Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

15
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΚΕΝΤΡΟ ΔΙΚΤΥΟΥ ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ Εγχειρίδιο χρήσης του εκπαιδευτικού λογισμικού Abaqus Οδηγός χρήσης από απόσταση Συντάκτης: Καθ. Ν. Αράβας

description

ΕΓΤΣες

Transcript of Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

Page 1: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣΚΕΝΤΡΟ ΔΙΚΤΥΟΥ ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ

Εγχειρίδιο χρήσης του εκπαιδευτικού λογισμικού Abaqus

Οδηγός χρήσης από απόσταση

Συντάκτης: Καθ. Ν. Αράβας

Βόλος 2001

Page 2: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Σελίδα

ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΣΤΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟΥ Abaqus 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4

ΤΟ ABAQUS/CAE 7

ΕΠΙΛΟΓΟΣ 7

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι 9

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ 10

Page 3: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΣΤΟ SOFTWARE ΤΟΥ Abaqus

Το software του Abaqus είναι εγκατεστημένο στους υπολογιστές του Εργαστηρίου Μηχανικής

και Αντοχής των Υλικών. Όλοι οι υπολογιστές είναι συνδεδεμένοι σε τοπικό δίκτυο, ώστε να είναι

δυνατή η σύνδεση και εργασία των χρηστών από κάθε υπολογιστή. Επιπλέον, είναι δυνατή η

απομακρυσμένη πρόσβαση στο λογισμικό του Abaqus μέσω ISDN ή PSTN. Σε αυτήν την

περίπτωση χρησιμοποιείται αρχικά η υπηρεσία dial-up σύνδεσης στο δίκτυο του Πανεπιστημίου

Θεσσαλίας και στη συνέχεια ο κάθε χρήστης μπορεί να συνδεθεί με telnet με τους υπολογιστές του

Εργαστηρίου. Απαραίτητη προϋπόθεση και στις δύο περιπτώσεις είναι η ύπαρξη λογαριασμού

στον κεντρικό υπολογιστή του Εργαστηρίου (δηλ. στον mechanics). Τέλος, για να είναι δυνατή η

εμφάνιση του γραφικού περιβάλλοντος των κεντρικών υπολογιστών μέσω διεπαφής X-Windows,

είναι απαραίτητη η εγκατάσταση και ρύθμιση του αντίστοιχου λογισμικού X-Win στους

απομακρυσμένους υπολογιστές.

Πληροφορίες για την υπηρεσία dial-up σύνδεσης στο δίκτυο του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας

υπάρχουν στην κεμτρική ιστοσελίδα του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας (http://www.uth.gr). Για

περισσότερες πληροφορίες και για το άνοιγμα λογαριασμού στον mechanics μπορείτε να

απευθύνεστε στην κα. Καρανίκα (τηλ. 74008 στο Βόλο, e-mail [email protected])

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το Abaqus είναι γενικό πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για

την ανάλυση των τάσεων και των θερμοκρασιακών πεδίων σε κατασκευές. Το παρόν κεφαλαίο

αποτελεί έναν σύντομο οδηγό χρήσης του προγράμματος. Κάθε νέος χρήστης έχοντας μελετήσει το

εγχειρίδιο αυτό θα είναι σε θέση να αναλύσει αρκετά πιο πολύπλοκα προβλήματα.

Αρχικά, ο αντικειμενικός σκοπός είναι η σύνταξη ενός αρχείου όπου περιγράφονται τα

δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος. Το αρχείο αυτό αναφέρεται στο εξής ως input file.

Είναι προφανές πως πολύπλοκα προβλήματα απαιτούν ένα εκτεταμένο input file, το οποίο δεν είναι

δύσκολο να συνταχθεί αν ακολουθηθεί η κατάλληλη μέθοδος κάθε φορά. Προς τα παρόν θα

αρκεστούμε σε μια απλή περίπτωση χρήσης του Abaqus/Standard και του postprocessor,

Abaqus/Cae. Λόγω του ότι το πρόβλημα που μελετάμε είναι απλό δεν θα χρησιμοποιήσουμε το

Abaqus/Cae για το “preprocessing”.

