ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ

Αρσάκεια – Τοσίτσεια Σχολεία

1

B΄ ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ – ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Κωνικές Τοµές

«οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». (J. Steiner 1796 – 1863)

Εκάλη Μάρτιος 2007

Παρουσίαση: Π. Παπαθανασίου, Π. Λιναρδάκης, Μ. Τσιλπιρίδης


2

1. Από τον Μέναιχµο στον Απολλώνιο Η φράση «µηδέ Μεναιχµείους κωνοτοµεί τριάδας» συνηγορεί στην άποψη ότι οι τρεις καµπύλες-τοµές κώνου ανακαλύφθηκαν από τον Μέναιχµο, στην προσπάθειά του να λύσει το περίφηµο (ένα από τα τρία διάσηµα και άλυτα προβλήµατα της αρχαιότητας) ∆ήλιο πρόβληµα 1 . Η άποψη αυτή είναι επικρατέστερη στη ιστορία των µαθηµατικών, αλλά διατυπώνεται τελευταία και η άποψη να ανακαλύφθηκαν οι καµπύλες αυτές πριν τον Μέναιχµο. Επίσης υποστηρίζεται ότι µπορεί να ανακαλύφθηκαν πρώτα ως επίπεδες καµπύλες και µετά να διαπιστώθηκε ότι µπορούν να προκύψουν και ως τοµές κώνου. Ακόµη ο ιστορικός Ο. Νeugebauer, στο έργο του Apollonius-Stydien (1932), υποστηρίζει ότι οι κωνικές τοµές ανακαλύφθηκαν από την µελέτη των ηλιακών ρο-λογιών. Αν και δεν είναι µε βεβαιότητα γνωστό πώς έφτασε ο Μέναιχµος να συσχετίσει τις καµπύλες που ζητούσε µε τις τοµές κώνου µε επίπεδο, γεγονός είναι ότι αποτέλεσε ένα σπουδαίο επίτευγµα µε µεγάλες συνέπειες στην ανάπτυξη των θετικών επιστηµών. Σύµφωνα πάντως µε τις πηγές, ο Μέναιχµος θεώρησε τις τοµές της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου από ένα επίπεδο που ήταν κάθετο σε µια γενέτειρά του. Ανάλογα µε τη γωνία της κορυφής του κώνου, οι κα-µπύλες αυτές είναι διαφορετικές και ο-νοµάζονται αντίστοι-χα, οξυγωνίου, ορθο-γωνίου,και αµβλυγω-νίου κώνου τοµές. Τα ονόµατα αυτά των κωνικών τοµών διατηρήθηκαν για πολλά χρόνια, µέχρι που ο Απολλώνιος (260 π.Χ.-170 π.Χ) όρισε τις ίδιες καµπύλες µε έναν κάπως διαφορετικό (αλλά ισοδύναµο) τρόπο και τους έδωσε τα γνωστά σήµερα ονόµατα έλλειψη, παραβολή και υπερβολή αντίστοιχα.

1 To πρόβληµα αυτό συνδέθηκε µάλιστα και µε ένα µύθο, έναν χρησµό που λέγεται ότι έδωσε το µαντείο των ∆ελφών στους ∆ήλιους. Προκειµένου να απαλλαγούν από τον λιµό που τους µάστιζε, έπρεπε να διπλασιάσουν τον βωµό του ∆ηλίου Απόλλωνα. Έτσι ονοµάστηκε και «∆ήλιον πρόβληµα»: Να κατασκευαστεί, µε κανόνα και διαβήτη, ακµή κύβου ο οποίος να έχει όγκο διπλάσιο του όγκου ενός δοσµένου κύβου,δηλαδή, µε σύγχρονο συµβολισµό, αν α η ακµή του δο-σµένου κύβου, ζητείται να κατασκευαστεί µε κανόνα και διαβήτη τµήµα x ώστε x3 = 2 α3.


