

4 x 1x

1

2 2 x ln 2x

Γ) 22

0

x x xdxx

ΣΥΝΘΕΣΗ

β g β

α g α

f g(x) g (x)dx f u du - με ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: u g x ή

3.38 A) 1

2 3

0x(x 1) dx B)

1 122

04x 2x 3 dx Γ)

2e

e

ln(ln x) dxx ln x Δ)

13

03x 1dx

3.39 Α) 2

21

3 dxx x

Β) 1

340

1 dx(1 2x) Γ)

1

20

2x 1 dxx x 2

Δ) 3 3

0x xdx

3.40 Α)1

20

1 x dxx

Β)

1 2x x

x0

e 7e 6 dxe 3 Γ)

5

2

e

e

1 dxx ln x ln(ln x) Δ)

x1

2 xln 2

0e dx

3.41 Α) 1

20

x 1 dxx 2x 3

Β) 1

x x0

1 dxe 1 e Γ)

1

0

x dxln( x)

Δ)

1

0xdx

3.42 Α) 1

40

4x 5 dx(x 2)

Β)

1 x

0

3 dxx Γ)

e

1

(ln x) dxx

Δ) x

1x e

0e dx

3.43 Α) 3

6

ln( x) dxx x

Β) 2

1

1x dx

x

Γ) 2

13 x

0xe dx Δ)

1

20

x dxx


Σχ. Έτος 2016-17

ΜΟΡΦΗ: β

αf x, ln x dx Τότε θέτω: u ln x

3.44 Α) e

1

ln x dxx Β)

2e

e

1 dxxln x Γ)

e

1

ln x 1 dxx Δ)

e 2

1

(1 ln x) dxx

Ε) e 3

1

1 ln x dxx

ΜΟΡΦΗ: β

αf ημx συνxdx ή

β

αf συνx ημx dx Τότε θέτω u ημx ή u συνx αντίστοιχα

3.45 Α) 32

6

x dx1 x

Β) 3

6

x 1 xdx

Γ) 3

6

1 x xdx

2 x

Δ) 1

3

0xdx

ΜΟΡΦΗ: λ

ν

κf P x , αx β dx όπου ν Ρητός. P x πολυώνυμο Τότε θέτω u αx β ,

3.46 Α) 71

2 3

0x (2x 1) dx Β)

1 2

20

2x 3 dx(3x 1)

Γ)

1

0(x 2) 3x 1dx Δ)

12 3

0(x 2) (2x 1) dx

ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Α Περίπτωση: βαθμός P x < βαθμός Q x . Ελέγχω πρώτα μήπως ο αριθμητής είναι η παράγωγος του παρονομαστή

δηλαδή αν Q x P x τότε β β

β

αα α

P(x) Q (x)dx dx ln Q(x) ln Q(β) ln Q(α)

Q(x) Q(x)

= Q'(x) dxQ(x) = ln Q(x) c

ΜΟΡΦΗ: ν

2μ

κx λ dxαx βx γ

, με 2β 4αγ 0 . Τότε εργάζομαι όπως στο παράδειγμα:

3.47 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα 2

21

2x 1 dxx 5x 6

.

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση 22x 1f(x)

x 5x 6

έχει fA R {2,3} και είναι 2x 1f(x)(x 2)(x 3)

. Αναζητούμε τους A,B R , ώστε

να ισχύει 2x 1 A B(x 2)(x 3) x 2 x 3

, για κάθε x R {2,3} , όπου έχουμε (A B 2)x 3A 2B 1 , x R {2,3} .

Η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε x R {2,3} , αν και μόνο αν A B 2 0

3A 2B 1 0

ή,

A 5B 7

.

Επομένως,

2 2 22 2

2 1 11 1 1

2x 1 5 7dx dx dx ... 5 ln x 2 7 ln x 3 ...x 5x 6 x 2 x 3

Αν ο παρονομαστής είναι της μορφής 1 2 νQ x x ρ x ρ ... x ρ , τότε: 1 2 ν

1 2 ν

P(x) A Α Α...Q(x) x ρ x ρ x ρ

. …

3.48 Α)1

20

x 1 dxx 2x 7

Β) Β) 4

23

x 1 dxx x 2

Γ) 3

22

x 2 dxx 6x 7

Δ)

3 2

32

x 2x 1 dxx x

ΜΟΡΦΗ: λ

2κ

P(x)dx

αx βx γ με P(x) πολυώνυμο βαθμού 2 και 2β 4αγ 0 , τότε κάνουμε τη διαίρεση κλπ



3.49 Α) 1 2

20

x dxx 4 Β)

1 2

0

x x 2 dxx 3 Γ)

1 2

20

x 2x 1 dxx 4x 3

Δ)

3 3 2

22

x x 2x 1 dxx x

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

ΜΟΡΦΗ: λ

βxαx

κf e , e dx Τότε: xu e , x ln u , xdu e dx ( συνήθως καταλήγω σε ρητή )

3.50 Α) 1 x

x0

e 1 dxe 2

Β)

1 x

2x0

e dxe 1 Γ)

1

x0

1 dxe 1 Δ)

1 2x

x0

e 1dxe

3.51 Α) 1 x

2x0

e 1 dxe 4

Β)

1

2x0

2 dx1 e Γ)

1 x

x x0

e dx(e 1)ln(e 1) Δ)

1 x

x x0

e dxe e

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ β β

βα

α αf(x)g '(x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx

ΜΟΡΦΗ 1 ν

λx β

κP(x)α dx όπου P x πολυώνυμο του x . Τότε χρησιμοποιώ παράγουσα της λx βα την

λx βαλ ln α

.

Συνήθως ως βάση έχουμε το e

3.52 Α) 1

2 2x

0x e dx Β)

12 x

0x 3x e dx

ΜΟΡΦΗ 2 β

αP(x)ημ(λx β)dx ή

β

αP(x)συν(λx β)dx Τότε χρησιμοποιώ αρχική της ημ λx β ( συν λx β )

3.53 Α) 1

2

0(3x x) ( 2x)dx Β)

1

02x (3x 1)dx Γ)

π2 2

0x συν2xdx

ΜΟΡΦΗ 3 β

λx β

αI α συν(γx δ)dx ,

βλx β

αI α ημ(γx δ)dx . Χρησιμοποιούμε αρχική για την λx βα οπότε κάνοντας

παραγοντική ολοκλήρωση δυο φορές, εμφανίζεται πάλι το I . Προκύπτει έτσι εξίσωση με «άγνωστο» το I .

3.54 Α) 1

x

0e (3x 1)dx Β)

1x

0e xdx Γ)

1x

0e 2xdx Δ)

1x

02 xdx

ΜΟΡΦΗ 4 β

αf(x)ln(αx β)dx . Τότε χρησιμοποιώ παράγουσα της f x και αποφεύγουμε τον παράγοντα ln αx β .

