Η ιστορία των λογαρίθμων

Γ. Λαγουδάκος

Μία περίληψη

που φιλοδοξεί να γίνει

αφορμή για μελέτη …

Γ. Λαγουδάκος σελ. 2

Στους μαθητές του Β2 Σχολικό έτος 2013-2014

Βασιλική, Νάσια, Ευγενία

Αμαλία, Κώστα, Κέλλυ

Ορφέα, Αλέξανδρο, Ολίνα

Μαρία, Μαρίζα, Κλειώ

Δημήτρη, Ανδρέα

Καλό διάβασμα …


Η ιστορία των λογαρίθμων

και του μυστηριώδους αριθμού e …

Μία αφήγηση από τον καθηγητή μαθηματικών

του Λυκείου των Εκπαιδευτηρίων Δούκα Γ. Λαγουδάκου

Α. Εισαγωγή …

Συνήθως όταν επρόκειτο να διδάξω το 4ο κεφάλαιο της Άλγεβρας γενικής

παιδείας της Β’ Λυκείου ξεκινούσα …

με τους ορισμούς και τις ιδιότητες των δυνάμεων και …

περνώντας γρήγορα στην εκθετική συνάρτηση, αφιέρωνα χρόνο σε τεχνικές

επίλυσης εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων και …

έφθανα «μαγικά» στον λογάριθμο δίνοντας ορισμό και ιδιότητες και …

πάλι τεχνικές επίλυσης εξισώσεων – ανισώσεων και …

πάλι ασκήσεις και …

όλο πιο δύσκολες ασκήσεις και …

ξανά ασκήσεις και …

να σου τα διαγωνίσματα…

Πως όμως δημιουργήθηκε η αναγκαιότητα του ορισμού της νέας αυτής έννοιας;

Γιατί, ως δάσκαλος πρέπει να αφιερώνω χρόνο ΜΟΝΟ σε εξάσκηση επίλυσης

ασκήσεων;

Γιατί να μη αφιερώνω έστω μία ή δύο ώρες από τις πολύτιμες που έχω στο να μιλήσω

για την ιστορία της εξέλιξης των μαθηματικών εννοιών;

Τα ιστορικά σημειώματα του σχολικού βιβλίου βοηθούν, αλλά φθάνει μόνο να

ευχηθώ οι μαθητές μου, μετά από προτροπή μου, να τα διαβάσουν; ή, πρέπει με την

στάση μου, αφιερώνοντας χρόνο και κοπιάζοντας, να καταδείξω την αναγκαιότητα

της ενασχόλησης και με την ιστορία της εξέλιξης της επιστήμης;

Γιατί τελικά,…

μέθοδος είναι η ίδια η έννοια και οι δρόμοι που ακολούθησαν όλοι οι σπουδαίοι

δάσκαλοι μαθηματικοί για να ανακαλύψουν και να λύσουν υπαρκτά προβλήματα

και όχι τα τεχνάσματα και οι ομαδοποιήσεις των εκατοντάδων κατασκευασμένων

φροντιστηριακών ασκήσεων στα οποία αναλισκόμαστε στο Λύκειο, νομίζοντας κιόλας

ότι κάνουμε και Μαθηματικά !


Ώσπου ένα καλοκαίρι στα ράφια ενός βιβλιοπωλείου ανακάλυψα το βιβλίο με τίτλο

« e : η ιστορία ενός αριθμού » του Eli Maor από το Πανεπιστήμιο Loyola του

Σικάγου, εκδόσεις κάτοπτρο .

Η μελέτη του συγκεκριμένου βιβλίου σχολαστική. Την πρώτη φορά απλώς

σημειώνοντας που και που κάποια ενδιαφέροντα σημεία, τη δεύτερη φορά γεμίζοντας

χαρτάκια με ερωτήσεις και συμπεράσματα, τη τρίτη φορά έχοντας πειστεί για το

πόσα νέα πράγματα μου μαθαίνει το συγκριμένο πόνημα και πόσο χρήσιμο είναι να

τα μοιραστώ με τους μαθητές μου, γράφοντας μία περίληψη, με κάποιες επεκτάσεις

που βοηθούσαν και μένα στην κατανόηση του κειμένου.

Αυτή την προσπάθεια της περίληψης παρουσιάζω παρακάτω …

Β. Εν περιλήψει …

1. Η ιστορία ξεκινά …

Τον 16ο – 17

ο αιώνα παρατηρήθηκε μία σημαντική ανάπτυξη της επιστημονικής

γνώσης σε όλους τους κλάδους…

Το ηλιοκεντρικό σύστημα του Κοπέρνικου άρχισε να γίνεται αποδεκτό…

Ο Μαγγελάνος το 1521 κάνει το γύρω του κόσμου…

Το 1569 ο Gerhard Mercator δημοσιεύει τον χάρτη του νέου κόσμου…

Ο Γαλιλαίος θέτει τις βάσεις της μηχανικής …

Ο Johannes Kepler διατυπώνει τους τρεις νόμους της κίνησης των πλανητών …

Οι εξελίξεις αυτές περιείχαν ένα ολοένα αυξανόμενο πλήθος αριθμητικών

δεδομένων, τα οποία υποχρέωναν τους επιστήμονες να διαθέτουν πολύ από τον χρόνο

τους για να εκτελούν τεράστιους αριθμητικούς υπολογισμούς.

Έτσι στο Εδιμβούργο της Σκωτίας ένας γαιοκτήμονας ο John Napier (1550-1617)

παρατήρησε …

«στα πρακτικά μαθηματικά τίποτε δεν καθιστά τόσο δύσκολους και περίπλοκους τους

υπολογισμούς όσο η εκτέλεση των πολλαπλασιασμών, των διαιρέσεων, οι εξαγωγές

τετραγωνικών και κυβικών ριζών των μεγάλων αριθμών.., άρχισα λοιπόν να σκέφτομαι

με ποιον έγκυρο και εύκολο τρόπο θα παράκαμπτα αυτά τα εμπόδια …»


2. Μια παλιά ιδέα …

Ας δημιουργήσουμε τον παρακάτω πίνακα :

Ο πίνακας αυτός περιλαμβάνει τους πρώτους 20 όρους της γεωμετρικής προόδου ν *

να 2 , με ν

Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων είμαστε σε θέση να εκτελέσουμε μία

σειρά από δύσκολους υπολογισμούς .

