Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Σχεδίαση Σ.Α.Ε:

Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος



◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 10: Ενότητες 10.1-10.3

◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 10: Ενότητες 10.1-10.5

◊ DiStefano [1995]: Chapter 20, Sections 20.1 - 20.3

◊ Tewari [2005]: Chapters 5: Sections 5.1-5.4

Βιβλιογραφία Ενότητας Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο



Εισαγωγή

◊ Οι σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων αυτομάτου ελέγχου βασίζονται σε περιγραφές των συστημάτων αυτών στο πεδίο του χρόνου και συγκεκριμένα υπό τη μορφή εξισώσεων κατάστασης. Οι τεχνικές αυτές μπορούν να διαιρεθούν σε δύο κατηγορίες:

◊ Αλγεβρικές Τεχνικές Ελέγχου◊ Η δομή του αντισταθμιστή είναι εκ των προτέρων προσδιορισμένη και ζητείται η

εύρεση των παραμέτρων. Διακρίνουμε τρεις μεθοδολογίες:

◊ Μετατόπιση Ιδιοτιμών

◊ Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων

◊ Τέλειο ταίριασμα σε πρότυπο

◊ Τεχνικές Βέλτιστου Ελέγχου◊ Ζητείται η εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής (οποιασδήποτε δομής) ελέγχου του

Σ.Α.Ε η οποία ελαχιστοποιεί το κριτήριο κόστους:

όπου e(t)=y(t)-ym(t) είναι η διαφορά ανάμεσα στην επιθυμητή συμπεριφορά (έξοδο)

ym(t) και στην πραγματική συμπεριφορά y(t) του υπό έλεγχο συστήματος

◊ Στο πλαίσιο του μαθήματος θα εξεταστούν οι Αλγεβρικές Τεχνικές Ελέγχου

Εισαγωγή Νόμοι ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου Μετατόπιση Ιδιοτιμών Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο

TT

Tdttt

TJ

0

)()(1

lim ee



Γραμμικός νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης

◊ Στη σχεδίαση Σ.Α.Ε με αλγεβρικές τεχνικές χρησιμοποιούνται συνήθως αντιστασθμιστές-ρυθμιστές οι οποίοι είναι γραμμικοί είτε ως προς το διάνυσμα κατάστασης (αντισταθμιστές με ανατροφοδότηση κατάστασης) είτε ως προς το διάνυσμα εξόδου (αντισταθμιστές με ανατροφοδότηση εξόδου).

◊ Αντισταθμιστές με ανατροφοδότηση κατάστασης◊ Η μορφή ενός αντισταθμιστή με ανατροφοδότηση κατάστασης δίνεται στο επόμενο

σχήμα. Το υπό έλεγχο σύστημα (Γ.Χ.Α.) περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης:

όπου και οι πίνακες A,B,C έχουν τις κατάλληλες διαστάσεις ώστε να ικανοποιούνται οι εξισώσεις κατάστασης


)(

)(

)(

)( 2

1

tu

tu

tu

t

m

u

)(

)(

)(

)(2

1

ty

ty

ty

t

p

y

)(

)(

)(

)( 2

1

tx

tx

tx

t

n

x

)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx

pmn yux ,,



Νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης (ΙΙ)

◊ Ο αντισταθμιστής είναι της μορφής:

όπου είναι ένα νέο διάνυσμα εισόδου με m* εισόδους και F,G είναι οι άγνωστοι πίνακες του αντισταθμιστή, διαστάσεων mxn, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει τα επιθυμητά χαρακτηριστικά.

◊ Τα επιθυμητά χαρακτηριστικά μας προσδιορίζουν συνήθως και τη μεθοδολογία σχεδίασης που πρέπει να ακολουθηθεί

◊ Το αντισταθμισμένο σύστημα περιγράφεται από τις σχέσεις:


)(

)(

)(

)( 2

1

tu

tu

tu

t

m

u

)(

)(

)(

)(2

1

ty

ty

ty

t

p

y

)(

)(

)(

)( 2

1

tx

tx

tx

t

n

x

)()()( ttt GωFxu *mω

)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BGωxBFAx



Γραμμικός νόμος ανατροφοδότησης εξόδου

◊ Στο επόμενο σχήμα εμφαίνεται η μορφή ενός αντισταθμιστή με ανατροφοδότηση εξόδου.

