Άλγεβρα & στοιχεία πιθανοτήτων: για την Α' Λυκείου...

6ο Κεφάλαιο Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων 1

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης

Θέμα 1ο :Τι λέγεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ;

Είναι ένα ζεύγος δύο κάθετων αξόνων x΄x και y΄y

με κοινή αρχή ένα σημείο Ο και το συμβολίζουμε με

Oxy .

Ο οριζόντιος άξονας x΄x λέγεται άξονας των

τετμημένων ή άξονας των x και ο κάθετος y΄y

λέγεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y

!Σχόλιο: Αν οι μονάδες των αξόνων έχουν το ίδιο μήκος

, το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό ,αν όχι το λέμε

ορθογώνιο

!Παρατηρήσεις

Το συμμετρικό του σημείου , ως προς

α) τον άξονα x΄x ,είναι το σημείο ,1A

β) τον άξονα y΄y ,είναι το σημείο ,2 A

γ) την αρχή των αξόνων Ο ,είναι το σημείο ,3A

δ) τη διχοτόμο του 1ου

και 3ου

τεταρτημορίου είναι το σημείο

,΄

ε) τη διχοτόμο του 2ου

και 4ου

τεταρτημορίου είναι το σημείο

,΄΄

Θέμα 2ο :Δίνονται δυο διαφορετικά σημεία του καρτεσιανού επιπέδου 11, yxA και 22, yxB .

Να υπολογίσετε την απόσταση τους

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε με το πυθαγόρειο

θεώρημα ότι 222KBAKAB =

2

12

2

12 yyxx =

212

2

12 yyxx .

Άρα έχουμε 212

2

12 yyxxAB


Θέμα 3ο : Έστω C ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα .

Να αποδείξετε ότι, ένα σημείο ,M x y ανήκει στον κύκλο C , αν και μόνο

αν ισχύει 222 yx

Απόδειξη :

Ένα τυχαίο σημείο ,M x y ανήκει στο κύκλο C ,αν και μόνο αν ισχύει ,

OM , δηλαδή 2 2 2 2 2x y x y

Θέμα 4ο :Τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το A R ;

Το σύνολο των σημείων xfxM , για κάθε Ax λέγεται γραφική παράσταση και την

συμβολίζουμε με (C , από την λέξη curve, δηλαδή καμπύλη )

!Παρατηρήσεις :

Το σημείο 0 0,M x y ανήκει στη γραφική παράσταση fC , μιας

συνάρτησης f αν και μόνο αν ισχύει 00 yxf , δηλαδή

επαληθεύει την εξίσωση της y f x .

Τα σημεία τομής της fC με τον άξονα x x βρίσκονται αν

λύσουμε την εξίσωση 0xf (όλα τα σημεία του άξονα x x είναι

της μορφής ,0 ,δηλαδή έχουν τεταγμένη 0)

Τα σημεία τομής της fC με τον άξονα yy βρίσκονται αν θέσουμε

όπου 0x (εφόσον το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f ) στην

xfy (όλα τα σημεία του άξονα yy είναι της μορφής

0, 0f ,0 ,δηλαδή έχουν τετμημένη 0)

Οποιαδήποτε κάθετη ευθεία στον x x , τέμνει την γραφική

παράσταση fC το πολύ σε ένα σημείο.

Αν δύο συναρτήσεις ,f g έχουν κοινό πεδίο ορισμού f gD D

τότε, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων τους

βρίσκονται αν λύσουμε την εξίσωση xgxf

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f ,βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x στα διαστήματα που αληθεύει η ανίσωση 0xf (Από

το σχήμα 0xf ,αν 5, 1 2,x )

