Aristotèleio Panepist mio Jessalon�kh Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n& Mhqanik¸n Upologist¸nTomèa Hlektronik  & Upologist¸nMONTELOPOIHSH &PROSOMOIWSH SUSTHMATWN

Ge¸rgio A. Robij�kh Ep�kouro Kajhght 

Jessalon�kh, Septèmbrio 2004

Perieqìmena1 EISAGWGH 11.1 Kathgor�e Montèlwn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 TÔpoi majhmatik¸n montèlwn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Efarmogè Anagn¸rish Susthm�twn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Diadikas�a Anagn¸rish Susthm�twn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Org�nwsh tou Maj mato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 MONTELA SUSTHMATWN 92.1 Poiotik  Kathgoriopo�hsh Montèlwn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Montèla Grammik¸n Susthm�twn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Montelopo�hsh ston q¸ro twn katast�sewn . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Epilog  katast�sewn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Montèla Eisìdou - Exìdou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Parametropo�hsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1 Grammik� Parametrik� Montèla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Montèla Mh-Grammik¸n Susthm�twn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Mh-Grammik� Montèla TÔpou MaÔro Kout� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.1 Prosdiorismì twn mh-grammik¸n apeikon�sewn . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.2 Kataskeu  Sunart sewn B�sh Poll¸n Metablht¸n . . . . . . . . . . . . 292.5.3 Proseggistikìthta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 MEJODOI EKTIMHSHS PARAMETRWN 333.1 Elaqistopo�hsh Sfalm�twn Prìbleyh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Mèjodo twn Elaq�stwn Tetrag¸nwn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Mh-Grammikè Mèjodoi Beltistopo�hsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 ANADROMIKOI ALGORIJMOI PROSDIORISMOU PARAMETRWN 434.1 Mèjodoi Kl�sh - Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.1 H mèjodo th kl�sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 Mèjodo sqed�ash kat� Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Anadromik  Morf  th Mejìdou twn Elaq�stwn Tetrag¸nwn . . . . . . . . . . . 54

III

IV PERIEQ�OMENA4.3 Anadromiko� Algìrijmoi Probol  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.1 Algìrijmo kl�sh me probol  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2 Anadromikì algìrijmo elaq�stwn tetrag¸nwn me probol  . . . . . . . . 605 EPILOGH DOMHS & AXIOLOGHSH MONTELOU 635.1 Sf�lmata Montelopo�hsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2 Axiolìghsh Montèlou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Epilog  Dom  Montèlou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 PRAKTIKA JEMATA ANAGNWRISHS SUSTHMATWN 756.1 Epilog  Eisìdou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Epilog  Suqnìthta Deigmatolhy�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Proepexergas�a Dedomènwn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.4 Genikè Odhg�e gia thn Montelopo�hsh Susthm�twn . . . . . . . . . . . . . . . . 817 PROSOMOIWSH 837.1 Kanonikopo�hsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Gl¸sse ProgrammatismoÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3 Arijmhtikè Mèjodoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878 EUSTAJEIA 958.1 Nìrme - Idiìthte Sunart sewn - Jetik� Orismènoi P�nake . . . . . . . . . . . . 958.2 Eust�jeia kat� Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Bibliograf�a 102

Kef�laio 1EISAGWGHApì thn pr¸th stigm  th emf�nis  tou p�nw sth gh, o �njrwpo kuriarqe�tai apì miaenag¸nia prosp�jeia kat�kthsh gn¸sewn. Or�zonta w sÔsthma k�je antike�meno   om�daantikeimènwn ti idiìthte twn opo�wn jèloume na melet soume, parathroÔme ìti k�je ti gÔrwma mpore� na onomaste� sÔsthma. 'Etsi loipìn sÔsthma e�nai èna dèntro, èna aeropl�no, miabiomhqanik  egkat�stash, h ejnik  oikonom�a mia q¸ra , akìma kai o �dio o �njrwpo .H katanìhsh twn idiot twn twn susthm�twn pou ma perib�loun e�jistai na suntele�tai me thnbo jeia kat�llhla sqediasmènwn peiram�twn, pou suqn� sthr�zontai se austhr� jemeliwmène episthmonikè arqè . An gia par�deigma ma apasqole� ti ja sumbe� an sundèsoume se seir�èna puknwt  me m�a wmik  ant�stash, h ap�nthsh mpore� na doje� pragmatopoi¸nta thn fusik sÔndesh kai parathr¸nta ta reÔmata kai ti t�sei pou anaptÔssontai se k�je stoiqe�o tousqhmatizìmenou hlektrikoÔ kukl¸mato .Dustuq¸ , h diexagwg  peiram�twn p�nw sto sÔsthma e�nai pollè forè akat�llhlh an ìqikai adÔnath. Pollo� e�nai oi lìgoi pou odhgoÔn se mia tètoia adunam�a. Perilhptik� anafèroume:• To uyhlì kìsto diexagwg  tou peir�mato . H diexagwg  dokim¸n se mia biomhqanik egkat�stash gia par�deigma mpore� na odhg sei se shmantik  posìthta proðìntwn qamhl  poiìthta , ta opo�a den mporoÔn na diatejoÔn sthn agor�.• O uyhlì bajmì epikindunìthta . H ekpa�deush twn qeirist¸n aeroskaf¸n ¸ste na an-tidroÔn swst� se epik�ndune katast�sei , den mpore� na pragmatopoihje� s' èna pragmatikìaerosk�fo .• To sÔsthma den uf�statai. W par�deigma anafèroume ton èlegqo th pthtik  sumperifor� enì upì sqed�ash aerosk�fou .Gia na xeper�soume to prìblhma th adunam�a ektèlesh peiram�twn p�nw sto pragmatikìsÔsthma, ekteloÔme ta peir�mata p�nw se isodÔname m' autì ekfr�sei pou to perigr�foun. Hdiadikas�a pou akolouje�tai gia thn dhmiourg�a twn ekfr�sewn aut¸n onom�zetai anagn¸rishsust mato (system identification) kai to apotèlesma aut  montèlo(model).1

2 KEF�ALAIO 1. EISAGWGH1.1 Kathgor�e MontèlwnTa montèla qwr�zontai sti parak�tw kathgor�e :1. Ta nohtik�.2. Ta lektik�.3. Ta fusik�.4. Ta majhmatik�.To na e�nai èna �njrwpo � kalosun�to � apotele� èna montèlo sumperifor� tou anjr¸pouautoÔ. Ma bohj�ei sto na problèyoume thn ant�dras  tou an tou zht soume mia q�rh. All� kaih ekm�jhsh th od ghsh autokin tou sthr�zetai en mèrh sthn dhmiourg�a enì montèlou gia ti odhgikè idiìthte tou autokin tou, me b�sh thn dia�sjhsh kai thn empeir�a ma . 'Ola ta parap�nwapoteloÔn qarakthristik� parade�gmata nohtik¸n montèlwn.Sta lektik� montèla, h sumperifor� tou sust mato k�tw apì di�fore sunj ke leitourg�a perigr�fetai me lèxei . Gia par�deigma, an energopoi soume to sÔsthma jèrmansh tou autokin -tou, h jermokras�a sto eswterikì tou ja auxhje�.W par�deigma fusikoÔ montèlou, anafèroume ti mikrograf�e plo�wn pou qrhsimopoioÔntaikat� thn f�sh th sqed�ash , gia thn melèth th udrodunamik  sumperifor� tou.Majhmatik�, e�nai eke�na ta montèla pou oi sqèsei pou sundèoun ti parathr�sime posìthte tou sust mato , perigr�fontai apì majhmatikè ekfr�sei . SÔmfwna me ton orismì autì, ìloi oinìmoi th fÔsh e�nai majhmatik� montèla. Gia par�deigma, o nìmo tou Ohm pou susqet�zei thnt�sh sta �kra mia wmik  ant�stash me thn èntash tou hlektrikoÔ reÔmato pou thn diarrèei,apotele� èna majhmatikì montèlo aut  .Eme� , ja asqolhjoÔme me ton prosdiorismì majhmatik¸n montèlwn.1.1.1 TÔpoi majhmatik¸n montèlwnLìgw th plhj¸ra kai th idiaiterìthta twn susthm�twn, èqoun protaje� di�fora majh-matik� montèla me qarakthristik� pou exart¸ntai apì ti idiìthte tou sust mato , kaj¸ kaiapì ta majhmatik� ergale�a pou qrhsimopoioÔntai gia thn an�ptux  tou . Diakr�noume tou parak�tw tÔpou majhmatik¸n montèlwn:• Nteterministik� - Stoqastik�. 'Ena montèlo ja onom�zetai nteterministikì, an perigr�fetaiapì mia pl rw prosdiorismènh sqèsh metaxÔ twn metablht¸n tou. Ant�jeta, ja lègetaistoqastikì, an ekfr�zetai mèsw pijanojewr�a . Ta stoqastik� majhmatik� montèla periè-qoun posìthte pou perigr�fontai qrhsimopoi¸nta stoqastikè metablhtè   stoqastikè diadikas�e . O nìmo tou Ohm pou montelopoie� mia wmik  ant�stash e�nai èna nteterminis-tikì montèlo. H montelopo�hsh ìmw th diadikas�a �r�qnw èna z�ri� bas�zetai kai s�gouraperigr�fetai apotelesmatikìtera k�nonta qr sh th jewr�a twn pijanot twn. E�nai e-pomènw èna stoqastikì montèlo. Apì ta parade�gmata pou anafèrjhkan g�netai profanè

1.1. KATHGOR�IES MONT�ELWN 3ìti to sumpèrasma pou prokÔptei apì thn melèth enì stoqastikoÔ montèlou d�netai p�ntame k�poia abebaiìthta. An r�xoume èna z�ri den gnwr�zoume ek twn protèrwn poio ja e�naito apotèlesma me k�poia sugkekrimènh akr�beia. Akrib¸ to ant�jeto isqÔei sta ntetermin-istik� montèla. Gnwr�zonta thn t�sh pou efarmìzetai sta �kra mia wmik  ant�stash , hefarmog  tou nìmou tou Ohm ja ma prosdior�sei thn èntash tou hlektrikoÔ reÔmato pouthn diarrèei, me sf�lma to opo�o ja br�sketai p�nta entì prodiagegrammènwn or�wn pouexart¸ntai apì thn anoq  th wmik  ant�stash kai thn akr�beia tou org�nou mètrhsh th t�sh .• Statik� - Dunamik�. An h sqèsh (montèlo) pou sundèei ti metablhtè enì sust mato denexart�tai apì pareljontikè timè twn metablht¸n, ja lème ìti to sÔsthma, �ra kai to montè-lo, e�nai statikì. Sthn ant�jeth per�ptwsh ja lègetai dunamikì. O nìmo tou Ohm apotele�klassikì par�deigma statikoÔ montèlou. H ejnik  oikonom�a mia q¸ra e�nai dunamikìsÔsthma, mia kai h twrin  oikonomik  kat�stash exart�tai apì ti koinonikooikonomikè paremb�sei twn prohgoÔmenwn et¸n. Sun jw , ta dunamik� sust mata-montèla perigr�-fontai apì diaforikè exis¸sei   exis¸sei diafor¸n.• SuneqoÔ - DiakritoÔ qrìnou. 'Ena dunamikì sÔsthma ja lème ìti e�nai suneqoÔ qrìnouìtan o qrìno e�nai suneq  sun�rthsh. Sust mata pou perigr�fontai apì diaforikè ex-is¸sei an koun sthn kathgor�a aut . Sthn pr�xh akìma kai suneq  megèjh deigmatolhp-toÔntai prokeimènou na apojhkeutoÔn kai sthn sunèqeia na epexergastoÔn apì upologistik�sust mata, dhmiourg¸nta me ton trìpo autì metr sei diakritoÔ qrìnou. 'Ena montèlo pouekfr�zei thn sqèsh pou sundèei ti metablhtè tou sust mato se diakritè qronikè stig-mè , onom�zetai diakritoÔ qrìnou. Ta montèla th kathgor�a aut  perigr�fontai sun jw apì exis¸sei diafor¸n.• Sugkentrwmèna - Katanemhmèna. Poll� fusik� fainìmena ìpw h met�dosh jermìthta ,h di�dosh hqhtik¸n kai hlektromagnhtik¸n kum�twn, perigr�fontai apì diaforikè exis¸-sei me merikè parag¸gou . Ta montèla th kathgor�a aut  onom�zontai katanemhmèna

(distributed) mia kai h leitourg�a tou sust mato katanèmetai kat� k�poio trìpo stonq¸ro twn metablht¸n. Ta dunamik� sust mata pou parist�nontai apì sun jei diaforikè exis¸sei   exis¸sei diafor¸n onom�zontai sugkentrwmèna (lumped).• Diakrit¸n Gegonìtwn. Up�rqoun sust mata (sun jw kataskeuasmèna apì ton �njrwpo),ìpou h leitourg�a tou kajor�zetai apì thn �fixh k�poiou gegonìto . H qronik  stigm  th �fixh den e�nai ek twn protèrwn gnwst . W par�deigma anafèroume ta sust mata parag-wg  , ìpou h leitourg�a k�poia mhqan  kajor�zetai apì thn �fixh th kat�llhlh pr¸th- Ôlh . Ta sust mata-montèla th kathgor�a aut  onom�zontai diakrit¸n gegonìtwn

(discrete event systems).