Παραδείγματα …

1. Να γίνει ο πολλαπλασιασμός : 16 65536

Παρατηρείστε ότι έχουμε διαδοχικά 4 16 4 16 2016 65536 2 2 2 2 1048576

Άρα παρατηρούμε :

σε ποιους αριθμούς της πρώτης γραμμής αντιστοιχούν οι αριθμοί 16 και

65536

τους αριθμούς αυτούς, 4 και 16, τους προσθέτουμε δηλαδή 20 και μετά

γράφουμε τον αριθμό της δεύτερης γραμμής που αντιστοιχεί στο 20 ως το

αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δηλαδή 16 65536 1048576

2. Να γίνει η διαίρεση : 524288:32768

Παρατηρείστε ότι έχουμε διαδοχικά 19 15 19 15 4524288:32768 2 : 2 2 2 16


σε ποιους αριθμούς της πρώτης γραμμής αντιστοιχούν οι αριθμοί 524288

και 32768

τους αριθμούς αυτούς, 19 και 15, τους αφαιρούμε δηλαδή 4 και μετά


αποτέλεσμα της διαίρεσης δηλαδή 524288:32768 16

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ν2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576


3. Να υπολογιστεί η δύναμη : 432

Παρατηρείστε ότι έχουμε διαδοχικά 4 5 4 5 4 2032 (2 ) 2 2 1048576


σε ποιους αριθμούς της πρώτης γραμμής αντιστοιχεί ο αριθμός 32

τον αριθμό αυτόν τον πολλαπλασιάζουμε με το 4 δηλαδή 20 και μετά


αποτέλεσμα της δύναμης δηλαδή 432 1048576

4. Να υπολογισθεί η ρίζα : 4 65536

Παρατηρείστε ότι έχουμε διαδοχικά 1 16

4 16 16 44 4 465536 2 (2 ) 2 2 16


σε ποιους αριθμούς της πρώτης γραμμής αντιστοιχεί ο αριθμός 65536

τον αριθμό αυτόν τον διαιρούμε με το 4 δηλαδή 16:4=4 και μετά


αποτέλεσμα της ρίζας δηλαδή 4 65536 16

3. Μία νέα μέθοδος γεννιέται …

Η προηγούμενη μέθοδος θα ήταν χρήσιμη μόνο αν μπορούσε να εφαρμοστεί σε

όλους τους αριθμούς, ακεραίους ή κλάσματα. Για να συμβεί όμως αυτό, πρέπει να

συμπληρωθούν τα μεγάλα κενά μεταξύ των αριθμών που καταγράφονται στον πίνακα

μας.

Ο Napier το κατόρθωσε αυτό επιλέγοντας ως βάση (αντί του 2, που έχουμε στο

παράδειγμα μας) ένα αριθμό αρκετά μικρό, έτσι ώστε οι δυνάμεις του να αυξάνονται

με κατάλληλα αργό ρυθμό.

Έπειτα από πολλές προσπάθειες ο Napier κατέληξε στον αριθμό 71 10 0,9999999 .

Στη συνέχεια έπειτα από επανειλημμένες ανιαρές αφαιρέσεις κατασκεύασε τους

διαδοχικούς όρους της προόδου του.

Η πρόοδος που κατασκεύασε είχε αρχικό όρο το 710 ακολουθούμενο από τον 7 710 (1 10 ) , μετά τον

7 7 210 (1 10 ) κ.ο.κ. μέχρι τον 101ο όρο της προόδου.

Το έργο της κατασκευής της ακολουθίας το εκπλήρωσε σπαταλώντας 20 χρόνια από

τη ζωή του (1594-1614).

Στην αρχή, τον εκθέτη της κάθε δύναμης ο Napier τον ονόμασε τεχνητό αριθμό αλλά

αργότερα κατέληξε στον όρο λογάριθμο συνδυάζοντας τις λέξεις λόγος και αριθμός,

αφού την εποχή εκείνη η γεωμετρική πρόοδος οριζόταν σαν μία ακολουθία αριθμών

που βρίσκεται σε συνεχή αναλογία.


Π.χ. η πρόοδος που σχηματίσαμε ν

να 2 γραφόταν 2 4 8 16 32

...1 2 4 8 16

και το 5

που είναι ο λογάριθμος του 32 με βάση το 2 δείχνει πόσοι λόγοι αριθμών χρειάζονται

στην παραπάνω συνεχή αναλογία μέχρι να φθάσουμε στον 32.

Ο Napier δημοσίευσε την επινόηση του το 1614 στα λατινικά με τον τίτλο :

Mirifici logarithmorum canonis descriptio ( Κατασκευή του υπέροχου κανόνα των

λογαρίθμων !!)

Επιστήμονες από όλο τον κόσμο υιοθέτησαν γρήγορα την επινόηση του και

επαινετικά σχόλια έφθαναν στον εφευρέτη.

4. Όταν ο κ. Briggs συνάντησε τον Napier …

O Henry Briggs (1561-1631) δίδασκε γεωμετρία στο κολέγιο Cresham στο Λονδίνο

όταν πληροφορήθηκε τα νέα για τους πίνακες του Napier.

Εντυπωσιάστηκε τόσο ώστε αποφάσισε να επισκεφθεί προσωπικά τον μεγάλο

εφευρέτη. Στην συνάντηση Briggs και Napier έγιναν δύο τροποποιήσεις που έκαναν

πιο εύκολη τη χρήση των λογαρίθμων.

Έθεσαν τον λογάριθμο του 1 ίσο με 0 αντί του 710 και το λογάριθμο του 10 ίσο με 1.

Οι νέοι πίνακες λογαρίθμων με τις αλλαγές αυτές τους επιμελήθηκε ο Briggs , ο

οποίος και δημοσίευσε τα συμπεράσματα το 1624 υπό το τίτλο Arithmetica

logarithmica.

Οι πίνακες αυτοί έδωσαν τους λογαρίθμους με βάση το 10 όλων των ακεραίων από

το 1 μέχρι το 20.000 και από το 90.000 μέχρι το 100.000 με ακρίβεια δεκατεσσάρων

δεκαδικών ψηφίων !!!.

Το κενό μεταξύ 20.000 και 90.000 συμπλήρωσε αργότερα ο Adriaan Vlacq (1600-

1667) και ολοκληρωμένοι πια οι πίνακες εκδόθηκαν για δεύτερη φορά το 1628.

5. Πρόδρομοι των υπολογιστικών μηχανών …

Με το που εμφανίστηκαν οι λογάριθμοι ως εργαλείο υπολογισμού και εκτέλεσης

πράξεων, κάποιοι καινοτόμοι επιστήμονες διαπίστωσαν πως θα μπορούσε να

επινοηθεί μηχανικός τρόπος για να γίνονται οι πράξεις με αυτούς.

Η ιδέα που προτάθηκε ήταν να χρησιμοποιηθεί ένας κανόνας διαβαθμισμένος με

αριθμούς κατά αναλογία με τους λογαρίθμους τους. Φανταστείτε δύο κλίμακες που

θα μπορούσαν να μετακινούνται η μία κατά μήκος της άλλης.

Η κατασκευή αυτή πραγματοποιήθηκε από τον William Oughtred (1574-1660)

Ο λογαριθμικός κανόνας με όλες τις παραλλαγές του αποτέλεσε για τα επόμενα 350

χρόνια τον υπολογιστή όλων των επιστημόνων.


Το 1970 έκαναν την εμφάνιση τους τα πρώτα ηλεκτρονικά κομπιουτεράκια και ο

λογαριθμικός κανόνας έπεσε σε αχρηστία.

Το 1980 η αμερικάνικη εταιρεία Keuffel & Esser διέκοψε την παραγωγή του…

Ο λογαριθμικός κανόνας

6. Πράξεις με τους λογαριθμικούς πίνακες και τον λογαριθμικό κανόνα …

Το πρώτο μας παράδειγμα …

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την έκφραση : 2

313,21 40,2

11,2

Για τον υπολογισμό θα χρειαστούμε ένα πίνακα λογαρίθμων και να γνωρίζουμε τα

βασικά δηλαδή :

τον ορισμό : Llog N L N 10

και τις ιδιότητες :

loga logb log(a b) , a

loga : log b log( )b

, nlog a n log a .