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον

άξονα x΄x στα διαστήματα που αληθεύει η ανίσωση 0xf

(Από το σχήμα 0f x αν , 5 1,2x )

f

fC


Η γραφική παράσταση της συνάρτησης xf προκύπτει από

τη αφού πάρουμε την συμμετρική της fC ως προς τον

άξονα x x

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης xf προκύπτει από

τη fC αφού πάρουμε την συμμετρική της fC ως προς τον

άξονα y y

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης xf προκύπτει από την

fC ,αφού πάρουμε τα τμήματα της fC που είναι πάνω από

τον άξονα x x και τα συμμετρικά ως προς τον άξονα x x των

τμημάτων της που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x

Ερωτήσεις Κατανόησης

Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ , αν ο ισχυρισμός

είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Λ

1. Το σημείο 2,1A ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 21 xxf

Σ Λ

2. Αν ισχύει 13 f ,τότε το σημείο 1,3A ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

Σ Λ

3. Η γραφική παράσταση της 322 xxxf διέρχεται από το σημείο 0,1A

Σ Λ

4. Η συνάρτηση xxxf 23 περνάει από το σημείο 0,0M Σ Λ

5. Το συμμετρικό του σημείου )3,2( A ως προς τον άξονα x x είναι το 3,2A Σ Λ

6. Το συμμετρικό του σημείου )2,1(A ως προς τον άξονα y y είναι το 2,1A Σ Λ

fC


7. Αν 2, 1 και 1,1 ,τότε η απόσταση 5 Σ Λ

8. Η απόσταση των σημείων (1,0) και 2,0 είναι ίση με 3 Σ Λ

9. Κάθε κάθετη ευθεία στον άξονα x x τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα

ακριβώς σημείο Σ Λ

10. Η απόσταση των σημείων ,2A x x και 3 ,2B x x είναι 4AB x Σ Λ

11. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 452 23 xxxxf τέμνει τον άξονα y y στο

σημείο 4,0 A Σ Λ

12. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, δεν μπορεί να έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα

y y Σ Λ

13. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2

1

x

xxf τέμνει τον άξονα x x στο σημείο 0,1A

Σ Λ

14. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 92 xxf τέμνει τον άξονα x x σε δύο σημεία

Σ Λ

15. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1

12

x

xxf τέμνει τον άξονα y y Σ Λ

16. Ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις ορίζουν συνάρτηση

17. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2 1f x x και 2 1g x x x τέμνονται στα

σημεία 1, 1A και 2,5B Σ Λ


18. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2 2011f x x και 32 xxg έχουν δύο

κοινά σημεία Σ Λ

19. Δεν υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να σχηματίζει λουκουμά με τρύπα στη

μέση Σ Λ

20. Να βρείτε το πεδίο ορισμού , το σύνολο τιμών , τα σημεία τομής με τους άξονες και τα

διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι θετική ή αρνητική

21. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

α) Να λυθεί η εξίσωση 0f x

β) Να λυθεί η εξίσωση 6f x

γ) Να λυθεί η εξίσωση 2f x

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις

22. Αν σημεία Α 2,1x και 1,25 yxB είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο.

Τότε Α. 4x και 1y Β. 2x και 0y Γ. 6x και 2y

23. Η απόσταση AB των σημείων 3,2 A και 7,5 B είναι ίση με:

Α. 3 Β. 7 Γ.5 Δ. 113 Ε τίποτα από τα παραπάνω

24. Η απόσταση AB των σημείων ,A και ,B είναι ίση με:

Α. 2 Β. 2 Γ. 2 Δ. 2 2 Ε.0

25. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το στοιχείο της στήλης Β

Στήλη Α Στήλη Β

A. Τα σημεία 2, 3 , 2,3 είναι 1. Συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων

B. Τα σημεία 1,4 , 4,1 είναι 2. Συμμετρικά ως προς τον άξονα x x

C. Τα σημεία 3,1 , 1,3 είναι 3. Συμμετρικά ως προς τον άξονα y y

D. Τα σημεία 6,5 , 6,5 είναι 4. Συμμετρικά ως την διχοτόμο του 1ου

και 3ου

τεταρτημορίου το σημείο

E. Τα σημεία 1,2 , 1, 2 είναι 5. Συμμετρικά ως την διχοτόμο του 2ου

και 4ου

τεταρτημορίου


26. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά

α) Το πεδίο ορισμού της f είναι A

β) Το σύνολο τιμών της f είναι f A

γ) 2f , 2f , 4f 0f

8f , 1f

δ) Τα σημεία τομής της fC με τον άξονα x x είναι ………………

ε) Τα σημεία τομής της fC με τον άξονα y y είναι ………………

στ) Η 0f x , αν x ζ) Η 0f x ,αν x

η) Η 0f x ,αν x θ) Αν 2,5f x ,τότε x

ι) Αν 4, 1x τότε f x ια) 5f

ιβ) 1f ιγ) Αν 1f x ,τότε x

27. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά του πίνακα

Στήλη Α

Συνάρτηση

Στήλη Β

Σημεία Τομής με άξονα x x

Στήλη Γ

Σημεία τομής με άξονα y y

3 6y f x x

2 4y f x x x

21y f x x

2 5 6y f x x

33 24y f x x

1 1y f x x

3

4x

y f xx


28. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g .

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά

A.Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A

Β. Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο B

Γ. Είναι f x g x όταν x

Δ. Είναι f x g x όταν x

Ε. Είναι f x g x όταν x

ΣΤ. Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f A

Ζ. Το σύνολο τιμών της g είναι το σύνολο g B

Η. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xxστα σημεία ……………………

Θ. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο ……………………

Ι. Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x x στα σημεία ……………………

ΙΑ. Η γραφική παράσταση της g x τέμνει τον άξονα y y στο σημείο ……………………

Λυμένες Ασκήσεις

1. Να βρείτε τους πραγματικούς , ώστε για τα σημεία Α,Β,Γ να ισχύουν

α) 2 1, 1A Ox (Θετικό ημιάξονα ) β) 3, 2B y (αρνητικό ημιάξονα )

γ) 1 2 1

,2 3

να ανήκει στο 3ο τεταρτημόριο

Λύση:

α) πρέπει 01 και 012 ή 1 και 12 ή 1 και 2

1

β) πρέπει 03 και 02 ή 3 και 2

γ)πρέπει και ή 01 και 012 ή 1 και 2

1

2. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου 3,1 ως προς

α) τον άξονα x x β) τον άξονα y y γ)τη διχοτόμο του 1ου

και 3ου


δ) τη διχοτόμο του 2ου

και 4ου

τεταρτημορίου ε) την αρχή των αξόνων

Λύση:

α) Είναι το σημείο 3,11 A β) Είναι το σημείο 3,12A γ) Είναι το σημείο 1,33 A

δ) Είναι το σημείο 1,34 A ε) Είναι το σημείο 3,15 A

02

1

0

3

12


3. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με , 2,1B και 3,6 είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές

Λύση:

και και

26125231622

επειδή είναι ισοσκελές και

και 262 άρα 22

2 δηλαδή ορθογώνιο

4. Να βρείτε τον αριθμό x R ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ με 4,1A , 1,2B και x,4 ,να είναι

ισοσκελές

Λύση :

1091411222

και 22249414 xx

Για να είναι το ΑΒΓ ισοσκελές πρέπει AAB .Άρα 24910 x ή

24910 x ή 241 x ή 14 x ή 5x ή 3x

5. Έστω το σημείο 3,1A . Να βρείτε σημείο Β του άξονα x x τέτοιο ώστε :

α) Η απόσταση των σημείων Α, Β να είναι 5 ,δηλαδή , 5AB

β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ να είναι 3 ,δηλαδή , 3)( OAB

Λύση:

α)Επειδή το σημείο Β ανήκει στον άξονα xx θα είναι της

μορφής ,0B άρα θα έχουμε

2 2 2

1 0 3 1 9 5 ή

2

1 9 25 ή 2

1 16 ή 1 4 άρα 3 ή

5 άρα 3,0B ή 5,0B

β)

32

OB AKAOB ή

33

2

ή 2 ή 2

6. Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x

xxf

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι διέρχεται από το σημείο 1, 3M

γ) Να βρείτε τα σημεία που η fC τέμνει τους άξονες

δ) Τα διαστήματα που η fC ,είναι πάνω από τον άξονα x x

ε) Τα διαστήματα που η fC ,είναι κάτω από τον άξονα x x

Λύση:

α) Πρέπει 02 x ή 2x άρα το πεδίο ορισμού της θα είναι ,22, A

β) Έχουμε 31

3

21

211

f ή 31 f άρα η fC διέρχεται από σημείο 3,1M

γ) Για 0x έχουμε 120

200

f άρα η fC τέμνει τον yy στο σημείο 1,0 K .