3

2. Ονοµασίες κωνικών τοµών κατά τον Απολλώνιο

2.1 Παραβολή ΠΡΟΤΑΣΗ (Κωνικά, βιβλίο α΄, Πρόταση 11, [1] τόµος α΄,) Έστω ένα κώνος (ορθός ή µη) µε βάση τον κύκλο (διαµέτρου) ΒΓ και µια το-µή του ΑΒΓ από επίπεδο που περιέχει τον άξονα του κώνου. Θεωρούµε ένα επίπεδο (S) παράλληλο προς µια µόνο γενέτειρα του κώνου, έστω την ΑΓ, ώστε να τέµνει την ΒΓ κατά ευθεία ∆Ρ κάθετη στην ΒΓ (δεν βλάπτεται η γενικότητα, γιατί για ο-ποιαδήποτε επίπεδο τοµής (S), µπο-ρούµε να πάρουµε το αξονικό τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε η ΒΓ να είναι κάθετη στην ∆Ρ). Το επίπεδο (S) ορίζεται από την κάθετη Ρ∆ στη ΒΓ και από την ΗΖ, όπου ΗΖ//ΑΓ. Έτσι ΖΗ είναι η τοµή του επιπέδου τοµής (S) µε το επίπεδο ΑΒΓ και έστω ∆ΖΡ η τοµή του (S) µε την επιφάνεια του κώ-νου. Αποδεικνύεται τότε (µε οµοιότητες τριγώνων) ότι:

2ΜΛ = ΖΘ ⋅ΖΛ από όπου προκύπτει ότι το τετράγω-νο πλευράς ΜΛ είναι ισοδύναµο µε το ορθογώνιο µε πλευρές ΖΘ και ΖΛ. Το τµήµα ΖΘ λέγεται παράµετρος και είναι η πλευρά του ορθογωνίου που παραβάλλεται σε αυτή.


4

2.1.1 Γεωµετρική Κατασκευή σηµείων της παραβολής

2.2 Υπερβολή

ΠΡΟΤΑΣΗ (Κωνικά, βιβλίο α΄, Πρόταση 12, [1] τόµος α΄,) Έστω ένα κώνος µε βάση τον κύκλο (δια-µέτρου) ΒΓ και µια τοµή του ΑΒΓ από επί-πεδο που περιέχει τον άξονα του κώνου. Θεωρούµε ένα επίπεδο (S), που τέµνει την γενέτειρα ΑΒ σ’ ένα εσωτερικό σηµείο Ζ του τµήµατος ΑΒ και την αντικείµενη της ηµιευθείας ΑΓ σ’ ένα σηµείο Τ, ώστε να τέµνει το επίπεδο της βάσης του κώνου κα-τά ευθεία Ν∆ κάθετη στην ΒΓ Έστω ΗΖΤ η τοµή του επιπέδου τοµής (S) µε το επίπεδο ΑΒΓ. Ανάλογα µε την παραβολή αποδεικνύεται ότι:


5

2

ΜΛ = ΖΛ ⋅ΛΞ Εποµένως το τετράγωνο µε πλευ-ρά ΜΛ είναι ισοδύναµο µε το ορ-θογώνιο ΖΙΞΛ που υπερβάλλει του τετραγώνου πλευράς ΜΛ.

2.3 Έλλειψη ΠΡΟΤΑΣΗ (Κωνικά, βιβλίο α΄, Πρόταση 13, [1] τόµος α΄,) Έστω ένα κώνος µε βάση τον κύκλο διαµέτρου ΒΓ και µια τοµή του ΑΒΓ από επίπεδο που περιέχει τον άξονα του κώνου. Θεωρούµε ένα επίπεδο (S) που τέµνει όλες τις γενέτειρες του κώνου, ώστε να τέµνει το επίπεδο της βάσης του κώνου κατά ευθεία ΣΗ κάθετη (δεν βλάπτεται η γενικότητα, βλέπε αντίστοιχη παρατή-ρηση στην παραβολή) στην ΒΓ. Έστω Ζ∆Η η τοµή του επιπέδου τοµής (S) µε το επίπεδο ΑΒΓ.


6

Τότε αποδεικνύεται ότι:

2MΛ = ΖΛ ⋅ΛΝ δηλαδή το τετράγωνο πλευράς ΜΛ είναι ισοδύναµο µε το ορ-θογώνιο µε πλευρές ΖΛ και ΛΝ το οποίο ελλείπει από το ορθογώνιο ΖΘΤΛ που ορίζει η ΖΛ («αποτεµνοµένη») και η σταθερή (παράµετρος) ΖΘ, κα-τά το ορθογώνιο ΦΘΤΝ που είναι όµοιο µε το ορθογώνιο ΘΖxΖ∆ . 2.3.1 Γεωµετρική κατασκευή σηµείων της έλλειψης και της υπερβολής 1ος τρόπος Παρακάτω περιγράφο-νται δύο κατασκευές ση-µείων έλλειψης και υ-περβολή από τις δεκάδες που υπάρχουν στη βι-βλιογραφία.. Ο διαφορε-τικός τρόπος προσέγγι-σης του θέµατος ασφα-λώς και έχει να κάνει µε το πλούσιο σε ιδιότητες των κωνικών τοµών.


7

2ος τρόπος


8

3. Ενιαίος Ορισµός Κωνικών Τοµών Ο ορισµός που ακολουθεί έχει ως αφετηρία την ιδιότητα του λόγου των κωνικών, η οποία ήταν γνωστή στον Ευκλείδη. 3.1 ΟΡΙΣΜΟΣ 2 Σ’ ένα επίπεδο θεωρούµε ένα (σταθερό) σηµείο Ε και µια (σταθερή) ευθεία (δ), στην οποία δεν α-νήκει το σηµείο Ε. Καλούµε κωνική τοµή το σύνολο των σηµείων ενός επιπέδου τα οποία έχουν την ιδιότητα, ο λόγος των αποστάσεων τους από το σηµείο Ε και την ευθεία (δ), είναι σταθερός. Ο σταθερός αυτός λόγος που συµβολίζεται µε ε και λέγεται εκκεντρότητα της κωνικής. Το σηµείο Ε λέγεται εστία και η ευθεία (δ) διευθετούσα της κωνικής. • Αν ε = 1 η κωνική λέγεται παραβολή 3. • Αν 0 < ε < 1 η κωνική τοµή λέγεται έλλειψη. • Αν ε > 1 η κωνική λέγεται υπερβολή. Βλέπουµε ότι µε βάση τον ορισµό αυτό η εκκεντρότητα έχει µια γεωµετρική σηµασία. Η µεταβολή της, από τιµές θετικές και µικρότερες του ένα, στην τιµή ένα και στην συνέχεια σε τιµές µεγαλύτε-ρες του ένα, χαρακτηρίζει την εκάστοτε αντίστοιχη καµπύλη. Στο επόµενο σχήµα φαίνεται ακριβώς αυτή η συνέπεια στην µεταβολή της εκκεντρότητας. H έλλειψη και η υπερβολή λέγονται και κεντρικές κωνικές, επειδή όπως είναι γνωστό έχουν κέ-ντρο συµµετρίας.

2 εφ2 – σελ 110 -111 3 Από αυτό προκύπτει και ο σχολικός ορισµός για την παραβολή ως το γεωµετρικό τόπο των σηµείων που ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευθετούσα (δ) (δηλαδή ο λόγος αυτός των αποστάσεων είναι σταθερός και ίσος µε 1).

Κωνικές τoµές, µε κοινή εστία Ε, διευθετούσα (δ), ΟΕ = 6 και εκκεντρότητα: ε = 1/5, 1/3, 1/2, 5/7, 1, 2, 3, 5.


9

Σηµείωση Ο ορισµός αυτός δεν περιλαµβάνει την περίπτωση του κύκλου, οποίος είναι ασφαλώς κωνική τοµή. Συνηθίζουµε όµως όταν µιλάµε για κωνικές, να αναφερόµαστε µόνο στις καµπύλες, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή. Αυτό δεν είναι παράλειψη, γιατί ο κύκλος µπορεί να θεωρηθεί ως µια ειδική µορφή έλλειψης. Βέβαια υπάρχει και η περίπτωση που η κωνική τοµή µπορεί να είναι ευθεία ή σηµείο (όταν το επίπεδο τοµής διέρχεται από τον άξονα του κώνου ή µόνο από την κορυφή του), αλλά αυτές, τις εκφυλισµένες περι-πτώσεις, συνήθως δεν τις εξετάζουµε, ούτε τις περιλαµβάνουµε στην ονοµασία κωνικές τοµές.

2ος Ενιαίος Ορισµός Κωνικών Τοµών Εδώ δίνουµε εναλλακτικά και ένα 2ο ενιαίο ορισµό των κωνικών τοµών (που ασφαλώς παρουσιάζει οµοιότη-τες µε τον προηγούµενο) µε τη δια-φορά από τον προηγούµενο ότι σε αυτόν η διευθετούσα είναι κύκλος εκτός της περίπτωσης που έχουµε παραβολή που η διευθετούσα παρα-µένει ευθεία. 3.2 ΟΡΙΣΜΟΣ Κωνική τοµή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σταθερό ση-µείο Ε΄ (εστία της κωνικής) και ένα σταθερό κύκλο (διευθετούσα) της κωνικής. Εκκεντρότητα ε της κωνικής ορίζου-

µε το λόγο EE'

AA'ε = οπότε:

• Για 1ε < η κωνική θα είναι έλλειψη µε ειδική περίπτωση όταν 0ε = του κύκλου.

• Για 1ε > η κωνική θα είναι

υπερβολή. • Για ε→∞ η κωνική θα εί-

ναι παραβολή.


10

4. Τα τρία διάσηµα προβλήµατα της αρχαιότητας.

