ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
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Transcript of ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
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10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.2 - .. . . . . . . . . 210 10.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10.5 - .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11 229
11.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.3 . . . . . . . . 235 11.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.8 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 7 23/7/2013 3:37:50
-
12 255
12.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 12.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.4 - .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.5 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.6 -
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.7 - - .. . . . . . . . . . . . . . 275 12.8 -
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
13 285
13.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 13.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 13.3 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 13.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 13.6 - .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.11 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.12 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.13 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.14 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 13.17 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 13.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 13.19 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 8 23/7/2013 3:37:51
-
9 1
Ellsworth Kelly (, 1923). 2 2 , , 1974.
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 9 23/7/2013 3:37:51
-
10
1.1
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 10 23/7/2013 3:37:51
-
11
1 .
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 11 23/7/2013 3:37:51
-
12
. , , , .
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- .
1.2
. - , . , , , , . - , , . .
.. . , . , , - -, , . , -, , -
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 12 23/7/2013 3:37:51
-
13
1 .
. .
, . , . , 440 .., , , . , - , , .
(.. ), . , , , .. , 17 . ( ), .
. - 17 . - , .
H - -. 18 . , - . 17 . .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 13 23/7/2013 3:37:51
-
14
(1822) - , ( ) .
. . 19 . - . (1829) . (1832). , , , - .
( ), ( - ) . - 1854 - , . 19 . , ( ) - .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 14 23/7/2013 3:37:51
-
15
2T : , , : - , , , . , , , - , .
Andrea Mantegna (, 1431 - 1506). "Camera degli Sposi" ( ), , .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 15 23/7/2013 3:37:52
-
16
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1
A B
2
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 16 23/7/2013 3:37:52
-
17
2 .
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2.3
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2.4
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xx Ax (.5).
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2.5
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3
A B
x
y
x
y
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4
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5
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6
y xA
7
A B
, , .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 17 23/7/2013 3:37:53
-
18
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2.6
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2.7
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8
A B x
9
A B
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 18 23/7/2013 3:37:53
-
19
2 .
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2.8
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iii) , , (.13). -
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.
:
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11
AB
12
A B
13
A B
10
A B
x
A B
BA
= , , -. .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 19 23/7/2013 3:37:54
-
20
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, (.14). .
2.10
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14
A B
15
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: i) , ii) .
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3. , , . , - , , , .
A B
4. Ox Ox ;
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5. ;
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 20 23/7/2013 3:37:54
-
21
2 .
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, .
, , (.16).
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1
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A
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ii) , , , , + + .
1. , , , , ,
= 2
.
2. - , - . - . ; ( 2).
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 21 23/7/2013 3:37:54
-
22
2.12
- x y (.17), . , Ox, Oy . - (Ox, B) (Oy, A) x y. xOy yOx O AOB BOA (.17) .
, xOy, x Oy Ox Oy.
, - . .
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x y , x (.18) xOy , xOy - (.19) .
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, , .
2.13
AOB AOB , , (.21). :
i) , - AOB = AOB.
ii) AOB, AOB AOB AOB< AOB.
iii) AOB,
17
A
By
x
1
2
18
xy
19
xy
20
xy
21
B
A
B
B
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 22 23/7/2013 3:37:55
-
23
2 .
AOB AOB AOB> AOB.
AOB K - K , AOB.
:
, : AOB = K (.21).
AOB, K AOB: K < AOB (.21).
AOB, K AOB: K > AOB (.21).
22O
y
x
23O xy
21 21 21
K O
B
A K O
A
B
K O
B
A
24
1
2
25
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.
-
xOy (.23). xO Oy , . - . 1, 2 12 (.24). , (.25).
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 23 23/7/2013 3:37:56
-
24
2.14
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.
(.27) . , - (. 3.5), .
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-
(.28).
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, . (.29). - .
27
A
xx
28
A B
29
- , , - xx (- ) xAx , ( - ). .
26
z
A xx
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 24 23/7/2013 3:37:57
-
25
2 .
2.15
, , -, .. xOy yOz (.30) .
O (.31) O, O O. O, O, O - .
-
i) O O O (.31).
. , - , .. O = O + O + O (.31).
ii) O > E (.32). E, O (.32). ZO E O - O E. E + O = O.
.
iii) O - O.
