Θεωρία Παιγνίων και Εφαρμογές

Θεωρία Παιγνίων και Εφαρμογές

Θ. Κεχαγιάς

Γενικό Τμήμα

Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

ΔΦ Live

(3,3) (0,5)

(5,0) (1,1)

ΜπλεΠράσινος

C

D

C D

ΔΦ: Ανάλυση

(3,3) (0,5)

(5,0) (1,1)


C

D

C D

Για τον Μπλέ: 3<5 και 0<1 άρα C<DΓια τον Πρασ.: 3<5 και 0<1 άρα C<D

Άρα όλοι παίζουν D. Αλλά …

Το Αρχικό ΔΦ

(2,2) (5,0)

(0,5) (4,4)


C

D

C D

Δύο ύποπτοι για ληστεία ανακρίνονται από την αστυνομία …

•Αν ομολογήσει μόνο ο ένας τον αφήνουν ελεύθερο ο άλλος τιμωρείται με 5 χρόνια φυλακή.•Αν δεν ομολογήσει κανείς δεν μπορούν να αποδείξουν ότι έκαναν την ληστεία αλλά θα τους καταδικάσουν για παράνομη οπλοφορία, 2 χρόνια τον καθένα.•Αν ομολογήσουν και οι δύο καταδικάζονται και οι δύο, σε 4 χρόνια φυλακή.

Το Δίλημμα του Φυλακισμένου

Ένα Παίγνιο Διαφήμισης

(3,3) (0,5)

(5,0) (2,2)


C

D

C D

Δύο εταιρείες πουλούν το ίδιο προϊόν, στην ίδια τιμή. Οι συνολικές πωλήσεις είναι 104 τεμάχια και αποφέρουν κέρδος 6· 104 Euro. •Αν καμμία εταιρεία δεν κάνει διαφημιστική καμπάνια, οι αγοραστές μοιράζονται εξίσου μεταξύ των δύο.•Αν μόνο η Πράσινη εταιρεία κάνει διαφημιστική καμπάνια όλοι οι αγοραστές θα προτιμήσουν το προϊόν της … αλλά η καμπάνια στοιχίζει 104 Euro. •Αν και η Πράσινη και η Μπλε εταιρεία κάνει διαφημιστική καμπάνια, οι αγοραστές δεν θα αλλάξουν προμηθευτή.

Ένα Παίγνιο Τηλεπικοινωνιών

(0,0) (0,0.9)

(0.9,0) (-0.1,-0.1)


C

D

C D

Τηλεπικοινωνίες(Channel Access)

Δύο χρήστες θέλουν να στείλουν ο καθένας το δικό τους μήνυμα. Υπάρχει μόνο ένα διαθέσιμο κανάλι.•Το κόστος αποστολής είναι 0.1 Euro.•Αν μόνο ο Πράσινος στείλει το μήνυμα του, θα έχει κέρδος 1 Euro.•Αν και ο Πράσινος και ο Μπλε στείλουν μήνυμα, το κανάλι θα μπλοκάρει και κανένα μήνυμα δεν θα περάσει.

Και Άλλα Παίγνια

(1,1) (1,5)

(5,1) (0,0)


C

D

C D

(-1,-1) (-1,5)

(5,-1) (-100,-100)


C

D

C D

Η Μάχη των Φύλων

Chicken

Παίγνια Μηδενικού Αθροίσματος

(-2,2) (1,-1)

(2,-2) (3,-3)


C

D

C D

-2 1

2 3


C

D

C D


5 1

3 4

Μπλε

Πράσινος

C

D

C D

-1 1

1 -1

Μπλε

Πράσινος

C

D

C D

Τ ο π α ρ α π ά ν ω π α ί γ ν ι ο π α ί ζ ε τ α ι κ α ι σ τ ι ς α π ε ρ γ ί ε ς . C : x i = 1 ( Α π ε ρ γ ώ ) D : x i = 1 ( Δ ε ν α π ε ρ γ ώ )

3 αν0

3 αν5

21

21

xx

xxy i

Α ρ . Α λ λ ω ν C 0 1 2 3 4

Ο π α ί κ τ η ς π α ί ζ ε ι C

- 1 - 1 4 4 4

Ο π α ί κ τ η ς π α ί ζ ε ι D

0 0 0 5 5

Παίγνιο με Ν παίκτες

Το γενικό 2Χ2 Συμμετρικό Παίγνιο

C D C R,R S,T D T,S P,P

Εχουμε 4*3*2*1=24 22 συμμετρικά παίγνια. Prisoner’s Dilemma: T > R > P > S Chicken: T > R > S > P Battle of the Sexes: T > R > S > P

Το γενικό MΧN Συμμετρικό Παίγνιο

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

( , ) ( , ) ... ( , )

( , ) ( , ) ... ( , )

... ... ... ...

( , ) ( , ) ... ( , )

N N

N N

M M M M MN MN

a b a b a b

a b a b a bA

a b a b a b

Επαναλαμβανόμενο ΔΦ

CC CD DC DD CC 6,6 3,8 3,8 0,10 CD 8,3 4,4 5,5 1,6 DC 8,3 5,5 4,4 1,6 DD 10,0 6,1 6,1 2,2

(3,3) (0,5)

(5,0) (1,1)


C

D

C D

Εδώ είναι ο πίνακας για το παίγνιο που αποτελείται από δύο γύρους ΔΦ.

Θεωρία Παιγνίων

Θεωρία Παιγνίων: Η μαθηματική θεωρία της σύγκρουσης και της συνεργασίας

Ότι είναι η Θεωρία Πιθανοτήτων για τα παίγνια τύχης, είναι η Θεωρία Παιγνίων για τα στρατηγικά παίγνια

Θεωρία Παιγνίων

Κεντρική Βελτιστοποίηση: Ενας «παίκτης» επιλέγει x1, x2

για να μεγιστοποιήσει την f(x1, x2)

Κατανεμημένη Βελτιστοποίηση: Ο «παίκτης» 1 επιλέγει την x1, για να μεγιστοποιήσει την f (x1, x2) και ο «παίκτης» 2

επιλέγει την x2, για να μεγιστοποιήσει την f (x1, x2).

Εγωιστική Βελτιστοποίηση: Ο «παίκτης» 1 επιλέγει την x1, για να μεγιστοποιήσει την f1(x1, x2) και ο «παίκτης» 2

επιλέγει την x2, για να μεγιστοποιήσει την f2(x1, x2).

Εφαρμογές της Θεωρίας Παιγνίων

•Οικονομία (καρτέλ, ολιγοπώλια, διαφημιστικές εκστρατείες)•Κούρσα εξοπλισμών (π.χ. Ελλάδα-Τουρκία)•Χρήση προηγμένων τεχνολογιών πληροφορικής (ΔΦ με Ν παίκτες, μεγάλο Ν).

•Linux vs. Windows•C vs. Fortran

•Peer-To-Peer (να ανοίξω τον HD μου ή όχι?).•Χρηματοδότηση έρευνας.•Εκπαιδευτικές Εφαρμογές

•Κλέψιμο στις εξετάσεις.•Πληθωρισμός βαθμών

Κάθε περίπτωση στην οποία περισσότεροι του ενός παίκτες προσπαθούν να βελτιστοποιήσουν ο καθένας την δική του συνάρτηση κέρδους.

Διάφορα Παίγνια

•Φτηνές υπεραστικές κλήσεις μετά τις 23:00 και συμφόρηση γραμμών. Πότε να πάρω τηλέφωνο, πριν ή μετά τις 23:00?•Pennypot: Δύο παίκτες εναλάσσονται, σε κάθε γύρο ο ένας εκ των δύο ή προσθέτει ένα ευρώ στην μπάνκα ή παίρνει όλα τα ευρώ.•ΔΦ με ανταλλαγές αγαθών (Hofstadter 716) •Γιατί στα στρατόπεδα συγκέντρωσης οι έγκλειστοι δεν επιτέθηκαν στου φρουρούς?•Κανείς δεν θέλει να είναι στην πρώτη γραμμή σε μια διαδήλωση, αν όμως δεν σχηματιστεί πρώτη γραμμή δεν θα υπάρχει διαδήλωση.•Κυκλοφοριακά: τήρηση/παραβίαση του κόκκινου, οδήγηση σε μια πλευρά του δρόμου.•Γενικότερα: εγκαθίδρυση προτύπων, κανονισμών, (άγραφων) νόμων, ηθικής.•Ειδικότερα: σταθεροποίηση γλώσσας.•Παιχνίδια με μάθηση.•Παιχνίδια με χωρική δομή.


Μέγιστοελάχιστοκέρδος του Α

Ελάχιστημέγιστηζημία του Β

Σαγματικό σημείο (saddle point)

Λύση Minimax με Καθαρές Στρατηγικές

Παράδειγμα 1 (έχει Minimax λύση)

Παράδειγμα 2 (ΔΕΝ έχει Minimax λύση)

Λύση Minimax με Μικτές Στρατηγικές

Οι μικτές στρατηγικές είναι κατανομές πιθανοτήτων

Το προσδοκώμενο κέρδος του Α είναι:

Θεώρημα Minimax: Για κάθε παίγνιο μηδενικού αθροίσματος υπάρχουν p*,q* τ.ω.

Η αξία του παιγνίου για τον Α ισούται με

και επιτυγχάνεται όταν

Παράδειγμα με Μικτές Στρατηγικές

Η αξία του παιγνίου για τον Α ισούται με

=1/5 =3/5

=17/5

Παίγνια Μη Μηδενικού Αθροίσματος: Ισορροπία Nash

* * *( , ) ( , ),i i i i i i i iu s s u s s s S

iu Ui is S

όπου: Κέρδος του παίκτη i

στρατηγική του παίκτη i

arg max ( , )i i

i i i is S

s u s s

Η βέλτιστη απόκριση του παίκτη i στις στρατηγικές s-i είναι η στρατηγική si η οποία ικανοποιεί:

Σημείο ισορροπίας Nash : Ένα σύνολο αμοιβαία βέλτιστων αποκρίσεων

Ένα παίγνιο μπορεί να έχει περισσότερα από ένα σημεία ισορροπίας Nash

Μια στρατηγική είναι σημείο ισορροπίας Nash ανν για κάθε παίκτη i * * * *

1 2( , ,..., )Ns s s s

Θεώρημα: Κάθε πεπερασμένο παίγνιο Ν παικτών έχει τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας Nash (στον χώρο των μικτών στρατηγικών).

Προσοχή: Ένα παίγνιο μπορεί να έχει περισσότερα από ένα σημεία ισορροπίας Nash

Παίγνια Μη Μηδενικού Αθροίσματος:

Βελτιστότητα Pareto

(1) (2)( ) ( ), 1,2,...,i iu s u s i N

Μια στρατηγική s* είναι Pareto βέλτιστη ανν δεν υπάρχει στρατηγική s η οποία υπερέχει της s* κατά Pareto.

Δηλ. ένα σημείο είναι Pareto βέλτιστο ανν κανείς παίκτης δεν μπορεί να βελτιώσει το κέρδος του χωρίς να ελαττώσει το κέρδος κάποιου άλλου παίκτη

Μια στρατηγική s(1) υπερέχει κατά Pareto της s(2) ανν για κάθε παίκτη i

Εφαρμογή στο ΔΦ

(3,3) (5,0)

(0,5) (1,1)


C

D

C D

Nash

Live: To Παίγνιο της Βαθμολόγησης

Βελτιστότητα στο Παίγνιο της Βαθμολόγησης

(0, 0) (0, 1)(1, 0) (0, 0)

BlueGreen

Δεν Θέλω

Θέλω

Δεν θέλω Θέλω

Nash

Παίγνια σε Δίκτυα Ασύρματης Επικοινωνίας

S1

S2

D1D2

Το Δίλημμα της Προώθησης

??

Blue Πράσινος

(1-c, 1-c) (-c, 1)

(1, -c) (0, 0)

Μπλέ

Πράσινος

Forward

Drop

Forward Drop

Το κόστος αποστολής είναι c, το κέρδος από επιτυχή μετάδοση είναι 1.

Το Δίλημμα της Προώθησης

(1-c, 1-c) (-c, 1)

(1, -c) (0, 0)

Μπλέ

Πράσινος

Forward

Drop

Forward Drop

Το αποτέλεσμα είναι η τραγωδία των βοσκοτόπων (Hardin, 1968)

Η στρατηγική Drop επικρατεί της Forward, αν και η αμοιβαία Forward θα έδινα καλύτερο αποτέλεσμα.

Το Δίλημμα της Συνδυασμένης Προώθησης

?Μπλέ Πράσινος

Πηγή Προορισμός

?

• Το κέρδος επιτυχούς μετάδοσης είναι 1• Το κόστος προώθησης είναι c (0 < c << 1)

(1-c, 1-c) (-c, 0)

(0, 0) (0, 0)

Μπλέ

Πράσινος

Forward

Drop

Forward Drop

Δεν υπάρχει επικρατούσα στρατηγική ….

Ισορροπία Nash

(1-c, 1-c)

(-c, 1)

(1, -c) (0, 0)

Μπλέ

Πράσινος

Forward

Drop

Forward DropΤο δίλημμα της προώθησης

Το δίλημμα της συνδυασμένης προώθησης

(1-c, 1-c)

(-c, 0)

(0, 0) (0, 0)

Μπλέ

Πράσινος

Forward

Drop

Forward Drop

«Αποδοτικότητα» της Ισορροπίας Nash

(1-c, 1-c)

(-c, 0)

(0, 0) (0, 0)

Μπλέ

Πράσινος

Forward

Drop

Forward Drop

Δύο σημεία Nash, το ένα είναι Pareto βέλτιστο …

Το Παιχνίδι Πολλαπλής Πρόσβασης

(0, 0) (0, 1-c)(1-c, 0) (-c, -c)

Μπλέ

Πράσινος

Quiet

Transmit

Quiet Transmit

Time-division channel

Το Παιχνίδι Πολλαπλής Πρόσβασης

(1 )(1 ) (1 )blueu p q c pqc p c q (1 )greenu q c p

1 , 1p c q c

p: Πιθανότητα να εκπέμψει ο Μπλε

q: Πιθανότητα να εκπέμψει ο Πράσινος

Σημείο Nash

Το Παιχνίδι Παρεμβολής

Δεν υπάρχει σημείο Nash στις καθαρές στρατηγικές, αλλά το p=1/2, q=1/2 είναι σημείο Nash στις μικτές στρατηγικές

Δύο κανάλια, C1 και C2

(-1, 1) (1, -1)(1, -1) (-1, 1)

Μπλέ

Πράσινος

C1

C2

C1 C2

Πομπός

Παρεμβολέας

•Επανειλημμένη αλληλεπίδραση μεταξύ των παικτών

•Στρατηγική: προσδιορίζει την επόμενη κίνηση ως συνάρτηση των προηγούμενων

•Παίγνια πεπερασμένου ή άπειρου ορίζοντα

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια

Συνάρτηση Κέρδους σε Επαν. Παίγνια

1i iu u t

0

T

i it

u u t

0

i it

u u t

Μυωπική:

Μακρόπνοη, πεπερασμένη:

0

ti i

t

u u t

0 1 Ο συντελεστής απόσβεσης

Μακρόπνοη, άπειρη:

Μακρόπνοη, άπειρη,με απόσβεση:

Στρατηγικές σε Επαν. Παίγνια

• Συνήθως οι στρατηγικές εξαρτώνται από το προηγούμενο βήμα μόνο:

– Την κίνηση του συμπαίκτη:

– Την κίνηση του ίδιου του παίκτη:

– Το κέρδος:

1i i im t s m t 1 ,i i i im t s m t m t 1i i im t s u t

Π.χ. στο Παίγνιο Προώθησης:

Μπλε (t) Αρχική κίνηση

F D Στρατηγική

Πράσινος (t+1)

F F F AllC

F F D Tit-For-Tat (TFT)

D D D AllD

F D F Anti-TFT

Το Επαν. Παιχνίδι της Προώθησης

(1-c, 1-c)

(-c, 1)

(1, -c) (0, 0)

Μπλέ

Πράσινος

Forward

Drop

Forward Drop

?