Το input file του Abaqus

Στο input file εισάγουμε δεδομένα του μοντέλου (model data) και δεδομένα της παρούσας

κατάστασης ή της κατάστασης που προϋπήρχε (history data). Τα model data περιγράφουν τα

στοιχεία (elements), τους κόμβους (nodes), τις ιδιότητες του στοιχείου (element properties), το

υλικό (material definition) και κάθε στοιχείο που προσδιορίζει το μοντέλο καθεαυτό. Τα history

data καθορίζουν το τι συμβαίνει στο μοντέλο, τη συχνότητα της φόρτισης για την οποία ζητείται η

απόκριση του μοντέλου. Στο Abaqus ο χρήστης κλιμακώνει την «ιστορία» του μοντέλου σε μια

αλληλουχία βημάτων (steps). Κάθε step είναι μια περίοδος απόκρισης συγκεκριμένου τύπου, μίας

3

Page 4: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

στατικής φόρτισης, μίας δυναμικής απόκρισης κ.τ.λ. Ο προσδιορισμός του step περιλαμβάνει τον

τύπο της διαδικασίας (στατική ανάλυση τάσεων, ανάλυση μεταφοράς θερμότητας, κ.τ.λ.),

παραμέτρους ελέγχου για χρονική ολοκλήρωση ή για μη-γραμμικά προβλήματα, φορτίσεις και

ζητούμενα. Ο χρήστης επιλέγει το τι περιλαμβάνεται στο step. Για παράδειγμα, ένα στατικό φορτίο

είναι δυνατόν να εφαρμοστεί σε ένα step, ή αν απαιτείται μεγαλύτερη λεπτομέρεια στα επίπεδα

υψηλής φόρτισης, τότε η ίδια η ανάλυση μπορεί να διασπαστεί σε δυο steps έτσι ώστε να δίνεται

βαρύτητα στις μεταβλητές που ενδιαφέρουν περισσότερο σε κάθε ένα από τα steps.

Τα δεδομένα του προβλήματος στο Abaqus εισάγονται σε ομάδες εντολών οι οποίες

περιγράφουν το πρόβλημα. Ο χρήστης επιλέγει τις κατάλληλες εντολές που σχετίζονται με το

εκάστοτε πρόβλημα. Οι εντολές αυτές είναι λέξεις κλειδιά (keywords) στο input file σε

διαφορετικές γραμμές. Αν η εντολή ακολουθείται από κάποιες τιμές, τότε αυτές εισάγονται σε

ξεχωριστή γραμμή.

Κάθε γραμμή εντολής στο Abaqus ξεκινάει με ένα * στην 1η στήλη και ακολουθεί το όνομα της

εντολής. Για παράδειγμα, η εγγραφή *MATERIAL σημαίνει πως ακολουθούν οι ιδιότητες του

υλικού, ενώ **MATERIAL είναι γραμμή-σχόλιο. Τα κενά αγνοούνται ενώ το κόμμα χωρίζει τις

παραμέτρους που μπορεί να έχει μία εντολή.

Μερικές από τις παραμέτρους που έχει μία εντολή μπορεί να είναι υποχρεωτικές, ενώ κάποιες

άλλες προαιρετικές. Για παράδειγμα η εντολή *ELEMENT που προσδιορίζει τη μορφή του

στοιχείου, απαιτεί την παράμετρο TYPE, για να δηλώσει τι είδος στοιχείου χρησιμοποιείται, solid,

shell, beam, κ.τ.λ. Οι γραμμές με τα δεδομένα πρέπει να ακολουθούν τη γραμμή εντολής. Έτσι η

εντολή,

*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC

200.E3, 0.3, 20.

150.E3, 0.35, 400.

80.E3, 0.42, 700.

καθορίζει μέρος των ιδιοτήτων του υλικού: ισοτροπικό, γραμμικά ελαστικό, στο οποίο το μέτρο

ελαστικότητας κυμαίνεται από 200103 στους 20 έως 80103 στους 700, και ο λόγος Poisson

από 0.3 στους 20 έως 0.42 στους 700.Ένα από τα πιο χρήσιμα στοιχεία του Abaqus στην εισαγωγή δεδομένων είναι η δυνατότητα

δημιουργίας ομάδων (sets). Ένα set μπορεί να αποτελείται από μία ομάδα κόμβων ή μια ομάδα

στοιχείων. Ο χρήστης δίνει ένα όνομα στο set (1-80 χαρακτήρες, εκ των οποίων ο πρώτος γράμμα),

το οποίο όνομα αναφέρεται σε όλα τα μέλη του set.