OB = OB+OB+...+OB
,
.. O = OB+O+O = 3OB
OB = O
3 (.33).
2.16
. - , .. O O (.34) .
30
y
x
z
31
B
A
33
A
B
32
B
A
B
A
- - .
34
B
A
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 25 23/7/2013 3:38:00
-
26
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( ) .
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, .
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.
35
A
B
36
x
yx
y
- . ( ) , ..:
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 26 23/7/2013 3:38:00
-
27
2 .
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37
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x
y x
12
38
A
B
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2. , .
3. - - - .
4. i) AB ;
ii) AB -;
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A
B
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2. , , .
3. . ; (- ) ;
1. - .
2
1
A B
x yz
t
A
B
x
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 27 23/7/2013 3:38:01
-
28
2.17
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3. , - .
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2. . , ,
= 12
.
39
B
A
K
40
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 28 23/7/2013 3:38:01
-
29
2 .
. 1, , 2.
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(.41) , . .
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. , (.41) , - . - .
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, (, ) (.42) , < , , > .
, - (.43). , .
41
A B 12
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A BK
42
x
AB
43
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 29 23/7/2013 3:38:03
-
30
2.18 -
.
, .44 xOy .
.
, . , O
.
.
AB - , AB = (.45).
AB ( AB) AB > , AB (.45).
-.
, .
, - .
AB () (.46). AB , , . , K K .
. K K (). , , , ,
44
By
xA
45
B A
B
A
46
A
K
B
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 30 23/7/2013 3:38:03
-
31
2 .
, K K, . AB , AB = .
i) .
ii) .
iii) , - .
(.47) () , , A, , B (.47) - , .
AB (.48) , AM MB , AM = MB.
.
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AB , , (.49). MA = MB, AO MOB AO. AB M, O, - .
47
A BK
K
A
B
48
B
A
49
A
B
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 31 23/7/2013 3:38:04
-
32
xy zt , ( ), (, R) (O, R) R < R. AB = , A = (.50).
AB = , O = O, A = .
B
AA
B
t
x
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z
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1. (, ).
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 32 23/7/2013 3:38:04
-
33
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-
34
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B
55
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 34 23/7/2013 3:38:06
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36
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 36 23/7/2013 3:38:06
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 39 23/7/2013 3:38:07
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 41 23/7/2013 3:38:08
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 43 23/7/2013 3:38:08
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 49 23/7/2013 3:38:10
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64
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 64 23/7/2013 3:38:15
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 65 23/7/2013 3:38:15
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58
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 66 23/7/2013 3:38:15
-
67
3 .
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B
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59
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 67 23/7/2013 3:38:16
-
68
3.15
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 68 23/7/2013 3:38:17
-
69
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3.16
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61
61
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3. (,R) . , . - .
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 69 23/7/2013 3:38:17
-
70
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64
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65
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 70 23/7/2013 3:38:17
-
71
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66
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 71 23/7/2013 3:38:18
-
72
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3. . - - . P = 90.
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 72 23/7/2013 3:38:18
-
73
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A
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67
68
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 73 23/7/2013 3:38:18
-
74
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71
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72
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3
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B
69
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 74 23/7/2013 3:38:19
-
75
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73
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A
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75
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 75 23/7/2013 3:38:19
-
76
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5. B ). (, ) (, ), , , .
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 76 23/7/2013 3:38:19
-
77
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 77 23/7/2013 3:38:19
-
78
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:
-
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-
-
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 78 23/7/2013 3:38:19
-
79
4 . , .
, , .
Lzl Moholy-Nagy (, 1895-1946), - .1 1922.
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 79 23/7/2013 3:38:20
-
80
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 80 23/7/2013 3:38:20
-
81
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 81 23/7/2013 3:38:20
-
82
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 82 23/7/2013 3:38:21
-
83
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A
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 83 23/7/2013 3:38:21
-
84
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 84 23/7/2013 3:38:22
-
85
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 85 23/7/2013 3:38:22
-
86
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 86 23/7/2013 3:38:22
-
87
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 87 23/7/2013 3:38:23
-
88
4.6
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B
18
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 88 23/7/2013 3:38:23
-
89
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19
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20
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 89 23/7/2013 3:38:23
-
90
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: - 2 4 .
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- 2 4 .
- 4 .
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(A1 + A2 + ... + A) + (A1 + A2 + ... + A) = 2
(A1 + A2 + ... + A) + (2 4) = 2v
A1 + A2+ ... + A = 4.
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12
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1
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4
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2
34 5
-1
23
1
2
3
4
24
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 90 23/7/2013 3:38:24
-
91
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iii) 90 A
2.
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2
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B
2
2
I = 90 + A
2 (
A
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B
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ii) . : = 90 I = 90 + I (2) ( ).
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2. (3)
iii) I B = 90, I+ I = 90 I = 90 I. (4)
(3) (4) I = 90 A
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2
2 211
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 91 23/7/2013 3:38:24
-
92
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55
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3. B > . -
A = B 2
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4. A, B
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5. - . A = 2 .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 92 23/7/2013 3:38:25
-
93
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7. (A = 90). B , . = .
1. ( = ) . , - = . .
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2.
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4. ( = ) . , . :
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i) = , ii) .6. A >
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2.
7. 1, 2 -. - 1 2, . , ;
1
2
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 93 23/7/2013 3:38:25
-
94
1. A = 60 - . = E.
2. ( = = = ) ,
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3. (A = 90) . x, - . = .
4. A = = 90 = . - = . .
5. < . - :
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6. 1, 2, 3 - , , . - 123.
7. , (, ) (I, ). O , , , , (, ) (, ) , , .
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 94 23/7/2013 3:38:25
-
95
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-
4
5
6
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2 4 4
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2. (3 ). (, .)
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22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 95 23/7/2013 3:38:25
-
96
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(6) , .
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(8) .
(9) .
(10) . ( ).
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. - . - . , (3). ( -) (petitio principi), . - - - [, ] , .
, - - , , - ( 993) , - . (836-901), . - , - ,
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 96 23/7/2013 3:38:25
-
97
4 .
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, -, .
(1 . ..). - , , (6).
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-. . (2) - , - . , - - (1201-1274) -, .
13 . - . -, - -, - (973-. 1050) , - . - - - ( -, 1263). -. . 13- 14 . - - (1236-1311), - -.
. - . -, .
13 18 . - 13 . (Vitelo, 1225-1280) (1572).
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 97 23/7/2013 3:38:25
-
98
--. , .
14 . (Levi ben Gerson Gersonides, 1288-1344) , (1270-1346).
16 . - . . (1472-1538), - 1507. 1574 (Clavius (Schlussel), 1537-1612) . (6). -, .
17 . - , . 1603 - . (1548-1626), 1658 .. (1608-1679) , 1680 (1633-1711). 1693 . (J. Wallis, 1616-1703) V , -, , (9), .
- (G.G. Saccheri, 1667-1733). - . ,
-, . - -. - , ( ) .
- (J.H. Lambert, 1728-1777). , , , - , , . . - - . - . , , - . , - (.. , - , ..) .
, . (L. Bertrand, 1731-1812), , 1778, .. (1752-1833), - , .. (1764-1813), (Farkas Bolyai, 1775-1856), , .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 98 23/7/2013 3:38:25
-
99
4 .
.
.
.
:
.
.
1 2 :
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.
.
:
2 . 1 .
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//.
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1 2.
1 2 :
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2
1
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 99 23/7/2013 3:38:25
-
100
( )
( )
( )
2 , :
- 2 4 .
.
2 , .
.
60.
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 100 23/7/2013 3:38:26
-
101
Josef Alberts (, 1888-1976). : , , 1959. Solomon R. Guggenheim, .
5 - , - . - , .
22-0016 EYKLEIDIA GEOMETRIA.indb 101 23/7/2013 3:38:26
-
102
5.1
2.20, . - (.1) , .
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(.2), (.3).
5.2
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i) . ii) . iii) .
i), ii)
, (.5). :B1 = 1 = ( ). . B2 = 2 = ( ). , , = = . A = B = = + .
iii)
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1
AB
2
3
4
A B
5
1
12
2
A B
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-
103
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1 1
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A B
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8
A B
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1
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A B
1
2
10
21
12
A B
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-
104
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iii) A = = B = = (.11) A + B + + = 4 2 + 2 = 4 + = 2. , A + = 2, // A + B = 2, // , -.
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11
A
B
12
A B
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-
105
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5.3