Μητρωική Ανάλυση Φορέων Με Επιρροή Στρέβλωσης...

ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΕΠΙΡΡΟΗ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗΣ

ΣΤΡΕΒΛΩΣΗΣ

Λγός (ΜΧ) Πάνος Στέργιος

Επιβλέπων καθηγητής:

Σαπουντζάκης Ευάγγελος, Καθηγητής Στατικής ΣΤΕΑΜΧ, Τακτικός

Καθηγητής ΕΜΠ

ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΗ ΈΚΔΟΣΗ

Αθήνα, Ιανουάριος 2015

II

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε κατά τη διάρκεια του Ε'

εξαμήνου εκπαίδευσης της 67ης Εκπαιδευτικής Σειράς της Σχολής Τεχνικής

Εκπαίδευσης Αξιωματικών Μηχανικού, στο μάθημα της Στατικής.

Στα κεφάλαια 1 έως 3, παρουσιάζονται στοιχεία από τις θεωρίες

ελαστικότητας, κάμψης δοκών Euler – Bernoulli, κάμψης δοκών Timoshenko,

ομοιόμορφης και ανομοιόμορφης στρέψης δοκών.

Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται στοιχεία της ανάλυσης με επιρροή

στρεπτικής και διατμητικής στρέβλωσης της διατομής δοκού, ενώ στο κεφάλαιο 5

γίνεται σύντομη αναφορά στη μητρωική ανάλυση φορέων.

Το κεφάλαιο 6 περιλαμβάνει παραδείγματα αριθμητικής εφαρμογής των

παραπάνω θεωριών, σε χωρικό πλαίσιο και καμπύλη γέφυρα, με σύγκριση των

εξαγόμενων αποτελεσμάτων.

Η εργασία εκπονήθηκε υπό τη συνεχή επίβλεψη του καθηγητή της Σχολής

στο μάθημα της Στατικής και Τακτικό Καθηγητή του Ε.Μ.Π,

κ. Σαπουντζάκη Ευάγγελου, τον οποίο και ευχαριστώ θερμά για την άρτια

καθοδήγηση και την ευκαιρία που μου έδωσε να εμβαθύνω τις γνώσεις μου στη

Μητρωική Ανάλυση Φορέων και να έρθω σε επαφή με τις μελλοντικές

επιστημονικές εξελίξεις στον τομέα αυτό.

Τις θερμές μου ευχαριστίες οφείλω στην υποψήφια Διδάκτωρα του Ε.Μ.Π. κ.

Αργυρίδη Αμαλία, για τη συνεχή αρωγή της στην εκπόνηση της εργασίας και το

χρόνο που αφιέρωσε για το σκοπό αυτό. Για τους ίδιους λόγους, ευχαριστώ και

τον υποψήφιο Διδάκτωρα του Ε.Μ.Π. κ. Δίκαρο Ιωάννη.

Περισσότερο από όλους, θέλω να ευχαριστήσω τη σύζυγό μου Βασιλική και

την κόρη μου Μαρία, για την υπομονή, την κατανόηση και τη συμπαράστασή τους,

τόσο κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας, όσο και καθόλη τη διάρκεια της

εκπαίδευσης στη ΣΤΕΑΜΧ. Τους αφιερώνω την εργασία αυτή, ως ελάχιστη

αποζημίωση για το χρόνο τους μαζί μου, που τους στέρησα.

Αθήνα, Ιανουάριος 2015

Στέργιος Πάνος

Λγός (ΜΧ) [ΣΣΕ-02]

III

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1o Κεφάλαιο - Στοιχεiα Θεωρiας Ελαστικότητας ................................................1

1.1 Γενικά ..........................................................................................................1

1.2 Άγνωστα μεγέθη στη Θεωρία Ελαστικότητας ..............................................1

1.3 Διαφορικές εξισώσεις της Θεωρίας Ελαστικότητας .....................................1

1.3.1 Σχέσεις παραμορφώσεων – μετατοπίσεων (τανυστής των τροπών): .....1

1.3.2 Καταστατικές εξισώσεις (σχέσεις τάσεων – παραμορφώσεων από

γενικευμένο νόμο του Hooke ): ...............................................................2

1.3.3 Εξισώσεις ισορροπίας (τανυστής των τάσεων) στοιχειώδους κύβου: .....3

1.3.4 Επίλυση των διαφορικών εξισώσεων .....................................................4

2o Κεφάλαιο - Στοιχεία Θεωρίων Κάμψης Δοκού ..............................................5

2.1 Γενικά ..........................................................................................................5

2.2 Στοιχεία Θεωρίας Κάμψης Δοκού Euler - Bernoulli .....................................5

2.2.1 Παραδοχές της θεωρίας Euler – Bernoulli ..............................................5

2.2.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία Euler – Bernoulli .......................................6

2.2.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία Euler – Bernoulli ................................6

2.2.4 Εντατικά – παραμορφωσιακά μεγέθη .....................................................6

2.2.5 Συμπεράσματα .......................................................................................7

2.3 Στοιχεία Θεωρίας Κάμψης Δοκού Timoshenko ...........................................7

2.3.1 Παραδοχές θεωρίας κάμψης δοκού Timoshenko ...................................7

2.3.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία Timoshenko ..............................................8

2.3.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία Timoshenko ......................................8

2.3.4 Εντατικά – παραμορφωσιακά μεγέθη .....................................................9

2.3.5 Συμπεράσματα .......................................................................................9

3o Κεφάλαιο - Στοιχεία Θεωριών Στρέψης Δοκού ............................................10

3.1 Στοιχεία Θεωρίας Ομοιόμορφης Στρέψης (Saint-Venant) .........................10

3.1.1 Παραδοχές θεωρίας ομοιόμορφης στρέψης .........................................10

3.1.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία ομοιόμορφης στρέψης ............................11

3.1.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία ομοιόμορφης στρέψης ....................11

3.1.4 Εντατικά – παραμορφωσιακά μεγέθη ...................................................12

3.1.5 Συμπεράσματα .....................................................................................12

3.2 Στοιχεία Θεωρίας Ανομοιόμορφης Στρέψης Δοκού...................................12

IV

3.2.1 Παραδοχές της θεωρίας ανομοιόμορφης στρεψης ...............................12

3.2.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης ........................13

3.2.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης .................13

3.2.4 Εντατικά – παραμορφωσιακά μεγέθη ...................................................14

3.2.5 Συμπεράσματα .....................................................................................14

4o Κεφάλαιο - Στοιχεία Γενικευμένης Ανάλυσης με Επιρροή Διατμητικής και

Στρεπτικής Στρέβλωσης .............................................................15

4.1 Εισαγωγή - Παραδοχές θεωρίας γενικευμένης στρέβλωσης .....................15

4.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία γενικευμένης στρέβλωσης ..........................16

4.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία γενικευμένης στρέβλωσης ...................18

4.4 Συμπεράσματα..........................................................................................19

5o Κεφάλαιο - Στοιχεία Μητρωικής Ελαστικής Ανάλυσης Φορέων ................20

5.1 Βασικά στάδια μητρωικής ανάλυσης .........................................................20

5.1.1 Προσδιορισμός γεωμετρικών σταθερών διατομής δοκού. ....................20

5.1.2 Προσδιορισμός μητρώου στιβαρότητας ράβδου. ..................................20

5.1.3 Προσδιορισμός μητρώου στιβαρότητας φορέα .....................................21

5.1.4 Επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων – Προσδιορισμός

εντατικών μεγεθών, ορθών τάσεων ......................................................21

5.2 Καθολικό μητρώο στιβαρότητας φορέα.....................................................22

6o Κεφάλαιο – – Αριθμητικές Εφαρμογές..........................................................23

6.1 Μεταλλικό πλαίσιο κοίλης ορθογωνικής διατομής .....................................23

6.1.1 Εισαγωγή ..............................................................................................23

6.1.2 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διατομής RHS 500X300X20 .....................24

6.1.3 Συγκρίσεις αποτελεσμάτων ..................................................................25

6.2 Καμπύλη Γέφυρα Κιβωτιοειδούς Διατομής ...............................................32

6.2.1 Εισαγωγή ..............................................................................................32

6.2.2 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κιβωτιοειδούς διατομής ............................33

6.2.3 Συγκρίσεις αποτελεσμάτων ..................................................................35

6.3 Προβλήματα – Δυσχέρειες ........................................................................40

6.4 Συμπεράσματα..........................................................................................41

V

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

Σχήμα 1 Παραμόρφωση στοιχειώδους κύβου στο επίπεδο Oxy ........................ 2

Σχήμα 2 Συνιστώσες τάσεων σε στοιχειώδη κύβο ............................................. 3

Σχήμα 3 Κάμψη δοκού κατά Euler - Bernoulli .................................................... 5

Σχήμα 4 Παραμόρφωση δοκών κατά Euler - Bernoulli και Timoshenko ............ 7

Σχήμα 5 Ανάπτυξη πρωτογενών διατμητικών τάσεων ....................................... 9

Σχήμα 6 Ανεμπόδιστη στρέβλωση διατομής κατά την ομοιόμορφη στρέψη .... 10

Σχήμα 7 Ακολουθίες ανάπτυξης τάσεων στην ανομοιόμορφη στρέψη(α) και

ανομοιόμορφη κάμψη(β) ................................................................... 15

Σχήμα 8 Ράβδος τυχούσας διατομής με τυχούσες φορτίσεις ........................... 16

Σχήμα 9 Μητρώο στιβαρότητας χωρικού μέλους, σύμφωνα με τις θεωρίες των

Euler-Bernoulli και ομοιόμορφης στρέψης(Saint-Venant)[μητρώο

12Χ12] ............................................................................................... 20

Σχήμα 10 Μορφή μητρώου στιβαρότητας με ανάλυση γενικευμένης στρέβλωσης

(μητρώο 20Χ20) ................................................................................ 21

Σχήμα 11 Εμπρόσθια όψη εξεταζόμενου χωρικού πλαισίου ............................. 24

Σχήμα 12 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διατομής RHS500X300X20 ................... 24

Σχήμα 13 Βύθιση w(x) οριζόντιου μέλους, κατά το μήκος του ........................... 26

Σχήμα 14 Οριζόντια μετατόπιση v(x) οριζόντιου μέλους, κατά το μήκος του ..... 26

Σχήμα 15 Οριζόντια μετατόπιση u(x) πακτωμένου υποστυλώματος, κατά το

μήκος του .......................................................................................... 27

Σχήμα 16 Οριζόντια μετατόπιση v(x) πακτωμένου υποστυλώματος, κατά το

μήκος του .......................................................................................... 27

