Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

of 31/31
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος
  • date post

    23-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    48
  • download

    0

Embed Size (px)

description

ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος. Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε.  Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων  Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο. Βιβλιογραφία Ενότητας. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

Automatic Control SystemsΠαρασκευπουλος [2005]: Εφαρμογς, Κεφλαιο 10: Εντητες 10.1-10.5
DiStefano [1995]: Chapter 20, Sections 20.1 - 20.3
Tewari [2005]: Chapters 5: Sections 5.1-5.4
Βιβλιογραφα Εντητας
Εισαγωγ
Οι σγχρονες μθοδοι σχεδασης συστημτων αυτομτου ελγχου βασζονται σε περιγραφς των συστημτων αυτν στο πεδο του χρνου και συγκεκριμνα υπ τη μορφ εξισσεων κατστασης. Οι τεχνικς αυτς μπορον να διαιρεθον σε δο κατηγορες:
Αλγεβρικς Τεχνικς Ελγχου
Η δομ του αντισταθμιστ εναι εκ των προτρων προσδιορισμνη και ζητεται η ερεση των παραμτρων. Διακρνουμε τρεις μεθοδολογες:
Μετατπιση Ιδιοτιμν
Ζητεται η ερεση της βλτιστης στρατηγικς (οποιασδποτε δομς) ελγχου του Σ.Α.Ε η οποα ελαχιστοποιε το κριτριο κστους:
που e(t)=y(t)-ym(t) εναι η διαφορ ανμεσα στην επιθυμητ συμπεριφορ (ξοδο) ym(t) και στην πραγματικ συμπεριφορ y(t) του υπ λεγχο συστματος
Στο πλασιο του μαθματος θα εξεταστον οι Αλγεβρικς Τεχνικς Ελγχου
Εισαγωγ
Αντισταθμιστς με ανατροφοδτηση κατστασης
Η μορφ ενς αντισταθμιστ με ανατροφοδτηση κατστασης δνεται στο επμενο σχμα. Το υπ λεγχο σστημα (Γ.Χ.Α.) περιγρφεται απ τις εξισσεις κατστασης:
που και οι πνακες A,B,C χουν τις κατλληλες διαστσεις στε να ικανοποιονται οι εξισσεις κατστασης
Εισαγωγ
Ο αντισταθμιστς εναι της μορφς:
που εναι να νο δινυσμα εισδου με m* εισδους και F,G εναι οι γνωστοι πνακες του αντισταθμιστ, διαστσεων mxn, mxm* αντστοιχα οι οποοι και πρπει να προσδιοριστον κατ τη διαδικασα σχεδασης στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει τα επιθυμητ χαρακτηριστικ.
Τα επιθυμητ χαρακτηριστικ μας προσδιορζουν συνθως και τη μεθοδολογα σχεδασης που πρπει να ακολουθηθε
Το αντισταθμισμνο σστημα περιγρφεται απ τις σχσεις:
Εισαγωγ
Στο επμενο σχμα εμφανεται η μορφ ενς αντισταθμιστ με ανατροφοδτηση εξδου.
Ο αντισταθμιστς εναι της μορφς:
που Κ,Ν εναι οι γνωστοι πνακες του αντισταθμιστ, διαστσεων mxp, mxm* αντστοιχα οι οποοι και πρπει να προσδιοριστον κατ τη διαδικασα σχεδασης στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει τα επιθυμητ χαρακτηριστικ.
Το αντισταθμισμνο σστημα περιγρφεται απ τις σχσεις:
Εισαγωγ
Απ την περιγραφ των αντισταθμισμνων συστημτων με ανατροφοδτηση κατστασης και εξδου προκπτει τι:
δηλαδ η παρξη λσης στο πρβλημα σχεδασης με ανατροφοδτηση κατστασης συνεπγεται και λση στο πρβλημα σχεδασης με ανατροφοδτηση εξδου.
Οι κριες διαφορς ανμεσα στις δο ανωτρω μεθδους εναι:
Η σχεδαση με ανατροφοδτηση κατστασης παρχει μεγαλτερο βαθμ ελευθερας σον αφορ την επιλογ των παραμτρων του αντισταθμιστ δεδομνου τι ο πνακας F χει m*n στοιχεα εν ο πνακας Κ χει m*p<m*n στοιχεα.
Απ πρακτικ ποψη η σχεδαση με ανατροφοδτηση εξδου εναι ευκολτερη γιατ το δινυσμα εξδου εναι σχεδν πντοτε γνωστ και μετρσιμο σε αντθεση με το δινυσμα κατστασης το οποο συνθως εκτιμται με χρση παρατηρητν κατστασης.
Εισαγωγ
Μετατπιση Ιδιοτιμν
