1

Μορφοποίηση παλμων

2

Γιατί χρειάζεται η μορφοποίηση παλμών

• Ένας τρόπος ελάττωσης των απαιτησεων σε φασμα για την ψηφιακη μεταδοση ενος αναλογικου σηματος ειναι η χρηση αποδοτικου κβαντιστη.

• Αν ο ρυθμος δειγματοληψιας ειναι fs samples/sec, και

• Αν εχουμε Μ= 2n επιπεδα κβαντισμου, τοτε

• Ο ρυθμος παραγωγης δυαδικων συμβολων ειναι R = fs n bits/sec

• Το απαιτουμενο ευρος φασματος για την μεταδοση ειναι

BW = CPS fs n Hz,

οπου η σταθερα CPS εξαρταται απο την μορφη του παλμου

για δεδομενο ορισμο του BW (συνηθως 0.5 < CPS <1).

• Παραδειγμα: Για τετραγωνικο παλμο και ορισμο BW την συχνοτητα πρωτου μηδενισμου ειναι CPS =1 και BW= fs n Hz

3

Κριτηρια σχεδιασης μορφης παλμων

• Συνηθως προσδιοριζουμε δυο παραμετρους στο πεδιο συχνοτητων:– Το BW πρωτου μηδενισμου (το θελουμε μικρο)– η ελαχιστη αποσβεση των πλαγιων λοβων σε σχεση με τη

μεγιστη τιμη του κυριου λοβου σε db down (οσο πιο μεγαλο τοσο καλλιτερα)

• Προσπαθουμε να στρογγυλεψουμε τις ακμες και τις γωνιες των παλμων για να περιορισουμε το φασμα

|P(f)|2

0 BW f (Hz)

db down

4

Παλμος Τετραγωνικης μορφης διαρκειας 1 μs

• BW πρωτου μηδενισμου: 1/Τ = 1MHz• Μεγεθος πλαγιων λοβων: 13.6 db down

1 MHz

5

Παλμος τριγωνικης μορφης διαρκειας 1 μs

• BW πρωτου μηδενισμου: 2/Τ = 2MHz• Μεγεθος πλαγιων λοβων: 26 db down

2 ΜHz

6

Παλμος ημιτονοειδους μορφης διαρκειας 1 μs

• BW πρωτου μηδενισμου: 1.5/Τ = 1.5 MHz• Μεγεθος πλαγιων λοβων: 22 db down

1.5 MHz

7

Παλμος Gaussian μορφης διαρκειας 1 μs

• BW πρωτου μηδενισμου: 1.5/Τ = 1.5 MHz

• Μεγεθος πλαγιων λοβων: 31 db down

1.5 MHz

8

Επικαλυψη συμβολων (InterSymbol Interference – ISI)

• Θα μπορουσαμε να βελτιωσουμε περισσοτερο την μορφη του παλμου αλλα βλεπουμε οτι ειμαστε κοντα σε καποιο οριο.

• Ενας τροπος να πετυχουμε μικρο ευρος φασματος ειναι να χρησιμοποιησουμε παλμους μεγαλυτερης διαρκειας.

• Αν ομως οι παλμοι εχουν διαρκεια μεγαλυτερη του T=1/fs n τοτε θα εχουμε υπερκαλυψη των συμβολων (ISI – InterSymbol Interference) και προβλημα στην ορθη εκτιμηση του εκπεμπομενου δυαδικου συμβολου.

