ΔιδάσκωνΔημήτριος Καραμανώλης, Επίκουρος Καθηγητής

Μάθημα 5ο

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης

Δασική Διαχειριστική ΙΔασική Διαχειριστική Ι

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Υπάρχουσες ξυλοβιομηχανίες στην περιοχή έχουν δυνατότητα κατεργασίας τουλαχιστον 20.000 μ3 ξύλείας.

Τελική τιμή πώλησης ξυλείας 70€/μ3

Αντίστοιχη δαπάνη διαχείρισης και παραγωγής απο τη Δ.Υ 20€/μ3

Αρα καθαρά έσοδα 70 – 20 = 50€/μ3

Χώροι αναψυχής εχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να προσφέρουν 3 μον. αναψυχής / Ηα. Κάθε τέτοια μονάδα μαζί με τις αντίστοιχες ζώνες επιρροής της απαιτεί κατα μέσο όρο εκταση 10Ηα.

Κάθε μον.αναψυχής θα εχει τη δυνατότητα να δέχεται κατα μέσο όρο 200 επ. /έτος δλδ 20 επ./Ηα.

Ελάχιστη φόρτιση 18.000 επ./Ηα και μέγιστη 100.000

Ο κάθε επισκ. πληρώνει 15€ και το κόστος ανα επισκ. είναι 5€

άρα το όφελος για τη Δ.Υ είναι 10€ ανα επισκ.

ΕΡΩΤΗΜΑ

Πόση έκταση πρέπει να δοθεί στην ξυλοπαραγωγή και πόση στην αναψυχή ώστε να έχουμε το μέγιστο όφελος??

Ανάπτυξη σχεδίου δράσης για παραγωγή ξυλείας και αναψυχή

Αντικειμενική συνάρτηση

Μεταβλητές αποφάσεων: x1 = ο αριθμός εκταρίων που θα διαχειρισθούν

για ξυλοπαραγωγή x2 = ο αριθμός εκταρίων που θα διαχειρισθούν

για αναψυχή και περιορισμένη ξυλ/γωγή Μεγ.Ζ = 200* x1 + 275* x2

Περιορισμοί:

- Κατανομή της έκτασης του δάσους x1 + x2 ≤ 10000 ha- Ανάγκες σε ξυλεία 4 x1 + 1,5 x2 ≥ 20000 m3

- Ελάχιστη εξυπηρέτηση επισκεπτών αναψυχής 20* x2 ≥ 18000 επισκέπτες- Μέγιστη δυνατότητα εξυπηρέτησης επ. αναψυχής

20* x2 ≤ 100000

Ανάλυση ευαισθησίας

• Κατ’αυτήν εξετάζεται κατα πόσο τυχόν αλλαγές στους συντελεστές του γραμμικού υποδείγματος δηλαδή είτε στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης είτε στις ποσότητες στο δεξιό μέρος των περιοριστικών ανισοτήτων, επηρεάζουν την άριστη λύση.

1.Περιορισμός ο οποίος σχετίζεται με τη συνολική δαπανη διαχείρισης του δάσους

• Έστω οτι η λύση έδωσε 5000 Ηα για ξυλ/γωγή και 5000 Ηα για αναψυχή και ξυλ/γωγή. Σύμφωνα με τον πίνακα των δεδομένων αν ακολουθηθεί η συγκεκριμένη λύση τότε οι συνολικές δαπάνες θα είναι : 5000*80 + 5000*130 = 1050000 €.

• Προβληματισμός: Εάν η Δ.Υ δεν μπορεί να διαθέσει το παραπάνω ποσό αλλα π.χ 900000 € τότε στο υπόδειγμα εισάγεται ο νέος περιορισμός :

80*x1 + 130*x2 ≤ 900000 €

Απο τη 2η λύση προκύπτει οτι η μείωση των εσόδων είναι κατα πολυ μικρότερη απο τη μείωση των δαπανών αρα προτιμάτε η 2η λύση.2. Αλλαγή στην αντ/νική συνάρτηση: Εδώ μπορεί να έχουμε-μεγιστοποίηση της ξυλ/γωγής-μεγιστοποίηση της αναψυχής-ελαχιστοποίηση της ξυλ/γωγής- ελαχιστοποίηση της αναψυχής-ελαχιστοποίηση των δαπανών-κ.λπ.

• Ετσι το νέο υπόδειγμα θα είναι: Μεγ.Ζ = 4*x1 + 1,5*x2

Περιορισμοί

- Κατανομή της έκτασης του δάσους x1 + x2 ≤ 10000 ha- Ανάγκες σε ξυλεία 4 x1 + 1,5 x2 ≥ 20000 m3

- Ελάχιστη εξυπηρέτηση επισκεπτών αναψυχής 20* x2 ≥ 18000 επισκέπτες- Μέγιστη δυνατότητα εξυπηρέτησης επ. αναψυχής 20* x2 ≤ 100000- Δαπάνες 80*x1 + 130*x2 ≤ 900000 €

ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ

ΚΑΙ ΤΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΔΙΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΔΙΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ

ΔΕΝΔΡΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ ΑΝΟΜΗΛΙΚΩΝ ΔΑΣΩΝΑΝΟΜΗΛΙΚΩΝ ΔΑΣΩΝ

Πρότυπο αύξησης σε διαχειριζόμενη συστάδα

yyt+1t+1 = G = Gtt (y (ytt – h – htt) + I) + Itt

Κατανομή διαμέτρων σε ανομήλικη συστάδα ΕλάτηςΚατανομή διαμέτρων σε ανομήλικη συστάδα Ελάτης

Κλάσεις διαμέτρου

i

Εύρος βαθμίδων

εκ.

Αριθμός κορμών στο Ηα

Μέση διάμετρος κλάσης,

di εκ.

Κυκλική επιφάνεια

gi μ2

Συνολική κυκλική

επιφάνεια, Gi μ2

1 12-16 138 14 0,02 2,76 2 16-24 156 20 0,03 4,70 3 24-36 117 30 0,07 8,2 4 36-52 104 44 0,15 15,6

Σύνολο

515

G = 31,26

Η περιγραφή της συστάδας σε Η περιγραφή της συστάδας σε οποιοδήποτεοποιοδήποτε χρονικό σημείο με τεσσερεις χρονικό σημείο με τεσσερεις μεταβλητεςμεταβλητες y1,t, y2,t, y3,t, y4,t y1,t+1 = a1y1,t + It y2,t+1 = b1y1,t + a2y2,t

y3,t+1 = b2y2,t + a3y3,t y4,t+1 = b3y3,t + a4y4,t

Ποσοστά στάσιμων δένδρων στην ίδια κλάση διαμέτρου,ανελθόντων στην επόμενη και υλοτομημένων μέσα σε μια 10ετία

Κλάσεις διαμέτρου, i

Ποσοστό υλοτομημένων, ci

Ποσοστό ανελθόντων, bi

Ποσοστό στάσιμων, ai 1- ci - bi

1 0,05 0,10 0,85 2 0,04 0,06 0,90 3 0,06 0,04 0,90 4 0,03 0,02 0,95

y1,t+1 = 0,85y1,t + It

y2,t+1 = 0,10y1,t + 0,90y2,t y3,t+1 = 0,06y2,t + 0,90y3,t

y4,t+1 = 0,04y3,t + 0,95y4,t

Σχέση μεταξύ ανελθόντων στην κατώτερη κλάση διαμέτρου αριθμού δένδρων και κυκλικής επιφάνειας.

