‘½¬»…ƒ· £.‘.• ƒ„ ‡...

download ‘½¬»…ƒ· £.‘.• ƒ„ ‡ ±„¬ƒ„±ƒ·‚

of 36

  • date post

    12-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    44
  • download

    0

Embed Size (px)

description

ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος. Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης.  Ορισμός Κατάστασης  Περιγραφή Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης  Λύση εξισώσεων κατάστασης  Ελέγξιμο Σ.Α.Ε  Παρατηρήσιμο Σ.Α.Ε  Ευστάθεια στο Χώρο Κατάστασης. Βιβλιογραφία Ενότητας. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of ‘½¬»…ƒ· £.‘.• ƒ„ ‡...

Automatic Control SystemsΚΕΣ 01 – Αυτματος λεγχος
ΚΕΣ 01: Αυτματος λεγχος
Παρασκευπουλος [2005]: Εφαρμογς, Κεφλαιο 5
DiStefano [1995]: Chapter 3: Section 3.15, Chapter 20: Sections 20.1 & 20.2
Tewari [2005]: Chapters 3 & 4
Βιβλιογραφα Εντητας
Ορισμς Κατστασης
Ορισμς Καταστσεων και Χρου Κατστασης
Οι εξισσεις κατστασης εναι μια περιγραφ στο πεδο του χρνου η οποα μπορε να χρησιμοποιηθε για μια μεγλη γκμα συστημτων πως γραμμικ, μη γραμμικ, χρονικ αναλλοωτα μη, με χωρς αρχικς συνθκες
Κατσταση ονομζουμε να σνολο εσωτερικν μεταβλητν του συστματος η παρακολοθηση των οποων στον χρνο μας περιγρφει το σστημα.
Οι παραπνω μεταβλητς ονομζονται μεταβλητς κατστασης
Χρος κατστασης ονομζεται ο Ευκλεδιος χρος ο οποος δημιουργεται απ τις μεταβλητς κατστασης
Ορισμς:
Οι μεταβλητς κατστασης x1(t), x2(t), …, xn(t) ενς συστματος ορζονται ως νας (ελχιστος) αριθμς μεταβλητν ττοιων στε αν γνωρζουμε τις τιμς τους για οποιαδποτε χρονικ στιγμ t0, τη συνρτηση εισδου που εφαρμζεται στο σστημα για t≥ t0, και το μαθηματικ νμο που συνδει την εσοδο, τις μεταβλητς κατστασης και το σστημα, να καθσταται δυνατς ο προσδιορισμς της κατστασης του συστματος για οποιαδποτε χρονικ στιγμ t≥ t0.
Ορισμς Κατστασης
Πλθος και επιλογ μεταβλητν κατστασης
Ο ελχιστος αριθμς των μεταβλητν κατστασης εναι σος με την τξη του συστματος:
Αυτ εναι απαρατητο διτι για τον πλρη προσδιορισμ της εξδου ενς συστματος τξης n χρειζονται n αρχικς συνθκες. Εφσον οι μεταβλητς κατστασης μπορον να προδιαγρψουν πλρως το σστημα για οποιαδποτε χρονικ στιγμ εναι φανερ τι πρπει να εναι σες σε πλθος με το πλθος των αρχικν συνθηκν.
Οι μεταβλητς κατστασης για να μπορον να περιγρψουν πλρως το σστημα πρπει να εναι γραμμικ ανεξρτητες.
Για την περιγραφ ενς συστματος μπορον να επιλεγον διφορα σνολα μεταβλητν κατστασης φτνει να χουν πλθος n (σο η τξη του συστματος) και να εναι γραμμικ ανεξρτητες.
Σε ηλεκτρικ και ηλεκτρονικ κυκλματα οι μεταβλητς κατστασης εναι συνθως γραμμικς συναρτσεις των (α) φορτων των πυκνωτν, (β) ρευμτων στα πηνα. Τα στοιχεα αυτ μπορον να χουν αρχικς συνθκες οι οποες επηρεζουν τον προσδιορισμ της εξδου του συστματος.
