Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Θεωρία και Πολιτική της

Οικονομικής Μεγέθυνσης

Πανεπιστημιακές Παραδόσεις

Θεόδωρος Παλυβός

Ενότητα 1

Εισαγωγή στη Γενική Ισορροπία και την Οικονομική της Ευημερίας

Marie-Esprit-Léon Walras (1834-1910)

Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926)

1. Ανταγωνιστική Ισορροπία 1.1. Εισαγωγή Φανταστείτε ένα γεγονός που επηρεάζει αρνητικά τη ζήτηση του κρέατος των πουλερικών, π.χ. τη γρίπη των πουλερικών. Γνωρίζουμε από την μικροοικονομική θεωρία ότι ένα τέτοιο γεγονός θα μετατοπίσει την καμπύλη ζήτησης προς τα αριστερά με αποτέλεσμα να μειωθεί η αγοραία τιμή του κρέατος των πουλερικών καθώς επίσης και η ποσότητα ισορροπίας. Εξετάζοντας δηλαδή τη συγκεκριμένη αγορά (ανάλυση μερικής ισορροπίας), καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι στη νέα ισορροπία οι καταναλωτές θα αγοράζουν και οι παραγωγοί θα προσφέρουν μικρότερη ποσότητα σε χαμηλότερη τιμή.

Σταματούν εδώ τα αποτελέσματα μιας αρνητικής εξωτερικής επίδρασης, όπως η νόσος των πουλερικών; Φυσικά όχι. Αναμένουμε οι καταναλωτές να στραφούν προς άλλες μορφές κρέατος στην αγορά των οποίων θα παρατηρήσουμε μια μετατόπιση της καμπύλης ζήτησης προς τα δεξιά. Αυτή θα οδηγήσει σε αύξηση της τιμής των άλλων μορφών κρέατος καθώς επίσης και της εμπορευόμενης ποσότητας (ποσότητας ισορροπίας). Στη νέα ισορροπία, σε κάθε μια από αυτές τις αγορές, οι καταναλωτές θα αγοράζουν και οι παραγωγοί θα προσφέρουν μεγαλύτερη ποσότητα σε ψηλότερη τιμή.

Σταματούν εδώ τα αποτελέσματα του αρχικού γεγονότος; Φυσικά όχι. Θα επηρεαστεί ενδεχομένως και η αγορά ψαριών καθώς επίσης και όλων των άλλων προϊόντων που είναι είτε υποκατάστατα είτε συμπληρωματικά με το κρέας των πουλερικών, παραδείγματος χάριν, η αγορά κρασιού ή μπύρας. Οι μεταβολές στους τομείς των πουλερικών και των άλλων μορφών κρέατος θα επηρεάσουν επίσης και τις αγορές των παραγωγικών συντελεστών που απασχολούνται σε αυτές. Πιο συγκεκριμένα, εξαιτίας της αρχικής αρνητικής επίδρασης και της μείωσης της εμπορευόμενης ποσότητας των πουλερικών, κάποιοι εργάτες στον τομέα των πουλερικών θα χάσουν την εργασία τους. Επίσης κάποιος μηχανολογικός εξοπλισμός, για παράδειγμα, μηχανήματα τυποποίησης, συσκευασίας, αυτοκίνητα κ.λπ. θα σταματήσουν να χρησιμοποιούνται στο συγκεκριμένο τομέα. Όπως είναι φυσικό, οι κάτοχοι αυτών των παραγωγικών συντελεστών θα αναζητήσουν εργασία σε άλλους τομείς. Οι τομείς αυτοί μπορεί να μην είναι απαραίτητα συγγενείς με τον τομέα των πουλερικών, αφού η μεταβολή στη ζήτηση δεν θα διοχετευθεί όλη σε ένα τομέα. Επιπλέον ο ένας τομέας χρησιμοποιεί παραγωγικούς συντελεστές σε αναλογία διαφορετική από τον άλλο. Για παράδειγμα, ο τομέας των πουλερικών θα απελευθερώσει ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου σε αναλογία διαφορετική από αυτή που θα προσλάβει ο τομέας της κτηνοτροφίας ή της αλιείας. Κατά συνέπεια οι παραγωγικοί συντελεστές που εργάζονταν πριν στο τομέα των πουλερικών δεν μπορούν να απασχοληθούν όλοι στον τομέα της κτηνοτροφίας ή της αλιείας αλλά θα διοχετευθούν (ενδεχομένως μετά από ένα μεγάλο χρονικό διάστημα) σε όλη την (τοπική ή εθνική) οικονομία. Επίσης με την αλλαγή απασχόλησης, οι παραγωγικοί συντελεστές θα έχουν μια αλλαγή στο εισόδημα τους, η οποία θα επηρεάσει τις αγορές όλων των αγαθών στις οποίες οι κάτοχοι αυτών των παραγωγικών συντελεστών εισέρχονται ως αγοραστές. Το συγκεκριμένο παράδειγμα θα μπορούσε να συνεχιστεί αναφέροντας τις επιπτώσεις σε πολλές άλλες (εθνικές ή παγκόσμιες) αγορές. Το γενικό συμπέρασμα είναι ότι μια αλλαγή που συμβαίνει σε μια αγορά έχει επιδράσεις, άλλοτε μικρότερες και άλλοτε μεγαλύτερες, σε πολλές άλλες αγορές της

6

οικονομίας. Η εξέταση των επιδράσεων ενός γεγονότος στο σύνολο της οικονομίας απαιτεί ανάλυση γενικής ισορροπίας, δηλαδή την ταυτόχρονη εξέταση όλων των αγορών μιας οικονομίας.

Υπάρχει ένας ακόμη βαθύτερος λόγος για την μελέτη της Θεωρίας της Γενικής Ισορροπίας. Σκεφθείτε προς στιγμήν πως λειτουργούν οι σύγχρονες οικονομίες. Κάθε μέρα εκατομμύρια άτομα ή επιχειρήσεις εισέρχονται είτε ως αγοραστές είτε ως πωλητές σε χιλιάδες αγορές αγαθών και παραγωγικών συντελεστών. Το κάθε ένα από αυτά τα άτομα ή τις επιχειρήσεις πραγματοποιεί έναν αριθμό συναλλαγών. Τι συντονίζει τις ενέργειες τους; Τι εγγυάται ότι αυτό που προσφέρει μια οικονομική μονάδα θα ζητηθεί από μια άλλη; Με άλλα λόγια, πως λειτουργούν οι αγορές; Μπορούν να λειτουργήσουν «καλά»;1 Για να απαντήσουμε αυτά τα ερωτήματα χρειαζόμαστε μια συνολική εικόνα της οικονομίας ή ένα υπόδειγμα γενικής ισορροπίας. Το υπόδειγμα αυτό θα παίξει το ρόλο ενός σταθερού σημείου αναφοράς, με το οποίο θα μπορούμε να συγκρίνουμε πραγματικές καταστάσεις και να βγάλουμε συμπεράσματα πολιτικής.

Αντιλαμβάνεστε βέβαια ότι το πρόβλημα είναι ιδιαίτερα σύνθετο και για το σκοπό αυτό είναι απαραίτητες μια σειρά από απλουστευτικές υποθέσεις. Επίσης, στην ενότητα αυτή θα περιοριστούμε στην εξέταση μόνο ανταλλακτικών οικονομιών από όπου θα εξάγουμε συνθήκες για την «καλή» (αποτελεσματική) λειτουργία των αγορών μιας στατικής οικονομίας.2 Επιπλέον, τις συνθήκες αυτές θα τις συγκρίνουμε σε επόμενα κεφάλαια του βιβλίου με τις αντίστοιχες συνθήκες για την καλή λειτουργία μιας δυναμικής οικονομίας.

1.2. Περιγραφή μιας Ανταλλακτικής Οικονομίας3* Έστω μια οικονομία στην οποία υπάρχουν Ι άτομα και J αγαθά, όπου I, J είναι φυσικοί αριθμοί ( ).,2,1, …=Ν∈JI Όλα τα άτομα τη στιγμή της γέννησής τους προικοδοτούνται με ένα μη-αρνητικό συνδυασμό από όλα τα αγαθά. Ο συνδυασμός αυτός αποτελεί το αρχικό απόθεμα (initial endowment) του ατόμου. Σε ολόκληρο το βιβλίο θα χρησιμοποιήσουμε το γράμμα ω για να δηλώσουμε αρχικά αποθέματα. Επίσης, θα χρησιμοποιήσουμε το δείκτη i, που παίρνει τιμές ,,,2,1 I… για να συμβολίσουμε τα άτομα και το δείκτη j, που παίρνει τιμές ,,,2,1 J… για να συμβολίσουμε τα αγαθά. Έτσι i

jω συμβολίζει το αρχικό απόθεμα του ατόμου i από

το αγαθό j. Επίσης ijx θα συμβολίζει γενικά την ποσότητα που κατέχει το άτομο i από

το αγαθό j. Όπως είναι φυσικό, σε μια δεδομένη στιγμή το ijx μπορεί να διαφέρει από

1 Προσέξτε ότι ρωτάμε «αν μπορούν οι αγορές να λειτουργήσουν καλά» και όχι «αν λειτουργούν καλά». Η πρώτη ερώτηση είναι θεωρητική και είναι αυτή που μας ενδιαφέρει εδώ. Η δεύτερη ερώτηση, που χρειάζεται ενδεχομένως να γίνει πιο συγκεκριμένη εξειδικεύοντας σε ποια οικονομία και σε ποια χρονική στιγμή, είναι εμπειρική. 2 Οικονομίες με παραγωγή εξετάζονται σε επόμενες ενότητες, όπου αναλύεται η Δυναμική Γενική Ισορροπία τους. Για μια πιο ολοκληρωμένη παρουσίαση της Θεωρίας της Γενικής (Στατικής) Ισορροπίας βλέπε (κατά σειρά δυσκολίας) Varian (2006), Varian (1992) και Mas-Collel, Whinston και Green (1995). 3 Στα κεφάλαια 1-4, τμήματα που φέρουν αστερίσκο, *, αναλύουν τη γενική περίπτωση μιας οικονομίας με Ι άτομα και J αγαθά. Ο αναγνώστης που δεν είναι εξοικειωμένος με τεχνικές παρουσιάσεις μπορεί αρχικά να διαβάσει αυτά τα τμήματα παραλείποντας τις μαθηματικές εξισώσεις και να επικεντρωθεί στα τμήματα που αναλύουν την ειδική περίπτωση μιας ανταλλακτικής οικονομίας με 2 άτομα και 2 αγαθά.

7

το ijω , αν για παράδειγμα το άτομο i έχει συνάψει ανταλλαγές, αλλά μπορεί και να

ταυτίζεται με αυτό. Tο συνολικό αρχικό απόθεμα ενός ατόμου i, δηλαδή το σύνολο των αρχικών ποσοτήτων που κατέχει το άτομο i από όλα τα αγαθά, συμβολίζεται με το διάνυσμα ),,,,( 21

iJ

iii ωωωω …= ενώ ένας οποιοσδήποτε άλλος καταναλωτικός συνδυασμός με το διάνυσμα ),,,( 21

iJ

iii xxxx …= .4 Επίσης αναφερόμαστε σε έναν κατάλογο καταναλωτικών συνδυασμών των αγαθών που δηλώνει τι καταναλώνει το κάθε άτομο από κάθε αγαθό με τον όρο κατανομή (allocation). Μια κατανομή δηλαδή συμβολίζεται ως ένα διάνυσμα διανυσμάτων (μήτρα). Το αρχικό απόθεμα της οικονομίας ),,,( 21 Ι= ωωωω … , όπου Iii

Jiii ,,2,1),,,,( 21 …… == ωωωω αποτελεί

ένα παράδειγμα κατανομής. Πιο αναλυτικά,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

IJJJ

I

I

ωωω

ωωωωωω

ω

…

…

21

222

12

121

11

,

όπου οι στήλες της μήτρας ω δηλώνουν τις αρχικές ποσότητες με τις οποίες προικοδοτείται ένα άτομο από κάθε αγαθό, για παράδειγμα, η πρώτη στήλη δηλώνει τις ποσότητες που λαμβάνει αρχικά το άτομο 1 από κάθε αγαθό. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής μας δίνει τη συνολική ποσότητα που είναι αρχικά διαθέσιμη στην οικονομία , π.χ. το άθροισμα των στοιχείων της πρώτης γραμμής

∑=

Ι =++++I

i

ij

11

31

21

11 ωωωωω …

μας δίνει τη συνολική ποσότητα του αγαθού 1 που είναι αρχικά διαθέσιμη στην οικονομία.

Μια οικονομία η οποία δεν συνάπτει εμπορικές συναλλαγές με τον υπόλοιπο κόσμο ονομάζεται κλειστή. Εάν η οικονομία είναι κλειστή, όπως υποθέτουμε τουλάχιστον σε ολόκληρη την Ενότητα 1, τότε η αρχικά διαθέσιμη συνολική ποσότητα από κάθε αγαθό (το άθροισμα των αρχικών αποθεμάτων όλων των ατόμων) είναι ίση με την με την τελικά διαθέσιμη ποσότητα.

Ορισμός 1.1. Σε μια ανταλλακτική οικονομία μια κατανομή είναι εφικτή (feasible) αν η ποσότητα κάθε αγαθού που καταναλώνεται είναι μικρότερη ή ίση από την ποσότητα που είναι διαθέσιμη.

Δηλαδή, αν i

jx συμβολίζει την ποσότητα του αγαθού j που καταναλώνει το άτομο i, για να είναι μια κατανομή εφικτή θα πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες J ανισότητες (μία για κάθε αγαθό):

02121 =+++≤+++ I

jjjIjjj xxx ωωω …… ,,,2,1 Jj …=∀

ή συντομογραφικά

4 Όταν δεν είναι απαραίτητο, δεν εξειδικεύουμε αν αναφερόμαστε σε διάνυσμα-γραμμή ή σε διάνυσμα-στήλη.

8

011

=≤ ∑∑==

I

i

ij

I

i

ijx ω .,,2,1 Jj …=∀

Το αριστερό μέλος των παραπάνω ανισοτήτων μας δίνει την ποσότητα που καταναλώνουν όλα τα άτομα από το αγαθό j, δηλαδή, τη συνολική ποσότητα από το αγαθό j που καταναλώνεται, ενώ το δεξιό μέλος τη συνολική ποσότητα που είναι διαθέσιμη. Κατανομές στις οποίες η ποσότητα κάθε αγαθού που καταναλώνεται είναι ακριβώς ίση με την ποσότητα που είναι διαθέσιμη θα λέγονται ακριβώς εφικτές. Με άλλα λόγια, μια κατανομή είναι ακριβώς εφικτή αν οι παραπάνω ανισότητες ισχύουν ως ισότητες.

Στην απλή οικονομία που θα εξετάσουμε εδώ δεν υπάρχει παραγωγή. Επίσης δεν υπάρχουν επιχειρήσεις. Τα αγαθά εμπορεύονται σε κεντρικές αγορές στις οποίες επικρατεί μια τιμή. Όλοι οι αγοραστές και οι πωλητές γνωρίζουν αυτή την τιμή. Η πραγματοποίηση συναλλαγών δεν έχει κόστος. Όλες οι μονάδες ενός αγαθού έχουν την ίδια ποιότητα (δηλαδή όλα τα αγαθά είναι ομογενή) την οποία γνωρίζουν όλοι οι αγοραστές και οι πωλητές. Επομένως δεν μπορεί να υπάρξει εξαπάτηση ή λάθος σε μια συναλλαγή. Επίσης, όλα τα αγαθά είναι απεριόριστα διαιρέσιμα. Τέλος, δεν υπάρχουν εξωτερικές επιδράσεις (externalities), δηλαδή η κατανάλωση ενός αγαθού από ένα άτομο δεν επηρεάζει θετικά ή αρνητικά κάποιο άλλο. Παραδείγματα αγαθών με αρνητική και θετική, αντίστοιχα, εξωτερική επίδραση είναι το κάπνισμα και η παιδεία.

Ο κάθε καταναλωτής προσπαθεί να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του η οποία εξαρτάται αποκλειστικά από τις ποσότητες των αγαθών που καταναλώνει, λαμβάνοντας ως δεδομένες τις τιμές των αγαθών και το αρχικό του απόθεμα. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας κάθε ατόμου έχει πεδίο ορισμού το ,J

+ℜ είναι τουλάχιστον δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη,5 αυστηρά αύξουσα και οιονεί κοίλη.6 Στην περίπτωση των δύο αγαθών αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση αυτή μπορεί να παρασταθεί στο επίπεδο από καμπύλες αδιαφορίας με τις συνήθεις ιδιότητες: α) έχουν αρνητική κλίση, β) είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων γ) καλύπτουν το επίπεδο δ) το επίπεδο χρησιμότητας που επιτυγχάνει ο καταναλωτής αυξάνεται διαρκώς αν ξεκινώντας από ένα ορισμένο συνδυασμό ),( 21 xx κινούμαστε προς τα πάνω και δεξιά, δηλαδή βορειοανατολικά, στο χάρτη των καμπυλών αδιαφορίας και ε) δεν τέμνονται, (βλ. Σχήμα 1.1). Η πρώτη ιδιότητα σημαίνει ότι αφού και τα δύο αγαθά παρέχουν θετική χρησιμότητα, η μείωση της ποσότητας του ενός αγαθού απαιτεί την αύξηση του άλλου προκειμένου το άτομο να παραμείνει στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Η δεύτερη ιδιότητα συνεπάγεται ότι η απώλεια κάθε επιπλέον μονάδας ενός αγαθού μειώνει τη χρησιμότητα του ατόμου με αυξανόμενο ρυθμό. Σημαίνει επίσης ότι το άτομο προτιμά ενδιάμεσες από ακραίες καταστάσεις.

5 Μία συνάρτηση f ονομάζεται συνεχώς διαφορίσιμη (continuously differentiable) σε ένα σύνολο S

εάν έχει συνεχείς πρώτες (μερικές) παραγώγους στο S . Συνοπτικά γράφουμε 1Cf ∈ . Με ανάλογο

τρόπο ορίζουμε 2Cf ∈ κ.τ.λ. 6 Οι υποθέσεις αυτές είναι πιο περιοριστικές από ότι είναι απαραίτητο αλλά γίνονται για την απλοποίηση της παρουσίασης και σε βάρος της γενικότητας. Για πιο γενικές παρουσιάσεις βλέπε Varian (1992) και Mas-Collel (1995). Σε ορισμένες από τις ασκήσεις παρακάτω οι συναρτήσεις χρησιμότητας που χρησιμοποιούνται δεν είναι διαφορίσιμες.

9

Σχήμα 1.1. Χάρτης καμπυλών αδιαφορίας: 123 uuu >> , όπου iu δηλώνει το επίπεδο χρησιμότητας της αντίστοιχης καμπύλης.

Για παράδειγμα, στο Σχήμα 1.1 θεωρήστε δύο σημεία Α και Β. Το κάθε ένα από αυτά τα σημεία δίνει έμφαση σε ένα από τα δύο αγαθά. Τα σημεία που βρίσκονται σε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β, π.χ. το Γ, αντιπροσωπεύουν ενδιάμεσες καταστάσεις. Προσέξτε ότι όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται σε ψηλότερες καμπύλες αδιαφορίας από την .3u Υπενθυμίζεται ότι η απόλυτη τιμή της κλίσης μιας καμπύλης αδιαφορίας είναι γνωστή ως οριακός λόγος υποκατάστασης (ΟΛΥ) και ότι ο λόγος αυτός μειώνεται κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας.

Η τρίτη ιδιότητα συνεπάγεται ότι από κάθε σημείο του χώρου των αγαθών διέρχεται μια καμπύλη αδιαφορίας και επομένως σε κάθε συνδυασμό αγαθών αντιστοιχεί ένα επίπεδο χρησιμότητας. Το γεγονός αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι δύο οποιοιδήποτε συνδυασμοί μπορούν να συγκριθούν και να ιεραρχηθούν από τον καταναλωτή. Η τέταρτη ιδιότητα συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει σημείο κορεσμού (satiation point) ή, με άλλες λέξεις, ο καταναλωτής προτιμά πάντα το περισσότερο από το λιγότερο. Τέλος, η παραβίαση της πέμπτης ιδιότητας οδηγεί σε άτοπο, αφού αν δύο καμπύλες αδιαφορίας τέμνονται τότε δεν είναι δυνατό να μην υπάρχει σημείο κορεσμού (Αποδείξτε το!).

Όλες οι συναλλαγές πραγματοποιούνται οικιοθελώς και κανείς δεν εξαναγκάζεται να λάβει μέρος σε μια ανταλλαγή. Η υπόθεση αυτή μαζί με την παραπάνω που αφορά την πλήρη γνώσης της ποιότητας και της τιμής κάθε αγαθού εξασφαλίζουν ότι ένας καταναλωτής δεν μπορεί να βρεθεί σε χειρότερη θέση από αυτή που ήταν πριν την ανταλλαγή. Με άλλα λόγια, κάθε συναλλαγή είναι αμοιβαία επωφελής (mutually beneficial) και για τα δύο μέρη που συμμετέχουν σε αυτή. Επιπλέον, η οικονομία είναι καθαρά ανταλλακτική και δεν υπάρχει χρήμα στη σύγχρονη μορφή του, δηλαδή ένα αντικείμενο το οποίο από μόνο του να μην έχει καμιά χρησιμότητα αλλά να χρησιμοποιείται αποκλειστικά ως μέσο ανταλλαγής. Επομένως, απαραίτητη προϋπόθεση για μια ανταλλαγή είναι η διπλή σύμπτωση

),( 21 xx

2x

Α

Γ

Β

1u 2u

3u

1x

10

επιθυμιών (double coincidence of wants): η κατάσταση εκείνη μεταξύ δύο ατόμων στην οποία κάθε άτομο ζητάει εκείνο ακριβώς το αγαθό που προσφέρει το άλλο.

1.3. Διαγραμματική Παρουσίαση της Ανταλλακτικής Οικονομίας

Ανταλλαγή σε μια στατική οικονομία ενός ατόμου ή ενός αγαθού δεν μπορεί να συμβεί.7 H απλούστερη στατική οικονομία στην οποία μπορεί να υπάρξει ανταλλαγή είναι αυτή των δύο ατόμων, που θα ονομάσουμε Α και Β, και των δύο αγαθών, 1 και 2. Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγμα μπορεί να παρουσιασθεί και διαγραμματικά χρησιμοποιώντας το Κουτί των Edgeworth-Bowley (Edgeworth-Bowley Box) ή απλώς Κουτί του Edgeworth (Edgeworth Box).8,9 Πρόκειται για ένα ορθογώνιο του οποίου οι διαστάσεις είναι ίσες με τις συνολικές διαθέσιμες ποσότητες των δύο αγαθών (βλ. Σχήμα 1.2). Πιο συγκεκριμένα, φανταστείτε ένα ορθογώνιο του οποίου το μήκος είναι ίσο με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού 1 )( 11

ΒΑ += ωω και το ύψος ίσο με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού 2 )( 22

ΒΑ += ωω . Κάθε σημείο μέσα στο κουτί αντιπροσωπεύει μια εφικτή κατανομή, δηλαδή μια κατανομή που ικανοποιεί τον Ορισμό 1.1. Αν υποθέσουμε επίσης ότι δεν υπάρχει σπατάλη στην οικονομία., δηλαδή ότι η συνολική ποσότητα κάθε αγαθού που είναι διαθέσιμη είναι ίση με την συνολική ποσότητα που καταναλώνεται ή, με μαθηματικό συμβολισμό, ότι η σχέση που περιγράφει τον ορισμό μιας εφικτής κατανομής ισχύει ως ισότητα (η κατανομή είναι ακριβώς εφικτή), τότε κάθε εφικτή κατανομή μπορεί να αντιπροσωπευθεί από ένα σημείο στο κουτί του Edgeworth..

Ο συνδυασμός των ποσοτήτων των δύο αγαθών του ατόμου Α που αντιστοιχούν σε ένα σημείο (κατανομή) δίνεται από τις συντεταγμένες του σημείου έχοντας ως αρχή των αξόνων την κορυφή που βρίσκεται κάτω-αριστερά στο κουτί (σημείο ΟΑ στο Σχήμα 1.2). Αντίθετα ο συνδυασμός του ατόμου Β δίνεται από τις συντεταγμένες του ίδιου σημείου έχοντας ως αρχή των αξόνων την κορυφή που βρίσκεται πάνω-δεξιά (σημείο ΟΒ στο Σχήμα 1.2). Για παράδειγμα, στο σημείο x του Σχήματος 1.2 το άτομο Α θα λάβει ποσότητες Α

1x από το αγαθό 1 και Α2x από το αγαθό 2. Το άτομο Β

θα λάβει ποσότητες ΑΒΑΒ −+= 1111 ˆˆ xx ωω από το αγαθό 1 και ΑΒΑΒ −+= 2222 ˆˆ xx ωω από το αγαθό 2.

7 Στατική ονομάζεται μια οικονομία στην οποία οι μεταβλητές που την ορίζουν, π.χ. ο πληθυσμός, η διαθέσιμη ποσότητα των αγαθών κ.λπ. δεν εξαρτώνται από το χρόνο. Σε ολόκληρη την Ενότητα 1 εξετάζουμε μόνο στατικές οικονομίες. Ας σημειωθεί ότι σε μια δυναμική οικονομία μπορεί να υπάρξει ανταλλαγή ακόμη και αν υπάρχει μόνο ένα αγαθό, π.χ. σου δίνω μια ποσότητα του αγαθού σήμερα (σε δανείζω) μετά από συμφωνία ότι θα μου δώσεις εσύ μια συγκεκριμένη ποσότητα του αγαθού στο μέλλον (θα αποπληρώσεις το δάνειο). 8 Francis Y. Edgeworth (1845-1926): Βρετανός οικονομολόγος με μεγάλη συμβολή στη Θεωρία της Γενικής Ισορροπίας. Το σημαντικότερο έργο του Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences εκδόθηκε το έτος 1881 και είναι ελεύθερα διαθέσιμο στο διαδίκτυο από το Αρχείο Ιστορίας της Οικονομικής Σκέψης (Archive for the History of Economic Thought) του Πανεπιστημίου McMaster: http://socserv.mcmaster.ca/econ/ugcm/3ll3/. 9 Arthur L. Bowley (1869-1957): Βρετανός οικονομολόγος του οποίου το έργο Mathematical Groundwork: An Introductory Treatise (1924) έπαιξε καθοριστικό ρόλο για την αναβίωση του έργου του Edgeworth.

11

Σχήμα 1.2. Το κουτί του Edgeworth.

Μέσα στο κουτί του Edgeworth μπορούμε να σχεδιάσουμε καμπύλες αδιαφορίας που αντιπροσωπεύουν τις προτιμήσεις των δύο ατόμων. Οι καμπύλες αδιαφορίες του ατόμου Α έχουν συνηθισμένο σχήμα γατί σχεδιάζονται σε ένα κανονικό σύστημα αξόνων (βλ. Σχήμα 1.3). Συνδυασμοί που βρίσκονται σε ψηλότερες καμπύλες αδιαφορίας (ως προς το σημείο ΑO ) αντιπροσωπεύουν ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας για τον καταναλωτή Α. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 1.3 η φορά του βέλους δηλώνει την κατεύθυνση προς την οποία αυξάνεται το επίπεδο χρησιμότητας των καμπυλών αδιαφορίας ( 321 AAA uuu << , όπου hu , ,3,2,1 AAAh = δηλώνει το επίπεδο χρησιμότητας της αντίστοιχης καμπύλης).

ΑO

x

ΒO

Ax1

Β1x

Β2x

1 1 1 1ˆ ˆ( )x xω ωΒ Α Β Α= + −

Α1x

Α2x

2 2 2 2ˆ ˆ( )x xω ωΑ Β Α Β+ − =

Α2x

12

Σχήμα 1.3. Καμπύλες αδιαφορίας του ατόμου Α στο κουτί του Edgeworth.

Αντίθετα οι καμπύλες αδιαφορίας του ατόμου Β έχουν περιστραφεί 1800 (βλ. Σχήμα 1.4). Έχουν και αυτές το συνηθισμένο σχήμα σε σχέση με την αρχή των αξόνων .ΒO Συνδυασμοί που βρίσκονται πιο μακριά από το σημείο ΒO (χαμηλότερα ως προς το σημείο ΑO ) αντιπροσωπεύουν ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας για τον καταναλωτή Β. Έτσι και σε αυτό το σχήμα 321 BBB uuu << ).

Στο Σχήμα 1.5 παρουσιάζονται καμπύλες αδιαφορίας και των δύο ατόμων καθώς επίσης και η αρχική κατανομή ).,,,( 2121

ΒΒΑΑ= ωωωωω Ξεκινώντας από μια συγκεκριμένη κατανομή, ας πούμε την αρχική ω, καθώς κινούμαστε προς τα πάνω και δεξιά (βορειοανατολικά) το επίπεδο χρησιμότητας του Α αυξάνεται και του Β μειώνεται. Αντίθετα, καθώς κινούμαστε προς τα κάτω και αριστερά (νοτιοδυτικά) το επίπεδο χρησιμότητας του Β αυξάνεται και του Α μειώνεται. Έτσι στο Σχήμα 1.5 η καμπύλη αδιαφορίας του Α 2Αu αντιπροσωπεύει ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας από την .1Αu Παρομοίως, η καμπύλη αδιαφορίας του Β 2Βu αντιπροσωπεύει ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας από την 1Βu . Τέλος θυμηθείτε από τη θεωρία της χρησιμότητας ότι οποιοιδήποτε δύο συνδυασμοί μπορούν να συγκριθούν από τον καταναλωτή (αξίωμα της πληρότητας). Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε συνδυασμό αντιστοιχεί ένα επίπεδο χρησιμότητας ή ότι από κάθε συνδυασμό αγαθών ),( 21 xx στο χάρτη καμπυλών αδιαφορίας ενός ατόμου διέρχεται μια καμπύλη αδιαφορίας. Επομένως από κάθε σημείο (κατανομή) ),,,( 2121

ΒΒΑΑ= xxxxx στο κουτί του Edgeworth διέρχονται δύο καμπύλες αδιαφορίες, μία κάθε ατόμου. Φυσικά τα επίπεδα χρησιμότητας που δηλώνουν δύο καμπύλες αδιαφορίας διαφορετικών ατόμων, π.χ. 2Αu και 2Βu , δεν είναι συγκρίσιμα.

ΑO

ΒO

Ax1

Β1x

Β2x

Α2x

1Au 2Au

3Au

13

Σχήμα 1.4. Καμπύλες αδιαφορίας του Ατόμου B στο κουτί του Edgeworth.

Σχήμα 1.5. Καμπύλες αδιαφορίας και των δύο ατόμων στο κουτί του Edgeworth.