Για 0y ή 0xf έχουμε 02

2

x

xxf ή 02 x ή 2x

5,3A

1394523122

1349533622

2622


άρα η fC τέμνει τον xx στο σημείο 0,2

δ) Η fC είναι πάνω από τον άξονα x x αν 0xf ή 02

2

x

x ή 022 xx

ή 042 x ή 42 x ή 42 x ή 2x . Άρα 2x ή 2x οπότε στο

διάστημα ,22, A η fC είναι πάνω από τον άξονα x x

ε) Η fC είναι κάτω από τον άξονα x x αν 0xf ή 02

2

x

x ή 022 xx

ή 042 x ή 42 x ή 42 x ή 2x . Άρα 22 x οπότε στο διάστημα

2,2 η fC είναι κάτω από τον άξονα x x

7. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

132 xxxf και 652 2 xxxg

Λύση : Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων είναι τα ,f g f gD R D R ά D D R

Έχουμε 132 xxy και 652 2 xxy άρα 132 xx 652 2 xx

ή 0782 xx ή 1x ή 7x οπότε τα κοινά σημεία είναι 11,1 gfA ή 3,1A και 77,7 gfB ή 69,7B

8. Να βρείτε τον αριθμό R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο

432 xxxf ,να διέρχεται από το σημείο 4,2M

Λύση:

Πρέπει να ισχύει 42 f ή 442322

ή 44264

ή 66 ή 1

9. Να βρείτε τους αριθμούς , R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο

21 2 xxxf ,να διέρχεται από τα σημεία 2,1 και 6,1

Λύση:

Πρέπει να ισχύει 21 f και 61 f άρα έχουμε το σύστημα :

6211161

22121

2

ήf

ήf

621

221

242

1

723

1

723

33

ή

Λυμένες Ασκήσεις

1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 1, 3A και 1, 2 3B να είναι

συμμετρικά ως προς τον άξονα x x .

2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε το σημείο 2 24 , 7 10M να βρίσκεται

στο τρίτο τεταρτημόριο

3. Να βρείτε το πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 2 21, 4 , 3,A

να είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y .


4. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 6,3A και 1, 2B να είναι

συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο του 1ου

και 3ου


5. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 5,3A και 92,1 B να είναι

συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο του 1ου

και 3ου

τεταρτημορίου .

6. Αν το σημείο 4,1A ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο

3 22 3 5f x x x να βρείτε τον R .

7. Να βρείτε τη συνάρτηση 2 , ,f x x x R η οποία διέρχεται από τα σημεία 2,1

και 3,1 .

8. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 1,2A και 2, 2B να είναι

συμμετρικά την αρχή των αξόνων Ο.

9. Δίνεται η συνάρτηση 92 xxf

α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x x και yy ΄

β) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x ,ώστε η γραφική παράσταση της f ,να είναι πάνω

από τον άξονα x x .

10. Να βρεθούν οι αποστάσεις των σημείων

α) 1,3A και 1, 2B β) 2,5A και 2,7B γ) 0,0A και 4, 3B

11. Να αποδείξετε ότι τα σημεία 0,3A , 3, 2B και 3, 2 είναι κορυφές ισοσκελούς

τρίγωνου

12. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία 1,2A , 3, 2B και 3,0 είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές

13. Δίνονται τα σημεία 1,2A και 2,3B .Να βρείτε σημείο M του άξονα x x τέτοιο ώστε το

τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο M

14. Δίνονται τα σημεία 1,2A και 3,2B .Να βρείτε σημείο M που έχει τεταγμένη διπλάσια από

την τετμημένη και το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ.