Επίσης πρέπει να γνωρίζουμε ότι αν :

N (0,10) τότε ο λογάριθμος του Ν είναι δεκαδικός με ακέραιο μέρος 0,

αν N [10,100) τότε ο λογάριθμος του Ν έχει ακέραιο μέρος 1,

αν N [100,1000) ο λογάριθμος του Ν έχει ακέραιο μέρος 2 κ.ο.κ.

Το ακέραιο μέρος του log N λέγεται χαρακτηριστικό του λογαρίθμου.

Ας σημειωθεί ότι στους λογαριθμικούς πίνακες εμφανίζεται μόνο το δεκαδικό μέρος

του λογαρίθμου και όχι το ακέραιο μέρος του (χαρακτηριστικό του λογαρίθμου),

οπότε ο χρήστης των πινάκων θα πρέπει να συμπληρώνει το λογάριθμο που βρίσκει

από τους πίνακες με το κατάλληλο χαρακτηριστικό.


Πίνακας λογαρίθμων


Ας προχωρήσουμε στους υπολογισμούς μας : 2

313,21 40,2

A11,2

Έχουμε διαδοχικά :

12

313,21 40,2 1

logA log( ) [log(13,21) 2 log(40,2) log(11,2)]11,2 3

Από τον πίνακα της σελ. 7 έχουμε ότι :

το δεκαδικό μέρος του log(13,21) είναι 1206+3=1209 άρα log(13,21) 1,1209

το δεκαδικό μέρος του log(40,2) είναι 6042 άρα log(40,2) 1,6042

το δεκαδικό μέρος του log(11,2) είναι 0492 άρα log(11,2) 1,0492

οπότε 1,1209+1,6042+1,0492=3,7743 και 3,7743:3=1,2581

άρα logA 1,2581

από τον ίδιο πίνακα παρατηρούμε ότι το δεκαδικό μέρος 2581=2577+5 αντιστοιχεί

στον αριθμό 18,12 ,

άρα Α=18,12

Προφανώς η όλη διαδικασία θα φαίνεται στο σημερινό μαθητή – επιστήμονα άκρως

χρονοβόρα και πολύπλοκη, όμως μέχρι το 1970 αυτή ήταν η διαδικασία υπολογισμού

της παράστασης αυτής,

Απλούστεροι πίνακες λογαρίθμων μπορείτε να αναζητήσετε στις διευθύνσεις :

http://www.sosmath.com/tables/logtable/logtable.html και

http://www.massmind.org/images/www/hobby_elec/e_logarithm.htm

Επίσης μία αρκετά ενδιαφέρουσα ιστοσελίδα είναι και η

http://www.archive.org/stream/logarithmictable00jonerich#page/n5/mode/2up

στην οποία παρουσιάζεται ένα βιβλίο λογαριθμικών πινάκων !!!

Η διαδικασία εκτέλεσης πράξεων με την βοήθεια των λογαριθμικών πινάκων

περιγράφεται αναλυτικά με πλήθος παραδειγμάτων στην διεύθυνση :

http://www.oldcomputers.arcula.co.uk/bhist3.htm

http://www.sosmath.com/tables/logtable/logtable.html

http://www.massmind.org/images/www/hobby_elec/e_logarithm.htm

http://www.archive.org/stream/logarithmictable00jonerich#page/n5/mode/2up

http://www.oldcomputers.arcula.co.uk/bhist3.htm


Το δεύτερο μας παράδειγμα …

θα γίνει με τη βοήθεια του λογαριθμικού κανόνα και διαδικτυακά !!! , επισκεφθείτε

την ιστοσελίδα :

http://www.antiquark.com/sliderule/sim/n525es/virtual-n525-es.html

όπου παρουσιάζεται ένας διαδραστικός κανόνας και εξασκηθείτε με τη βοήθεια των

παραδειγμάτων που υπάρχουν στην ιστοσελίδα :

http://www.antiquark.com/sliderule/sim/sr-calcs-by-example.html

Για την πληρέστερη ενημέρωση σας μην παραλείψετε να επισκεφθείτε και την

διεύθυνση http://www.antiquark.com/sliderule/sim/

7. Ένα οικονομικό παράδοξο …

Το πρόβλημα του ανατοκισμού

Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο οα με ετήσιο επιτόκιο ε%.

Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό

που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον

επόμενο χρόνο.

Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα

εισπράξουμε στο τέλος του ουν χρόνου.

Ο τύπος που μας δίνει τη λύση στο προηγούμενο πρόβλημα είναι ο γνωστός τύπος

του ανατοκισμού δηλαδή : ν

ν οα α (1 τ) όπου ε

τ100

Παράδειγμα , αν καταθέσουμε 1 χιλιάρικο (1000 ευρώ) με επιτόκιο 5% μετά από 10

χρόνια θα έχουμε 10 10

10

5α 1(1 ) 1,05 1,6288946

100 χιλιάδες ευρώ, δηλαδή μετά

από 10 χρόνια θα έχουμε κεφάλαιο ύψους 1.628 ευρώ και 89 λεπτά.

http://www.antiquark.com/sliderule/sim/n525es/virtual-n525-es.html

http://www.antiquark.com/sliderule/sim/sr-calcs-by-example.html

http://www.antiquark.com/sliderule/sim/


Ας υποθέσουμε ότι μία τράπεζα μας κάνει μία πολύ ειδική προσφορά.

Όποιος καταθέσει ποσό 1 χιλιάδων ευρώ, αυτό θα τοκιστεί με ετήσιο επιτόκιο

100% και με τη δυνατότητα ανατοκισμού 1,2,3, …,ή ν φορές το χρόνο σε ίσα

χρονικά διαστήματα ανάλογα με την επιθυμία του καταθέτη.

Έχει σημασία για τον καταθέτη το πόσες φορές το χρόνο θα ανατοκιστεί το

κεφάλαιο ;

Στον τύπο του ανατοκισμού αντικαθιστούμε οα 1 και αν ο καταθέτης θέλει να

ανατοκίζεται το κεφάλαιο του :

1 φορά το χρόνο τότε 100

ν 1 και τ 1100

άρα 1

1α 1 (1 1) 2 δηλαδή τα

χρήματα του θα διπλασιαστούν.

2 φορές το χρόνο τότε 50 1

ν 2 και τ100 2

άρα 2

2

1 9α 1 (1 ) 2.25

2 4

δηλαδή τα χρήματα του θα γίνου 2.25 φορές περισσότερα.

3 φορές το χρόνο τότε

100

13ν 2 και τ100 3

άρα 3

3

1α 1 (1 ) 2,37

3 δηλαδή

τα χρήματά του θα γίνουν 2,37 φορές περισσότερα.

Αν η διαδικασία αυτή συνεχιστεί θα καταλήξουμε στον παρακάτω πίνακα :

1 2 3 … 12 … 52 … 310 … 410 … 510 … 610

2 2,

25

2,

37

… 2,613

035

… 2,704

813

… 2,716

923

… 2,718

145

… 2,718

268

… 2,718

280

και θα παρατηρήσουμε ότι όσο αυξάνει η τιμή του ν από ένα σημείο και μετά το

αποτέλεσμα σταθεροποιείται σε μία τιμή γύρω στο 2,71828.

Ο αριθμός αυτός στον οποίο τείνουν οι τιμές της ακολουθίας ν

ν

1α (1 )

ν καθώς το ν

αυξάνει απεριόριστα συμβολίζεται με e και είναι άρρητος.