4 KEF�ALAIO 1. EISAGWGH1.2 Efarmogè Anagn¸rish Susthm�twnH poluplokìthta tou montèlou exart�tai se meg�lo bajmì apì thn efarmog  sthn opo�aprìkeitai na qrhsimopoihje�, mia kai eke�nh kajor�zei ti apait sei akr�beia tou montèlou. Sthnsunèqeia parat�jentai tupikè efarmogè th anagn¸rish susthm�twn:• Prìbleyh. H idèa e�nai ìti an katal xoume se mia polÔ kal  majhmatik  perigraf  (mon-tèlo) tou sust mato , tìte mporoÔme na to epilÔsoume gia mellontikè qronikè stigmè ,problèponta me ton trìpo autì thn apìkrish tou pragmatikoÔ sust mato se k�poio b�jo qrìnou pou onom�zetai qronikì or�zonta (time horizon). E�nai profanè ìti h apote-lesmatikìthta th prìbleyh exart�tai apì thn akr�beia tou montèlou. H poluplokìthtatou montèlou aux�nei dramatik� me thn aÔxhsh tou qronikoÔ or�zonta kai th apaitoÔmenh akr�beia sthn prìbleyh.• 'Elegqo Susthm�twn. Sto prìblhma tou elègqou, metr�me ti exìdou tou sust mato me thn bo jeia aisjht rwn kai prospajoÔme metab�llonta kat�llhla ti eisìdou , na touprosd¸soume mia prodiagegrammènh epijumht  sumperifor�. Pr¸to b ma sthn ep�teuxh enì tètoiou stìqou apotele� h exeÔresh enì apotelesmatikoÔ montèlou, pou apì thn mia meri�na perigr�fei m ikanopoihtik  akr�beia ti basikè leitourg�e tou sust mato , en¸ apì thn�llh, na e�nai arkoÔntw aplì ¸ste na epitrèpei ton eÔkolo analutikì prosdiorismì twneisìdwn elègqou.• Ekt�mhsh Katast�sewn. Up�rqoun peript¸sei sthn pr�xh ìpou ìle oi katast�sei enì sust mato den e�nai p�nta diajèsime pro mètrhsh, e�te lìgw kìstou , e�te lìgw èlleiyh axiìpisth mejìdou mètrhs  tou . Sti peript¸sei autè h Ôparxh enì montèlou tousust mato mpore� na odhg sei sthn èmmesh mètrhsh   diaforetik�, sthn ekt�mhsh twnkatast�sewn. H poiìthta th ekt�mhsh e�nai �mesh sun�rthsh th poiìthta tou montèlou.• Prosomo�wsh. E�nai h arijmhtik  ep�lush tou montèlou. Qrhsimopoie�tai se k�je prìblh-ma sqed�ash w mèso ekt�mhsh th apìdosh tou anaptussìmenou sust mato , sthn ek-pa�deush twn qeirist¸n tou sust mato , all� kai sthn upobo jhsh tou elègqou kal  leitourg�a kai sthn l yh apof�sewn.• Beltistopo�hsh. 'Ola ta majhmatik� ergale�a pou eggu¸ntai thn bèltisth leitourg�a enì sust mato sthr�zontai sthn Ôparxh enì montèlou. Epeid  h lÔsh pou prosdior�zetai e�naik�je for� bèltisth gia to majhmatikì montèlo tou sust mato , e�nai profanè ìti gia nae�nai bèltisth kai gia to pragmatikì sÔsthma ja prèpei to montèlo na to perigr�fei meshmantik  akr�beia.• Di�gnwsh Blab¸n. H kentrik  idèa th qr sh analutik¸n montèlwn sthn di�gnwsh blab¸ne�nai h ex  : Kataskeu�zoume èna montèlo ¸ste na perigr�fei to sÔsthma qwr� thn Ôparxhbl�bh , kaj¸ kai èna montèlo gia k�je m�a bl�bh pou mpore� na uposte� to sÔsthma.Sugkr�nonta ti exìdou twn montèlwn m' aut  tou pragmatikoÔ sust mato , sqhmat�zoumeis�rijma s mata sf�lmato . 'Ola ta montèla leitourgoÔn par�llhla. 'Otan to sÔsthma

1.3. DIADIKAS�IA ANAGN�WRISHS SUSTHM�ATWN 5--

-

-

-

-

-

-

?

?- + - +e1

e0

yu Pragmatikì SÔsthmaMontèlo gia qwr� bl�bhMontèlo gia bl�bh #1Sq ma 1.1: Perigraf  th diadikas�a di�gnwsh blab¸n.leitourge� qwr� bl�bh, to sf�lma pou antistoiqe� sto ant�stoiqo montèlo e�nai to mikrìterokat' apìluto tim  ap' ìla t' �lla. 'Otan ìmw emfaniste� k�poia bl�bh, tìte to montèlo th bl�bh aut  ja perigr�fei me megalÔterh akr�beia to pragmatikì ma sÔsthma (mikrìterosf�lma se sqèsh me ta upìloipa), epitugq�nonta me ton trìpo autì thn di�gnwsh th bl�bh . Sto Sq.1.1 eikon�zetai h diadikas�a.1.3 Diadikas�a Anagn¸rish Susthm�twnH diadikas�a th anagn¸rish suntele�tai se di�fore f�sei ti opo�e kai ja anafèroumexeqwrist�.Xekin�me p�nta me to antike�meno th anagn¸rish dhlad  to sÔsthma. Opoiad poteplhrofìrhsh   gn¸sh èqoume gi' autì, ja prèpei na thn l�boume sobar� upìyh se poll� apìta b mata pou ja akolouj soun kai pr¸ta ap' ìla ston kajorismì twn prodiagraf¸n. Bèbaia,sthn f�sh aut  shmantikì rìlo pa�zei kai h efarmog  gia thn opo�a proor�zetai to montèlo.H sqed�ash tou peir�mato pou akolouje�, aposkope� sthn l yh axiìpistwn kai arkoÔntw plhroforiak¸n dedomènwn, ¸ste na bohjhje� h peraitèrw diadikas�a kai na katal xoume s' ènaaxiìpisto montèlo. Oi ìpoie idiaiterìthte tou sust mato prèpei ep�sh na lhfjoÔn upìyh. Giapar�deigma, èna sÔsthma to opo�o sumperifèretai san èna qamhlodiabatì f�ltro, ja prèpei na toenergopoioÔme me qamhlè suqnìthte mia kai oi yhlìtere ja kopoÔn apì to �dio to sÔsthma.Up�rqoun di�foroi tÔpoi kai domè montèlwn. Eme� , ja prèpei na prosdior�soume k�poia, ìpoume b�sh thn gn¸sh kai thn empeir�a ma , anamènoume ikanopoihtik� apotelèsmata. Gnwr�zonta giapar�deigma ìti to sÔsthma emfan�zei sqedìn grammik  sumperifor� se mia perioq  leitourg�a , hepilog  grammik¸n dom¸n apotele� thn bèltisth k�nhsh. Oi enèrgeie autè ekteloÔntai sthn f�sh

6 KEF�ALAIO 1. EISAGWGHtou prosdiorismoÔ th dom  tou montèlou. H f�sh aut  e�nai h pio dÔskolh kai apaithtik . Ed¸lamb�nontai apof�sei sqetik� me thn di�stash tou montèlou, thn morf  kai ton trìpo sÔndesh twn uposusthm�twn. Ed¸ ep�sh epilègontai ìle oi par�metroi pou den mporoÔn na epilegoÔnautìmata, me th qr sh kat�llhlou algor�jmou.H pleioyhf�a twn montèlwn qarakthr�zontai apì èna arijmì apì paramètrou . K�poie ap'autè prosdior�zontai qeirok�nhta sthn f�sh tou prosdiorismoÔ th dom  tou montèlou. Oiperissìtere ìmw epilègontai autìmata, k�nonta qr sh kat�llhla sqediasmènou algor�jmou. Oalgìrijmo autì mpore� na e�nai off-line   on-line an�loga me thn efarmog . Oi leitourg�e autè epiteloÔntai sth f�sh th ekt�mhsh twn paramètrwn. H apìdosh tou algor�jmou exart�tai�mesa apì thn poiìthta twn dedomènwn pou par�gontai sth f�sh th sqed�ash tou peir�mato .All� kai h Ôparxh ek twn protèrwn gn¸sh pa�zei rìlo kur�w sthn arqikopo�hsh tou algor�jmou.Gia na e�nai èna montèlo qr simo, ja prèpei na èqoume empistosÔnh sta apotelèsmata pouprokÔptoun ap' autì. To ep�pedo empistosÔnh metriètai sth f�sh th axiolìghsh tou montèlou.H axiolìghsh enì montèlou sun jw epitugq�netai sugkr�nonta thn sumperifor� tou m' aut tou sust mato kai upolog�zonta thn ìpoia diafor�. K�je montèlo èqei mia perioq  axiìpisth leitourg�a . Gia par�deigma to grammikopoihmèno montèlo tou anastrefìmenou ekkremoÔ e�nai ax-iìpisto gia mikrè gwn�e ektrop  . Pio polÔploka mh-grammik� montèla isqÔoun gia megalÔtere gwn�e . Akìma kai stou nìmou th fÔsh up�rqoun perioqè axiìpisth leitourg�a . Oi nìmoitou Newton pou aforoÔn thn k�nhsh ulikoÔ shme�ou m�za m, isqÔoun me kal  akr�beia giameg�lo eÔro taqut twn. 'Omw gia taqÔthte plhs�on th taqÔthta tou fwtì , adunatoÔn naperigr�youn thn k�nhsh twn swmatid�wn. 'Oson afor� thn axiolìghsh enì montèlou, prèpei p�n-ta na èqoume upìyh ma ìti e�nai epik�nduno na qrhsimopoi soume èna montèlo ektì th perioq  axiìpisth leitourg�a sthn opo�a den èqei axiologhje�. To st�dio th axiolìghsh apotele� thnteleuta�a f�sh sth diadikas�a anagn¸rish susthm�twn. 'Ena montèlo pou ja per�sei me epituq�ath f�sh aut  kai epomènw ja plhre� ìle ti prodiagrafè leitourg�a pou èqoun teje� apì thnpr¸th f�sh, g�netai apodektì kai h diadikas�a th anagn¸rish termat�zetai. An ìmw to montèloaxiologhje� w aneparkè , tìte g�netai epanaprosdiorismì th dom  tou kai epanekt�mhsh twnparamètrwn tou mèqri thn ikanopo�hsh twn krithr�wn kai thn telik  apodoq  tou.To Sq.1.2 parousi�zei ti f�sei th diadikas�a anagn¸rish kai ti sqèsei metaxÔ tou .1.4 Org�nwsh tou Maj mato To m�jhma e�nai organwmèno kat� tètoio trìpo ¸ste na kalÔptontai ìle oi f�sei th diadikas�a anagn¸rish susthm�twn pou perigr�fhkan sthn prohgoÔmenh enìthta. Pio sug-kekrimèna:To Kef�laio 2 anafèretai sta di�fora montèla dunamik¸n susthm�twn, tìso grammik¸n ìsokai mh-grammik¸n. Ekten  suz thsh g�netai ep�sh kai gia thn parametropo�hsh twn montèlwn,th morf  dhlad  me thn opo�a emfan�zontai oi par�metroi sto montèlo.Off-line mèjodoi ekt�mhsh twn paramètrwn perigr�fontai sto Kef�laio 3. Anafèrontai mè-jodoi elaqistopo�hsh tou sf�lmato prìbleyh , kaj¸ kai h mèjodo twn elaq�stwn tetrag¸n-wn. Koinì qarakthristikì, e�nai h apa�thsh Ôparxh arqe�ou metr sewn eisìdou-exìdou.

1.4. ORG�ANWSH TOU MAJ�HMATOS 7

Ek twn protèrwn gn¸sh-

-

-

- ¾

¾

?

??

? Mh apodoq ¾Apodoq 

Kajorismì Prodiagraf¸nProsdiorismì Dom  Sqed�ash Peir�mato

Ekt�mhshParamètrwnAxiolìghshSq ma 1.2: Di�gramma dom  th diadikas�a anagn¸rish susthm�twn.

8 KEF�ALAIO 1. EISAGWGHTo Kef�laio 4 asqole�tai me anadromikoÔ algìrijmou ekt�mhsh twn paramètrwn. Oi al-gìrijmoi auto� ekteloÔntai se pragmatikì qrìno. Exait�a tou anadromikoÔ tou qarakt ra, hapa�thsh eust�jeia tou sust mato ekt�mhsh , e�nai prwtarqik  shmas�a . Basikè ènnoie kaijewr mata eust�jeia d�nontai sto Kef�laio 8.Jèmata pou �ptontai tou prosdiorismoÔ th dom  montèlou, kaj¸ kai teqnikè axiolìghsh montèlwn, perigr�fontai sto Kef�laio 5.Praktik� jèmata anagn¸rish susthm�twn antimetwp�zontai sto Kef�laio 6. Anafèrontaiprobl mata pou sqet�zontai me thn sqed�ash tou peir�mato kai thn pro-epexergas�a twn de-domènwn.Telei¸nonta , to Kef�laio 7 asqole�tai me to prìblhma th prosomo�wsh . Anafèrontaiteqnikè kanonikopo�hsh kai arijmhtik  ep�lush diaforik¸n exis¸sewn.