Ορισμς Κατστασης
Περιγραφ Σ.Α.Ε στο χρο κατστασης
στω το σστημα πολλν εισδων – πολλν εξδων του σχματος. Μπορομε να εκφρσουμε τις m εισδους, p εξδους και n μεταβλητς κατστασης ως διανσματα:
Οι εξισσεις κατστασης ενς συστματος εναι να σστημα n διαφορικν εξισσεων πρτης τξης που συνδει το δινυσμα εισδου u(t) με το δινυσμα κατστασης x(t) και χει τη μορφ:
που f εναι μια στλη με n στοιχεα. Η συνρτηση f εναι γενικ μια πεπλεγμνη μη γραμμικ συνρτηση των x(t) και u(t)
Το δινυσμα εξδου y(t) συνδεται με τα διανσματα εισδου u(t) και κατστασης x(t) με την εξσωση εξδου:
Ορισμς Κατστασης
(ΙΙΙ)
που g εναι μια στλη με p στοιχεα. Η συνρτηση g εναι γενικ μια πεπλεγμνη μη γραμμικ συνρτηση των x(t) και u(t)
Οι αρχικς συνθκες των εξισσεων κατστασης εναι οι τιμς του διανσματος κατστασης x(t) για t=t0 (t0 ισοται συνθως με 0) και συμβολζονται ως εξς:
Οι εξισσεις κατστασης, η εξσωση εισδου και οι αρχικς συνθκες συνθτουν την περιγραφ ενς δυναμικο συστματος στο χρο κατστασης:
Ορισμς Κατστασης
Εξισσεις κατστασης
Αν να γραμμικ μη χρονικ μεταβαλλμενο σστημα μπορε να περιγραφε απ να σστημα συνθων διαφορικν εξισσεων, ττε οι εξισσεις κατστασης παρνουν την ειδικ μορφ:
Ο πνακας Α χει διαστσεις nxn και ονομζεται πνακας του συστματος, ο πνακας Β χει διαστσεις nxm και ονομζεται πνακας εισδου, ο πνακας C χει διαστσεις pxn και ονομζεται πνακας εξδου, ο πνακας D χει διαστσεις pxm και ονομζεται απευθεας πνακας.
Ορισμς Κατστασης
Περιγραφ γραμμικν χρονικ μεταβαλλμενων συστημτων
Αν να γραμμικ χρονικ μεταβαλλμενο σστημα μπορε να περιγραφε απ να σστημα συνθων διαφορικν εξισσεων, ττε οι εξισσεις κατστασης παρνουν τη μορφ:
Ορισμς Κατστασης
Παρδειγμα
Το ηλεκτρικ κκλωμα του σχματος περιγρφεται απ την Ο.Δ.Ε (ξοδος η τση στα κρα της αντστασης):
Θεωρντας ως μεταβλητς κατστασης
το ρεμα στο πηνο,
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Λση Εξισσεων Κατστασης
Η λση των εξισσεων κατστασης στοχεει στον προσδιορισμ του διανσματος κατστασης x(t) για κθε χρονικ στιγμ t≥ t0 (συνθως το t0 λαμβνεται σο με μηδν).
Η λση των εξισσεων κατστασης
με αρχικς συνθκες:
περιλαμβνει την ερεση της λσης της ομογενος εξσωσης:
=> =>
Ο πνακας
ονομζεται μεταβατικς πνακας κατστασης διτι μας προσδιορζει τη μετβαση του διανσματος κατστασης x(t) απ την αρχικ κατσταση (Ι εναι ο πνακας με μοναδικ μη μηδενικ στοιχεα αυτ της κριας διαγωνου)
σε οποιαδποτε τελικ κατσταση x(t).
Ο πνακας μπορε να προσδιοριστε απ το ανπτυγμα Taylor:
για αυτ και συμβολζεται με
Ιδιτητες μεταβατικο πνακα κατστασης:
Υπρχουν διφορες μθοδοι για τον υπολογισμ του μεταβατικο πνακα κατστασης:
Μθοδος 1:
Απευθεας υπολογισμς απ τη σχση