Μπορεί ο λογάριθμος να είναι υψωμένος σε δύναμη και η να έχουμε συνάρτηση πιο σύνθετη από την αx β .

3.55 Α) e

1ln xdx Β)

e

1ln(2x 3)dx Γ)

e2

1ln (2x 1)dx Δ)

e

1

ln x dxx

3.56 Α) e

1x ln(3x 4)dx Β)

e

1x ln(x 1)dx Γ)

52

4ln( x x 9)dx


Σχ. Έτος 2016-17

ΡΙΖΕΣ

ΜΟΡΦΗ: λ

ν

κ

f x, αx β dx Τότε: νu αx β , u 0 , νu αx β , ν 1νu du αdx δηλαδή v 1vudx du

α

3.57 Α) 1

30

x 1 dx3x 2 Β)

1 3

0

x dx2x 1 Γ)

1

0

x x 4dx

3.58 Α) 1 3

20

x dxx 4 Β)

1

20

x dxx 1 Γ)

1

0

x dx2x 3

3.59 Α) 1

4 20

x dxx 3 Β)

1 2

0

x dx2x 1

EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Α λ

μν

κf x, αx β , αx β dx Τότε θέτω λu αx β όπου λ ΕΚΠ ν,μ

3.60 Α) 1

30

x dxx 1 x 1 Β)

1

30

8 x dx3 x 6 x Γ)

1

30

dx dx2x 1 2x 1

EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Β λ

2 2

κf x, x α dx ή

λ2 2

κf x,x α dx α 0 Τότε x α εφu με π πu ,

2 2

τότε 21dx du

συν u

3.61 Α) 1 3

20

x dxx 1 Β)

1

20

1 dxx 1 Γ)

2

20

2x 3dxx 4

EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Γ λ

2 2

κf x, α x dx α 0 . Τότε: x α ημu με π πu ,

2 2

τότε dx α συνudu

3.62 Α) 1 3

20

x dx4 x Β)

12

01 x dx Γ)

1 2

21

x x 1dx4 x

EIΔ. ΜΟΡΦΗ: Δ λ

2 2

κf x, x α dx , α 0 , x α ή x α ,τότε αx

συνu με πu 0,

2

ή πu 0,2

, 2

α ημudx duσυν u

3.63 Α) 2 2

1

x 1dxx



ΓΕΝΙΚΕΣ

3.64 Α) 1 2

0

(2x 1) dxx Β)

1

0

dx dxx 3 x Γ)

2

21

x x x dxx

Δ) 2

2x 3

x 3x 5

3.65 Α) 1

x ln x

0xe dx Β) 3

6

σφx ln( x)dx

Γ)

1 22

40

x x dxx

Δ)

2

1

ln( x) dxx x

3.66 Α) 1

20

2 x xdx1 x Β)

12

0x 2xdx Γ)

2 3

21

x dxx 4x 3 Δ)

12

0x xdx

3.67 Α) 2 4

41

4(x 1) dxx(x 1)

Β) 0 x

2x x1

e dxe 2e 1 Γ)

0

1

1 dx(x 1) x 2 Δ)

2

1

dxx(x 1)

3.68 Α) 2e

e

1 dxx ln x Β)

0

1

x dxx 1 Γ)

0

1

x 1 dxx 2 Δ)

2 2

1

1 x dxx

3.69 Α) e

2 2

1x ln x dx Β) 2

1

x0

x x dxe

Γ) 0

21

x dxx Δ)

e

x1

x dxe

3.70 Α) 1 3

20

x dx1 x Β) 2

1

1 dx1xx

Γ) e

1(ln x)dx Δ)

1 x

x0

e dxe 1

3.71 Α) 1

x0

x 1 dxe Β)

1 x x

x x0

e e dxe e

Γ)

0

21

2x2x dx2x

Δ) 2

21

x dxημ x

3.72 Α) 1 3

0

x dxx

Β)

2 2

1

x dxx

Γ)

1 4

20

x dxx

Δ)

12

0x xdx

3.73 Α) 1

3 2

0x xdx Β)

12

0x ln 3x dx Γ)

12

0ln x x 1 dx Δ)

15

0xdx

3.74 Α) 0

1

x dx1 x x Β)

0x

12x e dx Γ)

2

1

x dx2 x 1 Δ)

2

1

1 dxx x

3.75 A) 1

2 2x

0x x e dx Β)

ln 2 x

x0

e 1 dxe x

Γ)

4

3 23

x dxx x 2x Δ)

ln 3 2x

xln 2

e dxe 1

3.76 Α) 3

0

x dxx 1 Β)

e

1ln x dx

Γ) 2

0x x dx

Δ) 1

x0

x x dxe


Σχ. Έτος 2016-17

3.77 Α) 1

2 x

0x 2 e dx Β) 2

20

x dx4 x

Γ)

22x

31

2 3x e dxx

Δ) e

2

1ln xdx

3.78 Α) 2

1xdx

Β) 42

6

2x 1dxx

Γ) 32 12

2

x ( x)dx

Δ)

1x

0e dx

3.79 Α) 2e

3e

1 dxx ln x Β)

1 2

30

x 1 dxx 3x 2

Γ)

2

0

1x 1 dxx 2

Δ) 2

2

4 x dxx

3.80 Α) e

1

log x dxx Β)

13x

0x 2 dx Γ)

22x

0

xdxe

Δ)

1

0

x 1 dxx

3.81 Α) 1

0

2 xln dx2 x Β)

12

0x 3x dx Γ)

12

0ln x x 1 dx Δ)

e 2

1

ln x dxx

3.82 A) 1

0

x dxx 1 B)

e x-t

0 1(1- t)e dt dx

Γ)

12 2

0ln x x 1 dx Δ)

1

0

1 dxx 1

3.83 Α) e

1e

lnxdx

x Β) 2

2

2|x| |x 1| dx

Γ)2 232 2

4

x x dxx x

Δ) e

1ln x 1dx

3.84 Α) 1

20

x 2 dx1 x Β)

2

23 x 2x

13

xe dx Γ) 2ln

2 x 2x

0e 1 - e dx Δ)

12

01 x dx

3.85 Να υπολογίσετε τα I , J όταν 2

0

xI dx1 2 x

2

0

2 x xJ dx1 2 x

3.86 A) e

x x

1e ln e 1 dx B)

1

0

x dxx 1 Γ)

e x

t0 1

1- t dt dxe

3.87 Α) 2

2

2|x| |x 1| dx

Β) π3 3 5

π4

εφ x εφ xdx Γ) 2

2

2x 1dx

3.88 Α) π

2 23

2 2π4

συν x ημ x dxημ xσυν x

Β) 1

2

01 x dx Γ)

2

1 xt

0 1e dt dx

3.89 Α) 2

0

x x dx1 x

Β)

1 4

x1

x dx2 1



3.90 Α) 32

3 30

x dx4x x

Β) 2

0ln x dx 0

**

3.91 Α)

2

20

1 dx41 x

** Β)

35

6

1 dx121 x

3.92 Α) 0

1 dx1 x

Β) 2

0x ln x dx ln2

2

3.93 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β . δείξτε ότι β β

α αf x dx f α+β-x dx και βρείτε τα

π3

π6

ημx συνxdx , π2

0

συνx dxσυνx ημx ,

π π6 6

0 0

ημtσυνtI dt, J dtσυνt ημt συνt ημt

3.94 Εστω η συνάρτηση 2

2x , 1 x 0f(x)

4x , 0 x 1

. Να βρείτε το

1

1f x dx

3.95 Δίνεται η συνάρτηση 2x ln x, x 0f(x)

α 1 , x 0

. Να βρείτε για ποια τιμή του α R ορίζεται το

ολοκλήρωμα 1

0f(x)dxI και στη συνέχεια να υπολογίστε το I

3.96 Έστω η συνάρτηση 2x x 1 , x 0f xσυν2x , x 0

. Να βρείτε το 1

π2

f x dx

3.97 Βρείτε τις αρχικές συναρτήσεις των συναρτήσεων 2 xf x x 1 e , x R και g x xημx , x R

3.98 Nα υπολογιστούν τα ολοκληρώματα π2

0

ημxdx

ημx συνx 1 2

x1

3x dx 1e 1


π συνx2

ημx συνx0

ημx πdx4συνx ημx

3.100 Αν η συνάρτηση f : [0,1] (0, ) έχει συνεχή παράγωγο και f 0 1, f 1 2, να υπολογίσετε το

ολοκλήρωμα 1

2

0

f (x)I dxf (x) f(x)

3.101 Nα αποδειχτεί ότι

2

21

ln x 2 3dx2ln x 6 x


Σχ. Έτος 2016-17

ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ – ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3.102 Εστω η 2

2x αν 1 x 0f(x)

4x αν 0 x 1

Α) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο 0

Β) Να βρείτε το 1

1f x dx

3.103 Έστω η συνάρτηση 2x ln x, x 0f(x)

α 1 , x 0

A) Να βρείτε για ποια τιμή του α R

ορίζεται το ολοκλήρωμα 1

0f(x)dxI και στη

συνέχεια να το υπολογίσετε.

3.104 Να βρείτε τις αρχικές των συναρτήσεων

2 xf x x e 2g x 2x ln x 1 xk x ημx e

x

ln x e , x 1λ x

e , x 1

g x x ημx

3.105 Nα βρείτε τη συνάρτηση F αν

e

1F x t x ln t dt με x 1

3.106 Βρείτε τον τύπο της x

2

1F x t tdt

3.107 Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : α, β R με f x 0 , 2f x f x και

f β 3f α . Να βρείτε το β

αf x dx

3.108 Έστω μια συνάρτηση f με f συνεχή και

για την οποία ισχύει π

0f(x) f (x) ημxdx 2( ) .

Αν f(π) 1 , να υπολογίσετε το f(0) .

3.109 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη

παράγωγο να αποδείξετε ότι

β

αxf x dx βf β f β αf α f α

3.110 Έστω f παραγωγίσιμη στο R με f 1 e ,

και 2xf x e , x R .Υπολογίστε το

1

0f x dx

3.111 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη

παράγωγο να αποδείξετε ότι

x y 1

x 1 yf x 1 2f x f x 1 f t dt dy

3.112 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την

οποία ισχύει f x f x 1002 0 , για κάθε x R

Να αποδείξετε ότι

Α) f x 2004 f x , για κάθε x R .

Β) 2005 2006

1 2f(x 2005)dx f(x)dx .

3.113 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β

με f x f α β x , x α,β . Αποδείξτε ότι:

α ββ β

2

α α α

α βxf x dx f x dx α β f x dx2


f xdx

f x f x 2

3.115 * Αν 1x

21 e x 0f x x

0 x 0

, να αποδείξετε

ότι η f είναι συνεχής και ότι 0

1

1f x dxe



3.116 Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

0,1 να αποδείξετε ότι

π π

0 0

πxf ημx dx f ημx dx2

και να

υπολογίσετε το π

2

0xημ xdxI

3.117 ***Yπολογίστε το 1 x t

0 1

e 1 dt dxt

3.118 Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο

1000,1002 και για την οποία ισχύει ότι:

2

0f (x)dx 4 2f(0) και f(x) c f(2 x)

Α. Να υπολογίσετε την τιμή του c .

Β. Να δείξετε ότι 2 2

0 0f(2 x)dx f(x)dx

Γ. Να υπολογίσετε το 2

0f(x)dx

3.119 Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

0,α , α 0 να αποδείξετε ότι

2α α

3 2

0 0

1x f x dx xf x dx2

3.120 Έστω η συνάρτηση

2x x 1 ,x 0f xσυν2x , x 0

Α) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο R

Β) Να βρείτε το 1

π2

f x dx

3.121 * Αν f συνεχής και g παραγωγίσιμη στο

R , και υπάρχουν α,β R ώστε

βf β x αf α x g x για κάθε x R , να

δείξετε ότι: β

αf(t)dt g(1) g(0)

ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ 3.121.1.1.1 Τζουβαρας κατευθυνσης 5 7 /83

3.122 Αν η συνάρτηση f : α,α R εΙναι

συνεχης και περιττη τότε α

αf(x)dx 0

3.123 Αν η συνάρτηση f : α,α R ειναι

συνεχης και άρτια τότε α α

α 0f(x)dx 2 f(x)dx

3.124 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R με

την ιδιότητα f(1 x) f(1 x) f(x) για κάθε

x R . Να αποδειχθούν τα εξής:

Α) Η συνάρτηση f, είναι άρτια,

Β) 1996 1997

1995 0f(x)dx f(x)dx .

3.125 Η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής,

άρτια και έχει περίοδο T . Να αποδείξετε ότι: T T

0 0

Txf(x)dx f(x)dx2

3.126 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1,1

και άρτια. Να αποδείξετε ότι:

A) 2π π

0 0xf(ημx)dx 2π f(ημx)dx

B) ππ2

0 0xf(συνx)dx π f(συνx)dx

3.127 Να αποδείξετε ότι 1

1

x dx 04 συν4x


Σχ. Έτος 2016-17

ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ

3.128 Αν π4 ν

ν0

Ι εφ xdx, ν N * τότε να

αποδείξετε ότι για κάθε v 2 ισχύει

ν ν 21Ι Ι

ν 1

και να να υπολογίσετε το 5Ι .