Επειδ οι ιδιοτιμς ενς συστματος με περιγραφ στο χρο κατστασης ταυτζονται με τους πλους του συστματος και επειδ οι πλοι του συστματος καθορζουν και τη συμπεριφορ του η μετατπιση ιδιοτιμν εναι μια προσφιλς τεχνικ σχεδασης Σ.Α.Ε στο χρο κατστασης.
Το πρβλημα διατυπνεται ως εξς:
Δνεται το Γ.Χ.Α
ζητεται να προσδιορισθε ο πνακας F ( Κ) στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει ιδιοτιμς τις λ1,λ2,...,λn, δηλαδ:
αν χουμε ανατροφοδτηση κατστασης
αν χουμε ανατροφοδτηση εξδου
Οι ιδιοτιμς του συστματος
μπορον να μετατοπιστον σε οποιεσδποτε αυθαρετες θσεις λ1,λ2,...,λn, ττε και μνο ττε το σστημα εναι ελγξιμο, δηλαδ η τξη του πνακα S (διαστσεων nxnm) εναι ση με n (υπρχουν δηλαδ n ανεξρτητες στλες στον πνακα S)
αν μια απ τις ιδιοτιμς λi εναι μιγαδικ ττε πρπει να συμπεριληφθε και η συζυγς της.
Εισαγωγ
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατπιση Ιδιοτιμν (ΙΙΙ)
Στη περπτωση στην οποα το σστημα μας εναι μιας εισδου (m=1) και ευρσκεται ( μπορε να μετατραπε) σε κανονικ μορφ φσης, δηλαδ οι πνακες A και b χουν τη μορφ:
ττε ο πνακας Α+bfT του αντισταθμισμνου συστματος χει τη μορφ:
Εισαγωγ
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατπιση Ιδιοτιμν (ΙV)
O υπολογισμς των τιμν του διανσματος f δνεται απ τις σχσεις:
που
Εισαγωγ
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Μετατπιση Ιδιοτιμν (V)
Στη περπτωση που το σστημα μιας εισδου δεν εναι σε κανονικ μορφ φσης ο υπολογισμς των τιμν του διανσματος f δνεται απ τις σχσεις:
Εισαγωγ
Να βρεθε το δινυσμα ανατροφοδτησης κατστασης f στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει πλους (ιδιοτιμς) τους -1,-2.
Λση:
Το σστημα εναι κανονικ μορφ φσης ρα εναι ελγξιμο, επομνως το πρβλημα σχεδασης χει λση η οποα δνεται απ τη σχση:
που:
Εισαγωγ
Παρδειγμα (συν.)
Σημεινεται τι το αρχικ σστημα ταν ασταθς (για την ακρβεια ταλαντομενο) αφο οι ιδιοτιμς του πνακα A (βλπε και εντολ eig στη Matlab) εναι:
ρ1,2=±j
Η ελεγξιμτητα ενς συστματος στο χρο κατστασης μπορε να διαπιστωθε χρησιμοποιντας τις εντολς ctrb και rank της Matlab. Η πρτη σχηματζει τον πνακα ελεγξιμτητας S εν η δετερη ελγχει την τξη ενς πνακα
Εισαγωγ
Να βρεθε το δινυσμα ανατροφοδτησης κατστασης f στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει πλους (ιδιοτιμς) τους -1+j, -1-j.
Λση:
Το σστημα δεν εναι σε κανονικ μορφ φσης ρα χρειζεται να διερευνσουμε πρτα την ελεγξιμτητα του:
ο πνακας S εναι τξης 2 (=n), ρα το σστημα εναι ελγξιμο.
Εισαγωγ
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παρδειγμα ΙΙ (συν.)
Το σστημα δεν εναι σε κανονικ μορφ φσης αλλ ελγξιμο, επομνως το πρβλημα σχεδασης χει λση η οποα δνεται απ τις σχσεις:
Το χαρακτηριστικ πολυνυμο a(s) του συστματος δνεται απ τη σχση:
οπτε:
Ο πνακας W εναι:
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παρδειγμα ΙΙ (συν.)
Οπτε τελικ χουμε:
Σημεινεται η μετατπιση ιδιοτιμν υλοποιεται στη Matlab με τη συνρτηση place, η οποα συντσσεται ως:
f=place(A,b,p);
που p εναι το δινυσμα των επιθυμητν ιδιοτιμν.
Η συνρτηση αυτ επιλει το πρβλημα της μετατπισης ιδιοτιμν και για συστματα πολλν εισδων
Εισαγωγ
Να βρεθε αν υπρχει πνακας ανατροφοδτησης κατστασης
στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει πλους (ιδιοτιμς) οπουδποτε επιθυμομε.
Να βρεθε αν υπρχει πνακας ανατροφοδτησης κατστασης της μορφς
στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει πλους (ιδιοτιμς) τους -1+j, -1-j