Kef�laio 2MONTELA SUSTHMATWNXekin¸nta me ton orismì, montèlo enì sust mato e�nai h majhmatik  perigraf  toul�qistontwn idiot twn pou kuriarqoÔn kat� thn leitourg�a tou.Kentrikì jèma tou probl mato th anagn¸rish susthm�twn apotele� h epilog  th dom  tou montèlou, h morf  tou opo�ou elègqetai sun jw apì èna arijmì apì paramètrou . Stokef�laio autì, parajètoume di�forou tÔpou montèlwn, kaj¸ kai ti basikè arqè pou tadièpoun. H diadikas�a epilog  twn paramètrwn tou montèlou prokeimènou autì na perigr�fei meikanopoihtik  akr�beia to pragmatikì sÔsthma, melet�tai se epìmena kef�laia.2.1 Poiotik  Kathgoriopo�hsh MontèlwnKoit�zonta to prìblhma apì thn praktik  tou pleur�, sumpera�nei eÔkola kane� ìti e�naitoul�qiston an¸felo na montelopoi soume èna sÔsthma   èna tm ma autoÔ to opo�o to gnwr�zoumeek twn protèrwn. Ki autì diìti h ènnoia th montelopo�hsh e�nai tautìshmh m' aut n th prosèg-gish , h opo�a me thn seir� th isoduname� me thn eisagwg  sfalm�twn sthn majhmatik  perigraf tou pragmatikoÔ sust mato . E�nai loipìn logik� anamenìmeno, opoiad pote plhrofìrhsh èqoumegia to sÔsthma na thn qrhsimopoi soume, prokeimènou na odhghjoÔme sthn epilog  enì kaloÔmontèlou.Sthn diejn  bibliograf�a èqei kajierwje� h qrhsimopo�hsh enì qrwmatikoÔ k¸dika gia thnkathgoriopo�hsh twn montèlwn an�loga me to ep�pedo plhrofìrhsh pou qrhsimopoi jhke gia toqt�simì tou. SÔmfwna me ton qrwmatikì k¸dika, ta montèla diakr�nontai se:• TÔpou ��spro kout��. E�nai h per�ptwsh twn pl rw gnwst¸n montèlwn, ìpou h kataskeu tou suntelèsthke k�nonta apokleistik  qr sh fusik  perigraf  kai ek twn protèrwnplhrofìrhsh .• TÔpou �gkr�zo kout��. Sthn kathgor�a aut  an koun ta merik¸ gnwst� montèla, me thnènnoia ìti up�rqei h fusik  perigraf  �lla ìqi se tètoio bajmì pou na epitrèpei thn pl rhgn¸sh. Kat� sunèpeia èna pl jo paramètrwn paramènei na prosdioriste� apì metr sei tou sust mato . 9

10 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWN• TÔpou �maÔro kout��. Ta montèla th kathgor�a aut  qarakthr�zontai apì thn pan-tel  èlleiyh fusik    �llou e�dou plhrofìrhsh . Sthn pragmatikìthta, h kathgor�aaut  apart�zetai apì oikogèneie montèlwn me apodedeigmène proseggistikè ikanìthte ,se arkoÔntw meg�lh perioq  leitourg�a . Shmantikì ep�sh qarakthristikì e�nai h oik-oumenikìtht� tou , to gegonì dhlad  ìti mpore� h �dia dom  na montelopoi sei (me diafore-tikè timè paramètrwn) perissìtera tou enì diaforetik� sust mata.Apì ti trei kathgor�e h pr¸th, (tÔpo �spro kout�), den sunant�tai sthn pr�xh. Apìluthgn¸sh enì sust mato den e�maste potè se jèsh na katèqoume. H anafor� ed¸ g�netai kajar� gialìgou plhrìthta . Prokeimènou na katano soume thn diafor� metaxÔ gkr�zou kai maÔrou koutioÔjewre�ste to prìblhma th montelopo�hsh mia �gnwsth sun�rthsh f(x), x ∈ [α, β]. Tadedomèna pou èqoume sthn di�jes  ma e�nai metr sei me jìrubo y(k) sta shme�a xk. Diaforetik�:

y(k) = f(xk) + η(k) (2.1.1)ìpou η(k) parist�nei to Ôyo tou jorÔbou thn stigm  k. Gia na antimetwp�soume to prìblhma japrèpei pr¸ta ap' ìla na apofas�soume mia majhmatik  perigraf  gia thn f(x). An èqoume thn�eswterik � plhrofìrhsh ìti h f(x) e�nai èna polu¸numo n-ost  t�xh , prokÔptei èna montèlotÔpou gkr�zo kout� th morf  :f(x, θ) = θ0 + θ1x + θ2x

2 + . . . + θνxν (2.1.2)Sthn (2.1.2) to di�nusma twn paramètrwn θ = [θ0, θ1, . . . , θν ] e�nai �gnwsto kai prèpei na prosdior-iste� me teqnikè pou ja melet soume se epìmena kef�laia. H dom  ìmw tou montèlou (polu¸numon-ost  t�xh ) e�nai gnwst . A upojèsoume t¸ra ìti den èqoume �domik � plhrofor�a gia thn

f(x). Gia na mporèsoume na lÔsoume to prìblhma, ja prèpei katarq n na k�noume k�poie upojè-sei , ìpw gia par�deigma ìti h f(x) e�nai analutik  sun�rthsh   ìti e�nai tmhmatik� stajer . H(2.1.2) mpore� kai p�li na qrhsimopoihje� all� t¸ra san èna montèlo tÔpou maÔro kout� w ex  :Upojètonta ìti h f(x) e�nai analutik  gnwr�zoume ìti mpore� na proseggiste� osod pote kal�jèloume apì èna polu¸numo (�ra h morf  (2.1.2) ). Sthn per�ptwsh aut , h t�xh tou poluwnÔmouden e�nai gnwst  ek twn protèrwn kai sunep¸ ektì tou dianÔsmato twn paramètrwn θ ja prèpeina broÔme kai kat�llhlh teqnik  gia ton prosdiorismì th t�xh .Na shmeiwje� ìti up�rqoun kai �lle oikogèneie montèlwn pou ja mporoÔsan na qrhsimopoi-hjoÔn gia thn tÔpou maÔro kout� montelopo�hsh th f(x). Endeiktik� anafèroume ti rhtè sunart sei :f(x, θ) =

θ0 + θ1x + θ2x2 + . . . + θνx

ν

θν+1 + θν+2x + θν+3x2 + . . . + θν+µxµ(2.1.3)kai to an�ptugma se seir� Fourier:

f(x, θ) = θ0 +ν

∑

i=1

[θ2i−1 cos(iπx) + θ2i sin(iπx)] (2.1.4)Sunoy�zonta , ta basik� b mata gia thn montelopo�hsh kat� maÔro kout� e�nai:

2.2. MONT�ELA GRAMMIK�WN SUSTHM�ATWN 111. Epilog  th oikogèneia montèlwn (sto prohgoÔmeno par�deigma poluwnumikè sunart sei ,rhtè sunart sei , seir� Fourier).2. Prosdiorismì tou megèjou tou montèlou (t�xh poluwnÔmou sto prohgoÔmeno par�deigma).3. Qr sh twn dedomènwn gia thn eÔresh twn paramètrwn θ tou montèlou.Apì thn suz thsh pou prohg jhke, fa�netai xek�jara h ax�a th �eswterik  � plhrofìrhsh .Sthn montelopo�hsh kat� maÔro kout�, ta b mata 1, 2 den up�rqoun kai to b ma 3 qrhsimopoie�taigia thn eÔresh mìno twn paramètrwn θ, mei¸nonta me ton trìpo autì shmantik� thn poluplokìth-ta th diadikas�a , aux�nonta tautìqrona thn pijanìthta na odhghjoÔme se kalÔtero montèlogia to pragmatikì sÔsthma.2.2 Montèla Grammik¸n Susthm�twn2.2.1 Montelopo�hsh ston q¸ro twn katast�sewnK�je grammikì qronik� amet�blhto (GQA) sÔsthma, mpore� na perigrafe� apì èna sÔnolodiaforik¸n exis¸sewn th morf  :x(t) = Ax(t) + Bu, x(t0) = x0

y = Cx(t) + Du (2.2.1)ìpou:t e�nai o qrìno ,x(t) e�nai to n-di�stato pragmatikì di�nusma twn katast�sewn tou sust mato ,u(t) e�nai to m-di�stato pragmatikì di�nusma twn eisìdwn tou sust mato ,y(t) e�nai to p-di�stato pragmatikì di�nusma twn exìdwn tou sust mato ,x(t0) e�nai to n-di�stato pragmatikì di�nusma twn arqik¸n tim¸n tou x(t), me t ≥ 0.Epiplèon, oi p�nake A ∈ ℜn×n, B ∈ ℜn×m, C ∈ ℜp×n, D ∈ ℜp×n, e�nai pragmatiko� p�nake pou apoteloÔntai apì qronik� amet�blhta stoiqe�a. Sthn per�ptwsh pou oi A, B, C, D perièqountoul�qiston èna qronik� metaballìmeno stoiqe�o h (2.2.1) g�netai:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u, x(t0) = x0

y = C(t)x(t) + D(t)u (2.2.2)T¸ra h (2.2.2) perigr�fei grammik� qronik� metaballìmena (GQM) sust mata, (Linear Time Vari-

ant Systems). H lÔsh th (2.2.2) e�nai:x(t) = Φ(t, t0)x(t0) +

∫ t

t0

Φ(t, τ)B(τ)u(τ)dτ

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (2.2.3)

12 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNìpou o Φ(t, t0) onom�zetai p�naka met�bash kai ikanopoie� thn ex�swsh:∂Φ(t, t0)

∂t= A(t)Φ(t, t0), Φ(t0, t0) = Ime I ton monadia�o p�naka. Sthn per�ptwsh tou GQA sust mato isqÔei:

Φ(t, t0) = Φ(t − t0) = eA(t−t0)kai h (2.2.3) g�netai:x(t) = eA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

eA(t−t0)Bu(τ)dτ

y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.2.4)O eAt mpore� na upologiste� apì ton ant�strofo metasqhmatismì Laplace tou (sI − A)−1  eAt = L−1

{

(sI − A)−1}O p�naka D sti (2.2.1), (2.2.2) taut�zetai me ton mhdenikì sti perissìtere praktikè peript¸-sei , diìti sthn pleionìthta twn fusik¸n susthm�twn den up�rqei apeuje�a monop�ti mh-mhdenikoÔkèrdou pou na sundèei ti eisìdou me ti exìdou .2.2.2 Epilog  katast�sewnSe ìti akolouje� ja asqolhjoÔme gia lìgou aplìthta me GQA sust mata mia eisìdou mia exìdou (MEME).Sust mata MEME qwr� parag¸gou th eisìdouTa sust mata th kathgor�a aut  perigr�fontai apì mia n-st  t�xh diaforik  ex�swshth morf  :

y(n) + a1y(n−1) + . . . + an−1y + any = u (2.2.5)ìpou u ∈ ℜ e�nai h e�sodo kai y ∈ ℜ h èxodo tou sust mato . An or�soume w metablhtè kat�stash :

x1 = y

x2 = y... (2.2.6)xn = y(n−1)

2.2. MONT�ELA GRAMMIK�WN SUSTHM�ATWN 13h (2.2.5) g�netai:x1 = x2

x2 = x3... (2.2.7)xn−1 = xn

xn = −anx1 − an−1x2 − . . . − a1xn + uOi (2.2.7) mporoÔn na grafoÔn se pio sumpag  morf  w :x = Ax + Bu

y = Cx (2.2.8)meA =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0... ... ... ...0 0 0 . . . 1

−an −an−1 −an−2 . . . −a1

, B =

00...01

C =(

1 0 0 . . . 0)

, x =

x1

x2...xn

Sust mata MEME me parag¸gou th eisìdouTa sust mata th kathgor�a aut  perigr�fontai apì mia n-st  t�xh diaforik  ex�swshth morf  :y(n) + a1y

(n−1) + . . . + an−1y + any = b0u(n) + b1u

(n−1) + . . . + bn−1u + bnu (2.2.9)ìpou p�li u ∈ ℜ sumbol�zei thn e�sodo kai me y ∈ ℜ thn èxodo tou sust mato .An jewr soume w metablhtè kat�stash ti (2.2.6) prokÔptei:x1 = x2

x2 = x3... (2.2.10)xn−1 = xn

xn = −anx1 − an−1x2 − . . . − a1xn + b0u(n) + b1u

(n−1) + . . . + bnu

14 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNTo (2.2.10) ìmw den mpore� na ulopoihje� diìti apaite� thn gn¸sh mellontik¸n eisìdwn pou sepollè efarmogè den e�maste se jèsh na gnwr�zoume. Prokeimènou na xeper�soume to prìblhma,or�zoume w metablhtè kat�stash ti parak�tw:x1 = y − β0u

x2 = y − β0u − β1u = x1 − β1u... (2.2.11)xn = y(n−1) − β0u

(n−1) − β1u(n−2) − . . . − βn−2u − βn−1u = xn−1 − βn−1uìpou:

β0 = b0

β1 = b1 − a1β0

β2 = b2 − a1β1 − a2β0

β3 = b3 − a1β2 − a2β1 − a3β0... (2.2.12)βn = bn − a1βn−1 − . . . − an−1β1 − anβ0Me thn parap�nw epilog , h (2.2.9) gr�fetai:x1 = x2 + β1u

x2 = x3 + β2u... (2.2.13)xn−1 = xn + βn−1u

xn = −anx1 − an−1x2 − . . . − a1xn + βnu  se morf  p�naka:x = Ax + Bu

y = Cx + Du (2.2.14)ìpou:A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0... ... ... ...0 0 0 . . . 1

−an −an−1 −an−2 . . . −a1

, B =

β1

β2...βn−1

βn

C =(

1 0 0 . . . 0)

, D = [β0] = [b0]

2.2. MONT�ELA GRAMMIK�WN SUSTHM�ATWN 15Sthn genik  per�ptwsh ìpou emfan�zetai mèqri kai h m 6= n t�xh par�gwgo th eisìdou, h(2.2.9) g�netai:y(n) + a1y

(n−1) + . . . + an−1y + any = b0u(m) + b1u

(m−1) + . . . + bm−1u + bmu (2.2.15)T¸ra, oi metablhtè kat�stash or�zontai w ex  :x1 = y

x2 = y... (2.2.16)xn−m = y(n−m−1)

xn−m+1 = xn−m − β1u

xn−m+2 = xn−m+1 − β2u...xn = xn−1 − βmuH (2.2.15) gr�fetai:

x1 = x2

x2 = x3...xn−m−1 = xn−m

xn−m = xn−m+1 + β1u (2.2.17)xn−m+1 = xn−m+2 + β2u...

xn−1 = xn + βmu

xn = −anx1 − an−1x2 − . . . − a1xn + βm+1uìpou:β1 = b0

β2 = b1 − a1β1

β3 = b2 − a1β2 − a2β1...βm+1 = bm − a1βm − a2βm−1 − . . . − amβ1

16 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNOi exis¸sei kat�stash (2.2.17) gr�fontai se morf  p�naka:x =

0 1 0 . . . 0 0 . . . 00 0 1 . . . 0 0 . . . 0... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 . . . 1 0 . . . 00 0 0 . . . 0 1 . . . 0... ... ... ... ... ...0 0 0 . . . 0 0 . . . 1

−an −an−1 −an−2 . . . −an−m −an−m+1 . . . an

x1

x2...xn−m

xn−m+1...xn−1

xn

+

00...0β1...βm

βm+1

u

(2.2.18)y =

(

1 0 . . . 0)

x1

x2...xn

Par�deigma 2.2.1 Jewre�ste to hlektrikì sÔsthma pou dhmiourge�tai (de Sq. 3.1) apì thnen seir� sÔndesh mia wmik  ant�stash R, enì phn�ou autepagwg  L kai enì puknwt qwrhtikìthta C. Jèloume na grafoÔn oi exis¸sei kat�stash .R L

C s V

i

Sq ma 2.1: To RLC kÔklwma seir� .'Estw v h t�sh sta �kra th sundesmolog�a kai i to reÔma pou diarrèei to kÔklwma. O nìmo twn t�sewn ma d�nei:v = Ri +

di

dt+

1

C

∫

idtParagwg�zonta w pro ton qrìno thn parap�nw ex�swsh br�skoume:dv

dt= R

di

dt+ L

d2i

dt2+

1

CiOr�zoume

u = v

y = i

2.2. MONT�ELA GRAMMIK�WN SUSTHM�ATWN 17Tìteu = Ly + Ry +

1

Cy

1

Lu = y +

R

Ly +

1

LCy

b0u = y + a1y + a2yH parap�nw diaforik  exliswsh e�nai sthn morf  (2.2.16) me n = 2, m = 1. Or�zoume ti katast�sei :x1 = y

x2 = x1 − β1u

β1 = b0'Arax1 = y

x2 = x1 − b0uEpiplèon,x2 = x1 − b0u

= y − b0u

= −a1y − a2y

= −a1x1 − a2y

= −a1(x2 + b0u) − a2x1

= −a2x1 − a1x2 − a1b0uOi exis¸sei kat�stash se morf  p�naka gr�fontai:(

x1

x2

)

=

(

0 1−a2 −a1

) (

x1

x2

)

+

(

β0

−a1β0

)

u

y =(

1 0)

(

x1

x2

)2.2.3 Montèla Eisìdou - Exìdou'Ena montèlo eisìdou-exìdou gia GQA sust mata pou qrhsimopoie�tai polÔ suqn� sthn pr�xh,e�nai h sun�rthsh metafor� . Jewre�ste èna GQA sÔsthma th morf  :y(n) + a1y

(n−1) + . . . + an−1y + any = b0u(m) + b1u

(m−1) + . . . + bm−1u + bmu (2.2.19)

18 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNPa�rnonta ton metasqhmatismì Laplace kai twn dÔo mer¸n th (2.2.19) upojètonta mhdenikè arqikè sunj ke , prokÔptei:(sn + a1s

n−1 + . . . + an−1s + an)Y (s) = (b0sm + b1s

m−1 + . . . + bm−1s + bm)U(s) (2.2.20)ìpou s h metablht  tou Laplace. H sun�rthsh metafor� or�zetai w to phl�ko:G(s) =

Y (s)

U(s)=

b0sm + b1s

m−1 + . . . + bm−1s + bm

sn + a1sn−1 + . . . + an−1s + an(2.2.21)O ant�strofo metasqhmatismì Laplace th G(s) e�nai gnwstì kai w h kroustik  apìkrishtou (2.2.19). Diaforetik�:

g(t) = L−1{G(s)}y(t) = g(t) ∗ u(t)ìpou to sÔmbolo �∗� sumbol�zei thn sunèlixh. 'Otan u = δ(t) ìpou δ(t) h sun�rthsh dèlta tou

Dirac:δ(t) =

{

1, t = 00, diaforetik�tìte

y(t) = g(t) ∗ δ(t)

= g(t)Mia sun�rthsh metafor� ja lègetai kanonik  (proper), an G(∞) = lims→∞ G(s) e�nai peperas-mèno. Parathr¸nta thn (2.2.20) diapist¸noume ìti autì isqÔei ìtan n ≥ m. Mia sun�rthshmetafor� ja onom�zetai austhr� kanonik , (strictly proper), an G(∞) = 0 (to opo�o isqÔeiìtan n > m, kai stajeroÔ or�ou, ìtan n = m. Sthn teleuta�a per�ptwsh lims→∞ G(s) = b0.To polu¸numo pou emfan�zetai ston paranomast  th sun�rthsh metafor� onom�zetaiqarakthristikì polu¸numo kai h ex�sws  tou me to mhdèn, sn + a1sn−1 + . . . + an−1s + an = 0,qarakthristik  ex�swsh. Sqetikì bajmì , n⋆ th G(s), or�zetai w h diafor� metaxÔ tou bajmoÔtou arijmht  kai tou bajmoÔ tou paranomast . M' �lla lìgia n⋆ = n − m.H sun�rthsh metafor� enì GQA sust mato mpore� na prosdioriste� kai apì ti exis¸sei kat�stash . Jewre�ste to sÔsthma:

x = Ax + Bu

y = Cx + Du (2.2.22)Pa�rnonta ton metasqhmatismì Laplace sthn (2.2.21) prokÔptei:sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s) (2.2.23)

Y (s) = CX(s) + DU(s) (2.2.24)

2.2. MONT�ELA GRAMMIK�WN SUSTHM�ATWN 19ìpou x(0) oi arqikè sunj ke tou x. LÔnonta thn (2.2.23) w pro X(s) kai antikajist¸nta sthn (2.2.24) br�skoume:Y (s) =

[

C(sI − A)−1B + D]

U(s) + C(sI − A)−1x(0) (2.2.25)Jètonta mhdenikè arqikè sunj ke x(0) = 0 prokÔptei:G(s) =

Y (s)

U(s)= C(sI − A)−1B + D (2.2.26)Sthn per�ptwsh pou èqoume pollè eisìdou kai pollè exìdou , h (2.2.26) onom�zetai p�naka metafor� . Epeid 

(sI − A)−1 =adj(sI − A)

det(sI − A)(2.2.27)ìpou o p�naka adj(Q), Q ∈ ℜn×n èqei stoiqe�a qij pou d�nontai apì thn ex�swsh:

qij = (−1)i+jdet(Qij), i, j = 1, 2, . . . , nme Qij ∈ ℜ(n−1)×(n−1) o upop�naka tou Q pou prokÔptei an diagr�youme thn i-st lh kai thnj-gramm  tou Q kai det(Q) h or�zousa tou p�naka Q. Apì ti (2.2.26) kai (2.2.27) e�nai profanè ìti to qarakthristikì polu¸numo isoÔtai me det(sI − A).Mia enallaktik  prosèggish sthn anapar�stash th diaforik  ex�swsh (2.2.19) prokÔpteik�nonta qr sh tou diaforikoÔ telest  q(.) pou or�zetai w ex  :

q(.) =d(.)

dt(2.2.28)O diaforikì telest  èqei ti parak�tw idiìthte :

• q(x) = x

• q(xy) = xy + xyìpou x, y diafor�sime sunart sei tou qrìnou. O ant�strofo diaforikì telest  q−1 or�zetaiw :q−1(x) =

1

q(x) =

∫ t

0x(τ)dτ + x(0), ∀t ≥ 0ìpou x(τ) mia oloklhr¸simh sun�rthsh tou qrìnou. Apì ton orismì tou e�nai profan  hsusqètish me ton telest  tou Laplace s,

L{q(x)}|x(0)=0 = sX(s)

L{1

q(x)}|x(0)=0 =

1

sX(s)K�nonta qr sh tou diaforikoÔ telest  h (2.2.19) gr�fetai:

P (q)(y) = R(q)(u) (2.2.29)

20 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNìpou:P (q) = qn + a1q

n−1 + . . . + an−1q + an

R(q) = b0qm + b1q

m−1 + . . . + bm−1q + bmOi P (q), R(q) sthn (2.2.29) onom�zontai poluwnumiko� diaforiko� telestè . H ex�swsh (2.2.29)èqei thn �dia morf  me thn (2.2.20) pou prokÔptei apì thn (2.2.19) pa�rnonta metasqhmatismìLaplace kai jewr¸nta mhdenikè arqikè sunj ke . Sunep¸ , gia mhdenikè arqikè sunj ke ,mporoÔme na odhghjoÔme apì thn anapar�stash (2.2.20) sthn (2.2.29) kai antistrìfw , apl�antikajist¸nta ton telest  s me ton q   ton q me ton s an�loga.Par�deigma 2.2.2 Suneq�zonta to Par�deigma 2.2.1, jèloume na prosdior�soume thnsun�rthsh metafor� tou hlektrikoÔ kukl¸mato .H sun�rthsh metafor� mpore� na upologiste� ap' euje�a apì thn diaforik  ex�swsh tou sust -mato

y + a1y + a2y = b0uPa�rnonta ton metasqhmatismì Laplace gia mhdenikè arqikè sunj ke èqoume:s2Y (s) + a1sY (s) + a2Y (s) = b0sU(s)ìpou U(s), Y (s) oi metasqhmatismo� Laplace th eisìdou u kai th exìdou y ant�stoiqa. Epomèn-w ,

G(s) =Y (s)

U(s)=

b0s

s2 + a1s + a2Enallaktik�, h sun�rthsh metafor� prosdior�zetai kai apì ti exis¸sei kat�stash se morf p�naka, k�nonta qr sh tou tÔpou:G(s) = C(sI − A)−1B 

G(s) =(

1 0)

(

s −1a2 s + a1

)−1 (

b0

−a1b0

)

=(

1 0) 1

s2 + a1s + a2

(

s + a1 1−a2 s

)−1 (

b0

−a1b0

)

=b0s

s2 + a1s + a22.3 Parametropo�hsh'Opw e�dame sti prohgoÔmene enìthte , èna GQA sÔsthma mpore� na montelopoihje� stonq¸ro twn katast�sewn apì ti exis¸sei :x = Ax + Bu

y = Cx (2.3.1)

2.3. PARAMETROPO�IHSH 21Sti (2.3.1) jewroÔme gia aplìthta thn per�ptwsh ìpou y, u ∈ ℜ, en¸ x ∈ ℜn. Kat' epèktash,A ∈ ℜn×n, B, C ∈ ℜn. K�je tètoio sÔsthma parist�netai monadik� apì thn tri�da (A, B, C), pouapotele�tai sunolik� apì n2 +2n stoiqe�a, ta opo�a anafèrontai kai w par�metroi tou montèlou.'Opw fa�netai xek�jara kai apì thn (2.2.18), apì to pl jo twn n2 + 2n paramètrwn, to polÔn2 èqoun tim  0   1. Sunep¸ , to el�qisto 2n par�metroi apaitoÔntai gia thn monadik  perigraf tou GQA sust mato th (2.3.1). An apì ti (2.3.1) prosdior�soume thn sun�rthsh metafor� katal goume sthn perigraf :

Y (s) =P (s)

Q(s)U(s) (2.3.2)ìpou:

P (s) = b0sm + b1s

m−1 + . . . + bm−1s + bm (2.3.3)Q(s) = sn + a1s

n−1 + . . . + an−1s + an (2.3.4)me m ≤ n − 1. Apì ti exis¸sei (2.3.2)-(2.3.4) diapist¸noume ìti to polÔ 2n par�metroi (oisuntelestè twn P (s), Q(s)) apaitoÔntai gia thn pl rh perigraf  tou (2.3.1). Sumperasmatik�,an èna GQA sÔsthma perigr�fetai me perissìterou apì 2n paramètrou , tìte h par�stash aut den ja kale�tai el�qisth. M' �lla lìgia ja lème ìti èqoume èna uper-parametropoihmèno montèlo(overparameterized model). Gia par�deigma to sÔsthma:

Y (s)

U(s)=

P (s)Λ(s)

Q(s)Λ(s)(2.3.5)ìpou Λ(s) èna eustajè polu¸numo1 bajmoÔ r > 0, parousi�zei thn �dia sumperifor� eisìdou-exìdou me to (2.3.2). 'Omw , to (2.3.5) e�nai uper-parametropoihmèno diìti perigr�fetai apì 2n +

2r > 2n paramètrou .S' ìti akolouje�, ja anafèroume mia parametropo�hsh grammik  w pro ti paramètrou , hopo�a e�nai polÔ qr simh se probl mata anagn¸rish susthm�twn, kaj¸ kai se arket� probl -mata elègqou.2.3.1 Grammik� Parametrik� MontèlaJewre�ste to GQA sÔsthma, pou perigr�fetai apì thn n-ost  t�xh diaforik  ex�swsh:y(n) + a1y

(n−1) + . . . + an−1y + any = b0u(m) + b1u

(m−1) + . . . + bm−1u + bmu (2.3.6)An sugkentr¸soume ìle ti paramètrou tou (2.3.6) s' èna di�nusma θ⋆

θ⋆ = [a1 a2 . . . an−1 an b0 b1 . . . bm−1 bm]T1'Ena polu¸numo X(s) ja lègetai eustajè , an ìle oi r�ze th ex�swsh X(s) = 0 èqoun arnhtikì pragmatikìmèro .

22 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNkai ìla ta s mata eisìdou-exìdou me ti parag¸gou tou s' èna �llo∆ =

[

−y(n−1) − y(n−2) . . . − y − y u(m) u(m−1) . . . u u]T

=[

−∆Tn−1(s)y ∆T

m(s)u]Tìpou ∆i(s) = [si si−1 . . . 1]T , mporoÔme na ekfr�soume thn (2.3.6) sthn pio sumpag  morf :

y(n) = θ⋆T ∆ (2.3.7)H ex�swsh (2.3.7) e�nai grammik  w pro to θ⋆, gegonì pou apotele� shmantikì pleonèkthma staprobl mata anagn¸rish , ìpw ja doÔme sta epìmena kef�laia.Se pollè efarmogè , ta mìna s mata pou e�nai diajèsima gia mètrhsh e�nai h e�sodo u kaih èxodo y, me apagoreutik  thn qr sh parag¸gish . Se tètoie peript¸sei , h qr sh tìso touy(n) ìso kai tou ∆ prèpei na apofeuqje�. 'Ena trìpo gia na xeper�soume to prìblhma e�nai nafiltr�roume kai ta dÔo mèrh th (2.3.7) me to n-ost  t�xh eustajè f�ltro 1

Λ(s) br�skonta :z = θ⋆T ζ (2.3.8)ìpou:

z =1

Λ(s)y(n) =

sn

Λ(s)y

ζ =

[

−∆Tn−1(s)

Λ(s)y

∆Tm(s)

Λ(s)u

]

Λ(s) = sn + λ1sn−1 + . . . + λn−1s + λnTo Λ(s) e�nai èna eustajè polu¸numo tou s. E�nai profanè ìti tìso to z ìso kai to ζ par�gontaiqwr� thn qr sh diaforist¸n, apl� filtr�ronta thn e�sodo u kai thn èxodo y me ta f�ltra si

Λ(s) .Parathre�ste ìti:Λ(s) = sn + λT ∆n−1(s), λ = [λ1 λ2 . . . λn]TSunep¸ ,

z =sn

Λ(s)y =

Λ(s) − λT ∆n−1(s)

Λ(s)y = y − λT ∆n−1(s)

Λ(s)y 

y = z +λT ∆n−1(s)

Λ(s)y (2.3.9)Apì thn (2.3.8)

z = θ⋆T ζ = θ⋆1T ζ1 + θ⋆

2T ζ2 (2.3.10)ìpou:

θ⋆1 = [a1 a2 . . . an]T , θ⋆

2 = [b0 b1 . . . bm]T

2.3. PARAMETROPO�IHSH 23ζ1 = −∆T

n−1(s)

Λ(s)y, ζ2 =

∆Tm(s)

Λ(s)uAn antikatast soume ti (2.3.10) sti (2.3.9) br�skoume:

y = θ⋆1T ζ1 + θ⋆

2T ζ2 − λT ζ1

= θTλ ζ (2.3.11)ìpou θλ = [θ⋆

1T − λT θ⋆

2T ]T .To sÔsthma (2.3.6) ìtan montelopoie�tai sÔmfwna me thn (2.3.11) e�nai uper-parametropoihmèno, diìti en¸ h (2.3.6) perigr�fetai pl rw apì n+m+1 paramètrou , h (2.3.11)apaite� 2n + m + 1, dhlad  n perissìtere .H morf  (2.3.11) onom�zetai kai grammik  opisjodrìmhsh (linear regression), en¸ to ζdi�nusma opisjodrìmhsh (regression vector),   apl� opisjodromht  (regressor).Se pollè efarmogè anagn¸rish susthm�twn, to mìno pou ma d�netai e�nai metr sei eisìdou-exìdou pou el fjhsan k�poie qronikè stigmè sto pareljìn. Epomènw an me y(t), u(t) ekfr�-zoume thn tim  th exìdou kai th eisìdou ant�stoiqa thn qronik  stigm  t, tìte me y(t−k), u(t−k)ja ekfr�zoume thn èxodo kai thn e�sodo k mon�de qrìnou sto pareljìn. H an�lush pou pro-hg jhke mpore� na qrhsimopoihje� kai ed¸ prokeimènou na montelopoi soume to sÔsthm� ma .JewroÔme loipìn thn ex�swsh diafor¸n:

y(t) + a1y(t − 1) + a2y(t − 2) + . . . + aky(t − k) = b1u(t − 1) + . . . + bmu(t − m) (2.3.12)LÔnonta w pro y(t) br�skoume:y(t) = −a1y(t − 1) − a2y(t − 2) − . . . − aky(t − k) + b1u(t − 1) + . . . + bmu(t − m) (2.3.13)Onom�zoume:

θ⋆ = [−a1 − a2 . . . − ak b1 . . . bm]T

φ = [y(t − 1) y(t − 2) . . . y(t − k) u(t − 1) . . . u(t − m)]TE�nai profanè ìti h (2.3.13) gr�fetai sthn morf  th grammik  opisjodrìmhsh :y(t) = θ⋆T φ (2.3.14)Sthn (2.3.14), to di�nusma opisjodrìmhsh e�nai pl rw gnwstì, mia kai apart�zetai apì tadedomèna eisìdou-exìdou.Par�deigma 2.3.1 Jewre�ste to GQA sÔsthma pou perigr�fetai apì thn tètarth t�xh di-aforik  ex�swsh:

y(4) + a2y(2) + a4y = b0u

(2) + b2u (2.3.15)ìpou u ∈ ℜ h e�sodo kai y ∈ ℜ h èxodo . Jèloume na parametropoi soume grammik� thn (2.3.15).Or�zonta θ⋆ = [a2 a4 b0 b2]

T

∆ = [−y(2) − y u(2) u]T

24 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNh (2.3.15) pa�rnei thn morf :y(4) = θ⋆T ∆ (2.3.16)Me dedomèno ìti ta mìna metr sima s mata e�nai h e�sodo u kai h èxodo y, h (2.3.16) den mpore�na ulopoihje�. Gia na xeper�soume to prìblhma, filtr�roume thn (2.3.16) m' èna tètarth t�xh eustajè f�ltro 1

Λ(s) ìpou:Λ(s) = (s2 + 3s + 1)(s2 + 3s + 2)

= s4 + 6s3 + 12s2 + 9s + 2katal gonta sthn grammik  parametropo�hsh:y = θT

λ ζ (2.3.17)ìpouθλ =

[

θ⋆1T − λT θ⋆

2T]T

= [−6 a2 − 12 − 9 a4 − 2 b0 0 b2]T

ζ =

[

−∆T3 (s)

Λ(s)y

∆T2 (s)

Λ(s)u

]T

=

[

− [s3 s2 s 1]

Λ(s)y

[s2 s 1]

Λ(s)u

]T

=

[

− s3

Λ(s)y − s2

Λ(s)y − s

Λ(s)y − 1

Λ(s)y

s2

Λ(s)u

s

Λ(s)u

1

Λ(s)u

]TPar�deigma 2.3.2 Jèloume na parametropoi soume grammik� to sÔsthma tou Parade�gmato 2.2.1. H diaforik  ex�swsh tou sust mato e�nai:y + a1y + a2y = b0uOr�zoume,θ⋆ = [a1 a2 b0]

T

∆ = [−y − y u]TSunep¸ ,y = θ⋆T ∆An mìno ta u, y e�nai diajèsima pro mètrhsh, h parap�nw morf  den mpore� na ulopoihje�. Toprìblhma xeperniètai filtr�ronta m' èna eustajè f�ltro deÔterh t�xh 1

Λ(s) ìpouΛ(s) = s2 + 3s + 2

2.4. MONT�ELA MH-GRAMMIK�WN SUSTHM�ATWN 25Tìtey = θT

λ ζìpouθTλ =

[

θ⋆1T − λT θ⋆

2T]T

= [a1 − 3 a2 − 2 b0 0]T

ζ =

[

−∆T1 (s)

Λ(s)y

∆T1 (s)

Λ(s)u

]T

=

[

− [s 1]T

Λ(s)y

[s 1]T

Λ(s)u

]T

=

[

− s

Λ(s)y − 1

Λ(s)y

s

Λ(s)u

1

Λ(s)u

]T2.4 Montèla Mh-Grammik¸n Susthm�twnTa mh-grammik� sust mata perigr�fontai kat� kanìna sto ped�o tou qrìnou. H pio genik dom  enì mh-grammikoÔ sust mato e�nai:x = f(x, u, θ, t) (2.4.1)y = h(x, u, θ, t)ìpou:

x ∈ ℜn e�nai to di�nusma kat�stash ,u ∈ ℜm e�nai to di�nusma twn eisìdwn,y ∈ ℜp e�nai to di�nusma twn exìdwn,θ ∈ ℜl e�nai to di�nusma twn paramètrwn tou montèlou,t ∈ ℜ+ e�nai o qrìno ,f ∈ ℜn, h ∈ ℜp e�nai pragmatikè dianusmatikè sunart sei .Parathre�ste ìti sthn dom  (2.4.1) to parametrikì di�nusma θ emfan�zetai mh-grammik� w pro ti mh-grammikìthte tou sust mato . Mia tètoia parametropo�hsh ja kale�tai mh-grammik .To montèlo (2.4.1) an kai arket� genikì sthn pr�xh sp�nia to sunant�me lìgw th duskol�a ston qeirismì tou. Gia par�deigma, mèqri s mera den up�rqoun ergale�a sqed�ash elegkt¸n giasust mata th morf  (2.4.1). Sunep¸ , h efarmog  montèlwn tìso polÔplokwn se probl mataautom�tou elègqou e�nai apagoreutik .Mia �llh arkoÔntw genik  morf  mh-grammik¸n susthm�twn e�nai ta grammik� w pro thne�sodo (affine nonlinear systems). H majhmatik  tou perigraf  e�nai:

x = f(x, t) + g(x, t)u (2.4.2)y = h(x, t)

26 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWNSthn per�ptwsh pou to mh-grammikì sÔsthma e�nai qronik� amet�blhto h (2.4.2) g�netai:x = f(x) + g(x)u (2.4.3)y = h(x)H morf  (2.4.3) ìpw kai k�je mh-grammikì sÔsthma mpore� na parametropoihje� me trei trìpou :1. Mh-grammik  parametropo�hsh,2. Grammik  parametropo�hsh,3. Meikt  parametropo�hsh.Mh-grammik  parametropo�hsh apotele� h (2.4.1). H mh-grammik� parametropoihmènh èkfrash th (2.4.3) e�nai:

x = f(x, θf ) + g(x, θg)u (2.4.4)y = h(x)'Otan oi par�metroi emfan�zontai grammik� w pro ti mh-grammikìthte tou sust mato , èqoumethn grammik  pametrikopo�hsh. H grammik� parametropoihmènh morf  tou (2.4.1) e�nai:

x = θff(x, u, t) (2.4.5)y = θhh(x, u, t)Ant�stoiqa gia thn morf  (2.4.3)

x = θff(x) + θgg(x)u (2.4.6)y = h(x)Tèlo , kat� thn meikt  parametropo�hsh, k�poie par�metroi emfan�zontai grammik�, en¸ k�poie �lle mh-grammik� w pro ti mh-grammikìthte tou sust mato . Gia plhrìthta anafèroume thnmeikt  parametropo�hsh gia ti dÔo morfè mh-grammik¸n susthm�twn (2.4.1) kai (2.4.3) ant�s-toiqa:x = θf1

f(x, u, θf2, t) (2.4.7)

y = θh1h(x, u, θh2

, t)kaix = θf1

f(x, θf2) + θg1

g(x, θg2)u (2.4.8)

y = h(x)

2.5. MH-GRAMMIK�A MONT�ELA T�UPOU MA�URO KOUT�I 272.5 Mh-Grammik� Montèla TÔpou MaÔro Kout�SÔmfwna m' aut� pou e�dame se prohgoÔmene enìthte , h montelopo�hsh grammik¸n susth-m�twn w maÔro kout� epaf�etai sthn eÔresh   gia na akribologoÔme sthn prosèggish th sun�rthsh metafor� tou sust mato . 'Oson afor� thn dom  tou montèlou, to prìblhma en-top�zetai apokleistik� sthn epilog  tou bajmoÔ twn poluwnÔmwn arijmht  kai paranomast . Meto parap�nw ennooÔme ìti den up�rqei �llh upoy fia dom  pèra apì ti rhtè h opo�a na perigr�feithn sun�rthsh metafor� .Dustuq¸ , to prìblhma den e�nai ex�sou aplì sthn per�ptwsh th kat� maÔro kout� mon-telopo�hsh mh-grammik¸n susthm�twn. O kÔrio lìgo e�nai ìti t¸ra den mporoÔme na apok-le�soume ek twn protèrwn kami� upoy fia dom , h opo�a bèbaia diajètei proseggistikè ikanìthte .Se ìti akolouje� ja parousi�soume ti basikè arqè pou dièpoun thn montelopo�hsh mh-grammik¸nsusthm�twn kat� maÔro kout�, kaj¸ kai k�poie eurèw qrhsimopoioÔmene oikogèneie mh-grammik¸n montèlwn.To prìblhma th anagn¸rish mh-grammik¸n susthm�twn perigr�fetai w ex  : Gia k�poiosÔsthma (gia to opo�o den èqoume kam�a plhrofor�a) metr�me ti eisìdou tou u(t) k�poie qronikè stigmè kai katagr�foume ti ant�stoiqe exìdou y(t). DhmiourgoÔme loipìn ta dianÔsmata:ut = [u(1) u(2) . . . u(t)]

yt = [y(1) y(2) . . . y(t)]Endiaferìmaste na broÔme thn sqèsh metaxÔ pareljontik¸n parathr sewn [ut−1, yt−1] kai mel-lontik¸n exìdwn y(t). M' �lla lìgia:y(t) = f(yt−1, ut−1) (2.5.1)To er¸thma pou ege�retai t¸ra e�nai bèbaia pw ja katafèroume na prosdior�soume thn f sthn(2.5.1). Me ton èna   ton �llo trìpo ja prèpei na thn anazht soume mèsa se k�poia oikogèneiasunart sewn. 'Ole ìmw èqoun thn idiìthta na prosegg�zoun thn f ìso kal� jèloume. Sthnpr�xh, h morf  (2.5.1) den bohj�ei sthn anaz ths  ma . Ant�jeta, suqn� gr�foume thn f w ton sugkerasmì dÔo apeikon�sewn. H pr¸th, apeikon�zei ti pareljontikè parathr sei eisìdou-exìdou tou sust mato s' èna peperasmènh di�stash di�nusma φ(t), en¸ h deÔterh, apeikon�zeito di�nusma φ(t) ston q¸ro twn exìdwn. Sunep¸ :

f(yt−1, ut−1) = f(φ(t), θ) (2.5.2)Oi par�metroi θ kajor�zoun w èna bajmì thn poiìthta th prosèggish (2.5.2), en¸ sthn genik per�ptwsh, to di�nusma φ mpore� kai autì na e�nai parametropoihmèno:φ(t) = φ(yt−1, ut−1, w) (2.5.3)ìpou se k�poie peript¸sei e�nai dunatìn w = θ. To di�nusma φ onom�zetai se antistoiq�a meta grammik� sust mata di�nusma opisjodrìmhsh (regression vector) kai ta stoiqe�a touopisjodromhtè (regressors).Apì ta parap�nw e�nai profanè ìti h epilog  th mh-grammik  f sthn (2.5.1) analÔetai sedÔo upo-probl mata:

28 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWN• Epilog  tou dianÔsmato opisjodrìmhsh φ(t),• Epilog  th mh-grammik  apeikìnhsh f(φ, θ) apì ton q¸ro twn opisjodromht¸n stonq¸ro twn exìdwn.H epilog  tou φ(t) exart�tai apì thn efarmog . Se k�je per�ptwsh ìmw ta stoiqe�a tou dene�nai t�pota �llo apì èna arijmì kajusterhmènwn eisìdwn  /kai exìdwn. Autì pou kur�w upìkeintai se diereÔnhsh e�nai to pìse kai poie kajusterhmène eisìdou  /kai exìdou japrèpei na l�boume upìyh ston sqediasmì tou φ(t). M' �lla lìgia:

φ(t) = [y(t − 1) y(t − 2) . . . y(t − n) u(t − 1) u(t − 2) . . . u(t − m)]kai to prìblhma an�getai ston prosdiorismì twn n, m.2.5.1 Prosdiorismì twn mh-grammik¸n apeikon�sewnA esti�soume t¸ra thn prosoq  ma sto prìblhma th epilog  th mh-grammik  apeikìnish f(φ, θ). Sto shme�o autì den ma apasqole� to di�nusma opisjodrìmhsh to opo�o jewroÔme ìtito èqoume pro-epilèxei.Mia polÔ logik  prosèggish e�nai na jewr soume thn parametropoihmènh oikogèneia sunart -sewn f(φ, θ) w an�ptugma sunart sewn:

f(φ, θ) =∑

k

γkgk(φ) (2.5.4)Sthn (2.5.4) oi sunart sei gk anafèrontai w sunart sei b�sh , diìti dhmiourgoÔn ton q¸rotwn sunart sewn f(φ, θ). Ta perissìtera apì ta pio gnwst� mh-grammik� montèla kat� maÔrokout� qrhsimopoioÔn sunart sei b�sh gk oi opo�e par�gontai apì mia mhtrik  sun�rthsh µ(x)me x ∈ ℜ. Tupik�, oi gk apoteloÔn klimakopoihmène kai olisjhmène ekdìsei th µ(x). Sthnapl  per�ptwsh ìpou h di�stash tou φ e�nai 1, mporoÔme na gr�youme:gk(φ) = gk(φ, αk, βk) = µ(βk(φ − αk)) (2.5.5)ìpou sthn (2.5.5) h αk onom�zetai par�metro ol�sjhsh kai h βk par�metro klimakopo�hsh .Sthn sunèqeia akoloujoÔn parade�gmata mhtrik¸n sunart sewn.Par�deigma 2.5.1 An or�soume µ(x) = cos(x) tìte oi exis¸sei (2.5.4) kai (2.5.5) ma d�noun:

f(φ, θ) =∑

k

γk cos[βk(φ − αk)]pou den e�nai t�pota �llo apì to an�ptugma th f se seir� Fourier me βk, αk na parist�nounthn suqnìthta kai thn f�sh ant�stoiqa.

2.5. MH-GRAMMIK�A MONT�ELA T�UPOU MA�URO KOUT�I 29Par�deigma 2.5.2 An or�soumeµ(x) =

{

1, 0 ≤ x ≤ 10, alloÔ (2.5.6)kai p�roume αk = k∆, βk = 1

∆ , γk = f(k∆), oi (2.5.4) kai (2.5.5) d�noun:f(φ, θ) =

∑

k

f(k∆)µ

(

1

∆(φ − k∆)

) (2.5.7)H (2.5.7) ma d�nei thn tmhmatik� stajer  prosèggish th f se diast mata eÔrou ∆. Parìmoioapotèlesma mpore� na exaqje� qrhsimopoi¸nta thn omal  èkdosh th (2.5.6) pou e�nai h Gaussian:µ(x) =

1√2π

e−x2

2 (2.5.8)Par�deigma 2.5.3 An or�soume w mhtrik  thn monadia�a bhmatik  sun�rthsh:µ(x) =

{

1, x ≥ 00, x < 0

(2.5.9)mporoÔme na odhghjoÔme sto �dio apotèlesma me to Par�deigma 2.5.2, mia kai w gnwstìn èna palmì mpore� na parastaje� w h diafor� dÔo bhmatik¸n sunart sewn. Parìmoia apotelèsmatamporoÔn na exaqjoÔn an ant� th (2.5.9) qrhsimopoihje� h omal  th èkdosh pou onom�zetaisigmoeid  sun�rthsh kai d�netai apì:µ(x) =

1

1 + e−x(2.5.10)Oi sunart sei b�sh kathgoriopoioÔntai an�loga me thn sumperifor� tou se :1. Topikè sunart sei b�sh , ìpou metab�llontai shmantik� mìno topik� sto ped�o orismoÔtou ,2. Genikè sunart sei b�sh , ìpou parathre�tai shmantik  metabol  s' ìlo ton pragmatikì�xona.Parade�gmata topik¸n sunart sewn b�sh apoteloÔn oi (2.5.8) kai (2.5.10). Ant�jeta, to an�p-tugma se seir� Fourier pou e�dame sto Par�deigma 2.5.1 e�nai qarakthristik  per�ptwsh genik  sun�rthsh b�sh .2.5.2 Kataskeu  Sunart sewn B�sh Poll¸n Metablht¸nSthn prohgoÔmenh enìthta melet same k�poie morfè sunart sewn b�sh mia metablht  .S' ìti akolouje� ja asqolhjoÔme me thn epèktash se sunart sei b�sh poll¸n metablht¸n. Hper�ptwsh emfan�zetai ìtan to di�nusma opisjodrìmhsh èqei di�stash d > 1. Ja anafèroumedÔo mejìdou :

30 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWN1. Mèjodo tou Ginomènou. SÔmfwna me thn mèjodo aut , h sun�rthsh b�sh dhmiourge�taisqhmat�zonta to ginìmeno d to pl jo mhtrik¸n sunart sewn enì or�smato . 'Orisma sek�je mhtrik  sun�rthsh apotele� kajèna apì ta d stoiqe�a tou dianÔsmato opisjodrìmhsh .Sunep¸ :gk(φ) = gk(φ, αk, βk) =

d∏

i=1

µ(

βik(φi − αi

k)) (2.5.11)Sthn (2.5.11), φi e�nai to i-stoiqe�o tou dianÔsmato opisjodrìmhsh φ kai αi

k, βik oipar�metroi ol�sjhsh kai klim�kwsh ant�stoiqa pou anafèrontai sto φi.2. Aktinik  Mèjodo . H idèa ed¸ e�nai na epitrèyoume h tim  th sun�rthsh na exart�taiapì thn apìstash tou dianÔsmato φ apì dosmèno kentrikì shme�o. Epomènw :

gk(φ) = gk(φ, αk, βk) = µ (‖φ − αk‖Bk) (2.5.12)ìpou ‖.‖Bk

dhl¸nei mia nìrma ston q¸ro tou dianÔsmato opisjodrìmhsh φ. Tupik  epilog nìrma e�nai h tetragwnik ‖φ‖2

Bk= φT Bkφ (2.5.13)me Bk na sumbol�zei ton jetik� orismèno p�naka twn suntelest¸n klim�kwsh . SthnaploÔsterh morf  o Bk e�nai èna diag¸nio p�naka .2.5.3 ProseggistikìthtaKentrikì jèma sthn filolog�a per� anaptÔgmato mia sun�rthsh me thn bo jeia sunart -sewn b�sh , apotele� to kat� pìso èna tètoio an�ptugma e�nai se jèsh na prosegg�sei osod potekal� jèloume thn f pou emfan�zetai sthn (2.5.1). To prìblhma èqei en mèrh luje� sthn diejn  bib-liograf�a. Epigrammatik� anafèroume to parak�tw apotèlesma pou perigr�fei ti proseggistikè idiìthte twn sunart sewn b�sh :Prìtash 2.5.1 Gia ìle ti epilogè mhtrik¸n sunart sewn µ(x) pou anafèrame, to an�ptugma

f(φ, θ) =

n∑

k=1

γkµ (βk(φ − αk)) (2.5.14)mpore� na prosegg�sei opoiad pote omal  sun�rthsh f , osod pote kal� jèloume, gia arkoÔntw meg�lo n.To parap�nw apotèlesma èqei xek�jara uparxiakì qarakt ra. Ma d�nei dhlad  thn plhro-for�a ìti up�rqei k�poio an�ptugma pou petuqa�nei thn prosèggish pou zht�me. Den ma d�neiìmw kam�a apolÔtw plhrofor�a gia to poia diadikas�a prèpei na akolouj soume prokeimènou nasqediaste� èna an�ptugma sunart sewn b�sh , pou na petuqa�nei k�poia sugkekrimènh apìdoshprosèggish . Gia par�deigma den up�rqei algìrijmo upologismoÔ tou n sthn (2.5.14) pou nad�nei sugkekrimènh lÔsh sto prìblhma th sqed�ash .