ΑO

ΒO

Ax1

Β1x

Β2x

Α2x

1uΑ

2uΑ

3uΑ

1uΒ

2uΒ 3uΒ

.ω

ΑO

ΒO

Ax1

Β1x

Β2x

Α2x

1Bu 2Bu

3Bu

14

1.4. Ανταγωνιστική Ισορροπία* Θεωρήστε μια οικονομία στην οποία τα άτομα επιδιώκουν τη μεγιστοποίηση του ατομικού τους συμφέροντος (= χρησιμότητας). Συγκεκριμένα, η επιλογή που καλείται να κάνει κάθε άτομο i περιγράφεται από το πρόβλημα: 10 Να μεγιστοποιηθεί ως προς τις ποσότητες i

jx η συνάρτηση χρησιμότητας: ),,,,( 21

iJ

iii xxxuu …= (1.1)

υπό τον εισοδηματικό περιορισμό: i

JJiii

JJii pppxpxpxp ωωω +++=+++ …… 22112211 ,

όπου jp δηλώνει την τιμή του αγαθού j. Συντομογραφικά ο εισοδηματικός περιορισμός γράφεται και ως11

∑∑==

=J

j

ijj

J

j

ijj pxp

11ω . (1.2)

Για τη μεγιστοποίηση της συνάρτησης (1.1) υπό τον περιορισμό (1.2) σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∑∑

==

J

j

ijj

J

j

ijj

iiJ

iiii xppxxxuL11

21 ),,,( ωλ… ,

όπου iλ δηλώνει τον πολλαπλασιαστή Lagrange στο πρόβλημα του καταναλωτή i. Οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης είναι ο περιορισμός (1.2) και οι ακόλουθες J εξισώσεις13

ji

ij

iJ

iii

ij

ip

xxxxu

xL λ=

∂

∂⇒=

∂∂ ),,,(

0 21 …, Jj ,,2,1 …=∀ ,

οι οποίες σχηματίζουν ένα σύστημα J+1 εξισώσεων ως προς J+1 αγνώστους: ix1 , ix2 , …, i

Jx , iλ .

10 Ως συνήθως, σε κάθε τέτοιο πρόβλημα μεγιστοποίησης θεωρούμε παρόντες και δύο ακόμη περιορισμούς: 01 ≥ix και 02 ≥ix , τους οποίους όμως δεν αναφέρουμε ρητά για να διατηρηθεί η απλότητα της παρουσίασης. 11 Κανονικά ο εισοδηματικός περιορισμός έπρεπε να γραφεί ως ασθενής ανισότητα, ≤ . Όμως η υπόθεση ότι δεν υπάρχει σημείο κορεσμού μας επιτρέπει να αγνοήσουμε την ανισότητα, αφού ο καταναλωτής δεν θα μεγιστοποιήσει ποτέ την χρησιμότητα του σε ένα σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό του συνόλου καταναλωτικών δυνατοτήτων του. 12 Joseph-Louis, comte de Lagrange (1736-1813): Ιταλός και Γάλλος μαθηματικός από τους σημαντικότερους του 18 αιώνα με σπουδαίες ανακαλύψεις στα Μαθηματικά, τη Μηχανική και την Αστρονομία. 13 Οι υποθέσεις που κάναμε για τη συνάρτηση χρησιμότητας εξασφαλίζουν ότι η λύση που προκύπτει από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξεως αντιστοιχεί σε μέγιστο. Με άλλα λόγια, οι ικανές συνθήκες για μέγιστο στο παραπάνω πρόβλημα μεγιστοποίησης ικανοποιούνται.

15

Απαλείφοντας τον πολλαπλασιαστή Lagrange iλ λαμβάνουμε το σύστημα των J εξισώσεων ως προς J αγνώστους που αποτελείται από τον περιορισμό (1.2) και τις J-1 εξισώσεις

jj

i

pp1

1 =ΟΛΥ , Jj ,,3,2 …=∀ , (1.3)

όπου i

jiii

j xuxu ∂∂∂∂=ΟΛΥ 11 είναι ο οριακός λόγος υποκατάστασης (marginal rate of substitution) μεταξύ του αγαθού 1 και του αγαθού j = 2, 3, …, J. Σύμφωνα με την εξίσωση (1.3) ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ δύο αγαθών, δηλαδή ο επιθυμητός λόγος υποκατάστασης ενός αγαθού από το άλλο, πρέπει να ισούται με το λόγο των τιμών, δηλαδή με το λόγο υποκατάστασης ενός αγαθού από το άλλο που επιβάλλει η αγορά.

Από το σύστημα των εξισώσεων (1.2) και (1.3) προκύπτουν οι συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου Ii ,,2,1 …= για τα J αγαθά:

.,,2,1,,,,,1

21 JjppppxJ

j

ijjJ

ij …… =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

ω (1.4)

Προσέξτε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου i εξαρτώνται από τις τιμές όλων των αγαθών, οι οποίες είναι ίδιες για κάθε άτομο και για αυτό ανεξάρτητες του i, και από την αξία του αρχικού αποθέματος του καταναλωτή, αφού αυτή καθορίζει το εισόδημά του. Σημειώνεται ότι εξίσωση (1.4) μας δίνει την ακαθάριστη ζήτηση (gross demand) του ατόμου i για το αγαθό j. Η καθαρή (net) ή υπερβάλλουσα ζήτηση (excess demand) είναι η διαφορά μεταξύ της ακαθάριστης ζήτησης και του αρχικού αποθέματος:

.,,2,1,,,2,1,,,,,1

21 IiJjxppppe ij

ij

J

j

ijjJ

ij ……… ==−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

ωω (1.5)

όπου e δηλώνει καθαρή ή υπερβάλλουσα ζήτηση. Ορισμός 1.2. Μια ανταγωνιστική ισορροπία (competitive equilibrium) είναι ένα σύνολο J τιμών ˆ,,ˆ,ˆ 21 Jppp … και ένα σύνολο IxJ ποσοτήτων

ˆ,,ˆ,ˆ,,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ 2122

221

112

11

IJ

IIJJ xxxxxxxxx ………… τέτοια ώστε:

1. Με δεδομένες τις τιμές των αγαθών jp και το αρχικό απόθεμα κάθε καταναλωτή,

οι σχετικές με αυτόν ποσότητες ijx μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητάς

του.

2. Για κάθε αγαθό το άθροισμα της ακαθάριστης ζήτησης όλων των ατόμων είναι ίσο με το άθροισμα των αρχικών τους αποθεμάτων. Εναλλακτικά, το άθροισμα της υπερβάλλουσας ζήτησης όλων των ατόμων για κάθε αγαθό είναι μηδέν.

Η πρώτη συνθήκη απαιτεί τα άτομα να λαμβάνουν τις τιμές ως δεδομένες. Με άλλα λόγια, το μέγεθος τους είναι αμελητέο σε σχέση με το μέγεθος της αγοράς και επομένως δεν έχουν καμία επίδραση στις τιμές. Επίσης, δεν υπάρχει καμία ομάδα

16

(ένωση) καταναλωτών η οποία να μπορεί να επηρεάσει τις τιμές. Η συνθήκη ή υπόθεση αυτή δεν ικανοποιείται φυσικά στην περίπτωση που ο αριθμός των ατόμων στην οικονομία είναι μικρός. Γίνεται όμως καταχρηστικά αφού ο τελικός μας σκοπός είναι η κατανόηση και εξαγωγή συμπερασμάτων για οικονομίες που αποτελούνται από πολλά άτομα. Με δεδομένη αυτή τη συμπεριφορά και το αρχικό απόθεμα ),,,( 21

iJ

ii ωωω … , οι ποσότητες )ˆ,,ˆ,ˆ( 21iJ

ii xxx … θα πρέπει να μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητας του ατόμου i και αυτό πρέπει να ισχύει για κάθε

Ii ,,2,1 …= . Η δεύτερη συνθήκη του ορισμού (1.2) απαιτεί να ικανοποιούνται οι ακόλουθες

εξισώσεις, μία για κάθε αγαθό:

∑∑==

=I

i

ij

I

i

ijx

11

ˆ ω .,,2,1 Jj …=∀ (1.6)

Το αριστερό μέλος της (1.6) δηλώνει τη συνολική ακαθάριστη ζήτηση για το αγαθό j και το δεξιό το συνολικό απόθεμα από το ίδιο αγαθό (συνολική προσφορά). Προσέξτε ότι αφού κάθε i

jx εξαρτάται από όλες τις τιμές, έπεται ότι και η συνολική ζήτηση του αγαθού j (το αριστερό μέλος της 1.6) εξαρτάται από όλες τις τιμές. Με άλλα λόγια, οι σχέσεις που δίνονται από την (1.6) αποτελούν ένα σύστημα εξισώσεων. Για αυτό το λόγο απαιτείται ανάλυση γενικής ισορροπίας.

Αν ισχύει η εξίσωση (1.6) για μία αγορά τότε λέμε ότι η αγορά αυτή βρίσκεται σε ισορροπία. Ο ορισμός της γενικής ισορροπίας απαιτεί η σχέση (1.6) να ισχύει για όλες τις αγορές, δηλαδή .j∀ Η εξίσωση (1.6) μπορεί να γραφεί ως

0ˆ11

=−∑∑==

I

i

ij

I

i

ijx ω ,,,2,1 Jj …=∀

ή 0ˆˆˆ 2121 =−−−−+++ I

jjjIjjj xxx ωωω …… ,,,2,1 Jj …=∀

ή 0ˆˆˆ 21 =+++ I

jjj eee … ,,,2,1 Jj …=∀

ή

0ˆ1

=∑=

I

i

ije ,,,2,1 Jj …=∀

και τελικά 0ˆ =jE ,,,2,1 Jj …=∀ (1.7)

όπου i

je δηλώνει την υπερβάλλουσα ζήτηση σε τιμές ισορροπίας του ατόμου i για το αγαθό j. Επίσης με jE συμβολίζουμε τη συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για το

αγαθό j, δηλαδή το άθροισμα των ατομικών υπερβαλλουσών ζητήσεων και με jE την ίδια μεταβλητή σε τιμές ισορροπίας. Σύμφωνα με την εξίσωση (1.7), προϋπόθεση για να βρίσκεται η οικονομία σε ισορροπία είναι η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση σε κάθε αγορά να ισούται με το μηδέν. Έπεται επίσης από την εξίσωση (1.7) ότι δεν μπορεί να υπάρξει ισορροπία σε μια αγορά στην οποία όλα τα άτομα πωλούν ή

17

αγοράζουν το ίδιο αγαθό, αφού αν συμβαίνει αυτό είτε 0ˆ >ije είτε iei

j ∀< 0ˆ , οπότε

0ˆˆ1

≠= ∑=

I

i

ijj eE . Σε κάθε αγορά θα πρέπει να υπάρχουν πωλητές και αγοραστές.

Επίσης, οι συναλλαγές (αγοραπωλησίες) πρέπει να γίνουν σε τιμές στις οποίες οι αγορές «καθαρίζουν», δηλαδή η ποσότητα που θέλουν να πωλήσουν ορισμένα άτομα από ένα αγαθό πρέπει να είναι ίση με αυτή που θέλουν να αγοράσουν τα υπόλοιπα άτομα. Η ισορροπία φυσικά μπορεί να επιτευχθεί και στην κατανομή του αρχικού αποθέματος, στην οποία όλα τα άτομα καταναλώνουν το αρχικό τους απόθεμα και δεν υπάρχει εμπόριο μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση η τελική κατανομή συμπίπτει με την αρχική. Κάτι τέτοιο θα συμβεί αν για παράδειγμα όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις (δηλαδή την ίδια συνάρτηση χρησιμότητας) και τα ίδια αποθέματα.

Όπως αναφέραμε οι συναλλαγές (αγοραπωλησίες) πρέπει να γίνουν στις τιμές στις οποίες οι αγορές «καθαρίζουν». Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφέρουμε δύο λόγια για τη διαδικασία επίτευξης αυτής της ισορροπίας. Η διαδικασία που ο Walras14 είχε τουλάχιστον κατά νου βασίζεται στην ύπαρξη ενός πλειστηριαστή ή δημοπράτη (auctioneer), ο οποίος ανακοινώνει μια τιμή για κάθε αγαθό, συγκεντρώνει στοιχεία για την προσφορά και τη ζήτηση κάθε ατόμου σε αυτή την τιμή και αν η συνολική προσφορά σε κάθε αγορά διαφέρει από τη συνολική ζήτηση τότε προσαρμόζει την τιμή αναλόγως. Πιο συγκεκριμένα, αν η συνολική προσφορά είναι μεγαλύτερη από τη συνολική ζήτηση τότε μειώνει την τιμή, ενώ αν η συνολική ζήτηση υπερβαίνει τη συνολική προσφορά τότε την αυξάνει. Επειδή όμως το τι συμβαίνει σε μια αγορά επηρεάζει όλες τις άλλες, αφού η συνολική ζήτηση του αγαθού jx εξαρτάται και από τις τιμές όλων των άλλων αγαθών, οι τιμές υπολογίζονται και ανακοινώνονται ταυτόχρονα. Στο νέο σύστημα τιμών, ο πλειστηριαστής υπολογίζει και πάλι τη συνολική ζήτηση και τη συνολική προσφορά για κάθε αγαθό και αν και πάλι αυτές διαφέρουν τότε αναπροσαρμόζει την τιμή του κάθε αγαθού αναλόγως. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου η συνολική προσφορά να ισούται με τη συνολική ζήτηση σε κάθε αγορά. Οι τιμές στις οποίες συμβαίνει αυτό είναι οι τιμές ισορροπίες. Ο πλειστηριαστής τις ανακοινώνει και ξεκινάει η ανταλλαγή. Στη πράξη βέβαια δεν υπάρχει κανείς πλειστηριαστής, αλλά η διαδικασία προσπαθεί να προσεγγίσει με έναν απλό τρόπο τον πολύπλοκο μηχανισμό της αγοράς.15

14 Leon Walras (1834-1910): Γάλλος οικονομολόγος, θεμελιωτής της Θεωρίας της Γενικής Ισορροπίας. Το σημαντικότερο έργο του Eléments d’ économie politique pure εκδόθηκε το 1874. Πολλοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο Βαλρασιανή Ισορροπία (Warlasian equilibrium) αντί του όρου ανταγωνιστική ισορροπία που χρησιμοποιούμε εδώ. 15 Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή με το Γαλλικό όρο tâtonnement που στα ελληνικά μπορεί να μεταφραστεί ως η διαδικασία ή μέθοδος της δοκιμής και πλάνης (trial and error).

18

1.5. Ο Νόμος του Walras* Σύμφωνα με τον Ορισμό 1.2 στην ισορροπία η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό πρέπει να είναι ίση με το μηδέν (εξίσωση 1.7). Η συνθήκη αυτή είναι ισχυρότερη από ότι πραγματικά απαιτείται. Όπως θα αποδείξουμε παρακάτω οι συνθήκες ισορροπίας όλων των αγορών δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Πρόταση 1.1. (Νόμος του Walras). Η αξία της συνολικής υπερβάλλουσας ζήτησης είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Προσέξτε ότι σύμφωνα με την Πρόταση 1.1 η αξία της συνολικής υπερβάλλουσας ζήτησης είναι εκ ταυτότητος ίση με το μηδέν, δηλαδή είναι ίση με το μηδέν σε οποιεσδήποτε τιμές και όχι μόνο στις τιμές ισορροπίας. Με μαθηματικό συμβολισμό, η Πρόταση 1.1. σημαίνει ότι

01

=∑=

J

jjj Ep . (1.8)

Απόδειξη: Θεωρήστε πρώτα τον εισοδηματικό περιορισμό (1.2) κάθε ατόμου i ως ισότητα (βλ. σχετική υποσημείωση στο προηγούμενο τμήμα), η οποία πρέπει να ικανοποιείται σε οποιεσδήποτε τιμές ,22112211

iJJ

iiiJJ

ii pppxpxpxp ωωω +++=++++ …… ,,,2,1 Ii …=

ή ,02211 =+++ i

jjii epepep … .,,2,1 Ii …= (1.9)

Η εξίσωση (1.9) σημαίνει ότι η αξία της υπερβάλλουσας ζήτησης για όλα τα αγαθά του ατόμου i είναι μηδέν. Φυσικά για να ισχύει η (1.9) δεν είναι δυνατόν να έχουμε θετική υπερβάλλουσα ζήτηση ενός ατόμου για όλα τα αγαθά, δηλαδή δεν είναι δυνατόν .0 jei

j ∀> Επομένως η αξία των ποσοτήτων των αγαθών που θέλει να αγοράσει το άτομο πρέπει να είναι ίση με την αξία των ποσοτήτων των αγαθών που θέλει να πωλήσει.

Αθροίζοντας τις εξισώσεις (1.9) για όλα τα άτομα έχουμε 022

1111

22111 =++++++++ I

jjJJJJ epepepepepep ……… ,

ή ,0)()()( 21

222

1221

21

111 =++++++++++++ I

JJJJII eeepeeepeeep …………

ή ,02211 =+++ JJ EpEpEp …

η οποία αποτελεί την αναλυτική μορφή της (1.8). Ας εξετάσουμε στη συνέχεια μερικές από τις συνέπειες αυτού του Νόμου του Walras. Φανταστείτε την περίπτωση όπου J-1 αγορές είναι σε ισορροπία, δηλαδή η υπερβάλλουσα ζήτηση σε κάθε μία από αυτές τις αγορές είναι ίση με το μηδέν. Χωρίς

19

απώλεια της γενικότητας, ας υποθέσουμε ότι βρίσκονται σε ισορροπία οι πρώτες J-1 αγορές, δηλαδή jE = 0, .1,,2,1 −= Jj … Aν αποκλείσουμε την περίπτωση που το J αγαθό είναι ελεύθερο (free good),16 δηλαδή αν 0>Jp , τότε η εξίσωση (1.8) συνεπάγεται ότι .0=JE Με άλλα λόγια, αν σε μια οικονομία με J αγορές, οι J-1 από αυτές είναι σε ισορροπία, τότε υποχρεωτικά θα βρίσκεται σε ισορροπία και η J αγορά. Στη συνέχεια ας δούμε την περίπτωση που οι J-2 αγορές είναι σε ισορροπία, για παράδειγμα jE = 0, 2,,2,1 −= Jj … . Αν αποκλείσουμε και πάλι την περίπτωση των ελεύθερων αγαθών, τότε θα πρέπει

011 =+−− JJJJ EpEp .

Δηλαδή το άθροισμα των αξιών των υπερβαλλουσών ζητήσεων στις υπόλοιπες δύο αγορές θα πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι αν στη μία από τις δύο αγορές υπάρχει υπερβάλλουσα ζήτηση, τότε στην άλλη θα πρέπει να υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά (excess supply) (= αρνητική υπερβάλλουσα ζήτηση).

Βλέπουμε επίσης ότι ο Ορισμός 1.2 απαιτεί περισσότερα από ότι χρειαζόμαστε για να προσδιορίσουμε μια ανταγωνιστική ισορροπία. Αν βρούμε ένα σύνολο τιμών στο οποίο να καθαρίζουν οι J-1 αγορές τότε υποχρεωτικά θα καθαρίζει και η τελευταία, αφού όταν ικανοποιούνται οι J-1 εξισώσεις από τις (1.6) ή (1.7), τότε υποχρεωτικά θα ικανοποιείται και η J. Η κάθε μία όμως από αυτές τις J εξισώσεις εξαρτάται και από τις J τιμές. Επομένως έχουμε ένα σύστημα J εξισώσεων ως προς J αγνώστους το οποίο όμως δεν μπορεί να λυθεί αφού οι J αυτές εξισώσεις

0ˆ11

=−∑∑==

I

i

ij

I

i

ijx ω ,,,2,1 Jj …=

ή 0ˆ =jE ,,,2,1 Jj …=

δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Για να γίνει αυτό κατανοητό φανταστείτε ότι θέτουμε αυθαίρετα την τιμή ενός

αγαθού ίση με έναν τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα ας θέσουμε ,12 zpJ =− όπου z ένας τυχαίος αριθμός. Στη συνέχεια λύνοντας οποιοσδήποτε J-1 από τις J εξισώσεις

0=jE ,,,2,1 Jj …= ως προς τους J-1 αγνώστους ,,,,, ,131121 JJJ ppppp …… −− βρίσκουμε τις J-1 τιμές ισορροπίας. Από το νόμο του Walras έχουμε ότι αν οι J-1 αγορές είναι σε ισορροπία τότε θα είναι σε ισορροπία και η J αγορά (η αγορά του αγαθού J-12), γεγονός που σημαίνει ότι η τιμή του αγαθού αυτού z την οποία θέσαμε αυθαίρετα είναι επίσης τιμή ισορροπίας, όποια και αν είναι αυτή. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι σε μια οικονομία J αγαθών δεν είναι δυνατή η εύρεση J ανεξάρτητων τιμών ισορροπίας αφού μόνο J-1 από τις J εξισώσεις είναι ανεξάρτητες. Η πρόσθεση μιας ακόμη εξίσωσης η οποία εξαρτάται από τις άλλες J-1 (αφού οι J εξισώσεις μαζί πρέπει να ικανοποιούν το νόμο του Walras) δεν προσθέτει καμιά νέα πληροφορία.

16 Σε μια ανταλλακτική οικονομία σαν και αυτή που εξετάζουμε ένα αγαθό είναι ελεύθερο αν η τιμή του είναι μηδέν. Φυσικά αρνητικές τιμές δεν έχουν νόημα, αφού υποθέτουμε ότι όλα τα αγαθά είναι «αγαθά», δηλαδή έχουν θετική οριακή χρησιμότητα.

20

Στο σημείο αυτό θα δώσουμε ένα απλό παράδειγμα από την θεωρία γραμμικών συστημάτων για την καλύτερη κατανόηση της έννοιας της ανεξαρτησίας των εξισώσεων. Παράδειγμα 1.1. Έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων 102 =++ zyx

20223 =++ zyx

1023 =+− zyx

Να βρεθούν οι άγνωστοι ,, yx και z. Υπάρχει μοναδική λύση στο παραπάνω σύστημα εξισώσεων; Η πρώτη απάντηση τείνει να είναι θετική επειδή έχουμε ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους. Η απάντηση όμως αυτή είναι λανθασμένη. Πράγματι αν επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Cramer θα δούμε ότι η ορίζουσα της μήτρας των συντελεστών

1 2 1 3 2 2 3 -2 1

είναι ίση με το μηδέν. Επομένως δεν υπάρχει μοναδική λύση. Αυτό συμβαίνει διότι οι τρεις εξισώσεις δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. Πράγματι, αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της πρώτης εξίσωσης με τον αριθμό -3 και της δεύτερης εξίσωσης με τον αριθμό -2 και μετά τις προσθέσουμε θα προκύψει η τρίτη εξίσωση. Επομένως οι τρεις εξισώσεις δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αφού πρέπει να ικανοποιούν το γραμμικό συνδυασμό τους

.1023)20223(2)102(3 −+−=−+++−++− zyxzyxzyx

Μόνο οι δύο από τις τρεις εξισώσεις είναι ανεξάρτητες. Μπορούμε να λύσουμε 2 από τις τρεις εξισώσεις ως προς δύο από τις τρεις μεταβλητές συναρτήσει της τρίτης. Για παράδειγμα, λύνοντας τις δύο πρώτες εξισώσεις βρίσκουμε

zx215 −=

.

41

410 zy −=

Το σύστημα δέχεται άπειρες λύσεις, μία για κάθε τιμή που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή z.17

Όσον αφορά το σύστημα των εξισώσεων (1.6) ή (1.7), όπως και στο

παραπάνω παράδειγμα, αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε J-1 τιμές ως συναρτήσεις της J τιμής, ή να προσδιορίσουμε J-1 λόγους τιμών, δηλαδή τις σχετικές τιμές. Αυτό σημαίνει ότι μία από τις J τιμές (δεν έχει σημασία ποια) θα

17 Λεπτομέρειες σχετικά με τη γραμμική ανεξαρτησία εξισώσεων υπάρχουν στα περισσότερα βιβλία Μαθηματικών που καλύπτουν θέματα Γραμμικής Άλγεβρας. Μια σχετικά απλή και κατανοητή παρουσίαση γίνεται στο Κεφάλαιο 14 του βιβλίου των Sydsaeter and Hammond (1995).

21

αποτελεί τη βάση μέτρησης (numéraire). Όλες οι άλλες τιμές θα μετρούνται σε σχέση με αυτή. Έτσι αν επιλέξουμε αυθαίρετα ως βάση μέτρησης την τιμή του δωδέκατου αγαθού 12p τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε J-1 συναρτήσεις Jjppp jj ,,13,11,,2,1),( 12 ……== ή 1−J λόγους τιμών

.,,,,,, 1212131211122121 pppppppppp J…… Το γεγονός ότι σε μια οικονομία με J αγαθά μπορούμε να προσδιορίσουμε μόνο J-1 σχετικές τιμές σημαίνει ότι αν όλες οι J τιμές πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο θετικό αριθμό τότε η ισορροπία (πλην της τιμής που χρησιμοποιείται ως βάση μέτρησης) δεν θα μεταβληθεί.18 Φανταστείτε για παράδειγμα ότι έχουμε προσδιορίσει τις ακόλουθες τιμές και ποσότητες ισορροπίας ,1,,,, 1211122121 pppppp …

121213 ,, pppp J… και .,,,,,,,,,,,, 2122

221

112

11

IJ

IIJJ xxxxxxxxx ………… Πολλαπλασιάστε

όλες τις τιμές με ένα θετικό αριθμό λ. Αλλάζει η ισορροπία; Αρκεί να εξετάσουμε αν οι τιμές και ποσότητες που ικανοποιούν τον Ορισμό 1.2 μεταβάλλονται. Οι νέες τιμές ισορροπίας θα είναι 1212131211122121 ,,,,,,, pppppppppp J…… λ , δηλαδή η μόνη τιμή που θα μεταβληθεί είναι η βάση μέτρησης. Στη συνέχεια θυμηθείτε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές.19 Επομένως οι ποσότητες που μεγιστοποιούσαν τη χρησιμότητα του κάθε καταναλωτή πριν την αλλαγή της βάσης μέτρησης εξακολουθούν να την μεγιστοποιούν και μετά την αλλαγή. Άρα οι ποσότητες που ικανοποιούν τη συνθήκη 1 του Ορισμού 1.2 δεν μεταβάλλονται. Επίσης αφού δεν μεταβάλλονται οι ατομικές συναρτήσεις ζήτησης δεν μεταβάλλεται και το άθροισμα τους (αριστερό μέλος της εξίσωσης 1.6). Με άλλα λόγια και η συνολική ζήτηση για ένα προϊόν είναι ομογενής μηδενικού βαθμού. Κατά συνέπεια και η συνθήκη 2 εξακολουθεί να ικανοποιείται. Άρα, η ισορροπία παραμένει αμετάβλητη στον πολλαπλασιασμό των τιμών με ένα θετικό αριθμό. Για άλλη μια φορά, οι απόλυτες τιμές δεν έχουν σημασία, μόνο οι σχετικές τιμές επηρεάζουν την ισορροπία.

Άσκηση 1.1. Έστω μια οικονομία τριών αγαθών, 1, 2 και 3, που βρίσκεται σε ανταγωνιστική ισορροπία. Οι τιμές των τριών αγαθών είναι 2,1 21 == pp και

.33 =p Το άτομο Α έχει υπερβάλλουσα ζήτηση 2 μονάδων από το πρώτο αγαθό και 5 μονάδων από το δεύτερο αγαθό. Να βρεθεί η υπερβάλλουσα ζήτησή του για το τρίτο αγαθό.

Υπόδειξη: Να χρησιμοποιηθεί η σχέση (1.9). Άσκηση 1.2. Έστω μια οικονομία τριών ατόμων, Α, Β και Γ, που βρίσκεται σε ανταγωνιστική ισορροπία. Η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμου Α για ένα από τα

18 Εναλλακτικά, μπορούμε να πούμε ότι η αλλαγή νομίσματος (π.χ. από τη δραχμή στο ευρώ) θα αφήσει τις ποσότητες ισορροπίας αμετάβλητες. 19 Θυμίζουμε ότι μια συνάρτηση ),,,1( 2 nxxxf … είναι ομογενής μηδενικού βαθμού ως προς

nxxx ,,2,1 … αν . 0.λ ),,,2,1(),,2,1( >∀= nxxxfnxxxf …… λλλ Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι η

f είναι συνάρτηση του λόγου των μεταβλητών αφού ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2,,

23,1,

21),,2,1(

xnx

xx

xx

fnxxxf …… (θέστε

απλά 2/1 x=λ στον παραπάνω ορισμό). Περισσότερες λεπτομέρειες πάνω στις ομογενείς συναρτήσεις δίνονται στο Κεφάλαιο 10.

22

αγαθά είναι 4 μονάδων ενώ η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμου Β για το ίδιο αγαθό είναι 2 μονάδων. Να βρεθεί η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμου Γ.

Υπόδειξη: Αφού όλες οι αγορές είναι σε ισορροπία, έχουμε ότι και η αγορά του εν λόγω αγαθού, έστω j είναι σε ισορροπία. Κατά συνέπεια .0=jE Άσκηση 1.3. Έστω μια οικονομία τριών ατόμων, Α, Β, Γ, και τριών αγαθών, 1, 2, και 3. Όταν οι τιμές των τριών αγαθών είναι 1,2 21 == pp και ,43 =p υπάρχει συνολική υπερβάλλουσα προσφορά για το πρώτο αγαθό 3 μονάδων και συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για το δεύτερο αγαθό 4 μονάδων. Να βρεθεί η συνολική υπερβάλλουσα προσφορά για το τρίτο αγαθό.

Υπόδειξη: Να χρησιμοποιηθεί ο Νόμος του Walras και συγκεκριμένα η σχέση (1.8).

1.6. Διαγραμματική Παρουσίαση της Ανταγωνιστικής Ισορροπίας

Η ανταγωνιστική ισορροπία σε μια οικονομία των 2 ατόμων και 2 αγαθών μπορεί να παρουσιαστεί διαγραμματικά στο κουτί του Edgeworth. Καταρχήν η λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της χρησιμότητας20

ii xx 21,max ),,( 21

iii xxuu = ΒΑ= ,i (1.1΄)

κάθε ατόμου υπό τον εισοδηματικό περιορισμό του

,22112211iiii ppxpxp ωω +=+ ΒΑ= ,i (1.2΄)

δίνεται από την ταυτόχρονη λύση του εισοδηματικού περιορισμού (1.2΄) και της εξίσωσης

2

112 p

pi =ΟΛΥ , ΒΑ= ,i (1.3΄)

όπου i

12ΟΛΥ είναι ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ των δύο αγαθών του ατόμου i και δίνεται από

i

i

i

i

i

xuxu

2

112

∂∂∂∂

=ΟΛΥ = απόλυτη τιμή της κλίσης μιας καμπύλης αδιαφορίας.