4.1. Το ∆ήλιο πρόβληµα

Το δήλιο πρόβληµα ή ο διπλασιασµός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωµέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε µια έντονη ανάπτυξη της Γεωµετρίας.

Το δήλιο πρόβληµα απόκτησε δηµοσιότητα όταν το ανέφερε, σε µια τραγωδία o βασιλιάς της Κρή-της Μίνως διαµαρτυρόµενος γιατί το κενοτάφιο, που προοριζόταν για το γυιό του Γλαύκο, ήταν πολύ µικρό για βασιλικό µνηµείο και απαιτούσε το διπλασιασµό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχήµα. Πανελλήνια γνωστό όµως έγινε το πρόβληµα αυτό όταν αναφέρθηκε από το µαντείο του ∆ήλιου Απόλλωνα, όταν δηλαδή ρωτήθηκε το µαντείο, τι πρέπει να κάνουν για να α-παλλαγούν από το λοιµό που µάστιζε το νησί ∆ήλο, απάντησε ότι τούτο θα συµβεί αν διπλασιά-σουν τον κυβικό βωµό του Απόλλωνα. Έτσι το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου πέρασε στην ιστορία µε το όνοµα "∆ήλιο πρόβληµα".

Οι λύσεις που δόθηκαν στο πρόβληµα, κατά την ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και φθάσανε σε µάς από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιµήδη Ευτόκιο (6 αι. µ.χ). Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβληµα του Αρχιµήδη και τη µέθοδο που αυτός χρησιµοποίησε για να το λύσει, δίνει όλες τις λύσεις παρεµβολής που του ήταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. Οι λύσεις που δίνει είναι 12 και η αρχαιότερη είναι του Αρχύτα. Οι κυριότερες από τις γνωστές λύσεις προέρχονται από τους :

• Ο Ιπποκράτης ο Χίος (470-400 π.χ)

• Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος (428-365 π.χ)

• Ο Πλάτων (427-347 π.χ)

• Ο Μέναιχµος (375- π.χ)

• Ο Αρχιµήδης (287-212 π.χ)

• Ο Ερατοσθένης (276-194 π.χ)

• Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ)

• Ο Νικοµήδης (έζησε γύρω στο 200 π.χ)

• Ο Ήρων ο Αλεξανδρινός (1ος -2ος αι. µ.χ)

• Ο ∆ιοκλής (1ος αι. π.χ)

• Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. µ.χ)

4.2. Η Τριχοτόµηση γωνίας

Σήµερα δεν γνωρίζουµε κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβληµα της τριχοτόµησης γωνίας στην ελληνική αρχαιότητα. Ξέρουµε όµως ότι αποτελούσε το ένα από τα τρία µεγάλα προβλήµατα µετά το ∆ήλιο και τον τετραγωνισµό του κύκλου. Ουσιαστικά το πρόβληµα έγκειται στην τριχοτό-µηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αµβλεία αφαιρούµε απο αυτήν την ορθή που µπορεί να τριχοτο-µηθεί µε χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόµηση όµως µιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγµατο-


11

ποιηθεί µόνο µε χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθµού χωρίς να µπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγµατι από τη τριγωνοµετρία µας είναι γνωστή η σχέση

στην οποία αν θέσουµε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουµε τις πράξεις θα φθάσουµε στη x3-3αx2-3x+α=0 που είναι η εξίσωση της τριχοτόµησης. Η κατασκευή µε χάρακα και διαβή-τη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή µόνο αν µπορεί αυ-τή να αναλυθεί σε δύο παράγο-ντες, ένα πρωτοβάθµιο και ένα δευτεροβάθµιο, όµως αυτό απο-δείχθηκε µόλις το 1837, ότι είναι αδύνατο.

Οι αρχαίοι Έλληνες γεωµέτρες όταν οι προσπάθειές τους µε το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καµπύλες εκτός του κύκλου και σε άλ-λες µεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσµα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καµπύλης στην ελληνική Γεωµετρία, µετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, µε τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήµατος.

Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωµέτρες που ασχοληθήκανε µε το πρόβληµα της τριχοτόµησης της γω-νίας ειναι :

• Ο Ιππίας ο Ηλείος (περίπου 430 π.χ)

• Ο Αρχιµήδης (287-212 π.χ)

• Ο Νικοµήδης (περίπου 200 π.χ)

• Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. µ.χ)

4.3. Ο Τετραγωνισµός του κύκλου

Η µέτρηση του εµβαδού του περικλειοµένου από κάποιο σχήµα, ήταν σε όλους τους λαούς, από την εποχή που ακόµη η γεωµετρία ήταν εµπειρικής µορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωµετρών. Από τη στιγµή που διαλέξανε σαν µονάδα µέτρησης των εµβαδών, το τετράγωνο µε πλευρά τη µονάδα µήκους, αυτόµατα τέθηκε και το πρόβληµα του τετραγωνισµού των διαφόρων σχηµάτων.