?

Μπλέ Πράσινος

Κέρδος κάθε γύρου

Το Επαν. Παιχνίδι της Προώθησης

Μπλε

Στρατηγική

Πρασινη Στρατηγική

AllD AllD

AllD TFT

AllD AllC

AllC AllC

AllC TFT

TFT TFT

Άπειρο παίγνιο με απόσβεση: 0

ti i

t

u u t

Μπλε

Κέρδος

Πράσινο

Κέρδος

0 0

1 -c

1/(1-ω) -c/(1-ω)

(1-c)/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

(1-c)/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

(1-c)/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

Ανάλυση

Το AllC έχει καλό κέρδος όταν παίζει με AllC και με TFT, αλλά

το AllD εκμεταλλεύεται το AllC.

Το AllD έχει μικρό κέρδος όταν παίζει με AllD.

Το TFT πάει καλά με το AllC και με το AllD και

εκδικείται το AllD

Το TFT είναι η καλύτερη στρατηγική όταν το ω είναι κοντά στο 1!

Μπλε



AllD AllD

AllD TFT

AllD AllC

AllC AllC

AllC TFT

TFT TFT

Μπλε

Κέρδος

Πράσινο

Κέρδος

0 0

1 -c

1/(1-ω) -c/(1-ω)

(1-c)/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

(1-c)/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

(1-c)/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

Ανάλυση

Θεώρημα: Στο επαναλ. Παίγνιο προώθησης, το (AllD, AllD) είναι σημείο Nash.

Θεώρημα: Στο επαναλ. Παίγνιο προώθησης, το (TFT , TFT) είναι σημείο Nash το οποίο είναι και Pareto βέλτιστο.

Μπλε



Μπλε

Κέρδος

Πράσινο

Κέρδος

AllD AllD 0 0

TFT TFT (1-c)/(1-ω) (1-c)/(1-ω)

Βιβλιογραφία1. http://en.wikipedia.org/wiki/Game_theory2. http://users.auth.gr/~kehagiat/GameTheory/index.html3. J.D. Williams, The Compleat Strategyst, 1954.4. Γ. Βαρουφάκης , Θεωρία παιγνίων, 2007.5. R. Axelrod, The Evolution of Cooperation.6. JW Weibull , Evolutionary game theory. 1997.7. Μ. Felegyhazi + J.P. Hubaux, “Game Theory in Wireless Networks: a

Tutorial”, IEEE, 2005.8. M Felegyhazi, M Cagalj, SS Bidokhti , “Noncooperative multi-radio channel

allocation in wireless networks”, Proceedings of the IEEE, 2007.9. AB MacKenzie, SB Wicker . «Game theory and the design of self-

configuring, adaptive wireless networks». IEEE Communications Magazine, 2001.

10. Srivastava et al., “Using Game Theory to Analyze Wireless Ad Hoc Networks”, 2006.

11. H.Tembine, E Altman, R El-Azouzi . “Multiple access game in ad-hoc network”, 2007.

12. G Thamilarasu, R Sridhar , “Game Theoretic Modeling of Jamming Attacks in Ad hoc Networks”, 2009.

13. Y Xiao, X Shan, Y Ren . «Game theory models for IEEE 802.11 DCF in wireless ad hoc networks», IEEE Communications Magazine, 2005.

Θεωρία Παιγνίων και Εφαρμογές

Documents

Transcript of Θεωρία Παιγνίων και Εφαρμογές