20 Εξισώσεις με αριθμό και τόνο “΄” αποτελούν απλοποίηση των αντίστοιχων εξισώσεων χωρίς τόνο που είδαμε στην οικονομία με I άτομα και J αγαθά.

23

Το σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας του Α παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.6. Η αρχική θέση (απόθεμα) του ατόμου A είναι Αω . Η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο Αω και έχει κλίση 21 pp− απεικονίζει τον εισοδηματικό περιορισμό του ατόμου A.

Σχήμα 1.6. Μεγιστοποίηση της Συνάρτησης Χρησιμότητας του Ατόμου Α. Η λύση στο πρόβλημα του καταναλωτή Α είναι το σημείο Αx . Το σημείο αυτό βρίσκεται πάνω στον εισοδηματικό περιορισμό και επομένως ικανοποιεί την εξίσωση (1.2΄). Επίσης βρίσκεται πάνω στην ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας που εφάπτεται στον εισοδηματικό περιορισμό και επομένως ικανοποιεί την εξίσωση (1.3΄).

εισοδηματικός περιορισμός

Αω

Αx

Α2x

ΑΟ Α

1x

24

Στο Σχήμα 1.7 παρουσιάζεται το σημείο μεγιστοποίησης του ατόμου Β. Το σχήμα αυτό είναι παρόμοιο με το Σχήμα 1.6 με τη διαφορά ότι έχει περιστραφεί 1800. Η λύση στο πρόβλημα του καταναλωτή Β είναι το σημείο Βx , ενώ Βω δηλώνει το αρχικό του απόθεμα.

Σχήμα 1.7. Μεγιστοποίηση της Συνάρτησης Χρησιμότητας του Ατόμου Β. Το επόμενο βήμα είναι να συνδυάσουμε τα δύο προηγούμενα διαγράμματα (Σχήματα 1.6 και 1.7). Αυτό γίνεται στο Σχήμα 1.8 στο οποίο παρουσιάζουμε 2 καμπύλες αδιαφορίες (μία για κάθε άτομο) οι οποίες διέρχονται από το αρχικό απόθεμα ).,( ΒΑ= ωωω Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζεται και ο εισοδηματικός περιορισμός των δύο ατόμων, ο οποίος είναι η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το αρχικό απόθεμα. Πράγματι αφού τα δύο άτομα αντιμετωπίζουν τις ίδιες τιμές, ο εισοδηματικός περιορισμός τους είναι κοινός, αλλά θα πρέπει όμως να «διαβαστεί» σε σχέση με διαφορετικό σύστημα αξόνων. Για το άτομο Α η αρχή των αξόνων είναι η κορυφή ΑO και ο εισοδηματικός περιορισμός, όταν οι τιμές των δύο αγαθών είναι

1p και 2p , η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το αρχικό απόθεμα και έχει κλίση

21 pp− .21 Παρομοίως, για το άτομο Β η αρχή των αξόνων είναι το σημείο OΒ και εισοδηματικός περιορισμός η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το αρχικό απόθεμα του Β και έχει κλίση (ως προς το σημείο OΒ ) 21 pp− .

21 Το αρχικό απόθεμα βρίσκεται πάντα πάνω στον εισοδηματικό περιορισμό αφού όποιες και αν είναι οι τιμές ο καταναλωτής μπορεί να τον «αγοράσει», δηλαδή να τον καταναλώσει. Θυμηθείτε επίσης ότι ένα σημείο και η κλίση ορίζουν μια ευθεία. Συνδυάζοντας αυτές τις δύο προτάσεις έχουμε ότι ο εισοδηματικός περιορισμός των δύο ατόμων είναι κοινός με την προϋπόθεση βέβαια ότι διαβάζεται ως προς διαφορετικό σύστημα αξόνων.

Β1x ΒΟ

Βω

Βx εισοδηματικός περιορισμός

Β2x

25

Σχήμα 1.8. Ανταγωνιστική ισορροπία στο κουτί του Edgeworth.

Η ανταγωνιστική ισορροπία δηλώνεται στο Σχήμα 1.8 με το σημείο x . Στο σημείο αυτό ο εισοδηματικός περιορισμός κάθε καταναλωτή εφάπτεται στην ψηλότερη δυνατή καμπύλη αδιαφορίας (επομένως ικανοποιείται η συνθήκη 1 στον Ορισμό 1.2) και επιπλέον το άθροισμα της ακαθάριστης ζήτησης όλων των ατόμων είναι ίσο με το άθροισμα των αρχικών τους αποθεμάτων. Πράγματι στο σημείο x για κάθε ένα από τα δύο αγαθά ˆ ˆj j j jx x ω ωΑ Β Α Β+ = + ,2,1=j (1.6΄)

Επομένως ικανοποιείται και η δεύτερη συνθήκη του Ορισμού 1.2. Αυτό φαίνεται και στο Σχήμα 1.9 από το οποίο έχουν παραλειφθεί οι καμπύλες αδιαφορίες προκειμένου να γίνει πιο απλό.

ω

x

ΒO

Ax1

Β1x

κλίση = 2

1

ˆˆpp

−

Β2x

Ax2

26

Σχήμα 1.9. Ανταλλαγή στο κουτί του Edgeworth. Στη σχετική τιμή που ορίζεται από την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού το άτομο Α θα δώσει/πουλήσει ποσότητα 1 1xωΑ Α− από το αγαθό 1 στο άτομο Β και θα

λάβει/αγοράσει ως αντάλλαγμα ποσότητα 22x ωΑ

Α− από το αγαθό 2. Την ίδια στιγμή

το άτομο Β θα δώσει/πουλήσει ποσότητα 2 2xωΒ Β− από το αγαθό 2 και θα

λάβει/αγοράσει ποσότητα 1 1x ωΒ Β− από το αγαθό 1. Η ποσότητα από το κάθε αγαθό που θα δώσει το ένα άτομο είναι ίση με την ποσότητα που θα λάβει το άλλο. Δηλαδή,

1 1 1 1ˆ ˆx xω ωΑ Α Β Β− = − και 22 2 2ˆ ˆx xω ωΑ Β Β

Α− = − (βλ. και εξίσωση 1.6΄). Με άλλα λόγια, το άθροισμα της συνολικής υπερβάλλουσας ζήτησης για κάθε αγαθό είναι ίση με το μηδέν, όπως εναλλακτικά απαιτείται στην συνθήκη 2 του Ορισμού της ανταγωνιστικής ισορροπίας 1.2: 0ˆˆ =+ ΒΑ

jj ee ,2,1=j

και τελικά 0=jE 1, 2.j = (1.7΄)Σύμφωνα με την εξίσωση (1.7΄), η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση σε κάθε αγορά θα πρέπει να είναι ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση των δύο ατόμων αυτό σημαίνει ότι αν το ένα άτομο πωλεί μονάδες του αγαθό 1 το άλλο άτομο θα πρέπει να αγοράζει. Δεν μπορεί να υπάρξει ισορροπία στην οποία και τα δύο άτομα πωλούν ή αγοράζουν το ίδιο αγαθό. Αυτό φυσικά δεν σημαίνει ότι μόνο ένα άτομο καταναλώνει

ΑO

ω

x

ΒO

Ax1

Β1x

Ax2

Α2x

Β1x

Β2x

Β1ω

Α1ω

Α2ω

Β

2ω

Α1x

27

ένα αγαθό. Σημαίνει απλώς ότι αν, για παράδειγμα, ο Α επιλέξει να αγοράσει μονάδες του αγαθού 1 και να καταναλώσει ποσότητα μεγαλύτερη από το αρχικό του απόθεμα σε αυτό το αγαθό, τότε θα πρέπει να πωλήσει μονάδες του αγαθού 2 (αφού οι συναλλαγές είναι quid pro quo) και να καταναλώσει ποσότητα του αγαθού 2 μικρότερη από το αρχικό του απόθεμα. Ταυτόχρονα το άτομο Β θα πρέπει να είναι διατεθειμένο να πωλήσει μονάδες του αγαθού 1 και να αγοράσει μονάδες του αγαθού 2. Το Σχήμα 1.10 παρουσιάζει μια περίπτωση όπου η οικονομία δεν βρίσκεται σε ισορροπία. Η συνάρτηση χρησιμότητας κάθε ατόμου μεγιστοποιείται (συνθήκη 1 του ορισμού της ανταγωνιστικής ισορροπίας). Προσέξτε όμως ότι στο συγκεκριμένο σχήμα στις τιμές που δίνονται από την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού

ΒΑΒΑ +<+ 1111~~ ωωxx και ΒΑΒΑ +>+ 2222

~~ ωωxx . Επομένως υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά για το αγαθό 1 και υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό 2. Σε αυτή την περίπτωση ο λόγος 1 2p p θα μειωθεί και ο εισοδηματικός περιορισμός θα γίνει πιο επίπεδος. Αυτή η διαδικασία θα συνεχιστεί έως ότου τόσο η υπερβάλλουσα προσφορά όσο και η υπερβάλλουσα ζήτηση εξαφανισθούν και τα δύο σημεία στα οποία οι καταναλωτές μεγιστοποιούν την χρησιμότητά τους συμπέσουν.

Σχήμα 1.10. Ανισορροπία στο κουτί του Edgeworth.

Στην οικονομία των δύο ατόμων και 2 αγαθών ο Νόμος του Walras παίρνει την εξής μορφή (βλ. εξίσωση 1.9): 1 1 2 2 0.p pΕ + Ε =

Επομένως αν η μία από τις δύο αγορές είναι σε ισορροπία, τότε θα είναι σε ισορροπία και η δεύτερη. Αν για παράδειγμα ,01 =E τότε 02 =E . Έτσι αν

ΑO

ω

Αx~

ΒO

Α1x

Β1x

Α2x

Α2

~x Β

2x

Β1

~x

Α1

~χ

Β2

~x Βx~

28

01 =E ή ,1111ΒΑΒΑ +=+ ωωxx

τότε 02 =E ή .2222

ΒΑΒΑ +=+ ωωxx

Όπως και στην γενική περίπτωση, σε μια οικονομία δύο αγαθών δεν είναι δυνατόν ή εύρεση δύο ανεξάρτητων τιμών ισορροπίας αφού οι δύο σχέσεις που εξισώνουν την συνολική ζήτηση κάθε προϊόντος με τη συνολική του προσφορά δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους (θα πρέπει να ικανοποιούν το Νόμο του Walras). Επομένως, αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε μία τιμή ως συνάρτηση της άλλης ή να προσδιορίσουμε το λόγο των δύο τιμών, δηλαδή τη σχετική τιμή. Αυτό σημαίνει ότι μία από τις δύο τιμές (δεν έχει σημασία ποια) θα αποτελεί τη βάση μέτρησης (numéraire). Η άλλη τιμή θα μετρείται σε σχέση με τη πρώτη. Έτσι αν θέσουμε (αυθαίρετα) 3ˆ 2 =p και βρούμε ότι η τιμή ισορροπίας του αγαθού 1 είναι

12ˆ1 =p , αυτό θα σημαίνει ότι στην ισορροπία το αγαθό 1 είναι τέσσερις φορές πιο ακριβό από το αγαθό 2. Οι απόλυτες τιμές 3 και 12 δεν έχουν κανένα νόημα αφού θα μπορούσαμε να είχαμε θέσει 1ˆ 2 =p στην οποία περίπτωση θα βρίσκαμε 4ˆ 2 =p . Θα μπορούσαμε επίσης να τυποποιήσουμε την τιμή του αγαθού 1, δηλαδή να θέσουμε ως βάση μέτρησης το αγαθό 1, θέτοντας, για παράδειγμα, 1ˆ1 =p , στην οποία περίπτωση θα βρούμε .4/1ˆ 2 =p Σε όρους των Σχημάτων 1.8 ή 1.9, αυτό που μπορούμε να υπολογίσουμε είναι η κλίση του εισοδηματικού περιορισμού στην ισορροπία και όχι τις απόλυτες τιμές των δύο αγαθών.

1.7. Ένα Αλγεβρικό Παράδειγμα Ανταλλακτικής Οικονομίας22 Έστω μια οικονομία στην οποία υπάρχουν δύο άτομα, Α και ,Β και δύο αγαθά, 1 και .2 Οι προτιμήσεις των ατόμων Α και Β περιγράφονται από τις εξής συναρτήσεις χρησιμότητας:23

αα −ΑΑΑ = 121 )()( xxu , (Ι)

ββ −ΒΒΑ = 1

21 )()( xxu . (ΙΙ)

Το αρχικό απόθεμα των δύο ατόμων είναι ),( 21ΑΑ ωω και ).,( 21

ΒΒ ωω Να υπολογιστεί η ανταγωνιστική ισορροπία. Καταρχήν θα υπολογίσουμε τις συναρτήσεις ζήτησης των δύο ατόμων μεγιστοποιώντας τη συνάρτηση χρησιμότητας κάθε ατόμου υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. Για τον καταναλωτή A έχουμε αα −ΑΑΑ = 1

21 )()(max xxu , 22 Τα δεδομένα του παραδείγματος αυτού χρησιμοποιούνται και σε παραδείγματα των Κεφαλαίων 2 και 3. 23 Για την αρίθμηση εξισώσεων στα πλαίσια παραδειγμάτων χρησιμοποιούνται λατινικοί αριθμοί.

29

υπό τον περιορισμό ΑΑΑΑ +=+ 22112211 ωω ppxpxp . (III) Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange

)()()( 221122111

21ΑΑΑΑΑ−ΑΑΑ −−++= xpxpppxxL ωωλαα ,

όπου Αλ είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι ο εισοδηματικός περιορισμός (ΙΙΙ) και οι εξισώσεις

11

21

11

)()(0 pxxxL Α−Α−ΑΑ

Α

=⇒=∂∂ λα αα

2212

)()(0 pxxxL Α−ΑΑΑ

Α

=⇒=∂∂ λα αα

Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις, έχουμε

2

1

1

2

1 pp

xx

=− Α

Α

αα (IV)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (III) και (IV) βρίσκουμε τις συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου Α

121

1

21 ,,

ppp

xΑ

ΑΑΑ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωαωω (V)

221

1

22 )1(,,

ppp

xΑ

ΑΑΑ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωαωω (VΙ)

όπου ΑΑΑ +≡ 2211 ωωω pp αποτελεί το εισόδημα του ατόμου Α. Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι

2

1

1

21pp

xx

=−

Β

Β

ββ . (VII)

Χρησιμοποιώντας την (VII) και τον εισοδηματικό περιορισμό του ατόμου Β, προκύπτουν οι συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου Β

121

1

21 ,,

ppp

xΒ

ΒΒΒ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωβωω (VΙΙΙ)

221

1

22 )1(,,

ppp

xΒ

ΒΒΒ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωβωω (IX)

όπου .2211ΒΒΒ +≡ ωωω pp

Η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμουΑγια τα αγαθά 1 και2 είναι

30

1

22111

11

)1(p

ppp

eΑΑ

ΑΑ

Α −−−=−=

ωαωαωωα (X)

2

22112

22

)1()1(p

ppp

eΑΑ

ΑΑ

Α −−=−−=

ωαωαωωα (XI)

Όπως αναμένεται, οι εξισώσεις (Χ) και (ΧΙ) ικανοποιούν τη σχέση (1.9). (Ελέγξτε το!)

Αντίστοιχα για το άτομοΒ έχουμε

1

22111

11

)1(p

ppp

eΒΒ

ΒΒ

Β −−−=−=

ωβωβωωβ (XΙΙ)

2

22112

22

)1()1(p

ppp

eΒΒ

ΒΒ

Β −−=−−=

ωβωβωωβ (XIΙΙ)

οι οποίες επίσης ικανοποιούν την (1.9). (Ελέγξτε το!).

Η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό 1 είναι

ΒΑ

ΒΑΒΑ −−+=+= 11

11111 ωωωβωα

ppeeE (XIV)

και για το αγαθό 2

ΒΑ

ΒΑΒΑ −−−+−=+= 22

22222 )1()1( ωωωβωα

ppeeE (XV)

Οι εξισώσεις (XIV) και (XV) επαληθεύουν τον νόμο του Walras (εξισώσεις 1.8). Πράγματι μετά από αντικατάσταση έχουμε

02211 =+ EpEp .

Επομένως οι δύο αυτές εξισώσεις δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Σε οικονομικούς όρους αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε μόνο το λόγο των δύο τιμών. Με άλλα λόγια, μπορούμε να προσδιορίσουμε μία από τις δύο τιμές σε όρους της άλλης. Πράγματι λύνοντας είτε την εξίσωση (XIV) είτε την εξίσωση (XV) έχουμε ότι

.)1()1(ˆˆ

22

11

1

2ΒΑ

ΒΑ

+−+−

=βωαω

ωβωαpp

(XVI)

Η εξίσωση (XVI) εκφράζει το λόγο των τιμών ισορροπίας συναρτήσει των παραμέτρων και των αρχικών αποθεμάτων. Αν καταστήσουμε το αγαθό 1 βάση μέτρησης και συγκεκριμένα αν τυποποιήσουμε την τιμή του στη μονάδα, 1ˆ1 =p , τότε από την εξίσωση (XVI) έχουμε

.)1()1(ˆ

22

112 ΒΑ

ΒΑ

+−+−

=βωαω

ωβωαp

(XVII)

31

Ο λόγος των τιμών ισορροπίας είναι .ˆˆˆ 212 ppp = Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (VI)-(IX) βρίσκουμε τις ποσότητες ισορροπίας. Για να κάνουμε το παράδειγμα πιο συγκεκριμένο, ας υποθέσουμε ότι 3/1=α και .3/2=β Επίσης )30,90(),( 21 =ΑΑ ωω και ).60,30(),( 21 =ΒΒ ωω Αντικαθιστώντας στην (XVII) βρίσκουμε ότι ο λόγος των τιμών ισορροπίας είναι

.57

603230

31

303190

32

ˆ 2 =+

+=p

Το εισόδημα των δύο ατόμων στις τιμές ισορροπίας είναι

13230)5/7(901ˆˆˆ 2211 =+=+≡ ΑΑΑ xxpp ωωω

11460)5/7(301ˆˆˆ 2211 =+=+≡ ΒΒΒ xxpp ωωω .

Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (VI)-(IX) έχουμε24

44

1132

31ˆ1 ==Α xx

9.62

57

13232ˆ2 ==Α xx

76

1114

32ˆ1 ==Β xx

.1.27

57

11431ˆ2 ==Β xx

Τέλος, παρατηρούμε ότι οι ποσότητες αυτές ικανοποιούν τις εξισώσεις (1.6) και (1.7), δηλαδή η συνολική ζήτηση είναι ίση με τη συνολική προσφορά σε κάθε αγορά ή ισοδύναμη η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό είναι μηδέν: 30907644 +=+ (αγαθό 1)

60301.279.62 +=+ . (αγαθό 2)

Ισοδύναμα, από τις εξισώσεις (XIV) και (XV) προκύπτει ότι

03090

1114

32

1132

31ˆ

111 =−−+=+= ΒΑ xxeeE

.06030

57

11431

57

13232ˆ

222 =−−+=+= ΒΑ xxeeE

24 Σε ολόκληρο το βιβλίο χρησιμοποιούμε την « . » αντί της « , » για να διακρίνουμε τα δεκαδικά ψηφία.

32

Άσκηση 1.4. Θεωρήστε μια ανταλλακτική οικονομία της αγοράς με 2 άτομα (Α και Β) και 2 αγαθά (1 και 2). Οι προτιμήσεις των 2 καταναλωτών είναι οι εξής: 3/2

23/1

1 )()( ΑΑΑ = xxu και 3/12

3/21 )()( ΒΒΒ = xxu

Τα αρχικά αποθέματα είναι .15,0,0,15 2121 ==== ΒΒΑΑ ωωωω

α. Βρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης κάθε καταναλωτή β. Βρείτε την υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό

γ. Προσδιορίστε την ανταγωνιστική ισορροπία. Άσκηση 1.5. Θεωρήστε μια ανταλλακτική οικονομία της αγοράς με 2 άτομα (Α και Β) και 2 αγαθά (1 και 2). Το άτομο Α καταναλώνει τα δύο αγαθά σε σταθερή αναλογία. Συγκεκριμένα, για κάθε μονάδα του αγαθού 2 καταναλώνει και τρεις μονάδες του αγαθού 1. Επομένως η συνάρτηση χρησιμότητάς του είναι ).,3min( 21

ΑΑΑ = xxu Η συνάρτηση του ατόμου Β έχει τον εξής μαθηματικό τύπο: .24 21

ΒΒΒ += xxu Τα αρχικά αποθέματα του Α είναι )180,70(),( 21 =ΑΑ ωω και του Β

).120,30(),( 21 =ΒΒ ωω

α. Βρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης κάθε ατόμου β. Βρείτε την υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό

γ. Προσδιορίστε την ανταγωνιστική ισορροπία. Άσκηση 1.6. Στην Αγαθοτοπία κατοικούν 3000 άτομα. Από αυτούς τα 1000 άτομα είναι Κόκκινα και τα 2000 Πράσινα. Άτομα του ίδιου χρώματος έχουν τις ίδιες προτιμήσεις ως προς τα δύο αγαθά 1 και 2. Συγκεκριμένα η συνάρτηση χρησιμότητας των Κόκκινων ατόμων είναι 2/1

22/1

1 )()( ΚΚΚ = xxu ενώ η συνάρτηση χρησιμότητας των Πράσινων .)()( 4/1

24/3

1ΠΠΠ = xxu

Τα αρχικά αποθέματα κάθε Κόκκινου και Πράσινου ατόμου είναι

)200,30(),( 21 =ΚΚ ωω και ),300,25(),( 21 =ΠΠ ωω αντίστοιχα. Να προσδιοριστεί η ανταγωνιστική ισορροπία.

33

1.8. Ερωτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Η υπερβάλλουσα ζήτηση ενός ατόμου για όλα τα αγαθά δεν είναι δυνατόν να

είναι θετική. 2. Η υπερβάλλουσα προσφορά ενός ατόμου για όλα τα αγαθά δεν είναι δυνατόν να

είναι αρνητική. 3. Σε μια ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι δυνατόν όλα τα άτομα να πωλούν το

ίδιο αγαθό. 4. Σε μία οικονομία με 10 αγορές, εάν η ζήτηση είναι ίση με την προσφορά στις 9

αγορές τότε η υπερβάλλουσα ζήτηση στην 10η αγορά είναι μηδέν. 5. Σε μία οικονομία με 10 αγορές, εάν στις 9 αγορές η ζήτηση διαφέρει από την

προσφορά τότε το ίδιο συμβαίνει αναγκαστικά και στην 10η αγορά. 6. Σε μια οικονομία με δύο αγορές, εάν στην μία αγορά υπάρχει υπερβάλλουσα

ζήτηση τότε στην άλλη υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά. 7. Σε μια οικονομία με δύο αγορές, εάν η μία αγορά είναι σε ισορροπία τότε θα

είναι αναγκαστικά και η άλλη. 8. Σε μια οικονομία δύο αγαθών, 1 και 2, έστω ένα άτομο με αρχικό απόθεμα (3,1).

Η τιμή ισορροπίας .2ˆˆ 12 =pp Πόσες μονάδες από το αγαθό 1 πρέπει να δώσει το άτομο για να αγοράσει μια μονάδα του αγαθού 2;

9. Το άτομο της προηγούμενης ερώτησης ανταλλάσει οικιοθελώς 2 μονάδες του

αγαθού 1 με μία μονάδα του αγαθού 2 και επομένως καταλήγει με τον συνδυασμό (1,2). Για να αποφανθούμε αν η χρησιμότητα αυξήθηκε πρέπει να γνωρίζουμε το σχήμα των καμπύλων αδιαφορίας του.

Adam Smith (1723-1790)

Vilfredo Federico Damaso Pareto (1848 -1923)

2. Οικονομική Αποτελεσματικότητα

2.1. Εισαγωγή Ποιες είναι οι ιδιότητες της ανταγωνιστικής ισορροπίας; Είναι αυτή μια «καλή» κατανομή; Με δεδομένες τις προτιμήσεις των ατόμων και τους περιορισμούς που αντιμετωπίζει η οικονομία (διαθέσιμα αποθέματα) μπορεί να υπάρξει «βελτίωση»; Δηλαδή, υπάρχει άλλη κατανομή «καλύτερη» από το σημείο ισορροπίας σε μια ανταγωνιστική οικονομία; Για να απαντήσουμε αυτά τα ερωτήματα θα πρέπει πρώτα να ορίσουμε τι σημαίνει «καλή κατανομή», τι σημαίνει «βελτίωση» και τι σημαίνει «καλύτερη κατανομή». Οι όροι έχουν ευρύτερη χρησιμότητα και απαντώνται σε κάθε πεδίο της Οικονομικής Επιστήμης.

2.2. Ο Ορισμός μιας Αποτελεσματικής Κατανομής Στην Οικονομική Επιστήμη ο όρος «καλή» για μια κατανομή είναι συχνά συνώνυμος με τoν όρο αποτελεσματική κατά Pareto (Pareto efficient).1 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να ορίσει κανείς μια αποτελεσματική κατανομή. Ένας έμμεσος τρόπος είναι να ισχυριστούμε αδρομερώς ότι μια κατανομή είναι «καλή» όταν δεν υπάρχει άλλη «καλύτερη», όπου στην Οικονομική επιστήμη και πάλι αντί του όρου «καλύτερη» χρησιμοποιούμε τον όρο ανώτερη κατά Pareto. Με πιο αυστηρό τρόπο έχουμε: Ορισμός 2.1. Μια κατανομή Α είναι ανώτερη κατά Pareto (Pareto superior) από μια κατανομή Β αν (i) κανένα άτομο δεν προτιμά την κατανομή B από την Α (ii) τουλάχιστον ένα άτομο προτιμά την Α από τη Β

Σε αυτή την περίπτωση η μετάβαση από την κατανομή Β στην κατανομή Α ονομάζεται βελτίωση κατά Pareto (Pareto improvement). Ορισμός 2.2. Μια εφικτή κατανομή Α είναι αποτελεσματική ή άριστη κατά Pareto (Pareto efficient ή Pareto optimal) αν δεν υπάρχει άλλη εφικτή κατανομή που να είναι ανώτερη κατά Pareto από την Α. Σε όλα τα κεφάλαια του βιβλίου, οι όροι «αποτελεσματική» και «άριστη» κατανομή χρησιμοποιούνται με την ίδια έννοια. Επίσης συχνά, για λόγους συντομίας, παραλείπεται ο όρος «κατά Pareto».

1 Vilfredo F. D. Pareto (1848-1923): Ιταλός κοινωνιολόγος, οικονομολόγος και φιλόσοφος. Ένας από τους σημαντικότερους εκπροσώπους της Σχολής της Λοζάνης. Το σημαντικότερο έργο του Manual of Political Economy δημοσιεύτηκε to 1906.

37

Ένας εναλλακτικός ορισμός της αποτελεσματικής κατανομής είναι ο εξής: Ορισμός 2.3. Μια κατανομή είναι αποτελεσματική αν δεν υπάρχει τρόπος βελτίωσης της θέσεως ενός τουλάχιστον ατόμου χωρίς να χειροτερεύσει η θέση κάποιου άλλου. Είναι ίσος ευκολότερο να κατανοήσει κανείς πότε μια κατανομή δεν είναι αποτελεσματική, δηλαδή πότε μια κατανομή δεν είναι «καλή». Από τους παραπάνω ορισμούς έπεται ότι μια κατανομή δεν είναι αποτελεσματική κατά Pareto όταν υπάρχει άλλη κατανομή στην οποία τουλάχιστον ένα άτομο είναι σε καλύτερη θέση χωρίς να χειροτερεύει η θέση κάποιου άλλου. Πιο συγκεκριμένα, έστω μια κατανομή x σε μια οικονομία Ι ατόμων. Η κατανομή x δεν είναι άριστη κατά Pareto αν υπάρχει άλλη κατανομή, ας πούμε x′ , τέτοια ώστε:

)()( xuxu ii ≥′ για κάθε ,,,1 Ii …=

)()( xuxu ii >′ για ένα τουλάχιστον άτομο i.

Είναι προφανές ότι το κριτήριο του Pareto βασίζεται στην ομοφωνία. Δηλαδή, αν σε μια ψηφοφορία για τη μετάβαση από μια κατανομή σε μια άλλη ένα τουλάχιστον άτομο ψηφίσει θετικά και όλα τα άλλα ψηφίσουν είτε θετικά είτε λευκό (είναι αδιάφοροι) τότε η μετάβαση αυτή αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Αν δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto τότε ένα τουλάχιστον άτομο μπορεί να την παρεμποδίσει (block), ψηφίζοντας αρνητικά. Επομένως, το κριτήριο του Pareto είναι το πλέον συντηρητικό κριτήριο που θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει κανείς στην άσκηση πολιτικής, αφού αυτό ευνοεί πάντοτε την υπάρχουσα κατάσταση (status quo). Ταυτόχρονα όμως είναι και το πλέον «ανώδυνο» κοινωνικά αφού δεν θίγει τα συμφέροντα κανενός ατόμου ή κοινωνικής ομάδας (τουλάχιστον ένας συμφωνεί και όλοι οι άλλοι είτε συμφωνούν είτε είναι αδιάφοροι για τη μετάβαση από μια μη αποτελεσματική σε μια αποτελεσματική κατανομή). Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι όταν η οικονομία βρίσκεται σε μια μη αποτελεσματική κατανομή τότε γίνεται «σπατάλη», με την έννοια ότι χωρίς τη χρήση περισσότερων πόρων η θέση ενός τουλάχιστον ατόμου μπορεί να γίνει καλύτερη, χωρίς να γίνει χειρότερη η θέση κάποιου άλλου.

Το κριτήριο του Pareto είναι μια μερική διάταξη (incomplete ordering) των κατανομών με την έννοια ότι διαιρεί τις κατανομές σε δύο ομάδες, την ομάδα των αποτελεσματικών και την ομάδα των μη αποτελεσματικών κατανομών. Δεν αξιολογεί όμως τις κατανομές κάθε ομάδας. Με άλλα λόγια δεν ιεραρχεί δύο αποτελεσματικές κατανομές.2

Τέλος, το κριτήριο του Pareto δεν έχει καμία σχέση με οποιαδήποτε έννοια δικαιοσύνης. Για παράδειγμα, έστω ένα ποσό χρημάτων που πρόκειται να μοιραστεί μεταξύ δύο ατόμων. Η κατανομή στην οποία ένα από τα δύο άτομα παίρνει όλο το ποσό και το άλλο άτομο δεν παίρνει τίποτε είναι αποτελεσματική γιατί ξεκινώντας από μια τέτοια κατανομή δεν είναι δυνατό να βελτιώσουμε τη θέση του ενός χωρίς να χειροτερεύσουμε τη θέση του άλλου (θυμηθείτε τις υποθέσεις της αύξουσας οριακής

2 Αντίθετα οι σχέσεις > και ≥ όπως ισχύουν στους πραγματικούς αριθμούς αποτελούν πλήρεις διατάξεις (complete ordering). Θυμηθείτε επίσης από τι θεωρία της χρησιμότητας ότι όταν ο καταναλωτής έχει μπροστά του δύο συνδυασμούς πρέπει πάντα να μπορεί να τους αξιολογήσει. Με άλλα λόγια οι προτιμήσεις του αποτελούν μια πλήρη διάταξη των καταναλωτικών συνδυασμών.