Η μθοδος αυτ εναι δσκολ ταν ο πνακας Α χει διαστσεις μεγαλτερες απ 3x3 εξαιτας της δυσκολας αντιστροφς του πνακα:
Παρδειγμα:
με
Ορισμς Κατστασης
και το δινυσμα κατστασης ισοται με:
Ορισμς Κατστασης
Η χρονικ μορφ του διανσματος κατστασης φανεται στο σχμα.
Εναι φανερ πως η ελεθερη απκριση του συστματος στις συγκεκριμνες αρχικς συνθκες προοδευτικ μηδενζεται.
Για τον υπολογισμ του μεταβατικο πνακα κατστασης στη Matlab χρειζεται η χρση του symbolic math toolbox:
Εντολς:
syms t (για ορισμ της t ως συμβολικς μεταβλητς)
Phi = expm(A*t); (που ο Α χει οριστε σμφωνα με τις τιμς που δθηκαν στην εκφνηση του παραδεγματος)
Ορισμς Κατστασης
Μθοδος 2:
Υπολογισμς απ τη σχση
με τη βοθεια του αλγορθμου του Leverrier o οποος χρησιμοποιεται για την αντιστροφ του πνακα:
που:
και οι πνακες Fi και οι συντελεστς ai υπολογζονται επαναληπτικ απ τις σχσεις:
Ο αλγριθμος Leverrier αναπτχθηκε για ευκολα υπολογισμο του αντστροφου του πνακα μσω υπολογιστ.
Ορισμς Κατστασης
Μθοδος 3:
Με διαγωνοποηση του πνακα A (ισχει εφσον οι ιδιοτιμς του A εναι διακριτς, δηλαδ δεν χουμε ιδιοτιμς με πολλαπλτητα μεγαλτερη απ 1).
Οι ιδιοτιμς λi, i=1,…,n, του πνακα A δνονται αποτελον λσεις της εξσωσης:
δηλαδ εναι τιμς του λ για τις οποες μηδενζεται η ορζουσα
Σημεινεται τι η ορζουσα μας δνει το Χαρακτηριστικ Πολυνυμο του συστματος. Επομνως οι ιδιοτιμς του πνακα A αποτελον τους πλους του πνακα συναρτσεων μεταφορς.
Εφσον ο πνακας Α διαγωνοποιεται μπορε να γραφε ως:
που T ο πνακας με στλες τα ιδιοδιανσματα του Α και Λ ο πνακας με διαγνια στοιχεα τις ιδιοτιμς του Α.
Ορισμς Κατστασης
Μθοδος 3 (συν):
Με βση τα προηγομενα ο μεταβατικς πνακας μπορε να γραφε:
που
Παρδειγμα:
Να ευρεθε ο μεταβατικς πνακας κατστασης (με διαγωνοποηση του πνακα Α) για το σστημα
με
Λση:
=> λ1=-1, λ2=-2. Οι ιδιοτιμς εναι διακριτς ρα ο πνακας Α μπορε να διαγωνοποιηθε.
Τα ιδιοδιανσματα που αντιστοιχον στις παραπνω ιδιοτιμς ικανοποιον τη σχση: και εναι (βλπε εντολ eig στη Matlab)
οπτε ο πνακας Τ εναι:
Ορισμς Κατστασης
τελικ
Ορισμς Κατστασης
Η χρονικ μορφ του διανσματος κατστασης φανεται στο σχμα.
Εναι φανερ πως η ελεθερη απκριση του συστματος στις συγκεκριμνες αρχικς συνθκες προοδευτικ μηδενζεται.
Ορισμς Κατστασης
Μθοδος 4:
Η τελευταα μθοδος για υπολογισμ του μεταβατικο πνακα κατστασης βασζεται στη σχση:
και εναι καθαρ προγραμματιστικ. Επειδ η παραπνω σειρ χει πειρους ρους ο υπολογισμς του μεταβατικο πνακα κατστασης εναι προσεγγιστικς:
Ορισμς Κατστασης
Η γενικ λση των εξισσεων κατστασης
στοχεει υπολογζει και τη διεγερμνη απκριση η οποα βασζεται και αυτ στον μεταβατικ πνακα κατστασης και δνεται απ το συνελικτικ ολοκλρωμα:
Ο υπολογισμς του παραπνω συνελικτικο ολοκληρματος εναι δσκολος για τις περισστερες μορφς εισδου (εξαρεση αποτελον η κρουστικ και η βηματικ συνρτηση).