It (δένδρα / Ηα / 10 έτη) = 116 – 8,4Gt(μ2 / Ηα) + 0,3 Νt ( δένδρα / Ηα) με R2 = 0,74

Νt = y1,t, + y2,t, + y3,t, + y4,t και Gt = 0,02y1,t + 0,03y2,t + 0,07y3,t + 0,15y4,t

όπου κάθε συντελεστής είναι η κυκλική επιφάνεια στο μέσο κάθε κλάσης διαμέτρου

Έτσι προκύπτει: It = 116 – 8,4(0,02y1,t + 0,03y2,t + 0,07y3,t + 0,15y4,t ) + 0,3( y1,t + y2,t, +

y3,t + y4,t).

Τελική μορφή του προτύπου αύξησηςΤελική μορφή του προτύπου αύξησης

y1,t+1 = 0,71y1,t + 0,05y2,t – 0,29y3,t – 0,96y4,t + 116 y2,t+1 = 0,10y1,t + 0,90y2,t y3,t+1 = 0,06y2,t + 0,90y3,t y4,t+1 = 0,04y3,t + 0,95y4,t

Δυναμική της Συστάδας

Θέτουμε y1,0 = 138, y2,0 = 156, y3,0 = 117, y4,0 = 104.

y1,1 = 0,71138 + 0,05 x156 – 0,29x117 – 0,96x104 + 116 = 88

y2,1 = 0,101+ 0,90x156 = 154

y3,1 = 0,06x156 + 0,90x117 = 115

y4,1 = 0,04x117+ 0,95x104 = 103

Εξέλiξη της αύξησης σε μη διαχειριζόμενη συστάδα

Χρόνος έτη

1η Κλαση αριθμός κορμών

2η Κλάση αριθμός κορμών

3η Κλάση αριθμός κορμών

4η Κλάση αριθμός κορμών

0 138 156 117 104 10 88 154 115 103 20 54 147 113 103 30 30 138 111 102 40 14 127 108 101 50 4 116 105 100

Σταθερή κατάσταση σε μη διαχειριζόμενη συστάδα

yi,t+1 = yi,t = yi για i = 1,2,3,4 και για όλα τα t.

Αντικαθιστώντας τα yi,t+1 και yi,t με το yi στο σύστημα των εξισώσεων προκύπτει:y1 = 0,71y1 + 0,05y2 – 0,29y3 – 0,96y4 + 116y2 = 0,10y1 + 0,90y2

y3 = 0,06y2 + 0,90y3

y4 = 0,04y3 + 0,95y4

Πρότυπο αύξησης σε διαχειριζόμενη συστάδα

y1,t+1 = 0,71(y1,t – h1,t) + 0,05(y2,t – h2,t) – 0,29(y3,t – h3,t) – 0,96(y4,t – h4,t) + 116 y2,t+1 = 0,10(y1,t – h1,t) + 0,90(y2,t – h2,t) y3,t+1 = 0,06(y2,t – h2,t) + 0,90(y3,t – h3,t)

y4,t+1 = 0,04(y3,t – h3,t) + 0,95(y4,t – h4,t)

Σταθερή κατάσταση σε διαχειριζόμενη συστάδα

yi,t+1 = yi,t = yi και hi,t+1 = hi,t = hi για i = 1,2,3,4

τα οποία αντικαθίστανται στο πρότυπο αύξησης και έχουμε:

y1 = 0,71(y1 – h1) + 0,05(y2 – h2) – 0,29(y3 – h3) – 0,96(y4– h4) + 116y2 = 0,10(y1 – h1) + 0,90(y2 – h2)y3 = 0,06(y2 – h2) + 0,90(y3 – h3) y4 = 0,04(y3 – h3) + 0,95(y4 – h4)

Αριστοποίηση ανομηλίκων συστάδων

Μεγιστοποίηση της παραγωγής Q = 0,06(μ3/δένδρο)h1 + 0,19h2 + 0,69h3 + 1,50h4 → max

Πίνακας γραμμικού προγραμματισμού που μεγιστοποιεί τον όγκο με χρόνο περιφοράς 5 έτη y1 y2 y3 y4 h1 h2 h3 h4 Κλάση 1 0,29 -0,05 0,29 0,96 0,71 0,05 -0,29 -0,96 = 116 Κλάση 2 -0,10 0,10 0,10 0,90 = 0 Κλάση 3 -0,06 0,10 0,06 0,90 = 0 Κλάση 4 -0,04 0,05 0,04 0,95 = 0 Συνθήκη 1 1 -1 >= 0 Συνθήκη 2 1 -1 >= 0 Συνθήκη 3 1 -1 >= 0 Συνθήκη 4 1 -1 >= 0 Q 0,06 0,19 0,69 1,50

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΧΡΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΠΕΡΙΦΟΡΑΣ

Αλλαγή του χρόνου περιφοράς

Γενική μορφή y t+1 = G ty t + c όπου:

G =

950040000900060000900100

960290050710

,,,,

,,,,,,

c=

000

116

yt =

t,

t,

t,

t,

y

y

y

y

4

3

2

1

• Αρχίζοντας από την κατάσταση y t και εφαρμόζοντας αυτή τη σχέση δύο φορές παίρνουμε:

• y t+2 = G y t+1 + c = G(G y t + c) + c = G2yt + Gc + c

Αντικαθιστούμε το G και το c με τους παραπάνω πίνακες και προκύπτει:

G2 = 0,83 −0,55 −1,750,07 0,80 0,040 0,04 0,81൩ και Gc + c = 76,81,60 ൩

Θέτουμε τους νέους συντελεστές που προέκυψαν απο τις πράξεις των πινάκων στις παραπάνω εξισώσεις και παίρνουμε τις εξισώσεις που περιγράφουν τη σταθερή κατάσταση για χρόνο περιφοράς 10 χρόνια

y1 = 0,83(y1 – h1) – 0,55(y2 – h2) -1,75(y3 – h3) + 76,8

y2 = 0,07(y1 – h1) + 0,80(y2 – h2) -0,04(y3 – h3) + 1,6

y3 = 0,04(y2 – h2) + 0,81(y3 – h3)

Αυτές οι εξισώσεις είναι οι περιορισμοί στο νέο γραμμικό υπόδειγμα : y1 y2 y3 h1 h2 h3 RHS

c1 0,17 0,55 1,75 0,83 -0,55 -1,75 = 76,8c2 -0,07 0,20 0,04 0,07 0.80 -0,04 = 1,6c3 -0,04 0,19 0,04 0,81 = 0c4 1 -1 ≥ 0c5 1 -1 ≥ 0c6 1 -1 ≥ 0

Δίνοντας και εδώ ως στόχο τη μεγιστοποίηση της παρούσας αξίας με μόνη αλλαγή τον χρόνο περιφοράς απο 5 σε 10 χρόνια θα έχουμε:

PH = VH * 1,0510 / 1,0510 –1 οπότε αντικαθιστώντας

και εδώ το VH με το ισο του προκύπτει:ZPV = PH – VS =

= 7,8 h1 + 10,4 h2 +25,9 h3 – 3y1 – 4y2 - 10y3

Οικολογικός στόχος

H =

n

1i)ipln(ip

H' = Hmax

H100

n

1i

n

1ii

y

iy

iy

iy

lnHmax n

1i

y = G(y-h) + c y – h ≥ 0 h ≥ 0

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Διαθέσιμη έκταση 1200 Ηα θα χρησιμοποιηθεί κατά ένα τμήμα για εκτροφή ελαφιών, ενώ η υπόλοιπη θα αναδασωθεί.Κόστος αγοράς ενός ελαφιού 75000 δρχ και απαιτεί έκταση 1 Ηα για βόσκηση το οποίο πρέπει να δεσμευθεί για 2 έτη. Το μέσο καθαρό εισόδημα του ιδιοκτήτη από την πώληση κάθε ελαφιού είναι 9000 δρχ. σε ετήσια βάση. Η αγορά δενδρυλλίων και η δημιουργία συστάδων 1000 δενδρυλλίων κοστίζει 300.000 δρχ. Η προτεινόμενη πυκνότητα αναδάσωσης πρέπει να είναι 500 δενδρ. /Ηα. Το αναμενόμενο καθαρό έσοδο από την ανάπτυξη και διαχείριση της φυτείας με περίτροπο χρόνο 50 χρ. είναι 12000 δρχ/Ηα. Ο ιδιοκτήτης επιθυμεί να μάθει τον άριστο αριθμό ελαφιών και συστάδων φυτείας ο οποίος θα του αποφέρει την ελάχιστη επενδυτική δαπάνη . Παράλληλα ο ιδιοκτήτης θέλει να είναι βέβαιος ότι θα έχει ετήσια καθαρά έσοδα από την συνολική δραστηριότητα τουλάχιστον 12.000.000 δρχ.

Διαμόρφωση του προβλήματος

Σκοπός : Ελαχ.Ζ = επενδυτικό κεφάλαιο Μεταβλητές αποφάσεων : X1 = o αριθμός των ελαφιών που θα εκτραφούν

X2 = ο αριθμός των συστάδων των 1000 δενδρ.

Αντικειμενική συνάρτηση 75000( δρχ./ελάφι) * x1 ( αριθμός ελαφιών)

300000(δρχ./συστάδα) * x2 (αριθμός συστάδων)

MinZ = 75000 x1 + 300000 x2

Περιορισμοί:Έκταση x1 + 2x2 ≤ 1200 Ηα

Έσοδα12000δρχ * 2Ηα = 24000δρχ/συστάδα9000δρχ/ελάφι9x1 + 24 x2 ≥ 12000 δρχ

ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΔΥΪΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΔΥΪΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

1. Η αντικειμενική συνάρτηση ελαχιστοποιείται όταν το αρχικό πρόβλημα μεγιστοποιείται και αντίθετα. 2. Έχει τόσες (δυϊκές) μεταβλητές, όσοι ήταν οι περιορισμοί στο αρχικό πρόβλημα. 3. Όλες οι δυϊκές μεταβλητές είναι συνήθως αρνητικές. 4. Οι συντελεστές των μεταβλητών σε κάθε στήλη του συνόλου των περιορισμών του αρχικού προβλήματος, γίνονται συντελεστές στις αντίστοιχες σειρές του δυϊκού προβλήματος. Δηλαδή η πρώτη στήλη γίνεται πρώτη σειρά, η δεύτερη στήλη γίνεται δεύτερη σειρά κ.λπ. 5. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος,γίνονται συντελεστές στη δεξιά πλευρά των περιορισμών του δυϊκού προβλήματος και αντίστροφα Και 6.Η κατεύθυνση των ανισοτήτων αντστρέφεται.

ΑΡΧΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑΡΧΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

ΜεγΖ = α1χ1 + α2χ2 + ...... + αnχn

και οι περιορισμοί β1,1χ1 + β1,2χ2 + ...... + β1,nχn c1

β2,1χ1 + β2,2χ2 + ...... + β2,nχn c2

..................................................................................

βm,1χ1 + βm,2χ2 + ...... + βm,nχn cm

Το αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα σχετίζεται με την εύρεση των μη αρνητικών δυϊκών μεταβλητών y1, y2 ..... ym , οι οποίες ονομάζονται σκιώδεις τιμές

ΕλαχΖ΄ = c1y1 + c2y2 + ...... + cmym

με τους εξής περιορισμούς:

β1,1y1 + β2,1y2 + ...... + βm,1ym α1

β1,2y1 + β2,2y2 + ...... + βm,2ym α2 ....................................................

β1,ny1 + β2,ny2 + ...... + βm,nym αn