2.5. MH-GRAMMIK�A MONT�ELA T�UPOU MA�URO KOUT�I 31'Ena �llo shme�o pou ax�zei ton kìpo na j�xoume, sqet�zetai me to mègejo tou anaptÔg-mato sunart sei th apìdosh th prosèggish . 'Eqei apodeiqje� ìti sthn per�ptwsh aktinik¸nsunart sewn b�sh , o arijmì twn ìrwn tou anaptÔgmato pou apaitoÔntai prokeimènou na epi-teuqje� bajmì prosèggish δ, gia mia sun�rthsh toul�qiston p forè paragwg�shmh, me di�nusmaopisjodrìmhsh di�stash d, e�nai an�logo tou:n ≃ 1

δdp

, δ ≪ 1 (2.5.15)E�nai profanè apì thn (2.5.15) ìti to mègejo tou anaptÔgmato n aux�nei shmantik� me thndi�stash tou dianÔsmato opisjodrìmhsh d, kaj¸ kai me ton bajmì apìdosh th prosèggish δ. To parap�nw fainìmeno pou onom�zetai diejn¸ w kat�ra th di�stash (curse of di-

mensionality), ma lèei apl� ìti gia na petÔqoume tèleia prosèggish, qreiazìmaste an�ptugma�peirwn ìrwn.

32 KEF�ALAIO 2. MONTELA SUSTHMATWN

Kef�laio 3MEJODOI EKTIMHSHSPARAMETRWNSto prohgoÔmeno kef�laio parousi�same di�fore morfè montèlwn, tìso grammik¸n ìsokai mh-grammik¸n kai f�nhke xek�jara o shmantikì rìlo th parametropo�hsh sthn poiìthtatou montèlou, thn akr�beia dhlad  me thn opo�a perigr�fei thn sumperifor� tou pragmatikoÔsust mato , ìpw aut  apotup¸netai se pareljontikè metr sei eisìdou-exìdou. Pw ìmw ja prosdior�soume thn tim  twn paramètrwn ¸ste na beltistopoihje� h apìdosh enì montèlou;Ap�nthsh sto kr�simo autì er¸thma ja prospaj soume na d¸soume sto kef�laio autì.3.1 Elaqistopo�hsh Sfalm�twn Prìbleyh Jewre�ste ìti èqoume sthn di�jes  ma èna parametropoihmèno montèlo ìpw aut� pouparousi�sthkan sto Kef�laio 2, apoteloÔmeno apì gnwstì di�nusma opisjodrìmhsh , kaj¸ kai sunart sei b�sh . H pametrikopo�hsh ma e�nai men gnwst  (xèroume an èqoume grammik ,mh-grammik    meikt ), den gnwr�zoume ìmw ti timè twn paramètrwn. Upojèste ep�sh ìti è-qoume sullèxei èna sÔnolo (batch) dedomènwn tou sust mato , pou den e�nai t�pota �llo apìmetr sei twn eisìdwn u kai twn ant�stoiqwn exìdwn y gia di�fore qronikè stigmè :ZN = [u(1) y(1) u(2) y(2) . . . u(N) y(N)] (3.1.1)'Estw y(t) h èxodo tou pragmatikoÔ sust mato thn qronik  stigm  t kai y(t, θ) h èxodo toumontèlou ma gia k�poio di�nusma parametropo�hsh θ, thn �dia qronik  stigm . Prokeimènouna apofanjoÔme gia thn apìdosh tou montèlou ma , qreiazìmaste èna mètro poiìthta th mon-telopo�hsh . Or�zoume loipìn to sf�lma prìbleyh thn qronik  stigm  t w :

e(t, θ) = y(t) − y(t, θ) (3.1.2)Gia gnwstì ZN , to sf�lma prìbleyh mpore� na metrhje� ∀t = 1, 2, . . . , N . Parathre�ste ìti htim  twn sfalm�twn prìbleyh gia to �dio sÔnolo dedomènwn ZN , diaforopoie�tai an�loga me thntim  twn paramètrwn θ tou montèlou. 33

34 KEF�ALAIO 3. MEJODOI EKTIMHSHS PARAMETRWNEpeid  ta sf�lmata prìbleyh mporoÔn na p�roun tìso jetikè ìso kai arnhtikè timè kaiprokeimènou na èqoume èna axiìpisto mètro gia thn poiìthta tou montèlou, epilègoume mia kat�llh-la orismènh nìrma tou e ìpw parak�tw:VN (θ, ZN ) =

1

N

N∑

t=1

l(e(t, θ)) (3.1.3)ìpou h nìrma l(.) e�nai mia bajmwt  kai jetik  sun�rthsh tou e. Stìqo ma e�nai na pros-dior�soume eke�no to di�nusma θ0 pou elaqistopoie� thn (3.1.3) gia k�poio ZN . M' �lla lìgia:θ0 = θ0(ZN ) = arg min

θVN (θ, ZN ) (3.1.4)Sthn (3.1.4) o telest  arg min èqei proèljei apì ton Agglikì ìro �the minimizing argument�kai ermhneÔetai w h tim  tou or�smato pou elaqistopoie� thn sun�rthsh. To ìrisma gia to opo�og�netai lìgo , anagr�fetai k�tw apì ton telest  arg min, sthn per�ptwsh bèbaia pou h sun�rthshanagr�fetai me perissìtera tou enì or�smata. An to el�qisto pou anazhtoÔme den e�nai monadikì,o telest  arg min ja ma d¸sei to sÔnolo ìlwn twn tim¸n tou or�smato pou elaqistopoioÔnthn sun�rthsh.3.2 Mèjodo twn Elaq�stwn Tetrag¸nwnH mèjodo twn elaq�stwn tetrag¸nwn (least squares method), e�nai arket� pali� kai èqeith r�ze th ston Gauss o opo�o kai thn qrhsimopo�hse ton 18o ai¸na gia na prosdior�sei ti troqiè twn planht¸n.Efarmìzetai se grammik� parametropoihmèna montèla:

y = θT φ (3.2.1)ìpou y h èxodo , φ to di�nusma opisjodrìmhsh kai θ to di�nusma twn �gnwstwn paramètrwn. Hsun�rthsh pou prospajoÔme na elaqistopoi soume e�nai th morf  (3.1.3) me l(e) = 12e2:

V (θ, ZN ) =1

N

N∑

t=1

1

2e2(t, θ) (3.2.2)Prin parousi�soume thn mèjodo a skiagraf soume me thn bo jeia mia apl  per�ptwsh , ti dunatìthtè th .Jewre�ste to bajmwtì sÔsthma:

y = θ⋆u + η (3.2.3)ìpou u, y ∈ ℜ+. Me η sumbol�zoume exwterikè diataraqè , ton jìrubo  /kai sf�lmata mon-telopo�hsh . Gia thn e�sodo jewroÔme epiplèon ìti u ∈ L∞ sthn oikogèneia dhlad  twn omoiì-morfa fragmènwn shm�twn eisìdou. To prìblhma pou kaloÔmaste na lÔsoume èqei w exh : Me

3.2. M�EJODOS TWN ELAQ�ISTWN TETRAG�WNWN 35dedomène ti metr sei eisìdou-exìdou gia t = 1, 2, . . . , N bre�te mia �kal � ekt�mhsh θ tou θ⋆.Me dedomèno ìti u ∈ ℜ+, mia lÔsh sto prìblhm� ma ja  tan:θ(t) =

y(t)

u(t)=

θ⋆u(t) + η(t)

u(t)= θ⋆ +

η(t)

u(t), t = 1, 2, . . . , NExait�a ìmw tou η, h ekt�mhs  ma θ(t) mpore� na apèqei polÔ apì to θ⋆. Pio logik  prosèggishe�nai na broÔme to θ(t) pou elaqistopoie� to sunolikì sf�lma prìbleyh gia t = 1, 2, . . . , N . M'�lla lìgia na broÔme to θ0 pou

θ0 = arg minθ

1

N

N∑

t=1

e2

2JewroÔme ìti to montèlo ma e�nai sthn morf :y(t) = θu(t)Apì ton orismì tou sf�lmato prìbleyh prokÔptei:

θ0 = arg minθ

1

N

N∑

t=1

(y(t) − θu(t))2

2Epeid  h sun�rthshVN (θ) =

1

N

N∑

t=1

(y(t) − θu(t))2

2e�nai kurt  w pro θ ∀t, èqei èna kai mìno el�qisto to θ0 to opo�o kai ikanopoie� thn sqèsh:∂VN (θ)

∂θ|θ=θ0

= 0 1

N

N∑

t=1

[(y(t) − θ0u(t))(−u(t))] = 0 1

N

N∑

t=1

θ0u2(t) − 1

N

N∑

t=1

y(t)u(t) = 0Ap' ìpou epeid  u ∈ ℜ+ prokÔptei:θ0 =

∑Nt=1 y(t)u(t)

∑Nt=1 u2(t)

36 KEF�ALAIO 3. MEJODOI EKTIMHSHS PARAMETRWNAut  e�nai h prìbleyh th mejìdou twn elaq�stwn tetrag¸nwn. Jewre�ste t¸ra thn per�ptwshu(t) = 1, t = 1, 2, . . . , N kai o jìrubo η(t) na èqei mèsh tim  mhdèn. Tìte:

θ0 =1

N

N∑

t=1

y(t)

=1

N

N∑

t=1

(θ⋆ + η(t))

= θ⋆ +1

N

N∑

t=1

η(t)To �jroisma 1N

∑Nt=1 η(t) e�nai h mèsh tim  tou jorÔbou, thn opo�a upojèsame �sh me mhdèn.Sunep¸ ,

θ0 = θ⋆Sthn eidik  aut  per�ptwsh, h ektim¸menh par�metro θ ja tautiste� me thn pragmatik  θ⋆,anex�rthta apì thn parous�a jorÔbou sti metr sei ma .A epistrèyoume t¸ra sthn genikìterh per�ptwsh tou grammik� parametropoihmènou montèlouth (2.3.1), ìpou θ èna di�nusma di�stash d. To sf�lma prìbleyh g�netai:e = y(t) − θT φ(t)Sunep¸ , to krit rio elaqistopo�hsh pa�rnei thn morf :

VN (θ) =1

N

N∑

t=1

[y(t) − θT φ(t)]2

2

=1

N

N∑

t=1

y2(t) +1

N

N∑

t=1

θT φ(t)φ(t)T θ

2− 1

N

N∑

t=1

θT φ(t)y(t)H VN (θ) elaqistopoie�tai ìtan:∂VN (θ)

∂θ|θ=θ0

= 0

(

1

N

N∑

t=1

φ(t)φT (t)

)

θ0 =1

N

N∑

t=1

φ(t)y(t) (3.2.4)An o p�naka 1N

∑Nt=1 φ(t)φT (t) èqei ant�strofo, h (3.2.4) ma d�nei to di�nusma θ0 pou e-laqistopoie� thn VN (θ). Pio sugkekrimèna:

θ0 =

(

1

N

N∑

t=1

φ(t)φT (t)

)−1 (

1

N

N∑

t=1

φ(t)y(t)

) (3.2.5)

3.2. M�EJODOS TWN ELAQ�ISTWN TETRAG�WNWN 37Sthn pr�xh epijumoÔme thn apofug  th antistrof  pin�kwn gia lìgou upologistik  polu-plokìthta , all� kai giat� èna p�naka mpore� na mhn e�nai antistrèyimo , all� parataÔta tosÔsthma (3.2.4) na èqei lÔsh. H eÔresh tou θ0 bas�zetai loipìn sthn ep�lush th (3.2.4) pouonom�zetai kanonik  ex�swsh. Parathr¸nta thn (3.2.4) sumpera�noume ìti gia na èqei lÔshh kanonik  ex�swsh ja prèpei d ≤ N . To pl jo dhlad  twn metr sewn ja prèpei na e�naitoul�qiston �so me to pl jo twn paramètrwn.Gewmetrik  ermhne�a th mejìdou twn elaq�stwn tetrag¸nwnJewre�ste èna d-di�stato di�nusma opisjodromht¸n φ:φ = [φ1 φ2 . . . φd]kaj¸ kai N to pl jo metr sei tou sust matì ma . O par�gonta y gr�fetai:

y =d

∑

i=1

θTi φi(t) = θ1[φ1] + θ2[φ2] + . . . + θd[φd], t = 1, 2, . . . , N (3.2.6)ìpou ta [φi], i = 1, 2, . . . , d e�nai N-di�stata dianÔsmata st le . M' �lla lìgia to di�nusma

y e�nai o grammikì sunduasmì twn dianusm�twn b�sh {φ1 φ2 . . . φd} ston N-di�stato q¸ro.Gia na prosegg�zei to y to pragmatikì di�nusma y kat� thn ènnoia th mejìdou twn elaq�stwntetrag¸nwn, ja prèpei to y na apotele� thn orjog¸nia probol  tou y ston q¸ro pou dhmiourge�taiapì ta {φ1 φ2 . . . φd}.Gia na g�nei kalÔtera katanoht  h parap�nw gewmetrik  ermhne�a, jewre�ste thn eidik per�ptwsh ìpou d = 2 kai N = 3. Tìte h (3.2.6) gr�fetai:y =

3∑

i=1

θTi φi(t) = θ1[φ1] + θ2[φ2], t = 1, 2, 3ìpw fa�netai kai sto Sq. 3.1, to y ja an kei p�nta p�nw sto ep�pedo pou or�zoun ta {φ1 φ2}.Sunep¸ , gia na èqei to di�nusma prìbleyh y = e − y el�qisto m ko , ja prèpei to e na e�naik�jeto sto ep�pedo twn {φ1 φ2}, �ra kai sto y. Epomènw , to y e�nai h orjog¸nia probol  tou

y sto ep�pedo twn {φ1 φ2}. To parap�nw sumpèrasma apotele� thn arq  th orjogwniìthta .Qrhsimopoi¸nta thn arq  th orjogwniìthta gr�foume:φT

1 (y − y) = 0 ⇒ φT1

(

y − φT (t)θ)

= 0 (3.2.7)φT

2 (y − y) = 0 ⇒ φT2

(

y − φT (t)θ)

= 0 (3.2.8)Oi (3.2.7) kai (3.2.8) sunoy�zontai sthn(

3∑

t=1

φ(t)φT (t)

)

θ =

3∑

t=1

φ(t)y(t) (3.2.9)Parathre�ste ìti h (3.2.9) e�nai h kanonik  ex�swsh (3.2.4) gia N = 3.

38 KEF�ALAIO 3. MEJODOI EKTIMHSHS PARAMETRWN*

Oy e

φ1

φ2

y

Sq ma 3.1: Gewmetrik  ermhne�a th mejìdou twn elaq�stwn tetrag¸nwn.Mèjodo twn elaq�stwn tetrag¸nwn & mh-grammik� parametropoihmèna montèlaH mèjodo twn elaq�stwn tetrag¸nwn efarmìzetai se grammik� parametropoihmèna mon-tèla gia ton prosdiorismì twn �gnwstwn paramètrwn. Se pollè peript¸sei , h grammik parametropo�hsh e�nai anèfikth. ParataÔta, h mèjodo twn elaq�stwn tetrag¸nwn mpore� naefarmoste�. Kleid� sthn epituq�a tou anwtèrw egqeir mato , apotele� h Ôparxh kat�llhloumetasqhmatismoÔ sti metablhtè eisìdou-exìdou tou montèlou, pou na to kajist� grammik�parametropoihmèno. Ta mh-grammik� w pro ti paramètrou montèla pou mporoÔn na gram-mikopoihjoÔn mèsw metasqhmatismoÔ, ja onom�zontai emmèsw grammik�. Qarakthristikìpar�deigma apotele� h efarmog  th mejìdou twn elaq�stwn tetrag¸nwn sto montèlo:y = θ1e

−θ2x, θ1, θ2 > 0 (3.2.10)me x ∈ ℜ na ekfr�zei thn e�sodo kai y ∈ ℜ thn èxodo. To (3.2.10) e�nai mh-grammikì w pro thnpar�metro θ2. E�nai ìmw kai emmèsw grammikì. Pr�gmati, logarijm�zonta kai ta dÔo mèrh th (3.2.10) prokÔptei:ln y = ln θ1 − θ2x (3.2.11)Onom�zonta

z = ln yh (3.2.11) g�netai:z =

[

ln θ1 −θ2

]

[

1x

] (3.2.12) z = θT u (3.2.13)

3.2. M�EJODOS TWN ELAQ�ISTWN TETRAG�WNWN 39ìpouθ = [ln θ1 − θ2]

T

u = [1 x]T'Omw , h (3.2.13) ekfr�zei èna grammik� parametropoihmèno montèlo me θ to nèo parametrikìdi�nusma kai u to nèo di�nusma eisìdou.Parathre�ste ìti to nèo di�nusma eisìdou prokÔptei �mesa apì to arqikì (x). Epiplèon,gnwr�zonta to theta odhgoÔmaste mèsw 1 pro 1 apeikìnish sto pragmatikì [θ1 θ2].Par�deigma 3.2.1 Efarmìste th mèjodo twn elaq�stwn tetrag¸nwn sto montèlo:y =

1

1 + θ1xθ2

1 eθ3x2

(3.2.14)ìpou to y ekfr�zei thn èxodo, ta x1, x2 ti eisìdou kai ta θ1, θ2, θ3 ti �gnwste (mh-grammik�emfanizìmene ) paramètrou .LÔshAntistrèfonta thn (3.2.14) br�skoume:1

y= 1 + θ1x

θ2

1 eθ3x2 (3.2.15)ap' ìpou1

y− 1 = θ1x

θ2

1 eθ3x2 (3.2.16)Logarijm�zonta thn (3.2.16) prokÔptei:ln

(

1

y− 1

)

= ln θ1 + θ2 lnx1 + θ3x2 (3.2.17)Onom�zonta z = ln

(

1

y− 1

)

θ = [ln θ1 θ2 θ3]T

u = [1 lnx1 x2]Th (3.2.17) gr�fetai:

z = θT u (3.2.18)To montèlo (3.2.18) e�nai grammik� parametropoihmèno kai h efarmog  th mejìdou twn elaq�stwntetrag¸nwn profan  .Parathre�ste ìti ta z, u dhmiourgoÔntai �mesa metr¸nta ta y kai x1, x2 ant�stoiqa. Epiplèon,èqonta prosdior�sei to di�nusma θ èqoume kat' ous�a prosdior�sei kai to [θ1 θ2 θ3], pou e�naikai to zhtoÔmeno.

40 KEF�ALAIO 3. MEJODOI EKTIMHSHS PARAMETRWNDustuq¸ , ìla ta mh-grammik� parametropoihmèna montèla den e�nai kai emmèsw grammik�. W par�deigma anafèroume to montèlo:y = θ1 + θ2x

θ3 + θ4xθ5Tètoie peript¸sei antimetwp�zontai k�nonta qr sh mh-grammik¸n teqnik¸n beltistopo�hsh ,k�poie apì ti opo�e anafèrontai perilhptik� sthn Enìthta 3.3. Gia perissìtere plhrofor�e anatrèxte sti shmei¸sei tou maj mato Teqnikè Beltistopo�hsh .3.3 Mh-Grammikè Mèjodoi Beltistopo�hsh Sthn prohgoÔmenh enìthta melet same thn mèjodo twn elaq�stwn tetrag¸nwn, h opo�a e-farmìzetai me epituq�a sthn per�ptwsh grammik� parametropoihmènwn montèlwn, me sun�rthshbeltistopo�hsh VN (θ, ZN ) tetragwnik  morf  . Sthn genik  per�ptwsh, h elaqistopo�hshth VN (θ, ZN ) den mpore� na upologiste� analutik�. PolÔ suqn� loipìn katafeÔgoume sthnqr sh algor�jmwn arijmhtik  anaz thsh . Sthn paroÔsa enìthta ja anafèroume en suntom�ak�poie teqnikè . Perissìtere plhrofor�e gia to jèma o anagn¸sth pou endiafèretai mpore�na anazht sei sta pla�sia twn dialèxewn tou maj mato �Teqnikè Beltistopo�hsh �, to opo�oasqole�tai apokleistik� me to prìblhma autì.H an�lush pou akolouje� bas�zetai qwr� idia�terh bl�bh th genikìthta se sunart sei VN :

VN (θ, ZN ) =1

N

N∑

t=1

|y(t) − f(φ(t), θ)|2 (3.3.1)h opo�a e�nai tetragwnik  morf  . Oi pio apodotikè rout�ne anaz thsh qrhsimopoioÔn tonanadromikì kanìna:θ(i + 1) = θ(i) − µiR

−1i ∇gi (3.3.2)Sthn (3.3.2) to θi apotele� to ektim¸meno parametrikì di�nusma met� thn i epan�lhyh, µi e�naito b ma metabol  kat� thn i epan�lhyh, ∇gi e�nai mia ekt�mhsh th kl�sh (gradient) th

VN (θ(i), ZN ) kai Ri e�nai èna p�naka kat�llhlh di�stash pou tropopoie� thn kateÔjunshanaz thsh .KateujÔnsei anaz thsh Kentrik  idèa th topik  anaz thsh apotele� h kl�sh (gradient). 'Eqoume loipìn:V ′

N (θ, ZN ) = − 1

N

N∑

t=1

[y(t) − f(φ(t), θ)]h(φ(t), θ) (3.3.3)ìpouh(φ(t), θ) =

∂

∂θf(φ(t), θ)

3.3. MH-GRAMMIK�ES M�EJODOI BELTISTOPO�IHSHS 41me h na e�nai èna d-di�stato di�nusma, ìpou d h di�stash tou θ kai y(t) bajmwtì mègejo .Se peript¸sei mh-kal� orismènwn problhm�twn beltistopo�hsh , èqei apodeiqje� ìti h kateÔ-junsh th kl�sh den e�nai apodotik  ìtan kinoÔmaste se mia geitoni� tou elaq�stou. S' autè ti peript¸sei h qr sh th kateÔjunsh tou Newton:R−1(θ)V ′

N (θ, ZN ) (3.3.4)ìpouR(θ) = V ′′

N (θ, ZN ) =1

N

N∑

t=1

h(φ(t), θ)hT (φ(t), θ)+1

N

N∑

t=1

[y(t)− f(φ(t), θ)]∂2

∂θ2f(φ(t), θ) (3.3.5)d�nei ta bèltista apotelèsmata. H pragmatik  kateÔjunsh Newton apaite� ton upologismì th deÔterh parag¸gou tou f . Ep�sh , makri� apì to el�qisto o R(θ) den prèpei na e�nai kat'an�gkh jetik� hmiorismèno . MporoÔme loipìn na qrhsimopoi soume enallaktikè kateujÔnsei anaz thsh , meiwmènh upologistik  poluplokìthta se sqèsh me thn (3.3.5). Se ìti akolouje�,anafèroume epigrammatik� k�poie ap' autè .1. KateÔjunsh th kl�sh . Ed¸ apl� or�zoume

Ri = I (3.3.6)ìpou I o monadia�o p�naka .2. KateÔjunsh Gauss-Newton. Ed¸ pa�rnoume:Ri = Hi =

1

N

N∑

t=1

h(φ(t), θ(i))hT (φ(t), θ(i)) (3.3.7)3. KateÔjunsh Levenberg - Marquardt. T¸raRi = Hi + δI (3.3.8)me to Hi na or�zetai sthn (3.3.7). O suntelest  δ mpore� na qrhsimopoihje� ant� toub mato metabol  . Meg�lo δ antistoiqe� se mikrì b ma metabol  kat� thn kateÔjunshtou dianÔsmato kl�sh , en¸ èna mikrì δ (sqedìn mhdenikì), antistoiqe� se b ma metabol  kat� thn kateÔjunsh Gauss-Newton.Apì ti mejìdou pou anafèrame, eke�nh h opo�a sun jw protim�te e�nai h kateÔjunsh Gauss-

Newton. Gia ìqi kal� orismèna | ill conditioned probl mata beltistopo�hsh , h tropopo�hs th kat� Levenberg - Marquardt jewre�tai h pio endedeigmènh.An h VN (θ, ZN ) e�nai tetragwnik  morf  , tìte to idanikì b ma metabol  e�nai µ = 1. Eke�nopou sun jw g�netai e�nai na elègqetai h mèjodo anaz thsh gia di�fore timè tou µ (mikrìtere apì thn mon�da) kai na epilègetai eke�nh pou antistoiqe� sthn mikrìterh tim  tou VN (θ, ZN ). Hdiadikas�a aut  anafèretai w aposben menh(damped) mèjodo Gauss-Newton.

42 KEF�ALAIO 3. MEJODOI EKTIMHSHS PARAMETRWNTopik� el�qistaKur�arqo prìblhma sto jèma th elaqistopo�hsh mh-grammik¸n sunart sewn VN (θ, ZN ),apotele� h pijan  Ôparxh poll¸n topik¸n elaq�stwn, s' èna apì ta opo�a mpore� na egklwbistoÔnoi topiko� algìrijmoi anaz thsh pou anafèrame. Dustuq¸ , den up�rqei profan  lÔsh stoanwtèrw prìblhma. 'Ena trìpo ep�lush ja apoteloÔse h swst  epilog  twn arqik¸n tim¸nθ(0). E�nai logikì na upojèsei kane� , pw an ekkin soume ton algìrijmo anaz thsh apì miageitoni� tou olikoÔ akrìtatou θ⋆ sthn opo�a to θ⋆ e�nai to monadikì topikì akrìtato, tìte θ(i) =θ⋆, i ≥ k, ìpou k peperasmèno akèraio . Mia tètoia lÔsh bèbaia sthn per�ptwsh montèlwn kat�maÔro kout� e�nai praktik� anef�rmosth, mia kai den up�rqei axiìpisth mèjodo prosdiorismoÔgeitoni� tou θ⋆, ìpw aut  or�sthke parap�nw, qwr� thn qr sh ek twn protèrwn gn¸sh gia tosÔsthm� ma . To kalÔtero pou mporoÔme na k�noume se tètoie peript¸sei e�nai na epilèxoume thnarqik  tim  θ(0) tou parametrikoÔ dianÔsmato θ tuqa�a, all� kat� trìpon ¸ste oi sunart sei b�sh na kalÔptoun pl rw ton q¸ro anaz thsh pou ma endiafèrei. P�li ìmw den e�maste100% s�gouroi ìti o algìrijmì ma den ja �koll sei� se k�poio topikì el�qisto di�foro touolikoÔ θ⋆.'Allh mèjodo ep�lush tou kentrikoÔ autoÔ probl mato , e�nai h qr sh mh-topik¸nalgor�jmwn beltistopo�hsh . Endeiktik� anafèroume ton algìrijmo tuqa�a anaz thsh (random search), th prosomoiwmènh anìptush (simulated annealing) kai tou genetikoÔ algor�jmou (genetic algorithms).