Ο συμβολισμός του οφείλεται στον Ελβετό μαθηματικό Leohard Euler (1707-1783)

Το παρακάτω applet υπολογίζει την τιμή του e …

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/exp/exp.html

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/exp/exp.html


8. Υπολογίζοντας εμβαδά καμπυλόγραμμων σχημάτων και η εμφάνιση

των λογαρίθμων …

Α. Οι πρώτες προσπάθειες ….

Είναι γνωστό ότι υπολογισμός του εμβαδού ενός οποιουδήποτε σχήματος σημαίνει

σύγκριση της επιφάνειας του με μία άλλη που την θεωρούμε μονάδα μέτρησης.

Ως μονάδα μέτρησης επικράτησε το τετράγωνο με πλευρά ίση με μία μονάδα μήκους,

οπότε η εύρεση του εμβαδού ονομάστηκε τετραγωνισμός της επιφάνειας.

Ενώ το πρόβλημα του τετραγωνισμού οποιουδήποτε πολυγώνου λύθηκε αρκετά

σύντομα, το αντίστοιχο θέμα του τετραγωνισμού μιας οποιασδήποτε

καμπυλόγραμμης επιφάνειας παρουσίασε αρκετά προβλήματα και αποτέλεσε αφορμή

για την παραγωγή νέων μαθηματικών !!

Μία αρκετά ενδιαφέρουσα προσέγγιση του θέματος αποδίδεται στον Εύδοξο τον

Κνίδιο ο οποίος λέγεται ότι υπολόγιζε το εμβαδό μιας οποιασδήποτε

καμπυλόγραμμης επιφάνειας χωρίζοντας την σε ένα μεγάλο πλήθος ορθογωνίων και

αθροίζοντας τα εμβαδά τους.

Η μέθοδος αυτή λέγεται μέθοδος της εξαντλήσεως.

Ο Αρχιμήδης από τις Συρακούσες είναι ο πρώτος όπου αποδεδειγμένα εφάρμοσε τη

μέθοδο αυτή για τον τετραγωνισμό της παραβολής.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται

από την παραβολή και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.

Ο Αρχιμήδης καταρχήν σχημάτισε το τρίγωνο ΟΑΒ και από το μέσο Δ της ΓΑ

φέρνοντας κάθετο σχημάτισε το τρίγωνο ΟΑΖ.

Μετά απόδειξε ότι το τρίγωνο ΟΑΖ έχει εμβαδόν ίσο με το ¼ του ΟΓΑ.

Την διαδικασία αυτή συνεχίζοντας απέδειξε ότι το τρίγωνο ΑΚΖ έχει εμβαδόν ίσο με

το ¼ του ΑΖΕ κ.ο.κ.


Άρα το ζητούμενο εμβαδόν Ε θα μπορεί να προσδιορισθεί από το άθροισμα :

Ε 2(ΟΑΓ) 2(ΟΖΑ) 2(ΑΖΚ) ...1 1 1

2[(ΟΑΓ) (ΟΑΓ) (ΟΑΓ) ...4 4 4

21 12(ΟΑΓ)(1 ( ) ...)

4 4

1 3(ΟΑΒ) (ΟΑΒ)

1 41

4

Με την ίδια λογική της εξαντλήσεως

υπολόγισε και το εμβαδόν του κύκλου

εγγράφοντας και περιγράφοντας κανονικά

πολύγωνα σε δεδομένο κύκλο.

Λέγεται ότι φθάνοντας να εγγράψει –

περιγράψει μέχρι και κανονικό 96γωνο

κατόρθωσε να πετύχει μία αρκετά καλή

προσέγγιση του εμβαδού του κύκλου

Στην ίδια λογική αρκετά αργότερα

ο Kepler υπολόγισε το εμβαδόν του

κύκλου ως άθροισμα εμβαδών κυκλικών

τομέων, όπου αν το πλήθος τους αυξάνεται

απεριόριστα τότε μπορούν να σχηματίσουν

ορθογώνιο με ύψος R και βάση ίση με το

μισό του μήκους του κύκλου.


Β. Ο πρίγκιπας των ερασιτεχνών μαθηματικών …

Ο Pierre de Fermat (1601-1665) ,Γάλλος δικηγόρος και ερασιτέχνης μαθηματικός

υπολόγισε το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται κάτω από την καμπύλη ny x ,

όπου n θετικός ακέραιος με τη βοήθεια ενός αθροίσματος ορθογωνίων που οι βάσεις

τους αποτελούν μία φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο ,

όπως στο σχήμα με 0<r<1.

Οπότε έχουμε το άθροισμα :

n 2 n 2 3 2 n(α αr) α (αr αr ) (αr) (αr αr ) (αr ) ...

n 1 n 1 n 1 n 1 2n 2α (1 r) α r (1 r) α r (1 r) ... n 1 n 1 2n 2α (1 r)(1 r r ...)

n 1

n 1

1α (1 r)

1 r

n 1

2 n

1α (1 r).

(1 r)(1 r r ... r )

n 1

2 n

α

(1 r r ... r )

Ο Fermat σκέφτηκε ότι για να προσαρμοστεί καλύτερα το άθροισμα των εμβαδών

των ορθογωνίων προς το πραγματικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη, πρέπει να

μικρύνει πολύ το πλάτος κάθε ορθογωνίου. Για να γίνει αυτό πρέπει ο λόγος r να

πλησιάζει προς το 1. Όσο πλησιέστερα μάλιστα τόσο το καλύτερο.

Όταν λοιπόν συμβεί το r 1 τότε κάθε όρος του παρονομαστή θα τείνει στο 1 οπότε

καταλήγουμε στον τύπο n 1α

En 1

Ο τύπος αυτός είναι ο πρώτος γενικός τύπος εμβαδού για μία σειρά από

καμπυλόγραμμα σχήματα !!!.


Γ. Το πρόβλημα …και ο κύριος Gregorie de Saint-Vincent (1584-1667)

Όμως για την υπερβολή 1

yx

δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο τύπος του Fermat αφού

τότε έχουμε n=-1 και ο παρονομαστής του τύπου γίνεται 0 !!

Τη λύση στο πρόβλημα αυτό την έδωσε ένας από τους λιγότερους γνωστούς

σύγχρονους του Fermat μαθηματικούς ο Βέλγος Ιησουίτης Gregorie de Saint-Vincent

ο οποίος ανάλωσε τον χρόνο του μελετώντας διάφορα προβλήματα τετραγωνισμού .

Στο έργο του Opus geometricum quadraturae circuli et sectiorum coni (Γεωμετρικό

εγχειρίδιο για τον τετραγωνισμό του κύκλου και τις τομές του κώνου, 1647)

παρουσιάζει την παρακάτω παρατήρηση.

Αν δουλέψουμε με παρόμοιο τρόπο όπως και

ο Fermat θα κατασκευασθούν ορθογώνια τα

οποία όμως θα έχουν ίσα εμβαδά !!

Αυτό σημαίνει ότι όσο η απόσταση από το 0

αυξάνει γεωμετρικά οι αντίστοιχες επιφάνειες

αυξάνουν κατά ίσα μεγέθη δηλαδή αυξάνουν

αριθμητικά.

Άρα η σχέση μεταξύ του εμβαδού και

της απόστασης είναι λογαριθμική !!!