Εισαγωγ
Λση:
Το πρβλημα της μετατπισης ιδιοτιμν χει λση αν το σστημα εναι ελγξιμο. Για το σκοπ αυτ σχηματζουμε το πνακα S:
ο πνακας S εναι τξης 2 (=n), ρα το σστημα εναι ελγξιμο.
Για το δετερο ερτημα χρειζεται να ελγξουμε αν υπρχει πνακας
με τους περιορισμος f21=0, f11=f22.
Το ζητομενο πολυνυμο γ(s) εναι:
Για να υπρχει λση στο πρβλημα χρειζεται:
Εισαγωγ
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Αποσζευξη Εισδων - Εξδων
Η μελτη αλλ και ο λεγχος Σ.Α.Ε πολλν εισδων - πολλν εξδων διευκολνεται αν κθε εσοδος επηρεζει μα και μνο ξοδο, και κθε ξοδος επηρεζεται απ μια και μνο εσοδο. Η μετατροπ σε ττοια μορφ καθιστ να Σ.Α.Ε πολλν εισδων - πολλν εξδων ισοδναμο με πολλαπλ Σ.Α.Ε μας εισδου-μας εξδου τα οποα εναι σαφς πιο εκολα στη μελτη.
Το πρβλημα της αποσζευξης εισδων – εξδων ορζεται ως εξς:
Δνεται το Γ.Χ.Α σστημα
για το οποο χουμε σο αριθμ εισδων και εξδων (δηλαδ m=p). Ζητεται να προσδιορισθον οι πνακες F και G του νμου ανατροφοδτησης κατστασης τσι στε κθε εσοδος (ωi) του κλειστο συστματος να επηρεζει μια και μνο ξοδο του, και αντστροφα, δηλαδ να ισχει η σχση:
yi=f(ωi)
δνεται απ τη σχση (γινε χρση του μετασχηματισμο Laplace):
Δεδομνου τι Υ(s)=H(s)Ω(s) νας ισοδναμος ορισμς του προβλματος της αποσζευξης εισδων-εξδων εναι ο προσδιορισμς των πινκων F και G τσι στε ο πνακας συναρτσεων μεταφορς H(s) να εναι ομαλς και διαγνιος, να χει δηλαδ τη μορφ:
Εισαγωγ
ττε και μνο ττε ο πνακας
εναι ομαλς δηλαδ ισχει . ci εναι η i- οστ γραμμ του πνακα C και d1, d2, …, dm εναι ακραιοι αριθμο οι οποοι υπολογζονται ως εξς:
Εισαγωγ
Αποσζευξη Εισδων – Εξδων (IV)
Αν το σστημα εναι αποσυζεξιμο να ζεγος πινκων που καθιστον την αποσζευξη εφικτ δνεται απ τις σχσεις:
που:
χει τη μορφ
με:
Να βρεθε αν το σστημα εναι αποσυζεξιμο και στην περπτωση που εναι να υπολογιστον οι πνακες F και G του νμου ανατροφοδτησης κατστασης.
Να υπολογιστε ο πνακας συναρτσεων μεταφορς του αρχικο αλλ και του αποσυζευγμνου συστματος.
Εισαγωγ
Λση:
Σχηματζουμε τον πνακα B+ για να ελγξουμε αν το σστημα εναι αποσυζεξιμο
Αφο το σστημα εναι αποσυζεξιμο.
Για να βρομε τους πνακες F και G σχηματζουμε τον πνακα Α+
οπτε
Εισαγωγ
Ο πνακας συναρτσεων μεταφορς του αντισταθμισμνου συστματος δνεται απ τη σχση:
Εισαγωγ
με:
Να βρεθε αν το σστημα εναι αποσυζεξιμο και στην περπτωση που εναι να υπολογιστον οι πνακες F και G του νμου ανατροφοδτησης κατστασης.
Να υπολογιστε ο πνακας συναρτσεων μεταφορς του αρχικο αλλ και του αποσυζευγμνου συστματος.
Εισαγωγ
Λση:
Σχηματζουμε τον πνακα B+ για να ελγξουμε αν το σστημα εναι αποσυζεξιμο
Εισαγωγ
Αφο το σστημα εναι αποσυζεξιμο.
Για να βρομε τους πνακες F και G σχηματζουμε τον πνακα Α+
οπτε
Εισαγωγ
Στο πρβλημα του τλειου ταιρισματος προς πρτυπο αναζητεται αντισταθμιστς ττοιος στε το κλειστ (αντισταθμισμνο) σστημα να ακολουθε σο πιο πιστ γνεται τη συμπεριφορ του προτπου.
Το πρβλημα του τλειου ταιρισματος προς πρτυπο ορζεται ως εξς:
Δνεται το Γ.Χ.Α σστημα
και το πρτυπο σστημα με πνακα συναρτσεων μεταφορς Hm(s). Ζητεται να προσδιορισθον οι πνακες F και G του νμου ανατροφοδτησης κατστασης ( οι πνακες Κ και Ν του νμου ανατροφοδτησης εξδου) τσι στε ο πνακας συναρτσεων μεταφορς H (s) του αντισταθμισμνου συστματος να ταυτζεται με τον Hm(s) δηλαδ να ισχει:
Εισαγωγ
Να υπολογιστον τα διανσματα
f=[f1 f2]T και G=g του νμου ανατροφοδτησης κατστασης στε το αντισταθμισμνο σστημα να χει πνακα συναρτσεων μεταφορς:
Εισαγωγ