38

χρησιμότητας, δηλαδή και τα δύο άτομα επιθυμούν να έχουν όσο το δυνατόν περισσότερα χρήματα, και της έλλειψης εξωτερικών επιδράσεων, δηλαδή η χρησιμότητα κάθε ατόμου δεν επηρεάζεται θετικά ή αρνητικά από το ποσό που έχει το άλλο άτομο). Αντίθετα, η κατανομή που δίνει 1/3 των χρημάτων στο ένα άτομο και 1/3 στο άλλο δεν είναι αποτελεσματική, αφού η θέση τουλάχιστον ενός μπορεί να βελτιωθεί χωρίς να χειροτερεύσει η θέση του άλλου.

Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω όρων, ας εξετάσουμε το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2.1. Έστω τέσσερα άτομα Α, Β, Γ και Δ και τρεις καταναλωτικοί συνδυασμοί X, Y και Ζ. Οι προτιμήσεις (η κατάταξη) κάθε ατόμου δίνεται στον ακόλουθο πίνακα:

Α Β Γ Δ

Χ Χ, Ζ Υ Χ, Υ, Ζ

Υ Υ Χ

Ζ Ζ

Το άτομο Α προτιμά το συνδυασμό Χ από το συνδυασμό Υ και τον Υ από τον Ζ. Το άτομο Β είναι αδιάφορο μεταξύ των συνδυασμών Χ και Ζ αλλά προτιμά κάθε έναν από αυτούς από τον Υ. Το άτομο Γ προτιμά τους συνδυασμούς σύμφωνα με τη σειρά Υ, Χ, Ζ, με Χ τον καλύτερο και Ζ τον χειρότερο. Τέλος το άτομο Δ είναι αδιάφορο μεταξύ και των τριών συνδυασμών. Κάθε ένας από αυτούς τους συνδυασμούς ορίζει τον καταναλωτικό συνδυασμό που θα καταναλώσουν τα τέσσερα άτομα (οι ακριβείς ποσότητες κάθε ατόμου δεν μας ενδιαφέρουν και έχουν παραληφθεί). Έστω ότι πρέπει να διαλέξουμε έναν συνδυασμό (κατανομή). Είναι προφανές ότι δεν μπορεί να είναι όλα τα άτομα απόλυτα ικανοποιημένα από όποια επιλογή και να γίνει. Αν επιλεχθεί ο συνδυασμός Χ ο Α θα είναι απόλυτα ικανοποιημένος επειδή επιλέχθηκε ο συνδυασμός που προτιμά περισσότερο από όλους αλλά ο Γ δεν θα είναι αφού προτιμά το συνδυασμό Υ από τον Χ.

Ποιος από τους παραπάνω συνδυασμός είναι άριστος κατά Pareto; Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση θα πρέπει να εξετάσουμε κάθε συνδυασμό χωριστά και να δούμε αν ξεκινώντας από το συγκεκριμένο συνδυασμό μπορούμε να βελτιώσουμε τη θέση ενός χωρίς να χειροτερεύσουμε τη θέση κάποιου άλλου. Ας ξεκινήσουμε με το συνδυασμό Χ. Είναι άριστος; Η απάντηση είναι θετική, γιατί ξεκινώντας από αυτόν οποιαδήποτε αλλαγή θα χειροτερεύσει τη θέση του Α. Ο Υ είναι άριστος; Η απάντηση είναι και πάλι θετική, γιατί ξεκινώντας από το Υ οποιαδήποτε αλλαγή θα χειροτερεύσει τη θέση του Γ. Τέλος, ο Ζ είναι άριστος; Η απάντηση είναι αρνητική, αφού η μετάβαση από τον Ζ στο Χ θα βελτιώσει τη θέση των Α και Γ, ενώ θα αφήσει αμετάβλητη τη θέση των Β και Δ. Συνοψίζοντας, οι συνδυασμοί μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, σε αυτούς που είναι άριστοι κατά Pareto (Χ και Υ) και σε αυτούς που δεν είναι (Ζ). Μπορούμε επίσης να ιεραρχήσουμε συνδυασμούς από διαφορετικές ομάδες. Η κοινωνία ως σύνολο προτιμά τους αποτελεσματικούς συνδυασμούς από τους μη αποτελεσματικούς (Τόσο ο Χ όσο και ο Υ προτιμώνται από τον Ζ). Δεν μπορούμε όμως να συγκρίνουμε και να ιεραρχήσουμε συνδυασμούς που ανήκουν στην ίδια ομάδα (Χ και Υ).

39

2.3. Αποτελεσματικές Κατανομές στην Ανταλλακτική Οικονομία*

Στην ανταλλακτική οικονομία που εξετάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο μερικές κατανομές είναι ανώτερες κατά Pareto από κάποιες άλλες. Για παράδειγμα στο κουτί του Edgeworth που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.1 η κατανομή x′ είναι ανώτερη κατά Pareto από την αρχική κατανομή ω. Κατά συνέπεια η ω δεν είναι αποτελεσματική.

Σχήμα 2.1. Η κατανομή x′ είναι ανώτερη κατά Pareto από την αρχική κατανομή ω.

Γεννάται λοιπόν το ερώτημα αν υπάρχει μια ιδιότητα που χαρακτηρίζει τις

αποτελεσματικές κατανομές στην ανταλλακτική οικονομία. Για να απαντήσουμε αυτό το ερώτημα θα εφαρμόσουμε τον ορισμό της αποτελεσματικής κατανομής σε μια ανταλλακτική οικονομία I ατόμων και J αγαθών. Για να είναι μια κατανομή αποτελεσματική θα πρέπει να μην είναι δυνατόν να αυξηθεί η χρησιμότητα ενός ατόμου όταν η χρησιμότητα όλων των άλλων διατηρείται σταθερή. Αυτό συμβαίνει επειδή αν κάτι τέτοιο είναι δυνατόν τότε θα βελτιωθεί η θέση ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύσει η θέση κανενός άλλου. Με μαθηματικό συμβολισμό αυτό το πρόβλημα μπορεί να παρουσιασθεί ως εξής:

ΒO

ΑO

ω

. x′

40

),,,,(max 112

11

1J

xxxxu

ij

… (2.1)

υπό τους περιορισμούς

1 2( , , , ) , 2,3, , ,i i i i iJu x x x u i I= ∀ =… … (2.2)

.,,2,1,1

Jjx j

I

i

ij …=∀=∑

=

ω (2.3)

όπου σύμφωνα με την εξίσωση (2.1) επιλέξαμε (τυχαία!) να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση του πρώτου ατόμου, διατηρώντας τη χρησιμότητα όλων των άλλων ατόμων σταθερή και ίση με έναν αριθμό iu , 1, 2, ,i I∀ = … (σχέση 2.2). Επομένως η σχέση (2.2) αναφέρεται σε Ι-1 εξισώσεις, μία για κάθε άτομο. Ας σημειωθεί ότι ο αριθμός iu δεν είναι απαραίτητο να είναι ο ίδιος για όλα τα άτομα αλλά μπορεί να μεταβάλλεται με το δείκτη i. Τέλος, ο περιορισμός (2.3) εξασφαλίζει ότι η λύση του προβλήματος είναι εφικτή, εξισώνοντας τη συνολική κατανάλωση με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα για κάθε αγαθό ∑Ι

== 1ι

ωω ijj . Περιλαμβάνει επομένως J

εξισώσεις, μία για κάθε αγαθό. Θυμηθείτε επίσης ότι ο ορισμός της εφικτής κατανομής (Ορισμός 1.1) περιλαμβάνει και την ανισότητα στην εξίσωση (2.3). Έπεται όμως ότι μια κατανομή στην οποία η (2.3) ισχύει ως ανισότητα δεν μπορεί να είναι αποτελεσματική αφού κάτι τέτοιο θα σήμαινε ότι μέρος των αγαθών μένουν αδιάθετα και επομένως μπορούμε να αυξήσουμε τη χρησιμότητα ενός τουλάχιστον ατόμου, με το να του μεταβιβάσουμε τις αδιάθετες ποσότητες, χωρίς να χειροτερεύσουμε τη θέση κάποιου άλλου. Με άλλα λόγια, μόνο ακριβώς εφικτές κατανομές είναι υποψήφιες αποτελεσματικές κατανομές. Σημειώστε επίσης ότι για τον προσδιορισμό των αποτελεσματικών κατανομών δεν χρειάζεται να εξειδικεύσουμε το καθεστώς ιδιοκτησίας, δηλαδή δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τι κατέχει ο κάθε καταναλωτής από κάθε αγαθό, , 1, 2, , , 1, 2, , .i

j i I j Jω = =… … Αυτό που χρειάζεται απλώς να γνωρίζουμε είναι η συνολική διαθέσιμη ποσότητα

,,,2,1, Jjj …=ω , έτσι ώστε, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, η λύση να είναι μια εφικτή κατανομή. Τέλος, η μεγιστοποίηση γίνεται ως προς όλες τις Ι x J μεταβλητές

ijx , αφού όλες αυτές οι μεταβλητές συνδέονται μέσα από τους περιορισμούς (2.3). Σε μια σύγχρονη οικονομία, ποιος καλείται να λύσει το παραπάνω πρόβλημα;

Ουσιαστικά κανείς. Συχνά όμως ο χαρακτηρισμός των αποτελεσματικών κατανομών θεωρείται ως το αποτέλεσμα του ακόλουθου νοητικού πειράματος. Ας φανταστούμε ένα άτομο το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες: α) ενδιαφέρεται για τη χρησιμότητα όλων των ατόμων της κοινωνίας αλλά σέβεται τις προτιμήσεις τους (εξισώσεις 2.1 και 2.2) β) γνωρίζει τους οικονομικούς περιορισμούς που αντιμετωπίζει η κοινωνία (εξισώσεις 2.3) και τέλος γ) έχει απόλυτο έλεγχο πάνω στην οικονομία, δηλαδή μπορεί να επιβάλλει όποια κατανομή επιθυμεί. Θα ονομάσουμε το άτομο αυτό κοινωνικό σχεδιαστή (social planner). Το ερώτημα είναι λοιπόν με ποιο τρόπο θα μοίραζε ο κοινωνικός αυτός σχεδιαστής τα υπάρχοντα αγαθά μεταξύ όλων των ατόμων της κοινωνίας; Από τις ιδιότητες που διαθέτει ο κοινωνικός σχεδιαστής προκύπτει ότι η λύση στο πρόβλημα της κατανομής είναι πάντα αποτελεσματική κατά Pareto. Αυτό γιατί ο κοινωνικός σχεδιαστής, ο οποίος ενδιαφέρεται για όλα τα άτομα της κοινωνίας, ποτέ δεν θα επέλεγε κάποιο σημείο το οποίο να αφήνει περιθώρια βελτίωσης της θέσης ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύει η θέση κάποιου άλλου. Φυσικά το πείραμα είναι καθαρά νοητικό και κοινωνικός σχεδιαστής δεν

41

υπάρχει. Η επινόηση του και ο χαρακτηρισμός των αποτελεσματικών κατανομών θεωρούνται σκόπιμοι έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να αποφανθούμε αν μια οποιαδήποτε κατανομή είναι αποτελεσματική ή όχι. Αν η απάντηση είναι αρνητική τότε μπορούμε να πούμε ότι η κοινωνία «κάνει σπατάλη», αφού, χωρίς να χρειάζεται αύξηση των πόρων της, ο κοινωνικός σχεδιαστής, δηλαδή η κοινωνία ως σύνολο, μπορεί να «κάνει ένα άτομο καλύτερα χωρίς να κάνει κάποιο άλλο χειρότερα».

Ας επιστρέψουμε στο τεχνικό μέρος του παραπάνω προβλήματος μεγιστοποίησης. Η συνάρτηση Lagrange για αυτό το πρόβλημα μπορεί να γραφεί ως

1 1 1 1

1 2 1 22 1 1

( , , , ) [ ( , , , )]I J I

i i i i i i iJ J j j j

i j i

L u x x x u u x x x xλ φ ω= = =

⎡ ⎤= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑… … ,

όπου , 2,3, ,i i Iλ = … είναι Ι-1 πολλαπλασιαστές Lagrange, ένας πολλαπλασιαστής για κάθε ένα από τα Ι-1 άτομα των οποίων η χρησιμότητα διατηρείται σταθερή. Επίσης, υπάρχουν άλλοι J πολλαπλασιαστές Lagrange τους οποίους συμβολίζουμε ως

jφ , 1, 2, ,j J= … . Οι πολλαπλασιαστές αυτοί αφορούν τις εξισώσεις (2.3) οι οποίες θέτουν τη συνολική κατανάλωση κάθε ενός εκ των J αγαθών ίση με τη συνολική προσφορά.

Οι συνθήκες πρώτης τάξης αποτελούνται από τους περιορισμούς (2.2) και (2,3), και τις ακόλουθες εξισώσεις

jjj x

uxL φ=

∂∂

⇒=∂∂

1

1

1 0 , Jj ,,2,1 …=∀ , (2.4)

0i

iji i

j j

L ux x

λ φ∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂, Jj ,,2,1 …=∀ , Ii ,,3,2 …=∀ (2.5)

Οι σχέσεις (2.4) είναι J τον αριθμό και αφορούν όλες το άτομο 1, ενώ οι σχέσεις (2.5) είναι )1( −× IJ , J για κάθε ένα από τα I-1 άτομα.

Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (2.4) όταν ο δείκτης j παίρνει την τιμή 1 και 2 βρίσκουμε τον Οριακό Λόγο Υποκατάστασης (ΟΛΥ) μεταξύ των αγαθών 1 και 2 του ατόμου 1:

1

11 1 112 1

212

uxux

φφ

∂∂

ΟΛΥ = =∂∂

. (2.6)

Παρομοίως, βρίσκουμε τον οριακό λόγο υποκατάστασης του ατόμου 1 μεταξύ όλων των άλλων αγαθών. Γενικά για 2 τυχαία αγαθά p και q έχουμε:

1

11

1

1

p ppq

q

q

uxux

φφ

∂∂

ΟΛΥ = =∂∂

. (2.7)

42

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (2.5) μπορούμε να βρούμε με τον ίδιο τρόπο τον οριακό λόγο υποκατάστασης μεταξύ δύο οποιοδήποτε αγαθών για όλες τους άλλους καταναλωτές. Για παράδειγμα, ας θέσουμε i = 5, δηλαδή ας εξετάσουμε την περίπτωση του 5ου καταναλωτή. Θέτοντας j =1 και 2 και μετά διαιρώντας τις σχέσεις που προκύπτουν έχουμε

5

55 1 112 5

252

.

uxux

φφ

∂∂

ΟΛΥ = =∂∂

(2.8)

Παρομοίως για δύο τυχαία αγαθά p και q έχουμε

5

55

5

5

.p ppq

q

q

uxux

φφ

∂∂

ΟΛΥ = =∂∂

(2.9)

Από τις σχέσεις (2.6) και (2.7) αλλά και γενικότερα από τις (2.8) και (2.9) βλέπουμε λοιπόν ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ δύο τυχαίων αγαθών p και q είναι ο ίδιος για όλους τους καταναλωτές. Δηλαδή,

1 2 .Ipq pq pqΟΛΥ = ΟΛΥ = = ΟΛΥ… (2.10)

Πρόταση 2.1. (Αποτελεσματικές Κατανομές). Το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών σε μια ανταλλακτική οικονομία αποτελείται από τις εφικτές κατανομές στις οποίες όλο το διαθέσιμο προϊόν καταναλώνεται (ακριβώς εφικτές κατανομές) και ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ κάθε ζεύγους αγαθών είναι ο ίδιος για όλους τους καταναλωτές.

Ο γεωμετρικός τόπος των αποτελεσματικών κατανομών είναι γνωστή ως

Γεωμετρικός Τόπος των Αποτελεσματικών Κατανομών (Efficiency Locus) ή Καμπύλη Συμβολαίων (Contract Curve).3 Η Πρόταση 2.1. επομένως απαιτεί η σχέση (2.10) να ισχύει για κάθε ζεύγος p και q. Επίσης, όπως τονίσαμε και παραπάνω, η Πρόταση 2.1 χαρακτηρίζει το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών χωρίς να είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το καθεστώς ιδιοκτησίας των όποιων πόρων διαθέτει η κοινωνία. Με άλλα λόγια, το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών είναι ανεξάρτητο από την αρχική κατανομή ),,,( 21 Ι= ωωωω … , όπου

IiiJ

iii ,,2,1),,,,( 21 …… == ωωωω , και εξαρτάται μόνο από τις συνολικά διαθέσιμες

ποσότητες 1 ,ij jiω ωΙ

==∑ .,,2,1 Jj …=

3 Το δεύτερο όνομα οφείλεται στο γεγονός ότι η καμπύλη αυτή δίνει όλα τα πιθανά σημεία ανταλλαγής για τα οποία, ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική κατανομή, οι δύο καταναλωτές είναι πιθανό να συνάψουν συμβόλαιο για την πραγμάτωση του σχετικού εμπορίου. Με άλλα λόγια κανένα εμπορικό συμβόλαιο δεν πρόκειται να υπογραφεί για σημεία που δεν βρίσκονται πάνω σε αυτή τη καμπύλη.

43

2.4. Διαγραμματική Παρουσίαση των Αποτελεσματικών Κατανομών στην Ανταλλακτική Οικονομία

Πριν προχωρήσουμε στην διαγραμματική παρουσίαση των αποτελεσματικών κατανομών είναι σκόπιμο να επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για την περίπτωση των 2 ατόμων και 2 αγαθών. Ο χαρακτηρισμός του γεωμετρικού τόπου των αποτελεσματικών κατανομών έγκειται και πάλι στο να μεγιστοποιηθεί η χρησιμότητα του ενός ατόμου, ας πούμε του Α, διατηρώντας τη χρησιμότητα του Β σταθερή. Δηλαδή,

1 2 1 21 2

, , ,max ( , ),

x x x xu x x

Α Α Β Β

Α Α Α (2.1΄)

υπό τους περιορισμούς

1 2( , ) ,u x x uΒ Β Β Β= (2.2΄)

1 1 1,x x ωΑ Β+ = (2.3α΄)

2 2 2 ,x x ωΑ Β+ = (2.3β΄)

όπου 1ω και 2ω δηλώνουν τις συνολικά διαθέσιμες ποσότητες των αγαθών 1 και 2, αντίστοιχα.

Η συνάρτηση Lagrange μπορεί να γραφεί ως

[ ] [ ] [ ]ΒΑΒΑΒΒΒΒΑΑΑ −−+−−+−+= 222211112121 ),(),( xxxxuxxuxxuL ωφωφλ.

Οι αναγκαίες συνθήκες για μέγιστο, πέρα από τους περιορισμούς, προκύπτουν από την παραγώγιση της συνάρτησης Lagrange ως προς 1 2 1 2, , ,x x x xΑ Α Β Β , αντίστοιχα:

111

0 φ=∂∂

⇔=∂∂

Α

Α

Α xu

xL , (2.4α΄)

222

0 φ=∂∂

⇔=∂∂

Α

Α

Α xu

xL , (2.4β΄)

111

0 φλ =∂∂

⇔=∂∂

Β

Β

Β xu

xL , (2.5α΄)

222

0 φλ =∂∂

⇔=∂∂

Β

Β

Β xu

xL . (2.5β΄)

Διαιρώντας τις σχέσεις (2.4α΄) και (2.4β΄) βρίσκουμε ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ των δύο αγαθών για τον καταναλωτή Α είναι ίσος με 1 2/ .φ φ

44

Η ίδια ακριβώς σχέση προκύπτει και για τον καταναλωτή Β, από τις σχέσεις (2.5α΄) και (2.5β΄). Δηλαδή,

1 1 1

2

2 2

u ux xu ux x

φφ

Α Β

Α ΒΑ Β

Α Β

Α Β

∂ ∂∂ ∂

ΟΛΥ = = = = ΟΛΥ∂ ∂∂ ∂

, (2.10΄)

Προσέξτε ότι η σχέση (2.10΄) είναι μια ειδική περίπτωση της (2.10). Επομένως, σε μια ανταλλακτική οικονομία δύο ατόμων και δύο αγαθών, το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών αποτελείται από τις εφικτές κατανομές στις οποίες ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ των δύο αγαθών είναι ο ίδιος για τους δύο καταναλωτές. Για την καλύτερη κατανόηση αυτής της ισότητας (2.10΄), θεωρήστε το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2.2. Έστω ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης του ατόμου Α, ΑΟΛΥ , είναι ίσος με 2 και του ατόμου Β με 21 , 1/ 2ΒΟΛΥ = . Προφανώς, Α ΒΟΛΥ ≠ ΟΛΥ . Ας θυμηθούμε επίσης από τον ορισμό του ΟΛΥ (= απόλυτη τιμή της κλίσης της καμπύλης αδιαφορίας) ότι το άτομο Α παραμένει αδιάφορο, δηλαδή, στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας, αν μειωθεί η κατανάλωση του από το αγαθό 2 κατά 2 μονάδες και αυξηθεί η κατανάλωση του από το αγαθό 1 κατά 1 μονάδα. Αντίθετα, το άτομο Β θα παραμείνει αδιάφορο αν η ποσότητα του αγαθού 2 που καταναλώνει αυξηθεί κατά

21 μονάδα, ενώ την ίδια στιγμή μειωθεί η ποσότητα του αγαθού 1 που καταναλώνει κατά 1 μονάδα.

Έστω ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής μεταφέρει 1 μονάδα αγαθού 2 από τον Α στον Β και 1 μονάδα του αγαθού 1 από τον Β στον Α. Προφανώς η χρησιμότητα και των δύο ατόμων θα αυξηθεί. Ο Α θα παρέμενε αδιάφορος αν για τη μονάδα του αγαθού 1 που έλαβε θυσίαζε 2 μονάδες από το αγαθό 2. Εφόσον θυσίασε μόνο μία μονάδα, η χρησιμότητά του αυξήθηκε, δηλαδή, μετατοπίστηκε σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας. Αντίστοιχα, ο Β θα παρέμενε αδιάφορος αν για τη μονάδα του αγαθού 1 που θυσίασε λάμβανε 21 μονάδα από το αγαθό 2. Εφόσον έλαβε όμως μια ολόκληρη μονάδα από αυτό, θα μετατοπιστεί σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας ή, με άλλα λόγια, η χρησιμότητά του θα αυξηθεί. Η δημιουργία αμοιβαίου οφέλους για τα δύο άτομα από την ανταλλαγή μονάδων των 2 αγαθών μπορεί να συνεχιστεί μέχρι του σημείου όπου Α ΒΟΛΥ = ΟΛΥ . Ας σημειωθεί ότι αυτή η ισότητα θα επιτευχθεί τελικά διότι καθώς μεταφέρουμε μονάδες του αγαθού 2 (1) από τον Α (Β) στον Β (Α), ο οριακός λόγος υποκατάστασης του Α μειώνεται και του Β αυξάνεται (θυμηθείτε ότι ο ΟΛΥ μειώνεται (αυξάνεται) καθώς κινούμαστε προς τα νότιο-ανατολικά (βόρειο-δυτικά) κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας). Όταν επιτευχθεί η ισότητα

Α ΒΟΛΥ = ΟΛΥ όλα τα πιθανά οφέλη εξαντλούνται (Γιατί; Επιχειρηματολογήστε όπως παραπάνω και δείξτε ότι ξεκινώντας από ένα σημείο όπου Α ΒΟΛΥ = ΟΛΥ δεν είναι δυνατόν να αυξήσουμε τη χρησιμότητα ενός ατόμου χωρίς να μειώσουμε τη χρησιμότητα κάποιου άλλου). Το γενικό συμπέρασμα επομένως είναι ότι για να είναι μια κατανομή αποτελεσματική θα πρέπει Α ΒΟΛΥ = ΟΛΥ και κάθε κατανομή στην οποία Α ΒΟΛΥ ≠ ΟΛΥ δεν είναι αποτελεσματική.

Γνωρίζουμε ότι ο ΟΛΥ είναι ίσος με την απόλυτη τιμή της κλίσης της καμπύλης

αδιαφορίας του καταναλωτή. Επομένως το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών,

45

η καμπύλη συμβολαίων, είναι το σύνολο των σημείων επαφής των καμπύλων αδιαφορίας των δύο καταναλωτών (σε κάθε σημείο επαφής οι κλίσεις των δύο καμπυλών αδιαφορίας είναι ίσες μεταξύ τους). Η γραφική παράσταση αυτού του συνόλου εμφανίζεται στο Σχήμα 2.2.

Σχήμα 2.2. Οι αποτελεσματικές κατανομές βρίσκονται πάνω στην καμπύλη

συμβολαίων. Όπως αναφέραμε και στο προηγούμενο τμήμα ο γεωμετρικός τόπος των

αποτελεσματικών κατανομών είναι ανεξάρτητος από την αρχική κατανομή. Επομένως, η καμπύλη συμβολαίων παραμένει η ίδια ανεξάρτητα από τη θέση της αρχικής κατανομής μέσα στο κουτί του Edgeworth. Επίσης στο Σχήμα 2.2 φαίνεται καθαρά ότι η έννοια της αποτελεσματικότητας είναι ανεξάρτητη από κάθε έννοια κοινωνικής δικαιοσύνης. Αυτό γιατί στην καμπύλη συμβολαίων ανήκει, για παράδειγμα, το σημείο ΑΟ στο οποίο το άτομο Α καταναλώνει μηδενικές ποσότητες, ενώ το άτομο Β καταναλώνει όλη τη διαθέσιμη ποσότητα και από τα δύο αγαθά. Τέλος, γενικά δεν υπάρχει λόγος για τον οποίο η καμπύλη συμβολαίων θα έχει ιδιαίτερο σχήμα, παραδείγματος χάριν θα είναι κοίλη η κυρτή, όπως δεν υπάρχει λόγος για τον οποίο η καμπύλη αυτή θα είναι πάνω ή κάτω από τη διαγώνιο του κουτιού.

ΒO

ΑO

Καμπύλη Συμβολαίων

46

2.5. Αποτελεσματικές Κατανομές στο Αλγεβρικό Παράδειγμα

Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των αποτελεσματικών κατανομών στο αλγεβρικό παράδειγμα του Τμήματος 1.7 θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί η χρησιμότητα του ενός ατόμου, έστω του Α, στο σύνολο των εφικτών κατανομών, υπό τον περιορισμό ότι η χρησιμότητα του άλλου ατόμου είναι σταθερή. Δηλαδή,

αα −ΑΑΑ = 121 )()(max xxu

υπό τους περιορισμούς uxxu == −ΒΒΒ ββ 1

21 )()(

ΒΑΒΑ +=+ 1111 ωωxx

ΒΑΒΑ +=+ 2222 ωωxx

όπου u είναι ένας σταθερός αριθμός. Η μεγιστοποίηση γίνεται φυσικά ως προς τις μεταβλητές ΒΒΑΑ

2121 ,,, xxxx . Προς διευκόλυνσή μας ας καλέσουμε 1ω και 2ω τις συνολικά διαθέσιμες ποσότητες από τα αγαθά 1 και 2, αντίστοιχα, ήτοι

ΒΑ +≡ 111 ωωω και ΒΑ +≡ 222 ωωω . Καταρχήν σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1

1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2L x x x x u x x x xα α β β

λ φ ω φ ω− −Α Α Β Β Α Β Α⎡ ⎤= + − + − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

όπου 1, φλ και 2φ συμβολίζουν τους πολλαπλασιαστές Lagrange.

Οι αναγκαίες συνθήκες για το μέγιστο είναι οι περιορισμοί και οι σχέσεις4

11

21

1 )()( φα αα =−Α−Α xx , (XVIII)

221 )())(1( φα αα =− −ΑΑ xx , (XIX)

11

21

1 )()( φβλ ββ =−Β−Β xx , (XX)

221 )())(1( φβλ ββ =− −ΒΒ xx . (XXI)

Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (XVIII) και (XIX) έχουμε

2

1

1

2

1 φφ

αα

=− Α

Α

xx

(XXII)

Διαιρώντας επίσης τις εξισώσεις (XX) και (XXI) έχουμε

4 Σε αυτό και το επόμενο κεφάλαιο χρησιμοποιούμε τις ίδιες συναρτήσεις και δεδομένα με αυτά που χρησιμοποιήσαμε στο Τμήμα 1.7. Κατά συνέπεια θεωρείται σκόπιμο να χρησιμοποιηθεί και ενιαίο σύστημα αρίθμησης των εξισώσεων.

47

2

1

1

2

1 φφ

ββ

=− Β

Β

xx

(XXIII)

Εξισώνοντας τις (XXII) και (XXIII) βρίσκουμε

Β

Β

Α

Α

−=

− 1

2

1

2

11 xx

xx

ββ

αα

ή χρησιμοποιώντας τις 111 ω=+ ΒΑ xx και 222 ω=+ ΒΑ xx ,

Α

Α

Α

Α

−−

−=

− 11

22

1

2

11 xx

xx

ωω

ββ

αα

Λύνοντας την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε την καμπύλη συμβολαίων:

Α

ΑΑ

−+−−

=11

122 )()1(

)1(x

xx

αβωβαωαβ

(XXIV)

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που εξετάσαμε στο Τμήμα 1.7 και στο οποίο

31=α και 32=β , η (XXIV) απλοποιείται ως εξής

Α

ΑΑ

+=

11

122 3

4x

xx

ωω

Επίσης αν )30,90(),( 21 =ΑΑ ωω και )60,30(),( 21 =ΒΒ ωω όπως στο Τμήμα 1.7 τότε

1201 =ω , 902 =ω και

Α

ΑΑ

+=

1

12 40

120xx

x (XXV)

Η γραφική παράσταση της (XXV) δίνεται στο Σχήμα 2.3.

48

Σχήμα 2.3. Η καμπύλη συμβολαίων στο αλγεβρικό παράδειγμα.

Άσκηση 2.1. «Ο Jack Sprat τρώει μόνο άπαχο κρέας ενώ η σύζυγός του τρώει μόνο λίπος». 5 Σχεδιάστε την καμπύλη συμβολαίων. Άσκηση 2.2. Να βρεθεί η καμπύλη συμβολαίων στην Άσκηση 1.4.

Άσκηση 2.3. Να βρεθεί η καμπύλη συμβολαίων στην Άσκηση 1.5.

Άσκηση 2.4. Να βρεθεί η καμπύλη συμβολαίων στην Άσκηση 1.6.

