1

Γαλάτουλας Φοίβος

Υπεύθυνος:Λ.Τσέτσερης

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών ΕπιστημώνΕ.Μ.Π

Σεμινάριο Φυσικής 2011-2012

Υπολογιστική Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης : Υπολογιστική Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης : Υπολογισμοί DFT Υπολογισμοί DFT Η μέθοδος LMTOΗ μέθοδος LMTO

2

Περιεχόμενα

H μέθοδος LMTO Εφαρμογές

– Υπολογισμοί σε γνωστά υλικά – Έλεγχος θεωρίας

Μελέτη συμπεριφοράς υλικών υπό πίεση

3

Θεωρία Συναρτησιακού της Πυκνότητας (DFT)

Κβαντομηχανικό Πρόβλημα πολλών σωμάτων αλληλεπιδρώντων ηλεκτονίων στα στερεά

Προβολή σε Μονοσωματιδιακό σύστημα αναφοράς

μελέτη της πυκνότητας

Εξίσωση Kohn-Sham:

E=T o [ ρ ]+∫V ext ρ ( r⃗ )d r⃗ +12∫ ρ ( r⃗ ) ρ ( r⃗ ' )

∣ r⃗ '− r⃗∣d r⃗ d r⃗ '+E xc [ ρ ]

Όρος ενέργειας αλληλεπιδράσεων

Συναρτησοειδες ενεργειας

Ab initio υπολογισμοί

4

Θεωρημα Βloch Πως λύνεται η διαφορική σε περιοδικά πλέγματα;

Wigner seitz κυψελίδες

Επίπεδο κύμα διαμορφωμένο από μιαΠεριοδική συνάρτηση

Δευτεροτάξια εξ.Schrodinger

Αναζητούμε u(k) συνεχείς και διαφορίσιμες στα όριαΤων κυψελίδων

5

Τροποι επιλυσης της εξισωσης δυναμικου

[−12 ∇ 2+V (r )]ϕ ik =εik ϕ ik

Σπιν πολωμέναΣπιν μη-πολωμένα

Σπιν;

Θεωρώ τα ηλεκτρόνια Σχετικιστικά σωματίδια;

Μορφή τουδυναμικού

Περιοδική ή μή Δομή ;

Συναρτήσεις Βάσης

Μη ΣχετικιστικάΗμι-σχετικιστικάΠλήρως Σχετικιστικά

(Μη)ΑυτοσυνεπέςΜΤΠλήρες δυναμικόψευδοδυναμικό

Μοναδιαία κυψελίδαΣύμπλεγμα

Επίπεδα κύματαΑτομικά τροχιακάΓκαουσιανέςΑριθμητικές

6

Muffin-tin γεωμετρία

Διαμέριση ΧώρουΔιαμέριση Χώρου

Σφαίρες Ενδιάμεσος χώρος

Σφαιρικά κύματα

Αριθμητικές Λύσεις

Δυναμικό CoulombΣφαιρικής συμμετρίας

Επίπεδα κύματα

Ακτινική συνιστώσαΣυναρτήσεις Bessel

Πλεγματικά σημεία

Πυκνότητα φορτίουδυναμικό

Αργή μεταβολή

ΛύσηΓρ.συνδυασμός

7

Ποια βάση θα επιλέξω για τους αυτοσυνεπείς υπολογσιμούς;

8

Μερικά μαθηματικά της LMTO

Secular equation

Φθάνουμε στην ανάγκη επίλυσης ενός προβλήματος ιδιοτιμών πίνακαΧαμιλτονιανη εκφρασμενη στη βαση των κυματοσυναρτησεωνΠου αποτελειται απο συνδυασμο σφαρικού κυματος εντος, συναρτησεις bessel εκτος

Αν τη διαγωνοποιησουμε-βρισκουμε ιδιοενεργειες για ορισμενο κυματανυσμα k

9

LMTO :υπέρ και κατά

Υπολογίζει για όλα τα ηλεκτρόνια της κυψελίδας

Μέθοδος ελάχιστης βάσης (Χαμιλτονιανή-Τροχιακά)

όχι μεγάλη ακρίβεια για ανοικτές δομές

Μειωμένη ακρίβεια υπολογισμό δυνάμεων

10

πακέτο ΤΒ-LMTO-ASA

Κώδικας dft

Πανω απο 30.000 γραμμες κωδικα fortran πακετων γραμμικης αλγεβρας

Version 47 was last updated August 2000.

Απαραίτητη πρόσβασηΑπαραίτητη πρόσβασηΣε βάση κρυσταλλογραφικών δεδομένωνΣε βάση κρυσταλλογραφικών δεδομένωνπ.χπ.χ http://www.cryst.ehu.es/ http://www.cryst.ehu.es/

Max Planck Institut Stuttgart

1η εκδοση 1987

11

Έλεγχος της θεωρίας καιτου κώδικα

12

ΠυρίτιοΔομή διαμαντιου Fd-3m Ζ=14

θα μελετήσουμε την ακρίβεια της DFT στηνπρόβλεψη της πλεγματικής σταθεράς του πυριτίου

τα μοναδιαία διανύσματα στην περίπτωση του πυριτίου σχηματίζουν ένα κυβικά εδρωκεντρωμένο πλέγμα (FCC)

ηλεκτρόνια σθένους δημιουργούν τροχιακά γραμμικό συνδυασμό των 2s και 2p. δημιουργούν τετράεδρα, σχηματίζοντας ομοιοπολικούς δεσμούς και ελαχιστοποιόντας έτσι την ενέργειά τους.

1s2 2s2 2p6 3s2 3p2

13

14

15

Έλεγχος ακρίβειας μεθόδου

Πράγματι παρουσιάζει ελάχιστο για την πειραματική τιμή 5.43

Ene

rgy(

eV)

Lattice parameter(Angstroms)

16

Ηλεκτρονικές Ιδιότητες

Τι είδους πληροφορία παίρνουμε; Χάσμα Σημεία ζώνης Brillouin

17

Πυκνότητα καταστάσεων πυριτίου

αριθμό των ηλεκτρονιακών καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας

Μικρότερο χάσμαΑπό πειραματικό

18

Μελέτη συμπεριφορας υλικών υπό πίεση

Μετασχηματισμοί φάσεων-μεταξύ κρυσταλλικών δομών

Μεταβάλοντας τον όγκο της κυψελίδας ενός υλικού Συμπεριφορά υπό πίεση

Πιθανή πρόβλεψη νέων δομών

19

a, ορίζεi τετραγωνικής συμμετρίας c, τον κάθετοσε αυτό άξονα

Ορίζεται από δύο πλεγματικές στα-θερές (c, a) και είναι χαμηλότερης συμμετρίας

Το πυρίτιο, υπό υδροστατική πίεση, μεταπίπτει από την ημιαγώγιμη δομήδιαμαντιού, στην μεταλλική φάση β-Sn, με μια μετάβαση πρώτης τάξης σε πίεση 11.7 GPa

Κρυσταλλικοί μετασχηματισμοί ημιαγωγών τύπου IV υπό πίεση

Δομή C/aΔιαμάντι 1.44

β-Sn 0.55

Σταθερότητα νέες προσεγγιστικές μέθοδοι

20

Ενέργεια με c/a

Οι χαμηλότερες ενεργειακά καταστάσεις πυριτίου, για τους διάφορους λόγους της δομής β-Sn. Η ενέργεια στον κάθετο άξονα μετράται σε eVανά άτομο, από την θεμελιώδη κατάσταση του διαμαντιού

Ελάχιστο cd περιοχής

21

Ελάχιστα ενέργειας

Ισοϋψείς της ενέργειας για το πυρίτιο στην δομή β-Sn. Στονοριζόντιο άξονα είναι ο λόγος c/a της δομής, ενώ στον κάθετο ο λόγος τουόγκου της κυψελίδας προς τον αντίστοιχο της δομής του διαμαντιού. Η ενέργειαμετράται σε eV ανά άτομο, και οι ισοϋψείς που φαίνονται είναι ανά 0.2 eV. διαμαντι αναπαριστάται από την κυψελίδα β-Sn, λόγου c/a = 2.

22

Φάσεις του Σιδήρου σε πιέσεις γηίνου υπεδάφους

23

Yποθέσεις για φάσεις του MgSiO3 στο στρώμα D “ της Γης

MgSiO3 μετασχηματίζεται από περοβσκίτης σε διαστρωματωμένο CaIrO3. Ιδιότητες όπως η ελαστικότητα του στρώματος και η σταθερότητα του αποδίδονται σε αυτή τη φάση του υλικού

24

Ευχαριστώ

25

Βιβλιογραφία Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods, by Richard M.

Martin, Cambridge, Cambridge University Press, 2004,

Atomic and electronic structure of solids / Efthimios Kaxiras.Cambridge University Press, 2004,

The TB-LMTO-ASA program. R. Tank, O. Jepsen, A. Burkhardt, and O.

K. Andersen.Υπολογιστική Μελέτη Υλικών με την Θεωρία του Συναρτησιοειδούς της

Πυκνότητας,Τσατσούλης Θεόδωρος,ΕΜΠ

From APW to LAPW to (L)APW+lo Karlheinz Schwarz Vienna University of Technology

High-pressure phases of group-IV, III–V, and II–VI compounds A. Mujica Angel Rubio (Published 7 July 2003)

Theoretical and experimental evidence for a post-perovskite phase of MgSiO3 in Earth’s D 00 layer Artem R. Oganov1 & Shigeaki Ono2

Phase transition in MgSiO3 perovskite in the earth’s lower mantle Taku Tsuchiya *, Jun Tsuchiya, Koichiro Umemoto, Renata M. Wentzcovitch

First-principles theory of iron up to earth-core pressures: Structural, vibrational,and elastic properties Per Soderlind and John A. Moriarty