ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

1

Γεώργιος Κ. Σιάρδος

ΟΜΟΤΙΜΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

[2] Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης

Ο Γεώργιος Σιάρδος είναι Ομότιμος Καθηγητής του Α.Π.Θ. Είναι πτυχιούχος της Γεωπονικής Σχολής, του Τομέα Αγροτικής Οικονομίας, πτυχιούχος της Σχολής Οικονομικών Επιστημών, κάτοχος M.Sc. Αγροτικής Οικονομίας του Πανεπιστημίου του Λονδίνου και διδάκτορας της Γεωπονικής με αντικείμενο την Επικοινωνία και Πληροφόρηση του Αγροτικού Πληθυσμού. Είναι μέλος επιστημονικών συλλόγων και οργανώσεων του Εσωτερικού και Εξωτερικού και έχει τιμηθεί με σειρά υποτροφιών για σπουδές και επιστημονική συνεργασία σε χώρες της Ευρώπης και την Αμερική, έχει δε συμμετάσχει σε μεγάλο αριθμό σεμιναρίων, συνεδρίων, δημόσιων διαλέξεων, δημόσιων συζητήσεων και σε ερευνητικά προγράμματα που χρηματοδοτήθηκαν από δημόσιους και ιδιωτικούς φορείς της χώρας μας και του εξωτερικού. Είναι συγγραφέας περισσότερων από 100 επιστημονικών άρθρων δημοσιευμένων σε ελληνικά και διεθνή περιοδικά και σε Πρακτικά επιστημονικών συνεδρίων και, σε συνεργασία με άλλους επιστήμονες, αυτοτελών ερευνητικών εργασιών. Ακόμη, είναι συγγραφέας των, με επανεκδόσεις, βιβλίων, όπως: «Γεωργικές Εφαρμογές: Το Συμβουλευτικό Έργο των Φορέων Γεωργικής Ανάπτυξης» 1996, «Μεθοδολογία Κοινωνιολογικής Έρευνας» 1997, «Μέθοδοι Πολυμεταβλητής Στατιστικής Ανάλυσης: Με την Επίλυση Ασκήσεων μέσω του στατιστικού Προγράμματος SPSS, Μέρος Πρώτο» 1999, «Μέθοδοι Πολυμεταβλητής Στατιστικής Ανάλυσης: Με την Επίλυση Ασκήσεων μέσω του στατιστικού Προγράμματος SPSS, Μέρος Δεύτερο» 2000, «Αειφορική Γεωργία και Ανάπτυξη» 2011 και «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση» 2011.

Γεώργιος Κ. Σιάρδος [3]

ΓΕΩΡΓΙΟΣ Κ. ΣΙΑΡΔΟΣ ΟΜΟΤΙΜΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

2η ΕΚΔΟΣΗ ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ & ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΕΝΗ


Γεώργιος Κ. Σιάρδος, Ασκήσεις Μαθηματικής Οικονομικής Ανάλυσης ISBN: 978-618-5147-11-2 Ιανουάριος 2015 Σχεδιασμός εξωφύλλου, σελιδοποίηση: Ηρακλής Λαμπαδαρίου www.lampadariou.eu Ο συγγραφέας φέρει την ευθύνη για την επιμέλεια του κειμένου. Σειρά: Οικονομικές προσεγγίσεις Επιστημονικός υπεύθυνος σειράς: Γεώργιος Κ. Σιάρδος, [email protected] Εκδόσεις Σαΐτα Αθανασίου Διάκου 42, 652 01, Καβάλα Τ.: 2510 831856 Κ.: 6977 070729 e-mail: [email protected] website: www.saitapublications.gr

Άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική χρήση

Όχι Παράγωγα έργα 3.0 Ελλάδα Επιτρέπεται σε οποιονδήποτε αναγνώστη η αναπαραγωγή του έργου (ολική, μερική ή περιληπτική, με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογράφησης ή άλλο), η διανομή και η παρουσίαση στο κοινό υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις: αναφορά της πηγής προέλευσης, μη εμπορική χρήση του έργου. Επίσης, δεν μπορείτε να αλλοιώσετε, να τροποποιήσετε ή να δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό. Αναλυτικές πληροφορίες για τη συγκεκριμένη άδεια cc, μπορείτε να διαβάσετε στην ηλεκτρονική διεύθυνση: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/


Στη μνήμη του λατρευτού μου Κωνσταντίνου


Πρόλογος 2ης Έκδοσης Στο παρόν σύγγραμμα περιέχονται οι λύσεις των 250 ασκήσεων, των οποίων οι εκφωνήσεις δίνονται στο τέλος του καθενός από τα εννέα κεφάλαια του προηγηθέντος σε έκδοση βιβλίου με τον τίτλο «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση». Η αρίθμηση των ασκήσεων στο παρόν σύγγραμμα είναι η ίδια με αυτή που ακολουθείται στο προαναφερόμενο πόνημα και με σειρά αντίστοιχη της θεωρίας που αυτό περιλαμβάνει. Η παρούσα δεύτερη έκδοση του βιβλίου χαρακτηρίζεται αφενός από τις επιγενόμενες βελτιώσεις, διορθώσεις και προσθήκες που ήταν αναγκαίες για την πληρέστερη έκδοση και αρτιότητα του πονήματος. Με τη βελτίωση και ανανέωση της πρώτης έκδοσης και με κατασταλαγμένη, ύστερα από πολλά χρόνια, την ακαδημαϊκή γνώση και δοκιμασμένη τη διδακτική εμπειρία μου, πιστεύω ότι παρέχω στον προπτυχιακό και μεταπτυχιακό φοιτητή, αλλά και στον οικονομικό επιστήμονα, ένα έργο σχεδόν ολοκληρωμένο σε περιεχόμενο, σημαντικά χρήσιμο για τις επιστημονικές απαιτήσεις τους. Τα περιεχόμενα του παρόντος βιβλίου ασκήσεων καλύπτονται σε εννέα κεφάλαια, αντίστοιχα ως προς τη διάταξη και θεματική σειρά με εκείνα που περιλαμβάνονται στην ύλη του θεωρητικού πονήματος. Συγκεκριμένα: Στο πρώτο κεφάλαιο, με τίτλο «Μονομεταβλητές Συναρτήσεις», περιέχονται 37 ασκήσεις που αφορούν απλές μαθηματικές συναρτήσεις μιας μόνον ανεξάρτητης μεταβλητής, συναρτήσεις οικονομικής φύσης, όπως ζήτησης και προσφοράς αγαθού, παραγωγής, κόστους, εσόδων, χρησιμότητας, κ.λπ. και στατικά συστήματα οικονομικών εξισώσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, με τίτλο «Παραγώγιση» περιέχονται 66 ασκήσεις που αφορούν την τεχνική της παραγώγισης μαθηματικών μονομεταβλητών συναρτήσεων και την εφαρμογή των παραγώγων στην οικονομική επιστήμη (ελαστικότητες, οριακά μεγέθη, μεγιστοποίηση - ελαχιστοποίηση οικονομικών μεγεθών). Στο τρίτο κεφάλαιο, με τίτλο «Πολυμεταβλητές Συναρτήσεις» περιέχονται 14 ασκήσεις που αφορούν συναρτήσεις με περισσότερες της μιας ανεξάρτητες μεταβλητές, γραμμικής, τετραγωνικής και λογαριθμικής (Cobb-Duglas) μορφής, καθώς και έννοιες οικονομικές όπως φθίνουσες αποδόσεις, αποδόσεις κλίμακας, φθίνουσα χρησιμότητα, κ.ά. Το τέταρτο κεφάλαιο, με τίτλο «Μερική Παραγώγιση», περιέχει 45 ασκήσεις που αναφέρονται στην τεχνική της μερικής παραγώγισης και στην εφαρμογή των μερικών παραγώγων ως προς τις έννοιες των μερικών ελαστικοτήτων και των οριακών μεγεθών σε συναρτήσεις πολυμεταβλητής μορφής, στις ομογενείς συναρτήσεις και το θεώρημα του Euler και στη μεγιστοποίηση - ελαχιστοποίηση


οικονομικών μεγεθών με τη χρησιμοποίηση των πολλαπλασιαστών του Lagrange υπό συνθήκες δέσμευσης. Στο πέμπτο κεφάλαιο, με τίτλο «Διαφόριση», περιέχονται 19 ασκήσεις που αφορούν την τεχνική της διαφόρισης και την εφαρμογή της στις έννοιες των οριακών μεγεθών στην οικονομία, στην εξήγηση της σχέσης εξωγενούς και ενδογενούς μεταβλητής υποδείγματος και στη μεγιστοποίηση - ελαχιστοποίηση οι-κονομικών μεγεθών. Το έκτο κεφάλαιο, η «Ολοκλήρωση», περιέχει 18 ασκήσεις που αφορούν την τεχνική της αόριστης και ορισμένης ολοκλήρωσης και την εφαρμογή της δεύτερης στην οικονομία. Το έβδομο κεφάλαιο, με τίτλο «Άλγεβρα Μητρών», καλύπτει ζητήματα γραμμικής άλγεβρας που περιλαμβάνονται σε 28 ασκήσεις σχετικές με την επίλυση μικροοικονομικών παραδειγμάτων. Το όγδοο κεφάλαιο, με τίτλο «Εξισώσεις Διαφορών», περιέχει 14 ασκήσεις που αφορούν μαθηματικές ομογενείς και μη ομογενείς εξισώσεις γραμμικής μορφής και οικονομικής μορφής εξισώσεις δυναμικών υποδειγμάτων. Τέλος, το ένατο κεφάλαιο, με τίτλο «Γραμμικός Προγραμματισμός» περιέχει 9 ασκήσεις σχετικές με την επίλυση προβλημάτων αριστοποίησης (μεγιστοποίησης – ελαχιστοποίησης) συναρτήσεων υπό συνθήκες δέσμευσης (γραμμικές συναρτήσεις) και παρέχονται, μέσω της δυικής λύσης, πληροφορίες ως προς τη βέλτιστη λύση πρωτεύοντος προβλήματος. Η ενασχόληση του αναγνώστη με τη λύση και κατανόηση των ασκήσεων στο μεγαλύτερο δυνατό βαθμό προϋποθέτει βασικές μαθηματικές και οικονομικές γνώσεις, γι’ αυτό και συνιστάται, για διευκόλυνση, η παράλληλη χρησιμοποίηση του συγγράμματος «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση», που θα απαντήσει σε ερωτήματα που θα ανακύψουν. Στο παρόν πόνημα οι περισσότερες από τις λύσεις των ασκήσεων συνοδεύονται από διαγράμματα τα οποία βοηθούν στην πληρέστερη κατανόηση της προτεινόμενης λύσης. Τα αλγεβρικά σύμβολα καθώς και τα σύμβολα που αφορούν οικονομικές έννοιες και μεγέθη επεξηγούνται στο τέλος του βιβλίου των ασκήσεων και ταυ-τίζονται με τους συμβολισμούς που χρησιμοποιήθηκαν στο σύγγραμμα που προαναφέρθηκε. Τέλος, παρατίθεται, ενδεικτικά, σημαντικός αριθμός βιβλιογραφικών αναφορών και ιδιαίτερα ξενόγλωσσης βιβλιογραφίας, που έχουν χρησιμοποιηθεί κατά τη συγγραφή του παρόντος πονήματος. Η εμφάνιση ατελειών σε ένα βιβλίο ασκήσεων είναι αναπόφευκτη, γι’ αυτό και επικαλούμαι την επιείκεια του αναγνώστη και τον παρακαλώ για επικοινωνία μαζί μου. Η διατύπωση από μέρους του επικρίσεων, σχολίων, επισήμανσης σφαλμάτων, ατελώς κατασκευασμένων σχημάτων, ασαφών διατυπώσεων και κάθε παρέμβασης


για βελτίωση θα μου ήταν χρήσιμα και θα βοηθούσαν στην άρση των αδυναμιών του παρόντος έργου κατά την επόμενη έκδοση. Επιθυμώ να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όλους όσοι συνετέλεσαν με οποιονδήποτε τρόπο στην αρτιότερη έκδοση του παρόντος, με ιδιαίτερη αναφορά στις Εκδόσεις Σαΐτα. Εξυπακούεται ότι για σφάλματα, παραλείψεις και ατέλειες μόνος υπεύθυνος είναι ο συγγραφέας.

Γεώργιος Κ. Σιάρδος


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ..............................................................................15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣH.....................................................................................................................41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ............................................................................. 107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ................................................................................................... 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ...................................................................................................................... 171 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ................................................................................................................. 193 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ........................................................................................................ 207 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓΔΟΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ................................................................................................... 249 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ............................................................................. 275 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ................................................................................ 307 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ............................................................................................................. 311


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Να γραφούν ως σαφείς συναρτήσεις ως προς x και ως προς y οι ακόλουθες ασαφείς συναρτήσεις:

α) 3x-8y=0, β) x2-6y+4=0, γ) 3x-2y3=10, δ) x2-y2+3=0, ε) 3 2 105yx , στ) 5x+2xy-3y=0

Λύση

α) 3x-8y=0 8y=3x y= 38x και x= 8

3y

β) x 2-6y+4=0 6y=x2+4 2 46

xy και

x 2=6y-4 x= 6 4y

γ) 3x-2y3=10 2y3=3x-10 y3= 3 102x y= 3

3 102x

και 3x= 10+2y3

x=310 2

3y

δ) x 2-y2+3 = 0 y2 = x 2+3 y= 2 3x και x 2 = y2-3 x = 2 3y

.5

2505

2502

)10(5

50525025105

2)

333

333

yxyxxy

xyyxyx

στ) 5x+2xy-3y = 0 5x+y(2x-3) = 0 y(3-2x) = 5x

y= 53 2xx

(όπου x 3)2

και x(5+2y)-3y =0

x(5+2y)=3y x= 35 2yy

(όπου y 5).2

2. Να γραφούν ως ασαφείς οι ακόλουθες σαφείς συναρτήσεις:

α) y=3x-1, β) xxy 22 , γ) x

y 100 , δ) 852 xxy ,

ε) 43 xy , στ) 2 1 5.y xx

Λύση

α) y-3x+1=0, β) x2+2x-y=0, γ) xy=100, δ) x2-5x+8-y=0, ε) y-x3=4, στ) x3-5x-xy= -1. 3. Να εκφραστεί η y ως σαφής συνάρτηση της z, όταν:


α) y=x2+3x-2, όπου x=1+z , β) y=1-x2 , όπου x=12

1zz και

γ) y= 2

2

11

xx

, όπου x=z(z-1).

Λύση

α) y=x2+3x-2 y=(1+z)2+3(1+z) -2 y=1+z2+2z+3+3z-2 και y=z2+5z+2

β) y=1-x2 y=1-2

22

1 2 1( ) 12 1 4 4 1z z zyz z z

και

y=2

2

3 64 4 1z zz z

γ) y=2

2

11xx

22

22

)1(1)1(1

zzzzy 234

234

2121

zzzzzzy

4. Να απεικονιστούν σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων τα ακόλουθα διατεταγμένα ζεύγη τιμών των μεταβλητών x και y: x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y: 108 81 63 50 40 32 26 21 16,5 13 Να χαραχτεί ελεύθερα με το χέρι η γραμμή εκτίμησης των παρατηρήσεων και να προσδιοριστεί η τιμή της y όταν x=3,6. Λύση

Η γραμμή εκτίμησης είναι καμπύλη με το κυρτό μέρος προς το 0. Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, για x=3,6 αντιστοιχεί y=55.


5. Να απεικονιστεί γραφικά η εξίσωση y=α+bx, για καθεμία από τις ακόλουθες περιπτώσεις:

α) α=10, b=2, β) α= -5, b= 14

, γ) α=4, b=-3 , δ) α=-3, b= -6 , ε) α=0, b=4, στ) α=8, b=0.

Λύση

6. Να απεικονιστούν γραφικά, για ακέραιες τιμές του x και μόνο για

44 x , οι ακόλουθες συναρτήσεις:

α) y=x2-4x+2, β) y=5x2+9x-2, γ) y=x3, δ) x2+y2=16, ε) 12 xy , στ) x3+y3-3xy=0, ζ) y=x3-3x2-2x+1, η) y=20+5x, θ) y=51οg10x.

Λύση


7. Να απεικονιστεί γραφικά η συνάρτηση y=8x-2x2 και να προσδιοριστεί η τιμή της x για την οποία η τιμή της y είναι η μέγιστη. Μεταξύ ποιων τιμών της μεταβλητής x η μεταβλητή y έχει θετικές τιμές; Λύση

Η y έχει τιμή (y=8) για x=2 (σημείο Μ). Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, η μεταβλητή y έχει θετικές τιμές για το διάστημα 0 < x <4. 8. Με τη χρησιμοποίηση του ίδιου συστήματος αξόνων ορθογώνιων συντεταγμένων

να απεικονιστούν γραφικά οι συναρτήσεις y=10-2x και y=3

62 x . Να προσδιοριστεί,

με τη χρησιμοποίηση του σχήματος, το ζεύγος των τιμών των y και x που ικανοποιούν και τις δύο συναρτήσεις.


Λύση

Το ζεύγος των τιμών που ικανοποιούν τις δύο συναρτήσεις είναι x=3, y=4 (σημείο Μ). 9. Να απεικονιστούν σε σχήμα ορθογώνιων συντεταγμένων οι συναρτήσεις xy=12 και y=5x-17 (για ακέραιες τιμές των x και για το διάστημα 3<x<8). Να προσδιοριστούν, με τη χρησιμοποίηση του σχήματος, οι κοινές λύσεις των δύο συναρτήσεων. Λύση


Οι κοινές λύσεις των δύο συναρτήσεων είναι x1=4, y1=3 (σημείο M) και x2= -0,6, y2= -20 (σημείο Ν). 10. Να απεικονιστούν γραφικά οι συναρτήσεις 5x-13y=2 , 2x+y=7 και x-2y=1, στο ίδιο σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων. Τι παρατηρείτε στο σχήμα που προκύπτει; Λύση

Οι τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο (σημείο Α). Οι εξισώσεις των ευθειών είναι γνωστές ως «συμβιβαστές εξισώσεις».

11. Να υπολογιστούν αλγεβρικά οι κοινές λύσεις των εξισώσεων των συστημάτων των ασκήσεων 8, 9 και 10. Λύσεις Άσκηση 8

10 22 6

3

y xxy

2 610 2 30 6 2 6 8 243xx x x x

x=3 και y=10-2 3 y=4.

Άσκηση 9 12

5 17xyy x

Θέτουμε την τιμή του y στην α΄ εξίσωση του συστήματος και

έχουμε x(5x-17)=12 5x2-17x-12=0, εξίσωση η οποία έχει λύσεις τις x1=4 και x2= -

0,6. Τις τιμές αυτές θέτοντας στη β΄ εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές του y, δηλαδή y1=3 και y2= -20.


Άσκηση 10 5 13 22 7

2 1

x yx yx y

Επιλύοντας τη β΄ εξίσωση ως προς y, έχουμε:

2x+y=7 y=7-2x. Θέτοντας την τιμή αυτή στην α΄ εξίσωση έχουμε 5x-13(7-2x)=2

5x-91+26x=2 31x=93 x=3 και y=7-2x y=7-2 3 y=1. Οι τιμές x=3 και y=1 επαληθεύουν και την τρίτη εξίσωση του συστήματος. 12. Να επιλυθούν αλγεβρικά τα ακόλουθα συστήματα: α) qD=100-p2 , β) qD=15-10p , γ) qD=100-4ρ2, qS= 10+5p qS=5p2 qS= 4+2ρ2 και να προσδιοριστούν γραφικά η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας για κάθε ένα από αυτά. Λύση

α) 2

2

100 4

4 2D

S

q pq p

Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι D Sq q

100- 4p2 =4+2p2 6p2= 96 p2= 16 η οποία έχει λύσεις τις p1=4 και p2= -4 (απορρίπτεται ως αρνητική). Θέτοντας την τιμή p=4 στην α΄ εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε qD=qS=36.

β) 2

15 10

5D

S

q p

q p

Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι

qD = qS 01510551015 22 pppp 0322 pp

η οποία έχει λύσεις τις p1=1 και p2= -3 (απορρίπτεται ως αρνητική). Θέτοντας την τιμή p1=1 στην α΄ ή τη β΄ εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε qD = qS =5.

γ)

210010 5

D

S

q pq p

Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι qD = qS 100- p2 =10+5p

p2+5p-90=0 η οποία έχει λύσεις τις p1=7,31 και p2= -12,31 (απορρίπτεται ως

αρνητική. Θέτοντας την τιμή p=7,31 στην α΄ ή τη β΄ εξίσωση βρίσκουμε qD=qS=46,55.


13. Δίνονται τα ακόλουθα στοιχεία: Μονάδες χρησιμοποιούμενου λιπάσματος 1 2 3 4 5 6 7 8 Ολικό παραγόμενο προϊόν 60 130 180 200 200 180 140 80 Να υπολογιστεί το μέσο και το οριακό προϊόν ανά μονάδα χρησιμοποιούμενου λιπάσματος και να γίνει η γραφική απεικόνισή τους. Λύση

Μονάδες λιπάσματος

(z)

Ολικό Προϊόν

(q)

Μέσο προϊόν (AP=q/z)

Οριακό προϊόν (MP=Δq/Δz)

0 1 2 3

0 60 130 180

-

60 65 60

60 70 50 20


4 5 6 7 8

200 200 180 140 80

50 40 30 20 10

0 -20 -40 -60

14. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι q=6L- 2

21 L (όπου L=μονάδες του

συντελεστή εργασία), να απεικονιστούν γραφικά οι καμπύλες ολικού, μέσου και οριακού προϊόντος και να προσδιοριστεί από το σχήμα η ποσότητα της εργασίας στην οποία μηδενίζεται το οριακό προϊόν. Τι παρατηρείτε για την αντίστοιχη παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος;

Λύση

Σε ποσότητα 6 μονάδων εργασίας το οριακό προϊόν μηδενίζεται (σημείο Μ). Στην ποσότητα αυτή η ολική παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι η μέγιστη και ίση με 18 μονάδες (σημείο Ν).


15. Εάν γεωργική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος της την q=50L0,4K0,6 (όπου L=μονάδες του συντελεστή εργασία και Κ=μονάδες του συντελεστή κεφάλαιο) και παράγει σταθερή ποσότητα του προϊόντος ίση με 200 μονάδες, να προσδιοριστεί η συνάρτηση ισοπαραγωγής η οποία εκφράζει τη σχέση των συντελεστών παραγωγής εργασίας και κεφαλαίου και να απεικονιστεί γραφικά. Ποια θα είναι η ποσότητα της χρησιμοποιούμενης εργασίας, όταν χρησιμοποιηθούν 9 μονάδες κεφαλαίου για την παραγωγή των 200 μονάδων του προϊόντος και ποια όταν η επιχείρηση μετακινηθεί στην παραγωγή των 250 μονάδων του προϊόντος;

Λύση

.32445020050

36,04,0

6,04,06,04,06,04,0

KL

KL

KLKLKLq

Για Κ=9 θα είναι 3

32 1,1859

L (σημείο Μ).

.9,55555025050

36,04,0

6,04,06,04,06,04,0

KL

KL

KLKLKLq

Για Κ=9 θα είναι 3

55,9 2,079

L (σημείο Ν).


16. Επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα με τη χρησιμοποίηση σταθερής ποσότητας των

διαθέσιμων συντελεστών παραγωγής, κατά τη σχέση 4

520022

1yy . Να

απεικονιστεί γραφικά η καμπύλη μετασχηματισμού και να υπολογιστεί η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος y2 όταν παράγεται ποσότητα 75 μονάδων του y1 . Λύση

).(10100

50054

5200754

5200

222

22

22

22

1

ύύίyy

yyyy


17. Εάν, για την παραγωγή ορισμένης ποσότητας προϊόντος, γεωργική επιχείρηση χρησιμοποιεί τους συντελεστές εργασίας και εδάφους με τις ακόλουθες αναλογίες: Μονάδες εργασίας: 1 2 3 4 5 6 7 8 Μονάδες εδάφους : 20 12 8 6 4 5 9 14

Να υπολογιστεί η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης του εδάφους για καθεμία επιπλέον μονάδα χρησιμοποιούμενης εργασίας και να χαραχτεί η καμπύλη αυτής. Λύση

Μονάδες εργασίας

(L)

Μονάδες εδάφους

(La)

MRTS La από L

1 2 3 4 5 6 7 8

20 12 8 6 4 5 9 14

-8 -4 -2 -2 1 4 5

18. Το μέσο μεταβλητό κόστος (AVC) επιχείρησης εκφράζεται από τη συνάρτηση AVC=q2-20q+100 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Εάν το σταθερό κόστος


είναι 30 χρηματικές μονάδες, να προσδιοριστεί η συνάρτηση ολικού κόστους και να απεικονιστεί αυτή σχηματικά. Ποια θα είναι η ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος στην οποία το κόστος είναι μέγιστο και ποια η ποσότητα στην οποία είναι ελάχιστο; Λύση

.10020

)10020(

23

2

qqq

qqqAVCqVCqVCAVC

FC=30.

Επομένως, FC+VC=C=30+q3-20q2+100q. Το κόστος γίνεται μέγιστο (C1=178,15) στο σημείο Μ και ελάχιστο (C2=30) στο σημείο Ν. Στα σημεία αυτά το παραγόμενο προϊόν είναι, αντίστοιχα, q1=3,33 και q2=10 μονάδες.

19. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής 2

216 LLq (όπου L= μονάδες

εργασίας). Αν η τιμή ανά μονάδα εργασίας είναι 300 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστεί το μέσο μεταβλητό κόστος με τη χρησιμοποίηση 8 μονάδων εργασίας. Λύση

Με τη χρησιμοποίηση 8 μονάδων εργασίας, θα είναι: 2 286 6 8 16

2 2Lq L και

300 8 2400.zVC p z Επομένως, 2400 15016

VCAVCq

χρηματικές μονάδες.


20. Δίνεται η συνάρτηση κόστους C=2q3-q2+10q+15 (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Να υπολογιστεί το μέσο κόστος για 1 ώς 6 μονάδες προϊόντος και να απεικονιστούν γραφικά οι καμπύλες ολικού, μέσου, μεταβλητού και σταθερού κόστους. Ποιο είναι το οριακό κόστος της 5ης μονάδας του προϊόντος; Λύση

(q) (C) (AC) (MC)

1 2 3 4 5 6

26 47 90 167 290 471

26,00 23,50 30,00 41,75 58,00 78,50

21 43 77 123 181

Το οριακό κόσρος (MC) της 5ης μονάδας του παραγόμενου προϊόντος είναι 181 μονάδες.

21. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση του ολικού κόστους της προηγούμενης άσκησης (20), να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις και να απεικονιστούν γραφικά οι καμπύλες μέσου ολικού, μέσου σταθερού και μέσου μεταβλητού κόστους. Με ποια ποσότητα προϊόντος το μέσο μεταβλητό κόστος γίνεται ελάχιστο;


Λύση

3 222 10 15 152 10 .C q q qAC q q

q q q

15 .FCAFCq q

3 222 10 2 10.VC q q qAVC q q

q q

Το μέσο μεταβλητό κόστος γίνεται

ελάχιστο (AVC=9,875) σε ποσότητα προϊόντος q=0,25 μονάδες (σημείο Μ).

22. Εάν με την καταβολή κάθε μονάδας εισροής δαπανώνται 5 χρηματικές μονάδες, με σταθερό κόστος παραγωγής προϊόντος 21 χρηματικές μονάδες, χρησιμοποιούνται δε 3 μονάδες εισροής για την παραγωγή 6 μονάδων προϊόντος, ζητείται να υπολογιστούν: α) το ολικό κόστος, β) το ολικό μεταβλητό κόστος, γ) το μέσο ολικό κόστος, δ) το μέσο μεταβλητό κόστος, ε) το μέσο σταθερό κόστος και στ) το οριακό κόστος όταν για την παραγωγή 10 μονάδων του προϊόντος απαιτούνται 4 μονάδες εισροής. Λύση

α) 21 5 3 36zC FC VC FC p z

β) 5 3 15zVC p z

γ) 36 66

CACq

δ) 15 2,56

VCAVCq

ε) 21 3,56

FCAFCq

στ) 5 (4 3) 5 1, 25.(10 6) 4

zp zCMCq q


23. Μια μονοπωλιακή επιχείρηση έχει συνάρτηση κόστους παραγωγής προϊόντος της την C=20+10q+q2, η δε εξίσωση ζήτησης για το προϊόν είναι 3q=60-p. Να υπολογιστεί το κέρδος της επιχείρησης από την παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του προϊόντος. Λύση

3 60 60 3q p p q και 2(60 3 ) 60 3 .R pq q q q q

Επομένως,

.204501020360)1020()360(

222

22

qqqqqqqqqqCR

Για παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του προϊόντος, το κέρδος θα είναι: 250 10 4 10 20 500 400 20 80 χρηματικές μονάδες.

24. Εάν η τιμή ανά μονάδα, παραγόμενου από την επιχείρηση της άσκησης 23, προϊόντος είναι σταθερή στην αγορά και ίση με 6 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν τα έσοδα που επιτυγχάνει η επιχείρηση με την πώληση των μονάδων του προϊόντος που παράγονται, με τη χρησιμοποίηση 2 μονάδων του συντελεστή εργασία. Λύση

2 226 6 2 10.2 2Lq L Επομένως,

6 10 60R p q χρηματικές μονάδες.

25. Αν η εξίσωση ζήτησης αγαθού βραχυχρονίως είναι 8

120 2pq , να

απεικονιστούν γραφικά οι γραμμές ολικών και μέσων εσόδων και να προσδιοριστεί η ποσότητα του πωλούμενου αγαθού στην οποία πραγματοποιούνται τα περισσότερα έσοδα. Ποια είναι η τιμή πώλησης του αγαθού στην ποσότητα αυτή και ποιο το ύψος των εσόδων που επιτυγχάνονται; Λύση

qppqpq 812012088

120 222

.23028120 qqp

Επομένως, 2 30 2R p q q q και RAR pq

= 2 30 2 .q Τα περισσότερα έσοδα (R=63,2), πραγματοποιούνται σε


ποσότητα πωλούμενου αγαθού 10 μονάδων (σημείο Μ). Η τιμή ανά μονάδα πώλησης της ποσότητας αυτής του αγαθού θα είναι p = 63,2:10 = 6,32 χρηματικές μονάδες.

26. Αν η εξίσωση ζήτησης προϊόντος είναι 8

360 pq , να υπολογιστούν τα οριακά

έσοδα της επιχείρησης η οποία παράγει το προϊόν αυτό, όταν η παραγωγή αυξηθεί από 5 σε 6 μονάδες. Λύση

qppqpq 860336088

360

qqp3820

3860

. Επομένως,

28 8(20 ) 20 .3 3

R pq q q q q

Για q=5 θα είναι 2820 5 5 33,333

R

Για q=6 θα είναι 2820 6 6 24,003

R

Επομένως, τα οριακά έσοδα της 6ης μονάδας του προϊόντος θα είναι: 24,00 33,33 9,33.MR

27. Μια επιχείρηση που παράγει δύο προϊόντα Α και Β, αντιμετωπίζει συναρτήσεις


ζήτησης αυτών q1=80-0,6p1 και q2=30-p2 , αντιστοίχως. Εάν το κόστος παραγωγής του κάθε προϊόντος δίνεται, αντίστοιχα, από τις συναρτήσεις C1=20+12q1+

213q και

C2=30+5q2+ 4

22q , να υπολογιστεί το συνολικό κέρδος που πραγματοποιεί η επιχείρηση

από την παραγωγή και πώληση 5 μονάδων του Α και 20 μονάδων του Β προϊόντος. Λύση

Προϊόν Α

1 1 1 180 0,6 0,6 80q p p q και

11

80 .0,6qp

Επομένως,

21 1 1

1 1 1 180 80( )

0,6 0,6q q qR p q q

και

221 1

1 1 1 1 180( ) (20 12 3 )

0,6q qR C q q

=2 2 2

1 1 1 1 1 180 12 7,2 1,8 72,8 2,8 12 .0,6 0,6

q q q q q q

Για πώληση 5 μονάδων του Α προϊόντος, θα είναι: 2

172,8 5 2,8 5 12 364 70 12 470.

0,6 0,6

Προϊόν Β

2 2 2 230 30q p p q . Επομένως, 2

2 2 2 2 2 2 2(30 ) 30R p q q q q q και

)4

530()30(22

2222222

qqqqCR

= 4

53030022

2222

qqqq

2 2 22 2 2 2 2 2120 4 120 20 100 5 120 .

4 4q q q q q q

Για πώληση 20 μονάδων του Β

προϊόντος, θα είναι:

).(304

12020520100 2

2 ί

Συμπερασματικά, το συνολικό κέρδος που πραγματοποιεί η επιχείρηση είναι

1 2 470 30 440 χρηματικές μονάδες.

28. Εάν η ικανοποίηση που αποκτά ένας καταναλωτής από την κατανάλωση δύο

αγαθών Α και Β δίνεται από τη συνάρτηση 2

21

100xxx

(όπου x1 και x2 είναι οι

ποσότητες των αγαθών Α και Β αντιστοίχως), οι δε τιμές, ανά μονάδα των αγαθών


αυτών είναι, αντίστοιχα, 6 και 20 χρηματικές μονάδες και ο προϋπολογισμός του καταναλωτή για την αγορά τους 500 χρηματικές μονάδες, πόσες μονάδες από τα αγαθά Α και Β θα αγοραστούν; Να δείξετε αυτό και γραφικώς. Λύση

Η συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας είναι:

1 1 2 2p x p x C

1 26 20 500,x x μαζί δε με τη συνάρτηση σχετικής χρησιμότητας 21

2

100 ,xxx

δημιουργούν σύστημα το οποίο επιλύεται ως: Εκκινώντας από την τελευταία εξίσωση έχουμε:

100100 221221 xxxxxx

1100100)1(1

212 x

xxx

την οποία θέτοντας στην πρώτη εξίσωση έχουμε

11

1006 20 ( ) 5001

xx

121111 66)1(5002000)1(6 xxxxx

.0150049465005002000 1211 xxx

Mε την επίλυση της εξίσωσης αυτής βρίσκουμε τιμές 1 79,18΄x και 1 3,16.΄΄x

Θέτοντας τις τιμές 1΄x και 1

΄΄x στη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές

της x2, δηλαδή 2 1,25x ΄ και 2 24,04.΄΄x Συνεπώς, θα αγοραστούν 79,28 μονάδες

του αγαθού Α και 1,25 μονάδες του αγαθού Β (σημείο Μ) ή 3,16 μονάδες του Α και 24,04 μονάδες του Β (σημείο Ν).


29. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U=50x0,8 (όπου x=ποσότητα αγαθού). Ποια θα είναι η οριακή χρησιμότητα που αποκτά ο καταναλωτής με την κατανάλωση 32 μονάδων του αγαθού; Λύση

0,8 0,8150 50 31 779,94U x U και 0,8

2 50 32 800.U Επομένως, η οριακή

χρησιμότητα της 32ης μονάδας του αγαθού είναι:

2 1 800 779,94 20MU U U μονάδες χρησιμότητας.

30. Ο χάρτης αδιαφορίας καταναλωτή για δύο αγαθά Α και Β εκφράζεται από τη

συνάρτηση cxx

2

520

2

1 (c=σταθερά). Να χαραχτούν οι καμπύλες αδιαφορίας

για τιμές του c = 2, 3, 4, 5 και 6 μονάδες. Λύση

31. Να απεικονιστούν γραφικά στο ίδιο σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς αγαθού, qD=3(20-p) και qS=5+2p και να προσδιοριστούν η τιμή και η ποσότητα στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος. Ποια θα είναι η τιμή της ζητούμενης και ποια της προσφερόμενης ποσότητας αγαθού 15 μονάδων; Λύση

Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι


ppppqq SD 2536025)20(3 .11555 pp

Επομένως, D Sq q =27 (σημείο Μ). Για qD=15 θα είναι pD=15 (σημείο Λ) και για qS=15

θα είναι pS=5 (σημείο Ν).

32. Οι τιμές ανά μονάδα των αγαθών Α και Β είναι p1 και p2 αντιστοίχως. Εάν η ζήτηση των αγαθών αυτών δίνεται, αντίστοιχα, από τις εξισώσεις

211 565 ppqD και 212 7138 ppqD και η προσφερόμενη ποσότητα από τις εξισώσεις 211 246 ppq S και 212 91017 ppqS , να υπολογιστεί το ζεύγος

των τιμών p1 και p2 που εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των δύο αγαθών. Λύση

Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε:

1 1D Sq q και 2 2 .D Sq q Δηλαδή,

1 2 1 2

1 2 1 2

5 6 5 6 4 28 13 7 17 10 9

p p p pp p p p

1 2

1 2

10 7 123 16 9p pp p

Με την επίλυση του συστήματος των δύο εξισώσεων, βρίσκουμε p1=79 και p2=113, τιμές οι οποίες, πράγματι, εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών A και B. 33. Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς αγαθού είναι, αντίστοιχα, qD=60-2ρ+Υ (όπου p=τιμή του αγαθού και Υ=εισόδημα του καταναλωτή) και qS=3p+5, να προσδιοριστούν γραφικά η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας του αγαθού, όταν Υ=20 και όταν Υ=50 χρηματικές μονάδες.


Λύση

Στην κατάσταση ισορροπίας θα είναι: Για Υ=20, p1=15 και q1=50 (σημείο Μ1). Για Υ=50, p2=21 και q2=68 (σημείο Μ2).

34 . Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς αγαθού είναι, αντιστοίχως, qD=35-p (όπου p=τιμή του αγαθού) και qS= -10+2p και επιβληθεί φόρος 3 χρηματικών μονάδων ανά μονάδα του προσφερόμενου αγαθού, να υπολογιστούν η τιμή και η ποσότητα του αγαθού σε κατάσταση ισορροπίας πριν από και μετά την επιβολή του φόρου. Δείξτε τις σχετικές μεταβολές και γραφικώς. Λύση

Πριν από την επιβολή του φόρου

1 1D Sq q , δηλαδή

1 1 1 135 10 2 3 45 15p p p p και

1 120.D Sq q

Μετά την επιβολή του φόρου (t=3)

2 2D Sq q , δηλαδή 2 235 10 2( )p p t

2 2 2 235 10 2 2 3 3 51 17p p p p και 2 2

18.D Sq q

Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, η επιβολή του φόρου t=3 μετατοπίζει τη γραμμή προσφοράς από τη θέση

1Sq στη θέση

2Sq , έτσι που η τιμή p1=15 (σημείο ισορροπίας

Α) αυξάνεται στην p2=17 (σημείο ισορροπίας B). Το ποσόν του φόρου αντιστοιχεί στο τμήμα ΒΓ. Μέρος του τμήματος αυτού και συγκεκριμένα το τμήμα ΒΔ αντιστοιχεί στη διαφορά p2 – p1 η οποία θα καλυφθεί από τους καταναλωτές, ενώ το υπόλοιπο τμήμα ΓΔ θα βαρύνει τους παραγωγούς του αγαθού.


35. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της άσκησης 32, υποθέτουμε ότι επιβάλλεται φόρος t1=0,5 ανά μονάδα του αγαθού Α και t2=0,2 ανά μονάδα του αγαθού Β στους παραγωγούς των αγαθών αυτών. Να υπολογιστούν οι νέες τιμές που εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών. Δείξτε, επίσης, ότι ο φόρος επί του ενός αγαθού μειώνει και τις δύο τιμές των αγαθών, ενώ ο φόρος επί του άλλου αυξάνει και τις δύο. Λύση

Με την επιβολή του φόρου t1=0,5 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Α και t2=0,2 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Β, τα συστήματα εξισώσεων ζήτησης και προσφοράς για τα δύο αγαθά γίνονται:

1 1 2

1 1 2

5 6 5

6 4( 0,5) 2( 0, 2)

D

S

q p pq p p

και

2 1 2

2 1 2

8 13 7

17 10( 0,5) 9( 0,2)

D

S

q p pq p p

Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε: 1 1D Sq q , δηλαδή

1 2 1 25 6 5 6 4( 0,5) 2( 0,2)p p p p

4,02246565 2121 pppp 6,0710 21 pp

2 2D Sq q , δηλαδή

1 2 1 28 13 7 17 10( 0,5) 9( 0,2)p p p p

8,19510177138 2121 pppp .2,121623 21 pp


Οι τιμές p1 και p2 οι οποίες εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών Α

και Β προκύπτουν ως λύσεις του συστήματος των εξισώσεων 1 2

1 2

10 7 0,623 16 12, 2p pp p

Πραγματικά, με την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε p1=75,8 και p2=108,2. Εάν επιβληθεί ο φόρος t2=0,2 μόνο επί του αγαθού Β, τα συστήματα των εξισώσεων λαμβάνουν τις ακόλουθες μορφές:

1 1 2

1 1 2

5 6 5

6 4 2( 0, 2)

D

S

q p pq p p

και

2 1 2

2 1 2

8 12 7

17 10 9( 0, 2)

D

S

q p pq p p


1 2 1 2

1 2 1 2

5 6 5 6 4 2( 0,2)8 13 7 17 10 9( 0, 2)

p p p pp p p p

1 2 1 2

1 2 1 2

5 6 5 6 4 2 0, 48 13 7 17 10 9 1,8

p p p pp p p p

1 2

1 2

10 7 1, 423 16 7, 2p pp p

. Το σύστημα αυτό έχει

λύσεις τις p1=72,8 και p2=104,2. Οι τιμές αυτές, συγκρινόμενες με τις αντίστοιχες p1=79 και p2=113 (άσκηση 32), πριν από την επιβολή του φόρου, διαπιστώνεται ότι είναι μικρότερες. Εάν επιβληθεί ο φόρος t1=0,5 μόνο επί του αγαθού Α, τα συστήματα των εξισώσεων γίνονται:

1 1 2

1 1 2

5 6 5

6 4( 0,5) 2

D

S

q p pq p p

και 2 1 2

2 1 2

8 13 7

17 10( 0,5) 9 .

D

S

q p pq p p


1 2 1 2

1 2 1 2

5 6 5 6 4( 0,5) 28 13 7 17 10( 0,5) 9

p p p pp p p p

1 2 1 2

1 2 1 2

5 6 5 6 4 2 28 13 7 17 10 5 9

p p p pp p p p

1 2

1 2

10 7 123 16 14p pp p

. Το σύστημα αυτό έχει

λύσεις τις p1=82 και p2=117. Όπως διαπιστώνεται σε αυτή την περίπτωση, η επιβολή του φόρου μόνο επί του αγαθού Α αύξησε τις τιμές και των δύο αγαθών. 36. Εάν οι συναρτήσεις αποταμίευσης και επένδυσης είναι, αντίστοιχα, S=0,4Υ-50 και Ι=500 (όπου Υ=εθνικό εισόδημα) και η ισορροπία επέρχεται όταν S=I, να υπολογιστεί αλγεβρικώς και γραφικώς το επίπεδο ισορροπίας του εισοδήματος. Ποια είναι η επίδραση επί του εθνικού εισοδήματος της αύξησης κατά 30 ή της μείωσης κατά 20 χρηματικές μονάδες της δαπάνης επένδυσης και ποια η αριθμητική τιμή του πολλαπλασιαστή; Να επαληθευτούν τα ευρήματα και σχηματικά.


Λύση

0, 4 50 500 0, 4 550 1375.S I Y Y Y Εάν Ι=530 (δηλαδή ΔΙ=+30), θα

είναι 0,4Υ-50=530 0,4Y=580 Υ=1450 (δηλ. ΔΙ= = -20) θα είναι 0,4Υ-50=480

0,4Υ=530 Υ=1325 (δηλ. ΔΥ= -50) και 1450 1375 75 2,5.530 500 30

37. Εάν η αυτόνομη κατανάλωση ανέρχεται σε 10 χρηματικές μονάδες, η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι 0,9 και το ύψος της αυτόνομης δαπάνης επένδυσης 300 χρηματικές μονάδες, ζητούνται να υπολογιστούν το επίπεδο ισορροπίας του εθνικού εισοδήματος και η συνολική δαπάνη κατανάλωσης. Ποια είναι η αριθμητική τιμή του πολλαπλασιαστή; Λύση

.C bYY C I

Αντικαθιστώντας την καταναλωτική δαπάνη (C) της α΄ εξίσωσης στη β΄

εξίσωση (εξίσωση εισοδήματος) έχουμε:

Υ= α+bY+I Υ- bY=α+Ι Υ(1-b)=α+Ι 1 b

10 300 3100.1 0,9

Y Y

Επομένως, C=α+bY

10 0,9 3100 2800C C και 1 1 1 10.

1 1 0,9 0,1MPC


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣH 1. Να προσδιοριστούν οι εξισώσεις των ευθειών γραμμών που διέρχονται από το σημείο (3, 5): α) με κλίση 2, β) με κλίση -3 και γ) όταν η γωνία με τον άξονα x είναι 60 . Λύση

α)

)3(25

352

1

1 xyxy

xxyy

xy

xyxy 21625

β)

)3(35

353

1

1 xyxy

xxyy

xy

xyxy 314935

γ) Επειδή yx

(όπου ω=γωνία που σχηματίζεται από τη γραμμή της εξίσωσης

και τον άξονα x), θα είναι: 0 1

1

560 3 5 3( 3)3

y y y y xx x x

33353335 xyxy

xy 732,1196,0

2. Ποια είναι η κλίση της γραμμής της εξίσωσης 2x-3y+6=0 και ποιες οι συντεταγμένες των σημείων τομής της γραμμής με τους άξονες x και y; Λύση

22 3 6 0 3 6 2 2 .3xx y y x y Επομένως,

123

y bx

ή 32 3 6 3 .

2yx y x Επομένως,

23 .2

x by

Από την εξίσωση 2 3 6 0,x y για y=0, βρίσκουμε x= -3 και για x=0

βρίσκουμε y=2. Δηλαδή, οι συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας γραμμής με τους άξονες x και y είναι, αντίστοιχα, (-3,0) και (0,2). 3. Εάν το σημείο (4, 14) είναι σημείο της καμπύλης y=3x2-6x-10, να υπολογιστεί η κλίση της καμπύλης όταν η τιμή της μεταβλητής x αυξηθεί από 4 σε 6 μονάδες.


Λύση 2 23 6 10 3 6 6 6 10 62.y x x y Επομένως,

2 1

2 1

62 14 48 24.6 4 2

y yyx x x

4. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι (πρώτες) των ακόλουθων συναρτήσεων:

α) y= 53

x , β) y= 3 4x , γ) y=15 8x , δ) y= 2

5x

,

ε) y=100x, στ) 5

2

x

y , ζ) 483 35 xxy ,

η) cbxaabxaxy 4256 2 ,

θ) 1

1

xx

y , ι) )1)(25( 2 xxy ,

ια) )73)(26)(325( 23 xxxxy ,

ιβ) 423

xxy , ιγ) 2)

53(

xxy ,

ιδ) 3

523

)4()65)(2(

x

xxxy ,

ιε))4)(2(

1

xx

y , ιστ) 357 )3( xxxy ,

ιζ) 32 )54(20 xxy ,ιη) )625ln( 2 xxy ,

ιθ) 32 )5ln( xy , κ) )54)(3ln( 2 xxxy ,

κα) 2

2

11ln

xxy

, κβ) 563 xy , κγ) y= 652 2 xxe .

Λύση

α) 3 215 5

2 5 25

3 3 3 35 5 55

dy x xdx xx

β) 4 11 33 34 4 4

3 3 3dy x x xdx

γ) 8 1 9

9

12015( 8) 120dy x xdx x

δ) 3

3

1010dy xdx x

ε) 1 1 0100 100 100dy x x

dx

στ) 1 312 2

3

1 12( 5) ( 5)2 ( 5)

dy x xdx x

ζ) 4 215 24dy x xdx


η) 5 4 2 36 5 8dy ax abx a bxdx

θ) 1()1( 2 xxdxdxx

dxdy

)1(121

)1(

)1((2

21

21

xxxxxx

xxdxd

=xxxx )1(1(2

1

ι) 2 2(5 2 ) ( 1) ( 1) (5 2 )dy d dx x x xdx dx dx

22410)2)(1(2)25( 222 xxxxxx 2106 2 xx ια) Για την παραγώγιση της συνάρτησης, προσφεύγουμε στη χρησιμοποίηση τύπου που προκύπτει από την παραγώγιση της συνάρτησης γενικής μορφής y=uvw (όπου u, v και w είναι συναρτήσεις της x). Για την παραγώγιση της συνάρτησης y=uvw σκεφτόμαστε ως εξής: Έστω ότι το y αυξάνεται κατά την ελάχιστη ποσότητα Δy, ως αποτέλεσμα της αύξησης των u, v και w, αντιστοίχως. Επομένως, η συνάρτηση θα γίνει: y+Δy=(u+Δu)(v+Dv)(w+Δw)=uvw+wΔuΔv+vwΔu+uwΔv+uvΔw+ΔuΔvΔw+vΔuΔw+uΔvΔw. Αλλά, επειδή y=uvw, θα έχουμε:

.wvuwuvwvuwuvvuwuvwvuwy Εάν τα μέλη της ισότητας αυτής διαιρεθούν δια Δx, αποκτούμε:

xwvu

xwuv

xvuw

xuvw

xvuw

xy

.xwvu

xwuv

Επειδή Δu, Δv, Δw και Δx είναι πολύ μικρές ποσότητες, πολλαπλασιαζόμενες μεταξύ τους γίνονται ακόμη μικρότερες, που ακόμη και αν διαιρεθούν με το Δx θεωρούνται αμελητέες. Έτσι, η παραπάνω ισότητα γίνεται: y u v wvw uw uvx x x x

. Επειδή δε x 0 θα είναι:

dy du dv dwvw uw uvdx dx dx dx

και η οποία είναι η τελική μορφή της παραγώγου της

συνάρτησης γενικής μορφής y = uvw. Επομένως, για τη λύση της άσκησης 3 2(5 2 3)(6 2)(3 7)y x x x x , προσφεύγουμε στον παραπάνω τύπο

θεωρώντας ότι 35 2 3u x x , 26 2v x και 3 7w x . Έτσι,

2 3 3(6 2)(3 7) (5 2 3) (5 2 3)(3 7)dy dx x x x x x xdx dx

)26)(325()26( 232 xxxxdxd


)325()215()73)(26)(73( 322 xxxxxxdxd

3)26)(325()12)(73( 23 xxxxx

= 5 4 3 2540 1050 264 624 228 46.x x x x x

ιβ)

3 3

2

2 3 3 2 3 3 2

2 2 2

( 4) ( 2) ( 2) ( 4)

( 4)( 4) 3 ( 2) 3 12 2 2( 6 1)

( 4) ( 4) ( 4)

d dx x x xdy dx dxdx xx x x x x x x x

x x x

ιγ)

2 2 2 2

4

( 5) ( 3) ( 3) ( 5)

( 5)

d dx x x xdy dx dxdx x

=2 2 2

4 3

( 5) 2( 3) ( 3) 2( 5) 2( 5)( 3) 2( 3)( 5) ( 5)

x x x x x x xx x

= 3 3

2( 3)( 5 3) 16( 3) .( 5) ( 5)

x x x xx x

3 3 2 5) ( 4) ( 2)( 5 6)dx x x xdx

3 2 5 3

6

( 2)( 5 6) ( 4)

( 4)

dx x x xdy dxdx x

=

3 3 2 5 3 2 5

6

( 4) ( 2) ( 5 6) ( 5 6) ( 2)

( 4)

d dx x x x x x xdx dx

x

-

3 2 5 3

6

( 2)( 5 6) ( 4)

( 4)

dx x x xdx

x

=3 3 2 4 2 3 2 5

6

( 4) ( 2) 5( 5 6) (3 10 ) ( 5 6)( 4)

x x x x x x x xx

3 2 5 2

6

22 3 2 4

3 2 3 2

6

( 2)( 5 6) 3( 4)( 4)

5( 4)( 2)(3 10 )( 4) ( 5 6)

( 4)( 5 6) 3( 2)( 5 6)( 4)

x x x xx

x x x xx x x

x x x x x xx

=3 2 4 4 3 2

4

( 5 6) (13 80 30 388 60) .( 4)

x x x x x xx

ιε) 1 1 1 1( 2) ( 4) ( 4) ( 2)dy d dx x x xdx dx dx

= 1 2 1 2( 2) ( 4) ( 4) ( 2)x x x x


= 2 2 2 2

1 1 ( 2) ( 4)( 2)( 4) ( 4)( 2) ( 2) ( 4)

x xx x x x x x

= 2 2

2( 1) .( 2) ( 4)

xx x

ιστ) 7 5 2 7 53( 3 ) ( 3 )dy dx x x x x xdx dx

= 7 5 2 6 43( 3 ) (7 15 1).x x x x x

ιζ) 2 2 2 2 260( 4 5) ( 4 5) 60( 4 5) (2 4).dy dx x x x x x xdx dx

ιη) 2

10 2 .5 2 6

dy xdx x x

ιθ) 2 2

2 3 2

3(5 ) 2 6 .(5 ) 5

dy x x xdx x x

κ) 22

1 2 4ln( 3) ln( 4 5) .3 4 5

dy d d xx x xdx dx dx x x x

κα) 2 2

2 2 12 2 1

2 (1 ) ( 2 )ln(1 ) ln(1 )1 (1 )

dy d d x x xx xdx dx dx x x

= 2 2

2 2 .1 1x xx x

κβ) 6 5 6 53 6 ln 3 6,5917 3 .x xdydx

κγ) 22 5 6(4 5) .x xdy x e

dx

5. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι (πρώτες) των ακόλουθων εκθετικών συναρτήσεων:

α) xy 2 , β) 22 xaaby , γ) 63 3

25 xy , δ) 12

xexy , ε)

2xey , στ)

212 )2( xxey , ζ)

222 )( xxey , η) )2( 3 xxxy , θ) 2xeay ,

ι) 2xxey , ια)

5xeeey . Λύση

α) 12 ln ln 2 ln 2 ln 2x dy d dy y x x xy dx dx dx

1 ln 2dyy dx

ln 2 2 ln 2.xdy dyydx dx

β) 1

2 2 2 2 2( )b by a x y a xa a

1

2 2 21 ( 2 ) ( )2

dy bx a xdx a

12 2 2( ) .b x a x

γ) 3 33 6 3 6 325 ln ln(25 ) ln (3 6) ln 25x xy y y x


3 31 (3 6) ln 25 ln 25 (3 6)dy d dx xy dx dx dx

3 2 21 (3 6) 0 ln 25 9 (9 ln 25)dy dyx x y xy dx dx

33 6 225 9 ln 25xdy x

dx .

δ) 2 1 2 2 21 1 11ln ln ln lnxe x x xdy d dy x y e x e x x e

y dx dx dx

2 2 21 1 11 1 1 1ln 2 ( 2 ln )x x xdy dye x xe e x x

y dx x y dx x

22 1 21 11 1( 2 ln ) ( 2 ln )xx e xdy dyye x x x e x x

dx x dx x .

ε) 2 2 2 1ln ln ln 2 2x dy dyy e y x e y x x xy

y dx dx

2

2 .xdy xedx

στ) 1

2 21 1

( 2) 2 22 2ln ( 2) ln ln ( 2)x xy e y x x e y x x

12 2

12 2

1 1 ( 2) (2 1)2

1 ( 2) (2 1)2

dy x x xy dx

dy y x x xdx

1 12 22 2( 2) ( 2) (2 1)1 .

2x x x x xdy e

dx

ζ) 2 2 2( ) 2 2 2 2 2ln ( ) ln ln ( )x xy e y x x e y x x

2 2 3 2 2 31 2( )(2 2 ) 2 ( )(2 2 )dy dyx x x x y x x x xy dx dx

2 2 2

2 2 2

( ) 2 2 3

( ) 2 2 3

2 ( )(2 2 )

4 ( )( ).

x x

x x

dy e x x x xdxdy e x x x xdx

η) 3(2 ) 3 31ln (2 ) ln (2 ) lnx x dy dy x y x x x x x x

y dx dx

3 3 21 1ln (2 ) (2 ) ln (6 1)d dyx x x x x x xdx y dx x

3

2 2

(2 ) 2 2

(2 1) ln (6 1)

(2 1) ln (6 1) .x x

dy y x x xdxdy x x x xdx

θ) 2 2 2 21ln ln ln lnxe x x xdy d dy a y e a e a a e

y dx dx dx

22 2 21 2 ln 2 ln 2 ln .xx x e xdy dy dyxe a y xe a a xe a

y dx dx dx

ι) 2 2 2

ln ln lnxx x xy e y x e y x . Θέτω z=lny και έχω


2 2 2 21ln ln ln lnx dz d dz x z x x x x x xz dx dx dx

21 1 12 ln 2 ln .dz dzx x x x x x

z dx x z dx Επειδή όμως

1dz dydzdy y y

θα έχουμε

1 12 ln 2 lnln

1 1 2 lnln

dydz yx x x x x x

z dx y dxdy x x x

y y dx

2 2

ln ( 2 ln ) ( 2 ln ).xx xdy dyy y x x x e x x x x

dx dx

ια) 5 5 5

ln ln ln .xe x xe e ey e y e e y e Θέτω z=lny και έχω

5 5 5

ln ln ln ln .xe x xz y z e z e e x e

Θέτω lnw z

5 5 5 41ln ln ln 5 .x dww e w x e w x xw dx

Επειδή,

όμως, 1 1dz dwdy y dz z

θα είναι .dydwyz

Επομένως,

5 5 54 4 41 5 5 5 .xe xe e x

dydy dyyz x yzw x e e e x

w dx dx dx

6. Εάν η τιμή της μεταβλητής x αυξηθεί από 4 σε 7 μονάδες στη συνάρτηση y=x3+2x2-15x+4 , να υπολογιστεί η ελαστικότητα του τόξου μεταξύ των αντίστοιχων σημείων και να συγκριθεί αυτή με το μέσο όρο των ελαστικοτήτων στα σημεία αυτά. Λύση

Από τη συνάρτηση 3 22 15 4y x x x , για x1=4 και x2=7, υπολογίζουμε ,

αντίστοιχα, τιμές y1=40 και y2=340. Επομένως, η ελαστικότητα τόξου μεταξύ των σημείων (4, 40) και (7, 340) είναι:

2 1 1 2

2 1 1 2

340 40 4 7 2,895.7 4 40 340

y y x xnx x y y

Η ελαστικότητα τόξου μπορεί να

υπολογιστεί ως ο μέσος όρος των στιγμικών ελαστικοτήτων των ακραίων σημείων του τόξου. Η στιγμική ελαστικότητα σε αυτά (όπως και σε οποιοδήποτε σημείο του τόξου) είναι:

2(3 4 15).

dy x xn x xdx y y

Έτσι, το σημείο (4, 40) είναι:

21

4(3 4 4 4 15) 4,940

n και στο σημείο (7, 340) είναι


22

7(3 7 4 7 15) 3, 294.340

n Επομένως, η ελαστικότητα τόξου μεταξύ των

σημείων (4,40) και (7, 340) είναι

1 2 4,9 3, 294 4,0972 2

n nn , η οποία, όπως διαπιστώνεται, διαφέρει της τιμής

2,895 που υπολογίστηκε προηγουμένως. 7. Να προσδιοριστεί η ελαστικότητα των ακόλουθων συναρτήσεων:

α) 113

3

2

xxy , β) 4332 )2()1( xxy , γ) xaey ,

δ) 2

1xeay ,

ε) 4

3zzy , στ) key , ζ) taey , η)

21xezy ,

θ) 3)1(

xaay ,

ι) xxey 22 , ια) kaxy , ιβ) kxay .

Λύση

α) 2 3 2 2

3 3 2

3 1 ( 1)6 (3 1)31 ( 1)

x dy x x x xyx dx x

3 2 3 3

3 2 3 2

3 2( 1) (3 1) 3 (2 2 3 )( 1) ( 1)

x x x xdy dy x x x xdx x dx x

3

3 2

3 ( 2 ) .( 1)

dy x x xdx x

Άρα,

3

23 2

3

3 ( 2 )3 1( 1)

1

dy x x x x xn nxdx y xx

3 3 2 3

2 3 2 2 3

3 ( 2 ) ( 1) 3 ( 2 ) .(3 1)( 1) (3 1)( 1)

x x x x x x x xn nx x x x

β) 2 3 4 2 3 4( 1)( 2) 3( 1) 2 ( 2)dyy x x x x xdx

3 5 2 2 3 2 2 3 44( 2) 3 ( 1) 6 ( 1) ( 2)dyx x x x x xdx

2 2 3 3 5 2 3 5 3 212 ( 1) ( 2) 6 ( 1)( 2) ( 2) 2 ( 1)x x x x x x x x x 2 2 3 5 3 3

2 2 3 5 3

6 ( 1) ( 2) ( 2 2 2 )6 ( 1) ( 2) ( 2 2).x x x x x xx x x x x


Επομένως, 2 2 3 5 36 ( 1) ( 2) ( 2 2)dy x xn x x x x xdx y y

2 3 5 32 3 3 46 ( 1)( 2) ( 2 2)

( 1) ( 2)xn x x x x x

x x

2 3

3 2 2

6 ( 2 2) .( 2)( 1)x x xnx x

γ) ln ln ln ln ln lnx xy ae y a e y e y x

1 .xdy dy dyy aey dx dx dx

Επομένως,

.x

xdy x xn ae n xdx y ae

1 1 12 2 2

11 1 122 2 2

1 1 12 2 2

1 1) ln ln ln

1 1 1ln ln ln .2 2 2

x

x

e x x

x x e x

dy d dyy a y e a a ey dx dx y dx

dy dya x e x a x e a a x edx dx

Άρα, 1 1 12 2 2

12

1 12 21 1ln ln .

2 2x

x

e x x

e

xn a a x e ax ea

3 34 4

1 1 1 14 4 4 43 3ln ln .

4 4z zdy dyz z z z z z z z

dz dx

Άρα,

34

3 34 4

31 1 1 44 4 43 3( ln ) ln

4 4z

z z

z zn z z z z n z z zz z

34

34

33 3 34 ( )4 4 43 3ln ln .

4 4z

z

zn z z n z z zz

στ) ln ln( ) ln ln lnkw kwy e y e y kw e y kw

1 .kwdy dy dyk yk e ky dw dw dw

Άρα,

.kwkwwn e k n kwe

ζ) ln ln ln ln ln lnt ty ae y a e y a t e

1ln ln .dy dyy a t xy dt dt

Άρα,

.dy t tn n y n tdt y y


1 1 12 2 2

1 12 2

1 12 2

) ln ln( ) ln ln

1 1 1ln ( ln ). ,2 2

x xe e x

x x

y z y z y e zdy dyx e z y zx e ΄

y dx dx

1 12 2

1 12 21 1( ln ) ( ln )

2 2x xdy x xn n y zx e n zx e x

dx y y

12

121 ln .

2xn zx e

θ) 3( 1) 3 3ln ( 1) ln ln ( 1) ln

xa ay a y x a y x a a

4 41 3( 1) ln 3 ln ( 1) .dy dyx a a a a y xy dx dx

Επομένως,

4 43 ln ( 1) 3 ln ( 1) .dy x xn a a y x n a a x xdx y y

ι) 2 2 2 1ln ln( ) ln 2 2 2 2x x x x dyy e y e y x x

y dx (2 2)dy y x

dx .

Επομένως,

(2 2) 2 ( 1).dy x xn n y x n x xdx y y

ια) 1.k kdyy ax kaxdx

Επομένως,

1 1 .k

k kk k

dy x x x kaxn kax n kax n n kdx y y ax ax

ιβ) 1 .k ka dy kayx dx x Επομένως,

1

1 1 1( ) ( )k

k k k

k

dy x ka x ka x x kan n n nadx y x y x a xx

.n k

8. Να υπολογιστεί για x=3, η στιγμική ελαστικότητα των ακόλουθων συναρτήσεων: α) y=5x+8 , β) y=3x5, γ) y=2x3-6x2+4x+5 και δ) y=xeΧ. Λύση

α) y=5x+8. Για x=3 θα είναι y=23. Επομένως,

35 0,652.23

dy xndx y

β) 53y x . Για x=3 θα είναι y=729. Επομένως,


5 54 15 15 315 5.