Δηλαδή αν ονομάσουμε Α(t) το εμβαδό που

περικλείεται από την γραφική παράσταση της

ψ=1/χ τον άξονα χ’χ και τις ευθείες π.χ. χ=1 και χ=t>1 τότε θα είναι : Α(t)= λογ(t) (1).

Ο τύπος αυτός εγκαινιάζει τη χρήση της λογαριθμικής συνάρτησης ενώ μέχρι

εκείνη την εποχή οι λογάριθμοι χρησιμοποιούντο καθαρά ως υπολογιστική τεχνική.

Το ζήτημα που προέκυπτε ήταν ποια είναι η κατάλληλη βάση για το λογάριθμο του

τύπου (1).;


9. Η Γέννηση ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών …

Α) Το πρόβλημα …

Τον 17ο αιώνα οι Φυσικοί και Μαθηματικοί αντιμετώπισαν ένα πρόβλημα που

έμελλε να δώσει την μεγαλύτερη ίσως ανάπτυξη στα Μαθηματικά από όλα τα

δύσκολα προβλήματα που ασχολήθηκε η επιστήμη μέχρι εκείνη τη στιγμή.

Μελετούσαν την κίνηση των σωμάτων και συγκεκριμένα :

« αν είχαν τη θέση ενός κινητού σε συνάρτηση του χρόνου πως θα μπορούσαν να

όριζαν την ταχύτητα του, οποιαδήποτε χρονική στιγμή ».

Επειδή η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος θα έπρεπε να όριζαν το μέτρο της και

την διεύθυνση της. Δηλαδή θα έπρεπε να απαντούσαν στα ερωτήματα :

προς τα πού και πόσο γρήγορα κινείται ένα κινητό οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

Γνώριζαν ότι το διάνυσμα της ταχύτητας ήταν πάντοτε εφαπτομενικό της καμπύλης

ψ=s(t) που δίνει τη θέση του κινητού οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

Αλλά πως θα όριζαν την εφαπτομένη σε ένα σημείο οποιασδήποτε καμπύλης ;;

Η εφαπτομένη όπως οριζόταν στο κύκλο με την Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν βοηθούσε

Το πρόβλημα που αντιμετώπιζαν ήθελε μια εντελώς νέα προσέγγιση.

Πρώτος ο Gilles Personne de Roberval 1602-1675 αντιμετώπισε το πρόβλημα της

χάραξης της εφαπτομένης μιας παραβολής ως εξής :

Θεώρησε την παραβολή ως αποτέλεσμα δύο κινήσεων , την απομάκρυνση του

σημείου από την εστία και την απομάκρυνση του σημείου από την διευθετούσα.

Αφού οι αποστάσεις του κινούμενου σημείου από εστία και διευθετούσα είναι

ίσες τα διανύσματα της ταχύτητας των δύο κινήσεων πρέπει να έχουν το ίδιο

μέτρο .

Η ταχύτητα του κινητού προκύπτει ως συνισταμένη των δύο κινήσεων .

Το διάνυσμα της συνισταμένης είναι εφαπτομενικό της παραβολής αλλά

συγχρόνως διχοτομεί την γωνία που σχηματίζεται από την εστιακή ακτίνα

προς το σημείο και την κάθετο προς τη διευθετούσα που διέρχεται από το

σημείο αφού είναι διαγώνιος του σχηματιζόμενου ρόμβου ΡΑΤΒ.


Ο Pier de Fermat 1601- 1665 χάραξε την εφαπτομένη μιας παραβολής σε τυχαίο

σημείο της με τρόπο περισσότερο γεωμετρικό ορίζοντας την περίφημη υφαπτομένη

Αποδεικνύοντας ουσιαστικά ότι η εφαπτομένη της παραβολής στο τυχαίο σημείο

της o oA(x , y ) είναι η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Α και oB( x ,0)

Όλες όμως αυτές οι προσπάθειες έλυναν το πρόβλημα ειδικά , η γενική λύση του

βρέθηκε από τον μεγάλο Άγγλο Μαθηματικό και Φυσικό Isaac Newton 1643-

1727 όπου το πρόβλημα της κατασκευής της εφαπτομένης σε οποιοδήποτε

σημείο μιας καμπύλης (C) το έλυσε θεωρώντας την εφαπτομένη ως οριακή θέση

τέμνουσας εισάγοντας την κίνηση σαν θεμελιώδες συστατικό των μαθηματικών

που ανέπτυξε.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να φέρουμε την εφαπτομένη στο σημείο Α της καμπύλης

(C ) .

θεωρούμε ένα γειτονικό σημείο B το οποίο κινείται προς το Α .


Σε κάθε θέση του B ορίζεται η ευθεία ΑB η οποία έχει την μορφή της τέμνουσας της

καμπύλης στα σημεία Α και B .

Ως εφαπτομένη της καμπύλης στο Α θεωρούμε την οριακή θέση της τέμνουσας που

συμβαίνει την στιγμή ακριβώς εκείνη όπου το B διέρχεται από το Α.

Για να πούμε όμως ότι έχουμε λύσει το πρόβλημα πρέπει να είμαστε σε θέση :

γνωρίζοντας την εξίσωση της καμπύλης (C ) και τις συντεταγμένες του σημείου Α να

μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας.

Αν ( , ( )) ( , ( ))o o o ox f x B x h f x h τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι

( ) ( ) ( ) ( )

( )

o o o oAB

o o

f x h f x f x h f x

x h x h

Επειδή η εφαπτομένη (ε) ορίζεται ως οριακή θέση της τέμνουσας τότε ο συντελεστής

διευθύνσεως της θα είναι το όριο του AB καθώς το Β διέρχεται από το Α δηλαδή

καθώς το 0h .

Άρα 0

( ) ( )lim o o

h

f x h f x

h.

To όριο αυτό αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το ονομάζουμε παράγωγο

της f στο ox και συμβολίζεται '( )of x και εκφράζει τον συντελεστή διευθύνσεως

της εφαπτομένης της καμπύλης fC στο σημείο ( , ( ))o oA x f x .


Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α μπορεί να βρεθεί ως ευθεία στην οποία

γνωρίζουμε ένα σημείο της , το Α και τον συντελεστή διευθύνσεως της και η εξίσωση

της θα είναι : ( ) : ( ) '( ) ( )o o of x f x x x

Αν σε κάθε o fx D αντιστοιχήσουμε την παράγωγο of '(x ) ορίζουμε μία νέα

συνάρτηση την οποία την ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση και η οποία αποδίδει την

κλίση της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο της.

Την συνάρτηση αυτή ο Νεύτωνας την ονόμασε ροή ενώ την αρχική συνάρτηση f ρέουσα

και την συμβόλιζε f .

Για να είμαστε δίκαιοι ιστορικά θα πρέπει να αναφέρουμε ότι παράλληλα με τον

Νεύτωνα ένας άλλος σπουδαίος μαθηματικός ο G.W.Leibniz 1646-1716 ανέπτυξε την

έννοια της παραγώγου με τρόπο παρόμοιο.

Ο συμβολισμός που χρησιμοποίησε για να παριστάνει την παράγωγο μιας συνάρτησης f

σε ένα σημείο της ox ήταν ox x

df

dx και αποδείχθηκε αποτελεσματικότερος από εκείνον

του Νεύτωνα.