Σχήμα 17 Διάγραμμα διρροπής πρωτογενούς στρεπτικής στέβλωσης ΜφxP ..... 28

Σχήμα 18 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης ΜφyP (άξονας y) .......... 28

Σχήμα 19 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης ΜφzP (άξονας z) .......... 29

Σχήμα 20 Διάγραμμα διρροπής δευτερογενούς στρεπτικής στέβλωσης ΜφxS ... 29

Σχήμα 21 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων στο άκρο του οριζόντιου μέλους

.......................................................................................................... 30

Σχήμα 22 Ανάλυση της σmax=4.90MPa, ανάλογα με το προερχόμενο κινηματικό

μέγεθος .............................................................................................. 31

Σχήμα 23 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων στην κεφαλή του πακτωμένου

υποστυλώματος................................................................................. 31

Σχήμα 24 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων στην πάκτωση ........................ 32

VI

Σχήμα 25 Εξεταζόμενη καμπύλη γέφυρα .......................................................... 33

Σχήμα 26 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά εξεταζόμενης κιβωτιοειδούς διατομής ... 34

Σχήμα 27 Βύθιση w(x) της γέφυρας, κατά το μήκος του άξονά της.................... 35

Σχήμα 28 Στρεπτική στροφή θx(x), κατά το μήκος του άξονα της γέφυρας ........ 35

Σχήμα 29 Καμπτική στροφή θy(x) κατά το μήκος του άξονα της γέφυρας ......... 36

Σχήμα 30 Διάγραμμα διρροπής πρωτογενούς στρεπτικής στέβλωσης ΜφxP ..... 36

Σχήμα 31 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης ΜφyP (άξονας y) .......... 37

Σχήμα 32 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης ΜφzP (άξονας z) .......... 37

Σχήμα 33 Διάγραμμα διρροπής δευτερογενούς στρεπτικής στέβλωσης ΜφxS ... 37

Σχήμα 34 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων σε απόσταση 1,85μ. από την

πάκτωση ............................................................................................ 38

Σχήμα 35 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων σε απόσταση 1,85μ. από το μέσο

της γέφυρας ....................................................................................... 39

Σχήμα 36 Διάγραμμα επιδόσεων CPU και μνήμης RAM αντίστοιχα, κατά τη

διάρκεια ανάλυσης με μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (131.262

solid elements) .................................................................................. 40


διάρκεια ανάλυσης με μέθοδο γενικευμένης στρέβλωσης (30 ράβδοι)

.......................................................................................................... 40

Μητρωική Ανάλυση Φορέων με Επιρροή Διατμητικής & Στρεπτικής Στρέβλωσης (Π)

- 1 -

11oo ΚΚεεφφάάλλααιιοο -- ΣΣττοοιιχχεεiiαα ΘΘεεωωρρiiααςς ΕΕλλαασσττιικκόόττηηττααςς

1.1 Γενικά

Η τρισδιάστατη Θεωρία Ελαστικότητας περιγράφει τη συμπεριφορά

παραμορφώσιμων στερεών σωμάτων. Χρησιμοποιεί ως δεδομένα τα γεωμετρικά

χαρακτηριστικά του φορέα, την εξωτερική καταπόνηση αυτού και τα μηχανικά

χαρακτηριστικά του και προσδιορίζει τις αναπτυσσόμενες τάσεις και

παραμορφώσεις σε κάθε σημείο του. Προκειμένου να το επιτύχει αυτό, επιλύει ένα

σύστημα 15 εξισώσεων με 15 αγνώστους, το οποίο διαμορφώνεται όπως

παρακάτω.

1.2 Άγνωστα μεγέθη στη Θεωρία Ελαστικότητας

Πεδίο μετατοπίσεων υλικού

σημείου

Πεδίο παραμορφώσεων

στοιχειώδους κύβου

Πεδίο τάσεων στοιχειώδους κύβου

u=u (x,y,z)

v=v (x,y,z)

w=w (x,y,z)

εxx

εyy

εzz

γxy

γyz

γxz

σxx

σyy

σzz

τxy

τyz

τxz

όπου, ε, γ: η ανηγμένη παραμόρφωση

σ, τ : η αναπτυσσόμενη τάση

1.3 Διαφορικές εξισώσεις της Θεωρίας Ελαστικότητας

1.3.1 Σχέσεις παραμορφώσεων – μετατοπίσεων (τανυστής των τροπών):

�� =��

��

�� =��

��

�� =��

��

�� =��

��+

��

��

�� =��

��+

��

��

�� =��

��+

��

��

1o Κεφάλαιο - Στοιχεiα Θεωρiας Ελαστικότητας

- 2 -

Σχήμα 1 Παραμόρφωση στοιχειώδους κύβου στο επίπεδο Oxy

Οι παραπάνω εξισώσεις έχουν περισσότερους όρους, οι οποίοι θεωρούνται

αμελητέοι με την παραδοχή των μικρών μετακινήσεων. Επιπλέον, από τις

παραπάνω σχέσεις και με απαλοιφή των μετακινήσεων (u,v,w), προκύπτουν οι έξι

σχέσεις μεταξύ των ανηγμένων παραμορφώσεων, που ονομάζονται συνθήκες

συμβιβαστού των παραμορφώσεων και είναι αυτές που εξασφαλίζουν τη συνέχεια

του παραμορφώσιμου σώματος.

1.3.2 Καταστατικές εξισώσεις (σχέσεις τάσεων – παραμορφώσεων από

γενικευμένο νόμο του Hooke ):

�� =�

(1 + �) ∙ (1 − 2�)�(1 − �) ∙ �� + � ∙ �� + ��

�� =�

(1 + �) ∙ (1 − 2�)�(1 − �) ∙ �� + � ∙ (�� + ��)�

�� =�

(1 + �) ∙ (1 − 2�)�(1 − �) ∙ �� + � ∙ �� + ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��


- 3 -

Για να ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις, υιοθετούνται τρεις επιπλέον

παραδοχές. Σύμφωνα με αυτές, το παραμορφωμένο σώμα:

Είναι ομοιογενές, δηλαδή οι μηχανικές ιδιότητες του υλικού του παραμένουν

αμετάβλητες σε κάθε σημείο του σώματος (⇒ [Ε](x,y,z)= [E] ).

Είναι ισότροπο, δηλαδή η μηχανική συμπεριφορά του υλικού είναι ίδια,

ανεξαρτήτως διευθύνσεως (⇒ Εxx= Eyy= Ezz= E ).

Είναι γραμμικά ελαστικό (γραμμική θεωρία ελαστικότητας), δηλαδή οι

αναπτυσσόμενες τάσεις είναι γραμμικά ανάλογες των παραμορφώσεων (για να

ισχύει αυτό, υιοθετείται η παραδοχή των μικρών παραμορφώσεων) και μετά το

πέρας οποιασδήποτε καταπόνησης, το σώμα επιστρέφει στην αρχική του

κατάσταση.

1.3.3 Εξισώσεις ισορροπίας (τανυστής των τάσεων) στοιχειώδους κύβου:

� �� = 0 ⇔��

��+

��

��+

��

��+ �� = 0

� �� = 0 ⇔��

��+

��

��+

��

��+ �� = 0

� �� = 0 ⇔��

��+

��

��+

��

��+ �� = 0

Σχήμα 2 Συνιστώσες τάσεων σε στοιχειώδη κύβο

1o Κεφάλαιο - Στοιχεiα Θεωρiας Ελαστικότητας

- 4 -

1.3.4 Επίλυση των διαφορικών εξισώσεων

Η επίλυση των παραπάνω διαφορικών εξισώσεων δίνει γενικές λύσεις (λόγω

κίνησης στερεού σώματος). Για ακριβέστερες λύσεις απαιτείται η εισαγωγή, στη

μαθηματική διατύπωση του προβλήματος, των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του

φορέα, των εξωτερικών φορτίσεων και των δεσμεύσεων κίνησης, δηλαδή των

συνοριακών συνθηκών. Οι συνοριακές συνθήκες στη θεωρία ελαστικότητας

εκφράζονται με τους εξής τρόπους, γνωστούς ως τα τρία προβλήματα της

Μηχανικής:

Οριακή συνθήκη Neumann, η οποία διατυπώνει μαθηματικά τις φορτίσεις

που επιβάλλονται στο σώμα.

Οριακή συνθήκη Dirichlet, η οποία διατυπώνει μαθηματικά τις συνθήκες

στήριξης του σώματος.

Μικτή οριακή συνθήκη, που είναι ο συνδυασμός των παραπάνω.

Ακόμη και με την προσθήκη των συνοριακών συνθηκών, η επίλυση του

συστήματος διαφορικών εξισώσεων είναι εφικτή μόνο σε ορισμένες περιπτώσεις.

Έτσι, δημιουργήθηκε η ανάγκη για την υιοθέτηση πιο απλουστευμένων τεχνικών,

για την επίλυση των προβλημάτων του μηχανικού.


- 5 -

22oo ΚΚεεφφάάλλααιιοο -- ΣΣττοοιιχχεείίαα ΘΘεεωωρρίίωωνν ΚΚάάμμψψηηςς ΔΔοοκκοούύ

2.1 Γενικά

Στην Τεχνική Θεωρία Κάμψης, το στοιχείο που εξετάζεται δεν είναι το

απειροστό στοιχείο (dx, dy, dz), αλλά μία δοκός με πεπερασμένες διαστάσεις (L, b,

h). Ο άξονας Ox διέρχεται από το ΚΒ των διατομών της δοκού (κεντροβαρικός).

Η ισορροπία που εφαρμόζεται δεν είναι η ισορροπία τάσεων (σij), αλλά η

ισορροπία εντατικών μεγεθών (Pij) και οι εσωτερικά αναπτυσσόμενες τάσεις

εξαρτώνται μόνο από τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη και τα γεωμετρικά

χαρακτηριστικά της διατομής.

2.2 Στοιχεία Θεωρίας Κάμψης Δοκού Euler - Bernoulli

2.2.1 Παραδοχές της θεωρίας Euler – Bernoulli

Για τη μείωση των αγνώστων όρων των διαφορικών εξισώσεων της Θεωρίας

Ελαστικότητας, υιοθετούνται οι παρακάτω απλουστευτικές παραδοχές:

Σχήμα 3 Κάμψη δοκού κατά Euler - Bernoulli

Η δοκός έχει τη μία διάσταση (μήκος) πολύ μεγαλύτερη από τις άλλες

δύο (διαστάσεις διατομής)(⇒ σxx≫σyy, σzz ⇒ σyy≈σzz≈ 0 ).