Τέλος να σημειωθεί πως το Abaqus δεν περιέχει μονάδες, γι αυτό οι μονάδες που

χρησιμοποιούνται θα πρέπει να εντάσσονται στο ίδιο σύστημα. Έτσι αν οι διαστάσεις μήκους

εισάγονται σε μέτρα (m), τότε και οι υπόλοιπες μονάδες θα πρέπει να αναφέρονται στο S. I, και τα

αποτελέσματα θα δίνονται στις αντίστοιχες μονάδες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

4

Page 5: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

Στη συνέχεια θα αναλύσουμε ένα απλό πρόβλημα μετάδοσης θερμότητας, ώστε να έρθει σε μια

πρώτη επαφή ο χρήστης με τη σύνταξη ενός input file. Πρόκειται για ένα πρόβλημα συνοριακής

τιμής μίας πλάκας διαστάσεων 11. Στις τέσσερις πλευρές της πλάκας εφαρμόζεται ένα

θερμοκρασιακό πεδίο διαφορετικό για κάθε πλευρά. Το ζητούμενο της ανάλυσης είναι οι

θερμοκρασίες που αναπτύσσονται στο εσωτερικό της πλάκας.

Το input file συντάσσεται σε κειμενογράφο και σώζεται με την κατάληξη .inp (π.χ. heat.inp), βλ.

Παράρτημα Ι.

Η πρώτη εντολή (*HEADING) δηλώνει πως στην επόμενη σειρά ακολουθεί ο τίτλος του

προγράμματος (π.χ. EXAMPLE: HEAT TRANSFER).

*HEADING

EXAMPLE: HEAT TRANSFER

Μετά το τίτλο του προγράμματος δίνεται η γεωμετρία του κανάβου (συντεταγμένες κόμβων).

Με την εντολή *NODE εισάγονται οι κόμβοι. Η πρώτη εγγραφή της επόμενης σειράς αναφέρεται

στον αριθμό του κόμβου και ακολουθούν οι συντεταγμένες (x,y,z). Οι εγγραφές χωρίζονται με

κόμμα, ενώ οι αριθμοί που αναφέρονται σε διαστάσεις δηλώνονται πάντα ως δεκαδικοί (όχι 1 αλλά

1.). Η σειρά επαναλαμβάνεται για όσους κόμβους θέλουμε να ορίσουμε.

*NODE

1, 0., 0.

11, 1., 0.

111, 0., 1.

121, 1., 1.

Υπάρχει η δυνατότητα σε απλούς κανάβους να ορίσουμε μόνο τους γωνιακούς κόμβους και στη

συνέχεια να αναπαράγουμε τους εσωτερικούς. Με την εντολή *NGEN ζητάμε από το πρόγραμμα

να δημιουργήσει κόμβους μεταξύ δύο άκρων. Τα δύο πρώτα νούμερα (1, 111) αναφέρονται στα

άκρα και το τρίτο (11) στην αύξηση των αριθμών των κόμβων (22, 33, 44, κ.τ.λ.).

*NGEN, NSET=LEFT

1, 111, 11

Η παράμετρος NSET είναι προαιρετική. Εξισώνοντάς την με ένα όνομα εντάσσουμε τους

κόμβους που αναπαράγονται σε ένα set με το συγκεκριμένο όνομα. Με τον τρόπο αυτό

δημιουργούμε δύο set LEFT και RIGHT τα οποία αποτελούνται αντιστοίχως από τους κόμβους 1

έως 111 με βήμα 11 και 11 έως 121 επίσης με βήμα 11.

Έχοντας δύο συνοριακά sets «γεμίζουμε» το εσωτερικό τους με κόμβους με την εντολή

*NFILL. Δημιουργούμε κόμβους μεταξύ του LEFT και RIGHT, έτσι ώστε να υπάρχουν δέκα

διαστήματα ανάμεσα με αύξηση του αριθμού του κόμβου ανά γραμμή ίση με 1.

*NFILL

LEFT, RIGHT, 10, 1

Ακολούθως εντάσσουμε τους κόμβους 2 έως 10 και 112 έως 120 σε δύο set, BOTTOM και TOP

αντίστοιχα με την εντολή *NSET όπου η παράμετρος GENERATE δηλώνει την αναπαραγωγή των

κόμβων μεταξύ των δύο ακριανών με βήμα 1(default).

*NSET, NSET=BOTTOM, GENERATE

5

Page 6: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

2, 10

*NSET, NSET=TOP,GENERATE

112, 120

Μέχρι αυτό το σημείο έχουμε ορίσει τους κόμβους, οπότε απομένει να ορίσουμε τα στοιχεία.