Άσκηση 2.5. Αποδείξτε ότι σε μια ανταλλακτική δύο ατόμων και δύο αγαθών, στην οποία όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις η καμπύλη συμβολαίων είναι ευθεία γραμμή.

5 Πρόκειται για Αγγλικό παιδικό ποίημα: Jack Sprat could eat no fat His wife could eat no lean. And so between the two of them, They licked the platter clean!

ΑO

.ω

ΒO

Α1x

Β1x

90

120

Α2x

Καμπύλη Συμβολαίων

Β2x

49

2.6. Το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας*

Εύλογα γεννάται το ερώτημα: Είναι η ανταγωνιστική ισορροπία αποτελεσματική κατά Pareto; Η σημασία αυτού του ερωτήματος είναι προφανής. Εάν η ανταγωνιστική ισορροπία στις ιδανικές συνθήκες (π.χ., πλήρης πληροφόρηση, έλλειψη εξωτερικών επιδράσεων, συναλλαγές χωρίς κόστος κ.τ.λ.) που εξετάζεται εδώ δεν είναι ανταγωνιστική τότε δεν υπάρχει καμία ελπίδα οι σύγχρονες οικονομίες, έστω και εκείνες στις οποίες ο ανταγωνισμός είναι έντονος, να οδηγήσουν σε ένα άριστο κατά Pareto αποτέλεσμα. Η επόμενη πρόταση είναι γνωστή ως Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας (First Welfare Theorem). Μπορούμε να πούμε χωρίς υπερβολή ότι «έχουν χυθεί χιλιάδες τόνοι μελανιού» για να διερευνηθούν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες ισχύει. Πρόκειται για μια από τις πιο γνωστές προτάσεις στα Οικονομικά και θεωρείται ότι παρέχει ιδεολογικό υπόβαθρο στις οικονομίες της αγοράς.

Πρόταση 2.2. (Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας) Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto.

Θα παρουσιάσουμε δύο αποδείξεις του θεωρήματος. Η πρώτη χρησιμοποιεί Διαφορικό Λογισμό και βασίζεται στο γεγονός ότι οι συναρτήσεις χρησιμότητας των ατόμων είναι παραγωγίσιμες ενώ η δεύτερη είναι πιο γενική.

Απόδειξη 1 (Διαφορικός Λογισμός). Θυμηθείτε ότι στην ανταγωνιστική ισορροπία ο κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. Η μεγιστοποίηση επιτυγχάνεται στο σημείο που ο ΟΛΥ μεταξύ δύο αγαθών κάθε καταναλωτή είναι ίσος με το λόγο των τιμών τους (σχέση 2.3):

jj

i

ppi 1

1 =ΟΛΥ∀ , Jj ,,3,2 …=∀ . (2.3)

Όλοι οι καταναλωτές αντιμετωπίζουν τις ίδιες τιμές και επομένως αν θεωρήσουμε δύο εξισώσεις σαν την (2.3) οι οποίες να αναφέρονται σε δύο διαφορετικούς καταναλωτές h και s, το δεξί μέλος τους θα είναι το ίδιο. Έπεται λοιπόν ότι και το αριστερό θα είναι το ίδιο, δηλαδή

1 1h s

j jΟΛΥ = ΟΛΥ , Jj ,,3,2 …=∀ .

Γενικότερα, για κάθε ζεύγος αγαθών p και q, έχουμε

ΙΟΛΥ==ΟΛΥ=ΟΛΥ pqpqpq …21 .

Με άλλα λόγια ικανοποιείται η σχέση (2.10) και επομένως από την Πρόταση 2.2 έχουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στο σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών.

Το πιο παράξενο τμήμα του Θεωρήματος είναι ότι η αποτελεσματικότητα δεν είναι αποτέλεσμα συνειδητής προσπάθειας από κανέναν. Ο κάθε καταναλωτής συμπεριφέρεται τελείως ατομικιστικά και προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την ευημερία του και μόνο αυτή. Παρόλα αυτά η οικονομία οδηγείται από κάποιο αόρατο χέρι

50

(invisible hand), σύμφωνα με τη γνωστή έκφραση του Adam Smith,6 σε ένα άριστο, με την έννοια που ορίσαμε παραπάνω, αποτέλεσμα.

Προσέξτε την ομοιότητα μεταξύ της (1.3) και της (2.6) ή της (2.7). Οι πολλαπλασιαστές Lagrange στο πρόβλημα του κοινωνικού σχεδιαστή παίζουν ρόλο ανάλογο αυτού των τιμών στην ανταγωνιστική οικονομία. Για το λόγο αυτό καλούνται συχνά σκιώδεις τιμές (shadow prices). Η σκιώδης τιμή ενός αγαθού αντανακλά, όπως και η συνηθισμένη τιμή σε μια ανταγωνιστική ισορροπία, τη σπανιότητά του.

Απόδειξη 2. Η δεύτερη απόδειξη γίνεται με τη Μέθοδο της «εις Άτοπον Απαγωγής». Έστω ότι η ανταγωνιστική ισορροπία, την οποία συμβολίζουμε με x , δεν είναι αποτελεσματική κατά Pareto. (Θυμηθείτε ότι η x αποτελείται από Ι διανύσματα κάθε ένα από τα οποία έχει J στοιχεία. Κάθε ένα διάνυσμα αντιστοιχεί σε ένα και μόνο ένα από τα Ι άτομα. Το στοιχείο j του διανύσματος που αναφέρεται στο άτομο i υπαγορεύει την ποσότητα που θα καταναλώσει αυτό το άτομο από το αγαθό j). Τι σημαίνει το γεγονός ότι η x δεν είναι αποτελεσματική κατανομή; Σημαίνει ότι υπάρχει μια άλλη κατανομή έστω x~ , η οποία είναι εφικτή, δηλαδή,

∑∑==

=I

i

ij

I

i

ijx

11

~ ω ,,,2,1 Jj …=∀ (2.11)

και η οποία βελτιώνει τη θέση τουλάχιστον ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύει τη θέση κάποιου άλλου.7 Ας υποθέσουμε ότι βελτιώνεται η θέση μόνο ενός και χωρίς απώλεια της γενικότητας ας δεχτούμε ότι αυτό είναι το πρώτο άτομο i =1. (Εξυπακούεται ότι η απόδειξη ισχύει κατά μείζονα λόγο στην περίπτωση που βελτιώνεται η θέση περισσότερων του ενός ατόμου). Επομένως,

1 1 1 1ˆ( ) ( )u x u x>

ˆ( ) ( )i i i iu x u x= .,,3,2 Ii …=∀

όπου ix και ˆix συμβολίζουν, αντίστοιχα, τα διανύσματα των κατανομών x και x που αφορούν το άτομο i. Εύλογα γεννάται το ερώτημα: αν ο συνδυασμός 1x δίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα στον καταναλωτή 1, γιατί αυτός δεν αγόρασε τις ποσότητες που του αντιστοιχούν σε αυτή την κατανομή; Δηλαδή, γιατί αγόρασε τις ποσότητες

112

11 ˆ,,ˆ,ˆ Jxxx … και όχι τις ποσότητες 11

211

~,,~,~Jxxx … ; Μόνος ένας λόγος μπορεί να

υπάρχει γι’ αυτό: δεν μπορούσε να αγοράσει το συνδυασμό 1~x επειδή ο συνδυασμός αυτός κόστιζε περισσότερο από το εισόδημα του, δηλαδή

.~~~ 1122

111

1122

111 JJJJ pppxpxpxp ωωω +++>+++ …… (2.12)

Για τους υπόλοιπους καταναλωτές ο συνδυασμός ix πρέπει να κόστιζε τουλάχιστον όσο και ο ˆix , δηλαδή

6 Adam Smith (1723-1790): Σκώτος φιλόσοφος και πατέρας της Οικονομικής Επιστήμης. Το σημαντικότερο έργο του An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations εκδόθηκε το έτος 1776 και είναι ελεύθερα διαθέσιμο στο διαδίκτυο από το Adam Smith Institute, http://www.adamsmith.org/smith/won/won-index.html. 7 Ο προσεκτικός αναγνώστης θα προσέξει ότι ο ορισμός της εφικτής κατανομής (Ορισμός 1.1) περιλαμβάνει και την ανισότητα (<) στη σχέση (2.11). Για αυτό το σημείο βλέπε την επόμενη υποσημείωση.

51

,3,2,~~~

22112211 ipppxpxpxp iJJ

iiiJJ

ii …… =∀+++≥+++ ωωω

(2.13)

Αν η (2.13) δεν ισχύει, δηλαδή αν ο συνδυασμός ix κόστιζε λιγότερο από τον ˆix ,

,~~~22112211

iJJ

iiiJJ

ii pppxpxpxp ωωω +++<+++ ……

για κάποιο άτομο i, τότε κανένας από αυτούς τους δύο συνδυασμούς δεν μεγιστοποιεί την χρησιμότητα του ατόμου i, αφού ο καταναλωτής μπορεί να αγοράσει τον συνδυασμό ix και να του μείνουν κάποια χρήματα για να αγοράσει επιπλέον μονάδες από οποιοδήποτε αγαθό. Επομένως το ύψος της χρησιμότητας που θα πετύχει θα είναι μεγαλύτερο από ˆ( ) ( )i i i iu x u x= . Αυτό όμως αποτελεί μια αντίφαση αφού ο συνδυασμός ˆix οδηγεί εξ’ υποθέσεως στο μέγιστο επίπεδο χρησιμότητας. Προσθέτοντας τις εξισώσεις (2.12) και (2.13) έχουμε

,~~~~ 211

1111

211

1111

IJJJJ

IJJJJ ppppxpxpxpxp ωωωω +++++>+++++ …………

ή >++++++++++ Ι )~~()~~()~~~( 1

221221

21

111

IJJJJ

I xpxpxpxpxxxp …………

,211

1111

IJJJJ pppp ωωωω +++++ ……

ή, χρησιμοποιώντας την (2.11), 211

1111

211

1111 JJJ

IJJJJ pppppppp ωωωωωωωω +++++>+++++ …………

Στην τελευταία σχέση το αριστερό μέλος είναι ακριβώς το ίδιο με το δεξιό. Επομένως οδηγούμαστε σε άτοπο αφού ένας αριθμός δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον εαυτό του.8 Κατά συνέπεια η αρχική υπόθεση ότι η ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι αποτελεσματική δεν είναι ορθή.9

Βέβαια το γεγονός ότι η ανταγωνιστική ισορροπία, όπως ορίστηκε εδώ, είναι

άριστη κατά Pareto δεν σημαίνει ότι και η ισορροπία στις σύγχρονες καπιταλιστικές οικονομίες είναι άριστη. Το πρόβλημα με το Θεώρημα δεν είναι στο αποτέλεσμα αλλά στις υποθέσεις του. Υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους το Θεώρημα δεν

8 Προφανώς η απόδειξη ισχύει κατά μείζονα λόγο αν η σχέση (2.11) λαμβάνει τη μορφή της ανισότητας (≤ ), αφού σε αυτή την περίπτωση 1 2 1 2

j j j j j jx x x ω ω ωΙ Ι+ + + ≤ + + +… … , j=1, 2, …, J. Επομένως καταλήγουμε και πάλι σε άτοπο:

1 2 1 11 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( )I I

J J J Jp x x x p x p x p x p xΙ+ + + + + + + + + + >… … … …1 1 2

1 1 1 1 .IJ J J Jp p p pω ω ω ω+ + + + +… …

9 Αξίζει να σημειωθεί ότι το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας δεν απαιτεί οι καμπύλες αδιαφορίας να είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων (για παράδειγμα, στην δεύτερη απόδειξη του θεωρήματος δεν χρησιμοποιήσαμε αυτή την ιδιότητα των καμπύλων αδιαφορίας). Βέβαια η ιδιότητα της κυρτότητας των καμπύλων αδιαφορίας μας εξασφαλίζει ότι η ανταγωνιστική ισορροπία υπάρχει. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας περιγράφει τις ιδιότητες μιας ανταγωνιστικής ισορροπίας αν αυτή υπάρχει.

52

ισχύει (αποτυχία του μηχανισμού της αγοράς).10 Παρόλα αυτά είναι πάντα χρήσιμο να γνωρίζουμε πότε ισχύει το Θεώρημα και «τι μπορεί να πάει στραβά». Με αυτό τον τρόπο έχουμε ένα σημείο αναφοράς, μια «ιδανική» κατάσταση με την οποία μπορούμε να συγκρίνουμε οποιαδήποτε άλλη.

2.7. Διαγραμματική Παρουσίαση του Πρώτου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας

Θεωρήστε το κουτί του Edgeworth που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.4. Η ευθεία γραμμή με κλίση 21 / pp− είναι ο εισοδηματικός περιορισμός των δύο καταναλωτών Α και Β. Στο σημείο x ο εισοδηματικός περιορισμός εφάπτεται στην ψηλότερη δυνατή καμπύλη κάθε ενός από τους δύο καταναλωτές, δηλαδή κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητά του. Ταυτόχρονα, στο σημείο αυτό η συνολική ζητούμενη ποσότητα είναι ίση με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα. Επομένως, το σημείο x δηλώνει μια ανταγωνιστική ισορροπία.

Σχήμα 2.4. Η ανταγωνιστική ισορροπία βρίσκεται πάνω στην καμπύλη

συμβολαίων.

Εφόσον η ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας κάθε καταναλωτή εφάπτεται στον εισοδηματικό περιορισμό, οι δύο γραμμές έχουν την ίδια κλίση:

10 Για μερικούς από αυτούς τους λόγους, όπως η ύπαρξη εξωτερικών επιδράσεων και η ασύμμετρη πληροφόρηση, έχουν γίνει υπαινιγμοί σε διάφορα σημεία του Κεφαλαίου. Στην επόμενη ενότητα του βιβλίου παρατίθεται ένας ακόμη λόγος που αφορά τον πεπερασμένο ορίζοντα των ατόμων και τον απεριόριστο ορίζοντα της οικονομίας. (βλ. Κεφάλαιο 7).

ΑO

ΒO

Α2x

Α1x

Β1x

Β2x x

ω

Καμπύλη Συμβολαίων

κλίση = 21 pp−

53

.,,/ 2112 ΒΑ==ΟΛΥ ippi

Όμως αν οι δύο καμπύλες αδιαφορίας έχουν κοινή κλίση σε ένα σημείο με μια τρίτη, τότε θα έχουν και μεταξύ τους την ίδια κλίση στο ίδιο σημείο,11

,1212ΒΑ ΟΛΥ=ΟΛΥ

δηλαδή θα εφάπτονται (βλ. Σχήμα 2.4). Κατά συνέπεια ικανοποιείται η σχέση (2.10΄) και η ανταγωνιστική ισορροπία είναι αποτελεσματική. Ας θυμηθούμε επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των αποτελεσματικών κατανομών (γεωμετρικός τόπων των σημείων επαφής των καμπύλων αδιαφορίας) ονομάζεται καμπύλη συμβολαίων. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ανταγωνιστική ισορροπία βρίσκεται πάνω στην καμπύλη συμβολαίων.

Άσκηση 2.6. Να αποδειχθεί με τον δεύτερο τρόπο του Τμήματος 2.5 το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας στην περίπτωση μιας ανταλλακτικής οικονομίας με δύο καταναλωτές και δύο αγαθά.

2.8. Το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας στο Αλγεβρικό Παράδειγμα

Στο Τμήμα 1.7 υπολογίσαμε την ανταγωνιστική ισορροπία στο αλγεβρικό παράδειγμα της ανταλλακτικής ισορροπίας των δύο ατόμων και δύο αγαθών. Η ισορροπία αυτή ήταν

.1.27,76,9.62,44 2121 ==== ΒΒΑΑ xxxx

Επίσης, στο Τμήμα 2.4 υπολογίσαμε την καμπύλη συμβολαίων

.40120

1

12 Α

ΑΑ

+=

xx

x (XXV)

Με απλή αντικατάσταση μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία ικανοποιεί την εξίσωση (XXV). Με άλλα λόγια, η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στο σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών. Η γραφική παράσταση της καμπύλης συμβολαίων γίνεται στο Σχήμα 2.3.

Άσκηση 2.7. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία στην Άσκηση 1.4 ικανοποιεί την εξίσωση της καμπύλης συμβολαίων.

Άσκηση 2.8. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία στην Άσκηση 1.5 ικανοποιεί την εξίσωση της καμπύλης συμβολαίων.

11 Θυμηθείτε ότι οι κλίσεις των εισοδηματικών περιορισμών είναι ίσες αφού οι καταναλωτές αντιμετωπίζουν τις ίδιες τιμές.

54

Άσκηση 2.9. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία στην Άσκηση 1.6 ικανοποιεί την εξίσωση της καμπύλης συμβολαίων.

2.9. Το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας*

Σύμφωνα με το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας, η ανταγωνιστική ισορροπία είναι αποτελεσματική. Αυτό βέβαια, όπως έχουμε αναφέρει για όλες τις αποτελεσματικές κατανομές, δεν σημαίνει ότι είναι και «επιθυμητή». Θυμηθείτε για παράδειγμα ότι στην καμπύλη των συμβολαίων ανήκουν και οι αρχές των αξόνων

ΑΟ και ΒΟ στο κουτί του Edgeworth (βλ. για παράδειγμα, Σχήμα 2.4), στις οποίες το ένα άτομο καταναλώνει μηδενικές ποσότητες και το άλλο όλη τη συνολικά διαθέσιμη ποσότητα και από τα δύο αγαθά. Να το θέσουμε εναλλακτικά, το Πρώτο Θεώρημα απλώς μας λέει ότι, κάτω από ορισμένες συνθήκες, η αγορά θα κάνει το μέγεθος της πίτας όσο το δυνατόν μεγαλύτερο, δηλαδή, δεν θα υπάρξει σπατάλη, αφού, σε μια οικονομία για παράδειγμα δύο ατόμων με δεδομένη τη χρησιμότητα του ενός, η χρησιμότητα του άλλου θα μεγιστοποιηθεί. Το Πρώτο Θεώρημα δεν μας λέει τίποτα όσον αφορά το ποιος καταναλώνει πόσο.

Φανταστείτε μια αποτελεσματική κατανομή η οποία για οποιαδήποτε λόγο είναι επιθυμητή. Μπορεί αυτή η κατανομή να επιτευχθεί μέσα από το μηχανισμό της αγοράς; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι θετική και η πρόταση είναι γνωστή ως Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας (Second Welfare Theorem).

Πρόταση 2.4. (Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας). Ας υποθέσουμε ότι όλα τα άτομα έχουν κυρτές καμπύλες αδιαφορίας. Έστω μια αποτελεσματική κατανομή x′ . Τότε υπάρχει ένα σύνολο τιμών ),,,( 21 Jpppp …= και ένα σύνολο μεταβιβαστικών πληρωμών ),,,( 21 ITTT … τέτοια ώστε η x′ να αποτελεί ανταγωνιστική ισορροπία.

Η απόδειξη της πρότασης αυτής απαιτεί τη χρήση προχωρημένων μαθηματικών

εργαλείων και είναι πέρα από το σκοπό αυτό του βιβλίου (βλέπε, μεταξύ άλλων, Varian 1992 και Mas-Collel, Whinston και Green 1995). Ας σημειωθεί όμως ότι κατά κάποιο τρόπο, το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας είναι το αντίστροφο (converse) του Πρώτου. Πράγματι, το Πρώτο Θεώρημα μας λέει ότι αν μια κατανομή αποτελεί ανταγωνιστική ισορροπία, τότε είναι αποτελεσματική.

Ανταγωνιστική Ισορροπία ⇒ Αποτελεσματική Κατανομή.

Το Δεύτερο Θεώρημα μας λέει ότι κάθε αποτελεσματική κατανομή μπορεί να καταστεί ανταγωνιστική ισορροπία.

Αποτελεσματική Κατανομή ⇒ Ανταγωνιστική Ισορροπία .

Το Δεύτερο Θεώρημα υποδηλώνει ουσιαστικά ότι τα προβλήματα διανομής (κοινωνικής δικαιοσύνης) και αποτελεσματικότητας μπορούν να διαχωριστούν. Με άλλα λόγια δεν υπάρχει μια αντίστροφη σχέση (trade-off) μεταξύ αποτελεσματικότητας και διανομής.

55

Κάποια περεταίρω σχόλια που αφορούν την ισχύ του Θεωρήματος είναι απαραίτητα. Καταρχήν, οι μεταβιβαστικές πληρωμές iT που είναι απαραίτητες για την αναδιανομή του αρχικού αποθέματος πρέπει να αθροίζουν στο μηδέν, δηλαδή

01

=∑=

I

iiT . Για να το δείξουμε αυτό ας πάρουμε τον εισοδηματικό περιορισμό κάθε

ατόμου. Για παράδειγμα για το άτομο i έχουμε

i

J

j

ijj

J

j

ijj Tpxp += ∑∑

== 11ω .

Αθροίζοντας ως προς όλα τα άτομα έχουμε

∑∑∑∑∑== == =

+=I

ii

I

i

J

j

ijj

I

i

J

j

ijj Tpxp

11 11 1ω

ή

∑∑∑∑∑= == ==

−=I

i

J

j

ijj

I

i

J

j

ijj

I

ii pxpT

1 11 11ω

ή, αλλάζοντας τη σειρά της αθροίσεως στα δύο διπλά αθροίσματα που βρίσκονται στο δεξιό μέλος

∑∑∑∑∑= == ==

−=J

j

I

i

ijj

J

j

I

i

ijj

I

ii pxpT

1 11 11ω

ή

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑∑∑∑

====

I

i

ij

I

i

ij

J

jj

I

ii xpT

1111ω

και τελικά, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η κατανομή x είναι εφικτή και αποτελεσματική κατανομή ο όρος μέσα στις αγκύλες είναι μηδέν (βλ. εξίσωση 2.11) , δηλαδή

[ ]1 1

0 0.I J

i ji j

T p= =

= =∑ ∑

Αυτό σημαίνει ότι οι μεταβιβαστικές πληρωμές είναι για άλλα άτομα θετικές και για άλλα αρνητικές (φόροι). Κάποια άτομα θα φορολογηθούν και κάποια άλλα θα επιδοτηθούν, έτσι ώστε το άθροισμα των φόρων και των επιδοτήσεων να είναι μηδέν. Επίσης, έπεται ότι δεν μπορούμε να πετύχουμε την επιθυμητή κατανομή δίνοντας μόνο σε κάποια άτομα (τυπώνοντας ας πούμε «χρήμα»). Τέλος, αυτές οι επιδοτήσεις και οι φόροι είναι κεφαλικοί (lump-sum). Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι πρόκειται για φόρους και επιδοτήσεις που λαμβάνονται από τα άτομα ως δεδομένες και δεν επηρεάζουν την συμπεριφορά τους. Σε αυτό το σημείο ακριβώς βρίσκεται και η αδυναμία του θεωρήματος. Στη πράξη είναι ιδιαίτερο δύσκολο να επιβληθούν κεφαλικοί φόροι και επιδοτήσεις αφού αναμένεται ότι τα άτομα θα μεταβάλουν τη

56

συμπεριφορά τους προκειμένου να αποφύγουν το φόρο ή να εισπράξουν την επιδότηση.

2.10. Διαγραμματική Παρουσίαση του Δεύτερου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας

Η διαγραμματική παρουσίαση του Δεύτερου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας γίνεται στο Σχήμα 2.5. Έστω ότι η αρχική κατανομή είναι ω.

Σχήμα 2.5. Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας Ας υποθέσουμε ότι η κυβέρνηση πιστεύει ότι η ανταλλαγή που ξεκινάει από αυτό το σημείο θα οδηγήσει σε μια μη επιθυμητή κατανομή. Αντί αυτής η κυβέρνηση προτιμά την κατανομή x . Σύμφωνα με το Θεώρημα αν επιβληθούν οι κατάλληλες μεταβιβαστικές πληρωμές τότε υπάρχουν σχετικές τιμές που θα καταστήσουν την κατανομή x ανταγωνιστική ισορροπία. Οι τιμές αυτές δίνονται από την κλίση της ευθείας γραμμής που διέρχεται από το σημείο x και ταυτόχρονα εφάπτεται στις καμπύλες αδιαφορίας των Α και Β που διέρχονται από αυτό το σημείο. Έτσι,

ΒΑ ΟΛΥ==ΟΛΥ2

1

pp .

Οι μεταβιβαστικές πληρωμές που απαιτούνται είναι αυτές που θα θέσουν και τους δύο καταναλωτές πάνω στη γραμμή που διέρχεται από την κατανομή x , ας

ΑO

ω

ω′

x

ΒO

Α1x

Β1x

Α2x

Β2x

57

πούμε στο σημείο ω′ , έτσι ώστε ο συνδυασμός που δίνεται από την x να μπορεί να αγοραστεί και από τα δύο άτομα.

Φυσικά η κυβέρνηση θα μπορούσε να θέσει τα δύο άτομα κατευθείαν πάνω στην κατανομή x . Κάτι τέτοιο θα απαιτούσε την μεταφορά μεταξύ των δύο ατόμων συγκεκριμένων ποσοτήτων από κάθε αγαθό. Όμως σε μια οικονομία όπου υπάρχουν πολλά άτομα αυτό είναι υπολογιστικά αδύνατο. Αντίθετα, με το ζητάμε τα άτομα να τεθούν πάνω στη γραμμή (εισοδηματικό περιορισμό) που διέρχεται από το σημείο x ουσιαστικά ζητάμε να γίνει μεταφορά αγοραστικής δύναμης και όχι συγκεκριμένων ποσοτήτων.

Σχήμα 2.6. Το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας απαιτεί οι

καμπύλες αδιαφορίας να είναι κυρτές. Τέλος το Σχήμα 2.6 μας δείχνει γιατί για να ισχύει το Δεύτερο Θεώρημα θα

πρέπει οι καμπύλες αδιαφορίας να είναι κυρτές (σε αντίθεση με το Πρώτο Θεώρημα, η ισχύς του οποίου δεν απαιτεί κυρτότητα). Στο σχήμα οι καμπύλες αδιαφορίας του ατόμου Α δεν είναι κυρτές. Η κατανομή x είναι αποτελεσματική. Παρόλα αυτά δεν υπάρχει διάνυσμα τιμών που να καθιστά την κατανομή x ανταγωνιστική ισορροπία. Ας εξετάσουμε για παράδειγμα όπως και πριν τη σχετική τιμή που ορίζεται από την κλίση της κοινής εφαπτομένης στο σημείο x . Στην τιμή αυτή το άτομο Β προτιμά την κατανομή x ενώ το άτομο Α προτιμά την κατανομή x′ επειδή βρίσκεται σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας. Με άλλα λόγια η προσφορά δεν είναι ίση με τη ζήτηση και επομένως η σχετική αυτή τιμή δεν είναι τιμή ισορροπίας.

ΑO

x

ΒO

x′

Ax1

Ax2

Bx2

Bx1

58

2.11. Το Δεύτερο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας στο Αλγεβρικό Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία, την οποία υπολογίσαμε στο Τμήμα 1.7, δεν είναι αρεστή στον κοινωνικό σχεδιαστή ή στην κυβέρνηση. Ένας λόγος για αυτό μπορεί να είναι το γεγονός ότι το άτομο Α έχει ψηλότερο επίπεδο ευημερίας στην ανταγωνιστική ισορροπία από ότι το άτομο Β. Πράγματι, θυμηθείτε ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα η ανταγωνιστική ισορροπία ήταν

,57

ˆˆ

1

2 =pp ,44ˆ1 =Αx ,9.62ˆ2 =Αx 76ˆ1 =Βx και .1.27ˆ2 =Βx

Αντικαθιστώντας στις συναρτήσεις χρησιμότητας των δύο ατόμων έχουμε

53)1.27()76()ˆ,ˆ(84.55)9.62()44()ˆ,ˆ( 3!/3/221

3/23/121 ==>== ΒΒΒΑΑΑ xxuxxu

Θεωρήστε την κατανομή x~ , η οποία είναι η εξής:

,926.42~1 =Αx ,117.62~

2 =Αx 074.77~1 =Βx και .883.27~

2 =Βx Προσέξτε ότι αυτή η κατανομή είναι άριστη κατά Pareto. Ο λόγος είναι ότι σε αυτή την κατανομή

.ΒΑ ΟΛΥ=ΟΛΥ Πράγματι μετά από αντικατάσταση έχουμε ότι

.)3/1()3/2(724.0

)3/2()3/1(

1

2

1

2Β

ΒΒ

Α

ΑΑ =ΟΛΥ===ΟΛΥ

xx

xx

Στη συνέχεια ας υποθέσουμε ότι η κυβέρνηση επιθυμεί η οικονομία να ισορροπήσει στην κατανομή .~x Ένας (αυθαίρετος) λόγος για αυτό θα μπορούσε να είναι ότι σε αυτή την κατανομή τα δύο άτομα έχουν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας.12 Πράγματι

)883.27()074.77()~,~(918.54)117.62()926.42()~,~( 3/2

213/23/1

21 ==== ΒΒΒΑΑΑ xxuxxu

Με ποιες μεταβιβαστικές πληρωμές μπορεί η οικονομία να μεταβεί από την αρχική κατανομή ω στην ;~x Θυμηθείτε από τις εξισώσεις (V), (VI), (VIII) και (IX) ότι

11 p

xΑ

Α =ωα (V)

22 )1(

px

ΑΑ −=

ωα (VΙ)

11 p

xΒ

Β =ωβ (VΙΙΙ)

12 Η εξίσωση του επιπέδου ευημερίας των δύο ατόμων προσφέρεται ως ένας αυθαίρετος λόγος για να δικαιολογηθεί η επιθυμία της κυβέρνησης να μεταβάλλει την ανταγωνιστική ισορροπία που προκύπτει από την αρχική κατανομή. Σε καμία περίπτωση δεν υπαινισσόμαστε ότι στην πράξη τα επίπεδα ευημερίας μπορούν να μετρηθούν ή ότι ακόμη και αν αυτό ήταν δυνατό θα έπρεπε να εξισωθούν.