Η δοκός είναι ευθύγραμμη, σταθερής διατομής (⇒ Ιi,i=σταθερές) και

αποτελείται από διαμήκεις και ανεξάρτητες, μεταξύ τους, ίνες (⇒ εyy≈ εzz≈0 ).

2o Κεφάλαιο - Στοιχεία Θεωρίων Κάμψης Δοκού

- 6 -

Οι (αρχικά επίπεδες και κάθετες προς τον διαμήκη άξονα Ox) διατομές

της δοκού, παραμένουν επίπεδες (⇒ �, � = � (�) και όχι � (�, �, �)), κάθετες (⇒

γxy≈γxz≈0 , ��

��=

��

��,

��

��=

��

��) και εγκαρσίως απαραμόρφωτες (διατηρούν το σχήμα

τους ⇒ γyz≈0 ) μετά την επιβολή της φόρτισης.

2.2.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία Euler – Bernoulli

Με την αποδοχή των παραπάνω παραδοχών, τα πεδία της Θεωρίας

Ελαστικότητας, περιορίζονται ως εξής:


σημείου

� = ��

��− �

��

��

� = � (�)

� = � (�)



�� =��

��

Πεδίο τάσεων στοιχειώδους

κύβου

�� = � ∙ ��

όπου: ��

��=

��

�� = θz(x) και

��

��=

��

�� = θy(x)

2.2.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία Euler – Bernoulli

Οι 15 εξισώσεις της θεωρίας Ελαστικότητας περιορίζονται, ως γνωστόν, στις

εξής δύο, οι οποίες είναι ανεξάρτητες (αποπλεγμένες) μεταξύ τους:

� ∙ �� ∙��

�� = ��(�) (κάμψη περί τον άξονα yy)

� ∙ �� ∙��

�� = ��(�) (κάμψη περί τον άξονα zz)

όπου: ��= ∫ z2 dA

Α ροπή αδρανείας επιφάνειας περί yy

��= ∫ y2 dA

Α ροπή αδρανείας επιφάνειας περί zz

2.2.4 Εντατικά – παραμορφωσιακά μεγέθη

Κατά την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της θεωρίας Euler-Bernoulli,

προκύπτουν κάποιοι όροι, οι οποίοι ορίζονται ως εντατικά μεγέθη της δοκού.

Τελικά, τα εντατικά μεγέθη σε συνάρτηση με τα αντίστοιχα παραμορφωσιακά,

ορίζονται όπως παρακάτω:


- 7 -

� �� = � � ∙ ��

�

= � ∙ �� ∙��

��

� �� = � � ∙ ��

�

= � ∙ �� ∙��

��

2.2.5 Συμπεράσματα

Η θεωρία των Euler – Bernoulli έδωσε στους μηχανικούς τη δυνατότητα να

επιλύουν φορείς με καλή προσέγγιση. Ωστόσο, οι εξαιρετικά απλουστευτικές

παραδοχές οδηγούν σε σημαντικά σφάλματα στις περιπτώσεις που οι διατμητικές

παραμορφώσεις δεν μπορούν να αμεληθούν. Έτσι, ξεκίνησαν να αναπτύσσονται

θεωρίες που αίρουν σταδιακά τις παραδοχές των Euler – Bernoulli.

2.3 Στοιχεία Θεωρίας Κάμψης Δοκού Timoshenko

2.3.1 Παραδοχές θεωρίας κάμψης δοκού Timoshenko

Ο Stephen Timoshenko, στη θεωρία του, διατηρεί όλες τις παραδοχές των

Euler – Bernoulli, πλην της παραδοχής ότι οι διατομές παραμένουν κάθετες στον

κεντροβαρικό άξονα της δοκού. Έτσι, δέχεται ότι στη διατομή αναπτύσσονται

διατμητικές παραμορφώσεις γxy (για κάμψη περί τον άξονα Oy) και γxz (για κάμψη

περί τον άξονα Oz).

Σχήμα 4 Παραμόρφωση δοκών κατά Euler - Bernoulli και Timoshenko

2o Κεφάλαιο - Στοιχεία Θεωρίων Κάμψης Δοκού

- 8 -

2.3.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία Timoshenko

Tα πεδία της Θεωρίας Ελαστικότητας, διαμορφώνονται πλέον ως εξής:


σημείου

� = ��

��− �

��

��

� = � (�)

� = � (�)



�� =��

��

�� =��

��+

��

��

�� =��

��+

��

��


κύβου

�� = � ∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

όπου πλέον: ��

��≠

��

�� = θz(x) και

��

��≠

��

�� = θy(x)

2.3.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία Timoshenko

Οι 15 εξισώσεις της θεωρίας Ελαστικότητας περιορίζονται πλέον, στις εξής

δύο, οι οποίες είναι ανεξάρτητες (απεμπλεγμένες) μεταξύ τους:

� ∙ �� ∙��

�� = ��(�) −�∙��

��∙�∙�∙

��

�� (κάμψη περί τον άξονα yy)

� ∙ �� ∙��

�� = ��(�) −�∙��

��∙�∙�∙

��

�� (κάμψη περί τον άξονα zz)

όπου: A : η επιφάνεια της διατομής

G : μέτρο ελαστικότητας σε διάτμηση [� =�

�∙(��)]

ν : λόγος Poisson

��= ∫ ��

� ��= ∫ ��

�

α : συντελεστής διατμητικής παραμόρφωσης (0<α<1) (στη

βιβλιογραφία συναντάται επίσης και ο διορθωτικός συντελεστής διάτμησης � =�

� )

Ο συντελεστής διατμητικής παραμόρφωσης α, εισάγεται από τον Τιμοσένκο,

προκειμένου να αμβλύνει μια ασυνέπεια στη θεώρησή του. Αφού ο Τιμοσένκο

θεώρησε ότι η διατομή παραμένει επίπεδη, οι διατμητικές τάσεις καθ’ ύψος της

διατομής προκύπτουν σταθερές. Στα όρια όμως της διατομής οι διατμητικές τάσεις

οφείλουν να είναι μηδενικές. Άρα, στην πραγματικότητα, η κατανομή των

διατμητικών τάσεων έχει τέτοια μορφή, με την οποία η διατομή στρεβλώνεται. Την


- 9 -

τελική κατανομή των διατμητικών τάσεων, την προσεγγίζει με την εισαγωγή του

διορθωτικού συντελεστή α και ο οποίος προσδιορίζεται με ενεργειακή θεώρηση.


Τα εντατικά μεγέθη σε συνάρτηση με τα αντίστοιχα παραμορφωσιακά,


�� = � �� = � ∙ �� ∙ �−�� +��

��

�

�� = � �� = � ∙ �� ∙ �−�� +��

��

�

� �� = � � ∙ �� = � ∙ �� ∙��

��

�

� �� = � � ∙ ��

�

= � ∙ �� ∙��

��


Η θεωρία Τιμοσένκο έδωσε μια ακριβέστερη προσέγγιση στην επίλυση της

δοκού, αφού έλαβε υπόψη, με την προσθήκη της διατμητικής δυσκαμψίας (α·Α·G),

και την επιρροή των διατμητικών παραμορφώσεων γxy και γxz .

Σχήμα 5 Ανάπτυξη πρωτογενών διατμητικών τάσεων

3o Κεφάλαιο - Στοιχεία Θεωριών Στρέψης Δοκού

- 10 -

33oo ΚΚεεφφάάλλααιιοο -- ΣΣττοοιιχχεείίαα ΘΘεεωωρριιώώνν ΣΣττρρέέψψηηςς ΔΔοοκκοούύ

3.1 Στοιχεία Θεωρίας Ομοιόμορφης Στρέψης (Saint-Venant)

3.1.1 Παραδοχές θεωρίας ομοιόμορφης στρέψης

Η θεωρία ομοιόμορφης στρέψης υιοθετεί όλες τις παραδοχές της θεωρίας

ελαστικότητας και επιπλέον τις παρακάτω:





Οι διατομές της δοκού παραμένουν εγκαρσίως απαραμόρφωτες

(διατηρούν το σχήμα τους ⇒ γyz≈0 ) μετά την επιβολή της στρεπτικής φόρτισης.

Οι (αρχικά επίπεδες και κάθετες προς τον διαμήκη άξονα Ox) διατομές

της δοκού στεβλώνονται μετά την επιβολή της στρεπτικής φόρτισης. Η

στρέβλωση της διατομής πραγματοποιείται ανεμπόδιστα. Έτσι, οι διαμήκεις

ανεξάρτητες ίνες υφίστανται μετακινήσεις �(�), αλλά όχι παραμορφώσεις

(⇒ εxx≈0 ) και συνεπώς δεν αναπτύσσονται ορθές τάσεις (⇒ σxx≈ 0 ).

Η αναπτυσσόμενη στρέβλωση είναι ίδια κατά μήκος όλης της ράβδου

(⇒ ∂θx

∂x = σταθερή ).

Σχήμα 6 Ανεμπόδιστη στρέβλωση διατομής κατά την ομοιόμορφη στρέψη


- 11 -

3.1.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία ομοιόμορφης στρέψης

Για τον προσδιορισμό του πεδίου των μετακινήσεων εισάγεται μια συνάρτηση

στρέβλωσης φs(y,z) ως προς το κέντρο διάτμησης S της διατομής. Η συνάρτηση

φs εκφράζει τις μετακινήσεις u(y,z) της διατομής για μοναδιαία σχετική στροφή

( ��

�� = 1) και είναι τέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:

��

��= −��

��

��= ��



σημείου




κύβου

� =��

��∙ ��(�, �)

� = −� ·��

��· �

� = � ·��

��· �

�� =��

��+

��

��

�� =��

��+

��

��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

όπου: ��

�� : η μεταβολή της στροφής της διατομής περί τον διαμήκη

άξονα Οx (συστροφή)

3.1.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία ομοιόμορφης στρέψης

Με χρήση της παραπάνω συνάρτησης φs και των συνοριακών συνθηκών της

διατομής ( στο όριο οι διατμητικες τάσεις τ=0), προκύπτει τελικά η εξίσωση:

��

��+

��

��= −

� ∙��

��

� ∙� ��

��

∙ ��


- 12 -




�� = �� ∙ �� + � ∙ �� = � ∙ �� ∙��

��

�

όπου �� = ∫ �� + �� + � ∙��

��− � ∙

��

��

�, η στρεπτική ροπή

αδρανείας κατά Saint-Venant ή στρεπτική σταθερά της διατομής.


Η θεωρία ομοιόμορφης στρέψης δέχεται ότι μία ράβδος υπό στρεπτική

φόρτιση αντιστέκεται στη στρέψη μόνο με την ανάπτυξη πρωτογενών διατμητικών

τάσεων.