729dy x x xn xdx y y y

γ) 3 22 6 4 5.y x x x Για x=3 θα είναι y=17. Επομένως,

2 2 3(6 12 4) (6 3 12 3 4) 3,882.17

dy x xn x xdx y y

δ) xy xe . Για x=3 θα είναι y=60,256. Επομένως,

3 3( 1) 2,71828 (3 1) 4.60,256

xdy x xn e xdx y y

(ή ( 1) 1 3 1 4).xx

dy x xn e x xdx y xe

9. Να υπολογιστούν η στιγμική ελαστικότητα για p=10 και η ελαστικότητα τόξου για τιμές μεταξύ p=5 και p=8, της συνάρτησης ζήτησης 23,02100 ppq .

Λύση

Για p=10, η συνάρτηση 2100 2 0,3q p p δίνει q=50. Επομένως, η στιγμική

ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο (10, 50) είναι: 10( 2 0,6 ) ( 2 0,6 10) 1,650pD

dq p pn pdp q q

(ζήτηση ελαστική). Για τιμές

p1=5 και p2=8 οι ζητούμενες ποσότητες θα είναι, αντίστοιχα, q1=82,5 και q2=64,8. Επομένως, η ελαστικότητα τόξου μεταξύ των σημείων (5, 82,5) και (8, 64,8) είναι:

2 1 1 2

2 1 1 2

64,8 82,5 5 8 0,528 5 82,5 64,8pD

q q p pnp p q q

(ζήτηση ανελαστική).

10. Εάν η εξίσωση ζήτησης αγαθού είναι η 31

)2( qp (όπου (0 2)q ), να υπολογιστεί η εξίσωση της ελαστικότητας ζήτησης του αγαθού ως προς την τιμή αυτού. Λύση

13 33(2 ) 2 2p q p q q p . Επομένως,

3 32

3

3 332pD

dq p p p pn pdp q q q p

.

11. Εάν η τιμή ανά μονάδα προϊόντος είναι 50 χρηματικές μονάδες, η επιχείρηση η οποία παράγει το προϊόν αυτό πωλεί 500 μονάδες σε ορισμένη χρονική περίοδο. Εάν η τιμή του προϊόντος μειωθεί στις 45 χρηματικές μονάδες, η επιχείρηση πωλεί 600


μονάδες αυτού. Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης του προϊόντος στην τιμή των 50 χρηματικών μονάδων; Λύση

600 500 50 245 50 500pD

q pnp q

(ζήτηση ελαστική).

12. Αγαθό έχει συνάρτηση ζήτησης την qkp . Να υπολογιστεί η ελαστικότητα

ζήτησης για οποιαδήποτε τιμή του k. Λύση

k kp qq p

. Επομένως, 2 1pD

dq p k p k kndp q p q pq k

.

Η ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού για οποιαδήποτε τιμή του k είναι σταθερή και ίση με την αρνητική μονάδα. 13. Εάν η συνάρτηση προσφοράς αγαθού είναι 02,05,0210 ppq , να υπολογιστεί η ελαστικότητα προσφοράς για το διάστημα τιμών μεταξύ 2 και 5 χρηματικών μονάδων και για τιμή 10 χρηματικών μονάδων. Λύση

Από τη συνάρτηση 0,5 0,0210 2q p p , για p1=2 και p2=5, οι προσφερόμενες ποσότητες του αγαθού θα είναι, αντίστοιχα, 1 13,842q και 2 15,505q . Επομένως,

η ελαστικότητα (τόξου) προσφοράς μεταξύ των σημείων (2, 13,842) και (5, 15,505) είναι:

2 1 1 2

2 1 1 2

15, 505 13,842 2 5 0,1325 2 13,842 15,505S

q q p pnp p q q

(προσφορά ανελαστική). Για p=10 η προσφερόμενη ποσότητα του αγαθού υπολογίζεται από τη συνάρτηση σε q=17,372 και επομένως η στιγμική ελαστικότητα προσφοράς του αγαθού στο σημείο (10, 17,372) είναι:

0,5 0,980,5 0,98

1 0,02( 0,02 ) ( )Sdq p p pn p pdp q q p p q

0,5 0,98

1 0,02 10( ) 0,18310 10 17,372

(προσφορά ανελαστική).

14. Η προσφορά ενός αγαθού δίνεται από την εξίσωση 85 pq (όπου p> 8). Να

υπολογιστεί η εξίσωση της ελαστικότητας προσφοράς και να αποδειχθεί ότι η


ελαστικότητα ελαττώνεται με την αύξηση της τιμής του αγαθού και γίνεται μοναδιαία στην τιμή p=16. Λύση

121 5 1 55 ( 8)

2 2 8 2 8 5 8Sdq p p p pn pdp q q qp p p

= 5 1810( 8) 2( 8) 2(1 )

p pp p

p

. Πράγματι, όπως διαπιστώνεται από τη σχέση αυτή,

όσο η τιμή p του αγαθού αυξάνεται, τόσο η ελαστικότητα nS ελαττώνεται, τείνουσα (όταν p ) στο 0,5 και γίνεται μοναδιαία στην τιμή p=16. 15. Να υπολογιστούν οι ελαστικότητες ζήτησης και προσφοράς αγαθού στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος των συναρτήσεων

2100 pqD και pqS 510 .

Λύση

Στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος θα είναι qD = qS, δηλαδή 2 2100 10 5 5 90 0.p p p p Επιλύοντας την εξίσωση βρίσκουμε p=7,31 (η

αρνητική τιμή της p απορρίπτεται), στην οποία αντιστοιχεί ποσότητα qD = qS =46,56 μονάδες του αγαθού. Επομένως,

2 22 2 7,312 2, 29546,56pD

dq p p pn pdp q q q

(ζήτηση ελαστική) και

7,315 5 0,78546,56S

dq p pndp q q

(προσφορά ανελαστική).

16. Εάν nD και ηS είναι, αντίστοιχα, οι συντελεστές ελαστικότητας ζήτησης και προσφοράς αγαθού, να υπολογιστεί η σχετική μεταβολή της τιμής η προκαλούμενη από τη μεταβολή της προσφερόμενης ποσότητας του αγαθού κατά ποσοστό α. Να

υπολογιστεί η pdp όταν ηD = -3 , ηS =2 και α=20%.

Λύση

Οι ελαστικότητες ζήτησης και προσφοράς του αγαθού είναι, αντίστοιχα, D

DD

dq pndp q

και SS

S

dq pndp q

.

Η πρώτη, επιλυόμενη ως προς D

D

dqq

δίνει DD

D

dq dpnq p

.


Η δεύτερη, με τη μεταβολή της προσφερόμενης ποσότητας του αγαθού κατά ποσοστό

α, δίνει SS

S

dq dpn aq p

. Επομένως,

( )D S D SD S

dp dp dp dp an n a n n ap p p p n n

. Συγκεκριμένα, εάν nD= -3, nS=

2 και α=20%, τότε 0,20 0,043 2

dpp

. Η τιμή 0,04 σημαίνει ότι αύξηση (ή

ελάττωση) της προσφερόμενης ποσότητας του αγαθού κατά 20% θα επιφέρει ελάττωση (ή αύξηση) της τιμής αυτού κατά 4%. 17. Δίνεται ο ακόλουθος πίνακας με υποθετικά δεδομένα, που αφορούν ορισμένο καταναλωτή, για συγκεκριμένο αγαθό.

Χρονική περίοδος

Αγοραία τιμή του αγαθού x

Αγοραζόμενη ποσότητα του αγαθού x

Εισόδημα του καταναλωτή

Αγοραία τιμή του αγαθού Υ

1 2 3 4 5 6 7 8

5 5 4 3 3 6 5 3

50 60 50 70 60 60 70 50

10 12 15 10 15 12 12 10

2 2 3 1 2 2 3 4

Να υπολογιστούν οι συντελεστές ελαστικότητας ως προς την τιμή, ως προς το εισόδημα και η σταυροειδής ελαστικότητα (υπενθυμίζεται ότι το εισόδημα πρέπει να είναι σταθερό όταν υπολογίζονται οι ελαστικότητες ως προς την τιμή και σταθερές οι τιμές όταν υπολογίζεται η εισοδηματική ελαστικότητα).


Λύση

Υπολογισμός συντελεστών ελαστικότητας ως προς την τιμή του αγαθού Χ:

18. Εάν η τιμή ενός αγαθού αυξηθεί κατά 5% και η ζήτηση μειωθεί κατά 8%, να υπολογιστεί η ελαστικότητα ζήτησης και το ποσοστό μεταβολής των ολικών εσόδων. Λύση

Η ελαστικότητα συνάρτησης δίνεται από τη σχέση .y xnx y

Έτσι, για την

ελαστικότητα ζήτησης στη συγκεκριμένη άσκηση θα είναι 8 15

q pnp q

(ζήτηση

ελαστική). Τα έσοδα πριν από τις μεταβολές, θα είναι R pq και μετά τις μεταβολές διαμορφώνονται ως .R΄ p΄q΄ Αλλά 0, 05 0, 08 .p΄ p p q΄ q q Συνεπώς, R΄ p΄q΄ = ( 0, 05 )( 0,05 )p p q q (1 0, 05)(1 0, 08)p q = (1, 05)(0,92)pq

=0,966pq=0,966R. δηλαδή υπάρχει μείωση των εσόδων κατά 3,4% (0,034=1-0,966). 19. Η συνάρτηση η οποία συνδέει τη ζητούμενη ποσότητα ενός αγαθού με το εισόδημα του καταναλωτή είναι 3,0350 Yq . Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης

του αγαθού εάν το εισόδημα του καταναλωτή αυξηθεί από 20 σε 30 χρηματικές μονάδες;


Λύση

Από τη συνάρτηση 0,350 3q Y , για Υ1=20 και Υ2=30 οι ζητούμενες ποσότητες του αγαθού θα είναι, αντίστοιχα, 1 57,37q και 2 58,33q . Επομένως, η εισοδηματική

ελαστικότητα ζήτησης (ελαστικότητα τόξου) μεταξύ των σημείων (20, 57,37) και (30, 58,33) είναι:

2 1 1 2

2 1 1 2

58,33 57, 37 20 30 0, 041.30 20 57,37 58,33YD

q q Y YnY Y q q

20. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι 25,05100 zzq (όπου z=μονάδες εισροής και q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος), να υπολογιστεί η ελαστικότητα του προϊόντος για z=8 μονάδες. Για ποια τιμή του z η παραγωγή είναι πλήρως ελαστική, πλήρως ανελαστική ή ίση με -1; Λύση

Για z=8 μονάδες εισροής, η συνάρτηση 2100 5 0,5q z z δίνει q=108 μονάδες προϊόντος. Επομένως, η ελαστικότητα παραγωγής θα είναι:

8(5 ) (5 8) 0,222108q

dq z zn zdz q q

. Η παραγωγή είναι πλήρως ελαστική

(είναι, δηλαδή, )dq zdz q

όσο ο λόγος zq , δηλαδή όσο 0.q Έτσι,

2100 5 0,5 0 0,5( 20)( 10) 0,z z z z εξίσωση η οποία δίνει πραγματική τιμή z = 20.

Η παραγωγή είναι πλήρως ανελαστική, όταν (5 ) 0qzn zq

, δηλαδή όταν

(5 ) 0,z z εξίσωση η οποία δίνει z1=0 και z2=5. Τέλος, 2

2

(5 ) 51 1 1100 5 0,5q

z z z znq z z

2 2 25 100 5 0,5 1,5 10 100 0,z z z z z z η οποία έχει λύση την z=12,152 (η

αρνητική ρίζα απορρίπτεται). 21. Επιχείρηση η οποία παράγει το προϊόν x1 έχει συνάρτηση κόστους παραγωγής

1211 bxaxC . Να υπολογιστεί η ελαστικότητα κόστους και να αποδειχθεί ότι αυτή

τείνει στο 2 όσο η παραγωγή του x1 επεκτείνεται. Μια άλλη επιχείρηση, που παράγει το προϊόν x2, έχει συνάρτηση κόστους dcxC 22 . Να υπολογιστεί η

ελαστικότητα κόστους και να αποδειχθεί ότι αυτή αυξάνεται, τείνουσα στο 0,5 με την απεριόριστη (θεωρητικά) αύξηση της παραγωγής του προϊόντος x2.


Λύση

1

1 1 1 1 1 1 1 11 2

1 1 1 1 1 1 1 1

(2 ) (2 ) 2(2 ) .( )C

dC x x ax b x ax b x ax bn ax bdx C C ax bx ax b x ax b

Διαιρώντας δια x1 τους όρους του κλάσματος, έχουμε:

1 1

1

1

22 2 2.

baax b x a

bax b aax

2

1 12 2 2 2 22 2

2 2 12 2 2 22

2

1 1( ) ( ) .2 2 2( )( )

CdC x x cx cxn cx d c cx ddx C C cx dcx d

Διαιρώντας

του όρους του κλάσματος δια x2, έχουμε: 2

2

2

0,5.22( ) 22

cx c cdcx d ccx

22. Εάν y=f(x) είναι η συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους, να προσδιοριστεί η ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου μεγέθους. Λύση

Η ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου μεγέθους (ΜΜ) δίνεται από τη σχέση:

2

2

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

dx f x f xd MM x d f x x xdxn f xdx MM dx x x f xx

( ) ( ).

( )

dx f x f xdx

f x

23. Να απαντηθούν, με τη χρησιμοποίηση παραγώγων, τα ακόλουθα: α) Έστω ΑR(x) η συνάρτηση μέσων εσόδων. Να αποδειχθεί ότι η ελαστικότητα της συνάρτησης ολικών εσόδων ισούται με την ελαστικότητα των μέσων εσόδων +1. β) Έστω C(x) η συνάρτηση του ολικού κόστους. Να δειχθεί ότι η ελαστικότητα του μέσου κόστους ισούται με την ελαστικότητα του ολικού κόστους -1. γ) Έστω AP(x) η συνάρτηση του μέσου προϊόντος. Να αποδειχθούν: α) όταν το οριακό μέσο προϊόν είναι αρνητικό, τότε ΜP<AP, β) όταν το οριακό μέσο προϊόν είναι θετικό, τότε MP>AP και γ) όταν το οριακό μέσο προϊόν είναι ίσο με 0, τότε MP=AP.


Λύση

α) Έστω Rn η ελαστικότητα των ολικών εσόδων και ARn η ελαστικότητα των μέσων

εσόδων. Θα είναι

( )Rd xn Rdx R

και

2

( ) ( ) ( )AR AR ARd x d R x d R xn AR n nRdx AR dx x dx x R

x

2

2 1.AR AR AR

dR dRx R x Rx x dRdx dxn n nx R R R dx

Αλλά,

.Rx dR nR dx

Επομένως, 1 1.AR R R ARn n n n

β) Έστω n1 η ελαστικότητα του ολικού κόστους και n2 η ελαστικότητα του μέσου κόστους. Θα είναι:

CdC xndx C

και

2

( ) ( ) ( )AC AC ACd x d C x d C xn AC n nCdx AC dx x dx x C

x

2

2 1.AC AC AC

dC dCx C x Cx x dCdx dxn n nx C C C dx

Αλλά, .C

x dC nC dx

Επομένως, 1.AC Cn n

γ) έστω QAPx

η συνάρτηση του μέσου προϊόντος (όπου Q=f(x) η συνάρτηση

προϊόντος) και Μ(AP) η συνάρτηση του οριακού μέσου προϊόντος. Από τη δεύτερη έχουμε

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

dQx Qd d Q dxM AP AP M AP M APdx dx x x

Εάν

( ) 0,M AP δηλαδή

2 0 0 .

dQx Q dQ dQ dQ Qdx x Q x Q P Px dx dx dx x

γ) Ομοίως, αν Μ(ΑP)=0, θα είναι

.dQ dQ Qx Q MP APdx dx x


24. Εάν η παραγωγή δύο προϊόντων, παραγομένων από επιχείρηση, δίνεται από τη συνάρτηση 5020 2

221 yyy , να υπολογιστεί η ελαστικότητα μετασχηματισμού

για το διάστημα των τιμών του y2=15 και y2=20 μονάδες. Πότε η ελαστικότητα μετασχηματισμού είναι ίση με -1; Λύση

Από τη συνάρτηση 21 2 220 50y y y , για y2=15 και y2=20 υπολογίζονται,

αντίστοιχα, y1=125 και y1=50. Επομένως, η ελαστικότητα μετασχηματισμού μεταξύ των σημείων (15, 125) και (20, 50) είναι:

12 11 21 22

22 21 11 12

50 125 15 20 3.20 15 125 50T

y y y yny y y y

Η στιγμική ελαστικότητα

μετασχηματισμού είναι:

1 2 22

2 1 1

( 2 20) .Tdy y yn ydy y y

Επομένως, 2 222 2 2 2 22

2 2

( 2 20) 1 2 20 20 5020 50yy y y y y

y y

22 23 40 50 0y y , η οποία έχει λύση την y2=14,484 (η αρνητική ρίζα απορρίπτεται).

Από την αρχική συνάρτηση υπολογίζεται y1=129,894. Συνεπώς, η ελαστικότητα μετασχηματισμού είναι ίση με -1 στο σημείο (14,484, 129,894). 25. Εάν η συνάρτηση η οποία συνδέει την παραγωγή δύο προϊόντων είναι η

2004

5 222

1 yy , να υπολογιστεί η οριακή σχέση και η ελαστικότητα

μετασχηματισμού στην παραγωγή 10 μονάδων του προϊόντος y2. Λύση

12 2 22 22 2 2 21 1 1

5 5 5200 200 (200 ) .4 4 4y y yy y y Επομένως,

1 2

121 2 2 22

22 2

5 101 5(200 ) ( )2 4 4 4 5200

4

Y ydy y y yMRTdy y

=2

5 10 5 10 1, 44.4 4 8,665 10200

4

Για y2=10, από τη συνάρτηση 2

2 21

52004yy

υπολογίζεται y1=8,66. Επομένως, 1 2

2 1

101, 44 1, 663.8, 66T

dy yndy y


26. Γεωργική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής ενός προϊόντος 6,04,050 KLq

(όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου) και παράγει σταθερή ποσότητα του προϊόντος ίση με 200 μονάδες. Ποια είναι η οριακή σχέση και η ελαστικότητα τεχνικής υποκατάστασης της εργασίας από το κεφάλαιο της γεωργικής επιχείρησης, όταν χρησιμοποιούνται 9 μονάδες κεφαλαίου; πόσες μονάδες του συντελεστή εργασία πρέπει να «θυσιαστούν» εάν το κεφάλαιο αυξηθεί από 9 σε 16 μονάδες; Λύση

0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,40,6

450 200 50 4q L K L K L K LK

1010 344 2

6 30,64 2

4 4 32( ) 32 .L KK K K

Επομένως,

52

5 5

3 32 48 48 48 0,19752 2439

L όdLMRTS Kd K

και

35 22

3 32 2

4848 1,532

32Tsb

dL K K Kn KdK L K K

(Σημείωση: Η τιμή Tsbn

υπολογίζεται, επίσης, αφού προηγουμένως υπολογιστεί η τιμή L για Κ=9, η οποία είναι L=1,185. Πράγματι,

90,1975 1,5).1,185Tsbn

Για Κ=16 υπολογίζεται τιμή 32

3

3232 16 0,5.16

L

27. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι )12

3(25

2 xxy (όπου x=μονάδες

εισροής), να υπολογιστεί το οριακό προϊόν στην τιμή x=20. Ποια είναι η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος στην οποία το οριακό προϊόν γίνεται ίσο με το μέσο προϊόν; Επαληθεύστε αυτό γραφικώς. Λύση

2 2 2 1 2(3 (3 ( ) ( ) (3 )25 12) 12) 25 25 12 12 25

dy x d x x d x x x xMPdx dx dx

26 3 3 (2 ).25 300 25 12x x x x

Επομένως, για x=20 έχουμε:

3 20 20 1(2 ) 2,4 0,8.25 12 3

MP

Η συνάρτηση του μέσου προϊόντος είναι


3 2(3 ) 3 6 3 1825 12 12 12 12

y x x x x xAP xx

, στην τιμή δε αυτή η

παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι: 2 2 218 18 18 18(3 ) (3 ) 19,44.

25 12 25 12 25 12x xy Πράγματι, στο σημείο Μ (18, 19,44)

έχουμε MP =AP, κατάσταση στην οποία το μέσο προϊόν μεγιστοποιείται (σημείο Ν).

28. Η συνάρτηση του μέσου προϊόντος επιχείρησης είναι 30109

2 2

LLAP

(όπου L=μονάδες εργασίας). Να υπολογιστεί το οριακό προϊόν της επιχείρησης για 21 μονάδες εργασίας. Ποιο θα είναι το οριακό κόστος εάν η τιμή ανά μονάδα εργασίας είναι 300 χρηματικές μονάδες; Λύση

Η συνάρτηση ολικού προϊόντος της επιχείρησης είναι: 2 3

22 2( ) ( 10 30) 10 30 .9 9L Lq L AP L L L L Επομένως,

26 20 30.9

dqMP L LdL

Για L=21, είναι

26 21 20 21 30 1569

MP και


300 1,923.156

L Lp dL pdCMCdq dq MP

29. Η συνάρτηση κόστους παραγωγής ενός προϊόντος είναι 3 22 10 15C q q q

(όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Σε πόσες μονάδες του προϊόντος το οριακό κόστος γίνεται ίσο με το μέσο κόστος; Δείξτε αυτό γραφικώς. Ποιο συμπέρασμα συνάγετε; Λύση

Από τη συνάρτηση κόστους 3 22 10 15C q q q υπολογίζονται

26 2 10dCMC q qdq

και 2 152 10 .CAC q qq q

Επομένως, εξισώνοντας

MC και AC έχουμε: 2 2 2 3 215 156 2 10 2 10 4 0 4 15 0.q q q q q q q q

q q Η

τριτοβάθμια αυτή εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα πραγματική και θετική, την q1,64. Όπως διαπιστώνεται, από το σχήμα, στο επίπεδο αυτό της παραγωγής το μέσο κόστος είναι το ελάχιστο (σημείο Μ) και ίσο με 22,89 χρηματικές μονάδες

( 2 215 152 10 ) 2 1,64 1,64 10 22,89).9 1,64

AC q q

30. Με πόσες μονάδες παραγόμενου προϊόντος το οριακό κόστος είναι ίσο με το μέσο μεταβλητό κόστος, όταν επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής του προϊόντος 1020020 23 qqqC ; δείξτε αυτό γραφικώς. Ποιο συμπέρασμα

συνάγετε;


Λύση

Από τη συνάρτηση κόστους 3 220 200 10C q q q υπολογίζονται

23 40 200dCMC q qdq

και

3 2220 200 20 200.VC q q qAVC q q

q q

Επομένως, εξισώνοντας MC και AVC έχουμε: 2 2 23 40 200 20 200 2 20 0 2 ( 10) 0,q q q q q q q q εξίσωση η οποία

έχει λύσεις την q1=0 και q2=10, τιμές όπου MC=AVC (σημεία Μ και Ν, αντιστοίχως). Ακόμη, όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, στο επίπεδο της παραγωγής q=10 μονάδων προϊόντος το μέσο μεταβλητό κόστος (AVC) είναι το ελάχιστο και ίσο με 100 χρηματικές μονάδες

( 2 220 200 10 20 10 200 100).AVC q q

31. Εάν η συνάρτηση ζήτησης αγαθού, παραγόμενου από επιχείρηση, είναι

qpq 25 , να υπολογιστούν τα οριακά έσοδα της επιχείρησης από την πώληση 8

μονάδων του προϊόντος. Σε ποια ποσότητα του πωλούμενου αγαθού τα οριακά έσοδα μηδενίζονται; Λύση

20025 200 88 8p pq p q

. Επομένως, η συνάρτηση εσόδων θα είναι:

2(200 8 ) 200 8R pq q q q q και συνεπώς


200 16 .dRMR qdq

Για q=8 μονάδες προϊόντος, έχουμε

200 16 8 72MR χρηματικές μονάδες. Στην κατάσταση μηδενισμού των οριακών εσόδων, έχουμε:

200 16 0 16 200 12,5MR q q q μονάδες του πωλούμενου αγαθού.

32. Η εξίσωση ζήτησης αγαθού είναι 31

)15( qp . Να υπολογιστούν τα οριακά έσοδα που πραγματοποιεί η επιχείρηση από την παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του αγαθού. Να διατυπωθεί η συνάρτηση οριακών εσόδων ως προς την τιμή και την ελαστικότητα ζήτησης ( )

pDn του αγαθού.

Λύση

Τα έσοδα που πραγματοποιεί η επιχείρηση από την παραγωγή και πώληση 10 μονάδων του αγαθού είναι:

1 1 1 113 3 3 43 3 3 33(15 ) (15 ) ( ) (15 ) (15 ) .R pq q q q q q q q q Επομένως,

2 2 33 4 2 33

3 4 23

1 45 4(15 ) (45 4 )3 3 (15 )

dR q qMR q q q qdq q q

= 2

2 2 23 3

(45 4 ) 45 4 .3 (15 ) 3 (15 )q q qq q q

Για q=10, θα είναι

23

45 4 10 0,57.3 (15 10)

MR

Από την εξίσωση ζήτησης

13(15 )p q προκύπτει: 3 315 15p q q p και

23dq pdp

. Επομένως,

32 33

pDdq p p pn pdp q q q

και 33

pD

pqn

. Συνεπώς,

3

3

2 3 2 3 23 3

3 2

( 3 )45 43(15 4 )45 4

3 (15 ) (15 3 ) 3 (15 3 )3

p p

p p

p

D D

D D

D

pn n pqMR

q n p n pn

και

τελικά, 3

3 23

15 4.

9(5 )p

p

D

D

n pMR

n p

33. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος 25,05100 zzq (όπου

z=μονάδες εισροής). Εάν η αγοραία τιμή του προϊόντος είναι σταθερή και ίση με 6 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστεί η ποσότητα του προϊόντος στην οποία τα


οριακά έσοδα της επιχείρησης μηδενίζονται. Να απεικονιστούν τα ευρήματα γραφικώς. Λύση

Τα έσοδα που πραγματοποιεί η επιχείρηση με τιμή προϊόντος p=6 χρηματικές μονάδες, είναι:

2 2 2(100 5 0,5 ) 6(100 5 0,5 ) 600 30 3 .R pq p z z z z z z Επομένως,

30 6 .dRMR zdz

Εάν MR=0, τότε 30-6z = 0 5.z Στην ποσότητα αυτή της

εισροής θα παραχθούν

2100 5 5 0,5 5 112,5q μονάδες προϊόντος.

34. Εάν η συνάρτηση κόστους κατανάλωσης είναι 6,008,0 YC , να υπολογιστεί η

οριακή ροπή προς κατανάλωση για μέγεθος εισοδήματος 20 χρηματικές μονάδες. Ποια είναι η οριακή ροπή προς επένδυση; Λύση

0,40,4 0,4

0,048 0,0480,08 0,6 0,014.20

dCMPC YdY Y

Επομένως,

1 1 0, 014 0,986.MPS MPC 35. Η ικανοποίηση που απολαμβάνει ο καταναλωτής με την απόκτηση αγαθού εκφράζεται από τη συνάρτηση 4

3

20xU . Να υπολογιστεί η οριακή χρησιμότητα με την απόκτηση 16 μονάδων του αγαθού και να επιβεβαιωθεί ο νόμος της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας.


Λύση 14

1 14 4

3 15 1520 7,5.4 16

dUMU xdx x

Από τη σχέση της οριακής χρησιμότητας

14

15MUx

διαπιστώνεται ότι με την αύξηση της κατανάλωσης (αύξηση του x) του

αγαθού επέρχεται βαθμιαία ελάττωση της οριακής χρησιμότητας αυτού. 36. Να υπολογιστεί η οριακή σχέση και η ελαστικότητα υποκατάστασης του αγαθού x1 από το αγαθό x2, όταν o καταναλωτής, του οποίου η καμπύλη αδιαφορίας

εκφράζεται από τη συνάρτηση 210

52

8200

1

322

x

x

, καταναλώνει 5 μονάδες του x2.

Ποια θα είναι η μεταβολή στην καταναλώμενη ποσότητα του αγαθού x1 εάν o καταναλωτής αυξήσει την κατανάλωση του x2 από 5 σε 9 μονάδες; Λύση

223 2 2

2 23 31 1

1

200 8 52 2 2 20 200 8 5 90 4 5

10 2 2

xx xx x

x

12

2 31 90 4( 5) .

2xx Επομένως,

1 2

221 2 3

22

4 ( 5)3 2x ό x

dx xMRS xdx

= 22 2

222 33

4 4 5 0,989.3 3 5( 5)( 5)

22

xx

Για κατανάλωση 5 μονάδων του αγαθού

x2 η συνάρτηση αδιαφορίας δίνει x1=79,62 μονάδες. Συνεπώς, 1 2

2 1

50,989 0, 062.79, 62Sb

dx xndx x

Με κατανάλωση 9 μονάδων του αγαθού x2 , από τη συνάρτηση υπολογίζεται ότι καταναλώνονται 75,72 μονάδες του αγαθού x1 , δηλαδή ο καταναλωτής μειώνει την ποσότητα του x1 κατά 3,9 μονάδες προκειμένου να διατηρήσει σταθερό το επίπεδο της ολικής χρησιμότητάς του. 37. Να προσδιοριστούν μέγιστα και ελάχιστα σημεία ή σημεία καμπής και να υπολογιστούν οι συντεταγμένες των σημείων αυτών για τις ακόλουθες συναρτήσεις:

α) 248 xxy , β) y=x2-6x+10 , γ) y=x3-12x+5, δ) y=2x+x

18


ε) y=2x2(x+9), στ) )1(32

xxy , ζ) 3

35803

2 xxxy ,

η) 212xxy

, θ) xexy 2 , ι) )3(ln 3 xxy .

Να επαληθευτούν τα προκύπτοντα αποτελέσματα με τη χρησιμοποίηση γραφικών απεικονίσεων. Λύση

α) 2

228 4 . 4 2 , 2.dy d yy x x x

dx dx Από την εξίσωση

4 2 0dy x

dx προκύπτει x=2. Για x=2 θα είναι 28 4 2 2 12.y

Επειδή 2

2 0,d ydx

η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Μ) για

τιμές x=2 και y=12.

β) 2 6 10.y x x 2

22 6, 2.dy d yxdx dx

Από την εξίσωση

2 6dy x

dx προκύπτει x=3. Για x=3 θα είναι

23 6 3 10 1.y

Επειδή 2

2 2 0,d ydx

η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Ν) για τιμές x=3

και y=1.


γ) 3 12 5.y x x 2 3

22 33 12, 6 , 6.dy d y d yx x

dx dx dx Από την εξίσωση

23 12dy xdx

προκύπτουν οι λύσεις x1=2 και x2= -2. Για x1=2 προκύπτει

31 2 12 2 5 11.y Επειδή 2

2 6 6 2 12 0,d y xdx

η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Μ) για τιμές x1,

y1. Για x2= -2 προκύπτει 3

2 ( 2) 12( 2) 5 21,y και 2

2 6 6 ( 2) 12 0d y xdx

, η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Ν) για τις

τιμές x2 , y2.

Από την εξίσωση 2

2 6 0d y xdx

προκύπτει x=0, στο οποίο αντιστοιχεί y=5. Το σημείο

Λ (0,5) είναι σημείο καμπής, γιατί 3

3 2 0.d ydx

δ) 182 .y xx

2

182 ,dydx x

2

2 3

36 ,d ydx x

3

3 4

108.d ydx x


182 0dydx x

προκύπτουν οι λύσεις x1=3 και

x2=-3. Για x1=3 θα είναι 1182 3 12.3

y Επειδή

2

2 3 3

36 36 4 0,3 3

d ydx x

η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Ν) για τις τιμές x2

, y2.

Επειδή δε για οποιαδήποτε τιμή του x, οι παράγωγοι 2 3

2 3,d y d ydx dx

και ανώτερες είναι

διάφορες του μηδενός, δεν υπάρχει σημείο καμπής.


ε) 22 ( 9).y x x 6 ( 6),dy x xdx

2

2 12( 3),d y xdx

3

3 12.d ydx

Από την εξίσωση 6 ( 6) 0dy x xdx

προκύπτουν οι λύσεις x1=0 και x2= = -6. Για x1=0

θα είναι y1=0. Επειδή 2

2 12( 3) 12 3 36 0,d y xdx

η συνάρτηση έχει ελάχιστο

σημείο (σημείο 0) για τις τιμές x1 , y1.

Για x2= -6 προκύπτει 22 2( 6) ( 6 9) 216.y Επειδή

2

2 12( 3) 12( 6 3) 12( 3) 36 0,d y xdx

η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο

(σημείο Μ) για τις τιμές x2 , y2. Από την εξίσωση 2

2 12( 3) 0d y xdx

προκύπτει x= -3,

στην τιμή δε αυτή αντιστοιχεί 22( 3) ( 3 9) 108.y To σημείο Ν(-3, 108) είναι

σημείο καμπής, γιατί 3

3 12 0.d ydx

στ) 23 (1 )y x x .

2 3

2 3 23 3 3

2 5 10 2 10 8, , .3 9 27

dy x d y x d y xdx dx dxx x x x x


2 5 03

dy xdx x

(για 0x ) προκύπτει η λύση x=0,4. Για x=0,4 θα

είναι 230,4 (1 0, 4) 0,33.y Επειδή

2

2 3 3

10 2 10 0,4 2 2, 26 0,9 9 0, 4 0, 4

d y xdx x x


(σημείο Μ) για τις τιμές x, y. Από την εξίσωση 2

2 3

10 2 09

d y xdx x x

προκύπτει η λύση x= -0,2, στην τιμή δε αυτή αντιστοιχεί

23( 0, 2) 1 ( 0, 2) 0, 41y είναι σημείο καμπής, γιατί

3

3 2 3

10 ( 0, 2) 8 9,5 0.27( 0,2) 0, 2

d ydx


ζ) 3

280 5 3 .3xy x x 2 6 5,dy x x

dx

2

2 2( 3),d y xdx

3

3 2.d ydx

Από την

εξίσωση 2 6 5 0dy x xdx

προκύπτουν οι λύσεις x1=5 και x2=1. Για x1=5 προκύπτει

32

1580 5 5 3 5 71,67.3

y Επειδή

2

2 2( 3) 2(5 3) 4 0,d y xdx

η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο (σημείο Μ) για

τις τιμές 1 15, 71,67.x y Για x2=1 προκύπτει 3

22

180 5 1 3 1 82,33.3

y

Επειδή δε 2

2 2( 3) 2(1 3)d y xdx

-4<0 η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Ν) για τις

τιμές x2 , y2. Τέλος, από την εξίσωση 2

2 2( 3) 0d y xdx

προκύπτει τιμή x=3, στην

οποία αντιστοιχεί τιμή της 3

2 380 5 3 3 3 77.3

y Το σημείο Λ (3, 77) είναι

σημείο καμπής, γιατί3

3 2 0.d ydx

η) 2

2 .1xyx

2

2 2

2(1 ) ,(1 )

dy xdx x

2 2

2 2 3

4 ( 3) ,(1 )

d y x xdx x

3 2

3 2 4

12 ( 1)( 4 5) ,(1 )

d y x x x xdx x

4 5 4 3 2

4 2

48 180 24 528 24 60 .1

d y x x x x xdy x


2 2

2(1 ) 0(1 )

dy xdx x

προκύπτουν οι λύσεις x1= -1 και x2=1. Για x1= -1

προκύπτει 1 2

2( 1) 1.1 ( 1)

y

Επειδή


22 2

32 2 3 2

4( 1) ( 1) 34 ( 3) 1 0,(1 ) 1 ( 1)

d y x xdx x

η συνάρτηση έχει

ελάχιστο σημείο (σημείο Μ) για τις τιμές 1 11, 1.x y

Για x2=1 προκύπτει 2 2

2 1 1.1 1

y

Επειδή δε

2 2

2 2 3

4 ( 3)(1 )

d y x xdx x

1 0,

2 2

2 2 3

4 ( 3) 1 0,(1 )

d y x xdx x

η συνάρτηση έχει μέγιστο

σημείο (σημείο Ν) για τις τιμές x2=1, y2=1.

Από την εξίσωση 2 2

2 2 3

4 ( 3) 0(1 )

d y x xdx x

προκύπτουν οι λύσεις

1 2 33 1,73, 3 1,73 0.x x x Για x1=1,73 προκύπτει τιμή

1 2

2 1,73 0,84.1 1,73

y

Το σημείο Λ (1,73, 0,84) είναι σημείο καμπής, γιατί

3

3 0, 24 0.d ydx

Για x2=-1,73 προκύπτει τιμή 1 2

2 ( 1,73) 0,84.1 ( 1,73)

y

Το σημείο Κ (-

1,73, -0,84) είναι, επίσης σημείο καμπής, γιατί 3

3 0,89 0.d ydx

Για x3=0, όμως, προκύπτει 3

3 0,d ydx

γι’ αυτό και πρέπει να διερευνηθεί η 4

4 .d ydx

Από

την εξίσωση 3 2

3 2 4

12 ( 1)( 4 5) 0(1 )

d y x x x xdx x

προκύπτουν οι λύσεις x1=0 και x2= -1 (οι λύσεις

x3=2+ 1 και 4 2 1x απορρίπτονται ως μιγαδικές). Για x1=0 προκύπτει y1=0.

Επειδή όμως, 4

4 60 0,d ydx

συμπεραίνεται ότι το σημείο (0, 0) είναι το τρίτο

σημείο καμπής της συνάρτησης. Τέλος, στο x= -1 αντιστοιχεί το ελάχιστο σημείο Μ της συνάρτησης, όπως τούτο διαπιστώθηκε προηγουμένως.

θ) 2 .xy x e ( 2),xdy xe xdx

2

22 ( 4 2),xd y e x x

dx


3

23 ( 6 6).xd y e x x

dx

Από την εξίσωση ( 2) 0xdy xe xdx

προκύπτουν οι λύσεις x1=0 και x2= -2. Για

x1=0 προκύπτει y1=0, επειδή δε 2

2 2 0,d ydx

η συνάρτηση έχει ελάχιστο σημείο, το (0,

0). Για x2= -2 προκύπτει 2 22 ( 2) 0,54,y e επειδή δε

22 2

2 2

2( 2) 4( 2) 0,d y edx e

η συνάρτηση έχει μέγιστο σημείο (σημείο Μ)

για τις τιμές x2= -2, y2=0,54. Για τη διερεύνηση ύπαρξης σημείου καμπής λαμβάνουμε την

22

2 ( 4 2) 0,xd y e x xdx

της οποίας οι λύσεις είναι οι x1=0, x2= -0,586 και x3= -3,414.

Από αυτές, όπως εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί, μόνον οι x2 και x3 καθιστούν την 3

3 0,d ydx

και συνεπώς, για τις αντίστοιχες τιμές y2=0,191 και y3=0,384 η συνάρτηση

βρίσκεται σε σημεία καμπής, τα Λ (-0,586, 0,191) και Ν (-3,414, 0,384).

ι) 3ln(3 ).y x x 2

(3 1)(3 1) ,(3 1)

dy x xdx x x

2 4

2 2 2 2

27 1 .(3 1)

d y xdx x x


(3 1)(3 1) 0(3 1)

dy x xdx x x

προκύπτουν οι λύσεις x1=0,333 και x2= -

0,333. Για x1=0,333 η συνάρτηση γίνεται αρνητική και έτσι η αρχική συνάρτηση 3ln(3 )y x x δεν έχει έννοια. Για x2= -0,333 προκύπτει y2 = -1,50, επειδή δε

22 4

2 2 2

27( 0,333) 1 27 0,( 0,333) 3( 0,333) 1

d ydx


(σημείο Μ) για τις τιμές x2= -0,333, y2= -1,50. Τέλος, η συνάρτηση δεν παρουσιάζει

σημεία καμπής, γιατί η 2 4

2 2 2 2

27 1(3 1)

d y xdx x x

έχει ρίζες φανταστικές.


38. Δείξτε ότι η συνάρτηση x

xy 1 έχει μία μέγιστη και μία ελάχιστη τιμή, με τη

δεύτερη μεγαλύτερη της πρώτης. Επαληθεύστε αυτό γραφικώς. Λύση

1 .y xx

2 2

2 2 3

1 2, .dy x d ydx x dx x


2

1 0dy xdx x

προκύπτουν οι λύσεις x1= -1 κα x2=1. Στις τιμές

αυτές αντιστοιχούν τιμές της συνάρτησης y1= -2 και y2=2. Στα ζεύγη των τιμών (x1, y1) και (x2, y2) διαπιστώνονται, αντίστοιχα, το μέγιστο (σημείο M) και το ελάχιστο

(σημείο Ν) της συνάρτησης. 1 ,y xx

γιατί 2

2 3

2 2 0( 1)

d ydx

και

2

2 3

2 2 0.1

d ydx

39. Να υπολογιστούν οι δεύτερες παράγωγοι των ακόλουθων συναρτήσεων:

α) y= 53

x , β) y= 3 4x , γ) y=15 8x , δ) y= 2

5x

, ε) y=100x,

στ) 5

2

x

y , ζ) 483 35 xxy ,

η) cbxaabxaxy 4256 2 , θ) )1)(25( 2 xxy ,

ι) )73)(26)(325( 23 xxxxy , ια) 423

xxy ,

ιβ) 3

523

)4()65)(2(

x

xxxy , ιγ))4)(2(

1

xx

y ,

ιδ) 357 )3( xxxy , ιε) 2 320( 4 5) ,y x x ιστ) )625ln( 2 xxy , ιζ) 32 )5ln( xy ,


ιη) )54)(3ln( 2 xxxy , ιθ) 2

2

11ln

xxy

, κ) 563 xy ,

κα) 22 5 6x xy e .

Λύση

α) 2 725 5

725

3 6 6( ) .5 25

25

d y d x xdx dx x

β) 1 223 3

223

4 4 4( ) .3 9

9

d y d x xdx dx x

γ) 2

9 102 10

1080( 120 ) 1080 .d y d x xdx dx x

δ) 2

3 42 4

30( 10 ) 30 .d y d x xdx dx x

ε) 2

2 (100) 0.d y ddx dx

στ) 3 522 2

522

3 3( 5) ( 5) .2 2( 5)

d y d x xdx dx x

ζ) 2

4 2 32 (15 24 ) 60 48 .d y d x x x x

dx dx

η) 2

5 4 2 3 4 3 2 22 (6 5 8 ) 30 20 24 .d y d x abx a bx ax abx a bx

dx dx

θ) 2

22 ( 6 10 2) 12 10.d y d x x x

dx dx

ι) 2

5 4 3 22 (540 1050 264 624 228 46)d y d x x x x x

dx dx

= 4 3 22700 4200 792 1248 228.x x x x

ια) 2 3 2

2 3 2

2 2 4

( 4) (2 12 2)2( 6 1)( 4) ( 4)

dx x xd y d x x dxdx dx x x

3 2 2

4

(2 12 2) ( 4)

( 4)

dx x xdx

x

=2 3 2

4

( 4)(6 24 ) (2 12 2) 2( 4)( 4)

x x x x x xx

2 3 2

4

2( 4) ( 4)(3 12 ) (2 12 2)( 4)

x x x x x xx

3 2

3

2( 12 48 2) .( 4)

x x xx


ιβ) 2 3 2 4 4 3 2

2 4

( 5 6) (13 80 30 388 60( 4)

d y d x x x x x xdx dx x

4 3 2 4 4 3 2

3 2 4 4 3 2 4

8

( 4) ( 5 6) (13 80 30 388 60

( 5 6) (13 80 30 388 60) ( 4)

( 4)

dx x x x x x xdx

dx x x x x x xdx

x

=

3 2 4 4 3 2

4

4 3 2 3 2 4

( 5 6) (13 80 30 388 60)( 4)

(13 80 30 388 60) ( 5 6)

dx x x x x xdxx

dx x x x x xdx

3 2 4 4 3 2 4

8

( 5 6) (13 80 30 388 60) ( 4)

( 4)

dx x x x x x xdx

x

=

4 3 2 4 3 2

4 3 2 3 2 3 2

3 2 4 4 3 3

8

( 4) ( 5 6) (52 240 60 388)(13 80 30 388 60) 4( 5 6) (3 5 )( 5 6) (13 80 388 60) 4( 4)

( 4)

x x x x x xx x x x x x x x

x x x x x xx

.

ιγ) 2

2 2 2

2( 1)( 2) ( 4)

d y d xdx dx x x

=

2 2 2

4 4

( 2) ( 4) ( 2 2) ( 2 2) ( 2)( 4)

( 2) ( 4)

d dx x x x x xdx dx

x x

=

2 2

2 2

2

4 4

( 2) ( 4)( 2) ( 4) ( 2) (2 2)

( 4) ( 2)

( 2) ( 4)

dx xdxx x xdx xdx

x x

=

=

22 2

2

4 4

( 2) 2( 4)( 2) ( 4) ( 2) (2 2)

( 4) 2( 2)( 2) ( 4)

x xx x x

x xx x

=2 2 2 2

4 4

2( 2) ( 4) 4( 1)( 4)( 2) 4( 1)( 2)( 4)( 2) ( 4)

x x x x x x x xx x

=

4 4

2( 2)( 4) ( 2)( 4) 2( 1)( 2) 2( 1)( 4)( 2) ( 4)

x x x x x x x xx x

=2

3 3

6( 2 4) .( 2) ( 4)x x

x x

ιδ) 2

7 5 2 6 42 3( 3 ) (7 15 1)d y d x x x x x

dx dx

= 7 5 2 6 4 6 43( 3 ) (7 15 1) (7 15 1)dx x x x x x xdx


7 5 23( 3 )d x x xdx

7 5 2 5 33( 3 ) (42 60 )x x x x x +

6 4 7 5 6 4(7 15 1) 6( 3 )(7 15 1)x x x x x x x

5 6 4 2 2 6 4 2 6 418 ( 3 1) (7 10) 6 (7 15 1) ( 3 1)x x x x x x x x x

6 4 4 2 6 4 6 4 26 ( 3 1) 3 (7 10)( 3 1) (7 15 1) .x x x x x x x x x

ιε) 2

2 22 60( 4 5) (2 4)d y d x x x

dx dx

= 2 2 2 260( 4 5) (2 4) (2 4) 60( 4 5)d dx x x x x xdx dx

= 2 2 260( 4 5) 2 (2 4) 120( 4 5)(2 4)x x x x x x

= 2 2 2 2120( 4 5) 120(2 4) ( 4 5)x x x x x

= 2 2 2120( 4 5) 4 5 (2 4)x x x x x

= 2 2120( 4 5)(5 20 21).x x x x

ιστ) 2

2 2

10 2( )5 2 6

d y d xdx dx x x

= 2 2

2 2

(5 2 6) (10 2) (10 2) (5 2 6)

(5 2 6)

d dx x x x x xdx dx

x x

2 2

2 2 2 2

(5 2 6) 10 (10 2)(1 2) 2(25 10 32) .(5 2 6) (5 2 6)

x x x x x xx x x x

ιζ)

2 22

2 2 2 2

(5 ) 6 6 (5 )6( )5 (5 )

d dx x x xd y d x dx dxdx dx x x

= 2 2 2

2 2 2 2

6(5 ) 12 6(5 ) .(5 ) (5 )x x xx x

ιη) 2

2 2 2

1 2 4 1 2 4( ) ( ) ( )3 4 5 3 4 5

d y d x d d xdx dx x x x dx x dx x x

2 2

2 2 2

( 3) ( 4 5) (2 4) (2 4) ( 4 5)

( 3) ( 4 5)

d d dx x x x x x xdx dx dxx x x

= 2

2 2 2

1 ( 4 5) 2 (2 4)(2 4)( 3) ( 4 5)

x x x xx x x

= 2 2

2 2 2

1 2( 4 5) (2 4)( 3) ( 4 5)

x x xx x x


2 2 2 2 2 2

2 2 2

( 4 5) 2( 4 5)( 3) ( 3) (2 4)( 3) ( 4 5)

x x x x x x xx x x

=4 3 2

2 2 2

3 4 2 76 79 .( 3) ( 4 5)x x x xx x x

ιθ) 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2( ) ( ) ( )1 1 1 1

d y d x x d x d xdx dx x x dx x dx x

2 2 2 2

2 2 2 2

(1 ) (2 ) 2 (1 ) (1 ) (2 ) 2 (1 )

(1 ) (1 )

d d d dx x x x x x x xdx dx dx dx

x x

=2 2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 4 2

(2 2 )(1 ) (2 2 )(1 ) 4(3 1) .(1 ) (1 ) (1 )

x x x x xx x x

κ) 2

6 5 6 52 (6,5917 3 ) 6,5917 3 6ln 3x xd y d

dx dx

= 6 5 6 56,5917 6 1,099 3 43, 46 3 .x

κα) 2 2 2

22 5 6 2 5 6 2 5 6

2 (4 5) (4 5)x x x x x xd y d dx e x e edx dx dx

2 22 5 6 2 5 6(4 5) (4 5)(4 5) 4x x x xd x x x e edx

= 22 2 5 6(4 5) 4 x xx e

22 2 5 6(16 40 29) .x xx x e

40. Να αποδειχθεί ότι οι αλγεβρικοί τύποι

dxdydy

dx 1 και

3

2

2

2

2

)(dxdydxyd

dyxd

ισχύουν για τις ακόλουθες συναρτήσεις: α) y=x2+3, β y=x2-5, γ) 1 xy , δ) 3)3( xy .

Λύση

α) 1.2 23 ( 3)y x x y Επομένως,

12

2

1 1 1 12 , ( 3)2 22 3 2 3 3

dy dxx ydx dy xy x

32 22

2 2 3 2 3

1 1 12, ( 3)4 4 ( 3) 4 ( 3 3)

d y d x ydx dy y x

= 3

14x

. Πράγματι, 2 2

3 3 3 3

/ 2 2 1 .( / ) (2 ) 8 4d y dxdy dx x x x

β) 1.2 25 ( 5) .y x x y Επομένως,


12

2

1 1 1 12 , ( 5)2 22 5 2 5 5

dy dxx ydx dy xy x

32 22

2 2 3 2 3

1 1 12, ( 5)4 4 ( 5) 4 ( 5 5)

d y d x ydx dy y x

= 3

14x

. Πράγματι, 2 2

3 3 3 3

/ 2 2 1 .( / ) (2 ) 8 4d y dxdy dx x x x

γ) 1

221 ( 1) ( 1).y x y x x y Επομένως, 121 1( 1) , 2 2 1,

2 2 1dy dxx y xdx dyx

32 22

2 23

1 1( 1) , 2.4 4 ( 1)

d y d xxdx dyx

Πράγματι,

32 2

33

1 ( 1)/ 1 / 44 2.1( / ) 1/ 8( 1)2

xd y dxdy dx x

δ) 1

3 33( 3) 3 3.y x x y x y Επομένως,

2

2 232 63 3

1 1 1 13( 3) , ( 3) ,3 33 3 ( 3)

dy dxx y xdx dy y x

52 23

2 2 55 153 3

2 2 2 26( 3), .9 9( 3)9 9 ( 3)

d y d xx ydx dy xy x

Πράγματι,

2 2

33 6 52

/ 6( 3) 6( 3) 2 .( / ) 27( 3) 9( 3)3( 3)

d y dx x xdy dx x xx

41. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι 502,0 23 zzq (όπου z=μονάδες εισροής), να υπολογιστεί το ποσόν του z στο οποίο το προϊόν γίνεται μέγιστο, καθώς και η μέγιστη τιμή του q. Λύση

Η συνάρτηση παραγωγής 3 20, 02 5q z z z μεγιστοποιείται όταν

20,06 2 1 0dq z zdz

2

2 0,12 2 0.d q zdz

Πράγματι, από την εξίσωση

20,06 2 1 0z z προκύπτει η λύση z=33,83 (η δεύτερη λύση, ως αρνητική,

απορρίπτεται γιατί δεν έχει έννοια). Για την τιμή z=33,83 είναι 2

2 0,12 33,83 2 2,06 0.d qdz

Η παραγωγή γίνεται μέγιστη και ίση με

3 20,02 33,83 33,83 33,83 5 409q μονάδες.


42. Εάν η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι )12

3(25

2 xxy (όπου

x=μονάδες εισροής), δείξτε ότι η καμπύλη οριακού προϊόντος διέρχεται από το σημείο στο οποίο η καμπύλη μέσου προϊόντος έχει τη μέγιστη τιμή. Επαληθεύστε αυτό γραφικώς. Λύση

Οι συναρτήσεις παραγωγής μέσου (AP) και οριακού προϊόντος (MP) είναι, αντίστοιχα:

(36 )(3 )25 12 300

y x x x xAPx

και

2 22 1( (3 (3 ) ( )25 12) 25 12 25 12

d x x x x xMPdx

2 2 26 2 6 3 3 (24 ) .

25 300 300 25 300 300x x x x x x x

Εξισώνοντας AP και MP, έχουμε:

(36 ) 3 (24 )300 300

x x x x , εξίσωση η οποία έχει λύση x=18. Πράγματι, το μέσο προϊόν

γίνεται μέγιστο (σημείο Μ) όταν ( ) 0,d APdx

δηλαδή

(36 )( ) ( ) ( 1)300 300

d d x x xAPdx dx

1(36 )300

x =0, εξίσωση η οποία δίνει την ίδια

λύση, x=18. Για την τιμή x=18 το μέσο προϊόν γίνεται μέγιστο και ίσο με 18(36 18) 1,08

300AP

μονάδες. Το ότι το AP γίνεται μέγιστο στην τιμή x=18,

επιβεβαιώνεται από την 2

2

1( ) 0.150

d APdx


43. Επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής προϊόντος

qqqC 225125

23

(όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Να υπολογιστεί το

επίπεδο της παραγωγής στο οποίο το κόστος είναι ελάχιστο. Ποιο είναι το ελάχιστο κόστος; Δείξτε ότι η καμπύλη οριακού κόστους τέμνει την καμπύλη μέσου κόστους σε σημείο όπου το δεύτερο έχει την ελάχιστη τιμή. Ποιο είναι το μέσο κόστος στο σημείο αυτό; τέλος, σε ποιο επίπεδο παραγωγής το οριακό κόστος γίνεται ελάχιστο; Λύση

Το ολικό κόστος 3

212 2255qC q q γίνεται ελάχιστο στην ποσότητα του

προϊόντος η οποία μηδενίζει το οριακό κόστος (πρώτη παράγραφο του ολικού

κόστους). Έτσι, 23 24 225 0,

5dC qMC qdq

η οποία έχει λύσεις τις q1=15 και

q2=25. Για q1=15 προκύπτει 6 6( ) 24 15 24 6 0,5 5

d MC qdq

που υποδηλώνει

ότι το κόστος μεγιστοποιείται στην τιμή q1=15 (που δεν είναι το ζητούμενο στην

άσκηση), ενώ για q2=25, όπως προκύπτει, είναι 6( ) 245

d MC qdq

6 25 24 6 0,5

ένδειξη ότι το κόστος γίνεται ελάχιστο με την παραγωγή 25

μονάδων του προϊόντος. Το ελάχιστο κόστος είναι 3

225 12 25 225 25 12505

C

χρηματικές μονάδες (σημείο Μ).

Η συνάρτηση μέσου κόστους είναι 2

12 225,5qAC q που εξισωμένη με τη

συνάρτηση οριακού κόστους, έχει ως 2 2312 225 24 225,

5 5q qq q εξίσωση η οποία έχει λύση q=30. Στην τιμή αυτή

της παραγωγής είναι AC=MC. Πράγματι, στην τιμή αυτή το AC γίνεται ελάχιστο, όπως αποδεικνύεται εξισώνοντας την πρώτη παράγωγο του AC με μηδέν , ως

2( ) 12 0,5

d qACdq

η οποία έχει λύση την q=30. Στην τιμή q=30 είναι

230 12 30 225 455

AC χρηματικές μονάδες (σημείο Ν).

Τέλος, το οριακό κόστος γίνεται ελάχιστο στην ποσότητα του προϊόντος η οποία μηδενίζει την παράγωγο (πρώτη) αυτού. Έτσι,


23 6( ) ( 24 225) 24 0,5 5

d d q qMC qdq dq

η οποία έχει λύση την q=20. Στο

επίπεδο αυτό της παραγωγής το ελάχιστο οριακό κόστος είναι 23 20 24 20 225 15

5MC

(σημείο Λ).

44. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από μονοπωλιακή επιχείρηση

είναι 12(12 )p q (όπου q 12). Να υπολογιστεί η ποσότητα που πρέπει να πωλήσει

η επιχείρηση, ώστε να μεγιστοποιήσει τα έσοδά της.


Λύση 12(12 )R pq q q . Tα έσοδα μεγιστοποιούνται εκεί όπου τα οριακά έσοδα

μηδενίζονται, δηλαδή όπου 1 1 1 12 2 2 21(12 ) (12 ) (12 ) ( 1) (12 )

2dR d dMR q q q q q q qdq dq dq

=

1 12 2 24 2(12 ) ( 12 ) (12 ) ( )

2 2q q qq q q

12

1 12 224 3 3 3(8 )(12 ) ( ) (12 ) (8 ) 0

2 2 2(12 )

q qq q qq

η οποία έχει λύση (για

q 12) q=8. Πράγματι, με q=8 τα έσοδα μεγιστοποιούνται, 1 122 2

2

12

3 3(12 ) (8 ) (12 ) (8 )2 2

(8 )(12 )

d R d dί q q q qdq dq dq

d q qdq

=3 1 3 12 2 2 23 3 3 3(12 ) ( 1) ( 1) (12 ) (12 ) (12 )

4 2 4 2q q q q

η οποία, για q=8,

γίνεται

3 1 3 1 5 32 2 2 2 2 23 3 3 3(12 8) (12 8) 4 4 3 4 6 4

4 2 4 2

=3 2 32 2 2 34 (3 4 6) 4 ( 6) 0.

4

45. Η συνάρτηση ολικών εσόδων μονοπωλιακής επιχείρησης από την πώληση προϊόντος είναι R=50q-2q2 και ολικού κόστος C=3q2+5q+15. Ζητούνται: α) η τιμή της φορολογίας t που θα πρέπει να επιβάλλεται σε κάθε πωλούμενη μονάδα προϊόντος, ώστε να μεγιστοποιούνται τα ολικά έσοδα (εισπράξεις) από τη φορολογία, β) τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία, γ) η ποσότητα και η τιμή στην οποία η επιχείρηση θα πωλεί το προϊόν τη και δ) τα μέγιστα κέρδη της επιχείρησης μετά την επιβολή της φορολογίας. Λύση

2 2(50 2 ) (3 5 15)R C tq q q q q tq 2 2 250 2 3 5 15 5 45 15.q q q q tq q q tq

Επομένως, 10 45 0 45 10 .d q t t qdq

2(45 10 ) 45 10T tq q q q q και

45 20 0 20 45 2, 25.dTMT q q qdq

Συνεπώς,


α) 45 10 45 10 2, 25 22,5,t q t t β) 245 2, 25 10 2, 25 101,25 50,625 50,625T T T και

50 2 50 2 2, 25 22,5 68p q t p p και γ) 25 2, 25 45 2, 25 22,5 2, 25 15 10,3125.p

46. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από επιχείρηση είναι p=14-3q και η συνάρτηση κόστους παραγωγής του προϊόντος C=q2+5q, επιβάλλεται δε φόρος t χρηματικών μονάδων για κάθε πωλούμενη μονάδα προϊόντος. Να προσδιοριστούν: α) η συνάρτηση των μέγιστων κερδών β) Η συνάρτηση ζήτησης γ) Η συνάρτηση των συνολικών φόρων που θα εισπράξει το κράτος δ) Ποιο φόρο κατά μονάδα προϊόντος πρέπει να επιβάλει το κράτος, ώστε να μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα (εισπράξεις) από τη φορολογία. Λύση

α) 2(14 3 ) 5R C pq C q q q q tq 2 2 2 214 3 5 9 4 (9 ) 4 .q q q q tq q q tq t q q Τα κέρδη

μεγιστοποιούνται όταν Μπ=0, δηλαδή όταν Μπ=9-t-8q, από την οποία προκύπτει 9 .

8tq

Επομένως, η συνάρτηση μέγιστων κερδών θα είναι

2 29 9(9 ) 4 (9 )( ) 4( ) .8 8t tt q q t

β) Η συνάρτηση ζήτησης θα είναι 914 3 14 3( ).8tp q

γ) Η συνάρτηση συνολικών φόρων θα είναι 29 9( ) .

8 8t t tT tq t

δ) Τα ολικά έσοδα από τη φορολογία μεγιστοποιούνται εκεί όπου τα οριακά έσοδα

της φορολογίας μηδενίζονται, δηλ. ΜΤ=0, δηλ. 9 28 8

t 0 t=4,5 νομισματικές

μονάδες, τιμή φόρου όπου μεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα από τη φορολογία.. 47. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από επιχείρηση είναι p=30-0,75q

και η συνάρτηση μέσου κόστους AC 30 0,3 9qq

. Ζητούνται να προσδιοριστούν:

α) Η ποσότητα του προϊόντος που μεγιστοποιεί τα ολικά έσοδα. β) Η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το μέσο κόστος παραγωγής του προϊόντος. γ) Η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης. δ) Η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: (i) όταν η κυβέρνηση επιβάλλει συνολικό φόρο 200 χρηματικών μονάδων, ανεξαρτήτως των


εισπράξεων της επιχείρησης, β) όταν η κυβέρνηση επιβάλλει φόρο 8,4 χρηματικών μονάδων για κάθε μονάδα που πωλείται και (iii) όταν η κυβέρνηση επιδοτεί με 4,2 χρηματικές μονάδες κάθε μονάδα που πωλείται. Λύση

α) Η συνάρτηση εσόδων είναι 2(30 0,75 ) 30 0,75R pq q q q q ,

η οποία μεγιστοποιείται όταν MR=0, δηλαδή όταν dRMRdq

30 1,5 0,q εξίσωση η οποία έχει λύση την x=20. Πράγματι, για x=20 τα έσοδα

μεγιστοποιούνται γιατί ( ) 1,5 0.d MRdq

Τα μέγιστα έσοδα θα είναι

2 230 0,75 30 20 0,75 20 300R q q χρηματικές μονάδες.

β) Το μέσο κόστος ελαχιστοποιείται στην ποσότητα όπου το οριακό μέσο κόστος μηδενίζεται, δηλαδή όταν

2

30( ) 0,3 0,d ACdq q

εξίσωση η οποία δίνει q=10 (η τιμή q=-10 απορρίπτεται ω;

αρνητική). Η τιμή q=10 είναι πράγματι ελάχιστη, γιατί 3

60( )d ACdq q

η οποία για

q=10 δίνει

3

60( ) 0.10

d ACdq

Το ελάχιστο μέσο κόστος θα είναι 30 300,3 9 0,3 10 9

10AC q

q 15 χρηματικές μονάδες.

γ) Τα κέρδη της επιχείρησης είναι

2 30(30 0,75 ) ( 0,3 9)R C q q q qq

= 2 2 230 0,75 30 0,3 9 21 1,05 30q q q q q q τα οποία μεγιστοποιούνται στην ποσότητα όπου τα οριακά κέρδη μηδενίζονται, δηλαδή όταν 21 2,1 0,q

εξίσωση η οποία δίνει q=10. Πράγματι, είναι μέγιστη τιμή γιατί, ( ) 2,1 0.ddq

Τα μέγιστα κέρδη είναι 2 221 1,05 30 21 10 1,05 10 30 75q q χρηματικές μονάδες.

δ)

(i) Όταν η κυβέρνηση επιβάλλει συνολικό φόρο 200 χρηματικές μονάδες ανεξαρτήτως των εισπράξεων, τότε το κέρδος της επιχείρησης θα είναι

221 1,05 30 200q q και το οριακό κέρδος 21 2,1 ,q το οποίο

εξισούμενο με το 0 δίνει λύση q=10, ποσότητα η οποία μεγιστοποιεί τα κέρδη.


(ii) Όταν η κυβέρνηση επιβάλλει φόρο 8,4 χρηματικές μονάδες για κάθε μονάδα πωλούμενου προϊόντος, για q μονάδες ο φόρος θα είναι 8,4q και επομένως τα κέρδη θα είναι

2 221 1,05 30 8, 4 12,6 1,05 30q q q q q και τα οριακά κέρδη 12, 6 2,1 0 6M q q , ποσότητα η οποία μεγιστοποιεί τα κέρδη. Τα μέγιστα

κέρδη θα είναι 212,6 6 1,05 6 30 7,8 χρηματικές μονάδες.

(iii) Όταν η κυβέρνηση επιδοτεί με 4,2 χρηματικές μονάδες για κάθε μονάδα του πωλούμενου προϊόντος, για q= μονάδες προϊόντος η επιδότηση θα είναι 4,2q και επομένως τα κέρδη

221 1,05 30 4,2q q q 225, 2 1,05 30q q και τα οριακά κέρδη θα είναι

25, 2 2,10 0 12q και τα μέγιστα κέρδη 2 225, 2 1,05 30 25, 2 12 1,05 12 30 121, 2q q χρηματικές μονάδες.

48. Σε μια αγορά που λειτουργεί σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, η συνάρτηση προσφοράς είναι qS=-5+6p και η συνάρτηση ζήτησης qD=35--3p. Εάν η κυβέρνηση επιβάλλει φορολογία t χρηματικών μονάδων σε κάθε μονάδα προϊόντος που πωλείται, ζητούνται: α) η τιμή της t που μεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα από τη φορολογία, β) τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία, γ) η ποσότητα και η τιμή στην οποία θα πωλεί η επιχείρηση το προϊόν της και δ) πόσο θα μειωθεί η προσφερόμενη ποσότητα από την επιβολή της φορολογίας. Λύση

α) Η συνάρτηση προσφοράς και η συνάρτηση ζήτησης γράφονται ως: 55 6 6 5

6S

S Sqq p p q p

3535 3 3 35 .3

DD D

qq p p q p

Η συνάρτηση προσφοράς μετά την επιβολή της φορολογίας t θα είναι: 5 .6

qp t

Επομένως, στο σημείο ισορροπίας της αγοράς θα είναι 35 5 2(35 ) 5 6 70 2 5 6

3 6q q t q q t q q t

3 656 3 65 .6qt q t

Έτσι, τα συνολικά έσοδα από τη φορολογία θα είναι:

23 65 3 65 ,6 6q q qT t q q

τα οποία μεγιστοποιούνται στο σημείο όπου

ΜΤ=0 6 65 0q q= 656q=10,833. Επομένως, η τιμή της φορολογίας t θα

είναι

653 653 65 32,56 5,41.6 6 6qt


β) Τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία θα είναι 5, 41 10,833 58, 61.T t q

γ) Η ποσότητα είναι q=10,833 και επομένως η τιμή στην οποία η επιχείρηση θα πωλεί το προϊόν της

5 10,833 5 5, 41 8,05.6 6

qp t

δ) Χωρίς την επιβολή της φορολογίας, θα είναι 5 35 5 70 2 3 65 21, 67.

6 3q q q q q q

Επομένως, εξαιτίας της επιβολής της φορολογίας, η προσφερόμενη ποσότητα ελαττώνεται κατά 21,67-10,833=10,84 μονάδες. 49. Η συνάρτηση ολικών εσόδων (R) και ολικού κόστους (C) μιας μονοπωλιακής επιχείρησης είναι, αντίστοιχα, 220 0,5R q q και

3 20,04 1,94 32,96 10C q q q . Ζητούνται να προσδιοριστούν: α) Το ύψος του

φορολογικού συντελεστή που θα πρέπει να επιβάλλεται σε κάθε πωλούμενη μονάδα προϊόντος, ώστε το κράτος να μεγιστοποιεί τα φορολογικά έσοδά (εισπράξεις) του, β) ποια είναι τα μέγιστα έσοδα από τη φορολογία και γ) να συγκριθούν οι ποσότητες και οι τιμές ισορροπίας, καθώς και τα μέγιστα κέρδη της επιχείρησης, πριν από και μετά την επιβολή της φορολογίας. Λύση

TR TC T 2 3 2(20 0,5 ) (0,04 1,94 32,96 10)q q q q q tq

2 3 220 0,5 0,04 1,94 32,96 10q q q q q tq 3 20,04 1, 44 12,96 10 .q q q tp Επομένως,

20,12 2,88 12,96d q q tdq τα οποία μεγιστοποιούνται εκεί όπου Mπ=0,

δηλαδή 2 20,12 2,88 12,96 0 0,12 2,88 12,96.q q t t q q

Τα έσοδα από τη φορολογία είναι 2( 0,12 2,88 12,96)T tq T q q q 3 20,12 2,88 12,96T q q q τα οποία

μεγιστοποιούνται εκεί όπου ΜΤ=0, δηλαδή 20,36 5,76 12,96 0,dTMT q qdq

εξίσωση η οποία δίνει λύσεις q1=13,29 και q2 =2,71. 2

2 0,72 5,76.d T qdq

Για q1=13,29 είναι

2 2

2 20,72 13,29 5,76 3,81 0d T d Tdq dq

(μέγιστα έσοδα από τη φορολογία).


Για q2=2,71 είναι 2 2

2 20,72 2,71 5,76 3,81 0d T d Tdq dq

(ελάχιστα έσοδα από

τη φορολογία). Επομένως, α) 20,12 2,88 12,96t q q

2( 0,12) 13, 29 2,88 13,29 12,96t 21,19 38, 28 12,96 4,13.t t β) Συνεπώς, 4,13 13, 29 54,89.T tq T T

γ) Τα κέρδη μετά την επιβολή της φορολογίας θα είναι 3 20,04 1, 44 12,96 10q q q

3 20,04 13,29 1, 44 13,29 12,96 13,29 10 54,89

93,89 254,34 172, 24 10 54,89 21, 75 (μέγιστη ζημία).

Πριν από την επιβολή της φορολογίας, τα κέρδη είναι 3 20,04 1,44 12,96 10q q q τα οποία μεγιστοποιούνται εκεί όπου

2 20,12 2,88 12,96 0 24 108 0,d q q q qdq

από την οποία προκύπτουν οι λύσεις q1=18 και q2=6. 2

2 0, 24 2,88.d qdq Για q1=18 θα είναι

2 2

2 2( 0, 24) 18 2,88 1, 44 0d ddq dq (μέγιστα κέρδη), ενώ για q2=6 θα είναι

2 2

2 2( 0, 24) 6 2,88 1, 44 0d ddq dq (ελάχιστα κέρδη). Άρα, για q=18 τα κέρδη

μεγιστοποιούνται πριν από τη φορολογία, είναι δε 3 20,04 1, 44 12,96 10q q q

3 20,04 18 1,44 18 12,96 18 10 10 (μέγιστη ζημία).

Τέλος, πριν από την επιβολή της φορολογίας, επειδή TRTR pq pq

220 0,5q qp

q

20 0,5p q

20 0,5 18 11.p p Μετά την επιβολή της φορολογίας, θα είναι

( ) TR tqTR p t q TR pq tq pq TR tq pq

220 0,5 20 0,5 20 0,5 13, 29 4,13q q tqp p q t pq

17, 49.p

50. Η συνάρτηση ζήτησης προϊόντος που παράγεται από επιχείρηση είναι p=50-6q και η συνάρτηση μέσου κόστους AC=q+9, και επιβάλλεται φόρος t ίσος με το 1/6 της τιμής επί των πωλήσεων. Να προσδιοριστεί η ποσότητα που μεγιστοποιεί το κέρδος της επιχείρησης. Λύση


Η συνάρτηση κέρδους είναι ( 9) .R C pq q q Επειδή όμως επιβάλλεται

φόρος στο 1/6 της τιμής, για την επιχείρηση, με τα 5/6 υπέρ αυτής, το κέρδος θα είναι

2 25 5 250( 9) (50 6 ) ( 9) 5 96 6 6pq q q q q q q q q q q

= 2 1966 .6

q q Αυτό μεγιστοποιείται όταν Μπ=0, δηλαδή

196 19612 0 2,72.6 72

q q q

51. Η τιμή πώλησης ανά μονάδα προϊόντος επιχείρησης που λειτουργεί σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού είναι 74 χρηματικές μονάδες και η συνάρτηση του μέσου

κόστους q

qqy 1080102 2 . Ζητούνται να προσδιοριστούν: α) η ποσότητα που

ελαχιστοποιεί και η ποσότητα που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση των ολικών κερδών και β) τα μέγιστα και τα ελάχιστα κέρδη. Λύση

2 10( ) 749 (2 10 80 )p R C pq AC q q q qq

3 2 3 2749 2 10 80 10 2 10 6 10.q q q q q q Επομένως,

21,2

20 400 144 20 2566 20 6 012 12

d q q qdq

της οποίας

λύσεις είναι οι 113

q και 2 3.q

2

2

112 20 12 20 16 03

d qq

(ελάχιστο)

2

2 12 20 12 3 20 16 0d qq

(μέγιστο).

α) Επομένως, η ποσότητα που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση των ολικών κερδών είναι

113

q και η ποσότητα που τη μεγιστοποιεί είναι 2 3.q

β) 3 2 3 21 1 12 10 6 10 2( ) 10( ) 6( ) 103 3 3

q q q

= 2 10 2 10 10,9627 9

(είναι τα ελάχιστα κέρδη, δηλ. η μέγιστη ζημία) και

3 22 3 10 3 6 3 10 54 90 18 10 8 (είναι τα μέγιστα κέρδη). 52. Μια επιχείρηση πωλεί το προϊόν της σε δύο αγορές, Α και B. Ζητείται να προσδιοριστούν: α) οι τιμές που θα καθορίζει η επιχείρηση σε καθεμία από τις


αγορές, έτσι ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη σε καθεμία από αυτές ξεχωριστά και β) τα μέγιστα κέρδη με και χωρίς διάκριση τιμών. Δίνονται τα ακόλουθα στοιχεία; xA=16-0,2pA, xB=9-0,05pB και C=20+20x.

Λύση

α) Αγορά Α

16 0, 2 80 5 .A A A Aq p p q ΄Ετσι, τα έσοδα θα είναι: 2(80 5 ) 80 5A A A A A A AR p q q q q q και το κέρδος θα είναι

2 2(80 5 ) (20 20 ) 80 5 20 20A A A A A A AR C q q q q q q 260 5 20.A Aq q Το μέγιστο κέρδος θα είναι εκεί όπου

Μπ=0, 60 10 0 6.A Aq q Για qA=6 υπάρχει, πράγματι, μέγιστο κέρδος γιατί

(ΜπΑ)΄= -10<0. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 2 260 5 20 60 6 5 6 20 160q q χρηματικές μονάδες. Επομένως, η

τιμή πώλησης του προϊόντος στην αγορά Α θα είναι pA=80-5qA=80-5 6=50 χρηματικές μονάδες.

Αγορά Β 9 0,05 180 20 .q p p q Έτσι, τα έσοδα θα είναι:

2(180 20 ) 180 20R p q q q q q και το κέρδος θα είναι 2 2(180 20 ) (20 20 ) 180 20 20 20R C q q q q q q

2160 20 20.q q Το μέγιστο κέρδος θα είναι εκεί όπου

Μπ=0,160 40 0 4.q q Για XΒ=4 υπάρχει, πράγματι, μέγιστο κέρδος γιατί

(ΜπΒ)΄= -40 < 0. Το μέγιστο κέρδος θα είναι 2 2160 20 20 160 4 20 4 20 300q q χρηματικές μονάδες και η τιμή

πώλησης του προϊόντος στην αγορά Β θα είναι PΒ=180-20qΒ=180-20 4=100 χρηματικές μονάδες.

β) Το μέγιστο κέρδος με διάκριση τιμών (δηλ. )A Bp p

(80 5 6) 6 (180 20 4) 4A B A A B BR R C p q p q C

20 20(6 4) 50 6 100 4 20 200 480 χρηματικές μονάδες.

Το μέγιστο κέρδος χωρίς διάκριση τιμών (δηλ. )A Bp p

(16 0, 2 ) (9 0,05 ).A B A Bq q q p p Επειδή δε

p = A Bp p , θα είναι

(16 0, 2 ) (9 0,05 ) 25 0, 25 100 4 .q p p q p p q Επομένως, η

συνάρτηση κέρδους θα είναι (100 4 ) (20 20 )R C pq C q q q


2 2100 4 20 20 80 4 20q q q q q και επομένως το κέρδος θα μεγιστοποιείται εκεί όπου Μπ=0, δηλαδή όπου 80 8 0 10,q q (το οποίο,

πράγματι, είναι μέγιστο, γιατί 2

2 8 0).ddq Επομένως, το κέρδος θα είναι:

280 4 20q q = 280 10 4 10 20 380 χρηματικές μονάδες. Διαπιστώνεται, δηλαδή, ότι είναι καλύτερα να υπάρχουν διαφορετικές τιμές πώλησης στις δύο αγορές παρά μία ενιαία, γιατί στην πρώτη περίπτωση το κέρδος είναι 480, ενώ στη δεύτερη 380 χρηματικές μονάδες. 53. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος της

LLLy 156 23 (όπου L=μονάδες εργασίας). Ζητούνται: α) ο αριθμός των

μονάδων εργασίας για τη μεγιστοποίηση του προϊόντος, β) η ολική παραγωγή στο επίπεδο αυτό της απασχόλησης, γ) το μέσο προϊόν στο επίπεδο αυτό της απασχόλησης και δ) ο αριθμός των μονάδων εργασίας και το επίπεδο της παραγωγής πέραν του οποίου αρχίζει να λειτουργεί ο νόμος των φθινουσών οριακών αποδόσεων. Επαληθεύστε τα ζητούμενα γραφικώς.

Λύση

α) Το προϊόν μεγιστοποιείται στην ποσότητα της εργασίας η οποία μηδενίζει το οριακό προϊόν (πρώτη παράγωγο) της συνάρτησης παραγωγής Έτσι,

23 12 15 0,dyMP L LdL

η οποία έχει λύση την L=5.

β) Για L=5 μονάδες, η ολική παραγωγή είναι

3 25 6 5 15 5 100y μονάδες προϊόντος (σημείο Μ).

γ) Το μέσο προϊόν είναι 2 1006 15 205

AP L L μονάδες (σημείο Ν).

δ) Ο νόμος των φθινουσών αποδόσεων αρχίζει και λειτουργεί στην κατάσταση όπου το οριακό προϊόν έχει τη μέγιστη τιμή, δηλαδή στο σημείο καμπής της συνάρτησης παραγωγής. Έτσι, από την

22

2 ( ) ( 3 12 15) 6 12 0d y d dMP L L LdL dL dL

προκύπτει τιμή L=2. Στην

ποσότητα αυτής της εργασίας η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι 3 22 6 2 15 2 46y μονάδες (σημείο Λ).


54. Να υπολογιστούν οι ποσότητες των αγαθών που πρέπει να πωληθούν, ώστε να επιτευχθούν μέγιστα ολικά έσοδα, όταν οι εξισώσεις ζήτησης των αγαθών αυτών είναι:

α) 8

360 pq , β) 10

250

p

q , γ) 100

202pq , δ) 2100( ) .

20pq

Ποια είναι η τιμή και ποια τα έσοδα στις πωλούμενες ποσότητες των αγαθών; Λύση

α) 60 3 820 .8 3pq p q

Επομένως, η συνάρτηση των εσόδων θα είναι

28 8(20 ) 20 .3 3

R pq q q q q Επομένως, η συνάρτηση των εσόδων θα είναι

28 8(20 ) 20 .3 3

R pq q q q q Τα έσοδα μεγιστοποιούνται στην ποσότητα του

πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει τα οριακά έσοδα (πρώτη παράγωγο των

εσόδων). Έτσι, 28 16(20 ) 20 0,3 3

dR dMR q q qdq dq

εξίσωση η οποία έχει

λύση την q=3,75. Στην ποσότητα αυτή είναι

8020 3,75 103

p και R=pq=10 3, 75 37,5 χρηματικές μονάδες.

β) 50 30 2102 10

qq pp q

. Επομένως,

230 2 30 2( ) .10 10q q qR pq q

q q

2 2

2

30 2 ( 10)(30 4 ) (30 2 )( )10 ( 10)

dR d q q q q q qMRdq dq q q


= 2

2

2 40 300( 10)q qq

=0, εξίσωση η οποία έχει λύση (θετικό αριθμό) την q=5,81. Στην

ποσότητα αυτή είναι 30 2 5,81 1,165,81 10

p

και, τέλος, 1,16 5,81 6, 74R pq


γ) 2

20 10 20 .100pq p q Επομένως,

10 20 .R pq q q 1 1 12 2 2110 (20 ) 10 (20 ) ( 1) 10 (20 )

2dR dMR q q q q qdq dq

5 10 20 0,

20q qq

εξίσωση η οποία έχει λύση την q=13,33. Στην ποσότητα

αυτή θα είναι 10 20 13,33 25,83p και R=pq= 25,83 13,33 344,31


δ) 2100( ) 100 20 .20

pq p q Επομένως,

32(100 20 ) 100 20 100 20 .R pq q q q q q q q

3 12 2(100 20 ) 100 30 0,dR dMR q q q

dq dq εξίσωση η οποία έχει λύση την

q=11,11.Στην ποσότητα αυτή θα είναι

100 20 11,11 33,34p και, τέλος,

33,34 11,11 370, 41R pq χρηματικές μονάδες.

55. Εάν η συνάρτηση κόστους παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι

200100104

3 23

qqqC (όπου q=μονάδες παραγό-μενου προϊόντος) και η

αγοραία τιμή του προϊόντος είναι σταθερή και ίση με 100 χρηματικές μονάδες, ζητεί-ται να υπολογιστεί η ποσότητα του προϊόντος που θα παραχθεί για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της επιχείρησης. Με ποια ποσότητα προϊόντος η επιχείρηση έχει μέγιστη ζημία; θα μεταβληθεί η παραγωγή αν το σταθερό κόστος αυξηθεί ή ελαττωθεί κατά 100 μονάδες; Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση

Οι συναρτήσεις εσόδων και κόστους παραγωγής προϊόντος της επιχείρησης θα είναι,

αντίστοιχα, R=pq=100q και 3

23 10 100 200.4pC q q Επομένως, η συνάρτηση

κέρδους θα είναι


323100 ( 10 100 200)

4qR C q q q

= 3 3

2 23 3100 10 100 200 10 200.4 4q qq q q q Το κέρδος μεγιστοποιείται

στην ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει τη συνάρτηση του οριακού κέρδους (πρώτη παράγωγο της συνάρτησης του κέρδους). Έτσι,

3 223 9( 10 200) 20 0,

4 4dp d q qq qdq dq

εξίσωση η οποία έχει λύσεις

τις q1=8,89 και q2=0. Οι τιμές q1=8,89 και q2=0 επαληθεύονται αν εξισωθούν τα οριακά έσοδα (ΜR) με το οριακό κόστος (MC) της επιχείρησης (σημεία Κ και Λ). Πράγματι,

επειδή (100 )dMR qdq

=100 και 3 2

23 9( 10 100 200) 20 100,4 4

d q qMC q q qdq

θα είναι

29100 20 100,4q q εξίσωση η οποία δίνει λύσεις τις q1=8,89 και q2=0.

Για q1=8,89 προκύπτει ότι 2

2

18( ) 204

d d qMdq dq

= 18 8,89 204

=-20<0, δηλαδή το κέρδος μεγιστοποιείται (σημείο Μ), ενώ για q2=0

προκύπτει ότι 2

2

18( ) 20 20 0,4

d d qMdq dq

δηλαδή το κέρδος γίνεται

ελάχιστο (σημείο Ν). Εάν το σταθερό κόστος μεταβληθεί κατά 100 (ή οσεσδήποτε μονάδες) η παραγωγή δεν θα μεταβληθεί, γιατί, όπως είδαμε προηγουμένως, η μεγιστοποίηση του κέρδους σχετίζεται με το οριακό κόστος, το οποίο είναι ανεξάρτητο του σταθερού κόστους παραγωγής του προϊόντος.


56. Εάν το ολικό κόστος επιχείρησης που λειτουργεί σε αγορά πλήρους

ανταγωνισμού είναι 20104

2

qqC (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος)

και η σταθερή τιμή του προϊόντος είναι p χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν: α) η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης και β) η ελάχιστη ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος, ώστε να καλυφθεί το ολικό κόστος παραγωγής του. Λύση

α) Σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού ισχύει MR = p = MC. Από τη συνάρτηση ολικού

κόστους 2

10 204qC q προκύπτει ότι 10.

2dC qMCdq

Επομένως, 102q p

και τελικά 2( 10).q p

β) Το ολικό κόστος καλύπτεται με την ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία εξισώνει αυτό με τα έσοδα που πραγματοποιούνται, είναι δηλαδή .C R pq Αλλά,

από τη συνάρτηση προσφοράς προκύπτει 20 .2

qp Έτσι, έχουμε

2 2010 20 ( ) ,4 2q qq q

εξίσωση η οποία δίνει λύση q=8,94. Στην ποσότητα αυτή

του πωλούμενου προϊόντος είναι 129,38C R χρηματικές μονάδες. 57. Η συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής προϊόντος επιχείρησης είναι

20205,0 2 qqC (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος) και η συνάρτηση

ζήτησης αυτού είναι q=20-0,4p. Να υπολογιστούν: α) η ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος, ώστε η επιχείρηση να πραγματοποιήσει μέγιστο κέρδος, β) η τιμή του προϊόντος στο επίπεδο αυτό της παραγωγής, γ) τα ολικά έσοδα που θα πραγματοποιήσει η επιχείρηση, δ) το ολικό κόστος παραγωγής και ε) το κέρδος της επιχείρησης. Να επαληθευθούν τα ευρήματα γραφικώς. Λύση

α) Από τη συνάρτηση ζήτησης 20 0, 4q p προκύπτει ότι 50 2,5 .p q Έτσι, η

συνάρτηση εσόδων είναι 2(50 2,5 ) 50 2,5R pq q q q q και η συνάρτηση κέρδους είναι

2 2 2(50 2,5 ) (0,5 20 20) 3 30 20.R C q q q q q q Το κέρδος

μεγιστοποιείται (ή ελαχιστοποιείται) στην ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει το οριακό κέρδος. Συνεπώς,


2( 3 30 20) 6 30 0,d q q qdq

εξίσωση η οποία έχει λύση την q=5. Στην

τιμή αυτή επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος (σημείο Μ), γιατί ( ) 6 0.ddq

Η

λύση αυτή προκύπτει, επίσης, εάν εξισωθούν τα οριακά έσοδα με το οριακό κόστος (σημείο Ν). Πράγματι,

2(50 2,5 ) 50 5dR dMR q q qdq dq

και

2(0,5 20 20) 20.dCMC q q qdq

Έτσι, από την εξίσωση 50 5 20q q

προκύπτει η λύση q=5.

β) 50 2,5 50 2,5 5 37,5p q χρηματικές μονάδες (σημείο Λ).

γ) 37,5 5 187,5R pq χρηματικές μονάδες (σημείο Κ).

δ) 2 20,5 20 20 0,5 5 20 5 20 123,5C q q χρηματικές μονάδες (σημείο Ρ).

ε) 187,5 132,5 55R C χρηματικές μονάδες (σημείο Σ).

58 Επιχείρηση, που λειτουργεί σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού, έχει συνάρτηση

παραγωγής προϊόντος )10

5(20

2 zzq (όπου z=μονάδες εισροής), οι δε τιμές ανά

μονάδα του παραγόμενου προϊόντος και της χρησιμοποιούμενης εισροής είναι, αντίστοιχα, 20 και 50 χρηματικές μονάδες. Να υπολογιστεί η ποσότητα της


χρησιμοποιούμενης εισροής, ώστε να επιτευχτεί το μέγιστο κέρδος. Πόσες μονάδες του προϊόντος θα παραχθούν και ποιο θα είναι το μέγιστο κέρδος στο επίπεδο αυτό της εισροής; Να επαληθευθούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση

Το κέρδος μεγιστοποιείται (και ελαχιστοποιείται) στα σημεία Μ και Ν όπου η αξία του οριακού προϊόντος (VMP) είναι ίση με την τιμή ανά μονάδα της χρησιμοποιούμενης εισροής, δηλαδή VMP=pz. Αλλά

23( ) ( ).2 200q qzVMP p MP p z Έτσι, 2320( ) 50,

2 200z z εξίσωση η οποία δίνει

λύσεις τις 1 27,21z και 2 6,13.z

Διατυπώνοντας κατ’ άλλο τρόπο, οι τιμές αυτές προκύπτουν εξισώνοντας τα οριακά έσοδα (MR) με το οριακό κόστος (MC). Τα MR προκύπτουν από τη συνάρτηση των εσόδων ( )R ως:

2 32 220 (5 ) (5 ) 5

20 10 10 10qz z z zR p q z z

και

3 22 3(5 ) 10 ,

10 10d z zMR z zdz

ενώ το MC ισούται με την τιμή ανά μονάδα της

χρησιμοποιούμενης εισροής, δηλαδή είναι 50.zMC p Συνεπώς, 2310 50,

10zz που δίνει τις λύσεις 127,21z και 2 6,13,z στις οποίες το κέρδος

βρίσκεται σε ακρότατο σημείο. Για τη διερεύνηση του μέγιστου του κέρδους, από τη

συνάρτηση του οριακού κέρδους Μπ=MR-MC 2310 50

10zz , για z1=27,21

προκύπτει 23 6 6 27, 21( ) (10 50) 10 10 6,32 0,

10 10 10d d z zM zdz dz

συνθήκη που

υποδηλώνει ότι για 1 27,21z η συνάρτηση κέρδους μεγιστοποιείται (σημείο Λ).

Αντιθέτως, για 2 6,13z προκύπτει 6 6 6,13( ) (10 ) 10 6,32 0,10 10

d d zMdz dz

συνθήκη που υποδηλώνει την ελαχιστοποίηση του κέρδους στην τιμή αυτή του z (σημείο Κ).

Τέλος, από τη συνάρτηση του οριακού κέρδους 2310 50

10zz , ακολουθώντας

αντίστροφη πορεία (ολοκλήρωση), προκύπτει η συνάρτηση κέρδους 3

25 50 .10zz z Έτσι, για 1 27,21z μονάδες εισροής θα παραχθούν

227, 21 27,21(5 ) 84,3720 10

q μονάδες του προϊόντος (σημείο Ρ), ενώ το μέγιστο

κέρδος θα είναι


3

2 27,215 27, 21 50 27, 21 326,8310

χρηματικές μονάδες (σημείο Λ).

59. Η συνάρτηση ζήτησης αγαθού, παραγόμενου από επιχείρηση, είναι 2

5,24 pq

(όπου p=τιμή ανά μονάδα του αγαθού), και η συνάρτηση του ολικού μεταβλητού

κόστους παραγωγής του είναι qqqVC 2

22

3 . Αν το σταθερό κόστος είναι α) 150

και β) 10 χρηματικές μονάδες, ζητούνται να υπολογιστούν: α) το επίπεδο παραγωγής και η τιμή για κάθε περίπτωση, ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, β) το κέρδος για κάθε περίπτωση. Ποια συμπεράσματα προκύπτουν από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων των δύο περιπτώσεων; Λύση

α) Από τη συνάρτηση ζήτησης 24,52pq προκύπτει ότι 49 2 .p q Έτσι, η

συνάρτηση εσόδων είναι 249 2 .R pq q Το ολικό κόστος παραγωγής, με σταθερό κόστος 1 150FC και 2 10FC , είναι, αντίστοιχα,

23

1 1 150 22qC FC VC q q και

23

2 2 10 2 .2qC FC VC q q Έτσι, οι συναρτήσεις κέρδους θα είναι, αντίστοιχα


2 22 3 3

1 15(49 2 ) (150 2 ) 2 50 150

2 2q qR C q q q q q q και

2 22 3 3

2 25(49 2 ) (10 2 ) 2 50 10.

2 2q qR C q q q q q q

Επομένως, το κέρδος μεγιστοποιείται (ή ελαχιστοποιείται) στην ποσότητα του πωλούμενου προϊόντος η οποία μηδενίζει το οριακό προϊόν της αντίστοιχης συνάρτησης κέρδους. Έτσι, προκύπτουν οι εξισώσεις:

23 21

15( 2 50 150) 6 5 50 02

d d qq q q qdq dq και

23 22

25( 2 50 10) 6 5 50 02

d d qq q q qdq dq οι οποίες έχουν την

ίδια λύση q=2,5 στην οποία αντιστοιχεί p=44.

β) Το κέρδος στις αντίστοιχες περιπτώσεις είναι: 2

31

5 2,52 2,5 50 2,5 150 71,872

(ζημία) και

23

25 2,52 2,5 50 2,5 10 68,13

2


Τα συμπεράσματα που προκύπτουν είναι ότι η παραγωγή και η τιμή δεν επηρεάζονται από το σταθερό κόστος παραγωγής του αγαθού, καθόσον το οριακό κόστος είναι συνάρτηση μόνο του μεταβλητού κόστους. Το σταθερό κόστος επηρεάζει, ωστόσο, το κέρδος της επιχείρησης. Πράγματι, η διαφορά στο σταθερό κόστος των 140 (150-10) χρηματικών μονάδων είναι η διαφορά στα πραγματοποιούμενα κέρδη 68,13 ( 71,87) .

60. Η συνάρτηση χρησιμότητας καταναλωτή είναι 50202 xxU (όπου x=μονάδες αγαθού, καταναλώμενες σε ορισμένο χρονικό διάστημα). Ποια θα είναι η ποσότητα κατανάλωσης του αγαθού με την οποία θα μεγιστοποιηθεί η ικανοποίηση του καταναλωτή και ποια η συνολική χρησιμότητα που επιτυγχάνεται; Λύση

Η χρησιμότητα (ικανοποίηση του καταναλωτή) μεγιστοποιείται στην ποσότητα του αγαθού η οποία μηδενίζει την οριακή χρησιμότητα αυτού. Έτσι,

2( 20 50) 2 20 0dU dMU x x xdx dx

, εξίσωση η οποία έχει λύση την x=10.

Στην ποσότητα αυτή η μέγιστη συνολική χρησιμότητα είναι

210 20 10 50 150U μονάδες χρησιμότητας.


61. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την 2125 xxq (όπου x1 και

x2 είναι μονάδες εισροής). Εάν η παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος είναι 200 μο-νάδες και οι τιμές αγοράς, ανά μονάδα των εισροών, x1 και x2, αντίστοιχα, 2 και 8 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν: α) οι ποσότητες των χρησιμοποιούμενων ει-σροών, ώστε να επιτευχθεί η παραγωγή των 200 μονάδων με το μικρότερο κόστος και β) το ελάχιστο πραγματοποιούμενο κόστος στο επίπεδο αυτό της παραγωγής. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση

Η συνάρτηση ισοπαραγωγής της επιχείρησης είναι 1 2200 25 x x από την οποία

προκύπτει 12

64xx

, και η συνάρτηση ισοκόστους 1 21 2 1 22 8x xC p x p x x x , από

την οποία προκύπτει 1 24 .2Cx x Η παραγωγή των 200 μονάδων του προϊόντος με

το μικρότερο κόστος επιτυγχάνεται στη σημείο όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων ισοπαραγωγής και ισοκόστους είναι ίσες (σημείο Μ), με άλλα λόγια εκεί όπου η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης του x1 από x2 (

1 2x ό xMRTS )

εξισώνεται με το αντίστροφο του λόγου των τιμών ( 2

1

x

x

pp

) των εισροών. Έτσι,

12

2 2

64 4,dxdx x

εξίσωση η οποία δίνει λύση x2=4. Αντίστοιχα, από τη συνάρτηση

ισοπαραγωγής προκύπτει 164 16.4

x Οι τιμές αυτές, με αντικατάστασή τους στη

συνάρτηση ισοκόστους, δίνουν 2 16 8 4 64C χρηματικές μονάδες.


62. Η συνάρτηση ισοπαραγωγής η οποία συνδέει δύο συντελεστές παραγωγής για την

παραγωγή ενός προϊόντος, είναι 2

21 )1(

40

x

x · Εάν η τιμή ανά μονάδα των

συντελεστών αυτών είναι, αντίστοιχα, 501xp και 4

2xp χρηματικές μονάδες,

χρησιμοποιούνται δε 3 μονάδες του συντελεστή x2, υπολογίστε πόσες μονάδες από κάθε συντελεστή πρέπει να μετακινηθούν, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος παραγωγής του προϊόντος. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση

Η παραγωγή ορισμένης ποσότητας προϊόντος (εκφρασμένης με τη συνάρτηση ισοπαραγωγής) με το μικρότερο κόστος, επιτυγχάνεται στο σημείο όπου η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης του συντελεστή x1 από τον x2 ισούται με το αντίστροφο του λόγου των τιμών αυτών. Έτσι,

1 2

13

2 2

80 4 ,( 1) 50x ό x

dxMRTSdx x

εξίσωση η οποία δίνει x2=9, στην οποία

αντιστοιχεί τιμή 1 2

40 0, 40.(9 1)

x

Έτσι, αν χρησιμοποιούνται 3 μονάδες του x2

(και αντίστοιχα 2,5 μονάδες του x1), προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το κόστος θα πρέπει ο συντελεστής x2 να αυξηθεί κατά 6 μονάδες και, αντίστοιχα, να ελαττωθεί ο συντελεστής x1 κατά 2,1 μονάδες. Δηλαδή, η παραγωγή να μετακινηθεί επί της καμπύλης ισοπαραγωγής από το σημείο Μ στο σημείο Ν.

63. Η συνάρτηση ζήτησης αγαθού μονοπωλιακής επιχείρησης είναι 4

200 pq

(όπου p=τιμή του αγαθού). Το σταθερό κόστος παραγωγής του αγαθού είναι 60 χρηματικές μονάδες, ενώ το μεταβλητό κόστος εκφράζεται από τη συνάρτηση


qqVC 5011 2 . Εάν υποτεθεί ότι η καμπύλη ζήτησης του αγαθού μετατοπίζεται

μακροχρονίως παράλληλα προς την αρχική της θέση και το κόστος παραγωγής παραμένει σταθερό, ζητούνται να υπολογιστούν, τόσο για τη βραχυχρόνια όσο και για τη μακροχρόνια περίοδο: α) η ποσότητα του αγαθού με την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος, β) το επιτυγχανόμενο μέγιστο κέρδος και γ) η τιμή του αγαθού. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση

Βραχυχρονίως, το σημείο ισορροπίας της επιχείρησης είναι το σημείο όπου τα οριακά έσοδα (MR) εξισώνονται με το οριακό κόστος (σημείο Μ). Από τη συνάρτηση ζήτησης

2004pq

προκύπτει p=200-4q και επομένως 2(200 4 ) 200 4R pq q q q ,

ενώ MR=200-8q. Η συνάρτηση κόστους είναι 260 11 50C FC VC q q και MC=22q+50. Έτσι, 200-8q=22q+50, εξίσωση η

οποία δίνει λύση q=5 μονάδες, ποσότητα με την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο κέρδος της επιχείρησης, ίσο με 2 2(200 4 ) (60 11 50 )R C q q q q = 2 215 150 60 15 5 150 5 60 315q q χρηματικές μονάδες. Η τιμή του αγαθού για p=5 μονάδες είναι 200 4 5 180p χρηματικές μονάδες (σημείο Ν). Μακροχρονίως, εφόσον υποτίθεται ότι η συνάρτηση ζήτησης μεταβάλλεται, και κατά συνέπεια τα μέσα έσοδα (η νέα τιμή του αγαθού) και δεδομένου ότι το κόστος παραγωγής παραμένει σταθερό, το σημείο ισορροπίας επιτυγχάνεται στο σημείο όπου εξισώνονται οι κλίσεις των συναρτήσεων μέσων εσόδων-ζήτησης) και μέσου

κόστους (σημείο Λ). Συγκεκριμένα, ( ) ( ),d dAR ACdq dq

δηλαδή

2

60 60(200 4 ) (11 50 ) 4 11d dq qdq dq q q

, από την οποία προκύπτει η λύση

q=2 μονάδες. Για q=2 θα είναι

p΄= 6011 2 50 1022

AC χρηματικές μονάδες, έτσι που η νέα συνάρτηση

ζήτησης προκύπτει ως p΄= 4 102 4 2 110q a a και, τελικά, p΄=110-4q (η κλίση ίση με -4 παραμένει η ίδια, γιατί η γραμμή ζήτησης μετατοπίζεται, σύμφωνα με την υπόθεση, παράλληλη προς την αρχική). Τέλος, το μέγιστο κέρδος στη νέα διαμορφωθείσα κατάσταση θα είναι

2 2(110 4 ) (60 11 50 )R C q q q =

215 60 60q q 215 2 60 2 60 0. Για παραγωγή αγαθού μεγαλύτερη ή

μικρότερη από 2 μονάδες, η επιχείρηση διατηρώντας στα ίδια επίπεδα το κόστος παραγωγής του αγαθού, θα υφίσταται ζημία και τούτο γιατί διαταράσσεται η ισορροπία πουν εκφράζεται από τη συνθήκη p΄=AR=AC.


64. Επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα Α και Β, τα οποία πωλεί με τις επικρατούσες αγοραίες τιμές, αντίστοιχα, 5 και 15 χρηματικές μονάδες. Η συνάρτηση μετασχηματι-σμού των προϊόντων είναι

5045 2

22

32

1 yyyy (όπου y1 και y2 είναι, αντίστοιχα, οι μονάδες των

παραγόμενων προϊόντων Α και Β). Να υπολογιστούν: α) Μεταξύ ποιων ορίων παραγωγής τα παραγόμενα προϊόντα είναι «συμπληρωματικά», δηλαδή η αύξηση της παραγωγής του ενός σχετίζεται με την αύξηση της παραγωγής του άλλου και β) πώς πρέπει να συνδυαστεί η παραγωγή των Α και Β προϊόντων, ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της επιχείρησης. Να επαληθευτούν τα σχετικά ευρήματα γραφικώς. Λύση

α) Η συνάρτηση μετασχηματισμού (δυνατοτήτων παραγωγής) μεγιστοποιείται στο σημείο όπου η οριακή σχέση μετασχηματισμού (

1 2y yMRT ) μηδενίζεται (σημείο Μ0.

Έτσι,

1 2

21 2

22

3 2 4 05y y

dy yMRT ydy , εξίσωση η οποία δίνει λύσεις τις 2 1,41y

και 2 4,74.y Η τιμή 2 4,74y πράγματι μεγιστοποιεί τη συνάρτηση (σημείο Μ),

γιατί 2

1 222

6 6 4,742 2 3,7 0,5 5

d y ydy

ενώ η την ελαχιστοποιεί. Επομένως, τα

όρια παραγωγής του προϊόντος Β είναι μεταξύ μηδενικής παραγωγής (η αρνητική


τιμή του y2 δεν έχει έννοια και παραγωγής 4,74 μονάδων. Αντίστοιχα, τα όρια παραγωγής του προϊόντος Α θα είναι μεταξύ 0 και 70,13 μονάδες.

β) Με την υπόθεση ότι η επιχείρηση λειτουργεί σε αγορά πλήρους ανταγωνισμού, η τιμή ανά μονάδα των συντελεστών παραγωγής είναι σταθερή. Επειδή δε και η ποσότητα των χρησιμοποιούμενων συντελεστών για την παραγωγή των προϊόντων Α και Β είναι σταθερή, το ολικό κόστος είναι σταθερό. Συνεπώς, για τη μεγιστοποίηση του κέρδους, η επιχείρηση δεν έχει παρά να μεγιστοποιήσει τα έσοδα. , τα οποία μεγιστοποιούνται στο σημείο όπου η οριακή σχέση μετασχηματισμού (

1 2y yMRT ) είναι ίση με την παράγωγο (πρώτη) της συνάρτησης ισοεσόδων. Η

συνάρτηση ισοεσόδων προκύπτει ως 1 2 1 2 1 25 15 35A BRR p y p y y y y y

Επομένως, 1 2

21 2

22

3 2 4 3,5y y

dy yMRT ydy εξίσωση η οποία δίνει y2=5,47 (η

αρνητική λύση y2= -2,13 απορρίπτεται), στην οποία αντιστοιχεί λύση y1=69,07. To σημείο N (5,47, 69,07), ως σημείο επαφής των γραμμών της συνάρτησης μετασχηματισμού και ισοεσόδων, είναι το σημείο μέγιστου κέρδους της επιχείρησης.

65. Καταναλωτής επιτυγχάνει ορισμένο επίπεδο ικανοποίησης με την κατανάλωση ποσοτήτων x1 και x2 των αγαθών Α και Β αντιστοίχως, συναρτωμένων ως

42100 2

1

xx . Εάν η τιμή του αγαθού Α είναι 48 χρηματικές μονάδες και του

αγαθού Β 3 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν: α) Πόση ποσότητα από κάθε αγαθό πρέπει να καταναλωθεί, ώστε να επιτευχθεί το δοθέν επίπεδο ικανοποίησης με την ελάχιστη οικονομική επιβάρυνση, β) ποια θα είναι η δαπάνη κατανάλωσης στο επίπεδο αυτό των αγαθών και γ) ποιος θα είναι ο συνδυασμός των ποσοτήτων των αγαθών Α και Β εάν διπλασιαστούν οι τιμές τους; Να επαληθευτούν τα ευρήματα γραφικώς.


Λύση

α) Η συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας είναι 1 2A BC p x p x

= 1 248 3 ,x x από την οποία προκύπτει 1 21 .

48 16Cx x Το δοθέν και ορισμένο επίπεδο

ικανοποίησης, με την ελάχιστη οικονομική επιβάρυνση, επιτυγχάνεται στο σημείο όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων ίσης χρησιμότητας (καμπύλης αδιαφορίας) και καταναλωτικής δυνατότητας είναι ίσες (σημείο Μ). Με άλλα λόγια, εκεί όπου η οριακή σχέση υποκατάστασης του αγαθού Α από το Β A όMRS ) εξισώνεται με το

αντίστροφο του λόγου των τιμών ( )B

A

pp

των αγαθών αυτών. Έτσι,

1

2 2

1 1 ,168 2A ό

dxMRSdx x

εξίσωση που επαληθεύεται για x2=6 μονάδες.

Αντίστοιχα, από τη συνάρτηση ίσης χρησιμότητας προκύπτει

1100 6 2 24,5

4x μονάδες.

β) Η δαπάνη κατανάλωσης για x1=24,5 και x2=6 θα είναι 48 24,5 3 6 1194C


γ) Εφόσον η συνθήκη για την επίτευξη του επιπέδου ικανοποίησης είναι B

A όA

pMRSp , ο διπλασιασμός και των δύο τιμών δίνει πάλι το σταθερό λόγο

116.

Έτσι, ο συνδυασμός x1=24,5 και x2=6 των αγαθών Α και Β, αντίστοιχα,

παραμένει αμετάβλητος.


66. Εάν η συνάρτηση ίσης χρησιμότητας (καμπύλη αδιαφορίας), η οποία συνδέει δύο

αγαθά Α και Β, είναι 213150 xx (όπου x1 και x2 είναι οι ποσότητες, αντιστοίχως, των

αγαθών Α και Β) και οι τιμές αγοράς των αγαθών είναι 2 και 12 χρηματικές μονάδες αντιστοίχως, να υπολογιστεί η επίδραση επί της ισορροπίας του καταναλωτή της αύξησης της τιμής του αγαθού Α από 2 σε 5 χρηματικές μονάδες (όταν η ολική δαπάνη C της καταναλωτικής δυνατότητας και η p2 παραμένουν σταθερές). Θα είναι ίδια η επίδραση, αν η δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας αυξηθεί κατά το ίδιο με το προηγούμενο (150%) ποσοστό, ενώ οι τιμές p1 και p2 διατηρηθούν σταθερές; Λύση

Η συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας είναι

1 2 1 22 12 ,A BC p x p x x x από την οποία προκύπτει 1 26 .2Cx x Η ισορροπία του

καταναλωτή (επίτευξη επιπέδου ικανοποίησης με την ελάχιστη οικονομική επιβάρυνση) επιτυγχάνεται στο σημείο όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων ίσης χρησιμότητας (καμπύλης αδιαφορίας) και καταναλωτικής δυνατότητας είναι ίσες, με άλλα λόγια η οριακή σχέση υποκατάστασης του αγαθού Α από το Β ( A όMRS )

εξισώνεται με το αντίστοιχο του λόγου των τιμών ( )B

A

pp

των αγαθών αυτών. Από

τη συνάρτηση ίσης χρησιμότητας 1 21503x x προκύπτει 1

2

150xx

και

12

2 2

150 ,A όdxMRSdx x ενώ από τη συνάρτηση καταναλωτικής δυνατότητας

2

1

1

2

6.x

x

pdxdx p

Επομένως, 22

150 6,x

εξίσωση η οποία έχει λύση την x2=5 μονάδες.

Αντίστοιχα, από τη συνάρτηση ίσης χρησιμότητας προκύπτει 1150 30

5x μονάδες.

Εάν η τιμή του αγαθού Α αυξηθεί από 2 σε 5 μονάδες, ενώ θα διατηρηθούν σταθερές η δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας και η τιμή του αγαθού Β, η νέα ισορροπία

του καταναλωτή θα εκφράζεται από τη σχέση 22

150 12 ,5x

η οποία δίνει λύση

x2=7,91 μονάδες, στην οποία αντιστοιχεί x1=18,96 μονάδες. Όπως διαπιστώνεται, η αύξηση της τιμής του αγαθού Α από 2 σε 5 χρηματικές μονάδες οδηγεί τον καταναλωτή στη μείωση της κατανάλωσης του αγαθού αυτού από 30 σε 18,96 μονάδες και αύξηση της κατανάλωσης του αγαθού Β από 5 σε 7,91 μονάδες. Το αποτέλεσμα αυτό εκδηλώνεται ως αποτέλεσμα υποκατάστασης, ενώ η πραγματική ισορροπία του καταναλωτή θα διαμορφωθεί σε νέο συνδυασμό των ποσοτήτων των αγαθών Α και Β επί νέας διαμορφούμενης συνάρτησης ίσης χρησιμότητας, ως εκδήλωση του εισοδηματικού αποτελέσματος.


Τέλος, εφόσον η δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας αυξάνεται ενώ παραμένουν σταθερές οι τιμές των αγαθών Α και Β, θα αυξηθούν οι καταναλώμενες ποσότητες των αγαθών και επομένως, για τη διατήρηση πάλι της ισορροπίας, ο καταναλωτής θα μεταβάλει το επίπεδο ολικής χρησιμότητάς του (θα μεταβεί σε υψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας). Η μετακίνησή του θα γίνει κατά μήκος της καμπύλης κατανάλωσης Engel, ώστε να διατηρήσει σταθερή τη συνθήκη της A όMRS της

νέας συνάρτησης ίσης χρησιμότητας, ίση με 2

1

6.x

x

pp


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Απεικονίστε σε τρισδιάστατο χώρο τμήμα της επιφάνειας που εκφράζει η συνάρτηση x+2y+3z=5 και σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων γραμμές που παριστάνουν τη σχέση μεταξύ των x και z μεταβλητών, για διάφορα επίπεδα τιμών της μεταβλητής y. Λύση

2. Να υπολογιστούν οι κοινές λύσεις των x, y και z των συναρτήσεων x-2y+z=4, 2x+y-5z=9, -x+3y+z=3 με τη γεωμετρική απεικόνιση των αντίστοιχων επιπέδων των συναρτήσεων. Λύση

Οι κοινές λύσεις των συναρτήσεων είναι x=8, z=2 και y=3.


3. Να απεικονιστούν σε σχήμα ορθογώνιων συντεταγμένων και για το διάστημα τιμών της y= -2, -1, 0, 1, 2, 3 οι ακόλουθες συναρτήσεις: α) y=5x-3z, β) y=x2z, γ) y=x2+z2-1, δ) y=x2-z2, ε) xzy ,

στ) y=x2+xz+z2, ζ) x2+y2+z2-2xz-2yz=0. Λύσεις

Απεικονίζονται οι μονομεταβλητές συναρτήσεις (όπου y* είναι οι δοσμένες τιμές της y):

α) * 35

y zx

β) *yxz

γ) 2* 1x y z

δ) 2*x y z

ε) 2*yxz

στ) 20,5 0,5 4 * 3x z y z

ζ) *(2 *)x z y z y


4. Δείξτε ότι για τις ακόλουθες συναρτήσεις:

α) 3 2 zxy , β) 22 zxy και γ) zxzxy

22

η επιφάνεια που τέμνεται σε

δεδομένο σημείο της από κατακόρυφο επίπεδο διερχόμενο από το 0, αποτελεί τομή ευθείας γραμμής. Λύση

Τμήμα της επιφάνειας που ορίζουν οι συναρτήσεις και για τιμές π.χ. y=5 και y=10, εάν προβληθεί στο επίπεδο που ορίζουν οι ορθογώνιες συντεταγμένες x και z, παρουσιάζει τις αντίστοιχες καμπύλες (ισοϋψείς) των διαγραμμάτων α, β και γ. Το κατακόρυφο επίπεδο που τέμνει την επιφάνεια σε ένα σημείο και το οποίο διέρχεται από το 0, αποτελεί τομή η οποία στα επίπεδα σχήματα αντιστοιχεί προς την ευθεία γραμμή ΟΜ και αυτό γιατί, όπως μπορεί να διαπιστωθεί αλγεβρικά, μεταβολή των x και z κατά ποσοστό λ προκαλεί, επίσης, μεταβολή της y κατά το ίδιο ποσοστό. Έτσι, π.χ στο σχήμα, εάν από το σημείο Α (2, 7,90) μετακινηθούμε στη θέση Β (4, 15,80) το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ αποτελεί τμήμα της ευθείας ΟΜ.


Το ίδιο συμβαίνει και για τις άλλες συναρτήσεις (σχήματα (β) και (γ)) όταν από τα σημεία Α (, 5,39) και Ζ (2, 6) μετακινηθούμε στο σημείο Β (4, 10,78) και Β (4, 12), αντίστοιχα (βλ. και άσκηση 13).

5. Εάν η σχέση η οποία συνδέει την προσφερόμενη ποσότητα q προϊόντος y με την τιμή αυτού py και την τιμή px προϊόντος x, υποκατάστατου του πρώτου, είναι

xy ppq 1,02,03 , να απεικονιστεί η σχετική επιφάνεια για το διάστημα 2py5

και 6px10 χρηματικές μονάδες. Αν οι τιμές py και px διατηρηθούν, εναλλάξ, σταθερές στις 10 και 15 χρηματικές μονάδες, να απεικονιστούν σε σχήμα ορθογώνιων συντεταγμένων οι καμπύλες των συναρτήσεων προσφοράς για τα παραπάνω διαστήματα των τιμών px και py.


Λύση

6. Οι εξισώσεις ζήτησης των αγαθών Α και Β είναι, αντίστοιχα, 1

2201x

x

pp

q και

2

152x

x

pp

q (όπου 1x

p και 2x

p είναι οι τιμές των αγαθών). Για ποιες τιμές των αγαθών

Α και Β η ζήτηση αυτών είναι η ίδια; Να απεικονιστεί γραφικά η μεταβολή της γραμμής ζήτησης του αγαθού Α, όταν η τιμή του αγαθού Β αυξάνεται διαδοχικά από 5 σε 8 και 10 χρηματικές μονάδες. Λύση

Με την ίδια ζήτηση θα είναι q1=q2, δηλαδή

2 1

1 2 1 2

1 2

2 220 5 4 2 .x xx x x x

x x

p pp p p p

p p


7. Επιχείρηση, η οποία παράγει τρία προϊόντα, έχει συνάρτηση ι-σοεσόδων 3x+y+4z=R (όπου x, y, z είναι οι ποσότητες των παραγόμενων προϊόντων και R=έσοδα). Εάν από την πώληση των προϊόντων επιτυγχάνονται έσοδα R=20 χρηματικές μονάδες, να απεικονιστεί γραφικά το επίπεδο που σχηματίζουν οι σαφείς συναρτήσεις που προκύπτουν. Δείξτε αλγεβρικά και γεωμετρικά το αποτέλεσμα, εάν το y διατηρηθεί σταθερό και ίσο με 5 μονάδες. Λύση

Από την ασαφή μορφή της συνάρτησης 3x+y+4z=20 σχηματίζονται τρεις σαφείς συναρτήσεις, θεωρώντας κάθε φορά δύο από τις μεταβλητές ως ανεξάρτητες. Έτσι,

έχουμε 20 4 ,3z yx

20 34x yz

και 20 3 4y x z , καθεμία από τις οποίες

σχηματίζει το επίπεδο του σχήματος (α), του οποίου κάθε σημείο παριστάνει το συνδυασμό παραγωγής των τριών προϊόντων για την απόκτηση της σταθερής ποσότητας εσόδων ίσης με 20 χρηματικές μονάδες. Εάν το y διατηρηθεί σταθερό και ίσο με 5 μονάδες, τομή του επιπέδου στο επίπεδο αυτό της παραγωγής εκφράζεται από την εξίσωση 3x+4z=15, με γραφική απεικόνιση αυτή του σχήματος β).


8. Η συνάρτηση παραγωγής γεωργικού προϊόντος είναι NPPNPNy 21,04,07,05,26,78,18 22 (όπου y=μονάδες παραγόμενου

προϊόντος ανά μονάδα εδάφους, Ν=μονάδες νιτρικού λιπάσματος και Ρ=μονάδες φωσφορικού λιπάσματος). Να απεικονιστεί γραφικά η επιφάνεια της συνάρτησης παραγωγής για το διάστημα των τιμών 70 N και 50 P . Να απεικονιστούν σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων οι μονομεταβλητές συναρτήσεις παραγωγής για Ν=2 και Ρ=5 μονάδες των λιπασμάτων και να απεικονιστούν οι καμπύλες ισοπαραγωγής για τα επίπεδα παραγωγής y=20, 30, 40 και 45 μονάδες. Λύση

Η επιφάνεια της συνάρτησης 2 218,8 7,6 2,5 0,7 0, 4 0, 21y N P N P NP εμφανίζεται στο σχήμα (α), όπου

κάθε καμπύλη αντιστοιχεί σε ορισμένο επίπεδο παραγωγής για τιμές των Ν και P στο διάστημα 0 7 και 0 5.P Για Ν=2 και Ρ=5 μονάδες των λιπασμάτων (σχήματα (β) και (γ) αντίστοιχα), από την παραπάνω διμεταβλητή συνάρτηση προκύπτουν οι μονομεταβλητές συναρτήσεις

231, 2 2,92 0,4y P P και 221,3 8,65 0,7y N N . Τέλος, στο σχήμα (δ) απεικονίζονται οι καμπύλες

ισοπαραγωγής για y=20, 30, 40 και 45 μονάδες παραγωγής, καμπύλες που εκφράζονται από τη συνάρτηση γενικής μορφής

12 25, 4286 0,15 (56,3265 5, 2 0,5489 1, 4286 *)N P P P y (όπου y* είναι οι

παραπάνω ορισμένες μονάδες παραγωγής).


9. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την 5,05,05 KLy (όπου

L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Χρησιμοποιώντας αυθαίρετες τιμές για L και Κ, να κατασκευαστεί πίνακας τιμών του παραγόμενου προϊόντος και ακολούθως να απεικονιστεί σχηματικά η αντίστοιχη επιφάνεια της συνάρτησης. Λύση

L 100 200 300 400 500 600

2 4 6 8

10 12

70,7 100,0 122,5 141,4 158,1 173,2

100,0 141,4 173,2 200,0 223,6 244,9

122,5 173,2 212,1 244,9 273,9 300,0

141,4 200,0 244,9 282,8 316,2 346,4

158,1 223,6 273,9 316,2 353,6 387,3

173,2 244,9 300,0 346,4 387,3 424,3

K


10. Για τη συνάρτηση Cobb-Douglas της προηγούμενης άσκησης, να κατασκευαστεί ο χάρτης των καμπυλών ισοπαραγωγής για επίπεδα παραγωγής του προϊόντος y=100, 200, 300 και 400 μονάδες. Εάν το κεφάλαιο παραμένει σταθερό στις 9 μονάδες, ποια θα είναι η συνάρτηση παραγωγής που συνδέει το προϊόν με την εργασία; βεβαιωθείτε, με την κατασκευή του σχήματος, ότι λειτουργεί ο νόμος των φθινουσών αποδόσεων με την αύξηση της εργασίας. Λύση

Οι καμπύλες ισοπαραγωγής αποτελούν γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων

ισοπαραγωγής 2*

25yKL

(όπου y* είναι τα δοσμένα επίπεδα παραγωγής). Εάν το

κεφάλαιο παραμένει σταθερό στις 9 μονάδες, η συνάρτηση παραγωγής θα είναι 0,5 0,5 0,55 9 15 .y L y L Χαράσσουμε γραμμή παράλληλη προς τον άξονα L και

στο ύψος των 9 μονάδων του Κ. Οι καμπύλες ισοπαραγωγής τέμνονται στα σημεία Α, Β, Γ και Δ, έτσι ώστε ΑΒ< ΒΓ< ΓΔ, που σημαίνει ότι, για την επίτευξη σταθερής αύξησης της παραγωγής (δηλούμενης από τις διαδοχικές καμπύλες ισοπαραγωγής) με την ποσότητα του κεφαλαίου σταθερή στο ύψος των 9 μονάδων, απαιτούνται ολοένα μεγαλύτερες αυξήσεις της ποσότητας της εργασίας ή, αντίστροφα, σταθερή αύξηση της ποσότητας της εργασίας με σταθερή την ποσότητα του κεφαλαίου προκαλεί φθίνουσα παραγωγή.


11. Δίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις παραγωγής Cobb-Douglas: α) 3,07,02 KLy , β) 2,04,05 KLy , γ) 2,16,04 KLy , δ) 5,08,03 KLy (όπου y=μονάδες παραγόμενου

προϊόντος, L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Να εκφραστούν αλγεβρικά και να απεικονιστούν σχηματικά οι συναρτήσεις ισοπαραγωγής για παραγόμενες ποσότητες προϊόντος y=100, 200, 300, 400 και 500 μονάδες. Δείξτε, με τη χρησιμοποίηση του σχήματος, την αρχή των φθινουσών οριακών αποδόσεων για κάθε συντελεστή της παραγωγής, όταν o άλλος συντελεστής διατηρείται σταθερός. Λύση

Εάν y* είναι το δοσμένο επίπεδο παραγωγής, οι συναρτήσεις ισοπαραγωγής εκφράζονται αλγεβρικά ως:

α) 10

0,7 0,3 0,7 730,37

* * 1* 2 ( ) ( ).2 2y yy L K L LK K

Επομένως, για y=100, 200, 300

400 και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (α)),

37

267,4 ,LK

37

719,7 ,LK

37

1284, 4 ,LK

37

1937,3LK

και 37

2664,6 .LK


β) 0,4 0,2 0,4 2,50,2 2,5

* * 1* 5 ( ) ( ).4 5y yy L K L LK K

Επομένως, για y=100, 200, 300

400 και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (β)),

0,5

1788,9 ,LK

0,5

10119 ,LK

0,5

27885,5 ,LK

0,5

57243,3LK

και

0,5

100000 .LK

γ) 5

0,6 1,2 0,6 31,2 2

* * 1* 4 ( ) ( ).4 4y yy L K L LK K

Επομένως, για y=100, 200, 300 400

και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (γ)),

2

213,7 ,LK

2

678,6 ,LK

2

1333,8 ,LK

2

2154, 4LK

και 2

3125 .LK


δ) 5

0,8 0,5 0,8 450,58

* * 1* 3 ( ) ( ).3 3y yy L K L LK K

Επομένως, για y=100, 200, 300 400

και 500 μονάδες, θα είναι αντίστοιχα (σχήμα (δ)),

58

80,1,LK

58

190,5 ,LK

58

316, 2 ,LK

58

453,1LK

και 58

598,8 .LK

Στα παραπάνω σχήματα, με τη χάραξη παράλληλων προς τους άξονες Κ και L γραμμών, που αντιστοιχούν σε δεδομένα (σταθερά) επίπεδα κεφαλαίου και εργασίας, διαπιστώνεται ότι οι καμπύλες ισοπαραγωγής τέμνονται σε σημεία των οποίων οι αποστάσεις βαίνουν συνεχώς αυξανόμενες. Τούτο δηλώνει ότι, για την επίτευξη σταθερής αύξησης της παραγωγής (από 100 σε 200, κ.λπ. μονάδες) απαιτούνται ολοένα και μεγαλύτερες αυξήσεις του ενός συντελεστή, όταν ο άλλος διατηρείται σταθερός σε ορισμένο επίπεδο. 12. Να προσδιοριστούν αλγεβρικά και γεωμετρικά (με τη χρησιμοποίηση καμπυλών ισοπαραγωγής) οι αποδόσεις κατά κλίμακα για τις συναρτήσεις της άσκησης 11. Λύση

Αν χαρακτηρίσουμε ως L0 και Κ0 τις ποσότητες των συντελεστών πριν από την αύξησή τους και y0 το αντίστοιχο επίπεδο της παραγωγής, οι συναρτήσεις θα έχουν τη μορφή: α) 0,7 0 ,3

0 0 02y L K

β) 0,4 0,20 0 05y L K

γ) 0,6 1,20 0 04y L K

δ) 0,8 0,50 0 03y L K

Αν, τώρα, η ποσότητα και των δύο συντελεστών αυξηθεί κατά ποσοστό λ, έτσι που τα


L0 και Κ0 γίνουν, αντίστοιχα, λL0 και λΚ0, οι συναρτήσεις θα λάβουν τη μορφή α) 0,7 0 ,3

1 0 02( ) ( )y L K

β) 0,4 0,21 0 05( ) ( )y L K

γ) 0,6 1,21 0 04( ) ( )y L K

δ) 0,8 0,51 0 03( ) ( )y L K

από τις οποίες αποκτώνται: α) 0,7 0,7 0 ,3 0 ,3 0 ,7 0 ,3

1 0 0 0 0 02 2 2y L K L K y (σταθερές αποδόσεις κλίμακας)

β) 0,4 0 ,4 0,2 0 ,2 0 ,6 0 ,4 0,21 0 0 0 0 05 5y L K L K y (φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας)

γ) 0,6 0 ,6 1,2 1,2 1,8 0 ,6 1,21 0 0 04 4y L K L K y (αύξουσες αποδόσεις κλίμακας)

δ) 0,8 0,8 0 ,5 0 ,5 1,3 0 ,8 0 ,51 0 0 0 0 03 3y L K L K y (αύξουσες αποδόσεις κλίμακας).

Οι αποδόσεις κλίμακας δείχνονται στα σχήματα, με τις αποστάσεις των καμπυλών ισοπαραγωγής μετρούμενες επί της ακτίνας που ξεκινά από την αρχή των συντεταγμένων 0 (κάθε ακτίνα αντιπροσωπεύει αύξηση και των δύο συντελεστών παραγωγής κατά τη σταθερή αναλογία λ). Στο σχήμα (α) είναι ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=ΔΕ (σταθερές αποδόσεις κλίμακας), στο σχήμα (β) είναι ΑΒ <ΒΓ <ΓΔ <ΔΕ (φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας), ενώ στα σχήματα (γ) και (δ) είναι ΑΒ< ΒΓ< ΓΔ< ΔΕ (αύξουσες αποδόσεις κλίμακας).

13. Δείξτε, αλγεβρικά, ότι καθεμία από τις συναρτήσεις της άσκησης 4 εμφανίζει σταθερές αποδόσεις κλίμακας.