3.129 Αν 1 νx

x0

e dxν 1 eI

, ν Ν να

αποδείξετε ότι νe 1

ν 1 ννI I

, ν Ν *

ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

3.130 Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f , που

είναι ορισμένη και συνεχής στο 0,1 και ισχύει

ότι: 1

0

1f x x f(x) dx12

3.131 Δίνεται η συνάρτηση f , συνεχής στο[0,1]

για την οποία ισχύουν: 1

0f x dx 1 και

1

2

0f x dx 1 . Να δείξετε ότι: f(x) 1 , x [0,1]

3.132 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f που

είναι συνεχής στο R και ισχύει ότι

1 1 1

x 2 2x

0 0 02e f x dx f x dx e dx

3.133 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

f : R R για την οποία ισχύει ότι f 0 1 και

1

0f x f x f t dt για κάθε x R


f : [0,1] R για την οποία ισχύει ότι

2 2f (1) f (0) 2f(0) 5f (x)2

για κάθε x [0,1] .

Nα αποδείξετε ότι f x 3x 2

3.135 Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση

f : R R αν ισχύει ότι xf(x) (1 e ) 1 F x ,

x R όπου F είναι αρχική της x

f(x)y1 e

με

F 0 0 .

3.136 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο 0,1 ,

ώστε 1 1

2 2

0 0

1ln f(x)dx 2 x ln f(x)dx5

και

f x 0 , x 0,1 . Αποδείξτε ότι 2xf x e ,

x 0,1 και υπολογίστε το 1

0

f(x) dxf(1 x) f(x)



ΥΠΑΡΧΕΙ

3.137 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,1 .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ox (0,1) ώστε

o

1

o ox

x f x 2 f(t)dt


Να αποδείξετε ότι υπάρχει γ (0,1) ώστε

1

γf γ ημγ συνγ f(t)dt

3.139 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

διάστημα π0,3

και ισχύει: π3

0f(t)dt 0 . Δείξτε

ότι υπάρχει πξ 0,3

ώστε 0

ξ

f(ξ) f t dtεφξ

3.140 Η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής και

ισχύει x t

x

0 1f u du dt 1 e

, x R . Να

δείξετε ότι η εξίσωση f(x) 1 , έχει ρίζα στο(0,1) .

3.141 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 1,e R

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ox 1,e τέτοιος ώστε:

ox

0 01

f t dt e x f x

3.142 Αν f,g είναι συναρτήσεις συνεχείς στο

αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 1,2

τέτοιο ώστε: 1 ξ

ξ 2f ξ f t dt g ξ f t dt

3.143 Αν f συνεχής στο , να αποδείξετε ότι

υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0,1 τέτοιο ώστε:

3ξ ξ

3 3

1ξ 3ξ f ξ ξ ξ f t dt

3.144 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1, e με

ξ

e

ln t lnξdt 1 ξt ξ

3.145 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β

και ισχύει ότι β

αf(x)dx 0 . Δείξτε ότι υπάρχουν:

Α) ox (α,β) ώστε ox

oα

f(t)dt f x

Β) γ (α,β) ώστε γ

αf(t)dt γf γ αν 0 α,β


R και ισχύει f 0 0 και 1

0f x dx f 1 . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0,1 ώστε f ξ f ξ


Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (1, 2) ώστε

2

ξf(t)dt ξ ln ξ f ξ

3.148 **Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,1 .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ox 0,1 ώστε

1

2o

0

1x f x dx f x3

3.149 Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνήσια

αύξουσα στο R . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

x x 2 x

0 x 0xf x f t dt f t dt f t dt

0x 1 x 2

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 1, 2


ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

3.150 Να αποδείξετε τις ανισότητες:

Α) 3

20

3 2 x3 dx 152 1 x

Β) β

α

ημx βαln lnβ x α για κάθε 0 α β

Γ) 1 x

20

e e1 dx21 x

3.151 *Δείξτε ότι5 5x 2

x 2 x 21 1

e xdx dx 4e x e x

3.152 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R

και f x 0 , x R τότε 1

3

f(x) x dx 4x f(x)

3.153 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

διάστημα 3, 4 με 1 f(x) 2 για κάθε x 3, 4

και ισχύει 4

2

3f (x)dx 4 να αποδείξετε ότι

4

3f(x)dx 2 .

3.154 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,

με f x 0 για κάθε x 0, . Να αποδείξετε ότι

x x

2 2

0 0x f t dt t f t dt για κάθε x 0,

3.155 Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνήσια

αύξουσα στο R .

Α) Δείξτε ότι x 3 x 6

x x 3f t dt f t dt

Β) Να λυθεί η ανίσωση 2x

xf t dt 0

3.156 Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνήσια

αύξουσα στο R . Δείξτε ότι 2 4

1 1

1f t dt f t dt3

3.157 Η συναρτήσεις f και g είναι συνεχείες

στο 0, με f x 0 για κάθε x 0, η g

είναι γνησίως αύξουσα 0, . Να αποδείξετε ότι

x x

0 0g x f t dt g t f t dt , x 0,

3.158 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,1 με

f x 0 για κάθε x 0,1 . Να αποδείξετε ότι

1 12 2

0 01 1

0 0

xf x dx f x dx

f x dx xf x dx

3.159 Έστω ότι η συνάρτηση f έχει γνήσια

αύξουσα παράγωγο στο 0,α με α 0 . Να

αποδείξετε ότι α

0

αf t dt αf2

3.160 Έστω η συνάρτηση f , συνεχής στο 0,1 .

Δείξτε ότι 1 1

2

0 0

1xf x dx f x dx12

3.161 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις

f,g : α,β 0, ώστε να ισχύει ότι g α 2 ,

και η g είναι φθίνουσα στο α,β . Αποδείξτε ότι:

Α) β β

α α0 f x g x dx 2 f x dx

Β) Αν β

αf x g x dx 2 τότε υπάρχει

ξ α,β ώστε ξ

αf x dx 1



ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ

3.162 Α) Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο

α,β , 1-1, με συνεχή πρώτη παράγωγο στο α,β .

Δείξτε ότι β f(β)

1

α f(α)

f(x)dx f (x)dx βf β αf α

Β) Αν x 5f x e x βρείτε το e 1

1

1

f (x)dx

.