-2T -T 0 T t

Στιγμες δειγματοληψιας

x(t) x(t-T)

9

Αυξηση της διαρκειας του παλμου

• Οταν ενας παλμος διερχεται απο καναλι με ευρος φασματος μικρο σε σχεση με το φασμα του παλμου, εχουμε διευρυνση της διαρκειας του παλμου, οπως πιο κατω

10

Διασυμβολικη Υπερκαλυψη (ISI)

• Ακολουθια παλμων στην εισοδο του καναλιου

• Οι παλμοι στην εξοδο του καναλιου

11

Διασυμβολικη Υπερκαλυψη (ISI)

• Το σημα στην εξοδο ειναι η υπερθεση των παλμων

12

Τεχνικες Nyquist

13

Εξαλειψη ISI

0,1

0,0)(k

kkTx

14

Κριτηρια του Nyquist για μηδενικη ISI• Οι επικαλυπτοντες παλμοι δεν θα δημιουργησουν προβλημα στην ορθη

εκτιμηση ενος δυαδικου συμβολου αν εχουν μηδενικη τιμη την στιγμη που κανουμε δειγματοληψια του λαμβανομενου σηματος.

• Με μαθηματικους ορους, θελουμε ο παλμος να ικανοποιει την σχεση

οπου k ειναι ακεραιος και Τ η αποσταση μεταξυ συμβολων.• Ικανη και αναγκαια συνθηκη για να ισχυει η πιο πανω σχεση ειναι η:

• Αν ο παλμος εχει απολυτο ευρος φασματος ΒW (δηλαδη Χ(f)=0 για |f|>BW) τοτε ο μονος τροπος για να ισχυει η πιο πανω σχεση ειναι να εχουμε– (1/2Τ) = ΒW , οποτε μονο η {X(f)=Τ για |f|<BW,και X(f) =0, αλλου}

ικανοποιει την σχεση, ή– (1/2Τ) < ΒW οποτε υπαρχουν οικογενειες συναρτησεων που

ικανοποιουν το κριτηριο

0,1

0,0)(k

kkTx

mT

T

mfX )(

15

Συνεπειες των κριτηριων Nyquist για παλμους με φασμα αυστηρα περιορισμενο

• Ο παλμος εχει φασμα Χ(f) με αυστηρα περιορισμενο ΒW.1. Αν BW < (1/2T) δεν υπαρχει παλμος που να ικανοποιει το κριτηριο διοτι...

2. Αν BW=1/2T μονο ο παλμος με φασμα {X(f)=σταθερα για |f|<BW, και X(f)=0, αλλου} ικανοποιει την σχεση, διοτι...

Δηλαδη ο παλμος που επιτρεπει μεταδοση συμβολων με ρυθμο 1/Τ χωρις ISI και εχει ελαχιστο ευρος φασματος ειναι ο x(t) = sinc(t/T) . Ο παλμος αυτος ειναι μη πραγματοποιησιμος (διοτι εχει μη μηδενικη τιμη για t<0)

αλλα τον προσεγγιζουμε με μια καθυστερημενη εκδοχη του, δηλ την sinc[(t-τ)/T], οπου η καθυστερηση τ επιλεγεται ετσι ωστε για t<0 να εχουμε sinc[(t-τ)/T] 0.

-1/Τ -BW BW 1/T f

Σ Χ(f+m/T)X(f)

... ... -1/Τ -BW 0 BW 1/T f

Σ Χ(f+m/T)

......

16

Συνεπειες των κριτηριων Nyquist για παλμους με φασμα αυστηρα περιορισμενο (2)

3. Αν BW > (1/2T) υπαρχουν οικογενειες παλμων που ικανοποιουν το κριτηριο, διοτι...

Παραδειγμα παλμων που ικανοποιουν τα κριτηρια του Nyquist ειναι η οικογενεια παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου με φασμα οπως στο σχημα. Για fΔ = 0 εχουμε την προηγουμενη περιπτωση BW=1/2T.

-1/Τ -BW 0 BW 1/T f

Σ Χ(f+m/T)

1/2T

|Χ(f)|

f0 = 1/2T

BW

X(f)

......