◊ Ο αντισταθμιστής είναι της μορφής:

όπου Κ,Ν είναι οι άγνωστοι πίνακες του αντισταθμιστή, διαστάσεων mxp, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει τα επιθυμητά χαρακτηριστικά.

◊ Το αντισταθμισμένο σύστημα περιγράφεται από τις σχέσεις:


)()()( ttt NωKyu

)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BNωxBKCAx



Συσχετισμός ανατροφοδότησης κατάστασης και εξόδου

◊ Από την περιγραφή των αντισταθμισμένων συστημάτων με ανατροφοδότηση κατάστασης και εξόδου προκύπτει ότι:

δηλαδή η ύπαρξη λύσης στο πρόβλημα σχεδίασης με ανατροφοδότηση κατάστασης συνεπάγεται και λύση στο πρόβλημα σχεδίασης με ανατροφοδότηση εξόδου.

◊ Οι κύριες διαφορές ανάμεσα στις δύο ανωτέρω μεθόδους είναι:◊ Η σχεδίαση με ανατροφοδότηση κατάστασης παρέχει μεγαλύτερο βαθμό ελευθερίας

όσον αφορά την επιλογή των παραμέτρων του αντισταθμιστή δεδομένου ότι ο πίνακας F έχει m*n στοιχεία ενώ ο πίνακας Κ έχει m*p<m*n στοιχεία.

◊ Από πρακτική άποψη η σχεδίαση με ανατροφοδότηση εξόδου είναι ευκολότερη γιατί το διάνυσμα εξόδου είναι σχεδόν πάντοτε γνωστό και μετρήσιμο σε αντίθεση με το διάνυσμα κατάστασης το οποίο συνήθως εκτιμάται με χρήση παρατηρητών κατάστασης.


NG

KCF



Μετατόπιση Ιδιοτιμών

◊ Επειδή οι ιδιοτιμές ενός συστήματος με περιγραφή στο χώρο κατάστασης ταυτίζονται με τους πόλους του συστήματος και επειδή οι πόλοι του συστήματος καθορίζουν και τη συμπεριφορά του η μετατόπιση ιδιοτιμών είναι μια προσφιλής τεχνική σχεδίασης Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης.

◊ Το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής:◊ Δίνεται το Γ.Χ.Α

ζητείται να προσδιορισθεί ο πίνακας F (ή Κ) ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει ιδιοτιμές τις λ1,λ2,...,λn, δηλαδή:

αν έχουμε ανατροφοδότηση κατάστασης

αν έχουμε ανατροφοδότηση εξόδου


)(1

n

iiss BFAI

)(1

n

iiss BKCAI

)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx



Μετατόπιση Ιδιοτιμών (ΙΙ)

Θεώρημα:

◊ Οι ιδιοτιμές του συστήματος

μπορούν να μετατοπιστούν σε οποιεσδήποτε αυθαίρετες θέσεις λ1,λ2,...,λn,

τότε και μόνο τότε το σύστημα είναι ελέγξιμο, δηλαδή η τάξη του πίνακα S (διαστάσεων nxnm) είναι ίση με n (υπάρχουν δηλαδή n ανεξάρτητες στήλες στον πίνακα S)

αν μια από τις ιδιοτιμές λi είναι μιγαδική τότε πρέπει να συμπεριληφθεί και η

συζυγής της.


)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx

BABAABBS 12 |...||| n



Μετατόπιση Ιδιοτιμών (ΙΙΙ)

◊ Στη περίπτωση στην οποία το σύστημα μας είναι μιας εισόδου (m=1) και ευρίσκεται (ή μπορεί να μετατραπεί) σε κανονική μορφή φάσης, δηλαδή οι πίνακες A και b έχουν τη μορφή:

τότε ο πίνακας Α+bfT του αντισταθμισμένου συστήματος έχει τη μορφή:


1210 ...

1...000

...............

0...100

0...010

naaaa

A

)(...)()()(

1...000

...............

0...100

0...010

1322110 nn

T

fafafafa

bfA

1

0

...