Γ) Nα δείξετε ότι 2

e 1x

1 0ln xdx e dx e

3.163 Έστω η συνάρτηση f x 2x ημx , x 0

Να βρείτε το ολοκλήρωμα 2 π

1

0

I xf (x)dx

3.164 Αν 2

xt

2004f x x e dt , x R , να

αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να

λύσετε την εξίσωση: 1f x f (x) .


f : R R τέτοια ώστε 3f x f x 2x 0 για

κάθε x R .

A) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

B) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

o1x ,12

τέτοιο ώστε oxo of x x 4 3 .

Γ) Να υπολογίσετε το 0

1f x dx

ΟΡΙΑ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.165.1.1.1 Τζουβάρας δεσμες 18.6/304

3.166 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

f : R 0, και η

x

0x

0

tf(t)dt x 0

g xf(t)dt

0 x 0

Να

αποδείξετε ότι

Α) η g παραγωγίσιμη στο R και ότι 1g 02

Γ) η g είναι γνήσια αύξουσα.

3.167 Να υπολογίσετε το όριο:2x

x x

ln x 1lim dtx ln t

3.168 Να υπολογίσετε το όριο:

,

x 1

2x x 1

1lim dt3 2t

3.169 Να δείξετε ότι x t 2xe e et t t για κάθε

x 0,1 , t x,2x και ότι

2xt

x 0x

elim dt ln 2t

3.170 Να αποδείξετε ότι:

2

2

x ημxt

0 0x εφxx 0

t

0 0

ημt t dt e dt1lim2

ημt tσυνt dt e dt

3.171 Έστω η συνάρτηση f , συνεχής στο 0,

και η συνάρτηση

1

0f xt dt αν x 0

g x

f 0 αν x 0

Α) Αποδείξτε ότι η g είναι συνεχής στο 0

Β Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ox 0

δείξτε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0, .


ΕΜΒΑΔΑ

3.172 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

g x x , f x 2x 1 και 22h(x)

x

3.173 Δίνεται η συνάρτηση 2xf(x)

1 x

. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

fC , την πλάγια ασύμπτωτη της fC τις ευθείες x 0 , x 3 και τον άξονα x x

3.174 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) ln x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής

παράστασης της f στα σημεία με τετμημένες x 1 και x e . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω , που

περικλείεται από τη fC και τις δύο εφαπτόμενες.

3.175 Έστω E(λ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη 21y

x , τον άξονα x x και τις

ευθείες x 1 , x λ (λ 0) . Να προσδιορίσετε την ευθεία x α που χωρίζει το παραπάνω χωρίο σε δύο

ισεμβαδικά χωρία.

3.176 Δίνεται η συνάρτηση 2 xf(x) (x 3x 1)e

Α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E t του μέρους του επιπέδου, τα σημεία M x, y του οποίου,

ικανοποιούν τις σχέσεις: t x 0 με t 0 και 0 y f(x)

Β) Να υπολογίσετε το tlim E(t)

3.177 Αν 21f x

1 x

και F αρχική της f με F 1 0 να βρείτε το εμβαδο του χωρίου που περικλείεται

από τη γραφική παράσταση της F και τους άξονες x x , y y

3.178 Έστω η συνεχής συνάρτηση f με fD R ώστε f(x) 0 και f 2 x f x 2 για κάθε x R . Να

βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC τον x x και τις ευθείες x 0 και x 2

3.179 Έστω οι συναρτήσεις f , g με f gA A R και ισχύει / / 2 xf x g x x 2x 1 e για κάθε x R .

Αν γνωρίζουμε ότι η hC της συνάρτησης h(x) f(x) g(x) διέρχεται από το σημείο A(0, 1)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις f gC ,C

3.180 Δίνεται η συνάρτηση xx e x 0f x

x ln x x 0

Να υπολογίσετε τα εμβαδά E των χωρίων που

περικλείονται από τη fC τον άξονα x x και την ευθεία x 1



3.181 Αν f x ln 1 εφx , πx 0,4

α) Nα αποδείξετε ότι πf x f x ln 24

για κάθε πx 0,4

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της

f και τις ευθείες y 0 , x 0 και πx4

3.182 Έστω η συνάρτηση f , δύο φορές παραγωγίσιμη με f x 0 για κάθε x R . Αν η f παρουσιάζει

τοπικό ακρότατο στο ox 0 με τιμή μηδέν και f 1 f 1 3 να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , του άξονα x x και των ευθειών x 1 και x 1

3.183 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 2

0f x f x dx f x , x R και f 0 2

Α) Να βρείτε τον τύπο της f

Β) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο

Γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC την παραπάνω ασύμπτωτη και τις

ευθείες x 0 και x 2 .

3.184 Δίνεται η συνάρτηση 1f xημx

, x 0, π Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από την fC τον άξονα x x και τις ευθείες πx3

και πx2

είναι 1Ε ln 32

.

3.185 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xe e, x 1

f x ln x , x 1x

. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής και να

υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, το οποίο περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x΄x

και τις ευθείες με εξισώσεις x 0 και x e .

3.186 Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περιέχει τα σημεία Μ x, y με e x e και

22 21 x 1x ln y x

2 e 2

3.187 Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περιέχεται ανάμεσα στην καμπύλη 2y x 1 και

την ευθεία x y 1 ισούται με 136


ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

3.188 Δίνεται η συνάρτηση: x t

tx

e συνtf(x) dt1 e

, x R . Να αποδείξετε ότι:

Α) f x x ημx για κάθε x R .

Β) ορίζεται η 1f : 0,π 0, π .

Γ) το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των fC και 1fC και των ευθειών x 0 και x π είναι Ε 4 τμ .

3.189 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f x 0 και ισχύει: f xln f(x) e x για κάθε x R

Α) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία.

Β) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται.

Γ) Να λύσετε τις εξισώσεις f x 1 και f x e .

Δ) Υπολογίστε το άθροισμα

ee e 1

1

1 e

I f (x)dx f(x)dx

.

3.190 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύει ότι f xy xf y yf x για κάθε

x, y 0, με f 1 1 .

Α) Να αποδείξετε ότι f x x ln x , x 0,

Β) Να λύσετε την εξίσωση 22f x x 1

Γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων h x 2f x , 2g x x 1 και την ευθεία x e .

3.191 Θεωρούμε την συνάρτηση f συνεχή το Δ 0, 2 ώστε για κάθε x Δ να ισχύει: 2 3

x

2 xf(t)dt3

.

Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ , να αποδείξετε ότι:

A) 2

02F 2 F x dx B)

2 2 2

0 0 0xF(x) dx F(x)dx xf(x)dx

Γ) 2

0xf x dx 0 Δ)

22

0

8f x dx3



3.192 Α) Aνισότητα Bunyakovsky-Cauchy- Schwarz: Αν f , g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο α,β ,

να δείξετε ότι

2β β β22

α α α

f x g x dx f(x) dx g(x) dx .