59

22 )1(

px

ΒΒ −=

ωβ (IX)

όπου 3/2,3/1 == βα και ,2211ΑΑΑ +≡ ωωω pp ΒΒΒ +≡ 2211 ωωω pp δηλώνουν το

εισόδημα του ατόμου Α και Β, αντίστοιχα. Επίσης θυμηθείτε ότι )30,90(),( 21 =ΑΑ ωω και ).60,30(),( 21 =ΒΒ ωω Αν καλέσουμε ΑT τη μεταβιβαστική

πληρωμή που λαμβάνει το άτομο Α και ΒT τη μεταβιβαστική πληρωμή που λαμβάνει το άτομο Β τότε το εισόδημα των ατόμων μεταβάλλεται σε

ΑΑΑΑ ++= Tpp 2211 ωωω και .2211ΒΒΒΒ ++≡ Tpp ωωω Εξετάστε τις εξισώσεις

(V), (VI), (VIII) και (IX). Το αριστερό μέλος της κάθε εξίσωσης είναι γνωστό και ίσο με το αντίστοιχο μέλος της κατανομής x~ που θέλουμε να πετύχουμε. Επομένως οι τέσσερις εξισώσεις περιέχουν τέσσερις αγνώστους, ΑTpp ,, 21 και .ΒT Οι εξισώσεις όμως αυτές δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αφού πρέπει να ικανοποιούν το νόμο του Walras. Επομένως ας θέσουμε .11 =p Λύνοντας τις (V), (VI) και (VIII) βρίσκουμε 382.12 =p , 685.2−=ΑT και .685.2+=ΒT Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην εξίσωση (ΙΧ) βλέπουμε ότι αυτή επαληθεύεται. Τέλος, είναι προφανές ότι οι μεταβιβαστικές πληρωμές ΑT και ΒT όπως επίσης και η τιμή 2p εξαρτώνται από την τιμή του πρώτου αγαθού 1p την οποία θέσαμε αυθαίρετα .11 =p Αν μεταβληθεί αυτή η τιμή τότε θα μεταβληθούν και οι άλλες τρεις μεταβλητές. Αν για παράδειγμα, διπλασιάσουμε την τιμή του αγαθού 1 θέτοντας 21 =p , τότε θα διπλασιαστούν τόσο η τιμή του αγαθού 2 όσο και οι μεταβιβαστικές πληρωμές, δηλαδή ,764.22 =p

37.5−=ΑT και .37.5+=ΒT

Άσκηση 2.10. Στην Άσκηση 1.4 επιλέξτε μια αποτελεσματική κατανομή (διαφορετική από την ανταγωνιστική ισορροπία) και βρείτε τις μεταβιβαστικές πληρωμές οι οποίες την καταστούν ανταγωνιστική ισορροπία.

Άσκηση 2.11. Στην άσκηση 1.6 επιλέξτε μια αποτελεσματική κατανομή (διαφορετική από την ανταγωνιστική ισορροπία) και βρείτε τις μεταβιβαστικές πληρωμές οι οποίες την καταστούν ανταγωνιστική ισορροπία.

2.12. Ερωτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Για την επίτευξη μιας κατά Pareto αποτελεσματικής κατανομής είναι αναγκαίο ο

οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ 2 αγαθών να είναι ο ίδιος για δύο οποιαδήποτε άτομα που καταναλώνουν τα αγαθά.

60

2. Ένα ορισμένο ποσό χρημάτων πρόκειται να μοιραστεί μεταξύ δύο ατόμων. Η τελική κατανομή είναι αποτελεσματική κατά Pareto τότε και μόνο τότε όταν τα δύο άτομα λάβουν ίσα μερίδια.

3. Ξεκινώντας από μία κατά Pareto αποτελεσματική κατανομή είναι αδύνατη η

βελτίωση της θέσης κάποιου ατόμου. 4. Δεν είναι δυνατή η ύπαρξη μιας αποτελεσματικής κατά Pareto κατανομής στην

οποία η θέση όλων των ατόμων είναι χειρότερη σε σχέση με μία μη αποτελεσματική κατανομή.

5. Μια κατά Pareto αποτελεσματική κατανομή είναι αδύνατο να αλλάξει εάν για

κάθε αλλαγή απαιτείται ομοφωνία. 6. Εάν γνωρίζουμε την καμπύλη συμβάσεων τότε γνωρίζουμε την κατάληξη κάθε

ανταλλαγής. 7. Μια κατανομή στην οποία όλα τα άτομα της οικονομίας έχουν τα ίδια αποθέματα

είναι αποτελεσματική.

3. Ο Πυρήνας μιας Οικονομίας

3.1. Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 2 δείξαμε ότι όταν υπάρχουν συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, τότε ξεκινώντας από μια αρχική κατανομή η (ανταγωνιστική) ισορροπία που θα επιτευχθεί είναι αποτελεσματική. Όπως έχουμε τονίσει ουσιαστικά συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού υπάρχουν όταν ο αριθμός των ατόμων είναι «μεγάλος», έτσι ώστε το μέγεθος (δηλαδή η ζήτηση ή η προσφορά) καθενός από αυτά είναι μικρή σε σχέση με το μέγεθος της αγοράς. Μόνο τότε η συμπεριφορά των ατόμων δεν έχει καμία πάνω στις τιμές και τα άτομα τις λαμβάνουν ως δεδομένες. Τέλος, η πραγματοποίηση των ανταλλαγών γίνεται στις τιμές ισορροπίας τις οποίες ανακοινώνει ο Βαλρασιανός (Walrasian) πλειστηριαστής.

Το παραπάνω υπόδειγμα, που είναι γνωστό ως Βαλρασιανό υπόδειγμα γενικής ισορροπίας έχει ως σκοπό να προσεγγίσει με έναν απλό τρόπο τον πραγματικό κόσμο. Είναι φυσικό, όπως κάθε οικονομικό υπόδειγμα, να περιέχει απλουστευτικές υποθέσεις και να δέχεται και την ανάλογη κριτική. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να κυριολεκτήσουμε, για να μην έχει καμιά επίδραση πάνω στην τιμή η συμπεριφορά κάθε ατόμου, ο αριθμός των οικονομικών μονάδων οι οποίες συμμετέχουν στην αγορά πρέπει να είναι άπειρος. Διαφορετικά η ζήτηση και η προσφορά κάθε ατόμου έχει, έστω και μια απειροελάχιστη, επίδραση πάνω στη συνολική ζήτηση και στη συνολική προσφορά και επομένως και πάνω στην τιμή. Εύλογα γεννώνται διάφορα ερωτήματα. Πόσο αλλάζουν τα αποτελέσματα αν ο αριθμός των ατόμων είναι μικρός; Τι γίνεται αν δεν υπάρχει πλειστηριαστής και κανείς δεν ανακοινώνει τιμές;

Ας υποθέσουμε μια οικονομία στην οποία συμμετέχει ένας αυθαίρετος αριθμός ατόμων, δηλαδή όχι απαραίτητα μεγάλος, τα οποία πραγματοποιούν συναλλαγές εκτός τιμών ισορροπίας, όπως αυτοί νομίζουν, προσπαθώντας απλά να μεγιστοποιήσουν το ατομικό τους συμφέρον. Πιο συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι τα άτομα περιφέρονται και «κλείνουν» προσωρινές συμφωνίες για ανταλλαγές έχοντας το δικαίωμα της επαναδιαπραγμάτευσης. Όταν όλα τα άτομα έχουν κλείσει όλες τις συμφωνίες τις οποίες θεωρούν ως τις καλύτερες για τον εαυτό τους, πραγματοποιούνται οι ανταλλαγές. Ας σημειωθεί ότι η αρχική κατανομή είναι δεδομένη. Δηλαδή είναι γνωστό και δεδομένο τι ποσότητες έχει ο καθένας από κάθε αγαθό. Το ερώτημα είναι ποιο θα είναι το τελικό αποτέλεσμα. Εναλλακτικά, ποια θα είναι η τελική κατανομή και ποιες οι ιδιότητες της; Είναι αυτή η κατανομή αποτελεσματική;

3.2. Ο Πυρήνας στην Ανταλλακτική Οικονομία* Σε μια οικονομία όπως αυτή που περιγράψαμε παραπάνω η τελική κατανομή θα βρίσκεται στον πυρήνα (core) της ανταλλακτικής οικονομίας. Ας ορίσουμε σταδιακά αυτή την έννοια. Ας θεωρήσουμε μια ομάδα S ατόμων της κοινωνίας. Η ομάδα αυτή

62

μπορεί να αποτελείται από ένα άτομο, δύο, τρία, …, ή ολόκληρη την κοινωνία, δηλαδή .,,2,1 IS …∈ Ορισμός 3.1. Μια κατανομή είναι εφικτή για μια ομάδα S ατόμων αν για κάθε αγαθό j η συνολική κατανάλωση από τα S άτομα είναι μικρότερη ή ίση από τη συνολική ποσότητα που διαθέτουν τα άτομα αυτά. Με μαθηματικό συμβολισμό, μια κατανομή είναι εφικτή για μια ομάδα S ατόμων αν ισχύουν οι παρακάτω J ανισότητες (μία για κάθε αγαθό) S

jjjSjjj xxx ωωω +++≤+++ …… 2121 ,,,2,1 Jj …=∀

ή συντομογραφικά

011

=≤ ∑∑==

S

i

ij

S

i

ijx ω .,,2,1 Jj …=∀

Φυσικά αν η ομάδα S αποτελείται από όλα τα άτομα της κοινωνίας ),( IS = τότε ο Ορισμός 3.1 συμπίπτει με αυτόν μιας εφικτής κατανομής για ολόκληρη την κοινωνία (βλ. Ορισμό 1.1)

Ορισμός 3.2. Μια ομάδα ατόμων μπορεί να βελτιώσει τη θέση της (improve upon) σε σχέση με μια κατανομή x αν υπάρχει μια άλλη κατανομή x′ η οποία να είναι εφικτή για την ομάδα και στην οποία

(iii) κανένα άτομο της ομάδας δεν προτιμά την κατανομή x από την x′ (iv) τουλάχιστον ένα άτομο της ομάδας προτιμά την x′ από τη x.

Με μαθηματικό συμβολισμό, μια ομάδα S ατόμων μπορεί να βελτιώσει τη θέση της σε σχέση με μια κατανομή x αν υπάρχει μια άλλη κατανομή x′ η οποία να είναι εφικτή και

1. ( ) ( )i iu x u x′ ≥ για κάθε ,,2,1 Si …= 2. ( ) ( )i iu x u x′ > για ένα τουλάχιστον άτομο i στην ομάδα S.

Προσέξτε ότι αν η ομάδα S αποτελείται από όλα τα άτομα της κοινωνίας ),( IS = τότε ο Ορισμός 3.2 συμπίπτει με αυτόν της ανώτερης κατανομής για ολόκληρη την κοινωνία (βλ. Ορισμό 2.1)

Είναι ευνόητο ότι αν μια ομάδα ατόμων μπορεί να βελτιώσει τη θέση της σε σχέση με μια κατανομή x τότε η ομάδα αυτή θα παρεμποδίσει (block) την x, υπό την έννοια ότι τα S άτομα θα συνάψουν μια συμμαχία (coalition) έτσι ώστε, αντί να συμμετέχουν στην αγορά, να ανταλλάσουν αγαθά μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό δεν θα επιτρέψουν να είναι η x η τελική κατανομή. Ένα τέτοιο παράδειγμα συμμαχίας είναι μια ένωση καταναλωτών η οποία ιδρύει ένα supermarket. Ανάλογη έννοια είναι και αυτή των πιστωτικών ενώσεων (credit unions), οι οποίες δέχονται καταθέσεις και παρέχουν δάνεια μόνο προς τα μέλη τους, με σκοπό την προστασία των μελών τους

63

από τους δυσμενείς όρους είτε καταθέσεων είτε λήψης δανείων που επιβάλλουν οι τράπεζες.

Το ακόλουθο παράδειγμα έχει σαν σκοπό να διευκρινίσει την έννοια της παρεμπόδισης μιας κατανομής. Παράδειγμα 3.1. Έστω μια οικονομία τριών ατόμων, Α, Β και Γ και δύο αγαθών, 1 και 2. Η αρχική κατανομή ω δίνεται από )0,7(),(),8,1(),( 2121 == ΒΒΑΑ ωωωω και

=ΓΓ ),( 21 ωω ).1,1( Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των τριών ατόμων είναι ,21iii xxu =

.,, ΓΒΑ=i Έστω η κατανομή x η οποία ορίζεται ως εξής: ),3,3(),( 21 =ΑΑ xx )1,1(),( 21 =ΒΒ xx και =ΓΓ ),( 21 xx )5,5( . Είναι δυνατόν η x να είναι η τελική

κατανομή; Για να απαντήσουμε το ερώτημα θα πρέπει να εξετάσουμε αν η κατανομή x θα παρεμποδιστεί από μία τουλάχιστον από τις 7 δυνατές συμμαχίες:

.,,,,,,,,,,, ΓΒΓΑΒΑΓΒΑΓΒΑ Ας ξεκινήσουμε με την συμμαχία ,, ΓΒΑ . Καταρχήν παρατηρούμε ότι η κατανομή x είναι εφικτή γι’ αυτή την συμμαχία, και επομένως και για το σύνολο της οικονομίας, επειδή 171513 111111 ++=++=++=++ ΓΒΑΓΒΑ ωωωxxx

και .108513 222222 ++=++=++=++ ΓΒΑΓΒΑ ωωωxxx

Επιπλέον η κατανομή x είναι αποτελεσματική αφού

1

1

2

1

2

1

2 ==ΟΛΥ==ΟΛΥ==ΟΛΥΓ

ΓΓ

Β

ΒΒ

Α

ΑΑ

xx

xx

xx

.

Επομένως η κατανομή δεν θα παρεμποδιστεί από την ομάδα ,, ΓΒΑ . Αυτό γιατί δεν είναι δυνατόν να βελτιωθεί η θέση ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύσει η θέση κάποιου άλλου (βλ. τον ορισμό της αποτελεσματικής κατανομής, Ορισμός 2..2). Με άλλα λόγια, τα τρία άτομα που απαρτίζουν την κοινωνία δεν μπορούν να βελτιώσουν τη θέση τουλάχιστον ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύσουν τη θέση κάποιου άλλου σχηματίζοντας μια συμμαχία. Να το θέσουμε διαφορετικά, δεν υπάρχει κίνητρο να σχηματιστεί μια συμμαχία που να περιλαμβάνει από όλα τα άτομα μιας κοινωνίας με σκοπό να παρεμποδιστεί η κατανομή x. Ένα τουλάχιστον άτομο δεν το συμφέρει να συμμετάσχει σε αυτή.

Η ίδια κατανομή δεν θα παρεμποδιστεί από καμία από τις συμμαχίες .,, ΓΒΑ Ας σημειωθεί ότι η μόνη κατανομή που μπορούν να πετύχουν οι

οικονομικές μονάδες δρώντας ατομικά, δηλαδή μη συμμετέχοντας στην αγορά, είναι η αυτάρκεια, ήτοι το αρχικό τους απόθεμα. Επομένως υπάρχει μία μόνο κατανομή η οποία είναι εφικτή για κάθε ένα άτομο, αυτή στην οποία καταναλώνει το αρχικό του απόθεμα, και θα πρέπει να συγκρίνουμε την χρησιμότητα κάθε ατόμου από την κατανομή x με τη χρησιμότητα που απολαμβάνει από την κατανομή ω, δηλαδή να συγκρίνουμε )(xui με ).(ωiu Αν )()( ωii uxu > για ένα από τα τρία άτομα Α,Β, ή Γ, τότε το άτομο αυτό δεν έχει συμφέρον (κίνητρο) να παρεμποδίσει την κατανομή x μη ανταλλάσσοντας αγαθά και καταναλώνοντας το αρχικό του απόθεμα. Πράγματι

64

8)8,1(9)3,3( =>= ΑΑ uu , 0)0,7(1)1,1( =>= ΒΒ uu ,

και .1)1,1(49)5,5( =>= ΓΓ uu

Η κατανομή όμως θα παρεμποδιστεί από την ομάδα των ατόμων A και Β, , ΒΑ . Ξεκινώντας από την κατανομή ω, τα δύο αυτά άτομα μπορούν να πετύχουν καλύτερο αποτέλεσμα από την x. Για παράδειγμα, θεωρήστε την κατανομή y η οποία ορίζεται ως εξής: ),4,4(),( 21 =ΑΑ yy ).4,4(),( 21 =ΒΒ yy Η κατανομή αυτή είναι εφικτή για τα δύο άτομα αφού 7144 1111 +=+=+=+ ΒΑΒΑ ωωyy και .0844 2222 +=+=+=+ ΒΑΒΑ ωωyy Επίσης και τα δύο άτομα βρίσκονται σε καλύτερη θέση από ότι βρίσκονται στην κατανομή x αφού 9)3,3(16)4,4( =>= ΑΑ uu ,

και .1)1,1(16)4,4( =>= ΒΒ uu

Η ύπαρξη μίας συμμαχίας όπως η y, για το σχηματισμό της οποίας υπάρχουν κίνητρα προκειμένου να παρεμποδιστεί η κατανομή x, είναι αρκετή για να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η οικονομία δεν πρόκειται να οδηγηθεί μέσα από μια σειρά ανταλλαγών στην κατανομή x.

Ορισμός 3.3. Ο πυρήνας μιας οικονομίας ορίζεται ως το σύνολο των σημείων τα οποία δεν μπορούν να βελτιωθούν και επομένως δεν παρεμποδίζονται από καμία ομάδα ατόμων.

Παράδειγμα 3.2. Η κατανομή x του Παραδείγματος 3.1 δεν ανήκει στον πυρήνα διότι θα παρεμποδιστεί από την ομάδα ., ΒΑ Με άλλα λόγια, τα άτομα A και Β μπορούν να βελτιώσουν τη θέση τους σε σχέση με την κατανομή x, επιλέγοντας για παράδειγμα την κατανομή y του Παραδείγματος 3.1.

Είναι προφανές ότι η έννοια των κατανομών που ανήκουν στον πυρήνα είναι μια γενίκευση αυτής των αποτελεσματικών κατανομών. Πράγματι, αν επιτρέψουμε η ομάδα S να αποτελείται από όλα τα I άτομα στην οικονομία, τότε έχουμε τον Ορισμό 2.2 της αποτελεσματικής κατανομής. Επομένως, μπορούμε να διατυπώσουμε ένα διαφορετικό ορισμό της αποτελεσματικής κατανομής.

65

Ορισμός 3.4. Μια κατανομή είναι αποτελεσματική αν το σύνολο των καταναλωτών δεν μπορεί να βελτιώσει τη θέση του σε σχέση με αυτή και επομένως δεν την παρεμποδίζει.

Υπάρχει βέβαια μια διαφορά μεταξύ του συνόλου των κατανομών που ανήκουν στον πυρήνα και του συνόλου των αποτελεσματικών κατανομών (καμπύλη συμβολαίων). Οι έννοιες της βελτίωσης σε σχέση με μια κατανομή ή της παρεμπόδισης μιας κατανομής από μια ομάδα (συμμαχία) εξαρτάται από την αρχική θέση της ομάδας. Αν δηλαδή μια ομάδα μπορεί να τα πάει καλύτερα από μια κατανομή x εξαρτάται από τους πόρους (αρχικό απόθεμα) της ομάδας. Επομένως ο πυρήνας εξαρτάται από την αρχική διανομή (κατανομή) των ποσοτήτων που διαθέτει η κοινωνία. Αντίθετα, το σύνολο των αποτελεσματικών κατανομών δεν εξαρτάται από την αρχική διανομή. Εξαρτάται βέβαια από τις συνολικές ποσότητες που είναι διαθέσιμες αλλά όχι από το πώς αυτές οι ποσότητες διανέμονται μεταξύ των ατόμων. Για παράδειγμα, στο αλγεβρικό παράδειγμα των προηγούμενων κεφαλαίων οι συνολικά διαθέσιμες ποσότητες είναι ).90,120(),( 21 =ωω Εξυπακούεται ότι αν μεταβληθούν αυτές οι ποσότητες θα μεταβληθούν οι διαστάσεις του κουτιού του Edgeworth και επομένως θα μεταβληθεί και ο γεωμετρικός τόπος των αποτελεσματικών κατανομών (η καμπύλη συμβολαίων). Παρόλα αυτά όμως ο γεωμετρικός αυτός τόπος δεν εξαρτάται από το πώς αυτές οι ποσότητες διανέμονται μεταξύ των ατόμων. Θυμηθείτε ότι όταν προσδιορίσαμε την καμπύλη συμβολαίων, το γεωμετρικό τόπο των σημείων που αντιστοιχούν σε αποτελεσματικές κατανομές, το κάναμε χωρίς να χρειάζεται να ορίσουμε την αρχική κατανομή.

Στον πυρήνα ανήκουν όλες οι κατανομές οι οποίες δεν παρεμποδίζονται από καμία ομάδα, ακόμη και από εκείνη στην οποία ανήκουν όλοι οι καταναλωτές. Αποτελεσματικές είναι οι κατανομές εκείνες που δεν παρεμποδίζονται από την ομάδα στην οποία ανήκει το σύνολο των καταναλωτών. Έπεται ότι αν μια κατανομή βρίσκεται στον πυρήνα τότε είναι αποτελεσματική. Το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα ή εναλλακτικά ο πυρήνας είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των αποτελεσματικών κατανομών αφού, όπως είδαμε στο παραπάνω παράδειγμα των δύο ατόμων και θα δούμε και παρακάτω, υπάρχουν κατανομές οι οποίες είναι αποτελεσματικές και δεν βρίσκονται στον πυρήνα. Επίσης η τελική κατανομή σε μια οικονομία στην οποία τα άτομα περιφέρονται και ανταλλάσουν αγαθά προσπαθώντας να πραγματοποιήσουν κάθε αμοιβαία επωφελή συναλλαγή θα είναι στον πυρήνα. Ο λόγος είναι απλός. Έστω μια υποψήφια τελική κατανομή Q η οποία δεν είναι στον πυρήνα. Αυτό σημαίνει ότι μια ομάδα ατόμων μπορούν να ανταλλάξουν αγαθά μεταξύ τους και να βρεθούν σε καλύτερη θέση από ότι θα ήταν στην Q. Επομένως η ομάδα αυτή θα παρεμποδίσει την Q, γεγονός που σημαίνει ότι η κατανομή Q δεν μπορεί να είναι η τελική κατανομή.

Πρόταση 3.1. Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στον πυρήνα. Απόδειξη. Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή του Πρώτου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας σύμφωνα με το οποίο μια ανταγωνιστική ισορροπία είναι αποτελεσματική. Όπως και στην δεύτερη απόδειξη της Πρότασης 2.1, έστω ότι η ανταγωνιστική ισορροπία x δεν είναι στον πυρήνα. Τότε υπάρχει μια άλλη εφικτή κατανομή x~ , δηλαδή,

66

∑∑==

=S

i

ij

S

i

ijx

11

~ ω ,,,2,1 Jj …=∀ (3.1)

και η οποία σε σχέση με την x βελτιώνει τη θέση τουλάχιστον ενός ατόμου της ομάδας χωρίς να χειροτερεύει τη θέση κάποιου άλλου. Με άλλα λόγια η κατανομή x θα παρεμποδιστεί.1 Ας υποθέσουμε ότι βελτιώνεται η θέση μόνο ενός και χωρίς απώλεια της γενικότητας ας δεχτούμε ότι αυτό είναι το πρώτο άτομο i =1. Επομένως,

)ˆ()~( 11 xuxu > )ˆ()~( xuxu ii = .,,3,2 Si …=∀ Εύλογα γεννάται το ερώτημα: αν η κατανομή x~ δίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα στον καταναλωτή 1 από την x , γιατί αυτός δεν αγόρασε τις ποσότητες που του αντιστοιχούν στην κατανομή x~ ; Δηλαδή, γιατί αγόρασε τις ποσότητες

112

11 ˆ,,ˆ,ˆ Jxxx … και όχι τις ποσότητες 11

211

~,,~,~Jxxx … ; Μόνος ένας λόγος μπορεί να

υπάρχει γι’ αυτό: δεν μπορούσε να αγοράσει αυτό το συνδυασμό επειδή ο συνδυασμός αυτός κόστιζε περισσότερο από το εισόδημα του, δηλαδή .~~~ 11

22111

1122

111 JJJJ pppxpxpxp ωωω +++>+++ …… (3.2)

Για τους υπόλοιπους καταναλωτές της ομάδας ο συνδυασμός x~ πρέπει να κόστιζε τουλάχιστον όσο και ο x , δηλαδή

.,,3,2,~~~22112211 Sipppxpxpxp i

JJiii

JJii ……… =∀+++≥+++ ωωω (3.3)

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (3.3) και (3.4) έχουμε

,~~~~ 211

1111

211

1111

SJJJJ

SJJJJ ppppxpxpxpxp ωωωω +++++>+++++ …………

ή >++++++++++ )~~()~~()~~~( 1

221221

21

111

SJJJJ

SS xpxpxpxpxxxp …………

,211

1111

SJJJJ pppp ωωωω +++++ ……

ή, χρησιμοποιώντας την (3.1),

,211

1111

211

1111

SJJJJ

SJJJJ pppppppp ωωωωωωωω +++++>+++++ …………

η οποία αποτελεί αντίφαση.

1 Όπως και στα προηγούμενα κεφάλαια, η υπόθεση της αυστηρά αύξουσας οριακής χρησιμότητας μας επιτρέπει και πάλι να αγνοήσουμε την ισότητα από τον ορισμό της κατανομής η οποία μπορεί να παρεμποδιστεί.

67

Γνωρίζουμε ότι σε μια οικονομία στην οποία τα άτομα ανταλλάσουν αγαθά έχοντας ως γνώμονα το ατομικό τους συμφέρον θα βρίσκεται στον πυρήνα. Φυσικά στον πυρήνα ανήκουν και άλλες κατανομές οι οποίες δεν είναι ανταγωνιστικές. Ποια τελικά θα είναι η τελική κατανομή και ποιες οι ιδιότητες της; Προς το παρόν γνωρίζουμε ότι αφού η τελική κατανομή θα βρίσκεται στον πυρήνα θα είναι αποτελεσματική. Η επόμενη πρόταση παρέχει μια θεωρητική αιτιολόγηση για την έννοια του τέλειου ανταγωνισμού στην οποία τα άτομα συμπεριφέρνονται λαμβάνοντας τις τιμές ως δεδομένες.

Πρόταση 3.2. (Η Εικασία του Edgeworth). Καθώς η οικονομία μεγαλώνει, δηλαδή καθώς ο αριθμός των ατόμων αυξάνεται, ο πυρήνας μικραίνει και συγκλίνει προς την ανταγωνιστική ισορροπία. Δηλαδή σε μια «μεγάλη» οικονομία τα άτομα λαμβάνουν τις τιμές ως δεδομένες, παρά το γεγονός ότι θεωρητικά έχουν την δυνατότητα να επηρεάσουν τις τιμές. Η εικασία αυτή έγινε από τον Edgeworth αλλά αποδείχθηκε κάτω από διαφορετικές υποθέσεις, όσον αφορά την ακριβή έννοια της μεγάλης οικονομίας, τη δεκαετία του 1960 από τους μαθηματικούς οικονομολόγους Debreu και Scarf (1963) και τον Aumann (1964). Οι αποδείξεις είναι ιδιαίτερα τεχνικές και ξεφεύγουν από το σκοπό αυτού του βιβλίου. Ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον στοιχείο πάντως της πρότασης είναι ότι οι Walras και Edgeworth έφτασαν στο ίδιο αποτέλεσμα (αυτό της ανταγωνιστικής ισορροπίας) ακολουθώντας τελείως διαφορετικούς δρόμους. Ο Walras βασίστηκε στο μηχανισμό της αγοράς και στο ρόλο των τιμών ενώ ο Edgeworth βασίστηκε στην συνεργασία μεταξύ των ατόμων για την πραγματοποίηση όλων των αμοιβαία επωφελών συναλλαγών.

3.3. Διαγραμματική Παρουσίαση του Πυρήνα στην Ανταλλακτική Οικονομία

Ποιος είναι ο πυρήνας στην ανταλλακτική οικονομία των δύο ατόμων και δύο αγαθών; Ας υποθέσουμε ότι η αρχική κατανομή δίνεται από το σημείο ω στο Σχήμα 3.1. Όλα τα σημεία του πυρήνα είναι αποτελεσματικές κατανομές. Επομένως, ο πυρήνας αποτελεί τμήμα της καμπύλης συμβολαίων. Ξεκινώντας από την αρχική κατανομή ω, σημεία όπως το Ζ θα παρεμποδιστούν από το άτομο Β, αφού η χρησιμότητα του σε αυτό το σημείο είναι χαμηλότερη από ότι είναι στην αρχική κατανομή ω. Επομένως δεν πρόκειται να δεχτεί τις ανταλλαγές που συνεπάγεται η μετάβαση από το σημείο ω στο σημείο Ζ. Για ανάλογους λόγους, σημεία όπως το Υ θα παρεμποδιστούν από το άτομο Α. Ο πυρήνας της ανταλλακτικής οικονομίας αποτελείται από τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη PQ και όπως αναφέραμε και στο προηγούμενο τμήμα αποτελεί γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των αποτελεσματικών κατανομών (καμπύλη συμβολαίων).

68

Σχήμα 3.1. Ο πυρήνας στην 2 × 2 ανταλλακτική οικονομία

ΑO

ω

ΒO

Ax1

Β1x

Α2x

2xΒ

Πυρήνας Y

Z

Q

P

Καμπύλη Συμβολαίων

69

3.4. Ο Πυρήνας στο Αλγεβρικό Παράδειγμα Θεωρήστε και πάλι το Αλγεβρικό Παράδειγμα των προηγούμενων κεφαλαίων. Ποιες είναι οι κατανομές που ανήκουν στον πυρήνα σε αυτό το παράδειγμα; Μικραίνει ο πυρήνας καθώς αυξάνει ο αριθμός των ατόμων στην οικονομία;

Κάθε κατανομή που ανήκει στον πυρήνα πρέπει να είναι και αποτελεσματική. Επομένως όλες οι κατανομές που ανήκουν στον πυρήνα ανήκουν και στην καμπύλη συμβολαίων. Υπάρχουν όμως σημεία που ανήκουν στη καμπύλη συμβολαίων αλλά δεν ανήκουν στον πυρήνα. Για παράδειγμα, σημεία όπως το Ζ στο Σχήμα 3.2 θα παρεμποδιστούν από τον Β αφού η κατανομή Ζ του προσφέρει χαμηλότερο επίπεδο χρησιμότητας από ότι το αρχικό του απόθεμα. Παρομοίως, σημεία όπως το Υ θα παρεμποδιστούν από τον Α. Επομένως ο πυρήνας αποτελείται από τα σημεία που βρίσκονται πάνω στο τμήμα QP της καμπύλης συμβολαίων.