15. Δίνονται οι συναρτήσεις 1f x x και 3 13g x x .

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των ,f g

16. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 2 1f x x και

2 3g x x για τις διάφορες τιμές του .

17. Να βρείτε τις τιμές του x R για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης

22 3f x x x να είναι κάτω από την γραφική παράσταση 2 5g x x x .


18. Δίνεται η συνάρτηση

2 3 10, 1

1, 2 1

5 , 2

x x x

x xf x

x x

.Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής

παράστασης της με τους άξονες x x και yy ΄.

19. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 12

3

x

xxf

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x x , y y .

20. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ,ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

3 22 5f x x x και 2 1g x x ,να έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα y y

21. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς , ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

2 3 1f x x x και ( ) 1 5 2g x x x να τέμνονται στο σημείο 1,1A

22. Δίνεται η συνάρτηση 2134 xxxf . Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής

παράστασης της f με τους άξονες και να εξετάσετε αν η fC διέρχεται από το σημείο 7,5M

23. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες αν

α) 122 xxxf β) 3292 xxxf

γ)

1,1

1,1

2 xx

xxxf δ) 20044 22 xxxf

24. Δίνεται η συνάρτηση 3 23 1 1f x x x x .

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς , ,ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται

από τα σημεία 1,2 A , 8,1B .Στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία στα οποία η γραφική

παράσταση της f τέμνει τους άξονες

25. Δίνεται η συνάρτηση 133 2233 xxxxf .

α)Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το

σημείο 0,1A .

β)Στη συνέχεια να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

γ)Να επιλύσετε τη ανίσωση xxf 31

26. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) ( 1) 2 2f x x x Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η

γραφική παράσταση της f ,να διέρχεται από το σημείο 3, 3A

27. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 33 1f x x

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

γ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε το σημείο 9, 1A να ανήκει στη γραφική

της παράσταση της .


Θέμα 1ο :

Α. Δίνονται τα σημεία 11, yxA και 22, yxB . Να υπολογίσετε η απόσταση τους .

Μονάδες 5

Β. Τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το A R ;

Μονάδες 5

Γ. Το σημείο 3,1A ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 12 xxf

Σ Λ

Μονάδες 5

Δ. Αν 2, 3 και 0,3B ,τότε η απόσταση 2AB

Σ Λ

Μονάδες 5

E. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x

xxf

12 δεν τέμνει τον άξονα y y

Σ Λ

Μονάδες 5

Θέμα 2ο :

Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 7,3A και 2 5 ,3B να είναι

συμμετρικά ως προς τον άξονα y y

Μονάδες 12,5

Β. Δίνεται η συνάρτηση 1,f x x R . Να βρείτε τον αριθμό ώστε η γραφική

παράστασης της να διέρχεται από το σημείο 2,1M

Μονάδες 12,5

Θέμα 3ο :

Α Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε η απόσταση των σημείων 1,2A και ,B x x

να είναι 5

Μονάδες 12,5

Β. Δίνονται οι συναρτήσεις 2 1f x x και 2 5g x x

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

Μονάδες 12,5

Θέμα 4ο :

Δίνεται η συνάρτηση 3 22 ( 1) 3 1 4,f x x x x R .

α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το

σημείο 2, 12A

Μονάδες 7

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

Μονάδες 5

γ) Να βρείτε τις τιμές του x ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να είναι κάτω από την

γραφική παράσταση 3 22 1g x x x

Μονάδες 13

f

16ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ στην παράγραφο 6.2

(Γραφική παράσταση συνάρτησης )

η συνέχεια στο...

http://www.easywriter.gr/ebooks/item/808

http://www.easywriter.gr/ebooks/item/808

Άλγεβρα & στοιχεία πιθανοτήτων: για την Α' Λυκείου...

Documents

Transcript of Άλγεβρα & στοιχεία πιθανοτήτων: για την Α' Λυκείου...