17

Οικογενεια παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου

• Περιγραφη στο πεδιο συχνοτητων:

– οπου BW ειναι το απολυτο ευρος φασματος του παλμου

– f0 = 1/2Ts, fΔ = BW – f0, f1 = f0 – fΔ,

– ο r = fΔ/f0 ειναι ο roll-off factor (συντελεστης αναδιπλωσης)

BWfff

ff

fffX||,

2)|(|

cos1)2/1(

||,,1

11

1)(

0, |f | > BW

r=0r=0.5

r=1

f0

r = fΔ/f0

f0=0.5 fs =1/2Ts

18

Συναρτηση μεταφορας του παλμου υπερυψωμενου συνημιτονου

r=0r=0.5

r=1

r = fΔ/f0

f0=0.5 fs =1/2Ts

19

Ευρος φασματος παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου

• Για το PCM συστημα με συχνοτητα δειγματοληψιας fs

κωδικοποιηση με n bits, εχουμε:

– BW = [(1+r)/2]· fs · n Hz = [(1+r)/2]· R Hz

– r = "rolloff factor", 0 r 1,

• Ειδικες περιπτωσεις:– r = 0, ειναι απλα ο παλμος sinc(.) – r = 1, ειναι η μεγιστη δυνατη τιμη της παραμετρου r και το

φασμα παιρνει την μορφη υπερυψωμενου συνημιτονου– r = 0.35, ειναι η τιμη που χρησιμοποιειται στα Βορειο-

Αμερικανικα ψηφιακα συστηματα κινητης τηλεφωνιας NA-TDMA και CDMA (προτυπο IS-54/136)

r = fΔ/f0

f0=0.5 fs =1/2Ts

20

Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου - Φασμα

r = fΔ/f0

21

Παλμος υπερυψωμενου συνημιτονου(Raised cosine)

• Περιγραφη στο πεδιο χρονου:

2

0

00

1

)4(1

)2cos(

2

)2sin(2)}({)(

tf

tf

tf

tfffXFtx

r=0r=0.5

r=1

22

Υπερυψωμενο συνημιτονο – μορφη παλμου

r = fΔ/f0

23

Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου

24

Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου

25

Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονουΦασματικη αποδοση

Hz

bit/s

1

2

2/)1(

/1

bandwidth

rate data

rTr

TEff rc

Hz

bit/s2

)1(

2

Hz

bit/s1

r

2nd Nyquist (r=1) r=0

26

Υλοποιηση του Παλμου Υπερυψωμενου Συνημιτονου

• Μπορει ευκολα να υλοποιηθει με ενα ψηφιακο φιλτρο FIR (finite impulse response).

• Αναλογικα φιλτρα (π.χ. φιλτρα Butterworth) μπορουν ( με αρκετη δυσκολια) να προσεγγισουν την απαιτητικη μορφη του φασματος του.

• Οι παλμοι στην πραξη θα πρεπει να περιοριστουν ως προς την διαρκεια– Αυτος ο χρονικος περιορισμος δημιουργει πλαγιους λοβους

• Μερικες φορες, και κυριως οταν ταυτοσημα φιλτρα χρησιμοποιουνται στον πομπο και στον δεκτη, χρησιμοποιειται ενα φιλτρο με φασμα "τετραγωνικη ριζα" υπερυψωμενου συνημιτονου

27

Χρονικα περιορισμενοι παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου

• Ο περιορισμος της χρονικης διαρκειας δημιουργει αυξημενους πλαγιους λοβους.

28

Παραδειγμα παλμου υπερυψωμενου συνημιτονου.

• Data rate R = 100 kbits/sec => T = 1/R = 10 μs• r = 0.5 => BW = [(1+r)/2] R = 0.75 R = 75 kHz

BW 0.75(1/T) =0.75/10μs = 75 kHz

29

Non-Nyquist τεχνικεςGaussian παλμος

30

Ιδανικος παλμος Nyquist

31

Κωδικες Γραμμης –Line Codes

32

Κωδικες Γραμμης (Line coding)• Χρησιμοποιουμε παλμους για μεταδοση ενος δυαδικου συμβολου

(που συνηθως μεταφερει και ενα bit πληροφοριας).