Β) Να αποδείξετε ότι α)

2β β

2

α α

f(x)dx β α f (x)dx β)

2β β

2 2 2

α α

xf(x)dx β α f (x)dx

3.193 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα 2, 2 , παραγωγίσιμη δύο φορές στο διάστημα

2,2 για την οποία επίσης γνωρίζουμε ότι f 0 3 και f x f x f x x για κάθε x 2, 2

Αποδείξτε ότι: Α) H f δεν έχει σημεία καμπής Β) 2 2f (x) 2f(x) x 3 0

Γ) H f είναι κοίλη Δ) 2f x 1 4 x , x 2, 2 Ε) 2

0(f(x) 1)dx π

3.194 Η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής και για κάθε x R , ισχύει: f xe f x x 1 0

Α) α Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται.

β Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

γ Να λύσετε τις εξισώσεις: 1f x 0 και 1f x e

δ Να αποδείξετε ότι e

0

3f x dx2

3.195 * Έστω η συνάρτηση f : R R και F μια αρχική της με την ιδιότητα f x F 1 x 1 για κάθε

x R . Αν 1f 12

να αποδείξετε ότι: 1x2f x e

Τα επόμενα ΘΕΜΑΤΑ είναι από ΔΗΜΟΣΙΕΥΜΕΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (Οι πηγές

αναφέρονται όπου υπάρχουν)

3.196 Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f(3)=1για την οποία ισχύουν :

f΄ (́x) 0 για κάθε x R (1)

3

x 1

f(x) - xim = - 4 x - 1

(2)

Α. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1))

Β. Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξ(1,3) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο .

Γ. Να λυθεί στο [0,+∞) η εξίσωση 2

x x xf e =f ημ συν .2 2

Δ. Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f , την y x και

τις ευθείες x 0, x 1 δείξτε ότι 2 .


3.197 Δίνεται συνάρτηση f : (0,+∞)R παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο (0,+∞) για την οποία

ισχύουν :

F είναι μια παράγουσα της f στο (0,+ )

f 2017 -F(2017) > f(2016)-F(2016)

x2

1 1f x -f(x) e +x x

για κάθε x (0,+ )

x

0 x

1f 1 x im 1+x

όπου 0x είναι η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης x 2 x+1

Α . Δείξτε ότι f 1 e (μονάδες 5) και στη συνέχεια ότι x 1f x e nx-x

, για κάθε x 0,

Β. Μελετήστε την f ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής (μονάδες 5) και στη συνέχεια δείξτε ότι

υπάρχει 1 3 1 5ξ ,e : 2f = f + f2 2ξ 2ξ 2ξ

Γ . Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+∞) και στη συνέχεια δείξτε ότι

22 x 2

1

e ln2 f(2) e e ln2 f(1)dx2 x 2

3.198 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f x 0 για κάθε x R και έστω ότι η γραφική της

παράσταση τέμνει τον y y σε σημείο με τεταγμένη 1 . Ισχύει ακόμα η σχέση

(x 1) f(x) f x xf(x) για κάθε x R .

Α) Να βρεθεί ο τύπος της f .

Β) Αν 2

xx 1f xe

i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και ότι η γραφική της παράσταση έχει με τον άξονα

συμμετρίας αυτής και της 1f ένα μόνο κοινό σημείο με θετική τετμημένη 0x .

ii) Υλικό σημείο M κινείται κατά μήκος της fC ξεκινώντας από το σημείο που η fC τέμνει τον

y y και η προβολή του M στον Οx απομακρύνεται με ταχύτητα 2cm/s .Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός

μεταβολής της γωνίας

την χρονική στιγμή που 0x x ισούται με 0

0

f '(x ) 1x

rad/s.

iii) Αν 2g(x) f (x) να υπολογίσετε το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από την gC τον

x x και τις ευθείες x 0 και x , 0 καθώς και το lim

.



3.199 Δίνονται οι συναρτήσεις 2xf(x) , x 0 R

8 , g(x) lnx , x 0

A) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία – ακρότατα την συνάρτηση (x) f(x) g(x) , x 0 και να

βρείτε το σύνολο τιμών της.

Β) Για ποιες τιμές του R οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g έχουν : δύο – ένα – κανένα

κοινό σημείο.

Γ) Στην περίπτωση όπου οι f gC , C δεν έχουν κοινά σημεία δείξτε ότι στο σημείο όπου η κατακόρυφη

απόσταση των f gC , C παρουσιάζει ακρότατο , οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των f,g είναι

μεταξύ τους παράλληλες.

Δ) Να μελετήσετε ως προς τα κοίλα την y=Δ(x) και να αποδείξετε ότι :

i) για κάθε 1 2x , x με 1 20 x x ισχύει ότι :

1 2 1 21 2 1 2

x x x x2f g(x ) g(x ) 2g f(x ) f(x )

2 2

ii)

3 5

2 2

1(x)dx (x)dx3

Δούκας

3.200 Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι γνησίως μονότονη, συνεχής και τέτοια ώστε

x 3

f x 4lim 5

x 3

και

x 1

f x 2lim 2

x 1

. Να αποδείξετε ότι

Α Η f είναι γνησίως αύξουσα

Β f x 0 , x 1,3

Γ x 3

f x 2f x 2lim 1

x 3

Δ Υπάρχει μοναδικός αριθμός 0x 1,3 τέτοιος ώστε 0

f 2 f ef x

2

Ε Υπάρχει 1,3 τέτοιος ώστε 22f f 2 f e f e Μαντουλίδης

3.201 Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο 1,e με f 1 2 , f e e 1 και σύνολο τιμών

το 1,4 . Να αποδείξετε ότι:

Α. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές 1 2x ,x 1,e με 1 2x x , τέτοια ώστε 1 2f x f x 0 .

Β Υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,e τέτοιο ώστε f 0

Γ. Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x 1,e τέτοιο ώστε 40 0 0 0f x f x 4f x x .

Δ Η ευθεία y x e 2 τέμνει την fC σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη να ανήκει στο

διάστημα 1,e .

Ε Υπάρχουν 1 2, 1,e με 1 2 τέτοια ώστε 1 2f f 1 Μαντουλίδης


3.202 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: x

x 1f x =e x

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δυο σημεία 1 1Α x , f x , 2 2B x , f x με 1 2x < 1 < x στα

οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλες στον οριζόντιο άξονα

Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Γ ξ, f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f είναι παράλληλη στον οριζόντιο άξονα .

Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει διάστημα της μορφής α, β με β α > 2 στο οποίο η f είναι γνήσια

αύξουσα .

Ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και

τους άξονες συντεταγμένων .