=>
=>
Λση:
Η ννοια του ελγξιμου αναφρεται στη δυναττητα ελγχου του διανσματος κατστασης απ το δινυσμα εισδου.
Η δυναττητα προσδιορισμο της ελεγξιμτητας εναι να απ τα βασικ πλεονεκτματα της περιγραφς συστημτων μσω των εξισσεων κατστασης.
Ορισμς:
Το δινυσμα κατστασης x(t) εναι ελγξιμο αν υπρχει κποια τμηματικ συνεχς συνρτηση εισδου (ελγχου) u(t) που μπορε να οδηγσει το x(t) απ την αρχικ συνθκη x(t0) στη τελικ του τιμ x(tf) σε να πεπερασμνο χρονικ διστημα (tf-t0)≥0.
Θερημα:
Το δινυσμα κατστασης x(t) του συστματος που περιγρφεται απ τις παραπνω εξισσεις κατστασης εναι ελγξιμο ττε και μνο ττε η τξη του πνακα S (διαστσεων nxnm) εναι ση με n (υπρχουν δηλαδ n ανεξρτητες στλες στον πνακα S)
Ορισμς Κατστασης
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Ελγξιμο διανσματος εξδου
Η ννοια του ελγξιμου της εξδου αναφρεται στη δυναττητα ελγχου του διανσματος εξδου απ το δινυσμα εισδου.
Ορισμς:
Το δινυσμα εξδου y(t) εναι ελγξιμο αν υπρχει κποια τμηματικ συνεχς συνρτηση εισδου (ελγχου) u(t) που μπορε να οδηγσει το y(t) απ την αρχικ συνθκη y(t0) στη τελικ του τιμ y(tf) σε να πεπερασμνο χρονικ διστημα (tf-t0)≥0.
Θερημα:
Το δινυσμα εξδου y(t) του συστματος που περιγρφεται απ τις παραπνω εξισσεις κατστασης εναι ελγξιμο ττε και μνο ττε η τξη του πνακα Q (διαστσεων px(m+1)n) εναι ση με p (υπρχουν δηλαδ p ανεξρτητες στλες στον πνακα Q)
Ορισμς Κατστασης
Παρδειγμα
Να ελεγχθε το ελγξιμο του διανσματος κατστασης και του διανσματος εξδου για το σστημα
με
Λση:
Κατασκευζουμε τους πνακες S και Q (χουμε n=m=p=2):
η τξη του S εναι 2, ρα το δινυσμα κατστασης εναι ελγξιμο. Η τξη του Q εναι 2 ρα το δινυσμα εξδου εναι ελγξιμο
Ορισμς Κατστασης
Παρδειγμα (ΙΙ)
Να ελεγχθε το ελγξιμο του διανσματος κατστασης και του διανσματος εξδου για το σστημα
με
Λση:
Κατασκευζουμε τους πνακες S και Q (χουμε n=2,m=p=1):
η τξη του S εναι 1 (ορζουσα |S |=0) , ρα το δινυσμα κατστασης δεν εναι ελγξιμο. Η τξη του Q εναι 1 ρα το δινυσμα εξδου εναι ελγξιμο
Ορισμς Κατστασης
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Παρατηρσιμο διανσματος κατστασης
Η ννοια του παρατηρσιμου αναφρεται στη δυναττητα προσδιορισμο των αρχικν συνθηκν x(t0) (αρχικ κατσταση συστματος) με βση τα διανσματα εισδου u(t) και εξδου y(t) τα οποα μετρμε σε να πεπερασμνο χρονικ διστημα.
Σε περπτωση που στω καιμια μεταβλητ κατστασης δεν εναι παρατηρσιμη ττε το σστημα συνολικ δεν εναι παρατηρσιμο.
Η δυναττητα προσδιορισμο του παρατηρσιμου ενς συστματος εναι να απ τα βασικ πλεονεκτματα της περιγραφς συστημτων μσω των εξισσεων κατστασης.
Ορισμς:
Το δινυσμα κατστασης x(t) εναι παρατηρσιμο στο διστημα [t0 tf] ταν γνωρζοντας τα τα διανσματα εισδου u(t) και εξδου y(t) για t[t0 tf] μπορομε να προσδιορσουμε το δινυσμα αρχικν συνθηκν x(t0)