Λύση

Αν χαρακτηρίσουμε ως x0 και z0 τις τιμές των x και z πριν από την αύξησή τους και y0 την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, θεωρήσουμε δε ότι οι x και z μεταβληθούν κατά σταθερό ποσοστό, έστω λ, η τιμή της y θα μεταβληθεί κατά το ίδιο ποσοστό. Πράγματι,

α) Αν 230 0 0y x z , θα είναι

2 3 2 23 3 31 0 0 0 0 0 0 0( )y x z x z x z y

β) Αν 2 20 0 0y x z , θα είναι

2 2 2 2 2 2 21 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )y x z x z x z y

γ) Αν 2 20 0

00 0

,x zyx z

θα είναι

2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 00 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) .( )

x z x z x zy yx z x z x z

Από τα παραπάνω, συμπεραίνεται ότι και οι τρεις συναρτήσεις εμφανίζουν σταθερές αποδόσεις κλίμακας. 14. Καταναλωτής ικανοποιεί ορισμένο επίπεδο κατανάλωσης με την απόκτηση δύο αγαθών Α και Β, έχοντας συνάρτηση χρησιμότητας 3

2110 xxU (όπου U=ολική

χρησιμότητα σε μονάδες χρησιμότητας και x1, x2 οι ποσότητες, αντιστοίχως, των αγαθών Α και Β). Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις ίσης χρησιμότητας και να χαραχτούν οι κα-μπύλες αδιαφορίας για επίπεδα χρησιμότητας U1=10, U2=20, U3= 30 και U4=40 μονάδες χρησιμότητας. Να επαληθευτεί, με τη χρησιμοποίηση των καμπυλών αδιαφορίας, η ισχύς του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας. Λύση

Εάν U* είναι το δοσμένο επίπεδο χρησιμότητας, οι συναρτήσεις ίσης χρησιμότητας

(καμπύλες αδιαφορίας) εκφράζονται αλγεβρικά ως *

12

1( )( ).10Ux

x Επομένως, για U=

10, 20, 30 και 40 μονάδες χρησιμότητας οι αντίστοιχες συναρτήσεις θα είναι:

12

1 ,xx

12

8 ,xx

12

27xx

και 12

64xx

, οι οποίες απεικονίζονται στο σχήμα. Στο ίδιο

σχήμα, με τη χάραξη παράλληλων προς τους άξονες x1 και x2 γραμμών, που αντιστοιχούν σε δεδομένες (σταθερές) ποσότητες κατανάλωσης αυτών, διαπιστώνεται ότι οι καμπύλες αδιαφορίας τέμνονται στα σημεία Α, Β και Γ (για x1=5) και στα Δ, Ε, Ζ και Η (για x2=3), έτσι που είναι ΑΒ< ΒΓ και ΔΕ < ΕΖ < ΖΗ. Τούτο δηλώνει, ότι για την επίτευξη σταθερής αύξησης της ολικής χρησιμότητας (από U=10, 20 κ.λπ. μονάδες) απαιτούνται ολοένα και μεγαλύτερες αυξήσεις του ενός αγαθού, όταν το άλλο διατηρείται σταθερό σε ορισμένο επίπεδο.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 1. Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων:

α) 23

2123 zxxy , β) 465 32 wzxy , γ) y=x3+2z3-5xz,

δ) xz

zxy 624 22 , ε) 3 272 zxzxy ,

στ) 22

22

zxzxy

,

ζ) y=3x5(1-z2), η) y=(x2-z2)(x+3z3), θ) 543 )32( zxy ,

ι) 3 32 zxy , ια) zxey , ιβ)22 2 zxey ,

ιγ) ),log( 32 zxy ιδ) zexy 43 .

Λύση

α) 3 213 22

y x x z . Θα είναι:

3 2 21(3 2 ) 3 62

y x x z xx x

3 21(3 2 )2

y x x z zz z

β) 5 6 42 3 .y x z w Θα είναι:

5 6 4 4( 2 3 ) 5y x z w xx x

5 6 4 5( 2 3 ) 12y x z w zz z

5 6 4 3( 2 3 ) 12y x z w ww w

γ) 3 32 5 .y x z xz Θα είναι:

3 3 2( 2 5 ) 3 5y x z xz x zx x

3 3 2( 2 5 ) 6 5y x z xz z xz z

δ) 22

24 6 .y x z xz

Θα είναι:

22

2(4 6 ) 8 6y x z x xzx x z

2 22 3

2 4(4 6 ) 4y x z x xz z z z

ε) 32 7 2 .y x xz z Θα είναι:


3 1(2 7 2 7y x xz z zx x x

3 32

1 2(2 7 2 ) 73

y x xz z xz z z

στ) 2 2

2 2

x zyx z

. Θα είναι:

2 2 2 22 2

2 2 2 2 22 2 2 2

( ) ( )1( )( ) ( ) ( )

x z x zy x z xx x x z x z x z x z

x

2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1( ) 2 ( ) 2 2 ( 2 )( ) ( )

x z x x z x x zx z x z

=2

2 2 2

4 .( )

xzx z

2 2 2 22 2

2 2 2 2 22 2 2 2

( ) ( )1( )( ) ( ) ( )

x z x zy x z zz z x z x z x z x z

z

=2

2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 4( ) 2 ( )( 2 ) .( ) ( )

zxx z z x z zx z x z

ζ) 5 23 (1 ).y x z Θα είναι:

5 2 5 2 2 5(3 (1 ) 3 (1 ) (1 ) 3y x z x z z xx x x x

= 4 215 (1 )x z

5 2 5 2 2 5 5(3 (1 ) 3 (1 ) (1 ) 3 6 .y x z x z z x zxz z z z

η) 2 2 3( )( 3 ).y x z x z Θα είναι:

2 2 3 2 2 3

3 2 2 2 2 3 2 2 3

( )( 3 ) ( ) ( 3 )

( 3 ) ( ) ( ) ( 3 )(2 ) 3 6 .

y x z x z x z x zx x x

x z x z x z x z x x z xzx

2 2 3 2 2 3

3 2 2 2 2 2 3

( )( 3 ) ( ) ( 3 )

( 3 ) ( ) ( ) 9 ( 3 )( 2 )

y x z x z x z x zz z z

x z x z x z z x z zz

= 2 3(9 15 2 ).z x z z x θ) 3 4 5(2 3 ) .y x z Θα είναι:

3 4 5 3 4 3 4 2 3 4(2 3 ) 5(2 3 ) (2 3 ) 30 (2 3 )y x z x z x z x x zx x x

3 4 5 3 4 3 4(2 3 ) 5(2 3 ) (2 3 )y x z x z x zz z z

3 3 460 (2 3 )z x z .


ι) 3 2 3 .y x z Θα είναι:

1 2

2 3 2 3 2 33 32 3 23

1 2( ) ( ) ( )3 3 ( )

y xx z x z x zx x x x z

1 2 2

2 3 2 3 2 33 32 3 23

1( ) ( ) ( ) .3 ( )

y zx z x z x zz z z x z

ια) .x zy e Θα είναι:

x z x zy e ex x

και x z x zy e e

z z

ιβ) 2 22 .x zy e Θα είναι:

2 2 2 22 22x z x zy e xex x

και

2 2 2 22 24 .x z x zy e zez z

ιγ) 2 3ln( ).y x z Θα είναι:

2 32 3

2ln( )y xx zx x x z

και

2

2 32 3

3ln( ) .y zx zz z x z

ιδ) 43 .zy x e Θα είναι:

4 33 12z zy x e x ex x

και 4 43 3 .z zy x e x ez z

2. Να υπολογιστούν οι μερικές ελαστικότητες ζήτησης ως προς p1 και p2 των αγαθών

Α και Β σε καθεμία από τις εξισώσεις ζήτησης 21

1 ppaq και

1

22 p

pq (όπου α και

β σταθερές και p1, p2 οι τιμές των αγαθών Α και Β αντιστοίχως). Να δείξετε αλγεβρικά και σχηματικά σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων ότι τα αγαθά είναι στην πρώτη εξίσωση συμπληρωματικά και στη δεύτερη ανταγωνιστικά. Λύση

11 2

.aqp p

Θα είναι:

1

21 1 1 2 1 2

2 21 1 1 1 2 1 2

1 2

( ) 1pD

q p p ap p pan ap q p p p p p ap p

και

2

21 2 2 1 1 2

2 22 1 2 1 2 1 2

1 2

( ) 1.pD

q p p ap p pan ap q p p p p p ap p

21

1

.pqp

Θα είναι:


1

21 1 2 1 2 1

221 1 1 1 1 2

1

( ) 1pD

q p p p p pn b pp q p p p pp

και

2

1 2 2 2 1 1 22

22 1 2 1 1 2

1

( ) 1.pD

q p p p p p pn pp q p p p pp

Από τις παραπάνω τιμές των μερικών ελαστικοτήτων ζήτησης συμπεραίνεται ότι στην πρώτη εξίσωση ζήτησης τα αγαθά είναι συμπληρωματικά και στη δεύτερη ανταγωνιστικά, όπως αυτό διαπιστώνεται από τις καμπύλες ζήτησης στα σχήματα (α) και (β), αντίστοιχα. Στην πρώτη, αν α=500, μεταβολή της τιμής ενός αγαθού (του άλλου διατηρούμενου σταθερού) προκαλεί μεταβολή της ζήτησης προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στη δεύτερη, αν β=5, μεταβολή της τιμής του αγαθού Α (του Β διατηρούμενου σταθερού στις 20 μονάδες) προκαλεί μεταβολή της ζήτησης προς την αντίθετη κατεύθυνση, ενώ μεταβολή της τιμής του αγαθού Β (του Α διατηρούμενου σταθερού στις 10 μονάδες) προκαλεί μεταβολή της ζήτησης προς την αυτή κατεύθυνση

(α)

(β)

3. Εάν η συνάρτηση ζήτησης αγαθού είναι η 2

3

235

pYpYq (όπου q=ποσότητα

ζητούμενου αγαθού, p= τιμή του αγαθού και Υ=εισόδημα του καταναλωτή), δείξτε ότι οι ελαστικότητες ζήτησης αυτού ως προς την τιμή και ως προς το εισόδημα


εξαρτώνται από το επίπεδο τόσο της p όσο και του Υ, έστω και αν μόνο η μία από τις δύο μεταβλητές μεταβάλλεται σε κάθε περίπτωση, ενώ η άλλη διατηρείται σταθερή. Ποιες είναι οι τιμές των ελαστικοτήτων ζήτησης, όταν p=2 και Υ=10 χρηματικές μονάδες; Λύση

3

3222

(5 3 )2 5 3

pDq p Y pn Y pp q p p Y p Y p

=3 3 3 3

3 2 3 3 2 3 3

2 6 2( 3 )10 6 10 6

Y p p Yp Yp p Y Yp p Y

και

3

3222

(5 3 )2 5 3

Dq Yn Y pq p Y p Y p

=2 2 2 2 3

4 2 3 3 2 3 3

6 2 10 3(5 ) .4 10 6 10 6p Y Yp Yp Yp Yp p Y Yp p Y

Όπως διαπιστώνεται από τις αλγεβρικές παραστάσεις των μερικών ελαστικοτήτων ζήτησης ως προς την τιμή p και το εισόδημα Υ, οι τιμές και των δύο αποτελούν συναρτήσεις τόσο της τιμής του αγαθού, όσο και του εισοδήματος του καταναλωτή, άσχετα αν μόνο η μία μεταβλητή μεταβάλλεται και η άλλη παραμένει σταθερή. Αν p=2 και Υ=10 χρηματικές μονάδες, θα είναι, αντίστοιχα:

3 3

2 3 3

6 2 2 10 1,51510 10 2 6 2 10pD

n

και

2 3

2 3 3

10 10 2 3 10 2,515.10 10 2 6 2 10YD

n

4. Να υπολογιστούν το οριακό προϊόν του κεφαλαίου και της εργασίας της συνάρτησης παραγωγής

LKKLLq 1024540 22 (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες

κεφαλαίου). Ποια συμπεράσματα συνάγετε από την επισκόπηση των συναρτήσεων των οριακών προϊόντων; επαληθεύστε αυτά σχηματικά. Λύση

2 2(40 5 4 2 10 4 10KqMP L L L LK K LK K

και

2 2(40 5 4 2 10 10 4 10 .LqMP L L L LK L KL L


Όπως διαπιστώνεται και από τις δύο συναρτήσεις, τα δύο οριακά προϊόντα συναρτώνται από το επίπεδο των ποσοτήτων και των δύο συντελεστών της παραγωγής. Επίσης, βεβαιώνεται η φθίνουσα απόδοση καθενός των συντελεστών, γιατί αύξηση τοε ενός (με σταθερή την ποσότητα του άλλου) προκαλεί ελάττωση του οριακού προϊόντος αυτού και αντιστρόφως. Τα παραπάνω γίνονται αντιληπτά στα σχήματα (α) και (β).

5. Ποιες είναι οι εξισώσεις ελαστικότητας παραγωγής ως προς την εργασία και ως προς το κεφάλαιο της συνάρτησης παραγωγής της προηγούμενης άσκησης; τι συμπεραίνετε; Λύση

2 2( 4 10 )40 5 4 2 10kq

q K Kn K LK q L L K LK

=2

2 2

4 1040 5 4 2 10

K LKL L K LK

και

2 2( 10 10 )40 5 4 2 10Lq

q L Ln L KL q L L K LK

=2

2 2

10 4 10 .40 5 4 2 10

L L LKL L K LK

Οι συντελεστές μερικής ελαστικότητας συναρτώνται από τις ποσότητες των συντελεστών παραγωγής κεφαλαίου και εργασίας που θα χρησιμοποιηθούν. 6. Γεωργική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την 4,0

26,0

110 xxy

(όπου x1 και x2 είναι οι χρησιμοποιούμενες για την παραγωγή εισροές). Να βρεθούν οι συναρτήσεις οριακού προϊόντος καθεμιάς των εισροών. Ποιο θα είναι το οριακό προϊόν της x1 όταν x1=4 και x2=8 μονάδες και ποιο όταν x1=5 και x2=8; Τι συμπεραίνετε από τα αποτελέσματα αυτά; επαληθεύστε σχηματικά τα συμπεράσματά σας.


Λύση

1

0,4 0,4 0,421 2

1 1

6 6( )xxyMP x x

x x

2

0,6 0,6 0,611 2

2 2

4 4( ) .xxyMP x x

x x

Εάν x1=4 και x2=8, θα είναι: 1

0,486 ( ) 7,9174xMP (σημείο Μ) και εάν είναι x1=5 και

x2=8 θα είναι 1

0,486 ( ) 7, 2415xMP (σημείο Ν).

Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι, εάν το x1 αυξηθεί από 4 σε 5 μονάδες, ενώ το x2 παραμένει σταθερό στις 8 μονάδες, το οριακό προϊόν ελαττώνεται κατά 0,676 μονάδες (φθίνουσα οριακή απόδοση της εισροής x1.

7. Να υπολογιστούν οι τιμές των συντελεστών μερικής ελαστικότητας παραγωγής ως προς x1 και ως προς x2, της συνάρτησης Cobb-Douglas της προηγούμενης άσκησης. Τι συμπεραίνετε από αυτές όσον αφορά τις αποδόσεις καθεμιάς των εισροών και τι όσον αφορά τις αποδόσεις κλίμακας; Λύση

6,0106

10)(6 4,0

21

14,0

24,0

26,0

1

14,0

1

21

11

xxxx

xxx

xx

yx

xyn

xy

4,0104

10)(4 6,0

12

26,0

14,0

26,0

1

26,0

2

12

22

xxxx

xxx

xx

yx

xyn

xy

Οι συντελεστές μερικής ελαστικότητας δείχνουν ότι επικρατούν φθίνουσες αποδόσεις, γιατί αύξηση (ή ελάττωση) της ποσότητας της μιας των εισροών κατά ποσοστό 1%, όταν η άλλη εισροή διατηρείται σταθερή, προκαλεί αύξηση (ή ελάττωση) κατά 0,6% (ό,τι αφορά το x1) ή 0,4% (ό,τι αφορά το x2) της παραγωγής.


Τέλος, επειδή ,121xy xy

nn συμπεραίνεται ότι επικρατούν σταθερές αποδόσεις

κλίμακας. 8. Εάν σε γεωργική επιχείρηση απασχολούνται L μονάδες εργασίας για την καλλιέργεια La μονάδων εδάφους, το παραγόμενο προϊόν y μετά t έτη δίνεται από τη

συνάρτηση ),,( tLaLfy . Ποια είναι η έννοια των ΜΡL, ΜΡLa και ty ; Εάν η

συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι 4,07,03,05 tLaLy , δείξτε ότι

επικρατούν σταθερές αποδόσεις κλίμακας όσον αφορά την εργασία και το έδαφος σε σταθερό χρόνο t και ότι, για ορισμένες ποσότητες των συντελεστών παραγωγής, το παραγόμενο προϊόν αυξάνεται διαχρονικά με φθίνοντα βαθμό. Λύση

LyMPL

. Εκφράζει το βαθμό της μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος σε σχέση

με τη μεταβολή του συντελεστή εργασία, όταν ο συντελεστής έδαφος θεωρηθεί σταθερός σε δεδομένη χρονική στιγμή.

LayMPLa

. Εκφράζει το βαθμό της μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος σε

σχέση με τη μεταβολή του συντελεστή έδαφος, όταν ο συντελεστής εργασία θεωρηθεί σταθερός σε δεδομένη χρονική στιγμή.

ty . Εκφράζει το βαθμό της μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος διαχρονικά,

όταν οι συντελεστές εργασία και έδαφος θεωρηθούν σταθεροί. Επειδή το άθροισμα των ελαστικοτήτων παραγωγής των συντελεστών εργασίας και εδάφους ισούται με τη μονάδα ( )17,03,0

LaL yy nn συμπεραίνεται ότι

επικρατούν σταθερές αποδόσεις κλίμακας σε ό,τι αφορά τους συντελεστές αυτούς σε σταθερό χρόνο t. Επιδή δε ,14,0

tyn συμπεραίνεται ότι το παραγόμενο προϊόν

αυξάνεται διαχρονικά με φθίνοντα βαθμό, όταν οι ποσότητες των συντελεστών παραγωγής εργασίας και εδάφους διατηρούνται σταθερές. 9. Καταναλωτής έχει, για είδη διατροφής x1 και ένδυσης x2, συνάρτηση

χρησιμότητας την 21 log31log

32 xxU (γνωστή ως λογαριθμική συνάρτηση των

Weber-Fechner and Bernoulli). Ποια είναι η μεταβολή της οριακής χρησιμότητας κάθε αγαθού που καταναλώνεται με τη μεταβολή της ποσότητας αυτού, όταν η καταναλώμενη ποσότητα του άλλου αγαθού διατηρείται σταθερή;


Λύση

)1(32)log

31log

32(

121

111 x

xxxx

UMU x

)1(31)log

31log

32(

221

222 x

xxxx

UMU x

Οι σχέσεις των οριακών χρησιμοτήτων των αγαθών δείχνουν ότι όταν αυξάνεται η ποσότητα του ενός αγαθού κατά λ, του άλλου διατηρούμενου σταθερού, η οριακή

χρησιμότητα αυτού ελαττώνεται κατά 1 (και αντιστρόφως).

10. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας 4,0

26,0

115 xxU (όπου x1, x2 είναι οι

ποσότητες των καταναλώμενων αγαθών). Δείξτε την ισχύ του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας κάθε αγαθού και απεικονίστε σχηματικά σε χάρτη αδιαφορίας την τιμή της οριακής χρησιμότητας του x1 για x1=5, όταν το x2 παραμένει σταθερό

στις 78 μονάδες. Βεβαιωθείτε για την ισχύ της σχέσης 2

2

1

1

2

1

xb

xb

MUMU

x

x .

Λύση

4,0

1

24,02

4,01

4,02

6,01

11

)(99)15(1 x

xxxxxxx

UMU x

και

.)(66)15( 6,0

2

16,02

6,01

4,02

6,01

222 x

xxxxxxx

UMU x

Από τις παραπάνω σχέσεις βεβαιώνεται η ισχύς του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας των αγαθών, γιατί όσο το x1 στην πρώτη σχέση ή το x2 στη δεύτερη αυξάνονται, τόσο η οριακή χρησιμότητα αυτών ελαττώνεται.

Εφόσον x1=5 και x2=78 (σταθερό), θα είναι 27)578(9 4,0

1xMU μονάδες

χρησιμότητας (σημείο Α του σχήματος). Τέλος, 1

2

6,0

2

1

4,0

1

2

23

)(6

)(9

2

1

xx

xxxx

MUMU

x

x και

,23

4,06,04,06,0

1

2

1

2

212

2

1

1

xx

xx

xxxb

xb

που, πράγματι, επιβεβαιώνουν την ισχύ της

σχέσης .2

2

1

1

2

1

xb

xb

MUMU

x

x


11. Να υπολογιστούν οι αμιγείς και οι σταυροειδείς μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης των συναρτήσεων της άσκησης 1.

Λύση

α) xxxx

yxx

y 12)63()( 22

2

1)()(2

2

z

zzy

zzy

0)63()( 22

xzx

yzxz

y

0)()(2

zxz

yxzx

y

β) 342

2

20)5()( xxxx

yxx

y

452

2

60)12()( zzzz

yzz

y

232

2

36)12()( wwww

yww

y

0)5()( 42

xzx

yzxz

y

0)12()( 52

zxz

yxzx

y

0)5()( 42

xwx

ywxw

y

0)12()( 32

wxw

yxwx

y

0)12()( 52

zwz

ywzw

y

0)12()( 32

wzw

yzwz

y

γ) xzxxx

yxx

y 6)53()( 22

2

xxzzz

yzz

y 12)56()( 22

2

5)53()( 22

zxzx

yzxz

y


5)56()( 22

xzxz

yxzx

y

δ) zxzxx

yxx

y 8)68()(2

2

432

2

2 12)44()(zz

xzz

yzz

y

xxzzx

yzxz

y 8)68()(2

xz

xxz

yxzx

y 8)44()( 32

2

ε) 32

2

21)71()(x

zxxx

yxx

y

35

322

2 292)2

317()(

zzx

zzy

zzy

7)71()(2

zxzx

yzxz

y

7)2317()( 3

5

2

z

xxz

yxzx

y

στ) 322

222

222

2

2

2

)()3(4)

)(4()(

zxxzz

zxxz

xxy

xxy

322

222

222

2

2

2

)()3(4

)(4)(

zxzxx

zxzx

zzy

zzy

322

22

222

22

)()(8

)(4)(

zxzxxz

zxxz

zxy

zxzy

322

22

222

22

)()(8

)(4)(

zxzxxz

zxzx

xzy

xzxy

ζ) )1(60)1(15)( 23242

2

zxzxxx

yxx

y

552

2

6)6()( xzxzz

yzz

y

zxzxzx

yzxz

y 4242

30)1(15)(

zxzxxz

yxzx

y 452

30)6()(


η) )(6)63()( 33222

2

zxxzzxxx

yxx

y

)309(2)2159()( 32322

2

xzzxxzzxzzz

yzz

y

)19(2)63()( 3222

xzzxzzxzx

yzxz

y

)19(2)2159()( 322

xzzzzzxzxz

yxzx

y

θ) )35(60)32(30)( 434322

2

zxxzxxxx

yxx

y

)27(180)32(60)( 3424332

2

xzzzxzzz

yzz

y

324322

360)32(30)( zxzxxzx

yzxz

y

324332

360)32(60)( zxzxzxz

yxzx

y

ι) 2 3 2

2 2 3 2 2 3) 2 3 23 3

2 2(3 )( ) )3 ( ) 9( ( )

y y x z xx x x x x z x z x z

2 2 2

2 2 3 2 2 2 2 3 23 3

2( ) )( ) ( ) ( )

y y z zxz z z z x z x z x z

2 2

2 3 2 2 3 2 3 23 3

2 4( )3 ( ) 3( ) ( )

y y x xzz x z x z x z x z x z

2 2 2

2 3 2 2 3 2 3 23 3

4( )( ) 3( ) ( )

y y z xzx z x z x x z x z x z

ια) 2

2 ( ) ( )x z x zy y e ex x x x

2

2 ( ) ( )x z x zy y e ez z z z

2

( ) ( )x z x zy y e ez x z x z

2

( ) ( )x z x zy y e ex z x z x

ιβ) 2 2 2 2

22 2 2

2 ( ) (2 ) 2 (2 1)x z x zy y xe e xx x x x


2 2 2 22

2 2 22 ( ) (4 ) 4 (4 1)x z x zy y ze e zz z z z

2 2 2 22

2 2( ) (2 ) 8x z x zy y xe xzez x z x z

2 2 2 22

2 2( ) (4 ) 8x z x zy y ze xzex z x z x

ιγ) 2 3 2

2 2 3 2 3 2

2 2( )( ) ( )( )

y y x z xx x x x x z x z

2 2 2 3

2 2 3 2 3 2

3 3 (2 )( ) ( )( )

y y z z x zz z z z x z x z

2 2

2 3 2 3 2

2 6( ) ( )( )

y y x xzz x z x z x z x z

2 2 2

2 3 2 3 2

3 6( ) ( )( )

y y z xzx z x z x x z x z

ιδ) 2

3 22 ( ) (12 ) 36z zy y x e x ex x x x

24 4

2 ( ) (3 ) 3z zy y x e x ez z z z

23 3( ) (12 ) 12z zy y x e x e

z x z x z

24 3( ) (3 ) 12z zy y x e x e

x z x z x

12. Δείξτε, με τη χρησιμοποίηση των αμιγών μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης, την ισχύ του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας των x1 και x2 αγαθών στις συναρτήσεις των ασκήσεων 9 και 10 και επαληθεύστε με τις σταυροειδείς παραγώγους, το θεώρημα του Young. Λύση

Άσκηση 9 2

2 21 1 1 1 1 1

2 1 2( ) ( )3 3

U Ux x x x x x

2

2 22 2 2 2 2 2

1 1 1( ) ( )3 3

U Ux x x x x x

2

2 1 2 1 2 1

2 1( ) ( ) 03

U Ux x x x x x


2

1 2 1 2 1 2

1 1( ) ( ) 03

U Ux x x x x x

Άσκηση 10 0,42

0,42 22 0,41 1 1 1 1 1

3,6( ) 9 ( )x xU Ux x x x x x

0,620,61 1

2 1,62 2 2 2 2 2

3,6( ) 6 ( )x xU Ux x x x x x

20,42

0,4 0,62 1 2 1 2 1 1 2

3,6( ) 9 ( )xU Ux x x x x x x x

20,61

0,4 0,61 2 1 2 1 2 1 2

3,6( ) 6 ( )xU Ux x x x x x x x

Οι αρνητικές τιμές των αμιγών παραγώγων δεύτερης τάξης επιβεβαιώνουν την ισχύ του νόμου της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας των x1 και x2 αγαθών. Από τις

σταυροειδείς παραγώγους επαληθεύεται η σχέση 2

1 2

Ux x

=2

2 1

Ux x

(θεώρημα Young).

13. Εάν ή συνάρτηση ζήτησης αγαθού είναι 2

3

235

pYpYq (όπου q=ποσότητα

ζητούμενου αγαθού, p=τιμή του αγαθού και Υ=εισόδημα του καταναλωτή) δείξτε, με τη χρησιμοποίηση των αμιγών μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης, τη μεταβολή της οριακής ζήτησης ως προς την τιμή και τη μεταβολή της οριακής ζήτησης ως προς το εισόδημα, όταν, αντιστοίχως, το εισόδημα και η τιμή διατηρούνται σταθερά. Ποια είναι η μεταβολή της οριακής ζήτησης ως προς την τιμή όταν το εισόδημα μεταβάλλεται και ποια ως προς το εισόδημα όταν μεταβάλλεται η τιμή; Λύση

3 3

2 3(5 3 ) 32

q Y YY pp p p p

και

2 3 3

2 3 4( ) ( 3 ) 3 0q q Y Yp p p p p p

3 2

2 2

3(5 3 ) 52 2

q Y YY pY p p

και

2 2

2 2 2

3( ) (5 ) 3 02

q q Y Yp p

Από τις αμιγείς παραγώγους δεύτερης τάξης συμπεραίνεται ότι όταν η τιμή μεταβάλλεται, με το εισόδημα να παραμένει σταθερό, η οριακή ζήτηση ως προς την τιμή μεταβάλλεται προς την ίδια κατεύθυνση και όταν το εισόδημα μεταβάλλεται,


με την τιμή να παραμένει σταθερή, η οριακή ζήτηση ως προς το εισόδημα μεταβάλλεται προς την ίδια κατεύθυνση.

Τέλος, επειδή 2 2 2

33 0,q q Yp Y Y p p

συμπεραίνεται ότι η οριακή ζήτηση ως

προς την τιμή και η οριακή ζήτηση ως προς το εισόδημα μεταβάλλονται ορος την αντίθετη κατεύθυνση, με τα μεταβολή, αντίστοιχα, του εισοδήματος και της τιμής. 14. Ποιες από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι ομογενείς και ποιος είναι ο βαθμός της ομογένειας; α) y=20+3x, β) y=3x2, γ) y=x2+3xz+z2+5, δ) 6,02,05 zxy ,

ε) 22 zxy , στ) 3 2 zxy , ζ) 2

253zx

zxy ,

η) zxzxy 92

2

, θ) 22 52 zxzxy ,

ι) 333 23 wzxy ,

ια) 652

2

zx

zxy , ιβ) 42

2

2

3

zx

zxy .

Λύση

α) 20 3y x . Θα είναι: 20 3y΄ x (η y είναι μη ομογενής)

β) y=3x2. Θα είναι: 2 2 2 23( ) 3y΄ x x y (η y είναι ομογενής, βαθμού 2)

γ) y=x2+3xz+z2+5. Θα είναι: 2 2 2 2 2( ) 3( )( ) ( ) 5 ( 3 ) 5y΄ x x z z x xz z (η y είναι μη ομογενής)

δ) 0,2 0,65 .y x z Θα είναι: 0,2 0,6 0,8 0,2 0,6 0,85( ) ( ) 5y΄ x z x z y (η y είναι ομογενής, βαθμού 0,8)

ε) 2 2 .y x z Θα είναι: 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )y΄ x z x z y (η y είναι ομογενής, πρώτου βαθμού)

στ) 3 2 .y x z Θα είναι: 32 3 23 ( ) ( )y΄ x z x z y (η y είναι ομογενής, πρώτου βαθμού)

ζ) 2

2

3 5 .x xyz z

Θα είναι:

2 20

2 2

3 5( ) 3 5( )x x xy΄ y

z z z z

(η y είναι ομογενής, βαθμού 0)

η) 2

9 .2xy x zz

Θα είναι:

2 2( ) 9 ( 9 )2 2x xy΄ x z x z yz z

(η y είναι ομογενής, πρώτου βαθμού)


θ) 2 22 5 .y x xz z Θα είναι: 2 2 2 2 2 2( ) 2( )( ) 5( ) ( 2 5 )y΄ x x z z x xz z y (η y είναι ομογενής,

βαθμού 2) ι) 3 3 33 2 .y x z w Θα είναι:

3 3 3 3 3 3 3 33( ) 2( ) ( ) (3 2 )y΄ x z w x z w y (η y είναι ομογενής, βαθμoύ 3)

ια) 2

2

5 6.x xyz z

Θα είναι:

2 20

2 2

5( ) 56 ( 6)( )

x x x xy΄ yz z z z

(η y είναι

ομογενής, βαθμού 0)

ιβ) 42

2

2

3

zx

zxy . Θα είναι:

3 2 3 2

2 2 2 2

( ) ( ) 4 4( ) ( )x x x xy΄z z z z

(η y είναι μη ομογενής).

15. Να απεικονιστούν σε σχήμα οι καμπύλες της συνάρτησης xzy , για y=2, y=4

και y=6 και να δείξετε ότι η τρίτη και η δεύτερη των καμπυλών βρίσκονται, αντίστοιχα, σε ακτίνα τριπλάσια και διπλάσια από την πρώτη. Λύση

Η συνάρτηση y xz είναι ομογενής πρώτου βαθμού, γιατί 2( )( )y΄ x z xz xz y . Έτσι, εφόσον η y διπλασιάζεται και

τριπλασιάζεται (από y1=2 σε y2=4 και y3=6), οι μεταβολές της z (και της x) θα μεταβάλλονται κατά το ίδιο πολλαπλάσιο, θα είναι δηλαδή (ΟΖ)=3(ΟΔ) και (ΟΕ)=2(ΟΔ) –βλέπε σχήμα, και τελικά, σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή, θα είναι (ΟΓ)=3(ΟΑ) και (ΟΒ)=3(ΟΑ).


16. Δείξτε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας 5,05,03 YLU (όπου L=μονάδες εργασίας

και Υ=εισόδημα) μπορεί να εκφραστεί και ως LYLU 3 .

Λύση

Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της συνάρτησης χρησιμότητας επί 1L

έχουμε:

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,50,5 0,5

1 1 1 1 1 1 13 3 3( ) ( )YU L Y L Y LL L L L L L L L

0,5 0,51 3( ) 3 ( ) 3Y Y YU U L U LL L L L

.

17. Η συνάρτηση παραγωγής προϊόντος είναι η 21

21bb xaxy (όπου x1, x2 είναι οι

ποσότητες των χρησιμοποιούμενων για την παραγωγή συντελεστών παραγωγής). Δείξτε, με τη χρησιμοποίηση της έννοιας της ομογένειας, ότι επικρατούν σταθερές κατά κλίμακα αποδόσεις όταν 121 bb , φθίνουσες όταν 21 bb <1 και αύξουσες όταν 21 bb >1.

Λύση

1 21 2b by ax x . Θα είναι:

1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2( ) ( ) .b b b b b b b by΄ x x a x x y Εάν 1 2 1,b b τότε ,y΄ y η y είναι

ομογενής πρώτου βαθμού. Εάν 1 2 1,b b τότε ,y΄ y η y είναι μη ομογενής μικρότερη του πρώτου βαθμού.

Εάν 1 2 1,b b τότε ,y΄ y η y είναι μη ομογενής μεγαλύτερη του πρώτου

βαθμού. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση, θα επικρατούν σταθερές αποδόσεις κλίμακας, στη δεύτερη περίπτωση φθίνουσες και στην τρίτη περίπτωση αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. 18. Επαληθεύστε την ισχύ του θεωρήματος του Euler για τις ομογενείς συναρτήσεις της άσκησης 14. Λύση

β) 23y x (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι

6 .y xx

Συνεπώς, 2 26 6 2(3 ) 2 .x x x x y

δ) 0,2 0,65y x z (ομογενής, βαθμού 0,8). Θα είναι: 0,6

0,8

y zx x

και 0,2

0,4

3 .y xz z

Συνεπώς,


0,6 0,2

0,2 0,6 0,2 0,6 0,2 0,6 0,2 0,60,8 0,4

3 3 4 0,8(5 )z xx z x z x z x z x zx z

0,8 .y

ε) 2 2y x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι:

2 2

y xx x z

και 2 2

.y zz x z

Συνεπώς,

2 22 2

2 2 2 2 2 2

x z x zx z x z yx z x z x z

στ) 3 2y x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι:

2 23

23 ( )

y xzx x z

και 2

2 23.

3 ( )y xz x z

Συνεπώς,

2 23 2

2 2 2 2 2 23 3 3

2 3 .3 ( ) 3 ( ) 3 ( )

xz x x zx z x z yx z x z x z

ζ) 2

2

3 5x xyz z

(ομογενής, βαθμού 0). Θα είναι:

2

3 10y xx z z

και 2

2 3

3 10 .y x xz z z

Συνεπώς,

2 2 2

2 2 3 2 2

3 10 3 10 3 10 3 10( ) ( ) 0 0 .x x x xz x xz xx z yz z z z z z

η) 2

92xy x zz

(ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι:

9y xx z

και 2

2 1.2

y xz z

Συνεπώς,

2 2 2 2

2( 9) ( 1) 9 9 .2 2 2

x x x x xx z x z x z yz z z z z

θ) 2 22 5y x xz z (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι:

2 2y x zx

και 2 10 .y x zz

Συνεπώς,

2 2(2 2 ) (2 10 ) 2 2 2 10x z x x z z x xz xz z 2 22( 2 5 ) 2 .x xz z y ι) 3 3 33 2y x z w (ομογενής, βαθμού 3). Θα είναι:

29y xx

, 26y zz

και 23y ww

Συνεπώς,

2 2 2 3 3 3 3 3 3(9 ) (6 ) (3 ) 9 6 3 3(3 2 )x x z z w w x z w x z w 3 .y

ια) 2

2

5 6x xyz z


2

1 10y xx z z

και 2

2 3

10 .y x xz z z

Συνεπώς,

2 2 2

2 2 3 2 2

1 10 10 10 10( ) ( ) 0 0 .x x x xz x xz xx z yz z z z z z


19. Επαληθεύστε, για τις ομογενείς συναρτήσεις της άσκησης 14, την ισχύ των

σχέσεων )(xzxy k και )(

zxzy k (όπου k είναι ο βαθμός ομογένειας κατά

συνάρτηση). Λύση

β) 23y x (ομογενής, βαθμού 2). Αυτή μπορεί να γραφεί ως

2 23 0y x z ή 2

2 22(3 0 ) ( )z zy x xx x

και ως

2 2 23( ) ( ).x xy z zz z

δ) 0,2 0,65y x z (ομογενής, βαθμού 0,8). Αυτή μπορεί να γραφεί ως

0,8 0,6 0,6 0,8 0,6 0,8(5 ) 5( ) ( )z zy x x z x xx x

και ως

0,8 0,2 0,2 0,8 0,2 0,8(5 ) 5( ) ( ).x xy z x z z zz z

ε) 2 2y x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Αυτή μπορεί να γραφεί ως 2 2

2( ) 1 ( ) ( )x z z zy x x xx x x

και ως

2 2

2( ) 1 ( ) ( ).x z x xy z z zz z z

στ) 3 2y x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Αυτή μπορεί να γραφεί ως 3 2

3( ) ( )x z z zy x x xx x x

και ως

3 2 23

2( ) ( ).x z x xy z z zz z z

ζ) 2

2

3 5x xyz z

(ομογενής, βαθμού 0). Αυτή μπορεί να γραφεί ως

0 1 2 0( 3( ) 5( ) ( )z z zy x xx x x

και ως

0 2 03( ) 5( ) ( ).x x xy z zz z z

η) 2

92xy x zz

(ομογενής, πρώτου βαθμού). Αυτή μπορεί να γραφεί ως

11 ( ) 9 ( ) ( )2z z zy x xx x x

και ως

21 ( ) 9( ) 1 ( ).2x x xy z zz z z

θ) 2 22 5y x xz z (ομογενής, βαθμού 2). Αυτή μπορεί να γραφεί ως

2 2 21 2( ) 5( ) ( )z z zy x xx x x

και ως


2 2 2( ) 2( ) 5 ( ).x x xy z zz z z

ι) 3 3 33 2y x z w (ομογενής, βαθμού 3). Αυτή μπορεί να γραφεί ως

3 3 3 33 2( ) ( ) ( , )z w z wy x xx x x x

, ως

3 3 3 33( ) 2( ) ( , )x w x wy z zz z z z

και ως

3 3 3 33( ) 2( ) 1 ( , ).x z x zy w w pw w w w

ια) 2

2

5 6x xyz z

(ομογενής, βαθμού 0). Αυτή μπορεί να γραφεί ως

0 1 2 0( ) 5( ) 6 ( )z z zy x xx x x

και ως

0 2 0( ) 5( ) 6 ( ).x x xy z zz z z

20. Δείξτε ότι, για τις ομογενείς συναρτήσεις της άσκησης 14, οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης είναι, επίσης, ομογενείς βαθμού ελαττωμένου κατά μονάδα και οι παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι ομογενείς βαθμού ελαττωμένου κατά δύο μονάδες του βαθμού ομογένειας των αρχικών συναρτήσεων. Λύση

β) 23y x (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι:

6y xx

και 2

02 6 6 .y xx

Εάν η μεταβλητή x μεταβληθεί κατά λ φορές, τότε θα είναι:

( ) 6 ( )y y΄ xx x

(ομογενής πρώτου βαθμού) και

2 20 0

2 2( ) 6( ) ( ).y y΄ xx x

(ομογενής, βαθμού 0).

δ) 0,2 0,65y x z (ομογενής, βαθμού 0,8). Θα είναι: 0,6

0,8 ,y zx x

0,2

0,4

3 ,y xz z

2 0,6

2 1,80,8y zx x

και 2 0,2

2 1,41, 2y xz z

.

Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: 0,6 0,6

0,2 0,20,8 0,8

( )( ) ( )( )

y z z y΄x x x x

(ομογενής βαθμού -0,2) και

0,2 0,20,2 0,2

0,4 0,4

3( ) 3( ) ( )( )

y x x y΄z z z z

(ομογενής βαθμού -0,2)

2 0,6 0,6 21,2 1,2

2 1,8 1,8 2

( ) 0,8( ) 0,8 ( )( )

y z z y΄x x x x

(ομογενής, βαθμού -1,2)


2 0,2 0,26 21,2 1,2

2 1,4 1,4 2

( ) 1, 2( ) 1,2 ( )( )

y x z y΄z z x z

(ομογενής, βαθμού -1,2)

ε) 2 2y x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: 2 2

22 2 2 2 2 2 3, ,

( )y x y z y zx z xx z x z x z

2 2

2 2 2 3.

( )y xz x z

Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: 0

0

2 2 2 2( ) ( )

( ) ( )y x x y΄x xx z x z

(ομογενής, βαθμού 0)

00

2 2 2 2( ) ( )

( ) ( )y z z y΄z zx z x z


2 2 2 2 21

32 3 2 2 3 2 2 32 2

( )( )( ) ( )( ) ( )

y z z z΄x x z x zx z

=2

12( )yx

(ομογενής βαθμού -1)

2 2 2 2 2

132 3 2 2 3 2 2 32 2

( )( )( ) ( )( ) ( )

y x x x΄z x z x zx z

=2

12( )yz

(ομογενής βαθμού -1).

στ) 3 2y x z (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι: 2 2

32 42 2 2 23 3

2 2, ,93 ( ) 3 ( )

y xz y x y zx z x xx z x z

2

2 3 2

2 .9

y xz z xz

Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: 0 0

2 2 2323

2( )( ) 2( ) ( )3 ( )3 ( ) ( )

y x z xz y΄x xx zx z

(ομογενής,

βαθμού 0) 2 2

0 02 2 232 23

( )( ) ( )3 ( )3 ( ) ( )

y x x y΄z zx zx z


2 21 133

2 4 4 2

2 2( ) ( )9 ( ) 9

zy z y΄x x x x

(ομογενής, βαθμού -1)

2 21 1

2 232 23

2 2( ) ( )9 9( )( )

y x x y΄z zx z z xz

(ομογενής, βαθμού -1).


ζ) 2

2

3 5x xyz z


2

3 10y xx z z

, 2

2 3

3 10y x xz z z

, 2

2 2

10yx z

και

2

2 2 3

3 20 .y xz z z


2 2

3 10 3 10( ) ( ) ( )( ) 2

y x x y΄x z z z x


2 21 1

2 3 2 3

3 10( ) 3 10( ) ( ) ( )( ) ( )

y x x x x y΄z z z z z z


2 22 2

2 2 2 2

10 10( ) ( )( )

y y΄x z z x


2 22 2

2 2 3 2 3 2

3 20 3 20( ) ( ) ( )( ) ( )

y x x y΄z z z z z z


η) 2

92xy x zz

. (ομογενής, πρώτου βαθμού). Θα είναι:

9y xx z

, 2

2 1,2

y xz z

2

2

1yx z

και 2 2

2 3 .y xz z

Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: 0 0( ) 9 ( 9) ( )y x x y΄

x z z x


2 20 0

2 2

( )( ) 1 ( 1) ( )2( ) 2

y x x y΄z z z z


2 21 1

2 2

1 1( ) ( )y y΄x z z x


2 2 2 21 1

2 3 3 2

( )( ) ( ) ( )( )

y x x y΄z z z z


θ) 2 22 5y x xz z (ομογενής, βαθμού 2). Θα είναι:

2 2 ,y x zx

2 10 ,y x zz

2

02 2 2y xx

και

2.0

2 10 10 .y zx

Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι

( ) 2 2 (2 2 ) ( )y y΄ x z x zx x

(ομογενής, πρώτου βαθμού)

( ) 2 10 (2 10 ) ( )y y΄ x z x zz z


2 20 0 0 0

2 2( ) 2( ) 2 ( )y y΄ x xx x


2 20 0 0 0

2 2( ) 10( ) 10 ( )y y΄ z zz z

(ομογενής, βαθμού 0).


ι) 3 3 33 2y x z w (ομογενής, βαθμού 3). Θα είναι:

29 ,y xx

26 ,y zz

23 ,y ww

2

2 18 ,y xx

2

2 12y zz

και

2

2 6 .y ww

Εάν οι μεταβλητές x και z μεταβληθούν κατά λ φορές, τότε θα είναι: 2 2 2 2( ) 9( ) 9 ( )y y΄ x x

x x


2 2 2 2( ) 6( ) 6 ( )y y΄ z zz z


2 2 2 2( ) 3( ) 3 ( )y y΄ w ww w


2 2

2 2( ) 18 ( )y y΄ xx x


2 2

2 2( ) 12 ( )y y΄ zz z


2 2

2 2( ) 6 ( )y y΄ ww w

(ομογενής, πρώτου βαθμού).

ια) 2

2

5 6x xyz z


2

1 10 ,y xx z z

2

2 3

10 ,y x xz z z

2

2 2

10yx z

και 2 2

2 3 4

2 30 .y x xz z z


2 2

1 10 1 10( ) ( ) ( )( )

y x x y΄x z z z z x


2 21 1

2 3 2 3

10( ) 10( ) ( ) ( )( ) ( )



2 22 2

2 2 2 2

10 10( ) ( )( )

y y΄x z z x


2 2 2 22 2

2 3 4 3 4 2

2 30( ) 2 30( ) ( ) ( )( ) ( )


(ομογενής, βαθμού -2). 21. Δείξτε ότι, για την ομογενή συνάρτηση 21

21bb xaxy , ισχύουν οι σχέσεις:

ybbxxyx

xy )( 212

21

1

και

ybbbbxyx

xxyxx

xyx )1)((2 21212

2

222

21

2

2121

221

.

Λύση

1 21 2 .b by ax x Θα είναι:


1 2 1 21 1 11 1 2 1 2

1 1 1

b b b bb by b ax x ax x yx x x

1 2 1 21 2 22 1 2 1 2

2 1 2

b b b bb by b ax x ax x yx x x

2 1 1 2

22 1 1 1 1

1 1 2 1 1 22 2 21 1 1

( 1) ( 1)( 1) b b b bb b b by b a b x x ax x yx x x

1 2 1 2

22 2 2 2 2

2 2 2 2 1 22 2 22 2 2

( 1) ( 1)( 1) b b b bb b b by b a b x x ax x yx x x

και

1 2 1 2

21 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2

b b b bb b b by b b ax x ax x yx x x x x x

Συνεπώς,

1 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )b by yx x y x y x b y b y b b yx x x x

και

2 2 22 2 2 1 1 1 21 1 2 2 1 1 22 2 2

1 1 2 2 1 1 2

( 1)2 2b b b by y yx x x x x y x x yx x x x x x x

+ 2 2 22 1 1 1 2 2 22

2

( 1) ( 1) 2 ( 1)b bx y b b y b b y b b yx

= 2 21 2 1 2 1 2( 2 )b b b b b b y 1 2 1 2( )( 1) .b b b b y

22. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την LKKLy 302 22

(όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου) . Εάν χρησιμοποιηθούν 4 μονάδες κεφαλαίου, πόσες μονάδες εργασίας πρέπει να χρησιμοποιηθούν, ώστε το οριακό προϊόν του κεφαλαίου να είναι ίσο με το διπλάσιο του μέσου προϊόντος αυτού; Λύση

α΄τρόπος 2 2( 2 30 ) 4 30K

yMP L K LK K LK K

και

2

2 30 .Ky LAP K LK K

Συνεπώς, εάν χρησιμοποιηθούν 4 μονάδες κεφαλαίου,

θα είναι 2 2

4 4 30 2( 2 4 30 ) 16 30 16 604 2L LL L L L

2

30 0,2L L εξίσωση η οποία δίνει λύση την L=60.

β΄τρόπος 2 2( 2 30 )L

YMP L K LKL L

και


2 2( 2 30 ) 4 30 .KyMP L K LK K LK K

Συνεπώς, σύμφωνα με το

θεώρημα του Euler θα είναι: ( 2 30 ) ( 4 30 )L KMP L MP K L K L K L K

= 2 22 30 4 30L LK K LK 2 22 60 4L LK K = 2 22( 30 2 ) 2 .L LK K y Για να είναι, όμως, 2 2K K

YMP APK

πρέπει να είναι

0,LMP L δηλαδή (-2L+30Κ)L=0, η οποία γίνεται μηδέν όταν -2L+30K=0. Έτσι, εάν

K=4, θα πρέπει να είναι L=60 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές Κ και L είναι 0.LMP

23. Εάν η συνάρτηση προσφοράς αγαθού είναι 23

22

2

1

13

52 x

x

xx p

pp

pq (όπου 1x

p =τιμή

του προσφερόμενου αγαθού x1 και 2x

p =τιμή άλλου αγαθού x2, συμπληρωματικού

του πρώτου), δείξτε, με τη χρησιμοποίηση του θεωρήματος του Euler, ότι το άθροισμα των ελαστικοτήτων προσφοράς του αγαθού x1 ως προς τις τιμές

1xp και

2xp είναι ίσο με 2.

Λύση

1

1 2

2

32 25

2 3xx x

x

pq p p

p . Ελέγχοντας την ομογένεια της συνάρτησης αυτής, έχουμε:

1 1

1 2 1 2

2 2

3 3 32 2 2 2 2 25( ) 5

2( ) 3( ) 2 3x xx x x x

x x

p pq΄ p p p p

p p

= 1

1 2

2

32 2 2 25(2 3 )x

x xx

pp p q

p (ομογενής, βαθμού 2). Συνεπώς, από το θεώρημα του

Euler έχουμε: 1 2

1 2

2x xx x

q qp p qp p

και διαιρώντας δια q τα μέλη της εξίσωσης

αυτής έχουμε 1 2

1 2

2x x

x x

p pq qq p q p

ή

1 22.

x xp pn n Πραγματικά, όπως μπορεί να

διαπιστωθεί, είναι

1 1 1 2

1 21 22 2

2 3

2

15 5(4 ) ( 6 ) 2.

x x

x x x xp p x x

x x

p p p pn n p p

p q p q

24. Ποια είναι η συμμετοχή των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου στα έσοδα επιχείρησης, της οποίας η συνάρτηση παραγωγής είναι 8,02,050 KLy (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου);


Λύση

Ελέγχοντας την ομογένεια της συνάρτησης 0,2 0,850y L K έχουμε 0,2 0,8 0,2 0,850( ) ( )y΄ L K L K y . Επομένως, η συνάρτηση y είναι γραμμική

ομογενής. Εάν ,y L Kp p p είναι οι τιμές ανά μονάδα του παραγόμενου προϊόντος και των

συντελεστών της παραγωγής εργασίας και κεφαλαίου, σύμφωνα με τη θεωρία της οριακής παραγωγικότητας, σε κατάσταση ισορροπίας της επιχείρησης, θα ισχύουν:

0,810( )L

y

p Y Kp L L

και 0,240( )K

y

p Lp K K

.

Η συμμετοχή των συντελεστών παραγωγής στο παραγόμενο προϊόν εκφράζεται από

τις σχέσεις L

y

p Lp y

και K

y

p Kp y

. Επομένως, εάν τα μέλη των προηγούμενων ισοτήτων

πολλαπλασιαστούν, της πρώτης επί 1y

και της δεύτερης επί Ky

θα έχουμε αντίστοιχα

0,8 0,2 0,8 0,20,81 1 10 5010( ) 0, 2 0, 2 0,2L

y

p K K L K L yp y L y y y y

και

0,2 0,8 0,2 0,80,2 40 5040( ) 0,8 0,8 0,8K

y

p K L K L K L K yp y K y y y y

δηλαδή η εργασία

συμμετέχει κατά 0,2 (20%) και το κεφάλαιο κατά 0,8 (80%) στα έσοδα της επιχείρησης. 25. Γεωργική επιχείρηση που έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος

1,03,06,040 KLLay (όπου La=μονάδες εδάφους, L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες

κεφαλαίου), επιτυγχάνει ατό την παραγωγή και πώληση του προϊόντος 180 χρηματικές μονάδες. Πόσα έσοδα αντιστοιχούν σε κάθε συντελεστή παραγωγής; Λύση

Η συνάρτηση 1,03,06,040 KLLay είναι γραμμική ομογενής, γιατί το άθροισμα των συντελεστών ελαστικότητας ισούται με τη μονάδα. Συνεπώς, το έδαφος θα συμμετέχει κατά 60% στα έσοδα, η εργασία κατά 30% και το κεφάλαιο κατά 10%, δηλαδή στους συντελεστές αυτούς θα αντιστοιχούν 108 (60% Χ 180), 54 (30 Χ180) και 18 (10 Χ180) χρηματικές μονάδες. (Βλ. και άσκηση 24). 26. Επιχείρηση που λειτουργεί υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού για το προϊόν και τους συντελεστές παραγωγής εργασίας και κεφαλαίου, έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος 0,3 0,510y L K (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες

κεφαλαίου). Εάν η τιμή ανά μονάδα εργασίας είναι w=300, η τιμή ανά μονάδα κεφαλαίου i=10 και η τιμή ανά μονάδα προϊόντος p=20 χρηματικές μονάδες, να


υπολογιστούν οι ποσότητες των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου που χρησιμοποιεί η επιχείρηση για την παραγωγή του προϊόντος σε κατάσταση ισορροπίας. Λύση

Σύμφωνα με τη θεωρία της οριακής παραγωγικότητας, σε κατάσταση ισορροπίας της επιχείρησης και υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού θα ισχύουν:

y w y y i yw p i pL p L K p K

.

Από τη συνάρτηση 0,3 0,510y L K προκύπτουν: 0,5

0,3 0,50,7

3(10 )y KL KL L L

και 0,3

0,3 0,50,5

5(10 )y LL KK K K

.

Κατά συνέπεια, θα είναι 0,5

0,7

300 320

KL

και 0,3

0,5

10 520

LK

, από τις οποίες προκύπτουν

0,5

0,7 5KL

και 0,5

0,3 10KL

. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο αυτές ισότητες

λαμβάνουμε 50 50 .K K LL Θέτοντας την τιμή αυτή στη δεύτερη των

εξισώσεων, έχουμε 0,5

0,20,3

(50 ) 10 7,071 10L LL

0,2 1,41422L και, τελικά, 5, 657L μονάδες. Επομένως, θα είναι 50 5, 657 282,85K μονάδες.

27. Επιχείρηση, που λειτουργεί υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος 2 23,7 10y L K LK (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Εάν η τιμή του προϊόντος είναι p=10, το κόστος ανά μονάδα εργασίας w=600 και το κόστος ανά μονάδα κεφαλαίου i=8 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν οι ποσότητες των συντελεστών που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος. Λύση

Για τη μεγιστοποίηση του κέρδους της επιχείρησης, σε κατάσταση ισορροπίας και υπό συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, θα ισχύουν w yp L

και i yp K

. Από τη συνάρτηση


2 23,7 10y L K LK προκύπτουν 7,4 10y L KL

και 2 10y K L

K

.

Συνεπώς, θα είναι 6007,4 1010

L K και 82 1010

K L , εξισώσεων που δίνουν

λύσεις τις L=1,5 και Κ=7,1 μονάδες. 28. Να υπολογιστούν τα σημεία στασιμότητας (μέγιστα, ελάχιστα, σαγματικά) των ακόλουθων συναρτήσεων και να απεικονιστούν επί συστήματος ορθογώνιων συντεταγμένων ισοϋψείς καμπύλες και τα σημεία στασιμότητας, ως σημεία τομής των εξισώσεων μερικών παραγώγων πρώτης τάξης: α) y=x2+z2-1 , β) y=x2-z2+1 , γ) y=1-x2-z2 , δ) y=x3+z3-3xz , ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z . Λύση

α) 2 2 1.y x z Θα είναι:

2 ,y xx

2 ,y zz

2

2 2,yx

2

2 2yz

και

2

0.yx z

Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν 2x=0 και 2z=0, δηλαδή όταν x=0

και z=0, για τις οποίες τιμές θα είναι y= -1. Επειδή 2

2 2yz

>0 και 2

2 2yz

>0, καθώς

επίσης και 2 2 2

22 2 4 ( ) 0,y y yx z x z

το σημείο 0 (0, 0, -1) θα είναι το ελάχιστο (διάγραμμα (α)).

β) 2 2 1.y x z Θα είναι:

2 ,y xx

2 ,y zz

2

2 2,yx

2

2 2yz

και

2

0.yx z

Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν 2x=0 και -2z=0, δηλαδή όταν

x=0 και z=0, για τις οποίες τιμές αντιστοιχεί y=1. Επειδή δε 2

2 2yx

>0 και

2

2 2 0,yz

αλλά

2 2 22

2 2 4 ( )y y yx z x z

=0,

το σημείο 0 (0, 0, 1) θα είναι σαγματικό σημείο (διάγραμμα (β)).


γ) y=1-x2-z2. Θα είναι:

2 ,y xx

2 ,y zz

2

2 2,yx

2

2 2yz

και

2

0.yx z

Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν -2x=0 και -2z=0, δηλαδή όταν x=0 και z=0, για τις οποίες τιμές αντιστοιχεί y=1. Επειδή δε

2

2 2yx

<0 και 2

2 2 0,yz

καθώς επίσης και

2 2 22

2 2 4 ( ) 0,y y yx z x z

το σημείο 0 (0, 0, 1) είναι το μέγιστο (διάγραμμα (γ)).

δ) y=x3+z3-3xz , Θα είναι: 23 3 ,y x zx

23 3 ,y z xz

2

2 6 ,y xx

2

2 6y zz

και

2

3.yx z

Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείο στασιμότητας, όταν 23 3 0x z και 23 3 0,z x

εξισώσεις που έχουν πραγματικές λύσεις τις x1=0, z1=0 και x2=1, z2 =1. Συνεπώς, η συνάρτηση έχει δύο σημεία στασιμότητας στα οποία αντιστοιχούν y1=0 και y2= -1.

Επειδή δε, για x1=0 και z1=0, έχουμε, αντίστοιχα, 2

2 0yx

και 2

2 0,yz

αλλά

2 2 22

2 2 0 ( ) 9,y y yx z x z

η τιμή y1=0 αντιστοιχεί σε σαγματικό σημείο (σημείο 0).

Αντίθετα, για x2=1 και z2=1 θα είναι 2

2 6 1yx

6>0 και 2

2 6 1 6 0,yz

καθώς

επίσης και 2 2 2

22 2 36 ( ) 9,y y yx z x z

η τιμή y2= -1 είναι η ελάχιστη (σημείο Μ) (διάγραμμα

(δ)).


ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z . Θα είναι:

23 10 2 10,y x x zx

2 2 1,y x zz

2

2 6 10,y xx

2

2 2yz

και 2

2.yx z

Η συνάρτηση θα έχει ένα σημείo στασιμότητας όταν 23 10 2 10 0x x z και 2 2 1 0,x z εξισώσεις που έχουν λύσεις τις x1=3,

z1=3,5 και x2=1, z2 =1,5. Συνεπώς, η συνάρτηση έχει δύο σημεία στασιμότητας στα οποία αντιστοιχούν y1= -0,25 και y2=3,75. Επειδή δε, για x1=3 και z1=3,5, έχουμε,

αντίστοιχα, 2

2 6 3 10 8 0yx

και 2

2 2 0,yz


2 2 22 2

2 2 16 ( ) ( 2) 4,y y yx z x z

η τιμή y1= -0,25 είναι η ελάχιστη (σημείο Σ,

διάγραμμα (ε)). Αντιθέτως, για x2=1 και z2=1,5 θα

είναι 2

2 6 1 10 4 0yx

και 2

2 2 0,yz

αλλά

2 2 22 2

2 2 8 ( ) ( 2) 4,y y yx z x z

η y2= 3,75 αντιστοιχεί σε σαγματικό σημείο

(σημείο Β, διάγραμμα (ε)).


29. Εάν y είναι συνάρτηση των x και z, αποδιδόμενη από την x2+z2+3y2-2x+2y=0,

δείξτε ότι η ελάχιστη τιμή αυτής είναι η y= -1 και η μέγιστη η 13

y . Βεβαιωθείτε σε

σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων, ότι οι ισοϋψείς καμπύλες είναι κύκλοι με κέντρο (1, 0). Λύση

Η συνάρτηση x2+z2+3y2-2x+2y=0 όταν μετατραπεί σε συνάρτηση σαφούς μορφής ως

προς y γίνεται 2 21 3 3 6 1

3x z xy

. Επομένως, θα είναι:

2 2

1 13 13 3 6 1

y x xx yx z x

, 2 2 3 13 3 6 1

y z zz yx z x

2 2

2 2 2 2 2 3

1 3( 1)3 3 6 1 ( 3 3 6 1)

y xx x z x x z x

=2

3

1 3( 1)3 1 (3 1)

xy y

2

2 2 2

1 13 13 3 6 1

yz yx z x

και

2

2 2 3

6 ( 1)( 3 3 6 1)

y z xx z x z x

= 3

6 ( 1) .(3 1)z xy

Η συνάρτηση θα έχει δύο σημεία στασιμότητας, όταν x-1=0, δηλαδή x=1 και όταν z=0,

στις οποίες τιμές αντιστοιχούν οι τιμές y1= -1 και y2=13

. Επειδή δε, για x=1, z=0 και y1=

-1 είναι 2

2 0,5 0yx

και 2

2 0,5 0,yz


2 2 22

2 2 1 ( ) 0,)

y y yx z x z

η τιμή y1= -1 είναι η ελάχιστη. Αντίθετα, για x=1, z=0 και

213

y είναι 2

2 5 0yx

και 2

2 5 0,yz


2 2 22

2 2 1 ( ) 0,y y yx z x z

η τιμή 213

y είναι η μέγιστη.

Όπως διαπιστώνεται από το σχήμα, οι προβαλλόμενες στο επίπεδο καμπύλες είναι κύκλοι με κέντρο x=1, z=0, οι οποίοι εκτείνονται καθώς το y αυξάνεται

1( 1 )3

y και κατόπιν συμπτύσσονται με την παραπέρα αύξηση του

1 1( ).3 3

y y Το σημείο Μ του σχήματος είναι σημείο προβολής τόσο του

ελάχιστου σημείου (1, 0, -1) όσο και του μέγιστου (1, 0, 1).3


30. Γεωργική επιχείρηση έχει, για ορισμένη έκταση εδάφους, συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την

2 22 7,5 4 18 6q L K L K KL (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος, L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου), χωρίς να δεσμεύεται από το κόστος προμήθειας των συντελεστών παραγωγής. Να υπολογιστούν οι ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση, ώστε να μεγιστοποιήσει το προϊόν της. Πόση είναι η μέγιστη ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος; Επαληθεύστε τα αποτελέσματα σχηματικά, χαράσσοντας τις γραμμές των οριακών προϊόντων των συντελεστών παραγωγής σε συνδυασμό με τις καμπύλες ισοπαραγωγής. Λύση

Το προϊόν μεγιστοποιείται εκεί όπου το οριακό προϊόν των συντελεστών παραγωγής εργασίας (L) και κεφαλαίου (Κ) μηδενίζεται, δηλαδή όπου

4 4 6 0LqMP L KL

και

15 18 6 0KqMP K LK

, σύστημα εξισώσεων που δίνει λύσεις τις L=7 και

K=4 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών το παραγόμενο προϊόν είναι

q=50 μονάδες, το οποίο πράγματι είναι μέγιστο, γιατί 2

2 4 0,qL

2

2 15 0q

και 2 2 2

22 2 60 ( ) 36.q q qL K L K

Το μέγιστο σημείο (7, 4, 50) έχει σημείο ορθής προβολής το σημείο Μ του σχήματος στο οποίο τέμνονται οι ευθείες των συναρτήσεων των οριακών προϊόντων εργασίας και κεφαλαίου, γύρω από το οποίο φέρονται οι καμπύλες ισοπαραγωγής.