Στη βιβλιογραφία του Abaqus περιλαμβάνονται διάφοροι τύποι στοιχείων. Ανάλογα με το είδος της

ανάλυσης και τα αποτελέσματα που θέλουμε να εξάγουμε χρησιμοποιούμε κατάλληλα στοιχεία.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, μετάδοσης θερμότητας, χρησιμοποιούμε το στοιχείο DC2D4 το

οποίο αποτελείται από τέσσερις κόμβους. Με την εντολή *ELEMENT εισάγουμε τον αριθμό του

στοιχείου και τους κόμβους από τους οποίους αποτελείται (με αντιωρολογιακή φορά). Η

παράμετρος TYPE είναι υποχρεωτική. Η εγγραφή 1, 1, 2, 13, 12 που ακολουθεί της γραμμής

εντολής δηλώνει πως το κύριο στοιχείο με αριθμό στοιχείου 1 αποτελείται από τους κόμβους 1, 2,

13 και 12.

*ELEMENT, TYPE=DC2D4

1, 1,2,13,12

Στη συνέχεια με πρότυπο το στοιχείο 1 αναπαράγουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του καννάβου και

τα τοποθετούμε σε ένα set με όνομα ALLE, με την εντολή *ELGEN. Ζητάμε από το Abaqus να

δημιουργήσει με βάση το στοιχείο ένα, μία πρώτη σειρά από 10 στοιχεία (συμπεριλαμβανομένου

του 1) με αύξηση του αριθμού των αντίστοιχων κόμβων κατά 1 και των στοιχείων που

δημιουργούνται στην ίδια σειρά κατά 1, καθώς επίσης να δημιουργήσει 10 σειρές στοιχείων με

αύξηση του αριθμού των αντίστοιχων κόμβων κατά 11 και των αντίστοιχων, με την πρώτη σειρά,

στοιχείων κατά 10.

*ELGEN, ELSET=ALLE

1, 10, 1, 1, 10, 11, 10

Στο σημείο αυτό έχει οριστεί πλήρως η γεωμετρία του καννάβου. Στη συνέχεια ορίζουμε τις

ιδιότητες του υλικού. Η εντολή *MATERIAL χρησιμοποιείται, για να δηλώσει πως ακολουθούν

δεδομένα του υλικού. Η παράμετρος NAME είναι υποχρεωτική και την θέτουμε ίση με ένα όνομα

που στο εξής θα δηλώνει το υλικό.

*MATERIAL,NAME=HEAT

Στη συνέχεια με την εντολή *CONDUCTIVITY καθορίζουμε την θερμική αγωγιμότητα του

υλικού, καθώς και τον τύπο της αγωγιμότητας, ισοτροπική (προκαθορισμένη παράμετρος, default),

ορθοτροπική ή ανισοτροπική.

*CONDUCTIVITY

40.

Η εντολή *SOLID SECTION δηλώνει τις ιδιότητες των στοιχείων τύπου solid, infinite και truss,

καθώς συνδέει τις ιδιότητες του υλικού με το set ALLE των στοιχείων.

*SOLID SECTION, ELSET=ALLE, MATERIAL=HEAT

Σε αυτό το σημείο τελειώνει το pre-processing και μπορούμε πλέον να προχωρήσουμε στην

διαδικασία ανάλυσης.

6

Page 7: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

Η εντολή *STEP δηλώνει την έναρξη της διαδικασίας το είδος της οποίας πρέπει να δηλώνεται

αμέσως μετά, δηλαδή στην παρούσα περίπτωση *HEAT TRANSFER, STEADY STATE.

*STEP

*HEAT TRANSFER, STEADY STATE

Ακολουθούν οι συνοριακές συνθήκες με την εντολή *BOUNDARY. Στο Abaqus ο ενδέκατος

βαθμός ελευθερίας αναφέρεται στη θερμοκρασία. Καθορίζοντας τις θερμοκρασίες των πλευρών

της πλάκας περιορίζουμε το βαθμό ελευθερίας 11 και θέτουμε ίση τη θερμοκρασία με την τιμή που

έχει σε κάθε σύνορο (LEFT=10C, BOTTOM=20C, RIGHT=30C, TOP=40C).

*BOUNDARY

LEFT, 11, 11, 10.

BOTTOM, 11, 11, 20.

RIGHT, 11, 11, 30.

TOP, 11, 11, 40.

Τέλος καθορίζουμε τις μεταβλητές που θα τυπωθούν στο αρχείο .dat, π.χ. TEMP (θερμοκρασία)

με την εντολή *EL PRINT.

Η διαδικασία τελειώνει με την εντολή *END STEP.

Εκτελούμε το heat.inp σε περιβάλλον IRIX με την εντολή abaqus job=heat. Το Abaqus

δημιουργεί μια σειρά αρχείων τα σημαντικότερα από τα οποία είναι το heat.dat, το heat.odb και το

heat.res. Στο heat.dat περιέχονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης σε αναγνώσιμη μορφή. Το

heat.res (restart file) περιέχει τις πληροφορίες εκείνες που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν, για

να συνεχιστεί η ανάλυση. To heat.odb περιέχει τις πληροφορίες που είναι απαραίτητες για την

αναπαραγωγή του γραφικού περιβάλλοντος στο Abaqus/Cae.

