ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

ΚΛΕΙΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΟΥΡΩΝ MARKOV30/05/2011

ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ – ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν = 3

μ1 P(1,2) = μ2 P(0,3)μ1 P(2,1) = μ2 P(1,2)μ1 P(3,0) = μ2 P(2,1)P(0,3) + P(1,2) + P(2,1) + P(3,0) = 1γ = μ2 [1- P(3,0)]

A

Β

n2

n1

N=3

γ

μ1

μ2

ΚΛEΙΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΟΥΡΩΝΘεώρημα Gordon-Newel

• Παρόμοιες παραδοχές με Θεώρημα Jackson για ανοικτά δίκτυα Markov– Ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές i = 1, 2, …, M με ρυθμό μi

– Παραδοχή ανεξαρτησίας Kleinrock– Τυχαία Δρομολόγηση r (i,j) = Probability (i j)

• Ονομάζουμε Xi παράμετρο ανάλογη του βαθμού χρησιμοποίησης της ουράς i : Xi = C λi /μi

• Λύνουμε το γραμμικό σύστημα που εξισώνει εισόδους – εξόδους ρυθμαποδόσεων λi σε κάθε ουρά i

– Για κάθε ουρά i που τροφοδοτείται από ουρές j : λi = Σ r(j,i) λj

– λ1 = λ2 στο παράδειγμα ή Χ1 μ1 = Χ2 μ2

• H εργοδική πιθανότητα της κατάστασης n = (n1, n2, …, nM) δίνεται με μορφή γινομένου:

• Η σταθερά G(N) (Partition Function) υπολογίζεται με την κανονικοποίηση: Άθροισμα των εργοδικών πιθανοτήτων P(n) όλων των καταστάσεων n ίσο με μονάδα: Hard problem, αναδρομικός αλγόριθμος Buzen

1 2 M

1 2 M 1 2 M

1 2 M 1 2 M 1 2 M

n n n1 2 M

n n n n n n1 1 2 2 M M

Nn +n +...n n n n n n n

1 1 2 2 M M 1 1 2 2 M M

1P(n)= ...G(N)

1= C C ...C ( / ) ( / ) ...( / )G(N)

C1= C ( / ) ( / ) ...( / ) = ( / ) ( / ) ...( / )G(N) G(N)

X X X

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

• Χ1 μ1 = Χ2 μ2

• Χ1 = 1, Χ2 = μ1 /μ2 = α• P(0,3) = α3/G(3)• P(1,2) = α2/G(3)• P(2,1) = α/G(3)• P(3,0) = 1/G(3)• γ = μ2 [1- P(3,0)] = μ2 [1- 1/G(3)]

• E(T1) = E (n1) / λ1 = E (n1)/γ

Ακολουθεί παράδειγμα εφαρμογής κλειστού δικτύου ουρών για μοντέλο ελέγχου ροής (Flow Control) σε δίκτυα μεταγωγής πακέτου (Internet) από το βιβλίο του Mischa Schwartz “Telecommunications Networks: Protocols, Modeling & Analysis,” Addison Wesley,1988

Sliding Window Flow Control ModelVirtual Circuit

• Virtual Circuit (VC) covering M sore-and-forward nodes from source to destination• Assumptions:

– Each packet is individually acked– Packets are assumed blocked if N packets are outstanding along the VC (sliding window

N)– packet traversing cascade of queues has its packet length selected randomly and

independently (i.e. exponential distribution)• If (representing input rate of VC) increases then delay and congestion increases

(without control)• With control, congestion is limited (as no more than N packets can be in transit)

– N ↓ Delay ↓ Throughput ↓ – N ↑ Delay ↑ Throughput ↑

• Dependence on M (Throughput ↑ as M ↑ but Delay ↑) • End to end statistics of the VC