31. Γεωργική επιχείρηση, που παράγει δύο προϊόντα, έχει συνάρτηση μέσου κόστους

3006115623 21

22

21

32

31 qqqqqqAC (όπου q1, q2 είναι οι ποσότητες των

παραγόμενων προϊόντων). Να υπολογιστούν οι ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παραχθούν, ώστε το μέσο κόστος παραγωγής τους να είναι το ελάχιστο. Πόσο είναι το ελάχιστο μέσο κόστος; Λύση

Το ελάχιστο μέσο κόστος επιτυγχάνεται εκεί όπου οι μερικές παράγωγοι πρώτης

τάξης μηδενίζονται, δηλαδή όπου 21 1

1

12 11 0AC q qq

και

22

22

3 10 6 02qAC q

q

, εξισώσεις οι οποίες δίνουν λύσεις q1=11, q1=1 και q2=6,

22 .3

q Επειδή, όμως, 2

121

2 12AC qq

και

2

222

3 10AC qq

, μόνο οι ποσότητες

q1=11 και q2=6 καθιστούν θετικές τις τιμές των παραγώγων δεύτερης τάξης. Στις ποσότητες αυτές των προϊόντων το μέσο κόστος παραγωγής τους είναι ελάχιστο και

ίσο με 3 3

2 211 6 6 11 5 6 11 11 6 6 300 102,673 2

AC χρηματικές μονάδες.

32. Μονοψωνική επιχείρηση (ο μόνος αγοραστής των συντελεστών παραγωγής που χρησιμοποιεί) έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την

2 2200 4 100 2q L L K K (όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου),

του οποίου προϊόντος η τιμή πώλησης είναι 2 χρηματικές μονάδες. Αν οι συναρτήσεις προσφοράς των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου είναι, αντίστοιχα, 20, 2 10 205Lp L L και 20,1 2 2Kp K K (όπου pL, pK είναι,


αντιστοίχως, η τιμή ανά μονάδα των συντελεστών), να υπολογιστούν οι ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση για να μεγιστοποιήσει το κέρδος της. Πόσο είναι το μέγιστο κέρδος, πόσο το παραγόμενο προϊόν και ποια η τιμή καθενός των συντελεστών της παραγωγής; Λύση

Τα έσοδα από την παραγωγή και πώληση του προϊόντος εκφράζονται ως 2 22(200 4 100 2 )qR p q L K K και το ολικό κόστος παραγωγής του προϊόντος

ως 2 2(0, 2 10 205) (0,1 2 2).L KC p L p K L L L K K K

Επομένως, το κέρδος θα αποδίδεται ως 2

2 32

(0, 2 10 205)2(200 4 100 2 )

(0,1 2 2)L L L

R C L L K KK

= 3 2 3 20,2 18 195 0,1 6 198 .L L L K K K Το κέρδος μεγιστοποιείται εκεί όπου οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ως προς τους συντελεστές εργασίας και κεφαλαίου μηδενίζονται, δηλαδή όπου

20,6 36 195 0L LL

και 20,3 12 198 0,K K

K

εξισώσεις οι οποίες

επαληθεύονται με τις τιμές L=5 και Κ=12,56 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών της παραγωγής το κέρδος είναι, πράγματι, μέγιστο γιατί

2

2 1, 2 36 42 0,LL

2

2 0,6 12 19,5 0,

καθώς και

2 2 22

2 2 819 ( )L K L K

0.

Το μέγιστο κέρδος είναι 3 2 20, 2 5 18 5 195 5 0,1 12,56 6 12,56 198 12,56

= 1842,22 χρηματικές μονάδες, η παραγόμενη (και πωλούμενη) ποσότητα του προϊόντος θα είναι

2 2200 5 4 5 100 12,56 12,56q =1840,50 μονάδες, ενώ οι τιμές πώλησης των συντελεστών παραγωγής θα είναι, αντίστοιχα, 20, 2 5 10 5 205 260Lp και

20,1 12,56 2 12, 56 2 43Kp χρηματικές μονάδες.

33. Μονοπωλιακή επιχείρηση έχει το μονοπώλιο δύο ανταγωνιστικών προϊόντων, με ολικό κόστος παραγωγής αυτών που δίδεται από τη συνάρτηση

2221

2121 02,02,001,0320 qqqqqqC (όπου q1, q2 είναι οι παραγόμενες

ποσότητες των προϊόντων), ενώ η ζήτησή τους στην αγορά δίνεται, αντίστοιχα, από


τις συναρτήσεις 1 1 2150 3q p p και 2 2 1200 10q p p (όπου p1, p2 είναι,

αντιστοίχως, η τιμή ανά μονάδα των προϊόντων). Να υπολογιστούν οι ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παράγει (και πωλήσει) η επιχείρηση, ώστε να επιτύχει το μέγιστο κέρδος. Πόσο είναι το μέγιστο κέρδος και ποιες οι τιμές πώλησης των παραγόμενων προϊόντων; Λύση

Επιλύοντας ως προς p1 και p2 το σύστημα των συναρτήσεων ζήτησης των δύο προϊόντων, βρίσκουμε, αντίστοιχα

1 21

1700 1029q qp

και 1 22

750 329q qp

. Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή

(και πώληση) των δύο προϊόντων είναι

1 2 1 21 1 2 2 1 2

1700 10 750 3( ) ( )29 29q q q qR p q p q q q

=2 2

1 1 1 2 2 21700 10 2 750 3 .29

q q q q q q

Επομένως, το κέρδος θα αποδίδεται από τη σχέση 2 2

21 1 1 2 2 21 2 1

1700 10 2 750 3 (20 3 0,0129

q q q q q qR C q q q

2 22 1 1 1 2 2 2

1 2 21120 9,71 7,8 663 2, 420, 2 0,02 ) .

29q q q q q qq q q

Το κέρδος μεγιστοποιείται εκεί όπου

1 21

1 (1120 19, 42 7,8 )29

q qq

=0 και

2 12

1 (663 4,84 7,8 ) 0,29

q qq

εξισώσεις οι οποίες έχουν λύσεις τις 1 7,5q και

2 125q μονάδες. Στις ποσότητες αυτές παραγωγής το κέρδος είναι, πράγματι,

μέγιστο γιατί 2

21

0,67 0,q

2

22

0,17 0,q

καθώς και

2 2 22

2 21 2 1 2

0,11 ( ) 0,07q q q q

.

Τέλος, το μέγιστο κέρδος είναι 2 21120 7,5 9,71 7,5 7,8 7,5 125 663 125 2, 42 125

29

=1572,5 χρηματικές μονάδες, ενώ οι τιμές πώλησης των προϊόντων είναι, αντίστοιχα,

11700 10 7,5 125 51,72

29p και

2750 7,5 3 125 12,67

29p


34. Μονοπωλιακή επιχείρηση παράγει δύο ανταγωνιστικά προϊόντα q1 και q2 με μέσο κόστος του πρώτου 3 και του δεύτερου 8 χρηματικές μονάδες. Η ζήτηση των


προϊόντων αυτών δίδεται, αντίστοιχα, από τις συναρτήσεις 11 2

800qp p

και 21 2

1200qp p

(όπου p1, p2 είναι, αντίστοιχα, η τιμή πώλησης, ανά μονάδα, των προϊόντων). Ποια πρέπει να είναι η τιμή πώλησης καθενός των προϊόντων, ώστε η επιχείρηση να μεγιστοποιήσει το κέρδος της, πόσα είναι τα έσοδα της επιχείρησης από την πώληση των προϊόντων και πόσο το μέγιστο κέρδος; Λύση

Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή (και πώληση) των δύο προϊόντων είναι

1 1 2 2R p q p q και το κόστος παραγωγής

1 1 2 2 1 2( ) ( ) 3 8 .C AC q AC q q q Επομένως, το κέρδος θα δίνεται από τη σχέση

1 1 2 2 1 2(3 3 ).R C p q p q q q Από τις συναρτήσεις ζήτησης προκύπτει ότι

1 12

800p qp

και 2 21

1200 .p qp

Επομένως, το κέρδος θα είναι

2 1 1 2 1 2

800 1200 800 12003 8p p p p p p

2 1 1 2

800 1200 12000p p p p

.

Το κέρδος μεγιστοποιείται εκεί όπου 2 2

1 1 1 2

1200 12000 0p p p p

και

2 22 2 2 1

800 12000 0p p p p

. Η πρώτη εξίσωση έχει λύση p2=10 και η δεύτερη p1=15. Οι

παραγόμενες ποσότητες των προϊόντων θα είναι 1800 5,33

15 10q

και

21200 815 10

q

μονάδες, τα έσοδα 15 5, 33 10 8 160R χρηματικές μονάδες, το

κόστος 3 5,33 8 8 80C χρηματικές μονάδες και, τέλος, το κέρδος θα είναι

160 80 80R C χρηματικές μονάδες. 35. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας 0,6 0,4

1 225U x x (όπου x1, x2 είναι οι

ποσότητες των καταναλώμενων αγαθών). Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τις ποσότητες των αγαθών, ώστε να μεγιστοποιείται η χρησιμότητα του καταναλωτή; Λύση

Η χρησιμότητα του καταναλωτή μεγιστοποιείται εκεί όπου η οριακή χρησιμότητα κάθε αγαθού μηδενίζεται, δηλαδή όπου

1

0,420,4

1 1

15 0xxUMU

x x

, 2

0,610,6

2 2

10 0xxUMU

x x

, οπότε

0,4 0,62 1 10,4 0,61 2 2

15 10 1,5x x xx x x .

36. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας


2 21 2 1 2 22 3 3 15U x x x x x (όπου x1, x2 είναι οι ποσότητες των καταναλώμενων

αγαθών). Να υπολογιστούν οι ποσότητες των αγαθών, ώστε ο καταναλωτής να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του. Δείξτε σε χάρτη αδιαφορίας το σημείο μέγιστης χρησιμότητας. Λύση

Η χρησιμότητα του καταναλωτή μεγιστοποιείται εκεί όπου η οριακή χρησιμότητα κάθε αγαθού μηδενίζεται, δηλαδή όπου

1 1 21

4 3 0xUMU x xx

και

2 2 12

6 3 15 0xUMU x xx

, εξισώσεις οι οποίες έχουν λύσεις τις x1=3 και x2=4

μονάδες. Στις ποσότητες αυτές αντιστοιχούν U=30 μονάδες χρησιμότητας, οι οποίες

είναι, πράγματι, οι μέγιστες, γιατί 2

21

4 0,Ux

2

22

6 0,Ux


2 2 22

2 21 2 1 2

24 ( ) 9.U U Ux x x x

Στο σχήμα, το σημείο Μ είναι η ορθή προβολή του σημείου μέγιστης χρησιμότητας και το οποίο συμπίπτει με το σημείο τομής των ευθειών των οριακών χρησιμοτήτων, γύρω από το οποίο φέρονται οι καμπύλες αδιαφορίας που αντιστοιχούν σε μικρότερα του ευρεθέντος επίπεδα χρησιμότητας.

37. Να υπολογιστούν τα σημεία στασιμότητας των συναρτήσεων υποκειμένων στους αντίστοιχους (μέσα στις παρενθέσεις) περιορισμούς. α) y=5xz (4x+6z=15), β) 0,4 0,6

1 215y x x (2x1+5x2=20), γ) y=x2+3z2 (x+2z-7=0), δ) y=8x+3z

(2x2+3z2=16) , ε) y=3xz-x2+z2+w2


(x-2z=10 και w-3x=12). Λύση

α) 5 (4 6 15)y xz x z . 4 6 15 4 6 15 0 (4 6 15) 0x z x z x z και

5 (4 6 15)Lg xz x z

5 4 0Lg zx

5 6 0Lg zz

4 6 15 0Lg x z

Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις x=1,875 και z=1,25. Επομένως

5 1,875 1, 25 11, 719.y β) 0,4 0 ,6

1 2 1 215 (2 5 20)y x x x x

1 2 1 2 1 22 5 20 2 5 20 0 (2 5 20) 0x x x x x x και 0,4 0,61 2 1 215 (2 5 20)Lg x x x x

0,62

0,61 1

6 2 0xLgx x

0,410,4

2 2

9 5 0xLgx x

1 22 5 20 0Lg x x

Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις x1=4 και x2 =2,4. Επομένως

0,4 0,615 4 2,4 44,161.y γ) 2 23 ( 2 7 0)y x z x z

2 7 0 ( 2 7) 0x z x z και 2 23 ( 2 7)Lg x z x z

2 0Lg xx

6 2 0Lg zz

2 7 0Lg x z

Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις x=3 και z =2. Επομένως

2 23 3 2 21.y δ) 2 28 3 (2 3 16)y x z x z

2 2 2 2 2 22 3 16 2 3 16 0 (2 3 16) 0x z x z x z και


2 28 3 (2 3 16)Lg x z x z

8 4 0Lg xx

3 6 0Lg zz

2 22 3 16 0Lg x z

Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν δύο ομάδες λύσεων, οι: x1=2,704, z1=0,676 και x2= - 2,704, z2= -0,676. Επομένως,

1 8 2,704 3 0,676 23,66y και

2 8 ( 2,704) 3 ( 0,676) 23,66y

ε) 2 2 23 ( 2 10y xz x z w x z και 3 12)w x 12 10 2 10 0 ( 2 10) 0x z x z x z και

23 12 3 12 0 ( 3 12) 0w x w x w x .

Έτσι, 2 2 2

1 23 ( 2 10) ( 3 12)Lg xz x z w x z w x

1 23 2 3 0Lg z xx

13 2 2 0Lg x zz

22 0Lg ww

1

2 10 0Lg x z

2

3 12 0Lg w x

Με την επίλυση του συστήματος των τεσσάρων εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις 8 19,3 3

x z και 4.w Επομένως,

2 2 28 19 8 193 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 99,667.3 3 3 3

y

38. Εάν η γεωργική επιχείρηση με συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την

2 22 7,5 4 18 6q L K L K KL (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος,

L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου) δεσμεύεται από το κόστος των 51 χρηματικών μονάδων για την απόκτηση της εργασίας και του κεφαλαίου, των οποίων η τιμή ανά μονάδα είναι, αντίστοιχα, pL=10 και pΚ=2 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν οι ποσότητες των συντελεστών αυτών που θα χρησιμοποιήσει η επιχείρηση για να μεγιστοποιήσει το προϊόν της. Πόσο είναι το μέγιστο επιτυγχανόμενο


προϊόν; δείξτε σχηματικά, σε σχήμα καμπυλών ισοπαραγωγής, το σημείο μέγιστου προϊόντος. Λύση

Η συνάρτηση παραγωγής είναι η 2 22 7,5 4 18 6q L K L K KL με τον περιορισμό της 10 2 51.L K Εφαρμόζοντας

τη μέθοδο των πολλαπλασιαστων του Lagrange, έχουμε: 10L+2K-51=0 και λ(10L+2Κ-51)=0. Επομένως,

2 22 7,5 4 18 6 (10 2 51).Lg L K L K KL L K Έτσι,

4 4 6 10 0Lg L KL

,

15 18 6 2 0Lg K LK

10 2 51 0.Lg L K

Με την επίλυση του συστήματος των τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις 4,5L kai 3K μονάδες. Με τις ποσότητες αυτές των συντελεστών παραγωγής

επιτυγχάνεται μέγιστο προϊόν 2 22 4,5 7,5 3 4 4,5 18 3 6 3 4,5 45q μονάδες.

Στο σχήμα, το μέγιστο σημείο αντιστοιχεί με το σημείο Μ (3, 4,5) στο οποίο η ευθεία γραμμή της εξίσωσης 10 2 51L K εφάπτεται της καμπύλης ισοπαραγωγής q=45.

39. Επιχείρηση παράγει ένα προϊόν με τη χρησιμοποίηση των συντελεστών παραγωγής x και z. Το κόστος του συντελεστή x είναι τριπλάσιο από εκείνο του συντελεστή z, ενώ η συνάρτηση παραγωγής του προϊόντος είναι 2 210 3y xz z x ,

διατίθενται δε 40 χρηματικές μονάδες για την αγορά των x και z. Ζητείται να


προσδιοριστούν οι ποσότητες των συντελεστών x και z που πρέπει να αγοραστούν, ώστε να μεγιστοποιείται η παραγωγή από τη διάθεση των 40 χρηματικών μονάδων. Λύση

Η συνάρτηση παραγωγής είναι η 2 210 3y xz z x με τον περιορισμό της

1 2 40.p x p z Επειδή, όμως, 1 23p p , θέτοντας 2p p θα έχω 1 3p p και επομένως ο

περιορισμός γίνεται 3 40.px pz Έτσι, ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. 3 40 0px pz β. (3 40) 0px pz γ. Lg 2 2(10 3 ) (3 40)xz z x px pz

δ. 10 2 3Lg z x px

=0

10 6Lg x z pz

=0

3 40Lg px pz

=0

ε. Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων βρίσκουμε λύσεις τις

1

280 28029 29

x xp p

και 2

320 32029 29

z zp p

και το μέγιστο προϊόν θα είναι

2 2 2 2280 320 320 28010 3 10 3( ) ( )29 29 29 29

y xz z xp p p p

= 2 2 2 2 2

896000 307200 78400 510400 606,9 .841 841 841 841p p p p p

Πράγματι, επιτυγχάνεται μεγιστοποίηση της παραγωγής με τις τιμές 28029

xp

και

32029

zp

, καθόσον η oριοθετημένη Εσσιανή ορίζουσα είναι

H

2 2

2

2 2

2

0 g gx z

g f fx x x zg f fz z x z

2

0 33 2 10 116 0

10 6

p pp pp

.


40. Επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής προϊόντος την 2 23 30q L K LK

(όπου L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου). Εάν η τιμή ανά μονάδα εργασίας και ανά μονάδα κεφαλαίου είναι, αντίστοιχα, pL=2 και pK=7 χρηματικές μονάδες, πόση ποσότητα από κάθε συντελεστή πρέπει να χρησιμοποιηθεί, ώστε η επιχείρηση να παράγει 702 μονάδες του προϊόντος με το ελάχιστο κόστος και πόσο θα είναι το ελάχιστο κόστος; Απεικονίστε σε σχήμα γραμμών ισοκόστους το σημείο του ελάχιστου κόστους. Λύση

Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης είναι L KC p L p K 2 7L K , υπό τον

περιορισμό της παραγωγής 2 2702 3 30L K LK . Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των

πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. 2 23 30 702 0L K LK =0 β. 2 2( 3 30 702) 0L K LK γ. 2 22 7 ( 3 30 702).Lg L K L K LK

δ. 2 2 30 0Lg L KL

7 6 30 0Lg K LK

2 23 30 702 0Lg L K K

.

Με την επίλυση του συστήματος των παραπάνω τριών εξισώσεων προκύπτουν οι λύσεις L=9 και Κ=3 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών της παραγωγής το κόστος είναι ελάχιστο και ίσο με 2 9 7 3 39C χρηματικές μονάδες. Στο σχήμα, το ελάχιστο σημείο κόστους αντιστοιχεί με το σημείο Μ (3,9) στο οποίο η καμπύλη παραγωγής των 702 μονάδων προϊόντος εφάπτεται της γραμμής ισοκόστους C=39.


41. Επιχείρηση επιθυμεί να παράγει 500 μονάδες ενός προϊόντος, χρησιμοποιώντας τους συντελεστές εργασία (L) και έδαφος (La), των οποίων η τιμή ανά μονάδα είναι pL=300 και pLa=600 χρηματικές μονάδες. Εάν η συνάρτηση παραγωγής του προϊόντος είναι 0,6 0,850y L La δείξτε, με τη χρησιμοποίηση των πολλαπλασιαστών του

Lagrange, ότι η συνθήκη αριστοποίησης είναι L L

La La

p MPp MP

.

Λύση

Το ολικό κόστος παραγωγής του προϊόντος L LaC p L p La

300 600C L La επιδιώκεται να ελαχιστοποιηθεί υπό τον περιορισμό που θέτει η συνάρτηση

0,6 0,8 0,6 0,8500 50 10 .L La L La Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. 0,6 0,810 L La 0,6 0,8 10 0L La β. 0,6 0,8( 10) 0L L γ. 0,6 0,8300 600 ( 10).Lg L La L La

δ. 0,4 0,8300 0,6 0Lg L LaL

0,2 0,6600 0,8 0Lg La LLa

0,6 0,8 0Lg L La

.

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του παραπάνω συστήματος, με διαίρεση κατά μέλη,

αποκτούμε 0,6 300 2 .0,8 600 3La La LL

Με

αντικατάστασή της στην τρίτη των

εξισώσεων έχουμε 0,6 0,82( ) 10 6,53

3L L L και, στη συνέχεια, Κ=4,35 μονάδες.

Οι ποσότητες αυτίς, πράγματι, επαληθεύουν τη σχέση L L

La La

p MPp MP

γιατί

0,8 0,8

0,4 0,4

30 30 4,35 466,53L

y LaMPL L

και

0,6 0,6

0,2 0,2

40 40 6,53 92.4,35La

y LMPLa La

Πράγματι, είναι L L

La La

p MPp MP

= 46 300 1 .92 600 2

42. Επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα, των οποίων η σχέση παραγωγής δίδεται από

τη συνάρτηση μετασχηματισμού 22

1 1003qq όπου q1, q2 είναι οι ποσότητες των


παραγόμενων προϊόντων). Εάν η τιμή πώλησης, ανά μονάδα των προϊόντων αυτών, είναι αντίστοιχα, p1=10 και p2=80 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν οι ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παραχθούν, ώστε να μεγιστοποιηθούν τα έσοδα της επιχείρησης. Λύση

Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή και πώληση των προϊόντων είναι

1 1 2 2 1 210 80 ,R p q p q q q που επιδιώκεται να μεγιστοποιηθούν υπό τον

περιορισμό που θέτει η συνάρτηση μετασχηματισμού 22

1 100 .3qq Από την

τελευταία συνάρτηση προκύπτει 22

1 100 03qq

21 23 300 0q q 2

1 2(3 300) 0.q q Έτσι, η συνάρτηση Lagrange γίνεται 2

1 2 1 210 80 (3 300)Lg q q q q και οι μερικές (πρώτες) παράγωγοι της

συνάρτησης αυτής είναι οι

1

10 3 0Lgq

22

80 2 0Lg qq

21 23 300 0.Lg q q

Με την επίλυση του συστήματος των τριών εξισώσεων αποκτούμε τις λύσεις 1 52q

και 2 12q μονάδες. Στις ποσότητες αυτές παραγωγής των προϊόντων, τα έσοδα της

επιχείρησης γίνονται μέγιστα και ίσα με 10 52 80 12 1480R χρηματικές μονάδες. 43. Καταναλωτής διαθέτει 100 χρηματικές μονάδες εβδομαδιαίως για την απόκτηση δύο αγαθών x1 και x2. Αν η τιμή ανά μονάδα του ενός αγαθού είναι

14xp

χρηματικές μονάδες και η συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 2 2

1 1 2 22 3 4 500U x x x x , εκφράστε τη ζήτηση του αγαθού x2 σε σχέση με την

τιμή του. Λύση

Η ολική χρησιμότητα 2 21 1 2 22 3 4 500U x x x x επιδιώκεται να μεγιστοποιηθεί

υπό τον περιορισμό της συνάρτησης καταναλωτικής δυνατότητας

1 2 21 2 14 100.x x xp x p x C x p

Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε:


α. 21 24 100 0xx p x

β. 21 2(4 100) 0xx p x

γ. 2

2 21 1 2 2 1 22 3 4 500 (4 100)xLg x x x x x p x

δ. 11

2 6 4 0Lg xx

222

1 8 0xLg x px

21 24 100 0xLg x p x

.

Από την πρώτη και τρίτη των εξισώσεων υπολογίζεται 2 2

3378 xp x την οποία

θέτοντας στη δεύτερη των εξισώσεων έχουμε, τελικά, 22 2

2

29664 3

xpxpx

.

44. Κάποιος κατανέμει το χρόνο του εργαζόμενος και μη εργαζόμενος, έτσι που η συνάρτηση χρησιμότητάς του ως προς τη σχόλη και το εισόδημα από την εργασία είναι 0,5 0,53U Y L (όπου Υ=μονάδες εισοδήματος και L=ώρες σχόλης). Εάν επιθυμεί να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, πώς πρέπει να κατανείμει τις ώρες του στο 24ωρο μεταξύ εργασίας και σχόλης, όταν μπορεί να κερδίζει για κάθε ώρα εργασίας 2 χρηματικές μονάδες; Δείξτε σχηματικά σε χάρτη αδιαφορίας το σημείο μέγιστης χρησιμότητας. Λύση

Η συνάρτηση χρησιμότητας 0,5 0,53U Y L τελεί υπό περιορισμό ως προς το διαθέσιμο χρόνο του που εκφράζεται από τη σχέση Χ+L=24 (όπου Χ=ώρες εργασίας και L=ώρες

σχόλης). Αλλά, Υ=2Χ και συνεπώς 2YX , έτσι που η συνάρτηση περιορισμού γίνεται

242Y L και τελικά 2 48.Y L

Ακολουθώντας τα στάδια εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Lagrange, έχουμε: α. 2 48 0Y L β. (2 48) 0L Y γ. 0,5 0,53 ( 2 48)Lg L Y L

δ. 0,5 0,51,5 0Lg L

0,5 0,51,5 2 0Lg L YL

2 48 0Lg L

.


Με την επίλυση του παραπάνω συστήματος των τριών εξισώσεων υπολογόζονται L=12 ώρες και Y=24 χρηματικές μονάδες και, αντίστοιχα, μέγιστη χρησιμότητα U=50,9 μονάδες. Κατά συνέπεια, το άτομο, για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, πρέπει να εργάζεται 12 ώρες στο 24ωρο. Στο σχήμα, το σημείο μέγιστης χρησιμότητας αντιστοιχεί με το σημείο Μ (12, 24) στο οποίο η εξίσωση Υ+2L=48 εφάπτεται της καμπύλης αδιαφορίας U=50,9.

45. Καταναλωτής έχει για είδη διατροφής (x1) και ένδυσης (x2) συνάρτηση

χρησιμότητας την 1 22 1log log3 3

U x x (γνωστή ως λογαριθμική συνάρτηση των

Weber-Fechner and Bernoulli). Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τη δαπάνη διατροφής με τη δαπάνη ένδυσης σε συνθήκες ισορροπίας του καταναλωτή; Εάν ο προϋπολογισμός (δαπάνη καταναλωτικής δυνατότητας) του καταναλωτή είναι, εβδομαδιαίως, C=81 χρηματικές μονάδες και η τιμή ανά μονάδα διατροφής

12xp

και ένδυσης 2

5xp χρηματικές μονάδες, πόση ποσότητα από κάθε αγαθό πρέπει να

αποκτήσει ο καταναλωτής στο χρονικό αυτό διάστημα, ώστε να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του; Λύση

Οι μερικές παράγωγοι της παραπάνω συνάρτησης είναι οι

11

2 1( )3xMUx

και 2

2

1 1( )3xMUx

. Σε συνθήκες ισορροπίας του καταναλωτή ισχύει

1 1

2 2

x x

x x

MU pMU p

. Επομένως θα είναι


1 1

2 2

1 2

1

2

2 1( )3 21 1( )3

x x

x x

p px xp x p

x

και τελικά 1 21 22x xp x p x , δηλαδή η δαπάνη για

διατροφή πρέπει να είναι διπλάσια της δαπάνης για ένδυση ή ότι ο καταναλωτής δαπανά τα δύο τρίτα του προϊπολογισμού του για είδη διατροφής και το ένα τρίτο

για είδη ένδυσης, κατά τις σχέσεις 1 1

23xp x C και

2 21 .3xp x C Έτσι, με τα

αριθμητικά δεδομένα της άσκησης, θα είναι

1

12 2 81 273 3 2x

Cxp

και 2

21 1 81 5,4,3 3 5x

Cxp

ποσότητες που πρέπει να

αποκτήσει ο καταναλωτής για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ 1. Αν h και k είναι αυξήσεις των x και z αντιστοίχως, να υπολογιστεί η αύξηση Δy ως προς x, z, h και k στη συνάρτηση y=x2+2xz+z2. Ποια είναι η διαφορά της Δy με την dy; Λύση

Εάν οι x και z αυξηθούν, αντίστοιχα, κατά h και k, η y θα αυξηθεί κατά Δy, έτσι ώστε θα ισχύει η σχέση

2 2( ) 2( )( ) ( )y y x h x h z k z k 2 2 2 22 2 2 2 2 2y y x xh h xz xk hz hk z zk k

2 2 2( 2 ) (2 2 )( ) ( )y z x xz z x z h k h k και τελικά 22( )(( ) ( ) .y x z h k h k

Το ολικό διαφορικό της y είναι 2 2( ) (2 ) ( ) 2 2 2 2dy d x d xz d z xdx xdz zdx zdz

= 2( ) 2( ) 2( )( ).x z dx x z dz x z dx dz Όπως διαπιστώνεται, οι Δy και dy διαφέρουν κατά το ποσό 2( ) ,h k τείνουν δε να ταυτιστούν όσο οι αυξήσεις h και k είναι πολύ μικρές, έτσι που ο όρος 2( )h k γίνεται αμελητέος. 2. Δίνονται οι συναρτήσεις y=5x2-6xz-2z2 και y=4x2-2xz2+5x2w---4z2w2 +z2-w2. α) Να υπολογιστεί το ολικό διαφορικό αυτών και β) να διαπιστωθεί η διαφορά αυτού και της πραγματικής μεταβολής της y, όταν το x αυξάνεται από 2 σε 2,1, το z ελαττώνεται από 4 σε 3,9 και το w αυξάνεται από 1 σε 1,2 μονάδες. Λύση

α) 2 25 6 2 .y x xz z

(10 6 ) ( 6 4 ) .y yy x z x z x x z zx z

Εφόσον x=2, z=4, Δx=0,1 και Δz= -0,1, θα είναι: (10 2 6 4) 0,1 ( 6 2 4 4) ( 0,1) 2, 4y είναι η κατά προσέγγιση μεταβολή

της y. Αντιθέτως, αν x=2 και z=3, θα είναι

2 25 2 6 2 4 2 4 60y και εάν x=2,1 και z=3,9, θα είναι

2 25 2,1 6 2,1 3,9 2 3,9y = 57,51 και η πραγματική μεταβολή της y θα είναι 57,51 ( 60) 2, 49.y

β) 2 2 2 2 2 2 24 2 5 4 .y x xz x w z w z w


y y yy x z wx z w

2 2(8 2 10 ) ( 4 8 2 )x z xw x xz zw z z 2 2(5 8 2 ) .x z w w w

Εφόσον x=2, z=4, w=1, Δx=0, Δz= -0,1 και Δw=0,2, θα είναι: 2 2(8 2 2 4 10 2 1) 0,1 ( 4 2 8 4 1 2 4) ( 0,1)y

+ 2 2(5 2 8 4 1 2 1) 0, 2 16 είναι η κατά προσέγγιση μεταβολή της y. Αντίθετα, εάν x=2, z=4 και w=1, θα είναι

2 2 2 2 2 2 24 2 2 2 4 5 2 1 4 4 1 4 1 77y και Εάν x=2,1, z=3,9 και w=1,2, θα είναι:

93, 6216 ( 77) 16, 6216.y 2 2 2 2 2 2 24 2,1 2 2,1 3,9 5 2,1 1, 2 4 3,9 1, 2 3,9 1, 2y

= -93,6216 και η πραγματική μεταβολή της y θα είναι 3. Να υπολογιστεί το διαφορικό των ακόλουθων συναρτήσεων:

α) y=3x2+4xz-7z2 , β) y=2x3+4x2z+3z3 , γ) xyx z

,

δ)23

5xy

x z

, ε) 3(2 3 )y x z , στ) 2 2y x z ,

ζ) 2 2( )(3 2 )y x z x z , η) ( )y x z x z , θ) 2 5ln(2 3 )y x z , ι) ln lny x z z x ,

ια) ln( )xyx z

, ιβ) x zy e , ιγ) 3 zy x e .

Λύση

α) 2 23 4 7 .y x xz z 2 2(3 ) (4 ) (7 ) 6 4 4 14dy d x d xz d z xdx xdz zdx zdz

2(3 2 ) 2(2 7 ) .x z dx x z dz

β) 3 2 32 4 3 .y x x z z 3 2 3 2 2 2(2 ) (4 ) (3 ) 6 4 8 9dy d x d x z d z x dx x dz xzdx z dz

2 22 (3 4 ) (4 9 ) .x x z dx x z dz

γ) .xyx z

2 2 2

( ) ( ) .( ) ( ) ( )

x z dx xd x z xdx zdx xdx xdz zdx xdzdyx z x z x z

δ) 23 .

5xy

x z

2 2

2

( 5) (3 ) 3 ( 5)( 5)

x z d x x d x zdyx z


=2 2

2

( 5)6 3 3( 5)

x z xdx x dx x dzx z

2

2

3 2( 5) 3 3( 5)

xdx x z x dzx z

2

2 2

3 2( 5) 3 3 3 ( 2 10).

( 5) ( 5)xdx x z x dz x x z dx xdz

x z x z

=

=

2

3 ( 2 10).

( 5)x x z dx xdz

x z

ε) 3(2 3 ) .y x z 3 2 2(2 3 ) 3(2 3 ) (2 3 ) 3(2 3 ) (2 3 )dy d x z x z d x z x z dx dz

2 26(2 3 ) 9(2 3 ) .x z dx x z dz

στ) 2 2 .y x z 1 1

2 2 2 2 2 22 21( ) ( ) ( )2

dy d x z x z d x z

=1

2 2 22 2

1 ( ) (2 2 ) .2

xdx zdzx z xdx zdzx z

ζ) 2 2( )(3 2 ).y x z x z 2 2 2 2( ) (3 2 ) (3 2 ) ( )dy x z d x z x z d x z

= 2 2( )(3 2 ) (3 2 )(2 2 )x z dx dz x z xdx zdz = 2 2 2 2 2 23( ) 2( ) 6 6 4 4x z dx x z dz x dx xzdz xzdx z dz = 2 2 2 2 2 2(3 3 6 4 ) (2 2 6 4 )x z x xz dx x z xz z = 2 2 2 2(9 3 4 ) (2 6 6 ) .x z xz dx x z xz dz

η) ( ) .y x z x z 1 12 2( ) ( ) ( ) ( )dy x z d x z x z d x z

=1 12 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2x z x z d x z x z dx dz

= ( )( ) ( )2

x z dx dz x z dx dzx z

= 3 3 (3 ) ( 3 ) .2 2

xdx xdz zdx zdz x z dx x z dzx z x z

θ) 2 5ln(2 3 ).y x z 2 5 4

2 5 2 5

(2 3 ) 4 15 .2 3 2 3d x z xdx z dzdyx z x z

ι) ln ln .y x z z x ( ln ) ( ln ) ln (ln ) ln (ln )dy d x z d z x zdx xd z xdz zd x

= 1 1ln lnzdx x dz xdz z dxz x

(ln ) (ln ) .z xz dx x dzx z

ια) ln( ).xyx z


1 ( )ln (ln( ) d x zdy d x d x z dxx x z

= ( ) ( ) .( ) ( )

x z dx x dx dz xdz zdxx x z x x z

ιβ) .x zy e ( ) ( ).x z x zdy d e e xdx zdz

ιγ) 3 .zy x e 3 2 3 2( ) 3 (3 ).z z z zdy d x e x e dx x e dz x e dx xdz

4. Να υπολογιστεί, από το διαφορικό dy της συνάρτησης y=x2+z2, η παράγωγος dydw

,

όταν x=1+w και z=1-w. Ελέγξτε το αποτέλεσμα αυτό, υπολογίζοντας την παράγωγο από τη συνάρτηση y=f(w), αφού αντικαταστήσετε σε αυτή τα x και z. Λύση

Το ολικό διαφορικό της συνάρτησης ( , )y f x z δίνεται από τη σχέση y ydy dx dzx z

. Διαιρώντας τα μέλη της ισότητας αυτής δια dw, έχουμε:

dy y dx y dzdw x dw z dw

. Αλλά, 2 , 2 , 1y y dxx zx z dw

και 1.dzdw

Επομένως,

2 1 2 ( 1) 2( ).dy x z x zdw

Πραγματικά, εάν στην 2 2y x z αντικαταστήσουμε

τις τιμές x και y σε συνάρτηση με τις τιμές w, θα έχουμε 2 2 2(1 ) (1 ) 2(1 )y w w w και

4 2 2 2( ).dy w w x zdw

5.Να υπολογιστεί, από το διαφορικό της συνάρτησης 1yx z

, η παράγωγος dydw

,

όταν x=ew και z=e-w. Λύση


και με διαίρεση δια dw των μελών της ισότητας αποκτούμε τη

σχέση της ολικής παραγώγου ,dydw

την

.dy y dx y dzdw x dw z dw

Αλλά,

2 1

1 1, ,( ) ( )

wy y dx ex x z z x z dw

και .wdz edw


Επομένως,

2 2 2

1 1 .( ) ( ) ( )

w ww wdy e ee e

dw x z x z x z

6. Να υπολογιστεί, από το διαφορικό της συνάρτησης y=x2+z3, η παράγωγος dydx

, όταν

21z x . Λύση


. Διαιρώντας τα μέλη της ισότητας αυτής δια dx, έχουμε:

.dy y y dzdx x z dx

Αλλά, 22 , 3y yx zx z

και 2

.1

dz xdx x

Επομένως, 2

2

2 2

32 3 ( ) 2 .1 1

dy x xzx z xdx x x

7. Δείξτε, χρησιμοποιώντας το ολικό διαφορικό των συναρτήσεων

μετασχηματισμού 2 2

1 2 1 2

1 2

5 2 83 4

x x x xyx x

και 2 21 2 1 26 7y x x x x (όπου x1, x2 είναι οι

συντελεστές παραγωγής) ότι η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης των

συντελεστών αυτών εξαρτάται μόνον από το λόγο 2

1

xx

.

Λύση

Για κάθε καμπύλη ισοπαραγωγής το dy=0. Επομένως, το ολικό διαφορικό

1 21 2

y ydy dx dxx x

γίνεται 1 21 2

0y ydx dxx x

και τελικά

1 2 2 1

2 1

1 2

.

y ydx x dx x

y ydx dxx x

Για τη συνάρτηση

2 21 2 1 2

1 2

5 2 83 4

x x x xyx x

θα είναι 2 21 1 2 2

22 1 2

23 48 32(3 4 )

x x x xyx x x

και

2 21 1 2 2

21 1 2

6 16 44(3 4 )

x x x xyx x x

. Επομένως,

1 2

22 22 2

1 1 1 2 2 1 12 2

22 22 1 1 2 2

1 1

23 48( ) 32( )23 48 32

6 16 44 6 16( ) 44( )x ό x

x xdx x x x x x xMRTS x xdx x x x x

x x

= 2

1

( ).xfx

και


2 1

22 22 2

2 1 1 2 2 1 12 2

22 21 1 1 2 2

1 1

6 16( ) 44( )6 16 44

23 48 32 23 38( ) 32( )x ό x

x xdx x x x x x xMRTS x xdx x x x x

x x

2

1

( ).xfx

Για τη συνάρτηση 2 21 2 1 26 7 ,y x x x x θα είναι

1 22

6 2y x xx

και 2 11

6 14 .y x xx

Επομένως,

1 2

2

1 1 2 1

22 2 1

1

6 2( )6 26 14 6( ) 14

x ό x

xdx x x xMRTS xdx x x

x

2

1

( ).xfx

και

2 1

2

2 2 1 1

21 1 2

1

6( ) 146 146 2 6 2( )

x ό x

xdx x x xMRTS xdx x x

x

2

1

( ).xfx

8. Δείξτε την ισχύ της σχέσης 1 2

1

2

( )x xxMRTS fx στις συναρτήσεις 0,3 0,7

1 225y x x

και 0,6 0,81 210y x x .

Λύση

Γνωρίζουμε ότι 1 2

1 2

2

1

.x ό x

ydx xMRTS ydx

x

Για τη συνάρτηση 0,3 0,71 225y x x θα είναι

0,72

1 1

7,5( )xyx x

και 0,31

2 2

17,5( )xyx x

. Επομένως,

1 2

0,31

1 2 1

0,722 2

1

10,5( )2,333( ).

7,5( )x ό x

xdx x xMRTS xdx x

x

Για τη συνάρτηση 0,6 0 ,81 210y x x θα είναι

0,820,4

1 1

6 xyx x

και 0,610,6

2 2

8 .xyx x

Επομένως,

1 2

0,610,2

1 2 10,822 20,41

8 ( )1,333( ).

6 ( )x ό x

xdx x xMRTS

xdx xx

9 Εάν 2 21 2ax bx c (όπου c=σταθερά) είναι η συνάρτηση μετασχηματισμού δύο

προϊόντων x1 και x2 , υπολογίστε, με τη μέθοδο της διαφόρισης, την οριακή σχέση μετασχηματισμού από την παραγωγή του x1 στην παραγωγή του x2.


Λύση

2 21 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 2 .dy d ax d bx ax dx bx dx Επειδή, όμως, dy=0, θα είναι

1 1 2 22 2ax dx bx dx και τελικά 1 2

1 2

2 1

.x ό xdx bxMRTSdx ax

10. Καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας 1 2

1 2ln( ) ( )b bU x a x

(όπου α και β είναι σταθερές και x1, x2 οι ποσότητες των καταναλώμενων αγαθών). Να υπολογιστεί η οριακή σχέση υποκατάστασης του x1 από το x2 και να επαληθευτεί αυτή για τη συνάρτηση 3 6

1 2ln( 5) ( 4)U x x .

Λύση

Για κάθε καμπύλη αδιαφορίας, επειδή dU=0, θα είναι 1 2

1 2

2

1

.x ό x

Udx xMRS Udx

x

Αλλά, για τη συνάρτηση 1 2

1 2ln( ) ( )b bU x a x b ισχύουν:

11 1 2 2

1 1 1

ln( ) ln( ) bU b x a b x bx x x a

και

21 1 2 2

2 2 2

ln( ) ln( ) bU b x a b x bx x x b

. Επομένως,

1 2

2

2 2 1

1 1 2

1

.x ό x

bx b b x aMRS b b x bx a

Πράγματι, για τη συνάρτηση

3 61 2ln( 5) ( 4)U x x ισχύει

1 2

1 1

2 2

5 56 2 .3 4 4x ό xx xMRSx x

11. Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς δύο προϊόντων x1 και x2 είναι:

1 140 1,5 6Dq p Y 1 15 2,5Sq p

2 250 5 0,5Dq p Y 2 28 3Sq p

(όπου 1D

q , 2D

q είναι οι ζητούμενες ποσότητες των προϊόντων, 1 2,S Sq q οι

προσφερόμενες ποσότητες αυτών και p1, p2 οι τιμές τους, να υπολογιστούν, με τη

μέθοδο της διαφόρισης, οι 1dpdY

και 2dpdY

. Τι συμπεραίνετε από τις τιμές αυτών;

Λύση


Σε κατάσταση ισορροπίας είναι, ως γνωστό, ,D Sq q δηλαδή για τα δεδομένα της

άσκησης, 1 1D Sq q και 2 2

D Sq q και συνεπώς,

1 140 1,5 6 5 2,5p Y p για το προϊόν x1 και

2 250 5 0,5 8 3p Y p για το προϊόν x2.

Διαφορίζοντας τα μέλη κάθε ισότητας από τις παραπάνω, έχουμε

11 1 1

61,5 6 2,5 4 6 0,4

dpdp dY dp dp dYdY

που σημαίνει ότι το προϊόν

x1 είναι «φυσιολογικό» και

22 2 2

15 0,5 3 8 0,5 0,16

dpdp dY dp dp dYdY

που σημαίνει ότι το

προϊόν x2 είναι «κατώτερο». 12. Εάν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς δύο αγαθών x1 και x2 είναι:

1 1 2( , )Dq f p p , 1 1( , )Sq g p t και

2 1 2( , )Dq h p p , 2 2( )Sq j p ,

(όπου 1 2,D Dq q είναι οι ζητούμενες ποσότητες των αγαθών x1, x2 αντιστοίχως,

1 2,S Sq q οι προσφερόμενες ποσότητες αυτών, p1, p2 οι τιμές τους και t o

επιβαλλόμενος φόρος), να εκφράσετε, χρησιμοποιώντας τα διαφορικά ως προς p1, p2

και t τις παραγώγους 1dpdt

και 2dpdt

.

Επαληθεύστε τις σχέσεις όταν:

1

21 2 1 22 3Dq p p p p ,

1 150 3(2 )Sq p t και

2

2 22 13 100Dq p p ,

1

22

2300 42Spq p .

Λύση

Σε κατάσταση ισορροπίας είναι, ως γνωστό, ,D Sq q δηλαδή 1 1D Sq q και 2 2

D Sq q .

΄Ετσι, σε ό,τι αφορά το αγαθό x1, διαφορίζοντας τις δύο εξισώσεις και εξισώνοντας τα διαφορικά, έχουμε

1 1 1 11 2 1

1 2 1

.D D S Sq q q qdp dp dp dtp p p t

Σε ό,τι αφορά το αγαθό x2, ομοίως,

διαφορίζοντας τις δύο εξισώσεις και εξισώνοντας τα διαφορικά, έχουμε

2 2 21 2 2

1 2 2

D D Sq q qdp dp dpp p p

την οποία επιλύοντας ως προς dp2 βρίσκουμε

2 2 22 1

2 2 1

( )S D Dq q qdp dpp p p

και τελικά


2

12 1

2 2

2 2

.

D

S D

qpdp dp

q qp p

Την τιμή dp2 αντικαθιστούμε στην πρώτη ισότητα και έχουμε

1 11

1 2

D Dq qdpp p

2

11

2 2

2 2

D

S D

qp dp

q qp p

=

1 11

1

S Sq qdp dtp t

2

1 1 1 1 11

2 21 2 1

2 2

( )

D

D D S S

S D

qq q p q qdp dt

q qp p p tp p

1

1

2

1 1 1 1

2 21 1 2

2 2

( )( )

S

D

D S D

S D

qdp t

qdtq q q p

q qp p pp p

1 2 2

1 2 2

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 2 2

( )

( )( )

S D S

D S D S D D

q q qdp t p p

q q q q q qdtp p p p p p

.

Κατ’ ανάλογο τρόπο, εάν στην ισότητα

1 1 1 11 2 1

1 2 1

D D S Sq q q qdp dp dp dtp p p t

αντικαταστήσουμε την dp1 με την ισοδύναμη

2 2

2 22,

2

1

( )S D

D

q qp p dpqp

βρίσκουμε

2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 12 2 2

2 21 2 1

1 1

( ) ( )S D S D

D D S S

D D

q q q qq p p q q p p qdp dp dp dt

q qp p p tp p

2 2

1 1 2 2 1 12

21 1 2

1

( )( )

S D

D S D S

D

q qq q p p q qdp dt

qp p p tp


1

2

1 1 2 2 1

1 1 2 2 2

( )( )

S

D S D D D

qdp t

q q q q qdtp p p p p

1 2

2 1

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 2 2

.( )( )

S D

D S D S D D

q qdp t p

q q q q q qdtp p p p p p

Θεωρώντας τα αριθμητικά δεδομένα της άσκησης, θα έχουμε: 21 2 1 2 12 3 50 6 3p p p p p t και

22 2 22 1 23 100 300 4 .

2pp p p Διαφορίζοντας τα μέλη, έχουμε

1 1 2 1 2 2 1 12 2 3 3 6 3p dp dp p dp p dp dp dt και

2 2 1 1 2 2 22 6 4 .p dp p dp dp p dp Από τη δεύτερη των ισοτήτων αποκτούμε

11 1 2 2 2 1

2

66 (3 4) .3 4

pp dp p dp dp dpp

Την τιμή του dp2 αντικαθιστούμε στην

πρώτη από τις ισότητες και έχουμε 1 1

1 1 1 1 1 2 1 12 2

6 62 2 3 3 6 33 4 3 4

p pp dp dp p dp p dp dp dtp p

21 1

1 1 1 1 2 1 12 2

12 182 3 6 33 4 3 4

p pp dp dp dp p dp dp dtp p

21 1

1 2 12 2

12 18( 2 3 6) 33 4 3 4

p pp p dp dtp p

21 2 1 1 2 2 2

2

2 (3 4) 12 18 3 (3 4) 6(3 4) 33 4

p p p p p p p dtp

1 22 21 1 2 2 1 2

3(3 4)18 6 9 4 6 24

dp pdt p p p p p p

το οποίο πράγματι ταυτίζεται με το

1 2

2 1 2 1 1

3(3 4)(3 2 6)(3 4) 6 (2 3 )

dp pdt p p p p p

το οποίο θα προέκυπτε με την

εφαρμογή των δεδομένων στον πρώτο γενικό τύπο που διατυπώθηκε προηγουμένως.

Ανάλογα, εάν την τιμή 21 2

1

3 46pdp dpp

αντικαταστήσουμε στην ισότητα

1 1 2 1 2 2 1 12 2 3 3 6 3 ,p dp dp p dp p dp dp dt έχουμε:

2 21 2 2 1 2 2 2

1 1

3 4 3 42 2 3 36 6p pp dp dp p dp p dpp p

= 22

1

3 46 36p dp dtp

2 2 2 22 2 1 2 2 2

1 1

3 4 (3 4) 3 42 3 33 2p p p pdp dp p d dp dp dt

p p


2 2 22 1 1 1 2 2 2

1

( 3 4) 12 18 9 12 18 24 36

p p p p p p p dtp

2 12 21 1 2 2 1 2

1818 6 9 4 6 24

dp pdt p p p p p p

το οποίο ταυτίζεται με το

2 1

2 1 2 1 1

18(3 2 6)(3 4) 6 (2 3 )

dp pdt p p p p p

που θα προέκυπτε με την εφαρμογή

των δεδομένων στο δεύτερο γενικό τύπο που διατυπώθηκε προηγουμένως. 13. Εάν η συνάρτηση ολικής δαπάνης κατανάλωσης μιας χώρας είναι C=C(Y) (όπου Υ=εθνικό εισόδημα) και η συνάρτηση εισοδήματος η Υ=C+Ι (όπου Ι=δαπάνη

επένδυσης), δείξτε με τη μέθοδο της διαφόρισης ότι dYdI

(όπου

Π=πολλαπλασιαστής Keynes). Λύση

Εφόσον Υ=C+I και C=C(Y) θα είναι Y=C(Y)+I. Διαφορίζοντας, κατά μέλη, την ισότητα, έχουμε;

( ) (1 )C CdY d C Y dI dY dY dI dY dIY Y

1 1 .11

dY dY dYCdI dI MRC dIY

14. Να υπολογιστεί το διαφορικό δεύτερης τάξης των ακόλουθων συναρτήσεων, θεωρώντας τις μεταβλητές x και z αφενός ανεξάρτητες μεταξύ τους και αφετέρου όχι ανεξάρτητες.

α) y=3x2+4xz-7z2, β) xyx z

, γ) 3(2 3 )y x z ,

δ) 2 2y x z , ε) 2 2( )(3 2 )y x z x z , στ) ln lny x z z x , ζ) x zy e .

Λύση

α) 2 ( ) 2(3 2 ) 2(2 7 )d y d dy d x z dx x z dz

= 2 26 8 14dx dxdz dz (x και z ανεξάρτητες) και 2 2( ) 6 6 ( ) 4 4 ( ) 4d y d dy dx xd dx dzdx zd dx dxdz

+ 2 2 24 ( ) 14 14 ( ) 6 6xd dz dz zd dz dx xd x 8dxdz+4zd2x+ + 2 2 2 2 24 14 14 6 (6 4 ) 8xd z dz zd z dx x z d x dxdz + 2 2(4 14 ) 14x z d z dz (x και z συναρτώμενες).

β) 22( )

( )zdx xdzd y d dy dx z


=2 2

4

( )( ) ( ) ( )( )

d zdx xdz x z zdx xdz d x zx z

=2

4

( )( ) ( ) 2( ) ( )( )

dxdz dxdz x z zdx xdz x z d x zx z

=

=2 2

3 3

2( )( ) 2 2( ) 2( ) ( )

zdx xdz dx dz xdz x z dxdz zdxx z x z

(x και z ανεξάρτητες) και

22( )

( )zdx xdzd y d dy dx z

=2 2

4

( )( ) ( ) ( )( )

d zdx xdz x z zdx xdz d x zx z

= 2

4

( ( ) ( ) ( ) 2( ) ( )( )

d zdx d xdz x z zdx xdz x z d x zx z

=

2 2 2

4

( )( )2( )( )( )

( )

dxdz zd x dxdz xd z x zzdx xdz x z dx dz

x z

=

=2 2

3

( )( ) 2( )( )( )

zd x xd z x z zdx xdz dx dzx z

=2 2 2 2

3

2 2( ) ( ) ( ) 2( )

xdz x z dxdz z x z d x x x z d z zdxx z

(x και z συναρτώμενες).

γ) 2 2 2( ) 6(2 3 ) 9(2 3 )d y d dy d x z dx x z dz

= 12(2 3 ) (2 3 ) 18(2 3 ) (2 3x z d x z dx x z d x z dz

= 2 212(2 3 )(2 3 ) 18(2 3 )(2 3 )x z dx dxdz x z dxdz dz = 224(2 3 ) 36(2 3 ) 36(2 3 )x z dx x z dxdz x z dxdz +

254(2 3 )x z dz 224(2 3 ) 72(2 3 )x z dx x z dxdz + 254(2 3 )x z dz (x και z ανεξάρτητες) και

2 2 2 2( ) 6(2 3 ) 6(2 3 )d y d dy d x z dx x z d x

- 29(2 3 )d x z dz 2 29(2 3 )x z d z

= 2 212(2 3 ) (2 3 6(2 3 )x z d x z dx x z d x

- 2 218(2 3 ) (2 3 ) 9(2 3 )x z d x z dz x z d z

= 2 2 212(2 3 )(2 3 ) 6(2 3 )x z dx dxdz x z d x - 2 2 218(2 3 )(2 3 ) 9(2 3 )x z dxdz dz x z d z = 2 2 224(2 3 ) 36(2 3 ) 6(2 3 )x z dx x z dxdz x z d x - 2 2 236(2 3 ) 54(2 3 ) 9(2 3 )x z dxdz x z dz x z d z = 2 2 224(2 3 ) 72(2 3 ) 6(2 3 )x z dx x z dxdz x z d x - 2 2 29(2 3 ) 54(2 3 )x z d z x z dz (x και z συναρτώμενες).


δ) 2

2 2( ) ( )xdx zdzd y d dy d

x z

=2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

x z d xdx zdz xdx zdz d x zx z

=

2 2 2 2

12 2 2 22

2 2 2

( )( ) ( )

1 ( ) ( )2

( )

x z dx dz xdx zdz

x z d x z

x z

=2 2 2 2 2

2 2 2 2

( )( ) ( )( )

x z dx dz xdx zdzx z x z

=2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 ( )( ) ( )

x dz xzdxdz z dx xdz zdxx z x z x z x z


2

2 2( ) ( )xdx zdzd y d dy d

x z

= 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

x z d xdx zdz xdx zdz d x zx z

=

2 2 2 2 2 2

12 2 2 22

2 2 2

( )( )

1( ) ( ) ( )2

( )

x z dx xd x dz zd z

xdx zdz x z d x z

x z

=2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )( )

x x z d x xdz zdx z x z d zx z x z


ε) 2 2 2 2 2( ) (9 3 4 ) (2 6 6 )d y d dy d x z xz dx x z xz dz

= 2 2 2 2(9 3 4 2 6 6d x dx z dx xzdx x dz z dz xzdz

= 2 218 6 4 4 12 6xdx zdxdz xdxdz xdxdz zdz zdxdz = 2 218 12 8 12xdx zdxdz xdxdz zdz = 2 218 4(3 2 ) 12xdx z x dxdz zdz (x και z ανεξάρτητες) και

2 2 2 2 2( ) (9 3 4 2 6 6d y d dy d x dx z dx xzdx x dz z dz xzdz = 2 2 2 2 2 218 9 6 3 4 4xdx x d x zdxdz z d x xdxdz xzd z

+ 2 2 2 2 2 24 2 12 6 6 6xdxdz x d z zdz z d z zdxdz xzd z = 2 2 2 218 3(3 ) 4(3 2 )xdx x z d x x z dxdz 2 2 2 22(3 ) 12z xz x d z zdz (x και z

συναρτώμενες).

στ) 2 ( ) (ln ) (ln )z xd y d dy d z dx x dzx z

= 2 2

1 1( ) ( )xdz zdx zdx xdzdz dx dx dzz x x z

=2 2

2 2

dxdz xdxdz zdx dxdz zdxdz xdzz x x z


=2 2 3 2 3 2

2 2

2 2x zdxdz xz dxdz z dx x dzx z

=3 2 3 2

2 2

2 ( )z dx xz x z dxdz x dzx z


2 ( ) (ln ) (ln )z xd y d dy d z dx x dzx z

= 22 2

1 1( ) (ln ) ( )xdz zdx z zdx xdzdz dx z d x dx dzz x x x z

2(ln )xx d zz

3 2 3 2

2 2

2 ( )z dx xz x z dxdz x dzx z

+ 2 2(ln ) (ln )z xz d x x d zx z


ζ) 2 ( ) ( )x zd y d dy d e xdx zdz

= ( ) ( ) ( )x z x ze d xdx zdz xdx zdz d e = 2 2( ) ( ) ( )x z x ze dx dz xdx zdz e xdx zdz = 2 2 2 2( ) 2 ( )x z x z x z x z x ze x e dx xze dxdz z e e dz = 2 2 2 2( 1) 2 ( 1)x z x z x zx e dx xze dxdz z e dz (x και z ανε-

ξάρτητες) και 2 ( ) ( )x zd y d dy d e xdx zdz

= ( ) ( ) ( )x z x ze d xdx zdz xdx zdz d e

= 2 2 2 2( ) ( ) ( )x z x ze dx xd x dz zd z xdx zdz e xdx zdz = 2 2 2 2 2 2x z x z x z x z x ze dx xe d x e dz ze d z x e dx - 2 2 2 22 ( 1) 2x z x z x z x zxze dxdz z e dz x e dx xze dxdz + 2 2 2 2( 1)x z x z x zxe d x ze d z z e dz (x και z συναρτώμενες).

15. Αν y=f(x,z) , όπου x=5+2w και z=8+3w, δείξτε ότι

2 3dy y ydw x z

και

2 2 2 2

2 2 24 12 9d y y y ydw x x z z

.

Λύση

Το ολικό διαφορικό πρώτης τάξης της συνάρτησης ( , )y f x z δίνεται από τη σχέση

.y ydy dx dzx z

Διαιρώντας τα μέλη της ισότητας δια dw λαμβάνουμε

.dy y dx y dzdw x dw z dw

Επίσης, από το ολικό διαφορικό δεύτερης τάξης της

συνάρτησης ( , )y f x z λαμβάνουμε 2 2 2

2 2 22 22y y yd y dx dxdz dzx x z z

και με διαίρεση των μελών της ισότητας δια

2dw αποκτούμε


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22d y y dx y x z y dzdw x dw x z dw z dw

2 2 2 22 2

2 2 2( ) 2 ( )( ) ( ) .d y y dx y dx dz y dzdw x dw x z dw dw z dw

Από τις συναρτήσεις 5 2x w και 8 3z w υπολογίζουμε 2dxdw

και 3dzdw

και,

συνεπώς, αποκτούμε

2 3dy y ydx x z

και

2 2 2 2

2 2 24 12 9 .d y y y ydw x x z z

16. Να υπολογιστούν τα σημεία στασιμότητας (μέγιστα, ελάχιστα, σαγματικά) των συναρτήσεων: α) y=x2+z2-1 , β) y=x2-z2+1 , γ) y=1-x2-z2 , δ) y=x3+z3-3xz , ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z. Λύση

α) y=x2+z2-1. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν

2 2 0dy xdx zdz , δηλαδή όταν 2x=0 κσι 2z=0 ή, τελικά,

x=0 και z=0. Επειδή δε 2 2 2( ) (2 2 ) 2 2 0d y d dy d xdx zdz dx dz για

οποιεσδήποτε τιμές των dx και dz, η συνάρτηση θα έχει ελάχιστο σημείο όταν x=z=0. Η τιμή της στο σημείο αυτό θα είναι y= -1.

β) y=x2-z2+1. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν

2 2 0dy xdx zdz , δηλαδή όταν 2x=0 κσι -2z=0 ή, τελικά,

x=0 και z=0. Επειδή δε 2 2 2( ) (2 2 ) 2 2d y d dy d xdx zdz dx dz , το πρόσημο της οποίας εξαρτάται από

το μέγεθος των dx και dz, που γίνεται άλλοτε θετικό και άλλοτε αρνητικό σε μεταβολές από τις σταθερές τιμές x=0 κα z=0, η συνάρτηση βρίσκεται σε σαγματικό σημείο στις τιμές αυτές. Η τιμή της στο σημείο αυτό θα είναι y=-1.

γ) y=1-x2-z2. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν

2 2 0dy xdx zdz , δηλαδή όταν -2x=0 κσι -2z=0 ή, τελικά, x=0 και z=0. Επειδή δε 2 ( ) ( 2 2 )d y d dy d xdx zdz = 2 2(2 2 ) 0dx dz για οποιεσδήποτε τιμές των dx και dz, η

συνάρτηση θα έχει μέγιστο σημείο όταν x=z=0. Η τιμή της στο σημείο αυτό θα είναι y= 1.


δ) y=x3+z3-3xz , Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν

2 2 2 23 3 3 3 (3 3 ) (3 3 ) 0dy x dx z dz xdz zdx x z dx z x dz δηλαδή όταν 23 3 0x z κσι 23 3 0,z x εξισώσεις που έχο υν πραγματικές λύσεις τις x1 =0, z1=0 και x2=1, z2=1. Επίσης, είναι 2 2 2( ) (3 3 3 )d y d dy d x dx z dz xdz

2 26 6 6 .xdx zdz dxdz Για x1 =0 και z1=0 θα είναι 2

2 6 0y xx

και 2

2 6 0y zz

και

2 2 22

2 2( ) 9 0.y y yx z x z

Έτσι, για x1 =0, z1=0 θα είναι y1=0,

τιμή που αντιστοιχεί σε σαγματικό σημείο.

Για x2=1, z2=1 θα είναι 2

2 6 6 0y xx

και

2

2 6 6 0y zz

και

2 2 22

2 2( ) 9 36.y y yx z x z

Επομένως,

για x2=1 και z2=1 θα είναι y2= -1 το οποίο αντιστοιχεί σε ελάχιστο σημείο. ε) y=x3-5x2-2xz+z2+10x-z. Η συνάρτηση θα έχει σημείο (ή σημεία) στασιμότητας όταν

23 10 2 2 2 10dy x dx xdx xdz zdx zdz dx dz = 23 10 2 10 0,x x z δηλαδή όταν 23 3 0x z και 2 2 1 0,x z εξισώσεις που

έχουν λύσεις τις x1=3, z1=3,5 και x2=1, z2=1,5. Συνεπώς, η συνάρτηση έχει δύο σημεία στασιμότητας, στα οποία αντιστοιχούν y1= -0,25 και y2=3,75. Επίσης, είναι 2 2 2 2( ) 6 10 4 2d y d dy xdx dx dxdz dz = 2 2(6 10) 4 2 .x dx dxdz dz Για x1=3 και z1=3,5 θα είναι

2

2 6 10 8 0,y xx

2

2 2 0yz

και

2 2 22

2 2( ) 4 16y y yx z x z

η τιμή y1= -0,25 είναι η ελάχιστη. Αντιθέτως, για x2=1 και

z2=1,5 θα είναι 2

2 6 10 4 0,y xx

2

2 2 0yz

, αλλά

2 2 22

2 2( ) 4 8,y y yx z x z

η τιμή y2=3,75 αντιστοιχεί σε

σαγματικό σημείο. 17. Λύστε, με την τεχνική της διαφόρισης, τις ασκήσεις 30, 31, 33 και 35 του τέταρτου κεφαλαίου.