ΤΟ ABAQUS/CAE

Με την εντολή abaqus cae job=heat σε περιβάλλον IRIX ανοίγουμε το Abaqus/Cae. Πρόκειται

για ένα ολοκληρωμένο λογισμικό του Abaqus, το οποίο παρέχει τη δυνατότητα να γίνει με απλό,

άμεσο και γραφικό τρόπο η προσομοίωση του μοντέλου, η ανάλυση αυτού, αλλά και η απεικόνιση

και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων.

Στο Menu εντολών η επιλογή των εντολών Plot/Undeformed Shape, Plot/Deformed Shape,

Plot/Contour οδηγεί σε απεικόνιση του κανάβου στην αρχική κατάσταση (Παράρτημα ΙΙ, Εικ. 1),

στην παραμορφωμένη κατάσταση και σε μορφή ισοϋψών κάποιας μεταβλητής του προβλήματος

(Παράρτημα ΙΙ, Εικ. 2), αντίστοιχα. Μπορούμε επίσης να εμφανίσουμε τους αριθμούς των κόμβων

και των στοιχείων ή να μεταβάλουμε διάφορα στοιχεία του γραφήματος που εμφανίζεται στην

οθόνη με τις εντολές Options/Undeformed Shape, Options /Deformed Shape, Options /Contour.

Για παράδειγμα επιλέγουμε αρχικά την εντολή Plot/Undeformed Shape και στη συνέχεια την

Options/Undeformed Shape και στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε την εντολή labels και

στη συνέχεια τα σημεία “show element labels” και “show node labels”. Επιβεβαιώνουμε την

επιλογή μας με το “Apply” και στην οθόνη μας εμφανίζεται ο απαραμόρφωτος κάναβος με τον 7

Page 8: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

αριθμό των στοιχείων και των κόμβων. Έτσι έχουμε μια ολοκληρωμένη εικόνα του καννάβου

(Παράρτημα ΙΙ, Εικ. 3).

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Θα πρέπει να σημειωθεί πως η ευκολία στη χρήση του ABAQUS βασίζεται στον μεγαλύτερο

βαθμό στη σωστή χρήση των manuals, τα οποία είναι ιδιαίτερα αναλυτικά και εύχρηστα. Όλες οι

εντολές που αναφέρθηκαν, όπως και όλη η βιβλιοθήκη με τα εγχειρίδια χρήσης του Abaqus είναι

προσβάσιμα σε ηλεκτρονική μορφή. Αρκεί να πληκτρολογήσει ο χρήστης την εντολή abaqus.doc

σε περιβάλλον IRIX.

8

Page 9: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι

Input file

*HEADING

EXAMPLE: HEAT TRANSFER

*RESTART,WRITE

*NODE

1, 0., 0.

11, 1., 0.

111, 0., 1.

121, 1., 1.

*NGEN,NSET=LEFT

1, 111, 11

*NGEN,NSET=RIGHT

11, 121, 11

*NFILL

LEFT, RIGHT, 10, 1

*NSET,NSET=BOTTOM,GENERATE

2, 10

*NSET,NSET=TOP,GENERATE

112, 120

*ELEMENT,TYPE=DC2D4

1, 1,2,13,12

*ELGEN,ELSET=ALLE

1, 10, 1, 1, 10, 11, 10

*MATERIAL,NAME=HEAT

*CONDUCTIVITY

40.

*SOLID SECTION,ELSET=ALLE,MATERIAL=HEAT

*STEP

*HEAT TRANSFER,STEADY STATE

*BOUNDARY

LEFT, 11, 11, 10.

BOTTOM, 11, 11, 20.

RIGHT, 11, 11, 30.

TOP, 11, 11, 40.

*EL PRINT, ELSET=ALLE

TEMP

*END STEP

9

Page 10: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ

Εικόνες από το ABAQUS/CAE

Εικόνα 1: Απεικόνιση του κανάβου στην απαραμόρφωτη κατάσταση

Εικόνα 2: Ισοϋψής της θερμοκρασίας στην παραμορφωμένη κατάσταση

10

Page 11: Εγχειρίδιο Χρήσης Του Εκπαιδευτικού Λογισμικού Abaqus

Εικόνα 3: Απεικόνιση του κανάβου στην απαραμόρφωτη κατάσταση, όπου εμφανίζονται οι αριθμοί

των στοιχείων και των κόμων.

11