• O συνηθεστερος τροπο παραστασης των δυαδικων συμβολων με παλμους, ονομαζεται πολικος NRZ

– To "πολικος" υπονοει οτι στελνεται ειτε ενας παλμος ειτε ο αρνητικος του.

– Το "NRZ" σημαινει "No Return to Zero" δηλαδη η διαρκεια του παλμου ειναι η διαρκεια του bit.

• p(t) p(t)

• 1 => 0 T t 0 => 0 T t

• Ειναι δυνατον να εχουμε και αλλες μορφες παλμων ή "κωδικες γραμμης”.

33

Πυκνοτητα φασματικης ισχυος του κωδικα γραμμης " Πολικος NRZ"

• Για καθε μορφη παλμου ειναι ευκολο να βρεθει η πυκνοτητα φασματικης ισχυος.

• SNRZ(f) = |P(f)|2/T, P(f) = F{p(t)}

T

0.5T

Υποθετουμε τετραγωνικη μορφη παλμου

SNRZ(f)

R=1/T

Η SNRZ(f) βρισκεται

μετασχηματιζοντας την RNRZ(τ) της ακολουθιας παλμων

34

Παραδειγμα• p(t) = sinc(200.000t) = sin(200.000 π t) / (200.000 π t)

– R= 1/T =200.000 bits/sec

– Γινεται χρηση παλμου υπερυψωμενου συνημιτονου με

"rolloff factor" r = 0.

• P(f) = F{p(t)} = (1/200.000) Π(f/200.000)

• SNRZ(f) = |P(f)|2/T = (1/200.000)Π(f/200.000)

1/200.000

-100.000 0 100.000 f

35

Αλλοι τυποι κωδικων γραμμης• Οι ασυρματες, οι ραδιοφωνικες και οι δορυφορικες

τηλεπικοινωνιες χρησιμοποιουν κωδικα γραμμης τυπου "πολικος NRZ" γιατι ετσι εξοικονομειται φασμα.

• Σε αλλα συστηματα ψηφιακων τηλεπικοινωνιων μερικες φορες χρησιμοποιουνται αλλοι κωδικες γραμμης για να αποκτησουν επιθυμητα χαρακτηριστικα τα μεταδιδομενα σηματα.

• Ονοματολογια:

– Polar (πολικος) στελνεται ενας παλμος ή ο αρνητικος του

– Unipolar (μονοπολικος) στελνεται ενας παλμος ή το μηδεν

– Bipolar (διπολικος) το ενα παριστανεται με εναλλαγη της πολικοτητας του παλμου

– NRZ (Νο Return to Zero) O παλμος διαρκει οσο και το συμβολο

– RZ (Return to Zero) O παλμος διαρκει οσο το μισο συμβολο

36

Μονοπολικος NRZ• Εκπεμπεται ο παλμος οταν στελνεται το 1 και δεν εκπεμπεται

τιποτε οταν στελνεται το 0.

• Χρησιμο για "μη συμφωνες" επικοινωνιες οταν ο δεκτης δεν μπορει να αποφασισει για το προσημο του παλμου.

• Γινεται ευρυτατη χρηση του στις επικοινωνιες μεσω οπτικων ινων.

• p(t) p(t)

• 1 => 0 T t 0 => 0 T t

37

Πυκνοτητα φασματικης ισχυος του μονοπολικου NRZ

• Μπορει να θεωρηθει σαν πολικη σηματοδοσια με προσθηκη μιας συνεχους συνιστωσας.

• SUniNRZ(f) = (T/4)sinc2(fT) [1 + δ(f)/T]

T

R=1/T

0.5T

R=1/T

O βασικος παλμος εχει τετραγωνικη μορφη

38

Μονοπολικος RZ• H σηματοδοσια RZ εχει τοσο την ανερχομενη οσο και την

κατερχομενη ακμη του παλμου μεσα στην διαρκεια ενος συμβολου

• Αυτο μπορει να φανει χρησιμο για διεργασιες χρονισμου και συγχρονισμου. (ιδιως αν το σημα είναι μακρα ακολουθια «1»)

• p(t) p(t)

• 1 => 0 Τ/2 Τ t 0 => 0 T t• Σπαταλη ισχυος

• SUniRZ(f) = (T/16) sinc2(f T/2) [1 + (1/T) Σ δ{f – (n/T)}]

0.5T

Το φασμα ειναι σχεδον διπλασιο των NRZ

39

Διπολικος RZ• Ειναι μονοπολικη σηματοδοσια μονο που εδω το ¨1¨στελνεται

εναλλαξ με θετικους και αρνητικους παλμους.

• Η εναλλαγη αυτη εξουδετερωνει την συνιστωσα συνεχους του μονοπολικου σηματος.

• Αυτο ειναι επιθυμητο σε πολλα καναλια, που δεν μπορουν να μεταδοσουν την συνιστώσα συνεχους (Η συναρτηση μεταφορας Η(f) 0 για f0).

• p(t) p(t) p(t)

• 1 => ή T/2 0 =>

• 0 T/2 T t 0 T t 0 Τ t

40

PSD του Διπολικου RZ

• Οι ισοκατανεμημενοι θετικοι και αρνητικοι παλμοι εξουδετερωνουν την συνεχη συνιστωσα του εκπεμπομενου σηματος

• SbiRZ(f) = (T/4) sinc(fT/2) sin2(πfT)

0.5T R=1/T

R=1/T

41

Κωδικας γραμμης Manchester

• Στελνεται παλμος δυο φασεων για το "1" (+ -) και για το "0" ( - +)

• Περιλαμβανεται και η ανερχομενη και η κατερχομενη ακμη του παλμου με καθε συμβολο.

• Δεν υπαρχει συνεχης συνιστωσα

• p(t) p(t)

• 1=> 0 T/2 T t 0 => 0 T/2 T t

• Ειναι ειδος πολικης σηματοδοσιας.

• Smanch(f) = T sinc2(fT/2) sin2(ft/2)

0.5T

42

Μορφη παλμων

Κυριες μορφες βασικων παλμων

43

Επιδρασεις των διαφορων βασικων παλμων

• Οι διαφοροι βασικοι παλμοι χρησιμοποιουνται για την ικανοποιηση διαφορων απαιτησεων:

• Διευκολυνση συγχρονισμου: Ο RZ και ο Manchester εξασφαλιζουν καποια εναλλαγη καταστασης με καθε συμβολο, ακομα και αν εκπεμπεται μακρα ακολουθια 0 ή 1.

• Μορφοποιηση φασματος: Ισως η πιο σπουδαια εφαρμογη.

Η μορφη του φασματος εξαρταται ισχυρα απο την μορφη του παλμου. Ετσι επιτυγχανεται

– Εξάλειψη συνεχούς συνιστώσας στο εκπεμπόμενο φασμα. Μερικα καναλια (οπως το τηλεφωνικο καναλι) δεν επιτρεπουν την διελευση των DC συνιστωσων του σηματος. Στην περιπτωση αυτη χρησιμοποιειται ο παλμος Manchester

– Ελεγχος του ευρους φασματος του εκπεμπομενου σηματος: Στο επομενο slide φαινεται η σχεση μορφης παλμου και φασματος

44

Τα φασματα των βασικων παλμων 1/3• NRZ

• Σημεια μηδενισμου NRZ

• RZ

• Σημεια μηδενισμου RZ

45

Τα φασματα των βασικων παλμων 2/3• Manchester

• Σημεια μηδενισμου

• HS

• Σημεια μηδενισμου

46

Τα φασματα των βασικων παλμων 3/3

Ts = διαρκεια συμβολου