Λύση

Άσκηση 30 2 22 7,5 4 18 6 .q L K L K KL

Το προϊόν μεγιστοποιείται όταν 4 15 4 18 6 6dq LdL KdK dL dK KdL LdK

= ( 4 4 6 ) ( 15 18 6 ) 0,L K dL K L dK δηλαδή όταν

4 4 6 0L K και 15 18 6 0,K L εξισώσεις που έχουν λύσεις τις L=7 και

Κ=4 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών το παραγόμενο προϊόν είναι q=50 μονάδες. Επίσης, είναι

2 ( 4 15 4 18 6 6 )d q d LdL KdK dL dK KdL LdK

= 2 24 15 12 .dL dK dKdL Για L=7 και Κ=4 θα είναι 2

2 4 0,qL

2

2 15 0qK

και

2 2 22

2 2( ) 36 60,q q qL K L K

συνθήκες που υποδηλώνουν ότι το q=50 είναι το

μέγιστο παραγόμενο προϊόν.

Άσκηση 31 3 3

2 21 21 2 1 26 5 11 6 300.

3 2q qAC q q q q

Το ελάχιστο μέσο κόστος επιτυγχάνεται όταν 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) 1,5 12 10 11 6d AC q dq q dq q dq q dq dq dq

= 2 21 1 1 2 2 2( 12 11) (1,5 10 6) 0,q q dq q q dq δηλαδή όταν

21 112 11 0q q και 2

2 21,5 10 6 0,q q εξισώσεις οι οποίες έχουν λύσεις

1 211, 6q q και 1 221, .3

q q Επίσης, είναι

2 2 2 2 21 1 2 2 1 2( ) 2 3 12 10d AC q dq q dq dq dq

= 2 21 1 2 2(2 12) (3 10) ,q dq q dq το οποίο γίνεται θετικό μόνο για το ζεύγος των τιμών

q1=11 και q2=6. Στις ποσότητες αυτές των προϊόντων το μέσο κόστος παραγωγής τους είναι ελάχιστο και ίσο με AC=102,67 χρηματικές μονάδες.

Άσκηση 33 2 2

1 2 1 1 2 220 3 0,01 0, 2 0, 02 ,C q q q q q q 1 1 2,150 3q p p

και 2 2 1200 10 .q p p

Από τις συναρτήσεις ζήτησης, λύνοντας το σύστημα ως προς p1 και p2, βρίσκουμε,

αντίστοιχα, 1 21

1700 1029q qp

και 1 22

750 3 .29q qp

Τα ολικά έσοδα από την παραγωγή (και πώληση) των δύο προϊόντων είναι


1 2 1 21 1 2 2 1 2

1700 10 750 3( ) ( )29 29q q q qR p q p q q q

=2 2

1 1 1 2 2 21700 10 2 750 3 .29

q q q q q q

Επομένως, το κέρδος θα αποδίδεται από τη σχέση 2 2

1 1 1 2 2 21700 10 2 750 329

q q q q q qR C

- 2 21 2 1 1 2 2(20 3 0, 01 0, 2 0, 02 )q q q q q q

=2 2

1 1 1 2 2 21120 9,71 7,8 663 2, 42 .29

q q q q q q Το κέρδος μεγιστοποιείται όταν

1 1 1 1 2 2 1 2 2 21 (1120 19, 42 7,8 7,8 663 4,84 )29

d dq q dq q dq q dq dq q dq

1 2 1 1 2 21 (1120 19, 42 7,8 ) ( 7,8 663 4,84 ) 0,29

q q dq q q dq δηλαδή όταν

1 21120 19,42 7,8 0q q και

1 27,8 663 4,84 0,q q εξισώσεις που έχουν λύσεις τις 1 7,5q και 2 125q

μονάδες. Επίσης, είναι 2

1 1 1 1 2 2 1 2(1120 19, 42 7,8 7,8 663d d dq q dq q dq q dq dq 2 24,84 )q dq 2 21 1 2 219, 42 15, 6 4,84dq dq dq dq

= 2 21 1 2 2(19, 42 15, 6 4,84 )dq dq dq dq το οποίο είναι πάντοτε αρνητικό για

οποιεσδήποτε τιμές των dq1 και dq2. Έτσι, στις ποσότητες 1 7,5q και 2 125q το

κέρδος είναι μέγιστο και ίσο με 1572,5 χρηματικές μονάδες. Τέλος, οι τιμές

πώλησης των προϊόντων είναι, αντίστοιχα, p1=51,72 και p2=12,67 χρηματικές μονάδες.

Άσκηση 35

0,6 0,41 225U x x .

Η χρησιμότητα του καταναλωτή μεγιστοποιείται όταν 0,4 0,4 0,6 0,6 0,4 0,61 2

1 2 1 1 2 2 1 22 1

15 10 15( ) 10( ) 0x xdU x x dx x x dx dx dxx x

δηλαδή όταν

0,41

2

15( ) 0xx

και 0,62

1

10( ) 0,xx

εξισώσεις οι οποίες διαιρούμενες κατά μέλη δίνουν

1

2

1,5.xx

18. Να υπολογιστούν, με τη χρησιμοποίηση των διαφορικών των αντικειμενικών συναρτήσεων και των διαφορικών των συναρτήσεων περιορισμού (μέσα σε παρενθέσεις), τα μέγιστα, ελάχιστα ή σαγματικά σημεία των συναρτήσεων: α) y=5xz (4x+6z=15), β) 0,4 0,6

1 215y x x (2x1+5x2=20), γ) y=x2+3z2 (x+2z- -7=0), δ) y=8x+3z

(2x2+3z2=16) , ε) y=3xz-x2+z2+w2 (x-2z=10 και w-3x= =12).


Λύση

α) y=5xz (4x+6z=15). Η αναγκαία συνθήκη είναι 5 5 0,dy zdx xdz υποκείμενη στον περιορισμό

4dx+6dz=0. Έτσι, θα είναι 5 5 1,5 .4 6z x x z Θέτοντας την τιμή αυτή στην

4x+6z=15 βρίσκουμε z=1,25 και, στη συνέχεια, x=1,875. Επομένως, θα είναι

5 1,875 1, 25 11, 719.y

β) 0,4 0,61 215y x x (2x1+5x2=20).

Η αναγκαία συνθήκη είναι 0,6 0,6 0,4 0,4 0,6 0,42 1

1 2 1 1 2 2 1 21 2

6 9 6( ) 9( ) 0,x xdy x x dx x x dx dx dxx x

υποκείμενη στον περιορισμό 1 22 5 0.dx dx Έτσι, θα είναι

0,6 0,42 1

1 22 1

6( ) 9( )0,6 .

2 5

x xx x x x Θέτοντας την τιμή αυτή στην 1 22 5 20x x ,

βρίσκουμε 1 4x και, στη συνέχεια, 2 2, 4.x Επομένως, θα είναι 0,4 0,615 4 2,4 44,161.y

γ) y=x2+3z2 (x+2z-7=0). Η αναγκαία συνθήκη είναι 2 6 0,dy xdx zdz υποκείμενη στον περιορισμό

dx+2dz=0. Έτσι, θα είναι 2 6 1,5 .1 2x z x z Θέτοντας την τιμή αυτή στην x+2z-

7=0 βρίσκουμε z=2 και, στη συνέχεια, x=3. Επομένως, θα είναι 2 23 3 2 21.y

δ) y=8x+3z (2x2+3z2=16) . Η αναγκαία συνθήκη είναι 8 3 0dy dx dz , υποκείμενη στον περιορισμό

4xdx+6zdz=0. Έτσι, θα είναι 8 3 4 .4 6

x zx z Θέτοντας την τιμή αυτή στην

2 22 3 16x z βρίσκουμε 0, 676z και, στη συνέχεια,

2, 704.x Επομένως, θα είναι

1 8 2,704 3 0,676 23,66y και 2 23,66.y

ε) y=3xz-x2+z2+w2 (x-2z=10 και w-3x=12). Η αναγκαία συνθήκη είναι

3 3 2 2 2dy xdz zdx xdx zdz wdw = (3 2 ) (3 2 ) 2 0,z x dx x z dz wdw υποκείμενη στους περιορισμούς dx-2dz=0 και

dw-3dx=0, ή στον περιορισμό εκφρασμένο από μία εξίσωση, την 4dx-2dz-dw=0, η οποία προκύπτει ως σύνθεση των δύο εξισώσεων. Έτσι, θα είναι


3 2 3 2 2 ,4 2 1

z x x z w

από τις οποίες προκύπτει ότι 4x+7z=0. Η εξίσωση αυτή μαζί

με την x-2z=10

δίνουν τιμές 83

x και 193

z και, τελικά, από την w-3x=12 προκύπτει w=4.

Επομένως, θα είναι 2 2 28 19 8 193( )( ) ( ) ( ) 4 99,967.

3 3 3 3y

19. Να επιλυθούν, με τη χρησιμοποίηση των διαφορικών των αντικειμενικών συναρτήσεων και των συναρτήσεων περιορισμού, οι ασκήσεις 38, 40, 41, 42, 43, 44 και 45 του τέταρτου κεφαλαίου. Λύση

Άσκηση 38 2 22 7,5 4 18 6 (10 2 51)q L K L K KL L K

Η αναγκαία συνθήκη είναι 4 15 4 18 6 6dq LdL KdK dL dK KdL LdK

= ( 4 4 6 ) ( 15 18 6 ) 0,L K dL K L dK υποκείμενη στον περιορισμό της

10 2 0.dL dK Έτσι, θα είναι 4 4 6 15 18 6 34 81 86.

10 2L K K L L K

Η εξίσωση αυτη μαζί με την

εξίσωση 10L+2K=51, έχουν λύσεις τις 4,5L και 3K μονάδες. Με τις ποσότητες

αυτές των συντελεστών παραγωγής επιτυγχάνεται μέγιστο προϊόν 2 22 4,5 7,5 3 4 4,5 18 3 6 3 4,5 45q μονάδες.

Άσκηση 40 2 22 7 ( 3 30 702).C L K L K LK

Η αναγκαία συνθήκη είναι 2 7 0dC dL dK υποκείμενη στον περιορισμό της

2 6 30 30LdL KdK LdK KdL = ( 2 30 ) ( 6 30 ) 0.L K dL K L dK Έτσι, θα είναι

2 7 3 .2 30 6 30

L KL K K L

Θέτοντας την τιμή αυτή στην

2 23 30 702L K LK βρίσκουμε Κ=3 και, στη συνέχεια, L=9. Στις ποσότητες αυτές των συντελεστών παραγωγής το κόστος είναι ελάχιστο και ίσο με

2 9 7 3 39C χρηματικές μονάδες.

Άσκηση 41 0,6 0,8300 600 (50 500).C L La L La


Η αναγκαία συνθήκη είναι 300 600 0dC dL dLa υποκείμενη στον περιορισμό της 0,4 0,8 0,6 0,230 40 0.L La dL L La dLa Έτσι, θα είναι

0,8 0,6 0,2

300 600 1,5 .30 0,4 40

L LaL La L La

Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην

εξίσωση 0,6 0,850 500L La βρίσκουμε La=4,35 και, στη συνέχεια, L=6,53 μονάδες. Οι ποσότητες αυτές των συντελεστών, όπως έχουμε δει, επαληθεύουν τη σχέση

.L L

La La

p MPp MP

Άσκηση 42 22

1 2 110 80 ( 100 ).3qR q q q

Η αναγκαία συνθήκη είναι 1 210 80 0dR dq dq υποκείμενη στον περιορισμό της

1 2 22 0.3

dq q dq Έτσι, θα είναι

2

2

10 80 1221 3q

q και, στη συνέχεια, από την

22

1 1003qq προκύπτει τιμή

q1=52 μονάδες. Στις ποσότητες αυτές παραγωγής των προϊόντων τα έσοδα της επιχείρησης γίνονται μέγιατς και ίσα με R=1480 χρηματικές μονάδες.

Άσκηση 43

2

2 21 1 2 2 1 22 3 4 500 (4 100).xU x x x x x p x

Η αναγκαία συνθήκη είναι 1 1 1 2 2 22 6 8dU dx x dx dx x dx

= 1 1 2 2(2 6 ) (1 8 ) 0.x dx x dx Έτσι, θα είναι

2

2 2

21 21

16 22 6 1 8 .4 3

x

x x

p xx x xp p

Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή της x1 στην

21 24 100xx p x , βρίσκουμε τελικά 2

2

2 2

296 8.

64 3x

x

px

p


Άσκηση 44 0,5 0,53 ( 2 48).U Y L Y L

Η αναγκαία συνθήκη είναι 0,5 0,51,5( ) 1,5( ) 0,L YdU dY dLY L

υποκείμενη στον

περιορισμό dY+2dL=0. Έτσι, θα είναι 0,5 0,51,5( ) 1,5( )

2 .1 2

L YY L Y L Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην Y+2L=48,

βρίσκουμε L=12 και, στη συνέχεια, Υ=24, έτσι που η μέγιστη χρησιμότητα είναι U=50,9 μονάδες.

Άσκηση 45

1 2 1 22 1ln ln (2 5 81).3 3

U x x x x

Η αναγκαία συνθήκη είναι 1 21 2

2 1 1 1 0,3 3

dU dx dxx x

υποκείμενη στον περιορισμό

1 22 5 0.dx dx Έτσι, θα είναι 1 2

1 2

2 13 3 52 5

x xx x η οποία όταν αντικατασταθεί

στην 1 22 5 81x x δίνει 2 5,4x και στη συνέχεια 1 27x , στις οποίες ποσότητες ο

καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του. Επειδή δε 1

2xp και 2

5xp

χρηματικές μονάδες, θα ισχύει 1 21 22 .x xp x p x Πράγματι, 2 27 2 5 5, 4.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 1. Να παραγωγιθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις και να εκφραστούν τα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώματα:

α) y=25cx7-10, β) 432 3 xy , γ)

28)35( 4

xy , δ) y

dcxbax

,

ε) y=ln(x+1), στ) 2)78ln(83

xy , ζ) caxy )ln(61 6 ,

η) 82 15 xey , θ) xy 202 , ι) 22 cxbxay ,

ια) 22 11

11

xxy

, ιβ) xexxy )33( 2 .

Λύση

α) 6175 .dy cxdx

Επομένως, 6175y cx dx

β) 2

3.

4dy xdx x

Επομένως, 2

3 4xy dxx

γ) 35 (5 3) .7

dy xdx

Επομένως, 35 (5 3)7

y x dx

δ) 2 .( )

dy d bcdx cx d

Επομένως,

2( )d bcy dxcx d

ε) 1 .1

dydx x

Επομένως, 1

dxyx

στ) 3 .8 7

dydx x

Επομένως, 38 7

y dxx

ζ) 5

6 .dy xdx x a

Επομένως, 5

6

xyx a

η) 5 110 .xdy edx

Επομένως, 5 110 xy e dx

θ) 2 20 ln 20 6 20 .x xdydx

Επομένως, 6 20xy dx

ι) 2 2 .dy b cxdx

Επομένως, 2 ( )y b cx dx

ια) 4

4 2

4 (1 ) .(1 )

dy x xdx x

Επομένως,

4

4 2

(1 )4(1 )x xy dx

x

ιβ) ( 1) .xdy x x edx

Επομένως, ( 1) .xy x x e dx

2. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα:


α) dxx312 , β) dxx1 , γ) dx

x 7432 , δ)

12x

dx,

ε) dx

xx

132 , στ) dxe x3 , ζ) dxba x)( , η) xdxx ln10 5 ,

θ) dxxxxx )13579( 2468 , ι) dx

xxx2

34

3329

,

ια) dxxxx

)111( 234 , ιβ) dxxe x2

, ιγ) dxex x2 .

Λύση

α) 3 412 3x dx x c

β) 321 (1 )3

x dx x c

γ) 22

3 3 ln(4 7)4 7 8

dx x cx x

δ) 2 12 1dx x cx

ε) 22

3 3 ln( 1)1 2x dx x c

x

στ) 3 313

x xe dx e c

ζ) ( )( )ln( )

xx a ba b dx c

a b

η) 5 5 110 ln 2 (ln )5

x x dx x x c

θ) 8 6 4 2 9 7 5 3(9 7 5 3 1)x x x x dx x x x x x c

ι) 4 3 2

32

9 2 3 13 3

x x xdx x cx x

ια) 4 3 2 3 2

1 1 1 1 1 1( ) ( )3 2

dx cx x x x x x

ιβ) 2 21

2x xxe dx e c

ιγ) 2 2( 2 2)x xx e dx x x e c

3. Εάν το οριακό προϊόν γεωργικής επιχείρησης δίνεται από τη συνάρτηση

75202 zzMP (όπου z=ποσότητα του χρησιμοποιούμενου για την παραγωγή συντελεστή), να εκφραστεί η συνάρτηση του ολικού προϊόντος της επιχείρησης. Λύση

22 (15 )( 20 75) .

3z zq z z dz c


4. Η οριακή σχέση μετασχηματισμού δύο προϊόντων παραγομένων από επιχείρηση

δίνεται από τη συνάρτηση 1

2

45

21 yyMRT yy (όπου y1, y2 είναι οι ποσότητες των

προϊόντων). Να εκφραστεί η συνάρτηση δυνατοτήτων παραγωγής των προϊόντων, όταν για y2=0, τo y1=200. Λύση

1 2

1 21 1 2 2 1 1 2 2

2 1

5 5 54 4 4y y

dy yMRT y dy y dy y dy y dydy y

2 21 252 4 2y y

και, τελικά, 2

2 21

5 40000.4yy

5. Εάν η οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης των συντελεστών παραγωγής

εργασίας και κεφαλαίου δίνεται από τη συνάρτηση 3

80( 1)LMRTS

(όπου

L=μονάδες εργασίας και Κ=μονάδες κεφαλαίου), να εκφραστεί η συνάρτηση ισοπαραγωγής. Λύση

3 2

80 40 .( 1) ( 1)

L dK cK K

6. Πόσο είναι το ολικό κόστος παραγωγής 50 μονάδων προϊόντος επιχείρησης αν το σταθερό κόστος είναι 20 χρηματικές μονάδες και το οριακό κόστος εκφράζεται

από τη συνάρτηση 410

50

q

MC (όπου q=ποσότητα παραγόμενου προϊόντος).

Λύση

1 12 250 10(10 4) 20 10(10 50 4) 20 244,5

10 4C dq c q

q

χρηματικές

μονάδες.

7. Επιχείρηση έχει συνάρτηση οριακών εσόδων 20)5(

1002

q

MR (όπου q=μονάδες

πωλούμενου προϊόντος). Ποια είναι η συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος της επιχείρησης;


Λύση

2

100 10020 20 .( 5) ( 5)

R dq qq q

Αλλά R=pq, έτσι 100 20

( 5)pq q

q

και,

τελικά, 100 20.( 5)

pq q

8. Η συνάρτηση οριακής χρησιμότητας καταναλωτή από την κατανάλωση ενός

αγαθού είναι η 3310x

MU (όπου x=μονάδες του αγαθού). Ποια είναι η συνάρτηση

ολικής χρησιμότητας του καταναλωτή; Λύση

23

3

10 5 .3

U dx xx

9. Δείξτε ότι )()( xfdxxfdxd b

x

.

Λύση

( ) ( ) ( ) ( ).b x

x b

d df x dx f x dx df x f xdx dx

10. Να υπολογιστούν τα εμβαδά των περιοχών υπό τις αντίστοιχες καμπύλες των συναρτήσεων και του άξονα 0x, μεταξύ των δεδομένων τιμών της x: α) ως αλγεβρικό άθροισμα επιφανειών και β) ως πραγματικό (όπου είναι δυνατόν): α) y=x-5 μεταξύ των x=1 και x=4 β) y=2x-1 μεταξύ των x= -2 και x=5

γ) y=3

3x μεταξύ των x= -2 και x=4

δ) 2

3 1xxy

μεταξύ των x= -2 και x= -0,2

ε) 259 2 xxy μεταξύ των x=2 και x=7 στ) xexy )13( μεταξύ των x=0 και x=3 ζ) 23 xxy μεταξύ x= -2 και x=2

η) 3 2xy μεταξύ των x=4 και x=9 θ) 56xy μεταξύ των x= -5 και x=3. Δείξτε τις περιοχές αυτές σχηματικά.


Λύση

α) 4 2 2 2

41

1

4 1( 5) ( 5 ) ( 5 4) ( 5 1) 7,52 2 2xx dx x είναι το εμβα-

δόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y=x-5 και κάτω από τον άξονα x και στο διάστημα x=1 και x=4 (σχήμα (α)).

β) 5

2 5 2 22

2

(2 1) ( ) (5 5) ( 2) ( 2) 14x dx x x

είναι το αλ-

γεβρικό άθροισμα (ΓΔΕ-ΑΒΓ) των εμβαδών των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΓΔΕ και ΑΒΓ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης y=2x-1 και του άξονα x και στο διάστημα x= -2 kai χ=5 (σχήμα (β)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών

αυτών είναι 5

2

( ) ( ) (2 1)AB x dx

=0,5 5

2 0,5

(2 1) (2 1)x dx x dx

2 0,5 22 0,5( ) ( ) xx x x x

= 2 2(0,5) 0,5 ( 2) ( 2) 2( 5) 5

2(0,5) 0,5

= ( 6, 25) (20, 25). Αγνοώντας το αρνητικό πρόσημο του εμβαδού

ΑΒΓ, το συνολικό πραγματικό εμβαδόν είναι 26,5

γ) 4 3 4 4 4

42

2

4 ( 2)( ) ( ) 203 14 12 12x xdx

είναι το αλγεβρικό άθροισμα

(ΟΔΕ-ΑΒΟ) των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΟΔΕ και ΑΒΟ με-

ταξύ της καμπύλης της συνάρτησης 3

3xy και του άξονα x και στο

διάστημα x= -2 και x=4 (σχήμα (γ)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροι- σμα των εμβαδών των επιφανειών αυτών είναι

4 3

2

( ) ( )3x dx

0 43 3 4 4

0 42 0

2 0

( ) ( )3 3 12 12x x x xdx dx

=4 4 4 40 ( 2) 4 0( ) ( ) ( )

12 12 12 12

( 1,3333) (21,3333). Αγνοώ-

ντας το αρνητικό πρόσημο του εμβαδού ΑΒΟ, το συνολικό πραγμα- τικό εμβαδόν είναι 22,6667.

δ) 0,2 3 3 3 3

0,222

2

1 2 ( 0, 2) 2 ( 2) 2( ) 6, 482 2 ( 0,2) 2( 2)

x xdxx x

είναι

το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξή της κα-

μπύλης της συνάρτησης 3

2

1xyx

και κάτω από τον άξονα x και στο

διάστημα x= -2 και x= -0,2 (σχήμα (δ)).


ε) 7

2 3 2 7 3 22

2

(9 5 2) (3 2,5 2 ) (3 7 2,5 7 2 7)x x dx x x x

- 3 2(3 2 2,5 2 2 2) 882,5 είναι το εμβαδόν της γραμμοσκιασμέ- νης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της καμπύλης 29 5 2y x x και πά-

νω από τον άξονα x και στο διάστημα x=2 και x=7 (σχήμα (ε)).

στ) 3

3 3 00

0

(3 1) (3 2) (3 3 2) (3 0 2)x xx e dx x e e e

=142,6 είναι το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΟ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης (3 1) xy x e και πάνω από

τον άξονα x και στο διάστημα x=0 και x=3 σχήμα (στ)).

ζ) 22 4 3 4 3

3 2

2 2

3 4 3 2 4 2( ) ( ) ( )12 12

x xx x dx

-4 33( 2) 4( 2)12

-5,333 είναι το αλγεβρικό άθροισμα (ΑΒΟ+

+ΟΓΔ-ΔΕΖ) των εμβαδών των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΑΒΟ, ΟΓΔ και ΔΕΖ μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης 3 2y x x και

του άξονα x και στο διάστημα x= -2 και x=2 (σχήμα (ζ)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών αυτών είναι

(ΑΒΟ)+(ΟΓΔ)+(ΔΕΖ)= 2 0 1

3 2 3 2 3 2

2 2 0

( ) ( ) ( )x x dx x x dx x x dx

+ 2

3 2

1

( )x x dx 4 3 4 3 4 3

0 1 22 0 1

3 4 3 4 3 4( ) ( ) ( )12 12 12

x x x x x x

=4 3 4 33 0 4 0 3 ( 2) 4( 2)( ) (12 12

+4 3 4 3 4 3 4 33 1 4 1 3 0 4 0 3 2 4 2 3 1 4 1( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12

= ( 6, 667) ( 0, 0833) (1, 4167). Αγνοώντας τα αρνητικά πρόσημα

των εμβαδών ΑΒΟ και ΟΓΔ, το συνολικό πραγματικό εμβαδόν είναι 8,167.

η) 9 33 35 5 5

3 2 94

4

3 3 9 3 4( ) ( ) ( ) 17,3175 5 5xx dx είναι το εμβαδόν

της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της καμπύλης της

συνάρτησης 3 2y x και πάνω από τον άξονα x και στο διάστημα x=4 και x=9 σχήμα (η)).

θ) 3

5 6 3 6 65

5

6 ( ) (3 ) ( 5) 14896x dx x

είναι το αλγεβρικό άθροι-

σμα (ΑΒΟ-ΟΔΕ) των εμβαδών των γραμμοσκιασμένων επιφανειών ΑΒΟ και ΟΔΕ μεταξύ της καμπήλης της συνάρτησης 56y x και του


άξονα x και στο διάστημα x= -5 και x=3 (σχήμα (θ)). Αντιθέτως, το πραγματικό άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών αυτών είναι

(ΑΒΟ)+(OΔΕ)=3 0 3

5 5 5 6 0 6 35 0

5 5 0

6 6 6 ( ) ( )x dx x dx x dx x x

6 6 6 60 ( 5) (3 0 ) = ( 15625) (729). Αγνοώντας το αρνητικό πρόσημο του

εμβαδού ΑΒΟ, το συνολικό πραγματικό εμβαδόν είναι 16354.


11. Δείξτε ότι:

α) 1

0

3

41dxx , β)

4

1

143

xdx , γ) 4

2

2 60)23( dxx ,

δ) 5,0

0

5

12813 dxx , ε)

1

0

11

e

xdx

.

Λύση

α) 1 4 4 4

3 10

0

1 0 1( ) ( ) ( )4 4 4 4xx dx

β) 4 3 3 3

41

1

2 2 4 2 1 14( ) ( ) ( )3 3 3 3xxdx

γ) 4 3 3 3

2 4 42 2

2

4 2(3 2) 3( ) 2( ) 3( ) 2(4 2) 603 3 3xx dx x


δ) 0,5 6 6 6

5 0,50

0

0,5 0 13 3( ) 3( )6 6 6 128xx dx

ε) 1

1

00

ln( 1) ln( 1 1) ln(0 1) ln 1.1

eedx x e e

x

12. Να υπολογιστεί το εμβαδόν επιφάνειας υπό την ευθεία γραμμή y=x+2 και του άξονα 0x, μεταξύ των τιμών x=1 και x=5. Δείξτε αυτό σχηματικά και συγκρίνετέ το με το εμβαδόν που υπολογίζεται γεωμετρικά από το τραπέζιο του σχήματος. Λύση 5 2 2 2

51

1

4 5 4 5 1 4 1( 2) ( ) ( ) ( ) 202 2 2

x xx dx είναι το εμβαδόν της

γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΑΒΓΔ μεταξύ της γραμμής της συνάρτησης 2y x και του άξονα x και μεταξύ των τιμών x=1 και x=5. Από το σχηματισμένο τραπέζιο του σχήματος και με βάση τη συνάρτηση 2y x

διαπιστώνεται ότι ΑΔ=3, ΒΓ=7 και ΓΔ=4. Επομένως, 7 3 4 20,2

E όπως

προηγουμένως.

13. Επιχείρηση έχει συνάρτηση οριακού προϊόντος )12

3(25

2 zzMP (όπου

z=ποσότητα του χρησιμοποιούμενου για την παραγωγή συντελεστή). Ποια είναι η επιπλέον παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος, όταν η ποσότητα του συντελεστή μετακινηθεί από 4 σε 10 μονάδες; Δείξτε αυτή ως εμβαδόν επιφάνειας ορθογωνίων υπό την καμπύλη του μέσου προϊόντος και ως εμβαδόν επιφάνειας υπό την καμπύλη του οριακού προϊόντος.


Λύση 10 2 3 4 3 4 3 4

104

4

10 10 4 4(3 ( ) ( ) ( )25 12) 25 1200 25 1200 25 1200z z z zq dz

=29,33 είναι η επί πλέον παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος, όταν η ποσότητα του

συντελεστή z μετακινηθεί από 4 σε 10 μονάδες. Πράγματι, εφόσον 2 3

,25 1200z zAP

θα είναι 1 2( ) ( )q AP z AP z

=2 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2

1 210 10 4 4( ) ( ) ( ) 10 ( ) 4

25 1200 25 1200 25 1200 25 1200z z z zz z 29,33.

Σχηματικά, η ποσότητα των 29,33 μονάδων τουπροϊόντος ςμφανίζεται ως εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΒΓΕΛ, μεταξύ της καμπύλης του οριακού

προϊόντος 2

(3 )25 12z zMP και του άξονα x και στο διάστημα x=4 και x=10, η οποία

αντιστοιχεί στη διαφορά του εμβαδού του ορθογωνίου ΟΗΚΛ από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΔΕΟ.

14. Επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικού κόστους παραγωγής προϊόντος την

1)30(50)10(2

qqqC (όπου q=μονάδες παραγόμενου προϊόντος). Δείξτε σχηματικά,

υπό τις καμπύλες μέσου και οριακού κόστους, τις επιφάνειες πού αντιστοιχούν σε ολικό κόστος παραγωγής 10 μονάδων του προϊόντος.


Λύση

Εφόσον 2 ( 10) 1,

50( 30)q qCq

θα είναι 3 2

2

100( 50 300 )(50 1500)q q qMCq

και

( 10) 1 .50( 30)q qACq q

Επομένως, σε παραγωγή 10 μονάδων του προϊόντος θα είναι

C=2, AC=0,2. Σχηματικά, το κόστος C=2 αντιστοιχεί με το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΟ, ενώ το ολικό μεταβλητό κόστος VC= 1 αντιστοιχεί με το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΟΔΒΓ, μεταξύ της καμπύλης του οριακού κόστους και του άξονα q.

15. Επιχείρηση έχει συνάρτηση οριακών εσόδων qqMR

10661566

(όπου q=μονάδες

πωλούμενου προϊόντος). Δείξτε σχηματικά, υπό τις καμπύλες μέσων και οριακών εσόδων, τις επιφάνειες που αντιστοιχούν στα έσοδα της επιχείρησης από την πώληση 3 μονάδων του προϊόντος. Λύση

Εφόσον 66 1566 10

qMRq

θα είναι

330

0

66 15 ( 66 10 ) (3 66 10 3) 1866 10

qR dq q qq

χρηματικές μονάδες, που

αντιστοιχεί στο εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας ΟΔΖΓ υπό την καμπύλη των οριακών εσόδων ή στο εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΒΓ, υπό την καμπύλη των μέσων εσόδων.


16. Τα έσοδα πού πραγματοποιεί επιχείρηση από τη χρησιμοποίηση αγορασθέντος μηχανήματος, είναι σταθερά ετησίως και ίσα με 2000 χρηματικές μονάδες, επί 20 έτη. Αν το επιτόκιο κεφαλαιοποίησης είναι 9% ετησίως, ποια είναι η αξία αγοράς του μηχανήματος και ποια θα είναι η αξία αγοράς αυτού αν η ροή των εσόδων συνεχίζεται η ίδια επί άπειρο αριθμό ετών; Λύση

Η αξία V αγοράς του μηχανήματος, με έσοδα σταθερά α επί Τ έτη και επιτόκιο

κεφαλαιοποίησης i προκύπτει από τη σχέση (1 ).iTaV ei

Έτσι, για τα δεδομένα

της άσκησης έχουμε 0,09 202000 (1 2,71828 ) 22222, 222 (1 0,16530) 18549

0,09V χρηματικές

μονάδες. Εάν η ροή των εσόδων είναι η ίδια επί άπειρο (θεωρητικά) αριθμό ετών, η παραπάνω σχέση γίνεται

(1 ) (1 0) .a a aV ei i i

Έτσι, για τα δεδομένα της άσκησης θα έχουμε

2000 222220,09

V χρηματικές μονάδες.

17. Επιχείρηση επενδύει κεφάλαιο 6.000 χρηματικών μονάδων στην αγορά ενός ακινήτου. Ποια θα είναι η αξία του ακινήτου σε 10 έτη, αν το επενδυόμενο κεφάλαιο ανατοκίζεται με 6% ετησίως;


Λύση

Η αξία του ακινήτου σε Τ έτη αρχικής αγοράς α και με επιτόκιο ανατοκισμού i

ετησίως, αποδίδεται από τη σχέση (1 ) 1 .ln(1 )

TaI ii

Έτσι, για τα δεδομένα

της άσκησης έχουμε 106000 (1 0,06) 1 81434

ln(1 0,06)I


18. Να υπολογιστεί η συνολική αξία απόσβεσης μηχανήματος σε 9 έτη, εάν ο ρυθμός

φθοράς του εκφράζεται από τη συνάρτηση tety 3 (όπου t= έτη λειτουργίας του μηχανήματος). Λύση

Η συνολική αξία απόσβεσης του μηχανήματος σε 9 χρόνια, όταν ο ρυθμός φθοράς

του εκφράζεται από τη συνάρτηση 3 ,ty t e αποδίδεται με το ορισμένο ολοκλήρωμα 9

3

0

.tt e dt Για την επίλυσή του, θέτουμε καταρχήν, t w , έτσι που θα είναι 3 6t w

και 2dtd t dw dwt

2 .dt wdw Συνεπώς, έχουμε 3 6 72 2 .t w wt e dt w e wdw w e dw

Αλλά, 7 7 6 7 6 67 7( 6 )w w w w w ww e dw w e w e dw w e w e w e dw

= 7 6 5 4 77 6( )w w w w ww e w e w e w e dw w e

-7 6 5 4 36 5w w w ww e w e w e w e dw

= 7 6 5 4 3 27 6 5 4( )w w w w w ww e w e w e w e w e w e dw

= 5

7 64 3 3 27 6

5 4 3 2( )

w

w ww w w w

w ew e w e

w e w e w e we e

= 7 6 5 4 37 7 6 7 6 5 7 6 5 4w w w w ww e w e w e w e w e - 27 6 5 4 3 ww e 7 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2w wwe e και, τελικά,

7 7 6 5 4 32 2 14 84 420 1680w w w w w ww e dw w e w e w e w e w e

- 2504 ww e 7 6 5 410080 10080 (2 14 84 420w w wwe e e w w w w + 3 2168 504 10080 10080).w w w Συνεπώς,

6 5 43

3 2

2( ) 14( ) 84( ) 420( )

1680( ) 5040( ) 10080( ) 10080t t t t t t

t e dt et t t

και, τελικά, η αξία της συνολικής απόσβεσης θα είναι


92,71828 (2 2187 14 729 84 243 420 81 1680 27D

- 05040 9 10080 3 10080) 2,71828 ( 10080) = 20, 0858 720 10080 14462 10080 24542 χρηματικές μονάδες.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ

1. Να υπολογιστούν οι τιμές των ακόλουθων οριζουσών:

α) 6 13 2

, β) 7 3 46 1 23 4 5

, γ) 1 0 20 3 64 5 1

, δ)

1 0 30 2 10 0 7

ε)

12 3 2 836 2 6 650 1 8 314 4 2 8

, στ)

3 0 0 12 2 0 10 0 2 11 0 0 1

, ζ)

1 0 1 12 1 2 13 2 1 21 1 2 1

.

Λύση

α) 6 13 2

= 6 ( 2) 3( 1) 12 3 9

β) 7 3 46 1 23 4 5

=

= 7( 1)( 5) 3 2 3 6( 4)( 4) ( 4)( 1) 3 7 2( 4) -

= 3 6( 5) 35 18 96 12 56 90 283

γ) 1 0 20 3 64 5 1

=

3 6 0 32 (3 30) 2(0 12) 51

5 1 4 5

δ)

1 0 30 2 10 0 7

2 114

0 7

ε)

12 3 2 836 2 6 650 1 8 314 4 2 8

=

36 9 6 24 0 7 0 1836 2 6 6 36 2 6 61 150 1 8 3 50 1 8 33 314 4 2 8 14 4 2 8

=

0 7 0 18 0 7 0 1850 6 8 14 0 5 0 111 150 1 8 3 50 1 8 33 314 4 2 8 14 4 2 8


=0 0 11 0 5 0

1 7 50 8 3 18 50 1 83

14 2 8 14 4 2

= 1 7 11(100 112) 18 5(100 112)3

= 1 17( 132) 18 60 ( 156) 52.3 3

στ)

3 0 0 12 2 0 10 0 2 11 0 0 1

=

4 0 0 0 4 0 0 02 2 0 1 3 2 0 00 0 2 1 0 0 2 11 0 0 1 1 0 0 1

=2 0 0

4 0 2 10 0 1

2 14 2 4 2 2 16

0 1

ζ)

1 0 1 12 1 2 13 2 1 21 1 2 1

=

1 1 1 12 2 1

2 0 2 13 1 2

3 0 1 21 2 1

1 0 2 1

=1 2 3 2 3 1

2 2 2(1 4) 2(3 2) (6 1)2 1 1 1 1 2

= 6 2 5 3 2. Τρέψτε σε γινόμενο παραγόντων τις ακόλουθες ορίζουσες:

α) 2 2 2

1 1 1a b ca b c

, β) 111

a bcb cac ab

, γ) a a b c

a c b bc a b c

,

δ) 2 2 2

3 3 3

a b ca b ca b c

, ε)

x a b cx x d ex x x fx x x x

Λύση

α) 2 2 2

1 1 1a b ca b c

22 2 2 2

1 1 1 11 1b ca a bc

b c b cb c b c

- 2 22 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1( )a bc a c b a

b c b c b c b cb c


= 2 1 1 1 1( ) ( )( )bc a c b a b a c a

b c b c

=1 1 1 1 1 1

.a b a c b c

β) 111

a bcb cac ab

=1 11 1

b ca ca ba bc

c ab ab c

= 2 1 11 1

b c c ba bc

c b b c 2 1 1

1 1b c c c

a a bcc b b b

= 21 1 1( )

1 1 1c c c

a b c a bcb b b

= 2 1 1( ) ( )( )

1 1c c

a b c a bc b a a cb b

=1 1 1 1 1 1

.a b c a c b

γ) a a b c

a c b bc a b c

= ( )

b b a b ca a ca b c a b c

+a b c

cb b

1 1( )

a b cab a c

b c a b a b c

1 1( )

1 1 0b c a a b c

bc ab a ca b c b

1 1a b c

bc

= ( ) ( )( ) ( )ab c a b a c a b c bc a b c

= ( ) ( )( ) ( )b a c a b a c a b c c a b c 2 2 2 2( ) 4 .b ac a ab a ab ac ac bc c ac bc c abc

δ) 2 2 2

3 3 3

a b ca b ca b c

=2 2

2 33 3 3 3 2 2

b c b c b ca a ab c b c b c

= 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b c b c a bc b c bc b c ab c c b 2 3 2( )( ) ( ) ( ) ( )a bc b c c b a bc c b abc c b bc a b c a

= 2( )( ) ( ) ( ) ( )abc c b bc ab ac a abc c b c b a a b a

= ( )( )( ) ( )( )( ).abc c b c a b a abc a b a c c b


ε)

x a b cx x d ex x x fx x x x

=

0( )

00

x a a b cx d e

x d ex a x x f

x x fx x x

x x x

= ( ) 0 ( )( )0

x d d ex f

x a x f x a x dx x

x x

=1

( )( ) ( )( )( ).1

fx x a x d x x a x d x f

x

3. Να επιλυθούν με τη χρησιμοποίηση οριζουσών τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων:

α) 2 3 574 37x yx y

, β) 2

2 3 13 5 4

x y zx y zx y z

, γ) 2 3 0

3 3 52 2 1

x y zx y zx y z

,

δ) 5 2 3 362 3 104 4 5 31

x y zx y zx y z

, ε) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 3 13 4 04 3 1

x x xx x xx x x

Λύση

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Cramer, έχουμε:

α) 57 337 1 ( 57 111) 168 12

2 3 ( 2 12) 144 1

xx

2 574 37 (74 228) 154 112 3 ( 2 12) 144 1

yy


β) 2 1 11 2 3 2 3 1 3 1 2

24 1 5 1 5 4 5 4 11 1 1 2 3 1 3 1 21 2 3 1 5 3 5 3 13 1 5

xx

2( 10 3) ( 5 12) (1 8)( 10 3) ( 5 9) (1 6)

26 17 7 16 413 14 5 4

1 2 11 1 3 1 3 1 3 1 1

23 4 5 4 5 3 5 3 41 1 1 2 3 1 3 1 21 2 3 1 5 3 5 3 13 1 5

yy

( 5 12) 2( 5 9) (4 3) 17 28 1 12 3( 10 3) ( 5 9) (1 6) 13 14 5 4

1 1 2

1 2 1 2 1 1 1 1 23 1 4 1 4 3 4 3 11 1 1 2 3 1 3 1 21 2 3 1 5 3 5 3 13 1 5

zz

(8 1) (4 3) 2(1 6) 7 1 10 4 1( 10 3) ( 5 9) (1 6) 13 14 5 4

γ)

0 2 35 3 1 5 1 5 3

2 31 2 2 1 2 1 21 2 3 3 1 3 1 3 3

2 33 3 1 2 2 1 2 1 21 2 2

xx

= 2(10 1) 3( 10 3) 22 39 17 1(6 2) 2(6 1) 3( 6 3) 4 14 27 17


1 0 33 5 1 5 1 3 5

31 1 2 1 2 1 11 2 3 3 1 3 1 3 3

23 3 1 2 2 1 2 1 21 2 2

yy

= (10 1) 3(3 5) 11 6 17 1(6 2) 2(6 1) 3( 6 3) 4 14 27 17

και

1 2 03 3 5 3 5 3 5

21 2 1 2 1 1 11 2 3 3 1 3 1 3 3

23 3 1 2 2 1 2 1 21 2 2

zz

= (3 10) 2(3 5) 13 4 17 1(6 2) 2(6 1) 3( 6 3) 4 14 27 17

.

δ)

36 2 310 3 1 3 1 10 1 10 3

36 2 331 4 5 4 5 31 5 31 45 2 3 3 1 2 1 2 3

5 2 32 3 1 4 5 4 5 4 44 4 5

xx

36( 15 4) 2(50 31) 3(40 93) 165 55( 15 4) 2(10 4) 3(8 12) 33

5 36 32 10 1 10 1 2 1 2 10

5 36 34 31 5 31 5 4 5 4 315 2 3 3 1 2 1 2 3

5 2 32 3 1 4 5 4 5 4 44 4 5

yy


5(50 31) 36(10 4) 3(62 40) 33 15( 15 4) 2(10 4) 3(8 12) 33

5 2 36

2 3 10 3 10 2 10 2 35 2 36

4 4 31 4 31 4 31 4 45 2 3 3 1 2 1 2 3

5 2 32 3 1 4 5 4 5 4 44 4 5

zz

5( 93 40) 2(62 40) 36(8 12) 99 3.5( 15 4) 2(10 4) 3(8 12) 33

ε)

11

1 3 30 3 4 3 4 0 4 0 3

3 31 4 3 4 3 1 3 1 41 3 3 3 4 1 4 1 3

3 31 3 4 4 3 1 3 1 41 4 3

xx

(9 16) 3( 4) 3( 3) 4 4(9 16) 3(3 4) 3(4 3) 1

22

1 1 31 0 4 0 4 1 4 1 0

31 1 3 1 3 1 3 1 11 3 3 3 4 1 4 1 3

3 31 3 4 4 3 1 3 1 41 4 3

xx

= (0 4) (3 4) 3(1 0) 0 0(9 16) 3(3 4) 3(4 3) 1

33

1 3 11 3 0 3 0 1 0 1 3

31 4 1 4 1 1 1 1 41 3 3 3 4 1 4 1 3

3 31 3 4 4 3 1 3 1 41 4 3

xx

(3 0) 3(1 0) (4 3) 1 1.

(9 16) 3(3 4) 3(4 3) 1


4. Δείξτε ότι οι ακόλουθες μήτρες είναι ιδιάζουσες:

α) 6 38 4

, β) 5 2 16 1 46 3 0

, γ) 20 5 515 10 55 0 1

, δ) 3 1 22 3 15 4 3

,

ε) 5 2 16 1 46 3 0

.

Λύση

α) 6 3

6 4 8 3 24 24 08 4

β) 5 2 1

1 4 6 4 6 16 1 4 5 2 5(0 12) 2(0 24)

3 0 6 0 6 36 3 0

+ (18 6) 60 48 12 0

γ) 20 5 5 4 5 5 4 1 5

1 5 4 115 10 5 5 3 10 5 5 5 3 2 5 25

2 5 3 25 0 1 1 0 1 1 0 1

= 25( 5 5) 0

δ) 3 1 2 3 1 22 3 1 5 4 3 05 4 3 5 4 3

ε) 5 2 1

2 1 5 16 1 4 6 3 6(8 1) 3(20 6) 42 42 0

1 4 6 46 3 0

5. Δώστε το βαθμό των παρακάτω μητρών:

α) 1 2 30 3 43 5 7

, β) 2 3 1 12 3 1 24 6 2 3

, γ) 1 5 4 20 3 1 2

δ) 3 5 0 11 0 4 32 5 4 x

για τις διάφορες τιμές της x.


Λύση

α) Η μήτρα είναι 3ου βαθμού, αφού

1 2 33 4 0 4 0 3

0 3 4 2 35 7 3 7 3 5

3 5 7

(21 20) 2(0 12) 3(0 9) 2 0.

β) Η μήτρα είναι 2ου βαθμού, αφού η υπομήτρα

2 1 11 2 2 2 2 1

2 1 2 26 3 4 3 4 6

4 6 3

2( 3 12) ( 6 8) (12 4) 8 0.

γ) Η μήτρα είναι 2ου βαθμού, αφού, τουλάχιστον, μία υπομήτρα

.03033051

,

δ) Από τις τέσσερις υπομήτρες διαστάσεων 3Χ3 μια, η

3 5 10 3 1 3 1 0

1 0 3 3 5 3(0 15) 5( 6) 55 2 2 5

2 5x

x xx

45 5 30 5 5 10x x , η τιμή της οποίας θα είναι διάφορη του μηδενός αν

2x , για να είναι η αρχική μήτρα 3ου βαθμού. Εάν, όμως, είναι x= -2, τότε η η αρχική μήτρα είναι 2ου βαθμού, σφού από τις έξη ορίζουσες 2ης τάξης μόνο μία

μηδενίζεται με κάποια από τις τιμές 3, 23

, 1 και 6,

6. Δίνονται οι μήτρες:

7 8 42 3 41 2 0

A

, 0 3 13 2 45 6 7

B

και 3 5 12 1 32 3 4

C

Να υπολογιστούν τα: α) Α+Β, β) Α-C, γ) Β+C, δ) A-C, ε) C-B, στ) A+B+C, ζ) A-B-C.


Λύση

7 8 4) 2 3 4

1 2 0

0 3 13 2 45 6 7

7 5 35 5 84 8 7

7 8 4 3 5 1 4 3 3) 2 3 4 2 1 3 0 2 1

1 2 0 2 3 4 3 1 4A C

0 3 1 3 5 1 3 2 0) 3 2 4 2 1 3 5 3 7

5 6 7 2 3 4 7 9 11B C

7 8 4 3 5 1 4 3 3) 2 3 4 2 1 3 0 2 1

1 2 0 2 3 4 3 1 4A C

3 5 1 0 3 1 3 8 2) 2 1 3 3 2 4 1 1 1

2 3 4 5 6 7 3 3 3C B

7 8 4 0 3 1 3 5 1) 2 3 4 3 2 4 2 1 3

1 2 0 5 6 7 2 3 4A B C

=10 10 47 6 116 11 11

7 8 4 0 3 1 3 5 1) 2 3 4 3 2 4 2 1 3

1 2 0 5 6 7 2 3 4A B C

=4 6 43 0 38 7 11

7. Δίνονται οι μήτρες: 0 1 2 1 3 2 1 1 23 0 1 , 2 0 1 0 , 2 , 14 2 3 1 1 2 3 3 0

A B C D

και


2 0 3 14 2 0 21 2 3 1

E

.

Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) Β+Ε, β) C+D, γ) A΄ , δ) Β΄ Ε, ε) Α C, στ) C΄ Β, ζ ) C΄ D και η) D C΄ . Λύση

1 3 2 1 2 0 3 1 3 3 5 2) 2 0 1 0 4 2 0 2 6 2 1 2

1 1 2 3 1 2 3 1 0 3 1 4B E

1 2 1) 2 1 3

3 0 3C D

0 3 4 1 3 2 1) 1 0 2 2 0 1 0

2 1 3 1 1 2 3΄

10 4 11 123 5 6 77 9 11 11

1 2 1 9 6 0 22 0 3 1

3 0 1 5 2 6 4) 4 2 0 2

2 1 2 6 6 0 21 2 3 1

1 0 3 1 6 6 4

B΄ E

0 1 2 1 8) 3 0 1 2 6

4 2 3 3 17A C

1 3 2 1

) 1 2 3 2 0 1 0 8 6 10 101 1 2 3

C΄ B

2

) 1 2 3 1 0 00

C΄ D

2 2 4 6

) 1 1 2 3 1 2 30 0 0 0

D C΄

8. Δίνεται η μήτρα Α διαστάσεων t Χ m. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις των μητρών V, W, X, Y και Z, ώστε να είναι δυνατοί οι πολλαπλασιασμοί: α)

,V A΄ A V β) ,A΄ W A γ) ,A X A΄ δ) ΄ Y A Z A .


Λύση

α) ( ) ( ) ( ) ( )V ΄ V V mXt tXm V V mXm m m V = ( ) ( ) ( ) .mXm mXm mXm mXm Συνεπώς, η μήτρα V είναι διαστάσεων mXm. β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .΄ W A mXt W tXm mXt tXt tXm mXm

Συνεπώς, η μήτρα W είναι διαστάσεων mXm. γ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .A X ΄ tXm X mXt tXm mXm mXt tXt

Συνεπώς, η μήτρα Χ είναι διαστάσεων tXt. δ) ( ) ( ) ( )A΄ Y A Z A mXt Y tXm Z tXm = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .m t tXt tXm mXt tXm mXm Συνεπώς, η μήτρα Υ είναι διαστάσεων tXt και η μήτρα Z διαστάσεων mXt. 9. Να υπολογιστούν τα γινόμενα:

α) 3 2 5 44 2 2 3

, β) 2 5

1 3 53 4

2 4 00 1

,

γ)

21

1 3 2 530

,

Λύση

α) 3 2 5 44 2 2 3

=19 624 10

β) 2 5

1 3 53 4

2 4 00 1

=11 2216 26

γ)

21

1 3 2 530

= 1 1

10. Δίνονται οι μήτρες:

2 31 0

A

, 3 01 2

B

και 3 1 12 4 3

C

.

Να υπολογιστούν τα γινόμενα α) ,A B β) ,B A γ) ,A C δ) ,B C ε) ,A B C στ) ,B A C ζ) ( )A B C , η) ( ) ,A B C θ) Α2, ι) Α3, ια) Α2-Β2.


Λύση

α) 2 3 3 0 3 61 0 1 2 3 0

B

β) 3 0 2 3 6 91 2 1 0 0 3

B A

γ) 2 3 3 1 1 12 10 71 0 2 4 3 3 1 1

A C

δ) 3 0 3 1 1 9 3 31 2 2 4 3 1 9 7

B C

ε) 3 6 3 1 1 21 21 15

( )3 0 2 4 3 9 3 3

A B C A B C

στ) 6 9 3 1 1

( )0 3 2 4 3

B A C B A C

=36 30 21

6 12 9

ζ) 2 3 3 0 3 1 1

( )1 0 1 2 2 4 3

A B C

=5 3 3 1 1 21 7 40 2 2 4 3 4 8 6

η) 2 3 3 0 3 1 1

( )1 0 1 2 2 4 3

A B C

=1 3 3 1 1 3 13 82 2 2 4 3 2 10 4

θ) 2 2 3 2 3 7 6 7 6 61 601 0 1 0 2 3 2 3 20 21

A A A

ι) 3 2 61 60 2 3 182 18320 21 1 0 61 60

A A A

ια) 2 2 61 60 3 0 3 020 21 1 2 1 2

A B

=61 60 9 0 249 24020 21 5 4 75 84

.

11. Δείξτε ότι η μήτρα 1 0 02 1 03 2 1

A

αληθεύει τη σχέση 3 23 3 0A A A I .


Λύση

1 0 02 1 03 2 1

A

2

1 0 0 1 0 0 1 0 02 1 0 2 1 0 4 1 03 2 1 3 2 1 10 4 1

A

και

3 2

1 0 0 1 0 0 1 0 04 1 0 2 2 0 6 1 0 .

10 4 1 3 2 1 21 6 1A A A

Επομένως,

3 2

1 0 0 1 0 0 1 0 03 3 6 1 0 3 4 1 0 3 2 1 0

21 6 1 10 4 1 3 2 1A A A I

-1 0 00 1 00 0 1

1 0 0 3 0 0 3 0 0 1 0 06 1 0 12 3 0 6 3 0 0 1 021 6 1 30 12 3 9 6 3 0 0 1

=0 0 00 0 0 00 0 0

12. Να υπολογιστούν τα α και b, ώστε η μήτρα 2 11 2

A

να αληθεύει τη σχέση

2 0A aA bI . Λύση

2 2 1 2 1 5 4.

1 2 1 2 4 5A A A

Επομένως,

2 5 4 2 1 1 04 5 1 2 0 1

aA bI b

=5 4 2 0 5 2 4

.4 5 2 0 4 5 2

b a b ab a a b

Για να είναι η μήτρα αυτή

ίση με μηδέν, πρέπει 5 2 0 4 0a b a , από το οποίο σύστημα προκύπτει ότι 4 3.b 13. Να υπολογιστεί η μήτρα των προσημασμένων ελασσόνων των μητρών:


α) 2 3

,1 4

β) 2 3 01 1 20 3 1

, γ)

2 3 5 41 2 3 02 0 1 23 1 0 1

.

Λύση

α) 4 13 2

C

. Επομένως, 4 3

( )1 2

Adj A C΄

β)

1 2 1 2 1 13 1 0 1 0 3

7 1 33 0 2 0 2 3

3 2 6 .3 1 0 1 0 3

6 4 53 0 2 0 2 31 2 1 2 1 1

C

Επομένως, 7 3 6

( ) 1 2 43 6 5

Adj A C΄

γ)

2 3 0 1 3 0 1 2 0 1 2 30 1 2 2 1 2 2 0 2 2 0 11 0 1 3 0 1 3 1 1 3 1 0

3 5 4 2 5 4 2 3 4 2 3 50 1 2 2 1 2 2 0 2 2 0 11 0 1 3 0 1 3 1 1 3 1 0

3 5 4 2 5 4 2 3 4 2 3 52 3 0 1 3 0 1 2 0 1 2 31 0 1 3 0 1 3 1 1 3 1 0

3 5 4 2 5 4 2 3 4 2 3 52 3 0 1 3 0 1 2 0 1 2 30 1 2 2 1 2 2 0 2 2 0 1

C

=

7 25 14 117 54 12 311 37 21 410 26 14 3

. Επομένως,

7 17 11 1025 54 37 26

( ) .14 12 21 14

1 3 4 3

Adj A C΄


14. Να υπολογιστούν οι αντίστροφες μήτρες των:

α) 6 43 1

, β) 6 2 91 7 13 8 8

, γ) 20 5 515 10 55 0 1

,

δ) 1 2 31 3 41 4 3

, ε)

1 0 0 10 1 0 00 0 0 11 0 1 0

.

Λύση

α) 6 43 1

A

.

6 46 12 6 0

3 1 και

1 3.

4 6C

Συνεπώς,

1

1 4 1 23 6( ) 6 3 .

16 12

Adj AAA

Πράγματι, 1

1 26 4 1 06 3 .3 1 0 11 1

2

A A

β) 6 2 91 7 13 8 8

A

6 2 97 1 1 1 1 7

1 7 1 6 2 9 181 08 8 3 8 3 8

3 8 8

και

7 1 1 1 1 78 8 3 8 3 8

2 9 6 9 6 28 8 3 8 3 8

2 9 6 9 6 27 1 1 1 1 7

C

48 5 1388 21 5465 3 44

.


Επομένως,

1

48 88 65 48 88 655 21 3 181 181 181

13 54 44( ) 5 21 3 .181 181 181 181

13 54 44181 181 181

Adj AAA

Πράγματι, 1A A

6 2 91 7 13 8 8

48 88 65181 181 181

5 21 3181 181 18113 54 44181 181 181

=

=1 0 00 1 0 .0 0 1

γ) 20 5 515 10 55 0 1

A

.

20 5 515 10 5 05 0 1

A , συνεπώς δεν υπάρχει αντίστροφη μήτρα της μήτρας Α.

δ) 1 2 31 3 41 4 3

A

1 2 33 4 1 4 1 3

1 3 4 2 3 2 04 3 1 3 1 4

1 4 3

3 4 1 4 1 34 3 1 3 1 4

7 1 12 3 1 3 1 2

6 0 2 .4 3 1 3 1 4

1 1 12 3 1 3 1 23 4 1 4 1 3

C

Επομένως,


1

7 6 1 7 131 0 1 2 21 2 1( ) 1 10 .

2 2 21 112 2

Adj AAA

Πράγματι,

1A A

7 132 21 2 3 1 0 01 11 3 4 0 0 1 0 .2 2

1 4 3 0 0 11 112 2

1 0 0 10 1 0 0

)0 0 0 11 0 1 0

1 0 0 11 0 0

0 1 0 0 0 10 0 1 1 0

0 0 0 1 1 00 1 0

1 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 00 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 00 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 00 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

C

=

1 0 1 00 1 0 01 0 1 10 0 1 0

. Επομένως,


1

1 0 1 00 1 0 0

1 0 1 01 0 1 10 1 0 00 0 1 0( ) .1 0 1 110 0 1 0

Adj AAA

Πράγματι, 1A A

1 0 0 1 1 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 0 0 1 1 0 1 11 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 00 1 0 0

.0 0 1 00 0 0 1

15. Αποδείξτε ότι 1 1 1( ) και επαληθεύστε τη σχέση αυτή για

2 43 5

A

και 4 33 1

B

.

Λύση

1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )A B = 1 , που σημαίνει ότι το 1 1B A είναι αντίστροφο του ( ) , είναι δηλαδή ίσο με το 1( ) .A B

2 4 4 3 20 10( )

3 5 3 1 27 14

και

1

14 114 101 10( ) .27 20 2710 2

10

1

1 31 31 5 53 4 3 45

5 5

1

5 25 41 2 .3 2 32 1

2

Έτσι,

1 1 1

1 3 145 125 5 102 ) .3 4 3 271 25 5 2 10


16. Αν 2 1 21 2 11 1 2

A

και 3 2 14 3 21 5 0

C

, να υπολογιστεί το

γινόμενο A B δοθέντος ότι 2A B C . Λύση

2 1 2 1 1 .A B C A A B A C AB A C Αλλά,

1

1

2 1 2 3 1 111 2 1 0 2 1

2 1 21 1 2 3 0 3

1 2 11 1 2

A

3 0 31 1 2 03

1 1 3

1 0 11 2 0 .3 31 1 13 3

Επομένως,

1

1 0 1 2 3 13 2 11 2 5 8 50 4 3 2 .3 3 3 3 3

1 5 01 1 4 10 113 3 3 3 3

A B A C

17. Αν 3 24 2

A

και

5 42 3

C

, ποια είναι η μήτρα Β ώστε να είναι: α)

A B C και β) B A C ; Λύση

α) A B C . Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας αυτής επί 1 έχουμε 1 1 1 .A A B A C B A C Αλλά,

11 12 2 2 21 1 .33 2 4 3 4 32 2

24 2

A

Έτσι,

11 1 7 15 4

.3 72 32 132 2

C

Κατ’ ανάλογο τρόπο, .B A C Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας αυτής επί 1 έχουμε

1 1 1.B A A C A B C A ΄Ετσι,


11 1 13 115 4

.3 52 3 2 42 2

B C A

18. Να επιλυθούν, με τη χρήση αντίστροφης μήτρας, τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων:

α) 2 3 574 37x yx y

, β) 2

2 3 13 5 4

x y zx y zx y z

, γ) 2 3 0

3 3 52 2 1

x y zx y zx y z

,

δ) 5 2 3 362 3 104 4 5 31

x y zx y zx y z

, ε) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 3 13 4 04 3 1

x x xx x xx x x

Λύση

α) 2 3 57 2 3 574 37 4 1 37x y xx y y

.

(i).2 3

2 12 144 1

(ii). 1 43 2

C

(iiii). 1 3

( )4 2

Adj A C΄

(iv). 1

1 31 3( ) 1 14 144 2 4 214

14 14

Adj A

(Πράγματι, 1

1 32 3 1 014 14

4 2 4 1 0 114 14

A

)

Έτσι,

(v).

1 357 1214 14

4 2 37 1114 14

x xy y

.

β) 2 1 1 1 2

2 3 1 1 2 3 13 5 4 3 1 5 4

x y z xx y z yx y z z


(i). 1 1 1

2 3 1 3 1 21 2 3 4

1 5 3 5 3 13 1 5

(ii).C

2 3 1 3 1 21 5 3 5 3 1

13 14 51 1 1 1 1 1

6 8 21 5 3 5 3 1

1 2 11 1 1 1 1 12 3 1 3 1 2

(iii).13 6 1

( ) 14 8 25 2 1

Adj A C΄

(iv). 1

13 6 14 4 413 6 1

( ) 1 14 214 8 2 2 .4 4 4

5 2 1 5 2 14 4 4

Adj A

(Πράγματι, 1

13 6 14 4 4 1 1 1 1 0 0

14 22 1 2 3 0 1 04 4

3 1 5 0 0 15 2 14 4 4

A

).

Έτσι,

(v).

13 6 14 4 4 2 4

14 22 1 3 .4 4

4 15 2 14 4 4

x xy yz z

γ) 2 3 0 1 2 3 0

3 3 5 3 3 1 52 2 1 1 2 2 1


(i). 1 2 3

3 1 3 1 3 33 3 1 2 3 17

2 2 1 2 1 21 2 2


(ii).C

3 1 3 1 3 32 2 1 2 1 2

4 7 92 3 1 3 1 2

2 5 42 2 1 2 1 2

7 8 32 3 1 3 1 23 1 3 1 3 3

(iii). 4 2 7

( ) 7 5 89 4 3

Adj A C΄

(iv). 1

4 2 717 17 174 2 7

( ) 1 7 5 87 5 817 17 17 17

9 4 3 9 4 317 17 17

Adj A

Πράγματι, είναι

( 1

4 2 717 17 17 1 1 3 1 0 07 5 8 3 3 1 0 1 0

17 17 171 2 2 0 0 19 4 3

17 17 17

A

)

Έτσι,

(v).

4 2 717 17 17 0 17 5 8 5 1 .

17 17 171 19 4 3

17 17 17

x xy yz z

δ) 5 2 3 36 5 2 3 362 3 10 2 3 1 104 4 5 31 4 4 5 31


(i). 5 2 3

3 1 2 1 2 32 3 1 5 2 3 33

4 5 4 5 4 44 4 5


(ii).C

3 1 2 1 2 34 5 4 5 4 4

11 14 202 3 5 3 5 2

22 13 284 5 4 5 4 4

11 11 112 3 5 3 5 23 1 2 1 2 3

(iii). 11 22 11

( ) 14 13 1120 28 11

Adj A C΄

(iv). 1

1 2 13 3 311 22 11

( ) 1 14 13 114 13 1133 33 33 3

20 28 11 20 28 133 33 3

Adj A

(Πράγματι,

1

1 2 13 3 3 5 2 3 1 0 0

14 13 1 2 3 1 0 1 033 33 3

4 4 5 0 0 120 28 133 33 3

A

Έτσι,

(v).