Σχήμα 3.2. Ο πυρήνας στο αλγεβρικό παράδειγμα. Οι συντεταγμένες του σημείου Q προκύπτουν ως η λύση του συστήματος των εξισώσεων που σχηματίζουν η καμπύλη συμβάσεων (εξίσωση XXIII στο Τμήμα 2.4)

Α

ΑΑ

+=

1

12 40

120xx

x

(XXV)

ΑO

)30,90(=ω

ΒO

Ax1

Β1x

Α2x

2xΒ

Πυρήνας Y

Z

(30.29, 51.71) =Q

P= (62.982, 73.39)

Καμπύλη Συμβολαίων

90

x

120

70

και η καμπύλη αδιαφορίας του Α που διέρχεται από το αρχικό του απόθεμα

:)30,90(),( 21 =ΑΑ ωω 3/23/13/2

23/1

1 )30()90()()( =ΑΑ xx . (XXVΙ)Αντικαθιστώντας την (XXV) στην (ΧΧVI) βρίσκουμε

3/23/13/2

1

13/11 )30()90(

40120)( =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+ Α

ΑΑ

xxx

ή

0)40(

)120()30(90)( 2

12

23

1 =+− ΑΑ xx ,

η οποία έχει μία μόνο θετική ρίζα .290.301 =Αx Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην (XXV) βρίσκουμε .71.512 =Αx Παρομοίως για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου P θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων που σχηματίζουν η καμπύλη συμβάσεων και η καμπύλη αδιαφορίας του Β που διέρχεται από το αρχικό του απόθεμα :)60,30(),( 21 =ΒΒ ωω 3/13/23/1

23/2

1 )60()30()()( =ΒΒ xx , (XXVΙΙ) όπου ΑΒ −= 111 xx ω και .222

ΑΒ −= xx ω Μετά από αντικατάσταση προκύπτουν δύο εξισώσεις

)(40)(120

11

1122 Β

ΒΒ

−+−

=−xx

xωω

ω (XXVΙIΙ)

και (XXVII) ως προς 2 αγνώστους Β

1x και .2Βx Αντικαθιστώντας τις τιμές 1201 =ω

και 902 =ω στην (ΧΧVΙΙΙ) έχουμε

Β

ΒΒ

−=

1

12 160

30x

xx . (XXΙΧ)

Αντικαθιστώντας την (XXIX) στην (ΧΧVII) καταλήγουμε σε μια εξίσωση ως προς έναν άγνωστο, Β

1x , ,016018001800)( 1

31 =×−+ ΒΒ xx

η οποία έχει μία μόνο θετική λύση, την .018.571 =Βx Στη συνέχεια αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην εξίσωση (ΧΧIX) βρίσκουμε .61.162 =Βx Επομένως, οι συντεταγμένες του σημείου P ως προς την αρχή των αξόνων ΑO είναι

71

982.62018.571201 =−=Αx και .39.7361.16902 =−=Αx Τέλος, παρατηρούμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία )1.27,76,9.62,44()ˆ,ˆ,ˆ,ˆ( 2121 =ΒΒΑΑ xxxx , την οποία υπολογίσαμε στο Τμήμα 1.7, βρίσκεται μεταξύ των δύο αυτών σημείων Q και P, όπως αναμένεται (Βλ. επίσης Σχήμα 3.2).

Στη συνέχεια θα δείξουμε με τη βοήθεια αυτού του παραδείγματος μέρος της Εικασίας του Edgeworth και συγκεκριμένα ότι ο πυρήνας μικραίνει καθώς αυξάνεται ο αριθμός των ατόμων. Για το σκοπό αυτό θεωρήστε ότι έχουμε δύο ακόμη άτομο στην οικονομία. Ας ονομάσουμε τα αρχικά άτομα Α1 και Β1 και τα νέα άτομα Α2 και Β2. Ο Α2 δύο είναι ένα αντίγραφο (replica) του Α1, με τη έννοια ότι έχει ακριβώς τις ίδιες προτιμήσεις, 3/2

23/1

1 )()( iii xxu = , και το ίδιο αρχικό απόθεμα ),30,90(),( 21 =ii ωω .2,1 ΑΑ=i Αντίστοιχα, ο Β2 έχει ακριβώς τις ίδιες προτιμήσεις

και τα ίδια αποθέματα με τον Β1: ,)()( 3/12

3/21

iii xxu = ),60,30(),( 21 =ii ωω .2,1 ΒΒ=i Προκύπτει εύκολα ότι κάθε σημείο που ανήκει στον πυρήνα των τεσσάρων

ατόμων ανήκει και στον πυρήνα των δύο ατόμων. Πράγματι έστω μια κατανομή F η οποία ανήκει στον πυρήνα των τεσσάρων ατόμων και δεν ανήκει στον πυρήνα των δύο ατόμων. Αυτό σημαίνει ότι κάποια από τις συμμαχίες , ΒΑ ή

, ΒΑ παρεμποδίζει την κατανομή F. Όμως αυτές οι συμμαχίες ανήκουν και στο σύνολο των συμμαχιών που είναι δυνατόν να σχηματιστούν στην οικονομία των τεσσάρων ατόμων. Επομένως όποια από αυτές τις συμμαχίες παρεμποδίζει την κατανομή F στην οικονομία των δύο ατόμων θα την παρεμποδίσει και στην οικονομία των τεσσάρων ατόμων, συμπέρασμα που είναι αντιφατικό με την αρχική υπόθεση.

Το επόμενο ερώτημα είναι αν υπάρχουν κατανομές οι οποίες ανήκουν στον αρχικό πυρήνα αλλά εξαφανίζονται με την εισαγωγή των δύο νέων ατόμων στην οικονομία. Η απάντηση όπως ήδη γνωρίζουμε από την Πρόταση 3.2 είναι θετική. Στα πλαίσια του συγκεκριμένου παραδείγματος θα αναδείξουμε την σμίκρυνση του πυρήνα με την αναγνώριση ενός σημείου το οποίο εξαφανίζεται από αυτόν όταν ο αριθμός των οικονομικών μονάδων αυξάνεται. Πιο συγκεκριμένα, θα δείξουμε ότι η κατανομή Q του πυρήνα της οικονομίας των δύο ατόμων που υπολογίσαμε παραπάνω και η οποία αντιστοιχεί στην κατανομή που δίνει το χαμηλότερο επίπεδο χρησιμότητας στον Α από όλες τις κατανομές που ανήκουν σε αυτόν τον πυρήνα (βλ. Σχήμα 3.2), δεν ανήκει στον πυρήνα της οικονομίας των τεσσάρων ατόμων. Το ερώτημα λοιπόν είναι αν στην οικονομία των τεσσάρων ατόμων υπάρχει συμμαχία η οποία να μπορεί να καλυτερεύσει τη θέση της σε σχέση με την κατανομή Q η οποία ορίζεται ως εξής:

1 1 2 21 2 1 2( , ) ( , ) (30.29, 51.71),x x x xΑ Α Α Α= = 1 1 2 2

1 2 1 2( , ) ( , ) (89.71, 38.29).x x x xΒ Β Β Β= = Θεωρήστε την ακόλουθη κατανομή V: 1 1 2 2

1 2 1 2( , ) ( , ) (60.145, 40.855),x x x xΑ Α Α Α= = 1 1

1 2( , ) (89.71, 38.29)x xΒ Β = και 2 21 2( , ) (30,60).x xΒ Β = Θα δείξουμε ότι η κατανομή V

καλυτερεύει τη θέση της συμμαχίας 1, 2, 1Α Α Β σε σχέση με την κατανομή Q και επομένως η συμμαχία αυτή έχει κίνητρο να την παρεμποδίσει. Κατά συνέπεια η κατανομή Q δεν ανήκει στον πυρήνα της οικονομίας των τεσσάρων ατόμων. Με άλλα λόγια ο πυρήνας μικραίνει. Καταρχήν προσέξτε ότι η κατανομή V είναι εφικτή γιατί ο B2 καταναλώνει το αρχικό του απόθεμα και

1 2 1 1 2 1

1 1 1 1 1 160.145 60.145 89.71 90 90 30x x x ω ω ωΑ Α Β Α Α Β+ + = + + = + + = + +

Επίσης

72

1 2 1 1 2 12 2 2 2 2 240.855 40.855 38.29 30 30 60.x x x ω ω ωΑ Α Β Α Α Β+ + = + + = + + = + +

Επιπλέον η χρησιμότητα των Α1 και Α2 από την κατανομή V είναι μεγαλύτερη από αυτή που απολαμβάνουν από την κατανομή Q, ενώ του Β1 είναι προφανώς η ίδια. Πράγματι

1/3 2/3 1/3 2/3( ) (60.145) (40.855) 46.476 ( ) (30.29) (51.71) 43.266i iu V u Q= = > = = ,

όπου i=A1, A2. Τέλος ας σημειωθεί ότι ο B1 επιλέχθηκε αυθαίρετα να συμμετέχει στην συμμαχία. Θα μπορούσε αντί αυτού να επιλεγεί ο Β2. Άσκηση 3.1. Να βρεθεί ο πυρήνας για την ανταλλακτική οικονομία της Άσκησης 1.4. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στον πυρήνα. Άσκηση 3.2. Να βρεθεί ο πυρήνας για την ανταλλακτική οικονομία της Άσκησης 1.5. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στον πυρήνα. Άσκηση 3.3. Να βρεθεί ο πυρήνας για την ανταλλακτική οικονομία της Άσκησης 1.6. Να εξετασθεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στον πυρήνα.

3.5. Ερωτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις.

1. Εάν γνωρίζουμε τον πυρήνα τότε γνωρίζουμε την τελική κατανομή.

2. Όλες οι αποτελεσματικές κατανομές βρίσκονται στον πυρήνα.

3. Όλες οι κατανομές που βρίσκονται στον πυρήνα είναι αποτελεσματικές.

4. Η καμπύλη συμβολαίων είναι ένα υποσύνολο του πυρήνα

5. Ο πυρήνας είναι ένα υποσύνολο της καμπύλης συμβολαίων.

6. Το να ανήκει μια κατανομή στον πυρήνα είναι αναγκαία συνθήκη για να είναι αποτελεσματική.

7. Το να ανήκει μια κατανομή στον πυρήνα είναι ικανή συνθήκη για να είναι αποτελεσματική.

8. Το είναι μια κατανομή αποτελεσματική είναι αναγκαία συνθήκη για να ανήκει στον πυρήνα.

9. Το είναι μια κατανομή αποτελεσματική είναι ικανή συνθήκη για να ανήκει στον πυρήνα.

Jeremy Bentham (1748 – 1832)

74

John Stuart Mill (1806 –1873)

75

4. Οικονομική της Ευημερίας

4.1. Εισαγωγή Όπως έχουμε ήδη αναφέρει το κριτήριο της αποτελεσματικότητας κατά Pareto είναι μια μερική διάταξη πάνω στις κατανομές, με την έννοια ότι τις διαιρεί σε δύο ομάδες, την ομάδα των αποτελεσματικών και την ομάδα των μη αποτελεσματικών κατανομών, αλλά δεν είναι σε θέση να αξιολογήσει τις κατανομές κάθε ομάδας. Για παράδειγμα, δεν είναι σε θέση να ιεραρχήσει δύο αποτελεσματικές κατανομές. Αυτή η αδυναμία δεν αποτελεί πρόβλημα στις περιπτώσεις που η αποτελεσματική κατανομή είναι μοναδική. Στις περισσότερες όμως των περιπτώσεων ο αριθμός των αποτελεσματικών κατανομών είναι μεγάλος. Πως μπορούμε να διαλέξουμε μία ανάμεσα από αυτές; Για παράδειγμα, όλες οι κατανομές πάνω στην καμπύλη συμβολαίων, άπειρες στον αριθμό, είναι αποτελεσματικές. Ποια από αυτές είναι πιο επιθυμητή από πλευράς κοινωνικής ευημερίας; Το κριτήριο του Pareto δεν είναι σε θέση να μας βοηθήσει σε μια τέτοια περίπτωση. Για να απαντήσουμε ένα τέτοιο ερώτημα θα πρέπει να γνωρίζουμε τις συλλογικές προτιμήσεις της κοινωνίας. Αυτές οι προτιμήσεις θα πρέπει ορίζονται σε ένα χώρο όπου το κάθε σημείο προσδιορίζει τις ποσότητες που θα καταναλώσει κάθε άτομο (ατομικές κατανομές) είτε το επίπεδο χρησιμότητας που θα απολαύσει από την κατανάλωση αυτών των ποσοτήτων (ατομικές χρησιμότητες).1

4.2. Καμπύλη Δυνατοτήτων Χρησιμότητας* Η καμπύλη συμβολαίων ορίζεται στο χώρο των αγαθών. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στο Κεφάλαιο 2 κάθε σημείο πάνω στη καμπύλη συμβολαίων είναι άριστο κατά Pareto και επομένως μας δίνει τη μέγιστη χρησιμότητα που μπορεί να πετύχει ένα άτομο όταν το επίπεδο χρησιμότητας όλων των άλλων ατόμων διατηρείται σταθερό. Την καμπύλη αυτή μπορούμε να την παραστήσουμε και στο χώρο των χρησιμοτήτων (utility space). Συγκεκριμένα, το σύνολο :),,,( 21 IIuuu ℜ∈=ΣΔΧ … υπάρχει εφικτή κατανομή x τέτοια ώστε

,,,2,1)( Iixuu iii …=≤

ονομάζεται το σύνολο δυνατοτήτων χρησιμότητας (utility possibility set). Το σύνορο (boundary) αυτού του συνόλου είναι η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας (utility possibility frontier). Επομένως, η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας ορίζεται ως το σύνολο

1 Δύο καλά βιβλία από την Ελληνική βιβλιογραφία που συζητούν θέματα που αφορούν αυτό και το επόμενο κεφάλαιο είναι Κορλίρας (1982) και Λιανός (2000).

76

:),,,( 21 IIuuu ℜ∈=ΚΔΧ … δεν υπάρχει άλλος συνδυασμός

ΣΔΧ∈)~,,~,~( 21 Iuuu … τέτοιος ώστε ,,,2,1~ Iiuu ii …=∀≥

και ii uu >~ για τουλάχιστον ένα i.

Δηλαδή, η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας (ΚΔΧ) συνίσταται από τους συνδυασμούς των χρησιμοτήτων που αντιστοιχούν σε όλες τις αποτελεσματικές κατανομές. Εναλλακτικά μπορούμε να πούμε ότι η ΚΔΧ είναι η αντανάκλαση της καμπύλης συμβολαίων στο χώρο των χρησιμοτήτων. Σε κάθε σημείο πάνω στην καμπύλη συμβολαίων αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα σημείο πάνω στην ΚΔΧ. Οι συντεταγμένες κάθε σημείου της μας δίνουν τη μέγιστη χρησιμότητα που μπορεί να πετύχει ένα άτομο με δεδομένη τη χρησιμότητα όλων των άλλων ατόμων. Η κατασκευή της γίνεται ως εξής. Σε κάθε σημείο πάνω στη καμπύλη συμβολαίων αντιστοιχεί ένα διάνυσμα ),,,( 21 Iuuu … που αντιπροσωπεύει το επίπεδο χρησιμότητας που επιτυγχάνει στο εν λόγω σημείο ο κάθε καταναλωτής. Η γραφική παράσταση αυτών των επιπέδων χρησιμότητας μας δίνει ένα σημείο της ΚΔΧ. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία για κάθε σημείο της καμπύλης συμβολαίων οδηγεί στην ΚΔΧ. Μαθηματικά η διαδικασία εξαγωγής της ΚΔΧ είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτή της καμπύλης συμβολαίων, τουτέστι ),,,,(max 11

211

1J

xxxxu

ij

… (4.1)

υπό τους περιορισμούς

1 2( , , , ) , 2,3, , ,i i i i i

Ju x x x u i I= ∀ =… … (4.2)

.,,2,1,1

Jjx j

I

i

ij …=∀=∑

=

ω (4.3)

Από αυτό το πρόβλημα μεγιστοποίησης προκύπτει ένα σημείο ),,,( 321 Iuuuu … πάνω στην ΚΔΧ. Μεταβάλλοντας τα Iuuu ,,, 32 … παίρνουμε ολόκληρη την καμπύλη.

4.3. Διαγραμματική Παρουσίαση της Καμπύλης Δυνατοτήτων Χρησιμότητας

Οι παραπάνω έννοιες μπορούν να γίνουν περισσότερο κατανοητές στην περίπτωση των δύο ατόμων και δύο αγαθών. Στο Σχήμα 4.1. παρουσιάζεται η καμπύλη συμβολαίων για μια ανταλλακτική οικονομία 2 ατόμων, Α και Β, και δύο αγαθών, 1 και 2. Έστω ένα σημείο Γ πάνω στη καμπύλη. Από το σημείο αυτό διέρχονται δύο καμπύλες αδιαφορίας, μία για κάθε καταναλωτή, οι οποίες εφάπτονται μεταξύ τους.

77

Έστω ότι το επίπεδο χρησιμότητας που αντιστοιχεί σε κάθε ένα από τα δύο άτομα είναι 1Αu και 1Βu . Με άλλα λόγια, με δεδομένο το επίπεδο χρησιμότητας 1Αu του ατόμου Α, το μέγιστο επίπεδο χρησιμότητας που μπορεί να πετύχει το άτομο Β είναι

1Βu και το αντίστροφο. Το σημείο ( )11, ΒΑ uu είναι ένα σημείο πάνω στην ΚΔΧ όπως φαίνεται στο κάτω διάγραμμα του Σχήματος 4.1. Αξίζει να σημειωθεί ότι, όπως και με τη καμπύλη συμβολαίων, γενικά δεν μπορούμε να περιμένουμε ότι η ΚΔΧ θα είναι κοίλη ή κυρτή προς την αρχή των αξόνων. Το μόνο που μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα είναι ότι η ΚΔΧ έχει αρνητική κλίση (γιατί;). Η απόδειξη δίνεται στη συνέχεια.

Η ΚΔΧ προκύπτει από τη λύση του εξής προβλήματος:2

),,(max 21ΒΒΒ xxu (4.4)

υπό τους περιορισμούς

,),( 21ΑΑΑΑ = uxxu (4.5)

,111 ω=+ ΒΑ xx (4.6)

.222 ω=+ ΒΑ xx (4.7)

Η συνάρτηση Lagrange είναι

].[)(]),([),( 222211112121ΒΑΒΑΑΑΑΑΒΒΒ −−+−−+−+= xxxxuxxuxxuL ωφωφλ

Οι αναγκαίες συνθήκες για μέγιστο, πέρα από τους περιορισμούς, προκύπτουν από την παραγώγιση της συνάρτησης Lagrange ως προς 1 2 1 2, , ,x x x xΑ Α Β Β , αντίστοιχα:

1

11

0 φλ =∂∂

⇔=∂∂

Α

Α

Α xu

xL , (4.8)

2

22

0 φλ =∂∂

⇔=∂∂

Α

Α

Α xu

xL , (4.9)

1

11

0 φ=∂∂

⇔=∂∂

Β

Β

Β xu

xL , (4.10)

222

0 φ=∂∂

⇔=∂∂

Β

Β

Β xu

xL . (4.11)

2 Προσέξτε ότι μεγιστοποιούμε τη συνάρτηση χρησιμότητας του ατόμου Β, διατηρώντας τη χρησιμότητα του Α σταθερή. Όπως όμως έχουμε ήδη αναφέρει ποιου ατόμου τη χρησιμότητα μεγιστοποιούμε δεν έχει σημασία. Η καμπύλη που θα προκύψει θα είναι η ίδια. Αποδείξτε αυτή την πρόταση συγκρίνοντας τις συνθήκες πρώτης τάξης του παραπάνω προβλήματος και αυτού που λύσαμε στο Κεφάλαιο 2 - εξισώσεις 2.1΄, 2.2΄, 2.3α΄, 2.3β΄- και δείχνοντας ότι είναι οι ίδιες).

78

Σχήμα 4.1. Η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας (ΚΔΧ) είναι η αντανάκλαση της

καμπύλης συμβολαίων στο χώρο των χρησιμοτήτων.

Λύνοντας αυτό το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε το συνδυασμό κάθε καταναλωτή ως συνάρτηση του Αu , π.χ. )(1

ΑΑ ux και )(2ΑΑ ux . Στη συνέχεια

μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας του ατόμου B, ),( 21ΒΒΒ xxu , ως

ΒO

ΑO

Αu

Βu

Γ

1Αu

1Βu

Γ

1Αu

1Βu

ΚΔΧ

Καμπύλη Συμβολαίων

79

))(),(( 2211ΑΑΑΑΒ −− uxuxu ωω (4.12)

Η εξίσωση (4.12) περιγράφει την Καμπύλη Δυνατοτήτων Χρησιμότητας. Δίνοντας μια τιμή στην παράμετρο Αu παίρνουμε ένα σημείο πάνω στην ΚΔΧ που αντιστοιχεί στην μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η χρησιμότητα του Β, Βu , με δεδομένη τη χρησιμότητα του Α. Μεταβάλλοντας την τιμή του Αu παίρνουμε ολόκληρη την ΚΔΧ. Η κλίση της ΚΔΧ είναι προφανώς ΑΒ uddu / . Παραγωγίζοντας την (4.12) έχουμε

Α

Α

Α

Β

Β

Β

Α

Α

Α

Β

Β

Β

Α

Β

∂∂

+∂∂

=ud

dxdxdx

xu

uddx

dxdx

xu

uddu 2

2

2

2

1

1

1

1

. (4.13)

Αντικαθιστώντας τις παρακάτω σχέσεις στην (4.13)

11

1 −=Α

Β

dxdx , από την (4.6),

1

2

2 −=Α

Β

dxdx , από την (4.7),

12

2

1

1

=∂∂

+∂∂

Α

Β

Α

Α

Α

Β

Α

Α

uddx

xu

uddx

xu , από την (4.5),

και την

Β

Β

Β

ΒΒΑ

Α

Α

Α

Α

∂∂

∂∂

=ΟΛΥ=ΟΛΥ=∂∂

∂∂

1212 xu

xu

xu

xu , από τις (4.8 -

4.11).

βρίσκουμε ότι η κλίση της ΚΔΧ είναι

0

1

1

2

2 <

∂∂∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

Α

Α

Β

Β

Α

Α

Β

Β

Α

Β

xuxu

xuxu

uddu .3

(4.14)

3 Εναλλακτικά, από το θεώρημα της περιβάλλουσας (envelope theorem) λ−=ΑΒ uddu / από την οποία, κάνοντας χρήση των (4.8) και (4.10) ή των (4.9) και (4.11), προκύπτει η σχέση (4.14).

80

4.4. Ένα Αριθμητικό Παράδειγμα Έστω μια ανταλλακτική οικονομία με δύο άτομα, Α και Β, και δύο αγαθά, 1 και 2. Οι προτιμήσεις των δύο ατόμων Α και Β είναι ίδιες και περιγράφονται από την εξής συνάρτηση χρησιμότητας: 2/1

22/1

1 )()( iii xxu = , .,ΒΑ=i Οι συνολικά διαθέσιμες ποσότητες των δύο αγαθών είναι 11 =ω και .12 =ω Να βρεθεί η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας.

Η ΚΔΧ θα προκύψει από τη λύση του ακόλουθου προβλήματος:4

,)()(),(max 2/12

2/1121

,,, 2121

ΑΑΑΑΑ =ΒΒΑΑ

xxxxuxxxx

(Ι)

υπό τους περιορισμούς ,)()( 2/1

22/1

1ΒΒΒ = uxx (ΙΙ)

,111 =+ ΒΑ xx (ΙΙΙ)

,122 =+ ΒΑ xx (ΙV)

όπου Βu δηλώνει ένα συγκεκριμένο αριθμό. Για τη λύση του προβλήματος

σχηματίζουμε πρώτα τη συνάρτηση Lagrange:

).1()1(])()[()()( 222111

2/12

2/11

2/12

2/11

ΒΑΒΑΒΒΒΑΑ −−+−−+−+= xxxxuxxxxL φφλ

Παραγωγίζοντας ως προς ΒΒΑΑ

2121 ,,, xxxx , αντίστοιχα, έχουμε:

12/1

22/1

1 )())(2/1( φ=Α−Α xx , (V)

2

2/12

2/11 )())(2/1( φ=−ΑΑ xx , (VI)

12/1

22/1

1 )())(2/1( φλ =Β−Β xx , (VII)

2

2/12

2/11 )())(2/1( φλ =−ΒΒ xx . (VIII)

Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (V) και (VI) έχουμε

4 Σε αντίθεση με το προηγούμενο τμήμα, μεγιστοποιούμε τη συνάρτηση χρησιμότητας του Β διατηρώντας τη συνάρτηση του Α σταθερή. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει και σε προηγούμενα κεφάλαια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο ανεξάρτητα από το ποια συνάρτηση χρησιμότητας μεγιστοποιούμε και ποια διατηρούμε σταθερή.

81

2

1

1

2

φφ

=Α

Α

xx

(IX)

Διαιρώντας επίσης κατά μέλη τις εξισώσεις (VII) και (VIII) έχουμε

2

1

1

2

φφ

=Β

Β

xx

(X)

Συνδυάζοντας τις (IX) και (Χ) βρίσκουμε

Β

Β

Α

Α

=1

2

1

2

xx

xx

(XΙ)

ή χρησιμοποιώντας τις (III) και (IV) έχουμε

Α

Α

Α

Α

−−

=1

2

1

2

11

xx

xx

.

(XΙΙ)

Τέλος, λύνοντας την (XII) έχουμε ΑΑ = 12 xx . (XΙΙΙ)

Η εξίσωση (XIII) είναι φυσικά η καμπύλη συμβολαίων. Πράγματι αντικαθιστώντας στην εξίσωση (XXIV) του Αλγεβρικού Παραδείγματος του Κεφαλαίου 2 11 =ω ,

,12 =ω 2/1=α και 2/1=β προκύπτει η εξίσωση (XIII). Η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας είναι η αντίστοιχη καμπύλη στο χώρο των χρησιμοτήτων. Για να βρούμε την αναλυτική της μορφή θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ), (ΙV) και (ΧΙΙΙ). Από τις (II), (III) και (IV) έχουμε

ΒΑΑ =−− uxx 2/12

2/11 )1()1( .

ή επειδή από την (XIII) ΑΑ = 12 xx ,

=− Α )1( 1x Βu ,

ή ,121

ΒΑΑ −== uxx (ΧΙV).

Αντικαθιστώντας στην (Ι) έχουμε

.1 ΒΑ −= uu (ΧV)

To Βu αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο αριθμό. Αντικαθιστώντας αυτό τον αριθμό στην (XV) βρίσκουμε το μέγιστο της συνάρτησης Αu , ας πούμε Αu . Το σημείο

),( ΒΑ uu είναι ένα σημείο πάνω στη καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας. Για

82

παράδειγμα αν 5,0=Βu τότε .5,0=Αu Μεταβάλλοντας την τιμή του Βu προκύπτει μια νέα τιμή του Αu και επομένως ένα νέο σημείο πάνω στη καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας. Έτσι αν 0=Βu τότε 1=Αu και αν 1=Βu τότε

.0=Αu Τα σημεία )0,1(),( =ΒΑ uu και )1,0(),( =ΒΑ uu βρίσκονται πάνω στην ΚΔΧ. Εν κατακλείδι, η συναρτησιακή μορφή της ΚΔΧ είναι

.1 ΒΑ −= uu (ΧVI)

η οποία είναι μια ευθεία γραμμή (Βλ. Σχήμα 4.2).

Σχήμα 4.2. Η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας (ΚΔΧ) στο αριθμητικό

παράδειγμα. Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι η συνάρτηση χρησιμότητας των δύο ατόμων είναι

ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού (affine transformation) της (Ι) με θετική κλίση.5 Γνωρίζουμε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης παραμένουν αμετάβλητες σε θετικά μονότονους μετασχηματισμούς.6 Κατά συνέπεια το ίδιο συμβαίνει και στην καμπύλη

5 Έστω μια συνάρτηση u. Ονομάζουμε affine μετασχηματισμό (αφινικό μετασχηματισμό ή μετασχηματισμό ομοιότητας) ένα μετασχηματισμό της μορφής .,, ℜ∈+ babua Αντίθετα, ένας μετασχηματισμός της μορφής ,, ℜ∈bbu ονομάζεται γραμμικός μετασχηματισμός. 6 Μια συνάρτηση g: R → R είναι ένας (θετικά) μονότονος μετασχηματισμός αν είναι αυστηρά αύξουσα. Είναι γνωστό ότι μονότονοι μετασχηματισμοί μιας συνάρτησης χρησιμότητας περιγράφουν τις ίδιες προτιμήσεις με την αρχική συνάρτηση χρησιμότητας,. Για παράδειγμα, η συνάντηση v = x1 x2 προκύπτει από τη συνάρτηση χρησιμότητας u = (x1)1/2 (x2)1/2 με τη χρήση του μονότονου μετασχηματισμού g = y2 (δηλαδή, v = g(u)). Οι δύο συναρτήσεις u και v περιγράφουν τις ίδιες

Bu

Αu

(0, 1)

(1,0)

ΚΔΧ

83

συμβάσεων (επιβεβαιώστε ότι η καμπύλη συμβάσεων δεν μεταβάλλεται αν η συνάρτηση χρησιμότητας των ατόμων μεταβληθεί σε 2/1

22/1

1 )()(3 iii xxu += ). Το σύνολο όμως των δυνατοτήτων χρησιμότητας και η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας θα μεταβληθούν. Πράγματι, από την εξίσωση

2/12

2/11 )()(3 ΑΑΑ += xxu και την καμπύλη συμβολαίων ΑΑ = 21 xx έχουμε .3 1

ΑΑ += xu Παρομοίως, .3 1

ΒΒ += xu Όμως 111 =+ ΒΑ xx . Επομένως, λύνοντας τις τρεις τελευταίες εξισώσεις, έχουμε ότι η ΚΔΧ είναι ΒΑ −= uu 7 , η οποία είναι διαφορετική από την (XVI). Άσκηση 4.1. Στο παραπάνω παράδειγμα να βρεθεί η ΚΔΧ όταν η συνάρτηση χρησιμότητας των ατόμων παίρνει τη μορφή

)ln(21)ln(

21

21iii xxU += , ,,ΒΑ=i

Δηλαδή είναι ένας θετικά μονότονος μετασχηματισμός της (Ι). Να συγκρίνετε την καμπύλη που βρήκατε με αυτή του παραδείγματος στο Τμήμα 4.4.