3.2 Στοιχεία Θεωρίας Ανομοιόμορφης Στρέψης Δοκού

3.2.1 Παραδοχές της θεωρίας ανομοιόμορφης στρεψης

Οι παραδοχές της ανεμπόδιστης και της ομοιόμορφης στρέβλωσης που θέτει

ο Saint-Venant είναι εξαιρετικά δεσμευτικές. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η

στρέβλωση της διατομής εμποδίζεται και είναι ανομοιόμορφη κατά μήκος της

ράβδου, είτε λόγω των στηρίξεων, είτε λόγω των στρεπτικών φορτίσεων αυτής.

Με την κατάργηση των παραδοχών της ανεμπόδιστης (⇒ εxx≠ 0 και σxx≠ 0 )

και ομοιόμορφης στρέβλωσης (⇒ ��

�� = f(x) ), είναι προφανές ότι αναπτύσσονται

ορθές τάσεις λόγω δέσμευσης της στρέβλωσης. Με την ανάπτυξη ορθών τάσεων

και προκειμένου να ισορροπεί ο στοιχειώδης κύβος στο όριο της διατομής

αναπτύσσονται επιπλέον διατμητικές τάσεις, οι οποίες ονομάζονται δευτερογενείς.

Οι δευτερογενείς διατμητικές τάσεις αποδεικνύεται ότι δεν είναι συναρτήσει

των y,z (όπως είναι οι πρωτογενείς), αλλά συναρτήσει των x,y,z. Έτσι, είναι

αναγκαία πλέον η εισαγωγή νέας συνάρτησης στρέβλωσης ��, η οποία να

σχετίζεται με την κατανομή των δευτερογενών τάσεων.


- 13 -

3.2.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης



σημείου

Πεδίο παραμορφώσεων στοιχειώδους

κύβου


κύβου

� =��

��∙ ��

� + ��

� = −� · ��

� = � · ��

�� =��

��∙ ��

�

�� =� ��

�� ∙ �

��

��− �� +

��

��

�� =� ��

�� ∙ (

��

��+ �) +

��

��

�� = � ∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

όπου ��

�� , η μεταβολή της στροφής της διατομής περί τον διαμήκη

άξονα Οx (συστροφή)

�� = ��

�(�, �), η πρωτογενής κύρια συνάρτηση στρέβλωσης της

διατομής ως προς το κέντρο διάτμησης S αυτής. Η συνάρτηση �� εκφράζει τις

μετακινήσεις u(y,z) της διατομής, για μοναδιαία σχετική στροφή ( ��

�� = 1) και λόγω

πρωτογενών διατμητικών τάσεων.

�� = ��

�(�, �, �), η δευτερογενής κύρια συνάρτηση στρέβλωσης

της διατομής ως προς το κέντρο διάτμησης S αυτής. Η συνάρτηση �� εκφράζει τις

μετακινήσεις u(x,y,z) της διατομής, για μοναδιαία σχετική στροφή

( ��

�� = 1) και λόγω δευτερογενών διατμητικών τάσεων.

3.2.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης

Με χρήση των συναρτήσεων �� και ��

�, των συνοριακών συνθηκών της

διατομής (στο όριο οι διατμητικες τάσεις τ=0) και αφού ορίσουμε νέα μεγέθη It, Cs,

προκύπτει τελικά η διαφορική εξίσωση της ανομοιόμορφης στρέψης:

−� ∙ �� ∙��

��+ � ∙ �� ∙

��

��= ��

όπου � ∙ �� ∙��

�� , ο όρος που αναφέρεται στην ομοιόμορφη στρέψη

(πρωτογενείς διατμητικές τάσεις κατά Saint-Venant)


- 14 -

� ∙ �� ∙��

�� , ο όρος που αναφέρεται στη στρέβλωση της διατομής

(δευτερογενείς διατμητικές τάσεις)

�� = ∫ �� + �� + � ∙��

�

��− � ∙

��

��

�, η στρεπτική ροπή

αδρανείας κατά Saint-Venant ή στρεπτική σταθερά της διατομής.

�� = ∫ (��)��

� , η σταθερά στρέβλωσης της διατομής

�� = ��(�) , το στρεπτικό φορτίο ανά μονάδα μήκους




�� = �� ∙ ��

� + � ∙ �� = � ∙ �� ∙

��

��

�

�� = �� ∙ ��

� + � ∙ �� = −� ∙ �� ∙

��

��

�


Με τη θεωρία ανομοιόμορφης στρέψης, λαμβάνεται υπόψη η επιρροή της

στρέβλωσης της διατομής στη συνολική στρεπτική αντίσταση της διατομής


- 15 -

44oo ΚΚεεφφάάλλααιιοο -- ΣΣττοοιιχχεείίαα ΓΓεεννιικκεευυμμέέννηηςς ΑΑννάάλλυυσσηηςς μμεε ΕΕππιιρρρροοήή ΔΔιιααττμμηηττιικκήήςς κκααιι ΣΣττρρεεππττιικκήήςς ΣΣττρρέέββλλωωσσηηςς

4.1 Εισαγωγή - Παραδοχές θεωρίας γενικευμένης στρέβλωσης

Οι θεωρίες της ανομοιόμορφης κάμψης και ανομοιόμορφης στρέψης,

δέχονται ότι αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις, λόγω κάμψης και στρέψης

αντίστοιχα, τις οποίες λαμβάνουν υπόψη στους υπολογισμούς τους. Λόγω των

αναπτυσσόμενων διατμητικών τάσεων, η διατομή τελικά στρεβλώνεται. Είναι όμως

προφανές ότι, όταν εμποδίζεται η στρέβλωση αυτή, αναπτύσσονται ορθές τάσεις.

Οι αναπτυσσόμενες αυτές ορθές τάσεις δημιουργούν επιπλέον διατμητικές τάσεις

(δευτερογενείς), οι οποίες με τη σειρά τους προκαλούν επιπλέον στρέβλωση της

διατομής (δευτερογενής), η οποία δημιουργεί επιπλέον ορθές τάσεις

(δευτερογενείς), κ.ο.κ. (Σχήμα 7).

Ανομοιόμορφη στρέψη (α)

Pxy

Pxz

Ανάπτυξηστρέβλωσης

(πρωτογενής)

PS

Pxx

Eξισορρόπησημεταβολής

0SP Sxyxx xz

x y z

Sxy

Sxz


(δευτερογενής)

SS

Sxx


0TS Txyxx xz

x y z

Txy

Txz

Ανομοιόμορφη κάμψη (β)

Pxx


0PP Pxyxx xz

x y z

Pxy

Pxz


(πρωτογενής)

PCY , P

C

Sxx


0SS Sxyxx xz

x y z

Sxy

Sxz

Σχήμα 7 Ακολουθίες ανάπτυξης τάσεων στην ανομοιόμορφη στρέψη(α) και

ανομοιόμορφη κάμψη(β)

Η θεωρία γενικευμένης στρέβλωσης υιοθετεί όλες τις παραδοχές της θεωρίας

ελαστικότητας και επιπλέον τις παρακάτω:





Οι διατομές της δοκού παραμένουν εγκαρσίως απαραμόρφωτες

(διατηρούν το σχήμα τους ⇒ γyz≈0 ) μετά την επιβολή της στρεπτικής φόρτισης.

4o Κεφάλαιο - Στοιχεία Γενικευμένης Ανάλυσης με Επιρροή Διατμητικής και Στρεπτικής Στρέβλωσης

- 16 -

Στη ράβδο δεν επιβάλλεται (κατασκευαστικά) κάποιος διαμήκης άξονας

περιστροφής. Συνεπώς η διατομή στρέφεται ελεύθερα ως δίσκος, περί το κέντρο

συστροφής (στρέψης), το οποίο θεωρείται ότι ταυτίζεται με το κέντρο διάτμησης.

Σχήμα 8 Ράβδος τυχούσας διατομής με τυχούσες φορτίσεις

4.2 Άγνωστα μεγέθη στη θεωρία γενικευμένης στρέβλωσης

Tα πεδία της Θεωρίας Ελαστικότητας, εξετάζονται πλέον σε δύο συστήματα

συντεταγμένων και σε τέσσερις «ομάδες» ανάλογα με το μηχανισμό γένεσής τους

(συνδυασμοί στρεπτικών – διατμητικών και πρωτογενών – δευτερογενών).

Το πρώτο σύστημα Sxyz, έχει ως αρχή αξόνων το κέντρο στρέψης S

(≡ κέντρο διάτμησης) της διατομής και περιλαμβάνει τα μεγέθη που σχετίζονται με

τις διατμητικές τάσεις. Όλα τα παραπάνω μεγέθη θα αναχθούν (μεταφερθούν) στη

συνέχεια στο δεύτερο σύστημα συντεταγμένων. Το δεύτερο σύστημα CXYZ έχει

ως αρχή αξόνων το κέντρο βάρους C της διατομής και περιλαμβάνει τα μεγέθη

που σχετίζονται με τις ορθές τάσεις.

Προκειμένου να προσδιοριστεί η στρέβλωση που υφίσταται η διατομή,

καταρχάς ορίζονται συναρτήσεις φ (εξισώσεις επιφάνειας) ανάλογα με το

γενεσιουργό μηχανισμό της. Δηλαδή, ορίζονται τέσσερις συναρτήσεις

στρέβλωσης, ως εξής:


- 17 -

Πρωτογενής στρεπτική στρέβλωση (περί το S) ��(�, �)

Δευτερογενής στρεπτική στρέβλωση (περί το S) ��(�, �, �)

Πρωτογενής διατμητική στρέβλωση (στον άξονα CZ) �� (�, �)

Πρωτογενής διατμητική στρέβλωση (στον άξονα CΥ) �� (�, �)

Όταν όμως χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις αυτές για προσδιορισμό

διατμητικών τάσεων, καταλήγουν σε ασυνέπειες (παραβίαση τοπικών ισορροπιών,

μηδενισμό τάσεων στα όρια). Έτσι ορίζονται νέες συναρτήσεις �� (�, �), ��

� (�, �),

��(�, �) για διόρθωση των ασυνεπειών αυτών. Τελικά, ορίζονται απλοποιητικές

συναρτήσεις Φ, όπως παρακάτω:

�� (�, �) = � + ��

� (�, �)

�� (�, �) = � + ��

� (�, �)

��(�, �) = ��

�(�, �) + ��(�, �)

�� (�, �) = ��

� (�, �) + �� (�, �)

�� (�, �) = ��

� (�, �) + �� (�, �)

��(�, �) = ��

�(�, �) + ��(�, �)

Κατόπιν όλων των παραπάνω, τα άγνωστα μεγέθη της θεωρίας

ελαστικότητας διαμορφώνονται τελικά, ως εξής:

Πεδίο μετατοπίσεων υλικού σημείου

�� = �(�) + � ∙ ��(�) − � ∙ ��(�) + ��(�, �) ∙ ��(�)

+�� (�, �) ∙ ��(�) + ��

� (�, �) ∙ ��(�) + ��(�, �) ∙ ��(�)

�� = �(�) − � · ��(�)

�� = �(�) + � · ��(�)

Πεδίο παραμορφώσεων στοιχειώδους κύβου

�� =��

��

��ή

+ � ∙� ��

��

��ά��

– � ∙� ��

��

��ά��

+ �� ∙

� ��

��

��έ��

��ή�

+ �� ∙

� ��

��

��ά��

+ �� ∙

� ��

��

��ά��

+ �� ∙

� ��

��

��έ��

��ή�

4o Κεφάλαιο - Στοιχεία Γενικευμένης Ανάλυσης με Επιρροή Διατμητικής και Στρεπτικής Στρέβλωσης

- 18 -

�� =��

��+

��

��= �

∂w

∂x+ �Υ� ∙

∂��

∂y

��κάμψη ΥΥ

+ �∂v

∂x− �Z� ∙

∂��

∂y

��κάμψη ΖΖ

+∂�x

∂x∙ �−� +

∂��

∂y�

��στρέψη(��−��)

��ή�

+ �� −∂w

∂x− �� ∙

∂��

∂y

��ά��

+ �� −∂�

∂x+ �� ∙

∂��

∂y

��ά��

+ (�� −∂��

∂x) ∙

∂��

∂y

��ό�� έ��

��ή�

+ (�� − �� +∂��

∂x) ∙

∂��

∂y

��ό�� έ��

��ή�

�� =��

��+

��

��= �

��

��+ �� ∙

��

��

��ά��

+ ��

��− �� ∙

��

��

��ά��

+��

��∙ �−� +

��

��

��έ��(��)

��ή�

+ �� −��

��− �� ∙

��

��

��ά��

+ �� −��

��+ �� ∙

��

��

��ά��

+ 〖(�〗� −��

�� ∙

��

��

��ό�� έ��

��ή�

+ �� − �� +��

�� ∙

��

��

��ό�� έ��

��ή�

Πεδίο τάσεων στοιχειώδους κύβου

�� = E ∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

�� =�

2 ∙ (1 + �)∙ ��

4.3 Διαφορικές εξισώσεις στη θεωρία γενικευμένης στρέβλωσης

Οι διαφορικές εξισώσεις δεν απλοποιούνται περισσότερο, πλην της

αντικατάστασης των σχέσεων του τανυστή των τροπών στον τανυστή των τάσεων.


- 19 -

4.4 Συμπεράσματα

Αίροντας πολλές από τις απλουστευτικές παραδοχές των Euler - Bernoulli

και Saint-Venant, λαμβάνουμε πλέον υπόψη την επιρροή της στρέβλωσης της

διατομής, τόσο λόγω ανομοιόμορφης κάμψης, όσο και ανομοιόμορφης στρέψης,

και προσεγγίζουμε καλύτερα τη γραμμική θεωρία ελαστικότητας

5o Κεφάλαιο - Στοιχεία Μητρωικής Ελαστικής Ανάλυσης Φορέων

- 20 -

55oo ΚΚεεφφάάλλααιιοο -- ΣΣττοοιιχχεείίαα ΜΜηηττρρωωιικκήήςς ΕΕλλαασσττιικκήήςς ΑΑννάάλλυυσσηηςς ΦΦοορρέέωωνν

5.1 Βασικά στάδια μητρωικής ανάλυσης

5.1.1 Προσδιορισμός γεωμετρικών σταθερών διατομής δοκού.

Στο πρώτο στάδιο της μητρωικής ανάλυσης, η συμπεριφορά της διατομής

στη ράβδο αντιπροσωπεύεται από έναν αριθμό γεωμετρικών σταθερών, οι οποίες

περιγράφουν μαθηματικά τη διατομή.

5.1.2 Προσδιορισμός μητρώου στιβαρότητας ράβδου.

Με τη χρήση των θεωριών που αναφέρθηκαν παραπάνω και ενεργειακών

θεωρήσεων (πχ. αρχή δυνατών έργων), η συνολική συμπεριφορά της ράβδου

μεταφέρεται στα δύο άκρα της. Έτσι δημιουργούνται σχέσεις που συνδέουν τα

εντατικά μεγέθη σε κάθε άκρο της ράβδου, με τα κινηματικά μεγέθη σε κάθε άκρο.

Οι σχέσεις αυτές γράφονται σε μητρωική μορφή, ώστε τελικά να καταλήγουμε σε

μία μητρωική σχέση για τη ράβδο, της μορφής:

{�} = [�] ∙ {�} (5.1.1)

όπου το διάνυσμα {�} περιλαμβάνει τα εντατικά μεγέθη στα δύο άκρα της

ράβδου, το {�} περιλαμβάνει τα αντίστοιχα κινηματικά μεγέθη στα δύο άκρα της

ράβδου, ενώ το [�] περιλαμβάνει τις σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω και

ονομάζεται τοπικό μητρώο στιβαρότητας ράβδου.

Σχήμα 9 Μητρώο στιβαρότητας χωρικού μέλους, σύμφωνα με τις θεωρίες των

Euler-Bernoulli και ομοιόμορφης στρέψης(Saint-Venant)[μητρώο 12Χ12]


- 21 -

Σχήμα 10 Μορφή μητρώου στιβαρότητας με ανάλυση γενικευμένης στρέβλωσης

(μητρώο 20Χ20)

5.1.3 Προσδιορισμός μητρώου στιβαρότητας φορέα

Ανάγοντας όλα τα εντατικά και κινηματικά μεγέθη σε ένα καθολικό σύστημα

συντεταγμένων, εκτελούμε ισορροπίες των δυνάμεων στους κόμβους και

διαμορφώνουμε έτσι μια μητρωική σχέση της μορφής (5.1.1), όπου πλέον το

διάνυσμα {�} περιλαμβάνει τα εντατικά μεγέθη όλων των κόμβων του φορέα, το

{�} περιλαμβάνει τα αντίστοιχα κινηματικά μεγέθη των κόμβων, ενώ το [�]

περιλαμβάνει τις σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω και ονομάζεται καθολικό

μητρώο στιβαρότητας φορέα.

5.1.4 Επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων – Προσδιορισμός

εντατικών μεγεθών, ορθών τάσεων

Με μητρωικές πράξεις επιλύουμε το σύστημα, ενώ μητρωικές σχέσεις, μας

δίνουν τα εντατικά μεγέθη σε κάθε άκρο των ράβδων. Από τις σχέσεις των

αντίστοιχων θεωριών, προσδιορίζουμε τις αναπτυσσόμενες τάσεις. Έτσι,

σύμφωνα με τη θεωρία Euler – Bernoulli, η μέγιστη ορθή τάση δίνεται από τη

σχέση:

�� =��

��∙ �� (5.1.2)

όπου i = y, z, j=z, y

5o Κεφάλαιο - Στοιχεία Μητρωικής Ελαστικής Ανάλυσης Φορέων

- 22 -

5.2 Καθολικό μητρώο στιβαρότητας φορέα

Όπως προαναφέρθηκε, για τη δημιουργία του μητρώου στιβαρότητας όλου

του φορέα, εκτελούμε ισορροπίες εντατικών μεγεθών σε όλους τους κόμβους του

φορέα. Ενδεικτικά, αναλύεται η ισορροπία σε ένα βαθμό ελευθερίας ενός κόμβου.

��έ� ��ά�� = ��έ� ��ά�� Ϋ

��ό�� + ��ά�� − �� ∙ �� = ��ί�� + � �� ∙ �� Ϋ

��ό�� + ��ά�� − ��ί�� = � �� ∙ �� + �� ∙ �� Ϋ

{�} = [�] ∙ {�}

όπου ��έ� ��ά��: τα φορτία που δεν προέρχονται από το φορέα.

��έ� ��ά�� : τα φορτία που προέρχονται από τον φορέα.

��ό��: τα επιβαλλόμενα φορτία στους κόμβους.

��ά�� : οι αντιδράσεις μη ελαστικών στηρίξεων.

−�� ∙ ��: οι αντιδράσεις ελαστικών στηρίξεων.

��ί��: οι δράσεις παγίωσης του μέλους (από επιβαλλόμενα

φορτία επί του μέλους, θερμοκρασιακά φορτία, κλπ.).

∑ �� ∙ ��: τo συνολικό φορτίο που προκαλούν οι μετακινήσεις i στα

άκρα του μέλους.


- 23 -

66oo ΚΚεεφφάάλλααιιοο –– ΑΑρριιθθμμηηττιικκέέςς ΕΕφφααρρμμοογγέέςς

6.1 Μεταλλικό πλαίσιο κοίλης ορθογωνικής διατομής

6.1.1 Εισαγωγή

Προκειμένου να διερευνηθεί η επιρροή της διατμητικής και στρεπτικής

στρέβλωσης εξετάζεται μεταλλικό (Ε= 210GPa, v= 0.3) χωρικό πλαίσιο, με δύο

άνισα υποστυλώματα στηριζόμενα σε μία πάκτωση και μία άρθρωση (δέσμευση

μετατοπίσεων ux, uy, uz) (Σχήμα 11), πρότυπης κοίλης ορθογωνικής διατομής

RHS500X300X20 (Σχήμα 12), υποβαλλόμενo σε κατακόρυφο, ομοιόμορφα

κατανεμημένο φορτίο 10 ΚΝ/m και ομοιόμορφα κατανεμημένο στρεπτικό φορτίο

1ΚΝm/m.

Τα αποτελέσματα της ανάλυσης συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα

των θεωριών Euler-Bernoulli και Timoshenko, καθώς και με τη μέθοδο

πεπερασμένων στοιχείων (solid elements). Όλες οι παραπάνω αναλύσεις έγιναν

με το λογισμικό ΝΧ Νastran v.8.5 σε περιβάλλον FEMAP for Windows v11.0.1.

Το στατικό μοντέλο για τις αναλύσεις Euler-Bernoulli και Timoshenko,

περιλαμβάνει 30 ραβδωτά στοιχεία (10 ανά μέλος), ενώ το μοντέλο για την

ανάλυση με μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων διαμορφώθηκε από συνολικά

131.262 εξαεδρικά, οκτακομβικά, πεπερασμένα στοιχεία (solid elements).

Και στις τρεις αναλύσεις, οι θέσεις «συγκόλλησης» των μελών,

προσομοιώθηκαν με «άκαμπτες» ράβδους, με διατομή, γεωμετρικών σταθερών

500 φορές μεγαλύτερων της κύριας διατομής.

Η σύγκριση γίνεται μεταξύ κινηματικών μεγεθών και αναπτυσσόμενων ορθών

τάσεων σε χαρακτηριστικές διατομές.

6o Κεφάλαιο – Αριθμητικές Εφαρμογές

- 24 -

Σχήμα 11 Εμπρόσθια όψη εξεταζόμενου χωρικού πλαισίου

6.1.2 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διατομής RHS 500X300X20

Στην παρούσα εφαρμογή χρησιμοποιήθηκε πρότυπη κοίλη ορθωγωνική

διατομή RHS 500X300X20, διαστάσεων b=300mm, h=500mm και πάχους 20mm

(Σχήμα 12), με τιμές γεωμετρικών σταθερών όπως παρουσιάζονται παρακάτω

(Πίνακας 1).

Σχήμα 12 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διατομής RHS500X300X20


- 25 -

Πίνακας 1 Τιμές γεωμετρικών σταθερών διατομής RHS500X300X20

Γεωμετρική σταθερά Τιμή Μονάδα

μέτρησης

Α 3.03340 Ε-2 m2

Iyy 1.01042 Ε-3 m4

Izz 4.49194 E-4 m4

Ay 8.94076 E-3 m2

Az 1.82493 E-2 m2

It 9.80216 E-4 m4

Cs 9.03594E-7 m6

8.94667 E-7 m6

2.85448 E-6 m4

1.48675 E-7 m4

-7.57998 E-9 m5

7.80773 E-10 m5

-4.27323 E-10 m5

-5.82498 E-10 m5

3.14321 E-8 m6

6.1.3 Συγκρίσεις αποτελεσμάτων

Σύγκριση κινηματικών μεγεθών

Τα εξαγόμενα από τη θεωρία των Euler-Bernoulli κινηματικά μεγέθη

εμφανίζουν αποκλίσεις από τα αντίστοιχα της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων,

ενώ λαμβάνοντας υπόψη τις στρεπτικές και διατμητικές παραμορφώσεις,

προσεγγίζουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια τις μετατοπίσεις, ιδιαίτερα αυτές που

προέρχονται από την κάμψη της δοκού (Σχήμα 13 έως Σχήμα 16).


- 26 -

Σχήμα 13 Βύθιση w(x) οριζόντιου μέλους, κατά το μήκος του

Σχήμα 14 Οριζόντια μετατόπιση v(x) οριζόντιου μέλους, κατά το μήκος του

-0.00016

-0.00014

-0.00012

-0.0001

-0.00008

-0.00006

-0.00004

-0.00002

0

0 1 2 3 4 5

Βύ

θισ

η w

(x)

[m]

Μήκος μέλους [m]

FEM-131.262 solid elements (hexa, 8-noded)

Bernoulli BT

Timoshenko BT

GWBT

-0.00045

-0.0004

-0.00035

-0.0003

-0.00025

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0

0 1 2 3 4 5

Μετ

ατό

πισ

η v

(x)

[m]



Bernoulli BT

Timoshenko BT

GWBT


- 27 -

Σχήμα 15 Οριζόντια μετατόπιση u(x) πακτωμένου υποστυλώματος,

κατά το μήκος του

Σχήμα 16 Οριζόντια μετατόπιση v(x) πακτωμένου υποστυλώματος,

κατά το μήκος του

Διαγράμματα Εντατικών Μεγέθων

Παρουσιάζονται παρακάτω (Σχήμα 17 έως Σχήμα 20), τα διαγράμματα

εντατικών μεγεθών των διρροπών στρέβλωσης του πλαισίου. Τα δίρροπα

στρέβλωσης εμφανίζουν χαμηλές τιμές στο μέσον των ράβδων, οι οποίες

αυξάνουν εκθετικά πλησιάζοντας την πάκτωση (δέσμευση των κινηματικών

μεγεθών ηx, ηy, ηz, ξx ) και τους κόμβους (θέσεις ένωσης μελών) του πλαισίου.

-0.00007

-0.00006

-0.00005

-0.00004

-0.00003

-0.00002

-0.00001

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Μετ

ατό

πισ

η u

(x)

[m]



Bernoulli BT

Timoshenko BT

GWBT

-0.0003

-0.00025

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Μετ

ατό

πισ

η v

(x)

[m]



Bernoulli BT

Timoshenko BT

GWBT


- 28 -

Σχήμα 17 Διάγραμμα διρροπής πρωτογενούς στρεπτικής στέβλωσης Μφx

P

Σχήμα 18 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης Μφy

P (άξονας y)

πρωτογενούς στρεπτικής στέβλωσης ΜφxP


- 29 -

Σχήμα 19 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης Μφz

P (άξονας z)

Σχήμα 20 Διάγραμμα διρροπής δευτερογενούς στρεπτικής στέβλωσης Μφx

S


- 30 -

Κατανομές ορθών τάσεων (σ)

Οι θεωρίες των Euler – Bernoulli και Timoshenko, έχοντας υιοθετήσει την

παραδοχή της επιπεδότητας της διατομής, παρουσιαζουν κατανομές, στις οποίες

οι ισοτασικές καμπύλες είναι ευθείες γραμμές. Δεν είναι σε θέση να προσεγγίσουν

τις κατανομές τάσεων, όπως αυτές προκύπτουν από την ανάλυση με τη μέθοδο

πεπερασμένων στοιχείων(Σχήμα 21). Αντίθετα, λαμβάνοντας υπόψη τη στρεπτική

και διατμητική στρέβλωση, η παραγόμενη κατανομή προσεγγίζει εξαιρετικά την

κατανομή των πεπεραμένων στοιχείων.

Επίσης, η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη, στον αριθμητικό υπολογισμό της

μέγιστης ορθής τάσης, κατά τον οποίο οι αποκλίσεις της θεωρίας Euler-Bernoulli

από την ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων ξεπερνούν το 37%,

σε αντίθεση με την ανάλυση της γενικευμένης στρέβλωσης που προσεγγίζει σε

ποσοστό 11% (Σχήμα 21).

Σχήμα 21 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων στο άκρο του οριζόντιου μέλους


- 31 -

Σχήμα 22 Ανάλυση της σmax=4.90MPa, ανάλογα με το προερχόμενο κινηματικό

μέγεθος

Σχήμα 23 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων στην κεφαλή του πακτωμένου

υποστυλώματος

ux θyy θzz nx ny nz ξx

σ xx -0.34946 3.46621 0.222543 0.596707 0.829138 -0.00276 0.13961

-1

0

1

2

3

4Ο

ρθή

τά

ση

σm

ax[M

Pa]


- 32 -

Σχήμα 24 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων στην πάκτωση

6.2 Καμπύλη Γέφυρα Κιβωτιοειδούς Διατομής

6.2.1 Εισαγωγή

Στη συνέχεια, εξετάζεται μία καμπύλη γέφυρα από σκυρόδεμα (Ε= 32GPa,

v= 0.2), πακτωμένη στα ακρόβαθρα (Σχήμα 25), κιβωτιοειδούς διατομής (Σχήμα

26), υποβαλλόμενη σε κατακόρυφο, ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο 50 ΚΝ/m

στον άξονα και ένα κατακόρυφο συγκεντρωμένο φορτίο 600 ΚΝ στο μέσον της

γέφυρας.

Οι συντεταγμένες του άξονα της γέφυρας δίνονται παραμετρικά με τις

σχέσεις:

� = 80 ∙ �

� = 20 ∙ (−4 ∙ �� + 4 ∙ �), t∈[0 , 1]

Τα αποτελέσματα της ανάλυσης συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα

των θεωριών Euler-Bernoulli και Timoshenko, καθώς και με τη μέθοδο

πεπερασμένων στοιχείων (solid elements). Όλες οι παραπάνω αναλύσεις έγιναν

με το λογισμικό ΝΧ Νastran v.8.5 σε περιβάλλον FEMAP for Windows v11.0.1.

Το στατικό μοντέλο για τις αναλύσεις Euler-Bernoulli και Timoshenko,

περιλαμβάνει 60 ραβδωτά στοιχεία, ενώ το μοντέλο για την ανάλυση με μέθοδο


- 33 -

πεπερασμένων στοιχείων διαμορφώθηκε από συνολικά 85.317 τετραεδρικά,

δεκακομβικά, πεπερασμένα στοιχεία (solid elements). Τα φορτία στο μοντέλο των

πεπερασμένων στοιχείων κατανεμήθηκαν ομοιόμορφα στους κόμβους των δύο

κορμών της κιβωτιοειδούς διατομής

Η σύγκριση γίνεται μεταξύ κινηματικών μεγεθών και αναπτυσσόμενων ορθών

τάσεων σε χαρακτηριστικές διατομές.

Σχήμα 25 Εξεταζόμενη καμπύλη γέφυρα

6.2.2 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κιβωτιοειδούς διατομής

Στην παρούσα εφαρμογή χρησιμοποιήθηκε κιβωτιοειδής διατομή, πλάτους

καταστρώματος 15,20μ. και συνολικού ύψους 3,45μ (Σχήμα 26), με τιμές

γεωμετρικών σταθερών όπως παρουσιάζονται παρακάτω (Πίνακας 2).

h1=20.0m

l2=20.0 m

l1=80.0 m

Pz= –600.0 KN

15.0 m

l2=20.0 m

15.0 m x

y

A

B

C

D

E


- 34 -

Σχήμα 26 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά εξεταζόμενης κιβωτιοειδούς διατομής

Πίνακας 2 Τιμές γεωμετρικών σταθερών εξεταζόμενης διατομής

Γεωμετρική σταθερά Τιμή Μονάδα

μέτρησης

Α 1.12800000E+01 m2

Iyy 1.86582458E+01 m4

Izz 1.69128155E+02 m4

Ay 6.77123923E+00 m2

Az 2.51949388E+00 m2

It 4.27703700E+01 m4

Cs 6.28917900Ε+01 m6

5.93901373E+01 m6

1.03406453E+00 m4

3.31586366E+00 m4

1.91801014E-02 m5

-2.52900456E+00 m5

4.30514488E-03 m5

3.60455513E+00 m5

1.05797152E+01 m6


- 35 -

6.2.3 Συγκρίσεις αποτελεσμάτων

Σύγκριση κινηματικών μεγεθών

Τα εξαγόμενα από τη θεωρία των Euler-Bernoulli κινηματικά μεγέθη

εμφανίζουν αποκλίσεις από τα αντίστοιχα της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων,

ενώ λαμβάνοντας υπόψη τις στρεπτικές και διατμητικές παραμορφώσεις,

προσεγγίζουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια τις μετατοπίσεις, ιδιαίτερα αυτές που

προέρχονται από την κάμψη της γέφυρας (Σχήμα 27 έως Σχήμα 29).

Σχήμα 27 Βύθιση w(x) της γέφυρας, κατά το μήκος του άξονά της

Σχήμα 28 Στρεπτική στροφή θx(x), κατά το μήκος του άξονα της γέφυρας

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0 20 40 60 80

Βύ

θισ

η w

(x)

[m]

Μήκος άξονα γέφυρας [m]

FEM-85.317 solid elements (tetra, 10-noded)Bernoulli BTTimoshenko BTGWBT

-0.0009

-0.0008

-0.0007

-0.0006

-0.0005

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Στρο

φή

θx(

x) [

rad

]


FEM-85.317 solid elements (tetra, 10-noded)

Bernoulli BT

Timoshenko BT

GWBT


- 36 -

Σχήμα 29 Καμπτική στροφή θy(x) κατά το μήκος του άξονα της γέφυρας

Διαγράμματα Εντατικών Μεγέθων

Παρουσιάζονται παρακάτω (Σχήμα 30 έως Σχήμα 33), τα διαγράμματα

εντατικών μεγεθών των διρροπών στρέβλωσης του πλαισίου. Τα δίρροπα

στρέβλωσης εμφανίζουν υψηλές τιμές στις πάκτωσεις (δέσμευση των κινηματικών

μεγεθών ηx, ηy, ηz, ξx ) και στο μέσο της γέφυρας.

Σχήμα 30 Διάγραμμα διρροπής πρωτογενούς στρεπτικής στέβλωσης Μφx

P

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Κα

μπ

τική

στρ

οφ

ή θ

y(x)

[ra

d]


Bernoulli BT

Timoshenko BT

GWBT

2683.2 2683.2

-1689.7


- 37 -

Σχήμα 31 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης Μφy

P (άξονας y)

πρωτογενούς στρεπτικής στέβλωσης ΜφxP

Σχήμα 32 Διάγραμμα διρροπής διατμητικής στέβλωσης Μφz

P (άξονας z)

Σχήμα 33 Διάγραμμα διρροπής δευτερογενούς στρεπτικής στέβλωσης Μφx

S

741.7 741.7

-142.0

88.9 88.9

-69.3

-35.7 -35.7

8.47


- 38 -

Κατανομές ορθών τάσεων (σ)

Στον αριθμητικό υπολογισμό της μέγιστης ορθής τάσης, οι αποκλίσεις της

θεωρίας Euler-Bernoulli από την ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων

στοιχείων ξεπερνούν το 18%, σε αντίθεση με την ανάλυση της γενικευμένης

στρέβλωσης που η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη και βρίσκεται σε ποσοστό

6,5% (Σχήμα 34 και Σχήμα 35).

Σχήμα 34 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων σε απόσταση 1,85μ. από την

πάκτωση


- 39 -

Σχήμα 35 Σύγκριση κατανομών ορθών τάσεων σε απόσταση 1,85μ. από το μέσο

της γέφυρας


- 40 -

6.3 Προβλήματα – Δυσχέρειες

Τα βασικά προβλήματα που αντιμετωπίστηκαν κατά τη διάρκεια της

παρούσας εργασίας, περιστρέφονται, κυρίως, γύρω από τη διαδικασία

μοντελοποίησης και ανάλυσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η

μέθοδος αυτή, ενώ διαθέτει το πλεονέκτημα της εξαιρετικής ακρίβειας στην

ανάλυση, έχει και μειονεκτήματα, δύο από τα οποία και αντιμετωπίστηκαν.

Το πρώτο πρόβλημα αφορά στη δυσκολία διαμόρφωσης του φορέα.

Ιδιαίτερα στη διαμόρφωση στηρίξεων όπως η άρθρωση, η οποία ενώ εισάγεται

εύκολα στη ραβδοστατική, ακόμα και από αρχάριους χρήστες, στα πεπερασμένα

στοιχεία η υλοποίησή τους είναι εξαιρετικά δύσκολη. Προβλήματα παρατεταμένης

παύσης της λειτουργίας του υπολογιστή παρουσιάστηκαν κατά τη διάρκεια της

διαμόρφωσης του φορέα, λόγω της αδυναμίας του υπολογιστή να διαχειριστεί τον

όγκο των δεδομένων των πεπερασμένων στοιχείων. Μερικές φορές, οι παύσεις

αυτές ήταν οριστικές, με αποτέλεσμα την απώλεια των, μέχρι εκείνο το σημείο,

δεδομένων.

Το δεύτερο πρόβλημα αφορά στη διαδικασία της ανάλυσης του φορέα των

131.262 πεπερασμένων στοιχείων (solid elements), κατά τη διάρκεια της οποίας, ο

υπολογιστής έφτασε στο όριο των δυνατοτήτων του.


διάρκεια ανάλυσης με μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (131.262 solid elements)


διάρκεια ανάλυσης με μέθοδο γενικευμένης στρέβλωσης (30 ράβδοι)


- 41 -

Συνοπτικά, τα κυριότερα μειονεκτήματα που παρουσιάζει η μέθοδος των

τρισδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων (solid elements), σε σχέση με τις

μεθόδους ραβδωτών στοιχείων είναι τα εξής:

Η διαδικασία προσομοίωσης (μοντελοποίησης) ενός τεχνικού έργου

είναι πολύ απαιτητική. Ακόμα και σε απλές κατασκευές, οι απαιτήσεις σε χρόνο και

υπολογιστική ισχύ, στο στάδιο της μοντελοποίησης (pre-processing), είναι πολύ

μεγαλύτερες σε σχέση με τις αντίστοιχες των ραβδωτών στοιχείων.

H εισαγωγή στο μοντέλο των στηρίξεων (δεσμεύσεων κινήσεως) και

των φορτίσεων είναι πολυπλοκότερη και στερούν από το μηχανικό την εποπτική

αίσθηση που προσφέρουν οι συνήθεις στηρίξεις των ραβδωτών στοιχείων

(πάκτωση, άρθρωση, κύλιση, κλπ.).

Παρουσιάζει δυσκολίες στη διακριτοποίηση πολύπλοκων κατασκευών

και δημιουργεί τεράστιο αριθμό βαθμών ελευθερίας κίνησεις (dof’s), οδηγώντας σε

χρόνους υπολογισμού μη πρακτικούς για το μηχανικό.

Παρουσιάζει δυσκολίες και κίνδυνο σφάλματος κατά τη διακριτοποίηση

λεπτότοιχων διατομών, λόγω των φαινομένων του διατμητικού και μεμβρανικού

κλειδώματος (shear-locking, membrane-locking phenomena), ενώ η

χρησιμοποίηση πεπερασμένων στοιχείων κελύφους (shell elements) δε δίνει

ακριβή αποτελέσματα, καθώς δε λαμβάνειι υπόψη τη στρέβλωση της διατομής.

Δεν επιτρέπει τη διενέργεια παραμετρικών αναλύσεων.

Απαιτεί τον προσδιορισμό συναρτήσεων σχήματος για τα κινηματικά

μεγέθη, αυξάνοντας τον αριθμό των απαιτούμενων πεπερασμένων στοιχείων.

Δεν επιτρέπει, στο στάδιο της εξαγωγής αποτελεσμάτων (post-

processing), την παρατήρηση και ερμηνεία γνωστών στατικών φαινομένων και

μεγεθών, όπως εντατικά μεγέθη, στροφές, παραμέτρους στρέβλωσης, κλπ.. Τα

πεπερασμένα στοιχεία εξάγουν μόνο τάσεις και μετατοπίσεις.

6.4 Συμπεράσματα

Στο παρόν κεφάλαιο διενεργήθηκαν τέσσερις αναλύσεις σε ένα μεταλλικό

πλαίσιο και μία καμπύλη γέφυρα από σκυρόδεμα, με βάση τις θεωρίες των Euler –

Bernoulli – Saint-Venant και Timoshenko – Saint-Venant (μητρωική ανάλυση με

μητρώο στιβαρότητας μέλους 12Χ12), με επιρροή διατμητικής και στρεπτικής

στρέβλωσης (μητρωική ανάλυση με μητρώο στιβαρότητας μέλους 20Χ20) και με

τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (131.262 εξαεδρικών, οκτακομβικών

στοιχείων - solid elements και 85.317 τετραεδρικών, δεκακομβικών,

πεπερασμένων στοιχείων -solid elements).


- 42 -

Οι συγκρίσεις των εξαγόμενων αποτελεσμάτων έδειξαν τα παρακάτω:

Στα κινηματικά μεγέθη, η θεωρία της γενικευμένης στρέβλωσης

προσέγγισε ελαφρώς καλύτερα τα αποτελέσματα των πεπερασμένων στοιχείων,

σε σχέση με τα αντίστοιχα των θεωριών Euler – Bernoulli και Timoshenko.

Στην κατανομή των τάσεων, οι ευθείες ισοτασικές γραμμές των

θεωριών Euler – Bernoulli και Timoshenko, που οφείλονται στη βασική παραδοχή

αυτών περί επιπεδότητας της παραμορφωμένης διατομής, διαφέρουν ριζικά από

την «πραγματική» κατανομή των ορθών τάσεων, όπως αυτή εξάγεται από τη

μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Σχήμα 21 και Σχήμα 35). Η θεωρία

γενικευμένης στρέβλωσης προσεγγίζει με εξαιρετική ακρίβεια τις «πραγματικές»

κατανομές.

Στην τιμή της μέγιστης αναπτυσσόμενης ορθής τάσης (σmax), οι θεωρίες

των Euler – Bernoulli και Timoshenko εμφανίζουν ορθές τάσεις μέχρι και 37%

μικρότερες από τις «πραγματικές», σε αντίθεση με τη θεωρία γενικευμένης

στρέβλωσης που έχει αποκλίσεις έως 11% από τις εξαγόμενες από τη μέθοδο

πεπερσαμένων στοιχείων.

Καταλήγοντας, η ελαστική, στατική ανάλυση με επιρροή στρεπτικών και

διατμητικών παραμορφώσεων είναι σε θέση να μας αποδώσει αποτελέσματα με

ακρίβεια «πεπερασμένων στοιχείων», αλλά ταυτόχρονα με ελάχιστες

υπολογιστικές απαιτήσεις και ευκολότερη και αποδοτικότερη διαδικασία

μοντελοποίησης, καθώς βασίζεται σε αναλυση ραβδόμορφων φορέων.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

- 43 -


Γκέσος Π. (2013), “Θεωρίες Κάμψης, Διάτμησης και Στρέψης δοκών, Κάμψη – Διάτμηση Timoshenko,Κάμψη Euler – Bernoulli,Ελαστική Θεωρία Διάτμησης,Ανομοιόμορφη Στρέψη,Ανομοιόμορφη Στρέψη με Δευτερογενείς Παραμορφώσεις”, Σχολή Τεχνικής Εκπαίδευσης Αξιωματικών Μηχανικού, Ιανουάριος 2013.

Beer, G., Smith, I. and Duenser, Ch. (2008). “The Boundary Element Method with Programming – For Engineers and Scientists”. Springer Wien New York.

Chang, P. and Hijazi, H. (1989). “General Analysis of Asymmetric Thin-Walled Members”. Thin-Walled Structures, 7, 159-186.

Chang, S.T. and Zheng, F.Z., (1987). “Negative Shear Lag in Cantilever Box Girder with Constant Depth”. Journal of Structural Engineering, 113(1), 20-35.

Dezi, L. and Mentrasti, L. (1985). “Nonuniform Bending-Stress Distribution (Shear Lag)”. Journal of Structural Engineering, 111(12), 2675-2690.

Dikaros, I.C. and Sapountzakis, E.J. (2013). “Nonuniform Shear Warping Analysis of Composite Beams of Arbitrary Cross Section using the Boundary Element Method”. Civil-Comp Press, Proceedings of the 14th International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing.

Dong, S.B., Ηarbas, S. and Taciroglu, E. (2013). “On Principal Shear Axes for Correction Factors in Timoshenko Beam Theory”. International Journal of Solids and Structures, 50, 1681-1688.

El Fatmi, R. (2007). “Non-uniform Warping Including the Effects of Torsion and Shear Forces. Part-II: Analytical and Numerical Applications”. International Journal of Solids and Structures, 44, 5930-5952.

El Fatmi, R. (2007a). “Non-uniform Warping Including the Effects of Torsion and Shear Forces. Part-I: A General Beam Theory”. International Journal of Solids and Structures, 44, 5912-5929.

El Fatmi, R. (2007b). “Non-uniform Warping Including the Effects of Torsion and Shear Forces. Part-II: Analytical and Numerical Applications”. International Journal of Solids and Structures, 44, 5930-5952.

El Fatmi, R. and Ghazouani, N. (2011). “Higher Order Composite Beam Theory built on Saint-Venant’s Solution. Part-I: Theoretical Developments”. Composite Structures, 93, 557-566.

Eurocode 3 (2004): Design of Steel Structures – Part 1.5: Plated Structural Elements, European Committee for Standardization, prEN 1993-1-5.


- 44 -

Eurocode 4 (2004): Design of Composite Steel and Concrete Structures – Part 1.1: General Rules and Rules for Buildings, European Committee for Standardization, prEN 1994-1-1.

Eurocode 4 (2004): Design of Composite Steel and Concrete Structures – Part 2: General Rules and Rules for Bridges, European Committee for Standardization, prEN 1994-2.

FEMAP for Windows (2008). Finite element modeling and post-processing software. Help System Index, Version 10.

Ferradi, M.K., Cespedes, X. and Arquier, M. (2013). “A higher Order Beam Finite Element with Warping Eigenmodes”. Engineering Structures, 46, 748-762.

Gara, F., Ranzi, G. and Leoni, G. (2011). “Simplified Method of Analysis Accounting for Shear-lag Effects in Composite Bridge Decks”. Journal of Constructional Steel Research, 67, 1684-1697.

Genoese, A., Genoese, A., Bilotta, A. and Garcea, G. (2013). “A Mixed Beam Model with Non-Uniform Warpings Derived from the Saint Venànt Rod”. Computers and Structures, 121, 87-98.

Ghazouani, N. and El Fatmi, R. (2010). “Extension of the non-uniform warping theory to an orthotropic composite beam”. Comptes Rendus Mecanique, 338, 704-711.

Ghazouani, N. and El Fatmi, R. (2011). “Higher Order Composite Beam Theory built on Saint-Venant’s Solution. Part-II: Built-in Effects Influence on the Behavior of End-Loaded Cantilever Beams”. Composite Structures, 93, 567-581.

Gupta, P.K., Singh, K.K. and Mishra, A. (2010). “Parametric Study on Behaviour of Box-Girder Bridges Using Finite Element Method”, Technical Note. Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing), 11(1), 135-148.

Hjelmstad, K.D. (1987). “Warping Effects in Transverse Bending of Thin-Walled Beams”. Journal of Engineering Mechanics, 113(6), 907-924.

Ie, C.A. and Kosmatka, J.B. (1992). “On the Analysis of Prismatic Beams Using First-Order Warping Functions”. International Journal of Solids and Structures, 29(7), 879-891.

Katsikadelis, J.T. (2002). “The Analog Equation Method. A Boundary – only Integral Equation Method for Nonlinear Static and Dynamic Problems in General Bodies”. Theoretical and Applied Mechanics, 27, 13-38.

Katsikadelis, J.T. (2002a). “Boundary Elements: Theory and Applications, Elsevier”. Amsterdam-London.

Katsikadelis, J.T. (2002b). “The Analog Equation Method. A Boundary – only Integral Equation Method for Nonlinear Static and Dynamic Problems in General Bodies”. Theoretical and Applied Mechanics, 27, 13-38.


- 45 -

Katsikadelis, J.T. and Sapountzakis, E.J. (2002). “A realistic estimation of the effective breadth of ribbed plates”. International Journal of Solids and Structures, 39, 897-910.

Koo, K.K. and Cheung, Y.K. (1989). “Mixed Variational Formulation for Thin-Walled Beams with Shear Lag”. Journal of Engineering Mechanics, 15(10), 2271-2286.

Koo, K.K. and Wu, X.S. (1992). “Shear Lag Analysis for Thin-Walled Members by Displacement Method”. Thin-Walled Structures, 13, 337-354.

Laudiero, F. and Savoia, M. (1990). “Shear Strain Effects in Flexure and Torsion of Thin-Wailed Beams with Open or Closed Cross-Section”. Thin-Walled Structures, 10, 87-119.

Le Corvec, V. and Filippou, F.C. (2011). “Enhanced 3D Fiber Beam-Column Element with Warping Displacements”. Proc. of the 3rd International Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering COMPDYN.

Luo, Q.Z. and Li, Q.S. (2000). “Shear Lag of Thin-Walled Curved Box Girder Bridges”. Journal of Engineering Mechanics, 126(10), 1111-1114.

Luo, Q.Z., Tang, J. and Li, Q.S. (2003). “Shear Lag Analysis of Beam-Columns”. Engineering Structures, 25, 1131-1138.

Lutz, E., Ye, W. and Mukherjee, S. (1998). “Elimination of Rigid Body Modes from Discretized Boundary Integral Equations”. International Journal of Solids and Structures, 35(33), 4427-4436.

Malcolm, D.J. and Redwood, R.G. (1970). “Shear lag in stiffened box-girders”. J. Struct. Div. ASCE, 96(ST7), 1403-15.

Moffatt, K.R. and Dowling, P.J. (1975). “Shear lag in steel box-girder bridges”. Struct. Engineer, 53, 439-48.

Mokos, V.G. and Sapountzakis, E.J. (2011). “Secondary Torsional Moment Deformation Effect by BEM”. International Journal of Mechanical Sciences, 53, 897-909.

Murín, J., Kutiš, V. (2008). “An effective finite element for torsion of constant cross- sections including warping with secondary torsion moment deformation effect”. Engineering Structures, 30(10), 2716-23.

Muskhelishvili, N.I. (1963). “Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity”. P. Noordhoff Ltd.

Park, S.W., Fuji, D. and Fujitani, Y. (1997). “A Finite Element Analysis of Discontinuous Thin-Walled Beams Considering Nonuniform Shear Warping Deformation”. Computers and Structures, 65(1), 17-27.

Prokić, A. (2002). “A New Finite Element for Analysis of Shear Lag”. Computers and Structures, 80, 1011-1024.


- 46 -

Razaqpur, A.G. and Li, H.G. (1991). “A Finite Element with Exact Shape Functions for Shear Lag Analysis in Multi-Cell Box Girders”. Computers and Structures, 39(1), 155-163.

Reissner, E. (1946). “Analysis of shear lag in box beams by the principle of minimum potential energy”. Q. Appl. Math., 41, 268-78.

Sapountzakis, E.J. and Dikaros, I.C (2015), “Advanced 3D beam element of arbitrary composite cross section including generalized warping effects”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, DOI: 10.1002/nme.4849

Sapountzakis, E.J. and Katsikadelis, J.T. (2000). “Analysis of plates reinforced with beams”. Computational Mechanics, 26, 66-74.

Sapountzakis, E.J. and Mokos, V.G. (2003). “Warping Shear Stresses in Nonuniform Torsion of Composite Bars by BEM”. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192, 4337-4353.

Siemens PLM Software Inc. (2008), “NX Nastran User’s Guide”.

Tahan, N., Pavlović, M.N. and Kotsovos, M.D. (1997). “Shear-Lag Revisited: The Use of Single Fourier Series for Determining the Effective Breadth in Plated Structures”. Computers and Structures, 63(4), 759-167.

Tesar, A. (1996). “Shear Lag in the Behavior of Thin-Walled Box Bridges”. Computers and Structures, 59, 607-612.

Tsipiras, V.J. and Sapountzakis, E.J. (2012). “Secondary Torsional Moment Deformation Effect in Inelastic Nonuniform Torsion of Bars of Doubly Symmetric Cross Section by BEM”. International Journal of Non-linear Mechanics, 47, 68-84.

Vieira, R.F., Virtuoso, F.B.E. and Pereira, E.B.R. (2013). “A Higher Order Thin-Walled Beam Model Including Warping and Shear Modes”. International Journal of Mechanical Sciences, 66, 67-82.

Vlasov, V. (1963), “Thin-walled elastic beams”. Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem.

Wu, Y., Lai, Y., Zhang, X. and Zhu, Y. (2004). “A Finite Beam Element for Analyzing Shear Lag and Shear Deformation Effects in Composite-Laminated Box Girders”. Computers and Structures, 82, 763-771.

Wu, Y., Liu, S., Zhu, Y. and Lai, Y. (2003). “Matrix Analysis of Shear Lag and Shear Deformation Effects in Thin-Walled Box Beams”. Journal of Engineering Mechanics, 129(8), 994-950.

Zhou, S.J. (2010). “Finite Beam Element Considering Shear-Lag Effect in Box Girder”. Journal of Engineering Mechanics, 136(9), 1115-1122.

Μητρωική Ανάλυση Φορέων Με Επιρροή Στρέβλωσης...

Documents

Transcript of Μητρωική Ανάλυση Φορέων Με Επιρροή Στρέβλωσης...