Η εκ νέου ανάπτυξη των θεμελιωδών εννοιών πάνω σε μία αποδεκτά αυστηρή βάση

έπρεπε να περιμένει την περίοδο της πραγματικής εφαρμογής του λογισμού και

αποτέλεσε έργο του μεγάλου Γάλλου αναλύστα Augustine -Louis Cauchy 1789-1857

και των διαδόχων του τον δέκατο ένατο αιώνα.


Β) Το αντίστροφο πρόβλημα …

Στη συνέχεια ο Νεύτωνας εξέτασε το αντίστροφο πρόβλημα δηλαδή …

πως είμαστε σε θέση να βρίσκουμε την αρχική ή παράγουσα συνάρτηση όταν

γνωρίζουμε την παράγωγο ( να βρεθεί η ρέουσα όταν είναι γνωστή η ροή;)

Στις μέρες μας η διαδικασία εύρεσης της ρέουσας μιας δεδομένης ροής ονομάζεται

ολοκλήρωση ή αντιπαραγώγιση και το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μιας δεδομένης

συνάρτησης είναι το αόριστο ολοκλήρωμα ή η αντιπαράγωγος ,

( ο όρος αόριστο ολοκλήρωμα αναφέρεται στο γεγονός ότι υπάρχουν πολλές

συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο, αφού όλες οι συναρτήσεις που προκύπτουν με

παράλληλη κατακόρυφη μετατόπιση έχουν την ίδια κλίση σε κάθε σημείο τους με

κοινή τετμημένη) .

Μία σειρά από κανόνες παραγώγισης και αντιπαραγώγισης διατυπώθηκαν.

Οι δύο διαδικασίες αντιμετωπίστηκαν ως αντίστροφες, όπως οι πράξεις του

πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης

Με τον τρόπο αυτό όπως σημείωσε κάποτε ο Άγγλος μαθηματικός Augustus de

Morgan η ολοκλήρωση έγινε η μνήμη της παραγώγισης.

Γ) Η ενοποίηση δύο κλάδων των μαθηματικών …

Σε προηγούμενη παράγραφο αναφερθήκαμε στις προσπάθειες τετραγωνισμού

οποιασδήποτε επιφάνειας. Η μέθοδος που υιοθετήθηκε ήταν αυτή της προσέγγισης

του ζητούμενου εμβαδού ως άθροισμα μεγάλου πλήθους ορθογωνίων, πολύ μικρού

πλάτους…


«Δίνεται η εντύπωση ότι στον ολοκληρωτικό λογισμό (τετραγωνισμός επιφάνειας) και το

διαφορικό λογισμό (κλίση οποιασδήποτε καμπύλης σε ένα δοσμένο σημείο της) έχουμε δύο τελείως

διαφορετικές μελέτες .

Η πρώτη στηρίζεται στο όριο ενός αθροίσματος τα στοιχεία του οποίου αυξάνονται και

καθένα από αυτά τείνει στο μηδέν, και η δεύτερη στηρίζεται στο όριο ενός πηλίκου

διαφορών.

Μία πραγματικά σημαντική ανακάλυψη όμως που έγινε στο δεύτερο μισό του 17ου

αιώνα έδειξε ότι οι δύο αυτές φαινομενικά ανόμοιες μελέτες συνδέονται μεταξύ τους.»

Απόσπασμα από το βιβλίο : «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του Howard Eves εκδόσεις Τροχαλία»

Ο Νεύτωνας παρατήρησε πως η ανακάλυψη του Fermat

- ότι η έκφραση n 1x

n 1 που αποδίδει το εμβαδό της επιφάνειας που βρίσκεται κάτω

από την καμπύλη ny x από το σημείο χ=0 μέχρι ένα οποιαδήποτε σημείο χ

- είναι η ίδια με αυτή που εμφανίζεται και στην αντιπαραγώγιση της συνάρτησης ny x .

Οπότε διατύπωσε, χωρίς να δώσει αυστηρή απόδειξη, το παρακάτω θεώρημα που

είναι γνωστό ως : θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού.

Αν δοθεί η συνάρτηση y=f(x) ορίζουμε μία νέα συνάρτηση

t

α

A(t) f (x)dx που

εκφράζει το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται κάτω από την γραφική

παράσταση της f από μία σταθερή τιμή χ=α μέχρι τη μεταβλητή τιμή t τότε :

« η παράγωγος της συνάρτησης A(t) είναι η συνάρτηση f(t) ή η συνάρτηση f(t)

είναι μία αντιπαράγωγος συνάρτηση της A(t).»

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα :

“Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση

της 2y x από χ=0 ως χ=1.”

Η συνάρτηση

t

0

A(t) f (x)dx αποδίδει το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική

παράσταση της f τον άξονα χ’χ και τις ευθείες χ=0 και χ=t.

Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα ισχύει ότι 2A'(x) f (x) x άρα

3xA(x) c

3

Για χ=0 προφανώς θα είναι Α(0)=0 άρα c=0 , οπότε 3x

A(x)3

άρα 1

A(1)3

δηλαδή

το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με 1/3 τ.μ.


10. Η εκθετική συνάρτηση …

Α. Η έννοια της δύναμης να με ν φυσικό ως άρρητο …

Στο Γυμνάσιο ακούσαμε για πρώτη φορά τον όρο δύναμη πραγματικού αριθμού και

ορίσαμε ως να το γινόμενο ν παράγοντες

α α α...α με α και ν φυσικός με ν 2 .

Ακολούθως παρατηρήσαμε ότι ισχύουν μία σειρά από ιδιότητες, όπως :

ν μ ν μα α α , ν

ν μ

μ

αα ,α 0

α , ν μ ν μ(α ) α ,

ν ν ν(α β) α β , ν

ν

ν

α α( ) ,β 0β β

.

Όμως στην δεύτερη ιδιότητα :

Αν θέσουμε όπου ν=μ τότε το κλάσμα είναι ίσο με 1 ενώ το δεύτερο μέλος της

ισότητας γράφεται 0α το οποίο δεν εκφράζει δύναμη !!! ( αφού δύναμη είναι

γινόμενο ν ίσων παραγόντων). Οπότε αναγκαζόμαστε να ορίσουμε 0α 1 , α 0

Αν θέσουμε όπου ν=μ+1 τότε το κλάσμα μετά από απλοποιήσεις γράφεται α

ενώ το δεύτερο μέλος της ιδιότητας γράφεται μ 1 μ 1α α το οποίο δεν

εκφράζει δύναμη !!!. Οπότε αναγκαζόμαστε να ορίσουμε 1α α

Αν θέσουμε όπου ν το 0 τότε το πρώτο μέλος της ισότητας γράφεται μ

1

α και

το δεύτερο μα το οποίο δεν εκφράζει πάλι δύναμη !!!. Οπότε αναγκαζόμαστε

να ορίσουμε μ μ

μ

1 1α ( ) ,α 0

α α.

Ο ορισμός αυτός επεκτείνει την έννοια της δύναμης στο , δηλαδή το σύμβολο να έχει πλέον νόημα και όταν ο ν είναι ακέραιος ({... 3, 2, 1,0,1,2,3,...}).

Αν επιτρέψουμε να εφαρμόζουμε τις ιδιότητες με εκθέτες ρητούς αριθμούς τότε

μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής συμπέρασμα : ν 1

1 νν να α α (α )

αλλά ισχύει επίσης ότι : ν νx α x α με α 0 .

Άρα μπορούμε να ορίσουμε 1

ννα α , με τον τρόπο αυτό επεκτείνουμε τον ορισμό

της δύναμης στο σύνολο των ρητών αριθμών .