1 2 13 3 3 36 5

14 13 1 10 1 .33 33 3

31 320 28 133 33 3

x xy yz z

ε) 1 2 3 1

1 2 3 2

31 2 3

3 3 1 1 3 3 13 4 0 1 3 4 0

1 4 3 14 3 1

x x x xx x x x

xx x x

(i). 1 3 3

3 4 3 3 3 31 3 4 1

4 3 4 3 3 41 4 3


(ii). C

3 4 1 4 1 34 3 1 3 1 4

7 1 13 3 1 3 1 3

3 0 14 3 1 3 1 4

3 1 03 3 1 3 1 33 4 1 4 1 3

(iii). 7 3 3

( ) 1 0 11 1 0

Adj A C΄

(iv). 1

7 3 3 7 3 3( ) 1 1 0 1 1 0 1

11 1 0 1 1 0

Adj A

Πράγματι, είναι

1

7 3 3 1 3 3 1 0 01 0 1 1 3 4 0 1 01 1 0 1 4 3 0 0 1

A

Έτσι,

(v). 1 1

2 2

3 3

7 3 3 1 41 0 1 0 0 .1 1 0 1 1

x xx xx x

19. Αν οι συναρτήσεις αποταμίευσης και επένδυσης είναι, αντίστοιχα, S=0,4Y-50 και I=500 (όπου Y=εθνικό εισόδημα) και η ισορροπία επέρχεται όταν S=I, να υπολογιστεί, με τη χρήση της αντίστροφης μήτρας, το επίπεδο ισορροπίας του εισοδήματος. Λύση

0, 4 50 0,4 50500 500

S Y S YI I

Επειδή η ισορροπία θα επέρχεται ότνα είναι S=I, θα είναι: 0, 4 50 1 0, 4 50

.0 500 1 0 500

S Y SS Y Y

Έτσι, επιλύοντας το σύστημα αυτό με

τη χρήση αντίστροφής μήτρας, έχουμε:

(i). 1 0, 4

0,41 0

(ii). 0 1

0,4 1C

(iii). 0 0, 4

( )1 1

Adj A C΄


(iv). 1 0 0, 4 0 1( ) 11 1 2,5 2,50, 4

AdjA

(Πράγματι, είναι 1 0 1 1 0, 4 1 02,5 2,5 1 0 0 1

A A

)

Έτσι,

(v). 0 1 50 500

2,5 2,5 500 1375S SY Y

, δηλαδή το επίπεδο ισορροπίας του

εισοδήματος είναι 1375 χρηματικές μονάδες. 20. Οι τιμές ανά μονάδα των αγαθών Α και Β είναι p1 και p2 αντίστοιχα. Εάν η ζήτηση των αγαθών αυτών δίνεται από τις εξισώσεις 1 1 25 6 5Dq p p και

2 1 28 13 7Dq p p και η προσφερόμενη ποσότητα, αντίστοιχα, από τις εξισώσεις

1 1 26 4 2Sq p p και 2 1 217 10 9Sq p p , να υπολογιστεί το ζεύγος των τιμών p1

και p2 που εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά και των δύο αγαθών. Να επιλυθεί με τη χρησιμοποίηση μητρών. Λύση

Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα είναι 1 1D Sq q και

2 2 ,D Sq q δηλαδή

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

5 6 5 6 4 2 10 7 18 13 7 17 10 9 23 16 9

p p p p p pp p p p p p

1

2

10 7 123 16 9

pp

. Έτσι, επιλύοντας το σύστημα αυτό με τη χρήση

αντίστροφης μήτρας, έχουμε:

(i). 10 7

123 16

A

(ii). 16 23

7 10C

(iii). 16 7

( )23 10

Adj A C΄

(iv). 1 16 7( )23 10

Adj AAA

(Πράγματι, είναι 1 16 7 10 7 1 023 10 23 16 0 1

A A

)

Έτσι,

1 1

2 2

16 7 1 7923 10 9 113

p pp p

είναι οι τιμές που εξισώνουν τη ζήτηση

και την προσφορά των αγαθών Α και Β.


21. Αν η αυτόνομη κατανάλωση ανέρχεται σε 10 χρηματικές μονάδες, η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι 0,9 και το ύψος της αυτόνομης δαπάνης επένδυσης 300 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν, με τη χρησιμοποίηση μητρών, το επίπεδο ισορροπίας του εθνικού εισοδήματος και η συνολική δαπάνη κατανάλωσης. Λύση

Οι σχέσεις που συνδέουν, υπό τη μορφή εξισώσεων, τα παραπάνω οικονομικά μεγέθη είναι

10 0,9 0,9 10 1 0,9 10300 300 1 1 300

C Y C Y CY C C Y Y

.

Έτσι, επιλύοντας το σύστημα αυτό με τη χρήση αντίστροφης μήτρας, έχουμε:

(i). 1 0,9

0,11 1

A

(ii). 1 1

0,9 1C

(iii). 1 0,9

( )1 1

Adj A C΄

(iv). 1 1 0,9 10 9( ) 11 1 10 100,1

Adj AAA

(Πράγματι, είναι 1 10 9 1 0,9 1 010 10 1 1 0 1

A A

)

Έτσι, 10 9 10 280010 10 300 3100

C CY Y

.

22. Αν οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς δύο αγαθών Α και Β είναι, για το αγαθό Α οι 1 25 6 5Dq p p και 1 26 4 2S

Aq p p και για το αγαθό Β οι 1 28 13 7DBq p p

και 1 217 10 9SBq p p και επιβληθεί φόρος t=0,5 χρηματικών μονάδων ανά

μονάδα του προσφερόμενου αγαθού A και t=0,2 ανά μονάδα του προσφερόμενου αγαθού Β, να υπολογιστούν η τιμή και η ποσότητα των αγαθών σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος πριν από και μετά την επιβολή του φόρου. Η επίλυση να γίνει με τη χρησιμοποίηση μητρών. Λύση

Πριν από την επιβολή του φόρου

Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε ,D Sq q

δηλαδή 1 2 1 2 1 25 6 5 6 4 2 10 7 1p p p p p p 2 2 ,D Sq q


δηλαδή 1 2 1 2 1 28 13 7 17 10 9 23 16 9p p p p p p . Οι τιμές p1 και p2 οι

οποίες εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών Α και Β, πριν από την επιβολή του φόρου, προκύπτουν ως λύσεις του συστήματος των εξισώσεων

1 2

1 2

10 7 123 16 9p pp p

1

2

10 7 123 16 9

pp

. Η επίλυση του συστήματος έχει ως:

(i). 10 7

123 16

A

(ii). 16 23

7 10C

(iii). 16 7

( )23 10

Adj A C΄

(iv). 1 16 7 16 7( ) 123 10 23 101

Adj AAA

(Πράγματι, είναι 1 16 7 10 7 1 023 10 23 16 0 1

A A

)

5. 1 1

2 2

16 7 1 7923 10 9 113

p pp p

. Για τις τιμές 1 79p και

2 113p χρηματικές μονάδες, η ζητούμενη ποσότητα των αγαθών Α και Β

αντιστοίχως, είναι 96D Sq q και 244D Sq q μονάδες.

Μετά την επιβολή του φόρου.

Με την επιβολή του φόρου t1=0,5 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Α και t2=0,2 ανά μονάδα προσφερόμενου αγαθού Β, τα συστήματα εξισώσεων ζήτησης και προσφοράς για τα δύο αγαθά γίνονται:

1 2

1 2

5 6 5

6 4( 0,5) 2( 0, 2)

DASA

q p pq p p

και 1 2

1 2

8 13 7

17 10( 0,5) 9( 0,2).

D

S

q p pq p p

Στην κατάσταση ισορροπίας των δύο συστημάτων θα έχουμε ,D Sq q δηλαδή

1 2 1 25 6 5 6 4( 0,5) 2( 0, 2)p p p p

1 2 1 25 6 5 6 4 2 2 0,4p p p p 1 210 7 0,6p p και ,D Sq q δηλαδή

1 2 1 28 13 7 17 10( 0,5) 9( 0, 2)p p p p

1 2 1 1 1 28 13 7 17 10 5 9 1,8 23 16 12, 2.p p p p p p Οι τιμές p1 και p2 οι

οποίες εξισώνουν τη ζήτηση και την προσφορά των αγαθών Α και Β προκύπτουν ως λύσεις του συστήματος των εξισώσεων

1 2 1

21 2

10 7 0,6 10 7 0,623 16 12, 2 23 16 12, 2p p p

pp p

. Η επίλυση του συστήματος έχει

ως:

(i). 10 7

123 16

A


(ii). 16 23

7 10C

(iii). 16 7

( )23 10

Adj A C΄

(iv). 1 16 7 16 7( ) 123 10 23 101

Adj AAA

(Πράγματι, είναι 1 16 7 10 7 1 023 10 23 16 0 1

A A

)

Έτσι,

(v). 1 1

2 2

16 7 0,6 75,823 10 12, 2 108,2

p pp p

. Για τις τιμές 1 75,8p και

2 108,2p χρηματικές μονάδες, η ζητούμενη ποσότητα των αγαθών Α και Β

αντιστοίχως, είναι 91, 2D Sq q και 236D Sq q μονάδες.

23. Να γραφούν ως τετραγωνικές μορφές διανύσματος οι αλγεβρικές παραστάσεις: α) 2 2

1 1 2 23x x x x

β) 2 2 21 1 2 2 1 3 3 2 33 5 4 6x x x x x x x x x

γ) 2 2 21 1 2 2 34x x x x x

Λύση

α) Το διάνυσμα σειρά θα είναι 1 2x x επειδή οι άγνωστοι είναι οι x1 και x2.

Έστω ότι η συμμετρική άγνωστη μήτρα είναι η a

Z

, διαστάσεων 2Χ2

(καθόσον το διάνυσμα Χ είναι διαστάσεων 1Χ2). Επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό της τετραγωνικής μήτρας, θα έχουμε:

1 1 21 2 1 2

2 1 2

x x xx x x x

x x x

= 2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2 22 .ax x x x x x ax x x x Επειδή θέλουμε η παράσταση αυτή

να είναι ίση με τη δοθείσα 2 21 1 2 23x x x x , θα πρέπει να έχουν τους ομοιοβάθμιους

όρους τους ίσους, δηλαδή α=1, 12

και γ=3, δηλαδή να είναι

112 , ,

1 32

az ώ

η ζητούμενη τετραγωνική μοφή του διανύσματος να είναι η


11 2

2

112 .

1 32

xx x

x

β) Το διάνυσμα σειρά θα είναι 1 2 3x x x επειδή οι άγνωστοι είναι οι x1, x2 και

x3. Έστω ότι η συμμετρική άγνωστη μήτρα είναι η

a



1

1 2 3 2

3

a xx x x x

x

= 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

ax x xx x x x x x

x x x

= 2 2 21 1 2 1 3 1 2 2 2 3 1 3 2 3 3ax x x x x x x x x x x x x x x

= 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2 .x x x x x x x x x Επειδή θέλουμε η παράσταση αυτή να

είναι ίση με τη δοθείσα 2 2 21 1 2 2 1 3 33 5 4 6x x x x x x x 2 3x x ,

θα πρέπει να έχουν τους ομοιοβάθμιους όρους τους ίσους, δηλαδή α=3, δ=4, ζ= -1, β= 52

,

γ=3 και 1 ,2

δηλαδή να είναι

53 32

5 142 2

13 12

az

και, συνεπώς, η ζητούμενη τετραγωνική μορφή

του διανύσματος να είναι η

1

1 2 3 2

3

53 32

5 14 .2 2

13 12

xx x x x

x


γ) Το διάνυσμα σειρά θα είναι 1 2 3x x x επειδή οι άγνωστοι είναι οι x1, x2 και

x3. Έστω ότι η συμμετρική άγνωστη μήτρα είναι η

a



1

1 2 3 2

3

a xx x x x

x

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

x x xx x x x x x

x x x

2 2 21 1 2 1 3 1 2 2 2 3 1 3 2 3 3ax x x x x x x x x x x x x x x

= 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2 .x x x x x x x x x Επειδή θέλουμε η παράσταση αυτή να

είναι ίση με τη δοθείσα 2 2 21 1 2 2 34x x x x x , θα πρέπει να έχουν τους ομοιοβάθμιους

όρους τους ίσους, δηλαδή α=4, β= 12

, γ=0, δ= -1, 0 και ζ= -1, δηλαδή να είναι

14 02

1 1 020 0 1

az

και, συνεπώς, η ζητούμενη τετραγωνική μορφή του

διανύσματος να είναι η

1

1 2 3 2

3

14 02

1 1 0 .20 0 1

xx x x x

x

24. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα γινόμενα κατά Kronecker:

α) 3 2 5 44 2 2 3

, β) 2 0 3

2 5 33 1 2

3 1 42 1 0

,

γ) 2 5

1 3 53 4

2 4 00 1

, δ)

21

1 3 2 530


Λύση

α)

5 4 5 43 2

2 3 2 33 2 5 44 2 2 3 5 4 5 4

4 22 3 2 3

A B

=

15 12 10 86 9 4 6

20 16 10 88 12 4 6

β) 2 0 3

2 5 33 1 2

3 1 42 1 0

A B

=

2 5 3 2 5 3 2 5 32 0 3

3 1 4 3 1 4 3 1 4

2 5 3 2 5 3 2 5 33 2

3 1 4 3 1 4 3 1 4

2 5 3 2 5 3 2 5 32 0

3 1 4 3 1 4 3 1 4

=

4 10 6 0 0 0 6 15 96 2 8 0 0 0 9 3 126 15 9 2 5 3 4 10 69 3 12 3 1 4 6 2 84 10 6 2 5 3 0 0 06 2 8 3 1 4 0 0 0

.

γ)

2 5 2 5 2 53 4 3 3 4 5 3 4

2 50 1 0 1 0 11 3 5

3 42 4 0 2 5 2 5 2 50 1

2 3 4 4 3 4 0 3 40 1 0 1 0 1

A B


=

2 5 6 15 10 253 4 9 12 15 200 1 0 3 0 54 10 8 20 0 06 8 12 16 0 00 2 0 4 0 0

δ)

2 2 2 2 21 1 1 1 1

1 3 2 5 3 2 53 3 3 3 30 0 0 0 0

=

2 6 4 101 3 2 5

.3 9 6 150 0 0 0

25. Δίνονται οι μήτρες 1 23 4

A

και 0 7 01 2 32 4 1

B

. Χρησιμοποιώντας τις δύο

αυτές μήτρες, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( )tr A B tr A tr B .

Λύση

0 7 0 0 7 01 2 3 2 1 2 3

0 7 02 4 1 2 4 11 2

1 2 33 4 0 7 0 0 7 02 4 1

3 1 2 3 4 1 2 32 4 1 2 4 1

A B

=

0 7 0 0 14 01 2 3 2 4 62 4 1 4 8 20 21 0 0 28 03 6 9 4 8 126 12 3 8 16 4

. Επομένως,

( ) 0 2 1 0 8 4 15.tr A B

Αλλά ( ) 1 4 5tr A και ( ) 2 1 3tr B . Πράγματι, ισχύει ότι

( ) ( ) ( ) 15.tr A B tr A tr B


26. Δίνεται η μήτρα

2 3 51 2 03 4 21 0 30 3 1

A

. Δαχωρίζοντας αυτην σε δύο υπομήτρες

1

2

AA

A

όπου 1

2 3 51 2 03 4 2

A

και 2

1 0 30 3 1

A

, να υπολογιστούν τα γινόμενα

α) A΄ A και β) A A΄ , χρησιμοποιώντας μόνο τις υπομήτρες Α1 και Α2 .

Λύση

α) 11 2 1 1 2 2

2

΄ ΄ ΄ ΄΄

=2 1 3 2 3 5 1 0

1 0 33 2 4 1 2 0 0 3

0 3 15 0 2 3 4 2 3 1

= 14 20 16 1 0 3 15 20 1920 29 23 0 9 3 20 38 2616 23 29 3 3 10 19 26 39

β) 1 1 1 1 21 2

2 2 1 2 2

΄ ΄΄ ΄

΄ ΄΄

. Αλλά,

1 1

2 3 5 2 1 3 38 8 281 2 0 3 2 4 8 5 113 4 2 5 0 2 28 11 29

΄

1 2

2 3 5 1 0 17 141 2 0 0 3 1 63 4 2 3 1 9 14

΄

2 1

2 1 31 0 3 17 1 9

3 2 40 3 1 14 6 14

5 0 2

΄

και

2 2

1 01 0 3 10 3

0 30 3 1 3 10

3 1

΄

. Έτσι,


1 1 1 2

2 1 2 2

38 8 28 17 148 5 11 1 6

.28 11 29 9 1417 1 9 10 314 6 14 3 10

΄ ΄΄

΄ ΄

27. Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα χαρακτηριστικά διανύσματα (στην

κανονική τους μορφή) των μητρών α) 9 33 1

A

, β) 4 22 1

B

και γ)

3 0 41 1 21 2 2

C

και να γράψετε τις μήτρες σύμφωνα με την παραγοντοποίηση

τετραγωνικής μορφής. Λύση

α) 9 3

.3 1

Έτσι,

9 3

0 (9 )(1 ) 9 03 1

2 29 9 9 0 10 0 ( 10) 0

1 210 0 . Επομένως, 10 0

0 0

. Άρα,

11 12 11 12

21 22 21 22

9 3 10 03 1 0 0

v v v vV V

v v v v

11 21 12 22 11

11 21 12 22 21

9 3 9 3 10 03 3 10 0v v v v vv v v v v

. Έτσι,

11 21 11 21 11 21 1119 3 10 33

v v v v v v v

12 22 12 22 12 2213 0 33

v v v v v v . Για να αποκτήσουμε κάποια λύση,

θέτοντας 11 22 1v v . Έτσι προκύπτει ότι 11 1,v 12 21 221 1, 13 3

v v v και η

ενιαία μήτρα θα είναι η

113

1 13

V

η οποία πράγματι επαληθεύει τη σχέση

,C V V


αφού

1 10 019 3 3103 1 1 01 33

C V

και

1 10 01 10 03 .101 0 0 01 33

V

Επειδή δε

1 1

11 101 13 9

3

΄V V

110|| ||3

V , θα είναι

11 3

3 110 1010 103 3 .

1 1 313 10 10

10 103 3

V

β) 4 2

.2 1

C C

Έτσι,

4 20 (4 )(1 ) 4 0

2 1C

2 24 4 4 0 5 0 ( 5) 0

1 25 0 . Επομένως, 5 00 0

. Άρα,

11 12 11 12

21 22 21 22

4 2 5 02 1 0 0

v v v vC V V

v v v v

11 21 12 22 11

11 21 12 22 21

4 2 4 2 5 02 2 5 0v v v v vv v v v v

. Έτσι,

11 21 11 21 11 21 1114 2 5 22

v v v v v v v

12 22 12 22 12 2212 0 22

v v v v v v . Για να αποκτήσουμε κάποια λύση,

θέτοντας 11 22 1v v , θα έχουμε την ενιαία μήτρα

112

1 12

V

η οποία πράγματι

επαληθεύει τη σχέση C V V , αφού

1 5 014 2 252 1 1 01 22

και


11 5 021 0 012

5 05 02

.

Επειδή δε 1 1

11 51 12 4

2

΄V V

15|| ||

2V , θα είναι

11 2

2 15 55 52 2 .

1 1 212 5 5

5 52 2

V

28. Να γίνει παραγοντοποίηση κατά Cholesky των ακόλουθων μητρών:

α) 2 1 11 2 11 1 2

A

, β) 4 2 62 10 96 9 26

A

,

γ) 1 2 12 5 11 1 10

A

, δ) 4 2 62 10 96 9 14

A

,

ε) 25 15 515 18 0

5 0 11A

.

Λύση

α) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που

11

21 22

31 32 33

0 00

lL l l

l l l

, σύμφωνα με τη σχέση L L΄ θα έχουμε:

11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0 2 1 10 0 1 2 1

0 0 1 1 2

l l l lL L΄ l l l l

l l l l

211 11 21 11 31

2 211 21 21 22 21 31 22 32

2 2 211 31 21 31 22 32 31 32 33

2 1 11 2 11 1 2

l l l l ll l l l l l l ll l l l l l l l l

, οπότε


211 2l , 11 21 1l l , 11 31 1l l , 2 2

21 22 2l l , 21 31 22 33 1l l l l και 2 2 231 32 33 2l l l . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους, τις θετικές

ρίζες των εξισώσεων, έχουμε 11 2l , 2112

l , 3112

l , 2232

l , 3216

l και

3323

l . Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L βρίσκουμε

2 0 0

1 3 02 2

1 1 22 6 3

,

η οποία, πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση

,L L΄ γιατί

1 122 0 0 2 2

2 1 11 3 3 10 0 1 2 1 .2 2 2 6

1 1 21 1 2 20 02 6 3 3

β) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που

11

21 22

31 32 33

0 00

lL l l

l l l


11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0 4 2 60 0 2 10 9

0 0 6 9 26


l l l l

211 11 21 11 31

2 211 21 21 22 21 31 22 32

2 2 211 31 21 31 22 32 31 32 33

4 2 62 10 96 9 26


, οπότε

211 4l , 11 21 2l l , 11 31 6l l , 2 2


ρίζες των εξισώσεων, έχουμε 11 2l , 21 1l , 31 3l , 22 3l , 32 4l και 33 1l .

Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L βρίσκουμε 2 0 01 3 03 4 1

, η οποία,

πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση ,L L΄ γιατί 2 0 0 2 1 3 4 2 61 3 0 0 3 4 2 10 9 .3 4 1 0 0 1 6 9 26


γ) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που

11

21 22

31 32 33

0 00

lL l l

l l l


11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0 1 2 10 0 2 5 1

0 0 1 1 10


l l l l

211 11 21 11 31

2 211 21 21 22 21 31 22 32

2 2 211 31 21 31 22 32 31 32 33

1 2 12 5 11 1 10


, οπότε

211 1l , 11 21 2l l , 11 31 1l l , 2 2




, η οποία,


δ) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που

11

21 22

31 32 33

0 00

lL l l

l l l


11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0 4 2 60 0 2 10 9

0 0 6 9 14


l l l l

211 11 21 11 31

2 211 21 21 22 21 31 22 32

2 2 211 31 21 31 22 32 31 32 33

4 2 62 10 96 9 14


, οπότε

211 4l , 11 21 2l l , 11 31 6l l , 2 2





, η οποία,


ε) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που

11

21 22

31 32 33

0 00

lL l l

l l l


11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0 4 2 60 0 2 10 9

0 0 6 9 14


l l l l

211 11 21 11 31

2 211 21 21 22 21 31 22 32

2 2 211 31 21 31 22 32 31 32 33

4 2 62 10 96 9 14


, οπότε

211 4l , 11 21 2l l , 11 31 6l l , 2 2


ρίζες των εξισώσεων, έχουμε 11 2l , 21 1l ,

31 3l , 22 3l , 32 2l και 33 1l . Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L

βρίσκουμε 2 0 01 3 03 2 1

, η οποία, πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση ,L L΄ γιατί

2 0 0 2 1 3 4 2 61 3 0 0 3 2 2 10 9 .3 2 1 0 0 1 6 9 14

δ) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που

11

21 22

31 32 33

0 00

lL l l

l l l


11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0 4 2 60 0 2 10 9

0 0 6 9 14


l l l l

211 11 21 11 31

2 211 21 21 22 21 31 22 32

2 2 211 31 21 31 22 32 31 32 33

4 2 62 10 96 9 14


, οπότε


211 4l , 11 21 2l l , 11 31 6l l , 2 2


ρίζες των εξισώσεων, έχουμε 11 2l , 21 1l ,

31 3l , 22 3l , 32 2l και 33 1l . Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στη μήτρα L

βρίσκουμε 2 0 01 3 03 2 1

, η οποία, πράγματι, ικανοποιεί τη σχέση ,L L΄ γιατί

2 0 0 2 1 3 4 2 61 3 0 0 3 2 2 10 9 .3 2 1 0 0 1 6 9 14

ε) Αν L είναι μια κάτω τριγωνική και θετικά ορισμένη μήτρα L, έτσι που

11

21 22

31 32 33

0 00

lL l l

l l l


11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0 25 15 50 0 15 18 0

0 0 5 0 11


l l l l

211 11 21 11 31

2 211 21 21 22 21 31 22 32

2 2 211 31 21 31 22 32 31 32 33

25 15 515 18 0

5 0 11


, οπότε

211 25l , 11 21 15l l , 11 31 5l l , 2 2

21 22 18l l , 21 31 22 32 0l l l l και 2 2 231 32 33 11l l l . Χρησιμοποιώντας, για απλουστευτικούς μόνο λόγους τις θετικές

ρίζες των εξισώσεων, έχουμε 11 5l , 21 3l , 31 1,l 22 3l , 32 1l και 33 3l .


, η οποία,



ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓΔΟΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 1. Ποιας τάξης είναι οι ακόλουθες εξισώσεις διαφορών και ποιος ο αριθμός των αρχικών συνθηκών που απαιτείται, σε κάθε περίπτωση, για τη συμπλήρωση δυναμικού συστήματος εξισώσεων: α) 40183 21 ttt yyy , β) 904 2 tt yy ,

γ) 5338 31 ttt yyy , δ) 31 tt yy , ε) 18 tt yy ,

στ) 533165 321 tttt yyyy , ζ) 4209 21 ttt yyy , η) 32 52 ttt yyy .

Λύση

α) 1 23 18 40t t ty y y (δεύτερης τάξης)

β) 24 90t ty y (δεύτερης τάξης)

γ) 1 38 33 5t t ty y y (τρίτης τάξης)

δ) 1 3t ty y (πρώτης τάξης)

ε) 18t ty y (πρώτης τάξης)

στ) 1 2 35 16 33 5t t t ty y y y (τρίτης τάξης)

ζ) 1 29 20 4t t ty y y (δεύτερης τάξης)

η) 2 52 3t t ty y y (πέμπτης τάξης)

Ο αριθμός των αρχικών συνθηκών που απαιτείται για τη συμπλήρωση καθεμιάς των εξισώσεων διαφορών είναι ο ίδιος με το βαθμό της τάξης της αντίστοιχης εξίσωσης. 2. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να υπολογιστούν διαδοχικά οι τιμές του y στις πέντε πρώτες περιόδους: α) 52 1 tt yy (y0=2), β) 13 tt yy (y0=4),

γ) 213 ttt yyy (y0=2, y1=3), δ) 321 1575 tttt yyyy (y0=1, y1=6, y2=15), ε)

31 43 ttt yyy (y0=3, y1=5, y2=8).

Λύση

α) 1 02 5 ( 2).t ty y y ΄Ετσι,

1 1 1 1 0 12 5 2 5 2 2 5 9y y y y y

2 2 1 2 1 22 5 2 5 2 9 5 23y y y y y

3 3 1 3 2 32 5 2 5 2 23 5 51y y y y y

4 4 1 4 3 42 5 2 5 2 51 5 107y y y y y

5 5 1 5 4 52 5 2 5 2 107 5 219y y y y y


β) 1 03 ( 4).t ty y y ΄Ετσι,

1 1 1 1 0 13 3 3 4 12y y y y y

2 2 1 2 1 23 3 3 12 36y y y y y

3 3 1 3 2 33 3 3 36 108y y y y y

4 4 1 4 3 43 3 3 108 324y y y y y

5 5 1 5 4 53 3 3 324 5 972y y y y y

γ) 1 2 0 13 ( 2, 3).t t ty y y y y ΄Ετσι,

2 2 1 2 2 2 1 0 23 3 3 3 2 7y y y y y y y

3 3 1 3 2 3 2 1 33 3 3 7 3 18y y y y y y y

4 4 1 4 2 4 3 2 43 3 3 18 7 47y y y y y y y

5 5 1 5 2 5 4 3 53 3 3 47 18 123y y y y y y y

6 6 1 6 2 6 5 4 63 3 3 123 47 322y y y y y y y

δ) 1 2 0 1 23 ( 1, 6, 15).t t ty y y y y y ΄Ετσι,

3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 05 7 15 5 7 15y y y y y y y y 3 5 15 7 6 15 1 102y

4 4 1 4 2 4 3 4 3 2 15 7 15 5 7 15y y y y y y y y 4 5 102 7 15 15 6 525y

5 5 1 5 2 5 3 5 4 3 25 7 15 5 7 15y y y y y y y y 5 5 525 7 102 15 15 3114y

6 6 1 6 2 6 3 6 5 4 35 7 15 5 7 15y y y y y y y 6 5 3114 7 525 15 102 17715y

7 7 1 7 2 7 3 7 6 5 45 7 15 5 7 15y y y y y y y 7 5 17715 7 3314 15 525 102498y

ε) 1 3 0 1 23 4 ( 3, 5, 8).t t ty y y y y y Έτσι,

3 3 1 3 3 3 2 03 4 3 4y y y y y y 3 3 8 4 3 12y

4 4 1 4 3 4 3 13 4 3 4y y y y y y 4 3 12 4 5 16y

5 5 1 5 3 5 4 23 4 3 4y y y y y y 5 3 16 4 8 16y

6 6 1 6 3 6 5 33 4 3 4y y y y y y 6 3 16 4 12 0y

7 7 1 7 3 7 6 43 4 3 4y y y y y 7 3 0 4 16 64y

3. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν οι ομογενείς εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης και να περιγραφεί η χρονική διαδρομή της μεταβλητής y με τη χρησιμοποίηση του αντίστοιχου σχήματος: α) 12 tt yy (y0 =5), β) 15 tt yy (y0= -2), γ) 16 tt yy (y0=3),


δ) 12,0 tt yy (y0 = 10), ε) 12,0 tt yy (y0 =-15), στ) 15,2 tt yy , (y0= -20), ζ)

1 tt yy (y0=12), η) 1 tt yy (y0= -10), θ) 1 tt yy (y0=4), ι) 19,0 tt yy (y0= -3),

ια) 12,0 tt yy (y0=20),

ιβ) 1 tt yy (y0= -9).

Λύση

Με την εφαρμοφή του γενικού τύπου λύσης ομογενούς εξίσωσης διαφορών πρώτης τάξης, 0

tty b C , έχουμε:

α) 5 ( 2)tty (ταλάντωση του ty διευρυνόμενη συνεχώς, επειδή 0 0C και b< -1,

σχήμα (α)) β) ( 2) 5tty (τιμή του ty αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, αρνητική, επειδή 0 0C

και b>1, σχήμα (β)) γ) 3 6 t

ty (τιμή του ty αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, θετική, επειδή 0 0C και

b>1, σχήμα (γ)) δ) 10 0, 2 t

ty (τιμή του ty ελαττούμενη με ρυθμό αύξοντα, θετική, επειδή

0 0C και 0<b<1, σχήμα (δ))

ε) ( 15)( 0, 2)tty (ταλάντωση του ty συνεχώς συμπτυσσόμενη, επειδή 0 0C και -

1<b< 0, σχήμα (ε)) στ) ( 20)( 2,5)tty (ταλάντωση του ty συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή 0 0C και

b< -1, σχήμα (στ)) ζ) 12 1 12t

ty (τιμή του ty σταθερή, θετική, επειδή 0 0C και b=1, σχήμα (ζ))

η) ( 10) 1 10tty (τιμή του ty σταθερή, αρνητική, επειδή 0 0C και b=1, σχήμα

(η)) θ) 4 ( 1)tty (σταθερή ταλάντωση του ty επειδή 0 0C και b= -1, σχήμα (θ))

ι) ( 3) 0,9 tty (τιμή του ty ελαττούμενη βαθμιαία, αρνητική, επειδή 0 0C και

0<b<1, σχήμα (ι)) ια) 20 ( 0, 2)tty (ταλάντωση του ty συνεχώς συμπτυσσόμενη, επειδή 0 0C και -

1<b<0, σχήμα (ια)) ιβ) ( 9) ( 1)tty (ταλάντωση του ty σταθερή, επειδή 0 0C και <b< -1, σχήμα (ιβ))


4. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν οι μη ομογενείς εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης και να περιγραφεί η χρονική διαδρομή της μεταβλητής y με τη χρησιμοποίηση του αντίστοιχου σχήματος: α) 85 1 tt yy (y0=5), β) 94 1 tt yy y0= -5),

γ) 203 1 tt yy (y0= -8), δ) 58 1 tt yy (y0=2),

ε) 610 1 tt yy (y0=3), στ) 62 1 tt yy (y0 = -3),

ζ) 61 tt yy (y0=2), η) 101 tt yy (y0= -5).


Λύση

Με την εφαρμογή του γενικού τύπου λύσης μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών

πρώτης τάξης, 0(1 )1

tt

tby b C ab

, στις έξι πρώτες εξισώσεις έχουμε:

α) 3 5 2tty (τιμή του ty αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, θετική, επειδή

0 0C και b<1, σχήμα (α ))

β) ( 8) 4 3tty (τιμή του ty αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, αρνητική, επειδή

0 0C και b>1, σχήμα (β))

γ) ( 13) ( 3) 5tty (ταλάντωση του ty συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή 0 0C και

b< -1, σχήμα (γ))

δ) 23 5( 8)9 9

ty (ταλάντωση του ty συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή 0 0C και b< -

1, σχήμα (δ))

ε) 11 2(10)3 3

ty (τιμή του ty αυξανόμενη με ρυθμό αύξοντα, επειδή 0 0C και b>1,

σχήμα (ε))

στ) ( 2) 2ty (ταλάντωση του ty συνεχώς διευρυνόμενη, επειδή 0 0C και b< -1,

σχήμα (στ))

ζ) Η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η 1 .tty x x Η ειδική λύση υπολογίζεται

θέτοντας στην εξίσωση διαφορών ty zt , που γίνεται ( 1) 6zt z t , από την

οποία προκύπτει τιμή z= -6 και, συνεπώς, η ειδική λύση -6t. Επομένως, η γενική λύση είναι 6 .ty x t Η λύση αυτή, για να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 0 2,y πρέπει

να έχει τιμή x=2. Συνεπώς, η πλήρης λύση της εξίσωσης διαφορών είναι η 2 6ty t .

Στη λύση αυτή, η τιμή του ty βαίνει συνεχώς ελαττούμενη και αρνητική (σχήμα ζ)

η) Η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η 1 .tty x x Η ειδική λύση, θέτοντας

( 1) 10 10,ty zt zt z t z γίνεται 10t. Επομένως, η γενική λύση είναι

10 ,ty x t η οποία για να ικανοποιεί την 0 5y πρέπει να έχει τιμή x= -5.

Συνεπώς, η πλήρης λύση της εξίσωσης διαφορών είναι η 5 10 .ty t Στη λύση

αυτή, η τιμή του ty βαίνει συνεχώς αυξανόμενη και θετική (σχήμα η)


5. H επένδυση για ένα δημόσιο έργο σε ορισμένη χρονική περίοδο (t=0) είναι 500 χρηματικές μονάδες. Εάν η οριακή ροπή προς κατανάλωση του εισοδήματος που προκύπτει ως συνέπεια της επένδυσης είναι σταθερή διαχρονικά και ίση με c=0,6 , ποια θα είναι η εξίσωση της δαπάνης κατανάλωσης (C) μετά πάροδο t ετών, όταν η εξίσωση διαφορών είναι η 1t tC cC (όπου 1tC =δαπάνη κατανάλωσης στην περίοδο

t-1). Παραστήστε γραφικά τη διαχρονική πορεία της δαπάνης κατανάλωσης. Λύση

Η λύση της εξίσωσης διαφορών 1t tC c C είναι η 0 .ttC c C Έτσι, για

0 500C I χρηματικές μονάδες επένδυση και οριακή ροπή προς κατανάλωση

c=0,6, η εξίσωση της δαπάνης κατανάλωσης μετά πάροδο t ετών θα είναι 0,6 500.t

tC Η πορεία της δαπάνης κατανάλωσης διαχρονικά είναι φθίνουσα,

όπως δείχνεται στο σχήμα.


6. Αν η επενδυτική επιθυμία στο χρόνο t είναι συνάρτηση του πραγματοποιηθέντος εισοδήματος στα δύο τελευταία έτη, κατά τη σχέση )(4,0 1 ttt YYI και η

αποταμιευτική επιθυμία, στον ίδιο χρόνο, είναι συνάρτηση του εισοδήματος, κατά τη σχέση tt YS 3,06 , ποια είναι η εξίσωση του εισοδήματος των επενδυτών

διαχρονικά, ώστε να επικρατεί ισορροπία στο σύστημα( )tt IS , όταν το εισόδημα

αυτών στο έτος 0 είναι 30 χρηματικές μονάδες; παραστήστε γραφικά τη διαχρονική πορεία του εισοδήματος. Λύση

Για να επικρατεί ισορροπία στο σύστημα πρέπει να είναι ,t tS I δηλαδή

1 1 16 0,3 0, 4( ) 0,1 0,4 6 4 60,t t t t t t tY Y Y Y Y Y Y εξίσωση μη

ομογενής πρώτης τάξης η οποία συνδέει το εισόδημα στην περίοδο t με το εισόδημα στην περίοδο t-1. Με αρχική συνθήκη Y0=30 χρηματικές μονάδες, η λύση της

εξίσωσης διαφορών είναι 0(1 )1

tt

tbY b Yb

= (1 4 )4 30 60 50 4 20.1 4

tt t

Η πορεία του εισοδήματος διαχρονικά είναι

αύξουσα, όπως δείχνεται από τη γραμμή 50 4 20tty στο ακόλουθο σχήμα.

7. Αν η αποταμιευτική επιθυμία κατά το χρόνο t, βασισμένη στην πείρα του πρόσφατου παρελθόντος, είναι συνάρτηση του εισοδήματος της προηγούμενης περιόδου t-1, κατά τη σχέση 15,05 tt YS , δοσμένων των υπόλοιπων συνθηκών

της άσκησης 6, να υπολογιστεί η εξίσωση του εισοδήματος των επενδυτών διαχρονικά και να παρασταθεί αυτή γραφικά.


Λύση

Για να επικρατεί ισορροπία στο σύστημα πρέπει να είναι ,t tS I δηλαδή

1 1 15 0,5 0,4( ) 0, 4 0,9 5t t t t tY Y Y Y Y και, τελικά, 12, 25 12,5,t tY Y

εξίσωση μη ομογενούς πρώτης τάξης η οποία συνδέει το εισόδημα στην περίοδο t με το εισόδημα στην περίοδο t-1. Με αρχική συνθήκη Y0=30 χρηματικές μονάδες, η λύση της εξίσωσης διαφορών είναι

0(1 ) (1 2,25 )2, 25 30 12,51 1 2,25

t tt t

tbY b Yb

και, τελικά,

40 2, 25 10.ttY Όπως και στην προηγούμενη άσκηση, η πορεία του εισοδήματος

διαχρονικά είναι αύξουσα, περισσότερο όμως ομαλή, όπως δείχνεται από τη γραμμή 40 2, 25 10t

tY στο προηγούμενο σχήμα.

8. Οι εξισώσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι, αντίστοιχα,

4135 tD

tpq

και 13,020 tSt pq (όπου pt=τιμή ζήτησης του αγαθού στη χρονική

περίοδο t και 1tp =τιμή προσφοράς αυτού στην περίοδο t-1). Αν η τιμή του αγαθού

στην περίοδο t=0 είναι p0=30 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστεί η συνάρτηση η οποία εκφράζει την τιμή του αγαθού διαχρονικά, σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος ( )St

Dt qq και να απεικονιστεί αυτή σχηματικά. Βεβαιωθείτε, επίσης,

σχηματικά, ότι η πορεία της τιμής εμφανίζει μορφή «ιστού αράχνης». Λύση

Σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος θα είναι ,D St tq q δηλαδή

1 1135 20 0,3 1, 2 55.

4t

t t tp p p p

Εφόσον, 0 30p χρηματικές μονάδες,

η λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών πρώτης τάξης θα είναι

0

1 ( 1, 2)(1 ) 1, 2 30 551 1 ( 1, 2)

ttt

tbp b p ab


5 ( 1, 2) 25.ttp Όμως, διαπιστώνεται στο σχήμα (α), η γραμμή λύσης

απομακρύνεται συνεχώς από την οριζόντια γραμμή Rp της τιμής ισορροπίας, έτσι

που η πορεία της τιμής να εμφανίζει τη μορφή «ιστού αράχνης», όπως φαίνεται στο σχήμα (β).


9. Αν, ως συνέπεια μεταστροφής των προτιμήσεων του καταναλωτή, η εξίσωση

ζήτησης της άσκησης 8 γίνει 4

2200 tDt

pq , ενώ η εξίσωση προσφοράς και η τιμή

του αγαθού στην περίοδο t0 διατηρηθούν οι ίδιες, να υπολογιστεί η συνάρτηση της τιμής διαχρονικά και να ελεγχθεί σχηματικά (με σχήμα «ιστού αράχνης») αν η τιμή συγκλίνει σε σημείο ισορροπίας. Ποια είναι η τιμή ισορροπίας του συστήματος και σε ποιο έτος, περίπου, αυτή πραγματοποιείται; Λύση

Σε κατάσταση ισορροπίας του συστήματος θα είναι ,D St tq q δηλαδή

1 1200 2 20 0,3 0,6 60.

4t

t t tp p p p

Εφόσον 0 30p χρηματικές μονάδες,

η λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών πρώτης τάξης θα είναι

0

1 ( 0,6)(1 ) ( 0,6) 30 601 1 ( 0,6)

ttt

tbp b p ab


7,5 ( 0, 6) 37,5.ttp Όμως, διαπιστώνεται στο σχήμα (α), η γραμμή λύσης

πλησιάζει την οριζόντια γραμμή Rp της τιμής ισορροπίας, έτσι που η πορεία της

τιμής να εμφανίζει τη μορφή «ιστού αράχνης», συγκλίνουσα στην τιμή ισορροπίας

0 37,5p , όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Η τιμή ισορροπίας του συστήματος

πραγματοποιείται περίπου στο 20ό έτος, γιατί 207,5 ( 0, 6) 37,5 37, 49997 37,5.tp


10. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν οι ομογενείς εξισώσεις διαφορών δεύτερης τάξης και να επαληθευτούν: α) 21 103 ttt yyy (y0=8, y1= -2), β) 21 65 ttt yyy (y0= -3, y1= -4), γ)

21 604 ttt yyy (y0= 6, y1=28), δ) 29 tt yy (y0=8, y1=18), ε) 21 14424 ttt yyy

(y0= 15, y1=72), στ) 1 214 49t t ty y y (y0= -6, y1=14). Παραστήστε γραφικά τη λύση

τους. Λύση

α) 21 103 ttt yyy (y0=8, y1= -2).

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η 2 3 10 0,x x με ρίζες τις x1=5 και x2= -2. Η εξίσωση διαφορών 1 1 2 2 ,t t

ty k x k x με x1=5 και x2= -2, γίνεται 1 2(5) ( 2) .t tty k k

Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων

0 1 2 8y k k και 1 1 25 2y k k -2, από το οποίο υπολογίζονται τιμές 1 2k και

2 6.k Συνεπώς, η εξίσωση

1 2(5) ( 2)t tty k k γίνεται 2 5 6( 2) ,t t

ty η οποία είναι η πλήρης λύση της

ομογενούς εξίσωσης διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί 0 0

0 2 5 6( 2) 8y και 1 1

1 2 5 6( 2) 2,y καθώς και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη

λύση και t=2, έχουμε 2 22 2 5 6( 2) 74,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών

γίνεται 2 1 03 10 ,y y y δηλαδή

74 3( 2) 10(8) 74. Η λύση 2 5 6( 2)t tty απεικονίζεται στο σχήμα (α).

β) 21 65 ttt yyy (y0= -3, y1= -4).


Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η 2 5 6 0,x x με ρίζες τις x1=3 και x2=2. Η εξίσωση διαφορών 1 1 2 2 ,t t

ty k x k x με x1=3 και x2=2, γίνεται 1 2(3) (2) .t tty k k Για

t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων

0 1 2 3y k k και 1 1 23 2 4y k k , από το οποίο υπολογίζονται τιμές 1 2k και

2 5.k Συνεπώς, η εξίσωση 1 2(3) (2)t tty k k γίνεται 2 3 5 2 ,t t

ty η οποία

είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί 0 0

0 2 3 5 2 3y και 1 11 2 3 5 2 4,y καθώς

και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε 2 2

2 2 3 5 2 2,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται 2 1 05 6 ,y y y

δηλαδή 2 5( 4) 6( 3) 2. Η λύση 2 3 5 2t tty απεικονίζεται στο σχήμα (β).

γ) 21 604 ttt yyy (y0= 6, y1=28).

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η 2 4 60 0,x x με ρίζες τις x1=6 και x2= -10. Η εξίσωση διαφορών 1 1 2 2 ,t t

ty k x k x με x1=6 και x2=-10, γίνεται 1 26 ( 10) .t tty k k

Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων

0 1 2 6y k k και 1 1 26 10 28y k k , από το οποίο υπολογίζονται τιμές 1 5,5k

και 2 0,5.k Συνεπώς, η εξίσωση 1 26 ( 10)t tty k k γίνεται

5,5 6 0, 5( 10) ,t tty η οποία είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης

διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί 0 0

0 5,5 6 0,5( 10) 6y και 1 11 5,5 6 0,5( 10)y

=28 καθώς και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε

2 22 5,5 6 0,5( 10) 248,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται

2 1 04 60 ,y y y δηλαδή 248 4 28 60 6 =

=248. Η λύση 5,5 6 0,5( 10)t tty απεικονίζεται συο σχήμα (γ).

δ) 29 tt yy (y0=8, y1=18).

Υποθέτοντας ότι η λύση θα είναι της μορφής tty x και αντικαθιστώντας στην

εξίσωση, έχουμε 29 .t tx x Η εξίσωση αυτή, εφόσον θα αληθεύει για όλες τις τιμές του t, θα αληθεύει και για t=2. Έτσι, η χαρακτηριστική εξίσωση θα είναι

2 0 29 9 0,x x ή x η οποία έχει ρίζες τις 1 23 3.x x Η εξίσωση

διαφορών 1 1 2 2 ,t tty k x k x με

1 23 3,x x γίνεται 1 23 ( 3) .t tty k k Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή

αποκτούμε το σύστημα των εξισώσεων 0 1 2 8y k k και 1 1 23 3 18,y k k από το

οποίο υπολογίζονται τιμές 1 7k και 2 1.k Συνεπώς, η εξίσωση 1 23 ( 3)t tty k k

γίνεται 7 3 ( 3) ,t tty η οποία είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης

διαφορών. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες , γιατί 0 00 7 3 ( 3) 8y

και 1 11 7 3 ( 3) 18,y καθώς και την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη

λύση και t=2 έχουμε 2 22 7 3 ( 3) 72,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται


2 09y y , δηλαδή 72 9 8 72. Η λύση 7 3 ( 3)t tty απεικονίζεται στο σχήμα

(δ).

ε) 21 14424 ttt yyy (y0= 15, y1=72).

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η 2 24 144 0,x x η οποία έχει δύο όμοιες ρίζες

(εξίσωση πολλαπλότητας δύο), τις x1=12 και x2= 12. Η εξίσωση διαφορών 1 2( ) t

ty k k t x , με x1=x2=12, γίνεται

1 2( ) 12 tty k k t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύστημα των

εξισώσεων 00 1 2 1( 0) 12 15y k k k και

11 1 2 1 2( 1) 12 12( ) 72.y k k k k Από τη δεύτερη εξίσωση, για 1 15,k

υπολογίζεται 2 9.k Έτσι, η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών είναι

η (15 9 ) 12 ,tty t η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί 0

0 (15 9 0) 12 15y και 11 (15 9 1) 12 72,y αφετέρου την εξίσωση

διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε 22 (15 9 2) 12 432,y

ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται 2 1 024 144 ,y y y δηλαδή

432 24 72 144 15 432. Η λύση (15 9 ) 12 tty t απεικονίζεται στο σχήμα (ε).

στ) 1 214 49t t ty y y (y0= -6, y1=14).

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η 2 14 49 0,x x η οποία έχει δύο όμοιες ρίζες

(εξίσωση πολλαπλότητας δύο), τις x1= -7 και x2= -7. Η εξίσωση διαφορών

1 2( ) tty k k t x , με x1=x2= -7, γίνεται

1 2( ) ( 7)tty k k t . Για t=0 και t=1 στην εξίσωση αυτή αποκτούμε το σύύστημα των

εξισώσεων 0

0 1 2 1( 0) ( 7) 6y k k k και 1

1 1 2 1 2( 1) ( 7) 7( ) 14.y k k k k Από τη δεύτερη εξίσωση, για 1 6,k

υπολογίζεται 2 4.k Έτσι, η πλήρης λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών είναι

η ( 6 4 ) ( 7) ,tty t η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί 0

0 ( 6 4 0) ( 7) 6y και 11 ( 6 4 1) ( 7) 14,y αφετέρου την εξίσωση

διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε 2

2 ( 6 4 2)( 7) 98,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται

2 1 014 49 ,y y y δηλαδή

98 14 14 49 ( 6) 98. Η λύση ( 6 4 )( 7) tty t απεικονίζεται στο σχήμα (στ).


11. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν και να επαληθευτούν οι μη ομογενείς εξισώσεις διαφορών δεύτερης τάξης:


α) 12103 21 ttt yyy (y0= 9, y1= -1)

β) 986 21 ttt yyy (y0= 5, y1= 19)

γ) 634 21 ttt yyy (y0=10, y1= 17)

δ) 765 21 ttt yyy (y0= 5, y1= 13)

ε) 169 2 tt yy (y0=12, y1= -4)

στ) 82 tt yy (y0= 20, y1= 6)

ζ) 122 21 ttt yyy (y0= 5, y1= 9).

Λύση

α) 12103 21 ttt yyy (y0= 9, y1= -1).

Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η 1 23 10t t ty y y και η χαρακτηριστική

εξίσωση η 2 3 10 0,x x με ρίζες τις x1=5 και x2= -2. Επομένως, η συμπληρωματική

συνάρτηση θα είναι η

1 25 ( 2) .t tty k k Θέτοντας ,ty z και για όλες τις τιμές t, στην αρχική εξίσωση

διαφορών έχουμε 3 10 12,z z z η οποία δίνει την ειδική λύση z=1. Έτσι, η γενική λύση είναι η 1 25 ( 2) 1.t t

ty k k

Με αρχικές συνθήκες y0=9 και y1= -1, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως : 0 0

0 1 2 1 25 ( 2) 1 8y k k k k και 1 1

1 1 2 1 25 ( 2) 1 5 2 2y k k k k από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές

1 2k και 2 6.k Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών

1 23 10 12t t ty y y είναι η 2 5 6( 2) 1t tty , η οποία ικανοποιεί αφενός τις

αρχικές συνθήκες, γιατί 0 00 2 5 6( 2) 1 9y και

1 11 2 5 6( 2) 1 1,y αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη

λύση και t=2, έχουμε 2 2

2 2 5 6( 2) 1 75,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών

γίνεται 2 1 03 10 12,y y y που επαληθεύεται αφού

75 3 ( 1) 10 9 12.

β) 986 21 ttt yyy (y0= 5, y1= 19).


εξίσωση η 2 6 8 0,x x με ρίζες τις x1=4 και x2= 2. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η 1 24 2 .t t

ty k k

Θέτοντας ,ty z και για όλες τις τιμές t, στην αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε

6 8 9,z z z η οποία δίνει την ειδική λύση z= -3. Έτσι, η γενική λύση είναι η

1 24 2 3.t tty k k Με αρχικές συνθήκες y0=5 και y1=-19, η γενική λύση γίνεται

αντιστοίχως : 0 0

0 1 2 1 24 2 3 8y k k k k και


1 11 1 2 1 24 2 3 4 2 22y k k k k από το οποίο σύστημα προ-

κύπτουν τιμές 1 3k και 2 5k . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης

διαφορών 1 26 8 9t t ty y y είναι η

3 4 5 2 3t tty , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες,γιατί

0 00 3 4 5 2 3 5y και 1 1

1 3 4 5 2 3 19,y αφετέρου την εξίσωση διαφορών.

Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε 2 22 3 4 5 2 3 65,y ενώ για t=2 η

εξίσωση διαφορών γίνεται 2 1 06 8 9,y y y που επαληθεύεται αφού

65 6 19 8 5 9.

γ) 634 21 ttt yyy (y0=10, y1= 17),


εξίσωση η 2 4 3 0,x x με ρίζες τις x1=3 και x2=1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η 1 23 1 .t t

ty k k

Θέτοντας ,ty z στην αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε

4 ( 1) 3 ( 2) 6,zt z t z t η οποία δίνει z= -3 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η 3 .ty zt t Έτσι η γενική λύση είναι η

1 23 3 .tty k k t Με αρχικές συνθήκες y0=10 και y1=-17, η γενική

λύση γίνεται αντιστοίχως : 0

0 1 2 1 23 3 0 10y k k k k και 1

1 1 2 1 23 3 1 3 20y k k k k από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές 1 5k

και 2 5k . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών

1 24 3 6t t ty y y είναι η

5 3 3 5tty t , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί

00 5 3 3 0 5 10y και 1

1 5 3 3 1 5 17,y αφετέρου την εξίσωση

διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε και 2

2 5 3 3 2 5 14,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται

2 1 04 3 6,y y y που επαληθεύεται αφού 44 4 17 3 10 6.

δ) 765 21 ttt yyy (y0= 5, y1= 13).


εξίσωση η 2 5 6 0,x x με ρίζες τις x1= -6 και x2=1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η

1 2( 6) 1 .t tty k k Θέτοντας ty zt στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε

5 ( 1) 6 ( 2) 7,zt z t z t η οποία δίνει z=1 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η .ty zt t Έτσι η γενική λύση είναι η 1 2( 6) .t

ty k k t Με αρχικές συνθήκες y0=5

και y1=-13, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως: 0

0 1 2 1 2( 6) 0 5y k k k k και


11 1 2 1 2( 6) 1 6 12y k k k k από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές

1 1k και 2 6k . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών

1 25 6 7t t ty y y είναι η ( 6) 6tty t , η οποία ικανοποιεί αφενός τις

αρχικές συνθήκες, γιατί 00 ( 6) 0 6 5y και 1

1 ( 6) 1 6 13,y αφετέρου

την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε 2

2 ( 6) 2 6 28,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται


ε) 169 2 tt yy (y0=12, y1= -4).

Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η 29t ty y και η χαρακτηριστική εξίσωση

η 2 9 0,x με ρίζες τις x1=3 και x2= -3. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η 1 23 ( 3) .t t

ty k k Θέτοντας ,ty z και για όλες τις τιμές του t, στην αρχική

εξίσωση διαφορών, έχουμε 9 16,z z η οποία δίνει z=2 που είναι και η ειδική λύση. Έτσι, η γενική λύση είναι η 1 23 ( 3) 2.t t

ty k k Με αρχικές συνθήκες y0=12 και

y1= -4, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως : 0 0

0 1 2 1 23 ( 3) 2 10y k k k k και 1 1

1 1 2 1 23 ( 3) 2 3 3 6y k k k k από το οποίο σύστημα

προκύπτουν τιμές 1 4k και 2 6k . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς

εξίσωσης διαφορών 29 16t ty y είναι η

4 3 6( 3) 2t tty , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες γιατί

0 00 4 3 6( 3) 2 12y και

1 11 4 3 6( 3) 2 4,y αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας

στη λύση t=2, έχουμε 2 2

2 4 3 6( 3) 2 92,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών

γίνεται 2 09 16,y y που επαληθεύεται αφού 92 9 12 16.

στ) 82 tt yy (y0= 20, y1= 6).

Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η 2t ty y και η χαρακτηριστική εξίσωση η 2 1 0,x με ρίζες τις x1=1 και x2= -1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα

είναι η

1 21 ( 1) .t tty k k Θέτοντας ty zt στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε

( 2) 8,zt z t η οποία δίνει z= -4 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η 4 .ty zt t

Έτσι, η γενική λύση είναι η 1 2 ( 1) 4 .tty k k t Με αρχικές συνθήκες y0=20 και

y1=6, η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως: 0

0 1 2 1 2( 1) 4 0 20y k k k k και 1

1 1 2 1 2( 1) 4 1 10y k k k k από το οποίο σύστημα προκύπτουν τιμές

1 15k και 2 5k . Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών


2 8t ty y είναι η 5( 1) 4 15tty t , η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές

συνθήκες γιατί 00 5( 1) 4 0 15 20y και

11 5( 1) 4 1 15 6,y αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη

λύση και t=2, έχουμε 2

2 5( 1) 4 2 15 12,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται 2 0 8,y y που

επαληθεύεται αφού 12 20 8.

ζ) 122 21 ttt yyy (y0= 5, y1= 9).

Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η 1 22t t ty y y και η χαρακτηριστική

εξίσωση η 2 2 1 0,x x με δύο όμοιες ρίζες τις x1=1 και x2= 1. Επομένως, η συμπληρωματική συνάρτηση θα είναι η 1 2( ) 1 .tty k k t Θέτοντας 2

ty zt στην

αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε 2 2 22 ( 1) ( 2) 12,zt z t z t η οποία δίνει z=6 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η 2 26 .ty zt t Έτσι, η γενική λύση είναι η

21 2( ) 6 .ty k k t t Με αρχικές συνθήκες y0=5 και y1=9, η γενική λύση γίνεται

αντιστοίχως : 2

0 1 2 1( 0) 6 0 5y k k k και 2

1 1 2 1 2( 1) 6 1 3.y k k k k Θέτοντας στη δεύτερη εξίσωση όπου 1 5k ,

υπολογίζεται τιμή 2 2.k Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης

διαφορών 1 22 12t t ty y y είναι η 26 2 5,ty t t η οποία ικανοποιεί αφενός

τις αρχικές συνθήκες, γιατί 20 6 0 2 0 5 5y και 2

1 6 1 2 1 5 9,y

αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση και t=2, έχουμε 2

2 6 2 2 2 5 25,y ενώ για t=2 η εξίσωση διαφορών γίνεται 2 1 02 12,y y y

που επαληθεύεται αφού 25 2 9 5 12. 12. Αν υποτεθεί ότι η πωλούμενη ποσότητα καταναλωτικών αγαθών στο χρόνο t είναι συνάρτηση, σύμφωνα με την «αρχή του πολλαπλασιαστή», του πραγματοποιηθέντος στην προηγούμενη περίοδο εισοδήματος, κατά τη σχέση

15,050 tt YC και η επένδυση είναι συνάρτηση, σύμφωνα με την «αρχή της

επιτάχυνσης», της αύξησης του εισοδήματος στις δύο προηγούμενες περιόδους, κατά τη σχέση )(5 21 ttt YYI , δείξτε ότι, αν 10010 YY , το εισόδημα παραμένει στο

100, αν, όμως, Υ1=164, δείξτε ότι το εισόδημα διακυμαίνεται περιοδικά. Επαληθεύστε με τη χρησιμοποίηση σχήματος. Λύση

Η εξίσωση του εισοδήματος κατά την περίοδο t είναι t t tY C I , δηλαδή

1 1 250 0,5 5( )t t t tY Y Y Y και, τελικά, 1 25,5 5 50.t t tY Y Y

Με την επίλυση της μη ομογενούς αυτής εξίσωσης καταλήγουμε στη γενική λύση

1 24,35 1,15 100.t ttY k k Με αρχικές συνθήκες Y0=100 και Υ1=100, η παραπάνω


γενική λύση δίνει τιμές 1 0k και 2 0,k οπότε η πλήρης λύση είναι η Υt=100, που

σημαίνει ότι το εισόδημα παραμένει διαχρονικά σταθερό και ίσο με 100 χρηματικές μονάδες. Με αρχικές συνθήκες Υ0=100 και Υ1=164, η γενική λύση δίνει τιμές k1=20 και k2= -20, οπότε η πλήρης λύση είναι η 20 4,35 20 1,15 100,t t

tY που σημαίνει ότι το

εισόδημα διακυμαίνεται στις διάφορες χρονικές περιόδους t. Τα παραπάνω επιβεβαιώνονται στο ακόλουθο σχήμα.

13. Δοσμένων των αρχικών συνθηκών, να επιλυθούν και να επαληθευτούν οι εξισώσεις διαφορών: α) 321 9038 tttt yyyy (y0=20, y1=12, y2=18),

β) 36805613 321 tttt yyyy (y0=8, y1=30, y2=14),

γ) 48253511 321 tttt yyyy (y0=24, y1=19, y2= -18),

δ) 20321 tttt yyyy (y0=9, y1=4, y2=1),

ε) 3227279 321 tttt yyyy (y0=9, y1=14, y2=55),

στ) 2067 32 ttt yyy (y0=20, y1=11, y2=3),

ζ) 180403898 4321 ttttt yyyyy (y0=20, y1=55, y2=100, y3=150).

η) 1 2 3 46 13 12 4t t t t ty y y y y ( 0 1100, 50,y y 2 200,y 3 300y .

Λύση

α) 321 9038 tttt yyyy (y0=20, y1=12, y2=18).

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η 3 28 3 90 0,x x x με ρίζες τις 1 2 36, 3 5.x x x Επομένως, η εξίσωση διαφορών

1 1 2 2 3 3t t t

ty k x k x k x γίνεται 1 2 36 ( 3) 5 .t t tty k k k Για t=0, t=1 και t=2 στην

εξίσωση αυτή, έχουμε: 0 0 0

0 1 2 3 1 2 36 ( 3) 5 20 20y k k k k k k


1 1 11 1 2 3 1 2 36 ( 3) 5 12 6 3 5 12y k k k k k k και

2 2 22 1 2 3 1 2 36 ( 3) 5 18 36 9 25 18y k k k k k k

από το οποίο σύστημα υπολογίζονται τιμές

1 34,k 2 6,75k 3 47,25.k Συνεπώς, η εξίσωση

1 2 36 ( 3) 5t t tty k k k γίνεται

34 6 6,75( 3) 47, 25 5 ,t t tty η οποία είναι και η πλήρης λύση της ομογενούς

εξίσωσης διαφορών τρίτης τάξης. Η λύση αυτή ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, γιατί

0 0 00 34 6 6, 75( 3) 47, 25 5 20y

1 1 11 34 6 6, 75( 3) 47, 25 5 12y και

2 2 22 34 6 6, 75( 3) 47, 25 5 18,y καθώς και την εξίσωση διαφορών.

Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3 έχουμε 3 3 32

3 34 6 6, 75( 3) 47, 25 5 1620,y ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών

γίνεται 3 2 1 08 3 90 ,y y y y που επαληθεύεται αφού 1620 8 18 3 12 90 20.

β) 36805613 321 tttt yyyy (y0=8, y1=30, y2=14).

Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η

1 2 313 56 80t t t ty y y y και η χαρακτηριστική εξίσωση 3 213 56 80 0,x x x με ρίζες τις 1 2 34, 4 5.x x x Έτσι, η

συμπληρωματική συνάρτηση είναι η

1 2 3( ) 4 5 .t tty k k t k

Υποθέτοντας, τώρα, ότι ty z για όλες τις τιμές του t, η αρχική εξίσωση διαφορών

γίνεται 13 56 80 36z z z z , από την οποία προκύπτει η ειδική λύση z=1. Έτσι, η γενική λύση είναι η

1 2 3( ) 4 5 1.t tty k k t k Με αρχικές συνθήκες 0 18, 30y y και 2 14,y η

γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως: 0 0

0 1 2 3 1 3( 0) 4 5 1 8 7y k k k k k 1 1

1 1 2 3 1 2 3( 1) 4 5 1 30 4 4 5 29y k k k k k k και 2 2

2 1 2 3 1 2 3( 2) 4 5 1 14 16 32 25 13y k k k k k k

από το οποίο σύστημα υπολογίζονται τιμές 1 114,k 2 27k και

3 107.k Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τρίτης

τάξης 1 2 313 56 80t t t ty y y y είναι η

(114 27 ) 4 107 5 1,t tty t η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες,

γιατί 0 00 (114 27 0) 4 107 5 1 8,y

1 10 (114 27 1) 4 107 5 1 30y και

2 22 (114 27 2) 4 107 5 1 14,y αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι,

θέτοντας στη λύση t=3 έχουμε 3 3

3 (114 27 3) 4 107 5 1 894,y ενώ για t=3 η εξίσωση


διαφορών γίνεται 3 2 1 013 56 80 36,y y y y που επαληθεύεται αφού

894 13 14 56 30 80 8 36.