Αρχικά "τετραγωνίστηκαν" δηλαδή προσδιορίστηκε το εµβαδόν τους, τα ορθογώνια, τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραµµα και ορισµένα πολύγωνα. Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισµός σχηµάτων περικλειοµένων από καµπύλες γραµµές και πρώτου από όλα του κύκλου. Ο τετραγωνισµός του κύκλου, το τρίτο από τα µεγάλα προβλήµατα της αρχαιότητας, απασχόλησε πολλούς ερευνητές για πολλούς αιώνες και υπήρξε το µεγάλο εµπόδιο πάνω στο οποίο σκόνταψαν µεγάλα ονόµατα.

Η 1η λύση του Αρχιµήδη


12

Η απαίτηση του προβλή-µατος είναι να κατα-σκευαστεί τετράγωνο ισοδύναµο µε δοσµένο κύκλο, αν δηλαδή είναι R η ακτίνα του κύκλου και x η ζητούµενη πλευ-ρά του τετραγώνου, πρέ-πει να αληθεύει η σχέση

, όπου π ο λόγος του µήκους της περιφέρειας προς το µήκος της διαµέτρου του κύκλου. Παρόλο που ε-µπειρικά είχε διαπιστω-θεί ότι ο λόγος π της πε-ριφέρειας προς τη διάµε-τρο διατηρείται σταθε-ρός, ωστόσο η κατα-σκευή αυτού του λόγου και όταν ακόµη η Γεωµετρία εφοδιασµένη µε την απόδειξη είχε γίνει επιστήµη, στάθηκε αδύνατη. Υπήρξαν κατασκευές του π µεγαλοφυείς κατά τη σύλληψη όχι όµως πραγµατοποιηµένες σύµφωνα µε την απαίτηση του "χάρακα και του διαβήτη" που έθεταν τότε. Παράλληλα έγιναν µεγαλειώδεις προσπάθειες υπολογισµού της τιµής του π, οι οποίες µε πρωτεργάτη τον Αρχιµήδη, έδωσαν ένδοξα αποτελέσµατα.

Ο πρώτος που ασχολήθηκε µε τον τετραγωνισµό του κύκλου είναι ο Αναξαγόρας ο Κλαζοµένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν οι Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ) ο σοφιστής Αντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ) ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Η-ρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β' µισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. µ.χ) και τον ∆εινόστρατο (4ος αι. π.χ) αδελφό του Μέναιχµου.

Ο Ιάµβλιχος (250-325 µ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισµό του κύκλου κατόρθωσαν :

• O Αρχιµήδης (267-212 π.χ) µε τη βοήθεια της "Έλικας".

• Ο Νικοµήδης (περίπου 200 π.χ) µε την καµπύλη που ονοµαζόταν "ιδίως τετραγωνίζουσα".

• Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) µε την καµπύλη που ονόµαζε ο ίδιος "αδελφή της κοχλοει-δούς" που ήταν όµως ίδια µε την καµπύλη του Νικοµήδη.

• Ο Κάρπος µε κάποια καµπύλη την οποία ονοµάζει απλά "εκ διπλής κινήσεως προερχοµέ-νη".Και άλλοι πολλοί !!

Βιβλιογραφία:

• Thomas L. Heath (Ιστορία των Ελληνικών Μαθηµατικών – Τόµοι Ι & ΙΙ). • Πρακτικά ΕΜΕ 22ου συνεδρίου. • ∆ηµήτρης Μπουνάκης (Μεταπτυχιακή εργασία – Πανεπιστήµιο Κρήτης 2004) • Ευκλείδη Στοιχεία (Τόµος Ι, Κέντρο έρευνας ,επιστήµης και εκπαίδευσης – Αθήνα 2001). • Telemath (τα 3 διάσηµα προβλήµατα της αρχαιότητας) (www.telemath.gr) • Φουναριωτάκης Αθανάσιος (http://users.ira.sch.gr/thafounar.index.htm


13

Κατασκευή έλλειψης – υπερβολής Θεωρώ µια ευθεία της διαµέτρου της βάσης και ένα τυχαίο σηµείο της. Θεωρούµε και ένα σηµείο σε µια γεννέτειρα του κώνου. Τέλος θεωρούµε το επίπεδο από το σηµείο της γεννέτειρας και τη διακεκοµµένη γραµµή.

ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ

Documents

Transcript of ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