Π.χ. 2 1 1

2 33 3 32 (2 ) 4 4


Άραγε μπορούμε να ορίσουμε και τη δύναμη σε εκθέτη άρρητο;;, και πως μπορεί να

γίνει κάτι τέτοιο;;

Ο ορισμός της δύναμης χα ,με χ ' γίνεται ως εξής :

Ας είναι νρ η ακολουθία των δεκαδικών προσεγγίσεων του άρρητου χ με ν δεκαδικά

ψηφία τότε καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα ( αυξάνεται δηλαδή το πλήθος των

δεκαδικών ψηφίων της προσέγγισης του άρρητου χ) οι όροι της ακολουθίας νρα

προσεγγίζουν έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό τον οποίο λέμε δύναμη του α με

εκθέτη το χ.

Π.χ ας υπολογίσουμε την δύναμη 22 με την βοήθεια του ορισμού

Στον διπλανό πίνακα παρουσιάζονται :

Στην πρώτη στήλη δεκαδικές

προσεγγίσεις της 2 μέχρι 11

δεκαδικά ψηφία

Στην δεύτερη στήλη δυνάμεις του 2

με εκθέτες τις αντίστοιχες δεκαδικές

προσεγγίσεις.

Θα παρατηρήσουμε ότι οι δυνάμεις

τείνουν ολοένα και περισσότερο

προς τον αριθμό 2,6651441426..

τον αριθμό αυτόν τον ονομάζουμε δύναμη του 2 εις την 2 , είναι προφανές ότι ο

αριθμός αυτός είναι άρρητος και αν συνεχίζαμε την όλη διαδικασία θα είχαμε

καλλίτερη προσέγγιση.

Β. Η συνάρτηση xα με α 0 , α 1 και x ….

Ας θεωρήσουμε έναν οποιοδήποτε πραγματικό θετικό αριθμό α διάφορο του 1 τότε :

σε κάθε x μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τον αριθμό xα .

Θεωρώντας τα σημεία Μx(x,α ) στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων έχουμε

την παρακάτω γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης xy α με x


Για διάφορες τιμές του α στο διάστημα (0,1) (1, )

θα παρατηρήσουμε ότι αν 0<α<1 η xy α είναι συνάρτηση γνησίως φθίνουσα ενώ

όταν α>1 είναι συνάρτηση γνησίως αύξουσα.

Στην ειδική περίπτωση όπου α=1 η γραφική παράσταση είναι ευθεία παράλληλη του

άξονα χ’χ και δεν παρουσιάζει κάποιο ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

Γ. Οι θαυμαστές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης …

Αν παρατηρήσουμε την εκθετική συνάρτηση xy α , με α>1 θα δούμε ότι :

1. Ο ρυθμός αύξησης της εκθετικής συνάρτησης μας εκπλήσσει, δηλαδή όταν το

χ αυξάνει παίρνοντας αρνητικές τιμές, ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής των

τιμών του ψ είναι αργός, ενώ όταν το χ αυξάνεται παίρνοντας θετικές τιμές ο

ρυθμός μεταβολής των τιμών του ψ απογειώνεται !!!

2. Μία δεύτερη προσεκτικότερη παρατήρηση μας οδηγεί στην διατύπωση ότι ο

ρυθμός μεταβολής των τιμών του ψ, (που αποδίδεται με τον συντελεστή

διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης σε κάθε σημείο

της) είναι ανάλογη της αντίστοιχης τιμής της συνάρτησης.

Με άλλα λόγια υπάρχει μία αξιοθαύμαστη σχέση ανάμεσα στην εκθετική

συνάρτηση και την παράγωγό της!!! ισχύει ότι x x(α ) ' k α


3. Η ιδιότητα αυτή γίνεται ακόμα αξιομνημόνευτη όταν θεωρήσουμε την

εκθετική συνάρτηση xy e για την οποία μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο

ρυθμός μεταβολής του y για μία συγκεκριμένη τιμή του x είναι ίσος με την

τιμή της συνάρτησης στη συγκεκριμένη τιμή του χ.

11. Η εκθετική συνάρτηση στη φύση …

Ο σημαντικός ρόλος της συνάρτησης xy e στα μαθηματικά και στις φυσικές

επιστήμες βρίσκεται στο γεγονός ότι συναντάμε πολλά φαινόμενα στα οποία ο

ρυθμός μεταβολής μιας ποσότητας είναι ανάλογος προς την ίδια την ποσότητα.

Ας εξετάσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα.

1. Ο ρυθμός μείωσης της μάζας ενός ραδιενεργού υλικού λόγω της διάσπασής

του και η ραδιενέργεια που εκπέμπει είναι κάθε στιγμή ανάλογος της μάζας

του m.

Δηλαδή ισχύει ότι dm

amdt

, η σχέση αυτή (μία τέτοια εξίσωση λέγεται

διαφορική εξίσωση) οδηγεί στην ισότητα at

om m e , όπου om η αρχική μάζα

του ραδιενεργού υλικού.


Παρατηρείστε ότι το m βαθμιαία προσεγγίζει το 0 χωρίς ποτέ να το φθάσει ποτέ.

Έτσι εξηγείται γιατί τα πυρηνικά απόβλητα προκαλούν βλάβες ακόμα και πολλά

χρόνια μετά την απόσυρσή τους.

Η τιμή a καθορίζει το ρυθμό μείωσης της μάζας του υλικού, συνήθως μετριέται

από το χρόνο ημιζωής, το χρόνο δηλαδή που απαιτείται για να διασπαστεί το μισό

της αρχικής μάζας του ραδιενεργού υλικού.

2. Αν ένα θερμό αντικείμενο θερμοκρασίας οΤ τοποθετηθεί σε περιβάλλον

σταθερής θερμοκρασίας 1Τ , τότε αυτό θα ψύχεται με ρυθμό ανάλογο προς την

διαφορά 1Τ Τ ( της θερμοκρασίας την οποία έχει κατά τη χρονική στιγμή t

και της σταθερής θερμοκρασίας του περιβάλλοντος )

δηλαδή ισχύει ότι : 1

dTa(T T )

dt.

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι : at

1 o 1T T (T T )e

Παρατηρείστε ότι το Τ προσεγγίζει βαθμιαία το 1T αλλά δεν το φθάνει ποτέ.

3. Όταν τα ηχητικά κύματα μεταδίδονται στον αέρα ή μέσα σε κάποιο άλλο

μέσο, η ένταση τους περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση dI

aIdx

,όπου

το χ δηλώνει την απόσταση που διάνυσε το κύμα.

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι : ax

oI I e

4. Αν ένα χρηματικό ποσό ανατοκίζεται

συνεχώς ( δηλαδή κάθε στιγμή) με ετήσιο

επιτόκιο r, το ποσό που θα σχηματιστεί

μετά από t χρόνια θα δίνεται από τον τύπο

rtA Pe όπου Ρ το αρχικό κεφάλαιο.


5. Η αύξηση του πληθυσμού ακολουθεί κατά προσέγγιση ένα νόμο εκθετικής

μεταβολής.

6. Τον Μάιο του 1690 ο Jacob Bernoulli έθεσε υπόψη της επιστημονικής

κοινότητας το παρακάτω πρόβλημα :

«Να βρεθεί η καμπύλη η οποία σχηματίζεται από μία αλυσίδα που κρέμεται

ελεύθερα από δύο σταθερά σημεία» .

Το πρόβλημα λύθηκε χωριστά από τους μαθηματικούς Huygens , Leibniz και

Johann Bernoulli.

Η εξίσωση της καμπύλης, η οποία είναι γνωστή ως αλυσοειδής, είναι η ax axe e

y2a

όπου a μία σταθερά της οποίας η τιμή εξαρτάται από τις φυσικές

παραμέτρους της αλυσίδας.

Για a=1 η καμπύλη με εξίσωση x xe e

y2

είναι η παρακάτω.

12) Η λογαριθμική συνάρτηση και οι εφαρμογές της …

Α) Ο λογάριθμος ως λύση εκθετικής εξίσωσης …

Στο 3ο μέρος αυτής της εργασίας

ορίσαμε ως λογάριθμο ( με βάση το 10)

ενός θετικού αριθμού ψ τον εκθέτη στον

οποίο πρέπει να υψωθεί το 10 ώστε να

δίνει ψ δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία :

xψ 10 x log ψ .


Άρα ο λογάριθμος του θετικού αριθμού ψ αποτελεί τη λύση της

εξίσωσης : x10 ψ ως προς χ.

Αντίστοιχα η λύση της εξίσωσης xψ e ως

προς χ είναι η x ln ψ .

Η λύση αυτή ονομάζεται φυσικός λογάριθμος του θετικού αριθμού ψ.

Β) Η λογαριθμική συνάρτηση …

Αν σε κάθε θετικό αριθμό χ αντιστοιχήσουμε τον λογάριθμό του τότε ορίζουμε μία

νέα συνάρτηση την οποία ονομάζουμε λογαριθμική συνάρτηση.

Για την συνάρτηση αυτή προφανώς ισχύει ότι : ψy log x x 10 ή για τον φυσικό λογάριθμο

yy ln x x e

Αν θεωρήσουμε τα σημεία Μ(χ,ψ) για τα οποία ισχύει : ψ=logx τότε έχουμε την

γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι σε κάθε σημείο Μ(χ,ψ) με ψ log x αντιστοιχεί

ένα σημείο Ν(ψ,χ) για το οποίο είναι yx 10 .

Δηλαδή σε κάθε σημείο Μ(χ,ψ) της γραφικής παράστασης της λογαριθμικής

συνάρτησης το σημείο Ν(ψ,χ) ανήκει στην γραφική παράσταση της αντίστοιχής της

εκθετικής συνάρτησης.

Όμως τα σημεία Μ(χ,ψ) και Ν(ψ,χ) είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο ψ=χ της

1ης

– 3ης

γωνίας των αξόνων.

Άρα η γραφική παράσταση της λογαριθμικής είναι συμμετρική της

εκθετικής ως προς την διχοτόμο ψ=χ !!

Στο παρακάτω διάγραμμα παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων x xy 10 , y e , y x , y log x , y ln x


Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση y f (x) ln x είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο

ορισμού της με παράγωγο 1

f '(x) , x 0x

.

Δηλαδή σε κάθε σημείο της M(x,ln x) ο συντελεστής διευθύνσεως της εφαπτόμενης

ευθείας είναι ίσος με 1

λ f '(x)x

.

Γ) Η υπερβολή τετραγωνίζεται …

Με βάση τα όσα έχουμε ήδη αναφέρει

στις παραγράφους 8-γ και 9-γ

το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται

από την υπερβολή 1

yx

τον οριζόντιο

άξονα χ’χ και τις ευθείες χ=1 και χ=t ,

όπου t ένας οποιοσδήποτε πραγματικός

αριθμός μεγαλύτερος του 1 θα είναι ίσο

με :

t

1

1E(t) dx

x και ισχύει ότι

E(1) 0 και 1

E '(t)t

,

άρα η Ε(t) θα είναι μία αρχική συνάρτηση της 1

yt

.

Με βάση τα όσα έχουμε ήδη αναφέρει για τη λογαριθμική συνάρτηση έχουμε ότι

E(t) ln t c .

Επειδή E(1) 0 ln1 c 0 c 0 ,

άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με E(t) ln t .

Από τα παραπάνω μας δίνεται η δυνατότητα ενός εναλλακτικού ορισμού του φυσικού

λογαρίθμου ως ολοκλήρωμα δηλαδή :

t

1

1ln t dx

x


Δ) Μία ασήμαντη ;; σχολική άσκηση …

«Αν οι θετικοί αριθμοί 1 2 3θ ,θ ,θ ,... είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε

οι αριθμοί 1 2 3logθ , log θ , log θ ,... είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.»

Την συγκεκριμένη άσκηση την συναντά κανείς σε οποιοδήποτε σχολικό εγχειρίδιο

και σαν τέτοια την αντιμετωπίζουμε μάλλον τυπικά χωρίς να της δίνουμε την

προσοχή που της αξίζει.

Κι’ όμως …

Με τη βοήθεια της άσκησης αυτής μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση

μιας συνάρτησης όπου οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής μεταβάλλονται

εκθετικά.

Έτσι αντί τις τιμές της μεταβλητής ψ στον κατακόρυφο άξονα σημειώνουμε τους

λογαρίθμους τους.

Το φύλλο σχεδίασης ενός τέτοιου γραφήματος λέγεται λογαριθμικό και η κλίμακα –

λογαριθμική κλίμακα.

Το ποιο χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της λογαριθμικής κλίμακας είναι η

κλίμακα Richter, κλίμακα μέτρησης των σεισμών.

Οι σεισμοί στην Κλίμακα Ρίχτερ μετρούνται από το 1 ως το 10 και χρησιμοποιείται

ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο.

Η ένταση του σεισμού αυξάνεται 10 φορές από τον ένα βαθμό στον άλλο, δηλαδή ο

σεισμός 8,5 βαθμών Ρίχτερ είναι 10 φορές ισχυρότερος από το σεισμό 7,5 βαθμών

Ρίχτερ.

Π.χ. με βάση τα στοιχεία αυτά ένας σεισμός 6,2 βαθμών Ρίχτερ είναι 310 φορές

πιο καταστροφικός από ένα σεισμό 3,2 βαθμών .


Στο διπλανό σχέδιο παριστάνονται οι διάφορες

αποστάσεις γήινες ή διαστημικές με τη βοήθεια

λογαριθμικής κλίμακας !!!

Αν θέλαμε να παρουσιάζαμε κάτι τέτοιο σε

πραγματική κλίμακα σίγουρα θα είχαμε ατυχήσει !!

Γ. Κάτι σαν επίλογος …

Τελικά ο αριθμός e και η έννοια του λογαρίθμου είναι

μία αφορμή για να ασχοληθεί κανείς περισσότερο

επισταμένα με την ιστορία της εξέλιξης των μαθηματικών

εννοιών στο διάβα των αιώνων.

Το ταξίδι ατελείωτο και συνάμα συναρπαστικό.

Υπάρχουν ακόμα τόσα και τόσα πράγματα που δεν έχουν

αναφερθεί, που πιθανόν να είναι μία ωραία αφορμή για

την επόμενη συνάντηση …

Γ. Λαγουδάκος

Φεβρουάριος 2010

Η ιστορία των λογαρίθμων

Documents

Transcript of Η ιστορία των λογαρίθμων