γ) 48253511 321 tttt yyyy (y0=24, y1=19, y2= -18).


1 2 311 35 25t t t ty y y y και η χαρακτηριστική εξίσωση η 3 211 35 25 0,x x x με ρίζες τις 1 2 35, 5 1.x x x Έτσι, η


1 2 3( ) 5 1 .t tty k k t k

Θέτοντας όπου ty zt στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε

11 ( 1) 35 ( 2) 25 ( 3) 48zt z t z t z t , η οποία δίνει λύση z=3 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η 3 .ty zt t Έτσι, η γενική λύση είναι η

1 2 3( ) 5 3 .tty k k t k t Με αρχικές συνθήκες 0 24y και 1 19y η γενική λύση

γίνεται, αντιστοίχως: 0

0 1 2 3 1 3( 0) 5 3 0 24 24y k k k k k 1

1 1 2 3 1 2 3( 1) 5 3 1 19 5 5 16y k k k k k k και 2

2 1 2 3 1 2 3( 2) 5 3 2 18 25 50 24y k k k k k k



τάξης 1 2 311 35 25 48t t t ty y y y είναι η

( 2 0 ) 5 26 3tty t t ή 2 5 3 26,t

ty t η οποία ικανοποιεί αφενός τις

αρχικές συνθήκες, γιατί 0

0 2 5 3 0 26 24y , 1

1 2 5 3 1 26 19y και 2

2 2 5 3 2 26 18,y

αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3, έχουμε 3

3 2 5 3 3 26 215,y ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται

3 2 1 011 35 25 48,y y y y που επαληθεύεται αφού

215 11 ( 18) 35 19 25 24 48.

δ) 20321 tttt yyyy (y0=9, y1=4, y2=1).


1 2 3t t t ty y y y και η χαρακτηριστική εξίσωση η 3 2 1 0,x x x με ρίζες τις 1 2 31, 1 1.x x x Έτσι,

η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η 1 2 3( ) 1 ( 1) .t tty k k t k

Θέτοντας όπου 2ty zt στην αρχική εξίσωση διαφορών, έχουμε

2 2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 20,zt z t z t z t η οποία δίνει λύση z=5 και, συνεπώς, η ειδική λύση είναι η 2 25 .ty zt t Έτσι, η γενική λύση είναι η 2

1 2 3( ) ( 1) 5 .ty k k t k t

Με αρχικές συνθήκες 0 9,y 1 4y και 2 1,y η γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως:


0 20 1 2 3 1 3( 0) ( 1) 5 0 9 9y k k k k k

1 21 1 2 3 1 2 3( 1) ( 1) 5 1 4 1y k k k k k k και

2 22 1 2 3 1 2 3( 2) ( 1) 5 2 1 2 19y k k k k k k



τάξης 1 2 3 20t t t ty y y y είναι η 2(11 14 ) 2( 1) 5 ,t

ty t t η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί 0 2

0 (11 14 0) 2( 1) 5 0 9y 1 2

1 (11 14 1) 2( 1) 5 1 4y και 2 2

2 (11 14 2) 2( 1) 5 2 1y

αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=3, έχουμε 3 2

3 (11 14 3) 2( 1) 5 3 16,y ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται

3 2 1 0 20,y y y y που επαληθεύεται αφού 16 1 4 9 20.

ε) 3227279 321 tttt yyyy (y0=9, y1=14, y2=55).


1 2 39 27 27t t t ty y y y και η χαρακτηριστική εξίσωση η 3 29 27 27 0,x x x με τρεις όμοιες ρίζες (ρίζες πολλαπλότητας 3), τις

1 2 3 3.x x x Έτσι, η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η 21 2 3( ) 3 .tty k k t k t

Θέτοντας όπου ty z για όλες τις τιμές του t στην αρχική εξίσωση διαφορών,

έχουμε 9 27 27 32,z z z z η οποία δίνει λύση z=4, η οποία είναι και η ειδική λύση. Συνεπώς, η γενική λύση θα είναι η 2

1 2 3( ) 3 4.tty k k t k t Με αρχικές

συνθήκες 0 9,y 1 14y και 2 55,y η γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως: 2 0

0 1 2 3 1( 0 0 ) 3 4 9 5y k k k k 2 1

1 1 2 3 1 2 3( 1 1 ) 3 4 14 3 3 3 10y k k k k k k και 2 2

2 1 2 3 1 2 3( 2 2 ) 3 4 55 9 18 36 51y k k k k k k

Θέτοντας την τιμή 1 5k στη δεύτερη και τρίτη των εξισώσεων του συστήματος και

επιλύοντας τούτο ως προς k2 και k3 αποκτούμε

2 311 2.3

k k Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης

διαφορών τρίτης τάξης

1 2 39 27 27 32t t t ty y y y είναι η

211(5 2 ) 3 4,3

tty t t η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχι-

κές συνθήκες, γιατί 2 00

11(5 0 2 0 ) 3 4 93

y

2 11

11(5 1 2 1 ) 3 4 143

y και

2 22

11(5 2 2 2 ) 3 4 553

y



211(5 3 2 3 ) 3 4 328,3

y ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται

3 2 1 09 27 27 32,y y y y που επαληθεύεται αφού 328 9 55 27 14 27 9 32.

στ) 2067 32 ttt yyy (y0=20, y1=11, y2=3).


2 37 6t t ty y y και η χαρακτηριστική εξίσωση η 3 7 6 0,x x με ρίζες τις

1 2 31, 2 3.x x x Έτσι, η συμπληρωματική συνάρτηση είναι η

1 2 31 2 ( 3) .t t tty k k k Θέτοντας όπου ty zt στην αρχική εξίσωση διαφορών,

έχουμε 7 ( 2) 6 ( 3) 20,zt z t z t η οποία δίνει λύση z= -5 και, συνεπώς, η ειδική είναι η

5ty zt t . Έτσι, η γενική λύση είναι η

1 2 32 ( 3) 5 .ty k k k t Με αρχικές συνθήκες 0 20,y 1 11y και 2 3,y η

γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως: 0 0

0 1 2 3 1 2 32 ( 3) 5 0 20 20y k k k k k k 1 1

1 1 2 3 1 2 32 ( 3) 5 1 11 2 3 16y k k k k k k και 12 2

2 1 2 3 1 2 32 ( 3) 5 2 3 4 9 13y k k k k k k

σύστημα που δίνει τιμές 1 22,75,k 2 3k και 3 0,25.k Επομένως, η πλήρης λύση

της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τρίτης τάξης 2 37 6 20t t ty y y είναι η

22, 75 3 2 0, 25( 3) 5 ,ty t η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες,

γιατί 0 00 22,75 3 2 0, 25( 3) 5 0 20y

1 11 22, 75 3 2 0, 25( 3) 5 1 11y και

2 22 22, 75 3 2 0, 25( 3) 5 2 3y


3 22, 75 3 2 0, 25( 3) 5 3 23,y ενώ για t=3 η εξίσωση διαφορών γίνεται


ζ) 180403898 4321 ttttt yyyyy (y0=20, y1=55,

y2=100, y3=150). Η απλοποιημένη ομογενής εξίσωση είναι η

1 2 3 48 9 38 40t t t t ty y y y y και η χαρακτηριστική εξίσωση η 4 3 28 9 38 40 0,x x x x με ρίζες τις 1 24, 5,x x 3 2x και 4 1.x Έτσι, η


1 2 3 44 5 ( 2) 1 .t t t tty k k k k Θέτοντας όπου ty zt στην αρχική εξίσωση

διαφορών, έχουμε 8 ( 1) 9 ( 2) 38 ( 3) 40 ( 4) 180,zt z t z t z t z t η οποία δίνει λύση z= 5 και,

συνεπώς, η ειδική είναι η


1 2 3 44 5 ( 2) 5 .t t tty k k k k t Με αρχικές συνθήκες 0 20,y 1 55,y 2 100y 3 150,y η γενική λύση γίνεται, αντιστοίχως:

0 0 00 1 2 3 4 1 2 3 44 5 ( 2) 5 0 20y k k k k k k k k =20

1 1 11 1 2 3 44 5 ( 2) 5 1 55y k k k k

2 2 22 1 2 3 44 5 ( 2) 5 2 100y k k k k

1 2 3 416 25 4k k k k =90 και 3 3 3

3 1 2 3 44 5 ( 2) 5 3 150y k k k k 1 2 3 464 125 8 135,k k k k σύστημα το οποίο δίνει τιμές

k1=20,833, k2= -9,821, k3= -2,265 και k4=11,253. Επομένως, η πλήρης λύση της μη ομογενούς εξίσωσης διαφορών τέταρτης τάξης

2 2 3 48 9 38 40 180t t t t ty y y y y είναι η

20,833 4 9,821 5 2, 265( 2) 5 11, 253t t tty t

η οποία ικανοποιεί αφενός τις

αρχικές συνθήκες, γιατί 0 0 0

0 20,833 4 9,821 5 2, 265( 2) 5 0 11, 253 20y 1 1 1

1 20,833 4 9,821 5 2, 265( 2) 5 1 11, 253 55y 2 2 2

2 20,833 4 9,821 5 2, 265( 2) 5 2 11, 253 100y 3 3 3

3 20,833 4 9,821 5 2, 265( 2) 5 3 11, 253 150y

αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=4, έχουμε 4 4 4

4 20,833 4 9,821 5 2, 265( 2) 5 4 11, 253y 810, ενώ για t=4 η εξίσωση διαφορών γίνεται

4 3 2 1 08 9 38 40 180y y y y y η οποία επαληθεύεται αφού

810 8 150 9 100 38 55 40 20 180.

η) 1 2 3 46 13 12 4t t t t ty y y y y ( 0 1100, 50,y y 2 200,y 3 300y .

Η χαρακτηριστική εξίσωση της ομογενούς αυτής εξίσωσης είναι η 4 3 26 13 12 4 0,x x x x με ρίζες 1 2 2x x και 3 4 1.x x

Επομένως, η γενική λύση θα είναι η

1 2 3 4( ) 2 ( ) 1 .t tty k k t k k t

Με αρχικές συνθήκες

0 1 2 3100, 50, 200 300,y y y y

η γενική λύση γίνεται αντιστοίχως: 0

0 1 2 3 4 1 3( 0) 2 0 100 100y k k k k k k 1

1 1 2 3 4 1 2 3 4( 1) 2 1 50 2 2 50y k k k k k k k k 2

2 1 2 3 4 1 2 3 4( 2) 2 2 200 4 8 2 200y k k k k k k k k 3

3 1 2 3 4 1 2 3 4( 3) 2 3 300 8 24 3 300,y k k k k k k k k

σύστημα το οποίο δίνει τιμές k1=100, k2= -25, k3= -200 και k4=100. Επομένως, η λύση (πλήρης) της ομογενούς εξίσωσης διαφορών τέταρτης τάξης

1 2 3 46 13 12 4t t t t ty y y y y είναι η

(100 25 ) 2 100 200,tty t t η οποία ικανοποιεί αφενός τις αρχικές συνθήκες, γιατί


00 (100 25 0) 2 100 0 200 100y

11 (100 25 1) 2 100 1 200 50y

22 (100 25 2) 2 100 2 200 200y

33 (100 25 3) 2 100 3 200 300y

Αφετέρου την εξίσωση διαφορών. Πράγματι, θέτοντας στη λύση t=4 έχουμε 4

4 (100 25 4) 2 100 4 200 200,y ενώ για t=4 η εξίσωση διαφορών γίνεται

4 3 2 1 06 13 12 4y y y y y , η οποία επαληθεύεται αφού

200 6 300 13 200 12 50 4 ( 100). 14. Αν η τιμή ενός προϊόντος που αναμένει ο γεωργός να ισχύσει στο χρόνο t είναι συνάρτηση των πραγματικών τιμών αυτού που επικράτησαν στο παρελθόν, ο δε συντελεστής προσδοκίας είναι β=0,319, να διατυπωθεί, κατά το γραμμικό υπόδειγμα του Nerlove, η εξίσωση διαφορών, ώστε να λαμβάνεται υπόψη το 90% των επιδράσεων των παρελθόντων τιμών επί της προσδοκώμενης τιμής. Λύση

Το άθροισμα των επιδράσεων των παρελθουσών τιμών επί της προσδοκώμενης τιμής δίνεται από τη σχέση 1 (1 ) .SW Έτσι, θα είναι

0,90 1 (1 0,319) 0,681 0,10 6. Επομένως, η εξίσωση διαφορών η οποία συνδέει την προσδοκώμενη από το γεωργό τιμή *

tp με τις έξι παρελθούσες

τιμές είναι * 2

1 2 30,319 (1 0,319) 0,319 (1 0, 319) 0,319t t t tp p p p

5

54

43 )319,01(319,0)319,01(319,0)319,01( tt pp ,319,0 6 tp δηλαδή

54321* 069,0101,0148,0217,0319,0 tttttt pppppp .047,0 6 tp


ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. Να απεικονιστεί γραφικά η περιοχή των εφικτών λύσεων των παρακάτω προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με τους ακόλουθους περιορισμούς:

α) 1 2 1 2 1 2 1 24 2 12, 1 2 4, 0 0x x x x x x x x

β) 1 23 4500x x , 1 22 2 4000x x , 1 23 4500x x , 1 0x 2 0x

γ) 1 23 6x x , 1 24 3 12x x , 1 23 6x x , 1 20 0x x

Λύση

Οι περιοχές των εφικτών λύσεων των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι οι περιοχές των γραμμοσκιασμένων επιφανειών.

α)

β)


γ)

2. Να επιλυθούν γραφικώς τα: α) max z=3x1+2x2 με περιορισμούς 2x1+x2≤4, 2x1+5x2≤10, x1≥0 και x2≥0 β) min z=x1+2x2 με περιορισμούς 5x1+2x2≥10, x1+x2≥4, 3x1+7x2 ≥21, x1≥0 και x2≥0 γ) 1 2max 0, 4 3, 2z x x 1 2min 0, 4 3, 2z x x με περιορισμούς

1 2 7,x x 1 22 4,x x 1 2 5,x x 1 0x και 2 0x

Λύση

α)


β)

γ) 3. Δίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις: α) z=3x1+2x2 με περιορισμούς 1 22 4x x , 1 22 5 10x x , 1 0x και 2 0x

β) 1 23 4z x x με περιορισμούς

1 22 14,x x 1 23 0,x x 1 2 2,x x 1 0x και 2 0x

γ) 1 20, 4 3,2z x x με περιορισμούς

1 2 7,x x 1 22 4x x , 1 2 5x x , 1 5,x 1 0x και 2 0.x

Να υπολογιστούν, αλγεβρικά, οι τιμές των x1 και x2 που μεγιστοποιούν την τιμή του z. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της z στην άριστη λύση; Λύση

α) Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων των ανισοϊσοτήτων περιορισμού

1 22 4x x και 1 22 5 10x x , έχουμε:


1 2

1 2

2 42 5 10x xx x

1 2

1 2

2 42 10 5x xx x

2 24 10 5x x

2 24 6 1,5x x . Επομένως,

1 2 12 4 2 1,5 4x x x 1 1, 25x .

Θέτοντας τις τιμές x1=1,25 και x2=1,5 στην αντικειμενική συνάρτηση z=3x1+2x2 βρίσκουμε z= 6,75. β) Επιλύοντας τα συστήματα των εξισώσεων των ανισοϊσοτήτων περιορισμού, ανά δύο, 1 22 14,x x 1 23 0x x και 1 2 2,x x έχουμε:

Από την α΄και β΄των εξισώσεων:

1 2

1 2

2 143 0x xx x

1 2

21

14 2

3

x xxx

2

2 2 214 2 42 63xx x x 2 27 42 6x x .

Επομένως, 1 2x .

Από την α΄και γ΄των εξισώσεων:

1 2

1 2

2 142

x xx x

1 2

1 2

14 22

x xx x

2 214 2 2x x

23 12x 2 4x . Επομένως, 1 6x .

Από τη β΄και γ΄των εξισώσεων:

1 2

1 2

3 02

x xx x

1 2

1 2

32

x xx x

2

1

1 2

32

xx

x x

22 2 2 22 6 3 3

3x x x x x . Επομένως, 1 1x .

Θέτοντας τα ζεύγη των παραπάνω τιμών στην αντικειμενική συνάρτηση

1 23 4z x x βρίσκουμε: Για x1=2 και x2=6, z=30, για x1=6 και x2=4, z=34 και για x1= -1

και x2= -3, z= -15. Συνεπώς, η μέγιστη τιμή της z είναι z= 34 και η ελάχιστη z= -15.

γ) Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση του προβλήματος (βλ. άσκηση 2γ), παρατηρούμε τις διασταυρούμενες ευθείες γραμμές οι οποίες σχηματίζουν το πολύγωνο (περιοχή εφικτών λύσεων), με κορυφές τις Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ, τις συντεταγμένες των οποίων αποκτούμε με τη χρησιμοποίηση ανά δύο των εξισώσεων των ακόλουθων ανισοϊσοτικών συναρτήσεων περιορισμών. Από τις εξισώσεις α΄και γ΄ (για το σημείο Α) έχουμε:

1 2

1 2

75

x xx x

2 22 12 6.x x Επομένως, 1 1x .

Από τις εξισώσεις α΄και δ΄ (για το σημείο Β) έχουμε:

1 2

1

75

x xx

x1=5 και x2=2.

Από τις εξισώσεις δ΄και στ΄ (σημείο Γ) έχουμε:


x1=5 και x2=0. Από τις εξισώσεις β΄και στ΄ (σημείο Δ) έχουμε:

1 2

2

2 40

x xx

x1=4 και x2=0.

Από τις εξισώσεις β΄και ε΄ (σημείο Ε) έχουμε:

1 2

1

2 40

x xx

x1=0 και x2=2.

Από τις εξισώσεις γ΄και στ΄(σημείο Ζ) έχουμε:

1 2

1

50

x xx

x1=0 και x2=5.

Θέτοντας τα παραπάνω ζεύγη τιμών στην αντικειμενική συνάρτηση

1 20, 4 3,2z x x λαμβάνουμε:

Για 1 1x και x2=6 είναι z=18,8 (σημείο Α)

Για 1 5x και x2=2 είναι z=4,4 (σημείο Β)

Για x1=5 και x2=0 είναι z= -2,0 (σημείο Γ) Για x1=4 και x2=0 είναι z= -1,6 (σημείο Δ) Για x1=0 και x2=2 είναι z= 6,4 (σημείο Ε) Για x1=0 και x2=5 είναι z=16,0 (σημείο Ζ) Συμπερασματικά, η μέγιστη τιμή είναι z=18,8 στο σημείο Α και η ελάχιστη z= -2 στο σημείο Γ. 4. Να επιλυθούν με τη χρήση μητρών οι συναρτήσεις: α) Μεγιστοποίηση της 1 25 12z x x με περιορισμούς 1 2 1 2 1 2 120 10 200, 10 20 120, 10 30 150, 0x x x x x x x

και 2 0x

β) Μεγιστοποίηση της z=4x1-x2 με περιορισμούς 2x1+x2 ≤ 8, x2 ≤ 5, x1- x2 ≤4, x1 ≥ 0 και x2 ≥ 0 γ) Μεγιστοποίηση της z=4x1+6x2 με περιορισμούς

1 2 11,x x 1 2 27,x x 1 22 5 90,x x x1 ≥ 0 και x2 ≥ 0

Λύση

α)

1 2 1 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

20 10 200 20 10 1 0 0 20010 20 120 10 20 0 1 0 12010 30 150 10 30 0 0 1 150

x x x x s s sx x x x s s sx x x x s s s

.

Λαμβάνοντας ως βασικές μεταβλητές τις

1 1 2 2 3 1,y x y x y s δημιουργούμε τη μήτρα


20 10 110 20 010 30 0

η οποία, συμμετέχοντας στη σχέση

20 10 110 20 010 30 0

1

2

3

200120150

yyy

, δίνει με τον πολλαπλασιασμό της επί την αντίστροφη

μήτρα 1 , 1

2

3

yyy

120 10 1 20010 20 0 12010 30 0 150

.

Με τιμή ορίζουσας =100 0 υπολογίζεται

1

30 200 100 10010 100 100 100

1 5 3

. Επομένως, η παραπάνω σχέση γίνεται

1

2

3

yyy

30 200 100 100 20010 100 120100 100

1501 5 3

1

2

3

yyy

63

50

. Συνεπώς, η λύση που

περιλαμβάνει τις μεταβλητές y1, y2 και y3 είναι η x1=6, x2=3 και s1=50. Οι τιμές x1=6, x2=3 και z=66 (η οποία προκύπτει από τη λύση της z=5x1+12x2) συνιστούν τη μέγιστη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού.

β) 1 2 1 2 1 2 3

2 1 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

2 8 2 1 1 0 0 85 0 1 0 1 0 54 1 1 0 0 1 4

x x x x s s sx x x s s s

x x x x s s s



2 1 00 1 11 1 0

η οποία, συμμετέχοντας στη σχέση 2 1 00 1 11 1 0

1

2

4

854

yyy

, δίνει

με τον πολλαπλασιασμό της επί την αντίστροφη μήτρα 1 ,

1

2

4

yyy

12 1 0 80 1 1 51 1 0 4

.



1

1 103 31 203 31 213 3


1

2

4

yyy

1 103 3 81 20 53 3

41 213 3

1

2

4

yyy

405

.

Συνεπώς, η βασική λύση που περιλαμβάνει τις μεταβλητές y1, y2 και y4 είναι η x1=4, x2=0 και s2=5, έχοντας τις μη βασικές s1=0 και s3=0. Οι τιμές x1=4, x2=0 και z=16 (η οποία προκύπτει από τη λύση της z=4x1-x2) συνιστούν τη μέγιστη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού.

γ) 1 2 1 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

11 1 1 1 0 0 1127 1 1 0 1 0 27

2 5 90 2 5 0 0 1 90

x x x x s s sx x x x s s sx x x x s s s



1 1 11 1 02 5 0

η οποία, συμμετέχοντας στη σχέση

1 1 11 1 02 5 0

1

2

3

112790

yyy

, δίνει με τον πολλαπλασιασμό της επί την αντίστροφη

μήτρα 1 , 1

2

3

yyy

11 1 1 111 1 0 272 5 0 90

.


1

1 103 31 203 31 213 3


1

2

3

yyy

5 10 3 3 112 10 273 3

907 21 3 3

1

2

3

yyy

151214

.

Συνεπώς, η βασική λύση που περιλαμβάνει τις μεταβλητές y1, y2 και y3 είναι η x1=15, x2=12 και s1=14, έχοντας τις μη βασικές s2=0 και s3=0. Οι τιμές x1=15, x2=12 και z=132


(η οποία προκύπτει από τη λύση της z=4x1+6x2) συνιστούν τη μέγιστη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού. 5. Μια βιοτεχνία παράγει γυναικεία υποδήματα και τσάντες με τη χρησιμοποίηση δύο συντελεστών παραγωγής, πρώτης ύλης (δέρμα) και ανδρικής εργασίας. Κάθε ζεύγος υποδημάτων πωλείται προς 3€ και κάθε τσάντα προς 20€. Για την κατασκευή ενός ζεύγους υποδημάτων χρειάζονται 4 μονάδες ανδρικής εργασίας και για την κατασκευή μιας τσάντας 2 μονάδες αυτής, ενώ για την κατασκευή ενός ζεύγους υποδημάτων απαιτούνται 2 μονάδες πρώτης ύλης και για την κατασκευή μιας τσάντας 8 μονάδες αυτής. Η επιχείρηση έχει στη διάθεσή της ημερησίως 40 μονάδες πρώτης ύλης και 38 μονάδες εργασίας. Η βιοτεχνία επιθυμεί να μεγιστοποιήσει τα έσοδα από τις πωλήσεις. Να λυθεί το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Simplex του γραμμικού προγραμματισμού. Λύση

Εάν x είναι ο αριθμός των υποδημάτων και y ο αριθμός των τσαντών, η προς μεγιστοποίηση συνάρτηση είναι η 1 23 20z x x υποκείμενη στους περιορισμούς

των συντελεστών εργασίας και κεφαλαίου που ορίζονται, αντιστοίχως, από τις συναρτήσεις 1 24 2 38x x και 1 22 8 40x x . Η επίλυση του προβλήματος του

γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο Simplex έχει ως: Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z= 3x1+20x2 ή αλλιώς της max z-3x1-20x2+0y1+0y2=0 με τους περιορισμούς

1 2

1 2

4 2 382 8 40x xx x

1 2 1 2

1 2 1 2

4 2 1 0 382 8 0 1 40x x s sx x s s

Μήτρα Simplex 1 (αρχική) x1 x2 s1 s2 b -------------------------

1

2

4 2 1 0 382 8 0 1 403 20 0 0 0

yyz


Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 b ----------------------------

1 1 1 2

2

4 4 2

4 2 1 0 38 22 8 1 0 1 8 5

3 20 0 0 0 20

y R r ryz R r r

Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 b -----------------------------

1

2

28 8 0 1 0 282 8 1 0 1 8 5

2 0 0 20 8 100

yxz

Επομένως, η μέγιστη παραγωγή ημερησίως είναι 5 τσάντες και μηδενική παραγωγή παπουτσιών, με μέγιστα έσοδα 100 χρηματικές μονάδες. 6. Να επιλυθούν με τη μέθοδο Simplex τα παρακάτω προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού: α) Μεγιστοποίηση της z=3x1+2x2 με περιορισμούς 2x1+x2 ≤ 4, 2x1+5x2 ≤10, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 β) Μεγιστοποίηση της z=5x1+3x2 με περιορισμούς 2x1+x2 ≤ 6, x1+x2 ≤ 4, x2 ≥ 1, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 γ) Μεγιστοποίηση της z=2x1+x2 με περιορισμούς x1+x2 ≤ 5, x1 ≤ 3, x2 ≤ 4, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 δ) Μεγιστοποίηση της z=x1+x2 με περιορισμούς 3x1+x2≥6, 4x1+3x2 ≤12, x1+3x2 ≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 ε) Μεγιστοποίηση της z= x1+2x2+3x3 με περιορισμούς 7x1+x3≤6, x1+2x2≤20, 3x2+4x3≤30, x1≥0, x2≥0 και x3≥0 Λύση

α) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=3x1+2x2 ή αλλιώς της max z-3x1-2x2+0y1+0y2=0, με τους περιορισμούς

1 2

1 2

2 42 5 10x xx x

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1 1 0 42 5 0 1 10x x s sx x s s


Μήτρα Simplex 1 (Αρχική)

x1 x2 s1 s2 b --------------------------

1

2

2 1 1 0 42 5 0 1 103 2 0 0 0

yyz

Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1

x1 x2 s1 s2 b -------------------------------

1

2 2 2 1

3 3 1

1 11 0 22 22 5 0 1 10 2

33 2 0 0 0

xy R r rz R r r

Μήτρα Simplex 2

x1 x2 s1 s2 b --------------------------

1

2

1 11 0 22 20 4 1 1 6

310 0 62 2

xyz


x1 x2 s1 s2 b -------------------------------

21 1

1

2

23 3

1 11 0 2 22 231 10 1 4 4 2

310 0 62 2 2

rR rxyz rR r

Μήτρα Simplex 3 (Τελική)

x1 x2 s1 s2 b -------------------------------

1

2

5 511 0 8 8 431 10 1 4 4 2

11 10 0 6,758 8

xxz


Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1= 54 , x2= 3

2 , τιμές οι οποίες δίνουν

μέγιστη τιμή z=6,75.

β) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=5x1+3x2 ή αλλιώς της max z-5x1-3x2+0y1+0y2+0y3 = =0, με τους περιορισμούς

1 2

1 2

2

2 641

x xx xx

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

2 1 1 0 0 61 1 0 1 0 40 1 0 0 1 1

x x s s sx x s s sx x s s s


x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------

1

2

3

2 1 1 0 0 61 1 0 1 0 40 1 0 0 1 15 3 0 0 0 0

yyyz


x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------

1

2

3

1 11 0 0 32 21 1 0 1 0 40 1 0 0 1 15 3 0 0 0 0

yyyz

2 2 1

4 4 15

R r r

R r r

Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------

1

2

3

1 11 0 0 32 21 10 1 0 12 2

0 1 0 0 1 1510 0 0 152 2

xyyz



x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------------

1

2

2

xyxz

31 1

32 2

34 4

1 11 0 0 3 22 21 10 1 0 12 2 2

0 1 0 0 1 1

510 0 0 152 2 2

rR r

rR r

rR r


x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------------

1

2

2

51 11 0 02 2 21 1 10 0 12 2 2

0 1 0 0 1 15 10 0 0 15,52 2

xyxz

Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1= 52 , x2=1, τιμές οι οποίες δίνουν

μέγιστη τιμή z=15,5.

γ) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=2x1+x2 ή αλλιώς της max z-2x1-1x2+0y1+0y2+0y3=0, με τους περιορισμούς

1 2

1

2

534

x xxx

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 1 1 0 0 51 0 0 1 0 30 1 0 0 1 4



x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------

1

2

3

1 1 1 0 0 51 0 0 1 0 30 1 0 0 1 42 1 0 0 0 0

yyyz



x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------

1 1 1 2

1

3

4 4 2

1 1 1 0 0 51 0 0 1 0 30 1 0 0 1 4

22 1 0 0 0 0

y R r rxyz R r r


x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------

1

1

3

0 1 1 1 0 21 0 0 1 0 30 1 0 0 1 40 1 0 2 0 6

yxyz


x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------

2

1

3 3 3 1

4 4 1

0 1 1 1 0 21 0 0 1 0 30 1 0 0 1 40 1 0 2 0 6

xxy R r rz R r r


x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------

2

1

3

0 1 1 1 0 21 0 0 1 0 30 0 1 1 1 20 0 1 1 0 8

xxyz

Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1=3, x2=2, τιμές οι οποίες δίνουν μέγιστη τιμή z==8.

δ) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=x1+x2=0 ή αλλιώς της max z-1x1-1x2+0y1+0y2+0y3=0, με τους περιορισμούς


1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

3 6 3 64 3 1̀2 4 3 12

3 6 3 6

x x x xx x x xx x x x

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

3 1 1 0 0 64 3 0 1 0 121 3 0 0 1 6


Μήτρα Simplex 1 (Αρχική) x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------

1

2

3

3 1 1 0 0 64 3 0 1 0 121 3 0 0 1 61 1 0 0 0 0

yyyz


x1 x2 s1 s2 s3 b -------------------------------

1

2 2 2 1

3 3 3 1

4 4 1

1 11 0 0 23 344 3 0 1 0 12

1 3 0 0 1 61 1 0 0 0 0

xy R r ry R r rz R r r

Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------

1

2

3

1 11 0 0 23 35 40 1 0 43 38 10 0 1 43 32 10 0 0 23 3

xyyz



x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------------

21 1

1

2

3 23 3

24 4

1 11 0 0 2 33 334 120 1 05 5 5

8 810 0 1 43 3 32 1 20 0 0 23 3 3

rR rxxy rR rz

rR r


x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------------

1

2

3

3 11 0 0 1, 25 5340 1 0 2, 45 5

9 80 0 1 2, 45 51 20 0 0 3,65 5

xxyz

Καταλήγοντας, η λύση του προβλήματος είναι x1=1,2, x2=2,4, τιμές οι οποίες δίνουν μέγιστη τιμή z=3,6.

ε) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα θα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της z=x1+2x2+3x3 ή αλλιώς της max z-x1-2x2-3x3+ 0y1+ +0y2+0y3=0 με τους περιορισμούς

1 3

1 2

2 3

7 62 203 4 30

x xx x

x x

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

7 0 1 1 0 0 61 2 0 0 1 0 200 3 4 0 0 1 30

x x x s s sx x x s s sx x x s s s

Μήτρα Simplex 1 (Aρχική)

x1 x2 x3 s1 s2 s3 b --------------------------------

1

2

3

7 0 1 1 0 0 61 2 0 0 1 0 200 3 4 0 0 1 301 2 3 0 0 0 0

yyyz



x1 x2 x3 s1 s2 s3 b ----------------------------------

3

2

3 3 13

4 4 1

7 0 1 1 0 0 61 2 0 0 1 0 20

40 3 4 0 0 1 3031 2 3 0 0 0 0

xy

R r ryR r rz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b ------------------------------------

3

2

3

7 0 1 1 0 0 61 2 0 0 1 0 20

28 3 0 4 0 1 620 2 0 3 0 0 18

xyyz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b

-------------------------------------------------------------------

3

2 2 32

2

4 4 3

7 0 1 1 0 0 6

1 2 0 0 1 0 20 228 1 0 4 0 1 2

3 33220 2 0 3 0 0 18

xR r ry

xR r rz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b --------------------------------------------

3

2

2

7 0 1 1 0 0 659 8 20 0 1 163 3 328 4 11 0 0 23 3 34 1 20 0 0 223 3 3

xyxz

Συμπερασματικά, οι λύσεις του προβλήματος είναι x1=0, x2=2 και x3=6, ενώ η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το z=22.


7. Να επιλυθούν με τη μέθοδο Simplex τα παρακάτω προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού:

α) Ελαχιστοποίηση της z=x1+x2 με περιορισμούς 5x1+3x2 ≥ 15, 2x1+7x2≥14, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 β) Ελαχιστοποίηση της z= -2x1+x2 με περιορισμούς x1+2x2 ≤ 6, 3x1+2x2 ≤12, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 γ) Ελαχιστοποίηση της z=5x1+2x2 με περιορισμούς 3x1+x2 ≥6, 4x1+3x2 ≤ 12, x1+3x2 ≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 δ) Ελαχιστοποίηση της z=x1+2x2+3x3 με περιορισμούς x1+x2+x3 ≥500, x1+2x2+3x3 ≥700, -x2+3x3 ≤ 0, x1 ≥0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 Λύση

α) Οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς με την εισαγωγή ισάριθμων αδρανών μεταβλητών, οπότε το πρόβλημα συνίσταται στην ελαχιστοποίηση της z=x1+x2 ή της –z= -x1-x2, ή αλλιώς της max (-z)+ x1+x2+0s1+0s2=0 με τους περιορισμούς

1 2

1 2

5 3 152 7 14x xx x

1 2

1 2

5 3 152 7 14x xx x

1 2 1 2

1 2 1 2

5 3 1 0 152 7 0 1 14x x s sx x s s

Έτσι, η αρχική μήτρα Simplex 1 είναι: Μήτρα Simplex 1 (Αρχική)

x1 x2 s1 s2 b -----------------------------------

1

2

5 3 1 0 152 5 0 1 141 1 0 0 0

yyz


x1 x2 s1 s2 b

-----------------------------------------

1 1 1 2

2

3 3 2

5 3 1 0 15 32 11 0 27 7

1 1 0 0 0

y R r rxz R r r



x1 x2 s1 s2 b -------------------------------------------------

1

2

29 30 1 97 72 11 0 27 75 10 0 27 7

yxz


x1 x2 s1 s2 b ------------------------------------------------

1

2 2 2 1

3 3 1

1 0 7 3 6329 29 29

2 1 0 1 2 27 7 7

55 0 0 1 27 77

xx R r rz R r r


x1 x2 s1 s2 b -------------------------------------------------------------

1

2

1 0 7 3 6329 29 29

0 1 2 5 4029 29 29

0 0 5 2 1032929 29

xxz

Καταλήγοντας, αφού πλέον στη μήτρα Simplex 3 και στη στήλη b δεν περιέχεται αρνητικό στοιχείο (πλην του στοιχείου της 3ης σειράς), ο έλεγχος μέγιστης τιμής

οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η λύση είναι 163

29x και 240

29x , με μέγιστη τιμή

την 10329z και συνεπώς ελάχιστη την 103

29z .

β) Το παρόν πρόβλημα δεν είναι ένα τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης, καθόσον οι περιορισμοί αφορούν γραμμικές συναρτήσεις με τιμές μικρότερες ή ίσες προς κάποια σταθερά. Έτσι, η ελαχιστοποίηση της z = -2x1+x2 θα αντιστοιχεί με τη μεγιστοποίηση της -z=2x1-x2 ή αλλιώς της max (-z) -2x1+x2+0s1+0s2=0


με τους περιορισμούς 1 2

1 2

2 63 2 12x xx x

και με την εισαγωγή σ’ αυτούς ισάριθμων

αδρανών μεταβλητών, έτσι που αυτοί μετατρέπονται σε ισοτικούς, ως

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 0 63 2 0 1 12x x s sx x s s

. Συνεπώς, η αρχική μήτρα Simplex 1 είναι η


x1 x2 s1 s2 b ----------------------------

1

2

1 2 1 0 63 2 0 1 122 1 0 0 0

yyz


x1 x2 s1 s2 b -------------------------------

1 1 1 2

1

3 3 2

1 2 1 0 6

2 11 0 43 322 1 0 0 0

y R r rxz R r r


x1 x2 s1 s2 b -----------------------------------------

1

1

4 10 1 23 32 11 0 43 37 20 0 83 3

yxz

Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της θετικά προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή z*=8 επιτυγχάνεται με τιμές x1=4 και x2=0. Συνεπώς, αφού –z=8, η ελάχιστη τιμή θα είναι η z= -8.

γ) Το παρόν πρόβλημα δεν είναι ένα τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης, καθόσον δύο από τους περιορισμούς αφορούν γραμμικές συναρτήσεις με τιμές μεγαλύτερες ή ίσες προς κάποια σταθερά. Έτσι, η ελαχιστοποίηση της z = 5x1+2x2 θα αντιστοιχεί με


τη μεγιστοποίηση της -z= -5x1- 2x2 ή της max 1 2( ) 5 2 0z x x ή αλλιώς της

1 2 1 2 3max( ) 5 2 0 0 0 0z x x s s s με τους περιορισμούς

1 2

1 2

1 2

3 64 3 12

3 6

x xx xx x

1 2

1 2

1 2

3 64 3 12

3 6

x xx xx x

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

3 1 1 0 0 64 3 0 1 0 121 3 0 0 1 6


Έτσι, η αρχική μήτρα Simple 1 είναι η Μήτρα Simplex 1 (Aρχική)

x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------

1

2

3

3 1 1 0 0 64 3 0 1 0 121 3 0 0 1 65 2 0 0 0 0

yyyz


x1 x2 s1 s2 s3 b ----------------------------------

1

2 2 12

3 3 13

4 4 1

1 11 0 0 23 344 3 0 1 0 12

1 3 0 0 1 655 2 0 0 0 0

xR r ryR r ryR r rz


x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------------

1

2

3

1 11 0 0 23 35 40 1 0 43 38 10 0 1 43 3

510 0 0 103 3

xyyz



x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------------

31 11

2 2 2 3

2

34 4

1 11 0 0 23 3 35 40 1 0 4 53 3

3 310 1 08 8 2510 0 0 10 33 3

rR rxy R r rxz rR r


x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------------------

1

2

2

3 311 0 08 8 29 5 30 0 18 8 2

3 310 1 08 8 213 10 0 0 10,58 8

xyxz

Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής θετικά, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή -z= -

10,5 επιτυγχάνεται με τιμές 13

2x και 23

2x . Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή θα είναι

η z= 10,5.

δ) Το παρόν πρόβλημα δεν είναι ένα τυπικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης, καθόσον δύο από τους περιορισμούς αφορούν γραμμικές συναρτήσεις με τιμές μεγαλύτερες ή ίσες προς κάποια σταθερά. Έτσι, η ελαχιστοποίηση της z = x1+2x2+3x3 θα αντιστοιχεί με τη μεγιστοποίηση της -z= -x1- 2x2-3x3 ή της 1 2 3( ) 2 3 0z x x x ή αλλιώς της

1 2 3 1 2 3( ) 1 2 3 0 0 0 0z x x x s s s με τους περιορισμούς

1 2 3

1 2 3

2 3

5002 3 700

3 0

x x xx x x

x x

1 2 3

1 2 3

2 3

5002 3 700

3 0

x x xx x x

x x

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 0 0 5001 2 3 0 1 0 7000 1 3 0 0 1 0

x x x s s sx x x s s sx x x s s s


Έτσι, η αρχική μήτρα Simplex 1 είναι η Μήτρα Simplex 1 (Αρχική)

x1 x2 x3 s1 s2 s3 b --------------------------------------------------------------

1

2

3

1 1 1 1 0 0 5001 2 3 0 1 0 7000 1 3 0 0 1 01 2 3 0 0 0 0

yyyz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b ------------------------------------------------------------

1

2 2 12

3

4 4 1

1 1 1 1 0 0 5001 2 3 0 1 0 7000 1 3 0 0 1 01 2 3 0 0 0 0

xR r ry

yR r rz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b --------------------------------------------------------------

1

2

3

1 1 1 1 0 0 5000 1 2 1 1 0 2000 1 3 0 0 1 00 1 2 1 0 0 500

xyyz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b --------------------------------------------------------------

2 1 31

2 2 32

3

4 4 3

1 1 1 1 0 0 5000 1 2 1 1 0 200 2

1 10 1 0 0 03 331 2 3 0 0 0 0

R r rxR r ry

xR r rz



x1 x2 x3 s1 s2 s3 b ---------------------------------------------------------------

1

2

3

4 11 0 1 0 5003 35 20 0 1 1 2003 31 10 1 0 0 03 35 20 0 1 0 5003 3

xyxz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -----------------------------------------------------------

1 1 21

2

3

44 11 0 1 0 500 33 33 3 20 1 0 1205 5 5

1 10 1 0 0 03 31 3 0 0 0 1 0

R r rxxxz


x1 x2 x3 s1 s2 s3 b -------------------------------------------------------------

1

2

3

9 4 11 0 0 3405 5 53 3 20 1 0 1205 5 51 1 10 0 1 405 5 5

0 0 0 0 1 0 700

xxxz

Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής θετικά, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή –z = -700 επιτυγχάνεται με τιμές x1=340, x2=120 και x3=40. Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή θα είναι η z=700. 8. Ένας κτηνοτρόφος βρίσκει στην αγορά δύο είδη τροφής για τα ζώα που εκτρέφει στη γεωργική εκμετάλλευσή του. Γνωρίζοντας ότι αυτά χρειάζονται ημερησίως τουλάχιστον 5, 8 και 6 μονάδες από τα θρεπτικά συστατικά Α, Β και Γ αντίστοιχα, επιθυμεί να εκτιμήσει τις καθημερινές ποσότητες από κάθε είδος τροφής που ελαχιστοποιούν το ημερήσιο κόστος τροφής, ενώ συγχρόνως εξασφαλίζουν ότι τα


ζώα λαμβάνουν τις απαιτούμενες ποσότητες θρεπτικών συστατικών (ο πίνακας που ακολουθεί συνοψίζει την περιεκτικότητα σε θρεπτικά συστατικά και το κόστος της κάθε τροφής).

Θρεπτικά συστατικά (Μονάδες/χλγρ.) Α Β Γ

Κόστος (€/χλγρ.)

Τροφή 1 1 2 2 9 Τροφή 2 2 2 1 6

Να λυθεί το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Simplex του γραμμικού προγραμματισμού. Λύση

Το πρόβλημα συνίσταται στην ελαχιστοποίηση της συνάρτησης 1 29 6z x x

με τους περιορισμούς

1 22 5x x 1 22 2 8x x

1 22 6x x

1 20, 0x x

Το πρόβλημα, με τη χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών, μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως η ελαχιστοποίηση της

1 2 1 2 39 6 0 0 0z x x s s s ή η μεγιστοποίηση της

1 2 1 2 39 6 0 0 0z x x s s s ή αλλιώς της

1 2 1 2 3max( ) 9 6 0 0 0 0z x x s s s , με τους περιορισμούς

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 2 1 0 0 52 2 0 1 0 82 1 0 0 1 6


1 20, 0x x

Με τη χρησιμοποίηση της μεθόδου Simplex αυτό επιλύεται ως ακολούθως: Μήτρα Simplex 1 (αρχική) x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------

1

2

3

1 2 1 0 0 52 2 0 1 0 82 1 0 0 1 69 6 0 0 0 0

yyyz


Ενδιάμεση μήτρα Simplex 1 x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------------

1 1 31

2 2 32

3

4 4 3

1 2 1 0 0 522 2 0 1 0 8

1 1 2 0 0 1 2 399 6 0 0 0 0

R r ryR r ry

yR r rz

Μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b ------------------------------------

1

2

1

0 3 2 1 0 1 2 20 1 0 1 1 21 1 2 0 0 1 2 30 3 2 0 0 9 2 27

yyxz

Ενδιάμεση μήτρα Simplex 2 x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------------------

1

2 2 12

3 3 11

4 4 1

0 1 2 3 0 1 3 4 30 1 0 1 1 2

21 1 2 0 0 1 2 33 20 3 2 0 0 9 2 27

yR r ryR r rxR r rz

Μήτρα Simplex 3 x1 x2 s1 s2 s3 b --------------------------------------

2

2

1

0 1 2 3 0 1 3 4 30 0 2 3 1 2 3 2 31 0 1 3 0 2 3 7 30 0 1 0 4 29

xyxz


Ενδιάμεση μήτρα Simplex 3 x1 x2 s1 s2 s3 b -----------------------------------------

1 1 22

2

3 3 21

4 4 2

2 30 1 2 3 0 1 3 4 30 0 1 3 2 1 1

31 0 1 3 0 2 3 7 30 0 1 0 4 29

R r rxy

R r rxR r rz

Μήτρα Simplex 4 (Τελική) x1 x2 s1 s2 s3 b ---------------------------------

2

2

1

0 1 0 1 1 20 0 1 3 2 1 11 0 0 1 2 1 20 0 0 3 2 3 30

xyxz

Αφού η τελευταία σειρά έχει όλα τα στοιχεία της προς τα αριστερά της κάθετης γραμμής θετικά, η λύση του προβλήματος έχει περατωθεί. Έτσι, η μέγιστη τιμή –z= -30 επιτυγχάνεται με τιμές x1 = x 2= 2. Συμπερασματικά, οι καθημερινές ποσότητες από κάθε είδος τροφής είναι 1 2 2x x , προκειμένου ο κτηνοτρόφος να ελαχιστοποιεί

το ημερήσιο κόστος διατροφής των ζώων του, το οποίο ανέρχεται σε 30 €/χλγρ.

9. Να υπολογιστούν τα δυικά για τα ακόλουθα πρωτεύοντα προβλήματα:

α) Ελαχιστοποίησης της z=3x1+2x2 με περιορισμούς 2x1+x2≥6, x1+x2≥ 4, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 β) Ελαχιστοποίησης της z=9x1+6x2 με περιορισμούς x1+2x2 ≥5, 2x1+2x2≥8, 2x1+x2≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 γ) Ελαχιστοποίησης της z=x1+x2 με περιορισμούς 3x1+x2≥6, 4x1+3x2≤12, x1+3x2≥6, x1 ≥0 και x2 ≥ 0 δ) Ελαχιστοποίησης της z=2x1+10x2+8x3 με περιορισμούς

x1+x2+x3 ≥6, x2+2x3≥8, -x1+2x2+2x3 ≥4 , x2 ≥ 0 και x3≥0.

Λύση

α) Με βάση τους συντελεστές των ανισοτήτων των περιορισμών 1 2

1 2

2 64

x xx x

και της

αντικειμενικής συνάρτησης 1 23 2z x x η αρχική μήτρα Τ είναι 2 1 61 1 43 2 0

T

και


η ανάστροφή της Τ΄ είναι 2 1 31 1 26 4 0

T΄

. Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται στη

μεγιστοποίηση της συνάρτησης 1 26 4u w w με περιορισμούς 1 2

1 2

2 32

w ww w

και η

αρχική μήτρα Simplex 1 του δυικού προβλήματος, με τη χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών είναι


y1 y2 s1 s2 b -----------------------------

2 1 1 0 31 1 0 1 26 4 0 0 0

η οποία, με τη διαδικασία της επίλυσης με την τεχνική Simplex δίνει


y1 y2 s1 s2 b ----------------------------------------

31 11 02 2 21 1 10 12 2 2

0 1 3 0 9

και τελικά


y1 y2 s1 s2 b ----------------------------

1 0 1 1 10 1 1 2 10 0 2 2 10

Από την τελική μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της u είναι η u=10. Συνεπώς, η αρχική λύση του αρχικού προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=10 η οποία επιτυγχάνεται με τιμές x1=x2=2.


β) Με βάση τους συντελεστές των ανισοτήτων των περιορισμών 1 2

1 2

1 2

2 52 2 82 6

x xx xx x

και

της αντικειμενικής συνάρτησης 1 29 6z x x η αρχική μήτρα Τ είναι

1 2 52 2 82 1 69 6 0

T

και η ανάστροφή της Τ΄ είναι 1 2 2 92 2 1 65 8 6 0

T΄

. Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται

στη μεγιστοποίηση της συνάρτησης 1 2 35 8 6u w w w με περιορισμούς

1 2 3

1 2 3

2 2 92 2 6w w ww w w

και η αρχική μήτρα Simplex 1 του δυικού προβλήματος, με τη

χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών, είναι


y1 y2 y3 s1 s2 b ----------------------------------

1 2 2 1 0 92 2 1 0 1 65 8 6 0 0 0


y1 y2 y3 s1 s2 b -------------------------------------

1 0 1 1 1 31 11 1 0 32 2

3 0 2 0 4 24


y1 y2 y3 s1 s2 b -------------------------------------------------

1 0 1 1 1 33 311 0 12 2 2

1 0 0 2 2 30


Aπό τη μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της u είναι η u= 30.

Συνεπώς, η αρχική λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=30 η οποία

επιτυγχάνεται με τιμές x1=x2=30.

γ) Αντιστρέφοντας τα πρόσημα των όρων του δεύτερου των περιορισμών, οι τρεις περιορισμοί γίνονται

1 2

1 2

1 2

3 64 3 12

3 6

x xx xx x

1 2

1 2

1 2

3 64 3 12

3 6

x xx xx x

. Με βάση τους συντελεστές των παραπάνω

ανισοτήτων και της αντικειμενικής συνάρτησης 1 2z x x , η αρχική μήτρα Τ είναι 3 1 64 3 121 3 61 1 0

T

και η ανάστροφή της Τ΄ είναι 3 4 1 11 3 3 16 12 6 0

T΄

.

Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της συνάρτησης

1 2 36 12 6u w w w με περιορισμούς 1 2 3

1 2 3

3 4 13 3 1

w w ww w w

και η αρχική μήτρα Simplex

1 του δυικού προβλήματος, με τη χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών, είναι η


y1 y2 y3 s1 s2 b -----------------------------------

3 4 1 1 0 11 3 3 0 1 16 12 6 0 0 0


y1 y2 y3 s1 s2 b -------------------------------------------------

4 1 1 11 03 3 3 35 8 1 20 13 3 3 3

0 4 4 2 0 2



y1 y2 y3 s1 s2 b -------------------------------------------------

9 3 1 11 08 8 8 85 31 20 18 8 8 8

0 1,5 0 1,5 1,5 3

Από την τελική μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της u είναι η u=3. Συνεπώς, η αρχική λύση του αρχικού προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=3 η οποία επιτυγχάνεται με τιμές x1=x2=1,5.

δ) Με βάση τους συντελεστές των ανισοτήτων των περιορισμών

1

1 2 3

2 3

2 3

62 8

2 2 4

x x xx x

x x x

και της αντικειμενικής συνάρτησης

1 2 32 10 8z x x x , η αρχική μήτρα Τ είναι 1 1 1 60 1 2 81 2 2 42 10 8 0

T

και η ανάστροφή της είναι η

1 0 1 21 1 2 101 1 2 86 8 4 0

T΄

. Συνεπώς, το πρόβλημα συνίσταται στη μεγιστοποίηση της

συνάρτησης 1 2 36 8 4u w w w με περιορισμούς 1 3

1 2 3

1 2 3

22 10

2 2 8

w ww w ww w w

και η αρχική

μήτρα Simplex 1 του δυικού προβλήματος, με τη χρησιμοποίηση αδρανών μεταβλητών είναι η


y1 y2 y3 s1 s2 s3 b ----------------------------------------

1 0 1 1 0 0 21 1 2 0 1 0 101 2 2 0 0 1 86 8 4 0 0 0 0



y1 y2 y3 s1 s2 s3 b ----------------------------------------------------------

1 0 1 1 0 0 2

1 0 1 0 1 1 62 2

1 1 1 0 0 1 42 22 0 4 0 0 4 32


y1 y2 y3 s1 s2 s3 b -----------------------------------------------------------

1 0 1 1 0 0 2

0 0 3 1 1 1 52 22

0 1 3 1 0 1 32 22

0 0 2 2 0 4 36

Από την τελική μήτρα Simplex 3 παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της είναι η u=36. Συνεπώς, η λύση του αρχικού προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η z=36 η οποία επιτυγχάνεται με τιμές x1=2, x2=0 και x3=4.


ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ

A μήτρα Α

|Α| ορίζουσα της μήτρας Α

_

Οριοθετημένη Εσσιανή ορίζουσα Α΄ ανάστροφη μήτρα της μήτρας Α Α-1 αντίστροφη μήτρα της μήτρας Α Adj(A) προσαρτημένη μήτρα Α ijCof προσημασμένη ελάσσονα μήτρα ως προς το στοιχείο ij

L κάτω τριγωνική μήτρα U άνω τριγωνική μήτρα LU τριγωνική ή LU παραγοντοποίηση r(A) βαθμός (τάξη) της μήτρας Α tr(A) ίχνος μήτρας Α α, c, k σταθερά b συντελεστής γωνιώδους διεύθυνσης C0 αρχική συνθήκη σε εξίσωση διαφορών

xy

κλίση μονομεταβλητής συνάρτησης

dxdy ή f΄(x) παράγωγος (πρώτη) μονομεταβλητής συνάρτησης y ως προς x

2

2

dxyd ή f΄΄(x) δεύτερη παράγωγος μονομεταβλητής συνάρτησης y ως προς x

n

n

d ydx

ή f(n)(x) n-στή παράγωγος μονομεταβλητής συνάρτησης y ως προς x

yd n ολικό διαφορικό νιοστής τάξης

e βάση του φυσικού λογάριθμου, ίση με 2,71828

i

yx

μερική παράγωγος της y ως προς το xi

),( zxfxy ΄

x

μερική (πρώτη) παράγωγος της συνάρτησης y ως προς x

),(2

2

zxfxy ΄́

xx

μερική παράγωγος δεύτερης τάξης της y ως προς x

),(2

zxfzxy ΄́

xz

σταυροειδής μερική παράγωγος δεύτερης τάξης της συνάρτησης y

ως προς z ( )f x dx αόριστο ολοκλήρωμα της y ως προς x


( )b

a

f x dx ορισμένο ολοκλήρωμα της y ως προς x, για το διάστημα τιμών από

x=α στο x=b

lim ( )x

f x

όριο της f(x) όταν το x τείνει στο άπειρο

λ πολλαπλασιαστής Lagrange, ιδιοτιμή Lg συνάρτηση Lagrange logbx λογάριθμος του x με βάση το b loge x ή ln x φυσικός λογάριθμος του x t χρόνος y=f(x) μονομεταβλητή συνάρτηση της y ως προς x y=f(x1,x2,…xn) πολυμεταβλητή συνάρτηση της y ως προς x1, x2, x3, …xn y=f(x1|x2,x3,…,xn) συνάρτηση της y ως προς x1 όταν οι λοιπές μεταβλητές διατηρούνται σταθερές 0y αρχική συνθήκη σε εξίσωση διαφορών

yt μεταβλητή y στο χρόνο t


ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Γενικά

AC μέσο κόστος AFC μέσο σταθερό κόστος AP μέσο προϊόν AR μέσα έσοδα AVC μέσο μεταβλητό κόστος β συντελεστής προσδοκίας επί της μέλλουσας να διαμορφωθεί τιμής αγαθού C κόστος (ολικό), δαπάνες παραγωγής, καταναλωτική δαπάνη

tC δαπάνη κατανάλωσης στην περίοδο t

D ζήτηση αγαθού, αξία απόσβεσης d συντελεστής επιτάχυνσης FC σταθερό κόστος Ι δαπάνη επένδυσης i τιμή μονάδας κεφαλαίου (επιτόκιο) K συντελεστής παραγωγής κεφάλαιο L συντελεστής παραγωγής εργασία La συντελεστής παραγωγής έδαφος m αυτόνομη δαπάνη επένδυσης p τιμή μονάδας αγαθού ή υπηρεσίας p* προσδοκώμενη τιμή αγαθού Π πολλαπλασιαστής π κέρδος q, y ποσότητα παραγόμενου ή πωλούμενου προϊόντος qD ποσότητα ζητούμενου αγαθού qS ποσότητα προσφερόμενου αγαθού

Dtq ποσότητα ζητούμενου αγαθού στην περίοδο t Stq ποσότητα προσφερόμενου αγαθού στην περίοδο t

R έσοδα (ολικά) r τιμή μονάδας εδάφους (ενοίκιο) S προσφορά αγαθού, αποταμίευση SW άθροισμα επίδρασης παρελθόντων τιμών επί της προσδοκώμενης τιμής t φόρος U ολική χρησιμότητα V παρούσα αξία οικονομικού πόρου VAP αξία μέσου προϊόντος VC μεταβλητό κόστος w τιμή μονάδας εργασίας (μισθός)


Υ εισόδημα z, x ποσότητα εισρεόμενου στην παραγωγή αγαθού (συντελεστής

παραγωγής) Ελαστικότητες

ib συντελεστής μερικής ελαστικότητας στη συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas

n συντελεστής ελαστικότητας

Cn ελαστικότητα (ολικού) κόστους

ACn ελαστικότητα μέσου κόστους

pDn ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή

YDn εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης

Sn ελαστικότητα προσφοράς

Rn ελαστικότητα εσόδων

ARn ελαστικότητα μέσων εσόδων

sbn ελαστικότητα υποκατάστασης

Tn ελαστικότητα μετασχηματισμού

Tsbn ελαστικότητα τεχνικής υποκατάστασης

yn ελαστικότητα παραγωγής

ib άθροισμα μερικών ελαστικοτήτων

Οριακά μεγέθη

MC οριακό κόστος MP οριακό προϊόν Mπ οριακό κέρδος MPC, c οριακή ροπή προς κατανάλωση MPI, i οριακή ροπή προς επένδυση MPS οριακή ροπή προς αποταμίευση MR οριακά έσοδα MRS οριακή σχέση υποκατάστασης MRT οριακή σχέση μετασχηματισμού MRTS οριακή σχέση τεχνικής υποκατάστασης MU οριακή χρησιμότητα VMP αξία οριακού προϊόντος


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Allen. R.G.D., 1966. Mathematical Analysis for Economists, McMillan and Co. Ltd.,

London. Bushaw, D.W. and R.W. Clower. 1957. Introduction to Mathematical Economics,

Richard D. Irwin, Homewood, Ill. Chiang, A.C. 2001. Μαθηματικές Μέθοδοι Οικονομικής Ανάλυσης, τόμος Β΄, Εκδόσεις

Κριτική. Dinwiddy, Caroline. 1967. Elementary Mathematics for Economists. 1967. Oxford

University Press, London. Ferguson, C.E. 1973. Μικροοικονομική θεωρία. Μετάφραση Δ. Ζαχαριάδη-Σούρα, Ε.

Ζερβουδάκη, τόμοι 1 και 2, Εκδόσεις Παπαζήση, Αθήνα. Frisch, R., 1966. Maxima and Minima: Theory and Economic Applications, Rand

McNally and Co., Chicago, Ill. Haines, B. 1978. Introduction to Quantitative Economics, George Allen, and Union

Ltd, London. Henry, S.G.B. 1970. Elementary Mathematical Economics, Routledge and Kegan Paul,

London. Holden, K. and A. Pearson, 1983. Introductory Mathematics for Economists,

McMillan Press, London. James, D.E. and C.D. Throsby, 1973. Introduction to Quantitative Methods in

Economics, John Wiley and Sons, Australia Pty Ltd., Sydney. Λουκάκης Μ. 1988. Μαθηματικά Οικονομικών Επιστημών, τόμος Α΄, Εκδόσεις Σοφία

Α.Ε., Θεσσαλονίκη. McCormick, B.J. et al., 1974. Introducing Economics, Penguin Education, England. Peston, M.H. 1969. Elementary Matrices for Economics, Routledge & Kegan Paul Ltd,

London. Yamane, T., 1968. Mathematics for Economists, an Elementary Survey, Prentice-Hall,

Inc., Englewood, Cliffs, N.J.


Η ιδέα για τις Εκδόσεις Σαΐτα ξεπήδησε τον Ιούλιο του 2012 με πρωταρχικό σκοπό τη δημιουργία ενός χώρου όπου τα έργα συγγραφέων θα συνομιλούν άμεσα, δωρεάν και ελεύθερα με το αναγνωστικό κοινό. Μακριά από το κέρδος, την εκμετάλλευση και την εμπορευματοποίηση της πνευματικής ιδιοκτησίας, οι Εκδόσεις Σαΐτα επιδιώκουν να επαναπροσδιορίσουν τις σχέσεις Εκδότη-Συγγραφέα-Αναγνώστη, καλλιεργώντας τον πραγματικό διάλογο, την αλληλεπίδραση και την ουσιαστική επικοινωνία του έργου με τον αναγνώστη δίχως προϋποθέσεις και περιορισμούς.

Ο ισχυρός άνεμος της αγάπης για το βιβλίο, το γλυκό αεράκι της δημιουργικότητας,

ο ζέφυρος της καινοτομίας, ο σιρόκος της φαντασίας, ο λεβάντες της επιμονής, ο γραίγος του οράματος,

καθοδηγούν τη σαΐτα των Εκδόσεών μας.

Σας καλούμε λοιπόν να αφήσετε τα βιβλία να πετάξουν ελεύθερα!


To έργο απευθύνεται σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές των Οικονομικών Επιστημών και της Διοίκησης Επιχειρήσεων, σε αποφοίτους των παραπάνω Σχολών, καθώς και σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς σπουδαστές όλων των οικονομικών κατευθύνσεων. Ενδιαφέρει, ακόμη, τους σπουδαστές και αποφοίτους της μαθηματικής επιστήμης που θα επιθυμούσαν να κατανοήσουν, με βάση τη μαθηματική λογική, τον τρόπο οργάνωσης, λειτουργίας και αλληλεπίδρασης των οικονομικών μονάδων ενός μικροοικονομικού συστήματος. Σίγουρα, αποτελεί αναγκαίο βοήθημα για τους υποψηφίους των πανελλαδικών εξετάσεων θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του μαθήματος των αρχών της Οικονομικής Θεωρίας, του πεδίου των επιστημών Οικονομίας και Διοίκησης. Περιέχει τις λύσεις 250 ασκήσεων, των οποίων οι εκφωνήσεις δίνονται στο τέλος του καθενός από τα εννέα ομώνυμα κεφάλαια του προηγηθέντος σε έκδοση έντυπου έργου με τον τίτλο «Μαθηματική Οικονομική Ανάλυση». Η αρίθμηση και η εκφώνηση των ασκήσεων στο παρόν σύγγραμμα είναι η ίδια με αυτή που ακολουθείται στο προαναφερόμενο πόνημα και με σειρά αντίστοιχη της θεωρίας που αυτό περιλαμβάνει. Επισημαίνεται ότι χρησιμοποιούνται οι ίδιοι συμβολισμοί όρων με αυτούς του προαναφερόμενου έντυπου έργου, προκειμένου να διευκολυνθεί ο αναγνώστης στην κατανόηση των οικονομικών εννοιών και σχέσεων με βάση τη μαθηματική ορολογία. Τέλος, παρατίθεται σημαντικός αριθμός βιβλιογραφικών αναφορών ελληνικής και ξενόγλωσσης βιβλιογραφίας που έχουν χρησιμοποιηθεί κατά τη συγγραφή του παρόντος πονήματος.

ISBN: 978-618-5147-11-2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Documents

Transcript of ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