Άσκηση 4.2. Να βρεθεί η καμπύλη καταναλωτικών δυνατοτήτων σε μια οικονομία δύο ατόμων και δύο αγαθών στην οποία 2/1

22/1

1 )()( iii xxu = , ,,ΒΑ=i

11 =ω και .22 =ω

4.5. Συναρτήσεις Ευημερίας Ας επιστρέψουμε στο ερώτημα ποια από τις κατανομές που βρίσκονται πάνω στη καμπύλη συμβολαίων είναι η πιο επιθυμητή από πλευράς κοινωνικής ευημερίας. Αφού, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, σε κάθε σημείο πάνω στην καμπύλη συμβολαίων αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα σημείο πάνω στην καμπύλη καταναλωτικών δυνατοτήτων, το ερώτημα μας μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: Ποιο από τα σημεία που βρίσκονται πάνω στη καμπύλη καταναλωτικών δυνατοτήτων είναι το πιο επιθυμητό από πλευράς κοινωνικής ευημερίας; Με άλλα λόγια ποιο από τα σημεία της ΚΔΧ του Σχήματος 4.1 είναι πιο επιθυμητό;

Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε την ερώτηση αυτή χρειάζεται να «αθροίσουμε» με κάποιο τρόπο τις προτιμήσεις όλων των ατόμων της κοινωνίας, να βρούμε, με άλλα λόγια, τη συνισταμένη τους. Δυστυχώς αυτό είναι πολύ δύσκολη υπόθεση.7 Κάτω από ορισμένες περιοριστικές υποθέσεις, οι οποίες μεταξύ άλλων προτιμήσεις, γεγονός που σημαίνει μεταξύ άλλων ότι οι συναρτήσεις ζήτησης που προκύπτουν είναι οι ίδιες (Αποδείξτε το!). Για περισσότερες λεπτομέρειες βλ. Varian (1992), Κεφάλαιο 4. 7 Το πρόβλημα της κατασκευής μια διάταξης κοινωνικών προτιμήσεων (social preference ordering) η οποία να ιεραρχεί διαφορετικές κατανομές εξετάστηκε από τον Αμερικανό οικονομολόγο Kenneth Arrow (1921-). Η απάντηση που έδωσε ο Arrow είναι ότι, κάτω από ήπιες συνθήκες, αυτό δεν είναι δυνατόν να γίνει. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό σαν το Θεώρημα της (μη) Δυνατότητας του Arrow (Arrow’s (Im)Possibility Theorem). Για αυτό του το έργο, μεταξύ άλλων, ο Arrow τιμήθηκε με το βραβείο Nobel το 1972. H απόδειξη του θεωρήματος παρουσιάζεται στο βιβλίο του Arrow Social Choice and Individual Values, η πρώτη έκδοση του οποίου έγινε το 1951 και η δεύτερη το 1963. Οι

84

απαιτούν την μέτρηση της χρησιμότητας και τη διαπροσωπική σύγκριση (interpersonal comparison) επιπέδων χρησιμότητας, είναι δυνατή η κατασκευή μιας Συνάρτησης Κοινωνικής Ευημερίας (Social Welfare Function). Οι υποθέσεις αυτές είναι φυσικά πολύ περιοριστικές. Παρόλα αυτά υιοθετούνται συχνά, επειδή η χρήση μιας ΣΚΕ είναι χρήσιμη γιατί αν μη τι άλλο μας βοηθά να διατυπώσουμε το πρόβλημα με έναν αυστηρό τρόπο καθώς επίσης και να ανακαλύψουμε πτυχές του που δεν είναι προφανείς.

Η Συνάρτηση Κοινωνικής Ευημερίας (ΣΚΕ) είναι μια συνάρτηση ℜ→ℜΙ:W , όπου Ι είναι ο αριθμός των ατόμων της κοινωνίας η οποία ιεραρχεί τις κατανομές στο επίπεδο της κοινωνίας. Πιο συγκεκριμένα, η συνάρτηση ),,,( 21 IuuuW … μας δίνει τη συλλογική αξιολόγηση της κοινωνίας για μια συγκεκριμένη κατανομή η οποία αντιστοιχεί σε επίπεδα χρησιμότητας ).,,,( 21 Iuuu … Υποθέτουμε ότι η W είναι α) τουλάχιστον δύο φορές συνεχώς διαφορίσμη (at least twice continuously differentiable) β) αυστηρά αύξουσα ( ),,0/ iuW i ∀>∂∂ δηλαδή, μια αύξηση στην χρησιμότητα ενός ατόμου, με το επίπεδο χρησιμότητας όλων των άλλων ατόμων να παραμένει σταθερό, θα οδηγήσει σε αύξηση της κοινωνικής ευημερίας και γ) οιονεί κοίλη (quasi-concave).

Στη συνέχεια μπορούμε να ορίσουμε καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας (social indifference curves) με τον ίδιο τρόπο που ορίζουμε καμπύλες αδιαφορίας για ένα άτομο.8 Έτσι, μία καμπύλη ίσης κοινωνικής ευημερίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ),,,( 21 Iuuu … στα οποία η κοινωνική ευημερία είναι σταθερή και ίση με ένα συγκεκριμένο επίπεδο. Με άλλα λόγια, κατά μήκος μιας καμπύλης ίσης κοινωνικής ευημερίας μεταβάλλονται τα επίπεδα χρησιμότητας Iuuu ,,, 21 … των ατόμων που απαρτίζουν την κοινωνία, έτσι ώστε το επίπεδο ευημερίας της κοινωνίας να παραμένει σταθερό. Στην περίπτωση των δύο ατόμων Α και B μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας (Βλ. Σχήμα 4.3).

δύο αυτές εκδόσεις είναι ελεύθερα διαθέσιμες στο διαδίκτυο από το Cowles Foundation του Πανεπιστημίου Yale: http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/cfmmain.htm. 8 Στα Ελληνικά ο όρος “social indifference curves” μεταφράζεται ως «καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας», αφού ο όρος «καμπύλες κοινωνικής αδιαφορίας» μπορεί να παρερμηνευθεί.

Βu

Αu

1W

2W

3W

85

Σχήμα 4.3. Καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας

Οι ιδιότητες των καμπύλων ίσης κοινωνικής ευημερίας είναι ανάλογες αυτών

που έχουν οι καμπύλες αδιαφορίας: α) έχουν αρνητική κλίση β) είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων γ) δεν τέμνονται και δ) εξαντλούν το χώρο των χρησιμοτήτων.

Η πρώτη ιδιότητα έπεται από την υπόθεση ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι αύξουσα, .,0/ iuW i ∀>∂∂ Πράγματι, στην περίπτωση των δύο ατόμων η εξίσωση που περιγράφει μια καμπύλη ίσης κοινωνικής ευημερίας πάνω στην οποία το επίπεδο της κοινωνικής ευημερίας είναι ας πούμε 1W είναι

),(1

ΒΑ= uuWW .

Κατά μήκος αυτής της καμπύλης το επίπεδο κοινωνικής ευημερίας δεν μεταβάλλεται, δηλαδή μεταβάλλοντας τα Αu και Βu το επίπεδο της κοινωνικής ευημερίας παραμένει σταθερό. Επομένως,

0=∂∂

+∂∂ Β

ΒΑ

Α duuWdu

uW

ή

,0<

∂∂∂∂

−=

Β

Α

Α

Β

uWuW

dudu

(4.15)

δηλαδή η κλίση της καμπύλης ίσης κοινωνικής ευημερίας είναι αρνητική. Η δεύτερη ιδιότητα είναι ισοδύναμη με την υπόθεση ότι η συνάρτηση κοινωνικής

ευημερίας είναι οιονεί κοίλη. Η ιδιότητα αυτή σημαίνει ότι, όπως και στην περίπτωση των προτιμήσεων ενός ατόμου, η κοινωνία προτιμά ενδιάμεσες από ακραίες καταστάσεις. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4.4. το σημείο ενδιάμεσο σημείο Γ βρίσκεται πάνω σε ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας από τα δύο σχετικά ακραία σημεία Α και Β.

Η τρίτη ιδιότητα είναι απόρροια της ιδιότητας της μεταβατικότητας (transitivity) των κοινωνικών προτιμήσεων. Συγκεκριμένα αν ένας συνδυασμός ατομικών χρησιμοτήτων ),( 11 ΒΑ uu προτιμάται από έναν συνδυασμό ),( 22 ΒΑ uu και ο

),( 22 ΒΑ uu προτιμάται από έναν συνδυασμό ),( 33 ΒΑ uu , τότε ο ),( 11 ΒΑ uu προτιμάται από τον ),( 33 ΒΑ uu . Παρομοίως, αν η κοινωνία είναι αδιάφορη μεταξύ του ),( 11 ΒΑ uu και του ),( 22 ΒΑ uu καθώς επίσης και μεταξύ των ),( 22 ΒΑ uu και του ),( 33 ΒΑ uu , τότε, αν οι προτιμήσεις είναι μεταβατικές, θα είναι αδιάφορη μεταξύ του ),( 11 ΒΑ uu και του

),( 33 ΒΑ uu . Έστω τώρα ότι δύο καμπύλες αδιαφορίας, 1W και 2W , τέμνονται στο σημείο Α (Βλ. Σχήμα 4.5). Ας θεωρήσουμε επίσης δύο άλλα σημεία, Β και Γ τα οποία βρίσκονται πάνω στις καμπύλες 1W και 2W , αντίστοιχα. Εκ κατασκευής, το σημείο Β βρίσκεται βορειοανατολικά του Γ και επομένως σε σχέση με το Β αντιπροσωπεύει ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας και για τα δύο άτομα, Α και Β. Κατά συνέπεια, εφόσον ,,0/ iuW i ∀>∂∂ στο σημείο Β η κοινωνική ευημερία είναι ψηλότερη από ότι στο Γ. Ταυτόχρονα, όμως η κοινωνία είναι αδιάφορη μεταξύ των συνδυασμών

86

που αντιπροσωπεύουν τα σημεία Α και Β καθώς επίσης και μεταξύ των συνδυασμών που αντιπροσωπεύουν τα σημεία Α και Γ. Η ιδιότητα της μεταβατικότητας συνεπάγεται ότι η κοινωνία είναι αδιάφορη και μεταξύ των σημείων Β και Γ. Επομένως καταλήξαμε σε ένα άτοπο, δεδομένου ότι δεν είναι δυνατόν η κοινωνία να προτιμά το σημείο Β από το σημείο Γ και ταυτόχρονα να είναι αδιάφορη μεταξύ των δύο αυτών σημείων.

Σχήμα 4.4. Με κυρτές καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας, η κοινωνία προτιμά ενδιάμεσες από ακραίες καταστάσεις.

Βu

Αu

1W

2W Γ

ΒΑ

Βu

Αu

1W

Α

Β

Γ

87

Σχήμα 4.5. Αν οι καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας τέμνονται, τότε οδηγούμαστε σε άτοπο.

Τέλος, η τέταρτη ιδιότητα σημαίνει ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας

μπορεί πάντα να αξιολογήσει δύο διαφορετικούς συνδυασμούς ατομικών χρησιμοτήτων. Για παράδειγμα έστω δύο συνδυασμοί ),( 11 ΒΑ uu και ),( 22 ΒΑ uu . Τότε είτε ),(),( 2211 ΒΑΒΑ > uuWuuW είτε ),(),( 2211 ΒΑΒΑ < uuWuuW είτε

).,(),( 2211 ΒΑΒΑ = uuWuuW Μερικά παραδείγματα συναρτήσεων κοινωνικής ευημερίας είναι τα ακόλουθα.

a) Η ΣΚΕ του Bentham,9 η οποία είναι το απλό άθροισμα των ατομικών συναρτήσεων χρησιμότητας:

.),,,(1

21 ∑=

=I

i

iI uuuuW …

(4.16)

Στην περίπτωση των δύο ατόμων, η γραφική παράσταση των καμπύλων ίσης κοινωνικής ευημερίας φαίνεται στο Σχήμα 4.6. Οι καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας είναι ευθείες γραμμές και έχουν κλίση -1.

Σχήμα 4.6. Συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας του Bentham

9 Jeremy Bentham (1748-1832): Βρετανός νομομαθής και φιλόσοφος, ιδρυτής της σχολής του Ωφελιμισμού (Utilitarianism), σύμφωνα με την οποία μια πολιτική δεν πρέπει να κρίνεται από την αγνότητα των προθέσεων αλλά από την χρησιμότητα (ευτυχία) των συνεπειών της. Ο σκοπός κάθε πολιτικής πρέπει να είναι η επίτευξη της μέγιστης χρησιμότητας για το μέγιστο αριθμό ατόμων (η αρχή της μέγιστης ευτυχίας).

1W 2W

3W

Βu

Αu

κλίση = -1

88

β) Η ΣΚΕ του Mill,10 η οποία είναι ο μέσος όρος των ατομικών συναρτήσεων χρησιμότητας:

.1),,,(1

21 ∑=

=I

i

iI uI

uuuW …

(4.17)

Οι καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας που προκύπτουν από αυτή τη συνάρτηση είναι ευθείες γραμμές με κλίση ίση με -1/Ι.

Με δεδομένο των αριθμό των ατόμων I, ο συνδυασμός που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση του Bentham μεγιστοποιεί και αυτή του Mill. Επομένως οι δύο συναρτήσεις οδηγούν στα ίδια συμπεράσματα όταν ο αριθμός των ατόμων είναι σταθερός. Μια γενίκευση αυτών των δύο συναρτήσεων είναι

γ) Ο σταθμικός μέσος όρος των ατομικών συναρτήσεων χρησιμότητας:

,),,,(1

21 ∑=

=I

i

iiI uuuuW θ…

(4.18)

όπου οι συντελεστές 0>iθ δείχνουν πόσο σημαντική είναι η χρησιμότητα του ατόμου i για την κοινωνική ευημερία. Οι καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας είναι ευθείες γραμμές με κλίση ΒΑ− θθ / .

δ) Η ΣΚΕ του Rawls,11 ).,,,min(),,,( 2121 II uuuuuuW …… = (4.19)

Σύμφωνα με αυτή τη συνάρτηση οι προτιμήσεις της κοινωνίας ταυτίζονται με τις προτιμήσεις του ατόμου που βρίσκεται κάθε φορά στη χειρότερη θέση, δηλαδή απολαμβάνει το χαμηλότερο επίπεδο χρησιμότητας. Η αιτιολόγηση για μια τέτοια συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι η εξής. Φανταστείτε ότι τα άτομα καλούνται να επιλέξουν, μεταξύ άλλων, τρόπους διανομής του κοινωνικού πλούτου σε μια αρχική κατάσταση στην οποία δεν γνωρίζουν ακόμη ποια θα είναι η θέση τους στην κοινωνία, καλύπτονται δηλαδή από ένα «πέπλο άγνοιας» (veil of ignorance). Αν τα άτομα αποστρέφονται τον κίνδυνο και με δεδομένο ότι η πιθανότητα να γεννηθούν σε

10 John Stuart Mill (1806-1873): Βρετανός φιλόσοφος και οικονομολόγος που συνέβαλλε σημαντικά στην ανάπτυξη της Θεωρίας του Ωφελιμισμού. Σημαντικότερα έργα του είναι το Principles of Political Economy with some of their Applications to Social Philosophy (1848), On Liberty (1859) και Utilitarianism (1863). Πολλά από τα έργα του είναι ελεύθερα διαθέσιμα στο διαδίκτυο (βλ., για παράδειγμα, τον ιστότοπο http://www.utilitarian.net/). 11 John Borden Rawls (1921-2002): Αμερικανός φιλόσοφος, ένας από τους πιο αξιόλογους του εικοστού αιώνα. Σημαντικότερο έργο του είναι το A Theory of Justice (1971), Harvard University Press, το οποίο κυκλοφορεί και στα ελληνικά, Μια Θεωρία Δικαιοσύνης (2001) από τις εκδόσεις Πόλις.

89

οποιαδήποτε κατάσταση είναι θετική, τότε θα επιλέξουν να μεγιστοποιήσουν τη χρησιμότητα του ατόμου που βρίσκεται στη χειρότερη θέση (για το λόγο αυτό η συνάρτηση αυτή καλείται συχνά και max-min). Οι καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας που προκύπτουν από αυτή τη συνάρτηση είναι ορθές γωνίες (βλ. Σχήμα 4.7). Αξίζει να σημειωθεί ότι για να οδηγηθούμε σε μια τέτοια συνάρτηση, οι προτιμήσεις των ατόμων έναντι του κινδύνου θα πρέπει να είναι ακραίες (τα άτομα δεν θέλουν να αναλάβουν κανένα κίνδυνο). Ο ίδιος πάντως ο Rawls πίστευε ότι η συμπύκνωση της θεωρίας του σε μια τέτοια συνάρτηση αποτελεί υπεραπλούστευση.

Σχήμα 4.7. Συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας του Rawls

ε) Μια γενίκευση μερικών από τις παραπάνω συναρτήσεις αποτελεί η συνάρτηση

.0,1)(1

1),,,(1

121 ≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−= ∑

=

− σσ

σI

i

iI uuuuW … (4.20)

Όταν το 0=σ τότε η συνάρτηση αυτή παίρνει τη μορφή της ΣΚΕ του Bentham. Όταν το ∞=σ τότε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή του Rawls. Γενικά όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της παραμέτρου σ τόσο μεγαλύτερη είναι η αποστροφή της κοινωνίας για την ανισότητα.12

Ας σημειωθεί ότι όλες οι παραπάνω συναρτήσεις κοινωνικής ευημερίας εκτός

από αυτή του Rawls είναι αυστηρά αύξουσες ως προς την ευημερία κάθε ατόμου, δηλαδή μια αύξηση στην χρησιμότητα ενός ατόμου, διατηρώντας τη χρησιμότητα όλων των άλλων ατόμων σταθερές, θα οδηγήσει σε ψηλότερη κοινωνική ευημερία. Επίσης όλες εκτός από το σταθμικό μέσο όρο (4.18) είναι συμμετρικές, δηλαδή όλα

12 Η συνάρτηση (4.20) καλείται ενίοτε Συνάρτηση Κοινωνικής Ευημερίας του Atkinson, επειδή συνδέεται με το δείκτη ανισότητας του τελευταίου.

Βu

Αu

1W

2W

3W

90

τα άτομα έχουν την ίδια μεταχείριση. Με άλλα λόγια αν στη συνάρτηση ),( ΒΑ uuW εναλλάξουμε τη θέση των Αu και Βu , η συνάρτηση παραμένει η ίδια.

4.6. Μεγιστοποίηση της Κοινωνικής Ευημερίας Από τη στιγμή που έχουμε συμπυκνώσει τις προτιμήσεις της κοινωνίας σε μια ΣΚΕ, μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας. Έστω I άτομα με χρησιμότητες ,,,2,1),( Iixu ii …= όπου ix είναι ένα διάνυσμα

).,,,( 21iJ

iii xxxx …= Τότε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας είναι το εξής: ))(,),(),((max 1211 II

xxuxuxuW

ij

… (4.21)

υπό τους περιορισμούς

.,,2,1,

1Jjx j

I

i

ij …=∀=∑

=

ω (4.22)

Η συνάρτηση Lagrange γι’ αυτό το πρόβλημα είναι

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+= ∑∑∑

===

I

i

ij

I

ij

J

jj

II xxuxuxuWL111

1211 ))(,),(),(( ωλ… (4.23)

Οι συνθήκες πρώτης τάξης, εκτός από τους J περιορισμούς, περιλαμβάνουν και τις ακόλουθες JI × εξισώσεις:

jij

i

iij x

uuW

xL λ=

∂∂

∂∂

⇒=∂∂ 0 , Jj ,,2,1 …=∀ και Ii ,,2,1 …=∀ (4.24)

Εάν επιλέξουμε έναν τυχαίο καταναλωτή i και δύο τυχαία αγαθά h και f έχουμε

hih

i

i xu

uW λ=

∂∂

∂∂ , (4.25)

fif

i

i xu

uW λ=

∂∂

∂∂ . (4.26)

Διαιρώντας τις (4.25) και (4.26) κατά μέλη έχουμε

f

h

if

i

ih

i

xu

xu

λλ

=

∂∂

∂∂

. (4.27)

91

Αφού η (4.27) ισχύει για κάθε i, για δύο διαφορετικούς καταναλωτές ι και κ έχουμε

f

h

f

h

f

h

xu

xu

xu

xu

λλ

κκ

κκ

ιι

ιι

=

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

. (4.28)

Σύμφωνα με την (4.28) ο ΟΛΥ μεταξύ δύο αγαθών θα πρέπει να είναι ο ίδιος για όλους τους καταναλωτές. Επίσης αν επιλέξουμε ένα τυχαίο αγαθό j και δύο τυχαίους καταναλωτές ι και κ τότε από την (4.24) έχουμε

ιι

κκ

κ

ι

j

j

xu

xu

uW

uW

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

. (4.29)

Στην περίπτωση των δύο καταναλωτών Α και Β και των 2 αγαθών 1 και 2, η σχέση (4.29) γράφεται ως

Α

Α

Β

Β

Α

Α

Β

Β

Α

Α

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

2

2

1

1

xu

xu

xu

xu

uW

uW

. (4.30)

Το αριστερό μέλος της σχέσης (4.30) είναι η απόλυτη τιμή της κλίσης μιας καμπύλης ίσης κοινωνικής ευημερίας (βλ. εξίσωση 4.15). Τα δύο δεξιά μέλη είναι ίσα με την απόλυτη τιμή της κλίσης της καμπύλης δυνατοτήτων χρησιμότητας. Επομένως η κοινωνική ευημερία μεγιστοποιείται εκεί που η καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας εφάπτεται στην ψηλότερη καμπύλη ίσης κοινωνικής ευημερίας. Η γραφική παράσταση αυτής της σχέσης δίνεται στο Σχήμα 4.8. Ουσιαστικά, οι σχέσεις (4.22) στο χώρο των χρησιμοτήτων ορίζουν την ΚΔΧ. Επομένως η κοινωνική ευημερία μεγιστοποιείται υπό τον περιορισμό της ΚΔΧ. Το σημείο στο οποίο επιτυγχάνεται η μέγιστη τιμή της κοινωνικής ευημερίας είναι εκείνο στο οποίο ο λόγος της οριακής κοινωνικής σημασίας των επιπέδων ατομικής χρησιμότητας (η απόλυτη τιμή της κλίσης μιας καμπύλης ίσης κοινωνικής ευημερίας) ισούται με το λόγο της οριακής υποκατάστασής τους (απόλυτη τιμή της κλίσης της ΚΔΧ). Πρόταση 4.1. Εάν μια κατανομή μεγιστοποιεί μια συνάρτηση ευημερίας τότε είναι αποτελεσματική. Απόδειξη 1 (Διαφορικός Λογισμός) Η απόδειξη αυτή ακολουθεί την ίδια διαδικασία με αυτή της πρώτης απόδειξης του Πρώτου Θεωρήματος της Οικονομικής της Ευημερίας (Πρόταση 2.2). Συγκεκριμένα από το πρόβλημα μεγιστοποίησης της συνάρτησης ευημερίας εξάγουμε τις σχέσεις που πρέπει να ικανοποιεί η λύση του προβλήματος. Στη συνέχεια δείχνουμε ότι οι σχέσεις αυτές είναι ακριβώς ίδιες με τις σχέσεις που πρέπει να ικανοποιεί μια αποτελεσματική κατανομή (θυμηθείτε ότι σε μια ανταλλακτική οικονομία οι αποτελεσματικές κατανομές ικανοποιούν τις σχέσεις 2.10). Πράγματι, όπως δείξαμε παραπάνω (σχέση 4.28) στο σημείο όπου

92

μεγιστοποιείται η κοινωνική ευημερία οι ΟΛΥ όλων των καταναλωτών είναι ίσοι μεταξύ τους, ισότητα η οποία χαρακτηρίζει τις αποτελεσματικές κατανομές.

Σχήμα 4.8. Μεγιστοποίηση της κοινωνικής ευημερίας

Απόδειξη 2. Η δεύτερη απόδειξη γίνεται με τη Μέθοδο της «εις Άτοπον Απαγωγής». Έστω ότι μια κατανομή x η οποία μεγιστοποιεί τη συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας W και δεν είναι αποτελεσματική κατά Pareto. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια άλλη κατανομή έστω x~ τέτοια ώστε ixuxu iiii ∀≥ )()~(

και

)()~( iiii xuxu > για ένα τουλάχιστον άτομο i όπου ix και ix συμβολίζουν, αντίστοιχα, τα διανύσματα των κατανομών x και x που αφορούν το άτομο i. Αλλά, αφού η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι αυστηρά αύξουσα για κάθε iu , έπεται ότι )),(,),(())~(,),~(( 1111 IIII xuxuWxuxuW …… > γεγονός που σημαίνει ότι η κατανομή x δεν μεγιστοποιεί τη συνάρτηση W, καταλήγοντας έτσι σε άτοπο. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κάθε μέγιστο κοινωνικής ευημερίας αποτελεί μια αποτελεσματική κατανομή. Όμως κάθε αποτελεσματική κατανομή δεν αποτελεί απαραίτητα μέγιστο μιας συγκεκριμένης συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας. Εξάλλου, όπως έχουμε δει, κάθε ένα από τα άπειρα σημεία πάνω στην ΚΔΧ αποτελεί

Βu

Αu

1W

2W

ΚΔΧ

Καμπύλες Ίσης Κοινωνικής Ευημερίας

93

αποτελεσματική κατανομή αλλά μόνο ένα από αυτά μεγιστοποιεί τη συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας. Αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατόν μια μη αποτελεσματική κατανομή να παρέχει ψηλότερο επίπεδο από μια αποτελεσματική. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4.9, η κατανομή που συμβολίζεται με το γράμμα Α δεν είναι αποτελεσματική αφού δεν ανήκει πάνω στη ΚΔΧ. Παρόλα αυτά παρέχει μεγαλύτερο επίπεδο χρησιμότητας, ήτοι ανήκει σε ψηλότερη καμπύλη ίσης κοινωνικής ευημερίας, από την αποτελεσματική κατανομή Β.

Σχήμα 4.9. Η μη αποτελεσματική κατανομή Α προσφέρει ψηλότερο επίπεδο κοινωνικής ευημερίας από την αποτελεσματική κατανομή Β

Κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις κάθε αποτελεσματική κατανομή μεγιστοποιεί

κάποια συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας. Συγκεκριμένα αν το σύνολο δυνατοτήτων χρησιμότητας είναι κυρτό, δηλαδή αν η ΚΔΧ είναι κοίλη, τότε κάθε αποτελεσματικό κατά Pareto σημείο μεγιστοποιεί κάποια συνάρτηση ευημερίας η οποία αποτελεί ένα σταθμισμένο μέσο άθροισμα των ατομικών συναρτήσεων χρησιμότητας:

,),,,(1

21∑=

=I

i

iJ

iii xxxuW …θ

όπου ο συντελεστές στάθμισης iθ είναι η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος του ατόμου i (Βλ. Varian 1992, σελ. 334). Μια γραφική παρουσίαση αυτού του αποτελέσματος για την περίπτωση των δύο ατόμων δίνεται στο Σχήμα 4.10. Οι καμπύλες ίσης κοινωνικής ευημερίας μιας ΣΚΕ που είναι ο σταθμικός μέσος όρων των Αu και Βu είναι ευθείες γραμμές με κλίση ./ ΒΑ− θθ Μεταβάλλοντας τους συντελεστές στάθμισης Αθ και Βθ μπορούμε να καταστήσουμε κάθε σημείο πάνω στην ΚΔΧ μέγιστο κάποιας ΣΚΕ.

Βu

Αu

1W

•A

B

94

Τέλος, στο Σχήμα 4.11 φαίνεται γιατί το σύνολο δυνατοτήτων χρησιμότητας απαιτείται να είναι κυρτό. Στο συγκεκριμένο σχήμα το σύνολο αυτό δεν είναι κυρτό, δηλαδή η ΚΔΧ δεν είναι κοίλη. Σημεία όπως το Α δεν μπορούν να καταστούν μέγιστο καμιάς συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας, αφού σημεία όπως το Β παρέχουν μεγαλύτερο επίπεδο κοινωνικής ευημερίας.

Σχήμα 4.10. Εάν το σύνολο δυνατοτήτων χρησιμότητας (ΣΔΧ) είναι κυρτό τότε κάθε σημείο πάνω στην καμπύλη δυνατοτήτων χρησιμότητας (ΚΔΧ) αποτελεί μέγιστο μιας συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας που είναι ο σταθμικός μέσος όρος των ατομικών χρησιμοτήτων.

Βu

Αu

1W 2W

ΚΔΧ

Καμπύλες Ίσης Κοινωνικής Ευημερίας

Α Β

Βu

Αu

1W 2W

ΣΔΧ

ΚΔΧ

95

Σχήμα 4.11. Εάν το σύνολο δυνατοτήτων χρησιμότητας (ΣΔΧ) δεν είναι κυρτό τότε σημεία όπως το Α δεν αποτελούν μέγιστο μιας συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας.

Άσκηση 4.3. Έστω μια οικονομία με δύο άτομα Α και Β και δύο αγαθά 1 και 2. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των δύο ατόμων είναι 3/2

23/1

1 )()( ΒΑΑ = xxu

.)()( 3/12

3/21

ΒΒΒ = xxu

Τα συνολικά αποθέματα των δύο αγαθών είναι 21 =ω και .42 =ω Πως θα κατανείμει αυτά τα αποθέματα μεταξύ των δύο ατόμων ένας κοινωνικός σχεδιαστής ο οποίος έχει την παρακάτω συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας; ΒΑ += uuW

Άσκηση 4.4. Έστω μια οικονομία δύο ατόμων Α και Β και ενός αγαθού. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας των δύο ατόμων είναι 2/1)(2 ΑΑ = xu

.)(4 2/1ΒΒ = xu

Το απόθεμα του αγαθού είναι .2=ω Πως θα κατανείμει αυτό το απόθεμα μεταξύ των δύο ατόμων ένας κοινωνικός σχεδιαστής ο οποίος έχει μία από τις παρακάτω συναρτήσεις κοινωνικής ευημερίας; α) ΒΑ += uuW

β) ΒΑ += uuW

32

31

γ) ΒΑ += uuW

31

32

δ) ),min( ΒΑ= uuW

ε) ),2min( ΒΑ= uuW

στ) 2/12/1 )()( ΒΑ= uuW

ζ) 3/13/2 )()( ΒΑ= uuW

Εξηγείστε.

96

4.7. Ερωτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Μια κατανομή που είναι μη αποτελεσματική κατά Pareto δεν είναι δυνατό να

αποδώσει ψηλότερο επίπεδο κοινωνικής ευημερίας από μια άλλη κατανομή που είναι αποτελεσματική κατά Pareto.

2. Το είναι μια κατανομή αποτελεσματική αποτελεί αναγκαία και ικανή συνθήκη

για να μεγιστοποιεί τη συνάρτηση ευημερίας. 3. Σε μια ανταγωνιστική οικονομία η ισορροπία είναι αποτελεσματική κατά Pareto

και μεγιστοποιεί τη συνάρτηση ευημερίας. 4. Η διανομή του εισοδήματος σχετίζεται με την αρχική κατανομή και η αρχική

κατανομή σχετίζεται με μια συγκεκριμένη συνάρτηση ευημερίας. 5. Έστω μια αποτελεσματική κατανομή και η αντίστοιχη συνάρτηση ευημερίας την

οποία μεγιστοποιεί. Αν σε αυτή την κατανομή ένα άτομο έχει υψηλή οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος, τότε το άτομο αυτό θα έχει και υψηλό συντελεστή στάθμισης στην συνάρτηση ευημερίας.

6. Μία αποτελεσματική κατανομή είναι πάντα καλύτερη από πλευράς κοινωνικής

ευημερίας από μια μη αποτελεσματική. 7. Με δεδομένη μια μη αποτελεσματική υπάρχει πάντα μια αποτελεσματική

κατανομή η οποία να αποδίδει είναι ψηλότερο επίπεδο κοινωνικής ευημερίας.