0

0

b



Μετατόπιση Ιδιοτιμών (ΙV)

◊ O υπολογισμός των τιμών του διανύσματος f δίνεται από τις σχέσεις:

όπου


)()(...)( 10211

1 fasfasfass nnn

nT bfAI

γaf

1

2

1

0

1

2

1

0

1

2

1

.........

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

f

f

f

f

011

11

...)(

ssss n

nn

n

ii



Μετατόπιση Ιδιοτιμών (V)

◊ Στη περίπτωση που το σύστημα μιας εισόδου δεν είναι σε κανονική μορφή φάσης ο υπολογισμός των τιμών του διανύσματος f δίνεται από τις σχέσεις:


γαSWf ~~1

TT

1...000

...000

...............

...10

...1

1

21

121

n

n

nn

a

aa

aaa

W

0

1

2

1

...~

n

n

γ

0

1

2

1

...~

a

a

a

a

n

n

α



Παράδειγμα

◊ Έστω το σύστημα μιας εισόδου με:

Να βρεθεί το διάνυσμα ανατροφοδότησης κατάστασης f ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) τους -1,-2.

◊ Λύση: ◊ Το σύστημα είναι κανονική μορφή φάσης άρα είναι ελέγξιμο, επομένως το

πρόβλημα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τη σχέση:

όπου:


)()()( tutt bAxx

1

0b

01

10A

3

1

3

2

0

1

1

0

1

0

2

1

a

a

f

ff

0122

2

1

23)2)(1()(

sssssssi

i



Παράδειγμα (συν.)

◊ Σημειώνεται ότι το αρχικό σύστημα ήταν ασταθές (για την ακρίβεια ταλαντούμενο) αφού οι ιδιοτιμές του πίνακα A (βλέπε και εντολή eig στη Matlab) είναι:

ρ1,2=±j

◊ Η ελεγξιμότητα ενός συστήματος στο χώρο κατάστασης μπορεί να διαπιστωθεί χρησιμοποιώντας τις εντολές ctrb και rank της Matlab. Η πρώτη σχηματίζει τον πίνακα ελεγξιμότητας S ενώ η δεύτερη ελέγχει την τάξη ενός πίνακα




Παράδειγμα ΙΙ

◊ Έστω το σύστημα μιας εισόδου με:

Να βρεθεί το διάνυσμα ανατροφοδότησης κατάστασης f ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) τους -1+j, -1-j.

◊ Λύση: ◊ Το σύστημα δεν είναι σε κανονική μορφή φάσης άρα χρειάζεται να

διερευνήσουμε πρώτα την ελεγξιμότητα του:

ο πίνακας S είναι τάξης 2 (=n), άρα το σύστημα είναι ελέγξιμο.


)()()( tutt bAxx

1

0b

01

11A

01

10|AbbS



Παράδειγμα ΙΙ (συν.)

◊ Το σύστημα δεν είναι σε κανονική μορφή φάσης αλλά ελέγξιμο, επομένως το πρόβλημα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τις σχέσεις:

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο a(s) του συστήματος δίνεται από τη σχέση:

οπότε:

το επιθυμητό πολυώνυμο γ(s) είναι:

Ο πίνακας W είναι:


10

11

10

1 1aW

γαSWf ~~1

TT

011

1 ...)( asasasssa nn

n AI

11

11 2

sss

ss AI

0122

2

1

22)1)(1()(

ssssjsjssi

i




◊ Οπότε τελικά έχουμε:

◊ Σημειώνεται η μετατόπιση ιδιοτιμών υλοποιείται στη Matlab με τη συνάρτηση place, η οποία συντάσσεται ως:

f=place(A,b,p);

όπου p είναι το διάνυσμα των επιθυμητών ιδιοτιμών.

◊ Η συνάρτηση αυτή επιλύει το πρόβλημα της μετατόπισης ιδιοτιμών και για συστήματα πολλών εισόδων


1

0

1

1

01

11

2

2

1

1

11

10~~1

1γαSWf TT



Παράδειγμα ΙΙΙ

◊ Έστω το Γ.Χ.Α σύστημα: με

1. Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης

ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) οπουδήποτε επιθυμούμε.

2. Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής

ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πόλους (ιδιοτιμές) τους -1+j, -1-j


)()()( ttt BuAxx

01

10B

01

11A

1

21

0 f

ffF

2221

1211

ff

ffF



Παράδειγμα ΙΙΙ (συν.)

◊ Λύση: ◊ Το πρόβλημα της μετατόπισης ιδιοτιμών έχει λύση αν το σύστημα είναι

ελέγξιμο. Για το σκοπό αυτό σχηματίζουμε το πίνακα S:

ο πίνακας S είναι τάξης 2 (=n), άρα το σύστημα είναι ελέγξιμο.

◊ Για το δεύτερο ερώτημα χρειάζεται να ελέγξουμε αν υπάρχει πίνακας

με τους περιορισμούς f21=0, f11=f22.

Το ζητούμενο πολυώνυμο γ(s) είναι:

Για να υπάρχει λύση στο πρόβλημα χρειάζεται:


1001

1110|ABBS

2221

1211

ff

ffF

22)1)(1()( 22

1

ssjsjssi

i

)(ss BFAI

2,1

22)1()1(

12

22

212

2

ff

ssffsfs



Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων

◊ Η μελέτη αλλά και ο έλεγχος Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων διευκολύνεται αν κάθε είσοδος επηρεάζει μία και μόνο έξοδο, και κάθε έξοδος επηρεάζεται από μια και μόνο είσοδο. Η μετατροπή σε τέτοια μορφή καθιστά ένα Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων ισοδύναμο με πολλαπλά Σ.Α.Ε μίας εισόδου-μίας εξόδου τα οποία είναι σαφώς πιο εύκολα στη μελέτη.

◊ Το πρόβλημα της αποσύζευξης εισόδων – εξόδων ορίζεται ως εξής:

◊ Δίνεται το Γ.Χ.Α σύστημα

για το οποίο έχουμε ίσο αριθμό εισόδων και εξόδων (δηλαδή m=p). Ζητείται να προσδιορισθούν οι πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης έτσι ώστε κάθε είσοδος (ωi) του κλειστού συστήματος να

επηρεάζει μια και μόνο έξοδο του, και αντίστροφα, δηλαδή να ισχύει η σχέση:

yi=f(ωi)


)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx

)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BGωxBFAx



Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (ΙΙ)

◊ Ο πίνακας των συναρτήσεων μεταφοράς του κλειστού συστήματος

δίνεται από τη σχέση (έγινε χρήση του μετασχηματισμού Laplace):

Δεδομένου ότι Υ(s)=H(s)Ω(s) ένας ισοδύναμος ορισμός του προβλήματος της αποσύζευξης εισόδων-εξόδων είναι ο προσδιορισμός των πινάκων F και G έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς H(s) να είναι ομαλός και διαγώνιος, να έχει δηλαδή τη μορφή:


BGBFAICH 1)( ss

)(0...00

0)(...00

...............

00...)(0

00...0)(

)(

11

22

11

sh

sh

sh

sh

s

mm

mm

H

)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BGωxBFAx



Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (ΙΙΙ)

Θεώρημα:

◊ Το Γ.Χ.Α

είναι αποσυξεύξιμο με το νόμο ανατροφοδότησης κατάστασης

τότε και μόνο τότε ο πίνακας

είναι ομαλός δηλαδή ισχύει . ci είναι η i- οστή γραμμή του πίνακα

C και d1, d2, …, dm είναι ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι υπολογίζονται ως εξής:


BAc

BAc

BAc

BAc

B

m

m

dm

dm

d

d

1

2

1

1

2

1

...

)()()( ttt GωFxu

0B

jόn

njj

dj

i

ji

i

01

1,...,1,00:min

BAc

BAc

)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx



Αποσύζευξη Εισόδων – Εξόδων (IV)

◊ Αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο ένα ζεύγος πινάκων που καθιστούν την αποσύζευξη εφικτή δίνεται από τις σχέσεις:

όπου:

ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς H(s)

έχει τη μορφή


1

11

12

11

1

2

1

...

m

m

dm

dm

d

d

Ac

Ac

Ac

Ac

A

1

1

1

1

10...00

01

...00

...............