ΣΤ. Να βρείτε τα όρια :

3 x lnxx + x +

ημf x xημx ημxi) lim και ii) limf x e e

3.203 Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : η οποία για κάθε x ικανοποιεί τη σχέση

2 23 3x xf x f x e e .

Α. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση για τη συνάρτηση 3g x x x .

Β. Να δείξετε ότι 2xf x e , x .

Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 1x ef xf x

, x ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Δ. Να αποδείξετε ότι

1 0

0 1

1 dx e f x dx e 1f x

.

Ε. Έστω F x μια παράγουσα της f στο , με F 1 0 να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

0F x dx .

ΣΤ. Έστω 1h x

f x στο 0,1 .

i. Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την 1h

ii. Αν 1 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη hC , τους άξονες x΄x , y΄y και την

ευθεία x 1 και 2 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 1hC , τον άξονα x΄x και τις

κατακόρυφες ευθείες στα άκρα του διαστήματος που ορίζεται η 1h , να δείξετε ότι 2 1 e .

Μαντουλίδης



3.204 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f : 0,1 με 1 < f(0) < 2 , ώστε να ισχύει:

2f (x) = f (x) 4f(x) +5 για κάθε x 0,1 .

Α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το πρόσημο.

Β. Να δείξετε ότι: f 1 2 .

Γ. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.

Δ. Αν δίνεται ότι :

1 1

0 0

1 1f x dx = β , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = dx0 f x

f = α και f

3.205 Για την 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ισχύουν:

• f 0 = f 0 = 1

• x f x x f x f x f x x f f για κάθε .

Να αποδείξετε ότι:

Α. 2 2 2xx f x 2e , x f .

Β. xx 2 e f και στη συνέχεια ότι η εξίσωση xx xef έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

0,2 .

Γ. Η f είναι γνήσια αύξουσα .

Δ. i) 21

2 2

0x f x dx e f 1 f

ii) f 1 e

iii) Αν f 1 e , τότε 1 f e2

3.206 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύουν

xxe 1f xx για x > 0 και f 1 e 3

Α. Να δείξετε ότι xf x e ln x 3 , x 0

B. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική λύση στο 0,

Γ. Αν g x ln x,x 0

α) Να ορίσετε τη συνάρτηση f g

β) Να λύσετε την ανίσωση f g x 1 3

Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της 1f , τον άξονα

x x και τις ευθείες 2ex e 3 , x=e 1 Αρσάκειο


3.207 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο και τέτοια ώστε ;

• f 0 0 , f 0 2

• 2x 1 f x 4xf x 2f x 0 , x

Α. Να δείξετε ότι 22xf x , x

x 1

Β.α) Να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 2,f 2

β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x 1,1 τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f στο 0x να είναι παράλληλη στον άξονα x x

Γα) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον

άξονα x x , την εφαπτομένη της στο 1x 2 και τις ευθείες x=2 και x 2

β) Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό 25cm/sec , να βρείτε το ρυθμό του τη χρονική στιγμή που

είναι 10cm

Δ. α) Αν η g είναι κυρτή στο και g 1 1 , να δείξετε ότι oι γραφικές παραστάσεις των f,g τέμνονται

το πολύ σε ένα σημείο στο 1,

β) Αν F αρχική της f στο και , να δείξετε ότι ισχύει :

F F για κάθε , Αρσάκειο

3.208 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:

• f x ln f x 2x f x 0 , για κάθε x 0, (1)

• f x 0 , για κάθε x 0,

• f(1) = e

Α. Να αποδείξετε ότι 1xf x e , x 0,

Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση 1f .

Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία , την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι

1 1x2 e 3 x , x 0

Δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2e

1

e

2f x 1 dxln x

Ε. Να αποδείξετε ότι 57e e 2 e . Αρσάκειο



3.209 Έστω η παραγωγίσιμη στο [α,β] συνάρτηση f με f 2f και

2f x 2f x 4f x 4 για κάθε x ,

Να δείξετε ότι :

Α. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και ότι f 0 .

Β. f x 0 και 2f x f x για κάθε x , .

Γ. f x dx ln2

Δ. Αν f 1 , τότε :

i) Η f είναι κυρτή.

ii) Να βρείτε , ώστε το εμβαδόν που ορίζεται από την fC τις ευθείες x =α , x =β και την

εφαπτομένη της fC στο σημείο , f να γίνεται ελάχιστο Αρσάκειο

3.210 Έστω συνάρτηση f με f x 0 για κάθε x , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από

την αρχή των αξόνων . Αν για τη συνάρτηση f ισχύει : 2f x f x 4 για κάθε x , τότε

Α. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα y

2x

du4 u με x, y 2,2

Β. Να δείξετε ότι 4x

4x

2 e 1f x

e 1

Γ . Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα , να βρείτε το σημείο καμπής της και να

δείξετε ότι f x 4 x , για κάθε x

Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , την ευθεία με

εξίσωση y 4x και την οριζόντια ασύμπτωτης της fC στο

3.211 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f 0 1 , η οποία ικανοποιεί τη σχέση

f x 1 2x f x x ά x .Θεωρούμε επίσης συνάρτηση g x F x F 2 x ,x όπου

F είναι αρχική της f.

Α. Να αποδείξετε ότι : 2xf x e x, x

Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή και ότι η 3 4 2e 1 f e f e ef e

Γ. Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση 4 2x x

2xex

Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

Ε. Να αποδείξετε ότι 3 24

1 04

4 f 2t dt f t dt Λεόντιος


3.212 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύουν :

• Δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που να είναι παράλληλη στην ευθεία

: y x , και

• 2 x(f (x) 1) e f (x) 0 για κάθε x R

Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της 0,0 έχει κλίση 12

και η ευθεία

y x ln2 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , τότε:

Α Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη

Β Να αποδείξετε ότι x1f '(x) , x R

e 1

Γ Να υπολογίσετε το x

xlim (e f(x))

Δ Αν E το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x x και

τις ευθείες x=0 , x=1 , να δείξετε ότι : 4E < 1

Ε Αποδείξτε ότι x x1 1dx dx

e 1 e 1

για κάθε R Δούκας

3.213 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με σύνολο τιμών το η οποία ικανοποιεί τη σχέση

3f x f x 2x , για κάθε x

Α. Να βρείτε τις ρίζες της f και το πρόσημο της.

Β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και ότι 3

1 x xf x2

, για κάθε x .

Γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας : y x .

Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f και την ευθεία : y x .

Ε. Να δείξετε ότι

1

20

2 dt 11 3f t

. Αρσάκειο

3.214 Έστω f : 0, δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f x 0 για κάθε x , f 0 1

και 221f x 2f x 0

x 1

για κάθε x .

Α. Να αποδείξετε ότι 2f x x 1 x

Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της

Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της

Δ. Αν 2

1 1 xf x , x 0,2x

, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης 1g x f x ln x , τον άξονα x x και την ευθεία x e



3.215 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : για τις οποίες ισχύουν

xf x xe , και 2x x1 3g x e 2e2 2

.

Aν οι γραφικές παραστάσεις των f,g δέχονται σε κοινό τους σημείο , κοινή εφαπτομένη (ε) που

διέρχεται από την αρχή των αξόνων , τότε :

Α. Να δείξετε ότι 0 και η κοινή εφαπτομένη είναι η : y x .

Β. Αν 1 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

f , την ευθεία (ε) και την ευθεία με εξίσωση x t , t 0 , να δείξετε ότι :

t t 21

1t t e e t 1 , t 02

και να υπολογίσετε το 1tlim E t

.

Γ. Αν 2 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

g , την ευθεία (ε) και την ευθεία με εξίσωση x t , t 0 , να δείξετε ότι :

2t t 22

1 1 3 7t e 2e t t , t 04 2 2 4

Δ. Να δείξετε ότι t1 2t E t t e , για κάθε t 0 Αρσάκειο

3.216 Θεωρούμε συναρτήσεις f,g για τις οποίες ισχύουν • 21f(x) , x

x 1

• g ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (0, ) με g(x) x lnxe g(x) x ln x e ,x 0

Α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να δειχθεί ότι g(x) x ln x,x 0

Έστω F αρχική της f με F(0) 0 τότε

Β.α) Να λυθεί η ανίσωση xF(2 ) F(2 ln x) στο (0, ) όπου F αρχική της f

β) Να υπολογισθεί το όριο x 0

xF(x)lim1 x

Γ. Η εξίσωση f(x) g(x) έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0,1)

Δ. Δείξτε ότι F κυρτή στο ( ,0)

3.217 Δίνονται οι συναρτήσεις :

• f x x ln ln x , 0 , x 0, με • f x 0 για κάθε x 0 και

• 2g x x 2x ln x , x 0

Α Να δείξετε ότι e

Β α) Να δείξετε ότι x ee x , για κάθε x > 0 β) Να δείξετε ότι 4 2 e 1 e 1e e 3 2

Γ Να δείξετε ότι g x 0 , για κάθε x 0

Δ α) Να δείξετε ότι η 1

g x έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

β) Αν h x g x f x για x 0 , να βρείτε το xlim h x

Αρσάκειο


3.218 Έστω συνάρτηση g : 0, για την οποία ισχύουν g 1 0 και

3 2x x g x 2x g x x 1 , για κάθε x 0, .

Έστω επίσης η κυρτή συνάρτηση f : 1,1 , τέτοια ώστε :

.

f 1 2

f 1g x dx 0

. και 2x 1 g x 1 x ln f 1 για κάθε x > 0

Α. Να αποδείξετε ότι 2x 1 ln xg x

x 1

και ότι g x 0 για κάθε x > 0

Β. Να αποδείξετε ότι f 1 1 , f 1 1 και ότι υπάρχει ξ 1,1 τέτοιο ώστε: f f 1

Γ. α. Να αποδείξετε ότι: f x 1 x 1 f x για κάθε x 1,1

β. Έστω f 0 –1 και Ε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης f , τον άξονα x x , τον άξονα y y και την ευθεία x –1 . Να αποδείξετε ότι f(x) < 0 για

κάθε x 1,0 και ότι: 0

2

1

1 2Ef x dx3

Αρσάκειο

3.219 Θεωρούμε συνάρτηση f , δύο φορές παραγωγίσιμη στο με συνεχή δεύτερη παράγωγο

f '(x)f ''(x) 0 f ''(x) f '(x),x

Α Να αποδειχθεί f '(0) f(0) f '(1) f(1)

Β. Δείξτε ότι υπάρχουν 1 2 1 2, (0,1) : f '( ) f ''( )

Επιπλέον αν ισχύει

1

0

f '(1) f ''(x)dx και 2f ''( ) 2

Γ.α) Δείξτε ότι f είναι κοίλη

β) Δείξτε ότι

1

0

xf ''(x)dx 0

γ) Δείξτε ότι υπάρχει 3 3(0,1) : f ''( ) 0

Δ. Αν η εξίσωση 1 x(fof )(e 2) f ''(x) lnx x έχει ρίζα την 3 (0,1) τότε να αποδειχθεί ότι

30 ln2



3.220 Έστω μια μη σταθερή συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε: 3( ) ( )f x f x x 1 για κάθε x R

και F μια παράγουσα της f στο R τέτοια ώστε

0

2

F 1

(f x 2f x 1)dx 0

Α. i) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο 1 ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη της f .

ii) Να βρείτε το 3

1

f x dx

B. Αν δίνεται ότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με f 1 1 να υπολογίσετε τα όρια:

x 1lim f(x) 1 ln(x 1)

x 1

1limF x

x

Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την fC τη 1fC και την ευθεία x=0.

3.221 Έστω f : 0,1 R παραγωγίσιμη τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει: 2 2f (0) f (1) 2 f (x)

2

και g : R R τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει:

( ) )x x(g g , g 0 2 και g 0 1

Α. Να βρείτε τα f 0 και f 1 καθώς και τον τύπο της f

Β. Να βρείτε τον τύπο της g , να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πεδίο τιμών της .

Γ. Αν 1(x)f 2x – και 2 3g x2

x

xe

e να λύσετε την εξίσωση f x g x (Μονάδες 2) και να βρείτε το

εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC τη gC και τις ευθείες x 0 και x 1

Δ. Να υπολογίσετε τα ολοκλήρωματα:

2

0

συνxημx

dxx

x1

x1

1 xe xe 1

d

2

12

xx 1

d lnx

3.222 Έστω συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R με

( ) ( )f x 2f’ x (f’’ x ) 1 για κάθε x R f 0e f 0 1

f’ 0 1

Έστω h παράγουσα της f στο R τέτοια ώστε h 0 1 .

Α. i) Να βρείτε τον τύπο της f

ii) Για xf x e 1 να βρείτε την κυρτότητά της f (Μονάδες 1) και το πρόσημο της h

Β. Να αποδείξετε ότι 4

2f x dx 6 .

Γ. Αν 2g(x) g(x) g(x)x 2f 1 g(x)e f e e x e να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0≤ξ) ώστε g' ξ 0

Δ. Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης ( )xh αf e f e για τις διάφορες τιμές του R

Νέες σημειώσεις του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το...

Education

Transcript of Νέες σημειώσεις του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το...