Ορισμς Κατστασης
Θερημα:
Το δινυσμα κατστασης x(t) του συστματος που περιγρφεται απ τις παρακτω εξισσεις κατστασης εναι παρατηρσιμο ττε και μνο ττε η τξη του πνακα R (διαστσεων nxnp) εναι ση με n (υπρχουν δηλαδ n ανεξρτητες στλες στον πνακα R)
Παρδειγμα:
εναι παρατηρσιμο:
Λση
Ο πνακας R εναι τξης 2, ρα το σστημα δεν εναι παρατηρσιμο
Ορισμς Κατστασης
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
Πνακας Συναρτσεων Μεταφορς
=> =>
=>
Θερημα 1:
Αν ο πνακας συναρτσεων μεταφορς H(s) ενς συστματος παρουσιζει απαλοιφ πλων μηδενικν ττε το σστημα εναι ετε μη ελγξιμο μη παρατηρσιμο και τα δο. Αν δεν χουμε απαλοιφ πλων μηδενικν ττε το σστημα με πνακα συναρτσεων μεταφορς H(s) μπορε να περιγραφε με εξισσεις κατστασης ως να ελγξιμο και παρατηρσιμο σστημα.
Θερημα 2:
Ο πνακας συναρτσεων μεταφορς H(s) περιχει μνο το ελγξιμο και παρατηρσιμο μρος ενς συστματος (εκτς ειδικν περιπτσεων που το χαρακτηριστικ πολυνυμο χει ρζες πολλαπλτητας μεγαλτερης απ 1).
Ορισμς Κατστασης
Παρδειγμα:
Ο πνακας συναρτσεων μεταφορς H(s) χει τη μορφ:
Παρατηρομε τι αν C1Rf1= C2Rf2 η H12(s) παρουσιζει απαλοιφ πλου μηδενικο και γνεται
οπτε το σστημα
εμφανεται ως τξης 1 (εν εναι φανερ τι εναι τξης 2)
Ορισμς Κατστασης
λεγχος ευστθειας στο χρο κατστασης
Συστματα με περιγραφ στο χρο κατστασης μπορον να ελεγχθον ως προς την ευστθεια τους με τη βοθεια των πιο κτω ορισμν:
Ορισμς 1:
στω το Γ.Χ.Α σστημα
Θεωρομε τι το σστημα εναι μηδενικς διγερσης (u(t)=0), εξετζουμε δηλαδ την ελεθερη απκριση του συστματος. Το σστημα εναι ευσταθς αν για κθε πεπερασμνη αρχικ συνθκη x(0) υπρχει αριθμς Μ(x(0)) ττοιος στε να ικανοποιονται οι συνθκες:
που εναι το μτρο του διανσματος κατστασης για ελεθερη εσοδο.
Με δεδομνο τι η ελεθερη απκριση του συστματος δνεται απ τη σχση:
και τι το x(0) εναι πεπερασμνο, οι παραπνω σχσεις ισοδυναμον με
δηλαδ λα τα στοιχεα του μεταβατικο πνακα κατστασης μηδενζονται με την προδο του χρνου
Ορισμς Κατστασης
Ορισμς 2:
για το οποο ισχει (εφσον εναι ελγξιμο και παρατηρσιμο):
Το σστημα εναι ευσταθς αν οι ιδιοτιμς του πνακα A (ισοδναμα οι πλοι του Χ.Π.
) βρσκονται στο αριστερ μιγαδικ ημιεππεδο (χουν πραγματικ μρος αρνητικ).
Ορισμς Κατστασης
Λση
Οι ιδιοτιμς του πνακα Α εναι λ1=-3, λ2=-2, λ3=-1. λες χουν αρνητικ πραγματικ μρος ρα το σστημα εναι ευσταθς.
Ο μεταβατικς πνακας κατστασης εναι:
λα τα στοιχεα του μηδενζονται ταν t->∞, ρα και με αυτ το κριτριο προκπτει τι το σστημα εναι ευσταθς.
Ο πνακας συναρτσεων μεταφορς εναι:
Εναι φανερ τι χουμε απαλοιφ πλων μηδενικν διτι σμφωνα με τον πνακα συναρτσεων μεταφορς το σστημα εναι πρτης τξης με Χ.Π. p(s)=(s+3)
Ορισμς Κατστασης