00...1

0

00...01

)(

1

2

1

m

m

d

d

d

d

s

s

s

s

sH

1

1

BG

ABF



Παράδειγμα Ι

◊ Έστω το Γ.Χ.Α σύστημα

με:

1. Να βρεθεί αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο και στην περίπτωση που είναι να υπολογιστούν οι πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης.

2. Να υπολογιστεί ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευγμένου συστήματος.

21

10B

01

11A


)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx

11

01C



Παράδειγμα Ι (συν.)

Λύση:

◊ Σχηματίζουμε τον πίνακα B+ για να ελέγξουμε αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο

Αφού το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο.

Για να βρούμε τους πίνακες F και G σχηματίζουμε τον πίνακα Α+

οπότε


31

10

2

1

2

12

1

CBBc

Bc

BAc

BAcB

d

d00]10[21

10]01[ 1

01

dBAc

00]31[21

10]11[ 2

02

dBAc

01B

10

11

2

11

2

11

2

1

CAAc

Ac

Ac

AcA

d

d

01

13

31

101

1BG

11

23

10

11

01

131GAABF



Παράδειγμα Ι (συν.)

Λύση (συν.):

◊ Ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς του αντισταθμισμένου συστήματος δίνεται από τη σχέση:


s

s

s

ss

d

d

10

01

10

01

)(

1

1

2

1

H



Παράδειγμα ΙΙ


με:

1. Να βρεθεί αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο και στην περίπτωση που είναι να υπολογιστούν οι πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης.

2. Να υπολογιστεί ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευγμένου συστήματος.

21

21

01

B

021

110

201

A


)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx

110

001C




Λύση:

◊ Σχηματίζουμε τον πίνακα B+ για να ελέγξουμε αν το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο


41

01

2

1

2

1

2

1

BAc

Bc

BAc

BAcB

d

d

00]01[

21

21

01

]001[ 10

1

dBAc

0]00[

21

21

01

]110[02

BAc

10]41[

21

21

01

021

110

201

]110[ 21

2

dBAc




Λύση (συν.):

◊ Αφού το σύστημα είναι αποσυζεύξιμο.

Για να βρούμε τους πίνακες F και G σχηματίζουμε τον πίνακα Α+

οπότε


04 B

152

2012

2

11

2

11

2

1

Ac

Ac

Ac

AcA

d

d

11

04

4

1

41

011

1BG

153

804

4

1

152

201

11

04

4

11GAABF

21

1

10

01

10

01

)(

2

1

s

s

s

ss

d

d

H



Τέλειο Ταίριασμα σε Πρότυπο

◊ Στο πρόβλημα του τέλειου ταιριάσματος προς πρότυπο αναζητείται αντισταθμιστής τέτοιος ώστε το κλειστό (αντισταθμισμένο) σύστημα να ακολουθεί όσο πιο πιστά γίνεται τη συμπεριφορά του προτύπου.

◊ Το πρόβλημα του τέλειου ταιριάσματος προς πρότυπο ορίζεται ως εξής:

◊ Δίνεται το Γ.Χ.Α σύστημα

και το πρότυπο σύστημα με πίνακα συναρτήσεων μεταφοράς Hm(s). Ζητείται να προσδιορισθούν οι

πίνακες F και G του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης (ή οι πίνακες Κ και Ν του νόμου ανατροφοδότησης εξόδου) έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς H (s) του

αντισταθμισμένου συστήματος να ταυτίζεται με τον Hm(s) δηλαδή να ισχύει:


)()(

)()()(

tt

ttt

Cxy

BuAxx

)(

)( 1

s

ss

mH

BGBFAICH

BGBFAICH 1)( ss

BNBKCAICH 1)( ss



Παράδειγμα Ι


με:

1. Να υπολογιστούν τα διανύσματα

f=[f1 f2]T και G=g του νόμου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να έχει πίνακα συναρτήσεων μεταφοράς:

1

0b

01

10A

)()(

)()()(

tt

tutt

Cxy

bAxx

10

11C


s

s

ss

s

ssm

2

)1(21

1

2

2

)(2

H

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

Documents

Transcript of Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε